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Estimativas para a Probabilidade de Ru´ına
em um Modelo Auto-regressivo com Taxa de
Juros Constante
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Resumo
Neste trabalho, n´os estudamos o processo de risco a tempo discreto apresentado por Yang
e Zhang (2003), no qual os prˆemios e indeniza¸c˜oes tˆem uma estrutura auto-regressiva de
primeira ordem. Usando t´ecnicas de martingales, similares `as utilizadas por Yang (1998)
para o modelo cl´assico, obtemos limitantes superiores exponenciais e n˜ao-exponenciais
para a probabilidade de ru´ına no modelo auto-regressivo com taxa de juros constante.
Palavras Chave: processo de risco, probabilidade de ru´ına, coeficiente de Lundberg,
limitantes superiores n˜ao-exponenciais, taxa de juros, martingale, distribui¸c˜ao nova pior
que a usada (NPU) , distribui¸c˜ao nova melhor que a usada (NMU).
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Abstract
In this work, we study the discrete time risk process showed by Yang e Zhang (2003),
in what the premiums and the claims have a first order autoregressive structure. Using
martingale technics, samed as used by Yang (1998) for the classical model, we obtained
exponential or non-exponential upper bounds for ruin probabilities in an autoregressive
model with constant interest rate.
key-words: risk process, ruin probabilities, Lunb erg coefficient, non-exponencial upper
bound, interest rate, martingale, new worse than used (NWU) distribution, new better
than used (NBU) distribution.
Sum´ario
1 Preliminares 1
1.1 Intro du¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Fun¸c˜oes NMU e NPU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Modelos B´asicos a Tempo Discreto 13
2.1 Intro du¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Modelo de Risco Cl´assico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros Constante . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Limitantes N˜ao-Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Modelo Auto-regressivo 36
3.1 Intro du¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Descri¸c˜ao do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
iii
3.3 Uma Desigualdade do Tipo Lundberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Estimativa N˜ao-Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iv
Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1 Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo apresentamos conceitos e resultados preliminares que ser˜ao utilizados no
desenvolvimento dos cap´ıtulos posteriores. Na se¸c˜ao 1.2 apresentamos resultados impor-
tantes da teoria de martingales, que podem ser estudados em mais detalhes em Shiryayev
(1996), Ash e Dol´eans-Dade (2000) e Grimmett e Stirzakes (2001), entre outros. A seguir,
na se¸c˜ao 1.3, introduzimos o conceito de distribui¸c˜ao “Nova Melhor que a Usada”(N.M.U.)
e “Nova Pior que a Usada”(N.P.U.). Como referˆencia para o estudo das propriedades desta
classe de distribui¸c˜oes sugerimos Barlow e Proschan(1975).
1
1.2 Martingale
Nesta se¸c˜ao, veremos alguns dos principais resultados sobre limites e desigualdades
para martingales, que ser˜ao utilizados nos pr´oximos cap´ıtulos.
Iniciamos relembrando o conceito de martingale, submartingale e supermartingale.
Seja ( Ω , A , P ) um espa¸co de probabilidade. Considere { A
n
}
n≥0
uma seq¨uˆencia
crescente de sub-σ-´algebras de A. Dizemos que um processo estoc´astico {X
n
}
n≥0
definido
sobre ( Ω , A , P ) ´e adaptado `a seq¨uˆencia { A
n
} se, para todo n ≥ 0, X
n
´e A
n
-mensur´avel.
Defini¸c˜ao 1.1. Seja {X
n
}
n≥0
um processo estoc´astico adaptado `a fam´ılia crescente de
σ−´algebras {A
n
}
n≥0
e tal que E|X
n
| < ∞, ∀ n ≥ 0.
(a){X
n
, A
n
} ´e martingale ou {X
n
}
n≥1
´e uma martingale relativa a {A
n
} se E[X
n+1
|A
n
] =
X
n
, ∀ n ≥ 0;
(b){X
n
, A
n
} ´e submartingale se E[X
n+1
|A
n
] ≥ X
n
, e supermartingale se
E[X
n+1
|A
n
] ≤ X
n
, ∀ n ≥ 0.
No caso em que A
n
= σ(X
0
, X
1
, ..., X
n
), a σ-´algebra gerada por X
0
, X
1
, ..., X
n
, costuma-
se dizer simplesmente que {X
n
} ´e uma martingale (ou submartingale ou supermartingale).
Na proposi¸c˜ao a seguir enunciamos algumas conseq¨uˆe ncias imediatas da defini¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 1.1. Seja {X
n
, A
n
}
n≥0
uma martingale. Ent˜ao:
(i) E[X
n+k
| A
n
] = X
n
, ∀ k ≥ 0;
(ii) E[X
n
] = E[X
0
], ∀ n ≥ 0.
(iii) E[X
n+1
I
A
](≥, ≤) = E[X
n
I
A
], ∀ A ∈ A
n
, ∀ n ≥ 0.
Mais ainda, vale a rec´ıproca de (iii). Ou seja, se (iii) ´e v´alida ent˜ao {X
n
, A
n
} ´e umamartingale.
2
Um resultado importante ´e que a propriedade de (sub ou super) martingale n˜ao ´e
alterada se considerarmos uma amostragem do processo somente sobre uma seq¨uˆencia
crescente de tempos de parada limitados. Este resultado ´e conhecido como o Teorema
da Amostragem Opcional (limitada) e ser´a apresentado a seguir. Para isto, lembremos
que um tempo d e parada ou uma vari´avel opcional relativo a uma se q¨uˆencia crescente
de σ-´algebras {A
n
}
n≥0
´e uma v.a. T tomando valores em {0, 1, 2, ...}
{+∞}, tal que
{T = n} ∈ A
n
, ∀ n ≥ 0. Se P (T < ∞) = 1, dizemos que T ´e um tempo de parada
finito e se existe N ∈ R tal que P (T ≤ N) = 1 ent˜ao T ´e um tempo de parada limitado.
Mais ainda, denotamos por A
T
a σ-´algebra formada por todos os eventos A tais que
A ∩ {T ≤ n} ∈ A
n
, ∀ n ≥ 0.
Teorema 1.1. Seja {X
n
, A
n
}
n≥0
uma submartingale
(a) Se T ´e um tempo de parada limitado (relativo a A
n
) ent˜ao
E[X
+
T
] < ∞ e E[X
T
| A
0
] ≥ X
0
.
Em particular, E[X
T
] ≥ EX
0
.
(b) Se T
1
≤ T
2
≤ ... ´e uma seq¨uˆencia de tempos de parada limitados ent˜ao
{X
0
, A
0
, X
T
j
, A
T
j
; j ≥ 1} ´e uma submartingale.
Um resultado an´alogo pode ser obtido para supermartingale. Em particular, se
{X
n
, A
n
}
n≥0
´e uma martingale ent˜ao segue que E[X
T
| A
0
] = X
0
e {X
0
, A
0
, X
T
j
, A
T
j
; j ≥ 1}
´e uma martingale. Vale salientar que, se os tempos de parada considerados no teorema
n˜ao s˜ao limitados, ent˜ao as conclus˜oes do teorema podem n˜ao ser verdadeiras.
A demonstra¸c˜ao do teorema acima segue do seguinte lema, cuja prova ser´a omitida
(para detalhes ver Grimmett e Ztirzaber (2001)).
3
Lema 1.1. Seja {X
n
, A
n
} uma submartingale e T um tempo de parada. Ent˜ao {Y
n
, A
n
}
definido por Y
n
= X
T ∧n
´e uma submartingale, onde T ∧ n = min{T, n}.
Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1: Provaremos somente a parte (a), pois a parte (b)
pode ser obtida aplicando-se repetidamente a parte (a).
Suponha que T ´e um tempo de parada tal que P (T ≤ N) = 1, para algum N ∈ R
+
.
Seja Y
n
= X
T ∧n
, ent˜ao, pelo Lema 1.3, {Y
n
, A
n
} ´e uma submartingale. Logo, EY
+
N
< ∞
e
E[Y
N
| A
0
] ≥ Y
0
= Y
0
.
Mas Y
N
= X
T ∧N
= X
T
quase certamente, pois P (T ≤ N) = 1, e o resultado segue. ✷
Usando o teorema anterior, podemos obter algumas desigualdades importantes para
submartingale (ou supermartingale). A primeira delas ´e uma generaliza¸c˜ao da desigual-
dade de Kolmogorov para soma de v.a.’s.
Teorema 1.2. Seja {X
n
, A
n
}
n≥0
uma submartingale. Ent˜ao para todo λ > 0 e N ≥ 0
temos
(a) λP
max
0≤n≤N
X
n
≥ λ
≤ E
X
N
I
max
0≤n≤N
X
n
≥λ
≤ E[X
+
N
] ≤ E[|X
N
|];
(b) λP
min
0≤n≤N
X
n
≤ −λ
≤ −E[X
0
] + E
X
N
I
min
0≤n≤N
X
n
>−λ
≤ E[|X
0
|] + E[|X
N
|].
Demonstra¸c˜ao. (a) Seja T = inf{n : X
n
≥ λ}, λ > 0 e considere os tempos de parada
limitados T
1
= T ∧ N e T
2
= N. Ent˜ao, pelo Teorema 1.2, temos que {X
T
1
, X
T
2
} forma
uma submartingale e que E[X
T
1
] ≤ E[X
N
].
Considere A =
max
0≤n≤N
X
n
≥ λ
. Ent˜ao podemos verificar que A ∈ A
T
1
e conseq¨uen-
4
temente E [X
T
1
I
A
] ≤ E [X
N
I
A
] . Logo, como temos X
T
1
≥ λ sobre A segue que
λP (A) ≤
A
X
T
1
dP ≤
A
X
N
dP. (1.1)
Mais ainda, como X
N
≤ X
+
N
≤ |X
N
| temos EX
N
I
A
≤ EX
+
N
I
A
≤ EX
+
N
≤ E|X
N
|. Da´ı e
por (1.1) obtemos
λP (A) ≤ E[X
N
I
A
] ≤ EX
+
N
≤ E|X
N
|.
(b) Analogamente, considere S = inf{n, X
n
≤ −λ} e seja S
1
= S ∧ N. Ent˜ao S
1
´e um
tempo de parada limitado e pelo Teorema 1.2 s egue que {X
0
, X
S
1
} ´e uma submartingale
e EX
0
≤ EX
S
1
.
Considere
A
k
=
min
0≤n≤N
X
n
≤ −λ
.
Ent˜ao, como A
N−1
= {S
1
≤ N − 1} e A
C
N
⊂ A
C
N−1
, podemos obter
EX
0
≤ EX
S
1
=
{S
1
≤N−1}
X
S
1
dP +
A
C
N−1
∩A
N
X
N
dP +
A
C
N
X
N
dP
≤ −λP (S
1
≤ N − 1) + EX
N
−
A
N
X
N
dP
≤ −λP (A
N
) + E
X
N
I
A
C
N
.
Portanto,
λP
min
0≤n≤N
X
n
≤ −λ
≤ −E[X
0
] + E
X
N
I
min
0≤n≤N
X
n
>−λ
≤ E[|X
0
|] + E[|X
N
|].
Se {X
n
, A
n
} ´e uma supermartingale, podemos aplicar o teorema anterior `a submar-
tingale {−X
n
, A
n
} e obter as desigualdades abaixo:
5
Teorema 1.3. Seja {X
n
, A
n
}
n≥0
uma supermartingale. Ent˜ao para todo λ > 0 e N ≥ 0,
(a) λP
max
0≤n≤N
X
n
≥ λ
≤ E[X
0
] − E
X
N
I
max
0≤n≤N
X
n
<λ
≤ E[X
0
] + E[X
−
N
];
(b) λP
min
0≤n≤N
X
n
≤ −λ
≤ −E
X
N
I
min
0≤n≤N
X
n
≤−λ
≤ E[X
−
N
].
Para finalizar esta se¸c˜ao, apresentaremos alguns dos principais resultados de con-
vergˆencias para martingales.
O primeiro deles ´e o conhecido teorema de convergˆencia b´asico de Doob. Sua demons-
tra¸c˜ao, que pode ser encontrada em Ash e Dol´eans-Dade (2000), ´e um pouco trabalhosa
e ser´a omitida.
Teorema 1.4. (Doob) Seja {X
n
, A
n
}
n≥0
uma submartingale com
sup
n≥0
E[X
+
n
] < ∞,
ent˜ao existe uma vari´avel aleat´oria X
∞
tal que E[|X
∞
|] < ∞ e X
n
→ X
∞
quase certa-
mente.
Corol´ario 1.1. Se {X
n
, A
n
}
n≥0
´e uma submartingale n˜ao-positiva (ou supermartingale
n˜ao-negativa) ent˜ao, com probabilidade um, lim
n→∞
X
n
= X
∞
existe e ´e finito, EX
∞
≥
EX
0
(ou EX
∞
≤ EX
0
, respectivamente) e a seq¨uˆencia {X
n
, A
n
} com 0 ≤ n ≤ +∞, onde
A
∞
= σ(
∞
n=0
A
n
), ´e uma submartingale (respectivamente, supermartingale).
