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Regiani Crystina Barbazelli
Laurence Duarte Colvara
Orientador
ILHA SOLTEIRA - SP
MESTRADO
Estudo de Funções de Lyapunov para a
Estabilidade de Sistemas de Potência
unes
p
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
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2
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA – UNESP
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
Estudo de Funções de Lyapunov
para a Estabilidade de Sistemas de Potência
Regiani Crystina Barbazelli
Orientador: Prof. Dr. Laurence Duarte Colvara
Dissertação apresentada à Universidade
Estadual Paulista – UNESP, Campus de
Ilha Solteira, para a obtenção do título de
Mestre em Engenharia Elétrica.
Ilha Solteira – SP, novembro de 2005
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3
Aos meus pais, Maria e Gervásio,
pelo exemplo de vida, amor e apoio
em todos os momentos.
4
Agradecimentos
Ao Prof. Dr. Laurence Duarte Colvara, quero expressar a minha profunda
gratidão, mestre e orientador, por ter estado sempre pronto para dirimir minhas
dúvidas e sugerir novas idéias para que eu pudesse atingir meus intentos.
À minha família que sempre me fez reunir forças para vencer os obstáculos.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES
que forneceu suporte financeiro ao desenvolvimento do presente trabalho.
5
ESTUDO DE FUNÇÕES DE LYAPUNOV PARA A
ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Autor: Regiani Crystina Barbazelli
Orientador: Laurence Duarte Colvara
Resumo
Neste estudo, objetiva-se a compreensão do problema da estabilidade do Sistema de
Energia Elétrica com vistas à metodologia de análise por método direto ou automático,
considerando modelos detalhados em abordagem de sistemas não lineares e não
conservativos, a partir dos métodos diretos e/ou automáticos existentes pela interpretação
física dos termos que constituem as Funções de Lyapunov dos sistemas, incluindo termos de
dissipação e dispositivos de controle e compensação.
O trabalho remete a uma metodologia para análise de estabilidade direta de sistemas
de potência que incluem modelo detalhado para representação de máquina e efeitos de
controle e dispositivos de compensação. Funções de Lyapunov são consideradas para os
sistemas, e as análises são realizadas com respeito à ação de cada dispositivo.
Especificamente, o interesse encontra-se primeiramente em entender o efeito de cada
elemento/dispositivo no desempenho dinâmico (transitório) do sistema, notadamente, com
respeito à sua influência na função energia e sua derivada e, conseqüentemente, utilizar esse
conhecimento para analisar o desempenho dinâmico e transitório do sistema via função
energia.
6
Então, começando com o modelo clássico, a representação de sistema é melhorada
somando decaimento de fluxo, Regulador Automático de Tensão e FACTS (Flexible AC
Transmission Systems). Cada uma dessas entidades implica em torque de sincronização e/ou
de amortecimento efetivos, e, por conseguinte, em modificações na energia potencial. Nota-se
que alguns elementos/dispositivos implicam em torque de amortecimento com conseqüências
na dissipação de energia, propriedades de não conservatividade.
Para isso, é mostrado que os extremos da energia potencial acontecem nos pontos de
equilíbrio dos sistemas, e, também, é mostrado o modo pelo qual cada elemento/dispositivo
afeta a "barreira potencial" a ser vencida pelo sistema quando for instável.
Além disso, observa-se que o uso da energia transitória do sistema para a avaliação do
tempo crítico de chaveamento com a metodologia tradicional leva a resultados muito
pessimistas por causa da natureza não conservativa do sistema representado pela energia
dissipada. Então, propõe-se uma nova formulação para se estimar tempos críticos, utilizando
uma Aproximação Exponencial da Função de Lyapunov, com bons resultados.
Palavras-chave: método de Lyapunov, função energia, estabilidade transitória e tempo
crítico.
7
A STUDY ON LYAPUNOV FUNCTIONS FOR POWER
SYSTEMS STABILITY ANALYSIS
Author: Regiani Crystina Barbazelli
Advisor: Laurence Duarte Colvara
Abstract
In this study, the understanding of the problem of the stability of Electric Power
System is focused in the analysis methodology by means of direct - or automatic - method,
taking int account detailed models in approach of nonlinear and non conservative systems,
starting from the existent methods by means of the physical interpretation of the constituting
terms of the Lyapunov Functions of the systems, including dissipation terms and control
devices and compensation.
The work leads to a direct method for stability analysis of power systems including
detailed model for machine representation and control and compensation devices effects.
Lyapunov Functions are considered for the systems, and the analysis are accomplished with
regard to the action of each device. Specifically, the interest lies in firstly understanding the
effect of each element/device in the dynamic (transient) action of the system, especially, with
regard to their influence in the energy function and their time-derivative and, consequently, to
use this knowledge in order to analyze the dynamic and transient action of the system by
means of energy function.
Then, starting with the classic model, the system representation is improved adding
flux decay, Automatic Voltage Regulator and FACTS (Flexible AC Transmission Systems).
8
Each one of these entities implies in synchronization and/or damping torques, and,
consequently, in modifications in the potential energy. It is noticed that some
elements/devices lead to damping torque implying in dissipation of energy. This is property of
non conservativeness.
It is shown that the extrema of the potential energy happen in the equilibrium points of
the systems, and, it is also shown the way each element/device affect the "potential barrier"
that have to be crossed by the system when it goes unstable.
Besides, it is observed that the traditional use of the transient energy of the system for
the evaluation of the fault critical clearing time leads to very pessimistic results because of the
non conservative nature of the system caused by the energy dissipation. Then, new
formulation to estimate critical clearing times, using an Exponential Approach of the
Lyapunov Function is proposed, with good results.
Keywords: method of Lyapunov, energy function, transitory stability and critical clearing
time.
9
Lista de Figuras
Figura 2.1 – Diagrama Fasorial de MS para Modelo de Dois Eixos......................................................22
Figura 2.2 – Diagrama de Blocos para o Regulador de Velocidade (o governador)..............................24
Figura 2.3 – Diagrama de Blocos do RAT.............................................................................................25
Figura 4.1 – RSP, CTN e MTI. ..............................................................................................................37
Figura 5.1 – Sistema Máquina x Barra Infinita com a presença de CSC. ..............................................46
Figura 5.2 – Sistema Máquina x Barra Infinita com a presença do SVC...............................................49
Figura 6.1 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Sistema MBI com Modelo Clássico .......................................52
Figura 6.2 – Curva de Energia Potencial vs. Ângulo do Modelo Clássico. ...........................................53
Figura 6.3 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com DF......................................................................54
Figura 6.4 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com DF......................................................................55
Figura 6.5 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com DF e RAT..........................................................56
Figura 6.6 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com DF e RAT..........................................................57
Figura 6.7 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com CSC (K
c
=0,05), DF e RAT................................58
Figura 6.8 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com CSC (K
c
=0,05), DF e RAT................................59
Figura 6.9 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com CSC (K
c
=0,2), DF e RAT..................................60
Figura 6.10 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com CSC (K
c
=0,2), DF e RAT................................61
Figura 6.11 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com CSC (K
c
=0,05) e DF........................................61
Figura 6.12 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com CSC (K
c
=0,05) e DF........................................62
Figura 6.13 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com CSC (K
c
=0,2) e DF..........................................62
Figura 6.14 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com CSC (K
c
=0,2) e DF..........................................63
Figura 6.15 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com SVC, DF e RAT ..............................................63
Figura 6.16 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com SVC, DF e RAT ..............................................65
Figura 6.17 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com SVC e DF ........................................................65
Figura 6.18 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com SVC e DF ........................................................66
Figura 7.1 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI Conservativo para o Modelo Clássico ......71
Figura 7.2 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
) e Total (V(x)) do Sistema MBI Conservativo
para o Modelo Clássico....................................................................................................71
10
Figura 7.3 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI com Modelo Clássico................................74
Figura 7.4 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)), Dissipada (E
d
) e
Total (E
T
) do Sistema MBI com Modelo Clássico.............................................................74
Figura 7.5 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI do Modelo com Decaimento de Fluxo......75
Figura 7.6 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)), Dissipada (E
d
) e
Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com Decaimento de Fluxo ..................................75
Figura 7.7 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI do Modelo com CSC, RAT e DF..............77
Figura 7.8 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)), Dissipada (E
d
) e
Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com CSC, RAT e DF ..........................................77
Figura 7.9 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI do Modelo com CSC.................................78
Figura 7.10 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)), Dissipada (E
d
) e
Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com CSC...........................................................78
Figura 7.11 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI do Modelo com SVC, RAT e DF............79
Figura 7.12 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)), Dissipada (E
d
) e
Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com SVC, RAT e DF........................................79
Figura 7.13 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI do Modelo com SVC ..............................79
Figura 7.14 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)), Dissipada (E
d
) e .......
Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com SVC..........................................................80
Figura 7.15 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo Clássico
Caso 1 (t
ch
=0.3) ...............................................................................................................87
Figura 7.16 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo Clássico
Caso 3 (t
ch
=0.3) ...............................................................................................................87
Figura 7.17 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo Clássico
Caso 4 (t
ch
=0.1) ...............................................................................................................87
Figura 7.18 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo Caso 1 (t
ch
=0.3) ............................................................................88
Figura 7.19 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo Caso 2 (t
ch
=0.3) ............................................................................88
Figura 7.20 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo Caso 3 (t
ch
=0.1) ............................................................................89
Figura 7.21 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo Caso 4 (t
ch
=0.1) ............................................................................89
Figura 7.22 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo e RAT Caso 1 (t
ch
=0.3) ................................................................90
Figura 7.23 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo e RAT Caso 2 (t
ch
=0.3) ................................................................90
Figura 7.24 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) parao Modelo com
Decaimento de Fluxo e RAT Caso 3 (t
ch
=0.3) – Sem Limitador ....................................90
Figura 7.25 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo e RAT Caso 4 (t
ch
=0.1) ................................................................91
Figura 8.1 – FL e Determinação de Tempo Crítico em Sistema Conservativo......................................93
11
Figura 8.2 – FL para Sistema não Conservativo ....................................................................................94
Figura 8.3 – Estimativa de Tempo Crítico (t
cri
=0,3935) para o Modelo Clássico (Caso 1)...................95
Figura 8.4 – Estimativa de Tempo Crítico (t
cri
=0,3252) para o Modelo com DF (Caso 1)....................96
Figura 8.5 – Estimativa de Tempo Crítico (t
cri
=0,32) para o Modelo com DF e D=0 (Caso 1).............97
Figura 8.6 – Estimativa de Tempo Crítico (t
cri
=0,4389) para o Modelo com DF e RAT (Caso 1)........97
12
Lista de Tabelas
Tabela 6.1 – Tempos críticos de chaveamento e a energia potencial crítica..........................................67
Tabela 7.1 – Dados para simulações.......................................................................................................86
Tabela 8.1 – Resultado das simulações do tempo crítico para o Caso 1................................................98
Tabela 8.2 – Resultado das simulações do tempo crítico para o Caso 2................................................98
Tabela 8.3 – Resultado das simulações do tempo crítico para o Caso 3................................................99
Tabela 8.4 – Resultado das simulações do tempo crítico para o Caso 4................................................99
13
Notação e Simbologia
∂
- Derivada parcial
T
∇
- Gradiente (grad) transposto
∫
- Integral
∆
- Variação de uma grandeza
δ
- Posição angular da máquina síncrona
σ
- Variação da posição angular em relação ao equilíbrio ( )
0
δδ
−
ω
- Velocidade angular
α - Constante de regulação secundária de velocidade
a - 1/R (estatismo)
B - Matriz susceptância de barra
D
- Constante de amortecimento [s]
e
- Variação da tensão interna da máquina síncrona (
0
''
E
E
−
)
'
E
- Tensão interna da máquina síncrona
ε
- Variação da tensão de excitação ( )
0
fdfd
EE −
E
fd
- Tensão de excitação
E’
d
- Tensão proporcional ao enlace de fluxo de enrolamento amortecedor de eixo em
quadratura
E’
q
- Tensão proporcional ao enlace de fluxo do campo (eixo direto)
E
T
- Energia total do sistema
E
c
- Energia cinética
E
p
- Energia potencial
E
d
- Energia dissipada
E
ST
- Energia referente ao sistema de transmissão
E
DF
- Energia referente ao decaimento de fluxo
E
RAT
- Energia referente ao regulador automático de tensão
E
cr
- Energia potencial crítica calculada no ponto de equilíbrio instável de menor energia
E - Vetor tensões na barra
f
0
- Freqüência nominal do sistema (60Hz)
f(
σ
,e) - Potência ativa (ou torque) líquida nos terminais da máquina
)(
σ
g
- Parte (não linear) de variações da corrente de eixo direto
H - Constante de inércia [s
2
]
I - Vetor injeções de correntes de barra
i
d
- Componente de eixo direto da corrente terminal da máquina
i
q
- Componente de eixo em quadratura da corrente terminal da máquina
K
R
- Ganho transitório (modelo reduzido RAT)
K
e
- Ganho da excitatriz
K
c
- Ganho do CSC
K
xpcsc
- Ganho do coeficiente do CSC com relação a P
e
K
xicsc
- Ganho do coeficiente do CSC com relação a i
d
K
xvcsc
- Ganho do coeficiente do CSC com relação a V
T
14
K
f
- Ganho da função transferência de realimentação
K
psvc
- Ganho do coeficiente do SVC com relação a P
e
K
vsvc
- Ganho do coeficiente do SVC com relação a V
T
K
isvc
- Ganho do coeficiente do SVC com relação a i
d
M - Constante de inércia (2H/2πf
0
)
P
e
- Potência elétrica entregue pela máquina síncrona
P
m
- Potência mecânica de entrada (fornecida à máquina síncrona)
P
g
- Sinal de valor de potência na saída do governador
T’
d0
- Constante de tempo de circuito aberto de eixo direto
T’
q0
- Constante de tempo de circuito aberto de eixo em quadratura
T
g
- Constante de tempo do governador
T
m
- Constante de tempo da turbina
T
R
- Constante de tempo do RAT
csc
T - Constante de tempo do CSC
ch
t - Tempo de chaveamento
cri
t - Tempo crítico de chaveamento
V
T
- Tensão terminal
0
T
V - Tensão terminal no equilíbrio
V(x) - Função de Lyapunov (FL)
)(xV
&
- Derivada temporal da Função de Lyapunov
V(t) - Função Exponencial dependente do tempo
x’
d
- Reatância transitória de eixo direto
x
d
- Reatância de eixo direto
x’
q
- Reatância transitória de eixo em quadratura
x
q
- Reatância de eixo em quadratura
e
x - Reatância da linha de transmissão
x
csc
- Variação de reatância do CSC ( )
0
csccsc
XX −
X
csc
- Reatância variável do CSC
x
&
- Derivada temporal da variável x (dx/dt)
y
1
- Controle de erro de área
Y - Matriz admitância de barra
O sobrescrito “
0
” indica valores de equilíbrio.
