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FACULDADE IBMEC SÃO PAULO
Programa de Mestrado Profissional em Economia
José Eduardo Freire Damião
COMPARAÇÃO DE CARTEIRAS OTIMIZADAS SEGUNDO O
CRITÉRIO MÉDIA-VARIÂNCIA FORMADAS ATRAVÉS DE
ESTIMATIVAS ROBUSTAS DE RISCO E RETORNO
São Paulo
2007
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FACULDADE IBMEC SÃO PAULO
Programa de Mestrado Profissional em Economia
José Eduardo Freire Damião
COMPARAÇÃO DE CARTEIRAS OTIMIZADAS SEGUNDO O
CRITÉRIO MÉDIA-VARIÂNCIA FORMADAS ATRAVÉS DE
ESTIMATIVAS ROBUSTAS DE RISCO E RETORNO
São Paulo
2007
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1
José Eduardo Freire Damião
Comparação de carteiras otimizadas segundo o critério
média-variância formadas através de estimativas robustas de
risco e retorno
Dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado Profissional em Economia da
Faculdade Ibmec São Paulo como parte dos
requisitos para obtenção do título de Mestre.
Área de concentração: Finanças.
Orientador. Prof. Dr. Pedro L. Valls Pereira –
Ibmec São Paulo.
São Paulo
2007
2
FOLHA DE APROVAÇÃO
José Eduardo Freire Damião
Comparação de carteiras otimizadas segundo o critério média-variância formadas através de
estimativas robustas de risco e retorno.
Dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado Profissional em Economia da
Faculdade Ibmec São Paulo como parte dos
requisitos para obtenção do título de Mestre.
Área de concentração: Finanças
Aprovado em: Julho/2007
Banca examinadora
Pedro L. Valls Pereira
Ibmec São Paulo – Orientador Assinatura: ________________________
Rinaldo Artes
Ibmec São Paulo Assinatura: ________________________
Clélia Toloi
IME – USP Assinatura: ________________________
3
Resumo
DAMIÃO, José Eduardo F. Comparação de carteiras otimizadas segundo o critério
média-variância formadas através de estimativas robustas de risco e retorno. São Paulo,
2007. 36 p. Dissertação (Mestrado) – Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 2007.
Este trabalho examinou as características de carteiras compostas por ações e otimizadas
segundo o critério de média-variância e formadas através de estimativas robustas de risco e
retorno. A motivação para isto é a distribuição típica de ativos financeiros (que apresenta
outliers e mais curtose que a distribuição normal). Para comparação entre as carteiras, foram
consideradas suas propriedades: estabilidade, variabilidade e os índices de Sharpe obtidos
pelas mesmas. O resultado geral mostra que estas carteiras obtidas através de estimativas
robustas de risco e retorno apresentam melhoras em sua estabilidade e variabilidade, no
entanto, esta melhora é insuficiente para diferenciar os índices de Sharpe alcançados pelas
mesmas das carteiras obtidas através de método de máxima verossimilhança para estimativas
de risco e retorno.
Palavras-chave: Teoria Moderna de Carteira, Outliers, Estatística Robusta.
4
Abstract
DAMIÃO, José Eduardo F. Comparing portfolios under mean-variance framework built
on statistically robust estimates of risk and return. São Paulo, 2007. 36 p. Dissertation
(Mastership) – Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 2007.
This paper investigated the properties of equity portfolios under mean-variance framework
and built on statistically robust estimates of risk and return. The motivation for this approach
is that financial data contains more outliers and fatter tails than that predicted from a normal
distribution. Portfolio stability properties and Sharpe ratio of returns were used to compare
different portfolios that came out from the classical (where risk and return were estimated by
the maximum likelihood estimator) and robust estimates of risk and return. Robust portfolios
are more stable than the classical ones but their Sharpe ratio of returns is no different from
their classical counter-part.
Keywords: Modern Portfolio Theory, Outliers, Robust Statistic.
5
Sumário
1. Introdução.............................................................................................................................6
2. Fundamentação Teórica ......................................................................................................8
2.1. Teoria Moderna de Carteira.................................................................................................8
2.2. Conceitos Básicos de Estatística Robusta ...........................................................................9
2.2.1. Função Influência.....................................................................................................9
2.3. Função Influência para o Estimador da Média e da Matriz de Covariâncias....................10
2.4. Estimadores Robustos da Média e da Matriz de Covariâncias..........................................11
2.4.1. Estimação Robusta da Média .................................................................................11
2.4.2. Estimação Robusta da Matriz de Covariâncias......................................................12
3. Base de Dados .....................................................................................................................15
4. Metodologia.........................................................................................................................16
4.1. Procedimento de Avaliação...............................................................................................16
4.2. Boxplot dos Vetores de Peso.............................................................................................17
4.3. Variação de Carteira (Turnover)........................................................................................17
4.4. Média, Variância e Índice de Sharpe dos Retornos das Carteiras.....................................18
5. Resultados ...........................................................................................................................19
6. Conclusão ............................................................................................................................27
Referências..............................................................................................................................28
Apêndice I – Lista dos Ativos Utilizados no Experimento..................................................29
Apêndice II – Código do Programa em S-Plus Utilizado no Experimento.......................31
6
1. Introdução
Com o surgimento da Teoria Moderna de Carteira, a partir do trabalho de MARKOWITZ
(1952), a análise de carteiras passou a ser guiada pela relação de risco e retorno
proporcionado pelas mesmas.
Em seu trabalho, Markowitz demonstra para casos particulares que o retorno de uma carteira é
a média, ponderada pelas quantidades dos ativos da carteira, dos retornos dos ativos
individuais, porém, a variância da carteira, e, portanto seu risco, é diferente da média das
variâncias destes ativos individuais devido aos efeitos da diversificação. Mais precisamente, a
variância da carteira é dependente das covariâncias dos ativos desta carteira. Com isto, pode-
se definir a fronteira eficiente de alocação de recursos de uma carteira, na qual o retorno
esperado desta carteira seja maximizado dado uma variância, ou que a variância desta carteira
seja minimizada, dado um retorno esperado.
