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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
ESTUDO SOBRE A FLOTAÇÃO DE SILICATOS EM COLUNA PARA
O PROCESSO DE CONCENTRAÇÃO DA APATITA
Alessandra Achcar Monteiro Silva
Uberlândia
2005
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
ESTUDO SOBRE A FLOTAÇÃO DE SILICATOS EM COLUNA PARA O
PROCESSO DE CONCENTRAÇÃO DA APATITA
Alessandra Achcar Monteiro Silva
Dissertação de Mestrado apresentada à
Universidade Federal de Uberlândia como
parte dos requisitos necessários à obtenção
do título de Mestre em Engenharia Química,
da Faculdade de Engenharia Química, área
de Concentração e Desenvolvimento de
Processos Químicos.
Uberlândia - MG
2005
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MEMBROS DA BANCA EXAMINADORA DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DE
ALESSANDRA ACHCAR MONTEIRO SILVA SUBMETIDA AO PROGRAMA DE PÓS-
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE
UBERLÂNDIA COMO PARTE DOS REQUISITOS PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE
MESTRE EM ENGENHARIA QUÍMICA, EM 24/06/2005.
BANCA EXAMINADORA:
_______________________________________________________
Prof. Dr. Marcos Antonio de Souza Barrozo
(Orientador – PPG – FEQUI/UFU)
_______________________________________________________
Prof. Dr. Carlos Henrique Ataíde
(Co-orientador – PPG – FEQUI/UFU)
_______________________________________________________
Dr. Rogério Contato Guimarães
(Co-orientador – Bunge Fertilizantes)
________________________________________________________
Prof. Dr. Wanderley Pereira de Oliveira
( USP – Ribeirão Preto)
SUMÁRIO
Lista de Figuras...................................................................................................................... i
Lista de Tabelas......................................................................................................................
ii
Resumo...................................................................................................................................
iii
Abstract.................................................................................................................................. iv
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO.........................................................................................
01
CAPÍTULO II – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...............................................................
05
2.1– Desenvolvimento Histórico da Flotação.........................................................................
05
2.1.1 – Flotação em óleo...............................................................................................
05
2.1.2 – Flotação pelicular............................................................................................. 06
2.1.3 – Flotação por espuma........................................................................................ 06
2.1.4 – Flotação de fosfatos..........................................................................................
08
2.1.5 – Flotação de silicatos..........................................................................................
09
2.2 – Elementos da flotação....................................................................................................
12
2.3 – Fases e interfaces do processo de flotação.................................................................... 13
2.3.1 – Fase líquida.......................................................................................................
13
2.3.2 – Fase gasosa.......................................................................................................
14
2.3.3 – Fase sólida........................................................................................................
14
2.3.4 – Interfaces.......................................................................................................... 15
2.4 – Reagentes.......................................................................................................................
16
2.4.1 – Coletores........................................................................................................... 17
2.4.1.1 – Coletores catiônicos..............................................................................
18
2.4.2 – Espumantes....................................................................................................... 18
2.4.3 – Reguladores.......................................................................................................
19
2.5 – Mecanismo de flotação................................................................................................. 20
2.6 – Equipamento de flotação...............................................................................................
22
2.6.1 – Máquinas mecânicas.........................................................................................
22
2.6.2 – Máquinas pneumáticas .....................................................................................
25
2.7 – Colunas de Flotação.......................................................................................................
29
2.7.1 – Principais variáveis da coluna de flotação........................................................
31
2.7.1.1 – Vazão de ar...........................................................................................
32
2.7.1.2 – Hold up do gás .....................................................................................
33
2.7.1.3 – Água de lavagem..................................................................................
35
2.7.1.4 – Altura da camada de espuma................................................................
36
2.7.1.5 – Bias.......................................................................................................
36
2.7.1.6 – Tempo médio de residência..................................................................
36
2.7.1.7 – Tamanho das bolha de ar.....................................................................
37
2.7.1.8 – Tamanho das partículas dos minerais..................................................
38
2.7.2 – Vantagens e desvantagens da coluna de flotação..............................................
38
2.8 – Planejamento experimental e tratamento estatístico dos dados....................................
39
2.8.1 – Análise canônica................................................................................................
43
CAPÍTULO III – MATERIAIS E MÉTODOS.................................................................
48
3.1 – Coleta da amostra..........................................................................................................
48
3.2 – Descrição da unidade experimental ..............................................................................
48
3.2.1 – Procedimentos preliminares de operação da unidade de flotação.....................
52
3.3 – Condicionamento da polpa............................................................................................
52
3.3.1 – Reagentes..........................................................................................................
52
3.3.1.1 – Procedimento de diluição do coletor flotigam EDA.............................
53
3.3.1.2 – Procedimento de gelatinização do depressor fubá de milho.................
53
3.3.2 – Preparação da polpa.......................................................................................... 54
3.3.2.1 – Procedimento de condicionamento do minério....................................
54
3.4 – Operação da coluna de flotação.....................................................................................
55
3.5 – Caracterização das amostras.........................................................................................
55
3.6.1 – Testes preliminares.....................................................................................................
56
3.6.1 – Influência das variáveis operacionais................................................................
56
3.7 – Planejamento composto central.....................................................................................
57
3.8 – Testes exploratórios...................................................................................................... 58
3.9 – Análise global............................................................................................................... 60
3.10 – Testes finais................................................................................................................ 60
3.11 – Avaliação dos resultados.............................................................................................
61
CAPÍTULO IV – RESULTADOS E DISCUSSÃO...........................................................
63
4.1 – Caracterização da amostra.............................................................................................
63
4.2 – Resultado dos testes preliminares..................................................................................
63
4.3 – Resultado do planejamento composto central...............................................................
65
4.4 – Resultados e análise dos testes exploratórios................................................................
69
4.5 – Análise estatística global...............................................................................................
71
4.6 – Análise canônica dos resultados globais....................................................................... 79
4.6.1 – Resultado da otimização e testes finais.............................................................
83
CAPÍTULO V – CONCLUSÕES........................................................................................
85
5.1 – Conclusões.....................................................................................................................
85
5.2 – Sugestões para trabalhos futuros...................................................................................
86
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................... 87
ANEXOS................................................................................................................................
89
Anexo I – Processo de beneficiamento do minério fosfático da Bunge
Fertilizantes.................................................................................................................
89
Anexo II – Resultados da caracterização química das amostras do concentrado
e do produto de fundo.................................................................................................
98
Anexo III – Superfícies de resposta para o teor de SiO
2
no produto de fundo e
recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função das variáveis
independentes..............................................................................................................
104
Anexo IV – Etapas da realização da análise canônica para as superfícies de
resposta.........................................................................................................................
107
i
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Evolução do consumo aparente do fósforo no Brasil entre 1950 e 2003.........
02
Figura 2.1 – Mineralização das bolhas de ar…………………......................................... 21
Figura 2.2 – Arranjo de células de flotação………………............................................... 23
Figura 2.3 – Célula mecânica modelo Denver sub-A……………………………………...
24
Figura 2.4 – Máquina de Flotação Wemco…………………...............................................
24
Figura 2.5 – Células pneumáticas com tela …………………….........................................
25
Figura 2.6 – Células pneumáticas sem tela……………………....................................... 26
Figura 2.7 – Separador de espuma…………..……………………….............................. 26
Figura 2.8 – Esquema de uma célula Jamenson……………………………………...…. 27
Figura 2.9 – Esquema de uma célula Contact……..……………………………………. 28
Figura 2.10 – Esquema de uma célula Centrifloat……………………………………… 28
Figura 2.11 – Esquema do Air-Sparged-Hydrocyclone………………………………… 29
Figura 2.12 – Representação esquemática da coluna de flotação………………………….
31
Figura 2.13 – Medida do holp up do ar………………….................................................... 34
Figura 3.1 – Fluxograma de blocos do circuito industrial da Bunge Fertilizantes e
posição da coleta da amostra…………………................................................…..
49
Figura 3.2 – Unidade experimental...................................................................................... 50
Figura 3.3 – Esquema detalhado da unidade experimental………………………….......... 51
Figura 4.1 – Superfície de resposta para a recuperação de P
2
O
5
no concentrado em
função da dosagem de depressor (X
5
) e do tempo de condicionamento do
coletor (X
6
)............................................................................................................
67
Figura 4.2 – Superfície de resposta para o teor de SiO
2
no produto de fundo em função
da dosagem de coletor (X
4
) e da dosagem de depressor (X
5
)................................
68
Figura 4.3 – Superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo em função da
dosagem de coletor (X
4
) e do tempo de condicionamento do coletor (X
6
)..........................
74
Figura 4.4 – Superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo em função da
vazão de ar (X
1
) e da vazão de chuveiro (X
2
).......................................................................
75
Figura 4.5 – Superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo em função da
dosagem de depressor (X
5
) e da vazão de reciclo (X
3
).........................................................
76
Figura 4.6 – Superfície de resposta da recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da
dosagem de coletor (X
4
) e do tempo de condicionamento do coletor (X
6
)..........................
77
Figura 4.7 – Superfície de resposta da recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da
vazão de ar (X
1
) e da vazão de chuveiro (X
2
).......................................................................
78
Figura 4.8 – Superfície de resposta da recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da
dosagem de depressor (X
5
) e da vazão de reciclo (X
3
).........................................................
79
ii
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Variáveis do planejamento: Influência das variáveis operacionais.................
57
Tabela 3.2 – Dosagem de reagentes e condições operacionais.............................................
57
Tabela 3.3 – Planejamento composto central: Influência das variáveis de
condicionamento....................................................................................................
58
Tabela 3.4 – Condições operacionais................................................................................... 58
Tabela 3.5 – Valores das variáveis analisadas nos testes exploratórios...............................
59
Tabela 3.6 – Adimensionalização das variáveis...................................................................
60
Tabela 3.7 – Níveis das variáveis utilizadas nos testes finais...............................................
61
Tabela 4.1 – Composição química da amostra de alimentação............................................
63
Tabela 4.2 – Resultados dos testes preliminares.................................................................. 64
Tabela 4.3 – Resultado do planejamento composto central................................................. 65
Tabela 4.4 – Quantificação dos efeitos das variáveis: dosagem de coletor, dosagem de
depressor e tempo de condicionamento do coletor................................................
66
Tabela 4.5 – Resultado dos testes exploratórios...................................................................
70
Tabela 4.6 – Resultado global.............................................................................................. 71
Tabela 4.7 – Faixa experimental das variáveis estudadas.................................................... 72
Tabela 4.8 – Equações estimadas para o teor de SiO
2
no produto de fundo e recuperação
de P
2
O
5
no concentrado.........................................................................................
73
Tabela 4.9 – Equações estimadas para o teor de SiO
2
no produto de fundo e recuperação
de P
2
O
5
no concentrado na forma canônica...........................................................
80
Tabela 4.10 – Relação entre as variáveis X
1
, X
2
, X
3
, X
4
, X
5
e X
6
e w
1
para a recuperação
de P
2
O
5
no concentrado..........................................................................................
81
Tabela 4.11 – Relação entre as variáveis X
1
, X
2
, X
3
, X
4
, X
5
e X
6
e w
1
para o teor de SiO
2
no produto de fundo...............................................................................................
82
Tabela 4.12 – Resultado dos testes finais.............................................................................
84
iii
RESUMO
O fósforo é um nutriente indispensável ao desenvolvimento vegetal e
consequentemente animal, sendo que no Brasil, o principal portador de fósforo é a apatita.
Levando em consideração o elevado consumo e a progressiva redução de teores dos depósitos
descobertos e já em lavra, aliada à demanda crescente dos alimentos, torna-se imperativo o
processamento de minérios de fosfato de modo diverso dos atualmente processados,
principalmente no que diz respeito a diminuição dos minerais contaminantes. Uma das
principais tecnologias aplicada à concentração do mineral apatita é o processo de flotação, o
qual passou por constantes desenvolvimentos nas últimas décadas destacando-se as colunas de
flotação pelas melhorias dos concentrados obtidos e economia nos investimentos de projeto.
Devido a um aumento da concentração de sílica na rocha fosfática das jazidas do Barreiro
(Araxá-MG), o objetivo deste trabalho foi desenvolver um estudo sobre a flotação de silicatos
em coluna para o processo de concentração da apatita. Neste contexto, quantificar os efeitos
das variáveis operacionais bem como da dosagem de reagentes no teor de SiO
2
no produto de
fundo e na recuperação (perda) de P
2
O
5
no concentrado, uma vez que a flotação de silicatos
constitui em uma etapa de purificação do minério. Diante dos resultados obtidos, foi feita uma
análise estatística global e uma análise canônica a fim de otimizar as condições operacionais.
Observou-se que a utilização do coletor Flotigam EDA, se mostrou adequado para a flotação
de silicatos em coluna para o processo de concentração da apatita. O concentrado da flotação
com recuperação de 6% de P
2
O
5
e produto de fundo com teor de 8,12% de SiO
2
foi o melhor
resultado obtido entre os testes realizados neste trabalho. As condições operacionais ótimas
dentro da faixa explorada foram: vazão de ar entre 40 e 60 L/h, vazão de água de chuveiro de
0,40 L/min, vazão de reciclo de 0,39 L/min, dosagem de coletor de 450 g/t, dosagem de
depressor de 550 g/t e tempo de condicionamento do coletor de 10 min para uma massa de
340g de minério. Os resultados obtidos a partir da coluna de bancada mostraram a
possibilidade da flotação de silicatos em uma etapa anterior a flotação da apatita.
Palavras-chave: Coluna de Flotação, Apatita, Flotação de Silicatos.
iv
ABSTRACT
The phophate is an indispensable nutrient to the vegetable and therefore animal
development, in Brazil, the mineral wich contains phosphate is the apatite. The progressive
content reduction of the ore deposits already discovered and being explored, allied to the
growing demand for food, turns imperative the phosphate ore processing in many ways of the
processings, mainly in that it says respect to the decrease of contaminants minerals. The
flotation process is the main technology applied for the concentrate the apatite mineral, which
passed for constants developments in the last decades being distinguished the flotation
columns to the improvements of the concentrates gotten and economy in the project
investments. Because an increase of the siliceous concentration in the phosphate rock of the
Barreiro deposits (Araxá-MG), the objective of this work is developing the flotation of
siliceous in column for the process of concentration the apatite. In this context, to quantify the
effect of the operational variables as well as of the dosage of reagents in the grade of SiO
2
in
the product of deep and the recovery of P
2
O
5
in the concentrate, a time that the flotation of
siliceous represents in a stage of purification of the ore. In view of the gotten results, a global
statistics analysis and a canonic analysis were made in order to optimize the operational
conditions. The use of the collector Flotigam EDA showed itself suitable for siliceous
flotation in column for the apatite concentration process. The best result carried through the
tests realized in this work was a concentrate of flotation with recuperation of 6 wt. % P
2
O
5
,
and product with grade of 8.12 wt % SiO
2
. The excellent operational conditions in the
explored band was: air flow between 40 e 60 L/h, washed water flow of 0,40 L/min, 0,39
L/min of recycle flow, collector dosage of 450 g/t, depressor dosage of 550 g/t and collector
conditioning time of 10 min for 340 g of ore. The results obtained from the benches column
had shown the possibility of siliceous flotation in a previous stage of the apatite flotation.
Keywords: Flotation Column, Apatite, Flotation of Siliceous.
1
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
O fósforo é um elemento mineral que não está livre na natureza, sendo somente
encontrado nos fosfatos de rocha, cujas jazidas ocorrem no mundo todo. As jazidas de rocha
fosfática foram formadas há cerca de 70 milhões de anos, possuindo duas origens geológicas.
Uma é sedimentar, geralmente associada com materiais derivados da vida animal, a outra é
ígnea, ou metamórfica, decorrente da atividade eruptiva dos vulcões.
A produção mundial de fosfato é de aproximadamente 140 milhões de toneladas
métricas por ano. Os três países maiores produtores são os Estados Unidos (44 milhões de
toneladas), a Rússia (10 milhões de toneladas) e o Marrocos ( 23,6 milhões de toneladas).
As reservas mundiais de rochas fosfáticas são estimadas em 105 bilhões de
toneladas, aproximadamente 50% dessas reservas estão na África. A indústria do fosfato
movimenta cerca de 20 bilhões de dólares por ano no mundo, sendo que o campo de aplicação
mais importante é a agricultura (fertilizantes), respondendo por 90% do consumo mundial
(ANDIF, 2005).
Visando à auto-suficiência da produção de fertilizantes fosfatados, a partir da
primeira crise de petróleo, foi iniciada no Brasil a implantação de instalações minero
metalúrgicas de fosfato, com base em tecnologia desenvolvida no país, para o aproveitamento
das jazidas de apatita, mineral que se apresenta associado às rochas de carbonato. Essa
expansão da indústria de fosfato foi encorajada pelos aumentos dos custos de transporte e
reduziu a dependência externa nestes recursos de 80% no ano de 1977 a 0% em 1983
(ARAÚJO et al., 1995). Atualmente o país, principalmente as regiões nordeste e sul, necessita
importar cerca de 45% do total de fósforo consumido. A Figura 1.1 apresenta a evolução anual
do consumo aparente de fósforo no Brasil.
O Brasil ocupa hoje o sétimo lugar na produção de fosfato. Suas maiores jazidas são
basicamente de origem ígnea, relacionadas aos ambientes geológicos onde ocorreram intensa
atividade vulcânica. Esse patrimônio fosfático está distribuído nos Estados de Minas Gerais
com 73,8%, Goiás com 8,3% e São Paulo com 7,3%, representando um total de 89,4% do
total das reservas do país.
O principal portador de fósforo dos minérios brasileiros é a apatita, cujos processos
de concentração continuam a ser de importância essencial no beneficiamento mineral, os quais
influenciam, de forma decisiva, a rentabilidade e viabilidade econômica do empreendimento
2
mineral. Considerando-se a competição cada vez mais acirrada nos mercados, o produtor de
fosfato necessita buscar conhecimentos científicos e tecnológicos de ponta para enfrentar os
desafios impostos pelas mudanças nos paradigmas da economia.
Desta forma, constata-se a necessidade de pesquisa e desenvolvimento de novas
condições operacionais de beneficiamento para o minério fosfatado brasileiro, para obter-se a
redução dos custos operacionais que resultam nas desejadas vantagens competitivas.
Além da busca da redução dos custos operacionais, o produtor de fosfato vem
deparando-se com um grande problema, o esgotamento do minério atualmente lavrado e que
ocorrerá de médio a longo prazo. Diante disto, vem tornando-se necessário o processamento
de minérios de fosfato de modo diverso dos atualmente processados, principalmente no que
diz respeito ao aumento dos minerais contaminantes e diluentes presentes na rocha fosfática.
A tecnologia principal aplicada para a concentração do mineral apatita é o processo
de flotação, o qual passou por constantes desenvolvimentos em termos de variedade e
sofisticação nas últimas décadas. A importância do processo de flotação se deve ao fato de
que a superfície das espécies minerais pode tornar-se seletivamente hidrofóbica, se
adequadamente condicionada, empregando reagentes com funções de coletor, depressor e
modulador. Neste caso, os contatos entre as três fases envolvidas no processo: sólido, líquido
e gás, resultam na formação de agregados constituídos por bolhas e partículas. Estes, quando
suficientemente estáveis e com densidade aparente inferior à polpa, ascendem à superfície,
onde formam uma espuma retirada como concentrado, enquanto as espécies hidrofílicas
mantêm inalteradas a sua rota, sendo retiradas como rejeito.
Figura 1.1 – Evolução do consumo aparente do fósforo no Brasil entre 1950 e 2003
(QUEIROZ, 2003).
3
Atualmente, a aplicação da flotação é praticamente extensiva a todos os minerais,
dependendo apenas do desenvolvimento de reagentes e condições operacionais adequadas
para cada tipo de minério (GUIMARÃES, 1995).
A importância da flotação como processo de concentração de minério tem motivado
o desenvolvimento de vários equipamentos de flotação, que podem ser classificados em três
tipos: células mecânicas, células pneumáticas e colunas de flotação (LUZ et al., 1998).
Até a década de 1980, o processo de flotação era realizado, quase que
exclusivamente em células mecânicas, que são tanques equipados com impelidores que
efetuam, concomitantemente, a suspensão da polpa e a geração das bolhas de ar, necessárias
na separação das espécies minerais. Em função do seu princípio de funcionamento, são
inerentes a esses equipamentos certas desvantagens, já que não podem ser variadas, de forma
independente entre si, a turbulência e a vazão de ar, limitando a seletividade do equipamento,
particularmente na faixa de granulometria fina e grossa. Uma outra desvantagem dos tanques
de flotação tem a ver com a mistura, que ocorre dentro dos mesmos e retorna a concentração
uma vez obtida, razão pela qual inúmeros tanques são arranjados em série nas instalações
industriais. Com o objetivo de resolver algumas dessas desvantagens, grupos de pesquisadores
de vários países partiram ao desenvolvimento de equipamentos alternativos de flotação
(BAHR, 1987; WHEELER, 1988).
Entre os vários conceitos propostos, certamente, foi a coluna "canadense", inventada
e patenteada por Boutin e Tremblay no ano 1961, que se destacou nos últimos anos por sua
aceitação rápida nas instalações de beneficiamento mineral do Canadá, Austrália, África do
Sul e Brasil. A característica mais importante desse equipamento é o fluxo contracorrente
entre a polpa e as bolhas de ar, bem como a adição de água de lavagem à camada de espuma,
proporcionando separações bastante seletivas. Além disso, conta com ausência de sistema de
agitação e razões das medidas entre altura e diâmetro acima de sete.
O desenvolvimento desse equipamento foi lento e acompanhado de várias
dificuldades, que contribuíram para uma demora de vinte anos entre a concessão da patente e
a inauguração da primeira instalação industrial. Todavia, na retrospectiva de vinte anos da sua
operação e da aplicação a diferentes tipos de minérios, é possível averiguar que as melhorias
substanciais dos concentrados obtidos nas colunas de flotação contam como a principal
vantagem desse equipamento do ponto de vista metalúrgico. Freqüentemente, somou-se às
melhorias no desempenho metalúrgico uma economia nos custos de capital e de operação,
fator correlato que impulsionou as aplicações em processos existentes, novos projetos e
expansões industriais (AQUINO et al., 1998).
4
No Brasil, o beneficiamento de minério fosfatado empregou o primeiro circuito
industrial utilizando colunas de flotação na unidade da Fosfértil em Patos de Minas-MG, que
iniciou sua operação em 1989, mas as primeiras unidades de grande porte foram as colunas de
flotação de finos da antiga Arafértil (atual Bunge Fertilizantes S.A.) em Araxá-MG em 1992
(GUIMARÃES, 1995).
Como a flotação constitui uma das mais importantes e efetivas operações unitárias de
concentração, sendo responsável pelo processamento de mais de 20% da produção mundial de
rocha fosfática (SOMASUNDARAN et al., 2002), tem-se claramente a necessidade de
estudos e desenvolvimento de novas rotas de flotação principalmente no que diz respeito a
separação dos minerais de ganga (contaminantes). Pois, é necessário reduzir o teor desses
minerais tais como, silicatos, carbonatos, e argilas para atender as exigências da indústria do
fosfato (SIS e CHANDER, 2003).
Atualmente, a Bunge Fertilizantes S.A. é uma das maiores produtoras de fertilizantes
do País produzindo anualmente cerca de 7,5 milhões de toneladas de fertilizantes e 600 mil
toneladas de fosfato bicálcico, contando ainda, com um aumento crescente de
aproximadamente 4 % ao ano na produção de fertilizantes. Mas a empresa vem enfrentando
problemas quanto ao aumento considerável de silicatos na rocha fosfática por ela beneficiada,
mostrando necessidade de estudos relacionados a este problema.
Tendo em vista a necessidade de um aproveitamento racional das jazidas de fosfato
do Barreiro (Araxá-MG) e devido ao aumento da concentração dos minerais de ganga
presentes na rocha fosfática, este trabalho tem como objetivos:
a) desenvolver um estudo sobre a flotação de silicatos em coluna para o processo de
concentração da apatita;
b) obter a separação desses minerais presentes na rocha fosfática a partir de uma coluna de
bancada, tendo em vista a otimização do processo de flotação da apatita;
c) quantificar os efeitos das variáveis operacionais bem como das dosagens de reagentes.
5
CAPÍTULO II
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 – Desenvolvimento Histórico da Flotação
2.1.1 – Flotação em Óleo
O processo de flotação em óleo, bulk oil flotation, baseia-se no fato de alguns
minerais apresentarem afinidade natural por óleo em presença de água, os quais são separados
passando da interface óleo-água para a fase oleosa, enquanto os minerais de ganga
permanecem na fase aquosa.
A primeira aplicação do processo de flotação em óleo, foi patenteada em 1860 na
Inglaterra por William Hayness (FUERSTENAU, 1962). Aplicava-se a minerais sulfetados
com 10 a 20% de óleo. Este processo não teve aplicações industriais, tendo sido novamente
patenteado por Elmore em 1901 nos EUA.
O processo de Elmore consistia na mistura de uma polpa em óleo com uma
concentração de 10 a 15% de sólidos em um misturador horizontal. A polpa era descarregada
em um tanque onde se separava o óleo do meio aquoso, permanecendo os minerais sulfetados
juntos com o óleo. O óleo era recuperado por filtragem, perdendo-se de 4 a 10 kg por tonelada
de minério tratado (SUTULOV, 1963).
Um grande destaque na história da flotação são os irmãos Bessel. Em 1877, eles
patentearam um processo de concentração de grafite que consistia em ferver uma suspensão
de grafite em fase aquosa contendo óleo. Durante a fervura se depreendiam bolhas gasosas
que coletavam o grafite na forma de espuma. Essa foi a primeira vez em que se descobriu a
importância da fase gasosa na flotação. Em 1886, os Bessel reconhecendo essa importância,
patentearam um processo que utilizava gás carbônico produzido por reações de ácidos com
carbonatos. Entretanto, estas descobertas dos irmãos Bessel não tiveram difusão (SUTULOV,
1963).
A primeira patente norte americana que se refere a um processo de flotação foi em
1885 em nome de Carrie J. Everson. A patente de Everson estava relacionada com o processo
bulk-oil e, como modificação, usava ácido sulfúrico e certos sais para melhorar a seletividade
nas separações (FUERSTENAU, 1962).
6
O método de flotação em óleo, requer uma grande quantidade de óleo, podendo
chegar a uma parte de óleo para cada parte de minério, em massa. Desse modo, este processo
foi utilizado apenas em algumas localidades da Inglaterra e Austrália, sendo rapidamente
deixado de lado e substituído.
2.1.2 – Flotação Pelicular
Em paralelo com o processo bulk-oil foi desenvolvido também outro processo de
flotação que se baseava no mesmo princípio da molhabilidade, chamado processo de flotação
por película ou Skin-Flotation Process. O processo por película consistia basicamente na
separação de minerais por meio da água pura, aproveitando-se as propriedades notoriamente
hidrofóbicas dos sulfetos.
Em 1885, H. Bradford e A. W. Nibelius patentearam nos Estados Unidos um
processo em que os minerais secos e moídos eram introduzidos cuidadosamente em um
receptor contendo a fase líquida, se separavam devido às propriedades hidrofóbicas dos
sulfetos, formando uma película fina que flotava, e os minerais da ganga iam para o fundo
(PAREKH e MILLER, 1999). Obtinha-se a recuperação do mineral de interesse mediante a
separação cuidadosa da película formada. O processo foi posteriormente industrializado e
patenteado por Wood em 1914 e logo foi empregado utilizando-se pequenas quantidades de
óleo para melhorar a seletividade e eficiência da separação (PAREKH e MILLER, 1999).
Os dois métodos citados anteriormente, flotação em óleo e flotação pelicular, não são
seletivos quanto a espécies de minerais, pois a separação ocorre devido à propriedade de
hidrofobicidade natural ou forçada, sem poder ser controlada especificamente para uma
espécie mineral. Este fato tornou estas técnicas aplicáveis geralmente quando o minério
continha somente uma espécie com a característica desejada. Com o desenvolvimento da
flotação em espuma, estes dois processos tornaram-se obsoletos.
2.1.3 – Flotação por Espuma
A flotação por espuma, froth flotation, consiste na adesão do mineral a uma bolha de
gás, para isso, as partículas minerais devem ser tornadas seletivamente hidrofóbicas. Charles
Potter em 1901 na Austrália e Alcides Fromet em 1902 na Itália verificaram
7
independentemente que a presença de bolhas de gás poderia ser um agente ideal para flotar as
partículas hidrofóbicas, o que originou a flotação por espuma (GUIMARÃES, 1995).
