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Universidade de Bras´ılia
Instituto de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
Condi¸c˜oes de solubilidade p-´adica para pares
de formas aditivas de grau ´ımpar e um
resultado sobre v´arias formas aditivas de grau
p
por
Jorge Fernandes de Lima Neto
2005
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Livros Grátis
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A Deus;
aos meus pais, Anast´acio e Maria Eunice;
a minha esposa, K´atia;
com todo meu amor. . .
i
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Agradecimentos
Aos meus pais, Anast´acio e Eunice, agrade¸co muito p or acredi-
tarem no meu potencial. Ao meu Orientador, Hemar, um muito
obrigado pela paciˆencia e preocupa¸c˜ao.
`
A minha esposa, K´atia,
um muito obrigado por ter me suportado e me apoiado durante
este per´ıodo de 4,5 anos. Aos meus irm˜aos, um muito obrigado
pelas palavras de incentivo e carinho, sempre demonstradas du-
rante os telefonemas `a Manaus. Ao padre Samuel (par´oquia Verbo
Divino), um muito obrigado pelas palavras que me proporcio-
naram conforto espiritual. Agrade¸co `a tia Nilze, que mora no
Rio de Janeiro, por ter me hospedado durante os Col´oquios de
Matem´atica. Agrade¸co ao IMPA, pelo financiamento de alguns
Col´oquios de Matem´atica. Agrade¸co `a SBM, por ter financiado
minha participa¸c˜ao na XXII Escola de
´
Algebra e ao Lineu por pa-
gar a conta do bar do Hotel. Agrade¸co aos meus e minhas colegas:
Ary,
ˆ
Angelo, Aline, Adilson (sacamat), Ana Sheila, Asterivaldo,
Carlos Alberto, Daniela, Daniele, Edson, Elba, Em´ılio, Euro,
Fl´avio, Ingrid, Ivan, Jaques, Jeovane, Josimar, Juliana, Kellcio,
Lineu, Lu´ıs Cl´audio, Marcelo Novais, M´ario Salvatierra, Maxwell,
Ol´ımpio, Paulo Henrique, Pop´o (sacamat), Raul, Renato, Sazaki,
S´ergio Brazil (sacamat), S´ergio Tun´u, Simone, Sheila, Tamarozzi,
Washington e a todos que n˜ao lembrei os nomes, pelas palavras de
amizade nas horas dif´ıceis e pela troca de id´eias durante os v´arios
cursos que fizemos juntos. Agrade¸co `a sacamat pelos muitos mo-
mentos de risadas. Agrade¸co a turma do Kart e da cerveja pelos
muitos momentos de lazer e descontra¸c˜ao. Agrade¸co ao CNPq
pelo apoio financeiro. Agrade¸co a Deus, por tudo isso. Am´em.
ii
Resumo
Nessa tese apresentamos v´arios resultados sobre solu¸c˜oes de sis-
temas de formas aditivas sobre corpos p-´adicos. Iniciamos com
resultados sobre pares de formas aditivas de grau ´ımpar sobre
qualquer corpo p-´adico, melhorando, em muitos casos, resultados
de Davenport e Lewis. Conclu´ımos esse trabalho apresentando
v´arios resultados sobre sistemas de grau p sobre o corpo p-´adico
p
.
iii
Abstract
In this thesis we present several results related to solutions of
systems of additive forms over the p-adic fields. We start with
some results for pairs of additive forms of odd degree over any p-
adic field, proving, that in many cases, results of Davenport and
Lewis can be improved. The thesis ends, with many results on
systems of forms of degree p over the p-adic field
p
iv
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Resultados preliminares 9
1.1 Conjunto Essenc ial . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Contra¸c˜ao de vari´aveis . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Normaliza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Sobre zeros p-´adicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Duas formas de grau ´ımpar 33
2.1 Lemas Combinat´orios . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Congruˆencias Aditivas . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Prova do Te orema 21 . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Prova do Te orema 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Demonstra¸c˜ao do Teorema 24 . . . . . . . . . . . 55
3 Duas formas de grau p 57
3.1 Analisando o Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Analisando casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Demonstra¸c˜ao do Teorema 42 . . . . . . . . . . . 73
4 V´arias formas de grau p 74
bibliografia 81
v
Introdu¸c˜ao
Neste trabalho, p sempre denotar´a um n´umero inteiro primo
positivo.
No in´ıcio do s´eculo passado, por volta de 1920, E. Artin con-
jecturou (ver [24]) que, “qualquer polinˆomio homogˆeneo de grau
k em n vari´aveis tem um zero p-´adico n˜ao trivial, desde que n ≥
k
2
+ 1”. Esta conjectura ´e verdadeira para formas quadr´aticas e
foi provada por Hasse em 1924 (ver [8]). Mais tarde, em 1945, R.
Brauer [5] provou que, para todo primo p, existe uma fun¸c˜ao φ
p
tal que um sistema de r polinˆomios homogˆeneos
f
i
(x
1
, . . . , x
n
) = 0 i = 1, . . . , r (1)
sobre
p
de graus k
1
,. . . ,k
r
, respectivamente, em mais do que
φ
p
(k
1
, . . . , k
r
) vari´aveis sempre tem um zero p-´adico n˜ao trivial.
Sua demonstra¸c˜ao ´e um exemplo brilhante do uso de indu¸c˜ao
matem´atica.
A partir desse resultado, intensifica-se o interesse pelo estudo
de formas diagonais. Alternam-se trabalhos sobre casos parti-
culares e casos gerais. Em 1952, Lewis [22] e Demyanov [19],
independentemente, provaram que a conjectura de Artin ´e verda-
deira para polinˆomios homogˆeneos c´ubicos sobre corpos p-´adicos.
Nos anos seguintes Lewis e Birch publicaram uma s´erie de artigos
mostrando que para v´arios valores de k, a validade da conjectura
1
2
de Artin depende do tamanho do corpo de res´ıduos, ou seja, para
primos grandes vale a conjectura de Artin. Outro resultado sur-
preendente, devido a Ax e Kochen [2], publicado em 1965, afirma
o seguinte:
“Para todo inteiro positivo k existe um conjunto finito de pri-
mos A = A(k) tal que para todo primo p /∈ A , uma forma f de
grau k em n ≥ k
2
+ 1 vari´aveis sobre
p
tem um zero n˜ao trivial
em
p
”,
confirmando os resultados de Lewis e Birch. Isto nos diz que a
conjectura de Artin ´e verdadeira a menos de um conjunto finito
de primos.
Em 1966, M. G. Terjanian [26] apresentou o primeiro con-
tra exemplo para esta conjectura. Ele exibiu um polinˆomio ho-
mogˆeneo de grau 4 em 18 vari´aveis (18 > 4
2
+ 1) sobre
2
sem
zeros 2-´adicos. E subsequentemente surgiram muitos trabalhos,
mostrando que, para certos primos dividindo o grau, existem
exemplos de formas com o n´umero de vari´aveis de ordem expo-
nencial em rela¸c˜ao ao grau, que n˜ao tem zeros p-´adicos. A partir
destes artigos, podemos dizer que a conjectura de Artin ´e “quase
correta”.
No caso de formas aditivas, observando a conjectura de Artin
com uma vis˜ao generalista, ainda ´e esperado que um sistema de
r ≥ 2 formas diagonais de grau k com coeficientes inteiros racio-
nais, ou seja,
a
11
x
k
1
+ · · · + a
1n
x
k
n
= 0
.
.
.
a
r1
x
k
1
+ · · · + a
rn
x
k
n
= 0
(2)
tenha solu¸c˜oes p-´adicas n˜ao triviais para todo primo p se n ≥
3
rk
2
+ 1.
Os primeiros estudos sobre pares de formas diagonais
a
1
x
k
1
+ · · · + a
n
x
k
n
= 0
b
1
x
k
1
+ · · · + b
n
x
k
n
= 0
(3)
foram feitos por Davenport e Lewis [15], primeiramente conside-
rando pares de formas obedecendo:
i=j
(a
i
b
j
− a
j
b
i
) = 0. (4)
Davenport e Lewis introduziram a t´ecnica de “p-normaliza¸c˜ao”
que, em poucas palavras, separa os sistemas de formas (que obe-
decem (4)) em classes de equivalˆencia e de cada classe, ´e poss´ıvel
tomar um sistema mais cˆomodo de manipular. Usando t´ecnicas
combinat´orias, eles mostraram que (3), restrito ao grau k = 3,
tem uma solu¸c˜ao p-´adica para todo p, se n ≥ 16. Eles tamb´em
mostraram que basta considerar formas obedecendo (4), pois com
um simples argumento de compacidade em
p
, mostra-se que o
caso de
i=j
(a
i
b
j
− a
j
b
i
) = 0 depende do caso (4), isto ´e, se o sis-
tema (3) obedece (4) e tem uma solu¸c˜ao p-´adica n˜ao trivial, ent˜ao
um sistema qualquer com o mesmo grau e o mesmo n´umero de
vari´aveis tamb´em a tem (veja lema 13).
Esta t´ecnica iluminou o caminho para novos artigos e deste
ano em diante tornou-se padr˜ao trabalhar somente com sistemas
p-normalizados.
J´a em 1969 Davenport e Lewis, fizeram um estudo mais ge-
ral sobre o sistema (2), com r ≥ 2 formas diagonais. Nesse ar-
tigo, (ver [17]), Davenport e Lewis analisaram separadamente for-
mas de graus pares e ´ımpares. Em ambos os casos eles usaram
t´ecnicas de somas exponenciais para estimar o n´umero m´ınimo
4
de vari´aveis. Para graus ´ımpares k, eles conclu´ıram que se n ≥
[9r
2
k log 3rk], ent˜ao o sistema (2) tem uma solu¸c˜ao p-´adica n˜ao
trivial. Se k > 2 for par, foi necess´ario impor mais condi¸c˜oes (ver
[17]), que resultaram em n ≥ [48r
2
k
3
log 3rk
2
].
No meio destes pensadores, surge M. Bhaskaran, que volta um
pouco no tempo e considera um caso bem particular da conjectura
de Artin, em uma extens˜ao de
p
. Em seu artigo, [7], ele mostrou
que:
“Seja A um anel P -´adico onde P ´e um ideal primo acima do
primo racional p. Seja J
p
o anel gerado pelas p-´esimas potˆencias
de elementos de A. Ent˜ao todo elemento em J
p
pode ser repre-
sentado por uma forma
a
1
x
p
1
+ a
2
x
p
2
+ · · · + a
5
x
p
5
onde os coeficientes a
i
(i = 1, 2, 3, 4, 5) est˜ao em J
p
e s˜ao coprimos
com p”.
O resultado de Bhaskaran representa um pequeno avan¸co no
estudo da conjectura de Artin. Suas id´eias, contribuiram com
esta tese na demonstra¸c˜ao do seguinte teorema.
Teorema 42 O par de formas
F = a
1
x
p
1
+ · · · + a
n
x
p
n
G = b
1
x
p
1
+ · · · + a
n
x
p
n
tem um zero p-´adico simultˆaneo (n˜ao trivial) se n ≥ 5p + 1
Este teorema generaliza o resultado de Davenport e Lewis [15]
para k = 3 em Q
3
.
Os resultados de Davenport e Lewis mostraram que ´e mais
f´acil estimar o n´umero m´ınimo de vari´aveis de sistemas de grau
´ımpar. Em 1972 [16], eles estudaram duas formas de grau ´ımpar
5
e confirmaram a conjectura de Artin, isto ´e, se n ≥ 2k
2
+ 1, ent˜ao
o sistema (3) tem uma solu¸c˜ao p-´adica n˜ao trivial. No caso grau
k par, eles conseguiram provar que se n ≥ 7k
3
, ent˜ao temos a
solu¸c˜ao desejada, um resultado muito superior ao esperado pela
conjectura de Artin.
Em 1986, Cook [13] estudou um par de formas diagonais de
grau k = 5
a
1
x
5
1
+ · · · + a
n
x
5
n
= 0
b
1
x
5
1
+ · · · + b
n
x
5
n
= 0
(5)
e mostrou que para n ≥ 31 este sistema tem uma solu¸c˜ao p-´adica
n˜ao trivial. Observamos que na estimativa geral de Davenport
e Lewis (cumprindo a conjectura de Artin: n ≥ 2k
2
+ 1), ´e ne-
cess´ario n ≥ 51. Isto tamb´em sugere que para graus ´ımpares,
a conjectura de Artin pode ser melhorada. Nesse artigo foram
usadas t´ecnicas combinat´orias, deixando margem para melhoria,
que por sinal ´e um dos resultados des ta tese, onde provamos que:
“Teorema 24 Qualquer par de formas aditivas de grau ´ımpar
k ≥ 5, em n vari´aveis, tem um zero p-´adico simultˆaneo (n˜ao tri-
vial) para todo primo p, desde que mdc(k, p) = 1, n ≥
11
6
k
2
+ k e
mdc(k, p − 1) <
p − 1
2
.”
Para demonstrar este resultado, usamos uma variedade de
t´ecnicas combinat´orias, t´ecnicas de somas exponenciais e para
completar casos n˜ao cobertos por nossas estimativas, usamos um
computador com o programa MAPLE 7 para efetivamente calcu-
lar algumas solu¸c˜oes.
Em 1988 Atkinson e Cook [1] fizeram algo mais geral. Eles
mostraram que o par de formas (3), com coeficientes inteiros ra-
cionais, tem uma solu¸c˜ao p-´adica n˜ao trivial se n > 4k desde que
6
p > k
6
, onde a condi¸c˜ao sobre n ´e a melhor poss´ıvel. Nesta ´epoca
j´a estava claro que estimar o n´umero de vari´aveis de (3) em rela¸c˜ao
ao grau (para que haja uma solu¸c˜ao p-´adica), torna-se mais dif´ıcil
para primos p pequenos. Com o avan¸co da inform´atica, o com-
putador tornou-se um aliado. Atkinson e Cook, neste mesmo
artigo, usaram o computador para verificar alguns casos em que
p < k
6
. No caso k = 5, houve uma melhora da estimativa: se
n ≥ 26, ent˜ao (5) tem uma solu¸c˜ao p-´adica n˜ao trivial, para todo
p, exceto p = 5, 11. No caso p = 11 foi dado um contra exemplo.
Nosso Teorema 42 citado acima, completa este artigo de At-
kinson e Cook, pois no caso particular k = p = 5 obtemos n ≥ 26.
A ferramenta “p-normaliza¸c˜ao” desenvolvida por Davenport e
Lewis [15] e [17], fornece a seguinte conseq¨uˆencia:
Considere um conjunto de formas, como em (2), p-normalizado.
Ent˜ao a matriz dos coeficientes (a
ij
), i ∈ {1, . . . , n}, j = {1, . . . , r},
pode ser particionada em k submatrizes como abaixo (observe que
k ´e o grau de (2)):
(a
ij
) = A
0
+ pA
1
+ p
2
A
2
+ · · · + p
k−1
A
k−1
onde cada uma das colunas de cada matriz A
i
tem pelo menos
um elemento n˜ao divis´ıvel por p. A submatriz A
0
´e chamada de
n´ıvel zero.
Em 1988, L. Low, J. Pitman e A. Wolf [25], perceberam mais
uma conseq¨uˆencia do conceito p-normaliza¸c˜ao. Trabalhando com
sistemas de r ≥ 2 formas diagonais p-normalizadas, eles mos-
traram que no n´ıvel zero ´e poss´ıvel encontrar pelo menos
n
rk
submatrizes (disjuntas), cada uma de posto r m´odulo p. Usando
isso e a t´ecnica de somas exponenciais, eles mostraram que existe
uma constante k
0
tal que o sistema (2) (com grau k ´ımpar) tem
7
uma solu¸c˜ao p-´adica n˜ao trivial para todo p, se n ≥ 2kr
2
log k,
para todo k ≥ k
0
.
Em 1992 Atkinson, Br¨udern, e Cook, mostram algo mais geral
para um sistema de r formas com coeficientes inteiros racionais.
Eles mostraram que se n > 2rk, ent˜ao o sistema (2) tem uma
solu¸c˜ao p-´adica n˜ao trivial para todo p > k
2r+2
.
`
A procura de uma cota melhor para um sistema de r > 2
equa¸c˜oes, Br¨udern e Godinho [9], em 1999, mostraram que para
k ≥ 3 e r ≥ 3, o sistema (2) tem uma solu¸c˜ao p-´adica n˜ao trivial se
n ≥ r
3
k
2
, sem a restri¸c˜ao sobre p, dada por Atkinson, Br¨udern e
Cook. Br¨udern e Godinho tamb´em trabalharam com um sistema
de duas formas. Em 2001 (ver [10]), eles mostraram que se n ≥
8k
2
+ 1 ent˜ao o sistema (3) tem uma solu¸c˜ao p-´adica n˜ao trivial.
E este ´e o melhor resultado (at´e o presente momento) para grau
qualquer.
O trabalho mais recente sobre sistemas de v´arias formas p-
´adicas, segue a linha de racioc´ınio de Br¨udern e Godinho. Em
2001 Michael Knapp [21], estudou sistemas de formas diagonais
sobre uma extens˜ao alg´ebrica de
p
. Como conseq¨uˆencia, no
corpo base
p
, ele mostrou que bastam 4r
2
k
2
vari´aveis, para que
o sistema (2), sobre , tenha uma solu¸c˜ao p-´adica n˜ao trivial, o
que melhora a cota dada por Br¨udern e Godinho para r ≥ 4.
Durante nossas pesquisas, percebemos que n˜ao h´a estudo sobre
solu¸c˜oes p-´adicas para sistemas com r > 2 equa¸c˜oes de grau p.
Diante disto, no cap´ıtulo 4, procuramos solu¸c˜oes p-´adicas para
um sistema de v´arias formas de grau p, e provamos o seguinte
resultado:
8
Teorema 53 As formas
f
1
= a
11
x
p
1
+ · · · + a
1n
x
p
n
.
.
.
f
r
= a
r1
x
p
1
+ · · · + a
rn
x
p
n
possuem um zero p-´adico simultˆaneo (n˜ao trivial) se n ≥ 2r
2
p.
Cap´ıtulo 1
Resultados preliminares
1.1 Conjunto Essencial
Come¸camos definindo conjunto essencial. Essa defini¸c˜ao est´a
descrita em duas partes, uma para trˆes ou mais equa¸c˜oes (usada
no cap´ıtulo 4) e outra para duas equa¸c˜oes. O motivo desta se-
para¸c˜ao est´a no fato que, no caso de duas equa¸c˜oes, obtemos
mais detalhes, importantes para a demonstra¸c˜ao dos resultados
do cap´ıtulo 3.
Defini¸c˜ao 1 Considere o conjunto de r ≥ 3 formas diagonais de
grau p com coeficientes inteiros e 2r vari´aveis, como abaixo.
f
1
= a
11
x
p
1
+ · · · + a
1r
x
p
r
+ a
1(r+1)
x
p
r+1
+ · · · + a
1(2r)
x
p
2r
.
.
.
f
r
= a
r1
x
p
1
+ · · · + a
rr
x
p
r
+ a
r(r+1)
x
p
r+1
+ · · · + a
r(2r)
x
p
2r
.(1.1)
Se as matrizes
a
11
· · · a
1r
.
.
.
.
.
.
a
r1
· · · a
rr
e
a
1(r+1)
· · · a
1(2r)
.
.
.
.
.
.
a
r(r+1)
· · · a
r(2r)
9
10
tˆem posto r m´odulo p, isto ´e s˜ao invers´ıveis m´odulo p, ent˜ao
dizemos que o conjunto de vari´aveis
{x
1
, . . . , x
2r
}
´e um conjunto essencial para as formas f
1
, . . . , f
r
com r ≥ 3.
