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KENEDY ANT
ˆ
ONIO DE FREITAS
ESTUDO EXPERIMENTAL DO MODELO ALEAT
´
ORIO DE
FUS
´
IVEIS
Disserta¸c˜ao apresentada `a Universidade
Federal de Vi¸cosa, como parte das exigˆen-
cias do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em
F´ısica Aplicada, para obten¸c˜ao do t´ıtulo
de Magister Scientiae.
VIC¸ OSA
MINAS GERAIS - BRASIL
2007
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i
Aos meus pais,
Antˆonio Jerˆonimo de Freitas e
Eva das Gra¸cas B. de Freitas.
ii
AGRADECIMENTOS
- A Deus, por ter me dado uma nova chance e tamb´em for¸ca e sa´ude, para que
eu fosse capaz de desenvolver esse trabalho;
- A minha familia, meu pai, minha m˜ae, minhas irm˜as, minha sobrinha e aos
cunhados pela amizade, carinho e compreens˜ao;
- A minha querida namorada Renata que sempre esteve presente em todos os
momentos bons e ruins nesta etapa da minha vida;
- Aos amigos: Daniel, Leandro, Fagner, Jefferson, Pablo, J´ulio, Sim˜ao, e todos os
outros que n˜ao esqueci, mas o espa¸co ´e insuficiente para cit´a-los;
- Aos professores Marcos da Silva Couto e Ismael Lima Menezes Sobrinho pela
orienta¸c˜ao e pelas dicas durante todo o trabalho;
- Aos professores e funcion´arios do Departamento de F´ısica da UFV;
- Aos amigos da Equipe Psicopatas;
- A FAPEMIG pelo suporte financeiro;
- A Universidade Federal de Vi¸cosa pela acolhida.
iii
BIOGRAFIA
KENEDY ANTONIO DE FREITAS, filho de Eva das Gra¸cas B. de Freitas e Antˆonio
Jerˆonimo de Freitas, nasceu em Visconde do Rio Branco, Minas Gerais, em 19 de junho
de 1980. Em janeiro de 2005, concluiu o Bacharelado em F´ısica pela Universidade
Federal de Vi¸cosa - MG. Em julho de 2007, obteve o t´ıtulo de Mestre em F´ısica
Aplicada na Universidade Federal de Vi¸cosa.
iv
SUM
´
ARIO
RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Fraturas 5
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Fenomenologia do Processo de Fratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Modelos de Fraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Modelo Aleat´orio de Fus´ıveis (RFM) . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Investiga¸c˜ao Experimental do Modelo de Fus´ıveis . . . . . . . . . . . . 14
3 Experimentos 21
3.1 Materiais e M´etodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Resultados e Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Curvas I × V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Curvas da resistˆencia em fun¸c˜ao do tempo . . . . . . . . . . . . 52
v
3.2.3 Curvas do tempo de ruptura em fun¸c˜ao da corrente . . . . . . . 56
3.2.4 Curvas da largura do perfil em fun¸c˜ao do tamanho da rede . . . 63
4 Conclus˜oes e Perspectivas 66
4.1 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Referˆencias Bibliogr´aficas 69
vi
RESUMO
FREITAS, Kenedy Antˆonio de, M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, julho de
2007. Estudo experimental do modelo aleat´orio de fus´ıveis. Orientador:
Marcos da Silva Couto. Co-Orientadores: Ismael Lima Menezes Sobrinho e
S´ılvio da Costa Ferreira J´unior.
O objetivo deste trabalho ´e verificar, atrav´es de um estudo experimental do
Modelo Aleat´orio de Fus´ıveis, como a orienta¸c˜ao e a desordem da rede de fus´ıveis
influenciam o processo de fratura da rede. Para a efetiva¸c˜ao dos experimentos foi
criado um circuito de tamanho L × L, com as liga¸c˜oes entre os fus´ıveis orientadas `a
45
o
da dire¸c˜ao de aplica¸c˜ao da diferen¸ca de potencial. Foram utilizados dois tipos de
fios como fus´ıveis: fios de cobre e fios de palha de a¸co. Os experimentos consistiram
em aplicar uma diferen¸ca de potencial V na rede e medir a corrente I. Os resultados
obtidos foram analisados com o objetivo de se determinar suas leis de escala quando
a desordem ou o tamanho da rede eram variados. Concluiu-se com os resultados que
mesmo para as redes totalmente desordenadas n˜ao foram observadas leis de escalas.
Verificou-se ainda que para uma corrente fixa acima de certa corrente cr´ıtica, a re-
sistˆencia el´etrica da rede aumenta como uma lei de potˆencia do tempo e tamb´em que
o tempo de ruptura da rede decai como uma lei logar´ıtmica da corrente para valores
vii
de corrente pouco acima da corrente cr´ıtica, ao passo que para valores de corrente
muito acima da corrente cr´ıtica o tempo de ruptura decai como uma lei de potˆencia.
viii
ABSTRACT
FREITAS, Kenedy Antˆonio de, M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, July, 2007.
Experimental research of the random fuse model. Adiviser: Marcos da
Silva Couto. Co-Advisers: Ismael Lima Menezes Sobrinho and S´ılvio da Costa
Ferreira J´unior.
The objective of this work is to verify through an experimental research of the
Random Fuse Model, how the orientation and disorder of the fuse network influence
the process of fracture of a network. To execute the experiments a circuit of size
L × L was created, with the connections among the fuses orienteded by 45
o
with
the direction of the applied potential difference. Two types of wires were used as
fuses: copper wires and steel wool wires. The experiments consisted in applying a
potential difference V in the network and to measure the current I. The results were
analyzed with the objective of determining their scaling laws changing the disorder
or the network size. It was concluded that even for the totally disordered networks
scaling laws were not observed. It was verified that for a fixed current above a certain
critical current the electric resistance of the network increases as a power law in time
and also that the rupture time of the network decreases as a logarithmic law with the
current for values slightly above the critical current, while for currents much larger
than the critical current the rupture time decreases as a power law.
ix
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
A importˆancia econˆomica e tecnol´ogica do processo de fratura em materiais
heterogˆeneos ´e suficiente para explicar o grande interesse de p esquisa neste campo.
Um dos fatores determinantes do comportamento de fratura de um material ´e a pre-
sen¸ca da desordem, a qual ´e fundamental na dinˆamica de propaga¸c˜ao das trincas.
Geralmente, quando se tem pouca desordem, o mateiral rompe-se devido `a forma¸c˜ao
de uma ´unica trinca. Com o aumento da desordem surgem trincas pequenas e isoladas
no material e a fus˜ao destas trincas ´e respons´avel pela ruptura total da amostra. Os
f´ısicos estat´ısticos tˆem aplicado t´ecnicas que s˜ao utilizadas em sistemas desordenados
para estudar o fenˆomeno de fratura nesses materiais [1].
Uma das varias t´ecnicas utilizadas para estudar sistemas desordenados, atrav´es
de simula¸c˜oes computacionais, ´e a de se discretizar o sistema, i.e., consider´a-lo uma
rede e estudar o comportamento macrosc´opico dessa rede, verificando, por exemplo,
o que ocorre quando se varia sua desordem. Diversos trabalhos foram realizados
utilizando o modelo el´astico [2–5] a fim de estudar o fenˆomeno de fraturas, mas uma
outra simplifica¸c˜ao que pode ser feita nestes estudos ´e considerar o an´alogo el´etrico do
1
modelo el´astico, i.e., substituir a for¸ca el´astica pela corrente el´etrica e o deslocamento
pela tens˜ao. Apesar das v´arias semelhan¸cas entre estes modelos, uma importante
diferen¸ca ´e o fato do deslocamento el´astico ser vetorial e o potencial el´etrico ser escalar,
o que o torna conceitualmente e numericamente mais simples. Portanto, uma boa
maneira de se estudar os processos de fraturas em materiais desordenados ´e atrav´es
do modelo aleat´orio de fus´ıveis (RFM) [6–9], que, de um modo geral, consiste em uma
rede quadrada com um fus´ıvel em cada s´ıtio da rede, sujeito a um aumento da tens˜ao
externa aplicada.
A desordem na rede de fus´ıveis pode ser introduzida de diversas maneiras.
Em uma simula¸c˜ao computacional, Arcangelis et al. [6] introduziram desordem via
dilui¸c˜ao, i.e., alguns fus´ıveis eram retirados antes do processo de ruptura se iniciar.
Em um outro trabalho de simula¸c˜ao computacional [8], a desordem foi introduzida
nas correntes cr´ıticas para a ruptura dos fus´ıveis, as quais eram escolhidas de acordo
com uma distribui¸c˜ao de probabilidade. Como resultado deste trabalho dois tipos
de regimes foram observados: um catastr´ofico, onde as correla¸c˜oes entre as trincas
dominam o processo de fratura e uma grande trinca macrosc´opica linear forma-se
rompendo a rede, e um outro regime controlado pela desordem inicial, onde a ruptura
total da rede ocorre devido `a fus˜ao de trincas pequenas e isoladas.
Como no mo delo aleat´orio de fus´ıveis a queima dos fus´ıveis ´e independente
de uma escala de tempo, ou seja, o processo de ruptura da rede n˜ao possui qual-
quer dinˆamica, sendo apenas um processo irrevers´ıvel de ruptura, modelos t´ermicos
de fus´ıveis foram propostos [10,11]. Nestes modelos um campo de temperatura ´e adi-
cionado nos crit´erios de ruptura. Uma abordagem experimental do modelo t´ermico de
2
fus´ıveis foi realizada por Lamaign`ere et al. [12]. Dentre os resultados obtidos, mostrou-
se o comportamento da resistˆencia da rede em fun¸c˜ao do tempo e a dependˆencia do
tempo de ruptura em fun¸c˜ao da corrente aplicada.
Um primeiro trabalho experimental baseado nos modelos de Arcangelis e Her-
rmann e de Lamaign`ere et al. foi realizado por Otomar et al. [13,14], o qual consistia
em uma rede quadrada onde fios de diferentes materiais eram soldados de forma a rep-
resentarem fus´ıveis. Aplicava-se uma diferen¸ca de potencial nesta rede e registrava-se
os valores da corrente. A diferen¸ca de p otencial era aumentada at´e que a rede se
rompia por completo, possibilitando estudar o processo de fratura e seu comporta-
mento.
Em seu trabalho experimental Otomar et al. [13,14] obteve como conclus˜oes que
em sistemas com grande desordem, a corrente, a tens˜ao e o tamanho da rede obedecem
a uma determinada lei de escala. Outros resultados foram a existˆencia de dois regimes
dependentes do grau de desordem, e que o n´umero total de fus´ıveis queimados e
o comprimento m´edio da fratura obedeciam `a leis de potˆencia que dependiam do
tamanho da rede.
Diferentemente da rede utilizada por Otomar et al. [13,14], no presente trabalho
as conex˜oes entre os fus´ıveis possuem uma inclina¸c˜ao de 45
o
em rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao de
aplica¸c˜ao da diferen¸ca de potencial. A raz˜ao pela qual esta orienta¸c˜ao dos fus´ıveis
foi escolhida ´e devido a uma sugest˜ao de um dos referees do trabalho de Otomar et
al. [13]. A orienta¸c˜ao utilizada por Otomar et al. tem a particularidade de que para
uma rede completamente ordenada sem nenhum fus´ıvel queimado, n˜ao h´a corrente
nos fus´ıveis paralelos `a dire¸c˜ao de aplica¸c˜ao da diferen¸ca de potencial. No entanto,
3
para a configura¸c˜ao escolhida neste trabalho, a corrente inicialmente ´e a mesma para
todos os fus´ıveis e se torna diferente quando os fus´ıveis come¸cam a queimar.
