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Carlos Alex Souza da Silva
Campos tensoriais anti-sim´etricos de
mat´eria em espa¸cos curvos
Fortaleza
16 de Julho de 2007
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Carlos Alex Souza da Silva
Campos tensoriais anti-sim´etricos de
mat´eria em espa¸cos curvos
Disserta¸c˜ao submetida `a Coordena¸c˜ao do
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica, da Uni-
versidade Federal do Cear´a, como requisito
parcial para a obten¸c˜ao do grau de Mes-
tre em F´ısica
Orientador:
Ricardo Renan Landim de Carvalho
universidade federal d o ceara - Departamento de F
´
ısica
Fortaleza
16 de Julho de 2007
ads:
Carlos Alex Souza da Silva
Campos tensoriais anti-sim´etricos de
mat´eria em espa¸cos curvos
Disserta¸c˜ao submetida `a Coordena¸c˜ao do
Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica, da Uni-
versidade Federal do Cear´a, como requisito
parcial para a obten¸c˜ao do grau de Mes-
tre em F´ısica
Aprovada em 16 de Julho de 2007
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Ricardo Renan Landin de Carvalho
(Orientador)
Universidade Federal do Cear´a
Prof. Dr.Carlos Alberto dos Santos Almeida
Universidade Federal do Cear´a
Prof. Dr. Dion´ısio Bazeia Filho
Universidade Federal da Para´ıba
`
A mem´oria de Jo˜ao
Muritiba
Agradecimentos
Foram muitas as pessoas que me apoiaram de forma direta ou indireta no desenvolvi-
mento desse trabalho. Por isso tentarei fazer meus agradecimentos da forma mais geral
poss´ıvel para que n˜ao cometa nenhuma injus ti¸ca.
A Deus.
`
A minha fam´ılia, a qual amo muito.
Aos irm˜aos da Igreja Batista de Nova Metr´opole.
`
A Funda¸c˜ao Cearence de Apoio ao Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico-
FUNCAP pelo suporte financeiro, que tornou poss´ıvel a realiza¸c˜ao deste tra-
balho.
Ao Professor Ricardo Renan Landim de Carvalho por ter me orientado neste
trabalho.
Ao Professor Carlos Albe rto dos Santos Almeida, por seus conselhos e incen-
tivos.
Aos colegas e professores do curso de p´os-gradua¸c˜ao pelo apoio e fraternidade.
Aos colegas de gradua¸c˜ao e professores da UECE.
Aos funcion´arios do Departamento de F´ısica da UFC, que sempre est˜ao pron-
tos a nos ajudar.
Resumo
´
E feita uma an´alise da teoria de Avdeev-Chizhov para os campos tensoriais anti-
sim´etricos de mat´eria em um espa¸co-tempo curvo. Mostra-se que em um cen´ario desse
tipo, assim como no espa¸co de Minkowski, a teoria de Avdeev-Chizhov pode ser formulada
como uma teoria do tipo λϕ
4
para um campo ”auto-dual complexo”. Verifica-se que isto
simplifica em muito o estudo dos campos de mat´eria em um espa¸co-tempo com curvatura.
Calculamos o tensor momentum-energia e, no final, resolvemos as equa¸c˜oes de Einstein
para o campo de mat´eria em um espa¸co-tempo do tipo Schwarzschild.
Abstract
An analysis about the antisymmetric tensor matter fields Avdeev-Chizhov theory in
a curved spacetime is performed. We show, in a curved spacetime , that the Avdeev-
Chizhov theory can be seen as a kind of a λϕ
4
theory for a ”complex self-dual”field. This
relationship between Avdeev-Chizhov theory and λϕ
4
theory simplify the study of tensor
matter fields in a curved space-time. The energy-momentum tensor for matter fields
is computed, and we solve the Einstein’s equations for matter fields in a Schwarzschild
metric
Sum´ario
INTRODUC¸
˜
AO p. 11
1 CAMPOS TENSORIAIS ANTI-SIM
´
ETRICOS p. 13
1.1 O campo tensorial de gauge abeliano no espa¸co-tempo de Minkowski . p. 14
1.2 O campo tensorial de mat´eria no espa¸co-tempo de Minkowski . . . . . p. 15
1.2.1 O modelo de Avdeev-Chizhov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15
1.3 An´alise cl´assica do hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17
1.4 Interpreta¸c˜ao geom´etrica do campo tensorial de mat´eria . . . . . . . . . p. 20
1.4.1 O campo tensorial auto-dual complexo no espa¸co-tempo de Min-
kowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
1.4.2 Construindo uma a¸c˜ao para o campo auto-dual complexo . . . . p. 22
1.4.3 Acoplamento do c ampo auto-dual complexo com f´ermions de Dirac p. 24
1.4.4 O modelo tensorial de mat´eria como uma teoria λϕ
4
. . . . . . . p. 25
2 ELEMENTOS DE RELAT IVIDADE GERAL p. 28
2.1 Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
2.1.1 Transforma¸c˜ao de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
2.1.2 Vetores contravariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
2.1.3 Invariantes.Vetores covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
2.1.4 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30
2.1.5 Tensor de m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30
2.1.6 S´ımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
2.1.7 Diferencia¸c˜ao covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32
2.1.8 Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34
2.2 O tensor de curvatura de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35
2.2.1 O tensor e o escalar de Ricci; o tensor de Einstein . . . . . . . . p. 36
2.3 O princ´ıpio da equivalˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37
2.4 O princ´ıpio da covariˆancia geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38
2.5 As equa¸c˜oes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40
2.5.1 Deriva¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40
2.5.2 Propriedades das equa¸c˜oes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . p. 43
2.5.3 Condi¸c˜oes de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44
2.6 A m´etrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45
3 CAMPOS TENSORIAIS DE MAT
´
ERIA EM ESPAC¸ OS CURVOS p. 49
3.1 Condi¸c˜ao de auto-dualidade complexa em espa¸cos curvos . . . . . . . . p. 50
3.2 O modelo tensorial de mat´eria como uma teoria λϕ
4
em espa¸cos curvos p. 51
3.3 Tensor momentum-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54
3.4 Campos tensoriais de mat´eria em um espa¸co-tempo do tipo Schwarzschild p. 56
3.4.1 Construindo um cen´ario esfericamente sim´etrico . . . . . . . . . p. 56
3.4.2 Construindo um cen´ario est´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58
3.4.3 Tensor momentum-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60
3.4.4 Resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein para os campos de mat´eria . p. 61
CONCLUS
˜
AO p. 64
Apˆendice A -- Matrizes e espinores de Dirac p. 65
A.1 Matrizes e espinores de Dirac no espa¸co de Minkowski . . . . . . . . . . p. 65
A.2 Es pinores em es pa¸cos-tempo curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66
A.2.1 Tetradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67
A.2.2 Espinores de Dirac em espa¸cos curvos . . . . . . . . . . . . . . . p. 68
Apˆendice B -- Campos tensoriais anti-sim´etricos com simetria esf´erica p. 69
B.1 Rota¸c˜oes infinitesimais de uma esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69
B.2 Campos tensoriais anti-sim´etricos com simetria esf´erica . . . . . . . . . p. 70
B.3 A polariza¸c˜ao do campo T
µν
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73
Referˆencias p. 75
Trabalhos publicados e em prepara¸c˜ao referentes `a disserta¸c˜ao
Para facilitarmos a compreen¸c˜ao dos resultados obtidos, os quais deram origem a esta
disserta¸c˜ao, segue a lista dos trabalhos publicados e em prepara¸c˜ao:
C.A.S.Silva and R.R. Landim, ”Antisymmetric Tensor Matter Fields in a Cur-
ved Space-time” hep-th /0710.0679.
C.A.S.Silva and R.R. Landim, ”Antissymetric Tensor Matter Fields in a Schwarzs-
child Space-time”(em prepara¸c˜ao).
11
INTRODUC¸
˜
AO
Surgindo primeiramente como campos de gauge (1), os campos tensoriais anti-sim´etricos
tˆem sido objeto de estudos ao longo dos anos . Eles aparecem em teorias de sup ergravi-
dade em v´arias dimens˜oes (2) e na teoria de campos efetiva de baixas energias, derivadas
das cordas relativ´ısticas (3), al´em de terem um importante papel na constru¸c˜ao de teorias
topol´ogicas (4–7), como os modelos BF. Os campos tensoriais anti-sim´etricos encontram
espa¸co, tamb´em, no estudo de teorias do tipo conforme (8), onde novamente podemos
citar a supergravidade(9). Estes, entretanto, possuem invariˆancia conforme e por isso
n˜ao podem ser vistos como campos de gauge. Assim, devemos trat´a-los como c ampos de
mat´eria.
Em 1994, L.V. Avdeev e M.V. Chizhov (10) propuseram um modelo simples para
campos tensoriais anti-sim´etricos de mat´eria de segunda ordem no espa¸co tempo de Min-
kowski. O trabalho de Avdeev e Chizhov (10) abriu o caminho para novas investiga¸c˜oes a
respeito dos campos tensoriais anti-sim´etricos, j´a que mostrou a possibilidade de criarmos
uma teoria de campos tensoriais que n˜ao sejam de gauge. Em 1996, V. Lemes, R.R. Lan-
dim e S.P. Sorella (11) mostraram que a teoria de Avdeev-Chizhov pode ser vista como
uma teoria do tipo λϕ
4
para um campo tensorial anti-sim´etrico complexo ϕ
µν
, satisfazendo
uma condi¸c˜ao de autodualidade complexa (ϕ
µν
= i
ϕ
µν
), onde
ϕ
µν
=
1
2
ε
µναβ
ϕ
αβ
e ε
µναβ
´e
o tensor de Levi-Civita. Esta condi¸c˜ao fixa univocamente as contra¸c˜oes de Lorentz para o
tensor na lagrangeana ϕ
4
, reproduzindo deste modo a a¸c˜ao de Avdeev-Chizhov (10). Isto
possibilitou, de forma bastante simples, a generaliza¸c˜ao da teoria para o caso n˜ao-abeliano
(11).
O objetivo do nosso trabalho consiste em investigar a rela¸c˜ao entre a teoria de Avdeev-
Chizhov e λϕ
4
em um espa¸co-tempo quadridimensional (3 + 1) curvo. Dessa forma, testa-
remos, primeiramente a validade da condi¸c˜ao de autodualidade complexa em um espa¸co-
tempo com curvatura e , ap´os, verificaremos se a a¸c˜ao para o campo complexo reproduz,
neste contexto, a a¸c˜ao de Avdeev-Chizhov. Como veremos, teremos uma resp osta posi-
tiva para as indaga¸c˜oes acima, e como resultado disto, conseguiremos, de forma bastante
simples, generalizar a teoria de Avdeev-Chizhov para espa¸cos-tempo com curvatura.
A disserta¸c˜ao ´e organizada como segue. No primeiro cap´ıtulo faremos uma revis˜ao
12
sobre as propriedades dos campos tensoriais anti-sim´etricos e dos asp´ectos cl´assicos do
modelo tensorial de mat´eria, incluindo as suas propriedades geom´etricas. No segundo
cap´ıtulo, faremos uma breve revis˜ao de alguns t´opicos de Relatividade Geral que ser˜ao
necess´arios para o desenvolvimento da teoria em espa¸cos curvos. No terceiro cap´ıtulo,
investigaremos a rela¸c˜ao entre Avdeev-Chizhov e λϕ
4
em espa¸cos com curvatura, calcula-
remos o tensor momentum-energia para o campo de mat´eria e, no final, como um exemplo
da teoria, resolveremos as equa¸c˜oes de Einstein para o mesmo campo em um espa¸co-tempo
do tipo Schwarzschild. A disserta¸c˜ao poss ui ainda dois apˆendices. O primeiro apresenta
uma breve revis˜ao sobre espinores de Dirac em espa¸cos curvos e o segundo uma revis˜ao
sobre campos tensoriais anti-sim´etricos com simetria esf´erica.
13
1 CAMPOS TENSORIAIS
ANTI-SIM
´
ETRICOS
Os campos tensoriais anti-sim´etricos foram introduzidos na literatura em 1968 por
V. I. Ogievetsky e I. V. Polubarinov (1), e e ncontraram grande utiliza¸c˜ao em teorias de
supergravidade (3, 12). Mais recentemente os campos tensoriais foram estudados sob o
ponto de vista topol´ogico, sendo obtidos invariantes topol´ogicos que generalizam o n´umero
de lincagem tridimensional (5). Outros resultados interessantes s˜ao o da gera¸c˜ao de massa
topol´ogica para os campos de gauge abelianos sem o mecanismo de Higgs (13), e de que
os campos tensorias n˜ao-abelianos possuem uma estrutura sup ersim´e trica (14). Entre-
tanto estes campos possuem uma particularidade: s˜ao campos de gauge. Se for dada uma
dinˆamica para estes campos, o propagador n˜ao ´e definido, isto ´e possuem modos zeros,
e ´e necess´ario usar uma fixa¸c˜ao de gauge da mesma maneira que se faz para a teoria de
Yang-Mills, p or exemplo.
Em 1994 L. V. Avdeev e M. V. Chizhov apresentaram um modelo de teoria de campo
abeliano de gauge, formulado no espa¸co-tempo de Minkowski, o qual apresentava simetria
conforme, de forma que, os campos tensoriais anti-sim´etricos descritos por ela, deveriam
ser vistos, agora, como campos de mat´eria e n˜ao como campos de gauge. Uma das im-
portantes propriedades apresentada por este modelo ´e que a constante de acoplamento
de calibre adquire liberdade assint´otica, isto ´e sua fun¸c˜ao β ´e negativa, resultado at´e
ent˜ao desconhecido para teorias abelianas (15). Esta relevante propriedade motivou in-
vestiga¸c˜oes posteriores(11).
Este cap´ıtulo ´e dividido como segue. Na primeira se¸c˜ao faremos uma exposi¸c˜ao a
n´ıvel cl´assico sobre o campo tensorial de gauge abeliano livre em quatro dimens˜oes. Na
segunda se¸c˜ao faremos um resumo dos resultados obtidos por L. V. Avdeev e M. V.
Chizhov sobre o campo tensorial de mat´eria. Na se¸c˜ao seguinte introduziremos o campo
auto-dual complexo, e construimos, posteriormente, uma a¸c˜ao para o mesmo, acoplando-o
ao campo de gauge A
µ
e aos f´ermions de Dirac. Finalizando, reproduziremos, na ´ultima
se¸c˜ao, o resultado obtido em (11) de que o modelo do campo tensorial de mat´eria pode
14
ser visto como uma teoria do tipo λϕ
4
para um campo anti-sim´etrico auto-dual complexo
no espa¸co-tempo de Minkowski.
1.1 O campo tensorial de gauge abeliano no espa¸co-
tempo de Minkowski
O ponto de partida na constru¸c˜ao da a¸c˜ao livre do campo tensorial de gauge abeliano
no espa¸co-tempo de Minkowski ´e fazer uma analogia com a a¸c˜ao do campo de gauge
abeliano A
µ
. O campo A
µ
´e substituido por um campo anti-sim´etrico de segundo rank
B
µν
e a curvatura F
µν
= ∂
µ
A
ν
−∂
ν
A
µ
´e extendida `a uma curvatura completamente anti-
sim´etrica de trˆes ´ındices H
µνσ
= ∂
[µ
B
νσ]
. Usando o fato de que ∂
µ
∂
ν
= ∂
ν
∂
µ
, podemos
generalizar a simetria de gauge do campo A
µ
ao campo B
µν
:
δB
µν
= ∂
µ
Λ
ν
− ∂
ν
Λ
µ
, (1.1)
onde Λ
µ
´e um parˆametro vetorial local. A a¸c˜ao do campo B
µν
renormaliz´avel por power-
counting
1
e invariante sob a transforma¸c˜ao de gauge 1.1 ´e dada por (13):
S
B
=
d
4
x
1
6
H
µνσ
H
µνσ
, (1.2)
que ´e a generaliza¸c˜ao do termo de Maxwell.
Em contrapartida a a¸c˜ao do campo de gauge A
µ
, que descreve dois graus de liberdade
f´ısicos, a a¸c˜ao 1.2 descreve apenas um grau de liberdade (13). Para vermos isso, notemos
que H
µνσ
tem (
4
3
) = 4 componentes independentes. Como consequˆencia podemos escrever
H
µνσ
em termos de um vetor quadrimensional h
ρ
H
µνρ
= ε
µνρσ
h
σ
, (1.3)
onde ε
µνσρ
´e o tensor de Levi-Civita. Como H
µνσ
= ∂
[µ
B
νσ]
, obtemos para o campo h
µ
:
h
σ
= −
1
6
ε
µνρσ
∂
[µ
B
νρ]
, (1.4)
onde usamos o fato de que ε
µνρσ
ε
µνρα
= −6δ
σ
α
.
2
Tomando a divergˆencia de h
σ
na equa¸c˜ao
1
Um modelo ´e renormaliz´avel por power-counting se as constantes de acoplamento possuem dimens˜oes
de massa n˜ao negativa, limitada p e la dimens˜ao do espa¸co-tempo.
2
No apˆendice A expomos as nota¸c˜oes, conven¸c˜oes e todas as identidades usadas no decorrer da dis-
serta¸c˜ao.
15
1.4, temos ∂
σ
h
σ
= 0. Por outro lado, a equa¸c˜ao de movimento do campo B
µν
∂
σ
H
µνσ
= ε
µνσρ
∂
σ
h
ρ
= 0, (1.5)
nos diz que, devido ao teorema de Poincar´e, o campo h
µ
pode ser escrito como h
µ
= ∂
µ
φ, e
como h
µ
tem dive rgˆencia nula, isto implica que ∂
2
φ = 0. Isto mostra que a a¸c˜ao do campo
de gauge tensorial livre 1.2, descreve part´ıculas sem massa e com um grau de liberdade
dado pelo campo escalar φ.
No caso geral, sendo B um campo anti-sim´etrico de rank P em D-dimens˜oes, o n´umero
de graus de liberdade para o caso livre ´e dado por
D−2
P
. Por exemplo para P = 1 e
D = 4 (que corresponde ao campo A
µ
) temos (
2
1
) = 2 graus de liberdade. No caso em
que o campo B interage com outros campos, este n˜ao p ossui mais somente um grau de
liberdade. Devido aos termos de acoplamentos o campo B passa a ter trˆes graus de
liberdade (13). Citamos, por exemplo, o acoplamento do campo B
µν
com o tensor de
curvatura de gauge F
µν
sem o termo cin´etico, isto ´e
d
4
xε
µνρσ
B
µν
F
ρσ
. (1.6)
Esta a¸c˜ao, conhecida como teoria BF , possui propriedades topol´ogicas e foi ampla-
mente estudadas nos ´ultimos anos (4, 14).
1.2 O campo tensorial de mat´eria no espa¸co-tempo
de Minkowski
1.2.1 O modelo de Avdeev-Chizhov
O modelo originariamente proposto por Avdeev-Chizhov (10) consiste de um campo
tensorial anti-sim´etrico de segundo rank acoplado ao campo de gauge abeliano axial A
µ
e a
campos espinoriais de Dirac, sendo um acoplamento do tipo Yukawa com estes espinores.
