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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE PESQUISAS HIDRÁULICAS
ESTUDO DE VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR
VÓRTICES EM ESTRUTURAS CILÍNDRICAS
SUBMETIDAS A ESCOAMENTO PERMANENTE
ANDRÉ LOEBLEIN KAERCHER
ORIENTADOR:
PROF. LUIZ AUGUSTO MAGALHÃES ENDRES
PORTO ALEGRE, MAIO DE 2007
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE PESQUISAS HIDRÁULICAS
ESTUDO DE VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR VÓRTICES EM
ESTRUTURAS CILÍNDRICAS SUBMETIDAS A ESCOAMENTO
PERMANENTE
ANDRÉ LOEBLEIN KAERCHER
Dissertação submetida ao Programa de Pós-graduação em Recursos Hídricos e
Saneamento Ambiental da Universidade Federal do Rio Grande do Sul como
requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Recursos Hídricos e
Saneamento Ambiental
ORIENTADOR:
PROF. LUIZ AUGUSTO MAGALHÃES ENDRES
BANCA EXAMINADORA:
PROF. DR. JÚLIO ROMANO MENEGHINI DEPTO. DE ENG. MECÂNICA/USP
PROF. DR. MARCELO GIULIAN MARQUES IPH/UFRGS
PROFª. DRª. EDITH BEATRIZ CAMAÑO SCHETTINI IPH/UFRGS
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- ii -
Para o amor da minha vida,
Bárbara.
- iii -
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer primeiramente aos meus pais, pelo constante incentivo e ajuda
durante a faculdade e também durante o mestrado.
À Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS, pelo ensino gratuito e de
qualidade.
Ao Instituto de Pesquisas Hidráulicas - IPH.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq pelo suporte
financeiro em forma de bolsa de mestrado durante boa parte do curso.
À Furnas Centrais Elétricas pelo financiamento da construção da instalação experimental
utilizada.
Às pessoas que tornaram esse trabalho real, sem as quais tenho certeza que a realização
desse trabalho não seria possível: ao meu orientador Prof. Luiz Endres, à técnica em Hidrologia
Sabrina Minhos, pelo grande empenho e dedicação na realização de boa parte dos ensaios, ao
Prof. Marcelo Marques pelo apoio prestado e a Bárbara Guedes pela correção do texto.
- iv -
RESUMO
A ocorrência de vibrações induzidas pelo escoamento em estruturas hidráulicas é um
fenômeno altamente indesejável, pois pode causar uma série de problemas de funcionamento,
manutenção e em alguns casos pode ocasionar até mesmo o colapso da estrutura em questão.
Apesar disso, esse aspecto ainda é considerado como um elemento secundário de projeto.
O estudo numérico desse fenômeno ainda é extremamente complexo, fazendo-se
necessário o uso de modelos em escala reduzida das estruturas reais para a estimativa do
comportamento dinâmico dessas estruturas. A modelagem do comportamento dinâmico de
estruturas submetidas ao escoamento de água é denominada de modelagem hidroelástica.
Para a aplicação correta da modelagem hidroelástica é fundamental um entendimento
profundo sobre os aspectos básicos dos fenômenos hidráulicos e mecânicos atuantes na estrutura.
O presente trabalho concentrou-se na investigação experimental de alguns aspectos
básicos do fenômeno de vibrações induzidas por vórtices em estruturas cilíndricas, com o
objetivo de ampliar a base de conhecimento existente sobre esse fenômeno e, dessa forma,
contribuir para o aperfeiçoamento das técnicas de modelagem hidroelástica. Vale ressaltar que
existem outros mecanismos de instabilidade causadores de vibrações, além do desprendimento de
vórtices, que não foram abordados nesta dissertação.
Os aspectos básicos abordados neste trabalho foram os seguintes:
• Razão de Aspecto L/D – razão entre o comprimento do cilindro exposto ao
escoamento e seu diâmetro;
• Parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ − parâmetro adimensional formado
pelo produto entre a massa da estrutura e seu amortecimento ζ.
Para a investigação experimental foram ensaiados cilindros rígidos elasticamente
montados e pivotados na base, submetidos ao escoamento permanente de água em canal aberto,
com dois graus de liberdade para oscilar. Apesar da liberdade para oscilar em duas direções, o
presente trabalho concentrou-se apenas nas vibrações transversais à direção do escoamento. Os
cilindros empregados possuem diferentes diâmetros, diferentes massas e dois tipos de molas para
a fixação elástica. A variação desses parâmetros resultou em comportamentos oscilatórios
diferentes, caracterizados através da medição das acelerações no topo do cilindro, que
posteriormente foram convertidos em valores de deslocamento no topo do cilindro.
O comportamento oscilatório dos cilindros foi descrito através de curvas de amplitudes
adimensionais A/D, ou seja, amplitude de oscilação dividida pelo diâmetro do cilindro, e curvas
- v -
de freqüência adimensional f
d
/f
na
, ou seja, freqüência de oscilação dominante (f
d
) dividida pela
freqüência natural da estrutura na água (f
na
).
Como principais resultados dessa investigação experimental pode-se ressaltar os seguintes
pontos:
• O parâmetro (m*+C
A
)ζ não influencia de maneira significativa o comportamento
oscilatório do sistema em termos de freqüência adimensional (f
d
/f
na
);
• Demonstrou-se a influência da razão de aspecto sobre as amplitudes máximas de
oscilação, em conjunto com o uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ. As amplitudes máximas de
oscilação sofreram redução com o aumento da razão de aspecto dos cilindros, para
valores de L/D entre 6 e 20. O comportamento das amplitudes máximas de oscilação
com relação ao parâmetro (m*+C
A
)ζ apresentou um comportamento mais complexo,
dependendo da razão de aspecto ensaiada;
• Alguns ensaios colocam em dúvida a validade do uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ para
representar de forma combinada as variações do amortecimento estrutural e razão de
massa, pelo menos para a configuração experimental adotada e valores de
(m*+C
A
)ζ < 0,074.
- vi -
ABSTRACT
The occurrence of flow-induced vibrations in hydraulic structures is a highly undesirable
phenomenon, because it can cause a series of operational and maintenance problems, and in some
cases it can cause even the collapse of the structure. In spite of that, that aspect is still considered
as a secondary element of project.
The numeric study of that phenomenon is still extremely complex, being done necessary
the use of models in reduced scale of the real structures for the estimate of the dynamic behavior
of those structures. The modeling of the dynamic behavior of structures submitted to the flow of
water is denominated hydroelastic modeling.
For the correct application of the hydroelastic modeling it is fundamental a deep
understanding on the basic aspects of the hydraulic and mechanical phenomena active in the
structure.
The present work concentrated on the experimental investigation of some basic aspects of
the phenomenon of vortex-induced vibrations in cylindrical structures, with the objective of
enlarging the base of existent knowledge on that phenomenon and, in that way, to contribute for
the improvement of the hydroelastic modeling techniques. It is worth to emphasize that there are
other mechanisms of instability responsible for the vibrations, besides vortex-shedding, they were
not approached in this dissertation.
The basic aspects approached in this work were the following ones:
• Aspect ratio L/D - ratio of the submerged cylinder length to its diameter;
• Mass-damping parameter (m*+C
A
)ζ − dimensionless parameter formed by the product
between the mass of the structure and its structural damping ζ.
For the experimental investigation, pivoted rigid cylinders were elastically mounted,
submitted to steady flow of water in an open channel, with two degrees of freedom to oscillate.
The present work concentrated in the study of the vibrations perpendicular to the flow direction.
The employed cylinders possess different diameters, different masses and two types of springs for
the elastic fixation. The variation of those parameters resulted in different oscillatory behaviors,
characterized through the measurement of the accelerations in the top of the cylinder, that later
were converted in displacement values in the top of the cylinder.
The oscillatory behavior of the cylinders was described through curves of dimensionless
amplitudes A/D, in other words, oscilation amplitude divided by the diameter of the cylinder, and
curves of dimensionless frequency f
d
/f
na
, in other words, oscillating dominant frequency (f
d
)
divided by the natural frequency of the structure in the water (f
na
).
- vii -
As main results of that experimental investigation the following points can be
emphasized:
• The parameter (m*+C
A
)ζ does not influence in a significant way the oscillatory
behavior of the system in terms of dimensionless frequency (f
d
/f
na
);
• The influence of the aspect ratio was demonstrated on the dimensionless amplitude of
oscillation, together with the use of the parameter (m*+C
A
)ζ. The maximum
amplitudes of oscillation suffered reduction with the increase of the aspect ratio of the
cylinders, for values of L/D between 6 and 20. The behavior of the maximum
dimensionless amplitudes of oscillation regarding the parameter (m*+C
A
)ζ presented a
more complex behavior, depending on the aspect ratio;
• Some results put in doubt the validity of the use of the parameter (m*+C
A
)ζ to
combine the variations of the structural damping and mass ratio, at least for the
experimental configuration adopted and values of (m*+C
A
)ζ < 0.074.
- viii -
ÍNDICE
AGRADECIMENTOS..................................................................................................................iii
RESUMO .......................................................................................................................................iv
ABSTRACT...................................................................................................................................vi
ÍNDICE ........................................................................................................................................viii
LISTA DE TABELAS....................................................................................................................x
LISTA DE FIGURAS ...................................................................................................................xi
LISTA DE SÍMBOLOS..............................................................................................................xvi
1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................................1
2. OBJETIVOS ............................................................................................................................4
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...............................................................................................5
3.1 Aspectos Gerais sobre Vibrações:........................................................................................5
3.1.1 Vibração Livre .............................................................................................................6
3.1.2 Vibração Livre Amortecida..........................................................................................7
3.1.3 Vibração Forçada .......................................................................................................10
3.1.4 Medidas de Amortecimento .......................................................................................11
3.2 Vibrações Induzidas pelo Escoamento...............................................................................13
3.2.1 Vibrações Induzidas por Vórtices ..............................................................................14
3.2.2 Sincronização .............................................................................................................27
3.2.3 Forças em cilindros submetidos a escoamento permanente.......................................29
3.2.4 Variáveis adimensionais mais importantes................................................................33
3.2.5 Vibrações Transversais ..............................................................................................45
3.2.6 Vibrações Longitudinais ............................................................................................56
3.2.7 Vibrações com dois graus de liberdade......................................................................57
4. DESCRIÇÃO E METODOLOGIA EXPERIMENTAL ...................................................59
4.1 Instalação Experimental.....................................................................................................59
4.1.1 Canal de ensaio e estruturas auxiliares.......................................................................59
4.1.2 Estruturas Cilíndricas.................................................................................................65
4.1.3 Sistema de Fixação.....................................................................................................68
4.1.4 Sistema de Aquisição de Dados .................................................................................71
4.2 Procedimento Experimental...............................................................................................74
4.2.1 Testes de Pulso...........................................................................................................74
4.2.2 Ensaios com Escoamento...........................................................................................79
5. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS...........................................................................89
- ix -
5.1 Resultados Experimentais..................................................................................................89
5.2 Influência do parâmetro (m*+C
A
)ζ sobre a amplitude máxima de oscilação...................93
5.3 Influência da razão de aspecto sobre a amplitude máxima de vibração ............................95
5.4 Influência do parâmetro (m*+C
A
)ζ sobre as curvas A/D
max
xV
r
e (f
d
/f
na
)xV
r
..................102
5.5 Validade do uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ........................................................................111
6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES .........................................................................116
6.1 Resultados Experimentais................................................................................................116
6.2 Influência do parâmetro (m*+C
A
)ζ sobre a amplitude máxima de oscilação.................117
6.3 Influência da Razão de Aspecto e do parâmetro (m*+C
A
)ζ sobre a amplitude máxima de
oscilação....................................................................................................................................117
6.4 Validade do uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ ......................................................................118
6.5 Recomendações aplicadas à modelagem hidroelástica....................................................118
6.6 Continuação da Pesquisa..................................................................................................119
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................121
8. ANEXO: ...............................................................................................................................126
8.1 Determinação experimental da constante elástica das molas...........................................126
8.2 Equipamentos do Sistema de Aquisição de Dados ..........................................................128
8.3 Variação dos valores calculados de L/D durante os ensaios com escoamento................130
8.4 Níveis dos ensaios de testes de pulso...............................................................................131
8.5 Resumo dos ensaios .........................................................................................................132
8.6 Filtro utilizado – Necessidade e caracterização ...............................................................134
8.6.1 Necessidade de filtro................................................................................................134
8.6.2 Características do filtro utilizado .............................................................................140
8.7 Avaliação de erros nas medições .....................................................................................143
8.8 Resultados experimentais por cilindro.............................................................................145
8.9 Dados de outros autores usados para comparação (figura 5.1)........................................164
- x -
LISTA DE TABELAS
Tab. 3.1 – Comprimentos de correlação em função do número de Reynolds, cilindros
estacionários, Sarpkaya (1979). .....................................................................................................24
Tab. 3.2 – Faixa de Reynolds utilizada em diversos ensaios com ar.............................................46
Tab. 3.3 – Faixa de Reynolds utilizada em diversos ensaios com água.........................................47
Tab. 3.4 – Amplitudes máximas de vibração e respectivas montagens experimentais utilizadas. 48
Tab. 3.5 – Resumo dos ensaios de vibração em cilindros com diversas configurações
experimentais. ................................................................................................................................50
Tab. 3.6 – Resumo de vários ensaios de vibração em cilindros.....................................................51
Tab. 4.1 - Razões de aspecto nominais dos cilindros ensaiados. ...................................................66
Tab. 4.2 - Materiais de Enchimento...............................................................................................66
Tab. 4.3 – Massa final dos tubos após o enchimento.....................................................................68
Tab. 4.4 - Tabela resumo das freqüências naturais e amortecimentos, no ar e na água.................77
Tab. 5.1 – Resumo dos resultados experimentais obtidos nessa dissertação.................................90
Tab. 5.2 – Resumo dos resultados experimentais separados por montagem experimental, ensaios
com água, resumo elaborado com base na tabela 4.6. ...................................................................91
Tab. 5.3 – Resumo dos resultados experimentais separados por razão de aspecto........................92
Tab. 5.4 – Ensaios do grupo 1 – molas tipo “0”. ...........................................................................96
Tab. 5.5 – Ensaios do grupo 2 – molas tipo “m”. ..........................................................................96
Tab. 5.6 – Resumo dos principais parâmetros adimensionais nos ensaios com cilindros de
L/D=6,7. .......................................................................................................................................103
Tab. 5.7 – Resumo dos principais parâmetros adimensionais nos ensaios com cilindros de
L/D=12,7. .....................................................................................................................................107
Tab. 5.8 – Resumo dos principais parâmetros adimensionais nos ensaios com cilindros de
L/D=19,8. .....................................................................................................................................109
Tab. 5.9 – Pares de pontos, com razões de aspecto (L/D) semelhantes, e com valores próximos de
(m*+C
A
)ζ. ....................................................................................................................................112
Tab. 8.1 - Força x Deformação para a mola 0..............................................................................126
Tab. 8.2 - Força x Deformação para a mola m.............................................................................126
Tab. 8.3 - Tabela de informações dos medidores eletromagnéticos. ...........................................129
Tab. 8.4 - Variações percentuais dos níveis de água no canal. ....................................................130
Tab. 8.5 - Níveis de água dos testes de pulso...............................................................................131
Tab. 8.6 – Resumo dos principais parâmetros medidos...............................................................132
Tab. 8.7 – Reprodução parcial da tabela 4.4................................................................................141
- xi -
LISTA DE FIGURAS
Fig. 3.1 - Sistema massa-mola. ........................................................................................................6
Fig. 3.2 - Sistema Subamortecido
ζ
< 1, Thomson (1978). ..........................................................8
Fig. 3.3 - Sistema Superamortecido
ζ
> 1, Thomson (1978). ..........................................................9
Fig. 3.4 - Sistema Criticamente Amortecido
ζ
= 1, Thomson (1978)..............................................9
Fig. 3.5 - Curva da amplitude adimensionalizada de oscilação (esquerda) e curva do ângulo de
fase
ϕ
(canto superior direito), para vibração forçada, em função da razão de freqüências r,
Thomson (1978).............................................................................................................................11
Fig. 3.6 - Curva utilizada para o cálculo do decremento logarítmico, Thomson (1978). ..............12
Fig. 3.7 – Campos de pressão instantâneos durante um terço do período de desprendimento de
vórtices (Re = 112.000), Drescher (1956) apud Blevins (1990)....................................................15
Fig. 3.8 – Escoamento invíscido e distribuição de pressões ao redor de um cilindro estacionário,
Schlichting (1960)..........................................................................................................................16
Fig. 3.9 – Processo de formação de vórtices, Schlichting (1960)..................................................17
Fig. 3.10 – Desenho esquemático do mecanismo de desprendimento de vórtices, extraído de
Ribeiro (2002). ...............................................................................................................................18
Fig. 3.11 – Regimes de desprendimento de vórtices em função do número de Reynolds, Sumer &
Fredsøe (1997). ..............................................................................................................................20
Fig. 3.12 – Variação do número de Strouhal com o número de Reynolds, Blevins (1990)...........21
Fig. 3.13 – Variação do número de Strouhal para 10
4
< Re < 10
7
, Schewe (1983).......................22
Fig. 3.14 – Efeito da rugosidade superficial sobre a relação S – Re, Achenbach & Heinecke
(1981). ............................................................................................................................................22
Fig. 3.15 – Espectros de freqüência para as flutuações na força de sustentação, em diferentes
regimes de escoamento, Schewe (1983). .......................................................................................23
Fig. 3.16 – Variação do Número de Strouhal ao longo do comprimento de um cilindro rígido em
balanço ensaiado em água, Fox & West (1993) apud Fujarra (2002)............................................25
Fig. 3.17 – Coeficiente de correlação ao longo do cilindro, para diversas amplitudes de oscilação,
Blevins (1990)................................................................................................................................26
Fig. 3.18 – Faixa de sincronização para vibrações transversais, adaptado de Blevins (1990).......28
Fig. 3.19 – Faixa de sincronização para vibrações longitudinais, adaptado de Griffin & Ramberg
(1976). ............................................................................................................................................29
Fig. 3.20 – Desenho esquemático para a dedução da eq. (3.23), Sumer & Fredsøe (1997). .........30
- xii -
Fig. 3.21 – Flutuações de forças durante o desprendimento de vórtices para cilindro estacionário,
Drescher (1956) apud Sumer & Fredsøe (1997)............................................................................31
Fig. 3.22 – Flutuações nas forças de arrasto e sustentação para 10
4
< Re < 10
7
, Sumer & Fredsøe
(1997). ............................................................................................................................................32
Fig. 3.23 – Aumento no coeficiente de arrasto com a amplitude, extraído de Blevins (1990)......33
Fig. 3.24 – Variação do coeficiente de massa adicional C
A
em função da velocidade reduzida,
extraído de Vikestad et al. (2000). .................................................................................................35
Fig. 3.25 – Variação da amplitude de resposta com a velocidade reduzida, para diferentes razões
de massa, Sumer & Fredsøe (1997). ..............................................................................................36
Fig. 3.26 - Curva de freqüência adimensional f
d
/f
ns
em função de V
r
para um sistema com
m*= 320 (ar) e (m*+C
A
)ζ= 0,251, extraído de Govardhan & Williamson (2000)........................37
Fig. 3.27 - Curva de freqüência adimensional f
d
/f
na
em função de V
r
para um sistema com m*=
2,4 (água), extraído de Khalak & Williamson (1997b)..................................................................38
Fig. 3.28 - Curva de A/D versus (m*+C
A
)ζ, extraído de Khalak & Williamson (1999)...............39
Fig. 3.29 - Curva de A/D versus V
r
, extraído de Khalak & Williamson (1999)............................40
Fig. 3.30 – Amplitude máxima de resposta em função do parâmetro de estabilidade Ks, Sumer &
Fredsøe (1997). ..............................................................................................................................41
Fig. 3.31 – Amplitudes de resposta em função do número de Reynolds, Sumer & Fredsøe (1997).
........................................................................................................................................................43
Fig. 3.32 – Influência da razão de aspecto sobre o número de Strouhal S, extraído de
Pantazopoulos (1994).....................................................................................................................43
Fig. 3.33 – Influência da razão de aspecto sobre as amplitudes de vibração, extraído de Wootton
(1969). ............................................................................................................................................44
Fig. 3.34 – Influência da razão de aspecto sobre as amplitudes de vibração, extraído de Griffin
(1980). ............................................................................................................................................45
Fig. 3.35 – Padrão de desprendimento de vórtices para vibrações longitudinais, a foto da esquerda
retrata o desprendimento de pares de vórtices ( 1,2 < V
r
< 2,5), na foto da direita, o
desprendimento é assimétrico (2,5 < V
r
< 4,0). Extraído de Okajima et al. (2004).......................56
Fig. 3.36 – Médias quadráticas da amplitude de oscilação adimensional para vibrações
longitudinais, Okajima et al. (2004)...............................................................................................57
Fig. 4.1 – Vista geral do canal e estruturas auxiliares, extraído de Romagnoli (2005). ................60
Fig. 4.2 – Vista frontal do canal de ensaios. ..................................................................................60
Fig. 4.3 – Vista frontal da seção de testes com a parede de vidro. Na foto podem ser vistos os
equipamentos usados no sistema de aquisição de dados bem como um dos cilindros ensaiados..61
- xiii -
Fig. 4.4 – Comporta para controle do nível no canal.....................................................................61
Fig. 4.5 - Perfil de velocidades no centro do canal, na seção de testes, q = 125 l/s e altura da
comporta h = 20 cm........................................................................................................................62
Fig. 4.6 - Perfil de velocidades no centro do canal, na seção de testes, q = 150 l/s e altura da
comporta h = 20 cm........................................................................................................................62
Fig. 4.7 - Perfil de velocidades no centro do canal, na seção de testes, q = 175 l/s e altura da
comporta h = 15 cm........................................................................................................................63
Fig. 4.8 - Curva de isótacas no centro da seção de testes para vazão Q=125 l/s e comporta em 20
cm, os valores das curvas estão em m/s. ........................................................................................64
Fig. 4.9 - Curva de isótacas no centro da seção de testes para vazão Q=150 l/s e comporta em 20
cm, os valores das curvas estão em m/s. ........................................................................................64
Fig. 4.10 - Curva de isótacas no centro da seção de testes para vazão Q=175 l/s e comporta em 15
cm, os valores das curvas estão em m/s. ........................................................................................65
Fig. 4.11 - Fotos da (a) vedação inferior e (b) vedação superior. ..................................................67
Fig. 4.12 - Instalação da vedação superior.....................................................................................67
Fig. 4.13 - Pesagem dos cilindros. .................................................................................................68
Fig. 4.14 – Detalhes do sistema de fixação: (a) base para fixação das molas (esquerda) e base para
a instalação dos acelerômetros (direita), (b) base com acelerômetros instalados, (c) molas e
acelerômetros instalados no cilindro..............................................................................................69
Fig. 4.15 - Detalhes dos dispositivos de fixação dos cilindros na base (a) e no topo (b) e aspecto
da fixação na base (c) e no topo (d). ..............................................................................................69
Fig. 4.16 - Cilindro montado na seção de testes do canal (visto de montante para jusante)..........70
Fig. 4.17 - Relação Força x Deslocamento para a mola m. ...........................................................70
Fig. 4.18 - Relação Força x Deslocamento mola 0. .......................................................................71
Fig. 4.19 - Desenho esquemático do sistema de aquisição de dados de aceleração. .....................72
Fig. 4.20 – Sistema de aquisição de dados montado......................................................................72
Fig. 4.21 - Ponteira linimétrica utilizada para medir níveis, extraído de Romagnoli (2005).........73
Fig. 4.22 - Medidores de vazão eletromagnéticos..........................................................................73
Fig. 4.23 – Teste de pulso para o d20m5km, seco e com impulso na direção transversal. Sinal em
Volts. ..............................................................................................................................................76
Fig. 4.24 – Teste de pulso para o d20m5km, com água e com impulso na direção transversal.
Sinal em Volts................................................................................................................................76
Fig. 4.25 - Exemplo de ajuste exponencial realizado para o cálculo do amortecimento, impulso
transversal e sem água....................................................................................................................78
- xiv -
Fig. 4.26 - Exemplo de ajuste exponencial realizado para o cálculo do amortecimento, impulso
transversal e com água. ..................................................................................................................79
Fig. 4.27 - Sinais de aceleração medidos para várias vazões, ensaio d20m5km. ..........................84
Fig. 4.28 – Processo utilizado para o cálculo dos deslocamentos no topo do cilindro. .................85
Fig. 4.29 – Amplitudes de oscilação do cilindro d20m2km para vazão de 110 l/s........................86
Fig. 4.30 - Exemplo de determinação de freqüências dominantes.................................................87
Fig. 4.31 - Função densidade de potência espectral para a vazão 60 l/s (a) e para 70 l/s (b). Essas
figuras mostram a junção da freqüência de desprendimento de vórtices com a freqüência de
vibração da estrutura, marcando o início do fenômeno de sincronização......................................88
Fig. 5.1 – Gráfico de Amplitude Adimensional versus (m*+C
A
)ζ para diversos ensaios
publicados, incluindo os resultados obtidos neste trabalho. ..........................................................94
Fig. 5.2 – Gráfico de A/D versus (m*+C
A
)ζ para diversos ensaios realizados com água, incluindo
os resultados obtidos nesta dissertação. .........................................................................................95
Fig. 5.3 – Curva A/D
max
x (m*+C
A
)ζ para todo os ensaios, separados por razão de aspecto........97
Fig. 5.4 – Curva A/D
max
x (m*+C
A
)ζ para os ensaios agrupados como grupo 1 (linhas apenas para
visualização)...................................................................................................................................98
Fig. 5.5 – Curva A/D
max
x (m*+C
A
)ζ para os ensaios agrupados como grupo 2 (linhas apenas
para visualização).........................................................................................................................101
Fig. 5.6 – Curvas A/D
max
xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 6,7 (linhas apenas para
visualização).................................................................................................................................103
Fig. 5.7 – Curvas (f
d
/f
na
)xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 6,7....................................104
Fig. 5.8 – Espectros de freqüências de d60m5k0 para as vazões de 150 (V
r
=11,1), 160 (V
r
=11,9)
e 170 l/s (V
r
=12,7)........................................................................................................................106
Fig. 5.9 – Curvas A/D
max
xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 12,7.................................107
Fig. 5.10 – Curvas (f
d
/f
na
)xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 12,7................................108
Fig. 5.11 – Curvas A/D
max
xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 19,8...............................109
Fig. 5.12 – Curvas (f
d
/f
na
)xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 19,8................................110
Fig. 5.13 – Curvas A/DxVr para os cilindros d25m3km e d25m5km representando o
comportamento de todos os pares na situação A. ........................................................................113
Fig. 5.14 – Curvas A/DxVr para os cilindros d25m5k0 e d25m3k0 representando o
comportamento denominado de situação B. ................................................................................113
Fig. 5.15 – Curvas A/DxVr para os cilindros d20m2k0 e d20m5k0 representando o
comportamento denominado de situação C. ................................................................................114
- xv -
Fig. 5.16 – Curvas A/DxVr para os cilindros d50m4k0 e d50m5k0 representando o
comportamento denominado de situação D. ................................................................................115
Fig. 8.1 – Relação Força x Deslocamento para a mola 0.............................................................127
Fig. 8.2 – Relação Força x Deslocamento para a mola m............................................................127
Fig. 8.3 – Sinal de aceleração para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s antes da aplicação do
filtro..............................................................................................................................................134
Fig. 8.4 – Função densidade de potência espectral para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s antes
da aplicação do filtro....................................................................................................................135
Fig. 8.5 – Sinal calculado de velocidade para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s sem aplicação
do filtro.........................................................................................................................................135
Fig. 8.6 – Sinal calculado de velocidade para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s com aplicação
do filtro.........................................................................................................................................136
Fig. 8.7 – Função densidade de potência espectral para o sinal de velocidade do cilindro
d25m5km e vazão 110 l/s sem aplicação do filtro. ......................................................................137
Fig. 8.8 – Função densidade de potência espectral para o sinal de velocidade do cilindro
d25m5km e vazão 110 l/s com aplicação do filtro.......................................................................137
Fig. 8.9 – Sinal calculado de deslocamento para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s sem
aplicação do filtro.........................................................................................................................138
Fig. 8.10 – Função densidade de potência espectral para o sinal de deslocamento do cilindro
d25m5km e vazão 110 l/s sem aplicação do filtro. ......................................................................139
Fig. 8.11 – Sinal calculado de deslocamento para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s com
aplicação do filtro.........................................................................................................................139
Fig. 8.12 – Função densidade de potência espectral para o sinal de deslocamento do cilindro
d25m5km e vazão 110 l/s com aplicação do filtro.......................................................................140
Fig. 8.13 – Curva de atuação do filtro utilizado...........................................................................141
Fig. 8.14 – Comparação entre o sinal original e o sinal filtrado para o cilindro d60m5k0, vazão
80l/s..............................................................................................................................................142
Fig. 8.15 – Comparação entre o sinal original e o sinal filtrado para o cilindro d60m4k0, vazão
80l/s..............................................................................................................................................142
- xvi -
LISTA DE SÍMBOLOS
Alfabeto Latino
Símbolo Descrição Dimensão
A Amplitude de oscilação [L]
A/D Amplitude adimensional [-]
A, B, C, D Constantes arbitrárias
c Coeficiente de amortecimento viscoso [MT
-1
]
C
A
Coeficiente de massa adicional [-]
c
c
Coeficiente de amortecimento crítico [MT
-1
]
C
D
Coeficiente de arrasto [-]
C
L
Coeficiente de sustentação [-]
C’
D
Coeficiente de arrasto da fração flutuante da força [-]
C’
L
Coeficiente de sustentação da fração flutuante da força [-]
D Diâmetro do cilindro [L]
F(t) Força variável no tempo [MLT
-2
]
F
D
Força de arrasto média [MLT
-2
]
F
D
Força de arrasto [MLT
-2
]
F
L
Força de sustentação [MLT
-2
]
F’
D
Força de arrasto, parte flutuante [MLT
-2
]
F’
L
Força de sustentação, parte flutuante [MLT
-2
]
F
o
Amplitude de oscilação da força [MLT
-2
]
f Freqüência de vibração [T
-1
]
f
d
Freqüência dominante do sinal de oscilação [T
-1
]
f
d
/f
na
Freqüência adimensional de oscilação, com relação à
freqüência natural obtida na água [-]
f
d
/f
ns
Freqüência adimensional de oscilação, com relação à
freqüência natural obtida nos ensaios com o canal seco [-]
f
n
Freqüência natural de vibração [T
-1
]
f
na
Freqüência natural de vibração medida na água [T
-1
]
f
ns
Freqüência natural de vibração medida com o canal seco [T
-1
]
f
s
Freqüência de Strouhal [-]
f
v
Freqüência de desprendimento de vórtices [T
-1
]
- xvii -
Símbolo Descrição Dimensão
k Rigidez da estrutura, constante de rigidez da mola [MT
-2
]
k
s
Rugosidade equivalente de Nikuradse [L]
K
s
Parâmetro de estabilidade [-]
l Comprimento do cilindro [L]
L Comprimento de correlação [L]
L/D Razão de aspecto [-]
m Massa do sistema [M]
m’ Massa adicional da água [M]
m* Razão de massa, adotada nesse trabalho [-]
M Razão de massa, outra definição [-]
p Pressão média atuante em determinado ponto [ML
-1
T
-2
]
p’ Parte flutuante de alguma característica do escoamento
medida ao longo do cilindro
r Razão de freqüências (ω/ω
n
) [-]
r Raio do cilindro [L]
R(z) Coeficiente de correlação
Re Número de Reynolds [-]
r
o
Raio do cilindro [L]
S Número de Strouhal [-]
S
G
Parâmetro de Skop-Griffin [-]
t Tempo [T]
T Temperatura da água durante o ensaio [t]
U Velocidade média do escoamento de aproximação [LT
-1
]
V
r
Velocidade reduzida [-]
V
rmax
Velocidade reduzida onde ocorre o valor máximo de
amplitude de oscilação [-]
V
r1
Velocidade reduzida no início da sincronização [-]
V
r2
Velocidade reduzida no final da sincronização [-]
x Deslocamento do sistema [L]
. .
x
Aceleração do sistema [LT
-2
]
.
x
Velocidade do sistema [LT
-1
]
X Amplitude de oscilação [L]
- xviii -
X
res
Amplitude na ressonância [L]
X1, X2 Amplitudes de oscilação [L]
z
ref
Ponto de referência [L]
z Distância longitudinal entre dois pontos de medida [L]
Símbolos Gregos
Símbolo Descrição Dimensão
δ Decremento logarítmico [-]
φ Ângulo de integração das pressões e tensões de
cisalhamento
ϕ Ângulo de fase
ν Viscosidade cinemática da água [L
2
T
-1
]
ρ Massa específica do fluido [ML
-3
]
τ
o
Tensão de cisalhamento média atuante em determinado
ponto [ML
-1
T
-2
]
ω Freqüência angular de excitação [T
-1
]
ω
n
Freqüência angular natural de oscilação [T
-1
]
ω
d
Freqüência angular do movimento amortecido [T
-1
]
ζ Razão de amortecimento [-]
Símbolos compostos
Símbolo Descrição Dimensão
(m*+C
A
)ζ Parâmetro de massa-amortecimento incorporando a
massa adicional da água [-]
m*ζ Parâmetro de massa-amortecimento, sem considerar
a massa adicional de água [-]
ζ
s
Amortecimento estrutural [-]
..
x
- 1 -
1. INTRODUÇÃO
O escoamento de um fluido ao redor de uma estrutura pode causar o aparecimento de
forças dinâmicas atuantes sobre esta estrutura. Um dos possíveis efeitos da atuação destas forças
dinâmicas é o surgimento de vibrações na estrutura em questão. As estruturas de aço, por serem
mais esbeltas, são mais suscetíveis à vibração do que estruturas de concreto, embora, nestas
últimas, a ocorrência de vibrações também seja possível.
A ocorrência de vibrações, na maioria das estruturas, deve ser evitada, ou ao menos
minimizada, pois essas vibrações podem causar uma série de problemas, entre os quais estão: o
mal funcionamento da estrutura, o desgaste ou a falha prematura de componentes devido ao
carregamento cíclico e até mesmo a ruptura da estrutura sob condições extremas de
carregamento, por exemplo: furacões, enchentes.
O estudo numérico completo das vibrações induzidas pelo escoamento, em algumas
estruturas, ainda é extremamente complexo. O cálculo da resposta de uma estrutura submetida a
carregamento dinâmico deve levar em conta a elasticidade e a massa da estrutura, bem como o
efeito da “massa adicional” de água, que é dependente da freqüência e amplitude de vibração.
Além disso, o efeito do amortecimento da estrutura e a absorção de energia pela água devem ser
levados em consideração. O movimento da estrutura pode, também, modificar o padrão de
escoamento e, assim, as cargas atuantes, ocorrendo uma interação entre o movimento da estrutura
e o carregamento (Kolkman, 1988).
Devido a esses fatores, a aplicação de modelos em escala reduzida é de importância
fundamental para a estimativa do comportamento dinâmico de estruturas reais submetidas a
escoamento. Quando o fluido for água, tal modelagem é denominada modelagem hidroelástica.
Para a correta aplicação da modelagem hidroelástica é necessário um profundo
conhecimento sobre os fenômenos hidráulicos e mecânicos envolvidos, sendo a investigação
desses aspectos básicos muito importante para futuras modelagens físicas de estruturas reais.
O presente trabalho concentra-se na investigação experimental de alguns dos aspectos
básicos relacionados ao fenômeno de vibrações induzidas pelo desprendimento de vórtices em
estruturas cilíndricas, com o objetivo de ampliar a base de conhecimento existente sobre esse
assunto e dessa forma contribuir para a melhoria das técnicas de modelagem hidroelástica para
esse tipo de estrutura. Tal investigação está inserida dentro de uma das linhas de pesquisa do
Instituto de Pesquisas Hidráulicas – IPH/UFRGS, que é a modelagem do comportamento
dinâmico de estruturas hidráulicas.
O estudo do fenômeno de vibrações induzidas por desprendimento de vórtices em
estruturas cilíndricas é muito importante devido, principalmente, a sua grande aplicação industrial
- 2 -
e as possíveis conseqüências de uma falha nessas estruturas, por exemplo: rompimento de dutos
submarinos que transportam petróleo, rompimento de linhas submarinas de telecomunicação,
colapso de torres, chaminés e pilares.
As vibrações induzidas pelo escoamento podem ser geradas por diversos mecanismos de
instabilidade, sendo que alguns desses serão brevemente comentados na revisão bibliográfica. No
entanto, neste trabalho, será dado destaque às vibrações induzidas devido ao processo de
formação e desprendimento de vórtices, mais conhecidas por Vibrações Induzidas por Vórtices
(VIV), em estruturas cilíndricas isoladas submetidas a escoamento permanente em direção
perpendicular ao eixo principal da estrutura.
A escolha de estruturas cilíndricas isoladas, neste trabalho, deve-se principalmente aos
seguintes fatores:
• Este tipo de estrutura tem recebido atenção de inúmeros pesquisadores há muitas
décadas, existindo, portanto, grande quantidade de dados experimentais que podem ser utilizados
para validação dos resultados obtidos na presente pesquisa;
• Estas estruturas cilíndricas, submetidas a escoamento de fluidos, possuem grande
aplicação na engenharia, tais como: trocadores de calor, pilares de pontes e plataformas de
petróleo, tubos de extração e perfuração de petróleo, cabos de telecomunicações e tubulações
subaqüáticas;
• Esta estrutura possui geometria simplificada e simétrica, reduzindo assim outros tipos
de instabilidades devidas à interação fluido-estrutura, para o caso de escoamento permanente, tais
como galopeamento (“galloping”) e drapejamento (“flutter”), estes fenômenos são brevemente
comentados na revisão bibliográfica.
O termo escoamento permanente refere-se às características médias do escoamento de
aproximação, visto que, as características do escoamento, tanto na esteira do cilindro como no
trecho do canal à montante do cilindro, são variáveis no tempo.
Tendo em vista a complexidade deste fenômeno, pois envolve interação fluido-estrutura, o
grande número de variáveis que influem sobre o comportamento vibratório da estrutura e, em
grande parte, devido às limitações da montagem experimental, optou-se por restringir o campo de
investigação do presente trabalho, focalizando-o na influência das seguintes variáveis sobre o
comportamento vibratório do cilindro:
• Razão de Aspecto L/D – razão entre o comprimento do cilindro exposto ao
escoamento e seu diâmetro;
• Parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ − parâmetro adimensional formado
pelo produto entre a massa da estrutura e seu amortecimento ζ.
- 3 -
Para maiores detalhes sobre as variáveis investigadas, bem como de outras variáveis que
afetam o comportamento vibratório do cilindro, recomenda-se a consulta da seção 3.2.4.
O foco da presente dissertação, portanto, concentra-se na investigação de aspectos básicos
do comportamento oscilatório de cilindros submetidos ao fenômeno de Vibrações Induzidas por
Vórtices (VIV), causados, principalmente, pela influência das variáveis anteriormente citadas.
Com esse objetivo, foram ensaiados cilindros rígidos pivotados na base e elasticamente
montados, submetidos a escoamento permanente de água em canal aberto, com dois graus de
liberdade para oscilar. Os cilindros empregados possuem diferentes diâmetros, diferentes massas
e dois tipos de molas para a fixação elástica. A variação desses parâmetros resultou em
comportamentos oscilatórios diferentes apresentados com maiores detalhes na seção de
apresentação dos resultados.
- 4 -
2. OBJETIVOS
Tendo em vista o interesse pela descrição e entendimento de aspectos básicos do
comportamento vibratório de estruturas cilíndricas causado pelo contato com escoamentos de
determinadas características, tem-se como objetivos para o presente trabalho:
• Realizar comparação com resultados experimentais publicados por diversos
pesquisadores, a fim de comprovar a adequação da montagem experimental
empregada para o estudo de vibrações induzidas por vórtices e contribuir com a
ampliação da base de dados experimentais existente;
• Investigar a influência do parâmetro Razão de Aspecto sobre as amplitudes
máximas de oscilação;
• Investigar a influência do parâmetro de massa-amortecimento sobre as
amplitudes máximas de oscilação;
• Investigar a validade do uso do parâmetro de massa-amortecimento como único
parâmetro para descrever as amplitudes máximas de oscilação de estruturas
cilíndricas.
O comportamento oscilatório dos cilindros foi descrito através de curvas de amplitudes
adimensionais A/D, ou seja, amplitude dividida pelo diâmetro do cilindro, e curvas de freqüência
adimensional f
d
/f
na
, ou seja, freqüência de oscilação dominante dividida pela freqüência natural
da estrutura na água, sendo que os detalhes da instalação experimental e de como foram obtidos
esses parâmetros são descritos na seção de metodologia experimental.
A leitura e interpretação das representações gráficas, aqui apresentadas, serão usadas na
discussão de validade e oportunidade de emprego de parâmetros usuais na caracterização do
processo vibratório.
- 5 -
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 Aspectos Gerais sobre Vibrações:
O estudo do padrão vibratório de sistemas dinâmicos é de importância fundamental para
um projeto seguro, econômico e durável destes sistemas. As estruturas sujeitas a carregamentos
dinâmicos, isto é, variáveis no tempo, que podem ser originados de diversas fontes tais como:
ação do vento, correntes marinhas, trânsito de veículos, funcionamento de máquinas, escoamento
ao redor de estruturas hidráulicas (comportas, válvulas, pilares flexíveis), são suscetíveis à
vibração. A maneira como essas estruturas podem vibrar depende fundamentalmente das
características do sistema estrutural (distribuição de massa, rigidez, amortecimento) e das
características da força excitadora.
Existem duas classes gerais de vibrações (Thomson, 1978): a livre e a forçada. A vibração
livre ocorre em sistemas que oscilam sob a ação de forças inerentes ao sistema e na ausência de
qualquer força externa, exemplo: pêndulo simples. Na vibração livre o sistema pode oscilar com
uma ou mais das suas freqüências naturais, próprias do sistema dinâmico e determinadas pela sua
distribuição de massa e rigidez.
A vibração forçada ocorre devido à aplicação de forças externas. Quando a excitação
externa é oscilatória, o sistema é obrigado a oscilar na mesma freqüência da excitação. Caso a
freqüência da excitação esteja próxima das freqüências naturais de oscilação do sistema pode-se
atingir um estado de ressonância, que tende a aumentar progressivamente a amplitude das
oscilações e dos esforços atuantes sobre os elementos estruturais do sistema, podendo acarretar
no mau funcionamento do sistema e, no pior dos casos, até mesmo no colapso da estrutura.
Através do estudo do padrão vibratório tenta-se caracterizar as freqüências naturais de
vibração do sistema e as freqüências de excitação externa, para, através deste conhecimento,
evitar o fenômeno da ressonância. Tenta-se também caracterizar as amplitudes de oscilação do
sistema e os esforços induzidos nos elementos estruturais para um dimensionamento seguro
destes.
Os sistemas vibratórios estão sujeitos a certo grau de amortecimento, devido à dissipação
de energia mecânica por parte da estrutura de diversas formas tais como: atrito entre elementos
estruturais, atrito viscoso e/ou turbulento em estruturas cercadas por um meio fluido, formação de
ondas superficiais devido à vibração, entre outros fatores. Quando o amortecimento é pequeno as
freqüências naturais do sistema não são alteradas significativamente. Entretanto, o amortecimento
é de importância fundamental para a limitação da amplitude de oscilação na ressonância
(Thomson, 1978).