Em 1904, Elmore patenteou um processo em que a fase gasosa era promovida por
meio de vácuo (FUERSTENAU, 1962). Este processo teve grande utilização e foi o início do
desenvolvimento da flotação com aplicação industrial a minérios de sulfeto. Simultaneamente
ao processo a vácuo, apareceram outros processos que também estavam baseados na flotação
por meio de bolhas de ar. Entre eles os mais importantes foram os processos de Elmore
baseado na possibilidade de geração de gás por meio de eletrólise e os processos patenteados
por Delprat e Potter, que geravam o gás fazendo a reação na polpa entre ácidos e carbonatos
(SUTULOV, 1963).
O processo de Potter-Delprat consistia basicamente no seguinte: o mineral cru moído
era introduzido em um misturador no qual se condicionava com uma quantidade necessária de
cal ou dolomita. Durante esta operação também se agregava uma pequena quantidade de óleo
proveniente das operações minerais. Em seguida, a polpa era introduzida em um separador
onde as areias homogeneizadas eram separadas e decantava-se a água e as lamas finas. Por
meio de tubos se introduzia o ácido sulfúrico de concentração desde 1% a 10%. A reação entre
o ácido e os carbonatos produzia a gaseificação e agitação da polpa densa, separando-se as
partículas de sulfetos por meio de bolhas em forma de um concentrado de espuma e os rejeitos
descarregados no fundo do tanque. Também gerava calor e aparentemente a elevação da
temperatura favorecia o processo e, portanto, usava-se às vezes ácido pré-aquecido.
Uma considerável mudança na flotação em espuma ocorreu em 1905 com a patente
em nome de Sulman, Picard e Ballot, engenheiros da companhia britânica Minerals Separation
(PAREKH e MILLER, 1999). O processo se tratava de um novo método de produzir espuma,
aplicando-se a agitação para succionar e dispersar o ar, empregando-se uma pequena
quantidade de óleo (inferior a 1%) para formação da espuma e coleta.
Segundo FUERSTENAU (1962), em 1903, Sulman, Picard e Howard Higgins
criaram a máquina de flotação com agitação mecânica. A diminuição drástica de óleo e a
introdução da agitação mecânica foram a base da flotação moderna em espuma. Este processo
foi aperfeiçoado e melhorado por Theodore J. Hoover. Segundo SUTULOV (1963), o
princípio de funcionamento deste aparato era muito simples: no compartimento de agitação se
produzia a sucção do ar através do movimento rápido de um agitador. A depressão causada
por este movimento produzia a formação de um vórtice que alcançava as palhetas. Ao
alcançar as palhetas, o ar se dispersava e impregnava na polpa pelo movimento turbulento das
mesmas. Agregando-se previamente a polpa aos reagentes que facilitam a formação da
8
espuma e coleta das partículas, após a agitação, as bolhas de ar eram carregadas com as
partículas hidrofóbicas. O concentrado se recuperava pela parte superior e os rejeitos eram
descarregados na parte inferior.
2.1.4 – Flotação de Fosfatos
A substância ativa dos fosfatos é a apatita, (Ca
3
(PO
4
)
2
), que pode ser encontrada
também na forma de fluorapatita (Ca
5
(PO
4
)
3
F), clorapatita (Ca
5
(PO
4
)
3
Cl) e hidroxiapatita
(Ca
5
(PO
4
)
3
OH).
A apatita é a principal fonte natural do elemento fósforo, sendo este um nutriente
indispensável ao desenvolvimento da vida vegetal e, portanto, animal. Sua mineralogia é
bastante complexa, podendo ocorrer em praticamente todos os ambientes geológicos. No
entanto, os seus minérios mais importantes sob o ponto de vista econômico, são os
relacionados a ambientes sedimentares.
No Brasil, a maior parte da apatita de minérios sedimentares está associada com
ganga de sílica e aquelas de origem ígnea presente em carbonatos (QUEIROZ, 2003).
A apatita pertence ao sistema hexagonal e pode ser representado por M
5
(XO
4
)
3
Z, onde:
a) M
2+
: cátion alcalino;
b) XO
4
3-
: ânion trivalente;
c) Z
1-
: ânion monovalente.
A fluorapatita, clorapatita e hidroxiapatita são as apatitas naturais mais comuns e são
classificadas de acordo com o ânion Z. O cátion alcalino é normalmente cálcio, mas pode ser
substituído por potássio, cobre, etc. O ânion trivalente, geralmente PO
4
3-
, pode ser substituído
por SO
4
2-
, SiO
4
4-
, CO
3
2-
, H
4
O
4
4-
, AsO
4
3-
, VO
4
3-
e CrO
4
2-
. Devido a grande quantidade de
substituições, a composição química das apatitas e, portanto, suas propriedades de superfície
variam muito de um minério para outro, de acordo com FUERSTENAU (1976).
No Brasil, a flotação da rocha fosfática ocorre geralmente em pH acima de 10,
usando ácido adiposo como coletor e amido de milho gelatinizado como depressor da ganga.
As fábricas recentes contemplam o uso de tall-oil como coletor para apatita. De acordo com
PADLEY et al. (1986), este reagente contém 46% ácido oléico, 41% de ácido linolênico e
somente 5% de ácido palmítico. Atualmente, a maior parte das plantas substitui o tall oil pelo
óleo de arroz, que tem menor custo e é mais seletivo em relação à ganga de carbonatos, uma
vez que apresenta menos ácido oléico (42,3%) e ácido linolênico (37,1%) e uma quantidade
extra de ácido palmítico (16,4%).
9
Os ácidos linolênico e oléico são coletores mais eficazes para minerais de cálcio que
o ácido palmítico. O tall oil, rico em ácidos oléico e linoléico, fornece maiores recuperações
de apatita, mas menores teores no concentrado. Já o óleo de arroz, com uma quantidade menor
de ácido oléico e linoléico, contém mais ácido palmítico e, portanto, produz concentrados com
maiores teores e níveis de recuperação.
Alguns tipos de minérios processados na Bunge Fertilizantes não respondem bem
aos reagentes tradicionais. Estes minérios contêm uma grande quantidade de carbonatos e
fornece concentrados com uma taxa CaO/P
2
O
5
acima de 1,65, que é inaceitável para produção
de fertilizantes devido ao grande consumo de ácido sulfúrico necessário para o estágio de
digestão (LIMA e PERES, 1994).
A Bunge Fertilizantes já substituiu a utilização de tall oil por óleo de mamona em
uma época em que não havia tall oil para importação no mercado mundial. Entretanto, além
do óleo de mamona, ainda são usados os óleos de milho, soja, arroz, entre outros. A utilização
desses produtos como coletor dependem de três fatores:
a) adequabilidade de sua coleta ao minério a ser concentrado;
b) preço e consumo unitário do reagente;
c) abundância no mercado.
A descrição detalhada do processo de beneficiamento do minério fosfático da Bunge
Fertilizantes é apresentada no ANEXO I.
2.1.5 – Flotação de Silicatos
Os silicatos representam a maior parte da crosta terrestre e sua importância na
flotação provém não só do seu uso tecnológico, mas também do fato de que são normalmente
os principais minerais de ganga (SUTULOV, 1963). Assim a diluição dos concentrados, está
diretamente relacionada com a flotabilidade dos silicatos.
O quartzo, óxido de silício, devido a sua limitada flotabilidade e suas propriedades
características é o mineral mais estudado na forma teórica. O quartzo puro não é flotável, mas
pode ser ativado com íons metálicos tais como: cálcio, bário, cobre, ferro, chumbo, etc.
Assim, ativado, o quartzo pode ser flotado facilmente com ácidos graxos e seus sabões ou por
coletores catiônicos, ambos em pH adequado.
WANG QUN et al., (1990) estudaram a flotação um minério fosfático contendo
óxidos de ferro e silicatos. De acordo com WANG QUN et al., (1990) o beneficiamento de
10
minério fosfático é um dos assuntos mais importantes da pesquisa mineral no mundo,
principalmente pela ocorrência de problemas na separação da apatita. Neste trabalho foi
utilizando ácido graxo como coletor e testado o silicato de sódio e outros reagentes como
depressores.
Segundo WANG QUN et al., (1990) os resultados mostraram que o silicato de sódio
é um depressor seletivo para a flotação da apatita de minério contendo óxidos de ferro e
silicatos, porém há dificuldades de obter concentrados com baixo teor de ferro. Utilizando o
hexametafosfato de sódio como depressor observou-se que o mesmo não é seletivo entre a
apatita e o óxido de ferro. Utilizando o EDTA como depressor nenhum efeito significativo foi
observado na flotação. Outros depressores testados, se mostraram promissores quanto a
seletividade, entre eles o K
2
CrO
4
.
KLIMPEL (1992) junto a Dow Chemical Company apresentou uma patente
relacionada a flotação de sílica. O processo desenvolvido envolve a separação da sílica,
particularmente de minerais de ferro e fosfato. O processo constitui uma flotação reversa,
utilizando amina como coletor. Ainda com relação ao processo, é adicionado ao coletor pelo
menos um alcanol amina. Este altera a performance do coletor, aumentando o índice de
separação.
ZHONG et al. (1993) apresentaram estudos da flotabilidade de apatita de diferentes
tipos de origem. HOUOT, 1982 apud ZHONG et al., (1993) diz que no caso do minério
fosfático ígneo, a remoção de ganga silicatada, geralmente, é feita em uma única etapa de
flotação em pH alcalino, utilizando-se ácidos graxos (surfactantes aniônicos) como coletor.
Por outro lado, o minério sedimentar, requer uma etapa adicional, que envolve o uso de
aminas (surfactantes catiônicos) para a remoção do quartzo contido na polpa.
ABDEL-KHALEK (2000) estudou diferentes estratégias de flotação para separar a
calcita e a sílica de um minério fosfático sedimentar, pois a separação dos carbonatos dos
fosfatos é extremamente complexa devido a suas propriedades fisico-químicas semelhantes.
Os resultados mostraram que um único estágio de flotação não era suficiente para obter
concentrados com elevados teores. Entre três processos diferentes para a flotação do
carbonato, os resultados revelam a melhor seletividade quando o ácido fosfórico era usado
como depressor para o fósforo. Um circuito com um estágio de flotação para o carbonato e
outro para o fósforo ou o silicato apresentou a melhor estratégia para tal processo. A
separação da calcita no primeiro estágio mostrou-se favorável ao processo de flotação.
Segundo PAPINI et al., (2001), três tipos de minerais estão presentes no minério
fosfático processado pela Serrana em Araxá, Brasil: óxidos, micáceos e silicatados-
11
carbonatados. O tipo oxidado foi único a ser processado durante os 22 anos de atividade. Os
micáceos e os silicatados-carbonatados são considerados minérios problemáticos e entender as
razões de uma pobre flotação deste minério e encontrar novas rotas para o processamento do
minério oxidado têm sido um desafio para a engenharia de processo há anos. Sendo que, o
processamento do minério silicatado-carbonatado pode estender a vida da mina por mais 20
anos. A fim de se estudar esse minério, PAPINI et al., (2001), fracionaram-no em cinco tipos,
de acordo com os estudos de caracterização, considerando os aspectos semelhantes de cada
amostra. O estudo de caracterização demonstrou a complexidade deste minério tipo silicatado-
carbonatado. Cada tipo de amostra foi purificada em laboratório e submetida a caracterização
mineralógica. O potencial zeta foi determinado e por último, foram realizados experimentos
de flotação com coletores aniônicos e catiônicos. A partir dos cinco tipos de amostras
selecionadas, observaram que apenas uma era livre de contaminantes. Concluíram que, apesar
da baixa seletividade vista nos estudos fundamentais, os testes na plantas piloto sugeriram que
há a possibilidade de se misturar o minério silicatado-carbonatado com o minério oxidado
padrão atingindo bons níveis de recuperação.
SNOW e ZHANG (2002) compararam diferentes depressores para a flotação de
minérios fosfáticos silicatados e carbonatados. Encontrou-se que o amido é o depressor ideal
para a flotação da fração (-35 mesh) do minério silicatado, enquanto que para a fração grossa
(+35 mesh) o tripolifosfato de sódio é o melhor.
Baseado nos resultados obtidos, SNOW e ZHANG (2002) desenvolveram um
processo de flotação catiônica atingindo bons produtos com um custo razoável de reagentes.
Dez depressores com potencial para a flotação aniônica de dolomita foram testados em
laboratórios. Quatro destes depressores permitiram a obtenção de um produto com melhora de
20-30% na recuperação do fosfato quando se compara com minérios de grau similar em
fosfato.
SIS e CHANDER (2003) apresentaram uma análise crítica dos reagentes usados na
flotação de minérios fosfatados. O estudo focalizou a separação de silicatos, carbonatos e
argilas presentes na rocha fosfática, pois estes contaminantes devem ser reduzidos para
atender a indústria de fertilizantes. Mostraram que coletores catiônicos, principalmente as
aminas, são empregados na flotação reversa de silicatos (HOUOT et al., 1981 apud SIS e
CHANDER, 2003). Ainda para silicatos, foram sugeridos coletores não-iônicos, como
etoxilato de octilfenol (DOREN et al., 1975 apud, SIS e CHANDER 2003) ou anfotéricos,
como ácido aminopropiônico (CLERICI et al., 1984 apud SIS e CHANDER, 2003).
Apresentaram também diversos depressores, para o caso da flotação de apatita, carbonatos e
12
sílicas. Por fim, mostraram estudos que usam misturas de surfactantes na busca de melhores
resultados.
2.2 – Elementos da Flotação
A reatividade de superfície tem se tornado a principal propriedade diferenciadora
aplicada na concentração de minerais, sendo que a flotação é cada vez mais utilizada no
beneficiamento de minérios.
O sistema de flotação contempla a presença de três fases: sólida, líquida e gasosa. A
fase sólida é representada pelo material a separar. A fase líquida é sempre a água, e a fase
gasosa é quase sempre o ar. Os sólidos e o meio aquoso, antes da aplicação do processo, são
preparados em forma de polpas que podem conter até 40% de sólidos (MATIS, 1994).
A flotação em espumas é um processo de separação de partículas sólidas que explora
diferenças nas características de superfície entre as várias espécies minerais presentes. O
método trata misturas heterogêneas de partículas suspensas em fase aquosa em contato com
bolhas de ar, visando à concentração de determinados tipos de minérios, separando-os dos
demais.
A propriedade de determinadas espécies minerais capturarem bolhas de ar no seio da
polpa é designada por hidrofobicidade, e exprime a tendência dessa espécie mineral ter maior
afinidade pela fase gasosa que pela fase líquida. Entretanto, todas as espécies minerais tendem
a ter maior afinidade pela fase líquida, comportamento este designado por hidrofilicidade
(CHAVES et. al., 1998).
As espécies minerais hidrofóbicas ligam-se às bolhas de ar e são arrastadas para a
superfície, sendo concentradas na espuma de onde são recolhidas. Os constituintes
indesejáveis são deslocados para o fundo ou simplesmente são impedidos de flutuar, seja
deixando suas superfícies inalteradas pela adsorção de coletor ou pela modificação da
característica química dessas superfícies pela ação dos agentes modificadores. O produto de
valor econômico na flotação pode ser o concentrado que é coletado no topo ou pode ser o
produto de fundo, dependendo do tipo de minério a ser tratado.
Os principais mecanismos envolvidos na flotação podem ser considerados como
sendo o condicionamento dos minerais com coletores e moduladores de coleta (depressores), a
aeração da polpa, a captura das partículas a serem flotadas pelas bolhas de ar e a separação da
espuma.
13
2.3 – Fases e Interfaces do Processo de Flotação
Segundo MATIS (1994), o processo de flotação contempla um contato íntimo entre
três fases, onde as fases líquida e gasosa são sempre invariáveis e a sólida varia de um caso
para outro.
Para que este contato seja bem sucedido, outros componentes fundamentais são os
reagentes. Estes podem ser orgânicos e inorgânicos e são empregados com o objetivo de
controlar as características das interfaces envolvidas no processo.
2.3.1 – Fase Líquida
A água é o elemento no qual se realiza a flotação devido a sua abundância e ao baixo
custo. Ela também possui certas propriedades específicas que a torna de considerável interesse
teórico no processo de flotação. As moléculas de água são solvente forte além de
apresentarem grande polaridade.
A grande polaridade da água é a razão pela qual não existem moléculas
monomoleculares do tipo H
2
O e porque normalmente as moléculas se associam entre si
formando complexos entre dois, três ou mais moléculas ou complexos com o íon hidrogênio.
A mesma polaridade é a causa da hidratação dos íons em soluções aquosas. Os íons metálicos
e ânions se associam ativamente com as moléculas de água, sendo o número de moléculas
diretamente proporcional à carga elétrica dos íons e inversamente proporcional ao seu
tamanho (diâmetro). De acordo com MATIS (1994), estas propriedades são de particular
importância para o processo de flotação, pois explicam o comportamento distinto dos sólidos
frente ao fenômeno da molhabilidade pela água. Se a matéria é eletricamente inativa, ou seja,
se não possui polaridade ou ligações livres, é evidente que não tem condições de atrair as
moléculas de água e molhar-se, pois a associação entre moléculas de água é mais forte que a
interação entre as moléculas de sólido e água. Ao contrário, as matérias de caráter polar ou
iônico se hidratam rapidamente e se dissolvem se a energia de hidratação é maior que a força
da ligação cristalina.
MATIS (1994) destaca ainda a importância das impurezas e contaminantes de toda
água natural ou industrial. Em primeiro lugar, a dureza da água, ou seja, a contaminação
natural causada por sais de cálcio, magnésio e sódio. Estes sais e outros tipos de
contaminações não somente podem mudar a natureza da flotabilidade de certos minerais,
mas
14
são também quase sempre a causa de um maior consumo de reagentes de flotação com os
quais formam sais insolúveis.
Além da contaminação inorgânica existe também a contaminação orgânica que pode
ser muito mais importante e perigosa. Estas podem levar à formação de colóides que se
aderem aos sólidos e mudam suas superfícies. Além disto, mudam as características dos
reagentes de flotação.
2.3.2 – Fase Gasosa
Com exceção de certos casos de caráter experimental, a flotação industrial se realiza
exclusivamente com ar, sendo que suas principais funções são: influenciar quimicamente no
processo de flotação e ser o meio de transporte das partículas do mineral para a superfície da
polpa.
Apesar do ar ser composto por uma mistura de nitrogênio (78,10%), oxigênio
(20,96%), pequenas quantidades de dióxido de carbono (0,04%) e gases inertes tais como
argônio e outros, investigações nesta área indicam que, somente, o oxigênio e o dióxido de
carbono têm participação ativa e influenciam no processo de flotação. As bolhas de ar não
podem fixar-se diretamente sobre as superfícies das partículas de minerais se anteriormente as
últimas não absorveram uma certa quantidade de gás, principalmente oxigênio. Este gás
absorvido muda o potencial da superfície e contribui para sua hidrofobização. Deste modo,
resulta que as partículas hidrofóbicas são aerofílicas, ou seja, mais ativas na adsorção do
oxigênio que as partículas hidrofílicas. Neste sentido a hidratação e a adsorção do oxigênio se
excluem mutuamente na mesma espécie (QUEIROZ, 2003).
2.3.3 – Fase Sólida
Os corpos sólidos têm geralmente uma estrutura cristalina que é uma conseqüência
da composição química das moléculas, íons e átomos (SUTULOV, 1963).
De acordo com MATIS (1994), a partir do caráter das ligações químicas, a estrutura
de um sólido é de considerável importância para seu sistema cristalino. Este sistema influi
decisivamente no tipo de superfície de ruptura que será formada na etapa de redução de
tamanho do mineral. Esta superfície e não a estrutura interior do mineral é que determina o
comportamento da espécie no processo de flotação.
15
As propriedades hidrofílicas e hidrofóbicas que determinam a flotabilidade natural
dos minerais estão diretamente relacionadas com sua polaridade. Pode-se estabelecer que os
minerais apolares, igualmente aos compostos químicos apolares, geralmente são simétricos
em sua estrutura, não trocam elétrons dentro de suas moléculas, não se dissociam em íons e
são quimicamente inativos. Estes compostos apolares são também hidrofóbicos, pois não
reagem com os dipolos da água.
Os minerais polares e hidrofílicos se caracterizam por sua estrutura assimétrica, troca
de elétrons, formação de ligações (ligação iônica) e extraordinária atividade química em geral.
É importante também salientar que os cristais de substâncias inorgânicas são em geral de
caráter iônico ou atômico e somente em poucas oportunidades de caráter molecular, o que os
distinguem das substâncias orgânicas que formam cristais moleculares.
Segundo SUTULOV (1963), os fatores de importância no processo de flotação, no
que se refere aos sólidos são:
a) caráter da superfície criada na ruptura do sólido (tipo de superfície, forças residuais de
ligações);
b) imperfeições na rede cristalina natural;
c) contaminações provenientes dos sólidos.
2.3.4 – Interfaces
Na flotação é possível a identificação dos cinco tipos de interfaces: sólido/sólido,
sólido/líquido, sólido/gás, líquido/líquido e líquido/gás (OLIVEIRA, 2004).
Uma interface sólido/sólido é exemplificada por uma partícula mineral recoberta por
lamas de outra espécie. A interface sólido/líquido é caracterizada por uma partícula mineral
imersa em meio aquoso. Uma bolha de gás aderida a uma partícula mineral exemplifica uma
interface sólido/gás, supondo-se que no momento do contato partícula-bolha a película líquida
que circunda a bolha sofre um processo de afinamento até a ruptura. A interface
líquido/líquido pode ser visualizada quando são utilizados alguns reagentes de flotação
imiscíveis em água. Para facilitar o acesso dos reagentes às interfaces faz-se necessário sua
emulsificação. Por fim a interface líquido/gás pode ser exemplificada pela película que
envolve uma bolha, apesar de geralmente a literatura citar como exemplo desse tipo de
interface uma bolha imersa em meio aquoso.
16
Todo líquido ou sólido em equilíbrio com seu vapor se caracteriza pela existência em
sua superfície de uma certa quantidade de energia livre cuja magnitude é definida pela tensão
superficial. A interpretação da origem desta energia é a seguinte: em um líquido todas as
moléculas exercem entre si uma série de influências e se atraem ou repelem mutuamente.
Estas forças se compensam entre si dentro do líquido e a resultante delas é, em conseqüência,
igual a zero. Como as moléculas que se encontram na superfície não são compensadas
completamente, pois a metade de seu volume está orientada para a fase gasosa. Deste modo se
cria uma certa quantidade de energia livre cuja magnitude se mede pela tensão superficial
(QUEIROZ, 2003).
As interfaces gás-líquido desempenham um importante papel nos fenômenos de
adsorção quando o líquido contém substâncias dissolvidas, ou seja, quando são soluções.
Observa-se que nestes casos, as substâncias dissolvidas estão em concentração diferente no
líquido e em sua interface com o gás.
No estado de equilíbrio, a água tem uma certa quantidade de energia livre que se
expressa por sua tensão superficial. Ao introduzir neste sistema um líquido orgânico
heteropolar o sistema vai para um outro estado de equilíbrio que, de acordo com a segunda lei
da termodinâmica, tem que ter o mínimo de energia livre. Para se chegar a este estado, as
matérias heteropolares devem adsorver seletivamente na interface gás-líquido, pois desta
forma ocorre a neutralização da energia livre da superfície e a tensão superficial do sistema se
reduz de forma notória. A parte polar das moléculas ligadas a fase líquida e a parte apolar
forma uma película monomolecular inativa sobre a superfície. Os compostos que se adsorvem
seletivamente nas interfaces gás-líquido diminuindo a tensão superficial se chamam
tensoativos.
Este fenômeno da adsorção também se produz entre as fases gasosa e sólida e entre
as fases líquida e sólida. As adsorções do primeiro tipo incluem a oxidação das superfícies dos
minerais e as do segundo tipo explicam o fenômeno da hidrofobização artificial dos minerais
e, em geral, a mudança de suas propriedades de molhabilidade.
2.4 – Reagentes
Entre os minerais encontrados na natureza poucos são naturalmente hidrofóbicos, e o
número de materiais naturalmente flotáveis é muito restrito. A grande aplicação industrial da
técnica de flotação, se deve ao fato de que, certos reagentes aplicados ao processo de flotação
modificam seletivamente as características de superfície dos minerais segundo os interesses de
17
recuperação. É importante destacar que, os reagentes, são variáveis importantes do processo
de flotação, uma vez que a flotação não poderia ocorrer sem eles (MATIS, 1994).
Os três principais grupos de reagentes de flotação, classificados segundo suas
funções no processo são:
a) coletores, cuja função principal é proporcionar propriedades hidrofóbicas às
superfícies dos minerais;
b) espumantes, que permitem a formação de uma espuma estável e o tamanho das bolhas
apropriado para levar os minerais ao concentrado;
c) modificadores ou reguladores, que servem para adequar a ação efetiva do coletor e
aumentar sua seletividade.
2.4.1 – Coletores
Os coletores são reagentes que atuam na interface sólido/líquido para tornar
hidrofóbica a superfície do mineral. Este processo ocorre pela adsorção de seus íons na
superfície do mineral reduzindo a estabilidade da camada hidratada e tornando possível a
formação do contato das três fases.
Os coletores tem uma estrutura molecular característica, composta de uma porção de
natureza molecular (covalente) e de outra porção de natureza polar (iônica). A porção polar
pode apresentar diversas funções e a porção covalente é sempre uma cadeia orgânica, de
comprimento variável, podendo ser ramificada e até mesmo cíclica (LUZ et al., 1998).
Em solução, os coletores têm a sua porção polar ionizada. A porção molecular (não-
polar) não é ionizável e, devido às características elétricas das ligações covalentes, tem maior
afinidade pela fase gasosa que pela líquida, ou seja, é hidrofóbica. Havendo no sistema uma
interface sólido-gás, a molécula do coletor tenderá a se posicionar nessa interface, orientada
do modo que a sua porção não-polar esteja em contato com o gás.
Os coletores são distinguidos, em função da sua carga iônica, em aniônicos e
catiônicos. Este último grupo se restringe às aminas. Os coletores aniônicos se subdividem, de
acordo com a função química correspondente, em: ácidos graxos e seus sabões; tiocarbonatos
ou xantatos; sulfatos de alcoila ou arila; tióis (álcoois de enxofre) ou mercaptanas; tiouréias;
ditiofosfatos ou aerofloats; tiocarbamatos.
18
2.4.1.1 – Coletores Catiônicos
Os coletores catiônicos são as aminas e seus acetatos. São coletados eletricamente,
por um mecanismo de primeira ordem e, em conseqüência, são adsorvidos e dessorvidos fácil
e rapidamente. Em decorrência ainda, são menos seletivos que os coletores aniônicos e mais
afetados por modificadores de coleta. Sua aplicação típica é na flotação de não-metálicos, tais
como o quartzo (no beneficiamento do itabirito), silicatos, aluminosilicatos e vários óxidos,
talcos, micas, etc.
A variável operacional mais importante é o pH, seguindo-se-lhe o efeito nocivo das
lamas. Aumentando o comprimento da cadeia carbônica, aumentam as propriedades coletoras
e diminui a solubilidade. Minerais facilmente flotáveis usam aminas de 8 a 15 carbonos e
minerais difíceis precisam de aminas de até 22 carbonos.
Os produtos são sempre adquiridos através de marcas comerciais. Os produtores
mais importantes são a Sherex e a Clariant. A Hércules fornece dois produtos, cujo
componente ativo é a dehidroabietilamina (“rosin amine”), Aminas D e 750, que diferem
principalmente no conteúdo de amina.
A Cyanamid oferece os reagentes Aeromine® 3035 e 3037 Promoters e Aero® 870
Promoter.
A Clariant oferece as marcas Phosokresol® e Hostaflot®, além da série Flotigam®
(aminas de coco, sebo, estearilamina e oleilamina). Oferece ainda aminas graxas etoxiladas
que servem como emulsificantes de aminas livres.
A Sherex, sucessora da Ashland, oferece duas linhas tradicionais: Arosurf® e
Adogen®.
A CECA oferece monoaminas (marca Noram®), diaminas (Dinoram®), poliaminas
(Tinoram® e Polyram®), acetatos e aminas etoniladas.
No presente trabalho foi utilizado como coletor a alquilamina Flotigam EDA
fornecida pela empresa Clariant.
