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v
Q
R
Q R
Q,R
Q R
Q,R
Q R
Q,R
Q R
Q,R
Q,R
Q,R
F
desemp
max
(Ξ
1
o
, Θ
1
o
)
F
desemp
min
(Ξ
1
o
, Θ
1
o
)
F
desemp
max
(Ξ
2
o
, Θ
2
o
)
F
desemp
min
(Ξ
2
o
, Θ
2
o
)
F
desemp
max
(Ξ
3
o
, Θ
3
o
)
F
desemp
min
(Ξ
3
o
, Θ
3
o
)
F
desemp
max
(Ξ
4
o
, Θ
4
o
)
F
desemp
min
(Ξ
4
o
, Θ
4
o
)
p
m
= 0.01
p
m
= 0.05
p
m
= 0.1
p
m
= 0.2
n
indiv
= 4
n
indiv
= 8
n
indiv
= 9
n
indiv
= 14
Q R
6
1
200
6
2
200
6
3
200
6
4
200
6
5
200
6
6
200
6
200 6
1
200
6
2
200
6
3
200
6
4
200
6
5
200
6
6
200
6
1 2
3 4
Q,R
Ξ,Θ
Q,R
Q R
QR
F
ΞΘ
F
LT R
F
LT R/LQG
F
LT R/LQR
v
i
Q,R
Q,R
Q,R
Q,R
Q R
Ξ,Θ
Ξ Θ
Q,R
Q R
Q R
QR
Q
R
1960
60
Q,R
Ξ,Θ Q,R
(Q, R)
((Q, R), R)
K
Q,R
∈
m×n
Q,R
K = R
−1
B
T
S
LQR
(Q, R)
min
Q,R
n
i=1
p
i
s
i
(Q, R)
s
i
(Q, R) ≤ 1, i = 1, . . . , n
λ
ei
≤ λ
ci
(Q, R) ≤ λ
di
, i = 1, . . . , n,
p
i
s
i
= S
i
/
i
i
i
> 0 Q
R
(λ
i
, v
i
)
n
u(t) = −K
LQR
x(t)
min
u
1
2
T
t
o
x
T
Q(t)x + u
T
R(t)u
dt
˙x = Ax + Bu,
x ∈ R
n
u ∈ R
m
(A, B) (A, C)
P (T ) ≥ 0, Q(T ) ≥ 0 R > 0 Q ∈ R
n×n
R ∈ R
m×m
Q R
Q,R
0 = A
T
P + P A P BR
−1
B
T
P +Q t ≤ T
P
K
LQR
R
−1
B
T
P u
LQR
= −K
LQR
x
Ξ Θ
Ξ,Θ
L =
Σ
Ξ,Θ
C
T
Θ
−1
L
Ξ,Θ
min
Ξ,Θ
n
i=1
p
i
s
i
(Ξ, Θ)
s
i
(Ξ, Θ) ≤ 1, i = 1, . . . , n
λ
ei
≤ λ
ci
(Ξ, Θ) ≤ λ
di
, i = 1, . . . , n,
s
i
= S
i
/
i
i
i
> 0 Ξ = Ξ
T
≥ 0 Θ = Θ
T
> 0
min
u
E
∞
0
x
T
Q(t)x + u
T
R(t)u
dt
˙x = Ax(t) + Bu(t) + Gξ(t),
x ∈ R
n
u ∈ R
m
(A, B) (A, C)
Q(t) ≥ 0 R(t) > 0
Q ∈ R
n×n
R ∈ R
m×m.
Ξ, Θ
Ξ,Θ
AΣ+ΣA
T
GΞG
T
ΣC
T
Θ
−1
CΣ 0 t ≤ T
L = ΣC
T
Θ
−1
ˆx(t) x(t) {y(τ)
τ ≤ t} Θ(t) > 0 Ξ(t) ≥ 0
Ξ ∈ R
n×n
Θ ∈ R
p×p
u(t) = −K ˆx(t)
Q R
K
LQR/LT R
L
LQG/LT R
K
v
i
v
i
(Ξ, Θ) (Q, R)
(Q, R)
(Q
0
, R
0
) Q
i
= v
2
i
Q
0
+ CC
T
R
i
=
v
2
i
R
o
) v
i
(Ξ, Θ)
(Ξ
o
, Θ
o
) Ξ
i
= v
2
i
Ξ
o
+ BB
T
Θ =
v
2
i
Θ
o
) v
i
K = R
−1
B
T
P
LQR
(Q, R) L
Ξ,Θ
L
LQR
L
LQG/LT R
min
v
n
freq
l=1

σ
L
LQR−M
l
− σ
L
LT R−M
l
+
σ
L
LQR−m
l
− σ
L
LT R−m
l

σ
max−M
lesq
≤ σ
L
LT R−M
l
≤ σ
max−M
ldir
σ
min−m
lesq
≤ σ
L
LT R−m
l
≤ σ
min−m
ldir
λ
iesq
≤ λ
ic
≤ λ
idir
s
i
≤ ,
L
LQR
L
LQG/LT R
σ
LT R−M
l
σ
max−M
lesq
σ
max−M
ldir
σ
LT R−m
l
σ
min−m
lesq
σ
min−m
ldir
λ
iesq
≤ λ
ic
≤ λ
idir
s
i
≤
K
QR
L
ΞΘ
G(s) F (s)
U(s) −H
u
(s)U(s) H
y
(s)Y (s)
H
u
(s) −K(sI − A + LC)
−1
B KΦ
o
B H
y
(s) −K(sI − A + LC)
−1
L
KΦ
o
L Φ
o
(s) (sI − A + LC)
−1
Y U
U(s)
Y (s)
F (s)
KΦ
r
L Φ
r
= [sI − (A − BK − LC)]
−1
F
(s)
Ponto 1
U (s) X (s)
G
(s)
=
(s)
B
Ponto 2
L
e
r
(s) = F (s)G(s) = KΦ
r
LCΦB
L
ΞΘ
L
LQR
min
L
ΞΘ
L
LQR
− KΦ
r
LCΦ B
|L| ≤ ε
λ
esq
≤ λ
c
≤ λ
dir
s
i
≤ .
