( PDF ) Existência e multiplicidade de soluções positivas para uma equação semilinear com crescimento crítico

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Universidade de Bras´ılia

Instituto de Ciˆencias Exatas

Departamento de Matem´atica

Existˆencia e Multiplicidade de Solu¸c˜oes

Positivas para uma Equa¸c˜ao Semilinear com

Crescimento Cr´ıtico

por

Jo˜ao Pablo Pinheiro da Silva

Bras´ılia

2007

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Universidade de Bras´ılia

Instituto de Ciˆencias Exatas

Departamento de Matem´atica

Existˆencia e Multiplicidade de Solu¸c˜oes

Positivas para uma Equa¸c˜ao Semilinear com

crescimento Cr´ıtico

Por

Jo˜ao Pablo Pinheiro da Silva

Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de Matem´atica da Universidade de Bras´ılia, como

parte dos requisitos para obten¸c˜ao do grau de

MESTRE EM MATEM

ATICA

Bras´ılia, 28 de fevereiro de 2007

Comiss˜ao Examinadora:

Prof. Dr. Marcelo Fernandes Furtado - MAT/UnB (Orienta-

dor)

Prof. Dr. Francisco J´ulio Sobreira de Ara´ujo Corrˆea - UFPA

(Membro)

Prof. Dr. Jo˜ao Carlos Nascimento de P´adua - MAT/UnB

(Membro)

Este trabalho contou c om apoio ﬁnanceiro da CAPES.

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Dedicado a Rosa Maria

Todos estes que a´ı est˜ao atravancando o meu caminho eles passar˜ao... eu passarinho

M´ario Quintana

Quando eu era menino, falava como menino, sentia como menino, pensava como menino,

mas, logo que cheguei a ser homem, acabei com as coisas de menino. Porque agora vemos

por espelho em enigma, mas ent˜ao veremos face a face; agora conhe¸co em parte, mas ent˜ao

conhecerei como tamb´em sou conhecido. Paulo de Tarso, I Cor. 13:11-12

Agradecimentos

A Deus, acima de tudo.

A Rosa Maria, minha m˜ae, hero´ına, minha amiga, minha professora da vida, pelo seu

amor, carinho, pelo seu exemplo de vida e pelos 24 anos de lutas e sacrif´ıcios que teve, para

nunca deixar faltar nada em termos afetivos, espirituais e materiais a mim e a meus irm˜aos.

A meus irm˜aos J´ulios Paulo, Jo˜ao Pedro e Lucas pelo amor que sempre tiveram para

comigo.

Aos meus tios Nildon e Gal pela participa¸c˜ao em minha cria¸c˜ao durante o tempo em que

estudei na minha querida Bel´em do Par´a.

A minha madrinha Rosinha e seu esposo Jos´e Alves, por terem me recebido em seu lar,

e pelo carinho que tem para comigo.

Ao professor Marcelo, pela conﬁa¸ca e pela excelente orienta¸c˜ao que me proporcionou.

Ao professor professor J´ulio pelos muitos ensinamentos durante os trˆes anos em que foi

meu orientador na inicia¸c˜ao cient´ıﬁca

A Fl´avia pelo amor e companheirismo nestes quatro ´ultimos anos.

A minha tamb´em madrinha irm˜a Gra¸ca, pelos conselhos e apoio.

Ao professor Ronaldo Lopes, pela longa amizade, pelo apoio ainda no meu ensino m´edio

e por ter sido uma das primeiras pessoas a me falar da beleza da ciˆencia.

Aos meus amigos Luverci, Marcus Marrocos e sua m˜ae Gl´oria pelo ap oio nos momentos

dif´ıceis que passei no in´ıcio de 2006.

Ao Manoel Jeremias, pela amizade e boa convivˆencia no ano de 2005.

A to dos os meus companheiros da UnB dentre os quais cito: Serginho, Ricardo, Anielle,

Euro, Sandrinha, Luis, etc.

Finalmente agrade¸co ao p ovo Brasileiro que atrav´es da CAPES/CNPq ﬁnaciaram meus

estudos.

Resumo

Neste trabalho estudaremos existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes para equa¸c˜ao semi-

linear

)











−∆u = λu + |u|

∗

−2

u em Ω,

u > 0 em Ω,

u = 0 em ∂Ω,

onde Ω ⊂ R

´e um dom´ınio limitado, N ≥ 4 e 2

∗

= 2N/(N − 2) ´e o expoente cr´ıtico de

Sobolev. Para apropriados valores de λ > 0, n´os aplicaremos M´etodos Variacionais para

provar a existˆencia de solu¸c˜oes e a Teoria de Ljusternik-Schnirelmann para relacionar o

n´umero de solu¸c˜oes com a topologia de Ω.

Abstract

In this work we study the existence and multiplicity of positive solutions for the semi-

linear equation

)











−∆u = λu + |u|

∗

−2

u in Ω,

u > 0 in Ω,

u = 0 in ∂Ω,

where Ω ⊂ R

is a bounded domain, N ≥ 4 and 2

∗

= 2N/(N − 2) is the critical Sobolev

exponent. For suitable values of λ > 0, we apply Variational Methods to prove existence

of solution and Ljusternik-Schnirelmann Theory to relate the number of s olutions with the

topology of Ω.

Sum´ario

1 Teoremas Abstratos 6

1.1 O Teorema do Passo da Montanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 O Teorema de Ljusternik-Schnirelmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 O problema de Brezis-Nirenberg 22

2.1 Prova do Teorema de Existˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Multiplicidade de Solu¸c˜oes 34

3.1 Um resultado de concentra¸c˜ao de compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Prova do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

A Apˆendice 45

A.1 Identidade de Pohozaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

A.2 A constante S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

A.3 Funcionais Diferenci´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.4 Estimativas para as fun¸c˜oes u

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.5 Um resultado de simetria de Gidas-Ni-Nirenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Bibliograﬁa 62

iii

Introdu¸c˜ao

Um dos v´arios m´etodos pelos quais podemos resolver uma equa¸c˜ao diferencial s˜ao os chama-

dos m´etodos variacionais, que consistem em obter pontos cr´ıticos de certos funcionais, que

est˜ao associados ao problema em quest˜ao. Este m´etodo ´e empregado em uma importante

classe de problemas n˜ao-lineares que p odem ser resolvidos por t´ecnicas relativamente simples

de an´alise funcional n˜ao linear. De um modo geral, esses problemas s˜ao da forma

Lu = 0,

onde o operador n˜ao linear L ´e a derivada de um apropriado funcional de energia ϕ. Sim-

bolicamente escrevemos

L = ϕ



A teoria se consolidou no in´ıcio do ´ultimo s´eculo, mas vale destacar que suas bases s˜ao antigas.

Os primeiros trabalhos estavam relacionados com problemas f´ısicos que eram modelados

por equa¸c˜oes diferencias parciais. A energia desenvolvida no processo estava associada ao

funcional que mencionamos anteriormente. Na resolu¸c˜ao destes problemas, partia-se do

princ´ıpio de que a natureza faz um esfor¸co m´ınimo na realiza¸c˜ao deste fenˆomeno, da´ı ent˜ao

buscava-se pontos (fun¸c˜oes) que minimizavam estes funcionais.

Para exempliﬁcar, consideremos o seguinte problema

(∗)











−∆u = |u|

p−2

u em Ω,

u > 0 em Ω,

u = 0 em ∂Ω,

em que Ω ⊂ R

´e um dom´ınio limitado, N ≥ 3 e 2 < p ≤ 2

∗

= 2N/(N − 2). Seja

u ∈ C

(Ω) ∩ C(

Ω) uma solu¸c˜ao cl´assica do problema (∗), isto ´e, uma fun¸c˜ao positiva que

se anula em ∂Ω, e que satisfaz a equa¸c˜ao em todo ponto x ∈ Ω. Dada φ ∈ C

∞

(Ω), ap´os

integrarmos sobre Ω, temos



Ω

−∆uφdx =



Ω

|u|

p−2

uφdx.

Aplicando o Teorema do Divergente obtemos



Ω

∇u · ∇φdx =



Ω

|u|

p−1

φdx. (1)

Por passagem ao limite, este resultado ´e v´alido para toda φ ∈ H

(Ω). Vamos trabalhar num

espa¸co maior, para assim aumentar nossas chances de encontrar solu¸c˜ao para o problema

(∗). Diremos que u ∈ H

(Ω) ´e uma solu¸c˜ao fraca do problema se ela satisfaz a equa¸c˜ao (1)

para toda φ ∈ H

(Ω). Conforme visto anteriormente, uma solu¸c˜ao cl´assica ´e uma solu¸c˜ao

fraca, entretanto n˜ao ´e imediato que solu¸c˜oes fracas sejam solu¸c˜oes cl´assicas. Argumentos de

regularidade el´ıpticas (veja [23]) mostram, que sob certas condi¸c˜oes, a rec´ıproca ´e verdadeira.

Considere o seguinte funcional deﬁnido em H

(Ω)

(u) =



Ω

|∇u|

dx −



Ω

)

dx,

onde u

= max{u, 0}. Devido a imers˜ao H

(Ω) → L

(Ω), para 2 < p ≤ 2

∗

, este funcional

est´a bem deﬁnido e ´e diferenci´avel, com

ϕ



(u), φ =



Ω

∇u · ∇φdx −



Ω

)

p−1

φdx, ∀φ ∈ H

(Ω).

Fazendo φ = u

−

= max{−u, 0}, obtemos



Ω

|∇u

−

|dx = 0 e portanto u

−

= 0, donde segue

que u ≥ 0. Argumentos de regularidade el´ıpitica monstram que u ∈ C

(Ω) ∩ C(

Ω), pelo

Princ´ıpio do M´aximo Forte u > 0. Assim os pontos cr´ıticos de ϕ

s˜ao precisamente as solu¸c˜oes

de (∗). Diferentemente dos problemas originais do c´alculo das varia¸c˜oes, este funcional n˜ao

´e limitado inferiormente. Para ver isto basta tomar u > 0 n˜ao nula e observar que

(tu) =



Ω

|∇u|

dx −



Ω

dx → −∞.

Veriﬁca-se tamb´em que este funcional n˜ao ´e limitado superiormente. Portanto n˜ao temos

pontos cr´ıticos de m´aximo ou m´ınimo global. O Teorema do Passo da Montanha, garante

que sob certas condi¸c˜oes de compacidade ´e poss´ıvel obter pontos cr´ıticos para este funcional.

Este teorema ´e devido `a Ambrosetti e Rabinowitz [2]. A condi¸c˜ao de compacidade requerida

no teorema ´e relativamente f´acil de ser provada quando 2 < p < 2

∗

, pois a imers˜ao H

(Ω) →

(Ω) ´e compacta. Entretanto, o caso cr´ıtico p = 2

∗

´e delicado. De fato quando Ω ´e estrelado,

usamos uma identidade devida a Pohozaev ( veja Apˆendice A.1), para mostra que o problema

(∗) n˜ao tem solu¸c˜ao quando p = 2

∗

. No e ntanto, em um celebrado artigo, B rezis e Nirenberg

[8] mostram que o problema muda de ﬁgura se acrescentarmos uma pertuba¸c˜ao subcr´ıtica

do lado direito. Mais especiﬁcamente, entre outras coisas, eles consideram o problema

)











−∆u = λu + |u|

∗

−2

u em Ω,

u > 0 em Ω,

u = 0 em ∂Ω,

onde Ω ⊂ R

´e um dom´ınio limitado e N ≥ 4. O funcional associado ´e

(u) =



Ω

|∇u|

dx −



Ω

|u|

dx −

∗



Ω

)

∗

−1

seus ponto cr´ıticos s˜ao precisamente as solu¸c˜oes fracas do problema (P

), pois

ϕ



(u), φ =



Ω

∇u∇φdx − λ



Ω

uφdx −



Ω

)

∗

−2

uφdx , para toda φ ∈ H

(Ω).

Entre outras coisas, apresentamos a demonstra¸c˜ao do principal resultado do artigo de Brezis-

Nirenberg, a saber

Teorema 0.1 (Br´ezis-Niremberg). Seja Ω um dom´ınio limitado suave de R

, N ≥ 4. Se

0 < λ < λ

(Ω), ent˜ao o problema (P

) tem solu¸c˜ao.

No teorema acima λ

(Ω) denota o primeiro autovalor de (−∆, H

(Ω)) com condi¸c˜oes de

Dirichlet.

Depois do artigo de Brezis-Nirenberg muitos outros autores estudaram o problema de

existˆencia de solu¸c˜oes para equa¸c˜oes com crescimento cr´ıtico. A lista de referˆencias ´e ex-

tensa, citamos os trabalhos de J.G. Azorero-P. Alonso [12, 13] e M.Gueda-L. Veron [15] que

extenderam o problema para o operador p-Laplaciano.

Na segunda parte do trabalho estaremos interessados em estudar a quest˜ao de multipli-

cidade de solu¸c˜oes de (P

). Mais especiﬁcamente, relacionaremos o n´umero de solu¸c˜oes com

a topologia de Ω. Utilizaremos um conceito topol´ogico que chamamos categoria. Sejam A

e B subc onjuntos fechados de uma espa¸co de Banach E, tais que A ⊂ B. Intuitivamente A

´e contr´atil em B, se ele pode ser reduzido , de maneira cont´ınua e sem sair de B, em um

´unico ponto. A categoria de A em B, que denotaremos por cat

(A) ´e o menor n´umero de

conjuntos contr´ateis e fechados em B, pelos quais A pode ser coberto. Um exemplo bem

intuivo ´e a categoria de ∂B

(0) em ∂B

(0). A esfera n˜ao ´e contr´atil na esfera, pois ela

n˜ao pode ser reduzida, continuamente e sem sair da esfera, e m um ´unico ponto, entretanto

tirando-se uma vizinha¸ca de um p´olo da esfera e ste fato ´e poss´ıvel, de modo que podemos

cobrir a esfera por dois conjuntos, p or exemplo um sem uma vizinhan¸ca do polo norte e o

outro sem a do polo sul, portanto a categoria da esfera na esfera ´e 2. Quando escrevermos

cat

Ω

(Ω) e staremos nos referindo a categoria de

Ω em

Ω. Com respeito a multiplicidade, o

teorema de maior importˆancia ´e

Teorema 0.2. Existe λ

∗

∈ (0, λ

(Ω)) tal que, para todo λ ∈ (0, λ

∗

) o problema (P

) tem

pelo menos cat

Ω

(Ω) solu¸c˜oes positivas.

O teorema acima foi provado por Rey [22] para N ≥ 5 e M. Lazzo [17] para N = 4 .

Nossa demonstra¸c˜ao est´a baseada no artigo de Lazzo e a t´ecnic a ´e devida a Benci e Cerami

[4], que consideraram o problema (∗) e mostraram que o mesmo tem cat

Ω

(Ω) solu¸c˜oes se p

´e subcr´ıtico e est´a pr´oximo de 2

∗

. Esta t´ecnica consiste em relacionar a topologia de Ω com

a topologia de certos conjuntos de n´ıvel do funcional ϕ associado, em seguida utiliza-se um

resultado abstrato, envolvendo o conceito de categoria, que fornece m´ultiplos pontos cr´ıticos.

Existem outros resultados de multiplicidade que extendem o problema (P

) para o operador

p-Laplaciano, dentre os quais citamos Alves-Ding [1].

O Cap´ıtulo 1, est´a dividido em duas se¸c˜oes, na primeira provamos o Teorema do Passo

da Montanha, introduzimos o conceito de categoria e provamos o teorema que relaciona

a categoria de certos conjuntos de n´ıvel do funcional com o n´umero de pontos cr´ıticos do

funcional restrito a uma variedade. No Cap´ıtulo 2, provamos o Teorema 0.1. A parte mais

complicada ´e mostrar que existe v ∈ H

(Ω) \ {0} n˜ao-negativa, tal que



Ω

|∇v|

dx − λ



Ω

|v|



Ω

|v|

∗

< S,

onde

0 < S = inf





Ω

|∇u|

dx :



Ω

|u|

∗

dx = 1



´e a melhor constante para imers˜ao H

(Ω) → L

∗

(Ω).