Demonstra¸c˜ao. Seja {X
n
, A
n
} uma submartingale tal que X
n
≤ 0, ent˜ao EX
+
N
= 0 e
a condi¸c˜ao do Teorema 1.6 est´a satisfeita. Logo, existe lim
n→∞
X
n
= X
∞
com probabilidade
um.
6
Agora, pelo Lema de Fatou e como {X
n
} ´e uma submartingale, segue
EX
∞
≥ lim sup
n→∞
EX
n
≥ EX
0
> −∞
e
E [X
∞
| A
n
] = E[ lim
n→∞
X
n
| A
n
] ≥ lim sup
n→∞
E[X
n
| A
n
] ≥ X
n
quase certamente. Logo, {X
n
, A
n
}
0≤n≤+∞
´e uma submartingale.
No caso de {X
n
, A
n
} ser uma supermartingale tal que X
n
≥ 0 ent˜ao {−X
n
} ´e uma
submartingale n˜ao-positiva e o resultado segue.
A seguir, mostraremos que se a condi¸c˜ao (1.2) for substitu´ıda pela condi¸c˜ao mais forte
de uniformemente integr´avel, ent˜ao teremos tamb´em a convergˆencia em m´edia.
Lembremos que uma seq¨uˆencia de v.a.’s {X
n
}
n≥0
´e uniformemente integr´avel se
(i) lim
λ→+∞
|X
n
|≥λ
|X
n
|dP = 0 uniformemente em n ≥ 0; (1.2)
ou equivalentemente, se
(ii)E|X
n
| ´e limitada em n ≥ 0 e para todo > 0, existe δ() > 0, tal
que para qualquer A ∈ A ,
P (A) < δ =⇒
A
|X
n
|dP < , ∀ n ≥ 0. (1.3)
Teorema 1.5. Seja {X
n
, A
n
}
n≥0
uma submartingale. Ent˜ao {X
n
}
n≥0
´e uma seq¨uˆencia
uniformemente integr´avel se, e s´o se, X
n
converge para X
∞
quase certamente, X
∞
´e
integr´avel, {X
n
, A
n
}
0≤n≤∞
´e uma submartingale e E[X
n
] → E[X
∞
].
7
Demonstra¸c˜ao (i) Suponha primeiramente que {X
n
}
n≥0
´e uma seq¨uˆencia uniformemente
integr´avel. Ent˜ao por (ii) acima segue que sup
n≥0
E|X
n
| < ∞ e a condi¸c˜ao do Te orema
1.6 est´a satisfeita. Logo X
n
→ X
∞
q.c. e E|X
∞
| < ∞. Este resultado juntamente com o
fato que {X
n
} ´e uniformemente integr´avel implica a convergˆencia em m´edia, X
n
(1)
−→ X
∞
,
isto ´e,
lim
n→∞
E|X
n
− X
∞
| = 0,
e tamb´em EX
n
→ EX
∞
.
Agora, para todo A ∈ A
n
e m ≥ n, segue da rela¸c˜ao de defini¸c˜ao de esperan¸ca
condicional e do fato de {X
n
} ser uma submartingale, que
A
X
n
dP ≤
A
X
m
dP.
Mas como X
m
(1)
−→ X ent˜ao segue lim
m→∞
A
X
m
dP =
A
X
∞
dP.
Logo, obtemos que ∀ n ≥ 0 e ∀ A ∈ A
n
A
X
n
dP ≤
A
X
∞
dP,
ou seja, E[X
∞
|A
n
] ≥ X
n
q.c., ∀ n ≥ 0 e a primeira parte da prova est´a completa.
(ii) Reciprocamente, suponha que X
n
→ ∞ q.c., E|X
∞
| < ∞, {X
n
, A
n
}
0≤n≤∞
´e uma
submartingale e EX
n
→ EX
∞
.
Temos que {X
+
n
, A
n
}
0≤n≤∞
´e uma submartingale, ent˜ao ∀ λ > 0 obtemos
{X
+
n
>λ}
X
+
n
dP ≤
{X
+
n
>λ}
X
+
∞
dP.
Mas como X
+
∞
≥ 0 e EX
+
∞
< ∞ temos lim
λ→∞
{X
+
n
>λ}
X
+
∞
dP = 0 uniformemente em n.
Logo, segue que {X
+
n
} ´e uniformemente integr´avel. Isto e o fato que X
+
n
→ X
+
∞
quase
certamente, por hip´otese, implicam E[X
+
n
] → E[X
+
∞
]. Al´em disso, tamb´em por hip´otese
8
E[X
n
] → E[X
∞
], ent˜ao segue E[X
−
n
] → E[X
−
∞
]. Agora X
−
n
→ X
−
∞
quase certamente e
EX
−
n
→ EX
−
∞
´e equivalente a {X
−
n
} ser uniformemente integr´avel.
Portanto, como {X
+
n
} e {X
−
n
} s˜ao uniformemente integr´aveis segue que {X
n
} tamb´em
ser´a.
A seguir, temos um corol´ario que ´e uma consequˆencia da segunda parte da demons-
tra¸c˜ao do teorema anterior e do Corol´ario 1.7.
Corol´ario 1.2. Se {X
n
, A
n
} ´e uma martingale n˜ao-negativa ent˜ao {X
n
} ´e uma seq¨uˆencia
uniformemente integr´avel.
Demonstra¸c˜ao: Como {X
n
, A
n
} ´e uma martingale n˜ao-negativa segue do Corol´ario
1.7 que existe uma vari´avel aleat´oria n˜ao-negativa X
∞
com EX
∞
< ∞, X
n
→ X
∞
q.c. e
{X
n
, A
n
, 0 ≤ n ≤ ∞} ´e uma submartingale.
Da´ı, ∀λ > 0 temos
{X
n
>λ}
X
n
dP ≥
{X
n
>λ}
X
∞
dP.
Agora, como EX
∞
< ∞ e X
∞
≥ 0, segue que {X
n
} ´e uniformemente integr´avel.
1.3 Fun¸c˜oes NMU e NPU
Nesta se¸c˜ao, introduziremos o conceito de distribui¸c˜oes NMU (“Nova Melhor do que
a Usada”) e NPU (“Nova Pior que a Usada”), que s er˜ao utilizadas nos pr´oximos cap´ıtulos
como fun¸c˜oes auxiliares para a obten¸c˜ao de desigualdades n˜ao-exponenciais para a proba-
bilidade da ru´ına, em situa¸c˜oes onde n˜ao ´e poss´ıvel aplicar a desigualdade de Lundberg.
Estas fun¸c˜oes, que definiremos a seguir, s˜ao utilizadas espec ialmente na teoria de con-
9
fiabilidade e suas principais propriedades podem ser estudadas, por exemplo, em Barlow
e Proschan(1975). A id´eia de utiliz´a-las para a obten¸c˜ao de desigualdades funcionais para
a probabilidade de ru´ına foi introduzida primeiramente por Willmot(1994) e vem sendo
desenvolvida em muitos trabalhos na literatura.
Defini¸c˜ao 1.2. Uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao B(x), com B(0) = 0, ´e chamada uma distri-
bui¸c˜ao NMU, “nova melhor que a usada”, se sua cauda B(x) = 1 − B(x) satisfaz
B(x + y) ≤ B(x)B(y), x ≥ 0, y ≥ 0. (1.4)
Caso contr´ario, se
B(x + y) ≥ B(x)B(y), x ≥ 0, y ≥ 0. (1.5)
dizemos que a distribui¸c˜ao ´e NPU, “nova pior que a usada”.
Uma interpreta¸c˜ao simples para as condi¸c˜oes (1.4) e (1.5), e que motiva os nomes dados
a estas classes de fun¸c˜oes, ´e dada considerando B(x) como sendo a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao
do tempo de vida T de um sistema ou um determinado componente em funcionamento.
Neste caso, B(x) determina a probabilidade do sistema n˜ao ter falhado antes do tempo x
e ´e uma medida de confiabilidade do sistema. Ent˜ao, neste caso, podemos escrever para
x, y > 0
B(x + y) = P (T > x + y | T > y)P (T > y)
= P (T > x + y | T > y)B(y).
Sabemos que se T ´e exponencialmente distribu´ıda ent˜ao temos a propriedade da perda de
mem´oria:
P (T > x + y | T > y) = P (T > x),
ou equivalentemente,
B(x + y) = B(x)B(y), ∀x, y > 0.
Ou seja, dado que o componente em funcionamento n˜ao tenha falhado at´e o tempo y,
a probabilidade que e le continue funcionando por mais x unidades de tempo ´e a mesma
10
probabilidade de um componente novo ser colocado em uso e n˜ao falhar nas pr´oximas x
unidades de tempo. Sistemas assim s˜ao ent˜ao “t˜ao bons quanto novos”.
Analogamente, neste c ontexto, podemos observar que (1.4) ´e equivalente a
P (T > x) ≥ P (T > x + y | T > y) (1.6)
e (1.5) reduz-se a
P (T > x) ≤ P (T > x + y | T > y). (1.7)
Assim, se T tem distribui¸c˜ao NMU podemos dizer que a medida que o componente es-
teja funcionando por mais tempo, sua probabilidade de falha aumenta.
´
E o caso, por
exemplo, de um componente que quando submetido a um esfor¸co continuado sofre algum
desgaste, aumentando assim a possibilidade de falha. Ou seja, este componente “novo ´e
melhor do que o usado”. Da mesma forma, podemos obter uma interpreta¸c˜ao da condi¸c˜ao
(1.5); para a qual temos sistemas que trabalham melhor `a medida que s˜ao colocados em
funcionamento por mais tempo.
´
E bastante simples verificar que uma subclasse importante de distribui¸c˜oes NPU (res-
pectivamente, NMU) ´e a classe das distribui¸c˜oes absolutamente cont´ınuas com taxa de
falhas decrescente (respectivamente, crescente).
Exemplo 1.1. Se B(x) ´e uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao absolutamente cont´ınua, com
B(0) = 0 e taxa de falhas decrescente (respectivamente, crescente), isto ´e, se λ(x) =
d
dx
ln
B(x) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-crescente em x (respectivamente, n˜ao-decrescente) ent˜ao
B(x) ´e uma distribui¸c˜ao NPU (respectivamente, NMU).
De fato, como λ
B
(x) =
d
dx
ln B(x) e B(0) = 0 podemos escrever
ln B(x) = −
x
0
λ(t)dt
ou
B(x) = e
−
x
0
λ(t)dt
.
11
Da´ı
ln B(x + y) = −
x+y
0
λ(t)dt = − [
x
0
λ(t)dt +
y+x
x
λ(t)dt]
= − [
x
0
λ(t)dt +
y
0
λ(u + x)du] , x, y ≥ 0.
Assim, se assumirmos que a taxa de falhas ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-crescente ent˜ao teremos
y
0
λ(u + x)du ≤
y
0
λ(u)du, ∀x, y ≥ 0,
e
ln B(x + y) ≤ lnB(x) + lnB(y).
Portanto, B(x + y) ≤ B(x)B(y), ∀x, y ≥ 0, ou seja, B ´e NPU.
Analogamente, se B tem taxa de falhas n˜ao-decrescente, podemos verificar que B ´e
NPU.
Um exemplo de distribui¸c˜ao deste tipo ´e a fam´ılia de distribui¸c˜oes de Weibull
B(x) = 1 − e
−x
β
, x ≥ 0, com parˆametro β > 0.
Para 0 < β < 1, B(x) tem taxa de falhas decrescente e portanto ´e do tipo NPU. Se β > 1
ent˜ao B ´e NMU, com taxa de falhas crescente.
12
Cap´ıtulo 2
Modelos B´asicos a Tempo Discreto
2.1 Introdu¸c˜ao
De uma maneira geral, os Processos de Risco, ou Processos de Reserva de Risco, s˜ao
modelos matem´aticos que descrevem a e volu¸c˜ao da reserva de capital de uma empresa
seguradora ao longo do tempo. As atividades da seguradora, em geral, s˜ao baseadas no
recebimento de prˆemios e pagamento de indeniza¸c˜oes ou sinistros.
Nos modelos de risco a tempo discreto, a reserva de capital da empresa ´e avaliada em
per´ıodos espec´ıficos de tempo. Por exemplo, a cada ano, ou semestre ou a cada mˆes.
Neste cap´ıtulo, estudamos dois modelos b´asicos: o modelo cl´assico e o modelo com
taxa de juros constante. Em ambos os casos, tanto os prˆemios quanto as indeniza¸c˜oes
dos sucessivos per´ıodos s˜ao seq¨uˆencias de v.a.’s i.i.d. e indepedentes uma das outras. No
segundo modelo, assume-se que, em cada per´ıodo de tempo, a empresa investe seu capital
corrente a uma taxa de juros constante.