Defini¸c˜ao 2 Uma solu¸c˜ao (ξ
1
, . . . , ξ
n
) para o sistema de equa¸c˜oes
em n vari´aveis, r equa¸c˜oes de grau k ≥ 1, n ≥ r ≥ 3, como abaixo
a
11
x
k
1
+ · · · + a
1n
x
k
r
≡ 0 (mod p
m
)
.
.
.
a
r1
x
k
1
+ · · · + a
rn
x
k
r
≡ 0 (mod p
m
)
´e dita n˜ao singular m´odulo p
m
se a matriz
a
11
ξ
k
1
· · · a
1n
ξ
k
n
.
.
.
.
.
.
a
r1
ξ
k
1
· · · a
rn
ξ
k
n
tem posto r m´odulo p.
Como conseq¨uˆencia da defini¸c˜ao de conjunto essencial, a pr´oxima
proposi¸c˜ao nos diz que um sistema de grau p formado por um con-
junto essencial sempre possui uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo
p
Proposi¸c˜ao 3 Considere o sistema de r ≥ 3 formas diagonais
m´odulo p e 2r vari´aveis.
a
11
x
p
1
+ · · · + a
1r
x
p
r
+ a
1(r+1)
x
p
r+1
+ · · · + a
1(2r)
x
p
2r
≡ 0 (mod p)
.
.
.
a
r1
x
p
1
+ · · · + a
rr
x
p
r
+ a
r(r+1)
x
p
r+1
+ · · · + a
r(2r)
x
p
2r
≡ 0 (mod p)
.
Se {x
1
, . . . , x
2r
} ´e um conjunto essencial para as formas do sis-
tema em quest˜ao, ent˜ao o sistema acima tem uma solu¸c˜ao n˜ao
singular m´odulo p.
11
Demonstra¸c˜ao. Pelo pequeno teorema de Fermat o sistema
acima ´e equivalente ao sistema linear.
a
11
x
1
+ · · · + a
1(2r)
x
2r
≡ 0 (mod p)
.
.
.
a
r1
x
1
+ · · · + a
r(2r)
x
2r
≡ 0 (mod p)
.
Como o conjunto {x
1
, . . . , x
2r
} ´e essencial para as formas dadas,
temos
a
11
· · · a
1r
.
.
.
.
.
.
a
r1
· · · a
rr
e
a
1(r+1)
· · · a
1(2r)
.
.
.
.
.
.
a
r(r+1)
· · · a
r(2r)
invers´ıveis m´odulo p.
Tomando x
r+1
= · · · = x
2r
= 1 obtemos um sistema (m´odulo p)
r × r n˜ao-singular,
a
11
x
1
+ · · · + a
1r
x
r
+ α
1
≡ 0 (mod p)
.
.
.
a
r1
x
1
+ · · · + a
rr
x
r
+ α
r
≡ 0 (mod p)
(1.2)
onde α
i
= a
i(r+1)
+ · · · + a
i(2r)
. Portanto o sis tema (1.2), tem uma
solu¸c˜ao n˜ao trivial (ξ
1
, . . . , ξ
r
) m´odulo p . Ent˜ao a solu¸c˜ao n˜ao
singular m´odulo p, ´e dada por (ξ
1
, . . . , ξ
r
, 1, . . . , 1).
Para o caso de duas formas vamos definir conjunto essencial
de uma outra maneira. Dados dois inteiros a e b, definimos as
fra¸c˜oes formais
a
b
m´odulo p e no conjunto das fra¸c˜oes formais
a
b
temos a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia:
a
b
≡
c
d
(mod p) ⇐⇒ ad ≡ bc (mod p).
Teorema 4 Sejam a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, b
1
, b
2
, b
3
e b
4
inteiros. Se as
fra¸c˜oes formais
a
1
b
1
,
a
2
b
2
e
a
3
b
3
(1.3)
12
s˜ao duas a duas incongruentes m´odulo p, ent˜ao o sistema
a
1
x
p
1
+ a
2
x
p
2
+ a
3
x
p
3
≡ 0 (mod p)
b
1
x
p
1
+ b
2
x
p
2
+ a
3
x
p
3
≡ 0 (mod p)
(1.4)
tem uma solu¸c˜ao com x
1
x
2
x
3
≡ 0 (mod p). Tamb´em se
a
1
b
1
≡
a
2
b
2
≡
a
3
b
3
≡
a
4
b
4
(mod p), (1.5)
ent˜ao o sistema
a
1
x
p
1
+ a
2
x
p
2
+ a
3
x
p
3
+ a
4
x
p
4
≡ 0 (mod p)
b
1
x
p
1
+ b
2
x
p
2
+ b
3
x
p
3
+ b
4
x
p
4
≡ 0 (mod p)
(1.6)
tem uma solu¸c˜ao com x
1
x
2
x
3
x
4
≡ 0 (mod p).
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao deste teorema ´e simples, basta
observar que pelo pequeno teorema de Fermat, os sistemas (1.4)
e (1.6) s ˜ao equivalentes a sistemas lineares, portanto a faremos
somente para sistema de quatro vari´aveis.
Se b
1
, b
2
, b
3
, b
4
s˜ao todos n˜ao nulos m´odulo p, ent˜ao temos uma
solu¸c˜ao desejada como abaixo
a
1
(b
2
) + a
2
(−b
1
) + a
3
(b
4
) + a
4
(−b
3
) ≡ 0 (mod p)
b
1
(b
2
) + b
2
(−b
1
) + b
3
(b
4
) + b
4
(−b
3
) ≡ 0 (mod p)
.
Se b
1
≡ 0 (mod p), ent˜ao a
1
b
2
≡ a
2
b
1
≡ 0 (mod p), logo
a
1
≡ 0 (mod p) ou b
2
≡ 0 (mod p). No caso b
2
≡ 0 (mod p),
x
1
e x
2
podem ser escolhidos quaisquer n˜ao nulos satisfazendo
a
1
x
1
+ a
2
x
2
≡ 0 (mod p). O caso a
1
≡ 0 n˜ao ocorre, porque sen˜ao
n˜ao ter´ıamos efetivamente quatro vari´aveis no sistema.
Observe que as solu¸c˜oes de (1.4) satisfazendo (1.3), e de (1.6)
satisfazendo (1.5) s˜ao to das n˜ao singulares m´odulo p, al´em disso,
todas as coordenadas s˜ao n˜ao-nulas. Agora podemos enunciar a
seguinte defini¸c˜ao:
13
Defini¸c˜ao 5 Para sistemas de duas formas, com trˆes vari´aveis
x
1
, x
2
, x
3
, como em (1.4), cujos coeficientes satisfazem (1.3), ou
com quatro vari´aveis x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, como em (1.6), cujos coefici-
entes satisfazem (1.5), tais conjuntos de vari´aveis s˜ao chamadas
de conjunto essencial para conjuntos de duas formas e 3 (ou
4) vari´aveis.
1.2 Contra¸c˜ao de vari´aveis
O objetivo das defini¸c˜oes “conjunto essencial” e “solu¸c˜ao n˜ao
singular” ´e nos dar a possibilidade de concatenar vari´aveis, atrav´es
de um processo que chamamos de contra¸c˜ao de conjunto es-
sencial, que primeiramente descrevemos com um exemplo. Con-
sidere o sistema de trˆes formas diagonais com 24 vari´aveis
a
11
x
p
1
+ a
12
x
p
2
+ · · · + a
1(24)
x
p
24
≡ 0 (mod p
2
)
a
21
x
p
1
+ a
22
x
p
2
+ · · · + a
2(24)
x
p
24
≡ 0 (mod p
2
)
a
31
x
p
1
+ a
32
x
p
2
+ · · · + a
3(24)
x
p
24
≡ 0 (mod p
2
)
(1.7)
Suponha que temos neste sistema 4 conjuntos essenciais, a saber
{x
1
, . . . , x
6
}, {x
7
, . . . , x
12
}, {x
13
, . . . , x
18
} e {x
19
, . . . , x
24
}. Pela
proposi¸c˜ao 3 o conjunto essencial {x
1
, . . . , x
6
} possui uma solu¸c˜ao
(ξ
1
, . . . , ξ
6
) n˜ao singular m´odulo p. Agora multiplicamos essa solu-
¸c˜ao por uma nova vari´avel X, obtendo a igualdade
a
11
(ξ
1
X)
p
+ a
12
(ξ
2
X)
p
+ · · · + a
16
(ξ
6
X)
p
= pα
1
X
p
a
21
(ξ
1
X)
p
+ a
22
(ξ
2
X)
p
+ · · · + a
26
(ξ
6
X)
p
= pα
2
X
p
a
31
(ξ
1
X)
p
+ a
32
(ξ
2
X)
p
+ · · · + a
36
(ξ
6
X)
p
= pα
3
X
p
Observe que se α
1
≡ α
2
≡ α
3
≡ 0 (mod p), ent˜ao
(ξ
1
, . . . , ξ
6
, 0, . . . , 0)
14
´e uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p
2
para o sistema (1.7) e o
sistema est´a resolvido.
Se algum dos 4 conjuntos essenciais produz α
1
, α
2
, α
3
con-
gruentes a zero m´odulo p, ent˜ao o sistema (1.7) est´a resolvido.
Suponhamos que este caso n˜ao ocorre. Neste caso, obtemos a
seguinte redu¸c˜ao para o sistema (1.7):
p(α
1
X
p
+ β
1
Y
p
+ γ
1
Z
p
+ δ
1
W
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
p(α
2
X
p
+ β
2
Y
p
+ γ
1
Z
p
+ δ
2
W
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
p(α
3
X
p
+ β
3
Y
p
+ γ
1
Z
p
+ δ
3
W
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
com α
1
, α
2
, α
3
n˜ao todos congruentes a zero m´odulo p, β
1
, β
2
,
β
3
, n˜ao todos congruentes a zero m´odulo p, γ
1
, γ
2
, γ
3
n˜ao todos
congruentes a zero m´odulo p e δ
1
, δ
2
, δ
3
n˜ao todos congruentes a
zero m´odulo p. Tal sistema tem uma solu¸c˜ao (Ω
1
, Ω
2
, Ω
3
, Ω
4
) n˜ao
trivial m´odulo p (pois esse sistema ´e equivalente a um sistema
linear m´odulo p). Logo o sistema (1.7) possui uma solu¸c˜ao
(ξ
1
Ω
1
, . . . , ξ
6
Ω
1
, ξ
7
Ω
2
, . . . , ξ
12
Ω
2
, ξ
13
Ω
3
, · · · , ξ
18
Ω
3
, ξ
19
Ω
4
, · · · , ξ
24
Ω
4
)
que ´e n˜ao singular m´odulo p
2
.
A seguir descrevemos o processo geral de contra¸c˜ao de vari´aveis.
Defini¸c˜ao 6 Considere o sistema abaixo com n vari´aveis, r equa-
¸c˜oes, n > r, com a matriz de seus coeficientes tendo posto r
m´odulo p,
a
11
x
p
1
+ a
12
x
p
2
+ · · · + a
1n
x
p
n
≡ α
1
(mod p)
.
.
.
a
r1
x
p
1
+ a
r2
x
p
2
+ · · · + a
rn
x
p
n
≡ α
n
(mod p)
(1.8)
e suponha que o sistema tenha uma solu¸c˜ao (ξ
1
, . . . , ξ
n
). Multi-
plicando tal solu¸c˜ao por uma nova vari´avel X obtemos um novo
15
sistema
a
11
(ξ
1
X)
p
+ a
12
(ξ
2
X)
p
+ · · · + a
1n
(ξ
n
X)
p
= β
1
X
p
.
.
.
a
r1
(ξ
1
X)
p
+ a
r2
(ξ
2
X)
p
+ · · · + a
rn
(ξ
n
X)
p
= β
n
X
p
,
onde, β
i
= α
i
+ t
i
p para algun t
i
conveniente. Chamamos esse
processo de contra¸c˜ao de vari´aveis. Dizemos que X ´e a con-
tra¸c˜ao das vari´aveis {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} e o vetor
β
1
X
p
.
.
.
β
r
X
p
chama-se vetor contra´ıdo.
Exemplo:
Considere o sistema
a
11
x
p
1
+ a
12
x
p
2
+ a
13
x
p
3
≡ 1 (mod p)
a
21
x
p
1
+ a
22
x
p
2
+ a
23
x
p
3
≡ 0 (mod p)
a
31
x
p
1
+ a
32
x
p
2
+ a
33
x
p
3
≡ 0 (mod p)
(1.9)
com matriz dos coeficientes de posto 3 m´odulo p, e com solu¸c˜ao
igual a (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
). Contraindo estas vari´aveis, obteremos um vetor
contra´ıdo igual a
(1 + λp)X
p
µpX
p
νpX
p
.
O vetor contra´ıdo ser´a aplicado no cap´ıtulo 4.
Na pr´oxima se¸c˜ao trataremos do processo de p -normaliza¸c˜ao,
cujo objetivo ´e transformar um dado sistema em um sistema mais
f´acil de se manipular. Ap´os a aplica¸c˜ao deste conceito voltamos
a falar de solu¸c˜oes n˜ao singulares.
16
1.3 Normaliza¸c˜ao
Alguns dos lemas a seguir est˜ao demonstrados nos artigos [15]
e [17].
Defini¸c˜ao 7 Sejam F , G um par de formas diagonais de grau k
(inteiro positivo) sobre , digamos,
F = a
1
x
k
1
+ a
2
x
k
2
+ · · · + a
n
x
k
n
G = b
1
x
k
1
+ b
2
x
k
2
+ · · · + b
n
x
k
n
. (1.10)
Definimos
ϑ(F, G) =
i=j
(a
i
b
j
− a
j
b
i
). (1.11)
Lema 8 Sejam F, G formas diagonais de grau k a n indetermi-
nadas sobre .
(i) Se
F
(x
1
, . . . , x
n
) = F (p
ν
1
x
1
, . . . , p
ν
n
x
n
),
G
(x
1
, . . . , x
n
) = G(p
ν
1
x
1
, . . . , p
ν
n
x
n
),
onde ν
1
, . . . , ν
n
s˜ao inteiros positivos, ent˜ao
ϑ(F
, G
) = p
2k(n−1)ν
ϑ(F, G),
onde
ν = ν
1
+ · · · + ν
n
.
(ii) Se
f(x
1
, . . . , x
n
) = λF (x
1
, . . . , x
n
) + µG(x
1
, . . . , x
n
)
g(x
1
, . . . , x
n
) = ρF (x
1
, . . . , x
n
) + σG(x
1
, . . . , x
n
)
,
onde λ, µ, ρ, σ s˜ao racionais. ent˜ao
ϑ(f, g) = (λσ − µρ)
n(n−1)
ϑ(F, G).
17
Demonstra¸c˜ao.
(i) Se a
i
, b
j
s˜ao os coeficientes de x
k
i
, x
k
j
em f, g respectivamente,
ent˜ao temos que
a
i
b
j
− a
j
b
i
= p
k(ν
i
+ν
j
)
(a
i
b
j
− a
j
b
i
),
e
i=j
(ν
i
+ ν
j
) = 2(n − 1)ν.
(ii) Se α
i
, β
j
s˜ao os coeficientes de x
k
i
, x
k
j
em f e g respectiva-
mente, e nt˜ao
α
i
β
j
− α
j
β
i
= (λσ − µρ)(a
i
b
j
− a
j
b
i
)
e o n´umero de fatores no produto (1.11) ´e n(n − 1).
Dizemos que dois pares de formas do tipo (1.10), com coefi-
cientes em , s˜ao p-equivalentes se um par pode ser obtido do
outro por uma combina¸c˜ao das opera¸c˜oes (i) e (ii) do lema 8;
onde ν
1
, . . . , ν
n
s˜ao inteiros positivos e λ, µ, σ, ρ s˜ao n´umeros
racionais com λσ − µρ = 0. Observe que as opera¸c˜oes (i) e (ii)
s˜ao comutativas, ou seja, se as equa¸c˜oes F = G = 0 tˆem uma
solu¸c˜ao n˜ao trivial em um corpo p-´adico, tamb´em o tem todo par
de formas p-equivalente a esse.
De agora em diante suponha que
ϑ(F, G) = 0. (1.12)
Observe que esta propriedade se preserva sobre p-e quivalˆencias.
Defini¸c˜ao 9 De cada classe de pares de formas (com coeficientes
inteiros) p-equivalentes entre si, selecionamos um par de formas
18
para o qual, a potˆencia p dividindo ϑ(F, G) ´e minimal; isto ´e
possivel pois as potˆencias s˜ao n˜ao-negativas. Chamamos este par
de p-normalizado.
Observe que um par de formas p-normalizado n˜ao ´e ´unico: de
fato, qualquer opera¸c˜ao do tipo (ii) com λσ −µρ n˜ao divis´ıvel por
p transforma um par p-normalizado em outro par p-normalizado.
Chamamos tal opera¸c˜ao de mudan¸ca de base unimodular.
Para qualquer forma H com coeficientes em , corresponde
uma forma H
∗
com coeficientes em um corpo finito de p elementos,
estes coeficientes sendo congruentes (m´odulo p) aos coeficientes
correspondentes de H. Observe que vari´aveis explicitamente pre-
sentes em H n˜ao necessariamente est˜ao explicitamente presentes
em H
∗
.
Por posto de uma forma entende-se o n´umero de vari´aveis que
ocorrem explicitamente na forma.
Lema 10 Um par de formas (F,G) p-normalizado, em n vari´aveis
e de grau k, pode ser escrito como
F = F
0
+ pF
1
+ · · · + p
k−1
F
k+1
G = G
0
+ pG
1
+ · · · + p
k−1
G
k+1
(1.13)
onde F
i
, G
i
s˜ao formas em m
i
vari´aveis, e esses conjuntos de
vari´aveis s˜ao disjuntos para i = 0, 1, . . . , k − 1. Al´em disso cada
uma das m
i
vari´aveis ocorre em F
i
ou em G
i
com um coeficiente
n˜ao divis´ıvel por p. Ainda:
(i)
m
0
+m
1
+· · ·+m
j−1
≥
jn
k
para j = 1, . . . , k−1. (1.14)
19
(ii) Al´em do mais, se q
j
denota o n´umero m´ınimo de vari´aveis
ocorrendo explicitamente em qualquer forma λF
∗
j
+µG
∗
j
(onde
λ, µ n˜ao s˜ao ambos nulos m´odulo p) ent˜ao
m
0
+ · · · + m
j−1
+ q
j
≥ (j +
1
2
)
n
k
para j = 0, . . . , k − 1
(1.15)
Observa¸c˜ao: Observe que os n´umeros m
0
, m
1
, · · · , q
0
, q
1
, · · ·
s˜ao invariantes sobre mudan¸cas de base unimodular.
Demonstra¸c˜ao do Lema 10. Certamente podemos expressar
um par de formas p-normalizado como
F = F
0
+ pF
1
+ p
2
F
2
+ · · · , G = G
0
+ pG
1
+ p
2
G
2
+ · · · ,
onde colocamos em F
j
e G
j
aqueles termos a
i
x
p
i
, b
i
x
p
i
para qual
p
j
´e o maior divisor de ambos a
i
e b
i
. Ent˜ao os conjuntos de
vari´aveis que ocorrem em F
0
, G
0
, em F
1
, G
1
, etc. s˜ao obviamente
disjuntos.
Agora provamos que as formas F
j
, G
j
s˜ao nulas se j ≥ k. Isto
segue da propriedade minimal de ϑ(F, G); pois se a
i
x
p
i
, b
i
x
p
i
s˜ao
termos em F , G com a
i
, b
i
ambos divis´ıveis por p
k
, poder´ıamos
diminuir a potˆencia p que divide ϑ(F, G) por uma opera¸c˜ao do
tipo (i), a saber pondo x
i
= p
−1
x
i
, preservando-se os coeficientes
inteiros de .
