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Universidade de Bras´ılia - UnB
Intituto de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
Sobre os primeiros autovalores do operador
Laplaciano em dom´ınios limitados de R
n
e
em variedades Riemannianas compactas.
por
Neiton Pereira da Silva
Bras´ılia, Junho de 2005.
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Agradecimentos
Agrade¸co a Deus por ter me concedido a oportunidade desta conquista e por tudo de
bom que j´a houve em minha vida.
Aos meus pais, Romilda (in memorian) e Albino, pela motiva¸c˜ao em todos os aspectos
e por estarem comigo em mais uma conquista.
A minha noiva, Rosana, pelo amor, carinho e compreens˜ao durante os momentos de
grande afli¸c˜ao minha.
Ao meu irm˜ao, F´abio, que me motivou a entrar na Universidade.
Aos meus tios mais queridos, em especial a tia Vera, por ser para mim como uma
segunda m˜ae.
`
A meu orientador e professor, Prof
o
Xia Chang Yu pela orienta¸c˜ao e principalmente
pela paciˆencia durante a realiza¸c˜ao desse trabalho.
Aos amigos de Bras´ılia, Marcelo, Andr´e, Tiago.
A todos os meus amigos da UnB que acreditaram, confiaram e ainda confiam na
minha capacidade acadˆemica. Em especial Let´ıcia, Allan, Rosˆangela, Tˆania, Adail, H´elio,
Sandra, Alb´erico, Jander, Leonardo e outros.
Aos meus professores do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal de
Uberlˆandia. Em especial: Geraldo, Sato, Valdair e Antˆonio Carlos.
Ao professor Caio, pelas sugest˜oes para a finaliza¸c˜ao deste trabalho.
Agrade¸co aos demais professores, funcion´arios e colegas do Departamento de Matem´atica
da Universidade de Bras´ılia, que de alguma forma contribu´ıram para a realiza¸c˜ao desse
trabalho. Especialmente, Professor Jos´e Alfredo, Professora Liliane, Tˆania Sert˜ao e Gari.
Finalmente, agrade¸co ao CNPq pelo apoio financeiro.
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Resumo
Um problema com v´arias aplica¸c˜oes f´ısicas ´e es timar os primeiros autovalores do operador
Laplaciano. Em particular, a conjectura de Payne-P´olya-Weinberger afirma que a raz˜ao
dos dois primeiros autovalores (λ
2
/λ
1
) do problema de Dirichlet em um dom´ınio limitado
Ω ⊂ R
n
atinge seu valor m´aximo quando Ω ´e uma bola em R
n
. Nesta disserta¸c˜ao apre-
sentaremos uma prova desta conjectura publicada por S. Ashbaugh e Rafael D. Benguria
em 1992. Apresentaremos tamb´em uma prova diferente para o teorema de Lichnerowicz-
Obata, o qual fornece um limite inferior para o primeiro autovalor do operador Laplaciano
em uma variedade riemanniana compacta n-dimensional.
ii
Abstract
A problem with many applications in physics, is to estimate the first eigenvalues of the
Laplacian operator. In particular, the Payne-P´olya-Weinberger conjecture affirms that
the ratio of the first two eigenvalues (λ
2
/λ
1
) of Dirichlet problem in a bounded domain
Ω ⊂ R
n
attains its biggest value when Ω is a ball in R
n
. In this work we will present a
prove of this conjecture published by S. Ashbaugh e Rafael D. Benguria in 1992. We will
also present a different prove to the Lichnerowicz-Obata theorem, that gives a low limit
to the first eigenvalue of the Laplacian operator in n-dimensional compact Riemannian
manifolds.
iii
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Resultados Preliminares 4
1.1 Gradiente, divergˆencia e laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 O Teorema da Divergˆencia e as F´ormulas de Green . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Fatos b´asicos sobre problemas de autovalor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger 14
3 O Teorema de Lichnerowicz-Obata 25
3.1 O Teorema de Compara¸c˜ao de Bishop-Gromov . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 O Teorema de Lichnerowicz-Obata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Os Autovalores do Operador Laplaciano na Esfera 43
Apˆendice 46
Referˆencias Bibliogr´aficas 49
Introdu¸c˜ao
Considere um dom´ınio limitado Ω ⊂ R
n
, dizemos que o n´umero real λ ´e um autovalor
de Dirichlet para Ω se existe uma fun¸c˜ao, n˜ao trivial, u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
0
(∂Ω) (C
k
(Ω) ´e o
conjunto das fun¸c˜oes reais definidas em Ω tais que a derivada de ordem k ´e uma fun¸c˜ao
cont´ınua), chamada autofun¸c˜ao de Dirichlet, satisfazendo o seguinte problema de auto-
valor de Dirichlet:
−∆u = λu em Ω
u = 0 em ∂Ω
(1)
onde ∆ ´e o operador de Laplace, isto ´e, ∆ =
2
i=1
∂
2
∂x
2
i
.
Em R
2
, os autovalores de Dirichlet foram introduzidos no estudo de vibra¸c˜oes de
membranas com fronteiras fixas no s´eculo XIX. Isto se deve ao fato de que os autovalores
de Dirichlet s˜ao proporcionais ao quadrado da autofreq¨uˆencia da membrana com fronteiras
fixas e as autofun¸c˜oes representam a maneira como a membrana vibra, de acordo com
Kuttler e Sigillito em [17].
Um resultado muito importante que caracteriza os autovalores de Dirichlet ´e o Teorema
do M´ınimo-M´aximo, que apresentaremos no Cap´ıtulo 1. A grosso modo podemos dizer
que o Teorema do M´ınimo-M´aximo fornece o valor exato para o k-´esimo autovalor λ
k
atrav´es de uma express˜ao n˜ao muito simples.
´
E importante destacar que o Teorema do
M´ınimo-M´aximo ´e v´alido no caso mais geral, quando Ω ´e uma variedade riemanniana
compacta.
No caso em que Ω ⊂ R
n
, Weyl em [27] e [28] estimou o valor de λ
k
para valores
suficientemente grandes de k, com a seguinte express˜ao
λ
k
≈
4π
2
k
2/n
(C
n
|Ω|)
2/n
onde |Ω| e C
n
s˜ao respectivamente o volume de Ω e da bola unit´aria em R
n
.
1
Introdu¸c˜ao
Para qualquer dom´ınio plano coberto (isto ´e, um dom´ınio que pode ser usado para
“ladrilhar o plano n˜ao deixando brechas nem dobras”, atrav´es de rota¸c˜oes, transla¸c˜oes e
reflex˜oes de si mesmo), P´olya em [25] provou que
λ
k
≥
4πk
A
,
onde A denota a ´area do dom´ınio. Al´em disso, P´olya conjecturou o mesmo limite para
qualquer dom´ınio limitado em R
n
. Na verdade a conjectura de P´olya em R
n
´e equivalente
a dizer que a estimativa de Weyl para λ
k
´e um limite inferior para λ
k
, ou seja,
λ
k
≥
4π
2
k
2/n
(C
n
|Ω|)
2/n
para k = 1, 2, . . . .
Em 1955 e 1956 Payne, P´olya e Wemberger (PPW), em [20] e [21], consideraram o
problema de limitar a raz˜ao entre os dois primeiros autovalores de Dirichlet (em R
2
) e
mostraram que:
λ
2
λ
1
≤ 3, (2)
al´em disso, eles conjecturatam que a raz˜ao λ
2
/λ
1
assume valor m´aximo quando Ω ´e um
disco em R
2
, isto ´e,
λ
2
λ
1
(Ω) ≤
λ
2
λ
1
(Ω
b
) ≈ 2, 539, (3)
onde Ω
b
denota um disco em R
2
.
Mais tarde, Thompson [26] generalizou o resultado (2) de PPW para o espa¸co R
n
:
λ
2
λ
1
≤ 1 +
4
n
.
Thompson [26] tamb´em generalizou a conjectura (3) de PPW, isto ´e,
λ
2
λ
1
(Ω) ≤
λ
2
λ
1
(Ω
b
) =
j
n/2,1
j
n/2−1,1
2
, (4)
neste caso Ω
b
denota uma bola em R
n
e a nota¸c˜ao j
p,k
denota o k-´esimo zero positivo da
fun¸c˜ao de Bessel j
p
(x).
Subseq¨uente ao trabalho de PPW, v´arios autores tentaram provar a conjectura (3),
entretanto esses autores conseguiram apenas melhorar a constante 3 na desigualdade (2).
2
Introdu¸c˜ao
Em 1964, Brands [7] obteve a constante 2,686; ent˜ao em 1967, Vries [14] obteve 2,658 e
finalmente, em 1983, Chiti [13] obteve 2,586.
A conjectura de PPW tamb´em deu origem a outros desenvolvimentos como a extens˜ao
de seus limites para operadores de Schrodinger com potenciais positivo e outros problemas
de autovalores el´ıpticos.
Os problemas de encontrar um limite preciso para a raz˜ao entre os dois primeiros
autovalores tamb´em s˜ao estudados em ambientes mais gerais como variedades Riemanni-
anas compactas. Por exemplo, em [5] Ashabaugh e Benguria consideraram o problema
de limitar a raz˜ao dos dois primeiros autovalores de Dirichlet em um dom´ınio contido em
um hemisf´erio de S
n
. Mais precisamente, Ashbaugh e Benguria mostraram que λ
2
/λ
1
(Ω)
assume seu valor m´aximo quando Ω ´e uma bola geod´esica em S
n
.
O objetivo desta disserta¸c˜ao ´e fornecer uma material did´atico `a respeito da prova da
desigualdade (4) tomando como base o trabalho de Ashbaugh e Benguria em [4].
A disserta¸c˜ao est´a organizada da seguinte forma: No Cap´ıtulo 1, apresentaremos uma
vers˜ao mais geral do problema de autovalores de Dirichle t juntamente com o teorema que
mostra que o Laplaciano de Dirichlet tem um espe ctro discreto de infinitos autovalores
positivos com nenhum ponto de acumula¸c˜ao finito, ou seja, os autovalores de Dirichlet
satisfazem:
0 < λ
1
< λ
2
≤ λ
3
≤ . . . ,
onde λ
k
−→ ∞ quando k −→ ∞. No Cap´ıtulo 2, apresentaremos a parte mais importante
desta disserta¸c˜ao, que ´e uma prova da desigualdade (4). Finalmente, no Cap´ıtulo 3
consideraremos o problema de autovalores em variedades Riemannianas e apresentaremos
uma demonstra¸c˜ao do teorema de Lichnerowicz-Obata, usando o teorema do diˆametro
m´aximo de Cheng, cuja prova ser´a baseada no teorema de Bishop-Gromov.
3
Cap´ıtulo 1
Resultados Preliminares
Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns conceitos e resultados em variedades Riemanniana
que ser˜ao ´uteis nos pr´oximos Cap´ıtulos. Para a conjectura de PPW, cap´ıtulo 2, podemos
pensar em Ω como um dom´ınio limitado da variedade Riemanniana R
n
. No Cap´ıtulo 3
trabalharemos c om variedades Riemanniana.
Denotaremos por M uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n, (n ≥ 1), conexa e
C
∞
. Assumiremos que M ´e orientada e que sua fronteira ∂M ´e tamb´em C
∞
. E para
cada p ∈ M, T
p
M denotar´a o espa¸co tangente `a M em p, enquanto que T M denotar´a o
fibrado tangente, isto ´e, a uni˜ao de todos os espa¸cos tangentes munidos com a estrutura
diferenci´avel natural.
1.1 Gradiente, divergˆencia e laplaciano
Defini¸c˜ao 1.1. Seja p ∈ M e f uma fun¸c˜ao real definida em uma vizinhan¸ca de p em
M, ent˜ao para cada ξ ∈ T
p
M associamos a derivada direcional de f em p na dire¸c˜ao ξ,
denotada por ξf e definida por:
ξf = (f ◦ c)
(0),
onde c : (−ε, ε) −→ M ´e qualquer caminho em M satisfazendo c(0) = p e c
(0) = ξ e
denota a derivada com respeito a t.
Observa¸c˜ao 1.1. N˜ao ´e dif´ıcil verificar que a aplica¸c˜ao Ψ : C
1
(M) × T
p
M −→ R dada
por Ψ(f, ξ) = ξf ´e linear na primeira (e segunda) entrada, onde C
k
(M) (k ≥ 1) denota o
conjunto das fun¸c˜oes reais de classe C
k
definidas em M.
Al´em disso, para fun¸c˜oes reais f e h em C
1
(M), temos:
ξ(fh) = h(ξf) + f(ξh). (1.1)
4
Cap´ıtulo 1. Resultados Preliminares
De fato, sejam p ∈ M, ent˜ao, em p, temos:
ξ(fh) = ((fh) ◦ c)
(0) =
d
dt
[f (c(t)) h (c(t))]
t=0
= (f ◦ c)
(0)h (c(0)) + (h ◦ c)
(0)f (c(0))
= h(ξf) + f(ξh),
onde c : (−ε, ε) −→ M ´e um caminho em M tal que c(0) = p e c
(0) = ξ.