13
Quando o capital torna-se negativo, dizemos que ocorre a ru´ına e a probabilidade
de que isto ocorra em algum per´ıodo de tempo finito ´e chamada de probabilidade de
ru´ına. Um dos principais problemas da Teoria de Risco ´e a obten¸c˜ao de estimativas para
a probabilidade de ru´ına. Para o modelo cl´assico, um resultado c´elebre ´e a desigualdade
de Lundberg, que apresenta um limitante superior exponencial para a probabilidade de
ru´ına, sob a hip´otese da existˆencia de uma certa constante, conhecida como o coeficiente
de ajuste ou c oeficiente de Lundberg. No entanto, para a maioria das aplica¸c˜oes este
coeficiente n˜ao existe e a desigualdade de lundberg n˜ao pode ser usada. Uma alternativa
poss´ıvel para estes casos ´e a obten¸c˜ao de limitantes superiores n˜ao-exponenciais para a
probabilidade de ru´ına, assumindo-se outras hip´oteses sobre as distribui¸c˜oes de prˆemios e
indeniza¸c˜oes.
Assim, na se¸c˜ao 2.2, descrevemos o modelo cl´assico de risco e apresentamos uma prova
n˜ao-usual da Desigualdade de Lundb erg (Teorema 2.1), fazendo uso de desigualdades para
martingale.
Uma variante do modelo cl´assico incluindo-se um fator de taxa de juros c onstante ´e
apresentada na se¸c˜ao 2.3 e uma desigualdade do tipo Lundberg ´e tamb´em obtida (Teorema
2.2) usando as mesmas id´eias do modelo cl´assico.
Finalmente, na se¸c˜ao 2.4 obtemos limitantes superiores n˜ao-exponenciais para a proba-
bilidade de ru´ına, tanto para o modelo cl´assico (Teorema 2.3), quanto para o modelo com
taxa de juros constante (Teorema 2.5), utilizando-se tamb´em as ferramentes de teoria de
martingale.
As t´ecnicas utilizadas neste cap´ıtulo permitir˜ao a extens˜ao dos resultados obtidos aqui
para o modelo a ser estudado no pr´oximo cap´ıtulo.
14
2.2 Modelo de Risco Cl´assico
Sejam X
k
a quantia total de prˆemios recebidos por uma seguradora durante o intervalo
de tempo [k − 1, k] ou durante o k-´esimo per´ıo do de tempo (por exemplo, o k-´esimo ano)
e Y
k
a quantia total de indeniza¸c˜oes pagas pela seguradora durante o intervalo [k − 1, k].
Assumiremos que {X
k
}
k≥1
s˜ao v.a’s n˜ao-negativas, i.i.d. e tamb´em que {Y
k
}
k≥1
´e uma
seq¨uˆencia de v.a’s n˜ao-negativas, i.i.d.. Mais ainda, as v.a.’s {X
k
} e {Y
k
} s˜ao indepen-
dentes.
Consideremos o processo cl´assico de reserva de risco definido por
U
n
= x +
n
i=1
(Y
i
− X
i
), n = 1, 2, ...
U
0
= x,
(2.1)
ou seja, U
n
representa o capital da seguradora ao final do n-´esimo per´ıodo e U
0
= x ´e o
capital inicial.
Uma medida ´util do risco financeiro da seguradora pode ser obtida atrav´es do c´alculo
da probabilidade de ru´ına definida como sendo
Ψ
0
(x) = P (
+∞
n=1
{U
n
< 0} | U
0
= x) = P (
+∞
n=1
{U
n
< 0}),
isto ´e, a probabilidade de que em algum per´ıodo de tempo finito o capital da seguradora
torna-se negativo, ou seja, acontece a ru´ına da empresa. O primeiro instante de tempo
em que ocorre a ru´ına ´e chamado tempo de ru´ına:
T = T (x) = inf{n : U
n
< 0}
= ∞ se U
n
≥ 0, ∀ n = 1, 2, ...
(2.2)
Assim, Ψ
0
(x) = P (T (x) < ∞).
A fim de garantir que Ψ
0
(x) < 1, para R
0
= x suficientemente grande, costuma-se
assumir que EX
1
> EY
1
. Para provar isto, basta observar que Ψ(x) = P (inf
n≥0
U
n
< 0)
15
e que
U
n
n
→ E[X
1
− Y
1
] q.c., pela Lei Forte dos Grandes N´umeros. Detalhes da prova
podem ser obtidos em Grisi (2004).
Um resultado importante da Teoria da Ru´ına ´e a c´elebre desigualdade de Lundberg,
que determina um limitante superior exponencial para a probabilidade de ru´ına. Esta
desigualdade ´e obtida sob a hip´otese da existˆencia de uma constante R > 0 tal que
e
−R(X
1
−Y
1
)
= M
{X
1
−Y
1
}
(−R) = 1, conhecida como coeficiente de ajuste ou coeficiente
de Lundberg. Este coeficiente, quando e xiste, ´e a ´unica constante positiva R tal que
{e
−RU
n
} ´e uma martingale. Assumindo que E[X
1
− Y
1
] > 0, P (X
1
− Y
1
) > 0 e que a
fun¸c˜ao geradora de momentos de X
1
− Y
1
, isto ´e, M
{X
1
−Y
1
}
(t) = Ee
t(X
1
−Y
1
)
, ´e finita numa
vizinhan¸ca apropriada da origem, ´e poss´ıvel mostrar a existˆencia e unicidade do coeficiente
de Lundberg.
Embora a desigualdade de Lundberg para o mo delo cl´assico (2.1) seja bastante conhe-
cida, apresentaremos uma prova, n˜ao usual, bastante suscinta, que segue da aplica¸c˜ao das
desigualdades para martingales, apresentadas no cap´ıtulo anterior. O m´etodo a ser utili-
zado servir´a de base para a obten¸c˜ao de limitantes n˜ao-exponenciais para a probabilidade
da ru´ına, na ausˆencia do coefic iente de Lundberg, para este e outros modelos a serem
apresentados posteriormente.
Teorema 2.1. Considere o processo U
n
definido em (2.1) e suponha que existe R > 0 tal
que
E[e
−R(X
1
−Y
1
)
] = 1. (2.3)
Ent˜ao
Ψ
0
(x) ≤ e
−Rx
. (2.4)
Demonstra¸c˜ao. Considere Z
n
=
n
i=1
e
R(Y
i
−X
i
)
. Como {X
k
} e {Y
k
} s˜ao seq¨uˆencias de
16
v.a.’s i.i.d. e s˜ao independentes, segue de (2.3)
E[Z
n
| Z
1
, ..., Z
n−1
] = E
e
R(Y
n
−X
n
)
Z
n−1
| Z
1
, ..., Z
n−1
= Z
n−1
E
e
R(Y
n
−X
n
)
= Z
n−1
,
ou seja, {Z
n
} ´e uma martingale.
Agora, denote S
n
=
n
i=1
(Y
i
− X
i
) e seja R > 0 o coeficiente de ajuste dado por (2.3).
Da defini¸c˜ao da probabilidade de ru´ına segue
Ψ
0
(x) = P
+∞
n=1
{S
n
> x}
= lim
N→+∞
P
N
n=1
{S
n
> x}
= lim
N→+∞
P
max
1≤k≤N
{S
k
} > x
= lim
N→+∞
P
max
1≤k≤N
e
RS
k
> e
Rx
= lim
N→+∞
P
max
1≤t≤N
k
i=1
e
R(Y
i
−X
i
)
> e
Rx
= lim
N→+∞
P
max
1≤t≤N
{Z
k
} > e
Rx
. (2.5)
Mas, como verificamos acima, {Z
k
} ´e uma martingale, ent˜ao, em particular, {−Z
k
} ´e uma
supermartingale. Logo, aplicando o Teorema 1.3(b), para o processo {−Z
k
} obtemos
P
max
1≤t≤N
{Z
k
} ≥ e
Rx
= P
min
1≤t≤N
{−Z
k
} ≤ −e
Rx
≤ e
−Rx
E
Z
N
I
{ ma x
1≤k≤N
Z
k
≥e
Rx
}
≤ e
−Rx
E[Z
N
].
Portanto, como por (2.3) E[Z
N
] = 1, segue de (2.5) que Ψ
0
(x) ≤ e
−Rx
.
17
2.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros Constante
No modelo de risco cl´assico, apresentado na se¸c˜ao anterior, n˜ao levamos em considera¸c˜ao
o efeito da entrada de juros provenientes de p oss´ıveis investimentos, realizados pela segu-
radora, sobre a probabilidade de ru´ına.
Nesta se¸c˜ao, consideraremos o modelo de risco apresentado por Yang (1998) que inclui
um fator de taxa de juros no modelo anterior.
Como no mo delo cl´assico, seja {X
n
} uma seq¨uˆencia de v.a.’s n˜ao negativas i.i.d.,
denotando as quantias de prˆemios recebidas pela seguradora dentro dos sucessivos per´ıodos
de tempo. Seja tamb´em {Y
n
} uma seq¨uˆencia de v.a.’s n˜ao negativas, i.i.d. e independente
de {X
n
}. Como antes, Y
n
denota a quantia de indeniza¸c˜oes pagas durante o n-´esimo
per´ıodo de tempo.
Al´em disso, assuma que os prˆemios s˜ao pagos durante o in´ıcio de cada per´ıodo de
tempo, enquanto as indeniza¸c˜oes s˜ao pagas no final de cada per´ıodo.
Assumiremos que em cada per´ıodo de tempo a empresa investe seu capital corrente a
uma taxa de juros constante r ≥ 0.
Denote por U
n
o valor do capital da seguradora ao final do n-´esimo per´ıodo. Se o
capital inicial da empresa ´e U
0
= x, ent˜ao, como os prˆemios s˜ao pagos no in´ıcio do
per´ıodo, ao final do primeiro per´ıodo de tempo o capital da seguradora ser´a
U
1
= x(1 + r) + X
1
(1 + r) − Y
1
.
Da mesma forma, se no segundo per´ıodo a seguradora reinvestir seu capital corrente,
ou seja, o capital restante do per´ıodo mais os prˆemios recebidos, ao final do segundo
18
per´ıodo anterior, a seguradora ter´a a quantia
U
2
= U
1
(1 + r) + X
2
(1 + r) − Y
2
= x(1 + r)
2
+ X
1
(1 + r)
2
+ X
2
(1 + r) − Y
1
(1 + r) − Y
2
.
Assim, sucessivamente, obteremos que o capital da seguradora ao final do n-´esimo
per´ıodo de tempo ser´a
U
n
= (1 + r)U
n−1
+ X
n
(1 + r) − Y
n
= x(1 + r)
n
+
n
i=1
X
i
(1 + r)
n−i+1
−
n
i=1
Y
i
(1 + r)
n−i
.
(2.6)
Analogamente ao modelo cl´assico, definimos a probabilidade de ru´ına:
Ψ
1
(x) = P (U
n
< 0, para algum n ). (2.7)
Por (2.6), podemos escrever
Ψ
1
(x) = P
n
i=1
Y
i
(1 + r)
−i
−
n
i=1
X
i
(1 + r)
1−i
> x, para algum n
. (2.8)
Usando o mesmo m´etodo da prova do Teorema 2.1, podemos obter tamb´em para o
modelo (2.6) uma desigualdade do tipo Lundberg para a probabilidade de ru´ına.
Teorema 2.2. Suponha que existe uma constante R
1
> 0 tal que
E
e
R
1
(
Y
1
1 + r
− X
1
)
= 1. (2.9)
Ent˜ao
Ψ
2
(x) ≤ e
−R
1
x
. (2.10)
19
Demonstra¸c˜ao. Seja S
n
=
n
i=1
{Y
i
(1 + r)
−i
− X
i
(1 + r)
1−i
} e considere Z
n
= e
R
1
S
n
, onde
R
1
´e a constante dada em (2.8).
Como {X
k
} e {Y
k
} s˜ao v.a.’s i.i.d. e inde pendentes, temos para m ≤ n
E[Z
n
| Z
1
, ..., Z
m
] = E
e
R
1
S
n
| Z
1
, ..., Z
m
= E
e
R
1
S
m
+ e
R
1
n
i=m+1
{Y
i
(1+r)
−i
−X
i
(1+r)
−i+1
}
| Z
1
, ..., Z
m
= Z
m
E
e
R
1
n
i=m+1
{Y
i
(1+r)
−i
−X
i
(1+r)
−i+1
}
= Z
m
E
n
i=m+1
e
R
1
(
Y
i
1+r
−X
i
)(1+r)
−i+1
= Z
m
n
i=m+1
E
e
R
1
(
Y
i
1+r
−X
i
)(1+r)
1−i
.
Mas, como r ≥ 0, usando a desigualdade de Jensen obtemos
E [Z
n
| Z
1
, ..., Z
m
] ≤ Z
m
n
i=m+1
E
e
R
1
(
Y
i
1+r
−X
i
)
(1+r)
1−i
e por (2.9) segue que
E[Z
n
| Z
1
, ..., Z
m
] ≤ Z
m
, ∀m ≤ n.