|L| ≤ ε
L
(Ξ, Θ) LT R
ΞΘ
AΣ+ΣA
T
G(v
2
Ξ
o
+BB
T
)G
T
ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
CΣ
0 t ≤ T Σ
L = ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
L
o
r
(s) = G(s)F (s) = CΦBKΦ
r
L
K
QR
L
LQR
min
K
QR
L
LQR
− CΦBKΦ
r
L
|K| ≤ ε
λ
esq
≤ λ
c
≤ λ
dir
s
i
≤ .
|K| ≤ ε
K
(Q, R) LT R
QR
0 = A
T
P +P A P B(v
2
i
R
o
)
−1
B
T
P +(v
2
i
Q
o
+
CC
T
) t ≤ T P
K
LT R
(v
2
i
R
o
)
−1
B
T
P U
LT R
=
−K
LT R
x
LQR
Observador
de Estado
Alocação deAutoestrutura
deSistemas MIMO
Etapa 1
Etapa 2
LTR
Etapa 3
Estimação Estocástica dos
Estados viaFiltro deKalman
Recuperação daMalha LQR
LQG
Q,R
Q R
Q R
Q R
Q,R
Q
n×n
R
m×m
Q R
Q R
n
Q
+n
R
n
Q
= n(n+1)/2 n
R
= m(m+1)/2
(i, j)
Q R
n = m = 2
Q R
QR
QR
Q R
Q,R
Geração das matrizes de
ponderação Q e R
Operações
Cromossômicas
Solução da EAR
Cálculo dos ganhos de realimentação
Sistema realimentado
Pontuação
Ordenação
Cálculo da autoestrutura realimentada
aultovalores e autovetores
Formação da nova população
Cálculos
Intermediários
Função
de
Fitness
Critérios de
Parada
Fim
Sim
Não
Autoestrutura
satisfatória
Q,R
Q R
A
n×n
B
n×m
C
p×n
Q
n×n
R
m×m
Q
n×n
R
m×m
Q R
QR
z
=
n
j,i=1
q
ij
∧
m
j,i=1
r
ij
, i ≤ j
z = 1, . . . , n
indiv
,
n A m
B q
ij
r
ij
QR
z
n
indiv
QR
QR
z
g Q
n×n
R
m×m
n
m g
g =
n(n+1)+m(m+1)
2
.
QR
n
indiv
×g
=
QR
1
; QR
2
; QR
3
; . . . ; QR
n
indiv
.
Q,R
n
indiv
× g
n
indiv
n
Q
+n
R
n
Q
= n(n + 1)/2 n
R
= m(m + 1)/2 QR
qr
w
z
=
q
i,j
w < n
Q
+ 1 i, j = 1, . . . , n
Q
r
i,j
w > n
Q
i, j = 1, . . . , n
R
z = 1, . . . , n
indiv
,
n
Q
n
R
Q R
n
indiv
Q R
q
i,j
=
p
Qα
+ p
Q
β
κ
Qii
i = j
p
Qγ
κ
Qij
i = j
i, j = 1, . . . , n,
p
Qα
p
Q
β
q
i,j
κ
Qii
p
Q
β
p
Qγ
κ
Qij
Q R
Q
r
i,j
=
p
Rα
+ p
R
β
κ
Rii
i = j
p
Rγ
κ
Rij
i = j
i, j = 1, . . . , n.
Q R
Q,R
QR
n
indiv
×g
QR
z
K
z
= LQR
z
(A, B, Q
z
, R
z
)
A
z
= (A − BK
z
)
(λ
z
, V
z
, W
z
) = eigen(A
z
)
S
z
=
||V
z
||
2
||W
z
||
2
< V
z
, W
z
>
z = 1, . . . , n
indiv
,
K
z
z A
z
K
z
λ
z
V
z
W
z
S
z
Q,R
κ
z
= F it
pop
κ
rand
QR
select
= QR
j
⇔ max
j
κ
z
<
n
indiv
j=1
F it
j
,
z = 1, . . . , n
indiv
,
κ
z
z
κ
rand
F it
pop
QR
select
j
n
e
(n
e
= 1)
QR
G+1,super
=
QR
G,melhor
⇔ (
s
i
(QR
G,melhor
) <
s
i
(QR
G,super
) e
QR
G,melhor
∈ Ω
f
) ou (QR
G,melhor
∈ Ω
f
e QR
G,super
/∈ Ω
f
QR
G,super
⇔ (
s
i
(QR
G,melhor
) ≥
s
i
(QR
G,super
) e
QR
G,super
∈ Ω
f
) ou (QR
G,melhor
/∈ Ω
f
) ,
Ω
f
= {QR
z
; λ
ei
≤ λ
i
(QR
z
) ≤ λ
di
e s
i
(QR
z
) ≤ 1}
s
i
(QR
z
)
QR
z
QR
G,super
G
QR
G,melhor
G
Q,R
QR
l
1
QR
l
2
QR
crom×g
l
1
l
2
G l
1
= l
2
QR
G+1,l
1
= α(QR
G,l
1
) + (1 − α)(QR
G,l
2
)
QR
G+1,l
2
= α(QR
G,l
2
) + (1 − α)(QR
G,l
1
).
G G G+ 1
QR
G,l
1
l
1
QR
G,l
2
l
2
G
α 0 1
q
novo
ij
= q
l
ij
b
x
local
i = 1, . . . , (n
2
+ n)/2
j = 1, . . . , (n
2
+ n)/2,
b b > 1 x
local
0 < x
local
< 1
QR
z
QR
crom×g
P = 0.05
Q,R
L
v
i
F
ΞΘ
v
i
F
ΞΘ
: (Ξ
0
, Θ
0
, v
i
) → (Ξ
i
, Θ
i
),
F
ΞΘ
v
i
F
LT R
: (Ξ
i
, Θ
i
, A, C) → Σ
LT R
,
Σ
LT R
v
i
F
LT R/LQG
: (Σ
LT R
, C) → L
LT R−entrada
,
L
LT R−entrada
L
LT R
F
LT R/LQR
: (L
LT R−entrada
, L
LQR
) → R.
F
LT R/LQR
u
K
LQR
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
freq (rad/s)
Singular Values (dB)
LQR Design
1
LQR
M
1
LQR
m
2
LQR
M
2
LQR
m
3
LQR
M
3
LQR
m
3
2
3
3
Q
LQR
=
10.1 1.9 2.0 1.7 0.4 1.2
8.2 2.6 0.7 0.6 2.5
7.3 1 .7 2.2 1.6
38.1 2 .0 1.2
78.0 0 .3
29.2
,
R
LQR
=
31.9 4 .6
25.9
.
