( PDF ) Decomposição de grupos e invariantes ends

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Decomposi¸c˜ao de grupos e

Invariantes ends

Marina Marcia Ricieri

Orientadora: Prof

. Dr

. Erm´ınia de Lourdes

Campello Fanti

Disserta¸c˜ao apresentada ao Instituto de Biociˆencias, Le-

tras e Ciˆencias E x atas da Universidade Estadual Paulista,

Cˆampus S˜ao Jos´e do Rio Preto, como parte dos requisitos

para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica

S˜ao Jos´e do Rio Preto

2007

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Ricieri, Marina Marcia.

Decomposi¸c˜ao de grupos e invariantes ends / Marina Marcia

Ricieri. - S˜ao Jos´e do R io Preto : [s.n], 2007. 88 f. : il ; 30 cm.

Orientadora: Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Estadual Paulista. Insti-

tuto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas

1.Topologia Alg´ebrica. 2.Decomposi¸c˜ao de grupos. 3.Invariantes

ends. 4.Obstru¸c˜ao sing. 5.Grafos e ´arvores. I. Fanti, Erm´ınia de

Lourdes Campello. II. Universidade Estadual Paulista, Instituto

de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas. III. T´ıtulo.

CDU – 515.14

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COMISS

AO JULGADORA

Titulares

Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti

Professora Doutora - IBILCE - UNESP

Orientadora

Maria Gorete Carreira Andrade

Professora Doutora - IBILCE - UNESP

Examinador

Pedro Luiz Queir oz Pergher

Professor Douto r - UFSCar

Examinador

Suplentes

Edivaldo Lopes dos Santos

Professor Douto r - UFSCar

Suplente

Jo˜ao Peres Vieira

Professor Doutor - IGCE - UNESP

Suplente

Aos meu s pais,

Bird e Dirce

e ao meu noivo,

C´assio

dedico.

Agradecimentos

Ao concluir este trabalho agrade¸co a todos que de alguma forma contribu´ıram

para esta realiza¸c˜ao. Em especial agrade¸co:

A Prof

. Dr

. Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti, que projetou este trabalho,

por toda dedica¸c˜ao durante a sua orienta¸c˜ao, pelos conh

Aos meus pais Bird e Dirce por serem os meus maiores incent ivadores, pelo a poio

incondicional, pela conﬁan¸ca que sempre tiveram em mim e pelo amor que me deram

a vida toda.

A toda minha fam´ılia pelo incentivo e pela torcida.

A CAPES, pelo aux´ılio ﬁnanceiro.

A Deus, por tudo.

“O rio atinge seus objetivos porque apr en deu a contornar obst´aculos.”

(Lau-Ts´e)

Sum´ario

Introdu¸c˜ao 12

1 Produtos Livres Amalgamados e Extens˜oes HNN 15

1.1 Grupos Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Geradores e Rela¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Produtos Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Produtos Livres com subgrupo amalgamado . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Extens˜oes HNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Grafos e

Arvores 39

2.1 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2

Arvores e produtos livres amalgamados . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1 Dom´ınio f undamental e decompo si¸c˜ao de grupos . . . . . . . . 51

3 (Co)Homologia de Grup os e Dualidade 55

3.1 RG-m´odulos e Resolu¸c˜oes de R sobre RG . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 (Co)Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 M´odulos (Co)Induzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Deﬁni¸c˜oes e Exemplos de H

∗

(G, M) e H

∗

(G, M) . . . . . . . . . . . . 63

3.5 O Lema de Shapiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6 Grupos de Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Invariantes Ends e Decomposi¸c˜ao de Grupos 68

4.1 Decomposi¸c˜ao de Grupos e o End Cl´assico . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Decomposi¸c˜ao de Grupos e o end e(G, S) . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 A obstru¸c˜ao sing e decomposi¸c˜ao de grupos . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.1 O end ˜e(G, S

Resumo

Um grupo G se decomp˜oe sobre um subgrupo S se G ´e um produto livre com

subgrupo amalgamado S ou uma extens˜ao HNN. Neste trabalho, propusemo-nos a

relacionar, sob alguns a spectos, decomposi¸c˜ao de grupos e invariantes ends. Mais

precisamente, demonstramos os t eoremas da forma nor mal para produtos livres com

subgrupo amalgamado e extens˜oes HNN e apresentamos alguns resultados relativos

`a teoria de grafos, ends de grupos e pares de grupos, ﬁnalizando com a prova de

um teorema de Kropholler e Roller, sobre decomposi¸c˜ao de grupos, envolvendo a

obstru¸c˜ao sing.

Palavras chave: Produtos livres com subgrupo amalga mado, extens˜ao HNN, grafos,

decomposi¸c˜ao de grupos, ends.

Abstract

A group G splits over a subgroup S if G is a free product with amalgamated

subgroup S or an HNN extension. In this work, we are concerned in relating, under

some aspects, splittings of groups and invariants ends. More precisely, we prove

the theorems normal forms for free products with amalg amated subgroup and HNN

extensions and we present some results related with the theory of graphs, ends of

groups and pairs of groups, concluding with the proof of a theorem by Kropholler

and Roller, on decompo sition of groups, involving the obstruction sing.

Key words: Free products with amalgamated subgroup, HNN extension, graphs,

splittings of gro ups, ends.

Introdu¸c˜ao

Grupos que se decomp˜oem sobre um subgrupo surgem naturalmente, por

exemplo, quando calculamos, atrav´es do Teorema de Van Kampen, o grupo funda-

menta l das superf´ıcies compactas. Estes grupos tamb´em surgem na teoria de grafos.

Dizemos que um grupo G se decomp˜oe sobre um subgrupo C, se G ´e um produto

livre com subgrupo amalgamado C, isto ´e, G = A ∗

B com A = C = B ou G ´e

uma extens˜ao HNN, G = A∗

Intimamente relacionada com a teoria de decomposi¸c˜ao de grupos est´a a teoria de

ends de grupos e pares de grupos. O primeiro resultado de decomposi¸c˜ao de grupos

(sobre um subgrupo ﬁnito), envolvendo a teoria cl´assica de ends de um grupo, foi

dado por Stallings:

Se um grupo G se deco mp˜oe sobre um subgrupo ﬁnito ent˜ao e(G) ≥ 2, onde

e(G) indica o n´umero de ends de G. Reciprocamente, se G ´e ﬁnitamente gerado e

e(G) ≥ 2 ent˜ao G se decomp˜oe sobre um subgrupo ﬁnito.

Como para todo grupo G pode-se mostrar que e(G) = 0, 1, 2 ou ∞ , com e(G) = 0

se, e s´o se, G ´e ﬁnito, e par a e(G) ≥ 2, j´a temos o resultado anterior (de Stallings),

´e interessante analisar ent˜ao decomposi¸c˜ao de grupos para grupos G satisfazendo

e(G) = 1. Agora, se G ´e um grupo de dualidade de dimens˜ao n (D

-grupo), n > 1

pode-se mostrar que e(G) = 1, assim ´e interessante estudar o problema de decom-

posi¸c˜ao de grupos nessas condi¸c˜oes.

De fato estaremos interessados em analisar quando um grupo G se decomp˜oe

sobre um subgrupo S, ou melhor sobre um subgrupo comensur´avel a S, no caso em

que G ´e um P D

-grupo (grupo de dualidade de Poincar´e de dimens˜ao n) e S um

INTRODUC¸

AO 13

P D

n−1

-subgrupo.

Uma resposta neste sentido ´e dada por Kropholler e Roller, (em [12]), em ter-

mos de uma obstru¸c˜ao sing (supondo H

(G, F

G) ≃ Z

ou equivalentemente,

˜e(G, S) = 2). O principal resultado apresentado por Kropholler e Roller envolvendo

essa obstru¸c˜ao ´e:

Se G ´e um P D

-grupo e S ´e um P D

n−1

-subgrupo, ent˜ao G se decomp˜oe sobre

um subgrupo comensur´avel a S se, e somente se, sing

S = 0.

Nosso objetivo neste trabalho ´e provar os teoremas das formas normais para

produtos livres amalgamados e extens˜oes HNN (que s˜ao muito ´uteis no estudo de

decomposi¸c˜ao de g r upos uma vez que eles nos d˜ao a forma/express˜ao dos elemen-

tos desses grupos), explorar um pouco a rela¸c˜ao existente entre decomposi¸c˜ao de

grupos e grafos, mais precisamente entre decomp osi¸c˜ao de grupos e a¸c˜ao de gru-

pos em ´arvores, apresentar alguns resultados relativos a decompo si¸c˜ao de grupos e

invariantes ends, com destaque para o Teorema de Stallings: Se G ´e ﬁnitamente

gerado ent˜a o G se decomp˜oe sobre um subgrupo ﬁni to se, e somente s e, e(G) ≥ 2,

(Teoremas 4.1.3 e 4.1.4), onde e(G) indica o n´umero de ends de um grupo G e, ﬁnal-

mente, provar uma das implica¸c˜oes do resultado de Kropholler e Roller, a saber: Se

G ´e um P D

-grupo, S ´e um P D

n−1

-subgrupo e G se decomp˜oe sobre um subgrupo

comensur´avel a S ent˜ao sing

S = 0 (Teorema 4.3.2).

A seguir relatamos o o bjetivo de cada um dos cap´ıtulos em que este trabalho

est´a dividido.

No Cap´ıtulo 1, iniciamos abordando a quest˜ao da existˆencia e unicidade de um

grupo livre sobre um conjunto X. Como pode-se observar, a existˆencia ´e provada

a partir do conjunto de palavras (reduzidas) sobre X. A partir da´ı, obtemos que

todo grupo G pode ser representado em termos de geradores e rela¸c˜oes. A seguir

estudamos a constru¸c˜ao dos produtos livres e a forma normal de seus elementos

e, utilizando a constru¸c˜ao anterior (do produto livre) analisamos os casos relativos

a decomposi¸c˜ao de grupos, a saber, produtos livres com subgrupos amalgamados e

extens˜oes HNN. Mais precisamente, deﬁnimos o push-out e provamos os teoremas

da forma normal pa ra produtos livres amalgamados e extens˜oes HNN.

INTRODUC¸

AO 14

No Cap´ıtulo 2, ´e feito um estudo a respeito de grafos e ´arvores, por´em a

demonstra¸c˜ao de alguns resultados foram omitidas, uma vez que o objetivo central

deste cap´ıtulo ´e mostrar a rela¸c˜ao existente entre decomposi¸c˜ao de g r upos (produtos

livres amalg amados e extens˜oes HNN) e a¸c˜ao de grupos sobre ´arvores, formalizadas

nos Teoremas 2.2.1 e 2.2.2.

No Cap´ıtulo 3, temos como objetivo principal apresentar um breve estudo de

cohomologia de grupo s uma vez que os invaria ntes ends a serem tratados neste tra-

balho, e que est˜ao fortememte relacionados com decomposi¸c˜ao de grupos, podem ser

deﬁnidos usando uma linguagem cohomol´ogica. Tamb´em apresentamos o conceito

de grupos de dualidade que ser˜ao importantes no ´ultimo cap´ıtulo. Mais detalhada-

mente, introduzimos inicialment e os conceitos de RG-m´odulos e Resolu¸c˜oes de R

sobre RG, onde R ´e um anel comutativo com unidade e G um grupo denotado

multiplicativamente. Em seguida, deﬁnimos m´odulos coinvariantes e invariantes

al´em dos m´odulos coinduzidos e induzidos para ent˜ao deﬁnirmos os n-´esimos gru-

pos de homologia e cohomologia do grupo G, com coeﬁcientes no RG-m´odulo M:

(G, M) = H

(F ⊗

M) e H

(G, M) = H

(Hom

(F, M)),

onde ε : F → R ´e uma resolu¸c˜ao projetiva de R sobre RG, al´em de darmos exemplos

de grupos de homologia e cohomologia para alguns grupos e RG-m´odulos espec´ıﬁcos.

Apresentamos ainda o Lema de Shapiro, que relaciona a (co)homologia de um grupo

G com a (co)homologia de seu subgrupo H, encerrando ent˜a o o cap´ıtulo, com um

estudo resumido de g rupos de dualidade.

Finalmente, no Cap´ıtulo 4, abordamos os invariantes ends (o end cl´assico e(G) e

o end do pa r e(G, S)), relacionando-os com decomposi¸c˜ao de grupos, com destaque

para o resultado de Stallings, que utiliza os conceitos introduzidos nos cap´ıtulos

anteriores. Destacamos ainda, a prova do Teorema 4.3.2, anteriormente citado, que

relaciona a obstru¸c˜ao “sing” (e indiretamente, o invariant e end ˜e(G, S) deﬁnido

por Kropholler e Roller) com decomposi¸c˜ao de grupos, nos valendo de resultados

referentes a grupos de dualidade, al´em dos Teoremas 2.2.1 e 2.2.2 que ser˜ao reescritos

no Teorema 4.3.1, englobando o s casos para produtos livres amalgamados e extens˜oes

HNN.

Cap´ıtulo 1

Produtos Livres Amalgamados e

Extens˜oes HNN

Neste cap´ıtulo, abordaremos os conceitos de grupos livres, produtos livres, pro-

dutos livres amalgamados e extens˜oes HNN, que s˜ao fundamentais no estudo de

decomposi¸c˜ao de grupos. Os Teoremas da Forma Normal para produtos livres amal-

gamados e extens˜oes HNN (Teoremas 1.4.2 e 2.2.3), s˜ao de grande relevˆancia, uma

vez que ser˜ao necess´arios na prova do teorema de Stallings para e(G) e no de Scott

para e(G, S) que ser˜ao enunciados no ´ultimo cap´ıtulo. As referˆencias principais para

este cap´ıtulo s˜ao [8] e [18].

1.1 Grupos Livres

Deﬁni¸c˜ao 1.1.1 Sejam X um conjunto n ˜ao vazio, F um grupo e i : X → F uma

fun¸c˜ao. O par (F, i) ´e chamado livre sobre X se para quaisquer grupo H e fun¸c˜ao

f : X → H existe um ´unico homomorﬁsmo φ : F → H com φ ◦ i = f.

→ F

ց ւ

∃! φ

Exemplo 1.1.1 Se F ´e o grupo c´ıclico inﬁnito gerado por a, ent˜ao para qualquer

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN16

conjunto unit´ario {x}, cons i derando i : X → F tal que i(x) = a (gerador do grupo) ,

temos (F, i) livre s obre X.

Observa¸c˜ao 1.1.1 O grupo trivial ´e considerado como um grupo livre sobre o con-

junto vazio.

Proposi¸c˜ao 1.1.1 Sejam (F

, i

) e (F

, i

) livres sobre X. Ent˜ao existe um i so-

morﬁsmo φ : F

→ F

tal que φ ◦ i

= i

, isto ´e, o grupo livre ´e ´unico, a menos de

isomorﬁsmo.

Demonstra¸c˜ao: Como (F

, i

) ´e livre sobre X, existe um homomorﬁsmo φ :

→ F

com φ ◦ i

= i

. Por outro lado, como (F

, i

) ´e livre sobre X, existe um

homomorﬁsmo ψ : F

→ F

com ψ ◦ i

= i

. Ent˜ao ψ ◦ φ ◦ i

= i

= id

◦ i

, onde

indica a aplica¸c˜a o identidade em F

. Pela propriedade da unicidade, temos

ψ ◦ φ = id

. Analogamente, φ ◦ ψ = id

; ent˜ao φ ´e um isomorﬁsmo. 

Proposi¸c˜ao 1.1.2 Seja (F, i) livre s obre X. Temos que:

(i) Se existe um grupo G e uma fun¸c˜ao injetiva f : X → G ent˜ao i ´e injetiva.

(ii) ℘(X), o conjunto das partes de X ´e um grupo com a diferen¸ca sim´etrica, e

x → {x} ´e injetiva.

(iii) i ´e injetiva. 

Demonstra¸c˜ao: (i) Suponhamos que exista G (grupo) tal que f : X → G seja

injetiva. Como F ´e livre sobre X, para f : X → G, existe φ : F → G tal que

φ ◦ i = f . Mas, f injetiva implica i injetiva.

E f´acil veriﬁcar (ii). Finalmente,

segue da proposi¸c˜ao anterior que se F ´e livre sobre X, podemos considerar X como

um subconjunto de F . Assim, (iii) segue de (i) e (ii), considerando G = ℘(X) e

f : X → ℘(X), x → {x}. 

Estamos interessados agora em resp onder se dado um conjunto X, existe um

grupo F e uma aplica¸c˜ao i : X → F (que pode ser a inclus˜ao) tal que (F, i) ´e livre

sobre X.

