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Estudo de Sistemas cl´assicos quasi-unidimensionais
confinados
Jo˜ao Cl´audio Nunes Carvalho
28 de outubro de 2007
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Jo˜ao Cl´audio Nunes Carvalho
Estudo de sistemas cl´assicos
quasi-unidimensionais confinados
Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de
F´ısica da Universidade Federal do Cear´a,
como parte dos requisitos para a obten¸c˜ao
do T´ıtulo de Mestre em F´ısica.
Orientador:
Prof. Dr. Wandemberg Paiva Ferreira
Co-orientador:
Prof. Dr. Gil de Aquino Farias
Mestrado em F
´
ısica
Departamento de F
´
ısica
Centro de Ci
ˆ
encias
Universidade Federal do Cear
´
a.
Fortaleza – CE
16 de Julho de 2007
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ii
Disserta¸c˜ao de Mestrado sob o t´ıtulo Estudo de sistemas cl´assicos quasi-unidimensionais
confinados , defendida por Jo˜ao Cl´audio Nunes Carvalho e aprovada em 16 de julho de
2007, em Fortaleza, Cear´a, pela banca examinadora constitu´ıda pelos doutores:
Prof. Dr. Wandemberg Paiva Ferreira
Departamento de F´ısica - UFC
Orientador
Prof. Dr. Gil de Aquino Farias
Departamento de F´ısica - UFC
Co-orientador
Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena
Departamento de F´ısica - UFRN
iii
Esse trabalho ´e dedicado a minha fam´ılia e aos meus amigos.
Agradecimentos
• Inicialmente agrade¸co ao Prof. Dr. Wandemberg Paiva Ferreira, por sua imensa
competˆencia e dedica¸c˜ao na orienta¸c˜ao deste trabalho, al´em de sua paciˆencia e
confian¸ca depositada em mim durante o per´ıodo de mestrado.
• Aos professores do Departamento de F´ısica da UFC, em especial aos professores Gil
de Aquino Farias, Raimundo Nogueira da Costa Filho, Murilo Pereira de Almeida,
Nilson Sena de Almeida, Jos´e de Alexander King (in memorian) e ao coordenador
da p´os gradua¸c˜ao Prof. Jos´e Soares de Andrade Junior, por todo o suporte dado a
esse trabalho.
• Aos professores do Departamento de F´ısica da UECE, em especial aos professores
Humberto de Andrade Carmona e Jo˜ao Bosco Ver¸cosa Leal Junior, por terem me
acompanhado em meus trabalhos de inicia¸c˜ao cient´ıfica e principalmente por abrirem
os caminhos para a pesquisa.
• Aos amigos(as) Paulo Wylliam, Jusciane, Aldilene, Andrey, Diego, Lucidalva, Cle-
nilton, Bartolomeu, Carlos Alex, Glaydson Barros, Arian, Luciana, Francisco, Ro-
berval, Saulo Davi, Ivan Carneiro (Brother), Ana Tereza, Roner, Nizomar, Cleidson
Costa, Blima Maria, Saulo Carneiro (UFRN), Henrique (UECE), Paulo Henrique
(UECE), Herbert (Computa¸c˜ao-UFC) e todos os outros n˜ao citados aqui pelo apoio
e amizade nas horas mais complicadas, e tamb´em pelas discuss˜oes cient´ıficas nos cor-
redores e salas da universidade. Admito com sinceridade, que sem eles, o caminho
at´e aqui teria sido muito mais complicado.
• A Felipe de Freitas Munarin, por sua grande ajuda no in´ıcio desse trabalho.
• Aos examinadores da banca.
• Aos funcion´arios do Departamento de F´ısica, em especial ao Elias, Rejane, Ana
Cleide e Creuza.
• Aos meus pais Cl´audio Carlos Carvalho e Terezinha Nunes Carvalho pela vida e
dedica¸c˜ao em minha forma¸c˜ao como cidad˜ao.
Agradecimentos v
• As minhas irm˜as Ta´ıs Maria e Taiana Cl´audia.
• A todos os meus amigos e amigas que me deram for¸cas durante a caminhada at´e
aqui.
• Ao CNPQ - Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico, pelo
suporte financeiro.
“N˜ao sei como pare¸co aos olhos do mundo, mas eu mesmo vejo-me como
um pobre garoto que brincava na praia e se divertia em encontrar
uma pedrinha mais lisa uma vez por outra, ou uma concha mais
bonita do que de costume, enquanto o grande oceano da verdade se
estendia totalmente inexplorado diante de mim.”
Isaac Newton
Resumo
Neste trabalho, s˜ao analisados dois sistemas mesosc´opicos bidimensionais sujeitos a
um confinamento externo do tipo parab´olico. Quanto ao primeiro analisam-se as proprie-
dades estruturais e dinˆamicas de um sistema bin´ario de cargas, as quais interagem atrav´es
de um potencial do tipo Coulombiano blindado. As energias do estado fundamental s˜ao
calculadas analiticamente e numericamente, e dependendo da densidade e da raz˜ao entre
as duas cargas existentes, o sistema cristaliza-se em um certo n´umero de cadeias. Como
fun¸c˜ao da densidade, as configura¸c˜oes do estado fundamental e suas transi¸c˜oes estruturais
s˜ao analisadas, tanto atrav´es de c´alculos anal´ıticos assim como por meio de simula¸c˜oes
com Dinˆamica Molecular. Em geral, mostra-se que uma segrega¸c˜ao entre os diferentes
tipos de part´ıcula ocorre para valores cr´ıticos de densidade. As diferentes configura¸c˜oes
do sistema podem ser resumidas num rico diagrama de fase. Transi¸c˜oes de fase estru-
turais cont´ınuas e descont´ınuas s˜ao observadas. Observa-se que a ordem da transi¸c˜ao ´e
determinada pela raz˜ao entre as cargas e densidade linear. O espectro dos modos normais
foi cuidadosamente analisado para o caso no qual o sistema acomoda-se numa estrutura
de 1 e 2 cadeias. Em rela¸c˜ao ao segundo trabalho, apresentam-se resultados preliminares
das propriedades estruturais de um sistema com intera¸c˜ao competitiva, onde novamente
variando-se a densidade do sistema, observa-se diversas estruturas na forma de linhas,
aglomerados ou em camadas.
Abstract
We study, in this work, two mesoscopic classical quasi-unidimensional systems un-
der an external parabolic confinement potential. In the first, which is the main part of
their thesis, we analyze the structural and the dynamical properties of a binary system of
charged particles, which interact with each other through a repulsive screened Coulomb
potential. The ground state energies are calculated analytically and numerically. Depen-
ding on the density and on the ration (α) between the charges of the types of particle the
system crystalizes in a certain numb er of chains. We carefully study how the ground state
configuration changes as the density is increased (for different values of α). Numerical
molecular dynamics simulation are also used as a complementary technique. In general,
we show the different types of particles become segregated as the density increases. Such
a separation of charges leads the system to a symmetrical or to asymmetrical state. Con-
tinuous as discontinuous structural transition are found, and the order of such transitions
depends on α and on the density. The normal modes spectrum is analyzed for the one
and two-chains cases. In the second system considered here, we show preliminary results
for the structure of a classical system of particles interacting through a competitive short-
range attractive and long-range repulsive potential. The structure of the system is studied
as a function of the density. We find several no-trivial and rather interesting ground state
configurations such as stripes, bubles and concentric rings.
Sum´ario
Lista de Figuras p. xii
1 Introdu¸c˜ao p. 17
1.1 El´etrons na superf´ıcie do h´elio l´ıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
1.2 Plasmas Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21
1.3 Sistemas Coloidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23
1.4 Sistemas auto-organizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27
1.5 Estrutura da Disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27
2 Modelos e M´etodos Num´ericos p. 29
2.1 Modelos Uni e Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
2.2 Simula¸c˜ao Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34
2.2.1 Breve Hist´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34
2.3 Dinˆamica Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35
2.3.1 Rela¸c˜ao com a Mecˆanica Estat´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
2.3.2 Condi¸c˜oes Iniciais das Simula¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38
2.3.3 Mecˆanica Cl´assica e Algoritmos de Integra¸c˜ao . . . . . . . . . . p. 38
2.3.4 Condi¸c˜oes de contorno peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43
2.4 Dinˆamica molecular em outros ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45
2.4.1 M´etodo Estoc´astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46
2.5 Propriedades estruturais e t´ermicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47
2.5.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47
Sum´ario x
2.5.2 Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47
3 Resultados e Discuss˜oes p. 49
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49
3.2 Sistema Bin´ario de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49
3.2.1 Modelo do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50
3.2.2 Resultados obtidos atrav´es de Dinˆamica Molecular . . . . . . . . p. 52
3.2.3 Configura¸c˜oes de Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52
3.2.4 Transi¸c˜oes Estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58
3.2.5 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais - Aproxima¸c˜ao Harmˆonica p. 64
3.2.5.1 Configura¸c˜ao Linear com um tipo de Part´ıcula (α = 1.0) p. 64
3.2.5.2 Sistema Bin´ario - Configura¸c˜ao de uma Cadeia . . . . p. 70
3.2.6 Modos Normais do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva . . . . . . . . p. 79
3.3.1 Modelo do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80
3.3.2 Configura¸c˜oes de Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82
4 Conclus˜oes e perspectivas p. 89
Apˆendice A -- Energia por part´ıcula para diversas estruturas na forma
de cadeias p. 91
A.1 1 Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91
A.2 2 Cadeias - Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 93
A.3 2 Cadeias - Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 94
A.4 2 Cadeias - Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 94
A.5 2 Cadeias - Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 96
A.6 3 Cadeias - Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 97
A.7 3 Cadeias - Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 97
Sum´ario xi
A.8 4 Cadeias - Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 98
A.9 4 Cadeias - Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 101
A.10 4 Cadeias - Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 104
A.11 7 Cadeias - Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 105
A.12 7 Cadeias - Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 109
Referˆencias p. 112
Lista de Figuras
1 Forma¸c˜ao de dimples na superf´ıcie do h´elio l´ıquido. As figuras mostram as
deforma¸c˜oes na superf´ıcie aproximadamente ap´os (a)2s,(b)6s e (c) depois do
campo el´etrico ter aumentado e atingido um valor cr´ıtico. Na figura (c) os
pontos brancos corrrespondem ao centro dos dimples. Figura retirada da
referˆencia [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21
2 Configura¸c˜ao de (a)2, (b)8 e (c)20 ondula¸c˜oes (pontos escuros) dentro de uma
parede cil´ındrica sim´etrica numa superf´ıcie de h´elio. Figura retirada da re-
ferˆencia [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22
3 Mat´eria no estado gasoso e no estado de plasma. Note que antes havia uma
g´as de ´atomos neutros e em seguida um g´as de ´ıons e el´etrons livres (Adaptado
de http://www.ipp.mpg.de/ippcms/eng/pr/fusion21/plasma/index.html). . . p. 22
4 (a) Esquema experimental de um sistema de part´ıculas microsc´opicas
entre dois eletrodos. (b) Configura¸c˜ao do sistema com N=3,7,12,19,34 e
145 part´ıculas. Figuras retirada da referˆencia [26]. (c) Vis˜ao esquem´atica
de um dusty plasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23
5
(a) Esquema de uma suspens˜ao de col´oide MR n˜ao sujeitos a um campo
magn´etico. (b) Forma¸c˜ao de aglomerados de col´oides devido a aplica¸c˜ao de
um campo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25
6 (a)Vis˜ao lateral da geometria do experimento. (b) Fotografia de um
compartimento que ´e ocupado por um sistema coloidal. Trajet´orias das
part´ıculas (N = 29) em um confinamento circular para diferentes fatores
de acoplamento Γ (raz˜ao entre o potencial e a energia cin´etica do sis-
tema): (c) 152; (d) 38; (e) 30; (f) 7.5. Figuras retiradas da referˆencia
[22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
7 Sistema de part´ıculas confinadas atrav´es de um potencial (a) coulombi-
ano e (b) parab´olico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30
Lista de Figuras xiii
8 (a) Energia por part´ıcula como fun¸c˜ao da densidade para κ = 1. (b)
Diagrama estrutural de fase para temperatura zero. (c) Derivada da
energia em rela¸c˜ao a densidade para κ = 1. Somente a transi¸c˜ao de uma
para duas cadeias ´e cont´ınua (segunda ordem), todas as outras transi¸c˜oes
s˜ao de primeira ordem. Figuras retiradas da referˆencia [43]. . . . . . . . p. 32
9 Estruturas do estado fundamental para N = 10 e κ = 4. Figura retirada
da referˆencia[44]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33
10 Conforme uma part´ıcula move-se para fora por um lado da caixa de simula¸c˜ao,
uma imagem dessa mesma part´ıcula entra pelo lado oposto desta caixa.Nos
c´alculos de intera¸c˜ao entre as part´ıculas dentro do alcance do potencial, tanto
as imagens como as part´ıculas reais s˜ao consideradas. . . . . . . . . . . . . p. 44
11 A part´ıcula escurecida no centro ´e a de referˆencia, e os c´ırculos em torno
dela representam as outros part´ıculas. Um anel centrado ´e desenhado como
referˆencia, o qual possui raio r e espessura dr, neste exemplo outras trˆes
part´ıculas s˜ao posicionadas dentro deste anel e destacados. . . . . . . . . . p. 48
12 Configura¸c˜oes obtidas atrav´es de Dinˆamica Molecular, para diversos valores
de densidade e α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53
13 Testes efetuados em α = 0.1 com as configura¸c˜oes prop ostas no Apˆendice A. p. 54
14 (a) Energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade para α = 0.1. (b)Transi¸c˜ao
de segunda ordem de 1 para 3 cadeias. (c) Transi¸c˜ao de primeira ordem de 3
para 4 cadeias. (d) Transi¸c˜ao de primeira ordem de 4 cadeias (caso 1) para 4
cadeias (caso 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56
15 (a) Energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade para α = 3.0. (b)Transi¸c˜ao
de segunda ordem de 1 para 2 cadeias (c) Transi¸c˜ao de primeira ordem de 2
para 4 cadeias (d) Transi¸c˜ao de primeira ordem de 4 cadeias (caso 1) para 4
cadeias (caso 2). (e) Transi¸c˜ao de primeira ordem de 4 cadeias (caso 2) para
7 cadeias (caso 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57
16 (a) Diagrama estrutural de fases para T=0. (b) Para α < 1, observa-se uma
regi˜ao em que tˆem-se a forma¸c˜ao de 3 cadeias. . . . . . . . . . . . . . . . p. 59
17 Diagrama estrutural de fases para T=0, no caso em que κ = 1.0.. Figura
retirada da referˆencia [43]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60
18 Posi¸c˜ao lateral das part´ıculas em fun¸c˜ao da densidade. . . . . . . . . . . . p. 61
Lista de Figuras xiv
19 Derivada da energia com rela¸c˜ao a denisdade para κ=1. Observe que apenas
a transi¸c˜ao de 1 para 3 cadeias ´e cont´ınua (segunda ordem), o restante das
transi¸c˜oes s˜ao descont´ınuas (primeira ordem). . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62
20 Derivada da energia com rela¸c˜ao a densidade para κ=1. Observe que apenas
a transi¸c˜ao de 1 para 2 cadeias ´e cont´ınua (segunda ordem), o restante das
transi¸c˜oes s˜ao descont´ınuas (primeira ordem). . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63
21 Mecanismos de transi¸c˜oes estruturais de 1 para 2 cadeias e de 2 para 4 cadeias.
Figura retirada da referˆencia [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63
22 Arranjo linear para apenas 1 tipo de part´ıcula. . . . . . . . . . . . . . . . p. 64
23 Rela¸c˜ao de dispers˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67
24 Ramo ´otico e ramo ac´ustico da rela¸c˜ao de dispers˜ao. . . . . . . . . . . . . . p. 69
25 Configura¸c˜ao de 1 cadeia. Observe que as part´ıculas com cargas distintas se
arrajam de forma alternada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70
26 Rela¸c˜ao de dispers˜ao para α = 0.5 e α = 1.5 considerando diversas densidades. p. 76
27 Rela¸c˜ao de dispers˜ao para α = 2.0 e α = 3.0 considerando diversas densidades. p. 77
28 Esquema para densidade n
∗
a
e n
∗
b
(n
∗
a
< n
∗
b
). Observe que a for¸ca de repuls˜ao
eletrost´atica resultante em (a) ´e menor que em (b). . . . . . . . . . . . . . p. 78
29 Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa.(a) Cristaliza¸c˜ao de Wigner em
B=0. (b) Fase intermedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para B=0.3.
(c)Forma¸c˜ao de aglomerados para B=0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80
30 Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da densidade mantendo-se a
parte atrativa do potencial fixa. (a) 18 part´ıculas. (b) 100 part´ıculas. (c) 400
part´ıculas. (d) 1050 part´ıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81
31 Energia potencial em fun¸c˜ao da distˆancia entre as part´ıculas para diversos
valores de B, no caso em que κ
1
= 0.5, κ
2
= 1.0. . . . . . . . . . . . . . . . p. 82
32 Alcance do Potencial de Yukawa para diversos valores de κ. . . . . . . . . . p. 83
Lista de Figuras xv
33 Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa em n = 0.5 .(a) Cristaliza¸c˜ao de
Wigner em B=0. (b) Fase intermedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para
B=2.0. (c)Forma¸c˜ao de linhas e aglomerados de part´ıculas para B=2.5. (d)
Forma¸c˜ao de aglomerados de part´ıculas para B=7.0. . . . . . . . . . . . . p. 84
34 Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa em n = 1.0.(a) Cristaliza¸c˜ao de
Wigner em B=0. (b) Fase intermedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para
B=2.0. (c)Forma¸c˜ao de linhas e aglomerados de part´ıculas para B=5.0 (d)
Forma¸c˜ao de aglomerados de part´ıculas para B=50.0. . . . . . . . . . . . p. 85
35 Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa em n = 0.5.(a) Cristaliza¸c˜ao de
Wigner em B=0. (b) Fase intermedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para
B=1.5. (c)Forma¸c˜ao de aglomerados de part´ıculas para B=5.0 (d) Forma¸c˜ao
de aglomerados de part´ıculas para B=15.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 86
36 Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa em n = 0.5.(a) Cristaliza¸c˜ao de
Wigner em B=0. (b) Fase intermedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para
B=1.5. (c)Forma¸c˜ao de aglomerados de part´ıculas para B=5.0 (d) Forma¸c˜ao
de aglomerados de part´ıculas para B=15.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87
37 Energia por part´ıcula em fun¸c˜ao de B. (a) κ
1
= 0.05. (b)κ
2
= 0.5. . . . . . p. 88
38 Configura¸c˜ao de 1 cadeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91
39 Configura¸c˜ao de 2 cadeias - caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 93
40 Configura¸c˜ao de 2 cadeias - caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 95
41 Configura¸c˜ao de 2 cadeias - caso 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 95
42 Configura¸c˜ao de 2 cadeias - caso 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 96
43 Configura¸c˜ao de 3 cadeias - caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 97
44 Configura¸c˜ao de 3 cadeias - caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 98
45 Configura¸c˜ao de 4 cadeias-caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99
46 Configura¸c˜ao de 4 cadeias-caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102
Lista de Figuras xvi
47 Configura¸c˜ao de 4 cadeias - caso 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 104
48 Configura¸c˜ao de 7 cadeias - caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 105
49 Configura¸c˜ao de 7 cadeias - caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 110
17
1 Introdu¸c˜ao
Uma grande n´umero de trabalhos te´oricos e experimentais tˆem sido largamente es-
tudado, acerca de sistemas que apresentam um n´umero reduzido de dimens˜oes. Uma
das raz˜oes ´e devido `as propriedades peculiares advindas do confinamento eletrˆonico e,
principalmente devido ao fato de que as novas tecnologias de fabrica¸c˜ao de materiais tˆem
permitido a confec¸c˜ao desses sistemas com dimens˜oes cada vez mais reduzidas.
´
E justa-
mente para essa escala que est˜ao convergindo os atuais processos de mininaturiza¸c˜ao na
eletrˆonica, trazendo crescentes melhorias em termos de desempenhos, funcionalidades e
portabilidades para processadores, dispositivos de armazenamento de dados, aparelhos de
comunica¸c˜ao, dentre outros. Diante deste cen´ario, percebe-se o surgimento de uma nova
era tecnol´ogica, denominada era da nanotecnologia.
Um aspecto interessante do sistema de baixa dimensionalidade ´e a simplicidade dos
modelos que se utilizam para descrevˆe-los. O n´umero reduzido de dimens˜oes espaciais
faz com que a matem´atica destes sistemas seja, em geral, mais simples que a de siste-
mas com maior n´umero de dimens˜oes. Sistemas f´ısicos de diversas escalas de tamanho,
levam em considera¸c˜ao o fator dimensionalidade. Como exemplo, podem-se mencionar os
´atomos reais, os quais s´o podem ser descritos corretamente apenas com o uso da mecˆanica
quˆantica. Contudo, outros sistemas de tamanho bastante reduzido, quando comparados
`a nossa escala cotidiana, por´em grandes quando comparados aos ´atomos reais, por exem-
plo, podem ter algumas de suas caracter´ısticas corretamente descritas por meio de uma
descri¸c˜ao cl´assica.
Em 1934, Eugene Wigner previu teoricamente que, sistemas tridimensionais cons-
titu´ıdos por el´etrons poderiam cristalizar-se em um arranjo ordenado quando valores
cr´ıticos de densidade e temperatura s˜ao atingidos (baixa densidade e temperatura)[11].
Os el´etrons num cristal de Wigner formam um arranjo espacial que minimiza a repuls˜ao
Coulombiana e a energia. Diminuindo a temp eratura, a intera¸c˜ao Coulombiana aumenta
1 Introdu¸c˜ao 18
com rela¸c˜ao a energia cin´etica e efeitos de correla¸c˜ao tornam-se dominantes. Para um g´as
de el´etrons em um sistema tridimensional, tal cristaliza¸c˜ao ´e esperada para densidades
muito baixas.[8]
Embora a cristaliza¸c˜ao de Wigner esteja relacionada a el´etrons, atualmente define-se
e observa-se o cristal de Wigner em outros sistemas nos quais existe uma intera¸c˜ao extre-
mamente forte entre seus constituintes. Esses sistemas normalmente est˜ao num estado de
g´as ou l´ıquido e sobre condi¸c˜oes espec´ıficas de temperatura e densidade, al´em de estarem
submetidos a uma transi¸c˜ao de fase atrav´es de um estado ordenado (estrutura crista-
lina peri´odica). Assim, os cristais de Wigner podem ser encontrados tanto em sistemas
quˆanticos como em sistemas cl´assicos.
No regime cl´assico, a importˆancia da intera¸c˜ao coulombiana ´e determinada por um
parˆametro de acoplamento Γ =< V > / < K >, o qual ´e definido pela raz˜ao entre
a energia potencial < V >= e
2
< 1/r > e a energia cin´etica < K >= k
b
T , onde k
b
´e a constante de Boltzmann. De acordo com o parˆametro Γ, diferentes regimes podem
ser observados. Quando Γ < 1, que ocorre em geral em sistemas que se encontram em
uma temperatura bem elevada, a intera¸c˜ao coulombiana passa a ter pouca importˆancia no
sistema, e o sistema torna-se quase um g´as de f´ermions
1
. Para 1 < Γ < 100, os el´etrons
est˜ao correlacionados e o sistema se comporta como um l´ıquido. Para Γ > 100, que ´e um
regime de alta-densidade e baixa temperatura, a energia potencial coulombiana ´e maior
que a energia cin´etica, fazendo-se com que o sistema seja levado, normalmente atrav´es de
transi¸c˜oes estruturais de fase, para um estado ordenado.
