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DESENVOLVIMENTO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM FILTRO PARA REDUÇÃO
DE RUÍDO EM GIROSCÓPIOS DTG
Nelson Luiz de Paula Menezes Monnerat
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA
CIVIL.
Aprovada por:
Prof. Nelson Francisco Favilla Ebecken, D.Sc.
Prof. Alexandre Gonçalve Evsukoff, D.Sc.
Profa. Marley Maria Bernardes Rebuzzi Vellasco, Ph.D.
Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc.
Prof. Marcelo Amorim Savi, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JULHO DE 2007
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MONNERAT, NELSON LUIZ DE PAULA MENEZES
Desenvolvimento e Implementação de um filtro para
Redução de Ruído em Giroscópios DTG [Rio de Janeiro]
2007
XI, 87p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia
Civil, 2007)
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE
1. Redução de Ruído
2. Sensores Inerciais
3. Navegação Inercial
4. Giroscópios Mecânicos Sintonizados (DTG)
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
ii
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Dedicatória
Dedico estetrabalho àminha esposaFlávia, aos meus filhos, Nelson, Gustavo e Luisa,
inspiração e razão para todas as minhas realizações, e aos meus pais Nerímio e Maria José.
iii
Agradecimentos
Agradeço à minha esposa Flávia pela compreensão e apoio; aos meus amigos
Noronha e os nossos “papos” inspiradores donde surgiu a idéia para este trabalho; ao
Sauer companheiro desde o início desta “peleja”; aos amigos Meireles e Luciano pelos
dados e apoio prestado, sem vocês o “frank” não teria embarcado; aos amigos Pastore,
Marquinho, Pedro e Durão, a melhor equipe de Inerciais do país, da qual tive a honra
de fazer parte; ao meu amigo Fernando Junqueira (Fefeu) cujos sensores permitiram
os testes de campo e a brilhante tese que muito me auxiliou; ao meu amigo André
Ferreira Marques; ao Instituto de Pesquisas da Marinha onde grande parte dos trabalhos
de laboratório desta tese foram realizados; ao Centro Tecnológico da Marinha em São
Paulo; ao amigo Rocha Pitta e a orientação em wavelets; aos meus orientadores Nelson
Ebecken e Alexandre Evsukoff pelo correto e oportuno auxílio nas diversas fases deste
trabalho, foram amigos e professores; ao Jairo e a sua equipe da secretaia que sempre me
auxiliaram; à COPPE/UFRJ pela acolhida; e a Deus, pois sem ele nada disso teria sido
possível.
iv
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para
a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
DESENVOLVIMENTO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM FILTRO PARA REDUÇÃO
DE RUÍDO EM GIROSCÓPIOS DTG
Nelson Luiz de Paula Menezes Monnerat
Julho/2007
Orientadores: Nelson Francisco Favilla Ebecken
Alexandre Gonçalves Evsukoff
Programa: Engenharia Civil
Um veículo terrestre, uma aeronave ou um navio, para que possam ir de um lugar a
outro de forma controlada e segura, necessitam saber sua posição ao longo da trajetória,
os seus parâmetros cinemáticos (velocidades e acelerações lineares e angulares) e os
seus parâmetros de atitude (ângulos de orientação tais como os ângulos de Eüler). Os
sistemas de navegação inerciais são os únicos meios de navegação que não necessitam de
informações externas à plataforma para obtenção da sua posição e dos seus parâmetros
cinemáticos e de atitude. Um sistema de navegação inercial possui sensores inerciais
que medem as velocidades angulares e acelerações lineares, através de giroscópios e
acelerômetros, e por meio de algoritmos calculam a posição e a atitude da plataforma.
Visando a reduzir a deriva aleatória, sem com isso limitar a faixa de aplicação destes
sensores, o presente trabalho apresenta um filtro para redução do ruído associado a
giroscópios mecânicos sintonizados dinamicamente (DTG) com o objetivo de melhorar
a sua performance. Os resultados obtidos permitiram o emprego de sensores, ainda em
desenvolvimento, cuja performance não atenderia a requisitos para um teste de campo de
navegação e atitude.
v
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial fulfillment of the requirements
for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
DEVELOPMENT AND IMPLEMENTATION OF A DE-NOISING FILTER FOR DTG
GYROSCOPE
Nelson Luiz de Paula Menezes Monnerat
July/2007
Advisors: Nelson Francisco Favilla Ebecken
Alexandre Gonçalves Evsukoff
Department: Civil Engineering
A land vehicle, an aircraft or a ship, in order to go from one place to an other
in a controlled manner, needs to know his position along the trajectory, his kinematic
parameters (linear speed, linear acceleration and angular velocity) and his attitude
parameters (direction angles such as Eüler angles). The inertial navigation systems are the
only navigation system that do not need platform external informationsto get its kinematic
and attitude parameters and its position. Such navigation system has inertial sensors
to measure the angular velocities and the linear accelerations, these inertial sensors
are gyroscopes and accelerometers. Applying navigation and attitude algorithms these
systems calculate the position and attitude of the platform they are associated to. Aiming
to reduce the random drift, and with that not limiting the possible applications of these
sensors, the present work presents a filter for noise reduction associated with dynamic
tuned gyros (DTG). The results allowed the use of sensors still in development, with
performance that do not fulfill the navigation requirements, to be used in field navigation
and attitude tests.
vi
Sumário
Lista de Figuras p.x
Lista de Símbolos p.xii
1 Introdução p.1
1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.2
1.2 Contribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.2
1.3 Estado da Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.2
1.4 Estrutura da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.4
2 Navegação e Sensores-Inerciais p.5
2.1 Algoritmo de Atitude e Navegação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.6
2.1.1 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.8
2.1.2 Descrição do Algoritmo de Atitude e Navegação . . . . . . . . p.10
2.2 Sensores Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.13
2.3 Círculo de Erro Provável - CEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.17
3 Giroscópio DTG p.18
3.1 Modelo de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.21
4 Processamento de Sinal p.25
4.1 Média Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.25
4.1.1 Resposta ao Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.26
4.1.2 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.28
4.1.3 Resposta em Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.29
4.2 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.31
4.2.1 Análise no campo da Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . p.31
4.2.2 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.33
4.2.3 De-Noising por Soft-Thresholding . . . . . . . . . . . . . . . . p.36
5 Lógica Fuzzy p.40
5.1 Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.40
5.2 Operações com conjuntos fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.45
5.3 Funções de Pertinência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.49
5.4 Variáveis Lingüísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.53
5.5 Relações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.55
5.6 Princípio da Extensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.55
5.7 Proposições Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.56
5.8 Inferência Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.59
5.9 Defuzzificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.60
6 Filtro para Redução de Ruído p.62
6.1 Filtro Média Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.63
6.2 Filtro Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.65
6.2.1 Sistema de Inferência Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.66
6.3 Implementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.69
6.3.1 Média Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.69
6.3.2 Variância Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.69
6.3.3 Média Ponderada Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.70
viii
6.3.4 Inferência Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.72
7 Resultados Obtidos p.74
7.0.5 Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.77
7.0.6 Teste de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.81
8 Conclusões e Trabalhos Futuros p.83
8.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.83
8.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.84
Referências Bibliográficas p.86
Anexo A -- Ferramentas utilizadas p.90
ix
Lista de Figuras
2.1 Sistema Inercial “Gimbal” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.6
2.2 Diagrama de um Sistema Inercial Solidário . . . . . . . . . . . . . . . p.7
2.3 Sistemas de Coordenadas de Referência . . . . . . . . . . . . . . . . . p.9
2.4 DTG modelo MITA 5 [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.13
2.5 Acelerômetro K120A030 [22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.14
2.6 Faixas de aplicação de giroscópios em função de sua precisão[23]. . . . p.15
2.7 ”Microelctromechanical System” [23]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.15
2.8 ”Microelctromechanical System” [23]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.16
3.1 Diagrama de um giroscópio DTG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.19
3.2 Junta flexível de um giroscópio DTG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.19
3.3 Bobinas de torque e sensores de um giroscópio DTG . . . . . . . . . . p.20
3.4 Desalinhamento dos eixos X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.22
3.5 Deriva sensível à aceleração em quadratura. . . . . . . . . . . . . . . . p.23
3.6 Deriva sensível à aceleração direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.23
4.1 Diagrama de Bode Média Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.30
4.2 Sinais sem Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.38
4.3 Sinais com Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.38
4.4 Soft-Thresholding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.39
5.1 Função de Pertinência de um Conjunto Abrupto(Crisp Set) . . . . . . . p.41
5.2 Conjuntos Fuzzy Discretos e Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . p.42
5.3 Propriedades da Função de Pertinência de um Conjunto Fuzzy . . . . . p.43
5.4 Subconjunto fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.44
5.5 Operações com Conjuntos Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.46
5.6 T-norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.48
5.7 S-norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.48
5.8 Funções de Pertinência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.49
5.9 Funções Sino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.51
5.10 Funções Sigmóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.52
5.11 Variáveis Lingüísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.53
5.12 Princípio da Extensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.57
5.13 Variáveis Lingüísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.58
5.14 Modificadores de Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.58
5.15 Defuzzificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.61
6.1 Sinal de um Sensor DTG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.64
6.2 Variáveis Lingüísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.67
6.3 Funções de Pertinência das Regras de Inferência Fuzzy . . . . . . . . . p.67
6.4 Regras de Inferência Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.68
7.1 Sinais Ideais dos Sensores Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.75
7.2 Ruído dos Sensores Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.76
7.3 Resultado do Filtro dos Sensores Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . p.78
7.4 Resultado da Navegação com os Dados Teóricos . . . . . . . . . . . . p.79
7.5 Resultado do Filtro dos Sensores Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . p.80
7.6 Resultado da Navegação com Dados Reais . . . . . . . . . . . . . . . p.82
xi
Lista de Símbolos
A complemento ou negação
a
x
, a
y
, a
z
Acelerações medidas na carcaça do sensor
b
x
, b
y
Bias fixos, derivas não sensíveis a aceleração
c
k
coeficientes da série de Fourier
CEP Círculo de Erro Provável (Circular Error Probable - CEP)
E, N, U sistema de coordenadas geográfico local
E(x) complemento relativo
GPS Global Positioning Systems, sistema de posicionamento por satélite
G constante gravitacional
g aceleração da gravidade local
h
k
resposta do sistema a um impulso
i
i
Corrente, é o valor da corrente aplicada às bobinas de torque proporcionais à velocidade
angular aplicada ao sensor
K
i
Fator de Escala, contante que permite transformar de ampere para
0
/h
m
x
, m
y
Desbalanço radial, derivas sensíveis a aceleração direta
p
i
pesos aplicados a média móvel
qd
x
, qd
y
Derivas sensíveis a aceleração em quadratura
R raio da Terra
S(x,y) S-norma ou T-conorma
S
x,n
soma dos termos x
i
, onde i ∈[n,n+ N]
S
2
x,n
soma dos quadrados dos termos x
i
, onde i ∈ [n,n+ N]
T (x, y) T-norma
n
x
, n
y
Derivas sensíveis a acelerações diretas e na direção do eixo de rotação
N tamanho de uma amostra ou a largura da janela do filtro média móvel
Sp(A) medida de especificidade de A
u
x
, u
y
Desbalanço axial, derivas sensíveis a aceleração na direção do eixo de rotação
w
k
peso para o cálculo da média ponderada
x
i
valores amostrados
x
i
média de x no instante i
X
i
,Y
i
,Z
i
Sistema de coordenadas inercial centrado na Terra
X
e
,Y
e
,Z
e
Sistema de coordenadas centrado e fixo na Terra
X
c
,Y
c
,Z
c
Sistema de coordenadas de nível local (local-level wander-azimuth frame)
α
,
β
Desalinhamentos no plano XY ou coeficientes do filtro média móvel
γ
x
,
γ
y
Desalinhamentos com relação ao eixo Z
µ
= GM standard gravitational parameter para corpos celestes
µ
i
grau de pertinência
ν
x
,
ν
y
Derivas sensíveis a acelerações em quadratura e na direção do eixo de rotação
ω
x
,
ω
y
,
ω
z
Velocidades angulares
ψ
wavelet
σ
desvio padrão
ζ
duração da janela proposta por Garbor
xiii
1
1 Introdução
“Navegar é preciso, viver não.”
Luís de Camões
Na atualidade, um veículo terrestre, uma aeronave ou um navio para que possam ir
de um lugar a outro de forma controlada e segura, necessitam saber sua posição, sua
velocidade, sua aceleração e sua orientação ao longo da sua trajetória.
Há diversas maneiras para serem obtidas estas informações, dentre as quais os
sistemas de navegação inerciais. Nestes sistemas de navegação sensores inerciais
são empregados para medir velocidades angulares e acelerações lineares através de
giroscópios e acelerômetros, respectivamente. Estes valores são então empregados para a
determinação das informações necessárias para a nevegação.
Dadas as diversas aplicações possíveis para sensores inerciais, existem acordos
internacionais, como o “Missil Technology Control Regime” (MTCR), do qual o Brasil é
signatário, que controlam o nível de precisão de sensores inerciais que são comercializa-
dos. Como conseqüência, a indústria nacional, não somente o setor de defesa, encontra
dificuldades para a aquisição destes sensores, restando como saída o desenvolvimento
interno desta tecnologia.
A referência [1] apresenta o desenvolvimento e a fabricação de um giroscópio
nacional sintonizado dinamicamente, também denominado DTG (Dynamic Tuned Gyro).
Há outros esforços nacionais para o desenvolvimento de outros sensores inerciais que não
fazem parte do escopo deste trabalho.
Os resultados apresentados na referência [1] demonstram que o estágio atual de
desenvolvimento destes sensores apresenta uma deriva aleatória da ordem de 0,5
0
/h, o
1.1 Objetivo 2
que não o habilita para aplicações de navegação, como será apresentado no capítulo 2.
1.1 Objetivo
Este trabalho tem por objetivo reduzir a deriva aleatória de giroscópios mecânicos
sintonizados dinamicamente, sem com isso limitar sua faixa de aplicação, por meio de
um filtro para redução do ruído, melhorando a sua performance e aumentando, assim, a
gama de possíveis aplicações.
1.2 Contribuição
Como contribuição deste trabalho é apresentada a implementação de um filtro com
banda passante ajustada dinamicamente por lógica fuzzy.
Os resultados obtidos permitiram o emprego de sensores ainda em desenvolvimento
em teste de campo para navegação e atitude. Em função da redução da deriva aleatória
foi possível estabilizar o algoritmo de navegação.
Esse filtro viabilizou o emprego de sensores de custo mais baixo e não controlados
em sistemas de navegação inercial.
1.3 Estado da Arte
Foram verificadas diversas arquiteturas para a redução de ruído em sensores inerciais.
Na referência [2] é apresentado um filtro baseado em wavelets para a supressão do ruído
(de-noising) dos sensores inerciais, cuja aplicação em unidades inerciais é apresentada
como um estágio anterior aos filtros de alinhamento do sistema. Entretanto, este filtro
de de-noising era empregado somente durante a fase de alinhamento inicial, onde é
considerado que a plataforma está em repouso.
Em [3, 4] é apresentado o emprego de wavelets para de-noising do sinal de
giroscópios empregando o algoritmo proposto por [5]. Nessas referências é apresentada a
influência da escolha do nível de decomposição em wavelets e do limiar para o resultado
final do sinal do giroscópio, porém, novamente, nesses trabalhos, o sinal do sensor é
1.3 Estado da Arte 3
apresentado numa condição de repouso, uma vez que a sua média é constante, não sendo
apresentados transientes ou a influência do filtro sobre estes transientes. Assim como na
referência [2], o objetivo é o seu emprego durante a fase de alinhamento do sistema com
a plataforma em repouso.
A referência [6] apresenta uma abordagem para a redução do ruído de sensores
inerciais em uma plataforma em movimento, uma van, empregando filtros de Kalman
como estimadores ótimos para a minimização dos erros de posição, com o auxílio de
dados de posição obtidos de um GPS. Nesta abordagem foi assumido que a referência
eram os dados de posição do GPS.
Em [7] é apresentada uma outra implementação empregando filtros de Kalman para
a fusão dos dados GPS e inercial.