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN17

Seja X um conjunto qualquer n˜ao vazio. Denotemos por M(X) o conjunto

de todas seq¨uˆencias (x

, . . . , x

), (n ≥ 0) de elementos de X (o caso n = 0

corresponde `a seq¨uˆencia vazia e os elementos x

n˜ao s˜ao necessariamente distin-

tos). Po demos deﬁnir uma multiplica¸c˜ao sobre M(X) por justaposi¸c˜ao, isto ´e,

, . . . , x

).(x

, . . . , x

) = (x

, . . . , x

, x

, . . . , x

Esta multiplica¸c˜ao ´e obviamente associativa com um elemento identidade (ou

neutro) como sendo a seq¨uˆencia vazia, que vamos denotar por 1 ou ( ). Tamb´em a

aplica¸c˜ao X → M(X); x → (x) ´e obviamente injetiva, e se identiﬁcarmos (x) com x,

todo elemento de M(X) pode ser unicamente escrito como um produto x

. . . x

M(X) ´e chamado de mon ´oide livre sobre X.

Seja X um conjunto com X ∩ X = ∅ e tal que existe uma bije¸c˜ao ϕ : X → X;

x → ϕ(x).Vamos denotar ϕ(x) por x

−1

(e x por x

). Podemos considerar agora

os elementos de M(X ∪ X), tais elementos s˜ao chamados palavras em X. Se u ∈

M(X ∪ X) e u = y

. . . . .y

, com y

∈ X ∪ X, ent˜ao n ´e chamado o com primento

de u, e ´e denotado por | u | ou l(u), e os elementos y

s˜ao chamados letras de u.

Uma palavra w = x

. . . x

, ε

= ±1 ´e chamada palavra reduzida se, para

1 ≤ r ≤ n − 1, temos i

r+1

= i

, ou i

r+1

= i

, mas ε

r+1

= −ε

; a palavra vazia

´e tamb´em dita reduzida. Seja w = x

. . . x

uma palavra n˜ao reduzida, isto ´e,

tal que i

r+1

= i

e ε

r+1

= −ε

. dizemos que w

′

´e obtida de w por uma redu¸c˜ao

elementar se w

′

= x

. . . x

r − 1

r +2

. . . x

, onde i

r+1

= i

e ε

r+1

= −ε

Sobre M(X ∪ X), considere a seguinte rala¸c˜ao w ≡ w

′

se, e somente se, w = w

′

ou existe uma seq¨uˆencia w = w

. . . w

= w

′

tal que, para 1 ≤ j ≤ k − 1, ou

j+1

´e obtido de w

por uma redu¸c˜ao elementar, ou w

´e obtido de w

j+1

por uma

redu¸c˜ao elementar.

E f ´acil ver que, se w ≡ w

′

, ent˜ao u.w.v ≡ u.w

′

.v para quaisquer u, v ∈ M(X ∪X),

e se, al´em disso, u ≡ u

′

, ent˜ao u.w ≡ u

′

. Segue que a multiplica¸c˜ao em M(X ∪

X) induz uma multiplica¸c˜ao em F (X) :=

M(X ∪ X)

≡

, o conjunto das classes de

equivalˆencia, e esta multiplica¸c˜ao ´e associativa com um elemento identidade ( neutro)

1 (a classe da sequˆencia vazia). Ainda, F (X) ´e um grupo, uma vez que se w =

. . . x

e w

′

= x

−ε

. . . x

−ε

, temos w.w

′

≡ 1. A inclus˜ao X ⊂ M(X ∪ X)

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN18

induz uma aplica¸c˜ao (injetiva) i : X → F (X); x → x (a classe da palavra reduzida),

onde F (X) =

M(X ∪ X)

≡

´e claramente gerado por i(X).

Teorema 1.1.1 Sejam (F (X), i) de ﬁnidos como anteriormente. Ent˜ao (F (X), i) ´e

livre sobre X.

Demonstra¸c˜ao: J´a vimos que F (X) constru´ıdo como acima ´e um grupo. Seja

f : X → G uma aplica¸c˜ao. Claramente, esta aplica¸c˜ao estende-se a uma aplica¸c˜ao

M(X ∪X) → G por x

. . . x

→ f(x

)

. . . f(x

)

que preserva multiplica¸c˜ao.

Note que se i

r+1

= i

, ε

r+1

= −ε

, ent˜a o

f(u) = f(x

)

. . . f(x

)

= f(x

)

. . . f(x

r − 1

)

r − 1

f(x

r +2

)

r +2

. . . f(x

)

= f(u

′

onde u

′

foi obtido de u por uma redu¸c˜ao elementar.

Portanto, esta aplica¸c˜ao induz um homomorﬁsmo φ : F (X) → G, u → f (u),

onde u indica a classe de equivalˆencia de u, que satisfaz obviamente φ◦i = f . Como

i(X) gera F (X), a aplica¸c˜ao ´e ´unica. 

Teorema 1.1.2 (Forma Normal para Grupos Livres) Seja (F, i) livre so-

bre X. Pela Proposi¸c˜ao 1.1.1, podemos supor F (X) =

M(X ∪ X)

≡

, como deﬁni do

anteriormente. Ent˜ao existe exatamente uma pa l avra reduzida em cada cla s se de

equivalˆencia.

Demonstra¸c˜ao:

E claro que toda classe de equivalˆencia cont´em pelo menos

uma palavra reduzida.

A unicidade ser´a provada p elo M´etodo de van der Waerden. Seja S o conjunto

de todas as seq¨uˆencias ﬁnitas (x

, . . . , x

), n ≥ 0, ε

= ±1, 1 ≤ r ≤ n, e

G = B

(S) o grupo das permuta¸c˜oes de S.

Tome x

∈ X ∪ X. Ent˜ao a aplica¸c˜ao que associa

, . . . , x

) → (x

, x

, . . . , x

), a menos que x

= x e ε.ε

= 1,

, . . . , x

) → (x

, . . . , x

), se x

= x e ε.ε

= 1,

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN19

´e obviamente uma permuta¸c˜ao (bije¸c˜ao ) de S, que n´os denotamos por f(x

). Por-

tanto, temos uma aplica¸c˜ao f : X ∪ X → G; x

→ f(x

). Notemos que f(x) ◦

f(x

−1

) = id, assim, f(x

) = f(x)

. Tal aplica¸c˜ao induz pelo fat o de F (X) ser livre

sobre X, como j´a foi justiﬁcado a nteriormente, um homomorﬁsmo φ : F (X) → G,

onde dado α ∈ F (X) =

M(X ∪ X)

≡

, se α = y

. . . y

j+1

. . . y

, (com

, . . . , y

n˜ao necessariamente reduzida) deﬁnimos φ(α) := f(y

)

◦. . .◦f(y

)

Observemos que o fato de φ estar bem deﬁnida, isto ´e, independe do representa nte

escolhido para os elementos de F (X), segue do fato de que f(x) ◦ f (x

−1

) = id, pois,

por exemplo, se y

j+1

= 1 ent˜ao f(y

)

◦ f(y

j+1

)

j+1

= id.

Al´em disso, φ ◦ i = f, pois dado x ∈ X, φ(i(x)) = φ(x) = f(x).

Seja agora β ∈ F (X) e w = x

. . . . .x

uma palavra reduzida na classe de

β, isto ´e, w = β.

E f´acil ver que se ( ) ∈ S ´e a seq¨uencia vazia, ent˜ao φ(β)( ) =

φ(w)( ) = (x

, . . . , x

). Pela igualdade de seq¨uˆencias, segue que w ´e a ´unica

palavra reduzida na classe β = w e ´e determinada por φ(β)( ). 

Corol´ario 1.1.1 Nas condi¸c˜oes do teorema anterior, temos que i : X → F (X) ´e

injetiva.

Demonstra¸c˜ao: Se x, x

∈ X, com x = x

, ent˜ao x, x

d˜ao origem a palavras

reduzidas distintas (tamb´em denotadas por x, x

). Assim, x ≡ x

. 

N´o s usualmente consideramos X como um subconjunto de F (X) com i a inclus˜ao.

Frequentemente, identiﬁcamos elementos de F (X

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN20

grupo livre. Um grupo livre F tem muitas bases. Se θ ´e qualquer automorﬁsmo de

F ent˜ao θ(X) ´e uma base se, e somente se, X ta mb´em o ´e.

Proposi¸c˜ao 1.1.3 Seja X um subconjunto de um grupo G. As seguintes aﬁrma¸c˜oes

s˜ao equivalentes:

(i) G ´e livre com base X;

(ii) qualquer elemento de G pode ser unicamente escrito como x

. . . . .x

, n ≥

0, x

∈ X, ε

= ±1, onde ε

r+1

= −ε

se i

r+1

= i

e 1 ≤ r ≤ n − 1 ;

(iii) X gera G e nenhum elemen to x

. . . . .x

, tal que n > 0, x

∈ X, ε

= ±1,

com ε

r+1

= −ε

se i

r+1

= i

(r < n), ´e igual ao elemento identidade.

Demonstra¸c˜ao: Podemos facilmente veriﬁcar que (ii) e (iii) s˜ao equivalentes.

Ainda, se G ´e livre sobre X, ent˜ao G tem estas propriedades (isto ´e, (i) ⇒ (ii) e

(iii)).

Suponha que G satisfaz (iii). Existe obviamente um homomorﬁsmo F (X) → G

que ´e a identidade sobre X. Esta aplica¸c˜a o ´e sobrejetora, uma vez que X gera G e

´e injetiva pela hip´otese de que a imagem de uma palavra reduzida n˜ao trivial n˜ao

ser o elemento identidade. 

Corol´ario 1.1.2 S uponhamos que X gera G. Seja H um grupo e φ : G → H um

homomorﬁsmo d e grupos que ´e injetivo sobre X e tal que φ(G) ´e livre com base

φ(X), ent˜ao G ´e livre com base X.

Demonstra¸c˜ao: Basta notar que a condi¸c˜ao (iii) vale para X, uma vez que

vale para φ(X). 

Corol´ario 1.1.3 S eja F livre com base {a, b}. Seja c

= a

−i

.b.a

, i ∈ N. Ent˜ao o

subgrupo gerado pelos ele mentos c

, c

, ∀ i ´e livre com base {c

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN21

Demonstra¸c˜ao: Devemos mostrar que c

. . . . .c

= 1 quando n > 0,

, . . . , r

= 0 e i

= i

k+1

para 1 ≤ k ≤ n − 1 (isto ´e obviamente equiva lente a

(iii)). Mas, este elemento ´e a

−r

. . . . .a

n−1

−r

que n˜ao ´e igual

a 1. 

Corol´ario 1.1.4 S eja X uma base de G e Y um subconjunto de X. Ent˜ao Y ´e uma

base do grupo gerado por Y , Y  ⊂ G.

Demonstra¸c˜ao: (iii) clara mente vale para Y . 

1.2 Geradores e Rela¸c˜oes

Faremos nesta se¸c˜ao uma caracteriza¸c˜ao para grupos, iniciando com um impor-

tante resultado.

Proposi¸c˜ao 1.2.1 Qualquer grupo G ´e um quociente de algum grupo livre.

Demonstra¸c˜ao: Considere (F (G), i) o grupo livre gerado por G. A aplica¸c˜ao

identidade id : G → G se estende a um homomorﬁsmo F (G) → G que ´e sobrejetor:

→ F (G)

↓ ւ

∃! φ

Assim, G ≃

F (G)

Kerφ

. 

Deﬁni¸c˜ao 1.2.1 Sejam G um grupo, X um conjunto e φ : F (X) → G um epi-

morﬁsmo. Ent˜ao X ´e chamado um conjunto de geradores para G sob φ e a fam´ılia

{φ(x); x ∈ X} ´e chamada uma fam´ılia de geradores de G. (Claramen te, G =

φ(x); x ∈ X). Chamamos Kerφ o conjunto de rela¸c˜oes de G (sob φ) .

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN22

Se u = x

. . . x

e v = x

. . . x

s˜ao palavras (n˜ao necessariamente re-

duzidas) tais que uv

−1

representam um elemento do Kerφ e φ(x

) = a

, dizemos que

. . . a

= a

. . . a

´e uma rela¸c˜ao em G. Em particular, se u representa

um elemento de Kerφ, ent˜ao a

. . . a

= 1 ´e uma rela¸c˜ao em G.

Para qualquer sub conjunto S de um grupo H, S

(o fecho normal de S em

H, isto ´e, o menor subgrupo normal gerado por S em H) ´e chamado o conjunto

de conseq¨uˆenc i as de S.

Dizemos que R ⊆ F (X) ´e um conjunto de rela¸c˜oes de G (sob φ) se Kerφ ´e

o conjunto de conseq¨uˆencias de R, ou seja R

F (X)

= Kerφ. Temos ent˜ao um

conjunto correspondente de rela¸c˜oes de G.

Deﬁni¸c˜ao 1.2.2 Uma apresenta¸c˜ao X; R

de G consiste de um conjunto X, um

epimorﬁsmo φ de F (X) em G, e um conjunto R de rela¸c˜oes de G (sob φ). Freq¨uen-

temente, n´os omitimo s a m en¸c˜ao a φ, especialmente quand o φ ´e a aplica¸c˜ao natural

F (X) →

F (X)

R

F (X)

ou quando φ ´e inj e tiva sobre X. N´os esc revemos G = X; R

quando X; R

´e uma apresenta¸c˜ao de G, ou ainda, mais simplesmente, X; R.

A nota¸c˜ao X | R ´e tamb´em usada. Se X ´e ﬁnito, G ´e dito ﬁn i tam ente gerado. Se

X e R s˜ao ﬁnitos, G ´e dito ﬁnitamen te apresentado e a apresenta¸c˜ao ´e dita ﬁnita.

Exemplo 1.2.1 Um grupo livre F (X) tem X; ∅ como sua apresenta¸c˜ao.

Exemplo 1.2.2 Uma aprese nta¸c˜ao para o grupo c´ıclico ﬁn i to de ordem m ´e {x}; x

,

pois

F (X)

R

F (X)



≃

x

x



≃ Z

Se K tem apresenta¸c˜ao X ∪ Y ; R ∪ S, onde X; R ´e uma apresenta¸c˜ao de

G, f req¨uentemente denotamos K por G, Y ; S. A pr´o xima proposi¸c˜ao mostra que

existe um homomorﬁsmo canˆonico entre G e K.

Proposi¸c˜ao 1.2.2 Seja G = X; R

. Sejam H um grupo e {a(x); x ∈ X} um

conjunto de elemen tos de H. S e w ∈ F (X) e w = x

. . . x

, denote por w(a)

o elemento a(x

)

. . . a(x

)

. Ent˜ao exis te um homomorﬁsm o α : G → H tal que

α(φ(x)) = a(x) se, e somente se, a(r) = 1, para todo r ∈ R. Tamb´em α, se existe,

´e ´unico.

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN23

Demonstra¸c˜ao: Como G = φ(X) , o homomorﬁsmo α, se existe, ´e unicamente

determinado por seus valores sobre φ(X).

Considerando que F (X) ´e livre e tomando a aplica¸c˜ao a : X → H, existe um

homomorﬁsmo β : F (X) → H com β(x) = a(x), e podemos escrever β = α ◦ φ se, e

s´o se, Kerφ ⊆ Kerβ.

→ F (X)

→ G = X, R

ց ց

∃ α

Como Kerφ = R

F (X)

, isto vale se, e s´o se, R ⊂ Kerβ, isto ´e, se, e s´o se,

a(r) = 1, para todo r ∈ R. 

Se G ´e livre sobre X, e φ : F (X) → G = F (X) ´e a identidade, ent˜ao w = 1 ´e

uma rela¸c˜ao se, e s´o se, w ´e equivalente a 1 em M(X ∪ X). Neste caso, w(h) = 1

para qualquer aplica¸c˜ao x → h(x) de X em qualquer grupo H. Esta ´e a vers˜ao

precisa do enfoque informal para g rupos livres que normalmente encontramos na

literatura.

Nas pr´oximas se¸c˜oes deste trabalho, abordaremos conceitos importantes para

alcan¸carmos nosso primeiro o bjetivo que consiste na prova dos Teoremas da Forma

Normal para elementos dos produtos livres amalgamados e das extens˜oes HNN.