A m´etrica Riemanniana associa para cada p ∈ M, um produto interno em T
p
M, o
qual denotaremos por , . E a norma associada denotaremos por | · |.
Defini¸c˜ao 1.2. Dada f ∈ C
k
(M), definimos o gradiente de f, ∇f, como sendo o campo
de vetores em M tal que:
∇f, ξ = ξf = Ψ(f, ξ)
para todo ξ ∈ T M.
Observa¸c˜ao 1.2. Em virtude da linearidade da aplica¸c˜ao Ψ (observa¸c˜ao 1.1) e da equa¸c˜ao
(1.1), temos:
1. ∇(f + h) = ∇f + ∇h
2. ∇(fh) = f(∇h) + h(∇f),
onde f, h ∈ C
1
(M).
No que segue denotaremos por χ(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C
∞
definidos em M.
Defini¸c˜ao 1.3. Para cada p ∈ M, ξ ∈ T
p
M e X ∈ χ(M), definimos a derivada covariante
de X com respeito a ξ como sendo o campo de vetores ∇
ξ
X que satisfaz:
1. ∇
ξ
(X + Y ) = ∇
ξ
X + ∇
ξ
Y
2. ∇
ξ
(fX) = (ξf)X(p) + f(p)∇
ξ
X
3. ∇
fX+ gY
Z = f ∇
X
Z + g∇
Y
Z,
onde, X, Y Z est˜ao em χ(M) e f e g pertencem a C
1
(M).
A dife rencia¸c˜ao de campos de vetores n˜ao ´e naturalmente determinada pois envolve
a escolha da conex˜ao, isto ´e, a regra que associa cada p ∈ M, ξ ∈ T
p
M e X `a ∇
ξ
X.
A m´etrica Riemanniana em M determina uma ´unica conex˜ao, chamada a conex˜ao de
Levi-Civita, para a qual vale:
5
Cap´ıtulo 1. Resultados Preliminares
1. ∇
X
Y − ∇
Y
X = [X, Y ] ,
2. ξ X, Y = ∇
ξ
X, Y + X, ∇
ξ
Y ,
onde [X, Y ] = XY − Y X ´e o colchete de X e Y com X e Y em χ(M). A demonstra¸c˜ao
deste fato pode ser encontrada em [9].
Defini¸c˜ao 1.4. Seja X um campo de vetores em χ(M), definimos a divergˆencia de X,
divX, como sendo uma fun¸c˜ao em C
∞
(M) tal que:
(divX)(p) = tra¸co(ξ −→ ∇
ξ
X),
onde ξ varia em T
p
M.
Observa¸c˜ao 1.3. Nas defini¸c˜oes de derivada covariante e divergˆencia podemos aplicar
campos de vetores que s˜ao pelo menos de classe C
1
em M. Al´em disso na defini¸c˜ao de
divergˆencia, para f ∈ C
1
(M) e X e Y em χ(M), temos:
1. div(X + Y ) = divX + divY,
2. div(fX) = f(divX) + ∇f, X.
De fato, dado p ∈ M e ξ variando em T
p
M, temos:
(div(X + Y )) (p) = tra¸co(ξ −→ ∇
ξ
(X + Y ) = ∇
ξ
X + ∇
ξ
Y )
= tra¸co(ξ −→ ∇
ξ
X) + tra¸co(ξ −→ ∇
ξ
Y )
= (divX) (p) + (divY ) (p).
E para o item 2, temos:
(div(fX)) (p) = tra¸co (ξ −→ ∇
ξ
(fX) = (ξf)X(p) + f(p)∇
ξ
X)
= tra¸co (ξ −→ ∇f, ξX(p)) + tra¸co (ξ −→ f(p)∇
ξ
X)
= ∇f, X(p) + (f(divX) (p).
Defini¸c˜ao 1.5. Seja f ∈ C
k
(M), (k ≥ 2), definimos o Laplaciano de f, ∆f, por:
∆f = div(∇f).
Observa¸c˜ao 1.4. Em virtude das observa¸c˜oes 1.2 e 1.1, temos:
1. ∆(f + g) = ∆f + ∆g,
2. div(h∇f) = h(∆f) + ∇h, ∇ f ,
3. ∆(fh) = h(∆f) + 2 ∇f, ∇h + f(∆h).
6
Cap´ıtulo 1. Resultados Preliminares
Com efeito,
∆(f + g) = div(∇(f + g)) = div(∇f + ∇h)
= div(∇f) + div(∇h) = ∆f + ∆h,
div(h(∇f)) = h(div(∇f)) + ∇h, ∇f
= h∆f + ∇h, ∇f e
∆(fg) = div(∇fh) = div(h(∇f)) + div(f(∇h))
= h(∆f) + 2 ∇f, ∇h + f(∆h).
Observa¸c˜ao 1.5. Os operadores: gradiente, divergˆencia e laplaciano podem ser expressos
em coordenadas locais, o leitor interessado em tais express˜oes pode encontra-l´as em [10].
1.2 O Teorema da Divergˆencia e as F´ormulas de Green
Nesta se¸c˜ao introduziremos brevemente a teoria de integra¸c˜ao para variedades Rieman-
nianas, atrav´es da qual enunciaremos duas vers˜oes do teorema da divergˆencia para var-
iedades Riemannianas.
´
E coveniente come¸carmos com o conceito de parti¸c˜ao da unidade.
Antes disto, necessitaremos de alguns conceitos b´asicos.
Defini¸c˜ao 1.6. Uma fam´ılia de abertos V
α
⊂ M com
α
V
α
= M ´e localmente finita se
todo ponto p ∈ M possui uma vizinha¸ca U tal que U
V
α
= ∅ apenas para um n´umero
finito de ´ındices. E o suporte de uma fun¸c˜ao f : M −→ R ´e o fecho do conjunto dos
pontos onde f ´e diferente de zero, isto ´e, suptf = {x ∈ R; f(x) = 0}.
Defini¸c˜ao 1.7. Dizemos que uma fam´ılia {f
α
} de fun¸c˜oes diferenci´aveis f
α
: M −→ R ´e
uma parti¸c˜ao diferenci´avel da unidade se:
1. Para todo α, f
α
≥ 0 e o suporte de f
α
est´a contido em uma vizinhan¸ca coordenada
V
α
= x
α
(U
α
) de uma estrutura diferenci´avel {(U
α
, x
α
)} de M.
2. A fam´ılia {V
α
} ´e localmente finita.
3. Σ
α
f
α
(p) = 1, para todo p ∈ M (notemos que esta condi¸c˜ao faz sentido, pois para
cada p, f
α
(p) = 0 apenas para um n´umero finito de ´ındice s).
´
E comum dizer que a parti¸c˜ao f
α
da unidade est´a subordinada `a cobertura {V
α
}.
O pr´oximo teorema garante a existˆencia de parti¸c˜ao da unidade sob certas condi¸c˜oes
topol´ogicas da variedade M. Estas quest˜oes topol´ogicas s˜ao:
7
Cap´ıtulo 1. Resultados Preliminares
Axioma de Hausdorff : Dados dois pontos distintos de M existem vizinhan¸cas destes dois
pontos que n˜ao se intersectam.
Axioma da base enumer´avel : M pode ser coberta por uma quantidade enumer´avel de
vizinhan¸cas coordenadas (dizemos ent˜ao que M tem base enumer´avel).
Teorema 1.1. Uma variedade dife renci´avel M possui uma parti¸c˜ao diferenci´avel da
unidade se e s´o se toda componente conexa de M ´e de Hausdorff e tem base enumer´avel.
Uma demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [8].
Finalmente, associada a m´etrica Riemanniana, temos uma teoria de integra¸c˜ao na
qual:
1. A fun¸c˜ao f : M −→ R ´e mensur´avel se, para todo sistema de coordenadas x : U ⊂
R
n
−→ M, f ◦ x ´e mensur´avel em U ⊂ R
n
.
2. Para toda cobertura {x
α
: U
α
−→ R
n
; α ∈ I}, (onde I ´e algum subconjunto de
R) de M por sistemas de coordenadas com a parti¸c˜ao da unidade subordinada
{φ
α
: α ∈ I}, a medida Riemanniana em M ´e dada pela densidade:
dV =
α
φ
α
√
g
α
dx
1
α
···dx
n
α
,
onde dx
1
α
···dx
n
α
´e a densidade da medida de Lebesgue em x
−1
α
(U
α
) ⊂ R
n
e g
α
´e
dado por:
g
α
= det(g
ij
) com g
ij
=
∂
∂x
i
,
∂
∂x
j
para o sistema de coordenadas x
α
, onde
∂
∂x
i
; i = 1, . . . , n
´e uma base de T
p
M.
Neste caso,
x(U)
fdx =
x
−1
(U)
f ◦ xdV.
Um fato importante ´e que a densidade
√
gdx
1
α
···dx
n
α
no dom´ınio U ´e independente do
sistema de coordenadas x. A parti¸c˜ao da unidade ´e portanto uma ferramenta que deter-
mina globalmente a medida em M. Com esta breve teoria de integra¸c˜ao em variedade
Riemannianas, estamos em condi¸c˜oes de enunciar o teorema da divergˆencia e as f´ormulas
de Green.
Teorema 1.2 (da Divergˆencia I). Se X ´e um campo de vetores C
1
em M com suporte
compacto, ent˜ao:
M
(divX)dV = 0 (1.2)
8
Cap´ıtulo 1. Resultados Preliminares
Para uma demonstra¸c˜ao veja [10].
Teorema 1.3 (F´ormulas de Green I). Sejam h ∈ C
1
(M) e f ∈ C
2
(M) fun¸c˜oes reais
tais que f(∇h) tem suporte compacto. Ent˜ao:
M
(h∆f + ∇h, ∇f) dx = 0. (1.3)
Al´em disso, se h ∈ C
2
(M) e f e h tiverem suporte compacto, ent˜ao:
M
(h∆f − f∆h) dx = 0. (1.4)
Demonstra¸c˜ao: Aplicando o item 2 da Observa¸c˜ao 1.4 ao campo de vetores X =
h (∇f) e em seguida aplicando o Teorema 1.2, obtemos a equa¸c˜ao (1.3). Procedendo de
forma an´aloga com o campo de vetores Y = f (∇h),obtemos:
M
(f∆h + ∇h, ∇f) dx = 0. (1.5)
Subtraindo a equa¸c˜ao (1.5) da equa¸c˜ao (1.3), obtemos a equa¸c˜ao (1.4).
Agora suponhamos que M tenha fronteira ∂M, com a m´etrica Riemanniana induzida
e mensur´avel, a densidade de medida para ∂M ser´a denotada por dA. Ent˜ao temos uma
vers˜ao mais geral para o teorema 1.2.
Teorema 1.4 (da Divergˆencia II). Seja X um campo de vetores de classe C
1
em M
com suporte compacto. Ent˜ao:
M
divXdV =
∂M
X, ηdA (1.6)
onde η ´e um vetor unit´ario normal e exterior a ∂M.
De forma an´aloga ao teorema 1.2, do teorema 1.4 temos uma vers˜ao mais geral para
a f´ormula de Green.
Teorema 1.5. Sejam h ∈ C
1
(M) e f ∈ C
2
(M) tais que h(∇f) tem suporte compacto
em M. Ent˜ao:
M
(h∆f + ∇h, ∇f) dV =
∂M
h(ηf)dA. (1.7)
Se suponhamos que h ∈ C
2
(M) e f, h ambos tˆem suporte compacto em M, ent˜ao:
M
(h∆f − f∆h) dV =
∂M
(h(ηf) − f(ηh)) dA. (1.8)
Demonstra¸c˜ao: Para demonstrarmos a equa¸c˜ao (1.7), basta aplicarmos o Teorema
1.4 ao campo X = h(∇f) e usarmos o item 2 da Observa¸c˜ao 1.4 e a Defini¸c˜ao 1.2. E
fazendo o mesmo processo para o campo Y = f(∇h) obtemos a equa¸c˜ao:
M
(f∆h + ∇h, ∇f) dV =
∂M
f(ηh)dA, (1.9)
subtraindo a equa¸c˜ao (1.9) da equa¸c˜ao (1.7) obtemos a equa¸c˜ao (1.8).
9
Cap´ıtulo 1. Resultados Preliminares
1.3 Fatos b´asicos sobre problemas de autovalor.
Nesta se¸c˜ao apresentaremos quatro tipos de problemas de autovalores, bem como um
teorema que al´em de garantir a existˆencia dos autovalores, mostra que cada um dos
quatro problema citados tem o mesmo espectro de autovalores, isto ´e, os autovalores,
basicamente, formam uma seq¨uˆencia n˜ao decrescente de n´umeros reais onde todos os
termos s˜ao positivos.