No regime quˆantico a situa¸c˜ao ´e diferente. As part´ıculas do sistema formam um cristal
quando a energia potencial m´edia for maior que a energia cin´etica m´edia. Por´em em um
cristal quˆantico existe uma energia finita no ponto zero: pois quando a densidade aumenta
as part´ıculas ficam mais localizadas, assim seus momentos s˜ao maiores, de acordo com o
princ´ıpio da incerteza, resultando em uma energia maior no ponto-zero. Isto significa que ´e
poss´ıvel “derreter”o cristal aumentando a densidade em T = 0. Isto explica porque baixas
temperaturas e densidades s˜ao necess´arias para formar um cristal quˆantico.
`
A procura
da observa¸c˜ao de cristais de Wigner tem sido objeto de intenso e cont´ınuo trabalho.
Experimentalmente, an´alises de uma rede de Wigner tridimensional ainda n˜ao foram
1
Em um g´as de f´ermions (part´ıculas com spin 1/2) `a alta densidade, como acontece em an˜as brancas
(massa de el´etrons e pr´otons) ou estrelas de nˆeutrons (massa de nˆeutrons), a separa¸c˜ao entre as part´ıculas
´e muito pequena. Pelo princ´ıpio de incerteza de Heinsenberg, a diferen¸ca de momentum entre elas deve
ser de no m´ınimo maior do que
/2
x
i
. Como x
i
´e muito pequeno, a diferen¸ca de momentum ´e muito
grande, como ocorre no caso dos el´etrons, em que a massa ´e pequena
1 Introdu¸c˜ao 19
observadas. Um dos fatores ´e que os el´etrons nos materiais, tais como metais e semicon-
dutores, al´em de sentirem a repuls˜ao m´utua entre eles, s˜ao tamb´em influenciados pelas
imperfei¸c˜oes na estrutura espacial em que se encontram. Esses defeitos, acabam des-
truindo a estrutura do cristal de Wigner 3D. Portanto, procuram-se sistemas alternativos
em que tal cristaliza¸c˜ao de Wigner possa ser realizada. Em 1971 Crandall e Williams
[16] propuseram procurar tal estrutura de Wigner num sistema bidimensional de el´etrons
acima da superf´ıcie do h´elio l´ıquido. Nesse caso as condi¸c˜oes de cristaliza¸c˜ao podem ser
obtidas com mais facilidade devido principalmente ao car´ater quase ideal do sistema, ou
seja, sem imperfei¸c˜oes ou impurezas.
Ap´os a predi¸c˜ao te´orica da cristaliza¸c˜ao de Wigner na superf´ıcie de h´elio l´ıquido,
a primeira observa¸c˜ao experimental pode ser verificada em 1979, por Grimes e Adams
[17]. Desde ent˜ao, as an´alises experimentais tˆem apresentado um consider´avel progresso
levando a descoberta de novos sistemas, que podem exibir estruturas ordenadas na forma
de cristais de Wigner. Como exemplo temos os el´etrons em ponto quˆantico [20], part´ıculas
em suspens˜oes coloidais [21, 22] e part´ıculas carregadas em um plasma confinado [23, 24,
25, 26]. Alguns destes sistemas ser˜ao discutidos nas pr´oximas se¸c˜oes deste cap´ıtulo.
Teoricamente, sistemas bidimensionais de part´ıculas carregadas tˆem mostrado estru-
turas interessantes, que dependem fortemente da forma e da intensidade do confinamento.
No caso de um potencial de confinamento com simetria circular, as part´ıculas se arranjam
em uma configura¸c˜ao triangular ou em uma configura¸c˜ao de camadas, dependendo do
n´umero de part´ıculas do sistema [42, 40]. A estrutura triangular deve-se a intera¸c˜ao entre
as part´ıculas carregadas, enquanto que a estrutura de camadas ´e conseq¨uˆencia do efeito
do potencial de confinamento sobre as part´ıculas.
Sistemas bidimensionais apresentam tamb´em outros arranjos estruturais os quais est˜ao
associados a diferentes propriedades f´ısicas. Em geral, as diversas estruturas observadas
podem ser classificadas como aglomerados (bubles), linhas (stripes) e camadas (rings).
Diversos sistemas reais apresentam esses tipos de estruturas, como por exemplo, cristais
moleculares, cristais coloidais e colˆonia de bact´erias [46]. Recentes simula¸c˜oes mostraram
que muitos resultados experimentais, a respeitos dessas estruturas, podem ser descritos
atrav´es de um modelo de part´ıculas interagindo com um potencial competitivo, onde existe
uma disputa entre um potencial repulsivo de longo alcance e um potencial atrativo de curto
alcance [51, 52, 55]. Ultimamente, estudos analisaram a dinˆamica dessas part´ıculas com
potencial de intera¸c˜ao competitivo em sistemas infinitos [53] e a influˆencia da intensidade
do potencial de intera¸c˜ao em sistemas finitos [44].
1.1 El´etrons na superf´ıcie do h´elio l´ıquido 20
El´etrons e ions cristalinos s˜ao cristais na escala atˆomica, enquanto plasmas comple-
xos s˜ao cristais macrosc´opicos, com o tamanho das part´ıculas variando de µm at´e mm.
Existem uma s´erie de vantagens em utilizar-se cristais macrosc´opicos para estudo das
propriedades gerais dos Cristais de Wigner: eles s˜ao relativamente f´aceis de controlar,
e acima de tudo, medidas exatas de suas posi¸c˜oes e a visualiza¸c˜ao direta dos mesmos ´e
poss´ıvel.
Nessa disserta¸c˜ao faz-se um estudo acerca das propriedades gerais de sistemas bidi-
mensionais infinitos confinados por um potencial do tipo parab´olico numa dire¸c˜ao. Aqui
as part´ıculas est˜ao fortemente correlacionadas e ocorrem transi¸c˜oes para a forma de cris-
tais de Wigner. Na pr´oxima Se¸c˜ao mostram-se exemplos de sistemas reais onde podem
ser encontrados diversos tipos de estruturas.
1.1 El´etrons na superf´ıcie do h´elio l´ıquido
O h´elio l´ıquido devido as suas propriedades ´unicas, fornece um substrato quase ideal
para o estudo de sistemas bidimensionais de el´etrons. O acoplamento entre as cargas e as
excita¸c˜oes devido ao substrato s˜ao praticamente inexistentes [18]. El´etrons na superf´ıcie
do h´elio l´ıquido constituem um sistema excepcional, na medida que exibe diversas propri-
edades interessantes, j´a que sua superf´ıcie ´e livre de impurezas. O estudo desse sistema
tem permitido importantes progressos te´oricos no campo da f´ısica de dimensionalidade
espacial reduzida em ´areas como transi¸c˜ao de fase. Da perspectiva experimental, pode-se
citar a observa¸c˜ao do cristal de Wigner e sua fus˜ao.
El´etrons depositados acima da superf´ıcie de h´elio l´ıquido flutuam numa camada que
est´a aproximadamente a 100
˚
Asuperf´ıcie. Os el´etrons s˜ao atra´ıdos em dire¸c˜ao `a superf´ıcie
devido a uma pequena polariza¸c˜ao induzida na mesma, sendo impedidos de adentrarem
no l´ıquido devido a uma alta barreira de energia potencial na superf´ıcie. Se aplicarmos
um forte campo el´etrico perpendicular a superf´ıcie do h´elio, o sistema come¸ca a ficar
inst´avel e a distribui¸c˜ao homogˆenea de el´etrons ´e destru´ıda [?]. Os el´etrons passam a
aglomerar-se em pequenas bolsas. Nessas bolsas podemos encontrar at´e 10
7
el´etrons, que
juntos tornam o diˆametro m´edio das mesmas aproximadamente igual a 1mm [18]. As
bolsas de el´etrons podem ser consideradas part´ıculas macrosc´opicas cl´assicas interagindo
atrav´es do potencial coulombiano, levando o sistema para uma configura¸c˜ao em forma de
an´eis, como podemos perceber na Figura 2(a,b,c.).
N˜ao apenas ´e poss´ıvel “prender”os el´etrons sobre a superf´ıcie, mas tamb´em ´e poss´ıvel
1.2 Plasmas Complexos 21
Figura 1: Forma¸c˜ao de dimples na superf´ıcie do h´elio l´ıquido. As figuras mostram as de-
forma¸c˜oes na superf´ıcie aproximadamente ap´os (a)2s,(b)6s e (c) depois do campo el´etrico ter
aumentado e atingido um valor cr´ıtico. Na figura (c) os pontos brancos corrrespondem ao centro
dos dimples. Figura retirada da referˆencia [18].
“prender”part´ıculas carregadas ou ´ıons abaixo dessa superf´ıcie [19]. Esses ´ıons s˜ao criados
removendo-se (resultando-se num ´ıon positivo) ou adicionando-se (resultando-se num ´ıon
negativo) um el´etron da superf´ıcie do h´elio l´ıquido. Do mesmo modo como os el´etrons
permanecem sobre essa superf´ıcie, os ´ıons tamb´em se agregam a ela, formando sistemas
bidimensionais de part´ıculas carregadas atrav´es da bem conhecida intera¸c˜ao coulombiana.
Vale ressaltar, que existem duas diferen¸cas essenciais entre esses casos: a massa efetiva
do ´ıon ´e muito grande (sistema de ´ıons est´a sempre no limite cl´assico); e o movimento
dos el´etrons ´e extremamente amortecido devido com l´ıquido existente. Tais sistemas s˜ao
modelos que nos permitem realizar experimentos bidimensionais an´alogos em f´ısica de
plasma, assim como analisar o comportamento da mat´eria condensada em tais condi¸c˜oes.
1.2 Plasmas Complexos
Diferentemente dos outros estados da mat´eria mais conhecidos como o s´olido,o l´ıquido
e o gasoso, a mat´eria no estado de plasma, nada mais ´e que um g´as ionizado constitu´ıdo
de el´etrons livres, ´ıons e ´atomos neutros (Figura 3), sendo usualmente chamado de quarto
estado da mat´eria.
1.2 Plasmas Complexos 22
Figura 2: Configura¸c˜ao de (a)2, (b)8 e (c)20 ondula¸c˜oes (pontos escuros) dentro de uma parede
cil´ındrica sim´etrica numa superf´ıcie de h´elio. Figura retirada da referˆencia [18].
Figura 3: Mat´eria no estado gasoso e no estado de plasma. Note que antes havia
uma g´as de ´atomos neutros e em seguida um g´as de ´ıons e el´etrons livres (Adaptado de
http://www.ipp.mpg.de/ipp cms/eng/pr/fusion21/plasma/index.html).
Um dusty plasma ´e composto de part´ıculas microsc´opicas (com tamanho variando en-
tre 10
−9
m e 10
−4
m) imersas em um meio onde coexistem el´etrons, ´ıons e outras part´ıculas
neutras (Figura 3). Desse modo, as part´ıculas microsc´opicas ficam altamente carregadas
(com carga da ordem de 10
4
cargas elementares) devido a existˆencia de um fluxo cont´ınuo
de el´etrons e ´ıons, que s˜ao adsorvidos nas part´ıculas microsc´opicas (dusty). Devido ao
elevado valor de carga, a intera¸c˜ao coulombiana entre as part´ıculas microsc´opicas excede
bastante o valor da energia cin´etica, de modo que o sistema ´e dito fortemente acoplado.
Quando este acoplamento excede um limiar cr´ıtico, as part´ıculas arranjam-se numa estru-
tura cristalina, fato este que relaciona o estudo do dusty plasma com pesquisas em f´ısica
da mat´eria condensada [23, 24, 26, 27]. Uma das vantagens observadas nesse sistema ´e que
processos dinˆamicos s˜ao fracamente amortecidos e as escalas espacial e temporal t´ıpicas
envolvidas s˜ao perfeitas para o uso de v´ıdeo-microscopia. Um exemplo disso, pode ser ob-
servado atrav´es da an´alise de um sistema finito de micropart´ıculas (microesferas), imersas
em um plasma, que foi desenvolvida por Melzer et al. [26]. Nesse sistema, as microesferas
carregadas s˜ao confinadas entre dois eletrodos por um campo el´etrico, que gera uma for¸ca
1.3 Sistemas Coloidais 23
nessas microesferas em dire¸c˜ao contr´aria `a for¸ca gravitacional, fazendo as part´ıculas levi-
tarem e formando assim, um arranjo bidimensional. Uma pequena depress˜ao no eletrodo
de baixo, na forma de c´ırculo, faz com que as part´ıculas sejam efetivamente confinadas
por um potencial parab´olico. O aglomerado ´e iluminado por um feixe de laser e observado
atrav´es de uma cˆamera localizada acima do eletrodo superior (Figura 4(a)). Melzer et
al. [27], realizaram experimentos no mesmo sistema com o objetivo de estudar tamb´em
os modos normais. Conforme observado, o aglomerado arranjou-se em camadas regulares
como previsto atrav´es de simula¸c˜ao num´erica por Bedanov e Peeters [42], o qual ser´a
comentado com mais detalhes no pr´oximo cap´ıtulo
Figura 4: (a) Esquema experimental de um sistema de part´ıculas microsc´opicas entre dois
eletrodos. (b) Configura¸c˜ao do sistema com N=3,7,12,19,34 e 145 part´ıculas. Figuras
retirada da referˆencia [26]. (c) Vis˜ao esquem´atica de um dusty plasma.
1.3 Sistemas Coloidais
Col´oides s˜ao misturas heterogˆeneas com pelo menos duas fases distintas, uma fase
denominada meio de dispers˜ao (fluido) e a outra chamada fase dispersa. O estudo dos
col´oides est´a relacionado com sistemas nos quais pelo menos um dos componentes da
1.3 Sistemas Coloidais 24
mistura apresenta uma dimens˜ao no intervalo de 1 a 1000 nanˆometros. Solu¸c˜oes de ma-
cromol´eculas s˜ao misturas homogˆeneas e tamb´em s˜ao consideradas col´oides pois sua di-
mens˜ao est´a no intervalo de tamanho coloidal, apresentando propriedades de col´oides. Os
sistemas coloidais vˆem sendo utilizados pelas civiliza¸c˜oes desde os prim´ordios da humani-
dade. Os povos utilizaram g´eis de produtos naturais como alimento, dispers˜oes de argilas
para fabrica¸c˜ao de utens´ılios de cerˆamica e dispersos coloidais de pigmentos para decorar
as paredes das cavernas. O estudo formal dos col´oides foi iniciado por T. Graham [8],
em 1861, o qual introduziu os termos col´oide e di´alise em um estudo sobre a difus˜ao da
mat´eria nos estados gasoso e l´ıquido. O termo col´oide, do grego “kolla”, significa cola e
na ´epoca referiu-se `as solu¸c˜oes de goma ar´abica, substˆancia sem estrutura definida e de
natureza viscosa hoje conhecida como macromol´ecula. A goma ar´abica (col´oide) difun-
dia mais lentamente que solu¸c˜oes de sais (cristal´oide). Di´alise ´e o processo de separa¸c˜ao
atrav´es do qual mol´eculas menores atravessam uma membrana semiperme´avel enquanto
as mol´eculas maiores ou part´ıculas coloidais s˜ao retidas pela mesma membrana.
As diferentes intera¸c˜oes entre as fases dispersa (part´ıculas) e a de dispers˜ao (cont´ınua)
constituem um dos pontos cr´ıticos do comportamento e da estabilidade dos col´oides. As
propriedades f´ısicas e qu´ımicas dessas fases controlam essas intera¸c˜oes, que incluem as
coulombianas de repuls˜ao eletrost´atica, as de atra¸c˜ao de van der Waals. Al´em dessas
intera¸c˜oes, for¸cas hidrodinˆamicas (difus˜ao) tamb´em atuam no sistema de multipart´ıculas
dispersas simultaneamente `as intera¸c˜oes de superf´ıcie. Portanto, esses sistemas de part´ıculas
coloidais precisam de um modelo sistematizado para explicar a influˆencia das intera¸c˜oes
na estabilidade cin´etica e termodinˆamica do col´oide.
Desse modo, os col´oides representam um modelo cl´assico muito interessante, o qual
pode ser convenientemente investigado por meios experimentais. A escala de compri-
mento desses sistemas ´e da ordem do comprimento de onda da luz vis´ıvel, de tal modo
que m´etodos ´oticos, como a v´ıdeo-microscopia, podem ser empregados em sua inves-
tiga¸c˜ao experimental. Grandes esfor¸cos est˜ao sendo realizados no campo te´orico para a
compreens˜ao dos seus comportamentos, inclusive com simula¸c˜oes num´ericas computacio-
nais. O interesse cient´ıfico nesses sistemas tem aumentado pois esse sistemas de part´ıculas
apresentam fenˆomenos de cristaliza¸c˜ao, transi¸c˜ao s´olido-l´ıquido e v´arios outros fenˆomenos
interessantes.
Haghgooie et al. [65, 66] investigaram a aplica¸c˜ao de um fluido composto por col´oides
magn´eticos quando estes s˜ao submetidos a um campo magn´etico externo. Nesse caso,
seus componentes adquirem um momento de dipolo magn´etico, tendem a se alinhar com
1.3 Sistemas Coloidais 25
Figura 5: (a) Esquema de uma suspens˜ao de col´oide MR n˜ao sujeitos a um campo magn´etico.
(b) Forma¸c˜ao de aglomerados de col´oides devido a aplica¸c˜ao de um campo magn´etico .
o campo externo, e passam a formar longos aglomerados lineares (Figura 5(b)). Quando
esse campo externo ´e removido, os col´oides perdem a magnetiza¸c˜ao e o fluido retorna a
sua forma original (Figura 5(a)).
Existe um grande interesse na utiliza¸c˜ao desses col´oides como componentes estruturais
em dispositivos microflu´ıdicos
2
. Uma geometria comumente utilizada nesses disp ositivos
´e a denominada fenda-pequena ou “thin-slit”, nela a largura do canal ´e bem maior que
sua altura. A auto-organiza¸c˜ao de fluidos magn´eticos nesse canal, devido a aplica¸c˜ao de
um campo magn´etico dirigido perpendicularmente a ele, tem sido bastante analisada e
diferentes tipos de estruturas j´a foram obtidas [67, 68, 69]. Em fra¸c˜oes volum´etricas baixas,
esses fluidos magn´eticos organizam-se em em forma colunas uniformemente separadas, as
quais predominam sobre o canal. Esse tipo de estrutura (matriz porosa), tem sido usada
como meio de separa¸c˜ao de material gen´etico (DNA). Para uma discuss˜ao mais detalhada
sobre esses col´oides veja as referˆencias [65, 66].
2
A microflu´ıdica ´e uma ´area de investiga¸c˜ao que abrange o desenvolvimento de microdispositi-
vos de an´alise qu´ımica. Estes dispositivos permitem realizar an´alises qu´ımicas complexas, como
rea¸c˜ao, separa¸c˜ao e an´alise de pro dutos da rea¸c˜ao, num ´unico chip. Estes chips s˜ao produ-
zidos por processos an´alogos aos utilizados para produzir chips de computadores.(Adaptado de
http://pt.wikip edia.org/wiki/Microfluido)
A microflu´ıdica permite que os cientistas criem min´usculos chips onde nanolitros de fluidos fluem
de uma parte a outra do chip, disparando rea¸c˜oes qu´ımicas controladas em diversos pontos ao
longo de seu trajeto ou em seu destino final. Num futuro pr´oximo, espera-se que eles substituam
os tubos de ensaio e toda aquela vidraria comumente encontrada nos laborat´orios. (Adaptado de
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=010110070226.)
1.3 Sistemas Coloidais 26
Bubeck et al. [22] observaram que a transi¸c˜ao s´olido-l´ıquido num sistema coloidal n˜ao
ocorre diretamente. Esse sistema era constitu´ıdo de esferas coloidais superparamagn´eticas
confinadas em uma regi˜ao circular e sobre o efeito de um campo magn´etico externo,
(Figura 6(a)). Quando um campo magn´etico forte foi aplicado nesse sistema, observou-
se o surgimento de uma estrutura de camadas que exibe uma ordem radial e angular
(Figura 6(c)). Diminuindo o campo magn´etico, observou-se a perda de ordem angular das
camadas adjacentes, mas essa ordem angular foi restaurada antes do sistema se desordenar
completamente. Esse fenˆomeno ´e chamado de efeito re-entrante e pode ser observado
atrav´es das trajet´orias das part´ıculas nas Figuras 6(d)(e)(f).
Figura 6: (a)Vis˜ao lateral da geometria do experimento. (b) Fotografia de um comparti-
mento que ´e ocupado por um sistema coloidal. Trajet´orias das part´ıculas (N = 29) em um
confinamento circular para diferentes fatores de acoplamento Γ (raz˜ao entre o potencial
e a energia cin´etica do sistema): (c) 152; (d) 38; (e) 30; (f) 7.5. Figuras retiradas da
referˆencia [22]
1.4 Sistemas auto-organizados 27
1.4 Sistemas auto-organizados
Um das caracter´ısticas mais impressionantes da auto-organiza¸c˜ao ´e a forma¸c˜ao es-
pontˆanea de padr˜oes. Isso ´e devido principalmente a competi¸c˜ao entre potenciais atrati-
vos de curto alcance e p otenciais repulsivos de longo alcance. Esse comportamento ocorre
em diversos sistemas como em regi˜oes l´ıquidas de membranas biol´ogicas, as quais s˜ao for-
madas por camadas de lip´ıdios e prote´ınas, a largura dessa regi˜ao depende da competi¸c˜ao
entre uma tens˜ao superficial e a repuls˜ao eletrost´atica entre dipolos presentes no sistema.
Sistemas bidimensionais onde h´a uma competi¸c˜ao entre a repuls˜ao de longo alcance e a
atra¸c˜ao de curto alcance apresentam uma variedade de padr˜oes tais como linhas (stripes),
aglomerados (bubles) e an´eis (rings). Esses padr˜oes s˜ao observados em misturas ´agua-
´oleo, pol´ımeros (macromol´eculas formadas a partir de unidades estruturais menores -os
monˆomeros), g´eis (dispers˜ao coloidal), assim como sistemas bidimensionais de el´etrons.
A forma¸c˜ao de padr˜oes nesses sistemas, apresentam caracter´ısticas comuns, as quais
sugerem uma aproxima¸c˜ao universal para a explica¸c˜ao do comportamento desses sistemas.
Em recentes simula¸c˜oes com dinˆamica molecular, modelos simplificados com diferentes
potenciais de intera¸c˜ao foram propostos, visando obter padr˜oes de acordo com aqueles
obtidos experimentalmente. O objetivo de tais simula¸c˜oes era controlar esses padr˜oes
auto-organizados ajustando-se um pequeno n´umero de parˆametros.