As abordagens por fusão de dados são as mais empregadas em sistemas comerciais,
tais como AHRS-2305 da Watson Industries, onde é empregada a fusão com magnetôme-
tros [8], ou o AHRS440 da Crossbow que emprega a fusão com GPS, ou a AHRS510,
também da Crossbow, que emprega a fusão com magnetômetros [9]. Pode-se fazer
uma lista de sistemas inerciais que empregam fusão magnetômetro, GPS e inercial com
o emprego de filtros de Kalman como estimadores ótimos, porém a maioria tem seu
desempenho bastante prejudicado quando da inexistência dos sinais GPS. A exceção
são os SNI com qualidade de navegação, ou seja, com giroscópios cuja componente
randômica é inferior a 0.01
o
/h, como exemplos podem ser citados os SNI da iXSea Octans
e Phins [10], ou o MK39 da Sperry [11].
Em suma, foi constatado que, na bibliografia disponível, os filtros sem auxílios
externos são empregados para a fase de alinhamento, onde é assumido que a plataforma
está em repouso, ou que os seus movimentos não são significativos, como os citados
acima. Os filtros empregados com a plataforma em movimento fazem uso de outros
sensores, ou sinais externos, e estes são fundidos aos sinais dos sensores inerciais para a
obtenção da posição e atitude da plataforma. Ou então são empregados giroscópios com
componente de erro randômico inferior a 0.01
o
/h, sensores estes cuja comercialização é
controlada.
A proposta deste trabalho é o desenvolvimento de um filtro para redução de ruído que
permita o uso de giroscópios em desenvolvimento, cujo componente de erro randômico é
1.4 Estrutura da tese 4
da ordem de 0.5
o
/h, sem o emprego de outros sensores ou auxílios externos em unidades
de rumo e atitude.
1.4 Estrutura da tese
Nos capítulos que se seguem serão apresentadas informações sobre vários tipos de
sensores inerciais, quais as tecnologias e problemas associados, e como foi desenvolvido
o filtro para aplicação em giroscópios DTG. Para tal, este trabalho for organizado:
Capítulo 1 É apresentada uma breve introdução, o objetivo deste trabalho, sua contribui-
ção, o estado da arte sobre redução de ruído em sensores inerciais e a estrutura do
trabalho como um todo.
Capítulo 2 São apresentados alguns conceitos sobre navegação inercial, tais como os
sistemas de coordenadas, como é a mecanização do algoritmo, o estado da arte
em tecnologia de sensores inerciais, como são classificados por princípio de
funcionamento e por aplicação.
Capítulo 3 Neste capítulo é apresentado com mais detalhes o giroscópio DTG e o seu
modelo de erros.
Capítulo 4 Neste capítulo são apresentadas as técnicas para o processamento de sinais
média móvel e wavelets empregadas neste trabalho.
Capítulo 5 Para o ajuste da banda passante do filtro para redução de ruído foram
empregadas regras de inferência fuzzy, cuja fundamentação teórica é apresentada
neste capítulo.
Capítulo 6 É apresentado o filtro para redução de ruído de sensores DTG nas suas
possíveis configurações e como foi feita a sua implementação.
Capítulo 7 Os resultados obtidos sobre dados emulados e sobre dados reais são apresen-
tados.
Capítulo 8 Conclusões e propostas para trabalhos futuros.
5
2 Navegação e Sensores-Inerciais
A arte de conduzir um veículo de forma segura de um ponto a outro é denominada
navegação. No passado, este termo era associado à navegação marítima e a preocupação
era única e exclusivamente com o que diz respeito à posição do navio.
Com a evolução dos meios de transporte, em particular com o surgimento do
transporte aéreo, com a inovação tecnológica dos armamentos a partir da segunda grande
guerra, valendo citar a criação dos primeiros mísseis - as bombas V-I e V-II, surgiu a
necessidade de controlar não somente a posição, mas também a sua orientação no espaço,
ou seja, a sua atitude.
Na atualidade, um veículo terrestre, uma aeronave ou um navio, que denominaremos
de forma genérica como plataforma, para que possa ir de um lugar a outro de forma
controlada e segura, necessita saber sua posição ao longo da trajetória, os seus parâmetros
cinemáticos (velocidades e acelerações lineares e angulares) e os seus parâmetros de
atitude (ângulos de orientação).
Há diversas maneiras para serem obtidas estas informações, dentre as quais podemos
citar o “Global Positioning System” (GPS), a navegação astronômica, sistemas como o
DECA e o LORAN, e os sistemas de navegação inerciais, entre outros.
Os sistemas de navegação inercial são os únicos meios de navegação que não
necessitam de informações externas à plataforma para obtenção da sua posição e dos seus
parâmetros cinemáticos e de atitude. Esta propriedade faz com que sejam os sistemas
empregados onde não há informações externas, ou que sejam auto-contidos, tais como
PIG (pipe inspection gauge), submarinos, torpedos, satélites, entre outros.
Nestes sistemas de navegação sensores inerciais são empregados para medir veloci-
dades angulares e acelerações lineares através de giroscópios e acelerômetros, respectiva-
2.1 Algoritmo de Atitude e Navegação 6
Figura 2.1: Sistema inercial “Gimbal” [12], os sensores são mantidos num plano paralelo
ao horizontal pelo cardã (“gimbal”). Os parâmetros de atitude podem ser lidos dos
ângulos dos anéis do cardã.
mente. Estes valores são então integrados para a determinação da posição da plataforma
e dos seus parâmetros cinemáticos e de atitude.
2.1 Algoritmo de Atitude e Navegação
A navegação inercial tem por objetivo fornecer a posição e os parâmetros de atitude,
ou seja, como o veículo está orientado no espaço. Para isso emprega sensores inerciais,
acelerômetros, que medem acelerações lineares, e giroscópios, que medem velocidades
angulares.
Os primeiros sistemas inerciais mantinham um plano paralelo a horizontal, através
de um cardã como na figura 2.1, onde os acelerômetros e giroscópios eram fixados.
Para o cálculo da posição eram integrados os sinais dos acelerômetros. Os sinais dos
giroscópios eram empregados para manter este plano estável e horizontal independente
dos movimentos do veículo. Os parâmetros de atitude podiam ser obtidos através das
posições angulares dos anéis do cardã.
Com a evolução da capacidade de processamento de dados em tempo-real e dos con-
2.1 Algoritmo de Atitude e Navegação 7
Figura 2.2: Diagrama simples de um sistema inercial solidário (“strapdown”).Há dois
conjuntos de hardware distintos: a unidade de medida inercial, onde estão os sensores;
e a unidade de processamento, onde os dados digitalizados dos sinais são compensados
e processados pelos algoritmos de navegação e atitude.
versores A/D, foi possível a implementação de sistemas inerciais solidários à plataforma,
também denominados “strapdown”. Nestes sistemas não existe um cardã para isolar os
sensores dos movimentos do veículo, ao invés disto há algoritmos que mantêm um plano
virtual horizontal, calculado a partir dos sinais dos sensores integrados ao longo do tempo.
Nestes sistemas os parâmetros de atitude e posição são calculados pelos algoritmos de
atitude e navegação.
Numa abordagem bem simples, um sistema inercial solidário pode ser representado
pelo diagrama da figura 2.2.
Neste trabalho adotaremos as definições de Sistema de Navegação Inercial (SNI)
como um sistema que emprega sensores inerciais para a obtenção dos ângulos de
atitude da plataforma, balanço, caturro e rumo (roll, pitch e yaw) e as suas coordenadas
geográficas, latitude, longitude e altitude. Uma Unidade de Referência de Atitude
(URA) será definida como um sistema que emprega sensores inerciais para a obtenção
dos ângulos de atitude da plataforma. Quando nos referimos a Sistemas Inerciais estes
poderão ser tanto SNI quanto URA.
Os sistemas inerciais podem empregar informações de outros sistemas ou sensores
e fundi-los aos dos sensores inerciais para melhorar a performance do sistema como
um todo. Como exemplos de sensores que são empregados para este fim podemos citar
magnetômetros e odômetros. Também podem ser empregadas as coordenadas fornecidas
por outros sistemas de navegação, como GPS, ou mesmo através de informação direta ao
2.1 Algoritmo de Atitude e Navegação 8
sistema pelo usuário para a fusão dos dados. Os algoritmos mais empregados para este
fim são os filtros de Kalman, como por exemplo os sistemas inerciais apresentados como
no catálogo da Crossbow [9] ou no catálogo da iXSea [10].
Neste trabalho é assumido que o sistema inercial não possui auxílios externos,
restando tão somente os sensores inerciais para a obtenção dos parâmetros de atitude
do sistema.
O diagrama da figura 2.2 representa, de forma simplificada, um sistema inercial com-
posto por dois conjuntos distintos de hardware, a Unidade de Medida Inercial (IMU)
e a Unidade de Processamento. Os sensores inerciais, giroscópios e acelerômetros, e a
eletrônica associada a estes sensores compõem a IMU , ou em inglês inertialmeasurement
unit (IMU). Este conjunto de hardware é responsável pelas medidas das velocidades
angulares e acelerações lineares aplicadas ao sistema. A unidade de processamento é
responsável pelo tratamento dos sinais dos sensores inerciais e pelo processamento dos
algoritmos de navegação e atitude, gerando como saída a posição da plataforma e os seus
parâmetros de atitude.
Nas seções a seguir serão descritos, de forma resumida, os componentes do algoritmo
de atitude e navegação e os sensores inerciais propriamente ditos. Informações mais
detalhadas podem ser obtidas nas referências [13, 14, 15, 16, 17, 18].
2.1.1 Sistemas de Coordenadas
Para falar de algoritmos de navegação e atitude é necessário primeiro definir os
sistemas de coordenadas onde estes algoritmos e sinais são processados e obtidos. Há
vários sistemas de coordenadas de referência diferentes disponíveis para emprego em
sistemas inerciais, os sistemas de coordenadas de referência apresentados nesta seção
são aqueles usados por Carole Bolduc e Nelson Monnerat nas referências [13] e [17],
que seguem a mesma abordagem apresentada por George Siouris e Kenneth Britting nas
referências [18] e [14].
Nas seções a seguir serão descritas as notações e sistemas de coordenadas empregados
para descrever, de forma sucinta, os algoritmos de navegação e atitude. Abaixo são
definidos os sistemas de coordenadas apresentados na figura 2.3:
2.1 Algoritmo de Atitude e Navegação 9
Figura 2.3: Sistemas de coordenadas de referência usados pelos algoritmos de navegação
e atitude neste trabalho.
X
i
, Y
i
, Z
i
sistema de coordenadas inercial centrado na Terra
X
e
, Y
e
, Z
e
sistema de coordenadas centrado e fixo na Terra
E, N, U sistema de coordenadas geográfico local
X
c
, Y
c
, Z
c
sistema de coordenadas de nível local (local-level wander-azimute frame)
2.1 Algoritmo de Atitude e Navegação 10
Sistema de coordenadas inercial centrado na Terra (I) é um sistema de coordenadas
cuja origem coincide com o centro de massa da Terra, é não-rotativo em relação ao
espaço inercial (i.e. as estrelas fixas), o seu eixo Z coincide com o eixo de rotação
da Terra na direção Norte e os seus eixos X na direção do equinócio vernal no
hemisfério norte .
Sistema de coordenadas centrado e fixo na Terra (E) tem sua origem no centro de
massa da Terra e roda com o planeta, o seu eixo Z coincide com o eixo de rotação
da Terra na direção Norte e o eixo X passa pela intersecção do equador com o
meridiano de “Greenwich”.
Sistema de coordenadas geográfico local (N) é o sistema de coordenadas de navegação
local, também chamado sistema de coordenadas de navegação, tem como origem o
centro do sistema inercial e seus eixos são definidos como Leste, Norte e Para cima
(East, North UP - ENU).
Sistema de coordenadas de nível local (L) também chamado de sistema de coordena-
das computacional, sua origem é a mesma do sistema de coordenadas geográfico
local, os eixos horizontais estão num plano tangente à vertical local, porém com
uma rotação de
α
, denominado “wander angle”, ao redor do eixo vertical. O
wander angle é particularmente importante para navegações próximas aos polos.
Sistema de coordenadas do corpo (B) tem como origem o centro de gravidade do
veículo, tem seu eixo Z orientado para baixo e o eixo X no sentido longitudinal
do veículo.
2.1.2 Descrição do Algoritmo de Atitude e Navegação
De uma maneira bem simples, pode-se afirmar que o algoritmo de atitude e navegação
consiste em uma seqüência de troca de sistemas de coordenadas dos sinais obtidos pelos
sensores inerciais e a sua posterior integração ao longo do tempo para a estimação da
posição e dos parâmetros de atitude.
Para resolver este problema o algoritmo de atitude e navegação possui os seguintes
passos principais, também denominado mecanização:
2.1 Algoritmo de Atitude e Navegação 11
Alinhamento Inicial - este é o passo inicial do algoritmo que consiste do alinhamento
inicial do sistema de coordenadas de nível local (L). A implementação proposta
nas referências [13] e [17], semelhante ao proposto em [14], consiste num período
longo de amostragem dos sinais dos sensores para minimizar os erros devidos à
repetibilidade dos bias dos sensores, à não-ortogonalidade de montagem interna, e
perturbações externas tais como o jogo de um navio, ou a vibração de um veículo
terrestre.
Alinhamento fino - na implementação proposta em [13] e [17] é empregado um filtro de
Schuler modificado para a correção de pequenos erros de alinhamento remanescen-
tes. Este filtro permite o alinhamento fino mesmo com a plataforma em movimento.
Compensação - nesta fase são compensados os erros identificados nos modelos de erros
que serão apresentados resumidamente na seção 3.1. Estes parâmetros são iden-
tificados através de ensaios laboratoriais estáticos e dinâmicos. Derek Hartal [15]
apresenta uma metodologia para a obtenção destes parâmetros. Pedro Roquete [19]
no seu trabalho apresenta uma metodologia para a determinação dos parâmetros de
acelerômetros pendulares servo-controlados (APSC) e de giroscópios DTG, para o
cálculo das incertezas associadas a estes parâmetros e como calcular as incertezas
de navegação em função das incertezas dos parâmetros dos sensores.
Mudança de sistemas de coordenadas e integração - os dados são obtidos no sistema
de coordenadas do sistema inercial, este é transferido para o sistema de coordenadas
do corpo, cujos parâmetros são definidos na montagem do sistema, para então
serem transferidos para o sistema de coordenadas de nível local quando, então,
são integrados os valores das velocidades angulares para a obtenção dos novos
parâmetros de atitude atualizados. A partir destes novos parâmetros de atitude é
feita a mudança de coordenadas para o sistema geográfico para a integração dos
valores dos acelerômetros e atualização da posição do veículo.
Em conjunto com as mudanças de coordenadas e integraçõesdos sinais dos acelerômetros
e dos giroscópios, são empregados filtros de estabilização. Nas referências [14], [18]
e [20] são apresentadas configurações de filtros para estabilização do sistema inercial,
ortogonalização de seus parâmetros intermediários, estabilização do canal vertical entre
outros.
2.1 Algoritmo de Atitude e Navegação 12
Pode-se citar dentre estes filtros o de Schuler, em homenagem a M. Schuler que o
descreveu em 1923. A freqüência de Schuler é a freqüência de um pêndulo ideal com
comprimento igual ao raio da Terra, cujo período é de aproximadamente 84 minutos.
Uma maneira rápida de verificar o período de Schuler é calcular o período de Kepler
para uma massa posicionada na superfície da Terra. Esta componente de baixa freqüência
aparecerá nos dois eixos no plano horizontal e deve portanto ser compensada por um filtro
para a estabilização do sistema.
τ
= 2.
π
a
3
µ
Período de Kepler
sendo
µ
= GM o standard gravitational parameter para corpos celestes , onde G =
6,67428±0.0010×10
−11
N.m
2
Kg
2
a constante gravitacional e M a massa do corpo celeste
central, neste caso a Terra.
Para a = R, o raio da Terra, e uma massa m a força gravitacional será
mg = m.
µ
R
2
donde pode-se concluir que
τ
= 2.
π
R
g
≃ 84min
O algoritmo de navegação empregado neste trabalho faz uso do filtro de alinhamento
proposto por [20] e implementado em [13, 17], que consiste numa versão modificada do
filtro de Schuler, porém aplicado à direção.
Neste trabalho não foi empregado qualquer filtro de pré-alinhamento, ou para
estabilização do canal vertical. Este último se refere à variaçãoda aceleração da gravidade
ao longo da crosta terrestre. Em geral estes filtros empregam o modelo WGS84 (EGM
96) do geóide da Terra para estimar o valor de g em uma determinada posição geográfica.