O trabalho de Markowitz pressupõe que os retornos futuros (ou esperados) e suas variâncias e
covariâncias sejam conhecidos para que o procedimento de otimização da carteira seja
adotado. Um método bastante difundido de estimação destes parâmetros (retornos futuros e
suas variâncias e covariâncias) é através da inferência dos mesmos a partir de uma ferramenta
estatística tendo-se os dados observados no passado. Em geral, o retorno futuro, a variância
para dado ativo e suas covariâncias em relação aos retornos de outros ativos são estimados a
partir dos dados passados da amostra (média, variância e covariância passadas).
Por outro lado, a análise de carteiras com base somente no critério de média e variância faz
sentido aos investidores quando os mesmos possuem função de utilidade quadrática ou os
retornos destes ativos são normalmente distribuídos (DANTHINE e DONALDSON, 2005).
No entanto, a função de utilidade quadrática não é uma função de características desejáveis
para a representação da função de utilidade de investidores, pois apresenta decrescimento com
o acúmulo do bem a partir do ponto de inflexão, o que nos obriga a restringi-la à parte de
utilidade marginal positiva, e o coeficiente de aversão ao risco nesta função é crescente
1
.
1
Se a função de utilidade é quadrática, pode ser escrita da seguinte forma:
2
)(
µµµ
cbaU ++= , sendo
µ
a
taxa de retorno da carteira. Neste caso, para que seja estritamente côncava, deve-se ter
0>b
e
0<c
. Para que
7
É de conhecimento que os retornos de ações nem sempre seguem uma distribuição normal,
dado que suas distribuições têm caudas mais pesadas que a normal (curtose) e outliers que
contaminam a amostra (KON, 1984 e, mais especificamente em mercados emergentes,
BEKAERT e HARVEY, 1997). Outliers são dados da amostra que estão distantes da massa
dos demais pontos da mesma e não são previsíveis, ou apresentam baixa probabilidade de
surgimento, para os modelos adotados para a distribuição dos pontos desta amostra.
Na literatura estatística, a solução para o problema de risco de especificação correta do
modelo é chamado de estatística robusta, pois esta teoria (estatística robusta) é voltada para a
construção de procedimentos estatísticos que são estáveis mesmo quando o modelo subjacente
não é perfeitamente satisfatório para os dados disponíveis (HAMPEL et. al., 1986). Seja
devido a problemas de especificação do modelo ou problemas de presença de outliers na
amostra, a estatística robusta é uma ferramenta para o manejo destes dados.
No Brasil, a utilização de ferramentas da estatística robusta para a estimação de parâmetros
para a formação de carteiras já teve suas vantagens demonstradas frente aos métodos clássicos
de estimação com relação a amostras contaminadas artificialmente com outliers (REYNA et.
al., 2005).
O objeto de estudo deste trabalho é a aplicação de métodos estatísticos robustos para a
previsão de retornos futuros e suas covariâncias para a construção de carteiras eficientes
segundo o critério de média e variância, e, a comparação dos resultados obtidos com estas
carteiras formadas a partir deste procedimento com carteiras formadas seguindo os métodos
clássicos de estimação de parâmetros para dados de retornos de ações de certo período.
Na parte 2 são apresentados: a fundamentação teórica para a construção das carteiras, os
conceitos de estatística robusta que permeiam o estudo e uma breve descrição dos estimadores
utilizados. Na parte 3 segue-se com a descrição dos dados utilizados para estudo. Na parte 4,
os procedimentos e a metodologia de avaliação das carteiras encontradas são descritos. Na
se assegure utilidade marginal positiva
ac
b
2
−<
µ
. Adicionalmente, o coeficiente de aversão ao risco absoluto é
expresso por
µµ
µ
µ
cb
c
U
U
R
A
2
2
)('
)(''
)(
+
−
=
−
=
, logo, 0
)2(
4
)('
2
2
>
+
=
µ
µ
cb
c
R
A
.
8
parte 5, os resultados encontrados são dispostos e, finalmente, na parte 6, as conclusões do
estudo são apresentadas.
2. Fundamentação Teórica
2.1. Teoria Moderna de Carteira
O procedimento adotado neste trabalho para a formação de carteiras é de minimização do
risco (quantificado pela variância da carteira) para dado retorno futuro (DANTHINE e
DONALDSON, 2005).
Matematicamente, este problema de minimização pode ser formalizado da seguinte maneira:
Dada a existência de n ativos com risco, seja:
alvo
µ
: o retorno futuro esperado para a carteira;
w: o vetor de n x1 posições referente aos pesos de cada ativo individualmente na carteira (
i
w
representará um peso para o i-ésimo ativo individual da carteira);
µ
: o vetor de n x1 posições referente ao retorno futuro de cada um destes ativos (
i
µ
representará um retorno futuro para o i-ésimo ativo individual da carteira);
Σ : a matriz de covariâncias destes ativos.
Então, o problema da escolha da carteira é o seguinte:
ww
T
Σmin
sujeito a: w
T
alvo
µµ
= , e
1=
∑
i
w .
Neste processo, estamos interessados em minimizar o risco da carteira (quantificado por sua
variância) para certo retorno esperado da carteira. Percebe-se então que a solução do
9
problema acima é dependente das estimativas dos parâmetros
µ
e Σ para os ativos em
estudo.
2.2. Conceitos Básicos de Estatística Robusta
A estatística robusta é uma generalização da estatística clássica que leva em consideração a
possibilidade de especificações incorretas do modelo e da distribuição dos dados em estudo.
Esta teoria e seus resultados são válidos dentro do modelo especificado e também nas
proximidades deste modelo, neste caso, por exemplo, quando a amostra em estudo está
contaminada com a presença de
outliers.
Em nosso estudo, estamos interessados em estimadores robustos. Pode-se definir a
distribuição G abaixo a partir de uma combinação de duas distribuições (F e W) da forma
como segue:
WFG
ε
ε
+−= )1( , sendo ]1,0[∈
ε
.
A distribuição G pode ser considerada uma distribuição mista entre a distribuição F e uma
contaminação dada pela distribuição W. Diz-se que um estimador é robusto se permanece
estável no conjunto de distribuições G formadas a partir de F.
2.2.1. Função Influência
Um caso particular da função G acima ocorre quando
w
∆ é uma distribuição na qual o valor
w ocorre com probabilidade 1. Logo, se Y possui a distribuição
w
∆ , então
0)( =≤ yYP
se
wy < e a média de Y é wYE =)( . Portanto, a distribuição resultante é dada por:
ww
FG ∆+−=
ε
ε
ε
)1(
,
.