A a¸c˜ao total do modelo ´e dada por (10)
S
inv
=
d
4
x
1
4g
2
F
µν
F
µν
+ i
¯
ψγ
µ
∂
µ
ψ −
¯
ψγ
µ
γ
5
A
µ
ψ +
1
2
(∂
λ
T
µν
)
2
− 2(∂
µ
T
µν
)
2
+ 4A
µ
T
µν
∂
λ
T
λν
−
T
µν
∂
λ
T
λν
+ 4
1
2
(A
λ
T
µν
)
2
− 2(A
µ
T
µν
)
2
+ y
¯
ψσ
µν
T
µν
ψ +
q
4
1
2
(T
µν
T
µν
)
2
− 2T
µν
T
νρ
T
ρλ
T
λµ
(1.7)
16
onde (g, y, q) s˜ao constantes de acoplamentos e T
µν
= −T
νµ
´e um tensor de segundo rank
anti-sim´etrico. Observa-se que o acoplamento dos espinores com o camp o A
µ
´e do tipo
quiral devido a presen¸ca da matriz γ
5
. Temos ainda a presen¸ca do tensor de Levi-Civita
num dos termos de acoplamento de A com T . O tensor dual
T
µν
´e definido como
T
µν
=
1
2
µνρσ
T
ρσ
, (1.8)
1
2
µνρσ
T
ρσ
= −T
µν
.
N´os usamos a m´etrica do espa¸co-tempo de Minkowski com η
µν
= diag(+ − −−) e deno-
tamos σ
µν
=
i
2
[γ
µ
, γ
ν
]. A a¸c˜ao 1.7 ´e deixada invariante pelas transforma¸c˜oes de gauge
(10)
δA
µ
= ∂
µ
ω , (1.9)
δψ = −iωγ
5
ψ ,
δ
¯
ψ = −iω
¯
ψγ
5
,
δT
µν
= −2ω
T
µν
,
e pelas transforma¸c˜oes discretas de paridade PP e de conjuga¸c˜ao de carga CC (16):
i) Paridade PP
x → x
p
= (x
0
, −x
i
) , i = 1, 2, 3 (1.10)
ψ → ψ
p
= γ
0
ψ
A
0
→ A
p
0
= −A
0
, A
i
→ A
p
i
= A
i
T
0i
→ T
p
0i
= −T
0i
, T
ij
→ T
p
ij
= T
ij
.
ii) Conjuga¸c˜ao de carga CC
ψ → ψ
c
= C
¯
ψ
T
, C = iγ
0
γ
2
, (1.11)
A
µ
→ A
c
µ
= A
µ
,
T
µν
→ T
c
µν
= −T
µν
.
Note que as transforma¸c˜oes de paridade dos campos s˜ao do tipo axial devido a presen¸ca
do tensor ε e da matriz γ
5
.
17
O termo cin´etico do campo tensorial T
µν
n˜ao ´e degenerado, pois o propagador T
µν
(−p) T
αβ
(p)
pode ser facilmente calculado e n˜ao requer a introdu¸c˜ao de termos apropriados de fixa¸c˜ao
de calibre para T
µν
:
T
µν
(−p) T
αβ
(p) =
i
p
2
Π
µν αβ
(p),
Π
µν αβ
(p) =
1
2
(g
µα
g
νβ
− g
µβ
g
να
)
−
g
µα
p
ν
p
β
+ g
νβ
p
µ
p
α
− g
µβ
p
ν
p
α
− g
να
p
µ
p
β
p
2
,
Π
µν ρσ
(p) Π
ρσ αβ
(p) =
1
2
(g
µα
g
νβ
− g
µβ
g
να
) .
Esta propriedade mostra que o campo anti-sim´etrico T
µν
da a¸c˜ao de Avdeev-Chizhov
1.7, ´e realmente um campo tensorial de mat´eria. Observando a forma do propagador,
conclui-se que o campo T
µν
tem dimens˜ao ultra-violeta 1. Dispomos na tabela abaixo as
dimens˜oes dos campos e das constantes de acoplamentos do modelo:
A
µ
ψ T
µν
g y q
dim 1 3/2 1 0 0 0
Tabe la 1: Dimens˜ao dos campos e das constantes de acoplamento
Como podemos ver da tabela acima o modelo ´e renormaliz´avel por power-counting.
1.3 An´alise cl´assica do hamiltoniano
Nesta se¸c˜ao faremos um resumo sobre a positividade do hamiltoniano livre do modelo
do campo tensorial de mat´eria, proposto por Avdeev-Chizhov (10), a n´ıvel cl´assico. O
hamiltoniano da parte livre da a¸c˜ao 1.7 ´e dado por:
H =
d
4
x
(∂
0
A)
2
− (∂
i
A)
2
+ 2(∂
i
A
i
)
2
+ (A → B)
, (1.12)
onde o tensor T
µν
foi decomposto em um vetor tridimensional A
i
= T
0i
e um pseudo-
vetor B
i
=
1
2
ε
ijk
T
jk
. Para tornar mais expl´ıcita as partes transversais e longitudinais
que contribuir˜ao para o hamiltoniano, ´e conveniente usar a representa¸c˜ao de momentum.
Fazemos ent˜ao uma transformada de Fourier nas componentes A
i
e B
i
do campo tensorial
T
µν
:
A(x) =
d
4
xe
ikx
A(k), B(x) =
d
4
xe
ikx
B(k). (1.13)
18
Escolhemos um sistema de referˆencia mutuamente ortogonal e
i
, onde o versor e
3
´e tomado
na dire¸c˜ao longitudinal, e
3
= k/|k|. Neste sistema espec´ıfico de coordenadas A(k) =
a
i
(k)e
i
, e B(k) =b
i
(k)e
i
. Usando esta decomposi¸c˜ao a parte livre da a¸c˜ao 1.7 fica:
S = 2π
d
4
k
2
i=1
a
∗
i
(k)(k
2
0
+ k
2
)a
i
(k) + b
∗
i
(k)(k
2
0
+ k
2
)b
i
(k)
+2k
0
|k|[a
∗
1
(k)b
2
(k) + b
∗
2
(k)a
1
(k) − a
∗
2
(k)b
1
(k) − b
∗
1
(k)a
2
(k)]
+a
∗
3
(k)(k
2
0
− k
2
)a
3
(k) + b
∗
3
(k)(k
2
0
− k
2
)b
3
(k)
. (1.14)
Fazendo as seguintes transforma¸c˜oes nas amplitudes a
i
e b
i
a
1
(k) =
1
√
2
[c
1
(k) + d
2
(k)], a
2
(k) =
1
√
2
[c
2
(k) + d
1
(k)], a
3
(k) = c
3
(k);
b
1
(k) =
1
√
2
[d
1
(k) − c
2
(k)], b
2
(k) =
1
√
2
[d
2
(k) − c
1
(k)], b
3
(k) = d
3
(k) ,
obtemos uma express˜ao diagonalizada de 1.14:
S = 2π
d
4
k
c
∗
1
(k)(k
0
− |k|)
2
c
1
(k) + c
∗
2
(k)(k
0
+ |k|)
2
c
2
(k)
+c
∗
3
(k)(k
0
− |k|)(k
0
+ |k|)c
3
(k)(c → d)
. (1.15)
A varia¸c˜ao da a¸c˜ao 1.15 nos leva as seguintes equa¸c˜oes de movimento para os coeficientes
(c
i
, d
i
)
(k
0
− |k|)
2
c
1
(k
0
, k) = 0, (k
0
+ |k|)
2
c
2
(k
0
, k) = 0,
(k
0
− |k|)(k
0
+ |k|) c
3
(k
0
, k) = 0, (1.16)
com mesmas solu¸c˜oes para d
i
(k). As solu¸c˜oes mais gerais de 1.16 s˜ao
c
1
(k
0
, k) = δ(k
0
− |k|) c
1
(k) + δ
(k
0
− |k|)
c
1
(k),
c
2
(k
0
, k) = δ(k
0
+ |k|) c
2
(k) + δ
(k
0
+ |k|)
c
2
(k),
c
3
(k
0
, k) = δ(k
0
− |k|) c
3
(k) + δ(k
0
+ |k|) c
3
(k), (1.17)
onde a derivada da fun¸c˜ao delta que aparece em 1.17 ´e com respeito a k
0
. Os coeficientes de
1.17 n˜ao s˜ao todos independentes, devido a restri¸c˜ao dos campos A(x) e B(x) serem reais.
Pode-se mostrar que ¯c
3
e
¯
d
3
e todas as amplitudes com ´ındices 2 n˜ao s˜ao independentes.
´
E importante analisarmos detalhadamente as solu¸c˜oes dadas pela equa¸c˜ao 1.17. As
solu¸c˜oes c
3
(k
0
, k) e d
3
(k
0
, k) que s˜ao do setor longitudinal, possuem apenas a fun¸c˜ao δ, e
levam a solu¸c˜oes tipos ondas planas no espa¸co das configura¸c˜oes. O hamiltoniano neste
19
setor de solu¸c˜oes ´e positivo definido
H
+
=
d
3
k 4k
2
(c
∗
3
(k)c
3
(k) + d
∗
3
(k)d
3
(k)), (1.18)
e portanto as solu¸c˜oes longitudinais tem significado f´ısico. As solu¸c˜oes transversas pos-
suem um termo com a derivada da delta. Estes tipos de s olu¸c˜oes crescem linearmente
com o tempo no espa¸co das configura¸c˜oes e conseq¨uentemente n˜ao possuem interpetra¸c˜ao
de ondas planas. O hamiltoniano n˜ao ´e positivo definido no setor transverso
H
−
=
d
3
k
2
c
∗
1
(k)
c
1
(k) − 2|k| [
c
∗
1
(k) c
1
(k) + c
∗
1
(k)
c
1
(k)] + (c → d)
. (1.19)
Note que se n˜ao existisse a s olu¸c˜ao em δ
, H
−
seria nulo, e conseq¨uentemente o hamiltoni-
ano seria positivo definido, s endo dependente apenas do setor longitudinal, como podemos
ver de 1.18. Estas solu¸c˜oes, bem diferentes das ondas planas, n˜ao possuem ainda um sig-
nificado f´ısico definido. Pode-se argumentar, junto com os pr´oprios autores, que estas
solu¸c˜oes por n˜ao serem limitadas no infinito temporal, n˜ao podem ser interpretadas em
termos de part´ıculas e portanto n˜ao deveriam ser consideradas. Apenas dois graus de
liberdade longitudinais contribuiriam para a dinˆamica do modelo. Isto levaria a quanti-
zar somente as solu¸c˜oes de tipo onda plana. Sem d´uvida, a c orreta interpreta¸c˜ao f´ısica
das solu¸c˜oes que crescem linearmente com o tempo necessita ainda de futuras reflex˜oes e
pesquisas.
´
E importante salientar as principais diferen¸cas entre os modelos dos campos tensori-
ais de mat´eria e dos campos de gauge tensoriais (1). Como podemos observar, o campo
tensorial de mat´eria admite uma intera¸c˜ao com f´ermions e uma auto intera¸c˜ao (o termo
qu´artico em 1.7) o que n˜ao ocorre com o campo de gauge tensorial (1). Outro ponto
importante ´e quanto ao termo cin´etico. No caso do tensor de mat´eria o propagador ´e bem
definido enquanto que no c aso do tensor de gauge necess ita-se de uma fixa¸c˜ao de gauge
para se obter o propagador. O termo cin´etico da a¸c˜ao do campo de gauge tensorial escrito
em termos do campo B
µν
´e dada por (1)
S
B
= −
d
4
x
1
4
(∂
λ
B
µν
) ∂
λ
B
µν
−
1
2
(∂
µ
B
µλ
) ∂
ν
B
νλ
. (1.20)
A primeira vista os termos cin´eticos de 1.7 e 1.20 s˜ao praticamente os mesmos. Mas
como podemos observar h´a um coeficiente relativo de 1/4 entre os dois termos que cons-
tituem o termo cin´etico para o caso de mat´eria e de 1/2 para o caso de gauge. Este fator
20
´e a diferen¸ca vital entre os dois modelos. A parte livre da a¸c˜ao 1.7 admite ainda uma
invariˆancia conforme (17).
Em contrapartida ao campo de gauge tensorial, que possui apenas um grau de liber-
dade on-shell, o campo tensorial de mat´eria tem dois graus de liberdade on-shell, que s˜ao
as componentes longitudinais do vetor A e do pseudo-vetor B. Uma outra observa¸c˜ao ´e
que, decorrente da imposi¸c˜ao da positividade do hamiltoniano e da simetria de gauge, o
campo tensorial descreve part´ıculas relativ´ısticas sem massa (10).
1.4 Interpreta¸c˜ao geom´etrica do campo tensorial de
mat´eria
Nas se¸c˜oes anteriores foi apresentado um novo tipo de intera¸c˜ao envolvendo um campo
tensorial anti-sim´etrico de mat´eria, o qual era diferente do campo tensorial de gauge
intro duzido h´a alguns anos (1). Este modelo, proposto em 1994 por Avdeev-Chizhov (10),
apesar de seu carater abeliano, possui liberdade assint´otica para o acoplamento de calibre.
Nesta se¸c˜ao faremos um estudo no sentido de entendermos os aspectos matem´aticos que
conduzam a uma formula¸c˜ao puramente geom´etrica do modelo, a qual, entre outras coisas,
possibilitou a constru¸c˜ao n˜ao-abeliana do mesmo (11).
A primeira observa¸c˜ao a ser f eita ´e que o campo tensorial T
µν
pode ser visto como
componente de um campo complexo ϕ
µν
anti-sim´etrico que satisfaz a uma condi¸c˜ao de
”auto-dualidade complexa” no espa¸co-tempo de Minkowski (11). Com esta propriedade,
que depende da assinatura do espa¸co-tempo em que a teoria ´e formulada, mostraremos
que o modelo do campo tensorial de mat´eria pode se r reformulado como uma teoria do
tipo λϕ
4
.
1.4.1 O campo tensorial auto-dual complexo no espa¸co-tempo
de Minkowski
Antes de entrarmos em detalhes sobre a condi¸c˜ao de auto-dualidade complexa, faremos
uma breve revis˜ao sobre as propriedades e nota¸c˜oes que ser˜ao usadas no decorrer deste
cap´ıtulo. Vamos trabalhar no espa¸co-tempo de Minkowski, cuja m´etrica ´e dada p or η
µν
= diag(+ − −−). O tensor de Levi-Civita ε
µνρσ
no espa¸co-tempo de Minkowski tem as
seguintes propriedades (16) (18):
21
µ
1
µ
2
µ
3
µ
4
ν
1
ν
2
ν
3
ν
4
= −δ
[ν
1
µ
1
...δ
ν
4
]
µ
4
, (1.21)
µνρσ
ρστω
= −2(δ
µ
τ
δ
ν
ω
− δ
µ
ω
δ
ν
τ
) , (1.22)
com a normaliza¸c˜ao
1234
= 1 ,
1234
= −1 . (1.23)
Para um tensor de segundo rank anti-sim´etrico qualquer, ´e f´acil ver da equa¸c˜ao 1.22 que
η
µν
= −η
µν
, (1.24)
o que impossibilita a existˆencia de tensores auto-duais no espa¸co-tempo de Minkowski. A
solu¸c˜ao ´e estender a condi¸c˜ao de auto-dualidade, interpretando-a como uma equa¸c˜ao de
auto-valores do operador ε
µνρσ
envolvendo um tensor anti-sim´etrico complexo ϕ
µν
:
ϕ
µν
= λ
ϕ
µν
, (1.25)
onde λ ´e uma constante complexa. Levando em conta a equa¸c˜ao 1.24, vemos facilmente
que λ = ±i, sendo i a unidade imagin´aria. Portanto no espa¸co-tempo de Minkowsky
temos uma condi¸c˜ao de auto-dualidade complexa
3
ϕ
µν
:
ϕ
µν
= i
ϕ
µν
. (1.26)
A condi¸c˜ao de auto-dualidade complexa 1.26 ´e facilmente resolvida. Escrevendo ϕ
µν
em termos de suas componentes reais e imagin´arias,
ϕ
µν
= T
µν
+ iR
µν
, (1.27)
e substituindo em 1.26, n´os temos:
ϕ
µν
= T
µν
+ i
T
µν
. (1.28)
Esta equa¸c˜ao nos mostra explicitamente que o tensor ϕ
µν
tem seis componentes indepen-
dentes apesar de ser um tensor de segundo rank complexo.
3
Por conven¸c˜ao escolhemos o sinal positivo do auto-valor λ. Os resultados independem desta escolha.
22
1.4.2 Construindo uma a¸c˜ao para o campo auto-dual complexo
Como o campo ϕ
µν
´e complexo, ou seja um campo com carga n˜ao-nula, a a¸c˜ao que
descreve este campo deve ser invariante sob o grupo U(1). Desejamos construir um modelo
renormaliz´avel com o campo auto-dual complexo ϕ
µν
que permita o acoplamento com o
campo de gauge abeliano A
µ
. Usaremos a transforma¸c˜ao fundamental de um campo de
mat´eria sob o grupo local U(1) para o campo tensorial ϕ
µν
δϕ
µν
= iαϕ
µν
, δϕ
µν
∗
= −iαϕ
µν
∗
, (1.29)
sendo ϕ
∗
µν
o complexo conjugado de ϕ
µν
. A derivada covariante ´e constru´ıda segundo o
procedimento padr˜ao
D
σ
ϕ
µν
= ∂
σ
ϕ
µν
− iA
σ
ϕ
µν
, (1.30)
de modo que se transforme covariantemente como 1.29
δ(D
σ
ϕ
µν
) = iα(D
σ
ϕ
µν
) , δ(D
σ
ϕ
µν
)
∗
= −iα(D
σ
ϕ
µν
)
∗
, δA
µ
= ∂
µ
α . (1.31)
A a¸c˜ao mais geral renormaliz´avel por power-counting e invariante pelas transforma¸c˜oes
U(1) dos campos (eq.1.29), deve ser da forma:
S =
d
4
x
(Dϕ)
∗
(Dϕ) +
m
2
4
ϕ
∗
ϕ +
q
8
(ϕ
∗
ϕ)
2
, (1.32)
onde a estrutura de ´ındices de Lorentz foi omitida, de modo a se compor de maneira mais
geral levando em conta o car´ater quiral do campo ϕ
µν
dado pela equa¸c˜ao 1.28.
