( PDF ) Estratégias evolutivas com mutações governadas por distribuições estáveis

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UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Estratégias Evolutivas com Mutações

Governadas por Distribuições Estáveis

Agostinho Benigno Monteiro Gutierrez

Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Elétrica, como

requisito das exigências do exame para

obtenção do título de Mestre em Engenharia

Elétrica.

São Paulo

2007

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Agostinho Benigno Monteiro Gutierrez

Estratégias evolutivas com mutações

governadas por distribuições estáveis

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Elétrica, como

requisito das exigências do exame para

obtenção do título de Mestre em Engenharia

Elétrica.

Aprovada em Junho de 2007.

Banca Examinadora

____________________________________________

Dr. José Demísio Simões da Silva

Lab. Associado de Comp. e Matemática Aplicada

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. LAC-INPE

____________________________________________

Dr. Nizam Omar

Universidade Presbiteriana Mackenzie

____________________________________________

Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira

Universidade Presbiteriana Mackenzie

São Paulo

2007

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Dedicatória

Dedico este trabalho a toda a minha família que sempre acreditou em mim, e em

especial à minha querida esposa Marilise Souza de Carvalho Gutierrez, que com muito

amor, ternura, companheirismo, amizade e apoio nos momentos mais duros e difíceis

de minha vida, me estimula e incentiva a manter a garra necessária para o término

desta realização.

A palavra de Deus ilumina o caminho do homem.

Tu és meu benfeitor:

ensina-me os teus estatutos.

(Salmos 119:68)

III

Agradecimentos

Ao amigo Hugo Santana Lima pela paciência em transferir seus conhecimentos adquiridos

durante a sua brilhante carreira que muito me serviram para impulsionar neste trabalho.

Às funcionárias Priscilla Imperial Amadco Gomes de Farias, Carla Pegorelli e Sheila Carla de

Souza por sua atenção e presteza ao atender aos meus pequenos pedidos.

Aos amigos Francisco Lopes da Silva, Renato Victor Mejias e Simone Erbs da Costa que com

extra dedição, e apoio tornaram concreta as minhas idéias, possibilitando realizar este trabalho com a

qualidade esperada.

A minha filha Carolina de Carvalho Gutierrez, que com suas massagens relaxantes me

aliviavam da tensão desse trabalho e meu filho Felipe de Andrade Rosa Gutierrez, que sempre quando

possível compreendia a minha ausência.

A minha querida sobrinha Érika Ferreira de Carvalho, que com todo amor e paciência típica da

sua personalidade colaborou com a sua dedicação e apoio nos momentos importantes.

A todos os professores deste excelente curso, por transmitirem seus conhecimentos de forma

clara, objetiva e sem limitações, criando em mim uma nova estrada do saber.

Este trabalho conta com o apoio financeiro da FAPESP, através do projeto de pesquisa

Processo 2005/04696-3, e da Wolfram Research, através do Mathematica Academic Grant 1149, e a

fase inicial do trabalho se desenvolveu no contexto de projeto de pesquisa financiado pelo

MACKPESQUISA, Edital 2004, todos concedidos a meu orientador. A essas instituições, nossos

sinceros agradecimentos..

Em especial ao meu orientador professor Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira que soube

compreender as minhas dificuldades, para alcançar em tempo e momento os objetivos necessários. Por

acreditar no meu potencial e julgá-lo merecedor da sua dedicação e incentivo. Pela paciência e

aconselhamento vitais para a conclusão desta etapa em minha vida.

Sumário

LISTA DE FIGURAS ......................................................................................................... 04

LISTA DE TABELAS ........................................................................................................ 06

LISTA DE EQUAÇÕES ..................................................................................................... 09

RESUMO ............................................................................................................................ 10

ABSTRACT ........................................................................................................................ 11

CAPÍTULO I ...................................................................................................................... 12

INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 12

CAPÍTULO II ..................................................................................................................... 16

COMPUTAÇÃO EVOLUTIVA .................................................................................... 16

2.1. Introdução: Uma visão da inteligência computacional ........................................... 16

2.2. Elementos básicos da biologia genética .................................................................. 17

2.3. Modalidades de computação evolutiva ................................................................... 18

2.4. Algoritmos evolutivos ............................................................................................. 20

2.4.1. Codificação de indivíduos: Representação genética ............................................... 21

2.4.2. Definição da população inicial ................................................................................ 22

2.4.3. Soluções e representações ....................................................................................... 23

2.4.4. Operadores genéticos .............................................................................................. 23

2.4.4.1. O operador de recombinação (crossover) .............................................................. 24

2.4.4.2. O operador de mutação .......................................................................................... 25

2.4.4.3. Seleção de indivíduos ............................................................................................ 29

2.5. Aplicações de computação evolutiva ..................................................................... 30

2.6. Conclusões ............................................................................................................... 31

CAPÍTULO III .................................................................................................................... 32

ESTRATÉGIAS EVOLUTIVAS ....................................................................................... 32

3.1. Introdução ................................................................................................................32

3.2. O algoritmo básico das EE – A notação (μ/ρ λ).....................................................

3.3. Ingredientes para o projeto dos algoritmos das estratégias evolutivas .................... 35

3.3.1. Representação de indivíduos ................................................................................... 35

3.3.2. Mutação ................................................................................................................... 36

3.3.3. Recombinação ......................................................................................................... 39

CAPÍTULO IV .................................................................................................................. 43

DISTRIBUIÇÕES ESTÁVEIS E FUNÇÕES DE TESTE ............................................... 43

4.1. Introdução às distribuições estáveis ....................................................................... 43

4.2. Propriedades básicas e de parâmetros .................................................................... 46

4.3. Funções de teste ..................................................................................................... 50

4.3.1. Função de Rastrigin ............................................................................................... 50

4.3.2. Função vale de Rosenbrock (Função 2 De Jong) ................................................... 51

4.3.3. Função de Schwefel ............................................................................................... 52

4.3.4. Função de Griewangk ............................................................................................ 53

CAPÍTULO V .................................................................................................................... 54

EXPERIMENTOS COM AS FUNÇÕES DE TESTE ...................................................... 54

5.1. Experimentos preliminares realizados ................................................................... 54

5.1.1. Definição dos experimentos ................................................................................... 54

5.1.2. Resultado e discussões ........................................................................................... 57

5.2. Experimentos na função de teste de Rastrigin nas dimensões: 2, 5, 10 e 30 ......... 59

5.2.1. Experimentos com função de Rastrigin: 2 dimensões ........................................... 61

5.2.2. Experimentos com função de Rastrigin: 5 dimensões ........................................... 62

5.2.3. Experimentos com função de Rastrigin: 10 dimensões ......................................... 64

5.2.4. Experimentos com função de Rastrigin: 30 dimensões ......................................... 65

5.2.5. Dados dos experimentos para a distribuição Estável 3 .......................................... 66

5.2.6. Auto-adaptação dos parâmetros estratégicos α e γ em 30 dimensões ...................

5.2.7. Auto-adaptação dos parâmetros estratégicos α e γ único em 30 dimensões .........

5.2.8. Conclusões sobre os experimentos com a função de Rastrigin ............................. 70

5.3. Experimentos na função de teste de Rosenbrock nas dimensões: 2, 5, 10 e 30 ..... 71

5.3.1. Experimentos com função de Rosenbrock: 2 dimensões ....................................... 71

5.3.2. Experimentos com função de Rosenbrock: 5 dimensões ....................................... 72

5.3.3. Experimentos com função de Rosenbrock: 10 dimensões ..................................... 73

5.3.4. Experimentos com função de Rosenbrock: 30 dimensões ..................................... 75

5.3.5. Dados dos experimentos para a distribuição S-Lévy.............................................. 76

5.3.6. Auto-adaptação dos parâmetros estratégicos α e γ em 30 dimensões ...................

5.3.7. Auto-adaptação com parâmetro estratégico α e γ único em 30 dimensões ...........

5.3.8. Conclusões sobre os experimentos com a função de Rosenbrock ........................ 79

5.4. Experimentos na função de teste de Schwefel nas dimensões: 2, 5, 10 e 30 ........ 81

5.4.1. Experimentos com função de Schwefel: 2 dimensões .......................................... 81

5.4.2. Experimentos com função de Schwefel: 5 dimensões .......................................... 82

5.4.3. Experimentos com função de Schwefel: 10 dimensões ........................................ 83

5.4.4. Experimentos com função de Schwefel: 10 dimensões ........................................ 84

5.4.5. Dados dos experimentos para a distribuição S-Lévy............................................. 85

5.4.6. Auto-adaptação dos parâmetros estratégicos α e γ em 30 dimensões ..................

5.4.7. Auto-adaptação com parâmetro estratégico α e γ único em 30 dimensões ..........

5.4.8. Conclusões sobre os experimentos com a função de Schwefel ............................ 88

CAPÍTULO VI

CONCLUSÕES ................................................................................................................ 90

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 92

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Metodologia hierárquica na computação natural ..................................... 19

Figura 2.2: Ilustração de um cromossomo salientando o locus, os genes, e os alelos 20

Figura 2.3: Estrutura de um algoritmo evolutivo ....................................................... 21

Figura 2.4: Distribuição Gaussiana ............................................................................ 26

Figura 2.5: Distribuição de Cauchy ............................................................................ 26

Figura 2.6: Distribuição de Lévy ................................................................................ 26

Figura 2.7:

Distribuições estáveis (Gauss: α=2; Cauchy: α=1; Lévy: α=0.5, e

demais) [Vicent,05]

Figura 3.1:

Procedimento (μ/ρ+λ)- EE ....................................................................

Figura 3.2: Cromossomo EE com parâmetros estratégicos ...................................... 35

Figura 3.3:

Distribuições normais para uma média constante μ=0 ..........................

Figura 3.4: Mutação de cromossomos EE [Jacob, 01] ............................................... 38

Figura 3.5:

Recombinação discreta de dois cromossomos EE com ρ=ρ

= ρ

..........

Figura 3.6:

Recombinação intermediária de dois cromossomos EE por ρ = ρ

= ρ

[Jacob,01]

Figura 3.7: Esquema de recombinação múltipla local e discreta ............................... 42

Figura 4.1 Família de distribuições estáveis ............................................................. 44

Figura 4.2: Família de distribuições de Lévy ............................................................. 47

Figura 4.3: Família de distribuição distribuições de Cauchy

.........................................................

Figura 4.4: Família de distribuições de Gauss ........................................................... 48

Figura 4.5:

Densidades estáveis dentro de S(α, 0.5, 1,0; 0) ......................................

Figura 4.6: Função de Rastrigin ................................................................................. 50

Figura 4.7: Função vale de Rosenbrock (Função 2 De Jong) .................................... 51

Figura 4.8: Função de Schwefel ................................................................................. 52

Figura 4.9: Função de Griewang ................................................................................ 53

Figura 5.1: Auto adaptividade na função de Rastrigin: distribuição Estável 3, com

vairação livre e fixa dos parâmetros estratégicos em 30 dimensões

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Modalidades de implementação da inteligência computacional ................. 17

Tabela 2.2: Correlação da natureza com os elementos dos algoritmos genéticos e

seus componentes

Tabela 2.3: As quatro subáreas da computação evolutiva ............................................ 19

Tabela 2.4: Comparação simplificada entre EE, AG, PE e PG .................................... 20

Tabela 2.5: Tipos básicos de mutação ......................................................................... 25

Tabela 5.1: Experimentos preliminares com famílias de distribuições estáveis ........... 54

Tabela 5.2: Resultados dos experimentos preliminares ................................................ 57

Tabela 5.3:

Correlação entre tipo de distribuição e parâmetro de estabilidade α .........

Tabela 5.4: Visualização dos dados nos experimentos nas diversas funções ............... 61

Tabela 5.5: Resultados com a função de Rastrigin: Gauss e Cauchy em 2 dimensões 62

Tabela 5.6: Resultados com a função de Rastrigin: S-Lévy e Lévy em 2 dimensões .. 62

Tabela 5.7: Resultados com a função de Rastrigin: Gauss e Cauchy em 5 dimensões 63

Tabela 5.8: Resultados com a função de Rastrigin: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 5 dimensões

Tabela 5.9: Resultados com a função de Rastrigin: Gauss e Cauchy em 10

dimensões

Tabela 5.10: Resultados com a função de Rastrigin: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 10 dimensões

Tabela 5.11: Resultados com a função de Rastrigin: Gauss e Cauchy em 30

dimensões

Tabela 5.12: Resultados com a função de Rastrigin: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 30 dimensões

Tabela 5.13: Análise da distibuição Estável 3 para 500 a 10000 gerações .................... 66

Tabela 5.14: Resultados com a função de Rastrigin: Auto-adaptação livre em 30

dimensões

Tabela 5.15: Resultados com a função de Rastrigin: Auto-adaptação fixa nas 30

dimensões de 500 a 1500 gerações

Tabela 5.16: Auto adaptatividade na função de Rastrigin: distribuição Estável 3, com

variação livre e fixa dos parâmetros estratégicos com 30 dimensões

Tabela 5.17: Resultados com a função de Rosenbrock: Gauss e Cauchy em 2

dimensões

Tabela 5.18: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy e Lévy em 2

dimensões

Tabela 5.19: Resultados com a função de Rosenbrock: Gauss e Cauchy em 5

dimensões

Tabela 5.20: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 5 dimensões

Tabela 5.21: Resultados com a função de Rosenbrock: Gauss e Cauchy em 10

dimensões

Tabela 5.22: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 10 dimensões

Tabela 5.23: Resultados com a função de Rosenbrock: Gauss e Cauchy em 30

dimensões

Tabela 5.24: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 30 dimensões

Tabela 5.25: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy de 500 e 1500

gerações

Tabela 5.26: Análise na função de Rosenbrock: Auto-adapt. livre nas n-dim de 500 a

10000 gerações

Tabela 5.27: Análise na função de Rosenbrock: Auto-adapt. fixa nas n-dim. de 500 a

10000 gerações

Tabela 5.28: Comparação na função de Rosenbrock: S-Lévy, Auto-adaptação livre e

fixa nas n-dim

Tabela 5.29: Resultados com a função de Schwefel: Gauss e Cauchy em 2 dimensões Xx

Tabela 5.30: Resultados com a função de Schwefel: S-Lévy e Lévy em 2 dimensões .. Xx

Tabela 5.31: Resultados com a função de Schwefel: Gauss e Cauchy em 5 dimensões Xx

Tabela 5.32: Resultados com a função de Schwefel: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 5 dimensões

Tabela 5.33: Resultados com a função de Schwefel: Gauss e Cauchy em 10

dimensões

Tabela 5.34: Resultados com a função de Schwefel: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 10 dim

Tabela 5.35: Resultados com a função de Schwefel: Gauss e Cauchy em 30

dimensões

Tabela 5.36: Resultados com a função de Schwefel: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 30 dim

Tabela 5.37a: Resultados com a função de Schwefel: S-Lévy de 500 e 1500 gerações .. Xx

Tabela 5.38: Resultados com a função de Schwefel: Auto-adapt. livre nas n-dim de

500 a 10000 gerações

Tabela 5.39: Resultados com a função de Schwefel: Auto-adapt. fixa nas n-dim. de

500 a 10000 gerações

Tabela 5.40 Comparação na função de Schwefel: S-Lévy, Auto-adaptação livre e

fixa nas n-dim

Tabela 5.41: Resultados com a função de Griewangk: Gauss e Cauchy em 2

dimensões

Tabela 5.42: Resultados com a função de Griewangk: S-Lévy e Lévy em 2 dimensões Xx

Tabela 5.43: Resultados com a função de Griewangk: Gauss e Cauchy em 5

dimensões

Tabela 5.44: Resultados com a função de Griewangk: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 5 dimensões

Tabela 5.45: Resultados com a função de Griewangk: Gauss e Cauchy em 10

dimensões

Tabela 5.46: Resultados com a função de Griewangk: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 10 dim

Tabela 5.47: Resultados com a função de Griewangk: Gauss e Cauchy em 30

dimensões

Tabela 5.48: Resultados com a função de Griewangk: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a

Estável 4 em 30 dim

Tabela 5.49: Resultados com a função de Griewangk: S-Lévy de 500 e 1500 gerações Xx

Tabela 5.50: Análise na função de Griewangk: Auto-adapt. livre nas n-dim de 500 a

10000 gerações

LISTA DE EQUAÇÕES

( 2.1 ) Recombinação aritmética para os indivíduos x

e x

e filho x’

....................... 25

( 2.2 ) Recombinação aritmética para os indivíduos x

e x

e filho x’

....................... 25

( 2.3 ) Forma geral de mutação .................................................................................... 27

( 2.4 ) Mutação que gera um vetor de descendente ...................................................... 27

( 2.5 ) Funcão de Densidade de Probalidade para os vetores de valores reais ............. 28

( 3.1 ) Vetor g representa um cromossomo EE .......................................................... 35

( 3.2 ) Cromossomo EE representado como um vetor em par ..................................... 35

( 3.3 ) Representação do cromossomo ......................................................................... 37

( 3.4 )

Operador de mutação ϖ

mut

...............................................................................

( 3.5 ) Vetor de mutação dos parâmetros objetivos P

mut

............................................ 37

( 3.6 ) O cromossomo EE que sofreu mutação no parâmetro objetivo ........................ 37

( 3.7 ) Representação da distribuição normal ............................................................... 38

( 3.8 ) Parâmetros objetivos e estratégicos com a componente de mutação ................ 38

( 3.9 )

Operador de recombinação ωrec .......................................................................

(3.10)

Operador de multicombinação ωrec ..................................................................

(3.11) Recombinação em pares r do cromossomo recombinado g .............................. 41

( 4.1 ) Parâmetros de distribuições estáveis ................................................................. 46

( 4.2 ) Parâmetro (M) de Zolotarev ............................................................................. 48

( 4.3 ) Função de Rastrigin ........................................................................................... 50

( 4.4 ) Função vale de Rosenbrock (Função 2 De Jong) .............................................. 51

( 4.5 ) Função de Schwefel .......................................................................................... 52

( 4.6 ) Função de Griewangk ....................................................................................... 53

RESUMO

Usualmente, as estratégias evolutivas utilizam as distribuições Gaussianas para governar as

mutações sobre valores reais. Já que na natureza e na matemática existem outros tipos de distribuições,

tais como de Cauchy, de Lévy e de S-Lévy, além de uma infinidade de distribuições estáveis, é

razoável se pensar em expandir a abordagem tradicional, utilizando-se um algoritmo baseado em

outras distribuições existentes, ou mesmo que possibilite a escolha de uma distribuição estável, de

forma auto-adaptativa. Esta idéia é aqui ilustrada, no contexto de populações de indivíduos que

evoluem em busca do mínimo de uma função de teste (no caso, a função de Rastrigin, vale de

Rosenberg, Griewangk e Schwefel em n-dimensões) através de estratégias evolutivas cujas mutações

são guiadas por oito tipos específicos de distribuições e de um esquema auto-adaptativo em um

subconjunto das distribuições estáveis.

Durante a evolução dos experimentos observa-se uma forte influência da escolha adequada da

família de distribuição na correlação da busca do mínimo global na função de teste. Este fato se deve a

diversidade utilizada na forma da distribuição: assimétrica e cauda longa (Lévy) e simétrica com

vários tipos de cauda nas demais. A escolha do tipo de distribuição ocorre determinando-se

adequadamente quatro parâmetros: Índice de estabilidade (α), assimétrico (β), escala (ϒ) e posição (δ).

A escolha do tipo de distribuição ocorre determinando-se os quatro parâmetros acima que

fazem parte do cromossomo que também contém as possíveis coordenadas do ponto de mínimo global

que seram mutadas com base distribuição escolhida. Com aplicação desta mutação diferenciada no

processo evolutivo chegasse ao mínimo global da função de teste escolhida.

Os resultados indicaram que a utilização conjunta de distribuições estáveis governando

as mutações das coordenadas podem acarretar uma melhora de desempenho com respeito à

convergência e conseqüente determinação da solução, quando aplicadas sobre funções de

teste delimitadas espacialmente.

ABSTRACT

Evolutionary strategies normally use the Gaussian distributions in order to control the

mutations over real values. Since there are other kinds of distributions in nature and in mathematics,

such as those of Cauchy, Lévy and S-Lévy, in addition to several stable distributions, it seems a

natural step to extend the standard approach, by using an algorithm that would be based upon other

existing distributions, or that would even allow the choice of a stable distribution in a self-adaptive

way. Such an idea is briefly sketched herein, in the context of populations of individuals that evolve

towards the minimum of a test function (namely, the n-dimensional Rastrigin, Rosenberg, Griewangk

and Schwefel functions) by means of evolutionary strategies, whose mutations are guided by eight

types of specific types of distributions and by a self-adaptive scheme over a subset of the possible

stable distributions.

During the evolution of the experiment a remarkable influence on the right choice of the

distribution family can be noted related to the search for the global minimum of a test function. This is

due to the diversity used in the form of distribution: asymmetric and long tale (Lévy) and symmetric

with various type of tale on the others. The choice of the type of distribution occurs determining four

parameters properly: stability rate, asymmetric, scale and position.

The choice of the type of distribution occurs determining if the four parameters above

mentiones are part of the chromosome that also contains the possible coordinates of the global

minimum that will be mutated according to the chosen distribution. Having applied this different

mutation in the evolutionary process will lead to the global minimum of the chosen test function.

The results indicate that the combined use of stable distribution controlling the mutations of

the coordinates can result in a performance improvement regarding the convergence and consequent

determination of the solution, when applied to spatially constrained benchmark functions.

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

A computação evolutiva é formada por algoritmos inspirados na evolução biológica natural

[Carrapiço, 01; Castro, 02], os quais podem ser considerados como técnicas computacionais de

otimização. Nesses algoritmos, inicialmente uma população de soluções candidatas é gerada por meios

aleatórios e, então avaliada de forma a se medir o quão próximo elas estão da solução buscada. Com

base nessa avaliação, seleciona-se um subconjunto da população servindo de base para a geração de

uma nova, esperando-se que esta população seja formada por um conjunto de soluções melhores do

que as que serviram de base para a sua formação. Ao longo das gerações, a população evolui até

chegar a soluções satisfatórias. Este processo de busca pode ser aplicado em praticamente qualquer

área em que se procure a solução ótima de um problema, uma vez que ele possui menos restrições de

aplicabilidade em relação a métodos de busca exatos, que necessitem de informações tais como a

derivada da função objetivo.

Na computação evolutiva, pode-se identificar quatro famílias principais de algoritmos: a

programação evolutiva, a programação genética, os algoritmos genéticos e as estratégias evolutivas

[Eiben e Smith, 03a]. As estratégias evolutivas partiram da idéia de tentar modificações aleatórias nas

soluções candidatas de um problema de busca, usualmente representados como vetores de números

reais, implementando-se os operadores genéticos de mutação e seleção também utilizados nos outros

algoritmos evolutivos. Esse esquema de mutação, tradicionalmente implementado através da mutação

Gaussiana (ou Normal) pode ser expandido, como será visto no presente trabalho, para outros tipos de

distribuições, como as de Cauchy [Rudolph, 98] e Lévy [Lee e Yao, 04; Rimmer e Nolan, 05], entre

outras não nomeadas, todas de natureza estável, isto é, em que a resultante global de várias mutações

em seqüência possui o mesmo tipo de distribuição das mutações individuais. A distribuição Gaussiana

é a mais famosa e tradicional das distribuições estáveis.

Mais formalmente, considerando-se X

uma variável aleatória com determinada distribuição de

probabilidade, e definindo-se a somatória de um conjunto dessas variáveis, se esta nova distribuição

resultante também possuir o mesmo tipo de distribuição que as componentes X

, então, diz-se que a

distribuição envolvida é estável [Tsallis, 00]. A motivação pelo uso de distribuições estáveis em

algoritmos evolutivos é sua ampla ocorrência na natureza e na matemática, inclusive em processos

que, até muito recentemente, acreditava-se serem regidos por distribuições Gaussianas [Tsallis, 00].

As estratégias evolutivas tiveram sua origem no mecanismo denominado (1+1), um esquema

simples de seleção-mutação que opera em um único indivíduo e gera um único descendente por

geração, através de mutação Gaussiana. Esta abordagem evoluiu para o chamado mecanismo (μ+1), no

qual uma população de μ indivíduos se recombina para formar um descendente, o qual, após sofrer

mutação, substitui o pior elemento da população. Ainda que este mecanismo nunca tenha sido

largamente usado, ele permitiu a transição para os mecanismos denominados (μ+λ) e (μ,λ), em que,

no primeiro caso, os μ pais e os λ filhos convivem, enquanto no segundo, os μ pais “morrem”,

deixando apenas os λ filhos “vivos” [Bittencourt, 06]. Os seis passos a seguir ilustram os

procedimentos utilizados nas estratégias evolutivas de forma simplificada:

1. Iniciar a população com μ

pais;

2. Realizar a operação de recombinação sobre os μ pais para gerar λ filhos;

3. Realizar a operação de mutação sobre os λ filhos;

4. Avaliar os indivíduos da população;

5. Selecionar μ indivíduos para a nova população, incluindo-se os pais – estratégia (μ+λ) – ou

excluindo-os – estratégia (μ,λ);

6. Caso o critério de término não seja satisfeito, voltar ao passo 2.

O objetivo deste trabalho é avaliar a influência de diferentes distribuições estáveis na mutação

dos valores que estão sendo buscados pelo processo evolutivo (os parâmetros objetivos), os quais são

aqui as coordenadas que representam os mínimos globais de algumas funções de teste n-dimensionais

(para n 2, 5, 10 e 30); para tanto, observa-se a evolução de uma população de 100 indivíduos (soluções

candidatas do problema de minimização), ao longo de 500 gerações, em 30 execuções distintas. Como

o tipo de distribuição estável utilizada é determinada pelos chamados parâmetros estratégicos, estuda-

se aqui a influência deles sobre o processo, em termos da busca pela obtenção do menor erro entre o

valor mínimo da função e o valor representado por uma solução candidata do problema. Foram

utilizados vários tipos de distribuições estáveis, e também abordou-se o problema de auto-adaptação

na distribuição, dentro do espaço de todas as possíveis.

A seguir descreve-se o conteúdo dos capítulos seguintes neste trabalho. O Capítulo 2 trata de

computação evolutiva, fazendo sua ligação com elementos básicos da genética, seus paralelos com a

família específica dos algoritmos genéticos, e mencionando aplicações em diversas áreas da

tecnologia.

Já o Capítulo 3, aprofundando o anterior, foca especificamente nas estratégias evolutivas,

apresentando exemplos de representação de indivíduos para números reais, esclarecendo a noção de

parâmetros objetivos e estratégicos, e tratando de aspectos envolvidos nos operadores de mutação,

recombinação e seleção.

As distribuições estáveis e suas aplicações são abordadas no Capítulo 4, passando-se por uma

breve caracterização sobre seus conceitos e importância. Ainda neste capítulo apresentam-se as

funções de teste utilizadas no trabalho: Rastrigin, Rosenbrock, Schwefel e Griewangk.

Os experimentos realizados de computação evolutiva com distribuições estáveis são

apresentados e discutidos no Capítulo 5, no contexto da busca do mínimo global das funções de teste

mencionadas. Apresentam-se resultados decorrentes de experimentos com 2, 5, 10 e 30 dimensões,

verificando-se o efeito do aumento da população e do número de gerações sobre a qualidade dos

resultados; para tanto, várias distribuições estáveis são utilizadas, notadamente Gauss, Cauchy e Lévy,

mas também algumas distribuições estáveis não denominadas, e outras resultantes de um mecanismo

de auto-adaptação no espaço das distribuições estáveis possíveis.

O Capítulo 6 encerra o texto, apresentando as conclusões do trabalho, e estabelecendo os

passos a serem seguidos em sua continuação.

CAPÍTULO II

COMPUTAÇÃO EVOLUTIVA

2.1. Introdução: Uma visão da inteligência computacional

A solução de problemas práticos de grande complexidade requer a construção de sistemas

capazes de integrar coerentemente as técnicas e metodologias originárias de diferentes áreas de

pesquisa. A inteligência computacional compreende paradigmas computacionais que procuram

desenvolver sistemas que apresentem alguma forma de inteligência similar à exibida por determinados

sistemas biológicos [Cercone e McCalla, 94; Fogel, 00]. Esta área da ciência objetiva o

desenvolvimento de sistemas inteligentes que imitam também aspectos do comportamento humano,

tais como: aprendizado, percepção, raciocínio, evolução e adaptação [Anderson, 00].

Um sistema é computacionalmente inteligente [Bäck, Hammel e Schwefel, 97] quando exibe

(ou começa a exibir): adaptabilidade computacional; tolerância computacional a falhas; velocidade de

processamento comparável a de processos cognitivos humanos; e taxas de erro que se aproximam do

desempenho humano. A inteligência computacional procura implementar essas idéias, englobando

quatro diferentes técnicas, como resume a Tabela 2.1.

A computação evolutiva pode realizar a simulação de mecanismos de evolução através do uso

de computadores, possibilitando o surgimento de uma nova filosofia de máquinas inteligentes.

Considera-se inteligência como a capacidade de um sistema adaptar seu comportamento para atingir

seus objetivos numa variedade de situações. Sob este ponto de vista, a inteligência e a evolução são

dois conceitos intimamente relacionados. A simulação de processos evolutivos biológicos permite o

entendimento de como a evolução guia os seres vivos na direção de um nível maior de inteligência

[Atmar, 94; Fogel, 95].