Ou seja, {Z
n
} ´e uma supermartingale.
Agora, da defini¸c˜ao da probabilidade de ru´ına, em (2.7) e (2.8), segue analogamente
`a prova de (2.4) no Teorema 2.1 que:
Ψ
1
(x) = lim
n→+∞
P
max
1≤k≤N
{Z
k
} > e
R
1
x
(2.11)
20
Como {Z
k
} ´e uma supermartingale, segue do Teorema 1.3(a) que
P
max
1≤k≤N
Z
k
> e
R
1
x
≤ e
−R
1
x
EZ
1
− E
Z
N
I
( max
1≤k≤N
Z
k
≤e
R
1
x
)
≤ e
−R
1
x
EZ
1
. (2.12)
Mas, por (2.9), EZ
1
= 1. Portanto, (2.10) segue de (2.11) e (2.12).
Note que quando r = 0, o modelo (2.8) reduz-se ao modelo cl´assico (2.1) e, neste
caso, no Teorema 2.2, R
1
= R e a desigualdade (2.9) ´e a mesma desigualdade cl´assica
de Lundberg. Uma quest˜ao relevante ´e saber se para r > 0 o limitante superior obtido
em (2.9) est´a abaixo do limitante de Lundberg, ou seja, se R
1
≤ R. Al´em diss o, como no
modelo com taxa de juros (2.8) assumimos que as indeniza¸c˜oes s˜ao pagas ao final de cada
per´ıodo de tempo e os prˆemios s˜ao pagos no in´ıcio, ´e natural esperar que, em virtude da
entrada de investimentos, a probabilidade de ru´ına, neste caso, seja menor. Yang (1998)
apresenta exemplos e resultados num´ericos que indicam que R
1
≤ R e que Ψ
0
(x) ≤ Ψ
1
(x).
Extens˜oes do modelo (2.8) s˜ao apresentadas por J. Cai (2002a e 2002b), onde considera-
se que as taxas de juros variam aleatoriamente a cada per´ıodo de tempo. Mais precisa-
mente, assumindo-se as mesmas hip´oteses iniciais do modelo (2.8), considera-se aqui que
a cada per´ıo do (n − 1, n) a taxa de juros ´e uma v.a. I
n
. Assim, neste caso, o capital da
seguradora ao final do n-´esimo per´ıodo ´e dado por
U
n
= (U
n−1
+ X
n
)(1 + I
n
) − Y
n
, n = 0, 1, 2, ..., (2.13)
ou, equivalentemente,
U
n
= x
n
k=1
(1 + I
k
) +
n
k=1
(X
k
(1 + I
k
) − Y
k
)
n
j=1
(1 + I
j
)
, (2.14)
onde
n
j=n+1
(1 + I
j
) = 1.
21
Note que este modelo inclui como caso es pecial o modelo (2.8) no qual as taxas de
juros s˜ao constantes (isto ´e, I
n
= r, ∀n).
Em J. Cai (2002a), assume-se que as taxas de juros {I
n
, n ≥ 1} s˜ao v.a.’s i.i.d. e
obt´em-se uma desigualdade do tipo Lundberg para a probabilidade de ru´ına, que inclui
como caso particular a desigualdade obtida no Teorema 2.2 acima. J´a em J. Cai (2002b),
assume-se que as taxas de juros s˜ao depe ndentes, com estrutura de dependˆencia auto-
regressiva de primeira ordem. Desigualdades do tipo Lundberg s˜ao obtidas atrav´es do uso
de equa¸c˜oes integrais da probabilidade de ru´ına.
Nos concentraremos neste trabalho apenas no modelo com taxa de juros constante, j´a
que estamos interessados em estender os resultados do modelo b´asico (2.8) para um modelo
onde tanto os prˆemios quanto as indeniza¸c˜oes s˜ao vari´aveis aleat´orias correlacionadas
(Cap´ıtulo 3).
No entanto, vale destacar que, dos resultados obtidos por J. Cai (2002a,b), de fato
temos R
1
≤ R e Ψ
0
(x) ≤ Ψ
1
(x).
2.4 Limitantes N˜ao-Exponenciais
Vimos nas se¸c˜oes anteriores que a aplica¸c˜ao da desigualdade de Lundberg depende es-
sencialmente da e xistˆencia do coeficiente de ajuste, ou ainda, da existˆencia da respectiva
fun¸c˜ao geradora de momentos numa regi˜ao apropriada.
Podemos verificar que dependendo do comportamento da cauda F (x) = 1 − F (x),
para x grande, de uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F (x) concentrada em (0, +∞), a fun¸c˜ao
geradora de momentos associada, M
F
(s) =
∞
0
e
sx
dF (x), pode ou n˜ao ser finita numa
vizinhan¸ca da origem. Precisamente, temos que M
F
(s) ´e finita para algum s > 0 se, e s´o se,
22
F (x) = O(e
−sx
) para algum s > 0. Distribui¸c˜oes deste tipo s˜ao chamadas distribui¸c˜oes de
cauda fina. E no caso contr´ario, quando M
F
(s) = +∞, para todo s > 0, s˜ao distribui¸c˜oes
de cauda grossa.
Exemplos de distribui¸c˜oes de cauda fina s˜ao a exponencial: F (x) = 1 − e
−αx
, α > 0; a
normal truncada: com densidade f (x) =
2
π
e
−
x
2
2
; a Weibull com taxa de falhas crescente:
F (x) = 1 − e
−cx
β
, c > 0 e β > 1; e qualquer distribui¸c˜ao com suporte limitado. J´a a
distribui¸c˜ao de Weibull com taxa de falhas decrescente: F (x) = 1 − e
−cx
β
, c > 0 e
0 < β < 1; a Pareto: F (x) = 1 −
c
c+x
α
, α, c > 0; a Lognormal: com densidade
f(x) =
1
√
2πσx
e
−
(lnx−µ)
2
2σ
2
, µ ∈ R, σ > 0, s˜ao, entre outras, exemplos de distribui¸c˜ao de
cauda grossa.
Como observamos acima, a desigualdade de Lundberg s´o pode ser usada para distri-
bui¸c˜oes de cauda fina.
Apesar da grande importˆancia do resultado de Lundberg dentro da Teoria de Risco,
a maioria das distribui¸c˜oes de indeniza¸c˜oes que melhor ajustam os dados encontrados em
problemas pr´aticos, especialmente no ramo da atu´aria, s˜ao distribui¸c˜oes de cauda grossa
e para as quais, no entanto, n˜ao ´e poss´ıvel garantir a existˆencia do coeficiente de ajuste
e, conseq¨uentemente, utilizar o limitante exponencial para a probabilidade de ru´ına.
Neste sentido, existem diversos trabalhos na literatura que apresentam estimativas
para a probabilidade de ru´ına na ausˆencia do coeficiente de ajuste ( Willmot (1996) e
Willmot e Lin (1994)entre outros).
Nesta se¸c˜ao, apresentaremos os resultados de Yang (1998) que obt´em limitantes n˜ao-
exponenciais para a probabilidade de ru´ına para os modelos b´asicos apresentados nas
se¸c˜oes anteriores, usando desigualdades de martingales. Utilizando t´ecnicas similares,
Yang e Zhang (2003) estenderam os resultados que apresentaremos nesta se¸c˜ao a mode-
23
los de risco cujos prˆemios e indeniza¸c˜oes apresentam uma estrutura autoregressiva de
dependˆencia e que ser˜ao estudadas no Cap´ıtulo 3.
Nos teoremas que ser˜ao apresentados a seguir, utilizaremos fun¸c˜oes auxiliares do tipo
NPU e NMU, que foram definidas na se¸c˜ao 1.2, do cap´ıtulo anterior. Relembrando, uma
fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao (f.d.) B(x) ´e NMU, “nova melhor que a usada”, se ´e a f.d. de uma
v.a. n˜ao-negativa que satisfaz
B(x)B(y) ≥ B(x + y), ∀x ≥ 0, y ≥ 0, (2.15)
onde B(x) = 1−B(x). Analogamente, dizemos que B(x) ´e NPU, “nova pior que a usada”,
se
B(x)B(y) ≤ B(x + y), ∀ x ≥ 0, y ≥ 0. (2.16)
Note que se B(x) satisfaz (2.15) ent˜ao B(x) < 1, ∀x > 0. Pois, caso contr´ario, existiria
um x
0
> 0 tal que B(x
0
) = 0 a da´ı, por (2.15), B(x
0
+ y) ≥ 0, ∀y ≥ 0.
Primeiramente, consideremos o modelo de risco cl´assico {U
n
} definido em (2.1), isto
´e, U
0
= x e U
n
= x +
n
i=1
(Y
i
− X
i
), n ≥ 1, onde {X
k
} s˜ao v.a.’s n˜ao-negativas e i.i.d.,
representando a quantia de prˆemios recebidos por uma seguradora durante o intervalo de
tempo [k − 1, k ], ou durante o k-´esimo per´ıodo de tempo, e {Y
k
} s˜ao v.a.’s i.i.d., n˜ao-
negativas e independentes de {X
k
}, que representam a quantia de indeniza¸c˜oes pagas
durante o k-´esimo per´ıodo de tempo. Um novo limitante superior para a probabilidade
de ru´ına Ψ
0
(x), dada em (2.2), ´e obtido no teorema a seguir.
Teorema 2.3. Considere o modelo de risco cl´assico (2.1). Sejam B
1
(x) uma fun¸c˜ao de
distribui¸c˜ao NP U e B
2
(x) uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao NMU. Se
E[B
2
(X
1
)
1
B
1
(Y
1
)
] ≤ 1 (2.17)
24
e
B
1
(y − x) ≥
B
1
(y)
B
2
(x)
, para y ≥ x, x > 0. (2.18)
ent˜ao
Ψ
0
(x) ≤ φ(x)B
1
(x), ∀ x > 0. (2.19)
Onde
φ(x) = E
B
2
(X
1
)
B
1
(Y
1
)
− lim
N→+∞
n
max
1≤n≤N
i=1
B
2
(X
i
)
B
1
(Y
i
)
≤
1
B
1
(x)
N
i=1
B
2
(X
i
)
B
1
(Y
i
)
dP ≤ 1. (2.20)
Demonstra¸c˜ao. Seja Z
n
=
n
i=1
B
2
(X
i
)
B
1
(Y
i
)
, n ≥ 1. Da hip´otese (2.16) e da independˆencia
das vari´aveis X
n
, Y
n
, n ≥ 1, segue
E [Z
n
| Z
1
, ..., Z
n−1
] = E
Z
n−1
B
2
(X
n
)
B
1
(Y
n
)
| Z
1
, ..., Z
n−1
= Z
n−1
E
B
2
(X
n
)
B
1
(Y
n
)
≤ Z
n−1
.
Ou seja, a seq¨uˆencia {Z
n
}
n≥1
´e uma supermartingale.
Denote S
n
=
n
i=1
(Y
i
− X
i
), ent˜ao, usando a propriedade da continuidade, a probabili-
dade de ru´ına Ψ
0
(x) definida em (2.2) pode ser esc rita como
Ψ
0
(x) = P
+∞
n=1
{S
n
> x}
= lim
N→+∞
P
N
n=1
n
i=1
Y
i
−
n
i=1
X
i
> x
.
Agora, para x > 0 temos que {S
n
> x} = {S
+
n
> x} e como B
1
(x) = 1 − B
1
(x) ´e
decrescente, podemos obter, para x > 0,
Ψ
0
(x) = lim
N→+∞
P
N
n=1
n
i=1
Y
i
−
n
i=1
X
i
+
> x
≤ lim
N→+∞
P
N
n=1
1
B
1
n
i=1
Y
i
−
n
i=1
X
i
+
≥
1
B
1
(x)
25
= lim
N→+∞
P
max
1≤n≤N
1
B
1
n
i=1
Y
i
−
n
i=1
X
i
+
≥
1
B
1
(x)
. (2.21)
Mas,
n
i=1
Y
i
−
n
i=1
X
i
+
= 0 se
n
i=1
Y
i
<
n
i=1
X
n
. Por outro lado, por (2.18) temos que
B
1
n
i=1
Y
i
−
n
i=1
X
i
≥
B
1
(
n
i=1
Y
i
)
B
2
(
n
i=1
X
i
)
, para
n
i=1
Y
i
≥
n
i=1
X
i
.
Logo, de (2.21) obtemos
Ψ
0
(x) ≤ lim
N→+∞
P
max
1≤n≤N
B
2
n
i=1
X
i
B
1
n
i=1
Y
i
≥
1
B
1
(x)
.
Agora, por hip´otese, B
1
´e NPU, isto ´e, B
1
satisfaz (2.15) e B
2
´e NMU, ou seja, B
2
satisfaz
(2.16). Ent˜ao, por indu¸c˜ao segue
B
2
(
n
i=1
(X
i
))
B
1
(
n
i=1
(Y
i
))
≤
n
i=1
B
2
(X
i
)
n
i=1
B
1
(Y
i
)
.