Resta-nos provar (1.14) e (1.15). Seja x
1
, · · · , x
m
, onde m =
m
1
+ · · · + m
j−1
denota o n´umero de vari´aveis em F
0
, G
0
, · · · ,
F
j−1
, G
j−1
. Ent˜ao as forma
F
= p
j
F (px
1
, · · · , px
m
, x
m+1
, · · · x
n
)
G
= P
−j−1
G(px
1
, · · · , px
m
, x
m+1
, · · · x
n
)
20
tem coeficientes interios e s˜ao equivalentes a F , G. Pelo lema (8)
ϑ(F
, G
) = p
−2jn(n−1)+2k(n−1)m
ϑ(F, G).
Pela defini¸c˜ao de par normalizado, temos m ≥ jn/k, e isto prova
(1.14).
Para provar (1.15), podemos supor sem perda de generalidade
que q
j
´e o n´umero de vari´aveis que ocorrem explicitamente em
G
∗
j
. Sejam x
m+1
, . . . , x
m+q
, onde q = q
j
. Ent˜ao as formas
F
= p
−j
F (px
1
, . . . , p x
m+q
, x
m+q+1
, . . . , x
n
),
G
= p
−j−1
G(px
1
, . . . , p x
m+q
, x
m+q+1
, . . . , x
n
),
tˆem coeficientes em e s˜ao equivalentes a F , G. Pelo lema 8,
ϑ(F
, G
) = p
−(2j+1)n(n−1)+2k(n−1)(m+q)
ϑ(F, G).
Da´ı m + q ≥ (j +
1
2
)n/k, que ´e (1.15)
Lema 11 Seja F , G um par de formas p-normalizado em n va-
ri´aveis. Ap´os uma mudan¸ca de base unimodular, podemos supor
que G
∗
0
´e uma forma de posto minimal dentre as formas λ
∗
F
∗
0
+
µ
∗
G
∗
0
(onde λ
∗
, µ
∗
n˜ao s˜ao ambos nulos). Seja q
0
o posto de G
∗
.
Assim podemos escrever o par F
0
, G
0
F
0
= a
1
x
p
1
+ · · · + a
m
0
−q
0
x
p
m
0
−q
0
+ a
m
0
−q
0
+1
x
p
m
0
−q
0
+1
+ · · · + a
m
0
x
m
0
G
0
= p(e
1
x
p
1
+ · · · + e
m
0
−q
0
x
p
m
0
−q
0
) + b
m
0
−q
0
+1
x
p
m
0
−q
0
+1
+ · · · + b
m
0
x
m
0
,
onde a
1
, . . . , a
m
0
−q
0
, b
m
0
−q
0
+1
, . . . , b
m
0
s˜ao todos coprimos com p e
m
0
´e dado por (1.13) do lema 10.
Os quocientes
a
i
e
i
podem ser divididos em at´e p subconjuntos,
onde em cada conjunto, os quocientes s˜ao dois a dois congruentes
m´odulo p. Ap´os uma reordena¸c˜ao (se for necess´ario) podemos
21
supor que
a
1
e
1
, . . . ,
a
µ
e
µ
´e um conjunto com cardinalidade m´axima.
Ent˜ao
m
0
− q
0
p
≤ µ ≤ m
0
+ ν −
n
p
,
onde ν ´e o posto de G
∗
1
.
Demonstra¸c˜ao. Por hip´otese µ ≥
m
0
− q
0
p
. Al´em disso F ,
G
= a
1
G − e
1
pF ´e um par p-normalizado que ´e p-equivalente
a F , G, mantendo as propriendades minimais de G
0
, F
1
ou G
1
.
Seguindo este racioc´ınio, a forma G
0
pode ser representada como
G
0
= p
2
µ
1
β
i
x
p
i
+ p
m
0
−q
0
µ+1
β
i
x
p
i
+
m
0
m
0
−q
0
+1
β
i
x
p
i
onde os coeficientes β
µ+1
, . . . , β
m
0
s˜ao todos coprimos com p. Seja
ν o posto de G
∗
1
. Agora multiplicamos as m
0
−µ+ ν vari´aveis por
p, onde µ + 1 ≤ i ≤ m
0
ou x
i
´e uma das ν vari´aveis em G
∗
com
coeficientes n˜ao divis´ıveis por p. Ent˜ao
G
= P
2
G
,
onde G
´e uma forma aditiva com coeficientes inteiros. Assim
ϑ(F, G
) = p
−2n(n−1)+2p(n−1)(m
0
−µ+ν)
ϑ(F, G).
Como F , G ´e um par de formas p-normalizado, segue que
n ≤ p(m
0
− µ + ν)
Da´ı
m
0
− q
0
p
≤ µ ≤ m
0
+ ν −
n
p
Neste trabalho tamb´em analisamos um sistema com v´arias
equa¸c˜oes; para tal, usamos v´arios conceitos e resultados esten-
didos dos anteriores. Abaixo escrevemos estes “novos” conceitos
22
e resultados, alguns sem demonstr´a-los, pois sua demonstra¸c˜ao
segue os mesmos passos de demonstra¸c˜oes anteriores.
Considere r formas diagonais de grau k em n ≥ 3 vari´aveis
sobre . A saber
f
1
= a
11
x
k
1
+ · · · + a
1n
x
k
n
.
.
.
f
r
= a
1r
x
k
1
+ · · · + a
rn
x
k
n
. (1.16)
Iniciamos definindo
ϑ(f
1
, . . . , f
r
) =
j
1
,...,j
r
det(a
ij
i
) (i = 1, . . . , r), (1.17)
onde o produt´orio varia sobre todos os subconjuntos de r ´ındices
distintos j
1
, . . . , j
r
de 1, 2, . . . , N, dois subconjuntos sendo consi-
derados o mesmo somente se eles s˜ao iguais. O n´umero destes
subconjuntos ´e
M = n(n − 1) · · · (n − r + 1)
As propriedades invariantes de ϑ s˜ao dadas pelos seguintes lemas.
Lema 12 (i) Se
f
i
(x
1
, . . . , x
n
) = f
i
(p
ν
1
x
1
, . . . , p
ν
n
x
n
)
para i = 1, . . . , r, ent˜ao
ϑ(f
1
, . . . , f
r
) = p
krMν/n
ϑ(f
1
, . . . , f
r
),
onde ν = ν
1
+ · · · + ν
n
.
(ii) Se
f
(x
1
, . . . , x
n
) =
r
j=1
d
ij
f
i
(i = 1, . . . , r),
onde det(d
ij
) = D = 0, ent˜ao
ϑ(f
1
, . . . , f
r
) = D
M
ϑ(f
1
, . . . , f
r
).
23
Como feito anteriormente, dizemos que dois conjuntos de for-
mas como em (1.16), com coeficientes em s˜ao p-equivalentes, se
um conjunto pode ser obtido do outro por uma combina¸c˜ao das
opera¸c˜oes (i) e (ii) do lema 12, onde ν
i
, . . . , ν
n
s˜ao inteiros e os d
ij
s˜ao racionais com D = 0. As opera¸c˜oes (i) e (ii) s˜ao comutativas,
isto ´e, se as equa¸c˜oes
f
1
= 0, . . . , f
r
= 0
tem uma solu¸c˜ao comum n˜ao trivial em um corpo p-´adico, ent˜ao
o tem qualquer sistema de equa¸c˜oes p-equivalentes. Supomos ini-
cialmente que
ϑ(f
1
, . . . , f
r
) = 0, (1.18)
De todos os sistema de formas que s˜ao p-equivalentes a um dado
sistema, limitando-se aos sistemas com coeficientes em , seleci-
onamos um para o qual a potˆencia de p dividindo ϑ(f
1
, . . . , f
r
) ´e
minimal. Isto ´e poss´ıvel pois (1.18) vale para cada sistema. tal
sistema de formas ´e dito p-normalizado.
Lema 13 (Davenport-Lewis) Suponha que qualquer conjunto
de formas, como em (1.16), satisfazendo ϑ(f
1
, . . . , f
r
) = 0 admite
um zero p-´adico comum n˜ao trivial. Ent˜ao todo conjunto de r
formas diagonais com o mesmo n´umero de vari´aveis tem um zero
p-´adico n˜ao trivial.
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente suponha que ϑ(f
1
, . . . , f
r
) = 0.
´
E
f´acil ver que para qualquer inteiro p ositivo µ, existem formas
f
(µ)
i
=
n
j=1
a
(µ)
ij
x
p
j
24
com coeficientes inteiros, tais que
ϑ(f
(µ)
1
, . . . , f
(µ)
r
) = 0
e tal que a
(µ)
ij
−a
ij
´e divis´ıvel por p
µ
para todo i e j. Ent˜ao p odemos
supor que o conjunto f
(µ)
1
, . . . , f
(µ)
r
´e p-normalizado. Suponha que
o sistema de equa¸c˜oes
f
(µ)
i
(
X) = 0 (i = 1, . . . , r)
tem uma solu¸c˜ao p-´adica inteira n˜ao trivial
X =
X
(µ)
(hip´otese),
para cada µ. Como as equa¸c˜oes s˜ao homogˆeneas podemos supor
que p e lo menos uma das coordenadas de
X
(µ)
n˜ao ´e divis´ıvel por
p, ou sej a, o ponto
X
(µ)
est´a na superf´ıcie do cubo |x
j
|
p
≤ 1, den-
tro do espa¸co dos pontos com coordenadas p-´adicas. Como
p
´e
compacto, ent˜ao o conjunto {
X
(µ)
} tem um ponto de acumula¸c˜ao
n˜ao nulo
X. Se µ vai para infinito atrav´es de uma seq¨uˆencia
conveniente, ent˜ao
lim
µ→∞
X
(µ)
=
X
existe no sentido p-´adico. Temos ent˜ao
f
i
(
X) = lim
µ→∞
f
i
(
X
(µ)
),
e
f
i
(
X
(µ)
)
p
=
f
i
(
X
µ
) − f
(µ)
i
(
X
(µ)
)
p
=
n
j=1
(a
ij
− a
(µ)
ij
)x
(µ)k
j
p
≤ p
−µ
.
Segue que f
i
(
X) = 0, para todo i = 1, . . . , r.
25
Diante do lema 13, podemos nos concentrar somente em estu-
dar os zeros de formas diagonais p-normalizados. Nos pr´oximos
cap´ıtulos fazemos o uso conveniente destas considera¸c˜oes.
O pr´oximo lema nos d´a algumas propriedades de um sistema
de formas p-normalizado, semelhante ao que foi feito no lema 10.
Teorema 14 Um conjunto de r formas aditivas p-normalizado,
de grau k, a n vari´aveis, pode ser escrito (ap´os uma reordena¸c˜ao
das vari´aveis) como
f
i
= F
i
+ pG
i
+ p
2
H
i
(1.19)
para i = 1, . . . , r. Se m
0
´e o n´umero de vari´aveis do bloco de
formas F
i
(i = 1, . . . , r) e m
1
´e o n´umero de vari´aveis que ocorre
no bloco G
i
(i = 1, . . . , r), ent˜ao
m
0
≥
n
k
, (1.20)
m
0
+ m
1
≥
2n
k
(1.21)
e cada uma das m
0
+ m
1
vari´aveis ocorre em pelo menos um dos
F
i
G
i
com coeficiente n˜ao divis´ıvel por p. Al´em disso, se for-
mamos s combina¸c˜oes lineares de F
1
,. . . , F
r
(essas combina¸c˜oes
sendo linearmente independentes m´odulo p) e denotamos por q
s
o n´umero de vari´aveis que ocorrem em pelo menos uma dessas
combina¸c˜oes com um coeficiente n˜ao divis´ıvel por p, ent˜ao
q
s
≥
sn
rk
(s = 1, . . . , r − 1) (1.22)
Demonstra¸c˜ao. Obtemos (1.19) simplesmente incluindo nas for-
mas F
i
todos aquelas vari´aveis que ocorrem em pelo menos um
dos f
i
com um coeficiente n˜ao divis´ıvel por p e ent˜ao reenume-
ramos essas vari´aveis como x
1
, . . . , x
m
0
. De modo semelhante,
26
incluimos nas formas G
i
todas aquelas vari´aveis que ocorrem em
pelo menos um dos f
i
com um coeficiente n˜ao divis´ıvel por p e p
2
e ent˜ao reenumeramos essas vari´ave is como x
m
0
+1
, . . . , x
m
0
+m
1
. E
o restante das vari´aveis incluimos em H
i
.
Abaixo mostramos somente (1.21). A demonstra¸c˜ao de (1.20)
segue com pequenas altera¸c˜oes.
Considere as formas
p
−2
f
i
(px
1
, . . . , px
m
0
+m
1
, x
m
0
+m
1
+1
, . . . , x
n
) = p
k−2
F
i
(x
1
, . . . , x
m
0
)
+ p
k−1
G
i
(x
m
0
+1
, . . . , x
m
0
+m
1
)
+ H
i
(x
m
0
+m
1
+1
, . . . , x
n
).
Estas s˜ao obtidas das formas f
i
(x
1
, . . . , x
n
) por combina¸c˜ao das
opera¸c˜oes (i) e (ii) do lema 12. A ope ra¸c˜ao (i) ´e usada com
ν = m
0
+ m
1
e a opera¸c˜ao (ii) com D = p
−2r
, da´ı o valor de ϑ
para a nova forma ´e obtido daquela da forma anterior multiplicado
por
p
krM(m
0
+m
1
)/n−2rM
.
Como as novas formas tˆem coeficientes em , segue, da escolha
minimal feita na defini¸c˜ao de um sistema p-normalizado, que m
0
+
m
1
≥ 2n/k. Isto prova (1.21).
Sejam F
1
,. . . ,F
s
quaisquer s combina¸c˜oes lineares de F
1
, . . . , F
r
(mod p), e se jam f
1
, . . . , f
s
as mesmas combina¸c˜oes lineares de f
1
,
. . . , f
r
. Cada conjunto pode ser completado para dar um conjunto
de r combina¸c˜oes lineares, independentes m´odulo p. Ent˜ao f
1
,
. . . , f
r
s˜ao obtidas de f
1
, . . . , f
r
pela opera¸c˜ao (ii); neste caso
D n˜ao ´e divis´ıvel por p. Seja q (= q
s
) o n´umero de vari´aveis que
ocorrem em pelo menos um dos F
1
, . . . , F
s
com um coeficiente
27
n˜ao divis´ıvel p or p e sejam x
1
, . . . , x
q
, tais vari´aveis. As formas
p
−1
f
i
(px
1
, . . . , p x
q
, x
q+1
, . . . , x
n
) (i = 1, . . . , s)
f
i
(px
1
, . . . , p x
q
, x
q+1
, . . . , x
n
) (i = s + 1, . . . , r)
(1.23)
tem coeficientes em . Estas formas s˜ao obtidas de f
1
, . . . , f
r
por
uma combina¸c˜ao das opera¸c˜oes (i) (com ν = q) e (ii) (com D =
p
−s
D
0
), onde D
0
n˜ao ´e divis´ıvel por p. Os mesmos argumentos
de antes nos d´a
krMq
n
− sM ≥ 0,
o que implica em q ≥
ns
rk
.
Seja A
0
a matriz dos coeficientes do bloco de formas F
1
, . . . , F
r
no teorema 14 . Low, Pitman e Wolff em [25], observaram que o
valor de q
s
est´a relacionado com o n´umero de submatrizes r×r n˜ao
singulares m´odulo p de A
0
. Atrav´es de um resultado combinat´orio
sobre matrizes, eles deduziram que para qualquer t ∈ , a matriz
A
0
cont´em t matrizes r × r disjuntas n˜ao divis´ıveis por p se, e
somente se ,
q
s
≥ ts,
para 1 ≤ s ≤ r.
Esse resultado nos d´a estimativas para as submatrizes de A
0
.
Isso nos permite demonstrar um resultado sobre v´arias formas de
grau p sobre
p
, no cap´ıtulo 4.
Lema 15 suponha que 1.16 ´e p-normalizado e tem m vari´aveis
no bloco formas F
1
, . . . , F
r
(bloco chamado de n´ıvel 0) dado no te-
orema 14. Seja A
0
a matriz dos coeficientes deste bloco de formas.
Ent˜ao a matriz A
0
, m × r, comt´em no m´ınimo
n
rk
submatrizes
distintas, todas com posto r m´odulo p, ou seja, determinante n˜ao
divis´ıvel por p.
28
Demonstra¸c˜ao. Pelo teorema 14 temos que
q
s
≥
ns
rk
≥
n
rk
s.
Utilizando agora o resultado de Low, Pitman e Wolf concluimos
que A
0
cont´em no m´ınimo
n
rk
submatrizes distintas r × r com
determinante n˜ao divis´ıvel por p.
1.4 Sobre zeros p-´adicos
Muitos dos resultados em n´umeros p-´adicos sobre busca de
zeros (solu¸c˜oes n˜ao triviais) para polinˆomios est˜ao baseadas no
seguinte resultado bem conhecido (ver [8]):
Lema 16 Um polinˆomio f(x
1
, . . . , x
n
) com coeficientes p-´adicos
tem um zero p-´adico se, e somente se, a congruˆencia
f(x
1
, . . . , x
n
) ≡ 0 (mod p
α
) (1.24)
tem solu¸c˜ao n˜ao trivial para todo α natural.
Com este resultado em mente, a tarefa agora ´e de tentar en-
contrar condi¸c˜oes que garantam que a solu¸c˜ao de algumas con-
gruˆencias implique solu¸c˜oes para todas as congruˆencias em (1.24).
O resultado mais conhecido nesta dire¸c˜ao foi introduzido por Hen-
sel, utilizando o m´etodo de aproxima¸c˜oes de Newton. Nesta se¸c ˜ao
nos concentramos em apresentar alguns lemas deste tip o, que
ser˜ao utilizados nas se¸c˜oes seguintes.
Defini¸c˜ao 17 Seja k um inteiro positivo qualquer e p um n´umero
primo. Escreva k = p
τ
k
0
onde mdc (k
0
, p) = 1. Definimos o
n´umero γ como
γ =
τ + 1 se p > 2
τ + 2 se p = 2
.
29
Lema 18 Se a congruˆencia
x
k
≡ m (mod p
γ
)
tem solu¸c˜ao, onde mdc (m, p) = 1 e γ como na defini¸c˜ao 17, ent˜ao
a congruˆencia
x
k
≡ m (mod p
n
)
tem solu¸c˜ao para todo n ≥ γ. Ou seja, x
k
= m tem uma solu¸c˜ao
p-´adica.
Demonstra¸c˜ao. Os principais ingredientes desta prova s˜ao os
seguintes f atos bem conhecidos
U
n
=
p
n
×
∼
=
C
p
n−1
(p−1)
se p > 2
C
2
× C
2
n−2
se p = 2
,
onde C
p
´e o grupo c´ıclico de ordem p. Primeiramente vamos
assumir p > 2, e seja g uma raiz primitiva de U
n
. Escrevemos
m ≡ g
µ
, y ≡ g
ν
e x ≡ g
ξ
(mod p
n
). (1.25)
Como estamos assumindo n > γ e y
k
≡ m (mod p
γ
), temos que
kν ≡ µ (mod p
γ−1
(p − 1)),
isto ´e, m´odulo a ordem do grupo U
γ
. Logo, por defini¸c˜ao de γ,
p
γ−1
k
0
ν ≡ µ (mod p
γ−1
(p − 1)),
onde k
0
´e como na defini¸c˜ao 17, o que implica que ambos, p
γ−1
e
(k
0
, p − 1) dividem µ. Portanto a equa¸c˜ao (ver (1.25))
kξ ≡ µ (mod p
n−1
(p − 1))
tem solu¸c˜ao para ξ, dando uma solu¸c˜ao tamb´em para a equa¸c˜ao
equivalente
x
k
≡ m (mod p
n
).