Técnica Descrição Inspiração

Natural

Computação

evolutiva

Formada por algoritmos inspirados na teoria da evolução natural de Darwin [Carrapiço,

01; Castro, 02], tem sido muito aplicada nos problemas de otimização, em especial

naqueles em que as técnicas tradicionais não são aplicáveis (como aqueles com funções

descontínuas) ou que apresentam desempenho insatisfatório [Klug e Cummings, 00].

Evolução

biológica

Lógica

nebulosa

Modela o modo aproximado de raciocínio humano, visando desenvolver sistemas

capazes de tomar decisões racionais em um ambiente de incerteza e imprecisão, tais

como os conceitos de muito, pouco, pequeno, alto, quente, frio, entre outros, fornecendo

uma resposta aproximada para uma questão, baseada em um conhecimento que é

inexato, incompleto ou não totalmente confiável [Laprade e Torres, 93; Rao e Rao, 93;

Almeida e Evsukoff, 03].

Processo

lingüístico

Redes

neurais

artificiais

São modelos computacionais não-lineares, inspiradas na estrutura e operação do cérebro

humano, que procuram reproduzir características humanas, tais como: aprendizado,

associação, generalização e abstração [Fogel e Porto, 90]. A arquitetura de multicamadas

é a mais popular. As propriedades são a sua capacidade de aproximação universal e de

aprendizado [Azevedo, Brasil e Oliveira, 00; Haykin, 01; Damazio, Seixas e Soares, 03].

Neurônios

biológicos

Sistemas

especialistas

São programas computacionais destinados a solucionar problemas em um campo

especializado do conhecimento humano. Usam técnicas de inteligência artificial [Russell

e Norvig, 04], base de conhecimento e raciocínio inferencial [Cunha e Ribeiro, 87;

Chorafas, 88; Levine, Drang e Edelson, 88; Weiss e Kulikowski, 88; Paraíso et al, 93].

Inferência

humana

Tabela 2.1: Modalidades de implementação da inteligência computacional.

2.2 . Elementos básicos da biologia genética

Os principais termos empregados na computação evolutiva representam uma analogia entre as

entidades biológicas reais, e as entidades computacionais de forma mais simplificada. Os princípios da

natureza nos quais os algoritmos evolutivos se inspiram são simples. De acordo com a teoria de

Charles Darwin, o princípio da seleção natural privilegia os indivíduos mais aptos, com maior

longevidade e, portanto, com maior probabilidade de reprodução. Indivíduos com mais descendentes

têm mais chance de perpetuarem seus códigos genéticos nas próximas gerações [Castro, 02]. Tais

códigos genéticos constituem a identidade de cada indivíduo e estão representados nos cromossomos.

Estes princípios são imitados na construção de algoritmos computacionais que buscam a melhor

solução para um determinado problema, por meio da evolução de populações de soluções codificadas

e também por cromossomos artificiais.

Nos algoritmos evolutivos um cromossomo é uma estrutura de dados que representa uma das

possíveis soluções do espaço de busca do problema. Os cromossomos são então submetidos a um

processo evolutivo, que envolve a avaliação, a seleção, a recombinação sexual e a mutação. Após

vários ciclos de evolução a população deverá conter indivíduos mais aptos. A analogia entre os

algoritmos genéticos e o sistema natural é representada na Tabela 2.2 abaixo:

Natureza Algoritmos Evolutivos Componentes dos Alg. Evolutivos

Cromossomo Palavra binária, vetor, etc. Representação (definição do indivíduo).

Gene Característica do problema. Função de evolução (função de aptidão).

Alelo Valor da característica. População.

Locus Posição na palavra, vetor. Mecanismo de seleção dos pais.

Genótipo Estrutura (codificação). Operadores genéticos (mutação, recombinação, etc).

Fenótipo Possível solução do problema. Mecanismo de seleção da próxima população.

Indivíduo Solução. Inicialização.

Geração Ciclo. Condição de término.

Tabela 2.2: Correlação da natureza com os elementos dos algoritmos genéticos e seus componentes.

As técnicas de computação evolutiva fornecem então um mecanismo de busca adaptativa que

se baseia no princípio Darwiniano de reprodução e sobrevivência dos mais aptos [Michalewicz, 99;

Fernandes, 03]. Observa-se, no entanto, que nos sistemas biológicos reais, não existem superfícies de

adaptação estáticas. O ambiente está em constante mudança, fazendo com que populações estejam em

constante evolução em direção aos novos pontos de ótimo.

2.3. Modalidades de computação evolutiva

A computação evolutiva define uma área comum que engloba várias pesquisas que vinham

seguindo por caminhos distintos, mas conectadas pelo fato de simularem os vários aspectos da

evolução. As técnicas de programação evolutiva, programação genética, algoritmos genéticos e

estratégias evolutivas representadas na Figura 2.1 possuem algo fundamental em comum: cada uma

delas trata da reprodução, variação aleatória, competição e seleção dos indivíduos de uma população.

Estes quatro elementos formam a essência da evolução [Atmar, 94]. Se existir algum método

específico que resolva um dado problema em estudo, as técnicas de computação evolutiva podem ser

usadas em associação a eles, podendo surpreender na qualidade dos resultados obtidos [Lewis, 00].

Figura 2.1: Metodologia hierárquica na computação natural.

Dentro da computação evolutiva têm-se quatro subáreas como na Tabela 2.3 a seguir:

Subáreas Descrição

Programação

evolutiva

(PE)

Desenvolvida por Lawrence J. Fogel, em 1960, tinha a motivação de constituir um modelo de

aprendizado, ou seja, seu objetivo estava em desenvolver modelos comportamentais [Porto,

00; Eiben e Smith, 03a; Castro, 06]. Recentemente expandiu seus objetivos, tornando-se um

método genérico de otimização estocástica, como os outros algoritmos evolutivos.

Representa as soluções candidatas em alto-nível, o mais próximo possível do problema em

questão, e baseia-se no uso apenas de mutação (sem recombinação) e seleção.

Estratégias

evolutivas

(EE)

Utilizam mutações com alguma distribuição estável para modificar vetores reais e

recombinação como operadores essenciais. O operador de seleção é determinístico e o

tamanho da população de pais e de filhos pode ser distinto.

Algoritmos

genéticos

(AG)

Enfatizam a recombinação como o principal operador de busca e aplicam mutação com

baixas probabilidades (operador secundário). Operam com representação binária de

indivíduos e possui seleção probabilística (usualmente proporcional ao valor da função de

adaptação dos indivíduos).

Programação

genética

(PG)

As estruturas de dados são representadas por árvores (usualmente programas de

computador), e utilizam-se os operadores de recombinação e mutação. O processo de

seleção tem forma similar à dos algoritmos genéticos, ou seja, probabilística e proporcional à

função de adaptação [Kinnear, 00; Banzhaf

et al,

02; Carvalho, Braga e Ludermir, 03].

Tabela 2.3: As quatro subáreas da computação evolutiva.

O interesse na busca por sistemas computacionais que explorem possíveis combinações entre

os paradigmas acima cresceu de forma expressiva nos últimos tempos. Assim, muitas pesquisas foram

realizadas no sentido de investigar possíveis formas de cooperação entre estes métodos. O principal

objetivo é desenvolver sistemas que sejam eficientes, robustos, fáceis de operar e capazes de fornecer

soluções de qualidade para problemas complexos. Analisando de forma comparativa cada uma das

abordagens mencionadas acima tem-se a Tabela 2.4:

EE AG PE PG

Representação Valores reais Cadeias binárias Vetores reais Árvores

Auto-

adaptação

Desvio padrão e

covariância

Nenhuma Desvio padrão e

coeficiente de correlação

Nenhuma

Função de

avalição

Valor da

função objetivo

Valor escalonado da

função objetivo

Valor escalonado da

função objetivo

Valor escalonado da

função objetivo

Mutação Principal

Tabela 2.4: Comparação simplificada entre EE, AG, PE e PG.

2.4. Algoritmos evolutivos

Os algoritmos evolutivos empregam uma terminologia originada na teoria da evolução natural

e da genética. Um indivíduo da população é representado por um único cromossomo, o qual contém a

codificação de uma possível solução do problema. Os cromossomos são implementados como uma

seqüência de características (possivelmente, formando um vetor), onde cada uma é conhecida como

gene. Os possíveis valores que um determinado gene pode assumir são denominados alelos, conforme

a Figura 2.2.

Locus alelos:{ A , B } Gene

A B B A A B A A B A

operador

Operador

secundário

Único

operador

Um dos

operadores

Recombinação Diferentes variações,

uso com auto-adaptação

Principal

operador

Nenhuma Um dos

operadores

Seleção Determinística Probabilística Probabilística Probabilística

Figura 2.2: Ilustração de um cromossomo salientando o locus, os genes e os alelos.

Pode-se descrever um algoritmo evolutivo como ilustra a Figura 2.3. Durante a iteração t, o

algoritmo mantém uma população de soluções potenciais (cromossomos, vetores), P(t) = {x

, . . , x

}. Cada solução x

é avaliada e produz uma medida de sua adaptação ou aptidão (fitness).

Uma nova população (iteração t + 1) é então formada, privilegiando a participação dos indivíduos

mais adaptados. Alguns membros da nova população passam por alterações através de operadores –

usualmente, recombinação e mutação – que permitem formar novas soluções potenciais. Este processo

se repete até que um número pré-determinado de iterações seja atingido, ou até que o nível de

adaptação esperado seja alcançado.

Figura 2.3: Estrutura de um algoritmo evolutivo.

2.4.1. Codificação de indivíduos: Representação genética

Cada indivíduo de uma população representa um candidato em potencial, que pode evoluir

para a solução do problema em questão. No algoritmo genético clássico, as soluções candidatas são

codificadas em arranjos binários de tamanho fixo, cuja motivação vem da teoria dos esquemas

(schemata theory), onde mostra-se que essa representação maximiza o paralelismo implícito inerente

ao algoritmo genético [Holland, 92].

Contudo, nas diversas aplicações práticas a utilização de codificação binária leva a um

desempenho insatisfatório. Nos problemas de otimização numérica com parâmetros reais, os

algoritmos evolutivos com representação em ponto flutuante freqüentemente apresentam desempenho

superior à codificação binária.

Michalewicz [99] argumenta que o desempenho de um algoritmo evolutivo com codificação

binária é pobre quando o espaço de busca tem dimensão elevada. No entanto, o espaço de busca por si

só (sem levar em conta a escolha da representação) não determina a eficiência do algoritmo genético.

Espaços de busca de dimensão elevada podem às vezes ser explorados eficientemente, enquanto que

os espaços de busca de dimensão reduzida podem apresentar dificuldades significativas [Fogel, 94a].

Fica claro, portanto, que a codificação é uma das etapas mais críticas na definição de um

algoritmo evolutivo. A definição inadequada da codificação pode levar a problemas de convergência

prematura do algoritmo. A estrutura que um cromossomo deve representar numa solução completa

deve ser a mais simples possível. Nos problemas de otimização restrita (por exemplo, minimizar f(x, y)

sujeita à restrição de que x

=5) a codificação adotada pode fazer com que os indivíduos

modificados por recombinação e/ou mutação sejam inválidos. Nesses casos, cuidados especiais devem

ser tomados na definição da codificação e/ou dos operadores.

2.4.2. Definição da população inicial

O método mais comum utilizado na criação da população é a inicialização aleatória dos

indivíduos. Se algum conhecimento inicial a respeito do problema estiver disponível, este pode ser

utilizado na inicialização da população. Por exemplo, se sabe que a solução final (assumindo

codificação binária) vai apresentar mais 0s do que 1s, então esta informação pode ser utilizada, mesmo

que não se saiba exatamente a proporção. Já em problemas com restrição, deve-se tomar cuidado para

não se gerar indivíduos inválidos na etapa de inicialização [Mitchell, 04].

2.4.3. Soluções e representações

Todo algoritmo de otimização e busca lida com soluções, cada uma representando uma

instanciação do problema em questão. Assim, a representação deve ser tal que pode ser completamente

realizada na prática. Na maioria dos problemas de engenharia, a solução é um vetor de valores reais

que especifica dimensões aos parâmetros chaves do problema. Por exemplo, nos problemas de sistema

de controle, uma solução é a variação de freqüência e tempo funcional dependente dos parâmetros

chave de controle; já em um jogo, a solução é uma estratégia ou um algoritmo para resolver uma tarefa

específica. Assim, fica claro que o significado de uma solução é uma característica natural do

problema em questão e da sua representação [Deb, 00; Reisinger e Miikkulainen, 06].

Como a estrutura de um problema pode variar de um problema para outro, a solução de um

problema específico pode ser representada de várias formas. Geralmente, o método de busca é mais

eficiente ao lidar com uma representação em específico do que com várias representações. Assim, a

escolha de um esquema de representação eficiente não depende apenas do problema em questão, mas

também do método de busca. A eficiência e complexidade de um algoritmo de busca dependem muito

de como as soluções foram representadas e o quão adequada é a representação para os operadores de

busca em questão. Em alguns casos, um problema difícil pode ser simplificado pela escolha adequada

da representação, com eficiência e utilizando um algoritmo específico.

2.4.4. Operadores genéticos

Todos os algoritmos evolutivos trabalham por meio de um processo de seleção e um

mecanismo que produz variações. O mecanismo mais conhecido para a produção de variações é a

mutação, onde um alelo de um gene é aleatoriamente substituído por outro. Em outras palavras, novas

tentativas de soluções são criadas fazendo pequenas alterações nas soluções anteriores. Um padrão de

mutação comumente usado é de 1 mutação por tamanho da representação; por exemplo, se um

cromossomo tiver 100 bits de tamanho, a mutação seria constituída de forma que cada bit tenha a

probabilidade de 0.01 de ser escolhido.

Apesar da maioria dos algoritmos evolutivos usarem mutação juntamente com a recombinação

genética entre cromossomos, a mutação é algumas vezes tratada como se fosse um operador menor, de

fundo, que apenas garante que a população consistirá em um agrupamento de informações diversas de

alelos que podem ser aproveitadas por meio da recombinação. Em muitos problemas de otimização,

contudo, um algoritmo evolutivo que usa mutação sem recombinação pode ser muito eficaz

[Eshelman, 00].

2.4.4.1. O operador de recombinação (crossover)

O operador de recombinação ou crossover cria novos indivíduos através da combinação de

dois ou mais indivíduos. A idéia intuitiva por trás do operador de recombinação é a troca de

informação entre diferentes soluções candidatas. Nos algoritmos evolutivos atribui-se uma

probabilidade de recombinação fixa aos indivíduos da população. Os operadores de recombinação

mais comumente empregados são:

1) Um e dois pontos. Para a aplicação destes operadores, são selecionados dois indivíduos pais

e, a partir de seus cromossomos, são gerados dois novos indivíduos filhos. Para gerar os filhos,

seleciona-se um ou dois pontos de corte de forma aleatória nos cromossomos dos pais, e os segmentos

de cromossomo criados a partir destes pontos de corte são trocados.

2) Recombinação uniforme [Michalewicz, 99]. Para cada gene é atribuída uma probabilidade

fixa p (usualmente 0,5), de qual pai vai contribuir com seu valor para aquela posição; ou seja, com

probabilidade p, cada gene do filho receberá o alelo do pai

e com probabilidade 1-p receberá o alelo

do pai

. Como a recombinação uniforme troca alelos ao invés da seqüência de alelos, pode-se

combinar características independentemente da sua posição relativa no cromossomo.

3) Aritmético [Eiben e Smith, 03b]. Este operador é definido como uma combinação linear de

dois vetores (cromossomos) x

e x

x’

= a x

+ (1- a)x

(2.1)

x’

= (1- a) x

+ a x

(2.2)

onde a é um número aleatório pertencente ao intervalo [0, 1].

Outros exemplos de recombinação desenvolvidos para utilização em problemas de otimização

numérica restrita e codificação em ponto flutuante são o crossover geométrico: Z={ √x

, √x

2 , . . . ,

√x

} e o crossover esférico [Schoenauer e Michalewicz, 97; Booker et al, 00; Medeiros, 06].

2.4.4.2. O operador de mutação

O operador de mutação modifica aleatoriamente um ou mais genes de um cromossomo. A

probabilidade de ocorrência de mutação em um gene é denominada taxa de mutação. O valor da taxa

de mutação pode variar desde valores pequenos, como ocorre nos algoritmos genéticos, até valores

altos, como é o caso da programação evolutiva. A idéia intuitiva por trás do operador de mutação é

criar uma variabilidade extra na população, mas sem destruir o progresso já obtido com a busca. Os

tipos básicos de mutação são mostrados na Tabela 2.5:

Tipos de

codificação

Descrição

Binária

Simplesmente troca-se o valor de um gene em um cromossomo [Holland, 92]. Assim, se

um gene selecionado para mutação tem valor 1, o seu valor passará a ser 0 após a

aplicação da mutação, e vice-versa.

Ponto

flutuante

O mais comum neste caso é a

mutação Gaussiana

, que modifica todos os componentes

de um cromossomo x=[

...

] na forma [Bäck

et al

, 00]:

x′= x +

(0, σ )

onde

(0, σ) é um vetor de variáveis aleatórias Gaussianas independentes, com média

zero e desvio padrão σ.

Tabela 2.5: Tipos básicos de mutação.

No presente trabalho, além da distribuição Gaussiana, utilizam-se outras distribuições

(estáveis) como a de Cauchy, a de Lévy e outras não nomeadas, gerando valores aleatórios de mutação

em valores reais.

Com base no exposto, pode-se melhor apreciar a relevância e motivação da pesquisa aqui

relatada. Quando se analisam as distribuições Gaussiana, de Cauchy e de Lévy nas Figuras 2.4, 2,5 e

2.6, respectivamente, pode-se questionar qual seria o comportamento de uma mutação em valores reais

baseada em cada uma delas.

Figura 2.4: Distribuição Gaussiana. Figura 2.5: Distribuição de Cauchy.

Figura 2.6: Distribuição de Lévy.

Uma distribuição de cauda pesada possui esse nome porque a “cauda” da função não tende

rapidamente a zero, ou seja, a probabilidade de variáveis aleatórias com valores grandes é

significativamente maior que zero [Silva, Campos e Cunha, 01; Soler, 07]. Pois bem, observando-se as

distribuições de Lévy e de Cauchy, constata-se que estas apresentam caudas leves (não nulas) que

permitem “saltos” na mutação mais longos, evitando-se a busca local em funções de teste padrão ou

falso mínimo [Rudolph, 98; Lee e Yao, 04; Nolan, 01 e 05].

Dada uma representação de valor real onde cada elemento em uma população é um vetor n-

dimensional x ∈ R

, há muitos métodos para criar novos elementos (descendentes) usando mutação

[Bäck et al, 00]. A forma geral de mutação pode ser escrita como:

x’ = m ( x ) (2.3)

onde x é o vetor de pais, m é a função de mutação, e x’ é o vetor de descendentes resultantes.

A aplicação do operador de mutação é simples, baseia-se na utilização de uma função de

densidade de probabilidade (PDF) [Bäck et al, 00] que, aplicada ao vetor de pais gera o vetor x’ de

descendentes. A forma mais comum de mutação que gera um vetor de descendente é

x’ = x + M (2.4)

onde a mutação M é uma variável aleatória. M é freqüentemente de média zero.

As mutações M podem assumir formas diferentes. Por exemplo, M poderia ser a variável

aleatória uniforme U(a,b)

, onde a e b são os limites inferior e superior, respectivamente. Nesse

caso, a é geralmente igual a “–b”, resultando da Equação 2.4 um descendente x+U(-b,b)

. De forma

semelhante, o operador de mutação progressiva (creep mutation) [Boyd,94; Nehab,04] assume

probabilidade fixa de alterar cada componente de x para cima e para baixo por meio de um pequeno

valor aleatório.

A mutação para os vetores de valores reais tem sido a Gaussiana [Fogel e Atmar, 90;

Michalewicz, 99; De Jong et al, 00], cuja função de densidade de probabilidade é definida como

g(x) = [σ (2π)

1/2

]

−1

exp[-0.5(x-μ)

/σ

] (2.5)

onde µ é a média da distribuição e σ é o desvio padrão. No uso de mutações Gaussianas de média zero

geram-se descendentes que cuja média é a de seus pais, e que têm menor probabilidade de serem

diferentes dos pais.

Outras funções de densidade também foram implementadas. Yao e Liu [96] propuseram o uso

das distribuições de Cauchy para auxílio na fuga de mínimos locais (a distribuição de Cauchy possui

uma cauda mais longa que a Gaussiana) e demonstraram que as mutações de Cauchy podem ser

vantajosas.

Estudos posteriores levaram ao uso da distribuição de Lévy que se mostrou útil no uso

conjunto com as mutações para valores reais devido ao fato da sua cauda ser mais longa e ter uma

maior probabilidade para mutações pequenas e permitir mutações mais amplas. Nos extremos das

caudas das distribuições de Lévy e de Cauchy, a primeira distribuição apresenta neste ponto uma

probabilidade maior [Lee e Yao, 04].

Outro tipo possível é a distribuição de Laplace [François, 99], mas não há evidências de que

ela seja mais adequada do que a Gaussiana ou a de Cauchy para os problemas de valores reais [Bäck et

al, 00]. A Figura 2.7 mostra diversos tipos de distribuição estável em função do índice de estabilidade

α, cujo valor define famílias estáveis, conforme a seguir:

Figura 2.7: Distribuições estáveis (Gauss: α=2; Cauchy: α=1; Lévy: α=0.5, e demais) [Vicente,

05].

No próximo capítulo, a mutação de números reais será tratada com base na aplicabilidade de

distribuições estáveis, no contexto das estratégias evolutivas, visando analisar a influência da escolha

adequada da distribuição em relação à função de teste escolhida.

2.4.4.3. Seleção de indivíduos

O algoritmo genético clássico utiliza um esquema de seleção de indivíduos para a próxima

geração chamada método da roleta [Michalewicz, 99]. Este atribui a cada indivíduo de uma população

uma probabilidade de passar para a próxima geração proporcional a sua aptidão medida, em relação à

somatória das aptidões de todos os indivíduos da população. Assim, quanto maior aptidão um

indivíduo tiver, maior a probabilidade de passar para a próxima geração. Na seleção de indivíduos pelo

método da roleta pode fazer com que o melhor indivíduo da população seja perdido, ou seja, não passe

para a próxima geração. Uma alternativa é escolher como solução o melhor indivíduo encontrado em

todas as gerações do algoritmo. Outra opção é simplesmente sempre manter o melhor indivíduo da

geração atual na geração seguinte, estratégia conhecida como seleção elitista [Fogel, 94a;

Michalewicz, 99].

Outro exemplo de mecanismo de seleção é a seleção baseada em ordenação (rank) [Eiben e

Smith, 03a]. Esta estratégia utiliza as posições dos indivíduos quando ordenados de acordo com sua

aptidão para determinar a probabilidade de seleção. Podem ser usados mapeamentos lineares ou não-

lineares para determinar a probabilidade de seleção [Michalewicz, 99]. Uma variação deste

mecanismo é simplesmente passar os melhores indivíduos N para a próxima geração. A seguir, alguns

mecanismos de seleção:

1. Seleção por diversidade: são selecionados os indivíduos mais diversos da população.

2. Seleção bi-classista: são selecionados os P% melhores indivíduos e os (100 - P)% piores

indivíduos.

3. Seleção aleatória: são selecionados aleatoriamente N indivíduos da população.

Pode-se subdividir este mecanismo de seleção em salvacionista (o melhor

indivíduo e os outros casualmente) ou não-salvacionista.

2.5. Aplicações da computação evolutiva

As aplicações da computação evolutiva podem ser encontradas em diversas áreas, por

exemplo: planejamento, projeto, simulação e identificação, e classificação [Freitas et al, 93; Beasley,

00; Tinos e Carvalho, 03].

No planejamento tem-se o roteamento com as seguintes áreas de aplicação: caixeiro viajante,

roteamento de veículos, problema de transporte e robótica. Já na aplicação de seqüenciamento de

tarefas desenvolve-se um plano para executar uma determinada quantidade de tarefas, em um período

de tempo onde os recursos são limitados, há restrições e pode haver mais de um objetivo a ser

otimizado, como: programação de trabalho, tabelas de horários, processamento computacional e

empacotamento.

Nas aplicações em projeto tem-se: filtros, processamento de sinais e sistemas inteligentes.

A simulação envolve a determinação de como o sistema irá se comportar baseando-se em um

modelo ou projeto, como: a determinação de equilíbrio de sistemas químicos e estruturas de proteínas.

A identificação envolve a determinação do projeto de um sistema, dado seu comportamento, por

exemplo, a determinação de pólos e zeros de um sistema.

Os·sistemas classificadores são utilizados como partes de outros sistemas de controle em:

economia, biologia, processamento de imagens e mineração de dados.

2.6. Conclusões

Neste capítulo, são apresentados os principais conceitos relacionados à computação evolutiva,

mais especificamente os algoritmos evolutivos. Apesar dessa área crescer de forma vertiginosa nos

últimos anos, ainda há várias questões possíveis de serem tratadas com esta ferramenta de modo

alternativo.

CAPÍTULO III

ESTRATÉGIAS EVOLUTIVAS

3.1. Introdução

Esse capítulo fornece uma visão geral nas estratégias evolutivas sendo na Seção 3.2 as idéias

básicas e os seus princípios. A Seção 3.3 são trabalhados os ingredientes para o projeto dos algoritmos

das estratégias evolutivas tais como: operadores de mutação, recombinação, reprodução e seleção com

exemplos curtos de implementação.

As estratégias evolutivas (EEs) foram desenvolvidas para a resolução de problemas técnicos

de otimização em engenharia. Atualmente, constituem-se de importantes algoritmos computacionais

em problemas de otimização de parâmetros.

A primeira EE desenvolvida foi a EE-(1+1), proposta por Rechenberg e Schwefel [Beyer,01],

em experimentos no contexto de um túnel de vento [Bäck, Hammel e Schwefel, 97]. A EE-(1+1) foi

então generalizada, por maiores valores do número μ de ancestrais (pais) e do número λ de

descendentes (filhos) por geração. As estratégias evolutivas com multimembros são divididas de

acordo com o mecanismo de seleção em:

(i) Estratégia soma (μ+λ) que sugerem a μ pais produzir λ filhos, após os μ pais e os λ

filhos competirem pela sobrevivência.

(ii) Estratégia vírgula (μ, λ), onde os λ filhos competem para sobreviver e os pais são

completamente substituídos a cada geração.

Os μ pais podem ter incorporados um fator ρ, que especifica quantos deles serão utilizados,

por recombinação, para que seus filhos sejam criados, que origina às estratégias evolutivas (μ/ρ+λ) e

(μ/ρ, λ).

3.2. O algoritmo básico das EE - A notação (μ/ρ λ)

A meta comum de uma estratégia evolutiva é otimizar alguma função com respeito a um

conjunto de variáveis de decisão ou parâmetros de controle y = (y

, y

,..., y

). Para tanto, define-se a

função F(y), chamada de função de aptidão ou adaptação, que, atuando sobre os dados – no presente

caso, o espaço de busca n-dimensional de valores reais, isto é, y ∈ R

– permite avaliar sua

proximidade

do valor buscado que otimiza F.

As estratégias evolutivas atuam em uma população de indivíduos, onde cada um possui um

valor da função de aptidão, cada um representando uma coordenada no espaço de busca (os

parâmetros objetivos) e os valores que determinam a característica da distribuição utilizada para a

mutação de cada indivíduo (os parâmetros estratégicos). A Figura 3.1 mostra o pseudocódigo da EE

(μ/ρ

λ) e a seguir descreve-se brevemente o algoritmo.

Figura 3.1: Procedimento (μ/ρ λ)- EE [Beyer, 01].

Na geração g=0, a população β = (a

, ...., a

), é inicializada. Após a inicialização o

procedimento de laço “repetir ....até (condição de término)” é executado. A partir da população β

na geração g , uma nova população de descendentes β’ é produzida pela execução de λ vezes no laço

interno “Para l=1 até λ”. Cada laço gera um descendente. Os principais pontos do algoritmo podem ser

acompanhados na Figura 3.1 pelos comentários abaixo, cuja numeração encontra-se especificada no

algoritmo:

(0)

(g)

1. Neste passo (casamento), uma família de pais ξ de tamanho ρ é escolhida aleatoriamente a

partir de um subconjunto de μ pais. Esse processo de seleção de casamento é aleatório e

independente dos valores objetivos de pais F. No caso especial de ρ = μ, todos os pais tornam-

se membros de uma família de pais ξ em contraste às técnicas de seleção usuais nos

algortimos genéticos [Michalewicz, 99].

2. Recombinação dos parâmetros estratégicos.

3. Recombinação dos parâmetros objetivos. Observe-se que, se ρ=1, o recombinante é

simplesmente uma cópia de um pai.

4. Mutação dos parâmetros estratégicos: segue uma distribuição estável.

5. Mutação dos parâmetros objetivos.

Após ter completado uma população de descendentes β’ , a seleção é executada com o

resultado de uma nova população de pais β .

Por fim, a condição de término é checada. Esta condição pode ser baseada no número máximo

de gerações ou no tempo máximo de CPU. Alternativamente, pode-se ainda optar pela convergência

dos valores da aptidão, dos parâmetros objetivos (proximidade do valor desejado) ou dos próprios

parâmetros estratégicos (no caso de ser desejada uma determinada distribuição).