1.5 Estrutura da Disserta¸c˜ao
No Cap´ıtulo 2 s˜ao apresentados alguns modelos te´oricos usados na descri¸c˜ao de siste-
mas 2D de part´ıculas confinadas. Al´em disso, conceitos b´asicos relacionados aos m´etodos
num´ericos de simula¸c˜ao utilizados para analisar tais sistemas s˜ao introduzidos, enfatizando
a principal t´ecnica utilizada que foi a Dinˆamica Molecular. Aqui introduz-se tamb´em a
aproxima¸c˜ao harmˆonica usada para o c´alculo dos modos normais de vibra¸c˜ao do sistema
proposto nessa disserta¸c˜ao, bem como todos os passos para a constru¸c˜ao da matriz de
autovetores, respons´avel pela determina¸c˜ao das freq¨uˆencias, a partir da Hamiltoniana do
sistema.
No Cap´ıtulo 3 ser˜ao apresentados os resultados de uma investiga¸c˜ao acerca das pro-
priedades gerais de dois sistema em canais quasi-unidimensionais, sendo o primeiro um
sistema bin´ario de part´ıculas submetido a um potencial blindado do tipo Yukawa, e o
segundo um sistema com intera¸c˜ao competitiva.
1.5 Estrutura da Disserta¸c˜ao 28
No Cap´ıtulo 4 ser˜ao apresentados os coment´arios finais e conclus˜oes do trabalho, bem
como perspectivas para futuras investiga¸c˜oes.
No Apˆendice A, as express˜oes da energia por part´ıcula para as estruturas geom´etricas
de uma, duas, trˆes, quatro, sete e oito cadeias s˜ao mostradas.
29
2 Modelos e M´etodos Num´ericos
Neste cap´ıtulo, apresenta-se um breve coment´ario acerca de modelos te´oricos com
dimensionalidade reduzida utilizados na descri¸c˜ao de sistemas mesoc´opicos. Al´em disso,
descreve-se tamb´em o m´etodo de simula¸c˜ao computacional utilizado neste trabalho, que
´e o de dinˆamica molecular.
2.1 Modelos Uni e Bidimensionais
Nesta se¸c˜ao ser˜ao discutidos alguns modelos utilizados na simula¸c˜ao de sistema me-
sosc´opicos uni e bidimensionais(2D). Conforme comentado no cap´ıtulo anterior, pode-se
citar como exemplo sistemas coloidais e o chamado plasma complexo (“dusty plasma”).
Tais sistemas s˜ao de grande interesse, tanto pela potencial aplicabilidade tecnol´ogica,
quanto pela possibilidade de se estudar, “mais de perto”, propriedades f´ısicas da mat´eria
condensada. As escalas espacial e temporal nesses sistemas s˜ao bastante convenientes
para o uso de v´ıdeo microscopia. Isso significa que se pode acompanhar, em tempo real,
a dinˆamica e/ou medi¸c˜oes estruturais que antes s´o eram poss´ıveis atrav´es de medidas
indiretas.
Nestes sistemas considera-se apenas o regime Γ > 100 (ver Introdu¸c˜ao), ou seja, o
regime em que a temperatura do sistema ´e de longe superada pela intera¸c˜ao entre os
constituintes do sistema. Aqui, por simplicidade, admite-se que a temperatura ´e bem
pequena ou nula. Nesse caso, a energia do sistema pode ser descrita, de um modo geral,
apenas pela soma de dois termos: o potencial de confinamento (V
c
) e o potencial de
intera¸c˜ao entre as part´ıculas (V
i
). Ou seja,
H = V
c
+ V
i
. (2.1)
2.1 Modelos Uni e Bidimensionais 30
Um potencial de confinamento largamente utilizado ´e o parab´olico, isso porque com a
utiliza¸c˜ao deste potencial pode-se limitar o movimento das part´ıculas em qualquer dire¸c˜ao
espacial e tamb´em por tornar matematicamente mais simples as an´alises em sistemas nos
quais o mesmo est´a presente (Figura 7(b)), isto ´e:
V
c
=
N
i=1
1
2
mω
2
0
r
2
i
(2.2)
onde m
i
´e a massa de cada part´ıcula, ω
0
´e a intensidade do confinamento e r
i
= |
−→
r
i
|
´e a distˆancia de cada part´ıcula ao centro do potencial de confinamento. Especialmente
em sistemas carregados, o p otencial de confinamento parab´olico representa um “plano de
fundo”(em inglˆes background) uniforme de cargas opostas, necess´arias para estabilizar o
sistema como um todo. Um outro tipo de confinamento, em sistemas carregados, bastante
interessante foi aquele proposto por Farias e Peeters (Figura 7(a)), em 1996 [38]. Nesse
caso, as part´ıculas carregadas eram estabilizadas por uma ´unica carga op osta, que fazia
o papel de um “plano de fundo”n˜ao uniforme, caso oposto ao confinamento parab´olico.
Esse confinamento foi denominado Coulombiano. Ferreira et al. [39, 40] estudaram de
forma sistem´atica um sistema submetido a este potencial, e mostraram que o confinamento
parab´olico ´e apenas um caso particular do confinamento coulombiano, ocorrendo quando
a carga de confinamento ´e muito maior que o n´umero de cargas confinadas (Z N). No
limite oposto, Z < N ou Z = N, efeitos de correla¸c˜ao eletrost´atica passam a dominar a
estrutura, a dinˆamica e o comportamento t´ermico do sistema.
Pode-se citar ainda um tipo de potencial de confinamento denominado “parede dura”
[42, 37, 22], o qual ´e zero no interior do espa¸co delimitado por ele e ´e infinito sobre as
paredes.
Figura 7: Sistema de part´ıculas confinadas atrav´es de um potencial (a) coulombiano e (b)
parab´olico.
2.1 Modelos Uni e Bidimensionais 31
No caso de sistemas coloidais, um potencial bastante ´util na modelagem da intera¸c˜ao
entre os col´oides ´e o chamado potencial de Yukawa (ou potencial de Debye-H¨uckel), dado
por
e
−kr
ij
r
ij
[41], onde κ ´e o parˆametro de blindagem de intera¸c˜ao entre as cargas e r
ij
a
distˆancia entre as cargas i e j. O potencial de Yukawa ´e interessante porque o alcance da
intera¸c˜ao entre os col´oides pode ser alterado, por exemplo, de acordo com a concentra¸c˜ao
de sal na solu¸c˜ao coloidal. Este fato ´e representado pelo parˆametro κ no potencial de
Yukawa.
No caso de sistemas unidimensionais ou, mais especificamente, quasi-unidimensionais,
o potencial de confinamento tamb´em pode ser do tipo parede dura ou ainda, parab´olico,
este ´ultimo estudado por Piacente et al. [43]. Nesse caso, o potencial de confinamento ´e
apenas em uma dire¸c˜ao espacial (por exemplo a dire¸c˜ao y), ou seja:
V
c
=
N
i=1
1
2
mω
2
0
y
2
i
(2.3)
No modelo descrito por Piacente et al. [43], as part´ıculas interagem atrav´es de um po-
tencial de Yukawa. Os autores realizaram um estudo sistem´atico, analisando a estrutura,
modos normais e o fenˆomeno da fus˜ao. Quanto `a estrutura, observaram que as part´ıculas
cristalizavam-se em cadeias, e o n´umero destas dependia da densidade linear de cargas do
sistema e do parˆametro κ (Figura 8(a)). Al´em disso o sistema exibia um rico diagrama
de fases a temperatura zero (Figura 8(b)), com transi¸c˜oes de fases cont´ınuas (segunda or-
dem) e de primeira ordem. A temperatura de fus˜ao em fun¸c˜ao da densidade foi tamb´em
obtida para diferentes parˆametros de blindagem, e ficou evidente que a fus˜ao come¸cava
primeiramente na dire¸c˜ao n˜ao-confinada e depois o sistema fundia-se ao longo da dire¸c˜ao
das cadeias. Um sistema quasi-unidimensional, no qual observa-se esse tipo de estrutura
foi recentemente estudado experimentalmente por Liu et al. em plasmas complexos [62],
assim como por meio de c´alculos anal´ıticos e num´ericos, onde os autores apresentaram
um estudo interessante e sistem´atico das propriedades estruturais, dinˆamicas e t´ermicas
em fun¸c˜ao da densidade do sistema [61].
Conforme ser´a mostrado em detalhes no Cap´ıtulo 3, o primeiro modelo considerado
nesta disserta¸c˜ao ´e um extens˜ao do modelo de Piacente et al. [43]. Aqui, considera-se
um sistema bin´ario, constitu´ıdo de part´ıculas com cargas distintas que tamb´em est˜ao
confinadas em um canal quasi-unidimensional por um potencial parab´olico.
Um outro modelo bastante interessante para descrever sistemas mesosc´opicos ´e aquele
no qual os constituintes do sistema interagem atrav´es do chamado potencial competitivo.
2.1 Modelos Uni e Bidimensionais 32
Figura 8: (a) Energia por part´ıcula como fun¸c˜ao da densidade para κ = 1. (b) Diagrama
estrutural de fase para temperatura zero. (c) Derivada da energia em rela¸c˜ao a densidade
para κ = 1. Somente a transi¸c˜ao de uma para duas cadeias ´e cont´ınua (segunda ordem),
todas as outras transi¸c˜oes s˜ao de primeira ordem. Figuras retiradas da referˆencia [43].
Nesse caso, o potencial de intera¸c˜ao possui um termo atrativo (de curto ou longo alcance)
e um termo repulsivo (de curto ou longo alcance). A competi¸c˜ao entre esses termos
gera interessantes padr˜oes estruturais, observados em sistemas reais, como por exem-
plo a forma¸c˜ao de padr˜oes em sistemas dinˆamicos [49] e os fenˆomenos de cristaliza¸c˜ao e
agrega¸c˜ao em suspens˜oes coloidais [50]. Um sistema finito bidimensional com potencial
2.1 Modelos Uni e Bidimensionais 33
Figura 9: Estruturas do estado fundamental para N = 10 e κ = 4. Figura retirada da
referˆencia[44].
competitivo, foi estudado por Nelissen et al. [44]. Nesse caso, as part´ıculas eram mantidas
em uma regi˜ao finita do plano por um p otencial parab´olico circular. Aqui foram observa-
dos diversos tipos de estruturas, sempre na temperatura T = 0. A energia potencial em
2.2 Simula¸c˜ao Computacional 34
unidades adimensionais foi
H =
N
i=1
r
2
i
+
N
i>j=1
1
|r
i
−r
j
|
− Be
−k|r
i
−r
j
|
.
V
c
V
i
(2.4)
Observa-se na Equa¸c˜ao (2.4) que a intensidade do potencial de confinamento, combinada
com a parte repulsiva do potencial de intera¸c˜ao determina o tamanho e a escala da ener-
gia. Atrav´es dos parˆametros (B e κ) relacionados as intensidades e alcance do potencial
atrativo, pode-se controlar a for¸ca de atra¸c˜ao e repuls˜ao entre as part´ıculas, deixando a
intera¸c˜ao entre as mesmas puramente repulsiva (B = 0), competitiva (B = 0) ou predo-
minantemente atrativa (B 1). Os autores mostraram que o sistema com um n´umero
intermedi´ario de part´ıculas (10 a 30) possui diversos tipos de estruturas para diferentes
valores dos parˆametros. Por exemplo, na Figura 9 observa-se estruturas do tipo linha
(stripe), do tipo aglomerado (buble) al´em de estruturas do tipo camada (rings).
Sistemas de cargas confinadas al´em de serem estudadas teoricamente s˜ao tamb´em
analisadas experimentalmente, conforme mostrado em alguns trabalhos recentes [67, 28,
29]. Vale salientar que muitas propriedades estruturais e dinˆamicas s˜ao perfeitamente
descritas pelos modelos citados nesta se¸c˜ao.
De acordo com a literatura, muitas propriedades de sistemas bidimensionais neces-
sitam de mais informa¸c˜oes e entendimento. Uma das propostas do presente trabalho ´e
contribuir nesse sentido, gerando informa¸c˜oes e explica¸c˜oes de modelos simples que des-
crevem caracter´ısticas de sistemas reais.
2.2 Simula¸c˜ao Computacional
2.2.1 Breve Hist´orico
As simula¸c˜oes computacionais desenvolveram-se como recurso aos meios computaci-
onais utilizados e desenvolvidos por volta da Segunda Guerra Mundial. Estas m´aquinas
foram utilizadas para c´alculos relacionados ao desenvolvimento da bomba atˆomica e lei-
tura de mensagens criptografadas. No p´os-guerra, os computadores ficaram parcialmente
`a disponibilidade da comunidade civil foi assim que em 1946 que terminaram a fabrica¸c˜ao
do computador ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) na Universidade
da Pensilvˆania nos Estados Unidos e que em 1952 fica op eracional o computador MA-
2.3 Dinˆamica Molecular 35
NIAC [3] (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator And Computer) constru´ıdo em
Los Alamos tendo Nicholas Constantine Metropolis como diretor do projeto.
Em 1953 ´e publicado o famoso artigo de Metropolis, dos Rosenbluth e dos Teller:
”Equation of State Calculations by Fast Computing Machines”, que foi o primeiro passo
para estudos de mat´eria condensada usando-se simula¸c˜ao computacional. Este artigo uti-
liza uma vers˜ao modificada do algoritmo de Metropolis e Ulam [12], j´a em 1949 designado
de Monte Carlo. Este m´etodo tipicamente envolve a gera¸c˜ao de observa¸c˜oes de alguma
distribui¸c˜ao de probabilidades e o uso da amostra obtida para aproximar a fun¸c˜ao de
interesse. Assim, o m´etodo permite calcular m´edias de quantidades f´ısicas uma vez que
estabelece uma estat´ıstica bastante eficiente, mas limita-se a propriedades est´aticas.
Ap´os o in´ıcio das pequisas referentes `a difra¸c˜ao de raios-X
1
e da constitui¸c˜ao atˆomica
da mat´eria, uma teoria de materiais come¸cou a ser desenvolvida com base nas intera¸c˜oes
entre seus constituintes. Modelos te´oricos bastante simplificados foram suficientes para
explicar grande parte das propriedades el´etricas e t´ermicas de materiais mesmo antes
do advento da Mecˆanica Quˆantica. Por´em, em alguns materiais de atual interesse, as
intera¸c˜oes atˆomicas s˜ao bastante complicadas exigindo modelos mais sofisticados e novas
t´ecnicas de simula¸c˜oes que requerem computa¸c˜ao de alto desempenho.
Um m´etodo diferente, denominado Dinˆamica Molecular (DM), consiste em determi-
nar as trajet´orias de pontos representativos do espa¸co de fase atrav´es da solu¸c˜ao num´erica
das equa¸c˜oes do movimento de Newton. Rahman [34] foi o primeiro a investigar sistemas
descritos por potenciais cont´ınuos simulando o argˆonio l´ıquido. Foi surpreendente obser-
var que um sistema de 864 part´ıculas, com condi¸c˜oes peri´odicas de contorno
2
, poderia
reproduzir satisfatoriamente as propriedades termodinˆamicas de sistemas reais.
2.3 Dinˆamica Molecular
A simula¸c˜ao por meio de dinˆamica molecular ´e baseada na solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de
movimento de ´atomos, que s˜ao muitas vezes considerados como part´ıculas puntiformes que
interagem com as, outras do sistema ou amostra e, possivelmente, com campos externos
1
Entre as v´arias t´ecnicas de caracteriza¸c˜ao de materiais, a t´ecnica de difra¸c˜ao de raios X ´e a mais
indicada, pois na maior parte dos s´olidos (cristais), os ´atomos se ordenam em planos cristalinos separados
entre si por distˆancias da mesma ordem de grandeza dos comprimentos de onda dos raios X. A radia¸c˜ao
X ´e uma esp´ecie de radia¸c˜oes eletromagn´etica, obtida a partir da emiss˜ao de el´etrons de um dispositivo
que os aceleram por uma diferen¸ca de potencial.O primeiro f´ısico a usar os cristais como rede de difra¸c˜ao
para o raio-x, foi Max Von Laue,prˆemio nobel de 1914.
2
Faremos um breve coment´ario nas pr´oximas p´aginas
2.3 Dinˆamica Molecular 36
aplicados. Atrav´es da evolu¸c˜ao do sistema f´ısico,o c´alculo das propriedades est´aticas e
dinˆamicas desse sistema ´e permitido [6].
Basicamente, a forma mais simples do m´etodo de Dinˆamica Molecular envolve a se-
gunda Lei de Newton. Por´em, em alguns casos, os sistemas s˜ao estudados por outros
m´etodos como equa¸c˜oes de Lagrange e Hamilton. Por exemplo, mol´eculas que possuem
graus de liberdade internos e sujeitas `a for¸cas estruturais s˜ao estudadas atrav´es do m´etodo
de Lagrange com o objetivo de incorporar os efeitos geom´etricos do sistema nas equa¸c˜oes
de movimento [2].
O m´etodo da dinˆamica molecular envolve algumas escolhas como as condi¸c˜oes iniciais
de simula¸c˜ao, os potenciais de intera¸c˜ao entre as part´ıculas, o ensemble e o algoritmo
de integra¸c˜ao num´erica das equa¸c˜oes do movimento. Em seguida deve-se fazer com que
o sistema atinja o equil´ıbrio deixando-o evoluir durante um certo n´umero de passos de
tempo de forma a obter m´edias temporais de v´arias propriedades est´aticas, dinˆamicas e
termodinˆamicas tais como a energia potencial, press˜ao, volume, fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao
radial, coeficientes de difus˜ao, capacidades calor´ıficas, etc.
2.3.1 Rela¸c˜ao com a Mecˆanica Estat´ıstica
Embora a simula¸c˜ao computacional permita o estudo de v´arias propriedades de sis-
tema de muitos corpos, deve-se ressaltar que nem sempre tais propriedades podem ser
obtidas atrav´es de uma simula¸c˜ao e, ainda, algumas propriedades obtidas na simula¸c˜ao
nem sempre correspondem `as propriedades medidas experimentalmente. Por exemplo,
durante uma simula¸c˜ao com dinˆamica molecular, obt´em-se diretamente as posi¸c˜oes e as
velo cidades de todas as mol´eculas presentes no sistema. Por´em n˜ao pode-se comparar
esse tipo de informa¸c˜ao com dados experimentais, pois nenhum experimento real fornece
esses dados. Na realidade, um experimento mede uma propriedade atrav´es de uma m´edia
sobre muitas part´ıculas. Nesse contexto ´e que “entra”a Mecˆanica Estat´ıstica, a qual faz
a liga¸c˜ao entre os resultados brutos da simula¸c˜ao e as grandezas experimentais [5]. De
modo geral pode-se afirmar que a Mecˆanica Estat´ıstica faz a liga¸c˜ao entre a descri¸c˜ao mi-
crosc´opica do sistema, atrav´es das posi¸c˜oes e velocidades das part´ıculas e as propriedades
macrosc´opicas como o volume e a temperatura.
Durante uma simula¸c˜ao, alguns parˆametros macrosc´opicos podem ser mantidos cons-
tantes em conjuntos como Npt (isob´arico), NVT (canˆonico), NVE (microcanˆonico) e µVT
(grand-canˆonico), onde N ´e o n´umero de part´ıculas do sistema, p ´e a press˜ao, V ´e o vo-
lume, T ´e a temperatura, µ ´e o potencial qu´ımico da substˆancia e E ´e a energia total do
2.3 Dinˆamica Molecular 37
sistema. Cada um desses conjuntos de parˆametros caracterizam ensembles diferentes e
definem uma equa¸c˜ao de estado para o sistema, de modo a permitir que diferentes fun¸c˜oes
termodinˆamicas possam ser mais convenientemente calculadas em um ou outro ensemble.
Um ensemble ´e um conjunto de pontos de um sistema de interesse que diferem entre si nas
atribui¸c˜oes das coordenadas e do momento das part´ıculas. Desse modo, cada conjunto
ocupa uma regi˜ao do espa¸co de fases.
Para o ensemble canˆonico, no qual o n´umero de part´ıculas (N) ´e fixo e o sistema est´a
em banho t´ermico, o equil´ıbrio m´edio de alguma quantidade G ´e expresso em termos de
integrais sobre o espa¸co de fase envolvendo a energia potencial U(
−→
r
N
):
G =
G(
−→
r
N
)e
−βU(
−→
r
N
)
d
e
−βU(
−→
r
N
)
d
(2.5)
onde,
−→
r
N
denota o conjunto das coordenadas, β =
1
k
b
T
, e k
b
´e a constante de Boltz-
mann. Essa m´edia corresponde a uma s´erie de medidas sobre um conjunto de ensembles
independentes.
A veracidade dessas m´edias ´e confirmada pelo Teorema da Ergodicidade [2], o qual
afirma que se ap´os um tempo suficientemente grande cada r´eplica do sistema tiver passado
por todas as regi˜oes do espa¸co de fases onde a densidade de probabilidade n˜ao ´e nula),
a m´edia temporal, da qual as fun¸c˜oes termodinˆamicas s˜ao definidas, pode ser substitu´ıda
por m´edias sobre ensembles. O m´etodo da dinˆamica molecular ´e baseado nesse teorema,
de tal modo que produz m´edias na forma:
G =
1
M
m
µ=1
G
µ
(
−→
r
N
) (2.6)
sobre uma s´erie de medidas M calculadas conforme o sistema evolui.
O ambiente de equil´ıbrio “padr˜ao”de um sistema simulado por Dinˆamica Molecular ´e
o ensemble microcanˆonico da mecˆanica estat´ıstica, onde o sistema percorre o espa¸co
de fase numa trajet´oria caracterizada por um valor constante de energia (n˜ao h´a troca de
calor entre o sistema e o exterior), e al´em disso o n´umero de part´ıculas ´e fixo. A simula¸c˜ao
do sistema noutros ensembles, requer modifica¸c˜oes na equa¸c˜oes de movimento, al´em de
n˜ao considerar a energia do mesmo constante.
2.3 Dinˆamica Molecular 38
2.3.2 Condi¸c˜oes Iniciais das Simula¸c˜oes
Uma simula¸c˜ao por dinˆamica molecular somente ser´a ´util, se ela for capaz de repre-
sentar uma amostragem do espa¸co de fase total do sistema. Uma conseq¨uˆencia desse fato,
´e que os resultados de uma simula¸c˜ao, de dura¸c˜ao adequada, s˜ao insens´ıveis ao estado
inicial, de modo que qualquer configura¸c˜ao inicial conveniente ´e permitido. [2].
As velocidades iniciais podem ser estabelecidas de diversas maneiras, por exemplo,
pode-se usar uma distribui¸c˜ao de Boltzmann , onde a energia cin´etica do sistema ´e deter-
minada pela temperatura especificada, e o momento total (normalmente nulo) ´e controlado
atrav´es da atribui¸c˜ao das velocidades iniciais das part´ıculas. Elas devem ser ajustadas
para garantir que o centro de massa do sistema permane¸ca em repouso
O pr´oximo passo ´e definir a configura¸c˜ao inicial do sistema, que deve convergir o mais
rapidamente poss´ıvel para as estruturas e velocidades caracter´ısticas de um l´ıquido. A
configura¸c˜ao inicial poderia ser constru´ıda a partir da distribui¸c˜ao aleat´oria das part´ıculas
na c´elula (ou caixa) de simula¸c˜ao. Isto, entretanto, poderia resultar em sobreposi¸c˜ao das
mol´eculas, e, conseq¨uentemente, em for¸cas de intera¸c˜ao intermoleculares muito grandes,
o que poderia dificultar a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento. As posi¸c˜oes iniciais das
part´ıculas na caixa de simula¸c˜ao normalmente s˜ao organizadas de acordo com a disposi¸c˜ao
que as part´ıculas ocupam em redes cristalinas.