Nesta disserta¸c˜ao ser˜ao apresentados inicialmente uma revis˜ao sobre fraturas
e modelos de fraturas, com ˆenfase nos modelos aleat´orios de fus´ıveis e tamb´em nos
resultados de Otomar et al. [13, 14] (cap´ıtulo 2). No cap´ıtulo 3 est˜ao detalhados os
materiais e m´etodos, bem como os resultados obtidos. No capitulo 4 s˜ao apresentadas
as conclus˜oes e perspectivas.
4
Cap´ıtulo 2
Fraturas
2.1 Introdu¸c˜ao
A fratura consiste na separa¸c˜ao completa de um s´olido em duas ou mais partes,
mediante a aplica¸c˜ao de tens˜oes. O valor dessa tens˜ao, bem como a forma e outras
caracter´ısticas da fratura resultante, dependem significativamente da desordem do ma-
terial, de como aplicamos a tens˜ao (tra¸c˜ao, compress˜ao, cisalhamento) e das condi¸c˜oes
externas como, por exemplo, a temperatura e a press˜ao.
Como o fenˆomeno de fratura ´e bem comum, uma maneira simples de entendˆe-lo
´e atrav´es do experimento de Young [1]. O experimento esquematizado na Fig. 2.1,
consiste em submeter uma barra homogˆenea de comprimento L e ´area da se¸c˜ao reta
w
2
a uma for¸ca
−→
F na dire¸c˜ao de seu comprimento. Como conseq¨uˆencia da a¸c˜ao desta
for¸ca, o corre uma deforma¸c˜ao dL no comprimento da barra e um estreitamento dw
em sua largura.
Com os dados obtidos pela medi¸c˜ao da for¸ca e usando a equa¸c˜ao para tens˜ao
σ =
F
w
2
, obt´em-se a curva mostrada na Fig. 2.2, que mostra como a tens˜ao σ varia
5
F
A
L dL
w
w
dw
Figura 2.1: Experimento de Young.
com a elonga¸c˜ao relativa δ =
dL
L
.
Figura 2.2: Diagrama da tens˜ao versus elonga¸c˜ao relativa.
Da Fig. 2.2 pode-se distinguir as seguintes situa¸c˜oes: quando a deforma¸c˜ao
n˜ao ´e muito grande, a tens˜ao ´e proporcional `a elonga¸c˜ao e, ent˜ao, da origem at´e o
ponto σ
n
tem-se uma rela¸c˜ao linear que obedece a lei de Hooke
σ = Eδ, (2.1)
onde E ´e o m´odulo de Young. A tens˜ao tamb´em pode ser escrita em fun¸c˜ao da raz˜ao
de Poisson ν
σ = −
E
ν
dw
w
(2.2)
O m´odulo de Young est´a associado a deforma¸c˜ao longitudinal e `a rigidez do
6
material. A raz˜ao de Poisson ´e um parˆametro que surge, porque al´em da deforma¸c˜ao
longitudinal, um material ao ser “esticado” sofre proporcionalmente uma deforma¸c˜ao
transversal. Isto ocorre porque a maior parte dos materiais resiste mais a uma mu-
dan¸ca de volume do que a uma mudan¸ca de forma. Nesta regi˜ao o processo ´e revers´ıvel,
o material encontra-se no regime el´astico, ou seja, retirando-se a for¸ca nele aplicada
ele volta `a condi¸c˜ao inicial.
De σ
n
at´e σ
y
a rela¸c˜ao n˜ao ´e mais linear, mas ainda se tem reversibilidade, ou
seja, se retirarmos a for¸ca, o material volta `a sua condi¸c˜ao inicial. Acima de σ
y
, por
exemplo, no ponto B o material entra no regime pl´astico, perdendo a reversibilidade,
ou seja, quando a for¸ca ´e retirada ele n˜ao volta `a condi¸c˜ao inicial, ocasionando uma
deforma¸c˜ao pl´astica representada pelo segmento BC.
2.2 Fenomenologia do Processo de Fratura
O processo de fratura pode ser considerado como constitu´ıdo de duas partes:
in´ıcio da trinca e propaga¸c˜ao da trinca. Analisando a Fig. 2.2 podemos classificar
a fratura em duas categorias gerais, uma quando o material rompe para uma tens˜ao
menor que σ
y
, denominada fratura fr´agil, e outra quando o material rompe para
uma tens˜ao maior que σ
y
, denominada fratura d´uctil. N˜ao existe uma caracter´ıstica
espec´ıfica para o tipo de fratura de um material porque a desordem do material e
as condi¸c˜oes externas, tais como temperatura e press˜ao, influenciam fortemente no
processo.
Desordem ´e um conceito muito amplo, que depende de fatores tais como a
escala em que se analisa o material, se a desordem ´e intriseca ou se foi introduzida
7
no material, entre outros. A influˆencia do grau de desordem no processo de fratura,
faz surgir dois comportamentos distintos como foi classificado acima pela an´alise da
Fig. 2.2. O comportamento denominado de fratura fr´agil ´e observado para pouca
desordem e ´e caracterizado por um r´apido rompimento do material, separa¸c˜ao perpen-
dicular `a tens˜ao, n˜ao apresentar deforma¸c˜ao macrosc´opica e apresentar pouca micro
deforma¸c˜ao, ocorrendo a baixas temperaturas ou para uma alta taxa de deforma¸c˜ao.
O comportamento de fratura d´uctil ocorre para uma maior desordem e possui como
caracter´ısticas: um rompimento lento do material com consider´avel gasto de energia,
uma apreci´avel deforma¸c˜ao pl´astica, antes e durante a propaga¸c˜ao da trinca, ocor-
rendo a altas temperaturas ou a baixas taxas de deforma¸c˜ao.
2.3 Modelos de Fraturas
V´arios modelos tˆem tentado explicar o processo de fraturas em materiais de-
sordenados [4,8,9,15–17]. Estes modelos utilizam como simplifica¸c˜ao para o estudo do
comportamento do processo de fraturas a discretiza¸c˜ao do material, i.e., consideram
o material como uma rede, onde cada ponto representa uma parte do material e suas
caracter´ısticas el´asticas e de fratura tornam-se mais simples e descritas por poucos
parˆametros.
Dentre os modelos mais utilizados est˜ao o modelo de fibras e o modelo aleat´orio
de fus´ıveis. O modelo de fibras ou el´astico [2–5], ´e constitu´ıdo de um conjunto de N fi-
bras paralelas submetidas a uma for¸ca uniaxial. Essas fibras podem estar dispostas em
uma rede unidimensional ou bidimensional, onde inicialmente todas est˜ao na posi¸c˜ao
de equil´ıbrio e a cada instante de tempo elas sofrem uma deforma¸c˜ao aplicada por uma
8
for¸ca externa, em geral igual para todas. O rompimento de uma fibra ocorre quando a
deforma¸c˜ao aplicada nela ´e maior que o limite de deforma¸c˜ao que a fibra pode supor-
tar, sendo este limite calculado atrav´es de uma dada distribui¸c˜ao de probabilidade.
O processo de fratura continua desta forma at´e a ruptura total da rede.
Outra simplifica¸c˜ao que pode ser feita ´e considerar o an´alogo el´etrico do modelo
el´astico, substituindo a for¸ca el´astica pela corrente el´etrica, I, e o deslocamento pela
tens˜ao el´etrica, V. Eletricidade e elasticidade possuem v´arias propriedades em comum,
por exemplo, a lei de Ohm e a lei de Hooke (Fig. 2.3), mas tamb´em possuem uma
importante diferen¸ca: o fato de o deslocamento el´astico ser vetorial e o potencial
el´etrico ser escalar.
´
E justamente a natureza escalar do potencial el´etrico que o torna
conceitualmente e numericamente mais simples.
F =
k x
I =
1
R
V
Figura 2.3: Compara¸c˜ao entre a Lei de Hooke e a Lei de Ohm.
Com base nesta analogia o modelo aleat´orio de fus´ıveis ser´a descrito com mais
detalhes na subse¸c˜ao seguinte.
2.3.1 Modelo Aleat´orio de Fus´ıveis (RFM)
De um modo geral, este modelo consiste em uma rede quadrada com um fus´ıvel
em cada ponto da rede, sujeita a um aumento da tens˜ao aplicada. Existem v´arios
trabalhos que utilizam este modelo. Numa simula¸c˜ao computacional, Arcangelis et
9
al. [6], estudaram uma rede onde todos os fus´ıveis possu´ıam caracter´ısticas idˆenticas
e a desordem foi introduzida via dilui¸c˜ao, i.e., alguns fus´ıveis foram removidos antes
do in´ıcio do processo de fratura. Em um outro trabalho de simula¸c˜ao computacional,
Arcangelis e Herrmann [8] estudaram uma rede com todos os fus´ıveis tendo as mes-
mas caracter´ısticas e a desordem estava contida nos limites de corrente suportada
por cada fus´ıvel, os quais eram escolhidos aleatoriamente de acordo com uma dis-
tribui¸c˜ao de probabilidade. Neste trabaho foram observados dois tipos de regime: um
regime catastr´ofico, onde as correla¸c˜oes entre as trincas dominam o processo e uma
grande trinca macrosc´opica linear forma-se para promover a ruptura final da rede, e
um segundo regime controlado pela desordem inicial, onde a corrente aumenta mono-
tonicamente com a tens˜ao aplicada e a ruptura da rede ´e devido `a fus˜ao de pequenas
trincas isoladas que enfraquecem o sistema. O primeiro regime ´e caracter´ısitico de
fratura fr´agil e o segundo de fratura d´uctil. Para verificar a rela¸c˜ao de escala entre a
tens˜ao e a corrente, em fun¸c˜ao do tamanho da rede para as distribui¸c˜oes de probabil-
idades utilizadas, Arcangelis e Herrmann colapsaram as curvas da corrente em fun¸c˜ao
da tens˜ao el´etrica para diferentes tamanhos de rede. Somente no segundo regime a
corrente I, a tens˜ao V e o tamanho da rede L obedeceram `a seguinte lei de escala:
I = L
α
(V L
−β
). (2.3)
Os expoentes encontrados foram α ∼ 0,90 e β ∼ 0,84 com 5% de precis˜ao. Dentro
dos erros esses resultados s˜ao universais independentemente da distribui¸c˜ao utilizada.
Modelos aleat´orios de fus´ıveis tamb´em foram investigados em duas [17–19] e
10
trˆes dimens˜oes [20,21] para calcular o expoente de rugosidade de superf´ıcies de fraturas
de materiais desordenados.