3
Q
LQR
R
LQR
K
Ξ,Θ
10 10
10 Ξ Θ
Ξ
o
=
0.0271 0.0077 0.0019 0.0016 0.0026 0.0020
0.0270 0.0050 0.0074 0.0053 0.0057
0.0255 0.0061 0.0073 0.0046
0.0230 0.0054 0.0084
0.0269 0.0070
0.0255
Θ
o
=
0.0309 0.0024 0.0009 0.0070
0.0301 0.0033 0.0027
0.0306 0.0016
0.0303
.
Ξ Θ
L
LQG
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
freq (rad/s)
Singular Values (dB)
LQG Design
LQR
M
LQR
m
LQG
M
LQG
m
F
ΞΘ
F
LT R
F
LT R/LQG
F
LT R/LQR
v
i
F
ΞΘ
v
i
∈ R
Ξ
i
= v
2
i
Ξ
0
+ BB
T
Θ
i
= v
2
i
Θ
0
.
F
LT R
Ξ
i
Θ
i
0 = AΣ
LT R
+ Σ
LT R
A
T
+ GΞ
i
G
T
− Σ
LT R
C
T
Θ
−1
i
CΣ
LT R
.
F
LT R/LQG
L
LT R−entrada
= Σ
LT R
C
T
(v
2
i
Θ
0
)
−1
.
F
LT R/LQR
F
LT R/LQR
v
i
K
v
i
L
LT R−entrada
(v
1
v
2
v
3
v
4
)
v
v
i
Ξ
i
Θ
i
v
1
= 1
v
2
= 0.1
v
3
= 0.01 (1.0e
−003
)∗
v
4
= 0.001 (1.0e
−005
)∗
v
i
→ 0
10
−2
10
0
10
2
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
freq (rad/s)
Singular Values (dB)
LQR/LTR Design
LQR
M
LTR
M
−v
1
LTR
M
−v
2
LTR
M
−v
3
LTR
M
−v
4
10
−2
10
0
10
2
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
freq (rad/s)
Singular Values (dB)
LQR/LTR Design
LQR
m
LTR
m
−v
1
LTR
m
−v
2
LTR
m
−v
3
LTR
m
−v
4
v
i
SV D
max
10
3
10
4
LQR
LQG
LT R − v
1
LT R − v
2
LT R − v
3
LT R − v
4
SV D
min
10
3
10
4
LQR
LQG
LT R − v
1
LT R − v
2
LT R − v
3
LT R − v
4
v
i
→ 0
10
−2
10
0
10
2
−10
0
10
20
30
40
50
60
freq (rad/s)
SV Error − ∆
M
LQR−v
i
(dB)
∆
M
LQR−v
1
∆
M
LQR−v
2
∆
M
LQR−v
2
∆
M
LQR−v
4
10
−2
10
0
10
2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
freq (rad/s)
SV Error − ∆
M
LQR−v
i
(dB)
∆
m
LQR−v
1
∆
m
LQR−v
2
∆
m
LQR−v
2
∆
m
LQR−v
4
v
i
i j
F
j
ΞΘ
: (v
j
i
, Ξ
0
, Θ
0
) → (Ξ
i
, Θ
i
) i = 1, . . . , n
ind
j = 1, . . . , n
pop
,
n
ind
n
pop
n
ind
Ξ
j
i
= (v
j
i
)
2
Ξ
0
+ BB
T
Θ
j
i
= (v
j
i
)
2
Θ
0
.
v
i
v
i
v
i
v
j
i,k
i n
alelo
j
v
j
i
= v
j
i,1
∪ v
j
i,2
. . . ∪ v
j
i,k
. . . ∪ v
j
i,n
alelo
,
i = 1, . . . , n
ind
j = 1, . . . , n
pop
,
n
ind
n
pop
n
ind
n
alelo
v
i
v
i
j n n
alelo
v
j
1
← v
j
1,1
∪ . . . ∪ v
j
1,n
alelo
v
j
2
← v
j
2,1
∪ . . . ∪ v
2
2,n
alelo
. . . ← . . . . . .
v
j
n
← v
j
n,1
∪ . . . ∪ v
j
n,n
alelo
.
v
i
j
V
j
∈ R
n
ind
×n
alelo
V
j
←
v
j
i,k
, k = 1, . . . , n
alelo
,
i = 1, . . . , n
ind
j = 1, . . . , n
pop
.
v
j
i
j
F
LT R/LQR
: (Υ
id
, Υ
suf
, Υ
nec
) → Υ
LT R/LQR
,
Υ
id
Υ
suf
Υ
nec
Υ
LT R/LQR
Υ
LT R/LQR
=
Υ
ij
id
, Υ
ij
suf
, Υ
ij
nec
.
Υ
LT R/LQR
Υ
ij
suf
Υ
LQR
suf
=
σ
max
LQR
, σ
min
LQR
,
σ
max
LQR
σ
min
LQR
v
j
i
Υ
ij
suf
=
σ
max
ij
, σ
min
ij
,
σ
max
ij
σ
min
ij
Υ
ij
suf
Υ
LQR
nec
Υ
LQR
nec
= {λ
i
, ν
i
, δ
i
, } ,
λ
i
ν
i
δ
i
,
Υ
ij
nec
Υ
LQR
id
= {l imit
σ
i
, orig
ij
, alelos
ij
} ,
l imit
σ
i
orig
ij
al elos
ij
v
j
i
j
F
desemp
ij
= Σ
n
freq
l=1
SV D
LT R
ij
− SV D
LQR
ij
2
,
SV D
LT R
ij
SV D
LQR
ij
n
freq
F
LT R/LQR
v
i
j j + 1
F
κ
gen
F
κ
gen
:
v
j
i
1
, v
j
i
2
→ v
j+1
i
i = 1, . . . , n
ind
j = 1, . . . n
pop
.
κ
κ : {X
S
, X
C
, X
M
} .