Da´ı, segue
Ψ
0
(x) ≤ lim
N→+∞
P
max
1≤n≤N
n
i=1
B
2
(X
i
)
B
1
(Y
i
)
≥
1
B
1
(x)
= lim
N→+∞
P
max
1≤n≤N
Z
n
≥
1
B
1
(x)
. (2.22)
Finalmente, como {Z
n
} ´e uma supermartingale, do Teorema 1.3 obtemos
P
max
1≤n≤N
Z
n
≥
1
B
1
(x)
≤ B
1
(x)
EZ
1
− E
Z
N
I
( max
1≤n≤N
Z
n
≤
1
B
1
(x)
)
= B
1
(x)
E
B
2
(X
1
)
B
1
(Y
1
)
−
{ max
1≤n≤N
Z
n
≤
1
B
1
(x)
}
Z
N
dP
26
e de (2.21) segue Ψ
0
(x) = lim
N→+∞
B
1
(x)Φ(x), onde Φ(x) ´e dada por (2.19).
Mais ainda, como por hip´otese E[
B
2
(X
1
)
B
1
(Y
1
)
] ≤ 1 e como Z
n
≥ 0, segue que Φ(x ) ≤ 1.
Observe que a condi¸c˜ao (2.17) ´e semelhante `a condi¸c˜ao (2.3) do coeficiente de ajuste.
Uma vers˜ao mais simples do teorema anterior, pode ser obtida escolhendo-se B
2
(x) =
e
−µx
, x > 0, conforme enunciamos no Corol´ario abaixo. Em particular, se o coeficiente de
ajuste R existe, obtemos uma desigualdade exponencial que pode melhorar a desigualdade
cl´assica de Lundberg.
Corol´ario 2.1. Suponha que B(x) ´e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao do tipo NP U e tal que para
algum µ > 0
(i) B(y − x) ≥ B(y)e
µx
para y ≥ x,
(2.23)
(ii) E[
1
B(δ
Y
1+r
)
]E[e
−µδX
] ≤ 1. (2.24)
Ent˜ao
Ψ
0
(x) ≤ φ(x)B(x), ∀ x > 0, (2.25)
onde
φ(x) = E
e
−µX
1
B
1
(Y
1
)
− lim
N→+∞
max
1≤n≤N}
n
i=1
e
−µX
i
B
1
(Y
i
)
≤
1
B
1
(x)
N
i=1
e
−µX
i
B
1
(Y
i
)
dP ≤ 1. (2.26)
Em particular, se o coeficiente de ajuste R > 0 existe, ou seja, E[e
R(Y
1
−X
1
)
] = 1, ent˜ao
Ψ
0
(x) ≤ φ(x)e
−Rx
, ∀ x > 0. (2.27)
Demonstra¸c˜ao. No Teorema 2.1 considere
B
1
(x) = B(x) e B
2
(x) = e
−µx
e o resultado
segue.
Em particular, se existe o co eficiente de ajuste R > 0, escolha B
1
(x) = e
−Rx
e B
2
(x) =
e
−µx
, com µ ≤ R, ent˜ao as condi¸c˜oes do Te orema 2.1 s˜ao satisfeitas e temos (2.25).
27
Note que, como Φ(x) ≤ 1, (2.27) inclui a Desigualdade de Lundberg.
A condi¸c˜ao (2.23) pode ser verificada se a taxa de falha de B, λ
B
(x) = −
d
dx
ln B(x),
satisfaz λ
B
(x) ≥ µ.
Mais ainda, um caso especial do corol´ario anterior ´e obtido considerando-se B(x) como
uma f.d. absolutamente cont´ınua com taxa de falhas decrescente, que, como vimos no
Exemplo 1.1, ´e uma f.d. NPU. Temos ent˜ao o seguinte corol´ario, que tamb´em foi obtido
por Willmot (1996).
Corol´ario 2.2. Suponha que B(x) ´e uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao absolutamente cont´ınua
com taxa de falhas λ
B
(x) decrescente e satisfazendo (2.24), com µ = lim
x→+∞
λ
B
(x) > 0.
Ent˜ao temos
Ψ
0
(x) = φ(x)
B(x), (2.28)
onde φ(x) ´e dada em (2.25).
Demonstra¸c˜ao. Como citamos anteriormente, pelo Exemplo 1.1 segue que B(x) ´e NPU.
Assim, basta verificarmos a condi¸c˜ao (2.23) do Corol´ario 2.1.
Para y ≥ x, podemos es crever
B(y − x) = exp
y−x
0
λ
B
(t)dt
= exp
−
y
0
λ
B
(t)dt −
y
y−x
λ
B
(t)dt
= exp
−
y
0
λ
B
(t)dt
exp
y
y−x
λ
B
(t)dt
.
Mas, como λ
B
(x) ´e decrescente em x e µ = lim
x→+∞
λ
B
(x), segue que
B(y − x) ≥ exp
−
y
0
λ
B
(t)dt
exp
y
y−x
µdt
= B(y)e
µx
, ∀ y ≥ x.
Logo (2.23) ´e satisfeita e o resultado segue do Corol´ario 2.1.
28
Uma quest˜ao importante relativa ao limitante superior obtido pelo Teorema 2.1 ´e sobre
a forma do coeficiente φ(x) em (2.19) e (2.20). Como vimos Φ(x) ≤ 1 e ´e f´acil verificar
que Φ(x) ´e uma fun¸c˜ao decrescente em x, j´a que B(x) tamb´em o ´e. No pr´oximo teorema
mostra-se que φ(x) → 0, quando x → +∞, para alguns casos especiais.
Teorema 2.4. No Teorema 2.1, se substituirmos a condi¸c˜ao (2.17) por
E
B
2
(X
1
)
B
1
(Y
1
)
= 1, (2.29)
ent˜ao temos, como em (2.19), Ψ
0
(x) ≤ φ(x)B
1
(x) e, neste caso, e φ(x) → 0, quando
x → +∞.
Demonstra¸c˜ao. Seja Z
n
=
n
i=1
B
2
(X
i
)
B
1
(Y
i
)
. Por (2.29), segue, como j´a fizemos anteriormente,
que Z
n
´e uma martingale.
Por outro lado, procedendo analogamente `a prova de (2.22) do Teorema 2.1, podemos
obter
Ψ
0
(x) ≤ lim
N→+∞
P
max
1≤n≤N
Z
n
≥
1
B
1
(x)
.
Visto que {Z
n
} ´e tamb´em uma supermartingale, seguindo o mesmo argumento da prova
do Teorema 2.3 obtemos
Ψ
0
(x) ≤ φ(x)B
1
(x), ∀ x > 0,
com
φ(x) = E
B
2
(X
1
)
B
1
(Y
1
)
− lim
N→+∞
max
1≤n≤N
Z
n
≥
1
B
1
(x)
N
i=1
B
2
(X
i
)
B
1
(Y
i
)
dP.
Da´ı, por (2.29) segue
φ(x) = − lim
N→+∞
max
1≤n≤N
Z
n
≤
1
B
1
(x)
N
i=1
B
2
(X
i
)
B
1
(Y
i
)
dP. (2.30)
29
Resta mostrar ent˜ao que o limite em (2.30) tende para 0 quando x → +∞.
Mas, como {Z
n
} ´e uma martingale n˜ao-negativa, com sup(EZ
n
) = 1, segue do Co-
rol´ario 1.2, que {Z
n
} ´e uniformemente integr´avel.
Seja A
N
=
max
1≤n≤N
Z
n
≥
1
B
1
(x)
. Pelo Teorema 1.3 temos
P (A
N
) ≤ B
1
(x)
A
N
Z
N
dP.
Como A
N
⊂ A
N+1
, por (2.30) segue
P (A
N
) ≤ lim
N→+∞
P (A
N
)
≤ B
1
(x)φ(x)
≤ B
1
(x) → 0 quando x → +∞.
Assim, P (A
N
) → 0 quando x → +∞ (uniformemente em N) e, como {Z
n
} ´e uniforme-
mente integr´avel, segue que
φ(x) ≤ sup
N
A
N
Z
N
dP → 0 quando x → ∞.
Corol´ario 2.3. No Corol´ario 2.1, se (2.24) ´e substitu´ıdo por
E
1
B(Y
1
)
E
e
−µX
1
= 1, (2.31)
ent˜ao Ψ(x) ≤ φ(x)B(x), onde φ(x) ´e dada em (2.26) e φ(x) → 0, quando x → +∞.
Demonstra¸c˜ao. Basta considerar B
1
(x) = B(x) e B
2
(x) = e
−µx
.
Vale observar que embora nos casos acima mostramos que φ(x) → 0, quando x → +∞,
n˜ao ´e f´acil calcular a ordem de decrescimento da φ(x). Mais ainda, ´e dif´ıcil calcular φ ainda
30
que numericamente. Na pr´atica, ´e mais f´acil usar o fato que φ(x) ≤ E
B
2
(X
1
)
B
1
(Y
1
)
≤ 1 em
(2.19) para obter a estimativa
φ
0
(x) ≤ E
B
2
(X
1
)
B
1
(Y
1
)
B
1
(x).
Por outro lado, como vimos na se¸c˜ao 1.2, podemos escolher B
1
(x) no Teorema 2.1
(ou B(x) nos corol´arios) como sendo, por exemplo, o produto de caudas de distribui¸c˜oes
absolutamente cont´ınuas com taxa de falhas decrescente. J´a B
2
(x) ´e escolhida a partir
de B
1
(x) de tal forma que satisfa¸ca `as condi¸c˜oes desejadas. A seguir, apresentamos um
exemplo de como estas escolhas podem ser feitas.
Exemplo 2.1. Considere B(x) como o produto das caudas de uma distribui¸c˜ao de Pareto
e de uma exponencial, ou seja,
B(x) = (1 + kx)
−α
e
−µx
, com α, k, µ > 0.
Ent˜ao a condi¸c˜ao (2.23) do Corol´ario 2.1 est´a satisfeita pois
B(y − x) = (1 + k(y − x))
−α
e
−µ(y−x)
≥ (1 + ky)
−α
e
−µy
e
µx
, para y ≥ x, (2.32)
Agora, para satisfazer (2.31), α e k devem ser escolhidas de tal forma que
+∞
0
(1 + ky)
α
e
µy
f
Y
1
(y)dy =
1
E[e
−µX
1
]
. (2.33)
Por exemplo, se a entrada de prˆemios ´e uma constante X
1
= c e a quantia de indeniza¸c˜oes
por per´ıodo ´e uma inversa Gaussiana, isto ´e, com densidade f
Y
(y) = My
λ−1
e
−µy−(
β
y
)
,
y > 0, ent˜ao a equa¸c˜ao (2.33) torna-se
+∞
0
(1 + ky)
α
My
λ−1
e
β
y
dy = e
cµ
, (2.34)
31
da´ı podemos escolher k e α apropriados dependendo dos parˆametros λ, µ, β, c e M.
Observamos que mesmo neste caso mais simples, onde a quantia de prˆemios ´e constante,
os c´alculos para a escolha de B n˜ao s ˜ao simples e aux´ılio computacional ´e indispens´avel.
Yang (1998) afirma, por exemplo, que para os parˆametros µ = 1, β = 1 e λ = −1, com
M = 3, 5748 e para c = 1, 3035 podemos escolher α = 0, 1 e k = 0, 1 satisfazendo (2.34).
Finalmente, consideremos o segundo modelo b´asico {U
n
} definido em (2.7), ou seja,
U
0
= x e para n ≥ 1
U
n
= x(1 + r)
n
+
n
i=1
X
i
(1 + r)
n−i+1
−
n
i=1
Y
i
(1 + r)
n−i
, (2.35)
onde as seq¨uˆencias {X
n
}
n≥1
e {Y
n
}
n≥1
s˜ao como no modelo cl´assico considerado no in´ıcio
desta se¸c˜ao. Aqui, r > 0 ´e a taxa de juros por per´ıodo de tempo.
Para a probabilidade de ru´ına Ψ
1
(x), definida em (2.7) e (2.8), podemos obter resul-
tados an´alogos ao Teorema 2.1 e corol´arios.
Teorema 2.5. Considere o modelo de risco (2.35). Sejam B
1
(x) uma fun¸c˜ao de distri-
bui¸c˜ao do tipo NP U e B
2
(x) uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao do tipo NMU. Se
B(y − x) ≥
B
1
(y)
B
2
(x)
para y ≥ x, (2.36)
E
1
B
δ
Y
1
1+r
B
2
(δX
1
)
≤ 1, ∀ 0 < δ < 1 ent˜ao (2.37)
Ψ
1
(x) ≤ φ
1
(x)B
1
(x), com (2.38)
φ
1
(x) = E
B
2
(X
1
)
B
1
(Y
1
(1 + r)
−1
)
− lim
N→+∞
max
1≤n≤N
Z
n
≤
1
B
1
(x)
Z
N
dP ≤ 1, (2.39)
onde Z
n
=
n
i=1
B
2
((1+r)
−i+1
X
i
)
B
1
((1+r)
−i
Y
i
)
.