No modelo aleat´orio de fus´ıveis a queima dos fus´ıveis n˜ao depende de um estado
anterior do sistema, i.e., ele n˜ao tem mem´oria e, portanto o processo de ruptura da rede
n˜ao possui qualquer dinˆamica, mas somente um processo irrevers´ıvel de ruptura sem
qualquer escala de tempo. Desta forma com o intuito de estudar o aspecto dinˆamico
envolvido no processo de fratura de um material desordenado o modelo t´ermico de
fus´ıveis [10, 11] foi proposto. Neste modelo um campo de temperatura ´e adicionado
nos crit´erios de ruptura.
O modelo t´ermico de fus´ıveis foi experimentalmente investigado p or Lamaign`ere
[12]. Neste trabalho foi estudado o colapso el´etrico de um comp´osito part´ıcula-
pol´ımero. Esses comp´ositos eram formados de uma matriz de pol´ımero isolante e
de part´ıculas condutoras. O contato entre as part´ıculas condutoras evolu´ıa devido `a
expans˜ao t´ermica da matriz em conseq¨uˆencia do aquecimento por efeito Joule cau-
sado pela corrente aplicada. Dentre os resultados obtidos neste trabalho, mostrou-se
o comportamento da resistˆencia R em fun¸c˜ao do tempo t (Fig. 2.4) onde se utilizou
a seguinte lei de potˆencia para encontrar o melhor ajuste dos dados:
R ∝ (t
r
− t)
−α
, (2.4)
onde t
r
´e o tempo de ruptura da rede e α ´e um expoente que descreve como a resistˆencia
tende ao infinito quando t → t
r
. O melhor ajuste foi obtido com α 0, 65.
Outro resultado encontrado foi a dependˆencia do tempo necess´ario para o com-
11
Figura 2.4: Gr´afico da resistˆencia da rede em fun¸c˜ao do tempo. Os pontos s˜ao os dados
experimentais e a linha cont´ınua representa o melhor ajuste [12].
pleto rompimento da rede em fun¸c˜ao da corrente aplicada (Fig. 2.5). Os ajustes rea-
lizados por Lamaign`ere [12] para estes experimentos foram feitos atrav´es da rela¸c˜ao,
t
r
= −
1
a
log(1 − kI
−b
), (2.5)
onde os parˆametros a, k e b s˜ao ajust´aveis. Nestes experimentos esperava-se que o
expoente b fosse o mais pr´oximo de dois para descrever, consequentemente, o efeito
Joule.
Em um trabalho de simula¸c˜ao computacional realizado por Hansen et al. [17],
foi verificado o comportamento da largura das trincas, w, em fun¸c˜ao do tamanho L
da rede, para o modelo de fus´ıveis. Foi utilizada uma rede quadrada orientada a 45
o
em rela¸c˜ao `as bordas, separadas por uma distˆancia de
L
√
2
, e assumiu-se condi¸c˜oes
de contorno peri´odicas perpendiculares `as duas bordas, nas quais eram aplicadas a
diferen¸ca de potencial. Foram utilizadas redes de tamanhos L = 5, 10, 15, 20, 30 e
40. A desordem foi introduzida assumindo que a corrente m´axima suportada por cada
12
Figura 2.5: Gr´afico do tempo para ruptura da rede em fun¸c˜ao da corrente aplicada. A
linha cont´ınua representa o melhor ajuste [12].
fus´ıvel obedecia uma distribui¸c˜ao estat´ıstica n˜ao correlacionada espacialmente.
Verificou-se que a largura w do caminho criado pela ruptura da rede e o
tamanho L desta escalam de acordo com a rela¸c˜ao:
w ∼ L
ζ
, (2.6)
onde w foi obtido atrav´es da express˜ao: w
2
=< y
2
i
> − < y
i
>
2
, onde y
i
´e a coordenada
perpendicular `a borda da rede para o fus´ıvel i, pertencente a regi˜ao de ruptura. A Fig.
2.6 mostra a rela¸c˜ao de w em fun¸c˜ao de L para v´arios tipos de distribui¸c˜oes utilizados.
Como resultado, Hansen et al. observaram dois comportamentos para o ex-
poente ζ, um para pouca desordem presente na rede, no qual o valor encontrado para
o expoente foi ζ 0, 75, e um segundo comportamento, para maior desordem presente
na rede para o qual ζ 0, 81. Hansen et al. conclu´ıram que o valor do expoente ζ
depende do grau de desordem presente no sistema.
13
Figura 2.6: Curvas de w × L para v´arias distribui¸c˜oes, do modelo proposto por Hansen et
al. [17].
2.4 Investiga¸c˜ao Experimental do Modelo de Fus´ı-
veis
Um trabalho experimental baseado nos trabalhos supracitados foi realizado por
Otomar et al. [13]. Esta se¸c˜ao ser´a dedicada a um detalhamento de seus experimentos
e resultados.
Em seu trabalho Otomar et al. utilizou uma placa de circuito impresso de
tamanho 1 m × 1 m. Esta placa foi dividida em p equenas regi˜oes quadradas de 1 cm
× 1 cm atrav´es das quais os fus´ıveis eram soldados. Duas barras condutoras foram
fixadas nas extremidades desta placa e atrav´es delas uma diferen¸ca de potencial era
aplicada, conforme esquema representativo da Fig. 2.7.
Foram utilizados dois tipos de fios condutores: cobre e palha de a¸co. As redes
utilizadas possu´ıam os seguintes tamanhos L = 7, 14, 20 e 28. Neste trabalho redes
formadas somente por fios de cobre de comprimentos e se¸c˜ao transversal iguais eram
consideradas totalmente ordenada. Duas maneiras de se alterar a desordem do sistema
14
Figura 2.7: Representa¸c˜ao esquem´atica da rede de fus´ıveis [13].
foram empregadas. Para sistemas compostos somente por fios de cobre, a desordem
era alterada pela substitui¸c˜ao de alguns fios por dois, trˆes ou quatro fios conectados
em paralelo e por fios de comprimento diferentes, inseridos na rede atrav´es de uma
escolha aleat´oria. Outra maneira era a substitui¸c˜ao aleat´oria de alguns fios de cobre
por fios de palha de a¸co. A porcentagem de fios substitu´ıdos na rede representava o
grau de desordem da mesma.
Os experimentos consistiam em aplicar uma diferen¸ca de potencial na rede e
alterar o valor aplicado em passos de 0,10 V, registrando-se a corrente total atrav´es
da rede.
A fim de determinar a influˆencia da desordem sobre o processo de fratura,
Otomar et al., verificou as fun¸c˜oes caracter´ısticas I × V medidas para desordem
variando de 0% a 100% para uma rede de tamanho L = 28 composta somente por fios
de cobre. A Fig. 2.8 mostra a curva I × V para v´arias desordens.
Baseado nos dados obtidos pela curva da corrente m´axima m´edia < I
max
>
15
Figura 2.8: Fun¸c˜ao caracter´ıstica I × V medida para v´arios graus de desordem em uma
rede composta somente por fios de cobre [13].
suportada pela rede em fun¸c˜ao da desordem D para certo tamanho de rede (Fig. 2.9)
Otomar et al. obteve dois regimes distintos: um para D < 60% e outro para D >
60%.
Figura 2.9: Corrente m´axima m´edia em fun¸c˜ao da desordem para a rede de tamanho L =
28 [13].
Para D < 60%, o regime possui caracter´ısticas de fratura fr´agil, pois, foi obser-
vado que a ruptura da rede ´e devido a uma ´unica trinca que a percorre rapidamente.
Algumas caracter´ısticas encontradas neste regime s˜ao a independˆencia do grau de de-
sordem para o processo de fratura e a < I
max
> manter-se aproximadamente constante
16
com o aumento da desordem. Para D > 60% o processo de fratura ´e similar ao regime
d´uctil, pois ocorre lentamente, onde pequenas trincas isoladas aparecem inicialmente,
diminuindo o valor da corrente total na rede. Este processo continua sucessivamente
at´e que ocorre a fus˜ao destas trincas e uma grande trinca surge rompendo a rede. Uma
caracter´ıstica deste regime ´e que o processo de fratura ´e controlado pela desordem.
A Fig. 2.10 mostra a tentativa de colapso da fun¸c˜ao I × V para diferentes
tamanhos de rede onde somente fios de cobre foram usados. Para o colapso das
curvas, Otomar et al. utilizou a rela¸c˜ao de escala (2.3) sugerida por Arcangelis e
Herrmann [8] e considerou somente dois graus de desordem, D = 0% e D = 100%.
Figura 2.10: Gr´afico da rela¸c˜ao de escala IL
−α
× V L
−β
para redes de fios de cobre. (a)
Para D = 100%. (b) Para D = 0% [13].
Para D = 0% n˜ao foi poss´ıvel o colapso de todas as curvas simultˆaneamente,
o que ocorreu foi um agrupamento das curvas duas a duas, com as redes de tamanho
L = 7 e L = 14 em um grupo e L = 20 e L = 28 em outro. Somente no regime
fortemente desordenado (D = 100%) os dados obedeceram `a rela¸c˜ao de escala (2.3).
O mesmo procedimento acima foi realizado para diferentes tamanhos de redes
que continham somente fios de palha de a¸co, Fig. 2.11.
17
Figura 2.11: Resultados obtidos para redes de fios de palha de a¸co. (a) Curva da fun¸c˜ao
I(V). (b) Rela¸c˜ao de escala IL
−
α
× V L
−
β
[13].
Os resultados obtidos indicaram que as curvas I(V) n˜ao dependiam do tipo
de material embora dependiam da desordem da rede, porque, obeteve-se o colapso
para D = 100% (somente fios de cobre) e para a rede formada somente por fios de
palha de a¸co, cuja desordem ´e D = 100%. Outro resultado sugerido por Otomar neste
trabalho, ´e uma dependˆencia do expoente α com o tipo de material utilizado. Para a
rede composta somente por fios de cobre os valores dos expoentes s˜ao α = 0,92 e β =
0,87, para a rede composta somente por fios de palha de a¸co α = 0,82 e β = 0,87. Vale
ressaltar que o mesmo comportamento foi encontrado por Arcangelis e Herrmann [8].
Neste trabalho tamb´em relacionou-se o n´umero m´edio de fus´ıveis queimados,
< n >, ao fim do processo de fratura em fun¸c˜ao do tamanho L da rede. Foram
consideradas duas desordens, como mostrado na Fig. 2.12.
Para D = 100% (somente fus´ıveis de palha de a¸co), o expoente encontrado para
a rela¸c˜ao de escala entre < n > e L foi 1,14 ± 0,03, indicando que a rela¸c˜ao n˜ao ´e
linear. Neste caso a ruptura da rede ocorreu devido `a fus˜ao de pequenas trincas, car-
acterizando um regime d´uctil. J´a para D = 0% o expoente encontrado para a rela¸c˜ao
18
Figura 2.12: N ´umero m´edio de fus´ıveis queimados em fun¸c˜ao do tamanho da rede [13].
entre < n > e L foi 1,02 ± 0,04, um valor aproximadamente linear e a ruptura da
rede ocorreu por uma ´unica trinca, caracterizando um regime fr´agil, como observado
tamb´em nas referˆencias [1, 8].
Em sua disserta¸c˜ao de mestrado Otomar [14], apresentou alguns resultados
para a rede de tamanho L = 28 formada inicialmente por fios de cobre, cuja desordem
foi introduzida soldando-se fios de palha de a¸co at´e formar uma rede totalmente de-
sordenada, composta somente por fios de palha de a¸co, tal como no presente trabalho.