X
S
X
C
X
M
i
1
i
2
j
v
j+1
i
1
= α
1
v
j
i
1
+ α
2
v
j
i
2
v
j+1
i
2
= α
2
v
j
i
1
+ α
1
v
j
i
2
i = 1, . . . , n
ind
,
α
1
= 0.1 α
2
= 0.05
v
j
i
1
v
j
i
2
p
m
= 5%
v
i
j
v
j+1
i
= αv
j
i
i = 1, . . . , n
ind
,
α 0 < α < 1
Q,R
Q,R
Q,R Q,R
Q R
Q,R
Q,R
Q,R
Q,R
Q R
n
indiv
= 50
s = 8
n
cross
= 25
p
c
= 1
p
m
= 0.05
n
e
= 1
n
ger
= 200
Q
p
Qα
p
Q
β
p
Qα
p
Q
β
q
11
q
22
q
33
q
44
q
55
q
66
p
Qγ
q
ij
R
p
Rα
p
R
β
p
Rα
p
R
β
r
11
r
22
p
Rγ
r
ij
j alelo 1 = 22 j alelo 2 = 24 j alelo 3 = 23
j alelo 4 = 1 j alelo 5 = 7 j alelo 6 = 12
j alelo 7 = 16 j alelo 8 = 19 j alelo 9 = 21
mut 1 2 alelo k = 15 mut 1 2 alelo v = 40
mut 3 alelo k = 2 mut 3 alelo v = 13
mut F 1 alelo k = 4 mut F 1 alelo v = 10
mut A 1 alelo k = 3.27 mut A 1 alelo v = 0
Q,R
s
i
1 1
1 1 s
i
λ
i
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Geração
Σ s
i
Função de Fitness Objetivo Normalizada − Melhores Indivíduos
6
200
120 120
0 50 100 150 200
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
s
1
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0
0.5
1
1.5
2
Geração
λ
imag
1
200 6
1
200
1 200
17 67
1
1 200
1 17
67
1 200
70
0 50 100 150 200
0.24
0.245
0.25
0.255
0.26
0.265
0.27
s
2
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0
0.5
1
1.5
2
Geração
λ
imag
2
200 6
2
200
1
2
200
0 50 100 150 200
0.2
0.4
0.6
0.8
s
3
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
Geração
λ
imag
3
200 6
3
200
1 200
1 200
31
1 32 107
1 1
1
120
1 200
0 50 100 150 200
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
s
4
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
Geração
λ
imag
4
200 6
4
200
4
3
200
50
0 50 100 150 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
s
5
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Geração
λ
imag
5
200 6
5
200
200 1
17
98 114 18
97 1 1
1
151
1 1, 5
1 1, 5
200
0 50 100 150 200
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
s
6
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
0
2
4
6
8
10
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Geração
λ
imag
6
200 6
6
200
200 1 1
150
1 1 1.5
200
Q,R
Q,R
200
Q,R
Q,R
200
5 1
2
1
2
1
1 2
200 103
1, 7694
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
1.75
1.8
1.85
1.9
1.95
2
2.05
2.1
2.15
2.2
2.25
Geração
Σ s
i
Função de Fitness Objetivo Normalizada − Super Indivíduos
200 6
0 50 100 150 200
0.137
0.138
0.139
0.14
0.141
s
1
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
1.8
2
2.2
2.4
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0
0.5
1
1.5
2
Geração
λ
imag
1
200 6
0 50 100 150 200
0.242
0.243
0.244
0.245
0.246
0.247
0.248
s
2
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0
0.5
1
1.5
2
Geração
λ
imag
2
200 6
0 50 100 150 200
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
s
3
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
Geração
λ
imag
3
200 6
0 50 100 150 200
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
s
4
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
Geração
λ
imag
4
200 6
0 50 100 150 200
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
s
5
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0
0.5
1
1.5
2
Geração
λ
imag
5
200 6
0 50 100 150 200
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
s
6
Geração
Restrições da Função de Fitness
0 50 100 150 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Geração
λ
real
− esq
0 50 100 150 200
0
2
4
6
8
10
Geração
λ
real
− dir
0 50 100 150 200
0
0.5
1
1.5
2
Geração
λ
imag
6
200 6
Q
R
Q,R
Q Q R R
Q R
Q,R
Q Q R R
Q R
Q,R
Q Q R R
Q R
Q,R
Q R
Q,R
Q
R
1 2 3 4 5 6 1 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Q,R
Q,R
2 7 14
y
1
14
M
p
t
p
t
s
y
2
t
p
2
7 14
t
s
M
p
y
3
t
p
t
s
7 14
2
M
p
y
4
2 14
7 14
0 2 4 6 8 10 12 14 16
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
Tempo(s)
y
1
y
1
AG2
y
1
AG7
y
1
AG14
0 2 4 6 8 10 12 14 16
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
Tempo(s)
y
2
y
2
AG2
y
2
AG7
y
2
AG14
1 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Tempo(s)
y
3
y
3
AG2
y
3
AG7
y
3
AG14
0 2 4 6 8 10 12 14 16
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Tempo(s)
y
4
y
4
AG2
y
4
AG7
y
4
AG14
3 4
Q R
Q R
Q,R
Q
AG−LQR
=
9.5091 1.9662 1.9252 2.1556 1.3219 1.1376
9.3097 1.9154 1.3142 1.7343 1.3089