32
Demonstra¸c˜ao. Considere Z
n
=
n
i=1
B
2
((1+r)
−i+1
X
i
)
B
1
((1+r)
−i
Y
i
)
. Por (2.36) e da independˆencia das
vari´aveis {X
n
} e {Y
n
} segue
E[Z
n+1
| Z
1
, ..., Z
n
] = E
Z
n
B
2
((1+r)
−n
X
n+1
)
B
1
((1+r)
−n−1
Y
n+1
)
| Z
1
, ..., Z
n
= Z
n
E
B
2
((1+r)
−n
X
n+1
)
B
1
((1+r)
−n
Y
n+1
1+r
)
≤ Z
n
.
Ou seja, {Z
n
} ´e uma supermartingale.
A prova ent˜ao segue de forma inteiramente an´aloga `a do Teorema 2.3.
Corol´ario 2.4. Seja µ > 0 e suponha que B(x) ´e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao do tipo NP U
tal que
(i) B(y − x) ≥ B(y)e
µx
para y ≤ x. (2.40)
(ii) E
1
B(δ
Y
1
1+r
)
E[e
−µδX
] ≤ 1, ∀ 0 < δ < 1 (2.41)
Ent˜ao
Ψ
1
(x) ≤ φ
1
(x)B(x), (2.42)
onde φ
1
(x) ≤ 1 ´e como em (2.39) com B
1
(x) = B(x) e B
2
(x) = e
−µx
.
Corol´ario 2.5. Suponha que B(x) ´e fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao absolutamente cont´ınua com
taxa de falhas λ
B
(x) decrescente e satisfazendo (2.41) com µ = lim
x→+∞
λ
B
(x) > 0. Ent˜ao
(2.41) ´e v´alida.
Para finalizar, podemos observar que embora em alguns casos a condi¸c˜ao (2.36) pode
ser substitu´ıda por
E
1
B
1
(
Y
1
1+r
)
B
2
(X
1
)
≤ 1, (2.43)
33
de uma maneira geral, (2.43) n˜ao implica (2.36). Os exemplos abaixo ilustram este fato.
Exemplo 2.4. (a) Sejam X
1
e Y
1
tais que (2.43) ´e satisfeita.
(a.1) Se considerarmos B
1
(x) = e
−µ
1
x
e B
2
(x) = e
−µ
2
x
ent˜ao pela desigualdade de
Jensen para fun¸c˜oes cˆoncavas temos
E
e
(µ
1
Y
1
1+r
−µ
2
X
1
)
δ
≤
E[e
(µ
1
Y
1
1+r
−µ
2
X
1
)
]
δ
e por (2.43) segue (2.36).
(a.2) Sejam B
1
(x) = (1 + kx)
−α
e
−µ(1+r )x
, B
2
(x) = e
−µx
, com k, α e µ > 0, e suponha
que X
1
e Y
1
tenham a mesma distribui¸c˜ao tal que P (Y
1
− X
1
> 0) = 1. Ent˜ao para ∀
0 < δ < 1
E
1
B
1
(
δY
1
1+r
)
B
2
(δX
1
)
= E
1 + kδ
Y
1
1+r
α
e
δµ(Y
1
−X
1
)
≤ E
1 + k
Y
1
1+r
α
e
µ(Y
1
−X
1
)
≤ 1.
Logo, (2.43) tamb´em implica em (2.36).
(b) Sejam B
1
(x) = e
−βx
1/2
, β > 0 e B
2
(x) = e
−βx
2
, β > 0. Ou seja, B
1
´e a cauda da
distribui¸c˜ao de Weibull, com α = 1/2 < 1 cuja taxa de falhas ´e decrescente e da´ı ´e NPU.
J´a B
2
´e a cauda da distribui¸c˜ao de Weibull com taxa de falhas crescente (α = 2 > 1) e
assim ´e NMU (como vimos na se¸c˜ao 1.2).
Suponha que P (X
1
= 2) = 1 e P (Y
1
= 4) = 1. Ent˜ao
E
1
B
1
(
Y
1
1+r
)
B
2
(X
1
)
= e
β
2
(1+r)
1/2
e
−4β
≤ e
β(2−4)
= e
−2β
< 1
e (2.42) ´e satisfeita.
34
Mas, para δ = 1/4, temos
E
1
B
1
(
δY
1
1+r
)
B
2
(δX
1
)
= E
e
β
[
(
4
4(1+r)
)
1/2
−(
2
4
)
2
]
= e
β
1
(1+r)
1/2
−(
1
4
)
e assim para 0 ≤ r < 15 a condi¸c˜ao (2.36) n˜ao ´e satisfeita.
35
Cap´ıtulo 3
Modelo Auto-regressivo
3.1 Introdu¸c˜ao
Os modelos de risco cl´assicos, estudados no cap´ıtulo anterior, s˜ao baseados nas hip´oteses
de independˆencia, ou seja, assume-se que tanto os prˆemios quanto as indeniza¸c˜oes nos
sucessivos per´ıodos de tempo s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente dis-
tribu´ıdas. No entanto, no ramo da atu´aria, em virtude da crescente complexidade dos
produtos de seguro e resseguros, os modelos cl´assicos n˜ao s˜ao, em geral, muito realistas.
Assim, nos ´utimos anos o estudo de modelos de risco com estrutura de dependˆencia tˆem
recebido uma aten¸c˜ao especial por parte dos estudiosos da ´area.
Um tipo de correla¸c˜ao ab ordada em diversos modelos encontrados na literatura ´e
aquela entre as indeniza¸c˜oes (e/ou prˆemios) do per´ıodo atual e as indeniza¸c˜oes (e/ou
prˆemios) dos per´ıodos passados. Note que ´e bastante natural supor que os neg´ocios
de uma seguradora num determinado per´ıodo de tempo sejam influenciados, de alguma
forma, pelos neg´ocios dos per´ıodos anteriores.
36
Neste sentido, Gerber (1982) apresenta um modelo no qual os prˆemios anuais s˜ao
vari´aveis aleat´orias correlacionadas, com estrutura de dependˆencia linear em rela¸c˜ao ao
tempo. Neste caso, a probabilidade de ru´ına ´e examinada utilizando-se t´ecnicas de mar-
tingale. Tamb´em, Bowers et al (1997) consideraram um modelo auto-regressivo para
modelar os custos com indeniza¸c˜oes nos sucessivos per´ıodos. No modelo considerado, ´e
assumido que a quantia de prˆemios recebida ´e a mesma a cada per´ıodo de tempo.
Neste cap´ıtulo n´os estudamos o modelo apresentado por Yang e Zhang (2003), que
estende os modelos anteriores, usando um process o auto-regressivo para modelar tanto
os prˆemios quanto as indeniza¸c˜oes dos sucessivos per´ıodos. E
´
E introduzido tamb´em, no
modelo, o efeito da entrada de juros oriundos de poss´ıveis investimentos. A taxa de juros
´e assumida constante. Os resultados de Yang (1999), apresentados na se¸c˜ao 2.3, s˜ao ent˜ao
estendidos para este caso de riscos correlacionados.
Na se¸c˜ao 3.2, apresentamos uma descri¸c˜ao do modelo e uma desigualdade do tipo
Lundberg para a probabilidade de ru´ına ´e obtida na se¸c˜ao 3.3. Finalmente, na se¸c˜ao
3.4, abordamos o caso da n˜ao existˆencia do coeficiente de ajuste e, utilizando as mesmas
t´ecnicas de martingales do cap´ıtulo anterior, apresentamos limitantes n˜ao-exponenciais
para a probabilidade de ru´ına.
37
3.2 Descri¸c˜ao do modelo
Suponha que os prˆemios recebidos por uma empresa seguradora em sucessivos per´ıodos
de tempo, (por exemplo, anos) sejam correlacionados entre si, da seguinte forma: uma
certa propor¸c˜ao dos prˆemios recebidos no ano anterior continuar´a sendo recebida no ano
corrente, e esta propor¸c˜ao permanece a mesma. A cada novo ano teremos prˆemios prove-
nientes do ano anterior e outros prˆemios resultantes de novos neg´ocios realizados no ano
presente. Assim, se denotarmos por X
k
a quantia total de prˆemios recebidos durante o
intervalo de tempo [k − 1, k], ou durante o k-´esimo ano, podemos escrever
X
k
= W
k
+ bX
k−1
, k = 1, 2, 3, ...
X
0
= x
0
,
(3.1)
onde W
k
representa a quantia de prˆemios resultante de novos neg´ocios realizados no
k-´esimo ano; b denota a propor¸c˜ao dos neg´ocios do ano anterior que permanecer˜ao na
carteira deste ano, e supondo que estamos no tempo inicial 0, ent˜ao a quantia de prˆemios
do per´ıodo anterior ´e conhecida e denotada por x
0
.
Assumimos, que {W
k
}
k≥1
´e uma seq¨uˆencia de vari´aveis aleat´orias n˜ao-negativas, i.i.d.,
com fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao comum G(x) e EW
1
< ∞. O parˆametro b mede o grau de
correla¸c˜ao entre as vari´aveis {X
k
} e assumimos 0 ≤ b < 1. Se b = 0 ent˜ao a seq¨uˆencia de
prˆemios ´e i.i.d. e, assim, os prˆemios recebidos em qualquer intervalo de tempo independem
da informa¸c˜ao passada do processo. Por outro lado, se b est´a perto de 1 ent˜ao podemos
interpretar que uma grande quantidade de clientes antigos permanecer˜ao na carteira de
clientes do novo per´ıodo de tempo.
De forma semelhante, assumimos que o processo {Y
k
}
k≥1
de indeniza¸c˜oes pagas pela
seguradora nos sucessivos per´ıodos de tempo ´e descrito pelo modelo auto-regressivo
Y
k
= Z
k
+ aY
k−1
, k = 1, 2, 3, ...
Y
0
= y
0
,
(3.2)
38
onde 0 ≤ a < 1, {Z
k
} ´e uma seq¨uˆencia de vari´aveis aleat´orias n˜ao-negativas i.i.d. e
independentes de {W
k
}
k≥1
. Assumimos que F (x) ´e a f.d. de Z
1
e que EZ
1
< +∞. A
v.a. Y
k
denota a quantia total de indeniza¸c˜oes pagas no per´ıodo [k − 1, k], ou no k-´esimo
ano; o parˆametro a pode ser interpretado como a propor¸c˜ao dos neg´ocios antigos que
permanecer˜ao na nova carteira, Z
k
representa a quantia total de indeniza¸c˜oes provenientes
de novos neg´ocios realizados no k-´esimo ano e y
0
representa a quantia de indeniza¸c˜oes do
per´ıodo anterior ao tempo inicial.
Note que o modelo (3.1)-(3.2) pode ser aplicado a situa¸c˜oes diferentes a esta dada
pela interpreta¸c˜ao acima e assim, numa formula¸c˜ao geral, os parˆametros a e b n˜ao s˜ao
necessariamente iguais.
Agora, como na se¸c˜ao 2.3, assuma que os prˆemios ser˜ao recebidos no in´ıcio de cada
per´ıodo de tempo e que as indeniza¸c˜oes ser˜ao pagas ao final de cada per´ıodo.
Supondo que a empresa investe seu capital corrente a uma taxa de juros constante
r ≥ 0 ent˜ao, analogamente a (2.6), o processo de reserva de risco ´e descrito por
U
n
= U
n−1
(1 + r) + X
n
(1 + r) − Y
n
= x(1 + r)
n
+
n
i=1
X
i
(1 + r)
n−i+1
−
n
i=1
(1 + r)
n−i
,
(3.3)
onde U
0
= x denota o capital inicial da empresa e as seq¨uˆencias {X
k
} e {Y
k
} s˜ao dadas
por (3.1) e (3.2) respectivamente.
Em particular, se a = 0 e b = 0 ent˜ao o modelo acima reduz-se ao modelo (2.6) do
cap´ıtulo anterior, onde os prˆemios e as indeniza¸c˜oes s˜ao v.a.’s i.i.d..
Note que, substituindo (3.1) e (3.2) em (3.3), recursivamente, podemos escrever
U
n
=
x + bx
0
1−(bv)
n
1−bv
− y
0
av
1−(av)
n
1−av
(1 + r)
n
+
n
i=1
1−(bv)
n−i+1
1−bv
W
i
(1 + r)
n−i+1
−
n
i=1
1−(av)
n−i+1
1−av
vZ
i
(1 + r)
n−i+1
,
(3.4)
onde v =
1
1 + r
.
39
Para o modelo (3.3), ou (3.4), definimos a probabilidade de ru´ına como sendo
Ψ(x, y
0
, x
0
) = P (
∞
n=1
U
n
< 0|U
0
= x, Y
0
= y
0
, X
0
= x
0
)
= P (U
n
< 0, para algum n).