1.3 Produtos Livre s

Deﬁni¸c˜ao 1.3.1 Sejam G

, α ∈ Λ uma fam´ılia de grupos, G um grupo e i

→ G s˜ao homomorﬁsmos tais que para quaisquer grupo H e homomo rﬁ s mos

: G

→ H existe um ´unico homomorﬁsmo φ : G → H com φ

= φ ◦ i

, para todo

α. Ent˜ao (G, { i

}) ´e chamado um produto livre do s grupos G

∃! φ

 H

տ ր

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN24

Da mesma forma que em grupos livres, uma pergunta natural ´e se produtos livres

existem, s˜ao ´unicos e se as aplica¸c˜oes i

s˜ao monomorﬁsmos.

Proposi¸c˜ao 1.3.1 Se (G, { i

}) e (H, {j

}) s˜ao produtos livres dos grupos G

, ent˜ao

existe um (´unico) isomorﬁsmo φ : G → H tal que φ ◦ i

= j

, para todo α.

Demonstra¸c˜ao:

E similar `a dada na Proposi¸c˜ao 1.1.1, basta considerar os

diagramas:

∃! φ

 H G

∃! ψ

 H

տ ր

onde no primeiro diagrama usamos que G ´e o produto livre dos G

e no segundo,

que H ´e o produto livre dos G

, obtendo assim os homomorﬁsmos φ e ψ satisfazendo

φ ◦ i

= j

e ψ ◦ j

= i

Al´em disso, (φ ◦ ψ)◦ j

= j

= id ◦j

, donde segue da unicidade que φ◦ ψ = id

Similarmente, ψ ◦ φ = id

. 

Proposi¸c˜ao 1.3.2 Seja (G, {i

}) um produto livre d e grupos G

, α ∈ Λ , ent˜ao:

(i) i

: G

→ G ´e um monomorﬁsmo se existir um grupo H e homomorﬁsmos

: G

→ H, para todo β ∈ Λ, de modo que φ

´e monomorﬁsmo;

(ii) i

´e um monomorﬁsmo, para todo α ∈ Λ.

Demonstra¸c˜ao:

(i) Considere H e φ

: G

→ H homomorﬁsmo com φ

monomorﬁsmo. Pela

deﬁni¸c˜ao de produto livre, existe um ´unico φ : G → H comutando o diagrama

∃! φ

 H

տ ր

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN25

para todo β ∈ Λ. Em particular, para β = α, temos que φ ◦ i

= φ

, e como φ

´e

monomorﬁsmo, segue que i

´e monomorﬁsmo.

(ii) Para cada α (ﬁxado), considere H = G

. Tome φ

: G

→ H tal que

= id

se β = α e φ

= 0, para β = α. Por (i), segue o resultado. 

Proposi¸c˜ao 1.3.3 Qualquer fam´ı lia de grupos G

tem um produto l i vre.

Demonstra¸c˜ao: Para cada α, seja X

; R



, (onde φ

: F (X

) → G

) uma

apresenta¸c˜ao de G

. Podemos assumir que X

∩ X

= ∅, se α = β e da´ı, G

∩ G

{1}, para α = β. Considere G = 



;



 e i

: G

→ G o homomorﬁsmo

canˆonico. Ent˜ao (G, {i

}) ser´a um produto livre.

Com efeito, sejam H um grupo e f

: G

→ H homomorﬁsmos. Existe um

homomorﬁsmo F (



) → H obtido da aplica¸c˜ao



→ H que leva x

◦ φ

)(x

). Como este aplica



em 1, ele deﬁne ent˜ao um homomorﬁsmo

f : G → H, visto que G =

F (



)







F ( X

)

. Claramente, f

= f ◦ i

. Tamb´em f ´e

´unico, uma vez que G ´e gerado por



), ou ainda, por



(φ

)) . 

O produto livre dos grupos G

´e usualmente denotado por ∗

α∈Λ

, ou simples-

mente por ∗G

e o produto livre de dois gr upos G

e G

por G

∗ G

. Temos que

∗ G

≃ G

∗ G

e (G

∗ G

) ∗ G

≃ G

∗ (G

∗ G

). Regras mais gerais de

comutatividade e associatividade tamb´em valem.

Teorema 1.3.1 (Forma Normal para Produ tos Livres) Seja G = ∗G

produto livre dos G

via homomorﬁsmos i

: G

→ G. Ent˜ao

(i) os homomorﬁsmos i

: G

→ G s˜ao monomorﬁs mos;

(ii) cons i derando, para todo α, i

como a inclus˜ao, qualquer el emento g de G pode

ser unica mente escrito como g

. . . g

, onde n ≥ 0, 1 = g

∈ G

e α

= α

r+1

r = 1, . . . , n − 1, ou seja , os elementos (letras) adjacentes pertencem a G

’s

distintos.

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN26

Demonstra¸c˜ao: Denotaremos, por conveniˆencia, i

) por g

, (ao inv´es de

), para g

∈ G

. (Note que (i) j´a foi provada por outro m´etodo (Proposi¸c˜ao 1.3.2,

(ii))). Provaremos o teorema se mostrarmos que para qualquer u ∈ G existem ´unicos

elementos g

, . . . , g

com n ≥ 0, 1 = g

∈ G

, α

= α

r+1

e u = g

. . . g

Como nossa constru¸c˜ao de G (dada na proposi¸c˜ao anterior) mostra que



)

gera G, qualquer u pode certamente ser escrito como g

. . . g

, com n ≥ 0 e 1 = g

∈

, onde podemos ter α

= α

r+1

para algum r. Se α

r+1

= α

e g

r+1

= g

−1

podemos

escrever u = g

. . . g

r−1

h g

r+2

. . . g

, onde 1 = h = g

r+1

∈ G

, enquanto que se

r+1

= α

e g

r+1

= g

−1

podemos escrever u = g

. . . g

r−1

r+2

. . . g

. Por indu¸c˜ao

sobre n, u pode ser escrito na forma requerida em (ii).

Para provar a unicidade vamos seguir o m´etodo de van de r Waerden. Seja S o

conjunto de todas as seq¨uˆencias ﬁnitas (g

, . . . , g

), n ≥ 0, 1 = g

∈ G

, α

= α

r+1

;

em particular, ( ), a seq¨uencia vazia, est´a em S.

Tome g

∈ G

. Podemos deﬁnir uma aplica¸c˜ao de S em S, que vamos denotar

por φ

), da seguinte forma:

, . . . , g

) → (g

, g

, . . . , g

), se α

= α (lembre-se que g

∈ G

, . . . , g

) → (g

, . . . , g

n−1

, g

) se α

= α e g

= 1,

, . . . , g

) → (g

, . . . , g

n−1

) se α

= α e g

= 1.

Ent ˜ao temos uma aplica¸c˜ao φ

: G

→ F(S, S); g

→ φ

), onde F(S, S)

denota o conjunto das aplica¸c˜oes de S em S, e podemos facilmente ver que φ

preserva aplica¸c˜oes, isto ´e, φ

′

) = φ

) ◦ φ

′

). Ainda, φ

) ∈ B

(S),

o conjunto das bije¸c˜oes de S, uma vez que φ

) tem como inversa a aplica¸c˜ao

−1

). (∗)

Seja φ : G → B

(S) o homomorﬁsmo tal que φ

= φ◦i

, isto ´e, φ ´e assim deﬁnida:

φ(g

) = φ(i

)) := φ

) e mais geralmente, φ(g

. . . g

) = φ

) . . . φ

Tal homomorﬁsmo ﬁca bem deﬁnido por (∗). Tome u ∈ G e escreva-o como u =

. . . g

, n ≥ 0; 1 = g

∈ G

, α

= α

r+1

. Agora, pode-se veriﬁcar (por indu¸c˜ao)

que φ(u)( ) = (g

, . . . , g

) e ent˜ao g

, . . . , g

s˜ao unicamente determinados por u. 

Proposi¸c˜ao 1.3.4 Sejam G

subgrupos de um grupo G. Ent˜ao G = ∗G

se, e s´o

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN27

se, todo elemento de G pode ser unicamente escrito como g

. . . g

, n ≥ 0, g

∈ G

= α

r+1

, 1 ≤ r ≤ n − 1.

Demonstra¸c˜ao: ([8], Proposi¸c˜ao 20) Se G = ∗G

, ent˜ao (considerando i

como

inclus˜oes) a condi¸c˜ao vale. Por outro lado, se a condi¸c˜ao vale, a aplica¸c˜ao ∗G

→ G

induzida pelas inclus˜oes G

→ G ´e claramente um isomorﬁsmo. 

Deﬁni¸c˜ao 1.3.2 Seja g ∈ ∗G

, g = g

. . . g

, g

∈ G

, α

= α

r+1

. Chamamo s n o

comprimento de g.

Exemplo 1.3.1 O g rupo livre sobre X, F (X), ´e igual ao produto livre ∗C

, com

x ∈ X, onde C

indica o grupo c´ıcli co inﬁnito com gerador x.

Exemplo 1.3.2 Seja Z

o grupo c´ıclico de ordem 2. Ent˜ao Z

∗Z

= a, b; a

, b

 ≃

a, b, c; a

, b

, c

−1

ab ≃ a, c; a

, (c

−1

−2

 ≃ a, c; a

, a

−1

cac. O ´ultimo isomorﬁsmo

nos diz que Z

∗ Z

´e isomorfo ao grupo diedral inﬁ nito D

∞

= { x, y; x

= 1 , xy =

−1

x}.

Observa¸c˜ao 1.3.1 Se G

, H

s˜ao grupos, φ

: G

→ H

s˜ao homom o rﬁsmos,

(G, {i

}) e (H, {j

}) os produtos livres de G

e de H

, respectivamente, ent˜ao existe

um ´unico homomorﬁsmo φ : G → H tal que φ◦i

= j

◦φ

, para todo α. Den otamos

φ por ∗ φ

→ G

↓ ↓

∃! φ

→

1.4 Produtos Livre s com subgrupo amalgamado

Deﬁni¸c˜ao 1.4.1 Sejam C, A e B grupos, i

: C → A, i

: C → B homomorﬁsmos.

Sejam G um grupo, j

: A → G, j

: B → G homomo rﬁ s mos. Chamam os (G, j

, j

)

o push-out de C, A, B e (i

, i

) (ou si mplesmente o push-out de (i

, i

)) se

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN28

(i) j

◦ i

= j

◦ i

(ii) para qualquer grupo H e homomorﬁsmos φ

: A → H e φ

: B → H com

◦ i

= φ

◦ i

existe um ´unico homomorﬁs mo φ : G → H com φ

= φ ◦ j

(r = 1, 2).

ր ↓

C G



∃!φ

ց ↑

Exemplo 1.4.1 Con sidere os grupos c´ıclicos Z, Z

e Z

e os homomorﬁsmos canˆonicos

: Z → Z

tal que i

(x) = x e i

: Z → Z

tal que i

(x) = x. Ent˜ao o push-out de

Z, Z

, Z

e (i

, i

) ´e o grupo trivial G = 0 com os homom o rﬁsmos nulos j

: Z

→ 0

e j

: Z

→ 0.

De fato, para qualquer grupo H e homomorﬁsmos φ

: Z

→ H, φ

: Z

→ H,

com φ

◦i

= φ

◦i

, consideran do o h omomorﬁsmo ´o bvio φ : 0 → H, temos φ◦j

= 0,

r = 1, 2. Agora, φ

= 0, pois cha mando φ

(1) = h

e φ

(1) = h

e usando a rela¸c˜ao

◦ i

= φ

◦ i

, chegam os a h

= h

. Como φ

e φ

s˜ao ho momorﬁsmos, temos que

a ordem dos elementos h

e h

dividem 2 e 3, respectivamente. Assim, o(h

) = 1 e

ent˜ao h

= 0. Logo, φ ◦ j

= 0 = φ

, r = 1, 2, como des ejado.

Mais g eralmente, o push-out de Z, Z

, Z

e homomorﬁsmos canˆonicos, com n

e m primos entre si, ´e o grupo nulo com os homomorﬁsmos nulos j

: Z

→ 0 e

: Z

→ 0.

Deﬁni¸c˜ao 1.4.2 Quando i

e i

s˜ao injetivo s , G ´e cha mado o produto livre amal-

gamado de A e B com C amalg a mado, ou produto l i vre de A e B amalgamado em C.

Neste caso, usualmente consideramos C com o um subgrupo de A e B, i dentiﬁcando

C com i

(C), respectivamente, e denotamos o push-out por

A ∗

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN29

Observa¸c˜ao 1.4.1 1. Alguns autores, como Brown ([6]) chamam o push-out

( mesmo quando i

e i

n˜ao s˜ao injetivos) de produto livre de A e B com

subgrupo C amalgamad o e usam a nota¸c˜ao A ∗

B para o push-out de C,

A, B, sem exigir que as aplica¸c˜oes i

e i

sejam injetivas. Aqui, por´em, tal

nota¸c˜ao s´o ser´a usada para produtos livres amalgamados.

2. Pode-se veriﬁcar facilmente que o push-out ´e ´unico a men os de isomorﬁsmo.

3. N˜ao faz sentido falar no “produto livre amalgama do Z

∗

”, pois n˜ao existem

homomorﬁsmo s injetivos i

: Z → Z

e i

: Z → Z

Teorema 1.4.1 Sejam C, A e B grupos. Qualquer par (i

, i

) de homomorﬁsmos,

com i

: C → A e i

: C → B, tem um push-out.

Demonstra¸c˜ao: Considere as a presenta¸c˜oes dos grupos A e B, A = X

, R



e B = X

, R



com X

∩X

= ∅, isto ´e, X

´e um conjunto, ϕ

um epimorﬁsmo de

F (X

) em A e R

um conjunto de rela¸c˜oes deﬁnidas em A (sob ϕ

). Similarmente,

para B. Desta forma, temos que A ≃

F (X

)



R



e B =

F (X

)



R



, onde



R

 ´e o menor

subgrupo normal de F (X

) gerado por R

, (r = 1, 2).

Seja Y um conjunto de geradores de C e escolha w

∈ F (X

) tal que

(y) = ϕ

), y ∈ Y , r = 1, 2. (Note que se identiﬁcarmos A e B com os quo-

cientes acima e tomarmos ϕ

as proje¸c˜oes naturais, ent˜ao i

(y) = w

e i

(y) = w

onde w

e w

representam as classes dos elementos w

e w

nos quocientes A e

B, respectivamente).

Deﬁna G como o grupo que tem apresenta¸c˜ao

X

, X

; R

, R

, {w

−1

, y ∈ Y } .

Para simpliﬁcar, denotaremos por J o subgrupo de F (X

, X

)



R

, R

, {w

−1

, y ∈ Y }

e por I

, os subgrupos



R

, r = 1, 2. Considere as aplica¸c˜oes j

: A → G e

: B → G deﬁnidas a partir dos geradores X

de A e X

de B: j

) = x

.J,

r = 1, 2, onde estamos supondo x

∈ X

e estendidas de modo natural.

Observe que as aplica¸c˜oes j

est˜ao bem deﬁnidas, pois se u.I

= v.I

ent˜ao

−1

.u ∈ I

⊂ J, (r = 1, 2 ) .

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN30

Para ver que (G, j

, j

) ´e o push-out, seja H um grupo e considere φ

: A → H e

: B → H homomorﬁsmos. Deﬁna φ : G → H a partir dos geradores, isto ´e,

φ(x

.J) = φ(j

)) := φ

), x

∈ X

, r = 1, 2 e estenda para todo elemento

de G:

φ(z

. . . z

.J) = φ

)φ

) . . . φ

onde







∈ X

⇒ s

= 1, isto ´e φ

) = φ

)

∈ X

⇒ s

= 2, isto ´e φ

) = φ

)

F (X

)

↓

A ≃

F (X

)

ր ↓

C = Y  G =

F (X

, X

)



∃!φ

ց ↑

B =

F (X

)

↑

F (X

)

Claramente, φ ◦ j

= φ

(r = 1, 2). 

Observa¸c˜ao 1.4.2 1. Se A = X

, R

, B = X

, R

 e Y ´e um conjunto de

geradore s de C, ´e usual tamb´em representar

G = X

, X

; R

, R

, {i

(y)i

(y)

−1

, y ∈ Y }.

E convenie nte, `as vezes, escrever A∗

K≃L

B ou A∗

B, onde K ⊆ A, L ⊆ B, i

´e a inclus˜ao, i

um isomorﬁsmo entre K e L. Neste caso, A ∗

K≃L

B =

A ∗ B

onde N ´e o m e nor subgrupo normal de A ∗ B que cont´em os elementos da

forma i

(x).i

(x)

−1

= x.i

(x)

−1

, com x ∈ K.