15
Sumário
Introdução.................................................................................................................................17
1.1 – Sistemas Elétricos de Potência.........................................................................................17
1.2 – Estabelecimento do Problema..........................................................................................18
1.3 – Métodos de Análise..........................................................................................................18
Representação do Sistema Elétrico de Potência........................................................................21
2.1 – Rede Elétrica....................................................................................................................21
2.2 – Máquina Síncrona............................................................................................................22
2.3 – Cargas...............................................................................................................................23
2.4 – Reguladores......................................................................................................................23
2.4.1 – Regulador de Velocidade..............................................................................................23
2.4.2 – Regulador Automático de Tensão.................................................................................25
Estudos de Estabilidade Transitória..........................................................................................26
Metodologias de Análise...........................................................................................................28
4.1 – Método Clássico...............................................................................................................28
4.2 – Métodos Diretos...............................................................................................................29
4.2.1 – Método de Lyapunov....................................................................................................29
4.2.2 – Ponto de Equilíbrio Instável de Menor Energia............................................................32
4.2.3 – Método PEBS................................................................................................................33
4.2.4 – Método BCU.................................................................................................................34
4.3 – Método Automático – RSP..............................................................................................36
Função de Lyapunov.................................................................................................................38
5.1 – Obtenção de Função de Lyapunov para Sistemas de Persidskii Generalizado................38
5.2 – Função Energia Transitória..............................................................................................39
5.2.1 – Sistema Máquina Contra Barra Infinita........................................................................39
5.2.1.1 – Modelo Clássico.........................................................................................................41
5.2.1.2 – Modelo com Decaimento de Fluxo............................................................................42
5.2.1.3 – Modelo com Decaimento de Fluxo e Regulador Automático de Tensão..................43
5.2.1.4 – Modelo com Decaimento de Fluxo e Regulador de Velocidade................................44
16
5.2.1.5 – Modelo com Inclusão de Dispositivos FACTS..........................................................46
5.2.1.5.1 – F. Lyapunov para o Sistema MBI com Compensador Série Controlado................46
5.2.1.5.2 – F. Lyapunov para o Sistema MBI com Compensador Estático de Reativos..........49
Funções Potenciais....................................................................................................................51
6.1 – Modelo Clássico...............................................................................................................52
6.2 – Modelo com Decaimento de Fluxo..................................................................................54
6.3 – Modelo com Decaimento de Fluxo e RAT......................................................................56
6.4 – Modelo com Inclusão de Dispositivos FACTS................................................................58
6.4.1 – Modelo com Compensador Série Controlado e RAT...................................................58
6.4.2 – Modelo com Compensador Estático de Reativos e RAT..............................................63
Estimativas para o Decaimento da FL......................................................................................70
7.1 – Energia Dissipada............................................................................................................70
7.1.1 – Modelo Clássico............................................................................................................73
7.1.2 – Modelo com Decaimento de Fluxo...............................................................................74
7.1.3 – Modelo com Decaimento de Fluxo e RAT...................................................................76
7.1.4 – Modelo com Compensador Série Controlado...............................................................76
7.1.5 – Modelo com Compensador Estático de Reativos.........................................................78
7.2 – Aproximação Exponencial para o Decaimento da Função Energia.................................80
7.3 – Validação da AproximaçãoExponencial para o Decaimento da FL................................85
7.3.1 – Modelo Clássico............................................................................................................86
7.3.2 – Modelo com Decaimento de Fluxo...............................................................................88
7.3.3 – Modelo com Decaimento de Fluxo e RAT...................................................................89
Estimativas de Tempos Críticos................................................................................................92
8.1 – Determinação de Tempos Críticos...................................................................................94
8.1.1 – Simulação para o Caso 1...............................................................................................95
8.1.2 – Simulação para o Caso 2...............................................................................................98
8.1.3 – Simulação para o Caso 3...............................................................................................99
8.1.4 – Simulação para o Caso 4...............................................................................................99
Conclusão................................................................................................................................100
Referências .............................................................................................................................104
Apêndice (Artigos publicados)...............................................................................................106
17
1 Introdução
_____________________________________
1.1- Sistemas Elétricos de Potência
Os Sistemas Elétricos de Potência são projetados com o principal objetivo de atender à
demanda de potência e energia requerida pelos seus consumidores dentro de limites
especificados de tensão e freqüência. Além de os sistemas serem capazes de operar
satisfatoriamente em regime permanente, eles devem ser flexíveis à presença de defeitos ou
perturbações de forma a garantir a continuidade da prestação de serviço mesmo quando
sujeitos a anomalias.
Muitas são as causas de defeitos ou perturbações em sistemas de potência: curtos-
circuitos, rompimento de linhas de transmissão, descargas atmosféricas, entrada ou saída de
cargas de grande porte, etc. são alguns exemplos de anomalias às quais os sistemas estarão
sempre sujeitos. Essas perturbações afastam o sistema do seu ponto de operação original.
Basicamente os estudos de estabilidade analisam o comportamento transitório do sistema
durante e após tais perturbações. Deve-se determinar se o sistema será capaz de encontrar um
novo ponto de operação e quais os procedimentos necessários para que isso aconteça.
18
1.2- Estabelecimento do Problema
O sistema permanecerá indefinidamente em um ponto de operação estável até que
algum distúrbio ou perturbação o remova desse estado. Quando isso ocorrer, deseja-se saber
se o sistema encontrará uma situação de operação estável, aproximando-se de um novo ponto
de equilíbrio, ou se tornará instável afastando-se indefinidamente de um possível ponto de
operação.
Faz-se ainda distinção entre pequenas perturbações e grandes impactos. São chamadas
pequenas perturbações as flutuações normais das condições de operação e seu estudo é
usualmente feito sob o título “Estabilidade Dinâmica”. Os grandes impactos, por sua vez, são
eventos que podem levar as máquinas (os geradores) do sistema à perda de sincronismo,
causando a desagregação do sistema e conseqüentemente a interrupção do fornecimento de
energia, os indesejáveis blecautes. O estudo de Estabilidade Transitória tem por objeto a
verificação da capacidade de que o sistema tenha (ou não) de se manter em sincronismo após
uma perturbação (F
OUAD; VITAL, 1992; KUNDUR, 1994; SAUER; PAI, 1998). A este estudo se
dedica o presente trabalho, sob o enfoque do Segundo Método de Lyapunov (P
AI, 1981).
1.3- Métodos de Análise
Tradicionalmente a análise de estabilidade de SEE (Sistemas de Energia Elétrica) tem
sido efetuada através das soluções das equações diferencias não-lineares que descrevem o
movimento do sistema – equação de oscilação da máquina síncrona – e análise da evolução da
posição angular de cada máquina síncrona ao longo do tempo (simulação), apresentada na
forma de curvas de oscilação (ou oscilogramas) a serem analisadas por um analista. As
técnicas utilizadas para a simulação são precisas e não apresentam restrições quanto ao tipo de
modelo empregado, contudo, consomem uma grande quantidade de tempo para a realização
19
dos cálculos e na obtenção da análise. Essa é uma tarefa demorada mesmo quando realizada
através de computadores modernos. Portanto, este método só poderá ser utilizado para estudos
“off-line” de projeto e planejamento. Este método é denominado método passo-a-passo.
Os métodos diretos são mais adequados a aplicações em tempo real, pois são capazes
de analisar a estabilidade dos sistemas, sem a necessidade do conhecimento da solução das
equações diferenciais e, principalmente, sem a necessidade da intervenção de um analista.
Baseiam-se fundamentalmente na agregação das informações sobre o desempenho dinâmico
em uma função (CHIANG; CHU; CAULEY, 1995), dita Função de Lyapunov, e a questão da
estabilidade/instabilidade do movimento do sistema – que pode ser de grande dimensão – fica
reduzida à verificação de condições sobre esta função e sua derivada temporal. Muitos
avanços ocorreram na utilização de métodos diretos para a análise de estabilidade transitória
em sistemas elétricos de potência, sendo que uma tendência bem estabelecida é a
consideração da FL (Função de Lyapunov) com forma de energia transitória. Entretanto, a
função energia largamente empregada em diversas abordagens de análise de estabilidade de
sistemas de potência encontra-se formalmente estabelecida considerando as máquinas
representadas pelo chamado modelo clássico, segundo o qual somente a dinâmica mecânica é
efetivamente considerada, sendo o sistema conservativo. E a propriedade de conservação da
energia ensejou os métodos de análise denominados diretos, que, desse ponto de vista
(modelo clássico, sistema conservativo) produzem resultados de alta qualidade. Por outro
lado, nos sistemas reais as máquinas têm outras dinâmicas além da mecânica, bem como o
sistema, inclusive por decorrência dessas dinâmicas, não é conservativo.
Então, aspectos adicionais devem ser levados em conta e neste estudo objetiva-se a
compreensão do problema da estabilidade do SEE com vistas à metodologia de análise por
método direto ou automático, considerando modelos detalhados em abordagem de sistemas
não lineares e não conservativos, bem como a clarificação dos métodos diretos e/ou
20
automáticos existentes pela interpretação física dos termos que constituem as Funções de
Lyapunov dos sistemas incluindo termos de dissipação e dispositivos de controle e
compensação.
21
2 Representação do Sistema Elétrico de Potência
_____________________________________
2.1- Rede Elétrica
Considerando a rede de energia elétrica em regime permanente, ou seja, as dinâmicas
ultra-rápidas de natureza eletromagnética das linhas de transmissão são desconsideradas
diante das dinâmicas eletromecânicas (A
NDERSON; FOUAD, 2000), sua representação genérica
é:
I=YE (2.1)
sendo:
I = vetor injeções de correntes de barra;
E = vetor tensões na barra;
Y = matriz admitância de barra;
e
Y=G+jB (2.2)
G = matriz condutância de barra;
B = matriz susceptância de barra.
22
2.2- Máquina Síncrona
Figura 2.1 – Diagrama Fasorial de MS para Modelo de Dois Eixos
Para a máquina síncrona, de acordo com Fitzgerald, Kingsley e Kusko (1975),
considerando modelo de dois eixos descrito pelas variáveis (δ, ω, e’d, e’q), como no diagrama
fasorial mostrado na figura 2.1, as equações de estado podem ser escritas como:
()
()
()
()
dddqfd
qqqddq
fddddqqd
em
ixxEE
ixxEET
EixxEET
PPD
M
''
''''
''''
1
0
0
−−=
−+−=
+−−−=
−+−=
=
&
&
&
&
ωω
ωδ
(2.3)
sendo:
δ = posição angular medida em relação a um eixo que gira à velocidade síncrona;
ω = desvio de velocidade angular da máquina síncrona com relação a velocidade síncrona;
D = constante de amortecimento [s];
E’
d
= tensão proporcional a enlace de fluxo de enrolamento amortecedor de eixo em
quadratura;
E’
q
= tensão proporcional ao enlace de fluxo do campo (eixo direto);
E
fd
= tensão de excitação;
i
d
= componente de eixo direto da corrente terminal da máquina;
23
i
q
= componente de eixo em quadratura da corrente terminal da máquina;
M = 2H/2πf
0
= constante de inércia;
P
e
= potência elétrica entregue pela máquina síncrona;
P
m
= potência mecânica de entrada (fornecida à máquina síncrona)
T’
d0
= constante de tempo de circuito aberto de eixo direto;
T’
q0
= constante de tempo de circuito aberto de eixo em quadratura;
x’
d
= reatância transitória de eixo direto;
x
d
= reatância de eixo direto;
x’
q
= reatância transitória de eixo em quadratura; e
x
q
= reatância de eixo em quadratura.
A Potência Elétrica (Pe), de acordo com Fitzgerald, Kingsley e Kusko (1975), é dada
por:
qddqqqdd
iixxiEiEPe )''(''
−
+
+
=
(2.4)
2.3- Cargas
As cargas são representadas por modelos adequados aos estudos a desenvolver,
podendo ser impedância constante, corrente constante, potência constante e dinâmica (motor).
2.4- Reguladores
2.4.1- Regulador de Velocidade (RV)
O Regulador de Velocidade é considerado (L
OURENÇO; COLVARA, 1995) como
ilustrado na figura 2.2 e equações de estado como segue.
24
Figura 2.2 – Diagrama de Blocos para o Regulador de Velocidade (o governador)
(
)
Ig
g
g
yap
T
p +−−=
•
ω
1
(2.5)
(
)
gm
m
m
pp
T
p +−=
•
1
(2.6)
αω
−=
•
I
y (2.7)
Como T
g
<<T
m
e desconsiderando termo do controle integral, o RV é reduzido:
(
ω
ap
T
p
m
m
m
−−=
•
1
)
(2.8)
sendo:
α = constante de regulação secundária de velocidade;
a = 1/R (estatismo);
P
g
= sinal de valor de potência na saída do governador;
P
m
= potência mecânica de entrada (fornecida à máquina síncrona);
T
g
= constante de tempo do governador;
T
m
= constante de tempo da turbina; e
y
1
= controle de erro de área.
25
2.4.2- Regulador Automático de Tensão (RAT)
O Regulador Automático de Tensão é representado, como mostrado em Colvara
(1988), no diagrama de blocos e equação de estado dada a seguir
0
T
V
T
V
+
R
R
sT
K
+1
-
ε
Figura 2.3 – Diagrama de Blocos do RAT
0
fdfd
EE −=
ε
(2.9)
(
i
T
i
Ri
i
R
i
VK
T
∆−−=
•
εε
1
)
(2.10)
sendo:
K
R
= ganho transitório (modelo reduzido RAT);
T
R
= constante de tempo do RAT;
V
T
= tensão terminal; e
0
T
V = tensão terminal no equilíbrio.
26
3 Estudos de Estabilidade Transitória
_____________________________________
O problema da Estabilidade Transitória é extensamente tratado na bibliografia
especializada e se apresenta a seguir uma breve descrição.
Imagine-se que um sistema de potência esteja operando em regime permanente com as
velocidades das máquinas constantes e iguais a ω
0
e com os ângulos das forças eletromotrizes
das máquinas δ
i
’s constantes em relação a uma referência síncrona.
Nessas condições, a
potência mecânica fornecida aos geradores é exatamente igual à potência consumida nas
cargas mais a potência perdida nas linhas. Suponha-se que no tempo t=t
o
ocorra um grande
distúrbio como a perda de uma linha ou um curto-circuito em algum barramento. O distúrbio
causará um desequilíbrio de potência; surgirá, então, um excesso ou déficit de potência nas
máquinas, que ocasionará a aceleração ou desaceleração de seus rotores. Conseqüentemente,
os ângulos das máquinas alterar-se-ão no tempo, na tentativa de restabelecer o novo equilíbrio
de potência.
Se o defeito não é muito grave, o sistema pode, por si só, encontrar um novo ponto de
operação restabelecendo o balanço de potências para uma nova configuração de ângulos δ
i
’s.
Quando o distúrbio é mais significativo, o sistema torna-se instável, ou seja, não encontra um
27
estado no qual ocorra o equilíbrio de potência. Nessa situação, é necessário atuar no sistema
isolando o defeito ou até realizando rejeição de algumas cargas. Ao se fazer isto, o sistema
passa a ter uma nova configuração e deseja-se saber se o excesso de energia cinética,
adquirida durante o defeito pelos rotores das máquinas, pode ser absorvido pelo novo sistema
de forma a manter-se estável.
Se após a eliminação do defeito o sistema encontrar um ponto de operação estável,
este é dito ser estável transitoriamente. A atuação no sistema de forma a eliminar o defeito
deve ser feita rapidamente para que se garanta a estabilidade. O tempo máximo em que isto
poderá ser feito, tal que o sistema permaneça estável, é conhecido como tempo crítico de
abertura “t
cri
”. Assim, a eliminação do defeito antes do tempo crítico proporciona um sistema
estável, e após o tempo crítico um sistema instável. A determinação do tempo crítico de
abertura é o principal objetivo dos estudos de estabilidade transitória e, daqui em diante,
objetiva-se apresentar os métodos existentes na atualidade para obtenção de tal tempo.
28
4 Metodologias de Análise
_____________________________________
4.1- Método Clássico (passo-a-passo)
Deseja-se determinar se um sistema é transitoriamente estável para uma determinada
contingência (S
TEVENSON, 1986), isto é, uma falta. Imagine-se um sistema operando em
regime permanente: nessa situação os ângulos δ
i
’s permanecem constantes e a matriz
admitância utilizada no fluxo de carga é obtida da topologia da rede em operação normal.
Suponha-se que no tempo t=0 ocorra uma falta, ela ocasiona alterações na topologia da rede e
conseqüentemente na matriz admitância correspondente, obtém-se então um conjunto de
equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema durante a falta do tempo
t=0 até o tempo de eliminação do defeito t
a
. Na eliminação do defeito, ocorre alteração na
topologia da rede e um novo conjunto de equações diferenciais passa a descrever o
comportamento do sistema
(BOYCE; DIPRIMA, 2002).
Ficam caracterizados, portanto, três intervalos de tempo precisamente definidos, nos
quais a topologia da rede é distinta. Esses períodos são identificados por Sistema Pré-Falta,
Sistema em Falta e Sistema Pós-Falta. Em cada um deles, as equações diferenciais que
descrevem o comportamento do sistema são diferentes devido a alterações nos parâmetros da
rede. Pode-se dizer que as equações diferenciais do sistema possuem descontinuidades
estruturais no tempo, isto é:
29
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=>
=≤<
=≤
=−=+
pf
eea
f
eea
prf
ee
em
PPtt
PPtt
PPt
PPDM
,
,0
,0
0
δδ
&&&
(4.1)
Essa representação compacta mostra as descontinuidades das equações diferenciais
que descrevem a dinâmica do sistema. Tal conjunto de equações diferenciais pode ser escrito
como três conjuntos de equações diferenciais distintos.
O sistema pré-falta está em equilíbrio. Sua solução apresenta valores constantes no
tempo, que podem ser obtidos através de um fluxo de carga (o cálculo de ponto de equilíbrio
de um conjunto de equações diferenciais). Esses pontos são as condições iniciais do sistema
em falta. As condições iniciais para as equações de pós-falta são determinadas pela solução do
sistema de equações diferenciais do sistema em falta calculado no tempo de abertura t
a
. Dada
uma contingência, deseja-se determinar o valor máximo para o tempo de abertura, de forma
que o sistema ainda permaneça estável.
Não há solução analítica para estas equações diferenciais; portanto a solução só poderá
ser encontrada através de métodos numéricos. O método mais simples de solução numérica de
equações diferenciais é o método de Euler. Após diversas simulações com análise dos
gráficos de oscilações verifica-se qual é o tempo crítico de abertura.
4.2- Métodos Diretos:
4.2.1- Método de Lyapunov
Nos sistemas não-lineares, a estabilidade global nem sempre ocorre; em geral, apenas
um conjunto de condições iniciais, contido no espaço R
n
, origina trajetórias que convergem
para o ponto de equilíbrio estável x
o
. Em sistemas de potência, isso acontece, e a
determinação deste conjunto de condições iniciais (M
OON; CHOI; ROH, 2000) é o principal
30
objetivo dos métodos diretos de análises. Matematicamente, esse conjunto é denominado área
de atração ou região de estabilidade e é definido por:
},),(:{)( ∞→→∈=
∆
tquandoxxtRxxA
o
n
o
ϕ
(4.2)
Além de estudar a estabilidade de pontos de equilíbrio, o método fornece um caminho
para estimar a região de estabilidade.