´
E muito conveniente adotar uma rede
c´ubica de face centrada (FCC), embora qualquer tipo de rede pudesse ser usada.
2.3.3 Mecˆanica Cl´assica e Algoritmos de Integra¸c˜ao
Para que o sistema em estudo seja bem representado classicamente ´e necess´ario que
ele se encontre em configura¸c˜oes nas quais os efeitos quˆanticos possam ser desprezados, ou
seja, configura¸c˜oes nas quais as energias e as massas consideradas s˜ao muito menores que
as existentes em efeitos nos quais as energias s˜ao transferidas em quantidades discretas
e n˜ao cont´ınuas. Por exemplo, sistemas atˆomicos podem ser tratados como cl´assicos
somente se o comprimento de onda de de Broglie, definido por:
Λ =
2π
2
mk
b
T
(2.7)
for muito menor que a distˆancia m´edia entre as part´ıculas, onde m ´e a massa do ´atomo.
Deste modo as part´ıculas apresentam um comportamento cl´assico, com posi¸c˜ao e momento
bem definidos, e sendo conseq¨uentemente distingu´ıveis. Para os sistemas moleculares ´e
2.3 Dinˆamica Molecular 39
necess´ario tamb´em que a energia considerada seja muito menor que a energia espec´ıfica
das vibra¸c˜oes intermoleculares,isto ´e, que KT seja muito menor que h ν (onde h ´e a
constante de Planck e ν a freq¨uˆencia de vibra¸c˜ao harmˆonica). Desse modo, movimento
com alta freq¨uˆencia n˜ao s˜ao adequadamente descritos por equa¸c˜oes de movimento cl´assicas
e requerem a inclus˜ao de um formalismo quˆantico ao modelo [4].
Estabelecidas as condi¸c˜oes iniciais, o passo seguinte ´e determinar as posi¸c˜oes e velo-
cidades nas etapas subseq¨uentes. Isso pode ser feito atrav´es da resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes
diferenciais de movimento que governam o sistema em condi¸c˜oes estabelecidas pelo po-
tencial de intera¸c˜ao definido no modelo.
O estado microsc´opico de um sistema pode ser caracterizado em termos das posi¸c˜oes
e momentos das part´ıculas que o constituem. Dessa forma,se o sistema estiver isolado, a
Hamiltoniana H de um sistema cl´assico pode ser escrita como a soma da energias cin´etica
e potencial, de tal maneira que:
H =
1
2
i=1
p
2
i
m
i
+
i<j
U(r
ij
) (2.8)
onde r
ij
´e a distˆancia entre as part´ıculas i e j, p
i
e m
i
s˜ao o momento linear e a massa da
part´ıcula i, respectivamente.
Para nosso caso basta relembrar que para for¸cas conservativas, a for¸ca l´ıquida resul-
tante sobre a part´ıcula i devido a part´ıcula j (
−→
f
ij
), ´e igual ao gradiente negativo da
energia potencial em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao desta part´ıcula, ou seja:
−→
f
ij
= −∇U(r
ij
) = −
∂U(r
ij
)
∂r
ij
−→
r
ij
r
ij
(2.9)
Aqui U(r
ij
) ´e a energia potencial do sistema em fun¸c˜ao das posi¸c˜oes das N part´ıculas.
O c´alculo das for¸cas est´a entre as principais rotinas empregadas no decorrer de uma
simula¸c˜ao de Dinˆamica Molecular.
A equa¸c˜ao de movimento para cada part´ıcula i segue da segunda Lei de Newton
m
i
∂
2
r
i
∂t
2
=
F
i
=
N
j=1
f
ij
, (2.10)
onde a soma ´e sobre todas as N part´ıculas, excluindo a pr´opria part´ıcula i e f
ij
´e a for¸ca
que a part´ıcula j exerce na part´ıcula i. Da terceira Lei de Newton tem-se que (f
ij
= −f
ji
),
cada par de part´ıcula precisa ser calculado somente uma vez. onde ,
˙
−→
r
i
(ou
−→
v
i
) e
¨
−→
r
i
s˜ao
2.3 Dinˆamica Molecular 40
a velocidade e a acelera¸c˜ao do ´atomo i, enquanto
−→
F
i
´e a for¸ca sobre i.
A Dinˆamica Molecular consiste portanto na resolu¸c˜ao num´erica das equa¸c˜oes (2.10)
e na integra¸c˜ao da mesma passo-a-passo no tempo, de maneira eficiente e precisa. Como
resultado obt´em-se energias e trajet´orias para todas as part´ıculas (ou ´atomos) e para o
sistema como um todo, a partir das quais diversas propriedades podem ser calculadas.
O tempo deixa de ser cont´ınuo e passa a ser discretizado em passos menores, de modo a
otimizar nossa simula¸c˜ao.
Um esquema computacionalmente eficiente ´e chamado algoritmo de Verlet. Sabendo-
se as for¸cas entre todas as part´ıculas do sistema, as equa¸c˜oes de movimento podem ser
calculadas atrav´es da expans˜ao de Taylor das coordenadas de uma part´ıcula em rela¸c˜ao
ao tempo t,vejamos para x(t)
3
, ou seja:
x(t + h) = x(t) + h ˙x(t) + h
2
¨x(t) + O(h
3
) (2.11)
onde t ´e usualmente o instante de tempo, e h ≡ ∆t. Aqui
˙
x(t) ´e a componente x da
velo cidade e
¨
x(t) ´e a acelera¸c˜ao. Do mesmo modo, considerando-se um intervalo de
tempo h ≡ ∆t anterior a t, temos:
x(t − h) = x(t) − h ˙x(t) + h
2
¨x(t) − O(h
3
) (2.12)
Somando-se as Equa¸c˜oes (2.11) e (2.12), e isolando-se o termo x(t + h) temos:
x(t + h) = 2x(t) − x(t − h) + h
2
¨x(t) + O(h
4
) (2.13)
Observa-se agora que a nova posi¸c˜ao tem um erro da ordem de h
4
, pois os termos de
ordem 3 anulam-se.A partir do conhecimento da trajet´oria pode-se derivar a velocidade.
Subtraindo as Equa¸c˜oes (2.11 e 2.12), e isolando-se o termo ˙x(t) tem-se:
˙x(t) =
x(t + h) − x(t − h)
2h
+ O(h
2
) (2.14)
Esse mesmo procedimento foi proposto inicialmente por Verlet [35]. Nota-se nesse
m´etodo que a velocidade n˜ao determina a posi¸c˜ao e sim o oposto e que a express˜ao para
a velocidade apresenta um erro na ordem ∆t
2
. Vale salientar que este algoritmo ´e de
3
O mesmo procedimento ´e v´alido para as outras componentes y e z
2.3 Dinˆamica Molecular 41
dif´ıcil aplica¸c˜ao a sistemas com temperatura constante, press˜ao constante ou c´alculos de
dinˆamica molecular fora do equil´ıbrio, al´em de ser o processo que mais consome tempo
computacional na Dinˆamica Molecular.
Um outro m´etodo de integra¸c˜ao bastante utilizado, ´e o chamado leap-frog, na realidade
este ´e uma modifica¸c˜ao do algoritmo b´asico de Verlet, aqui as velocidades s˜ao calculadas
primeiramente no tempo t + ∆t/2, e ent˜ao usadas para calcular as posi¸c˜oes no tempo
t + ∆t, assim:
˙x(t + h/2) = ˙x(t − h/2) + h¨x(t) (2.15)
x(t + h) = x(t) + h¨x(t + h/2) (2.16)
O nome leap-frog vem do fato de que os c´alculos da velocidade e da posi¸c˜ao s˜ao obtidos
de maneira alternada e sucessivamente a intervalos de meio passo no intervalo de tempo.
Obtˆem-se todas as posi¸c˜oes atˆomicas em todos os tempos e todas as velocidades atˆomicas
nos instantes de tempo intermedi´arios. Se quisermos a velocidade no momento em que as
coordenadas s˜ao calculadas, ent˜ao pode-se utilizar:
˙x(t) = ˙x(t − h/2) +
h
2
¨x(t) (2.17)
Os erros locais introduzidos em cada passo de tempo (timestep), devido ao trunca-
mento feito nas s´eries infinitas de h, s˜ao da ordem de h
4
para as coordenadas e de ordem
h
2
para as velocidades. Talvez uma das maiores vantagens deste m´etodo est´a no fato das
posi¸c˜oes dependerem das velocidades, o que torna poss´ıvel acoplar o sistema a um banho
t´ermico (ensemble canˆonico) por meio das corre¸c˜oes nas velocidades. Como a energia
potencial ´e fun¸c˜ao das posi¸c˜oes e a varia¸c˜ao destas depende das velocidades, controlar as
velo cidades significa controlar diretamente, al´em da energia cin´etica, tamb´em a energia
potencial e conseq¨uentemente a energia total do sistema.
Outro m´etodo igualmente utilizado ´e o predictor-corrector. Aqui, cada passo ´e cal-
culado em seq¨uˆencia primeiramente atrav´es de uma aproxima¸c˜ao (predictor) e em seguida
por um segundo conjunto de equa¸c˜oes mais sofisticadas (corrector) at´e que a diferen¸ca
entre os resultados obtidos nos sucessivos c´alculos, seja inferior a um determinado erro
que seja “razo´avel”.
Um conjunto simplificado de equa¸c˜oes num´ericas predictor-corrector, pode ser obtido
utilizando diferentes aproxima¸c˜oes para a defini¸c˜ao da derivada, recorrendo entre outras,
2.3 Dinˆamica Molecular 42
a diferen¸cas progressivas, regressivas e centrais. Esta abordagem permite compreender
facilmente os fundamentos do m´etodo, e obter ainda assim bons resultados.
Por exemplo o c´alculo da acelera¸c˜ao por diferen¸cas progressivas ´e obtido de:
¨x
n+1
˙x
n+1
− ˙x
n
∆t
(2.18)
com
˙x
n+1
x
n+1
− x
n
∆t
e ˙x
n
x
n
− x
n−1
∆t
(2.19)
e portanto
¨x
n+1
x
n+1
− x
n−1
∆t
2
(2.20)
Partindo-se da equa¸c˜ao 2.10,e aplicando as defini¸c˜oes de derivadas de que foram vista
anteriormente, tem-se para o passo predictor:
x
n+1
= x
n−1
+ 2 ˙x
n
∆t (2.21)
e
¨x
n+1
=
x
n+1
− x
n−1
∆t
2
(2.22)
onde 2.22 foi obtido como anteriormente. Para o passo corrector tˆem-se:
˙x
n+1
= ˙x
n
+
1
2
(¨x
n+1
+ ¨x
n
)∆t (2.23)
e
x
n+1
= x
n
+
1
2
( ˙x
n+1
+ ˙x
n
)∆t (2.24)
Fazendo-se x
n+1
= x
n+1
calcula-se novamente
¨x
n+1
em seguida o passo corrector, suces-
sivamente at´e que os valores x
n+1
e x
n+1
obtidos em dois c´alculos sucessivos sejam t˜ao
pr´oximos quanto queiramos, ou seja:
|x
n+1
− x
n+1
|
|x
n+1
|
< (2.25)
2.3 Dinˆamica Molecular 43
Somente ap´os ser bem pequeno ´e que se avan¸ca no tempo, repetindo novamente para o
novo passo todo o procedimento e iniciando-o com as equa¸c˜oes predictor.
Este m´etodo n˜ao ´e aplic´avel para os primeiros passos do c´alculo, ao contr´ario de todos
os outros at´e agora apresentados, j´a que para a primeira equa¸c˜ao ´e necess´ario o valor de
x
n−1
, que para n=0 equivale a x
−1
! O problema pode ser resolvido iniciando o c´alculo
por qualquer outro m´etodo.
Um m´etodo predictor-corrector de 4
a
ordem, foi obtido por Adams-Bashforth e por
Adams-Moulton [2]. Aplicando-o ao caso da equa¸c˜ao de Newton (2.10), o m´etodo ´e
novamente descrito por um sistema de duas equa¸c˜oes que s˜ao calculadas sucessivamentes
at´e que os valores obtidos para cada um dos passos seja o menor poss´ıvel. Para o passo
predictor temos:
˙x
n+1
= ˙x
n
+
1
24
(55¨x
n
− 59¨x
n−1
+ 37¨x
n−2
− 9¨x
n−3
) (2.26)
e para o passo corrector:
˙x
n+1
= ˙x
n
+
1
24
(9¨x
n
+ 19¨x
n
− 5¨x
n−1
− ¨x
n−2
) (2.27)
Tratando-se de um m´etodo de 4
a
ordem, ´e poss´ıvel mostrar que o erro asso ciado ao
c´alculo varia com ∆t
5
.
2.3.4 Condi¸c˜oes de contorno peri´odicas
Devido ao constante avan¸co no desenvolvimento de t´ecnicas para Dinˆamica Molecular,
muitos trabalhos foram desenvolvidos tanto em sistemas finitos como infinitos. Sistemas
finito e infinito apresentam propriedades diferentes como exemplo o efeito de superf´ıcie
existente no primeiro. Nos primeiros trabalhos em sistemas infinitos, usava-se um grande
n´umero de part´ıculas (N),para tentar uma aproxima¸c˜ao do real, mas de fato, n˜ao se
sabia corretamente qual seria a quantidade necess´aria para que o efeito de superf´ıcie fosse
desprez´ıvel. A utiliza¸c˜ao de um n ´umero grande de part´ıculas ´e normalmente invi´avel,
visto que o tempo gasto no c´alculo das for¸cas de intera¸c˜ao do sistema, no computador ´e
muito dispendioso.
Os sistemas macrosc´opicos normalmente manipulados em laborat´orio contˆem um
n´umero de part´ıculas da ordem do n´umero de Avogrado (N ∼ 10
23
), enquanto que os
2.3 Dinˆamica Molecular 44
Figura 10: Conforme uma part´ıcula move-se para fora por um lado da caixa de simula¸c˜ao, uma
imagem dessa mesma part´ıcula entra pelo lado oposto desta caixa.Nos c´alculos de intera¸c˜ao
entre as part´ıculas dentro do alcance do potencial, tanto as imagens como as part´ıculas reais s˜ao
consideradas.
sistemas simulados por computador contˆem normalmente de 10
2
a 10
6
part´ıculas. Num
sistema pequeno, o n´umero relativo de part´ıculas na superf´ıcie do sistema ´e muito maior
do que para um sistema macrosc´opico. Devido a esta grande diferen¸ca, quando se querem
simular sistemas macrosc´opicos, ´e necess´ario ter cuidado de eliminar os efeitos devidos `a
superf´ıcie.
Para isso, utilizam-se condi¸c˜oes de contorno peri´odicas, de tal modo que o sistema
´e replicado no espa¸co, formando uma rede infinita de c´opias idˆenticas, n˜ao havendo pa-
redes nem part´ıculas na superf´ıcie. Nestas condi¸c˜oes, n˜ao s´o as posi¸c˜oes mas tamb´em
os movimentos s˜ao replicados pelas imagens, ou seja qualquer part´ıcula que atravesse a
fronteira de uma das c´opias volta a entrar nesta mesma c´opia pelo lado oposto com a
mesma velocidade. Utilizando as condi¸c˜oes de contorno peri´odicas, o sistema ir´a estar
livre do efeito de superf´ıcie e ir´a representar um sistema macrosc´opico mais real.
Os eventuais efeitos devidos `a introdu¸c˜ao deste tipo de condi¸c˜oes de fronteira, depen-
dem do tamanho do sistema, do tipo de for¸cas existentes entre as part´ıculas al´em das
propriedades que queremos calcular. Para garantir que os efeitos devido `a periodicidade
do sistema sejam m´ınimos, deve-se ter em conta que o comprimento do menor lado da
caixa de simula¸c˜ao dever ser maior que a distˆancia a partir da qual as part´ıculas do sistema
deixam de possuir correla¸c˜ao espacial.
Condi¸c˜oes de contorno peri´odicas devem ser tratadas tanto no processo de integra¸c˜ao
como no c´alculo da intera¸c˜ao entre as part´ıculas. Em todos os passos de simula¸c˜ao as
coordenadas das part´ıculas devem ser examinadas a fim de colocar no interior da c´elula
2.4 Dinˆamica molecular em outros ensembles 45
(caixa) `aquelas que atravessarem a superf´ıcie do sistema.
Para descrever o m´etodo detalhadamente, considera-se uma caixa de simula¸c˜ao de
comprimento L, com o centro dos eixos das coordenadas situado no centro da caixa, e
v´arias caixas imagens distribu´ıdas periodicamente em torno da caixa de simula¸c˜ao. Sendo
r
i
a posi¸c˜ao da part´ıcula i, haver´a um conjunto de part´ıculas imagens, com posi¸c˜oes dadas
por r
i
+ nL, onde n ´e um n´umero inteiro. Logo, a energia potencial ser´a dada por
U(r
i
, ..., r
N
) =
i<j
u(r
ij
) +
n
i<j
u(| r
i
− r
j
+ nL |). (2.28)
Para evitar o c´alculo do somat´orio infinito existente na Eq. (2.28) utiliza-se o conceito
de imagem m´ınima, no qual uma part´ıcula n˜ao pode interagir simultaneamente com outra
part´ıcula e a sua imagem. Atrav´es desta t´ecnica, uma part´ıcula ir´a interagir apenas com
as part´ıculas que est˜ao a uma distˆancia menor ou igual `a L/2. O conceito de imagem
m´ınima ´e poss´ıvel somente quando o potencial ´e de curto alcance.
4
O valor de L dever´a ser
escolhido de tal forma que as for¸cas entre as part´ıculas sejam desprez´ıveis para distˆancias
maiores que L/2, eliminando assim o efeito de tamanho finito.
2.4 Dinˆamica molecular em outros ensembles
Na literatura percebe-se que j´a foram propostos diferentes m´etodos de dinˆamica mo-
lecular [30, 31, 32, 33], que simulam sistemas em ensembles diferentes do microcanˆonico
(NVE). Como exemplo podemos citar o ensemble canˆonico (NVT) e o ensemble isot´ermico-
isob´arico (NpT).
Ao integrar-se as equa¸c˜oes de Newton, a energia e o momento s˜ao conservados. Por´em,
mesmo ao perfazer-se a simula¸c˜ao no ensemble canˆonico, ´e desej´avel muitas vezes levar
os sistema `a temperatura ambiente e fixar nesse ponto a energia. Durante o per´ıodo em
que o sistema vai se equilibrando, faz-se escalonamentos nas velocidades das part´ıculas,
com o objetivo de atingir uma temperatura m´edia pr´oxima da desejada. Entretanto, esse
m´etodo ´e bastante rudimentar e outras t´ecnicas j´a foram desenvolvidas. Na pr´oxima se¸c˜ao
faz-se um breve coment´ario acerca do m´etodo estoc´astico.
4
Considera-se que as intera¸c˜oes s˜ao de curto alcance quando o decaimento com a distˆancia entre as
part´ıculas ´e maior do que r
−d
, onde d ´e a dimensionalidade do sistema.
2.4 Dinˆamica molecular em outros ensembles 46
2.4.1 M´etodo Estoc´astico
Apesar de a n´ıvel microsc´opico a descri¸c˜ao do contato com um reservat´orio de calor
ser muito complicada, numa escala macrosc´opica o movimento t´ermico de uma part´ıcula
parece ser devida a uma for¸ca aleat´oria e deste modo o tratamento estoc´astico da dinˆamica
das part´ıculas parece ser adequado. Neste m´etodo aplicam-se as id´eias de t´ecnicas de
natureza estoc´astica tais como o Monte Carlo e a dinˆamica Browniana.
Nas equa¸c˜oes de movimento de Newton, existe a conserva¸c˜ao da energia mecˆanica.
Quando o sistema de part´ıculas n˜ao troca energia com o ambiente, elas descrevem corre-
tamente sua evolu¸c˜ao. Entretanto quando o sistema pode trocar energia com o ambiente
ou quando existem diferentes graus de liberdade, as equa¸c˜oes do movimento devem ser
modificadas com o intuito de de fazer uma dinˆamica mais correta. No caso em que a
evolu¸c˜ao do sistema ´e representada por uma distribui¸c˜ao canˆonica de probabilidade,o que
significa que o sistema est´a em equil´ıbrio t´ermico com um reservat´orio, o movimento das
part´ıculas ´e descrito corretamente pelas equa¸c˜oes de Langevin.
A equa¸c˜ao de Langevin ´e uma equa¸c˜ao diferencial estoc´astica
5
em que dois termos de
for¸ca s˜ao adicionados `a equa¸c˜ao de Newton(segunda lei),a fim de aproximar os efeitos dos
graus de liberdade desprezados: um termo representa uma for¸ca de fric¸c˜ao, proporcional
`a velocidade, e outro uma for¸ca aleat´oria. A fric¸c˜ao remove a energia cin´etica do sistema,
enquanto a for¸ca aleat´oria adiciona energia cin´etica ao sistema. Para gerar um ensemble
canˆonico, a fric¸c˜ao e a for¸ca aleat´oria tˆem que obedecer o teorema da flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao.
Em geral um sistema de Langevin surge de um sistema cl´assico pela remo¸c˜ao de graus
de liberdade. Os graus de liberdade que s˜ao removidos exercem for¸cas conservadoras e
de fric¸c˜ao no sistema resultante. Assume-se que todas as for¸cas restantes adicionam uma
for¸ca aleat´oria. Um exemplo t´ıpico ´e uma part´ıcula coloidal em um solvente. Quando
somente os graus de liberdade da part´ıcula coloidal s˜ao considerados, o sistema pode ser
representado pela dinˆamica de Langevin. As for¸cas de fric¸c˜ao e aleat´orias s˜ao causadas
pelas colis˜oes das mol´eculas solventes com a part´ıcula coloidal.
5
S˜ao equa¸c˜oes diferencias que possuem termo de ru´ıdo
2.5 Propriedades estruturais e t´ermicas 47
2.5 Propriedades estruturais e t´ermicas
2.5.1 Temperatura
As propriedades termodinˆamicas b´asicas de um sistema modelado podem ser calcula-
das como m´edias em qualquer ensemble conveniente. Sendo o sistema composto ap enas
por for¸cas conservativas, a energia total do sistema, soma da energia cin´etica com a po-
tencial, dever´a ser conservada durante toda a simula¸c˜ao. A energia cin´etica instantˆanea
de uma part´ıcula ´e dada por:
k(t) =
1
2
i=1
m
i
v
i
(t)
2
(2.29)
O c´alculo da temperatura est´a diretamente relacionado a energia cin´etica , como
´e sabido atrav´es do teorema generalizado da equiparti¸c˜ao da energia [4], p ortanto a tem-
peratura instantˆanea pode ser calculada como:
T (t) =
1
Nk
b
N
i=1
mv
2
i
(t)
d
, (2.30)
onde N ´e o n´umero de part´ıculas, k
b
´e a constante de Boltzmann e d ´e o n´umero de graus
de liberdades das part´ıculas no sistema.