Denotaremos por L
2
(M) o espa¸co das fun¸c˜oes definidas em M, para as quais:
M
|f|
2
dx < +∞.
Podemos munir o espa¸co L
2
(M) de um produto interno, o qual induz uma norma, ambos
dados por:
(f, h) =
M
fhdx
e
f
2
= (f, f) ,
onde f, h ∈ L
2
(M).
Observa¸c˜ao 1.6. O espa¸co L
2
(M), munido do produto interno acima, ´e um espa¸co de
Hilbert.
Os principais problemas de autovalores s˜ao:
Problema Fechado: Supondo que M ´e compacta e conexa, este problema consiste em
encontrar todos os n´umeros reais λ para os quais existe uma solu¸c˜ao n˜ao trivial
φ ∈ C
2
(M) tal que:
∆φ + λφ = 0.
Problema de Neumann: Para ∂M = ∅, M compacta e conexa, encontrar todos os n´umeros
reais λ para os quais existe uma solu¸c˜ao n˜ao trivial φ ∈ C
2
(M)∩C
1
(M) que satisfa¸ca
a equa¸c˜ao (1.3) e a condi¸c˜ao de fronteira:
ηφ = 0 em ∂M,
onde η ´e um campo de vetores unit´ario normal e exterior a ∂M.
Problema de Dirichlet: Para ∂M = ∅, M compacta e conexa, encontrar todos os n´umeros
reais λ para os quais existe um solu¸c˜ao n˜ao trivial φ ∈ C
2
(M)∩C
0
(M), satisfazendo
a equa¸c˜ao (1.3) e a condi¸c˜ao de fronteira:
φ = 0 em ∂M.
10
Cap´ıtulo 1. Resultados Preliminares
Problema misto: Para ∂M = ∅, M compacta e conexa, N uma subvariedade aberta de
∂M, encontrar todos os n´umeros reais λ para os quais existe uma solu¸c˜ao n˜ao trivial
φ ∈ C
2
(M) ∩ C
1
(M ∪ N) ∩ C
0
(M), satisfazendo a equa¸c˜ao (1.3) e a condi¸c˜ao de
fronteira:
φ = 0 em ∂M − N, ηφ = 0 em N.
Os n´umeros reais λ nos problemas descritos acima s˜ao conhecidos como autovalores de
∆ e o espa¸co vetorial das solu¸c˜oes destes problemas para um autovalor λ dado (a equa¸c˜ao
(1.3) ´e linear) ´e o autoespa¸co associado a λ. Os elementos de cada autoespa¸co s˜ao as
chamadas autofun¸c˜oes.
Teorema 1.6. Nos problemas de autovalores descritos acima, o conjunto de autovalores
consiste de uma seq¨uˆencia crescente de n´umeros reais
0 ≤ λ
1
< λ
2
< . . . ↑ +∞
e cada autoespa¸co associado tem dimens˜ao finita. Autoespa¸cos associados a diferentes
autovalores s˜ao ortogonais em L
2
(M) e L
2
(M) ´e a soma direta de todos os autoespa¸cos.
Al´em disso, cada autofun¸c˜ao ´e C
∞
em M.
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, notemos que se φ ∈ C
2
(M) ∩ C
0
M
´e uma auto-
fun¸c˜ao, ent˜ao seu autovalor associado, λ, ´e positivo. De fato, tomando f = h = φ na
equa¸c˜ao (1.3) no teorema 1.3, temos:
M
φ (−λφ) + |∇φ|
2
dx = 0,
donde obtemos:
λ =
M
|∇φ|
2
dx
φ
2
≥ 0 (1.10)
Agora observemos que se λ = 0 na equa¸c˜ao (1.10), ent˜ao ∇φ = 0 o que implica em φ
ser uma aplica¸c˜ao constante (M ´e conexa). Entretanto, se φ for constante e solu¸c˜ao do
problema de Dirichlet ou do problema misto ent˜ao φ ≡ 0. Portanto todos os autovalores
do problema de Dirichlet e do problema misto s˜ao positivos.
A ortogonalidade de autofun¸c˜oes associadas a diferentes autovalores segue da equa¸c˜ao
(1.4). Com efeito, sejam φ e ψ autofun¸c˜oes associadas a diferentes autovalores, λ e α,
respectivamente. Ent˜ao:
0 =
M
(φ∆ψ − ψ∆φ) dx = (λ − α)
M
φψdx. (1.11)
A dimens˜ao de cada autoespa¸co ´e a multiplicidade do seu autovalor. Sendo assim, ´e
conveniente listarmos os autovalores como:
0 ≤ λ
1
≤ λ
2
≤ . . . ↑ +∞
11
Cap´ıtulo 1. Resultados Preliminares
com cada autovalor repetido de acordo com sua multiplicidade.
Se φ
1
, φ
2
, . . . ´e uma seq¨uˆencia ortonormal, em L
2
(M), de autofun¸c˜oes tais que φ
j
´e
uma autofun¸c˜ao de λ
j
para cada j = 1, 2, . . . , ent˜ao {φ
1
, φ
2
, . . . } ´e uma base ortonormal
de L
2
(M). Em particular, para f ∈ L
2
(M), temos:
f =
∞
j=1
(f, φ
j
) φ
j
em L
2
(M).
O pr´oximo teorema ´e um dos principais resultados necess´arios para a prova da con-
jectura de PPW.
Teorema 1.7 (Desigualdade de Rayleigh). Considere o problema de Dirichlet e seus
autovalores:
0 < λ
1
≤ λ
2
≤ . . . , (1.12)
onde cada autovalor ´e repetido o n´umero de vezes igual a sua multiplicidade. Ent˜ao para
qualquer f no completamento de C
∞
(M), f = 0, temos:
λ
1
≤
Ω
|∇f|
2
dx
Ω
f
2
dx
, (1.13)
onde a igualdade ocorre se e somente se f ´e uma autofun¸c˜ao de λ
1
. Al´em disso, se
{φ
1
, φ
2
, . . . } ´e uma base ortonormal de L
2
(Ω) tais que φ
j
´e uma autofun¸c˜ao de λ
j
para
cada j = 1, 2, . . . , e f ´e uma fun¸c˜ao em C
∞
(Ω), com f = 0, satisfazendo:
Ω
fφ
1
dx = ··· =
Ω
fφ
k−1
dx = 0. (1.14)
Ent˜ao:
λ
k
≤
Ω
|∇f|
2
dx
Ω
f
2
dx
, (1.15)
onde a igualdade ocorre se e somente se f ´e uma autofun¸c˜ao de λ
k
.
Uma demonstra¸c˜ao deste teorema se encontra em [8].
Teorema 1.8 (Teorema do M´ınimo-M´aximo). Dados φ
1
, . . . , φ
k−1
∈ L
2
(M), seja
µ = inf
Ω
|∇f|
2
dx
Ω
f
2
dx
, (1.16)
onde f varia sobre o subespa¸co (menos a origem) do no completamento de C
∞
(M) or-
togonal a φ
1
, . . . , φ
k−1
∈ L
2
(M). Ent˜ao, para os autovalores dados em 1.12, temos:
12
Cap´ıtulo 1. Resultados Preliminares
µ ≤ λ
k
. (1.17)
´
E claro que se φ
1
, . . . , φ
k−1
s˜ao ortonormais, com cada φ
l
sendo uma autofun¸c˜ao de λ
l
,
l = 1, . . . , k − 1, ent˜ao µ = λ
k
.
Observa¸c˜ao 1.7. A desigualdade de Rayleigh e o Teorema do M´ınimo-M´aximo tamb´em
s˜ao v´alidos no problema fechado, Neumann e Misto. O leitor interessado pode encontrar
uma vers˜ao mais geral do Teorema 1.7 e 1.8 em [8].
13
Cap´ıtulo 2
Demonstra¸c˜ao da conjectura de
Payne-P´olya-Weinberger
Este ´e o Cap´ıtulo principal desta disserta¸c˜ao. Ele faz uso de todos os c onceitos e resultados
encontrados no cap´ıtulo 1 e no apˆendice.
Um resultado importante para a prova da conjectura de PPW ´e a compara¸c˜ao de
Chiti que apresentaremos neste cap´ıtulo. Outros resultados que foram essenciais neste
cap´ıtulo s˜ao a desigualdade de Rayleigh-Ritz, o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, as
propriedades especiais das fun¸c˜oes de Bessel e seus zeros e as propriedades das apre-
senta¸c˜oes esf´ericas das autofun¸c˜oes do problema de Dirichlet, as quais ser˜ao apresentadas
ao longo deste cap´ıtulo.
Teorema 2.1 (A Conjectura de Payne-P´olya-Weinberger, [4]). A raz˜ao dos dois
primeiros autovalores do problema de Dirichlet em um dom´ınio limitado Ω ⊂ R
n
satisfaz:
λ
2
λ
1
≤
λ
2
λ
1
Ω = bola em R
n
=
j
n/2,1
j
n/2−1,1
2
.
Al´em disso, a igualdade ocorre se e somente se Ω ´e um disco.
Demonstra¸c˜ao:
Iniciemos a demonstra¸c˜ao provando que, depois de escolhermos a origem propriamente,
vale:
Ω
P
i
u
2
1
dx = 0, (2.1)
onde P
i
≡ 0 com i = 1, 2, . . . , n. Aqui, dx denota a medida de Lebesgue padr˜ao em R
n
;
14
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
u
1
denota a autofun¸c˜ao normalizada para o autovalor λ
1
. Mais geralmente, λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . .
ser˜ao usados para denotarem os autovalores (positivos) do problema de Dirichlet (com
as multiplicidades inclusas) e u
1
, u
2
, u
3
, . . . ir˜ao denotarem uma sequˆencia ortonormal de
autofun¸c˜oes correspondentes. E P
i
´e definido por:
P
i
(x) = g(r)
x
i
r
, i = 1, . . . , n, . (2.2)
onde g(r) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa na vari´avel radial r = |x| e x
i
denota a i-´esima
vari´avel cartesiana padr˜ao. A fun¸c˜ao g ser´a definida, mais adiante, de modo a ser cont´ınua
e limitada em (0, ∞).
Para provar a equa¸c˜ao (2.1), defina:
F (x
0
) =
Ω
g(|x − x
0
|)
x − x
0
|x − x
0
|
u
2
1
(x)dx,
onde B ´e uma bola contendo Ω. De acordo com o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer,
se F
∂B
aponta para o interior da bola B, ent˜ao existe y
0
∈ B tal que F (y
0
) = 0 ∈ R
n
.
Portanto, devemos verificar se F
∂B
aponta para o interior da bola B.
Temos, se x
0
∈ ∂B e y
0
´e o centro de B:
F (x
0
); y
0
− x
0
=
Ω
g(|x − x
0
|)
x − x
0
; y
0
− x
0
|x − x
0
|
u
2
1
(x)dx. (2.3)
Como o ˆangulo entre os vetores x − x
0
e y
0
− x
0
´e menor que π/2 e a fun¸c˜ao g ´e n˜ao
negativa, segue que o segundo membro da equa¸c˜ao (2.3) ´e positivo. Ent˜ao, F
∂B
aponta
para o interior da bola B. Logo, existe z
0
∈ B tal que F (z
0
) = 0, ou seja:
Ω
g(|x − z
0
|)
x − z
0
|x − z
0
|
u
2
1
(x)dx = 0.
Tomando z
0
como sendo a origem obtemos a equa¸c˜ao (2.1).
Agora vamos usar a Desigualdade de Rayleigh-Ritz para provar que:
λ
2
− λ
1
≤
Ω
|∇P
i
|
2
u
2
1
dx
Ω
P
2
i
u
2
1
dx
. (2.4)
Com efeito, para toda fun¸c˜ao u que satisfaz:
Ω
uu
1
= 0, u ≡ 0
15
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
temos:
λ
2
≤
Ω
|∇u|
2
dx
Ω
u
2
dx
. (2.5)
Como P
i
≡ 0 e a equa¸c˜ao (2.1) ocorre, podemos tomar u = P
i
u
1
para aplicar a desigual-
dade (2.5). Entretanto, antes conv´em usarmos o Teorema da Divergˆencia para concluir
que na equa¸c˜ao (2.5):
Ω
|∇u|
2
dx = −
Ω
u∆udx. (2.6)
De acordo com o Teorema da Divergˆencia, temos:
Ω
div Xdx =
∂Ω
X, ηdx, (2.7)
onde X ´e um campo vetorial em Ω e η ´e um vetor normal unit´ario exterior a ∂Ω.