A Estabilidade do sistema é determinada usando funções ditas de Lyapunov definidas
no espaço de estado considerando seu sinal e o de sua derivada temporal.
A seguir, apresenta-se o teorema de Lyapunov (S
AUER; PAI, 1998) para sistemas
autônomos. A estabilidade da origem é estudada sem perda de generalidade, uma vez que uma
translação pode transformar o problema de um ponto de equilíbrio qualquer em um problema
em que o ponto de equilíbrio esteja na origem.
Teorema: Considere-se um sistema dinâmico
, com f(0)=0 (a
origem é ponto de equilíbrio). Se existe uma função positiva definida (negativa definida), isto
é,
com derivada nas trajetórias do sistema dinâmico então o
sistema é assintoticamente estável em torno de
nnn
RRfRxxfx →∈= :,),(
&
)0(0)( <>xV
)0(0)( ><xV
&
x
=0. Se existe com , a origem
é ponto de equilíbrio estável L (no sentido de Lyapunov).
0)( >xV
0≤V
&
Portanto, o sistema é estável na região em que é semi-definida negativa e
assintoticamente estável se é definida negativa.
)(xV
&
)(xV
&
A função é conhecida como função de Lyapunov (PAI, 1981). Embora não
existam procedimentos sistemáticos para encontrar funções de Lyapunov para o sistema, as
funções energia
(CHIANG; CHU; CAULEY, 1995) provenientes dos conceitos físicos em geral
são boas tentativas para se encontrar uma função de Lyapunov. Na maior parte das
)(xV
31
abordagens a FL (Função de Lyapunov) considerada é a chamada energia transitória do
sistema composta de energia cinética e energia potencial. A energia cinética é armazenada na
massa inercial dos rotores das máquinas em função do desvio de velocidade em relação ao
valor de operação normal. A energia potencial é armazenada em campos magnéticos,
principalmente no sistema de transmissão, e elétricos em capacitores de compensação (por
exemplo), e é função dos desvios das variáveis que definem o torque de restauração do
equilíbrio em torno do ponto de operação. Estas variáveis, tipicamente os ângulos de
defasagem dos rotores das máquinas e magnitudes das tensões internas das máquinas e
possivelmente outras (quando consideradas), constituem um subespaço do espaço de estado.
Nesse subespaço, aqui denominado espaço do torque, existe um campo de forças, que confere
a qualificação de estável ou instável aos pontos de equilíbrio, uma vez que são restaurativas
em torno de uns e anti-restaurativas em torno de outros. Então, a energia potencial pode ser
considerada como o trabalho necessário para deslocar o sistema do ponto de equilíbrio
considerado até um outro ponto no espaço do torque e é definida-positiva em uma vizinhança
em torno de pontos de equilíbrio estável.
A questão da estabilidade é considerada em termos da função energia transitória,
sendo a energia potencial utilizada para estimar uma região (ou domínio) de estabilidade em
torno do ponto de operação estável. Os extremos da energia potencial se localizam em pontos
de equilíbrio do sistema. Além disto, verifica-se que no ponto de equilíbrio estável δ
s
se
localiza um mínimo local da energia potencial do sistema enquanto que nos pontos de
equilíbrio instável se localizam outros extremos (máximo ou mini-max) locais da mesma
energia. Sendo a energia potencial uma (hiper-) superfície, existe em torno do ponto de
equilíbrio estável uma depressão energética, cuja fronteira contém pontos extremos da energia
potencial, que são pontos de equilíbrio instável do sistema. No interior desta região o torque é
restaurativo e a conclusão de estabilidade é obtida quando se assegura que a trajetória do
32
sistema não abandona esta região. O critério utilizado consiste em determinar se o sistema tem
energia suficiente para superar a barreira de energia potencial na fronteira da região de torque
restaurativo. Isto se faz mediante avaliação da energia do sistema em uma determinada
condição inicial e comparação com o valor da energia potencial na fronteira, dita energia
crítica. A questão que se coloca, então é a determinação do valor da energia crítica e diversas
metodologias foram desenvolvidas, como as que consideram pontos de equilíbrio instável em
diversas formulações ou as que utilizam a definição de uma fronteira da região de estabilidade
denominada Superfície Limite de Energia Potencial (SLEP, ou PEBS do original “Potential
Energy Boundary Surface”).
4.2.2- Ponto de Equilíbrio Instável (PEI) de Menor Energia
Neste método (CHIANG; THORP, 1989), propôs-se o cálculo de todos os pontos de
equilíbrio instáveis ao redor do ponto de equilíbrio estável em estudo, ou seja, o ponto de
equilíbrio estável pós-falta θ
s
. Sejam x
i
’s os pontos de equilíbrio. Calculam-se as energias
potenciais Ep(x
i
) em todos os pontos de equilíbrio instáveis e a energia crítica é definida
como sendo a energia do ponto de equilíbrio que tivesse a menor energia entre eles.
E
cr
= min Ep(x
i
) (4.3)
O ponto de equilíbrio instável que possui a menor energia é o ponto que está mais
próximo energeticamente do ponto de equilíbrio estável em estudo. Dada uma condição
inicial tal que -π-θ
ij
<θ
ij
<π-θ
ij
, se V(θ,ϖ) ≤ E
cr
então o sistema evolui para a estabilidade. Caso
V(
θ
,
ϖ
) > E
cr
, nada se afirma, mas assume-se instabilidade.
Este método produz resultados freqüentemente afetados por uma forte
conservatividade, ou seja, tem uma acentuada tendência de ser pessimista conduzindo a
conclusões de instabilidade quando o sistema na verdade apresenta comportamento estável.
Isto se deve a trajetória criticamente estável tangenciar a fronteira do Domínio de Estabilidade
33
sem abandoná-lo, não tangencia a fronteira necessariamente no ponto de equilíbrio instável de
mínima energia potencial. Esta constatação levou à necessidade de se desenvolver outros
métodos de análise que considera não apenas a fronteira da região de atração, mas também a
trajetória do sistema. Estes métodos são descritos na seqüência.
4.2.3- Método PEBS (Potential Energy Boundary Surface)
O método PEBS (CHIANG; WU; VARAYA, 1988) surgiu para tentar solucionar o
problema da estimativa da área de atração eliminando a necessidade do cálculo dos pontos de
equilíbrio instáveis. Por este motivo, é um método bastante rápido, pode efetuar estimativas
não conservativas do ponto de vista da estabilidade.
A idéia do método é bastante simples. Estima-se o ponto de equilíbrio de controle,
depois integra-se numericamente a equação diferencial do sistema de falta mantida até que a
projeção da trajetória do sistema em falta nos eixos dos ângulos δ cruze o PEBS. O ponto em
que a trajetória cruzar o PEBS será conhecido como exit point.
Algoritmo:
i) verifica-se o ponto no qual a trajetória do sistema em falta x
f
(t) cruza a PEBS.
(Ponto no qual a energia potencial atinge um máximo em cima da trajetória da
falta). Seja δ
*
este ponto.
ii) o valor da energia potencial em δ
*
será a energia crítica E
cr
= E
p
(δ
*
). Se no tempo
de abertura ta, V(t
a
)<E
cr
, o sistema será estável.
O algoritmo PEBS foi criado baseado em conjecturas físicas e por este motivo, gera
resultados muitas vezes não conservativos, sendo estimativa muito boa do verdadeiro tempo
crítico de abertura. Matematicamente, o PEBS (C
HIANG; WU; VARAYA, 1988) é a fronteira da
área de atração do sistema gradiente reduzido:
34
em
P
PP
E
−=
∂
∂
−=
δ
δ
δ
)(
&
(4.4)
associado ao modelo original:
ωω
δ
δ
ω
ωδ
DPPD
E
M
em
P
−−=−
∂
∂
−=
=
)(
&
&
(4.5)
4.2.4- Método BCU (Boundary Controlling Ustable Equilibrium
Point)
Este método fundamenta-se no conceito de ponto de equilíbrio instável de controle
para efetuar a estimativa da área de atração. A idéia deste conceito reside no fato de que não é
necessário estimar a área de atração do sistema por completo. Apenas a parte importante,
relativa ao defeito em estudo, deve ser estimada.
Para encontrar o ponto de equilíbrio de controle, o método (C
HIANG; WU; VARAYA,
1994) utiliza-se da relação existente entre a fronteira de estabilidade do sistema original e a
fronteira de estabilidade do sistema reduzido.
Algoritmo BCU:
i) da trajetória do sistema em falta x
f
(t) = (δ(t),ω(t)), detecta-se o ponto de saída
(“exit point”) δ
*
que é o ponto em que a projeção da trajetória δ(t) cruza a fronteira
de estabilidade do sistema reduzido (PEBS);
ii) utiliza-se o ponto δ
*
como condição inicial e resolvem-se numericamente as
equações diferenciais do sistema reduzido para encontrar o mínimo local
de
∑
=
n
i
i
df
1
)(
(é uma medida da distância entre um ponto δ qualquer e os pontos de
equilíbrio do sistema reduzido); seja este ponto δ
o
*
;
35
iii) uliliza-se o ponto δ
o
*
como condição inicial para encontrar o zero da função f(δ),
ou seja, encontrar o ponto de equilíbrio instável de controle do sistema reduzido
δ
co
*
;
iv) o ponto de equilíbrio instável de controle do sistema pós-falta será (δ
co
*
,0);
v) determina-se o valor da energia crítica como sendo o valor da função energia
calculada no ponto de equilíbrio instável de controle: E
cr
= V(δ
co
*
,0). Utilizar-se-á
a superfície de energia constante ∂S(E
cr
) como sendo a aproximação da parte
importante da fronteira da área de atração;
vi) calcula-se a função energia do sistema pós-falta no instante da abertura: V
ab
=
V(x
f
(t
ab
)) e
vii) se V
ab
< E
cr
o sistema é estável, caso contrário é instável.
O BCU tem se mostrado eficiente, pois tem uma definição precisa, baseada em teoria
matemática, do ponto de equilíbrio instável de controle. Mas todos os métodos que se utilizam
do conceito de ponto de equilíbrio de controle, por mais eficientes que sejam, garantem
apenas a existência de estabilidade para a primeira oscilação (L
LAMAS; LOPEZ; MILI; PHADKE;
THORP, 1995).
Os métodos diretos se baseiam no princípio da conservação da energia e, portanto,
seus resultados são a rigor aplicáveis a sistemas conservativos tal como é o sistema de
potência representado pelo modelo clássico das máquinas e rede não dissipativa. Mas há que
se considerar que as máquinas têm dinâmicas em elementos não representadas no modelo
clássico, tais como o campo, enrolamentos amortecedores e dispositivos de controle e
compensação, bem como a rede é com freqüência apreciavelmente dissipativa. Então, a
conservação de energia deixa de ser uma qualidade do sistema e deve-se ter cautela ao se
utilizar métodos de análise baseados nessa qualidade. Com isto em vista desenvolveu-se um
36
método que não pode ser considerado direto, mas que, por prescindir de um “analista” para
chegar a uma conclusão sobre estabilidade/instabilidade, é automático. Baseia-se na
consideração da fronteira da região de torque restaurativo dada pelo próprio torque e
verificação da trajetória com respeito a estas fronteiras durante simulação digital,
considerando a energia potencial como auxiliar no processo.
4.3- Método Automático – RSP (Região de Sincronização
Positiva)
A Região de Sincronização Positiva (COLVARA, 1988) é definida como a região em
torno de um ponto de operação do sistema onde os torques no eixo da máquina síncrona (MS)
são forças restaurativas do equilíbrio. Fora desta região, nenhuma ação do sistema livre leva o
sistema ao equilíbrio, sendo então este conceito usado para definir a instabilidade do SEE.
Considerando para fins de ilustração o caso do sistema de uma máquina contra barra
infinita (MBI), o torque líquido no eixo da máquina é dado por:
m
o
do
o
qo
o
ddo
o
qqo
mqdmqd
PEEeEeEBV
Peefpeef
−+−++−++=
=
−=
]cos'sen')cos()'()sen()'[(
),,(),,,('
δδδσδσ
σ
σ
(4.6)
De modo que:
RSP = ))}((0),()]([)(:),{( eparaefeeee
eee
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
≠
>−∃ (4.7)
Portanto, para que exista a ação restaurativa, a trajetória do sistema deve se encontrar
dentro dos limites da RSP, conforme a Figura 4.1 (ilustração para o caso de sistema MBI com
a MS representada pelo modelo de 1 eixo), chamados Curvas de Torque Nulo (CTN), onde
0),( =ef
σ
e acima da linha de Mínima Tensão Interna (MTI) definida por
).1(sen'
*
−=
oo
Ee
δ
&
37
Figura 4.1 – RSP, CTN e MTI.
A atuação do RAT (LOURENÇO; COLVARA, 1995) apresenta influência na trajetória do
sistema e nas fronteiras da RSP, as quais são fixas, como na Figura 4.1. A inclusão do RV
resulta em movimentos das CTN’s no plano (σxe).
38
5 Função de Lyapunov
_____________________________________
Encontra-se na literatura especializada uma grande diversidade de métodos para
obtenção de Funções de Lyapunov (P
AI, 1981), e, mesmo para Sistemas de Potência, há várias
proposições. Aqui, apresenta-se o método dos sistemas de Persidskii, em vista de permitir a
determinação de FL para diversas formulações de Sistemas de Potência, incluindo
controladores e compensadores.
5.1- Obtenção de Função de Lyapunov para Sistema de
Persidskii Generalizado.
De acordo com Hsu e Kaszkurewicz (1980), para sistemas da forma de Persidskii
perturbados
)()( xFxAx
+
=
φ
&
(5.1)
com
; ; ; , e sendo a origem ponto de
equilíbrio. Para esse sistema, propõe-se uma Função de Lyapunov da forma
n
x ℜ∈
nn
xA ℜℜ∈
nn
ℜ→ℜ:
φ
nn
F ℜ→ℜ:
∑∑
∫
==
=
n
i
n
j
x
jiij
i
dpxV
11
0
)()(
ττφ
, (5.2)
em que
são elementos de uma matriz
)1,2,....,( njip
ij
=, ][
ij
pP
=
. A derivada temporal
de V(x), nas trajetórias do sistema (5.1), é dada por
39
)]()()[(
)]([)]([
2
1
(x)V
1
11
xAPxFxV
xVPQxVP
T
T
ψ
−
−−
−∇+
∇∇−=
&
(5.3)
sendo
com
[]
T
n
xxxx )()...()()(
21
ψψψψ
=
∑∑
∫
=
=
=
=
∂
∂
=
n
k
n
il
l
x
l
l
l
ki
l
nid
x
p
11
0
1,2,....,;
)(
τ
τφ
ψ
l
(5.4)
e
)( APPAQ
TT
+−= (5.5)
5.2- Função Energia Transitória
A estabilidade é estudada utilizando-se uma Função de Lyapunov (FL), desenvolvida
com base nas equações que regem o comportamento do sistema. Na maior parte das
abordagens, a FL considerada é a chamada energia transitória do sistema, composta de
energia cinética e energia potencial.
Funções de Lyapunov com a forma de energia, começando com o modelo clássico até
a consideração do modelo de 2 eixos da MS, são apresentadas a seguir, considerando o
sistema Máquina contra Barra Infinita (MBI).
5.2.1- Sistema Máquina Contra Barra Infinita (MBI)
Sabidamente, vide Kundur (1994), a dependência da tensão terminal da máquina, com
o defasamento angular, conduz a questões de amortecimento de oscilações como o estudado
sob o enfoque de estabilidade dinâmica, via o bem conhecido parâmetro K
5
, definido no
modelo de Heffron-Philips. No presente trabalho, trata-se de estudo de estabilidade transitória
em que o interesse está focado no torque de sincronização e não no torque de amortecimento.
Então, sem incorrer em erro apreciável de representação, desconsidera-se a parcela da tensão
40
terminal dependente da defasagem angular, e, a partir do modelo empregado em Colvara
(1988), considera-se o sistema MBI com RAT, sendo a máquina dada pelo modelo de 1 eixo,
expresso na estrutura de Persidskii generalizada, descrito por
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
)(
0
0
),(
00
00
0001
00
1
2
45
31
ση
ε
σ
ω
ηη
ηη
ε
σ
ω
ge
ef
MM
D
e
&
&
&
&
(5.6)
sendo
R
eR
Rdodo
dd
dode
de
T
KK
e
TTT
xx
Txx
xx
===−=
+
+
=
54321
1
,
'
1
,
'
1
)'(,
'
1
'
ηηηηη
(5.7)
Para escrever o sistema em uma estrutura mais conveniente, uma mudança de variável
é executada, definindo
3444155311
4
5
,,
,
αηηηαηηαηηαηηη
η
η
αεαε
−=−+=+=
==+=
eR
KKe
(5.8)
E o sistema é agora
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)(
)(
0
0
),(
00
00
0001
00
1
2
2
45
31
σαη
ση
ε
σ
ω
ηη
ηη
ε
σ
ω
g
g
e
ef
MM
D
e
&
&
&
&
(5.9)
Uma vez que se assegure que a segunda parcela do segundo membro de (5.3) seja
nula, basta verificar o sinal da matriz Q para se concluir sobre o sinal de
. Se Q é
positiva definida, então
é definida negativa.