(g)

(g+1)

3.3. Ingredientes para o projeto dos algoritmos das estratégias evolutivas

3.3.1. Representação de indivíduos

Nas implementações de computação com EE os vetores de números reais são utilizados como

estruturas de dados básicas a serem otimizadas. Para os parâmetros n a serem adaptados, as estratégias

evolutivas podem trabalhar com um vetor g da seguinte maneira:

cromossomo EE:

g = (p

, p

, ..., p

) com p

∈ ℜ. (3.1)

A letra g para o símbolo do vetor representa genótipo em linha. Para versões EE simples são

considerados apenas os parâmetros a serem ajustados no cromossomo, nos trabalhos de otimização

mais complexos, no entanto, vem a ser vantajoso o processo evolutivo estender o conjunto de decisão

aos parâmetros objetivos, (p

, p

,..., p

), bem como no vetor de parâmetros estratégicos, (s

,..., s

Esses parâmetros adicionais servem como variações ou desvios para o controle do tamanho de passo

da mutação para cada um dos parâmetros objetivos. Daí um cromossomo EE pode ser representado

como um vetor em par:

g = (p, s) = ((p

,..., p

), (s

,…, s

)) com p

, s

∈ ℜ. (3.2)

Os parâmetros de controle s são considerados modelos internos de condições ambientais, sob o

processo evolutivo. A adaptação desses parâmetros de controle é uma parte integrante da busca

absoluta pelos parâmetros objetivos. Um exemplo de cromossomo EE é mostrado na Figura 3.2.

Figura 3.2: Cromossomo EE com parâmetros estratégicos.

3.3.2. Mutação

A mutação, da mesma forma que a seleção, é uma das forças que impulsionam a evolução. A

atual definição da mutação varia com o problema específico do contexto, variando desde uma mera

mudança de letra em um nome, até as mutações representações mais complexas, envolvendo inúmeras

características, todas elas integrantes do cromossomo.

Partindo de uma população de indivíduos (pais) iniciais, cujas coordenadas são armazenadas

nos parâmetros objetivos de seus cromossomos, pode-se escolher o melhor indivíduo ou parte da

melhor população para prosseguir na próxima geração. A busca pelo ponto de ótimo buscado é feita a

partir de mutações de pais, dando origem a filhos, cujas coordenadas são levemente diferentes de cada

pai individual. Os parâmetros objetivos dos cromossomos mutados (filhos) geralmente mostram

diferenças pequenas e por vezes afastadas do cromossomo original.

Com isso, tem-se então uma nova população de indivíduos, que pode ser avaliada com respeito

à tarefa de otimização apresentada. Certamente é vantajoso escolher alguns dos melhores indivíduos

como novo ponto de início, para a geração seguinte. Nas estratégias evolutivas os operadores de

mutação são preferidos, pois resultam em alterações que busquem outros pontos do espaço de busca

igualmente válidos e afastados. Sendo assim, as soluções não devem se fixar (no caso de um processo

de minimização) em mínimos locais e sim em um mínimo global.

Para a mobilidade de uma população, no sentido de sua habilidade de explorar os arredores

mais próximos e mais distantes, é particularmente importante que o sobrevivente da próxima geração

não apenas herde os melhores parâmetros objetivos, mas também seus parâmetros estratégicos. Estes

determinam o modo de uma exploração mais adequada que acontecerá na próxima população de

filhos. Para um cromossomo EE, os filhos mutantes encontram-se dentro de um raio maior em torno

do pai, sendo que as distâncias entre pais e filhos tendem a ser menores.

Os parâmetros objetivos são modificados pelo uso dos parâmetros estratégicos. O operador de

mutação ω

mut

é definido como uma adição relacionada a um componente que normalmente origina-se

de uma distribuição estável, neste caso de Gauss. O vetor de mutação dos parâmetros objetivos p

mut

calculado como:

mut

(p, s) = p

mut

= p + N

(s) (3.3)

mut

= p

+ N

), ..., p

+ N

) (3.4)

onde N

(s) = (N

),..., N

)) é um vetor de números aleatórios Gaussianos s

. O cromossomo que

sofreu mutação aparece da seguinte forma:

mut

= (p

mut

, s) (3.5)

Observa-se assim, o papel central das distribuições Gaussianas nas mutações em EE, a qual se

caracteriza pela form



2 ps

x-m

2 s

(3.6)

onde os parâmetros

μ e σ denotam a média e o desvio padrão, respectivamente. Freqüentemente a

variância

é dada ao invés do desvio padrão, e a distribuição Gaussiana é referida como uma

distribuição N

(σ

). A Figura 3.3 mostra a distribuição Gaussiana N

(σ) para três desvios padrões

diferentes,

σ=0.5, 1.0, e 2.0.

-6

0.2

0.4

0.6

s=0.5

s=1

s=2

Figura 3.3: Distribuições normais para uma média constante μ=0.

Note-se que a Gaussiana retorna valores pequenos (mais próximos da média zero) com mais

freqüência que valores grandes; este é o aspecto central envolvido neste trabalho, em que, para outras

distribuições, isto não acontece [Nolan, 06b].

Os valores dos parâmetros de um cromossomo base p (pais) e um cromossomo mutante p

mut

(filhos) são mais parecidos, com certo intervalo de variação, após a aplicação dos parâmetros

estratégicos conforme a Figura 3.4:

Figura 3.4: Mutação de cromossomos EE [Jacob, 01].

O intervalo de variação para os parâmetros objetivos pode ser controlado por um grupo de

distribuições estáveis s, que é o motivador para a definição de uma mutação EE como introduzido

anteriormente e mostrado na Figura 3.4.

Utilizando a distribuição Gaussiana, geram-se alterações nos pares dos parâmetros objetivo e

estratégico. A estrutura de dados p

representa o parâmetro objetivo a ser mutado, enquanto os

parâmetros estratégicos do cromossomo s sofrem uma alteração momentânea pela adição ou subtração

do componente da distribuição, que gera novos cromossomos.

A mutação não é só restrita aos parâmetros objetivos, mas é também estendida aos parâmetros

estratégicos conforme abaixo,

g mut = (p mut, s mut) (3.7)

p mut = p + N0(s), s mut = φ (s) (3.8)

onde φ é uma função conhecida como de ´adaptação do passo de mutação´ (mutative step size

adaptation, ou MSA) [Jacob, 01; Nieberg e Beyer, 07]. Conseqüentemente, o esquema de mutação da

Figura 3.4 deve ser estendido pela operação respectiva para a adaptação do tamanho de passo. Agora o

algoritmo evolutivo deve lidar com uma tarefa de otimização mais difícil. As combinações mais

favoráveis não apenas devem ser encontradas para os parâmetros objetivos, como também para os

devidos parâmetros estratégicos.

3.3.3. Recombinação

As estratégias evolutivas utilizam um operador que recombina os parâmetros objetivos e

estratégicos, respectivamente. Para dois cromossomos a = (p

, s

) e b = (p

, s

) pode-se definir um

operador de recombinação ω

rec

como segue:

rec

(a, b) = (p´, s´) = ((p´

,. . ., p´

), (s´

,. . ., s´

)) (3.9)

onde, p´

= ρ

(p´

a,i

, p´

b,i

) ∀ i ∈ {1, ..., n}

s´

= ρ

(s´

a,i

, s´

b,i

)

As novas entradas p´

e s´

do cromossomo recombinado são calculadas pelo mapeamento das

funções de recombinação ρ

e ρ

nos correspondentes parâmetros objetivos e estratégicos.

No caso da chamada recombinação discreta, cada um dos elementos internos do vetor que

contém parâmetros objetivos e estratégicos tem uma probabilidade definida através de uma função que

gera números aleatórios no intervalo de [0,1], definindo a participação ou não de cada elemento no

novo vetor gerado. Os elementos são escolhidos com probabilidades iguais a 50% na Figura 3.5. A

recombinação discreta nas EEs é semelhante ao operador de cruzamento uniforme nos algoritmos

genéticos.

Figura 3.5: Recombinação discreta de dois cromossomos em EEs com ρ = ρ

= ρ

[Jacob, 01].

Existe ainda o caso da recombinação intermediária, em que os valores médios dos respectivos

componentes são calculados, como ilustra a Figura 3.6:

Figura 3.6: Recombinação intermediária de dois cromossomos em EEs por ρ = ρ

= ρ

[Jacob, 01] .

Este operador é usado para fazer recombinações, em especial entre parâmetros estratégicos. A

obtenção da média eventualmente resulta, em uma diversidade reduzida de “intervalo”. Se a

recombinação intermediária é aplicada com muita freqüência, os novos filhos tornam-se mais e mais

semelhantes. Isso pode levar a uma convergência prematura da combinação total de genes da

população. A recombinação de operadores descrita pode com certeza ser estendida para o caso geral

onde tem-se um número maior que dois de pais participando da recombinação. Não se deve esquecer

que o custo computacional aumento diretamente com o aumeto do número de pais involvidos na

recombinação de cromossomos.

Pode-se ainda definir um operador de recombinação que trabalhe em populações de

cromossomos, como foi feito para os operadores de mutação na Seção 3.3.2. Com esta definição

estendida de recombinação também podem-se considerar algumas variantes de esquemas de

recombinação [Booker et al, 00], como se utilizar quatro operadores de recombinação (recombinação.

local: discreta / intermediária e recombinação global: discreta / intermediária) para trabalhar apenas

com uma subpopulação ou escolher seus pares de recombinação.

Assumindo uma população P = (g

, g

,..., g

) de cromossomos N da forma gi = (g

,..., g

) com

1≤i≤N, um operador de multicombinação ω

rec

, que combina r cromossomos, pode ser definido como

rec

, ..., g

) = g’= ( g’

, ..., g’

) (3.10)

onde todos os índices i

,...,i

∈ {1,..., N} com i

≠ i

, isto é, nenhum cromossomo aparece mais de uma

vez, como recombinação em pares (1 ≤ r ≤ N).

Ambas variantes, recombinação local e global, podem ser usadas tanto na função de

recombinação discreta como na intermediária. Para as entradas de recombinação em pares r do

cromossomo recom ´ é calculado o novo vetor filho a aneira:

binado g seguinte m

rec

loca

, ..... , g

= g ' =

, ..... , g

(3.11)

Esse tipo de recombinação é denominada local porque a seleção da recombinação em pares

ocorre antes da recombinação real. A recombinação é restrita a um grupo local da população inteira. Os

parâmetros foram definidos em analogia à Figura 3.7 como vetores com componentes P[i, k].

Os parâmetros objetivos P[i, k] não são explicitamente levados em consideração, desde que sua

recombinação seja realizada da mesma maneira, dentro do mesmo tipo de parâmetro. A função de

recombinação aqui apresentada permite recombinar os parâmetros objetivos e estratégicos

diferentemente, ou seja, discreta ou intermediária para cada um dos tipos de parâmetros, selecionando-

se as recombinações em par r de acordo com o esquema na Figura 3.7.

Figura 3.7: Esquema de recombinação múltipla local e discreta EE [Jacob, 01] .

CAPÍTULO 4

4. DISTRIBUIÇÕES ESTÁVEIS E FUNÇÕES DE TESTE

As distribuições estáveis são o motivador desse trabalho. Como as distribuições de Cauchy, de

Lévy apresentam nas extremidades uma cauda pesada e longa, que representam uma probabilidade

significativa para valores distantes da média, este fato justifica o desenvolvimento de experimentos que

exploram essa características dessas distribuições, expandindo a tradição de uso das distribuições

Gaussianas [Yao e Liu 96; Yao, Liu e Lin 99; Lee e Yao, 04].

4.1. Introdução às distribuições estáveis

A distribuição de probabilidade associada à variável aleatória contínua X é dita distribuição

contínua de probabilidade. A distribuição Normal ou Gaussiana é a uma distribuição contínua de

probabilidade de uma variável aleatória X [Larson e Faber, 04; Milone, 04], bem como as

distribuições de Cauchy, de Lévy.

As distribuições de Gauss e Cauchy são distribuições simétricas em relação à média. A função

de Cauchy tem média sempre zero, sua forma é sino ou cauda neutra, já a função de Gauss também

tem média sempre zero, mas sua forma é sino ou cauda leve [Soler, 07]. Já distribuição de Lévy é

assimétrica [Bertoin, 02; Borak, 05], que também apresenta características de uma distribuição cauda

longa só à direita ou à esquerda. No entanto, define-se no contexto deste trabalho uma versão simétrica

da distribuição Lévy, aqui denominada de S-Lévy, com forma cauda longa, lembrando sua forma

aguda em torno da média.

Todas essas distribuições consideradas até aqui são ditas distribuições estáveis. Considerando-

se X

uma variável aleatória com determinada distribuição de probabilidade, e definindo-se a somatória

de um conjunto dessas variáveis, se a nova distribuição resultante também possuir o mesmo tipo de

distribuição que as componentes X

, então, diz-se que a distribuição envolvida é estável. De forma

simplificada pode-se visualizar os grupos de distribuições conforme a Figura 4.1.

Simétricas

Assimétricas

Figura 4.1: Famílias de distribuições estáveis.

A distribuição estável geral é descrita por quatro parâmetros:

• Índice de estabilidade α ∈ (0, 2],

• Parâmetro de assimetria β ∈[-1, 1],

• Parâmetro de escala ϒ >0,

• Parâmetro de posição δ ∈ R.

Pode-se mostrar que é viável ajustar os modelos estáveis aos dados e usar diagnósticos para

avaliar a boa qualidade de ajuste. As distribuições estáveis foram propostas como um modelo para

diversos tipos de sistemas físicos e econômicos [Tsallis, 00; Nolan, 05]. Na física, o reflexo que sai de

um espelho rotativo produz uma distribuição de Cauchy; períodos de movimentos brownianos

produzem uma distribuição de Lévy; o campo gravitacional das estrelas produz uma distribuição

estável pouco conhecida, chamada de distribuição de Holtsmark

[Nolan, 01].

Outra motivação para o estudo dessas distribuições é o teorema de limite central generalizado

estabelecendo que o único limite não-trivial possível de termos de somas normalizadas é estável.

Observa-se que existem exemplos onde a somatória de muitos termos pequenos – o preço de um cabo,

S-Levy

Gauss

Cauchy

<0.5

Lévy

Simétricas

Assimétricas

S-Levy

Gauss

Cauchy

<0.5

Lévy

o ruído presente em um sistema de comunicação – gera um modelo estável que deve ser utilizado para

descrever tais sistemas, no caso, financeiro e de comunicação.

Um terceiro argumento para a modelagem com distribuições estáveis é empírica: muitos

bancos de dados extensos exibem bordas longas e assimétricas. A forte evidência empírica para estes

aspectos combinados com o teorema limite central generalizado é utilizado por muitos para justificar o

uso de modelos estáveis.

Céticos dos modelos estáveis recuam da suposição implícita da variação infinita do modelo

estável não-Gaussiano e propõem outros modelos para os bancos de dados assimétricos e de bordas

longas, por exemplo, os modelos mistos, as variantes de tempo variável, dentre outros. As mesmas

pessoas que afirmam que a população é inerentemente limitada e por este motivo deve haver uma

variação finita, regularmente usam uma distribuição normal – com apoio ilimitado – como modelo

para essa mesma população. A variação acontece, mas existe uma medida de extensão para uma

distribuição, e não é apropriada para todos os problemas, o que geralmente pode causar preocupação é

em relação à captura do formato de uma distribuição.

Agora é possível usar diagnósticos para avaliar quando um modelo estável descreve

precisamente os dados ou não. Em alguns casos há razões solidamente teóricas para se acreditar que

um modelo estável é apropriado. Se uma distribuição estável descreve os dados com precisão e

parsimoniosamente com quatro parâmetros, então se aceita como um modelo para os dados

observados.

Na próxima seção descrevem-se algumas formas de parâmetros para as distribuições estáveis e

algumas propriedades básicas. Utiliza-se o programa STABLE desenvolvido por

[Nolan, 06a e 06b],

que implementa os modelos de distribuições estáveis e parametrizados.

4.2. Propriedades básicas e de parâmetros

Existem diferentes modelos matemáticos utilizando parâmetros de distribuições estáveis.

Todos envolvem diferentes especificações da função característica e são úteis por várias razões

técnicas [Nolan, 01]. A parametrização mais usada é a seguinte: X ~ S (α,β,γ,δ

; 1), com a função

característica dada por:

Eexp

it X

exp

-g

1 - i b

ta n

sig n t

+id

, a¹ 1,

exp I-g

1 +ib

Hsig n t

E+id

tM, a=1,

(4.1)

onde, X é variável aleatória.

defini-se uma função sinal dada por: sign t igual a:

-1 para t<0

0 para t=0

+1 para t>0

A melhor maneira de descrever todas as possíveis distribuições estáveis é através da sua

função característica de X ou transformada de Fourier. Esta função pode ser expressa de varias formas

neste estudo, M=1, processo padrão de Samorodnitsky e Taqu classificado como padrão [Nolan, 01] e

M=0, processo de Zolotarev. Nas Figuras 4.2, 4.3 e 4.4 mostra-se a influência da escolha do parâmetro

M na curva de representação das distribuições de Lévy, de Cauchy e de Gauss respectivamente, na

parametrização β=0 (preto), β=0.25 (verm), β=0.5 (verde), β=0.75 (amarelo), β=1 (azul) com γ=1 e

δ=0. Em particular para α=0.5 e β=0 tem-se S-Lévy na Figura 4.2.

Figura 4.2: Família de distribuições de Lévy.

Figura 4.3: Família de distribuições de Cauchy.

Figura 4.4: Família de distritribuições de Gauss.

A amplitude dos parâmetros é 0< α ≤ 2, -1 ≤ β ≤1, γ > 0, e δ ∈ R. É preferível não usar

σ para

o parâmetro de escala, uma vez que o desvio padrão só tem sentido para α = 2. Da mesma forma, é

preferível usar δ ao invés de μ para o parâmetro de posição, porque nem sempre existem médias, e

mesmo existindo, o parâmetro de posição e a média diferem.

Um parâmetro útil nas aplicações é a variação (M=0) de Zolotarev, que é definido após o

ponto e vírgula na expressão geral: X ~ S(α de X dada por:

,β,γ,δ

; 0), com a função característica

Eexp

it X

exp

-g

1+i b

ta n

sig n t

1-a

- 1

+id

, a¹ 1,

exp

-g

1 + ib

sig n tL

+lngL

+id

, a=1,

(4.2)

O valor desta representação é que as funções características (e daí as densidades

correspondentes e definições) são conjuntamente contínuas em todos os quatro parâmetros. Cálculos

numéricos precisos das densidades correspondentes mostram que nesta representação α e β têm uma

significância mais clara quanto às medidas de densidade dos parâmetros de assimetria e borda na

Figura 4.5. Em contraste, o parâmetro padrão M=1, X ~ S (α,β,γ,δ

; 1) com β ≠ 0 tende a (sign β) ∞

com α ↑ 1, é próximo δ

quando α = 1, e tende a –(sign β) ∞ com α ↓1.

Figura 4.5: Densidades estáveis dentro de S(α, 0.5, 1,0; 0).

Os parâmetros α, β e γ têm a mesma significância, enquanto o parâmetro δ

é diferente de δ

nas duas representações para M=0 ou 1, e estão relacionados por:

= δ

- β tan(πα/2)γ α≠1

= δ

- β(2/π)γ ln γ α=1.

Observa-se que os parâmetros (α, β, γ, δ) podem ser alterados com facilidade [Nolan,

01 e 05]. A seguir, o Capítulo 5 trata de relacionar as estratégias evolutivas com mutações

governadas por distribuições estáveis.

4.3. FUNÇÕES DE TESTE

As funções padrão de teste apresentam diferentes pontos de mínimo global e, representam

diferentes desafios com graus de complexidade passíveis de gerar uma falsa convergência ou

convergência prematura. Utilizam-se no trabalho quatro funções de teste, analisando-se o

comportamento da evolução da população ao longo da busca pelo mínimo global das funções.

Utilizou-se o programa Mathematica, versão 5.2. [Wolfram, 99].

4.3.1. Função de Rastrigin

Essa função constitui um típico exemplo de função multimodal e não-linear, sendo dada pela

expressão analítica abaixo, onde n é o número de componentes x

, ou seja, a dimensão do espaço de

busca na qual a função é definida. A função apresenta um grande número de pontos de mínimo, porém

somente um mínimo global, em f(x) =0, para x

=0.

5.125.12-

)]2cos(10[*)(

−+=

∑

xxnAxf

, (4.3)

A superfície desta função é parametrizada por intermédio de duas variáveis externas, A e ω,

sendo que esses parâmetros controlam respectivamente a amplitude e a freqüência de modulação da

função; neste trabalho adotam-se os valores típicos A=10 e

ω =2π. Νa Figura 4.6 mostra-se a função

de Rastrigin para n=2:

Figura 4.6: Função de Rastrigin [GEATbx, 07].

4.3.2. Função vale de Rosenbrock (Função 2 De Jong)

A função de Rosenbrock, também identificada como segunda função de De Jong, é uma

função linear e unimodal, ou seja, contém apenas um ponto de mínimo, sendo que funções

multimodais possuem vários pontos de mínimo local, mas apenas um mínimo global. A minimização

da função de Rosenbrock é considerada um processo difícil pelo fato de ela possuir um pico muito

reduzido e estreito. O topo do pico é muito pouco acentuado e sua superfície se apresenta na forma de

uma parábola [Lima, 04]. A função de Rosenbrock é dada pela função abaixo e ilustrada na Figura

4.7:

2.0482.048-

])1()(100[)(

222

−+−=

∑

−

iii

xxxxf

, (4.4)

A função tem o ponto de mínimo global em f(x) =0, para x

=1.

Função Teste de Rosenbrock

-2

-1

-2

-1

1000

2000

3000

4000

RosHxL

-2

-1

Figura 4.7: Função vale de Rosenbrock (Função 2 De Jong).

4.3.3. Função de Schwefel

A função de Schwefel é uma função não-linear e multimodal, caracterizada por possuir um

segundo melhor ponto de mínimo que se encontra bem distante do ponto mínimo global, conforme

ilustra a Figura 4.8.

A função de Schwefel é dada pela expressão

()

500500;)(

<<−−+=

∑

xparaxsinxVnxf

, (4.5)

onde, n corresponde às dimensões e o V corresponde a um valor de ajuste que permite mover o ponto

de mínimo global convenientemente.

Neste trabalho mantivesse o padrão utilizado em outros estudos, onde o valor de V= 418,9829 impõe

um deslocamento do ponto de mínimo global f (x)= n. 418.9829; . x

=420,9687 [Gómez, 04].

Função Teste de Schwefel

-500

-250

250

500

-500

-250

250

500

1000

1500

Sch HxL

-250

250

Figura 4.8: Função de Schwefel.

4.3.4. Função de Griewangk

A função de Griewangk é uma função não-linear e multimodal, com complexidade

O(n.ln(n)), onde n é o número de parâmetros da função [Gómez, 04], e é dada pela expressão

600600

1cos

4000

1)(

<<−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

∏

∑

, (4.6)

O termo em somatória produz uma parábola, enquanto o termo em produto impõe um

aumento dos pontos de mínimos locais, os quais aumentam com a ampliação do espaço, sendo o

mínimo global f(x) =0, para x

=0, como ilustrado na Figura 4.9.

Função Teste de Griewangk

-50

-25

-50

-25

-5

-2.5

2.5

GriHxL

-50

-25

Figura 4.9: Função de Griewangk.

CAPÍTULO V

EXPERIMENTOS COM AS FUNÇÕES DE TESTE

5.1. Experimentos preliminares realizados

5.1.1. Definição dos experimentos

Os experimentos aqui relatados [de Oliveira e Gutierrez, 06] se deram com a função de teste de

Rastrigin, exemplo típico de função multimodal e não-linear, com somente o mínimo global f(x) =0,

para x

=0; maiores detalhes foram descritos na Seção 4.3.1.

O objetivo era encontrar o ponto global da função em 2 dimensões, através de estratégias

evolutivas em que as mutações são regidas por distribuições estáveis. Foram realizadas: 277

execuções, divididas em 7 parametrizações distintas, organizadas em 3 grupos, cada parametrização

definida por um esquema de mutação próprio, governado por uma família de distribuições estáveis

(FD). As famílias utilizadas são representadas na Tabela 5.1, e constituem quatro conjuntos genéricos

de distribuições estáveis (prefixados pela letra E), e duas famílias específicas, distribuições de Gauss e

de Lévy

Parâmetros das DistribuiçõesQuant.

Execs.

α β γ δ

(μ/ρ+λ)

Grupo A

80 E-III (0, 2] [0, 1] 1 0

(100/50+90)

40 E-I (0, 2] 0 [0.01, 1/3] 0

(100/50+90)

80 E-I (0, 2] 0 [0.01, 1/3] 0

(100/20+90)

40 E-I (0, 2] 0 [0.01, 1/3] 0

(100/2+90)

Grupo B

40 E-IV (0.5, 2] [0, 1] 1 0

(100/2+90)

40 E-II (0.5, 2] 0 [0.01, 1/3] 0

(100/2+90)

Grupo C

20 Gauss 2 0 [0.01, 1/3] [-1, 1]

(100/2+90)

20 Lévy 0.5 1 [0.01, 1/3] [-1, 1]

(100/2+90)

Tabela 5.1: Experimentos preliminares com famílias de distribuições estáveis.

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, x

, {α

, β

, γ

, δ

}, {α

, γ

, δ

}], onde: x

, x

são os parâmetros objetivos, i.e., as coordenadas da função de teste cujo

ponto de mínimo pode se localizar; e

{α

, β

, γ

, δ

} e {α

, β

, γ

, δ

} são os conjuntos de

parâmetros estratégicos, que atuam no operador genético de mutação, respectivamente, das

componentes x

e x

Os outros parâmetros de controle da evolução são listados a seguir:

• Intervalo de variação das coordenadas x

e x

: {-2.0, 2.0}

• Número de gerações: 500

• Método de seleção: aleatória em toda a população (para os cruzamentos) + elitismo puro de 10%

• Tamanho da população: 100

• Tipos de estratégia (μ/ρ+λ):

Grupo A: (100/50+90) ou (100/20+90)

Grupos B e C: (100/2+90)

A diferença básica entre os grupos é que, enquanto o primeiro utiliza cruzamentos múltiplos

(com 20 ou até 50 pais), nos outros dois grupos o cruzamento usa apenas um par de pais.

•

Mutação dos parâmetros objetivos e estratégicos: Em cada indivíduo a mutação é governada pela

distribuição de probabilidade nele definida em seus parâmetros estratégicos

, observando-se,

naturalmente, que o novo valor gerado esteja dentro do intervalo de variação permitido para o

parâmetro em questão. Os parâmetros estratégicos são mutados através da função utilizada no

parâmetro de tamanho de passo.

• Recombinação: Em todos os casos utilizou-se recombinação discreta com recombinação local

para os parâmetros objetivos, e recombinação intermediária com abrangência local para os

parâmetros estratégicos. As formas discreta ou intermediária de recombinação dizem respeito,

respectivamente, ao fato dos valores que definem a estrutura de um filho ser obtido por um dos

valores correspondentes (homólogos) em cada conjunto de pais envolvido

, ou pela média dos

valores homólogos

. A abrangência local da recombinação refere-se ao conjunto de pais a serem

envolvidos em cada etapa da recombinação ser fixo e pré-definido

• Erro: É o módulo da diferença entre o valor ideal desejado e o valor encontrado na função de

aptidão.

• Tamanho de passo: A evolução dos parâmetros estratégicos pode incluir a adaptação do tamanho

de passo, facilmente incorporada na função e previamente definida como mutação. Sendo

tamanho de passo uma função de um argumento, que modifica os respectivos valores dos

parâmetros estratégicos, propiciando a mudança do tipo de distribuição estável, que evolui no

decorrer das n-gerações do algoritmo evolutivo. Diferentes funções de adaptação podem agora

ser testadas com facilidade [Eiben, Hinterding e Michalewicz, 99; Bäck et al, 00; Chen, Liu e

Chen, 06; Whitacre, Pham e Sarker, 06].

Este parâmetro de controle possibilita nos experimentos desta seção algo bastante simples, ou

seja, se o valor do parâmetro estratégico for menor que 0.5, multiplica-se este por 1.3, caso

contrário, dividi-se por 1.3, respeitando-se os intervalos dos parâmetros estratégicos adotados. A

escolha desses números “0.5”, se baseia no foco ao redor da distribuição de Lévy ou S-Lévy e o

número “1.3” de forma experimental, realizando testes e observando o comportamento dos erros

obtidos. Como já dito existem inúmeros métodos e funções que podem governar a mutação dos

parâmetros estratégicos com características de mutação. Nesta e nas demais seções foi mantida

está função de adaptação de tamanho de passo. Esta abordagem pode ser modificada para cada

um dos parâmetros estratégicos, variando o valor de tomada de decisão e velocidade de

incremento ou decremento.

5.1.2.Resultados e discussões

A Tabela 5.2 apresenta um resumo dos resultados obtidos.

Erros Referentes ao

Melhor Indivíduo de Cada Execução

Famílias

Distribs.

Médio Mínimo Máximo

Desvio Padrão

Grupo A

E-III 1.06E-01 1.72E-03 2.93E-01 7.24E-02

E-I 2.08E-04 6.06E-07 9.92E-04 2.32E-04

E-I 1.42E-04 2.33E-06 4.87E-04 1.18E-04

E-I 1.01E-04 3.04E-06 3.99E-04 1.06E-04

Grupo B

E-IV 5.75E-03 2.38E-05 3.04E-02 5.56E-03

E-II 1.42E-04 5.57E-06 5.87E-04 1.31E-04

Grupo C

Gauss 4.47E-03 2.12E-04 2.54E-02 6.37E-03

Lévy 3.58E-03 1.24E-05 1.62E-02 3.43E-03

Tabela 5.2: Resultados dos experimentos preliminares.