Se g ∈ C
1
(Ω) e f ∈ C
2
(Ω) s˜ao tais que X = g∇f, ent˜ao a equa¸c˜ao (2.7) pode ser escrita
como:
Ω
(∇g, ∇f+ g∆f) dx =
∂Ω
g ∇f, ηdx.
Agora tomando f ≡ g, temos:
Ω
|∇f|
2
dx +
Ω
f∆fdx =
∂Ω
f ∇f, ηdx.
Portanto, se f
∂Ω
= 0 obtemos:
Ω
|∇f|
2
dx = −
Ω
f∆fdx. (2.8)
Como u
∂Ω
= 0, basta tomar u ≡ f na equa¸c˜ao (2.8) para obtermos a equa¸c˜ao (2.6).
Agora usando a equa¸c˜ao (2.6) e a desigualdade (2.5) com u ≡ P
i
u
1
temos:
λ
2
≤
−
Ω
(P
i
u
1
)
(∆P
i
) u
1
+ 2 ∇P
i
∇u
1
+ P
i
∆u
1
dx
Ω
P
2
u
2
1
dx
. (2.9)
Desenvolvendo o segundo membro da equa¸c˜ao (2.9) obtemos:
16
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
λ
2
≤
−
Ω
u
2
1
P
i
∆P
i
dx −
1
2
Ω
∇P
2
i
, ∇u
2
1
dx −
Ω
P
2
i
u
1
∆u
1
dx
Ω
P
2
i
u
2
1
dx
. (2.10)
Usando o Teorema da Divergˆencia novamente para a fun¸c˜ao u
2
1
∇P
2
i
e observando que
u
1
∂Ω
= 0, obtemos:
Ω
∇P
2
i
, ∇u
2
1
dx = −
Ω
∆P
2
i
u
2
1
dx.
Assim, a desigualdade (2.10) pode ser escrita como:
λ
2
≤
−
Ω
u
2
1
P
i
∆P
i
dx +
1
2
Ω
(∆P
2
i
) u
2
1
dx +
Ω
P
2
i
u
1
λ
1
u
1
dx
Ω
P
2
i
u
2
1
dx
. (2.11)
Ent˜ao, observando que:
Ω
∆P
2
i
u
2
1
dx =
Ω
2P ∆P
i
+ 2|∇P
i
|
2
u
2
1
dx
a desigualdade (2.11) pode ser escrita como:
λ
2
≤
−
Ω
|∇P
i
|
2
u
2
1
dx + λ
1
Ω
u
2
1
P
2
i
dx
Ω
u
2
1
P
2
i
dx
. (2.12)
Facilmente podemos ver que a equa¸c˜ao (2.12) ´e equivalente a equa¸c˜ao (2.4).
Escrevendo a desigualdade (2.4) como:
(λ
2
− λ
1
)
Ω
P
2
i
u
2
1
dx ≤
Ω
|∇P
i
|
2
u
2
1
dx
e somando em i com i = 1, . . . , n, obtemos:
(λ
2
− λ
1
)
n
i=1
Ω
P
2
i
u
2
1
dx ≤
n
i=1
Ω
|∇P
i
|
2
u
2
1
dx, (2.13)
a equa¸c˜ao (2.13) pode s er esc rita como:
λ
2
− λ
1
≤
Ω
(
n
i=1
|∇P
i
|
2
) u
2
1
dx
Ω
(
n
i=1
P
2
i
) u
2
1
dx
. (2.14)
17
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
Da equa¸c˜ao (2.2), ´e claro que:
n
i=1
P
2
i
= g
2
(r). (2.15)
Ainda da equa¸c˜ao (2.2), temos:
∂P
i
∂x
j
=
g(r)
r
x
i
x
j
r
+ δ
ij
g(r)
r
,
onde
denota a derivada da fun¸c˜ao com rela¸c˜ao a r, ent˜ao:
∇P
i
=
n
i=1
e
j

g(r)
r
x
i
x
j
r
+ δ
ij
g(r)
r
e calculando a norma do vetor ∇P
i
, temos:
|∇P
i
|
2
=
n
j=1

g(r)
r
x
i
x
j
r
+ δ
ij
g(r)
r
2
=
n
j=1

g(r)
r
2
x
2
i
x
2
j
r
2
+ 2
g(r)
r
x
i
x
j
r
δ
ij
g(r)
r
+ δ
2
ij
g
2
(r)
r
2
=

g(r)
r
2
x
2
i
r
2
n
j=1
x
2
j
+ 2
g(r)
r
g(r)
r
2
x
2
i
+
g
2
(r)
r
2
=
g
r
2
x
2
i
+
g
2
r
2
−
g
2
r
4
x
2
i
(2.16)
Portanto
n
i=1
|∇P
i
|
2
= (g
)
2
+ (n − 1)
g
2
r
2
.
Assim, de acordo com a desigualdade (2.14) e da equa¸c˜ao (2.15), podemos escrever
18
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
λ
2
− λ
1
≤
Ω
(g
(r))
2
+ (n − 1)
g
2
(r)
r
2
u
2
1
dx
Ω
g
2
(r)u
2
1
dx
. (2.17)
Como a equa¸c˜ao (2.17) n˜ao depende mais dos P
i
s, estamos agora em condi¸c˜ao de
definir a fun¸c ˜ao g. A id´eia ´e tomar a fun¸c˜ao g como sendo uma raz˜ao apropriada de
fun¸c˜oes de Bessel de forma que a igualdade em (2.17) ocorra se Ω for uma bola fechada
em R
n
. Isto motiva a escolha de:
g(r) = ω(γr), (2.18)
onde
ω(x) =
j
n/2
(βx)
j
n/2−1
(αx)
, se 0 ≤ x < 1,
ω(1) ≡ lim
x→1
ω(x), se x ≥ 1,
(2.19)
com α = j
n/2−1,1
, β = j
n/2,1
e γ =
√
λ
1
/α. Assim, g ´e uma fun¸c˜ao, cont´ınua e limitada
em (0, ∞).
Afirma¸c˜ao 2.1. A igualdade ocorre em (2.17) quando Ω ´e uma bola fechada com λ
1
como o primeiro autovalor do problema de Dirichlet e g ´e dada por (2.18).
De fato, se S
1
´e a bola fechada de R
n
de raio apropriado e de centro 0 na qual o
problema:
−∆z = λz em S
1
z = 0 em ∂S
1
(2.20)
tem λ
1
como seu primeiro autovalor, ent˜ao:
S
1
= {x ∈ R
n
; |x| ≤ α/
λ
1
= 1/γ}.
O segundo autovalor do problema (2.20) ´e
λ
2
=
β
2
α
2
λ
1
. A primeira autofun¸c˜ao de S
1
´e:
z(x) = cr
1−n/2
j
n/2−1
(
λ
1
r),
19
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
e as autofun¸c˜oes correspondentes a
λ
2
s˜ao:
f
i
(x) = cr
1−n/2
j
n/2
(
λ
2
r)
x
i
r
, i = 1, . . . , n,
onde c ´e uma constante, n˜ao nula.
Seja
Q(r) =
j
n/2
λ
2
r
j
n/2−1
(
√
λ
1
r)
, se 0 ≤ r < 1/γ,
lim
r→1/γ
j
n/2
λ
2
r
j
n/2−1
(
√
λ
1
r)
, se x ≥ 1/γ,
observamos que Q(r) = ω(γr) = g(r) e sejam
Q
i
(x) = Q(|x|)
x
i
|x|
= g(r)
x
i
r
,
ent˜ao
S
1
Q
i
z
2
dx = 0, i = 1, . . . , n.
e Q
i
z s˜ao autofun¸c˜oes de
λ
2
. Portanto, temos que:
λ
2
=
Ω
|∇(Q
i
z)|
2
dx
Ω
(Q
i
z)
2
dx
, i = 1, . . . , n.
Usando a demonstra¸c˜ao da desigualdade (2.17), temos que:
λ
2
− λ
1
=
Ω
(g
(r))
2
+ (n − 1)
g
2
(r)
r
2
z
2
dx
Ω
g
2
(r)z
2
dx
. (2.21)
Portanto a Afirma¸c˜ao 2.1 vale.
Substuindo a equa¸c˜ao (2.18) na desigualdade (2.17), obtemos:
λ
2
− λ
1
≤
λ
1
Ω
B(γr)u
2
1
dx
α
2
Ω
ω
2
(γr)u
2
1
dx
, (2.22)
onde
B(x) = (ω
(x))
2
+ (n − 1)
ω
2
(x)
x
2
.
20
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
Agora definiremos o conceito de apresenta¸c˜ao esf´erica que ´e essencial para obtermos al-
gumas desigualdades a partir da desigualdade (2.22).
Defini¸c˜ao 2.1. Seja f uma fun¸c˜ao mensur´avel definida em Ω ⊂ R
n
. A apresenta¸c˜ao
esf´erica decrescente f
∗
´e uma fun¸c˜ao definida na bola fechada Ω
∗
centrada na origem
e tendo a mesma medida de Ω, tal que f
∗
depende somente da distˆancia da origem.
Al´em disso, f
∗
´e decrescente e equimensur´avel com f, isto ´e, f e f
∗
tˆem a mesma
fun¸c˜ao distribui¸c˜ao. (A fun¸c˜ao distribui¸c˜ao µ
f
(t) da fun¸c˜ao f ´e definida por µ
f
(t) =
|{x ∈ Ω; |f(x)| > t}| ). A apresenta¸c˜ao esf´erica crescente f
∗
de f ´e definida analoga-
mente.
Observa¸c˜ao 2.1. Como f
∗
e f
∗
s˜ao fun¸c˜oes que dependem apenas de r = |x|, abusaremos
da nota¸c˜ao ocasionalmente e escreveremos f
∗
(r) e f
∗
(r), respectivamente.
Observa¸c˜ao 2.2. Os fatos relevantes sobre reapresenta¸c˜ao esf´erica s˜ao:
i) Se f = f(r) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa e decrescente (resp. crescente) para x ∈ Ω,
ent˜ao f
∗
(r) ≤ f(r) (resp. f
∗
(r) ≥ f(r)) para r entre 0 e o raio de Ω
∗
;
ii) Se f e g s˜ao fun¸c˜oes n˜ao negativas, ent˜ao:
Ω
∗
f
∗
g
∗
dx ≤
Ω
fgdx ≤
Ω
∗
f
∗
g
∗
dx.
Pelo Teorema 4.1 e Corol´ario 4.1 (no apˆendice), sabemos que ω(x) ´e crescente e B(x)
´e decrescente. Al´em disso, ω
(x) e ω(x)/x s˜ao positivas e decrescentes.
Assim temos:
Ω
B(γr)u
2
1
dx ≤
Ω
∗
B(γr)
∗
u
∗2
1
dx ≤
Ω
∗
B(γr)u
∗2
1
dx ≤
S
1
B(γr)z
2
dx (2.23)
e
Ω
ω(γr)
2
u
2
1
dx ≥
Ω
∗
ω(γr)
2
∗
u
∗2
1
dx ≥
Ω
∗
ω(γr)
2
u
∗2
1
dx ≥
S
1
ω(γr)
2
z
2
dx, (2.24)
onde a primeira desigualdade em (2.23) e (2.24) ocorre devido a ii), enquanto a segunda
desigualdade em (2.23) e (2.24) ocorre devido a i), sabendo que B ´e positiva e decrescente
e ω ´e crescente e n˜ao-negativa. Para a ´ultima desigualdade em (2.23) e (2.24) precisamos
do resultado de compara¸c˜ao de Chiti: se c for escolhido de forma que:
Ω
u
2
1
dx =
Ω
∗
u
2
1
dx =
S
1
z
2
dx, (2.25)
21
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
ent˜ao existe um ponto r
1
∈ (0, 1/γ) tal que:
u
∗
1
(r) ≤ z(r) para 0 ≤ r ≤ r
1
,
u
∗
1
(r) ≥ z(r) para r
1
≤ r ≤ 1/γ.
(2.26)
O resultado de compara¸c˜ao de Chiti faz uso da desigualdade de Faber-Krahn [15], [16],
a qual mostra que S
1
⊂ Ω
∗
(portanto 1/γ ≤ r
∗
) e S
1
´e um subconjunto pr´oprio de Ω
∗
,
exceto quando Ω ´e uma bola fechada.
A ´ultima desigualdade em (2.23) e (2.24) s egue do fato que:
Ω
∗
f(r)u
∗2
1
dx ≥
S
1
f(r)z
2
dx, se f ´e crescente (2.27)
e a desigualdade inversa ´e ocorre quando f ´e decrescente. Para mostrar a desigualdade
(2.27), tomemos f sendo uma fun¸c˜ao crescente e denotaremos o raio de Ω
∗
por r
∗
,
ω
r
= {x ∈ R
n
/|x| = r},
e
ω
1
= {x ∈ R
n
/|x| = 1}.