- 6 -
A seguir serão abordados conceitos básicos no estudo de vibrações, por motivo de
simplificação, visto que o objetivo dessa abordagem inicial é o entendimento dos conceitos
relacionados. As equações apresentadas descrevem sistemas de apenas um grau de liberdade de
parâmetros concentrados, do tipo sistemas massa-mola.
3.1.1 Vibração Livre
Considere o seguinte sistema massa-mola, apresentado na figura 3.1:
Fig. 3.1 - Sistema massa-mola.
Através da aplicação da segunda Lei de Newton, pode-se mostrar que a equação
diferencial que rege o movimento de um sistema dinâmico com um grau de liberdade para o caso
de vibração livre e sem amortecimento é:
..
m x + k x = 0, (3.1)
onde: m – massa do sistema;
k – rigidez do sistema;
x – deslocamento do sistema em relação a sua posição de equilíbrio, onde x é
uma função de tempo;
..
x
– aceleração do sistema.
A solução dessa equação diferencial (3.1) pode ser escrita da seguinte forma (Thomson,
1978):
kk
x = Csen t + Bcos t, (3.2)
mm
onde: t – tempo;
C e B – constantes que dependem das condições iniciais.
O termo
m
k
representa a freqüência angular
ω
n
do movimento oscilatório, assim:
- 7 -
2
n
k
ω = . (3.3)
m
A freqüência angular de oscilação do sistema, no caso de vibração livre, é também
denominada de freqüência natural do sistema. Um sistema dinâmico possui tantas freqüências
naturais de oscilação quantos forem os seus graus de liberdade. Essas freqüências naturais de
oscilação são determinadas pela distribuição de massa e pela rigidez do sistema.
3.1.2 Vibração Livre Amortecida
Para a consideração de movimentos amortecidos deve-se incluir um termo devido à força
de amortecimento na equação (3.1), o modelo mais adotado é à força de amortecimento viscosa,
no qual, a força de amortecimento é diretamente proporcional à velocidade de deslocamento do
sistema. Assim, a equação diferencial do movimento de um sistema amortecido é (Thomson,
1978):
.. .
m x c x k x 0, (3.4
)
++=
onde:
.
x – velocidade de deslocamento do sistema;
c – coeficiente de amortecimento viscoso.
A solução da equação diferencial (3.4) é a seguinte (Thomson, 1978):
22
ck ck
c
t- - t-
- t
2m m 2m m
2m
x e Ce De , (3.5
)
=+
onde: C e D – constantes que dependem das condições iniciais do sistema.
Define-se o amortecimento crítico
c
c
como o valor do amortecimento c para o qual o
radicando na equação (3.5) anula-se. Assim:
2
2
c
n
ck
ω . (3.6)
2m m
==
A razão entre o amortecimento do sistema c e o amortecimento crítico c
c
é chamada de
razão de amortecimento
ζ
:
c
c
ζ . (3.7)
c
=
- 8 -
A equação do movimento amortecido (3.5) pode ser rescrita, em função da razão de
amortecimento
ζ
e da freqüência angular de oscilação
ω
n
, da seguinte forma (Thomson,1978):
()
nn
n
22
- 1 ω t-- 1 ω t
- t
ζζ
x e Ce De . (3.8)
ζω
=+
Dependendo do valor da razão de amortecimento
ζ
podem-se distinguir três casos para a
solução da equação (3.8) (Thomson, 1978):
•
ζ
< 1 – Sistema subamortecido: o radicando da equação (3.8) é negativo resultando em
uma exponencial complexa que pode ser escrita na forma de uma função harmônica
representando um movimento oscilatório (eq. 3.9), representado na figura 3.2.
(
)
n
n
- ζω t
2
xXe sen1 - ζωt φ , (3.9) =+
onde: X – amplitude máxima da oscilação;
ϕ
– constante que representa o ângulo de fase.
Pela análise da equação (3.9) tem-se que a freqüência angular de oscilação do movimento
amortecido
ω
d
pode ser escrita da seguinte forma:
dn
2
ω 1 - ζω. (3.10)=
Fig. 3.2 - Sistema Subamortecido
ζ
< 1, Thomson (1978).
Assim, o amortecimento modifica o valor da freqüência natural do sistema, tornando o
movimento oscilatório mais lento e também diminui progressivamente a amplitude da oscilação.
Mas para fins práticos, desde que o amortecimento apresente valores baixos, a mudança na
freqüência natural de oscilação do sistema devido ao amortecimento pode ser desprezada
(Thomson, 1978).
- 9 -
•
ζ
> 1 – Sistema superamortecido: o radical da equação (3.8) é positivo resultando
assim em uma função exponencial decrescente com o tempo (figura 3.3), mas aperiódica, o
amortecimento é muito elevado e o sistema não apresenta um movimento oscilatório.
Fig. 3.3 - Sistema Superamortecido
ζ
> 1, Thomson (1978).
•
ζ
= 1 – Sistema amortecido criticamente: A equação (3.8) reduz-se a uma função
exponencial decrescente com o tempo, (eq. 3.11), representada na figura 3.4, o formato da curva
depende das condições iniciais do sistema. O sistema está no limiar entre o movimento
oscilatório e o movimento aperiódico.
n
- ω t
x Ce , (3.11)=
onde: C – constante que depende das condições iniciais.
Fig. 3.4 - Sistema Criticamente Amortecido
ζ
= 1, Thomson (1978).
- 10 -
3.1.3 Vibração Forçada
A equação diferencial do movimento considerando a ação de uma força externa variável
no tempo F(t), para um sistema de um grau de liberdade com amortecimento viscoso é:
.. .
m x c x kx F(t). (3.12)++=
Considerando uma excitação harmônica, ou seja, ( ) sen( )
o
Ft F t
ω
=
, onde F
o
corresponde
à amplitude de oscilação da força e
ω
a freqüência angular da excitação, a equação (3.12) torna-
se:
o
.. .
m x c x k x F sen(ω t). (3.13)++=
A solução da equação (3.13) é composta de duas partes: uma solução geral (eq. (3.8)), já
mencionada no item anterior e uma solução particular x
p
.
Segundo (Thomson,1978) a solução particular x
p
pode ser considerada da seguinte forma:
p
xXsen(ωt - φ), (3.14
)
=
onde: X – amplitude máxima de vibração no estado permanente;
ϕ
– ângulo de fase entre o deslocamento x
p
e a excitação F
o
sen(ωt).
Os valores de X e
ϕ
podem ser obtidos pela substituição da equação (3.14) na equação
(3.13). Segundo Thomson (1978), os valores de X e
ϕ
são determinados pelas seguintes
expressões:
()
()
o
2
2
2
Xk 1
, (3.15)
F
1 - r 2ζ r
=
+
,
2
2ζ r
φ arctan (3.16)
1 - r
=
onde: r – razão de freqüências (
ω
/
ω
n
).
A figura 3.5 mostra a variação da amplitude, adimensionalizada pela rigidez do sistema k
e pela amplitude máxima da força excitadora F
o
, em função da razão de freqüências r bem como
a variação do ângulo de fase entre a força e o deslocamento ϕ. A figura 3.5 deixa clara a
importância do amortecimento na limitação da amplitude das oscilações na ressonância (
r = 1).
- 11 -
Fig. 3.5 - Curva da amplitude adimensionalizada de oscilação (esquerda) e curva do
ângulo de fase
ϕ
(canto superior direito), para vibração forçada, em função da razão de
freqüências r, Thomson (1978).
3.1.4 Medidas de Amortecimento
A importância do amortecimento nos fenômenos oscilatórios já foi ressaltada nas seções
anteriores, sendo o seu conhecimento fundamental para a caracterização do sistema dinâmico. O
parâmetro geralmente utilizado para quantificar o amortecimento de um sistema é a razão de
amortecimento
ζ
. A razão de amortecimento pode ser determinada através dos seguintes
métodos:
• Método do livre decaimento – O sistema dinâmico é excitado a uma amplitude X, a
seguir essa excitação é removida e o sistema apresenta uma vibração amortecida livre com
amplitudes decrescentes no tempo, representada na figura 3.6.
Definindo-se o decremento logarítmico
δ
como o logaritmo natural da razão entre duas
amplitudes consecutivas, temos (figura 3.6):
1
2
X
δ ln . (3.17)
X
=
- 12 -
Fig. 3.6 - Curva utilizada para o cálculo do decremento logarítmico, Thomson (1978).
O valor do decremento logarítmico
δ
, para valores pequenos de
ζ
, pode ser aproximado
pela seguinte relação (Thomson, 1978):
.δ 2π (3.18)
ζ
=
Assim, através da medida da razão entre duas oscilações consecutivas, pode-se determinar
o amortecimento do sistema. Segundo Blevins (1990), a estrutura pode ser mecanicamente
excitada através do deslocamento da estrutura pelo esticamento de um cabo e posterior liberação,
pela detonação de explosivos, por leves batidas com um martelo.
• Ajuste exponencial da envoltória de decaimento - Uma variação do primeiro método
pode também ser adotada, consistindo no ajuste de uma equação exponencial aos valores
extremos de oscilação do sistema, que formam uma espécie de envelope ao redor da curva (figura
3.2), obtidos através de testes de livre decaimento. O valor do parâmetro da função exponencial é
igual ao produto da razão de amortecimento
ζ
e da freqüência angular natural do sistema, que
pode ser obtida no mesmo teste de livre decaimento. Esse método já foi usado em vários
trabalhos publicados sobre VIV em cilindros, tais como em: Balasubramanian et al (2001),
Fujarra (1997, 2002).
- 13 -
3.2 Vibrações Induzidas pelo Escoamento
As vibrações induzidas pelo escoamento constituem um fenômeno extremamente
complexo, pois dependem da estrutura submetida ao escoamento (geometria, massa, rigidez,
amortecimento), do próprio escoamento (fluido, características do escoamento em torno da
estrutura) e, principalmente, da interação entre fluido e estrutura.
O fenômeno da interação fluido-estrutura pode ser considerado simplificadamente da
seguinte forma: O escoamento ao redor de uma estrutura exerce forças sobre esta, deslocando-a
ou deformando-a e mudando assim a sua orientação com relação ao escoamento. Essa mudança
na orientação pode alterar as forças exercidas pelo fluido, podendo assim gerar um processo auto-
sustentável de vibrações (Blevins, 1990).
As vibrações induzidas por escoamento permanente podem ser agrupadas da seguinte
forma, segundo Blevins (1990):
As vibrações induzidas por instabilidades podem ser agrupadas da seguinte maneira:
Galopeamento (“Galloping”), Drapejamento (“Flutter”) e Instabilidade Fluido-elástica.
O fenômeno de Galopeamento ou “Galloping” consiste em oscilações, freqüentemente
observadas em corpos esbeltos de seção transversal não-circular, cuja origem se deve a mudanças
na orientação da estrutura com relação ao escoamento.
O fenômeno de Drapejamento ou “Flutter” consiste em oscilações associadas à simultânea
excitação de dois modos de vibrar, geralmente modos de flexão e torção.
Ambos os fenômenos citados acima são causados pela constante mudança de orientação
da estrutura com relação ao escoamento. Essa mudança origina flutuações nas forças exercidas
pelo fluido sobre a estrutura e, consequentemente, novas mudanças na posição da estrutura.
Todas as estruturas de seção transversal não-circulares são suscetíveis ao Galopeamento ou
Drapejamento (Blevins, 1990).
A Instabilidade Fluido-Elástica ocorre em conjuntos de cilindros submetidos ao
escoamento. O deslocamento de um cilindro altera o escoamento, produzindo alteração na força
exercida por este sobre os cilindros adjacentes. A resposta dos cilindros a essa alteração na força
altera novamente o escoamento, podendo criar um movimento auto-sustentável que avançará até
um estado de equilíbrio, onde a entrada de energia é totalmente dissipada pelo sistema (Blevins,
Escoamento Permanente
Induzidas por Vórtices Instabilidade
- 14 -
1990). Agrupamentos de cilindros possuem grande aplicação na engenharia, podendo-se citar
como exemplos: cabos de transmissão de energia elétrica, diversos tipos de trocadores de calor e
grupos de tubulações expostas às correntes marinhas.
O presente trabalho limita-se ao estudo de vibrações em cilindros isolados, portanto, os
fenômenos de Instabilidade não serão descritos com maiores detalhes.
Para o caso particular estudado, estrutura cilíndrica isolada submetida a escoamento
médio permanente, um importante mecanismo deflagrador de vibrações é o desprendimento de
vórtices ao redor da estrutura.
3.2.1 Vibrações Induzidas por Vórtices
As vibrações induzidas por vórtices podem ser explicadas, de forma extremamente
simplificada, da seguinte maneira: o escoamento ao redor de uma estrutura, acima de
determinados valores do número de Reynolds, causa o desprendimento de vórtices, que gera
variações de pressões na superfície da estrutura, como exemplificado na figura 3.7. Essas
variações de pressões causam forças diferenciais atuantes sobre a estrutura, que dependendo de
sua magnitude e da rigidez da estrutura, por sua vez, induzem deslocamentos e deformações da
estrutura gerando assim movimentos oscilatórios (Blevins, 1990; Sumer & Fredsøe, 1997).
O número de Reynolds Re é um número adimensional que representa a razão entre as
forças de inércia e as forças viscosas, e é definido da seguinte forma:
UD
Re= , (3.19)
ν
onde: U – velocidade do escoamento de aproximação;
ν
– viscosidade cinemática;
D – diâmetro do cilindro na seção transversal ao escoamento.
Como as flutuações de forças originadas pelo escoamento constituem a fonte excitadora
das vibrações induzidas e, por sua vez, as flutuações de forças originam-se, neste estudo, através
do desprendimento de vórtices, faz-se necessária uma breve revisão sobre esses tópicos.
- 15 -
Fig. 3.7 – Campos de pressão instantâneos durante um terço do período de desprendimento de
vórtices (Re = 112.000), Drescher (1956) apud Blevins (1990).
3.2.1.1 Processo de formação e desprendimento de vórtices
Mecanismo de formação e desprendimento de Vórtices
O mecanismo de formação de vórtices está relacionado ao descolamento da camada limite
formada em torno do cilindro que depende da distribuição de pressões atuantes sobre ela
(Ribeiro, 2002).
Considerando o escoamento invíscido ao redor de um cilindro, representado
esquematicamente na figura 3.8, as partículas de fluido são aceleradas no trecho D – E e
desaceleradas no trecho E – F. Assim, a pressão diminui no trecho D – E e aumenta no trecho
E – F, pois, ocorre a transformação de energia de pressão em energia cinética e vice-versa
(Schlichting, 1960).
Nos instantes iniciais do escoamento ao redor do cilindro e enquanto a espessura da
camada limite for pequena, o escoamento pode ser considerado aproximadamente “sem atrito”.
Fora da camada limite, ocorre a transformação de energia de pressão em energia cinética,
conforme descrito anteriormente, de forma que uma partícula de fluido chega em F com a mesma
velocidade do que em D. As partículas de fluido dentro da camada limite estão sob influência do
campo de pressão externo, pois a pressão externa é imposta sobre a camada limite (Schlichting,
1960).
- 16 -
Fig. 3.8 – Escoamento invíscido e distribuição de pressões ao redor de um cilindro
estacionário, Schlichting (1960).
Entretanto, a hipótese de escoamento invíscido não é válida na camada limite, ocorrendo
grande dissipação de energia devido ao efeito da viscosidade no contato com as paredes do
cilindro, assim, uma partícula de fluido na camada limite consome grande parte de sua energia
cinética no trecho D – E e a energia cinética restante é insuficiente para vencer a diferença de
pressão existente entre E – F, de forma que o movimento da partícula neste trecho é impedido e a
partícula é de certa forma aprisionada pelo campo de pressões externo. A pressão externa
movimenta a partícula no sentido contrário ao escoamento. O processo de formação de um
vórtice pode ser visualizado na seqüência de fotos da figura 3.9, extraídas de Schlichting (1960).
O conjunto de fotos reproduz a seqüência de eventos desde o início do escoamento ao
redor do cilindro até o instante em que ocorre a formação de um vórtice na sua superfície. A
pressão aumenta ao longo do corpo da esquerda para a direita, a visualização do escoamento foi
realizada através do espalhamento de pó de alumínio sobre a superfície da água. Os traços mais
curtos, visíveis próximos à superfície do cilindro, representam a camada limite.
Na figura 3.9-a, tirada logo após o início do escoamento, o início do movimento reverso
pode ser visto no canto inferior direito. Na figura 3.9-b o movimento reverso avançou
consideravelmente para montante e a espessura da camada limite aumentou apreciavelmente. Na
figura 3.9-c o movimento reverso dá lugar a um vórtice, o qual continua a aumentar de tamanho
(figura 3.9-d). O vórtice separa-se logo após e é transportado pelo fluido.
- 17 -
Fig. 3.9 – Processo de formação de vórtices, Schlichting (1960).
À medida que a velocidade do escoamento aumenta, conseqüentemente aumenta o
número de Reynolds Re, ocorrem alterações significativas na camada limite existente ao redor do
cilindro, essas alterações são responsáveis pelo processo de formação e desprendimento de
vórtices, bem como, pelos diferentes regimes de desprendimento existentes – apresentados no
tópico seguinte.
Para números de Reynolds Re ≥ 5 ocorre a separação da camada limite da parede do
cilindro, essa separação dá origem, na faixa de Re situada entre 5 e 40, a um par de vórtices
simétricos fixos (não ocorre desprendimento). Existe certa controvérsia sobre os limites de
ocorrência desse par de vórtices, o limite citado 5 < Re < 40 é mencionado por Sumer & Fredsøe
(1997), Blevins (1990) considera que essa região estaria entre 5-15 < Re < 40 e Williamson
(1996) apud Ribeiro (2002) considera que essa região estaria entre 5 < Re < 49.
Com o aumento do número de Reynolds a esteira se torna instável e um dos vórtices
simétricos se rompe, dando origem assim ao fenômeno conhecido como desprendimento de
vórtices.
Gerrard (1966) apud Meneghini (2002) sugeriu que a interação entre as camadas
cisalhantes, formadas devido à separação da camada limite, constitui-se em um elemento
fundamental no processo de formação e desprendimento dos vórtices na esteira.
Segundo o modelo proposto por Gerrard, perturbações existentes nas camadas cisalhantes
causam o rompimento do par de vórtices simétricos fixos, a partir de um número de Reynolds
- 18 -
limite (Re > 40-50), e o crescimento preferencial de um vórtice A em um lado do cilindro,
conforme figura 3.10-a. O vórtice A cresce ganhando circulação da camada cisalhante ao qual
está conectado, em determinado instante, o vórtice A torna-se intenso o suficiente para atrair o
vórtice oposto B, com vorticidade de sentido oposto, através da esteira. A aproximação de
vorticidade de sinal oposto corta o suprimento de vorticidade do vórtice A proveniente de sua
camada limite, nesse instante o vórtice A é liberado e transportado ao longo do escoamento.
Após o desprendimento do vórtice A, um novo vórtice C começa a crescer no mesmo
lado, conforme figura 3.10-b. O vórtice B comporta-se como o vórtice A e irá crescer e atrair o
vórtice C através da esteira, com corte no suprimento de vorticidade e liberação do vórtice B.
Esse processo dá origem ao desprendimento alternado de vórtices.
Fig. 3.10 – Desenho esquemático do mecanismo de desprendimento de vórtices, extraído
de Ribeiro (2002).
Regimes de Desprendimento de Vórtices
Para estruturas cilíndricas lisas, o desprendimento de vórtices, em um escoamento
subsônico permanente, é uma função do número de Reynolds (Blevins, 1990).
Segundo Sumer & Fredsøe (1997), os principais regimes de desprendimento de vórtices
podem ser agrupados da seguinte maneira, representados na figura 3.11.
a) Regime sem separação (Re < 5) – não ocorre a separação da camada limite e, tampouco
ocorre desprendimento de vórtices.
- 19 -
b) Regime laminar permanente (5 < Re < 40) – formação de um par de vórtices simétricos
imediatamente à jusante do cilindro, não ocorre desprendimento. Existe certa controvérsia sobre o
valor do número de Reynolds limite para esse regime, Ribeiro (2002) cita que o valor proposto
por Sumer & Fredsøe (1997), Re = 40, não é o mais encontrado na literatura, enquanto
Williamson (1996) propôs o valor limite de Re = 49 para esse regime. Neste trabalho optou-se
por preservar os valores propostos por Sumer & Fredsøe (1997).
c) Regime de desprendimento laminar de vórtices (40 < Re < 200) – a esteira de vórtices é
laminar e o desprendimento de vórtices é essencialmente bidimensional. O limite superior desse
regime encontra grande variabilidade na literatura. Williamson (1996) apud Ribeiro (2002) define
uma faixa entre 140 e 194, apesar de afirmar que estudos mais recentes apontam para um valor
mais próximo de 194. Blevins (1990) apresenta o valor de 150.
d) Regime de transição turbulenta na esteira (200 < Re < 300) – a esteira laminar de
vórtices sofre transição para esteira turbulenta. Conforme Williamson (1996) apud Ribeiro (2002)
este regime é associado com alterações tridimensionais na formação de vórtices para Re > 180.
e) Regime Subcrítico (300 < Re < 3x10
5
) – a esteira é completamente turbulenta, mas a
camada limite permanece laminar, nessa faixa o desprendimento de vórtices é forte e periódico
(Blevins, 1990).
Nos regimes de f) a h) o desprendimento de vórtices regular é perturbado e o espectro de
freqüência do desprendimento de vórtices apresenta picos mais largos. (Schewe, 1983).
f) Regime Crítico (3x10
5
< Re < 3,5x10
5
) – a camada limite laminar sofre transição para
camada limite turbulenta, o ponto de transição desloca-se no sentido do ponto de separação para o
ponto de estagnação com o aumento do número de Reynolds. Nesse regime, a transição ocorre
apenas em um lado da camada limite sendo que o outro lado permanece laminar.
g) Regime Supercrítico (3,5x10
5
< Re < 1,5x10
6
) – Nesse regime, a camada limite é
turbulenta em ambos os lados, entretanto, o ponto de transição ainda não alcançou o ponto de
estagnação.
h) Regime Superior de Transição (1,5x10
6
< Re < 4x10
6
) – o ponto de transição alcança o
ponto de estagnação e a camada limite torna-se completamente turbulenta de um lado e do outro
lado a camada limite apresenta uma parte laminar e uma parte turbulenta.
i) Regime Transcrítico ( Re > 4x10
6
) – a camada limite é totalmente turbulenta em ambos
os lados e o desprendimento de vórtices torna-se regular novamente (Blevins, 1990). A
classificação dos regimes de escoamento adotada por Blevins (1990) não corresponde à
classificação adotada por Sumer & Fredsøe (1997). O regime correspondente ao transcrítico, na
classificação de Blevins, ocorre a partir de 3,5x10
6
e denomina-se supercrítico. Neste trabalho,
optou-se pela classificação de Sumer & Fredsøe.
- 20 -
Fig. 3.11 – Regimes de desprendimento de vórtices em função do número de Reynolds,
Sumer & Fredsøe (1997).
Re < 5
5 < Re < 40
40 < Re < 200
200 < Re < 300
300 < Re < 3 x 10
5
3 x 10
5
< Re < 3,5 x 10
5
3,5 x 10
5
< Re < 1,5 x 10
6
1,5 x 10
6
< Re < 4 x 10
6
Re > 4 x 10
6
- 21 -
Freqüência de Desprendimento de Vórtices
A freqüência adimensional de desprendimento de vórtices, denominada número de
Strouhal S, é definida da seguinte forma:
,
v
fD
S (3.20)
U
=
onde: U – Velocidade da corrente livre;
D – Diâmetro do cilindro;
f
v
– Freqüência de desprendimento de vórtices.
O número de Strouhal para um cilindro circular em um escoamento subsônico é uma
função do número de Reynolds, apresentada na figura 3.12 e, em menor grau, da rugosidade da
superfície e nível de turbulência do escoamento (Blevins, 1990).
Fig. 3.12 – Variação do número de Strouhal com o número de Reynolds, Blevins (1990).
Para o regime de escoamento subcrítico, o número de Strouhal é praticamente constante e
igual a S = 0,2 (Schewe, 1983; Achenbach & Heinecke, 1981). Segundo Schewe (1983), no
regime crítico ocorrem duas descontinuidades A e B, como pode ser visto na figura 3.13, com
valores do número de Strouhal respectivamente 0,3 e 0,48, confirmando os resultados de
Bearman (1969) apud Schewe (1983) que encontrou 0,34 e 0,46 e Achenbach & Heinecke (1981)
0,34 e 0,5. No início do regime transcrítico foram encontrados valores que variam entre 0,25
(Achenbach & Heinecke, 1981), 0,27 (Roshko, 1961, apud Schewe, 1983) e 0,29 (Schewe, 1983).
Número de Reynolds (UD/
ν
)
Cilindro Liso
Cilindro Rugoso
Número de Strouhal S
- 22 -
Fig. 3.13 – Variação do número de Strouhal para 10
4
< Re < 10
7
, Schewe (1983).
O desprendimento de vórtices, dependendo do número de Reynolds ou do regime do
escoamento, pode apresentar uma freqüência dominante ou várias freqüências de desprendimento
situadas em uma faixa relativamente larga (Schewe, 1983). Esse comportamento está
representado na figura 3.15, extraída de Schewe (1983), onde são apresentados os espectros de
freqüência, para diversos valores do número de Reynolds, das flutuações da força de sustentação.
A influência da rugosidade da superfície na freqüência de desprendimento de vórtices foi
investigada por Achenbach & Heinecke (1981) através de testes em túnel de vento com cilindros
de diversas rugosidades, seus resultados estão representados na figura 3.14. Segundo Sumer &
Fredsøe (1997), baseado nos resultados obtidos por Achenbach & Heinecke (1981), para cilindros
rugosos (k
s
/D > 3x10
-3
) ocorre a passagem direta do regime subcrítico para o regime transcrítico,
para valores do número de Reynolds bem menores. O termo k
s
refere-se à rugosidade equivalente
de Nikuradse.
Fig. 3.14 – Efeito da rugosidade superficial sobre a relação S – Re, Achenbach &
Heinecke (1981).
Número de Reynolds Re
Número de Strouhal S
10
5
10
7
10
6
Número de Reynolds Re
Número de Strouhal S
Liso
ks/D = 75x10
-5
ks/D = 300x10
-5
ks/D = 900x10
-5
ks/D = 3000x10
-5
- 23 -
Fig. 3.15 – Espectros de freqüência para as flutuações na força de sustentação, em diferentes
regimes de escoamento, Schewe (1983).
Segundo Blevins (1990), a intensidade da turbulência da corrente livre, para flutuações
de velocidade de até 10% da velocidade média do escoamento, não influi significativamente na
determinação do coeficiente de sustentação e nas vibrações induzidas, no entanto, o aumento no
nível de turbulência pode antecipar os regimes de escoamento, semelhante a um aumento no
número de Reynolds. Por outro lado, segundo Sumer & Fredsøe (1997) o nível de turbulência no
escoamento exerce considerável influência sobre o número de Strouhal e sobre os coeficientes de
força, possuindo um efeito semelhante ao aumento na rugosidade superficial.
Crítico
Re = 1,3 x 10
5
Supercrítico
Re = 7,2 x 10
5
Re = 1,8 x 10
6
Transição Superior
Re = 3,7 x 10
6
Início do Transcrítico
Re = 5,9 x 10
6
Transcrítico
Re = 7,1 x 10
6
- 24 -
Desprendimento de vórtices em células e comprimento de correlação L
Além das variações no desprendimento de vórtices citadas acima, provenientes das trocas
de regime, o desprendimento de vórtices para esteiras turbulentas (Re ≥ 200) ocorre em “células”
ao longo do eixo do cilindro. O desprendimento de vórtices nessas “células”, para cilindros
estacionários, geralmente não ocorre em fase e também possuem diferentes freqüências de
desprendimento de vórtices. O comprimento médio dessas células pode ser aproximado pelo
comprimento de correlação L, cujos valores típicos dependendo do número de Reynolds podem
ser visualizados na tabela 3.1 extraída de Sarpkaya (1979).
Tab. 3.1 – Comprimentos de correlação em função do número de Reynolds, cilindros
estacionários, Sarpkaya (1979).
Número de Re
y
nolds
Comprimento de correlação
L
40 < Re < 150 15D-20D
150 < Re < 10
5
2D-3D
10
4
< Re < 4,5x10
4
3D-6D
Re > 10
5
0,5D
Re = 2x10
5
1,56D
O comprimento de correlação L é definido da seguinte forma:
0
L R(z)dz, (3.21)
∞
=
∫
ref
ref ref
ref
22
p'(z )p'(z +z)
R(z) = , (3.22)
p' (z ) p' (z +z)
onde: R(z) – coeficiente de correlação;
p’ – parte flutuante de alguma característica do escoamento medida ao longo do
cilindro, por exemplo: componente de velocidade, componente de pressão;
z
ref
– ponto de referência;
z – distância longitudinal entre dois pontos de medida. A barra superior significa
quantidades médias ao longo do tempo.
Fox & West (1993) apud Fujarra (2002) investigaram as freqüências de desprendimento
de vórtices em um cilindro rígido em balanço na água (estacionário). Em seu estudo, foram
encontradas diferentes freqüências de desprendimento de vórtices, caracterizadas pelo número de
- 25 -
Strouhal S, ao longo do comprimento do cilindro. Essa variação pode ser vista na figura 3.16,
onde z = 0 corresponde à extremidade livre do cilindro.
Além disso, escoamentos com gradientes de velocidades podem provocar desprendimento
de vórtices em células com diferentes freqüências ao longo do eixo do cilindro (Balasubramanian
et al, 2001; Stansby, 1976).
Fig. 3.16 – Variação do Número de Strouhal ao longo do comprimento de um cilindro rígido em
balanço ensaiado em água, Fox & West (1993) apud Fujarra (2002).
Efeitos do Movimento do Cilindro sobre o Desprendimento de Vórtices
As considerações sobre o desprendimento de vórtices descritas anteriormente foram feitas
para o caso do cilindro estacionário, entretanto, o movimento do cilindro (perpendicular ou
longitudinal ao escoamento) pode alterar significativamente o fenômeno de desprendimento de
vórtices (Bearman, 1984).
Segundo Blevins (1990), as vibrações transversais do cilindro, com freqüências iguais ou
próximas à freqüência de desprendimento de vórtices, podem causar os seguintes efeitos:
• Aumento na intensidade dos vórtices;
• Aumento no comprimento de correlação da esteira;
• Aumento na força de arrasto média sobre o cilindro;
• Alterações de fase, seqüência e padrões dos vórtices na esteira – a vibração do cilindro
causa o surgimento de diferentes modos de desprendimento de vórtices, esses modos foram
investigados por diversos pesquisadores, dos quais se pode citar os trabalhos de Williamson &
Roshko (1988) e Govardhan & Williamson (2000) para o caso de oscilações transversais e os
trabalhos de King et al. (1973) e Okajima et al. (2004) para oscilações longitudinais. De forma
- 26 -
resumida, ocorrem dois modos principais de desprendimento de vórtices em oscilações
transversais, esses modos são denominados 2S e 2P.
O modo 2S consiste no desprendimento de dois vórtices simples alternados por ciclo
de vibração, esse é o padrão de desprendimento de vórtices mais familiar, também conhecido
como vórtices de von Karman. O modo 2P consiste no desprendimento de dois pares de vórtices
por ciclo de oscilação. Segundo Sumer & Fredsøe (1997), cilindros oscilando com velocidades
reduzidas próximas a 6,5 sofrem uma súbita mudança no modo de desprendimento de vórtices, de
2S para 2P.
• Fenômeno de sincronização ou “lock-in”, no qual a dinâmica de vibração do cilindro
assume o controle sobre o processo de desprendimento de vórtices, fazendo com que o
desprendimento de vórtices ocorra com a mesma freqüência de oscilação do cilindro.
Devido a sua importância no fenômeno de VIV, a sincronização será tratada em uma
seção separada.
O aumento na amplitude transversal de oscilação A/D, em cilindros vibrando próximos a
freqüência de desprendimento de vórtices, aumenta a organização na esteira de vórtices. O
coeficiente de correlação do desprendimento de vórtices ao longo do eixo do cilindro aumenta
com o aumento das amplitudes de vibração. A correlação é uma medida da tridimensionalidade
do desprendimento de vórtices, assim, a correlação igual a 1,0 implica em escoamento
bidimensional (Blevins, 1990). A figura 3.17 a seguir, extraída de Blevins (1990), ilustra essa
relação.
Fig. 3.17 – Coeficiente de correlação ao longo do cilindro, para diversas amplitudes de
oscilação, Blevins (1990).
- 27 -
3.2.2 Sincronização
A sincronização pode ser definida quando a freqüência característica da esteira torna-se
igual à freqüência de vibração do cilindro (Khalak & Williamson, 1999). O movimento do
cilindro assume o controle do mecanismo de instabilidade que produz o desprendimento de
vórtices (Bearman, 1984). Assim, o cilindro e a esteira possuem a mesma freqüência
característica e a freqüência de Strouhal do desprendimento de vórtices f
s
é suprimida em favor
de uma única freqüência sincronizada de vibração e desprendimento de vórtices (Griffin &
Ramberg, 1974).
A faixa de freqüências para as quais ocorre a sincronização depende da amplitude de
oscilação e do número de Reynolds (Stansby, 1976). O aumento na amplitude de vibração
aumenta a possibilidade do desprendimento de vórtices sincronizar-se com a oscilação
(Blevins, 1990).
Para as vibrações transversais à direção do escoamento principal, a faixa de sincronização
distribui-se, conforme apresentado na figura 3.18, em torno da freqüência de Strouhal (Griffin &
Ramberg, 1974). Ainda segundo Blevins (1990), a sincronização pode ocorrer para múltiplos e
submútilplos da freqüência de Strouhal. A figura 3.18 foi adaptada de Blevins (1990) onde, os
valores para os números de Reynolds Re = 100, 200, 300 foram extraídos de Koopman (1967) e
os valores do número de Reynolds Re = 3600 e 9200 foram extraídos de Stansby (1976).
Na figura 3.18 fica evidente a influência da amplitude de oscilação sobre a faixa de
sincronização do desprendimento de vórtices. Assim, por exemplo, para amplitudes de oscilação
de 0,2D a faixa de sincronização pode variar entre 0,75 a 1,3 da freqüência de Strouhal (f
s
), para
Re = 9200 e para Re = 100 entre 0,8 e 1,2 f
s
. O aumento no número de Reynolds para
100 < Re < 3600, alarga a faixa de sincronização, mas para Re = 9200 a faixa de sincronização é
menor que para Re = 3600. Assim, a maneira como o número de Reynolds influencia a faixa de
sincronização não é evidente pela análise dos dados acima, sendo necessárias investigações para
valores maiores do número de Reynolds.
- 28 -
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Freq. de vibração/Freq. de Strouhal (f/fs)
(A/D)
Re = 100 Re = 200 Re = 300 Re = 3600 Re = 9200
Fig. 3.18 – Faixa de sincronização para vibrações transversais, adaptado de Blevins
(1990).
Para as vibrações longitudinais, a faixa de sincronização distribui-se aproximadamente em
torno do dobro do valor da freqüência de Strouhal (King et al, 1973; Griffin & Ramberg, 1974),
como pode ser visualizado na figura 3.19. Griffin & Hall (1991) citam ainda que Ongoren &
Rockwell (1988) observaram vibrações longitudinais para freqüências três e quatro vezes maior
que a freqüência de Strouhal (f
s
).
A figura 3.19 foi adaptada de Griffin & Ramberg (1976), onde os valores para Re = 190
foram extraídos de Griffin & Ramberg (1976), Re = 4000 e Re = 80 de Tanida et al (1973) e
Re = 100 de Tatsuno (1972). Novamente, a influência do número de Reynolds não está clara, pois
a maioria dos valores corresponde a Re < 200, existindo apenas dois pontos para Re = 4000. A
influência da amplitude de oscilação sobre a faixa de sincronização é semelhante ao caso de
oscilações transversais.
Os dados de Griffin & Ramberg (1976) foram obtidos em ensaios com oscilação forçada e
para baixos números de Reynolds, mas, segundo o autor, seus dados podem ser comparados com
vibrações induzidas pelo escoamento.
Sincronização
A/D
- 29 -
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
Freq. de Vibração/Freq. de Strouhal (f/fs)
A/D
Re = 190 (1) Re = 190 (2) Re = 80 Re = 4000 Re = 100
Fig. 3.19 – Faixa de sincronização para vibrações longitudinais, adaptado de Griffin &
Ramberg (1976).
3.2.3 Forças em cilindros submetidos a escoamento permanente
O escoamento de um fluido ao redor de um cilindro exerce força sobre este. A força
exercida deve-se, em um escoamento permanente, a dois componentes: a pressão e as tensões
tangenciais entre o fluido e a superfície.
As forças atuantes sobre o cilindro podem ser decompostas na direção paralela ao
escoamento principal e na direção transversal. A componente na direção paralela é denominada
força de arrasto F
D
e a componente transversal é denominada força de sustentação F
L
.
Considerando o cilindro estacionário representado na figura 3.20, a força de arrasto média
por unidade de comprimento do cilindro é calculada pela seguinte expressão (Sumer & Fredsøe,
1997):
D
2π 2π
oo
o
00
__
_
r cos d r cos d , (3.23)
τF
p
φφ φφ
=+
∫∫
onde: F
D
– força de arrasto média por unidade de comprimento;
p – distribuição de pressão média na superfície;
τ
o
– distribuição das tensões médias de cisalhamento;
r
o
– raio do cilindro;
Sincronização
- 30 -
φ
– ângulo de integração das pressões e tensões de cisalhamento.
Fig. 3.20 – Desenho esquemático para a dedução da eq. (3.23), Sumer & Fredsøe (1997).
A força de sustentação média é nula, devido à simetria do escoamento. Entretanto, seu
valor instantâneo não é nulo (Sumer & Fredsøe, 1997).
Os componentes das forças são geralmente representados por seus respectivos
coeficientes de arrasto C
D
e sustentação C
L
, definidos da seguinte forma:
DL
DL
22
FF
C , (3.24) C . (3.25)
11
ρ DU ρ DU
22
==
A força de arrasto oscila em torno de um valor médio com o dobro da freqüência de
desprendimento de vórtices, ou metade do período e, a força de sustentação oscila em torno de
zero, mas pode atingir valores extremos consideráveis (Sumer & Fredsøe, 1997). Esse
comportamento pode ser visualizado na figura 3.21, obtida através da integração das distribuições
de pressões da figura 3.7.
As amplitudes de oscilação da força de arrasto e de sustentação não são constantes ao
longo do desprendimento de vórtices (figura 3.21) podendo variar de um período a outro e em
algumas vezes não estão presentes em determinados períodos, entretanto, a magnitude dessas
amplitudes pode ser representada por seus parâmetros estatísticos, tal como sua raiz média
quadrática (Sumer & Fredsøe, 1997).
- 31 -
Fig. 3.21 – Flutuações de forças durante o desprendimento de vórtices para cilindro estacionário,
Drescher (1956) apud Sumer & Fredsøe (1997).
Novamente, os valores das flutuações das forças de sustentação e arrasto, F’
L
e F’
D
respectivamente, podem ser representados por seus respectivos coeficientes de sustentação C’
L
e
arrasto C’
D
, definidos da seguinte maneira:
LD
D
L
22
F' F'
C' , (3.26) C' . (3.27)
11
ρ DU ρ DU
22
==
As flutuações nas forças de arrasto e sustentação dependem do número de Reynolds, pois
este influencia os regimes de desprendimento de vórtices conforme já mencionado (figura 3.11).
Essa dependência está ilustrada na figura 3.22, extraída de Sumer & Fredsøe (1997), onde as
flutuações nas forças são representadas pelas raízes médias quadráticas de seus respectivos
coeficientes em função do número de Reynolds.
Pela análise da figura 3.22 ficam evidentes as grandes alterações nos valores das
flutuações de força devido às modificações nos regimes de desprendimento de vórtices. O início
dos dados apresentados encontra-se dentro do regime subcrítico e com o aumento do número de
Reynolds as flutuações atingem valores máximos para Re ≅ 80.000, ocorrendo logo após uma
queda brusca nas flutuações, ainda dentro do regime subcrítico. Os valores mínimos ocorrem no
regime supercrítico com posterior acréscimo nos regimes seguintes.
- 32 -
Fig. 3.22 – Flutuações nas forças de arrasto e sustentação para 10
4
< Re < 10
7
, Sumer & Fredsøe
(1997).
A grande redução nos valores da raiz média quadrática de C’
L
, no regime supercrítico,
deve-se ao fato de que, nesse regime, a interação entre os vórtices na esteira é consideravelmente
mais fraca, em parte devido à separação da camada limite ocorrer para posições angulares
maiores, consequentemente os vórtices estão mais próximos, e em parte devido à separação da
camada limite ser turbulenta (Sumer & Fredsøe, 1997). Outro fato digno de nota refere-se às
amplitudes das oscilações das forças de arrasto e de sustentação. As flutuações da força de
sustentação possuem amplitudes uma ordem de magnitude superior às oscilações da força de
arrasto (King et al, 1973; Sumer & Fredsøe, 1997).
O aumento das amplitudes de oscilação causa aumento no arrasto médio sobre o cilindro.
A determinação desse acréscimo na força de arrasto é extremamente importante para o projeto
seguro de estruturas submetidas a escoamento, pois, para vibrações induzidas por vórtices, o
coeficiente de arrasto pode atingir valores entre 2,5 e 3,0 vezes o valor do coeficiente de arrasto
para o caso estacionário (Blevins, 1990). Esse comportamento pode ser visto na figura 3.23.
- 33 -
Fig. 3.23 – Aumento no coeficiente de arrasto com a amplitude, extraído de Blevins (1990).
3.2.4 Variáveis adimensionais mais importantes
O comportamento dos cilindros submetidos ao fenômeno de VIV é descrito, em geral,
através da amplitude adimensional A/D, que é a amplitude de oscilação do cilindro dividida pelo
seu respectivo diâmetro, e da freqüência adimensional f
d
/f
na
de oscilação, que é a freqüência
dominante de oscilação do sistema dividida pela freqüência natural de oscilação na água.
Detalhes sobre como são determinadas essas freqüências são apresentados na seção de
metodologia experimental.
As variáveis adimensionais independentes mais importantes que influenciam o fenômeno
de vibrações induzidas por vórtices em cilindros elásticos e/ou elasticamente montados são:
• Velocidade Reduzida (V
r
);
• Razão de Massa (m*);
• Parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ;
• Parâmetro de Estabilidade (K
s
);
• Parâmetro de Skop-Griffin S
G
;
• Número de Reynolds Re;
• Rugosidade Superficial;
• Razão de Aspecto L/D;
A seguir é feita a caracterização de cada uma dessas variáveis bem como a sua influência
no fenômeno de vibrações induzidas por vórtices.
- 34 -
Velocidade Reduzida V
r
A velocidade reduzida é definida como a razão entre a velocidade do escoamento e o
produto entre a freqüência natural do sistema e seu respectivo diâmetro. Em ensaios com água,
adota-se, em geral, a freqüência natural de oscilação do sistema para o caso de escoamento nulo.
r
n
U
V = , (3.28)
fD
onde f
n
– freqüência natural de oscilação.