Um destes resultados ´e a curva de < I
max
> suportada pela rede em fun¸c˜ao
da desordem D (Fig. 2.13). Observou-se nesta rede uma queda no valor de < I
max
>
partindo de D = 100% at´e D = 20%, e de D = 20% at´e D = 0% < I
max
> voltou
a aumentar. Concluiu-se que a queda de < I
max
> ocorreu porque ao se diminuir a
desordem a partir de D = 100% mais fios de cobre estavam presentes na rede, e como
os fios de cobre possuem uma resistividade menor que a dos os fios de palha de a¸co,
logo, para uma mesma diferen¸ca de potencial, a corrente necess´aria para rompˆe-los
era menor. O aumento de < I
max
> a partir de D = 20% ocorreu porque havia uma
19
Figura 2.13: Corrente m´axima m´edia em fun¸c˜ao da desordem para a rede de tamanho L =
28 [14].
maior presen¸ca de fios de cobre na rede, tornando-a predominantemente ordenada,
fazendo com que < I
max
> voltasse a aumentar.
Outro resultado apresentado foi < n > em fun¸c˜ao da desordem D (Fig. 2.14).
Figura 2.14: N´umero m´edio de fus´ıveis queimados em fun¸c˜ao da desordem para a rede de
tamanho L = 28 [14].
Neste resultado foi observado que < n > aumentou com o aumento da desordem. Isto
ocorreu porque `a medida que aumentava-se a desordem, a rede exibia caracter´ısticas
de fraturas duct´eis, i.e., a trinca principal tornava-se cada vez mais sinuosa.
20
Cap´ıtulo 3
Experimentos
3.1 Materiais e M´etodos
Para realizar os experimentos desta disserta¸c˜ao, criou-se um circuito utilizando
chapas quadradas de cobre com 1 cm de lado e 1 mm de espessura dispostas sobre
uma placa de madeira de forma a permitir que os os contatos el´etricos dos fus´ıveis
estivessem orientados a 45
o
em rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao de aplica¸c˜ao da diferen¸ca de potencial.
Estes contatos el´etricos foram feitos colocando-se pontos de solda nas extremidades
de cada chapa de cobre. Para uma melhor visualiza¸c˜ao dos fios pintou-se de branco a
regi˜ao entre as chapas de cobre. Detalhes da montagem deste circuito s˜ao mostrado
na Fig. 3.1.
Neste trabalho foram utilizados como fus´ıveis dois tipos de fios: fios de cobre
e fios de palha de a¸co. Os fios de cobre possuiam resistividade ρ = 1, 69 × 10
−8
Ωm
e diˆametro de 0,031 mm. Os fios de palha de a¸co possuiam resistividade ρ entre
14 × 10
−8
Ωm e 22 × 10
−8
Ωm e diˆametros variados. Os fios de cobre foram
todos cortados com o mesmo comprimento de 2 cm, enquanto os fios de palha de
21
(a)
(b)
(c)
Figura 3.1: Detalhes do circuito utilizado. (a) Representa¸c˜ao esquem´atica da rede. (b)
Foto parcial da montagem do cicuito. (c) Detalhe dos contatos el´etricos.
22
a¸co possuiam comprimentos variados.
No processo de soldagem dos fios de cobre, os quais possu´ıam uma camada de
esmalte que n˜ao permitia a realiza¸c˜ao dos contatos el´etricos, era necess´ario o uso de
uma pasta para soldar que retirava o esmalte e permitia a efetiva¸c˜ao dos contatos
el´etricos. Dessa forma colocava-se a pasta sobre um dos pontos de solda nas extre-
midades da chapa de cobre e com o soldador j´a aquecido fixava-se uma das pontas
do fio de cobre neste ponto de solda. A outra ponta do fio de cobre sofria o mesmo
processo s´o que era fixada na extremidade de outra chapa de cobre, criando um fus´ıvel.
Tomou-se o cuidado de que as pontas dos fios soldados nas chapas de cobre fossem
sempre do mesmo tamanho. Procedeu-se desta forma at´e que todos os fus´ıveis da
rede fossem soldados. Para os fios de palha de a¸co o processo de soldagem n˜ao exigia
a utiliza¸c˜ao da pasta para soldar, pois os mesmos n˜ao eram esmaltados.
Uma observa¸c˜ao no processo de soldagem ´e o uso de equipamentos de se-
guran¸ca, neste caso, foram utilizados um respirador
1
4
facial com filtro combinado
Qu´ımico Classe 1 e Mecˆanico Classe P2 e ´oculos. Este cuidado foi necess´ario devi-
do `as substˆancias contidas tanto na solda (chumbo e estanho) quanto na pasta para
soldar (cloreto de zinco e amˆonia), que s˜ao nocivas `a sa´ude.
Os tamanhos de redes utilizados neste trabalho foram L = 7, 14, 20 e 28, e
as desordens variavam de 0% a 100% de 10% em 10% para todos os tamanhos de
rede. Para as redes cuja desordem era D = 0% utilizava-se somente fios de cobre
como fus´ıveis. Para se variar a desordem introduzia-se na rede fios de palha de a¸co na
propor¸c˜ao em porcentagem do n´umero total de fus´ıveis da rede, por exemplo, para a
rede L = 20, o n´umero total de fus´ıveis ´e 1600, se a rede possui uma desordem D =
23
10%, o n´umero de fios de palha de a¸co nesta rede ´e 160. As posi¸c˜oes para a introdu¸c˜ao
da desordem eram escolhidas atrav´es de uma fun¸c˜ao aleat´oria que sorteava posi¸c˜oes
na vertical e na horizontal formando assim, um contato, no qual o fus´ıvel era soldado.
Esta fun¸c˜ao foi feita atrav´es de um algoritmo escrito no programa Mathematica 5.0.
Para as redes cuja desordem era D = 100%, somente fios de palha de a¸co eram
utilizados. A vantagem de utilizar fios de palha de a¸co para gerar a desordem ´e que
eles s˜ao heterogˆeneos viabilizando, com efeito, constru¸c˜oes de redes desordenadas.
Foram realizados trˆes tipos distintos de experimentos, um com a finalidade de
obter as curvas caracter´ısticas I × V para os diferentes tamanhos de redes e suas
desordens, outro para verificar a resistˆencia da rede em fun¸c˜ao do tempo quando uma
corrente fixa era aplicada e um terceiro para verificar o tempo que a rede levava para
romper-se por aquecimento em fun¸c˜ao da corrente aplicada.
Os experimentos de um modo geral procediam da seguinte maneira: definia-
se o tamanho e a desordem da rede e soldavam-se todos os fus´ıveis. Ap´os isso, a
rede era submetida a uma diferen¸ca de potencial V obtida atrav´es de uma fonte de
alimenta¸c˜ao modelo FA-2030 (Instrutherm). Para registrar os valores da tens˜ao e
da corrente foram usados dois mult´ımetros digitais modelo MD-320 (Instrutherm).
A resistˆencia dos cabos utilizados para conectar a fonte `a rede e aos mult´ımetros era
R = 0, 03 Ω. Foi utilizada tamb´em uma cˆamera Sanyo Color CCD ligada a um monitor
de v´ıdeo e a um v´ıdeo cassete Panasonic S-VHS AG-1970 Pro-Line. A cˆamera filmava
os mult´ımetros durante todo o experimento com o intuito de registrar os valores da
tens˜ao e da corrente porque no limiar de ruptura n˜ao era poss´ıvel anotar os valores
destas grandezas sem a utiliza¸c˜ao do recurso quadro a quadro do v´ıdeo cassete. A
24
Fig. 3.2 ilustra o aparato experimental utilizado.
Figura 3.2: Equipamentos utilizados nos experimentos.
Para as medidas das curvas I × V, os dados coletados foram obtidos variando-
se a tens˜ao em passos de 0,10 V, com um intervalo de relaxa¸c˜ao a cada passo de,
em m´edia, seis segundos. O intervalo de relaxa¸c˜ao era necess´ario para a estabiliza¸c˜ao
da corrente. Este processo prosseguia at´e a ruptura total da rede. Para assegurar a
reprodutibilidade dos dados foram realizadas cinco amostras para todos os tamanhos
de rede e desordens utilizadas. Vale ressaltar que para repetir os experimentos era
necess´ario refazer todas as liga¸c˜oes rompidas e para evitar uma mudan¸ca na desordem
da rede e manter um car´ater de igualdade entre as novas liga¸c˜oes e as antigas, antes
de se iniciar o experimento, circulava-se uma corrente na rede at´e quase o ponto de
in´ıcio de ruptura. Com este procedimento tentava-se assegurar `as novas liga¸c˜oes as
mesmas caracter´ısticas das liga¸c˜oes que se queimaram, como por exemplo, a oxida¸c˜ao.
As medidas da resistˆencia da rede em fun¸c˜ao do tempo tamb´em foram feitas
atrav´es de cinco amostras para cada tamanho de rede e desordem utilizada, isto para
25
assegurar a reprodutibilidade dos dados. Estes experimentos foram feitos fixando-se
um certo valor de tens˜ao na rede. Com o passar do tempo, `a medida que a rede era
aquecida, o n´umero de fus´ıveis queimados tornava-se cada vez maior e conseq¨uente-
mente a resistˆencia da rede tamb´em aumentava. Esse processo continuava at´e que,
finalmente, a rede estivesse totalmente rompida. Neste ponto a resistˆencia da rede
era infinita.
Com o intuito de se verificar o tempo que a rede levava para romper-se por
aquecimento em fun¸c˜ao da corrente aplicada na rede, foram realizados experimentos
onde aplicava-se um certo valor de corrente, pr´oximo ao valor de ruptura, medindo-
se o tempo gasto para a ruptura da rede. Para a realiza¸c˜ao desses experimentos
era necess´ario circular uma corrente pr´oxima do valor de ruptura antes do in´ıcio do
experimento para evitar flutua¸c˜oes na corrente de ruptura. A seguir a corrente era
abaixada para o valor escolhido para a realiza¸c˜ao do experimento.
Os resultados obtidos com estes experimentos ser˜ao apresentados e discutidos
na se¸c˜ao seguinte.
3.2 Resultados e Discuss˜ao
3.2.1 Curvas I × V
Os experimentos para obten¸c˜ao das curvas caracter´ısticas I × V, foram rea-
lizados seguindo uma ordem crescente de tamanho de rede e de desordem, ou seja,
iniciou-se com uma rede de tamanho L = 7, com desordem D = 0% e variou-se a
desordem at´e D = 100% de 10% em 10%. Seguiu-se este mesmo procedimento para
26
todos os outros tamanhos de rede (L = 14, 20, 28). Foram feitos cinco amostras
para cada tamanho de rede e desordem, um exemplo destas repeti¸c˜oes para a rede de
tamanho L = 28 e desordem D = 100% ´e mostrado na Fig. 3.3.
Figura 3.3: Curvas I × V para a rede com L = 28 e desorden de 100%.
Os gr´aficos I × V para as respectivas redes e suas desordens s˜ao mostrados nas
Figs. 3.4 a 3.7.