Primeiramente, vamos analisar o termo de massa ϕ
∗
ϕ. Desde que nenhum ´ındice de
Lorentz deve ficar livre, a ´unica contra¸c˜ao poss´ıvel para este termo ´e
m
2
4
ϕ
µν
∗
ϕ
µν
. (1.33)
Para verificarmos como o termo de massa se comporta sob a condi¸c˜ao de auto-dualidade
complexa do tensor ϕ
µν
, usaremos uma importante propriedade v´alida para qualquer
tensor auto-dual complexo no espa¸co-tempo de Minkowski. Seja O um operador qualquer
ϕ
∗µν
Oϕ
µν
=
ϕ
µν
O
ϕ
∗
µν
=
1
4
ε
µναβ
ε
µνλδ
ϕ
αβ
Oϕ
∗λδ
= −ϕ
∗λδ
Oϕ
λδ
, ⇒ ϕ
∗µν
Oϕ
µν
= 0 . (1.34)
Usando a propriedade mostrada acima com O = 1, vemos que, devido `a condi¸c˜ao de
auto-dualidade complexa do campo ϕ
µν
, o termo de massa n˜ao existe.
A mesma an´alise pode s er feita para o termo cin´etico e devido a 1.34 o ´unico termo
23
n˜ao nulo ´e
d
4
xD
µ
ϕ
∗
µν
D
ρ
ϕ
ρν
, (1.35)
m´odulo integra¸c˜ao por partes.
Para finalizarmos a estrutura dos ´ındices de Lorentz da a¸c˜ao 1.32, resta analisar o
termo de auto-intera¸c˜ao. Da equa¸c˜ao 1.34 vemos que o termo ϕ
µν ∗
ϕ
µν
ϕ
αβ ∗
ϕ
αβ
n˜ao
existe. H´a trˆes termos poss´ıveis que podem contribuir para a auto-intera¸c˜ao. Estes s˜ao:
i)ϕ
∗µν
ϕ
αβ
ϕ
∗
µν
ϕ
αβ
, ii)ϕ
∗µν
ϕ
αβ
ϕ
∗
να
ϕ
βµ
, iii)ϕ
∗µν
ϕ
να
ϕ
∗αβ
ϕ
βµ
. (1.36)
Entretanto estes termos s˜ao completamente equivalentes devido a 1.26 e a seguinte iden-
tidade, v´alida em quatro dimens˜oes:
ε
αβµν
T
ρλ...
+ ε
ραβµ
T
νλ...
+ ε
νραβ
T
µλ...
+ ε
µνρα
T
βλ...
+ ε
βµνρ
T
αλ...
= 0, (1.37)
onde T
ρλ...
´e um tensor qualquer. Vamos provar a equivalˆencia entre os termos de 1.36.
Consideremos os termos i) e ii):
ϕ
∗µν
ϕ
αβ
ϕ
∗
µν
ϕ
αβ
= −iϕ
∗µν
ϕ
αβ
ϕ
∗
µν
ϕ
αβ
= −
i
2
ε
µνλσ
ϕ
∗µν
ϕ
αβ
ϕ
∗
λσ
ϕ
αβ
(1.38)
Usando a identidade 1.37 nos ´ındices µ, ν, λ, σ e α, temos
ϕ
∗µν
ϕ
αβ
ϕ
∗
µν
ϕ
αβ
=
i
2
ϕ
∗µν
ϕ
αβ
ϕ
∗λσ
(ε
αµνλ
ϕ
αβ
+ ε
σαµν
ϕ
λβ
) (1.39)
+
i
2
ϕ
∗µν
ϕ
αβ
ϕ
∗λσ
(ε
λσαµ
ϕ
νβ
+ ε
νλσα
ϕ
µβ
)
= 4ϕ
∗µν
ϕ
αβ
ϕ
∗
να
ϕ
βµ
.
A equivalˆencia entre os termos i) e iii) ´e verificada usando o mesmo procedimento
acima. Portanto, ficamos apenas com um termo de auto-intera¸c˜ao
ϕ
∗µν
ϕ
να
ϕ
∗αβ
ϕ
βµ
(1.40)
Com os resultados obtidos sobre a contra¸c˜ao dos ´ındices de Lorentz, a a¸c˜ao invariante do
tensor auto-dual complexo ϕ
µν
acoplado ao campo de gauge vetorial abeliano A
µ
´e dada
por
S
inv
= −
1
4g
2
d
4
xF
µν
F
µν
(1.41)
−
d
4
x
(D
µ
ϕ
µν
)
∗
(D
σ
ϕ
σν
) +
q
8
(ϕ
∗µν
ϕ
να
ϕ
∗αβ
ϕ
βµ
)
, (1.42)
onde inclu´ımos o termo de Maxwell. A a¸c˜ao 1.42 ´e invariante sob transforma¸c˜oes U(1)
24
locais e ainda sob a transforma¸c˜ao discreta de paridade:
x → x
p
= (x
0
, −x
i
) , i = 1, 2, 3 (1.43)
A
p
0
(x
p
) = −A
0
(x) , A
p
i
(x
p
) = A
i
(x) ,
ϕ
p
0i
(x
p
) = −ϕ
∗
0i
(x) , ϕ
p
ij
(x
p
) = ϕ
∗
ij
(x) .
Na se¸c˜ao seguinte mostraremos que o campo auto-dual complexo ϕ
µν
admite um
acoplamento com f´ermions de Dirac, compat´ıvel com a invariˆancia local U(1).
1.4.3 Acoplamento do campo auto-dual complexo com f´ermions
de Dirac
Como a dimens˜ao de massa dos f´ermions de Dirac ´e 3/2, os ´unicos termos renorma-
liz´aveis por power-counting que se podem construir com os f´ermions de Dirac e com o
campo auto-dual complexo s˜ao da forma
d
4
x a
¯
ψσ
µν
ψϕ
µν
+ b
¯
ψγ
5
σ
µν
ψϕ
µν
+ c.c, (1.44)
sendo a, b constantes arbitr´arias e c.c o termo complexo complementar.
Podemos mostrar que o segundo termo de 1.44 ´e equivalente ao primeiro. Para isso
usaremos uma propriedade das matrizes σ
µν
e γ
5
v´alida no espa¸co-tempo de Minkowski
(16):
i
σ
µν
= γ
5
σ
µν
. (1.45)
Como o campo ϕ
µν
´e um campo auto-dual complexo, isto ´e, obedece a equa¸c˜ao 1.26,
temos
γ
5
σ
µν
ϕ
µν
= iγ
5
σ
µν
ϕ
µν
= σ
µν
ϕ
µν
. (1.46)
Portanto a intera¸c ˜ao mais geral entre os f´ermions de Dirac e o campo auto-dual complexo
renormaliz´avel p or power-counting ´e
d
4
xa
¯
ψσ
µν
ψϕ
µν
+ c.c . (1.47)
Desejamos que o termo em 1.47 seja um invariante, com o campo ϕ
µν
se transformando
sob U(1) lo c al (eq.1.29) e sob a transforma¸c˜ao discreta 1.44. A transforma¸c˜ao do f´ermion
25
n˜ao pode ser do tipo δψ = iωψ, pois 1.47 n˜ao ´e invariante sob esta transforma¸c˜ao. A
transforma¸c˜ao do f´emion deve ser quiral, devido a natureza quiral do tensor ϕ
µν
. Podemos
escrever a transforma¸c˜ao de ψ como
δψ = iωγ
5
ψ, (1.48)
onde ω ´e um parˆametro local. Usando 1.48 e 1.29 em 1.47 temos:
δ
d
4
xa
¯
ψσ
µν
ψϕ
µν
+ c.c =
d
4
xa(2iω
¯
ψγ
5
σ
µν
ψϕ
µν
+ iα
¯
ψσ
µν
ψϕ
µν
) + δ(c.c) = 0. (1.49)
Usando a identidade 1.45 ´e f´acil ver que 1.49 se anula para α = −2ω. Portanto 1.47 ´e
invariante sob as transforma¸c˜oes
δψ = −
i
2
αγ
5
ψ
δ
¯
ψ = −
i
2
α
¯
ψγ
5
(1.50)
δϕ
µν
= iαϕ
µν
.
Como
¯
ψσ
µν
ψ ´e real, o termo de intera¸c˜ao f´ermion-tensor real e invariante sob 1.51 e 1.44
´e
d
4
x
1
2
y
¯
ψσ
µν
ψ(ϕ
µν
+ ϕ
∗µν
), (1.51)
sendo y uma constante real, com dimens˜ao de massa nula.
1.4.4 O modelo tensorial de mat´eria como uma teoria λϕ
4
Nesta se¸c˜ao mostraremos que a a¸c˜ao do campo auto-dual complexo ´e completamente
equivalente a a¸c˜ao de Avdeev-Chizhov 1.7. Primeiro vamos escrever a a¸c˜ao completa para
o campo ϕ
µν
com intera¸c˜ao com o camp o de gauge A
µ
e com os f´ermions de Dirac
S
inv
=
d
4
x
−
1
4g
2
F
µν
F
µν
+ i
¯
ψγ
µ
∂
µ
ψ −
¯
ψγ
µ
γ
5
A
µ
ψ (1.52)
−
d
4
x
(D
µ
ϕ
µν
)
∗
(D
σ
ϕ
σν
) +
q
8
(ϕ
∗µν
ϕ
να
ϕ
∗αβ
ϕ
βµ
)
+
d
4
x
1
2
y
¯
ψσ
µν
(ϕ
∗µν
+ ϕ
µν
)ψ
,
sendo invariante sob as transforma¸c˜oes:
δA
µ
= ∂
µ
ω , (1.53)
26
δ ψ = −iωγ
5
ψ ,
δ
¯
ψ = −iω
¯
ψγ
5
,
δ ϕ
µν
= −2iωϕ
µν
.
Escrevendo ϕ
µν
em termos de suas componentes reais e imaginarias T
µν
,
T
µν
e usando as
seguintes identidades
T
µλ
T
λν
= T
µλ
T
λν
+
1
2
δ
ν
µ
T
αβ
T
αβ
, (1.54)
T
µλ
T
λν
= −
1
4
δ
ν
µ
T
αβ
T
βα
,
(1.55)
(∂
σ
T
µρ
)
T
σρ
= −
1
2
T
αβ
∂
µ
T
αβ
− T
µρ
∂
σ
T
ρ
σ
,
T
µρ
∂
σ
T
σρ
= −
1
2
T
αβ
∂
µ
T
αβ
− (∂
σ
T
λµ
)T
σλ
,
e
T
αβ
∂
2
T
αβ
= −2T
αβ
∂
ν
∂
β
T
να
− 2
T
αβ
∂
ν
∂
β
T
να
, (1.56)
´e f´acil ver que a a¸c˜ao 1.53 e as transforma¸c˜oes 1.54 se reduzem a
S
inv
=
d
4
x
−
1
4g
2
F
µν
F
µν
+ i
¯
ψγ
µ
∂
µ
ψ −
¯
ψγ
µ
γ
5
A
µ
ψ +
1
2
(∂
λ
T
µν
)
2
(1.57)
− 2 (∂
µ
T
µν
)
2
+ 4A
µ
(T
µν
∂
λ
T
λν
−
T
µν
∂
λ
T
λν
)
+ 4 (
1
2
(A
λ
T
µν
)
2
− 2(A
µ
T
µν
)
2
) + y
¯
ψσ
µν
T
µν
ψ
+
q
4
(
1
2
(T
µν
T
µν
)
2
− 2T
µν
T
νρ
T
ρλ
T
λµ
)
,
e
δA
µ
= ∂
µ
ω , (1.58)
δψ = −iωγ
5
ψ ,
δ
¯
ψ = −iω
¯
ψγ
5
,
δT
µν
= −2ω
T
µν
,
que s˜ao a a¸c˜ao de Avdeev-Chizhov e as transforma¸c˜oes dos campos sob a simetria de gauge,
mostradas anteriormente. Como podemos ver a a¸c˜ao de Avdeev-Chizhov ´e completamente
equivalente a a¸c˜ao do campo tensorial auto-dual complexo. A parte exclusiva do camp o
27
tensorial auto-dual complexo ´e tipo uma teoria λϕ
4
. Assim o modelo do campo tensorial
de mat´eria pode ser visto como uma teoria λϕ
4
de um campo tensorial que obedece uma
condi¸c˜ao de auto-dualidade complexa. Esta nova interpreta¸c˜ao do mo delo possibilitou
fazer a generaliza¸c˜ao n˜ao-abeliana de uma maneira bastante elegante (11), e como veremos
no cap´ıtulo 3, facilitar´a tamb´em a sua generaliza¸c˜ao para espa¸c os com curvatura.
28
2 ELEMENTOS DE
RELATIVIDADE GERAL
Neste cap´ıtulo, faremos uma breve revis˜ao dos conceitos de relatividade geral que
ser˜ao necess´arios para o desenvolvimento deste trabalho.
2.1 Geometria Riemanniana
2.1.1 Transforma¸c˜ao de coordenadas
Um conjunto de quatro vari´aveis independentes x
µ
, onde µ = 0, 1, 2, 3, pode ser con-
siderado como as coordenadas de espa¸co quadridimensional V
4
. Cada conjunto de valores
de x
µ
define um ponto de V
4
. Seja um outro conjunto de coodenadas x
µ
, relacionadas `as
primeiras x
ν
, por:
x
µ
= f
µ
(x
ν
) , (2.1)
onde f
µ
s˜ao quatro fun¸c˜oes reais independentes de x
ν
. Uma condi¸c˜ao necess´aria e su-
ficiente para que f
µ
seja independente ´e que seu jacobiano n˜ao zere identicamente. A
equa¸c˜ao (2.1) define uma tranforma¸c˜ao de coodenadas no espa¸co V
4
. Desde que o jacobi-
ano ´e diferente de zero, podemos escrever x
µ
em termos de x
ν
como:
x
µ
= g
µ
(x
ν
). (2.2)
Uma dire¸c˜ao em um ponto P no espa¸co V
4
´e determinada pela diferencial dx
µ
. A
mesma dire¸c˜ao ´e determinada em um outro sistema de coodenadas x
ν
pela diferenc ial
dx
µ
. As duas diferenciais s˜ao relacionadas, usando (2.1), por
dx
µ
=
∂x
µ
∂x
ν
dx
ν
=
∂f
µ
∂x
dx
ν
. (2.3)
29
Aqui foi usada a nota¸c˜ao da soma de Einstein, de acordo com a qual ´ındices gregos
repetidos s˜ao somados sobre seus valores 0, 1, 2, 3.
2.1.2 Vetores contravariantes
Sejam dois conjuntos de fun¸c˜oes V
µ
e V
µ
relacionadas por
V
µ
=
∂x
µ
∂x
ν
V
µ
, (2.4)
similar `a forma como dx
µ
e dx
µ
s˜ao relacionados. V
µ
e V
µ
s˜ao chamadas, ent˜ao, de
componentes de um vetor contravariante nos sistemas de coordenadas x
µ
e x
µ
, respecti-
vamente. Assim, quatro fun¸c˜oes dos x
σ
em um sistema de coodenadas podem ser tomadas
como as componentes de um vetor contravariante com componentes em um outro sistema
de coodenadas dadas pela equa¸c˜ao 2.4.
1
2.1.3 Invariantes.Vetores covariantes
Duas fun¸c˜oes f(x) e f
(x) definem um invariante se elas s˜ao redut´ıveis uma a outra
por uma transforma¸c˜ao de coodenadas. Seja f uma fun¸c˜ao das coodenadas. Ent˜ao,
∂f
∂x
µ
= (
∂f
∂x
ν
)(
∂x
ν
∂x
µ
). (2.5)
Dois conjuntos de fun¸c˜oes V
µ
e V
µ
s˜ao ditos componentes de um vetor covariante em dois
sistemas x e x
, respectivamente, se eles s˜ao relacionados por uma lei de transforma¸c˜ao
da forma 2.5
V
µ
= (∂x
ν
/∂x
µ
)V
ν
. (2.6)
Por exemplo, se f ´e uma fun¸c˜ao escalar, ent˜ao ∂f /∂x
µ
´e um vetor covariante. Ele ´e
chamado gradiente de f. O produto V
µ
W
µ
´e um invariante se V ´e um vetor contravariante
e W ´e um vetor covariante. Inversamente, s e a quantidade V
µ
W
µ
´e um invariante e V
µ
ou W
µ
s˜ao vetores arbitr´arios, ent˜ao o outro ´e um vetor.
1
Um vetor contravariante define uma dire¸c˜ao em cada ponto do espa¸co V
4
. Sejam V
µ
as componentes
de um vetor contravariante e seja dx
µ
um deslocamento na dire¸c˜ao de V
µ
. Ent˜ao
dx
0
V
0
= ... =
dx
3
V
3
.
Este conjunto de equa¸c˜oes admite trˆes fun¸c˜oes f
k
(x
µ
) = c
k
independentes, onde k = 0, 1, 2, os c
s s˜ao
constantes arbitr´arias e a matriz ∂f/∂c
ν
´e de terceira ordem. As fun¸c˜oes f
k
s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao
diferencial parcial V
ν
∂f
k
/∂x
ν
= 0. Ent˜ao usando as leis de transforma¸c ˜ao 2.1 e 2.2 n´os obtemos V
k
= 0
para k = 0,1,2, e V
3
= 0. Assim, pode s er escolhido um sistema de coodenadas de forma que todas as
componentes, menos uma, de um dado vetor contravariante sejam iguais a zero.
30
2.1.4 Tensores
Tensores de determinada ordem s˜ao definidos por generaliza¸c˜oes das equa¸c˜oes 2.4 e
2.6. Ent˜ao a equa¸c˜ao
2
T
µ
1
...µ
m
ν
1
...ν
n
=
∂x
µ
1
∂x
ρ
1
···
∂x
µ
m
∂x
ρ
m
∂x
σ
1
∂x
ν
1
···
∂x
σ
n
∂x
ν
n
T
ρ
1
...ρ
m
σ
1
...σ
n
(2.7)
define um tensor misto de ordem m + n, contravariante de ordem m de covariante de
ordem n. Um invariante ´e um tensor de ordem zero e um vetor ´e um tensor de ordem
um. Quando a posi¸c˜ao relativa de dois ´ındices, seja covariantes ou contravariantes, n˜ao ´e
relevante, o tensor ´e dito sim´etrico com respeito a estes ´ındices. Quando a posi¸c˜ao relativa
de dois ´ındices de um tensor ´e trocada e o tensor obtido difere do original somente no
sinal, o mesmo ´e chamado de anti-sim´etrico em rela¸c˜ao a estes dois ´ındices.
2.1.5 Tensor de m´etrica
Pode-se introduzir em um manifold Riemanniano um tensor covariante de ordem
dois, sim´etrico, usualmente denotado por g
µν
, chamado de tensor de m´etrica, o qual ´e uma
fun¸c˜ao das coordenadas do espa¸co-tempo e, devido `a sua simetria, possui dez componentes
independentes. O quadrado da distˆancia entre dois pontos vizinhos no espa¸co-tempo pode
ser expresso por meio do tensor de m´etrica:
ds
2
= g
µν
dx
µ
dx
ν
. (2.8)
A express˜ao acima ´e algumas vezes chamada de elemento de linha. Espa¸cos Riemannia-
nos s˜ao casos especiais de e spa¸cos m´etricos
3
que possuem elementos de linha na forma
quadr´atica 2.8. Em nosso trabalho, vamos trabalhar com espa¸cos Riemannianos com as-
2
Outras quantidades se transformam de acordo com:
T
µ...
α...