Sabendo que
´
Area(ω
1
) = nC
n
e
´
Area(ω
r
) = r
n−1
nC
n
, onde C
n
´e o volume da bola unit´aria
em R
n
, temos:
S
1
f(r)z
2
dx −
Ω∗
f(r)u
∗2
1
dx
=
1/γ
0
ω
r
f(r)z
2
dω
r
dr −
r
∗
0
ω
r
f(r)u
∗2
1
dω
r
dr
=
1/γ
0
f(r)z
2
r
n−1
nC
n
dr −
r
∗
0
f(r)u
∗2
1
r
n−1
nC
n
dr
= nC
n
r
1
0
f(r)
z
2
− u
∗2
1
r
n−1
dr
+
1/γ
r
1
f(r)
z
2
− u
∗2
1
r
n−1
dr
−
r
∗
1/γ
f(r)u
∗2
1
r
n−1
dr
22
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
≤ nC
n
f(r
1
)
r
1
0
z
2
− u
∗2
1
r
n−1
dr
+f(r
1
)
1/γ
r
1
z
2
− u
∗2
1
r
n−1
dr
−f(r
1
)
r
∗
1/γ
u
∗2
1
r
n−1
dr
= f(r
1
)
S
1
z
2
dr −
Ω
∗
u
∗2
1
dr
= 0, (2.28)
onde dω
r
´e o elemento de ´area de ω
r
, a segunda igualdade ocorre pelo fato de que as
fun¸c˜oes f(r)z
2
e f(r)u
∗2
1
n˜ao dependem da vari´avel ω
r
, a desigualdade ocorre devido a
f ser crescente e devido a (2.26) e a ´ultima igualdade ocorre devido a equa¸c˜ao (2.25).
Isto prova a desigualdade (2.27) e a prova da desigualdade inversa ´e an´aloga, tomando f
decrescente.
Finalmente, podemos combinar as desigualdades (2.23) e (2.24) com a desigualdade
(2.22) para obtermos a desigualdade:
λ
2
− λ
1
≤
λ
1
S
1
B(γr)z
2
dx
α
2
S
1
ω
2
(γr)z
2
dx
=
λ
1
1/γ
0
ω
r
B(γr)z
2
dω
r
dr
α
2
1/γ
0
ω
r
ω
2
(γr)z
2
dω
r
dr
=
λ
1
1/γ
0
B(γr)j
2
n/2−1
(
√
λ
1
r)rdr
α
2
1/γ
0
ω
2
(γr)j
2
n/2−1
(
√
λ
1
r)rdr
=
λ
1
α
2
1
γ
2
1/γ
0
g
(r)
2
+ (n − 1)
g
2
(r)
r
2
j
2
n/2−1
(
λ
1
r)rdr
1/γ
0
g
2
(r)j
2
n/2−1
(
√
λ
1
r)rdr
, (2.29)
onde a segunda igualdade ocorre pelo fato de que as fun¸c˜oes B(γr)j
2
n/2−1
(
√
λ
1
r)r e
ω
2
(γr)j
2
n/2−1
(
√
λ
1
r)r n˜ao depende de ω
r
, enquanto para a terceira igualdade utilizamos
o fato que B(γr) =
1
γ
2
g
(r)
2
+ (n − 1)
g
2
(r)
r
2
. (Lembrando que γ =
√
λ
1
/α, onde
α = j
n/2−1,1
e β = j
n/2,1
). E pela igualdade (2.21), temos que:
23
Cap´ıtulo 2. Demonstra¸c˜ao da conjectura de Payne-P´olya-Weinberger
λ
2
− λ
1
=
1/γ
0
ω
r
g
(r) + (n − 1)
g
2
(r)
r
2
z
2
(r)dω
r
dr
1/γ
0
ω
r
g
2
(r)z
2
(r)dω
r
dr
=
1/γ
0
g
(r)
2
+ (n − 1)
g
2
(r)
r
2
j
2
n/2−1
(
λ
1
r)rdr
1/γ
0
g
2
(r)j
2
n/2−1
(
√
λ
1
r)rdr
(2.30)
Como
λ
2
=
β
2
α
2
λ
1
, sabemos de (2.29) e (2.30) que:
λ
2
− λ
1
≤
λ
1
α
2
1
γ
2
(
λ
2
− λ
1
)
=
λ
1
α
2
α
2
λ
1
β
2
α
2
λ
1
− λ
1
=
λ
1
α
2
(β
2
− 1),
isto ´e,
λ
2
λ
1
≤
β
2
α
2
=
j
2
n/2,1
j
2
n/2−1,1
.
Isto completa a demonstra¸c˜ao do Teorema 2.1.
24
Cap´ıtulo 3
O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Seja M uma variedade Riemanniana compacta, conexa tal que ∂M = ∅. Considere o
problema de autovalores,
−∆u = λu em M. (3.1)
O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar o teorema de Lichnerowicz-Obata, o qual fornece
um limite inferior para o primeiro autovalor do problema (3.1), sob certas hip´oteses a
respeito da topologia da variedade e sua curvatura de Ricci. Vamos apresentar uma
demonstra¸c˜ao diferente para o teorema de Lichnerowicz-Obata. Por isso, precisamos
entre outros resultados, do teorema da compara¸c˜ao de Laplace, de Bishop-G romov e por
´ultimo do teorema de Cheng, os quais ser˜ao demonstrados com detalhes.. No que segue,
M denotar´a uma variedade Riemanniana n-dimensional.
Defini¸c˜ao 3.1. Sejam M uma variedade, p ∈ M, v ∈ T
p
M e f ∈ C
2
(M) definimos a
hessiana de f em p, ∇
2
f : T
p
M × T
p
M −→ R, por:
∇
2
f
(v, v) = (V V f − (∇
V
V f))
p
,
onde V ´e uma extens˜ao local de v, (ent˜ao V (p) = v).
Observa¸c˜ao 3.1. (V V f − (∇
V
∇f))
p
= V, ∇
V
∇f
p
.
De fato, temos que V, ∇f
p
= (V f)(p), ent˜ao, em p:
V V f = V V, ∇f = ∇
V
V, ∇f + V, ∇
V
∇f,
portanto
(V V f − (∇
V
V )f)
p
= V, ∇
V
∇f
p
.
25
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Afirma¸c˜ao 3.1. Sejam M uma variedade completa e f ∈ C
2
(M). Dado p ∈ M, seja
{v
i
}
n
i=1
uma base ortonormal de T
p
M e V
i
uma extens˜ao local de v
i
, com v
i
, v
j
= δ
ij
,
i, j = 1, . . . , n. Ent˜ao,
∆f(p) =
n
i=1
(∇
2
f)(v
i
, v
i
)
.
De fato, de acordo com a defini¸c˜ao do operador Laplaciano dada no Cap´ıtulo 1, temos
∆f = div(∇f) = tra¸co(T ),
onde T : T M −→ T M ´e dada por
T (Y ) = ∇
Y
∇f,
para todo Y ∈ χ(M). Para x em uma vizinhan¸ca de p, temos:
∇f(x) =
n
i=1
f
i
(x)V
i
(x).
Sabemos que:
tra¸co(T ) =
n
j=1
T (V
j
), V
j
,
onde
T (V
j
) = ∇
V
j
∇f = ∇
V
j
n
i=1
f
i
V
i
=
n
i=1
f
i
∇
V
j
V
i
+
n
i=1
V
j
(f
i
)V
i
.
Portanto
tra¸co(T ) =
n
j=1
n
i=1
f
i
∇
V
j
V
i
, V
j
+
n
j=1
n
i=1
V
j
(f
i
)V
i
, V
j
=
n
i,j=1
f
i
∇
V
j
V
i
, V
j
+
n
j=1
V
j
(f
j
)
= −
n
i,j=1
f
i
V
i
, ∇
V
j
V
j
+
n
j=1
V
j
∇f, V
j
= −
n
j=1
n
i=1
f
i
V
i
, ∇
V
j
V
j
+
n
j=1
V
j
V
j
f
= −
n
j=1
∇f, ∇
V
j
V
j
+
n
j=1
V
j
V
j
f
=
n
j=1
V
j
V
j
f − ∇
V
j
V
j
f
.
26
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Logo,
∆f(p) =
n
j=1
V
j
V
j
f − ∇
V
j
V
j
f
(p) =
n
i=1
(∇
2
f)(v
i
, v
i
).
Defini¸c˜ao 3.2. Sejam M uma variedade completa, conexa e p
0
∈ M, definimos a fun¸c˜ao
distˆancia r : M −→ R por r(x) = d(x, p
0
) = o ´ınfimo dos comprimentos de todas as
curvas ligando x `a p
0
.
Observa¸c˜ao 3.2. Pode-se verificar que a fun¸c˜ao distˆancia r restrita ao dom´ınio M −
{p
0
∪ C
p
0
} ´e de classe C
∞
(M), onde C
p
0
´e o lugar dos pontos m´ınimos de p
0
.
O pr´oximo resultado simplifica a express˜ao da hessiana da fun¸c˜ao r.
Proposi¸c˜ao 3.1. Sejam M uma variedade completa, conexa. Considere a fun¸c˜ao distˆancia
r `a partir de p
0
. Dados p ∈ M − {p
0
∪ C
p
0
} e v ∈ T
p
M, sejam γ : [0, l] −→ M a ´unica
geod´esica minimizante de p
0
`a p e J o campo de Jacobi ao longo de γ tal que J(0) = 0 e
J(l) = v. Ent˜ao,
∇
2
r
(v, v) = J, J
(l). (3.2)
Demonstra¸c˜ao: Como J ´e um campo de Jacobi, existe uma f am´ılia de geod´esicas
{γ
s
}
s∈(−ε,ε)
que ´e uma varia¸c˜ao de γ tal que
∂γ
s
∂s
s=0
= J.
Seja f : (−ε, ε) × [0, l] −→ M tal varia¸c˜ao, isto ´e,
f(s, t) = γ
s
(t),
ent˜ao J(t) =
∂f
∂s
(0, t) e γ
(t) =
∂f
∂t
(0, t). Atrav´es da varia¸c˜ao f definimos o campo de
Jacobi J em uma vizinhan¸ca de p. Portanto J extende v. De acordo com a Observa¸c˜ao
3.1, temos
∇
2
r
(v, v) = J, ∇
J
∇r(l).
Para mostrarmos a igualdade (3.2), precisamos das duas afirma¸c˜oes seguintes.
Afirma¸c˜ao 3.2. [J, ∇r]
γ
= 0.
De fato, temos:
[J, ∇r]
γ
=
∂f
∂s
(0, t),
∂f
∂t
(0, t)
=
df
(0,t)
∂
∂s
, df
(0,t)
∂
∂t

= df
(0,t)

∂
∂s
,
∂
∂t

= 0. (3.3)
27
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Uma justificativa para a terceira igualdade em (3.3) pode ser encontrada em [11].
Afirma¸c˜ao 3.3. ∇r
γ
= γ
.
De fato, dado t
0
∈ [0, l] e escrevendo γ(t
0
) = q, temos que ∀u ∈ T
q
M tal que
u, γ
(t
0
) = 0 vale: ∇r(q), u = 0. Pois seja S = {x ∈ M; d(x, p
0
) = t
0
}, p elo Lema
de Gauss (o qual pode ser encontrado em [9]), segue que γ
(t
0
) ´e ortogonal a T
q
S. C omo
u ∈ T
q
M, existe c : (−δ, δ) −→ S tal que c(0) = q e c
(0) = u. Assim
∇r(q), u = (ur)(q) =
d
dt
r(c(t))
t=0
=
d
dt
t
0
t=0
= 0.
Portanto γ
(t
0
) ´e paralelo a ∇r(q), isto ´e, ∇r(q) = aγ
(t
0
). Vamos mostrar que a = 1.
Temos
a = ∇r(q), γ
(t
0
)
= (γ
(t
0
)r) (q)
=
d
ds
r(γ(s))
s=0
=
d
ds
(s + t
0
)
= 1,
onde γ(s) = γ(t
0
+ s). Portanto ∇r
γ
= γ
.
Usando as Afirma¸c˜oes 3.2 e 3.3 e a simetria da conex˜ao, s eque que:
(∇
J
∇r)
γ
= (∇
∇r
J + [J, ∇r])
γ
= (∇
∇r
J)
γ
= ∇
γ
J.
Portanto
∇
2
r
(v, v) = J, ∇
γ
J = J, J
(l).
Se q ∈ M − {p
0
∪ C
p
0
} e v ∈ T
q
M com |v| = 1, seja γ : [0, l] −→ M uma geod´esica
minımizante normalizada tal que γ(0) = p
0
, γ(l) = q e γ
(l) linearmente independente a
v. J´a sabemos que:
∇
2
r
(v, v) = J, J
(l),
onde J ´e um campo de Jacobi com J(0) = 0 e J(l) = v.