)(xV
&
)(xV
&
41
5.2.1.1- Modelo Clássico
Com
0',0,,0
≡
∞
=
≡∞== eeTTK
doRR
ε
, em (5.6), permanecem apenas as duas
primeiras linhas e colunas, representando o modelo clássico da máquina, e se obtém a
conhecida função energia (C
OLVARA, 1988):
∫
+=
σ
ττω
0
2
)(
2
1
)( dfMxV
(5.10)
A função dada na equação (5.10) é positiva definida e pode ser vista como energia do
sistema para afastamento do ponto de equilíbrio, identificando-se claramente:
• Energia cinética (E
c
)
2
2
1
ω
ME
c
=
(5.11)
Trata-se da energia armazenada na massa girante do(s) rotor(es) da(s) máquina(s).
• Energia potencial (E
p
)
∫
=
σ
ττ
0
)( dfE
P
(5.12)
Nessa última, a integral representa a parcela relativa ao sistema de transmissão, ou
seja, a energia armazenada no campo magnético das linhas de transmissão e transformadores.
Nesse caso, o sistema de transmissão é o único responsável pela barreira de energia potencial
a ser vencida para o sistema tornar-se instável.
A matriz Q é
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
00
02D
Q
(5.13)
de modo que a taxa de decaimento da energia total do sistema depende unicamente do
amortecimento da própria máquina síncrona.
42
5.2.1.2- Modelo com Decaimento de Fluxo (DF)
O modelo considerado é dado por (5.6), eliminadas as últimas linha e coluna
(correspondente ao RAT) com
0,0
≡
∞
=
=
ε
eTK
RR
. Para esse sistema, a função de
Lyapunov obtida é (COLVARA, 1988):
∫
++=
σ
ττ
η
η
ω
0
2
2
1
2
),(
2
1
2
1
)( defeMxV
(5.14)
A função (5.14), energia transitória, tem a mesma energia cinética que a função (5.10),
mas com a energia potencial dada por:
∫
+=
σ
ττ
η
η
0
2
2
1
),(
2
1
defeE
p
(5.15)
A integral representa a energia potencial, já presente no caso do modelo clássico e
agora também afetada pelas variações da tensão interna da máquina. A primeira parcela é
devida às variações da tensão interna da máquina com relação ao valor de equilíbrio,
significando os efeitos das variações da tensão interna da máquina (do decaimento de fluxo do
campo) na energia transitória do sistema. Nota-se que o efeito do campo da máquina síncrona
se apresenta como uma alteração da barreira de energia potencial a vencer no caso de o
sistema ir para a instabilidade.
A matriz Q é
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
2
1
200
000
002
η
η
D
Q
, (5.16)
e expressa, por intermédio do maior decaimento da função energia, o reforço de
amortecimento proporcionado pelo decaimento de fluxo no amortecimento das oscilações
eletromecânicas, de acordo com resultados já bem conhecidos da literatura sobre estabilidade
dinâmica (D
EMELLO; CONCÓRDIA, 1969; KUNDUR, 1994; ANDERSON; FOUAD, 2000).
43
5.2.1.3- Modelo com Decaimento de Fluxo e Regulador Automático
de Tensão (RAT)
O modelo considerado é dado por (5.9), e a função desenvolvida é apresentada a
seguir:
2
4
2
2
1
0
2
2
1
2
1
),(
2
1
)(
ε
η
η
ττω
σ
pedefMxV +++=
∫
(5.17)
em que
eRdd
KKxx
p
)'(
1
52
43
4
−
==
ηη
η
η
(5.18)
Os termos da função (5.17) são:
• Energia cinética (E
c
)
2
2
1
ω
ME
c
=
(5.19)
• Energia potencial (E
p
)
2
4
2
2
1
0
2
1
2
1
),(
ε
η
η
ττ
σ
pedefE
p
++=
∫
(5.20)
A inclusão dos efeitos do RAT, além daqueles que se manifestam nas variações mais
acentuadas da tensão interna, corresponde à parcela dada a seguir:
2
4
2
1
ε
pE
RAT
= (5.21)
O efeito da ação do RAT na energia potencial do sistema está expresso no coeficiente
p
4
e em
311
αη
η
η
+= ; com
eR
KK==
4
5
η
η
α
em adição aos efeitos da dinâmica própria do campo.
Nota-se que o RAT adiciona mais uma parcela à energia potencial, proporcionada pelo
campo, expressa pela parcela em
, dependente do ganho do regulador. Com RAT de alto
ganho, significa uma elevação substancial na barreira de energia potencial a ser vencida pelo
sistema para ir à instabilidade.
2
e
A matriz Q é
44
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
5
2
4
2
3
2
2
1
2000
0200
0000
0002
η
η
η
η
η
η
D
Q
(5.22)
5.2.1.4- Modelo com Decaimento de Fluxo e Regulador de
Velocidade (RV)
Trata-se aqui do sistema MBI com a máquina descrita pelo modelo de dois eixos e RV
(C
OLVARA, 1995). Sendo as variáveis de estado definidas por:
(P
m
,y
1
) = regulador de velocidade (variável de estado)
(ω,σ,e
d
,e
q
) = máquina síncrona (variável de estado)
(e
q
,ε) = laço de regulação de tensão (variável de estado)
O sistema fica dado por
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
−−+−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)(
)(
0
0
0
0
),,(
00000
00000
000100
00
1
0
1
0000
000
11
2
2
1
1
2
2
ση
ση
σ
ω
η
η
ααα
α
σ
ω
g
h
e
e
eef
y
p
MM
D
M
aaa
T
T
a
TaT
e
e
y
p
q
d
q
d
qd
I
m
q
d
M
MMM
q
d
I
m
&
&
&
&
&
&
(5.23)
com
0
22
0
1
0
1
'
1
'
'
,
'
1
'
'
,
'
1
'
,
'
1
'
qqe
qq
d
dode
dd
q
qqe
qe
d
dde
de
q
Txx
xx
Txx
xx
Txx
xx
Txx
xx
+
−
=
+
−
=
+
+
=
+
+
=
ηηηη
(5.24)
Considerando uma matriz P=diag[p
i
], obtém-se (COLVARA, 1995)
∫
+++
−
++=
σ
η
η
η
η
ττ
α
α
ω
0
2
2
1
2
2
1
2
1
22
2
1
2
1
),,(
)1(
1
2
1
2
1
2
1
)(
q
q
q
d
d
d
qd
m
m
m
eedeefy
T
a
P
a
T
MxV
(5.25)
45
com
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
q
q
d
d
M
M
D
Taa
aa
Ta
Q
2
1
10
2
2
1
2
200000
020000
000000
000200
0000
1
2
2
0000
2
2
η
η
η
η
η
α
α
(5.26)
A função dada por (5.25) é a energia transitória do sistema para afastamento do ponto
de equilíbrio estável, considerando a ação do regulador de velocidade.
Nota-se o efeito do regulador de velocidade na Energia potencial (E
p
):
∫
+++
−
+=
σ
η
η
η
η
ττ
α
α
0
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
),,(
)1(
1
2
1
2
1
q
q
q
d
d
d
qd
m
m
m
p
eedeefy
T
a
P
a
T
E
(5.27)
Ainda, dentro da E
p
, observa-se que, tratando-se de máquina de rotor liso (
η
1d
=
η
1q
e
η
2d
=
η
2q
), têm-se que o termo dependente da tensão interna é idêntico ao termo obtido para o
modelo de 1 eixos.
46
5.2.1.5- Modelo com Inclusão de Dispositivos FACTS
5.2.1.5.1- Função de Lyapunov para o Sistema MBI com
Compensador Série Controlado (CSC)
O sistema tratado (COLVARA, 1999) é apresentado em diagrama unifilar na figura 5.1.
Figura 5.1 – Sistema Máquina x Barra Infinita com a presença do CSC.
O modelo do sistema MBI, incluindo o RAT reduzido, com a presença dinâmica do
CSC e com uma mudança de variáveis, é descrito por:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
)(
0
0
),(
1
00
0
0001
0
1
12
csc
1
csccsc
341031
csc
csc
ση
σ
ω
η
σ
ω
g
x
e
ef
TT
K
aa
M
K
MM
D
x
e
c
xp
&
&
&
&
(5.28)
em que
)(,
,
'
1
,
'
)'(
,
'
1
'
csccsc3csc234331
311032
0
csc
0
csc
1
xvfxpRxifR
eR
dodo
dd
do
de
de
KKKKKaDKKa
KK
TT
XX
T
XXX
XXX
−+−==
+==
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
=
ηηη
ηηηηηη
(5.29)
A função de Lyapunov (COLVARA, 1999) para a estabilidade da origem é:
2
csc
0
csc
csc
2
2
10
2
2
1
2
1
),(
2
1
)( x
k
K
TedefMxV
c
xp
∫
+++=
σ
η
η
ττω
(5.30)
com
47
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
c
xp
fR
fR
K
K
a
a
M
D
KK
M
D
KKD
Q
csc
2
10
34
2
10
34
2
2
10
2
10
3
2
10
3
200
20
0000
002
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
(5.31)
A função dada na equação (5.30) é positiva definida e é a energia do sistema para
afastamento do ponto de equilíbrio, identificando-se claramente:
• Energia cinética (E
c
)
2
2
1
ω
ME
c
=
(5.32)
• Energia potencial (E
p
)
2
csc
0
csc
csc
2
2
10
2
1
2
1
),( x
k
K
TedefE
c
xp
P
∫
++=
σ
η
η
ττ
(5.33)
Nessa última, pode-se ainda destacar cada uma das parcelas. A integral representa a
parcela relativa ao sistema de transmissão; a segunda parcela é inteiramente devida ao laço
eletromagnético: a variável e é a tensão interna da máquina, e o coeficiente depende
exclusivamente de parâmetros do campo e do RAT, como no caso descrito no item 5.2.1.3; e,
finalmente, a terceira e última parcela depende unicamente – tanto coeficiente como variável
– do compensador série controlado (CSC). Essas parcelas de energia potencial estão
diretamente associadas às respectivas contribuições de torque líquido restaurativo do
equilíbrio no eixo da máquina, e, nesse caso, destaca-se a atuação do TCSC, que adiciona uma
parcela à barreira de energia potencial do sistema, aumentando a necessidade de energia para
o sistema ir à instabilidade, conseqüência do reforço de torque sincronizante, proporcionado
pelo dispositivo de compensação.
Quanto à matriz Q, é semi-definida positiva para valores usuais dos parâmetros
especialmente considerados pontos de operação estáveis. Visando isolar, para análise, os
48
efeitos do TCSC sobre as oscilações eletromecânicas, eliminam-se da representação do
sistema a presença do RAT e do campo da máquina: então a energia potencial fica dada por
2
csc
0
csc
csccsc
2
1
),(),( x
k
K
TdefxE
c
xp
p
∫
+=
σ
ττσ
(5.34)
em que permanece como antes a contribuição do TCSC à energia potencial e ao torque
restaurativo.
A matriz Q, agora é
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
c
xp
K
K
D
Q
csc
200
000
002
, (5.35)
evidenciando a contribuição do TCSC ao decaimento da energia total do sistema e, portanto,
ao amortecimento das oscilações eletromecânicas. Se, adicionalmente, considerar-se que o
TCSC atua instantaneamente (T
csc
=0), então
∫
=
σ
ττσ
0
),()( defE
p
(5.36)
como no caso de modelo clássico sem FACTS, ou seja, a presença do TCSC não implica em
qualquer alteração da barreira de energia potencial. Sua atuação ocorre exclusivamente no
amortecimento das oscilações eletromecânicas. De fato, a matriz
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
00
0)(2
cscxpc
KKD
Q
(5.37)
expressa a influência do TCSC no decaimento da energia total do sistema, ou seja, no
amortecimento das oscilações eletromecânicas. Nota-se que essa influência depende
diretamente do valor do ganho do TCSC.
49
5.2.1.5.2- Função de Lyapunov para o Sistema MBI com
Compensador Estático de Reativos (SVC)
O sistema tratado (F
ESTRAITS, 2002) é apresentado em diagrama unifilar na figura 5.2.
Figura 5.2 – Sistema Máquina x Barra Infinita com a presença do SVC.
Descreve-se o modelo do sistema MBI, com RAT modelado de forma reduzida
(T
R
=0), sob a ação do SVC e numa realização definida por uma mudança de variáveis por:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)(
0
0
),(
0
001
0
1
)(
32
3
931
ση
σ
ω
η
σ
ω
ge
ef
a
MM
KD
e
psvc
&
&
&
(5.38)
em que
)]1([
,
'
)'(
,
'
1
,
'
)'(
326331
3495
0
0
0
432
psvcfRvsvcRisvc
eRvsvc
R
R
des
ddes
dodo
dd
KDMKKKKKMa
KKK
T
K
TX
XXX
TT
XX
+++++−−=
+==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
==
+
=
ηηηη
ηηηη
ηηη
(5.39)
A candidata à Função de Lyapunov é definida por P=diag[p
i
] e, com
2
9
321
;1;
η
η
=== ppMp
(5.40)
chega-se a
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+
=
2
2
9
2
9
31
2
9
31
20
000
0)(2
η
η
η
η
η
η
a
aKD
Q
psvc
, (5.41)
50
e a função de Lyapunov (F
ESTRAITS, 2002) para o sistema (5.38) é:
∫
++=
σ
η
η
ττω
0
2
2
9
3
2
2
1
),(
2
1
)( edefMxV
(5.42)
A função dada na equação (5.42) é positiva definida em uma região que contém o ponto de
equilíbrio estável e pode ser vista como energia do sistema para afastamento do ponto de
equilíbrio, identificando-se claramente:
• Energia cinética (E
c
)
2
2
1
ω
ME
c
=
(5.43)
• Energia potencial (E
p
)
∫
+=
σ
η
η
ττ
0
2
2
9
3
2
1
),( edefE
P
(5.44.)
Nessa última, pode-se ainda destacar cada uma das parcelas. A integral representa a
parcela relativa ao sistema de transmissão, enquanto que a segunda parcela é devida ao laço
eletromagnético e ao SVC: a variável e é a tensão interna da máquina, e o coeficiente depende
de parâmetros do campo, do RAT e do SVC. Essas parcelas de energia potencial estão
diretamente associadas às respectivas contribuições de torque líquido, restaurativo do
equilíbrio no eixo da máquina. A atuação do SVC fornece grande contribuição ao
amortecimento das oscilações, como evidenciado pela expressão (5.41) da matriz Q.
51
6 Funções Potenciais
_____________________________________
Uma das formas de análise de estabilidade transitória de Sistemas de Energias Elétrica
(SEE) é através do método da Região de Sincronização Positiva (RSP), que utiliza o conceito
da FL, utilizando a energia do sistema, considerando a energia potencial como auxiliar no
processo, e conclui a análise, observando (monitorando) a evolução da trajetória pós-falta do
sistema em relação às fronteiras da RSP.
O princípio básico do método consiste em verificar se a trajetória do sistema abandona
a RSP (concluindo pela instabilidade) ou não (concluindo pela estabilidade).
Neste capítulo apresentam-se os resultados obtidos no estudo do sistema MBI desde o
modelo clássico até os modelos com a inclusão de dispositivos FACTS. Apresentando:
• o comportamento dinâmico do sistema MBI, em que é estudada a validade dos
modelos obtidos, bem como da capacidade de sincronização e amortecimento das
oscilações de cada modelo do sistema. Para avaliar o comportamento dinâmico do
sistema MBI, simulou-se o sistema com uma falta do tipo curto-circuito, eliminada no
tempo de chaveamento t
ch
=0,1s; e
52
• o comportamento transitório do sistema MBI, baseado na função Potencial do sistema
e no comportamento da trajetória pós-falta do sistema com relação à “Região de
Sincronização Positiva”, onde, a função potencial é mostrada graficamente em termos
de suas curvas de nível. A função potencial possui extremos que são identificados pela
nulidade do gradiente da função de Lyapunov (FL), ou seja,
0)()()(
=
Ψ
+Φ=
∇
xxPxV
.
Nota-se que
0)( =
∇
xV
reproduz as equações dos pontos de equilíbrio do sistema.
As simulações foram realizadas utilizando-se o programa Simulink versão 6.1
(toolbox do Matlab
®
).