(3.5)
Uma condi¸c˜ao suficiente para que Ψ(x, y
0
, x
0
) < 1 ´e que E
W
1
1 − b
−
Z
1
1 − a
> 0, a
qual ´e satisfeita se assumirmos que E[W
1
] ≥ E[Z
1
] e b ≥ a.
Para verificar isto, denote por {U
∗
n
, n ≥ 1} o processo de reserva de risco correspon-
dente `a taxa de juros r = 0. Ent˜ao
U
∗
n
= U
∗
n−1
+ X
n
− Y
n
= x +
n
i=1
(X
i
− Y
i
),
(3.6)
ou equivalentemente,
U
∗
n
= (x + bx
0
− ay
0
) +
n
i=1
(1 − b
n−i+1
)
W
i
1 − b
−
n
i=1
(1 − a
n−i+1
)
Z
i
1 − a
.
Agora, como as seq¨uˆencias
W
i
1 − b
i≥1
e
Z
i
1 − a
i≥1
s˜ao i.i.d. com esperan¸cas finitas e
0 ≤ b < 1, 0 ≤ a < 1, ´e poss´ıvel mostrar, como na Lei Forte dos Grandes N´umeros de
Kolmogorov, que
1
n
n
i=1
(1 − b
n−i+1
)
W
i
1 − b
−
EW
1
1 − b
− (1 − a
n−i+1
)
Z
i
1 − a
−
EZ
1
1 − a
q.c.
−→
n→+∞
0.
Mas
1
n
n
i=1
(1 − b
n−i+1
) −→
n→+∞
1 e
1
n
n
i=1
(1 − a
n−i+1
) −→
n→+∞
1, ent˜ao segue que
1
n
n
i=1
(1 − b
n−i+1
)
W
i
1 − b
− (1 − a
n−i+1
)
Z
i
1 − a
q.c.
−→
n→+∞
E
W
1
1 − b
−
Z
1
1 − a
.
Assim, se E
W
1
1 − b
−
Z
1
1 − a
> 0 ent˜ao
lim
n→∞
n
i=1
(1 − b
n−i+1
)
W
i
1 − b
− (1 − a
n−i+1
)
Z
i
1 − a
= +∞
40
e Ψ
∗
(x, y
0
, x
0
) = P (U
∗
n
< 0, para algum n) < 1.
De (3.3) e (3.6) podemos ver que para r > 0 Ψ(x, y
0
, x
0
) ≤ Ψ
∗
(x, y
0
, x
0
). De fato, se
U
∗
n
≥ 0, ∀ n ≤ m ent˜ao U
n
≥ U
∗
n
, ∀ n ≥ m e r > 0. Assim, 1 − Ψ
∗
(x, y
0
, x
0
) ≤ 1 −
Ψ(x, y
0
, x
0
). Portanto, se E
W
1
1−b
−
Z
1
1−a
> 0 ent˜ao Ψ
∗
(x, y
0
, x
0
) < 1 e, conseq¨uentemente,
Ψ(x, y
0
, x
0
) < 1.
3.3 Uma Desigualdade do Tipo Lundberg
Nesta se¸c˜ao, apresentaremos um limitante exponencial para a probabilidade de ru´ına
Ψ(x, y
0
, x
0
) definida em (3.5).
Para isto, considere o processo de reserva de risco modificado
ˆ
U
n
= U
n
−
av
1−av
Y
n
+
b
1−bv
X
n
,
ˆ
U
0
= ˆx,
(3.7)
onde v =
1
1 + r
e U
n
´e dado por (3.3).
Seguindo Bowers et al (1997), podemos interpretar
ˆ
U
n
como sendo a reserva de risco
no tempo n, U
n
, ajustada por todos os prˆemios e indeniza¸c˜oes futuras que est˜ao relaci-
onadas a X
n
e Y
n
(respectivamente, as quantias de prˆemios e indeniza¸c˜oes coletadas no
n-´esimo per´ıodo de tempo). Para ver isto, observe inicialmente que podemos obter certas
propor¸c˜oes da quantia de prˆemios X
n
do n-´esimo per´ıodo em todos os prˆemios coletados
nos per´ıodos s ubseq¨uentes a n, ou seja,
X
n+1
= W
n+1
+ bX
n
X
n+2
= W
n+2
+ bW
n+1
+ b
2
X
n
,
(3.8)
e assim sucessivamente. O mesmo acontece s e analisarmos as quantias de indeniza¸c˜oes
41
pagas nos per´ıodos posteriores ao n-´esimo:
Y
n+1
= Z
n+1
+ aY
n
Y
n+2
= Z
n+2
+ aZ
n+1
+ a
2
Y
n
.
(3.9)
e assim por diante. Considere, ent˜ao, os prˆemios e as indeniza¸c˜oes dos per´ıodos n + 1,
n + 2,...,n + m e denote
S
n,m
=
n+m
i=n+1
X
i
(1 + r)
n−i+1
−
n+m
i=n+1
Y
i
(1 + r)
n−i
.
Ent˜ao por (3.8) e (3.9) podemos obter
S
n,m
=
m
i=1
W
n+i
v
i−1
m−i
j=0
(bv)
j
−
m
i=1
Z
n+i
v
i−1
m−i
j=0
(av)
j
+
+
bX
n
m−1
i=0
(bv)
i
− avY
n
m−1
i=0
(av)
i
.
(3.10)
Assim, quando m → ∞ a segunda parcela entre colchetes de (3.10) converge para
b
1 − bv
X
n
−
av
1 − av
Y
n
,
que corresponde `a diferen¸ca
ˆ
U
n
− U
n
em (3.7).
42
Por outro lado, voltando ao processo {
ˆ
U
n
}, como por (3.3) U
n
= U
n−1
(1 + r) + X
n
(1 +
r) − Y
n
e v =
1
1 + r
, segue de (3.7) que
ˆ
U
n
= (1 + r)
U
n
v −
av
2
1 − av
Y
n
+
bv
1 − bv
X
n
= (1 + r)
U
n−1
+ X
n
− Y
n
v −
av
2
1 − av
Y
n
+
bv
1 − bv
X
n
= (1 + r)
U
n−1
+
X
n
1 − bv
−
Y
n
v
1 − av
= (1 + r)
ˆ
U
n−1
+
avY
n−1
1 − av
−
bX
n−1
1 − bv
+
X
n
1 − bv
−
Y
n
v
1 − av
= (1 + r)
ˆ
U
n−1
+
X
n
− bX
n−1
1 − bv
− v
Y
n
− aY
n−1
1 − av
,
e por (3.1) e (3.2) obtemos
ˆ
U
n
= (1 + r)
ˆ
U
n+1
+
W
n
1 − bv
− v
Z
n
1 − av
. (3.11)
Ou ainda,
v
ˆ
U
n
=
ˆ
U
n−1
+
W
n
1 − bv
− v
Z
n
1 − av
. (3.12)
Assim, considerando o processo cl´assico ˆx +
n
i=1
(
ˆ
X
i
−
ˆ
Y
i
), onde os prˆemios e as in-
deniza¸c˜oes s˜ao v.a.’s i.i.d. dadas por
ˆ
X
n
=
W
n
1 − bv
e
ˆ
Y
n
=
Z
n
1 − av
respectivamente,
ent˜ao como observamos na se¸c˜ao 2.2, se assumirmos que E[
ˆ
X
1
−
ˆ
Y
1
] > 0, ou seja,
E
W
1
1 − bv
−
Z
1
v
1 − av
> 0, (3.13)
ent˜ao P (
ˆ
U
n
< 0, para algum n) ≤ P
ˆx +
n
i=1
(
ˆ
X
i
−
ˆ
Y
i
) < 0, para algum n
< 1.
Mas, se assumirmos (3.13), ent˜ao com U
n
descrito por (3.4), podemos utilizar o
mesmo racioc´ınio desenvolvido no final da se¸c˜ao anterior (bastando considerar U
∗
n
=
43
x+bx
0
1−(bv)
n
1−bv
−y
0
av
1−(av)
n
1−av
+
n
i=1
(1−(bv)
n−i+1
)
W
i
1−bv
−
n
i=1
(1−(av)
n−i+1
)
Z
i
1−av
e verificar
que tamb´em teremos Ψ(x, y
0
, x
0
) < 1.
Vamos ent˜ao assumir neste cap´ıtulo a condi¸c˜ao
EW
1
> EZ
1
e
1
1 − bv
>
v
1 − av
(3.14)
que implica (3.13).
Estamos assim em condi¸c˜oes de obter uma desigualdade do tipo Lundberg para a
probabilidade de ru´ına Ψ(x, y
0
, x
0
) descrita em (3.5), sob a hip´otese da existˆencia de um
coeficiente de ajuste R para o processo
ˆ
U
n
dado por (3.11).
´
E o que faremos no teorema
abaixo utilizando as ferramentas da teoria de martingales apresentadas no Cap´ıtulo 1.
Teorema 3.1. Considere o processo {U
n
} descrito por (3.1),(3.2) e (3.3) e suponha que a
fun¸c˜ao geradora de momentos de Z
1
exista numa vizinhan¸ca da origem. Se R > 0 satisfaz
a equa¸c˜ao
E
exp
−
R
1 − bv
W
1
E
exp
Rv
1 − av
Z
1
= 1, v =
1
1 + r
, (3.15)
ent˜ao, para x ≥ 0
Ψ(x, y
0
, x
0
) ≤
e
−Rˆx
E[e
−Rv
T
ˆ
U
T
| T < +∞]
, (3.16)
onde
ˆ
U
n
´e definido em (3.7), ˆx =
ˆ
U
0
e T = inf {n | U
n
≤ 0}. Mais ainda, a desigualdade
(3.16) ´e uma igualdade quando r = 0.
Observa¸c˜ao 3.1. (a) O coeficiente R em (3.15) ´e o coeficiente de ajuste do processo
ˆ
U
n
dado em (3.11). Como foi mencionado na se¸c˜ao 2.2, uma condi¸c˜ao s uficiente para a
existˆencia deste coeficiente de ajuste ´e que a fun¸c˜ao geradora de momentos de Z
1
exista
numa vizinhan¸ca apropriada da origem.
44
(b) No caso em que a = b = 0 e r = 0 ent˜ao o modelo {U
n
} coincide com o modelo
cl´assico (2.1) e o coeficiente R ´e o mesmo coeficiente de Lundberg definido em (2.3).
Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1. Seja
ˆ
U
n
dado por (3.7) e considere M
n
(x) = e
−Rv
n
ˆ
U
n
.
Por (3.11) podemos escrever
M
n
(x) = exp
−Rv
n
v
−1
ˆ
U
n−1
+
1
1 − bv
W
n
−
v
1 − av
Z
n
. (3.17)
Ent˜ao, se considerarmos A
n
= σ(W
i
, Z
i
, i = 1, ..., n), a σ-´algebra gerada por {W
i
}
n
i=1
e
{Z
i
}
n
i=1
, como
ˆ
U
n−1
´e A
n−1
−mensur´avel e {W
k
}
k≥1
e {Z
k
}
k≥1
s˜ao independentes, segue
de (3.17) que
E[M
n
(x) | A
n−1
] = E
exp
−Rv
n−1
ˆ
U
n−1
+
W
n
1−bv
−
vZ
n
1−av
|A
n−1
= e
−Rv
n−1
ˆ
U
n−1
E
exp
−R
W
n
1 − bv
−
vZ
n
1 − av
v
n−1
.
Mas, como r ≥ 0, temos v
n−1
= (1 + r)
1−n
≤ 1, e da´ı g(x) = −x
v
n−1
, x > 0, ´e uma fun¸c˜ao
convexa. Logo pela Desigualdade de Jensen segue
E[M
n
(x)|A
n−1
] ≤ e
−Rv
n−1
ˆ
U
n−1
E
e
−R(
W
n
1 − bv
−
vZ
n
1 − av
)
v
n−1
.
Agora, como, por hip´otese, R ´e o coeficiente de ajuste definido por (3.15), ent˜ao
obtemos
E[M
n
(x)|A
n−1
] ≤ e
−Rv
n−1
ˆ
U
n−1
= M
n−1
(x), (3.18)
ou seja, M
n
(x) ´e uma supermartingale relativa a A
n
.
Por outro lado, sejam T = inf {n : U
n
< 0} o tempo de ru´ına e n
0
um inteiro po-
sitivo. Ent˜ao T ∧ n
0
= min{T, n
0
} ´e um tempo de parada limitado em rela¸c˜ao a
45
A
n
= σ(W
i
, Z
i
, i = 1, ..., n). Logo, usando o Teorema 1.2 para supermartingale temos
E[M
0
(x)] ≥ E[M
T ∧n
0
(x)], ou seja,
E[e
−Rˆx
] ≥ E[exp {−Rv
(T ∧n
0
)
ˆ
U
T ∧n
0
}]
= E
E
exp {−Rv
(T ∧n
0
)
ˆ
U
T ∧n
0
}|I
(T ≤n
0
)
= E[e
−Rv
T
ˆ
U
T
| T ≤ n
0
]P (T ≤ n
0
) + E[e
−Rv
n
0
ˆ
U
n
0
| T > n
0
]P (T > n
0
)
≥ E[e
−Rv
T
ˆ
U
T
| T ≤ n
0
]P (T ≤ n
0
).