30
Assumamos ent˜ao p = 2, e consideremos dois casos:
caso 1. Se k ´e impar, seja f(x) = x
k
− m. Como m ´e impar, pois
(m, 2) = 1, ent˜ao
f(1) ≡ 0 (mod 2).
Seja t ∈ . Pelo de senvolvimento de f em s´erie de Taylor em
torno de x = 1, temos que a equa¸c˜ao
f(1 + 2t) ≡ f(1) + f
(1)2t ≡ 2(
f(1)
2
+ f
(1)t) ≡ 0 (mo d 2
2
)
tem uma solu¸c˜ao t ∈ , pois mdc(2, f
(1)) = 1.
Agora suponha que
f(x) ≡ 0 (mod 2
n
) (1.26)
tem solu¸c˜ao para n = k ≥ 1. Vamos mostrar (por indu¸c˜ao) que
a equa¸c˜ao (1.26) tem solu¸c˜ao para n = k + 1. Seja α
r
∈ uma
solu¸c˜ao de (1.26) para n = k, ou seja, f(α
r
) ≡ 0 (mod 2
k
). Pelo
desenvolvimento de f em s´erie de Taylor em torno de α
r
, o sistema
f(α
r
+ 2
r
t) ≡ f(α
r
) + f
(α
r
)2
r
t ≡ 0 (mod 2
r+1
)
tem uma solu¸c˜ao t ∈ , pois
f(α
r
)
2
r
+ f
(α
r
)t ≡ 0 (mod 2)
tem solu¸c˜ao em t, devido (f
(α
r
), 2) = 1. Observe que f
(α
r
) =
kα
k−1
r
´e impar. Pelo princ´ıpio da indu¸c˜ao finita, a congruˆencia
x
k
− m ≡ 0 (mod 2
n
) tem solu¸c˜ao para todo n ∈
caso 2. Se k ´e par, este caso ´e uma exata repeti¸c˜ao dos argu-
mentos do caso p > 2 acima, tomando tamb´em g como gerador
do grupo C
2
n−2
. Lembrando que agora γ = τ + 2 e p = 2.
31
Finalmente, no pr´oximo lema, fazemos uso de praticamente
todos os conceitos anteriores, incluindo a defini¸c˜ao de solu¸c˜ao
n˜ao singular.
Lema 19 Sejam f
1
, f
2
,. . . , f
r
formas diagonais de grau k sobre
em n vari´aveis, n > r, de grau k, como em (1.16). Seja k = p
τ
k
0
com mdc (p, k
0
) = 1 e γ como na defini¸c˜ao 17. Se o sistema
f
1
= a
11
x
k
1
+ · · · + a
1n
x
k
n
≡ 0 (mod p
γ
)
.
.
.
f
r
= a
1r
x
k
1
+ · · · + a
rn
x
k
n
≡ 0 (mod p
γ
)
tem uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p
γ
, ent˜ao as formas f
1
,
f
2
,. . . , f
r
tˆem um zero p-´adico comum.
Demonstra¸c˜ao. Vamos supor que ξ = (ξ
1
, . . . , ξ
n
) ´e uma solu¸c˜ao
como nas hip´oteses. Sem perda de generalidade podemos supor
(por hip´otese) que a matriz
A =
a
11
ξ
1
a
12
ξ
2
· · · a
1r
ξ
r
.
.
.
.
.
.
a
1r
ξ
1
a
1r
ξ
2
· · · a
rr
ξ
r
tem posto r m´odulo p. Aplicando a opera¸c˜ao (ii) do lema 12 com
(d
ij
) = A
−1
obtemos o sistema p-equivalente
f
∗
1
= b
11
x
k
1
+ 0 + · · · + 0 + b
1(r+1 )
x
k
r+1
+ · · · + b
1n
x
k
n
f
∗
2
= 0 + b
22
x
k
2
+ · · · + 0 + b
2(r+1 )
x
k
r+1
+ · · · + b
2n
x
k
n
.
.
.
f
∗
r
= 0 + 0 + · · · + b
rr
x
k
r
+ b
r(r+1)
x
k
r+1
+ · · · + b
rn
x
k
n
Logo
f
∗
1
(ξ) = b
11
ξ
k
1
+ 0 + · · · + 0 + b
1(r+1 )
ξ
k
r+1
+ · · · + b
1n
ξ
k
n
≡ 0 (mod p
γ
)
f
∗
2
(ξ) = 0 + b
22
ξ
k
2
+ · · · + 0 + b
2(r+1 )
ξ
k
r+1
+ · · · + b
2n
ξ
k
n
≡ 0 (mod p
γ
)
.
.
.
f
∗
r
(ξ) = 0 + 0 + · · · + b
rr
ξ
k
r
+ b
r(r+1)
ξ
k
r+1
+ · · · + b
rn
ξ
k
n
≡ 0 (mod p
γ
)
32
e como (ξ
1
, . . . , ξ
n
) ´e uma solu¸c˜ao n˜ao singular, ent˜ao b
ii
ξ
k
i
≡
0 (mod p), portanto cada M
i
= b
i(r+1)
ξ
k
r+1
+· · ·+b
in
ξ
k
n
≡ 0 (mod p)
(i = 1, . . . , r). Agora ´e s´o aplicar o lema 18 `as congruˆencias
independentes
b
11
x
k
1
≡ M
1
(mod p
γ
)
b
21
x
k
2
≡ M
2
(mod p
γ
)
.
.
.
b
r1
x
k
r
≡ M
r
(mod p
γ
)
que obtemos um zero p-´adico comum para o conjunto de formas
f
∗
1
,. . . , f
∗
r
; e da´ı, seu conjunto p-equivalente f
1
, . . . , f
r
, possui um
zero p-´adico comum n˜ao trivial, concluindo a demonstra¸c˜ao.
Ap´os esta explana¸c˜ao verificamos que para investigarmos se
um conjunto de formas diagonais f
1
, f
2
,. . . ,f
r
, com coeficientes
inteiro tem zeros p -´adicos comuns, basta analisar se o sistema de
congruˆencias f
i
≡ 0 (mod p
γ
) (i = 1, 2, . . . , r) tem solu¸c˜ao para
um γ especial. Tamb´em, pela obseva¸c˜ao 13, basta supor que tal
conjunto de formas ´e p-normalizado.
Cap´ıtulo 2
Duas formas de grau ´ımpar
Seja p um inteiro primo. De Chevalley [11] segue que o sistema
f = a
11
x
k
1
+ · · · + a
1n
x
k
n
≡ 0 (mod p)
g = a
21
x
k
1
+ · · · + a
2n
x
k
n
≡ 0 (mod p)
(2.1)
tem uma solu¸c˜ao n˜ao trivial se n ≥ 2k + 1. Tamb´em ´e conhecido
que este resultado ´e o melhor poss´ıvel no sentido de que existem
exemplos de sistemas com grau k = p − 1 em n = 2k vari´aveis
sem solu¸c˜oes n˜ao triviais. Por outro lado ´e esperado que, uma vez
tendo grau k, tal que k ≡ 0 (mod p) e k ≡ 0 (mod p − 1), neces-
sitar´ıamos de menos vari´aveis para garantir solu¸c˜oes n˜ao triviais.
O pr´oximo teorema confirma esta id´eia, para graus ´ımpares k ≥ 5
e mdc(k, p − 1) <
p − 1
2
.
Lema 20 Sejam k ≥ 1 um inteiro e p um inteiro primo. Consi-
dere o conjunto A
k
=
x
k
x ∈
p
. Se d = mdc (k, p − 1),
ent˜ao A
k
= A
d
.
Demonstra¸c˜ao. Sejam u, v ∈ tais que d = uk + v(p −1). Seja
x ∈
p
. Se x = 0, ent˜ao x
d
= x
uk+v(p−1)
= (x
u
)
k
(x
p−1
)
v
=
(x
u
)
k
∈ A
k
. Da´ı A
d
⊆ A
k
. Como d divide k, temos que k = dr
para algum inteiro r. Ass im x
k
= (x
r
)
d
∈ A
d
. Logo A
k
⊆ A
d
33
34
O lema 20 aparece como mais um ajudante no estudo do par
de formas (2.1),
pois este lema nos diz que a equa¸c˜ao x
k
≡ m (mod p) tem
solu¸c˜ao se, e s omente se, x
d
≡ m (mod p) tem solu¸c˜ao, onde
d = mdc(k, p − 1). Ent˜ao, em (2.1) basta considerar potˆencias k
com 1 < k < (p−1) e tal que k divide p−1, da´ı k = mdc(k, p−1).
No pr´oximo teorema tamb´em exclu´ımos o caso k = p− 1 e k =
p − 1
2
, pois fututamente faremos uso de um resultado de Chowla,
Mann e Straus (ver Teorema 30), que n˜ao permite o uso de tais
potˆencias. Nos pr´oximos resultados usamos (convenientemente)
estes coment´arios.
Abaixo temos o primeiro resultado desta tese, cujos pr´e-requisi-
tos para sua demostra¸c˜ao e a pr´opria, est˜ao nas p´aginas seguintes.
Teorema 21 Seja k ≥ 5 um inteiro ´ımpar e p um primo. Supo-
nha que mdc (k, p − 1) <
p − 1
2
. Se n ≥
11
6
k + 1, ent˜ao o sistema
(2.1) tem uma solu¸c˜ao n˜ao trivial.
Nossa inten¸c˜ao ´e tamb´em resolver um sistema similar ao (2.1)
para grau p (no pr´oximo cap´ıtulo), ou equivalentemente, encon-
trar zeros p-´adicos para pares de formas aditivas de grau p (ver [8,
Cap´ıtulo 1, se ¸c˜ao 5]). Para um grau qualquer, o melhor resultado
foi dado por Davenpot & Lewis [16].
Teorema 22 O sistema (2.1) tem solu¸c˜oes n˜ao singulares, se
n ≥ 2k + 1 e qualquer combina¸c˜ao linear λf + µg tem pelo menos
k + 1 vari´aveis com coeficientes n˜ao nulos m´odulo p.
No caso de graus ´ımpares, em particular, podemos melhorar
este resultado, como afirma o pr´oximo teorema.
35
Teorema 23 Sejam p um primo e k um ´ınteiro positivo ´ımpar,
k ≥ 5 , mdc(k, p − 1) <
p−1
2
. Ent˜ao o sistema (2.1) tem uma
solu¸c˜ao n˜ao singular se n ≥
11
6
k + 1 e qualquer combina¸c˜ao li-
near λf + µg tem pelo menos
k+1
2
vari´aveis com coeficientes n˜ao
divis´ıveis por p.
H´a uma literatura extensa sobre pares de formas p-´adicas se-
guindo um caso especial de uma conjectura feita por E. Artin
que diz: “Qualquer par de formas aditivas em n vari´aveis, de
grau k, tem zeros p-´adicos, desde que n ≥ 2k
2
+ 1”. Para graus
´ımpares esta conjectura foi verificada por Davenport e Lewis [18],
e para um grau qualquer o melhor resultado ´e n > 8k
2
, dado por
Br¨udern e Godinho [10].
Neste cap´ıtulo demonstramos os teoremas 21, 23 e, encerra-
mos, demonstrando o teorema 24, que ´e um resultado sobre zeros
p-´adicos de formas aditivas de grau ´ımpar, mostrando que a es-
timativa dada pela conjectura de Artin pode ser melhorada no
caso em que k ≥ 5 e mdc(k, p − 1) <
p − 1
2
Teorema 24 Qualquer par de formas aditivas de grau ´ımpar k ≥
5, em n vari´aveis, tem um zero p-´adico comum para todo primo
p, desde que n ≥
11
6
k
2
+ k e mdc (k, p − 1) <
p − 1
2
.
De fato, para grandes valores de k, isto pode ser melhorado
ainda mais, como foi provado por Davenport e Lewis [17]. Eles
provaram que, em pares de formas, zeros p-´adicos n˜ao triviais
existem, se n > 36k log 6k.
36
2.1 Lemas Combinat´orios
Defini¸c˜ao 25 Seja α um n´umero real. O n´umero inteiro repre-
sentado por α ´e o menor inteiro maior do que ou igual a α; o
n´umero inteiro β ´e o maior inteiro menor do que ou igual a β.
Lema 26 Sejam k, r inteiros positivos, k > 3 e 2 ≤ r ≤ k − 1, e
considere o conjunto de k elementos.
C = {t
0
, t
1
, . . . , t
k−1
}
de triplas t
i
= (i, i + 1, i + r) m´odulo k. Dizemos que t
i
e t
j
s˜ao
disjuntos se os conjuntos {i, i + 1, i + r} e {j, j + 1, j + r} s˜ao
disjuntos.
Ent˜ao, entre os elementos de C podemos encontrar pelo menos
k − 1
6
elementos dois a dois disjuntos.
Demonstra¸c˜ao. Se k < 7 temos pelo menos uma tripla disjunta
das outras. Ent˜ao suponha k ≥ 7. Seja T
0
= t
0
e C
1
= {T
0
}. Ob-
serve que dado T
0
= (0, 1, r), existem exatamente dois outros t
j
s
tendo 0 (zero) em uma das outras duas coordenadas. O mesmo
acontece com 1 e r. De fato, o subconjunto de C de todos os t
j
s
que n˜ao s˜ao disjuntos de T
0
(incluindo t
0
) ´e
E
1
= {t
k−1
, t
0
, t
1
, t
r
, t
r−1
, t
k−r
, t
k−r+1
}, (assim |E
1
| = 7)
pois t
k−r
= (k − r, k − r + 1, 0) e t
k−r+1
= (k − r + 1, k − r + 2, 1)
m´odulo k
Seja e
1
= |C − E
1
| = (k − 1) − 6. Se e
1
> 0, podemos escolher
T
1
= t
i
1
, onde i
1
´e o menor ´ındice tal que t
i
1
∈ E
1
. Agora seja
C
2
= {T
0
, T
1
}. O subconjunto de C de todos os t
j
s que n˜ao s˜ao
37
disjuntos de T
1
(incluindo T
1
) ´e
E
2
= {t
i
1
−1
, t
i
1
, t
i
1
+1
, t
r+i
1
−1
, t
r+i
1
, t
k−r+i
1
, t
k−r+i
1
+1
}
Como t
i
1
−1
∈ E
1
∩E
2
, temos |C − (E
1
∪ E
2
)| ≥ e
2
= (k−1)−2×6.
Este argumento pode ser repetido at´e obtermos
C
j
= {T
0
, T
1
, . . . , T
j−1
}
onde e
j
= (k − 1) − j × 6 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Se e
j
= 0, ent˜ao
temos |C
j
| =
k − 1
6
=
k − 1
6
. Caso contr´ario, podemos e scolher
outro T
j
obtendo |C
j+1
| = j + 1 =
k − 1
6
+ 1 =
k − 1
6
.
Completamos a demonstra¸c˜ao.
Lema 27 Se entre c
1
, . . . , c
s
∈ , podemos encontar exatamente
t distintos elementos, ent˜ao podemos formar pelo menos
s − t + 1
2
pares disjuntos de elementos iguais.
Demonstra¸c˜ao. Se necess´ario, reenumeramos os c
i
s de tal forma
que c
1
, . . . , c
t
sejam dois a dois distintos. Seja v
j
o n´umero de ele-
mentos entre c
1
, . . . , c
s
que s˜ao iguais a c
j
para j = 1, 2, . . . , t.
Assim s = v
1
+ v
2
+ · · · + v
t
. Da´ı o n´umero de pares disjuntos ´e
igual a n =
v
1
2
+ · · · +
v
t
2
. E ´e f´acil ver que
s
2
≥ n ≥
v
1
− 1
2
+ · · · +
v
t
− 1
2
=
s − t
2
.
Se s ≡ t (mod 2), ent˜ao
s − t
2
=
s − t + 1
2
. Assim suponha
s ≡ t (mod 2), mas isto implica que algum v
j
deve ser par. Seja
v
1
par. Assim
v
1
2
+· · ·+
v
t
2
≥
v
1
2
+
v
2
− 1
2
+· · ·+
v
t
− 1
2
=
s − t + 1
2
=
s − t + 1
2
.
Isto completa a demonstra¸c˜ao.
38
Lema 28 Sejam k ∈ , k ≥ 5, k = 6 e p um primo, p ≡
1 (mod k). Seja
k
p
o subgrupo de
∗
p
=
p
\{0} de todas as
k-´esimas potˆencias. Ent˜ao existe δ ∈
p
tal que
∗
p
=
k
p
∪ δ
k
p
∪ · · · ∪ δ
k−1 k
p
(uni˜ao disjunta).
Al´em disso, existem r ∈ {2, . . . , k − 1} e a, b ∈
∗
p
tais que em
p
,
1 + δa
k
+ δ
r
b
k
= 0. (2.2)
Demonstra¸c˜ao. Seja τ uma raiz primitiva de
∗
p
, da´ı podemos
escrever
∗
p
=
k
p
∪ τ
k
p
∪ · · · ∪ τ
k−1 k
p
.
Agora definimos
X =
a ∈
∗
p
a ∈ τ
i k
p
e mdc(i, k) = 1
e
W =
−b
k
− 1 = 0
b ∈
∗
p
Assim o conjunto V =
k
p
∪ W ∪ W
−1
tem no m´aximo 3
p − 1
k
elementos.
Como k ≥ 5, k = 6, da´ı φ(k) > 3 (fun¸c˜ao de Euler) e
|X| = φ(k)
p − 1
k
> 3
p − 1
k
≥ |V |.
Da´ı podemos encontrar α ∈ X\V ; assim α = τ
i
a
k
, mdc(i, k) = 1
e α, α
−1
∈
k
p
. Como α /∈ W ∪ W
−1
, devemos ter −1 − α /∈
k
p
e
−1 − α
−1
/∈
k
p
. Portanto, −1 − α = α(−1 − α
−1
) /∈ α
k
p
= τ
i k
p
.
Agora, como mdc(i, k) = 1, Temos tamb´em
∗
p
=
k
p
∪ τ
i k
p
∪ · · · ∪ (τ
i
)
k−1 k
p
.
Da´ı −1 − α ∈ (τ
i
)
r k
p
, para algum r ≥ 2 e assim −1 − (τ
i
)
k
=
(τ
i
)
r
b
k
. Isto d´a o resultado, tomando δ = τ
i
pois mdc(i, k) = 1
39
Proposi¸c˜ao 29 Seja k ∈ , k ≥ 5, k = 6 e p um primo, p ≡
1 (mod k) Seja δ o elemento dado no lema 28. Se
A = {a
1
, . . . , a
s
} ⊆ S = {1, δ, . . . , δ
k−1
},
ent˜ao podemos encontrar pelo menos
k − 1
6
− (k − s) subcon-
juntos (disjuntos) de A, tal que a congruˆencia
a
i
x
k
+ a
j
y
k
+ a
k
z
k
≡ 0 (mod p)
tem uma solu¸c˜ao n˜ao trivial.
Demonstra¸c˜ao. O lema 28 nos d´a um δ tal que
1 + δa
k
+ δ
r
b
k
≡ 0 (mod p)
com ab ≡ 0 (mod p). Da´ı, para todo δ
i
∈ S, Temos
δ
i
+ δ
i+1
a
k
+ δ
i+r
b
k
≡ 0 (mod p). (2.3)
Agora associamos cada uma das formas (2.3) com a tripla de seus
expoentes modulo k, isto ´e,
δ
i
+ δ
i+1
a
k
+ δ
i+r
b
k
↔ t
i
= (i, i + 1, i + r) m´odulo k.