O WGS84 (World Geodetic System 84) é um sistema de referência terrestre conven-
cional tridimensional e ortogonal que possui um modelo do geóide terrestre. Este modelo
de geóide foi refinado ao longo dos anos dando origem ao EGM96 (Earth Gravital Model)
ou modelo gravitacional da Terra que hoje faz parte do modelo WGS84. A última revisão
deste modelo foi realizada em 2004 e é válida até 2010 [21].
2.2 Sensores Inerciais 13
Figura 2.4: DTG modelo MITA 5 da empresa Kearfott [22].
Como os acelerômetros com qualidade de navegação têm precisão da ordem de
centenas de
µ
g, a compensação do valor de g se faz necessária. O WGS84 não leva
em consideração a variação geológica da Terra, o que também afeta o valor de g, por isso
são empregadas técnicas para a estabilização do canal vertical, além da compensação do
valor obtido através do modelo do geóide.
2.2 Sensores Inerciais
Um sistema de navegação inercial (SNI) é composto, basicamente, por dois tipos de
sensores: os giroscópios, também denominados girômetros ou giros, e os acelerômetros.
Os giroscópios são responsáveis por medir as três velocidades angulares aplicadas
à plataforma e os acelerômetros pelas três acelerações lineares também aplicadas à
plataforma. Integrando os valores corrigidos, obtidos a partir destes sensores, é possível
a determinação dos parâmetros cinemáticos, as velocidades lineares e angulares, e os
parâmetros de atitude da plataforma, os ângulos que definem como a plataforma está
orientada no espaço.
Para aplicações em navegação inercial os acelerômetros normalmente empregados
são os acelerômetros pendulares servo-controlados (APSC) com um eixo sensível como
o apresentado na figura 2.5.
2.2 Sensores Inerciais 14
Figura 2.5: Acelerômetro modelo K120A030 da empresa Kearfott [22].
Os giroscópios possuem uma complexidade associada maior e os seus dados são
integrados três vezes, propagando o erro a eles associado com um impacto maior sobre o
erro global do sistema [14, 18, 13, 17]. A figura 2.4 é um exemplo de um giroscópio DTG
comercial, da empresa Kearfott, com qualidade para aplicações de navegação e espacial.
Para facilitar a apresentação os giroscópios foram classificados em:
• Giros Mecânicos:
DTG (Dynamic Tuned Gyro);
Floated Gyro;
ESG (Eletrostatic Suspended Gyro).
• Giros Óticos:
FOG (Fiber Optic Gyro);
RLG (Ring Laser Gyro).
• Giros Micro-usinados:
Microelectromechanical System (MEMS);
Micro-Optic-Electromechanical System MOEMS.
A figura 2.6 da referência [23] apresenta as diversas aplicações, os níveis de precisão
associados e os tipos de sensores disponíveis. É possível verificar nesta figura que os
giroscópios mecânicos são os que apresentam maior precisão, com erros da ordem de
10
−5 0
/h. Os giroscópios DTG apresentam níveis de precisão comparáveis aos RLG e
2.2 Sensores Inerciais 15
Figura 2.6: Neste gráfico da referência [23] são apresentadas as tecnologias empregadas
em giroscópios, as faixas de precisão para cada tecnologia, bem como as suas aplicações.
FOG com aplicações desde navegação de veículos submersos autônomos a torpedos e
mísseis de cruseiro.
Outra indicação importante na figura 2.6 são as linhas verticais que identificam a
precisão necessária para um erro de 1 Nm/h (1 milha náutica por hora) e para medir a
rotação da Terra.
Vale ressaltar que a referência [23] é empregada para nortear os índices aplicados por
agências de controle e por regimes internacionais, tais como o MTCR.
Figura 2.7: ”Microelctromechanical System” [23].
2.2 Sensores Inerciais 16
Figura 2.8: ”Fiber optic gyro” [23].
A partir da figura 2.6 pode-se verificar que os giroscópios mais precisos são os
mecânicos e os óticos.
Os sensores micro-usinados como o apresentado na figura 2.7, apesar de uma
precisão inferior, são menores e apresentam um custo muito inferior, o que permitiu a
popularização do emprego de sensores inerciais em carros, nos sistemas de suspensão
ativa por exemplo, em aeromodelos, como helicópteros radio controlados, e até em
consoles de jogos eletrônicos como o novo controle do Wii
R
da Nintendo
R
que possui
um conjunto de três acelerômetros com 3 eixos iMEMS ADXL330 da Analog Devices.
Atualmente, nos países do primeiro mundo, em aplicações aeronáuticas e navais, os
sensores mecânicos vêm sendo substituídos por sensores óticos, RLG ou FOG. A figura
2.8 apresenta um exemplode um sensor FOG. Estes sensores e os RLG, por não possuírem
partes móveis, apresentam um MTBF (mean time between failures - tempo médio entre
falhas) maior e um custo menor.
O nicho de emprego de sensores mecânicos tem permanecido nas aplicações espa-
ciais, uma vez que os componentes optrônicos apresentam uma grande degradação no
espaço devido à exposição às radiações cósmicas. Em países em desenvolvimento, dada a
complexidade na fabricação de componentes optrônicos, fontes laser de precisão, etc, os
sensores mecânicos também encontraram um nicho de aplicação.
2.3 Círculo de Erro Provável - CEP 17
2.3 Círculo de Erro Provável - CEP
Há três tipos principais de erros associados a sensores inerciais: erros associados
ao bias e ao fator de escala, geralmente função do hardware; erros de alinhamento dos
sensores que podem causar erros com relação aos sistemas de coordenadas; e erros de
inicialização (turn on / turn off). Ao serem avaliados os sensores inerciais que serão
empregados em um sistema inercial deve ser verificada a propagação destes erros com
o intuito de avaliar o desempenho global do sistema. Nas referências [18, 14, 19] são
apresentados modelos de propagação dos erros nos parâmetros que compõem o modelo
de compensação e qual a influência na precisação final do sistema.
Assumindo que a maior parcela de erro seja a dos giroscópios e desprezando os
demais componentes de erro, é possível uma avaliação de desempenho de sistemas
inerciais em função deste sensor e as possíveis aplicações empregando o conceito de
Círculo de Erro Provável (Circular Error Probable - CEP).
O CEP é uma estimativa estatística do raio de um círculo que contenha 50% das
amostras de uma população ao redor de um centro médio [24]. Vale ressaltar que o raio
do CEP, com 50% de probabilidade de conter uma população, é uma medida de dispersão
e não uma média do erro de posição.
Assumindo que o erro nas duas direções do plano tenha distribuição normal e que o
desvio padrão em ambas as direções seja o mesmo e igual a
σ
, é apresentado em [25] que
o CEP terá uma distribuição de Raleigh e poderá ser calculado como
α
=
σ
−2ln(1−P)
onde P é a probabilidade de conter a população. Para o caso de 50%
α
∼
=
1.18
σ
.
Assumindo que a plataforma esteja navegando em uma linha reta e a simplificação de
que a Terra é uma esfera, pode-se afirmar que [26]
σ
Nm/h = 60∗
σ
◦
/h
onde Nm corresponde a Milhas náuticas (uma Nm corresponde a um minuto de arco de
latitude).
18
3 Giroscópio DTG
Lawrence [16] apresenta o histórico do desenvolvimento dos giroscópios. A seguir
será apresentado um resumo deste histórico até chegarmos ao giroscópio DTG.
Na década de 40, engenheiros da Escócia projetaram um giroscópio que empregava
um volante de inérciasobre umajunta universal,porém foi verificado que este era instável.
Esta instabilidade era causada pelas forças de inércia da cruzeta, o que foi identificado por
Arnold e Maunder da Universidade de Edimburgo.
Em 1963, Howe montou a junta universal empregando molas de flexão ao invés de
mancais e utilizou o efeito da inércia da cruzeta para cancelar a rigidez da junta universal.
Como a rigidez das molas das juntas não é função da velocidade angular, mas a reação
à inércia é, pode-se determinar a velocidade de rotação em que ambas se cancelam.
Esta velocidade angular é denominada freqüência de sintonia, uma vez que geralmente a
velocidade angular é especificada em Hz, a freqüência de acionamento do motor.
A figura 3.1 apresenta um diagrama destes sensores que são denominados Dynamic
Tuned Gyros - DTG. Nesta figura é possível identificar os principais componentes de um
giroscópio DTG, o motor, os rolamentos e a junta flexível.
A figura 3.2 (a) apresenta um diagrama simplificado da cruzeta e a figura 3.2 (b) o
desenho desta junta empregadano giroscópio DTG desenvolvidopelo Centro Tecnológico
da Marinha em São Paulo objeto do trabalho do Fernando Junqueira [1].
Na condição de sintonia, como a rigidez é cancelada pelareação da inércia da cruzeta,
o rotor comporta-se, no caso ideal, como um corpo livre no espaço. Uma vez aplicada
uma velocidade angular nos eixos ortogonais ao eixo de rotação, por efeito giroscópico,
surgem deslocamentos 90 defasados. Estes deslocamentos são sentidos pelos sensores e,
através da malha de controle, é aplicada uma corrente nas bobinas de torque de modo a
3 Giroscópio DTG 19
Figura 3.1: Diagrama de um giroscópio DTG [1].
(a) Diagrama das Juntas flexíveis
(b) Juntas flexíveis
Figura 3.2: Junta flexível de um giroscópio empregando uma junta universal (gimbal) [1].
3 Giroscópio DTG 20
Figura 3.3: Esquema das bobinas de torque e dos sensores de um giroscópio DTG [1].
cancelar tal deslocamento. A corrente aplicada então é medida, sendo esta proporcional à
velocidade angular aplicada.
A figura 3.3 é o desenho mecânico do arranjo dos sensores de deslocamento, dos
anéis magnéticos e das bobinas de torque. Este conjunto rotor é fixado à junta flexível
apresentada na figura 3.2 (b), compondo o rotor do giroscópio DTG.
Para entendermos melhor oprincípio de funcionamento de um DTG, o conjunto
apresentado na figura 3.3 fixado à peça da figura 3.2 (b), na freqüência de sintonia,
se comporta como um corpo livre no espaço, numa condição ideal. Ao ser aplicada
uma velocidade angula ao giroscópio os sensores de deslocamento, apresentados na base
da figura 3.3, percebem um deslocamento 90
0
defasado e, por meio de uma malha de
controle, é aplicada uma corrente nas bobinas de torque para corrigir este deslocamento.
A corrente alicada às bobinas de torque será proporcional a velocidade angular a que o
giroscópio estiver sendo submetido.
Como o DTG possui 2 graus de liberdade, podem ser medidas duas velocidades
angulares com um único sensor.
3.1 Modelo de Erros 21
3.1 Modelo de Erros
Existem diversas nomenclaturas para a descrição do modelo de erros de sensores
DTG, como pode ser observado nas referências [27, 1, 18]. Neste trabalho será adotada a
nomenclatura apresentada no trabalho de Fernando Junqueira [1], onde é desenvolvido o
modelo do giro DTG, os ensaios de validação dos modelos e os processos de fabricação
desenvolvidos no Centro Tecnológico da Marinha em São Paulo (CTMSP).
Este modelo de erros é:
K
x
.i
x
= b
x
+ m
x
.a
x
+ qd
x
.a
y
+ u
x
.a
z
+
n
x
.a
x
.a
z
+
ν
x
.a
y
.a
z
+
ω
x
+
ω
y
.
α
−
ω
z
.
γ
y
(3.1)
K
y
.i
y
= b
y
+ qd
y
.a
x
+ m
y
.a
y
+ u
y
.a
z
+
ν
y
.a
x
.a
z
+ n
y
.a
y
.a
z
−
ω
x
.
β
+
ω
y
+
ω
z
.
γ
x
(3.2)
Onde:
K
i
Fator de Escala, constante que permite transformar de ampere para
0
/h;
i
i
Corrente, é o valor da corrente aplicada às bobinas de torque proporcionais à velocidade
angular aplicada ao sensor;
b
x
, b
y
Bias fixos, derivas não sensíveis à aceleração;
m
x
, m
y
Desbalanço radial, derivas sensíveis à aceleração direta;
qd
x
, qd
y
Derivas sensíveis à aceleração em quadratura;
u
x
, u
y
Desbalanço axial, derivas sensíveis à aceleração na direção do eixo de rotação;
n
x
, n
y
Derivas sensíveis às acelerações diretas e na direção do eixo de rotação;
ν
x
,
ν
y
Derivas sensíveis às acelerações em quadratura e na direção do eixo de rotação;
a
x
, a
y
, a
z
Acelerações medidas na carcaça do sensor
3.1 Modelo de Erros 22
Figura 3.4: Desalinhamento dos eixos X e Y [1].
ω
x
,
ω
y
,
ω
z
Velocidades angulares;
α
,
β
Desalinhamentos no plano XY, figura 3.4;
γ
x
,
γ
y
Desalinhamentos com relação ao eixo Z.
Os componetes do modelo de erros muitas vezes são referenciados como “derivas”, uma
vez que são responsáveis por erros de navegação.
A figura 3.4 apresenta um diagrama dos desalinhamentos
α
e
β
no plano XY.
O esquema para visualização da deriva sensível à aceleração em quadratura é apresen-
tado na figura 3.5. Este componente do modelo de erros corresponde à anisoelasticidade
das juntas, ou seja, a diferença da rigidez elástica das juntas flexíveis da cruzeta do rotor,
figura 3.2.
O esquema para visualização da deriva sensível à aceleração direta da figura 3.6
apresenta o desbalanço radial residual do conjunto rotor.
Nas referências [27, 1] é apresentada uma visão detalhada destes componentes.
Cada um dos parâmetros das equações 3.1 e 3.2 possui uma distribuição estatística
associada, sendo os principais o erro de repetibilidade do bias e a associação dos demais
ruídos não modelados denominado erro randômico. Na figura 2.6 os sensores foram
classificados em função desta componente erro randômico.
3.1 Modelo de Erros 23
Figura 3.5: Esquema para visualização da deriva sensível à aceleração em quadratura.
Figura 3.6: Esquema para visualização da deriva sensível à aceleração direta[1].
3.1 Modelo de Erros 24
Pedro Roquete [19], em seu trabalho, propõe uma metodologia para a determinação
dos parâmetros de erros apresentados neste modelo e para os acelerômetros APSC.
Pedro Roquete em [19], também, apresenta umametodologiapara análise da sensibilidade
sobre as incertezas associadas a cada um destes parâmetros com respeito ao algoritmo de
navegação e atitude, apresentando diversos casos de estudo. Este trabalho foi fundamental
para as atividades desenvolvidas no Instituto de Pesquisa do Marinha, no Rio de Janeiro,
RJ, no ensaio de sensores.
25
4 Processamento de Sinal
Como apresentado no capítulo 2, em especial na figura 2.6, a qualidade e o tipo de
aplicação de um sensor inercial são definidos por um componente randômico do erro.
Via de regra, sensores mais precisos apresentam um custo mais elevado e, a partir de
determinados valores, sua comercialização é bastante dificultada.
A fundamentação teórica apresentada neste capítulo visa à obtenção de um filtro para
reduzir este componente não modelável de um sensor DTG, objetivo deste trabalho.
4.1 Média Móvel
Podemos assumir que num determinado intervalo de tempo, intervalo este inferior a
constante de tempo da plataforma a qual o giroscópio está associado, a velocidade angular
é constante. Visto que a saída do giroscópio é a velocidade angular da plataforma, a partir
da hipótese acima podemos empregar o modelo:
x
t
= a+
ε
t
(4.1)
onde
ε
t
é o ruído no instante observado com média zero e x
t
a saída do sensor inercial.
Seja {x
t
,x
t−1
,...,x
t−(N−1)
}um conjunto de N valores amostrados de x em um instante
t. O estimador de a pode ser calculado a partir da estimativa da média dessas N
observações no instante t, ¯x
t
:
¯x
t
=
1
N
.
t
∑
i=t−(N−1)
x
i
(4.2)
No instante seguinte t + 1 nossos pontos, para uma janela móvel com N valores,
4.1 Média Móvel 26
seriam {x
t+1
,x
t
,...,x
t−N
} e o nosso estimador para a média para o instante t + 1 poderá
ser obtido como:
¯x
t+1
=
1
N
.
t+1
∑
i=t−N
x
i
(4.3)
arrumando os termos pode-se observar que
¯x
t+1
=
1
N
∑
t
i=t−(N−1)
x
i
+ x
t+1
−x
t−(N−1)
=
1
N
.