O interesse em definir a função
ε
,w
G é o de observar como o valor w afeta o valor de uma
função ou estimador da distribuição F quando
w ocorre com probabilidade
ε
.
10
Quando
ε
é suficientemente pequeno, pode-se notar que as distribuições
ε
,w
G e F são
bastante semelhantes, conforme o teste de distância de Kolmogorov. Em particular, para cada
ponto y de ambas as distribuições, temos que:
.|)]()([||)()(|
,
yyFyFyG
ww
∆
−−=−
ε
ε
Como
ε
,w
G e F são distribuições, temos que 1|)()(|
,
≤− yFyG
w
ε
. Por conseqüência, a
distancia de Kolmogorov entre
ε
,w
G
e F é, no máximo,
ε
.
A influência relativa do valor
w que ocorre com probabilidade
ε
em uma função T(F) é dada
por:
ε
ε
)()(
,
FTGT
w
−
.
E a Função Influência sobre T em F é definida pela diferença acima, tomada quando
ε
tende a
zero:
ε
ε
ε
)()(
lim)(
,
0
FTGT
wIF
w
−
=
→
.
A Função Influência é a relativa influência de
w em alguma medida da função F (T(F))
quando a contaminação por
w, ou seja, a probabilidade de observação dew, tende a zero.
A função T(F) é dita infinitesimalmente robusta quando a )(
wIF é limitada.
2.3. Função Influência para o Estimador da Média e da Matriz de Covariâncias
Para obtermos a Função Influência para o estimador da média de uma distribuição qualquer,
tomaremos
)()( XEFT = . Desta forma, se F possui média
µ
, então
ε
,w
G possuirá média
w
ε
µ
ε
+− )1(
, e a diferença
)()(
,
FTGT
w
−
ε
será igual a
)(
µ
ε
−w
.
11
Com isto, a Função Influência da média de uma distribuição é:
µ
−= wwIF )( .
Pode-se mostrar que a Função Influência para o estimador da matriz de covariâncias de um
conjunto de dados tem a seguinte forma:
)')(()(
µ
µ
−−+
Σ
−=
tt
wwwIF
Nota-se que ambas as funções influência dos estimadores da média de uma distribuição e da
matriz de covariâncias não são infinitesimalmente robustas, ou seja, não são limitadas, pois
para valores extremos de
w ambas podem ser indefinidamente grandes.
2.4. Estimadores Robustos da Média e da Matriz de Covariâncias
Uma alternativa para a estimativa de parâmetros com maior representação da massa dos dados
de certa amostra, ou seja, com maior representatividade entre os indivíduos da amostra, é
através da estimação robusta destes parâmetros.
Em especial, estamos interessados nas estimativas robustas dos parâmetros média e matriz de
covariâncias de retornos de ativos financeiros para que, com estas estimativas sejam formadas
carteiras otimizadas segundo o critério de média e variância que proporcionem vantagens
sobre as demais carteiras otimizadas segundo este mesmo critério.
2.4.1. Estimação Robusta da Média
Um estimador robusto para o parâmetro de posição, do qual a média é um caso particular, é
um estimador
m
µ
que satisfaz a equação abaixo:
0)]([
=−
m
XE
µ
ψ
,
na qual
ψ
representa a derivada de uma medida de distanciamento entre X e
m
µ
.
E a Função Influência para estimadores deste tipo é:
12
)]('[
)(
)(
m
m
m
xE
x
xIF
µψ
µ
ψ
−
−
=
,
sendo )('
m
x
µ
ψ
− a derivada da função
ψ
(ou seja, a Função Influência é a função
ψ
escalonada pela sua derivada )('
m
x
µ
ψ
− ).
A função apresentada por Tukey (Função de Duplo Peso) para a solução do problema acima
é:
22
)()( xcxx −=
ψ
se c|x| < , e
0)(
=x
ψ
se c|x| ≥ , com c igual à 1.
Note que para este caso a Função Influência do estimador é limitada, pois a própria função
ψ
assim o é. Na prática isto significa que valores extremos desta distribuição terão pouca ou
nenhuma influência na estimação do parâmetro desejado
m
µ
.
2.4.2. Estimação Robusta da Matriz de Covariâncias
Para encontrar um estimador robusto para a matriz de covariâncias, pode-se proceder da
forma apresentada abaixo:
Seja
T
n
xxxX ),...,(
21
= um conjunto de dados em
n
ℜ . Um estimador da classe S de locação e
forma multivariados é definido pelo o vetor
t e a matrix simétrica positiva definida C que
minimizam o determinante de
C sujeito à:
[]
0
1
1
1
2
1
1
1
)()(
b
c
d
n
c
txCtx
n
n
i
i
n
i
i
T
i
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
∑∑
=
−
=
−
−
ρρ
,
sendo:
[]
2
1
1
)()( txCtxd
i
T
ii
−−=
−
e
ρ
uma função não decrescente em ),0[ ∞ .
A função
ρ
é escolhida de forma a ser uma versão escalonada de uma função base tal qual a
função de duplo peso, que alcança o seu máximo 1 em
0
c . A constante
0
b é escolhida como
13
)(
00
crb
ρ
= para a ruptura (breakdown)
r
. A constante c é escolhida de forma que a
estimativa
^
C
de C é consistente sob normalidade multivariada, de tal forma que
0
))/(( bcdE =
ρ
, sendo a média calculada sob uma distribuição chi-quadrado com n graus de
liberdade.
Seja
c
d
d
i
i
=
~
. Uma estimativa da classe S é também uma solução
^^
),( Ct de uma iteração de
média e covariância ponderadas.
∑
∑
=
)(
)(
)(
~
)(
~
)(
^
j
i
i
j
i
j
i
dw
xdw
t
∑
∑
−−
=
)(
))(()(
)(
~
)(
~
)(
^
j
i
Tj
i
j
ii
j
i
j
i
d
txtxxdw
C
ϑ
sendo
~~~
/)()( dddw
ψ
=
)(')(
~~
dd
ρ
ψ
=
)()(
~~~
ddd
ψϑ
= .