2.5.2 Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Radial
O objetivo desta se¸c˜ao ´e apresentar a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao radial g(r) (tamb´em
conhecida como fun¸c˜ao de correla¸c˜ao aos pares). Allen e Tildesley [1] descrevem essa
fun¸c˜ao com sendo flutua¸c˜oes na densidade em torno de uma determinada part´ıcula. Pode-
se pensar nessa fun¸c˜ao, como sendo o n´umero m´edio de part´ıculas situadas a uma distˆancia
r de uma outra, comparando-se com o n´umero de part´ıculas a uma mesma distˆancia
considerando-se um g´as ideal de mesma densidade.
Pode-se definir essa fun¸c˜ao como sendo a probabilidade de encontrar uma part´ıcula β
em uma camada esf´erica
6
de espessura dr a uma distˆancia r da part´ıcula α, cuja posi¸c˜ao
´e considerada a origem, relativamente `a probabilidade esperada em uma distribui¸c˜ao
completamente aleat´oria ma mesma densidade. Seguindo essa defini¸c˜ao, mudan¸cas na
densidade local nas proximidades das mol´eculas induzem valores de g(r) diferentes de 1,
valor para o qual tende a distribui¸c˜ao em valores grandes de r. A id´eia ´e demonstrada na
figura abaixo:
6
No caso de sistemas com 3 graus de liberdade
2.5 Propriedades estruturais e t´ermicas 48
Figura 11: A part´ıcula escurecida no centro ´e a de referˆencia, e os c´ırculos em torno dela
representam as outros part´ıculas. Um anel centrado ´e desenhado como referˆencia, o qual possui
raio r e espessura dr, neste exemplo outras trˆes part´ıculas s˜ao posicionadas dentro deste anel e
destacados.
No caso de sistemas homogeneamente separados, somente a separa¸c˜ao relativa ´e sig-
nificante, levando o sistema a uma soma sobre pares na seguinte forma:
g(r) =
2V
N
2
m
i<j
δ(r −r
ij
(2.31)
A determina¸c˜ao de g(r) ´e de fundamental importˆancia em f´ısica do estado l´ıquido, e
para todas as fun¸c˜oes que dependem da separa¸c˜ao aos pares, tais como a energia p otencial
e a press˜ao, as quais podem ser expressas em termos de integrais envolvendo g(r). Na
pr´atica a faixa de valores de r ´e dividida em intervalos pequenos e dispostas num histo-
grama para determinar o n´umero de part´ıculas que se encontram naquela faixa estreita
de distˆancia da part´ıcula considerada como origem.
49
3 Resultados e Discuss˜oes
3.1 Introdu¸c˜ao
Existe atualmente um crescente interesse em an´alises te´oricas e experimentais de sis-
temas mesosc´opicos
1
[43, 44, 42, 40, 39, 60], constitu´ıdos por part´ıculas carregadas e
confinadas por alguma geometria especial. Uma das raz˜oes ´e a ocorrˆencia de interessan-
tes efeitos ocasionados pela correla¸c˜ao eletrˆonica. Estes efeitos de correla¸c˜ao mostram-se
de forma bastante pronunciada em sistemas cl´assicos, nos quais a energia de intera¸c˜ao
entre as part´ıculas ´e forte o suficiente, de modo que a energia cin´etica tem um efeito
desprez´ıvel na determina¸c˜ao da estrutura do sistema. Nesse caso observa-se que o valor
t´ıpico do parˆametro de acoplamento Γ, o qual j´a foi definido anteriormente, ´e maior que
100 (Γ > 100).
Nesse cap´ıtulo, apresentam-se os resultados dos dois modelos bidimensionais conside-
rados nesta disserta¸c˜ao. No primeiro analisam-se as propriedades estruturais e dinˆamicas
de um sistema bin´ario de cargas (Se¸c˜ao 3.2) enquanto que no segundo apresentam-se re-
sultados preliminares apenas das propriedades estruturais de um sistema com intera¸c˜ao
competitiva (Se¸c˜ao 3.3). Em ambos os casos, existe um potencial de confinamento pa-
rab´olico na dire¸c˜ao y. Na dire¸c˜ao x os sistemas s˜ao considerados infinitos.
3.2 Sistema Bin´ario de cargas
Nesta se¸c˜ao, pretende-se dar mais uma contribui¸c˜ao ao entendimento do comporta-
mento de sistemas em canais quasi-unidimensionais, estendendo-se os resultados apresen-
tados na referˆencia [43], onde foi considerado apenas o caso em que α = 1 (α como se ver´a
1
Sistemas que se encontram entre a escala macrosc´opica e a microsc´opica(ou atˆomica). No caso
de s´olidos ou l´ıquidos, esta escala corresponderia `a poucos nanˆometros, sendo equivalente a escala na-
nosc´opica.
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 50
posteriormente ´e a raz˜ao entre os dois tipos de cargas presentes no sistema). Conforme
mencionado anteriormente, pode-se pensar num canal quasi-unidimensional, como sendo
um plano no qual atua um potencial de confinamento parab´olico externo, o qual limita
o movimento das part´ıculas na dire¸c˜ao y. Esse tipo de geometria aparece em diversos
campos de pesquisa e em alguns imp ortantes sistemas do ponto de vista experimental:
el´etrons na superf´ıcie do h´elio l´ıquido, dispositivos microflu´ıdicos, suspens˜oes coloidais e
plasmas complexos (dusty plasmas), alguns dos quais foram comentados na introdu¸c˜ao
desta disserta¸c˜ao.
Aqui, estuda-se um sistema quasi-unidimensional, composto por um n´umero infinito
de part´ıculas carregadas. As part´ıculas s˜ao de dois tipos distintos, diferindo apenas no
valor da carga de cada uma. Vale salientar que muitos sistemas na natureza e na tecnologia
apresentam misturas de diferentes tipos de part´ıculas. A “competi¸c˜ao”existente entre as
part´ıculas distintas leva o sistema a apresentar fenˆomenos diferentes dos observados em
modelos com apenas um componente. A intera¸c˜ao entre elas ´e descrita por um potencial
Coulombiano “blindado”(Yukawa). O sistema bin´ario aqui proposto, consiste de uma
mesma quantidade de part´ıculas de cada tipo.
Fisicamente, este tipo de intera¸c˜ao ´e naturalmente encontrada em suspens˜oes coloidais
ou em plasmas complexos, como j´a discutidos anteriormente. O potencial de confinamento
parab´olico ´e equivalente a uma carga positiva ao fundo que neutraliza o sistema ou ´e
resultante de campos eletromagn´eticos que confinam as part´ıculas. A combina¸c˜ao da
intera¸c˜ao entre as part´ıculas e o potencial de confinamento externo conduz o sistema a
um rico diagrama de fases em fun¸c˜ao da raz˜ao entre as cargas e da densidade.
Esta se¸c˜ao ´e organizada do seguinte modo. Primeiramente, apresenta-se o modelo
usado, em seguida o digrama de fases do sistema na temperatura zero assim como as
propriedades das transi¸c˜oes estruturais. Esses passos s˜ao o ponto inicial para a discuss˜ao
sobre os modos normais do sistema.
3.2.1 Modelo do Sistema
A energia do sistema ´e descrita pela seguinte express˜ao, onde considera-se o sistema
em temperatura zero, ou seja, a contribui¸c˜ao da energia cin´etica ser´a pequena comparada
`a contribui¸c˜ao do termo de intera¸c˜ao entre as part´ıculas:
H = V
i
+ V
c
, (3.1)
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 51
onde V
i
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas e V
c
o potencial de confinamento,
os quais s˜ao dados por:
V
i
=
q
f
q
v
ε
i=1
j=1
exp(− | r
i
−r
j
| /λ)
| r
i
−r
j
|
+
q
2
f
ε
i>j=1
exp(− | r
fi
−r
fj
| /λ)
| r
fi
−r
fj
|
+
q
2
v
ε
i>j=1
exp(− | r
vi
−r
vj
| /λ)
| r
vi
−r
vj
|
(3.2)
V
c
=
i
1
2
mω
2
o
y
2
i
, (3.3)
al´em disso, m ´e a massa de cada uma das part´ıculas, ε a constante diel´etrica do meio
onde as part´ıculas se encontram, λ o parˆametro de blindagem do potencial, r
i
= |r
i
| ´e o
m´odulo do vetor posi¸c˜ao das part´ıculas e ω
o
a intensidade do potencial de confinamento.
Com o intuito de revelar os parˆametros mais importantes do sistema, ´e conveniente
intro duzir os parˆametro α = q
v
/q
f
, H’= H/E
0
, κ = r
0
/λ,
−→
r
0
=
−→
r /r
0
assim como
escrever a energia e as distˆancias em termos de r
0
=
2q
2
mεω
2
0
1/3
e E
0
=
mω
2
0
q
4
2ε
2
1/3
. Esse
procedimento permite reescrever a Eq. (3.1) na seguinte forma adimensional:
H
= α
i=1
j=1
exp(−κ |
r
i
−
r
j
|)
|
r
i
−
r
j
|
+
i>j=1
exp(−κ |
r
fi
−
r
fj
|)
|
r
fi
−
r
fj
|
+α
2
i>j=1
exp(−κ |
r
vi
−
r
vj
|)
|
r
vi
−
r
vj
|
+
i
y
2
i
. (3.4)
Note que a express˜ao acima ´e agora fun¸c˜ao apenas de α, κ e do n´umero de part´ıculas,
que posteriormente ser´a relacionada `a densidade do sistema, diferenciando-se assim, do
sistema com apenas um tipo de carga [43], o qual depende apenas do n´umero total de
part´ıculas e de κ. Pode-se definir tamb´em uma temperatura adimensional T’= T/T
0
com
T
0
dado por T
0
= (mω
2
0
q
4
/2ε
2
)
1/3
k
−1
B
.
As propriedades est´aticas que ser˜ao apresentadas aqui s˜ao obtidas em T
= 0. A es-
trutura do sistema foi obtida tanto analiticamente quanto numericamente. As express˜oes
da energia por part´ıcula (mostradas no Apˆendice A), permitiram a determina¸c˜ao das
configura¸c˜oes de m´ınima energia em fun¸c˜ao da densidade linear e da raz˜ao entre as car-
gas (parˆametro α). Do ponto de vista num´erico, essas configura¸c˜oes foram confirmadas
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 52
atrav´es do m´etodo de dinˆamica molecular.
3.2.2 Resultados obtidos atrav´es de Dinˆamica Molecular
3.2.3 Configura¸c˜oes de Equil´ıbrio
Apresenta-se nessa se¸c˜ao uma discuss˜ao abrangendo as diferentes estruturas obtidas
para o caso em que as part´ıculas tˆem cargas diferentes (α = 1). Em geral, as part´ıculas
arranjam-se numa estrutura de cadeias como resultado da competi¸c˜ao entre o potencial
repulsivo de intera¸c˜ao entre as cargas e o potencial de confinamento, que tende a manter
todas as part´ıculas pr´oximas de y = 0. O n´umero de cadeias, bem como o de part´ıculas
em cada uma delas, ´e determinado p ela densidade e pela raz˜ao entre as cargas. Como
esperado, part´ıculas com carga de maior valor tendem a ocupar as cadeias mais externas,
enquanto que as part´ıculas com carga de menor valor permanecem nas proximidades do
centro do potencial de confinamento. Isto se d´a pois a intera¸c˜ao eletrost´atica ´e mais
intensa entre as cargas de maior valor. Em conseq¨uˆencia, essas part´ıculas tendem a se
localizar o mais distante poss´ıvel uma da outra minimizando-se a energia total do sistema.
No entanto, esse cen´ario n˜ao ´e mon´otono, no sentido em que casos onde ambos os tipos
de part´ıculas localizam-se a uma mesma distˆancia de y = 0 s˜ao tamb´em observados.
As configura¸c˜oes obtidas atrav´es da simula¸c˜ao computacional nem sempre s˜ao as de
menor energia, visto que estas foram obtidas por meio de Dinˆamica Molecular, onde ´e
bastante comum obter-se estados metaest´aveis. Algumas dessas configura¸c˜oes s˜ao mostra-
das na Figura 12, as quais serviram de pista para a obten¸c˜ao das configura¸c˜oes de menor
energia. Um sistema em estado metaest´avel ´e caracterizado por tolerar apenas pequenas
perturba¸c˜oes, ou seja, se for feita uma pequena modifica¸c˜ao o equil´ıbrio do sistema n˜ao
ser´a prejudicado, mas se houver uma grande perturba¸c˜ao o sistema perder´a a estabilidade,
podendo tornar-se est´avel em outros n´ıveis de energia. Por esse motivo, fez-se necess´ario
calcular analiticamente a energia por part´ıcula para diversas configura¸c˜oes e checar se
cada uma delas era mais est´avel em rela¸c˜ao `a obtida na simula¸c˜ao.
Um exemplo deste processo ´e apresentado na (Figura 13), onde tˆem-se alguns testes
efetuados com os diversos arranjos propostos no Apˆendice A, para o caso em que α = 0.1.
Esse tedioso processo foi empregado na an´alise para os diversos valores de α, com o
objetivo de obter a configura¸c˜ao de menor energia. Isso foi necess´ario para a constru¸c˜ao
do diagrama de fases que ser´a apresentado nas pr´oximas se¸c˜oes.
Como trata-se de um sistema “infinito”, ´e conveniente introduzir aqui uma densidade
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 53
Figura 12: Configura¸c˜oes obtidas atrav´es de Dinˆamica Molecular, para diversos valores de
densidade e α.
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 54
linear n
e
. Esta ´e definida como sendo a raz˜ao entre o n´umero de part´ıculas (N) na c´elula
unit´aria do cristal quasi-unidimensional e o comprimento da caixa de simula¸c˜ao(L) na
dire¸c˜ao perpendicular ao confinamento, assim: n
e
=
N
L
.
Figura 13: Testes efetuados em α = 0.1 com as configura¸c˜oes propostas no Apˆendice A.
No caso em que o sistema cristaliza-se em uma ´unica cadeia (ver Apˆendice A - Se¸c˜ao
A.1), a configura¸c˜ao de m´ınima energia ´e caracterizada pelo fato de que part´ıculas distintas
encontram-se em posi¸c˜oes alternadas e quando as mesmas est˜ao todas sobre o eixo x,
onde o potencial de confinamento ´e nulo. Nesse caso, a densidade linear ´e n
e
= 2/a
∗
,
a coordenada x de cada part´ıcula com carga q
f
´e x
i
= 2ia
∗
e a coordenada x de cada
part´ıcula com carga q
v
´e x
i
= (2i − 1)a
∗
, com i = 0, ±1, ±2, ..., ±∞. A energia por
part´ıcula nesse caso ent˜ao ´e dada pela seguinte express˜ao:
E
1
= (1 + α
2
)
n
e
4
∞
j=1
e
−2κj/n
e
j
+ α
n
e
2
∞
j=1
e
−2κ(j−0.5)/n
e
(j − 0.5)
(3.5)
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 55
No arranjo de duas cadeias (ver Apˆendice A - Se¸c˜ao A.2) as part´ıculas acomodam-se
em duas linhas paralelas separadas por uma distˆancia d e deslocadas umas em rela¸c˜ao as
outras por uma distˆancia a
∗
/2 ao longo do eixo x. No caso desse arranjo, nota-se um fato
curioso, ´e que com o simples aumento da densidade do sistema, percebe-se uma quebra
de simetria, de modo que uma separa¸c˜ao dos dois tipos de part´ıculas carregadas existen-
tes no sistema ocorre. Freq¨uentemente esta segrega¸c˜ao apresenta importantes aplica¸c˜oes
pr´aticas, como exemplo, ela pode ser ´util na separa¸c˜ao de misturas em processos indus-
triais. A energia por part´ıcula neste caso ser´a:
E
2
= (1 + α
2
)
n
4
∞
j=1
e
−2κj/n
j
+ α
n
2
∞
j=1
exp[−2κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n]
(j − 0.5)
2
+ c
2
+
c
2
n
2
(3.6)
Para casos com mais de duas cadeias, uma condi¸c˜ao para minimizar a intera¸c˜ao ma-
ximizando a separa¸c˜ao entre as part´ıculas nas diferentes cadeias, ´e escalonar as part´ıculas
umas com rela¸c˜ao as outras por distˆancias vari´aveis na dire¸c˜ao x.
Calculando-se a energia m´ınima para cada configura¸c˜ao, tomando-se κ = 1 e diferentes
valores de densidade, obt´em-se o gr´afico da energia por part´ıcula E em fun¸c˜ao de n. Nas
Figuras 14(a) e 15(a)) mostra-se respectivamente esse gr´afico para α = 0.1 e α = 3.0,
onde pode-se perceber que os resultados anal´ıticos est˜ao de acordo com os dados obtidos
atrav´es da simula¸c˜ao computacional por DM (para os outros valores de α essa afirma¸c˜ao
tamb´em ´e v´alida.). Note que para certos intervalos de densidade mais de uma configura¸c˜ao
pode ser considerada est´avel. Isso ´e mostrado mais claramente nas Figuras 14(b,c,d) e
15(b,c,d), onde observa-se antes e ap´os os pontos de transi¸c˜oes, a possibilidade do sistema
acomodar-se em configura¸c˜oes metaest´aveis. Vale ressaltar que esse comportamento foi
observado para todos os valores de α analisados nesse trabalho.
Calculando-se a energia m´ınima para diferentes densidades n
e
e diferentes valores de
α, obt´em-se o diagrama de fases na temperatura zero apresentado na Figura 16 (a,b).
Uma an´alise detalhada desse diagrama revela as seguintes caracter´ısticas:
• Quando α < 1, `a medida que a densidade do sistema vai aumentando, em geral
observa-se a seguinte seq¨uencia de transi¸c˜oes: de uma para duas cadeias, em seguida
para quatro cadeias (configura¸c˜ao 1) e depois para quatro cadeias (configura¸c˜ao 2).
Um fato extraordin´ario ocorre quando a raz˜ao entre as cargas muda de 0.1 para
0.2, percebe-se que `a medida que essa raz˜ao vai crescendo, a configura¸c˜ao de trˆes
cadeias, antes observada vai sendo gradativamente “substitu´ıda”pela configura¸c˜ao
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 56
Figura 14: (a) Energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade para α = 0.1. (b)Transi¸c˜ao de
segunda ordem de 1 para 3 cadeias. (c) Transi¸c˜ao de primeira ordem de 3 para 4 cadeias. (d)
Transi¸c˜ao de primeira ordem de 4 cadeias (caso 1) para 4 cadeias (caso 2).
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 57
Figura 15: (a) Energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade para α = 3.0. (b)Transi¸c˜ao de
segunda ordem de 1 para 2 cadeias (c) Transi¸c˜ao de primeira ordem de 2 para 4 cadeias (d)
Transi¸c˜ao de primeira ordem de 4 cadeias (caso 1) para 4 cadeias (caso 2). (e) Transi¸c˜ao de
primeira ordem de 4 cadeias (caso 2) para 7 cadeias (caso 1).
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 58
de 2 cadeias at´e um valor cr´ıtico pr´oximo de α = 0 .237, conforme pode-se verificar
na figura 16 (b).
• Quando α > 1, observa-se a seguinte seq¨uencia de transi¸c˜oes: de uma para duas
cadeias, em seguida para quatro cadeias (caso 1) , seguida por quatro cadeias (caso
2) e depois para 7 cadeias (caso 1).
• Quando tˆem-se apenas um tipo de carga, ou seja α = 1, um fato surpreendente
ocorre entre as configura¸c˜oes de 2 e 3 cadeias. Existe aqui uma regi˜ao intermedi´aria
com uma configura¸c˜ao de 4 cadeias, que apresenta energia menor. Para todas as
outras transi¸c˜oes o n´umero de cadeias aumenta apenas por uma unidade, ou seja
passa de n para n+1. [43]. Nesse caso tem-se que as seq¨uˆencias das transi¸c˜oes
estruturais seguem uma ordem diferente das apresentadas tanto no caso de α < 1
como no caso α > 1. Uma explica¸c˜ao para esse fato ´e que para α = 1 as cargas
das part´ıculas do sistema apresentam o mesmo valor, e portanto a acomoda¸c˜ao do
sistema noutras estruturas ´e poss´ıvel. Na figura 17, observa-se o diagrama de fase
obtido na referˆencia [43], onde variou-se o κ, fixando-se α = 1.
A posi¸c˜ao lateral relativa para alguns valores de alfa ´e descrita na Figura 18 como
fun¸c˜ao da densidade n
e
. Atrav´es da an´alise dessa figura est´a claro que no caso de 2
e 3 cadeias a distˆancia entre as cadeias aumenta com o aumento da densidade. Isso
tamb´em ´e v´alido para o caso de 4 cadeias, por´em apresenta algumas ressalvas. Na primeira
configura¸c˜ao de 4 cadeias a distˆancia entre as cadeias internas ´e maior do que a distˆancia
entre uma cadeia interna e a sua externa mais pr´oxima, no caso da segunda configura¸c˜ao
de 4 cadeias o comportamento ´e o oposto, aqui a distˆancia entre as cadeias internas ´e
menor do que a distˆancia entre uma cadeia interna e a sua externa mais pr´oxima. Para
as outras estruturas do sistema, a distˆancia entre as cadeias est´a sempre crescendo em
fun¸c˜ao da densidade.
´
E evidente tamb´em que apenas as transi¸c˜oes de segunda ordem s˜ao
cont´ınuas, apresentando-se uma bifurca¸c˜ao bem clara.
3.2.4 Transi¸c˜oes Estruturais
Transi¸c˜oes estruturais s˜ao intensamente analisadas h´a alguns anos [7]. O mecanismo
que induz tais transi¸c˜oes ´e freq¨uentemente muito complicado. Nessa se¸c˜ao pretende-se
mostrar as transi¸c˜oes estruturais existentes em nosso sistemas para os diferentes valores
de alfa analisados. Para esse prop´osito, o c´alculo da derivada da energia em rela¸c˜ao a
densidade foi calculado, este ´e mostrado nas Figuras 19 e 20, para os casos em que α = 0.1
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 59
Figura 16: (a) Diagrama estrutural de fases para T=0. (b) Para α < 1, observa-se uma regi˜ao
em que tˆem-se a forma¸c˜ao de 3 cadeias.
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 60
Figura 17: Diagrama estrutural de fases para T=0, no caso em que κ = 1.0.. Figura retirada
da referˆencia [43].
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 61
Figura 18: Posi¸c˜ao lateral das part´ıculas em fun¸c˜ao da densidade.
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 62
Figura 19: Derivada da energia com rela¸c˜ao a denisdade para κ=1. Observe que ap enas a
transi¸c˜ao de 1 para 3 cadeias ´e cont´ınua (segunda ordem), o restante das transi¸c˜oes s˜ao des-
cont´ınuas (primeira ordem).
e α = 3.0. Da an´alise desses gr´aficos e do diagrama de fases da figura 16, pode-se concluir
que:
• As transi¸c˜oes de 1 para 2 cadeias s˜ao cont´ınuas, no caso de 0.237 < α < 4.0.
• As transi¸c˜oes de 1 para 3 cadeias, observadas quando α < 0.136 tamb´em s˜ao
cont´ınuas.
• Todas as outras transi¸c˜oes observadas nesse sistema s˜ao de primeira ordem, ou seja
apresentam descontinuidades, inclusive a transi¸c˜ao de 2 para 3 cadeias existentes
quando 0.136 < α < 0.237.