E neste ponto que aparece o motivo

pelo qual resolvemos o problema apenas para N ≥ 4. Na prova deste resultado aparecem

igualdades que s´o valem se N ≥ 4. Quando N = 3 surgem complica¸c˜oes ainda maiores,

o caso tamb´em foi tratado por Brezis-Nirenberg. Quando Ω = B

(0) e N = 3, os autores

mostraram que o problema tem solu¸c˜ao apenas se

(Ω)

< λ < λ

(Ω).

No cap´ıtulo 3, provamos o Teorema 0.2. Na primeira se¸c˜ao mostramos um resultado

de concentra¸c˜ao de compacidade, na segunda se¸c˜ao mostramos que todas as hip´oteses do

teorema abstrato a ser utilizado s˜ao satisfeitas.

Finalizamos nosso trabalho com um Apˆendice, contendo resultados que usamos no decor-

rer dos outros cap´ıtulos, bem como as enfadonhas contas para provar o teorema de existˆencia.

Cap´ıtulo 1

Teoremas Abstratos

1.1 O Teorema do Passo da Montanha

No decorrer deste cap´ıtulo X ser´a um espa¸co de Hilbert, E um espa¸co de Banach. Para cada

d ∈ R, ϕ ∈ C

(X, R) deﬁniremos ϕ

= {u ∈ X : ϕ(u) ≤ d}.

Lema 1.1. Seja ϕ ∈ C

(X, R), c ∈ R, ε > 0, e suponha que

ϕ



(u) ≥ 2ε para todo u ∈ ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]). (1.1)

Nestas condi¸c˜oes existe η ∈ C(X, X) tal que

(i) η(u) = u, sempre que u /∈ ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]),

(ii) η(ϕ

c+ε

) ⊂ ϕ

c−ε

Demonstrac¸

ao. Deﬁna

A = ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]),

B = ϕ

−1

([c − ε, c + ε]),

ψ(u) =

dist(u, X \ A)

dist(u, X \ A) + dist(u, B)

As aplica¸c˜oes u → dist(u, X \ A) , u → dist(u, B) s˜ao lipschtizianas, como a s oma (observe

que a soma destas aplica¸c˜oes nunca se anula), produto e inversa (desde que a aplica¸c˜ao

nunca se anule) de aplica¸c˜oes localmente lipschitizianas resultam em aplica¸c˜oes localmente

lipschitiziana, ent˜ao ψ ´e localmente lipschitiziana. Al´em do mais

ψ = 1 sobre B, ψ = 0 sobre X \ A e 0 ≤ ψ ≤ 1 sobre X.

Agora deﬁna

f(u) =











−ψ(u)∇ϕ(u)

−2

∇ϕ(u) em A,

0 em X \ A.

Decorre de (1.1) que f(u) ≤ 1/2ε sobre X. A fun¸c˜ao f ´e localmente lipschtiziana pois ´e

produto de fun¸c˜oes localmente lipschtizianas. Sendo assim, para cada u ∈ X ﬁxo, o problema

de Cauchy











σ(t, u) = f(σ(t, u)),

σ(0, u) = u,

(1.2)

possui uma ´unica solu¸c˜ao deﬁnida numa vizinhan¸ca de t = 0. Esta solu¸c˜ao est´a na verdade

deﬁnida sobre toda reta. De fato, seja (a, b) o intervalo maximal para solu¸c˜ao de (1.2),

suponha que b < ∞ e considere t

→ b, t

< b. Assim para m > n, ap´os uma integra¸c˜ao

sobre

σ(t, u) = f(σ(t, u)) e usando o fato de que f(u) ≤ 1/2ε obtemos

σ(t

, u) −σ(t

, u) ≤

2ε

− t

e portanto σ(t

, u) ´e uma sequˆencia de Cauchy. Sendo assim, podemos considerar o problema











ˆσ(t, u) = f(ˆσ(t, u)),

ˆσ(b, u) = lim

n→∞

σ(t

, u),

(1.3)

que tem solu¸c˜ao num intervalo (b − δ, b + δ), isso implica que

˜σ(t, u) =











σ(t, u), a < t < b

ˆσ(t, u), b ≤ t < b + δ,

´e solu¸c˜ao de (1.2) o que contradiz o fato de (a, b) ser maximal, portanto b = ∞. Analoga-

mente mostra-se que a = −∞. Como (1.2) tem dependˆencia cont´ınua com rela¸c˜ao aos dados

iniciais a fun¸c˜ao σ ´e cont´ınua.

Deﬁna η(u) = σ(2ε, u).

E claro que se u /∈ ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]) ent˜ao f (u) = 0, pois f

se anula fora de A. Assim σ(t, u) ≡ u ´e solu¸c˜ao de (1.2). Como a solu¸c˜ao ´e ´unica, ent˜ao

η(u) = u, logo (i) ´e satisfeito.

Usando a regra da cadeia, obtemos

ϕ(σ(t, u)) = ∇ϕ(σ(t, u)),

σ(t, u) =

∇ϕ(σ(t, u)), f(σ(t, u)) = −ψ(σ(t, u)) ≤ 0,

assim

ϕ(σ(t, u)) ≤ 0.

Portanto ϕ(σ(·, u)) ´e n˜ao-crescente. Seja u ∈ ϕ

c+ε

, se t ∈ [0, 2ε] ´e tal que

ϕ(σ(t, u)) < c − ε, ent˜ao ϕ(σ(2ε, u)) < c − ε e (ii) ´e satisfeito pois σ(2ε, u) ≤ ϕ(σ(t, u)).

Por´em se para todo t ∈ [0, 2ε] tivermos σ(t, u) ∈ ϕ

−1

([c −ε, c + ε]), ent˜ao de (1.2) obtemos

ϕ(σ(2ε, u)) = ϕ(u) +



2ε

ϕ(σ(t, u))dt =

ϕ(u) −



2ε

ϕ(σ(t, u))dt ≤ c + ε − 2ε = c − ε

e (ii) ´e satisfeito.

Na prova do Lema 1.1, quando consideramos o problema (1.2) foi usado fortemente o

fato de o funcional ser de classe C

e do espa¸co ser de Hilbert, pois assim a aplica¸c˜ao f

que aparece na equa¸c˜ao ´e localmente lipschitiziana, pois o gradiente de ϕ ´e de classe C

Salvo condi¸c˜oes especiais, n˜ao temos elementos que nos garantam que se ϕ ´e de classe C

ent˜ao seu gradiente ´e localmente lipschitiziana. Introduziremos um novo conceito, a ﬁm

de superarmos esta diﬁculdade e estendermos o resultado acima para espa¸cos de Banach e

funcionais de classe C

Seja U ⊂ E um conjunto aberto, e ϕ ∈ C

(U, R). Diremos que v ∈ E ´e um vetor

pseudo-gradiente para ϕ em u ∈ U, se

(i) v ≤ 2ϕ



(u)

(ii) ϕ



(u), v ≥ ϕ



(u)

Seja

E = {u ∈ E : ϕ



(u) = 0}. Dizemos que g :

E → E ´e um campo pseudo-gradiente para ϕ

em u, se para todo u ∈

E, g for localmente lipschitiziana sobre

E e g(u) for um vetor pseudo-

gradiente para ϕ em u. Observe que uma combina¸c˜ao convexa de vetores pseudo-gradientes

´e ainda um vetor pseudo-gradiente.

Lema 1.2. Seja ϕ ∈ C

(E, R). Ent˜ao existe um campo vetorial pseudo-gradiente para ϕ.

Demonstrac¸

ao. Para v ∈

E arbitr´ario, existe x ∈ E tal que

x = 1, ϕ



(v), x >

ϕ



(v),

isto decorre da deﬁni¸c˜ao da norma de um funcional linear. Deﬁna y =

ϕ



(v)x, sendo

assim, n´os temos

y < 2ϕ



(v), ϕ



(v), y > ϕ



(v)

como ϕ



´e cont´ınua, ent˜ao deve existir uma vizinhan¸ca aberta N

, em

E, do ponto v tal que

y < 2ϕ



(u), ϕ



(u), y > ϕ



(u)

, para todo u ∈ N

. (1.4)

Observe que a fam´ılia N = {N

: v ∈

E} ´e uma cobertura aberta para

E. Sendo

E um

espa¸co m´etrico, existe uma cobertura aberta localmente ﬁnita (isto ´e, cada ponto de

E tem

uma vizinhan¸ca que intersecta apenas um n´umero ﬁnito de elementos da cobertura, para

mais detalhes veja [18]) M = {M

: i ∈ I}, que ´e um reﬁnamento de N, tal que para cada

i ∈ I, existe v ∈

E tal que M

= N

e existe y = y

tal que (1.4) ´e satisfeita para todo

u ∈ M

. Deﬁna sobre M

(u) = dist(u, X \M

g(u) =



i∈I

(u)



j∈I

(u)

Uma vizinhan¸ca de u ´e interceptada por um n´umero ﬁnito de elementos da cob ertura, por-

tanto as somas que aparecem acima s˜ao ﬁnitas, sendo ρ

lipschitz, g tamb´em o ser´a na

vizinhan¸ca, utilizamos as somas acima para termos combina¸c˜oes convexas do vetores pseudo-

gradientes. As sim n˜ao ´e dif´ıcil de veriﬁcar que g ´e um campo pseudo gradiente.

Lema 1.3 (Lema de Deforma¸c˜ao). Seja ϕ ∈ C

(E, R), S ⊂ E, c ∈ R, ε, δ > 0 tais que

ϕ



(u) ≥

8ε

para todo u ∈ ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]) ∩ S

2δ

, (1.5)

Onde S

2δ

= {u ∈ E : dist(u, S) < 2δ}. Ent˜ao existe η ∈ C([0, 1] × E, E) tal que

(i) η(t, u) = u, se t = 0 ou se u /∈ ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]) ∩ S

2δ

(ii) η(1, ϕ

c+ε

∩ S) ⊂ ϕ

c−ε

(iii) η(t, u) − u ≤ δ, ∀u ∈ E, ∀t ∈ [0, 1],

(iv) ϕ(η(·, u)) ´e n˜ao-crescente para todo u ∈ E.

Demonstrac¸

ao. Pelo Lema 1.2, existe um campo pseudo-gradiente g para ϕ sobre

Deﬁnamos

A = ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]) ∩ S

2δ

B = ϕ

−1

([c − ε, c + ε]) ∩ S

ψ(u) =

dist(u, X \A)

dist(u, X \A) + dist(u, B)

Procedendo como no Lema 1.1, verﬁca-se que ψ ´e localmente lipschtiziana, al´em do mais

ψ = 1 sobre B, ψ = 0 sobre X \A e 0 ≤ ψ ≤ 1. Considere

f(u) =











−ψ(u)g(u)

−2

g(u) em A,

0 em X \ A.

Analagomente ao Lema 1.1, uma vez que g ´e localmente lipschtiziana, f ´e localmente lip-

schtiziana. De (1.5) obtemos que f(u) ≤ δ/8ε sobre E. Agora ﬁxe u ∈ E e considere o

problema de Cauchy











σ(t, u) = f(σ(t, u)),

σ(0, u) = u.

(1.6)

Analogamente ao Lema 1.1, σ ∈ C([0, 1] × E, E). Deﬁna η(t, u) = σ(8εt, u). Pela pr´opria

deﬁni¸c˜ao de σ (i) ´e verdadeiro quando t = 0. Se u /∈ ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]) ent˜ao ψ(u) = 0,

sendo assim f se anula no dado inicial, logo η ´e constante e portanto (i) ´e verdadeiro. Para

veriﬁcar (iii) e (iv) basta notar que

σ(t, u) − u = 



f(σ(s, u))ds ≤



f(σ(s, u))ds ≤

8ε

, (1.7)

ϕ(σ(t, u)) = ϕ



(σ(t, u)),

σ(t, u) = ϕ



(σ(t, u)), f(σ(t, u)) ≤ −

ψ(σ(t, u))

. (1.8)

Se existir algum t ∈ [0, 8ε] tal que ϕ(σ(t, u)) < c − ε, ent˜ao por (iv), ϕ(σ(8ε, u)) < c − ε e

(ii) ´e satisfeito. Se

σ(t, u) ∈ ϕ

−1

([c − ε, c + ε]), para todo t ∈ [0, 8ε],

n´os obtemos de (1.7) e (1.8) que

ϕ(σ(8ε, u)) = ϕ(u) +



8ε

ϕ(σ(t, u))dt ≤ ϕ(u) −



8ε

ψ(σ(t, u))dt = c + ε − 2ε = c − ε

portando (ii) ´e verdadeiro.

Teorema 1.4. Sejam ϕ ∈ C

(E, R), e ∈ E, r > 0 tais que e > r e

b = inf

u=r

ϕ(u) > ϕ(0) = 0 > ϕ(e),

c = inf

γ∈Γ

max

t∈[0,1]

ϕ(γ(t)),

Γ = {γ ∈ C([0, 1], E) : γ(0) = 0, γ(1) = e}.

Ent˜ao para todo ε > 0, com c − 2ε > ϕ(0), existe u ∈ E tal que

(i) c − 2ε ≤ ϕ(u) ≤ c + 2ε,

(ii) ϕ



(u) < 2ε.

Demonstrac¸

ao. Pelo Teorema do Valor Intermedi´ario, para γ ∈ Γ, existe t

∈ [0, 1] tal

que γ(t

) = r. Logo

b = inf

u=r

ϕ(u) ≤ ϕ(γ(t

)) ≤ max

t∈[0,1]

ϕ(γ(t)),

e portanto

b ≤ c = inf

γ∈Γ

max

t∈[0,1]

ϕ(γ(t)),

b ≤ c ≤ max

t∈[0,1]

ϕ(te) < ∞.

A desigualdade anterior mostra que c ´e ﬁnito.

Suponha que o teorema n˜ao seja verdadeiro. Logo

ϕ



(u) ≥ 2ε para todo u ∈ ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]).

Portanto estamos nas hip´oteses do Lema 1.3 e existe η ∈ C([0, 1] × E, E) que satisfaz (i) e

(ii) do Lema 1.3. Da deﬁni¸c˜ao de c, existe γ ∈ Γ tal que

max

t∈[0,1]

ϕ(γ(t)) ≤ c + ε. (1.9)

Considere β(t) = η(t, γ(t)). Por (i) e usando o fato de que c − 2ε > ϕ(0) = 0 temos que

β(0) = η(0, γ(0)) = η(0) = 0. Analogamente β(1) = e, e assim conclu´ımos que β ∈ Γ. Mas

ent˜ao de (ii) obtemos que

c ≤ max

t∈[0,1]

ϕ(β(t)) ≤ c − ε,

o que ´e absurdo. Logo o teorema ´e verdadeiro.

Fazendo ε =

o teorema acima nos fornece um seq¨uˆencia de pontos tais que

ϕ(u

) → c , ϕ



) → 0 quando n → ∞.

Observe que obtemos uma sequˆencia de quase pontos cr´ıticos, no sentido de que a norma

da derivada desses pontos tende a zero. Entretanto se obtivermos, de alguma maneira,

uma subsequˆencia convergente de (u

) para um valor u, ent˜ao por passagem ao limite, u

ser´a um ponto cr´ıtico. Portanto, precisamos de uma inf orma¸c˜ao adicional relacionada com

compacidade.

Deﬁni¸c˜ao 1.5. Sejam E um espa¸co de Banach, ϕ ∈ C

(X, R) e c ∈ R. Dizemos que o

funcional ϕ satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale no n´ıvel c, e escrevemos (P S)

, se toda

sequˆencia (u

) ⊂ X tal que

ϕ(u

) → c , ϕ



) → 0

possui uma subsequˆencia convergente. As sequˆencias que satisfazem a condi¸c˜ao acima s˜ao

chamadas de sequˆencias de Palais-Smale no n´ıvel c.