Note que o peso zero é dado quando
cd
i
>
~
.
A iteração acima pode ser vista como um processo de um estimador da classe M, que se inicia
com uma estimativa robusta
^
0
^
0
),( Ct
.
2.4.2.4. Função de Duplo Peso Transladada
Como peso zero é dado aos pontos com distância maior que
c, pode-se esperar que pontos
que estão a uma grande distância da massa dos dados receberão peso zero. Isto é verdade para
14
o caso de uma dimensão, em que o estimador de duplo peso da classe S com ruptura igual a
0,5 atribui peso zero para qualquer ponto
i
x tal que
i
d
~
maior que 55,1 vezes a estimativa do
desvio padrão. No entanto, este comportamento muda quando a dimensão dos dados (
n )
aumenta. Para o caso de 20 dimensões, um ponto deve estar a pelo menos uma distância de
5,94 da média para receber peso zero neste estimador (ROCKE, 1996). Sob normalidade,
tal distância ocorre com probalidade da ordem de
11
10
−
.
Pontos muito afastados do centro da massa dos dados são claramente outliers, mas ainda
assim recebem peso positivo na análise.
Este problema é contornado utilizando-se uma função de peso que é essencialmente a mesma
função duplo peso, exceto que esta foi transladada (novamente: ROCKE, 1996). A função
duplo peso transladada é definida por uma classe de dois parâmetros da função
ρ
:
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+>
+<≤−−
<≤
=
cMd
cMdMcMd
Md
mcdw
t
0
))/)((1(
01
),;(
22
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+>
+<≤−−
<≤
=
cMd
cMdMcMdd
Mdd
mcd
t
0
))/)((1(
0
),;(
22
ψ
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+>++
+<≤
<≤
=
cMdMcc
M
cMdMMcdf
Mdd
mcd
t
)30/)165((
2
),;(
02/
),;(
2
ρ
sendo
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++
+−
−=
4
3
2
3
2
2
4
4
2
4
422422
3
4
3
4
)2(2
1
30
)155(
2
),;(
c
M
c
M
d
c
M
c
M
d
c
ccMMMM
Mcdf
4
6
4
5
24
2
4
65
4
2
1
2
3
c
d
c
Md
cc
M
d +−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
15
A idéia desta solução é ser capaz de atribuir peso zero aos outliers determinando-se a chance,
em grandes amostras, dentro de uma distribuição de referência, de que a um ponto "bom" seja
associado peso zero na análise. Isto é, a probabilidade de um ponto “bom” estar além do
ponto de rejeição (distância de Mahalanobis exceder
0
c ), e, portanto, a este ponto ser
atribuído peso zero no estimador. A esta chance, dá-se o nome de probabilidade de rejeição
assintótica - ARP (asymptotic rejection probability).
Os parâmetros c e M da função f são escolhidos de forma a darem o ponto de ruptura
(breakdown point) e a ARP desejados. Embora a ARP deva ser baixa para que não se perca
eficiência no estimador, é útil ser capaz de rejeitar pontos (atribuindo peso zero a estes) que
são muito improváveis de ocorrerem dentro do modelo.
O software estatístico S-Plus apresenta em sua biblioteca "robust" funções específicas para os
estimadores da média e da matriz de covariâncias robustas (SCHERER e MARTIN, 2005) e,
por este motivo, foi utilizado como software de suporte ao estudo.
3. Base de Dados
A base de dados deste trabalho são as ações brasileiras negociadas na Bolsa de Valores de São
Paulo (BOVESPA) que estão em atividade desde janeiro de 1994 e são ativas até outubro de
2006. Deste conjunto de ações, foram selecionadas as ações que não foram negociadas em, no
máximo, cinqüenta dias úteis do período de janeiro de 1998 a outubro de 2006 e que não
apresentaram negociação em, no máximo, sete dias úteis consecutivos. Ou seja, o conjunto
selecionado de ações possibilita o cálculo do retorno diário das mesmas com os dados
históricos da série de preço em, no mínimo, todos os dias úteis de janeiro de 1998 a outubro
de 2006 menos cinqüenta dias. Para os dias em que a ação não foi negociada, os preços
existentes para ação dos dias imediatamente anterior e posterior a esta data foram utilizados
para estimativa do valor da ação através de interpolação linear para efeitos do cálculo do
retorno da mesma.
16
Também foi coletada a série histórica da taxa do CDI (Certificado de Déposito Interbancário),
no mesmo período mencionado acima, para uso como taxa de juros livre de risco no cálculo
de excesso de retorno das ações.
Os dados coletados provém do sistema Economática.
4. Metodologia
Para a comparação entre métodos de estimação de parâmetros para formação de carteiras
otimizadas segundo o critério de otimização de Markowitz, utilizamos a seguinte metodologia
para a avaliação da estabilidade e performance das carteiras.
4.1. Procedimento de Avaliação
O procedimento de avaliação se utiliza do procedimento de “janela móvel” para a definição
das carteiras para comparação.
Primeiramente, são calculados os retornos diários para as ações selecionadas do período de
janeiro de 1998 a outubro de 2006 e retorno mensal para as mesmas ações para o período de
janeiro de 1997 a outubro de 2006.
Em segundo, escolhem-se os intervalos iniciais para os quais se fazem as estimações dos
parâmetros. Estes intervalos
1
T e
2
T , sendo
11
LT < , quando a estimação de parâmetros é feita
sobre os retornos diários das ações, e
22
LT < , quando a estimação é feita sobre os retornos
mensais das mesmas, serão chamados doravante genericamente de
T
;
1
L e
2
L são os
números totais de amostras no banco de dados – quantidade de datas para efeitos do cálculo
de retornos diários e mensais respectivamente, doravante chamadas genericamente de
L
. Para
o nosso experimento, utilizamos duas “janelas” de estimação:
126
1
=T amostras, a qual
corresponde a 126 dias de dados, e, outra de
84
2
=T amostras, a qual corresponde de 84
meses de dados.