= J
N
∂x
µ
∂x
ρ
∂x
β
∂x
α
···T
ρ...
β...
Aqui J ´e o determinante Jacobiano |∂x
α
/∂x
β
|. T
µ...
α...
´e chamado de densidade tensorial de peso N. Por
exemplo, se g
´e o determinante de g
µν
, ent˜ao, g
= J
2
g, onde g = detg
µν
. Ent˜ao, para os elementos de
volume quadridimensionais, em dois sistemas de coordenadas, tem os:
(−g)
1/2
d
4
x = (−g
)
1/2
d
4
x
3
Um espa¸co ´e dito m´etrico se nele podemos definir uma distˆancia escalar entre qualquer par de pontos
vizinhos. Exemplos de espa¸cos m´etricos s˜ao o espa¸co tridimensional euclidiano da mecˆanica newtoniana
e o espa¸co de Minkowski da relatividade especial
31
sinatura da m´etrica -2,
4
ou seja, vamos trabalhar com m´etricas do tipo (+, −, −, −).
Al´em do tensor de m´etrica covariante g
µν
, podemos tamb´em definir um tensor de
m´etrica contravariante g
µν
. O ´ultimo ´e o inve rso de g
µν
. Se considerarmos g
µν
como uma
matriz, ent˜ao, g
µν
´e dado pelo cofator de g
µν
dividido por seu determinante,
g
µν
=
∆
µν
g
, (2.9)
onde g ´e o determinante de g
µν
,
g = detg
µν
(2.10)
e ∆
µν
´e o cofator de g
µν
. Conseq¨uentemente, temos a seguinte rela¸c˜ao entre dos tensores
covariante e contravariante:
g
αρ
g
ρβ
= δ
β
α
. (2.11)
Podemos, por meio de g
µν
e g
µν
levantar e abaixar ´ındices de tensores ordin´arios,
como ´e mostrado abaixo:
5
T
µν
= g
µρ
T
ν
ρ
(2.12)
T
ρσ
= g
νσ
T
ν
ρ
. (2.13)
Finalmente, ´e interessante mencionar que o levantamento de ambos os ´ındices do tensor
covariante g
µν
tem como resultado o tensor de m´etrica contravariante:
g
µα
g
νβ
g
αβ
= g
µν
. (2.14)
Da mesma forma, baixando ambos os ´ındices de g
µν
, temos como resultado g
µν
g
αµ
g
βν
g
µν
= g
αβ
(2.15)
2.1.6 S´ımbolos de Christoffel
Dos dois tensores g
µν
e g
µν
podemos definir as fun¸c˜oes:
Γ
αρσ
=
1
2
(
∂g
ρα
∂x
σ
+
∂g
σα
∂x
ρ
+
∂g
ρσ
∂x
α
) (2.16)
e
Γ
µ
ρσ
= g
µα
Γ
αρσ
. (2.17)
4
A assinatura da m´etrica ´e definida como o excesso de sinais positivos em rela¸c˜ao aos negativos.
5
Uma consequˆencia dessas rela¸c˜oes ´e que, em um espa¸co Riemanniano, n˜ao temos uma distin¸c˜ao
fundamental entre tensores covariantes e contravariantes.
32
Eles s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao a ρ e σ, e s˜ao chamados de s´ımbolos de Christoffel de
primeiro e segundo tipo, respectivamente. Os s´ımbolos de Christoffel, entretanto, n˜ao s˜ao
componentes de um tensor. Considerando a lei de transforma¸c˜ao para g
µν
, n˜ao ´e dif´ıcil
mostrar que Γ
αρσ
se transforma de acordo com a seguinte rela¸c˜ao:
Γ
νµα
=
∂x
β
∂x
µ
∂x
γ
∂x
α
∂x
δ
∂x
ν
Γ
δβγ
+ g
βγ
∂x
β
∂x
ν
∂
2
x
γ
∂x
µ
∂x
α
. (2.18)
Fazendo uso da lei de transforma¸c˜ao para g
αβ
, chegaremos na lei de transforma¸c˜ao de
Γ
δ
βν
:
Γ
δ
βν
=
∂x
δ
∂x
α
∂x
µ
∂x
β
∂x
σ
∂x
ν
Γ
α
µσ
+
∂x
δ
∂x
σ
∂
2
x
σ
∂x
β
∂x
ν
. (2.19)
De 2.16 n´os obtemos:
Γ
µ
αµ
=
1
2
g
µν
∂g
µν
∂x
α
. (2.20)
Esta equa¸c˜ao pode ser reescrita em termos do determinante g de g
µν
. A regra para a
expans˜ao de um determinante leva `a f´ormula:
∂g
∂g
µν
= gg
µν
e, conseq¨uentemente:
dg = gg
µν
dg
µν
= −gg
µν
dg
µν
.
Ent˜ao n´os temos:
∂
α
g = gg
µν
∂
α
g
µν
= −gg
µν
∂
α
g
µν
. (2.21)
O uso de 2.21 permiti-nos escrever 2.20 na forma:
Γ
µ
αµ
= ∂
α
(ln
(−g)) (2.22)
2.1.7 Diferencia¸c˜ao covariante
Temos visto que as derivadas de um invariante s˜ao as componentes de um vetor
covariante. Este ´e o ´unico caso, para um sistema mais geral de coordenadas, no qual a
derivada de um tensor ´e um tensor. H´a express˜oes envolvendo derivadas primeiras de
tensores as quais n˜ao s˜ao componentes de um tensor. Para ver isso, vamos proceder da
seguinte forma: Sejam V
µ
e V
µ
um vetor contravariante em dois sistemas de coodenadas
x e x
. Ent˜ao:
V
µ
= V
ν
(∂x
µ
/∂x
ν
).
33
Diferenciando esta equa¸c˜ao com respeito a x
α
e usando 2.19, n´os obtemos:
∂V
µ
∂x
α
= (
∂V
ρ
∂x
ν
+ V
σ
Γ
ρ
σν
)
∂x
ν
∂x
α
∂x
µ
∂x
ρ
− V
ρ
Γ
µ
ρα
. (2.23)
Vamos, ent˜ao, definir um novo objeto, a derivada covariante de V
µ
por:
∇
α
V
µ
= ∂
α
V
µ
+ Γ
µ
ρα
V
ρ
. (2.24)
´
E f´acil ver que a derivada covariante definida acima se transforma como um tensor misto
de segunda ordem:
∇
α
V
µ
= ∇
ν
V
ρ
∂x
ν
∂x
α
∂x
µ
∂x
ρ
.
Da mesma forma, podemos definir a derivada covariante de um vetor covariante V
µ
por:
∇
α
V
µ
= ∂
α
V
µ
− Γ
µ
ρα
V
ρ
. (2.25)
Da equa¸c˜ao acima, podemos mostrar que, para o rotacional de um vetor V
µ
, n´os temos:
∇
α
V
β
− ∇
β
V
α
= ∂
α
V
β
− ∂
β
V
α
. (2.26)
Ent˜ao, uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a derivada covariante de um vetor
seja sim´etrica ´e que o mesmo seja um gradiente. Podemos ainda escreve r a derivada
covariante de tensores de segunda ordem:
∇
γ
T
αβ
=
∂T
αβ
∂x
γ
+ Γ
α
γλ
T
λβ
+ Γ
β
γλ
T
αλ
(2.27)
∇
γ
T
α
β
=
∂T
α
β
∂x
γ
+ Γ
α
γλ
T
λ
β
− Γ
β
γλ
T
α
λ
(2.28)
∇
γ
T
αβ
=
∂T
αβ
∂x
γ
− Γ
α
γλ
T
λβ
− Γ
β
γλ
T
αλ
(2.29)
e de tensores de ordem qualquer:
∇
γ
T
α...
β...
=
∂T
α...
β...
∂x
γ
+ Γ
α
γλ
T
λ...
β...
+ ... − Γ
λ
γβ
T
α...
λ...
− ... (2.30)
A derivada covariante segue algumas regras as quais s˜ao sumarizadas a seguir:
1 A derivada covariante de uma combina¸c˜ao linear de tensores, com coeficientes constan-
tes, ´e dada pela combina¸c˜ao linear das derivadas covariantes de cada tensor.(Linearidade)
34
2 A derivada covariante de produros internos e externos de tensores obedece as mesmas
regras das derivadas ordin´arias.
3 A derivada covariante do tensor de m´etrica ´e igual a zero:
∇
ρ
g
µν
= 0 ; ∇
ρ
g
µν
= 0. (2.31)
Como resultado disso a derivada covariante do determinante da m´etrica g tamb´em ´e nula:
∇
µ
g = 0. (2.32)
4 A derivada covariante do delta de kronecker ´e igual a zero
∇
ρ
δ
µ
ν
= 0.
5 A derivada covariante de uma fun¸c˜ao escalar φ(x) ´e igual `a sua derivada parcial:
∇
µ
φ(x) =
∂φ(x)
∂x
µ
. (2.33)
2.1.8 Geod´esicas
A equa¸c˜ao diferencial da curva que possui um extremo de comprimento ´e chamada de
equa¸c˜ao da geo d´es ica. Esta equa¸c˜ao descrever´a o movimento de uma part´ıcula de teste
em um campo gravitacional.
Para encontrar a equa¸c˜ao da geod´esica, vamos olhar para as rela¸c˜oes que devem ser
satisfeitas para que a integral abaixo tenha um valor estacion´ario:
S =
Lds, (2.34)
onde os limites de integra¸c˜ao s˜ao tomados como dois pontos fixos. Ent˜ao, n´os temos de
encontrar a solu¸c˜ao para o problema variacional:
S = δ
Lds = 0, (2.35)
com a Lagrangeana L dada por:
L =
g
µν
dx
µ
ds
dx
ν
ds
1/2
(2.36)
35
e cujo valor ´e igual a unidade sobre a curva geod´esica.
Usando c´alculo variacional, n´os obtemos para a varia¸c˜ao da a¸c˜ao integral 2.64:
δ
Lds =
∂L
∂x
µ
δx
µ
+
∂L
∂(dx
µ
/ds)
δ(
dx
µ
ds
ds. (2.37)
O segundo termo da integral acima p ode ser escrito como a diferen¸ca de dois termos:
d
ds
∂L
∂(dx
µ
/ds)
δx
µ
−
d
ds
∂L
∂(dx
µ
/ds)
δx
µ
, (2.38)
o que pode ser diretamente verificado se usarmos a identidade d(δx
µ
)/ds = δd(x
µ
)/ds.
Sob integra¸c˜ao o primeiro termo de 2.38 n˜ao contribuir´a em nada, desde que se assuma,
como usual, que as varia¸c˜oes zerem nos extremos da curva. A equa¸c˜ao 2.37 pode, ent˜ao,
ser escrita da seguinte forma:
δ
Lds =
∂L
∂x
µ
δx
µ
+
d
ds
∂L
∂(dx
µ
/ds)
δx
µ
ds , (2.39)
para uma varia¸c˜ao arbitr´aria δx
µ
. Devido a arbitrariedade da varia¸c˜ao, a equa¸c˜ao 2.39
nos fornece a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange:
d
ds
∂L
∂(dx
µ
/ds)
−
∂L
∂x
µ
= 0. (2.40)
E no sentido de obter uma express˜ao expl´ıcita para equa¸c˜ao da geod´esica, vamos usar
a Lagrangiana 2.36 na equa¸c˜ao de Lagrange 2.40. Assim, n´os obtemos a equa¸c˜ao da
geod´esica:
d
2
x
α
ds
2
+ Γ
ρ
αβ
dx
α
ds
dx
β
ds
= 0 (2.41)
onde usamos o fato de que ao longo da geod´esica ds
2
= g
ρσ
dx
ρ
dx
σ
.
2.2 O tensor de curvatura de Riemann
Chegamos agora a um importante conceito na descri¸c˜ao de um espa¸co-tempo curvo,
o tensor de curvatura. Ele n˜ao ´e importante apenas para descrever a geometria de um
espa¸co curvo, mas tamb´em para a constru¸c˜ao de outros tensores, os quais dar˜ao uma
descri¸c˜ao completa da gravita¸c˜ao.
Se diferenciarmos covariantemente um tensor ∇
β
V
α
, dado por 2.25, obteremos
∇
γ
∇
β
V
α
=
∂
∂x
γ
∂V
α
∂x
β
− Γ
ρ
αβ
V
ρ
− Γ
δ
βγ
∂V
α
∂x
δ
− Γ
ρ
δα
V
ρ
− Γ
δ
αγ
∂V
δ
∂x
β
− Γ
ρ
δβ
V
ρ
. (2.42)
36
Subtraindo da equa¸c˜ao acima a mesma express˜ao, mas com os ´ındices β e γ trocados,
teremos:
(∇
γ
∇
β
− ∇
β
∇
γ
)V
α
= R
ρ
αβγ
V
ρ
, (2.43)
onde
R
ρ
αβγ
=
∂Γ
ρ
αγ
∂x
β
−
∂Γ
δ
αβ
∂x
γ
+ Γ
δ
αγ
Γ
ρ
βδ
− Γ
δ
αβ
Γ
ρ
γδ
. (2.44)
O tensor R
ρ
αβγ
´e chamado de tensor de curvatura de Riemann.
Da mesma forma, quando o comutador (∇
γ
∇
β
− ∇
β
∇
γ
) ´e aplicado a um vetor con-
travariante V
α
, ou a um tensor misto de segunda ordem T
ν
µ
, n´os obtemos:
(∇
γ
∇
β
− ∇
β
∇
γ
)V
α
= −R
α
ρβγ
V
ρ
, (2.45)
(∇
γ
∇
β
− ∇
β
∇
γ
)T
ν
µ
= R
ρ
µβγ
T
ν
ρ
− R
ν
ρβγ
T
µ
ρ
, (2.46)
ou para um tensor de ordem qualquer:
(∇
γ
∇
β
−∇
β
∇
γ
)T
ρσ...
µν...
= R
κ
µβγ
T
ρσ...
µκ...
+R
κ
νβγ
T
ρσ...
µκ...
+... −R
ρ
κβγ
T
κσ...
µν...
−R
σ
κβγ
T
ρκ...
µν...
−... (2.47)
a equa¸c˜ao acima ´e chamada de identidade de Ricci.
Escrevendo agora:
R
αβγδ
= g
αρ
R
ρ
βγδ
, (2.48)
podemos verificar as seguintes propriedades para o tensor de curvatura:
R
αβγδ
= −R
βαγδ
= −R
αβδγ
, (2.49)
R
αβγδ
= R
γδαβ
(2.50)
e
R
αβγδ
+ R
αγδβ
+ R
αδβγ
= 0. (2.51)
2.2.1 O tensor e o escalar de Ricci; o tensor de Einstein
Do tensor de curvatura de Riemann, n´os podemos obter por contra¸c˜ao o tensor de
Ricci, o qual ´e definido por:
R
αβ
= R
µ
αµβ
= g
µν
R
µανβ
, (2.52)
o qual, de 2.49, ´e sim´etrico:
R
αβ
= R
βα
(2.53)
37
A express˜ao expl´ıcita para o tensor de Ricci pode ser obtida do tensor de curvatura
de Riemann. Usando 2.44, n´os obtemos:
R
αβ
=
∂Γ
ρ
αβ
∂x
ρ
−
∂Γ
ρ
αρ
∂x
β
+ Γ
σ
αγ
Γ
ρ
ρσ
− Γ
σ
αρ
Γ
ρ
βσ
. (2.54)
Contraindo R
αβ
, n´os obtemos o escalar de de curvatura de Ricci:
R = R
α
α
= g
αβ
R
αβ
= g
αβ
g
µν
R
µανβ
. (2.55)
Podemos, agora definir o tensor de curvatura de Einstein:
G
µν
= R
µν
−
1
2
g
µν
R (2.56)
o qual, como veremos mais adiante ser´a fundamental para a descri¸c˜ao de proces sos f´ısicos
em espa¸cos com curvatura.
Finalmente, podemos definir o tensor de Ricci com tra¸co nulo:
S
µν
= R
µν
−
1
4
g
µν
R. (2.57)
´
E importante mencionar que o tensor de curvatura de Riemann, e as f´ormulas sub-
seq¨uentes dadas acima, n˜ao s˜ao limitadas `a descri¸c˜ao de um espa¸co quadridimensional,
mas s˜ao tamb´em v´alidas em espa¸cos com um n´umero arbitr´ario de dimens˜oes.
2.3 O princ´ıpio da equivalˆencia
Experimentos do tip o E¨otv¨os (19) (20) mostraram, com grade precis˜ao, a equivalˆencia
entre as massas gravitacional e inercial. Ent˜ao a f or¸ca gravitacional que age sobre um
corpo, deve ter uma certa rela¸c˜ao com for¸cas de origem inerciais, sendo as ´ultimas pro-
porcionais `a massa in´ercial. A rela¸c˜ao entre a for¸ca gravitacional e a for¸ca inercial ´e a
base do princ´ıpio da equivalˆencia, o qual pode ser enunciado de v´arias formas, uma das
quais ´e colocada a seguir:
As for¸cas gravitacionais e as for¸cas inerciais, agindo sobre um corpo, s˜ao equivalentes e
indistingu´ıveis
38
´
E muitas vezes conveniente fazer a distin¸c˜ao entre dois tipos de princ´ıpio da equi-
valˆencia, um em uma forma forte e outro em uma forma fraca. O primeiro ´e o que servir´a
de base para a teoria da relatividade geral, enquanto o segundo ´e o que pode ser derivado
diretamente do experimento de E¨otv¨os.
O princ´ıpio da equivalˆencia forte pode s er colocado da seguinte forma:
Em um referencial em queda livre e com velocidade angular nula,as leis da f´ısica locais
tˆem uma mesma forma, independente da posi¸c˜ao do referencial no espa¸co.
E o princ´ıpio da equivalˆencia fraco pode ser enunciado como:
A acelera¸c˜ao gravitacional de um corpo ´e independente da composi¸c˜ao e da estrutura da
mat´eria que o forma.
Uma consequˆencia do princ´ıpio da equivalˆencia como colocado acima, ´e o fato de
que n˜ao pode existir, em relatividade geral, referenciais inerciais. Ent˜ao quando existe
gravita¸c˜ao em uma determinada regi˜ao do espa¸co, n˜ao se pode introduzir um referencial
inercial. Isto acontece porque em sistemas desse tipo, por sua pr´opria defini¸c˜ao, todas
as acelera¸c˜oes de origem inercial zeram e, por isso, poder´ıamos separar as acelera¸c˜oes de
origem gravitacional das de origem inercial, o que contradiz o princ´ıpio da equivalˆencia.
Somente localmente podemos introduzir um referencial inercial. A impossibilidade de
adaptar referenciais inerciais, onde os sistemas diferem um do outro por movimentos com
velocidade constante, `a teoria da relatividade geral faz com que o conceito de acelera¸c˜ao
deixe de ser absoluto, como na mecˆanica newtoniana e na relatividade especial. Neste
sentido, a teoria da relatividade geral assume que a acelera¸c˜ao possui, somente, um signi-
ficado relativo, da mesma forma que a teoria da relatividade es pecial faz para velocidade.