Uma resposta típica do comportamento das amplitudes adimensionais A/D de oscilação
em função da velocidade reduzida pode ser vista na figura 3.25, extraída de Sumer & Fredsøe
(1997), com uma curva para resposta em água e outra curva para resposta em ar.
Segundo Sarpkaya (1979), as vibrações transversais no ar ocorrem entre 4,75<V
r
<8 e a
amplitude máxima ocorre na faixa 5,5<V
r
<6,5. Para a água a faixa onde ocorrem oscilações é
4,5<V
r
<10 e a amplitude máxima ocorre entre 6,5<V
r
<8.
Razão de Massa m*
A razão de massa m* é a razão entre a massa do sistema e a massa de fluido deslocado
pelo mesmo, sendo determinada pela seguinte expressão:
2
m
m*= , (3.29)
π
ρlD
4
onde: m – massa do cilindro;
l – comprimento do cilindro;
ρ – massa específica do fluido.
Adotou-se essa definição, ao longo desta dissertação, uma vez que a mesma foi utilizada
em diversos trabalhos publicados recentemente, tais como: Khalak & Williamson (1996, 1997a,
1997b, 1999), Fujarra (1997, 2002), Fujarra et al. (2001), Govardan & Williamson (2000, 2001,
2002), Jauvtis & Williamson (2003, 2004), Flemming & Williamson (2005).
Existe ainda outra definição de razão de massa comumente adotada, Sumer & Fredsøe
(1997) definem a razão de massa M pela seguinte expressão:
(
)
2
m+m'
M= (3.30)
ρlD
- 35 -
onde: m’ – massa adicional de água devido ao movimento do cilindro.
A massa adicional m’ corresponde à massa de fluido posta em movimento pela oscilação
do cilindro. Para o caso de um cilindro movendo-se com aceleração constante em um fluido ideal
em repouso, seu valor é igual a
2
rl
ρπ
(Blevins, 1990), onde r é o raio e l o comprimento do
cilindro. Definindo-se o coeficiente de massa adicional C
A
como a razão entre a massa adicional
real e a massa adicional calculada para o caso de cilindro com aceleração uniforme em fluido
ideal em repouso, têm-se a seguinte expressão:
A
2
m´
C = . (3.31)
ρlD
4
π
O valor real da massa adicional é uma função da velocidade reduzida do escoamento.
Vikestad et al. (2000) realizaram uma série de ensaios com cilindros rígidos horizontais
elasticamente montados em água, para determinar esse comportamento. O gráfico apresentado na
figura 3.24 reproduz sua curva de C
A
xV
r
para três repetições do mesmo ensaio. Observando este
gráfico, nota-se que o coeficiente de massa adicional C
A
apresenta um comportamento
monotônico decrescente, que tende para um valor assintótico à medida que V
r
aumenta.
Fig. 3.24 – Variação do coeficiente de massa adicional C
A
em função da velocidade
reduzida, extraído de Vikestad et al. (2000).
- 36 -
O coeficiente de massa adicional torna-se nulo para uma V
r
≅ 8,0. Segundo Fujarra (2002)
esse ponto corresponderia ao pico do fenômeno de sincronização. A partir desse ponto, o
coeficiente de massa adicional assume valores negativos à medida que a força de sustentação vai
saindo de fase com relação ao deslocamento transversal.
Apesar da variação do coeficiente de massa adicional em relação à velocidade reduzida,
esse coeficiente varia ao longo do ensaio de um cilindro, têm sido adotado como prática comum
usar o valor de C
A
=1,0 (cilindro acelerando em um fluido ideal em repouso). Nessa dissertação
adotou-se a mesma prática com o objetivo de comparar os resultados obtidos neste trabalho com
valores publicados. Como no decorrer da dissertação não foram realizadas determinações do
valor de C
A
para o caso de V
r
= 0, adotou-se C
A
= 1,0. Segundo Khalak & Williamson (1997b) a
adoção dessa hipótese resultou, para seus ensaios, em uma diferença de 3% nos valores de
freqüência natural calculados utilizando essa hipótese.
A razão de massa influencia tanto a amplitude de oscilação como a freqüência.
A influência da razão de massa sobre a amplitude do movimento pode ser vista na figura
3.25, onde estão representadas duas curvas de amplitude de resposta para diferentes valores de M.
Para valores de M menores, a faixa de excitação é maior, mas, apesar disso, as amplitudes
máximas não diferem substancialmente.
Fig. 3.25 – Variação da amplitude de resposta com a velocidade reduzida, para diferentes
razões de massa, Sumer & Fredsøe (1997).
- 37 -
A influência da razão de massa m* sobre a freqüência manifesta-se da seguinte forma:
• Para valores de m* grandes, de ordem 100, valores típicos de m* quando o fluido é
ar, a freqüência de vibração do sistema coincide com a freqüência natural da estrutura durante a
sincronização (figura 3.26);
• Para valores de m* baixos, de ordem 1, valores de m* quando o fluido é água, a
freqüência de vibração na sincronização não corresponde à freqüência natural do sistema, mas
cresce monotonamente com a velocidade V
r
até o fim da faixa de sincronização (figura 3.27).
Fig. 3.26 - Curva de freqüência adimensional f
d
/f
ns
em função de V
r
para um sistema com
m*= 320 (ar) e (m*+C
A
)ζ= 0,251, extraído de Govardhan & Williamson (2000).
Essa diferença no comportamento da freqüência adimensional entre os cilindros ensaiados
no ar e na água é atribuída à influência da massa adicional. A massa adicional aumenta a massa
total do sistema, reduzindo assim sua freqüência natural. Entretanto, o valor de freqüência natural
utilizado na curva de freqüência adimensional provém de ensaios realizados com o fluido em
repouso, como visto anteriormente a massa adicional depende da velocidade reduzida, assim,
durante o escoamento ocorrem modificações na massa adicional do sistema que alteram a
freqüência natural real do sistema. O uso de uma freqüência natural fixa, determinada para
ensaios com fluido em repouso, causa esse tipo de comportamento, observado na figura 3.27, nos
ensaios com baixos valores de m*. No caso de grandes valores de m* a influência da massa
- 38 -
adicional é desprezível, pois as pequenas modificações na massa adicional não são suficientes
para causar alterações significativas nas freqüências naturais de oscilação do sistema.
Fig. 3.27 - Curva de freqüência adimensional f
d
/f
na
em função de V
r
para um sistema com m*=
2,4 (água), extraído de Khalak & Williamson (1997b).
Parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)
ζ
O parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ é formado pelo produto entre a razão de
massa m*, incluindo o efeito da massa adicional através do coeficiente C
A
, e a razão de
amortecimento ζ da estrutura, algumas vezes denominada de amortecimento estrutural, sem
incluir o efeito do amortecimento viscoso causado pela água.
Nesta dissertação adotou-se como razão de amortecimento ζ o valor obtido através dos
testes de pulso com os cilindros no ar, desprezando assim os efeitos da massa adicional do ar,
ressaltando que o mesmo procedimento foi adotado no trabalho de Khalak & Williamson
(1997b).
- 39 -
Em geral, com a redução dos valores do parâmetro (m*+C
A
)ζ, ocorre o aumento das
amplitudes máximas de oscilação. Tal comportamento pode ser visualizado na figura 3.28, que
reproduz alguns resultados encontrados por Khalak & Williamson (1999) para várias razões de
massa m* e para dados publicados por Griffin (1980).
Fig. 3.28 - Curva de A/D versus (m*+C
A
)ζ, extraído de Khalak & Williamson (1999).
O uso do parâmetro acima apresentado está baseado na suposição de que os parâmetros
razão de massa m* e razão de amortecimento ζ não influenciam o comportamento do cilindro de
maneira independente, mas de maneira combinada. A validade dessa suposição tem recebido
sucessivas críticas ao longo dos anos, segundo Williamson & Govardhan (2004) essa questão foi
levantada em diversos artigos publicados por Sarpkaya (1978, 1979, 1993, 1995). Para Sarpkaya
a resposta dinâmica do sistema é governada, entre outros fatores, pelos parâmetros m* e ζ de
forma independente e não simplesmente pelo parâmetro m* ζ. Ο parâmetro m* ζ é semelhante à
(m*+C
A
)ζ, sem incorporar a massa adicional da água.
Ainda segundo Sarpkaya, o uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ seria válido apenas para valores
de (m+C
A
)*ζ > 0,403. A maioria dos ensaios realizados até a presente data está abaixo desse
limite, implicando assim que a hipótese de validade do uso de (m*+C
A
)ζ não seria adequada para
a maioria dos resultados experimentais existentes.
- 40 -
Griffin & Ramberg (1982) apud Williamson & Govardhan (2004) realizaram dois ensaios
com os mesmos valores de (m*+C
A
)ζ = 0,20−0,24, mas com diferentes razões de massa, m*=4,8
e 43. Encontrou-se então, que para razões de massa menores, a faixa de sincronização é maior e
que a amplitude máxima permanece praticamente igual nos dois casos, em torno de 0,5D, apesar
de (m*+C
A
)ζ < 0,403.
Nos experimentos de Khalak & Williamson (1996) não foram encontradas grandes
diferenças de amplitudes máximas entre sistemas com o mesmo (m*+C
A
)ζ, mas diferentes
valores de m* e ζ, para (m*+C
A
)ζ>0,014. Entretanto, os sistemas apresentaram diferentes
comportamentos de respostas. O sistema com a menor razão de massa apresentou uma faixa de
sincronização bem maior, como no trabalho de Griffin & Ramberg. Na figura 3.29 são
apresentadas as curvas das respostas dos dois sistemas, onde as curvas de respostas de Khalak &
Williamson apresentam um patamar inferior de oscilação que ocorre logo após atingir a máxima
oscilação, diferente dos sistemas ensaiados nessa dissertação que não apresentaram esse patamar.
Fig. 3.29 - Curva de A/D versus V
r
, extraído de Khalak & Williamson (1999).
- 41 -
Em Khalak & Williamson (1999), a validade do uso de (m*+C
A
)ζ é investigada
novamente. Os autores afirmam que o uso do produto entre razão de massa e amortecimento para
caracterizar as oscilações máximas do sistema é válido para valores de (m*+C
A
)ζ > 0,006. Os
experimentos foram realizados com razões de massa entre 1 e 20.
Além do parâmetro de massa-amortecimento, adotado nesta dissertação devido ao grande
número de artigos publicados utilizando essa metodologia, existem outros parâmetros que
seguem a mesma filosofia de combinar a razão de massa e a razão de amortecimento em um
único parâmetro, entre estes cita-se o parâmetro de estabilidade K
s
e o parâmetro de Skop-Griffin
S
G
. A seguir apresenta-se brevemente estes parâmetros.
Parâmetro de Estabilidade K
s
O parâmetro de estabilidade K
s
é definido pela seguinte expressão (Sumer & Fredsøe,
1997):
) ,
s
K=4 π M ζ (3.32
onde: M – razão de massa definida pela expressão 3.30, que inclui a massa adicional.
Comparando as definições de K
s
e de (m*+C
A
)ζ tem-se a seguinte equivalência entre
ambos parâmetros:
2
sA
K= π (m*+C )ζ. (3.33)
O parâmetro de estabilidade K
s
influencia grandemente a amplitude máxima de resposta.
À medida que K
s
aumenta, a amplitude máxima de resposta diminui, conforme pode ser visto na
figura 3.30. Sumer & Fredsøe (1997), citando dados compilados por King (1974) para valores de
K
s
maiores que 18, sugerem que o cilindro permanece praticamente estacionário.
Fig. 3.30 – Amplitude máxima de resposta em função do parâmetro de estabilidade Ks,
Sumer & Fredsøe (1997).
- 42 -
Parâmetro de Skop-Griffin S
G
O parâmetro de Skop-Griffin S
G
foi utilizado pela primeira vez em Skop (1974) apud
Williamson & Govardhan (2004) e é definido pela seguinte fórmula:
32
2(* ),
GA
S S m C (3.34)
πζ
=+
onde: S – corresponde ao número de Strouhal na ressonância.
Para efeitos de conversão de valores de S
G
para (m*+C
A
)ζ, foi adotado S=0,2, resultando
na seguinte relação entre S
G
e (m*+C
A
)ζ:
2,4805( * ) .
GA
S m C (3.35)
ζ
=+
Número de Reynolds Re
Devido à grande influência do número de Reynolds sobre os regimes de desprendimento
de vórtices e sobre as flutuações das forças de arrasto e sustentação já mencionadas
anteriormente, estas influências refletem-se certamente no padrão de resposta de vibração do
sistema, tanto em termos de amplitudes como em termos de freqüências de oscilação.
Entre os regimes crítico e supercrítico, as amplitudes máximas podem sofrer redução à
valores bem próximos de zero. Com o aumento do número de Reynolds, as amplitudes começam
a crescer novamente, ainda dentro do regime supercrítico, como pode ser visto na figura 3.31.
Esse comportamento das amplitudes máximas apresenta muita semelhança com o comportamento
das flutuações das forças atuantes sobre o cilindro, como era de se esperar.
A curva da figura anterior foi obtida para condições extremamente favoráveis (nível de
turbulência de 0,5%, superfície do cilindro lisa, uniformidade do escoamento, ausência de
vibrações longitudinais), entretanto, os escoamentos reais ao redor de estruturas possuem
elevados níveis de turbulência, a rugosidade das superfícies pode ser considerável, o escoamento
geralmente não é livre de gradientes de velocidade, entre outros fatores. Assim, muitas vezes,
devido à ação conjunta de diversos desses fatores, a redução das amplitudes devido ao número de
Reynolds pode não ocorrer (Sumer & Fredsøe, 1997).
Rugosidade Superficial
A rugosidade superficial influencia o desprendimento de vórtices, já mencionado
anteriormente, e, consequentemente, as flutuações na força de sustentação. Para cilindros rugosos
(k
s
/D>3x10
-3
), o regime de escoamento troca diretamente de subcrítico para transcrítico,
- 43 -
conforme já mencionado. Devido a essa troca, a redução nas oscilações que ocorrem para
cilindros lisos no regime crítico e supercrítico não ocorre com a mesma intensidade para cilindros
rugosos. Sumer & Fredsøe (1997) sugerem, baseados nos dados experimentais disponíveis à
época, que a magnitude da amplitude de resposta não sofre grandes alterações com modificações
na rugosidade superficial, desde que a rugosidade seja suficientemente grande (>10
-3
). Entretanto,
os mesmos autores reconhecem que o problema ainda não foi investigado de maneira sistemática.
Fig. 3.31 – Amplitudes de resposta em função do número de Reynolds, Sumer & Fredsøe
(1997).
Razão de Aspecto L/D
A razão de aspecto é a razão entre o comprimento do cilindro e seu diâmetro.
Segundo Pantazopoulos (1994), as razões de aspecto L/D<50 diminuem a freqüência de
desprendimento de vórtices. Tal comportamento pode ser visto na figura 3.32. Chung (1987)
afirma que quanto menor a razão de aspecto maior será a influência das condições de fronteira do
sistema (“end effects”).
Fig. 3.32 – Influência da razão de aspecto sobre o número de Strouhal S, extraído de
Pantazopoulos (1994).
- 44 -
Bearman (1984) cita que em corpos com baixa razão de aspecto, as forças geradas pelo
desprendimento de vórtices são muito pequenas para causar oscilações significantes. Entretanto,
em estudo publicado por Szepessy & Bearman (1992), os autores encontraram em alguns casos
aumento das flutuações nas forças de sustentação para baixos valores de L/D, esse efeito é
altamente dependente do número de Reynolds, pois diminuindo o número de Reynolds de
4,2x10
4
para <1,7x10
4
houve uma reversão dessa tendência.
Encontrou-se alguns artigos que relatam a influência da razão de aspecto sobre o
fenômeno de VIV em cilindros, a seguir segue um resumo de suas principais conclusões.
Segundo Wootton (1969), que realizou testes em túnel de vento com modelos reduzidos
de chaminés, a redução dos valores de L/D causa a redução das amplitudes de oscilação dos
cilindros. Tal comportamento pode ser visto na figura 3.33.
Fig. 3.33 – Influência da razão de aspecto sobre as amplitudes de vibração, extraído de Wootton
(1969).
- 45 -
Analisando os dados extraídos de Griffin (1980), apresentados na figura 3.34, pode-se ver
que a influência da razão de aspecto nesse ensaio não está muito bem definida, a maior amplitude
de oscilação ocorre para L/D=11,8, a segunda para L/D=15,4 e a menor resposta para L/D=8,5.
Esses ensaios foram realizados em água.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
024681012
Vr
A/D
L/D=8.5 L/D=15.4 L/D=11.8
Fig. 3.34 – Influência da razão de aspecto sobre as amplitudes de vibração, extraído de Griffin
(1980).
Blevins & Burton (1976) citam que, no trabalho de Hartlen (1968), a amplitude de
oscilação de um cilindro engastado reduziu significativamente quando a razão de aspecto
aumentou de 11,4 para 14,6 para um mesmo parâmetro de massa-amortecimento. Ainda segundo
Blevins & Burton, para amplitudes da ordem de 0,1D, a força equivalente por unidade de
comprimento diminui com o aumento da razão de aspecto.
A influência da razão de aspecto sobre o fenômeno de VIV em cilindros até hoje não foi
estudada com maiores detalhes, comparando os artigos existentes sobre esse assunto encontram-
se resultados contraditórios quanto à influência da razão de aspecto sobre as amplitudes de
vibração dos cilindros.
3.2.5 Vibrações Transversais
Como parte do trabalho de revisão bibliográfica, fez-se uma análise detalhada de vários
artigos sobre vibrações, na direção transversal ao escoamento, induzidas por vórtices. Dessa
análise pode-se resumir os seguintes aspectos:
• Extensa literatura existente sobre o assunto, diversos ensaios realizados tanto com ar
como com água;
- 46 -
• O tema vem sendo estudado há bastante tempo, King et al. (1973) cita um ensaio
realizado por Meier-Windhorst com água em 1939, além disso, esse tema ainda atrai a
atenção de diversos pesquisadores. Dentre os artigos analisados encontrou-se cerca de 25
artigos publicados entre 2000 e 2006;
• Diversas configurações experimentais adotadas, sendo que a configuração com cilindros
rígidos montados elasticamente foi a mais adotada nos ensaios analisados;
• A grande maioria dos ensaios realizados até o final de 2002 tratava apenas da vibração em
uma direção, a partir de 2003 começaram os ensaios com cilindros rígidos ou flexíveis
com vibração em duas direções, como os ensaios realizados por Flemming & Williamson
(2005) e Jauvtis & Williamson (2003, 2004);
Baseado nas informações encontradas nos artigos analisados compilou-se a tabela 3.6 com
o resumo das principais informações pertinentes aos estudos de vibrações induzidas por vórtices
em cilindros. Os principais aspectos dessa tabela podem ser resumidos da seguinte maneira:
• Nos ensaios realizados com ar foram utilizadas razões de aspecto L/D entre 1,7 e 52,7. A
razão de massa m* variou entre 43 e 2796. O número de Reynolds coberto pelos ensaios é
apresentado na tabela 3.2 a seguir. O maior número de Reynolds ensaiado com ar foi de
110000;
Tab. 3.2 – Faixa de Reynolds utilizada em diversos ensaios com ar.
Pes
q
uisadores Re
Feng (1968) apud Blevins & Burton (1976) 10000
Balasubramanian et al.(2000) 15253-45760
Brika & Laneville (1993) 3400-11800
Griffin (1972) 550-900
Griffin et al. (1973) 350-550
Okajima et al. (1999) 15000-110000
Nagakawa et al. (1998) 8000-20000
• Nos ensaios realizados com água, as razões de aspecto L/D variaram entre 7,5 e 94,5. A
razão de massa m* variou entre 0,7 e 50,8. O número de Reynolds coberto pelos ensaios é
apresentado na tabela 3.3. O maior número de Reynolds ensaiado foi 220000.
• A velocidade reduzida de início da sincronização, nos ensaios realizados com ar, variou
entre 3,7-5,1. A velocidade reduzida para a qual ocorreu a máxima amplitude de oscilação
variou entre 4,3-7,0 e a velocidade reduzida do final da sincronização variou entre 5,5-7,7.
- 47 -
• No caso dos ensaios realizados com água, a velocidade reduzida de início da
sincronização variou entre 2,75-4,8. A velocidade reduzida para a qual ocorreu a máxima
amplitude de vibração variou entre 4,4-9,6 e a velocidade reduzida do final da
sincronização variou entre 9,0-19,6. Como se percebe os ensaios realizados com água
apresentam uma faixa de excitação bem maior do que os ensaios realizados com ar.
Tab. 3.3 – Faixa de Reynolds utilizada em diversos ensaios com água.
Pes
q
uisadores Re
Anagnostopoulos & Bearman (1992) apud
W
&G (2004)* 90-150
Anan
d
(1985) apud Sume
r
& Fredsøe (1997) 6500-35000
Angrilli et al. (1974) apud W&G (2004)* 2500-7000
Blackburn et al. (2000) 556
Dean et al. (1977) apud W&G (2004)* 2800-10200
Flemming & Williamson (2003) apud W&G (2004)* 500-2000
Fujarra (1997) 6350-38100
Fujarra et al. (2001) 1000-2500
Fujarra (2002) 600-3500
Fujarra (2002) 500-20000
Fujarra (2002) 11430-76200
Fujarra et al. (2001) apud W&G (2004)* 1000-2500
Gharib et al. (1998) apud W&G (2004)* 11000-40000
Gharib (1999) apud Leonar
d
& Roshko (2001) 32000
Gharib (1999) apud Leonar
d
& Roshko (2001) 23000
Govardhan & Williamson (2000) 508-4064
Govardhan & Williamson (2000) apud W&G (2004)* 2900-19000
Jauvtis & Williamston (2003) - 2D 1000-11000
Jauvtis & Williamson (2004) 1000-15000
King (1974) apud W&G (2004)* 6000-22500
King et al. (1977) 3000 -20000
Moe & Overvi
k
(1982) apud W&G (2004)* 6000-30000
Owen et al. (2001) apud W&G (2004)* 1650-7500
Pesce & Fujarra (2000) apud W&G (2004)* 6000-40000
Sarpkaya (1995) apud W&G (2004)* 6000-35000
Vandive
r
& Marcollo (2003) 70000-220000
Vickery & Watkins (1964) apud W&G (2004)* 7000
Vikestad et al. (2000) apud W&G (2004)* 14000-65000
Sarpkaya (2004) 30000
Flemming & Williamson (2005) 1000
Flemming & Williamson (2005) 1360
Flemming & Williamson (2005) 1300
* - Williamson and Govardhan (2004)
- 48 -
• As amplitudes máximas de oscilação para os ensaios realizados com ar variaram entre
valores tão pequenos como 0,02D, ensaio de Scruton & Hartlen (1968) apud Blevis &
Burton (1976), até valores de 0,57D, ensaio de Feng (1968) apud Bearman (1984). Essa
grande variação de amplitudes de vibração pode ser atribuída aos diferentes valores do
parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ, parte dessa variação pode ser atribuída
também ao uso de diferentes configurações experimentais. A tabela 3.4 a seguir apresenta
as diversas amplitudes máximas encontradas e as montagens experimentais utilizadas:
Tab. 3.4 – Amplitudes máximas de vibração e respectivas montagens experimentais utilizadas.
Pesquisadores A/D Montagem
Scruton & Hartlen (1968) apud
Blevins & Burton (1976)
0,02-0,15 -
Feng (1968) apud Blevins &
Burton (1976)
0,08-0,52 -
Balasubramanian et al. (2000) 0,18 Cilindro pivotado 1D
Brika & Laneville (1993) 0,40-0,52 Cabo
Feng (1968) apud Bearman
(1984)
0,57 Cilindros rígidos elasticamente montados 1D
Griffin & Ramberg (1982) apud
Bearman (1984)
0,48 -
Griffin (1972) 0,48 Cilindros rígidos elasticamente montados 1D
Griffin et al. (1973) 0,28 Cilindros rígidos elasticamente montados 1D
Okajima et al. (1999) 0,07-0,163 Cilindros rígidos elasticamente montados 1D
Nagakawa et al. (1998) 0,07-0,13 Cilindros rígidos elasticamente montados 1D
A maioria dos ensaios utilizou cilindros rígidos elasticamente montados com vibração em
apenas uma direção, nesse caso, direção transversal ao escoamento, as amplitudes variaram entre
0,07-0,57D. Os experimentos de Brika & Laneville (1993) foram realizados com um cabo e as
amplitudes atingidas nos seus ensaios variaram entre 0,40-0,52D. Tal variação ocorreu devido à
mudança nas condições de realização dos ensaios. Esses pesquisadores realizaram uma corrida
experimental com velocidades do escoamento crescente e outra com velocidade decrescente, as
amplitudes obtidas foram diferentes, mostrando assim a existência do fenômeno de histerese no
caso de vibrações induzidas por vórtices. Adicionalmente, Brika & Laneville (1993) realizaram
uma corrida experimental com velocidades do escoamento crescentes, mas com maiores
incrementos de vazão, como no caso anterior, as amplitudes obtidas foram diferentes. O ensaio de
Balasubramanian et al. (2000) utilizou um cilindro pivotado, sua amplitude de oscilação máxima
foi de 0,18D.
- 49 -
• Para os ensaios realizados com água, as amplitudes máximas de oscilação variaram entre
0,34-1,72D. Essa grande variação pode ser atribuída aos diversos valores do parâmetro de
massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ das estruturas ensaiadas e, também, da montagem
experimental. A maioria dos ensaios encontrados, durante a elaboração dessa dissertação,
utilizou cilindros rígidos elasticamente montados com liberdade em apenas uma direção.
O termo “cilindros rígidos elasticamente montados” é empregado para o caso de cilindros
fixados por molas em suas extremidades, nesse caso, a amplitude de oscilação do cilindro
é constante ao longo de todo o comprimento do cilindro. Existe outra configuração com
cilindros elasticamente montados, onde o cilindro é fixado por molas em uma
extremidade e a outra extremidade é fixada a uma rótula, essa montagem é denominada,
nessa dissertação, como “cilindro pivotado”.
Para o caso de cilindros rígidos elasticamente montados com deslocamento apenas na
direção transversal ao escoamento, as amplitudes de oscilação variaram entre 0,54-1,19D. Jauvtis
& Williamson (2003, 2004) realizaram experimentos com cilindros rígidos elasticamente
montados com dois graus de liberdade, encontrando amplitudes de 1,05D e 1,51D. Segundo os
autores, a amplitude máxima de oscilação não apresentou diferenças significativas quando o grau
de liberdade longitudinal do sistema foi restringido.
Para a configuração de cilindro pivotado com apenas o grau de liberdade transversal, as
amplitudes máximas de oscilação variaram entre 0,48-1,60D. Flemming & Williamson (2005)
realizaram experimentos com cilindros pivotados com dois graus de liberdade, encontrando
amplitudes entre 0,89D e 1,52D. Nesse caso, não foram relatados ensaios com o grau de
liberdade longitudinal restringido, impossibilitando assim uma comparação entre oscilações com
1 grau de liberdade e com dois graus de liberdade.
Outra configuração bastante utilizada é o cilindro flexível engastado. Para essa
configuração, as amplitudes variaram entre 0,78D e 1,72D. A tabela 3.5 apresenta um resumo dos
diversos ensaios realizados com água para as configurações experimentais mencionadas.
As amplitudes máximas de oscilação variam entre diferentes montagens experimentais,
existindo certa controvérsia sobre as amplitudes máximas possíveis. Segundo Khalak &
Williamson (1999), a amplitude máxima, para sistemas com amortecimento muito baixos, pode
variar entre 0,8D até 1,5D. Segundo Griffin (1980) esta amplitude limite estaria entre 1,0-1,5D.
Para maiores detalhes sobre as diversas configurações experimentais adotadas e sobre as
condições de ensaio, recomenda-se análise da tabela 3.6 a seguir.
- 50 -
Tab. 3.5 – Resumo dos ensaios de vibração em cilindros com diversas configurações
experimentais.
Cilindros Rígidos
elasticamente montados
Cilindros
Pivotados*
Cilindros
Flexíveis
A/D
max
0,54-1,19 0,48-1,60 0,78-1,72
Vr
max
4,8-7,7 5,9-8,2 6,1-8,9
Vr
1
2,8-4,7 3,7-4,2 3,1-4,8
Vr
2
10,4-15,7 9-19,6 13,8-17,5
m* 1,2-50,8 1,0-7,7 1,4-2,4
(m*+C
A
)ζ 0,003-0,14 0,005-0,06 0,013-0,041
Re 508-76200 1000-22500 500-40000
- inclui cilindros pivotados com 1 e 2 graus de liberdade.
- 51 -
Tab. 3.6 – Resumo de vários ensaios de vibração em cilindros.
Pesquisadores Ano Meio V
r1
V
r2
V
rmax
Re L/D
m*ζ
A/D m*
(m*+C
A
)ζ
Montagem
Parkinson & Brooks (1961) apud King et al.
(1973)
1961 - - - 6,3 - - - - - - -
Griffin et al. (1973) 1973 ar - - 6,6 350-550 12,5 0,20 0,28 166 0,20 1
Feng (1968) apud Bearman (1984) 1968 ar 5,1 7,2 6,2 10000 9 0,25 0,57 248 0,25 1
Nagakawa et al. (1998) 1998 ar - - 5,5 8000-20000 20,3 0,37 0,13 1412 0,37 1
Griffin (1972) 1972 ar - - 6,2 550-900 12,5 0,42 0,48 47 0,42 1
Okajima et al. (1999) 1999 ar 3,8 5,5 4,7 15000-110000 1,7 0,61 0,16 223 0,61 1
Okajima et al. (1999) 1999 ar 4,2 6,2 4,5 15000-110000 1,7 0,61 0,15 219 0,61 1
Okajima et al. (1999) 1999 ar 3,7 6,3 5,2 15000-110000 1,7 0,61 0,12 222 0,61 1
Okajima et al. (1999) 1999 ar 4,6 5,7 4,8 15000-110000 1,7 0,61 0,11 220 0,61 1
Okajima et al. (1999) 1999 ar 4,4 6,2 5,3 15000-110000 1,8 0,61 0,16 239 0,61 1
Okajima et al. (1999) 1999 ar 4,2 5,7 5,1 15000-110000 1,8 0,61 0,16 237 0,61 1
Okajima et al. (1999) 1999 ar - - 4,3 15000-110000 1,8 0,61 0,07 239 0,61 1
Nagakawa et al. (1998) 1998 ar - - 5,4 8000-20000 20,3 0,73 0,07 2796 0,73 1
Balasubramanian et al. (2000) 2000 ar 4,7 5,5 5,3 15253-45760 10,5 0,77 0,18 248 0,77 3
Wootton (1969) apud King et al. (1973) 1969 ar - - 5,0-7,0 - - - - - - 3
Brika & Laneville (1993) 1993 ar 4,9 7,7 6,2 3400 -11800 52,7 0,41 0,52 2054 0,41 5
Brika & Laneville (1993) 1993 ar 4,9 7,7 5,5 3400 -11800 52,7 0,41 0,40 2054 0,41 5
Brika & Laneville (1993) 1993 ar 4,9 7,7 5,5 3400 -11800 52,7 0,41 0,41 2054 0,41 5
Griffin & Ramberg (1982) apud Bearman
(1984) e Sumer & Fredsøe (1997)
1982 ar - - 6,1 - - 0,18 0,48 43 0,18 -
Feng (1968) apud Blevins & Burton (1976) 1968 ar - - - 10000 9 0,25 0,52 248 0,25 -
Feng (1968) apud Blevins & Burton (1976) 1968 ar - - - 10000 9 0,40 0,40 248 0,40 -
Feng (1968) apud Blevins & Burton (1976) 1968 ar - - - 10000 9 0,44 0,20 248 0,44 -
Feng (1968) apud Blevins & Burton (1976) 1968 ar - - - 10000 9 0,63 0,15 248 0,63 -
Scruton & Hartlen (1968) apud Blevins &
Burton (1976)
1968 ar - - - - 5 0,71 0,15 - 0,71 -
Feng (1968) apud Blevins & Burton (1976) 1968 ar - - - 10000 9 0,87 0,08 248 0,87 -
- 52 -
Pesquisadores Ano Meio V
r1
V
r2
V
rmax
Re L/D
m*ζ
A/D m*
(m*+C
A
)ζ
Montagem
Scruton & Hartlen (1968) apud Blevins &
Burton (1976)
1968 ar - - - - 5 0,90 0,09 - 0,90 -
Scruton & Hartlen (1968) apud Blevins &
Burton (1976)
1968 ar - - - - 7,5 1,03 0,06 - 1,03 -
Scruton & Hartlen (1968) apud Blevins &
Burton (1976)
1968 ar - - - - 10 1,41 0,04 - 1,41 -
Scruton & Hartlen (1968) apud Blevins &
Burton (1976)
1968 ar - - - - 10 1,58 0,02 - 1,58 -
Glass & Sayre (1967) apud King et (1973) 1967 ar 5,0 - 6,0 - - - - 76-1075 - -
Govardhan & Williamson (2000) apud
W&G
(
2004
)
**
2000 água - - - 2900-19000 - 0,0027 1,19 - 0,0027* 1
Dean et al. (1977) apud W&G (2004)** 1977 água - - - 2800-10200 - 0,0055 0,94 - 0,01* 1
Khalak & Williamson (1997a) 1997 água 3,3 - 6,1 - 10,0 0,007 1,09 2,4 0,01 1
Khalak & Williamson (1997a) 1997 água - - 5,4 - 8,5-10 0,010 1,02 10,3 0,01 1
Govardhan & Williamson (2000) 2000 água 3,5 - 7,7 508-4064 10 0,006 1,01 1,19 0,01 1
Khalak & Williamson (1996) 1999 água 3,1 - 5,8 - 8,5-10 0,009 1,06 3,3 0,01 1
Jauvtis & Williamston (2003) - 1D 2003 água 4,1 - 6,1 1000-11000 7,5-10 0,010 0,94 6,9 0,01 1
Vikestad et al. (2000) apud W&G (2004)** 2000 água - - - 14000-65000 - 0,012 1,13 - 0,01* 1
Moe & Overvik (1982) apud W&G
(2004)**
1982 água - - - 6000-30000 - 0,013 1,09 - 0,01* 1
Khalak & Williamson (1996) 1996 água 3,7 - 5,2 - 8,5-10 0,013 0,95 10,3 0,01 1
Khalak & Williamson (1996) 1996 água 3,6 10,4 5,2 - 8,5-10 0,013 0,96 10,1 0,01 1
Govardhan & Williamson (2000) 2000 água 4,3 - 5,9 508-4064 10 0,013 0,79 8,63 0,01 1
Khalak & Williamson (1997b) 1997 água - - 5,5 - 8,5-10 0,014 0,95 10,3 0,01 1
Khalak & Williamson (1997b) 1997 água 3,6 - 6,1 - 10,0 0,011 0,96 2,4 0,02 1
Khalak & Williamson (1997b) 1997 água - - 5,3 - 8,5-10 0,016 0,89 10,3 0,02 1
Anand (1985) apud Sumer&Fredsøe (1997) 1985 água <3,66 - 6,6 6500-35000 - 0,017 1,07 6,7 0,02 1
Khalak & Williamson (1997b) 1997 água - - 5,2 - 8,5-10 0,017 0,87 10,3 0,02 1
Khalak & Williamson (1996) 1996 água 4,0 10,7 5,3 - 8,5-10 0,019 0,88 20,6 0,02 1
Khalak & Williamson (1997b) 1997 água 3,1 - 5,7 - 10,0 0,014 0,89 2,4 0,02 1
Khalak & Williamson (1996) 1996 água 2,8 - 4,8 - 10 0,017 0,96 2,4 0,02 1
- 53 -
Pesquisadores Ano Meio V
r1
V
r2
V
rmax
Re L/D
m*ζ
A/D m*
(m*+C
A
)ζ
Montagem
Fujarra (2002) 2002 água 4,1 - 6,4 11430-76200 30 0,029 0,71 10,0 0,03 1
Fujarra (2002) 2002 água 4,4 - 6,1 11430-76200 30 0,029 0,68 10,0 0,03 1
Fujarra (2002) 2002 água 4,7 - 6,4 13335-74295 30 0,029 0,73 10,0 0,03 1
Khalak & Williamson (1997b) 1997 água - - 5,1 - 8,5-10 0,030 0,82 10,3 0,03 1
Owen et al. (2001) apud W&G (2004)** 2001 água - - - 1650-7500 - 0,036 0,84 - 0,04* 1
Fujarra (2002) 2002 água 3,3 - 6,8 11430-76200 30 0,037 0,81 13,0 0,04 1
Fujarra (2002) 2002 água 4,4 - 6,9 11430-76200 30 0,037 0,80 13,0 0,04 1
Fujarra (2002) 2002 água 4,4 - 6,6 11430-76200 30 0,037 0,80 13,0 0,04 1
Angrilli et al.(1974) apud W&G (2004)** 1974 água - - - 2500-7000 - 0,049 0,54 - 0,05* 1
Sarpkaya (1995) apud W&G (2004)** 1995 água - - - 6000-35000 - 0,052 0,95 - 0,05* 1
Khalak & Williamson (1997) 1997 água 3,2 - 6,2 - 10,0 0,06 1,11 2,4 0,08 1
Gharib et al.(1998) apud W&G (2004)** 1998 água - - - 11000-40000 - 0,094 0,84 - 0,09* 1
Blackburn et al.(2000) 2000 água 3,0 15,73 6,6 556 26,7 0,12 0,57 50,8 0,12 1
Sarpkaya (2004) 2004 água - - 5,8 30000 26 0,105 1,02 3 0,14 1
Jauvtis & Williamston (2003) - 2D 2003 água 2,8 - 6,4 1000-11000 7,5-10 0,010 1,05 6,9 0,01 2
Jauvtis & Williamson (2004) 2004 água 2,8 - 8,3 1000-15000 7,5-10 0,009 1,51 2,6 0,01 2
King (1974) apud W&G (2004)** 1974 água - - - 6000-22500 - 0,02 1,60 - 0,02* 3
King et al. (1973) 1973 água 4-5,5 9 5,5-7,5 - - 0,03 1,05 - 0,03 3
King et al. (1977) 1977 água - - 5,9 3000 -20000 22 0,06 0,48 - 0,06 3
Flemming & Williamson (2005) 2005 água 3,7 19,6 8,2 1000 31-41 0,0023 1,52 1,0 0,0045 4
Flemming & Williamson (2005) 2005 água 3,9 14,0 6,5 1360 31-41 - 1,00 2,7 - 4
Flemming & Williamson (2005) 2005 água 4,2 11,3 7,8 1300 31-41 - 0,89 7,7 - 4
Pesce & Fujarra (2000) W&G (2004)** 2000 água - - - 6000-40000 - 0,013 1,32 - 0,01* 6
Fujarra (1997) 1997 água 4,0 - 8,9 6350-38100 94,5 0,013 1,72 2,4 0,02 6
Fujarra et al. (2001) 2001 água - - 8,4 1000-2500 - 0,016 1,70 2,4 0,02 6
Fujarra et al. (2001) apud W&G (2004)** 2001 água - - - 1000-2500 - 0,023 0,78 - 0,02* 6
Fujarra (2002) 2002 água 4,2 17,5 6,3 600-3500 39 0,024 0,95 1,36 0,04 6
Fujarra (2002) 2002 água 4,8 13,8 6,9 600-3500 39 0,024 0,95 1,36 0,04 6
Fujarra (2002) 2002 água 4,2 15,2 6,2 600-3500 39 0,024 0,96 1,36 0,04 6
Fujarra (2002) 2002 água 4,6 16,6 6,9 600-3500 39 0,024 0,88 1,36 0,04 6
Fujarra (2002) 2002 água 3,1 - 6,1 500-20000 39 0,024 1,00 1,36 0,04 6
- 54 -
Pesquisadores Ano Meio V
r1
V
r2
V
rmax
Re L/D
m*ζ
A/D m*
(m*+C
A
)ζ
Montagem
Sarpkaya (2004) 2004 água - - 6,7 - - - 1,42 - - 7
Vandiver & Marcollo (2003) 1981 água - - 9,6 70000-220000 83
0,010-
0,95 1,00 0,03 8
Govardhan & Williamson (2000) 2000 água 4,3 - 6,3 - - 0,010 1,03 - 0,01* -
Vandiver (1993) 1993 água 3,2 - 7,2 - - 0,012 0,83 43,3 0,01 -
Vickery & Watkins (1964) apud W&G
(
2004
)
**
1964 água - - - 7000 - 0,016 1,46 - 0,02* -
Anagnostopoulos & Bearman (1992) apud
W&G (2004)**
1992 água - - - 90-150 - 0,179 0,55 - 0,18* -
Vandiver (1993) 1993 água - - 5,7 - - 0,20 0,34 4,8 0,24 -
Gharib(1999) apud Leonard&Roshko(2001) 1999 água 4,7 - 5,6 23000 - 0,25 0,64 17,8 0,26 -
Griffin & Ramberg (1982) apud Bearman
(1984) e Sumer & Fredsøe (1997)
1982 água - - 6,0 - - 0,25 0,50 4,8 0,30 -
Gharib(1999) apud Leonard&Roshko(2001) 1999 água 2,9 - 4,4 32000 - 0,20 0,85 1,3 0,34 -
Vandiver (1993) 1993 água - - 5,0 - - 0,24 0,36 2,3 0,35 -
Glass (1970) apud Griffin (1980) 1970 água - 10-10,5 7,7 - 11,8 - 0,71 3,8 - -
Glass (1970) apud Griffin (1980) 1970 água - 10-10,6 7,6 - 15,4 - 0,69 3,8 - -
Glass (1970) apud Griffin (1980) 1970 água - 10-10,7 7,8 - 8,5 - 0,64 3,8 - -
Glass (1970) apud King et al.(1973) 1970 água 4,1 - 8,1 - - - - 0,7-8,7 - -
Meier-Windhorst(1939) apud King et al.
(1973)
1939 água 4 - 6,2 - - - - - -
Parra (1996) apud Fujarra (2002) 1996 água 3,3 - 6,2 - - - 1,02 - - -
Tsahalis (1984) apud Chung (1987) 1984 água 3,9 - 8,6 - - - 1,31 - - -
Sarpkaya (2004) 2004 água - - 6,2 - - - 1,52 - - -
*- O valor apresentado nesse caso corresponde ao parâmetro adimensional m*ζ, o valor do parâmetro (m*+C
A
)ζ, adotado como referência nesta dissertação e
em grande parte da literatura pesquisada, não pôde ser calculado nesses casos devido ao desconhecimento do valor da razão de massa m*, caso esse parâmetro
fosse conhecido o valor de (m*+C
A
)ζ poderia ser calculado facilmente através do parâmetro m*ζ, nessa dissertação foi adotado o valor C
A
=1,0 nos ensaios
com água e C
A
= 0,0 nos casos ensaiados com ar;
**- Williamson & Govardhan (2004).
- 55 -
Nomenclatura:
V
r1
– Velocidade reduzida no início da sincronização;
V
r2
– Velocidade reduzida no final da sincronização;
V
rmax
– Velocidade reduzida onde ocorre o valor máximo de amplitude de oscilação;
Re – Número de Reynolds;
L/D – Razão de aspecto;
m* − Razão de massa;
m*ζ − Parâmetro de massa-amortecimento (mass-damping parameter);
(m* + C
A
)ζ − Parâmetro de massa-amortecimento incorporando a massa adicional da água.