∑
t
i=t−(N−1)
x
i
+
x
t+1
−x
t−(N−1)
N
= ¯x
t
+
x
t+1
−x
t−(N−1)
N
portanto, arrumando os índices, chega-se a
¯x
t
= ¯x
t−1
+
x
t
−x
t−N
N
(4.4)
Pode-se assumir que o melhor estimador para x
t−N
seja ¯x
t−1
e re-escrever a equação
4.4 como
¯x
t
= ¯x
t−1
+
x
t
− ¯x
t−1
N
=
1
N
.x
t
+ (1−
1
N
). ¯x
t−1
(4.5)
criando os parâmetros
α
=
1
N
e
β
= (1 −
α
) chega-se a expressão apresentada na
referência [28]
¯x
t
=
α
x
t
+
β
¯x
t−1
(4.6)
Na referência [28] é apresentado que o emprego da equação 4.6 minimiza a soma dos
quadrados do resíduo, portanto um estimador melhor para a média ¯x
t
.
4.1.1 Resposta ao Impulso
A média móvel calculada a partir da equação 4.4 pode ser vista como uma média
ponderada, onde cada dado amostrado x
i
, para i = t −(N −1),...,t, tem um peso igual a
1
N
e todos os dados anteriores a t−(N −1) têm peso 0, ou seja, para i < t −(N −1) o peso
é igual a 0.
Adotando um raciocínio análogo teremos, para a média calculada através da equação
4.6, que os dados anteriores a t −(N−1) têm peso igual a 0 e os valoresondet−(N−1) ≤
4.1 Média Móvel 27
i ≤ t teremos:
¯x
t
=
α
x
t
+
β
¯x
t−1
=
α
x
t
+
β
(
α
x
t−1
+
β
¯x
t−2
)
=
α
x
t
+
αβ
x
t−1
+
αβ
2
x
t−2
+ ... +
αβ
N
x
t−N
(4.7)
Seja y
n
=
α
x
n
+
β
y
n−1
uma função linear invariante no tempo, podemos então dizer
que ¯x
t
= y
n
para x
n
= x
t
no intervalo t −(N −1) ≤ i ≤t. Portanto podemos re-escrever a
equação anterior como
y
n
=
α
x
n
+
αβ
x
n−1
+
αβ
2
x
n−2
+ ... +
αβ
N−1
x
n−(N−1)
(4.8)
A partir da equação 4.8 chega-se à expressão
y
n
=
N−1
∑
k=0
x
n−k
αβ
k
(4.9)
Um sistema causal é aquele onde a sua reposta só depende dos valores de entrada
atuais e passados. Proakis em [29] demonstra que a resposta de um sistema causal é a
convolução da entrada com a resposta do sistema a um impulso. Seja h
t
a resposta do
sistema a um impulso, então a resposta de um sistema é
y(t) =
∞
∑
k=0
h
k
x
t−k
(4.10)
Observando a equação 4.10 podemos afirmar que a resposta a um impulso é a soma
ponderada do passado, ou seja, que a resposta a um impulso é a média ponderada dos
valores já observados de x
t
.
Como já demonstrado anteriormente, define-se a média móvel calculada pela equação
4.6 como uma média ponderada tal que
w
k
= 0 para k < t −N
w
k
=
αβ
t−k
para t −N < k < t
(4.11)
A partir das equações 4.9 e 4.10 pode-se então afirmar que a resposta ao impulso da
média móvel calculada pela equação 4.6 é
h
k
=
αβ
k
(4.12)
4.1 Média Móvel 28
A média móvel calculada através da equação 4.6 é linear e invariante com o tempo,
logo seu comportamento dinâmico é descrito através da sua resposta a um impulso h
k
=
αβ
k
.
4.1.2 Transformada Z
A transformada de Fourier de um sinal contínuo no tempo x(t) é definida como
X(F) =
∞
−∞
x(t).e
−j2
π
Ft
dt (4.13)
e a transformada inversa
x(t) =
∞
−∞
X(F)e
j2
π
Ft
dF (4.14)
A energia de um sinal x(t) é calculada como
E
x
=
∞
−∞
|x(t)|
2
dt (4.15)
Por meio da relação de Parseval tem-se que
E
x
=
∞
−∞
|x(t)|
2
dt =
∞
−∞
|X(F)|
2
dF (4.16)
Para um sinal discreto no tempo a transformada discreta de Fourier é definida como
X(
ω
) =
∞
∑
n=−∞
x(n).e
−j
ω
n
(4.17)
onde
ω
= 2
π
F é a freqüência em radianos por segundo.
Pode-se observar que a transformada discreta de Fourier é periódica com período 2
π
X(
ω
+ 2k
π
) =
∞
∑
n=−∞
x(n).e
−j(
ω
+2k
π
)n
=
∞
∑
n=−∞
x(n).e
−j
ω
n
.e
−j2k
π
n
=
∞
∑
n=−∞
x(n).e
−j
ω
n
= X(
ω
) (4.18)
A transformada-z de uma seqüência x(n) é definida como
X(z) =
∞
∑
n=−∞
x(n).z
−n
(4.19)
4.1 Média Móvel 29
para r
2
< |z| < r
1
a região de convergência de X(z) [29]. Se adotarmos a notação polar
para z, z = r.e
j
ω
teremos
X(z)|
z=re
j
ω
=
∞
∑
n=−∞
x(n)r
−n
.e
−j
ω
n
(4.20)
se X(z) convergir para |z|= r = 1 teremos
X(z)|
z=e
j
ω
≡ X(
ω
) =
∞
∑
n=−∞
x(n).e
−j
ω
n
(4.21)
Pode-se então concluir que a transformada discreta de Fourier é igual a transformada-
z calculada sobre o círculo de raio um, ou círculo unitário. A transformada-z é uma
ferramenta utilizada para a análise de sistemas lineares invariantes com o tempo, onde a
entrada do sistema é um conjunto de dados discretos x
t
amostrados no tempo.
Na referência [29] é demonstrado que todo sistema linear invariante com o tempo é
completamente descrito pela sua resposta ao impulso, portanto com base nas equações
4.12 temos que a resposta ao impulso do filtro descrito é
h
k
=
αβ
k
onde
α
=
1
N
e
β
= (1−
α
).
Para uma amostra finita de tamanho N o nosso filtro então terá a forma
y(n) =
N−1
∑
k=0
h
k
x
n−k
(4.22)
e portanto é caracterizado pela equação [29]
H(z) =
N−1
∑
k=0
h(k)z
−k
(4.23)
pode-se então chegar a transformada-z do filtro média móvel, calculado através da
equação 4.4, como [29]
H(z) =
α
1−
β
N
z
−N
1−
β
z
−1
(4.24)
4.1.3 Resposta em Freqüência
Para um sinal digital amostrado no tempo com freqüência F
s
, é assumido que há
um filtro anti-alias com banda passante B =
F
s
2
, portanto a freqüência máxima que pode
4.1 Média Móvel 30
Figura 4.1: Diagrama de Bode da função de transferência do filtro calculado a partir da
equação 4.5.
estar presente no sinal é
F
s
2
. Podemos assumir também que o intervalo de amostragem é
constante T =
2
F
s
.
Seja, então, N a largura de nossa amostra, logo o período de amostragem será T
0
=
N.T e a resolução mínima de freqüências observáveis será
1
T
0
=
1
N.T
.
Para os dados que serão empregados foi adotado um intervalo de amostragem T =
10ms.
A freqüência de corte é definida como o valor da freqüência onde há uma redução de
1
2
do quadrado da amplitude, ou em dB, uma redução de -3 dB do valor da amplitude.
Nos gráficos da figura 4.1 é apresentado o comportamento do filtro calculado a partir
da equação 4.5 adotando como valores para N, a largura da amostra, de 5, 25, 50 e 100
pontos apresentados nas cores ciano, verde, azul e vermelho, respectivamente.
Pode ser observado na figura 4.1, comparando os gráficos para os diferentes valores
de N, que quanto maior a largura da amostra menor a freqüência de corte, ou seja, maior
a constante de tempo do sistema e menor a banda passante do filtro.
4.2 Wavelets 31
O filtro média móvelcomporta-se como um filtro passa-baixa cuja freqüência de corte
é uma função da largura da janela, quanto maior a largura da janela menor o atraso em
fase e menor a freqüência de corte.
4.2 Wavelets
4.2.1 Análise no campo da Freqüência
Num artigo submetido em 1672 à “Royal Society”, Isaac Newton empregou o termo
espectro para descrever as faixas contínuas de cor produzidas por um prisma. Para
entender o fenômeno Newton empregou um outro prisma de cabeça-para-baixo com
relação ao primeiro para fundir as cores novamente na luz branca [29]. Como as cores
correspondem a freqüências específicas do espectro visível, a análise da luz em cores é
uma forma de análise de freqüência. Portanto, pode-se entender a análise em freqüência
de um sinal como a divisão deste sinal nas freqüências que o compõem.
Os sinais contínuos no tempo e periódicos podem ser representados como uma
combinação linear de números complexos harmônicos
x
P
(t) =
∞
∑
k=−∞
c
k
e
j2
π
kF
0
t
, F
0
=
1
T
P
(4.25)
onde c
k
são chamados de coeficientes de Fourier e T
P
o período de x
P
c
k
=
1
T
P
T
P
2
−
T
P
2
x(t)e
−j2
π
kF
0
t
dt (4.26)
A somatória de coeficientes é denominada Série de Fourier do sinal x
P
(t).
Seja x(t) um sinal finito no tempo com duração T
P
, pode-se criar um sinal periódico
x
P
(t) como uma repetição do sinal x(t). Pode-se, portanto, concluir que para T
P
→ ∞
x
P
(t) tende a x(t)
x(t) = lim
T
P
→∞
x
P
(t) (4.27)
neste caso os coeficientes de Fourier serão
c
k
=
1
T
P
∞
−∞
x(t)e
−j2
π
kF
0
t
dt (4.28)
4.2 Wavelets 32
Seja então a Transformada de Fourier a função
X (F) =
∞
−∞
x(t)e
−j2
π
Ft
dt (4.29)
portanto os coeficientes da série podem ser definidos como
c
k
=
1
T
P
X (kF
0
) (4.30)
Para T
P
→ ∞ a somatória apresentada transforma-se em
x(t) =
∞
−∞
X (F) e
j2
π
Ft
dF (4.31)
a transformada inversa de Fourier.
A grande desvantagem da transformada de Fourier é que ela possui resolução no
campo da freqüência, mas não no tempo, portanto não sendo muito indicada para a
representação de transientes. Para contornar esta limitação, Garbor , segundo a referência
[30], propôs a modificação da transformada de Fourier através de uma janela g
u,
ζ
(t) de
curta duração e com centro em u
g
u,
ζ
(t) = g(t −u)e
j
ζ
t
(4.32)
A energia de g
u,
ζ
(t) está concentrada ao redor de u em um intervalo de largura
σ
t
, o
desvio padrão de
g
2
[30]. A transformada de Fourier de g
u,
ζ
(t)será
G
u,
ζ
(
ω
) = G(
ω
−
ζ
)e
−ju(
ω
−
ζ
)
(4.33)
onde
ω
= 2
π
F.
Pode-se observar que a energia de G
u,
ζ
(
ω
) está localizada ao redor de
ζ
, em um
intervalo de largura
σ
ω
onde G
u,
ζ
(
ω
) é significativo [30].
Em um plano tempo-freqüência a energia de g
u,
ζ
é distribuída pelo retângulo de
Heisenberg
σ
t
×
σ
ω
cujo centro é u,
ζ
. O princípio da incerteza prova que a sua área
satisfaz à condição
σ
t
σ
ω
≥
1
2
(4.34)
A área é mínima quando g é uma Gaussiana e neste caso a equação 4.32 que define
4.2 Wavelets 33
g
u,
ζ
é denominada de função de Garbor [30, 31].
Isto posto, pode se observar que ao aumentar a resolução em freqüência a resolução
no tempo é reduzida e vice-versa.
Aplicando esta janela a um sinal discreto no tempo teríamos uma transformada de
Fourier em uma janela, ou também denominada Short Time Fourier Transform (STFT)
Sf (u,
ζ
) =
∞
−∞
f (t)g(t −u)e
−j
ζ
t
dt (4.35)
Aplicando a fórmula de Parseval obtém-se [30]
Sf (
ζ
) =
1
2
π
∞
−∞
F (
ω
)g(
ω
−
ζ
)d
ω
(4.36)
Para sinais discretos no tempo
Sf (u, k) =
∞
∑
m=−∞
g(m−u)
f (m)e
−j
2
π
N
km
(4.37)
ou ainda
Sf (u, k) =
f (u)e
−j
2
π
N
ku
∗g(u) (4.38)
onde ∗ representa a convolução entre os termos acima [31].
Pode-se, portanto, interpretar a STFT como um banco de N filtros passa banda.
4.2.2 Wavelets
Foi observado em sismologia por Morlet que pulsos muito longos com alta freqüência
não permitiam a distinção entre camadas de solo muito próximas. Para contornar esta
limitação, ao invés de emitir pulsos de igual duração, Morlet passou a empregar formas
de onda de curta duração e alta freqüência. Estas formas de onda eram geradas a partir
de uma única função variando sua escala, esta função de geração de forma de onda foi
denominada wavelet [30].
Uma wavelet
ψ
é uma função com média zero
∞
−∞
ψ
(t)dt = 0 (4.39)
4.2 Wavelets 34
que é dilatada por meio de um parâmetro de escala s e transladada pelo parâmetro
τ
[30]
ψ
τ
,s
(t) =
1
√
s
ψ
t −
τ
s
(4.40)
A transformada wavelet de uma função f na escala s e na posição
τ
é calculada por
meio da correlação de f com a função atômica wavelet, apresentada acima, obtendo-se
[30]
W f (
τ
,s) =
∞
−∞
f (t)
1
√
s
ψ
∗
t −
τ
s
dt (4.41)
onde
ψ
∗
corresponde ao complexo conjugado de
ψ
.
Aplicando a fórmula de Parseval [30]
W f (
τ
,s) =
∞
−∞
f (t)
ψ
∗
τ
,s
(t)dt =
1
2
π
∞
−∞
F (
ω
)Ψ
∗
τ
,s
(
ω
)d
ω
(4.42)
onde F (
ω
) e Ψ(
ω
) são as transformadas de Fourier de f (t) e
ψ
(t), respectivamente.
Num plano tempo×freqüência um átomo wavelet é representado por um retângulo
onde o tempo e a freqüência são proporcionais a s e
1
s
; quando s varia a altura e o
comprimento deste retângulo também variam, mas a área permanece constante [30].
A Transformada Wavelet permite superar a restrição imposta pelo princípio da
incerteza, que limita a resolução em tempo e freqüência, para STFT.
Condição de Admissibilidade
A condição de admissibilidade é necessária para garantir que é conservada a energia
em uma transformada wavelet e que o sinal pode ser reconstruído sem perdas. No teorema
demonstrado por Calderón em 1964 e por Grossmann e Morlet em 1984 é apresentado que
[30]:
Teorema: Seja
ψ
uma função real tal que
C
ψ
=
+∞
0
|Ψ(
ω
)|
2
ω
d
ω
< +∞ (4.43)
satisfaz
f (t) =
1
C
ψ
+∞
0
+∞
−∞
W f (
τ
,s)
1
√
s
ψ
t −
τ
s
d
τ
ds
s
2
(4.44)
4.2 Wavelets 35
e
+∞
−∞
|f (t)|
2
dt =
1
C
ψ
+∞
0
+∞
−∞
|W f (
τ
,s)|d
τ
ds
s
2
(4.45)
onde Ψ(
ω
) é a transformada de Fourier de
ψ
(t).
Para garantir que a condição de admissibilidade seja satisfeita é necessário que Ψ(0) = 0
o que significa que a média da wavelet no tempo também seja igual a zero [30, 32]
+∞
−∞
ψ
(t)dt = 0 (4.46)
e, portanto, deverá ser oscilatória, uma onda.
A hipótese do teorema acima é denominada condição de admissibilidade.
C
ψ
=
+∞
0
|Ψ(
ω
)|
2
ω
d
ω
< +∞ (4.47)
Wavelet Discreta
A transformada wavelet contínua mapeia um sinal unidimensional em uma represen-
tação bi-dimensional que, assim como a transformada de Fourier, é redundante
ψ
τ
,s
(t) =
1
√
s
ψ
t −
τ
s
(4.48)
Os dois parâmetros podem ser discretizados empregando frames, cujos trabalhos
foram apresentados por Duffin e Schaeffer em [33] e empregados por Daubechies em
[34], obtendo-se
ψ
j,k
(t) =
1
s
j
0
ψ
t −k
τ
o
s
j
o
s
(4.49)
onde j,k ∈ Z e s
0
> 1 denominado de passo de dilatação [32].