2.4 O princ´ıpio da covariˆancia geral
Como foi explicado na se¸c˜ao anterior, se usarmos um sistema de coordenadas n˜ao-
inercial, for¸cas n˜ao-inerciais aparecem e, sobre uma base local, elas se comportam como
for¸cas gravitacionais e s˜ao indistingu´ıveis das mesmas. Ent˜ao n´os vemos que a relativi-
dade especial n˜ao ´e v´alida em um regi˜ao extensa do es pa¸co onde o campo gravitacional
esteja presente. A relatividade especial ´e v´alida somente localmente. Em geral, quando
a gravita¸c˜ao est´a presente, um espa¸co tempo curvo ´e necess´ario para acomodar o campo
39
gravitacional. Portanto, as leis da f´ısica ser˜ao geralmente covariantes sob as mais gerais
transforma¸c˜oes de coordenadas. Na formula¸c˜ao original da teoria da relatividade geral,
proposta por Einstein, dois princ´ıpios formam a base da teoria: o princ´ıpio da equi-
valˆencia, discutido na ´ultima se¸c˜ao, e o princ´ıpio da covariˆancia geral. O ´ultimo pode ser
enunciado das seguintes formas:
1 - Todos os sistemas de coordenadas s˜ao igualmente bons para descrever os processos
f´ısicos, ent˜ao n˜ao deve haver preferˆencia entre um sistema de coordenadas e outro.
2 - As equa¸c˜oes que descrevem as leis da f´ısica dever˜ao ter forma tensorial e ser expressas
em um espa¸co-tempo Riemanniano quadridimensional.
3 - As equa¸c˜oes descrevendo as leis da f´ısica dever˜ao ter a mesma forma em todos os
sistemas de coordenadas.
Como n´os podemos ver, as trˆes vers˜oes do princ´ıpio da covariˆancia geral n˜ao s˜ao com-
pletamente equivalentes. Da descri¸c˜ao acima, entretanto, n´os aprendemos que, de acordo
com o princ´ıpio da covariˆancia geral as coordenadas em relatividade geral n˜ao servem para
nada mais que indicar os eventos no espa¸co-tempo, em outras palavras, as coordenadas
s´o possuem algum significado em relatividade geral mediante algum processo de medida.
As consequˆencias f´ısicas e os resultados n˜ao depender˜ao do sistema de coordenadas par-
ticular usado para se obter os resultados. Somente quantidades independentes da escolha
do sistema de coordenadas ter˜ao significado f´ısico.
O princ´ıpio da covariˆancia geral pode, freq¨uentemente, servir como um guia para de-
rivar as equa¸c˜oes para as leis da f´ısica. Em particular, este princ´ıpio ´e muito ´util quando
n´os tentamos generalizar as leis da f´ısica de sua forma na relatividade restrita para a
forma que elas devem ter em relatividade geral, incorporando, ent˜ao o campo gravitacio-
nal nestas equa¸c˜oes. O princ´ıpio da covariˆancia geral diz que tudo que precisamos fazer
s˜ao as seguintes substitui¸c˜oes:
η
µν
→ g
µν
, (2.58)
∂
µ
→ ∇
µ
, (2.59)
onde η
µν
e g
µν
s˜ao as m´etricas do espa¸co-tempo plano e curvo, respectivamente, e ∂
µ
,
∇
µ
s˜ao a derivada parcial ordin´aria e a derivada c ovariante definida na se¸c˜ao 2.1.7. Este
uso do princ´ıpio da covariˆancia geral ´e repetidamente feito em relatividade geral, ele ´e
similar ao uso do princ´ıpio do acoplamento m´ınimo da teoria de campos, mas ´e muito
mais poderoso.
40
Em conclus˜ao, enquanto o princ´ıpio da equivalˆencia leva a introdu¸c˜ao de um espa¸co-
tempo curvo, o princ´ıpio da covariˆancia geral guia-nos na formula¸c˜ao das equa¸c˜oes que
descrevem as leis da f´ısica. Na verdade, estes dois princ´ıpios s˜ao mais do que ´e necess´ario
para se construir a teoria da relatividade geral, a qual ´e dita ser um dos maiores achados
da f´ısic a te´orica. Eles levam diretamente `a id´eia de que o fenˆomeno gravitacional pode ser,
de uma forma elegante, descrito por meio da geometria Riemanniana do espa¸co-temp o.
2.5 As equa¸c˜oes de Einstein
Tendo desenvolvido as ferramentas matem´aticas necess´arias para descrever o campo
gravitacional nas ´ultimas se¸c˜oes, e j´a com os princ´ıpos da equivalˆencia e covariˆancia geral
em m˜aos, podemos agora derivar as equa¸c˜oes de campo de Einstein. Estas s˜ao as equa¸c˜oes
b´asicas da relatividade geral.
2.5.1 Deriva¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein
Existem muitas formas de derivar as equa¸c˜oes de Einstein. Aqui, vamos fazer isto a
partir de um princ´ıpio variacional. Usaremos este caminho por julgarmos o mais geral
e sint´etico, j´a que podemos derivar, a partir do mesmo, n˜ao somente as equa¸c˜oes de
Einstein, mas tamb´em as equa¸c˜oes de outros campos que casualmente interajam com a
gravidade.
O campo gravitacional ´e descrito pela a¸c˜ao de Einstein-Hilbert, dada por:
S
G
=
d
4
x
√
−gR , (2.60)
onde a integra¸c˜ao ´e feita sobre todo o espa¸co e sobre a coordenada x
0
, tomada entre dois
valores dados. N´os podemos adicionar `a integral acima uma outra que descreva todos os
outros campos presentes, que n˜ao sejam gravitacionais. Desta f orma, a a¸c˜ao mais geral
que podemos escrever para descrever o nosso sistema f´ısico ser´a dada por:
S
G
=
d
4
x
√
−g(L
G
− 2κL
M
) , (2.61)
onde L
G
´e a lagrangeana do campo gravitacional enquanto L
M
´e a lagrangeana dos outros
campos. Al´em disso κ = 8πG/c
4
´e a constante gravitacional de Einstein, com G sendo a
constante gravitacional de Newton e c a velocidade da luz.
41
N´os impomos que a varia¸c˜ao da a¸c˜ao acima seja nula:
δS
G
= 0 (2.62)
Variando a primeira parte da integral 2.61, n´os obtemos:
δ
d
4
x
√
−gR = δ
d
4
x
√
−gg
µν
R
µν
(2.63)
=
d
4
x
√
−gg
µν
δR
µν
+
d
4
xR
µν
δ(
√
−gg
µν
).
Para encontrar a varia¸c˜ao do tensor de Ricci, n´os podemos usar o sistema de coorde-
nadas geod´esico
6
, de forma que teremos:
δR
µν
= δ
∂Γ
ρ
µν
∂x
ρ
−
∂Γ
ρ
µρ
∂x
ν
+ Γ
σ
µν
Γ
ρ
ρσ
− Γ
σ
µρ
Γ
ρ
νσ
Γ
σ
µρ
(2.64)
= δ
∂Γ
ρ
µν
∂x
ρ
−
∂Γ
ρ
µρ
∂x
ν
=
∂(δΓ
ρ
µν
)
∂x
ρ
−
∂(δΓ
ρ
µρ
)
∂x
ν
= ∇
ρ
(δΓ
ρ
µν
) − ∇
ν
(δΓ
ρ
µρ
).
A equa¸c˜ao acima ´e, como podemos ver, uma equa¸c˜ao tensorial. Ent˜ao ela ´e v´alida em
todos os sistemas de coordenadas e em todos os pontos do espa¸co-tempo e n˜ao somente
no sistema geod´esico. Conseq¨uentemente, o integrando da primeira integral do segundo
membro da equa¸c˜ao 2.64 pode ser escrito na seguinte forma:
√
−gg
µν
δR
µν
=
√
−gg
µν
{∇
ρ
(δΓ
ρ
µν
) − ∇
ν
(δΓ
ρ
µρ
)} (2.65)
=
√
−g{∇
ρ
(g
µν
δΓ
ρ
µν
) − ∇
ν
(g
µν
δΓ
ρ
µρ
)}
=
√
−g{∇
α
(g
µν
δΓ
α
µν
) − ∇
α
(g
µα
δΓ
ρ
µρ
)}.
Assim, n´os podemos escrever:
√
−gg
µν
δR
µν
=
√
−g∇
α
V
α
, (2.66)
onde
V
α
= g
µν
δΓ
α
µν
− g
µα
δΓ
ρ
µρ
. (2.67)
Usando, agora, a seguinte identidade:
∇
µ
V
µ
=
1
√
−g
∂
∂x
µ
(
√
−gV
µ
) (2.68)
6
O sistem a de coordenadas geod´esico ´e definido como o sistema de coordenadas no qual todas as
componentes dos s´ımb olos de Christofell zeram em um dado ponto (18, 21).
42
N´os obtemos para a primeira integral do segundo membro da equa¸c˜ao 2.64 :
d
4
x
√
−gg
µν
δR
µν
=
d
4
x
∂(
√
−gV
α
)
∂x
α
(2.69)
Entretanto a integral acima zera desde que, pelo teorema de Gauss, ela ´e igual a uma
integral de superf´ıcie de
√
−gV
α
, a qual ´e nula devido `as varia¸c˜oes dos s´ımbolos de
Christoffel zerarem nos limites da integra¸c˜ao.
A segunda integral do segundo membro de 2.64 nos d´a:
d
4
xR
µν
δ(
√
−gg
µν
) =
d
4
x
√
−gR
µν
δg
µν
+
d
4
xR
µν
g
µν
δ
√
−g (2.70)
=
d
4
x
√
−gR
µν
δg
µν
+
d
4
xRδ
√
−g.
Usando a regra para a expans˜ao de um determinante em cofatores leva `a seguinte rela¸c˜ao:
∂g
∂g
µν
= ∆
µν
, (2.71)
onde ∆
µν
´e o cofator do elemento g
µν
de determinante g. Da regra usada para se obter
o inverso de um determinante, e da defini¸c˜ao do tensor de m´etrica contravariante g
µν
, a
equa¸c˜ao acima pode ser reescrita como:
∂g
∂g
µν
= gg
µν
. (2.72)
Conseq¨uentemente, n´os temos:
dg = gg
µν
dg
µν
. (2.73)
Diferenciando a rela¸c˜ao g
µν
g
µν
= δ
µ
µ
= 4, n´os obtemos:
g
µν
dg
µν
= −g
µν
dg
µν
. (2.74)
Usando, ent˜ao, o ´ultimo resultado em 2.73, n´os obtemos:
dg = −gg
µν
dg
µν
. (2.75)
Dai, n´os encontramos:
δ
√
−g =
−1
2
1
√
−g
δg =
−1
2
√
−gg
µν
δg
µν
. (2.76)
Obtemos, conseq¨uentemente que:
d
4
xR
µν
δ(
√
−gg
µν
) =
d
4
x
√
−g(R
µν
−
1
2
g
µν
R)δg
µν
(2.77)
43
Somando os resultados acima, teremos finalmente, para a varia¸c˜ao da parte gravitacional
da a¸c˜ao 2.61:
δ
d
4
x
√
−gR =
d
4
x
√
−g(R
µν
−
1
2
g
µν
R)δg
µν
. (2.78)
A segunda parte de 2.61, a qual descreve to dos os outros campos, com exce¸c˜ao do
campo gravitacional, pode ser calculada tamb´em atrav´es do m´etodo variacional. N´os
obtemos:
δ
d
4
xL
M
=
∂(
√
−gL
M
)
∂g
µν
δg
µν
+
∂(
√
−gL
M
)
∂g
µν
, α
δg
µν
, α
. (2.79)
O segundo termo do segundo membro da equa¸c˜ao acima pode ser escrito como uma
integral de superf´ıcie, que n˜ao contribui em nada, menos um outro termo, como segue:
δ
d
4
xL
M
=
∂(
√
−gL
M
)
∂g
µν
−
∂
∂x
α
∂(
√
−gL
M
)
∂g
µν
, α
δg
µν
. (2.80)
Definindo, agora, o tensor momentum-energia:
Θ
µν
=
2
√
−g
∂(
√
−gL
M
)
∂g
µν
−
∂
∂x
α
∂(
√
−gL
M
)
∂g
µν
, α
, (2.81)
n´os, ent˜ao obtemos para a varia¸c˜ao da parte n˜ao-gravitacional da a¸c˜ao 2.61:
δ
d
4
xL
M
=
1
2
d
4
x
√
−gΘ
µν
δg
µν
(2.82)
Assim, no final n´os obtemos:
δS =
d
4
x
√
−g(R
µν
−
1
2
g
µν
R − κΘ
µν
)δg
µν
(2.83)
Desde que esta equa¸c˜ao deve ser v´alida para qualquer varia¸c˜ao δg
µν
, concluimos que o
integrando acima tem de ser nulo, ou seja:
R
µν
−
1
2
g
µν
R = κΘ
µν
(2.84)
A express˜ao acima ´e a equa¸c˜ao de Einstein.
2.5.2 Propriedades das equa¸c˜oes de Einstein
Vamos fazer uma breve discuss˜ao sobre algumas propriedades importantes das equa¸c˜oes
de Einstein. Primeiramente, n´os notamos que a dependˆencia das mesmas em rela¸c˜ao `as
fun¸c˜oes de campo ´e n˜ao linear, o que pode ser facilmente visto da estrutura do tensor
de Ricci 2.54. Este fato distingue as equa¸c˜oes do campo gravitacional das equa¸c˜oes de
campo de outras teorias conhecidas, como o eletromagnetismo. Obviamente o princ´ıpio
da superposi¸c˜ao n˜ao ´e v´alido para as equa¸c˜oes de Einstein, isto significa, entre outras,
44
coisas que a soma de duas solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de Einstein n˜ao ´e necessariamente uma
solu¸c˜ao.
Temos tamb´em que a conserva¸c˜ao da energia e do momentum, expressa pela equa¸c˜ao
∇
µ
Θ
µ
ν
= 0 (2.85)
est´a essencialmente contida nas equa¸c˜oes de Einstein. A equa¸c ˜ao 2.85, de fato, cont´em as
equa¸c˜oes do movimento da dis tribui¸c˜ao de mat´eria que ´e descrita pelo tensor momentum
energia em considera¸c˜ao. Desta forma, as equa¸c˜oes de Einstein cont´em as equa¸c˜oes do
movimento da mat´eria que produz o campo gravitacional, de forma que a distribui¸c˜ao
e o movimento da mat´eria que produz o campo gravitacional n˜ao pode ser determinada
arbitrariamente. A distribui¸c˜ao e o movimento da mat´eria s˜ao determinados p e las fun¸c˜oes
de campo gravitacional, ou seja, as componentes do tensor de m´etrica, e ao mesmo tempo
o tensor de m´etrica ´e determinado pela distribui¸c˜ao e o movimento da mat´eria descrita
pelas equa¸c˜oes de Einstein. Em relatividade geral, n˜ao temos de estudar separadamente
as equa¸c˜oes do movimento da mat´eria, elas s˜ao uma consequˆencia das identidades de
Bianchi e da n˜ao-linearidade das equa¸c˜oes de Einstein. Esta propriedade da teoria da
relatividade geral ´e uma de suas caracter´ısticas mais belas.
Para tornar mais clara a discuss˜ao acima, vamos comparar a relatividade geral `a
eletrodinˆamica. Na ´ultima teoria, a qual ´e obviamente linear, usamos as equa¸c˜oes de
Maxwell e a Lei de for¸ca de Lorentz para descrever os processos f´ısicos. As equa¸c˜oes de
Maxwell contˆem a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao da carga, entretanto, elas n˜ao incluem, ou n˜ao
produzem as equa¸c˜oes de movimento das cargas, as ultimas seguem da Lei de for¸ca de
Lorentz, a qual ´e postulada separadamente. Por causa da linearidade das equa¸c˜oes de
Maxwell, a dis tribui¸c˜ao e o movimento das cargas pode ser determinado arbitrariamente.
O campo ele tromagn´etico ´e determinado subseq ¨uentemente pela resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes
de Maxwell.
2.5.3 Condi¸c˜oes de coordenadas
As equa¸c˜oes de Einstein desenvolvidas nas se¸c˜oes anteriores s˜ao dez equa¸c˜oes diferen-
ciais parciais n˜ao-lineares, sendo as inc´ognitas as dez componentes de g
µν
, o tensor de
m´etrica.
`
A primeira vista, o problema de resolver essas equa¸c˜oes parece satisfat´orio desde
que o n´umero de inc´ognitas ´e igual ao de equa¸c˜oes. Entretanto, desde que o tensor de
Einstein satisfaz `as quatro identidades de Bianchi:
∇
ν
G
µν
= 0, (2.86)
45
o tensor de m´e trica n˜ao pode ser determinado univocamente desde que ´e introduzida
uma liberdade adicional, dada p elas transforma¸c˜oes de coordenadas, as quais incluem
quatro fun¸c˜oes arbitr´arias. A solu¸c˜ao para este problema ´e impormos quatro condi¸c˜oes
diferenciais adicionais, as quais s˜ao chamadas de condi¸c˜oes de coordenadas, e provˆem a
determina¸c˜ao do sistema de coordenadas no qual o tensor de m´etrica ´e calculado.
´
E interess ante notar aqui que a escolha das condi¸c˜oes de coordenadas em relatividade
geral ´e semelhante `a escolha do gauge na eletrodinˆamica. Ao resolvermos as equa¸c˜oes
de Maxwell para os potenciais, temos de fixar o gauge. Este grau de liberdade adicional
existe j´a que, se A
µ
´e uma solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Maxwell, ent˜ao A
µ
+ ∂
µ
Λ tamb´em
ser´a.
2.6 A m´etrica de Schwarzschild
Nas ultimas se¸c˜oes apresentamos as equa¸c˜oes de Einstein e comentamos suas propri-
edades. Para terminar este cap´ıtulo vamos resouvˆe-las para o caso de um campo gravita-
cional esf´ericamente sim´etrico . Vamos usar o seguinte elemento de linha para descrever
uma m´etrica esfericamente sim´etrica :
ds
2
= e
ν
dt
2
− e
λ
dr
2
− r
2
(dθ
2
+ sen
2
θdφ
2
) (2.87)
onde estamos utilizando as coordenadas (t, r, θ, φ). Para encontrar as equa¸c˜oes diferenciais
satisfeitas por ν e λ, temos de resolver as equa¸c˜oes de Einstein 2.84. Para este fim, n´os
precisamos calcular os s´ımbolos de Christoffel nessa m´etrica. Usando ent˜ao 2.16, obtemos:
Γ
0
00
=
˙ν
2
, Γ
0
01
=
ν
2
, Γ
0
11
=
˙
λ
2
e
λ−ν
Γ
1
00
=
ν
2
e
ν−λ
, Γ
1
01
=
˙
λ
2
, Γ
1
11
=
λ
2
Γ
1
22
= −re
−λ
, Γ
1
33
= −rsen
2
θe
−λ
(2.88)
Γ
2
12
=
1
r
, Γ
2
33
= −senθcosθ
Γ
3
13
=
1
r
, Γ
3
23
= cotθ.