Agora, seja {v
1
, . . . , v
n−1
} uma base de T
⊥
q
M = {v ∈ T
q
M; v, γ
(l) = 0}. Sabemos
que:
∆r(q) =
n−1
i=1
∇
2
r
(v
i
, v
i
) +
∇
2
r
(γ
(l), γ
(l)),
28
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
observando que
∇
2
r
(γ
(l), γ
(l)) = (γ
γ
r − (∇
γ
γ
)r) (l)
=
d
2
dt
r(γ(t))
t=l
− 0
=
d
2
dt
t
t=l
= 0
Podemos escrever
(∆r) (q) =
n−1
i=1
∇
2
r
(v
i
, v
i
) =
n−1
i=1
J
i
(l), J
i
(l),
onde J
i
s˜ao campos de Jacobi com J
i
(0) = 0 e J
i
(l) = v
i
, i = 1, . . . , n − 1.
Suponhamos que a curvatura seccional de M ´e constante igual a k. Para todo v
ortogonal a γ
(l), com |v| = 1 podemos tomar V (t) o seu traporte paralelo ao longo de γ.
Seja f a solu¸c˜ao do seguinte problema
f

+ kf = 0
f(0) = 0, f (l) = 1.
(3.4)
Ent˜ao, n˜ao ´e dif´ıcil verificar que o campo vetorial J(t) = f(t)V (t) ´e um campo de
Jacobi, com J(0) = 0 e J(l) = v. Tamb´em n˜ao ´e dif´ıcil verificar pelo problema (3.4) que:
f(t) =
sen(
√
kt)
sen(
√
kl)
, se k > 0
t
l
, se k = 0
senh(
√
−kt)
senh(
√
−kl)
, se k < 0.
(3.5)
Portanto quando a curvatura seccional da variedade ´e constante igual a k, temos:
29
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
∆r(q) =
n−1
i=1
J
i
(l), J
i
(l)
=
n−1
i=1
f(l)f
(l)
= (n − 1)f(l)f
(l)
= (n − 1)f
(l).
Antes de enunciarmos o Teorema de Compara¸c˜ao de Laplace conv´em apresentar o
Lema do ´ındice.
Lema 3.1 (Lema do
´
Indice). Seja γ : [0, l] −→ M uma geod´esica sem pontos conjuga-
dos a γ(0) no intervalo [0, l]. Seja J um campo de Jacobi ao longo de γ, com J, γ
= 0,
e seja V um campo de vetores diferenci´avel por partes ao longo de γ, com V, γ
= 0.
Suponhamos que J(0) = V (0) = 0 e que J(t
0
) = V (t
0
), t
0
∈ (0, a]. Ent˜ao
I
t
0
0
(J, J) ≤ I
t
0
0
(V, V )
e a igualdade ocorre se e s´o se V = J em [0, t
0
], onde
I
t
0
0
(V, V ) =
t
0
0
{V
, V
− R(γ
, V )γ
, V }dt.
Uma demonstra¸c˜ao deste lema se encontra em [9].
Teorema 3.1 (Compara¸c˜ao de Laplace). Seja M uma variedade completa, γ : [0, l] →
M uma geod´esica normalizada sem pontos m´ınimos. Suponha que Ric(γ
(t), γ
(t)) ≥
(n−1)k, onde k ´e uma constante, e considere a fun¸c˜ao distˆancia a partir de p
0
= γ(0) ∈ M,
r : M − {p
0
∩ C
p
0
} → R, r(x) = d(x, p
0
), ent˜ao:
∆r(γ(t)) ≤ r
k
(t), ∀t ∈ [0, l] (3.6)
onde
r
k
(t) = (n −1)
√
k cot(
√
kt), se k > 0
1
t
, se k = 0
√
−k coth(
√
−kt), se k < 0.
Al´em disso, se ∆r(γ(l)) = r
k
(l), ent˜ao:
30
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
i) Para todo t ∈ [0, l] e todo π ⊂ T
γ(t)
M com γ
(t) ∈ π, temos:
K(π) = k.
ii) Para todo campo de Jacobi pr´oprio J com J(0) = 0, temos J(t) = f(t)E(t) onde E(t)
´e um campo de vetores paralelo ao longo de γ.
Demonstra¸c˜ao: Observamos que basta considerar t = l, para mostrar a validade do
teorema para t ∈ (0, l]. Sabemos que
∆r(γ(l)) =
n−1
i=1
(∇
2
r)(v
i
, v
i
) =
n−1
i=1
J
i
(l), J
i
(l) =
n−1
i=1
I
l
0
(J
i
, J
i
)
onde {v
i
}
n−1
i=1
´e uma base ortonormal de T
⊥
q
M = {v ∈ T
q
M; v, γ
(l) = 0} e J
i
s˜ao
campos de Jacobi ao longo de γ tais que J
i
(0) = 0 e J
i
(l) = v
i
para i = 1, 2, . . . , n − 1.
Seja W
i
(t) = f(t)V
i
(t), onde V
i
´e um campo vetorial paralelo ao longo de γ com V
i
(l) =
v
i
e f(t) ´e solu¸c˜ao do problema 3.4. Ent˜ao W
i
(0) = 0 e W
i
(l) = J
i
(l). Al´em disso
W
i
, γ
(l) = J
i
, γ
(l) = 0.
Ent˜ao, de acordo com o Lema do
´
Indice, temos:
I
l
0
(J
i
, J
i
) ≤ I
l
0
(W
i
, W
i
)
e a igualdade ocorre se e somente se J
i
= W
i
. Assim temos,
∆r(q) =
n−1
i=1
I
l
0
(J
i
, J
i
)
≤
n−1
i=1
I
l
0
(W
i
, W
i
)
=
n−1
i=1
l
0
| W
i
|
2
−R(γ
, W
i
)γ
, W
i
)
dt
=
n−1
i=1
l
0
(f
)
2
− f
2
R(γ
, V
i
)γ
, V
i
dt
=
l
0
(n − 1)(f
)
2
− f
2
i
R(γ
, V
i
)γ
, V
i
dt
= (n − 1)
l
0
f
df −
l
0
f
2
Ric(γ
, γ
)dt
31
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
≤ (n − 1)ff
l
0
− (n − 1)
l
0
ff

dt −
l
0
f
2
(n − 1)kdt
= (n − 1)f
(l) = r
k
(l),
onde a express˜ao de f ´e dada em (3.5). Isto prova a primeira parte do teorema.
Agora, se ∆r(γ(l)) = r
k
(l) ent˜ao as desigualdades acima se tornam igualdades o que
implica que J
i
(t) = f (t)V
i
(t), ∀t ∈ [0, l] e i = 1, . . . , n − 1. Como {v
i
}
n−1
i=1
´e uma base
ortonormal arbitr´aria de T
⊥
q
M segue que para qualquer campo de Jacobi com J(0) = 0,
tem-se J(t) = f(t)E(t). Isto prova a afirma¸c˜ao (ii).
Para provarmos a afirma¸c˜ao (i), sejam t
0
∈ (0, l] e ω ∈ π tal que | ω |= 1 e ω, γ
(t
0
) =
0. Sejam E(t) o transporte paralelo de ω ao longo de γ e J um campo de Jacobi tal que
J(0) = 0 e J(l) = E(l) ent˜ao pela afirma¸c˜ao (ii) J(t) = f(t)E(t). Portanto, usando a
equa¸c˜ao de Jacobi e a express˜ao de f, obtemos em t
0
:
K(E ∧ γ
) = K(J ∧ γ
)
=
R(γ
, J)γ
, J
| J |
2
=
−J

, J
| J |
2
=
−f

f
f
2
= k.
Logo K(ω ∧ γ
(t
0
)) = k. Isto prova a afirma¸c˜ao (i) devido a arbitrariedade de t
0
∈ (0, l].
3.1 O Teorema de Compara¸c˜ao de Bishop-Gromov
Antes de enunciarmos o Teorema de Compara¸c˜ao de Bishop-Gromov, apresentaremos
alguns resultados que ser˜ao essenciais para sua demonstra¸c˜ao.
Teorema 3.2 (Bonnet-Myers). Seja M uma variedade completa n-dimensional. Suponha
que a curvatura de Ricci de M satisfaz
Ric
p
(v) ≥
n − 1
r
2
> 0,
para todo p ∈ M e todo v ∈ T
p
M. Ent˜ao M ´e compacta e o seu diˆametro diam(M) ≤ πr.
32
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Uma prova deste teorema se encontra em [9].
Agora apresentaremos algumas defini¸c˜oes que mostram como podemos integrar uma
fun¸c˜ao real definida em uma variedade.
Defini¸c˜ao 3.3. Sejam M uma variedade, p ∈ M, v ∈ T
p
M e {v
1
, . . . , v
n−1
} uma base de
T
⊥
p
M, definimos
|v
1
∧ ··· ∧ v
n−1
| =
det (v
i
, v
j
) ,
onde 1 ≤ i, j ≤ n −1.
Defini¸c˜ao 3.4. Sejam M uma variedade, p ∈ M, v ∈ T
p
M, {v
1
, . . . , v
n−1
} uma base de
T
⊥
p
M. Considere a aplica¸c˜ao exponencial exp
p
: T
p
M −→ M, e sua diferencial (dexp
p
)
v
:
T
v
(T
p
M) ≈ T
p
M −→ T
p
M, definimos
|det(dexp
p
)
tv
| =
|(dexp
p
)
tv
(tv
1
) ∧ ··· ∧ (dexp
p
)
tv
(tv
n−1
)|
t
n−1
|v
1
∧ ··· ∧ v
n−1
|
.
Observa¸c˜ao 3.3. Sejam J
1
(t, v), . . . , J
n−1
(t, v) campos de Jacobi ao longo de γ(t) =
exp
p
(tv) com J
i
, γ
= 0, J
i
(0) = 0, J
i
(0) = v
i
, i = 1, . . . , n − 1, ent˜ao
|det
dexp
p
tv
| =
|J
1
(t, v) ∧ ··· ∧ J
n−1
(t, v)|
t
n−1
|J
1
(0) ∧ ··· ∧ J
n−1
(0)|
Defini¸c˜ao 3.5. Sejam M uma variedade, f : M −→ R uma fun¸c˜ao mensur´avel com
suporte compacto, W ⊂ M uma regi˜ao limitada e p ∈ W . Definimos a integral de f em
W por:
W
fdW =
exp
−1
p
(W )
f
exp
p
(tv)
|det(dexp
p
)
tv
|dx
1
···dx
n
, (3.7)
onde dW ´e o elemento de volume em W , exp
p
: Σ(p) ⊂ T
p
M −→ M ´e a conhecida
aplica¸c˜ao exponencial com Σ(p) sendo a regi˜ao m´axima, aberta e estrelada tal que exp
p
:
Σ(p) ⊂ T
p
M −→ exp
p
(Σ(p)) ⊃ W ´e um difeomorfismo.
Observa¸c˜ao 3.4. Pode-se mostrar que dV
R
n
= t
n−1
dtdµ
S
n−1
, onde dV
R
n
e dµ
S
n−1
s˜ao os
elementos de volume em R
n
e S
n−1
= {x ∈ R
n
; |x| = 1}, respectivamente.
Agora apresentaremos dois lemas fundamentais para a demonstra¸c˜ao do Teorema de
Bishop-Gromov.
Lema 3.2. Sejam M uma variedade, e J
1
(t, v), . . . , J
n−1
(t, v) campos de Jacobi ao longo
da geod´esica γ(t) = exp
p
(tv).
Defina
ϕ(t, v) =
|J
1
(t, v) ∧ ··· ∧ J
n−1
(t, v)|
|J
1
(0) ∧ ··· ∧ J
n−1
(0)|
33
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
e
ϕ
k
(t) =
sen(
√
kt)
√
k
n−1
se k > 0
t
n−1
se k = 0
senh(
√
−kt)
√
−k
n−1
se k < 0.
Suponha que Ric
M
≥ (n − 1)k. Ent˜ao
ϕ(t)
ϕ
k
(t)
´e decrescente.
Demonstra¸c˜ao: Temos que
ϕ
ϕ
k
´e decrescente se, e somente se
ϕ
ϕ
≤
ϕ
k
ϕ
k
. (3.8)
onde
ϕ
ϕ
=
1
2
(ϕ
2
)
ϕ
2
=
1
2
(|J
1
(t, v) ∧ ··· ∧ J
n−1
(t, v)|
2
)
|J
1
(t, v) ∧ ··· ∧ J
n−1
(t, v)|
2
.