Essas conclus˜oes est˜ao de acordo com os resultados apresentados na figura 18, onde
mudan¸cas descont´ınuas da posi¸c˜ao lateral das part´ıculas correspondem a transi¸c˜oes de
primeira ordem. A transi¸c˜ao 1 → 2 ´e uma altera¸c˜ao estrutural definida aqui como “zig-
zag”(veja a Figura 21). A transi¸c˜ao 2 → 4 ocorre atrav´es de uma transi¸c˜ao “zig-zag”de
cada uma das duas cadeias anteriormente existentes, acompanhadas de um deslocamento
de a/4 em x para cada cadeia. Em princ´ıpio, todos esses tipos de transi¸c˜oes ”zig-zag”s˜ao
poss´ıveis para os casos com trˆes, quatro, cinco e seis cadeias resultando-se em seis, oito,
dez e doze estruturas na forma de cadeias, respectivamente [43].
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 63
Figura 20: Derivada da energia com rela¸c˜ao a densidade para κ=1. Observe que ap enas a
transi¸c˜ao de 1 para 2 cadeias ´e cont´ınua (segunda ordem), o restante das transi¸c˜oes s˜ao des-
cont´ınuas (primeira ordem).
Figura 21: Mecanismos de transi¸c˜oes estruturais de 1 para 2 cadeias e de 2 para 4 cadeias.
Figura retirada da referˆencia [8].
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 64
3.2.5 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais - Aproxima¸c˜ao Harmˆonica
Conhecendo-se a configura¸c˜ao do estado fundamental das part´ıculas do sistema, ´e
poss´ıvel tamb´em estudar suas pequenas oscila¸c˜oes em torno das respectivas posi¸c˜oes de
equil´ıbrio, isto ´e os modos normais. Os modos normais s˜ao excita¸c˜oes coletivas resultantes
das intera¸c˜oes entre as part´ıculas que comp˜oem o sistema. O estudo dessas excita¸c˜oes
pode revelar propriedades importantes, al´em de fornecer informa¸c˜oes sobre a estabilidade
das estruturas. Os modos normais do sistema estudado neste trabalho foram calculadas
atrav´es da aproxima¸c˜ao harmˆonica. Como ilustra¸c˜ao, os detalhes dos c´alculos nos casos
de uma cadeia linear com um s´o tipo de part´ıcula e das estruturas de uma e duas cadeias
para um sistema bin´ario s˜ao apresentados nas Sub-Se¸c˜oes 3.2.5.1, 3.2.5.2. As curvas de
dispers˜ao (ω em fun¸c˜ao de k
∗
), onde k
∗
´e o vetor de onda, apresentam ramos que est˜ao
associados com oscila¸c˜oes de part´ıculas nas dire¸c˜oes paralela e perpendicular `a cadeia. No
primeiro caso, o modo ´e chamado longitudinal, enquanto que o segundo e dito transversal.
Os modos podem ainda ser classificados como ac´usticos (com oscila¸c˜oes em fase) e ´oticos
(com oscila¸c˜oes fora de fase). Observa-se que o n´umero de modos ac ´usticos e ´oticos s˜ao
iguais.
O espectro dos modos normais foi obtido atrav´es da aproxima¸c˜ao harmˆonica. Os
c´alculos s˜ao ilustrados para trˆes casos espec´ıficos. Inicialmente, apresenta-se o c´alculo
da rela¸c˜ao de dispers˜ao para uma cadeia linear com um s´o tipo de part´ıcula, mas em
duas situa¸c˜oes: (i) o movimento da part´ıcula ´e limitado a dire¸c˜ao ao longo da cadeia;
(ii) as part´ıculas podem se mover tanto ao longo da cadeia quanto perpendicularmente a
ela. A seguir, aplica-se o procedimento ao caso do sistema bin´ario (part´ıculas com cargas
distintas), quando a estrutura de maior estabilidade ´e um arranjo linear com uma cadeia.
3.2.5.1 Configura¸c˜ao Linear com um tipo de Part´ıcula (α = 1.0)
Considera-se uma cadeia linear de part´ıculas idˆenticas, igualmente espa¸cadas (Figura
22), interagindo entre si atrav´es de um potencial V (
R
i
−
R
j
) al´em de estarem confinadas
por um potencial parab´olico na dire¸c˜ao perpendicular `a cadeia.
Figura 22: Arranjo linear para apenas 1 tipo de part´ıcula.
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 65
Inicialmente, considera-se que as part´ıculas podem mover-se apenas ao longo da ca-
deia. Seja
R
n,0
a p osi¸c˜ao de equil´ıbrio da e-n´esima part´ıcula. Ao oscilar em torno da sua
posi¸c˜ao de equil´ıbrio, a part´ıcula passa a ser descrita pela posi¸c˜ao:
R
n
=
R
n,0
+ δ
R
n
(3.7)
onde δ
R
n
´e o vetor deslo camento em rela¸c˜ao ao equil´ıbrio. O sistema unidimensional ´e
descrito pela Hamiltoniana:
H =
i
p
i
.p
i
2m
+
1
2
i=j
V (
R
i
−
R
j
) (3.8)
Expandindo-se a Hamiltoniana at´e o termo de segunda ordem em rela¸c˜ao a separa¸c˜ao
de equil´ıbrio
R
i,0
−
R
j,0
, obt´em-se:
H =
i
p
i
.p
i
2m
+
1
2
i=j
V (
R
i,0
−
R
j,0
) +
1
2
i,j
δ
R
i
·
←→
A
ij
· δ
R
j
, (3.9)
onde
←→
A
ij
=
∂
2
V (
R
i
−
R
j
)
∂
R
i
∂
R
j
, i = j
e
←→
A
ii
=
i=j
∂
2
V (
R
i
−
R
j
)
∂
R
2
i
.
O termo linear em δ
−→
R
i
n˜ao contribui devido a condi¸c˜ao de equil´ıbrio
∂V (
R
i
−
R
j
)
∂R
i
= 0. (A
for¸ca em qualquer part´ıcula ´e nula no equil´ıbrio.).
A equa¸c˜ao de movimento para a i-´esima part´ıcula ´e dada por:
∂p
i
∂t
= −
∂H
∂R
i
(3.10)
m
∂
2
δ
R
i
(t)
∂t
2
= −
j
A
ij
δ
R
j
(t), (3.11)
onde p
i
´e o momento linear da i-´esima part´ıcula. Com o objetivo de evitar confus˜ao do
sub-´ındice i com i =
√
−1, troca-se a partir daqui i por n. Assumindo uma solu¸c˜ao
oscilat´oria: δ
R
n
(t) = e
−iωt
δ
R
n
, onde δ
R
n
= q
k
e
ik
∗
na
(q
k
= q
k,x
ˆx + q
k,y
ˆy) e substituindo na
equa¸c˜ao (3.11), tem-se:
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 66
mω
2
=
j
A
nj
e
ik
∗
(j−n)a
∗
(3.12)
onde
−π
a
∗
≤ k
∗
≤
π
a
∗
pertence a primeira zona de Brillouin.
Observe os seguintes casos:
• Se k
∗
→ 0, tem-se que:
mω
2
=
j
A
nj
mω
2
= A
nn
+
j=n
A
nj
mω
2
=
j=n
∂
2
V (
R
n
−
R
j
)
∂
R
2
n
+
j=n
∂
2
V (
R
n
−
R
j
)
∂
R
n
R
j
=−
∂
2
V (
R
n
−
R
j
)
∂
R
2
n
ω = 0
(3.13)
pois A
nn
= −A
nj
.
• Se k
∗
= 0, tˆem-se:
mω
2
=
j
A
nj
e
ik
∗
(j−n)a
∗
mω
2
=
j
A
nj
[cos(k
∗
(j − n)a
∗
) + isen(k
∗
(j − n)a
∗
)]
(3.14)
como A
nj
= A
jn
e a parte imagin´aria sendo nula, obt´em-se:
mω
2
= A
nn
+
j=n
A
nj
[cos(k
∗
(j − n)a
∗
)]
ω
2
=
1
m
j=n
∂
2
V (
R
n
−
R
j
)
∂
R
2
n
[1 − cos(k
∗
(j − n)a
∗
)]
(3.15)
A rela¸c˜ao de dispers˜ao dada em 3.15 apresenta a forma mostrada na figura abaixo:
Incluindo a caracter´ıstica quasi -unidimensional no sistema, ou seja, permitindo
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 67
Figura 23: Rela¸c˜ao de dispers˜ao.
que as part´ıculas tamb´em oscilem na dire¸c˜ao perpendicular `a cadeia, tem-se:
H =
n
p
n
.p
n
2m
+
1
2
n
mω
0
y
2
n
+
1
2
n=j
V (
R
n
−
R
j
) (3.16)
O movimento na dire¸c˜ao perpendicular ´e limitado, devido a presen¸ca do potencial de
confinamento parab´olico, considerando um pequeno deslocamento em torno das posi¸c˜oes
de equil´ıbrio (y
n
= y
n,0
+δy
n
) e expandindo a express˜ao acima at´e segunda ordem, tem-se:
H =
n
p
n
.p
n
2m
+
1
2
n
mω
0
y
2
n,0
+
1
2
n
mω
0
δy
2
n
+
1
2
n=j
V (
R
n,0
−
R
j,0
)+
1
2
n,j
δ
R
n
·
←→
A
n,j
·δ
R
j
(3.17)
onde
1
2
n
mω
0
y
2
n,0
+
1
2
n=j
V (
−→
R
n,0
−
−→
R
j,0
)
representa a energia do estado fundamental da configura¸c˜ao de equil´ıbrio e
←→
A
n,j
ser´a
dado por:
←→
A
n,j
=
∂
2
V
∂x
n
∂x
j
∂
2
V
∂x
n
∂y
j
∂
2
V
∂y
n
∂x
j
∂
2
V
∂y
n
∂y
j
, n = j
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 68
ou ainda numa nota¸c˜ao mais compacta:
←→
A
n,j
=
a
xx
nj
a
xy
nj
a
yx
nj
a
yy
nj
,
onde
a
xx
nj
=
∂
2
V
∂x
n
∂x
j
a
xx
nn
=
n=j
∂
2
V
∂x
2
n
(3.18)
O ´ultimo termo da equa¸c˜ao (3.17) ´e da forma:
δ
−→
R
n
·
←→
A
n,j
· δ
−→
R
j
=
δx
n
δy
n
a
xx
nj
a
xy
nj
a
yx
nj
a
yy
nj
δx
j
δy
j
δ
−→
R
n
·
←→
A
n,j
· δ
−→
R
j
= a
xx
nj
δx
n
δx
j
+ a
xy
nj
δx
n
δy
j
+ a
yx
nj
δy
n
δx
j
+ a
yy
nj
δy
n
δy
j
(3.19)
As equa¸c˜oes de movimento da n-´esima part´ıcula s˜ao dadas por:
m
∂
2
(δx
n
)
∂t
2
= −
∂H
∂(δx
n
)
m
∂
2
(δy
n
)
∂t
2
= −
∂H
∂(δy
n
)
(3.20)
Considerando as equa¸c˜oes 3.17 e 3.19, as equa¸c˜oes de movimento tornam-se:
m
∂
2
(δx
n
)
∂t
2
= −
j
(a
xx
nj
δx
j
+ a
xy
nj
δy
j
)
m
∂
2
(δy
n
)
∂t
2
= −mω
2
δy
n
−
j
(a
yy
nj
δy
j
+ a
yx
nj
δx
j
)
(3.21)
Assumindo uma solu¸c˜ao oscilat´oria do tipo δ
−→
R
n
(t) = e
−iωt
δ
−→
R
n
e levando em considera¸c˜ao
a periodicidade do sistema na dire¸c˜ao x, onde δ
−→
R
n
=
−→
q
k
e
ik
∗
na
∗
(q
k
= q
k,x
ˆx + q
k,y
ˆy)
representa a dire¸c˜ao de polariza¸c˜ao da oscila¸c˜ao, amplitude), as equa¸c˜oes acima podem
ser escritas como:
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 69
mω
2
q
k,x
=
j
(a
xx
nj
q
k,x
+ a
xy
nj
q
k,x
)e
iκ(j−n)a
∗
m(ω
2
− ω
2
0
)q
k,y
=
j
(a
yy
nj
q
k,y
+ a
yx
nj
q
k,y
)e
iκ(j−n)a
∗
(3.22)
que podem ser representadas na forma matricial:
mω
2
−
A
xx
n
j
a
xx
nj
e
iκ(j−n)a
∗
−
A
xy
n
j
a
xy
nj
e
iκ(j−n)a
∗
−
A
yx
n
j
a
yx
nj
e
iκ(j−n)a
∗
m(ω
2
− ω
2
0
) −
A
yy
n
j
a
yy
nj
e
iκ(j−n)a
∗
q
k,x
q
k,y
=
0
0
Figura 24: Ramo ´otico e ramo ac´ustico da rela¸c˜ao de dispers˜ao.
Reescrevendo a Hamiltoniana na forma adimensional obt´em-se:
1
2
n
mω
2
0
y
2
n
=⇒
n
y
2
n
1
2
mω
2
0
= 1
mω
2
0
= 2
(3.23)
Portanto, ao resolver o determinante considerando a express˜ao 3.23, obt´em-se o se-
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 70
guinte resultado para as freq¨uˆencias dos modos normais:
ω
±
ω
0
2
=
1
2
1 +
1
2
(A
yy
n
+ A
xx
n
) ±
1 +
1
2
(A
yy
n
− A
xx
n
)
2
+ A
yx
n
A
xy
n
(3.24)
onde a representa¸c˜ao gr´afica da express˜ao acima ´e dada na Figura 24, a qual representa
as express˜oes dos ramos ´otico e ac´ustico da rela¸c˜ao de dispers˜ao.
3.2.5.2 Sistema Bin´ario - Configura¸c˜ao de uma Cadeia
No sistema bin´ario, quando as densidades de part´ıculas com carga q
f
e q
v
s˜ao iguais,
a configura¸c˜ao de m´ınima energia do arranjo de uma cadeia ´e caracterizada por part´ıculas
com cargas distintas localizadas em posi¸c˜oes alternadas e igualmente espa¸cadas (Fi-
gura 25). Seguindo o mesmo procedimento da se¸c˜ao anterior, mas considerando que
as part´ıculas tem liberdade de se mover nas dire¸c˜oes x e y, calcula-se agora as rela¸c˜oes
de dispers˜ao desse sistema bin´ario, no caso em que as densidades de ambos os tipos de
part´ıculas s˜ao iguais. Na aproxima¸c˜ao harmˆonica, expande-se a Hamiltoniana do sistema
numa s´erie de Taylor at´e a segunda ordem, a qual fica representada por:
Figura 25: Configura¸c˜ao de 1 cadeia. Observe que as part´ıculas com cargas distintas se arrajam
de forma alternada.
H =
n
p
n
.p
n
2m
+
n
1
2
mω
2
0
y
2
n,0
+
1
2
n=j
(
R
n,0
−
R
j,0
)+
1
2
n
mω
0
δy
2
n
+
1
2
n,j
δ
−→
R
n
·
←→
A
nj
·δ
−→
R
j
,
(3.25)
onde:
δ
−→
R
n
·
←→
A
nj
· δ
−→
R
j
= a
x,x
nj
δx
n
δx
j
+ a
x,y
nj
δx
n
δy
j
+ a
y,x
nj
δy
n
δx
j
+ a
y,y
nj
δy
n
δy
j
(3.26)
As somas no ´ultimo termo da equa¸c˜ao (3.25) s˜ao sobre todas as part´ıculas. No entanto ´e
conveniente separar essas somas da seguinte maneira:
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 71
1
2
n,j
δ
−→
R
n
·
←→
A
nj
·δ
−→
R
j
=
1
2
q
f
,q
f
n,j
δ
−→
R
n
·
←→
A
nj
·δ
−→
R
j
+
1
2
q
v
,q
v
n,j
δ
−→
R
n
·
←→
A
nj
·δ
−→
R
j
+
1
2
q
f
,q
v
n,j
δ
−→
R
n
·
←→
A
nj
·δ
−→
R
j
(3.27)
onde o primeiro somat´orio, no lado esquerdo do sinal de igualdade, ´e sobre todas as
part´ıculas, o segundo ´e somente sobre as part´ıculas com carga q
f
, o terceiro ´e somente
sobre as part´ıculas com carga q
v
e o quarto ´e sobre as part´ıculas com carga q
v
e q
f
. As
equa¸c˜oes de movimento da n-´esima part´ıcula s˜ao dadas por:
m
∂
2
(δx
n
)
∂t
2
= −
∂H
∂(δx
n
)
m
∂
2
(δy
n
)
∂t
2
= −
∂H
∂(δy
n
)
(3.28)
Tomando-se inicialmente as coordenadas da part´ıcula com carga q
f
, assumindo novamente
a solu¸c˜ao oscilat´oria do tipo δ
−→
R
n
(t) = e
−iωt
δ
−→
R
n
e usando-se as equa¸c˜oes 3.25 e 3.27
obt´em-se:
m
∂
2
(δx
n
)
∂t
2
= −
1
2
q
f
,q
f
j
(a
xx
nj
δx
j
+ a
xy
nj
δy
j
) −
1
2
q
f
,q
v
m
(a
xx
nm
δx
m
+ a
xy
nm
δy
m
)
m
∂
2
(δy
n
)
∂t
2
= −mω
2
0
δy
n
−
1
2
q
f
,q
f
j
(a
yy
nj
δy
j
+ a
yx
nj
δx
j
) −
1
2
q
f
,q
v
m
(a
yy
nm
δy
m
+ a
yx
nm
δx
m
)
(3.29)
onde tanto o somat´orio em j quanto o somat´orio em m ´e sobre todas as part´ıculas q
f
.
Na aproxima¸c˜ao harmˆonica assume-se que os deslocamentos dessas part´ıculas, em torno
de suas posi¸c˜oes de equil´ıbrio, s˜ao pequenos. Isto significa que no equil´ıbrio, as part´ıculas
oscilam em torno dessas posi¸c˜oes em um movimento harmˆonico, de modo que uma solu¸c˜ao
oscilat´oria do tipo δ
R
n
(t) = δ
R
n
e
−iωt
, onde δ
R
n
= q
k
e
2ik
∗
na
∗
pode ser assumida. Dessa
forma, as equa¸c˜oes (3.29), tornam-se:
2mω
2
δx
n
=
q
f
,q
f
j
(a
xx
nj
δx
j
+ a
xy
nj
δy
j
) +
q
f
,q
v
m
(a
xx
nm
δx
m
+ a
xy
nm
δy
m
)
2m(ω
2
− ω
2
0
)δy
n
=
q
f
,q
f
j
(a
yy
nj
δx
j
+ a
yx
nj
δy
j
) +
q
f
,q
v
m
(a
yy
nm
δx
m
+ a
yx
nm
δy
m
)
(3.30)
Assumi-se tamb´em que δ
R
m
(t) = δ
R
m
e
−iωt
, onde δ
R
m
=
q
k
e
2ik
∗
na
∗
. Os vetores (q
k
=
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 72
q
k,x
ˆx+q
k,y
ˆy) e (
q
k
= q
k,x
ˆx+q
k,y
ˆy) representam, respectivamente, as amplitudes e dire¸c˜ao
do movimento das part´ıculas com cargas q
f
e q
v
devem, em princ´ıpio, ter magnitudes dis-
tintas, visto que representam amplitudes dos movimentos de part´ıculas diferentes. Desse
modo o movimento das part´ıculas, distantes entre si por um m´ultiplo do comprimento da
c´elula unit´aria (2na), deve divergir apenas por uma fase.
Assim as equa¸c˜oes acima tornam-se:
2mω
2
q
k,x
=
q
f
,q
f
j
(a
xx
nj
q
k,x
+ a
xy
nj
q
k,y
)e
2iκ(j−n)a
∗
+
2
m
(a
xx
nm
q
k,x
+ a
xy
nm
q
k,y
)e
2iκ(m−n)a
∗
2m(ω
2
− ω
q
f
,q
v
0
)q
k,y
=
1
j
(a
yy
nj
q
k,x
+ a
yx
nj
q
k,y
)e
2iκ(j−n)a
∗
+
2
m
(a
yy
nm
q
k,x
+ a
yx
nm
q
k,y
) × e
2iκ(j−n)a
∗
(3.31)
Equa¸c˜oes similares s˜ao obtidas para uma part´ıcula com carga q
v
. As equa¸c˜oes podem
ser representadas na forma matricial, ou seja:
2mω
2
− A
xx
j,1,1
−A
xy
j,1,1
−A
xx
j,1,2
−A
xy
j,1,2
−A
yx
j,1,1
2m∆ω
2
− A
yy
j,1,1
−A
yx
j,1,2
−A
yy
j,1,2
−A
xx
j,2,1
−A
xy
j,2,1
2mω
2
− A
xx
j,2,2
−A
xy
j,2,2
−A
yx
j,2,1
−A
yy
j,2,1
−A
yx
j,2,2
2m∆ω
2
− A
yy
j,2,2
q
k,x
q
k,y
q
k,x
q
k,y
=
0
0
0
0
onde ∆ω
2
= (ω
2
− ω
2
0
) e A
xx
n
=
j
a
xx
nj
e
iκ(j−n)a
. A matriz acima ´e chamada de ma-
triz dinˆamica. Os termos A
xx
j,1,1
, A
xy
j,1,1
, A
yx
j,1,1
, A
yy
j,1,1
representam os elementos devido as
intera¸c˜oes entre as part´ıculas com carga q
f
, A
xx
j,2,2
, A
xy
j,2,2
, A
yx
j,2,2
, A
yy
j,2,2
representam os ele-
mentos devido as intera¸c˜oes entre as part´ıculas com carga q
v
e os demais elementos devido
as intera¸c˜oes entre part´ıculas cargas q
f
e q
v
. Esses termos s˜ao explicitamente calculados
mais adiante.
Do mesmo modo que j´a foi feito nas se¸c˜oes anteriores, ao reescrever o Hamiltoniano
na forma adimensional percebe-se que:
1
2
i
mω
2
0
y
2
i
=⇒
i
y
2
i
1
2
mω
2
0
= 1
mω
2
0
= 2
(3.32)
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 73
Portanto, ao resolver o determinante acima, obt´em-se o seguinte resultado:
ω
2
1
=
1
2
(A
xx
j,1,1
+ A
xx
j,1,2
) +
(A
xx
j,1,1
+ A
xx
j,1,2
)
2
− 4[A
xx
j,1,1
A
xx
j,2,2
− (A
xx
j,1,2
)
2
]
(3.33)
ω
2
2
=
1
2
(A
xx
j,1,1
+ A
xx
j,1,2
) −
(A
xx
j,1,1
+ A
xx
j,1,2
)
2
− 4[A
xx
j,1,1
A
xx
j,2,2
− (A
xx
j,1,2
)
2
]
(3.34)
ω
2
3
=
1 +
1
2
(A
yy
j,2,2
+ A
yy
j,1,2
) +
(A
yy
j,2,2
+ A
yy
j,1,2
)
2
− 4[A
yy
j,1,1
A
yy
j,2,2
− (A
yy
j,1,2
)
2
]
(3.35)
ω
2
4
=
1 +
1
2
(A
yy
j,2,2
+ A
yy
j,1,2
) −
(A
yy
j,2,2
+ A
yy
j,1,2
)
2
− 4[A
yy
j,1,1
A
yy
j,2,2
− (A
yy
j,1,2
)
2
]
(3.36)
que representam as express˜oes das freq¨uˆencias dos modos normais do sistema bin´ario para
a configura¸c˜ao de uma cadeia.