O teorema abaixo ´e devido `a Ambroseti-Rabinowitz [2].

Teorema 1.6 (Teorema do Passo da Montanha). Seja ϕ ∈ C

(E, R), tal que existe r > 0 e

e ∈ E com e > r tal que

b = inf

u=r

ϕ(u) > ϕ(0) = 0 > ϕ(e).

Seja

c = inf

γ∈Γ

max

t∈[0,1]

ϕ(γ(t)).

Se ϕ satisfaz (P S)

, ent˜ao c ´e valor cr´ıtico de ϕ.

Demonstrac¸

ao. O Teorema 1.4 implica que existe uma sequˆencia (u

) ⊂ E satisfazendo

ϕ(u

) → c , ϕ



) → 0.

Como ϕ satisfaz (P S)

ent˜ao (u

) tem uma subsequˆencia convergindo para algum u ∈ E.

Por continuidade ϕ(u) = c e ϕ



(u) = 0. Logo c ´e valor cr´ıtico de ϕ.

1.2 O Teorema de Ljusternik-Schnirelmann

No decorrer desta se¸c˜ao ψ ´e uma fun¸c˜ao de classe C

(E, R) de tal modo que a derivada de

ψ em u, nunca seja nula quando u pertencer ao conjunto

V = {u ∈ E : ψ(u) = 1}.

Deste modo 1 ´e valor regular de ψ e portanto V ´e uma variedade. Deﬁnimos tamb´em o

espa¸co tangente a V em u ∈ V por

V = {w ∈ E : ψ



(u), w = 0}.

E deﬁnimos a norma da derivada de um funcional ϕ ∈ C

(E, R) em u ∈ V , restrito a

variedade V como sendo a norma de ϕ



(u) agindo sobre o n´ucle de ψ



(u), isto ´e

ϕ



(u)

∗

= sup{ϕ



(u), w : w ∈ T

V, w = 1}.

Tamb´em usaremos as seguintes nota¸c˜oes

= {u ∈ E : f, u = 0},

∗

= {f : E → R | f ´e um funcional linear cont´ınuo }

Seja ϕ ∈ C

(E, R), um ponto v ´e um ponto cr´ıtico da restri¸c˜ao de ϕ `a V se ϕ



(v)

∗

= 0.

Antes de passarmos ao lema a seguir, recomendamos ao leitor ler o primeiro cap´ıtulo do livro

de H. Brezis [6].

Lema 1.7. Se f, g ∈ E

∗

, ent˜ao

sup{f, y : y ∈ N

, y = 1} = min

λ∈R

f − λg.

Demonstrac¸

ao. Temos que para todo λ ∈ R, que se y ∈ N

ent˜ao f − λg, y = f, y,

deste modo

sup

y∈N

y=1

f, y ≤ sup

z=1

f − λg, z = f − λg,

portanto

sup

y∈N

y=1

f, y ≤ inf

λ∈R

f − λg.

Segue do Teorema de Hahn-Banach, que existe uma extens˜ao h ∈ E

∗

de f : N

→ R de

modo que ambos tenham a mesma norma, isto ´e

sup

y∈N

y=1

f, y = h,

vemos portanto que

f, u ≥ −hu sempre que g, u = 0.

Vamos mostrar que existe t ∈ R tal que f − tg ≤ h. Considere o seguinte conjunto

Σ = {tg + hw : t ∈ R, w ∈ E

∗

, w ≤ 1}.

Como o conjunto Rg ´e convexo fechado, temos que Rg ´e fechado na top ologia fraca-

∗

σ(E

∗

, E).

Lembrando que a bola unit´aria de E

∗

´e σ(E

∗

, E)-compacta conclu´ımos que Σ ´e fechado nessa

topologia.

Tendo em vista a deﬁni¸c˜ao de Σ ´e suﬁciente mostrarmos que f ∈ Σ. Suponha por

contradi¸c˜ao, que f /∈ Σ. Como Σ ´e σ(E

∗

, E)-fe chado, podemos usar o Teorema de Hahn-

Banach para obter um funcional linear σ(E

∗

, E)-cont´ınuo w

∗

: E

∗

→ R e α ∈ R, tal que

∗

(g) < α,

∗

(h) ≥ α, ∀h ∈ Σ.

Uma vez que w

∗

´e σ(E

∗

, E)-cont´ınua, existe u ∈ E tal que w

∗

(h) = h, u para todo h ∈ E

∗

Logo

g, u < α (1.10)

h, u ≥ α, ∀h ∈ Σ.

Usando a deﬁni¸c˜ao de Σ podemos reescrever a desiguladade acima como sendo

tg, u ≥ α + h sup

w≤1

w, −u, ∀t ∈ R.

Mas o supremos acima ´e exatamente u, portanto

tg, u ≥ α + hu, ∀t ∈ R. (1.11)

Como t ´e arbitr´ario, segue que g, u = 0 e portanto f, u ≥ −hu. Por outro lado,

usando (1.10) e (1.11), com t = 0 obtemos

f, u < α ≤ −hu,

o que ´e um absurdo, portanto f ∈ Σ e assim para algum t ∈ R f − tg ≤ h. Mas ent˜ao

inf

λ∈R

f − λg ≤ f − tg ≤ h = sup

g,y=0

y=1

f, y ≤ inf

λ∈R

f − λg.

e portanto o Lema esta provado.

Corol´ario 1.8. Se ϕ ∈ C

(E, R) e u ∈ V ent˜ao

ϕ



(u)

∗

= min

λ∈R

ϕ



(u) − λψ



(u).

Em particular, u ´e um ponto cr´ıtico de ϕ|

se, e somente se, existir λ ∈ R tal que



(u) = λψ



(u)

Demonstrac¸

ao. Basta aplicar o Lema 1.7 com f = ϕ



e g = ψ



Sejam ϕ ∈ C

(E, R) e M = {u ∈ V : ϕ



(u)

∗

= 0}. Dise que v ∈ E ´e um vetor

pseudo-gradiente para ϕ, restrito a V , em u ∈ M se

v ≤ 2ϕ



(u)

∗

, ϕ



(u), v ≥ ϕ



(u)

∗

Um campo pseudo-gradiente para ϕ sobre M ´e um campo vetorial localmente lipschtiz

g : M → E tal que, para todo u ∈ M, g(u) ∈ T

V ´e um vetor pseudo-gradiente para ϕ

restrito `a V , isto ´e

g(u) ≤ 2ϕ



(u)

∗

, ϕ



(u), g(u) ≥ ϕ



(u)

∗

. (1.12)

Lema 1.9. Seja ϕ ∈ C

(E, R). Ent˜ao existe um campo pseudo-gradiente para ϕ sobre M.

Demonstrac¸

ao. Tome v ∈ M, an´alogamente ao Lema 1.2, existe x ∈ T

V tal que

x = 1, ϕ



(v), x >

ϕ



(v)

∗

Sendo ψ



(u) n˜ao nula, ent˜ao deve existir z tal que ψ



(u), z = 1. Deﬁna y =

h(v)

∗

Ent˜ao para todo u ∈ V tal que ψ



(u), z = 0

(u) = y −

ψ



(u), y

ψ



(u), z

satisfaz g

(v) = y, assim obtemos que

g

(u) ≤ 2ϕ



(u)

∗

, ϕ



(u), g

(u) ≥ ϕ



(u)

∗

Sendo ϕ



e g

cont´ınuas, podemos supor que existe uma vizinhan¸ca aberta N

de v tal que

ψ



(u), u = 0 para todo u ∈ N

g

(u) ≤ 2ϕ



(u)

∗

, ϕ



(u), g

(u) ≥ ϕ



(u)

∗

, ∀u ∈ N

. (1.13)

A fam´ılia N = {N

: v ∈ M} ´e uma cobertura aberta para M. Sendo M um espa¸co m´etrico,

existe uma cobertura aberta loclamente ﬁnita M = {M

: i ∈ I}, que ´e um reﬁnamento de

N, tal que para cada i ∈ I, existe v ∈ M tal que M

= N

e existe y = y

tal que (1.13) ´e

satisfeito para todo u ∈ M

. Deﬁna sobre M

(u) =











(u) em N

0, em M \ N

(u) = dist(u, X \M

g(u) =



i∈I

(u)



j∈I

(u)

Analogamente ao Lema 1.2, g assim deﬁnida ´e um campo pseudo gradiente para ϕ restrita

`a V .

O lema abaixo ´e uma vers˜ao do Lema 1.3 para funcionais restritos `a variedades. A sua

demonstra¸c˜ao ´e similar `a do lema 1.9, com a observa¸c˜ao de que o problema de Cauchy pode

ser resolvido em variedades, usando-se as cartas locais.

Lema 1.10. Seja ϕ ∈ C

(E, R), S ⊂ V, c ∈ R, ε, δ > 0 tais que

ϕ



(u)

∗

≥

8ε

para todo u ∈ ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]) ∩ S

2δ

onde S

2δ

= {u ∈ V : dist(u, S) < 2δ}. Ent˜ao existe η ∈ C([0, 1] × V, V ) talDque

(i) η(t, u) = u, se t = 0 ou se u /∈ ϕ

−1

([c − 2ε, c + 2ε]) ∩ V ,

(ii) η(1, ϕ

c+ε

∩ S) ⊂ ϕ

c−ε

(iii) ϕ(η(·, u)) ´e n˜ao-crescente para todo u ∈ V .

Os conjuntos A, B e C a seguir s˜ao todos n˜ao-vazios. Um subconjunto fechado A ⊂ E

´e contr´atil em B ⊂ E se existir h ∈ C([0, 1] × A, B) tal que, para todo u, v ∈ A

h(0, u) = u , h(1, u) = h(1, v).

Dados A e B subconjuntos fechados em E, escrevemos A ≺ B em E, se existir h ∈ C([0, 1] ×

A, B) tal que

h(0, u) = u , h(1, A) ⊂ B, para todo u ∈ A.

Neste caso, diremos que a deforma¸c˜ao h leva continuamente A em B.

Deﬁni¸c˜ao 1.11. Seja A um subconjunto fechado em B ⊂ E. A categoria de A em B,

que denotaremos por cat

A, ´e o menor inteiro n tal que existam n subconjuntos fechados

, ..., A

de B satisfazendo

(i) A = ∪

j=1

(ii) A

, ..., A

, s˜ao contr´ateis em B.

Se n˜ao existir um tal inteiro, escreveremos cat

(A) = ∞

Lema 1.12. Sejam A, B e C subconjuntos fechados de E. Se A ≺ B e B ≺ C em E,

ent˜ao A ≺ C em E.

Demonstrac¸

ao. Sejam h, g, respectivamente, as deforma¸c˜oes que levam A em B e B em

C. Deﬁna

(g ∗ h)(t, u) =











h(2t, u) em [0,

] × A,

g(2t − 1, h(1, u)), em (

, 1] × A.

N˜ao ´e dif´ıcil veriﬁcar que g ∗ h ´e uma deforma¸c˜ao que leva A em C.

Proposi¸c˜ao 1.13. Sejam A, B subconjuntos fechados de E tais que A∪B ⊂ F ⊂ E. Temos

que

(i) cat

(A ∪ B) ≤ cat

(A) + cat

(B),

(ii) Se A ≺ B ent˜ao cat

(A) ≤ cat

(B).

Demonstrac¸

ao. Quando temos duas coberturas de conjuntos contr´ateis, uma do conjunto

A e outra do conjunto B, ent˜ao a cobertura formada pelos elementos das coberturas de A

e B, ´e tamb´em uma cobertura de A ∪ B por conjuntos contr´ateis, assim cat

(A ∪ B) ≤

cat

(A) + cat

(B).

Suponha que A ≺ B e que h seja a deforma¸c˜ao que leva A em B. Seja {B

, ..., B

} uma

cobertura de B por fechados contr´ateis em B tal que n = cat

(B). Deﬁna

= {u ∈ A : h(1, u) ∈ B

E claro que A = ∪

j=1

= A

e usando h|

como deforma¸c˜ao obtemos A

≺ B

. Como

pode ser levado em B

e B

pode ser levado em um ´unico ponto, tem-se que, A

pode

ser levado em um ´unico ponto de B. Portanto, A

´e contr´atil em F e isto implica que

cat

(A) ≤ n.

Proposi¸c˜ao 1.14. Sejam A ⊂ B ⊂ E todos fechados em E. Ent˜ao existe uma vizinhan¸ca

aberta V de A em E tal que cat

(A) = cat

(

V ).

Demonstrac¸

ao. Suponha que cat

(A) = 1. Seja h a correspondente deforma¸c˜ao. Con-

sidere o seguinte conjunto

N = ([0, 1] × A) ∪ ({0, 1} × B).

Este conjunto ´e fechado em M = [0, 1] × B. Deﬁna a aplica¸c˜ao f : N → B por

f(t, u) =











h(t, u) t ∈ [0, 1], u ∈ A,

u t = 0, u ∈ B,

h(1, u

) t = 1, u ∈ B.

Onde u

´e tal que h(1, ·) ≡ u

. Podemos estender continuamente f para uma vizinhan¸ca

aberta U de N (ver [21]). Seja g tal extens˜ao. A compacidade de de [0, 1] implica na existˆencia

de uma vizinhan¸ca aberta V de A tal que [0, 1] ×B ⊂

U, usando g|

[0,1]×

como deforma¸c˜ao,

conclu´ımos que

V ´e contr´atil em B, portanto cat

(

V ) = 1. Suponha agora que cat

(A) = n,

seja {A

}

j=1

uma cobertura de A por conjuntos contr´ateis em B. Sejam B

, ..., B

abertos,

tais que A

⊂ B

cat

) = cat

(

), ent˜ao V = ∪

j=1

´e uma vizinhan¸ca aberta de A, e

cat

(

V ) =



j=1

cat

(

) =



j=1

cat

(A)

= cat

(A).

Seja ϕ ∈ C

(E, R) um funcional limitado inferiormente em V (veja as nota¸c˜oes no in´ıcio

da se¸c˜ao), j ≥ 1 inteiro e d ∈ R. Usaremos as seguintes nota¸c˜oes

= {v ∈ V : ϕ(v) ≤ d},

= {u ∈ V : ϕ(u) = c, ϕ



(u)

∗

= 0},

= {A ⊂ ϕ

: A ´e fechado, cat

(A) ≥ j},

= inf

A∈A

sup

u∈A

ϕ(u) ≤ d.

Uma vez que ϕ|

´e limitado inferiormente, ent˜ao os valores c

s˜ao todos ﬁnitos.

Teorema 1.15. Suponha que ϕ|

´e limitado inferiormente e que

c = c

= ... = c

k+m

≤ d.

Ent˜ao, para todo ε, δ > 0, A ∈ A

k+m

e B ⊂ ϕ

fechado tal que

sup

ϕ ≤ c + ε, cat

(B) ≤ m,

existe u ∈ V tal que

(i) c − 2ε ≤ ϕ(u) ≤ c + 2ε,

(ii) dist(u, A\

◦

) < 2δ,

(iii) ϕ



(u)

∗

≤

8ε

Demonstrac¸

ao. Suponha que o teorema seja falso, para algum ε, δ > 0. Certamente se

as duas op¸c˜oes iniciais ocorrerem ent˜ao a ultima n˜ao pode ser satisfeita, portanto estamos

nas hip´oteses do Lema 1.10 com S = A\

◦

. Portanto existe η que satisfaz o referido lema.

Temos que η(1, ϕ

c+ε

∩ S) ⊂ ϕ

c−ε

como sup

ϕ ≤ c + ε, ent˜ao S = A\

◦

⊂ ϕ

c+ε

∩ S. Sendo

assim η leva S em ϕ

c−ε

, logo

◦

≺ ϕ

c−ε

. (1.14)

Primeiramente, vamos veriﬁcar que cat

(ϕ

c−ε

) ≤ k − 1. Se isto n˜ao for verdade, ent˜ao

cat

(ϕ

c−ε

) ≥ k, como ϕ

c−ε

⊂ ϕ

ent˜ao ϕ

c−ε

∈ A

, o que mostra a seguinte contradi¸c˜ao

c = c

= inf

A∈A

sup

u∈A

ϕ(u) ≤ sup

u∈ϕ

c−ε

ϕ(u) ≤ c − ε.