Para mostrarmos a desigualdade (3.8), basta mostrarmos que tal desigualdade ocorre
em t = l. Tomando t = l e J
1
(l, v), . . . , J
n−1
(l, v) ortonormais, pode-se verificar que
(|J
1
(t, v) ∧ ··· ∧ J
n−1
(t, v)|
2
)
= 2
n−1
i=1
J
i
, J
i
(l).
Ent˜ao, usando o teorema de compara¸c˜ao de Laplace, temos
ϕ
ϕ
(l) =
n−1
i=1
J
i
, J
i
(l) = ∆r(γ(l)) ≤ r
k
(l) =
ϕ
k
ϕ
k
(l).
Vamos denotar por M
n
(k) uma variedade simplesmente conexa de curvatura seccional
k.
Observa¸c˜ao 3.5. Se M = M
n
(k) ent˜ao S
t
= S
n−1
, onde S
t
= {v ∈ S
n−1
p
; tv ∈ Σ(p)} e
S
n−1
p
= {u ∈ T
p
M; |u| = 1}.
34
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Lema 3.3. Suponha que Ric
M
≥ (n − 1)k, ent˜ao a fun¸c˜ao
p(t) =
S
t
ϕ(t, v)dv
S
t
ϕ
k
(t)dv
´e decrescente.
Demonstra¸c˜ao: Seja t
2
> t
1
, ent˜ao S
t
2
⊂ S
t
1
.
Vamos mostrar que p(t
2
) ≤ p(t
1
), para isto vamos usar o Lema 3.2, temos
S
t
2
ϕ(t
2
, v)dv
S
t
2
ϕ
k
(t
2
)dv
≤
S
t
1
ϕ(t
2
, v)dv
Vol(S
n−1
)ϕ
k
(t
2
)
=
S
t
1
ϕ(t
2
, v)
ϕ
k
(t
2
)
dv
Vol(S
n−1
)
≤
S
t
1
ϕ(t
1
, v)
ϕ
k
(t
1
)
dv
Vol(S
n−1
)
=
S
t
1
ϕ(t
1
, v)dv
S
t
1
ϕ
k
(t
1
)dv
.
Portanto, p(t
2
) ≤ p(t
1
).
Teorema 3.3 (Teorema de compara¸c˜ao de Bishop-Gromov). Sejam M uma va-
riedade completa e p ∈ M. Suponha que Ric
M
≥ (n − 1)k, onde k ´e uma constante.
Ent˜ao:
(i) A fun¸c˜ao g(r) =
vol[B
r
(p)]
vol[B
k
r
]
´e n˜ao crescente.
(ii) Quando k > 0 vol[M] ≤ vol[S
n
(k)] e vol[M] = vol[S
n
(k)] se e somente se M ´e
isom´etrica a S
n
(k).
Onde B
r
(p) = {x ∈ M; d(x, p) < r}, B
k
r
= {y ∈ M
n
(k); d(y, y
0
) < r} e S
n
(k) ´e a esfera
de curvatura seccional k.
Demonstra¸c˜ao: Temos:
vol[B
r
(p)]
vol[B
k
r
]
=
r
0
S
t
ϕ(t, v)dv
dt
r
0
S
t
ϕ
k
(t)dv
dt
,
35
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
onde S
t
= {v ∈ S
n−1
p
; tv ∈ Σ(p)} com S
n−1
p
= {u ∈ T
p
M; u = 1} e ϕ(t, v) =
t
n−1
|det{(dexp
p
)
tv
}|.
Pelo lema 3.3 sabemos que:
g(t) =
S
t
ϕ(t, v)dv
S
t
ϕ
k
(t)dv
´e uma fun¸c˜ao decrescente. Assim, a afirma¸c˜ao (i) segue ime diatamente do seguinte lema:
Lema 3.4. Sejam f(t), g(t) ≥ 0 fun¸c˜oes reais tais que o quo ciente f(t)/g(t) ´e uma fun¸c˜ao
decrescente. Ent˜ao, visto como uma fun¸c˜ao de r, o quociente
r
0
f(t)dt
r
0
g(t)dt
´e uma fun¸c˜ao decrescente.
Demonstra¸c˜ao do Lema 3.4:
Fixemos r
2
> r
1
> 0. Precisamos provar que:
r
2
0
f(t)dt
r
2
0
g(t)dt
≤
r
1
0
f(t)dt
r
1
0
g(t)dt
(3.9)
ou
r
2
0
f(t)dt
r
1
0
g(t)dt ≤
r
2
0
g(t)dt
r
1
0
f(t)dt. (3.10)
Como r
2
> r
1
> 0, a desigualdade (3.10) pode ser escrita como:
r
1
0
f(t)dt
r
1
0
g(t)dt +
r
2
r
1
f(t)dt
r
1
0
g(t)dt
≤
r
1
0
g(t)dt
r
1
0
f(t)dt +
r
2
r
1
g(t)dt
r
1
0
f(t)dt. (3.11)
Portanto a desigualdade (3.10) ´e equivalente a seguinte desigualdade:
r
2
r
1
f(t)dt
r
1
0
g(t)dt ≤
r
2
r
1
g(t)dt
r
1
0
f(t)dt. (3.12)
36
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Vamos provar a desigualdade (3.12). Seja h(t) = f(t)/g(t) ≥ 0, ent˜ao de acordo com as
hip´otese, para t ∈ [r
1
, r
2
], temos h(t) ≥ h(r
2
) e h(t) ≤ h(r
1
). Assim
r
2
r
1
f(t)dt
r
1
0
g(t)dt =
r
2
r
1
h(t)g(t)dt
r
1
0
g(t)dt
≤
r
2
r
1
h(r
1
)g(t)dt
r
1
0
g(t)dt
=
r
2
r
1
g(t)dt
r
1
0
h(r
1
)g(t)dt
≤
r
2
r
1
g(t)dt
r
1
0
h(t)g(t)dt
=
r
2
r
1
g(t)dt
r
1
0
f(t)dt,
onde a ´ultima desigualdade em (3.1) segue do fato que para t ∈ [0, r
1
] temos h(r
1
) ≤ h(t).
Portanto a desigualdade (3.1) vale.
Agora vamos provar o item (ii) do Teorema de Compara¸c˜ao de Bishop-Gromov.
Como Ric ≥ (n − 1)k, pelo teorema de Bonnet-Myers sabemos que d(x, y) ≤ π/
√
k,
∀x, y ∈ M. Portanto B
π/
√
k
(p) = M e da´ı vol(M) = vol(B
π/
√
k
(p)). Pelo ´ıtem (i) deste
teorema, ∀r < π/
√
k, temos:
vol(B
r
(p))
vol(B
k
r
)
≥
vol(B
π/
√
k
(p))
vol(B
k
π/
√
k
)
=
vol(M)
vol(S
n
(k))
.
Portanto
vol(M)
vol(S
n
(k))
≤ lim
r→0
vol(B
r
(p))
vol(B
k
r
)
= lim
r→0
S
t
ϕ(r, v)dv
S
r
ϕ
k
(r)dv
.
Observamos que se r ´e suficientemente pequeno, ent˜ao S
r
= S
n−1
p
. Assim:
37
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
lim
r→0
S
t
ϕ(r, v)dv
S
r
ϕ
k
(r)dv
= lim
r→0
S
n−1
p
ϕ(r, v)
ω
n−1
ϕ
k
(r)
dv
=
S
n−1
p
lim
r→0
ϕ(r, v)
ω
n−1
ϕ
k
(r)
dv
=
1
ω
n−1
S
n−1
p
lim
r→0
ϕ(r, v)
ϕ
k
(r)
dv
onde ω
n−1
denota o volume da esfera unit´aria (n − 1) - dimensional. Como
lim
r→0
ϕ(r, v)
ϕ
k
(r)
= 1,
temos:
1
ω
n−1
S
n−1
p
lim
r→0
ϕ(r, v)
ϕ
k
(r)
dv =
1
ω
n−1
S
n−1
p
dv =
ω
n−1
ω
n−1
= 1.
Portanto
vol(M) ≤ vol(S
n
(k)).
Se
vol(M) = vol(S
n
(k)),
ent˜ao
1 =
vol(B
π/
√
k
(p))
vol(B
k
π/
√
k
)
≤
vol(B
r
(p))
vol(B
k
r
)
≤ 1
e da´ı segue que
vol(B
r
(p))
vol(B
k
r
)
= 1 ∀r ≤ π/
√
k.
Portanto B
r
(p) ´e isom´etrica a B
k
r
, para todo r ≤ π/
√
k.
Agora estamos em condi¸c˜oes de apresentar o teorema de Cheng.
Teorema 3.4 (Teorema de Cheng). Seja M uma variedade completa. Suponha que
Ric
M
≥ (n − 1)k. Se diam(M) = π/
√
k, ent˜ao M ´e isom´etrica a S
n
(k).
Demonstra¸c˜ao: Como
diam(M) = π/
√
k
existem p, q ∈ M tais que
d(p, q) = π/
√
k.
38
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Portanto, ∀r ∈ (0, π/
√
k) temos B
r
(p) ∩ B
π/
√
k−r
(q) = ∅. Ent˜ao
vol(M) ≥ vol(B
r
(p)) + vol(B
π/
√
k−r
(q)).
Como
vol(B
r
(p))
vol(B
k
r
)
≥
vol(B
π/
√
k
)(p)
vol(S
n
(k))
segue que
vol(B
r
(p)) + vol(B
π/
√
k−r
(q)) ≥
vol(B
π/
√
k
)(p)
vol(S
n
(k))
vol(B
k
r
) +
vol(B
π/
√
k
)(q)
vol(S
n
(k))
vol(B
k
π/
√
k−r
)
=
vol(M)
vol(S
n
(k))
(vol(B
k
r
) + vol(B
k
π/
√
k−r
))
=
vol(M)
vol(S
n
(k))
vol(S
n
(k))
= vol(M).
Ent˜ao para todo r ∈ (0, π/
√
k),temos
vol(B
r
(p))
vol(B
k
r
)
=
vol(M)
vol(S
n
(k))
.
Portanto
vol(M)
vol(S
n
(k))
= lim
r→0
vol(B
r
(p))
vol(B
k
r
)
= 1.
E pelo teorema de compara¸c˜ao de Bishop-Gromov segue que M ´e isom´etrica a S
n
(k).
3.2 O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Finalmente, voltamos ao principal interesse desta disserta¸c˜ao: os primeiros autovalores
do problema de Dirichlet em dom´ınios limitados de R
n
e em variedades riemanninas.
O teorema de Lichnerowicz-Obata fornece um limite inferior para o primeiro autovalor
do operador Laplaciano em variedades riemannianas compactas. Para sua demonstra¸c˜ao
precisamos do lema de Hopf.
Lema 3.5 (Lema de Hopf). Considere o problema (3.1) e sejam M uma variedade
compacta com ∂M = ∅ e g : M −→ R, tal que ∆g ≥ 0, ent˜ao g ´e uma fun¸c˜ao constante.
Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema da divergˆencia, temos:
0 =
M
∆gdx ≥
M
0dx,
39
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
ent˜ao ∆g = 0. Assim,
0 =
M
1
2
∆g
2
dx =
M
g∆g+ | ∇g |
2
dx =
M
| ∇g |
2
dx,
segue da´ı, que | ∇g |= 0. Portanto g ´e uma fun¸c˜ao constante.
Teorema 3.5 (Teorema de Lichnerowicz - Obata). Seja M uma variedade n - di-
mensional, completa com Ric ≥ (n − 1)c > 0. Ent˜ao λ
1
(M) ≥ nc e λ
1
(M) = nc se e
somente se M ´e isom´etrica a S
n
(c). Onde λ
1
(M) denota o primeiro autovalor positivo de
∆.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que c = 1. Seja f a auto-fun¸c˜ao correspondente a λ
1
. Isto
´e:
∆f = −λ
1
f (3.13)
Por Bochner-Lichnerowicz, sabemos que se f ∈ C
∞
(M) ent˜ao:
1
2
∆ | ∇f |
2
=| ∇
2
f |
2
+ ∇f, ∇(∆f) + Ric(∇f, ∇f ). (3.14)
Onde
| ∇
2
f |
2
=
i,j
(∇
2
f(e
i
, e
j
))
2
, (3.15)
com {e
i
}
n
i=1
sendo uma base ortonormal.
Portanto usando a igualdade (3.13) e a (3.15) na equa¸c˜ao (3.14), temos:
1
2
∆ | ∇f |
2
=
i,j
(∇
2
f(e
i
, e
j
))
2
− λ
1
| ∇f |
2
+Ric(∇f, ∇f)
≥
i
(∇
2
f(e
i
, e
i
))
2
− λ
1
| ∇f |
2
+Ric(∇f, ∇f)
≥
1
n
i
∇
2
f(e
i
, e
i
)
2
− λ
1
| ∇f |
2
+Ric(∇f, ∇f)
=
1
n
(∆f)
2
− λ
1
| ∇f |
2
+Ric(∇f, ∇f)
=
1
n
λ
2
1
f
2
− λ
1
| ∇f |
2
+Ric(∇f, ∇f)
≥
1
n
λ
2
1
f
2
− λ
1
| ∇f |
2
+(n − 1) | ∇f |
2
.