Para as análises

foi considerada a última geração de cada evolução resultante, tomando-se seu

melhor indivíduo. Do conjunto de melhores indivíduos tomaram-se então os erros mínimo e máximo

associados, e também a média e o desvio padrão desses erros. Essas são as grandezas utilizadas a

seguir para a apresentação e discussão dos resultados obtidos.

A primeira constatação a ser feita diz respeito à família E-I do grupo A, onde se observa que a

redução da quantidade de pais envolvidos na recombinação (de 50 para 20) produziu maior robustez

no processo evolutivo, refletida (conforme mostra a terceira linha do grupo A, na Tabela 5.2) no

menor desvio padrão e nos menores valores de erro médio e máximo; entende-se aqui por robustez, o

fato de se ter execuções com resultados mais homogêneos, em termos de seu patamar de qualidade.

Apesar disso, o melhor resultado do conjunto foi obtido no contexto do maior número de pais

(estratégia “100/50+90”), uma ocorrência naturalmente possível, dada a natureza estocástica da busca

evolutiva.

A tentativa de diminuir ainda mais a quantidade de pais na estratégia evolutiva, de 20 para 2

(segunda linha do grupo B), não provocou melhora nem de robustez, nem na qualidade em si do

melhor resultado, dado que nenhum dos valores das grandezas observadas chegou a diminuir.

Ressalte-se, entretanto, que a família de distribuições utilizadas nesse contexto (E-II) não é exatamente

a mesma que a utilizada com 20 pais (a família E-I). De fato, observa-se que a família E-II é um

subconjunto da família E-I, obtido pela redução do intervalo de variação do parâmetro

α. Ficou a

dúvida, portanto, se as quedas de robustez e desempenho observadas na estratégia evolutiva

“100/2+90” deveram-se à menor variabilidade desta estratégia ou à menor flexibilidade permitida para

as mutações neste caso, decorrente da família E-II ser mais restrita em termos de suas distribuições

associadas.

Procurando-se responder essa questão, por um lado procedeu-se à diminuição adicional da

quantidade de pais na estratégia evolutiva, de 20 para 2, mantendo-se a mesma distribuição original E-

I (conforme a quarta linha do grupo A, na Tabela 5.1). Observa-se com isso um novo aumento (ainda

que pequeno) na robustez do processo evolutivo, como se pode constatar com os novos valores de

desvio padrão e erro médio e máximo resultantes, todos menores ainda que os anteriores (conforme se

observa na quarta linha do grupo A, na Tabela 5.2).

Adicionalmente, definiram-se as famílias E-III e E-IV, que diferem exatamente no mesmo

intervalo de variação de

α acima mencionado, e utilizam um valor fixo do parâmetro γ. Como por

construção a família E-IV é um subconjunto da família E-III (segundo a mesma relação que envolve

E-I e E-II), associou-se a estratégia com a maior variabilidade aqui utilizada (a “100/50+90”) à família

mais ampla em questão (E-III), e com menor variabilidade (a “100/2+90”) à família E-IV. Com isso,

os resultados obtidos – apresentados na primeira linha dos grupos A e B, respectivamente, da Tabela

5.2 – permitem constatar claríssima melhoria de robustez e desempenho na situação de menor

variabilidade e mutações mais restritas, evidenciada por uma queda acentuada nas quatro figuras de

mérito consideradas. Tudo indica, portanto, que a estratégia de menor variabilidade foi a maior

responsável pelos ganhos observados, independentemente da família de distribuições consideradas.

Com base nessa conclusão e, agora utilizando esta última estratégia evolutiva (“100/2+90”),

procedeu-se a uma comparação entre as famílias específicas de distribuições de Gauss e de Lévy,

experimentos que definem o grupo C das Tabelas 5.1 e 5.2. Ressalte-se que ambas as famílias

individualmente englobam todas as distribuições de probabilidade possíveis do tipo considerado, cada

família parametrizada por quaisquer pares de valores (

γ, δ), respeitados seus domínios de variação.

Enquanto a família das Gaussianas é bastante difundida na literatura de computação evolutiva,

distribuições de Lévy são pouco utilizadas em conjunto com as mutações em estratégias evolutivas.

Observando-se os resultados obtidos, conclui-se que todas as medidas resultantes de erro foram

menores no contexto das distribuições de Lévy do que das distribuições de Gauss, uma indicação de

que as primeiras possam, de fato, ter permitido uma melhor exploração do espaço de busca

considerado.

5.2. Experimentos na função de teste de Rastrigin nas dimensões: 2, 5, 10 e 30

Nesta seção e nas subsequentes varia-se o tipo de distribuição definida pelo parâmetro de

estabilidade (α) , conforme a Tabela 5.3:

TIPO DE

DISTRIBUIÇÃO

PARÂMETRO DE

ESTABILIDADE(α)

Gauss 2

Cauchy 1

S-Lévy

0.5 (β=0)

Lévy

0.5 (β=1)

Estável 1 0.45

Estável 2 0.375

Estável 3 0.30

Estável 4 0.25

Tabela 5.3: Correlação entre tipo de distribuição e parâmetro de estabilidade (α).

Adicionalmente à escolha do parâmetro de estabilidade, em alguns experimentos varia-se

ainda o parâmetro de escala, dentro do intervalo definido pelos valores mínimo γ

mín

=7.07E-09 e

máximo γ

máx

=7.07E-01. Além desses dois parâmetros de definição da família de distribuição devem

ser definidos os seguintes parâmetros de controle da evolução:

• Intervalo de variação das coordenadas x

, ... , x

: {-5.12, ... , 5.12}

• Número de gerações: 500, 1500, 5000 ou 10000

• Número de execuções para cada experimento: 30

• Método de seleção: aleatória em toda a população (para os cruzamentos) + elitismo puro de 10%

• Tamanho da população: 100

• Tipo de estratégia (μ/ρ+λ): (100/2+90)

•

Mutação dos parâmetros objetivos e estratégicos: Em cada indivíduo a mutação é governada pela

distribuição de probabilidade nele definida em seus parâmetros estratégicos.

• Recombinação: Em todos os casos utilizou-se recombinação discreta com abrangência local para

os parâmetros objetivos, e recombinação intermediária com abrangência local para os

parâmetros estratégicos.

•

Erro: É o módulo da diferença entre o valor ideal desejado e o valor encontrado na função de

aptidão.

•

Auto-adaptação: Apresenta inicialmente a possibilidade de se realizar os seguintes ajustes

[Ostermeier, 92; Angeline et al, 96; Weicker, 99]

Intervalo do tamanho de passo: Apresenta a possibilidade de se definir os valores limites de

varição dos 4 parâmetros estratégicos de forma individualizada.

onde 0.25 ≤ α ≤2 e 7.07E-09 ≤ γ

máx

≤7.07E-01.

Os resultados de cada experimento são decorrentes de 30 execuções, e apresentados em termos

dos valores médios (sobre as 30 execuções) do erro mínimo, máximo,e médio obtidos, bem como do

desvio padrão associado aos erros máximos; a Tabela 5.4 exemplifica a apresentação dos resultados:

pARÂMETROS (α) PARA AS DIVERSAS DIMENSÕES (2, 5,

10 E 30 )

Distribuições estáveis nomeadas Distribuições estáveis “não” nomeadas

pARÂMET

ROS

(γ)

Gauss

2.0

Cauchy

1.0

S-Lévy

0.5(β=0

)

Lévy

0.5(β=1

)

Estável 1

0.45

Estável 2

0.375

Estável

0.30

Estável 4

0.25

7.07E-01

7.07E-02

7.07E-03

7.07E-04

Os quatro dados básicos colocados em todas as tabelas são: erro mínimo, erro máximo, erro

médio e o desvio padrão dos erros considerando 30 execuções para uma população de 100

indivíduos por 500 gerações.

7.07E-05 Mínim

o Máximo Média Desvio Padrão

7.07E-06

7.07E-07

7.07E-08

7.07E-09

7.07E-10

Com o desenvolvimento dos experimentos torna-se notória a dependência dos resultados da

função de distribuição estável (α) e de seu respectivo parâmetro de escala (γ).

7.07E-11

7.07E-12

7.07E-13

* Especificamente realizados na função de teste de Griewangk.

** Especificamente realizados na função de teste de Schwefel

Tabela 5.4: Esquema geral utilizado no texto para apresentação dos resultados.

5.2.1. Experimentos com função de Rastrigin: 2 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, x

, {α

, β

, γ

, δ

}, {α

, β

, δ

}], onde: x

, x

são os parâmetros objetivos, i.e., as coordenadas da função de teste cujo ponto

de mínimo pode se localizar; e

{α

, β

, γ

, δ

} e {α

, β

, γ

, δ

} são os conjuntos de parâmetros

estratégicos, que atuam no operador genético de mutação, respectivamente, das componentes x

e x

Nas Tabelas 5.5 e 5.6 pode-se observar que, à medida o parâmetro de escala (γ) é diminuído,

os resultados obtidos dos erros mínimos vão melhorando na distribuição de Gauss, Cauchy, S-Lévy e

Lévy, respectivamente, até os experimentos 6, 7, 15 e 16, voltando a aumentar a partir destes,

sinalizando que não convém reduzir mais o parâmetro de escala. Para simplificar os nomes das tabelas

e seus respectivos cabeçalhos, as distribuições são mencionadas pelo seu nome característico, e, no

caso da distribuição Gaussiana, esta é denominada simplesmente Gauss.

Exper.

Par. Escala

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

1 7.07E-02 1.00E-01 9.21E-07 3.93E-04 1.15E-04 1.09E-04 7.57E-07 2.67E-04 7.97E-05 8.25E-05

2 7.07E-03 1.00E-02 6.91E-08 3.02E-06 7.96E-07 7.65E-07 7.80E-08 2.01E-06 5.96E-07 5.25E-07

3 7.07E-04 1.00E-03 1.15E-11 3.54E-08 9.05E-09 9.26E-09 3.97E-10 4.21E-08 9.81E-09 1.11E-08

4 7.07E-05 1.00E-04 2.00E-12 2.99E-10 7.67E-11 7.10E-11 4.71E-12 3.32E-10 7.91E-11 7.55E-11

5 7.07E-06 1.00E-05 2.13E-14 5.09E-03 1.70E-04 9.29E-04 1.42E-14 3.21E-12 8.12E-13 6.61E-13

6 7.07E-07 1.00E-06 3.55E-15 6.75E-14 1.09E-14 1.33E-14

3.55E-15 1.42E-14 5.68E-15 5.49E-15

7 7.07E-08 1.00E-07

2.58E-11 9.59E-03 3.29E-04 1.75E-03

0000

8 7.07E-09 1.00E-08 7.60E-06 2.37E-05 1.04E-06 4.51E-06

Gauss    



 )-->Erro Cauchy (    )-->Erro

Tabela 5.5: Resultados com a função de Rastrigin: Gauss e Cauchy em 2 dimensões.

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

9 7.07E-02 4.57E-07 7.77E-05 1.86E-05 1.81E-05 1.24E-03 1.05E+00 1.52E-01 2.45E-01

10 7.07E-03 6.73E-11 7.45E-07 1.81E-07 2.11E-07 1.64E-05 2.02E-02 2.77E-03 5.35E-03

11 7.07E-04 6.52E-11 9.03E-09 2.57E-09 2.42E-09 6.34E-08 1.13E-04 1.95E-05 2.94E-05

12 7.07E-05 5.83E-13 8.56E-11 1.85E-11 1.77E-11 9.25E-10 4.77E-06 4.13E-07 9.69E-07

13 7.07E-06 2.13E-14 8.03E-13 2.19E-13 2.24E-13 6.54E-11 9,73-E05 3.25E-06 1.78E-05

14 7.07E-07

3.55E-15 7.11E-15 1.89E-15 2.59E-15

1.10E-13 8.20E-10 3.57E-11 1.49E-10

15 7.07E-08 0 0 0 0

3.55E-15 7.92E-09 3.00E-10 1.45E-09

16 7.07E-09 0 0 0 0

S-Lévy (    )-->Erro Lévy (    )-->Erro

Tabela 5.6: Resultados com a função de Rastrigin: S-Lévy e Lévy em 2 dimensões.

O melhor resultado obtido foi na família de distribuição com cauda pesada ou seja, nas

distribuições de Cauchy, S-Lévy e Lévy. Note-se que a função envolvida não oferece um grande

desafio em 2 dimensões.

5.2.2. Experimentos com função de Rastrigin: 5 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, ...

{α

, β

, γ

, δ

...

{α

, β

, γ

, δ

}]. Nas Tabelas 5.7 e 5.8 pode-se observar que os resultados obtidos dos erros

mínimos vão melhorando nos experimentos 20, 22, 32, 30, 40 (esquerda), 40 (direita), 48 (esquerda) e

48 (direita).

Exper.

Par. Escala

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

17 7.07E-02 1.00E-01 4.28E-02 2.10E+00 5.52E-01 5.68E-01 2.85E-02 1.42E+00 2.36E-01 2.92E-01

18 7.07E-03 1.00E-02 3.21E-04 1.99E+00 6.64E-01 6.58E-01 1.70E-04 3.84E-03 1.06E-03 7.94E-04

19 7.07E-04 1.00E-03 1.70E-06 1.99E+00 6.63E-01 6.58E-01 3.89E-06 9.95E-01 1.36E-01 3.43E-01

20 7.07E-05 1.00E-04

4.88E-08 1.72E+00 4.92E-01 5.02E-01

3.03E-08 9.95E-01 4.32E-01 5.01E-01

21 7.07E-06 1.00E-05 1.66E-02 3.39E+00 9.60E-01 7.07E-01 3.90E-10 1.99E+00 6.96E-01 6.48E-01

22 7.07E-07 1.00E-06 3.14E-03 2.67E+00 7.39E-01 8.46E-01

4.86E-12 3.03E+00 7.31E-01 7.63E-01

23 7.07E-08 1.00E-07 3.77E-03 5.16E+00 1.66E+00 1.57E+00 1.58E-04 2.59E+00 9.19E-01 6.87E-01

24 7.07E-09 1.00E-08 3.49E-04 6.66E+00 1.09E+00 1.43E+00 3.03E-03 4.24E+00 1.15E+00 1.07E+00

Gauss

   



 

)-->Erro Cauchy (

    

)-->Erro

Tabela 5.7: Resultados com a função de Rastrigin: Gauss e Cauchy em 5 dimensões.

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média Desv. Padrão Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

25 7.07E-02 2.69E-02 1.05E+00 1.79E-01 2.27E-01 4.23E+00 9.76E+00 7.02E+00 1.43E+00

26 7.07E-03 4.24E-05 1.34E-03 5.70E-04 3.07E-04 5.33E-01 4.94E+00 2.35E+00 9.86E-01

27 7.07E-04 1.29E-06 9.64E-06 5.14E-06 2.04E-06 4.89E-02 2.89E+00 9.02E-01 8.77E-01

28 7.07E-05 8.74E-09 3.23E-07 6.91E-08 5.74E-08 2.82E-03 2.34E+00 6.34E-01 6.65E-01

29 7.07E-06 1.51E-10 9.95E-01 4.60E-02 1.88E-01 4.92E-06 2.01E+00 6.37E-01 6.42E-01

30 7.07E-07 1.90E-12 9.95E-01 1.70E-01 3.50E-01

2.73E-07 2.92E+00 8.26E-01 8.85E-01

31 7.07E-08 4.26E-14 1.99E+00 5.31E-01 6.25E-01 9.91E-06 2.15E+00 5.76E-01 5.77E-01

32 7.07E-09

0.00E+00 1.99E+00 5.25E-01 7.69E-01

2.93E-04 3.15E+00 6.56E-01 8.09E-01

S-Lévy (

    

)-->Erro Lévy (

    

)-->Erro

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

33 7.07E-02 1.34E-02 1.32E+00 1.44E-01 2.47E-01

1.05E-02

1.11E+00 1.64E-01 2.67E-01

34 7.07E-03 7.37E-05 2.56E-03 6.05E-04 4.88E-04 7.16E-05 1.04E-03 4.95E-04 2.55E-04

35 7.07E-04 4.80E-07 1.41E-05 4.93E-06 2.83E-06 1.65E-07 1.53E-05 4.79E-06 3.04E-06

36 7.07E-05 5.05E-09 1.58E-07 5.54E-08 3.39E-08 9.01E-09 8.30E-08 4.37E-08 1.96E-08

37 7.07E-06 1.57E-10 9.95E-01 4.90E-02 1.97E-01 1.36E-10 1.65E-09 5.68E-10 3.53E-10

38 7.07E-07 1.09E-12 9.95E-01 4.62E-02 1.88E-01 1.14E-12 1.90E-01 6.33E-03 3.47E-02

39 7.07E-08 2.13E-14 1.99E+00 3.83E-01 6.08E-01 2.84E-14 1.04E+00 2.29E-01 4.15E-01

40 7.07E-09

0.00E+00 1.99E+00 5.75E-01 6.68E-01 0.00E+00 1.99E+00 3.26E-01 5.44E-01

Estável 1 (    )-->Erro Estável 2 (    )-->Erro

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

41 7.07E-02 3.96E-02 1.20E+00 2.93E-01 2.78E-01 5.20E-02 1.63E+00 4.31E-01 3.73E-01

42 7.07E-03 9.68E-05 1.14E+00 4.07E-02 2.08E-01 5.41E-05 2.47E-01 1.15E-02 4.64E-02

43 7.07E-04 1.61E-06 2.15E-05 5.02E-06 3.81E-06 3.14E-07 1.45E-05 4.40E-06 2.56E-06

44 7.07E-05 9.35E-09 1.28E-07 4.87E-08 2.61E-08 9.85E-09 1.24E-07 5.55E-08 3.11E-08

45 7.07E-06 2.37E-11 3.08E-09 5.62E-10 5.43E-10 5.97E-11 4.14E-09 9.47E-10 9.29E-10

46 7.07E-07 2.27E-12 3.45E-08 1.16E-09 6.29E-09 2.81E-12 1.72E-08 5.82E-10 3.13E-09

47 7.07E-08 2.84E-14 4.08E-09 1.37E-10 7.45E-10 4.26E-14 3.64E-12 5.02E-13 9.07E-13

48 7.07E-09

0.00E+00

9.66E-01 4.60E-02 1.90E-01

0.00E+00 8.36E-06 2.78E-07 1.53E-06

Estável 3 (    )-->Erro Estável 4 (     )-->Erro

Tabela 5.8: Resultados com a função de Rastrigin: S-Lévy, Lévy,Estável 1 a Estável 4 em 5

dimensões.

Obteve-se o melhor resultado na família de distribuição com cauda simétrica, ou seja, nas

distribuicões de Cauchy, S-Lévy e Estável 1 a Estável 4.

5.2.3. Experimentos com função de Rastrigin: 10 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, ..., x

10,

{α

, β

, γ

, δ

...

{α

10 1

, β

10 2

, γ

10 3

, δ

10 4

}]. Nas Tabelas 5.9 e 5.10 pode-se observar que os resultados obtidos dos erros

mínimos vão melhorando nos experimentos 51, 52, 62, 63, 70, 71, 81 (esquerda) e 81 (direita).

Exper.

Par. Escala

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

49 7.07E-02 1.00E-01 1.17E+00 6.78E+00 2.83E+00 1.25E+00 7.91E-01 5.46E+00 2.95E+00 1.35E+00

50 7.07E-03 1.00E-02 1.42E-02 3.00E+00 1.61E+00 8.51E-01 9.49E-03 2.40E+00 5.18E-01 7.04E-01

51 7.07E-04 1.00E-03

1.32E-04 5.73E+00 2.49E+00 1.55E+00

1.46E-04 3.31E+00 9.08E-01 8.66E-01

52 7.07E-05 1.00E-04 3.84E+00 3.15E+01 1.55E+01 6.93E+00

1.60E-06 4.97E+00 1.68E+00 1.05E+00

53 7.07E-06 1.00E-05 6.49E+00 2.93E+01 1.69E+01 6.20E+00 1.50E-02 6.15E+00 2.33E+00 1.59E+00

54 7.07E-07 1.00E-06 3.10E+00 3.36E+01 1.70E+01 8.13E+00 6.11E+00 2.95E+01 1.45E+01 5.39E+00

55 7.07E-08 1.00E-07 6.13E+00 3.35E+01 1.81E+01 7.64E+00 2.89E+00 2.80E+01 1.32E+01 7.12E+00

56 7.07E-09 1.00E-08 5.14E+00 3.01E+01 1.88E+01 7.13E+00 1.63E+00 3.11E+01 1.84E+01 6.26E+00

Gauss    



 )-->Erro Cauchy (    )-->Erro

Tabela 5.9: Resultados com a função de Rastrigin: Gauss, Cauchy em 10 dimensões.

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

57 7.07E-02 8.13E+00 2.53E+01 1.56E+01 3.93E+00 3.09E+01 5.21E+01 3.99E+01 4.98E+00

58 7.07E-03 1.40E-02 2.32E+00 8.00E-01 7.44E-01 9.48E+00 2.08E+01 1.50E+01 2.86E+00

59 7.07E-04 2.90E-04 1.11E+00 1.45E-01 3.12E-01 3.47E+00 1.20E+01 7.80E+00 2.23E+00

60 7.07E-05 3.16E-06 2.00E+00 8.00E-02 3.66E-01 1.43E+00 6.90E+00 4.16E+00 1.55E+00

61 7.07E-06 5.95E-08 1.99E+00 4.58E-01 6.01E-01 1.92E+00 8.09E+00 4.02E+00 1.63E+00

62 7.07E-07

1.96E-09 3.98E+00 1.20E+00 1.14E+00

1.24E+00 7.11E+00 4.17E+00 1.63E+00

63 7.07E-08 3.41E-05 3.98E+00 1.29E+00 1.23E+00

1.10E+00 1.61E+01 5.89E+00 3.53E+00

64 7.07E-09 1.63E-03 5.17E+00 1.71E+00 1.29E+00 4.61E+00 1.72E+01 7.61E+00 3.62E+00

S-Lévy (    )-->Erro Lévy (    )-->Erro

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

65 7.07E-02 7.84E+00 2.61E+01 1.71E+01 4.15E+00 1.51E+01 3.06E+01 2.26E+01 3.94E+00

66 7.07E-03 3.78E-02 4.27E+00 1.26E+00 1.16E+00 5.16E-02 4.25E+00 1.35E+00 1.12E+00

67 7.07E-04 3.26E-04 2.01E+00 1.38E-01 4.00E-01 6.89E-04 1.56E+00 2.20E-01 4.32E-01

68 7.07E-05 3.28E-06 9.97E-01 4.13E-02 1.82E-01 3.05E-06 6.42E-03 4.36E-04 1.28E-03

69 7.07E-06 4.30E-08 1.30E+00 1.46E-01 3.77E-01 1.27E-07 1.01E+00 1.82E-01 3.56E-01

70 7.07E-07

8.94E-10 1.99E+00 4.07E-01 6.69E-01

3.62E-09 1.44E+00 3.38E-01 4.80E-01

71 7.07E-08 2.09E-08 3.98E+00 1.33E+00 1.01E+00

1.33E-10 2.45E+00 6.40E-01 8.43E-01

72 7.07E-09 4.63E-03 5.00E+00 2.14E+00 1.37E+00 3.97E-09 3.98E+00 1.37E+00 9.95E-01

73 7.07E-10 1.82E-02 4.25E+00 2.24E+00 1.23E+00 3.44E-04 3.98E+00 1.44E+00 1.12E+00

Estável 1 (    )-->Erro Estável 2 (    )-->Erro

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

74 7.07E-02 1.86E+01 4.18E+01 2.99E+01 6.14E+00 2.07E+01 4.78E+01 3.37E+01 7.78E+00

75 7.07E-03 2.85E-01 5.54E+00 2.50E+00 1.64E+00 2.07E+00 2.00E+01 1.01E+01 3.66E+00

76 7.07E-04 1.92E-03 1.42E+00 3.43E-01 4.78E-01 9.40E-03 3.48E+00 8.52E-01 9.23E-01

77 7.07E-05 1.18E-05 1.13E+00 6.20E-02 2.31E-01 1.85E-04 3.47E+00 3.40E-01 7.90E-01

78 7.07E-06 5.72E-07 1.11E+00 7.11E-02 2.68E-01 2.03E-06 1.01E+00 1.14E-01 2.81E-01

79 7.07E-07 8.02E-09 1.07E+00 1.11E-01 3.17E-01 6.84E-08 1.00E+00 3.40E-02 1.83E-01

80 7.07E-08 4.78E-10 3.98E+00 2.00E-01 7.45E-01 3.12E-09 1.99E+00 1.44E-01 4.32E-01

81 7.07E-09

2.91E-10 3.99E+00 4.93E-01 8.95E-01 1.03E-09 1.09E+00 2.50E-01 3.93E-01

82 7.07E-10 8.02E-08 2.58E+00 7.87E-01 7.60E-01 6.54E-09 2.99E+00 4.82E-01 7.48E-01

Estável 3 (

    

)-->Erro Estável 4 (

     

)-->Erro

Tabela 5.10: Resultados com a função de Rastrigin: S-Lévy,Lévy e Estável 1 a Estável 4 em 10

dimensões.

O melhor resultado foi na família de distribuição com cauda de simétrica Estável 2.

5.2.4. Experimentos com função de Rastrigin: 30 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, x

, ..., x

, x

30,

{α

, β

, γ

}, {α

, β

, γ

, δ

}

...

{α

29 1

, β

29 2

, γ

29 3

, δ

29 4

}

{α

30 1

, β

30 2

, γ

30 3

, δ

30 4

}]. As Tabelas 5.11 e 5.12

permitem observar que os resultados obtidos dos erros mínimos vão melhorando nos experimentos 84,

85, 90, 89, 95, 96, 97, 100 (esquerda) e 100 (direita).

Exper.

Par. Escala

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

83 7.07E-02 1.00E-01 1.73E+01 3.23E+01 2.63E+01 3.69E+00

84 7.07E-03 1.00E-02

3.20E+00 2.01E+01 8.04E+00 3.62E+00

2.48E+00 1.23E+01 7.03E+00 2.76E+00

85 7.07E-04 1.00E-03 5.57E+01 1.31E+02 9.39E+01 1.68E+01

2.37E+00 1.07E+01 6.11E+00 1.84E+00

86 7.07E-05 1.00E-04 1.09E+02 1.78E+02 1.49E+02 1.72E+01 4.08E+00 1.23E+01 7.93E+00 2.34E+00

87 7.07E-06 1.00E-05 3.44E+01 9.45E+01 6.38E+01 1.33E+01

Gauss    



 )-->Erro Cauchy (    )-->Erro

Tabela 5.11: Resultados com a função de Rastrigin: Gauss e de Cauchy em 30 dimensões.

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

88 7.07E-05 3.93E+00 1.81E+01 1.02E+01 3.36E+00 2.23E+01 4.19E+01 3.18E+01 4.93E+00

89 7.07E-06 2.09E+00 1.14E+01 5.79E+01 2.33E+01

9.54E+00 3.73E+01 2.29E+01 6.42E+00

90 7.07E-07

1.05E+00 1.06E+01 6.41E+00 2.47E+00

1.14E+01 3.47E+01 2.32E+01 6.65E+00

91 7.07E-08 5.10E+00 1.62E+01 9.47E+00 2.76E+00 1.72E+01 5.08E+01 3.32E+01 9.64E+00

S-Lévy (

    

)-->Erro Lévy (

    

)-->Erro

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

92 7.07E-05 1.23E+00 1.01E+01 5.66E+00 2.09E+00 3.27E+00 9.29E+00 5.84E+00 1.69E+00

93 7.07E-06 1.03E+00 1.20E+01 5.50E+00 2.39E+00

94 7.07E-07

5.17E-01 1.01E+01 5.36E+00 2.00E+00

1.04E+00 1.30E+01 5.01E+00 2.70E+00

95 7.07E-08 3.03E+00 1.25E+01 7.21E+00 2.23E+00 1.06E+00 1.05E+01 6.30E+00 2.07E+00

96 7.07E-09

9.13E-01 1.38E+01 7.16E+00 2.63E+00

97 7.07E-10 3.77E+00 1.44E+01 9.90E+00 2.45E+00

Estável 1 (

    

)-->Erro Estável 2 (

    

)-->Erro

Exper.

Par. Escala

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

98 7.07E-07 3.20E+00 1.34E+01 6.92E+00 2.53E+00

99 7.07E-08 1.16E+00 1.51E+01 5.59E+00 2.95E+00 1.40E+00 1.20E+01 5.59E+00 2.01E+00

100 7.07E-09

3.23E-01 1.31E+01 6.44E+00 2.22E+00 4.54E-01 1.05E+01 5.58E+00 2.29E+00

101 7.07E-10 2.80E+00 1.53E+01 6.94E+00 2.98E+00 1.96E+00 1.03E+01 5.85E+00 2.24E+00

Estável 3 (

    

)-->Erro Estável 4 (

     

)-->Erro

Tabela 5.12: Resultados com a função de Rastrigin: S-Lévy, de Lévy e Estável 1 a Estável 4 em 30

dimensões.

O melhor resultado dos experimentos de 1 a 101 foi na família de distribuição com cauda

simétrica Estável 3 (na cor azul), com erros de até 10

-1

Em conclusão, o conjunto de experimentos aqui relatados, com progressivo aumento da

dimensão da função de Rastrigin indica que 2 dimensões mostraram-se não relevantes na condução

dopara o resultado final, podendo-se, portanto, iniciar-se os experimentos posteriores em 5 dimensões.