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN31

Portanto, neste caso, temos a seguinte apresenta¸c˜ao para G = A ∗

K≃L

G = X

, X

; R

, R

, {x.i

(x)

−1

, ∀ x ∈ K}.

Teorema 1.4.2 (Forma Normal para Produtos Livres com subgrupo amal-

gamados) Seja G = A∗

B um produto livre ama lgamado. Sejam T

, T

transver-

sais `a esquerda de C em A e B, respectivamente, com 1 ∈ T

, 1 ∈ T

(isto ´e, T

cont´em um membro de cada classe lateral `a esquerda aC). Ent˜ao

(i) qualquer elemento de G pode ser unicamente escrito como u

. . . u

c, onde

n > 0, c ∈ C, denotando j

(a) por a e j

(b) por b, u

, . . . , u

s˜ao alter-

nadamente elementos de T

− {1 } e T

− {1};

(ii) os h omomorﬁsmos j

: A → G e j

: B → G (da deﬁni¸c˜ao de produto

livre amalgamad o) s˜ao monom orﬁsmos. Assim, cons i derando j

e j

como in-

clus˜oes, qualquer eleme nto d e G pode ser unicamente escrito como u

. . . u

onde n > 0, c ∈ C e u

, . . . , u

s˜ao alternadamente elementos de T

− {1} e

− {1};

(iii) j

(A) ∩ j

(B) = C.

Demonstra¸c˜ao:

(i) Denotando temporariamente j

(a) por a, ´e suﬁciente provar que, para qual-

quer g ∈ G = A ∗

B, existem ´unicos u

, . . . , u

, com n > 0, c ∈ C, u

, . . . , u

elementos pertencentes alternadamente a T

− {1 } e T

− {1} e g = u

. . . u

Como a constru¸c˜ao do produto livre amalgamado (ou ainda do push-out) mostra

que j

(A) ∪ j

(B) gera G, qualquer g ∈ G pode ser escrito como g = g

. . . g

∈ A ∪ B. Se g

e g

i+1

est˜ao amb os em A ou ambos em B, escrevemos g =

. . . g

i−1

i+1

i+2

. . . g

. Continuando, podemos escrever

• g = c, ou

• g = g

. . . g

, onde g

, . . . , g

est˜ao alternadamente em A − C e B − C

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN32

pois se tivermos g

∈ C e g

i+1

∈ A ent˜ao g

, g

i+1

∈ A. Ainda, se g

∈ C e

i+1

∈ A − C ent˜ao g

i+1

∈ A − C, pois claramente g

i+1

∈ A e se g

i+1

∈ C,

ter´ıamos g

i+1

= g

−1

∈ C, para algum c

∈ C, o que nos d´a uma contradi¸c˜ao.

Similarmente, raciocinamos para g

∈ C e g

i+1

∈ B − C. Dessa forma, temos que se

g = c, c ∈ C, nada h´a mais a ser feito. Suponhamos ent˜ao que g = g

, com g

∈ A−C

ou g

∈ B − C. Sem perda de generalidade, suponhamos que g

∈ A − C. Como T

´e um transversal, g

C = u

C, para algum u

∈ T

− {1}, e ent˜ao g

= u

−1

∈

C,onde c

, c

∈ C. Da´ı, g = g

= u

c, com u

∈ T

− {1}. Agora, se g = g

onde supomos que g

∈ A − C e g

∈ B − C, temos g

C = u

C, u

∈ T

− {1},

donde g

= u

e c

∈ C. Da´ı, g = u

= u

). Mas, c

C = u

C e ent˜ao

= u

c, c ∈ C e u

= c

−1

∈ Cg

C. Logo, g = u

c, com u

∈ Cg

Se g = g

. . . g

k−1

, escrevemos, indutivamente, g

. . . g

k−1

como u

. . . u

k−1

c, onde

∈ (T

∪ T

) − {1} e, para cada i, u

∈ Cg

C, j´a que u

vem alternadamente de

− {1 } e T

− {1 }. Ent˜ao g = g

. . . g

k−1

= u

. . . u

k−1

c g

= u

. . . u

k−1

. . . u

k−1

= u

. . . u

k−1

, onde c

∈ C, u

∈ Cg

C, u

∈ T

∪ T

e u

= 1

(pois g

∈ C). Al´em disso, u

k−1

, u

vˆem de diferentes fatores (pois o mesmo ocorre

com g

k−1

e g

). Por indu¸c˜ao, o btemos ent˜ao, que qualquer elemento de A ∗

B pode

ser escrito da forma requerida.

Para provar a unicidade, considere S o conjunto de todas as sequˆencias ﬁnitas

, u

, . . . , u

, c), com n > 0, c ∈ C e u

, u

, . . . , u

alternadamente em T

− {1} e

−{1}. Apesar de a existˆencia de φ ser imediata (pela deﬁni¸c˜ao), queremos deﬁnir

um homomorﬁsmo φ : G → B

(S) tal que se g ∈ G = A ∗

B e g = u

. . . u

c, com

e c como anteriormente, para ent˜ao considerando ( ) a palavra vazia, φ(g)( ) =

, . . . , u

, c) e da´ı, como no caso do produto livre, obtemos a unicidade.

Para obter φ, deﬁnimos primeiramente, homomorﬁsmos φ

: A → B

(S) e

: B → B

(S), tais que φ

◦ i

= φ

◦ i

e ent˜ao φ segue da deﬁni¸c˜ao do pro-

duto livre amalgamado (push-out). Deﬁnimos φ

: A → B

(S) do seguinte modo:

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN33

a ∈ A → φ

(a); φ

(a)(u

, u

, . . . , u

, c) =











, u

, . . . , u

, a

′

, c

′

) se u

∈ A, ca = a

′

com a

′

∈ T

− {1} e c

′

∈ C,

, u

, . . . , u

, c

′

), se u

∈ A eca = c

′

, comc

′

∈ C isto ´e, se a ∈ C,

, u

, . . . , u

n−1

, a

′

, c

′

) se u

∈ A, e u

ca = a

′

com a

′

∈ T

− {1 } e c

′

∈ C,

, u

, . . . , u

n−1

, c

′

), se u

∈ A e u

ca = c

′

, com c

′

∈ C.

N˜a o ´e dif´ıcil provar que φ

´e um homomorﬁsmo. Deﬁnimos φ

de modo an´alogo.

Assim, pode-se veriﬁcar que φ

(C). De fato, seja c

∈ C. Visto como

elemento de A, c

= i

) = a

, da´ı, para (u

, u

, . . . , u

, c), φ

)(u

, u

, . . . , u

, c)

´e igual a (u

, u

, . . . , u

, c

′

), se u

∈ A e cc

= c

′

ou igual a (u

, u

, . . . , u

, c

′

) se

∈ A e u

= c

′

, com c

′

∈ C. Visto como elemento de B, c

= i

), da´ı, pa ra

, u

, . . . , u

, c), φ

)(u

, u

, . . . , u

, c) ´e igual a (u

, u

, . . . , u

, c

′′

), se u

∈ B e

= c

′′

ou igual a (u

, u

, . . . , u

, c

′′

) se u

∈ B e u

= c

′′

, com c

′′

∈ C, e assim,

) = φ

), para c

∈ C.

Logo, pela deﬁni¸c˜ao de produto livre amalgamado, existe um ´unico homomor-

ﬁsmo φ : G → B

(S) tal que φ ◦ j

= φ

e φ ◦ j

= φ

. Agora, por indu¸c˜ao,

vemos que φ(w)( ) = (u

, u

, . . . , u

, c) para qualquer w = u

. . . u

c ∈ G. De

fato, suponhamos que w = u

. . . u

c, como nas condi¸c˜oes descritas anteriormente.

Sem perda de generalidade, suponhamos que u

∈ T

− {1 } e u

∈ T

− {1}. Da´ı,

φ(w)( ) = φ(u

. . . u

c)( ) = [φ

)φ

) . . . φ

)φ

(c)]( ) = u

. . . u

c = w.

ր ↓

C G



∃! φ

(S)

ց ↑

(ii) Considerando φ como deﬁnida no item (i), aﬁrmamos que φ ◦ j

e φ ◦ j

s˜ao injetivas. De fato, (φ ◦ j

)(a) = φ(j

(a)) = φ(u

c). Agora, sendo ( ) a palavra

vazia, temos φ(u

c)( ) = (u

, c). Assim, se t ivermos φ ◦ j

) = φ ◦ j

) ent˜ao

, c

) = (u

, c

), com u

e u

em T

e c

, c

∈ C. Donde vem que u

= u

, c

= c

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN34

e assim, a

= a

. Logo, φ ◦ j

´e injetiva e portanto, j

´e injetiva. Analogamente,

conclu´ımos que φ ◦ j

´e injetiva e portanto, j

´e injetiva.

(iii) Seja u ∈ j

(A) ∩ j

(B). Ent˜ao existem a ∈ A e b ∈ B tais que j

(a) =

u = j

(b). Assim, u

= j

(a) = u = j

(b) = u

. Aplicando φ em ambos os

lados, temos que φ(u

) = φ(u

). Ent˜ao φ(u

)( ) = φ(u

)( ), o que implica

, c

) = (u

, c

). Segue da unicidade de decomposi¸c˜ao, de u

∈ T

e u

∈ T

que

= u

= 1. Portanto, u = 1 .c

= 1.c

∈ C.



1.5 Extens˜oes HNN

Deﬁni¸c˜ao 1.5.1 Sejam G, A grupos, i

, i

: A → G monomorﬁsmos, e P um grupo

c´ıclico in ﬁnito com gerador p. Seja N o menor subgrupo normal de

G ∗ P gerado por {p

−1

(a) p i

(a)

−1

, a ∈ A}, (aqui a percorre A, ou equiva-

lentemente, um conjunto de geradores de A). Ent˜ao o grupo quociente H =

(G ∗ P )

´e chamado a extens˜ao HNN de G com letra est´avel p e subgrupos associados i

(A)

e i

(A). Tal grupo ´e as vezes denotado, d esde que n˜ao haja confus˜ao, por G∗

Observa¸c˜ao 1.5.1 1.

As vezes usamos o termo HNN-grupo para nos referirmos

a uma extens˜ao HNN.

E usual considerar A como um subgrupo de G e i

como a inclus˜ao. Nesse caso,

escrevemos H = G, p ; p

−1

ap = i

(a), a ∈ A = X, p ; p

−1

ap = i

(a), a ∈ A

se X ´e um conjunto de gera dores para G, o u ainda, H = G, p ; p

−1

. A . p = B,

onde B = i

(A), embora essa nota¸c˜ao n˜ao deixe a aplica¸c˜ao i

expl´ıcita.

3. Se g

, g

∈ G e j

, j

: A → G s˜ao aplica¸c˜o es dadas por j

(a) = g

−1

(a)g

, r =

0, 1, ent˜ao os HNN grupos G, p; p

−1

. i

(a) . p = i

(a) e G, q; q

−1

. j

(a) . q =

(a) s˜ao isomorfos, o isomorﬁsmo leva g em g e p em g

.q.g

−1

4. Um deﬁni¸c˜ao mais geral de extens˜ao HNN pod e ser dada : Considere uma

fam´ılia de grupos, A

, α ∈ Λ e mo nomorﬁsmos i

, i

: A

→ G, P livre

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN35

sobre {p

}. Seja N o menor subgrupo normal gerado por

−1

. i

) . p

. i

)

−1

, a

∈ A

, α ∈ Λ}. Ent˜ao H =

(G ∗ P )

´e a

extens˜ao HNN de G com letras est´aveis p

e pares de subgrupos associados

) e i

). Se B

e C

denotam i

) e i

), respectivamente,

H ´e `as vezes de notado por G, p

; p

−1

= C

.

Aqui estamos interessados no caso mais simples, ou seja, quando a fam´ılia tem

apenas dois elemento s (Deﬁni¸c˜ao 1.5.1).

Exemplo 1.5.1 Se tomamos A = G e i

= i

= id

ent˜ao a extens˜ao HNN de G

com letra est´avel p e subgrupo associado A ´e H = A, p; {p

−1

.a.p.a

−1

, a ∈ A}. Em

particular:

1. Tomando G = A = {1} ent˜ao H = {1, p; {p

−1

.1.p}} = 1, p = p ≃ Z, isto

´e, Z = {1} ∗

{1}

2. Z⊕Z = a⊕b = a, b; {a.b.a

−1

} ´e uma extens˜ao HNN. Basta tomar G =

A = a ≃ Z e b como letra est´avel, pois Z∗

= H = a, b; {b

−1

.a.b.i

(a)

−1

}

= a, b; {b

−1

.a.b.a

−1

} = a, b; {a.b.a

−1

} = Z ⊕ Z.

Deﬁni¸c˜ao 1.5.2 Seja H a extens˜ao HNN de G com letra est´avel p e subgrupos

associado s i

(A) e i

(A). Sejam T

e T

transversais `a e squerda para i

(A) e i

(A)

em G, respectivamente, ambos contendo o elemento neutro 1

de G. Uma palavra

reduzida ´e, por deﬁni¸c˜ao, uma palavra do tipo

′

. . . g

′

n−1

′

onde ε

= ±1, g

′

∈ T

, se ε

= 1, g

′

∈ T

, se ε

= −1, g

′

= 1 se ε

i−1

= ε

, isto ´e,

n˜ao podemos ter por exemplo, p

−1

p, e g

′

´e arbitr´ario (pod endo ser igual a 1

Exemplo 1.5.2 (a) g

′

´e uma palavra reduzida, para tod o g

′

∈ G,

(b) 1

p 1

´e uma palavra reduzida (aqui estamos considerando o primeiro 1

que

aparece com elemento de T

, o tra nsversal para i

(A));

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN36

−1

´e uma palavra reduzida (vendo o primeiro 1

com elemento

de T

);

(d) Mais geralmente, 1

. . . 1

e 1

−1

. . . 1

−1

s˜ao palavras

reduzidas.

Teorema 1.5.1 (Forma Normal para extens˜o es HNN) Seja H a extens˜ao

HNN de G com letra est´avel p e subgrupos associados i

(A) e i

(A). Sejam T

e T

transversais `a esquerd a para i

(A) e i

(A) em G, res pectivamente. En t˜ao:

(i) qualquer elemento h de H “pod e ser representado” por uma palavra reduzida

′

. . . g

′

n−1

′

onde n ≥ 0 , ε

= ±1; g

′

∈ T

se ε

= 1, g

′

∈ T

se ε

= −1; g

′

= 1 se

i−1

= −ε

e g

′

∈ G ´e arbitr´ario.

(ii) a tod o elemento h de H podemos associar uma ´unica palavra red uzid a.

(iii) a aplica¸c˜ao canˆon i ca j : G → H =

G ∗ p

´e um monomorﬁsmo. Assim,

identiﬁcando j(g) com g, todo elemento de H pode ser unicamente re p resentado

por uma palavra reduzida.

Demonstra¸c˜ao:

(i) Mostremos que qualquer elemento h ∈ H pode ser representado por uma

palavra reduzida. Para qualquer elemento h ∈ H =

G ∗ p

, temos que h = u N,

com u ∈ G ∗ p. Vamos representar o elemento u N do quociente por u. Pela

constru¸c˜ao do produto livre temos que G e p geram G ∗ p . Assim, u pode ser

escrito como g

. . . g

n−1

com g

∈ G, r

∈ Z e h = u. Por um abuso

de nota¸c˜ao, vamos escrever h = g

. . . g

n−1

. L embremos ent˜ao que

em H temos as rela¸c˜oes

(a) p = p i

(a) ou i

(a) p

−1

= p

−1

(a), a ∈ A (*)

(ou, mais rigorosamente, i

(a) p N = p i

(a) N ou i

(a) p

−1

N = p

−1

(a) N, a ∈

A). Queremos o bter uma forma reduzida para h. Para entender como obter uma tal

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN37

forma, suponhamos por exemplo que h (ou melhor, u) ´e do tipo g

. Considerando

que G ´e a reuni˜ao disjunta das classes laterais, G =



′

(A), g

′

∈ T

, obtemos que

h = g

= (g

′

))p p g

, com g

′

∈ T

e i

) ∈ i

(A). Da rela¸c˜ao (∗), temos

que, em H, i

)p = p i

), donde h = g

′

p i

) p g

. Agora, para o elemento

) de G, temos que i

) = g

′

) e usando a rela¸c˜ao (∗) pa ra i

)p, vem

que h = g

′

p g

′

p i

) g

= g

′

p g

′

p g

′

(onde tomamos g

′

:= i

∈ G.