Usando o fato de que se A ∈ A

k+m

ent˜ao k + m ≤ cat

(A), a Proposi¸c˜ao 1.13 para

A = (A\

◦

) ∪ B e que cat

(ϕ

c−ε

) ≤ k − 1, obtemos

k + m ≤ cat

(A) ≤ cat

(A\

◦

) + cat

(B) ≤ cat

(ϕ

c−ε

) + m ≤ k − 1 + m,

que ´e uma contradi¸c˜ao

An´alogamente `a se¸c˜ao anterior, obtemos uma sequˆencia de quase pontos cr´ıticos sobre a

variedade V , tomando ε = 1/n e ﬁxando δ.

Deﬁni¸c˜ao 1.16. O funcional ϕ|

satisfaz a condi¸c˜ao (P S)

, c ∈ R, se para qualquer

sequˆencia (u

) ⊂ V tal que

ϕ(u

) → c, ϕ



)

∗

→ 0,

possui subsequˆencia convergente.

Teorema 1.17. Seja ϕ|

um funcional limitado inferiormente. Se ϕ|

satisfaz (P S)

, para

qualquer c ∈ [inf

ϕ, d], ent˜ao ϕ|

atinge m´ınimo e ϕ

cont´em pelo menos cat

(ϕ

) pontos

cr´ıticos de ϕ|

Demonstrac¸

ao. Seja n = cat

(ϕ

) e c

como no Teorema 1.15. De acordo com as

deﬁni¸c˜oes de c

temos que

inf

ϕ = c

≤ c

≤ ... ≤ c

≤ d.

Seja r ≥ 1 tal que, para algum k ≥ 0

inf

ϕ < c

= ··· = c

k+r

< ··· ≤ c

≤ d.

Como ϕ|

satisfaz (P S)

, onde k ≤ j ≤ n + r, e o Teorema 1.15 garante a existˆenc ia de

uma sequˆencia de Palais-Smale no n´ıvel c

, ent˜ao K

= ∅. Aﬁrmamos que

cat

) ≥ r + 1 , c = c

= ··· = c

k+r

De fato, do contr´ario cat

)

≤ r. A Proposi¸c˜ao 1.14 implica que existe uma vizinhan¸ca

aberta B de K

em ϕ

tal que cat

(

B) = cat

).Para ε = 1/n o Teorema 1.15 implica

que existe uma sequˆencia (u

) ⊂ V satisfazendo

ϕ(u

) → c, dist(u

, ϕ

\ B) → 0, ϕ



)

∗

→ 0.

Como ϕ|

satisfaz (P S)

ent˜ao existe u tal que, a menos de subsequˆencia, u

→ u, por

continuidade u ∈ K

e u ∈ ϕ

\ B, pois este conjunto ´e fechado e dist(u

, ϕ

\ B) → 0, mas

isto ´e absurto pois K

⊂ B. Assim cat

) ≥ r + 1.

Se considerarmos apenas os c

que forem distintos, obtemos para cada c

uma quantidade

de pontos cr´ıticos no n´ıvel c

que ´e maior ou igual ao n´umero de vezes r que este valor se

repete, pois ´e imposs´ıvel se ter um conjunto n˜ao vazio K

com menos de r + 1 elementos e

cat

) ≥ r + 1. Se dois pontos cr´ıticos estiverem em n´ıveis c

diferentes, certamente eles

s˜ao diferentes, de modo que obtemos pelo menos n pontos cr´ıticos distintos para ϕ|

. Como

= inf

ϕ ´e um valor cr´ıtico, ent˜ao o inﬁmo de ϕ|

´e atingido.

Cap´ıtulo 2

O problema de Brezis-Nirenberg

Neste cap´ıtulo estudaremos o problema (P

) abaixo. Utilizando-se de auto-fun¸c˜oes positivas

para o Laplaciano, provaremos que o problema (P

) tem solu¸c˜ao somente se λ < λ

(Ω). Por

interm´edio da identidade de Pohozaev e do conceito de dom´ınio e strelado provaremos que se

Ω for um dom´ınio estrelado, ent˜ao o problema (P

) possui solu¸c˜ao apenas se 0 < λ < λ

(Ω).

)











−∆u = λu + |u|

∗

−2

u em Ω,

u > 0 em Ω,

u = 0 em ∂Ω,

onde Ω ´e um dom´ınio limitado e suave de R

com N ≥ 4.

Proposi¸c˜ao 2.1. Se (P

) tem solu¸c˜ao n˜ao-trivial ent˜ao λ < λ

(Ω).

Demonstrac¸

ao. Seja e

∈ H

(Ω) uma auto-fun¸c˜ao positiva de −∆ correspondente ao auto

valor λ

= λ

(Ω)(veja [10]). Se u ´e solu¸c˜ao de (P

), ent˜ao usando o teorema do divergente e

o fato de que −∆e

= λ

(Ω)e

obtemos



Ω

= −



Ω

∗

−1

+ ∆u)e

< −



Ω

∆ue

= −



Ω

∆e

u = λ

(Ω)



Ω

portanto λ < λ

(Ω).

O conceito a seguir, bem como a propriedade citada, est˜ao no apˆendice.

Diremos que um dom´ınio limitado suave Ω ´e estrelado, quando existir um ponto x ∈ Ω

tal que qualquer semi-reta com origem nesse ponto encontra ∂Ω em um ´unico ponto, tamb´em

diremos que Ω ´e estrelado em x. Se Ω for estrelado na origem, ent˜ao para todo y ∈ ∂Ω

y · ν ≥ 0 , onde ν ´e a normal exterior unit´aria em y.

Nosso objetivo agora ´e mostrar que, se Ω ´e estrelado, ent˜ao o problema (P

) n˜ao possui

solu¸c˜ao se λ ≤ 0. Para tanto, vamos usar o seguinte resultado, cuja prova pode ser encontrada

no Apˆendice A.1. Esta identidade ´e devida a Pohozaev.

Teorema 2.2 (Identidade de Pohozaev). Seja u ∈ H

loc

(Ω) uma solu¸c˜ao fraca de

(P )







−∆u = f(u) em Ω,

u ∈ H

(Ω),

onde f ∈ C

(R, R), Ω ⊂ R

´e um dom´ınio suave estrelado e N ≥ 3. Se F (ξ) =



f(s)ds ∈

(Ω), ent˜ao



∂Ω

|∇u|

(x · ν)dS = N



Ω

F (u)dx −

N − 2



Ω

|∇u|

dx.

Onde ν denota o vetor normal exterior unit´aria em ∂Ω.

Suponha agora que Ω ´e estrelado e que u ∈ H

(Ω) ´e solu¸c˜ao fraca positiva de (P

Argumentos de regularidade el´ıpitica monstram que u ∈ C

(Ω)∩C

(

Ω). Usando a Identidade

de Pohozaev com f(u) = λu + u

∗

−1

obtemos



Ω



∂Ω

|∇u|

x · νdS.

Como nosso problema ´e invariante por transla¸c˜ao, ent˜ao podemos supor que Ω ´e estrelado

na origem, assim x · ν ≥ 0 sobre ∂Ω. Portanto da ´ultima equa¸c˜ao obtemos que λ ≥ 0. Se

λ = 0 ent˜ao ∇u = 0 sobre ∂Ω ent˜ao de (P

) e do teorema do divergente obtemos que

0 = −



Ω

∆u =



Ω

∗

−1

assim u = 0, mas isto contraria o fato de u ser positiva.

O teorema a seguir ´e um resultado famoso devido a Brezis-Nirenberg [8].

Teorema 2.3 (Br´ezis-Nirenberg). Seja Ω ⊂ R

um dom´ınio limitado e suave, N ≥ 4 e

0 < λ < λ

(Ω). Ent˜ao o problema (P

) tem solu¸c˜ao.

Para dar prosseguimento ao nosso estudo, introduzimos os seguintes espa¸cos

1,2

(Ω) = {u ∈ L

∗

(Ω) : ∇u ∈ L

(Ω)} ,

e D

1,2

(Ω) ´e o fecho, na m´etrica da convergˆencia uniforme, do conjunto das func˜oes de suporte

compacto contido em Ω.

No decorrer de nosso trabalho ser´a de muita importˆancia a utiliza¸c˜ao da constante de

Sobolev

S = inf

u∈D

1,2

)

|u|

∗

|∇u|

O Teorema A.3 do apˆendice nos garante que a constante S ´e atingida. Logo existe u ∈

1,2

) tal que



|∇u|

dx = S, |u|

∗

= 1.

Pode-se mostrar (cf.[25]), que as fun¸c˜oes que realizam esse m´ınimo est˜ao relacionadas com

a fun¸c˜ao

U(x) =

(1 + |x|

)

(N−2)/2

, (2.1)

em que C

= N(N − 2)

(N−2)/4

. A fun¸c˜ao acima ´e tal que



|∇U|

dx = S

N/2



|U|

∗

dx.

Desse modo, se u =

|U|

∗

, ent˜ao |u|

∗

= 1 e



|∇u|

dx = S.

Proposi¸c˜ao 2.4. Para todo subconjunto aberto Ω de R

tem-se

S(Ω) = inf

u∈D

1,2

(Ω)

|u|

∗

|∇u|

= S.

Al´em disso, S(Ω) nunca ´e atingido exceto quando Ω = R

Demonstrac¸

ao. Da deﬁni¸c˜ao de ´ınﬁmo temos que S ≤ S(Ω). Seja (u

) ⊂ C

∞

)

uma sequˆencia minimizante para S. Podemos usar dilata¸c˜ao e transla¸c˜ao de modo que o

suporte dessas fun¸c˜oes estejam em Ω, assim existem y

⊂ R

e λ

> 0 tais que deﬁnindo-se

,λ

(x) = λ

(N−2)/2

(λ

x + y

), temos

,λ

∈ C

∞

(Ω).

Assim S(Ω) ≤ |∇u

,λ

→ S e portanto S(Ω) ≤ S.

Suponha que Ω = R

e que u ∈ D

1,2

(Ω) ´e um m´ınimo para S(Ω), do passo anterior

conclu´ımos que u quando estendida para R

, de maneira que ela seja nula fora de Ω, ´e

tamb´em um m´ınimo para S. Como |∇u|

= |∇(|u|)|

, ent˜ao |u| ≥ 0 ´e tamb´em um m´ınimo

para S, portanto podemos supor que u ≥ 0. Temos o seguinte problema de minimiza¸c˜ao

com v´ınculo

ϕ(u) =



Ω

|∇u|

dx, ψ(u) =



Ω

|u|

∗

dx, S = inf

ψ(u)=1

ϕ(u).

Conforme Apˆendice A.3, ambos os funcionais s˜ao de classe C

(Ω), R). Pelo Teorema do

Multiplicador de Lagrange, existe λ tal que



(u)φ = λψ



(u)φ, para toda φ ∈ H

(Ω).

Tomando-se φ = u e usando o Teorema da Divergˆencia, obtemos

−∆u = λu

∗

−1

em R

Assim −∆u ≥ 0. Argumentos de regularidade el´ıptica mostram que u ∈ C

) (ver [23]).

Seja B = B

(0) tal que Ω esteja contido propriamente em B. Como u ≥ 0 em R

, aplicamos

o Princ´ıpio do M´aximo Forte em u deﬁnida sobre B, assim u > 0 sobre B . Mas isto ´e absurdo

uma vez que u ´e nula em R

\ Ω.

2.1 Prova do Teorema de Existˆencia

Nesta se¸c˜ao provaremos o Teorema 2.3. Consideramos o espa¸co H

(Ω) munido da norma

u =





Ω

|∇u|



1/2

Em alguns casos utilizaremos, apenas para n˜ao carregar a nota¸c˜ao, a seguinte norma

u





Ω

[|∇u|

− λu

]dx



1/2

Esta norma est´a bem deﬁnida quando 0 < λ < λ

(Ω). De fato, basta tomar

C = 1 + min{0, −λ/λ

(Ω)} > 0,

e observar que

u

≥ Cu

A desigualdade acima, tamb´em, mostra que as normas  ·  e  · 

, s˜ao equivalentes.

Dizemos que u ∈ H

(Ω) ´e solu¸c˜ao fraca de (P

), se



Ω

∇u∇φdx = λ



Ω

uφdx +



Ω

)

∗

−1

φdx , para toda φ ∈ H

(Ω).

Uma solu¸c˜ao cl´assica de (P

) ´e uma fun¸c˜ao u ∈ C

(Ω) ∩ C(

Ω) que satisfaz as condi¸c˜oes

exigidas no problema. Observe que se u ´e solu¸c˜ao cl´assica de (P

), ent˜ao tomando-se

φ ∈ C

∞

(Ω), obtemos

−∆uφ = λuφ + u

∗

−1

φ.

Integrando sobre Ω e usando o Teorema do Divergente, obtemos



Ω

−∆uφdx =



Ω

∇u · ∇φdx =



Ω

λuφdx +



Ω

∗

−1

φdx.

Assim toda solu¸c˜ao cl´assica de (P

) ´e uma tamb´em uma solu¸c˜ao fraca. Argumentos de

regularidade el´ıptica ( veja[23] ) monstram que se u ∈ H

(Ω) satisfaz a igualdade acima

ent˜ao u ∈ C

(Ω) ∩ C(

Ω).

Procuraremos resolver (P

) obtendo pontos cr´ıticos n˜ao-triviais do funcional

: H

(Ω) → R,

deﬁnido por

(u) =



Ω

|∇u|

dx −



Ω

λ|u|

dx −

∗



Ω

)

∗

dx,

Conforme Apˆendice A.3 este funcional ´e de classe C

(Ω), R), com derivada dado por

ϕ



(u), φ =



Ω

∇u∇φdx − λ



Ω

uφdx −



Ω

)

∗

−1

φdx , para toda φ ∈ H

(Ω).

Se u ´e um ponto cr´ıtico de ϕ

, isto ´e ϕ



(u) = 0, ent˜ao

ϕ



(u), φ = 0 para toda φ ∈ C

∞

(Ω).

Portanto, os pontos cr´ıticos de ϕ

s˜ao precisamente as solu¸c˜oes fracas do nosso problema.

Primeiramente, mostraremos que o funcional associado ao problema satisfaz a condi¸c˜ao de

Palais-Smale abaixo do n´ıvel c

∗

= S

N/2

/N. A parte mais delicada ser´a mostrar que o valor c

(este ´e c do Teorema do Passo da Montanha) est´a abaixo desse n´ıvel e que o funcional tem

a geometria do Passo da Montanha.

Lema 2.5. Se (u

) ⊂ H

(Ω) ´e tal que

d = sup

) < c

∗

N/2

, lim

n→∞

ϕ



) = 0,

ent˜ao (u

) possui uma subsequˆencia convergente.

Demonstrac¸

ao. Como lim

n→∞

ϕ



) = 0, existe n

tal que

1 − ϕ



) ≥ 0, se n ≥ n

de modo que

1 −

∗

ϕ



), u

 ≥ 1 −

∗

u

, se n ≥ n

Portanto, para C = 1 + min{0, −λ/λ

(Ω)} > 0, temos

d + 1 + u

 ≥ ϕ

) −

∗

ϕ



), u

 =



−

∗



(u



− λ|u

) ≥ Cu



de onde conclu´ımos que (u

) deve ser limitada, pois se n˜ao fosse assim, ent˜ao a menos de

subsequˆencia, e dividindo a ultima desigualdade por u

, ter´ıamos

u



u



+ 1 ≥ Cu

, com lim

n→∞

u

 = ∞.

Mas isto ´e absurdo, logo (u

) ´e limitada em H

(Ω). Portanto passando a subsequˆencia se

necess´ario, podemos supor a existˆencia de u ∈ H

(Ω), tal que

 u em H

(Ω),

→ u em L

(Ω),

→ u q.t.p. em Ω.