6.1- Modelo Clássico
Na Figura 6.1, apresenta-se a variação do ângulo (
δ
) da máquina, mostrando o
comportamento dinâmico do sistema MBI, e que, em 20 segundos, a amplitude de
δ
reduz-se
substancialmente.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
tempo [s]
delta [rad]
Figura 6.1 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Sistema MBI com Modelo Clássico
A energia potencial, dada pela equação (5.12), é mostrada graficamente na Figura 6.2.
A função potencial possui extremos que são identificados pela nulidade de sua derivada como
mostrado a seguir:
[][][]
0)(0)(
)(
2
==+=
∂
∂
σσ
σ
σ
ffp
E
p
(6.1)
53
sendo
1
2
=p
(6.2)
Nota-se que 6.1 reproduz a equação do ponto de equilíbrio do sistema, ou seja,
.0)( =
σ
f
A última evidencia que os pontos de equilíbrio são extremos locais da energia
potencial (E
p
), com a origem sendo um mínimo, e os outros, máximos.
O valor da energia potencial, no ponto de equilíbrio instável de menor energia, ou seja,
a energia potencial crítica é E
p
=1,6516 [pu].
A energia potencial depende exclusivamente de σ, e o sistema depende
exclusivamente do laço eletromecânico, em que se verifica o comportamento das trajetórias
pós-falta, notando que, com tempo de chaveamento t
ch
=0,3927s, a trajetória pós-falta do
sistema não alcança o ponto de equilíbrio instável, permanecendo dentro da RSP, ou seja, o
sistema é estável em primeira oscilação. No caso de t
ch
=0,3928s, a trajetória pós-falta
ultrapassa o ponto de equilíbrio instável, abandonando a RSP, ou seja, o sistema MBI é
instável em primeira oscilação.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
7
sigma [rad]
Energia Potencial [pu]
Figura 6.2 – Curva de Energia Potencial vs. Ângulo do Modelo Clássico.
54
6.2- Modelo com Decaimento de Fluxo
O decaimento de fluxo acentua o amortecimento das oscilações eletromecânicas,
conforme nota-se na figura seguinte.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
tempo [s]
delta [rad]
Figura 6.3 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com DF
A função dada pela equação (5.15) pode ser mostrada, graficamente, em termos de
suas curvas de nível. A função potencial possui extremos que são identificados pela nulidade
do gradiente da FL, como mostrado a seguir:
0
)(
),(
)(
0),(
)(
2
1
2
3
2
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∇
σ
η
η
σ
σ
σ
ge
ef
gpep
efp
xE
p
(6.3)
sendo
2
1
3
η
η
=p
(6.4)
Nota-se que
0)( =
∇
xE
p
reproduz as equações dos pontos de equilíbrio do sistema, ou
seja,
.0)(0)(
21
=+=
σ
η
η
σ
geef
As duas últimas evidenciam que os pontos de equilíbrio
são extremos locais da energia potencial (E
p
), com a origem sendo um mínimo, e os outros,
mini-max.
Traçando as curvas (equipotenciais) de nível da E
p
, no plano
ex
σ
, obtém-se a Figura
6.4, apresentada a seguir. Nota-se que o valor da energia potencial no ponto de equilíbrio
55
instável de menor energia, ou seja, a energia potencial crítica é E
p
=0,4480 [pu], e, que o
coeficiente de e
2
representa a contribuição da própria máquina, ou seja, p
3
depende
exclusivamente de parâmetros da máquina e do sistema de transmissão.
Pode-se observar na Figura 6.4 que, no ponto de equilíbrio estável (Centro), a função
apresenta um mínimo, enquanto que, nos pontos de equilíbrio instável (Sela), apresenta um
mini-max. Verifica-se o comportamento das trajetórias pós-falta em relação à RSP,
observando que, com tempo de chaveamento t
ch
=0,3312s, a trajetória pós-falta do sistema
aproxima do ponto de equilíbrio instável (pei), porém não cruza a CTN, permanecendo dentro
da RSP, ou seja, o sistema é estável. No caso de t
ch
=0,3313s, a trajetória pós-falta passa
próximo ao pei, nesse caso, cruzando a CTN e abandonando a RSP, o que significa que o
sistema MBI é instável em primeira oscilação.
O decaimento de fluxo introduz amortecimento ao sistema e, como decorrência, tem-
se um decaimento da energia do sistema. Por outro lado, nota-se que a energia potencial do
sistema é devida não exclusivamente ao laço eletromecânico, mas também ao laço
eletromagnético, por meio da variável e.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
sigma [rad]
e [pu]
Trajetória instável
Trajetória estável
Figura 6.4 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com DF
56
6.3- Modelo com Decaimento de Fluxo e RAT
Na Figura 6.5, apresenta-se a variação do ângulo (
δ
) da máquina, que, em 20
segundos, a amplitude de δ reduz-se substancialmente.
Esse sistema proporcionou um aumento significativo em relação aos sistemas
anteriores, no amortecimento das oscilações eletromecânicas, conforme podemos notar na
figura 6.5.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
tempo [s]
delta [rad]
Figura 6.5 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com DF e RAT
A função dada pela equação (5.20) pode ser mostrada, graficamente, em termos de
suas curvas de nível. A função potencial possui extremos que são identificados pela nulidade
do gradiente da FL, como mostrado a seguir:
0)(
),(
)(
4
3
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=∇
ε
σ
σ
p
gep
ef
xE
p
(6.5)
em que
eRdd
dedd
eRdede
KKxx
pp
xxxx
KKxxxx
p
)'(
1
)')('(
)'(
52
43
3
5
3
4
2
1
3
−
===
+−
+
+
+
==
ηη
ηη
η
η
η
η
(6.6)
Nota-se que
0)( =
∇
xE
p
reproduz as equações dos pontos de equilíbrio do sistema, ou
seja, .00)(,0),(
43
=
=+=
ε
σ
σ
pegepef As três últimas evidenciam que os pontos de
57
equilíbrio são extremos locais da energia potencial (E
p
), com a origem sendo um mínimo, e os
outros, mini-max.
Traçando as curvas (equipotenciais) de nível da E
p
, no plano
ex
σ
, obtém-se a Figura
6.6, apresentada a seguir. Note-se que o valor da energia potencial no ponto de equilíbrio
instável de menor energia, ou seja, a energia potencial crítica é E
p
=1,5009 [pu].
Esse modelo proporcionou um aumento significativo na energia potencial, ou seja,
uma elevação nos extremos da energia potencial que coincidem com as posições dos pontos
de equilíbrio instáveis, e, conseqüentemente, um aumento na depressão energética, que
contém o ponto de equilíbrio estável.
Pode-se observar, na Figura 6.6, que o comportamento das trajetórias pós-falta em
relação à RSP. Com tempo de chaveamento t
ch
=0,4111s, a trajetória pós-falta do sistema
tangencia o ponto de equilíbrio instável, permanecendo dentro da RSP, ou seja, o sistema é
estável. No caso de t
ch
=0,4112s, a trajetória pós-falta tangencia o ponto de equilíbrio instável,
porém cruzando a CTN, ou seja, abandonando a RSP, com comportamento instável em
primeira oscilação.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
sigma [rad]
e [pu]
Trajetória estável
Trajetória instável
Figura 6.6 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com DF e RAT
58
6.4- Modelo com Inclusão de Dispositivos FACTS
6.4.1- Modelo com Compensador Série Controlado (CSC) e RAT
Para fins de análise da influência do CSC no sistema, considerou-se o seu
comportamento dinâmico (X
csc
=x
csc
+X
0
csc
), a reatância total do CSC, a qual é composta por
uma parcela equivalente ao ponto de equilíbrio (X
0
csc
) e uma equivalente à variação em torno
desse ponto (x
csc
).
Na Figura 6.7, apresenta-se a variação do ângulo (
δ
) da máquina, e com a inclusão de
dispositivo FACTS (CSC), nota-se que o estado de equilíbrio é alcançado antes de 8s.
O modelo é empregado para K
c
relativamente pequeno (K
c
=0,05). O resultado pode-se
notar nas Figuras 6.7 e 6.8, em que o amortecimento das oscilações eletromecânicas foi
acentuado.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
tempo [s]
delta [rad]
Figura 6.7– Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com CSC (K
c
=0,05), DF e RAT
A função dada pela equação (5.33) pode ser mostrada, graficamente, em termos de
suas curvas de nível. A função potencial possui extremos que são identificados pela nulidade
do gradiente da FL (F
ESTRAITS, 2002), como mostrado a seguir:
0)(
),(
0
)(
0),(
)(
csc4
1
2
10
1
2
csc4
3
12
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=∇
xp
ge
ef
gp
xp
ep
efp
xE
p
σ
η
η
σ
σ
σ
(6.7)
em que
59
c
xp
K
K
Tp
p
csc
csc4
2
10
3
=
=
η
η
(6.8)
Nota-se que
0)( =
∇
xE
p
reproduz as equações dos pontos de equilíbrio do sistema, ou
seja, .00)(,0),(
csc12101
=
=
+= xegeef
σ
η
η
σ
As três últimas evidenciam que os pontos
de equilíbrio são extremos locais da energia potencial (E
p
), com a origem sendo um mínimo, e
os outros, mini-max.
Traçando as curvas (equipotenciais) de nível da E
p
, no plano
ex
σ
, obtém-se a Figura
6.8, apresentada a seguir. Note-se que o valor da energia potencial no ponto de equilíbrio
instável do 1º quadrante do ângulo, para este caso, é E
p
=3,2578 [pu].
Pode-se observar na Figura 6.8 que, no ponto de equilíbrio estável (Centro), a função
apresenta um mínimo, enquanto que nos pontos de equilíbrio instável (Sela) apresenta um
mini-max. Verifica-se o comportamento das trajetórias pós-falta em relação à RSP,
apresentando que, com tempo de chaveamento t
ch
=0,5047s, a trajetória pós-falta do sistema
tangencia o ponto de equilíbrio instável, permanecendo dentro da RSP, ou seja, o sistema é
estável. No caso de t
ch
=0,5048s, a trajetória pós-falta tangencia o ponto de equilíbrio instável,
porém cruzando a CTN, ou seja, abandonando a RSP, com comportamento instável em
primeira oscilação.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
sigma [rad]
e [pu]
Trajetória estável
Trajetória instável
Figura 6.8 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com CSC (K
c
=0,05), DF e RAT
60
Para fins de análise do desempenho do CSC no sistema, considerou-se um valor maior
para o ganho do TCSC, ou seja, para K
c
=0,2.
Na Figura 6.9, apresenta-se a variação do ângulo (
δ
) da máquina. O modelo
apresentou um acentuado amortecimento nas oscilações eletromecânicas.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
tempo [s]
delta [rad]
Figura 6.9 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com CSC (K
c
=0,2), DF e RAT
Traçando as curvas de nível da E
p
, no plano
ex
σ
, obtém-se a Figura 6.10, apresentada
a seguir. Note-se que o valor da energia potencial, no ponto de equilíbrio instável do 1º
quadrante, para este caso, é E
p
=3,2578 [pu].
Pode-se observar, na Figura 6.10, o comportamento das trajetórias pós-falta em
relação à RSP. Com tempo de chaveamento t
ch
=0,5550s, a trajetória pós-falta do sistema
tangencia o ponto de equilíbrio instável, permanecendo dentro da RSP, ou seja, o sistema é
estável. No caso de t
ch
=0,5551s, a trajetória pós-falta tangencia o ponto de equilíbrio instável,
porém cruzando a CTN, ou seja, abandonando a RSP, com comportamento instável em
primeira oscilação.
61
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
sigma [rad]
e [pu]
Trajetória instável
Trajetória estável
Figura 6.10 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com CSC (K
c
=0,2), DF e RAT
Sem atuação do RAT, apresenta-se o modelo com Compensador Série Controlado
(CSC) para K
c
, relativamente pequeno (K
c
=0,05). Apresentando a seguinte curva de oscilação
(tempox
δ
) na Figura 6.11.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
tempo [s]
delta [rad]
Figura 6.11 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com CSC (K
c
=0,05) e DF
Comparando-se a Figura 6.11 com o modelo clássico (Figura 6.1), nota-se a grande
capacidade de amortecimento do laço eletromecânico introduzido pelo dispositivo FACTS
(CSC).
O valor da energia potencial, no ponto de equilíbrio instável de menor energia, ou seja,
a energia potencial crítica é E
p
=1,0470 [pu].
Verifica-se na Figura 6.12 o comportamento das trajetórias pós-falta em relação à
RSP. Com tempo de chaveamento t
ch
=0,4527s, a trajetória pós-falta do sistema tangencia o
ponto de equilíbrio instável, permanecendo dentro da RSP, ou seja, o sistema é estável. No
62
caso de t
ch
=0,4528s, a trajetória pós-falta tangencia o ponto de equilíbrio instável, porém
cruzando a CTN, ou seja, abandonando a RSP, com comportamento instável em primeira
oscilação.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
sigma [rad]
e [pu]
trajetória estável
trajetória instável
Figura 6.12 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com CSC (K
c
=0,05) e DF
Novamente, sem atuação do RAT, apresenta-se o modelo com Compensador Série
Controlado (CSC) agora empregado com valor maior para o ganho do dispositivo FACTS
(CSC), ou seja, para K
c
=0,2.
A Figura 6.13 apresenta a variação do ângulo (
δ
) da máquina, em que o modelo
ganhou um acentuado amortecimento nas oscilações eletromecânicas.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
tempo [s]
delta [rad]
Figura 6.13 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com CSC (K
c
=0,2) e DF
O valor da energia potencial, no ponto de equilíbrio instável de menor energia, ou seja,
a energia potencial crítica é E
p
=1,0470 [pu].
63
Pode-se observar, na Figura 6.14, o comportamento das trajetórias pós-falta em
relação à RSP. Com tempo de chaveamento t
ch
=0,5173s, a trajetória pós-falta do sistema
tangencia o ponto de equilíbrio instável, permanecendo dentro da RSP, ou seja, o sistema é
estável. No caso de t
ch
=0,5174s, a trajetória pós-falta tangencia o ponto de equilíbrio instável,
porém cruzando a CTN, ou seja, abandonando a RSP, com comportamento instável em
primeira oscilação.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
sigma [rad]
e [pu]
Trajetória instável
Trajetória estável
Figura 6.14– Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com CSC (K
c
=0,2) e DF
6.4.2- Modelo com Compensador Estático de Reativos (SVC) e RAT
Na Figura 6.15, apresenta-se a variação do ângulo (
δ
) da máquina com a inclusão de
dispositivo FACTS (SVC), nota-se que o estado de equilíbrio é alcançado antes de 10s.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
tempo [s]
delta [rad]
Figura 6.15 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com SVC, DF e RAT
64
A função dada pela equação (5.44) pode ser mostrada, graficamente, em termos de
suas curvas de nível. A função potencial possui extremos que são identificados pela nulidade
do gradiente da FL (F
ESTRAITS, 2002), como mostrado a seguir:
0
)(
),(
)(
0),(
)(
3
2
9
3
323
32
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∇
σ
η
η
σ
σ
σ
ge
ef
gpep
efp
xE
p
(6.9)
sendo
2
9
3
η
η
=p
(6.10)
Nota-se que
0)( =
∇
xE
p
reproduz as equações dos pontos de equilíbrio do sistema, ou
seja, .0)(,0),(
3293
=
+=
σ
η
η
σ
geeef As duas últimas evidenciam que os pontos de
equilíbrio são extremos locais da energia potencial (E
p
), com a origem sendo um mínimo, e os
outros, mini-max.
Traçando as curvas (equipotenciais) de nível da E
p
, no plano
ex
σ
, obtém-se a Figura
6.16, apresentada a seguir. Note-se que o valor da energia potencial no ponto de equilíbrio
instável do 1º quadrante, para este caso, é E
p
=1,9040 [pu].
Pode-se observar, na Figura 6.16, que no ponto de equilíbrio estável (Centro), a função
apresenta um mínimo, enquanto que nos pontos de equilíbrio instável (Sela) apresenta um
mini-max. Verifica-se o comportamento das trajetórias pós-falta em relação à RSP, notando
que, com tempo de chaveamento t
ch
=0,4509s, a trajetória pós-falta do sistema permanece
dentro da RSP, mostrando, dessa forma, que o sistema é estável em primeira oscilação. No
caso de t
ch
=0,4510s, a trajetória pós-falta abandona a RSP, indicando que o sistema MBI é
instável em primeira oscilação.
65
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
sigma [rad]
e [pu]
Trajetória instável
Trajetória estável
Figura 6.16 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com SVC, DF e RAT
Sem atuação do RAT, o modelo com Compensador Estático de Reativos (SVC),
mostrado na Figura 6.17, apresenta a seguinte curva de oscilação (δ).
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
tempo [s]
delta [rad]
Figura 6.17 – Curva de Oscilação
)(
δ
do Modelo com SVC e DF
Comparando-se a Figura 6.17 com a Figura 6.11 (curva de oscilação do modelo com
CSC e DF), verifica-se uma capacidade de sincronização um pouco menor, e uma capacidade
de amortecimento das oscilações tão acentuada quanto ao do CSC.