Se partimos de um elemento de G ∗ p do tipo g

−2

raciocinamos de modo

similar, considerando nesse caso que G ´e a reuni˜ao disjunta das classes laterais, G =



′

(A), g

′

∈ T

, e usando a outra rela¸c˜ao em (∗). Combinado esses dois casos

pode-se mostrar, indutivamente, que podemos representar um elemento qualquer h

de H na forma reduzida. Para ser mais preciso, o que obtemos ´e h = u

′

N = u

′

onde u

′

= g

′

. . . g

′

n−1

′

est´a na forma reduzida.

(ii) Para mostrar a unicidade, considere S o conjunto de todas as seq¨uˆencias

′

, ε

, g

′

, ε

, . . . g

′

n−1

, ε

n−1

, g

′

) (associadas a palavras reduzidas). A id´eia ´e deﬁnir

um homomorﬁsmo ψ : H → B

(S) que satisfaz a seguinte condi¸c˜ao :

(1) Se h ∈ H e h = g

′

. . . g

′

n−1

′

, com g

′

. . . g

′

n−1

′

uma palavra reduzida, ent˜ao ψ(h)(1

) = (g

′

, ε

, g

′

, ε

, . . . g

′

n−1

, ε

n−1

, g

′

), donde se

conclui, usando a ig ualdade de sequˆencias, que existe uma ´unica palavra reduzida

em cada classe de equivalˆencia, a qual ´e usada para representar o elemento (a

classe) de H. Para obter tal homomorﬁsmo, primeiro deﬁnimos um homomorﬁsmo

φ : G → B

(S). Tamb´em deﬁnimos um elemento τ ∈ B

(S) (associado a p ), de

modo que φ e τ satisfazem:

φ(i

(a)) ◦ τ = τ ◦ φ(i

(a)), ∀ a ∈ A. (2)

Considerando ent˜ao tais homomorﬁsmos obtemos um homomorﬁsmo

ϕ : G ∗ < p >→ B

(S) deﬁnido naturalmente como ϕ(g) = φ(g) para todo g em G, e

ϕ(p) = τ. Da rela¸c˜ao (2), ou equivalentemente ϕ(i

(a))◦ϕ(p) = ϕ(p)◦ϕ(i

(a)), segue

que N, o menor subgrupo normal em G ∗ P gerado por {p

−1

(a) p i

(a)

−1

, a ∈ A},

est´a contido em Ker(ϕ), donde obtemos bem deﬁnida uma aplica¸c˜ao ψ : H =

G ∗ p

→ B

(S), satisfazendo ψ(j(g)) = ϕ(g), ψ(p) = τ que satisfar´a a condi¸c˜ao

CAP

ITULO 1. PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS E EXTENS

OES HNN38

inicial (1) desejada. Vamos deﬁnir ent˜ao φ e τ:

• φ : G → B

(S); g → φ(g) : S → S, ´e deﬁnida p or φ(g)(g

, ε

, . . . , g

n−1

, ε

n−1

, g

) =

, ε

, . . . , g

n−1

, ε

n−1

, (g

.g)). Temos que φ(g) ∈ B

(S) pois existe (φ(g))

−1

= φ

−1

• Para deﬁnir a permuta¸c˜ao τ ( correspondente a p), temos que considerar alg uma

situa¸c˜oes:

Escreva g

= g

′

(a), com g

′

∈ T

e a ∈ A.

Se g

′

= 1

, deﬁnimos τ(g

, ε

, . . . g

n−1

, ε

n−1

, g

) = (g

, ε

, . . . g

n−1

, ε

n−1

, g

′

, 1, i

(a)).

Se g

′

= 1

, isto ´e, g

= i

(a), a ∈ A ent˜ao τ (g

, ε

, . . . g

n−1

, ε

n−1

, g

) =







, ε

, . . . g

n−1

, 1, 1

, 1, i

(a)) se ε

n−1

= 1

, ε

, . . . g

n−1

(a)), se ε

n−1

= −1

Po de-se mostrar que τ ∈ B

(S) e φ e τ satisfazem (2).

A partir da´ı, obtemos ent˜ao o homomorﬁsmo ψ : H → B

(S) desejado (tal que

ψ(p) = τ e ψ ◦ j = φ), e satisfazendo a condi¸c˜ao (1 ) , donde obtemos a unicidade da

express˜ao reduzida para h ∈ H.

(iii) Considerando a aplica¸c˜ao φ deﬁnida no item anterior, temos que φ ´e um

monomorﬁsmo. De fato, se φ(g) = id

(S)

, teremos 1

g = φ(g)(1

) = id(1

) = 1

o que nos leva a g = 1

. Agora, do fato que ψ ◦ j = φ, segue que j ´e monomorﬁsmo.



Observa¸c˜ao 1.5.2 Se h ´e esc rito como no Teorema 1.5.1 (i), devemos chama r n

o co mprimento de h.

Cap´ıtulo 2

Grafos e

Arvores

Neste cap´ıtulo, como j ´a mencionamos na introdu¸c˜ao, temos como objetivo a

familiariza¸c˜a o com alguns conceitos e resultados da teoria de grafos, uma vez que

existe uma correspondˆencia entre decomposi¸c˜ao de grupos e a¸c˜ao de grupos sobre

´arvores (para maiores detalhes, indicamos [18] e [19]). Al´em disso, os resultados de

Kropholler e Roller que iremos analisar no Cap´ıtulo 4 s˜ao fortemente baseados neste

fato.

2.1 Grafos

Deﬁni¸c˜ao 2.1.1 Um grafo Γ consiste de um conjunto X, usualmente denotado por

vert(Γ), um conjunto Y , denotado por aresta(Γ) e duas aplica¸c˜oes

Y → X × X e Y → Y

e → (o(e), t(e)) e → e

−1

que satisfazem as seguintes condi¸c˜oes:

−1

)

−1

= e; e

−1

= e; o( e) = t(e

−1

), para cada e ∈ Y .

Um elemento P ∈ X ´e chamado um v´ertice de Γ; um elemento e ∈ Y ´e ch amado

uma aresta orientada e e

−1

´e chamada de aresta inversa de e. O v´ertice o(e) =

t(e

−1

) ´e chamado origem de e, e o v´ertice t(e) = o(e

−1

) ´e chamado o t´ermino de e.

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 40

Estes dois v´ertice s s˜ao chamados extremidades de e. Dizemos que dois v´ertice s s˜ao

adjacentes se eles s˜ao extremidades de alguma aresta.

Seja Γ = Γ(X, Y ) um grafo. Um subgrafo Υ ⊂ Γ consiste de um conjunto

′

⊂ X = vert(Γ), um conjunto Y

′

⊂ Y = aresta(Γ) e duas aplica¸c˜oes

′

→ X

′

× X

′

; e → (o(e), t(e)) e Y

′

→ Y

′

; e → e

−1

, induzidas das aplica¸c˜oes

de Γ, satisfaze ndo as condi¸c˜oes anteriores.

Considere Γ

= Γ

, Y

) e Γ

= Γ

, Y

) grafos com X

e X

seus conjuntos

de v´ertices e Y

e Y

seus conjuntos de arestas, respectivamente. Uma aplica¸c˜ao

(ou morﬁsmo) α : Γ

→ Γ

entre os grafos ´e uma aplica¸c˜ao tal que α(X

) ⊆ X

α(Y

) ⊆ Y

, e par a cada e ∈ Y

, α(o(e)) = o(α(e)) e α(t(e)) = t(α(e)). Dizemos que

dois grafos Γ

= Γ

, Y

) e Γ

= Γ

, Y

) s˜ao isomorfos se existem morﬁsmos

α : Γ(X

, Y

) → Γ(X

, Y

) e β : Γ(X

, Y

) → Γ(X

, Y

) tais que α ◦ β e β ◦ α s˜ao

aplica¸c˜oes identidades.

Uma o ri e nta¸c˜ao de um grafo Γ ´e um subconjunto Y

de Y = aresta(Γ) tal que

Y ´e a uni˜ao disjunta de Y

e Y

−1

= {e

−1

; e ∈ Y

}. Clarament e um tal subconjunto

sempre existe. Um graf o orientado ´e deﬁnido, a menos de isomorﬁsmo, por dois

conjuntos X e Y

e uma aplica¸c˜ao Y

→ X × X. O conjunto correspondente de

arestas ´e Y = Y



−1

, onde Y

−1

denota uma c´opia de Y

Na pr´atica, um grafo ´e freq¨uentemente representado por um diagrama,

usando a seguinte conven¸c˜ao : um ponto marcado no diagrama corresponde a um

v´ertice do grafo, e um segmento ou arco unindo dois pontos (marcados) corresponde

a um conjunto de arestas da forma {e, e

−1

}. Por exemplo, o grafo tendo dois v´ertices

P , Q e duas arestas e, e

−1

com P = o(e), Q = t(e) ´e representado pelo diagrama

Similarmente, o diagrama

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 41

representa um grafo com trˆes v´ertices, P , Q, R e oito arestas r, s, t, u, r

−1

, s

−1

, u

−1

; al´em disso, r, s, t, u tˆem extremidades {P, P }, {P, Q}, {P, Q}, {Q, R},

respectivamente. Temos o(r) = P = t(r) , mas o diagrama n˜ao nos diz, por exemplo,

se P ´e a origem ou o t´ermino da aresta s.

Realiza¸c˜ao de um grafo Seja Γ um grafo e seja X = vert(Γ),

Y = aresta(Γ). Podemos considerar o espa¸co topol´ogico U formado pela uni˜ao

disjunta de X e Y ×[0, 1], onde X e Y s˜ao providos com a topologia discreta. Seja R a

rela¸c˜a o de equivalˆencia “mais ﬁna” sobre U para os quais

(e, t) ≡ (e

−1

, 1 − t), (e, 0) ≡ o(e) e (e, 1) ≡ t(e) para e ∈ Y e t ∈ [0, 1]. O espa¸co

quociente real(Γ) = U/R ´e chamado realiza¸c˜ao do grafo Γ.

Por exemplo, se X = {P, Q}; Y = {e, e

−1

}, real(Γ) =



(Y × [0 , 1])

e as

identiﬁca¸c˜oes s˜ao como indicadas na ﬁgura abaixo:

Deﬁni¸c˜ao 2.1.2 (caminho) Seja n ∈ Z, n ≥ 0. Considere o grafo orientado Cam

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 42

Tal grafo possui n+1 v´ertices 0, 1, . . . , n e orie nta¸c˜ao dad a pelas n a restas [i, i+1],

0 ≤ i < n, co m o([i, i + 1]) = i e t([i, i + 1]) = i + 1. Um caminho (de comp rimento

n) em um grafo Γ ´e um morﬁsm o c : Cam

→ Γ.

Exemplo 2.1.1 Um grafo isomorfo a Cam

como na ﬁgura a baixo ´e chamado de

segmento.

Para n ≥ 1, a seq¨uˆencia (e

, . . . , e

) de a r estas e

= c([i, i + 1]) tal que t(e

) =

o(e

i+1

), 1 ≤ i < n, determina c; tal seq¨uˆencia de arestas ser´a tamb´em denotada

por c. Se P

= c(i), dizemos que c ´e um caminho de P

a P

e que P

e P

s˜ao as

extremidades do caminho.

Um par da forma (e

, e

i+1

) = (e

, e

−1

) em um caminho ´e chamado um “back-

tracking”.

Observa¸c˜ao 2.1.1 Se c = (e

, . . . , e

, e

i+1

, e

i+2

, . . . , e

) ´e um caminho de P a Q

com um “backtracking”do tipo (e

, e

i+1

) = (e

, e

−1

) podemos co nstruir a partir de c

um caminho (de comprimento n − 2) que n˜ao possui um tal “backtracking”. Basta

tomar o caminho dado pela seq¨uˆencia (e

, . . . , e

i−1

, e

i+2

, . . . , e

). Por indu¸c˜ao, con-

clu´ımos que se existe algum caminho de P a Q em um g rafo Γ ent˜ao existe um

caminho sem “backtracking” ligando P a Q.

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 43

Por exemplo, se considerarmos o grafo (onde estamos indicando a orienta¸c˜ao

para as arestas e, f, g e h),

ent˜ao c = (e, f, g, g

−1

, h) ´e um caminho com um “backtracking”. J´a o caminho

= (e, f, h) n˜ao possui “backtracking”.

Deﬁni¸c˜ao 2.1.3 Um caminho (reduzido) de arestas em um grafo Γ ´e uma seq¨uˆencia

, . . . , e

) d e arestas tal que t(e

) = o(e

i+1

) e e

= e

i+1

−1

, para i = 1, 2, . . . , n − 1,

ou seja, ´e um caminho sem “backtracking”. Se e, f s˜ao arestas de Γ, escrevemos:

e ≤ f se e x i ste um caminho (reduzido) de arestas com e

= e e e

= f.

Observa¸c˜ao 2.1.2 Para alguns a utores, caminho em um grafo j´a signiﬁ ca caminho

(reduzido) de arestas.

Deﬁni¸c˜ao 2.1.4 Seja n ∈ Z, n ≥ 1. Conside remos o grafo orientado Circ

com conjunto de v´ertices Z/nZ e orienta¸c ˜ao dada pelas n arestas [i, i+1] (i ∈ Z/nZ),

com o([i, i + 1]) = i e t([i, i + 1]) = i + 1. (Note que [n − 1, n] = [n − 1, 0] e

t([n − 1, n]) = n = 0 em Z/nZ). Um circuito (de comprimento n) em um grafo Γ

´e qualquer subgrafo isomorfo a Circ

. Um tal subgrafo ´e deﬁnido por um caminho

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 44

, . . . , e

) sem “backtracking”, tal que os P

= t(e

) (1 ≤ n ≤ n) s˜ao distintos e

com P

= o(e

). Um circuito de comprimento 1 ´e cha mado um la¸co (ou loop).

Exemplo 2.1.2 Para n = 1, o la¸co Circ

´e assim represen tado :

Para n = 2, Circ

´e representado da seguinte forma:

Note que um caminho como na ﬁgura abaixo ´e um caminho sem “backtracking”e

que possui um circuito.

Deﬁni¸c˜ao 2.1.5 Um grafo ´e dito conexo se quaisquer dois v´ertices s˜ao extremi-

dades de pelo menos um caminho. Os subgrafos conexos maximais (sob a rela¸c˜a o de

inclus˜ao) s˜ao chamado s de componentes conexas de um grafo.

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 45

Po de-se mostrar que um grafo ´e conexo se, e somente se, sua realiza¸c˜ao ´e conexa

(ou conexa por caminhos, o que ´e equivalente). Mais geralmente, as comp onentes

conexas de um grafo correspondem `a aquelas de sua realiza¸c˜ao.

Observa¸c˜ao 2.1.3 Pode-se veriﬁcar que a rela¸c˜ao ≤ entre arestas d e um grafo Γ,

dada na Deﬁni¸c˜a o 2.1.3, isto ´e, e ≤ f se existe um caminho de arestas com e

= e

e e

= f tem as seguintes propri edades ([18], p. 183):

(A) Para qualquer grafo Γ, a rela¸c˜ao ≤ ´e reﬂexiva e transitiva.

(B) Para qualquer g rafo Γ e quaisquer ares tas e e f de Γ, se e ≤ f ent˜ao f

−1

≤ e

−1

pelo menos uma destas rela¸c˜oes e ≤ f, e ≤ f

−1

, e

−1

≤ f , e

−1

≤ f

−1

valem.

(D) O grafo Γ n˜ao possui circuitos se, e somente se, e ≤ f e f ≤ e imp l i car e = f .

(E) Se Γ n˜ao possui circuitos, ent˜ao para nenhum par e, f de arestas podemos ter

e ≤ f e e ≤ f

−1

(F) Se Γ n˜ao possui circuitos ent˜a o para qualquer par e, f de arestas exis te apen a s

um n ´ume ro ﬁni to de a restas g co m e ≤ g ≤ f.

Recordemos que uma rela¸c˜ao que satisfaz as condi¸c˜oes (A) e (D), ´e chamada de

rela¸c˜ao de ordem parcial. Assim, se um grafo Γ n˜ao possui circuitos a rela¸c˜ao ≤ ´e

uma rela¸c˜ao de ordem parcial sobre Γ.

O grafo Γ(G, S) Sejam G um grupo e S um subconjunto de G. Vamos denotar

por Γ = Γ(G, S) o grafo orient ado tendo G como seu conjunto de v´ertices, G ×

S = (aresta(Γ))

como sua orienta¸c˜ao, e aplica¸c˜oes deﬁnidas por o(g, s) = g e

t(g, s) = gs par a cada aresta (g, s) ∈ G × S.