2.4.2 – Espumantes
Os espumantes utilizados na flotação são compostos orgânicos heteropolares, cuja
estrutura é portanto parecida com a dos coletores. A diferença reside no caráter funcional do
grupo polar: o radical dos coletores é quimicamente ativo e capaz, em princípios, de interagir
19
elétrica ou quimicamente com a superfície do mineral a ser coletado. Já os espumantes têm
um radical liofílico de grande afinidade pela água. Esta diferença funcional determina o
comportamento dos dois grupos de reagentes: enquanto que os coletores tendem a migrar para
a interface sólido-gás, os espumantes se dirigem para a interface líquido-gás (LUZ et al.,
1998).
Os espumantes utilizados são álcoois alquílicos ou arílicos (radical hidroxila), certos
aldeídos orgânicos (radical carboxila), certos aldeídos e acetonas (radical carbonila), aminas
(radical NH
2
) e nitrilos (radical CN).
As propriedades espumantes aumentam com o comprimento da cadeia não-polar até
7-8 carbonos e depois decaem, aparentemente devido à queda da solubilidade do reagente. A
solubilidade é determinada pela porção polar da molécula – em geral procura-se escolher
radicais que não tenham afinidade pela superfície do mineral a flotar, para evitar interferências
com a coleta. Espumantes carboxílicos e amínicos são evitados por esta razão.
Os espumantes devem apresentar as seguintes características especiais:
a) baixa concentração deve produzir espuma com espessura e consistência apropriadas;
b) a espuma deve quebrar ao ser retirada da célula ou coluna;
c) a espuma deve apresentar estrutura aberta, permitindo boa drenagem da ganga;
d) baixo preço e abundante disponibilidade;
e) pequena ou inexistente ação química ou coletora;
f) baixa sensitividade à mudança de pH e conteúdo iônico da polpa;
g) facilidade de estocagem, preparação e dosagem e baixa toxicidade
Neste trabalho foi utilizado em alguns testes o espumante Flotanol 123/93,
comercializado Clariant e fornecido pela Bunge Fertilizantes S.A..
2.4.3 – Reguladores
São reagentes usados para fornecer maior efetividade à ação do coletor. Para isso
uma grande variedade de produtos químicos podem ser utilizados, tais como: ácidos, bases,
sais e compostos orgânicos.
De acordo com SUTULOV (1963), os reguladores recebem diversas denominações,
tais como:
a) reguladores de pH: o pH tem grande efeito em flotação devido a sua influência na
dissociação dos demais reagentes e nas condições de adsorção ou hidratação na
20
superfície das partículas. São usados para controlar o pH ajustando-o às condições
ótimas de efeito do coletor: cal, soda, barrilha e amônia para pH alcalino; e ácido
sulfúrico e clorídrico para pH ácido;
b) ativadores: são íons que modificam a superfície do mineral que se deseja flotar,
ativando a adsorção do coletor;
c) depressores: modificam, seletivamente, a superfície de determinados minerais
impedindo sua coleta. São usados íons ou substâncias orgânicas. Um exemplo de
depressor é o amido de milho gelatinizado em solução aquosa, usado na flotação da
apatita. Outros tipos de reagentes depressores são substâncias que reagem com a
superfície do mineral impedindo sua coleta. Como exemplo pode-se citar a depressão
da galena com Na
2
S, depressão de pirita com KCN, e a depressão de silicatos com
silicato de sódio.
Foi utilizado para a realização dos experimentos deste trabalho, o hidróxido de sódio
(NaOH), como regulador de pH e como depressor, o amido de milho fornecido pela Bunge
Fertilizantes S.A..
2.5 – Mecanismo de Flotação
Para estudar o mecanismo da flotação deve-se compreender o que ocorre entre uma
partícula de mineral e uma bolha de ar para que este conjunto forme uma união estável
(QUEIROZ, 2003), conforme mostrado na Figura 2.1.
A flotação envolve uma série de mecanismos de transporte de massa os quais afetam
tanto o teor quanto a recuperação do concentrado. Os principais mecanismos de transporte de
massa são adesão da partícula na superfície da bolha e o arraste mecânico. O transporte de
massa por adesão e o arraste mecânico pode ser dividido nas seguintes etapas
(MONTENEGRO, 2001):
a) adesão entre bolhas e partículas na região de polpa;
b) arraste mecânico de partículas suspensas na região de polpa independente da
hidrofobicidade;
c) desprendimento de parte das partículas na região da espuma devido à coalescência e/ou
colapso das bolhas;
d) drenagem de água e de parte das partículas suspensas entre as bolhas na região de espuma;
e) transporte de partículas aderidas às bolhas para o concentrado;
21
Bolha de Ar
Partícula hidrofílica hidratada
Molécula de água
Espumante
Coletor
Partícula hidrofobizada com coletor
f) transporte de água e partículas suspensas entre as bolhas para o concentrado (inclui
partículas desprendidas).
É necessário hidrofobizar as partículas minerais na polpa para torná-las flotáveis. Isto
se realiza com os coletores. Para facilitar a adsorção destes reagentes sobre a superfície das
partículas minerais deve-se criar condições favoráveis através dos chamados modificadores.
Estes diminuem o potencial da camada dupla de cargas elétricas, e às vezes mudam seu
sentido. Deste modo se cria condição favorável para a adsorção dos coletores. A partícula
mineral coberta pelo coletor que se fixa em sua rede cristalina através de sua parte polar,
proporciona-lhe com a parte apolar propriedades hidrofóbicas. Este mecanismo pode ser uma
adsorção química ou física.
Um outro componente importante quando se forma o agregado partícula-bolha é o
ar, que tem a função de recolher as partículas na polpa e transportá-las até a superfície. Este
transporte ocorre mediante a força de empuxo do Princípio de Arquimedes. A injeção direta
de ar na polpa geralmente fornece resultados negativos se não é empregado um espumante, já
que o ar se distribui de forma desigual, e as bolhas de ar são instáveis e se associam umas às
outras. Ao adicionar um espumante, se obtém um tamanho desejado das bolhas e a dispersão
de ar é uniforme.
Cada bolha de ar pode ser considerada como um contato de duas fases, líquido e gás,
igualmente ao caso de um líquido com a atmosfera. Deste modo, em cumprimento a Segunda
Lei da Termodinâmica, os espumantes, que são reagentes tensoativos, se adsorvem
seletivamente na interface gás-líquido. A parte polar destes compostos tensoativos se orienta
em contato com a fase líquida e a parte apolar em contato com as bolhas de ar.
Figura 2.1 - Mineralização das bolhas de ar (SUTULOV, 1963)
22
De acordo com SUTULOV (1963), os eventos que determinam a união estável entre
a partícula e a bolha são os seguintes:
aproximação da bolha e partícula até o ponto em que a película da fase líquida que as
separa torna-se muito fina;
superação de uma barreira energética por parte da partícula;
no caso das partículas hidrofílicas, em que a associação da partícula com as moléculas de
água é muito forte, a barreira energética é mais difícil de ser superada e, portanto, as
partículas tem uma maior dificuldade de flotar;
nas partículas hidrofóbicas, a barreira se rompe repentinamente, permitindo um contato
trifásico.
2.6 – Equipamentos de Flotação
A importância da flotação como processo de concentração de minerais tem
provocado o desenvolvimento e aprimoramento dos equipamentos de flotação.
O objetivo fundamental de uma máquina de flotação é separar em forma satisfatória
de um minério, um concentrado e um produto de fundo. Como para promover este processo
deve-se fazer um contato íntimo dos minerais, a fase líquida, os reagentes e o ar, a máquina de
flotação tem a função principal de introduzir ar na polpa. Segundo o método de introdução de
ar podemos classificar as máquinas de flotação nas seguintes classes (LUZ et al., 1998):
a) máquinas mecânicas: o ar é introduzido por agitação mecânica;
b) máquinas pneumáticas: o ar é introduzido na parte inferior e não existe partes de
agitação mecânica.
A eficiência de uma máquina de flotação, é determinada pela qualidade dos produtos
obtidos e recuperações; consumo de energia elétrica, reagentes e outros materiais, tendo em
vista a otimização dos gastos de operação e manutenção necessários por tonelada do mineral.
2.6.1 – Máquinas Mecânicas
As máquinas mecânicas são tanques projetados para receber a polpa alimentada,
continuamente, por uma das suas faces laterais e descarrega-la pelo lado oposto (LUZ et al.,
23
1998). Cada unidade destes tanques é chamada célula. Podem ser usadas células
individualizadas, mas a regra é agrupar conjuntos de duas ou mais. Numa extremidade do
conjunto é instalado um compartimento de alimentação e na extremidade oposta, um
compartimento de descarga. Este inclui algum dispositivo para a regulagem do nível de polpa
dentro das células. Embora existam modelos de células fechadas, a tendência moderna é não
usar divisões entre uma célula e outra.
Neste equipamento a espuma sobe e é descarregada pela frente, transbordando sobre
calhas dispostas ao longo da extensão do conjunto de células, conforme mostrado na Figura
2.2 (LUZ et al., 1998). O material deprimido é arrastado pela corrente de água e sai por baixo,
passando para a célula seguinte e finalmente, sendo descarregado pela caixa de descarga.
Desta forma, há dois fluxos: um de deprimido, no sentido da caixa de alimentação para caixa
de descarga e outro de espuma, de baixo para cima no sentido oposto ao do deprimido.
Figura 2.2 - Arranjo de células de flotação (LUZ et al., 1998)
A máquina de flotação é instalada dentro da célula e consiste em um rotor, no fundo
da célula, suspenso por um eixo conectado a um acionamento (fora da célula e acima), girando
dentro de um tubo. O rotor tem uma função inicial de manter a polpa agitada e portanto em
suspensão. O movimento rotacional do rotor gera uma região de pressão negativa dentro da
célula. Em muitos modelos, essa depressão é suficiente para aspirar o ar necessário para a
flotação. Em outros casos, o ar é comprimido para dentro da máquina visando carrear para
cima o maior número de bolhas de pequeno diâmetro. Isto é conseguido colocando em torno
do rotor uma peça chamada estator, que fragmenta as bolhas de ar.
Desta forma, o rotor agita a polpa e a mantém em suspensão. Como o seu
movimento rotativo no meio da polpa cria uma pressão negativa, ele pode aspirar o ar
24
necessário para a flotação. O estator quebra as bolhas de ar em um grande número de
pequenas bolhas.
As máquinas mecânicas são classificadas quanto ao fluxo da polpa em “cell-to-cell”
e “open-flow”. As maquinas “cell-to-cell” possuem vertedouro entre cada compartimento e as
“open-flow” tem passagem livre do fluxo de polpa.
A Figura 2.3 mostra uma célula mecânica do tipo “cell-to-cell” modelo denver Sub –
A e na Figura 2.4 pode ser observada uma máquina do tipo “open-flow” modelo Wemco.
Figura 2.3 - Célula mecânica modelo Denver sub-A (GUIMARÃES, 1995).
Figura 2.4 - Máquina de Flotação Wemco (LUZ et al., 1998).
25
2.6.2 - Máquinas pneumáticas
As células pneumáticas se caracterizam por não possuírem impelidores para agitação
e aeração da polpa que é feita por ar comprimido, dentro deste contexto temos as máquinas de
flotação com tela, sem tela, os separadores de espuma, dentre outros.
Nas células pneumáticas com telas o ar é injetado na parte inferior do equipamento
através de um fundo poroso ou rotor oco revestido por uma camisa perfurada. E nas células
sem tela o ar é injetado na parte superior do equipamento de modo a promover intensa
circulação da polpa (GUIMARÃES, 1995). As Figuras 2.5 e 2.6 mostram exemplo das células
com tela e sem tela respectivamente.
Figura 2.5 - Células pneumáticas com tela (GUIMARÃES, 1995).
26
Figura 2.6 - Células pneumáticas sem tela (GUIMARÃES, 1995).
Os separadores de espuma são caracterizados pela alimentação da polpa
condicionada na parte superior do equipamento, na camada de espuma. As partículas
hidrofóbicas são retiradas na espuma, enquanto as hidrofílicas passam pela espuma sendo
descartadas no rejeito, conforme mostra a Figura 2.7.
Figura 2.7 - Separador de espuma (GUIMARÃES, 1995).
27
O crescente desenvolvimento das colunas de flotação tem proporcionado
melhoramentos nas células mecânicas, surgimentos de novos equipamentos como por
exemplo a célula Jameson, além de criar alguns derivados como a coluna de recheio, “Packed
column” (FINCH, 1995).
As células Jameson, Contact, e Centrifloat estão inseridas em uma nova categoria
conhecida como concepção reator/separador. A base deste conceito é separar as duas funções
básicas da flotação, que são adsorção das partículas nas bolhas e a separação deste agregado
partícula-bolha da polpa. Com isso torna-se possível promover uma otimização de cada etapa
individualmente para que seja percebida uma melhoria global do desempenho do
equipamento.
A Figura 2.8 apresenta um esquema de uma célula Jamenson, que consiste de duas
partes o “downcomer” e a célula. A polpa entra em contato com o ar dentro do “downcomer”,
onde acontece a coleta das partículas pelas bolhas, ou seja, o reator. A polpa é descarregada
dentro da célula que é o separador e nesta o agregado partícula-bolha é separado da polpa e
acontece a lavagem da espuma (FINCH,1995).
Figura 2.8 - Esquema de uma célula Jamenson (FINCH, 1995).
A Figure 2.9 mostra um esquema de uma célula “Contact”. A água e o ar são
injetados em um aerador tipo USBM/Cominco, as bolhas entram em contato imediatamente
Concentrado
Rejeito
Célula
Aliment
ação
Ar
Água de
Lavagem
28
com a polpa e escoam pelo "contactor”. A combinação do aerador e contactor é o reator; o
recipiente de separação é uma coluna convencional modificada (FINCH,1995).
Figura 2.9 - Esquema de uma célula Contact (FINCH, 1995).
As células Centrifloat são caracterizadas por apresentar a flotação ocorrendo num
sistema similar a um hidrociclone, conforme apresentado na Figura 2.10.
Figura 2.10 - Esquema de uma célula Centrifloat (FINCH, 1995).
Ar
Água de
Lavagem
Água
Alimentação
Espuma
Coluna
Rejeito
Espuma
Espuma
Ar
Alimentação
Rejeito
29
Neste dispositivo a polpa é alimentada tangencialmente perto do fundo de um
recipiente cilíndrico (o reator), produzindo um campo radial de alta velocidade. O ar é
injetado pela parede porosa e em bolhas pequenas. Forma-se a fase de espuma na parte central
do corpo cilíndrico, sendo que o material flotado é encaminhado para parte superior,
separando-se do material não flotado. Este equipamento tem uma grande semelhança com o
Air-Sparged-Hydrocyclone, mostrado na Figura 2.11 (FINCH,1995; GUIMARÃES, 1995).
Figura 2.11 - Esquema do Air-Sparged-Hydrocyclone (GUIMARÃES, 1995).
2.7 – Colunas de Flotação
Na última década o processo de flotação registrou um significativo avanço pela
introdução de uma nova tecnologia oferecida pelas colunas de flotação (SOMASUNDARAN
et al., 2002).
A importância desse tipo de equipamento pode ser constatada através das melhorias
substanciais dos concentrados obtidos nas colunas em diversas unidades industriais, com
30
aplicação a diferentes tipos de minérios. Freqüentemente, soma-se às melhorias no
desempenho metalúrgico, uma economia nos custos de capital e de operação. Tais fatores têm
sido decisivos para a aplicação das colunas em processos de flotação, tanto para novos
projetos com para expansões industriais (QUEIROZ, 2003).
Segundo PAREKH e MILLER (1999), a concepção básica do processo de flotação
em coluna foi desenvolvida no início da década de 60 no Canadá. Os cientistas canadenses
Remi Tremblay e Pierre Boutin foram os responsáveis pelas primeiras patentes em 1961. A
partir de então, foram realizados os primeiros programas experimentais em escala de
laboratório e desenvolvidas concepções alternativas por outros pesquisadores.
Com base nos trabalhos de Boutin e Tremblay, a primeira implantação industrial
usando esta nova tecnologia ocorreu em 1981 em Les Mines Gaspé, Canadá, onde uma
coluna, operando no estágio de flotação cleaner de concentração de molibdenita, substituiu
com sucesso um banco de células mecânicas convencionais. Posteriormente, uma segunda
coluna foi instalada nesta usina substituindo todo o circuito de células mecânicas. As colunas
de Les Mines Gaspé foram também utilizadas para vários estudos que contribuíram
notavelmente para o desenvolvimento desta tecnologia (FINCH e DOBBY, 1990).
De acordo com LUZ et al. (1998), a coluna de flotação difere da célula mecânica
convencional principalmente em quatro aspectos básicos:
a) geometria (maior relação altura/diâmetro);
b) existência da água de lavagem;
c) ausência de agitação mecânica;
d) sistema de geração de bolhas.
O modelo de dimensionamento de uma coluna de flotação baseia-se na divisão do
equipamento em duas zonas bastante distintas: a zona de recuperação (também chamada de
zona de coleta ou zona de concentração), está localizada entre a interface polpa-espuma e o
sistema de aeração e a zona de limpeza (também chamada de zona de espuma), localizada
entre a interface polpa-espuma e o transbordo. A Figura 2.12 apresenta um desenho
esquemático da coluna de flotação, destacando as duas regiões distintas que se formam dentro
da coluna.
Na zona de recuperação, as partículas alimentadas entram em contato, em fluxo
contra-corrente, com as bolhas de ar geradas e distribuídas pelo aerador instalado na parte
inferior do equipamento. As partículas hidrofóbicas aderidas às bolhas de ar são transportadas
até a zona de limpeza ou espuma, enquanto as partículas hidrofílicas são retidas pela base da
coluna.
31
Al
imentação
Fração
Flotada
Zona de
Coleta ou
Recuperação
Água de
Lavagem
Fração não flotada
Ar
Zona de
Limpeza
Água de lavagem é adicionada na zona de espuma por um chuveiro que pode ser
interno ou externo com finalidade de diminuir o arraste de partículas de ganga e estabilizar a
espuma. O fluxo líquido de água entre a água de lavagem da camada de espuma e a água do
concentrado, expresso em termos de velocidade superficial, recebe o nome de “bias”. Quando
o fluxo é descendente tem-se “bias” positivo, garantindo uma melhor eficiência na lavagem do
flotado (GUIMARÃES, 1995).
Figura 2.12 - Representação esquemática da coluna de flotação (LUZ et al, 1998).
2.7.1 - Principais variáveis da coluna de flotação
O processo de flotação é um processo de múltiplas variáveis, cuja definição e
descrição quantitativa requer muitos estudos. Atualmente já temos um considerável domínio
prático deste campo, entretanto não há um conhecimento completo tanto teórico como prático
que contemple, por exemplo, a capacidade de prever uma fórmula apropriada de flotação e os
resultados práticos obtidos com base em um estudo teórico prévio. Isto se deve principalmente
ao fato que não se conhece todas as variáveis do processo de flotação e aquelas conhecidas
não têm sido completamente estudadas.
As principais variáveis da coluna que influenciam no processo de concentração por
flotação são:
a) vazão de ar;
32
b) vazão de água de lavagem;
c) altura da camada de espuma;
d) tempo de residência;
e) bias;
f) hold up do ar;
g) tamanho das bolhas;
h) tamanho das partículas minerais, etc.
Estas variáveis podem ter efeito significativo sobre o teor e a recuperação do mineral
de interesse. Os efeitos destas variáveis podem estar inter-relacionados e, portanto,
dificilmente serão avaliados isoladamente.
2.7.1.1 – Vazão de ar
A vazão de ar é uma das variáveis mais importantes no controle do processo de
flotação em coluna e tem um efeito significativo sobre a recuperação do mineral flotado.
Dentro dos limites de estabilidade da coluna, a recuperação do mineral flotado é normalmente
crescente com o aumento da vazão de ar até atingir o seu valor máximo. Este ganho na
recuperação deve-se ao aumento do número e área superficial total de bolhas introduzidas na
coluna. Entretanto, um acréscimo significativo da vazão de ar pode prejudicar o processo de
flotação devido à turbulência ou formação de espuma na zona de recuperação da coluna.
A velocidade superficial do ar (J
g
) é definida pela relação entre a vazão de ar (Q
g
) e a
área da seção transversal da coluna (A
c
):
c
g
g
A
Q
J = (2.1)
Segundo LUZ et al. (1998), a velocidade superficial máxima de ar utilizada em uma
coluna está limitada por:
Perda do bias positivo – um acréscimo em J
g
acarreta um aumento do arraste de líquido
da seção de concentração para a seção de limpeza elevando o valor do hold up do líquido
na espuma e reduzindo a concentração de sólidos do material flotado. Como conseqüência
há uma redução na vazão volumétrica da polpa da fração não flotada podendo torná-la
menor que a da alimentação e acarretando a perda do bias positivo;
33
Perda do regime de fluxo – o aumento de J
g
pode acarretar a mudança do regime de fluxo
da coluna de pistão (plug flow) para mistura perfeita. Esta alteração do regime de fluxo é
ocasionada pelo aumento do tamanho das bolhas em função do aumento da vazão de ar;
Perda da interface – ao aumentar J
g
, o hold up do ar aumenta na polpa e diminui na
camada de espuma até atingir valores iguais de hold up nas duas seções. Quando isto
ocorre verifica-se a presença de espuma em toda a coluna e consequentemente a perda da
interface;
Insuficiência do aerador – o projeto do sistema de aeração prevê a operação em uma
determinada faixa de vazão de ar. Em função disto, não é possível trabalhar com valores
de velocidades superficiais de ar (J
g
) superiores aos especificados no projeto;
Aumento do tamanho das bolhas – o aumento de J
g
acarreta um acréscimo no diâmetro
das bolhas geradas, reduzindo a eficiência de coleta das partículas, principalmente, de
granulometria mais fina.
Por analogia para outros fluidos, a velocidade superficial pode ser apresentada pela
Equação (2.2), onde i pode ser a água do bias (b), a água de lavagem (w) ou o rejeito (t).
i
i
i
A
Q
J =
(2.2)
2.7.1.2 - Hold up do gás
O
hold up
do ar é definido como uma fração volumétrica de ar contida em uma
determinada zona da coluna . Normalmente o
hold up
é determinado na seção de recuperação
e constitui um parâmetro que depende da vazão de ar, do tamanho das bolhas, da densidade da
polpa, do carregamento dos sólidos nas bolhas e da velocidade descendente da polpa. Através
de sua medida é possível estimar o diâmetro médio das bolhas utilizando modelos
matemáticos (LUZ et al., 1998).
O
hold up
do ar pode ser medido utilizando manômetros de coluna de água,
transdutores ou transmissores de pressão. Para possibilitar a medida do
hold up
, é assumido
que as bolhas são carregadas levemente, e consequentemente, a densidade do agregado
partícula-bolha é desprezível. A pressão nos pontos A e B da Figura 2.13 é dada pelas
Equações (2.3) e (2.4), respectivamente.
34
Fração Flotada
Fração não flotada
B
A
L
A
Ar
Alimentação
∆
P
L
B
∆
L
Figura 2.13 – Medida do
holp up
do ar (LUZ et al., 1998).
)1(
gAAslA
gLP
ερ
−= (2.3)
)1(
gBBslB
gLP
ερ
−= (2.4)
onde:
ρ
sl
é a densidade da mistura partícula-líquido;
ε
gA
, ε
gA
são os hold up do ar acima de A e B, respectivamente;
L(1-ε
g
) é a altura equivalente a mistura partícula-líquido sem gás;
Portanto, a diferença de pressão (∆P) entre A e B é dada pela Equação (2.5) e
rearranjando-a, obtém-se a Equação (2.6), que fornece o valor do hold up do ar a partir da
medida de queda de pressão na coluna.
)1(
gsl
LgP
ερ
−∆=∆ (2.5)
Lg
P
sl
g
∆
∆
−=
ρ
ε
1 (2.6)
Portanto, de acordo com LUZ et al. (1998), o
hold up
do gás (
ε
g
) é medido
localmente acima da distância
∆
L e o seu valor em outras partes da coluna não é um fator
35
constante. Repetindo-se a medida em intervalos ao longo da coluna, o perfil de
ε
g
em função
da altura pode ser estabelecido.
A partir destas considerações para a medida do
hold up
através de manômetros,
encontra-se algumas dificuldades que podem comprometer a confiabilidade da medida.
Primeiramente, devido a porção de sólidos entre o líquido e as bolhas, o que pode provocar a
variação axial da densidade da mistura
ρ
sl
e, portanto, a consideração que a densidade do
agregado bolha-partícula seja nula pode ser inválida para alguns casos. Uma solução viável
para esse problema é medir
∆
P acima da seção próxima do fundo da coluna, onde as bolhas
são carregadas levemente, e usar a densidade da porção não flotada para estimar a densidade
nesta seção.
2.7.1.3 - Água de lavagem
Uma das grandes alterações da coluna de flotação em relação às células mecânicas é
a introdução da água de lavagem na camada de espuma e esta tem três funções básicas:
substituir a água de alimentação na fração flotada minimizando o arraste hidráulico de
partículas hidrofilicas;
aumentar a altura e a estabilidade da camada de espuma;
reduzir a coalescência das bolhas através da formação de um “packed bubble bed”.
Com a adição de água de lavagem a coluna de flotação tem possibilidade de
aumentar a seletividade do processo sem perda de recuperação.
A eficiência da água de lavagem está diretamente relacionada com a sua distribuição
que deve abranger toda a área da seção da camada de espuma sem prejudicar o transbordo do
material flotado.
Os distribuidores de água de lavagem podem ser classificados em externos e
internos. O distribuidor externo é instalado acima da camada de espuma e apresenta as
vantagens de estar protegido de entupimento por partículas sólidas e de permitir a sua
inspeção visual durante a operação. Entretanto, apresenta as desvantagens de requerer uma
vazão maior de água para manter a relação entre a velocidade superficial do
bias
e da água de
lavagem (J
B
/J
W
) constante e de reduzir a concentração de sólidos no material flotado. O
distribuidor interno por sua vez é instalado abaixo do transbordo da espuma e apresenta a
vantagem de ser mais eficiente e produzir um material flotado com maior concentração de
36
sólidos. Como desvantagens a inspeção é mais difícil, o entupimento dos orifícios é
favorecido e parte da área transversal da coluna é obstruída.
2.7.1.4 - Altura da camada de espuma
A altura da camada de espuma é uma variável importante na seletividade do
processo de flotação. Se o arraste hidráulico constitui o problema básico do processo, uma
camada relativamente baixa pode ser suficiente, uma vez que o arraste das partículas é
eliminado próximo à interface, quando operando com velocidade superficial de ar moderada
(J
g
< 1,5 cm/s). Por outro lado, se o objetivo é obter seletividade entre as espécies hidrofóbicas
ou se a taxa de ar é elevada, recomenda-se trabalhar com camadas de espuma maiores.
2.7.1.5 – Bias
O
bias
representa a fração residual da água de lavagem que flui através da coluna e é
o principal responsável pela ação de limpeza (rejeição de partículas hidraulicamente
arrastadas). Convencionou-se que o
bias
será positivo, quando este fluxo residual se deslocar
para baixo, ou seja, a vazão de água de lavagem será suficiente para substituir a água de
alimentação na fração flotada e promover o deslocamento de uma fração de água nova para a
base da coluna.
O
bias
(
Q
b
) pode ser estimado através da diferença ente a vazão de água de lavagem
(
Q
w
) e a vazão de água no flotado (
Q
wf
).
wfwb
QQQ −=
(2.7)
2.7.1.6 - Tempo médio de residência
O tempo médio de residência da polpa é um parâmetro de informação limitada numa
coluna de flotação. Isto é devido primeiramente ao fato da necessidade de se definir qual fluxo
está sendo analisado: rejeito, concentrado ou interface polpa-espuma. Cada um destes fluxos
apresenta uma curva peculiar de distribuição do tempo de residência (WHEELER, 1988).
37
A distribuição do tempo de residência para a zona de recuperação se enquadra
perfeitamente no modelo de dispersão de reatores tubulares conforme verificado por DOBBY
e FINCH (1985). Esta curva é resultado dos aspectos hidrodinâmicos de transferência de fluxo
bem como do diâmetro das partículas. As partículas mais finas apresentam distribuição do
tempo de residência bastante similar ao da água. As partículas mais grosseiras apresentam
tempo médio de residência bastante inferior devido à sua maior velocidade de sedimentação.
A dispersão axial da polpa faz com que a coluna de flotação não apresente
comportamento ideal de reator em regime tubular. A fuga desta idealidade influencia na
distribuição do tempo de residência das partículas, consequentemente na cinética do processo.
O número de dispersão (N
d
) tem um papel de considerável importância para verificarmos o
comportamento da polpa dentro do equipamento. Este número é o parâmetro como qual é
possível verificar a influência de variáveis no comportamento hidrodinâmico da coluna de
flotação: relação diâmetro equivalente/altura, velocidade do ar, “hold up”, velocidade da
polpa, numero de Reynolds, viscosidade da polpa e densidade das partículas (GUIMARÃES,
1997).