8.0836 1.7970 1.2999 1.7525
8.7745 2 .1845 1.5802
10.3997 1.7206
9.2775
R
AG−LQR
=
33.2162 8 .8878
40.2191
Q
AG−LQR
=
7.7561 2.2859 1.7319 1.0369 1.2137 1.4484
9.4241 1.9528 1.5697 1.6029 1.9600
6.5049 1 . 9559 1.7276 2.0373
10.4069 1 .8256 1.6337
24.8798 1 .5325
12.5080
R
AG−LQR
=
23.7160 9 .3856
39.3227
Q,R
S
i
Q,R
S
i
F
desemp
max
F
desemp
min
8
10 12
8 5
9 5
F
desemp
max
F
desemp
min
5 7 8
8
10
−2
10
−1
10
0
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
LQR
LTR
Singular Values
Frequency (rad/sec)
Singular Values (dB)
10
−2
10
−1
10
0
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
LQR
LTR
Singular Values
Frequency (rad/sec)
Singular Values (dB)
10
−2
10
−1
10
0
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
LQR
LTR
Singular Values
Frequency (rad/sec)
Singular Values (dB)
F
ΞΘ
(Ξ
o
, Θ
o
)
50
4
Ξ
1
o
=
625 0 0 0 0 0
400 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
Θ
1
o
=
10 0 0 0
10 0 0
10 0
10
F
desemp
max
(Ξ
1
o
, Θ
1
o
)
F
desemp
min
(Ξ
1
o
, Θ
1
o
)
Ξ
2
o
=
400 0 0 0 0 0
250 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
Θ
2
o
=
1 0 0 0
1 0 0
1 0
1
F
desemp
max
(Ξ
2
o
, Θ
2
o
)
F
desemp
min
(Ξ
2
o
, Θ
2
o
)
Ξ
3
o
=
120 0 0 0 0 0
45 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
Θ
3
o
=
0.01 0 0 0
0.01 0 0
0.01 0
0.01
F
desemp
max
(Ξ
3
o
, Θ
3
o
)
F
desemp
min
(Ξ
3
o
, Θ
3
o
)
Ξ
4
o
=
10 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
0 0
0
Θ
4
o
=
0.0001 0 0 0
0.0001 0 0
0.0001 0
0.0001
F
desemp
max
(Ξ
4
o
, Θ
4
o
)
F
desemp
min
(Ξ
4
o
, Θ
4
o
)
p
m
d
g
d
j
g
=
min
i
F
desemp
ij
n
ind
i=1
F
desemp
ij
n
ind
, i = 1, . . . n
ind
j = 1, . . . n
pop
,
0 < d
g
≤ 1 d
g
= 1
p
m
d
g
1
p
m
p
m
= 0.01
p
m
= 0.05 p
m
= 0.10 p
m
= 0.2
7 1 (p
m
= 0.01)
7 4 ( p
m
= 0.2)
1
p
m
= 0.01
n
mut
d
max
g
d
min
g
p
m
= 0.05
n
mut
d
max
g
d
min
g
p
m
= 0.1
n
mut
d
max
g
d
min
g
p
m
= 0.2
n
mut
d
max
g
d
min
g
n
indiv
= 4 n
indiv
= 8 n
indiv
= 9 n
indiv
= 14
0.0001
6 7
7
n
indiv
= 4
F
desemp
max
F
desemp
min
d
max
g
d
min
g
n
indiv
= 8
F
desemp
max
F
desemp
min
d
max
g
d
min
g
n
indiv
= 9
F
desemp
max
F
desemp
min
d
max
g
d
min
g
n
indiv
= 14
F
desemp
max
F
desemp
min
d
max
g
d
min
g
Q,R
Q,R
•
•
•
•
˙x(t) = Ax(t) + Gξ(t),
x(t) ∈ R
n
ξ(t) ∈ R
m
E[ξ(t)] = 0,
E[ξ(t)ξ(t + τ)
T
] = Ξδ(t − τ ).
Ξ = Ξ
T
> 0
δ(t − τ )
ξ t
τ = 1
y(t) = Cx(t) + ν(t) y(t) ∈ R
p
,
ν(t) ξ(t)
E[ν(t)] = 0;
E[ν(t)ν(t + τ)
T
] = Θδ(t − τ );
E[ξ(t)ν(t + τ )
T
] = 0, para todo t e τ,
Θ = Θ
T
> 0
ˆx(t)
x(t) {y(τ), τ ≤ t}
L
L = ΣC
T
Θ
−1
,
Σ
AΣ + ΣA
T
+ GΞG
T
− ΣC
T
Θ
−1
CΣ = 0.
˜x(t) = x(t) − ˆx(t),
min
n
i=1
E{[x
i
(t) − ˆx
i
(t)]
2
}.
˙
ˆx(t) = Aˆx(t) + L[y(t) − C ˆx(t)].
Re[λ
i
(A − LC)] < 0, (i = 1, 2, . . . , n).
A A
T
B C
T
Q GΞG
T
R Θ
P Σ
K L
T
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Gξ(t),
y(t) = Cx(t) + ν(t),
x(t) ∈ R
n
u(t) ∈ R
m
ξ(t) ν(t)
˙
ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + L˜y(t),
˜y(t) = y(t) − C ˆx(t).
˙
ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + L(y(t) − C ˆx(t)),
= (A − LC)ˆx(t) + Bu(t) + Ly(t).
s
ˆ
X(s) = (A − LC)
ˆ
X(s) + BU(s) + LY (s),
ˆ
X(s) = (sI − A + LC)
−1
[BU(s) + LY (s)].
U(s) = −K
ˆ
X(s).
U(s) = −K(sI − A + LC)
−1
[BU(s) + LY (s)].
U(s) = −H
u
(s)U(s) − H
y
(s)Y (s),
H
u
(s) = −K(sI − A + LC)
−1
B,
H
y
(s) = −K(sI − A + LC)
−1
L.
Φ
o
(s) = (sI − A + LC)
−1
.
H
u
(s) = KΦ
o
B,
H
y
(s) = KΦ
o
L.
Y U
U(s)(I − H
u
) = −H
y
Y (s).
U(s) = −(I + H
u
)
−1
H
y
Y (s).
F (s) =
U(s)
Y (s)
,
F (s) = −(I + H
u
)
−1
H
y
,
F (s) = {I + K[sI − (A − LC)]
−1
B}
−1
KΦ
o
L.
(A
1
+ B
1
C
1
D
1
)
−1
A
−1
1
− A
−1
1
B
1
(D
1
A
−1
1
B
1
+ C
−1
1
)
−1
D
1
A
−1
1
A
1
= I B
1
= K C
1
= (sI − A + LC)
−1
D
1
= B
F (s) = {I − K[sI − (A − BK − LC)]
−1
B}KΦ
o
L,
= {K − K[sI − (A − BK − LC)]
−1
BK}Φ
o
L,
= K{I − [sI − (A − BK − LC)]
−1
BK}Φ
o
L.
[sI − (A − BK − LC)]
−1
F (s) = K[sI − (A − BK − LC)]
−1
{[sI − (A − BK − LC)] − BK}Φ
o
L,
= K[sI − (A − BK − LC)]
−1
Φ
−1
o
Φ
o
L,
= K[sI − (A − BK − LC)]
−1
L.
Φ
r
= [sI − (A − BK − LC)]
−1
.
F
(s)
Ponto 1
U (s) X (s)
G
(s)
=
(s)
B
Ponto 2
K
QR
L
ΞΘ
L
e
r
(s) = F (s)G(s) = KΦ
r
LCΦB,
L
e
r
(s)
L
o
r
(s) = G(s)F (s) = CΦBKΦ
r
L,
L
o
r
(s)
K
L
L
e
r
(s) → L
LQR
(s),
L
e
r
(s) L
LQR
(s)
L
L
e
r
(s) L
LQR
(s)
ξ(t) ν(t)
E

ξ(t)
ν(t)
ξ(t) ν(t)
=
Ξ 0
0 Θ
.