Mas E[e
−Rv
T
ˆ
U
T
| T ≤ n
0
]P (T ≤ n
0
) = E[e
−Rv
T
ˆ
U
T
I
(T ≤n
0
)
] e como lim
n
0
→∞
(T ≤ n
0
) =
∞
n
0
=1
(T ≤ n
0
) = (T < +∞), segue que
E[e
−Rˆx
] ≥ E[e
−Rv
T
ˆ
U
T
| T < +∞]P (T < +∞).
Finalmente, como P (T < ∞) = P (
∞
n=1
(U
n
< 0)) = Ψ(x, y
0
, x
0
), temos que
Ψ(x, y
0
, x
0
) ≤
E[e
−Rˆx
]
E[e
−Rv
T
ˆ
U
T
|T <+∞
]
e (3.16) est´a provada.
Em particular, se r = 0 a desigualdade em (3.18) ´e uma igualdade e, assim, {M
n
(x)}
´e uma martingale. Logo a desigualdade acima reduz-se tamb´em a uma igualdade.
Considere, agora, a situa¸c˜ao particular onde os prˆemios nos sucessivos per´ıodos s˜ao
v.a.’s i.i.d., ou seja, assuma que b = 0 e da´ı X
i
= W
i
, i = 1, 2, ... s˜ao v.a.’s i.i.d.. Ent˜ao,
temos o seguinte corol´ario do Teorema 3.1:
Corol´ario 3.1. Considere o modelo {U
n
} dado por (3.1),(3.2) e (3.3) e assuma que b = 0
Suponha que exista R > 0 satisfazendo
E [exp (−RX
1
)] E
exp
RvZ
1
1 − av
= 1.
46
Ent˜ao para x ≥ 0
Ψ(x, y
0
) ≤
e
−Rˆx
E[e
−Rv
T
ˆ
U
T
| T < +∞]
, (3.19)
onde
ˆ
U
n
= U
n
−
av
1 − av
Y
n
, T = inf{n | U
n
≤ 0} e ˆx =
ˆ
U
0
. Mais ainda, como a ≥ 0 ent˜ao
Ψ(x, y
0
) ≤ exp(−Rˆx) = e
−R(
av
1 − av
y
0
)
e
−Rx
(3.20)
e quando r = 0 as desigualdades (3.19) e (3.20) s˜ao igualdades.
Demonstra¸c˜ao. A desigualdade (3.19) ´e uma conseq¨uˆencia direta do Teorema 3.1.
Para mostrar (3.20), basta observar que como a ≥ 0 ent˜ao
ˆ
U
n
≤ U
n
. Assim,
ˆ
U
T
≤ U
T
e por defini¸c˜ao
ˆ
U
T
< 0. Da´ı, E[exp (−Rv
T
ˆ
U
T
)|T < ∞] ≥ 1 e o resultado segue.
O Corol´ario 3.2 inclui como caso particular o resultado obtido por Bowers et al (1997).
O modelo considerado por Bowers assume que as indeniza¸c˜oes s˜ao modeladas por um
processo auto-regressivo, os prˆemios s˜ao constantes nos diferentes per´ıodos de tempo e
n˜ao inclui o efeito dos juros no modelo. Ou seja, basta considerar no modelo acima, b = 0,
X
1
≡ c, onde c ´e uma constante e r = 0.
J´a, se considerarmos a = 0 e b = 0, ou seja, os prˆemios X
k
= W
k
, k = 1, 2, ... e as
indeniza¸c˜oes Y
k
= Z
k
, k = 1, 2, ... s˜ao v.a.’s i.i.d. ent˜ao o mode lo {U
n
}
n≥1
reduz-se ao
modelo (2.6), apresentado na se¸c˜ao 2.3. Neste caso, o coeficiente R ´e o mesmo que R
1
dado por (2.8) e o Teorema 2.2 segue como caso particular do Corol´ario 3.2.
3.4 Estimativa N˜ao-Exponencial
Como foi mencionado no cap´ıtulo anterior, desigualdades do tipo Lundberg, como a obtida
no Teorema 3.1, n˜ao podem ser aplicadas se a distribui¸c˜ao das indeniza¸c˜oes for de cauda
47
grossa, ou seja, se a distribui¸c˜ao de Z
1
n˜ao possui fun¸c˜ao geradora de momentos numa
vizinhan¸ca apropriada da origem. Neste caso, n˜ao podemos garantir a existˆencia do
coeficiente de ajuste em (3.15).
Para esta situa¸c˜ao, apresentaremos no pr´oximo teorema um limitante n˜ao-exponencial
para a probabilidade de ru´ına, definida em (3.5), para o modelo auto-regressivo apresen-
tado na se¸c˜ao 3.2. Este resultado ´e uma extens˜ao do Teorema 2.2, onde obtivemos uma
desigualdade semelhante para o modelo de risco com indeniza¸c˜oes e prˆemios i.i.d.. De
forma semelhante ao caso i.i.d., utilizaremos fun¸c˜oes auxiliares do tipo NP U (Nova Pior
que a Usada) e NMU (Nova Melhor que a Usada), conforme definidas na se¸c˜ao 1.3. As
t´ecnicas utilizadas na prova, usando desigualdades para martingales, s˜ao essencialmente
as mesmas da demonstra¸c˜ao dos Teoremas 2.1 e 2.2.
Teorema 3.2. Considere o modelo de risco descrito por (3.1),(3.2) e (3.3). Suponha que
a,b,v,y
0
e x
0
s˜ao tais que
x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
≥ 0 (3.21)
e sejam B
1
(x) fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao do tipo NP U, B
2
(x) outra fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao
do tipo NMU tais que
E
1
B
1
δ
1
v
1−av
Z
1
B
2
δ
2
W
1
1 − bv
≤ 1, (3.22)
para todo 0 < δ
1
< 1 e 0 < δ
2
< 1. Assuma tamb´em que
B
1
(y − x) ≥
B
1
(y)
B
2
(x)
, y ≥ x. (3.23)
Ent˜ao,
Ψ(x, y
0
, x
0
) ≤ B
1
x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
. (3.24)
48
Demonstra¸c˜ao. Seja {U
n
} o modelo de risco dado por (3.1),(3.2) e (3.3). Por (3.4),
como v =
1
1 + r
, podemos escrever:
U
n
= (1 + r)
n
x + bx
0
1 − (bv)
n
1 − bv
− y
0
av
1 − (av)
n
1 − av
+
+
n
i=1
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
v
i−1
W
i
−
n
i=1
1 − (av)
n−i+1
1 − av
v
i
Z
i
.
(3.25)
Agora, considere
H
n
=
n
i=1
B
2
v
i−1
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
W
i
B
1
v
i
1 − (av)
n−i+1
1 − av
Z
i
e A
n
= σ(W
i
, Z
i
, i = 1, ..., n). Ent˜ao, como as vari´aveis {W
k
} e {Z
k
} s˜ao independentes
segue
E[H
n
| A
n−1
] = E
H
n−1
B
2
(v
i−1
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
W
i
)
B
1
(v
i
1 − (av)
n−i+1
1 − av
Z
i
)
A
n−1
= H
n−1
E
B
2
δ
2
W
n
1 − bv
B
1
δ
1
Z
n
1 − av
,
e usando a hip´otese (3.22) com δ
2
= v
n−1
(1−bv) e δ
1
= v
n
(1−av) segue que E[H
n
|A
n−1
] ≤
H
n−1
, ou seja, {H
n
, A
n
} ´e uma supermartingale.
49
Usando (3.25) e como 1 − (av)
n
≤ 1 e
1 − (bv)
n
bv
≥ 1 + bv temos
Ψ(x, y
0
, x
0
) = P (
+∞
n=1
(U
n
< 0))
= P
+∞
n=1
n
i=1
1 − (av)
n−i+1
1 − av
v
i
Z
i
−
n
i=1
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
v
i−1
W
i
>
> x −
1 − (av)
n
1 − av
y
0
av +
1 − (bv)
n
1 − bv
bx
0
≤ P
+∞
n=1
n
i=1
1 − (av)
n−i+1
1 − av
v
i
Z
i
−
n
i=1
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
v
i−1
W
i
>
> x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
= lim
N→+∞
P
N
n=1
n
i=1
1 − (av)
n−i+1
1 − av
v
i
Z
i
−
n
i=1
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
v
i−1
W
i
>
> x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
.
Agora, pela hip´otese (3.21), x −
av
1−av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
> 0, ent˜ao fazendo de forma
an´aloga ao que foi feito para obter (2.20), na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.1, podemos
obter
Ψ(x, y
0
, x
0
) ≤
≤ lim
N→+∞
P
max
1≤n≤N
1
B
1
n
i=1
1 − (av)
n−i+1
1 − av
v
i
Z
i
−
n
i=1
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
v
i−1
W
i
+
≥
1
B
1
x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
50
e, usando (3.23), segue
Ψ(x, y
0
, x
0
) ≤ lim
N→+∞
P
max
1≤n≤N
B
2
n
i=1
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
v
i−1
W
i
B
1
n
i=1
1−(av)
n−i+1
1−av
v
i
Z
i
≥
1
B
1
x −
av
1−av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
.
Mas, por hip´otese, B
1
(x) ´e do tipo NP U, isto ´e, B
1
(x)B
1
(y) ≤ B
1
(x + y), x ≥ 0, y ≥ 0 e
B
2
(x) ´e do tipo NMU, ou seja, B
2
(x)B
2
(y) ≥ B
2
(x + y), x ≥ 0, y ≥ 0, ent˜ao segue
B
2
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
v
i−1
W
i
B
1
1 − (av)
n−i+1
1 − av
v
i
Z
i
≥
n
i=1
B
2
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
v
i−1
W
i
B
1
1−(av)
n−i+1
1−av
v
i
Z
i
.
Conseq¨uentemente, temos
Ψ(x, y
0
, x
0
) ≤ lim
N→+∞
P
max
1≤n≤N
n
i=1
B
2
1−(bv)
n−i+1
1−bv
v
i−1
W
i
B
1
1−(av)
n−i+1
1−av
v
i
Z
i
≥
1
B
1
x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
.
Finalmente, como {H
n
} ´e uma supermartingale, usando o Teorema 1.3o obtemos
Ψ(x, y
0
, x
0
) ≤ φ
x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
B
1
x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
,
onde φ(z) = E
B
2
1 − (bv)
n−i+1
1 − bv
v
i−1
W
1
B
1
1 − (av)
n−i+1
1 − av
v
i
Z
1
− lim
N→+∞
max
1≤n≤N
H
n
≤
1
B
1
(z)
H
N
dP, z ≥
0. Da hip´otese (3.22) segue que
φ
x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
≤ 1
51
e o teorema est´a demonstrado.
Como no cap´ıtulo anterior, se escolhermos B
2
(x) = e
−µx
, x > 0 podemos obter vers˜oes
mais simples do teorema anterior, que apresentaremos nos corol´arios abaixo.
52
Corol´ario 3.2. Suponha que x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
≥ 0 e que B(x) ´e uma fun¸c˜ao
de distribui¸c˜ao NP U satisfazendo
(i) B(y − x) ≥ B(y)e
µx
, para y ≥ x e algum µ > 0
(ii) E
1
B
δ
1
v
1 − av
Z
E
exp
−δ
2
W
1
1 − bv
≤ 1, ∀ 0 < δ
1
< 1 e 0 < δ
2
< 1.
Ent˜ao,
Ψ(x, y
0
, x
0
) ≤ B
1
x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
. (3.26)
Corol´ario 3.3. Suponha que x −
av
1 − av
y
0
+ b(1 + bv)x
0
≥ 0 e que B(x) ´e uma fun¸c˜ao
de distribui¸c˜ao com taxa de falhas λ
B
(x) decrescente e satisfazendo a condi¸c˜ao (ii) do
Corol´ario 3.4, com µ = lim
x→+∞
λ
B
(x) > 0. Ent˜ao tamb´em temos (3.26).
Para finalizar, cabe ressaltar que Yang (2003) apresenta alguns exemplos num´ericos
para ilustrar a precis˜ao dos limites superiores obtidos nos teoremas 3.1 e 3.2. Foram
feitas simula¸c˜oes das probabilidades de ru´ına verdadeiras e estas foram comparadas aos
resultados obtidos pelos respectivos limitantes superiores. Nos resultados num´ericos en-
contrados observa-se que os limitantes n˜ao-exponenciais forneceram uma estimativa mais
precisa para a probabilidade de ru´ına do que nos exemplos onde foram utilizados os limi-
tantes exponenciais.
53
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