Considerando o potencial de intera¸c˜ao para uma configura¸c˜ao de uma cadeia como
sendo dado por: V = V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
, onde:
V
1
=
q
2
f
ε
n
n>j
e
−κr
jn
r
jn
(Potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga q
f
)
V
2
=
q
2
v
ε
n
n>j
e
−κr
jn
r
jn
(Potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga q
v
)
V
3
=
q
f
.q
v
ε
n
m
e
−κr
nm
r
nm
(Potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga q
f
e q
v
)
V
4
=
1
2
mω
2
0
∞
n=1
y
2
n
(Potencial de confinamento parab´olico sobre todas as part´ıculas)
Tomando-se como exemplo, as intera¸c˜oes sobre as part´ıculas de carga q
f
, considera-se
R
j
= (0, 0) a posi¸c˜ao de origem da part´ıcula de referˆencia, e usa-se a seguinte nota¸c˜ao:
Para a intera¸c˜ao com part´ıculas de carga q
f
: |
R
j
− R
n
|=| 2ja
∗
|
Para a intera¸c˜ao com part´ıculas de carga q
v
: |
R
j
− R
m
|=| 2(j − 1)a
∗
|
A distˆancia entre as part´ıculas, densidade, vetor de onda e raz˜ao entre as cargas, s˜ao
dados resp ectivamente em unidades adimensionais por: a
∗
=
a
r
0
, n
e
=
2r
0
a
=
2
a
∗
, k
∗
=
ka
π
, α =
q
v
q
f
. (Lembre-se que em nosso caso q
f
´e sempre igual a 1.).
OBS: As intera¸c˜oes sobre as part´ıculas de carga q
v
seguem a mesma nota¸c˜ao acima.
Calculando-se cada um dos termos da matriz dinˆamica obt´em-se:
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 74
A
xx
j,1,1
= α
j
n
3
e
e
−κ(2j−1)/n
e
(2j − 1)
3
2 +
2κ(2j − 1)
n
e
+
κ(2j − 1)
2
n
2
e
+
j
n
3
e
e
−2κj/n
∗
(2j)
3
2 +
4κj
n
e
+
(2κj)
2
n
2
e
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.37)
A
xx
j,2,2
= α
j
n
3
e
e
−κ(2j−1)/n
e
(2j − 1)
3
2 +
2κ(2j − 1)
n
e
+
κ(2j − 1)
2
n
2
e
+ α
2
j
n
3
e
e
−2κj/n
e
(2j)
3
2 +
4κj
n
e
+
(2κj)
2
n
2
e
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.38)
A
yy
j,1,1
= −α
j
n
3
e
e
−κ(2j−1)/n
e
(2j − 1)
3
1 +
κ(2j − 1)
n
e
[1 − cos(k(2j − 1)a
∗
)]
−
j
n
3
e
e
−2κj/n
e
(2j)
3
1 +
2κj
n
e
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.39)
A
yy
j,2,2
= −α
j
n
3
e
e
−κ(2j−1)/n
e
(2j − 1)
3
1 +
κ(2j − 1)
n
e
[1 − cos(k(2j − 1)a
∗
)]−
α
2
j
n
3
e
e
−2κj/n
e
(2j)
3
1 +
2κj
n
e
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.40)
A
xy
j,1,1
= A
yx
j,1,1
= 0 (3.41)
A
xx
j,1,2
= α
j
n
3
e
e
−κ(2j−1)/n
e
(2j − 1)
3
2 +
2κ(2j − 1)
n
e
+
κ(2j − 1)
2
n
2
e
[cos(k(2j − 1)a
∗
)]
(3.42)
A
xy
j,1,2
= A
yx
j,1,2
= 0 (3.43)
A
yy
j,1,2
= α
j
n
3
e
e
−κ(2j−1)/n
e
(2j − 1)
3
1 +
κ(2j − 1)
n
e
[cos(k(m − j)a
∗
)]
(3.44)
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 75
A
xy
j,1,2
= A
yx
j,1,2
; A
xy
j,2,1
= A
yx
j,2,1
(3.45)
3.2.6 Modos Normais do Sistema
Os modos normais deste modelo foram calculadas atrav´es da aproxima¸c˜ao harmˆonica,
a qual foi apresentada suncitamente na se¸c˜ao anterior. As curvas de dispers˜ao (ω em
fun¸c˜ao de k
∗
), onde k
∗
´e o vetor de onda, apresentam ramos que est˜ao associados com
oscila¸c˜oes de part´ıculas nas dire¸c˜oes paralela (modo longitudinal) e perpendicular (trans-
versal) `a cadeia. Os modos podem ainda ser classificados como ac´usticos (com oscila¸c˜oes
em fase) e ´oticos (com oscila¸c˜oes fora de fase).
Note que para sistemas bidimensionais existem 2 modos ac´usticos e 2r − 2 modos
´oticos, onde r ´e a quantidade de tipos diferentes de part´ıculas na c´elula unit´aria [43].
Cada modo ´e definido por um autovetor e por sua autofreq¨uˆencia correspondente. Aqui
calcula-se o n´umero de modos normais para a estrutura de 1 cadeia, onde percebe-se a
existˆencia de 2 part´ıculas de cargas diferentes na c´elula unit´aria. Assim formam-se dois
modos ac´usticos e dois ´oticos.
Um coment´ario relevante ´e que o surgimento de dois modos ´oticos ´e uma conseq¨uˆencia
do fato de analisar-se um sistema quasi-unidimensional. Nas Figuras 26 e 27 tˆem-se a
rela¸c˜ao de dispers˜ao para diversos valores de α e densidades, para a estrutura de uma
cadeia. O comprimento de onda est´a em unidades de π/2a
∗
, onde a
∗
´e o comprimento
da c´elula unit´aria. LO, LA, TO, TA significam, respectivamente, longitudinal ´otico,
longitudinal ac´ustico, transversal ´otico e transversal ac´ustico.
Em rela¸c˜ao ao modo transversal ´otico (TO), observa-se que este ramo dimimui com
o aumento da densidade. A explica¸c˜ao para esse fato ´e mostrada na Figura 28. Observe
que para baixas densidades (Figura 28(a)) as part´ıculas est˜ao mais separadas ao longo da
cadeias. Como conseq¨uˆencia, quando as part´ıculas oscilam fora de fase (modo ´otico), a
for¸ca de repuls˜ao eletrost´atica sobre cada part´ıcula tem uma resultante na dire¸c˜ao per-
pendicular `a cadeia (dire¸c˜ao confinada). Essa for¸ca ser´a maior `a medida que a separa¸c˜ao
entre as cargas diminui, o que corresponde a aumento da densidade (Figura 28(b)). Sendo
assim, uma pequena perturba¸c˜ao na posi¸c˜ao vertical das part´ıculas, provoca uma for¸ca de
repuls˜ao eletrost´atica na dire¸c˜ao transversal `a cadeia, que favorece a oscila¸c˜ao na dire¸c˜ao
vertical `a cadeia.
O modo longitudinal ´otico sofre o comportamento inverso do modo transversal ´otico,
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 76
Figura 26: Rela¸c˜ao de dispers˜ao para α = 0.5 e α = 1.5 considerando diversas densidades.
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 77
Figura 27: Rela¸c˜ao de dispers˜ao para α = 2.0 e α = 3.0 considerando diversas densidades.
3.2 Sistema Bin´ario de cargas 78
ou seja, sua autofreq¨uˆencia aumenta com o aumento da densidade. Esse fato apresenta
duas explica¸c˜oes, para baixas densidades as part´ıculas sofrem uma pequena repuls˜ao ele-
trost´atica com rela¸c˜ao a part´ıcula vizinha, ou seja, as part´ıculas oscilam na horizontal sem
grandes dificuldades. Quando a densidade aumenta, a for¸ca eletrost´atica torna-se mais
intensa e assim as part´ıculas tem mais dificuldade de oscilar na dire¸c˜ao n˜ao confinada.
Em rela¸c˜ao ao modo transversal ac´ustico, observa-se que o mesmo sempre come¸ca em
1 para um vetor de onda k
∗
nulo, independentemente da densidade ou da raz˜ao entre
as cargas das part´ıculas do sistema, indicando que este ´e determinado basicamente pelo
confinamento parab´olico. Em rela¸c˜ao ao modo longitudinal ac´ustico, observa-se que o
mesmo sempre come¸ca em 0 para um vetor de onda k
∗
nulo, independentemente da
densidade ou da raz˜ao entre as cargas das part´ıculas do sistema.
Um fato interessante observado na an´alise das Figuras 26 e 27 ´e que para baixas den-
sidades, o modo transversal ´otico ´e igual ao modo transversal ac´ustico, uma explica¸c˜ao
para esse fato ´e que a distancia entre as part´ıculas ´e maior do que no caso de altas densi-
dades. Como conseq¨uˆencia, os modos de vibra¸c˜ao transversais v˜ao depender basicamente
do confinamento externo.
Figura 28: Esquema para densidade n
∗
a
e n
∗
b
(n
∗
a
< n
∗
b
). Observe que a for¸ca de repuls˜ao
eletrost´atica resultante em (a) ´e menor que em (b).
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 79
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao compe-
titiva
Apresenta-se nessa se¸c˜ao, resultados preliminares do comportamento de um sis-
tema quasi-unidimensional de part´ıculas cl´assicas sujeitas a uma intera¸c˜ao competitiva..
Uma grande variedade de sistemas apresentam caracter´ısticas estruturais associadas a
uma intera¸c˜ao competitiva entre seus constituintes. Mais especificamente, a estrutura do
sistema ´e resultado da competi¸c˜ao entre uma intera¸c˜ao repulsiva de longo alcance e uma
intera¸c˜ao atrativa de curto alcance [45, 46]. A natureza da intera¸c˜ao depende do sistema
considerado. Por exemplo, regi˜oes l´ıquidas em membranas biol´ogicas s˜ao formadas por
camadas de lip´ıdios e prote´ınas, a largura dessa regi˜ao l´ıquida depende da competi¸c˜ao
entre uma tens˜ao superficial e a repuls˜ao eletrost´atica entre dipolos presentes no sistema.
A teoria prediz um escalonamento exponencial desta largura, o qual ´e confirmado por
experimentos [47]. Muitos sistemas apresentam um comportamento f´ısico que pode ser
modelado por uma intera¸c˜ao competitiva, entre eles temos: a auto-organiza¸c˜ao de cargas
esf´ericas met´alicas na forma de an´eis [57], forma¸c˜ao de padr˜oes em sistemas dinˆamicos
[58] e cristaliza¸c˜ao e agrega¸c˜ao em col´oides [59]. A forma¸c˜ao de padr˜oes nos sistemas
anteriormente descritos apresentam caracter´ısticas estruturais comuns, sugerindo uma
aproxima¸c˜ao, ou um modelo mais geral para explicar o comportamento dos mesmos.
Em recentes simula¸c˜oes com dinˆamica molecular, modelos simplificados de sistemas
infinitos de part´ıculas com intera¸c˜ao competitiva foram propostos e resultados interessan-
tes foram obtidos, os quais estavam de acordo com padr˜oes observados experimentalmente
[51, 52, 53, 55]. O objetivo destas simula¸c˜oes era controlar padr˜oes de auto-organiza¸c˜ao
ajustando um pequeno n´umero de parˆametros f´ısicos, a fim de compreender o mecanismo
que induz tais estruturas.
Reichhardt et al. [53] estudaram a dinˆamica e a forma¸c˜ao de padr˜oes na forma de
linhas, para um sistema infinito de part´ıculas com intera¸c˜ao competitiva. Os autores
mostraram que a competi¸c˜ao existente entre os termos atrativo e repulsivo do potencial
de intera¸c˜ao levou o sistema a apresentar diversas estruturas como: cristal de Wigner,
linhas de part´ıculas e bolhas. Essas estruturas foram obtidas em fun¸c˜ao da intensidade
do termo de curto alcance ou da densidade das part´ıculas (mostrado nas Figuras 29 e 30).
Vale ressaltar, que os trabalhos encontrados na literatura, relacionados ao assunto,
tratam de sistemas bi- e tri-dimensionais com ou sem bordas. Conforme ´e sabido, efeitos
de tamanho finito e dimensionalidade tˆem, em geral, grande influˆencia nas propriedades
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 80
Figura 29: Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa.(a) Cristaliza¸c˜ao de Wigner em B=0. (b) Fase in-
termedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para B=0.3. (c)Forma¸c˜ao de aglomerados para
B=0.4
e comportamento f´ısicos. Esses fatores serviram de motiva¸c˜ao para a an´alise das propri-
edades estruturais de um sistema composto por um grande n´umero de part´ıculas, que se
movem num plano, estando confinadas por um potencial parab´olico numa das dire¸c˜oes.
Todas as part´ıculas do sistema interagem por meio de um potencial competitivo. Observa-
se que, dependendo de alguns parˆametros, as part´ıculas organizam-se em aglomerados,
linhas, em an´eis concˆentricos ou ainda numa combina¸c˜ao de todos esses padr˜oes. A es-
trutura da configura¸c˜ao do estado fundamental para este sistema ´e analisada nas se¸c˜oes
que seguem.
3.3.1 Modelo do Sistema
O modelo proposto aqui ´e um sistema bidimensional de part´ıculas com carga fixa q,
movendo-se num plano no qual atua um potencial de confinamento parab´olico na dire¸c˜ao
y. Considerando-se o sistema em temperatura T ≈ 0, a contribui¸c˜ao da energia cin´etica
ser´a pequena comparada `a contribui¸c˜ao do termo de intera¸c˜ao entre as cargas. A energia
do sistema pode ser descrita pela seguinte express˜ao:
H =
q
2
0
i=j
e
−|r
i
−r
j
|/λ
1
|r
i
−r
j
|
−
q
2
0
i=j
B
e
−|r
i
−r
j
|/λ
2
+
i
1
2
mω
0
2
y
i
2
(3.46)
onde m ´e a massa das part´ıculas,
0
´e a constante diel´etrica do meio onde as part´ıculas
est˜ao inseridas e ω
0
´e a intensidade do potencial de confinamento. Com o intuito de re-
velar os parˆametros mais importantes do sistema, ´e conveniente definir λ
1
=
r
0
κ
1
, λ
2
=
r
0
κ
2
,
B
=
B
r
0
, r =
r
r
0
, H
= H/E
0
e escrever a energia e as distˆancias em unidades de
E
0
= (mω
0
2
q
4
/2
0
2
)
1/3
e r
0
= (2q
2
/m
0
ω
0
2
)
1/3
, respectivamente. Isso permite reescrever
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 81
Figura 30: Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da densidade mantendo-se a parte
atrativa do p otencial fixa. (a) 18 part´ıculas. (b) 100 part´ıculas. (c) 400 part´ıculas. (d) 1050
part´ıculas.
a equa¸c˜ao (3.46) na seguinte forma adimensional:
H
=
i=j
e
−|
r
i
−
r
j|κ
1
|
r
i
−
r
j
|
− B
i=j
e
−|
r
i
−
r
j
|κ
2
+
i
y
i
2
(3.47)
Essa transforma¸c˜ao ´e interessante, pois agora essa express˜ao torna-se fun¸c˜ao de κ
1
, κ
2
e B,
onde os dois primeiros determinam, respectivamente, os alcances dos potenciais repulsivo
e atrativo, e o ´ultimo determina a intensidade relativa da parte atrativa do potencial de
intera¸c˜ao. Por exemplo, para B = 0 o sistema torna-se puramente repulsivo (potencial de
Yukawa). Esse comportamento pode ser melhor visualizado atrav´es da an´alise da Figura
31, onde percebe-se claramente que quando B ´e incrementado o potencial do sistema
deixa de ser totalmente repulsivo. Al´em desses parˆametros o sistema tamb´em depende do
n´umero de part´ıculas, que se relaciona `a densidade linear do sistema(n).
Um recurso dispon´ıvel quando se deseja descrever um sistema infinito ´e a utiliza¸c˜ao
de uma amostra constitu´ıda por um n´umero menor de part´ıculas, chamada caixa de
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 82
Figura 31: Energia potencial em fun¸c˜ao da distˆancia entre as part´ıculas para diversos valores
de B, no caso em que κ
1
= 0.5, κ
2
= 1.0.
simula¸c˜ao. R´eplicas idˆenticas dessa caixa s˜ao reproduzidas ao seu lado, formando um
sistema que tenda ao limite termodinˆamico. O movimento de uma part´ıcula agora n˜ao
fica limitado pelas paredes da caixa, atrav´es da utiliza¸c˜ao de condi¸c˜oes de contorno. A
densidade linear ´e definida aqui como a raz˜ao entre o n´umero de part´ıculas existentes na
caixa de simula¸c˜ao e o comprimento desta caixa (n = N/L).
O primeiro termo da equa¸c˜ao (3.47) corresponde a parte repulsiva do potencial de
intera¸c˜ao, o segundo termo ´e a parte atrativa e o ´ultimo ´e o potencial de confinamento
das part´ıculas.
Para encontrar as configura¸c˜oes de menor energia, utilizou-se a t´ecnica de Dinˆamica
Molecular, a qual foi descrita no Cap´ıtulo 2. Tipicamente o sistema aproxima-se do
equil´ıbrio ap´os 10
6
− 10
7
passos de tempo. As propriedades estruturais(est´aticas) que
ser˜ao apresentadas na pr´oxima se¸c˜ao s˜ao obtidas quando a temperatura ´e da ordem de
10
−
5 − 10
−
6.
3.3.2 Configura¸c˜oes de Equil´ıbrio
Apresenta-se nessa se¸c˜ao uma discuss˜ao acerca das diferentes estruturas do sistema,
descrito pela equa¸c˜ao (3.47) obtidas no caso em que o alcance do potencial repulsivo (κ
1
)
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 83
Figura 32: Alcance do Potencial de Yukawa para diversos valores de κ.
´e maior que o alcance do potencial atrativo(κ
2
). Inicialmente, considerar-se-´a o efeito
da intensidade relativa da parte atrativa do potencial de intera¸c˜ao. Para isso, fixa-se os
valores de (κ
1
= 0.05) e (κ
2
= 1.0), ou seja, o alcance da parte repulsiva do potencial de
intera¸c˜ao ´e vinte vezes maior que o alcance da parta atrativa. A densidade do sistema
tamb´em ser´a fixada. Ser˜ao considerados dois valores de densidade: n = 0.5 e n = 1.0. No
primeiro caso (n = 0.5) e com B=0, as part´ıculas arranjam-se numa cadeia ao longo de
eixo x, resultado de acordo com o que foi apresentado na primeira parte dessa disserta¸c˜ao.
Quando n = 1 .0, a configura¸c˜ao obtida quando B = 0 ´e uma estrutura com duas cadeias,
resultado que tamb´em esta de acordo com o que foi apresentado na se¸c˜ao 3.2.3 e na
referˆencia [43]. Esse resultados, bem como aqueles considerando outros valores de B, s˜ao
apresentados nas Figuras 33 e 34. Algumas caracter´ısticas podem ser destacadas:
• Quando B ´e pequeno, o potencial de longo alcance predomina sobre o de curto
alcance e o sistema acomoda-se numa estrutura de cadeias. Nesse caso, conforme
comentado a pouco, tˆem-se a forma¸c˜ao de uma cadeia quando n = 0.5 (Figura 33a)
e a forma¸c˜ao de duas cadeias quando n = 1.0 (Figura 34a).
• Um fato interessante ocorre no caso em que n = 1.0 e B = 2 (Figura 33b). Observa-
se uma mudan¸ca dr´astica na acomoda¸c˜ao do sistema, de modo que a configura¸c˜ao
de duas cadeias ´e substitu´ıda pelo arranjo de uma cadeia.
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 84
• Para valores intermedi´arios de B, a intera¸c˜ao de curto alcance torna-se compar´avel
`a de longo-alcance, fazendo com que o sistema apresente uma coexistˆencia de estru-
turas na forma de linhas e aglomerados de part´ıculas (Figuras 33c).
• Para valores elevados de B, as part´ıculas aglomeram-se em super-estruturas sim´etricas
em forma de an´eis concˆentricos lado a lado, que tornam-se maiores `a medida que a
densidade das part´ıculas crescem (Figuras 33(c) e 34(c)(d)).
Figura 33: Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa em n = 0.5 .(a) Cristaliza¸c˜ao de Wigner em B=0.
(b) Fase intermedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para B=2.0. (c)Forma¸c˜ao de linhas e
aglomerados de part´ıculas para B=2.5. (d) Forma¸c˜ao de aglomerados de part´ıculas para B=7.0.
Com o intuito de verificar se o sistema comporta-se de maneira diferente quando o
alcance do potencial repulsivo ´e reduzido, considera-se o caso em que κ
1
´e a metade de κ
2
(alcance do termo repulsivo apenas duas vezes maior que o alcance do termo atrativo).
Dessa vez, considera-se os seguinte valores de densidade: n = 0.5 (Figura 35) e n = 2.0
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 85
Figura 34: Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa em n = 1.0.(a) Cristaliza¸c˜ao de Wigner em B=0.
(b) Fase intermedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para B=2.0. (c)Forma¸c˜ao de linhas e
aglomerados de part´ıculas para B=5.0 (d) Forma¸c˜ao de aglomerados de part´ıculas para B=50.0.
(Figura 36), e novamente varia-se a intensidade relativa do p otencial de curto alcance
atrav´es do parˆametro B. Nesse caso obteve-se as seguintes estruturas:
• Para pequenos valores de B, o sistema acomoda-se ou numa estrutura de cadeias
(Figuras 35(a) e 36(a)(b)), ou numa estrutura na qual as part´ıculas agregam-se ao
longo de uma mesma dire¸c˜ao na forma de tiras separadas(Figura 35(b)).
• Para valores intermedi´arios de B, estruturas assim´etricas aparecem (Figuras 35(c)
e 36(c)).
• Quando B atinge valores maiores as part´ıculas novamente aglomeram-se em an´eis
concˆentricos (Figuras 35(d) e 36(d)).
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 86
Figura 35: Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa em n = 0.5.(a) Cristaliza¸c˜ao de Wigner em B=0. (b)
Fase intermedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para B=1.5. (c)Forma¸c˜ao de aglomerados
de part´ıculas para B=5.0 (d) Forma¸c˜ao de aglomerados de part´ıculas para B=15.0.