As outras componentes zeram por propriedades de simetria. Nas equa¸c˜oes 2.89, o ponto
denota diferencia¸c˜ao em rela¸c˜ao `a coordenada temporal e a prima diferencia¸c˜ao em rela¸c˜ao
a r.
Com os s´ımbolos de Christoffel acima, n´os podemos calcular as express˜oes para o
tensor de Ricci e o tensor de Einstein, usando 2.54 e 2.56, respectivamente. As ´unicas
46
componentes n˜ao-nulas do tensor misto de Einstein G
ν
µ
fornecem, ent˜ao, as seguintes
equa¸c˜oes de campo:
G
0
0
= −e
−λ
1
r
2
−
λ
r
+
1
r
2
= κT
0
0
, (2.89)
G
1
0
= −
1
2
e
−λ
˙
λ
r
= κT
1
0
, (2.90)
G
1
1
= −e
−λ
ν
r
+
1
r
2
+
1
r
2
= κT
1
1
, (2.91)
G
2
2
= −
1
2
e
−λ
ν
+
ν
2
+
ν
− λ
r
−
ν
λ
2
(2.92)
+
1
2
e
−ν
¨
λ +
˙
λ
2
−
˙n
˙
λ
2
= κT
2
2
,
G
3
3
= G
2
2
= κT
3
3
, (2.93)
todas as outras componentes do tensor de Einstein s˜ao identicamente nulas.
As equa¸c˜oes de campo p odem, agora, ser integradas exatamente para o caso de um
campo gravitacional esfericamente sim´etrico no v´acuo, ou seja na ausˆencia de mat´eria.
Faremos isto tomando o tensor momentum-energia como igual a zero nas equa¸c˜oes 2.89 a
2.93. N´os obtemos, ent˜ao, as seguintes equa¸c˜oes independentes :
−e
−λ
ν
r
+
1
r
2
−
1
r
2
= 0 , (2.94)
−e
−λ
λ
r
−
1
r
2
+
1
r
2
= 0 , (2.95)
˙
λ = 0. (2.96)
Adicionando as duas primeiras equa¸c˜oes de 2.96, n´os encontramos:
ν
+ λ
= 0 , (2.97)
de forma que:
ν + λ = f(x
0
) , (2.98)
onde f(x
0
) ´e uma fun¸c˜ao somente da coordenada temporal x
0
.
Podemos, agora, fazer uma transforma¸c˜ao de coordenadas que mantenha a forma do
elemento de linha 2.87 inalterada. Esta ´e uma transforma¸c˜ao arbitr´aria da coordenada
temporal x
0
da forma x
0
= h(x
0
), mantendo as coordenadas espaciais inalteradas, x
k
=
x
k
, para k = 1, 2, 3. Sob esta transforma¸c˜ao de coordenadas n´os obtemos:
g
00
=
∂x
α
∂x
0
∂x
β
∂x
0
g
αβ
=
dx
0
dx
0
2
g
00
=
˙
h
2
g
00
. (2.99)
47
Se n´os escolhermos a fun¸c˜ao h(x
0
) como
˙
h =
dx
0
dx
0
= e
−f(x
0
)/2
, (2.100)
com f(x
0
) dado por 2.98, n´os obtemos de 2.99:
g
00
= e
−f
g
00
= e
ν−f
. (2.101)
De acordo com isso, a transforma¸c˜ao acima adiciona `a fun¸c˜ao ν uma fun¸c˜ao arbitr´aria do
tempo, enquanto mant´em inalterada todas as outras componentes do tensor de m´etrica.
A equa¸c˜ao 2.101 mostra que podemos escolher a fun¸c˜ao h de tal forma que ν + λ = 0 no
novo sistema de coordenadas. Conseq¨uentemente, usando a terceira das equa¸c˜oes 2.96,
vemos que tanto ν como λ podem ser tomadas como independentes do tempo. Chegamos,
ent˜ao, ao importante resultado de que um campo gravitacional esfericamente sim´etrico
no v´acuo ´e necessariamente est´atico
7
.
As equa¸c˜oes 2.96 podem agora ser integradas. Suas solu¸c˜oes s˜ao dadas por:
e
ν
= e
−λ
= 1 −
r
s
r
, (2.102)
onde r
s
´e uma constante de integra¸c˜ao, a qual pode ser determinada a partir do reque-
rimento de que a se gunda lei de Newton seja satisfeita a grandes distˆancias do centro de
massa. Isto acontecer´a, para uma distribui¸c˜ao de massa esfericamente sim´e trica, se:
r
s
=
2Gm
c
2
, (2.103)
nesta forma r
S
´e chamado de raio de Schwazschild
N´os ent˜ao obtemos, para uma campo gravitacional esfericamente sim´etrico, o seguinte
tensor de m´etrica covariante:
g
µν
=
1 −
r
s
r
−(1 −
r
s
r
)
−1
−r
2
−r
2
sen
2
θ
. (2.104)
7
Este resultado ´e conhecido como teorem a de Birkhoff (18, 21–24).
48
Enquanto o tensor de m´etrica contravariante toma a seguinte forma:
g
µν
=
(1 −
r
s
r
)
−1
−(1 −
r
s
r
)
−r
−2
−r
−2
sen
−2
θ
. (2.105)
A m´etrica representada acima ´e conhecida como m´etrica de Schwazschild.
49
3 CAMPOS TENSORIAIS DE
MAT
´
ERIA EM ESPAC¸ OS
CURVOS
Neste cap´ıtulo, faremos uma an´alise dos campos tensoriais de mat´eria em um espa¸co
tempo curvo. Como vimos no cap´ıtulo 1, a teoria de Avdeev-Chizhov, que descreve os
campos de mat´eria, ´e completamente equivalente a uma teoria do tipo λφ
4
para o campo
complexo ϕ
µν
, o qual obedece a condi¸c˜ao de auto-dualidade complexa ϕ
µν
= i
ϕ
µν
, onde
esta propriedade depende da assinatura da m´etrica do espa¸co em que estamos trabalhando.
A introdu¸c˜ao de um espa¸co-tempo curvo implica em certas dificuldades, j´a que agora
o pr´oprio espa¸co-tempo, assim como os campos, se comporta de forma dinˆamica. Assim,
o estudo da teoria de Avdeev-Chizhov, o qual j´a era dif´ıcil no espa¸co-tempo plano, pode
se tornar uma tarefa ainda mais complicada e cansativa em um cen´ario com curvatura.
Entretanto, vamos tentar contornar estas dificuldades mostrando que a teoria de Avdeev-
Chizhov ´e completamente equivalente `a uma teoria do tipo λϕ
4
, a qual ´e mais simples,
tamb´em em um espa¸co-tempo curvo. Como veremos, esta equivalˆencia existe, o que
implicar´a em simplifica¸c˜ao, j´a que, como veremos, tornar´a mais f´acil o c´alculo do tensor
momentum-energia para o campo T
µν
, o qual em relatividade geral descreve a distribui¸c˜ao
de mat´eria que produz o campo gravitacional.
No final, como um exemplo da teoria, vamos resolver as equa¸c˜oes de Einstein para
o campo T
µν
em um espa¸co - tempo do tipo Schwazschild. Neste cen´ario, veremos que
o campo tensorial de mat´eria possui apenas dois graus de liberdade longitudinais, o que
segundo a se¸c˜ao 1.3, implica na positividade de seu hamiltoniano.
50
3.1 Condi¸c˜ao de auto-dualidade complexa em espa¸cos
curvos
Para mostrar a equivalˆencia entre Avdeev-Chizhov e λϕ
4
em um espa¸co com curva-
tura de quatro dimens˜oes e assinatura -2, vamos, primeiramente, verificar se ´e poss´ıvel
construir um tensor auto-dual complexo em um cen´ario desse tipo.
O dual de um tensor em um espa¸co curvo de quatro dimens˜oes ´e definido como:
F
µν
=
1
2
µνρσ
F
ρσ
, (3.1)
com
µνρσ
=
√
−gε
µνρσ
,
µνρσ
=
1
√
−g
ε
µνρσ
, (3.2)
onde ε
µνρσ
´e o tensor de Levi-Civita definido no cap´ıtulo 1.
Vamos, agora, tentar construir um campo complexo ϕ
µν
de forma semelhante ao que
fizemos no espa¸co-tempo plano:
ϕ
µν
= T
µν
+ i
T
µν
. (3.3)
Da equa¸c˜ao acima, temos que:
ϕ
µν
=
T
µν
+ i
T
µν
, (3.4)
onde
T
µν
´e dado por 3.1 e, para
T
µν
, teremos:
T
µν
=
√
−g
2
ε
µναβ
(
T
αβ
) =
√
−g
2
ε
µναβ
1
2
√
−g
ε
αβστ
T
στ
(3.5)
=
1
4
ε
µναβ
ε
αβστ
T
στ
=
−2
4
(δ
σ
µ
δ
τ
ν
− δ
σ
ν
δ
τ
µ
)T
στ
(3.6)
= −T
µν
, (3.7)
de forma que ficamos com:
ϕ
µν
=
T
µν
− iT
µν
→ i
ϕ
µν
= T
µν
+ i
T
µν
= ϕ
µν
, (3.8)
51
ou seja,
i
ϕ
µν
= ϕ
µν
, (3.9)
de forma que podemos construir tensores auto-duais complexos tamb´em em espa¸cos-tempo
curvos com quatro dimens˜oes.
3.2 O modelo tensorial de mat´eria como uma teoria
λϕ
4
em espa¸cos curvos
Com a possibilidade de construirmos campos autoduais complexos em espa¸cos curvos,
vamos nesta se¸c˜ao investigar se a a¸c˜ao do campo auto-dual complexo ϕ
µν
´e equivalente `a
a¸c˜ao de Avdeev-Chizhov tamb´em neste tipo de cen´ario. Neste sentido, vamos primeira-
mente escrever a a¸c˜ao completa para o campo ϕ
µν
com intera¸c˜ao com o campo de gauge
A
µ
e com os f´ermions de Dirac em um espa¸co-tempo com curvatura. Para isto, vamos
usar os princ´ıpios da equivalˆencia e da covariˆancia geral descritos nas se¸c˜oes 2.3 e 2.4,
respectivamente, e fazer as seguintes transforma¸c˜oes:
η
µν
→ g
µν
,
d
4
x →
√
−gd
4
x,
ϕ
µν
, α
→ ϕ
µν
; α
,
ϕ
µν
|α
→ ϕ
µν
||α
.
Aqui usamos || para designar a derivada covariante em rela¸c˜ao a transforma¸c˜oes de co-
ordenadas e de gauge, e | para designar a derivada covariante somente em rela¸c˜ao a
transforma¸c˜oes de gauge
1
. Vamos, tamb´em, trocar as matrizes de Dirac em um espa¸co-
tempo plano γ
µ
pelas matrizes de Dirac em espa¸cos curvos ρ
µ
e a derivada usual de um
espinor ψ pela derivada covariante espinorial, conforme ´e mostrado no apˆendice A
1
A nota¸c˜ao acima ´e usada na referˆencia (18)
52
γ
µ
→ ρ
µ
,
ψ
, µ
→ ψ
; µ
.
Tamb´em, vamos incluir a a¸c˜ao da gravidade, a qual de acordo com 2.60, ´e dada por:
S
g
=
√
−gRd
4
x ,
onde R = g
µν
R
µν
´e o escalar de Ricci.
Dai, a a¸c˜ao para o campo ϕ
µν
em espa¸cos curvos ser´a:
S
inv
=
√
−gd
4
x(
1
16πG
R −
1
4g
2
F
µν
F
µν
+ iρ
µ
ψ
; µ
−
¯
ψρ
µ
γ
5
A
µ
ψ −(ϕ
µν
µ
)
∗
(ϕ
σ
σν
)
+
q
8
(ϕ
∗µν
ϕ
να
ϕ
∗αβ
ϕ
βµ
) +
1
2
y
¯
ψσ
µν
(ϕ
∗µν
+ ϕ
µν
)ψ ), (3.10)
possuindo, de forma semelhante ao que acontece no espa¸co de Minkowski, as seguintes
invariˆancias:
δA
µ
= ω
; µ
= ω
, µ
;
δψ = −iωγ
5
ψ ; (3.11)
δ
¯
ψ = −iω
¯
ψγ
5
;
δϕ
µν
= −2iωϕ
µν
. (3.12)
Escrevendo ϕ
µν
em termos de suas componentes T
µν
,
T
µν
e usando as seguintes iden-
tidades:
T
µλ
T
λν
= T
µλ
T
λν
+
1
2
δ
ν
µ
T
αβ
T
αβ
;
53
T
µλ
T
λν
= −
1
4
δ
ν
µ
T
αβ
T
βα
; (3.13)
T
µρ
T
σρ
; σ
= −
1
2
T
αβ
T
αβ; µ
− (T
λµ; σ
)T
σλ
; (3.14)
T
αβ
T
αβ; µ
; µ
= −2T
αβ
T
να; β
; ν
− 2
T
αβ
T
να; β
; ν
; (3.15)
´e f´acil ver que a a¸c˜ao 3.10 e as transforma¸c˜oes acima se reduzem a
S
inv
=
√
−gd
4
x(
1
16πG
R −
1
4g
2
F
µν
F
µν
+ iρ
µ
ψ
; µ
− ρ
µ
γ
5
A
µ
ψ +
1
2
(T
µν; λ
)
2
(3.16)
−2(T
; µ
µν
)
2
+ 4A
µ
(T
µν
T
; λ
λν
−
T
µν
T
; λ
λν
) + 4(
1
2
(A
λ
T
µν
)
2
− 2(A
µ
T
µν
)
2
)
+y
¯
ψσ
µν
T
µν
ψ +
q
4
(
1
2
(T
µν
T
µν
)
2
− 2T
µν
T
νρ
T
ρλ
T
λµ
) ),
e
δA
µ
= ω
; µ
= ω
, µ
;
δψ = −iωγ
5
ψ ; (3.17)
δ
¯
ψ = −iω
¯
ψγ
5
;
δT
µν
= −2ω
T
µν
. (3.18)
Temos que a a¸c˜ao e as transforma¸c˜oes encontradas acima descrevem uma teoria do
tipo Avdeev-Chizhov em espa¸cos curvos. M ostramos assim que, tamb´em neste contexto,
a teoria de Avdeev-Chizhov ´e equivalente a uma teoria do tipo λφ
4
. Como veremos, este
resultado simplificar´a o estudo dos campos de mat´eria em espa¸cos com curvatura.
54
3.3 Tensor momentum-energia
Nesta se¸c˜ao, vamos supor que temos uma determinada distribui¸c˜ao de campos de
mat´eria gerando um campo gravitacional. Como vimos na se¸c˜ao 2.5.2, as propriedades
dessa distribui¸c˜ao s˜ao determinadas pelas componentes do tensor de m´etrica, as quais s˜ao
as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de Einstein. Segundo estas mesmas equa¸c˜oes, as propriedades
dessa distribui¸c˜ao de mat´eria s˜ao descritas pelo tensor momentum-energia Θ
µν
definido
na se¸c˜ao 2.5. Dessa forma, este objeto possui grande importˆancia em relatividade geral.
Vamos mostrar nesta se¸c˜ao que a equivalˆencia entre a teoria de Avdeev-Chizhov e a
teoria λϕ
4
em espa¸cos curvos simplifica, em muito, o c´alculo do tensor momentum-energia
para os campos de mat´eria.
Usando 2.81, temos:
Θ
µν
=
2
√
−g
∂(
√
−gL)
∂g
µν
−
∂
∂x
α
[
∂(
√
−gL)
∂g
µν
, α
]
. (3.19)
Como a teoria de Avdeev-Chizhov para o campo T
µν
´e completamente equivalente `a te-
oria λφ
4
para o camp o ϕ
µν
tamb´em em espa¸cos curvos, podemos usar a lagrangeana que
descreve um ou outro modelo para calcular o tensor momentum-energia acima. Como a
a¸c˜ao para o campo ϕ
µν
´e mais simples, vamos usar a mesma. Al´em disso, como vamos
ver, o fato de ϕ
µν
ser autodual complexo ir´a simplificar os c´alculos em espa¸cos curvos.
Tomando a equa¸c˜ao 3.10, temos que somente o termo cin´etico da lagrangeana para o
campo ϕ
µν
poderia apresentar alguma dependˆencia das derivadas m´etrica em rela¸c˜ao `as
coordenadas. Entretanto, da condi¸c˜ao de auto-dualidade complexa, ϕ
µν
= i
ϕ
µν
, podemos
escrever:
(ϕ
µν
|| µ
)
∗
(ϕ
|| σ
σν
) = g
νλ
(
ϕ
µν
|| µ
)
∗
(
ϕ
σλ
|| σ
). (3.20)
Para um tensor de segunda ordem anti-sim´etrico S
µν
, temos que
S
αβ
; α
=
1
2
αβµν
S
µν, α
, (3.21)
dai,
ϕ
αβ
|| α
=
1
2
αβµν
ϕ
µν| α
. (3.22)
55
Ent˜ao ficamos com:
(ϕ
µν
|| µ
)
∗
(ϕ
|| σ
σν
) = g
σω
g
ρφ
g
τγ
µναβ
ωνφγ
(ϕ
αβ |µ
)
∗
(ϕ
ρτ |σ
)
=
−1
4
g
σω
g
ρφ
g
τγ
δ
µαβ
ωφγ
(ϕ
αβ |µ
)
∗
(ϕ
ρτ |σ
).
Como podemos perceber n˜ao h´a dependˆencia nas derivadas da m´etrica em rela¸c˜ao `as
coordenadas na lagrangeana para o campo ϕ
µν
, de forma que o segundo termo do lado
direito de 3.19 ´e nulo. Calculando, ent˜ao, o termo remanescente da mesma equa¸c˜ao,
encontraremos,
Θ
µν
= 3g
ρφ
(ϕ
[φν , ω]
)
∗
(ϕ
, ω
ρµ
−
1
2
g
τω
ϕ
ρτ , µ
) (3.23)
−
q
8
(ϕ
∗λγ
ϕ
γµ
ϕ
∗β
ν
ϕ
βλ
+ 3ϕ
∗λγ
ϕ
σ
γ
ϕ
∗
σν
ϕ
µλ
)
−
1
2
g
µν
L + (µ ↔ ν). (3.24)
Em termos do campo de mat´eria T
µν
temos:
Θ
µν
= − (3/2)g
ρφ
T
[ωφ , ν]
(T
, ω
ρµ
−
1
2
g
τω
T
ρτ , µ
) + (T →
T )
+
q
2
(T
λ
µ
T
νλ
T
ωφ
T
ωφ
+ 4T
βν
T
µλ
T
λα
T
β
α
)
−
1
2
g
µν
L + (µ ↔ ν),
onde suprimimos, sem perda de generalidade, os termos de intera¸c˜ao com os campos ele-
tromagn´e tico e espinorial.