17
Dentro destes intervalos
T
, as estimativas de média e variâncias de retornos são feitas através
dos estimadores de máxima verossimilhança (MLE) para estimação “clássica” dos
parâmetros, e, dos estimadores robustos acima apresentados para estimação “robusta” dos
parâmetros, os quais servem de entrada para a otimização da carteira. Com isso, duas carteiras
diferentes são geradas para este período através das estimações clássica e robusta de
parâmetros acima. Chamaremos de “estratégia clássica” o método de otimização de carteiras
com base nas estimativas clássicas de média e variância e de “estratégia robusta” o método de
otimização de carteiras com base nas estimativas robustas destes parâmetros.
Em terceiro, repete-se o procedimento acima para o período subseqüente, incluindo-se o dado
correspondente à próxima amostra do banco de dados e excluindo-se o dado da amostra mais
antiga, até que o fim do banco de dados seja alcançado. Ao final deste processo, foram
geradas
T
L −
carteiras diferentes para cada estratégia. Ao vetor de peso dos ativos de cada
carteira será dado o nome
k
t
w
, em que 1,..., −= LTt corresponde a um conjunto de amostras
do banco de dados e
k refere-se a uma estratégia de formação de carteira.
4.2. Boxplot dos Vetores de Peso
Os boxplots dos vetores de peso mostram graficamente quais estratégias são mais estáveis, no
sentido de menor variabilidade dos percentuais de ativos em cada carteira. Ao final da
metodologia de janela móvel acima mencionada, para cada estratégia tem-se um conjunto de
vetores
k
tj
w
,
representantes do peso do ativo j para a estratégia k para a amostra
1,..., −= LTt . O conjunto de vetores
k
tj
w
,
para nj ,...,3,2,1= compõe o vetor de peso
k
t
w da
estratégia
k . Pode-se mostrar graficamente através dos boxplots destes vetores de peso
k
tj
w
,
a
grandeza das variações dos ativos de cada carteira para cada estratégia. Claramente,
estratégias mais estáveis deverão ter boxplots relativamente mais compactos (menores), ou
com peso menor nas caudas.
4.3. Variação de Carteira (Turnover)
Para definição de estabilidade da carteira, seja
k
tj
w
,
correspondente ao peso do ativo j no
instante t da estratégia
k ,
k
tj
w
+,
, o peso do ativo j no instante t da estratégia k , porém, antes
18
do rebalanceamento da carteira, ou seja, igual ao
k
tj
w
,
incorporado com a valorização ou
desvalorização do ativo j , e,
k
tj
w
1, +
, o peso desejado do ativo j no instante
1+t
, após o
rebalanceamento da carteira. O turnover da carteira, ou parâmetro de “variação da carteira”,
será definido pela soma dos valores absolutos das trocas dos
n ativos nas 1−−
T
L datas de
negociação possíveis, normalizado pelo número total de datas de negociação:
()
∑∑
−
==
++
−
−−
=
1
1
,1,
1
1
L
Tt
n
j
k
tj
k
tj
ww
TL
Turnover
É importante aqui diferenciar a “estabilidade da carteira” de turnover ou “variação da
carteira”: A “estabilidade da carteira” é dada pela diferença entre os pesos dos ativos da
mesma em t e
1+t e pode ser acompanhada pelo boxplot dos vetores de peso dos n ativos
j em estudo. A “variação da carteira” é percentagem média de riqueza trocada a cada período
t, que difere da estabilidade da carteira, pois leva em consideração o crescimento ou
diminuição (valorização) da mesma.
4.4. Média, Variância e Índice de Sharpe dos Retornos das Carteiras
Para comparar o desempenho entre as diferentes carteiras foram utilizados os dados de
retornos fora da amostra escolhida para estimação de parâmetros e otimização. Ou seja, tendo-
se definido o intervalo
T
(
L
T
<
) para estimação dos parâmetros e otimização das carteiras e
o procedimento de janela móvel descrito em 4.1., pode-se utilizar o vetor de pesos definido
para a carteira no instante t e verificar o desempenho da mesma em
1+t .
Seguindo-se o procedimento de janela móvel, para cada estratégia
k são computados os
vetores de peso
k
tj
w
,
para cada instante 1,..., −= LTt . Simulando-se o retorno da carteira
formada em t , que é caracterizada pelo vetor
k
tj
w
,
, em 1+t temos o excesso de retorno em
1+t :
11 ++
=
t
T
k
t
k
t
rwr
, sendo
1+t
r o excesso de retorno sobre a taxa de juros livre de risco. Com
a série dos retornos
k
t
r , a média, variância e índice de Sharpe dos retornos das carteiras são
dados por:
19
∑
−
=
+
−
=
1
1
^
1
L
Tt
t
T
k
t
k
rw
TL
µ
,
∑
−
=
+
−
−−
=
1
2
^
1
2
^
)(
1
1
)(
L
Tt
k
t
T
k
t
k
rw
TL
µσ
,
k
k
k
SR
^
^
^
σ
µ
= .
Para medir a significância estatística da diferença entre os índices de Sharpe para carteiras
formadas no mesmo período, com os mesmos dados, utilizamos a abordagem relatada em
JOBSON e KORKIE (1981).
5. Resultados
Nas tabelas seguintes, são apresentados os resultados do experimento acima: média, variância,
índice de Sharpe dos retornos das carteiras e “turnover” ou “variação da carteira”. São
apresentados os p-Valores das comparações dos índices de Sharpe entre as carteiras de
estratégias diferentes formadas com os dados de retornos diários e mensais dos ativos.
Também são mostrados os gráficos boxplot dos vetores de peso dos ativos nas carteiras.
2
Tabela 1 – Comparação entre Carteiras – Retornos Diários
Permitida a venda a descoberto das ações.
Período da Base de Dados de 02 de janeiro de 1998 a 16 de outubro de 2006
Período da Amostra da Janela Móvel 126 dias úteis
Estratégia
Retorno Médio Acima da Taxa de Juros Livre de
Risco (%)
Clássica
0,06310
Robusta
0,06420
Matriz de Covariâncias dos Retornos (%)
Estratégia
Clássica Robusta
Clássica
1,91922 1,81271
Robusta
1,81271 1,79450
Estratégia Turnover das Carteiras
Clássica
0,27892
2
A ordem dos ativos demonstrados nos gráficos boxplot é a mesma da listagem destes ativos no Apêndice I.