Um coment´ario relevante acerca das estruturas mostradas acima para as densidades
analisadas ´e que a medida que B vai crescendo as part´ıculas organizam-se em diversas
estruturas, tais como cadeias, linhas e aglomerados de part´ıculas. Quando B atinge um
valor cr´ıtico as part´ıculas, independentemente da densidade do sistema aglomeram-se ao
longo do canal na forma de an´eis concˆentricos. Isso tamb´em ´e mostrado na Figura 37,
onde a energia por part´ıcula em fun¸c˜ao de B, para diversas densidades, ´e apresentada,
considerando-se os valores de κ
1
anteriormente analisados (κ
1
= 0.05 e κ
1
= 0.5). Um
resultado interessante aqui ´e que independentemente da densidade do sistema, ao variar-
se a parte atrativa do potencial de intera¸c˜ao, observa-se um valor cr´ıtico de B, (que
aparece nos dois casos), a partir do qual as part´ıculas passam a aglomerar-se em forma de
an´eis concˆentricos. Ou seja, existe uma energia de ativa¸c˜ao bem definida para esse tipo
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 87
Figura 36: Configura¸c˜oes est´aticas do sistema em fun¸c˜ao da intensidade da parte atrativa
potencial B, mantendo-se a densidade fixa em n = 0.5.(a) Cristaliza¸c˜ao de Wigner em B=0. (b)
Fase intermedi´aria na forma de linhas de part´ıculas para B=1.5. (c)Forma¸c˜ao de aglomerados
de part´ıculas para B=5.0 (d) Forma¸c˜ao de aglomerados de part´ıculas para B=15.0.
de estrutura que depende apenas das caracter´ısticas dos termos atrativo e repulsivo do
potencial de intera¸c˜ao, e ´e independente da densidade do sistema.
3.3 Sistema quasi-unidimensional com intera¸c˜ao competitiva 88
Figura 37: Energia por part´ıcula em fun¸c˜ao de B. (a) κ
1
= 0.05. (b)κ
2
= 0.5.
89
4 Conclus˜oes e perspectivas
Neste trabalho fez-se uma abordagem de dois sistemas mesosc´opicos bidimensionais
sujeitos a um confinamento do tipo parab´olico numa das dire¸c˜oes. Em rela¸c˜ao ao primeiro
modelo, analisou-se as propriedades estruturais e dinˆamicas de um sistema bidimensional
contendo dois tipos de cargas confinadas num canal quasi-unidimensional. Considerou-
se que as intera¸c˜oes entre as part´ıculas eram do tip o coulombiana blindada (Yukawa ou
Debye-H¨uckel). Atrav´es de simula¸c˜ao computacional com dinˆamica molecular, bem como
atrav´es de c´alculos anal´ıticos, verificou-se em T = 0, a configura¸c˜ao do estado funda-
mental assim como as freq¨uˆencias dos modos normais de vibra¸c˜ao. Quanto a estrutura,
observou-se que as part´ıculas cristalizavam-se em cadeias, e o n´umero destas dependiam
da densidade linear de cargas do sistema e da raz˜ao entre estas, representadas aqui pelo
parˆametro (α). Em todos os casos, as part´ıculas com carga de maior valor tendem a
ocupar as cadeias mais externas, enquanto que as part´ıculas com carga de menor valor
permanecem nas proximidades do centro do potencial de confinamento. As estruturas em
forma de cadeias surgem da competi¸c˜ao entre a repuls˜ao eletrost´atica e o confinamento.
O n´umero de cadeias depende do valor da densidade de cargas do sistema, assim como
da raz˜ao entre elas. Foi observado tamb´em que as modifica¸c˜oes na estrutura do sistema
s˜ao caracterizadas por transi¸c˜oes de fases estruturais de primeira ou segunda ordem. As
transi¸c˜oes estruturais s˜ao todas descont´ınuas (primeira ordem), exceto a transi¸c˜ao de uma
para trˆes cadeias (no caso de α < 0.136) e a transi¸c˜ao de uma para duas cadeias (para os
outros valores de α), que s˜ao cont´ınuas (segunda ordem). Todas essas transi¸c˜oes serviram
de base para a constru¸c˜ao de um diagrama de fases (α × n
e
).
Os modos normais apresentaram caracter´ısticas intr´ınsecas que dependem dos parˆametros
α e n
e
. Foi mostrado que os modos normais de vibra¸c˜ao dependem do n´umero de part´ıculas
na c´elula unit´aria, al´em de apresentar na rela¸c˜ao de dispers˜ao, quatro tipos distintos des-
ses, a saber: modo transversal longitudinal ´otico ou ac´ustico e modo longitudinal ´otico
ou ac´ustico. Observa-se em geral que para baixas densidades, o modo transversal ´otico
4 Conclus˜oes e perspectivas 90
´e praticamente igual ao modo transversal ac´ustico, pois nesse caso a distˆancia entre as
part´ıculas ´e maior do que no caso de altas densidades, pois para baixas densidades, as
part´ıculas se encontravam mais separadas ao longo da cadeia e com isso, a intensidade da
for¸ca de repuls˜ao eletrost´atica em cada part´ıcula era pequena na dire¸c˜ao perpendicular
`a cadeia (dire¸c˜ao confinada). A intensidade dessa for¸ca resultante ´e maior `a medida que
a separa¸c˜ao entre as cargas diminui (aumento da densidade). Logo, para uma pequena
perturba¸c˜ao na p osi¸c˜ao vertical das part´ıculas, a oscila¸c˜ao era favorecida devido a for¸ca
de repuls˜ao eletrost´atica na dire¸c˜ao perpendicular `a cadeia.
Um estudo de um modelo que tamb´em descreve sistemas mesosc´opicos, nos quais
seus constituintes interagem atrav´es do potencial competitivo foi apresentado e resultados
preliminares est˜ao de acordo com v´arios trabalhos experimentais e te´oricos. Foram obtidas
uma rica variedade de configura¸c˜oes, para diferentes densidades, variando-se em cada
uma delas ap enas o parˆametro B do potencial atrativo. Verificou-se que as part´ıculas
organizavam-se em linhas, aglomerados ou em an´eis concˆentricos. Pode-se identificar
em todas as simula¸c˜oes feitas at´e aqui que para um valor cr´ıtico de B (o qual muda
dependendo da raz˜ao entre os alcances do potencial repulsivo e atrativo), o sistema passa
a formar predominantemente um aglomerado de an´eis concˆentricos (os quais denominamos
de “clusters”), ao longo do “canal”de nossa simula¸c˜ao. Em rela¸c˜ao a este sistema pretende-
se ainda analisar a transi¸c˜ao s´olido-liquido.
Al´em de representar uma contribui¸c˜ao importante para o entendimento de sistemas
mesosc´opicos infinitos, os dois sistemas discutidos nessa disserta¸c˜ao abrem a possibilidade
de uma s´erie de estudos relacionados com as suas propriedades t´ermicas.
91
AP
ˆ
ENDICE A -- Energia por part´ıcula para
diversas estruturas na forma
de cadeias
As express˜oes da energia por part´ıcula para as configura¸c˜oes geom´etricas de uma,
duas, trˆes, quatro, sete e oito cadeias s˜ao apresentadas abaixo. No caso em que a raz˜ao
entre as cargas (representado por α = q
v
/q
f
) das part´ıculas presentes no primeiro modelo
discutido nessa disserta¸c˜ao ´e maior que 1, para todas as configura¸c˜oes que seguem, as
part´ıculas de carga fixa q
f
= 1.0 s˜ao representadas pela cor preta, enquanto as part´ıculas
de carga vari´avel (q
v
) s˜ao representadas pela cor cinza. No caso em que esta raz˜ao ´e menor
que 1 as part´ıculas de carga fixa q
f
= 1.0 s˜ao representadas pela cor cinza, enquanto as
part´ıculas de carga vari´avel (q
v
) s˜ao representadas pela cor preta. Todas as distˆancias
entre part´ıculas est˜ao em termos de a
∗
, que corresponde a distˆancia entre duas part´ıculas
adjacentes.
OBS: Os c´alculos a seguir foram efetuados considerando-se α > 1.
A.1 1 Cadeia
A configura¸c˜ao de menor energia no caso da estrutura de uma cadeia (Figura 38),
ocorre quando as part´ıculas est˜ao na forma alternada. A energia por part´ıcula ´e dada
por:
Figura 38: Configura¸c˜ao de 1 cadeia.
A.1 1 Cadeia 92
E
1
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
(A.1)
onde:
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre os dois tipos de part´ıculas existente.
V
4
´e o potencial de confinamento (que para esse caso ´e nulo)
C´alculo de V
1
:
V
1
=
∞
i=1
∞
j=i+1
e
−κja
∗
ja
∗
onde a
∗
´e a distˆancia entre part´ıculas de mesma carga. O primeiro somat´orio representa
o n´umero de part´ıculas com valor de carga q
f
, ou seja, metade das part´ıculas, portanto:
V
1
=
n
e
4
∞
j=1
e
−2κj/n
e
j
onde n
e
representa a densidade (n
e
= 2/a
∗
).
C´alculo de V
2
:
V
2
= α
2
∞
i=1
∞
j=i+1
e
−κja
∗
ja
∗
Agora o primeiro somat´orio representa o n´umero de part´ıculas com valor de carga q
v
,
portanto:
V
2
= α
2
n
e
4
∞
j=1
e
−2κj/n
e
j
C´alculo de V
3
:
V
3
= α
∞
i=1
∞
j=1
e
−κ(j−0.5)a
∗
(j − 0.5)a
∗
Agora o primeiro somat´orio representa o n´umero total de part´ıculas, portanto:
V
3
= α
n
e
2
∞
j=1
e
−2κ(j−0.5)/n
e
(j − 0.5)
A.2 2 Cadeias - Caso 1 93
Substituindo os c´alculos de V
1
, V
2
e V
3
na express˜ao de E
1
, temos:
E
1
= (1 + α
2
)
n
e
4
∞
j=1
e
−2κj/n
e
j
+ α
n
e
2
∞
j=1
e
−2κ(j−0.5)/n
e
(j − 0.5)
(A.2)
A.2 2 Cadeias - Caso 1
No caso do arranjo na forma de duas cadeias-caso 1 (ver figura 39) temos:
Figura 39: Configura¸c˜ao de 2 cadeias - caso 1.
E
2
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
onde a densidade ´e dada por (n
e
= 2/a
∗
).
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
:
V
1
=
n
e
4
∞
j=1
e
−2κj/n
e
j
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
:
V
2
= α
2
n
e
4
∞
j=1
e
−2κj/n
e
j
A.3 2 Cadeias - Caso 2 94
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
:
V
3
= α
n
e
2
∞
j=1
exp[−2κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
onde c = d/a
∗
(d ´e a distˆancia entre as cadeias).
V
4
´e o potencial de confinamento:
V
4
=
c
2
n
2
e
Substituindo os c´alculos de V
1
, V
2
, V
3
e V
4
na express˜ao de E
2
, temos:
E
2I
= (1 + α
2
)
n
e
4
∞
j=1
e
−2κj/n
e
j
+ α
n
e
2
∞
j=1
exp[−2κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
+
c
2
n
2
e
(A.3)
A.3 2 Cadeias - Caso 2
No caso do arranjo na forma de duas cadeias-caso 2 (ver figura 40) temos:
E
2II
= (1 + α
2
)
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
+ (1 + α
2
)
n
e
8
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(2j − 1.5)
2
+ c
2
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 0.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(2j − 0.5)
2
+ c
2
+ α
n
e
2
∞
j=1
exp[−2κ(2j − 1)/n
e
]
(2j − 1)
+
α
n
e
4
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(2j − 1.5)
2
+ c
2
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 0.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(2j − 0.5)
2
+ c
2
+
c
2
n
2
e
(A.4)
A.4 2 Cadeias - Caso 3
No caso do arranjo na forma de duas cadeias-caso 3 (ver figura 41)temos:
A.4 2 Cadeias - Caso 3 95
Figura 40: Configura¸c˜ao de 2 cadeias - caso 2.
Figura 41: Configura¸c˜ao de 2 cadeias - caso 3.
A.5 2 Cadeias - Caso 4 96
E
2III
= (1 + α
2
)
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
+ (1 + α
2
)
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
+
α
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ(j − 0.25)/n
e
]
(j − 0.25)
+
∞
j=1
exp[−4κ(j − 0.75)/n
e
]
(j − 0.75)
+
c
2
n
2
e
α
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ c
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ c
2
+
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ c
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ c
2
+
(A.5)
A.5 2 Cadeias - Caso 4
No caso do arranjo na forma de duas cadeias(caso 4) (ver figura 42)temos:
Figura 42: Configura¸c˜ao de 2 cadeias - caso 4.
E
2IV
= (1 + α
2
)
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
+ (1 + α
2
)
n
e
4
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1)
2
+ c
2
/n
e
]
(2j − 1)
2
+ c
2
+
α
n
e
2
∞
j=1
exp[−2κ(2j − 1)/n
e
]
(2j − 1)
+
c
2
n
2
e
(A.6)
A.6 3 Cadeias - Caso 1 97
A.6 3 Cadeias - Caso 1
No caso do arranjo na forma de trˆes cadeias-caso 1 (ver figura 43)temos:
Figura 43: Configura¸c˜ao de 3 cadeias - caso 1.
E
3I
=
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
+ α
2
n
e
4
∞
j=1
e
−2κj/n
e
j
+
n
e
4
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1)
2
+ 4c
2
/n
e
]
(2j − 1)
2
+ 4c
2
+
α
n
e
2
∞
j=1
exp[−2κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(j − 0.5)
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(2j − 1.5)
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 0.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(2j − 0.5)
+
2c
2
n
2
e
(A.7)
A.7 3 Cadeias - Caso 2
No caso do arranjo na forma de trˆes cadeias(caso 2) (ver figura 44)temos:
A.8 4 Cadeias - Caso 1 98
Figura 44: Configura¸c˜ao de 3 cadeias - caso 2.
E
3II
=
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
+ α
2
n
e
4
∞
j=1
e
−2κj/n
e
j
+
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
j
2
+ c
2
/n
e
]
j
2
+ c
2
+
n
e
16
exp[−4κc/n
e
]
c
+ α
n
e
2
∞
j=1
exp[−2κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(j − 0.5)
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(2j − 1.5)
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 0.5)
2
+ c
2
/n
e
]
(2j − 0.5)
+
2c
2
n
2
e
(A.8)
A.8 4 Cadeias - Caso 1
Aqui as part´ıculas n˜ao alinham-se verticalmente (ver figura 45)
a energia por part´ıcula ´e dada por:
E
4I
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
+ V
5
+ V
6
+ V
7
onde a densidade ´e dada por (n
e
= 4/a
∗
).
A.8 4 Cadeias - Caso 1 99
Figura 45: Configura¸c˜ao de 4 cadeias-caso 1.
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
na mesma cadeia:
V
1
=
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
na mesma cadeia:
V
2
= α
2
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
em cadeias dife-
rentes:
A.8 4 Cadeias - Caso 1 100
V
3
=
n
e
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
onde c
1
= d
1
/a
∗
e c
3
= d
3
/a
∗
.
V
4
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
em cadeias dife-
rentes:
V
4
= α
2
n
e
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
onde c
2
= d
2
/a
∗
e c
4
= d
4
/a
∗
.
V
5
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
em cadeias
diferentes e n˜ao alinhados na vertical:
V
5
= α
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
V
6
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
em cadeias
diferentes e n˜ao alinhados na vertical:
V
6
= α
n
e
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
A.9 4 Cadeias - Caso 2 101
V
7
´e o potencial de confinamento:
V
7
=
4
n
2
e
(2c
2
1
+ 2c
1
c
2
+ c
2
+ 2c
2
3
+ 2c
3
c
4
+ c
2
4
)
Substituindo os c´alculos de V
1
, V
2
, V
3
, V
4
, V
5
, V
6
e V
7
na express˜ao de E
4I
, temos:
E
4I
= (1 + α
2
)
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
+
n
e
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
+
n
e
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
+
α
2
n
e
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
α
2
n
e
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
α
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
n
e
8
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
+
α
n
e
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
+
4
n
2
e
(2c
2
1
+ 2c
1
c
2
+ c
2
+ 2c
2
3
+ 2c
3
c
4
+ c
2
4
)
(A.9)
A.9 4 Cadeias - Caso 2
Aqui as part´ıculas alinham-se verticalmente (ver figura 46):
A.9 4 Cadeias - Caso 2 102
Figura 46: Configura¸c˜ao de 4 cadeias-caso 2.
a energia por part´ıcula ´e dada por:
E
4II
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
+ V
5
+ V
6
+ V
7
onde a densidade ´e dada por (n
e
= 4/a
∗
).
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
na mesma cadeia:
V
1
=
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
na mesma cadeia:
V
2
= α
2
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
em cadeias dife-
rentes:
A.9 4 Cadeias - Caso 2 103
V
3
=
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
onde c
1
= d
1
/a
∗
e c
2
= d
2
/a
∗
.
V
4
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
em cadeias dife-
rentes:
V
4
= α
2
n
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
V
5
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
em cadeias
diferentes e na mesma vertica:
V
5
= α
n
e
4
∞
j=1
exp[−4κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
e
8
exp[−4κ(c
1
+ c
2
)/n
e
]
(c
1
+ c
2
)
V
6
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
em cadeias
diferentes e n˜ao alinhados na vertical:
V
6
= α
n
e
4
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
onde c
1
= d
1
/a
∗
e c
2
= d
2
/a
∗
.
V
7
´e o potencial de confinamento:
V
7
=
2
n
2
e
(2c
2
1
+ 4c
1
c
2
+ 4c
2
2
)
Substituindo os c´alculos de V
1
, V
2
, V
3
, V
4
, V
5
, V
6
e V
7
na express˜ao de E
4II
, temos:
A.10 4 Cadeias - Caso 3 104
E
4II
= (1 + α
2
)
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
+
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
+
α
2
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
n
e
4
∞
j=1
exp[−4κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
e
8
exp[−4κ(c
1
+ c
2
)/n
e
]
(c
1
+ c
2
)
+
α
n
e
4
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
2
n
2
e
(2c
2
1
+ 4c
1
c
2
+ 4c
2
2
)
(A.10)
A.10 4 Cadeias - Caso 3
No caso do arranjo na forma de quatro cadeias-caso 3 (ver figura 47)temos:
Figura 47: Configura¸c˜ao de 4 cadeias - caso 3.
A.11 7 Cadeias - Caso 1 105
E
4III
= (1 + α
2
)
n
e
8
∞
j=1
e
−4κj/n
e
j
+
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
+
α
2
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ c
2
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ c
2
2
+
α
n
e
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
n
e
8
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
+
2
n
2
e
(2c
2
1
+ 4c
1
c
2
+ 4c
2
)
(A.11)
A.11 7 Cadeias - Caso 1
Para a estrutura de sete cadeias (ver figura 48), temos:
Figura 48: Configura¸c˜ao de 7 cadeias - caso 1.
A.11 7 Cadeias - Caso 1 106
a energia por part´ıcula ´e dado por:
E
7
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
+ V
5
+ V
6
+ V
7
+ V
8
+ V
9
+ V
10
+ V
11
+ V
12
+ V
13
+ V
14
(A.12)
onde:
(n
e
= 8/a
∗
)
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
na mesma cadeia:
V
1
=
n
e
16
∞
j=1
e
−8κj/n
e
j
+
n
e
64
∞
j=1
e
−8κ(j−2/3)/n
e
j − 2/3
+
n
e
128
∞
j=1
e
−8κ(j−1/3)/n
e
j − 1/3
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
na mesma cadeia.
V
2
= α
2
n
e
16
∞
j=1
e
−8κj/n
e
j
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
em cadeias dife-
rentes.
V
3
=
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/3)
2
+ c
2
1
/n
e
]
(j − 1/3)
2
+ c
2
1
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 2/3)
2
+ c
2
1
/n
e
]
(j − 2/3)
2
+ c
2
1
V
4
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
em cadeias dife-
rentes.
V
4
= α
2
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
V
5
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
em cadeias dife-
rentes.
V
5
= α
2
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
A.11 7 Cadeias - Caso 1 107
V
6
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
em cadeias dife-
rentes.
V
6
=
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4c
2
1
/n
e
]
j
2
+ 4c
2
1
+
n
e
128
exp[−16κc
1
/n
e
]
c
1
V
7
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
v
em cadeias dife-
rentes.
V
7
= α
2
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
+
α
2
n
e
64
exp[−16κ(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
2(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−16κ(c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
2(c
1
+ c
2
)
2
V
8
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
.
V
8
= α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
n
e
32
exp[−8κ(c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(c
2
+ c
3
)
2
V
9
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
.
V
9
= α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
V
10
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
.
V
10
= α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 1/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 2/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 2/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
A.11 7 Cadeias - Caso 1 108
V
11
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
.
V
11
= α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 1/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 5/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 5/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
V
12
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
.
V
12
= α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
j
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
n
e
32
exp[−8κ(2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
V
13
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com valor de carga q
f
e q
v
.
V
13
= α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ c
2
)
2
V
14
´e o potencial de confinamento.
V
14
=
16
n
2
e
c
2
1
+ (c
1
+ c
2
)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
onde c
1
= d
1
/a
∗
, c
2
= d
2
/a
∗
, c
3
= d
3
/a
∗
e c
4
= d
4
/a
∗
. Substituindo os c´alculos de V
1
,
V
2
, V
3
, V
4
, V
5
, V
6
, V
7
, V
8
, V
9
, V
10
, V
11
, V
12
, V
13
e V
14
na express˜ao de E
7
, temos:
A.12 7 Cadeias - Caso 2 109
E
7I
=
n
e
16
∞
j=1
e
−8κj/n
e
j
+
n
e
64
∞
j=1
e
−8κ(j−2/3)/n
e
j − 2/3
+ α
2
n
e
16
∞
j=1
e
−8κj/n
e
j
+
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/3)
2
+ c
2
1
/n
e
]
(j − 1/3)
2
+ c
2
1
+ α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
α
2
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
+
n
e
128
∞
j=1
e
−8κ(j−1/3)/n
e
j − 1/3
+
α
2
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
n
e
128
exp[−16κc
1
/n
e
]
c
1
+
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4c
2
1
/n
e
]
j
2
+ 4c
2
1
+
16
n
2
e
c
2
1
+ (c
1
+ c
2
)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
+
α
2
n
e
64
exp[−16κ(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
2(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−16κ(c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
2(c
1
+ c
2
)
2
+
α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
n
e
32
exp[−8κ(c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 1/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 2/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 2/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 1/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 5/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 5/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 2/3)
2
+ c
2
1
/n
e
]
(j − 2/3)
2
+ c
2
1
+
α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
j
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
n
e
32
exp[−8κ(2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ c
2
)
2
(A.13)
A.12 7 Cadeias - Caso 2
Para a estrutura de sete cadeias-caso2(ver figura 49), temos:
A.12 7 Cadeias - Caso 2 110
Figura 49: Configura¸c˜ao de 7 cadeias - caso 2.
E
7II
=
n
e
16
∞
j=1
e
−8κj/n
e
j
+
n
e
32
∞
j=1
e
−8κ(j−2/3)/n
e
j − 2/3
+ α
2
n
e
16
∞
j=1
e
−8κj/n
e
j
+
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ c
2
1
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ c
2
1
+
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ c
2
1
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ c
2
1
+
α
2
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
+
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ 4c
2
1
/n
e
]
(j − 0.5)
2
+ 4c
2
1
+
α
2
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+ α
2
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
e
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
e
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
(A.14)
A.12 7 Cadeias - Caso 2 111
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 0.25)
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
+
α
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.125)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.125)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.875)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.875)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.375)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.375)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.625)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.625)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.375)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 0.375)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.625)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 0.625)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.375)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.375)
2
+ c
2
2
+ α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.625)
2
+ c
2
2
/n
e
]
(j − 0.625)
2
+ c
2
2
+
α
n
e
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.625)
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.625)
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
α
n
e
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.375)
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
e
]
(j − 0.375)
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
/n
e
]
(j − 0.75)
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
+
16
n
2
e
c
2
1
+ (c
1
+ c
2
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2
+ (c
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+ c
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