Deﬁni¸c˜ao 2.1.6 Recordemos q ue se G ´e um grupo e M ´e um conjunto n ˜ao vazio,

uma G-a¸c˜ao sobre M ´e uma aplica¸c˜ao G × M → M, (g, m) → gm, tal que 1m = m

para todo m ∈ M, e g(g

′

m) = (gg

′

)m, para todos g, g

′

∈ G, m ∈ M. Dizemos que

a a¸c˜ao ´e trivial ou que G age trivialmente sobre M, se gm = m para todo g ∈ G e

todo m ∈ M. Ainda, G age livremente sobre um conjunto M se o estabilizador de

m, isto ´e, G

:= {g ∈ G; gm = m}, for trivial, ou seja, igual ao elemento neutro 1

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 46

de G, para todo m ∈ M. Para um v´ertice P de um grafo Γ, denotaremos a ´orbita

de P por O(P ), isto ´e, O(P ) = {gP ; g ∈ G} = G.P e para uma aresta e de Γ

denotaremos a ´orbita de e por O(e), isto ´e, O(e) = {ge; g ∈ G} = Ge.

Po de-se veriﬁcar que se G ´e um grupo, S um subconjunto de G e Γ = Γ(G, S)

o grafo associado, ent˜ao a multiplica¸c˜ao `a esquerda por elementos de G (de modo

que h ∈ G leva um v´ertice g no v´ertice hg, e uma ar esta (g, s) na aresta (hg, s))

deﬁne uma a¸c˜ao de G sobre Γ. Note que se e = (g, s) ent˜a o o(he) = hg = ho(e) e

t(he) = (hg)s = h(gs) = ht(e). Tal a¸c˜ao preserva orienta¸c˜ao e al´em disso, G age

livremente sobre o s v´ertices e sobre as arestas de Γ.

Analogamente, deﬁne-se G-a¸c˜ao `a direita sobre M.

Observa¸c˜ao 2.1.4 ([9], p.26) Veriﬁca-se que se x ∈ G e x

= 1 ent˜ao existe uma

aresta ligando g a gx e tamb´em outra ligando gx a gx

= g. Somente neste caso,

existe mais que uma aresta ligan do dois v´ertices (adjace ntes) dados.

Exemplo 2.1.3 Seja G um grupo c´ıclico de ordem n gerado po r a e S = {a}.

Para n = 1, o diagrama de Γ(G, S) ´e iso morfo a Circ

, para n = 2 o diagrama

de Γ(G, S) ´e isomorfo a Circ

, mais geralmente, para n < ∞, Γ(G, S) ≃ Circ

Agora, se G = Z o grupo c´ıclico inﬁnito gerado por S = {a} ent˜ao Γ(G, S) tem

como v´ertices o conjunto {a

, n ∈ Z} e are s tas [a

, a

n+1

], n ∈ Z (e cuja realiza¸c˜ao

geom´etrica ´e R ).

Proposi¸c˜ao 2.1.1 ([19], p.17) Seja Γ = Γ(G, S) o grafo deﬁnido por um grupo G

e um subconjunto S de G.

(a) Γ ´e cone xo se, e somente se, S gera G.

(b) Γ cont´em um la¸co se, e somente se, 1 ∈ S.

Demonstra¸c˜ao:

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 47

(a) Para todo g ∈ G, como Γ(G, S) ´e conexo, existem arestas e

, e

, . . ., e

que ligam

g a 1

(o elemento neutro do grupo G). Da´ı, existem s

, s

, . . ., s

∈ S tais

que os v´ertices iniciais ou ﬁnais dessas arestas s˜ao (de acordo com a sequˆencia):

g, gs

, gs

, . . . , gs

. . . s

= 1

onde ε

= ±1, i = 1, . . . , k. Assim, g = s

. . . s

, com r

= −ε

, i = 1, . . . , k.

Logo, g ∈ S e da´ı, G = S. Reciprocamente, se S gera G, para todo

, g

∈ G, temos g

= s

. . . s

e g

= s

k+1

. . . s

, onde r

= ±1,

i = 1, . . . , n. Multiplicando g

`a direita, sucessiva mente por s

−r

, . . ., s

−r

teremos arestas ligando g

a 1

. Analogamente, temos arestas ligando g

. Portando temos um caminho (de arestas) ligando g

a g

e assim, Γ(G, S)

´e conexo.

(b) Claro, pois gs = g ⇔ s = 1. 

Deﬁni¸c˜ao 2.1.7 Quando G ´e ﬁnitamente gerado e S um co njunto de geradores de

G, o gra f o Γ(G, S) ´e chamado de grafo de Cayley de G.

Observa¸c˜ao 2.1.5 Alguns a utores usam o termo grafo de Cayley mesmo quando

S n˜ao ´e um conjunto de geradores de G e outros e xigem que o elemento neutro de

G n˜ao perten¸ca a S (de modo que Γ(G, S) n˜ao contenha la¸co).

Arvores

Deﬁni¸c˜ao 2.1.8 Uma ´arvore ´e um grafo co nexo n˜ao vazio sem circuitos e uma

sub-´arvore de um grafo Γ ´e um subgrafo de Γ que ´e uma ´arvore.

Como uma ´arvore Γ ´e um grafo conexo, dados quaisquer dois pontos P e Q em

Γ, existe um caminho (reduzido) de arestas ligando P a Q.

Logo, se Γ ´e uma ´arvore, a rela¸c˜ao descrita anteriormente ≤ sobre o conjunto de

arestas de Γ, aresta(Γ), ´e uma ordem parcial e todas as outras condi¸c˜oes valem.

Deﬁni¸c˜ao 2.1.9 Uma geod´esica em uma ´arvore Γ ´e um caminho (reduzido) de

arestas em Γ, isto ´e, um caminho sem “bac ktracking”, ou seja, sem um par da

forma (e

, e

i+1

) = (e

, e

−1

), onde e

, e

i+1

, e

−1

indicam arestas.

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 48

Proposi¸c˜ao 2.1.2 Sejam P e Q dois v´ertices de uma ´arvore Γ. Existe exatamente

uma geod´esica (e

, . . ., e

) de P a Q. Al´e m disso, todos os v´e rtices o(e

) s˜ao distin-

tos.

Demonstra¸c˜ao: Obviamente, como uma ´arvore ´e conexa e sem circuitos, existe

uma geod´esica unindo quaisquer dois v´ertices. Se (e

, . . ., e

) ´e qualquer geod´esica

e se o(e

) = o(e

) para algum i < j, ent˜ao o caminho (e

, . . ., e

−1

) deveria ser um

circuito, o que contradiz o fato de Γ ser uma ´arvore. Finalmente, se (e

, . . ., e

) e

, . . ., f

) s˜ao duas geod´esicas de P a Q, ent˜ao o caminho (e

, . . ., e

, f

−1

, . . .,

−1

) seria um circuito n˜ao trivial em P a menos que e

= f

. Por indu¸c˜ao, segue

que m = n e que e

= f

para todo i = 1, . . . , n. 

Deﬁni¸c˜ao 2.1.10 O comprimento da geod´esica de P a Q ´e chamado distˆancia de

P a Q e ´e denotado por l(P, Q). Temos l(P, Q) = 0 se, e somente se, P = Q e

l(P, Q) = 1 se, e somente se, P e Q s˜ao adjacentes.

2.2

Arvores e produtos livres amalgamados

Deﬁni¸c˜ao 2.2.1 Seja Γ um grafo sobre o qual um grupo G age. Diz emos que G

age sobre Γ sem invers˜oes s e sempre que um e l e mento g ∈ G ﬁxa uma aresta e de

Γ, g ﬁxa tamb´em as extremidades de e, ou seja, ge = e

−1

nunca ocorre.

Se G age sem invers˜oes, podemos deﬁnir o grafo quociente G\Γ de maneira ´obvia:

o conjunto de v´ertices de G\Γ ´e o conjunt o vert(Γ) sob a a¸c˜ao de G (conjunto das

´orbitas O(P ) = G.P dos v´ertices P de Γ pela a¸c˜ao de G) e o conjunto de arestas de

G\Γ ´e o conjunto aresta(Γ) sob a a¸c˜ao de G (conjunto das G-´orbitas O(e) = G.e

das ar estas e de Γ). Not e que as aplica¸c˜oes o e t para o grafo quociente s˜ao tais que

o(G.e) = G.o(e) e t(G.e) = G.t(e) e existe uma aplica¸c˜a o bem deﬁnida Γ → G\Γ

tal que x → O(x) = G.x.

Exemplo 2.2.1 Con sidere o grafo Circ

que indica o n-cicl o ou o n-circuito. Temos

que o grupo c´ıclico G = Z/3Z atua sobre o grafo Circ

por rota¸c˜ao de 120

◦

e o quo-

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 49

ciente ´e Circ

, pois O(P ) = {P, P

′

, P

′′

}, O(Q) = {Q, Q

′

, Q

′′

}, O(e) = {e, e

′

, e

′′

} e

O(f) = {f, f

′

, f

′′

Exemplo 2.2.2 Con sidere o grafo Γ cuja realiza¸c˜ao geom´etrica ´e R, onde vert(Γ) =

{n; n ∈ Z}, aresta(Γ) = {[i, i + 1], i ∈ Z} e a Z-a¸c˜ao ´e dada por k.[i, i + 1] =

[k + i, k + i + 1]. Temos que Z atua sem invers˜ao e o gra fo quociente ´e um la¸co,

pois O(0) = {k + 0; k ∈ Z} = Z e toda s as arestas de Γ est˜ao na classe da aresta e

onde e

= [0, 1].

Proposi¸c˜ao 2.2.1 ([19], Proposi¸c˜ao 14 , p . 25) Seja Γ um grafo conexo, sobre o

qual um grupo G age sem invers˜oes. Toda sub-´a rvore T de G\Γ se lev anta a uma

sub-´arvore de Γ via a aplica¸c˜ao quoci ente Γ → G\Γ.

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 50

Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao ´e existencial e para isso, usaremos o Lema

de Zorn. Precisamos mostrar que existe uma sub-´arvore de Γ que ´e aplicada in-

jetivamente sobre T . Considere o conjunto Ω de sub-´arvores de Γ que projetam

injetivamente sobre T . Ent˜ao Ω ´e n˜ao vazio, uma vez que existe pelo menos uma

´arvore formada por um ´unico ponto e, al´em disso, se T

, i ∈ I ´e um subconjunto

totalmente ordenado (pela inclus˜ao) de Ω, ent˜ao a uni˜ao T

´e novamente uma ´a rvore

e deve projetar-se injetivamente em T , pois quaisquer dois pontos de T

est˜ao em

algum T

, i ∈ I que se projetam em T . Assim, T

∈ Ω e portanto, toda fam´ılia

totalmente ordenada tem um elemento maximal em Ω. Seja

T este elemento maxi-

mal de Ω. Chamamos de T

′

a imagem de

T em G\Γ. Agora, T

′

⊂ T . Suponha, se

poss´ıvel, que T

′

= T . Ent˜ao, pela conexidade de T , existe uma aresta e de T que

se inicia em um v´ertice de T

′

, e termina em um v´ertice de T que n˜ao pertence a T

′

Seja ˜e o levantamento de e. Como g˜e com g ∈ G, ´e tamb´em um levantamento de

e, podemos substituir ˜e por uma aresta g˜e adequada e a ssumir que o(˜e) pertence a

T . Note que t(˜e) n˜ao pertence a

T , uma vez que sua imagem em G\Γ n˜ao ´e um

v´ertice de T

′

. Tomando

T o grafo derivado de

T por adicionar o v´ertice P = t(˜e) e

as arestas ˜e e ˜e

−1

, temos que

T ´e uma ´arvore. Mas, a aplica¸c˜ao

T → T ´e injetiva, o

que contradiz a maximalidade de

T ; portanto T

′

= T . 

Deﬁni¸c˜ao 2.2.2 Seja Γ um grafo n˜ao vazio. Considerando o conjunto de sub-

´arvore s de Γ, ordenado pela inclus˜ao, terem os, pelo Lema de Zorn, que exis te um

elemento maxim al. Tal elemento maximal ´e chamado uma ´a r vore maximal de Γ.

Seja Υ um gra fo conexo no qual G age sem invers˜o es. Uma ´arvore de representantes

de Υ mod G ´e qualquer sub-´arvore T de Υ que ´e o levantame nto de uma ´arvore

maximal em Γ = G\Υ.

Exemplo 2.2.3 Se considerarmos o grafo Γ = Circ

com a a¸c˜ao de G = Z/3Z

(Exemplo 2.2.1) ent˜ao a sub-´arvore T

′

formada pelo s v´ertices dados pe l as classe s

(´orbitas) O(P ), O(Q) e aresta dada pela classe de e se levanta nas sub-´arvores

T = {P, Q, e},

′

= {P

′

, Q

′

, e

′

} e

′′

= {P

′′

, Q

′′

, e

′′

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 51

Agora, T

′

´e uma ´arvore maximal no quoc i ente G\Γ, assim,

T ,

′

′′

s˜ao

´arvore s de represen tantes de Γ mod G.

2.2.1 Dom´ınio fundamental e decomposi¸c˜ao de grupos

Nesta se¸c˜ao, caracterizaremos os grupos que s˜ao produtos livres com subgrupo

amalgamado da forma G

∗

com grupos agindo sobre ´arvores com dom´ınio fun-

damental um segmento. Lembremos que um segmento indica um grafo T isomorfo

a Cam

, como na ﬁgura abaixo:

Deﬁni¸c˜ao 2.2.3 Seja G um grupo agindo sem invers˜oes sobre um graf o Γ. Um

dom´ınio fundamental de Γ mod G ´e um subgrafo T de Γ tal que T → G\Γ ´e um

isomorﬁsmo.

Um dom´ınio fundamental pode n˜ao existir, po is para Γ = R e G ≃ Z como no

Exemplo 2.2.2, n˜ao existe em Γ nenhum subgrafo T tal que T ´e isomorfo ao grafo

quociente que ´e um la¸co.

Se G\Γ ´e uma ´arvore, segue da Proposi¸c˜a o 2.2 .1 que um dom´ınio fundamental

existe. Se Γ ´e uma ´arvore, a rec´ıproca tamb´em ´e verdadeira:

Proposi¸c˜ao 2.2.2 ([19], Proposi¸c˜ao 17) Seja G um grupo a g indo sobre uma ´arvore

Γ. Um dom´ınio fundam ental de Γ mod G existe se, e somente se, G\Γ ´e uma ´arvore.



Teorema 2.2.1 Seja G agindo sobre um grafo Γ. Seja T um segmento em Γ que

´e um dom´ınio fundamental de Γ mod G. Sejam P , Q os v´ertices de T , com aresta

{e, e

−1

} ligando P e Q. Sejam G

, G

e G

= G

−1

os estabilizadores dos v´ertices

P e Q e aresta e de T . As seguintes propriedades s˜ao ent˜ao equivalentes:

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 52

1. Γ ´e uma ´arvore.

2. O homo morﬁsmo G

∗

→ G induzido pelas inclus˜oes G

→ G e G

→ G

´e um isomorﬁsmo.

Note que G

= G

∩ G

´e um subgrupo de G

e de G

, portanto o produto livre

amalgamado G

∗

faz sentido.

Para a prova deste teorema necessitamos dos dois lemas seguintes:

Lema 2.2.1 Nas hip´oteses do Teorema 2.2.1, temos que o grafo Γ ´e conexo se, e

somente se, G ´e gerado por G

∪ G

Demonstra¸c˜ao: Seja Γ

′

a componente conexa de Γ contendo o segmento T

(dom´ınio fundamental). Seja G

′

o estabilizador de Γ

′

, isto ´e, G

′

= {g ∈ G; gΓ

′

= Γ

′

}

e seja G

′′

o subgrupo de G gerado por G

∪ G

. Note que G

′′

⊂ G

′

, pois se

h ∈ G

∪ G

ent˜ao os segmentos T e hT tˆem um v´ertice em comum; por exemplo,

se h ∈ G

, hP = P . Da´ı P ´e um v´ertice comum de T e hT . Ent˜ao , temos hT ⊂ Γ

′

uma vez que Γ

′

´e a componente conexa que cont´em T . Portanto, hΓ

′

= Γ

′

, isto ´e,

h ∈ G

′

; assim, G

⊂ G

′

e G

⊂ G

′

, e conseq¨uentemente, G

′′

⊂ G

′

Agora, se G

∪ G

gera G ent˜ao G = G

′

= G

′′

e portanto, Γ

′

= G

′

= GΓ

′

⊃

GT = Γ. Logo, Γ

′

= Γ e assim, Γ ´e conexo. Note que GT = Γ porque T ´e dom´ınio

fundamental e assim, para todo R ∈ vert(Γ), temos que R = gP ou R = gQ, para

algum g. Da´ı, R ∈ GT . De modo similar, para qualquer aresta e ∈ Γ, existe g ∈ G

tal que ge = T e assim, e = g

−1

T ∈ GT .