Se considerarmos a intera¸c˜ao dos campos de mat´eria com o campo eletromagn´etico,
´e f´acil verificar que o Θ
µν
possui invariˆancia de gauge.
Temos que a derivada covariante de gauge tem de se transformar da mesma forma
que os campos, ou seja,
δ(ϕ
ρσ |µ
) = 2iωϕ
ρσ |µ
. (3.25)
Podemos, ent˜ao, definir, para o campo ϕ
µν
, a seguinte derivada covariante de gauge:
56
ϕ
ρσ |µ
= −iϕ
ρσ, µ
− 2A
µ
ϕ
ρσ
, (3.26)
dai, variando sob gauge o tensor momentum-energia, teremos:
δΘ
µν
= 3g
ρφ
[δ(ϕ
[φν , ω]
)
∗
(ϕ
, ω
ρµ
−
1
2
g
τω
ϕ
ρτ , µ
) + (ϕ
[φν , ω]
)
∗
(δϕ
, ω
ρµ
−
1
2
g
τω
δϕ
ρτ , µ
)
−
q
8
δ(ϕ
∗λγ
ϕ
γµ
ϕ
∗β
ν
ϕ
βλ
+ 3ϕ
∗λγ
ϕ
σ
γ
ϕ
∗
σν
ϕ
µλ
) +
1
4h
2
√
−gδ
1
4
g
µν
F
αβ
F
αβ
− F
µα
F
α
ν
−
1
2
g
µν
δL + (µ ↔ ν) = 0
Assim, provamos que o Θ
µν
´e invariante de gauge.
3.4 Campos tensoriais de mat´eria em um espa¸co-tempo
do tipo Schwarzschild
Como aplica¸c˜ao da teoria vista nas se¸c˜oes anteriores, vamos aqui resolver as equa¸c˜oes
para o campo tensorial de mat´eria em um espa¸co-tempo do tipo Schwarzschild, ou seja,
em um espa¸co-tempo est´atico e com simetria esf´erica. Esta situa¸c˜ao corresponde a inves-
tigarmos, por exemplo, a geometria do espa¸co-tempo no interior de uma estrela formada
pelo campo tensorial de mat´eria e que possua as simetrias especificadas acima. Como o
campo de mat´eria ´e carregado, este problema ´e, neste aspecto, similar ao problema de
Reissner-Nordstrøm.
3.4.1 Construindo um cen´ario esfericamente sim´etrico
Nesta se¸c˜ao, vamos iniciar nossas investiga¸c˜oes sobre a forma que T
µν
deve ter para
que o mesmo produza um cen´ario de Schwarzschild. Vamos come¸car com as condi¸c˜oes de
simetria esf´erica.
A primeira forma para um tensor de segunda ordem anti-sim´etrico com simetria
esf´erica foi encontrada por Papapetrou (25) e possu´ıa somente as componentes radiais
T
10
= w(r, t) e T
23
= v(r, t)senθ diferentes de zero. Entretanto, Papapetrou se baseou em
um argumento errˆoneo, como foi mostrado alguns anos mais tarde por P.C. Vaidya, o qual
encontrou a forma correta para um tensor de segunda ordem anti-sim´etrico com simetria
57
esf´erica, a qual continha, al´em das componentes radiais acima, componentes transversas
(26, 27). Por outro lado, como mostrado pelo pr´oprio Vaidya algumas teorias f´ısicas,
como a eletrodinˆamica e a ent˜ao teoria do campo unificado de Einstein, n˜ao suportavam
estas novas componentes, fazendo com que as mesmas fossem assumidas como nulas nes-
tas teorias. Assim, vamos come¸car nossa investiga¸c˜ao de uma forma ingˆenua, admitindo
que o campo de mat´eria T
µν
esfericamente sim´etrico possui a forma sugerida por Vaidya e
verificar se a teoria de Avdeev-Chizhov suporta ou n˜ao as componentes transversas acima.
Seguindo Vaidya, teremos:
T
µν
=
0 −H −Qv Qu sin θ
H 0 P v −P usenθ
Qv −P v 0 E sin θ
−Qusenθ P usenθ −Esenθ 0
,
onde as letras mai´usculas s˜ao fun¸c˜oes de (r, t) e as min´usculas de (θ, φ), sendo que as
fun¸c˜oes u e v est˜ao relacionadas a polariza¸c˜ao do campo.
2
Podemos simplificar a f orma de T
µν
intro duzindo quatro condi¸c˜oes de c oordenas, as
quais, como vimos no cap´ıtulo 2, s˜ao necess´arias para que possamos resolver as equa¸c˜oes
de Einstein. Ent˜ao, seguindo o pr´oprio Vaidya, vamos fazer uma transforma¸c˜ao de coor-
denadas de forma que as quatro condi¸c˜oes abaixo sejam obedecidas:
v = 0
u = 1 (3.27)
q(∂t/∂t
) − p(∂r/∂t
) = 0
a(∂t/∂r
)
2
+ 2b(∂t/∂r
)(∂r/∂r
) + c(∂r/∂r
)
2
= 0 (3.28)
onde a, b e c s˜ao constantes arbitr´arias.
´
E f´acil de verificar, com base em 3.28, que a arbitrariedade das constantes a, b e c
permite-nos sempre definir a transforma¸c˜ao acima de modo que o jacobiano da mesma
nunca zere e, assim, esta transforma¸c˜ao ´e sempre poss´ıvel
3
.
2
a demonstra¸c˜ao desse resultado encontra-se no apˆendice B.
3
ver se¸c˜ao 2.1.1
58
Com esta transforma¸c˜ao, T
µν
adquire, a seguinte forma:
T
µν
=
0 −H 0 0
H 0 0 −P senθ
0 0 0 Esenθ
0 Psenθ −Esenθ 0
, (3.29)
onde, agora, H, E e P s˜ao fun¸c˜oes das novas coordenadas, as quais chamaremos de (r
, t
).
´
E interessante, tamb´em, escrevermos a forma do dual
T
µν
,
T
µν
=
0 −E
P
0
−E
0 0 0
−P
0 0 −H
senθ
0 0 H
senθ 0
, (3.30)
onde, chamando as novas coordenadas somente de r e t,
E
(r, t) = r
−2
e
(ν+λ)/2
E(r, t), P
(r, t) = −P e
(ν−λ)/2
e H
(r, t) = r
2
e
−(ν+λ)/2
H(r, t).
(3.31)
3.4.2 Construindo um cen´ario est´atico
Vamos agora investigar que condi¸c˜oes devemos impor sobre os campos de mat´eria
para que os mesmos reproduzam um cen´ario est´atico. Primeiramente, vamos admitir a
existˆencia de um campo de Killing tipo-tempo ξ
µ
(x), ξ
µ
ξ
µ
> 0, ortogonal a uma fam´ılia
de hipersuperf´ıcies e vamos impor que os campos de mat´eria obede¸cam a equa¸c˜ao de
Killing:
ξ
ρ
T
µν , ρ
+ T
µρ
ξ
ρ
, ν
+ T
ρν
ξ
ρ
, µ
= 0. (3.32)
Vamos considerar, agora, as linhas-mundo(trajet´orias) do vetor ξ
µ
. Desde que ele ´e tipo-
tempo, podemos construir um sistema de coordenadas tal que somente a coordenada
temporal x
0
mude ao longo dessas trajet´orias. Assim, as trajet´orias de ξ
µ
permanecer˜ao
sobre o nosso eixo x
0
de forma que, em nosso novo s istema de coordenadas as componentes
espaciais de ξ
µ
zeram. Al´em disso, n´os podemos escolher a componente n˜ao nula do nosso
vetor de Killing como sendo igual a um (18). Ent˜ao, n´os teremos:
ξ
µ
(x) = (1, 0, 0, 0). (3.33)
59
Usando 3.33 na equa¸c˜ao de Killing 3.32, n´os ficamos com:
T
µν , 0
= 0.
4
(3.34)
Vamos agora investigar o caso no qual as trajet´orias do vetor de Killing ξ
µ
s˜ao orto-
gonais a uma fam´ılia de hipersuperf´ıcies.
A equa¸c˜ao de uma fam´ılia de hipersuperf´ıcies f ´e dada por
f(x
α
) = µ , (3.35)
onde os diferentes membros da fam´ılia correspondem a diferentes valores de µ.
N´os podemos definir o vetor
η
ν
= f
, ν
(3.36)
como sendo ortogonal `a fam´ılia de hipersuperf´ıcies f (21). Ent˜ao, um campo vetorial Ξ
µ
ser´a ortogonal a f quando
Ξ
µ
= λ(x)η
µ
, (3.37)
onde λ(x) ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria das coordenadas. Usando 3.33 e 3.36 encontraremos
as seguintes equa¸c˜oes:
f
, 0
= g
00
λ
−1
(3.38)
e
f
, 1
= 0. (3.39)
De 3.38 n´os teremos
f = g
00
dt λ
−1
(r, t) + τ(r), (3.40)
onde τ(r) ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria.
Desde que λ(r, t) ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria, n´os podemos escolher a integral acima como
sendo:
dt λ
−1
(r, t) = g
00
κ(t) (3.41)
de forma que
f(r, t) = κ(t) + τ(r). (3.42)
4
N´os tamb´em temos que em nosso novo sistema de coordenadas, todas as componentes do tensor de
m´etrica s˜ao independentes do tempo (18, 21).
60
Em nosso trabalho, vamos sempre usar fam´ılias de hipersuperf´ıcies desse tipo. Posterior-
mente, voltaremos a este ponto.
3.4.3 Tensor momentum-energia
No sentido de escrever as equa¸c˜oes de Einstein para os campos de mat´eria, vamos
calcular o tensor momentum-energia para os mesmos. Vamos usar a equivalˆencia entre a
teoria de Avdeev-Chizhov e a teoria λϕ
4
para simplificar os nossos c´alculos. De acordo
com 1.28, 3.29 e 3.30, o campo complexo ϕ
µν
pode ser escrito como:
ϕ
µν
=
0 α(r) β(r) 0
−α(r) 0 0 γ(r)senθ
−β(r) 0 0 ω(r)senθ
0 −γ(r)senθ −ω(r)senθ 0
. (3.43)
onde α(r), β(r), γ(r) e ω(r) s˜ao fun¸c˜oes complexas.
Estamos agora prontos para calcular as componentes do tensor momentum-energia.
Para a comp onente Θ
00
, encontraremos:
Θ
00
= e
−(λ+ν)
β
, r
β
∗
, r
− r
−2
e
ν−λ
{r
−2
γ(ω
, r
+ ω
∗
, r
) cot θ + e
−ν
β
, r
β
∗
, r
(3.44)
− ω
, r
ω
∗
, r
− r
−2
γ
2
cot
2
θ} + q{...},
de forma que temos uma dependˆencia em cot θ e cot
2
θ, o que de acordo com a equa¸c˜ao 2.89
n˜ao pode acontecer. Assim, a forma esfericamente sim´etrica de T
µν
3.29 implica em uma
forma de Θ
µν
que n˜ao ´e esfericamente sim´e trica.
´
E f´acil ver que es te problema desaparece
se fizermos γ(r) = 0 , ou seja, se anularmos as componentes transversais em 3.29. Isto
nos faz concluir que, assim como a eletrodinˆamica, a teoria de Avdeev-Chizhov para
os campos de mat´eria n˜ao admite componentes transversas em T
µν
. Uma consequˆencia
bastante interessante desse resultado ´e que, no cen´ario em que estamos trabalhando, os
campos de mat´eria possuir˜ao apenas dois graus de liberdade radiais, de forma que se
escolhermos a dire¸c˜ao radial como sendo a longitudinal, segundo a an´alise feita na se¸c˜ao
1.3, os campos de mat´eria possuir˜ao hamiltoniano positivo definido. Tomando, ent˜ao,
γ = 0 e usando a condi¸c˜ao de auto-dualidade complexa para escrever a seguinte rela¸c˜ao:
α = ir
−2
e
(ν+λ)/2
ω, (3.45)
61
ficamos com:
Θ
00
= r
−4
e
ν−λ
ω
, r
ω
∗
, r
−
3q
4
r
−8
e
ν
(ω
∗
ω)
2
, (3.46)
ou ainda:
Θ
0
0
= r
−4
e
−λ
ω
, r
ω
∗
, r
−
3q
4
r
−8
(ω
∗
ω)
2
. (3.47)
As outras componentes, diferentes de zero, de Θ
µν
ser˜ao:
Θ
1
1
= −r
−4
e
−λ
ω
, r
ω
∗
, r
−
3q
4
r
−8
(ω
∗
ω)
2
, (3.48)
Θ
2
2
= −r
−4
e
−λ
ω
, r
ω
∗
, r
−
3q
4
r
−8
(ω
∗
ω)
2
, (3.49)
Θ
3
3
= −r
−4
e
−λ
ω
, r
ω
∗
, r
−
3q
4
r
−8
(ω
∗
ω)
2
. (3.50)
Antes de resolvermos as equa¸c˜oes de Einstein para os campos de mat´eria, vamos voltar
`a equa¸c˜ao 3.42. Se, nela, escolhermos τ(r) = ω(r) e usarmos 3.39, n´os teremos que
ω
, r
= 0 , (3.51)
de forma que ficamos com
Θ
0
0
= Θ
1
1
= Θ
2
2
= Θ
3
3
= −
3q
4
r
−8
(ω
∗
ω)
2
. (3.52)
Estas s˜ao, ent˜ao, as componentes do tensor momentum-energia para os campos tensoriais
de mat´eria em um espa¸co-tempo esfericamente sim´etrico e est´atico.
3.4.4 Resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein para os campos de
mat´eria
Vamos, agora, resolver as equa¸c˜oes de Einstein, as quais s˜ao dadas por 2.89 a 2.93
com Θ
µν
encontrado acima. N´os ficamos, ent˜ao com:
−e
−λ
1
r
2
−
λ
, r
r
+
1
r
2
= −
3κq
4
r
−8
(ω
∗
ω)
2
, (3.53)
62
−e
−λ
1
r
2
+
ν
, r
r
+
1
r
2
= −
3κq
4
r
−8
(ω
∗
ω)
2
, (3.54)
˙
λ = 0. (3.55)
As outras equa¸c˜oes de Einstein podem ser derivadas a partir destas.
Subtraindo as duas primeiras equa¸c˜oes acima, teremos:
ν
, r
+ λ
, r
= 0, (3.56)
o implica que
ν + λ = f(x
0
), (3.57)
onde f(x
0
) ´e fun¸c˜ao somente da coordenada temporal x
0
.
Podemos, agora, fazer uma transforma¸c˜ao de coordenadas de tal forma que x
0
=
h(x
0
), onde a prima indica o novo sistema de coordenadas, mantendo as coordenadas es-
paciais inalteradas. Esta transforma¸c˜ao de coordenadas deve manter a forma do elemento
de linha inalterada. Assim, teremos:
g
00
=
∂x
α
∂x
0
∂x
β
∂x
0
g
αβ
=
dx
0
dx
0
g
00
=
˙
h
2
g
00
. (3.58)
Se escolhermos h(x
0
) de tal forma que
˙
h =
dx
0
dx
0
= e
−f(x
0
)/2
, (3.59)
com f(x
0
) dada acima, teremos:
g
00
= e
−f
g
00
= e
ν−f
. (3.60)
De acordo com isto, a transforma¸c˜ao acima soma a ν uma fun¸c˜ao arbitr´aria do tempo, en-
quanto mant´em inalteradas as outras componentes do tensor de m´etrica. Assim, podemos
escolher h de tal forma que ν + λ = 0 no novo sistema de coordenadas. Conseq¨uentemente
de 3.55, tanto ν com λ podem ser tomadas como independentes do tempo.
Tomando, agora, a equa¸c˜ao 3.53, podemos escrevˆe-la como:
d
dr
[r(1 − e
−λ
)] =
−3κq
4r
6
(ω
∗
ω)
2
, (3.61)
63
a qual tem como solu¸c˜ao geral:
e
−λ
= e
ν
= 1 −
r
s
r
−
r
6
q
r
6
, (3.62)
onde
r
q
=
3κq(ω
∗
ω)
2
20
1/6
. (3.63)
Sumarizando todos os resultados acima, teremos a seguinte express˜ao para a m´etrica:
g
µν
=
1 −
r
s
r
−
r
6
q
r
6
−(1 −
r
s
r
−
r
6
q
r
6
)
−1
−r
2
−r
2
sen
2
θ
, (3.64)
a qual, de forma semelhante `a m´etrica de Reissner - Nordstrøm, depende da carga do
campo (18, 21, 23).
64
CONCLUS
˜
AO
Neste trabalho, mostramos que a teoria de Avdeev-Chizhov para os campos tensoriais
de mat´eria pode, assim como no espa¸co de Minkowski, ser vista como uma teoria do tipo
λϕ
4
para um campo tensorial complexo ϕ
µν
que satisfa¸ca uma condi¸c˜ao de autodualidade
complexa ϕ
µν
= i
ϕ
µν
em espa¸cos-tempo com curvatura.
Mostramos, tamb´em, que a rela¸c˜ao entre as teorias acima simplifica em muito o c´alculo
do tensor momentum-energia para os campos de mat´eria, facilitando, portanto, a genera-
liza¸c˜ao da teoria de Avdeev-Chishov para espa¸cos-temp o c urvos.
Ap´os, como uma aplica¸c˜ao da teoria, resolvemos as equa¸c˜oes de Einstein em um
espa¸co-tempo do tipo Schwazschild, mostrando que os campos tensoriais de mat´e ria re-
produzem uma m´etrica que, de forma semelhante a de Reissner-Nordstrøm (18, 21, 23),
depende da carga do campo. Al´em disso, mostramos que em um cen´ario esfericamente
sim´etrico, os campos tensoriais de mat´eria possuem apenas dois graus de liberdade radi-
ais, de forma que o hamiltoniano dos mesmos ´e positivo definido, conforme discus˜ao feita
na se¸c˜ao 1.3.
Futuras investiga¸c˜oes sobre a generaliza¸c˜ao, para espa¸cos-tempo curvos, do caso n˜ao
abeliano da teoria de Avdeev-Chizhov podem ser feitas. Al´em disso, pode-se estudar o
mecanismo de gera¸c˜ao de massa para T
µν
descrito em (28), no limite de camp os gravita-
cionais fracos.
65
AP
ˆ
ENDICE A -- Matrizes e espinores de
Dirac
Neste apˆendice apresentamos uma breve revis˜ao sobre as matrizes e os espinores de
Dirac no espa¸co-tempo de Minkowski e em um espa¸co-tempo curvo, os quais foram utili-
zados, respectivamente, nos cap´ıtulos 1 e 3 desta disserta¸c˜ao.