Com o objetivo de verificar as leis de escala para as curvas caracter´ısticas I
× V em rela¸c˜ao `a desordem das redes, tentou-se o colapso das mesmas. A fun¸c˜ao
utilizada para tentar o colapso foi:
I ∼ (1 + D)
−η
f (V (1 + D)
ν
) (3.1)
onde η e ν s˜ao dois parˆametros ajust´aveis.
27
Figura 3.4: Curvas I × V para a rede com L = 7 e desordens de 0% a 100%.
Figura 3.5: Curvas I × V para a rede com L = 14 e desordens de 0% a 100%.
28
Figura 3.6: Curvas I × V para a rede com L = 20 e desordens de 0% a 100%.
Figura 3.7: Curvas I × V para a rede com L = 28 e desordens de 0% a 100%.
29
O colapso simultˆaneo das curvas para todas as desordens para as redes de
tamanhos L = 7 e L = 28 n˜ao foi poss´ıvel, por´em, estas redes apresentaram o mesmo
comportamento, no qual as curvas se dividiram em trˆes grupos como mostrado nas
Figs. 3.8 e 3.9. Para a rede de tamanho L = 7, as curvas agrupadas foram, D = 0%
at´e D = 20%, D = 30% at´e D = 60% e D = 70% at´e D = 100%. Para a rede de
tamanho L = 28, as curvas agrupadas foram, D = 0% at´e D = 40%, D = 50% at´e D
= 70% e D = 80% at´e D = 100%.
Figura 3.8: Colapso das curvas I × V para a rede com L = 7 e desordens de 0% a 100%.
Para a rede de tamanho L = 7 as curvas de D = 0% at´e D = 20%, o perfil
das fraturas foi formado por uma ´unica trinca (Fig. 3.10(a)). Para D = 30% at´e D
= 60% ainda se tinha o perfil formado por uma ´unica trinca, no entanto este perfil
apresentou um formato mais sinuoso (Fig. 3.10(b)). Para D = 70% a D = 100%,
30
Figura 3.9: Colapso das curvas I × V para a rede com L = 28 e desordens de 0% a 100%.
o perfil das fraturas era formado por diversas trincas e com um formato bastante
sinuoso (Fig. 3.10(c)). Baseado nestes perfis pode-se conjecturar que para D < 60%
o comportamento observado foi caracter´ıstico de fraturas fr´ageis e para D > 60% o
comportamento observado foi de fraturas duct´eis.
Para a rede de tamanho L = 28, o comportamento de fratura fr´agil foi observado
nas desordens de D = 0% at´e D = 40%. Um comportamento onde se teve a forma¸c˜ao
de uma ´unica trinca mas com perfil sinuoso ´e visto de D = 50% at´e D = 70%, e o
comportamento caracter´ıstico de fraturas duct´eis ocorreu para as desordens de D =
80% a D = 100%. A Fig. 3.11 ilustra os perfis t´ıpicos de fratura para as desordens
de D = 0% a D = 100% para este tamanho de rede.
Para as redes de tamanhos L = 14 e L = 20, tamb´em n˜ao foi poss´ıvel colapsar
todas as curvas I × V simultˆaneamente, mas estas duas redes tamb´em apresentaram
31
L
L
(a)
L
L
(b)
L
L
(c)
Figura 3.10: Perfis t´ıpicos de fratura da rede de tamanho L = 7 para diferentes desordens.
(a) Desordens de D = 0% a D = 20%. (b) Desordens de D = 30% a D = 60%. (c) Desordens
de D = 70% a D = 100%.
32
L
L
L
L
L
L
(a)
(b)
(c)
Figura 3.11: Perfis t´ıpicos de fratura da rede de tamanho L = 28 para diferentes desordens.
(a) Desordens de D = 0% a D = 40%. (b) Desordens de D = 50% a D = 70%. (c) Desordens
de D = 80% a D = 100%.
33
um comportamento em comum, a divis˜ao das curvas em dois grupos, um para D <
50% e outro para D > 50%. Este comportamento ´e apresentado nas Figs. 3.12 e 3.13.
Para a rede com L = 14, de D = 0% at´e D = 40%, a ruptura da rede foi formada
Figura 3.12: Colapso das curvas I × V para a rede com L = 14 e desordens de 0% a 100%.
por uma ´unica trinca e o perfil da fratura ´e praticamente linear, caracter´ısticas de
uma fratura fr´agil. Para D ≥ 50%, o perfil da fratura tornou-se sinuoso, formado
por diversas trincas, comportamento caracter´ıstico de fraturas duct´eis. A Fig. 3.14
ilustra os perfis t´ıpicos de fratura para a rede de tamanho L = 14. Para a rede com
L = 20, o comportamento de fraturas fr´ageis foi visto da desordem D = 0% at´e D =
50%, e o comportamento de fraturas duct´eis foi visto para D = 60% at´e D = 100%.
Os perfis obtidos para as redes de tamanho L = 20 est˜ao ilustrados na Fig. 3.15.
A Fig. 3.16 mostra o comportamento da desordem em fun¸c˜ao dos diferentes
tamanhos de redes utilizados. Nesta figura pode-se observar a mudan¸ca de compor-
34
Figura 3.13: Colapso das curvas I × V para a rede com L = 20 e desordens de 0% a 100%.
tamento do processo de fratura passar de fraturas frag´eis `a duct´eis com o aumento da
desordem. Para as redes de tamanho L = 7 e L = 28, existe uma regi˜ao de desordem
onde o comportamento das fraturas n˜ao ´e bem definido, como foi citado anteriormente.
As tabelas 3.1 a 3.4, detalham os valores dos expoentes η e ν, encontrados no
colapso das curvas para as rede com L = 7, 14, 20 e 28, respectivamente.
Para as redes L = 14, 20 e 28 foi poss´ıvel obter o colapso das curvas utilizando
o mesmo expoente ν para todas as desordens, e para as redes L = 20 e L = 28 o
expoente ν possui o mesmo valor.
Estes expoentes foram encontrados variando-se seus valores e analisando o
colapso das curvas, no melhor colapso das curvas, era registrado o valor do expoente.
Para se obter o erro relacionado com os expoentes, variava-se o valor do expoente
35
L
L
(a)
L
L
(b)
Figura 3.14: Perfis t´ıpicos de fratura da rede de tamanho L = 14 para diferentes desordens.
(a) Desordens de D = 0% a D = 40%. (b) Desordens de D = 50% a D = 100%.
36
L
L
(a)
L
L
(b)
Figura 3.15: Perfis t´ıpicos de fratura da rede de tamanho L = 20 para diferentes desordens.
(a) Desordens de D = 0% a D = 50%. (b) Desordens de D = 60% a D = 100%.
37
7 14 21 28
0
20
40
60
80
100
Frágil
Dúctil
Indeterminado
Indeterminado
Desordem (%)
L
Figura 3.16: Gr´afico do comportamento da desordem em fun¸c˜ao dos diferentes tamanhos
de rede. A linha tracejada indica a regi˜ao de mudan¸ca de comportamento do processo de
fratura.
Desordem η ν
D=0 1,6±0,2 0,5±0,2
D=10 1,6±0,2 0,5±0,2
D=20 1,6±0,2 0,5±0,2
D=30 1,6±0,2 0,5±0,2
D=40 2,4±0,1 0,5±0,1
D=50 2,4±0,1 0,5±0,1
D=60 2,4±0,1 0,5±0,1
D=70 2,6±0,1 0,7±0,1
D=80 2,6±0,1 0,7±0,1
D=90 2,6±0,1 0,7±0,1
D=100 2,6±0,1 0,7±0,1
Tabela 3.1: Valores dos expoentes η e ν
para rede L = 7.
Desordem η ν
D=0 3,1±0,4 1,9±0,2
D=10 3,1±0,4 1,9±0,2
D=20 3,1±0,4 1,9±0,2
D=30 3,1±0,4 1,9±0,2
D=40 3,1±0,4 1,9±0,2
D=50 2,4±0,1 1,9±0,2
D=60 2,4±0,1 1,9±0,2
D=70 2,4±0,1 1,9±0,2
D=80 2,4±0,1 1,9±0,2
D=90 2,4±0,1 1,9±0,2
D=100 2,4±0,1 1,9±0,2
Tabela 3.2: Valores dos expoentes η e ν
para rede L = 14.
para valores maiores e menores que o valor do expoente encontrado no melhor colapso
das curvas. Os valores encontrados nesta varia¸c˜ao para os quais o colapso deixava de
existir eram registrados, da´ı, calculava-se o desvio padr˜ao da medida. A Fig. 3.17
38
Desordem η ν
D=0 1,6±0,4 0,7±0,4
D=10 1,6±0,4 0,7±0,4
D=20 1,6±0,4 0,7±0,4
D=30 1,6±0,4 0,7±0,4
D=40 1,6±0,4 0,7±0,4
D=50 2,0±0,1 0,7±0,2
D=60 2,0±0,1 0,7±0,2
D=70 2,0±0,1 0,7±0,2
D=80 2,0±0,1 0,7±0,2
D=90 2,0±0,1 0,7±0,2
D=100 2,0±0,1 0,7±0,2
Tabela 3.3: Valores dos expoentes η e ν
para rede L = 20.
Desordem η ν
D=0 2,0±0,5 0,7±0,4
D=10 2,0±0,5 0,7±0,4
D=20 2,0±0,5 0,7±0,4
D=30 2,0±0,5 0,7±0,4
D=40 2,0±0,5 0,7±0,4
D=50 1,5±0,1 0,7±0,1
D=60 1,5±0,1 0,7±0,1
D=70 1,5±0,1 0,7±0,1
D=80 2,1±0,1 0,7±0,1
D=90 2,1±0,1 0,7±0,1
D=100 2,1±0,1 0,7±0,1
Tabela 3.4: Valores dos expoentes η e ν
para rede L = 28.
mostra o comportamento dos expoentes η e ν em fun¸c˜ao da desordem para os diferente
tamanhos de rede. Na Fig. 3.17(a), pode-se observar uma varia¸c˜ao no comportamento
do expoente η, para todos os tamanhos de rede, quando a desordem atingiu D = 40%.
As linhas cont´ınuas s˜ao apenas guias para melhor visualiza¸c˜ao dos resultados e n˜ao
ajustes.
Mantendo-se uma certa desordem fixa, verificou-se tamb´em o comportamento
das curvas I × V em fun¸c˜ao do tamanho da rede. Algumas curvas obtidas s˜ao
mostradas na Fig.3.18. Observou-se nestes resultados que para um dado valor de
V o valor da corrente aumenta da rede com tamanho L = 7 at´e a rede com L = 20 e
diminui para a rede com L = 28. Esse comportamento ainda n˜ao ´e entendido.
Tentou-se o colapso destas curvas utilizando a rela¸c˜ao de escala (2.3). A Fig.
3.19 mostra algumas dessas tentativas.
No entanto, como pode se observar, n˜ao foi poss´ıvel obter o colapso das quatro
curvas simultˆaneamente. O melhor colapso obtido foi das curvas agrupadas duas a
duas, com as redes L = 7 e L = 28 em um grupo e L = 14 e L = 20 em outro.
39
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
2,7
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
n
Desordem (%)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
2,7
3,0
3,3
3,6
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
h
Desordem (%)
(a)
(b)
Figura 3.17: Gr´aficos dos expoentes η e ν em fun¸c˜ao da desordem para os diferentes
tamanhos de rede. (a) Gr´afico do exp oente η, as linhas cont´ınuas representam as guias dos
pontos. (b) Gr´afico do expoente ν.