5.2.5. Dados dos experimentos para a distribuição Estável 3

Como verificado na seção anterior, o melhor resultado foi obtido com a distribuição Estável 3,

o que torna esta distribuição merecedora de maior atenção. Nesse sentido, verifica-se agora a evolução

dos dados com quantidade variável de execuções, de 3 a 30, independentes entre si, 30-dimensão na

função de teste de Rastrigin, e variando-se o número de gerações de 500, 1500, 5000 e 10000.

Com isso, tem-se o propósito de verificar em que condições é mais interessante executar

experimentos no futuro, ou seja, com um número maior de gerações associado a um número menor de

execuções, ou o contrário. Vale lembrar que reduzindo significativamente o número de execuções,

pode-se perder a relevância da amostra (repetibilidade).

Na Tabela 5.13 observa-se que os resultados obtidos para os erros mínimos vão melhorando na

distribuição Estável 3, quando aumenta-se o esforço computacional até 10000 gerações, mesmo com a

redução do número de execuções.

Exper. Execuções

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

102 3.00E+00 2.13E+00 1.23E+01 6.14E+00 5.39E+00 1.05E+00 3.98E+00 2.67E+00 1.49E+00

103 6.00E+00 1.40E+00 1.03E+01 5.19E+00 3.29E+00 3.61E-06 1.57E+00 4.31E-01 6.86E-01

104 9.00E+00 3.06E+00 9.12E+00 6.48E+00 2.08E+00 1.73E-04 4.01E+00 1.28E+00 1.23E+00

105 1.20E+01 3.11E+00 8.15E+00 5.12E+00 1.73E+00 6.25E-06 3.06E+00 7.86E-01 9.60E-01

106 1.50E+01 2.47E+00 9.13E+00 5.63E+00 1.61E+00

2.79E-06 4.15E+00 1.16E+00 1.31E+00

107 1.80E+01 2.24E+00 1.03E+01 5.97E+00 2.13E+00

108 2.10E+01 3.06E+00 1.23E+01 7.13E+00 2.39E+00

109 2.40E+01 4.04E+00 1.38E+01 6.80E+00 2.26E+00

110 2.70E+01

1.16E+00 9.34E+00 5.62E+00 2.21E+00

111 3.00E+01 2.45E+00 1.19E+01 5.98E+00 2.25E+00

Estável 3

    

) Estável 3

    

)

Erro para 500 gerações Erro para 1500 gerações

Exper.

Execuções

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

112 3.00E+00 2.87E-10 6.21E-10 4.02E-10 1.90E-10 7.73E-11 1.34E-10 1.07E-10 2.85E-11

113 6.00E+00

2.38E-10 6.48E-10 5.37E-10 1.54E-10 8.23E-11 1.35E-10 1.11E-10 2.25E-11

114 9.00E+00 2.89E-10 8.78E-10 5.33E-10 1.77E-10

Erro para 5000 gerações Erro para 10000 gerações

Tabela 5.13: Resultados com a função de Rastrigin: Estável 3 para 500, 1500, 5000 e 10000 gerações.

Os melhores resultados para 500, 1500, 5000 e 10000 gerações foram respectivamente nos

experimentos 110, 106, 113 e 112, e, no conjunto de experimentos, verifica-se que sempre é vantajoso

aumentar o número de gerações, independente do número de execuções.

5.2.6. Auto-adaptação dos parâmetros estratégicos α e γ em 30 dimensões

A motivação para executar os experimentos desta seção reside no fato de analisar se é possível

deixar o processo evolutivo descobrir uma família de distribuições estáveis que acarrete melhor nível

de qualidade do que os experimentos com famílias pré-definidas. Ressate-se que este novo conjunto de

experimentos se encontra dentro das mesmas parametrizações que as existentes na seção anterior mas

distintas das usadas na Seção 5.1, que também tratou de auto-adaptação.

Sendo assim, inicialmente define-se um intervalo de valores válidos para os parâmetros

estratégicos:

índice de estabilidade α ∈ [0.25, 2]; índice de assimetria β =0; de escala ϒ ∈ [7.07E-9,

7.07E-2], e de posição δ=0. Os parâmetros estratégicos podem variar livremente para cada dimensão

de forma independente. Foi observado o valor dos índices de estabilidade e escala para a melhor

execução, no conjunto de execuções de cada experimento, conforme a Tabela 5.14.

Exper.

Mínimo Máximo Média Desv. Padr.

Estabil. (



) Escala (



)

Mínimo Máximo Méd ia Desv. Padr.

Estabil. (



) Escala (



)

115 3.00E+00 3.16E+01 5.13E+01 4.20E+01 9.90E+00 1.14E+00 1.47E-01 4.05E+01 4.61E+01 4.30E+01 2.86E+00 1.17E+00 4.51E-02

116 6.00E+00 4.67E+01 5.75E+01 5.40E+01 3.98E+00 1.37E+00 3.51E-02 2.97E+01 4.31E+01 3.76E+01 4.95E+00 1.09E+00 3.33E-02

117 9.00E+00 4.14E+01 6.37E+01 5.33E+01 7.61E+00 1.18E+00 1.88E-02 3.11E+01 4.72E+01 3.83E+01 5.86E+00 1.15E+00 5.04E-02

118 1.20E+01 3.96E+01 5.57E+01 4.71E+01 5.89E+00 1.11E+00 1.02E-01 2.97E+01 5.22E+01 3.79E+01 6.80E+00 1.17E+00 8.33E-02

119 1.50E+01 3.11E+01 7.85E+01 4.79E+01 1.09E+01 1.13E+00 2.95E-02 3.37E+01 5.70E+01 4.29E+01 7.00E+00 9.64E-01 4.12E-02

120 1.80E+01 2.56E+01 6.40E+01 4.74E+01 1.09E+01 1.13E+00 8.72E-02 2.73E+01 5.15E+01 3.99E+01 6.66E+00 1.23E+00 5.80E-02

121 2.10E+01 3.08E+01 6.90E+01 4.91E+01 8.15E+00 1.02E+00 5.59E-02 2.68E+01 4.79E+01 3.87E+01 5.17E+00 1.10E+00 2.52E-02

122 2.40E+01 3.18E+01 6.18E+01 4.86E+01 7.64E+00 1.16E+00 4.42E-02 3.17E+01 5.36E+01 4.08E+01 6.05E+00 1.01E+00 7.48E-02

123 2.70E+01 3.15E+01 7.03E+01 4.82E+01 1.01E+01 1.07E+00 5.47E-02 3.10E+01 5.84E+01 4.11E+01 5.89E+00 1.16E+00 3.90E-02

124 3.00E+01 3.19E+01 6.93E+01 4.88E+01 8.00E+00 1.18E+00 5.45E-02 2.80E+01 5.11E+01 4.00E+01 6.95E+00 1.25E+00 2.75E-02

Execuç.

Distrib. Estáveis



  

a 7,07E-01

 

) Distrib. Estáveis



  

a 7,07E-01

 

)

Erro para 500 gerações Erro para 1500 gerações

Exper.

Execuç. Mínimo Máximo Média Desv. Padr .

Estabil. (



) Escala (



)

Mínimo Máximo Média Desv. Padr.

Estabil. (



) Escala (



)

125 3.00E+00 2.00E+01 3.93E+01 2.77E+01 1.02E+01 1.26E+00 8.28E-02 3.00E+01 3.26E+01 3.16E+01 1.35E+00 1.22E+00 8.84E-02

126 6.00E+00 2.77E+01 3.26E+01 3.00E+01 1.89E+00 1.34E+00 1.65E-02 2.44E+01 3.15E+01 2.81E+01 2.59E+00 1.11E+00 4.50E-02

127 9.00E+00 2.90E+01 5.23E+01 4.05E+01 8.09E+00 1.07E+00 1.88E-02 2.34E+01 4.02E+01 3.14E+01 5.47E+00 1.11E+00 6.01E-02

128 1.20E+01 3.32E+01 5.49E+01 4.19E+01 7.33E+00 1.18E+00 4.78E-02 2.00E+01 3.44E+01 2.82E+01 4.27E+00 1.20E+00 2.05E-02

129 1.50E+01 2.34E+01 4.27E+01 3.19E+01 4.98E+00 1.01E+00 6.18E-02 1.46E+01 3.99E+01 3.06E+01 5.95E+00 1.15E+00 6.05E-02

130 1.80E+01 3.01E+01 5.24E+01 3.89E+01 5.08E+00 1.14E+00 8.16E-02 2.10E+01 4.07E+01 3.07E+01 5.97E+00 9.88E-01 3.58E-02

131 2.10E+01 2.62E+01 5.00E+01 3.91E+01 6.97E+00 1.13E+00 3.46E-02 2.23E+01 3.75E+01 2.97E+01 4.42E+00 1.09E+00 8.98E-02

132 2.40E+01 2.50E+01 5.57E+01 3.87E+01 8.61E+00 1.09E+00 7.46E-02 2.33E+01 4.11E+01 3.03E+01 4.17E+00 1.06E+00 8.18E-02

133 2.70E+01 2.85E+01 5.67E+01 4.10E+01 6.66E+00 1.15E+00 1.17E-01 2.05E+01 3.75E+01 2.98E+01 4.77E+00 1.06E+00 3.32E-02

134 3.00E+01 2.61E+01 5.60E+01 4.16E+01 6.92E+00 1.04E+00 1.01E-01 2.08E+01 4.07E+01 2.93E+01 5.57E+00 1.20E+00 6.91E-02

Erro para 5000 gerações Erro para 10000 gerações

Tabela 5.14: Resultados com a função de Rastrigin: Auto-adaptação livre nas 30 dimensões..

Os melhores resultados para 500, 1500, 5000 e 10000 gerações ocorreram nos experimentos

120, 121, 125 e 129, respectivamente. Observando-se os valores dos parâmetros de estabilidade e de

escala, e comparando-se com os obtidos na seção anterior, constata-se que os valores encontrados no

presente experimento ficaram muito aquém do obtido com 10000 gerações da distribuição Estável 3

(experimento 112), cujo erro mínimo foi de 7.73E-11.

Na Seção 5.2.8 discute-se melhor a interrelação dos dados experimentais, após a ampliação

dos experimentos da seção seguinte, em se que fixam os parâmetros estratégicos para todas as 30

dimensões.

5.2.7. Auto-adaptação dos parâmetros estratégicos α e γ único nas 30

dimensões

Nesta seção, fixa-se a aplicação do parâmetro estratégico nas 30 dimensões, com o propósito

de diminuir a eventual turbulência gerada pela liberdade total de se aplicar 30 parâmetros estratégicos

independentes nas 30 dimensões, que pode ter sido a causa do fraco resultado do experimento anterior.

Tal idéia se alinha com uma das conclusões obtidas em [Lima e de Oliveira, 06], onde a estratégia

mais vantajosa de controlar automaticamente a pressão seletiva em um processo evolutivo ocorreu

quando sua variação foi feita em blocos de gerações, e não a cada geração individual..

A auto-adaptação dos parâmetros estratégicos possibilita uma evolução dentre as famílias de

distribuições estáveis onde, inicialmente define-se um intervalo de valores válidos para os parâmetros:

índice de estabilidade α ∈ [0.25, 2]; assimétrico β =0; escala ϒ ∈ [7.07E-9, 7.07E-2] e posição δ=0.

Como dito, o parâmetro estratégico é fixo para todas 30 dimensões, sendo observado o valor do índice

de estabilidade e escala para a melhor execução dentre as execuções de cada experimento, conforme as

Tabelas 5.15

Exper.

Mínimo Máximo Média Desv. P adr.

Estabil. (



) Escala (



)

Mínimo Máximo Média Desv. Padr.

Estabil. (



)Escala (



)

135 3.00E+00 4.07E+01 5.49E+01 4.66E+01 7.38E+00 1.27E+00 8.63E-02 3.38E+01 4.74E+01 3.91E+01 7.29E+00 1.14E+00 3.73E-02

136 6.00E+00 4.51E+01 5.76E+01 5.09E+01 4.80E+00 1.23E+00 2.49E-02 3.68E+01 5.18E+01 4.44E+01 5.22E+00 1.14E+00 7.69E-02

137 9.00E+00 2.92E+01 6.08E+01 4.87E+01 1.07E+01 1.12E+00 3.24E-02 2.75E+01 5.31E+01 3.80E+01 8.23E+00 1.03E+00 4.32E-02

138 1.20E+01 3.75E+01 6.28E+01 4.69E+01 6.88E+00 1.14E+00 4.97E-02 3.06E+01 4.57E+01 3.83E+01 4.32E+00 1.22E+00 1.73E-02

139 1.50E+01 3.85E+01 6.39E+01 4.73E+01 6.46E+00 1.20E+00 3.22E-02 2.92E+01 6.05E+01 4.13E+01 8.72E+00 1.15E+00 8.34E-02

140 1.80E+01 3.30E+01 7.26E+01 5.13E+01 9.23E+00 1.25E+00 3.01E-02 3.08E+01 5.18E+01 4.05E+01 6.42E+00 1.15E+00 7.36E-02

141 2.10E+01 3.34E+01 5.84E+01 4.65E+01 7.42E+00 1.11E+00 2.71E-02 3.11E+01 4.85E+01 3.88E+01 5.07E+00 1.03E+00 9.43E-02

142 2.40E+01 3.23E+01 6.65E+01 4.68E+01 7.74E+00 1.13E+00 5.77E-02 2.38E+01 4.86E+01 3.70E+01 6.23E+00 1.25E+00 1.89E-01

143 2.70E+01 2.98E+01 6.43E+01 4.70E+01 8.70E+00 1.11E+00 4.47E-02 2.97E+01 5.00E+01 4.03E+01 6.03E+00 1.15E+00 3.23E-02

144 3.00E+01 3.71E+01 6.53E+01 4.99E+01 6.64E+00 1.23E+00 2.99E-02 2.33E+01 5.18E+01 4.00E+01 7.20E+00 1.14E+00 4.16E-02

Execu ç.

Distrib. Estáveis



  

a 7,07E-01

 

) Distrib. Estáveis



  

a 7,07E-01

 

)

Erro para 500 gerações Erro para 1500 gerações

Exper.

Execuç. Mínimo Máximo Média Desv. Padr.

Estabil. (



) Escala (



)

Mínimo Máximo Média Desv. Padr.

Estabil. (



) Escala (



)

145 3.00E+00 3.25E+01 3.84E+01 3.47E+01 3.25E+00 1.29E+00 1.86E-01 2.61E+01 3.52E+01 3.06E+01 4.53E+00 1.09E+00 1.64E-01

146 6.00E+00 2.91E+01 5.31E+01 3.55E+01 8.89E+00 1.08E+00 8.88E-02 1.90E+01 4.02E+01 3.02E+01 7.75E+00 1.18E+00 1.38E-01

147 9.00E+00 2.95E+01 4.29E+01 3.55E+01 4.75E+00 1.18E+00 3.42E-02 2.56E+01 4.00E+01 3.14E+01 3.99E+00 1.10E+00 3.15E-02

148 1.20E+01 2.69E+01 4.49E+01 3.41E+01 6.52E+00 1.00E+00 6.99E-02 2.01E+01 4.30E+01 3.14E+01 6.52E+00 1.10E+00 7.52E-02

149 1.50E+01 2.73E+01 4.29E+01 3.37E+01 4.84E+00 1.15E+00 9.52E-02 2.38E+01 3.58E+01 2.91E+01 3.77E+00 1.08E+00 1.44E-01

150 1.80E+01 2.28E+01 4.19E+01 3.45E+01 5.38E+00 1.16E+00 2.10E-02 1.68E+01 4.73E+01 2.94E+01 7.67E+00 1.20E+00 3.38E-02

151 2.10E+01 2.47E+01 4.21E+01 3.31E+01 4.65E+00 1.16E+00 1.09E-01 2.07E+01 4.45E+01 2.97E+01 6.08E+00 1.21E+00 7.98E-02

152 2.40E+01 2.41E+01 4.27E+01 3.33E+01 5.12E+00 1.23E+00 5.85E-02 2.25E+01 4.94E+01 3.31E+01 6.90E+00 1.10E+00 1.01E-01

153 2.70E+01 2.13E+01 4.07E+01 3.11E+01 5.13E+00 1.19E+00 6.94E-02 2.43E+01 4.53E+01 3.09E+01 5.07E+00 1.16E+00 1.08E-01

154 3.00E+01 2.29E+01 4.87E+01 3.27E+01 5.60E+00 1.22E+00 3.90E-02 1.94E+01 4.02E+01 3.00E+01 5.28E+00 1.23E+00 7.76E-02

Erro para 5000 gerações Erro para 10000 gerações

Tabela 5.15: Resultados com a função de Rastrigin: Auto-adapt. fixa nas 30 dimensões de 500 a 10000

gerações.

Os melhores resultados para 500, 1500, 5000 e 10000 gerações foram, respectivamente, nos

experimentos 137, 144, 153 e 150. Observando-se os valores dos parâmetros de estabilidade e de

escala e, novamente comparando-se com os resultados da distribuição Estável 3 com 10000 gerações

(experimento 112), os valores aqui encontrados não se aproximam do resultado daquele (com erro

mínimo de 7.73E-11).

5.2.8. Conclusões sobre os experimentos com a função de Rastrigin

Para uma melhor visualização dos resultados experimentais realizados nas Seções 5.2.5 a 5.2.7

é criada a Tabela 5.16 e a Figura 5.1, onde se constata que nenhum dos processos empregados nas

Seções 5.2.6 e 5.2.7 (respectivamente, parametrização livre e fixa dos parâmetros estratégicos para as

30 dimensões) conseguiu aproximar-se da parametrização pré-definida com a distribuição Estável 3.

Mínimo Máximo Média

Desv.Padr.

Mínimo Máximo Média

Desv.Padr.

Mínimo Máximo Média

Desv.Padr.

1.16E+00 9.34E+00 5.62E+00 2.21E+00 2.56E+01 6.40E+01 4.74E+01 1.09E+01 2.92E+01 6.08E+01 4.87E+01 1.07E+01

2.79E-06 4.15E+00 1.16E+00 1.31E+00 2.68E+01 4.79E+01 3.87E+01 5.17E+00 2.33E+01 5.18E+01 4.00E+01 7.20E+00

2.38E-10 6.48E-10 5.37E-10 1.54E-10

2.00E+01 3.93E+01 2.77E+01 1.02E+01 2.13E+01 4.07E+01 3.11E+01 5.13E+00

7.73E-11 1.34E-10 1.07E-10 2.85E-11

1.46E+01 3.99E+01 3.06E+01 5.95E+00 1.68E+01 4.73E+01 2.94E+01 7.67E+00

Geração

Erros entre f(x) mínimo, máximo e média utilizando a função de Rastrigin

Estável 3 (



=0.3 e



=7.07E-09) Auto-adapt. variação livre: par. estr. n-dim. Auto-adapt. par. estr. iguais para n-dim.

5000

10000

500

1500

Tabela 5.16: Auto-adaptatividade na função de Rastrigin: distribuição Estável 3, com variação livre e

fixa dos parâmetros estratégicos em 30 dimensões.

0.00E+00

1.00E+01

2.00E+01

3.00E+01

4.00E+01

Geração

Erro

Estável 3

1.16E+00 2.79E-06 2.38E-10 7.73E-11

Auto-adapt. var. livre n-

dim.

2.56E+01 2.68E+01 2.00E+01 1.46E+01

Auto-adapt. par. estr.

iguais p/ n dim.

2.92E+01 2.33E+01 2.13E+01 1.68E+01

500 1500 5000 10000

Figura 5.1: Auto-adaptatividade na função de Rastrigin: distribuição Estável 3, com variação livre e

fixa dos parâmetros estratégicos em 30 dimensões.

Apesar dos resultados auto-adaptativos aqui obtidos terem sido fracos, naturalmente eles não

invalidam resultados positivos com algoritmos evolutivos auto-adaptativos segundo outras abordagens

[Saravanan et al, 95; Eiben, Hinterding e Michalewicz, 99; Beyer, 01; Gómez, 04; Nieberg e Beyer,

07].

5.3. Experimentos na função de teste de Rosenbrock nas dimensões: 2, 5, 10 e 30

Nesta seção utiliza-se a função de teste de Rosenbrock, que segue as mesmas parametrizações

da Seção 5.2, executando-se o seguinte parâmetro de controle de evolução:

o Intervalo de variação das coordenadas x

, ... , x

: {-2.048, ... , 2.048}

A minimização desta função é considerada um processo difícil pelo fato dela possuir um pico

muito reduzido e estreito. O topo do pico é muito pouco acentuado e sua superfície se apresenta na

forma de uma parábola [Lima, 04].

5.3.1. Experimentos com função de Rosenbrock: 2 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, x

, {α

, β

, γ

, δ

}, {α

, β

, δ

}]. As Tabelas 5.17 e 5.18 permitem observar que os resultados obtidos dos erros mínimos vão

melhorando nos experimentos 162(esquerda), 162(direita), 169(esquerda) e 169(direita).

Exper.

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

155 7.07E-02 1.00E-01 1.79E-07 2.73E-05 7.32E-06 7.00E-06 9.69E-08 4.15E-05 5.82E-06 8.14E-06

156 7.07E-03 1.00E-02 5.64E-09 3.99E-06 3.33E-07 7.56E-07 1.15E-09 8.15E-07 1.26E-07 1.53E-07

157 7.07E-04 1.00E-03 3.47E-10 1.01E-01 1.43E-02 2.54E-02 7.79E-11 5.11E-02 9.85E-03 1.45E-02

158 7.07E-05 1.00E-04 2.83E-06 2.64E-01 3.38E-02 5.28E-02 3.17E-12 2.50E-01 2.78E-02 4.76E-02

159 7.07E-06 1.00E-05 2.09E-16 1.74E-01 4.12E-02 4.42E-02 5.87E-15 7.51E-02 1.28E-02 1.99E-02

160 7.07E-07 1.00E-06 9.61E-07 1.39E-01 3.56E-02 3.61E-02 3.01E-08 2.25E-01 4.50E-02 5.25E-02

161 7.07E-08 1.00E-07 2.56E-18 1.78E-01 3.62E-02 4.95E-02 1.27E-09 1.12E-01 2.84E-02 3.73E-02

162 7.07E-09 1.00E-08 1.20E-19 1.57E-01 3.19E-02 3.63E-02 3.54E-21 1.41E-01 4.13E-02 4.42E-02

Par. escala

Gauss    



 ) Cauchy (    )

Erro Erro

Tabela 5.17: Resultados com a função de Rosenbrock: Gauss e Cauchy em 2 dimensões.

Exper.

Mínimo Máximo Média Desv.pradrão Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

163 7.07E-02 3.05E-07 3.41E-05 6.56E-06 6.75E-06 1.69E-06 2.14E-04 3.82E-05 4.31E-05

164 7.07E-03 4.86E-09 4.62E-06 4.29E-07 9.97E-07 1.91E-09 1.08E-06 2.49E-07 2.51E-07

165 7.07E-04 2.23E-11 6.20E-04 3.64E-05 1.16E-04 7.03E-11 8.19E-09 3.24E-09 2.46E-09

166 7.07E-05 1.43E-12 1.13E-01 1.55E-02 2.73E-02 1.82E-13 8.55E-02 1.99E-02 2.59E-02

167 7.07E-06 2.54E-14 1.55E-01 2.58E-02 3.55E-02 5.18E-14 7.27E-02 1.13E-02 1.65E-02

168 7.07E-07 4.81E-16 1.73E-01 3.40E-02 4.10E-02 5.18E-16 1.59E-01 3.03E-02 4.38E-02

169 7.07E-08

8.04E-19 3.18E-01 3.98E-02 6.48E-02

9.22E-18 1.05E-01 2.76E-02 3.04E-02

170 7.07E-09 3.34E-08 1.34E-01 2.72E-02 3.33E-02 8.73E-06 1.54E-01 2.54E-02 3.54E-02

Lévy (

    

)

Erro Erro

Par. de escala

S Lévy (

    

)

Tabela 5.18: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy e Lévy em 2 dimensões.

O melhor resultado foi na família de distribuição de, Cauchy. Note-se que a função envolvida

não oferece um grande desafio em 2 dimensões.

5.3.2. Experimentos com função de Rosenbrock: 5 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, ..., x

, {α

, β

, γ

, δ

}, ...,

{

, β

, γ

, δ

}]. As Tabelas 5.19 e 5.20 permitem observar que os resultados obtidos dos erros

mínimos vão melhorando nos experimentos 172(esquerda), 172(direita), 181, 179, 190, 191, 196 e

201.

Exper.

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

171 7.07E-02 1.00E-01 4.67E-01 9.93E-01 7.71E-01 1.26E-01 1.14E+00 1.83E+00 1.53E+00 1.70E-01

172 7.07E-03 1.00E-02 2.82E-01 9.18E-01 4.63E-01 1.04E-01 6.83E-01 9.79E-01 8.64E-01 6.15E-02

173 7.07E-04 1.00E-03 1.51E+00 3.89E+00 2.88E+00 5.04E-01 1.02E+00 2.02E+00 1.71E+00 2.42E-01

174 7.07E-05 1.00E-04 2.15E+00 4.42E+00 3.32E+00 5.11E-01 1.99E+00 3.33E+00 2.69E+00 2.67E-01

175 7.07E-06 1.00E-05 2.44E+00 4.45E+00 3.51E+00 4.25E-01 2.22E+00 3.66E+00 3.07E+00 2.98E-01

176 7.07E-07 1.00E-06 2.05E+00 4.41E+00 3.61E+00 4.82E-01 2.17E+00 4.38E+00 3.47E+00 4.23E-01

177 7.07E-08 1.00E-07 2.89E+00 4.70E+00 3.49E+00 4.23E-01 2.76E+00 4.22E+00 3.43E+00 4.20E-01

178 7.07E-09 1.00E-08 3.04E+00 4.41E+00 3.64E+00 3.98E-01 2.90E+00 5.28E+00 3.70E+00 4.55E-01

Erro Erro

Par. escala

Gauss

   



 

)Cauchy (

    

)

Tabela 5.19: Resultados com a função de Rosenbrock: Gauss e Cauchy em 5 dimensões.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

179 7.07E-02 1.62E+00 2.80E+00 2.29E+00 2.71E-01 2.49E-02 7.80E-01 2.57E-01 1.75E-01

180 7.07E-03 1.40E+00 1.90E+00 1.65E+00 1.18E-01 5.89E-02 1.77E-01 1.28E-01 2.75E-02

181 7.07E-04 1.20E+00 1.74E+00 1.56E+00 1.40E-01 1.84E-01 3.03E-01 2.54E-01 2.94E-02

182 7.07E-05 1.21E+00 2.20E+00 1.96E+00 1.83E-01 5.87E-01 1.22E+00 9.67E-01 1.68E-01

183 7.07E-06 1.65E+00 2.63E+00 2.40E+00 2.34E-01 1.16E+00 2.42E+00 1.99E+00 2.79E-01

184 7.07E-07 2.11E+00 2.92E+00 2.62E+00 2.31E-01 1.83E+00 2.90E+00 2.46E+00 2.31E-01

185 7.07E-08 1.59E+00 3.27E+00 2.83E+00 3.70E-01 1.31E+00 3.40E+00 2.60E+00 5.00E-01

186 7.07E-09 1.85E+00 3.53E+00 3.07E+00 3.38E-01 1.48E+00 4.82E+00 2.94E+00 5.53E-01

Par. escala

S-Lévy (

    

)Lévy (

    

)

Erro Erro

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

187 7.07E-02 1.51E+00 2.72E+00 2.33E+00 2.92E-01 1.95E+00 2.76E+00 2.50E+00 2.07E-01

188 7.07E-03 1.40E+00 2.01E+00 1.75E+00 1.64E-01 1.56E+00 2.26E+00 2.01E+00 1.80E-01

189 7.07E-04 1.41E+00 1.80E+00 1.64E+00 1.05E-01 1.17E+00 2.09E+00 1.79E+00 1.66E-01

190 7.07E-05 6.25E-01 2.14E+00 1.85E+00 2.92E-01 1.07E+00 2.12E+00 1.84E+00 2.12E-01

191 7.07E-06 1.85E+00 2.49E+00 2.34E+00 1.40E-01 5.93E-01 2.37E+00 2.09E+00 3.20E-01

192 7.07E-07 2.14E+00 2.85E+00 2.59E+00 1.96E-01 1.48E+00 2.60E+00 2.42E+00 2.34E-01

193 7.07E-08 1.94E+00 3.08E+00 2.80E+00 2.52E-01 1.88E+00 2.86E+00 2.58E+00 2.68E-01

194 7.07E-09 1.07E+00 3.22E+00 2.72E+00 5.53E-01 1.63E+00 3.03E+00 2.85E+00 2.75E-01

Par. escala

Estável 1 (

    

)-->Erro Estável 2 (

    

)-->Erro

Erro Erro

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

195 7.07E-02 1.91E+00 3.05E+00 2.66E+00 2.71E-01 2.15E+00 3.22E+00 2.75E+00 3.09E-01

196 7.07E-03 1.57E+00 2.26E+00 1.96E+00 1.60E-01 1.74E+00 2.69E+00 2.35E+00 2.31E-01

197 7.07E-04 1.57E+00 2.15E+00 1.97E+00 1.24E-01 1.42E+00 2.38E+00 2.13E+00 1.80E-01

198 7.07E-05 1.61E+00 2.14E+00 1.97E+00 1.13E-01 1.44E+00 2.23E+00 2.04E+00 1.51E-01

199 7.07E-06 1.58E+00 2.26E+00 2.05E+00 1.68E-01 1.66E+00 2.16E+00 2.02E+00 1.37E-01

200 7.07E-07 1.58E+00 2.52E+00 2.32E+00 1.72E-01 1.04E+00 2.47E+00 2.17E+00 3.71E-01

201 7.07E-08 1.64E+00 2.71E+00 2.45E+00 2.25E-01 3.59E-01 2.58E+00 2.38E+00 3.97E-01

202 7.07E-09 1.97E+00 2.86E+00 2.63E+00 2.09E-01 1.60E+00 2.73E+00 2.48E+00 2.71E-01

Par. escala

Estável 3 (

    

)-->Erro Estável 4 (

     

)-->Erro

Erro Erro

Tabela 5.20: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a Estável 4 em 5

dimensões.