Por outro lado, suponha que Γ ´e conexo. Note que G

′′

T e (G−G

′′

)T s˜ao subgrafos

disjuntos de Γ cuja uni˜ao ´e Γ (se a uni˜ao fosse n˜ao disjunta, ent ˜ao existiriam x ∈ G

′′

y ∈ G−G

′′

tais que y

−1

x ﬁxa P ou Q ou y

−1

x envia P em Q ou Q em P . A primeira

implica¸c˜ao contradiz o fato de que y ∈ G

′′

e a ´ultima o fato de T ser um dom´ınio

fundamental). Se Γ ´e conexo e T ⊂ G

′′

T , segue que Γ = G

′′

T , e portanto temos

que Γ = G

′′

T . Mas grafo Γ ´e conexo e ent˜ao Γ = Γ

′

, isto ´e, G = G

′

= G

′′

Portanto, G

′

T = GT = Γ = G

′′

T . Isto implica que G

′′

⊂ G

′

, pois se x

′′

∈ G

′′

ent˜ao

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 53

′′

′

= x

′′

Γ = x

′′

T = G

′′

T = Γ = Γ

′

. Portanto, G

′′

= G

′

= G, isto ´e, G

∪ G

gera G. 

Lema 2.2.2 Nas condi¸c˜oes do Teorem a 2.2.1, temos que Γ n˜ao possui circuitos se,

e somen te se, G

∗

→ G ´e injetiva.

Demonstra¸c˜ao: Dizer que Γ possui um circuito ´e o mesmo que dizer que existe

um caminho c = (w

, . . . , w

), n ≥ 1 em Γ sem “backtracking” e tal que o(c) = t(c).

Escrevemos w

na forma h

com h

∈ G e e

= e ou e

= e

−1

. Passando a

G\Γ ≃ T vemos tamb´em que e

−1

= e

i−1

(1 ≤ i ≤ n). Seja P

= o( e

) = t(e

i−1

);

temos h

= h

i−1

, com g

∈ G

pois h

= h

o(e

) = o(h

) = t(h

i−1

) =

i−1

t(e

i−1

) = h

i−1

e g

∈ G

pois (h

)

−1

= h

i−1

O fato que o(c) = t(c) ´e equivalente a t(e

) = P

, ou novamente, h

= h

. . . g

, isto ´e, g

. . . g

∈ G

Conclu´ımos que Γ cont´em um circuito se, e somente se, podemos encontrar uma

seq¨uˆencia de v´ertices de Γ, P

, . . . , P

com {P

i−1

, P

} = {P, Q}, para todo i e uma

seq¨uˆencia de elementos g

∈ G

−G

(0 ≤ i ≤ n) tal que g

. . . g

= 1. Da´ı, temos

que G

∗

→ G n˜ao ´e injetiva. 

Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.1: Como uma ´arvore ´e um grafo conexo n˜ao

vazio sem circuitos, segue do Lema 2.2.2 que a aplica¸c˜ao

∗

→ G ´e injetiva e, pelo Lema 2.2.1, que G ´e gerado por G

∪ G

assim, tal aplica¸c˜ao ´e sobrejetiva. Logo, um isomorﬁsmo. Por outro lado, basta

considerarmos as rec´ıprocas dos Lemas 2.2.1 e 2.2.2 para concluirmos que Γ ´e uma

´arvore. 

Reciprocamente, todo produto livre amalgamado de dois grupos age sobre uma

´arvore com um segmento como dom´ınio fundamental. Mais precisamente, temos:

Teorema 2.2.2 Seja G = G

∗

um produto livre amalgamado de dois grupos.

Ent˜ao e xiste uma ´arvore Γ (e somente uma , a menos de isomorﬁsmo) sobre a qual

G age, com um segmento T como dom´ınio fundamental, v´ertices P e Q e aresta e

tais que G

= G

, G

= G

e G

= A como seus respectivos estabilizadores.

CAP

ITULO 2. GRAFOS E

ARVORES 54

Demonstra¸c˜ao: Seja G = G

∗

Deﬁnimos um grafo Γ sobre o qual G age,

como segue

vert(Γ) = (G/G

)



(G/G

), aresta(Γ) = (G/A)



(G/A)

−1

A aplica¸c˜ao deﬁnindo as extremidades de uma aresta ´e dada por

aresta(Γ) → vert(Γ) × vert(Γ)

gA → (gG

, gG

Com a a¸c˜ao ´obvia de G sobre Γ o estabilizador do v´ertice P = 1.G

´e o grup o

e similarmente, para Q = 1.G

e e = 1.G

os estabilizadores s˜ao G

e A,

respectivamente. O Teorema 2.2.1 ent ˜ao mostra que Γ ´e uma ´arvore. 

Observa¸c˜ao 2.2.1 ([19], p.34) (1) Os Teoremas 2.2.1 e 2.2.2 estabelecem uma

equivalˆencia entre “produto livre amal gamado de dois grupos” e “a¸c˜ao s obre uma

´arvore com um segmento como dom´ınio fundamental”.

(2) Existe tam b´em uma equivalˆencia an´al oga entre “HNN-grupos” e “a¸c˜ao sobre

uma ´arvore com um la¸co como quociente”. Uma das implica¸c˜oes pode ser encontrada

em [18], que e nunciaremos a seguir:

Teorema 2.2.3 ([18], Corol´ario 4.5) Seja G um grupo agindo sobre um grafo Γ. Se

G\Γ consis te de um ´unico la¸co ent˜ao Γ cont´em uma a resta e com v´ertices adjacentes

P e Q, onde Q = gP , para algum g ∈ G e G ≃ G

∗

. 

Exemplo 2.2.4 Con sidere Γ = R e G ≃ Z, como no Exemplo 2.2.2. O grafo

quociente G\Γ ´e um la¸co e temos que Z ≃ {1}∗

{1}

Cap´ıtulo 3

(Co)Homologia de Grupos e

Dualidade

Como veremos no pr´oximo cap´ıtulo, a teoria de decomposi¸c˜ao de grupos est´a

fortemente relacionada com ends de grupos e pares de g rupos. Esses, no entanto,

tˆem uma grande intera¸c˜ao com cohomologia de grupos. De fato, pode-se dar uma

deﬁni¸c˜ao para tais ends usando uma linguagem cohomol´ogica. Assim, neste cap´ıtulo,

inicialmente deﬁnimos (co)homologia de grupos e apresentamos alguns resultados.

Deﬁnimos tamb´em grupos de dualidade (D

-grupos), que s˜ao grupos com n´umero

de end s igual a um, quando n > 1, e assim, n˜ao se decomp˜o em sobre subgrupos

ﬁnitos (Proposi¸c˜ao 4.1.3).

3.1 RG-m´odulos e Resolu¸c˜oes de R sobre RG

Deﬁni¸c˜ao 3.1.1 Sejam R um anel com utativo com unidade 1 e G um grupo de no-

tado multiplicativamente, com elemento neutro 1. Seja RG (ou R[G]) o R-m´odulo

livre gerado pelos elementos de G. Assim, um elemento de RG ´e expresso unica-

mente na forma



g∈G

.g, com r

∈ R e r

= 0 para quase todo g ∈ G (i sto ´e, exceto

para um n´umero ﬁnito de elementos g ∈ G).

Em RG, as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica ¸c˜ao s˜ao dadas por:

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 56

(



g∈G

.g) + (



g∈G

.g) =



g∈G

+ s

).g

(



g∈G

.g).(



h∈G

.h) =



g,h∈G

).(g.h).

Tais opera¸c˜oes fazem de RG um anel com unidade 1

= 1

.1, chamado anel

grupo de G sobre R.

Em geral, o elemento 1

.g ∈ RG ser´a de notado por g.

Observa¸c˜ao 3.1.1 1. Se G ´e um grupo e R = Z

ent˜ao x ∈ Z

G ´e da forma

x = 1.g

+ · · · + 1.g

≡ g

+ · · · + g

, com 1 ∈ Z

e g

∈ G.

2. Para q ualq uer grupo G podemos deﬁnir o homomorﬁsmo de an´eis ε : RG → R

tal que ε(g) = 1 para todo g ∈ G e estender por linearidade. Este homomor-

ﬁsmo ´e denominado aplica¸c˜ao a ume nta¸c˜ao. Note que ε ´e sobrejetora pois para

todo r ∈ R, existe x = r.g ∈ RG tal que ε(x) = ε(rg) = rε(g) = r.

Proposi¸c˜ao 3.1.1 Seja G um g rupo e M um conjunto n˜ao vazio. Ent˜a o, M ´e um

RG-m´odulo (`a esquerda) se, e somente se, M ´e um R-m´odulo (`a esquerda) munido

de uma a¸c˜ao (`a esquerda) de G sobre o grupo aditivo (M,+).

Demonstra¸c˜ao:

Se M ´e um RG-m´odulo ent˜ao M ´e um R-m´odulo considerando rm := (r1)m e

pode-se deﬁnir uma G-a ¸c˜ao por g.m := (1

.g)m.

Reciprocamente, se M ´e um R-m´odulo e existe uma a¸c˜ao de G sobre M ent˜a o

podemos dar a M uma estrutura de RG-m´odulo da seguinte maneira (



g∈G

.g)m :=



g∈G

.(g.m). 

Corol´ario 3.1.1 M ´e um ZG-m´odulo se, e somente se, M ´e um grupo abelian o

munido de uma G-a¸c˜a o.

Corol´ario 3.1.2 M ´e um Z

G-m´odulo se, e somente se, M ´e um Z

-m´odulo (equiv-

alentemente, grupo abeliano em que todo elemento tem ordem 2) munido de uma

G-a¸c˜ao.

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 57

Segue dos corol´arios anteriores que todo Z

G-m´odulo ´e um ZG-m´odulo, mas a

rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira.

Exemplo 3.1.1 Seja G um grupo. Ent˜ao ℘(G) ´e um Z

G-m´odulo, onde ℘(G) ´e o

conjunto das partes de G. A G-a¸c˜ao natural ´e dada por

G × ℘(G) → ℘(G)

(g, H) → g.H = {g.x; x ∈ H}

Observa¸c˜ao 3.1.2 Todo R-m´odulo M pode ser visto como um RG-m´odulo com a

G-a¸c˜ao trivial. Em particular, M = R ser´a, em gera l , consi derado um RG-m´odulo

trivial e assim, (



g∈G

.g)r :=



g∈G

(g.r) =



g∈G

.r = ε(



g∈G

.g)r.

Quando R = Z

esta ´e a ´unica estrutura de Z

G-m´odulo poss´ıvel, pois Aut(Z

) =

{id}.

Considerando X um G-conjunto e RX o R-m´odulo livre gerado pelos elementos

de X, podemos estender a G-a¸c˜ao de G sobre X a uma G-a¸c˜ao sobre RX da seguinte

maneira: g.(



x) :=



(g.x), com g ∈ G, r

∈ R e x ∈ X. Assim, temos o

seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 3.1.2 ([6], Proposi¸c˜ao 3.1) Sejam X um G-conjunto l i vre e E um con-

junto de represe ntantes para as G-´orbitas em X. Ent˜ao RX ´e um RG-m´odulo livre

com base E. 

Corol´ario 3.1.3 S e S ´e um subgrupo de G ent˜ao RG ´e um RS-m´odulo livre com

base num conjunto E de representantes para as S -´orbitas em G (que s˜ao as classes

laterais `a esquerda de S em G), isto ´e, RG =



g∈E

(RS)

Demonstra¸c˜ao:

Temos que G ´e um S-conjunto com a a¸c˜ao dada pela multiplica¸c˜ao dos elementos

de S por elementos de G (isto ´e, s.g := sg) e esta a¸c˜ao ´e livre (pois s.g = g ⇔ s = 1 ) .

Portanto, o resultado segue da proposi¸c˜ao anterior. 

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 58

Deﬁni¸c˜ao 3.1.2 Sejam R um anel comutativo com unidade 1 e M um R-m´odulo.

Uma res olu¸c˜ao de M sobre R, ou uma R-resolu¸c˜ao de M ´e uma sequˆencia exata de

R-m´odulos

· · · → F

∂

−→ F

∂

−→ F

−→ M −→ 0

onde ε : F

→ M ´e chamada aplica¸c˜ao aumen ta¸c˜ao.

Se cada F

´e R-m´odulo livre (respectivamente, projetivo), d i zemos que a resolu¸c˜ao

´e livre (respectivamente, projetiva).

Nota¸c˜ao: ε : F → M denotar´a uma r esolu¸c˜ao de M sobre R.

Observa¸c˜ao 3.1.3 1. Toda resolu¸c˜ao livre ´e projetiva, pois todo m´odulo livre ´e

projetivo.

2. Se existir um inteiro n tal que F

= 0, pa ra i > n, dizemos que a resolu¸c˜ao

tem comprimento no m´aximo n. Neste caso, escrevemos simplesmente

0 → F

→ · · · → F

→ M → 0

Proposi¸c˜ao 3.1.3 ([6], p.10) Dado um R-m´odulo M sempre podemos construir

uma reso l u¸c˜ao l i vre (e portanto projetiva) de M sobre R. 

3.2 (Co)Invariantes

Nesta se¸c˜ao, consideraremos R um anel, G um grupo e M um RG-m´odulo (`a

esquerda).

Deﬁni¸c˜ao 3.2.1 Sejam G um grupo e M um RG-m´odulo (`a esquerd a ). O grupo de

invariantes de M, denotado por M

, ´e deﬁnido por:

= {m ∈ M; g.m = m, ∀ g ∈ G}.

Observa¸c˜ao 3.2.1 1. Se a a¸c˜ao de G em M ´e trivial, isto ´e, g.m = m, para

qualquer m ∈ M, ent˜ao M

= M.

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 59

E claro que a G-a¸c˜ao sobre M induz a G-a¸c˜ao trivial sobre M

e assim, M

´e um RG-m´odulo trivial. Temos que M

´e o maior subm´od ulo de M no qual

G atua trivialmente.

Proposi¸c˜ao 3.2.1 (Hom

(M, N))

= Hom

(M, N).

Demonstra¸c˜ao:

Sejam g ∈ G e f ∈ Hom

(M, N). Temos que

g.f = f ⇔ (g.f )(m) = f(m), ∀ m ∈ M ⇔ g.f(g

−1

.m) = f(m),

∀ m ∈ M ⇔ g.f(m

′

) = f(g.m

′

), ∀ m

′

∈ M (m

′

= g

−1

.m).

Logo, (Hom

(M, N))

= {f ∈ Hom

(M, N); g.f (m) = f (g.m)} = Hom

(M, N).

Corol´ario 3.2.1 S e R ´e visto como RG-m´odulo trivial (`a esquerda) ent˜ao

Hom

(R, M) ≃ M

como grupo s (e como RG-m´odulos triviais).

Deﬁni¸c˜ao 3.2.2 O grupo de coinvariantes de M, denotado por M

, ´e dado por:

g.m − m; g ∈ G e m ∈ M

onde g.m − m; g ∈ G e m ∈ M ´e o subm´odulo de M gerado pelos elementos

g.m − m, com g ∈ G e m ∈ M.

Proposi¸c˜ao 3.2.2 ([6], II.2.1 . ) Se R ´e visto como RG-m´odulo trivial (`a esquerda),

ent˜ao

≃ R ⊗



3.3 M´odulos (Co)In duzidos

Consideremos A, B a n´eis e k : A → B um homomorﬁsmo de an´eis.

1. Se M ´e um B-m´odulo (`a esquerda) sempre podemos ver M como um A-m´odulo

(`a esquerda) deﬁnindo em M a A-multiplica¸c˜ao:

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 60

A × M → M

(a, m) → a.m := k(a).m

Neste caso, M ´e dito um A-m´odulo por restri¸c˜ao de escalares (via k) e ser´a

denotado por Res

Deste modo, se G ´e um grupo, H um subgrupo de G, α : RH ֒→ RG aplica¸c˜ao

inclus˜ao de RH em RG e M ´e um RG-m´odulo, podemos ver M como um

RH-m´odulo atrav´es de α e o RH-m´odulo M ´e denotado por Res

M (m´odulo

restri¸c˜ao).