Em [30, 31] é apresentado que qualquer sinal f com energia finita pode ser
representado por
f(t) =
+∞
∑
j=−∞
+∞
∑
k=−∞
f,
ψ
j,k
ψ
j,k
(4.50)
onde
f,
ψ
j,k
=
+∞
−∞
f (t)
ψ
∗
j,k
(t)dt (4.51)
Ao empregar a transformada discreta wavelet em um sinal contínuo é obtida uma
4.2 Wavelets 36
série de coeficientes. No trabalho da Sra. Daubechies [34] é demonstrado que a condição
necessária e suficiente para a reconstrução do sinal é que a energia dos coeficientes
wavelet seja limitada por
Af
2
≤
+∞
∑
j=−∞
+∞
∑
k=−∞
f,
ψ
j,k
2
≤ Bf
2
(4.52)
onde A > 0 e B < +∞ são os limites do frame independentes de f (t) e f
2
= f, f =
+∞
−∞
|f (t)|
2
dt é a energia de f (t).
Adotando s
0
= 2 são obtidas as escalas oitavas, considerada uma opção natural
para emprego em algoritmos computacionais e para a audição humana. A transformada
wavelet de uma função f ∈ L
2
(R) é definida como [30]
W f
τ
,2
j
=
∞
−∞
f (t)
1
√
2
j
ψ
t −
τ
2
j
dt = f ∗
ψ
2, j
(
τ
) (4.53)
onde
ψ
2, j
(t) =
ψ
(−t) =
1
√
2
j
ψ
−t
2
j
(4.54)
e f ∗
ψ
2j
(
τ
) representa a convolução
f ⋆
ψ
2, j
(
τ
) =
∞
−∞
f (t)
ψ
2, j
(t−
τ
) (4.55)
É apresentado em [30] que toda wavelet
ψ
j,
τ
=
1
√
2
j
t−2
j
τ
2
j
é uma base ortonormal
de L
2
(R) para todas as escalas 2
j
.
Pode-se, portanto, afirmar que a análise por meio da transformada wavelet discreta é
uma seqüência de coeficientes
c
j
=
∞
−∞
f (t)
ψ
, j,
τ
(t)dt (4.56)
4.2.3 De-Noising por Soft-Thresholding
Seja uma função f (t) para t ∈ [1, 0] de interesse, da qual seja obtida uma amostra
com n = 2
J+1
elementos da forma y
i
= f (t
i
) +
σ
z
i
para i = 1,2, ...,n. É assumido que
t
i
−t
i−1
= constante e que z
i
seja um ruído branco. Donoho no seu artigo [35] propõe um
método com três passos para recuperar a função f (t), qual seja:
4.2 Wavelets 37
1. Aplicar o pré-condicionado, adaptado ao intervalo, filtro piramidal wavelet de
Cohen, Daubechies, Jawerth, e Vial (1992) aos dados
β
J+1,k
=
y
k
√
n
gerando assim
os coeficientes wavelet c
j,k
, para j = j
0
,...,J, k = 0,..,2
j
−1.
2. Aplica-se a não linearidade do soft-threshold
η
t
(c) = sgn(c)(|c|−t)
+
aos coefi-
cientes empíricos do sinal com ruído, com um limiar (threshold) t =
√
2log(n)
σ
√
n
gerando as estimativas de
ˆ
α
j,k
.
3. Fazer com que todos os coeficientes
α
j,k
= 0 para j > J, inverter a transformada
wavelet gerando a estimativa de
ˆ
f (t), t ∈ [0, 1].
Este método comprime os coeficientes wavelet na direção de zero. Para exemplificar este
método Donoho apresenta os exemplos da figura 7.1, 7.2 e 4.4.
Na figura 7.1 são apresentados exemplos de sinais sem ruído. Na figura seguinte 7.2
é adicionado um ruído branco com média zero aos sinais da figura 7.1. Ao resultado desta
soma é aplicado o filtro para redução de ruído por soft-tresholding sendo gerados os sinais
da figura 4.4.
4.2 Wavelets 38
Figura 4.2: Sinais sem ruído apresentados por Donoho em [35] para a aplicação do
método para soft-thresholding.
Figura 4.3: Sinais com ruído apresentados por Donoho em [35] para a aplicação do
método soft-thresholding.
4.2 Wavelets 39
Figura 4.4: Exemplos apresentados por Donoho em [35] da aplicação do método para
soft-thresholding.
O procedimento de De-Noising:
1. Transformar para o domínio de wavelet.
2. Aplicar uma não-linearidade thresholding suave, com o limiar a
2log(n)
3. Transformar de volta ao domínio do sinal.
40
5 Lógica Fuzzy
Lógica fuzzy é um assunto bastante extenso e não é intenção esgotá-lo neste trabalho.
Será apresentado um breve resumo enfocando os tópicos que serão de interesse para a
implementação do filtro, objeto deste trabalho.
Os conceitos da Lógica Fuzzy foram concebidos por Lotif Zadeh, um professor da
Universidade da Califórnia em 1965 [36] como uma generalização dos conceitos da teoria
de conjuntos. Em seu artigo [36] Zadeh define os conjuntos Fuzzy como:
“Um conjunto fuzzy é uma classe com um grau contínuo de pertinência.
Tal conjunto é caracterizado por uma função de pertinência (caracterís-
tica) que associa à grade objeto um grau de pertinência num intervalo
de zero a um. As noções de inclusão, união, intersecção, complemento,
convexidade, etc., são estendidas para estes conjuntos.”
Por intermédio destes conjuntos é possível a descrição de conceitos como “pequeno”,
“grande”, “médio”, por exemplo. Estes conceitos traduzem de uma forma mais intuitiva
as informações sensoriais imprecisas que o cérebro humano emprega para representar as
informações percebidas, permitindo capturar com clareza estes conceitos psicológicos
usados no raciocínio usual. Portanto, pode-se afirmar que os conjuntos fuzzy, ou
conjuntos difusos, permitem de forma sistêmica lidar com informações lingüísticas e
computar rótulos lingüísticos estabelecidos por meio de funções de pertinência [37].
5.1 Conceitos fundamentais
Seja X = conjunto universo e seja A um subconjunto de X. A função de pertinência,
ou função característica, de A ⊆ X assume valores 1 para elementos de A e 0 para
elementos de X −A,
µ
A
: X → {0,1}. Pode-se concluir portanto que para a teoria de
5.1 Conceitos fundamentais 41
Figura 5.1: Função de pertinência de um conjunto crisp (crisp set). A função de
pertinência de A ⊆X assume valores 1 para elementos de A e 0 para elementos de X −A,
µ
A
: X → {0,1}.
conjuntos ordinários um determinado elemento pertence ou não pertence a um conjunto
A.
Na teoria de conjuntos fuzzy seja X = conjunto universo, um subconjunto fuzzy
A de X é associado com a função característica
µ
A
: X → [0,1] donde obtém-se um
conjunto difuso no qual elementos poderão pertencer e não pertencer, simultaneamente,
ao conjunto [38].
Conjunto Fuzzy: Seja X = conjunto universo. Um conjunto fuzzy A é um subconjunto
de X definido como um conjunto de pares ordenados tais que:
A = {(x,A(x)) | x ∈ X} (5.1)
onde A(x) é chamada de função de pertinência ou função característica do conjunto
A. A(x)mapeia cada elemento de X com um certo grau de pertinência entre 0 e 1
[37].
Nas referências [39, 38, 37] são apresentados diversos conceitos básicos associados a
conjuntos fuzzy dos quais serão apresentados apenas alguns.
O conjunto universo X pode ser composto por elementos discretos ou ser um espaço
5.1 Conceitos fundamentais 42
Figura 5.2: Exemplos de conjuntos fuzzy com elementos discretos e contínuos. (a) A =
número de crianças por família. (b) B = cerca de 50 anos de idade [37].
contínuo, em conseqüência o subconjunto fuzzy A também pode ser discreto ou contínuo,
figura 5.2.
Notação: Seja A um subconjunto discreto fuzzy de X com uma função de pertinência
A(x), define-se A como:
A = A(x
1
)/x
1
+ A(x
n
)/x
n
+ ... + A(x
n
)/x
n
(5.2)
Normal: Um subconjunto fuzzy A de X é dito normal se existe pelo menos um elemento
x ∈ X tal que A(x) = 1. Os subconjuntos fuzzy que não são normais são ditos
sub-normais.
Altura: A altura de um conjunto fuzzy A é o maior grau de pertinência de qualquer
elemento de A:
altura(A) = max{A(x) : x ∈ A} (5.3)
Suporte: Seja A um subconjunto fuzzy de X, o suporte de A é o subconjunto abrupto de
5.1 Conceitos fundamentais 43
Figura 5.3: Algumas das Propriedades da função de pertinência de um conjunto fuzzy
[37].
X cujos elementos têm grau de pertinência não-nulo com relação a A:
suporte(A) = {x ∈X : A(x) > 0} (5.4)
Cume: Seja A um subconjunto fuzzy de X, o cume de A é o subconjunto abrupto de X
cujos elementos têm grau de pertinência igual a 1:
cume(A) = {x ∈X : A(x) = 1} (5.5)
Subconjunto: Sejam A e B dois subconjuntos fuzzy de X. Dizemos que A está contido
em B, A ⊆ B, se B(x) ≥ A(x) ,∀x ∈ X, onde A(x) e B(x) são os valores da função
de pertinência vinculada a A e B no ponto x, respectivamente.
A ⊆ B ⇐⇒ A(x) ≤ B(x) (5.6)
5.1 Conceitos fundamentais 44
Figura 5.4: Subconjunto A ⊂ B [37].
Igual: Sejam A e B dois subconjuntos fuzzy de X. Dizemos que A e B são iguais, A = B,
se A ⊂ B e B ⊂ A, ou A = B se B(x) ≥ A(x) e A(x) ≥ B(x), ∀x ∈ X, onde A(x)
e B(x) são os valores da função de pertinência vinculada a A e B no ponto x,
respectivamente.
Todo conjunto fuzzy pode ser visto como uma família de conjuntos fuzzy. Para explicar
essa representação é necessário definir o conceito de corte-
α
.
Corte-
α
: O corte-
α
, cuja notação adotada é A
α
, é um conjunto fuzzy cujos elementos
do universo X possuem grau de pertinência superior a
α
[40], ou seja:
A
α
= {x ∈ X | A(x) ≥
α
} (5.7)
Pode-se afirmar, portanto, que A
α
é formado pelos elementos de X cuja pertinência a A é
superior a
α
.
A partir deste conceito pode-se inferir que para
α
= 1 A
α
corresponderá aos
elementos de X que pertencem a A, com o conceito de pertinência dos conjuntos crisp.
5.2 Operações com conjuntos fuzzy 45
Também pode-se inferir que quanto menor o valor de
α
mais elementos passarão a
pertencer a A
α
. Com base nesta afirmação pode-se concluir que
Se
α
1
>
α
2
então A
α
1
⊂ A
α
2
(5.8)
Teorema da Representação: este teorema afirma que qualquer conjunto fuzzy A pode
ser decomposto em uma série de cortes-
α
A =
α
∈[0,1]
(
α
A
α
) (5.9)
5.2 Operações com conjuntos fuzzy
União: Sejam A e B dois subconjuntos fuzzy de X. O conjunto C união de A e B, C =
A∪B, é definida como:
{x ∈X :C(x) = max[A(x),B(x)] = A(x) ∨B(x)} (5.10)
Intersecção: Sejam A e B dois subconjuntos fuzzy de X. O conjunto D intersecção de A
e B, D = A∩B, é definida como:
{x ∈ X :C(x) = min[A(x), B(x)] = A(x) ∧B(x)} (5.11)
Teorema: Sejam A e B dois subconjuntos fuzzy de X. Se C = A∪B e D = A∩B então:
D ∈C
A ∈C
D ∈ A
e B ∈C
e D ∈ B
A demonstração deste teorema é apresentada na referência [39].
Também na referência [39] é apresentada uma formulação para calcular, de forma
algébrica, os valores de máximo e mínimo, fundamentais para as relações de intersecção
e união.
max(a,b) =
a+b+|a−b|
2
min(a, b) =
a+b−|a−b|
2
(5.12)
5.2 Operações com conjuntos fuzzy 46
Figura 5.5: Operações com os subconjuntos fuzzy A e B de X. (a) os conjuntos fuzzy A e
B. (b) o complemento do conjunto fuzzy A. (c) a união dos conjuntos fuzzy A e B. (d) a
intersecção dos conjuntos fuzzy A e B. [37].
5.2 Operações com conjuntos fuzzy 47
T-norm: O conceito de intersecção também pode ser definido como uma função T :
[0,1] ×[0, 1] →[0,1] onde duas funções de pertinência são agregadas como
A∩B(x) = T (A(x), B(x)) = A(x)
˜
∗B(x) (5.13)
adotando a mesma notação proposta em [37] onde
˜
∗ é o símbolo que denota o
operador da função T . Esta classe de intersecção é também denominada T −norm
.
Os operadores T −norm mais comuns são [37]:
Mínimo : T (a,b) = min(a,b) = a∧b
Produto Algébrico: T (a,b) = ab
Produto Limitado: T (a,b) = 0∨(a+ b−1)
Produto Drástico T =
a, Se b = 1
b, Se a = 1
0, Se a, b < 1
S-norm: de maneira análoga, a união fuzzy pode ser especificada como uma função S :
[0,1] ×[0, 1] →[0,1] onde a função de pertinência agregada a partir de A(x) e B(x)
é definida como
A∪B(x) = S(A(x), B(x)) = A(x)
˜
+B(x) (5.14)
adotando a mesma notação proposta em [37] onde
˜
+ é o símbolo que denota o
operador da função S. Esta classe de união é também denominada S −norm, ou
T −conorm.
Os operadores S−norm mais comuns são [37]:
Máximo : S(a,b) = max(a, b) = a∨b
Soma Algébrica: S(a,b) = a+ b−ab
Soma Limitada: S(a,b) = 1∧(a+ b)
Soma Drástica S =
a, Se b = 0
b, Se a = 0
1, Se a, b > 0
5.2 Operações com conjuntos fuzzy 48
Figura 5.6: Funções de pertinência da T-norm. [37].
Figura 5.7: Funções de pertinência da S-norm. [37].
5.3 Funções de Pertinência 49
0 20 40 60 80 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Grau de Pertin�ncia
(a) Triangular
0 20 40 60 80 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Grau de Pertin�ncia
(b) Trapezoidal
0 20 40 60 80 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Grau de Pertin�ncia
(c) Gaussiana
0 20 40 60 80 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Grau de Pertin�ncia
(d) Sino
Figura 5.8: Funções de pertinência: (a) Triangular com valores de a = 20, b = 60 e
c = 80. (b) Trapezoidal com valores de a = 10, b = 20, c = 60 e d = 95. (c) Gaussiana
com valores de
σ
= 50 e c = 20. (d) Sino ou Cauchy com valores a = 20, b = 4 e c = 50.
[37].
Complemento: Seja A um subconjunto fuzzy de X. O complemento, ou também
denominado negação, de A, representado como
A, é definido como um subconjunto
fuzzy
A = X −A, podemos, então, afirmar que para todo x ∈A:
A(x) = 1−A(x) (5.15)
Complemento Relativo: Sejam A e B subconjuntos fuzzy de X. O complemento
relativo, representado como E = A −B, é definido como um subconjunto fuzzy
E de X onde para todo x ∈ X:
E(x) = max[0,A(x) −B(x)] (5.16)
5.3 Funções de Pertinência
Nesta seção serão apresentadas algumas classes de funções de pertinência parametri-
zadas.