Em seu trabalho Otomar et al. [13, 14] n˜ao tentou o colapso simultˆaneo das
redes formadas por fios de cobre e palha de a¸co. Os resultados dos colapsos para as
curvas I × V obtidos por ele, mostrados nas figuras 2.10 e 2.11, s˜ao referentes as redes
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
12
14
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
I (A)
V (V)
D = 0 %
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
12
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
I (A)
V (V)
D = 30 %
0 2 4 6 8 10 12 14
0
2
4
6
8
10
12
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
I (A)
V (V)
D = 60%
0 3 6 9 12 15 18 21 24
0
2
4
6
8
10
12
14
16
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
I (A)
V (V)
D = 100%
(a) (b)
(c) (d)
Figura 3.18: Curvas I × V em fun¸cao da desordem. (a) D = 0%. (b) D = 30%. (c) D =
60%. (d) D = 100%.
41
(a) (b)
(c) (d)
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
I/L
a
V/L
b
D = 0%
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
I/L
a
V/L
b
D = 30%
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
0,00
0,15
0,30
0,45
0,60
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
I/L
a
V/L
b
D = 60%
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
I/L
a
V/L
b
D = 100%
Figura 3.19: Colapso das curvas I × V em fun¸cao da desordem. (a) D = 0%. (b) D = 30%.
(c) D = 60%. (d) D = 100%.
42
formadas somente por fios de cobre, cuja desordem era D = 100% e D = 0%, e para
as redes formadas somente por fios de palha de a¸co. Nestes resultados ele obteve o
colapso simultˆaneo das curvas I × V para os quatro tamanhos de rede somente para
as redes formadas por fios de palha de a¸co e para a rede formada somente por fios de
cobre, cuja desordem era D = 100%. Para a rede formada somente p or fios de cobre
e desordem D = 0% n˜ao foi observado colapso. Este resultado tamb´em foi obtido por
Arcangelis e Herrmann [8].
Neste trabalho para as rede formadas somente por fios de cobre e desordem D
= 0% n˜ao foi observado o colapso simultˆaneo das curvas I × V, resultado semelhante
ao observado por Otomar et al. [13, 14]. Uma poss´ıvel explica¸c˜ao para a diferen¸ca
entre o resultado obtido neste trabalho para as redes formadas somente por fios de
palha de a¸co (D = 100%), para os resultados obtidos por Otomar et al. [13,14] em suas
redes tamb´em formadas somente por fios de palha de a¸co (D = 100%), ´e a orienta¸c˜ao
de 45
o
na dire¸c˜ao de aplica¸c˜ao da diferen¸ca de potencial introduzida neste trabalho.
Para outras desordens n˜ao foi poss´ıvel comparar os resultados obtidos neste trabaho
com os de Otomar et al. porque os resultados apresentados por Otomar et al. para
outras desordens eram de redes formadas somente por fios de cobre ou somente por
fios de palha de a¸co, e n˜ao uma mistura dos fios na mesma rede.
Investigou-se tamb´em neste trabalho o comportamento da corrente m´axima
m´edia < I
max
> suportada pela rede em fun¸c˜ao da desordem D. Os resultados s˜ao
mostrados na Fig. 3.20. As barras de erro foram obtidas considerando-se cinco
amostras e as linhas cont´ınuas s˜ao apenas guias para melhor visualiza¸c˜ao dos re-
sutados e n˜ao ajustes. Observou-se certa semelhan¸ca entre os comportamentos das
43
redes L = 7 e L = 28, e entre L = 14 e L = 20.
0 20 40 60 80 100
4
6
8
10
12
14
16
L = 7
L = 14
L = 20
L = 28
< I
max
> (A)
Desordem (%)
Figura 3.20: Gr´afico comparativo da corrente m´axima m´edia em fun¸c˜ao da desordem D
para os diversos tamanhos de rede. As linhas cont´ınuas representam as guias dos pontos.
Analisando a Fig. 3.20, observa-se que para as redes de tamanho L = 14 e
L = 20, partindo de D = 100%, < I
max
> decai at´e D = 20% e volta a aumentar
at´e D = 0%. Para a rede de tamanho L = 28, < I
max
> decai de D = 100%
at´e aproximandamente D = 60% e volta a aumentar at´e D = 0%. Para a rede de
tamanho L = 7, < I
max
> aparentemente diminui at´e aproximadamente D = 50% e
volta a aumentar at´e D = 0%. Devido ao seu pequeno tamanho ´e mais dif´ıcil observar
o comportamento real de < I
max
> em fun¸c˜ao da desordem para a rede de tamanho
L = 7 em compara¸c˜ao com as outras redes.
O comportamento de < I
max
> `a medida que a desordem ´e diminu´ıda a partir
de D = 100% n˜ao ´e bem entendido. Podemos ver da Fig. 3.7 que `a medida que fios de
44
cobre s˜ao introduzidos na rede, composta inicialmente apenas por fios de palha de a¸co,
a resistˆencia da rede diminui (este comportamento ´e o oposto do que foi observado por
Otomar et al. em seu trabalho de mestrado para as redes compostas de cobre e palha
de a¸co). Al´em disso, a resistˆencia dos fios de cobre usados ( 0, 2 Ω) ´e menor que a
resitˆencia m´edia dos fios de palha de a¸co ( 0, 8 Ω). Sendo a potˆencia dissipada dada
por P = RI
2
, seria necess´ario um aumento de corrente para que a potˆencia dissipada
pelos fios de cobre fosse igual `a dissipada pelos fios de palha de a¸co. Entretanto, o
ponto de fus˜ao do cobre (1084
o
C) ´e menor que o do a¸co ( 1500
o
C). Portanto,
seria necess´aria uma potˆencia menor (e, consequentemente uma corrente menor) para
queimar os fios de cobre. Isto p oderia explicar a diminui¸c˜ao inicial de < I
max
> com
a diminui¸c˜ao da desordem. No entanto, < I
max
> volta a aumentar para desordens
baixas, o que n˜ao era esperado.
O resultado obtido por Otomar et al., para < I
max
> em fun¸c˜ao da desordem
para a rede de tamanho L = 28 composta por fios de cobre e fios de palha de a¸co
(Fig. 2.13), mostrou uma queda no valor da < I
max
> para as desordens de D
= 100% at´e D = 20%, a partir de D = 20% at´e 0%, o valor da < I
max
> teve
um aumento. Comparando o resultado obtido por Otomar et al. com os resultados
apresentados neste trabalho para a rede de tamanho L = 28, observa-se uma diferen¸ca
no comportamento de < I
max
>. Essa diferen¸ca de comportamento pode ter ocorrido
por causa da introdu¸c˜ao da orienta¸c˜ao de 45
o
na aplica¸c˜ao da diferen¸ca de potencial.
Tamb´em foi investigado neste trabalho, o comportamento da corrente m´axima
m´edia < I
max
> suportada pela rede em fun¸c˜ao do tamanho L da rede para uma
desordem D fixa. Com os resutados obtidos tentou-se verificar, se < I
max
> depende
45
do tamanho da rede L de acordo com a express˜ao:
< I
max
> ∝ L
λ
. (3.2)
As curvas obtidas para estas tentativas s˜ao apresentadas na Fig. 3.21, onde as
linhas cont´ınuas indicam o melhor ajuste. Os valores obtidos para o expoente λ s˜ao
4
8
12
16
20
7 14 21 28
7 14 21 28
4
8
12
16
20
7 14 21 28
4
8
12
16
20
4
8
12
16
20
D = 10
D = 20
D = 40
D = 50
<I
max
>
D = 60
D = 70
L
D = 80
<I
max
>
L
D = 90
L
D = 100
<I
max
>
D = 30
<I
max
>
D = 0
Figura 3.21: Ajustes log-log para < I
max
> em fun¸c˜ao do tamanho L da rede para as
desordens de D = 0% a D = 100%. As linhas cont´ınuas indicam o melhor ajuste.
mostrados na tabela (3.5) e o comportamento do expoente λ ´e mostrado na Fig. 3.22.
46
Desordem λ
D=0 0,65±0,04
D=10 0,86±0,06
D=20 0,70±0,04
D=30 0,54±0,05
D=40 0,53±0,06
D=50 0,85±0,07
D=60 0,41±0,08
D=70 0,68±0,07
D=80 0,49±0,07
D=90 0,55±0,03
D=100 0,63±0,09
Tabela 3.5: Valores do expoente λ para as diversas desordens.
N˜ao foi poss´ıvel obter um bom ajuste para todas as desordens utilizando a ex-
press˜ao (3.2). Para verificar este resultado foi feito um gr´afico do parˆametro de ajuste
da regress˜ao linear em fun¸c˜ao da desordem da rede (Fig. 3.22(b)). Este parˆametro
´e considerado ´otimo quanto mais pr´oximo de um for seu valor. Observa-se atrav´es
da Fig. 3.22(b) que at´e a desordem D = 40% o parˆametro de ajuste possui valores
pr´oximos a um, indicando que para as desordens de D = 0% at´e D = 40%, as redes
obedecem a lei de escala (3.2). A partir de D = 50% as redes deixam de obedecer a
lei de escala (3.2).
Foram ainda feitos gr´aficos do n´umero m´edio de fus´ıveis queimados < n > em
fun¸c˜ao da desordem D, para cada tamanho de rede. Estes resultados s˜ao mostrados
na Fig. 3.23. As barras de erro foram obtidas consideradando-se cinco amostras.
Para as redes de tamanhos L = 14, 20 e 28, houve um aumento do n´umero
m´edio de fus´ıveis queimados durante o processo de ruptura, somente para a rede de
tamanho L = 7 n˜ao foi observado este aumento. Um aumento no n´umero de fus´ıveis
queimados era esperado, porque o aumento da desordem faz com que o material exiba
47
0 20 40 60 80 100
0,30
0,45
0,60
0,75
0,90
l
Desordem (%)
0 20 40 60 80 100
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
P
Desordem (%)
(b)
(a)
Figura 3.22: Comportamento do expoente λ em fun¸c˜ao da desordem. (a) Gr´afico do
expoente λ em fun¸c˜ao da desordem. (b) Gr´afico do parˆametro de ajuste em fun¸c˜ao da
desordem.
caracter´ısticas de fraturas d´ucteis.
O resultado obtido por Otomar et al. para < n > em fun¸c˜ao da desordem
para uma rede de tamanho L = 28 (Fig. 2.14) composta por fios de cobre e palha
de a¸co, mostrou um aumento de < n > com o aumento da desordem. Os valores
48
Figura 3.23: Gr´afico comparativo do n´umero m´edio de fus´ıveis queimados em fun¸c˜ao da
desordem D para os diversos tamanhos de rede.
obtidos variaram de < n > ∼ 32 para D = 0% at´e < n > ∼ 44 para D = 100%.
Neste trabalho como pode-se observar, os valores de < n > para a rede de tamanho
L = 28, variam de < n > ∼ 58 para D = 0% at´e < n > ∼ 70 para D = 100%.