Σ
L
0 = AΣ + ΣA
T
+ GΞG
T
− ΣC
T
Θ
−1
CΣ ,
L = ΣC
T
Θ
−1
.
Ξ = v
2
Ξ
o
+ BB
T
Θ = v
2
Θ
o
.
G = I.
0 = AΣ + ΣA
T
+ (v
2
Ξ
o
+ BB
T
) − ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
CΣ,
L = ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
.
v → 0 Σ → 0
ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
CΣ → BB
T
L → ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
,
L(v
2
Θ
o
)L
T
= ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
(v
2
Θ
o
)[ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
]
T
,
= ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
(v
2
Θ
o
)(v
2
Θ
o
)
−1
CΣ ,
= ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
CΣ.
L(v
2
Θ
o
)L
T
→ BB
T
.
L →
1
v
BUΘ
−
1
2
o
,
U
Φ
c
(s) = [sI − (A − BK)]
−1
,
L
r
(s) = F (s)G(s) = K[sI − (A − BK − LC)]
−1
LCΦB,
= K[sI − (A − BK) + LC]
−1
LCΦB,
= K[Φ
−1
c
+ LC] LCΦB.
L
r
(s) = K[Φ
c
− Φ
c
L(I + CΦ
c
L)
−1
CΦ
c
]LCΦB,
= KΦ
c
[I − L(I + CΦ
c
L)
−1
CΦ
c
]LCΦB,
= KΦ
c
[L − L(I + CΦ
c
L)
−1
CΦ
c
L]CΦB.
[I + CΦ
c
L]
−1
L
r
(s) = KΦ
c
L[I − (I + CΦ
c
L)
−1
CΦ
c
L]CΦB,
= KΦ
c
L(I + CΦ
c
L)
−1
[(I + CΦ
c
L) − CΦ
c
L]CΦB,
= KΦ
c
L(I + CΦ
c
L)
−1
CΦB.
L(I + CΦ
c
L)
−1
L →
1
v
BUΘ
−
1
2
o
L(I + CΦ
c
L)
−1
→
1
v
BUΘ
−
1
2
o
(I + CΦ
c
1
v
BUΘ
−
1
2
o
)
−1
,
→
1
v
BUΘ
−
1
2
o
(vI + CΦ
c
BUΘ
−
1
2
o
)
−1
v,
→ BUΘ
−
1
2
o
(vI + CΦ
c
BUΘ
−
1
2
o
)
−1

v→0
,
→ BUΘ
−
1
2
o
(CΦ
c
BUΘ
−
1
2
o
)
−1
,
→ BUΘ
−
1
2
o
(UΘ
−
1
2
o
)
−1
(CΦ
c
B)
−1
,
L(I + CΦ
c
L)
−1
→ B(CΦ
c
B)
−1
.
L
r
(s) → KΦ
c
B(CΦ
c
B)
−1
CΦ B.
Φ
c
= (Φ
−1
+ BK)
−1
,
Φ
c
= Φ − ΦB(KΦB + I)
−1
KΦ,
= Φ[I − B(KΦB + I)
−1
KΦ].
Φ
c
B = ΦB[I − (KΦB + I)
−1
KΦB],
CΦ
c
B = CΦB[I − (KΦB + I)
−1
KΦ B],
CΦ
c
B
(CΦ
c
B)
−1
= [I − (KΦB + I)
−1
KΦB]
−1
(CΦB)
−1
.
L
r
(s) → KΦB[I − (KΦB + I)
−1
KΦB]
[I − (KΦB + I)
−1
KΦB]
−1
(CΦB)
−1
CΦB.
L
r
(s) → KΦB L
r
(s) → L
LQR
(s).
v
L
K
L
o
r
(s) → L
LQR
(s).
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Gξ(t),
y(t) = Cx(t) + ν(t),
x(t) ∈ R
n
u(t) ∈ R
m
ξ(t) ν(t)
L
o
r
(s) = G(s)F (s) = CΦBKΦ
r
L
Q
i
= v
2
Q
0
+ BB
T
R
i
= v
2
R
0
.
0 = AP
i
+ ΣA
T
+ (v
2
P
i
+ BB
T
) − P B
T
(v
2
P
i
)
−1
BP
K = R
−1
B
T
P.
v → 0 Σ → 0
P C
T
(v
2
Θ
o
)
−1
CΣ → BB
T
L → ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
,
L(v
2
Θ
o
)L
T
= ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
(v
2
Θ
o
)[ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
]
T
,
= ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
(v
2
Θ
o
)(v
2
Θ
o
)
−1
CΣ ,
= ΣC
T
(v
2
Θ
o
)
−1
CΣ.
L(v
2
Θ
o
)L
T
→ BB
T
.
L →
1
v
BUΘ
−
1
2
o
,
U
L
o
r
(s) = CΦBK[Φ
c
− Φ
c
L(I + CΦ
c
L)
−1
CΦ
c
]L,
= CΦBKΦ
c
[I − L(I + CΦ
c
L)
−1
CΦ
c
]L,
= CΦBKΦ
c
[L − L(I + CΦ
c
L)
−1
CΦ
c
L].
[I + CΦ
c
L]
−1
L
o
r
(s) = CΦBKΦ
c
L[I − (I + CΦ
c
L)
−1
CΦ
c
L],
= CΦBKΦ
c
L(I + CΦ
c
L)
−1
[(I + CΦ
c
L) − CΦ
c
L],
= CΦBKΦ
c
L(I + CΦ
c
L)
−1
.
L →
1
v
BUΘ
−
1
2
o
.
L(I + CΦ
c
L)
−1
L(I + CΦ
c
L)
−1
→
1
v
BUΘ
−
1
2
o
(I + CΦ
c
1
v
BUΘ
−
1
2
o
)
−1
,
→
1
v
BUΘ
−
1
2
o
(vI + CΦ
c
BUΘ
−
1
2
o
)
−1
v,
→ BUΘ
−
1
2
o
(vI + CΦ
c
BUΘ
−
1
2
o
)
−1

v→0
,
→ BUΘ
−
1
2
o
(CΦ
c
BUΘ
−
1
2
o
)
−1
,
→ BUΘ
−
1
2
o
(UΘ
−
1
2
o
)
−1
(CΦ
c
B)
−1
,
L(I + CΦ
c
L)
−1
→ B(CΦ
c
B)
−1
.