5.3 Funções de Pertinência 50
Triangular: A função de pertinência triangular é definida por três parâmetros {a,b,c}
segundo a formulação:
triângulo(x;a, b, c) =
0, x ≤a
x−a
b−a
, a ≤ x ≤b
c−x
c−b
b ≤ x ≤c
0, c ≤ x
(5.17)
empregando a definição apresentada para as funções max e min por Jang na
referência [37], usando as equações 5.12, pode-se definir a função de pertinência
triangular de forma equivalente como:
triângulo(x;a, b, c) = max
min
x−a
b−a
,
c−x
c−b
,0
(5.18)
Trapezoidal: A função de pertinência trapézio é definida por quatro parâmetros {a,b,c, d}
segundo a formulação:
trapézio(x;a,b, c,d) =
0, x ≤a
x−a
b−a
a ≤ x ≤ b
1, b ≤ x ≤ c
d−x
d−c
c ≤x ≤d
0 d ≤ x
(5.19)
de forma análoga à apresentada para a função de pertinência triangular, pode-se
definir a função de pertinência trapezoidal a partir das funções max e min:
trapézio(x;a,b, c,d) = max
min
x−a
b−a
,1,
d −x
d −c
,0
(5.20)
Gaussiana: A função de pertinência gaussiana é definida por dois parâmetros {c,
σ
}
segundo a formulação:
gaussiana(x;c,
σ
) = e
−
1
2
(
x−c
σ
)
2
(5.21)
Sino (bell): A função de pertinência sino (bell) é definida por três parâmetros {a,b, c}
segundo a formulação:
sino(x;a, b,c) =
1
1+
x−c
a
2b
(5.22)
5.3 Funções de Pertinência 51
Figura 5.9: Funções sino (a) Variando o parâmetro a. (b)Variando o parâmetro b. (c)
Variando o parâmetro c. (d) Variando os parâmetros a e b. [37].
onde o parâmetro b é normalmente positivo, caso seu valor seja negativo a forma
da função fica invertida verticalmente.
A função de pertinência sino é uma generalização da distribuição de Cauchy, por
esta razão também é denominada como função de pertinência de Cauchy [37].
Sigmoidal: A função de pertinência sigmoidal é definida por dois parâmetros {a,c}
segundo a formulação:
sig(x;a,c) =
1
1+ e
[−a(x−c)]
(5.23)
onde o parâmetro a controla a forma e o parâmetro c o ponto de inflexão.
Dependendo do valordo parâmetro a a função de pertinência sigmoidalserá aberta à
direita ou à esquerda, por esta razão é muitas vezes empregada para a representação
de valores lingüísticos tais como “muito grande” ou “muito negativo” [37], como
será apresentado na seção 5.4.
Neste trabalho não foi verificada uma diferença significativa quanto a resposta do
filtro empregando funções de pertinência gaussianas ou trapezoidais, por esta razão e
5.3 Funções de Pertinência 52
Figura 5.10: Funções sigmóide (a) Duas funções sigmoidais y
1
e y
2
. (b) Função fechada
obtida a partir de |y1−y2|. (c) Duas funções sigmoidais y
1
e y
3
. (d) Função fechada
obtida a partir de y
1
y
3
. [37].
5.4 Variáveis Lingüísticas 53
Figura 5.11: Variáveis lingüísticas representando os conceitos de “novo”, “adulto” e
“velho”. Figura da referência [37].
pelo custo computacional associado foi empregada a função trapezoidal no filtro fuzzy
objeto deste trabalho.
5.4 Variáveis Lingüísticas
Em 1975, Lotif Zadeh nas referências [41, 42, 43] apresenta o conceito de variáveis
lingüísticas, cujos valores representam palavras ou sentenças em linguagem natural,
portanto é possível utilizar estas variáveis lingüísticas para representar o significado de
conceitos. Por exemplo, poder-se-ia representar os conceitos de “jovem”, “adulto” e
“velho”.
Para entender esta representação, seja V uma variável cujos valores pertencem a X,
para representar esta variável em geral define-se que V é x onde x ∈ X. Zadeh sugere
que este conceito seja estendido para que esta variável V assuma valores lingüísticos tais
como
V é jovem
5.4 Variáveis Lingüísticas 54
Para representar o conceito jovem são empregados conjuntos fuzzy. Portanto, pode-se
afirmar que ao se falar em variáveis lingüísticas significa estar falando de associação de
subconjuntos fuzzy ao valor da variável [39].
Com base no trabalho de Zadeh é possível concluir que o conjunto fuzzy associado a
uma variável lingüística V representa a distribuição de possibilidade de um valor x ∈ X
ser V.
Yager em [39] introduz o conceito de medida de especificidade, cuja notação proposta
é Sp(A), como uma medida da quantidade de informação contida em um conjunto fuzzy,
ou a distribuição de possibilidades. Para ilustrar este conceito, a afirmação de que uma
pessoa que tem 40 anos possui mais informação de que a afirmação de que esta pessoa é
adulta, assumindo as variáveis lingüísticas apresentadas na figura 5.11.
Medida de Especificidade: Seja A um subconjunto fuzzy finito de X. A medida de
especificidade de A, cuja notação adotada é Sp(A), é um valor no intervalo [0,1]
que atende às seguintes propriedades:
1. Sp(A) = 1 se e somente se existe um e somente um x
∗
∈X com A(x
∗
) = 1 e A(x) =
0 para todo x
∗
= x.
2. Se A(x) = 0 para todo x então Sp(A) = 0.
3. Se A
1
e A
2
são conjuntos fuzzy normais e A
1
(x) ≥ A
2
(x) para todo x, então
Sp(A
1
) ≤ Sp(A
2
).
4. Se A
1
e A
2
são conjuntos normais e crisp tais que card(A
1
) ≤ card(A
2
), então
Sp(A
1
) ≥ Sp(A
2
).
A condição 1 significa que a especificidade é máxima só para o caso em que A é um
conjunto abrupto. Já a condição 2 indica que a especificidade será mínima quando nada é
possível. A condição 3 induz que tendo pelo menos um elemento com grau de pertinência
1, qualquer aumento da possibilidade de outro elemento reduz a especificidade do
conjunto. A condição 4 apresenta a relação inversa entre especificidade e cardinalidade.
5.5 Relações Fuzzy 55
5.5 Relações Fuzzy
Relações binárias fuzzy são subconjuntosfuzzy de X ×Y que mapeiam cada elemento
em X ×Y a um grau de pertinência entre 0 e 1.
Definição: Sejam X eY dois conjuntos universo. Então, a relação binária fuzzy em X ×Y
é definida como
R = {((x,y), R(x,y)) | (x,y) ∈ X ×Y} (5.24)
onde R(x,y) é um função de pertinência bi-dimensional.
Operador Max-Min: Sejam R
1
e R
2
duas relações fuzzy definidas em X ×Y e Y ×Z,
respectivamente. O operador max-min de R
1
e R
2
é um conjunto fuzzy definido
como [37]
R
1
◦R
2
=
(x,z), max
y
min(R
1
(x,y), R
2
(y, z))
| x ∈X,y ∈Y,z ∈ Z
(5.25)
ou de forma equivalente
R
1
◦R
2
(x,z) = max
y
min(R
1
(x,y), R
2
(y, z))
= ∨
y
(R
1
(x,y) ∧R
2
(y, z)) (5.26)
5.6 Princípio da Extensão
Relação_Fuzzy: Uma relação fuzzy sobre os conjuntos crisp X e Y é definida como um
subconjunto fuzzy do produto cartesiano X ×Y.
Produto Cartesiano: Define-se o produto cartesiano dos subconjuntos fuzzy A de X e
B de Y, onde X e Y são conjuntos crisp, como uma relação fuzzy T no conjunto
X ×Y, representado por T = A×B, onde
T (x,y) = min(A(x),B(y)) (5.27)
Generalizandoeste conceito, se A
1
,A
2
,...,A
n
são subconjuntosfuzzy de X
1
,X
2
,...,X
n
respectivamente, então o produto cartesiano A
1
× A
2
× ... × A
n
é um subcon-
5.7 Proposições Fuzzy 56
junto fuzzy de X
1
×X
2
×... ×X
n
representado por T = A
1
×A
2
×... ×A
n
onde
T (x
1
,x
2
,...,x
n
) = min
i
[A
i
(x
i
)],x
i
∈ X
i
para i = 1,2, ..., n.
O princípio da extensão é um conceito básico na teoria de conjuntos fuzzy que permite
estender qualquer operação com elementos em lógica abrupta para lógica fuzzy. Este
procedimento generaliza o mapeamento comum ponto-a-ponto de uma função f(.) para
o mapeamento entre conjuntos fuzzy [37].
Definição: Sejam dois conjuntos crisp X e Y e seja f uma função de X emY, ou seja, um
mapeamento de X em Y,
f : X →Y
tal que para todo x ∈X, f (x) = y, y ∈Y.
Seja A um subconjunto fuzzy de X, define-se através do princípio da extensão a
função f (A) como o subconjunto fuzzy de Y tal que
f (A) = A(x
1
)/y
1
+ A(x
2
)/y
2
+ ... + A(x
n
)/y
n
∴ f (A) = ∪
x
|A(x) / f (x)|
Generalizandoeste conceito, seja o espaço X
1
×X
2
×...×X
n
e a função f (x
1
,x
2
,...,x
n
) =
y, y ∈Y, e sejam os subconjuntos A
i
⊂X
i
, onde i = 1,2, ..., n. Portanto, a função de
pertinência do conjunto fuzzy B obtido pelo mapeamento f será [37]
B(y) =
max
(x
1
,x
2
,...,x
n
)= f
−1
(y)
[min
i
A
i
(x
i
)], se f
−1
(y) = 0
0, se f
−1
(y) = 0
5.7 Proposições Fuzzy
Jang na referência [37] apresenta uma definição formal para variáveis lingüísticas,
onde estas são representadas por cinco atributos (x,T (x), X, G,M) sendo x o nome da
variável; T (x) o conjunto de termos que a variável lingüística pode assumir; X o conjunto
universo; G uma regra sintática que gera os termos em T (x); e M a regra semântica que
5.7 Proposições Fuzzy 57
Figura 5.12: Princípio da Extensão (a) y = f (x) (b) Função de pertinência
µ
A
. (c) Função
de pertinência
µ
B
obtida pelo princípio da extensão. [37].
associa a cada valor lingüístico A um significado M(A), onde M é um subconjunto fuzzy
de X.
Para ilustrar este conceito será apresentado o mesmo exemplo sugerido em [37], na
figura 5.11, se idade for interpretada como uma variável lingüística então
T (idade) = {jovem, não jovem,muito jovem, ...,
adulto, não adulto, ...,
velho, não velho, muito velho, ...}
para um conjunto universo X = [0, 100] é obtida a figura 5.13.
Neste exemplo são apresentados alguns termos que modificam os termos primários.
Em [37] são apresentados vários exemplos sobre a sua implementação, porém neste
trabalho só serão apresentados como ilustração a figura 5.13.
Seja uma proposição da forma
Se x é A então y é B (5.28)
5.7 Proposições Fuzzy 58
Figura 5.13: Variáveis lingüísticas representando os termos T (idade). Figura da
referência [37].
Figura 5.14: Esta figura é ilustrativa do conceito de modificadores de termos primários
apresentados na referência [37].
5.8 Inferência Fuzzy 59
Modus ponens é empregado para a inferência lógica tradicional através da qual se a
afirmativa de que x é A for verdadeira e dada a implicação A → B como conseqüência
y é B.
premissa 1 x é A
premissa 2 Se x é A então y é B
conseqüência y é B
Entretanto, o raciocínio humano geralmente opera sobre conceitos imprecisos, como
por exemplo quando afirmamos que alguém é velho ou jovem. Para representarmos estes
conceitos imprecisos é empregada a inferência fuzzy, ou também denominada modus
ponens generalizado.
Modus Ponens Generalizado: sejam A, A
′
, e B subconjuntos fuzzy de X, X e Y
respectivamente. Seja a implicação A →B expressa através de uma relação fuzzy R
em X ×Y. Então o conjunto fuzzy B conseqüência da premissa “x é A” e da regra
“Se x é A então y é B” é definido por
B(y) = max
x
min
A
′
(x), R(x,y)
= ∨
x
A
′
(x) ∧R(x, y)
∴
B
′
= A
′
◦R = A
′
◦(A → B)
5.8 Inferência Fuzzy
A estrutura de um modelo de inferência fuzzy é composta por um conjunto de regras
fuzzy, uma base formada por variáveis lingüísticas que definem as funções de pertinência
empregadas nas regras fuzzy e um mecanismo de inferência como o modus ponens
generalizado apresentado na secção 5.7.
Os sistemas de inferência fuzzy podem ter como entrada valores crisp ou fuzzy, mas
geralmente a saída é um conjunto fuzzy. Para sistemas de controle e para o objeto deste
trabalho é necessária uma saída crisp para ser empregada pelo controlador, que no caso
específico deste trabalho é o parâmetro de ajuste do filtro. Este processo de converter uma
5.9 Defuzzificação 60
variável fuzzy para uma valor crisp é denominado defuzzificação que será apresentado
na seção 5.9.
Existem vários tipos de sistemas de inferência fuzzy, que diferem entre si primordi-
almente pelo método de defuzzificação empregado.
O modelo Mamdani de inferência foi proposto para o controle de uma máquina
a vapor e uma caldeira através de um conjunto de regras que empregavam variáveis
lingüísticas que traduziam a experiência dos operadores [44]. Neste trabalho foi
empregado o método Mamdani.
5.9 Defuzzificação
O modelo Mamdani de inferência fuzzy, como já apresentado, foi proposto para o
controle de uma caldeira e de uma máquina a vapor através de um conjunto de variáveis
lingüísticas que traduziam a experiência dos operadores [44]. Nesta aplicação original
foram empregados dois controladores um para a taxa de queima da caldeira e outro para
a velocidade da máquina a vapor.
Como foi apresentado na seção 5.8, a saída de uma sistema de inferência fuzzy é
geralmente um conjunto fuzzy, para o controle da caldeira era necessário um valor crisp
para ser empregado pelo controlador. Mamdani propôs um processo para converter a
saída fuzzy para uma valor crisp, este processo é denominado defuzzificação.
Para defuzzificar a saída dos controladores são empregados em geral 5 métodos:
Centróide da área: z
COA
=
z
A(z)zdz
z
A(z)dz
, onde A(z) é função de pertinência resultado da
inferência. Segundo Jang na referência [37] e Oliveira em [38] este é o método de
defuzzificação mais empregado.
Bissetriz da área: a linha vertical que divide a região em duas áreas iguais. Para
calcular z
BOA
deve ser satisfeita a condição
z
BOA
α
A(z)dz =
β
z
BOA
A(z)dz, onde
α
= min{z |z ∈Z} e
β
= max{z |z ∈Z}.
Média dos máximos: z
MOM
é a média aritmética dos valores de z onde a função de
pertinência é máxima.
5.9 Defuzzificação 61
Figura 5.15: Esta figura é ilustrativa dos métodos de defuzzificação.
Menor dos máximos: z
SOM
é o menor valor de z para os quais a função de pertinência é
máxima.
Maior dos máximos: z
LOM
é o maior valor de z para os quais a função de pertinência é
máxima.
Neste trabalho o método de defuzzificação empregado é o centróide de área.
62
6 Filtro para Redução de Ruído
Neste capítulo é apresentado o filtro para redução de ruído de sensores DTG. Como
pode ser observado no capítulo 2, as principais fontes de erro num sistema inercial são
os sinais dos giroscópios. Também foi apresentado que o Brasil, mais especificamente
o CTMSP, está desenvolvendo giroscópios DTG, por isso houve a motivação para tentar
aumentar a gama de possíveis aplicações para estes sensores e para tal seria necessário
reduzir a componente randômica dos seus erros.
Foram verificadas diversas arquiteturas para a redução de ruído em sensores inerciais.
Na referência [2] é apresentado um filtro baseado em wavelets para a supressão do ruído
(de-noising) dos sensores inerciais, cuja aplicação em unidades inerciais é apresentada
como um estágio anterior aos filtros de alinhamento do sistema. Entretanto, este filtro
de de-noising era empregado somente durante a fase de alinhamento inicial, onde é
considerado que a plataforma está em repouso.
Em [3, 4] é apresentado o emprego de wavelets para de-noising do sinal de
giroscópios empregando o algoritmo proposto por [5]. Nessas referências é apresentada a
influência da escolha do nível de decomposição em wavelets e do limiar para o resultado
final do sinal do giroscópio, porém, novamente, nesses trabalhos, o sinal do sensor é
apresentado numa condição de repouso, uma vez que a sua média é constante, não sendo
apresentados transientes ou a influência do filtro sobre estes transientes. Assim como na
referência [2], o objetivo é o seu emprego durante a fase de alinhamento do sistema com
a plataforma em repouso.