O valor da energia potencial, no ponto de equilíbrio instável de menor energia, ou seja,
a energia potencial crítica é E
p
=0,5535 [pu].
Pode-se observar na Figura 6.18, que o comportamento das trajetórias pós-falta em
relação à RSP, apresentando que, com tempo de chaveamento t
ch
=0,3864s, a trajetória pós-
falta do sistema tangencia o ponto de equilíbrio instável, permanecendo dentro da RSP, ou
seja, o sistema é estável. No caso de t
ch
=0,3865s, a trajetória, pós-falta tangencia o ponto de
66
equilíbrio instável, porém cruzando a CTN, ou seja, abandonando a RSP, com comportamento
instável em primeira oscilação.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
sigma [rad]
e [pu]
Trajetória instável
Trajetória estável
Figura 6.18 – Curvas de Nível
)( ex
σ
do Modelo com SVC e DF
Resultados:
• no estudo do comportamento dinâmico do sistema MBI, desde o modelo clássico até
os modelos com dispositivos FACTS, fez-se comparações entre a capacidade de
amortecimento e de sincronização desses modelos. A comparação dá-se através das
curvas de oscilação do ângulo do eixo da máquina (
δ
). O modelo com melhor
desempenho foi o modelo com CSC, pois possui grande capacidade de sincronização,
ou seja, mostrando ter uma maior freqüência de oscilação que os outros modelos,
especialmente para o ganho maior (K
c
=0,2); e também de amortecimento das
oscilações eletromecânicas. No caso do dispositivo SVC, se comparado com a atuação
do CSC, verifica-se uma capacidade de sincronização um pouco menor, e uma
capacidade de amortecimento das oscilações tão acentuada quanto ao do CSC; e
• no estudo do comportamento transitório do sistema MBI desde o modelo clássico até
os modelos com dispositivos FACTS, fez-se uma comparação entre os tempos críticos
de chaveamento (t
ch
), determinados com as simulações e as energias potenciais
críticas, calculadas no ponto de equilíbrio instável de menor energia (pei), conforme
apresentado na Tabela 6.1 abaixo.
67
Tabela 6.1 – Tempos críticos de chaveamento e a energia potencial crítica
Modelo do Sistema MBI
Tempo Crítico
(t
ch
)
Energia Potencial
Crítica (E
cr
)
Modelo Clássico 0,3927s 1,6537 [pu]
Modelo com Decaimento de Fluxo (DF) 0,3312s 0,4480 [pu]
Modelo com Decaimento de Fluxo (DF) e D=0 0,3256s 0,4480 [pu]
Modelo com Decaimento de Fluxo e RAT 0,4111s 1,5009 [pu]
Modelo com CSC, DF e RAT (para Kc=0.05) 0,5047s 3,2578 [pu]
Modelo com CSC e DF (para Kc=0.05) 0,4527s 1,0470 [pu]
Modelo com CSC (para Kc=0.05) 0,4948s 3,7790 [pu]
Modelo com CSC, DF e RAT (para Kc=0.2) 0,5550s 3,2578 [pu]
Modelo com CSC e DF (para Kc=02) 0,5173s 1,0470 [pu]
Modelo com CSC (para Kc=02) 0,5515s 3,7790 [pu]
Modelo com CSF, DF e RAT 0,4843s 3,2578 [pu]
Modelo com CSF e DF 0,4213s 1,0470 [pu]
Modelo com CSF 0,4716s 3,7790 [pu]
Modelo com SVC, DF e RAT 0,4509s 1,9040 [pu]
Modelo com SVC e DF 0,3864s 0,5535 [pu]
Modelo com SVC 0,4347s 2,1033 [pu]
* CSF: Compensação Série Fixa (atuação estática do CSC).
Nota-se no, comportamento transitório do sistema MBI, que com a introdução do
decaimento de fluxo (DF) no sistema, acontece uma diminuição no tempo crítico do sistema
(pior tempo crítico), isso devido à diminuição da barreira de energia potencial do sistema,
conforme pode-se notar na Figura 6.4. Mas, ao mesmo tempo, o DF contribui para o
amortecimento das oscilações eletromecânicas (Figura 6.3), isso devido ao aumento da
energia dissipada do sistema, conforme será analisado no próximo capítulo. Pode-se notar
que, no Modelo com DF, o tempo crítico é 0,3312s, e, com a anulação do termo de
amortecimento próprio da máquina (D=0), há uma diminuição do tempo crítico (0,3256s), a
energia potencial crítica permanece a mesma. Portanto, o amortecimento das oscilações
eletromecânicas é responsável pela perda de energia durante o movimento do sistema, e essa
68
por sua vez ocasiona o melhoramento do tempo crítico, embora a barreira de energia potencial
permanece a mesma.
Já o regulador automático de tensão (RAT) atua no sentido oposto ao decaimento de
fluxo (especialmente quando são consideradas faltas do tipo curto-circuito) e, com alto valor
de ganho (K
R
) e baixo valor de constante de tempo (T
R
), pode superar o efeito do decaimento
de fluxo com conseqüências positivas para a estabilidade, pela via do reforço do torque
sincronizante com conseqüente elevação da energia potencial (Figura 6.6). Nesse caso, a E
cr
não é maior do que a do modelo clássico. O RAT contribui para o amortecimento das
oscilações eletromecânicas, ou seja, introduzindo um aumento da dissipação de energia,
acarretando na perda da energia na trajetória do sistema, e, conseqüentemente, um
melhoramento do tempo crítico. Já com o aumento da energia potencial do sistema há uma
modificação na fronteira da região de estabilidade.
Com a introdução de dispositivos FACTS ao sistema, há um melhoramento
significativo no tempo crítico do sistema, isso devido à perda da energia na trajetória do
sistema. Embora o sistema com a perturbação tivesse uma oscilação bem grande, comparada
às anteriores, ganhou mais amortecimento, tornou-se mais robusto, pois teve um aumento na
dissipação de sua energia transitória. O melhor desempenho é para o modelo do sistema com
CSC, DF e RAT, especialmente para ganho maior (K
c
=0.2), pois, a atuação do TCSC ocorre
exclusivamente no amortecimento das oscilações eletromecânicas. Nota-se que essa
influência depende diretamente do valor do ganho (Figura 6.11 e Figura 6.13). No entanto,
não acontece o mesmo com a energia potencial crítica, por não depender da atuação dinâmica
do CSC. Por isso, a energia potencial crítica se manteve igual para atuação dinâmica e
estática.
No caso do dispositivo SVC, apresenta uma capacidade de amortecimento das
oscilações tão acentuada quanto ao do CSC e um melhoramento no tempo crítico do sistema,
69
embora não seja com o mesmo desempenho que ao do CSC, isso devido à perda da energia na
trajetória do sistema ser um pouco inferior ao modelo com CSC. Para comprovar essa idéia
basta comparar o amortecimento das oscilações eletromecânicas (Figura 6.13 e Figura 6.17).
Além disso, a energia potencial crítica E
cr
do modelo, só com CSC, é bem maior do que o
modelo só com SVC, pois o aumento das parcelas de energia potencial do sistema com CSC é
superior, isso devido ao fato do torque de sincronização ser maior.
70
7 Estimativas para o Decaimento da FL
_____________________________________
7.1- Energia Dissipada
Existem diversas formulações (P
AI, 1981) para a Função de Lyapunov, considerando o
SEE formulado com as máquinas, descritas pelo modelo clássico, e, desde que se
desconsidere o termo de amortecimento próprio das máquinas, a FL apresenta-se constante no
tempo.
Para avaliar o comportamento dinâmico do sistema MBI, simulou-se o sistema com
uma falta do tipo curto-circuito eliminado no tempo de chaveamento t
ch
=0,3s, desde o modelo
clássico até os modelos com a inclusão de dispositivos FACTS. É apresentado na seqüência, o
comportamento das curvas de oscilações
),(
ω
δ
, energia cinética, energia potencial, energia
cinética + potencial (FL), energia dissipada e energia total do sistema.
A Figura 7.1 apresenta o comportamento das curvas de oscilações
),(
ω
δ
para o
sistema conservativo.
A Figura 7.2 é uma apresentação da energia total do sistema, decomposta em energia
cinética e potencial para o sistema sem perdas, ou seja, com D=0, o que significa a matriz Q
71
(5.13) nula, de modo que a taxa de decaimento da energia total do sistema é nula. De fato, a
energia total do sistema se conserva, ocorrendo trocas entre as formas potencial e cinética.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
tempo [s]
delta [rad], w [rad/s]
δ
ω
Figura 7.1 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI
Conservativo para o Modelo Clássico
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo [s]
Energias [pu]
V(x)
Ep Ec
Figura 7. 2 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
) e Total (V(x))
do Sistema MBI Conservativo para o Modelo Clássico
Ao se adicionar ao modelo representativo do sistema outras dinâmicas, além da
mecânica, introduz-se não-conservatividades, e, retratando essa realidade, a FL passa a ter um
comportamento de decaimento no tempo (nos casos de movimento estável), podendo esse
decaimento ser bastante acentuado. Nota-se que os termos de energia cinética e potencial
continuam a existir, preservando a forma e significado, enquanto que outros termos passam a
integrar aditivamente a energia do sistema, alguns – a grande maioria – com clara qualificação
de energia potencial. Por outro lado, supõe-se que as outras parcelas, seja a energia cinética
ou as que “desaparecem”, ou, mais apropriadamente, dissipam-se ao longo da trajetória do
72
sistema, relacionando-se mais (se não exclusivamente) com a trajetória do que com a região
de estabilidade, e é pelo efeito da dissipação que influenciam o desempenho do sistema.
A energia que “desaparece”, ao longo da trajetória do sistema, é a chamada energia
dissipada (E
d
). Portanto, incluindo a energia dissipada, tem-se que a energia total (E
T
) do
sistema é dada por:
ddpcT
ExVEEEE
+
=
+
+
=
)(
(7.1)
Como a energia total do sistema, incluindo a dissipação, é constante, tem-se que
0)( =+=
dT
ExVE
&&&
(7.2)
de onde
)(xVE
d
&&
−=
(7.3)
como
xxVxV
T
&
&
⋅∇= )()(
(7.4)
então
xEE
d
T
d
&
&
⋅∇=
(7.5)
Portanto, a energia dissipada é dada por:
∫
⋅⋅∇= dtxEE
d
T
d
&
, (7.6)
mas, como
i
d
j
d
x
E
x
E
j
i
∂
∂
∇
≠
∂
∂∇
, (7.7)
a função (7.6) não pode ser integrada analiticamente, devendo ser efetuada numericamente.
Portanto, dado o exposto acima, conclui-se que
∫
∫
∫
⋅−=⇒⋅−=⋅⋅∇⇒−=⋅∇⇒−= dtxVEdtxVdtxExVxExVE
dd
T
d
T
d
)()()()(
&&
&
&
&
&&
(7.8)
ou seja , a energia dissipada E
d
é a integral de no tempo.
)(xV
&
−
73
∫
⋅−= dtxVE
d
)(
&
(7.9)
Para se chegar a E
d
, basta calcular a derivada temporal de V(x) para cada modelo do
sistema e efetuar a integração numericamente.
De acordo com a seção 5.1 (Sistema de Persidskii Generalizado), a derivada temporal
de V(x), nas trajetórias do sistema (5.1), é dada por:
)]()[()]([)]([
2
1
(x)V
111
xAPFxVxVPQxVP
TT
ψ
−−−
−∇+∇∇−=
&
, (7.10)
uma vez que se determinaram os coeficientes da FL de modo a assegurar que a segunda
parcela do segundo membro seja nula, então é (semi-) definida negativa, na forma (x)V
&
)]([)]([
2
1
(x)V
11
xVPQxVP
T
∇∇−=
−−
&
. (7.11)
É apresentada a seguir a derivada temporal de V(x), e conseqüentemente as energias
dissipada para as diversas formulações do sistema, começando com o modelo clássico e
evoluindo até a consideração de modelo com a inclusão de dispositivos FACTS.
7.1.1- Modelo Clássico
Considerando apenas as duas primeiras linhas e colunas do sistema descrito por (5.6),
e, com a função de Lyapunov (5.10), a derivada temporal é
2
)(
ω
DxV −=
&
. (7.12)
Conseqüentemente, de acordo com a função (7.9) a energia dissipada encontrada é
dada por:
∫
⋅= dtDE
d
2
ω
(7.13)
Nessa última, a integral representa a parcela responsável pela energia dissipada do
sistema, em que o coeficiente D é o mesmo encontrado na matriz Q (5.13), que é a taxa de
decaimento da energia total do sistema.
74
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-4
-2
0
2
4
6
tempo [s]
delta [rad], w [rad/s]
ω
δ
Figura 7.3 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI
com Modelo Clássico
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
tempo [s]
Energias [pu]
ET
Ed
Ec
Ep
V(x)
Figura 7.4 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)),
Dissipada (E
d
) e Total (E
T
) do Sistema MBI com Modelo Clássico
7.1.2- Modelo com Decaimento de Fluxo
O modelo considerado é dado por (5.6), eliminadas as últimas linha e coluna, com a
função de Lyapunov (5.14). Para essa função, a derivada temporal obtida é:
2
1
2
2
2
1
2
)()(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−=
σ
η
η
η
η
ω
geDxV
&
(7.14)
De acordo com a função (7.9) a energia dissipada do sistema é
dtgedtDE
d
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⋅=
∫∫
2
1
2
2
2
1
2
)(
σ
η
η
η
η
ω
(7.15)
A função dada na equação acima representa a energia dissipada do sistema, em que a
primeira integral já presente no caso do modelo clássico, mais a segunda integral que é devida
75
às variações da tensão interna da máquina com relação ao valor de equilíbrio, cujo coeficiente
2
2
1
η
η
é o mesmo encontrado na matriz Q (5.16), expressando a influência do decaimento de
fluxo no amortecimento das oscilações eletromecânicas. E, essa última parcela é a
responsável pela maior parte da energia dissipada, evidenciando a contribuição efetiva do DF
ao amortecimento do sistema.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tempo [s]
delta [rad], w [rad/s]
δ
ω
Figura 7.5 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI
do Modelo com Decaimento de Fluxo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
tempo [s]
Energias [pu]
Ed
ET
V(x)
Ep
Ec
Figura 7.6 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)), Dissipada (E
d
)
e Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com Decaimento de Fluxo
76
7.1.3- Modelo com Decaimento de Fluxo e RAT
O modelo considerado é dado por (5.9), e a derivada temporal da função de Lyapunov
(5.17) é apresentada a seguir:
2
52
2
43
2
1
2
2
2
1
2
)()(
ε
ηη
ηη
σ
η
η
η
η
ω
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−= geDxV
&
, (7.16)
e como resultado da função (7.9) têm-se que
∫∫∫
⋅+⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⋅= dtdtgedtDE
d
2
52
2
43
2
1
2
2
2
1
2
)(
ε
ηη
ηη
σ
η
η
η
η
ω
(7.17)
A função dada na equação acima representa a parcela responsável pela energia
dissipada do sistema, em que a primeira e a segunda integrais estão presentes no caso do
modelo com DF, e a terceira integral que é devida às variações da tensão interna da máquina,
afetada pela atuação do RAT com relação ao valor de equilíbrio. Os coeficientes são os
encontrados na matriz Q (5.22), expressando a influência do RAT no amortecimento das
oscilações eletromecânicas. E essa última parcela é a responsável pela maior parte da energia
dissipada.