Obteve-se o melhor resultado foi na família de distribuição com cauda longa, ou seja, na

distribuição de Lévy

5.3.3. Experimentos com função de Rosenbrock: 10 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, ..., x

10,

{α

, β

, γ

, δ

...

{α

10 1

, β

10 2

, γ

10 3

, δ

10 4

}]. As Tabelas 5.21 e 5.22 permitem observar que os resultados obtidos dos

erros mínimos vão melhorando nos experimentos 204(esquerda), 204(direita), 212, 211, 221, 219, 228

e 227.

Exper.

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

203 7.07E-02 1.00E-01 7.64E+00 9.12E+00 8.32E+00 3.89E-01 8.17E+00 9.26E+00 8.77E+00 2.73E-01

204 7.07E-03 1.00E-02 5.35E+00 6.60E+00 5.84E+00 3.02E-01 6.70E+00 7.14E+00 6.97E+00 1.08E-01

205 7.07E-04 1.00E-03 8.37E+00 1.79E+01 1.11E+01 2.19E+00 6.84E+00 7.21E+00 7.08E+00 8.93E-02

206 7.07E-05 1.00E-04 8.08E+00 1.79E+01 1.05E+01 2.18E+00 7.59E+00 8.25E+00 7.91E+00 1.21E-01

207 7.07E-06 1.00E-05 8.83E+00 1.51E+01 1.09E+01 1.44E+00 7.85E+00 9.01E+00 8.51E+00 2.90E-01

208 7.07E-07 1.00E-06 9.20E+00 1.47E+01 1.14E+01 1.42E+00 8.16E+00 1.50E+01 1.04E+01 1.58E+00

209 7.07E-08 1.00E-07 8.82E+00 1.84E+01 1.18E+01 2.45E+00 8.37E+00 1.47E+01 1.11E+01 1.63E+00

Erro Erro

Análise das distribuições estáveis de Gauss e Cauchy em 10 dimensões para a Função de Rosenbrock

Par. escala

Gauss

   



 

)Cauchy (

    

)

Tabela 5.21: Resultados com a função de Rosenbrock: Gauss e Cauchy em 10 dimensões.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

210 7.07E-02 8.87E+00 1.07E+01 9.77E+00 4.23E-01 4.17E+00 2.19E+01 1.35E+01 4.16E+00

211 7.07E-03 7.37E+00 8.10E+00 7.80E+00 1.90E-01 4.68E-01 3.26E+01 1.13E+01 1.03E+01

212 7.07E-04 7.01E+00 7.52E+00 7.30E+00 9.58E-02 7.99E+00 2.28E+01 1.24E+01 3.08E+00

213 7.07E-05 7.07E+00 7.47E+00 7.29E+00 9.64E-02 8.04E+00 1.87E+01 1.03E+01 1.95E+00

214 7.07E-06 7.31E+00 7.73E+00 7.55E+00 1.27E-01 7.03E+00 1.72E+01 9.37E+00 1.96E+00

215 7.07E-07 7.53E+00 8.00E+00 7.87E+00 1.12E-01 7.51E+00 1.45E+01 9.52E+00 1.80E+00

216 7.07E-08 7.33E+00 8.43E+00 8.09E+00 2.16E-01 7.93E+00 1.39E+01 9.64E+00 1.46E+00

Par. escala

S-Lévy (

    

) Lévy (

    

)

Erro Erro

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

217 7.07E-02 8.51E+00 1.12E+01 9.81E+00 5.60E-01 9.60E+00 1.30E+01 1.12E+01 8.39E-01

218 7.07E-03 7.13E+00 8.23E+00 7.88E+00 2.57E-01 7.28E+00 8.31E+00 8.04E+00 2.12E-01

219 7.07E-04 7.20E+00 7.54E+00 7.37E+00 8.89E-02 7.13E+00 7.77E+00 7.53E+00 1.51E-01

220 7.07E-05 7.06E+00 7.50E+00 7.26E+00 1.01E-01 7.19E+00 7.64E+00 7.38E+00 9.50E-02

221 7.07E-06 7.01E+00 7.63E+00 7.48E+00 1.21E-01 7.30E+00 7.59E+00 7.46E+00 8.56E-02

222 7.07E-07 7.53E+00 7.98E+00 7.75E+00 1.10E-01 7.30E+00 7.78E+00 7.64E+00 1.20E-01

223 7.07E-08 7.54E+00 8.18E+00 8.01E+00 1.20E-01 7.54E+00 8.03E+00 7.82E+00 9.80E-02

Par. escala

Estável 1 (

    

)-->Erro Estável 2 (

    

)-->Erro

Erro Erro

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

224 7.07E-03 7.81E+00 8.60E+00 8.29E+00 1.81E-01 7.37E+00 9.06E+00 8.59E+00 3.30E-01

225 7.07E-04 7.35E+00 7.96E+00 7.74E+00 1.63E-01 7.33E+00 8.23E+00 7.92E+00 2.33E-01

226 7.07E-05 7.24E+00 7.79E+00 7.52E+00 1.25E-01 7.42E+00 7.99E+00 7.69E+00 1.24E-01

227 7.07E-06 7.17E+00 7.63E+00 7.43E+00 1.06E-01 7.16E+00 7.73E+00 7.52E+00 1.38E-01

228 7.07E-07 7.09E+00 7.68E+00 7.49E+00 1.20E-01 7.24E+00 7.70E+00 7.51E+00 1.11E-01

229 7.07E-08 7.45E+00 7.80E+00 7.65E+00 1.02E-01 7.18E+00 7.73E+00 7.61E+00 1.23E-01

230 7.07E-09 7.51E+00 7.95E+00 7.80E+00 9.94E-02 7.40E+00 7.98E+00 7.80E+00 1.32E-01

Par. escala

Estável 3 (    )-->Erro Estável 1 (     )-->Erro

Erro Erro

Tabela 5.22: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a Estável 4 em 10

dimensões.

O melhor resultado foi na família de distribuição com cauda longa, ou seja, na distribuição de

Lévy .

5.3.4. Experimentos com função de Rosenbrock: 30 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, ..., x

30,

{α

, β

, γ

, δ

...

{α

30 1

, β

30 2

, γ

30 3

, δ

30 4

}].As Tabelas 5.23 e 5.24 permitem observar que os resultados obtidos dos

erros mínimos vão melhorando nos experimentos 232, 233, 239, 237, 245, 244, 250 e 253.

Exper.

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

231 7.07E-02 1.00E-01 3.65E+01 4.04E+01 3.82E+01 9.25E-01 2.78E+01 2.93E+01 2.83E+01 3.36E-01

232 7.07E-03 1.00E-02 2.75E+01 2.92E+01 2.82E+01 4.58E-01 2.74E+01 2.78E+01 2.77E+01 7.70E-02

233 7.07E-04 1.00E-03 3.07E+01 6.45E+01 4.10E+01 7.18E+00 2.73E+01 2.78E+01 2.76E+01 1.22E-01

234 7.07E-05 1.00E-04 4.52E+01 9.63E+01 6.42E+01 1.30E+01 2.73E+01 2.93E+01 2.82E+01 4.38E-01

235 7.07E-06 1.00E-05 3.07E+01 6.45E+01 4.10E+01 7.18E+00

Análise das distribuições estáveis de Gauss e Cauchy em 30 dimensões para a Função de Rosenbrock

Par. escala

Gauss    



 ) Cauchy (    )

Erro Erro

Tabela 5.23: Resultados com a função de Rosenbrock: Gauss e Cauchy em 30 dimensões.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

236 7.07E-02 8.29E+02 1.95E+03 1.39E+03 2.45E+02

237 7.07E-03 2.42E+01 1.17E+02 4.29E+01 1.71E+01

238 7.07E-04 2.74E+01 2.78E+01 2.77E+01 8.46E-02 6.68E+01 1.22E+02 9.80E+01 1.29E+01

239 7.07E-05

2.69E+01 2.80E+01

2.78E+01 2.28E-01

240 7.07E-06 2.74E+01 2.78E+01 2.76E+01 1.13E-01

241 7.07E-07 2.75E+01 2.84E+01 2.81E+01 1.66E-01

Análise das distribuições estáveis de S-Lévy e Lévy em 30 dimensões para a Função de Rosenbrock

Par. escala

S-Lévy (    ) Lévy (    )

Erro Erro

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

242 7.07E-04 2.79E+01 2.90E+01 2.86E+01 2.47E-01 2.96E+01 3.14E+01 3.03E+01 4.56E-01

243 7.07E-05 2.77E+01 2.81E+01 2.80E+01 1.15E-01 2.77E+01 2.84E+01 2.82E+01 1.51E-01

244 7.07E-06 2.75E+01 2.80E+01 2.78E+01 1.14E-01 2.70E+01 2.81E+01 2.78E+01 2.99E-01

245 7.07E-07 2.72E+01 2.81E+01 2.79E+01 1.59E-01 2.77E+01 2.81E+01 2.79E+01 1.11E-01

246 7.07E-08 2.76E+01 2.94E+01 2.84E+01 3.92E-01

Erro Erro

Par. escala

Estável 1 (    )-->Erro Estável 2 (    )-->Erro

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão Mínimo Máximo Média Desv. Padrão

247 7.07E-04 4.00E+01 6.43E+01 4.68E+01 5.00E+00 4.86E+01 1.19E+02 8.36E+01 1.54E+01

248 7.07E-05 2.86E+01 2.99E+01 2.93E+01 3.35E-01

249 7.07E-06 2.77E+01 2.84E+01 2.81E+01 2.05E-01 2.83E+01 3.03E+01 2.91E+01 4.55E-01

250 7.07E-07 2.75E+01 2.82E+01 2.79E+01 1.63E-01 2.78E+01 2.85E+01 2.82E+01 2.04E-01

251 7.07E-08 2.76E+01 2.81E+01 2.79E+01 1.36E-01 2.77E+01 2.83E+01 2.80E+01 1.28E-01

252 7.07E-09 2,76E+01 2,82E+01 2,80E+01 1,39E-01 2.74E+01 2.82E+01 2.80E+01 1.71E-01

253 7.07E-10 2.72E+01 2.83E+01 2.80E+01 2.29E-01

Estável 4 (     )-->Erro

Par. escala

Estável 3 (    )-->Erro

Erro Erro

Tabela 5.24: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a Estável 4 em 30

dimensões.

O melhor resultado dos experimentos de 155 a 253 foi na família de distribuição com cauda

simétrica S-Lévy (na cor azul), com erros de até 10

Em conclusão, o conjunto de experimentos aqui relatados, com progressivo aumento da

dimensão da função de Rosenbrock indica que 2 dimensões mostraram-se não relevantes para o

resultado final, podendo-se, portanto, iniciar-se os experimentos posteriores em 5 dimensões.

5.3.5. Experimentos com a distribuição S-Lévy

Como verificado na seção anterior o melhor resultado foi obtido, a distribuição S-Lévy, o que

torna esta distribuição merecedora de maior atenção. Nesse sentido , verifica-se agora a evolução dos

dados com quantidades variável de de execuções de 3 até 30, independente entre si e variando-se o

número de gerações de 500, 1500, 5000 e 10000.

Com isso, tem-se o propósito de verificar em que condições, mais interessante executar

experimentos no futuro, ou seja, com um número maior de gerações associado a um número menor de

execuções, ou o contrário. Vale lembrar que reduzindo significativamente o número de execuções,

pode-se perder a relevância da amostra (repetibilidade).

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

254 3.00E+00 2.76E+01 2.79E+01 2.78E+01 1.25E-01 2.71E+01 2.72E+01 2.72E+01 4.78E-02

255 6.00E+00 2.72E+01 2.79E+01 2.77E+01 2.65E-01 2.69E+01 2.73E+01 2.72E+01 1.28E-01

256 9.00E+00 2.76E+01 2.80E+01 2.79E+01 1.33E-01 2.68E+01 2.73E+01 2.71E+01 1.70E-01

257 1.20E+01 2.76E+01 2.80E+01 2.79E+01 1.27E-01 2.71E+01 2.73E+01 2.72E+01 7.96E-02

258 1.50E+01 2.74E+01 2.80E+01 2.78E+01 1.73E-01 2.70E+01 2.73E+01 2.71E+01 8.63E-02

259 1.80E+01 2.74E+01 2.80E+01 2.78E+01 1.44E-01 2.70E+01 2.73E+01 2.71E+01 8.49E-02

260 2.10E+01 2.75E+01 2.80E+01 2.78E+01 1.12E-01 2.68E+01 2.73E+01 2.71E+01 1.32E-01

261 2.40E+01 2.68E+01 2.80E+01 2.77E+01 2.50E-01 2.68E+01 2.73E+01 2.71E+01 1.27E-01

262 2.70E+01 2.75E+01 2.80E+01 2.78E+01 1.34E-01 2.69E+01 2.74E+01 2.72E+01 1.24E-01

263 3.00E+01 2.73E+01 2.80E+01 2.78E+01 1.53E-01 2.69E+01 2.73E+01 2.72E+01 1.04E-01

Execuções

S-Lévy

    

) S-Lévy

    

)

Erro para 500 gerações Erro para 1500 gerações

Exper.

Execuções

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

264 3.00E+00 2.60E+01 2.60E+01 2.60E+01 1.61E-02 2.49E+01 2.49E+01 2.49E+01 5.79E-03

265 6.00E+00 2.59E+01 2.61E+01 2.60E+01 7.63E-02 2.47E+01 2.49E+01 2.48E+01 7.45E-02

266 9.00E+00 2.59E+01 2.61E+01 2.60E+01 6.66E-02 2.48E+01 2.49E+01 2.49E+01 5.04E-02

267 1.20E+01 2.59E+01 2.61E+01 2.60E+01 5.16E-02

268 1.50E+01 2.58E+01 2.61E+01 2.60E+01 7.44E-02

269 1.80E+01 2.59E+01 2.61E+01 2.60E+01 5.41E-02

270 2.10E+01 2.59E+01 2.61E+01 2.60E+01 5.41E-02

Erro para 5000 gerações Erro para 10000 gerações

Tabela 5.25: Resultados com a função de Rosenbrock: S-Lévy de 500 e 10000 gerações.

Na Tabelas 5.25 pode-se observar-se que os resultados obtidos para os erros mínimos não

melhoram na distribuição S-Lévy, quando aumenta-se o esforço computacional até 10000 gerações

mesmo com a redução do número de execuções.

Os melhores resultados para 500, 1500, 5000 e 10000 gerações foram respectivamente nos

experimentos 261(esquerda), 261(direita), 268 e 265 e no conjunto de experimentos, verifica-se que

nem sempre é vantajoso aumentar o número de gerações independente do número de execuções.

5.3.6. Auto-adaptação dos parâmetros estratégicos α e γ em 30 dimensões

A motivação para executar os experimentos desta seção reside no fato de analisar se é possível

deixar o processo evolutivo descobrir uma família de distribuições estáveis que acarrete melhor nível

de qualidade do que os experimentos com famílias pré-definidas. Resalte-se que este novo conjunto

de experimentos se encontra dentro das mesmas parametrizações que as existentes na seção anterior,

mas distintas das usadas na Seção 5.1, que também tratou de auto-adaptação.

Sendo assim, inicialmente define-se um intervalo de valores válidos para os parâmetros

estratégicos:

índice de estabilidade α ∈ [0.25, 2]; índice assimétria β =0; de escala ϒ ∈ [7.07E-9,

7.07E-2] e de posição δ=0. Os parâmetros estratégicos podem variar livremente para cada dimensão de

forma independente. Foi observado o valor dos índices de estabilidade e escala para a melhor

execução no conjunto de execuções de cada experimento, conforme, a Tabela 5.26.

Os melhores resultados para 500, 1500, 5000 e 10000 gerações ocorreram nos experimentos

274, 280, 287 e 283. Observando-se os valores dos parâmetros de estabilidade e de escala, e

comparando-se com os, obtidos na seção anterior, os valores encontrados nos experimentos 271 a 288

se aproximam do resultado desejado, ou seja, erro minimo 2.47E+01 obtido no experimento 265 em

relação ao erro mínimo 3.18E+01 no experimento 283. Na Seção 5.3.8 conjuga-se melhor a interlação

dos dados experimetais com a ampliação dos experimentos da seção seguinte, que fixa os parametros

estratégicos para todas as 30 dimensões.

Exper.

Mínimo Máximo Méd ia

Desv. Padr.

Estabil.(



) Escala (



)

Mínimo Máximo Média

Desv. Padr.

Estabil.(



)Escala (



)

271 3.00E+00 3.83E+01 4.22E+01 4.04E+01 1.95E+00 1.21E+00 9.77E-02 3.58E+01 3.79E+01 3.68E+01 1.04E+00 9.45E-01 4.70E-02

272 6.00E+00 3.56E+01 4.15E+01 3.89E+01 2.06E+00 1.10E+00 7.33E-02 3.55E+01 3.88E+01 3.70E+01 1.22E+00 1.06E+00 5.29E-02

273 9.00E+00 3.67E+01 4.03E+01 3.90E+01 1.17E+00 1.11E+00 5.53E-02 3.54E+01 3.92E+01 3.77E+01 1.21E+00 1.08E+00 2.33E-02

274 1.20E+01 3.34E+01 4.22E+01 3.89E+01 2.30E+00 1.10E+00 2.16E-02 3.56E+01 3.93E+01 3.72E+01 1.16E+00 1.23E+00 2.69E-02

275 1.50E+01 3.64E+01 4.29E+01 3.97E+01 1.86E+00 1.16E+00 3.36E-02 3.62E+01 3.94E+01 3.79E+01 9.74E-01 1.23E+00 3.18E-02

276 1.80E+01 3.75E+01 4.19E+01 3.99E+01 1.27E+00 1.04E+00 8.72E-02 3.44E+01 3.94E+01 3.71E+01 1.32E+00 1.24E+00 3.54E-02

277 2.10E+01 3.58E+01 4.22E+01 3.97E+01 1.78E+00 1.15E+00 6.56E-02 3.50E+01 4.07E+01 3.73E+01 1.62E+00 1.22E+00 5.97E-02

278 2.40E+01 3.39E+01 4.22E+01 3.97E+01 2.08E+00 1.04E+00 3.70E-02 3.53E+01 4.14E+01 3.75E+01 1.37E+00 1.21E+00 5.42E-02

279 2.70E+01 3.64E+01 4.29E+01 4.01E+01 1.66E+00 1.12E+00 9.67E-02 3.52E+01 3.95E+01 3.76E+01 1.22E+00 1.31E+00 3.16E-02

280 3.00E+01 3.63E+01 4.29E+01 3.96E+01 1.77E+00 1.11E+00 4.65E-02 3.37E+01 3.98E+01 3.77E+01 1.26E+00 1.12E+00 4.07E-02

Erro para 500 gerações Erro para 1500 gerações

Execuç.

Distribuições Estáveis 

  

a 7,07E-01

 ) Distribuições Estáveis 

  

a 7,07E-01

 )

Exper.

Mínimo Máxim o Méd ia

Desv. Padr.

Estabil.(



) Escala (



)

Mínimo Máximo Média

Desv. Padr.

Estabil.(



)Escala (



)

281 3.00E+00 3.80E+01 4.26E+01 4.09E+01 2.48E+00 1.19E+00 4.65E-02 3.54E+01 3.59E+01 3.56E+01 2.71E-01 1.19E+00 3.24E-02

282 6.00E+00 3.44E+01 3.63E+01 3.54E+01 7.62E-01 1.14E+00 4.38E-02 3.51E+01 3.62E+01 3.57E+01 4.09E-01 1.28E+00 4.87E-02

283 9.00E+00 3.33E+01 3.78E+01 3.63E+01 1.36E+00 1.24E+00 3.71E-02 3.18E+01 3.64E+01 3.49E+01 1.37E+00 1.19E+00 1.13E-01

284 1.20E+01 3.46E+01 3.85E+01 3.62E+01 1.20E+00 1.12E+00 2.87E-02 3.36E+01 3.66E+01 3.54E+01 8.15E-01 1.12E+00 4.84E-02

285 1.80E+01 3.40E+01 3.78E+01 3.57E+01 1.11E+00 1.08E+00 3.48E-02 3.34E+01 3.88E+01 3.57E+01 1.18E+00 1.21E+00 4.01E-02

286 2.10E+01 3.42E+01 3.77E+01 3.59E+01 9.42E-01 1.23E+00 3.40E-02 3.33E+01 3.78E+01 3.54E+01 9.29E-01 1.14E+00 3.33E-02

287 2.40E+01 3.27E+01 3.83E+01 3.55E+01 1.42E+00 1.03E+00 7.81E-02 3.27E+01 3.66E+01 3.48E+01 1.09E+00 1.35E+00 8.22E-02

288 3.00E+01 3.37E+01 3.85E+01 3.58E+01 1.25E+00 1.16E+00 3.13E-02 3.39E+01 3.91E+01 3.59E+01 1.27E+00 1.09E+00 4.39E-02

Distribuições Estáveis



  

a 7,07E-01

 

)

Erro para 5000 gerações Erro para 10000 gerações

Execuç.

Distribuições Estáveis



  

a 7,07E-01

 

)

Tabela 5.26: Resultados com a função de Rosenbrock: Auto-adapt. livre nas n-dim de 500 a 10000

gerações.

5.3.7. Auto-adaptação com parâmetro estratégico α e γ único nas 30 dimensões

Nesta seção, fixa-se a aplicação do parâmetro estratégico as 30 dimensões com o propósito de

diminuir a turbulência gerada pela liberdade total de se aplicar 30 parâmetros estratégicos

independentes nas 30 dimensões [Lima e de Oliveira, 06].

A auto-adaptação dos parâmetros estratégicos possibilita uma evolução dentre as famílias de

distribuições estáveis onde, inicialmente define-se um intervalo de valores válidos para os parâmetros:

índice de estabilidade α ∈ [0.25, 2]; assimétrico β =0; escala ϒ ∈ [7.07E-9, 7.07E-1] e posição δ=0.

Como dito, o parâmetro estratégico é fixo para todas 30 dimensões, sendo observado o valor do índice

de estabilidade e escala para a melhor execução dentre as execuções de cada experimento, conforme a

Tabela 5.27.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padr

.Estabil.(



) Escala (



)

Mín imo Máximo Média

Desv. Padr

. Estabil.(



) Escala (



)

289 3.00E+00 3.63E+01 3.88E+01 3.79E+01 1.40E+00 1.05E+00 6.19E-02 3.56E+01 3.97E+01 3.75E+01 2.07E+00 1.09E+00 6.24E-02

290 6.00E+00 3.92E+01 4.17E+01 4.03E+01 1.03E+00 1.28E+00 5.07E-02 3.62E+01 3.97E+01 3.73E+01 1.32E+00 1.07E+00 5.00E-02

291 9.00E+00 3.73E+01 4.09E+01 3.89E+01 1.35E+00 1.03E+00 3.50E-02 3.45E+01 4.04E+01 3.73E+01 1.89E+00 1.20E+00 6.48E-02

292 1.20E+01 3.61E+01 4.18E+01 3.90E+01 1.76E+00 1.22E+00 5.78E-02 3.47E+01 3.92E+01 3.73E+01 1.49E+00 1.23E+00 5.15E-02

293 1.50E+01 3.81E+01 4.22E+01 3.99E+01 1.21E+00 1.17E+00 6.11E-02 3.53E+01 4.05E+01 3.75E+01 1.39E+00 1.14E+00 5.38E-02

294 1.80E+01 3.65E+01 4.30E+01 3.99E+01 1.84E+00 1.24E+00 3.57E-02 3.44E+01 3.98E+01 3.72E+01 1.63E+00 1.14E+00 6.05E-02

295 2.10E+01 3.60E+01 4.18E+01 3.87E+01 1.66E+00 1.04E+00 1.13E-01 3.60E+01 3.94E+01 3.77E+01 1.09E+00 1.22E+00 3.73E-02

296 2.40E+01 3.69E+01 4.27E+01 3.92E+01 1.46E+00 1.06E+00 3.77E-02 3.53E+01 3.97E+01 3.75E+01 1.27E+00 1.10E+00 1.06E-01

297 2.70E+01 3.66E+01 4.26E+01 3.96E+01 1.53E+00 9.95E-01 6.97E-02 3.40E+01 3.98E+01 3.72E+01 1.28E+00 1.02E+00 5.58E-02

298 3.00E+01 3.60E+01 4.44E+01 3.96E+01 1.94E+00 1.09E+00 1.01E-01 3.53E+01 4.01E+01 3.76E+01 1.29E+00 1.15E+00 3.07E-02

Execuç.

Distribuições Estáveis



  

a 7,07E-01

 

) Distribuições Estáveis



  

a 7,07E-01

 

)

Erro para 500 gerações Erro para 1500 gerações

Exper.

Execuç.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padr.

Estabil.(



) Escala (



)

Mínimo Máximo Média Desv. Padr.

Estabil.(



) Escala (



)

299 3.00E+00 3.46E+01 3.56E+01 3.52E+01 5.01E-01 1.16E+00 6.84E-02

300 6.00E+00 3.50E+01 3.69E+01 3.58E+01 6.80E-01 1.13E+00 5.11E-02

301 9.00E+00 3.48E+01 3.77E+01 3.65E+01 8.80E-01 1.05E+00 6.84E-02

302 1.20E+01 3.45E+01 3.65E+01 3.57E+01 6.06E-01 1.10E+00 4.73E-02

303 1.50E+01 3.42E+01 3.72E+01 3.57E+01 1.07E+00 1.17E+00 6.84E-02

304 1.80E+01 3.39E+01 3.89E+01 3.59E+01 1.45E+00 1.05E+00 3.28E-02

305 2.10E+01 3.30E+01 3.74E+01 3.55E+01 1.18E+00 1.11E+00 2.96E-02

306 2.40E+01 3.33E+01 3.85E+01 3.63E+01 1.14E+00 1.15E+00 9.78E-02

307 2.70E+01 3.32E+01 3.88E+01 3.56E+01 1.37E+00 1.12E+00 1.09E-01

308 3.00E+01

Erro para 5000 gerações Erro para 10000 gerações

Tabela 5.27: Resultados com a função de Rosenbrock: Auto-adapt. fixa nas n-dim. de 500 a 10000

gerações.

Os melhores resultados para 500, 1500 e 5000 gerações foram respectivamente nos

experimentos 298, 297 e 305. Observando-se os valores dos parâmetros de estabilidade e de escala e

comparando-se com os dados obtidos na Seção 5.3.5, os valores encontrados nos experimentos 289 a

308 se aproximam do resultado desejado, ou seja, erro minimo 2.58E+01 obtido no experimento 265

em relação ao erro mínimo 3.30E+01 no experimento 305.

5.3.8. Conclusões sobre os experimentos com a função de Rosenbrock

Para uma melhor visualização dos resultados experimentais realizados nas Seções 5.3.5 a 5.3.7

é criada a Tabela 5.28 e a Figura 5.2, onde se constata que ambos os processos empregados nas Seções

5.3.6 e 5.3.7, respectivamente parametrização livre dos parâmetros estratégicos e fixa para as 30

dimensões conseguiram aproximar-se da parametrização pré-definida

Para uma melhor visualização dos resultados experimentais realizados nesta seção criou-se a

Tabela 5.28, onde constata-se que na busca de uma família de distribuição estável a S-Lévy continua

apresentando melhores resultados.

Mínimo Máximo Média

Desv.Padr.

Mínimo Máximo Média

Desv.Padr.

Mínimo Máximo Média

Desv.Padr.

2.68E+01 2.80E+01 2.77E+01 2.50E-01 3.34E+01 4.22E+01 3.89E+01 2.30E+00 3.60E+01 4.44E+01 3.96E+01 1.94E+00

2.68E+01 2.73E+01 2.71E+01 1.27E-01 3.37E+01 3.98E+01 3.77E+01 1.26E+00 3.40E+01 3.98E+01 3.72E+01 1.28E+00

2.58E+01 2.61E+01 2.60E+01 7.44E-02 3.27E+01 3.83E+01 3.55E+01 1.42E+00 3.30E+01 3.74E+01 3.55E+01 1.18E+00

2.47E+01 2.49E+01 2.48E+01 7.45E-02 3.18E+01 3.64E+01 3.49E+01 1.37E+00

Geração

Erros entre f(x) mínimo, máximo e média utilizando a função de Rastrigin

S-Lévy

  

) Auto-adapt. variação livre: par. estr. n-dim. Auto-adapt. par. estr. iguais para n-dim.

5000

10000

500

1500

Tabela 5.28: Comparação na função de Rosenbrock: S-Lévy, Auto-adaptação livre e fixa nas n-dim.

0.00E+00

5.00E+00

1.00E+01

1.50E+01

2.00E+01

2.50E+01

3.00E+01

3.50E+01

4.00E+01

Geração

Erro

S-Lévy

2.68E+01 2.68E+01 2.58E+01 2.47E+01

Auto-adapt. var. livre n-dim.

3.34E+01 3.37E+01 3.27E+01 3.18E+01

Auto-adapt. par. estr. iguais p/

n dim.