E agora cabe uma pergunta, Quantos t
i
disjuntos podemos
ter? O lema 26 nos diz que quando A = S temos pelo menos
k − 1
6
tripas disj untas. Observe que se vocˆe retira um elemento
de S, ent˜ao vocˆe pode perder uma dessas triplas. Se vocˆe retira
dois elementos de S, ent˜ao vocˆe pode ainda perder a mesma tripla
(h´a trˆes coordenadas), mas no pior caso, perde-se duas triplas. O
resultado segue deste racioc´ınio.
40
2.2 Congruˆencias Aditivas
Nesta se¸c˜ao, queremos determinar condi¸c˜oes para a congruˆencia
a
1
x
k
1
+ · · · + a
n
x
k
n
≡ 0 (mod p) (2.4)
ter solu¸c˜oes n˜ao triviais. Pelo lema 20, podemos assumir durante
este cap´ıtulo que p ≡ 1 (mod k). Come¸camos esta se¸c˜ao ununci-
ando um famoso resultado de Chowla, Mann, Straus [12].
Teorema 30 Sejam k e p inteiros positivos, p primo. Se k =
p − 1
2
, n ≥
k + 1
2
e a
1
· · · a
n
≡ 0 (mod p), ent˜ao para qualquer
b ∈ existe sempre uma solu¸c˜ao para a congruˆencia
a
1
x
k
1
+ · · · + a
n
x
k
n
≡ b (mod p)
´
E importante observar que o teorema 30 n˜ao garante a existˆencia
de solu¸c˜oes n˜ao triviais para (2.4). Para graus k = 3 e k = 5,
sabe-se que (2.4) tem uma s olu¸c˜ao n˜ao trivial se n ≥ 3 (provado
por D.J.Lewis [23] ; Atkinson e Cook [1], respectivamente), da´ı
podemos assumir que k ≥ 7. No pr´oximo par´agrafo apresentamos
uma prova geral deste resultado para graus ´ımpares baseado no
m´etodo padr˜ao de somas exponenciais (Um profundo estudo de
congruˆencias aditivas pode ser encontrado no artigo de Dodson
[20]).
Seja N o n´umero de solu¸c˜oes de (2.4) e seja ζ
p
uma raiz p-´esima
(complexa e primitiva) de 1. Agora defina
T (α) =
p−1
x=0
ζ
αx
k
p
. (2.5)
´
E f´acil ver que (para detalhes ver [8] ou [1])
N = p
−1
p−1
u=0
T (a
i
u) · · · T (a
n
u) = p
n−1
+p
−1
p−1
u=1
T (a
i
u) · · · T (a
n
u).
41
Definimos
S
r
=
p−1
u=1
|T (u)|
r
. (2.6)
Pela des igualdade de H¨older, temos
p−1
u=1
|T (a
1
u) · · · T (a
n
u)| ≤ (
p−1
u=1
|T (a
1
u)|
n
)
1
n
· · · (
p−1
u=1
|T (a
n
u)|
n
)
1
n
.
Como
p−1
u=1
|T (au)|
n
=
p−1
u=1
|T (u)|
n
, se a ≡ 0 (mod p),
Temos que
p−1
u=1
|T (a
1
u) · · · T (a
n
u)| ≤ S
n
.
Portando, a congruˆencia (2.4) acima tem solu¸c˜oes n˜ao triviais
sempre que
N p
n−1
− p
−1
S
n
> 1. (2.7)
Agora, podemos usar o seguinte resultado cl´assico:
S
2
= (k − 1)p(p − 1), (ver [20, lema 2.5.1]), (2.8)
|T (u)| ≤ (k − 1)p
1
2
, para u ≡ 0 (mod p) (2.9)
(ve r [14, lema 12]).
De (2.6), (2.8) e (2.9) segue que
S
n
=
p−1
u=1
|T (u)|
n
=
p−1
u=1
|T (u)|
n−2
|T (u)|
2
≤ (k −1)
n−1
p
n
2
−1
p(p−1).
Substituindo isto em (2.7), temos
N p
n−1
− (k − 1)
n−1
p
n
2
−1
(p − 1).
Assim, se
p
n
2
−1
> (k − 1)
n−1
, (2.10)
42
ent˜ao a congruˆencia (2.4) tem solu¸c˜oes n˜ao triviais (A desigual-
dade (2.10) tamb´em pode ser encontrada em Dodson [20]).
Lema 31 Sejam k um inteiro ´ımpar e p um primo. Se p < 2
n
ent˜ao a congruˆencia (2.4) tem solu¸c˜oes n˜ao triviais.
Demonstra¸c˜ao. Este ´e essencialmente o lema 2.2.1 em Dodson
[20].
Lema 32 Sejam k um inteiro ´ımpar k 21 e p um primo. Ent˜ao
a congruˆencia (2.4) tem uma solu¸c˜ao n˜ao trivial desde que n
k + 1
2
Demonstra¸c˜ao. Basta provar para n =
k+1
2
. Como estamos
tamb´em supondo que k 21, ent˜ao 2(k−1)
2
< 2
k+1
2
. Da´ı segue do
lema 31 que (2.4) tem solu¸c˜oes n˜ao triviais para todos os primos
p < 2(k − 1)
2
. Agora, para os primos
p > 2(k − 1)
2
, (2.11)
Como k 21, ent˜ao
2
k−3
4
(k − 1). (2.12)
Agora segue de (2.11) e (2.12) que
p
k−3
4
> 2
k−3
4
(k − 1)
k−3
2
> (k − 1)
k−1
2
.
Da´ı, quando n =
k + 1
2
, temos solu¸c˜oes n˜ao trivais para (2.4), por
(2.10).
Agora, consideramos os graus restantes 7 ≤ k ≤ 19. Segue do
lema 31 e (2.10) que precisamos considerar somente os primos no
intervalo
2
k+1
2
< p < (k − 1)
2+
4
k−3
,
43
(pois n =
k+1
2
) e ´e f´acil ve rificar que n˜ao existem primos p ≡
1 (mod k), no intervalo acima para k = 19 e 17. Assim, sobraram
os casos listados abaixo.
grau: k
n´umero de vari´aveis:
n=
k+1
2
Primos: p ≡ 1 (mod k) e p < 2
n
7 4 29, 43, 71, 113, 127, 197, 211
9 5 37, 73, 109, 127, 163, 181, 199
11 6 67, 89, 199
13 7 131, 157, 313
15 8 271, 331, 421
Seja τ ∈ F
∗
p
uma raiz primitiva. Ent˜ao F
k
p
= τ
k
e
F
∗
p
= F
k
p
∪ τF
k
p
∪ · · · ∪ τ
k−1
F
k
p
. (2.13)
Definimos
T
i
=
p−1
x=0
ζ
x
k
τ
i−1
p
para i = 1, . . . , k.
Dai, para todo u ∈ τ
i
F
k
p
, temos |T (u)| = T
i+1
(ve r(2.5)). Assim
podemos escrever (ver (2.6))
S
n
=
p − 1
k
k
i=1
T
n
i
.
Usando esta f´ormula podemos calcular os valores de S
n
para todo
valor de k e p listado na tabela acima (n =
k+1
2
). Encontramos
que (2.7) vale para todos os casos excetos k = 7 e p = 29, 43,
k = 9 e p = 37, k = 11 e p = 67 (Os resultados est˜ao listados na
tabela abaixo).
44
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
k p n τ S
n
p
n−1
− p
−1
S
n
7 71 4 7 20824299.99 64611.0001
7 113 4 3 137013855.8 230385.002
7 127 4 3 158451804.2 800730.998
7 197 4 2 567210279.3 4766133.004
7 211 4 2 818405699.9 5515231.0
9 73 5 5 1939984892.0 1823105.49
9 109 5 6 6477144852.0 81734813.73
9 127 5 3 20872678790.0 95792839.5
9 163 5 2 28247342190.0 532615183.1
9 181 5 2 52937667830.0 780809818.1
9 199 5 3 144175667500.0 843738359.3
11 89 6 3 403009884500.0 1055858500.0
11 199 6 3 10783376170000.0 257891781000.0
13 131 7 2 212641952900000.0 3430692129000.0
13 157 7 5 613405793900000.0 11069028560000.0
13 313 7 10 1.243236294 × 10
16
9.005791011 × 10
14
15 271 8 6 6.265491168 × 10
17
1.050338055 × 10
17
15 331 8 3 8.787668395 × 10
18
4.087584591 × 10
17
15 421 8 2 3.599570724 × 10
19
2.258591606 × 10
18
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
Para os quatro casos restantes, observamos que os coeficientes
a
i
’s de (2.4) podem ser escritos na forma a
j
= τ
i
α
k
i
(ve r (2.13)),
e usando as substitui¸c˜oes
x
i
→ α
i
x
i
, para i = 1, . . . , n (2.14)
podemos ent˜ao acrescentar as hip´oteses de que a
i
∈ {1, τ, τ
2
, . . . , τ
k−1
}
para i = 1, 2, . . . , n. Como o grau ´e ´ımpar, podemos excluir o
caso das formas com coeficientes iguais. Da´ı pode-se supor que
os coeficientes satisfazem
1 = a
1
< a
2
< · · · < a
n
com a
2
, a
3
, . . . , a
n
∈ {1, τ, τ
2
, . . . , τ
k−1
}.
45
E, com a ajuda do computador, foi verificado que cada uma
dessas formas tem solu¸c˜oes n˜ao triviais.
Pondo todos estes resultados juntos, temos o seguinte teorema.
Teorema 33 Sejam k, p ∈ N, k 5, k ´ımpar, p um n´umero
primo. Se mdc (k, p − 1) <
p − 1
2
, n ≥
k + 1
2
e a
1
· · · a
n
≡
0 (mod p) , ent˜ao para qualquer b ∈ existe sempre uma solu¸c˜ao
para a congruˆencia
a
1
x
k
1
+ · · · + a
n
x
k
n
≡ b (mod p),
e se b ≡ 0 (mod p), a solu¸c˜ao ´e n˜ao trivial.
2.3 Prova do Teorema 21
Seja M = (a
ij
) a matriz 2 × n de coeficientes do sistema (2.1)
e seja r o n´umero m´aximo de colunas de M que est˜ao em um
espa¸co linear unidimensional de
p
×
p
. Assim este sistema pode
ser considerado na forma
f = a
1
x
k
1
+ · · · + a
r
x
k
r
+ b
1
y
k
1
+ · · · + b
s
y
k
s
≡ 0 (mod p)
g = c
1
y
k
1
+ · · · + c
s
y
k
s
≡ 0 (mod p)
(2.15)
Do lema 28 podemos encotrar δ com a propriedade dada em (2.2),
tal que
F
∗
p
= F
k
p
∪ δF
k
p
∪ · · · ∪ δ
k−1
F
k
p
(uni˜ao disjunta)
Assim, repetindo o argumento dado em (2.14), podemos assumir
que, para todos os coeficientes c
j
´s
c
j
∈ S = {1, δ, δ
2
, . . . , δ
k−1
}, para i = 1, 2, . . . , s. (2.16)
E, de agora em diante, estamos tamb´em supondo (ver enunciado)
que
46
• k 5, k sendo inteiro e ´ımpar;
• mdc (k, p − 1) <
p−1
2
;
• p ≡ 1 (mod k) e
• r + s ≥
11
6
k + 1.
Lema 34 Se temos r ≥
k + 1
2
, ent˜ao o sistema (2.15) tem uma
solu¸c˜ao n˜ao trivial.
Demonstra¸c˜ao. Pelo teorema 33, existe uma solu¸c˜ao n˜ao tri-
vial (ω
1
, . . ., ω
r
) para a
1
x
k
1
+ · · · + a
r
x
k
r
≡ 0 (mod p). Ent˜ao
(ω
1
, . . . , ω
r
, 0, . . . , 0) ´e uma solu¸c˜ao n˜ao trivial para o sistema
(2.15)
De agora em diante podemos supor 1 ≤ r ≤
k − 1
2
, e ent˜ao
s
11
6
k + 1 −
k − 1
2
=
8k + 9
6
> k.
Como visto acima, estamos supondo c
1
, . . . , c
s
∈ S, e como
s > k, devemos ter coeficientes iguais. Suponha que temos exata-
mente π pares disjuntos de co eficientes iguais, ap´os reenumera¸c˜ao,
temos
c
1
= c
2
, c
3
= c
4
, · · · , c
2π−1
= c
2π
. (2.17)
Da´ı podemos encontrar π subformas disjuntas de c
1
y
k
1
+ · · · +
c
s
y
k
s
com duas vari´aveis e coeficientes iguais, tal que as seguintes
congruˆencias tem solu¸c˜oes (1, −1), para i = 1, . . . , π,
c
2i−1
(y
k
2i−1
+ y
k
2i
) ≡ 0 (mod p). (2.18)
Seja t o n´umero de coeficientes dois a dois distintos dentre c
1
, . . . , c
s
(assim 1 ≤ t ≤ k).
47
Lema 35 Se temos t ≤
5
6
k + 1, ent˜ao o sistema (2.15) tem uma
solu¸c˜ao n˜ao trivial.
Demonstra¸c˜ao. De (2.18) Segue que podemos contrair cada um
desses pares de vari´aveis para uma nova vari´avel T
1
, T
2
, . . . , T
π
(ve r defini¸c˜ao 6). Agora podemos formar a seguinte congruˆencia
a
1
x
k
1
+ · · · + a
r
x
k
r
+ α
1
T
k
1
+ · · · + α
π
T
k
π
≡ 0 (mod p). (2.19)
Se um dos α
i
’s ´e zero m´odulo p (suponha α
1
≡ 0 (mod p)), ent˜ao
(0, . . . , 0, 1, −1, 0, . . . , 0)
´e uma solu¸c˜ao n˜ao trivial para (2.15). Assim podemos supor que
(2.19) tem r + π vari´aveis. Agora, como t ≤
5
6
k + 1 e pelo lema
27 temos
r + π r +
s − t
2
r + s
2
+
r
2
−
t
2
.
Como r + s
11
6
k + 1 e r 1, temos
r + π
11
12
k +
1
2
+
1
2
−
5
12
k −
1
2
=
k + 1
2
.
Pelo teorema 33 existe uma solu¸c˜ao n˜ao trivial (ω
1
, . . . ω
r+π
) para
(2.19). Ent˜ao
(ω
1
, . . . , ω
r
, ω
r+1
, −ω
r+1
, . . . , ω
r+π
, −ω
r+π
)
´e uma solu¸c˜ao n˜ao trivial para o sistema (2.15).
Lema 36 Se temos
5
6
k + 2 ≤ t ≤ k ent˜ao o sistema (2.15) tem
uma solu¸c˜ao n˜ao trivial.
Demonstra¸c˜ao. Pelo lema 27 podemos formar κ =
s−t+1
2
pares
de subformas como em (2.18) e
κ =
s − t + 1
2
=
s−t
2
se s ≡ t (mod 2)
s−t+1
2
caso contr´ario.
(2.20)
48
Este procedimento ainda deixa
c
2κ+1
y
k
2κ+1
+ · · · + c
s
y
k
s
(2.21)
com µ = s − 2κ vari´aveis, onde
µ = s − 2κ =
t se s ≡ t (mod 2)
t − 1 caso contr´ario
(2.22)
Seja τ o n´umero de coeficientes dois a dois distintos dentre
c
2κ+1
, . . . , c
s
(Assim τ ≤ t, para muitos coeficientes que foram
usados para formar as subformas bin´arias (2.18)).
Se τ <
5
6
k + 2 ≤ t ent˜ao podemos formar algumas formas
bin´arias extras, pelo menos at´e
(s − 2κ) − τ + 1
2
( ve r lema 27
e (2.21)). Assim poderemos ter por (2.20) e (2.22).
θ =
s − t + 1
2
+
(s − 2κ) − τ + 1
2
s − τ
2
.
contraindo cada uma dessas θ subformas bin´arias para novas
vari´aveis T
1
,. . . , T
θ
, poderemos formar a congruˆencia
a
1
x
k
1
+ · · · + a
r
x
k
r
+ α
1
T
k
1
+ · · · + α
θ
T
k
θ
≡ 0 (mod p) (2.23)
com r + θ vari´aveis (as α
i
’s podem se r consideradas n˜ao nulas
m´odulo p, por raz˜oes dadas na prova do lema 35, ver (2.19)) e
r + θ r +
s − τ
2
com τ ≤
5
6
k + 1. Agora estamos na mesma situa¸c˜ao como no
lema 35 acima, o qual nos d´a uma solu¸c˜ao n˜ao trivial para (2.15).
Assim, sem perda de generalidade, podemos supor
τ = t
5
6
k + 2,
49
e ent˜ao temos to dos os coeficientes em (2.21) dois a dois distintos.
De acordo com a proposi¸c˜ao 29, podemos encontrar pelo menos
λ =
k − 1
6
− (k − µ) (2.24)
subformas de (2.21), disjuntas, com trˆes vari´aveis, todas tendo
solu¸c˜oes n˜ao triviais.Reescrevemos a forma (2.21) como
c
11
y
k
11
+ c
12
y
k
12
+ c
13
y
k
13
+ · · · + c
λ1
y
k
λ1
+ c
λ2
y
k
λ2
+ c
λ3
y
k
λ3
pondo todas as vari´aveis restantes y
j
’s iguais a zero. Agora sej a
(ρ
j1
, ρ
j2
, ρ
j3
), para j = 1, . . . , λ, as solu¸c˜oes n˜ao triviais das sub-
formas c
j1
y
k
j1
+ c
j2
y
k
j2
+ c
j3
y
k
j3
respectivamente. Assim podemos
contrair cada uma dessas vari´aveis em novas vari´aveis S
1
, . . . , S
λ
(ve r defini¸c˜ao 6). Da´ı podemos adicionar para a congruˆencia
(2.23) λ novas vari´aveis contra´ıdas, obtendo a seguinte congruˆencia
a
1
x
k
1
+· · ·+a
r
x
k
r
+α
1
T
k
1
+. . .+α
κ
T
k
κ
+γ
1
S
k
1
+· · ·+γ
λ
S
k
λ
≡ 0 (mod p),
(2.25)
com r + κ + λ vari´aveis. Por (2.20), (2.22) e (2.24) temos
r + κ + λ r +
s − t
2
+
k − 1
6
− k + t − 1.
Sabemos que r 1, r + s
11
6
k + 1 e t
5
6
k + 2, da´ı
r + κ + λ
r+s
2
+
r
2
−
t
2
+
k
6
−
1
6
− k + t − 1
r+s
2
+
1
2
+
t
2
−
5
6
k −
7
6
11
12
k +
1
2
+
5
12
k + 1 −
10
12
k −
4
6
>
k+1
2
.
50
Agora, podemos usar o teorema 33 para encontrar uma solu¸c ˜ao
(ω
1
,. . . , ω
r+κ+λ
) para (2.25), e ent˜ao, escrevendo u = r + κ,
( ω
1
, . . . , ω
r
, ω
r+1
, −ω
r+1
, . . . , ω
u
, −ω
u
,
ω
u+1
ρ
11
, ω
u+1
ρ
21
, ω
u+1
ρ
31
, . . . , ω
u+λ
ρ
1λ
, ω
u+λ
ρ
2λ
, ω
u+λ
ρ
3λ
)
(2.26)
ser´a uma solu¸c˜ao n˜ao trivial para o sistema (2.15).
2.4 Prova do Teorema 23
Como na se¸c˜ao 2.3, seja M a matriz dos coeficientes do sistema
(2.1).
Das hip´otese do teorema 23, temos que n
11
6
k + 1. Da´ı segue
do teorema 21 que existe uma solu¸c˜ao n˜ao trivial para (2.1). Seja
ξ uma s olu¸c˜ao singular de (2.1) com o n´umero m´aximo de coor-
denadas diferentes de zero m´odulo p. Fazendo uma permuta¸c˜ao
de vari´aveis se necess´ario, podemos considerar
ξ = (ξ
1
, . . . , ξ
R
, 0, . . . , 0). (2.27)
Isto implica que o subespa¸co linear
p
×
p
gerado pelas primeiras
R colunas da matriz de coeficientes M tem dimens˜ao 1 (hum).