20
Robusta
0,27422
p-Valor (teste de comparação dos índices de Sharpe) 0,44633
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
Estratégia Clássica
Ações
Peso das Ações
Gráfico 1 – Boxplot dos Vetores de Peso da Estratégia Clássica – Retornos Diários
Permitida a venda a descoberto das ações.
-0.2 0.0 0.2 0.4
Estratégia Robusta
Ações
Peso das Ações
Gráfico 2 – Boxplot dos Vetores de Peso da Estratégia Robusta – Retornos Diários
Permitida a venda a descoberto das ações.
21
Tabela 2 – Comparação entre Carteiras – Retornos Diários
Não permitida a venda a descoberto das ações.
Período da Base de Dados de 02 de janeiro de 1998 a 16 de outubro de 2006
Período da Amostra da Janela Móvel 126 dias úteis
Estratégia
Retorno Médio Acima da Taxa de Juros Livre de
Risco (%)
Clássica
0,06073
Robusta
0,05735
Matriz de Covariâncias dos Retornos (%)
Estratégia
Clássica Robusta
Clássica
1,84425 1,74229
Robusta
1,74229 1,70142
Estratégia Turnover das Carteiras
Clássica
0,07413
Robusta
0,07319
p-Valor (teste de comparação dos índices de Sharpe) 0,48507
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Estratégia Clássica
Ações
Peso das Ações
Gráfico 3 – Boxplot dos Vetores de Peso da Estratégia Clássica – Retornos Diários
Não permitida a venda a descoberto das ações.
22
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Estratégia Robusta
Ações
Peso das Ações
Gráfico 4 – Boxplot dos Vetores de Peso da Estratégia Robusta – Retornos Diários
Não permitida a venda a descoberto das ações.
Tabela 3 – Comparação entre Carteiras – Retornos Mensais
Permitida a venda a descoberto das ações.
Período da Base de Dados de 02 de maio de 1994 a 2 de outubro de 2006
Período da Amostra da Janela Móvel 84 meses
Estratégia
Retorno Médio Acima da Taxa de Juros Livre de
Risco (%)
Clássica
1,52825
Robusta
1,39779
Matriz de Covariâncias dos Retornos (%)
Estratégia
Clássica Robusta
Clássica
60,86485 57,54062
Robusta
57,54062 59,98273
Estratégia Turnover das Carteiras
Clássica
1,20673
Robusta
1,14049
p-Valor (teste de comparação dos índices de Sharpe) 0,504107
23
-0.5 0.0 0.5
Estratégia Clássica
Ações
Peso das Ações
Gráfico 5 – Boxplot dos Vetores de Peso da Estratégia Clássica – Retornos Mensais
Permitida a venda a descoberto das ações.
-0.5 0.0 0.5
Estratégia Robusta
Ações
Peso das Ações
Gráfico 6 – Boxplot dos Vetores de Peso da Estratégia Robusta – Retornos Mensais
Permitida a venda a descoberto das ações.
24
Tabela 4 – Comparação entre Carteiras – Retornos Mensais
Não permitida a venda a descoberto das ações.
Período da Base de Dados de 02 de maio de 1994 a 2 de outubro de 2006
Período da Amostra da Janela Móvel 84 meses
Estratégia
Retorno Médio Acima da Taxa de Juros Livre de
Risco (%)
Clássica
1,653697
Robusta
1,549110
Matriz de Covariâncias dos Retornos (%)
Estratégia
Clássica Robusta
Clássica
40,737779 35,587291
Robusta
35,587291 35,052502
Estratégia Turnover das Carteiras
Clássica
0,191832819
Robusta
0,177354538
p-Valor (teste de comparação dos índices de Sharpe) 0,4917744
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Estratégia Clássica
Ações
Peso das Ações
Gráfico 7 – Boxplot dos Vetores de Peso da Estratégia Clássica – Retornos Mensais
Não permitida a venda a descoberto das ações.
25
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Estratégia Robusta
Ações
Peso das Ações
Gráfico 8 – Boxplot dos Vetores de Peso da Estratégia Clássica – Retornos Mensais
Não permitida a venda a descoberto das ações.
Os resultados acima demonstram que a variação da carteira é positivamente afetada quando se
usa a estratégia robusta ao invés da estratégia clássica. No entanto, a melhoria proporcionada
pela estratégia robusta é quase imperceptível quando se observam os gráficos boxplot dos
vetores de peso dos ativos. Nestes gráficos, o intervalo de variação não muda muito, mas a
densidade das caudas sim, mostrando uma diminuição dos valores extremos quando
empregada a estratégia robusta.
Como exemplificação com maior detalhe das alterações da estabilidade da carteira quando
empregada a estratégia robusta, destacamos os gráficos boxplot abaixo dos pesos das ações
ARCZ6, ITAU4, CNFB4, GGBR4 e USIM5 ("Ações Selecionadas") nas carteiras das
estratégias clássicas e robustas com o intuito de facilitar a visualização do fenômeno
mencionado acima.
26
-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
Estratégia Clássica
Ações Selecionadas
Peso das Ações
0 100
-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
Ações Selecionadas
Peso das Ações
0 100
-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
Estratégia Robusta
Gráfico 9 – Boxplot dos Vetores de Peso (Ações Selecionadas) – Retornos Diários
Permitida a venda a descoberto das ações.
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
Estratégia Clássica
Ações Selecionadas
Peso das Ações
0 100
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
Ações Selecionadas
Peso das Ações
0 100
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
Estratégia Robusta
Gráfico 10 – Boxplot dos Vetores de Peso (Ações Selecionadas) – Retornos Mensais
Permitida a venda a descoberto das ações.
27
Nos gráficos acima, pode-se notar com maior clareza a redução dos valores extremos nos
vetores de peso dos ativos quando empregada a estratégia robusta, o que indica menor
variabilidade dos percentuais dos ativos em cada carteira. Este resultado é mais evidente
quando se faz a comparação destes vetores de peso sobre retornos mensais, uma vez que as
amplitudes dos boxplots são menores e as caudas mais leves quando utilizada a estratégia
robusta.
Adicionalmente, observando-se novamente as tabelas acima, nota-se que os retornos das
carteiras parecem ser mais favoráveis à estratégia clássica que à estratégia robusta. Porém,
quando comparados os índices de Sharpe produzidos pelas diferentes estratégias, não se pode
dizer que há diferença significativa entre estes índices até ao nível de 40%.