Tipos de Montagem:
Na tabela anterior foi adotado a seguinte codificação para as diferentes montagens experimentais:
Código Montagem experimental
1 Cilindros rígidos elasticamente montados 1D
2 Cilindros rígidos elasticamente montados 2D
3 Cilindro Pivotado 1D
4 Cilindro Pivotado 2D
5 Cabo
6 Cilindro Flexível engastado 1D
7 Cilindro Flexível 2D, viga pinada na parte superior
8 Cilindro flexível rebocado na água, com tensão axial
- 56 -
3.2.6 Vibrações Longitudinais
As vibrações longitudinais são induzidas com velocidades reduzidas menores do que para o
caso transversal e, as amplitudes de oscilação são menores, apresentando duas regiões distintas de
vibração com uma faixa de amplitudes nulas entre elas (King et al, 1973). Esse comportamento
pode ser visualizado na figura 3.36. As vibrações longitudinais são causadas pelas flutuações da
força de arrasto, as flutuações da força de arrasto atuam com o dobro da freqüência e intensidade
bem menor que as flutuações da força de sustentação, como pode ser visto na figura 3.21, o que
explica as menores amplitudes longitudinais de oscilação dos sistemas e também sua ocorrência
para menores valores de velocidade reduzida. Ocorrências de vibrações longitudinais foram
relatadas, até a presente data, apenas em ensaios com água.
A primeira faixa ocorre entre 1,2<V
r
<2,5 com um máximo situado em V
r
=2,2. Para
velocidades reduzidas maiores, a amplitude de vibração sofre uma grande redução até zero para
V
r
=2,5. Nessa faixa de vibração ocorre o desprendimento de pares de vórtices simétricos (King et
al, 1973), como pode ser visto na figura 3.35, extraída de Okajima et al. (2004). Os valores para o
número de Reynolds nos ensaios de Okajima variaram entre 8x10
3
e 4x10
4
.
Fig. 3.35 – Padrão de desprendimento de vórtices para vibrações longitudinais, a foto da
esquerda retrata o desprendimento de pares de vórtices ( 1,2 < V
r
< 2,5), na foto da direita, o
desprendimento é assimétrico (2,5 < V
r
< 4,0). Extraído de Okajima et al. (2004).
A segunda faixa ocorre entre 2,5<V
r
<3,8 com um máximo situado em V
r
=3,2. O
desprendimento de vórtices nessa faixa é alternado, como pode ser visto na foto da direita na
figura 3.35.
Os cilindros utilizados por King et al. (1973) possuíam razão de aspecto, isto é, a razão
entre o diâmetro e o comprimento ao longo do eixo do cilindro entre 36 e 41. Okajima et al. (2004)
utilizando cilindros com razão de aspecto entre 5 e 10, encontrou apenas uma região de excitação
estendendo-se entre 1<Vr<4. Para cilindros com razões de aspecto entre 14 e 21 foram
encontradas duas regiões de excitação conforme descrito por King et al. (1973).
- 57 -
Segundo Sumer & Fredsøe (1997), existe ainda uma terceira região de excitação que ocorre
para cilindros com dois graus de liberdade na região de excitação das vibrações transversais, nessa
região, as amplitudes de oscilação longitudinais são maiores do que as amplitudes encontradas nas
duas regiões anteriores.
Fig. 3.36 – Médias quadráticas da amplitude de oscilação adimensional para vibrações
longitudinais, Okajima et al. (2004).
3.2.7 Vibrações com dois graus de liberdade
O estudo de vibrações em cilindros com dois graus de liberdade para oscilar, apesar de
representar a situação da maioria das estruturas reais, recebeu a atenção dos pesquisadores apenas
recentemente, principalmente com os estudos publicados por Jauvtis & Williamson (2003, 2004),
Williamson (2004) e Flemming & Williamson (2005).
Segundo estudo de Jauvtis & Williamson (2003), a liberdade para oscilar em dois graus de
liberdade teve pouco efeito sobre a resposta transversal, os modos de vibração e a dinâmica da
esteira de vórtices, quando comparados com o mesmo arranjo experimental com grau de liberdade
apenas na direção transversal, pelo menos para a faixa de razões de massa m* entre 6-25. Jauvtis
utilizou um cilindro rígido elasticamente montado com características iguais em ambas as direções
(freqüências naturais e amortecimentos). No mesmo artigo, Jauvtis cita os experimentos realizados
por Moe & Wu (1990) e Sarpkaya (1995) com cilindros com liberdade para oscilar nas duas
- 58 -
direções, mas com freqüências naturais nas direções transversal e longitudinal diferentes, tanto
Moe & Wu como Sarpkaya encontraram que a liberdade para oscilar em ambas as direções causou
pequenos aumentos nas amplitudes transversais e deslocou os picos de amplitudes transversais
para valores de V
r
maiores.
Entretanto, em estudo mais recente de Jauvtis & Williamson (2004) encontrou-se que para
razões de massa m*<6 ocorrem mudanças drásticas no comportamento do cilindro com dois graus
de liberdade para oscilar, foram encontradas amplitudes de oscilação bem maiores (1,5D) do que
os valores normalmente encontrados para o cilindro com movimento apenas na direção transversal
(1,0D) e novos modos de desprendimento de vórtices.
- 59 -
4. DESCRIÇÃO E METODOLOGIA EXPERIMENTAL
O estudo experimental realizou-se através da análise das medições de aceleração de
cilindros isolados fixados elasticamente, com parâmetros geométricos e estruturais variáveis,
submetidos a escoamento permanente em superfície livre para diferentes valores de velocidade de
aproximação, com níveis de água na seção de ensaio mantidos próximos a 40 cm. Foi adotada a
configuração de cilindro pivotado para os ensaios.
A seguir descreve-se, de forma sucinta, a montagem, o procedimento experimental e a
metodologia utilizada no tratamento dos sinais medidos.
4.1 Instalação Experimental
Os ensaios foram realizados no Pavilhão Marítimo do Instituto de Pesquisas Hidráulicas da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul. A instalação experimental utilizada nesse estudo
consistiu nos seguintes elementos:
• Canal de ensaio e estruturas auxiliares;
• Estruturas cilíndricas;
• Sistema de fixação;
• Sistema de aquisição de dados.
4.1.1 Canal de ensaio e estruturas auxiliares
O canal utilizado foi construído em alvenaria de tijolos maciços com um comprimento
total de 34,4m, seção transversal constante de 0,5m x 0,6m, com uma declividade de fundo de
0,2%. O canal é composto por uma câmara de alimentação/tranquilização, um dispositivo de
controle de níveis instalado a jusante da seção de ensaios e uma câmara de retorno da água para o
reservatório enterrado que abastece o sistema. Uma visão geral da instalação é apresentada nas
figuras 4.1 e 4.2.
O suprimento de água é feito por um conjunto motor-bomba, comandado por inversor de
freqüência, a vazão é controlada por uma válvula gaveta e medida através de um medidor
eletromagnético de vazão. A vazão máxima do sistema está em torno de 220 l/s, resultando em
uma velocidade média limite de 1,1 m/s para um nível de água igual a 40 cm no canal.
A seção de testes é composta por uma seção transversal com parte em alvenaria e parte em
vidro, que está situada 10 m a jusante da saída da câmara de tranquilização. A seção de testes bem
como os equipamentos utilizados na aquisição de dados podem ser vistos na figura 4.3. O controle
- 60 -
de níveis no canal é realizado através de uma comporta plana, apresentada na figura 4.4, instalada
no fim do canal. A manutenção do mesmo nível de água para todos os ensaios mostrou-se um
processo muito demorado e de difícil execução, pois para cada aumento de vazão é necessário
baixar a altura da comporta e aguardar o estabelecimento de regime permanente no canal. Caso o
nível estabilizado não seja exatamente o nível desejado são necessários novos ajustes na altura da
comporta. Devido a isso, os níveis de água durante os ensaios não foram mantidos constantes, mas
variaram dentro de uma faixa limitada, o menor nível foi de 38,5 cm e o maior de 41,9 cm. Os
níveis de água obtidos para todos os ensaios são apresentados na seção 8.4 do Anexo.
Fig. 4.1 – Vista geral do canal e estruturas auxiliares, extraído de Romagnoli (2005).
Fig. 4.2 – Vista frontal do canal de ensaios.
- 61 -
Fig. 4.3 – Vista frontal da seção de testes com a parede de vidro. Na foto podem ser vistos os
equipamentos usados no sistema de aquisição de dados bem como um dos cilindros ensaiados.
Fig. 4.4 – Comporta para controle do nível no canal.
Em uma etapa preliminar foram feitas medições de velocidades médias no canal,
utilizando sondas Pitot-Prandtl, para a caracterização do perfil de velocidades no centro da seção
transversal da seção de testes, sem a estrutura cilíndrica. Os perfis de velocidade são apresentados
nas figuras 4.5, 4.6 e 4.7, para as vazões de 125, 150 e 175
l/s respectivamente. Observando-se os
perfis nota-se que a velocidade desde a superfície da água até uma profundidade de 20 cm é
praticamente constante, ocorrendo um aumento da velocidade para a profundidade de 30 cm e
para maiores profundidades a velocidade média sofre um redução brusca devido à proximidade
com o fundo do canal.
- 62 -
Perfil de Velocidades q = 125
l/s
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Velocidade [m/s]
Profundidade [cm]
Fig. 4.5 - Perfil de velocidades no centro do canal, na seção de testes, q = 125 l/s e altura da
comporta h = 20 cm.
Perfil de Velocidades q = 150l/s
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Velocidade [m/s]
Profundidade [cm]
Fig. 4.6 - Perfil de velocidades no centro do canal, na seção de testes, q = 150
l/s e altura da
comporta h = 20 cm.
- 63 -
Perfil de Velocidades q = 175l/s
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Velocidade [m/s]
Profundidade [cm]
Fig. 4.7 - Perfil de velocidades no centro do canal, na seção de testes, q = 175 l/s e altura da
comporta h = 15 cm.
Além disso, a distribuição de velocidades na seção transversal da seção de testes também
foi caracterizada. As figuras 4.8, 4.9 e 4.10 apresentam essa distribuição para as mesmas vazões
dos perfis de velocidade. A distribuição de velocidades média no canal é de certa forma simétrica
para vazões até 125 l/s (figura 4.8). Para a vazão de 150 l/s aparece um ponto de concentração de
velocidades próximo à parede, claramente visível na figura 4.9 e, para a vazão de 175 l/s, esse
ponto de concentração de velocidade desaparece (figura 4.10). Observando essa figura nota-se que
existe uma assimetria na distribuição de velocidades, com maiores velocidades concentrando-se
próximas à parede de alvenaria.
A ocorrência dessa concentração de velocidades não constitui um fato surpreendente, pois
o mesmo é mencionado por Chow (1959), segundo o qual, o escoamento em canais prismáticos
retos é de fato tridimensional manifestando um movimento espiral. Esse movimento espiral pode
ser causado por pequenas perturbações na entrada do canal.
- 64 -
Fig. 4.8 - Curva de isótacas no centro da seção de testes para vazão Q=125 l/s e comporta
em 20 cm, os valores das curvas estão em m/s.
Fig. 4.9 - Curva de isótacas no centro da seção de testes para vazão Q=150 l/s e comporta
em 20 cm, os valores das curvas estão em m/s.
- 65 -
Fig. 4.10 - Curva de isótacas no centro da seção de testes para vazão Q=175 l/s e comporta
em 15 cm, os valores das curvas estão em m/s.
4.1.2 Estruturas Cilíndricas
Foram ensaiados cilindros de PVC, com diferentes diâmetros, diferentes massas e fixados
com molas de diferentes constantes elásticas. Os diâmetros nominais dos cilindros utilizados nos
ensaios foram: 20, 25, 32, 40, 50 e 60 mm. Os cilindros possuem comprimento de 54 cm.
A razão de aspecto (L/D) dos cilindros foi calculada usando o comprimento submerso do
cilindro, pois apenas essa região recebe a influência do escoamento. Como o comprimento
submerso variou levemente para cada vazão ensaiada, adotou-se para o cálculo da razão de aspecto
o comprimento submerso medido para a vazão que proporcionou a maior amplitude de oscilação.
Considerando os valores médios da razão de aspecto, pois cada cilindro apresentou uma razão de
aspecto específica, os quais são apresentados na tabela 4.1, são valores apenas nominais que serão
usados apenas para identificar os ensaios em questão. Uma tabela contendo o resumo das
características de todos os ensaios, inclusive suas razões de aspecto, é apresentada na seção 8.5 do
Anexo.
- 66 -
Tab. 4.1 - Razões de aspecto nominais dos cilindros ensaiados.
D [mm] Razão de Aspecto
20 19,8
25 16,1
32 12,7
40 10,1
50 8,0
60 6,7
A massa dos cilindros, para um mesmo diâmetro, foi variada através do uso de
enchimentos com diferentes densidades. Optou-se por realizar o enchimento dos cilindros com
argamassas de diferentes formulações, pois, este material adapta-se facilmente ao formato do
cilindro e possibilita a obtenção de densidades em uma faixa adequada de trabalho. As diferentes
formulações consistem basicamente na mistura de argamassa industrializada, para uso geral, com
diferentes proporções de isopor, para a obtenção de densidades menores, ou brita, para a obtenção
de densidades maiores.
A tabela 4.2 abaixo apresenta os materiais de enchimento usados e suas densidades
resultantes. As porcentagens apresentadas na tabela referem-se à massa de argamassa.
Tab. 4.2 - Materiais de Enchimento.
Tipo Material de Enchimento Massa específica (g/cm
3
)
1 Tubo Vazio
-
2 Mistura de Argamassa + Isopor (6%) 0,51
3 Mistura de Argamassa + Isopor (0,5%) 1,25
4 Mistura de Argamassa 1,79
5 Mistura de Argamassa + Brita na proporção 1:1 2,12
Os cilindros foram construídos da seguinte maneira: a partir de um tubo de PVC cortado
nas dimensões desejadas, colou-se a vedação inferior do cilindro (figura 4.11-a). A vedação
inferior deve, além de impedir a entrada de água dentro do modelo, o que poderia alterar a massa
do cilindro, servir como elemento de fixação do cilindro a uma base rotulada fixada ao fundo do
canal. Após a colagem da vedação inferior, o cilindro foi preenchido com diferentes materiais e
após a secagem do material de enchimento a vedação superior (figura 4.11-b) foi colada no
cilindro, procedimento mostrado na figura 4.12. A vedação superior possui um pino através do
qual o cilindro será fixado por molas. O sistema de fixação será detalhado na próxima seção.
- 67 -
Após sua confecção, os cilindros foram pesados com as vedações superiores e inferiores já
incluídas (figura 4.13). A tabela 4.3 a seguir apresenta as massas totais dos cilindros, incluídas as
peças de fixação mais sensores de aceleração (peso total do sistema de fixação + acelerômetros =
87,6g).
Fig. 4.11 - Fotos da (a) vedação inferior e (b) vedação superior.
Fig. 4.12 - Instalação da vedação superior.
(a)
(b)
- 68 -
Fig. 4.13 - Pesagem dos cilindros.
Tab. 4.3 – Massa final dos tubos após o enchimento.
Massa (g)
Tipo de Enchimento
Diâmetro
(mm)
1 2 3 4 5
20 193,3 249,7 335,8 390,1 422,5
25 235,1 339,8 465,1 554,7 604,4
32 310,5 426,1 688,4 857,7 917,3
40 401,1 613,9 1012,5 1278,7 1373,9
50 570,6 886,9 1522,6 1882,9 2077,3
60 742,7 1417,8 2131,8 2712,7 2940,3
4.1.3 Sistema de Fixação
A fixação elástica dos cilindros, projetada e desenvolvida com todos os componentes em
aço inoxidável, foi realizada da seguinte maneira:
Primeiramente, o cilindro recebeu a instalação de peças especiais que possibilitavam a sua
fixação (vedação inferior e superior). Na parte inferior do cilindro foi instalada uma peça que
possibilitava o encaixe com um pino rotulado, já apresentada na figura 4.11-a (essa peça deve
garantir a impermeabilidade do cilindro). No pino da vedação superior foram instaladas duas peças
de fixação, uma peça para fixação das molas e outra peça para a instalação de dois acelerômetros
em direções ortogonais. As peças para a fixação das molas e instalação dos acelerômetros são
apresentadas na figura 4.14-a, por sua vez, na figura 4.14-b apresenta-se a base com os
- 69 -
acelerômetros instalados e na figura 4.14-c é apresentado a instalação das molas e da base com os
acelerômetros.
(a)
(b)
(c)
Fig. 4.14 – Detalhes do sistema de fixação: (a) base para fixação das molas (esquerda) e base para
a instalação dos acelerômetros (direita), (b) base com acelerômetros instalados, (c) molas e
acelerômetros instalados no cilindro.
No fundo da seção de testes fixou-se uma base com um pino rotulado (figura 4.15-a), onde
o cilindro era encaixado (figura 4.15-b). As molas eram encaixadas no suporte superior (figuras
4.15-c e 4.15-d). Na figura 4.16, a instalação do cilindro na seção de testes do canal está completa.
(a)
(c)
(b)
(d)
Fig. 4.15 - Detalhes dos dispositivos de fixação dos cilindros na base (a) e no topo (b) e
aspecto da fixação na base (c) e no topo (d).
- 70 -
Fig. 4.16 - Cilindro montado na seção de testes do canal (visto de montante para jusante).
A fixação do cilindro realizou-se através de quatro molas de tração, dispostas em forma de
cruz. Foram utilizados dois tipos de molas, as quais receberam a designação de “mola 0” e “mola
m” (figura 4.15-c). As constantes elásticas das molas, bem como a verificação da relação linear
força x deslocamento foram obtidas através de ensaios auxiliares detalhados na seção 8.1 do
Anexo. Os gráficos a seguir, figuras 4.17 e 4.18, apresentam a relação força x deslocamento das
molas m e 0 respectivamente.
Mola m
y = 39.026x - 1.2112
R
2
= 0.9975
0
2
4
6
8
10
12
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Deslocamento [m]
Força [N]
Fig. 4.17 - Relação Força x Deslocamento para a mola m.
- 71 -
Mola 0
y = 19.257x - 0.7924
R
2
= 0.9929
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Deslocamento [m]
Força [N]
Fig. 4.18 - Relação Força x Deslocamento mola 0.
Observando os gráficos nota-se o comportamento linear das molas e seus respectivos
valores de constantes elásticas, para a mola 0 é igual a 19,26N/m e para mola m é de 39,03N/m.
4.1.4 Sistema de Aquisição de Dados
As grandezas que foram medidas nesse estudo são: a aceleração no topo do cilindro, o nível
de água, a vazão no canal e a temperatura da água.
A aceleração foi medida no sentido transversal e longitudinal do escoamento através de
dois acelerômetros fixos na extremidade superior do cilindro (figura 4.14-b). Os acelerômetros são
de marca Bruel & Kjaer, modelo 4393S com elemento sensível piezoelétrico e massa unitária de
2,4g e estão conectados a um condicionador de sinais de marca Bruel & Kjaer, modelo 2690 onde
o sinal é amplificado e filtrado para a eliminação de ruídos. Foi utilizado um filtro passa-alta de
1Hz e um filtro passa-baixa de 100Hz para reduzir o efeito de interferências elétricas.
Os sinais filtrados são conduzidos a um conversor analógico digital com resolução de 16
bits conectado a um microcomputador, onde os sinais são armazenados para posterior análise. Um
desenho esquemático da instalação utilizada nas medições das acelerações é apresentado na figura
4.19. A figura 4.20 apresenta uma foto do sistema de aquisição de dados montado.
- 72 -
Fig. 4.19 - Desenho esquemático do sistema de aquisição de dados de aceleração.
Fig. 4.20 – Sistema de aquisição de dados montado.
A velocidade média do escoamento na seção de testes foi calculada através das medidas do
nível de água e vazão. Essas variáveis não estavam incluídas no sistema de aquisição de dados
mostrado na figura 4.20 e sua leitura e armazenamento foram feitas de forma manual. Os níveis de
água no canal foram medidos através de ponteiras linimétricas, como a da figura 4.21, situadas a
montante e a jusante da seção de teste. As medidas de níveis também foram utilizadas para
determinar se o escoamento já estava estabilizado, isto é, se o escoamento era permanente.
Condicionador
de Sinais
Placa
Analógica/Digital
Acelerômetro
Vibrações
Armazenamento
PC
Condicionador
de Sinais
Cilindro com
acelerômetros
Placa Analógica -
Digital
- 73 -
Fig. 4.21 - Ponteira linimétrica utilizada para medir níveis, extraído de Romagnoli (2005).
A vazão no canal foi medida com emprego de medidor de vazão eletromagnético de marca
Fisher-Rosemount modelo 570TM (figura 4.22), com diâmetro nominal de 250 mm, instalado na
tubulação que alimenta a câmara de carga do canal. O medidor de diâmetro 50 mm que aparece na
figura 4.22 não foi utilizado, pois a menor vazão ensaiada (10 l/s) já permitia o uso do medidor de
250 mm.
Fig. 4.22 - Medidores de vazão eletromagnéticos.
Mediu-se a temperatura da água com um termômetro de bulbo, o qual ficava totalmente
imerso no escoamento durante os ensaios.
Para informações mais detalhadas sobre os equipamentos utilizados sugere-se consultar a
seção 8.2 do Anexo.
- 74 -
4.2 Procedimento Experimental
Nesta seção descrevem-se os procedimentos utilizados para a realização dos ensaios, mas,
antes, faz-se necessário uma breve explicação sobre os nomes adotados para designá-los. Cada
ensaio recebeu um nome que expressa diretamente quais os parâmetros geométricos e estruturais
foram usados. O nome é formado primeiramente pela letra d seguida do diâmetro do cilindro,
depois a letra m seguida do tipo de enchimento do cilindro (tabela 4.2), por último, vem a letra k
seguida do tipo de mola usada (mola 0 ou m). Assim, por exemplo, o nome d25m2k0 indica que o
ensaio refere-se ao cilindro de diâmetro 25 mm, com enchimento tipo 2, cuja massa é apresentada
na tabela 4.3, e a mola utilizada foi do tipo 0.
Os procedimentos de ensaio adotados podem ser divididos em dois grupos:
• Ensaios de vibração com escoamento;
• Testes de Pulso.
Os ensaios de vibração com escoamento referem-se basicamente aos valores de aceleração
medidos com a presença de escoamento, com vazões variando entre 10 e 200 l/s. Os testes de
pulso foram realizados com o objetivo de determinar as freqüências naturais da estrutura e seu
amortecimento, tanto sem a presença de água como com água. A seguir serão detalhados esses
procedimentos.
4.2.1 Testes de Pulso
A partir das medidas de aceleração resultantes de um teste de pulso ou teste de decaimento
é possível determinar as características dinâmicas da estrutura tais como amortecimento e
freqüência natural. Os testes de pulso foram realizados sem a presença de água e com água. Para o
caso dos testes de pulso com o cilindro imerso em água tentou-se manter os níveis de água na
seção de testes próximos a 40 cm, que corresponde ao nível de água desejado durante os ensaios
com escoamento. Entretanto, houve pequenos desvios dessa situação ideal, com os casos extremos
situados entre 37,5 e 42,8 cm, mas a maioria dos casos (32 casos do total de 38) situaram-se dentro
de 40 ± 1 cm. Esse fato não é muito relevante para a qualidade dos dados adquiridos, pois mesmo
que o nível de água de 40 cm fosse atendido, essa situação dificilmente corresponderia à situação
do ensaio com escoamento, conforme já mencionado anteriormente. Os valores dos níveis de água
para todos os testes de pulso são apresentados na seção 8.4 do Anexo.
Para os testes de pulso foram adotados os seguintes parâmetros para a aquisição de dados:
• Freqüência de aquisição de 200 Hz;
• Tempo de aquisição de 10,24 s, resultando na aquisição de 2048 pontos.
- 75 -
Esses valores foram escolhidos baseados em uma etapa de ensaios preliminares.
O teste de pulso consistia no deslocamento da estrutura de uma distância da ordem de um
diâmetro, essa distância era estimada de maneira visual. O cilindro era então liberado e, logo após,
a medição dos valores de aceleração era iniciada. O deslocamento inicial do teste de pulso de 1,0
D foi escolhido de maneira a aproximar as amplitudes de deslocamento que eram esperadas
durante os testes com escoamento.
O procedimento descrito acima foi realizado nas direções transversal e longitudinal, com
três repetições em cada direção para permitir o cálculo de valores médios. Para calcular
freqüências e amortecimentos em determinada direção foram utilizados somente os dados
provenientes dos testes de pulso nessa mesma direção e para o acelerômetro instalado na mesma
direção. Adotou-se esse procedimento para os testes sem água e com água. Assim, para cada
configuração cilindro-mola foram realizados 12 testes de pulso, resultando no total em 444
(12x37) testes de pulsos. Dois exemplos de testes de pulso são apresentados nas figuras 4.23 e
4.24, um para condição seca e outro na presença de água.
4.2.1.1 Determinação da Freqüência Natural
Determinou-se a freqüência natural de oscilação do sistema através de uma rotina de
cálculo desenvolvida no aplicativo MatLab (Math Works), a qual identifica os pontos de máximo e
de mínimo dentro de cada ciclo de oscilação com seus respectivos tempos de ocorrência. O
intervalo de tempo entre esses pontos é calculado, fornecendo assim o período para um ciclo de
oscilação. A freqüência natural do sistema é o inverso da média dos períodos calculados. A tabela
4.4, a seguir, fornece as freqüências naturais dos ensaios realizados, onde f
ns
significa freqüência
natural na condição sem água e f
na
significa freqüência natural com água.
- 76 -
Fig. 4.23 – Teste de pulso para o d20m5km, seco e com impulso na direção transversal.
Sinal em Volts.
Fig. 4.24 – Teste de pulso para o d20m5km, com água e com impulso na direção
transversal. Sinal em Volts.
- 77 -
Tab. 4.4 - Tabela resumo das freqüências naturais e amortecimentos, no ar e na água.
Ensaio f
ns
[Hz] f
na
[Hz] ζ(ar) ζ(água)
d20m1k0 3,57 3,35 0,015 0,014
d20m1km 5,44 5,08 0,003 0,035
d20m2k0 3,51 3,26 0,016 0,015
d20m2km 5,17 5,00 0,004 0,026
d20m3k0 3,11 2,94 0,007 0,020
d20m3km 4,69 4,45 0,008 0,010
d20m4k0 3,07 2,87 0,029 0,019
d20m4km 4,64 4,30 0,020 0,011
d20m5k0 2,91 2,81 0,013 0,025
d20m5km 4,41 4,21 0,007 0,024
d25m1k0 3,40 3,10 0,009 0,013
d25m2k0 3,09 2,91 0,009 0,025
d25m3k0 2,81 2,64 0,021 0,016
d25m3km 4,19 3,97 0,008 0,013
d25m4k0 2,71 2,56 0,027 0,020
d25m4km 4,07 3,75 0,024 0,033
d25m5k0 2,59 2,46 0,017 0,018
d25m5km 3,86 3,59 0,007 0,013
d32m1k0 3,09 2.74 0,020 0,039
d32m2k0 2,83 2,59 0,015 0,023
d32m3k0 2,42 2,29 0,013 0,019
d32m4k0 2,21 2,08 0,021 0,034
d32m4km 3,36 3,12 0,029 0,017
d32m5k0 2,18 2,05 0,025 0,016
d32m5km 3,23 3,03 0,013 0,022
d40m2k0 2,42 2,14 0,021 0,065
d40m3k0 2,05 1,88 0,017 0,023
d40m4k0 1,83 1,74 0,047 0,020
d40m5k0 1,79 1,70 0,027 0,027
d40m5km 2,67 2,54 0,019 0,023
d50m3k0 1,64 1,54 0,024 0,022
d50m4k0 1,49 1,40 0,036 0,026
d50m5k0 1,48 1,33 0,033 0,046
d60m2k0 1,66 1,50 0,029 0,032
d60m3k0 1,35 1,29 0,038 0,070
d60m4k0 1,18 1,13 0,057 0,050
d60m5k0 1,16 1,10 0,061 0,054
4.2.1.2 Determinação do Amortecimento
O amortecimento do sistema foi calculado a partir do ajuste de uma função exponencial,
equação 4.1, à envoltória das oscilações dos testes de pulso. Fez-se o ajuste para a envoltória de
valores máximos e para a envoltória de valores mínimos, baseado nas freqüências naturais f
n
determinadas para cada teste de pulso, no ar e na água, foi calculado o amortecimento do sistema.
- 78 -
Esse cálculo foi automatizado através de uma rotina do MatLab. Nas figuras 4.25 e 4.26 são
apresentados exemplos desses ajustes. Os valores médios do amortecimento são apresentados na
tabela 4.4.
n
-2 f ζ t
x Xe . (4.1)
π
=
Fig. 4.25 - Exemplo de ajuste exponencial realizado para o cálculo do amortecimento,
impulso transversal e sem água.
A figura 4.25 mostra um exemplo do ajuste realizado, o valor do amortecimento para o
sistema é calculado dividindo-se o valor dentro da exponencial pela freqüência natural angular
(rad/s), obtida no item anterior. Esse procedimento foi realizado para todos os testes de pulso e os
valores médios obtidos para o amortecimento na condição seca e na presença de água são
apresentados na tabela 4.4. Observando-se os gráficos nota-se que a função exponencial ajustada
começa a se afastar do comportamento real do cilindro à medida que o tempo aumenta e a
amplitude diminui. Esse fato era esperado, visto que foi dada preferência para ajustar os dados no
início do teste de pulso, situação que apresenta amplitudes de oscilação mais próximas da condição
encontrada durante os ensaios com escoamento.
- 79 -
Fig. 4.26 - Exemplo de ajuste exponencial realizado para o cálculo do amortecimento, impulso
transversal e com água.
4.2.2 Ensaios com Escoamento
Para cada configuração cilindro-mola foram realizados ensaios com vazões crescentes. A
faixa de vazões ensaiada ficou entre 10 l/s e 200 l/s com incrementos na vazão de 10 l/s. Essa faixa
de vazão adotada corresponde a velocidades médias entre 0,05 e 1,0 m/s, com incrementos de 0,05
m/s. A vazão no canal era ajustada através de uma válvula gaveta instalada na tubulação de
alimentação do canal e o nível do canal através do ajuste da comporta instalada no final do canal.
Adotou-se o seguinte procedimento experimental: ajustava-se a válvula gaveta da
tubulação de modo que a vazão, lida no medidor eletromagnético, ficasse próxima da desejada. Os
valores desejados eram sempre 10, 20, 30, 40, até atingir 200 l/s, entretanto esses valores serviam
apenas como referência. Após o ajuste da válvula gaveta era necessário um ajuste na comporta de
jusante para manter o nível de água dentro de limites aceitáveis, feito o ajuste na comporta de
jusante era necessário aguardar até que a condição permanente de escoamento fosse estabelecida.
A existência de condições permanentes era monitorada através das pontas linimétricas, que eram
ajustadas regularmente conforme os níveis no canal mudavam. Após a verificação da estabilidade
- 80 -
dos níveis, verificava-se se os níveis e a vazão estavam próximos dos valores desejados, caso
afirmativo, estava tudo pronto para dar início ao processo de medição das acelerações, caso os
níveis e/ou a vazão estivessem afastados demais do valor desejado procedia-se a novos ajustes.
Foram adotados os seguintes parâmetros de aquisição de dados de aceleração:
• Freqüência de aquisição de 100 Hz;
• Tempo total de aquisição de 81,92 s, ou seja, 8192 pontos amostrados.
Realizados os primeiros ensaios investigativos, as freqüências dominantes de vibração dos
cilindros demonstraram estar na faixa entre 1 e 5 Hz. Para tanto, a freqüência de aquisição ajustada
em 100 Hz permitiu avaliar o comportamento das estruturas até 50 Hz, equivalente a, em torno de,
10 vezes o valor das freqüências dominantes. Aliado a isto, 81,92 segundos de duração das
amostras garantem uma resolução de, aproximadamente, 0,1 Hz na representação das funções de
densidade espectral, necessária para separação de informações superpostas no fenômeno.
As medições de acelerações dos cilindros, na fase de ensaios preliminares, permitiram
verificar, seja por inspeção visual ou cálculo de diferenças entre ensaios, excelente repetibilidade,
no que diz respeito à identificação de características médias temporais, tais como: amplitudes
máximas, freqüências dominantes e amortecimento característico.
O processo de aquisição de dados era então iniciado e, durante esse período, era medida a
vazão através do medidor eletromagnético, os níveis através de duas pontas linimétricas situadas
próximas da seção de testes, uma a montante e outra a jusante, e a temperatura da água, a qual
utilizou-se para calcular os valores do coeficiente de viscosidade cinemático ν, que foram usados
para o cálculo do número de Reynolds, através da seguinte fórmula extraída de Neves (1960):
(4.2)
-6
2
1,78
υ =×10
1+0,0337T +0,000221T
Onde: T – temperatura da água em ºC;
ν − coeficiente de viscosidade cinemático da água em m
2
/s.
Após o encerramento do processo de aquisição de dados, os valores medidos eram
inspecionados para verificar se a sensibilidade do condicionador de sinais estava adequada, se não
havia saturação do sinal, etc. Somente após a verificação da medição procedia-se a um incremento
de vazão, procedendo da mesma maneira, como já descrito. Feito isto, os sinais elétricos
provenientes da instrumentação medidos em volts foram convertidos em acelerações. Cabe
ressaltar que para fazer a conversão dos sinais medidos em volts para m/s
2
foram utilizadas as
relações de calibração fornecidas pelo fabricante do condicionador de sinais.
A figura 4.27 apresenta o comportamento típico, verificado em todos os ensaios, dos
valores de aceleração medidos, já convertidos em m/s
2
, para vários valores de vazão. Pode-se ver
- 81 -
pela análise da figura 4.27, que o cilindro em questão apresenta níveis de vibração muito baixos
para vazões de até 50 l/s e que a partir de 70 l/s, o cilindro começa a apresentar vibrações
consideráveis com amplitudes crescentes com a vazão até atingir seu máximo para q=100 l/s.
Nota-se que o sinal torna-se cada vez mais regular, com o aumento da vazão. Além da vazão de
100 l/s, a amplitude do sinal começa a reduzir e o sinal torna-se irregular até que na vazão de 140
l/s, a amplitude do sinal está bem menor. Dessa vazão em diante, as amplitudes do sinal não se
alteram de forma considerável até atingir a vazão final de 200 l/s.
- 82 -
Fi
g
. 4.27 - Sinais de acelera
ç
ão medidos
p
ara várias vazões
,
ensaio d20m5km.
- 83 -
Fig. 4.27 - Sinais de aceleração medidos para várias vazões, ensaio d20m5km.
- 84 -
Fig. 4.27 - Sinais de aceleração medidos para várias vazões, ensaio d20m5km.
- 85 -
4.2.2.1 Cálculo dos deslocamentos
Os deslocamentos do topo do cilindro foram calculados através da dupla integração do
sinal de aceleração. Conforme mencionado por Aveleda (2003) e Jong & Vandiver (1983), esse
método possui um inconveniente pois o processo de integração causa uma expansão indesejável
dos sinais de baixa freqüência ou ruídos, tornando o sinal resultante da integração seriamente
afetado por ruídos de tal maneira que o sinal resultante não é mais representativo do fenômeno
físico. A solução para esse problema é a aplicação de filtros digitais aos sinais antes e após as
integrações. O processo utilizado para calcular os deslocamentos do topo do cilindro através do
sinal de acelerações medidas é apresentado na figura 4.28. Para a integração numérica dos sinais
foi utilizada a regra do trapézio. A caracterização do filtro utilizado, bem como a demonstração da
necessidade do uso do filtro, através da apresentação de um exemplo de aplicação da dupla
integração sem a filtragem dos dados, são apresentadas na seção 8.6 do Anexo.
Fig. 4.28 – Processo utilizado para o cálculo dos deslocamentos no topo do cilindro.
Sinal de Aceleração Medido
Sinal de Aceleração Filtrado
Aplicação do filtro
Sinal de Velocidade Calculado
Integração numérica simples
Sinal de Velocidade Filtrado
Aplicação do filtro
Sinal de Deslocamento Calculado
Integração numérica simples
Aplicação do filtro
Sinal de Deslocamento Filtrado
- 86 -
Apesar da aplicação de filtros causar pequenas modificações nas fases dos sinais, esse fato
não é considerado relevante para o estudo em questão, pois a principal variável utilizada nas
análises foi a mediana das amplitudes máximas do sinal de deslocamento para cada vazão. Assim,
quando nas seções subseqüentes for feita menção às amplitudes máximas de oscilação, deve-se ter
em mente que o valor mencionado corresponde à mediana dos deslocamentos máximos calculados
com base nas medições da aceleração. Esse critério foi adotado para evitar a utilização de
deslocamentos máximos extremos que não correspondem às amplitudes de oscilações
normalmente encontradas no sinal, como por exemplo, o deslocamento extremo calculado para o
sinal do cilindro d20m2km com vazão de 110 l/s apresentado na figura 4.29. Na figura 4.29 se
pode notar que o uso da mediana, linha horizontal, para representar os níveis máximos de
oscilação se mostra adequado.
Fig. 4.29 – Amplitudes de oscilação do cilindro d20m2km para vazão de 110 l/s.
4.2.2.2 Freqüências dominantes
As freqüências dominantes de vibração foram determinadas através do uso de funções de
densidade de potência espectral, onde as freqüências com maiores ordenadas espectrais foram
- 87 -
consideradas dominantes na oscilação do sistema. Um exemplo deste procedimento é apresentado
na figura 4.30. Nesse exemplo a freqüência dominante é 2,83Hz.
Fig. 4.30 - Exemplo de determinação de freqüências dominantes.
4.2.2.3 Determinação da Faixa de Sincronização
As faixas de sincronização foram determinadas através das funções de densidade de
potência espectral dos sinais. A sincronização, como já mencionado na revisão bibliográfica, é a
região de velocidades do escoamento onde a oscilação do cilindro assume o controle sobre o
processo de desprendimento de vórtices, ocorrendo o desprendimento de vórtices na mesma
freqüência de oscilação da estrutura, em uma aparente violação da relação de Strouhal.
Rigorosamente falando, qualquer afirmativa sobre a freqüência de desprendimento de vórtices
deveria ser inferida através da medição de parâmetros hidrodinâmicos tais como: pressão ao redor
do cilindro, velocidade na esteira de vórtices. Infelizmente, essas medidas não foram realizadas
nessa dissertação e as freqüências de desprendimento de vórtices foram estimadas através do sinal
de aceleração medido, pois, como pode ser observado na figura 4.30, o espectro de potência
apresenta a freqüência de oscilação do sistema e a freqüência de desprendimento de vórtices.
O critério adotado, no presente trabalho, para definir o inicio e o final da sincronização,
consiste em considerar que quando as freqüências de oscilação e de desprendimento de vórtices
- 88 -
coincidem, ocorre o início da sincronização e quando de apenas uma freqüência dominante, ocorre
a separação em duas freqüências ocorre o final da sincronização. Esse procedimento pode ser
melhor entendido pelo exemplo a seguir:
(a)
(b)
Fig. 4.31 - Função densidade de potência espectral para a vazão 60 l/s (a) e para 70 l/s (b). Essas
figuras mostram a junção da freqüência de desprendimento de vórtices com a freqüência de
vibração da estrutura, marcando o início do fenômeno de sincronização.
A figura 4.31-a indica a presença de duas freqüências no sinal de aceleração. A freqüência
natural da estrutura na água é de 4,2 Hz e a freqüência de desprendimento de vórtices é de 3,1 Hz
(calculada com número de Strouhal S=0,2) situando-se próximas às freqüências encontradas nesse
gráfico. O gráfico da figura 4.31-a indica que nesse teste (q=60 l/s) ainda não foi atingida a região
de sincronização, segundo o critério adotado no presente trabalho. Na próxima vazão (figura 4.31-
b) existe apenas uma freqüência, portanto, segundo o critério utilizado está ocorrendo
sincronização. O mesmo raciocínio vale para o fim da sincronização. Esse procedimento constitui
uma aproximação, mas os resultados obtidos para as faixas de sincronização estão de acordo com
valores mencionados por outros pesquisadores.
- 89 -
5. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Esta seção tem por objetivo apresentar os resultados experimentais obtidos nos ensaios de
vibrações de cilindros realizados e também alguns aspectos do fenômeno de Vibrações Induzidas
por Vórtices (VIV) identificados através desses ensaios. Apesar das medidas de aceleração terem
sido realizadas nas direções transversais e longitudinais, os incrementos de vazão utilizados foram
escolhidos de forma a caracterizar, em um tempo de experimentação razoável, de maneira
adequada, as vibrações transversais. Os incrementos de vazão utilizados não se mostraram
adequados para o estudo das vibrações longitudinais. Por esse motivo foram analisados apenas os
sinais transversais de aceleração. O fato dos incrementos de vazão utilizados não serem adequados
para a caracterização das vibrações longitudinais não prejudicou o atendimento aos objetivos
iniciais do presente trabalho, tendo em vista que, desde o início dos ensaios, o foco principal eram
as vibrações transversais.
Baseando-se nesses resultados experimentais, fez-se possível a identificação de dois
parâmetros muito importantes que afetam as amplitudes máximas de oscilação no fenômeno de
VIV, a saber: o parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ, a partir deste ponto referido apenas
como (m*+C
A
)ζ, e a razão de aspecto L/D.
A influência do (m*+C
A
)ζ sobre as amplitudes máximas de oscilação é conhecida há mais
de 30 anos, segundo Williamson & Govardhan (2004). A primeira compilação abrangente de
resultados experimentais existentes foi realizada por Griffin e colaboradores na década de 70.
A influência da razão de aspecto sobre o comportamento oscilatório dos cilindros já foi
investigada algumas vezes, por exemplo, no trabalho de Wootton (1969), Okajima et al. (2004) e
Griffin (1980). Entretanto, a influência da razão de aspecto sobre as amplitudes máximas de
oscilação não é normalmente abordada em conjunto com a variação do (m*+C
A
)ζ, sendo prática
comum o agrupamento de resultados experimentais em um gráfico de Amplitude Adimensional
versus (m*+C
A
)ζ, sem considerar as diferentes razões de aspecto.
Além disso, foram encontrados resultados experimentais que levantam dúvidas quanto à
validade do uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ para caracterizar as amplitudes máximas atingidas, tema
que gerou certas discussões como em Khalak & Williamson (1996, 1999).
5.1 Resultados Experimentais
Os resultados experimentais obtidos são apresentados de forma resumida na tabela 5.1, a
qual apresenta os principais parâmetros utilizados ou medidos nesses ensaios, tais como: diâmetro
do cilindro, tipo de mola, amplitude máxima de oscilação, velocidade reduzida máxima, razão de
- 90 -
massa, razão de aspecto, etc. Na seção 8.5 do anexo é apresentada uma tabela resumo mais
completa dos resultados experimentais e na seção 8.8, são apresentadas tabelas com os valores de
deslocamento máximos medidos para cada cilindro e vazão ensaiada.
Tab. 5.1 – Resumo dos resultados experimentais obtidos nessa dissertação.