Agora se existe qualquer outra coluna na matriz M, que pertence
a este espa¸co unidimensional, reenumeramo-as como R + 1, . . . , r.
Da´ı qualquer coluna com ´ındice j > r ´e linearmente independente
com as primeiras r colunas da matriz M. Assim o sistema ´e
equivalente a
a
1
x
k
1
+ · · · + a
r
x
k
r
+ b
1
y
k
1
+ . . . + b
s
y
k
s
≡ 0 (mod p)
c
1
y
k
1
+ . . . + c
s
y
k
s
≡ 0 (mod p),
(2.28)
com todos os coeficientes c
j
’s n˜ao nulos, r + s
11
6
k + 1, s
k+1
2
(hip´otese) e r 2. Assim, repetindo os argumentos dados na
51
se¸c˜ao 2.3 podemos assumir que, para todos os coeficientes c
j
´s,
(ve r (2.16)
c
j
∈ S = {1, δ, δ
2
, . . . , δ
k−1
} for i = 1, 2, . . . , s.
onde δ tem todas as propriedades afirmadas no lema 28. E, de
agora em diante, estamos assumindo que (ver teorema 23) que
k, p ∈ N, com k ´ımpar e p um primo tal que
• k 5, com mdc(k, p − 1) <
p − 1
2
;
• p ≡ 1 (mod k);
• r + s
11
6
k + 1;
• s
k+1
2
.
Lema 37 Se no sistema (2.28) temos r
k + 1
2
, ent˜ao este
sistema tem uma solu¸c˜ao n˜ao singular.
Demonstra¸c˜ao. Como s
k+1
2
, podemos usar o teorema 33 e
encontrar uma solu¸c˜ao n˜ao trivial (ρ
1
, . . . , ρ
s
) para c
1
y
k
1
+ . . . +
c
s
y
k
s
≡ 0 (mod p). Agora, escrevemos b
1
ρ
k
1
+. . .+b
s
ρ
k
s
≡ β (mod p).
Se β ≡ 0 (mod p), ent˜ao
(ξ
1
, . . . , ξ
R
, 0, . . . , 0, ρ
1
, . . . , ρ
s
)
´e uma solu¸c˜ao n˜ao singular para (2.28) (ver (2.27)). Se β ≡
0 (mod p), podemos usar o teorema 33 e encontrar uma solu¸c˜ao
n˜ao trivial (τ
1
, . . . , τ
r
) para
a
1
x
k
1
+ · · · + a
r
x
k
r
+ β ≡ 0 (mod p),
e agora (τ
1
, . . . , τ
r
, ρ
1
, . . . , ρ
s
) ´e uma solu¸c˜ao n˜ao singular para
(2.28).
52
Agora, asumimos que r ≤
k−1
2
, ent˜ao
s
11
6
k + 1 −
k − 1
2
=
8k + 9
6
> k.
Agora estamos na mesma situa¸c˜ao descrita somente ap´os o lema
34 (ver (2.17) e (2.18)). Novamente, seja t o n´umero de coefici-
entes dois a dois distintos dentre c
1
, . . . , c
s
.
Lema 38 Se temos t ≤
k+1
2
, ent˜ao o sistema (2.28) tem uma
solu¸c˜ao n˜ao singular.
Demonstra¸c˜ao. Repetindo os argumentos dados na prova do
lema 35, podemos produzir a congruˆencia (ver (2.19))
a
1
x
k
1
+ · · · + a
r
x
k
r
+ α
1
T
k
1
+ . . . + α
π
T
k
π
≡ 0 (mod p),
Onde α
i
= b
2i−1
− b
2i
. Se qualquer α
i
≡ 0 (mod p), digo α
1
≡
0 (mod p), ent˜ao
(ξ
1
, . . . , ξ
R
, 0, . . . , 0, 1, −1, 0 . . . , 0)
´e uma solu¸c˜ao n˜ao singular para (2.28) (qualquer coluna com
´ındice j > r ´e linearmente independe nte das primeiras r colunas
de M). Ent˜ao, podemos supor o caso contr´ario; admitimos T
π
=
1. Considere a congruˆe ncia
a
1
x
k
1
+· · ·+a
r
x
k
r
+α
1
T
k
1
+. . .+α
π−1
T
k
π−1
+α
π
≡ 0 (mod p). (2.29)
Agora (ver prova do lema 35)
r + (π − 1) r +
s − t
2
− 1
r + s
2
+
r
2
− 1 −
t
2
,
Da´ı, como r 2, r + s
11
6
k + 1 e t ≤
k+1
2
, temos
r + (π − 1)
11
12
k +
1
2
−
k + 1
4
=
8k + 3
12
>
k + 1
2
.
53
Ent˜ao, pela proposi¸c˜ao 33, podemos encontrar solu¸c˜oes n˜ao trivi-
ais (ρ
1
, . . . , ρ
r+π−1
) para (2.29). E
(ρ
1
, . . . , ρ
r+π−1
, 1, −1, 0 . . . , 0)
´e uma solu¸c˜ao n˜ao singular para (2.28), pois b
2π−1
c
π
− b
2π
c
2π−1
≡
0 (mod p).
Lema 39 Se temos
k+3
2
≤ t ≤
5
6
k + 1 ent˜ao o sistema (2.28)
tem uma solu¸c˜ao n˜ao singular.
Demonstra¸c˜ao. Repetindo os argumentos dados no in´ıcio da
prova do lema 36 (ver (2.20)), podemos ter a congruˆencia
a
1
x
k
1
+· · ·+a
r
x
k
r
+α
1
T
k
1
+. . .+α
κ−1
T
k
κ−1
+α
κ
≡ 0 (mod p), (2.30)
onde α
1
, . . . , α
κ
s˜ao todos n˜ao nulos m´odulo p, pelas raz˜oes da-
das na prova do lema 38. E por (2.21) e (2.22), ainda podemos
considerar a congruˆencia
c
2κ+1
y
k
2κ+1
+ . . . + c
s
y
k
s
≡ 0 (mod p),
com pelo menos µ t − 1
k+3
2
− 1 =
k+1
2
vari´aveis. Assim
podemos encontrar uma solu¸c˜ao n˜ao trivial (θ
2κ+1
, . . . , θ
s
) para
esta congruˆencia. Ap´os contra´ı-las para uma nova vari´avel S,
poderemos ter a congruˆencia (ver (2.30))
a
1
x
k
1
+ · · · + a
r
x
k
r
+ α
1
T
k
1
+ . . . + α
κ−1
T
k
κ−1
+ α
κ
+ γS
k
≡ 0 (mod p)
(2.31)
com γ ≡ 0 (mod p), pela mesma raz˜ao cada α
i
≡ 0 (mod p). E
esta congruˆencia tem r + (κ − 1) + 1 vari´aveis. Agora (ver (2.20))
r + κ r +
s − t
2
=
r + s
2
+
r
2
−
t
2
,
54
Da´ı, como r 2 , r + s
11
6
k + 1 e t
5
6
k + 1, temos
r + κ
11
12
k +
3
2
−
5
12
k −
1
2
>
k + 1
2
.
Ent˜ao p odemos encontrar uma solu¸c˜ao n˜ao trivial (ρ
1
, . . . , ρ
r+κ−1
, ρ
r+κ
)
para (2.31), devido ao Teorema 33. E
(ρ
1
, . . . , ρ
r+π−1
, 1, −1, ρ
r+π
θ
2π+1
, . . . , ρ
r+π
θ
s
)
´e uma solu¸c˜ao n˜ao singular para (2.28), pois b
2κ−1
c
κ
− b
2κ
c
2κ−1
≡
0 (mod p).
Lema 40 Se temos
5
6
k + 2 ≤ t ≤ k, ent˜ao o sistema (2.28) tem
uma solu¸c˜ao n˜ao singular
Demonstra¸c˜ao. Esta demonstra¸c˜ao segue de perto a prova do
lema 36 acima da congruˆencia dada em (2.25), usando os lemas
38 e 39 em vez do lema 35, sempre que este lema for necess´ario.
Agora admitimos T
κ
= 1 em (2.25) tendo
a
1
x
k
1
+· · ·+a
r
x
k
r
+α
1
T
k
1
+. . .+α
κ
T
k
κ
+γ
1
S
k
1
+· · ·+γ
λ
S
k
λ
≡ 0 (mod p),
com r +(κ−1)+λ vari´aveis e todos coeficientes n˜ao nulos m´odulo
p.
Agora queremos mostrar que r + (κ − 1) + λ >
k+1
2
. Isto
implicar´a que a congruˆencia acima tem uma solu¸c˜ao n˜ao trivial
ω = (ω
1
, · · · , ω
r+(κ−1)+λ
)
devido a proposi¸c˜ao 33 e uma combina¸c˜ao de todos as solu¸c˜oes
contra´ıdas com esta solu¸c˜ao ω (ver (2.26)), dando uma solu¸c˜ao
n˜ao singular para (2.28), pois α
κ
≡ 0 (mod p), e conseq¨uˆentemente
b
2κ−1
c
κ
− b
2κ
c
2κ−1
≡ 0 (mod p). Assim, para provarmos este fato,
consideramos dois casos:
Lembramos que: r 2, r + s
11
6
k + 1 e t
5
6
k + 2.
55
(i) t ≡ s (mod p). Da´ı (ver (2.20), (2.22) e (2.24))
r + (κ − 1) + λ r +
s−t
2
− 1 +
k−1
6
− k + t.
r+s
2
+
r
2
−
t
2
− 1 +
k
6
−
1
6
− k + t
r+s
2
+ 1 − 1 −
5
6
k −
1
6
+
t
2
11
12
k +
1
2
−
5
6
k −
1
6
+
5
12
k + 1 >
k+1
2
.
(ii) t ≡ s (mod p). Da´ı
r + (κ − 1) + λ r +
s−t+1
2
− 1 +
k−1
6
− k + t − 1
r+s
2
+
r
2
+
1
2
−
t
2
− 1 +
k
6
−
1
6
− k + t − 1
r+s
2
+
3
2
− 1 −
5
6
k −
1
6
+
t
2
− 1
11
12
k +
1
2
+
1
2
−
5
6
k −
1
6
+
5
12
k + 1 − 1 >
k+1
2
.
Desses trˆes lemas segue a demonstra¸c˜ao do teorema 23.
2.5 Demonstra¸c˜ao do Teorema 24
Como introduzido por Davenport e Lewis [16], podemos asso-
ciar para cada par de formas f, g como em (2.1) um parˆametro
ϑ(f, g) =
i=j
(a
1i
a
2j
− a
1j
a
2i
).
E, quando ϑ(f, g) = 0, podemos admitir que o par (f, g) ´e p-
normalizado (ver lema 10). Pelo lema 13 ´e suficiente provar o
teorema 24 sob a hip´otese que ϑ(f, g) = 0.
56
O pr´oximo lema ´e uma adapta¸c˜ao do lema 19 e n˜ao s er´a de-
monstrado.
Lema 41 Seja k ∈ um inteiro ´ımpar, e p um primo ´ımpar tal
que mdc(p, k) = 1. Se o sistema
f
0
≡ a
1
x
k
1
+ · · · + a
m
0
x
k
m
0
≡ 0 (mod p)
g
0
≡ b
1
x
k
1
+ · · · + b
m
0
x
k
m
0
≡ 0 (mod p)
tem uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p, ent˜ao o par f
0
, g
0
tem
um zero p-´adico n˜ao trivial.
Agora estamos prontos para provar o teorema 24. Sem perda de
generalidade, podemos assumir que f, g ´e um par p-normalizado.
Ent˜ao, pelo lema 10, temos
f = f
0
(x
1
, . . . , x
m
0
) + pf
1
(x
m
0
+1
, . . . , x
N
)
g = g
0
(x
1
, . . . , x
m
0
) + pg
1
(x
m
0
+1
, . . . , x
N
)
com
m
0
11
6
k + 1 e q
0
11
12
k +
1
2
,
J´a que stamos supondo n
11
6
k
2
+ k (hip´otese do teorema 24).
Temos, pelo teorema 23, que o sistema de congruˆencias
f
0
≡ 0 (mod p)
g
0
≡ 0 (mod p)
tem uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p.
Assim, pelo lema 41, o par de forma f, g tem zeros p-´adicos
n˜ao triviais, o que completa a prova do teorema 24.
Cap´ıtulo 3
Duas formas de grau p
No artigo [15], Davenport & Lewis mostraram, al´em de outros
resultados, que um par de formas diagonais de grau 3 sobre
3
,
com pelo menos 16 vari´aveis, possui um zero 3-´adico.
Neste cap´ıtulo estendemos este resultado para um primo qual-
quer p, ou seja, um par de formas diagonais de grau p, com pelo
menos 5p + 1 vari´aveis, possui um zero p-´adico.
3.1 Analisando o Sistema
Considere as equa¸c˜oes F e G em n vari´aveis com coeficientes
inteiros de grau p primo,
F = a
1
x
p
1
+ · · · + a
n
x
p
n
G = b
1
x
p
1
+ · · · + b
n
x
p
n
. (3.1)
Teorema 42 O par de formas (3.1) possui um zero p-´adico si-
multˆaneo se n ≥ 5p + 1.
Pelo lema 13, podemos supor que F , G ´e um par de formas p-
normalizado. Pelo que vimos no cap´ıtulo 1 lema 19, basta ana-
57
58
lisar se o sistema
F = a
1
x
p
1
+ · · · + a
n
x
p
n
≡ 0 (mod p
2
)
G = b
1
x
p
1
+ · · · + b
n
x
p
n
≡ 0 (mod p
2
)
(3.2)
tem uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p
2
. Ent˜ao o teorema 42
estar´a provado se provarmos o
Teorema 43 Seja p um primo. O sistema (3.2) tem uma solu¸c˜ao
n˜ao singular m´odulo p
2
se n ≥ 5p + 1.
Demonstra¸c˜ao. Segue dos coment´arios abaixo e lemas 51 e 52
abaixo.
Usando as nota¸c˜oes do lema 10, podemos escrever as formas F ,
G como em (1.13); ainda mais, podemos supor que m
i
≥ q
i
+ 1.
Se q
i
> 0, as vari´aveis que aparecem em F
i
, G
i
ocorrem em blocos
de acordo com a raz˜ao de seus coeficientes m´odulo p. Se o n ´umero
de vari´aveis com raz˜ao η m´odulo p ´e h, ent˜ao o posto (n´umero de
vari´aveis) de F
∗
i
−ηG
∗
i
´e m
i
−h. Da´ı, p ela defini¸c˜ao de q
i
, m
i
−h ≥
q
i
. Em particular, se q
i
≥ 1 ent˜ao as vari´aveis de F
i
, G
i
ocorrem
em dois ou mais blocos com raz˜oes iguais m´odulo p. Tamb´em
se q
i
≥ 2 ou existem mais de trˆes blo c os de raz˜oes iguais, ou
dois blocos, cada um contendo pelo menos duas vari´aveis. Assim
q
i
≥ 2 implica na existˆencia de um conjunto essencial em F
i
, G
i
.
59
3.2 Analisando casos
Lema 44 Se F ,G s˜ao um par de formas tal que
q
0
≥ 2 e q
1
≥ 1
ou
q
1
≥ 2 e q
2
≥ 1
ou
.
.
.
ou
q
p−1
≥ 2 e q
0
≥ 1
ent˜ao o par F ,G ´e p-equivalente a um par que tem solu¸c˜ao n˜ao
singular m´odulo p
2
.
Demonstra¸c˜ao. Primeiro supomos que q
0
≥ 2 e q
1
≥ 1.
Como foi comentado anteriormente, existe um conjunto essencial
de vari´aveis dentre aquelas que aparecem explicitamente em F
0
,
G
0
. Sej a a uma solu¸c˜ao correspondente a este conjunto essencial.
Ponha F
0
(a) = pα, G
0
(a) = pβ. As congruˆencias
F
0
(a) + pF
1
(w) ≡ p(α + F
1
(w)) ≡ 0 (mod p
2
)
G
0
(a) + pG
1
(w) ≡ p(α + G
1
(w)) ≡ 0 (mod p
2
)
s˜ao equivalentes a duas congruˆencias lineares (mod p), que tˆem
solu¸c˜ao pois, como observado acima, q
1
≥ 1 implica em pelo me-
nos dois quocientes distintos dentre as vari´aveis que ocorrem em
F
1
, G
1
. Esta s olu¸c˜ao ´e n˜ao singular m´odulo p
2
pois a vem de um
conjunto essencial.
Agora suponha que q
i
≥ 2, q
i+1
≥ 1, com 1 ≤ i ≤ p − 2.
Multiplicamos cada uma das vari´aveis em F
0
, G
0
, . . . , F
i−1
, G
i−1
60
por p e dividimos ambas as formas por p
i
. As formas resultantes
s˜ao p-equivalentes a F ,G e tˆem
q
0
≥ 2, q
1
≥ 1;
Logo elas tˆem um zero n˜ao singular m´odulo p em comum.
Finalizando, se q
p−1
≥ 2 e q
0
≥ 1 multiplicamos cada uma
das vari´aveis em F
0
, G
0
, . . . , F
p−2
, G
p−2
por p e dividimos ambas
as formas por p
p−1
para obter um par de formas p-equivalente a
(F, G) e no qual q
0
≥ 2 e q
1
≥ 1, que tem solu¸c˜ao n˜ao singular.
No pr´oximo lema fizemos uma pequena altera¸c˜ao necess´aria
nas hip´oteses do lema original [15, lema 12, p.107] para a gene-
raliza¸c˜ao do resultado. Mas a demonstra¸c˜ao segue os mesmos
passos da demonstra¸c˜ao original. Para um bom entendimento,
n´os a repetiremos aqui.
Lema 45 Se q
0
≥ 4, m
1
≥ 1 e m
0
≥ 6 ent˜ao as formas F ,G tˆem
um zero n˜ao singular m´odulo p
2
Demonstra¸c˜ao. Observe que se F , G tˆem um zero n˜ao singular
m´odulo p, ent˜ao qualquer par obtido de F ,G por uma mudan¸ca
de base unimodular, tamb´em tem. Ap´os feita a mudan¸ca de base
unimodular, podemos supor que G
∗
0
´e uma forma de posto mini-
mal dentre as formas λ
∗
F
∗
0
+ µ
∗
G
∗
0
(onde λ
∗
, µ
∗
n˜ao s˜ao ambos
nulos) e que F
∗
0
´e uma forma de posto minimal dentre aquelas
com λ
∗
= 0. Assim, podemos escrever
F
∗
0
= a
1
y
p
1
+ · · · + a
r
y
p
r
+ b
1
x
p
1
+ · · · + b
s
y
p
s
G
∗
0
= + c
1
x
p
1
+ · · · + c
s
y
p
s
+ d
1
z
p
1
+ · · · d
t
z
p
t
.(3.3)
61
Aqui as hip´oteses implicam que s+t ≥ 4 e os coment´arios iniciais
implicam
r ≥ t ≥ 1. (3.4)
Agora vamos analisar os valores de t. Tal an´alise est´a dividida
em quatro casos.
Caso 1. Se t ≥ 4, ent˜ao r ≥ 4. Da´ı conseguimos dois conjuntos
essenciais, a saber
{y
1
, y
2
, z
1
, z
2
} e {y
3
, y
4
, z
3
, z
4
}
Caso 2. Se t = 3, ent˜ao r ≥ 3 e s ≥ 1. Neste caso, temos os
conjuntos esse nciais
{y
1
, y
2
, z
1
, z
2
} e {y
3
, x
1
, z
3
}
Caso 3. Se t = 2, ent˜ao r ≥ 2 e s ≥ 2. Neste caso, temos os
conjuntos esse nciais
{y
1
, x
1
, z
1
} e {y
2
, x
2
, z
2
}
Caso 4. Se t = 1, ent˜ao r ≥ 1 e s ≥ 3.