Este resultado indica que a orienta¸c˜ao de 45
o
introduzida na aplica¸c˜ao da diferen¸ca
de potencial gerou mudan¸cas no comportamento de < n >, fazendo com que mais
fus´ıveis fossem queimados durante o processo de ruptura da rede. Isto p ode ser visto
comparando-se os perf´ıs de fratura produzidos neste trabalho (Figs. 3.10, 3.11, 3.14
e 3.15) com os obtidos por Otomar. No presente trabalho os perf´ıs s˜ao bem mais
sinuosos e apresentam muito mais fus´ıveis queimados fora da trinca principal.
Curvas do n´umero m´edio de fus´ıveis queimados < n > em fun¸c˜ao do tamanho
49
da rede L para uma desordem fixa, tamb´em foram feitas. Com o intuito de verificar
a rela¸c˜ao entre < n > e o tamanho da rede L, utilizou-se a lei de potˆencia:
< n > ∝ L
φ
, (3.3)
Os resultados s˜ao apresentados na Fig. 3.24. As barras de erro foram obtidas
considerando-se cinco amostras.
10
25
40
55
70
10
25
40
55
70
10
25
40
55
70
7 14 21 28
7 14 21 28
10
25
40
55
70
7 14 21 28
<n>
D = 0
D = 10
D = 20
<n>
D = 30
D = 40
D = 50
<n>
D = 60
D = 70
L
D = 80
<n>
L
D = 90
L
D = 100
Figura 3.24: Ajustes log-log para < n > em fun¸c˜ao do tamanho L da rede para as desordens
de D = 0% a D = 100%. As linhas cont´ınuas indicam o melhor ajuste.
A tabela 3.6 detalha os valores do expoente φ encontrados para cada desordem
50
Desordem φ
D=0 0,99±0,06
D=10 1,00±0,07
D=20 0,90±0,05
D=30 0,94±0,08
D=40 1,08±0,09
D=50 1,1±0,1
D=60 1,05±0,08
D=70 1,05±0,08
D=80 1,15±0,04
D=90 1,08±0,08
D=100 1,13±0,05
Tabela 3.6: Valores do expoente φ para as diversas desordens.
e a Fig. 3.25 mostra o comportamento de φ em fun¸c˜ao de D.
Podemos observar que o valor de φ aumenta com a desordem, indicando que o
comportamento da rede passa de fr´agil (φ = 1) a ductil (φ > 1).
Figura 3.25: Gr´afico do expoente φ em fun¸c˜ao da desordem.
51
3.2.2 Curvas da resistˆencia em fun¸c˜ao do tempo
Os experimentos para obten¸c˜ao das curvas da resistˆencia R em fun¸c˜ao do tempo
t, foram realizados seguindo a ordem crescente de tamanho de rede e de desordem, ou
seja, iniciou-se com uma rede de tamanho L = 14, com desordem D = 0% e variou-se
esta rede at´e uma desordem D = 100% de 10% em 10%. Para cada desordem foram
testadas pelo menos cinco valores diferentes de corrente, com uma varia¸c˜ao de at´e
aproximadamente 15% do valor da corrente cr´ıtica. A Fig. 3.26 mostra esse teste para
a rede de tamanho L = 14 e desordem D = 70%. Seguiu-se este procedimento tamb´em
para as redes com L = 20 e L = 28. N˜ao foi poss´ıvel realizar estes experimentos para
a rede com L = 7 devido `a grande flutua¸c˜ao dos valores da corrente.
Figura 3.26: Comparativo das curvas da resistˆencia em fun¸c˜ao do tempo para a rede de
tamanho L = 14 e desordem D = 70%.
Para garantir um regime de igualdade entre os resultados mostrados nas Figs.
3.27 a 3.29, foram escolhidas as curvas que possuiam os maiores valores de correntes
52
entre os diferentes valores de correntes testados para cada tamanho de rede e desor-
dem.
Figura 3.27: Curvas da resistˆencia em fun¸c˜ao do tempo para diversas desordens para a rede
com L = 14.
Agrupando-se as curvas selecionadas em fun¸c˜ao da desordem da rede, verificou-
se nestes resultados, que as redes obedeceram a lei de potˆencia dada pela express˜ao
(2.4), a mesma utilizada por Lamaign`ere [12]. A Fig. 3.30 mostra algumas destas
curvas de resistˆencia em fun¸c˜ao do tempo para algumas desordens. As linhas cont´ınuas
representam o melhor ajuste.
Observa-se nestas curvas que o tempo de ruptura aumenta da rede com L
= 28 at´e a rede com L = 14. Os valores dos expoentes encontrados nos ajustes
s˜ao mostrados na tabela 3.7. Os expoentes apresentam uma grande dependˆencia em
rela¸c˜ao ao tamanho e desordem da rede, impedindo dessa forma uma compara¸c˜ao entre
os valores obtidos para cada tamanho de rede e sua respectiva desordem. Entretanto,
53
Figura 3.28: Curvas da resistˆencia em fun¸c˜ao do tempo para diversas desordens para a rede
com L = 20.
Figura 3.29: Curvas da resistˆencia em fun¸c˜ao do tempo para diversas desordens para a rede
com L = 28.
54
(a) (b)
(c) (d)
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750
0,0
1,5
3,0
4,5
6,0
7,5
9,0
10,5
12,0
L = 14
L = 20
L = 28
R (W )
t (s)
D = 0%
0 600 1200 1800 2400 3000 3600
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
L = 14
L = 20
L = 28
R (W )
t (s)
D = 30%
0 700 1400 2100 2800 3500 4200 4900 5600
0,0
1,5
3,0
4,5
6,0
7,5
9,0
10,5
12,0
13,5
15,0
16,5
18,0
19,5
L = 14
L = 20
L = 28
R (W )
t (s)
D = 60%
0 800 1600 2400 3200 4000 4800
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
4,8
5,6
6,4
7,2
8,0
L = 14
L = 20
L = 28
R (W )
t (s)
D = 100%
Figura 3.30: Curvas R × t para diferentes tamanhos de redes agrupadas em fun¸cao da
desordem. As linhas cont´ınuas representam o melhor ajuste. (a) D = 0%. (b) D = 30%.
(c) D = 60%. (d) D = 100%.
55
podemos ver que os valores obtidos s˜ao significantemente menores que o valor α 0, 65
encontrado por Lamaign`ere [12].
Desordem L = 14 L = 20 L = 28
D=0 0,13±0,01 0,13±0,01 0,5±0,1
D=10 0,18±0,01 0,04±0,01 0,01±0,01
D=20 0,01±0,01 0,09±0,01 0,02±0,01
D=30 0,09±0,01 0,8±0,1 0,5±0,4
D=40 0,22±0,02 0,06±0,02 0,6±0,2
D=50 0,36±0,02 0,36±0,03 0,25±0,05
D=60 0,11±0,01 0,38±0,06 0,7±0,1
D=70 0,14±0,01 0,08±0,01 0,13±0,04
D=80 0,13±0,02 0,40±0,05 0,50±0,07
D=90 0,14±0,01 0,19±0,01 0,15±0,01
D=100 0,04±0,01 0,37±0,02 0,29±0,02
Tabela 3.7: Valores do expoente α para as redes de tamanhos L = 14, 20 e 28.
3.2.3 Curvas do tempo de ruptura em fun¸c˜ao da corrente
Foram realizados experimentos para as redes de tamanhos L = 14, 20 e 28, onde
se mediu o tempo de ruptura em fun¸c˜ao da corrente aplicada. Nestes experimentos
aplicava-se um certo valor de corrente, pr´oximo ao valor de ruptura, e media-se o
tempo gasto para a ruptura da rede, que rompia em conseq¨uˆencia do efeito Joule.
Os resultados obtidos s˜ao mostrados nas Figs. 3.31 a 3.33. As linhas cont´ınuas s˜ao
apenas guias para melhor visualiza¸c˜ao dos resultados e n˜ao ajustes.
Tentou-se verificar se os resultados obtidos estavam de acordo com o resultado
obtido por Lamaign`ere [12], onde para valores de corrente pr´oximo ao da corrente
cr´ıtica tinha-se um ajuste logar´ıtmico, dado pela express˜ao (2.5) (t
r
= −
1
a
log(1 −
kI
−b
)), e para valores maiores que a corrente cr´ıtica tinha-se um ajuste de lei de
56
Figura 3.31: Curvas t × I para as diferentes desordens para a rede de tamanho L = 14. As
linhas cont´ınuas representam as guias dos pontos.
Figura 3.32: Curvas t × I para as diferentes desordens para a rede de tamanho L = 20. As
linhas cont´ınuas representam as guias dos pontos.
57
Figura 3.33: Curvas t × I para as diferentes desordens para a rede de tamanho L = 28. As
linhas cont´ınuas representam as guias dos pontos.
potˆencia, dado pela express˜ao:
t
r
= a|k − I|
−b
, (3.4)
As Figs. 3.34 a 3.36, mostram os ajustes feitos para algumas desordens para
os tamanhos de rede L = 14, 20 e 28. Nos gr´aficos a curva vermelha indica o melhor
ajuste para a fun¸c˜ao logar´ıtmica (2.5) e a curva azul, indica o melhor ajuste para a
lei de potˆencia (3.4). Os resultados apresentaram comportamento semelhante ao
sugerido por Lamaign`ere [12], e o valor encontrado para o exp oente b foi 2,000 ±
0,001, que era o valor esperado, pois descreve o efeito Joule. As tabelas 3.8 a 3.10
mostram os valores dos parˆametros de ajustes utilizados nas express˜oes.
58
(a)
(b)
(c)
9,4 9,6 9,8 10,0 10,2 10,4 10,6
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Função logarítmica
Lei de potência
t (s)
I (A)
L = 14
D = 0%
8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Função logarítmica
Lei de potência
t (s)
I (A)
L = 14
D = 50%
11,2 12,0 12,8 13,6 14,4 15,2 16,0
0
800
1600
2400
3200
4000
4800
5600
Função logarítmica
Lei de potência
t (s)
I (A)
L = 14
D = 100%
Figura 3.34: Ajustes para a rede de tamanho L = 14. (a) D = 0%. (b) D = 50%. (c) D =
100%.
59
(a)
(b)
(c)
10,8 11,4 12,0 12,6 13,2 13,8 14,4
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Função logarítmica
Lei de potência
t (s)
I (A)
L = 20
D = 0%
12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0
0
150
300
450
600
750
900
Função logarítmica
Lei de potência
t (s)
I (A)
L = 20
D = 50%
15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5
0
150
300
450
600
750
900
1050
1200
Função logarítmica
Lei de potência
t (s)
I (A)
L = 20
D = 100%
Figura 3.35: Ajustes para a rede de tamanho L = 20. (a) D = 0%. (b) D = 50%. (c) D =
100%.
60
(a)
(b)
(c)
12,0 12,8 13,6 14,4 15,2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Função logarítmica
Lei de potência
t (s)
I (A)
L = 28
D = 0%
10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5
0
100
200
300
400
500
600
700
Função logarítmica
Lei de potência
t (s)
I (A)
L = 28
D = 50%
12,0 12,4 12,8 13,2 13,6 14,0 14,4
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Função logarítmica
Lei de potência
t (s)
I (A)
L = 28
D = 100%
Figura 3.36: Ajustes para a rede de tamanho L = 28. (a) D = 0%. (b) D = 50%. (c) D =
100%.