2.7.1.7 - Tamanho das bolhas de ar
Um dos avanços significativos na utilização das colunas de flotação é a possibilidade
de controlar o tamanho das bolhas através de ajuste das condições operacionais do sistema de
aeração e da adição de agentes tensoativos (LUZ et al., 1998).
O tamanho médio das bolhas e sua distribuição são importantes na flotação, devido
ao seu efeito na eficiência de coleta e de transporte das partículas. A utilização de bolhas
pequenas, com elevada área superficial, permite a obtenção de níveis mais elevados da
cinética de coleta e transporte dos sólidos por volume de ar. Entretanto, as bolhas de tamanho
muito reduzido apresentam uma velocidade de ascensão baixa podendo ser inferior à
velocidade descendente da polpa acarretando por conseqüência, perdas de partículas
hidrofóbicas coletadas no fluxo de material não flotado.
Portanto, existe um tamanho médio ideal de bolhas em função tamanho médio das
partículas, que poderá ser ajustado através das variáveis operacionais do sistema de aeração e
da adição de agentes tensoativos.
38
2.7.1.8 - Tamanho das partículas dos minerais
O diâmetro das partículas, apesar de não ser variável operacional da coluna, tem um
efeito significativo no processo de flotação. Esta variável afeta diretamente a liberação e
também o comportamento cinético e hidrodinâmico das partículas.
A flotação de partículas mais grossas diminui a recuperação pela ineficiência da
liberação e pelo menor tempo de residência das partículas devido à ação gravitacional no
transporte de sólidos na coluna de flotação. O tempo médio de residência de partículas
grosseiras, acima de 100
µ
m (0,1 mm), pode atingir 50 % em relação ao da fase líquida. Para
partículas mais finas observa-se, além de um maior grau de liberação, uma tendência do
tempo médio de residência estar bem próximo ao da fase líquida. Contudo, a flotação de
partículas mais finas apresenta desvantagens como a necessidade de maior custo de moagem,
arraste de partículas de ganga com conseqüente perda da seletividade, e menor eficiência de
coleta, podendo influenciar na recuperação do mineral (AQUINO et. al., 1998).
Estas desvantagens são minimizadas na coluna de flotação pela diminuição do
arraste de ganga, pela presença de água de lavagem da espuma e aumento da recuperação de
partículas finas, pela maior eficiência do sistema de aeração.
Apesar da coluna de flotação apresentar vantagens bastante significativas para as
partículas finas, não significa que esse processo não possa ser aplicado satisfatoriamente para
partículas grosseiras. Pelo contrário, a coluna de flotação apresenta cada vez mais aplicações
para partículas mais grosseiras devido às suas vantagens de seletividade, recuperação e custo
(GUIMARÃES, 1995).
2.7.2 – Vantagens e Desvantagens da Coluna de Flotação
Quando comparada a células convencionais a coluna de flotação possui inúmeras
vantagens, dentre as quais pode-se citar:
Aumento da recuperação das partículas finas e grosseiras através da presença de pequenas
bolhas de ar com dimensões controladas;
Fluxo contracorrente que garante uma maior probabilidade de adesão partícula-bolha e
condições hidrodinâmicas adequadas ao processo de flotação na zona de recuperação;
39
Aumento da seletividade através da diminuição do arraste de materiais de ganga garantida
pelo controle da altura da camada de espuma e da presença da água de lavagem;
Possibilidade de projeto, fabricação e operação de unidades de grande porte;
Confiabilidade nas equações de dimensionamento;
Diminuição do custo de fabricação devido a sua simplicidade construtiva;
Necessidade de espaço reduzido por ser uma unidade predominantemente vertical;
Diminuição dos custos de manutenção devido principalmente à ausência de partes móveis;
Simplicidade e baixo custo de instrumentação e controle;
Minimização de custos com operadores pela possibilidade de controle centralizado;
Redução do consumo de energia;
Diminuição de peças de reposição;
Algumas desvantagens podem ser citadas, tais como:
Baixa área específica de superfície livre para transbordo do concentrado,
comparativamente às células mecânicas de mesmo volume;
Menor valor de borda para transbordo do concentrado principalmente quando comparamos
um circuito de células mecânicas com uma só coluna. Este efeito pode ser minimizado
pela possibilidade de instalação de calhas internas.
As desvantagens apresentadas não comprometem a utilização da coluna de flotação,
sendo necessário seu conhecimento para que sejam tomadas providências tais como a
utilização de subdivisões e calhas internas.
2.8 – Planejamento Experimental e Tratamento Estatístico dos Dados
Como o processo de flotação apresenta diversas variáveis que podem interferir nos
resultados, um método científico compreendendo duas etapas, a do planejamento dos
experimentos e análise estatística dos dados, deve ser utilizado. Estas etapas estão
intimamente ligadas, uma vez que o método a ser utilizado para análise depende diretamente
do planejamento realizado.
O planejamento fatorial dos experimentos permite verificar a influência dos efeitos
individuais e das interações entre as variáveis (BOX et al., 1978). A técnica de superfície de
resposta proporciona o ajuste empírico de equações que relacionam as respostas obtidas em
função de variáveis estudadas (MYERS, 1976).
40
Um planejamento fatorial consiste em selecionar os fatores (variáveis independentes
do processo) e escolher os níveis (valores assumidos por essas variáveis) que serão estudados.
A determinação da quantidade de experimentos é feita de acordo com a quantidade de
variáveis estudadas e com os níveis estipulados para essas variáveis. Por exemplo, um
planejamento do tipo 2
k
determina a quantidade de experimentos de um estudo em dois níveis
com ‘k’ variáveis. Os planejamentos fatoriais a dois níveis são recomendados para sistemas
cujas equações experimentais são de primeira ordem. Quando um sistema for representado por
equações de segunda ordem, ou seja, mais complexos, um planejamento fatorial com mais
níveis, avaliados em cada fator, se faz necessário (BOX et al., 1978).
Uma desvantagem em utilizar o planejamento fatorial convencional para obter
equações preditivas de segunda ordem é a quantidade excessiva de experimentos que devem
ser realizados. Em planejamentos do tipo 3
k
(3 níveis), para um estudo com 5 variáveis
independentes seriam necessários 243 experimentos. Dependendo do tipo de estudo, a
realização deste número de ensaios seria inviável. Com a necessidade de contornar esse
problema, foi desenvolvido um método alternativo que fornece uma resposta equivalente a
estes experimentos, porém com uma quantidade de experimentos menor (BOX e WILSON,
1951). Esse método é denominado de Planejamento Composto Central (PCC). O
Planejamento Composto Central nada mais é do que um planejamento fatorial de primeira
ordem aumentado de pontos adicionais que permitem a estimação de parâmetros de segunda
ordem. A quantidade de experimentos a serem realizados num Planejamento Composto
Central com ‘k’ variáveis é calculada a partir do planejamento fatorial a dois níveis (2
k
),
acrescido dos ensaios ou réplicas nos níveis centrais (n
2
) e dos ensaios nos níveis extremos
(2k). Os níveis das variáveis são determinados pela Equação (2.8) que mostra a codificação
dos fatores que serão organizados em uma matriz de planejamento (BOX e WILSON, 1951):
( )
2
11
0
−
−
−
=
ξξ
ξξ
i
x
(2.8)
onde:
x
é o valor da variável codificada;
ξ
i
o valor original ou não codificado;
ξ
0
representa o valor original no nível central;
41
ξ
1
é o valor original referente ao nível 1;
ξ
–1
o valor original referente ao nível –1.
Os pontos adicionais do planejamento composto central são escolhidos pelo
pesquisador. Esses pontos são os valores extremos de cada variável. Essa escolha deve ser
feita de forma a deixar a matriz de variância e covariância diagonal (PCC ortogonal), o que
elimina todas as correlações entre os parâmetros (MYERS, 1976).
A Equação 2.9 pode ser usada para representar a resposta em função das variáveis
independentes estudadas. Os coeficientes da Equação 2.9 são obtidos pelo método dos
mínimos quadrados e a avaliação da correlação é feita estatisticamente através do coeficiente
de correlação, com testes de hipótese usando as distribuições F de Fisher e t de
Student e pela
análise de resíduos. Através desta equação é possível obter valores das variáveis exploradas
que otimizem a resposta.
1
2
0
1 1 1 1
k
k k k
i i i j i i j i j
i i i j
Y x x x x
β β β β
−
= = = >
= + + +
∑ ∑ ∑ ∑
(2.9)
O quadrado do coeficiente de correlação múltipla (r
2
) compara a variância dos pontos
experimentais em relação ao ajuste proposto, com a variância da própria população de pontos
experimentais (BOX et al., 1978). Um valor do quadrado do coeficiente de correlação igual a
0,9, indica que 90% de variabilidade dos dados é explicada pela equação. Quanto mais
próximo da unidade estiver o valor do coeficiente de correlação, melhor será o ajuste
proposto.
O resíduo da estimação é definido como a diferença entre os resultados experimentais
e os previstos pela Equação 2.10. Na análise dos resíduos os gráficos devem ser aleatórios e
independentemente distribuídos para comprovar a validade das equações.
ε
εε
ε
= Y
exp
- Y
t
(2.10)
O valor da distribuição t de Student é importante para o cálculo da significância dos
parâmetros e é definido como a relação entre o valor do parâmetro estimado e o seu desvio
padrão. O valor de F (Fisher) é determinado pela razão entre o quadrado médio da equação
ajustada (QME) e o quadrado médio do resíduo (QMR), como mostra a Equação 2.11. O valor
obtido para
F
pode ser usado para a realização de um teste de hipótese para verificação da
42
adequação da equação aos dados experimentais. Quanto maior o valor de F, melhor será o
ajuste do modelo em questão.
QME
F
QMR
=
(2.11)
O quadrado médio da equação (QME) e o quadrado médio do resíduo (QMR), são
dados pelas Equações 2.12 e 2.13, respectivamente.
Soma dos quadrados dos valores preditos
Número de graus de liberdade da equação
QME =
(2.12)
Soma do quadrados do resíduo
QMR
Número de graus de liberdade do resíduo
=
(2.13)
A soma dos quadrados dos resultados previstos pela equação teórica é dada pela
Equação 2.14, onde n é o número de pontos experimentais.
(
)
(
)
(
)
tn
2
2
2t
2
1t
Y...YYSQE +++=
(2.14)
O número de graus de liberdade da equação é igual ao número de parâmetros da
equação reduzido de um, como está mostrado na Equação 2.15.
(
)
1 - parâmetros de nDEF °=
(2.15)
A soma dos quadrados dos resíduos (SQR), é obtida pela Equação 2.16.
(
)
(
)
(
)
2
tnn exp
2
2t2 exp
2
1t1 exp
YY...YYYYSQR −++−+−=
(2.16)
O número de graus de liberdade do resíduo é obtido pela diferença entre o número
total de experimentos e o número de parâmetros existentes na equação ajustada, como
indicado na Equação 2.17.
43
(
)
parâmetros de n-exp. pontos de n °°=DFR
(2.17)
Com os graus de liberdade do resíduo e da equação, pode ser determinado o valor da
estatística F de Fisher, para diversos níveis de significância da equação. Estes valores são
tabelados em BOX et al. (1978).
2.8.1 – Análise Canônica
No estudo da forma de uma superfície de resposta e localização das regiões de condições
ótimas, é útil reduzir uma forma quadrática para a forma canônica.
Uma forma quadrática em k variáveis x
1
, x
2
, ........., x
k
é uma expressão escalar do
tipo:
Q=
∑ ∑∑
=
+
k
i
jiijiii
xxaxa
1
2
2
(2.18)
i<j
Onde todos elementos a
ij
são reais (i,j=1,2,..........,k). Ou,
~
x
’A
~
x
, onde:
=
k
2
1
~
x
.
..
x
x
x
; A=
a sim.
.
.a ...........a
.a .......... a
kk
2k22
1k1211
a
A é uma matriz simétrica, na qual os elementos que constituem sua diagonal são os
coeficientes associados aos termos quadráticos e os demais elementos estão associados aos
termos de interação divididos por dois.
44
Se
λ
1
,
λ
2
, .............,
λ
k
são as raízes características (todas reais) dessa matriz
simétrica real A, então existe uma transformação ortogonal
~
x
= P
~
w
tal que a forma
quadrática real Q =
~
x
’A
~
x
é transformada para a forma canônica :
λ
1
w
1
2
+
λ
2
w
2
2
+ ............+
λ
k
w
k
2
(2.19)
Isto é, a forma quadrática Q é transformada para uma forma com uma matriz
diagonal, onde seus elementos diagonais são as raízes características da matriz A.
Para maior compreensão da análise canônica, uma análise de uma superfície de
resposta se faz necessário.
Dado o modelo: Superfície de resposta de 2
a
ordem
∑ ∑ ∑∑
= = = =
+++=
k
j
k
j
k
j
k
m
mjjmjjjjj
xxbxbxbby
1 1 1 1
2
0
ˆ
Representando a superfície na forma matricial, temos:
~~~~
0
''
ˆ
xBxbxby ++=
onde:
=
k
2
1
~
x
.
..
x
x
x
;
=
k
2
1
~
b
.
..
b
b
b
B=
b sim.
.
2/b . ...........b
2/.b ./2........b
kk
2k22
1k1211
b
45
b
0
:
contribuição da média
~
x
’
~
b
: termos de 1
a
ordem na função de respostas :
∑
=
k
j
jj
xb
1
~
x
’ B
~
x
: contribuição quadrática :
∑ ∑∑
= = =
+
k
j
k
j
k
m
mjjmjjj
xxbxb
1 1 1
2
Se o máximo existir, será um conjunto de condições em (x
1
, x
2,
.....,x
k
) , tal que:
1
ˆ
x
y
∂
∂
=
2
ˆ
x
y
∂
∂
= ...............=
k
x
y
∂
∂
ˆ
= 0
Sendo que:
~
x
0
’ = (x
10 ,
x
20
, ......x
k0
) : é o ponto estacionário, ou seja, o ponto onde as derivadas
se anulam.
Então:
[
]
~~~~
0
~~
''
ˆ
xBxbxb
xx
y
++
∂
∂
=
∂
∂
=
~~
2 xBb
+
=
~
0
Isto é :
~
1
0
~
2
1
bBx
−
−=
É importante observar que o ponto estacionário
0
~
x
pode ser:
i)
um ponto onde a superfície atinge um máximo;
ii)
um ponto onde a superfície atinge um mínimo;
iii)
um ponto nem de máximo, nem de mínimo (ponto de sela) – “saddle point”.
Diante destas possibilidades, dois problemas podem sugir:
46
a)
existir um região de máximo e não um ponto de máximo;
b)
o ponto estacionário estar fora da região experimental.
Sendo assim, é necessário a determinação da natureza do ponto estacionário. Para
isso é preciso considerar uma translação da superfície de resposta da origem (x
1
, x
2,
.....,x
k
) =
(0,0,.........,0) para o ponto estacionário
0
~
x
, (nova origem).
Daí a função da superfície de resposta é formulada em termos de novas variáveis,
w
1
, w
2
,.....w
k
(forma canônica) ou seja:
0
ˆˆ
yy
=
+
λ
1
w
1
2
+
λ
2
w
2
2
+ ............+
λ
k
w
k
2
0
ˆ
y
: resposta estimada na nova origem ( no ponto estacionário
~
1
0
~
2
1
bBx
−
−=
)
λ
1
,
λ
2
., .......
λ
k
são constantes (raízes características da matriz B)
Para a análise do ponto estacionário é importante observar os sinais dos
λ
’s (raízes
características) e a grandeza desses
λ
’s, pois essas raízes características ajudam a determinar a
natureza do ponto estacionário, ou seja:
i)
se
λ
i
< 0 , i=1,2,......, k, quando movimentamos em qualquer direção a partir do
ponto estacionário, teremos um decréscimo de
y
ˆ
, i.e., o ponto estacionário
0
~
x
é um
ponto de resposta máxima da superfície ajustada.
ii)
se
λ
i
> 0 , i=1,2,......, k, o ponto estacionário
0
~
x
é um ponto de mínimo para a
superfície ajustada.
iii)
Se os
λ
’s tem sinais diferentes, o ponto estacionário
0
~
x
não é nem ponto de máximo
nem de mínimo.
Para a interpretação dos resultados da análise canônica, é preciso relacionar as
variáveis na forma canônica com as variáveis na forma quadrática, ou seja, é preciso
encontrar uma relação entre os w’s (forma canônica) e os x’s (forma quadrática) que
47
indique ao pesquisador regiões úteis para exploração da superfície. Esta relação entre os w’s
e os x’s pode ser obtida através da seguinte transformação ortogonal:
)('
~
0
~~
xxMw
−
=
M é uma matriz (kxk) ortogonal, isto é, M’M = I
k
(M’=M
-1
)
M’: matriz transposta;
M
-1
matriz inverva;
I
k
: matriz identidade
M
=
],...... ,[
~
2
~
1
~
k
mmm
i
m
~
: i-ésima coluna de
M
(autovetores normalizados associados às raízes características
λ
i
).
=
ki
i
i
i
m
m
m
m
.
.
2
1
~
onde : (B-
λ
i
I
k
)
i
m
~
= 0 no qual m
1i
2
+ m
2i
2
+ ...........+ m
ki
2
=
ii
mm
~
'
~
= 1.
48
CAPÍTULO III
MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 - Coleta da Amostra
A jazida de fosfato da Bunge Fertilizantes faz parte da chaminé alcalina do Barreiro
em Araxá (MG) e está localizada a 340 km de Belo Horizonte (MG). O complexo industrial
instalado junto à jazida tem como objetivo a lavra, beneficiamento da rocha fosfática e
fabricação de alguns tipos de fertilizantes. O beneficiamento da rocha fosfática é realizado
através dos processos de cominuição, separação magnética e flotação.
Para a realização deste estudo foi coletada uma amostra da fração não flotada da
coluna de barita do circuito de grossos. A Figura 3.1 apresenta um fluxograma simplificado da
usina de concentração da Bunge Fertilizantes e a posição da coleta do minério, após a flotação
da barita e antes da flotação da apatita.
A amostra coletada foi condicionada e transportada para a Faculdade de Engenharia
Química da Universidade Federal de Uberlândia, onde foi desenvolvido o trabalho.
3.2 - Descrição da Unidade Experimental
O equipamento de bancada utilizado na realização deste trabalho consiste de uma
coluna cilíndrica de 1,48 m de altura e diâmetro interno de 40 mm. A coluna foi construída em
acrílico, o que facilita a observação visual da flotação. As Figuras 3.2 e 3.3 apresentam uma
foto e um esquema detalhado da unidade experimental, respectivamente.
A vazão de ar foi suprida por uma linha de ar comprimido e controlada por uma
válvula tipo esfera. Na parte inferior da coluna foi acoplado um meio poroso cônico,
constituído de partículas finas de bronze sinterizadas, que promove a distribuição do ar. O
reciclo foi realizado a 350 mm do topo da coluna, através de uma mangueira ligada a uma
bomba peristáltica que faz a captação do rejeito na base inferior da coluna, recirculando-o para
a posição superior. Um chuveiro, ou seja, um lavador de espuma foi instalado no topo da
coluna, a água de lavagem era alimentada neste lavador por meio de bomba peristáltica.
49
Figura 3.1. Fluxograma de blocos do circuito industrial da Bunge Fertilizantes e posição da
coleta da amostra
Classificação
Lama natural
Rejeito
Minério
Moagem
Separação
Magnética
Pré-
Classificação
Filtragem
Deslamagem
Deslamagem
Condicionamento
Flotação de
Barita
Flotação de
Apatita
Separação
Magnética
Filtragem
Lama Gerada
Deslamagem
Condicionamento
Concentração
de Apatita
Classificação
Deslamagem
Remoagem
Rejeito
Magnetita
Coleta da amostra
Moagem
Condicionamento
Condicionamento
Flotação de
Apatita
Deslamagem
Condicionamento
Flotação de
Apatita
Rejeito
Concentração
da Barita
GCA
FCA
Magnético
50
As medidas da vazão do ar e da água de lavagem foram feitas, de forma contínua,
com rotâmetros previamente calibrados, enquanto a vazão da carga circulante era ajustada em
teste específico.
Figura 3.2 – Unidade experimental.
51
Figura 3.3 – Esquema detalhado da unidade experimental.
52
3.2.1 – Procedimentos preliminares de operação da unidade de flotação
Antes da utilização da coluna, era observado alguns requisitos de instalação para sua
operação. Primeiramente o compressor era ligado e colocava-se água de processo no
reservatório para verificar o funcionamento do chuveiro. Posteriormente, a bomba peristáltica
do chuveiro era ligada para eliminar o ar da tubulação. Variava-se a velocidade da bomba para
verificar o funcionamento do rotâmetro. Então a vazão de água de lavagem era ajustada ao
valor requerido.
Em seguida, a bomba peristáltica do reciclo era ligada para ajustar a vazão ao nível
requerido. A calibração do rotâmetro foi feita coletando a água do reciclo durante 1 minuto
numa proveta de 1 L. Se houvesse algum desvio, era necessário a regulagem da vazão.
Enfim, a água da coluna era descarregada e a válvula de descarga era fechada. Os
recipientes para a coleta das amostras do produto de fundo e concentrado eram separados.
3.3 – Condicionamento da polpa
Antes dos testes de flotação é necessário que a polpa passe por uma etapa de
condicionamento onde as partículas minerais entram em contato com os reagentes. O
procedimento de condicionamento do minério e os tipos de reagentes utilizados neste estudo
foram definidos de acordo com a prática da Bunge Fertilizantes.
3.3.1 - Reagentes
Os reagentes utilizados foram, fubá de milho gelatinizado como depressor, flotigam
EDA como coletor e solução de NaOH a 10% como regulador de pH. Para os testes finais
também foi utilizado o espumante Flotanol 123/93. Os reagentes utilizados neste trabalho
foram fornecidos pela Bunge Fertilizantes e pela Clariant.
O reagente flotigam EDA usado para realização dos testes, é uma alquilamina
neutralizada parcialmente com ácido acético, comercializada pela Clariant.
Conforme mencionado anteriormente, o coletor tem a finalidade de tornar
hidrofóbica a superfície das espécies minerais, promovendo a agregação destas com superfície
53
das bolhas de ar e este conjunto é arrastado para o topo da coluna. O coletor sintético,
disponível comercialmente (Flotigam EDA), passa apenas por um processo de diluição em
água até uma concentração de 2%.
O depressor tem a finalidade de impedir a coleta dos óxidos presentes na amostra do
minério, ou seja, funciona como um modulador da coleta, tornando uma das espécies minerais
presente repelente ao coletor. O depressor foi preparado utilizando fubá de milho misturado
com soda (NaOH a 10% e água destilada) numa reação de gelatinização. A seguir, serão
descritos os procedimentos de preparação do coletor e do depressor.
3.3.1.1 – Procedimento de diluição do coletor flotigam EDA
Primeiramente pesou-se 2 g de flotigam EDA em um béquer de vidro (250 mL). Em
seguida pesou-se 98 g de água de processo em outro béquer de plástico (150 ml). Transferiu-
se a quantidade de 98 g de água de processo ao béquer de vidro contendo o flotigam EDA.
Dissolveu-se a alquilamina na água com uma espátula durante 3 minutos. A concentração da
suspensão do coletor era de 2 %.
3.3.1.2 – Procedimento de gelatinização do depressor fubá de milho
O fubá de milho foi gelatinizado através da adição de soda caustica sob agitação, o
procedimento utilizado nesta reação de gelatinização é mostrado a seguir. Primeiramente
pesou-se 5 g de fubá de milho em um béquer de plástico (250 mL), e 45,0 g de água de
processo em outro béquer (50 mL). Em seguida, utilizando uma bureta, pesou-se 6,25 g de
solução NaOH a 10% em um béquer de vidro (50 mL). Uma quantidade de 193,75 g de água
de processo foi pesada em outro béquer de plástico (150 mL).
Posteriormente misturou-se ao fubá de milho a quantidade de 45 g de água de
processo (50 mL), o milho foi dissolvido na água com a espátula durante 3 minutos. O béquer
de plástico (250 mL) contendo o fubá suspenso foi colocado na bancada e após adicionar a
quantidade de 6,25 g da solução de NaOH a 10% agitou-se a suspensão durante um tempo de
10 minutos, com agitador mecânico. Por fim a quantidade de 193,75 g de água contida no
54
béquer de plástico (150 mL) foi adicionada à solução e a agitação foi mantida durante mais 10
minutos. A concentração da suspensão do depressor era de 2 %.
3.3.2 – Preparação da polpa
A polpa foi preparada numa bancada sob sistema de agitação com as devidas
substâncias adicionadas a um béquer apropriado. Durante o preparo da polpa foi adicionado
primeiramente o depressor e depois o coletor, ambos sob agitação. O controle do pH foi feito
de modo cauteloso mantendo-o em torno de 9,5 durante toda etapa de condicionamento. Ao
final de seu condicionamento, a polpa foi levada à alimentação no topo da coluna.
3.3.2.1 – Procedimento de condicionamento do minério
O minério foi condicionado com os reagentes de acordo com o procedimento citado
à seguir. Primeiro foram colocados 225 mL de água de processo em um béquer de plástico
(250 mL) e 1701 mL de água de processo em outro béquer de plástico (2L). Desta quantidade
foram transferidos 200 mL para a pisseta. As massas requerida do depressor e coletores foram
pesadas nos respectivos béqueres de vidro (50 mL), bem como 340 g do minério.
Em seguida, o agitador foi colocado no béquer de plástico (2L) juntamente com a
referida massa do minério e 225 mL de água de processo. Montou-se então o suporte universal
com a bureta contendo a solução de NaOH. Após o início da mistura da suspensão com
agitador, fez-se o ajuste do pH em 9,5 por meio da adição da solução de NaOH contida na
bureta.
O depressor foi adicionado à suspensão, de forma completa, enxaguando o béquer
com água contida na pisseta. A agitação da suspensão foi mantida durante um tempo de
condicionamento pré-estabelecido, com pH ajustado em 9,5. Decorrido este tempo foi feita a
adição do coletor, enxaguando o béquer com água contida na pisseta. Continuou-se agitando a
suspensão durante um tempo de condicionamento pré-estabelecido, mantendo-se o pH em 9,5.
55
Por fim, a água de diluição contida no béquer de plástico (2L) foi introduzida à polpa
e aumentou-se a velocidade do agitador. O pH da polpa diluída foi ajustado em 9,5, após este
procedimento a polpa estava pronta para ser alimentada à coluna de flotação.
3.4 – Operação da coluna de flotação
Alguns procedimentos preliminares foram feitos antes do início do teste, tais como:
o ajuste da vazão de ar a 40 L/h e da vazão de reciclo a 1,3 L/min, para evitar entupimentos. A
polpa previamente condicionada foi alimentada no topo da coluna utilizando um funil. Após a
alimentação de todo minério, a velocidade da bomba peristáltica do reciclo e a vazão de ar
foram levadas aos valores pré-estabelecidos. Quando a superfície da espuma atingia a posição
de 25 cm do nível de transbordo o chuveiro era ligado, promovendo a lavagem da espuma.
O material flotado foi coletado em um recipiente para o concentrado. Quando a
interface polpa-espuma atingiu o topo da coluna a válvula de descarga era aberta encerrando-
se o teste, a polpa restante na coluna era coletada em um outro recipiente para o rejeito.
Em todos os testes de flotação, bem como na preparação dos reagentes foi utilizada
água de processo oriunda da usina de concentração da Bunge Fertilizantes (Araxá-MG).
3.5 - Caracterização das Amostras
Após sedimentação por algumas horas dos produtos da flotação, a água dos baldes
foi retirada cautelosamente e o sólido transferido aos cadinhos de porcelana. Os cadinhos com
as amostras foram levados para estufa e deixou-se secar durante 12 horas. Após a secagem dos
cadinhos e resfriamento até temperatura ambiente, durante aproximadamente 30 minutos, o
material foi transferido aos sacos de plástico, identificado e pesado.
A determinação do teor das espécies químicas presentes nas amostras foi realizada
utilizando-se o Espectrômetro de fluorescência de raios X do Laboratório de Análises da
Bunge Fertilizantes.
56
3.6. – Testes Preliminares
Como o teor de silicatos, tem aumentado na rocha fosfática beneficiada pela Bunge
Fertilizantes (Araxá-MG), um estudo da flotação destes contaminantes vem tornando-se
necessário.