40
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Portanto, pelo Lema de Hopf, podemos escrever
0 =
1
2
M
∆ | ∇f |
2
dx ≥
M
1
n
λ
2
1
f
2
− λ
1
| ∇f |
2
+(n − 1) | ∇f |
2
dx. (3.16)
Pelo teorema da divergˆencia sabemos que:
0 =
M
div(f∇f)dx =
M
(| ∇f |
2
+f∆f)dx =
M
(| ∇f |
2
−λ
1
f
2
)dx.
Ent˜ao de (3.16) obtemos:
0 ≥
M
1
n
λ
2
1
f
2
− λ
2
1
f
2
+ (n − 1)λ
1
f
2
dx.
Portanto
1
n
λ
2
1
− λ
2
1
+ (n − 1)λ
1
≤ 0.
Logo λ
1
≥ n.
Se λ
1
= n ent˜ao todas as desigualdades acima se reduzem a igualdades. E isto implica
que:
∇
2
f(e
i
, e
j
) = 0
para i = j. Assim temos:
∇
2
f(e
1
, e
1
) = ∇
2
f(e
2
, e
2
) = ··· = ∇
2
f(e
n
, e
n
) =
1
n
∆f =
1
n
(−λ
1
f) = −f.
Calculando
1
2
∆(| ∇f |
2
), temos:
1
2
∆(| ∇f |
2
) =
1
n
(∆f)
2
− n | ∇f |
2
+(n − 1) | ∇f |
2
= nf
2
− n | ∇f |
2
+(n − 1) | ∇f |
2
= nf
2
− | ∇f |
2
.
Como
1
2
∆f
2
= f∆f+ | ∇f |
2
= −nf
2
+ | ∇f |
2
41
Cap´ıtulo 3. O Teorema de Lichnerowicz-Obata
Concluimos que:
1
2
∆(| ∇f |
2
+f
2
) = 0.
Usando o lema de Hopf, temos que | ∇f |
2
+f
2
´e constante. Podemos supor, sem perda
de generalidade, que:
| ∇f |
2
+f
2
= 1.
Agora, sejam p, q ∈ M, tais que f(p) = maxf(x) e f(q) = minf (x), ent˜ao ∇f(p) = 0
e ∇f (q) = 0, portanto f(p) = 1 e f(q) = −1. Seja γ : [0, l] −→ M uma geod´esica
minimizante normalizada tal que γ(0) = q e γ(l) = p, ent˜ao d(p, q) = l. Al´em disso,
l
0
(arc sen(f ◦ γ))
dt = arc sen(f(γ(l))) − arc sen(f(γ(0))) = π
Por outro lado,
l
0
(arc sen(f ◦ γ))
dt
=
l
0
(f ◦ γ)
dt
1 − (f ◦ γ)
2
dt
=
l
0
∇f(γ(t)), γ
(t)
1 − (f ◦ γ)
2
dt
≤
l
0
|∇f(γ(t))|
1 − (f ◦ γ)
2
dt
=
l
0
1dt
= l.
Portanto d(p, q) = l ≥ π. E p elo Teorema de Bonnet-Myers sabemos que d(p, q) ≤ π.
Finalmente, usando o teorema de Cheng conclu´ımos que M = S
n
(1).
42
Cap´ıtulo 4
Os Autovalores do Operador
Laplaciano na Esfera
O objetivo deste cap´ıtulo ´e calcular, usando coordenadas esf´ericas, os autovalores e as
autofun¸c˜oes do Laplaciano na es fera.
Denotaremos por S
n
r
= {x ∈ R
n+1
; |x| = r} e S
n
= S
n
1
. Vamos introduzir coordenadas
esf´ericas P : [0, ∞) × S
n
−→ R
n+1
em R
n+1
, por
x = P(r, ξ) = rξ
onde ξ = ξ(u
1
, . . . , u
n
). Em R
n+1
− {0} temos a aplica¸c˜ao inversa Q : R
n+1
− {0} −→
(0, ∞) × S
n
dada por
Q(x) = (|x|, x/|x|)
e se u : U ⊂ S
n
−→ R
n
´e qualquer sistema de coordenadas em S
n
, um sistema de
coordenadas v ´e determinado em P ((0, ∞) × U) ⊂ R
n+1
pela f´ormula
v(x) = (|x|, u(x/|x|)) = (r, u(ξ)).
Para o c´alculo do Laplaciano de R
n+1
em coordenadas esf´ericas, observamos que
∂x
∂r
= ξ e
∂x
∂u
j
= r
∂ξ
∂u
j
.
Ent˜ao
∂x
∂r
= 1 e como
∂x
∂r
(p) ∈ T
⊥
p
S
n
e
∂ξ
∂u
j
(p) ∈ T
p
S
n
, p ∈ S
n
temos
43
Cap´ıtulo 4. Os Autovalores do Operador Laplaciano na Esfera
∂x
∂r
,
∂ξ
∂u
j
= 0 para j = 1, . . . , n e
∂x
∂u
j
,
∂x
∂u
k
= r
2
∂ξ
∂u
j
,
∂ξ
∂u
k
para j, k = 1, . . . , n. Assim se G ´e a matriz da m´etrica Riemanniana em R
n+1
associada
ao sis tema de coordenadas v, e H ´e a matriz associada ao sistema de coordenadas u em
S
n
, ent˜ao:
g
rr
= 1, g
rj
= 0, g
jk
(ξ) = r
2
h
jk
(ξ)
e
g(rξ) = r
2
h(ξ)
onde g(rξ) = det {g
ij
(rξ)} e h(ξ) = det {h
ij
(ξ)}.
Utilizando a express˜ao do Laplaciano de R
n+1
em coordenadas locais [10], sabemos
que se F ∈ C
2
(M), ent˜ao
∆
R
n+1
F =
1
√
g
j,k
∂
j
(g
jk
√
g∂
k
F )
Assim,
∆
R
n+1
F =
1
√
g
∂
r
(g
jk
√
g∂
r
F ) +
1
√
g
j,k
∂
j
(g
jk
√
g∂
k
F )
= r
−n
∂(r
n
∂
r
F ) + r
−2
1
√
h
j,k
∂
j
(h
jk
√
h∂
k
F )
= r
−n
∂
r
(r
n
∂
r
F ) + r
−2
∆
S
n
(F |
S
n
r
)
onde ∆
R
n+1
e ∆
S
n
denotam os Laplacianos nas variedades Riemannianas indicadas e
∆
S
n
(F |
S
n
r
) denota o Laplaciano na esfera S
n
(calculado com respeito a m´etrica Rieman-
niana de S
n
) da restri¸c˜ao de F na esfera S
n
r
.
Assim se F tem a forma
F (x) = R(r)G(ξ)
ent˜ao
∆
R
n+1
F = r
−n
(r
n
R
(r))
G(ξ) + r
−2
R(r)∆
S
n
G(ξ).
Em particular, se para algum inteiro n˜ao negativo k
F (x) = r
k
G(ξ)
44
Cap´ıtulo 4. Os Autovalores do Operador Laplaciano na Esfera
temos
∆
R
n+1
F = r
k−2
(∆
S
n
G + k(n + k − 1)G) .
Portanto F ´e harmˆonica em R
n+1
se e somente se G ´e uma autofun¸c˜ao em S
n
com
autovalor k(n + k −1). Quando G ´e considerada como uma fun¸c˜ao em S
n
r
, ent˜ao G ´e uma
autofun¸c˜ao de ∆
S
n
r
com autovalor k(n + k − 1).
Todas as autofun¸c˜oes da esfera s˜ao obtidas desta maneira. Mais precisamente, o espa¸co
dos polinˆomios homogˆeneos harmˆonicos em R
n+1
de grau k, quando restrito a S
n
, constitui
o autoespa¸co do k-´esimo autovalor distinto
˜
λ
k
= k(n + k − 1)
onde, agora k = 0, 1, . . . , isto ´e,
˜
λ
0
= 0. Portanto podemos enunciar o seguinte resultado.
Proposi¸c˜ao 4.1. Uma L
2
(S
n
)-base ortogonal do autoespa¸co de
˜
λ
1
(S
n
) = n ´e dada pelas
R
n+1
-fun¸c˜oes coordenadas
x
A
|
S
n
; A = 1, . . . , n + 1
.
45
Apˆendice
Neste cap´ıtulo provaremos que B(γr) ´e decrescente e ω(γr) ´e crescente. Estes resultados
foram usados no Cap´ıtulo 2. Antes de provarmos tais resultados precisamos de alguns
Lemas preliminares.
Fixado p ≥ −1/2, consideremos as fun¸c˜oes de Be ssel j
p
(x) e j
p+1
(x) e denotemos seus
zeros por {α
m
}
∞
m=1
e {β
m
}
∞
m=1
, respectivamente. Ou seja, α
m
= j
p,m
e β = j
p+1,m
segundo
a nota¸c˜ao de Abramowitz e Stegun [1]. Com rela¸c˜ao a conjectura de PPW, o parˆametro
p ´e relativo a dimens˜ao do espa¸co que cont´em Ω, (Ω ⊂ R
n
) por:
p =
n
2
− 1
Consideremos as fun¸c˜oes:
ω(x) ≡
j
p+1
(β
1
x)
j
p
(α
1
x)
,
B(x) ≡ [ω
(x)]
2
+ (n − 1)
ω
2
(x)
x
2
e
A(x) ≡
ω
(x)
ω(x)
= β
1
j
p+1
(β
1
x)
j
p+1
(β
1
x)
− α
1
j
p
(α
1
x)
j
p
(α
1
x)
. (4.1)
onde 0 < x ≤ 1. Al´em disso, denotaremos os zeros de j
p
(α
1
x) e j
p+1
(β
1
x) por { ˜α
m
}
∞
m=1
e
˜
β
m
∞
m=1
. Assim, temos:
˜α
m
=
α
m
α
1
=
j
p,m
j
p,1
e
˜
β
m
=
β
m
β
1
=
j
p+1,m
j
p+1,1
.
Com essas nota¸c˜oes preliminares podemos introduzir alguns resultados.
46
Apˆendice
Lema 4.1. Para p ≥ −1/2, a desigualdade
˜α
m
≥
˜
β
m
com m = 1, 2, 3, . . .
ocorre entre os zeros de j
p
(α
1
x) e j
p+1
(β
1
x). Al´em disso, a igualdade ocorre se e somente
se m = 1.
Uma demonstra¸c˜ao deste Lema se encontra em [4].
Lema 4.2. Para p ≥ −1/2 e 0 < x < 1,
0 < A(x) < 1/x
e
A
(x) ≤ −1/x
2
.
Uma demonstra¸c˜ao deste Lema se encontra em [4].
Teorema 4.1. Para p ≥ −1/2 e 0 < x < 1, ω(x) ´e uma fun¸c˜ao crescente e ω
(x) e ω(x)/x
s˜ao crescentes. Ou seja,
ω
(x) ≥ 0, ω

(x) ≤ 0 e [ω(x)/x]
≤ 0.
Demonstra¸c˜ao: Por (4.1), sabemos que:
ω
(x) = A(x)ω(x)
e pelo Lema 4.2 temos que A(x) > 0 para 0 < x < 1. Como ω(x) > 0, segue que ω
(x) > 0
para 0 < x < 1 e portanto ω(x) ´e crescente. Para verificarmos que ω(x)/x ´e decrescente
em (0, 1), basta observarmos que:
[ω(x)/x]
=
xω
(x) − ω(x)
x
2
=
xA(x)ω(x) − ω(x)
x
2
=
A(x) −
1
x
ω(x)
x
< 0
de acordo com o Lema 4.2. E para verificarmos que ω
(x) ´e decrescente em (0, 1) basta
avaliarmos a derivada de ω
(x) = A(x)ω(x). Temos:
ω

(x) = A(x)ω
(x) + A
(x)ω(x) =
A
2
(x) + A
(x)
ω(x) < 0 em (0, 1),
novamente, pelo Lema 4.2.
47
Apˆendice
Corol´ario 4.1. Para p ≥ −1/2 e 0 < x < 1, B(x) = [ω
(x)]
2
+ [ω(x)/x] ´e decrescente.
Demonstra¸c˜ao: Temos:
1
2
B
(x) = ω
(x)ω

(x) +
ω(x)
x
ω(x)
x
< 0,
pelo Teorema 4.1 e pelo fato que ω(x) > 0 em (0, 1).
48
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51
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