Ensaio A/D
max
V
rmax
Re
max
V
r1
V
r2
ζ
m*
(m*+C
A
)ζ
S
G
L/D
d20m1km 0,58 5,9 11780 4,5 7,7 0,003 1,5 0,0077 0,0178 20,2
d20m2km 0,59 5,5 10934 3,6 8,8 0,004 2,0 0,013 0,033 20,0
d20m3k0 0,44 6,1 6761 4,4 7,7 0,007 2,7 0,026 0,056 19,6
d20m3km 0,43 5,7 9782 4,0 8,3 0,008 2,7 0,030 0,073 19,9
d20m5km 0,34 6,1 9613 4,3 8,2 0,007 3,4 0,030 0,065 19,8
d20m1k0 0,45 6,1 8104 3,8 7,5 0,015 1,6 0,039 0,083 19,6
d20m2k0 0,45 5,5 6966 3,9 7,0 0,016 2,0 0,050 0,128 19,4
d20m5k0 0,34 5,5 5722 3,7 7,3 0,013 3,4 0,055 0,143 19,9
d20m4km 0,42 5,8 9452 4,2 8,0 0,020 3,1 0,083 0,192 19,8
d20m4k0 0,38 5,5 5902 3,5 7,2 0,029 3,2 0,122 0,323 19,7
d25m1k0 0,66 6,4 12199 4,6 7,5 0,009 1,2 0,021 0,040 16,3
d25m2k0 0,57 6,2 11436 4,8 7,4 0,009 1,7 0,024 0,050 16,0
d25m3km 0,58 6,0 14422 4,2 8,6 0,008 2,4 0,027 0,058 16,1
d25m5km 0,50 6,0 12379 3,9 8,3 0,007 3,0 0,030 0,066 16,3
d25m5k0 0,40 5,8 8132 4,2 7,3 0,017 3,1 0,069 0,161 15,9
d25m3k0 0,32 6,1 9504 4,7 7,0 0,021 2,4 0,071 0,150 15,8
d25m4km 0,44 5,9 12930 3,7 8,3 0,024 2,8 0,090 0,203 16,1
d25m4k0 0,44 5,5 8245 4,7 7,1 0,027 2,8 0,104 0,274 16,2
d32m2k0 0,72 6,5 17888 3,7 7,6 0,015 1,3 0,034 0,064 12,8
d32m1k0 0,82 6,7 19319 3,5 10,1 0,020 0,9 0,038 0,067 13,0
d32m3k0 0,53 6,1 14835 4,9 7,2 0,013 2,1 0,040 0,084 12,7
d32m5km 0,46 6,1 17093 3,1 8,7 0,013 2,9 0,051 0,106 12,3
d32m4k0 0,40 6,2 12549 4,7 7,6 0,021 2,7 0,078 0,158 12,4
d32m5k0 0,42 6,1 11542 3,1 9,0 0,025 2,8 0,095 0,204 12,8
d32m4km 0,46 6,0 17787 4,1 7,9 0,029 2,7 0,107 0,235 12,5
d40m2k0 0,81 6,8 24304 3,5 9,8 0,021 1,2 0,046 0,077 10,0
d40m3k0 0,70 5,9 18419 4,7 8,4 0,017 2,0 0,050 0,114 10,2
d40m5km 0,31 5,9 21478 3,1 8,3 0,019 2,7 0,071 0,162 10,0
d40m5k0 0,56 5,8 14087 3,0 9,4 0,027 2,7 0,099 0,235 10,2
d40m4k0 0,53 5,7 16985 5,1 8,3 0,047 2,5 0,166 0,398 10,0
d50m3k0 0,73 6,4 24431 6,4 10,2 0,024 1,9 0,069 0,133 8,0
d50m5k0 0,67 6,0 20354 3,7 10,3 0,033 2,7 0,119 0,259 8,0
d50m4k0 0,66 6,3 21931 2,8 10,3 0,036 2,4 0,123 0,242 8,1
d60m2k0 0,93 6,5 35868 2,8 11,1 0,029 1,2 0,066 0,122 6,7
d60m3k0 0,82 6,4 29389 3,2 9,6 0,038 1,9 0,109 0,211 6,7
d60m4k0 0,68 5,9 24424 2,9 10,9 0,057 2,4 0,192 0,434 6,7
d60m5k0 0,66 6,1 23339 3,8 11,1 0,061 2,6 0,221 0,469 6,6
Foram ensaiados cilindros com 6 razões de aspecto: 6,7, 8,0, 10,1, 12,7, 16,1 e 19,8.
Lembrando que esses valores devem ser encarados apenas como valores nominais, pois como já
- 91 -
foi explicado na seção anterior, não foi possível manter exatamente o mesmo nível de água no
canal em todos os ensaios. A razão de aspecto nesse trabalho é a razão entre o comprimento
submerso e o diâmetro do cilindro resultando em diferentes razões de aspecto para cada ensaio.
Considera-se que essa pequena variação na razão de aspecto devido aos diferentes níveis de água
não exerce influência significativa sobre o comportamento do sistema, ver item 8.3 do Anexo.
Com o objetivo de comparar os resultados experimentais dessa dissertação com os
resultados publicados por diversos pesquisadores, elaborou-se a tabela 5.2, a seguir, com o resumo
das principais características do fenômeno de Vibrações Induzidas por Vórtices em cilindros
submetidos ao escoamento de água, separadas por montagem experimental. A referida tabela foi
elaborada a partir da tabela 4.6 apresentada na revisão bibliográfica.
Tab. 5.2 – Resumo dos resultados experimentais separados por montagem experimental, ensaios
com água, resumo elaborado com base na tabela 4.6.
Parâmetro
Cilindros Rígidos
elasticamente montados
Cilindros
Pivotados*
Cilindros
Flexíveis
Trabalho
atual
A/D
max
0,54-1,19 0,48-1,60 0,78-1,72 0,31-0,93
V
rmax
4,8-7,7 5,9-8,2 6,1-8,9 5,5-6,8
V
r1
2,8-4,7 3,7-4,2 3,1-4,8 2,8-6,4
V
r2
10,4-15,7 9-19,6 13,8-17,5 7-11,1
m* 1,2-50,8 1,0-7,7 1,4-2,4 0,9-3,4
(m*+C
A
)ζ
0,003-0,14 0,005-0,06 0,013-0,041 0,008-0,221
Re 508-76200 1000-22500 500-40000 1000-60000
*- inclui cilindros pivotados com 1 e 2 graus de liberdade
Nessa pesquisa, os valores de amplitudes máximas de oscilação variaram entre 0,31-0,93D,
que comparadas com as outras montagens experimentais apresentadas na tabela 5.2, mostra existir
uma concordância razoável com as amplitudes de oscilação encontradas por outros autores. Apesar
das oscilações com amplitudes menores do que 0,5D e da maior amplitude máxima encontrada
nesta dissertação ser de 0,93D, valor relativamente abaixo do que foi encontrado em cilindros
pivotados. A velocidade reduzida, onde ocorre a máxima amplitude de oscilação, variou entre 5,5-
6,8. Esse valor encontra-se dentro da faixa encontrada para cilindros rígidos elasticamente
montados (4,8-7,7) e um pouco abaixo dos valores encontrados para o caso de cilindros pivotados
(5,9-8,2) e de cilindros flexíveis (6,1-8,9).
As velocidades reduzidas de início e fim da sincronização ficaram, respectivamente, entre
2,8-6,4 e 7,0-11,1. Para o caso da velocidade reduzida de início da sincronização V
r1
, os valores
estão relativamente próximos das faixas citadas na literatura. No caso da velocidade reduzida do
final da sincronização V
r2
, existe uma grande discrepância entre os valores encontrados neste
- 92 -
trabalho (7,0-11,1) e os citados na literatura. Já para o caso de cilindros pivotados essa faixa está
situada entre 9-19,6. Tal discrepância pode ser atribuída aos seguintes fatores:
1. Os valores de V
r1
e V
r2
apresentados na tabela 4.6 da revisão bibliográfica foram, na
maioria dos casos, estimados através das curvas A/DxV
r
através do critério de que
quando a amplitude adimensional fosse ≥0,05, a vibração do cilindro estaria
sincronizada com o processo de formação e desprendimento de vórtices;
2. Existência de poucos valores de V
r2
relatados ou estimados através do critério anterior.
Ainda com relação às velocidades reduzidas, segundo Sarpkaya (1979), a faixa de
excitação de vibrações transversais na água situa-se entre 4,5<V
r
<10,0 e a velocidade reduzida
máxima ocorre entre 6,5<V
r
<8,0. Neste trabalho encontrou-se uma faixa de excitação entre
2,8<V
r
<11,1, valor relativamente próximo ao citado por Sarpkaya.
A razão de massa m* obtida nos ensaios variou entre 0,9-3,4, o (m*+C
A
)ζ ficou entre
0,008-0,22 e os números de Reynolds cobertos por estes ensaios variaram entre 1000 (para o
cilindro com d=20 mm e menor velocidade de escoamento utilizada) e 60000 (para o cilindro com
d=60 mm e velocidade máxima do escoamento). Comparando esses valores com os apresentados
na tabela 5.2, para cilindros pivotados nota-se que as razões de massa ensaiadas estão incluídas na
faixa dos cilindros pivotados. O parâmetro (m*+C
A
)ζ para o caso dos cilindros pivotados variou
entre 0,005-0,06, valores bem inferiores ao maior (m*+C
A
)ζ utilizado nesta dissertação, o que
poderia, em parte, explicar a tendência de amplitudes menores ocorridas para os ensaios aqui
apresentados.
A tabela 5.3, a seguir, resume os resultados experimentais obtidos separados por razão de
aspecto L/D. Observando a tabela 5.3 nota-se que os cilindros com razões de aspecto menores
apresentam, em geral, amplitudes de oscilação maiores, como o caso de L/D=6,7, onde a
amplitude variou entre 0,66-0,93D e o caso L/D=19,8 onde a amplitude variou entre 0,34-0,59D.
A influência da razão de aspecto L/D será discutida com maiores detalhes a seguir.
Tab. 5.3 – Resumo dos resultados experimentais separados por razão de aspecto.
Parâmetro L/D = 19,8 L/D = 16,1 L/D = 12,7 L/D = 10,1 L/D = 8,0 L/D = 6,7 Todos
A/D
max
0,34-0,59 0,32-0,66 0,40-0,82 0,31-0,81 0,66-0,73 0,66-0,93 0,31-0,93
V
rmax
5,5-6,1 5,5-6,4 6,0-6,7 5,7-6,8 6,0-6,4 5,9-6,5 5,5-6,8
V
r1
3,5-4,5 3,7-4,8 3,1-4,9 3,0-5,1 2,8-6,4 2,8-3,8 2,8-6,4
V
r2
7,0-8,8 7,0-8,6 7,2-10,1 8,3-9,8 10,2-10,3 9,6-10,1 7,0-11,1
m* 1,5-3,4 1,2-3,1 0,9-2,9 1,2-2,7 1,9-2,7 1,2-2,6 0,9-3,4
(m*+C
A
)ζ
0,01-0,12 0,02-0,10 0,03-0,11 0,05-0,17 0,07-0,12 0,07-0,22 0,008-0,22
Re
1000-
20000
1250-
25000
1600-
32000
2000-
40000
2500-
50000
3000-
60000
1000-
60000
- 93 -
5.2 Influência do parâmetro (m*+C
A
)
ζ
sobre a amplitude máxima de oscilação
O parâmetro (m*+C
A
)ζ combina o amortecimento estrutural e a massa da estrutura,
incluída a massa adicional da água através do fator C
A
, em um único parâmetro e de forma
adimensional. Além deste, existem outros parâmetros adimensionais criados com o mesmo
objetivo, tais como: número de Scruton, parâmetro de estabilidade K
s
, parâmetro de Skop-Griffin
S
G
. Todos esses parâmetros adimensionais são proporcionais ao produto da razão de massa
(incluindo massa adicional da água) e amortecimento estrutural. Dos parâmetros citados, os mais
utilizados na literatura sobre VIV em cilindros são o parâmetro de estabilidade, o parâmetro de
Skop-Griffin e o parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ. Nessa dissertação optou-se por
usar o parâmetro (m*+C
A
)ζ, pois foi encontrada uma grande quantidade de artigos publicados que
fazem referência a esse parâmetro, tais como: Williamson & Govardhan (2004), Khalak &
Williamson (1996, 1999), Govardhan & Williamson (2000), Jauvtis & Williamson (2003, 2004).
Para a conversão entre os diferentes parâmetros, foram usadas as equações 3.33 e 3.35
apresentadas na revisão bibliográfica.
As amplitudes máximas de vibração encontradas neste trabalho experimental foram
comparadas, em forma de gráfico, com valores citados na literatura em diversos artigos, que
englobam diferentes configurações experimentais - ensaios realizados no ar e na água. Esse gráfico
é apresentado na figura 5.1, os resultados encontrados neste trabalho foram denominados nesse
gráfico de “dissertação”.
Observando o gráfico nota-se que as amplitudes máximas encontradas apresentam boa
concordância com os valores publicados por outros autores, apesar de existir um grande número de
ensaios que apresentam amplitudes máximas menores do que 0,5D, na faixa de
0,02<(m*+C
A
)ζ<0,1. Para esses valores, de (m*+C
A
)ζ, as menores amplitudes de oscilação
encontradas em outros trabalhos aproximam-se de 0,5D. Da observação do gráfico nota-se a
grande dispersão dos dados existentes, tanto dos resultados obtidos no presente trabalho bem como
dos valores divulgados por diversos pesquisadores. Algumas vezes, esse gráfico é apresentado na
escala log-log, com o objetivo de reduzir, apenas visualmente, a dispersão dos dados.
A figura 5.1 também contém valores de amplitudes provenientes de ensaios com ar que,
após removidos e graficando novamente os dados restantes, sem o uso da escala logarítmica,
obtém-se o gráfico apresentado na figura 5.2. Neste gráfico fez-se uma ampliação da região com
valores de (m*+C
A
)ζ<0,3, com o objetivo de apresentar com maiores detalhes a região investigada
nesta dissertação.
- 94 -
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,00 0,01 0,10 1,00 10,00
(m*+C
A
)
ζ
A/D
max
King et al (1977) - água Tabela 4.6 - ar
Tabela 4.6 - água Presente estudo - água
Summer & Fredsoe (1997) - ar Summer & Fredsoe (1997) - água
Khalak & Williamson (1999) - água Govardhan & Williamson (2000) - água
Khalak & Williamson (1996) - água Jauvtis & Williamson (2004) - água
Skop & Balasubramanian (1997) - ar Skop & Balasubramanian (1997) - água
Griffin
(
1992
)
Fig. 5.1 – Gráfico de Amplitude Adimensional versus (m*+C
A
)ζ para diversos ensaios publicados,
incluindo os resultados obtidos neste trabalho.
Analisando-se o gráfico na figura 5.2 nota-se a reduzida faixa de valores do parâmetro
(m*+C
A
)ζ ensaiada, quando comparada aos valores citados na literatura. O valor máximo atingido
foi de (m*+C
A
)ζ = 0,22, pode-se ver, ainda, a tendência das amplitudes máximas atingirem uma
amplitude limite à medida que (m*+C
A
)ζ tende a zero. Segundo Griffin (1980) esta amplitude
limite estaria entre 1,0-1,5D e Khalak & Williamson (1999) consideram que a amplitude limite
estaria entre 0,8-1,5D.
Observando-se o gráfico auxiliar, que mostra mais detalhadamente os valores de A/D
max
na
região de (m*+C
A
)ζ<0,3, nota-se que a referida influência do parâmetro de (m*+C
A
)ζ não é
evidente para os valores obtidos neste trabalho. Isso ocorre, em grande parte, devido à influência
da razão de aspecto, por isso para a análise da influência de (m*+C
A
)ζ sobre o comportamento
vibratório do sistema, os resultados experimentais foram separados e analisados segundo sua razão
de aspecto. Essa separação realizada é justificada no tópico a seguir que trata da influência da
razão de aspecto sobre a amplitude máxima de oscilação.
apud Blackburn & Karniadakis (1993)
- 95 -
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00
(m*+C
A
)
ζ
A/D
max
King et al (1977) - água Tabela 4.6 - água
Presente estudo - água Summer & Fredsoe (1997) - água
Khalak & Williamson (1999) - água Govardhan & Williamson (2000) - água
Khalak & Williamson (1996) - água Jauvtis & Williamson (2004) - água
Skop & Balasubramanian (1997) - água Griffin (1992)
Fig. 5.2 – Gráfico de A/D versus (m*+C
A
)ζ para diversos ensaios realizados com água, incluindo
os resultados obtidos nesta dissertação.
5.3 Influência da razão de aspecto sobre a amplitude máxima de vibração
Através de uma análise preliminar, baseada na figura 5.3, identificou-se, de maneira
gráfica, a influência da razão de aspecto sobre o comportamento da curva A/D
max
x
(m*+C
A
)ζ. Baseado nessa mesma análise, os ensaios foram separados em dois grupos: o grupo de
cilindros ensaiados com as molas tipo 0, final “k0”, e o grupo dos cilindros ensaiados com as
molas do tipo m, final “km”. Essa divisão dos dados experimentais em dois grupos pode ser
justificada pelo fato de que o uso de dois tipos de molas constitui quase que diferentes montagens
experimentais, pois a rigidez da mola empregada não é adequadamente descrita pelos parâmetros
adimensionais utilizados nessa análise. Assim foram criados os dois grupos apresentados nas
tabelas 5.4 e 5.5.
apud Blackburn & Karniadakis (1993)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
(m*+C
A
)
ζ
A/D
max
- 96 -
Tab. 5.4 – Ensaios do grupo 1 – molas tipo “0”.
Ensaio A/D
max
Vr
max
Re
max
V
r1
V
r2
ζ
m*
(m*+C
A
)ζ
S
G
L/D
d20m3k0 0,44 6,1 6761 4,4 7,7 0,007 2,7 0,026 0,056 19,6
d20m1k0 0,45 6,1 8104 3,8 7,5 0,015 1,6 0,039 0,083 19,6
d20m2k0 0,45 5,5 6966 3,9 7,0 0,016 2,0 0,050 0,128 19,4
d20m5k0 0,34 5,5 5722 3,7 7,3 0,013 3,4 0,055 0,143 19,9
d20m4k0 0,38 5,5 5902 3,5 7,2 0,029 3,2 0,122 0,323 19,7
d25m1k0 0,66 6,4 12199 4,6 7,5 0,009 1,2 0,021 0,040 16,3
d25m2k0 0,57 6,2 11436 4,8 7,4 0,009 1,7 0,024 0,050 16,0
d25m5k0 0,40 5,8 8132 4,2 7,3 0,017 3,1 0,069 0,161 15,9
d25m3k0 0,32 6,1 9504 4,7 7,0 0,021 2,4 0,071 0,150 15,8
d25m4k0 0,44 5,5 8245 4,7 7,1 0,027 2,8 0,104 0,274 16,2
d32m2k0 0,72 6,5 17888 3,7 7,6 0,015 1,3 0,034 0,064 12,8
d32m1k0 0,82 6,7 19319 3,5 10,1 0,020 0,9 0,038 0,067 13,0
d32m3k0 0,53 6,1 14835 4,9 7,2 0,013 2,1 0,040 0,084 12,7
d32m4k0 0,40 6,2 12549 4,7 7,6 0,021 2,7 0,078 0,158 12,4
d32m5k0 0,42 6,1 11542 3,1 9,0 0,025 2,8 0,095 0,204 12,8
d40m2k0 0,81 6,8 24304 3,5 9,8 0,021 1,2 0,046 0,077 10,0
d40m3k0 0,70 5,9 18419 4,7 8,4 0,017 2,0 0,050 0,114 10,2
d40m5k0 0,56 5,8 14087 3,0 9,4 0,027 2,7 0,099 0,235 10,2
d40m4k0 0,53 5,7 16985 5,1 8,3 0,047 2,5 0,166 0,398 10,0
d50m3k0 0,73 6,4 24431 6,4 10,2 0,024 1,9 0,069 0,133 8,0
d50m5k0 0,67 6,0 20354 3,7 10,3 0,033 2,7 0,119 0,259 8,0
d50m4k0 0,66 6,3 21931 2,8 10,3 0,036 2,4 0,123 0,242 8,1
d60m2k0 0,93 6,5 35868 2,8 11,1 0,029 1,2 0,066 0,122 6,7
d60m3k0 0,82 6,4 29389 3,2 9,6 0,038 1,9 0,109 0,211 6,7
d60m4k0 0,68 5,9 24424 2,9 10,9 0,057 2,4 0,192 0,434 6,7
d60m5k0 0,66 6,1 23339 3,8 11,1 0,061 2,6 0,221 0,469 6,6
Tab. 5.5 – Ensaios do grupo 2 – molas tipo “m”.
Ensaio A/D
max
Vr
max
Re
max
V
r1
V
r2
ζ
m*
(m*+C
A
)ζ
S
G
L/D
d20m1km 0,58 5,9 11780 4,5 7,7 0,003 1,5 0,0077 0,0178 20,2
d20m2km 0,59 5,5 10934 3,6 8,8 0,004 2,0 0,013 0,033 20,0
d20m3km 0,43 5,7 9782 4,0 8,3 0,008 2,7 0,030 0,073 19,9
d20m5km 0,34 6,1 9613 4,3 8,2 0,007 3,4 0,030 0,065 19,8
d20m4km 0,42 5,8 9452 4,2 8,0 0,020 3,1 0,083 0,192 19,8
d25m3km 0,58 6,0 14422 4,2 8,6 0,008 2,4 0,027 0,058 16,1
d25m5km 0,50 6,0 12379 3,9 8,3 0,007 3,0 0,030 0,066 16,3
d25m4km 0,44 5,9 12930 3,7 8,3 0,024 2,8 0,090 0,203 16,1
d32m5km 0,46 6,1 17093 3,1 8,7 0,013 2,9 0,051 0,106 12,3
d32m4km 0,46 6,0 17787 4,1 7,9 0,029 2,7 0,107 0,235 12,5
d40m5km 0,31 5,9 21478 3,1 8,3 0,019 2,7 0,071 0,162 10,0
- 97 -
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
(m*+C
A
)
ζ
A/D
max
L/D = 19,8 L/D = 16,1 L/D = 12,7 L/D = 10,1 L/D = 8 L/D = 6,7
Fig. 5.3 – Curva A/D
max
x (m*+C
A
)ζ para todo os ensaios, separados por razão de aspecto.
Analisando os resultados experimentais do grupo 1 mais detalhadamente, através do
gráfico A/D
max
x (m*+C
A
)ζ, apresentado na figura 5.4 a seguir, nota-se que a grande dispersão dos
dados mencionada na seção anterior pode ser atribuída, em grande parte, às diferentes razões de
aspecto dos cilindros empregados. Foram utilizados cilindros com as seguintes razões de aspecto:
6,7, 8, 10,1, 12,7, 16,1 e 19,8. Traçando uma linha que une os pontos dos cilindros de mesmo
diâmetro, ou melhor, de mesma razão de aspecto, nota-se a influência considerável dessa variável
nos valores de amplitude máxima. Essa dependência dos valores de amplitude máxima em relação
às razões de aspecto já havia sido citada isoladamente na literatura, mas não em conjunto com o
uso da curva A/D
max
x (m*+C
A
)ζ.
- 98 -
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
(m*+C
A
)
ζ
A/D
max
L/D = 19,8 L/D = 16,1 L/D = 12,7 L/D = 10,1
L/D = 8 L/D = 6,7
Fig. 5.4 – Curva A/D
max
x (m*+C
A
)ζ para os ensaios agrupados como grupo 1 (linhas
apenas para visualização).
Observando o gráfico acima, nota-se que para as razões de aspecto de 6,7, 8 e 10,1 a
relação A/D
max
x (m*+C
A
)ζ é bem definida e apresenta tendência de amplitudes crescentes à
medida que os valores de (m*+C
A
)ζ diminuem, como esperado. Além disso, os valores de A/D
max
do cilindro diminuem à medida que a razão de aspecto aumenta, passando de 6,7 para 8 e depois
para 10. Entretanto, para as outras razões de aspecto, as amplitudes máximas apresentam
comportamentos mais complexos.
O cilindro com razão de aspecto 12,7 apresenta no trecho 0,078<(m*+C
A
)ζ<0,1 um
pequeno decréscimo na amplitude de vibração com a redução do (m*+C
A
)ζ. Para
(m*+C
A
)ζ<0,078, essa razão de aspecto apresenta amplitudes máximas crescentes com a redução
do (m*+C
A
)ζ, tendência semelhante às razões de aspecto anteriores. Além disso, as amplitudes de
oscilação para essa razão de aspecto foram menores do que as outras razões de aspecto, quando
comparados os mesmos valores de (m*+C
A
)ζ. Nessa razão de aspecto, o ensaio com maior
- 99 -
amplitude não correspondeu ao ensaio com menor (m*+C
A
)ζ, mas sim, a um ensaio com
(m*+C
A
)ζ=0,038, valor pouco maior do que o menor valor de (m*+C
A
)ζ ensaiado (m*+C
A
)ζ=
0,034.
Ainda para a razão de aspecto 12,7, existem dois ensaios com praticamente os mesmos
valores de (m*+C
A
)ζ (0,038 e 0,040) que apresentam amplitudes de oscilação bem diferentes, de
0,82D e 0,53D. Tais ensaios, apesar de possuírem praticamente os mesmos valores de (m*+C
A
)ζ,
apresentam razões de massa e amortecimento diferentes (m*=0,9 e m*=2,1 respectivamente). Fato
que sugere que o comportamento do sistema pode ser afetado individualmente pelos seus valores
de razão de massa e amortecimentos, ao invés de ser afetado apenas pelo produto entre essas duas
variáveis como pressupõe o uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ.
A questão da validade do uso do (m*+C
A
)ζ, já havia sido levantada por Sarpkaya (1978,
1979), baseado em cálculos através de um modelo matemático simplificado, onde o autor afirma
que a resposta máxima do cilindro é governada unicamente pelo parâmetro S
G
apenas para valores
de S
G
>1,0, ou (m*+C
A
)ζ>0,403, o qual é superior ao maior valor obtido nesse trabalho de
(m*+C
A
)ζ=0,22. Para valores menores que (m*+C
A
)ζ=0,403, o sistema seria influenciado de
maneira independente pelos parâmetros adimensionais razão de massa e amortecimento estrutural.
Existem trabalhos posteriores, tais como Khalak & Williamson (1999), que afirmam que o uso do
parâmetro (m*+C
A
)ζ seria válido para valores de (m*+C
A
)ζ>0,006. Essa questão é analisada com
maiores detalhes na seção sobre a validade do uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ.
O cilindro com razão de aspecto de 16,1 apresenta no trecho 0,07<(m*+C
A
)ζ<0,104 uma
redução na amplitude de oscilação com a redução do parâmetro (m*+C
A
)ζ, como no caso do
cilindro com razão de aspecto 12,7, redução essa que não era esperada, apresentando logo a seguir
um grande aumento na amplitude de oscilação para (m*+C
A
)ζ=0,069. A partir desse ponto,
apresenta, então, amplitudes crescentes à medida que o valor de (m*+C
A
)ζ diminui. A curva de
amplitudes máximas de oscilação formada pela linha que une os valores de amplitudes obtidos
experimentalmente é sempre menor ou igual à mesma curva obtida para o cilindro de razão de
aspecto 12,7.
O cilindro com razão de aspecto 19,8 apresenta no trecho 0,055<(m*+C
A
)ζ<0,122 uma
redução na amplitude de oscilação com a redução de (m*+C
A
)ζ, mas para o próximo ponto
ensaiado, (m*+C
A
)ζ=0,05, apresenta um aumento rápido na amplitude de oscilação para 0,45D. A
partir de (m*+C
A
)ζ<0,05, as amplitudes de oscilação estabilizam-se próximas ao patamar de
0,45D. A linha que une os pontos de amplitude máxima permanece para quase todos os pontos,
- 100 -
exceto para o ponto (m*+C
A
)ζ=0,071 e A/D=0,31D com razão de aspecto 16,1, abaixo da linha
que une os pontos de amplitude no caso dos cilindros com L/D=16,1.
De forma resumida tem-se o seguinte: nas razões de aspecto de 6,7, 8 e 10,1, os cilindros
apresentaram acréscimos nas amplitudes de oscilação quando o parâmetro (m*+C
A
)ζ sofreu
redução. Esse comportamento já era esperado, uma vez que é amplamente divulgado na literatura
sobre o assunto. Além disso, esses ensaios mostraram a influência da razão de aspecto sobre as
amplitudes de oscilação. No caso dos ensaios realizados as amplitudes de oscilação aumentaram
com a redução das razões de aspecto dos cilindros.
As razões de aspecto 12,7 e 16,1 apresentaram um trecho onde ocorria a redução da
amplitude de oscilação com a redução do parâmetro (m*+C
A
)ζ, o qual situava-se entre
0,078<(m*+C
A
)ζ<0,095 para L/D=12,7 e entre 0,071<(m*+C
A
)ζ<0,104 para L/D=16,1. Para
valores de (m*+C
A
)ζ menores do que os anteriormente citados, ambas razões de aspecto exibiram
aumentos de amplitude com a redução de (m*+C
A
)ζ, comportamento similar às razões de aspecto
de 6,7, 8 e 10,1. Essas duas razões de aspecto apresentaram, também, a tendência de maiores
amplitudes para menores valores de L/D.
A razão de aspecto 19,8 apresentou um comportamento de certa forma inesperado, não se
enquadrando em nenhuma das descrições de comportamento comentadas nos dois parágrafos
anteriores.
Uma explicação possível para a ocorrência de maiores amplitudes máximas de oscilação
para menores valores de razão de aspecto nos ensaios realizados, pelo menos na faixa investigada
igual a 6,7<L/D<19,8, pode ser atribuída ao desprendimento de vórtices em células. O efeito
dessas células pode estar atuando de maneira defasada (Sumer & Fredsøe, 1997), isto é, o
desprendimento de vórtices ao longo do cilindro não ocorre ao mesmo tempo, e as próprias
freqüências de desprendimento de vórtices para cada célula são diferentes, como pode ser visto na
figura 3.15. Em cilindros com menores razões de aspecto o processo de sincronização dessas
células (mesmas freqüências e fases de desprendimento de vórtices), causado pela oscilação do
cilindro, pode ser mais eficiente, pois existe um menor número de células de desprendimento de
vórtices ao longo do cilindro. Assim a atuação dessas células sincronizadas causaria maiores
flutuações nas forças de sustentação e, conseqüentemente, maiores amplitudes máximas de
oscilação. Entretanto, essa explicação não passa de uma hipótese, pois nesta dissertação não foram
realizadas caracterizações do desprendimento de vórtices ao longo do cilindro.
A mesma análise gráfica foi aplicada ao conjunto de dados obtidos nos ensaios onde foram
utilizadas as molas do tipo m para fixação elástica, denominados de “grupo 2”. Infelizmente esta
divisão em grupos não estava prevista no planejamento inicial dos ensaios e, apesar de o grupo 2
- 101 -
ter resultado muito pequeno, não foi possível efetuar complementação visando obter amostras mais
numerosas. A razão de aspecto 19,8 contém 5 pontos, a razão de aspecto 16,1 contém 3 pontos, a
razão de aspecto 12,7 contém apenas 2 pontos, a razão de aspecto 10,1 contêm apenas 1 ponto e as
razões de aspecto de 6,7 e 8 não foram ensaiadas com molas do tipo m. O gráfico com as curvas
A/D
max
x (m*+C
A
)ζ separados por razão de aspecto é apresentado na figura 5.5.
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
(m*+C
A
)
ζ
A/D
max
L/D = 19,8 L/D = 16,1 L/D = 12,7 L/D = 10,1
Fig. 5.5 – Curva A/D
max
x (m*+C
A
)ζ para os ensaios agrupados como grupo 2 (linhas
apenas para visualização).
Os ensaios para a razão de aspecto 12,7 contêm apenas dois pontos que apresentaram os
mesmos valores de amplitude de oscilação (0,46D) apesar da variação de (m*+C
A
)ζ. A razão de
aspecto 16,1 apresentou amplitudes crescentes com a redução dos valores de (m*+C
A
)ζ.
Α razão de aspecto 19,8 para valores de (m*+C
A
)ζ entre 0,030-0,083 apresentou um trecho
de amplitude decrescente com a redução de (m*+C
A
)ζ, logo a seguir, apresentou um trecho com
acréscimo nas amplitudes com a redução de (m*+C
A
)ζ até 0,013 e o ponto com menor valor de
(m*+C
A
)ζ apresentou uma amplitude de oscilação praticamente igual ao ponto anterior (0,58D).
- 102 -
Para os ensaios do grupo 2, a influência do parâmetro (m*+C
A
)ζ sobre a amplitude de
vibração não está clara. A razão de aspecto 12,7 apresenta o mesmo patamar de oscilação para
diferentes valores de (m*+C
A
)ζ, já a razão de aspecto 19,8 apresenta um comportamento similar
ao descrito para as razões de aspecto 12,7 e 16,1 do grupo 1, com um trecho onde a amplitude
diminui com a redução de (m*+C
A
)ζ e outro trecho onde a amplitude aumenta com a redução
desse parâmetro. A razão de aspecto 16,1 parece ser a única a apresentar um aumento nas
amplitudes de oscilação com a redução de (m*+C
A
)ζ.
A influência da razão de aspecto sobre a amplitude de vibração também não está clara. O
ensaio com L/D=10 apresentou a menor amplitude de oscilação de todos os pontos ensaiados. Os
ensaios com razão de aspecto 12,7 apresentaram amplitudes maiores do que L/D=10 e ficaram
abaixo das amplitudes dos cilindros com razão de aspecto 16,1. A razão de aspecto 16,1 por sua
vez, apresentou amplitudes de oscilação maiores do que os ensaios dos cilindros com razão de
aspecto 19,8.
5.4 Influência do parâmetro (m*+C
A
)
ζ
sobre as curvas A/D
max
xV
r
e (f
d
/f
na
)xV
r
Nesta seção são apresentadas as curvas de Amplitude Adimensional versus Velocidade
Reduzida bem como as curvas de Freqüência Adimensional (f
d
/f
na
) versus Velocidade Reduzida,
com o objetivo de detalhar o comportamento oscilatório dos cilindros sob influência do parâmetro
(m*+C
A
)ζ, incluindo a região de início e final de sincronização.
Analisando todas as curvas de A/D
max
xV
r
e (f
d
/f
na
)xV
r
do grupo 1 de ensaios (mola do tipo
0), separadas por suas respectivas razões de aspecto, optou-se por apresentar apenas as curvas dos
cilindros de razão de aspecto 6,7, 12,7 e 19,8 pois estas três razões de aspecto representam de
maneira significativa o comportamento dos outros ensaios. As curvas do cilindro de L/D=6,7 são
representativas dos cilindros com razão de aspecto 8 e 10,1 e as curvas do cilindro de L/D=12,7
comportam-se da mesma maneira que as curvas do cilindro de L/D=16,1.
As amplitudes de oscilação para os cilindros com razões de aspecto iguais a 6,7 são
apresentadas na figura 5.6 e a tabela 5.6, logo a seguir, apresenta os principais parâmetros desses
ensaios.
Observando a figura 5.6, nota-se a tendência de maiores amplitudes à medida que os
valores do parâmetro (m*+C
A
)ζ diminuem. No caso dos cilindros d60m4k0 e d60m5k0 as
amplitudes máximas são muito próximas pois possuem valores de (m*+C
A
)ζ muito próximos,
mesmo assim, o cilindro d60m4k0 apresenta em todo o trecho descendente amplitudes maiores do
que o cilindro d60m5k0. Em geral, vibrações consideráveis começam a surgir a partir de
- 103 -
velocidades reduzidas maiores que 3,0 e se tornam pequenas a partir de velocidades reduzidas
maiores que 9,5, limites que valem para os 4 cilindros ensaiados com essa razão de aspecto,
independente dos valores de (m*+C
A
)ζ. As velocidades reduzidas onde ocorrem as máximas
amplitudes são próximas a 6,5 para os cilindros d60m2k0 e d60m3k0, já para os cilindros
d60m4k0 e d60m5k0 as velocidades reduzidas onde ocorrem as máximas amplitudes são próximas
de 6,0. Exceto pelo fato das curvas possuírem diferentes amplitudes máximas, seu comportamento
é bastante semelhante no trecho ascendente da curva. No trecho descendente da curva as
amplitudes de oscilação apresentam pequenas diferenças, com os cilindros de menor valor do
parâmetro (m*+C
A
)ζ apresentando maiores oscilações.
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
012345678910111213141516
V
r
A/D
max
d60m2k0 d60m3k0 d60m4k0 d60m5k0
Fig. 5.6 – Curvas A/D
max
xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 6,7 (linhas apenas para
visualização).
Tab. 5.6 – Resumo dos principais parâmetros adimensionais nos ensaios com cilindros de
L/D=6,7.
Ensaio A/D
max
ζ m* (m*+C
A
)ζ
d60m2k0 0,93 0,029 1,2 0,066
d60m3k0 0,82 0,038 1,9 0,109
d60m4k0 0,68 0,057 2,4 0,192
d60m5k0 0,66 0,061 2,6 0,221
- 104 -
O gráfico na figura 5.7 apresenta os valores obtidos para a freqüência adimensional que é a
freqüência dominante no espectro de freqüências dividida pela freqüência natural do sistema
obtida em água. O processo utilizado para a obtenção da freqüência dominante foi descrito na
seção de metodologia experimental. Apesar de parecer que o sistema encontra-se na região de
sincronização até valores de V
r
=11 e que, em alguns casos (d60m5k0 e d60m4k0), o sistema já
começa os ensaios na região de sincronização, não é isso o que acontece, pois o que está sendo
apresentado nesse gráfico é a freqüência dominante no espectro de freqüência. Essa abordagem
não impede que haja outra freqüência de intensidade menor atuando, o que segundo o critério
considerado nesse trabalho não caracteriza o fenômeno de sincronização.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
012345678910111213141516
V
r
f
d
/f
na
d60m2k0 d60m3k0 d60m4k0 Freq. Strouhal S=0.2 d60m5k0
Fig. 5.7 – Curvas (f
d
/f
na
)xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 6,7.
Observando a figura 5.7, nota-se que os quatro cilindros apresentam respostas de
freqüência dominantes semelhantes para a maior parte das vazões ensaiadas. As diferenças nos
comportamentos encontram-se em baixas velocidades reduzidas, onde os cilindros d60m4k0 e
d60m5k0 oscilam com freqüência muito próxima das suas respectivas freqüências naturais na
água, cruzam a curva das freqüências correspondentes ao número de Strouhal e, logo após,
começam a aumentar ligeiramente com o aumento da velocidade reduzida. Esse leve aumento nas
- 105 -
freqüências de oscilação acima dos valores da freqüência natural é causado pela influência da
massa adicional do fluido, portanto, típico de ensaios realizados em água. As freqüências de
oscilação dos cilindros d60m2k0 e d60m3k0 partem da curva da freqüência correspondente ao
número de Strouhal e para Vr>4,5 começam a desviar-se dessa curva, seguindo praticamente o
mesmo comportamento que as outras duas curvas. O desvio das curvas de freqüências
adimensionais com relação à curva de freqüência de desprendimento de vórtices de Strouhal, para
velocidades reduzidas V
r
> 4,5, pode ser explicado através da relação existente entre o número de
Strouhal e a velocidade reduzida.
Combinando-se as equações (3.20) e (3.28) e reescrevendo-se a velocidade reduzida V
r
em
função do número de Strouhal S, tem-se que:
v
r
n
f
1
V = , (5.1)
fS
onde: f
v
– freqüência de desprendimento de vórtices;
f
n
– freqüência natural da estrutura.
Assim, quando a freqüência de desprendimento de vórtices f
v
aproxima-se da freqüência
natural da estrutura f
n
, início do fenômeno de sincronização, a velocidade reduzida V
r
é
aproximadamente igual ao inverso do número de Strouhal S.
.
r
1
V (5.2)
S
Como o número de Strouhal, para os números de Reynolds ensaiados, é próximo de 0,2, a
velocidade reduzida a partir da qual as freqüências adimensionais (f
d
/f
na
) começam a desviar-se da
curva de freqüência de desprendimento de vórtices de Strouhal situa-se próxima a V
r
≅ 5,0.
Os cilindros d60m5k0 e d60m4k0 apresentaram pontos com freqüência dominante muito
próxima à curva de freqüência de desprendimento de vórtices de Strouhal e, logo após, voltaram
para uma freqüência dominante de oscilação bem menor. Esse fato não foi um erro de medição,
podendo ser explicado após a observação da figura 5.8, onde são apresentados os espectros de
freqüência do cilindro d60m5k0 para as velocidades reduzidas 11,1, 11,9 (ponto onde ocorre a
brusca mudança de freqüência) e 12,7. Para a V
r
=11,9, a freqüência de desprendimento de vórtices
de Strouhal torna-se dominante por pouca diferença. Para a V
r
=12,7 a freqüência de oscilação do
sistema volta a ser dominante no espectro de freqüências causando assim a aparência de que
estaria ocorrendo uma mudança brusca na freqüência de oscilação do cilindro. A mesma
explicação se aplica ao cilindro d60m4k0.
- 106 -
Fig. 5.8 – Espectros de freqüências de d60m5k0 para as vazões de 150 (V
r
=11,1), 160 (V
r
=11,9) e
170 l/s (V
r
=12,7).
As curvas de A/DxV
r
e (f
d
/f
na
)xV
r
para o cilindro com razão de aspecto de 12,7 são
apresentadas, respectivamente, nas figuras 5.9 e 5.10. Logo após a figura 5.9 são apresentados, na
tabela 5.7, os principais parâmetros que influenciam a amplitude de oscilação dos cilindros.
Observando a figura 5.9, nota-se que o cilindro d32m1k0 apresenta a maior amplitude de
oscilação (0,82D), sendo o valor de (m*+C
A
)ζ=0,04 para esse ensaio. O menor valor de (m*+C
A
)ζ
ensaiado foi de 0,03 para o cilindro d32m2k0 e sua amplitude de oscilação máxima foi de 0,72D.
Como os valores de (m*+C
A
)ζ destes ensaios ficaram muito próximos a diferença no
comportamento desses ensaios poderia ser atribuída a menor razão de massa do cilindro d32m1k0,
m*=0,9 para d32m1k0 e m*=1,3 para d32m2k0. Outro fato relevante que pode ser observado
nesse gráfico é a diferença entre os comportamentos oscilatórios dos cilindros d32m1k0 (0,82D) e
d32m3k0 (0,53D), apesar de ambos possuírem (m*+C
A
)ζ=0,04. Essa diferença pode ser atribuída
aos diferentes valores de razão de massa dos ensaios, m*=0,9 e m*=2,1 respectivamente. Esse fato
suscita dúvidas quanto à validade do uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ para considerar os efeitos
combinados de amortecimento estrutural e massa em um único parâmetro.
O ensaio d32m4k0 segue a tendência de redução das amplitudes com o aumento de
(m*+C
A
)ζ, sendo sua amplitude máxima de oscilação 0,40D. No ensaio d32m5k0 parece haver
- 107 -
uma inversão nessa tendência, apesar de seu valor de (m*+C
A
)ζ ser maior do que para o cilindro
d32m4k0. Este ensaio apresenta amplitude de oscilação máxima um pouco maior do que no caso
de d32m4k0.
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
V
r
A/D
max
d32m1k0 d32m2k0 d32m3k0 d32m4k0 d32m5k0
Fig. 5.9 – Curvas A/D
max
xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 12,7.
Tab. 5.7 – Resumo dos principais parâmetros adimensionais nos ensaios com cilindros de
L/D=12,7.