7.1.4- Modelo com Compensador Série Controlado (CSC)
O sistema tratado é (5.28), e a função de Lyapunov considerada é (5.30). De acordo
com a função (7.11), a derivada temporal da função de Lyapunov é
2
csc
csc
2
10
2
2
2
10
10
2
csc
2
10
34
10
2
2
10
3
2
)()()()( x
K
K
gegexage
M
D
KKDxV
c
xp
fR
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−=
σ
η
η
η
η
σ
η
η
η
η
σ
η
η
ω
η
η
ηω
&
, (7.18)
e a energia dissipada é
dtx
K
K
dtge
dtgexadtge
M
D
KKdtDE
c
xp
fRd
⋅+⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−⋅=
∫∫
∫∫∫
2
csc
csc
2
10
2
2
2
10
10
2
csc
2
10
34
10
2
2
10
3
2
)(
)()(
σ
η
η
η
η
σ
η
η
η
η
σ
η
η
ω
η
η
ηω
(7.19)
77
Na equação acima, trata-se da energia dissipada do sistema, em que se pode notar que
todos os coeficientes das integrais são os encontrados na matriz Q (5.31) que expressa a
influência no decaimento da energia total do sistema. E os maiores responsáveis por isso são a
penúltima e a última integral da equação acima, que dependem inteiramente do laço
eletromagnético e unicamente do compensador série controlado, respectivamente. Destaca-se
aqui a contribuição do CSC ao decaimento de energia dependente diretamente do ganho
K
xpcsc
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-4
-2
0
2
4
6
tempo [s]
delta [rad], w [rad/s]
δ
ω
Figura 7.7 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI
do Modelo com CSC, RAT e DF
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
energias [pu]
ET
Ed
Ep
Ec
V(x)
tempo [s]
Figura 7.8 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)),
Dissipada (E
d
) e Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com CSC, RAT e DF
78
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tempo [s]
delta [rad], w [rad/s]
δ
ω
Figura 7.9 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI
do Modelo com CSC
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Energias [pu]
tempo [s]
ET
Ed
Ep
Ec
V(x)
Figura 7.10 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)),
Dissipada (E
d
) e Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com CSC
7.1.5- Modelo com Compensador Estático de Reativos (SVC)
Considerando o sistema descrito por (5.38), com a função de Lyapunov (5.42), tem-se
que a derivada temporal da mesma é
2
9
2
2
2
9
9
2
2
9
31
2
)()()()(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−=
σ
η
η
η
η
σ
η
η
ω
η
η
ω
gegeaKDxV
psvc
&
, (7.20)
e conseqüentemente, conforme a função (7.9), a energia dissipada do sistema é
dtgedtgeadtKDE
psvcd
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−⋅+=
∫∫ ∫
2
9
2
2
2
9
9
2
2
9
31
2
)()()(
σ
η
η
η
η
σ
η
η
ω
η
η
ω
. (7.21)
79
Nessa última são representadas as parcelas responsáveis pela energia dissipada do
sistema, em que os coeficientes são os encontrados na matriz Q (5.41), que expressam a taxa
de decaimento da energia total do sistema.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tempo [s]
delta [rad], w [rad/s]
δ
ω
Figura 7.11 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI
do Modelo com SVC, RAT e DF
0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo [s]
Energias [pu]
ET
Ed
V(x)
Ec
Ep
Figura 7.12 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)),
Dissipada (E
d
) e Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com SVC, RAT e DF
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tempo [s]
delta [rad], w [rad/s]
δ
ω
Figura 7. 13 – Curvas de Oscilações
),(
ω
δ
do Sistema MBI
do Modelo com SVC
80
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tempo [s]
Energias [pu]
ET
V(x)
Ed
Ep
Ec
Figura 7. 14 – Energias Cinética (E
c
), Potencial (E
p
), Função de Lyapunov (V(x)),
Dissipada (E
d
) e Total (E
T
) do Sistema MBI do Modelo com SVC
As Figuras de energias mostram que, obviamente, quanto maior a energia dissipada
maior o aumento do decaimento da energia total do sistema, visto que a energia dissipada
mais a energia cinética e potencial do sistema equivalem à energia total do sistema, conforme
analisado na equação (7.1). Pode-se notar que a matriz Q de cada modelo do sistema possui os
coeficientes da função da energia dissipada dele, responsável pela taxa de decaimento da
energia total do sistema. Portanto, o amortecimento das oscilações eletromecânicas é
equivalente à dissipação de energia do sistema.
A perda de energia, na trajetória do sistema, ocasiona o amortecimento das oscilações
eletromecânicas e acarreta para o sistema um melhoramento do tempo crítico de eliminação
da falta, conforme analisado no capítulo anterior.
7.2- Aproximação Exponencial para o Decaimento da Função
Energia
Visando considerar de modo expedito as atuações de dispositivos de controle e
compensação em um método direto de avaliação de tempo crítico, tentou-se encontrar um
parâmetro
λ
, tal que, em uma formulação do tipo exponencial, possa ser uma aproximação
para o decaimento da função energia, dada por
81
)(
0
0
)()(
tt
etVtV
−
=
λ
(7.22)
t
0
: instante inicial do intervalo considerado, que no presente caso é o próprio t
ch
.
Procura-se então um valor de
λ
, tal que expresse aproximadamente a razão entre a
derivada temporal da FL e a própria função.
)(
)(
xV
xV
&
=
λ
(7.23)
V(x) é composta de energia cinética E
c
e energia potencial E
p
, que, por sua vez, é
composta de energia do sistema de transmissão E
ST
, energia decaimento de fluxo E
DF
e outras
energias, dependendo das dinâmicas dos dispositivos incluídos no modelo do sistema. À vista
disso, procura-se determinar uma constante
λ
para cada parcela de energia que está contida
na V(x), respeitando-se cada modelo do sistema.
Modelo Clássico
Considerando a FL para o sistema MBI com a máquina dada pelo modelo clássico
∫
+=
σ
ττω
0
2
)(
2
1
)( dfMxV
(7.24)
e a sua derivada
2
)(
ω
DxV −=
&
, (7.25)
a razão entre elas é
∫
+
−
=
σ
ττω
ω
0
2
2
)(
2
1
)(
)(
dfM
D
xV
xV
&
. (7.26)
Se a função
tem um decaimento aproximadamente exponencial, como sugerem
as curvas apresentadas anteriormente, e admitindo uma aproximação exponencial, então essa
)(xV
82
relação é suposta constante, e, nessa hipótese, poderia ser avaliada em qualquer instante.
Escolhendo-se um instante em que a energia é na sua totalidade cinética, têm-se
2
2
2
1
)(
)(
0
ω
ω
σ
M
D
xV
xV −
=→=
&
, (7.27)
e, então, para o sistema MBI clássico, ter-se-ia uma taxa de decaimento da energia dada por
M
D
2−=
λ
. (7.28)
Diversas simulações mostraram que esse valor produz, sistematicamente, decaimento
superior ao da própria função energia, que se supõe devido ao artifício, destituído de rigor
matemático, empregado na sua determinação. Ainda em diversas simulações realizadas,
considerando diversos valores de parâmetros do sistema, chegou-se ao valor bastante razoável
de
M
D
−=
λ
. Então, a energia do sistema, no regime pós-falta, é expressa por
)()()(
)()()()(
chchch
tt
M
D
chST
tt
M
D
chc
tt
M
D
ch
etEetEetVtV
−−−−−−
+=≅
. (7.29)
Resultados mostrados adiante atestam a validade dessa expressão.
Modelo com Decaimento de Fluxo
Considerando a FL para o sistema MBI com Decaimento de Fluxo, tem-se
∫
++=
σ
ττ
η
η
ω
0
2
2
1
2
),(
2
1
2
1
)( defeMxV
, (7.30)
com derivada temporal nas trajetórias do sistema que pode ser expressa por
2
1
2
2
2
1
2
)()(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−=
σ
η
η
η
η
ω
geDxV
&
(7.31)
Tem-se por objetivo encontrar um valor de
λ
, tal que expresse aproximadamente a
razão entre a derivada temporal da FL e a própria função. Focando separadamente cada uma
das energias do sistema, tem-se:
83
- em um instante particular, toda energia do sistema está em forma de energia cinética,
logo
c
λ
é
M
D
M
D
E
E
xV
xV
e
c
c
2
2
1
)(
)(
0
2
2
−=
−
==→==
ω
ω
σ
&&
, (7.32)
- considerando apenas a energia do decaimento de fluxo,
DF
λ
é
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
)(
)(
0
η
η
η
η
η
σω
−=
−
==→==
e
e
E
E
xV
xV
DF
DF
&
&
. (7.33)
Existe uma parcela de energia associada ao sistema de transmissão (E
ST
), ou seja, a
integral presente na função de Lyapunov (7.30) e sua derivada (7.31) a qual está definida com
relação às variáveis
),( e
σ
, admitindo que as derivadas sejam constantes, e com alguma
“liberalidade”, o
ST
λ
pode-se escrever
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−≈≅
1
2
)(
)(
η
M
D
E
E
xV
xV
ST
ST
&&
. (7.34)
Utilizando o arrazoado apresentado no caso de sistema clássico, e com resultados de
simulações com diversos conjuntos de parâmetros, elimina-se o fator 2 dos expoentes, de
modo que, a aproximação exponencial da função de Lyapunov para o modelo do sistema
MBI, com decaimento de Fluxo, é
)(
1
)(
1
)(
)()()()(
ch
tt
chDF
ch
tt
M
D
chST
ch
tt
M
D
chc
etEetEetEtV
−−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
−−
++≅
η
η
(7.35)
Modelo com Decaimento de Fluxo e RAT
Considerando agora a FL para o sistema MBI, com decaimento de fluxo e RAT, tem-
se
2
52
43
0
2
2
1
2
2
1
),(
2
1
2
1
)(
ε
ηη
ηη
ττ
η
η
ω
σ
+++=
∫
defeMxV
, (7.36)
84
com derivada temporal nas trajetórias do sistema que pode ser expressa por
2
52
2
43
2
1
2
2
2
1
2
)()(
ε
ηη
ηη
σ
η
η
η
η
ω
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−= geDxV
&
. (7.37)
Como, anteriormente, já foi encontrado o valor da constante
λ
para a parcela da
energia cinética e para a energia do decaimento de fluxo, basta agora focar separadamente a
energia do RAT, e ter-se-á
RAT
λ
:
4
2
52
43
2
52
2
43
2
2
1
)(
)(
0
η
ε
ηη
ηη
ε
ηη
ηη
ωσ
−=
−
==→===
RAT
RAT
E
E
xV
xV
e
&
&
. (7.38)
Portanto, a aproximação exponencial da função de Lyapunov para o modelo do
sistema MBI, com decaimento de fluxo e RAT, é, eliminando, como antes, o fator 2 dos
expoentes
)()(
)(
)(
41
1
)()()()()(
chch
ch
ch
tt
chRAT
tt
chDF
tt
M
D
chST
tt
M
D
chc
etEetEetEetEtV
−−−−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
−−
+++≅
ηη
η
. (7.39)
Para uma simplificação no caso de T
R
ser muito pequeno, o que é fato em excitatrizes
estáticas, tem-se
eKKVKT
eRTRR
−
=
∆
−
≅
→≈
ε
ε
0
&
, (7.40)
logo,
()
)()()(
2
4
5
3132
4
5
31321
ση
η
η
ηηεηση
η
η
ηηεησηη
geeKKgegee
eR
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=++−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=+−−≅
&
. (7.41)
Chegando-se a uma nova função de Lyapunov para o modelo do sistema MBI, com
decaimento de fluxo e RAT
∫
++=
σ
ττω
0
2
3
2
),(
2
1
2
1
)( defepMxV
, (7.42)
com
85
)')('(
)'(
42
5341
3
dedd
eRdede
xxxx
KKxxxx
p
+−
+
+
+
=
+
=
ηη
η
η
η
η
, (7.43)
com derivada temporal nas trajetórias do sistema que pode ser expressa por
2
32
2
1
2
)(
1
)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−=
σ
η
η
ω
g
p
eDxV
&
, (7.44)
focando a energia do DF e RAT, tem-se
λ
, obtido de
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
==→==
5314
4
2
1
2
42
5341
2
2
2
1
2
2
1
)(
)(
0
ηηηη
ηη
ηη
ηηηη
η
η
ωσ
e
e
E
E
xV
xV
RAT
RAT
&
&
. (7.45)
Portanto, a aproximação exponencial da função de Lyapunov para o modelo do
sistema MBI, com decaimento de fluxo e RAT, é
)(
)(
)(
5314
4
2
1
1
)()()()(
ch
ch
ch
tt
chDF
tt
M
D
chST
tt
M
D
chc
etEetEetEtV
−
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
−−
++≅
ηηηη
ηη
η
. (7.46)
7.3- Validação da Aproximação Exponencial para o
Decaimento da Função de Lyapunov
A Tabela a seguir apresenta dados (4 casos) para simulações de validação da
aproximação de decaimento exponencial da FL.
Sendo que:
- caso 1 apresenta os dados padrão do trabalho presente;
- caso 2 há uma modificação no valor de T’
d0
para testar a validade da função
exponencial que é influenciada por
1
η
;
- caso 3 é proposto para ver o efeito do RAT, quando o ganho é grande, na função
exponencial; e
86
- caso 4 é proposto para ver como o ganho pequeno do RAT e o alto valor do
amortecimento próprio da máquina influencia na validade da função
exponencial.
Tabela 7.1 – Dados para simulações
Dados para Simulações de Validação da Aproximação Exponencial para o
Decaimento da Função de Lyapunov
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4
Máquina Máquina Máquina Máquina
X
d
=0.7244 X
d
=0.7244 X
d
=1.0 X
d
=0.7244
X
q
=0.7244 X
q
=0.7244 X
q
=1.0 X
q
=0.7244
X’
d
=0.1328 X’
d
=0.1328 X’
d
=0.05 X’
d
=0.1328
M=0.0545 M=0.0545 M=0.0545 M=0.0545
D=0.0055 D=0.0055 D=0.0055 D=0.02
T’
d0
=5.36 T’
d0
=8.00 T’
d0
=5.36 T’
d0
=5.36
RAT RAT RAT RAT
K
R
=30 K
R
=30 K
R
=50 K
R
=10
T
R
=0.06 T
R
=0.06 T
R
=0.06 T
R
=0.06
V
t
0
=1.0 V
t
0
=1.0 V
t
0
=1.0 V
t
0
=1.0
Transmissão Transmissão Transmissão Transmissão
X
e
=0.4 X
e
=0.4 X
e
=0.4 X
e
=0.4
Despacho Despacho Despacho Despacho
P0=0.8 P0=0.8 P0=0.8 P0=1.2
Pe0=0.8 Pe0=0.8 Pe0=0.8 Pe0=1.2
V=0.995 V=0.995 V=0.995 V=0.995
7.3.1- Modelo Clássico
A aproximação exponencial da função de Lyapunov para o modelo do sistema MBI,
para o modelo clássico, é dada pela equação (7.29).
São apresentadas abaixo simulações, onde se analisa a função de Lyapunov (7.24)
mais sua aproximação exponencial para os casos descritos na Tabela 7.1.
87
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(1)
(2)
Figura 7.15 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2)
para o Modelo Clássico Caso 1 (t
ch
=0.3)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(1)
(2)
Figura 7.16 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2)
para o Modelo Clássico Caso 3 (t
ch
=0.3)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(1)
(2)
Figura 7.17 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2)
para o Modelo Clássico Caso 4 (t
ch
=0.1)
88
7.3.2- Modelo com Decaimento de Fluxo
A aproximação exponencial da função de Lyapunov para o modelo do sistema MBI,
com decaimento de fluxo, é dada pela equação (7.35). A seguir apresentam-se simulações,
onde se analisa a função de Lyapunov (7.30) mais sua aproximação exponencial para os casos
descritos na Tabela 7.1.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(2)
(1)
Figura 7.18 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2)
para o Modelo com Decaimento de Fluxo Caso 1 (t
ch
=0.3)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(1)
(2)
Figura 7.19 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2)
para o Modelo com Decaimento de Fluxo Caso 2 (t
ch
=0.3)
89
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(2)
(1)
Figura 7.20 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2)
para o Modelo com Decaimento de Fluxo Caso 3 (t
ch
=0.1)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(2)
(1)
Figura 7.21 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2)
para o Modelo com Decaimento de Fluxo Caso 4 (t
ch
=0.1)
7.3.3- Modelo com Decaimento de Fluxo e RAT
A aproximação exponencial da função de Lyapunov para o modelo do sistema MBI,
com decaimento de fluxo e RAT, é dada pela equação (7.39). A seguir apresentam-se
simulações, onde se analisa a função de Lyapunov (7.36) mais sua aproximação exponencial
para os casos descritos na Tabela 7.1
90
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
0.5 1 1.5 2 2.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(1)
(2)
Figura 7.22 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo e RAT Caso 1 (t
ch
=0.3)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
0.5 1 1.5 2 2.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(1)
(2)
Figura 7.23 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo e RAT Caso 2 (t
ch
=0.3)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
20
40
60
80
100
120
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(2)
(1)
Figura 7.24 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) parao Modelo com
Decaimento de Fluxo e RAT Caso 3 (t
ch
=0.3) – Sem Limitador
91
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
tempo [s]
FL e Aproximação Exponencial
(2)
(1)
Figura 7.25 – Função de Lyapunov (1) e a Aproximação Exponencial (2) para o Modelo com
Decaimento de Fluxo e RAT Caso 4 (t
ch
=0.1)
92
8 Estimativas de Tempos Críticos
_____________________________________
De acordo com o Segundo Método de Lyapunov, a estabilidade de um sistema não
linear, a partir de uma certa condição inicial
, é verificada pela investigação desse ponto
pertencer a uma região denominada Domínio de Estabilidade, definido em torno do ponto de
equilíbrio estável de interesse como os pontos em que a Função de Lyapunov apresenta valor
inferior a um valor limite, usualmente calculado sobre um ponto de equilíbrio instável
.