3.60E+01 3.40E+01 3.30E+01

500 1500 5000 10000

Figura 5.2: Gráfico na função de Rosenbrock: S-Lévy, Auto-adaptação livre e fixa nas n-dim.

Nesta função de teste observa-se que a utilização da distribuição S-Lévy apresenta melhores

resultados independente do esforço computacional (número de gerações). Quando utiliza-se auto-

adaptação em ambos processos de controle dos parâmetros estratégicos nas n-dimensões: variação

livre ou fixa, obteve-se resultados próximos (10E-1), nos experimentos com 1500 e 5000 gerações, e

apresentando uma ligeira vantagem para o processo de auto-adaptação com variação livre nas n-

dimensões em 500 gerações.

5.4. Experimentos na função de teste de Griewangk nas dimensões: 2, 5, 10 e 30

Nesta seção utiliza-se a função de teste de Griewangk, que segue as mesmas parametrizações

da Seção 5.2, exetuado-se o seguinte parâmetro de controle de evolução:

o Intervalo de variação das coordenadas x

, ... , x

: {-600, ... , 600}

5.4.1. Experimentos com função de Griewangk: 2 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, x

, {α

, β

, γ

, δ

}, {α

, β

, δ

}]. Nas Tabelas 5.29 e 5.30 pode-se observar que os resultados obtidos dos erros mínimos vão

melhorando nos experimentos 316, 314, 321 e 322.

Exper.

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

308 7.07E-02 1.00E-01 1.34E-08 7.40E-03 2.47E-04 1.35E-03 2.65E-09 7.40E-03 4.93E-04 1.88E-03

309 7.07E-03 1.00E-02 4.19E-11 7.40E-03 4.93E-04 1.88E-03

2.66E-11

7.40E-03 4.93E-04 1.88E-03

310 7.07E-04 1.00E-03 5.03E-13 6.43E-11 2.00E-11 1.64E-11 2.08E-13 7.40E-03 2.47E-04 1.35E-03

311 7.07E-05 1.00E-04 1.20E-14 7.40E-03 3.79E-04 1.40E-03 1.33E-15 7.40E-03 2.47E-04 1.35E-03

312 7.07E-06 1.00E-05 2.22E-16 9.86E-03 8.98E-04 2.53E-03 0.00E+00 7.40E-03 4.95E-04 1.88E-03

313 7.07E-07 1.00E-06 0.00E+00 7.41E-03 8.14E-04 1.89E-03 0.00E+00 2.36E-03 9.99E-05

4.41E-04

314 7.07E-08 1.00E-07 0.00E+00 7.67E-03 1.41E-03 2.89E-03 0.00E+00 7.40E-03 8.08E-04 2.11E-03

315 7.07E-09 1.00E-08 0.00E+00 1.40E-02 5.90E-04

2.60E-03 0.00E+00 7.40E-03 3.05E-04 1.35E-03

Analise das distribuições estáveis de Gauss e Cauchy em 2 dimensões na Função de Griewangk

Par. de escala

Gauss

   



 

)Cauchy (

    

)

Erro Erro

Tabela 5.29: Resultados com a função de Griewangk: Gauss e Cauchy em 2 dimensões.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

316 7.07E-02 2.87E-10 1.34E-07 3.43E-08 3.21E-08 2.84E-06 9.76E-03 1.94E-03 2.76E-03

317 7.07E-03 5.82E-12 7.40E-03 2.47E-04 1.35E-03 5.51E-08 9.55E-03 4.70E-04 1.76E-03

318 7.07E-04 3.21E-13 7.40E-03 4.93E-04 1.88E-03 2.60E-10 2.33E-03 8.41E-05 4.26E-04

319 7.07E-05 4.44E-16 9.86E-03 5.75E-04 2.21E-03 1.83E-12 7.40E-03 5.11E-04 1.87E-03

320 7.07E-06 0.00E+00 2.22E-15 4.07E-16

4.99E-16 6.73E-14 7.40E-03 2.47E-04 1.35E-03

321 7.07E-07 0.00E+00 7.40E-03 4.93E-04 1.88E-03 0.00E+00 8.21E-05 4.85E-06

1.65E-05

322 7.07E-08 0.00E+00 7.40E-03 2.47E-04 1.35E-03 0.00E+00 7.40E-03 6.03E-04 1.80E-03

323 7.07E-09 0.00E+00 7.40E-03 9.88E-04 2.56E-03 0.00E+00 7.40E-03 3.84E-04 1.42E-03

Analise das distribuições estaveis de S-Lévy e Lévy em 2 dimensões na Função de Griewangk

S Lévy (    ) Lévy (    )

Erro Erro

Par. de escala

Tabela 5.30: Resultados com a função de Griewangk: S-Lévy e Lévy em 2 dimensões.

O melhor resultado foi na família de distribuição com cauda leve, S-Lévy com erros até 10

-16

5.4.2. Experimentos com função de Griewangk: 5 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, ..., x

, {α

, β

, γ

, δ

}, ...,

{

, β

, γ

, δ

}]. Nas Tabelas 5.31 e 5.32 pode-se observar que os resultados obtidos dos erros

mínimos vão melhorando nos experimentos 327, 326, 338a, 338b, 343, 347, 355 e 356.

Exper.

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

324 7.07E-02 1.00E-01 9.91E-03 5.05E-01 6.64E-02 9.13E-02 1.24E-04 5.43E-02 1.93E-02 1.40E-02

325 7.07E-03 1.00E-02 9.86E-03 1.53E-01 5.05E-02 3.45E-02 5.46E-07 1.40E-01 3.51E-02 3.01E-02

326 7.07E-04 1.00E-03 7.40E-03 2.24E-01 4.60E-02 4.21E-02 7.40E-03 1.85E-01 4.79E-02 4.79E-02

327 7.07E-05 1.00E-04 1.70E-02 2.05E-01 5.45E-02 3.90E-02 7.40E-03 9.61E-02 4.22E-02 2.53E-02

328 7.07E-06 1.00E-05 1.95E-02 1.86E-01 6.02E-02 3.57E-02 7.40E-03 1.95E-01 5.06E-02 4.29E-02

329 7.07E-07 1.00E-06 1.08E-02 1.99E-01 6.87E-02 4.86E-02 1.94E-02 2.32E-01 6.87E-02 5.04E-02

330 7.07E-08 1.00E-07 1.48E-02 2.15E-01 7.11E-02 4.49E-02 2.73E-02 2.03E-01 8.24E-02 4.88E-02

331 7.07E-09 1.00E-08 1.98E-02 2.72E-01 8.42E-02 5.30E-02 8.29E-03 2.70E-01 1.03E-01 7.25E-02

Erro Erro

Análise das distribuições estáveis de Gauss e Cauchy em 5 dimensões na Função Griewangk

Par. de escala

Gauss

   



 

)Cauchy (

    

)

Tabela 5.31: Resultados com a função de Griewangk: Gauss e Cauchy em 5 dimensões.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

332 7.07E-02 2.95E-05 3.32E-02 1.75E-02 9.12E-03 2.79E-02 4.28E-01 1.13E-01 7.51E-02

333 7.07E-03 2.40E-07 3.45E-02 1.84E-02 9.17E-03 8.25E-03 1.47E-01 6.01E-02 3.90E-02

334 7.07E-04 6.53E-09 3.45E-02 1.77E-02 9.24E-03 5.67E-04 9.99E-02 4.02E-02 2.60E-02

335 7.07E-05 7.35E-11 7.39E-02 1.99E-02 1.51E-02 1.22E-02 1.28E-01 4.59E-02 3.17E-02

336 7.07E-06 4.94E-13 8.38E-02 3.33E-02 2.05E-02 1.73E-02 1.23E-01 5.18E-02 2.77E-02

337 7.07E-07 9.77E-15 1.01E-01 3.70E-02 2.79E-02 5.86E-05 2.09E-01 6.68E-02 5.16E-02

338 7.07E-08 7.40E-03 1.18E-01 4.54E-02 3.00E-02 1.23E-02 2.34E-01 6.32E-02 4.77E-02

339 7.07E-09 9.86E-03 2.19E-01 4.91E-02 4.39E-02 1.14E-02 2.04E-01 6.42E-02 4.96E-02

Análise das distribuições estáveis de S-Lévy e Lévy em 5 dimensões na Função Griewangk

S Lévy (

    

)

Par. de escala

Erro Erro

Lévy (

    

)

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

340 7.07E-02 1.11E-05 3.46E-02 1.32E-02 8.12E-03 3.68E-05 5.25E-02 2.19E-02 1.26E-02

341 7.07E-03 1.37E-03 1.99E+00 4.06E-01 6.94E-01 4.68E-06 3.45E-02 2.13E-02 8.60E-03

342 7.07E-04 5.41E-09 3.45E-02 1.86E-02 9.57E-03 5.23E-09 3.50E-02 2.21E-02 1.02E-02

343 7.07E-05 7.40E-03 5.58E-02 2.02E-02 1.19E-02 4.86E-11 4.43E-02 2.04E-02 1.10E-02

344 7.07E-06 7.40E-03 1.23E-01 3.10E-02 2.40E-02 7.44E-06 4.19E-02 1.90E-02 9.97E-03

345 7.07E-07 7.98E-03 1.23E-01 5.05E-02 3.51E-02 4.71E-14 7.64E-02 2.89E-02 1.82E-02

346 7.07E-08 7.40E-03 3.89E-01 6.09E-02 7.90E-02 0.00E+00 1.33E-01 3.87E-02 3.20E-02

347 7.07E-09 7.40E-03 8.87E-02 3.64E-02 2.53E-02 9.86E-03 1.87E-01 6.16E-02 4.69E-02

Par. de escala

Erro Erro

Estável 1 (

    

)-->Erro Estável 2 (

    

)-->Erro

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

348 7.07E-02 2.54E-03 2.99E-02 1.59E-02 7.88E-03 4.45E-03 5.20E-02 2.46E-02 1.13E-02

349 7.07E-03 3.34E-06 2.71E-02 1.53E-02 7.37E-03 6.54E-07 2.96E-02 1.42E-02 7.78E-03

350 7.07E-04 1.18E-08 3.56E-02 2.10E-02 1.01E-02 7.40E-03 4.08E-02 2.02E-02 8.31E-03

351 7.07E-05 2.06E-11 3.45E-02 2.00E-02 8.96E-03 4.67E-11 3.40E-02 1.76E-02 9.95E-03

352 7.07E-06 1.66E-10 3.54E-02 1.67E-02 9.32E-03 1.46E-12 3.25E-02 1.92E-02 9.53E-03

353 7.07E-07 7.11E-15 5.17E-02 2.19E-02 1.37E-02 2.35E-09 3.94E-02 1.84E-02 8.98E-03

354 7.07E-08 4.44E-16 6.65E-02 2.56E-02 1.42E-02 4.42E-03 5.91E-02 2.08E-02 1.11E-02

355 7.07E-09 7.40E-03 1.26E-01 3.61E-02 2.54E-02 1.33E-15 5.17E-02 1.95E-02 1.24E-02

Erro Erro

Par. de escala

Estável 3 (    )-->Erro Estável 4 (     )-->Erro

Tabela 5.32: Resultados com a função de Griewangk: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a Estável 4 em 5

dimensões.

O melhor resultado foi na família de distribuição com cauda leve, Estável 4 com erros 10

-15

5.4.3. Experimentos com função de Griewangk: 10 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, ..., x

10,

{α

, β

, γ

, δ

...

{α

10 1

, β

10 2

, γ

10 3

, δ

10 4

}]. Nas Tabelas 5.33 e 5.34 pode-se observar que os resultados obtidos dos

erros mínimos vão melhorando nos experimentos 358a, 358b, 366, 368, 376, 377, 385a e 385b.

Exper.

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

356 7.07E-02 1.00E-01 1.14E-01 1.76E+00 6.18E-01 4.41E-01 3.09E-02 2.26E-01 1.29E-01 5.05E-02

357 7.07E-03 1.00E-02 7.05E-02 1.24E+00 6.58E-01 3.10E-01 2.71E-02 1.17E+00 3.87E-01 2.86E-01

358 7.07E-04 1.00E-03 6.94E-01 2.14E+00 1.31E+00 3.94E-01 6.89E-02 1.01E+00 4.45E-01 2.69E-01

359 7.07E-05 1.00E-04 7.04E-01 2.92E+00 1.31E+00 4.64E-01 1.35E-01 1.70E+00 7.18E-01 3.60E-01

360 7.07E-06 1.00E-05 7.92E-01 2.51E+00 1.42E+00 4.55E-01 4.43E-01 2.96E+00 1.19E+00 5.67E-01

361 7.07E-07 1.00E-06 3.92E-01 2.77E+00 1.27E+00 4.99E-01 4.56E-01 2.88E+00 1.21E+00 5.23E-01

362 7.07E-08 1.00E-07 7.28E-01 2.10E+00 1.29E+00 4.03E-01 4.65E-01 2.56E+00 1.07E+00 4.44E-01

363 7.07E-09 1.00E-08 7.04E-01 3.71E+00 1.35E+00 6.04E-01 7.11E-01 2.80E+00 1.43E+00 5.49E-01

Análise das distribuições estáveis de Gauss e Cauchy em 10 dimensões na Função Griewangk

Erro Erro

Par. de escala

Gauss

   



 

) Cauchy (

    

)

Tabela 5.33: Resultados com a função de Griewangk: Gauss e Cauchy em 10 dimensões.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

364 7.07E-02 9.93E-04 1.39E-01 3.70E-02 3.47E-02 3.87E-01 1.74E+00 9.35E-01 3.54E-01

365 7.07E-03 3.18E-05 1.49E-01 6.85E-02 3.83E-02 1.76E-01 1.90E+00 5.12E-01 3.34E-01

366 7.07E-04 9.86E-03 2.89E-01 8.96E-02 5.38E-02 1.60E-01 2.05E+00 6.66E-01 4.55E-01

367 7.07E-05 4.22E-02 3.42E-01 1.74E-01 8.09E-02 1.00E-01 3.19E+00 6.41E-01 7.37E-01

368 7.07E-06 9.58E-03 1.17E+00 2.17E-01 2.20E-01 1.46E-01 1.32E+00 5.28E-01 3.22E-01

369 7.07E-07 9.60E-02 1.43E+00 4.48E-01 2.81E-01 1.45E-01 1.52E+00 6.93E-01 3.45E-01

370 7.07E-08 2.59E-01 2.31E+00 7.13E-01 5.21E-01 3.07E-01 1.93E+00 9.15E-01 4.49E-01

371 7.07E-09 1.02E-01 2.84E+00 8.22E-01 5.22E-01 3.89E-01 1.77E+00 1.01E+00 3.81E-01

Análise das distribuições estáveis de S-Lévy e Lévy em 10 dimensões na Função Griewangk

S Lévy (    )

Par. de escala

Erro Erro

Lévy (    )

Exper.

Mínimo Máximo Média Desv. Padrão Mínimo Máximo Média Desv. Padrão

372 7.07E-02 2.24E-03 1.03E-01 3.36E-02 3.21E-02 3.29E-03 1.08E-01 2.71E-02 2.49E-02

373 7.07E-03 7.42E-03 1.43E-01 6.52E-02 3.93E-02 3.53E-05 1.43E-01 5.85E-02 3.98E-02

374 7.07E-04 9.86E-03 1.55E-01 9.17E-02 3.79E-02 3.48E-05 1.27E-01 5.97E-02 4.18E-02

375 7.07E-05 9.83E-09 2.35E-01 1.13E-01 5.98E-02 2.49E-02 1.57E-01 9.13E-02 3.62E-02

376 7.07E-06 2.67E-05 3.82E-01 1.70E-01 1.02E-01 2.33E-09 3.96E-01 1.16E-01 8.67E-02

377 7.07E-07 4.68E-02 1.07E+00 3.77E-01 2.57E-01 2.46E-02 5.79E-01 2.14E-01 1.39E-01

378 7.07E-08 1.06E-01 1.43E+00 5.37E-01 3.55E-01 2.49E-02 9.93E-01 2.85E-01 1.97E-01

379 7.07E-09 2.22E-01 2.06E+00 7.39E-01 4.17E-01 1.20E-01 1.04E+00 5.19E-01 2.60E-01

Erro Erro

Par. de escala

Estável 1 (    )-->Erro Estável 2 (    )-->Erro

Exper.

Mínimo Máximo Média Desv. Padrão Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

380 7.07E-02 2.47E-02 3.05E-01 1.33E-01 7.96E-02 7.01E-02 5.83E-01 2.77E-01 1.06E-01

381 7.07E-03 2.07E-04 1.26E-01 4.85E-02 3.90E-02 1.31E-03 8.75E-02 3.00E-02 2.40E-02

382 7.07E-04 7.17E-06 1.20E-01 6.71E-02 3.80E-02 3.48E-05 1.27E-01 5.97E-02 4.18E-02

383 7.07E-05 7.40E-03 1.43E-01 7.38E-02 4.24E-02 4.24E-02 1.36E-01 7.95E-02 3.81E-02

384 7.07E-06 3.60E-09 2.66E-01 9.76E-02 5.30E-02 3.02E-08 1.51E-01 9.41E-02 3.69E-02

385 7.07E-07 2.68E-06 2.41E-01 9.27E-02 5.28E-02 5.54E-08 1.51E-01 8.82E-02 3.40E-02

386 7.07E-08 4.70E-06 3.16E-01 1.38E-01 7.38E-02 7.40E-03 1.79E-01 9.34E-02 4.31E-02

387 7.07E-09 7.82E-03 4.85E-01 2.06E-01 1.19E-01 7.61E-03 3.07E-01 1.11E-01 8.00E-02

Erro Erro

Par. de escala

Estável 3 (    )-->Erro Estável 4 (     )-->Erro

Tabela 5.34: Resultados com a função de Griewangk: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a Estável 4 em 10

dim.

O melhor resultado foi na família de distribuição com cauda leve, Estável 2 com erros até 10

-9

5.4.4. Experimentos com função de Griewangk: 30 dimensões

A representação do indivíduo ou cromossomo tem a forma [x

, ..., x

30,

{α

, β

, γ

, δ

...

{α

30 1

, β

30 2

, γ

30 3

, δ

30 4

}].Nas Tabelas 5.35 e 5.36 pode-se observar que os resultados obtidos dos

erros mínimos vão melhorando nos experimentos 389, 390, 394, 395, 398a, 398b, 403a e 403b.

Exper.

γσ

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

388 7.07E-01 1.00E+00

3.03E-01 5.30E-01 4.17E-01 5.69E-02 6.13E-01 8.68E-01 7.83E-01 5.69E-02

389 7.07E-02 1.00E-01 3.81E+00 9.77E+00 6.22E+00 1.50E+00 1.47E-02 3.67E-02 2.39E-02 5.74E-03

390 7.07E-03 1.00E-02 4.18E+00 2.10E+01 9.12E+00 3.19E+00 1.05E+00 2.13E+00 1.25E+00 2.22E-01

391 7.07E-04 1.00E-03 5.03E+00 1.40E+01 9.86E+00 2.67E+00 2.62E+00 9.81E+00 4.89E+00 1.73E+00

Analise das distribuições estaveis de Gauss e Cauchy em 30 dimensões para a Função Griewangk

Par. de escala

Gauss    



 ) Cauchy (    )

Erro Erro

Tabela 5.35: Resultados com a função de Griewangk: Gauss e Cauchy em 30 dimensões.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

392 7.07E-03 1.58E-02 4.22E-02 2.58E-02 6.09E-03

393 7.07E-04 9.75E-03 1.44E-01 4.36E-02 3.07E-02 3.60E+00 1.04E+01 5.96E+00 1.74E+00

394 7.07E-05 4.82E-01 1.07E+00 8.99E-01 1.62E-01 2.17E+00 1.21E+01 5.54E+00 2.19E+00

395 7.07E-06 2.28E+00 9.74E+00 5.45E+00 1.64E+00

Análise das distribuições estáveis de S-Lévy e Lévy em 30 dimensões na Função vale de Griewangk

S Lévy (    )

Par. de escala

Erro Erro

Lévy (    )

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

396 7.07E-03 3.40E-02 9.52E-02 5.97E-02 1.30E-02 3.05E-01 6.16E-01 4.17E-01 7.15E-02

397 7.07E-04

3.89E-03 3.92E-02 2.04E-02 9.94E-03

2.18E-02 6.52E-02 4.22E-02 1.00E-02

398 7.07E-05 6.28E-02 7.46E-01 4.17E-01 1.74E-01 2.63E-02 2.00E-01 7.11E-02 3.83E-02

399 7.07E-06 4.91E-02 3.38E-01 1.67E-01 5.89E-02 1.33E-01 1.02E+00 7.42E-01 2.19E-01

400 7.07E-07 9.89E-01 1.15E+00 1.06E+00 3.86E-02

Erro Erro

Par. de escala

Estável 1 (    )-->Erro Estável 2 (    )-->Erro

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

401 7.07E-05 5.71E-02 1.80E-01 1.08E-01 3.52E-02 4.19E-01 8.01E-01 5.59E-01 9.50E-02

402 7.07E-06 4.91E-02 3.38E-01 1.67E-01 5.89E-02 1.13E-01 3.94E-01 2.40E-01 7.55E-02

403 7.07E-07 1.22E-01 9.45E-01 6.14E-01 2.22E-01 1.52E-01 4.77E-01 2.86E-01 8.35E-02

Estável 4 (

     

)-->Erro

Par. de escala

Estável 3 (

    

)-->Erro

Erro Erro

Tabela 5.36: Resultados com a função de Griewangk: S-Lévy, Lévy e Estável 1 a Estável 4 em 30

dim.

Observa-se que a distribuição estável considerada como a melhor para a função de Griewangk

é a Estável 1 com erros mínimos da ordem de 10

-03

. A distribuição S-Lévy também apresenta

resultados semelhantes porém levemente maiores, isto se justifica devido ao fato do parâmetro de

estabilidade, que define a família de distribuição ser muito próximo, como já visto na Tabela 5.3.

5.4.5. Dados dos experimentos para a distribuição Estável 1

Como verificado na seção anterior o melhor resultado foi utilizando-se a distribuição de

Estável 1, que disperta para este novo conjunto de experimentos. Neste caso verifica-se a evolução dos

dados com o número de execuções de 3 até 30, para execuções independentes, variando-se o número

de gerações de 500, 1500, 5000 e 10000.

Tem-se o propósito de verificar em que condições será mais interessante executar

experimentos no futuro, ou seja, com um número maior de gerações associado a um número menor de

execuções, ou ao contrário. Vale lembrar que, reduzindo significativamente o número de execuções,

pode-se perder a relevância da amostra (repetibilidade).

Na Tabelas 5.37 pode-se observar que os resultados obtidos dos erros mínimos vão

melhorando lentamente na distribuição Estável 1, quando aumenta-se o esforço computacional até

10000 gerações mesmo com a redução do número de execuções, considerando-se um mínimo de 6

execuções.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

404 3.00E+00 1.042E-02 3.170E-02 2.343E-02 1.141E-02 6.177E-05 7.453E-03 4.985E-03 4.264E-03

405 6.00E+00 1.576E-02 2.608E-02 2.013E-02 3.820E-03 4.499E-05 9.905E-03 2.928E-03 4.521E-03

406 9.00E+00 3.850E-05 9.891E-03 4.435E-03 4.227E-03 3.578E-05 7.448E-03 1.693E-03 3.257E-03

407 1.20E+01 8.724E-03 3.235E-02 1.857E-02 6.491E-03 4.642E-05 1.238E-02 3.547E-03 4.514E-03

408 1.50E+01 7.803E-03 3.467E-02 1.922E-02 7.907E-03 3.642E-05 7.450E-03 1.037E-03 2.601E-03

409 1.80E+01 6.876E-03 3.685E-02 2.114E-02 9.406E-03 4.622E-05 9.914E-03 3.615E-03 4.158E-03

410 2.10E+01 3.365E-03 5.500E-02 1.799E-02 1.036E-02 4.259E-05 1.236E-02 3.927E-03 4.308E-03

411 2.40E+01 5.950E-03 6.597E-02 1.801E-02 1.164E-02 4.029E-05 9.898E-03 3.239E-03 3.880E-03

412 2.70E+01 6.077E-03 3.723E-02 1.859E-02 8.432E-03 3.762E-05 1.237E-02 3.981E-03 4.282E-03

413 3.00E+01 8.538E-03 3.456E-02 1.830E-02 7.313E-03 3.157E-05 7.459E-03 2.519E-03 3.545E-03

Execuções

Estável 1 (

    

)-->Erro Estável 1 (

    

)-->Erro

Erro para 500 gerações Erro para 1500 gerações

Exper.

Execuções

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

414 3.00E+00 8.145E-06 1.345E-05 1.131E-05 2.798E-06 7.403E-03 7.403E-03 9.045E-03 1.421E-03

415 6.00E+00 1.218E-05 7.407E-03 1.245E-03 3.019E-03 7.452E-06 9.865E-03 5.348E-03 4.245E-03

416 9.00E+00 1.036E-05 9.872E-03 4.394E-03 4.230E-03 6.062E-06 1.479E-02 2.472E-03 5.226E-03

417 1.20E+01 9.976E-06 9.870E-03 3.299E-03 4.116E-03 9.300E-06 7.410E-03 1.861E-03 3.346E-03

418 1.50E+01 1.086E-05 7.411E-03 1.986E-03 3.386E-03 5.540E-06 7.404E-03 3.458E-03 3.819E-03

419 1.80E+01 9.541E-06 9.869E-03 3.025E-03 3.926E-03 1.056E-05 9.873E-03 3.437E-03 3.979E-03

420 2.10E+01 7.086E-06 1.233E-02 2.125E-03 3.996E-03 4.808E-06 9.865E-03 4.233E-03 4.208E-03

421 2.40E+01 8.523E-06 9.867E-03 3.196E-03 3.879E-03 5.606E-06 1.233E-02 2.062E-03 3.753E-03

422 2.70E+01 1.030E-05 1.233E-02 3.664E-03 4.289E-03 5.763E-06 9.865E-03 3.477E-03 4.002E-03

423 3.00E+01 1.023E-05 1.233E-02 3.792E-03 4.231E-03 6.591E-06 1.478E-02 4.609E-03 4.328E-03

Erro para 5000 gerações Erro para 10000 gerações

Tabela 5.37: Resultados com a função de Griewangk: Estável 1 de 500 a 10000 gerações.

Os melhores resultados para 500, 1500, 5000 e 10000 gerações foram respectivamente nos

experimentos 407, 414, 421a e 421b. Para a função de Griewangk no conjunto de experimentos de 405

a 424, verifica-se que é vantajoso aumentar o número de gerações considerando um mínimo de 6

execuções.

5.4.6. Auto-adaptação dos parâmetros estratégicos α e γ em 30 dimensões

A motivação para executar os experimentos desta seção, reside no fato de analisar se é

possível deixar o processo evolutivo descobrir uma família de distribuições estáveis que acarrete

melhor nível de qualidade do que os experimentos com famílias pre-definidas. Este novo conjunto de

experimentos se encontra dentro das mesmas parametrizações que as existentes na seção anterior, que

não é a mesma da Seção 5.1, fato que justifica a execução deste experimentos.

Sendo assim, inicialmente define-se um intervalo de valores válidos para os parâmetros: índice

de estabilidade α ∈ [0.25, 2]; assimétrico β =0; escala ϒ ∈ [7.07E-09, 7.07E+00] e posição δ=0. Os

parâmetros estratégicos podem variar livremente para cada dimensão de forma independente. Foi

observado o valor dos índices de estabilidade e escala para a melhor execução dentre as execuções de

cada experimento, conforme a Tabela 5.38.

Exper.

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Estabil.(



) Escala (



)

Mínimo Máximo Média

Desv. Padrão

Estabil.(



)Escala (



)

424 3.00E+00 8.836E-01 1.019E+00 9.696E-01 7.471E-02 1.089E+00 1.690E+00 8.771E-01 8.927E-01 8.847E-01 7.814E-03 1.299E+00 2.652E+00

425 6.00E+00 9.662E-01 1.025E+00 9.969E-01 1.959E-02 1.024E+00 7.575E-01 8.439E-01 9.785E-01 9.092E-01 5.687E-02 1.100E+00 1.661E+00

426 9.00E+00 9.351E-01 1.042E+00 1.001E+00 3.643E-02 1.152E+00 2.039E-01 7.496E-01 1.010E+00 8.704E-01 8.487E-02 1.213E+00 8.847E-01

427 1.20E+01 8.127E-01 1.026E+00 9.637E-01 6.320E-02 1.059E+00 2.330E-01 6.853E-01 1.008E+00 8.949E-01 9.351E-02 1.019E+00 2.281E-01

Execuç

Distribuições Estáveis



  

a 7,07E+00

 

) Distribuições Estáveis



  

a 7,07E+00

 

)

Erro para 500 gerações Erro para 1500 gerações

Tabela 5.38: Resultados com a função de Griewangk: Auto-adapt. livre nas n-dim de 500 a 1500

gerações.

Os melhores resultados para 500 e 1500 gerações foram respectivamente nos experimentos

427a, 427b. Observando-se os valores dos parâmetros de estabilidade e de escala, na comparação com

os dados obtidos na seção anterior os valores encontrados nos experimentos 404 a 423 estes não se

aproximam do resultado desejado, ou seja, erro minimo 3.16E-05 obtido no experimento 413 em

relação ao erro mínimo 6.784E-01 no experimento 427b. Na Seção 5.3.8. conjuga-se melhor a

interlação dos dados experimetais com a ampliação dos experimentos da seção seguinte, que fixa os

parametros estratégicos para todas as 30 dimensões.