Ensaio A/D
max
ζ m* (m*+C
A
)ζ
d32m2k0 0,82 0,015 1,3 0,03
d32m1k0 0,72 0,020 0,9 0,04
d32m3k0 0,53 0,013 2,1 0,04
d32m4k0 0,40 0,021 2,7 0,08
d32m5k0 0,42 0,025 2,8 0,09
Em relação às curvas (f
d
/f
na
)xV
r
apresentadas na figura 5.10, nota-se que todos os ensaios
apresentaram comportamentos muito semelhantes. Inicialmente, todos os cilindros começam a
oscilar em sua freqüência natural na água. A partir de uma V
r
=2,0, a freqüência dominante no
espectro de freqüência de todos os cilindros torna-se a freqüência de desprendimento de vórtices
de cilindros estacionários com número de Strouhal S=0,2, representada no gráfico pela reta. A
partir de uma V
r
=4,5 a freqüência dominante de oscilação de todos os cilindros começa a desviar-
- 108 -
se da freqüência dos cilindros estacionários com S=0,2, isso ocorrendo para freqüências
adimensionais (f
d
/f
na
) pouco menores do que 1,0. A partir dessa velocidade reduzida as freqüências
dominantes aumentam lentamente, ultrapassando a freqüência natural de oscilação na água,
comportamento típico de ensaios com baixos valores de razão de massa, tipicamente alcançados
em escoamentos com água. As freqüências adimensionais de oscilação dos cilindros apresentam,
praticamente, o mesmo comportamento até V
r
=8,0. Então, a partir desse valor de velocidade
reduzida, os cilindros d32m3k0 e d32m4k0 voltam a oscilar com freqüências dominantes,
praticamente iguais às freqüências de desprendimento de vórtices de cilindros estacionários com
número de Strouhal S=0,2. Os cilindros d32m1k0 e d32m2k0 permanecem com freqüências
dominantes levemente acima da freqüência natural e o cilindro d32m5k0 apresenta uma
alternância na sua freqüência dominante.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
012345678910111213141516
V
r
f
d
/f
na
Freq. Strouhal S=0.2 d32m1k0 d32m2k0
d32m3k0 d32m4k0 d32m5k0
Fig. 5.10 – Curvas (f
d
/f
na
)xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 12,7.
As curvas de A/DxV
r
e (f
d
/f
na
)xV
r
para o cilindro com razão de aspecto de 19,8 são
apresentadas, respectivamente, nas figuras 5.11 e 5.12. Logo após a figura 5.11 são apresentados,
na tabela 5.8, os principais parâmetros que influenciam a amplitude de oscilação dos cilindros.
- 109 -
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
012345678910111213141516
V
r
A/D
max
d20m1k0 d20m2k0 d20m3k0 d20m4k0 d20m5k0
Fig. 5.11 – Curvas A/D
max
xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 19,8.
Tab. 5.8 – Resumo dos principais parâmetros adimensionais nos ensaios com cilindros de
L/D=19,8.
Ensaio A/D
max
ζ m* (m*+C
A
)ζ
d20m3k0 0,44 0,01 2,7 0,03
d20m1k0 0,45 0,02 1,6 0,04
d20m2k0 0,45 0,02 2,0 0,05
d20m5k0 0,34 0,01 3,4 0,06
d20m4k0 0,38 0,03 3,2 0,12
Observando a figura 5.11 e a tabela 5.8, pode-se notar que os ensaios d20m3k0, d20m1k0 e
d20m2k0 apresentam praticamente os mesmos valores de amplitude máxima (≅0,45D), apesar de
possuírem valores de (m*+C
A
)ζ diferentes. Esse comportamento corresponde à região de
amplitudes praticamente constantes para valores de (m*+C
A
)ζ entre 0,03-0,05, já mencionado na
figura 5.4, encontrado para os cilindros com essa razão de aspecto. O ensaio d20m5k0 apresenta
uma amplitude de vibração menor (0,34D) do que o ensaio d20m4k0 (0,38D) apesar das
- 110 -
diferenças nos valores de (m*+C
A
)ζ, mesmo comportamento apresentado pelas razões de aspecto
12,7 e 16,1.
Em relação às curvas (f
d
/f
na
)xV
r
apresentadas na figura 5.12, nota-se que todos os ensaios
para essa razão de aspecto, assim como todas as razões de aspecto investigadas, apresentaram
comportamentos muito semelhantes. Os cilindros d20m1k0 e d20m5k0 começam a oscilar com
freqüências próximas da freqüência de desprendimento de vórtices para cilindros estáticos,
calculada assumindo S=0,2. Os cilindros d20m2k0, d20m3k0 e d20m4k0 começam a oscilar em
sua freqüência natural na água e a partir de uma V
r
entre 3,0 e 3,5 passam a oscilar com
freqüências próximas às freqüências de desprendimento de vórtices supondo S=0,2.
À medida que V
r
aumenta, as freqüências dominantes começam a desviar-se da reta S=0,2
e tendem para um valor acima de 1,0. Esse comportamento ocorre para todos os cilindros dessa
razão de aspecto até Vr=8,0. A partir dessa velocidade reduzida, os cilindros d20m4k0, d20m5k0,
d20m2k0 e d20m3k0 começam a oscilar com freqüências dominantes muito próximas as
freqüências de desprendimento de vórtices de cilindros estacionários, supondo S=0,2.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
V
r
f
d
/f
na
d20m1k0 d20m2k0 d20m3k0 d20m4k0 d20m5k0 Freq. de Strouhal S=0,2
Fig. 5.12 – Curvas (f
d
/f
na
)xV
r
para os cilindros com razão de aspecto 19,8.
- 111 -
Resumindo, através da análise das figuras 5.7, 5.10 e 5.12, nota-se que o parâmetro
(m*+C
A
)ζ parece não influenciar de maneira significativa o comportamento das freqüências
adimensionais dos cilindros, pois essas curvas apresentam comportamentos muito semelhantes,
mesmo para cilindros com diferentes valores de (m*+C
A
)ζ.
5.5 Validade do uso do parâmetro (m*+C
A
)
ζ
Conforme mencionado na revisão bibliográfica existe uma discussão, bastante antiga, sobre
quais seriam os limites de aplicação do parâmetro (m*+C
A
)ζ para agrupar os valores de
amplitudes máximas. Segundo Sarpkaya (1979), a resposta dinâmica do sistema é governada, entre
outros fatores, pelos parâmetros m* e ζ de forma independente e não simplesmente pelo parâmetro
(m*+C
A
)ζ, sendo o uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ válido apenas para valores de
(m*+C
A
)ζ > 0,403, ou S
G
> 1,0.
Em estudo posterior ao citado, Khalak & Williamson (1999) investigaram a validade do
uso de (m*+C
A
)ζ. Os autores afirmam que o uso do produto entre razão de massa e amortecimento
para caracterizar as oscilações máximas do sistema é válida para valores do parâmetro
(m*+C
A
)ζ maiores do 0,006, com experimentos realizados para razões de massa entre 1 e 20.
Dos diversos ensaios realizados nesta dissertação, existem alguns ensaios, com os mesmos
valores de L/D, que possuem valores próximos de (m*+C
A
)ζ e que podem ser usados a fim de
investigar a validade do uso desse parâmetro. Infelizmente, por limitações do sistema construtivo
empregado na montagem dos cilindros, não foi possível exercer controle sobre os valores de
amortecimento estrutural, impedindo a obtenção de um número maior de ensaios com valores de
(m*+C
A
)ζ semelhantes.
Os ensaios com valores semelhantes entre si de (m*+C
A
)ζ são apresentados em pares na
tabela 5.9, onde os diversos pares são separados através do uso de intensidades de sombra
alternadas nas linhas. No total, incluindo os ensaios com as molas do tipo m, foram encontrados 8
pares de pontos que possuem valores semelhantes de (m*+C
A
)ζ.
Observando a tabela 5.9, nota-se que 7 dos 8 pares de pontos apresentam amplitudes
máximas de oscilação diferentes para valores de (m*+C
A
)ζ semelhantes, diferentemente do que foi
encontrado por Griffin (1982) e Khalak & Williamson (1996, 1999). Apenas os ensaios com os
cilindros d50m5k0 e d50m4k0 apresentaram amplitudes máximas praticamente iguais.
Analisando as curvas A/DxV
r
de cada um dos pares citados anteriormente, encontrou-se
que a maioria dos pares apresentava amplitudes máximas e faixas de sincronização maiores para
- 112 -
os casos com menores razões de massa m*. Foram encontrados 5 pares de cilindros nessa situação,
aqui denominada de situação A. A situação dos pares de cilindros é informada na tabela 5.9.
Para exemplificar esse comportamento é apresentada a figura 5.13 e como todos os pares
da situação “A” comportaram-se de maneira similar, os gráficos dos outros pares na situação “A”
não são apresentados.
Tab. 5.9 – Pares de pontos, com razões de aspecto (L/D) semelhantes, e com valores próximos de
(m*+C
A
)ζ.
Ensaio A/D
max
V
rmax
Re
max
V
r1
V
r2
ζ
m*
(m*+C
A
)ζ
L/D
Situação
d20m2k0 0,45 5,5 6966 3,9 7,0 0,016 2,0 0,050 19,4
d20m5k0 0,34 5,5 5722 3,7 7,3 0,013 3,4 0,055 19,9
C
d25m1k0 0,66 6,4 12199 4,6 7,5 0,009 1,2 0,021 16,3
d25m2k0 0,57 6,2 11436 4,8 7,4 0,009 1,7 0,024 16,0
A
d25m5k0 0,40 5,8 8132 4,2 7,3 0,017 3,1 0,069 15,9
d25m3k0 0,32 6,1 9504 4,7 7,0 0,021 2,4 0,071 15,8
B
d32m1k0 0,82 6,7 19319 3,5 10,1 0,020 0,9 0,038 13,0
d32m3k0 0,53 6,1 14835 4,9 7,2 0,013 2,1 0,040 12,7
A
d40m2k0 0,81 6,8 24304 3,5 9,8 0,021 1,2 0,046 10,0
d40m3k0 0,70 5,9 18419 4,7 8,4 0,017 2,0 0,050 10,2
A
d50m5k0 0,67 6,0 20354 3,7 10,3 0,033 2,7 0,119 8,0
d50m4k0 0,66 6,3 21931 2,8 10,3 0,036 2,4 0,123 8,1
D
d20m3km 0,43 5,7 9782 4,0 8,3 0,008 2,7 0,030 19,9
d20m5km 0,34 6,1 9613 4,3 8,2 0,007 3,4 0,030 19,8
A
d25m3km 0,58 6,0 14422 4,2 8,6 0,008 2,4 0,027 16,1
d25m5km 0,50 6,0 12379 3,9 8,3 0,007 3,0 0,030 16,3
A
Para um dos pares de cilindros com amplitudes diferentes, ocorreu uma amplitude maior
para o cilindro com maior razão de massa e a faixa de sincronização permaneceu praticamente
com o mesmo tamanho em V
r
, situação denominada de B. A curva A/DxV
r
dos dois cilindros é
apresentada na figura 5.14.
- 113 -
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
024681012
Vr
A/D
max
d25m3km d25m5km
Fig. 5.13 – Curvas A/DxVr para os cilindros d25m3km e d25m5km representando o
comportamento de todos os pares na situação A.
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
024681012141618
Vr
A/D
max
d25m3k0 d25m5k0
Fig. 5.14 – Curvas A/DxVr para os cilindros d25m5k0 e d25m3k0 representando o
comportamento denominado de situação B.
- 114 -
Em outro par com amplitudes diferentes, o cilindro com menor razão de massa apresentou
a maior amplitude máxima de oscilação, mas sua faixa de sincronização foi menor, situação foi
denominada de C com curva A/DxV
r
apresentada na figura 5.15.
A situação D representa os pontos com amplitudes praticamente iguais. Nesse caso a faixa
de sincronização foi praticamente a mesma para os dois cilindros, apesar de possuírem valores de
m* diferentes. Suas curvas de A/DxV
r
são apresentadas na figura 5.16.
Os resultados experimentais obtidos nesta dissertação colocam em dúvida a validade do
uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ para agrupar as amplitudes máximas de oscilação causadas pelo
fenômeno de VIV em cilindros com baixos valores desse mesmo parâmetro (m*+C
A
)ζ. Pelo
menos, para valores de (m*+C
A
)ζ entre 0,021-0,074, essa relação não se mostrou adequada para
combinar os efeitos da variação dos parâmetros razão de massa e amortecimento em um único
parâmetro. Esses resultados diferem das conclusões de Khalak & Williamson (1999) que afirmam
que o uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ para combinar as variações dos parâmetros razão de massa e
amortecimento seria válido para valores de (m*+C
A
)ζ>0,006. Vale lembrar que no estudo de
Khalak & Williamson foi utilizada uma montagem experimental com cilindros rígidos
elasticamente montados, diferente da configuração adotada nesse trabalho que consiste de
cilindros pivotados.
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Vr
A/D
max
d20m2k0 d20m5k0
Fig. 5.15 – Curvas A/DxVr para os cilindros d20m2k0 e d20m5k0 representando o comportamento
denominado de situação C.
- 115 -
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0246810121416
Vr
A/D
max
d50m4k0 d50m5k0
Fig. 5.16 – Curvas A/DxVr para os cilindros d50m4k0 e d50m5k0 representando o comportamento
denominado de situação D.
- 116 -
6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
A presente dissertação concentrou-se na investigação de aspectos básicos, influência da
razão de aspecto e do parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ sobre a amplitude de
vibração, do comportamento oscilatório de cilindros submetidos ao fenômeno de Vibrações
Induzidas por Vórtices (VIV). Com esse objetivo, foram ensaiados cilindros rígidos elasticamente
montados submetidos a escoamento permanente, com dois graus de liberdade para oscilar. Tais
cilindros empregados possuíam diferentes diâmetros, diferentes massas e dois tipos de molas para
a fixação elástica.
O comportamento oscilatório dos cilindros foi descrito através de curvas de amplitudes
adimensionais A/D e curvas de freqüência adimensional f
d
/f
na
.
Como principais contribuições desta dissertação pode-se citar o aporte de novos ensaios
experimentais aos resultados já publicados, a identificação e caracterização da influência da razão
de aspecto sobre a amplitude máxima de oscilação, o questionamento apresentado sobre a validade
do uso do parâmetro de massa-amortecimento (m*+C
A
)ζ para a caracterização da amplitude
máxima de oscilação e algumas recomendações, apresentadas neste capítulo, aplicadas a
modelagem hidroelástica de estruturas cilíndricas submetidas a escoamento em água.
O cumprimento dos objetivos inicialmente propostos é descrito com maiores detalhes nas
seções a seguir.
6.1 Resultados Experimentais
A fim de comprovar a adequação do arranjo experimental adotado foi feita uma
comparação entre os valores encontrados no presente trabalho e os valores publicados por diversos
pesquisadores, com diferentes arranjos experimentais.
Os valores de amplitudes adimensionais máximas, encontrados no presente estudo,
apresentaram uma concordância razoável com os diversos resultados experimentais analisados,
apesar do grande número de ensaios, do presente trabalho, com amplitudes máximas menores do
que 0,5D - menor valor de amplitude máxima encontrado na literatura pesquisada.
A velocidade reduzida máxima ficou dentro da faixa para cilindros rígidos elasticamente
montados e um pouco abaixo dos valores encontrados para o caso de cilindros pivotados e de
cilindros flexíveis. Houve também uma discrepância considerável em relação aos valores da
velocidade reduzida de final da sincronização. Entretanto, essa discrepância pode ser atribuída, em
grande parte, à escassez de dados publicados e ao critério utilizado para estimá-los.
- 117 -
De maneira geral, os valores encontrados no presente trabalho concordam com os
resultados experimentais publicados por diversos pesquisadores.
Cabe ressaltar que os incrementos de vazão adotados para os ensaios (10 l/s) mostraram-se
inadequados para caracterizar a vibração dos cilindros na direção longitudinal. Para melhor
caracterização das vibrações longitudinais se recomenda o emprego de incrementos de vazão
menores, isso é válido especificamente para a instalação experimental adotada nesta dissertação.
6.2 Influência do parâmetro (m*+C
A
)
ζ
sobre a amplitude máxima de oscilação
O parâmetro (m*+C
A
)ζ possui correlação significativa com as amplitudes adimensionais
máximas de oscilação nos cilindros ensaiados neste trabalho. Os valores obtidos nesta pesquisa
apresentaram boa concordância com valores publicados por diversos autores através de um gráfico
tipo A/Dx(m*+C
A
)ζ. Os dados ensaiados apresentaram uma dispersão considerável, entretanto
ficaram em grande parte dentro da faixa de valores encontrados pelo conjunto de autores
pesquisados. Tal dispersão dos dados é causada em grande parte pelo uso de cilindros pivotados
com diferentes razões de aspecto e, devido a esse fato, a análise da influência do parâmetro
(m*+C
A
)ζ é apresentada em conjunto com a influência da Razão de Aspecto no item 6.3.
O parâmetro (m*+C
A
)ζ não influencia de maneira significativa o comportamento
oscilatório do sistema em termos de freqüência adimensional (f
d
/f
na
), pois para uma mesma L/D, os
ensaios de cilindros com diferentes valores de (m*+C
A
)ζ resultaram em curvas (f
d
/f
na
)xV
r
praticamente iguais.
6.3 Influência da Razão de Aspecto e do parâmetro (m*+C
A
)
ζ
sobre a amplitude máxima de
oscilação
Foi demonstrada a influência da razão de aspecto sobre as amplitudes máximas de
oscilação, em conjunto com o uso do parâmetro (m*+C
A
)ζ. Nas razões de aspecto de 6,7, 8 e 10,1,
os cilindros apresentaram acréscimos nas amplitudes de oscilação quando o parâmetro (m*+C
A
)ζ
sofreu redução. As razões de aspecto 12,7 e 16,1 apresentaram um trecho onde ocorria a redução
da amplitude de oscilação com a redução do parâmetro (m*+C
A
)ζ, trecho esse situado entre
0,078<(m*+C
A
)ζ<0,095 para L/D=12,7 e entre 0,071<(m*+C
A
)ζ<0,104 para L/D=16,1. Para
valores de (m*+C
A
)ζ menores do que os citados acima, ambas as razões de aspecto exibiram
aumentos de amplitude com a redução de (m*+C
A
)ζ, comportamento similar às razões de aspecto
de 6,7, 8 e 10,1. Além disso, os referidos ensaios mostraram a influência dessas razões de aspecto
- 118 -
sobre as amplitudes de oscilação que aumentaram com a redução das razões de aspecto dos
cilindros.
A razão de aspecto 19,8 apresentou um comportamento de certa forma inesperado, não se
enquadrando em nenhuma das descrições das razões de aspecto mencionadas acima.
Essas conclusões apresentadas são válidas apenas para os ensaios de cilindros realizados
com molas do tipo 0 - grupo 1. Para os ensaios do grupo 2, ou molas do tipo m, a influência do
parâmetro (m*+C
A
)ζ e da razão de aspecto sobre a amplitude de vibração não ficou clara. Vale
lembrar que existem poucos ensaios enquadrados no grupo 2, impedindo uma análise conclusiva.
6.4 Validade do uso do parâmetro (m*+C
A
)
ζ
Foram apresentados ensaios que colocam em dúvida a validade do uso do parâmetro
(m*+C
A
)ζ para representar de forma combinada as variações do amortecimento estrutural e razão
de massa. Existe uma grande discussão sobre esse assunto com um trabalho de Khalak &
Williamson (1999) afirmando que o uso desse parâmetro seria válido para valores de
(m*+C
A
)ζ > 0,006, enquanto que Sarpkaya (1979) afirma que o uso desse parâmetro combinado
seria válido apenas para valores de (m*+C
A
)ζ > 0,403. Nessa dissertação, foram encontrados
vários pares de pontos com valores de (m*+C
A
)ζ bem próximos e diferentes amplitudes máximas
de oscilação para valores de (m*+C
A
)ζ < 0,074. Os limites de aplicação de (m*+C
A
)ζ para agrupar
os valores de amplitude máxima de oscilação podem variar de acordo com as diferentes
configurações experimentais.
Analisando as curvas A/DxV
r
de cada um dos pares citados acima, encontrou-se que a
maioria dos pares apresentava amplitudes máximas e faixas de sincronização maiores para os
casos com menores razões de massa m*, considerando valores semelhantes de (m*+C
A
)ζ e razão
de aspecto.
6.5 Recomendações aplicadas à modelagem hidroelástica
Como já mencionado, o presente trabalho concentrou-se na investigação de aspectos
básicos do comportamento oscilatório de estruturas cilíndricas submetidas ao escoamento
permanente de água, que não incluiu um estudo de modelagem hidroelástica a fim de avaliar os
parâmetros que devem ser considerados e possíveis efeitos de escala, deixando essa tarefa para
futuros investigadores.
- 119 -
Entretanto, baseado nas observações experimentais realizadas para a presente dissertação, o
autor recomenda que nos futuros estudos de modelagem hidroelástica sejam levados em
consideração os seguintes aspectos:
• Uso de semelhança geométrica entre estrutura real e modelo reduzido – devido à
influência da razão de aspecto sobre as amplitudes adimensionais máximas de
vibração, deve-se adotar a semelhança geométrica para a modelagem de estruturas
cilíndricas submetidas a escoamento;
• Inadequação do parâmetro (m*+C
A
)ζ para estudos de modelagem hidroelástica para o
caso de cilindros pivotados – conforme mencionado na seção anterior, o parâmetro
(m*+C
A
)ζ mostrou-se inadequado, na grande maioria dos casos, para modelar o
comportamento oscilatório dos cilindros, pois ensaios com a mesma razão de aspecto
L/D e mesmo valor de (m*+C
A
)ζ apresentaram diferentes valores de amplitude
adimensional. Recomenda-se que os modelos hidroelásticos apresentem os mesmos
valores de m* e amortecimento estrutural ζ;
• Recomenda-se que a montagem experimental a ser utilizada em estudos de modelagem
hidroelástica permita a realização de ajustes nos valores de amortecimento estrutural
dos modelos. Um dos grandes defeitos da montagem experimental adotada no presente
trabalho foi justamente esse, a impossibilidade de ajustar os valores de amortecimento
estrutural, limitando de certa forma as comparações de ensaios com os mesmos valores
de (m*+C
A
)ζ.
6.6 Continuação da Pesquisa
O fenômeno de VIV em cilindros constitui-se em um tema muito complexo, apesar da
aparente simplicidade do cilindro, sendo muito difícil a elaboração de um estudo experimental
detalhado sobre os vários parâmetros que influenciam tal fenômeno. Durante a revisão
bibliográfica, constatou-se que existem vários aspectos básicos do fenômeno que carecem de
estudos mais detalhados. Dentre eles pode-se citar:
• Influência de escoamentos com gradientes de velocidade sobre o comportamento
oscilatório do cilindro;
• Influência da rugosidade superficial sobre a resposta do cilindro;
• Influência do nível de turbulência presente no escoamento sobre a resposta do cilindro.
Durante a realização deste trabalho surgiram novas idéias e sugestões interessantes para a
continuação do estudo sobre o tema, que, apesar da grande quantidade de estudos realizados, tanto
- 120 -
experimentais como numéricos, e do grande conhecimento adquirido ao longo de várias décadas,
ainda apresenta muitos pontos a serem esclarecidos. Como continuação do trabalho realizado, seria
interessante o estudo experimental dos seguintes aspectos:
• Comparação do comportamento vibratório, obtido no presente trabalho, com cilindros
vibrando apenas na direção transversal, utilizando a mesma configuração experimental,
a fim de investigar a influência que a liberdade para oscilar na direção longitudinal
exerce sobre o fenômeno;
• Uso de uma configuração experimental diferente para investigar a relação entre as
amplitudes máximas e as razões de aspecto, visto que na literatura pesquisada foram
encontrados ensaios com resultados diferentes ao encontrado no presente trabalho;
• Investigação do mecanismo responsável pelo aumento das amplitudes máximas de
vibração com a redução da razão de aspecto L/D, através do monitoramento de
variáveis do escoamento, tais como: velocidade na esteira de vórtices, pressões na
superfície do cilindro ao longo do mesmo. No presente trabalho, sugeriu-se que esse
fato era devido ao processo de sincronização das células de desprendimento de vórtices
ocorrer de maneira mais eficiente para menores valores de razão de aspecto L/D;
• Estudo mais detalhado da validade do uso do parâmetro de massa-amortecimento
(m*+C
A
)ζ para caracterizar as amplitudes máximas de oscilação. Para esse estudo seria
necessário o uso de uma configuração experimental que permitisse o ajuste dos valores
de amortecimento da estrutura sem a alteração dos demais parâmetros, de forma que os
valores de (m*+C
A
)ζ possam ser controlados;
• Estudo experimental sobre os principais parâmetros que devem ser considerados na
modelagem hidroelástica, bem como, possíveis efeitos de escala associados.
- 121 -
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. ACHENBACH, E.; HEINECKE, E. On vortex shedding from smooth and rough cylinders in
the range of Reynolds numbers 6x10
3
to 5x10
6
. Journal of Fluid Mechanics, vol. 109, 239 –
251, 1981.
2. AVELEDA, A. A. Utilização de sistemas de alto desempenho no processamento de sinais na
análise de problemas de VIV em estruturas offshore. Tese (Doutorado em Engenharia Civil),
UFRJ, 2003.
3. BALASUBRAMANIAN, S.; SKOP, R. A.; HAAN JR., F. L.; SZEWCZYK, A. A. Vortex-
excited vibrations of uniform pivoted cylinders in uniform and shear flow. Journal of Fluids
and Structures, vol. 14, 65-85, 2005.
4. BALASUBRAMANIAN, S.; HAAN JR., F. L.; SZEWCZYK A. A.; SKOP R. A. An
experimental investigation of the vortex-excited vibrations of pivoted tapered circular
cylinder in uniform and shear flow. Journal of Wind Engineering and Industrial
Applications, vol. 89, 757 – 784, 2001.
5. BEARMAN, P. W. On vortex shedding from a circular cylinder in the critical Reynolds
number regime. Journal of Fluid Mechanics, vol. 34, 577 – 585, 1969.
6. BEARMAN, P. W. Vortex shedding from oscillating bluff bodies. Annual Review in Fluid
Mechanics, vol. 16, 195 – 222, 1984.
7. BLACKBURN, H. M.; GOVARDHAN, R. N.; WILLIAMSON, C. H. K. A complementary
numerical and physical investigation of vortex-induced vibration. Journal of Fluids and
Structures, vol. 15, 481-488, 2000.
8. BLACKBURN, H. M.; KARNIADAKIS, G. E. Two-and three dimensional simulations of
VIV of circular cylinder. 3
rd
International Offshore and Polar Engineering Conference,
Cingapura, vol. 3, 715-720, 1993.
9. BLEVINS, R. D.; BURTON, T. E. Fluid forces induced by vortex shedding. Journal of
Fluids Engineering, 19-26, 1976.
10. BLEVINS, R. D. Flow-induced vibrations. 2. ed.. Nova York: Van Nostrand Reinhold,
1990.
11. BRIKA, D.; LANEVILLE, A. Vortex-induced vibrations of a long flexible circular cylinder.
Journal of Fluid Mechanics, vol. 250, 481-508, 1993.
12. CHOW, V. T. Open Channel Hydraulics. Nova York: McGraw-Hill Book Company, 1959.
13. CHUNG, T. Y. Vortex-induced vibration of flexible cylinders in sheared flows. Tese de
Doutorado em Engenharia Oceânica. Massachusetts Institute of Technology, 1987.
- 122 -
14. DRESCHER, H. Messung der auf querongestromte Zylinder ausgeubten seitlich veranderten
Drucke. Zeitschrift für Flugwissensschaft, vol. 4, 17 – 21, 1956.
15. FENG, C. C. The measurement of vortex-excited effects in flow past stationary and
oscillating circular and D-section cylinders. M.A.Sc. Thesis, University of British
Columbia, 1968.
16. FLEMMING, F.; WILLIAMSON, C. H. K. Vortex-induced vibrations of a pivoted cylinder.
Journal of Fluid Mechanics, vol. 522, 215-252, 2005.
17. FUJARRA, A. L. C. Estudo em modelo reduzido de tubo, flexível e liso, submetido ao
fenômeno de vibração induzida pela vorticidade “Vortex Induced Vibration”. São Paulo.
Dissertação (Mestrado em Engenharia). USP, 1997.
18. FUJARRA, A. L. C.; PESCE, C. P.; FLEMMING, F.; WILLIAMSON, C. H. K. Vortex-
induced vibration of a flexible cantilever. Journal of Fluids and Structures, vol. 15, 651-
658, 2001.
19. FUJARRA, A. L. C. Estudos experimentais e analíticos das vibrações induzidas pela
emissão de vórtices em cilindros flexíveis e rígidos. São Paulo. Tese (Doutorado em
Engenharia). USP, 2002.
20. GOVARDHAN, R.; WILLIAMSON, C. H. K. Modes of vortex formation and frequency
response of a freely vibrating cylinder. Journal of Fluid Mechanics, vol. 420, 85-130, 2000.
21. GRIFFIN, O. M. Flow near self-excited and forced vibrating circular cylinders. Journal of
Engineering for Industry, 539-547, 1972.
22. GRIFFIN, O. M.; SKOP, R. A.; KOOPMANN, G. H. The vortex-excited resonant vibrations
of circular cylinders. Journal of Sound and Vibration, vol. 31, 235-249, 1973.
23. GRIFFIN, O. M.; RAMBERG, S. E. The vortex street wakes of vibrating cylinders. Journal
of Fluid Mechanics, vol. 66, 553 – 576, 1974.
24. GRIFFIN, O. M.; RAMBERG, S. E. Vortex shedding from a cylinder vibrating in line with
an incident uniform flow. Journal of Fluid Mechanics, vol. 75, 257 – 271, 1976.
25. GRIFFIN, O. M. Vortex-excited cross-flow vibrations of a single cylindrical tube. Journal of
Pressure Vessel Technology, vol. 102, 158-165, 1980.
26. GRIFFIN, O. M.; RAMBERG, S. E. Some recent studies of vortex shedding with application
to marine tubulars and risers. Journal of Energy Resources and Technology, vol. 104, 2-13,
1982.
27. GRIFFIN, O. M.; HALL, M. S. Review – Vortex shedding lock-on and flow control in bluff
bodies wakes. Journal of Fluids Engineering, vol. 113, 526 – 537, 1991.
- 123 -
28. HAZSPRA, O. Theory of hidroelastic similitude and its experimental verification.
Budapeste: Research Institute for Water Resources Development, Publications in foreign
languages, vol. 11, 1976.
29. JAUVTIS, N; WILLIAMSON, C. H. K. Vortex-excited vibration of a cylinder with two
degrees of freedom. Journal of Fluids and Structures, vol. 17, 1035 – 1042 , 2003.
30. JAUVTIS, N; WILLIAMSON, C. H. K. The effect of two degrees of freedom on VIV at low
mass and damping. Journal of Fluid Mechanics, vol. 509, 23-62, 2004.
31. JONG, J. Y; VANDIVER, J. K. Response analysis of the flow-induced vibration of
flexible cylinders tested at Castine, Maine in July and August 1981. Departamento de
Engenharia Oceânica. Massachusetts Institute of Technology, 1983.
32. KHALAK, A.; WILLIAMSON, C. H. K. Dynamics of a hydroelastic cylinder with very mass
and damping. Journal of Fluids and Structures, vol. 10, 455 – 472, 1996.
33. KHALAK, A.; WILLIAMSON, C. H. K. Fluid forces and dynamics of a hydroelastic
structure with very low mass and damping. Journal of Fluids and Structures, vol. 11, 973-
982, 1997a.
34. KHALAK, A.; WILLIAMSON, C. H. K. Investigation of relative effects of mass and
damping in VIV of a circular cylinder. Journal of Wind Engineering and Industrial
Aerodynamics, vol. 69-71, 341-350, 1997b.
35. KHALAK, A.; WILLIAMSON, C. H. K. Motions, forces and mode transitions in vortex-
induced vibration at low mass-damping. Journal of Fluids and Structures, vol. 13, 813 –
851, 1999.
36. KING, R.; PROSSER J. M.; JOHNS J. D. On vortex excitation of model piles in water.
Journal of Sound and Vibration, vol. 29, 169 –188, 1973.
37. KING, R. Vortex excited oscillations of yawed circular cylinders. Journal of Fluids
Engineering, 495-502, 1977.
38. KOLKMAN, P. A. Models for study of the dynamic behavior of structures in flow and
waves. In: Martins, R.(editor). Recent advances in hydraulic physical modeling. Dordrecht,
Holanda: Kluwer Academic Publishers, 1988, cap. 3.
39. KOOPMAN, G. H. The vortex wakes of vibrating cylinders at low Reynolds Numbers.
Journal of Fluid Mechanics, vol. 28, 501 – 512, 1967.
40. LEONARD, A.; ROSHKO, A. Aspects of flow-induced vibration. Journal of Fluids and
Structures, vol. 15, 415-425, 2001.
41. MENEGHINI, J. R. Mecânica da geração e desprendimento de vórtices no escoamento ao
redor de cilindros. III Escola de Transição e Turbulência, Florianópolis, cap. 6, pág. 217-
343, 2002.
- 124 -
42. NAGAKAWA, K.; KISHIDA, K.; IGARASHI, K. Vortex-induced oscillation and lift of
yawed circular cylinders in cross-flow. Journal of Fluids and Structures, vol. 12, 759-777,
1998.
43. NEVES, E. T. Curso de Hidráulica. 9ª ed., Porto Alegre, Editora Globo, 1960.
44. OKAJIMA, A.; NAGAMORI, T.; MATSUNAGA, F.; KIWATA, T. Some experiments on
flow-induced vibration of a circular cylinder with surface roughness. Journal of Fluids and
Structures, vol. 13, 853-864, 1999.
45. OKAJIMA, A.; NAKAMURA, A.; KOSUGI, T.; UCHIDA, H.; TAMAKI, R. Flow-induced
in-line oscillation of a circular cylinder. European Journal of Mechanics B/Fluids, vol. 23,
115-125, 2004.
46. ONGOREN, A.; ROCKWELL, D. Flow structure from an oscillating cylinder. Part II: Model
competition in the near wake. Journal of Fluid Mechanics, vol. 191, 225- 245, 1988.
47. PANTAZOPOULOS, M. S. VIV parameters: Critical review. Offshore Mechanics and
Arctic Engineering, vol. 1, 199-255, 1994.
48. RIBEIRO, P. A. R. Desprendimento de vórtices e controle em esteira de cilindros por
simulação numérica direta. Porto Alegre. Dissertação (Mestrado em Recursos Hídricos e
Saneamento Ambiental). PPGRHSA, UFRGS, 2002.
49. ROMAGNOLI, M. Avaliação experimental da vibração induzida sobre uma comporta
plana com descarga de fundo. Porto Alegre. Dissertação (Mestrado em Recursos Hídricos e
Saneamento Ambiental). PPGRHSA, UFRGS, 2005.
50. SARPKAYA, T. Vortex-induced oscillations. Journal of Applied Mechanics, vol. 46, 241-
258, 1979.
51. SARPKAYA, T. A critical review of the intrinsic nature of VIV. Journal of Fluids and
Structures, vol. 19, 389-447, 2004.
52. SCHEWE, G. On the force fluctuations acting on a circular cylinder in crossflow from
subcritical up to transcritical Reynolds numbers. Journal of Fluid Mechanics, vol. 133, 265
– 285, 1983.
53. SCHLICHTING, H. Boundary Layer Theory. 4. ed.. Nova York: McGraw-Hill Book
Company, 1960.
54. SKOP, R. A.; BALASUBRAMANIAN, S. A new twist on an old model for vortex-excited
vibrations. Journal of Fluids and Structures, vol. 11, 395-412, 1997.
55. STANSBY, P. K. The locking-on of vortex shedding due to the cross-stream vibration of
circular cylinders in uniform and shear flows. Journal of Fluid Mechanics, vol. 74, 641 –
665, 1976.
- 125 -
56. SUMER, B. M.; FREDSØE J. Hydrodynamics around cylindrical structures. Singapura:
World Scientific Publishing, 1997.
57. SZEPESSY, S.; BEARMAN, P. W. Aspect ratio and end plate effects on vortex shedding
from a circular cylinder. Journal of Fluid Mechanics, vol. 234, 191-217, 1992.
58. TANIDA, Y.; OKAJIMA A.; WATANABE, Y. Stability of a circular cylinder oscillating in
uniform flow or in a wake. Journal of Fluid Mechanics, vol. 61, 769 – 784, 1973.
59. TATSUNO, M. – Bulletin Research Institute Applied Mechanics, Kyushu University 36,
25 – 37 (em japonês), 1972.
60. THOMSON, W. T. Teoria da vibração com aplicações. Rio de Janeiro: Editora Interciência,
1978.
61. VANDIVER, J. K. Dimensionless parameters important to the prediction of VIV of long,
flexible cylinders in ocean currents. Journal of Fluids and Structures, vol. 7, 423-455,
1993.
62. VANDIVER, J. K.; MARCOLLO, H. High mode number VIV experiments. IUTAM
Symposium on integrated modeling of fully coupled fluid-structures interactions using
analysis, computations, and experiments, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.
63. VIKESTAD, K.; VANDIVER, J. K.; LARSEN, C. M. Added mass and oscillation frequency
for a circular cylinder subjected to vortex-induced vibrations and external disturbance.
Journal of Fluids and Structures, vol. 14, 1071-1088, 2000.
64. WILLIAMSON, C. H. K; ROSHKO, A. Vortex formation in the wake of an oscillating
cylinder. Journal of Fluids and Structures, vol. 2, 355-381, 1988.
65. WILLIAMSON, C. H. K. Vortex dynamics in the cylinder wake. Annual Review in Fluid
Mechanics, vol. 28, 477-539, 1996.
66. WILLIAMSON, C. H. K.; GOVARDHAN, R. Vortex-induced vibrations. Annual Review in
Fluid Mechanics, vol. 36, 413-455, 2004.
67. WILLIAMSON, C. H. K.; JAUVTIS, N. A high amplitude 2T mode of VIV for a light body
in XY motion. . European Journal of Mechanics B/Fluids, vol. 23, 107-114, 2004.
68. WOOTTON, L. R. The oscillations of large circular stacks in wind. Proceedings Institution
Civil Engineers, vol. 43, 573-597, 1969.
- 126 -
8. ANEXO:
8.1 Determinação experimental da constante elástica das molas
Para determinar a constante elástica das molas estas foram submetidas a forças
conhecidas, através de massas conhecidas, e seus deslocamentos foram medidos. Esse
procedimento foi realizado para cada uma das quatro molas empregadas nos ensaios.
Os resultados de deformação são apresentados na tabela 8.1 para a mola 0 e na tabela 8.2
para a mola m.
Tab. 8.1 - Força x Deformação para a mola 0.
Força [N]
Dmola1
[m]
Dmola2
[m]
Dmola3
[m]
Dmola4
[m]
0.91 0.094 0.083 0.086 0.094
1.74 0.138 0.125 0.128 0.136
2.56 0.179 0.169 0.169 0.179
3.39 0.223 0.212 0.211 0.222
3.78 0.243 0.232 0.231 0.242
4.17 0.263 0.252 0.252 0.262
4.56 0.284 0.271 0.272 0.283
Tab. 8.2 - Força x Deformação para a mola m.
Força [N]
Dmola1
[m]
Dmola2
[m]
Dmola3
[m]
Dmola4
[m]
0.91 0.055 0.055 0.051 0.069
2.13 0.085 0.086 0.082 0.085
3.34 0.116 0.118 0.113 0.116
4.56 0.149 0.15 0.142 0.147
5.78 0.179 0.181 0.174 0.178
7.00 0.214 0.212 0.205 0.209
8.21 0.245 0.245 0.236 0.241
9.04 0.265 0.267 0.258 0.261
9.86 0.286 0.288 0.28 0.284
Baseando-se nessas tabelas foram elaborados os gráficos nas figuras 8.1 e 8.2 com a
relação Força x Deslocamento para as molas 0 e molas m respectivamente. Os gráficos
comprovam o comportamento linear das molas para as faixas de deslocamento ocorridas durante
as condições de ensaios em torno de 20 ± 6 cm. Através do ajuste de uma reta aos dados pode-se
- 127 -
calcular o valor da constante elástica para as molas. A mola 0 possui constante elástica de
19,26N/m e a mola m 39,03N/m.
Mola 0
y = 19,257x - 0,7924
R
2
= 0,9929
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
Deslocamento [m]
Força [N]
Fig. 8.1 – Relação Força x Deslocamento para a mola 0.
Mola m
y = 39,026x - 1,2112
R
2
= 0,9975
0
2
4
6
8
10
12
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
Deslocamento [m]
Força [N]
Fig. 8.2 – Relação Força x Deslocamento para a mola m.
- 128 -
8.2 Equipamentos do Sistema de Aquisição de Dados
Seguem informações adicionais sobre os equipamentos utilizados no sistema de aquisição
de dados:
• Medição de vibrações
Condicionador / amplificador de sinais, fabricante Bruel&Kjaer, tipo 2690 com
fonte e pacote de baterias recarregáveis
4 canais de entrada (3 para carga e 1 Deltatron)
Faixa de freqüências 0,1 Hz a 100 kHz
Filtros passa - baixa e passa - alta selecionáveis via painel
Display 64 X 128
Dimensões (mm) 90 X 144 X 230
Peso (com baterias e 4 canais): 3 kg
Acelerômetros, fabricante Bruel&Kjaer, (2 unidades) tipo 4393S com acessórios e
cabos
Sensibilidade de referência 0,3149 pC/(m/s²)
Limite máximo de freqüência 16,5 kHz
Freqüência de ressonância 55 kHz
Elemento sensível piezoelétrico
Peso: 2,4 g
Conversor analógico-digital, fabricante Measurement Computing Corporation,
modelo PC-CARD-DAS 16/16
Conexão PCMCIA tipo II
Resolução 16 bits
4 canais de entrada
Faixas de entrada analógica ± 10V, ± 5V, ± 2,5V, ± 1,25V programáveis
Tempo de conversão 5µs
- 129 -
• Medidores de vazão
Fabricante Fisher - Rosemount
Medidor de vazão eletro - magnético modelo 570 TM
Diâmetros nominais de 50 mm e 250 mm
Conexões flangeadas
Vazões de referência:
Tab. 8.3 - Tabela de informações dos medidores eletromagnéticos.
Faixa (m³/h) Vazão mínima
medida (m³/h)
mínimo máximo unitário
Diâmetro
nominal
(mm)
0,0122 m/s 0,3048 m/s 9,144 m/s 1,0 m/s
50 0,0951 2,38 71,27 7,79
250 2,233 56 1675 183
• Transmissor de vazão
Fabricante Fisher-Rosemount, modelo 8732C
Velocidades entre 0,01 e 10,0 m/s, adiante ou reverso
Faixa de trabalho e unidades selecionáveis via painel
- 130 -
8.3 Variação dos valores calculados de L/D durante os ensaios com escoamento
Conforme mencionado na seção 4.1.2, para o cálculo da razão de aspecto L/D dos
cilindros foi utilizado o comprimento submerso do cilindro na vazão que resultasse na maior
amplitude adimensional de oscilação. Durante os ensaios específicos para cada cilindro, permitiu-
se a variação do nível de água no canal dentro de certos limites, os valores dos níveis de água
durante os ensaios são apresentados na seção 8.8 nas tabelas individuais de cada cilindro,
resultando em pequenas variações dos valores de L/D em relação aos valores adotados como
referência ao longo deste trabalho. Essas variações são apresentadas na tabela 8.4 a seguir:
Tab. 8.4 - Variações percentuais dos níveis de água no canal.