A.1 Matrizes e espinores de Dirac no espa¸co de Min-
kowski
As matrizes de Dirac s˜ao definidas como:
γ
0
=
1 0
0 −1
γ =
0 σ
−σ 0
,
onde σ= (σ
1
, σ
2
, σ
3
) s˜ao as matrizes de Pauli e 1 a matriz identidade 2 × 2
1 =
1 0
0 1
, σ
1
=
0 1
1 0
, σ
2
=
0 −i
i 0
, σ
3
=
1 0
0 −1
. (A.1)
As matrizes γ
i
, i = 1, 2, 3 s˜ao anti-hermitianas e γ
0
´e hermitiana. Al´em disso, as
matrizes γ satisfazem a ´algebra de Cliford:
{γ
µ
, γ
ν
} = γ
µ
γ
ν
+ γ
ν
γ
µ
= 2g
µν
. (A.2)
Intro duz -se uma nova matriz γ
5
γ
5
= γ
5
= −
i
4!
ε
µναβ
γ
µ
γ
ν
γ
α
γ
β
, γ
†
5
= γ
5
(A.3)
66
com
γ
2
5
= 1
{γ
5
, γ
µ
} = 0 (A.4)
Define-se tamb´em uma outra matriz em termos do comutador das matrizes γ:
σ
µν
=
i
2
[γ
µ
, γ
ν
] ,
com
[γ
5
, σ
µν
] = 0 , (A.5)
a qual satisfaz a importante identidade:
γ
5
σ
µν
=
i
2
ε
µναβ
σ
αβ
(A.6)
A matriz de conjuga¸c˜ao de carga de espinores ´e definida por
C = iγ
2
γ
0
, (A.7)
satisfazendo as seguintes identidades:
Cγ
µ
C = γ
T
µ
Cγ
5
C = −γ
T
5
Cσ
µν
C = −σ
T
µν
(A.8)
C(γ
5
γ
µ
)C = −(γ
5
γ
µ
)
T
A.2 Espinores em espa¸cos-tempo curvos
Campos espinoriais tˆem sido estudados em relatividade geral por muitos autores (29),
(30), (31), (32), (33) e de, pelo menos, trˆes pontos de vista diferentes, sendo estes trˆes,
em princ´ıpio, equivalentes.
1
Aqui, vamos usar o formalismo das tetradas.
1
Estes formalismos s˜ao sumarizados na referˆencia (31)
67
A.2.1 Tetradas
Seguindo Newmann e Penrose (32), vamos introduzir uma base de vetores l
µ
, n
µ
,
m
µ
e m
∗
µ
em cada ponto de um manifold Riemanniano com assinatura −2. As tetradas
consistem de dois vetores reais tipo-luz l
µ
e n
µ
, e um par de vetores tipo-luz complexos
m
µ
e m
∗
µ
, formados por dois vetores reais ortonormais tip o-espa¸co, a
µ
e b
µ
, como segue:
m
µ
=
(a
µ
− ib
µ
)
√
2
. (A.9)
As tetradas satisfazem as rela¸c˜oes de pseudo-ortogonalidade:
l
µ
n
µ
= −m
µ
m
∗µ
= 1, (A.10)
com todos os outros produtos escalares zerando. Introduzindo os s´ımbolos e
µ
a
para as
tetradas (l
µ
, n
µ
, m
µ
e m
µ∗
), com a = 1, 2, 3, 4 enumerando as tetradas, vamos definir,
trabalhando em cada ponto, uma matriz de escalares g
ab
, a qual chamaremos de ”frame
metric”:
g
ab
= g
µν
e
µ
a
e
ν
b
. (A.11)
Desde que e
µ
a
s˜ao L.I. e g
µν
´e n˜ao singular, segue-se que g
ab
´e n˜ao-singular e, portanto,
invert´ıvel. Definimos, portanto, a sua inversa g
ab
, por
g
ab
g
ac
= δ
c
b
. (A.12)
N´os usaremos, ent˜ao, g
ab
para levantar e baixar ´ındices, da mesma forma que fazemos
com o tensor de m´etrica. Podemos, ainda, verificar a rela¸c˜ao inversa
g
µν
= e
a
µ
e
b
ν
g
ab
. (A.13)
Tomando,agora, e
µ
1
= l
µ
; e
µ
2
= n
µ
; e
µ
3
= m
µ
; e
µ
4
= m
∗µ
, da condi¸c˜ao de pseudo-
ortonormalidade, n´os teremos:
g
ab
=
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 −1 0
, (A.14)
de forma que, ficamos com:
g
µν
= e
a
µ
e
b
ν
η
ab
(A.15)
68
Tamb´em, temos que a condi¸c˜ao de pseudo-ortogonalidade, pode ser escrita, agora, como:
(e
a
)
µ
(e
b
)
µ
= η
ab
(A.16)
Outras rela¸c˜oes s˜ao:
g
µν
= 2[l
(µ
n
ν)
− m
(µ
m
∗
ν)
] (A.17)
g
µν
= 2[l
(µ
n
ν)
− m
(µ
m
∗ν)
] (A.18)
que nos d˜ao o tensor de m´etrica em termos de produtos de tetradas.
A.2.2 Espinores de Dirac em espa¸cos curvos
Tendo introduzido o formalismo das tetradas na se¸c˜ao anterior, vamos agora discutir
como os espinores de Dirac s˜ao formulados em um espa¸co-tempo curvo.
As matrizes de Dirac s˜ao definidas em espa¸cos curvos da seguinte forma:
ρ
µ
= e
µ
a
γ
a
, (A.19)
onde a = 0, 1, 2, 3 e ρ
µ
satisfazem a ´algebra de Clifford:
ρ
µ
ρ
ν
+ ρ
ν
ρ
µ
= 2g
µν
. (A.20)
E a matriz ρ
5
´e definida como:
ρ
5
= −
i
4!
abmn
γ
a
γ
b
γ
m
γ
n
= γ
5
(A.21)
onde
abmn
´e o tensor de Levi-Civita em espa¸cos curvos, que no formalismo das tetradas
´e definido como:
abmn
= e
α
a
e
β
b
e
µ
m
e
ν
n
ε
αβµν
(A.22)
sendo ε
αβµν
o tensor de Levi-Civita no espa¸co-tempo plano, definido no cap´ıtulo 1.
´
E conveniente definirmos, tamb´em a derivada covariante de um espinor de Dirac:
∇
µ
ψ = ∂
µ
ψ + Γ
µ
ψ (A.23)
onde
Γ
µ
=
1
4
ρ
ν
ρ
ν
; µ
(A.24)
´e a conex˜ao de Fock - Ivannenko (29) (30) (34) (31) (35).
69
AP
ˆ
ENDICE B -- Campos tensoriais
anti-sim´etricos com
simetria esf´erica
O estudo de campos tensoriais anti-sim´etricos com simetria esf´erica foi inicialmente
feito por Papapetrou, onde o mesmo mostrou que um tensor T
µν
anti-sim´etrico tendo
somente as componentes radiais T
10
= w(r, t) e T
23
= v(r, t)senθ diferentes de zero ´e
esfericamente sim´etrico (25). Mais tarde, P.C. Vaidya obteve uma forma mais geral para
um tensor anti-sim´etrico com simetria esf´erica, a qual possu´ıa al´em das componentes
radiais encontradas por Papapetrou componentes transversas (26), (27). A forma proposta
por Vaidya foi utilizada na se¸c˜ao 3.4.1. Neste apˆendice, vamos fazer uma pequena revis˜ao
dos argumentos utilizados p or Vaidya.
B.1 Rota¸c˜oes infinitesimais de uma esfera
Aqui, estaremos interessados na geometria bidimensional de uma esfera de raio a. A
forma quadr´atica fundamental ψ sobre a superf´ıcie da esfera ´e dada por:
ψ = a
2
dθ
2
+ a
2
sin
2
θdφ
2
= g
22
(dx
2
)
2
+ g
33
(dx
3
)
2
. (B.1)
As componentes contravariantes ξ
µ
, µ = 2, 3 de uma transforma¸c˜ao infinitesimal, a qual
pode ser representada pelo movimento de uma esfera em torno de um dos seus diˆametros,
satisfazem as seguintes equa¸c˜oes de Killing:
cos θξ
2
+ sin θ(∂ξ
3
/∂φ) = 0,
sin
2
θ(∂ξ
3
/∂θ) + (∂ξ
2
/∂φ) = 0, (B.2)
∂ξ
2
/∂θ = 0.
70
Da terceira das equa¸c˜oes B.2, temos que ξ
2
= X
3
, onde X
3
´e uma fun¸c˜ao somente de
φ. Indicando por primas as derivadas das fun¸c˜oes em rela¸c˜ao aos argumentos, das duas
primeiras equa¸c˜oes n´os temos:
∂ξ
3
/∂φ = −X
3
cot θ,
∂ξ
3
/∂θ = −X
3
cossec
2
θ. (B.3)
As equa¸c˜oes acima tˆem a seguinte condi¸c˜ao de consistˆencia:
X
3
+ X
3
= 0 ou X
3
= A cos(φ + B). (B.4)
N´os ent˜ao chegamos `a seguinte forma final para as componentes contravariantes ξ
µ
de
uma rota¸c˜ao infinitesimal de uma esfera em torno de seu diˆametro:
ξ
2
= A cos(φ + B), (B.5)
ξ
3
= −A sin(φ + B) cot θ + C, (B.6)
onde A,B e C s˜ao constantes arbitr´arias.
B.2 Campos tensoriais anti-sim´etricos com simetria
esf´erica
A condi¸c˜ao de simetria esf´erica para um campo tensorial ´e a seguinte: existe um
sistema de referˆencia tal, que depois de uma rota¸c˜ao arbitr´aria em torno do centro de si-
metria, as novas componentes T
µν
do tensor possuem a mesma forma funcional em rela¸c˜ao
`as novas coordenadas x
µ
que as componentes antigas do tensor T
µν
possu´ıam em rela¸c˜ao
`as coordenadas antigas x
µ
.
Vamos tomar o centro de simetria como sendo a origem de nosso sistema de coorde-
nadas e considerar uma rota¸c˜ao infinitesimal dada por:
x
µ
= x
µ
+ ξ
µ
δ , (B.7)
71
sendo δ infinitesimal e
ξ
0
= 0, ξ
1
= 0
ξ
2
= A cos(φ + B) ,
ξ
3
= −A sin(φ + B) cot θ + C. (B.8)
´
E claro de considera¸c˜oes gerais que transforma¸c˜oes arbitr´arias das coordenadas r e t
manter˜ao a simetria esf´erica de uma express˜ao tensorial inalterada. Ent˜ao, em B.8 s˜ao
consideradas transforma¸c˜oes somente nas coordenadas θ e ϕ estipulando-se que ξ
0
= ξ
1
=
0.
O crit´erio de simetria esf´erica de um tensor T
µν
´e:
T
µν
(x
µ
) = T
µν
(x
µ
). (B.9)
Substituindo de B.7 os valores de x
µ
no segundo membro de B.9, expandindo em s´erie de
Taylor e considerando somente os termos da ordem de δ, podemos escrever o crit´erio de
simetria esf´erica como:
T
µν
(x
µ
) = T
µν
(x
µ
) + T
µν , µ
ξ
µ
δ. (B.10)
Por outro lado, aplicando a lei de transforma¸c˜ao tensorial a T
µν
, n´os teremos:
T
µν
(x
µ
) = T
µν
(x
µ
) − [ξ
α
, µ
T
αν
+ ξ
α
, ν
T
αµ
]δ. (B.11)
Subtraindo B.10 e B.11, chegamos na seguinte equa¸c˜ao:
ξ
α
, µ
T
αν
+ ξ
α
, ν
T
αµ
+ T
µν , α
ξ
α
= 0, (B.12)
a qual ´e chamada de equa¸c˜ao de Killing.
Os dois primeiros termos do primeiro membro da equa¸c˜ao acima surgem a partir da lei
de transforma¸c˜ao de um tensor, enquanto o terceiro, o qual pode ser chamado de termo de
transporte, surge porque o valor de T
µν
no ponto x
µ
´e comparado com T
µν
transformado
no ponto que possui, depois da transforma¸c˜ao, coordenada x
µ
(e portanto, originalmente
tinha coordenadas x
µ
− ξ
µ
δ).
´
E f´acil verificar que, como resultado de B.12, T
10
e T
23
cossecθ tˆem de satisfazer so-
mente uma equa¸c˜ao da forma:
z
, α
ξ
α
= 0, ou ξ
2
(∂z/∂θ) + ξ
3
(∂z/∂ϕ). (B.13)
72
A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao acima ´e dada por:
z = f(w, r, t), (B.14)
w = Asen(ϕ +B)senθ + C cos θ, (B.15)
sendo f uma fun¸c˜ao arbitr´aria dos seus argumentos.
Como a transforma¸c˜ao das coordenadas r e t, em campos esfericamente sim´etricos,
podem ser estudadas indepe ndentemente das transforma¸c˜oes das coordenadas θ e ϕ, vamos
primeiramente escrever a fun¸c˜ao f como um produto de uma fun¸c˜ao de (r, t) por uma
fun¸c˜ao de (θ, ϕ), onde a forma das fun¸c˜oes de (θ, ϕ) ser´a determinada pelo crit´erio B.12,
enquanto a forma das fun¸c˜oes de (r, t) ser´a decidida p elas equa¸c˜oes de campo que governam
T
µν
. Portanto, de B.12, n´os podemos escrever:
T
10
= H(r, t)h(w) ; T
23
= E(r, t)senθk(w) , (B.16)
onde H, E, h e k s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias de seus argumentos.
Escrevendo as outras c omponentes de T
µν
como produtos de fun¸c˜oes de (r, t) por
fun¸c˜oes de (θ, ϕ), encontraremos que B.12 nos d´a a seguinte forma para as mesmas:
T
12
= P (r, t)v(θ, ϕ), T
13
= −P (r, t)u(θ, ϕ)senθ,
T
20
= Q(r, t)v(θ, ϕ), T
30
= −Q(r, t)u(θ, ϕ)senθ.
Obviamente, todas as fun¸c˜oes de (r, t) s˜ao arbitr´arias, mas u(θ, ϕ) e u(θ, ϕ) tˆem de satis-
fazer as seguintes equa¸c˜oes:
−Asen(ϕ + B)u(θ, ϕ)cosecθ + ξ
2
(∂v(θ, ϕ)/∂θ) + ξ
3
(∂v(θ, ϕ)/∂ϕ) = 0, (B.17)
−Asen(ϕ + B)v(θ, ϕ)cosecθ + ξ
2
(∂u(θ, ϕ)/∂θ) + ξ
3
(∂u(θ, ϕ)/∂ϕ) = 0. (B.18)
Combinando, ent˜ao as equa¸c˜oes acima n´os obtemos:
ξ
α
[∂(u
2
+ v
2
)/∂x
α
] = 0, (B.19)
e
ξ
α
[∂(arctan(u/v))/∂x
α
] + Asen(ϕ + B)cosecθ = 0. (B.20)
73
De B.19 n´os encontramos imediatamente que
u
2
+ v
2
= f
2
, (B.21)
onde f = f(w) ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria de w.
A equa¸c˜ao B.20 pode ser integrada fornecendo o seguinte resultado:
u/v = A cos(ϕ + B){∂w/∂θ}
−1
, (B.22)
de forma que chegamos a:
v = A cos(ϕ + B)(A
2
+ C
2
− w
2
)
−1/2
f(w), (B.23)
u = (Asen(ϕ + B) c os θ − Csenθ)(A
2
+ C
2
− w
2
)
−1/2
f(w). (B.24)
Assim, a express˜ao final de T
µν
que satisfaz o crit´erio B.12 ´e:
T
µν
=
0 −Hh −Qv Qusenθ
Hh 0 P v −Pusenθ
Qv −P v 0 Eksenθ
−Qusenθ P usenθ −Eksenθ 0
, (B.25)
onde P, Q, E e H s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias de r e t; h e k s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias de w,
dada por B.15. As f un¸c˜oes v e u s˜ao dadas por B.23 e B.24, respectivamente. Devemos
observar que B.25 n˜ao ´e a solu¸c˜ao mais geral de B.12, j´a que admitimos transforma¸c˜oes
separadas para as coordenadas (r, t) e (θ, ϕ).
B.3 A polariza¸c˜ao do campo T
µν
Vamos agora considerar, com mais detalhes, a dependˆencia das componentes de T
µν
nas vari´aveis θ e ϕ. Essa dependˆencia ´e encontrada principalmente nas fun¸c˜oes u, v e w.
Temos de B.25 que T
µν
cont´em componentes radiais, T
10
e T
23
, e tamb´em componen-
tes transversas T
12
, T
20
, T
13
e T
30
. Temos que as componentes transversas de um tensor
anti-sim´etrico de segunda ordem com simetria esf´erica s˜ao tomadas em cada ponto do
plano tangente a uma esfera.
´
E bem conhecido do eletromagnetismo que, no plano tan-
74
gente, as componentes transversas do campo eletromagn´etico podem tomar algum par de
dire¸c˜oes ortogonais dependendo da polariza¸c˜ao da respectiva onda. Ent˜ao uma onda ele-
tromagn´e tica polarizada pode escolher, devido a sua polariza¸c˜ao, uma dire¸c˜ao preferencial
sempre que ela p ossuir simetria esf´erica. Efeitos de polariza¸c˜ao, os quais ocorrem no plano
tangente `a esfera em cada ponto, deve r˜ao ent˜ao ser exibidos nas componentes transversas
de nosso tensor anti-sim´etrico. Dessa forma, as fun¸c˜oes u e v, as quais s´o ocorrem nas
componentes transversas de T
µν
, podem ser tomadas para indicar polariza¸c˜ao.
H´a, ainda, uma outra forma na qual as fun¸c˜oes de θ e ϕ podem aparecer em nosso
campo tensorial. Se uma rota¸c˜ao infinitesimal dada por B.7 e B.8 ´e feita em torno de
um diˆametro QOQ’ da esfera, ´e claro que campos tensoriais que possuam simetria axial
em torno de QOQ’, mas que n˜ao possuam simetria esf´erica em torno do ponto O, ir˜ao
obedecer ao crit´erio B.12 e podem estar presentes em sua solu¸c˜ao.
´
E f´acil ver que fun¸c˜oes
indicando simetria axial em torno de QOQ’ ser˜ao, tamb´em, fun¸c˜oes de θ e ϕ. Na se¸c˜ao
B.2 vimos que a fun¸c˜ao w ´e proporcional ao cosseno de um ˆangulo P
ˆ
OQ, onde P ´e o
ponto da esfera sobre o qual o valor do tensor ´e calculado.
´
E portanto claro que w, a
qual ocorre tanto nas componentes radiais como nas transversas, indica simetria axial em
torno de um eixo. Dessa forma, n´os podemos remover todas as fun¸c˜oes de w do nosso
tensor fazendo-as iguais `a unidade. Al´em disso, pode mos escolher as orienta¸c˜oes dos eixos
das nossas coordenadas polares de forma que possamos obter valores simplificados para
as fun¸c˜oes u(θ, ϕ) e v(θ, ϕ) :
v = 0 , u = 1, (B.26)
obtemos, assim, a forma final de T
µν
esfericamente sim´etrico:
T
µν
=
0 −H 0 qsenθ
H 0 0 −psenθ
0 0 0 Esenθ
−qsenθ psenθ −Esenθ 0
.
75
Referˆencias
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