Onde usamos o fato de ser H

(Ω) reﬂexivo( assim toda sequˆencia limitada possui sub-

sequˆencia fracamente convergente ), H

(Ω) → L

(Ω) ser uma imers˜ao compacta (assim

toda sequˆencia que converge fraco em H

(Ω) converge forte em L

(Ω))e resultados da teo-

ria de Medida (se temos convergˆencia forte em L

(Ω), ent˜ao tamb´em temos, a menos de

subseq¨uˆencia, convergˆencia quase sempre). Como H

(Ω) → L

(Ω) ´e uma imers˜ao com-

pacta para s = 2

∗

− 1, ent˜ao por resultados da teoria da medida (veja [11]), a menos de

subsequˆencia, existe h

∈ L

(Ω) tal que

→ u em L

(Ω),

(x) → u(x) q.t.p em Ω,

(x)| ≤ h

(x) x ∈ Ω.

Assim, para φ ∈ C

∞

(Ω)

)

φ → (u

)

φ q.t.p em Ω

|(u

)

φ| ≤ K|u

≤ Kh

∈ L

(Ω) para alguma constante K.

Logo, usando o Teorema da Converguˆencia Dominada de Lebesgue,



Ω

)

∗

−1

φdx →



Ω

)

∗

−1

φdx, para toda φ ∈ C

∞

(Ω),

por densidade tal convergˆencia ´e valida para toda φ ∈ H

(Ω)

e por passagem ao limite fazendo φ = u, observe que em princ´ıpio n˜ao sabemos se

u ∈ C

∞

(Ω).



Ω

)

∗

−1

udx →



Ω

)

∗

dx,

Assim,

lim

n→∞



Ω

[∇u

∇u − λu

u − f(u

)u]dx =



Ω

[∇u∇u − λuu − f(u)u]dx,

onde f(u) = (u

)

∗

−1

. Reescrevendo a express˜ao acima como

lim

n→∞

ϕ



), u = ϕ



(u), u.

e lembrando que lim

n→∞

ϕ



), u = 0, obtemos

ϕ



(u), u = 0,

de onde segue que

(u) =



−

∗



∗

≥ 0 (2.2)

Seja v

= u

−u. Um resultado devido `a Br´ezis-Lieb ( veja [7] ), garante que se (u

) ⊂ L

(Ω),

1 ≤ p < ∞, ´e limitada em L

(Ω) e tivermos

(x) → u(x), para quase todo x ∈ Ω,

ent˜ao lim

n→∞

(|u

− |u

− u|

) = |u|

. Usando este fato obtemos



Ω

F (u

)dx =



Ω

F (u) +



Ω

F (v

)dx + o(1), (2.3)

com F (u) =

)

∗

. Devido a imers˜ao H

(Ω) → L

∗

(Ω) ser cont´ınua, ent˜ao (u

) ´e limitada

em L

∗

(Ω), assim

) =

u



−

∗

´e limitada, logo a menos de subsequˆencia, existe c tal que

) → c ≤ d.

Usando isto, (2.3) e o fato de que

lim

n→∞

v



= lim

n→∞

(u



− u

obtemos que

(u) +

v



−



Ω

F (v

)dx → c, (2.4)

como ϕ



), u

 → 0, pois u

´e limitada em H

(Ω), n´os obtemos que

v



− 2

∗



Ω

F (v

)dx → 2

∗



Ω

F (u)dx − u

= −ϕ



(u), u = 0. (2.5)

Sendo v



limitada, a menos de subsequˆencia, podemos assumir que existe b tal que

v



→ b.

Se provarmos que b = 0, ent˜ao o lema estar´a provado, a equa¸c˜ao (2.5) nos diz que

∗



Ω

F (v

)dx → b,

como v



= v



− λ|v

∗

e v

→ 0 em L

(Ω), ent˜ao |∇v

→ b, da deﬁni¸c˜ao de S

obtemos que

|∇v

≥ S|v

∗

≥ S|v

∗

Passando o limite na express˜ao acima temos que b ≥ Sb

2/2

∗

. Caso b = 0 ent˜ao b > S

N/2

mas de (2.2) e (2.4) conclu´ımos que



−

∗



∗

v



−



Ω

F (v

)dx →



−

∗



∗

−

∗

= c,

logo



−

∗



b ≤ c,

portanto

∗



−

∗



N/2

≤



−

∗



b ≤ c ≤ d < c

∗

Contradi¸c˜ao, assim b = 0.

Estamos prontos para prova o Teorema 2.3

Demonstrac¸

ao do Teorema 2.3. Pelo Lema 2.6 existe uma fun¸c˜ao n˜ao-negativa v ∈

(Ω) \ {0} tal que

v

|v|

∗

< S.

Decorre disso que

0 < max

t≥0

(tv) = max

t≥



v

−

∗



Ω

∗



(v

/|v|

∗

)

1/2

N/2

= c

∗

Observe que

(u) ≥

u

−

∗

|u|

∗

≥

u

−

∗

|∇u|

∗

≥

αu

−

u

∗

= u



−

u

∗

−2

∗



Portanto para r suﬁcientemente pequeno

b = inf

u=r

(u) > 0 = ϕ

(0).

Como

(tv) =

v

−

∗



Ω

∗

dx,

lembre que v

= v ≥ 0, ent˜ao

lim

t→∞

(tv) = −∞.

Tomemos t

> 0 tal que

t

v > r, ϕ

v) < 0.

Anteriormente observamos que

max

t∈[0,1]

(tt

v) < c

∗

Para e = t

v (este e ´e o que aparece nas hip´oteses do Teorema 1.6) temos

e > r, b = inf

u=r

(u) > ϕ

(0) = 0.

Lembre que, para o valor c, dado pelo Teorema 1.6

0 < b ≤ c ≤ max

t∈[0,1]

(te) < c

∗

logo podemos aplicar o Teorema 1.6, pois de acordo com o Lema 2.5 o funcional satisfaz

(P S)

, e portanto c ´e um valor cr´ıtico para ϕ

, como c > 0 ent˜ao existe u ∈ H

(Ω) \{0} tal

que ϕ



(u) = 0. Assim

ϕ



(u), φ =



Ω

[∇u∇φ − λuφ − f (u)φ]dx = 0, ∀φ ∈ H

(Ω). (2.6)

Tomando φ = u

−

em (2.6) e usando o Teorema do Divergente, temos

0 =



Ω

[|∇u

−

+ λ|u

−

]dx = u

−



logo u

−

= 0, portanto u ≥ 0. Argumentos de regularidade el´ıptica ( veja [23]) mostram que

u ∈ C

(Ω) ∩C(

Ω), pelo Princ´ıpio do M´aximo Forte temos que u > 0, e assim u ´e solu¸c˜ao do

problema (P

Lema 2.6. Seja Ω um dom´ınio limitado de R

, N ≥ 4. Existe v ∈ H

(Ω)/{0}, v ≥ 0 tal

que

v

|v|

∗

< S

Demonstrac¸

ao. Sem perda de generalidade podemos supor que 0 ∈ Ω, pois estas normas

s˜ao invariante por transla¸c˜oes. Seja

(x) =

[N(N − 2)ε]

(N−2)/4

[ε + |x|

]

(N−2)/2

Observe que |∇U

= |∇U|

, |U

∗

= |U|

∗

, para todo ε > 0, em que U ´e a fun¸c˜ao deﬁnida

na equa¸c˜ao (2.1). Seja ψ ∈ C

∞

) tal que

(i) 0 ≤ ψ ≤ 1

(ii) ψ(x) =











1 se |x| ≤ R,

0 se |x| ≥ 2R,

em que R > 0 ´e tal que B

(0) ⊂ Ω. Seja u

(x) = ψ(x)U

(x), conforme Apˆendice A.4, temos

que

(a) |∇u

= S

N/2

+ O(ε

(N−2)/2

)

(b) |u

∗

= S

N/2

+ O(ε

N/2

)











ε + O(ε

(N−2)/2

) se N ≥ 5,

|log ε| + O(ε) se N = 4,

quando ε → 0. Deixamos as assertivas abaixo para serem veriﬁcadas, pelo leitor

se y(ε) =

(N−2)/2

+ O(ε

N/2

)

ent˜ao y(ε) =

(N−2)/2

+ O(ε

N/2

se y(ε) = (S

N/2

+ O(ε

N/2

))

2/2

∗

ent˜ao y(ε) = S

(N−2)/2

+ O(ε

N/2

A ´ultima igualdade veriﬁca-se usando o Teorema do Valor M´edio para h(t) = t

2/2

∗

e es-

crevendo

y(ε) = y = (S

N/2

+ O(ε

N/2

))

2/2

∗

− (S

N/2

)

2/2

∗

= h



(c)O(ε

N/2

Veja que h



De posse desses fatos temos que, se N ≥ 5

u



∗

N/2

+ λK

ε + O(ε

(N−2)/2

)

N/2

+ O(ε

N/2

))

2/2

∗

= (S

N/2

+ λK

ε + O(ε

(N−2)/2

)) ·



(N−2)/2

+ O(ε

N/2

)



= S +

λK

(N−2)/2

ε + O(ε

(N−2)/2

)

onde usamos o fato de que para ε pequeno

se y(ε) = O(ε

(N−2)/2

)O(ε

N/2

) ent˜ao y(ε) = O(ε

(N−2)/2

)

se y(ε) = O(ε

(N−2)/2

) + O(ε

N/2

) ent˜ao y(ε) = O(ε

(N−2)/2

Para ε > 0 pequeno temos que

λK

(N−2)/2

ε + O(ε

(N−2)/2

) < 0,

e portanto

u



|u|

∗

< S.

Se N = 4 ent˜ao

u



∗

+ λK

|log ε| + O(ε)

+ O(ε

))

1/2

Analogamente ao caso anterior

u



∗

= S +

λK

|log ε|

+ O(ε) com λ < 0.

Ent˜ao, para ε > 0 suﬁcientemente pequeno,

λK

|log ε|

+ O(ε) < ∞ ,

pois

lim

ε→0

|log ε|

= +∞.

Assim para ε > 0 suﬁcientemente pequeno

u



∗

< S.

Cap´ıtulo 3

Multiplicidade de Solu¸c˜oes

Neste cap´ıtulo estudaremos multiplicidade de solu¸c˜oes para o problema

)











−∆u = λu + u|u|

∗

−2

u em Ω,

u > 0 em Ω,

u = 0 em ∂Ω,

Onde Ω ⊂ R

´e um dom´ınio limitado, suave e N ≥ 4. No cap´ıtulo anterior provamos que

o problema acima tem solu¸c˜ao positiva se λ ∈ (0, λ

(Ω)). O objetivo deste cap´ıtulo ´e reunir

elementos suﬁcientes para provar o Teorema 3.1. A t´ecnica que usamos ´e devida a Benci-

Cerami [4], que estudaram o caso subcr´ıtico. Esta t´ecnica consiste em relacionar a topologia

de Ω com a topologia de certos conjuntos de n´ıvel do funcional associado ao problema, a

categoria desse conjunto de n´ıvel fornece um estimativa para o n´umero de solu¸c˜oa de (P

O caso cr´ıtico ´e devido a Lazzo [17], quando N ≥ 4 e a Rey [22] quando N ≥ 5.

Teorema 3.1. Existe λ

∗

∈ (0, λ

(Ω)) tal que, para todo λ ∈ (0, λ

∗

) o problema (P

) tem

pelo menos cat

Ω

(Ω) solu¸c˜oes positivas.

O cap´ıtulo esta dividido da seguinte maneira: na primeira se¸c˜ao provamos um resultado

de concentra¸c˜ao de compacidade cuj os estudos foram come¸cados por Lions [19] e [20], uti-

lizamos este resultado para podermos estimar a categoria que aparece no teorema abstrato de

multiplicidade 1.17 por cat

Ω

(Ω). Na segunda se¸c˜ao provamos que ϕ satisfaz as hip´oteses do

teorema abstrato de multiplicaidade 1.17, assim obtemos pelo menos a categoria do conjunto

de n´ıvel (que apare¸ce no teorema) solu¸c˜oes para (P

) .

3.1 Um resultado de concentra¸c˜ao de compacidade

Denotaremos por M(R

) o espa¸co de Banach da medidas de Radon ﬁnitas sobre R

, com

a norma

µ = sup

φ∈C

)

φ≤1

|µ(φ)|.

Dizemos que uma sequˆencia (f

) converge fracamente para µ em M(R

) se



φdx →



φdµ para toda φ ∈ C

∞

Pelo teorema de Banach-Alaoglu, toda sequˆencia limitada (f

) possui uma subsequˆencia

fracamente convergente para uma medida em M(R

). Para maiores de talhes veja [11].

Uma medida ω ∈ M(R

) est´a concentrada em um ponto y ∈ R

, quando a medida de

qualquer conjunto F ⊂ R

´e igual a medida de R

se F ∩{y} = ∅ ou ´e nula se F ∩{y} = ∅.

Lema 3.2 (Concentra¸c˜ao de Compacidade). Seja (u

) ⊂ D

1,2

) uma sequˆencia tal que

 u em D

1,2

), (3.1)

|∇(u

− u)|

 µ em M(R

), (3.2)

− u|

∗

 ν em M(R

), (3.3)

−→ u q.t.p. em R

. (3.4)

Deﬁna

∞

= lim

R→∞

lim

n→∞



|x|>R

|∇u

dx, ν

∞

= lim

R→∞

lim

n→∞



|x|>R

∗

dx. (3.5)

Ent˜ao

ν

2/2

∗

≤ S

−1

µ, (3.6)

2/2

∗

∞

≤ S

−1

∞

, (3.7)

lim

n→∞

|∇u

= |∇u|

+ µ + µ

∞

, (3.8)

lim

n→∞

∗

= |u|

∗

+ ν + ν

∞

. (3.9)

Al´em disso, se u = 0 e ν

2/2

∗

= S

−1

µ, ent˜ao cada uma das medidas µ e ν se concentra

em um ´unico ponto.

Demonstrac¸

ao. Suponha inicialmente que u = 0 e escolha h ∈ C

∞

). Da deﬁni¸c˜ao de

S obtemos que





|hu

∗



2/2

∗

≤ S

−1



|∇(hu

dx =

−1



|∇(u

+ 2hu

∇u

∇h + u

|∇h|

)dx.

Como u

→ 0 em L

loc

), pois H

(Ω) → L

(Ω) ´e uma imers˜ao compacta quando Ω ´e

limitado, podemos tomar limite em ambos os menbros da desigualdade acima e usar (3.1),

(3.2) e (3.3) para obter





|h|

∗

dν



2/2

∗

≤ S

−1



|h|

dµ. (3.10)

Para R > 1, seja ψ

∈ C

) tal que ψ

(x) = 1, para |x| > R + 1, ψ

(x) = 0 para |x| < R

e 0 ≤ ψ

(x) ≤ 1 para x ∈ R

. Usando a deﬁni¸c˜ao de S, obtemos





|ψ

∗



2/2

∗

≤ S

−1



|∇(ψ

≤ S

−1



(ψ

|∇u

+ 2∇ψ

∇ψ

∇u

+ u

|∇ψ

)dx.

Como |∇ψ

| ∈ C

), u

→ 0, em L

loc

), u

 0 em D

1,2

), ent˜ao

lim

n→∞





|ψ

∗



≤ S

−1

lim

n→∞



|∇u

dx. (3.11)

Por outro lado



|x|>R+1

|∇u

dx ≤



|∇u

|ψ

dx ≤



|x|>R

|∇u

dx,



|x|>R+1

∗

dx ≤



∗

|ψ

∗

dx ≤



|x|>R

|∇u

dx.