6. Conclusão
O presente trabalho buscou uma metodologia de geração de carteiras eficientes segundo o
critério de média-variância na quais as propriedades das carteiras: estabilidade,
turnover
(variação) e índice de Sharpe pudessem ser melhorados, uma vez que a distribuição dos
retornos de ativos financeiros nem sempre segue a distribuição normal.
A alternativa utilizada neste sentido foi o emprego de estimadores robustos para a estimação
da média dos retornos e matriz de covariâncias, entradas do procedimento de otimização das
carteiras.
Como se poderia imaginar: que a estatística robusta preservaria a “essência” das
características de risco e retorno dos ativos (REYNA et. al., 2005), percebe-se que as
propriedades de estabilidade e variação da carteira são melhoradas com a utilização dos
estimadores robustos, no entanto, os resultados acima mostram que o índice de Sharpe
medido com os valores de média e variância dos retornos fora da amostra destas carteiras não
foi estatisticamente diferente do índice de Sharpe das carteiras formadas a partir das
estimativas clássicas de média e variância de retornos dos ativos. Ou seja, o desempenho
destas carteiras, tomando-se como medida de desempenho o índice de Sharpe das mesmas,
não é estatisticamente diferente entre si.
28
Referências
BEKAERT, Geert, HARVEY, Campbell R. Emerging Markets Volatility.
Journal of
Financial Economics, v. 43, p. 29-77, 1997.
DANTHINE, Jean-Pierre, DONALDSON, John B.
Intermediate Financial Theory. 2. ed.
Burlington: Elsevier Academic Press, 2005. 377 p.
HAMPEL, F.R. et al.
Robust Statistics: The Approach based on influence functions. Nova
Iorque: John Wiley & Sons, 1986. 536 p.
JOBSON, J. D., KORKIE, R. M. Performance Hypothesis Testing with the Sharpe and
Treynor Measures.
The Journal of Finance, v. XXXVI, no. 4. p. 889-908, 1981.
KON, Stanley J. Models of Stock Returns – A Comparison.
The Journal of Finance, v. 39,
no, 1. p. 147-165, 1984.
MARKOWITZ, Harry. Portfolio Selection.
The Journal of Finance. v. 7, no. 1. p. 77-91,
1952.
REYNA, Fernando R.Q. et al. Optimal Portfolio Structuring in Emerging Stock Markets
Using Robust Statistics.
Brazilian Review of Econometrics. Rio de Janeiro, v. 25, p. 139-
157, 2005.
ROCKE, David M. Robustness Properties of S-Estimators of Multivariate Location and
Shape in High Dimension.
The Annals of Statistics. v. 24, no. 3, p. 1327-1345, 1996.
SCHERER, B., MARTIN, D.
Introduction to Modern Portfolio Optimization with
NuOPT, S-Plus, and S-Bayes. Nova Iorque: Springer, 2005. 410 p.
29
Apêndice I – Lista dos Ativos Utilizados no Experimento
Abaixo segue a lista dos ativos utilizados no experimento:
Acesita PN (ACES4)
Ambev PN (AMBV4)
Aracruz PNB (ARCZ6)
Bco Itau Hold Finan PN (ITAU4)
Bradesco ON (BBDC3)
Bradesco PN (BBDC4)
Brasil ON (BBAS3)
Brasil Telecom PN (BRTO4)
Braskem PNA (BRKM5)
Celesc PNB (CLSC6)
Cemig ON (CMIG3)
Cemig PN (CMIG4)
Cesp ON (CESP3)
Cesp PNA (CESP5)
Confab PN (CNFB4)
Copel ON (CPLE3)
Duratex PN (DURA4)
Eletrobras ON (ELET3)
Eletrobras PNB (ELET6)
Fosfertil PN (FFTL4)
Gerdau PN (GGBR4)
Gerdau Met PN (GOAU4)
Inepar Construcoes PN (INEP4)
Ipiranga Pet PN (PTIP4)
Klabin PN (KLBN4)
Light ON (LIGT3)
Magnesita PNA (MAGS5)
Petrobras ON (PETR3)
Petrobras PN (PETR4)
Sadia PN (SDIA4)
30
Sid Nacional ON (CSNA3)
Souza Cruz ON (CRUZ3)
Telesp ON (TLPP3)
Telesp PN (TLPP4)
Unipar PNB (UNIP6)
Usiminas PNA (USIM5)
Vale Rio Doce ON (VALE3)
Vale Rio Doce PNA (VALE5)
Votorantim C P PN (VCPA4)
31
Apêndice II – Código do Programa em S-Plus Utilizado no Experimento
Calculadora dos Retornos das Ações:
module(nuopt)
library(robust)
#-----------------------------
# calcula retorno dos ativos:
m = nrow(Sport) # estados da natureza
n = ncol(Sport) # numero de ativos
Smatriz = matrix( ,m,n) # matriz de retornos diarios dos ativos
j = 1
while(j <= n){
i = 1
while(i < m){
Smatriz[i,j] = (Sport[i+1,j]-Sport[i,j]) / Sport[i,j]
i = i + 1
}
j = j + 1
}
Sm1 = 1 + Smatriz
#-----------------------------
# calcula taxa livre de risco: CDI:
CDIdia = (1+(fddCDI252/100))^(1/252)
CDIdia = as.matrix(CDIdia)
Produz a Carteira da Estratégia Clássica:
module(nuopt)
library(robust)
#-----------------------------
# Monta a carteira utilizando a Estimação Classica de Parametros
#-----------------------------
# definições:
m = nrow(Sm1) # estados da natureza
n = ncol(Sm1) # numero de ativos
32
hor = 126 # tamanho da amostra da janela movel
Amostra = matrix( ,hor,n)
peso.carteira = matrix( ,m,n)
retorno = matrix( ,m,1)
#-----------------------------
# condições iniciais:
# retorno medio da carteira:
mu.target = 0.01
# condicoes de contorno:
cLO = c(mu.target, 1)
cUP = c(Inf, 1)
# restricoes:
#bLO = rep(0, n) # nao permite venda a descoberto
bLO = rep(-Inf, n) # permite venda a descoberto