Para a introdução do processo de flotação de silicatos, em uma etapa anterior a
flotação da apatita, é necessário obter uma recuperação (perda) de P
2
O
5
no concentrado até
10% e teor de SiO
2
no produto de fundo abaixo de 8%. Como esta etapa, corresponde a um
processo de purificação do minério, o produto de fundo é o material de interesse, seguindo
para a etapa de flotação da apatita, sendo o flotado descartado.
Em alguns testes realizados pela Bunge Fertilizantes (Araxá-MG) foram abordadas
as influências de algumas variáveis sobre a recuperação de P
2
O
5
no concentrado e teor de SiO
2
no produto de fundo. A partir dos resultados obtidos nestes testes, foram definidas algumas
condições de dosagem de reagentes e tempo de condicionamento.
O minério utilizado no presente trabalho, tinha um teor de SiO
2
de 13,53%. Para
obter-se os níveis de teor e recuperação desejáveis, utilizou-se as condições de dosagem de
reagentes e de tempo de condicionamento anteriormente determinadas para realização dos
testes preliminares, manipulando primeiramente as condições operacionais da coluna de
bancada construída no laboratório da FEQUI/UFU. O coletor utilizado foi a alquilamina
Flotigam EDA e o depressor o fubá de milho gelatinizado.
Com os resultados dos testes preliminares, partimos para elaboração do planejamento
composto central, visando compreender um pouco melhor o efeito de algumas variáveis do
processo.
3.6.1 – Influência das variáveis operacionais
Para a análise da influência de algumas variáveis operacionais nos testes preliminares
foi utilizado um planejamento fatorial a dois níveis onde as variáveis e os níveis estudados
estão apresentados na Tabela 3.1.
As dosagens dos reagentes e demais condições operacionais utilizados na realização
destes testes podem ser observadas na Tabela 3.2.
57
Tabela 3.1 – Variáveis do planejamento: Influência das variáveis operacionais.
Teste
Vazão de ar
(L/h)
X
1
Vazão de Chuveiro
(L/min)
X
2
Vazão de Reciclo
(L/min)
X
3
X
1
X
2
X
3
01 120
0,40 0,63 1 1 1
02 120
0,40 0,51 1 1 -1
03 120
0,20 0,63 1 -1 1
04 120
0,20 0,51 1 -1 -1
05 80
0,40 0,63 -1 1 1
06 80
0,40 0,51 -1 1 -1
07 80
0,20 0,63 -1 -1 1
08 80
0,20 0,51 -1 -1 -1
Tabela 3.2 – Dosagem de reagentes e condições operacionais.
CONDIÇÃO VALOR
% sólido na flotação 15 %
% sólido no condicionamento 60 %
Dosagem de coletor 400 g/t
Dosagem de depressor 400 g/t
Tempo de condicionamento do depressor 5 min
Tempo de condicionamento do coletor 2 min
3.7 – Planejamento Composto Central
Para um estudo mais detalhado da dosagem de reagentes e do tempo de
condicionamento do coletor, foi utilizado o Planejamento Composto Central, com duas
réplicas no centro e com um valor de
α
, ou seja, o nível extremo, igual a 1,287. Este valor
para
α
foi escolhido para se obter uma matriz de variância e covariância ortogonal, ou seja,
uma condição onde os parâmetros estimados por mínimos quadrados não são correlacionados
entre si. A Tabela 3.3 apresenta a distribuição dos 16 experimentos, com as variáveis
independentes, os níveis estudados encluindo as duas réplicas no centro.
A análise estatística dos resultados foi realizada através de uma regressão múltipla,
onde os parâmetros relacionados às variáveis isoladas, às interações e aos termos quadráticos
foram estimados por mínimos quadrados.
58
Tabela 3.3 - Planejamento composto central: Influência das variáveis de condicionamento.
Teste
Dosagem de
Coletor
(g/t)
X
4
Dosagem de
Depressor
(g/t)
X
5
Tempo de Cond.
do coletor
(min)
X
6
X
4
X
5
X
6
9 450 450 5 1 1 1
10 450 450 2 1 1 -1
11 450 350 5 1 -1 1
12 450 350 2 1 -1 -1
13 350 450 5 -1 1 1
14 350 450 2 -1 1 -1
15 350 350 5 -1 -1 1
16 350 350 2 -1 -1 -1
17 400 400 3,5 0 0 0
18 400 400 3,5 0 0 0
19 335,7 400 3,5 -1,287 0 0
20 464,4 400 3,5 1,287 0 0
21 400 335,7 3,5 0 -1,287 0
22 400 464,4 3,5 0 1,287 0
23 400 400 1,57 0 0 -1,287
24 400 400 5,43 0 0 1,287
As condições operacionais utilizados na realização dos testes do planejamento
composto central podem ser observadas na Tabela 3.4.
Tabela 3.4 – Condições operacionais.
CONDIÇÃO VALOR
% sólido na flotação 15 %
% sólido no condicionamento 60 %
Vazão de ar 80 L/h
Vazão de chuveiro 0,40 L/min
Vazão de reciclo 0,51 L/min
Tempo de condicionamento do depressor 5 min
3.8 – Testes Exploratórios
A partir dos resultados do Planejamento Composto Central, optou-se por realizar
testes exploratórios na região de melhores resultados do referido planejamento e dos testes
preliminares conforme mostra a Tabela 3.5. Para todos esses ensaios o tempo de
condicionamento do depressor foi mantido em 5 minutos.
59
Como os resultados dos testes preliminares, mostraram que as melhores condições de
operação da coluna foram a menor vazão de ar, a maior vazão de chuveiro e a menor vazão de
reciclo, procurou-se explorar outros níveis dessas variáveis da coluna, tendo em vista esta
tendência observada.
Foram realizados ainda outros experimentos visando as condições adequadas obtidas
no planejamento composto central, ou seja, dosagens de depressor e coletor em níveis
extremos. Outros níveis dessas variáveis também foram explorados, considerando a tendência
observada no planejamento composto central.
Tabela 3.5 - Valores das variáveis analisadas nos testes exploratórios.
Teste
Vazão
de
ar
(L/h)
Vazão
de
chuveiro
(L/min)
Vazão
de
Reciclo
(L/min)
Dosagem
de
Coletor
(g/t)
Dosagem
de
Depressor
(g/t)
Tempo de
Cond. do
coletor
(min)
25 60 0,40 0,39 400 400 2
26 60 0,40 0,39 450 550 10
27 60 0,40 0,39 450 550 5
28 60 0,40 0,39 450 450 10
29 60 0,40 0,39 450 450 5
30 60 0,40 0,39 350 550 10
31 60 0,40 0,39 350 550 5
32 60 0,40 0,39 350 450 10
33 60 0,40 0,39 350 450 5
34 40 0,40 0,27 450 450 5
35 60 0,40 0,39 400 400 10
36 60 0,40 0,51 400 400 2
37 60 0,50 0,39 400 400 2
38 60 0,40 0,39 400 450 2
39 60 0,40 0,39 400 500 2
40 80 0,40 0,51 450 450 10
41 60 0,40 0,39 450 500 10
42 60 0,40 0,39 450 600 10
43 80 0,40 0,39 450 550 10
44 60 0,50 0,39 450 550 10
45 80 0,40 0,51 400 400 5
46 80 0,40 0,51 350 400 5
47 80 0,40 0,51 400 350 5
48 80 0,40 0,51 450 400 5
49 80 0,40 0,51 400 450 5
50 60 0,40 0,39 450 530 10
51 80 0,40 0,51 450 550 10
60
3.9 – Análise Global
Os testes mencionados nas etapas anteriores foram agrupados e a análise estatística
destes resultados foi realizada através de uma regressão múltipla, onde os parâmetros
relacionados às variáveis isoladas, às interações e aos termos quadráticos foram estimados por
mínimos quadrados como mostrado anteriormente pela Equação 3.2. As variáveis estudadas:
vazão de ar, vazão de chuveiro, vazão de reciclo, dosagem do coletor, dosagem do depressor e
tempo de condicionamento do coletor foram adimensionalizadas conforme apresentado na
Tabela 3.6. As análises dos resultados obtidos foram feitas através do software
STATISTICA
®
.
Para a análise canônica das superfícies de resposta do teor de SiO
2
no produto de
fundo e da recuperação de P
2
O
5
no concentrado foi utilizado o software MAPLE
®
.
Tabela 3.6 – Adimensionalização das variáveis.
Variável Adimensionalização
Vazão de ar (
ξ
1
)
(
)
h
L
hL
X
/
30
/90
1
1
−
=
ξ
Vazão de chuveiro (
ξ
2
)
(
)
min/20,0
min/40,0
2
2
L
L
X
−
=
ξ
Vazão de reciclo (
ξ
3
)
(
)
min/18,0
min/45,0
3
3
L
L
X
−
=
ξ
Dosagem do coletor (
ξ
4
)
(
)
tg
tg
X
/50
/400
4
4
−
=
ξ
Dosagem do depressor (
ξ
5
)
(
)
tg
tg
X
/50
/400
5
5
−
=
ξ
Tempo de condicionamento do
coletor (
ξ
6
)
(
)
min5,1
min5,3
6
6
−
=
ξ
X
3.10 - Testes Finais
A fim de determinar as condições ótimas para o processo de flotação de silicatos,
foram realizados alguns testes finais, após a análise estatística global dos dados. A Tabela 3.7
apresenta os níveis das variáveis utilizadas nestes testes. Com o objetivo de melhorar o
desempenho da coluna de flotação, foi utilizado nestes experimentos o espumante Flotanol
61
123/93, comercializado pela Clariant, numa dosagem de 30 g/t. O tempo de condicionamento
do depressor foi mantido em 5 minutos.
Tabela 3.7 – Níveis das variáveis utilizadas nos testes finais.
Teste
Vazão
de
ar
(L/h)
Vazão
de
chuveiro
(L/min)
Vazão
de Reciclo
(L/min)
Dosagem
de Coletor
(g/t)
Dosagem de
Depressor
(g/t)
Tempo de
Cond. do
coletor
(min)
52 60 0,40 0,39 500 550 10
53 60 0,40 0,39 550 550 10
54 40 0,40 0,39 450 550 10
55 60 0,40 0,51 450 550 10
3.11 – Avaliação dos Resultados
A avaliação da qualidade do flotado e do produto de fundo de todos os experimentos
foi realizada com base no teor de SiO
2
no produto de fundo e na recuperação (perdas) de P
2
O
5
no concentrado. Como mencionado anteriormente, são considerados satisfatórios teores de
SiO
2
no produto abaixo de 8% e recuperações de P
2
O
5
no concentrado até 10%. A importância
destas respostas para este trabalho é devido ao fato que, o produto de fundo dos testes de
flotação constitui o material que continuará no processo de concentração da apatita, enquanto
o concentrado representa o material de descarte do processo. Desta forma, precisamos de um
baixo teor de SiO
2
no produto de fundo pois estamos purificando o material e ao mesmo
tempo temos que diminuir ao máximo a perda de P
2
O
5
que é representada pela recuperação do
mesmo no concentrado.
As recuperações de P
2
O
5
(R) nas amostras flotadas foram calculadas de acordo com
a Equação 3.11.
100
52
×=
AA
OPF
xM
xM
R
(3.11)
62
onde:
M
F
é a massa flotada (g)
M
A
é a massa do minério na alimentação (g)
x
P2O5
é o teor de P
2
O
5
na massa flotada (%)
x
A
é o teor de P
2
O
5
na alimentação (%)
63
CAPÍTULO IV
RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1 – Caracterização da Amostra
A composição química da amostra de alimentação utilizada nos experimentos de
flotação foi determinada por espectrometria de Raios X no laboratório da empresa Bunge
Fertilizantes e é apresentada na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 – Composição química da amostra de alimentação
4.2 – Resultados dos Testes Preliminares
Nos experimentos preliminares para a flotação de silicatos foram utilizadas as
condições de dosagem de reagentes e tempo de condicionamento obtidos em alguns testes
realizados pela Bunge Fertilizantes (Araxá-MG). Os testes preliminares foram feitos a fim de
se investigar as condições operacionais da coluna.
As condições operacionais utilizadas para realização dos testes preliminares e os
resultados obtidos para os produtos da flotação estão mostrados na Tabela 4.2.
Os resultados
para o teor do concentrado e do produto de fundo de todas as espécies químicas presentes no
minério estão apresentadas no ANEXO II.
As respostas analisadas neste trabalho foram
o teor de SiO
2
no produto de fundo
e
a
recuperação de P
2
O
5
no concentrado
. A importância destas respostas para este trabalho,
como mencionado no CAPÍTULO III, é devido ao fato que, o produto de fundo dos testes de
flotação constitui no material que continuará no processo de concentração da apatita, enquanto
Espécie Química Composição (%)
P
2
O
5
22,47
CaO 27,91
Fe
2
O
3
17,76
SiO
2
13,53
Al
2
O
3
2,31
MgO 1,50
BaSO
4
0,71
64
que o concentrado representa o material de descarte do processo. Sendo assim seria de
interesse que os níveis das duas respostas fossem os menores possíveis. Um teor de SiO
2
baixo é um dos objetivos do processo de concentração da apatita (destino da corrente do
produto de fundo) e uma baixa recuperação de P
2
O
5
no concentrado significa menores perdas
de P
2
O
5
na flotação dos silicatos, já que neste caso o concentrado é o rejeito.
As condições utilizadas para as demais variáveis estão descritas na Tabela 3.2 do
capítulo de Materiais e Métodos.
Tabela 4.2 - Resultados dos testes preliminares.
(X
1
)
(X
2
)
(X
3
)
Respostas
Teste
Vazão
de ar
(L/h)
Vazão de
chuveiro
(L/min)
Vazão de
Reciclo
(L/min)
Teor de
SiO
2
(%)
Recuperação
de P
2
O
5
(%)
01 120 0,40 0,63 8,51 24,32
02 120 0,40 0,51 7,50 21,75
03 120 0,20 0,63 6,78 18,91
04 120 0,20 0,51 6,22 23,02
05 80 0,40 0,63 6,99 23,13
06 80 0,40 0,51 6,80 14,62
07 80 0,20 0,63 8,19 14,90
08 80 0,20 0,51 6,68 15,51
Observando a Tabela 4.2 nota-se que todos os testes, exceto o teste 01 e o teste 07,
apresentaram um teor de SiO
2
no produto de fundo dentro da faixa desejável (menor que 8%),
porém, a recuperação de P
2
O
5
no concentrado ficou muito acima do valor requerido (menor
que 10%).
O teste 06 como mostra a Tabela 4.2, foi o melhor resultado obtido nestes testes
preliminares, apresentando um teor de SiO
2
no produto de fundo de 6,80% dentro da faixa
desejada e a menor recuperação de P
2
O
5
no concentrado, 14,62%, porém acima da faixa
aceitável. Portanto, na realização dos testes preliminares as melhores condições de operação
da coluna foram: a menor vazão de ar (80 L/h), a maior vazão de chuveiro (0,4 L/min) e a
menor vazão de reciclo (0,51 L/min).
65
4.3 – Resultado do Planejamento Composto Central
Conforme descrito do CAPÍTULO III, foi feito um planejamento composto central,
para avaliar
a influência da dosagem dos reagentes e do tempo de condicionamento do
coletor
no teor de SiO
2
no produto de fundo e na recuperação de P
2
O
5
no concentrado. A
Tabela 4.3 apresenta as condições utilizadas para as variáveis em análise (dosagem de coletor,
dosagem de depressor e tempo de condicionamento do coletor) na realização do planejamento
composto central, bem como os resultados obtidos para os produtos da flotação. As condições
para as demais variáveis estão descritas na Tabela 3.4 do capítulo de Materiais e Métodos.
Tabela 4.3 – Resultado do planejamento composto central.
(X
4
)
(X
5
)
(X
6
)
Respostas
Teste
Dosagem de
Coletor
(g/t)
Dosagem de
Depressor
(g/t)
Tempo de Cond.
do coletor
(min)
Teor de
SiO
2
(%)
Recuperação
de P
2
O
5
(%)
09 450 450 5 7,59 10,75
10 450 450 2 8,32 13,39
11 450 350 5 8,81 17,25
12 450 350 2 8,09 16,24
13 350 450 5 10,07 11,58
14 350 450 2 7,36 16,59
15 350 350 5 8,87 10,82
16 350 350 2 6,88 17,52
17 400 400 3,5 18,63 8,37
18 400 400 3,5 14,30 11,23
19 335,7 400 3,5 15,15 8,64
20 464,4 400 3,5 11,59 9,61
21 400 335,7 3,5 12,15 12,97
22 400 464,4 3,5 15,82 9,77
23 400 400 1,57 13,82 11,50
24 400 400 5,43 22,01 8,41
Com base nos resultados apresentados na Tabela 4.3, verifica-se que foram
alcançados os níveis desejáveis de teor de SiO
2
no produto de fundo e recuperação de P
2
O
5
no
concentrado em alguns testes, porém de maneira não simultânea. Analisando os resultados,
66
observa-se que o teste 16 foi o que apresentou o menor teor de SiO
2
no produto de fundo
6,88%, porém com elevada recuperação de P
2
O
5
no concentrado 17,52%. Com relação à
recuperação de P
2
O
5
no concentrado, o teste que apresentou o menor nível foi o teste 17,
8,37%, entretanto neste ensaio foi obtido um teor de SiO
2
no produto de fundo muito elevado,
18,63%. Diante destas observações o teste 09 foi o melhor resultado do planejamento, obtendo
um teor de SiO
2
dentro da faixa desejada apesar da recuperação de P
2
O
5
estar ligeiramente
acima do aceitável. A condição deste teste (09) refere-se ao uso simultâneo das mais elevadas
dosagens de depressor e coletor (450 g/t), bem como de um elevado tempo de
condicionamento do coletor (5 min), comparado com os níveis utilizados.
A influência das variáveis estudadas no planejamento composto central pode ser
facilmente visualizada através da estimação dos efeitos das variáveis isoladas e suas
interações. A Tabela 4.4 mostra os valores dos efeitos das variáveis no teor de SiO
2
no
produto de fundo e na recuperação de P
2
O
5
no concentrado. Foram desconsiderados os
parâmetros que apresentaram nível de significância maior que 10%, ou seja, no teste de
hipótese com a tabela t de Student foi considerada uma probabilidade máxima de erro de 10%.
Tabela 4.4 – Quantificação dos efeitos das variáveis: dosagem de coletor, dosagem de
depressor e tempo de condicionamento do coletor.
Teor de SiO
2
no
produto de fundo
Recuperação de
P
2
O
5
no flotado
Variáveis Efeitos Efeitos
Média 17,68 9,11
X
4
- -
X
5
- -2,41
X
6
- -3,06
X
4
X
5
- -
X
4
X
6
- -
X
5
X
6
- -
X
4
2
-8,62 -
X
5
2
-7,88 5,17
X
6
2
- 3,46
67
Observando a Tabela 4.4 nota-se, que para as condições utilizadas, a variável X
4
(dosagem de coletor) influencia mais significativamente a resposta teor de SiO
2
no produto de
fundo e a variável X
6
(tempo de condicionamento do coletor) influencia mais
significativamente a resposta recuperação de P
2
O
5
no concentrado, enquanto a variável X
5
(dosagem de depressor) tem uma influência significativa em ambas as respostas.
Para visualizar com maior facilidade o efeito das variáveis sobre a recuperação de
P
2
O
5
no concentrado e o teor de SiO
2
no produto de fundo, superfícies de respostas foram
construídas e são apresentadas nas Figuras 4.1 e 4.2, respectivamente.
Figura 4.1 – Superfície de resposta para a recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da
dosagem de depressor (X
5
) e do tempo de condicionamento do coletor (X
6
).
Na Figura 4.1 pode-se observar que a recuperação de P
2
O
5
no concentrado assume
um valor mínimo quando se utilizou uma dosagem de depressor no nível central (400 g/t) e
um tempo de condicionamento do coletor também no nível central (3,5 min). Entretanto, estas
condições não são indicadas para a outra resposta (teor de SiO
2
no produto de fundo),
conforme pode ser observado nos resultados da Tabela 4.3. Isto posto, os resultados indicam
que as condições que beneficiam uma resposta podem ser prejudiciais para a outra. O desafio
seria de encontrar condições em que as duas respostas estivessem simultaneamente nos níveis
desejados.
8,813
9,84
10,867
11,894
12,921
13,948
14,975
16,002
17,029
18,056
above
68
5,005
6,273
7,54
8,808
10,075
11,343
12,61
13,878
15,145
16,413
above
Figura 4.2 – Superfície de resposta para o teor de SiO
2
no produto de fundo em função da
dosagem de coletor (X
4
) e da dosagem de depressor (X
5
).
A Figura 4.2 mostra que o teor de SiO
2
no produto de fundo assume um valor
mínimo quando se combinou dosagens de depressor nos valores extremos (335,7 g/t e 464,4
g/t) com dosagens de coletor também nos extremos. Este resultado confirma a análise feita
quando se escolheu o teste 09 como a melhor condição, dentre os experimentos deste
planejamento. Na condição deste teste foram combinadas dosagens elevadas de coletor e
depressor com um elevado tempo de condicionamento.
Cabe ainda ressaltar que conforme mencionado anteriormente, os resultados obtidos
pelo planejamento composto central permitem inferir que, as condições que minimizam a
recuperação de P
2
O
5
no concentrado são as mesmas que maximizam o teor de SiO
2
no produto
de fundo.
Estes resultados mostram que o ponto ótimo, ou seja, o ponto onde os valores das
variáveis estudadas no planejamento composto central permitam a obtenção simultânea dos
níveis desejados para o teor de SiO
2
no produto de fundo (menor que 8%) e recuperação de
P
2
O
5
no concentrado (menor que 10%), não foi alcançado e que outras regiões dessas
variáveis, bem como das demais não exploradas neste planejamento precisam ser estudadas.
69
Em função desta necessidade evidente que foram realizados novos ensaios, doravante
denominados de testes exploratórios.
4. 4 – Resultados e Análise dos Testes Exploratórios
Com a finalidade de explorar melhor todas as variáveis estudadas neste trabalho,
localizando o ponto ou região ótima que permita a obtenção simultânea dos níveis desejados
para o teor de SiO
2
no produto de fundo e recuperação de P
2
O
5
no concentrado, foram feitos
novos experimentos e os resultados destes testes estão apresentados na Tabela 4.5. As
condições exploradas serão descritas a seguir.
Baseado nos resultados dos testes preliminares, onde as melhores condições de
operação da coluna foram a menor vazão de ar, a maior vazão de chuveiro e a menor vazão de
reciclo, procurou-se explorar outros níveis dessas variáveis da coluna, tendo em vista esta
tendência observada nos ensaios preliminares.
Outros ensaios foram realizados tendo em vista as condições adequadas obtidas no
planejamento composto central, ou seja, dosagens de depressor e coletor em níveis extremos.
Foram então explorados outros níveis dessas variáveis, considerando a tendência observada no
planejamento composto central.
No teste 25 pode ser observado como a diminuição da vazão de ar para 60 L/h e da
vazão de reciclo para 0,39 L/min influenciaram significativamente na recuperação de P
2
O
5
no
concentrado, passando esta de 14,62% (melhor resultado obtido nos testes preliminares) para
10,45%, sendo o valor aceitável de 10% quase atingido. Neste teste, o teor de SiO
2
no produto
de fundo, não sofreu alteração, mantendo-se dentro do nível desejado. Este comportamento
pode ser entendido se considerarmos que para uma baixa vazão de ar, as bolhas que se
formam são pequenas tornando mais eficiente a flotação de interesse (sílica) e
conseqüentemente diminuindo o seu teor no produto de fundo.
Mas, para estes valores de vazão de ar de 60 L/h e de reciclo de 0,39 L/min, a coluna
de flotação apresentou problemas operacionais, sendo necessário a abertura do chuveiro antes
do ponto preestabelecido e citado no CAPÍTULO III. Este problema pode ser amenizado com
a adição de espumante.
Outros resultados interessantes destes ensaios exploratórios foram os testes 26 e 41,
embora nestes experimentos as duas respostas não ficaram simultaneamente nos níveis
desejados, estiveram muito próximas disso. As condições desses ensaios confirmam a análise
70
feita no planejamento composto central, ou seja, quando se utilizada, ao mesmo tempo, níveis
elevados de dosagens de depressor e coletor, associado a um alto tempo de condicionamento
do coletor as respostas tendem a caminhar para os níveis de interesse.
Tabela 4.5 - Resultado dos testes exploratórios
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
Respostas
Teste
Vazão
de
ar
(L/h)
Vazão
de
chuveiro
(L/min)
Vazão
de
Reciclo
(L/min)
Dosagem
de
Coletor
(g/t)
Dosagem
de
Depressor
(g/t)
Tempo de
Cond. do
coletor
(min)
Teor
de
SiO
2
(%)
Recup.
de
P
2
O
5
(%)
25 60 0,40 0,39 400 400 2 6,87 10,45
26 60 0,40 0,39 450 550 10 9,40 6,09
27 60 0,40 0,39 450 550 5 9,15 12,37
28 60 0,40 0,39 450 450 10 12,59 8,09
29 60 0,40 0,39 450 450 5 14,91 11,42
30 60 0,40 0,39 350 550 10 10,23 9,00
31 60 0,40 0,39 350 550 5 10,04 10,12
32 60 0,40 0,39 350 450 10 9,82 9,83
33 60 0,40 0,39 350 450 5 8,99 11,72
34 40 0,40 0,27 450 450 5 12,41 11,00
35 60 0,40 0,39 400 400 10 15,09 10,24
36 60 0,40 0,51 400 400 2 9,33 16,06
37 60 0,50 0,39 400 400 2 10,82 19,79
38 60 0,40 0,39 400 450 2 13,12 15,04
39 60 0,40 0,39 400 500 2 15,18 18,01
40 80 0,40 0,51 450 450 10 10,90 12,32
41 60 0,40 0,39 450 500 10 7,36 11,44
42 60 0,40 0,39 450 600 10 11,05 10,17
43 80 0,40 0,39 450 550 10 9,91 15,23
44 60 0,50 0,39 450 550 10 10,84 9,86
45 80 0,40 0,51 400 400 5 8,12 16,15
46 80 0,40 0,51 350 400 5 8,24 14,21
47 80 0,40 0,51 400 350 5 14,25 16,54
48 80 0,40 0,51 450 400 5 17,84 19,46
49 80 0,40 0,51 400 450 5 11,38 18,41
50 60 0,40 0,39 450 530 10 8,28 16,17
51 80 0,40 0,51 450 550 10 12,02 7,65
Os resultados dos testes exploratórios confirmaram ainda a análise feita
anteriormente, que as condições que minimizam uma resposta muitas vezes maximizam a
outra. Sendo assim, uma análise estatística global de todos os ensaios realizados nesta
dissertação fez-se necessária, objetivando encontrar condições ótimas para as duas respostas
(teor de SiO
2
no produto de fundo abaixo de 8% e recuperação de P
2
O
5
no concentrado abaixo
de 10%).
71
4.5 – Análise Estatística Global
Com objetivo de realizar uma análise global foram agrupados todos os experimentos
realizados neste trabalho, conforme descrito no CAPÍTULO III e apresentado na Tabela 4.6.
Tabela 4.6 - Resultado global
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
Respostas
Vazão
De
Ar
(L/h)
Vazão
de
chuveiro
(L/min)
Vazão
de
Reciclo
(L/min)
Dosagem
de
Coletor
(g/t)
Dosagem
de
Depressor
(g/t)
Tempo de
Cond. do
coletor
(min)
Teor
de
SiO
2
(%)
Recup.
de
P
2
O
5
(%)
120 0,40 0,63 400 400 2 8,51 24,32
120 0,40 0,51 400 400 2 7,50 21,75
120 0,20 0,63 400 400 2 6,78 18,91
120 0,20 0,51 400 400 2 6,22 23,02
80 0,40 0,63 400 400 2 6,99 23,13
80 0,20 0,63 400 400 2 8,19 14,90
80 0,20 0,51 400 400 2 6,68 15,51
80 0,40 0,51 450 450 5 7,59 10,75
80 0,40 0,51 450 450 2 8,32 13,39
80 0,40 0,51 450 350 5 8,81 17,25
80 0,40 0,51 450 350 2 8,09 16,24
80 0,40 0,51 350 450 5 10,07 11,58
80 0,40 0,51 350 450 2 7,36 16,59
80 0,40 0,51 350 350 5 8,87 10,82
80 0,40 0,51 350 350 2 6,88 17,52
60 0,40 0,39 450 550 10 9,40 6,09
60 0,40 0,39 450 450 10 12,59 8,09
60 0,40 0,39 350 550 10 10,23 9,00
60 0,40 0,39 350 550 5 10,04 10,12
60 0,40 0,39 350 450 10 9,82 9,83
60 0,40 0,39 350 450 5 8,99 11,72
40 0,40 0,27 450 450 5 12,41 11,00
60 0,40 0,39 400 400 10 15,09 10,24
60 0,40 0,51 400 400 2 9,33 16,06
60 0,50 0,39 400 400 2 10,82 19,79
60 0,40 0,39 400 450 2 13,12 15,04
60 0,40 0,39 400 500 2 15,18 18,01
80 0,40 0,51 450 450 10 10,90 12,32
60 0,40 0,39 450 500 10 7,36 11,44
60 0,40 0,39 450 600 10 11,05 10,17
80 0,40 0,39 450 550 10 9,91 15,23
60 0,50 0,39 450 550 10 10,84 9,86
80 0,40 0,51 350 400 5 8,24 14,21
80 0,40 0,51 400 350 5 14,25 16,54
80 0,40 0,51 400 400 3,5 14,30 11,23
80 0,40 0,51 400 335,7 3,5 12,15 12,97
80 0,40 0,51 400 464,4 3,5 15,82 9,77
80 0,40 0,51 450 550 10 12,02 7,65
72
A análise estatística dos resultados foi realizada com o objetivo de quantificar os
efeitos de cada variável independente nas respostas estudadas, teor de SiO
2
no produto de
fundo e recuperação de P
2
O
5
no concentrado.