A referência [6] apresenta uma abordagem para a redução do ruído de sensores
inerciais em uma plataforma em movimento, uma van, empregando filtros de Kalman
como estimadores ótimos para a minimização dos erros de posição, com o auxílio de
dados de posição obtidos de um GPS. Nesta abordagem foi assumido que a referência
6.1 Filtro Média Móvel 63
eram os dados de posição do GPS.
Em [7] é apresentada uma outra implementação empregando filtros de Kalman para
a fusão dos dados GPS e inercial.
As abordagens por fusão de dados são as mais empregadas em sistemas comerciais,
tais como AHRS-2305 da Watson Industries, onde se emprega a fusão com magnetôme-
tros [8], ou o AHRS440 da Crossbow que emprega a fusão com GPS, ou o AHRS510,
também da Crossbow, que emprega a fusão com magnetômetros [9]. Pode-se fazer
uma lista de sistemas inerciais que empregam fusão magnetômetro, GPS e inercial com
o emprego de filtros de Kalman como estimadores ótimos, porém a maioria tem seu
desempenho bastante prejudicado quando da inexistência dos sinais GPS. A exceção
são os SNI com qualidade de navegação, ou seja, com giroscópios cuja componente
randômica é inferior a 0.01
o
/h, como exemplos podem ser citados os SNI da iXSea Octans
e Phins [10], ou o MK39 da Sperry [11].
Em suma, foi constatado que, na bibliografia disponível, os filtros sem auxílios
externos são empregados para a fase de alinhamento, onde é assumido que a plataforma
está em repouso, ou que os seus movimentos não são significativos, como os citados
acima. Os filtros empregados com a plataforma em movimento fazem uso de outros
sensores, ou sinais externos, e estes são fundidos aos sinais dos sensores inerciais para a
obtenção da posição e atitude da plataforma. Ou então são empregados giroscópios com
componente de erro randômico inferior a 0.01
o
/h, sensores estes cuja comercialização é
controlada.
A proposta deste trabalho é o desenvolvimento de um filtro para redução de ruído que
permita o uso de giroscópios em desenvolvimento, cuja componente de erro randômico é
da ordem de 0.5
o
/h, sem o emprego de outros sensores ou auxílios externos em unidades
de rumo e atitude.
6.1 Filtro Média Móvel
A referência [45] apresenta uma modelagem em ordens superiores para o giro DTG,
onde são identificadas freqüências que normalmente não são filtradas que contribuiriam
como componentes do erro randômico.
6.1 Filtro Média Móvel 64
Figura 6.1: Sinal de um sensor DTG e o resultado da aplicação de um filtro média móvel
com uma janela de aproximadamente 2 segundos de duração. Em preto é o sinal filtrado,
em vermelho os dados crus e em azul compensados pelo modelo de erros apresentado na
secção 3.1
Em [1] é feita uma análise detalhada das incertezas associadas a cada um dos termos
do modelo de compensação de erros apresentado nas equações 3.1 e 3.2, incertezas essas
que contribuem para a componente randômica.
Assumindo que esta componente randômica tenha distribuição normal, o emprego de
uma média sobre os valores lidos reduzirá esta componente, fato este que é observado
através de experimentos em laboratório, como pode ser observado pela figura 6.1.
Na figura 6.1 foi aplicado um filtro média móvel com uma janela de duração de
aproximadamente 2 segundos. Na cor preta é apresentado o sinal filtrado, em vermelho
são apresentados os dados crus, sem processamento, e em azul são apresentados os dados
compensados pelo modelo de erros da secção 3.1.
Com o intuito de reduzir a componente randômica e assim permitir um intervalo
maior entre atualizações em um sistema de navegação inercial, como apresentado na seção
6.2 Filtro Fuzzy 65
3.1, foi idealizado o emprego de um filtro média móvel.
Foi escolhido o filtro média móvel, porque este pode ser empregado como um pré-
filtro antes da compensação dos erros e dos algoritmos de atitude e navegação, uma vez
que sua implementação tem um custo computacional baixo, permitindo ser empregado
em conjunto com os demais algoritmos em tempo real.
O filtro média móvel com o emprego de coeficientes constantes e iguais a 1 é um
filtro passa baixa, como pode ser observado na figura 4.1. A sua banda passante é função
do tamanho da janela da média móvel, quanto maior a janela menor a freqüência de corte
e maior o atraso de fase; quanto menor o tamanho da janela maior a freqüência de corte e
menor o atraso de fase introduzido.
Para uma condição em que a plataforma não estivesse em movimento, ou em
movimento constante, o filtro média móvelpoderia ser empregado com uma janela grande
o suficiente para minimizar o ruído associado aos sensores.
Porém, como o sistema de navegação inercial é empregado em uma plataforma
cujo comportamento é dinâmico, ou seja, os valores médios da velocidade angular e
da aceleração deverão variar com o comportamento da plataforma, o filtro deverá ser
capaz de perceber quando houve uma variação do valor médio e o atraso não deve
influenciar o algoritmo de navegação. Nestas condições dinâmicas seria interessante que
a janela tivesse uma largura cuja banda passante fosse compatível com a banda passante
do sistema, ou da excitação que estivesse sendo aplicada à plataforma.
Para atender a este requisito foi implementado um filtro fuzzy que altera a banda
passante do filtro média móvel como resultado de um conjunto de regras de inferência
fuzzy.
6.2 Filtro Fuzzy
Em alguns experimentos com sensores DTG foi verificado que o emprego de um
filtro média móvel propiciou uma melhora no desempenho do sistema, permitindo que
este fosse mais estável e a resposta próxima do que era esperado, como pode ser
observado na figura 6.1. Entretanto, para taxas de aceleração angular mais elevadas, o
6.2 Filtro Fuzzy 66
comportamento não era o esperado, o filtro média móvel se comportava como um filtro
passa baixa induzindo um atraso no sistema e algumas vezes não “percebendo” a mudança
no comportamento do sistema.
Para resolver este problema, foi implementado um filtro fuzzy, desenvolvido a partir
de uma heurística, que observa o valor da variância da amostra e a diferença para ajustar
o tamanho da amostra que compõe a média móvel, a qual foi denominada de largura da
janela N.
6.2.1 Sistema de Inferência Fuzzy
Para ajustar a largura da janela do filtro média-móvel, o número de pontos que com-
põe a média móvel num instante, de forma dinâmica e em tempo-real foi implementado
um sistema de inferência fuzzy que será descrito a seguir.
O objetivo das regras de inferência é determinar a largura da janela para permitir
detectar alguma variação no comportamento da plataforma onde o sistema inercial estiver
associado. Para perceber que houve alguma variação no comportamento do sistema,
empregou-se a diferença da variância, que pode ser vista como a variação da média
quadrática da diferença em relação à média, e a diferença entre o sinal atual e a média,
aqui denominada delta, ou seja, empregou-se a variação da média quadrática da diferença
e o valor instantâneo desta diferença.
Foramentão criadas as variáveislingüísticas Variância, Delta e Largura. Para escolha
do número de modificadores, e como sonseqüência o número de regras, foram testadas
diversas configurações. A que apresentou o melhor resultado com o menor número de
regras foi a escolhida e possui os seguintes modificadores aplicados às três variáveis
lingüísticas:
• variância: { muito pequena, pequena, média, grande, muito grande }
• delta: { muito pequena, pequena, média, grande, muito grande }
• N (largura da janela da média móvel){ muito pequena, pequena, pequena média,
média, grande média, grande, muito grande }
6.2 Filtro Fuzzy 67
(a) Delta (b) Variância
(c) Largura da Janela
Figura 6.2: Variáveis Lingüísticas do sistema de inferência fuzzy representando a
variância, o delta e a largura da janela.
Figura 6.3: Função de pertinência das regras de inferência fuzzy.
Com o emprego da ferramenta XFuzzy 3.0 foram implementadas estas variáveis lingüís-
ticas como apresentado na figura 6.2.
O ajuste dos parâmtros que definem as variáveis lingüísticas apresentadas nas
figuras 6.2 a), b) e c) foram feitos em função da freqüência de amostragem do sinal
e do comportamento dinâmico da plataforma onde esperava-se empregar o sistema de
navegação inercial.
O comportamento dinâmico da plataforma define as freqüências máximas que o SNI
poderá ser exposto. Uma vez conhecida a freqüência de amostragem, determina-se a
largura mínima que a janela deve ter, para que seja possível perceber qualquer alteração
no comportamento da plataforma.
6.2 Filtro Fuzzy 68
Figura 6.4: Função de pertinência das regras de inferência fuzzy.
Para determinar a largura em função destas variáveis lingüísticas foi assumido que
para um valoralto de diferença da variânciae um delta alto, corresponderia a uma variação
no comportamento da plataforma e, portanto, haveria a necessidade de uma janela menor,
para permitir com isso uma banda passante maior. Para um sistema em repouso, ou em
movimento uniforme, provavelmente haveria uma variância também uniforme, inerente
ao sinal dos sensores, e o valor de delta limitado, em média, por esta variância, portanto a
largura da janela poderia ser maior e com isso reduzir o ruído inerente aos sensores, uma
vez que a sua média tende a zero como apresentado na seção 3.1.
As regras que representam este comportamento foram implementadas através da
ferramenta XFuzzy 3.0 como apresentado na figura 6.4.
6.3 Implementação 69
6.3 Implementação
Todo o sistema foi implementado em C++ empregando como ferramenta para edição
o programa Kate versão 2.5.6. O compilador empregado foi o gcc versão 4.1.2. Uma
definição completa das ferramentas empregadas neste trabalho é apresentada no anexo A.
6.3.1 Média Móvel
Observando as equações 4.4 e 6.4 verifica-se que há termos em comum, cujo cálculo
pode ser feito iterativamente, quais sejam:
S
x,n
=
n+N
∑
i=n
x
i
(6.1)
S
2
x,n
=
n+N
∑
i=n
x
2
i
(6.2)
Para a implementação foram declaradas as seguintes classes:
TFilaCircular Implementa uma fila circular onde os pontos da janela corrente são
armazenados;
TMediaMovel Implementa a média móvel e a variância móvel segundo as equações 4.5
e 6.4 calculando seus valores em função das somas S
x,n
e S
2
x,n
.
6.3.2 Variância Móvel
Seja o estimador para a variância é
σ
2
=
∑
N
i=1
(x
i
− ¯x
N
)
2
(N −1)
(6.3)
Adotando o mesmo raciocínio apresentado em 4.1 para a variância e expandindo a
diferença ao quadrado:
σ
2
n
=
∑
n+N
i=n
x
2
i
N −1
−
∑
n+N
i=n
x
i
2
N.(N −1)
(6.4)
6.3 Implementação 70
A variância como apresentada na equação 6.4 faz parte da classe TMediaMovel
apresentada na seção 6.3.1.
6.3.3 Média Ponderada Móvel
Adotando a mesma abordagem já apresentada e definindo como média ponderada:
¯x
p
=
∑
N
i=1
x
i
.p
i
∑
N
i=1
p
i
(6.5)
onde p
i
é o peso aplicado.
Foram adotadas duas abordagens para a distribuição de pesos: a distribuição linear,
onde os pesos obedecem a uma progressão aritmética e a distribuição geométrica.
Pesos em Progressão Aritmética
Em uma progressão aritmética os valores obedecem à lei de formação:
p
i
= h
0
+ i.r (6.6)
onde h
0
é o valor inicial da progressão e r é a razão de progressão.
A soma de uma média ponderada com os pesos em uma progressão aritmética é dada
por:
¯x
pa
=
∑
N
i=1
x
i
.(h
0
+ i.r)
∑
N
i=1
(h
0
+ i.r)
=
N.h
0
+ r.
∑
N
i=1
i.x
i
N.h
0
+ r.
N.(N+1)
2
¯x
pa
=
h
0
h
0
+
r
2
.(N + 1)
+
r.
∑
N
i=1
i.x
i
h
0
+
r
2
.(N + 1)
.N
(6.7)
Pesos em Progressão Geométrica
Adotando o mesmo raciocínio, em uma progressão geométrica os valores obedecem
à lei de formação:
p
i
= a
0
.r
i
(6.8)
onde a
0
é o valor inicial da progressão e r é a razão de progressão.
A soma de uma média ponderada com os pesos em uma progressão geométrica é dada
6.3 Implementação 71
por:
¯x
pg
=
∑
N
i=1
x
i
.a
0
.r
i
∑
N
i=1
a
0
.r
i
=
∑
N
i=1
x
i
.r
i
∑
N
i=1
r
i
¯x
pg
=
∑
N
i=1
x
i
.r
i
r
r−1
.(r
N
−1)
(6.9)
Implementação
Observando as equações 6.7 e 6.9 verifica-se a necessidade do cálculo iterativo de
duas novas somas:
S
xi
=
n+N
∑
i=n
x
i
.(i−n+ 1) (6.10)
S
xr
i
=
n+N
∑
i=n
x
i
.r
(i−n+1)
(6.11)
Partindo da classe TMediaMovel, foram criadas duas classes derivadas:
TMediaPA Acrescenta o cálculo da soma S
xi
e do valor da média ponderada associada;
TMediaPG Acrescenta o cálculo da soma S
xr
i
e do valor da média ponderada associada.
Estas classes derivadas que empregam coeficientes diferentes de 1 foram implementadas
para uma verificação qualitativa de como os valores dos coeficientes podem influenciar
o comportamento do filtro. Este comportamento é bastante conhecido da literatura como
pode ser verificado nas referências [46, 28], porém o interesse foi a verificação prática de
alguns destes conceitos.
Pode ser verificado que o aumento dos coeficientes para termos próximos tem um
comportamento semelhante à redução da janela, porém com um custo computacional
maior.
Não é apresentada uma análise mais profunda deste tipo de aplicação de média móvel,
uma vez que foi feita a opção por coeficientes constantes e iguais a 1.
6.3 Implementação 72
6.3.4 Inferência Fuzzy
Para a implementação das variáveis lingüísticas e das regras de inferência fuzzy
apresentadas na seção 6.2 foi empregada a ferramenta XFuzzy versão 3.0 do “Centro
Nacional de Micro Eletrónica” do Instituto de Micro-eletrônica de Sevilla, cuja descrição
é apresentada em anexo.
Esta ferramenta permitiu editar, de modo gráfico, as variáveis lingüísticas descritas na
seção 6.2. As figuras 6.2, 6.3 e 6.4 foram geradas a partir da interface gráfica do XFuzzy.
O XFuzzy permite gerar o código em C, C++ e Java que implementam as variáveis
lingüísticas e as regras de inferência. Foram necessários alguns ajustes no resultado
do código C++, mas foi transparente para a geração do código em Java. Como todas
as ferramentas desenvolvidas neste trabalho foram feitas em C++ foi selecionada esta
linguagem para a saída gerada a partir do XFuzzy.
O XFuzzy gera os arquivos “xfuzzy.cpp” e “xfuzzy.hpp” que implementam as classes
abstratas. Os arquivos “filtrofuzzy.cpp” e “filtrofuzzy.hpp” implementam as classes
derivadas, que serão responsáveis pelo sistema de inferência fuzzy modelado. Como
resultado desta ferramenta são geradas as seguintes classes:
MembershipFunction: esta classe representa a função de pertinência.
FuzzySingleton: derivada de MembershipFunction implementa uma função de perti-
nência de um singleton, um conjunto fuzzy com suporte composto por apenas um
ponto.
FuzzyInferenceEngine: que implementa as regras de inferência e os métodos de
defuzzificação.
OperatorSet: esta classe implementa os operadores lógicos das regras de inferência.
ParamMembershipFunction: funções de pertinência parametrizadas que são emprega-
das para modelar as entradas do sistema.
RuleConclusion: responsável pela inferência fuzzy.
OutputMembershipFunction: Função de pertinência resultante do sistema.
6.3 Implementação 73
A ferramenta XFuzzy gera as classes derivadas das classes definidas acima para imple-
mentar as funções de pertinência, as variáveis lingüísticas, os mecanismos de inferência,
os operadores, as funções de pertinência de saída e o método de defuzzificação seleciona-
dos com os nomes a eles atribuídos no modelo.
Uma vez gerada a implementação do filtro média móvel e o conjunto de regras de
inferência fuzzy, para a sua validação foram gerados dados teóricos ideais para o seu
posterior emprego com sinais reais de um sistema inercial empregando giroscópios DTG,
como será apresentado no próximo capítulo.