bUP = rep(1, n)
# ---------------------------
# definição dos pesos:
i = hor
while(i < m){
# define o periodo da amostra - janela movel:
Amostra = Sm1[(i-hor+1):i, 1:n]
# calcula os pesos da carteira para o periodo amostrado:
Cov = var(Amostra) # matriz de variancia e covariancia
mu = apply(Amostra, 2, mean) # media dos retornos
# parametros do solver:
A = rbind(mu, 1)
# resolucao:
solution = solveQP (objQ = Cov, , A, cLO, cUP, bLO, bUP,,)
# guarda os pesos das carteiras no vetor de pesos:
peso.carteira[i, 1:n] = solution$variable$x$current
33
# calcula o retorno diario fora da amostra (retorno absoluto):
retorno[i,1] = t(peso.carteira[i, 1:n])%*%Sm1[(i+1), 1:n]
i = i + 1
}
#-----------------------------
# calcula o turnover da carteira:
i = hor + 1
inicio = hor
turnover = 0
while(i < m){
wanterior = peso.carteira[i-1, 1:n]*Sm1[i, 1:n]
wfinal = peso.carteira[i, 1:n]
turnover = turnover + sum(abs(wfinal - wanterior))
i = i + 1
}
turnover = turnover/(m - inicio - 1)
#-----------------------------
# calcula o retorno medio da carteira:
media.retorno = sum(retorno[inicio:(m-2), 1])/(m - inicio - 2)
Produz a Carteira da Estratégia Robusta:
module(nuopt)
library(robust)
#-----------------------------
# Monta a carteira utilizando a Estimação Robusta de Parametros
#-----------------------------
# definições:
m = nrow(Sm1) # estados da natureza
n = ncol(Sm1) # numero de ativos
hor = 126 # tamanho da amostra da janela movel
Amostra = matrix( ,hor,n)
peso.carteira.Rob = matrix( ,m,n)
retorno.Rob = matrix( ,m,1)
34
#-----------------------------
# condições iniciais:
# retorno medio da carteira:
mu.target = 0.01
# condicoes de contorno:
cLO = c(mu.target, 1)
cUP = c(Inf, 1)
# restricoes:
#bLO = rep(0, n) # nao permite venda a descoberto
bLO = rep(-Inf, n) # permite venda a descoberto
bUP = rep(1, n)
# ---------------------------
# definição dos pesos:
i = hor
while(i < m){
# define o periodo da amostra - janela movel:
Amostra = Sm1[(i-hor+1):i, 1:n]
# calcula os pesos da carteira para o periodo amostrado:
CovR = covRob(Amostra, estim = "M")$cov # matriz de variancia e covariancia
muRob = apply(Amostra, 2, location.m) # media dos retornos
# parametros do solver:
ARob = rbind(muRob, 1)
# resolucao:
solutionRob = solveQP (objQ = CovR, , ARob, cLO, cUP, bLO, bUP,,)
# guarda os pesos das carteiras no vetor de pesos:
peso.carteira.Rob[i, 1:n] = solutionRob$variable$x$current
# calcula o retorno diario fora da amostra (retorno absoluto):
retorno.Rob[i,1] = t(peso.carteira.Rob[i, 1:n])%*%Sm1[(i+1), 1:n]
i = i + 1
}
#-----------------------------
35
# calcula o turnover da carteira:
i = hor + 1
inicio = i-1
turnover.Rob = 0
while(i < m){
wanterior = peso.carteira.Rob[i-1, 1:n]*Sm1[i, 1:n]
wfinal = peso.carteira.Rob[i, 1:n]
turnover.Rob = turnover.Rob + sum(abs(wfinal - wanterior))
i = i + 1
}
turnover.Rob = turnover.Rob/(m - inicio - 1)
#-----------------------------
# calcula o retorno medio da carteira:
media.retorno.Rob = sum(retorno.Rob[inicio:(m-2), 1])/(m - inicio - 2)
Calcula o Excesso de Retorno, a Variância do Excesso de Retorno e Testa a Significância da
Diferença entre os Excessos de Retornos das Estratégias Clássica e Robusta:
module(nuopt)
library(robust)
#-----------------------------
# Faz teste de comparacao do indice de Sharpe das carteiras:
#-----------------------------
# definições:
m = nrow(Sm1) # estados da natureza
n = ncol(Sm1) # numero de ativos
hor = 126 # tamanho da amostra da janela movel
#------------------------------
# calcula retorno acima da taxa livre de risco:
retornolivre = matrix(,m,1)
retornolivre.Rob = matrix(,m,1)
i = hor
while(i < m){
retornolivre[i+1] = (retorno[i,1] - CDIdia[i+1,1])
retornolivre.Rob[i+1] = (retorno.Rob[i,1] - CDIdia[i+1,1])
36
i = i + 1
}
# matriz de retornos acima da taxa de juros livre de risco:
inicio = hor+1
rlivre = matrix(,m-inicio-1,2)
i = 1
while(i < m-inicio){
rlivre[i,1] = retornolivre[i+inicio]*100
rlivre[i,2] = retornolivre.Rob[i+inicio]*100
i = i + 1
}
Covrlivre = var(rlivre) # matriz de variancia e covariancia
murlivre = apply(rlivre, 2, mean) # media dos retornos
murlivre = as.matrix(murlivre)
# diferença transformada do indice de Sharpe:
Shin = (Covrlivre[2,2]*murlivre[1,1]) - (Covrlivre[1,1]*murlivre[2,1])
Tam = nrow(rlivre) # tamanho da amostra
a = 2*(Covrlivre[1,1]^2)*(Covrlivre[2,2]^2)
b = 2*Covrlivre[1,1]*Covrlivre[2,2]*Covrlivre[1,2]
c = (1/2) * ((murlivre[1,1]^2) * (Covrlivre[2,2]^2))
d = (1/2) * ((murlivre[2,1]^2) * (Covrlivre[1,1]^2))
e =
((murlivre[1,1]*murlivre[2,1])/(2*Covrlivre[1,1]*Covrlivre[2,2]))*(Covrlivre[1,2
]^2 + ((Covrlivre[1,1]^2)*(Covrlivre[2,2]^2)))
Teta = (1/Tam)*(a-b+c+d-e)
ZShin = Shin / sqrt(Teta)
murlivre
Covrlivre
pnorm(ZShin)
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