Para a análise global, foi efetuada uma regressão múltipla, obtendo-se os parâmetros
relacionados às variáveis isoladas, as interações e aos termos quadráticos. As variáveis
independentes avaliadas foram adimensionalizadas conforme mostram as equações presentes
da Tabela 4.7. Estas variáveis são: vazão de ar (X
1
), vazão de chuveiro (X
2
), vazão de reciclo
(X
3
), dosagem de coletor (X
4
), dosagem de depressor (X
5
) e tempo de condicionamento do
coletor (X
6
).
Tabela 4.7 – Faixa Experimental das Variáveis Estudadas
Variável
Faixa Experimental
(
ξ
ξξ
ξ
)
Adimensionalização
Vazão de ar
(
ξ
1
)
120 L/h a 40 L/h
(
)
h
L
hL
X
/
30
/90
1
1
−
=
ξ
Vazão de chuveiro
(
ξ
2
)
0,50 L/min a 0,20 L/min
(
)
min/20,0
min/40,0
2
2
L
L
X
−
=
ξ
Vazão de reciclo
(
ξ
3
)
0,63 L/min a 0,27 L/min
(
)
min/18,0
min/45,0
3
3
L
L
X
−
=
ξ
Dosagem de coletor
(
ξ
4
)
335,7 g/t a 464,4 g/t
(
)
tg
tg
X
/50
/400
4
4
−
=
ξ
Dosagem de depressor
(
ξ
5
)
335,7 g/t a 600 g/t
(
)
tg
tg
X
/50
/400
5
5
−
=
ξ
Tempo de condicionamento do
coletor
(
ξ
6
)
2 min a 10 min
(
)
min5,1
min5,3
6
6
−
=
ξ
X
A determinação dos parâmetros significativos da regressão foi realizada através de
um teste de hipótese utilizando uma t de
Student
com nível de significância de 10%, sendo
desconsiderados os parâmetros que apresentaram nível de significância maior que este valor,
ou seja, no teste de hipótese foi considerada uma probabilidade máxima de erro de 10%.
As equações empíricas ajustadas para representar a variação do teor de SiO
2
no
produto de fundo e a recuperação de P
2
O
5
no concentrado, juntamente com o coeficiente de
correlação (r
2
) e o valor de F da distribuição de Fisher são apresentadas na Tabela 4.8.
O resultado de F calculado (Fc) foi superior ao tabelado (F
T
), considerando um nível
de significância de 1%, para todas as respostas avaliadas. Esta comparação pode ser
73
interpretada através de um teste de hipótese. A hipótese de nulidade (H
0
) diz que o modelo
não é significativo, enquanto que a hipótese alternativa (H
1
) afirma que o modelo é
significativo. Os resultados do teste F mostraram que pode-se rejeitar H
0
no nível de
significância de 1%, ou seja, tem-se uma confiança de 99% que o modelo é significativo.
Para a equação do teor de SiO
2
no produto de fundo foi encontrado um valor de 0,86
para o quadrado do coeficiente de correlação da regressão. Este valor indica que, 86% da
variabilidade dos dados de teor de SiO
2
no produto de fundo foram explicados pela Equação
4.1. Os resíduos da regressão foram aleatórios e normalmente distribuídos.
Para a regressão relativa à recuperação de P
2
O
5
no concentrado, os resíduos também
foram aleatórios e normalmente distribuídos. O r
2
encontrado foi de 0,84, indicando que 84%
da variabilidade dos dados de recuperação de P
2
O
5
no concentrado foram explicados pela
Equação 4.2.
Como analisado anteriormente, os parâmetros dessas equações mostram também
que, as condições que promovem baixas recuperações de P
2
O
5
no concentrado são as mesmas
que conduzem a altos teores de SiO
2
no produto de fundo.
Tabela 4.8 - Equações estimadas para o teor de SiO
2
no produto de fundo e
recuperação de P
2
O
5
no concentrado.
Equação Estimada r
2
Fc e Ft
2
5
2
4
2
2
2
15443
42326151
4131654
322
28,006,5
75,1157,355,087,10
09,1132,695,093,1
36,1330,393,032,8
84,518,580,15
XX
XXXXXX
XXXXXXXX
XXXXXXX
XXfundoprodSiOTEOR
+−
−−−
++−++
−+++−
−
−
=
(4.1)
0,86
Fc= 7,38
Ft= 4,43
2
6
2
3
2
243
32514165
42152
41,001,593,874,10
28,1076,154,1234,294,1
06,812,595,265,14
XXXXX
XXXXXXXX
XXXoconcentradOPRECUP
+++−
+−+−−
+
+
+
=
(4.2)
0,84
Fc=11,05
Ft= 4,31
Ainda com relação à análise dos parâmetros das equações de regressão, observa-se
que a vazão de chuveiro (X
2
), exerceu uma forte influência tanto no teor de SiO
2
no produto
de fundo, quanto na recuperação de P
2
O
5
no concentrado, embora esta influência seja em
sentidos opostos. Observa-se ainda uma forte não linearidade desta variável, revelada pelos
valores dos parâmetros dos termos quadráticos. Isto significa que o comportamento das
respostas em níveis baixos desta variável é bem distinto daqueles observados nos níveis mais
elevados.
74
Observa-se ainda que todas as variáveis influenciaram nas duas respostas, sejam
através dos parâmetros relacionados as variáveis isoladas, ou às suas interações, ou ainda aos
termos quadráticos. Conforme afirmado anteriormente, esta influência na maioria das vezes
atua em sentidos opostos nas duas respostas. Esta influência oposta pode ser verificada nos
sinais dos parâmetros para cada resposta.
Para uma melhor visualização do efeito das variáveis sobre o teor de SiO
2
no produto
de fundo e a recuperação de P
2
O
5
no concentrado, foram feitas algumas superfícies de
resposta. Em cada uma dessas superfícies foram representadas a influência de duas variáveis
em uma determinada resposta, fixando os níveis das demais variáveis em uma das condições
mais adequadas, tendo em vista as análises feitas anteriormente. Estas superfícies são
apresentadas nas Figuras 4.3 a 4.8 e foram obtidas através das equações de regressão
apresentadas na Tabela 4.8.
A Figura 4.3 apresenta a superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo
em função da dosagem de coletor (X
4
) e do tempo de condicionamento do coletor (X
6
) para
uma dosagem de depressor de 550 g/t, vazão de ar de 60 L/h, vazão de chuveiro de 0,4 L/min
e vazão de reciclo de 0,39 L/min.
Figura 4.3
-
Superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo em função da
dosagem de coletor (X
4
) e do tempo de condicionamento do coletor (X
6
).
7,861
8,583
9,306
10,028
10,751
11,473
12,195
12,918
13,64
14,363
above
75
Observa-se na Figura 4.3 que os menores valores do teor de SiO
2
no produto de
fundo foram encontrados para os níveis extremos da dosagem de coletor. Este resultado
confirma a tendência observada nos resultados do planejamento composto central,
apresentados anteriormente.
A Figura 4.4 mostra a superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo em
função da vazão de ar (X
1
) e da vazão de chuveiro (X
2
) para uma vazão de reciclo de 0,39
L/min, dosagem de coletor de 450g/t, dosagem de depressor de 550 g/t e tempo de
condicionamento do coletor de 10 min.
Figura 4.4
-
Superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo em função da vazão
de ar (X
1
) e da vazão de chuveiro (X
2
).
A superfície de resposta da Figura 4.4 mostra que as condições escolhidas
anteriormente, como aquelas que possibilitariam obter as respostas nos níveis desejáveis,
conduziram a valores de teor de SiO
2
no produto de fundo na faixa requerida pela indústria
(menor que 8%) para diversos níveis de vazão de ar e de vazão chuveiro. Lembrando que estas
condições foram: vazão de reciclo de 0,39 L/min, dosagem de coletor de 450g/t, dosagem de
depressor de 550 g/t e tempo de condicionamento do coletor de 10 min.
1,047
2,093
3,14
4,186
5,233
6,279
7,326
8,372
9,419
10,465
above
76
Na Figura 4.5 é apresentada uma superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto
de fundo em função da dosagem de depressor (X
5
) e da vazão de reciclo (X
3
) para uma vazão
de ar de 60 L/h, vazão de chuveiro de 0,4 L/min, dosagem de coletor de 450 g/t e tempo de
condicionamento do coletor de 10 min.
10,12
10,82
11,519
12,219
12,918
13,618
14,317
15,017
15,716
16,416
above
Figura 4.5
-
Superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo em função da
dosagem de depressor (X
5
) e da vazão de reciclo (X
3
).
A superfície da Figura 4.5 mostra que, para as condições escolhidas para X
1
, X
2
, X
4
e X
6
, os menores valores do teor de SiO
2
no produto de fundo foram obtidos para as condições
em que são associados elevados valores de dosagem de depressor (550 g/t) com menores
vazões de reciclo (0,39 L/min).
Em relação à resposta recuperação de P
2
O
5
no concentrado, foram também
elaboradas superfícies para os mesmos pares de variáveis escolhidos para análise da resposta
teor de SiO
2
no produto de fundo. As condições escolhidas para as demais variáveis foram
aquelas consideradas mais adequadas, tendo em vista as análises feitas anteriormente (ensaios
preliminares, planejamento composto central e testes exploratórios). Essas superfícies estão
apresentadas nas Figuras 4.6 a 4.8.
77
A Figura 4.6 apresenta a recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da dosagem
de coletor (X
4
) e do tempo de condicionamento do coletor (X
6
) para uma dosagem de
depressor de 550 g/t, vazão de ar de 60 L/h, vazão de chuveiro de 0,4 L/min e vazão de reciclo
de 0,39 L/min.
Na Figura 4.6 nota-se que para as condições selecionadas para as demais variáveis, a
recuperação de P
2
O
5
no concentrado diminui quando são utilizados simultaneamente altos
tempos de condicionamento do coletor (10 min) e uma elevada dosagem de coletor (450 g/t).
Comparando este resultado com aquele apresentado na Figura 4.3, pode-se inferir
que as condições de tempo de condicionamento do coletor igual a 10 min e dosagem de
coletor de 450 g/t seriam indicadas para a minimização das duas respostas.
8,295
9,182
10,069
10,957
11,844
12,732
13,619
14,506
15,394
16,281
above
Figura 4.6
-
Superfície de resposta da recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da
dosagem de coletor (X
4
) e do tempo de condicionamento do coletor (X
6
).
A Figura 4.7 apresenta a recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da vazão de
ar (X
1
) e da vazão de chuveiro (X
2
) para uma vazão de reciclo de 0,39 L/min, dosagem de
coletor de 450g/t, dosagem de depressor de 550 g/t e tempo de condicionamento do coletor de
10 min.
78
6,205
9,085
11,964
14,844
17,723
20,603
23,482
26,362
29,241
32,121
above
Figura 4.7
-
Superfície de resposta da recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da
vazão de ar (X
1
) e da vazão de chuveiro (X
2
).
Observa-se na Figura 4.7 que, para qualquer valor de vazão de chuveiro, as
condições de mais baixos valores de vazão de ar (60 L/h ou 40 L/h) foram aqueles que
proporcionaram a obtenção da resposta, recuperação de P
2
O
5
no concentrado, dentro dos
níveis desejados, para os diversos valores de vazão de chuveiro utilizados. Comparando estes
resultados com aqueles apresentados na Figura 4.4 para a outra resposta (teor de SiO2 no
produto de fundo), conclui-se que a vazão de ar de 60 L/h ou 40 L/h, são as mais adequadas
para a obtenção das duas respostas nos níveis desejados. Cabe entretanto ressaltar que, houve
dificuldades operacionais nos testes com essas vazões de ar, sendo indicado nesse caso o uso
de espumante.
A Figura 4.8 apresenta a recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da dosagem
de depressor (X
5
) e da vazão de reciclo (X
3
) para uma vazão de ar de 60 L/h, vazão de
chuveiro de 0,4 L/min, dosagem de coletor de 450 g/t e tempo de condicionamento do coletor
de 10 min.
79
1,061
2,122
3,183
4,245
5,306
6,367
7,428
8,489
9,55
10,611
above
Figura 4.8
-
Superfície de resposta da recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da
dosagem de depressor (X
5
) e da vazão de reciclo (X
3
).
Observa-se nos resultados da Figura 4.8, que para as condições escolhidas para X
1
,
X
2
, X
4
e X
6
, os valores da recuperação de P
2
O
5
no concentrado ficaram dentro dos níveis
desejados para diversos níveis de dosagem de depressor e da vazão de reciclo.
Outras superfícies de resposta para teores de SiO
2
no produto de fundo e para
recuperações de P
2
O
5
no concentrado podem ser observadas no ANEXO III.
4.6 – Análise Canônica dos Resultados Globais
Com o objetivo de analisar as superfícies de resposta e determinar quantitativamente
as melhores condições das variáveis independentes, foi feita uma análise canônica como
mencionado no CAPÍTULO III. As etapas da análise canônica realizada utilizando o software
MAPLE
estão descritas no ANEXO IV.
Na Tabela 4.8 foram apresentadas as equações estimadas na forma quadrática, na
Tabela 4.9 estas equações estão representadas na forma canônica.
80
Tabela 4.9 - Equações estimadas para o teor de SiO
2
no produto de fundo e
recuperação de P
2
O
5
no concentrado na forma canônica.
Equação Estimada na Forma Canônica
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
12
77,433,107,0
21,004,802,1894,10.
www
wwwfundoprodSiOTEOR
+++
−−−=
(4.3)
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
152
50,1320,719,1
41,022,073,750,9
www
wwwoconcentradOPRECUP
+++
+−−=
(4.4)
Na Tabela 4.9 observa-se que o teor de SiO
2
no produto de fundo decresce ao
movimento na direção de w
1
, w
2
e w
3,
mas cresce na direção de w
4
, w
5
e w
6
, sendo este
movimento positivo ou negativo. Na equação para a recuperação de P
2
O
5
no concentrado a
resposta cresce ao movimento na direção de w
3,
w
4,
w
5
e w
6
e decresce na direção do eixo w
1
e
w
2
também a um movimento positivo ou negativo
.
Como o objetivo do trabalho é minimizar tanto o teor de SiO
2
no produto de fundo
quanto a recuperação de P
2
O
5
no concentrado na região dos experimentos realizados, é
necessário encontrar valores para w
1,
w
2,
w
3,
w
4,
w
5
e w
6
que nas variáveis X
1
(vazão de ar), X
2
(vazão de chuveiro), X
3
(vazão de reciclo), X
4
(dosagem de coletor), X
5
(dosagem de
depressor) e X
6
(tempo de condicionamento do coletor), satisfaçam ao mesmo tempo um teor
de SiO
2
no produto de fundo abaixo de 8% e uma recuperação de P
2
O
5
no concentrado de no
máximo 10%.
Analisando a Equação 4.4, pode-se observar que qualquer movimento em w
3,
w
4,
w
5
e w
6
, seja ele positivo ou negativo, promove um aumento na recuperação de P
2
O
5
no
concentrado. Sendo assim o valor ótimo para estas variáveis na forma canônica seria o valor
zero. Ainda com relação a esta equação, observar-se que quando se compara à sensibilidade
de w
1
e w
2
na resposta, conclui-se que, w
1
exerce uma influência muito maior que w
2
na
recuperação de P
2
O
5
no concentrado. Sendo assim, neste trabalho será verificado o efeito da
variável canônica de maior sensibilidade, ou seja, w
1
.
Com relação a Equação 4.3 observa-se também que o único valor para w
4
, w
5
ou w
6
que minimiza o teor de SiO
2
no produto de fundo é o valor zero pois qualquer outro valor seja
ele positivo ou negativo promove um aumento no teor de SiO
2
no produto de fundo. Fazendo
a análise de sensibilidade para os demais termos (w
1,
w
2
e w
3
), percebe-se ainda que w
1
exerce
81
uma influência muito maior que w
2
e w
3
no teor de SiO
2
no produto de fundo. Portanto nesta
resposta será também estudada a influência de w
1
visando encontrar as melhores condições.
Para a interpretação da otimização utilizando a análise canônica é preciso relacionar
as variáveis na forma canônica w
1,
w
2,
w
3,
w
4,
w
5
e w
6
com as variáveis na forma quadrática,
ou seja, X
1
(vazão de ar), X
2
(vazão de chuveiro), X
3
(vazão de reciclo), X
4
(dosagem de
coletor), X
5
(dosagem de depressor) e X
6
(tempo de condicionamento do coletor). Esta
relação entre os w’s e os X’s foi obtida através de uma transformação ortogonal, como
descrito no CAPÍTULO II.
A Tabela 4.10 mostra esta relação entre as variáveis na forma quadrática (X
1
, X
2
, X
3
,
X
4,
X
5
e X
6
) e a variável w
1
na forma canônica, para a recuperação de P
2
O
5
no concentrado.
Lembrando que a que variável canônica w
1
foi escolhida tendo em vista o sinal da raiz
característica (minimiza a resposta) e a sua sensibilidade.
A Tabela 4.11 mostra esta relação entre as variáveis na forma quadrática (X
1
, X
2
,
X
3
,X
4
, X
5
e X
6
) e a variável w
1
na forma canônica para o teor de SiO
2
no produto de fundo.
Tabela 4.10 - Relação entre as variáveis X
1
, X
2
, X
3
, X
4
, X
5
e X
6
e w
1
para a
recuperação de P
2
O
5
no concentrado.
w
1
-1,10 -0,70 -0,60 -0,50 -0,30 0,30 0,50 0,60 0,70 1,10
X
1
-0,45 -0,69 -0,75 -0,81 -0,92 -1,28 -1,40 -1,45 -1,51 -1,75
X
2
0,14 0,097 0,086 0,075 0,054 -0,01 -0,031
-0,042
-0,052
-0,095
X
3
-0,92 -0,78 -0,74 -0,71 -0,64 -0,43 -0,36 -0,33 -0,29 -0,15
X
4
-1,27 -0,98 -0,91 -0,84 -0,69 -0,26 -0,12 -0,05 0,02 0,31
X
5
-1,66 -1,69 -1,70 -1,70 -1,72 -1,76 -1,77 -1,78 -1,78 -1,81
X
6
2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85
Na Tabela 4.10 pode ser observado a faixa que w
1
pode variar, pois qualquer valor
menor que –1,10 ou maior que 1,10 representa na Equação 4.4 um valor negativo para a
recuperação de P
2
O
5
no concentrado, o que não tem sentido físico. Estes valores de X
1
(vazão
de ar), X
2
(vazão de chuveiro), X
3
(vazão de reciclo), X
4
(dosagem de coletor), X
5
(dosagem
de depressor) e X
6
(tempo de condicionamento do coletor), representam os valores que estas
variáveis podem ser utilizadas para que a recuperação de P
2
O
5
no concentrado atinja valores
no máximo de 10%, ou seja, dentro da faixa aceitável. Na Tabela 4.10, o maior valor que w
1
82
pode assumir em módulo é 1,10 e este valor na Equação 4.4, representa a menor recuperação
de P
2
O
5
no concentrado, que o processo de flotação de silicatos pode assumir para a faixa
experimental utilizada neste trabalho. Para w
1
igual a -1,10 as variáveis X
1
(vazão de ar), X
2
(vazão de chuveiro), X
3
(vazão de reciclo), X
4
(dosagem de coletor), X
5
(dosagem de
depressor) e X
6
(tempo de condicionamento do coletor) devem ser combinadas nos seguintes
níveis respectivamente, 80 L/h, 0,40 L/min, 0,30 L/min, 340 g/t, 320 g/t e 8 min. Quando w
1
é
igual a 1,10 X
1
(vazão de ar) deve ser igual a 40 L/h, X
2
(vazão de chuveiro) igual a 0,40
L/min, X
3
(vazão de reciclo) igual a 0,39 L/min, X
4
(dosagem de coletor) igual a 420 g/t, X
5
(dosagem de depressor) igual a 310 g/t e X
6
(tempo de condicionamento do coletor) igual a 8
min. Estas combinações representam as condições recomendadas para a minimização da
recuperação de P
2
O
5
no concentrado, tendo em vista o estudo de sensibilidade da variável w
1
.
Tabela 4.11 - Relação entre as variáveis X
1
, X
2
, X
3
, X
4
, X
5
e X
6
e w
1
para o teor de
SiO
2
no produto de fundo.
w
1
0,25 0,50 0,60 0,70 0,75 -0,25 -0,50 -0,60 -0,70 -0,75
X
1
-1,13 -1,20 -1,24 -1,27 -1,28 -0,97 -0,90 -0,87 -0,84 -
0,82
X
2
0,29 0,46 0,53 0,59 0,63 -0,05 -0,22 -0,28 -0,35 -
0,39
X
3
0,44 0,52 0,55 0,58 0,60 0,27 0,19 0,16 0,13 0,11
X
4
0,78 0,63 0,58 0,52 0,49 1,07 1,22 1,28 1,33 1,36
X
5
2,88 2,88 2,88 2,88 2,88 2,87 2,87 2,87 2,87 2,87
X
6
-1,95 -1,95 -1,95 -1,95 -1,95 -1,96 -1,96 -1,96 -1,96 -1,96
Analisando a Tabela 4.11 verifica-se que a faixa que w
1
pode variar em relação ao
teor de SiO
2
no produto de fundo é menor que em relação a recuperação de P
2
O
5
no
concentrado e ainda que os valores que X
1
(vazão de ar), X
2
(vazão de chuveiro), X
3
(vazão de
reciclo), X
4
(dosagem de coletor), X
5
(dosagem de depressor) e X
6
(tempo de
condicionamento do coletor) devem assumir para que o teor de SiO
2
no produto de fundo seja
menor que 8% são diferentes dos valores que minimizam a recuperação de P
2
O
5
no
concentrado.
Estes resultados comprovam mais uma vez que, as condições que promovem baixas
recuperações de P
2
O
5
no concentrado são as mesmas que conduzem a altos teores de SiO
2
no
produto de fundo e vice-versa.
83
Observando a Tabela 4.11, o maior valor em módulo que w
1
pode assumir é 0,75 e
este valor representa na Equação 4.3, o menor teor de SiO
2
no produto de fundo, ou seja, a
condição onde a maior quantidade de silicatos é coletada. Assim para w
1
igual a -0,75, X
1
(vazão de ar) deve ser igual a 65 L/h, X
2
(vazão de chuveiro) 0,30 L/min, X
3
(vazão de
reciclo) 0,45 L/min, X
4
(dosagem de coletor) 470 g/t, X
5
(dosagem de depressor) 550 g/t e X
6
(tempo de condicionamento do coletor) 1 min. Sendo w
1
igual a 0,75, X
1
, X
2
, X
3
, X
4
, X
5
e X
6
devem ser combinadas, nos seguintes níveis respectivamente, 50 L/h, 0,50 L/min, 0,50 L/min,
430 g/t, 550 g/t e 8 min. Estas combinações representam as condições recomendadas para a
minimização do teor de SiO
2
no produto de fundo, tendo em vista o estudo de sensibilidade da
variável w
1
.
4.6.1 – Resultados da Otimização e Testes Finais
Os resultados da análise canônica (estudo de sensibilidade da variável w
1
),
combinados com a análise feita nas superfícies de resposta no item 4.5 (análise estatística
Global) permitem a inferência sobre as condições que conduzem a otimização das duas
respostas (recuperação de P
2
O
5
no concentrado e teor de SiO
2
no produto de fundo)
simultaneamente. Essas condições serão descritas a seguir.
Em relação a variável
vazão de ar
, as melhores condições para as duas respostas
foram os menores níveis (
60 L/h ou 40 L/h
). A condição escolhida para a
vazão de chuveiro
nas superfícies de resposta foi a mesma encontrada como ótima na análise canônica, ou seja
0,4 L/min
. Esta mesma conclusão pode ser feita para a variável
vazão de reciclo
, onde os
melhores resultados para as duas respostas na maioria das análises realizadas nesta dissertação
foram os menores valores (
0,39 L/min
). Para as três últimas variáveis os maiores níveis,
foram aqueles que possibilitaram a obtenção das condições desejadas para as duas respostas
simultaneamente, foram eles:
dosagem de coletor de 450g/t
,
dosagem de depressor de 550
g/t
e
tempo de condicionamento do coletor de 10 min
.
Diante das condições escolhidas nesta otimização foram realizados alguns testes
finais como o objetivo de confirmar experimentalmente as condições ótimas obtidas através
das análises estatísticas realizadas neste trabalho. A Tabela 4.12 apresenta os resultados
alcançados.
84
Tabela 4.12 – Resultado dos testes finais.
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
Respostas
Teste
Vazão
de
ar
(L/h)
Vazão
de
chuveiro
(L/min)
Vazão
de
Reciclo
(L/min)
Dosagem
de
Coletor
(g/t)
Dosagem
de
Depressor
(g/t)
Tempo de
Cond. do
coletor
(min)
Teor
de
SiO
2
(%)
Recup.
de
P
2
O
5
(%)
52 60 0,40 0,39 500 550 10 9,23 7,20
53 60 0,40 0,39 550 550 10 8,62 5,52
54 40 0,40 0,39 450 550 10 8,12 6,00
55 60 0,40 0,51 450 550 10 10,65
5,88
Como pode ser visto na Tabela 4.12, foram combinadas altas dosagens de coletor e
depressor com elevado tempo de condicionamento do coletor aliada as condições de baixa
vazão de ar e de reciclo. Foi utilizado ainda o espumante Flotanol 123/93, objetivando atenuar
os problemas com a operação da coluna de flotação para estes baixos níveis de vazão de ar.
Como afirmado anteriormente, estas condições se mostraram mais adequadas para a obtenção
de ambas as respostas nos níveis desejados e os resultados obtidos nestes últimos testes
comprovam esta afirmação.
85
CAPÍTULO V
CONCLUSÕES
5.1 – Conclusões
De acordo com os resultados obtidos no estudo sobre a flotação de silicatos em coluna
para o processo de concentração da apatita, pode-se concluir que:
A utilização do coletor Flotigam EDA, se mostrou adequado para a flotação de
silicatos em coluna para o processo de concentração da apatita;
O condicionamento do minério com altas dosagens de coletor e depressor, durante um
tempo de condicionamento do coletor de 10 min, favoreceu a obtenção de um produto
de fundo com uma boa purificação, no qual foi obtido uma recuperação de P
2
O
5
no
concentrado em nível aceitável.
As condições operacionais da coluna de flotação que proporcionam a diminuição do
teor de SiO
2
no produto de fundo são as mesmas que aumentam o valor da recuperação
de P
2
O
5
no concentrado, ou seja, com aumento da vazão de ar e diminuição da vazão
de reciclo, o teor de SiO
2
no produto de fundo diminui, porém nestas codições a
recuperação de P
2
O
5
no concentrado aumenta.
O concentrado da flotação com recuperação de 6% de P
2
O
5
, e produto de fundo com
teor de 8,12% de SiO
2
foi o melhor resultado obtido entre os testes realizados neste
trabalho. As condições operacionais ótimas dentro da faixa explorada foram: vazão de
ar entre 40 e 60 L/h, vazão de água de chuveiro de 0,40 L/min, vazão de reciclo de
0,39 L/min, dosagem de coletor de 450 g/t, dosagem de depressor de 550 g/t e tempo
de condicionamento do coletor de 10 min.