Passando nas duas des igualdades acima, primeiramente o liminf e depois fazendo R → ∞,

obtemos de (3.5) que

∞

= lim

R→∞

lim

n→∞



|x|>R

|∇u

, ν

∞

= lim

R→∞

lim

n→∞



|x|>R

∗

Mas ent˜ao de (3.11) fazendo R → ∞ obtemos (3.7), isto ´e

2/2

∗

∞

≤ S

−1

∞

Suponha agora que ν

2/2

∗

= S

−1

µ. Aplicando a desigualdade de H¨older `a (3.10), para

h ∈ C

), obtemos



|h|

∗

dν ≤ S

−2/2

∗

µ

2/(N−2)



|h|

∗

dµ (3.12)

Portanto, para todo conjunto F ⊂ R

temos

ν(F ) ≤ S

−2/2

∗

µ

2/(N−2)

µ(F )

Aﬁrmamos que ν = S

−2

∗

µ

2/(N−2)

µ. De fato, supondo que isto n˜ao seja verdade, obtem-se

um conjunto Γ ⊂ R

tal que

ν(Γ) < S

−2

∗

µ

2/(N−2)

µ(Γ)

assim

ν =



dν +



/Γ

dν <



−2

∗

µ

2/(N−2)

dµ +



/Γ

−2

∗

µ

2/(N−2)

dµ.



−2

∗

µ

2/(N−2)

dµ = S

−2

∗

µ

∗

Assim conclu´ımos que ν < S

−2

∗

µ

∗

o que contradiz (3.12). Logo

ν = S

−2

∗

µ

2/(n−2)

µ, de (3.10) obtemos, para h ∈ C

), que





|h|

∗

dν



1/2

∗

ν

1/N

≤





|h|

dν



1/2

Ent˜ao, para cada aberto Ω obtemos

ν(Ω)

1/2

∗

ν(R

)

1/N

≤ ν(Ω)

1/2

Se ν(Ω) = 0 ent˜ao ν(R

)

1/N

≤ ν(Ω)

1/N

, logo

ν(R

) ≤ ν(Ω) ≤ ν(R

Portanto, ν(R

) = ν(Ω). Assim a ν-medida de cada conjunto Ω ou ´e nula ou ´e total, isto ´e

ν(Ω) = ν(R

), o que implica que a medida est´a concentrada em um ´unico ponto.

Agora considere o caso geral. Deﬁna v

= u

− u, Como u

 u em D

1,2

) e

|∇(u

− u)|

 µ em M(R

), obtemos

|∇u

 µ + |∇u|

em M(R

)

Usando o Lema de Br´ezis-Lieb (veja [7], [24] ou Apˆendicˆe A.6), obtemos que



h|u|

∗

dx = lim

n→∞





h|u

∗

dx −



h|v

∗



Como |v

∗

 ν em M(R

) ent˜ao

∗

 ν + |u|

∗

em M(R

Como u

 u em D

1,2

) ent˜ao

lim

n→∞



|x|>R

|∇v

dx =



lim

n→∞



|x|>R

|∇u

dx − 2 lim

n→∞



|x|>R

∇u

∇udx +



|x|>R

|∇u|



lim

n→∞



|x|>R

|∇u

dx −



|x|>R

|∇u|

dx,

assim

lim

R→∞

lim

n→∞



|x|>R

|∇v

= µ

∞

Usando novamente Brezis-Lieb,



|x|>R

|u|

∗

= lim

n→∞





|x|>R

∗

−



|x|>R

∗



de modo que

lim

R→∞

lim

n→∞



|x|>R

∗

= ν

∞

o que prova (3.7). Para R > 1, usando os fatos de que |∇u

 µ + |∇u|, 1 −ψ

∈ C

)

lim

n→∞



|∇u

dx = lim

n→∞





(ψ

|∇u

+ (1 − ψ

)|∇u

)dx



lim

n→∞



|∇u

dx +



(1 − ψ

)dµ +



(1 − ψ

)|∇u|

dx.

FazendoR → ∞, usando o Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue, conclu´ımos

que

lim

n→∞



|∇u

dx = µ

∞



dµ +



|∇u|

dx = µ

∞

+ ||µ|| + |∇u|

a prova de (3.9) ´e an´aloga

3.2 Prova do Teorema 3.1

No decorrer do cap´ıtulo vamos trabalhar no espa¸co H

(Ω) munido da norma

u =





Ω

|∇u|



1/2

Conforme Apˆendice A.4 o funcional

ψ(u) =



Ω

)

∗

´e de classe C

(Ω), R). Consideremos o funcional quadr´atico

ϕ(u) =



Ω

|∇u|

dx − λ



Ω

sobre a variedade

V = {u ∈ H

(Ω) : ψ(u) = 1}.

Este funcional tem derivada

ϕ



(u), φ = 2



Ω

∇u∇φdx − 2λ



Ω

uφdx

com φ ∈ H

(Ω). Suponha que u ∈ V ´e ponto cr´ıtico de ϕ|

. Segue do Corol´ario 1.8 que

existe ˜µ ∈ R tal que



Ω

∇u · ∇vdx − 2λ



Ω

uvdx = 2

∗

˜µ



Ω

)

∗

−1

vdx, ∀v ∈ H

(Ω),

escolhendo-se µ adequado, temos que



Ω

∇u · ∇vdx − λ



Ω

uvdx − µ



Ω

)

∗

−1

vdx = 0, ∀v ∈ H

(Ω).

Fazendo v = u

−

, obtemos que u

−



= 0, e portanto u ≥ 0. Como u ∈ V ent˜ao fazendo

u = v obtemos que ϕ(u) = µ, ent˜ao µ = 0 pois u ∈ V . Fazendo a nova escolha w = µ

(N−2)/4

temos



Ω

∇w · ∇vdx − λ



Ω

wvdx −



Ω

(w)

∗

−1

vdx = 0, ∀v ∈ H

(Ω).

Seja ϕ

o funcional associado ao problema (P

) que aparece no Cap´ıtulo 2 e observemos que

ϕ



(w), v = µ

(N−2)/4

ϕ



(u) − µψ(u), v = 0 para toda v ∈ H

(Ω).

Portanto, para obter solu¸c˜oes de (P

), ´e suﬁciente encontrar pontos c r´ıticos de ϕ|

. Para

fazermos isso, devemos buscar meios de provar que ϕ satisfaz todas as hip´otese do Teorema

1.17.

No lema a seguir, ϕ

´e o funcional, associado ao problema (P

Lema 3.3. Qualquer sequˆencia (u

) ⊂ V tal que

ϕ(u

) → c < S, ϕ



)

∗

→ 0,

cont´em uma subsequˆencia convergente.

Demonstrac¸

ao. Do Lema 1.7 obtemos uma sequˆe ncia (µ

) ⊂ R tal que

ϕ



) − µ



) → 0 em (H

(Ω))

∗

, portanto



) −



) → 0.

Como u

∈ V ent˜ao

ϕ(u

) −

ϕ



), u

 −

ψ



), u

 → 0

segue que

→ 2c.

Fa¸camos t



∗



(N−2)/4

. Para w

= t

temos



) = t

(N−2)/4

(ϕ



) − µ



)) → 0 em (H

(Ω))

∗

Isto ´e ϕ



) → 0. E portanto

) → c

N/2

/N < S

N/2

/N.

Ent˜ao (w

) ´e uma seq¨uˆencia de Palais-Smale para ϕ

. Pelo Teorema 1.4, (w

) possui sub-

sequˆencia convergente, e o mesmo deve ocorrer com (u

Lema 3.4. Seja N ≥ 4 e 0 < λ < λ

(Ω), ent˜ao

= m(λ, Ω) = inf

u∈V

(u) < S,

e existe u ∈ V tal que ϕ

(u) = m

Demonstrac¸

ao. Conclu´ımos do Lema 2.6 que m

< S, pois para v dada pelo lema temos

≤ ϕ(v) < S. O Lema 3.3 nos d´a condi¸c˜oes para aplicarmos o Teorema 1.17, e assim

obtemos a existˆencia de u ∈ V tal que ϕ(u) = m

Deﬁniremos sobre V a seguinte aplica¸c˜ao

u → β(u) =



Ω

)

∗

xdx.

Lema 3.5. Se (u

) ⊂ V ´e tal que u



→ S, ent˜ao dist(β(u

), Ω) → 0.

Demonstrac¸

ao. Suponhamos que a aﬁrma¸c˜ao do lema n˜ao ocorra, ent˜ao dist(β(u

), Ω)

n˜ao pode convergir para 0. Portanto podemos supor que existem u ∈ H

) e r > 0 tais

que, a menos de subsequˆencia

dist(β(u

), Ω) > r > 0 ,

 u em D

1,2

|∇(u

− u)|

 µ em M(R

− u|

∗

→ ν em M(R

→ u q.t.p. em Ω,

Onde consideramos u

como uma fu¸c˜ao de R

que se anula fora de Ω. Estamos agora nas

hip´oteses do Lema 3.2, portanto

lim

n→∞

|∇u

= |∇u|

+ µ + µ

∞

, lim

n→∞

∗

= |u|

∗

+ ν + ν

∞

Como Ω ´e limitado, ent˜ao fora de uma bola de raio suﬁcientemente grande nossas fun¸c˜oes

s˜ao nulas, e assim µ

∞

= 0 e ν

∞

= 0. Logo

S = lim

n→∞

u



= |∇u|

+ ν, 1 = |u|

∗

+ µ,

pois u ∈ V , isto ´e |u

∗

= 1, e portanto S ≤ u



≤ u



→ S. Decorre tamb´em do

Lema 3.2 que

ν

2/2

∗

≤ S

−1

µ, |u|

∗

≤ S

−1

|∇u|

As express˜oes acima implicam que |u|

∗

e ν s´o podem assumir os valores 0 ou 1. De fato,

se ambos valores forem n˜ao nulos, isto ´e positivos, ent˜ao podemos usar o fato de a aplica¸c˜ao

x → x

para 0 < t < 1 e x > 0 ser tal que (x + y)

< x

+ y

com x, y > 0 e concluir usando

t = 2/2

∗

que

1 = S

−1

S = S

−1

(u

+ µ) = S

−1

u

+ S

−1

µ

≥ |u|

∗

+ ν

2/2

∗

= (|u|

∗

)

2/2

∗

+ ν

2/2

∗

> (|u|

∗

+ ν)

2/2

∗

= 1,

que ´e contradi¸c˜ao. Se u ´e n˜ao nula, neste caso |u|

∗

= 1, ent˜ao como S = |∇u|

+ ν, 1 =

|u|

∗

+ µ, e assim u

≤ S, da deﬁni¸c˜ao de S obtemos u

≥ S e portanto u

= S,

mas isto ´e contradi¸c˜ao em vista da Proposi¸c˜ao 2.4. Logo u = 0, e do Lema 3.2, conclu´ımos

que a medida ν esta concentrada em uma ponto y. Como as fun¸c˜oes u

se anulam fora de

Ω, e u = 0, ent˜ao temos que

∗

→ ν em M(

Ω),

e portanto y ∈

Ω. Mas ent˜ao

β(u

) =



Ω

)

∗

xdx →



Ω

xdν = y ∈

Ω,

o que contradiz dist(β(u

), Ω) > r > 0.

Como Ω ´e um dom´ınio limitado suave de R

, podemos escolher r > 0 suﬁcientemente

pequeno, de modo que os conjuntos abaixo

Ω

= {x ∈ R

: dist(x, Ω) < r} e Ω

−

= {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > r},

sejam tais que cat

Ω

(Ω) = cat

Ω

(Ω

−

). Como o problema ´e invariante por transla¸c˜ao , podemos

supor que B

(0) ⊂ Ω. No que segue, denotaremos por

λ,r

= inf





(0)

|∇u|

− λu



(0)

)

∗

= 1



Observe, de acordo com o Lema 3.4, que m

λ,r

< S.

Lema 3.6. Existe λ

∗

∈ (0, λ

(Ω)) tal que para λ ∈ (0, λ

∗

), tem-se

β(u) ∈ Ω

sempre que u ∈ ϕ

λ,r



u :



Ω

)

∗

dx = 1, ϕ(u) ≤ m

λ,r



Demonstrac¸

ao. O Lema 3.5 implica que se u

esta pr´oximo de S, ent˜ao β(u) esta

pr´oximo de Ω. Sendo assim deve existir ε > 0 tal que

β(u) ∈ Ω

sempre que u ∈ V, u

≤ S + ε.

Como S ≤ u



≤ u

pois u ∈ V , podemos supor que u

esta pr´oxima de S pela

esquerda. Fa¸camos a escolha

∗

ελ

(Ω)

S + ε

< λ

(Ω)

Seja u ∈ ϕ

λ,r

e λ ∈ (0, λ

∗

). Ent˜ao, da deﬁni¸c˜ao de λ

(Ω) e como m

λ,r

< S obtemos

(Ω)|u|

− λ|u|

≤ u

− λ|u|

≤ m

λ,r

< S.

Portanto,

|u|

(Ω) − λ

Assim

u

≤ m

λ,r

+ λ|u|

≤ S +

λS

(Ω) − λ

sendo λ < λ

∗

= ελ

(Ω)/(S + ε), ent˜ao λS/(λ

(Ω) − λ) < ε e assim

u

≤ m

λ,r

+ λ|u|

≤ S +

λS

(Ω) − λ

≤ S + ε.

Donde concluimos que β(u) ∈ Ω

Lema 3.7. Seja N ≥ 4 e λ

∗

dado no Lema 3.6. Se λ ∈ (0, λ

∗

), ent˜ao cat

λ,r

(ϕ

λ,r

) ≥

cat

Ω

(Ω).

Demonstrac¸

ao. Seja v ∈ V tal que ϕ(v) = m

λ,r

, esta escolha ´e poss´ıvel pois λ

∗

< λ

(Ω) ≤

(0)), esta fun¸c˜ao ´e radial, pois apartir de um multiplo dela, obtemos uma solu¸c˜ao de

), de acordo com o Apˆendice A.5 esta fun¸c˜ao deve ser radial. Deﬁna γ : Ω

−

→ ϕ

λ,r

por

γ(y)(x) =











v(x − y), x ∈ B

(y),

0, x /∈ B

(y).

Como v ´e radial e positiva com |v|

∗

= 1, ent˜ao

β(γ(y)) =



(0)

(γ(y)(x))

∗

xdx =



(0)

(v(x − y))

∗

xdx



(0)

(v(x))

∗

(y − x)dx =



(0)

(v(x))

∗

ydx −



(0)

v(|x|)xdx = y



(0)

(v(x))

∗

dx = y.

Portanto β ◦ γ ´e a identidade.

Seja n = cat

λ,r

(ϕ

λ,r

) e

λ,r

= A

∪ ... ∪ A

onde A

j = 1, ..., n s˜ao conjuntos fechados e contr´ateis em ϕ

λ,r

. Da deﬁni¸c˜ao de conjunto

contr´atil existem h

∈ C([0, 1] × A

, ϕ

λ,r

) tais que, para todo u, v ∈ A

(0, u) = u, h

(1, u) = h

(1, v).

Considere B

= γ

−1

), 1 ≤ j ≤ n. Os conjuntos B

s˜ao fechados e satisfazem

Ω

−

= γ

−1

(ϕ

λ,r

) = γ

−1

∪ ... ∪ A

) = B

∪ ... ∪ B

Para a aplica¸c˜ao

(t, x) = β(h

(t, γ(x))),

temos que g

esta deﬁnida sobre [0, 1] × B

(0, x) = β(h

(0, γ(x))) = β(γ(x)) = x,

(1, x) = β(h

(1, γ(x))) = β(h

(1, γ(y))), ∀x, y ∈ B

Como h

(t, γ(x)) ∈ ϕ

λ,r

, ent˜ao pelo Lema 3.6 h

(t, γ(x)) ∈ Ω

, donde conclu´ımos que B

´e

contr´atil em Ω

. Portanto conclu´ımos

cat

Ω

(Ω) = cat

Ω

(Ω

−

) ≤ n.