5.4.7. Auto-adaptação com parâmetro estratégico α e γ único nas 30 dimensões

Nesta seção, fixa-se a aplicação do parâmetro estratégico as 30 dimensões com o propósito de

diminuir a turbulência gerada pela liberdade total de se aplicar 30 parâmetros estratégicos

independentes nas 30 dimensões [Lima e de Oliveira, 06].

A auto-adaptação dos parâmetros estratégicos possibilita uma evolução dentre as famílias de

distribuições estáveis onde, inicialmente define-se um intervalo de valores válidos para os parâmetros:

índice de estabilidade α ∈ [0.25, 2]; assimétrico β =0; escala ϒ ∈ [7.07E-9, 7.07E+0] e posição δ=0.

Como dito, o parâmetro estratégico é fixo para todas 30 dimensões, sendo observado o valor do índice

de estabilidade e escala para a melhor execução dentre as execuções de cada experimento, conforme a

Tabela 5.39.

Exper.

Mínimo Máximo Média Desv. Padr.

Estabil.(



) Escala (



)

Mínimo Máximo Média Desv. Padr.

Estabil.(



) Escala (



)

428 3.00E+00 9.90E-01 1.03E+00 1.01E+00 1.89E-02 1.13E+00 7.41E-01

7.92E-01 9.02E-01 8.57E-01 5.78E-02 1.04E+00 1.56E+00

429 6.00E+00 9.34E-01 1.02E+00 9.75E-01 3.84E-02 1.21E+00 1.03E+00

8.02E-01 9.74E-01 8.66E-01 5.74E-02 1.25E+00 8.58E-01

430 9.00E+00 8.21E-01 1.02E+00 9.53E-01 8.65E-02 1.13E+00 1.81E+00

8.36E-01 9.80E-01 9.21E-01 5.05E-02 1.08E+00 2.17E+00

431 1.20E+01 8.58E-01 1.05E+00 9.73E-01 5.51E-02 1.12E+00 6.55E-01

Erro para 500 gerações Erro para 1500 gerações

Execuç.

Distribuições Estáveis



  

a 7,07E+01

 

) Distribuições Estáveis



  

a 7,07E+01

 

)

Tabela 5.39: Resultados com a função de Griewangk: Auto-adapt. fixa nas n-dim. de 500 a 1500

gerações.

Os melhores resultados para 500 e 1500 gerações foram respectivamente nos experimentos

436 e 434. Observando-se os valores dos parâmetros de estabilidade, escala e comparando-se com os

dados obtidos na Seção 5.3.5, os valores encontrados nos experimentos 434 a 437 não se aproximam

do resultado desejado, ou seja, erro mínimo 3.16E-05 obtido no experimento 413 na distribuição

Estável 1 é muito melhor em relação ao erro mínimo 8.21E-01 no experimento 436.

Esta conclusão se baseia no fato que o menor erro encontrado determina a melhor busca na

função de teste de Griewangk. Como os valores obtidos nesta seção e na anterior não foram

adequados, os experimentos foram reduzidos nesta seção por se apresentarem muito distantes dos

desejados, não justificando o esforço computacional demandado.

5.4.8. Conclusões sobre os experimentos com a função de Griewangk

Para uma melhor visualização dos resultados experimentais realizados nas Seções 5.4.5 a 5.4.7

é criada a Tabela 5.40 e a Figura 5.3, onde se constata que ambos os processos empregados nas Seções

5.4.6 e 5.4.7, respectivamente parametrização livre dos parâmetros estratégicos e fixa para as 30

dimensões não conseguiram aproximar-se da parametrização pré-definida, constatando-se que na

busca de uma família de distribuição a Estável 1 apresenta melhores resultados.

Mínimo Máximo Média

Desv.Padr.

Mínimo Máximo Média

Desv.Padr.

Mínimo Máximo Média

Desv.Padr.

3.85E-05 9.89E-03 4.44E-03 4.23E-03 8.13E-01 1.03E+00 9.64E-01 6.32E-02

8.21E-01 1.02E+00 9.53E-01 8.65E-02

3.16E-05 7.46E-03 2.52E-03 3.54E-03 6.85E-01 1.01E+00 8.95E-01 9.35E-02

7.92E-01 9.02E-01 8.57E-01 5.78E-02

7.09E-06 1.23E-02 2.12E-03 4.00E-03

Geração

Erros entre f(x) mínimo, máximo e média utilizando a função de Rastrigin

S-Lévy

  

) Auto-adapt. variação livre: par. estr. n-dim. Auto-adapt. par. estr. iguais para n-dim.

5000

500

1500

Tabela 5.40: Comparação na função de Griewangk: Estável, Auto-adaptação livre e fixa nas n-dim.

0.00E+00

1.00E-01

2.00E-01

3.00E-01

4.00E-01

5.00E-01

6.00E-01

7.00E-01

8.00E-01

9.00E-01

Geração

Erro

Estável 1

3.85E-05 3.16E-05 7.09E-06

Auto-adapt. var. livre n-dim.

8.13E-01 6.85E-01

Auto-adapt. par. estr. iguais p/

n dim.

8.21E-01 7.92E-01

500 1500 5000

Figura 5.2: Gráfico na função de Rosenbrock: S-Lévy, Auto-adaptação livre e fixa nas n-dim.

Nesta função de teste observa-se que a utilização da distribuição S-Lévy apresenta melhores

resultados independente do esforço computacional (número de gerações). Quando utiliza-se auto-

adaptação em ambos processos de controle dos parâmetros estratégicos nas n-dimensões: variação

livre ou fixa, obteve-se resultados próximos (10E-1), nos experimentos com 1500 e 5000 gerações, e

apresentando uma ligeira vantagem para o processo de auto-adaptação com variação livre nas n-

dimensões em 500 gerações.

CAPÍTULO VI

CONCLUSÕES

Existem inúmeros trabalhos que tratam do uso de distribuições Gaussianas em conjunto com

estratégias evolutivas ou computação evolutiva em geral. Neste trabalho procuramos ampliar o

conjunto de distribuições e analisar o desempenho na busca de mínimos globais, bem como a

qualidade e o esforço computacional demandada pelo algoritmo evolutivo.

Com as análises dos dados obtidos nas dimensões 2, 5, 10 e 30 verificamos que a busca da

solução encontrada na dimensão 2 não se aplicava diretamente na dimensão subseqüente, embora

indicasse um provável caminho na próxima dimensão pesquisada dentro da mesma função de teste.

Esta observação determina que o esforço despendido para descobrir passo-a-passo, a melhor

distribuição, passando por um processo longo de parametrizações e testes, até se obter uma solução

para o conjunto escolhido: número de elementos na população, quantidade de execuções, número de

gerações, tipos de operadores, esquema de seleção e parametrização da própria distribuição.

Desta forma as opções de implementação bem como os conjuntos de valores utilizados com

certeza determinam o sucesso ou não da obtenção dos resultados. Um fato importante que pode ser

acompanhado em todos os resultados de forma inegável é que existe uma distribuição diferenciada

para cada função de teste analisada em uma determinada dimensão.

Aparentemente, este trabalho mostra um caminho alternativo; no entanto, apesar de avançar no

tema, sugere-se que um estudo mais aprofundado sobre as questões aqui levantadas seja conduzido,

indo-se muito além dos experimentos reportados.

Na busca de distribuições não-nomeadas foram adicionadas mais quatro famílias, que

exploram as distribuições com baixo índice de estabilidade (0.25 ≤ α <0.5) e com parâmetros de escala

extremamente pequenos (0.707E-13 ≤ γ < 0.707E-1), valores estes decorrência do aprofundamento

passo-a-passo obtido no desenvolvimento dos experimentos. Certamente poderiam ser outros valores,

gerando uma infinidade de experimentos, sempre na busca de melhores ajustes.

Os experimentos apresentados que utilizam auto-adaptação com variação em todas as

dimensões ou mesmo os que fixam os parâmetros estratégicos nas n-dimensões, pouco se

aproximaram dos valores obtidos na metodologia passo-a-passo. Embora a auto-adaptação não tenha

neste trabalho apresentado um resultado adequado, inúmeros métodos alternativos são aplicados com

sucesso em diversas funções de teste na literatura.

De fato, há muito que sistematizar em termos de experimentos, antes que conclusões mais

fortes possam ser tiradas. Nesse sentido, deve-se avaliar o efeito de outros aspectos do algoritmo

evolutivo empregado, como seu desempenho em outras funções de teste, bem como analisar com mais

cautela o efeito dos próprios aspectos que foram discutidos.

Todas essas são direções necessárias para validar as observações quantitativas aqui realizadas.

Indubitável, entretanto, é que este estudo envolvendo distribuições estáveis se alinha com inúmeros

outros que têm aparecido na literatura em anos recentes, atestando a ubiqüidade e importância das

distribuições estáveis, especialmente a de Lévy, na natureza e na matemática, o que é forte sugestão de

seu potencial também na computação evolutiva.

6.1. Sugestões para trabalhos futuros

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[Almeida e Evsukoff, 03] Paulo Eduardo Maciel de Almeida e Alexandre Gonçalves Evsukoff.

“Sistemas Fuzzy”. Sistemas inteligentes: Fundamentos e aplicações. Coordenadora Solange

Oliveira Rezende. Editora Manole, 169-224, 2003.

[Angeline et al, 96] P. J. Angeline. D.B. Fogel e L.J. Fogel. “A comparison of self-adaptation methods

for finite state machines in a dynamic environment”. Proc. 5

. Ann. Conf. on Evolutionary

Programming. Eds. L.J. Fogel, P. J. Angeline and T Bäck. Cambridge. MA. MIT Press, 441-9,

1996.

[Anderson, 00] John R. Anderson. Learning and memory an integrated approach. Wiley. 2

ed, 2000.

[Atmar, 94] Wirt Atmar. “Notes on the simulation of evolution”. IEEE Transactions on Neural

Networks, 5(1):130-148, 1994.

[Azevedo, Brasil e Oliveira, 00] Fernando M. de Azevedo. Lourdes M. Brasil e Roberto Célio L. de

Oliveira. Redes neurais com aplicações em controle e em sistemas especialistas. Visual

Books. 1

ed, 2000.

[Bäck et al, 00] Thomas Bäck, David B. Fogel, Darrell Whitley e Peter J. Angeline. “Mutation

operators”. In T. Bäck, D. B. Fogel e Z. Michalewicz eds. Evolutionary computation 1- Basic

algorithms and operators. Bristol e Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 237-243,

2000.

[Bäck, Hammel e Schwefel, 97] Thomas Bäck. Ulrich Hammel e Hans-Paul Schwefel.

”Evolutioanary computional: comments on the history and current state”. IEEE Transactions

on Evolutionary Computation, 1(1):3-17, 1997.

[Banzhaf et al, 02] Wolfgang Banzhaf, Peter Nordin, Robert E. Keller e Frank D. Francone. Genetic

programming an introduction. Morgan Kaufmann. 5

ed, 2002.

[Beasley, 00] David Beasley. “Possible applications of evolutionary computation”. In T. Bäck, D. B.

Fogel e Z. Michalewicz eds. Evolutionary computation 1- Basic algorithms and operators.

Bristol e Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 4-19, 2000.

[Beyer, 01] Hans-Georg Beyer. The Theory of evolution strategies. Springer-Verlag. 1

ed, 2001.

[Bertoin, 02] Jean Bertoin. Lévy Processes. Cambridge University Press. 3

ed, 2002.

[Bittencourt, 06] Guillerme Bittencourt. Inteligência artificial: Ferramentas e teorias. Editora da

UFSC. 3

ed, 2006.

[Body, 94] Ian D. Body, Patrick D. Surry e Nicholas J. Radcliffe. “Constrained gas network pipe

sizing with genetic algorithms”. Edinburgh Parallel Computing Centre. EPCC, TR94(11):1-7,

1994.

[Borak, 05] Szymon Borak. Wolfgang Härdle e Rafal Weron. “Stable Distributions”. SFB 649

Economic risk. Humboldt-Universität zu Berlin. Discussion Paper 2005(008):1-25, 2005.

[Booker et al, 00] Lashon B. Booker, David B. Fogel, Darrell Whitley, Peter J. Angeline e A. E.

Eiben. ”Recombination”. In T. Bäck, D. B. Fogel e Z. Michalewicz eds. Evolutionary

computation 1- Basic algorithms and operators. Bristol e Philadelphia: Institute of Physics

Publishing, 256-307, 2000.

[Carrapiço, 01] Francisco J. Nascimento Carrapiço. “A origem da vida e a sua evolução-Uma questão

central no âmbito da exobiologia”. Centro de Biologia Ambiental. Departamento de Biologia

Vegetal. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. p. 25-32, 2001. Disponível em

http://azolla.fc.ul.pt/astrobiologia/Exobiologia.pdf>.

[Carvalho, Braga e Ludermir, 03] André Carlos P. de L. F. de Carvalho, Antônio de P. Braga e Teresa

B. Ludermir. “Computação Evolutiva”. Sistemas inteligentes: Fundamentos e aplicações.

Coordenadora Solange Oliveira Rezende. Editora Manole. 225-248, 2003.

[Cercone e McCalla, 94] Nicholas Cercone e Gordon McCalla. “Ten years of computational

intelligence”. Computational Intelligence. Blackwell's Pub. 10(4):1-6, 1994.

[Castro, 02] Leandro Nunes de Castro. Resumo do livro The origin of species. Charles R. Darwin.

Wordsworth Editions Limited. 1998. 1-14, 2002.

[Castro, 06] Leandro Nunes de Castro. Fundamentals of Natural Computing: Basic Concepts,

Algorithms, and Applications. Chapman & Hall/CRC. 1

ed, 2006.

[Chen, Liu e Chen, 06] Chan-Hong Chen, Wei-Nan Liu e Ying-Ping Chen. “Adaptive discretization

for probabilistic model building genetic algorithms“. GECCO’ 06. Session Genetic

Algorithms-9: Adaptation. 1103-10, 2006.

[Chorafas, 88] Dimitris N. Chorafas. Sistemas especialistas - Aplicações comerciais. Tradução:

Miriam Fonseca Diniz. Revisão Técnica: Nizam Omar. McGraw-Hill. 1

ed, 1988.

[Cunha e Ribeiro, 87] Horácio da Cunha e Sousa Ribeiro. Introdução aos sistemas especialistas.

Livros Técnicos e Científicos Editora. 1

ed, 1987.

[Damazio, Seixas e Soares, 03] Denis O. Damazio. José M. Seixas e A. C. Soares. “Um classificador

neural compacto e eficiente com capacidade de identificar contaminação em dados

experimentais”. Controle & Automação. Sociedade brasileira de automática. 14(4):359-367,

2003.

[de Oliveira e Gutierrez, 06] P.P.B. de Oliveira e A.B.M. Gutierrez. “Auto-adaptação em estratégias

evolutivas com distribuições estáveis: resultados preliminares”. In: A.P.L.F. Carvalho e

M.M.B.R Vellasco, Eds. Anais do I Workshop on Computational Intelligence - IX Simpósio

Brasileiro de Redes Neurais, CD-ROM,

Sociedade Brasileira de Computação, Ribeirão Preto,

SP, 23-26 Out 2006.

[Deb, 00] Kalyanmoy Deb. “Introduction to representations”. In T. Bäck, D. B. Fogel e Z.

Michalewicz eds. Evolutionary computation 1- Basic algorithms and operators. Bristol e

Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 127-131, 2000.

[Eiben, Hinterding e Michalewicz, 99] Ágoston E. Eiben, Robert Hinterding e Zbigniew

Michalewicz. ”Parameter control in evolutionary algorithms”.

IEEE Transactions on

Evolutionary Computation

, 3:124-141, 1999.

[Eiben e Smith, 03a] Ágoston E. Eiben e J.E. Smith. Introduction to evolutionary computing.

Springer-Verlag. 1

ed, 2003.

[Eiben e Smith, 03b] Ágoston E. Eiben e J.E. Smith. Introduction to evolutionary computing. Genetic

algorithms. 3:28-30, 2003. Disponível em

http://www.cs.vu.nl/~gusz/ecbook/slides.

[Eshelman, 00] Larry J. Eshelman. “Genetic In T. Bäck, D. B. Fogel e Z. Michalewicz eds.

Evolutionary computation 1- Basic algorithms and operators. Bristol e Philadelphia: Institute

of Physics Publishing, 64-80, 2000.

[Fernandes, 03] Anita Maria da Rocha Fernandes. Inteligência artificial - Noções gerais. Visual

Books. 1

ed, 2003.

[Fogel e Atmar, 90] David B. Fogel e J. W. Atmar.”Comparing genetic operators with gaussian

mutations in simulated evolutionary processes using linear systems”. Biological Cybernetics,

63:111-114, 1990.

[Fogel e Porto, 90] David B. Fogel. Lawrence J. Fogel. V. W. Porto. “Evolving neural networks”.

Biological Cybernetics, 63:487-493, 1990.

[Fogel et al, 91] David B. Fogel, Lawrence J. Fogel e J. W. Atmar. “Meta-evolutionary

programming”. Proc. 25

Asilomar conf. on signals systems and computers. Pacific Grove.

CA. Ed. R. R. Chen. 540-545, 1991.

[Fogel, 94a] David B. Fogel. “An Introduction to Simulated Evolutionary Optimization”. IEEE Trans.

on Neural Networks, 5(1):3-14, 1994.

[Fogel, 94b] David B. Fogel. “Asymptotic convergence properties of genetic algorithms and

evolutionary programming: Analysis and experiments”. Cybernetics and Systems: An

International Journal. 389-407, 1994.

[Fogel D.B., 95] David B. Fogel. “Review of computational intelligence: imitating life”. IEEE Trans.

Neural Networks, 6(6):1562-1565, 1995.

[Fogel, 00] David B. Fogel. “Principles of evolutonary processes”. In T. Bäck, D. B. Fogel e Z.

Michalewicz eds. Evolutionary computation 1- Basic algorithms and operators. Bristol e

Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 23-26, 2000.

[François, 99] Olivier François. “Controlling mutation/selection algorithms with stochastic

approximation”. Proceedings of the 1999 Congress on Evolutionary computation-CEC99.

Washington, USA. p. 1487-93, 1999.

[Freitas et al, 93] A.A. Freitas. J.C. Anacleto. R. Morábito Neto e C. Kirner. “Algoritmos genéticos e

sua aplicação ao problema do corte de barras”. In Gilberto S. Nakamiti, Hélio A. Navarro, Ivan

R. Guilherme, José P. A. Prado e Ricardo L. Freitas eds. I Simpósio brasileiro de automação

inteligente. Rio Claro, São Paulo. 38-47, 1993.

[GEATbx, 07] “GEATbx – The genetic and evolutionary algorithm toolbox for Matlab”. GEATbx

Support. 2007. Disponível em http//www.geatbx.com/docu/fcnindex.html

[Gómez, 04] Jonatan Gómez. “Self adaptation of operator rates in evolutionary algorithms”. GECCO

2004. Eds. K.Deb et al. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1162-1173, 2004.

[Haykin, 01] Simon Haykin. Redes neurais: princípios e prática. Editora Bookman. 2

ed, 2001.

[Holland, 92] John H. Holland. Adaptation in natural artificial systems. MIT Press. 1

ed, 1992.

[Jacob, 01] Christian Jacob. Illustrating evolutionary computation with Mathematica. University os

Calgary. Morgan Kaufmann Publishers. 1

ed, 2001.

[Kinnear, 00] Kenneth E. Kinnear Jr. “Derivative methods in genetic programming”. In T. Bäck, D.

B. Fogel e Z. Michalewicz eds. Evolutionary computation 1- Basic algorithms and operators.

Bristol e Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 103-113, 2000.

[Klug e Cummings, 00] William S. Klug e Michael R. Cummings. Concepts of genetics. Prentice

Hall. 6

ed, 2000.

[Larson e Farber, 04] Ron Larson e Bestsy Farber. Estatística aplicada. Pearson Prentice Hall. 2ª

Ed,

2004.

[Laprade e Torres, 93] Alain Laprade e Germano Lambert-Torres. “Controle de um veiculo utilizando

a teoria dos conjuntos nebulosos”. In Gilberto S. Nakamiti, Hélio A. Navarro, Ivan R.

Guilherme, José P. A. Prado e Ricardo L. Freitas eds. I Simpósio brasileiro de automação

inteligente. Rio Claro, São Paulo. 165-174, 1993.

[Lee e Yao, 04] Chang-Yong Lee e Xin Yao. “Evolutionary programming using mutations based on

Lévy probability distribution”. IEEE Transactions on evolutionary computation, 8(1):1-13,

2004.

[Levine, Drang e Edelson, 88] Robert I. Levine, Diane E. Drang e Barry Edelson. Inteligência

artificial e sistemas especialistas – aplicações e exemplos práticos. McGraw-Hill. 1ª ed, 1988.

[Lewis, 00] Harry R. Lewis e Christos H. Papadimitriou. Elementos de teoria da computação.

Bookman. 2

ed, 2000.

[Lima, 04] Hugo Santana Lima. Estratégias de variação automática da pressão seletiva em uma

classe de algoritmos evolutivos. Universidade Presbiteriana Mackenzie. 2004.

[Lima e de Oliveira, 06] Hugo Santana Lima e Pedro Paulo Balbi de Oliveira. “Estratégias de

variação automática da pressão seletiva em uma classe de algoritmos evolutivos”. Anais do

XXVI Congresso da Sociedade Brasileira de Computação - SBC, XXXIII Seminário integrado

de software e hardware - SEMISH. Campo Grande, MS, 151-165, 2006. Disponível em

http://natalnet.dca.ufrn.br/sbc2006/pdf/arq0113.pdf.

[Medeiros, 02] Felipe Leonardo Lobo Medeiros. Algoritmo genético híbrido como um método de

busca de estados estacionários de sistemas dinâmicos. INPE. 2002.

100

[Michalewicz, 99] Zbigniew Michalewicz. Genetic algorithms + Data strutucures = Evolution

programs. Springer-Verlag. 3

ed, 1999.

[Milone, 04] Giuseppe Milone. Estátistica geral aplicada. Thomson. 1

ed, 2004.

[Mitchell, 04] Melanie Mitchell. An introduction to genetic algorithms. Prentice-Hall of India Private

Limited. 1

ed, 2004.

[Nehab, 04] Diego F. Nehab e Marco Aurélio C. Pacheco. “Schemata theory for the real coding and

arithmetical operators”. 19

ACM Symposium on Applied Computing. Session: Evolutionary

computation and optimization (ECO). ACM Press, 1-58113-812-1. Nicosia, Cyprus, 1006-12,

2004.

[Nolan, 01] John P. Nolan. Maximum likelihood estimation and diagnostics for stable distributions. In

O. E. Barndorff-Nielsen, T. Mikosch e S. I. Resnick eds. Levy processes - Theory and

applications. Boston: Birkhäuser, 379-400, 2001.

[Nolan, 02] John P. Nolan. Stable Distributions. Birkhauser. 1

ed, 2002.

[Nolan, 05] John P. Nolan. Stable Distributions. Models for Heavy Tailed Data. American University.

2005. Disponível em

http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf.

[Nolan, 06a] John P. Nolan. Information on stable distributions. American University. 2006.

Disponível em

http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html.

[Nolan, 06b] John P. Nolan. Stable distributions pdf (probability density function). cdf (cumulative

distribution function).

quantiles (quantiles for stable distribution with parameters). random

(stable random sample). American University. 2006. Disponível em

http://www.hostsrv.com/webmac/app1/MSPScripts/webm1016/Stable/SPDF.jsp

[Nieberg e Beyer, 07] Silja Meyer-Nieberg e Hans-Georg Beyer. “Self-adaptation in evolutionary

algorithms”. In F. Lobo, C. Lima e Z. Michalewicz,eds. Parameter Setting in Evolutionary

Algorithms, Springer-Verlag, 2007

[Ostermeier, 92] A. Ostermeier. “An evolution strategy with momentum adaptation of the random

number distribution”. In R. Männer e B. Manderick eds. Proc. 2

Int. Conf. on Parallel

Problem Solving from Nature. Brussels, Belgium, 199-208, 1992.

101

[Paraíso et al, 93] E. C. Paraíso. L. M. Silveira. M. P. Ramos e C. A. A. Kaestner. “Sistema

especialista em manutenção preditiva de equipamentos e plantas industriais”. In Gilberto S.

Nakamiti, Hélio A. Navarro, Ivan R. Guilherme, José P. A. Prado e Ricardo L. Freitas eds.

I Simpósio brasileiro de automação inteligente. Rio Claro, São Paulo, 96-104, 1993.

[Porto, 00] V. William Porto. “Evolutionary Programming”. In T. Bäck, D. B. Fogel e Z.

Michalewicz eds. Evolutionary computation 1- Basic algorithms and operators. Bristol e

Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 89-102, 2000.

[Rao e Rao, 93] Valluru B. Rao e Hayagriva V. Rao. C++ Neural networks and fuzzy logic. MIS

Press. 1

ed, 1993.

[Reisinger e Miikkulainen, 06] Joseph Reisinger e Risto Miikkulainen. “Selecting for Evolvable

Representations”. GECCO’06. Session Genetic Algorithms-7: Representations. ACM 1-

59593-186. Seattle, Washigton, USA, 2006.

[Rimmer e Nolan, 05] Robert H Rimmer e John P. Nolan. “Stable distributions in Mathematica”. The

Mathematica Journal, 9(4):776-789, 2005. Disponível em

http://www.mathematica-

journal.com/issue/v9i4/.

[Rudolph, 98] Günter Rudolph. “Local convergence rates of simple evolutionary algorithms with

Cauchy mutations”. Universität Dortmund. Fachbereich Informatik. LS(XI):1-20, 1998.

[Russell e Norvig, 04] Stuart Russel e Peter Norvig. Inteligência artificial. Editora Campus. 3ª ed,

2004.

[Saravanan et al, 95] N. Saravanan. David B. Fogel e Kevin M. Nelson. “A comparison of methods

for self-adaptation in evolutionary algorithms”. BioSystems, 36(2):157-166, 1995.

[Schoenauer e Michalewicz, 97] Marc Schoenauer e Zbigniew Michalewicz. “Boundary operators for

constrained parameter optimization problems”. In Thomas Bäck ed. 7th International

Conference on Genetic Algorithms. Morgan Kaufmann. East Lansing, MI, USA, 320-329,

1997.

[Silvia, Campos e Cunha, 01] Jorge Luiz de Castro e Silva, Marcilia Andrade Campos e Paulo

Roberto Freire Cunha. “Modelagem estocástica de tráfego de redes de alta velocidade”. XXI

102

Congresso da sociedade brasileira de computação SBC/JAI. Fortaleza, Ceará, 2001.

Disponível em www.lia.ufc.br/sbc2001/download/jai2/pdf

[Soler, 07] Júlia M. Pavan Soler. “Técnicas computacionais em probabilidade e estatística I”. Instituto

de matemática e estatistica da Universidade São Paulo (IME/USP). 2007. Disponível em

www.ime.usp.br/~pavan/pdf/MAE5704/_Material Aula_3.pdf

[Tinos e Carvalho, 03] Renato Tinos e André C. P. F. de Carvalho. “Alteração da probabilidade de

mutação do gene em algoritmos genéticos aplicados a problemas não-estacionários”. XXIII

Congresso da Sociedade Brasileira de Computação. SBC2003. Campinas, São Paulo, 277-

286, 2003.

[Tsallis, 00] Constantino Tsallis. “As distribuições de Lévy”. Revista Brasileira de Ensino de Física,

22(2):156-162, 2000.

[Vicente, 05] Prof. Dr. Renato Vicente. “Analise de risco. Value-at-risck: Um overview. Parte 1”.

Escola de Artes. Ciências e Humanidades. Universidade São Paulo. p. 16-19, 2005. Disponível

http://www.uspleste.usp.br/rvicente/teach.html.

[Weicker, 99] Karsten Weicker e Nicole Weicker. ”On evolution strategy optimization in dynamic

environments“. Proc. of the 1999 Congress on evolutionary computation - CEC99.

Washington, D.C., USA. IEEE, 3:2039-2046, 1999.

[Weiss e Kulikowski, 88] Sholom M. Weiss e Casimir A. Kulikowski. Guia prático para projetar

sistemas especialistas. Livros Técnicos e Científicos Editora. 1

ed, 1988.

[Whitacre, Pham e Sarker, 06] James M. Whitacre, Tuan Q. Pham e Ruhul A. Sarker. “Use of

statistical outlier detection method in adaptive evolutionary algorithms”. GECCO’ 06. Session

Genetic Algorithms-9: Adaptation. ACM 1-59593-186-4. Seattle, Washigton, USA, 2006.

[Wolfram, 99] Stephen Wolfram. The Mathematica book. Wolfram Media/Cambridge Universty

Press. 1999.

[Woyczynski, 01] Wojbor A. Woyczynski. “Levy processes in the physical sciences”. In O. E.

Barndorff-Nielsen, T. Mikosch e S. I. Resnick eds. Levy processes - Theory and applications.

Birkhäuser Boston, 241-266, 2001.

103

[Yao e Liu 96] Xin Yao e Yong Liu. “Fast evolutionary programming”. In L. J. Fogel, P. J. Angeline

e T Back eds. Proc. 5th. Ann. Conf. on Evolutionary Programming. Cambridge, MA. MIT

Press. 1-10, 1996.

[Yao, Liu e Lin 99] X. Yao, Y. Liu and G. Lin. “Evolutionary programming made faster”, IEEE

Transactions on Evolutionary Computation

, 3(2):82-102, 1999.

104

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