Então, enuncia-se o critério de estabilidade como segue. Considere-se o ponto de equilíbrio
(estável)
de interesse, determinada a Função de Lyapunov V(x)
(
em uma vizinhança do ponto x
i
x
u
x
0
x
0)(;,0)(;0)(
00
≤≠>= xVxxxVxV
&
0
), calcula-se o valor limite
. Dada uma condição inicial , se
)(
u
xV
i
x
(
)
0
xx
i
υ
∈
sendo
(
)
0
x
υ
uma vizinhança de x
0
e
, então o movimento do sistema a partir de x
()
ui
xVxV <)(
i
é estável e assintoticamente estável
se
. Note-se que:
0)( <xV
&
1. a condição enunciada é uma condição suficiente, mas não necessária, ou seja,
assegura estabilidade, mas
()
ui
xVxV <)(
(
)
ui
xVxV >)(
não implica em instabilidade;
2. a instabilidade é assumida no caso de
(
)
ui
xVxV >)(
, o que é bastante razoável no caso
de sistema conservativo, ou seja, sistema com
;
0)( =xV
&
3. por outro lado, se
, assumir instabilidade nos casos de conduz
freqüentemente a resultados excessivamente conservativos (pessimistas), ou seja,
indica instabilidade quando, na verdade, o sistema é estável.
0)( <xV
&
()
ui
xVxV >)(
93
Considere-se então a avaliação de tempos críticos de eliminação de curto-circuito em
um sistema de potência. Durante o tempo em que a falta está instalada no sistema, ocorre
elevação da energia transitória. Caso se tenha um sistema conservativo, o instante em que a
energia alcança o valor crítico (avaliado por algum critério, por exemplo a energia potencial
calculada em um ponto de equilíbrio instável) é o tempo crítico de eliminação da falta, como
ilustrado na Figura 8.1(a). O princípio é o de que, uma vez que a energia se conserva após a
eliminação da falta em t
ch
, como ilustrado na Figura 8.1(b), se neste instante o sistema não
tem energia suficiente para vencer a barreira de energia potencial e deixar o Domínio de
Estabilidade, isso não ocorrerá em tempo algum posterior.
t [s]
V(x)
V
cri
t
cri
t [s]
V(x)
V
ch
t
ch
(a) (b)
Figura 8.1 – FL e Determinação de Tempo Crítico em Sistema Conservativo
Por outro lado, se o sistema é não conservativo, tem-se o comportamento da energia
como ilustrado na Figura 8.2, onde se mostra um valor de tempo crítico obtido com o
procedimento anterior de sistema conservativo t
cri(cons)
, que conduz a resultado pessimista, e o
tempo crítico real t
cri(nãocons)
que leva em conta o fato de a energia apresentar decaimento no
regime pós-falta. Mostra-se ainda a evolução da energia no regime pós-falta, supondo o
defeito eliminado imediatamente antes de t
cri(nãocons)
.
94
t [s]
V(x)
V
cri
t
cri(não cons)
t
cri(cons)
Figura 8.2 – FL para Sistema não Conservativo
É evidente que o regime pós-falta inicia com energia total superior à crítica, mas decai
a valor inferior antes de vencer a barreira de energia potencial, de modo que o sistema não
pode abandonar o Domínio de Estabilidade.
Então a determinação do tempo crítico de eliminação de defeito em um sistema não
conservativo deve, necessariamente, levar em conta o decaimento da energia ao longo da
trajetória pós-falta. A dificuldade reside no fato de que, a rigor, a evolução da trajetória, e,
portanto, da energia, não é conhecida a priori. Propõe-se então a utilização da aproximação
exponencial desenvolvida anteriormente para fazer uma estimativa de tempos críticos.
8.1- Determinação de Tempos Críticos
Com a aproximação exponencial da Função de Lyapunov, pode-se fazer estimativas
diretas de tempos críticos.
A estimativa de tempo crítico é feita então da seguinte maneira:
1) durante a falta mantida do sistema, traça-se a Função de Lyapunov (FL) e a energia
potencial (E
p
);
2) monitora a aproximação exponencial da FL, sem a influência da energia cinética, que
passa pelo ponto máximo da E
p
; e
95
3) ocorrendo a interseção entre a FL e a aproximação exponencial da mesma, nesse
instante é a estimativa do tempo crítico (t
cri
) proposto.
Simulando-se para cada caso, de acordo com a Tabela 7.1, conforme apresentado a
seguir.
8.1.1- Simulação para o Caso 1
- Modelo Clássico
Simula-se, durante a falta mantida (t
ch
=0,6 e simulação=0,6), a função de Lyapunov
(5.10) e a energia potencial (5.12). Monitora-se a aproximação exponencial da FL (7.29), sem
a influência da energia cinética, ou seja, E
c
=0. Logo, a aproximação exponencial da FL é
)(
)()(
ch
tt
M
D
chST
etEtV
−−
≅
. (8.1)
A aproximação exponencial tangencia o ponto máximo da energia potencial e
intercepta a função de Lyapunov, nesse instante é a estimativa do tempo crítico proposto,
t
cri
=0,3935.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
tempo [s]
FL, Ep e Aprox. Exponencial
FL
Ep
Aprox. Exponencial
tcri
Figura 8.3 – Estimativa de Tempo Crítico (t
cri
=0,3935)
para o Modelo Clássico (Caso 1)
96
- Modelo com Decaimento de Fluxo
Simula-se, durante a falta mantida (t
ch
=0,6 e simulação=0,6), a função de Lyapunov
(5.14) e a energia potencial (5.15). Monitora-se a aproximação exponencial da FL (7.35), sem
a influência da energia cinética, ou seja, E
c
=0. Logo, a aproximação exponencial da FL é
)(
)(
1
1
)()()(
ch
ch
tt
chDF
tt
M
D
chST
etEetEtV
−−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
+≅
η
η
. (8.2)
A aproximação exponencial tangencia o ponto máximo da energia potencial e
intercepta a função de Lyapunov, nesse instante é a estimativa do tempo crítico proposto,
t
cri
=0,3252.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
tempo [s]
FL, Ep e Aprox. Exponencial
FL
Ep
Aprox. Exponencial
tcri
Figura 8.4 – Estimativa de Tempo Crítico (t
cri
=0,3252)
para o Modelo com DF (Caso 1)
Para o Modelo com Decaimento de Fluxo e desconsiderando o termo de
amortecimento próprio da máquina, a aproximação exponencial da FL é o (8.2) com D=0.
)()(
11
)()()(
chch
tt
chDF
tt
chST
etEetEtV
−−−−
+≅
ηη
. (8.3)
A aproximação exponencial tangencia o ponto máximo da energia potencial e
intercepta a função de Lyapunov, nesse instante é a estimativa do tempo crítico proposto,
t
cri
=0,32.
97
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
tempo [s]
FL, Ep e Aprox. Exponencial
FL
Ep
tcri
Aprox. Exponencial
Figura 8.5 – Estimativa de Tempo Crítico (t
cri
=0,32)
para o Modelo com DF e D=0 (Caso 1)
- Modelo com Decaimento de Fluxo e RAT
Simula-se, durante a falta mantida (t
ch
=0,65 e simulação=0,65), a função de Lyapunov
(7.42) e a sua parcela de energia potencial. Monitora-se a aproximação exponencial da FL
(7.46), sem a influência da energia cinética, ou seja, E
c
=0. Logo, a aproximação exponencial
da FL é
)(
)(
5314
4
2
1
1
)()()(
ch
ch
tt
chDF
tt
M
D
chST
etEetEtV
−
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
+≅
ηηηη
ηη
η
. (8.4)
A aproximação exponencial tangencia o ponto máximo da energia potencial e
intercepta a função de Lyapunov, nesse instante é a estimativa do tempo crítico proposto,
t
cri
=0,4389.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tempo [s]
FL, Ep e Aprox. Exponencial
FL
Ep
Aprox. Exponencial
tcri
Figura 8.6 – Estimativa de Tempo Crítico (t
cri
=0,4389)
para o Modelo com DF e RAT (Caso 1)
98
A seguir, mostra-se o resultado das simulações para o caso 1, junto com o tempo
crítico real de cada sistema, verificando que o tempo crítico encontrado mostra-se bastante
razoável.
Tabela 8.1 – Resultado das simulações do tempo crítico para o Caso 1
Modelo do Sistema MBI Tempo Crítico
(RSP)
Tempo Crítico
(aproximação exponencial)
Modelo Clássico 0,3927s 0,3935s
Modelo com Decaimento de Fluxo (DF) 0,3312s 0,3252s
Modelo com DF e D=0 0,3256s 0,3200s
Modelo com DF e RAT 0,4111s 0,4389s
Em seguida são apresentados os resultados das simulações para os Casos 2, 3 e 4,
conforme Tabela 7.1. O procedimento e as funções são os mesmos do Caso 1.
8.1.2- Simulação para o Caso 2
Mostra-se o resultado das simulações para o caso 2, junto com o tempo crítico real de
cada sistema. Verifica-se que o tempo crítico encontrado mostra-se muito razoável.
Tabela 8.2 – Resultado das simulações do tempo crítico para o Caso 2
Modelo do Sistema MBI Tempo Crítico
(RSP)
Tempo Crítico
(aproximação exponencial)
Modelo Clássico 0,3927s 0,3935s
Modelo com Decaimento de Fluxo (DF) 0,3519s 0,3456s
Modelo com DF e D=0 0,3459s 0,3396s
Modelo com DF e RAT 0,4070s 0,4260s
99
8.1.3- Simulação para o Caso 3
A seguir, mostra-se o resultado das simulações para o caso 3, junto com o tempo
crítico real de cada sistema, verificando que o tempo crítico encontrado mostra-se bastante
razoável.
Tabela 8.3 – Resultado das simulações do tempo crítico para o Caso 3
Modelo do Sistema MBI Tempo Crítico
(RSP)
Tempo Crítico
(aproximação exponencial)
Modelo Clássico 0,4230s 0,4241s
Modelo com Decaimento de Fluxo (DF) 0,1960s 0,2191s
Modelo com DF e D=0 0,1935s 0,2186s
Modelo com DF e RAT 0,3588s 0,4150s
8.1.4- Simulação para o Caso 4
A seguir, mostra-se o resultado das simulações para o caso 4, junto com o tempo
crítico real de cada sistema, verificando que o tempo crítico encontrado mostra-se bastante
razoável.
Tabela 8.4 – Resultado das simulações do tempo crítico para o Caso 4
Modelo do Sistema MBI Tempo Crítico
(RSP)
Tempo Crítico
(aproximação exponencial)
Modelo Clássico 0,2460s 0,2453s
Modelo com Decaimento de Fluxo (DF) 0,1954s 0,1794s
Modelo com DF e D=0 0,1830s 0,1712s
Modelo com DF e RAT 0,2628s 0,2815s
100
9 Conclusão
_____________________________________
Conclusão
Este trabalho foi iniciado por descrever os modelos utilizados para a rede, máquina
síncrona e controles, através da representação por variáveis de estado.
Foram descritas metodologias de análise de estabilidade transitória. Inicialmente
apresentou-se o método clássico ou tradicional, que é um método preciso e não apresenta
restrições quanto ao tipo de modelo empregado, contudo é inadequado a aplicações em tempo
real. Apresentaram-se também os métodos diretos que possibilitam uma conclusão do tipo
estável/instável sem resolver as equações do sistema, mas verificando condições sobre a
chamada “Função de Lyapunov”. Na maior parte das abordagens, a FL considerada é a
chamada energia transitória do sistema, composta de energia cinética e energia potencial.
Apresentou-se o conceito do método da Região de Sincronização Positiva, que não
prescinde da integração da trajetória, mas é automático uma vez que não necessita da
intervenção de um analista para chegar a uma conclusão quanto à estabilidade.
101
Muitos avanços ocorreram na utilização de métodos diretos e/ou automáticos, para a
análise de estabilidade transitória em sistemas elétricos de potência, mas no presente estudo
apenas foram apresentados na sua fundamentação, não se avançando nas técnicas e
desenvolvimento.
Foram apresentadas e interpretadas fisicamente, funções de Lyapunov desde o modelo
clássico até a representação de dispositivos FACTS. Identificou-se a função potencial de cada
uma delas e o modo como esses dispositivos afetam a energia potencial do sistema, ou seja,
como modificam a barreira de energia potencial que o sistema necessita vencer para
abandonar o domínio de estabilidade e, portanto, como afetam a estabilidade. No caso dos
dispositivos FACTS, observa-se que, além da elevação da barreira de energia potencial,
também podem contribuir no decaimento da FL, o que significa acentuar o amortecimento das
oscilações.
No capítulo 6, apresentaram-se resultados referentes aos testes de estabilidade
dinâmica e estabilidade transitória dos modelos tratados. Traçaram-se as curvas de nível das
funções potenciais, possibilitando a visualização de seu comportamento nos pontos de
equilíbrio estável e instável dos modelos do sistema, e verificou-se em todos eles a grande
capacidade de amortecimento e sincronização de que estes dotam o sistema.
Considerou-se que o sistema real é dotado de outras dinâmicas além da mecânica, e
quando uma maior sofisticação de representação é adicionada, como com a introdução da
regulação automática de tensão e outros dispositivos de controle e compensação, o sistema
torna-se não conservativo. Nessa situação, conseqüentemente, a energia transitória do sistema
não se conserva, apresentando comportamento decrescente no tempo, e essa energia que
“desaparece” é chamada energia dissipada do sistema. Desenvolveu-se o equacionamento da
energia dissipada do sistema para cada modelo tratado, verificou-se que a energia dissipada é
102
a integral de
no tempo, e que a matriz Q contém todos os coeficientes da energia
dissipada, que é a taxa de decaimento da energia total do sistema.
)(xV
&
−
Com os capítulos 6 e 7, concluiu-se que o torque de sincronização é responsável por
parcelas de energia potencial e, conseqüentemente, definem – ou modificam – a fronteira da
região de estabilidade. Por outro lado, a energia dissipada do sistema se relaciona mais (se não
exclusivamente) com a trajetória do que com a região de estabilidade, e é por esse efeito que
influenciam o desempenho do sistema.
Estimou-se o decaimento da Função de Lyapunov, com uma aproximação exponencial
para o modelo do sistema clássico, com DF e com RAT.
Considerou-se que durante o tempo em que a falta – do tipo curto-circuito – está
instalada no sistema, ocorre elevação da energia transitória. Caso se tenha um sistema
conservativo, o instante em que a energia alcança o valor crítico é o tempo crítico de
eliminação da falta. O princípio é o de que, uma vez que a energia se conserva após a
eliminação da falta em t
ch
, se neste instante o sistema não tem energia suficiente para vencer a
barreira de energia potencial e deixar o Domínio de Estabilidade, isso não ocorrerá em tempo
algum posterior. Por outro lado, se o sistema é não conservativo, deve-se levar em conta o
fato de a energia apresentar decaimento no regime pós-falta e ainda a evolução da energia no
regime pós-falta. É então evidente que uma trajetória estável pode iniciar o regime pós-falta
com energia total superior à crítica, mas decaindo a valor inferior antes de vencer a barreira de
energia potencial, de modo que o sistema não abandona o Domínio de Estabilidade.
Então a determinação do tempo crítico de eliminação de defeito em um sistema não
conservativo deve, necessariamente, levar em conta o decaimento da energia ao longo da
trajetória pós-falta. A dificuldade reside no fato de que, a rigor, a evolução da trajetória, e,
portanto, da energia, não é conhecida a priori. Então, propôs-se uma nova formulação para se
103
estimar tempos críticos, utilizando-se uma aproximação exponencial da energia potencial do
sistema.
E, por último, comparando o tempo crítico obtido utilizando o método proposto e o
tempo crítico real obtido pelo método da RSP, em sucessivas simulações, observou-se que os
resultados são bastante razoáveis. Embora o método possa produzir resultados não
absolutamente precisos diante do tempo crítico real, essa imprecisão é da ordem de milésimos
de segundos, ou seja, não importante em termos práticos. Para essa análise foi utilizado o
método da RSP obtendo-se resultados automaticamente, mas, em todos os casos, a verificação
visual das curvas de oscilação confirmou o resultado.
Propostas para trabalhos futuros:
Os resultados alcançados são interessantes, mas ainda restritos ao sistema simples
Máquina vs. Barra Infinita. É importante que se estude a possibilidade de estendê-los para o
caso mais geral e mais prático de sistemas multimáquinas.
104
10 Referências
_____________________________________
A
NDERSON, P. M.; FOUAD, A. A. Power system control and stability. The Iowa State
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B
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D
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F
ESTRAITS, E.B. Consideração da ação de dispositivos FACTS em um método
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(Mestrado em Engenharia Elétrica) - Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira,
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TEVENSON, W. D. JR. Elementos de análise de sistemas de potência. 2. ed. São Paulo:
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106
Apêndice
Artigos Publicados
B
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sistemas de potência. In: CONGRESSO TEMÁTICO DE DINÂMICA E CONTROLE DA
SBMAC – DINCON, 3, 2004, Ilha Solteira. Anais... Ilha Solteira: ABCM, 2004. 084 (CD-
ROM).
B
ARBAZELLI, R. C.; COLVARA, L. D. Funções de Lyapunov para sistemas de potência com
controladores e dispositivos de compensação. In: SIXTH LATIN-AMERICAN
CONGRESS: ELECTRICTY GENERATION AND TRANSMISSION, 2005, Mar del
Plata-Argentina. Anais… Mar del Plata: s.n., novembro 2005. A-155 (CD-ROM).
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