Os resultados obtidos a partir da coluna de bancada mostram a possibilidade da
flotação de silicatos em uma etapa anterior a flotação da apatita.
86
5.2 - Sugestões para trabalhos futuros
Como trabalho futuro, sugere-se:
1) Realizar um estudo sobre o comportamento das partículas (faixa granulométrica) no
processo de flotação dos silicatos;
2) Testar a utilização de novos reagentes;
3) Verificar a influência dos reagentes utilizados na flotação dos silicatos nas etapas
posteriores do processo de concentração da Apatita;
4) Fazer testes em escala industrial para comparar resultados dos processos contínuo e
batelada;
5) Fazer testes de simulação da coluna de flotação utilizando a técnica de fluidodinâmica
computacional (CFD).
87
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Siliceous and Carbonates, Minerals Engineering, vol. 13, n.7, p. 789-793, 2000.
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Série Tecnologia Mineral, MCT/CNPq/CETEM, Rio de Janeiro, 1995.
BAHR, A.; et. al. 5 Jahre Betriebserfahrung mit einer pneumatischen Flotation in der
Steinkohlenaufbereitung, J. Aufbereitungs-Technik 28, no., p. 1-9, 1987.
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Statist. Soc. B 13, 1. 1951. Citado em MYERS, R.H.
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89
ANEXO I
PROCESSO DE BENEFICIAMENTO DO MINÉRIO FOSFÁTICO DA BUNGE
FERTILIZANTES.
90
A1.1 - Introdução
O Complexo Carbonatítico do Barreiro situa-se no Estado de Minas Gerais, na zona
Alto Paranaíba, no município de Araxá, 6 km a sul do centro urbano. Possui forma
aproximadamente circular com 4,5 km de diâmetro, ocupando uma área em torno de 16 km
2
.
O maciço é constituído principalmente por rochas carbonatíticas e glimeríticas resultantes do
arqueamento dômico das rochas encaixantes, com formação fraturas radiais e concêntricas
(GUIMARÃES, 1997).
Sob efeito do inteperismo no glimerito, de composição essencialmente micácea, houve
alteração parcial em vermiculita, transformação de outros silicatos em minerais do grupo da
clorita, alteração dos minerais de ferro e transformação de parte da apatita em fosfatos
hidratados amorfos. No carbonatito, houve, além dos fenômenos anteriores, lixiviação do
carbonato e reprecipitação dos íons de ferro, bário, fosfato e silício.
A jazida de fosfato mostra um perfil geológico que pode ser assim dividido:
♦
capeamento estéril: formado pela cobertura superficial e (estéril) propriamente dito;
♦
minério: formado pelo minério oxidado, minério micáceo e minério sílico-carbonatado;
♦
rocha matriz: formada pelo glimerito e carbonatito
A1.1.1 – Capeamento estéril
No capeamento estéril encontram-se materiais que praticamente não apresentam
apatita, apesar de conterem fósforo. Este fato é facilmente identificado em análises químicas,
onde ocorre virtual ausência de CaO e presença de P
2
O
5
. Os minerais encontrados mais
freqüentemente são óxidos hidratados de ferro, quartzo, argilo-minerais, magnetita, hematita,
brookita e anatásio, barita, pandaíta, além de fosfatos representados principalmente por
gorceixita, rabdofanita e alguma goiazita.
A1.1.2 – Minério
Imediatamente abaixo do capeamento estéril encontra-se a zona portadora de apatita,
na qual podem ser identificados diversos tipos de minérios, em função de características
mineralógicas relevantes no processo de beneficiamento.
De acordo com GUIMARÃES (1997) é possível identificar diferentes grupos de
minérios, tais como:
♦
minério oxidado;
91
♦
minério micáceo;
♦
minério sílico-carbonatado.
A composição mineralógica aproximada dos diferentes tipos de minérios é mostrada na
Tabela A1.1.
O minérios oxidado pode ser divido em dois grupos: minério argiloso com material
cimentado subordinado e minério cimentado com material argiloso subordinado. O minério
mais argiloso é caracterizado pela inconsistência e baixa coesão, apresentando teores de P
2
O
5
apatítico em torno de 10%, podendo este valor ser mais elevado quando ocorre a presença de
material cimentado. O minério cimentado é caracterizado por se apresentar mais duro e coeso,
com teores de P
2
O
5
apatítico acima de 15%, podendo este valor ser menor quando ocorre a
presença de material argiloso rico em fosfatos não apatíticos, característicos do capeamento
estéril. O material cimentado apresenta-se recortado por veios de barita.
Tabela A1.1. Composição mineralógica aproximada dos diferentes tipos de minérios
(GUIMARÃES, 1997).
Tipos de Minérios Minerais
Oxidado Micáceo Sílico-carbonatado
Apatita 32,5 24,3 26,6
Barita 7,1 0,2 2,3
Carbonatos 2,9 3,0 18,7
Óxidos de ferro 27,4 21,5 15,6
Minerais Síl.-Mag. 10,0 37,3 26,2
Outros Minerais 20,1 13,3 10,6
Total 100,0 100,0 100,0
No minério micáceo é observada a presença de vermiculita associada à hidrobiotita e
clorita. Os teores de MgO no minério variam desde a faixa de 2,5% até valores de 5%,
podendo chegar na faixa de 10-15%, ocorrendo conseqüentemente uma diluição dos teores de
P
2
O
5
apatítico. Este minério apresenta menor quantidade de barita, variando de traços a 3-4%.
O mínerio sílico-carbonatado apresenta composição mineralógica semelhante ao minério
micáceo no que diz respeito ao conteúdo de apatita, ressaltando a diferença básica devido à
presença de carbonatos calcíticos e dolomíticos com diversos graus de intemperismo. Este
minério, tal como o minério micáceo, apresenta baixos teores de barita, variando de traços a 2-
3%.
92
A1.1.3 – Rocha matriz
A rocha matriz é constituída de material de composição litológica bastante irregular,
com teores de P
2
O
5
apatítico situando-se entre 4 e 6%. A rocha matriz poder ser dividida em
dois tipos principais (GUIMARÃES, 1997):
a)
glimerito;
b)
carbonatito.
O glimerito é uma denominação genérica dada à rocha que apresenta essencialmente
minerais micáceos. Encontram-se porcentagens variáveis de carbonatos calcíticos e
dolomíticos, podendo ocorrer filossicatos como acessórios.
O carbonatito corresponde a uma rocha com carbonatos calcítico e dolomítico.
Apresenta como acessórios: apatita, magnetita, pirocloro, micas, olivinas e outros silicatos
magnesianos.
A1.1.4 – Descrição do processo de beneficiamento da Bunge Fertilizantes
A produção anual da mina corresponde 3,5 milhões de toneladas de minério e 2,5 a 3,0
milhões de toneladas de estéril, sendo lavrado preferencialmente o minério oxidado
(GUIMARÃES, 1997).
Segundo GUIMARÃES (1997), o beneficiamento do minério em quatro unidades
fisicamente distintas:
♦
unidade de britagem;
♦
usina de concentração;
♦
unidade de desmagnetização de alto campo e filtragem;
♦
unidade de secagem.
Na unidade de britagem o minério é classificado, britado e homogeneizado, sendo em
seguida retomado para a usina de concentração. Na usina de concentração o minério é
submetido a operações de: moagem, classificação, separação magnética de baixo campo,
deslamagem e flotações de barita e apatita. O concentrado da flotação de apatita na fração
mais grossa do minério é encaminhado para separação magnética de alta intensidade,
filtragem e secagem.
93
A1.1.4.1 – Britagem Primária
O minério proveniente da mina é alimentado à instalação de britagem primária, através
de uma moega com alimentador de placas, sendo conduzido a uma grelha vibratória, com
abertura de 4” (10,16 cm). A fração compacta do minério retida nessa grelha alimenta um
britador de mandíbulas (Faço 150120) que reduz os blocos a partículas com diâmetro máximo
de 10” (25,4 cm). O passante na grelha juntamente com o produto do britador de mandíbulas é
transportado por correias transportadoras às instalações da britagem secundária.
A1.1.4.2 – Britagem Secundária
Na britagem secundária, o minério é peneirado na malha 2” (5,08 cm) por 2 peneiras
vibratórias paralelas. O passante nesta malha é empilhado. A fração retida em 2” (5,08 cm) é
encaminhada a uma pilha intermediária, de onde é retornada, britada num britador de impactos
(Hazemag D44) e separada numa peneira com telas de 2” (5,08 cm) e ½” (1,27 cm). O
produto maior que 2” (5,08 cm) é denominado bitolado 28, devido ao fato de possuir 28% de
P
2
O
5
, sendo enviado para Mitsui, via COMIG (Companhia Mineradora de Minas Gerais), para
a produção de termofosfato. O produto intermediário é denominado bitolado 24, devido ao
fato de possuir 24% de P
2
O
5
, sendo enviado para a COMIG para a produção de fosfato
natural.
A1.1.4.3 – Pilha de homogeneização
As pilhas de homogeinização, confeccionadas por empilhadeira automática, estão
localizadas numa área com capacidade para estocagem de 84.000 t de minério, com unidade
média de 18%.
A1.1.4.4 – Moagem Primária
O minério homogeneizado, através do retomador (Villares) com capacidade de 540 t/h,
é enviado por uma correia transportadora para a usina de concentração. A capacidade de
processamento da usina é de 480 t/h. A moagem primária do minério é realizada num circuito
constituído de um moinho de barras de 11’x16’ (3353 mm x 4877 mm), fabricado pela Allis
Chalmers, operando em circuito aberto e a úmido.
94
A1.1.4.5 – Separação Magnética de Baixo Campo
O produto de moagem de barras segue para a separação magnética de baixo campo a
úmido (Sala International – 916 mm x 1800 mm). A intensidade do campo é de 800-900
Gauss. O produto magnético, constituído principalmente de magnetita, é descartado e o não-
magnético segue no circuito para a pré-classificação.
A1.1.4.6 – Classificação e Moagem Secundária
O produto não-magnético, antes de ser cominuído em moinhos de bolas, é pré-
classificado em duas baterias de hidrociclones de 26” (66 cm) em circuito contracorrente. O
underflow
desse circuito é destinado à moagem secundária em um moinho de bolas de 12,5’ x
17 (3810 mm x 5182 mm), fabricado pela Allis Chalmers, operando em circuito fechado com
quatro hidrociclones classificadores de diâmetro de 24” (61 cm). O
underflow
da classificação
retorna ao moinho, enquanto o
overflow
vai para a deslamagem.
A1.1.4.7 - Deslamagem
A primeira deslamagem consta de 5 hidrociclones de 20” (50,8 cm), tendo como
alimentação o overflow da classificação do moinho de bolas. O underflow segue para a
flotação de barita grossa e o overflow, juntamente com a lama de uma antiga barragem de
deposição de finos, é deslamado em 2 estágios (circuito fechado em série e contracorrente)
utilizando hidrociclones Mozley de 2” (5,08 cm). O overflow do circuito segue para
recuperação de água em espessador e o underflow vai para o circuito de flotação de apatita de
finos, chamado de flotação de finos gerados. O overflow da pré-classificação é deslamado em
2 estágios (circuito fechado em série e contracorrente) utilizando hidrociclones Mozley de 2”
(5,08 cm). O overflow do circuito é descartado para a barragem e o underflow vai para o
circuito de flotação de apatita fina, chamado de flotação de finos naturais.
A1.1.4.8 – Flotação da Apatita Fina
A flotação de apatita fina consta de dois circuitos: flotação de finos naturais e flotação
de finos gerados. Os dois circuitos são semelhantes, constituindo-se de condicionamento de
depressor (fubá gelatinizado de milho), condicionamento de coletor (sabão de óleo de arroz) e
flotação em coluna (3,0 m x 4,5 m x 14,5 m) em um único estágio, obtendo-se concentrado
final, chamado FCA e rejeito final. A flotação é realizada na faixa de pH entre 11,8 e 12,2.
95
A1.1.4.9 – Flotação de Barita
O underflow da primeira deslamagem é condicionado com os reagentes: espumante e
coletor em pH em torno de 9,5. A flotação de barita é realizada em um único estágio em
coluna de flotação (3,0 m x 4,5 m x 14,5 m). os reagentes utilizados na flotação de bartita são:
♦
coletor: alquil (mistura de cetil e estearil) sulfato de sódio com os seguintes nomes
comerciais: Flotinor S72 (Clariant – antiga Hoechst), Sulfopon F55 B (Henkel) e Lioflot 30
(Miracema);
♦
espumante: produtos formulados à base de agentes tensoativos não-iônicos geralmente
etoxilados, com os seguintes nomes comerciais: Flotanol D14 (Clariant – antiga Hoechst) e
Adesol M537 (Adesol Protutos Químicos Ltda).
A1.1.4.10 – Flotação de Apatita Grossa
O produto não flotado da flotação de barita vai para uma deslamagem em
hidrociclones de 20” (50,8 cm). O underflow desta deslamagem segue para um condicionador
de 10’ x 10’ (3048 mm x 3048 mm), onde são adicionados o depressor (fubá gelatinizado de
milho) e NaOH como modulador de pH. O pH de operação situa-se em 11,5. Em seguida a
polpa segue para um condicionamento retangular (3,5 m x 3,5 m x 2,5 m) com quatro
compartimentos, onde é adicionado o coletor: sabão de óleo de arroz. Após ajuste de
porcentagem de sólidos, tem-se a etapa de flotação (dois estágios paralelos em colunas de
flotação de 3,0 m x 4,5 m x 14,5 m). o concentrado das duas colunas de flotação vai para a
separação magnética de alto campo e o rejeito para o circuito de remoagem.
A1.1.4.11 - Remoagem
O rejeito da flotação de apatita segue para um circuito de remoagem e classificação. É
utilizado um moinho de 13’ x 26’ (3962 mm x 7925 mm), tendo bolas de 1’ (2,54 cm) como
corpo moedor de reposição, em circuito fechado com uma bateria de quatro ciclones de 20”
(50,8 cm). O overflow da classificação vai para uma etapa de deslamagem em hidrociclones
de 2” (5,08 cm).
96
A1.1.4.12 – Flotação de Apatita Remoída
O underflow da deslamagem segue para um condicionador de 10’ x 10’ (3048 mm x
3048 mm), onde são adicionados o depressor (fubá gelatinizado de milho) e NaOH como
modulador de pH. O pH de operação situa-se em 11,6. Em seguida a polpa segue para um
condicionador retangular (3,5 m x 3,5 m 2,5 m) com quatro compartimentos, onde é
adicionado o coletor: sabão de óleo de arroz. Após ajuste de porcentagem de sólidos, tem-se a
etapa de flotação em um único estágio numa coluna de 3,0 m x 4,5 m x 14,5 m. O concentrado
vai para a separação magnética de alto campo, juntamente com o concentrado da flotação de
apatita grossa, enquanto o rejeito vai para a barragem de deposição de rejeitos.
A1.1.4.13 – Separação Magnética de Alto Campo
Os concentrados de flotação de apatita grossa e de apatita remoída passam por uma
separação magnética de alta intensidade, 16.000 Gauss (TBM – Boxmag HIW4), visando a
remoção seletiva dos principais minerais contaminantes, que são os óxidos hidratados de ferro
(limonita e goethita), não seletivos na flotação.
A1.1.4.14 - Filtragem
O produto não magnético da separação em alto campo, após desaguamento em
hidrociclones, é filtrado em um filtro plano Dorr-Oliver. O concentrado das flotações de finos
alimenta um, eventualmente dois, filtro de tambor com descarga
belt
, após espessamento e
recuperação de água.
A1.1.4.15 - Secagem
O concentrado de apatita desmagnetizado, chamado de GCA, com 3,6% de P
2
O
5
e
3,0% de Fe
2
O
3
, vai para um galpão de homogeneização, podendo a seguir alimentar um
secador
flash-dryer.
O concentrado de apatita fina, chamado de FCA, com 35% de P
2
O
5
e 5,5% de Fe
2
O
3
,
não passa por processo de secagem, sendo principalmente utilizado na fabricação de
fertilizantes na própria Arafértil, ou em parte vendido, com 18% de umidade.
97
A.1.4.16 - O fluxograma simplificado da usina de concentração da Bunge Fertilizantes
(GUIMARÃES, 1997).
Lama natural
Rejeito
Minério
Moagem
Separação Magnética
Pré-Classificação
Filtragem
Deslamagem
Deslamagem
Condicionamento
Flotação de
Barita
Flotação de Apatita
Separação Magnética
Filtragem
Lama Gerada
Deslamagem
Condicionamento
Concentração
de Apatita
Classificação
Deslamagem
Remoagem
Rejeito
Magnetita
Classificação
Moagem
Condicionamento
Condicionamento
Flotação de Apatita
Deslamagem
Condicionamento
Flotação de
Apatita
Rejeito
Concentração
da Barita
GCA
FCA
Magnético
98
ANEXO II
RESULTADOS DA CARACTERIZAÇÃO QUÍMICA DAS AMOSTRAS DO
CONCENTRADO E DO PRODUTO DE FUNDO
99
A2.1 – Resultados da caracterização química das amostras do concentrado e do produto
de fundo para os testes preliminares.
Tabela A2.1 - Teores das espécies químicas dos testes preliminares.
Teste Amostra
DETERMINAÇÕES (%)
Nº
P
2
O
5
CaO Fe
2
O
3
SiO
2
Al
2
O
3
MgO BaSO
4
Flotado
20,58 26,40 11,28 18,12 2,55 2,94 0,63
1
Prod. Fundo
23,04 28,50 17,61 8,51 1,95 0,57 0,91
Flotado
18,89 25,05 10,28 19,70 2,77 3,16 0,67
2
Prod. Fundo
23,96 29,29 17,47 7,50 1,93 0,57 1,35
Flotado
18,46 23,72 9,78 18,47 2,44 3,29 1,02
3
Prod. Fundo
24,40 29,61 18,70 6,78 3,03 0,84 1,64
Flotado
22,07 29,53 9,22 19,10 2,37 2,80 0,44
4
Prod. Fundo
22,43 27,17 19,08 6,22 2,18 0,49 1,10
Flotado
19,03 25,32 11,79 17,94 2,74 2,80 0,66
5
Prod. Fundo
23,71 29,10 19,07 6,99 2,32 0,61 1,08
Flotado
16,65 22,03 10,19 22,43 2,94 3,75 0,46
6
Prod. Fundo
24,26 29,48 18,06 6,80 2,66 0,69 1,67
Flotado
19,62 25,58 8,98 20,06 2,95 3,69 0,56
7
Prod. Fundo
23,84 28,92 17,65 8,19 1,94 0,45 0,81
Flotado
17,37 23,17 8,37 23,10 3,58 4,71 0,60
8
Prod. Fundo
24,31 30,01 18,89 6,68 2,13 0,49 1,08
100
A2.2 – Resultados da caracterização química das amostras do concentrado e do produto
de fundo para o planejamento composto central.
Tabela A2.2 - Teores das espécies químicas do planejamento composto central.
Teste Amostra
DETERMINAÇÕES (%)
Nº
P
2
O
5
CaO Fe
2
O
3
SiO
2
Al
2
O
3
MgO BaSO
4
Flotado
15,17 20,13 9,75 30,38 2,41 4,31 1,32
9
Prod. Fundo
24,28 29,60 19,80 7,59 1,76 0,88 2,21
Flotado
15,56 20,59 9,35 30,73 2,94 4,96 1,83
10
Prod. Fundo
22,57 28,74 19,12 8,32 1,47 0,70 1,23
Flotado
19,75 26,06 8,71 25,27 1,94 3,76 0,88
11
Prod. Fundo
22,66 28,62 18,65 8,81 1,70 0,65 1,38
Flotado
19,99 25,97 8,15 25,71 2,17 4,02 1,01
12
Prod. Fundo
23,42 29,41 19,83 8,09 1,95 0,69 2,03
Flotado
15,54 20,10 9,24 32,00 3,08 4,62 2,02
13
Prod. Fundo
24,08 29,20 17,51 10,07 1,61 0,77 1,41
Flotado
18,82 24,06 10,02 24,63 2,39 3,53 1,10
14
Prod. Fundo
23,04 28,03 19,29 7,36 2,12 0,63 1,58
Flotado
16,24 21,36 7,49 30,46 2,75 5,63 0,87
15
Prod. Fundo
23,40 28,84 18,71 8,87 2,05 0,73 1,86
Flotado
19,39 25,20 11,11 24,89 2,83 3,93 2,05
16
Prod. Fundo
23,87 28,48 20,35 6,88 1,75 0,65 2,60
Flotado
12,52 16,60 6,95 54,38 4,03 5,12 0,28
17
Prod. Fundo
22,57 30,02 16,09 18,63 1,42 0,82 0,79
Flotado
15,60 22,04 6,78 44,38 2,55 4,64 0,28
18
Prod. Fundo
24,70 28,63 18,34 14,30 1,48 0,64 0,99
Flotado
13,51 19,07 6,51 50,31 2,64 5,15 0,24
19
Prod. Fundo
22,97 30,31 17,87 15,15 1,36 0,72 0,86
Flotado
13,17 17,99 6,68 49,73 3,83 4,82 0,29
20
Prod. Fundo
22,33 29,85 21,08 11,59 1,39 0,58 0,96
Flotado
15,99 21,47 7,14 44,32 2,76 4,38 0,30
21
Prod. Fundo
23,66 28,84 19,26 12,15 1,39 0,63 1,39
Flotado
13,81 19,93 6,44 47,90 2,74 4,93 0,28
22
Prod. Fundo
22,64 29,33 17,55 15,82 1,56 0,71 1,21
Flotado
15,83 21,26 6,83 44,88 2,78 4,74 0,32
23
Prod. Fundo
23,02 29,80 18,26 13,82 1,38 0,59 1,27
Flotado
12,84 17,73 6,46 50,73 2,87 5,28 0,19
24
Prod. Fundo
21,78 29,04 15,17 22,01 1,79 0,66 0,84
101
A2.3 – Resultados da caracterização química das amostras do concentrado e do produto
de fundo para os testes exploratórios.
Tabela A2.3 - Teores das espécies químicas dos testes exploratórios.
Teste Amostra
DETERMINAÇÕES (%)
Nº
P
2
O
5
CaO Fe
2
O
3
SiO
2
Al
2
O
3
MgO BaSO
4
Flotado
16,30 21,30 9,53 27,68 2,56 4,34 1,32
25
Prod. Fundo
23,84 29,54 19,93 6,87 1,81 0,68 1,81
Flotado
10,13 14,81 7,47 50,21 2,89 2,39 0,72
26
Prod. Fundo
23,26 29,01 18,02 9,40 1,41 1,60 0,99
Flotado
15,50 22,12 8,30 39,44 2,58 2,13 0,62
27
Prod. Fundo
22,30 28,29 18,01 9,15 1,45 1,60 1,03
Flotado
12,37 18,01 8,80 40,55 2,75 2,38 0,37
28
Prod. Fundo
22,16 28,93 17,12 12,59 1,65 1,61 1,45
Flotado
15,72 22,56 7,97 39,19 2,74 2,24 1,09
29
Prod. Fundo
21,86 28,84 17,25 14,91 1,58 1,61 1,15
Flotado
13,03 18,41 9,31 40,95 2,48 2,27 0,38
30
Prod. Fundo
22,30 29,50 17,58 10,23 1,41 1,61 1,06
Flotado
14,85 20,85 9,20 37,09 3,19 2,29 1,36
31
Prod. Fundo
24,01 26,62 18,12 10,04 2,06 1,61 2,01
Flotado
14,66 21,04 8,29 38,35 2,48 2,31 0,34
32
Prod. Fundo
22,70 29,84 18,72 9,82 1,55 1,60 1,38
Flotado
16,11 22,88 9,16 34,07 2,55 2,20 0,84
33
Prod. Fundo
22,15 28,76 19,06 8,99 1,46 1,58 1,09
Flotado
15,39 21,28 9,99 34,95 2,77 2,20 0,68
34
Prod. Fundo
22,01 29,73 16,43 12,41 1,48 1,60 0,96
Flotado
15,43 20,67 8,89 38,66 2,55 2,15 0,46
35
Prod. Fundo
23,15 27,78 17,58 15,09 1,60 1,57 1,03
Flotado
17,37 23,29 10,19 32,13 2,13 2,01 0,39
36
Prod. Fundo
22,45 28,41 20,96 9,33 1,38 1,62 1,01
Flotado
21,26 28,35 8,13 29,27 1,89 1,97 0,80
37
Prod. Fundo
21,80 27,62 21,25 10,82 1,80 1,72 1,21
Flotado
17,70 25,00 10,72 29,87 2,16 1,96 0,92
38
Prod. Fundo
22,16 28,54 18,44 13,12 1,63 1,64 1,57
Flotado
19,06 24,58 9,44 32,72 2,15 1,98 0,50
39
Prod. Fundo
22,02 27,00 18,58 15,18 1,72 1,77 1,15
Flotado
15,42 21,89 10,00 39,60 2,63 2,05 1,31
40
Prod. Fundo
24,06 28,73 19,94 10,90 2,46 1,47 2,22
Flotado
13,63 18,14 9,82 34,69 3,72 4,74 0,39
41
Prod. Fundo
22,32 27,50 18,24 7,36 1,91 0,63 1,08
Continua
102
Continuação
Teste Amostra
DETERMINAÇÕES (%)
Nº
P
2
O
5
CaO Fe
2
O
3
SiO
2
Al
2
O
3
MgO BaSO
4
Flotado
12,84 17,26 9,83 35,73 3,60 4,57 0,89
42
Prod. Fundo
23,42 28,92 16,67 11,05 2,23 0,87 1,20
Flotado
16,16 21,31 10,92 28,52 3,46 4,30 0,37
43
Prod. Fundo
23,40 28,41 17,64 9,91 2,80 0,85 1,75
Flotado
14,15 18,89 9,68 33,11 3,55 4,77 0,36
44
Prod. Fundo
22,50 28,68 17,53 10,84 2,04 0,81 1,00
Flotado
20,18 21,31 10,47 27,15 2,48 3,62 0,27
45
Prod. Fundo
21,26 26,13 20,71 8,12 2,27 0,66 1,02
Flotado
17,89 19,14 10,41 30,31 2,93 4,43 0,25
46
Prod. Fundo
21,30 26,76 20,80 8,24 2,39 0,71 0,96
Flotado
19,44 21,01 10,10 27,31 2,42 4,81 0,28
47
Prod. Fundo
23,53 24,00 17,54 14,25 2,16 0,61 0,86
Flotado
19,97 22,41 9,91 26,54 2,38 3,56 0,30
48
Prod. Fundo
24,63 24,93 18,03 17,84 2,51 0,76 0,87
Flotado
21,71 22,40 10,08 29,04 2,46 3,65 0,33
49
Prod. Fundo
22,54 26,58 19,47 11,38 2,46 0,83 1,11
Flotado
18,54 19,62 10,88 30,63 2,62 3,79 0,24
50
Prod. Fundo
22,64 27,70 20,01 8,28 2,37 0,67 0,87
Flotado
12,03 16,67 6,14 53,09 2,83 5,21 0,27
51
Prod. Fundo
22,91 30,18 20,03 12,02 1,33 0,56 1,11
103
A2.4 – Resultados da caracterização química das amostras do concentrado e do produto
de fundo para os testes finais.
Tabela A2.4 - Teores das espécies químicas dos testes finais.
Teste Amostra DETERMINAÇÕES (%)
Nº P
2
O
5
CaO Fe
2
O
3
SiO
2
Al
2
O
3
MgO BaSO
4
Flotado 10,99 14,75 9,44 41,08 2,66 4,50 0,14
52
Prod. Fundo
22,61 28,72 19,40 9,23 1,28 0,53 0,76
Flotado 8,19 11,66 9,67 43,97 2,91 5,05 0,31
53
Prod. Fundo
22,79 28,69 19,56 8,62 1,28 0,49 0,92
Flotado 9,93 13,53 10,40 42,98 2,77 4,46 0,17
54
Prod. Fundo
22,59 28,55 19,77 8,12 1,19 0,57 0,90
Flotado 9,74 13,06 9,12 45,28 2,57 4,67 0,21
55
Prod. Fundo
22,9 28,30 19,30 10,65 1,22 0,54 0,86
104
ANEXO III
SUPERFÍCIES DE RESPOSTA PARA O TEOR DE SiO
2
NO PRODUTO DE
FUNDO E RECUPERAÇÃO DE P
2
0
5
NO CONCENTRADO EM FUNÇÃO DAS
VARIÁVEIS INDEPENDENTES.