Se s = 3 temos ent˜ao r ≥ 2, (pois m
0
= r + s + t ≥ 6), da´ı
obtemos os conjuntos essenciais.
{y
1
, x
1
, z
1
} e {y
2
, x
2
, x
3
}
lembrando que
b
2
c
2
≡
b
3
c
3
(mod p).
Se s ≥ 4, tome os conjuntos essenciais
{y
1
, x
1
, z
1
} e {x
2
, x
3
, x
4
}
62
lembrando que
b
2
c
2
,
b
3
c
3
e
b
4
c
4
s˜ao dois a dois incongruentes m´odulo
p.
Agora multiplicamos a solu¸c˜ao correspondente ao primeiro con-
junto essencial por T
1
, o segundo p or T
2
e obtemos (ver defini¸c˜ao
6)
F
0
≡ p(α
1
T
p
1
+ α
2
T
p
2
+ λω
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
G
0
≡ p(β
1
T
p
1
+ β
2
T
p
2
+ µω
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
onde ω ´e uma vari´avel de F
1
, G
1
. Essas congruˆencias tˆem uma
solu¸c˜ao com um dos T
i
≡ 0 (mod p). Portanto temos uma solu¸c˜ao
n˜ao singular m´odulo p para o sistema 3.3
Lema 46 Se q
0
≥ 6 e m
0
≥ 9, ent˜ao as formas F ,G tˆem um zero
n˜ao singular m´odulo p
2
.
Demonstra¸c˜ao. Esta demonstra¸c˜ao segue os mesmos passos
da demonstra¸c˜ao anterior, exceto que agora n˜ao usamos F
1
, G
1
.
Desta vez mostramos que existem pelo menos trˆes conjuntos es-
senciais disjuntos dentre as vari´aveis de F
0
, G
0
. Multiplicando a
solu¸c˜ao correspondente ao primeiro conjunto essencial por T
1
, do
segundo por T
2
e do terceiro por T
3
, obtemos
F
0
≡ p(α
1
T
p
1
+ α
2
T
p
2
+ α
3
T
p
3
) ≡ 0 (mod p
2
)
G
0
≡ p(β
1
T
p
1
+ β
2
T
p
2
+ β
3
T
p
3
) ≡ 0 (mod p
2
)
.
Essas congruˆenc ias tˆem uma solu¸c˜ao com um dos T
i
≡ 0 (mod p),
da´ı a solu¸c˜ao resultante ´e uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p.
Agora vamos mostrar como escolher estes trˆes conjuntos es-
senciais disjuntos. Novamente, ap´os uma mudan¸ca de base uni-
modular, podemos supor que F
0
, G
0
est˜ao como as formas (3.3),
63
que vale a desigualdade (3.4), que valem as desigualdades (por
hip´otese)
r + s + t ≥ 9, s + t ≥ 6 (3.5)
e tamb´em que os quocientes
b
i
c
i
repetem-se no m´aximo t vezes.
Caso 1. Se t ≥ 6, ent˜ao r ≥ 6 e da´ı ´e f´acil ver que existem trˆes
conjuntos esse nciais.
Caso 2. Se t = 5, ent˜ao r ≥ 5 e s ≥ 1. Tome os conjuntos
essenciais
{y
1
, y
2
, z
1
, z
2
}, {y
3
, y
4
, z
3
, z
4
}, {y
5
, x
1
, z
4
}
Caso 3. Se t = 4, ent˜ao r ≥ 4 e s ≥ 2. Tome os conjuntos
essenciais
{y
1
, y
2
, z
1
, z
2
}, {y
3
, x
1
z
3
}, {y
4
, x
2
, z
4
}
Caso 4. Se t = 3, ent˜ao r ≥ 3 e s ≥ 3. Tome
{y
1
, x
1
, z
1
}, {y
2
, x
2
, z
2
}, {y
2
, x
3
, z
3
}
Caso 5. Se t = 2, ent˜ao r ≥ 2 e s ≥ 4. Aqui temos uns subcasos
a analisar. Se s = 4 ent˜ao r ≥ 3 (pois r + s + t ≥ 9) e como
existem no m´aximo dois quocientes
b
i
c
i
congruentes m´odulo p e
temos pelo menos 4 quatro quocientes a analisar (s ≥ 4), ent˜ao
podemos supor que
b
3
c
3
≡
b
4
c
4
da´ı tiramos os conjuntos essenciais.
{y
1
, x
1
, z
1
}, {y
2
, x
2
, z
2
} {y
3
, x
3
, x
4
}
64
Se s ≥ 5 e r ≥ 2, ent˜ao temos trˆes quocientes, a saber,
a
3
b
3
,
a
4
b
4
,
a
5
b
5
que s˜ao dois a dois incongruentes m´odulo p. Tome os conjuntos
essenciais
{y
1
, x
1
, z
1
}, {y
2
, x
2
, z
2
} {x
3
, x
4
, x
5
}.
Caso 6. Se t = 1, ent˜ao r ≥ 1 e s ≥ 5. Logo dois a dois, dentre os
quocientes
b
i
c
i
, s˜ao incongruentes m´odulo p, p ortanto s ≤ (p − 1).
Para p = 5 temos que s ≤ 4 que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto
suponha p ≥ 7. Tome os conjuntos essenciais
{y
1
, x
1
, z
1
} {y
2
, x
2
, z
3
}, {x
3
, x
4
, x
5
}.
A partir de agora inclu´ımos dois resultados de congruˆencia
m´odulo p, devidos a Bhaskaran [6], [7]. Estes dois resultados
nos proporcionaram a generaliza¸c˜ao do resultados citado no in´ıcio
deste cap´ıtulo.
Lema 47 (Bhaskaran) Existe uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao
x
p
+ y
p
+ z
p
≡ 0 (mod p) (3.6)
em tal que
x
p
+ y
p
+ z
p
≡ 0 (mod p
2
). (3.7)
Demonstra¸c˜ao. Se p = 2, Tomamos x = y = 1 e z = 0. Se
p > 2, Tomamos x = y = 1 e z = −2. Ent˜ao a equa¸c˜ao (3.6) est´a
satisfeita. Se 2
p
≡ 2 (mod p
2
), temos que
1
p
+ 1
p
+ (−2)
p
≡ 1
p
+ 1
p
+ (−2) ≡ 0 (mod p
2
)
65
da´ı a condi¸c˜ao (3.7) est´a satisfeita. Caso contr´ario, ou seja, 2
p
≡
2 (mod p
2
), temos
1
p
+ 1
p
+ (−2)
p
≡ 1
p
+ 1
p
+ (−2) ≡ 0 (mod p
2
)
da´ı a condi¸c˜ao (3.7) n˜ao est´a satisfeita. Ent˜ao tome x = 1, y = 2
e z = −3. Da´ı a equa¸c˜ao (3.6) est´a satisfeita. Se 3
p
≡ 3 (mod p
2
)
e como 2
p
≡ 2 (mod p
2
) temos que
1
p
+ 2
p
+ (−3)
p
≡ 1
p
+ 2 + (−3) ≡ 0 (mod p
2
),
da´ı a condi¸c˜ao (3.7) est´a satisfeita. Se 3
p
≡ 3 (mod p
2
) e como
2
p
≡ 2 (mod p
2
), temos que
1
p
+ 2
p
+ (−3)
p
≡ 1
p
+ 2 + (−3) ≡ 0 (mod p
2
)
e novamente a condi¸c˜ao (3.7) n˜ao est´a satisfeita. Ent˜ao tome x =
1, y = 3 e z = −4 e continuamos o processo. Mas observamos que
s´o podemos continuar este processo um n´umero finito de vezes,
pois
(p−1)
p
= p
p
−
p
1
p
p−1
+· · ·+
p
p − 1
p−1 ≡ −1 ≡ p−1 (mod p
2
).
Ent˜ao ap´os um n´umero finito de passos temos uma solu¸c˜ao para
a congruˆencia (3.6), satisfazendo (3.7).
Lema 48 (Bhaskaran) Se os inteiros a, b e c n˜ao s˜ao divis´ıveis
pelo primo p, ent˜ao a equa¸c˜ao
ax
p
+ by
p
+ cz
p
≡ µp (mod p
2
) (3.8)
tem uma solu¸c˜ao em
p
, para algum µ coprimo com p.
Demonstra¸c˜ao. Sem perda de generalidade podemos supor que
c ≡ 1 (mod p
2
). Pelo pequeno teorema de Fermat, temos que
66
todo inteiro ´e congruente a uma p-´esima potˆencia m´odulo p, ou
seja, existem µ
1
, µ
2
∈ tal que
a = a
p
+ µ
1
p e b = b
p
+ µ
2
p.
Se µ
1
≡ µ
2
≡ 0 (mod p), ent˜ao resolver a equa¸c˜ao (3.8) ´e equi-
valente a resolver a equa¸c˜ao
(ax)
p
+ (by)
p
+ z
p
≡ µp (mod p
2
)
que ´e poss´ıvel, devido ao lema 47, pois sempre existe uma solu¸c˜ao
para a congruˆencia linear αx = β em
p
, onde α e β s˜ao elementos
coprimos com p.
Agora podemos supor que um dos µ
i
’s ´e coprimo com p, diga-
mos µ
1
´e coprimo com p. Sejam a e b os inversos de a e b m´odulo
p
2
, respectivamente.
Se p ´e ´ımpar, ent˜ao x = a, y = 0, z = −1 ´e uma solu¸c˜ao para
equa¸c˜ao (3.8), pois
ax
p
+ by
p
+ z
p
= a
p
x
p
+ pµ
1
x
p
+ by
p
+ z
p
= a
p
a
p
+ pµ
1
(a)
p
+ b0
p
+ (−1)
p
≡ pµ
1
(a)
p
(mod p
2
)
Tome µ = µ
1
a
p
, ent˜ao a equa¸c˜ao ax
p
+ by
p
+ cz
p
≡ 0 (mod p
2
)
tem uma solu¸c˜ao para algum µ coprimo com p.
Se p = 2, ent˜ao x = a, y = 0, z = −1 ´e uma solu¸c˜ao para a
equa¸c˜ao (3.8), com a condi¸c˜ao 1 + a
2
µ
1
coprimo com 2 e tomando
µ = 1+a
2
µ
1
. Se 1+a
2
µ
1
n˜ao ´e coprimo com 2 e µ
2
o ´e, ent˜ao x = a,
y = b, z = 0 ´e uma solu¸c˜ao para (3.8) tomando µ = 1+µ
1
a
2
+µ
2
b
2
.
Finalmente, se µ
2
n˜ao ´e coprimo com 2, ent˜ao x = 0, y = b, z = 1
´e uma solu¸c˜ao para (3.8) tomando µ = 1 + µ
2
b
2
.
67
Os pr´oximos lemas j´a n˜ao seguem a mesma linha de [15, lema
14]. Para continuar com as mesmas hip´otese, usamos o lema 48.
Lema 49 Se q
0
≥ 4 e m
0
≥ 7 + q
0
, ent˜ao F ,G tˆem um zero n˜ao
singular m´odulo p.
Demonstra¸c˜ao. Pelo lema 45 p odemos supor m
1
= 0. Pelo lema
46 podemos supor q
0
= 4 ou 5. Sob as mesmas id´eias presnetes
na demostra¸c˜ao do lema 45, podemos escrever F
0
,G
0
como
F
0
≡ a
1
y
p
1
+ · · · + a
r
y
p
r
+ b
1
x
p
1
+ · · · + b
s
x
p
s
+ p(f
1
z
p
1
+ · · · + f
t
z
p
t
) (mod p
2
)
G
0
≡ p(e
1
y
p
1
+ · · · + e
r
y
p
r
) + c
1
x
p
1
+ · · · + c
s
x
p
s
+ d
1
z
p
1
+ · · · + d
t
z
p
t
(mod p
2
)
onde a
i
, b
i
, c
i
, d
i
≡ 0 (mod p), para todo os poss´ıveis i ∈ .
Por hip´otese s + t = 4 ou 5 e m
0
= r + s + t = r + q
0
≥ 7 + q
0
.
Assim r ≥ 7. Pelo lema 48 a equa¸c˜ao
a
5
y
p
5
+ a
6
y
p
6
+ a
7
y
p
7
≡ µp (mod p
2
) (3.9)
tem solu¸c˜ao para algum µ ≡ 0 (mod p).
Agora formamos dois c onjuntos essenciais dentre as vari´aveis
y
1
, . . . , y
4
, x
1
, . . . , x
5
, z
1
, . . . , z
t
.
Isto pode ser f eito como no lema 45, pois s+t ≥ 4. Multiplicamos
uma solu¸c˜ao correspondente a um conjunto essencial por T
1
; uma
solu¸c˜ao correspondente a outro conjunto essencial por T
2
e uma
solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 3.9 por T
3
. Ent˜ao
F
0
≡ p(α
1
T
p
1
+ α
2
T
p
2
+ µY
p
) ≡ 0 (mod p
2
),
G
0
≡ p(β
1
T
p
1
+ β
2
T
p
2
+ γY
p
) ≡ 0 (mod p
2
).
Estas congruˆencias tˆem uma solu¸c˜ao com um dos T
i
’s incongru-
entes a 0 m´odulo p . Segue que o par F , G possui uma solu¸c˜ao
n˜ao singular m´odulo p.
68
Lema 50 Se
F ≡ a
1
y
p
1
+ · · · + a
r
Y
p
r
+ b
1
x
p
1
+ · · · + b
q
x
p
q
+ p(f
2
w
p
2
+ · · · + f
ν
w
p
ν
) (mod p
2
)
G ≡ p(e
1
y
p
1
+ · · · + e
r
Y
p
r
) + c
1
x
p
1
+ · · · + c
q
x
p
q
+ p(g
1
w
p
1
+ g
2
w
p
2
+ · · · + g
ν
w
p
ν
) (mod p
2
)
onde a
i
, c
j
≡ 0 (mod p), para os poss´ıveis i, j ∈ e Se r ≥ 5,
q ≥ 2, ent˜ao o par F ,G tem um zero n˜ao singular m´odulo p
2
Demonstra¸c˜ao. Novamente, pelo lema 48, existe uma s olu¸c˜ao
para a equa¸c˜ao
a
3
y
p
3
+ a
4
y
p
4
+ a
5
y
p
5
≡ µp (mod p
2
) (3.10)
para algum = µ coprimo com p. Multiplicamos esta solu¸c˜ao por
uma nova vari´avel Y . Ainda podemos formar um conjunto es-
sencial dentre as vari´aveis y
1
, y
2
, x
1
e x
2
, e multiplicamos uma
solu¸c˜ao correspondente a este conjunto essencial por T . Ponha
w
2
= · · · = w
ν
= 0. Ent˜ao
F ≡ p(αT
p
+ µY
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
G ≡ p (βT
p
+ γY
p
+ w
p
1
) ≡ 0 (mod p
2
)
e temos uma solu¸c˜ao uma solu¸c˜ao com T ≡ 0 (mod p). Assim
F ,G tem uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p
2
.
A partir deste par´agrafo, supomos que F , G ´e um par de formas
p-normalizado em n ≥ 5p+1 vari´aveis. Ent˜ao pelo lema 10 temos
que
m
0
≥ 6 (3.11)
m
0
+ m
1
≥ 11 (3.12)
q
0
≥ 3 (3.13)
m
0
+ q
1
≥ 8 (3.14)
69
Lema 51 Se F , G s˜ao formas p-normalizadas com n ≥ 5p + 1
vari´aveis e q
0
≥ 4, ent˜ao F , G s˜ao p-equivalentes a um par de
formas que tem um zero n˜ao singular m´odulo p
2
.
Demonstra¸c˜ao. Pelo lema 44 a conclus˜ao vale exceto se q
1
= 0.
Neste caso m
0
≥ 8 e pelo lema 45 a conclus˜ao vale exceto se
m
1
= 0. Neste caso m
0
≥ 11 e pelo lema 46 a conclus˜ao vale
exceto se q
0
= 4 ou q
0
= 5. Se m
0
≥ 12 ent˜ao m
0
≥ 7 + q
0
e
pelo lema 49 vale a conclus˜ao. Ent˜ao podemos supor m
0
= 11.
Se q
0
= 4, ent˜ao m
0
= 7 + q
0
e pelo lema 14 vale a conclus˜ao.
Finalmente s uponha q
0
= 5 e m
0
= 11, ent˜ao podemos escrever
as formas F , G como abaixo
F ≡ a
1
y
p
1
+ · · · + a
6
y
p
6
+ c
1
x
p
1
+ · · · + b
s
x
p
s
+ p(f
1
z
p
1
+ · · · + f
t
z
p
t
) (mod p
2
)
G ≡ p(e
1
y
p
1
+ · · · + e
6
y
p
6
) + c
1
x
p
1
+ · · · + c
s
x
p
s
+ d
1
z
p
1
+ · · · + d
t
z
p
t
(mod p
2
)
com s + t = 5. Seja µ o n´umero de coeficientes dentre e
1
, . . . , e
6
,
que s˜ao divis´ıveis por p. Pelo lema 11 temos que
1 ≤ µ ≤ 5.
Portanto existem ´ındices i, j tal que, p|e
i
e p | e
j
. Ap´os uma
reordena¸c˜ao (se necess´ario), suponha que p|e
1
e p | e
2
. Assim
a
1
e
2
− e
1
a
2
≡ 0 (mod p). Da´ı o sistema
a
1
y
p
1
+ a
2
y
p
2
≡ 0 (mod p)
e
1
y
p
1
+ e
2
y
p
2
≡ 1 (mod p)
(3.15)
possui uma solu¸c˜ao.
Agora precisamos de dois conjuntos essenciais. A existˆencia
deste est´a descrita em cinco casos abaixo.
Caso 1. t = 1 e s = 4. Tome os conjuntos essenciais
{y
4
, x
1
, z
1
} e {y
5
, y
6
, x
2
, x
3
}
70
Caso 2. t = 2 e s = 3. Tome os conjutos essenciais
{y
4
, x
1
, z
1
} e {y
5
, x
2
, x
3
}
Caso 3. t = 3 e s = 2. Tome os conjuntos essenciais
{y
4
, x
1
, z
1
} e {y
5
, x
2
, x
3
}
Caso 4. t = 4 e s = 1. Tome os conjuntos essenciais
{y
4
, x
1
, z
1
} e {y
5
, y
6
, z
2
, z
3
}
Caso 5. t = 5 e s = 0. Tome os conjuntos essenciais
{y
3
, y
4
, z
1
, z
2
} e {y
5
, y
6
, z
2
, z
3
}.
Agora multiplique a solu¸c˜ao do sistema 3.15 por Y , multipli-
que uma solu¸c˜ao do primeiro conjunto ess encial por T
2
e uma do
segundo por T
3
. Ent˜ao obtemos novas equa¸c˜oes nas vari´aveis Y ,
T
1
e T
2
p(α
1
Y
p
+ β
1
T
p
1
+ γ
1
T
p
1
) ≡ 0 (mod p
2
)
p(α
2
Y
p
+ β
2
T
p
1
+ γ
2
T
p
1
) ≡ 0 (mod p
2
).
que tem uma solu¸c˜ao com T
1
ou T
2
n˜ao nulos, j´a que α
2
≡
0 (mod p).
Lema 52 Se F , G ´e um par de formas diagonais p-normalizado
com n ≥ 5p + 1 vari´aveis e q
0
= 3 ent˜ao eles s˜ao p-equivalentes a
um par de formas que tem um zero n˜ao singular m´odulo p
2
.