Variação do Nível
com relação ao
valor usado para
cálculo de L/D
Variação do Nível
com relação ao
valor usado para
cálculo de L/D
Ensaio
Mínimo Máximo
Ensaio
Mínimo Máximo
d20m1k0 -0,1% 5,8% d32m2k0 -4,3% 0,9%
d20m1km -3,2% 1,4% d32m3k0 -1,5% 3,0%
d20m2k0 0,0% 5,4% d32m4k0 -0,8% 3,6%
d20m2km -2,0% 2,3% d32m4km -2,3% 1,7%
d20m3k0 -0,2% 4,5% d32m5k0 -4,0% 0,1%
d20m3km -2,7% 2,9% d32m5km -3,7% 0,0%
d20m4k0 -0,8% 2,8% d40m2k0 -3,6% 0,0%
d20m4km -2,2% 2,6% d40m3k0 -3,1% 2,7%
d20m5k0 -0,8% 5,2% d40m4k0 -0,1% 4,3%
d20m5km -1,5% 2,5% d40m5k0 -3,2% 0,5%
d25m1k0 -3,2% 2,0% d40m5km -3,1% 0,9%
d25m2k0 -2,0% 3,1% d50m3k0 -1,8% 1,9%
d25m3k0 -1,1% 2,1% d50m4k0 -2,6% 1,4%
d25m3km -4,4% 0,5% d50m5k0 -1,0% 4,1%
d25m4k0 -2,9% 0,0% d60m2k0 -3,6% 1,4%
d25m4km -2,4% 1,7% d60m3k0 -2,4% 2,8%
d25m5k0 -0,7% 4,6% d60m4k0 -1,1% 2,1%
d25m5km -2,6% 3,2% d60m5k0 -1,3% 2,9%
d32m1k0 -4,0% 1,6%
Observa-se que as variações na razão de aspecto L/D, que são iguais as variações de nível
apresentadas na tabela 8.4, encontram-se dentro de limites aceitáveis. O caso com maior variação
positiva foi o ensaio d20m1k0 (5,8%) e o caso com maior variação negativa foi o ensaio
d25m3k0 (-4,4%). Na opinião do autor, essa variação dos valores de L/D geradas pela variação
do nível de água no canal durante os ensaios pode ser considerada desprezível frente à variação
dos valores de L/D obtidos através do uso de diferentes cilindros (19,8; 16,1; 12,7; 10,1; 8,0; 6,7).
- 131 -
8.4 Níveis dos ensaios de testes de pulso
A tabela 8.5 a seguir apresenta os níveis de água para todos os testes de pulso realizados,
bem como seu desvio em relação ao nível de 40 cm.
Tab. 8.5 - Níveis de água dos testes de pulso.
Ensaio h [cm] Desvio Ensaio h [cm] Desvio
d20m1k0 40,7 1,8% d32m2k0 40,5 1,3%
d20m1km 41,0 2,5% d32m3k0 39,4 -1,5%
d20m2k0 39,1 -2,3% d32m4k0 39,9 -0,3%
d20m2km 38,6 -3,5% d32m4km 39,9 -0,3%
d20m3k0 39,8 -0,5% d32m5k0 40,2 0,5%
d20m3km 40,4 1,0% d32m5km 40,2 0,5%
d20m4k0 39,4 -1,5% d40m2k0 40,5 1,3%
d20m4km 39,3 -1,8% d40m3k0 40,9 2,3%
d20m5k0 39,5 -1,3% d40m4k0 40,6 1,5%
d20m5km 39,1 -2,3% d40m5k0 41,4 3,4%
d25m1k0 39,2 -2,0% d40m5km 37,5 -6,3%
d25m2k0 40,2 0,5% d50m2k0 40,4 1,0%
d25m3k0 40,2 0,5% d50m3k0 38,7 -3,2%
d25m3km 40,1 0,3% d50m4k0 39,8 -0,5%
d25m4k0 41,0 2,5% d50m5k0 40,0 0,0%
d25m4km 41,0 2,5% d60m2k0 41,0 2,5%
d25m5k0 42,8 7,0% d60m3k0 40,9 2,3%
d25m5km 42,8 7,0% d60m4k0 39,4 -1,5%
d32m1k0 40,0 0,0% d60m5k0 41,0 2,5%
Analisando a tabela acima nota-se que os valores extremos estão entre 37,5 e 42,8 cm. No
entanto, a maioria dos casos apresenta pequenos desvios, 32 casos dos 38 totais estão dentro da
faixa de desvio ± 3%. Ainda que o nível de água fosse exatamente 40 cm, essa situação
dificilmente corresponderia ao nível dos ensaios com escoamento, pois o ajuste do nível do
escoamento para valores exatos é um processo difícil e demorado.
- 132 -
8.5 Resumo dos ensaios
Tab. 8.6 – Resumo dos principais parâmetros medidos.
Ensaio
D
[m]
f
ns
[Hz]
f
na
[Hz]
A/D
max
V
rmax
Re
max
V
r1
V
r2
A/D
1
A/D
2
Re
1
Re
2
L
[cm]
m
[g]
ζ
M K
s
m*
(m*+C
A
)ζ
S
G
L/D
d20m1km 0,020 5,4 5,1 0,58 5,9 11780 4,5 7,7 3,2 0,08 0,12 9054 15483 40,5 193,3 0,003 1,0 2,0 0,08 1,5 0,0077
d20m2km 0,020 5,2 5,0 0,59 5,5 10934 3,6 8,8 5,2 0,02 0,05 7212 17514 39,9 249,7 0,004 1,0 2,3 0,12 2,0 0,013
d20m3k0 0,020 3,1 2,9 0,44 6,1 6761 4,4 7,7 3,3 0,09 0,06 4893 8587 39,2 335,8 0,007 1,0 2,9 0,26 2,7 0,026
d20m3km 0,020 4,7 4,5 0,43 5,7 9782 4,0 8,3 4,2 0,04 0,03 6938 14213 39,8 335,8 0,008 1,0 2,9 0,29 2,7 0,030
d20m5km 0,020 4,4 4,2 0,34 6,1 9613 4,3 8,2 3,9 0,06 0,02 6826 12983 39,6 422,5 0,007 1,0 3,5 0,30 3,4 0,030
d20m1k0 0,020 3,6 3,4 0,45 6,1 8104 3,8 7,5 3,6 0,03 0,07 5099 9910 39,2 193,3 0,015 1,0 2,0 0,39 1,6 0,039
d20m2k0 0,020 3,5 3,3 0,45 5,5 6966 3,9 7,0 3,1 0,05 0,04 4881 8793 38,9 249,7 0,016 1,0 2,4 0,49 2,0 0,050
d20m5k0 0,020 2,9 2,8 0,34 5,5 5722 3,7 7,3 3,6 0,02 0,16 3786 7528 39,7 422,5 0,013 1,0 3,4 0,55 3,4 0,055
d20m4km 0,020 4,6 4,3 0,42 5,8 9452 4,2 8,0 3,8 0,05 0,03 6841 13025 39,7 390,1 0,020 1,0 3,2 0,82 3,1 0,083
d20m4k0 0,020 3,1 2,9 0,38 5,5 5902 3,5 7,2 3,7 0,01 0,11 3824 7831 39,4 390,1 0,029 1,0 3,3 1,20 3,2 0,122
d25m1k0 0,025 3,4 3,1 0,66 6,4 12199 4,6 7,5 2,9 0,15 0,08 8901 14723 40,7 235,1 0,009 1,0 1,7 0,20 1,2 0,021
d25m2k0 0,025 3,1 2,9 0,57 6,2 11436 4,8 7,4 2,6 0,22 0,06 8913 13697 40,1 339,8 0,009 1,0 2,1 0,24 1,7 0,024
d25m3km 0,025 4,2 4,0 0,58 6,0 14422 4,2 8,6 4,3 0,06 0,04 10186 20530 40,3 465,1 0,008 1,0 2,6 0,26 2,4 0,027
d25m5km 0,025 3,9 3,6 0,50 6,0 12379 3,9 8,3 4,5 0,03 0,02 7994 17197 40,6 604,4 0,007 1,0 3,2 0,30 3,0 0,030
d25m5k0 0,025 2,6 2,5 0,40 5,8 8132 4,2 7,3 3,1 0,06 0,10 5890 10206 39,7 604,4 0,017 1,0 3,2 0,68 3,1 0,069
d25m3k0 0,025 2,8 2,6 0,32 6,1 9504 4,7 7,0 2,3 0,14 0,17 7249 10893 39,4 465,1 0,021 1,0 2,7 0,70 2,4 0,071
d25m4km 0,025 4,1 3,8 0,44 5,9 12930 3,7 8,3 4,6 0,02 0,08 8105 18155 40,2 554,7 0,024 1,0 3,0 0,89 2,8 0,090
d25m4k0 0,025 2,7 2,6 0,44 5,5 8245 4,7 7,1 2,5 0,16 0,09 7084 10783 40,5 554,7 0,027 1,0 3,0 1,02 2,8 0,104
d32m2k0 0,032 2,8 2,6 0,72 6,5 17888 3,7 7,6 3,9 0,05 0,14 10129 20914 41,1 426,1 0,015 1,0 1,8 0,34 1,3 0,034
d32m1k0 0,032 3,1 2,7 0,82 6,7 19319 3,5 10,1 6,6 0,04 0,04 9996 29158 41,7 310,5 0,020 1,0 1,5 0,38 0,9 0,038
d32m3k0 0,032 2,4 2,3 0,53 6,1 14835 4,9 7,2 2,3 0,31 0,24 11914 17605 40,5 688,4 0,013 1,0 2,4 0,39 2,1 0,040
d32m5km 0,032 3,2 3,0 0,46 6,1 17093 3,1 8,7 5,6 0,01 0,02 8707 24148 39,5 917,3 0,013 1,0 3,1 0,50 2,9 0,051
d32m4k0 0,032 2,2 2,1 0,40 6,2 12549 4,7 7,6 2,9 0,14 0,14 9351 14864 39,6 857,7 0,021 1,0 2,9 0,77 2,7 0,078
d32m5k0 0,032 2,2 2,1 0,42 6,1 11542 3,1 9,0 5,9 0,01 0,02 5924 17192 40,9 917,3 0,025 1,0 3,0 0,94 2,8 0,095
d32m4km 0,032 3,4 3,1 0,46 6,0 17787 4,1 7,9 3,8 0,07 0,03 12256 23543 40,1 857,7 0,029 1,0 2,9 1,05 2,7 0,107
d40m2k0 0,040 2,4 2,1 0,81 6,8 24304 3,5 9,8 6,2 0,03 0,03 12486 34689 40,1 613,9 0,021 1,0 1,7 0,45 1,2 0,046
- 133 -
Ensaio
D
[m]
f
ns
[Hz]
f
na
[Hz]
A/D
max
V
rmax
Re
max
V
r1
V
r2
A/D
1
A/D
2
Re
1
Re
2
L
[cm]
m
[g]
ζ
M K
s
m*
(m*+C
A
)ζ
S
G
L/D
d40m3k0 0,040 2,1 1,9 0,70 5,9 18419 4,7 8,4 3,7 0,21 0,06 14747 26484 40,8 1012,5 0,017 1,0 2,3 0,50 2,0 0,050
d40m5km 0,040 2,7 2,5 0,31 5,9 21478 3,1 8,3 5,3 0,01 0,02 11123 30259 40,0 1373,9 0,019 1,0 2,9 0,70 2,7 0,071
d40m5k0 0,040 1,8 1,7 0,56 5,8 14087 3,0 9,4 6,5 0,01 0,03 7242 23038 40,9 1373,9 0,027 1,0 2,9 0,98 2,7 0,099
d40m4k0 0,040 1,8 1,7 0,53 5,7 16985 5,1 8,3 3,2 0,32 0,06 15224 24596 40,1 1278,7 0,047 1,0 2,8 1,64 2,5 0,166
d50m3k0 0,050 1,6 1,5 0,73 6,4 24431 6,4 10,2 3,8 0,72 0,02 24431 39672 40,2 1522,6 0,024 1,0 2,3 0,68 1,9 0,069
d50m5k0 0,050 1,5 1,3 0,67 6,0 20354 3,7 10,3 6,6 0,04 0,02 12534 34682 39,9 2077,3 0,033 1,0 2,9 1,18 2,7 0,119
d50m4k0 0,050 1,5 1,4 0,66 6,3 21931 2,8 10,3 7,5 0,01 0,02 9782 36692 40,6 1882,9 0,036 1,0 2,6 1,21 2,4 0,123
d60m2k0 0,060 1,7 1,5 0,93 6,5 35868 2,8 11,1 8,3 0,01 0,06 15326 60967 40,3 1417,8 0,029 1,0 1,8 0,65 1,2 0,066
d60m3k0 0,060 1,4 1,3 0,82 6,4 29389 3,2 9,6 6,4 0,02 0,03 14913 44140 40,1 2131,8 0,038 1,0 2,3 1,08 1,9 0,109
d60m4k0 0,060 1,2 1,1 0,68 5,9 24424 2,9 10,9 8,0 0,01 0,03 12152 43930 40,2 2712,7 0,057 1,0 2,7 1,90 2,4 0,192
d60m5k0 0,060 1,2 1,1 0,66 6,1 23339 3,8 11,1 7,3 0,04 0,02 14645 43001 39,8 2940,3 0,061 1,0 2,8 2,18 2,6 0,221
Nomenclatura:
D – Diâmetro do cilindro, em metros;
f
ns
– Freqüência natural do sistema medida com o canal seco, em hertz;
f
na
– Freqüência natural do sistema medida em água, sem escoamento, em hertz;
A/D
max
– Amplitude máxima adimensional;
V
rmax
– Velocidade reduzida onde ocorre o valor máximo de amplitude de oscilação;
Re
max
– Número de Reynolds para a velocidade reduzida máxima;
V
r1
– Velocidade reduzida no início da sincronização;
V
r2
– Velocidade reduzida no final da sincronização;
A/D
1
– Amplitude adimensional de início da sincronização;
A/D
2
– Amplitude adimensional de final da sincronização;
Re
1
– Número de Reynolds para o início da sincronização;
Re
2
– Número de Reynolds para o final da sincronização;
L – Nível médio do escoamento ou comprimento submerso na velocidade reduzida máxima, em centímetros;
m − Massa do cilindro incluída a instrumentação, em gramas;
ζ – Amortecimento do sistema com o canal seco;
M − Razão de massa, segundo equação 3.30;
K
s
– Parâmetro de estabilidade;
m* − Razão de massa adotada nesse trabalho, segundo equação 3.30;
(m* + C
A
)ζ − Parâmetro de massa-amortecimento incorporando a massa adicional da água;
S
G
– Parâmetro de Skop-Griffin;
L/D – Razão de aspecto
- 134 -
8.6 Filtro utilizado – Necessidade e caracterização
8.6.1 Necessidade de filtro
Os deslocamentos do topo do cilindro foram calculados através da dupla integração do
sinal de aceleração. Conforme mencionado por Aveleda (2003) e Jong & Vandiver (1983) esse
método possui um inconveniente, o processo de integração causa uma expansão indesejável dos
sinais de baixa freqüência ou ruídos, tornando o sinal resultante da integração seriamente afetado
por ruídos de tal maneira que este não é mais representativo do fenômeno físico. A solução para
esse problema é a aplicação de filtros digitais aos sinais antes e após as integrações.
A necessidade do uso de filtros para o cálculo dos deslocamentos pelo processo de dupla
integração dos sinais de aceleração é discutida nessa seção, através da comparação entre os sinais
de deslocamento calculados com e sem o uso de filtros.
A figura 8.3, a seguir, apresenta os valores medidos de aceleração transversal, já
convertidos para m/s
2
, para o cilindro d25m5km e vazão de 110 l/s e a figura 8.4 apresenta a
função densidade de potência espectral para esse sinal. Como se pode ver na figura 8.4 o sinal
apresenta uma concentração de potência espectral próximo ao valor de 3,6 Hz.
d25m5km, q=110 l/s
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
0246810
Tempo [s]
Aceleração [m/s
2
]
Fig. 8.3 – Sinal de aceleração para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s antes da aplicação
do filtro.
- 135 -
Espectro de potência para d25m5km, q=110 l/s
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0246810
f [Hz]
S [(m/s
2
)
2
/Hz]
Fig. 8.4 – Função densidade de potência espectral para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s
antes da aplicação do filtro.
Aplica-se então a integração numérica desse sinal sem o uso de filtro e obtém-se a
velocidade transversal de deslocamento no topo do cilindro, apresentada na figura 8.5.
d25m5km, q=110 l/s - Sem filtro
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0246810
Tempo [s]
Velocidade [m/s]
Fig. 8.5 – Sinal calculado de velocidade para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s sem
aplicação do filtro.
- 136 -
Para comparação apresenta-se na figura 8.6 o sinal de velocidade calculado com o uso do
filtro. Existe uma pequena diferença entre os dois sinais devido à incorporação de ruídos de baixa
freqüência. A incorporação dos ruídos de baixa freqüência é mostrada nos gráficos de funções
densidade de potência espectral dos sinais de velocidade apresentados nas figuras 8.7 e 8.8. Como
se pode notar, o sinal de velocidade calculado sem o uso de filtro apresenta uma incorporação de
ruído próxima à freqüência de 0,2Hz. A freqüência dominante no sinal permanece inalterada, em
torno de 3,6Hz.
d25m5km, q=110 l/s - Com filtro
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0246810
Tempo [s]
Velocidade [m/s]
Fig. 8.6 – Sinal calculado de velocidade para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s com
aplicação do filtro.
- 137 -
Espectro de potência para d25m5km, q=110 l/s sem filtro
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0246810
f [Hz]
S [(m/s)
2
/Hz]
Fig. 8.7 – Função densidade de potência espectral para o sinal de velocidade do cilindro
d25m5km e vazão 110 l/s sem aplicação do filtro.
Espectro de potência para d25m5km, q=110 l/s com filtro
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0246810
f [Hz]
S [(m/s)
2
/Hz]
Fig. 8.8 – Função densidade de potência espectral para o sinal de velocidade do cilindro
d25m5km e vazão 110 l/s com aplicação do filtro.
Integrando-se o sinal de velocidade, sem o uso de filtro, obtém-se o deslocamento no topo
do cilindro, apresentado na figura 8.9. A incorporação de ruído ao sinal devido ao processo de
- 138 -
dupla integração foi tão grande, que o deslocamento calculado apresenta uma tendência crescente
com o tempo e ao final de 10s o deslocamento seria mais de 0,25m.
O gráfico de densidade de potência espectral para o deslocamento calculado sem o uso de
filtros é apresentado na figura 8.10. Nesse gráfico fica evidente a incorporação de ruídos de baixa
freqüência ao sinal de deslocamento devido ao processo de integração sem a utilização de filtros.
A incorporação de ruídos foi tão grande que o a freqüência dominante do sinal de aceleração
(3,6Hz) simplesmente não é visível no gráfico, na escala apresentada.
d25m5km, q=110 l/s - Sem filtro
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0246810
Tempo [s]
Deslocamento [m]
Fig. 8.9 – Sinal calculado de deslocamento para o cilindro d25m5km e vazão 110
l/s sem
aplicação do filtro.
Repetindo o processo de cálculo do deslocamento com o uso de um filtro passa-alta, que
será descrito mais adiante, para eliminar os ruídos de baixa freqüência incorporados ao sinal,
obtém-se o sinal de deslocamento no topo do cilindro, apresentado na figura 8.11. A função
densidade de potência espectral desse sinal é apresentada na figura 8.12.
Como se pode ver, o uso de filtros para calcular os deslocamentos no topo do cilindro
através da integração do sinal de aceleração é indispensável, apesar das possíveis alterações
causadas no sinal original. As alterações causadas nos sinais originais são discutidas no tópico a
seguir.
- 139 -
Espectro de potência para d25m5km, q=110 l/s sem filtro
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0246810
f [Hz]
S [(m)
2
/Hz]
Fig. 8.10 – Função densidade de potência espectral para o sinal de deslocamento do
cilindro d25m5km e vazão 110 l/s sem aplicação do filtro.
d25m5km, q=110 l/s - Com filtro
-0,02
-0,01
0,00
0,01
0,02
0246810
Tempo [s]
Deslocamento [m]
Fig. 8.11 – Sinal calculado de deslocamento para o cilindro d25m5km e vazão 110 l/s com
aplicação do filtro.
- 140 -
Espectro de potência para d25m5km, q=110 l/s sem filtro
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0246810
f [Hz]
S [(m)
2
/Hz]x1000
Fig. 8.12 – Função densidade de potência espectral para o sinal de deslocamento do
cilindro d25m5km e vazão 110 l/s com aplicação do filtro.
8.6.2 Características do filtro utilizado
Foi utilizado um filtro passa-altas digital, o objetivo desse filtro é retirar os ruídos com
baixas freqüências incorporados ao sinal durante o processo de integração. O filtro foi criado
através do software MatLab 5.3, foi utilizado o algoritmo de Butterworth IIR com ordem 2 e
freqüência de corte de 0,2 Hz. A freqüência de corte do filtro representa a freqüência na qual o
filtro reduz a magnitude do componente do sinal filtrado, com essa mesma freqüência, para 70,7%
do sinal original.
A figura 8.13 apresenta a curva de atuação do filtro utilizado. Essa figura representa a
magnitude do sinal comparado com o sinal original (o número 1 significa magnitude do sinal
filtrado igual ao original), que permanece após a aplicação do filtro, essa redução é uma função da
freqüência e ocorre até valores próximos de 0,6 Hz.
Conforme a tabela 4.4 apresentada na seção de metodogia experimental, nenhum dos
cilindros ensaiados apresentou freqüências naturais na água menores do que 1,0 Hz, entretanto 6
cilindros apresentaram freqüências naturais na água entre 1,0 e 1,5 Hz, podendo ocorrer assim uma
pequena redução do sinal original devido à aplicação do filtro. A tabela 8.7 reproduz parcialmente
a tabela 4.4 e lista os cilindros com freqüências naturais na água entre 1 e 1,5 Hz.
- 141 -
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
012345678910
f [Hz]
Sinal Original/Sinal Filtrado
Fig. 8.13 – Curva de atuação do filtro utilizado.
Tab. 8.7 – Reprodução parcial da tabela 4.4.
Ensaio f
ns
[Hz] f
na
[Hz]
d50m3k0 1,64 1,54
d50m4k0 1,49 1,40
d50m5k0 1,48 1,33
d60m2k0 1,66 1,50
d60m3k0 1,35 1,29
d60m4k0 1,18 1,13
d60m5k0 1,16 1,10
Os sinais de aceleração original citados na tabela 8.7 foram comparados com os seus
respectivos sinais filtrados a fim de verificar a influência do filtro sobre o sinal original. Através
dessa comparação verificou-se que o uso do filtro não afetou de forma significativa o sinal original
de aceleração. Esse fato pode ser comprovado nas figuras 8.14 e 8.15, onde são apresentadas as
comparações entre os sinais originais e filtrados, para os casos d60m5k0 e d60m4k0,
respectivamente.
- 142 -
d60m5k0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Tempo [s]
Aceleração [m/s
2
]
Original Sinal filtrado
Fig. 8.14 – Comparação entre o sinal original e o sinal filtrado para o cilindro d60m5k0,
vazão 80l/s.
d60m4k0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
0246810
Tempo [s]
Aceleração [m/s
2
]
Original Sinal Filtrado
Fig. 8.15 – Comparação entre o sinal original e o sinal filtrado para o cilindro d60m4k0,
vazão 80
l/s.
- 143 -
8.7 Avaliação de erros nas medições
Medição de níveis médios de água
Resolução empregada nas medições 0,1 mm
Valor típico 400 mm
Erro devido à resolução, para o valor típico 0,025%
Medição de temperatura da água
Resolução empregada nas medições 1ºC
Valor típico 18ºC
Erro devido à resolução, para o valor típico 5,6%
Medição de aceleração
Número de níveis da placa conversora analógico-digital 65536 (2
16
) níveis
Faixa de tensão (± 2500 mV) 5000 mV
Faixa de trabalho típica (± 1000 mV) 2000 mV
Resolução empregada na leitura, tensão/níveis 0,076 mV/nível
Erro devido à resolução, para a faixa típica 0,004%
Medição de vazão
Resolução empregada nas medições 0,1 l/s
Valor típico 10-200
l/s
Erro devido à resolução, para o valor típico 1%-0,05%
Estimativa das funções densidade de potência espectral
Ensaios com escoamento
Freqüência de aquisição dos dados 100 Hz
Número de pontos por amostra 8192 pontos
Tempo de aquisição da amostra T 81,92s
Tamanho da janela para cálculo do espectro 8 blocos de 1024 pontos
Largura de Banda
β
w = (freq. de aquisição/pontos por bloco) 0,098Hz
Erro padrão da estimativa
1
r
w
T
ε
β
= 35,3%
- 144 -
Testes de pulso
Freqüência de aquisição dos dados 200 Hz
Número de pontos por amostra 2048 pontos
Tempo de aquisição da amostra T 10,24s
Tamanho da janela para cálculo do espectro 2 blocos de 1024 pontos
Largura de Banda
β
w = (freq. de aquisição/pontos por bloco) 0,195Hz
Erro padrão da estimativa
1
r
w
T
ε
β
= 25,0%
- 145 -
8.8 Resultados experimentais por cilindro
d20m1k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,9 40,0 20 0,05 1079 0,81 0,03 -
20,2 40,2 20 0,10 1991 1,50 0,02 -
30,1 40,2 20 0,15 2964 2,23 0,02 0,50
40,2 39,7 20 0,20 4011 3,02 0,03 0,67
51,2 39,8 20 0,26 5099 3,84 0,05 0,84
59,7 39,3 20 0,30 6013 4,53 0,13 0,93
71,2 39,2 20 0,36 7188 5,42 0,45 0,99
80,2 39,2 20 0,41 8104 6,11 0,45 1,02
89,9 39,6 20 0,45 8980 6,77 0,26 1,05
100,6 40,2 20 0,50 9910 7,47 0,08 1,11
110,5 40,4 20 0,55 10822 8,16 0,02 1,63
120,3 40,3 20 0,60 11828 8,91 0,02 1,11
131,2 40,8 20 0,64 12734 9,60 0,04 1,11
140,3 40,9 20 0,69 13602 10,25 0,05 1,11
150,2 41,3 20 0,73 14413 10,86 0,06 2,21
160,0 41,5 20 0,77 15267 11,51 0,07 2,33
169,9 41,3 20 0,82 16294 12,28 0,03 2,51
180,6 40,6 20 0,89 17597 13,26 0,04 1,11
189,8 40,7 20 0,93 18464 13,92 0,10 1,08
199,4 40,5 20 0,98 19476 14,68 0,11 2,60
d20m1km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,5 39,9 20 0,05 1042 0,52 0,01 8,77
20,8 40,3 20 0,10 2047 1,02 0,02 8,77
31,0 40,0 20 0,15 3069 1,53 0,02 0,98
40,3 39,6 20 0,20 4026 2,00 0,01 1,00
50,3 39,2 20 0,26 5082 2,53 0,01 8,77
60,9 39,5 20 0,31 6101 3,03 0,02 8,77
70,4 39,5 20 0,36 7066 3,51 0,03 8,77
80,3 40,0 20 0,40 7956 3,95 0,04 0,98
90,3 39,5 20 0,46 9054 4,50 0,08 -
100,4 39,6 20 0,51 10052 5,00 0,17 0,94
110,5 40,2 20 0,55 10889 5,41 0,45 0,94
120,4 40,5 20 0,59 11780 5,86 0,58 0,96
130,6 40,6 20 0,64 12736 6,33 0,44 1,02
139,9 40,6 20 0,69 13646 6,78 0,33 1,08
150,2 40,7 20 0,74 14619 7,27 0,28 1,10
160,5 41,1 20 0,78 15483 7,70 0,14 1,11
170,5 40,7 20 0,84 16605 8,25 0,11 5,56
179,9 40,7 20 0,88 17524 8,71 0,12 5,56
189,4 40,8 20 0,93 18370 9,13 0,12 5,56
200,7 40,6 20 0,99 19596 9,74 0,12 -
- 146 -
d20m2k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,4 39,8 19 0,05 1011 0,80 0,00 -
20,3 40,2 19 0,10 1951 1,55 0,01 -
31,4 40,3 19 0,16 3008 2,39 0,01 0,93
40,5 39,6 19 0,20 3957 3,14 0,01 0,69
50,0 39,6 19 0,25 4881 3,87 0,06 0,87
60,1 39,1 19 0,31 5941 4,71 0,21 0,90
70,1 38,9 19 0,36 6966 5,53 0,45 0,96
80,7 39,6 19 0,41 7884 6,26 0,19 1,05
89,9 39,5 19 0,45 8793 6,98 0,05 1,08
101,1 39,8 19 0,51 9821 7,79 0,03 1,08
110,4 40,4 19 0,55 10566 8,38 0,04 1,74
120,4 40,3 19 0,60 11561 9,17 0,05 1,86
131,0 40,7 19 0,64 12454 9,88 0,05 2,04
140,3 40,6 19 0,69 13363 10,60 0,04 2,19
150,3 41,0 19 0,73 14182 11,25 0,06 2,34
160,4 41,0 19 0,78 15121 12,00 0,07 2,52
169,8 40,8 19 0,83 16091 12,77 0,06 2,63
180,2 40,4 19 0,89 17247 13,69 0,08 2,82
189,5 40,3 19 0,94 18168 14,42 0,05 2,94
200,3 40,1 19 1,00 19321 15,33 0,04 3,14
d20m2km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,5 39,9 20 0,05 1041 0,53 0,02 -
20,9 40,6 20 0,10 2037 1,03 0,03 -
30,5 40,0 20 0,15 3021 1,53 0,01 -
40,9 39,6 20 0,21 4090 2,07 0,02 0,98
51,0 39,4 20 0,26 5122 2,59 0,02 0,57
60,9 39,1 20 0,31 6168 3,11 0,03 0,68
71,2 39,1 20 0,36 7212 3,64 0,07 0,78
80,2 39,4 20 0,41 8059 4,07 0,07 0,82
90,9 39,8 20 0,46 9042 4,57 0,13 0,88
100,2 39,9 20 0,50 9955 5,03 0,35 0,92
110,2 39,9 20 0,55 10934 5,52 0,59 0,92
120,0 40,0 20 0,60 11877 6,00 0,57 0,96
130,9 40,6 20 0,65 12779 6,45 0,34 1,04
140,1 40,6 20 0,69 13671 6,90 0,30 1,04
150,4 40,5 20 0,74 14693 7,42 0,26 1,04
159,9 40,6 20 0,79 15610 7,88 0,19 1,05
170,0 40,8 20 0,83 16491 8,33 0,10 1,05
180,3 40,8 20 0,88 17514 8,84 0,07 1,05
189,7 40,4 20 0,94 18614 9,40 0,03 1,05
199,5 40,1 20 0,99 19699 9,95 0,03 2,03
- 147 -
d20m3k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,4 39,7 18 0,05 989 0,89 0,01 -
20,0 39,8 18 0,10 1894 1,71 0,03 -
30,6 39,8 18 0,15 2899 2,61 0,06 1,03
40,6 39,1 18 0,21 3912 3,53 0,03 0,80
51,1 39,4 18 0,26 4893 4,41 0,09 0,93
60,2 39,1 18 0,31 5809 5,24 0,32 0,96
70,2 39,2 18 0,36 6761 6,10 0,44 1,03
80,3 39,5 18 0,41 7665 6,91 0,20 1,06
91,0 40,0 18 0,46 8587 7,75 0,07 1,10
100,4 40,0 18 0,50 9472 8,54 0,03 1,10
110,4 40,4 18 0,55 10296 9,29 0,02 1,89
120,9 40,7 18 0,59 11213 10,11 0,02 2,06
130,8 40,2 19 0,65 12563 11,06 0,02 2,29
140,5 40,5 19 0,69 13408 11,80 0,02 1,10
150,2 40,4 19 0,74 14386 12,66 0,02 2,56
160,2 40,9 19 0,78 15131 13,31 0,02 2,76
169,8 40,3 19 0,84 16272 14,32 0,02 2,92
180,1 40,0 19 0,90 17412 15,32 0,02 3,16
189,8 40,2 19 0,95 18270 16,08 0,02 3,29
200,7 39,8 19 1,01 19481 17,14 0,02 3,49
d20m3km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
9,8 39,7 19 0,05 954 0,55 0,01 -
20,5 40,1 19 0,10 1977 1,15 0,02 -
30,0 39,5 19 0,15 2933 1,71 0,02 -
40,5 39,5 19 0,21 3962 2,30 0,01 0,99
51,1 39,3 19 0,26 5024 2,92 0,01 0,99
61,1 39,4 19 0,31 5993 3,48 0,02 0,77
69,6 38,8 19 0,36 6938 4,03 0,04 0,94
81,0 39,3 19 0,41 7965 4,63 0,11 0,94
90,0 39,4 19 0,46 8833 5,13 0,23 0,97
100,8 39,8 19 0,51 9782 5,69 0,43 0,97
109,4 40,1 19 0,55 10542 6,13 0,42 1,01
120,8 40,3 19 0,60 11594 6,74 0,25 1,08
129,7 40,4 19 0,64 12420 7,22 0,23 1,08
140,6 40,6 19 0,69 13390 7,78 0,16 1,08
150,4 40,9 19 0,74 14213 8,26 0,04 1,10
159,8 41,0 19 0,78 15077 8,77 0,04 1,10
169,7 40,7 19 0,83 16102 9,36 0,04 1,10
179,5 40,8 19 0,88 16999 9,88 0,02 2,02
189,5 40,4 19 0,94 18147 10,55 0,03 2,15
201,6 39,7 19 1,01 19610 11,40 0,03 2,30
- 148 -
d20m4k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
9,9 39,8 18 0,05 938 0,87 0,01 -
21,0 40,4 18 0,10 1958 1,81 0,01 0,99
30,6 39,9 18 0,15 2890 2,67 0,03 0,95
39,7 39,2 18 0,20 3824 3,53 0,02 0,82
50,6 39,4 18 0,26 4840 4,47 0,10 0,92
61,6 39,4 18 0,31 5902 5,45 0,38 0,99
72,1 39,1 18 0,37 6952 6,42 0,27 1,06
81,2 39,1 18 0,42 7831 7,24 0,11 1,06
89,8 39,3 18 0,46 8621 7,97 0,02 1,09
101,3 39,7 18 0,51 9620 8,89 0,02 1,87
112,1 39,9 18 0,56 10604 9,80 0,01 2,04
121,4 39,3 18 0,62 11639 10,75 0,02 2,25
129,8 39,1 18 0,66 12533 11,58 0,02 2,38
140,4 39,3 18 0,72 13484 12,46 0,02 2,62
150,4 39,5 18 0,76 14348 13,26 0,02 2,79
160,0 39,6 18 0,81 15220 14,06 0,03 2,89
169,4 39,5 18 0,86 16157 14,93 0,03 3,13
180,3 39,9 18 0,90 17055 15,76 0,02 3,33
189,5 39,8 18 0,95 17943 16,58 0,02 3,44
201,4 40,0 18 1,01 19005 17,56 0,02 3,57
d20m4km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,5 40,1 18 0,05 987 0,61 0,01 -
19,6 40,0 18 0,10 1849 1,14 0,01 -
30,6 39,9 18 0,15 2895 1,79 0,02 0,98
41,2 39,5 18 0,21 3938 2,43 0,01 1,00
50,8 39,4 18 0,26 4864 3,00 0,02 0,98
60,3 38,8 18 0,31 5866 3,62 0,03 0,98
70,6 38,9 18 0,36 6841 4,22 0,06 0,93
79,9 39,3 18 0,41 7663 4,73 0,13 0,93
90,5 39,6 18 0,46 8625 5,32 0,19 0,98
99,4 39,7 18 0,50 9452 5,83 0,42 1,00
109,9 39,9 18 0,55 10394 6,41 0,30 1,04
121,8 40,4 18 0,60 11381 7,02 0,22 1,07
129,4 40,3 18 0,64 12110 7,47 0,15 1,07
140,0 40,5 18 0,69 13025 8,03 0,05 1,09
149,7 40,7 18 0,74 13868 8,55 0,05 1,09
159,8 40,3 18 0,79 14945 9,22 0,04 1,09
170,1 40,5 18 0,84 15859 9,78 0,04 1,09
182,4 40,4 18 0,90 17016 10,49 0,05 2,13
190,1 39,4 18 0,97 18199 11,22 0,05 2,34
199,8 39,1 18 1,02 19262 11,88 0,10 2,43
- 149 -
d20m5k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,2 40,0 17 0,05 938 0,91 0,01 -
19,9 40,2 17 0,10 1820 1,76 0,02 -
30,6 39,9 17 0,15 2823 2,73 0,01 0,63
41,0 39,8 17 0,21 3786 3,66 0,02 0,87
51,7 39,8 17 0,26 4779 4,62 0,10 0,94
61,8 39,7 17 0,31 5722 5,54 0,34 1,01
71,4 39,4 17 0,36 6666 6,45 0,28 1,04
81,0 39,6 17 0,41 7528 7,28 0,16 1,08
91,5 40,2 17 0,46 8374 8,10 0,03 1,08
99,4 40,7 17 0,49 8981 8,69 0,02 1,84
109,7 41,3 17 0,53 9767 9,45 0,05 2,01
121,4 41,8 17 0,58 10682 10,33 0,04 2,15
130,0 41,1 17 0,63 11623 11,25 0,04 2,36
140,6 41,4 17 0,68 12477 12,07 0,04 2,54
149,2 41,4 17 0,72 13257 12,83 0,05 2,71
160,4 41,5 17 0,77 14204 13,74 0,04 2,85
169,8 41,2 17 0,82 15168 14,68 0,05 3,02
180,1 40,6 17 0,89 16318 15,79 0,06 3,30
190,4 40,5 17 0,94 17312 16,75 0,05 3,47
199,4 39,9 17 1,00 18372 17,78 0,06 3,65
d20m5km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,8 40,0 18 0,05 1019 0,64 0,02 -
19,2 40,2 18 0,10 1803 1,14 0,01 -
31,3 40,0 18 0,16 2948 1,86 0,02 1,00
41,0 39,4 18 0,21 3921 2,47 0,01 1,00
50,7 39,0 18 0,26 4901 3,09 0,02 0,67
60,6 39,1 18 0,31 5842 3,68 0,03 0,97
71,3 39,4 18 0,36 6826 4,30 0,07 0,93
81,9 39,6 18 0,41 7800 4,91 0,13 0,95
91,6 39,9 18 0,46 8664 5,46 0,27 0,97
101,0 39,6 18 0,51 9613 6,05 0,34 1,00
111,1 39,9 18 0,56 10494 6,61 0,23 1,04
120,6 40,2 18 0,60 11312 7,12 0,18 1,07
129,8 40,4 18 0,64 12117 7,63 0,12 1,07
139,7 40,6 18 0,69 12983 8,18 0,06 1,09
150,0 40,6 18 0,74 13922 8,77 0,05 1,11
159,4 40,3 18 0,79 14902 9,39 0,05 1,11
170,0 40,3 18 0,84 15909 10,02 0,07 2,09
180,2 40,1 18 0,90 16941 10,67 0,07 2,20
190,8 39,8 18 0,96 18100 11,40 0,04 2,37
200,9 40,2 18 1,00 18865 11,88 0,09 2,43
- 150 -
d25m1k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,6 40,3 20,5 0,05 1319 0,68 0,00 -
21,0 40,7 20,5 0,10 2583 1,33 0,00 -
31,1 40,5 20,5 0,15 3849 1,98 0,01 1,01
40,5 39,8 20,5 0,20 5093 2,62 0,01 1,01
50,9 39,8 20,5 0,26 6405 3,30 0,02 0,73
60,9 39,7 20,5 0,31 7678 3,95 0,05 0,85
70,1 39,5 20,5 0,36 8901 4,58 0,15 0,95
80,3 39,7 20 0,40 10025 5,23 0,39 0,95