Estamos prontos para provar o Teorema 3.1

Demonstrac¸

ao do Teorema 3.1. Como B

(0) ⊂ Ω ent˜ao m

≤ m

λ,r

< S. Dos Lemas

3.3 e 3.4, para m

≤ c ≤ m

λ,r

< S, ϕ satisfaz (P S)

, aplicando o Teorema 1.17 obtemos

pelo menos cat

λ,r

(ϕ

λ,r

) pontos cr´ıticos. O Lema 3.7 implica que para 0 < λ < λ

∗

, ϕ

λ,r

cont´em pelo menos n = cat

Ω

(Ω) pontos cr´ıticos distintos de ϕ, e portanto temos pelo menos

n solu¸c˜oes para o problema (P

)

Apˆendice A

Apˆendice

A.1 Identidade de Pohozaev

Um subconjuto aberto Ω ⊂ R

´e dito estrelado com respeito `a origem se, para cada x ∈

Ω,

o segmento de reta

{λx : 0 ≤ λ ≤ 1},

esta contido em

Ω.

Lema A.1. Suponha que Ω ´e um dom´ınio estrelado com respeito a origem. Ent˜ao

x · ν(x) ≥ 0 para todo x ∈ ∂Ω,

onde ν denota a normal exterior unit´aria.

Demonstrac¸

ao. Sendo Ω um dom´ınio regular, tem-se que ∂Ω ∈ C

. Ent˜ao, para cada

ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que

x − y < δ implica que ν(x) ·

(y − x)

x − y

≤ ε.

Em particular

lim sup

y→x

y∈Ω

ν(x) ·

(y − x)

x − y

≤ 0.

Seja y = λx, onde 0 < λ < 1, ent˜ao y ∈

Ω, sendo Ω estrelado, ent˜ao

ν(x) ·

x

= − lim

λ→1

−

ν(x) ·

(λx − x)

λx − x

≥ 0.

Teorema A.2 (Identidade de Pohozaev). Seja u ∈ H

loc

(Ω) uma solu¸c˜ao fraca de

)







−∆u = f(u) em Ω,

u ∈ H

(Ω),

onde f ∈ C

(R, R), Ω ⊂ R

´e um dom´ınio suave estrelado e N ≥ 3.

Se F (ξ) =



f(s)ds ∈ L

(Ω), ent˜ao u ∈ satisfaz



∂Ω

|∇u|

x · νdS = N



Ω

F (u)dx −

N − 2



Ω

|∇u|

dx.

Demonstrac¸

ao. De (P

) n´os temos que

0 = (∆u + f(u))x · ∇u, u = u(x), em Ω.

Lembrando que u = u(x), e observando que

div(xF (u)) =



(xF (u))

= NF (u) +



f(u) = NF (u) + f(u)x · ∇u,

conclu´ımos que

f(u)x · ∇u = div(xF (u)) − NF (u).

Ap´os c´alculos, veriﬁcamos que

div((x · ∇u)∇u) =



(



))

= |∇u|

+ x · ∇



∇u



+ ∆ux · ∇u

e assim

div((x · ∇u)∇u) = div



∇ux · ∇u − x

|∇u|



N − 2

|∇u|

Agora

0 = ∆ux · ∇u + f(u)x · ∇u =

N − 2

∇u

− NF (u) + div



xF (u) + ∇ux · ∇u − x

|∇u|



assim

div



xF (u) + ∇ux · ∇u − x

|∇u|



= NF (u) −

N − 2

|∇u|

Como u ∈ H

loc

(Ω), e usando o Teorema do Divergente obtemos que



∂Ω



xF (u) + ∇ux · ∇u − x

|∇u|



· νdS =



Ω



NF (u) −

N − 2

|∇u|



dx.

Como u ∈ H

(Ω) ent˜ao u ´e nula na fronteira, assim

F (u) = 0, ∇ em ∂Ω.

Al´em disso

u = (∇u · ν) ν em ∂Ω,

pois para x

∈ ∂Ω e para to da γ : I → ∂Ω tal que γ(0) = x

tem-se que u(γ(t)) =

0 para todo t ∈ I, assim

∇u(x

)) · γ



(0) = 0.

Portanto ∇u(x

) ´e normal `a ∂Ω no ponto x

. Como ν(x

) = ν ´e a normal unit´aria exte-

rior `a ∂Ω em x

, ent˜ao ∇u = (∇u · ν) ν em ∂Ω, assim n´os temos que (∇u · x) (∇u · ν) =

(∇u · ∇u) (x · ν), isto ´e

(∇u · x) (∇u · ν) = |∇u|

(x · ν).

Portanto



∂Ω



xF (u) + ∇(ux · ∇u) − x

|∇u|



· νdS =



∂Ω

|∇u|

x · νdS



Ω



NF (u) −

N − 2

|∇u|



A.2 A constante S

Teorema A.3. Seja (u

) ⊂ D

1,2

) uma sequˆencia tal que

∗

= 1 , lim

n→∞

|∇u

= S.

Ent˜ao existe (y

, λ

) ⊂ R

× (0, ∞) tal que a sequˆencia

(x) = λ

(N−2)/2

(λ

x + y

possui subsequˆencia convergente.Observe que se u ∈ D

1,2

), (y, λ) ∈ R

× (0, ∞) e

v(x) = λ

(N−2)/2

u(λx + y) ent˜ao

|v|

∗

= |u|

∗

e |∇u|

= |∇v|

Demonstrac¸

ao. Deﬁnamos

(λ) = sup

y∈R



(y)

∗

Como

lim

λ→0

(λ) = 0, lim

λ→∞

(λ) = 1,

existe λ

> 0 tal que Q

(λ

) =

. Al´em do mais existe y

∈ R

tal que



)

∗

= Q

(λ

) =

Isto ocorre porque existe uma sequˆencia (y

k,n

) ⊂ R

tal que

lim

k→∞



k,n

)

∗

= Q

(λ

Tal sequˆencia n˜ao pode ser ilimitada pois

lim

|y|→∞



(y)

∗

= 0.

Logo, existe um valor y

tal que, a menos de subsequˆencia, y

k,n

→ y

quando k → ∞.

Usando o Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue obtemos



)

∗

= Q

(λ

) =

Deﬁna v

(x) = u

,λ

(x), temos |v

∗

= |u

∗

= 1, lim

n→∞

|∇v

= |∇u

= S e ap´os

uma mudan¸ca de vari´avel temos



(0)

∗

= sup

y∈R



(y)

∗

. (A.1)

Sendo (v

) limitada em D

1,2

), existe v ∈ D

1,2

) tal que a menos de subsequˆencia

 v em D

1,2

)

|∇(v

− v)|

 µ em M(R

)

− v|

∗

 ν em M(R

)

→ v q.t.p. em R

Mostraremos que v atinge o valor S. O Lema 3.2 implica que

S = lim

n→∞

|∇v

= |∇v|

+ µ + µ

∞

, 1 = lim

n→∞

∗

= |v|

∗

+ ν + ν

∞

(A.2)

ν

2/2

∗

≤ S

−1

µ, ν

2/2

∗

∞

≤ S

−1

∞

(A.3)

Aﬁrmamos que cada valor |v|

∗

, ν e ν

∞

´e igual a 0 ou 1. De fato, se algum destes valores

estivesse no intervalo (0, 1), poder´ıamos usar a desigualdade

(x + y)

< a

+ b

, x, y > 0, 0 < t < 1,

concluindo que

1 = (|v|

∗

+ ν + ν

∞

)

2/2

∗

< |v|

∗

+ ν

2/2

∗

+ ν

2/2

∗

∞

A desigualdade acima, a deﬁni¸c˜ao de S e as equa¸c˜oes (A.2),(A.3) implicam

S < S(|v|

∗

+ ν

2/2

∗

+ ν

2/2

∗

∞

) ≤ |∇v|

+ µ + µ

∞

= S.

O que ´e absurdo. Logo |v|

∗

, ν , ν

∞

∈ {0, 1}. A equa¸c˜ao (A.1) implica que

lim

n→∞



|x|>1

∗

Como



|x|>R

∗

≤



|x|>1

∗

se R > 1,

ent˜ao, ν

∞

≤

, logo ν

∞

= 0. Se ||ν|| = 1 ent˜ao |v|

∗

= 0 e assim v = 0, logo

ν

2/2

∗

≥ S

−1

µ.

De (A.3) conclu´ımos que

ν

2/2

∗

= S

−1

µ.

Como v = 0, segue que a medida ν est´a concentrada em um ´unico ponto z ∈ R

. De (A.1)

obtemos que

= sup

y∈R



(y)

∗

≥



(z)

∗

= lim

n→∞



(z)

dν = v = 1.

E isto ´e uma contradi¸c˜ao. Assim |v|

∗

= 1 e portanto ν = 0, ν

∞

= 0. De (A.2) conclu´ımos

que

|∇v|

= S = lim

n→∞

|∇v

A.3 Funcionais Diferenci´aveis

O obj etivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que os funcionais ϕ

e ϕ dos Cap´ıtulos 2 e 3, respecti-

vamente, s˜ao de classe C

(Ω), R). A maioria dos teoremas ser´a apresentada sem de-

mostra¸c˜ao (para demonstra¸c˜oes ver [9] ou [24]).

Deﬁni¸c˜ao A.4. Seja ϕ : U → R, onde U ´e um subconjunto aberto de um espa¸co de Banach

X. O funcional ϕ tem derivada de Gateaux f ∈ X



em u ∈ Use, para todo h ∈ X,

lim

t→0

[ϕ(u + th) − ϕ(u) − f, th] = 0.

A derivada de Gateaux em u, ser´a denotada por ϕ



(u).

O funcional ϕ tem derivada de Fr´echet f ∈ X



em u ∈ U se

lim

h→0

h

[ϕ(u + h) − ϕ(u) − f, h] = 0.

O funcional ϕ ´e de classe C

(U, R) se a derivada de Fr´echet de ϕ existe e ´e cont´ınua em U.

Se X ´e um espa¸co de Hilbert e ϕ tem derivada de Gateaux em u ∈ U, o gradiente de ϕ

em u, ser´a deﬁnido como o elemento que tem a seguinte propriedade

(∇ϕ



(u), h) = ϕ



(u), h.

Pelo Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz, tal elemento sempre existe e ´e ´unico.

Proposi¸c˜ao A.5. Se ϕ tem derivada de Gateaux cont´ınua em U, ent˜ao ϕ ∈ C

(U, R)

Deﬁni¸c˜ao A.6. Seja ϕ ∈ C

(U, R). O funcional ϕ tem segunda derivada de Gateaux L ∈

L(x, x



) em u ∈ U se, para todo h, v ∈ X,

lim

t→0

ϕ



(u + th) − ϕ



(u) − Lth, v = 0.

A segunda derivada de Gateaux em u ser´a denotada por ϕ



(u).

O funcional ϕ tem segunda derivada de Frechet L ∈ L(X, X



) em u ∈ U se

lim

h→0

h

[ϕ



(u + h) − ϕ



(u) − Lh] = 0..

O funcional ϕ ´e de classe C

(U, R), se a segunda derivada de Fr´echet de ϕ existe e ´e

cont´ınua sobre U.

Proposi¸c˜ao A.7. Se ϕ tem segunda derivada de Gateaux sobre U ent˜ao ϕ ∈ C

(U, R).

O espa¸co

) = {u ∈ L

) : ∇u ∈ L

)},

munido com o produto interno

(u, v)



[∇u · ∇v + uv]dx,

e a correspondente norma

u





|∇u|

+ |u|



1/2

´e um espa¸co de Hilb ert. Seja Ω um subconjunto aberto de R

, o espa¸co H

(Ω) ´e o fecho de

∞

(Ω) em H

). Seja N ≥ 3 e 2

∗

= 2N/(N − 2). O espa¸co

1,2

) = {u ∈ L

∗

(R) : ∇u ∈ L

∗

(R)},

munido com o produto interto



∇u · ∇v,

e a correspondente norma





|∇u|



1/2

´e um espa¸co de Hilbert. O espa¸co D

1,2

(Ω) ´e o fecho de C

∞

Para os seguintes resultado, veja [9]

Teorema A.8 (Teorema das imers˜oes de Sobolev). . As seguintes imers˜oes s˜ao cont´ınuas

) ⊂ L

), 2 ≤ p < ∞, N ≥ 3,

1,2

) ⊂ L

∗

(R), N ≥ 3.

Em particular, temos a melhor constante para imers˜ao de Sobolev

S = inf

u∈D

1,2

)

|u|

∗

|∇u|

> 0.

Teorema A.9 (Rellich). Se |Ω| < ∞, a seguinte imers˜ao ´e compacta

(Ω) ⊂ L

(Ω), 1 ≤ p < 2

∗

Corol´ario A.10 (Inequa¸c˜ao de Poincar´e). .Se |Ω| < ∞, ent˜ao

(Ω) = inf

u∈H

(Ω)

|u|

∗

|∇u|

> 0,

Observa¸c˜ao A.11. N˜ao ´e dif´ıcil veriﬁcar que H

(Ω) ⊂ D

1,2

(Ω). Se |Ω| < ∞, ent˜ao a

inequa¸c˜ao de Poincar´e implica que H

(Ω) = D

1,2

(Ω).

Proposi¸c˜ao A.12. Seja Ω um subconjunto aberto de R

, |Ω| < ∞ e seja 2 < p < ∞. Os

funcionais

ψ(u) =



Ω

|u|

, φ(u) =



Ω

s˜ao de classe C

(Ω), R) e

ψ



(u), h = p



Ω

|u|

p−2

uh, φ



(u), h = p



Ω

)

p−1

Demonstrac¸

ao. Existˆencia da derivada de Gateaux. n´os faremos apenas a prova

para ψ, o outro caso ´e an´alogo. Seja u, h ∈ L

(Ω). Dado x ∈ Ω e 0 < |t| < 1, decorre do

teorema do valor m´edio, que existe λ ∈ (0, 1) tal que

||u(x) + th(x)|

− |u(x)|

|t|

= p|u(x) + λth(x)|

p−1

|h(x)| ≤ p(|u(x)| + |h(x)|)

p−1

|h(x)|.

A desigualdade de H¨older implica que

(|u(x)| + |h(x)|)

p−1

|h(x)| ∈ L

(Ω),

Ent˜ao pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue

ψ



(u), h = p



Ω

|u|

p−2

uh.

Continuidade da Derivada de Gateaux. Deﬁna f(u) = p|u|

p−2

u. Suponha que

→ u em L

(Ω). Aﬁrmamos que f(u

) → f(u) em L

(Ω) onde q = p/(p −1), obtemos da

desigualdade de H¨older

|ψ



) − ψ



(u), h| ≤ |f(u

) − f(u)|

|h|

Portanto

ψ



) − ψ



(u) ≤ |f(u

) − f(u)|

→ 0, quando n → ∞.

Agora vamos provar nossa aﬁrma¸c˜ao, uma maneira de se mostrar que uma sequˆencia converge

para um determindao valor, ´e veriﬁcar se toda subsequˆencia sua, possui um subsequˆencia

que converge para o valor pr´e-estabelecido, ´e exatamente isso que faremos agora. Seja

→ u em L

(Ω), considere, uma subsequˆencia f(v

) de f (u

), mostraremos que esta

subsequˆencia possui uma subsequˆencia convergente em L

(Ω) com q = p/(p − 1). Da teoria

da medida obtemos que existe g ∈ L

(Ω) tal que

(x) → u(x) q.t.p. em Ω, |w

≤ g(x).

Onde w

´e uma subsequˆencia de v

, que por sua vez ´e uma subsequˆe ncia de u

. Observemos

antes que como |Ω| < ∞, ent˜ao

|f(u)|

≤ p

(1 + |u|

p−1

)q ∈ L

(Ω).

Como |Ω| < ∞

|f(w

) − f(u)|

≤ 2

(1 + |g|

p−1

)

∈ L

(Ω),

pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue, obtemos que f(w

) → f(u) em L

(Ω).

Existˆencia da segunda derivada de Gateaux. Seja u, h, v ∈ L

(Ω). Dado x ∈ Ω e

0 < |t| < 1, do teorema do valor medio, existe λ ∈ (0, 1) tal que

|[f(u(x) + th(x)) − f(u(x))]v(x)|

|t|

= p(p − 1)|u(x) + λth(x)|

p−2

|h(x)||v(x)|

≤ p(p − 1)[|u(x) + th(x)|]

p−2

|h(x)||v(x)|.