74
7 Resultados Obtidos
Para a verificação do desempenho do sistema foi utilizada uma implementação do
algoritmo de navegação apresentado nas referências [13, 17]. Este algoritmo é baseado
na mecanização proposta por Siourius em [18] e no filtro de alinhamento proposto por
[20]. Não foram empregados filtros para estabilização do canal vertical, foi assumido que
a plataforma estaria no nível do mar, ou seja, a altura da plataforma seria igual a 0. Foi
assumido que a Terra era esférica, não sendo necessário o emprego de modelos do geóide
terrestre, como o WGS84, por exemplo.
Para a avaliação do desempenho do filtro foi adotada como métrica o valor do desvio
padrão do sinal, uma vez que este é um dos principais componentes do erro de um sistema
inercial, como apresentado no capítulo 2.
Os passos empregados para a validação do sistema foram:
• O sistema estático;
• Uma trajetória definida com guinadas de 90
0
; e
• Uma trajetória com uma volta completa.
Foram gerados arquivos com as saídas ideais de sensores inerciais sem ruído ou
componentes a serem compensados que traduzem as trajetórias idealizadas, cujas saídas
são apresentadas nas figuras 7.1.
Estes dados foram gerados a partir de um modelo cinemático que traduz o comporta-
mento acima definido.
A partir destes arquivos de dados ideais foi adicionado o ruído branco com amplitude
máxima de 1
0
/h e um desvio padrão de 0,5
0
/h no sinal dos giroscópios e, posteriormente,
aplicado o filtro média móvel com o sistema de inferência fuzzy para ajuste da janela.
7 Resultados Obtidos 75
(a) Plataforma Estática
(b) Percurso com Curva
(c) Percurso com Guinadas de 90
Figura 7.1: Sinais ideais dos sensores sem ruído ou componentes a serem compensados
pelo modelo de erros.
7 Resultados Obtidos 76
(a) Plataforma Estática
(b) Percurso com Curva
(c) Percurso com Guinadas de 90
Figura 7.2: Ruído dos sensores com desvio padrão da ordem de 0,5
0
/h.
7 Resultados Obtidos 77
Os sinais com ruído passaram a apresentar a forma da figura 7.2
Uma vez aplicado o filtro apresentado no capítulo 6 o ruído foi reduzido de cerca
de 0,5
0
/h para cerca de 0,1
0
/h, como pode ser observado nos gráficos dos ruídos
apresentados na figura 7.3
Foram aplicados estes dados ideais, com ruído e filtrados no algoritmo de navegação
tendo sido obtidos os dados representados na figura 7.4.
7.0.5 Wavelet
A partir da bibliografia disponível, foi verificado que uma das ferramentas emprega-
das para reduzir o ruído de giroscópios, sem o uso de sinais externos ao sistema inercial,
baseia-se em wavelets e é empregada na fase de alinhamento do sistema inercial, como
apresentado nas referências [2, 3, 4].
Para uma verificação do desempenho do filtro desenvolvido, foi aplicado um filtro
para supressão de ruído baseado em wavelets por “soft-thresholding”, do pacote Wavelab,
para uma comparação qualitativa com o desempenho do filtro apresentado no capítulo 6.
Foram obtidos os gráficos da figura 7.5. Nesta implementação foi possível verificar
algumas distorções próximas às variações abruptas do sinal, o que caracterizaria uma
alteração do comportamento de uma plataforma a que este sensor fosse solidário.
Na figura 7.5 pode ser observado o comportamento comparativo do resultado do
emprego dos dados processados pelo filtro wavelet.
Analisando os gráficos da figura 7.5 é possível verificar a presença de distorções
próximas às bordas e que o filtro baseado em wavelet não foi capaz de perceber algumas
perturbações do sistema, como a apresentada no percurso em curva da figura 7.5(b).
Nestes gráficos também é possível verificar que o filtro objeto deste trabalho foi capaz
de acompanhar o comportamento da plataforma com a redução do ruído associado sem
eliminar o pico de sinal.
7 Resultados Obtidos 78
(a) Plataforma Estática
(b) Percurso com Curva
(c) Percurso com Guinadas de 90
Figura 7.3: Resultado da aplicação do filtro ao sinal com ruído dos sensores. O desvio
padrão do ruído dos sensores passou de cerca de 0,5
0
/h para 0,1
0
/h.
7 Resultados Obtidos 79
(a) Plataforma Estática
(b) Percurso com Curva
(c) Percurso com Guinadas de 90
Figura 7.4: Resultado da Navegação com os dados teóricos, acrescidos do ruído branco
com desvio padrão de cerca de 0,5
0
/h e com o emprego do filtro média móvel associado
com o sistema de inferência fuzzy para ajuste da janela da média móvel.
7 Resultados Obtidos 80
(a) Plataforma Estática
(b) Percurso com Curva
(c) Percurso com Guinadas de 90
Figura 7.5: Resultado da aplicação de wavelets para supressão de ruído por “soft-
thresholding” ao sinal com ruído dos sensores. Em verde é apresentado o sinal com
ruído, em vermelho o sinal após o filtro wavelet e em azul o sinal após o filtro objeto
deste trabalho.
7 Resultados Obtidos 81
7.0.6 Teste de Campo
Para a verificação do desempenho do filtro objeto deste trabalho, este foi aplicado a
uma base de dados reais gerados a partir de um protótipo de sistema inercial desenvolvido
pelo Instituto de Pesquisas da Marinha. Devido à presença do ruído, não era possível o
emprego dos dados deste sistema de navegação em desenvolvimento pelos algoritmos de
navegação, uma vez que os sinais dos giroscópios, ao serem integrados, geravam valores
de deslocamento angular não coerentes e com isso surgiam descontinuidades no cálculo
das matrizes atualizadas de mudança de coordenadas.
Usando o objeto desta tese foi possível a estabilização do algoritmo de atitude
implementado neste protótipo de sistema navegação. Os dados são aqui apresentados
de forma qualitativa na figura 7.6.
7 Resultados Obtidos 82
(a) Balanço
(b) Rumo
(c) Caturro
Figura 7.6: Resultado da Navegação com dados reais obtidos em teste de campo
com a unidade de rumo e atitude desenvolvida pelo Instituto de Pesquisas da Marinha
empregando sensores inerciais desenvolvidos pelo Centro Tecnológico da Marinha em
São Paulo.
83
8 Conclusões e Trabalhos Futuros
Neste capítulo são apresentadas as conclusões e alguns possíveis trabalhos futuros a
serem desenvolvidos, tendo por base os resultados alcançados.
8.1 Conclusões
O resultado esperado deste trabalho era a implementação de um filtro, em tempo-real,
para a redução de ruído em giroscópios tipo DTG, o que foi alcançado. Os resultados
simulados demonstraram que houve uma redução no ruído de um desvio padrão de 0, 5
0
/h
para cerca de 0,1
0
/h, como pode ser observado no capítulo 7.
Esta diminuição do desvio padrão corresponde a uma redução de CEP de aproxima-
damente 35 Nm para 7 Nm em 1 hora para uma probabilidade de 50%, empregando
os conceitos apresentados no capítulo 2, o que em muitos casos pode viabilizar uma
determinada aplicação.
Por meio do emprego deste filtro, foi possívelo emprego dos dados obtidos do teste de
campo de um protótipo de sistema inercial, cujos resultados são apresentados no capítulo
7, o gráfico qualitativo dos resultados obtidos foi apresentado na figura 7.6.
Não foram implementados, em tempo real, filtros de supressão de ruído baseados em
wavelets. Esta técnica de processamento de sinais foi empregada para uma comparação
com os resultados obtidos com o emprego do filtro objeto deste trabalho.
A escolha da wavelet para a comparação foi devida à referência ao seu emprego para
a supressão de ruído de giroscópios na fase de alinhamento do algoritmo de navegação e
atitude como apresentado no capítulo 1.
Sua avaliação foi qualitativa com o emprego de soft-thresholding com limiar t =
8.2 Trabalhos Futuros 84
√
2log(n)
σ
√
n
, por meio da ferramenta WaveLab na secção 7. Uma proposta para um trabalho
futuro seria a implementação em tempo real com wavelets diferentes para a comparação
dos resultados, bem como o emprego de ferramentas de inferência semelhantes às
empregadas neste trabalho para o ajuste do limiar.
Não foi explorada com mais profundidade a possibilidade de emprego de outras
formas de filtro média móvel polinomiais para comparação em campo. Foram imple-
mentadas versões do filtro média móvel com coeficientes em progressão geométrica e
em progressão aritmética como uma forma de estudo preliminar. Estas implementações
possibilitaram demonstrar como a escolha dos coeficientes influencia o desempenho
do sistema como um todo. Não foram empregados algoritmos para a variação dos
coeficientes do filtro média móvel.
A implementação em C++ com o compilador gcc permitiu que os algoritmos fossem
re-compilados e testados nos sistemas operacionais, Linux e QNX, permitindo o emprego
e o desenvolvimento em plataformas distintas. Para este tipo de aplicação isto é
muito importante, uma vez que os sistemas de navegação inercial geralmente possuem
hardware dedicado, ou seja, arquiteturas de hardware criadas para atender às necessidades
específicas do sistema, e o processamento é embeded. Já estão sendo desenvolvidos
trabalhos para portar este algoritmo, bem como o de navegação e atitude, para Java e
assim ter mais liberdade quanto ao hardware e ao sistema operacional, uma vez que há
implementações do interpretador Java em hardware.
8.2 Trabalhos Futuros
Como trabalho futuro vislumbra-se a possível implementação de algoritmos em
tempo real empregando wavelets para a supressão de ruídos e a sua comparação de
desempenho com o filtro atual. Uma vez que o limiar também limita a banda passante,
neste tipo de implementação wavelet, uma arquitetura empregando lógica fuzzy para
ajustar este limiar também pode vir a ser estudada como solução.
Outro desafio seria a otimização dos parâmetros do filtro fuzzy ou a implementação
de outras técnicas para ajustar a banda passante do filtro em função do comportamento
dinâmico da plataforma onde esteja associado. Na atual implementação, para plataformas
8.2 Trabalhos Futuros 85
com diferentes comportamentos dinâmicos, seriam necessários novos parâmetros para o
filtro fuzzy.
Como última sugestão para trabalhos futuros seria o emprego de regras de inferência
fuzzy para ajustar, não somente o tamanho da janela, mas também os coeficientes da
média móvel, gerando um modelo preditivo do comportamento do sistema e do ruído
associado aos sensores.
86
Referências Bibliográficas
[1] JUNQUEIRA, F. C. Desenvolvimento de um Giroscópio Sintonizado Dinamicamente
DTG. Dissertação (Mestrado) — Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São
Paulo, SP Brasil, 2003.
[2] EL-SHEIMY, N.; NASSAR, S.; NOURELDIN, A. Wavelet de-noising for imu
alignment. IEEE A&E System Magazine, p. 32 – 39, October 2004.
[3] CCEGE - CCCGEI. The De-Noising of Gyro Signals by Bi-Orthogonal Wavelet
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<http://www.kearfott.com/products/index.html>.
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[32] VALENS, C. A Really Friendly Guide to Wavelets. Fevereiro 2004. Disponível em:
<http://perso.orange.fr/polyvalens/clemens/clemens.html>.
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[34] CBMS-NSF LECTURE NOTES NR 61. Ten lectures on Wavelets. Philadelphia, PA,
USA: SIAM, 1992.
[35] DONOHO, D. L. Wavelet Shrinkage and W.V.D: A 10-Minute Tour. http://www-
stat.stanford.edu/ donoho/Reports/1993/toulouse.ps.Z, 1993.
[36] ZADEH, L. A. Fuzzy set. Information and Control, n. 8, p. 338–353, 1965.
[37] JANG, J.-S. R.; SUN, C.-T.; MIZUTANI, E. Neuro-fuzzy and soft computing: a
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[s.n.], 1997. ISBN 0-13-261066.
[38] JR., H. A. O. Lógica Difusa: Aspectos Práticos e Aplicaç?s. Rio de Janeiro, RJ
Brasil: Ed. Interciência Ltda., 1999.
[39] YAGER, R. R.; FILEV, D. P. Essentials of Fuzzy Modeling and Control. USA: John
Wiley & Sons, Inc., 1994. ISBN 0-471-01761-2.
[40] PEDRYEZ, W.; GOMIDE, F. An Introduction to fuzzy Sets: analysis and Design.
USA: [s.n.], 1998. ISBN 0-262-16171-0.
[41] ZADEH, L. A. The concept of a linguistic variable and its applications to approxi-
mate reasoning i. Information Sciences, n. 8, p. 199–249, 1975.
[42] ZADEH, L. A. The concept of a linguistic variable and its applications to approxi-
mate reasoning ii. Information Sciences, n. 8, p. 301–357, 1975.
[43] ZADEH, L. A. The concept of a linguistic variable and its applications to approxi-
mate reasoning iii. Information Sciences, n. 9, p. 43–80, 1975.
[44] LEE, C. Fuzzy logic in control systems: fuzzy logic controller. i. IEEE Trans. on
Systems, Man, and Cybernetics, v. 20, n. 2, p. 404–418, 1990. ISSN 0018-9472.
[45] STALEY, D.; CAIN, J. S. Dynamics of a tuned rotor gyroscope. Canadian
Aeronautics and Space Journal, v. 43, n. 2, p. 106–110, 1997.
Referências Bibliográficas 89
[46] BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M. Time Series Analysis forecasting and control. San
Francisco, CA, USA: Holden-Day, 1970.
90
ANEXO A -- Ferramentas utilizadas
Todo o trabalho foi desenvolvido em ambiente Linux kernel 2.6.18, com o KDE
versão 3.5.6, baseado na distribuição Kurumin 7.0 e os seguintes aplicativos:
Octave: O Octave de GNU,versão 2.1.73, é uma linguagem de alto nível, principalmente
destinada para cálculos numéricos. Fornece uma interface de linha de comando para
resolver problemas lineares e não lineares numericamente, e para executar outros
experimentos numéricos que usam uma língua que é compatível com Matlab.
XFuzzy: O XFuzzy 3.0 é um ambiente de desenvolvimento de sistemas fuzzy. É
composto por várias ferramentas para as diferentes etapas do desenvolvimento
de sistema fuzzy, da sua descrição inicial à implementação final. As suas
características principais são a capacidade para desenvolver sistemas complexos e a
flexibilidade de permitir que o usuário estenda as funções disponíveis. O ambiente
foi completamente programado em Java.
Kst: O Kst, versão 1.3.1, é o sistema de visualização de grande volume de dados em
tempo real mais rápido disponível, possui as funcionalidades de análise de dados
básica. O Kst também possui a característica de poder se expandir com plug-ins. O
Kst é uma aplicação de KDE e é livremente disponível.
WaveLab: O WaveLab 850 é uma coleção de funções de Matlab que foram usadas pelos
autores e colaboradores para implementar vários algoritmos relacionados à análise
wavelet. Uma lista parcial das técnicas que possui são:
* transformada wavelet ortogonal e biortogonal;
* transformada de interpolação wavelet;
* co-sine packets; e
* wavelet packets.
Anexo A -- Ferramentas utilizadas 91
GCC: O desenvolvimento de GCC é uma parte do Projeto GNU, aspirando a melhorar o
compilador usado no sistema GNU inclusive a variante GNU/Linux. O esforço de
desenvolvimento GCC usa um ambiente de desenvolvimento aberto e apóia muitas
outras plataformas para criar um compilador de otimização de nível internacional,
para atrair uma grande equipe de desenvolvedores, para assegurar que o GCC e
que o sistema GNU operem em múltiplas arquiteturas e ambientes diversos. Foi
utilizada a sua versão 4.1.2.
Kate: Para editar os códigos fonte em C++ e para o Octave foi empregado este editor na
sua versão 2.5.6. Kate é um editor de multi-documentos, baseado em uma versão
reescrita do kwrite, componente de edição do KDE. Podem ser examinadas várias
janelas do mesmo documento e todas as janelas são sincronizadas. Ou podem ser
examinados mais de um arquivo ao mesmo tempo. A emulação do terminal e a
“sidebar” são janelas docadas que podem ser suprimidas da janela principal, ou
substituídas segundo a preferência do usuário. Permite a verificação da sintaxe
simultaneamente com a edição para inúmeras linguagens, incluindo C, C++, Java,
Octave, Python e etc.
Como sensores e fontes de dados foram empregadosos sensores em desenvolvimento pelo
Centro Tecnológico da Marinha em São Paulo empregados em um protótipo de sistema
de navegação do Instituto de Pesquisas da Marinha.
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