L
o
r
(s) → CΦBKΦ
c
B(CΦ
c
B)
−1
.
Φ
c
= (Φ
−1
+ BK)
−1
,
Φ
c
= Φ − ΦB(KΦB + I)
−1
KΦ,
= Φ[I − B(KΦB + I)
−1
KΦ].
Φ
c
B = ΦB[I − (KΦB + I)
−1
KΦB],
CΦ
c
B = CΦB[I − (KΦB + I)
−1
KΦ B].
CΦ
c
B
(CΦ
c
B)
−1
= [I − (KΦB + I)
−1
KΦB]
−1
(CΦB)
−1
.
L
o
r
(s) → CΦBKΦB[I − (KΦB + I)
−1
KΦ B]
[I − (KΦB + I)
−1
KΦB]
−1
(CΦB)
−1
.
L
o
r
(s) → KΦB L
r
(s) → L
LQR
(s).
v
A B
C
A =
−20.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.000000 0.0000
0.0000 −25.00 0.0000 0.0000 0.000000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.000000 0.0000
−0.744 −0.032 0.0000 −1.540 −0.00420 1.5400
0.3370 −1.120 0.0000 0.2490 −1.00000 −5.200
0.0200 0.0000 0.0386 −0.996 −0.00029 −0.117
B =
20.00 00.00 0.00 0.00 0.00 0.00
00.00 25.00 0.00 0.00 0.00 0.00
T
,
C =
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
−0.2276
−0.8955
−0.7670 − j0.9251
−0.7670 + j0.9251
−0.8955
−25.0
S
i
−30.00 ≤ Re ≤ −13.00
−30.00 ≤ Re ≤ −20.00
−3.00 ≤ Re ≤ −1.00
−3.000 ≤ Imag ≤ 3.00
−3.00 ≤ Re ≤ −1.00
−3.00 ≤ Imag ≤ 3.00
−3.00 ≤ Re ≤ −1.00
−3.00 ≤ Re ≤ −0.20
AG = (Σ, Ω, m, P, f, X
S
, X, Ψ, τ),
Σ Ω
P m P =
(b
1
, b
2
, ..., b
m
) b
i
b
i
i = 1, ..., m f
f : b
i
→
+
i = 1, ..., m
X
S
r X
s
: P → {p
1
, p
2
, ..., p
r
}
X X
C
X
M
s
r X = {X
C
, X
M
} : {p
1
, p
2
, ..., p
r
} → {f
1
, f
2
, ..., f
s
} Ψ
s P
t
s X
C
X
M
P
t+1
P
t+1
= P
t
−Ψ(P
t
)+{f
1
, f
2
, ..., f
s
} τ
t ← 0
X
S
X
C
X
M
f
P
t
Ψ
m
b
i
m (b
1
, b
2
, ..., b
m
)
P {b
i
} =
f(b
i
)
m
j=1
f(b
j
)
> 0.
j
i
µ ∈ (0, 1) b
i
b
i
P {b
i
→ b
i
} = µ
H(b
i
,b
i
)
(1 − µ)
l−H(b
i
,b
i
)
> 0,
H(b
i
, b
i
) b
i
b
i
b
i
b
i
χ ∈ [0, 1]
1975
Ξ,Θ
Ξ,Θ
Ξ
Θ
L
Ξ,Θ
Ξ Θ
Ξ,Θ
Ξ Θ
Ξ Θ
A
n×n
C
p×n
G = I
Ξ
n×n
Θ
p×p
Ξ Θ
ΞΘ
k
=
n
i,j=1
ξ
i,j
∧
p
ι,l=1
ν
ι,l
, i ≤ j, ι ≤ l
k = 1, . . . , n
indiv
,
n A p
C ξ
i,j
ν
ι,l
ΞΘ
k
n
indiv
Ξ Θ
Q,R
˙x = A
n×n
x + B
n×m
u
y = C
p×n
x
A ←
B ←
C ←
←
←
←
←
←
←
n
Q
← n ∗ (n + 1)/2
n
R
← m ∗ (m + 1)/2
n
indiv
←
Q,R
←
←
GA semente
GA pop inic
GA calc pinic
←
\ \
←
<=
←
GA reprod
GA
GA calc xover
GA muta
GA calc
GA LQR melhor si
Q R
Q R
QR
QR
z
Q,R
←
←
Q R
p
Q
ii
α
p
Q
ii
β
p
Qγ
p
R
ii
α
p
R
ii
β
p
Rγ
← 1 : n
indiv
← 1 : n
← 1 : n
==
== ==
← p
Q
11
α
+ p
Q
11
β
∗ rand
== ==
← p
Q
22
α
+ p
Q
22
β
∗ rand
== ==
← p
Q
33
α
+ p
Q
33
β
∗ rand
== ==
← p
Q
44
α
+ p
Q
44
β
∗ rand
== ==
← p
Q
55
α
+ p
Q
55
β
∗ rand
== ==
← p
Q
66
α
+ p
Q
66
β
∗ rand
← p
Qγ
∗ rand
← 1 : m
← 1 : m
==
== ==
← p
R
11
α
+ p
R
11
β
∗ rand
== ==
← p
R
22
α
+ p
R
22
β
∗ rand
← p
Rγ
∗ rand
Q,R
Q R
Q R
← 1 : n
← 1 : n
>
←
← 1 : m
← 1 : m
>
←
QR
QR
z
QR n
indiv
n
Q
+n
R
n
Q
= n(n + 1)/2 n
R
= m(m + 1)/2
←
< n
Q
← 1 : n
←
← c : n
QR(z, w) ←
← w + 1
> n
Q
← 1 : m
←
← c : m
QR(z, w) ←
← w + 1
Q,R
QR
z
0.01
s
i
< 1
QR
crom×G
Q R QR
Q
QR
z
Q
z ← 1 : n
indiv
< n
Q
+ 1
← n
←
← c : n
Q(i, j) ← QR(z, w)
← w + 1
← 1 : n
← 1 : n
<
Q(j, i) ← Q(i, j)
R
QR
z
R
Q,R
> n
Q
← 1 : m
←
← c : m
R(i, j) ← QR(z, w)
← w + 1
← 1 : m
← 1 : m
<
R(j, i) ← R(i, j)
[K, S] ← lqr2(A, B , Q, R)
Z ← (A − B ∗ K)
[V, D] ← eig(Z)
[W, D] ← eig(Z
)
W ← conj(W
)
← 1 : n
← 1 : n
V i(i) ← V (i, j)
← 1 : n
W i(i) ← W (i, j)
Y i(z, j) ← D(j, j)
S
i
(z, j) ← (norm(V i)∗
∗norm(W i))/abs(dot(V i, W i))
si(z, j) ← S
i
(z, j)/Sensqr(j)
Q,R
← 1 : n
indiv
← F itotal ∗ rand
← roulette
←
←
← 1 : n
indiv
← F itp + F itness (i)
<=
←
←
← 1 : n
Q
+ n
R
QR1(z, i) ← QR(elem, i)
q
ij
r
ij
QR
1