61
L = 14 Fun¸c˜ao logar´ıtimica Lei de potˆencia
Desordem a k a k
0 0,003 91,2 91,3 9,3
10 0,003 51,4 32,1 7,1
20 0,003 59,4 73,2 7,5
30 0,004 60,9 58,9 7,7
40 0,002 64,1 133,5 7,8
50 0,001 69,0 332,3 8,6
60 0,001 64,5 247,2 8,2
70 0,003 69,6 38,9 8,2
80 0,001 86,2 167,6 8,0
90 0,004 100,0 51,5 9,8
100 0,004 131,1 551,0 11,8
Tabela 3.8: Valores dos parˆametros a e k encontrados para os ajustes da rede de tamanho L = 14.
L = 20 Fun¸c˜ao logar´ıtimica Lei de potˆencia
Desordem a k a k
0 0,003 125,5 90,7 10,9
10 0,007 156,3 37,7 12,3
20 0,01 125,4 25,1 11,0
30 0,008 123,9 31,0 10,9
40 0,006 125,9 46,1 11,0
50 0,005 154,0 76,3 12,1
60 0,005 151,7 79,1 12,0
70 0,006 156,3 50,6 12,3
80 0,004 161,7 108,9 12,4
90 0,003 169,2 83,0 12,8
100 0,004 240,5 133,0 15,2
Tabela 3.9: Valores dos parˆametros a e k encontrados para os ajustes da rede de tamanho L = 20.
62
L = 28 Fun¸c˜ao logar´ıtimica Lei de potˆencia
Desordem a k a k
0 0,004 145,2 133,2 10,6
10 0,003 164,2 581,2 12,1
20 0,006 139,4 302,9 11,1
30 0,005 146,9 302,0 11,6
40 0,004 130,2 51,6 11,2
50 0,005 116,9 98,4 9,5
60 0,007 81,3 110,0 9,0
70 0,006 116,8 65,0 10,5
80 0,004 82,8 248,5 8,6
90 0,004 127,7 109,8 11,0
100 0,003 149,3 90,0 11,4
Tabela 3.10: Valores dos parˆametros a e k encontrados para os ajustes da rede de tamanho L =
28.
3.2.4 Curvas da largura do perfil em fun¸c˜ao do tamanho da
rede
Baseado nos resultados de Hansen et al. [17], tentou-se verificar neste trabalho
se a largura do perfil da fratura w em fun¸c˜ao do tamanho L obedeciam a rela¸c˜ao
(2.6). Para essa an´alise foram tra¸cadas as curvas de w em fun¸c˜ao de L para as redes
de tamanhos L = 7, 14, 20 e 28 e para as desordens de D = 0% at´e D = 100% de 10%
em 10%, como mostra a Fig. 3.37. As linhas cont´ınuas representam o melhor ajuste.
Os valores dos expoentes ζ encontrados nos ajustes s˜ao apresentados na tabela
(3.11) e o comportamento destes expoentes ´e mostrado na Fig. 3.38.
63
3
10
3
10
3
10
7 14 21 28
7 14 21 28
3
10
7 14 21 28
w
D = 0
D = 10
D = 20
w
D = 30
D = 50
w
D = 60
D = 70
L
D = 80
w
L
D = 90
L
D = 100
D = 40
Figura 3.37: Curvas de w × L para as desordens de D = 0% a D = 100%, para redes de
tamanhos L = 7, 14, 20 e 28. A linha cont´ınua representa o melhor ajuste.
Desordem ζ
D=0 1,1±0,1
D=10 1,1±0,1
D=20 1,0±0,1
D=30 1,1±0,2
D=40 1,1±0,1
D=50 1,0±0,2
D=60 1,0±0,1
D=70 1,0±0,1
D=80 1,0±0,1
D=90 0,93±0,06
D=100 1,0±0,1
Tabela 3.11: Valores do expoente ζ para as diversas desordens.
64
Figura 3.38: Exp oente ζ em fun¸c˜ao da desordem.
O valor encontrado para o expoente no trabalho de Hansen et al. foi ζ = 0,7 o
qual difere bastante dos valores observados neste trabalho, que em m´edia foi ζ = 1,0
± 0,1. Uma poss´ıvel explica¸c˜ao para as diferen¸cas nos resultados s˜ao os tamanhos de
rede utilizados neste trabalho e a forma como a desordem foi introduzida.
65
Cap´ıtulo 4
Conclus˜oes e Perspectivas
4.1 Conclus˜oes
Na tentiva de colapso das curvas I × V para v´arias desordens D para um dado
tamanho de rede L, utilizando a equa¸c˜ao (3.1), n˜ao foi poss´ıvel um colapso simultˆaneo
de todas as curvas para um tamanho de rede.
Na tentativa de colapso das curvas I × V mantendo-se a desordem fixa e
variando-se o tamanho da rede, tamb´em n˜ao foi observado um colapso simultˆaneo
para os quatro tamanhos de redes utilizados. Este resultado ´e diferente do resultado
observado por Otomar et al. [13] e do resultado observado por Arcangelis e Herrmann
[8], que para as redes cuja desordem era D = 100%, observou-se o colapso simultˆaneo
para os tamanhos de redes utilizados. Uma poss´ıvel explica¸c˜ao para a diferen¸ca nos
resultados observados ´e a inclina¸c˜ao de 45
o
dos fus´ıveis em rela¸c˜ao a aplica¸c˜ao da
diferen¸ca de potencial.
Para < I
max
> em fun¸c˜ao da desordem, observou-se dois comportamentos que
dependiam do grau de desordem na rede. Para os resultados de < I
max
> em fun¸c˜ao
66
do tamanho da rede, pˆode-se concluir que at´e a desodem D = 40%, os quatro tamanhos
de rede utilizados obedecem a rela¸c˜ao (3.2). Acima de D = 40% e com o aumento da
desordem as redes deixam de obedecer a esta rela¸c˜ao.
Para o n´umero m´edio de fus´ıveis queimados em fun¸c˜ao da desordem da rede,
observou-se um aumento de < n > com o aumento da desordem para as redes com
L = 14, 20 e 28. Somente para a rede com L = 7 n˜ao o correu este o aumento.
Comparando o n´umero m´edio de fus´ıveis queimados neste trabalho para a rede de
tamanho L = 28 composta por fus´ıveis de cobre e palha de a¸co para a rede semelhante
descrita p or Otomar em sua disserta¸c˜ao de mestrado ( [14]), no presente trabalho
houve um aumento significativo do n´umero de fus´ıveis queimados. Este aumento de
¡n¿ comparado ao resultado obtido por Otomar, ´e explicado pela inlina¸c˜ao de 45
o
introduzida nas redes.
Para < n > em fun¸c˜ao do tamanho L da rede, concluiu-se que o valor de φ
aumenta com a desordem, indicando uma tendˆencia de mudan¸ca de comportamento
do processo de ruptura da rede de fr´agil (φ = 1) a ductil (φ > 1).
Os ajustes dos resultados dos experimentos das curvas da resistˆencia em fun¸c˜ao
do tempo est˜ao de acordo com a lei de potˆencia (2.4). Entretanto, os valores do
expoente α s˜ao significantemente diferentes do valor encontrado por Lamaign`ere.
Nos resultados obtidos para o tempo de ruptura em fun¸c˜ao da corrente aplicada,
observou-se que para valores pr´oximos ao valor da corrente cr´ıtica o ajuste das curvas
segue uma fun¸c˜ao logar´ıtmica e para valores maiores que a corrente cr´ıtica os ajustes
seguem uma lei de potˆencia, como observado por Lamaign`ere. O valor do expoente b
= 2,000 ± 0,001 descreve o efeito Joule, respons´avel pela ruptura da rede.
67
Para os resultados da largura do perfil da fratura em fun¸c˜ao do tamanho da
rede, os valores obtidos para o expoente ζ ∼ 1,0 ± 0,1 foram bastantes diferentes dos
valores sugeridos por Hansen et al. [17].
4.2 Perspectivas
Pretende-se analisar os dados restantes obtidos pelos experimentos realizados
neste trabalho, por exemplo, utilizar novas fun¸c˜oes para tentar o colapso simultˆaneo
das desordens para um tamanho fixo de rede e verificar o comportamento das outras
amostras das curvas R × t.
Pretende-se medir a corrente em fun¸c˜ao da desordem para tamanhos de redes
maiores que L = 28 e introduzir liga¸c˜oes mais complexas nas redes, por exemplo,
liga¸c˜oes triangulares, liga¸c˜oes de extremidades distantes, etc.
Criar uma placa de aquisi¸c˜ao autom´atica de dados para agilizar a efetiva¸c˜ao
dos experimentos.
68
Referˆencias Bibliogr´aficas
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( North-Holland, Amsterdam 1992).
[2] A. T. Bernardes, J. G. Moreira, Phys. Rev. B 49, 15035 (1994).
[3] I. L. Menezes-Sobrinho, J. G. Moreira, Eur. Phys. J. B 13, 313 (2000).
[4] I. L. Menezes-Sobrinho, A. T. Bernardes, J. G. Moreira, Phys. Rev. E 63,
025104(R) (2001).
[5] I. L. Menezes-Sobrinho, Phys. A 328, 493 (2003).
[6] L. de Arcangelis, S. Redner, H. J. Herrmann, Journal Physique Letters 46, (Paris),
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[7] B. Kahng, G. G. Batrouni, S. Redner, L. de Arcangelis, H. J. Herrmann, Phys.
Rev. B. 37, 7625, (1988).
[8] L. de Arcangelis, H. J. Herrmann, Phys. Rev. B. 39, 2678, (1989).
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[10] C. Vanneste, D. Sornette, J. Phys. I. 2, 1621, (1992).
69
[11] D. Sornette, C. Vanneste, Phys. Rev. Lett. 68, 612, (1992).
[12] L. Lamaign`ere, F. Carmona, D. Sornette, Phys. Rev. Lett. 77, 2738, (1996).
[13] D. R. Otomar, I. L. Menezes-Sobrinho, M. S. Couto, Phys. Rev. Lett. 96, 095501,
(2006).
[14] D. R. Otomar, Investiga¸c˜ao Experimental do Modelo de Fus´ıveis. 2005.
48p. Disserta¸c˜ao (Mestrado em F´ısica Aplicada) - Departamento de F´ısica, Uni-
versidade Federal de Vi¸cosa, Vi¸cosa, 2005.
[15] A. Delaplace, G. Pijaudier-Cabot, S. Roux, J. Mech. Phys. Solids. 44, 99, (1996).
[16] P.K.V.V. Nukala, S. Simunovic, J. Phys. A. 36, 11403, (2003).
[17] A. Hansen, E. L. Hinrichsen, S. Roux, Phys. Rev. Lett. 66, 2476, (1991).
[18] AE. T. Seppala, V. I. Raisanen, M. J. Alava, Phys. Rev. E. 61, 6312, (2000).
[19] S. Zapperi, P. Ray, H. E. Stanley, A. Vespignani, Phys. Rev. E. 59, 5049, (1999).
[20] V. I. Raisanen, E. T. Seppala, M. J. Alava, P. M. Duxbury, Phys. Rev. Lett. 80,
329, (1998).
[21] G. G. Batrouni, A. Hansen, Phys. Rev. Lett. 80, 325, (1998).
70
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