90,0 40,6 20 0,44 10983 5,73 0,61 0,95
100,4 40,7 20 0,49 12199 6,36 0,66 0,98
110,1 41,6 20 0,53 13118 6,84 0,64 1,01
120,0 41,3 21 0,58 14723 7,49 0,09 1,10
130,4 41,5 20,5 0,63 15758 8,12 0,04 1,10
140,3 41,6 20,5 0,68 16919 8,71 0,06 1,10
150,4 41,5 20,5 0,72 18147 9,35 0,10 1,10
159,5 41,0 20,5 0,78 19486 10,04 0,04 1,14
170,0 41,0 20,5 0,83 20785 10,71 0,05 1,16
179,6 41,2 20,5 0,87 21825 11,24 0,05 2,27
190,1 41,1 20,5 0,93 23182 11,94 0,05 2,43
201,0 40,4 20,5 1,00 24958 12,85 0,07 2,62
d25m2k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,6 40,1 21 0,05 1340 0,73 0,06 -
21,2 40,4 21 0,10 2658 1,44 0,06 -
30,8 39,8 21 0,15 3926 2,13 0,05 0,97
40,5 39,3 21 0,21 5230 2,84 0,02 0,64
50,5 39,6 21 0,26 6472 3,51 0,04 0,77
61,0 39,4 21 0,31 7858 4,26 0,10 0,91
70,3 40,0 21 0,35 8913 4,83 0,23 0,91
80,6 39,9 21 0,40 10244 5,55 0,55 0,94
90,4 40,1 21 0,45 11436 6,20 0,57 0,97
100,2 40,7 21 0,49 12487 6,77 0,22 1,08
110,3 40,8 21 0,54 13697 7,43 0,06 1,11
120,5 40,2 21 0,60 15210 8,25 0,02 1,11
130,2 40,7 21 0,64 16228 8,80 0,02 1,78
140,3 41,3 21 0,68 17212 9,33 0,03 1,88
150,2 41,2 21 0,73 18505 10,03 0,03 1,08
160,0 40,7 21 0,79 19916 10,80 0,04 2,22
170,0 40,8 21 0,83 21103 11,44 0,07 1,14
180,0 41,1 21 0,88 22188 12,03 0,05 1,11
190,3 41,0 21 0,93 23508 12,75 0,05 2,55
200,5 40,8 21 0,98 24932 13,52 0,07 2,75
- 151 -
d25m3k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,2 39,8 18 0,05 1207 0,78 0,01 -
20,9 40,3 18 0,10 2448 1,57 0,01 -
31,0 39,9 18 0,16 3664 2,36 0,02 0,96
40,6 39,4 18 0,21 4863 3,13 0,01 0,70
50,3 39,0 18 0,26 6080 3,91 0,03 0,89
60,3 39,2 18 0,31 7249 4,66 0,14 0,92
69,5 39,3 18 0,35 8337 5,36 0,25 0,96
79,5 39,4 18 0,40 9504 6,11 0,32 1,03
91,4 39,6 18 0,46 10893 7,00 0,18 1,11
99,7 39,1 18 0,51 12018 7,73 0,04 1,11
111,5 39,5 18 0,56 13310 8,56 0,03 1,11
121,9 39,7 18 0,61 14472 9,30 0,03 1,85
130,0 39,6 18 0,66 15479 9,95 0,03 2,03
139,8 39,7 18 0,70 16583 10,66 0,03 2,18
150,5 40,1 18 0,75 17701 11,38 0,03 2,33
160,2 39,8 18 0,81 18982 12,20 0,03 2,52
169,7 39,5 18 0,86 20275 13,03 0,03 2,63
179,5 39,4 18 0,91 21471 13,80 0,04 2,81
187,4 39,3 18 0,95 22471 14,45 0,04 2,96
200,5 39,8 18 1,01 23747 15,26 0,04 3,11
d25m3km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,4 39,8 18,5 0,05 1247 0,53 0,01 -
21,2 40,3 18,5 0,11 2510 1,06 0,02 -
29,5 39,7 19 0,15 3594 1,50 0,01 0,98
40,6 39,2 19 0,21 4999 2,08 0,02 1,01
51,5 39,6 19 0,26 6284 2,62 0,04 1,01
61,5 39,3 19 0,31 7568 3,16 0,03 0,69
70,7 39,0 19 0,36 8752 3,65 0,03 0,79
81,3 38,6 19 0,42 10186 4,25 0,08 0,91
90,4 39,1 19 0,46 11177 4,66 0,12 0,93
99,6 39,6 19 0,50 12162 5,07 0,19 0,93
110,4 40,0 19 0,55 13325 5,56 0,56 0,96
120,3 40,3 19 0,60 14422 6,01 0,58 0,96
130,6 40,5 19 0,64 15580 6,50 0,38 1,03
140,5 40,2 19 0,70 16874 7,04 0,27 1,06
150,5 40,2 19 0,75 18089 7,54 0,24 1,06
160,2 40,1 19 0,80 19299 8,05 0,15 1,08
169,7 39,9 19 0,85 20530 8,56 0,04 1,11
179,4 40,0 19 0,90 21650 9,03 0,03 1,11
190,2 40,0 19 0,95 22978 9,58 0,03 1,11
203,2 38,5 19 1,05 25479 10,63 0,02 2,19
- 152 -
d25m4k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,3 40,0 18 0,05 1214 0,80 0,02 -
21,2 40,4 18 0,10 2471 1,64 0,02 0,95
30,0 39,8 18 0,15 3555 2,36 0,02 0,95
40,8 39,4 18 0,21 4881 3,24 0,02 0,73
50,1 39,4 18 0,25 6000 3,98 0,06 0,84
60,1 40,0 18 0,30 7084 4,70 0,16 0,91
70,9 40,5 18 0,35 8245 5,47 0,44 0,95
80,1 40,1 18 0,40 9412 6,24 0,30 1,03
91,5 40,0 18 0,46 10783 7,15 0,09 1,07
101,2 40,0 18 0,51 11921 7,90 0,03 1,07
112,4 40,2 18 0,56 13181 8,74 0,02 1,79
121,2 40,2 18 0,60 14226 9,43 0,03 1,95
130,3 40,2 18 0,65 15296 10,14 0,01 2,10
140,2 40,4 18 0,69 16372 10,85 0,01 2,29
149,9 40,5 18 0,74 17452 11,57 0,02 2,40
162,1 40,4 18 0,80 18894 12,52 0,03 2,55
171,1 40,2 18 0,85 20044 13,29 0,03 2,71
180,1 39,9 18 0,90 21280 14,11 0,02 2,90
187,7 39,7 18 0,95 22287 14,77 0,03 3,05
202,1 40,1 18 1,01 23732 15,73 0,02 3,24
d25m4km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,4 39,9 17 0,05 1198 0,56 0,01 -
20,8 40,0 17 0,10 2390 1,11 0,01 -
29,8 39,5 17 0,15 3468 1,61 0,01 -
39,7 39,2 17 0,20 4656 2,16 0,01 1,02
49,8 39,2 17 0,25 5840 2,71 0,01 1,02
60,4 39,4 17,5 0,31 7129 3,27 0,01 0,70
69,1 39,7 17,5 0,35 8105 3,71 0,02 0,96
80,2 40,4 17,5 0,40 9232 4,23 0,06 0,91
91,7 40,5 17,5 0,45 10548 4,83 0,13 0,94
101,0 40,5 17,5 0,50 11621 5,33 0,22 0,96
111,6 40,2 17,5 0,56 12930 5,92 0,44 0,99
119,7 40,2 17,5 0,60 13859 6,35 0,43 1,02
129,4 40,4 17,5 0,64 14921 6,84 0,24 1,07
139,5 40,3 17,5 0,69 16108 7,38 0,19 1,09
150,4 40,8 17,5 0,74 17152 7,86 0,09 1,09
159,4 40,9 17,5 0,78 18155 8,32 0,08 1,09
169,8 40,5 17,5 0,84 19540 8,95 0,03 1,12
179,0 40,5 17,5 0,88 20563 9,42 0,05 1,12
190,2 40,4 17,5 0,94 21931 10,05 0,04 1,12
199,7 39,9 17,5 1,00 23289 10,67 0,05 2,13
- 153 -
d25m5k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
9,7 40,2 16,5 0,05 1095 0,78 0,06 -
21,9 41,6 16,5 0,11 2392 1,71 0,04 -
31,6 41,1 16,5 0,15 3493 2,50 0,02 -
41,0 40,4 16,5 0,20 4603 3,30 0,03 0,72
51,7 39,8 16,5 0,26 5890 4,22 0,08 0,91
60,5 39,5 16,5 0,31 6959 4,99 0,22 0,95
71,2 39,7 16,5 0,36 8132 5,83 0,40 0,99
82,3 39,9 16,5 0,41 9359 6,70 0,24 1,07
89,8 39,9 16,5 0,45 10206 7,31 0,10 1,07
103,0 40,7 16,5 0,51 11482 8,22 0,03 1,07
111,7 40,9 16,5 0,55 12391 8,88 0,03 1,87
121,1 41,0 16,5 0,59 13408 9,60 0,03 1,98
129,8 40,6 16,5 0,64 14519 10,40 0,04 2,14
140,5 40,8 16,5 0,69 15629 11,20 0,04 1,07
149,6 40,6 16,5 0,74 16727 11,98 0,02 2,46
159,6 40,9 16,5 0,78 17710 12,69 0,04 2,58
169,9 41,2 16,5 0,82 18703 13,40 0,07 2,82
179,9 40,8 16,5 0,88 20038 14,35 0,09 2,98
189,3 40,6 16,5 0,93 21168 15,16 0,08 3,13
200,4 40,5 16,5 0,99 22452 16,08 0,14 3,30
d25m5km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
9,4 41,4 17 0,05 1044 0,51 0,00 -
19,6 41,9 17 0,09 2149 1,04 0,00 -
30,3 41,4 17 0,15 3367 1,63 0,00 1,01
40,0 40,4 17 0,20 4557 2,21 0,00 0,49
49,8 39,7 17 0,25 5769 2,80 0,01 1,03
60,5 39,6 17 0,31 7026 3,41 0,01 0,74
69,2 39,8 17 0,35 7994 3,87 0,03 0,92
80,5 40,0 17 0,40 9252 4,48 0,08 0,92
89,4 40,1 17 0,45 10256 4,97 0,15 0,95
100,5 40,3 17 0,50 11468 5,56 0,38 0,98
109,4 40,6 17 0,54 12379 6,00 0,50 1,01
120,0 41,0 17 0,59 13465 6,53 0,31 1,06
130,2 40,6 17 0,64 14742 7,15 0,17 1,09
140,0 40,0 17 0,70 16085 7,80 0,04 1,09
150,3 40,2 17 0,75 17197 8,34 0,02 1,11
159,7 40,2 17 0,80 18286 8,86 0,02 1,11
169,5 40,3 17 0,84 19324 9,37 0,02 1,11
180,5 40,2 17 0,90 20654 10,01 0,01 1,11
190,5 40,0 17 0,95 21894 10,61 0,01 1,14
201,0 39,9 17 1,01 23164 11,23 0,01 2,23
- 154 -
d32m1k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,3 40,0 21 0,05 1670 0,59 0,01 -
20,6 40,4 21 0,10 3311 1,16 0,02 -
30,2 40,4 21 0,15 4848 1,70 0,01 1,03
40,1 39,9 21 0,20 6530 2,30 0,02 0,46
50,9 40,2 21 0,25 8208 2,88 0,05 0,53
60,8 39,5 21 0,31 9996 3,51 0,04 0,75
70,6 39,5 21 0,36 11598 4,08 0,10 0,85
81,5 39,8 21 0,41 13281 4,67 0,21 0,89
90,6 40,4 21 0,45 14555 5,12 0,31 0,93
100,5 40,3 21 0,50 16193 5,69 0,61 0,96
110,0 40,7 21,5 0,54 17762 6,17 0,77 0,96
120,9 41,1 21,5 0,59 19319 6,71 0,82 1,00
131,2 41,7 21,5 0,63 20640 7,17 0,78 1,00
140,3 41,3 21,5 0,68 22308 7,75 0,19 1,14
150,2 40,9 21,5 0,73 24104 8,37 0,10 1,14
160,0 40,7 21,5 0,79 25804 8,96 0,08 1,14
169,9 40,8 21,5 0,83 27375 9,51 0,05 1,18
179,9 40,5 21,5 0,89 29158 10,13 0,05 1,18
189,5 40,4 21,5 0,94 30845 10,71 0,05 1,21
200,2 40,5 21,5 0,99 32433 11,26 0,04 1,18
d32m2k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,6 40,3 22 0,05 1748 0,63 0,01 17,08
21,5 40,7 22 0,11 3510 1,27 0,02 17,08
30,9 40,5 22 0,15 5073 1,84 0,05 0,98
40,4 40,2 22 0,20 6678 2,42 0,04 0,49
51,8 40,2 22 0,26 8565 3,11 0,04 0,68
61,0 40,0 22 0,30 10129 3,68 0,05 0,79
70,0 39,3 22 0,36 11829 4,30 0,13 0,87
80,2 40,0 22 0,40 13309 4,83 0,26 0,90
90,3 40,4 22 0,45 14860 5,40 0,50 0,90
101,5 40,2 22 0,50 16764 6,09 0,69 0,98
110,6 41,1 22 0,54 17888 6,50 0,72 0,98
120,8 41,0 22 0,59 19578 7,11 0,21 1,09
130,4 41,4 22 0,63 20914 7,59 0,14 1,13
140,2 40,8 22 0,69 22825 8,29 0,04 1,13
150,0 41,2 22 0,73 24220 8,79 0,04 1,13
160,1 41,5 22 0,77 25661 9,32 0,04 1,13
169,8 41,4 22 0,82 27265 9,90 0,04 1,13
180,0 41,0 22 0,88 29163 10,59 0,04 1,13
190,1 40,9 22 0,93 30913 11,22 0,05 1,17
200,0 40,3 21 0,99 32248 11,99 0,03 1,17
- 155 -
d32m3k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,7 41,2 22 0,05 1726 0,71 0,01 -
21,0 40,6 22 0,10 3436 1,41 0,05 -
31,2 40,6 22 0,15 5107 2,10 0,01 0,98
40,1 40,1 22 0,20 6641 2,73 0,05 0,51
50,0 39,9 22 0,25 8333 3,42 0,03 0,72
60,4 40,0 22 0,30 10043 4,12 0,09 0,85
71,5 39,9 22 0,36 11914 4,89 0,30 0,90
80,1 40,2 22 0,40 13259 5,44 0,52 0,94
90,4 40,5 22 0,45 14835 6,09 0,53 0,98
100,3 40,5 22 0,50 16454 6,76 0,29 1,07
110,1 41,6 22 0,53 17605 7,23 0,23 1,07
120,5 40,7 22 0,59 19680 8,08 0,03 1,07
130,2 41,1 22 0,63 21053 8,65 0,02 1,71
140,3 41,7 22 0,67 22345 9,18 0,02 1,83
150,2 41,5 22 0,72 24026 9,87 0,02 1,96
160,0 41,4 22 0,77 25670 10,54 0,02 2,09
170,5 41,0 22 0,83 27641 11,35 0,04 2,26
180,3 41,1 22 0,88 29167 11,98 0,02 1,15
190,0 41,2 22 0,92 30673 12,60 0,03 2,47
200,6 40,9 22 0,98 32580 13,38 0,02 2,60
d32m4k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,4 40,0 18 0,05 1568 0,78 0,06 -
20,8 40,4 18 0,10 3108 1,55 0,01 0,99
31,0 40,0 18 0,15 4675 2,33 0,02 -
40,6 39,3 18 0,21 6235 3,11 0,02 0,70
50,6 39,5 18 0,26 7731 3,85 0,05 0,85
61,0 39,4 18 0,31 9351 4,66 0,19 0,94
73,1 39,3 18 0,37 11220 5,59 0,36 0,99
82,4 39,6 18 0,42 12549 6,25 0,40 1,03
90,6 39,3 17 0,46 13558 6,92 0,34 1,08
100,1 39,6 17 0,51 14864 7,59 0,18 1,13
111,1 40,3 17 0,55 16239 8,29 0,03 1,08
120,3 40,0 17 0,60 17681 9,03 0,02 1,08
129,8 40,4 17 0,64 18897 9,65 0,02 1,97
139,9 40,5 17 0,69 20337 10,38 0,02 2,16
150,2 40,8 17 0,74 21646 11,05 0,03 2,25
160,5 41,1 17 0,78 23007 11,75 0,03 2,39
169,2 40,4 17 0,84 24669 12,60 0,03 2,53
181,0 40,7 17 0,89 26187 13,37 0,03 2,72
190,1 40,2 17 0,95 27864 14,23 0,03 2,87
199,3 39,8 17 1,00 29473 15,05 0,04 3,05
- 156 -
d32m4km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
9,6 39,7 17,5 0,05 1439 0,48 0,02 -
21,3 40,5 17,5 0,11 3131 1,05 0,01 -
30,5 40,0 17,5 0,15 4547 1,53 0,01 -
39,8 39,2 17,5 0,20 6043 2,03 0,01 1,03
50,3 39,5 17,5 0,25 7593 2,55 0,02 1,03
60,5 39,2 17,5 0,31 9199 3,09 0,05 1,06
71,7 39,2 17,5 0,37 10909 3,67 0,06 1,06
81,1 39,4 17,5 0,41 12256 4,12 0,12 0,88
90,9 39,4 17,5 0,46 13762 4,63 0,23 0,94
100,1 39,7 17,5 0,50 15033 5,05 0,28 1,00
109,6 40,0 17,5 0,55 16309 5,48 0,36 0,97
119,7 40,1 17,5 0,60 17787 5,98 0,46 0,97
129,5 40,8 17,5 0,64 18922 6,36 0,31 1,03
141,1 40,5 17,5 0,70 20744 6,97 0,12 1,10
150,5 40,6 17,5 0,74 22065 7,42 0,09 1,10
160,0 40,5 17,5 0,79 23543 7,91 0,04 1,13
169,4 39,7 17,5 0,85 25407 8,54 0,03 1,19
179,5 39,6 17,5 0,91 27003 9,08 0,03 1,19
188,5 39,4 17,5 0,96 28537 9,59 0,03 1,35
201,0 39,3 17,5 1,02 30510 10,26 0,03 1,35
d32m5k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,4 40,9 17 0,05 1496 0,77 0,00 -
19,5 40,3 17 0,10 2844 1,47 0,00 1,00
30,2 40,1 17 0,15 4429 2,29 0,00 0,52
40,0 39,2 16,5 0,20 5924 3,11 0,01 0,67
50,3 39,6 16,5 0,25 7375 3,87 0,04 0,86
59,6 40,0 16,5 0,30 8658 4,54 0,10 0,91
70,1 40,5 16,5 0,35 10068 5,28 0,30 0,95
81,2 40,9 16,5 0,40 11542 6,06 0,42 1,00
91,0 40,4 16,5 0,45 13082 6,86 0,28 1,10
100,7 40,3 16,5 0,50 14528 7,62 0,12 1,14
110,5 40,4 16,5 0,55 15878 8,33 0,03 1,14
119,2 40,3 16,5 0,59 17192 9,02 0,02 1,81
129,6 40,4 16,5 0,64 18644 9,78 0,03 1,10
140,0 40,8 16,5 0,69 19952 10,47 0,02 2,15
150,6 40,6 16,5 0,74 21581 11,32 0,03 1,14
159,7 40,5 16,5 0,79 22910 12,02 0,03 1,10
169,7 40,6 16,5 0,84 24269 12,73 0,02 2,53
179,4 40,4 16,5 0,89 25808 13,54 0,03 2,72
189,7 40,4 16,5 0,94 27269 14,31 0,02 2,81
200,0 40,2 16,5 1,00 28925 15,18 0,02 3,05
- 157 -
d32m5km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
9,8 40,7 16 0,05 1383 0,50 0,00 -
21,2 40,8 16 0,10 2979 1,07 0,01 -
29,7 40,6 16 0,15 4199 1,51 0,00 1,00
40,6 40,4 16 0,20 5769 2,07 0,00 1,00
49,9 40,0 16 0,25 7159 2,57 0,01 1,03
61,2 40,3 16 0,30 8707 3,13 0,01 0,68
71,2 39,8 16 0,36 10265 3,69 0,03 0,81
80,8 39,5 16 0,41 11739 4,22 0,07 0,90
90,3 39,6 16 0,46 13074 4,70 0,12 0,93
100,2 40,0 16 0,50 14380 5,17 0,24 0,97
111,6 40,4 16 0,55 15837 5,69 0,38 0,97
122,2 41,0 16 0,60 17093 6,15 0,46 0,97
130,4 40,7 16 0,64 18375 6,61 0,16 1,06
140,1 40,3 16 0,70 19947 7,17 0,10 1,10
150,0 40,3 16 0,74 21356 7,68 0,04 1,10
159,9 40,3 16 0,79 22755 8,18 0,04 1,10
168,6 40,1 16 0,84 24148 8,68 0,03 1,10
182,4 40,5 16 0,90 25842 9,29 0,03 1,10
191,8 40,5 16 0,95 27150 9,76 0,02 1,10
200,9 40,7 16 0,99 28330 10,18 0,02 1,10
d40m2k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,5 40,6 22 0,05 2148 0,60 0,01 -
20,2 40,6 22 0,10 4131 1,16 0,00 -
31,2 40,9 2 0,15 3658 1,78 0,01 -
40,5 40,0 22 0,20 8401 2,36 0,02 -
50,7 40,4 22 0,25 10422 2,93 0,06 0,55
59,8 39,8 22 0,30 12486 3,51 0,03 0,78
70,6 39,7 22 0,36 14783 4,16 0,10 0,87
81,3 40,1 22 0,41 16845 4,74 0,23 0,87
90,4 40,2 22 0,45 18667 5,25 0,31 0,91
100,4 40,9 22 0,49 20404 5,74 0,41 0,96
110,3 40,8 22 0,54 22453 6,32 0,79 1,00
120,4 41,2 22 0,59 24304 6,84 0,81 1,00
130,5 41,2 22 0,63 26341 7,41 0,36 -
140,0 40,7 22 0,69 28565 8,03 0,16 1,14
150,3 41,0 22 0,73 30465 8,57 0,06 1,14
160,2 41,0 22 0,78 32490 9,14 0,03 1,19
169,8 40,7 22 0,84 34689 9,76 0,04 1,19
180,1 40,9 22 0,88 36622 10,30 0,04 1,19
190,6 40,9 22 0,93 38685 10,88 0,03 1,19
200,0 40,3 22 0,99 41178 11,58 0,04 1,19
- 158 -
d40m3k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,7 40,5 22 0,05 2194 0,70 0,01 -
21,3 40,9 22 0,10 4325 1,38 0,01 0,99
30,7 40,5 22 0,15 6301 2,02 0,02 0,99
40,4 39,8 22 0,20 8422 2,70 0,11 -
50,2 40,2 22 0,25 10376 3,32 0,07 0,73
61,0 40,2 22 0,30 12620 4,04 0,09 0,83
70,1 39,5 22 0,36 14747 4,72 0,21 0,88
80,1 40,4 22 0,40 16473 5,27 0,31 0,94
90,4 40,8 22 0,44 18419 5,90 0,70 0,99
100,5 40,2 22 0,50 20744 6,64 0,37 1,09
110,2 40,6 22 0,54 22542 7,22 0,28 1,10
120,3 40,8 22 0,59 24471 7,83 0,20 1,09
129,8 41,2 22,5 0,63 26484 8,38 0,07 1,14
140,3 41,0 22,5 0,68 28784 9,11 0,04 1,14
150,7 41,5 22,5 0,73 30552 9,67 0,05 1,14
160,3 41,9 22,5 0,77 32191 10,19 0,03 1,97
170,0 41,2 22,5 0,83 34712 10,98 0,03 2,13
180,2 41,4 22,5 0,87 36607 11,58 0,03 2,23
190,2 41,3 22,5 0,92 38684 12,24 0,05 2,34
200,3 41,0 22,5 0,98 41049 12,99 0,08 2,49
d40m4k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,3 41,0 23 0,05 2137 0,72 0,01 -
20,1 41,1 23 0,10 4154 1,40 0,01 0,95
30,8 40,7 23 0,15 6435 2,17 0,01 0,45
40,9 40,9 23 0,20 8511 2,88 0,01 0,67
51,1 40,3 23 0,25 10782 3,64 0,04 0,79
61,5 40,4 23 0,30 12954 4,38 0,13 0,90
71,7 40,0 23 0,36 15224 5,14 0,33 0,90
80,1 40,1 23 0,40 16985 5,74 0,53 0,95
89,8 40,6 23 0,44 18798 6,35 0,48 1,01
100,9 41,3 23 0,49 20784 7,02 0,36 1,07
110,8 41,5 23 0,53 22691 7,67 0,22 1,07
121,0 41,8 23 0,58 24596 8,31 0,06 1,12
130,2 41,8 23 0,62 26484 8,95 0,04 1,12
141,1 41,5 23 0,68 28902 9,77 0,04 1,91
150,1 41,3 23 0,73 30940 10,46 0,03 2,02
160,1 41,0 23 0,78 33223 11,23 0,04 2,19
170,3 41,5 23 0,82 34870 11,78 0,04 2,25
180,0 40,9 23 0,88 37456 12,66 0,03 2,47
191,9 40,6 23 0,94 40149 13,57 0,03 2,58
200,3 40,1 23 1,00 42516 14,37 0,03 2,80
- 159 -
d40m5k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,2 41,0 16 0,05 1782 0,73 0,00 -
20,0 40,8 16 0,10 3512 1,44 0,01 1,04
29,8 40,4 16 0,15 5297 2,17 0,01 0,98
40,4 40,0 16 0,20 7242 2,97 0,01 0,92
50,0 39,9 16 0,25 8983 3,68 0,04 0,81
60,5 40,1 16 0,30 10820 4,44 0,12 0,92
70,6 40,5 16 0,35 12501 5,13 0,37 0,92
80,4 40,9 16 0,39 14087 5,78 0,56 0,98
90,0 40,7 16 0,44 15851 6,50 0,37 1,09
100,1 40,8 16 0,49 17611 7,22 0,27 1,09
110,1 41,0 16 0,54 19281 7,91 0,11 1,15
120,4 41,1 16 0,59 20999 8,61 0,05 1,15
130,2 40,5 16 0,64 23038 9,45 0,04 1,09
140,3 40,3 16 0,70 24976 10,24 0,03 1,09
150,4 40,1 16 0,75 26893 11,03 0,03 1,09
159,1 39,7 16 0,80 28753 11,79 0,03 1,09
170,0 39,9 16 0,85 30572 12,54 0,02 2,41
179,8 39,9 16 0,90 32357 13,27 0,02 2,58
190,2 40,3 15,5 0,94 33410 13,88 0,02 2,70
198,0 39,6 15,5 1,00 35378 14,70 0,02 2,87
d40m5km
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,0 39,5 16 0,05 1814 0,50 0,00 -
20,4 40,3 16 0,10 3628 1,00 0,00 -
30,1 40,4 16 0,15 5345 1,47 0,00 -
40,9 40,2 16 0,20 7300 2,00 0,00 0,42
51,2 39,9 16 0,26 9192 2,52 0,01 0,54
61,4 39,6 16 0,31 11123 3,05 0,01 0,69
69,6 39,3 16 0,35 12691 3,48 0,02 0,81
80,0 40,0 16 0,40 14341 3,94 0,05 0,89
90,5 40,6 16 0,45 15986 4,39 0,12 0,89
100,4 41,0 16 0,49 17581 4,83 0,21 0,89
110,5 40,8 16 0,54 19429 5,33 0,25 0,92
121,6 40,6 16 0,60 21478 5,90 0,31 1,00
131,3 40,4 16 0,65 23303 6,40 0,14 1,07
140,3 40,5 16 0,69 24875 6,83 0,07 1,07
150,4 40,3 16 0,75 26762 7,35 0,03 1,07
159,0 40,2 16 0,79 28334 7,78 0,03 1,07
169,5 40,2 16 0,84 30259 8,31 0,03 1,07
180,3 40,0 16 0,90 32334 8,87 0,08 1,07
189,9 40,0 16 0,95 34010 9,33 0,03 1,11
199,7 40,0 16 1,00 35842 9,84 0,02 1,11
- 160 -
d50m3k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,5 40,5 25 0,05 2885 0,67 0,02 -
20,7 41,0 25 0,10 5613 1,31 0,01 0,95
30,8 40,8 25 0,15 8394 1,96 0,01 1,01
40,4 40,5 25 0,20 11109 2,59 0,03 0,51
51,3 40,8 25 0,25 13981 3,26 0,03 0,76
60,5 39,7 25 0,30 16955 3,96 0,11 0,76
70,1 40,2 22 0,35 18102 4,53 0,02 0,89
80,0 40,2 22 0,40 20642 5,16 0,04 1,77
90,2 39,7 22 0,45 23576 5,90 0,06 1,90
99,8 40,4 20 0,49 24431 6,41 0,73 0,95
110,0 40,4 20 0,54 26961 7,07 0,45 1,08
120,3 40,5 21 0,59 30113 7,71 0,31 1,08
130,0 40,8 21 0,64 32345 8,28 0,14 1,08
140,2 41,2 21 0,68 34511 8,84 0,05 1,14
150,2 41,1 21 0,73 37100 9,50 0,05 1,14
160,2 41,0 21 0,78 39672 10,16 0,04 1,14
169,8 40,7 21 0,83 42312 10,84 0,03 1,14
179,8 40,8 21 0,88 44728 11,46 0,03 1,14
190,0 40,7 21 0,93 47358 12,13 0,03 1,14
199,8 40,0 21 1,00 50714 12,99 0,03 1,14
d50m4k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,6 40,7 20 0,05 2580 0,74 0,00 -
20,6 41,1 20 0,10 4965 1,43 0,01 0,98
30,0 40,7 20 0,15 7295 2,11 0,01 1,04
39,6 40,1 20 0,20 9782 2,82 0,01 0,91
50,4 40,1 20 0,25 12438 3,59 0,04 0,76
60,6 40,1 20 0,30 14957 4,32 0,15 0,84
70,0 39,8 20 0,35 17418 5,03 0,34 0,91
80,5 40,6 20 0,40 19650 5,67 0,60 0,91
90,5 40,9 20 0,44 21931 6,33 0,66 0,98
100,4 40,9 20 0,49 24320 7,02 0,44 1,04
109,9 40,9 21 0,54 27269 7,68 0,29 1,04
120,2 40,8 21 0,59 29854 8,41 0,06 1,11
130,0 41,0 21 0,63 32158 9,06 0,04 1,11
140,5 41,2 21 0,68 34610 9,75 0,03 1,11
149,9 41,4 21 0,72 36692 10,34 0,03 1,11
160,0 41,3 21 0,78 39335 11,08 0,02 2,09
169,8 41,0 21 0,83 42030 11,84 0,03 1,11
180,4 40,7 21 0,89 44975 12,67 0,03 1,11
190,0 40,9 21 0,93 47098 13,27 0,03 2,44
200,1 40,0 21 1,00 50678 14,28 0,03 1,19
- 161 -
d50m5k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,3 40,8 21 0,05 2558 0,76 0,04 -
21,1 40,6 21 0,10 5272 1,56 0,04 -
30,8 40,5 21 0,15 7703 2,28 0,01 -
40,9 40,7 21 0,20 10180 3,02 0,03 0,80
50,2 40,6 21 0,25 12534 3,72 0,05 0,88
60,2 40,0 21 0,30 15272 4,53 0,22 0,95
70,1 39,4 21 0,36 18023 5,34 0,45 0,95
80,0 39,9 21 0,40 20354 6,04 0,67 1,03
90,0 39,9 21 0,45 22853 6,78 0,46 1,03
100,9 40,4 21 0,50 25317 7,51 0,35 1,10
110,5 40,5 21 0,55 27651 8,20 0,09 1,10
120,2 41,0 21 0,59 29705 8,81 0,04 1,17
130,2 41,4 21 0,63 31923 9,47 0,03 1,10
140,0 40,9 21 0,68 34682 10,29 0,02 1,10
150,6 41,5 21 0,73 36816 10,92 0,03 1,17
160,9 41,4 21 0,78 39411 11,69 0,03 1,10
169,7 41,3 21 0,82 41648 12,35 0,03 2,42
180,0 40,8 21 0,88 44719 13,26 0,03 1,10
190,0 41,1 21 0,92 46900 13,91 0,03 1,17
200,3 40,8 21 0,98 49835 14,78 0,04 -
d60m2k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,4 40,3 21 0,05 3138 0,57 0,00 -
20,1 41,1 21 0,10 5950 1,09 0,00 -
30,9 41,0 21 0,15 9177 1,68 0,01 1,04
40,2 40,0 21 0,20 12217 2,23 0,01 0,52
50,8 40,3 21 0,25 15326 2,80 0,01 0,65
60,0 39,5 21 0,30 18468 3,37 0,04 0,71
70,2 39,9 21 0,35 21429 3,91 0,16 0,71
80,5 40,3 21 0,40 24310 4,44 0,24 0,85
90,2 40,1 21 0,45 27367 5,00 0,38 0,85
100,5 40,4 21 0,50 30257 5,53 0,53 0,91
110,9 40,7 21 0,55 33176 6,06 0,90 0,91
120,9 41,0 21 0,59 35868 6,55 0,93 0,97
130,2 41,0 21 0,64 38675 7,06 0,84 0,97
140,0 41,6 21 0,67 40944 7,48 0,71 -
150,3 41,3 21 0,73 44291 8,09 0,38 1,11
160,3 40,1 21 0,80 48641 8,88 0,09 1,11
170,0 40,2 21 0,85 51487 9,40 0,05 1,11
180,3 39,7 21 0,91 55339 10,11 0,05 1,24
190,2 39,8 21 0,96 58157 10,62 0,09 1,11
200,3 40,0 21 1,00 60967 11,13 0,07 1,11
- 162 -
d60m3k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,3 40,5 20 0,05 3019 0,66 0,01 -
20,5 41,0 20 0,10 5942 1,29 0,02 -
30,4 40,5 20 0,15 8919 1,94 0,01 -
40,3 39,8 20 0,20 12032 2,62 0,04 0,53
50,3 40,1 20 0,25 14913 3,24 0,03 0,83
60,5 39,8 20 0,30 18072 3,93 0,10 0,83
69,8 39,6 20 0,35 20931 4,55 0,35 0,83
80,2 40,1 20 0,40 23741 5,16 0,48 0,91
90,3 40,7 20 0,44 26357 5,73 0,68 0,91
100,4 40,6 20 0,49 29389 6,39 0,82 0,98
110,6 41,0 20 0,54 32064 6,97 0,61 0,98
120,4 41,1 20 0,59 34772 7,56 0,46 1,06
130,7 41,7 20 0,63 37224 8,10 0,34 1,06
140,0 41,5 20 0,67 40073 8,72 0,05 1,13
150,3 40,5 20 0,74 44140 9,60 0,04 1,21
160,2 40,5 20 0,79 46958 10,21 0,03 1,21
169,5 40,4 20 0,84 49880 10,85 0,04 1,13
180,0 40,7 20 0,89 52594 11,44 0,03 1,21
190,2 40,1 20 0,95 56296 12,24 0,04 1,21
201,2 39,8 20 1,01 60051 13,06 0,04 1,21
d60m4k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,0 40,5 21 0,05 3002 0,73 0,01 -
20,5 41,0 21 0,10 6080 1,47 0,01 0,95
30,3 40,3 21 0,15 9154 2,22 0,01 -
40,0 40,1 21 0,20 12152 2,95 0,01 0,95
50,6 40,1 21 0,25 15374 3,73 0,05 0,87
60,4 40,0 21 0,30 18364 4,45 0,19 0,87
70,9 39,8 21 0,36 21700 5,26 0,50 0,95
80,7 40,2 21 0,40 24424 5,92 0,68 0,95
90,5 40,2 21 0,45 27421 6,65 0,64 1,04
100,5 40,4 20 0,50 29579 7,34 0,53 1,04
110,3 40,4 20 0,55 32463 8,06 0,37 1,12
120,3 40,9 20 0,59 34974 8,68 0,07 1,12
130,2 41,0 20 0,63 37706 9,36 0,04 1,21
140,5 40,4 20 0,69 41276 10,25 0,03 1,21
150,3 40,7 20 0,74 43930 10,91 0,03 1,21
160,0 41,0 20 0,78 46321 11,50 0,03 1,21
170,3 40,5 20 0,84 49955 12,40 0,03 1,21
179,9 40,1 20 0,90 53265 13,22 0,04 1,12
190,2 39,8 20 0,96 56789 14,10 0,04 2,59
200,4 39,8 20 1,01 59842 14,86 0,05 1,21
- 163 -
d60m5k0
Sinal Transversal
Vazão [l/s] Nível [cm] T [ºC] U [m/s] Re V
r
A/D f
d
/f
na
10,3 41,0 19 0,05 2914 0,76 0,01 -
20,6 40,7 19 0,10 5863 1,53 0,01 0,97
30,3 40,6 19 0,15 8655 2,26 0,02 0,97
40,3 40,0 19 0,20 11678 3,05 0,02 0,89
50,4 39,9 19 0,25 14645 3,83 0,04 0,89
60,2 39,6 19 0,30 17631 4,61 0,23 0,89
70,4 39,3 19 0,36 20759 5,42 0,51 0,97
80,2 39,8 19 0,40 23339 6,10 0,66 0,97
90,3 40,0 19 0,45 26177 6,84 0,46 1,06
100,1 40,3 20 0,50 29526 7,53 0,34 1,06
110,5 40,5 20 0,55 32383 8,26 0,13 1,06
120,4 40,6 20 0,59 35268 8,99 0,04 1,15
130,3 41,0 20 0,64 37804 9,64 0,03 1,15
140,8 40,6 20 0,69 41217 10,51 0,03 1,15
150,1 41,0 19,5 0,73 43001 11,10 0,03 1,15
160,2 40,9 19,5 0,78 45937 11,86 0,03 2,22
170,3 40,6 19,5 0,84 49282 12,72 0,04 1,15
180,8 40,0 19,5 0,90 53071 13,70 0,03 1,25
190,0 40,6 19,5 0,94 54889 14,17 0,04 1,25
200,3 40,1 19,5 1,00 58679 15,15 0,04 1,25
- 164 -
8.9 Dados de outros autores usados para comparação (figura 5.1)
Skop & Balasubramanian (1997)
Griffin (1992) apud Blackburn & Karniadakis
(1993)
Ensaios em água Ensaios em ar Mistura ensaios em água e em ar
S
G
(m+C
A
)*ζ
A/D S
G
(m+C
A
)*ζ
A/D S
G
(m+C
A
)*ζ
A/D S
G
(m+C
A
)*ζ
A/D
1,90 0,77 0,15 3,70 1,49 0,04 8,79 3,54 0,06 0,62 0,25 0,33
1,34 0,54 0,19 3,30 1,33 0,05 3,93 1,58 0,11 0,53 0,21 0,58
1,56 0,63 0,22 2,60 1,05 0,06 3,71 1,49 0,04 0,52 0,21 0,48
1,18 0,48 0,33 2,80 1,13 0,07 3,25 1,31 0,04 0,49 0,20 0,71
0,44 0,18 0,44 2,50 1,01 0,07 2,88 1,16 0,07 0,46 0,19 0,80
0,80 0,32 0,46 2,70 1,09 0,08 2,75 1,11 0,07 0,43 0,17 0,51
0,71 0,29 0,51 2,30 0,93 0,11 2,66 1,07 0,24 0,42 0,17 0,98
0,32 0,13 0,55 1,87 0,75 0,15 2,65 1,07 0,09 0,38 0,15 0,71
0,33 0,13 0,62 1,90 0,77 0,15 2,62 1,06 0,06 0,35 0,14 0,46
0,52 0,21 0,65 1,60 0,65 0,15 2,59 1,04 0,11 0,34 0,14 0,55
0,63 0,25 0,65 1,80 0,73 0,17 2,52 1,02 0,07 0,33 0,13 0,41
0,22 0,09 0,70 1,39 0,56 0,21 2,30 0,93 0,11 0,32 0,13 0,93
0,25 0,10 0,75 1,86 0,75 0,28 2,27 0,92 0,09 0,30 0,12 1,05
0,30 0,12 0,75 1,05 0,42 0,29 2,08 0,84 0,15 0,29 0,12 0,74
0,58 0,23 0,78 1,82 0,73 0,30 1,90 0,77 0,27 0,25 0,10 0,84
0,22 0,09 0,78 0,97 0,39 0,30 1,84 0,74 0,16 0,24 0,10 0,68
0,44 0,18 0,78 1,41 0,57 0,31 1,84 0,74 0,13 0,21 0,08 0,79
0,33 0,13 0,80 0,98 0,40 0,32 1,82 0,73 0,19 0,17 0,07 0,57
0,40 0,16 0,80 1,37 0,55 0,33 1,73 0,70 0,21 0,16 0,07 0,48
0,25 0,10 0,84 0,50 0,20 0,48 1,63 0,66 0,14 0,13 0,05 0,93
0,28 0,11 0,85 0,72 0,29 0,52 1,40 0,56 0,24 0,13 0,05 0,84
0,06 0,02 0,88 0,63 0,25 0,60 1,33 0,54 0,38 0,13 0,05 1,09
0,11 0,04 0,93 0,78 0,31 0,60 1,28 0,52 0,20 0,10 0,04 1,17
0,02 0,01 0,93 0,52 0,21 0,63 1,25 0,51 0,32 0,10 0,04 0,85
0,12 0,05 0,95 0,66 0,27 0,66 1,10 0,45 0,29 0,07 0,03 1,31
0,22 0,09 0,95 0,32 0,13 0,68 1,04 0,42 0,39 0,07 0,03 1,61
0,19 0,08 0,97 0,39 0,16 0,79 1,01 0,41 0,52 0,07 0,03 0,52
0,45 0,18 0,98 0,38 0,15 0,82 0,96 0,39 0,31 0,06 0,03 0,62
0,20 0,08 1,00 0,43 0,17 0,92 0,93 0,37 0,39 0,06 0,03 1,20
0,11 0,04 1,05 0,88 0,35 0,44 0,06 0,03 0,81
0,27 0,11 1,05 0,78 0,31 0,45 0,06 0,02 1,09
0,23 0,09 1,09 0,77 0,31 0,38 0,04 0,02 0,90
0,09 0,04 1,15 0,72 0,29 0,51 0,04 0,02 1,09
0,05 0,02 1,30 0,68 0,27 0,70 0,03 0,01 0,54
0,05 0,02 1,60 0,67 0,27 0,54 0,03 0,01 0,65
0,67 0,27 0,43 0,02 0,01 1,31
0,65 0,26 0,36 0,01 0,00 1,50
- 165 -
Sumer & Fredsøe (1997) Khalak&Williamson(1999)
Ensaios em água Ensaios no ar Ensaios em água
Griffin (1982)*
apud KW
(m+C
A
)*ζ
A/D
(m+C
A
)*ζ
A/D
(m+C
A
)*ζ
A/D
(m+C
A
)*ζ
A/D
0,446 0,45 1,018 0,08 0,005 1,18 0,171 0,82
0,327 0,61 0,773 0,12 0,006 1,11 0,184 0,80
0,292 0,68 0,866 0,11 0,007 1,08 0,227 0,69
0,243 0,78 0,373 0,53 0,008 1,06 0,256 0,69
0,162 0,94 0,434 0,39 0,009 1,03 0,255 0,57
0,132 1,15 0,511 0,20 0,010 0,96 0,181 0,49
0,106 1,22 0,685 0,15 0,011 0,96 0,258 0,51
0,107 0,99 0,883 0,06 0,013 0,89 0,368 0,53
0,095 1,14 1,732 0,06 0,014 0,87 0,336 0,46
0,047 1,12 0,820 0,18 0,016 0,88 0,372 0,39
0,049 1,20 1,042 0,13 0,018 0,83 0,370 0,34
0,609 0,30 1,293 0,09 0,021 0,76 0,356 0,31
0,717 0,26 0,743 0,20 0,025 0,77 0,520 0,37
0,781 0,26 0,025 0,58 0,388 0,28
1,016 0,18 0,022 0,59 0,446 0,29
1,018 0,26 0,018 0,59 0,472 0,20
1,328 0,13 0,016 0,58 0,532 0,24
0,641 0,33 0,013 0,63 0,710 0,27
0,060 1,25 0,014 0,60 0,621 0,14
0,152 1,29 0,013 0,57 0,706 0,13
1,419 0,10 0,011 0,57 0,115 0,54
0,125 1,34 0,010 0,60
1,621 0,12 0,010 0,58
*Mistura ensaios
em água e em ar
0,033 1,44 0,008 0,61
0,025 1,51 0,009 0,55
0,025 1,68 0,007 0,59
0,027 2,01 0,006 0,57
1,734 0,12 0,006 0,57
- 166 -
Jauvtis & Williamson (2004)
Govardhan & Williamson
(2000)
Ensaios em água
Mistura ensaios em água e
ar
King et al. (1977)
(m+C
A
)*ζ
A/D
(m+C
A
)*ζ
A/D
(m+C
A
)*ζ
A/D Ks
(m+C
A
)*ζ
A/D
0,013 0,96 0,031 0,64 0,018 0,88 0,73 0,07 1,00
0,011 0,96 0,023 0,64 0,018 0,61 1,22 0,12 1,10
0,012 0,94 0,021 0,66 0,045 0,80 1,46 0,15 0,88
0,007 0,60 0,012 0,63 0,045 0,63 1,51 0,15 0,63
0,009 0,62 0,012 1,05 0,259 0,54 1,76 0,18 0,93
0,010 0,60 0,021 0,89 0,348 0,40 2,78 0,28 0,56
0,013 0,62 0,022 0,90 0,250 0,31 2,93 0,30 0,47
0,013 0,61 0,032 0,83 0,354 0,25 2,54 0,26 0,44
0,011 0,58 0,044 0,75 0,443 0,20
0,020 0,63 0,069 0,69 0,616 0,14
0,021 0,60 0,070 0,55 0,785 0,09
0,022 0,59 0,120 0,62 0,234 0,54
0,029 0,60 0,120 0,50 0,238 0,42
0,041 0,56 0,0257 1,35
Khalak & Williamson
(1996)
0,041 0,73 0,0220 1,39
Ensaios em água
0,029 0,79 0,0181 1,45
(m+C
A
)*ζ
A/D
0,022 0,82 0,0127 1,49 0,014 1,03
0,021 0,81 0,0073 1,50 0,014 0,70
0,020 0,85 0,0057 1,50 0,014 0,62
0,011 0,94 0,0017 1,49
0,009 0,96 0,0017 0,72
0,010 0,95 0,0056 0,75
0,007 1,10 0,0073 0,71
0,006 1,13 0,0126 0,70
0,044 0,58 0,0176 0,68
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