QR
2
←
←
← 1 : n
indiv
/2
← 1 : n
Q
+ n
R
← rand
QR(j, i) ← alf a ∗ QR1(j, i) + (1 − alfa) ∗ QR1(j + 1, i)
QR(j + 1, i)← (1 − alfa) ∗ QR1(j, i) + (alf a) ∗ QR1(j + 1, i)
← j + 2
Q,R
q
ij
r
ij
QR
1
← 1 : n
indiv
j mut ← 0
← 1 : n
Q
+ n
R
prob mut ← rand
prob ← 100 ∗ prob mut
prob < prob t mut
j mut ← j
== j alelo 1 | == j alelo 2
prob mut ← rand
gen QR ← QR(z, j)
QR(z, j) ← mut 1 2 alel o k + mut 1 2 alelo v ∗ prob mut
gen mut ← j
gen taxa ← QR(z, j)
== j alelo 3
prob mut ← rand
gen QR ← QR(z, j)
QR(z, j) ← mut 3 alelo k + mut 3 alelo v ∗ prob mut
gen mut ← j
gen taxa ← QR(z, j)
< j alelo 1
prob mut ← rand
gen QR ← QR(z, j)
== j alelo 4 | == j alelo 5 | == j alelo 6 | == j alelo 7 |
== j alelo 8 | == j alelo 9
QR(z, j) ← mut F 1 alelo k + mut F 1 alelo v ∗ prob mut
gen mut ← j
gen taxa ← QR(z, j)
QR(z, j) ← mut A 1 alel o k ∗ prob mut
gen mut ← j
gen taxa ← QR(z, j)
Q,R
GA LQR melhor si melhor indiv si 01
cont si xover B ←
si xover chav ←
← 1 : n
idiv
← 1 : n
si xover(z, i)<
cont si xover B ← cont si xover B +
cont si xover B == n
si xover chav == 1
si xover B ← z si xover(z, 1) si xover(z, 2) si xover(z, 3) si xover(z, 4) si xover(z, 5)
si xover(z, 6)
si xover chav ←
si xover B ← si xover B z si xover(z, 1) si xover(z, 2) si xover(z, 3) si xover(z, 4)
si xover(z, 5) si xover(z, 6)
si xover B == 2
si xover chav ← 3
m si n si ← size(si xover B)
z ← 1 : m si
k ← 1 : n
s i norm e(k) ← abs(real(Y i xover(z, k))/real(Y esq(k)))
s i norm e(k) < 1
lab si e(k) ← 1
lab si e(k) ← 0
s i norm d(k) ← abs(real(Y i xover(z, k))/real(Y dir(k)))
s i norm d(k) > 1
lab si d(k) ← 1
lab si d(k) ← 0
rank y R esq ←
rank y R dir ←
Q,R
k ← 1 : n
imag(Y esq(k)) ∼= 0
lab si Iesq(k) ← abs(imag(Y i xover(z, k))/imag(Y esq(k)))
lab si Iesk(k) < 1
lab si ie(k) ← 1
lab si ie(k) ← 0
imag(Y i xover(z, k)) ∼= 0
lab si Iesk(k) ← 1.5
lab si ie(k) ← 0
lab si Iesk(k) ← 1
lab si ie(k) ← 1
rank y I esq ←
sum rank T (z) ← rank y esq + rank y dir + rank y I esq
si xover chav == 3
zz ← 1000
m si n si ← size(si xover B)
sub chav 01 ← 1
si min melhor ← 20000
z ← 1 : m si
sum rank T (z) == 18
si min melhor > sum(si xover B(z, 2 : 7))
zz ← z
si min melhor ← sum(si xover B(z, 2 : 7))
si min melhor ∼= 20000
melhor indiv si A1 ← si xover B(zz, 1) si xover B(zz, 2) si xover B(zz, 3) si xover B(zz, 4)
si xover B(zz, 5) si xover B(zz, 6) si xover B(zz, 7) sum si xover B zz 2 : 7
contger == 0
melhor indiv si 01 ← melhor indiv si A1
melhor indiv si 01 ← melhor indiv si 01 melhor indiv si A1
Q,R
si xover chav < 3 | zz == 1000
si min melhor ← 2000
z ← 1 : n
indiv
si teto ← sum(si xover (z, 1 : 6))
si min melhor > si teto
zz ← z
si min melhor > si teto
k ← 1 : n
s i norm e(k) ← abs(real(Y i xover(z, k))/real(Y esq(k)))
s i norm d(k) ← abs(real(Y i xover(z, k))/real(Y dir(k)))
n
indiv
←
n
ger
←
P op inicial
F itnessfun
← 1 : n
ger
Crossover
F itnessfun
←
← 1 : n
indiv
←
←
z ← 1 : n
indiv
←
← sum((abs(SV lqr − SV ltr safonov)
2
, 2)
> 0
← abs(SV lqr − SV ltr saf onov)
2
z ← zeros(2, 1)
z ← 1 : n
indiv
←
← 1 : n
indiv
←
← roulette
←
←
← 1 : n
indiv
←
<=
←
←
←
←
← 1 : n
indiv
/2
← 0.1
← 0.05
q1(i) ← alfa 1 ∗ q01(i) + alfa 2 ∗ q01(i + 1)
q1(i + 1)← alfa 2 ∗ q01(i) + alfa 1 ∗ q01(i + 1)
← i + 2
← 0.05
← 0
← 1 : n
indiv
← rand
<
← j
← ∗
5
th
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