A inequa¸c˜ao de H¨older implica que

[|u(x)| + |h(x)|]

p−2

|h(x)||v(x)| ∈ L

(Ω).

Portanto pelo teorema de Lebesgue decorre que

ψ



(u)h, v = p(p − 1)



Ω

|u|

p−2

hv.

Continuidade da segunda derivada de Gateaux. Deﬁnamos g(u) = p(p − 1)|u|

p−2

Assuma que u

→ u em L

(Ω). An´alogamente ao que foi feio no caso de f, temos que

g(u

) → g(u) em L

(Ω) onde r = p/(p − 2). N´os obtemos , da desigualdade de H¨older que

|(ψ



) − ψ



(u))h, v ≤ |g(u

) − g(u)|

|h|

|v|

e portanto

ψ



) − ψ



(u) ≤ |g(u

) − g(u)|

→ 0, quando n → ∞.

Corol´ario A.13. Seja 2 < p ≤ 2

∗

e N ≥ 3, ent˜ao os funcionais ψ e φ s˜ao de classe

(Ω), R)

Demonstrac¸

ao. Este coral´ario decorre imediatamente das imers˜oes de Sobolev

Corol´ario A.14. O funcional ϕ

: H

(Ω) → R deﬁnido por

(u) =



Ω

|∇u|

dx −



Ω

λ|u|

dx −

∗



Ω

)

∗

dx,

´e de classe C

(Ω), R) e

ϕ



(u), φ =



Ω

∇u · ∇φdx −



Ω

λuφdx −



Ω

)

∗

−1

φdx para todo φ ∈ H

(Ω).

Demonstrac¸

ao. Como (u, v) =



Ω

∇u · ∇vdx ´e um produto interno, veriﬁca-se que

φ



(u), φ = (u, φ) para toda φ ∈ H

(Ω).

Onde φ(u) =

(u, u).

A.4 Estimativas para as fun¸c˜oes u

Seja

(x) =

[N(N − 2)ε]

(N−2)/4

[ε + |x|

]

(N−2)/2

Observe que |∇U

= |∇U|

, |U

∗

= |U|

∗

, para todo ε > 0, em que U ´e a fun¸c˜ao deﬁnida

na equa¸c˜ao (2.1). Seja ψ ∈ C

∞

) tal que

(i) 0 ≤ ψ ≤ 1

(ii) ψ(x) =











1 se |x| ≤ R,

0 se |x| ≥ 2R,

em que R > 0 ´e tal que B

(0) ⊂ Ω. Deﬁnimos u

(x) = ψ(x)U

(x). Mostraresmos que

(a) |∇u

= S

N/2

+ O(ε

(N−2)/2

)

(b) |u

∗

= S

N/2

+ O(ε

N/2

)











ε + O(ε

(N−2)/2

) se N ≥ 5,

|log ε| + O(ε) se N = 4,

Temos que

∇u

(x) =

[N(N − 2)ε]

(N−2)/4

[ε + |x|

]

(N−2)/2

∇ψ(x) −

N − 2[N(N − 2)ε]

(N−2)/4

ψ(x)x

[ε + |x|

]

N/2











−

(N−2)[N (N−2)ε]

(N−2)/4

[ε+|x|

]

N/2

x se |x| ≤ R,

0 se |x| > 2R,

Portanto

|∇u

= (N − 2)

[N(N − 2)ε]

(N−2)/2



|x|≤R

|x|

[ε + |x|

]

dx + O(ε

(N−2)/2

)

como

lim

R→∞



|x|≤R

|x|

[ε + |x|

]

dx < ∞

Ent˜ao

|∇u

= (N − 2)

[N(N − 2)ε]

(N−2)/2



|x|

[ε + |x|

]

dx + O(ε

(N−2)/2

)

Fazendo x =

√

εy obtemos que

|∇u

= (N − 2)

[N(N − 2)]

(N−2)/2



|y|

[1 + |y|

]

dy + O(ε

(N−2)/2

)

= |∇U|

+ O(ε

(N−2)/2

) = S

N/2

+ O(ε

(N−2)/2

)

Assim provamos (a). Temos que

∗



Ω

∗

[N(N − 2)ε]

N/2

[ε + |x|

]

dx = [N(N − 2)ε]

N/2



|x|≤R

[ε + |x|

]

+ O(ε

N/2

)

Observe que

lim

R→∞



|x|≤R

[ε + |x|

]

< ∞

Assim

∗

= [N(N − 2)ε]

N/2



[ε + |x|

]

+ O(ε

N/2

)

Fazendo x =

√

εy obtemos

∗

= [N(N − 2)]

N/2



[1 + |y|

]

+ O(ε

N/2

) = |U|

∗

+ O(ε

N/2

) = S

N/2

+ O(ε

N/2

)

Portanto (b) esta veriﬁcado. Observe que:



Ω

[N(N − 2)ε]

(N−2)/2

[ε + |x|

]

N−2

dx = [N(N − 2)ε]

(N−2)/2



|x|≤R

[ε + |x|

]

N−2

+ O(ε

(N−2)/2

)

Agora observe que

lim

R→∞



|x|≤R

[ε + |x|

N−2

]

< ∞, apenas se N ≥ 5

Logo para N ≥ 5

= [N(N − 2)ε]

(N−2)/2



[ε + |x|

]

N−2

+ O(ε

(N−2)/2

)

Fazendo x =

√

εy temos

= [N(N − 2)]

(N−2)/2



[1 + |x|

]

N−2

+ O(ε

(N−2)/2

)

Tome K

= [N(N − 2)]

(N−2)/2



[1+|x|

]

N−2

portanto (c) esta veriﬁcado. Se N = 4 n´os

temos que:



|x|≤R

8εdx

[ε + |x|

]

≤



Ω

8εdx

[ε + |x|

]

≤



|x|/leq2R

8εdx

[ε + |x|

]



|x|≤R

8εdx

[ε + |x|

]

= 8εω



[ε + r

]

Onde ω ´e a da esfera esfera em R

, fazendo r =

√

εs obtemos:

= 8εω



√

[1 + s

]

ds = 8εω



√

[1 + s

]

ds + O(ε)

8εω



√

+ O(ε) = 8εω|log ε| + O(ε)

Tome K

= 4ω e o resultado de (c) estara veriﬁcado para N = 4

A.5 Um resultado de simetria de Gidas-Ni-Nirenberg

Suponha que Ω ´e um dom´ınio conexo de R

. Consideraremos o operador em Ω

Lu =



(x)D

u +



(x)D

u + c(x)u

para u ∈ C

(Ω) ∩C(

Ω). Assumimos que a

, b

e c s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas e limitada em

Ω e

L ´e uniformemete el´ıptico em Ω, no sentido de que para alguma constante positiva η > 0,



(x)y

≥ η|y| para qualquer x ∈ Ω e qualquer y ∈ R

e A = (a

) ´e uma matriz positiva deﬁnida sobre Ω. D = det(A), D

∗

= D

1/n

e assumimos

que

0 < λ ≤ D

∗

≤ Λ,

Onde as constantes λ e Λ s˜ao positivas e s˜ao respectivamente, o menor e o maior dos auto

valores de A.

Os dois resultados abaixo s˜ao cl´assicos e suas provas podem ser encontradas em [9]

Teorema A.15 (Lema de Hopf). Seja B a bola unit´aria em R

com x

∈ ∂B. Suponha

que u ∈ C(B) ∩ C(B ∩ {x

}) satisfaz Lu ≥ 0 em B com c(x) ≤ 0 em B. Assuma tamb´em

que u(x

) ≥ 0 e

u(x) < u(x

) para qualquer x ∈ B.

Ent˜ao para qualquer dire¸c˜ao ν em x

fora de B com ν · η(x

) > 0 temos

lim inf

t→0

[u(x

) − u(x

− lν)] > 0.

Se al´em do mais, tamb´em tivermos que u ∈ C

(B ∪ {x

}), ent˜ao

∂u

∂ν

) > 0.

Teorema A.16 (Princ´ıpio do M´aximo Forte). Seja u ∈ C

(Ω) ∩ C(

Ω) satisfazendo

Lu ≥ 0 com c(x) ≤ 0 em Ω

O m´aximo n˜ao negativo de u em

Ω ´e assumido apenas em ∂Ω a menos que u seja constante.

O resultado abaixo pode ser encontrado em [16]

Teorema A.17 (Princ´ıpio do M´aximo de Alexandroﬀ). Suponha que u ∈ C

(Ω) ∩ C(

Ω)

satisfaz Lu ≥ 0 em Ω com u ≤ 0 sobre ∂Ω. Assuma que diam(Ω) ≤ d. ent˜ao existe uma

constante positiva δ = δ(n, λ, Λ, d) > 0 tal que, se |Ω| ≤ δ ent˜ao u ≤ 0 em Ω.

O resultado original do teorema abaixo, ´e devido a Gidas-Ni-Nirenberg [14]. A prova

original requer que as solu¸c˜oes sejam de classe C

at´e a fronteira. Aqui pedimos ap enas a

continuidade at´e a fronteira.

Teorema A.18. Seja Ω um dom´ınio limitado, convexo na dire¸c˜ao de e

= (1, 0, ..., 0), e

sim´etrico com respeito ao plano {x

= λ}. Suponha que u ∈ C

(Ω)∩C(

Ω) ´e solu¸c˜ao positiva



−∆u + f(u) = 0 em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

Onde f ∈ C

(R, R). Ent˜ao u ´e sim´etrico na dire¸c˜ao e

∂u(x)

∂x

< 0 para todo x ∈ Ω.

Demonstrac¸

ao. Vamos usar a seguinte nota¸c˜ao: x = (x

, y) ∈ B com y ∈ R

n−1

. Provare-

mos que

u(x

, y) < u(x

∗

, y),

para qualquer x

> 0, x

∗

∈ (−x

, x

) e (x

, y) ∈ Ω. Portanto fazendo x

∗

→ −x

, obtemos

que

u(x

, y) ≤ u(−x

, y) para qualquer x

com (x

, y) ∈ Ω.

Considerando o problema com w(x

, y) = u(−x

, y), uma vez que ∆u(x) = ∆w(x), obtemos

a desigualdade inversa

u(x

, y) ≥ u(−x

, y) para qualquer x

com (x

, y) ∈ Ω.

E assim obtemos o resultado de simetria, para dire¸c˜ao e

Seja, a = sup{0 < x

: (x

, y) ∈ Ω}. Para 0 < λ < a, deﬁnimos

= {x ∈ Ω : x

> λ},

= {x

= λ},



= a reﬂex˜ao de Σ

com respeito `a T

e x

= (2λ − x

, x

, ..., x

) para x = (x

, x

, ..., x

) ∈ Σ

Em Σ

deﬁnimos

(x) = u(x) − u(x

) para x ∈ Σ

Pelo Teorema do Valor M´edio existe c

limitada em Σ

tal que

∆w

(x) = f(u(x)) − f(u(x

) = −c

(x)w

Portanto

∆w

+ c

= 0 em Σ

≤ 0 e w

= 0 em ∂Σ

Mostraremos que w

< 0 em Σ

para qualquer λ ∈ (0, a). Uma vez provado isso podemos

aplicar o TeoremaA.15, aplicado `a

= ∆w

− c

−

= −c

≥ 0, c = −c

−

≤ 0,

e portanto

∂w

∂x

=λ

= 2

∂u

∂x

=λ

< 0,

de onde obtemos que

∂u(x)

∂x

< 0 para todo x ∈ Ω.

Vamos aplicar o Teorema A.17, para λ pr´oximo de a, e assim obtemos que w

≤ 0 em

. Como w

= 0 em T

∩ Ω, e portanto, w

tem m´aximo n˜ao-negativo, podemos aplicar o

Princ´ıpio do M´aximo Forte para w

com

= ∆w

− c

−

= −c

≥ 0, c = −c

−

≤ 0,

e portanto w

< 0 em Σ

. Seja agora (λ

, a) tal que a−λ

= sup{a−λ : w

< 0 em (λ, a)},

provaremos que λ

= 0. Suponha que λ > 0. Por continuidade, w

≤ 0 em Σ

e w

= 0

em ∂Σ

. Como antes, aplicamos o Princ´ıpio do M´aximo Forte e obtemos que w

< 0

em Σ

. Para provar que λ

= 0, obteremos a seguinte contradi¸c˜ao: encontraremos ε > 0

pequeno, tal que

−ε

< 0 em Σ

−ε

Fixe δ > 0 (ainda a determinar). Seja K um subconjunto fechado em Σ

, tal que |Σ

\K| <

δ/2. Como

< 0 em Σ

ent˜ao existe η > 0 tal que

≤ −η < 0 em K.

Por continuidade, temos que para ε pequeno

−ε

(x) < 0 x ∈ K, |Σ

−ε

\ K| < δ,

Agora, escolhemos δ suﬁcientemente pequeno de modo a aplicarmos o Teorema A.17, para

−ε

deﬁnida sobre Σ

−ε

\ K. Portanto, temos que

−ε

(x) ≤ 0 x ∈ Σ

−ε

\ K.

Argumentando como antes, aplicamos o Princ´ıpio do M´aximo Forte e obtemos

−ε

(x) < 0 x ∈ Σ

−ε

\ K,

donde segue que

−ε

(x) < 0 x ∈ Σ

−ε

Mas isto ´e contradi¸c˜ao e portanto λ

= 0.

Corol´ario A.19. Seja R > 0 e B = B

(0). Suponha que u ∈ C

(B) ∩ C(

B) ´e solu¸c˜ao

positiva de



−∆u + f(u) = 0 em B,

u = 0 sobre ∂B.

Onde f ∈ C

(R, R). Ent˜ao u ´e radial, isto ´e u(x) = u(|x|) para todo x ∈ B, alem disso para

qualquer dire¸c˜ao ν temos

∂u(x)

∂ν

< 0 para todo x ∈ B.

A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a do teorema anterior, mas com uma nota¸c˜ao mais carregada,

iremos apenas mencionar os passos. Sejam x e y em B, vetores diferentes tais que |x| = |y|,

Seja π o plano que passa pela origem e ´e equidistande de x e y. O obj etivo ´e provar que

para x ﬁxo, tem-se que

u(x) < u(z),

onde z ´e um vetor, em B, tal que x e z est˜ao numa mesma dire¸c˜ao que ´e normal ao plano π

e |x| < |z|, se este fato for verdade, ent˜ao fazendo z → x obtemos que

u(x) ≤ u(z).

Analogamente ao teorema acima, mudando de dire¸c˜ao, obtemos a desigualdade inversa, e

portanto, obteremos a simetria.

Deﬁnimos os conjunto para 0 < λ < R, com ν vetor normal unit´ario ortogonal `a π tal

que ν · x > 0.

= {w ∈ B : dist(w, π) > λ, w · ν > 0}

= {w ∈ B : dist(w, π) = λ, w · ν > 0}



= a reﬂex˜ao de Σ

com respeito `a T

Para x ∈ Σ

deﬁnimos x

como sendo o ponto tal que x e x

est˜ao a mesma distˆancia de T

Em Σ

, deﬁnimos

(x) = u(x) − u(x

e seguimos um procedimento an´alogo ao do teorema anterior. Deste modo, provamos que

< 0 em Σ

, para todo λ ∈ (0, R) e obtemos

u(x) ≤ u(z) e u(x) ≥ u(z).

Bibliograﬁa

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volving critical nonlinearity, J. Math. Anal. Appl. 279 (2003), 508-521.

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ponents on unbounded domains, Nonlinear Anal. 26 (1996), 823-833.

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ical Sobolev exponents, Comm. Pure Appl. Math. 36 (1983), 437-477.

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Sons, Inc., New York, 1999.

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critical exponent or with a nonsymmetric term, Trans. Amer. Math. Soc. 323 (1991),

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