105
A3.1 – Superfícies para o teor de SiO
2
no produto de fundo
Figura A3.1:
Superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo em função da vazão
de ar (X
1
) e da vazão de reciclo (X
3
) para uma vazão de chuveiro de 0,4 L/min, uma dosagem
de coletor de 450 g/t, dosagem de depressor de 550 g/t tempo de condicionamento do coletor
de 10 min .
Figura A3.2:
Superfície de resposta do teor de SiO
2
no produto de fundo em função da
dosagem de coletor (X
4
) e da dosagem de depressor (X
5
) para da vazão de ar de 60 L/h, uma
vazão de chuveiro de 0,4 L/min, uma vazão de reciclo de 0,39 L/min e tempo de
condicionamento do coletor de 10 min.
1,404
2,807
4,211
5,615
7,018
8,422
9,826
11,229
12,633
14,036
above
6,308
7,43
8,553
9,675
10,797
11,919
13,041
14,164
15,286
16,408
above
106
A3.2 – Superfícies para a recuperação de P
2
O
5
no concentrado
Figura A3.3
:
Superfície de resposta da recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função da
vazão de ar (X
1
) e da vazão de reciclo (X
3
) para uma vazão de chuveiro de 0,4 L/min, uma
dosagem de coletor de 450 g/t, dosagem de depressor de 550 g/t tempo de condicionamento
do coletor de 10 min .
Figura A3.4
:
Superfície de resposta da recuperação de P
2
O
5
no concentrado em função
dosagem de coletor (X
4
) e da dosagem de depressor (X
5
) para da vazão de ar de 60 L/h, uma
vazão de chuveiro de 0,4 L/min, uma vazão de reciclo de 0,39 L/min e tempo de
condicionamento do coletor de 10 min.
2,727
5,455
8,182
10,909
13,636
16,364
19,091
21,818
24,545
27,273
above
8,268
8,558
8,847
9,137
9,426
9,716
10,005
10,295
10,584
10,874
above
107
ANEXO IV
ETAPAS DA REALIZAÇÃO DA ANÁLISE CANÔNICA PARA AS
SUPERFÍCIES DE RESPOSTA
108
A4.1 - Análise Canônica para a recuperação de P
2
O
5
no concentrado:
> restart;
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
>BR:=matrix([[0,0,0,6.27,-0.88,0],[0,8.93,5.14,0,0,0],[0,5.14,5.01,-5.37,0,0],[6.27,0,-
5.37,0,0,0],[-0.88,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0.41]]);
Cálculo das Raízes Características:
>BR1:=MATRIX([[0-LAMBDA,0,0,6.27,-0.88,0],[0,8.93-
LAMBDA,5.14,0,0,0],[0,5.14,5.01-LAMBDA,-5.37,0,0],[6.27,0,-5.37,0-LAMBDA,0,0],[-
0.88,0,0,0,0-LAMBDA,0],[0,0,0,0,0,0.41-LAMBDA]]);
> EqR:= det(BR1);
> sol:= EqR=0;
> Raizes:=fsolve(sol);
Raizes := -7.734041699, -0.2225460537, 0.4099999987, 1.191719793, 0.197939032,
13.50692899
Matriz Invesa de BR:
> BR2:=inverse(BR);
Vetor dos parâmetros associados as variáveis isoladas
:
> bR:=matrix(6,1,[2.95,5.12,0,8.06,-1.94,-2.34]);
> b1:= multiply(BR2,bR);
Ponto Estacionário:
> xo:= evalm((-1/2)*b1);
[-1.102272727]
[.02215503950]
[-.5365456230]
xo := [-.4793699573]
[-1.739374582]
[2.853658537 ]
109
Modelo ajustado :
>yo:=14.65+2.95*x10+5.12*x20+8.06*x40-1.94*x50-2.34*x60+12.54*x10*x40-
1.76*x10*x50+10.28*x20*x30-10.74*x30*x40+8.93*x20^2+5.01*x30^2+0.41*x60^2;
>p:={x10=-1.102272727, x20=0.2215503950e-1, x30=-0.5365456230, x40=-0.4793699573
,x50=-1.739374582, x60=2.853658537};
> yzero:=subs(p,yo);
yzero := 9.497416560
Forma Canônica:
>y:= yzero -7.734041699*w1^2 -0.2225460537*w2^2 +0.4099999987*w3^2
+1.191719793*w4^2 +7.197939032 *w5^2 +13.50692899*w6^2;
Como os lambdas têm sinais diferentes, o ponto estacionário x não é nem ponto de
máximo nem de mínimo:
Achando as equações de recorrência que relacionam as variáveis canônicas com as 6
variáveis independentes x1, x2, x3, x4, x5 e x6:
w= M' * (x-xo), onde M' é a matriz transposta de M. Para isso basta achar o autovetores
associados a matriz B:
> autovetor:=eigenvects(BR);
Dessa forma a matriz M:
>MMR:= array([[-.5901477661, -.1066564566, .3457835980, .7185226397, -.6714859202e-
1, 0], [.2308425719, -.1541576892, .2745010408, .1199197054, .9128064186, 0], [0, 0, 0, 0,
0, 1],[.5381094686, -.4104772770, .6179743553, .4650764356e-1, -.3973554327, 0], [-
.5358611132, -.5536688485, .1865735813, -.6059719735, .6551288899e-1, 0], [-
.1474055223, .6998707153, .6232021152, -.3161953284, .9603726769e-2, 0]]);
> M:=transpose(MMR);
M := [-.5901477661 , .2308425719 , 0 , .5381094686 , -.5358611132 ,-.1474055223]
[-.1066564566 , -.1541576892 , 0 , -.4104772770 , -.5536688485 ,.6998707153]
[.3457835980 , .2745010408 , 0 , .6179743553 , .1865735813 , .6232021152]
[.7185226397 , .1199197054 , 0 , .04650764356 , -.6059719735 ,-.3161953284]
[-.06714859202 , .9128064186 , 0 , -.3973554327 , .06551288899 ,.009603726769]
[0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0]
Encontrando a relação entre x1, x2, x3, x4, x5, x6 e w1, w2, w3,w4, w5, w6 sendo,
w= M' * (x-xo):
> ww:=matrix(6,1,[w1,w2,w3,w4,w5,w6]);
110
Analisando a sensibilidade apenas de w1:
> w:=matrix(6,1,[w1,0,0,0,0,0]);
Calculando (x-xo):
> x:=matrix(6,1,[x1+1.102272727,x2-0.2215503950e-1,x3+0.5365456230,
x4+0.4793699573, x5+1.739374582, x6-2.853658537]);
[x1 + 1.102272727 ]
[x2 - .02215503950]
[x3 + .5365456230 ]
x := [x4 + .4793699573 ]
[x5 + 1.739374582 ]
[x6 - 2.853658537 ]
Calculando M'*(x-xo):
> analise:=multiply(MMR,x);
analise :=[-.5901477661 x1 - .2349705206 - .1066564566 x2 + .3457835980 x3+
.7185226397 x4 - .06714859202 x5]
[.2308425719 x1 + 2.050347360 - .1541576892 x2 + .2745010408 x3+ .1199197054
x4 + .9128064186 x5]
[x6 - 2.853658537]
[.5381094686 x1 + .2649533946 - .4104772770 x2 + .6179743553 x3+ .04650764356 x4 -
.3973554327 x5]
[-.5358611132 x1 - .6548266021 - .5536688485 x2 + .1865735813 x3- .6059719735 x4 +
.06551288899 x5]
[-.1474055223 x1 + .02151955403 + .6998707153 x2 + .6232021152 x3- .3161953284 x4 +
.009603726769 x5]
Fazendo w=M'*(x-xo):
> analise2:= evalm(analise=w);
Relacionando x1, x2, x3,x4, x5 e x6 com w1 para w2, w3,w4, w5, w6 iguais a zero:
Valores de x1, x2, x3, x4, x5, x6 , para w1=0.30:
>coluna1:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-
1*x5=0.3,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0,x6-
2.853658537=0,.5381094686*x1+.2649533946-
111
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna1 := {x6 = 2.853658537, x2 = -.009841897520, x3 = -.4328105436, x1 = -
1.279317057, x5 = -1.759519160, x4 = -.2638131651}
Valores de x1, x2, x3, x4, x5, x6 , para w1=0.50:
> coluna2:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-
1*x5=0.5,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna2 := {x6 = 2.853658537, x5 = -1.772948878, x2 = -.03117318884,x3 = -.3636538240,
x4 = -.1201086370, x1 = -1.397346610}
Valores de x1, x2, x3, x4, x5, x6 , para w1=0.60:
> coluna3:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-
1*x5=0.6,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna3 := {x6 = 2.853658537, x5 = -1.779663737, x1 = -1.456361387,x3 = -.3290754641,
x2 = -.04183883450, x4 = -.04825637299}
Valores de x1, x2, x3, x4, x5, x6 , para w1=0.70:
> coluna4:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-
1*x5=0.7,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
112
coluna4 := {x6 = 2.853658537, x3 = -.2944971043, x5 = -1.786378597,x1 = -1.515376163,
x2 = -.05250448016, x4 = .02359589105}
Valores de x1, x2, x3, x4, x5, x6 , para w1=0.8:
> coluna5:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-
1*x5=0.8,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna5 := {x6 = 2.853658537, x4 = .09544815509, x5 = -1.793093456,x1 = -1.574390940,
x3 = -.2599187445, x2 = -.06317012582}
Valores de x1, x2, x3, x4, x5, x6 , para w1=1.10:
> coluna6:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-
1*x5=1.1,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna6 := {x6 = 2.853658537, x3 = -.1561836650, x2 = -.09516706280,x1 = -1.751435270,
x5 = -1.813238033, x4 = .3110049472}
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-0.30:
> coluna7:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-1*x5=-
0.3,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna7 := {x6 = 2.853658537, x5 = -1.719230005, x1 = -.9252283973, x3 = -.6402807026,
x2 = .05415197644, x4 = -.6949267494}
113
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-0.50:
> coluna8:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-1*x5=-
0.5,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna8 := {x6 = 2.853658537, x2 = .07548326776, x4 = -.8386312775,x1 = -.8071988441,
x3 = -.7094374223, x5 = -1.705800286}
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-0.60:
> coluna9:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-1*x5=-
0.6,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna9 := {x6 = 2.853658537, x5 = -1.699085427, x1 = -.7481840675, x3 = -.7440157821,
x2 = .08614891342, x4 = -.9104835415}
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-0.70:
> coluna10:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-1*x5=-
0.7,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna10 := {x6 = 2.853658537, x4 = -.9823358056, x2 = .09681455908, x5 = -1.692370568,
x1 = -.6891692909, x3 = -.7785941419}
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-0.8:
> coluna11:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-1*x5=-
0.8,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
114
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna11 := {x6 = 2.853658537, x2 = .1074802047, x5 = -1.685655709,x1 = -.6301545143,
x3 = -.8131725018, x4 = -1.054188070}
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-1.10:
> coluna12:=solve({-.5901477661*x1-.2349705206-
.1066564566*x2+.3457835980*x3+.7185226397*x4-.6714859202e-1*x5=-
1.1,.2308425719*x1+2.050347360-
.1541576892*x2+.2745010408*x3+.1199197054*x4+.9128064186*x5=0, x6-
2.853658537=0, .5381094686*x1+.2649533946-
.4104772770*x2+.6179743553*x3+.4650764356e-1*x4-.3973554327*x5=0,-
.5358611132*x1-.6548266021-.5536688485*x2+.1865735813*x3-
.6059719735*x4+.6551288899e-1*x5=0,-.1474055223*x1+.2151955403e-
1+.6998707153*x2+.6232021152*x3-.3161953284*x4+.9603726769e-2*x5=0});
coluna12 := {x6 = 2.853658537, x1 = -.4531101844, x4 = -1.269744862,x2 = .1394771417,
x3 = -.9169075813, x5 = -1.665511131}
115
A4.2 - Análise Canônica para o teor de SiO
2
no produto de fundo:
> restart;
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
>B:=matrix([[-3.57,0,1.65,-6.68,0.965,0.475],[0,-11.75,-3.16,5.545,0,0],[1.65,-
3.16,0,5.435,0,0],[-6.68,5.545,5.435,-5.06,-0.275,0],[0.965,0,0,-
0.275,0.28,0],[0.475,0,0,0,0,0]]);
Cálculo das Raízes Características:
> B1:=matrix([[-3.57-lambda,0,1.65,-6.68,0.965,0.475],[0,-11.75-lambda,-
3.16,5.545,0,0],[1.65,-3.16,0-lambda,5.435,0,0],[-6.68,5.545,5.435,-5.06-lambda,-
0.275,0],[0.965,0,0,-0.275,0.28-lambda,0],[0.475,0,0,0,0,0-lambda]]);
> Eq:= det(B1);
> sol:= Eq=0;
> raizes:=[fsolve(sol)];
raizes := [-18.02608406, -8.038746254, -.2085295897, .06918463293,1.327559363,
4.776615082]
Matriz Invesa de B:
> B2:=inverse(B);
Vetor dos parâmetros associados as variáveis isoladas:
> b:=matrix(6,1,[0,-5.18,-5.84,-8.32,0.93,1]);
> b1:= multiply(B2,b);
Ponto Estacionário:
> xo:= evalm((-1/2)*b1);
[-1.052631579]
[.1211805869 ]
[.3569309445 ]
xo := [.9272810965 ]
[2.877827769 ]
[-1.957256561]
116
Modelo ajustado :
> yo:=15.80-5.18*x20-5.84*x30-8.32*x40+0.93*x50+1.00*x60+3.30*x10*x30-
13.36*x10*x40+1.93*x10*x50+0.95*x10*x60-
6.32*x20*x30+11.09*x20*x40+10.87*x30*x40-0.55*x40*x50-3.57*x10^2-11.75*x20^2-
5.06*x40^2+0.28*x50^2;
> p:={x10=-1.052631579, x20=.1211805869, x30=.3569309445,
x40=.9272810965,x50=2.877827769,x60=-1.957256561};
> yzero:=subs(p,yo);
yzero := 10.94597619
Forma Canônica:
> y:=yzero -18.02608406*w1^2 -8.038746254*w2^2 -.2085295897*w3^2 +.6918463293e-
1*w4^2 +1.327559363*w5^2 +4.776615082*w6^2;
Como os lambdas têm sinais diferentes, o ponto estacionário x não é nem ponto de
máximo nem de mínimo:
Achando as equações de recorrência que relacionam as variáveis canônicas com as 6
variáveis independentes x1, x2, x3, x4, x5, x6:
W= M' * (x-xo), onde M' é a matriz transposta de M. Para isso basta achar o autovetores
associados a matriz B:
> autovetor:=eigenvects(B);
Dessa forma a matriz M:
> MM:= array([[-.3073833873, .6784189818, .3230699851, -.5837534137, .7434292642e-2,
.8099769001e-2],[.6261796071, .6675316293, -.1214100957, .3775875943, -.6015650728e-1,
-.3700021081e-1],[.2660100701, -.1756938370, .3005073294, -.1944386034, -.6349059267, -
.6059321399],[.1129456879, -.5999751568e-1, .1053792359, -.6783107844e-1, -
.6054878127, .7754497021],[-.4676791906, .2087420394, -.7031415544, .9159767311e-1, -
.4548666137, -.1673353542],[.4595352453, -.1269170774, -.5339174941, -.6825408421,
.1403611899, .4569747385e-1]]);
MM :=[-.3073833873 , .6784189818 , .3230699851 , -.5837534137 ,.007434292642 ,
.008099769001]
[.6261796071 , .6675316293 , -.1214100957 , .3775875943 ,-.06015650728 , -
.03700021081]
[.2660100701 , -.1756938370 , .3005073294 , -.1944386034 ,-.6349059267 , -.6059321399]
[.1129456879 , -.05999751568 , .1053792359 , -.06783107844 ,-.6054878127 ,
.7754497021]
[-.4676791906 , .2087420394 , -.7031415544 , .09159767311 ,-.4548666137 , -.1673353542]
117
[.4595352453 , -.1269170774 , -.5339174941 , -.6825408421 ,.1403611899 , .04569747385]
> M:=transpose(MM);
M :=[-.3073833873 , .6261796071 , .2660100701 , .1129456879 ,-.4676791906 .4595352453]
[.6784189818 , .6675316293 , -.1756938370 , -.05999751568 ,.2087420394 , -.1269170774]
[.3230699851 , -.1214100957 , .3005073294 , .1053792359 ,-.7031415544 , -.5339174941]
[-.5837534137 , .3775875943 , -.1944386034 , -.06783107844 ,.09159767311 , -
.6825408421]
[.007434292642 , -.06015650728 , -.6349059267 , -.6054878127 , -.4548666137 ,
.1403611899]
[.008099769001 , -.03700021081 , -.6059321399 , .7754497021 , -.1673353542 ,
.04569747385]
Encontrando a relação entre x1, x2, x3, x4, x5, x6 e w1, w2, w3, w4, w5 sendo,
w= M' * (x-xo):
> ww:=matrix(6,1,[w1,w2,w3,w4,w5,w6]);
Analisando a sensibilidade apenas de w1:
> w:=matrix(6,1,[w1,0,0,0,0,0]);
Calculando (x-xo):
> x:=matrix(6,1,[x1+1.052631579,x2-.1211805869,x3-.3569309445, x4-.9272810965,x5-
2.877827769 ,x6+1.957256561]);
Calculando M'*(x-xo):
> analise:=multiply(MM,x);
analise :=[-.3073833873 x1 + .01467587211 + .6784189818 x2 + .3230699851 x3 -
.5837534137 x4 + .007434292642 x5 + .008099769001 x6]
[.6261796071 x1 + .3721508973 + .6675316293 x2 - .1214100957 x3+ .3775875943 x4 -
.06015650728 x5 - .03700021081 x6]
[.2660100701 x1 + 1.015525410 - .1756938370 x2 + .3005073294 x3- .1944386034 x4 -
.6349059267 x5 - .6059321399 x6]
[.1129456879 x1 + 3.411689757 - .05999751568 x2 + .1053792359 x3- .06783107844 x4 -
.6054878127 x5 + .7754497021 x6]
[-.4676791906 x1 + .6299563726 + .2087420394 x2 - .7031415544 x3+ .09159767311 x4 -
.4548666137 x5 - .1673353542 x6]
[.4595352453 x1 + 1.008086444 - .1269170774 x2 - .5339174941 x3 - .6825408421 x4 +
.1403611899 x5 + .04569747385 x6]
Fazendo w=M'*(x-xo):
> analise2:= evalm(analise=w);
118
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=0.25:
>coluna1:=solve({-.3073833873*x1+.1467587211e-1
+.6784189818*x2+.3230699851*x3-.5837534137*x4+.7434292642e-2*x5+.8099769001e-
2*x6=0.25,.6261796071*x1+.3721508973+.6675316293*x2-
.1214100957*x3+.3775875943*x4-.6015650728e-1*x5-.3700021081e-
1*x6=0,.2660100701*x1+1.015525410-.1756938370*x2+.3005073294*x3-.1944386034*x4-
.6349059267*x5-.6059321399*x6=0,.1129456879*x1+3.411689757-.5999751568e-
1*x2+.1053792359*x3-.6783107844e-1*x4-.6054878127*x5+.7754497021*x6=0,-
.4676791906*x1+.6299563726+.2087420394*x2-.7031415544*x3+.9159767311e-1*x4-
.4548666137*x5-.1673353542*x6=0,.4595352453*x1+1.008086444-.1269170774*x2-
.5339174941*x3-.6825408421*x4+.1403611899*x5+.4569747385e-1*x6=0});
coluna1 := {x5 = 2.879686343, x6 = -1.955231618, x1 = -1.129477427, x3 =.4376984408, x4
= .7813427438, x2 = .2907853326}
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=0.5:
> coluna2:=solve({-.3073833873*x1+.1467587211e-1+.6784189818*x2+.3230699851*x3-
.5837534137*x4+.7434292642e-2*x5+.8099769001e-
2*x6=0.5,.6261796071*x1+.3721508973+.6675316293*x2-
.1214100957*x3+.3775875943*x4-.6015650728e-1*x5-.3700021081e-
1*x6=0,.2660100701*x1+1.015525410-.1756938370*x2+.3005073294*x3-.1944386034*x4-
.6349059267*x5-.6059321399*x6=0,.1129456879*x1+3.411689757-.5999751568e-
1*x2+.1053792359*x3-.6783107844e-1*x4-.6054878127*x5+.7754497021*x6=0,-
.4676791906*x1+.6299563726+.2087420394*x2-.7031415544*x3+.9159767311e-1*x4-
.4548666137*x5-.1673353542*x6=0,.4595352453*x1+1.008086444-.1269170774*x2-
.5339174941*x3-.6825408421*x4+.1403611899*x5+.4569747385e-1*x6=0});
coluna2 := {x3 = .5184659373, x4 = .6354043903, x2 = .4603900780, x5 = 2.881544916, x6
= -1.953206676, x1 = -1.206323273}
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=0.6:
> coluna3:=solve({-.3073833873*x1+.1467587211e-1+.6784189818*x2+.3230699851*x3-
.5837534137*x4+.7434292642e-2*x5+.8099769001e-
2*x6=0.6,.6261796071*x1+.3721508973+.6675316293*x2-
.1214100957*x3+.3775875943*x4-.6015650728e-1*x5-.3700021081e-
1*x6=0,.2660100701*x1+1.015525410-.1756938370*x2+.3005073294*x3-.1944386034*x4-
.6349059267*x5-.6059321399*x6=0,.1129456879*x1+3.411689757-.5999751568e-
1*x2+.1053792359*x3-.6783107844e-1*x4-.6054878127*x5+.7754497021*x6=0,-
.4676791906*x1+.6299563726+.2087420394*x2-.7031415544*x3+.9159767311e-1*x4-
.4548666137*x5-.1673353542*x6=0,.4595352453*x1+1.008086444-.1269170774*x2-
.5339174941*x3-.6825408421*x4+.1403611899*x5+.4569747385e-1*x6=0});
coluna3 := {x2 = .5282319762, x4 = .5770290489, x3 = .5507729358, x5 = 2.882288345, x6
= -1.952396699, x1 = -1.237061612}
119
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=0.7:
> coluna4:=solve({-.3073833873*x1+.1467587211e-1+.6784189818*x2+.3230699851*x3-
.5837534137*x4+.7434292642e-2*x5+.8099769001e-
2*x6=0.7,.6261796071*x1+.3721508973+.6675316293*x2-
.1214100957*x3+.3775875943*x4-.6015650728e-1*x5-.3700021081e-
1*x6=0,.2660100701*x1+1.015525410-.1756938370*x2+.3005073294*x3-.1944386034*x4-
.6349059267*x5-.6059321399*x6=0,.1129456879*x1+3.411689757-.5999751568e-
1*x2+.1053792359*x3-.6783107844e-1*x4-.6054878127*x5+.7754497021*x6=0,-
.4676791906*x1+.6299563726+.2087420394*x2-.7031415544*x3+.9159767311e-1*x4-
.4548666137*x5-.1673353542*x6=0,.4595352453*x1+1.008086444-.1269170774*x2-
.5339174941*x3-.6825408421*x4+.1403611899*x5+.4569747385e-1*x6=0});
coluna4 := {x2 = .5960738743, x4 = .5186537075, x3 = .5830799344,x1 = -1.267799951, x6
= -1.951586722, x5 = 2.883031774}
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=0.75:
> coluna5:=solve({-.3073833873*x1+.1467587211e-1+.6784189818*x2+.3230699851*x3-
.5837534137*x4+.7434292642e-2*x5+.8099769001e-
2*x6=0.75,.6261796071*x1+.3721508973+.6675316293*x2-
.1214100957*x3+.3775875943*x4-.6015650728e-1*x5-.3700021081e-
1*x6=0,.2660100701*x1+1.015525410-.1756938370*x2+.3005073294*x3-.1944386034*x4-
.6349059267*x5-.6059321399*x6=0,.1129456879*x1+3.411689757-.5999751568e-
1*x2+.1053792359*x3-.6783107844e-1*x4-.6054878127*x5+.7754497021*x6=0,-
.4676791906*x1+.6299563726+.2087420394*x2-.7031415544*x3+.9159767311e-1*x4-
.4548666137*x5-.1673353542*x6=0,.4595352453*x1+1.008086444-.1269170774*x2-
.5339174941*x3-.6825408421*x4+.1403611899*x5+.4569747385e-1*x6=0});
coluna5 := {x6 = -1.951181734, x5 = 2.883403489, x1 = -1.283169120, x3 = .5992334337,
x4 = .4894660368, x2 = .6299948234}
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-0.25:
> coluna6:=solve({-.3073833873*x1+.1467587211e-1+.6784189818*x2+.3230699851*x3-
.5837534137*x4+.7434292642e-2*x5+.8099769001e-2*x6=-
0.25,.6261796071*x1+.3721508973+.6675316293*x2-.1214100957*x3+.3775875943*x4-
.6015650728e-1*x5-.3700021081e-1*x6=0,.2660100701*x1+1.015525410-
.1756938370*x2+.3005073294*x3-.1944386034*x4-.6349059267*x5-
.6059321399*x6=0,.1129456879*x1+3.411689757-.5999751568e-1*x2+.1053792359*x3-
.6783107844e-1*x4-.6054878127*x5+.7754497021*x6=0,-
.4676791906*x1+.6299563726+.2087420394*x2-.7031415544*x3+.9159767311e-1*x4-
.4548666137*x5-.1673353542*x6=0,.4595352453*x1+1.008086444-.1269170774*x2-
.5339174941*x3-.6825408421*x4+.1403611899*x5+.4569747385e-1*x6=0});
coluna6 := {x4 = 1.073219451, x5 = 2.875969196, x1 = -.9757857329, x6 = -1.959281503,
x3 = .2761634480, x2 = -.04842415809}
120
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-0.5:
> coluna7:=solve({-.3073833873*x1+.1467587211e-1+.6784189818*x2+.3230699851*x3-
.5837534137*x4+.7434292642e-2*x5+.8099769001e-2*x6=-
0.5,.6261796071*x1+.3721508973+.6675316293*x2-.1214100957*x3+.3775875943*x4-
.6015650728e-1*x5-.3700021081e-1*x6=0,.2660100701*x1+1.015525410-
.1756938370*x2+.3005073294*x3-.1944386034*x4-.6349059267*x5-
.6059321399*x6=0,.1129456879*x1+3.411689757-.5999751568e-1*x2+.1053792359*x3-
.6783107844e-1*x4-.6054878127*x5+.7754497021*x6=0,-
.4676791906*x1+.6299563726+.2087420394*x2-.7031415544*x3+.9159767311e-1*x4-
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coluna7 := {x2 = -.2180289035, x3 = .1953959516, x4 = 1.219157804, x6 = -1.961306445,
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coluna8 := {x4 = 1.277533146, x2 = -.2858708016, x1 = -.8682015473, x5 = 2.873367194,
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Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-0.7:
> coluna9:=solve({-.3073833873*x1+.1467587211e-1+.6784189818*x2+.3230699851*x3-
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0.7,.6261796071*x1+.3721508973+.6675316293*x2-.1214100957*x3+.3775875943*x4-
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.5339174941*x3-.6825408421*x4+.1403611899*x5+.4569747385e-1*x6=0});
coluna9 := {x6 = -1.962926399, x1 = -.8374632086, x3 = .1307819544, x4 = 1.335908487,
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121
Valores de x1, x2, x3, x5, x6 , para w1=-0.75:
> coluna10:=solve({-.3073833873*x1+.1467587211e-1+.6784189818*x2+.3230699851*x3-
.5837534137*x4+.7434292642e-2*x5+.8099769001e-2*x6=-
0.75,.6261796071*x1+.3721508973+.6675316293*x2-.1214100957*x3+.3775875943*x4-
.6015650728e-1*x5-.3700021081e-1*x6=0,.2660100701*x1+1.015525410-
.1756938370*x2+.3005073294*x3-.1944386034*x4-.6349059267*x5-
.6059321399*x6=0,.1129456879*x1+3.411689757-.5999751568e-1*x2+.1053792359*x3-
.6783107844e-1*x4-.6054878127*x5+.7754497021*x6=0,-
.4676791906*x1+.6299563726+.2087420394*x2-.7031415544*x3+.9159767311e-1*x4-
.4548666137*x5-.1673353542*x6=0,.4595352453*x1+1.008086444-.1269170774*x2-
.5339174941*x3-.6825408421*x4+.1403611899*x5+.4569747385e-1*x6=0});
coluna10 := {x5 = 2.872252050, x6 = -1.963331387, x2 = -.3876336488, x4 = 1.365096158,
x3 = .1146284551, x1 = -.8220940392}
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