Demonstra¸c˜ao. Podemos supor que G
∗
tem posto m´ınimo entre
todas as formas λ
0
F
∗
0
+ µ
0
G
∗
0
, onde λ
0
, µ
0
n˜ao s˜ao ambos zero
m´odulo p. Podemos supor F
1
, ou G
1
de posto m´ınimo entre todas
71
as formas λ
1
F
1
+ µ
1
G
∗
1
, onde λ
1
, µ
1
s˜ao ambos n˜ao nulos, pois
caso contr´ario existir´a uma forma λ
1
F
∗
1
µ
1
G
∗
1
de posto m´ınimo,
onde λ
1
≡ 0 (mod p), µ ≡ 0 (mod p). Ent˜ao substitu´ımos F p or
F +µ
1
λ
−1
1
G; isto n˜ao altera a propriedade minimal de G
∗
0
e a nova
F
∗
1
´e de posto m´ınimo entre todas as formas que s˜ao combin¸c˜oes
lineares de F
∗
1
, G
∗
1
.
Pelo Lema 44, este lema vale exceto se q
1
= 0 e q
p−1
= 0 ou 1.
Por (3.11) temos que
m
0
≥ 8.
Por hip´otese existem explicitamente trˆes vari´aveis ocorrendo em
G
∗
0
, digo x
1
, x
2
, x
3
. Ent˜ao existem r = m
0
− 3 ≥ 5 vari´aveis
ocorrendo explicitamente em F
∗
0
e n˜ao em G
∗
0
, digo y
1
, . . . y
r
.
Assim podemos escrever
F
0
= a
1
y
p
1
+ · · · + a
r
y
p
r
+ g
1
x
p
1
+ g
1
x
p
2
+ g
3
x
p
3
G
0
= p(e
1
y
p
1
+ · · · + e
r
y
p
r
) + c
1
x
p
1
+ c
2
x
p
2
+ c
3
x
p
3
.
Como q
1
= 0 e uma das formas F
∗
1
, G
∗
1
´e de posto m´ınimo entre
todas as formas λ
∗
1
F
∗
1
+µ
∗
1
G
∗
1
, temos que F
∗
1
ou G
∗
1
´e identicamente
nulo. Primeiro Suponha que F
∗
1
= 0 e G
∗
1
= 0. Ent˜ao temos a si-
tua¸c˜ao do Lema 50, na qual existe uma vari´avel (w
1
nas hip´oteses
do lema) que ocorre explicitamente em G
∗
1
mas n˜ao em F
∗
1
. Como
r ≥ 5 e q
0
= 3, estamos nas hip´oteses do lema 50 e conclu´ımos
que o presente lema vale.
Agora supomos que G
∗
1
´e identicamente nulo. Pelo lema 11
temos que
µ ≤ m
0
−
5p + 1
p
= r + 3 − 5 −
1
p
< r.
Ent˜ao existem ´ındices i, j tais que p|e
i
e p |e
j
. Ap´os uma reor-
dena¸c˜ao (se necess´ario) p|e
1
e p |e
2
. Seguindo o mesmo racioc´ınio
72
usado para o sistema 3.15, o sistema
a
1
y
p
1
+ a
2
y
p
2
≡ pα
1
(mod p
2
)
pe
1
y
p
1
+ pe
2
y
p
2
≡ pα
2
(mod p
2
)
(3.16)
possui uma solu¸c˜ao para algum α
2
inteiro e coprimo c om p. Agora
multiplicamos uma solu¸c˜ao deste sistema por X.
Primeiramente vamos mostrar o caso em que F
∗
1
e G
∗
1
s˜ao iden-
ticamente nulos, isto ´e m
1
= 0. Neste caso
m
0
≥ 11 e r ≥ 8
Pelo lema 48 o sistema de equa¸c˜oes
a
3
y
p
3
+ a
4
y
p
4
+ a
5
y
p
≡ pβ
1
(mod p
2
)
pe
3
y
p
3
+ pe
4
y
p
+ pe
5
y
p
≡ pβ
2
(mod p
2
)
(3.17)
possui uma solu¸c˜ao para algum β
1
inteiro e coprimo com p. Agora
multiplicamos uma solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao por Y . Agora tomamos
um conjunto essencial entre as vari´aveis y
6
, y
7
, x
1
, x
2
e x
3
e multi-
plicamos uma solu¸c˜ao deste conjunto essencial por T . Anulamos
as outras vari´aveis. Ent˜ao temos o novo sistema
p(α
1
X
p
+ β
1
Y
p
+ γ
1
T
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
p(α
2
X
p
+ β
2
Y
p
+ γ
2
T
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
,
que tem uma solu¸c˜ao com n˜ao trivial com T ≡ 0 (mod p) exceto se
α
1
α
2
≡
β
1
β
2
(mod p). Observe que neste caso, como α
2
≡ 0 (mod p) e
β
1
≡ 0 (mod p), temos que, α
1
≡ 0 (mod p). Considere o novo par
de formas F , G
= α
2
F − α
1
G, que ´e p-equivalente ao sistema F ,
G e tamb´em est´a p-normalizado. Da´ı a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 3.16
tamb´em ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
(α
2
a
1
− pα
1
e
1
)y
p
1
+ (α
2
a
1
− pα
1
e
2
)y
p
2
+ ≡ 0 (mod p
2
)
pe
1
y
p
1
+ pe
2
y
p
2
+ ≡ pα
2
(mod p
2
)
.(3.18)
73
Pelo lema 48 o sistema
(α
2
a
3
− pα
1
e
3
)y
p
3
+ (α
2
a
4
− pα
1
e
4
)y
p
4
+ (α
2
a
5
− pα
1
e
5
)y
p
5
≡ pβ
1
(mod p
2
)
pe
3
y
p
3
+ pe
4
y
p
4
+ pe
5
y
p
5
≡ pβ
2
(mod p
2
)
.(3.19)
possui uma solu¸c˜ao para algum β
1
inteiro e coprimo com p. Nova-
mente tomamos um conjunto essencial entre as vari´aveis y
6
, y
7
, x
1
,
x
2
e x
3
. Novamente e agora finalizando este caso, multiplicamos
uma solu¸c˜ao do sistema 3.18 por X; multiplicamos uma solu¸c˜ao
do sistema 3.19 por Y ; multiplicamos uma solu¸c˜ao do conjunto
essencial em quest˜ao por T . Da´ı temos um novo sistema
p( + β
1
Y
p
+ γ
1
T
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
p(α
2
X
p
+ β
2
Y
p
+ γ
2
T
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
que possui uma solu¸c˜ao com T ≡ 0 (mod p).
Agora suponha G
∗
= 0 e F
∗
1
=
h
i
w
p
i
= 0, digo h
1
≡
0 (mod p). Tomamos um conjunto essencial dentre as vari´aveis
y
3
, y
4
, x
1
, x
2
e x
3
e multiplicamos uma solu¸c˜ao deste conjunto
essencial por T . Considere w
2
= w
3
= · · · = 0. Da´ı o novo
sistema
F ≡ p(α
1
X
p
+ β
1
T
p
+ h
1
w
p
1
) ≡ 0 (mod p
2
)
G ≡ p (α
2
X
p
+ β
2
T
p
) ≡ 0 (mod p
2
)
possui uma solu¸c˜ao com T ≡ 0 (mod p).
3.3 Demonstra¸c˜ao do Teorema 42
Demonstra¸c˜ao. Pelo lema 13, podemos supor que ϑ(F, G) = 0.
Ent˜ao podemos assumir que o par de formas (3.1) ´e p -normaliza-
do. Assim, pelo teorema 43 as formas em quest˜ao tˆem um zero
simultˆaneo n˜ao singular m´odulo p. Aplicando o lema 19 obtemos
um zero p-´adico simultˆaneo.
Cap´ıtulo 4
V´arias formas de grau p
Considere o conjunto de r formas diagonais em n vari´aveis
(n > r) de grau p
f
1
= a
11
x
p
1
+ · · · + a
1n
x
p
n
.
.
.
f
r
= a
r1
x
p
1
+ · · · + a
rn
x
p
n
(4.1)
Teorema 53 As formas (4.1) possuem um zero p-´adico simultˆaneo
se n ≥ 2r
2
p.
Pelo lema 13, podemos supor tamb´em que ϑ(f
1
, . . . , f
r
) =
0, da´ı podemos admitir que (4.1) ´e um conjunto de formas p-
normalizado.
Para demostrar este resultado, como j´a vimos antes, no lema
19, basta encontrar c ondi¸c˜oes (sobre o n´umero de vari´aveis) para
que o sistema
f
1
= a
11
x
p
1
+ · · · + a
1n
x
p
n
≡ 0 (mod p
2
)
.
.
.
f
r
= a
r1
x
p
1
+ · · · + a
rn
x
p
n
≡ 0 (mod p
2
)
, (4.2)
possua uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p
2
.
74
75
Teorema 54 Suponha que o conjunto de formas (4.1) seja p-
normalizado. Ent˜ao
f
1
≡ 0 (mod p
2
)
.
.
.
f
r
≡ 0 (mod p
2
)
possui uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p
2
, se n ≥ 2r
2
p
Demonstra¸c˜ao.
Considere o seguinte conjunto de r formas diagonais p-normalizado,
de grau p.
f
1
= a
11
x
p
1
+ · · · + a
1n
x
p
n
.
.
.
f
r
= a
r1
x
p
1
+ · · · + a
rn
x
p
n
Pelo Teorema 14, esse conjunto pode ser dividido em trˆes blocos
f
1
= F
1
+ pG
1
+ p
2
H
1
.
.
.
f
r
= F
r
+ pG
r
+ p
2
H
1
Pelo lema 19, basta procurarmos condi¸c˜oes (sobre o n´umero
de vari´aveis) para que o sistema f
i
≡ 0 (mod p
2
), i = 1, . . . , r,
tenha uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p
2
. Ent˜ao basta analisar
o sistema
f
1
≡ F
1
+ pG
1
≡ 0 (mod p
2
)
.
.
.
f
r
≡ F
r
+ pG
r
≡ 0 (mod p
2
)
. (4.3)
Chamamos as vari´aveis do bloco de formas F
i
, i = 1, . . . , r, de
vari´aveis do n´ıvel 0 e as do bloco formado por G
i
, i = 1, . . . , r,
76
de vari´aveis do n´ıvel 1. E nt˜ao pelo lema 14, h´a pelo menos
n
p
vari´aveis no n´ıvel 0.
Pelo lema 15, a matriz dos coeficientes das vari´aveis do n´ıvel 0,
pode ser dividida em pelo menos
n
rp
submatrizes r × r de posto
r m´odulo p.
Suponha que
n
rp
≥ 2r. Sejam m
0
e m
1
o n´umero de vari´aveis
nos n´ıveis 0 e 1, respectivamente. De (1.21) no lema 14, temos
que m
0
+ m
1
≥
2n
p
≥
4r
2
p
p
= 4r
2
.
Suponha primeiro que m
1
> 0; como
n
rp
≥ 2r, temos ent˜ao
2r submatrizes de posto r m´odulo p (da matriz de coeficientes
do n´ıvel 0). Dai obtemos r conjuntos essenciais, que ap´os a con-
tra¸c˜ao de cada um destes, produzem r novas vari´aveis contra´ıdas
que chamaremos de X
1
, . . . , X
r
(ve r defini¸c˜ao 6). Observe que
o m´etodo da contra¸c˜ao de conjuntos essenciais nos d´a uma nova
vari´avel no n´ıvel 1, neste caso r vari´aveis no n´ıvel 1. Como j´a
temos pelo menos uma vari´avel no n´ıvel 1 (pois m
1
> 0), que
chamaremos de X
r+1
, juntando estas vari´aveis obtemos o s eguinte
sistema.
p(α
11
X
p
1
+ · · · + α
1r
X
p
r
+ α
1(r+1)
X
r+1
) ≡ 0 (mod p
2
)
.
.
.
p(α
r1
X
p
1
+ · · · + α
rr
X
p
n
+ α
r(r+1)
X
r+1
) ≡ 0 (mo d p
2
)
(4.4)
que tem solu¸c˜ao com pelo menos duas coordenadas n˜ao nulas
m´odulo p.
Da´ı o sistema (4.3) tem uma solu¸c˜ao n˜ao singular m´odulo p
2
.
Aplicando o lema 19, obtemos que o conjunto de formas (4.1) tem
um zero p-´adico comum e n˜ao trivial.
Se m
1
= 0, ent˜ao m
0
≥ 4r
2
. Podemos supor que as primeiras
2r
2
vari´aveis formam r conjuntos essenciais que da´ı, ap´os aplicada
77
a t´ecnica de contra¸c˜ao de conjunto essencial, para cada um destes
conjuntos, obtemos r novas vari´aveis no n´ıvel 1, que novamente
chamarems de X
1
, · · · , X
r
. Restam-nos 2r
2
vari´aveis que vamos
analisar em dois casos.
Caso 1: Dentre as 2r
2
vari´aveis restantes, temos trˆes vari´aveis cu-
jas colunas de coeficientes formam uma matriz de posto 1 m´odulo
p.
Considere o subsistema abaixo formado pela matriz de coefici-
entes em quest˜ao.
b
11
y
p
1
+ b
12
y
p
2
+ b
13
y
p
3
.
.
.
b
r1
y
p
1
+ b
r2
y
p
2
+ b
r3
y
p
3
. (4.5)
´
E f´acil ver que o sistema acima ´e p-equivalente ao sistema abaixo.
Observe que foi aplicada a opera¸c˜ao (ii) do lema 8 sem alterar a
primeira equa¸c˜ao.
b
11
y
p
1
+ b
12
x
p
2
+ b
13
y
p
3
0y
p
1
+ 0y
p
2
+ 0y
p
3
.
.
.
0y
p
1
+ 0y
p
2
+ 0y
p
3
.
Pelo lema 48 o sistema acima tem um zero m´odulo p, (x
1
, x
2
, x
3
),
onde
b
11
x
p
1
+ b
12
x
p
2
+ b
13
x
p
3
p
≡ 0 (mod p)
Ent˜ao o sistema (4.5) tamb´em tem um zero m´odulo p, que n˜ao ´e
zero m´odulo p
2
. Multiplicando esta solu¸c˜ao por uma nova vari´avel
78
X
r+1
obtemos a seguinte igualdade
b
11
(y
1
X
r+1
)
p
+ b
12
(y
2
X
r+1
)
p
+ b
13
(y
3
X
r+1
)
p
= α
1
pX
r+1
.
.
.
.
.
.
b
r1
(y
1
X
r+1
)
p
+ b
r2
(y
2
X
r+1
)
p
+ b
r3
(y
3
X
r+1
)
p
= α
r
pX
r+1
,
onde α
1
´e coprimo com p. Ou seja, constru´ımos mais uma vari´avel
no n´ıvel 1. Juntando as vari´aveis X
1
, . . . , X
r
e X
r+1
, montamos
um sistema com r equa¸c˜oes e r+1 vari´aveis semelhante ao sistema
(4.4), que tem uma solu¸c˜ao com pelo menos duas coordenadas n˜ao
nulas m´odulo p.
Caso 2: Dentre as 2r
2
vari´aveis restantes, qualquer matriz for-
mada por pelo menos 3 (trˆes) colunas de coeficientes tem posto
maior do que ou igual a 2 (dois) m´odulo p.
Ent˜ao podemos escolher trˆes conjuntos (disjuntos) de vari´aveis
para formar trˆes subsistemas de ordem r × t
1
, r × t
2
e r × t
3
, onde
a matriz de coeficientes de cada subsistema tem posto t
1
, t
2
e t
3
respectivamente, com t
1
≥ t
2
≥ t
3
≥ 2. Vamos trabalhar com
trˆes sistemas p-equivalentes a estes. Os sistemas p equivalentes
utilizados, s˜ao de tal forma que em cada sistema as r − t
i
´ultimas
equa¸c˜oes s˜ao nulas m´odulo p, i ∈ {1, 2, 3}, como no exemplo
abaixo.
b
11
y
p
1
+ b
12
y
p
2
+ . . . + b
1t
i
y
p
t
i
.
.
.
b
t
i
1
y
p
1
+ b
t
i
2
y
p
2
+ . . . + b
t
i
t
i
y
p
t
i
.
.
.
b
r1
y
p
1
+ b
r2
y
p
2
+ . . . + b
rt
i
y
p
t
i
(4.6)
↓
´e p-equivalente
79
↓
b
11
y
p
1
+ b
12
y
p
2
+ . . . + b
1t
i
y
p
t
i
.
.
.
b
t
i
1
y
p
1
+ b
t
i
2
y
p
2
+ . . . + b
t
i
t
i
y
p
t
i
0 + 0 + . . . + 0
.
.
.
0 + 0 + . . . + 0
Para cada sistema, na coluna de termos independentes, colocamos
uma coluna canˆonica, ou seja 1 na primeira linha e 0 (zero) nas
outras. Obtemos o sistema
b
11
y
p
1
+ b
12
y
p
2
+ . . . + b
1t
i
y
p
t
i
≡ 1 (mod p)
.
.
.
b
t
i
1
y
p
1
+ b
t
i
2
y
p
2
+ . . . + b
t
i
t
i
y
p
t
i
≡ 0 (mod p)
0 + 0 + . . . + 0 ≡ 0 (mod p)
.
.
.
0 + 0 + . . . + 0 ≡ 0 (mod p)
Agora aplicamos a t´ecnica de contra¸c˜ao de vari´aveis n˜ao singula-
res nos sistemas t
i
× t
i
(i = 1, 2, 3) e obtemos trˆes vetores con-
tra´ıdos como descritos abaixo
α
1
Y
p
1
α
2
pY
p
2
.
.
.
α
r
pY
R
,
β
1
Z
p
1
β
2
pZ
p
2
.
.
.
β
r
pZ
R
,
γ
1
W
p
1
γ
2
pW
p
2
.
.
.
γ
r
pW
R
,
onde α
1
, β
1
e γ
1
s˜ao todos coprimos com p. Com estas trˆes colunas
formamos um sistema
80
α
1
Y
p
1
+ β
1
Z
p
1
+ γ
1
W
p
1
≡ pα (mod p
2
)
pα
2
Y
p
2
+ pβ
2
Z
p
2
+ pγ
2
W
p
1
≡ pδ
2
(mod p
2
)
.
.
.
pα
r
Y
p
r
+ pβ
r
Z
p
r
+ pγ
r
W
p
r
≡ pδ
r
(mod p
2
)
. (4.7)
Pelo lema 48, a primeira equa¸c˜ao de (4.7) possui uma solu¸c˜ao
p-´adica para algum α coprimo com p. Ent˜ao o sistema (4.7)
possui uma solu¸c˜ao para algun α coprimo com p, onde δ
i
∈ ,
(i = 2, . . . , r). Multiplicando esta solu¸c˜ao por uma nova vari´avel
X
r+1
, obtemos uma nova vari´avel no n´ıvel 1. Isto quer dizer que os
trˆes conjuntos de formas (4.6) geram uma nova vari´avel no n´ıvel
1. Juntando com as vari´aveis X
1
, . . . , X
r
, formamos um sistema
que tem solu¸c˜ao com pelo duas coordenadas n˜ao nulas m´odulo p.
Isto quer dizer que (4.2) possui uma solu¸c ˜ao n˜ao singular m´odulo
p
2
, O que encerra a demonstra¸c˜ao do lema 54.
Demonstra¸c˜ao do teorema 53. Do lema 13, podemos supor
que
ϑ(f
1
, . . . , f
r
) = 0.
Da´ı podemos supor que (4.1) ´e p-normalizado. Aplicando o teo-
rema 54 e o lema 19 temos o resultado.
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Livros Grátis
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