Seja M um RH-m´odulo e,

Ind

M = RG ⊗

Ind

M ´e um grupo abeliano. Em Ind

M deﬁnimos a seguinte a¸c˜a o:

G × Ind

M → Ind

(g, α ⊗ m) → gα ⊗ m

Com esta a¸c˜ao, Ind

M to rna -se um RG-m´odulo.

2. Agora, se M ´e um A- m´odulo (`a esquerda), podemos obter um B-m´odulo (`a

esquerda), Hom

(B, M), bastante relacionado com M, da seguinte maneira:

Por restri¸c˜ao , podemos ver B como um A-m´odulo (`a esquerda)

A × B → B

(a, b) → a.b := k(a).b (multiplica¸c˜ao do anel B)

e assim, faz sentido considerar Hom

(B, M).

Po de-se mostrar que a aplica¸c˜ao

B × Hom

(B, M) → Hom

(B, M)

(b, f) → bf; (bf)(b

′

) := f(b

′

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 61

est´a bem deﬁnida e ´e uma B-multiplica¸c˜ao.

Assim, Hom

(B, M) ´e um B-m´odulo, denominado B-m´odulo obtido de M por

coextens ˜ao de escalares de A para B (via k).

Agora, a cada RS-m´odulo M associamos o RG-m´odulo obtido de M por coex-

tens˜ao de escalares (que neste caso chamamos de coindu¸c˜ao) e denotamos por

Coind

M, ou seja, Coind

M := Hom

(RG, M), onde a G-a ¸c˜a o ´e dada por

G × Coind

M → Coind

(g, f) → (gf)(g

′

) := f(g

′

g).

Observa¸c˜ao 3.3.1 Se H = {1}, temos RH ≃ R. Deste modo,

Ind

{1}

M = RG ⊗

M e Coind

{1}

M = Hom

(RG, M)

Tais RG-m´odulos s˜ao chamados, respectivamen te, m´odulo induzido e m´od ulo

coinduzido.

Observa¸c˜ao 3.3.2 Segue imediatamente de [6] (III.3.2) e (III.3.5), respectivamente,

considerando M = N e f = id

, que a s aplica¸c˜oes:

i : M → Ind

M = RG ⊗

m → i(m) = 1 ⊗ m

π : Coind

M = Hom

(RG, M) → M

f → π(f) = f(1)

s˜ao, respectivamente, RH-monomorﬁsmo e RH-ep i morﬁsmo.

Proposi¸c˜ao 3.3.1 ([6], p. 67) O RG-m´odulo Ind

M cont´em M como um RH-

subm´odulo. Al´em disso, considerando E um conjunto de representantes para as

classes laterais (`a es q uerda) de H e m G, e denotando por gm o conjunto obtido de

M (visto como RH-subm´odulo de Ind

M) sob a a¸c˜a o de G, temos

Ind

M =



g∈E

gM.



CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 62

Proposi¸c˜ao 3.3.2 De modo an´alogo, o caso dado pelo m´odulo de indu¸c˜ao , se con-

siderarmos o mergulho ρ : M → Coind

M, dado por

ρ(m)(g) =







g.m, se g ∈ H

0, c.c.

temos que M ´e um RH-m ´odulo de Coind

M e, al´em disso,

Coind

M =



g∈E

gM.



Observa¸c˜ao 3.3.3 A aplica¸c˜ao ρ se estende a um RG- homomorﬁsmo

ϕ : RG ⊗

M → Hom

(RG, M) ([6], II I.3.2). Tal aplica¸c˜ao pode s e r id e nti-

ﬁcada com a inclus˜ao canˆonica da soma direta no produto dire to ([6], p. 70) e,

assim, podemos ver Ind

M como um RG-subm´odulo de Coind

Proposi¸c˜ao 3.3.3 Se [G : H] < ∞ , ent˜ao Ind

M ≃ Coind

Demonstra¸c˜ao: Se [G : H] < ∞, temos que a soma direta e o produto direto

coincidem e, portanto, segue o resultado. 

Deﬁni¸c˜ao 3.3.1 Sejam M e N RG-m ´odulos (R = Z ou R = Z

). Considerando M

e N co mo R-m´odulos podemos deﬁnir sobre Hom

(M, N) uma G-a¸c˜ao (den ominada

a¸c˜ao diagonal) de modo a torn´a-l o um RG-m´odulo. Essa a¸c˜ao, a qual ´e induzida da

a¸c˜ao de G sobre M e N, ´e deﬁnida da seguinte forma:

G × Hom

(M, N) → Hom

(M, N)

(g, f) → g.f; (g.f)(m) = g.f(g

−1

.m), ∀ m ∈ M

Proposi¸c˜ao 3.3.4 ([6], Proposi¸c˜ao 5.6) Seja M um RG-m´odulo. Ent˜ao existe

um RG-isomorﬁsmo natural Coind

Res

M ≃ Hom

(R(G/S), M) onde G atua

diagonalmente no Hom

. 

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 63

3.4 Deﬁni¸c˜oes e Exemplos de H

∗

(G, M) e H

∗

(G, M)

Seja

F : · · · → F

∂

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 64

Exemplo 3.4.1 1. Sejam G = {1} e M um RG-m´odulo.

Ent˜ao, H

({1}, M) ≃







{1}

≃ M, se i = 0

0, se i > 0

2. Sejam G = t ≃ Z, grupo c´ıclico inﬁn i to e M um RG-m ´odulo.

Ent˜ao, H

(G, M) ≃











, se i = 0

, se i = 1

0, se i ≥ 2

(i) Se M ´e um RG-m´odulo trivial ent˜ao H

(G, M) = M = H

(G, M) e

(G, M) = 0, para i ≥ 2.

(ii) Seja M = ZG visto como ZG-m´odulo com a G-a¸c˜ao natural: t

.(rt

′

) :=

k+k

′

, para todos t

, t

′

∈ G e r ∈ Z.

Ent˜ao, H

(G, ZG) ≃











0, i = 0

Z, i = 1

0, i ≥ 2

(iii) Seja M = Z

G visto como Z

G-m´odulo com a G-a¸c˜ao: t

.(1.t

′

) :=

1.t

k+k

′

, 1 ∈ Z

e pa ra todos t

, t

′

∈ G.

Ent˜ao, H

(G, Z

G) ≃











≃ 0, i = 0

, i = 1

0, i ≥ 2

3. Para G ≃ Z

e M = Z, com a G-a¸c˜ao trivial, ob tem os

, Z) ≃











Z, se i = 0

0, se i ´e ´ımpar

n.Z

≃ Z

, se i ´e par, i ≥ 2

4. Se G = {1, t} ≃ Z

e M = Z ´e visto como um Z(Z

)-m´odulo com a G-a¸c˜ao

1.r := r e t.r = −r, para todo r ∈ Z, temos que

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 65

, Z) ≃











= {0}, se i = 0

≃ Z

, se i ´e ´ımpar

0, se i ´e par

5. H

(Z, ZG) ≃











0, i = 0

Z, i = 1

0, i ≥ 2

, com a Z-a¸c˜ao natural: k + (n + k

′

) = n + (k + k

′

6. H

(Z, ZG) ≃











Z, i = 0

0, i = 1

0, i ≥ 2

, com a Z-a¸c˜a o natural.

3.5 O Lema d e Shapiro

Na se¸c˜ao 2.4, vimos que se H ´e um subgrupo de um grupo G e M ´e um RH-

m´odulo, Ind

M e Coind

M s˜ao RG-m´odulos. Considerando tais RG-m´odulos,

temos o seguinte resultado que relaciona a (co)homologia de um grupo G com a

(co)homologia de seu subgrupo H.

Proposi¸c˜ao 3.5.1 (Lema de Shapiro) ([ 6], Proposi¸c˜ao 6.2, p. 73) Sejam G um

grupo, H um subgrupo de G e M um ZH-m´odulo. Ent˜ao temos os isomorﬁsmos:

(a) H

∗

(H, M) ≃ H

∗

(G, Ind

M);

(b) H

∗

(H, M) ≃ H

∗

(G, Coind

M). 

Observa¸c˜ao 3.5.1 Dado um grupo G, podemos veriﬁcar que ℘(G) = {A : A ⊂ G}

´e um Z

-espa¸co vetorial com A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A ∩ B

) ∪ (A

∩ B)

(diferen¸ca sim´e trica) e 0.A = ∅, 1 .A = A, para todo A, B ⊂ G. Mais ainda, ´e um

G-m´odulo. Al´em disso, F (G) = {A ∈ ℘(G); A ´e ﬁnito} ´e um Z

G-subm´odulo de

℘(G), com a G-a¸c˜ao natural (`a esquerda) (g, A) → g.A = {g.a; a ∈ A}. Vejamos a

rela¸c˜ao entre os Z

G-m´odulos Coind

{1}

, ℘(G), Z

G e F ( G) .

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 66

Proposi¸c˜ao 3.5.2 ([7], Coro l ´ario 2.4.3.5, p. 59) Sejam G um grupo e ℘(G) o

conjunto das partes de G. Ent˜ao Z

G := Coind

{1}

≃ ℘(G) como Z

G-m´odulos.

Al´e m disso, o Z

G-subm´odulo Z

G de Z

G ´e levado por este isomorﬁsmo no Z

G-

subm´odulo F (G) de ℘(G). 

3.6 Grupos de Dualidade

Como j ´a dissemos anteriormente, vamos deﬁnir a seguir grupos de dualidade (D

grupos), que s˜ao grupos com n´umero de ends igual a um, quando n > 1, e portanto,

n˜ao se decomp˜oem sobre subgrupos ﬁnitos (Proposi¸c˜ao 4.1.3). Como referˆencia,

sugerimos [5].

Deﬁni¸c˜ao 3.6.1 Um grupo G ´e denominado grupo de dualidade de dimens˜ao n

sobre R, ou simplesmente, um D

-grupo sobre R (R = Z ou R = Z

) s e existe

um RG-m´od ulo (`a direita) C, cha mado m´odulo dualizante de G, tal que tenhamos

isomorﬁsmos naturais

(G, M) ≃ H

n−k

(G, C ⊗

M),

para todo k ∈ Z e todo RG-m´o dulo M, o nde C ⊗

M ´e vis to como RG-m´odulo com

a G-a¸c˜ao di agonal.

Se C ≃ R como RG-m´odulo diz e mos que G ´e d72 (e)-322.e/ -31.08 Td9552 Tf84J(d)3]T108 Td9552 TP(o)-393.33 0 Td[(R)-4 0 Td[(Z)(o)-1.8746852 Tf67.273]TJ/R84 re) S a s pa

CAP

ITULO 3. (CO)HOMOLOGIA DE GRUPOS E DUALIDADE 67

Lema 3.6.1 S e G ´e um D

-grupo sobre Z com m´odulo dualiz ante C en t˜ao G ´e um

-grupo (sobre Z

) com m´od ulo dualizante C

′

= C ⊗

. Em particular, se G ´e

um P D

-grupo sobre Z ent˜ao G ´e um P D

-grupo. 

Exemplo 3.6.1 1. O grupo trivial {1} ´e o ´unico D

-grupo sobre Z e, conseq¨uen-

temente, sobre Z

2. Z

, Z

e, mais geralmente, todos os grupos ﬁnitos de ordem ´ım par, s˜ao D

grupos (sobre Z

3. Z ´e um P D

-grupo so bre Z.

Encerraremos esta se¸c˜ao com um resultado que ser´a utilizado no pr´oximo cap´ıtulo.

Proposi¸c˜ao 3.6.1 Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Se G ´e um P D

grupo e [G : H] < ∞ ent˜ao H ´e um P D

-grupo.

Demonstra¸c˜ao: Como G ´e um P D

-grupo, temos

(G, A) ≃ H

n−k

(G, A) para todo k ∈ Z e todo RG − m´odulo A.

Assim, usando o Lema de Shapiro e a dualidade, temos

(H, M) ≃ H

(G, Coind

M) ≃ H

n−k

(G, Coind

Agora, como [G : H] < ∞, temos que

n−k

(G, Coind

M) = H

n−k

(G, Ind

Novamente, pelo Lema de Shapiro, temos

n−k

(G, Ind

M) ≃ H

n−k

(H, M).

Portanto, H ´e um P D

-grupo. 

Cap´ıtulo 4

Invariantes Ends e Decomposi¸c˜ao

de Grupos

Um dos primeiros resultados em decomposi¸c˜ao de grupos, conforme j´a citamos

anteriormente, ´e o resultado de Stallings: “Se G ´e ﬁnitamente gerado ent˜ao G se

decomp˜oe sobre um subgrupo ﬁnito se, e somente se, e(G) ≥ 2”, o nde e(G) indica o

n´umero de ends de um grupo G. Um resultado para decomposi¸c˜ao de grupos sobre

um subgrupo n˜ao necessariamente ﬁnito ´e dado por Scott. Inicialmente, veremos a

deﬁni¸c˜ao de tais ends e alguns resultados, com destaque para o teorema de Stallings.

Na prova de tais resultados poderemos observar o uso da rela¸c˜ao entre produto

livre com subgrupo amalgamado ou extens˜ao HNN e a teoria de grafos tratada

anteriormente. Tamb´em, apresentamos a prova de um resultado de Kropholler e

Roller (Teorema 4.3.2) sobre decomposi¸c˜ao de grupos que envolve a obstru¸c˜ao sing

deﬁnida pelos autores (e indiretament e, o invariante end ˜e(G, S) ). A referˆencia

b´asica para e(G) ´e [18] ou [9]; para e(G, S) sugerimos [17], para o resultado referido

e a obstru¸c˜ao sing vide [12]. J´a o invariante ˜e(G, S) ´e tratado em [13].

4.1 Decomposi¸c˜ao de Grupos e o End Cl´assico

Deﬁni¸c˜ao 4.1.1 Dizemos que um grupo G se decomp˜oe sobre um subgrupo C, se G

´e um produto livre com subgrupo amalgam ado C, isto ´e, G = A∗

B co m A = C = B

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 6 9

ou G ´e uma extens˜ao HNN, G = A∗

A deﬁni¸c˜ao cl´assica de n´umeros de ends para grupo s ﬁnitamente gerados foi

introduzida por Hopf e Freudental e foi to t almente amparada na deﬁni¸c˜ao de ends

de espa¸cos. A deﬁni¸c˜ao alg´ebrica de n´umeros de ends de um grupo G qualquer foi

dada por Specker.

Dado um grupo G, conforme vimos na Observa¸c˜ao 3.5.1, temos que ℘(G) =

{A : A ⊂ G} ´e um Z

G-m´odulo (com a opera¸c˜ao “+”sendo a diferen¸ca sim´etrica)

e F (G) = {A ∈ ℘(G); A ´e ﬁnito} ´e um Z

G-subm´odulo de ℘(G). Considere o

G-subm´odulo de ℘(G), Q(G) = {A ∈ ℘(G); ∀ g ∈ G, A + gA ∈ F (G)} e os

G-m´odulos quocientes

Q(G)

F (G)

℘(G)

F (G)

Nos referimos a dois conjuntos A e B cuja diferen¸ca sim´etrica p ertence a F (G)

como quase iguais, e denotamos por A

= B, ou seja, temos a igualdade desses conjun-

tos no grupo quociente

℘(G)

F (G)

. Assim, A ∈ Q(G) se, e somente se,

= gA, para todo g ∈ G. Os elementos de Q(G) s˜ao chamados de conjuntos

quase invariantes.

Vamos denotar um elemento A + F (G) de

℘(G)

F (G)

Q(G)

F (G)

por A.

Deﬁni¸c˜ao 4.1.2 Dado um grupo G, o n´umero de ends de G, denotado por e(G), ´e

deﬁnido po r e(G) := dim

(

Q(G)

F (G)

Observa¸c˜ao 4.1.1 (a) Poder´ıamos ter considerado ℘(G) como um Z

G-m´odulo `a

direita, o subconjunto de ℘(G) dos elementos quase invariantes `a direita, Q(G) =

{A ∈ ℘(G) | ∀ g ∈ G, A + Ag ∈ F (G)}, e de modo similar, deﬁnir

e(G) := dim

(

Q(G)

F (G)

(b) Tem os que essas duas deﬁni¸c˜oes apresentadas para e(G) coincidem (pois, A ´e

quase in variante `a esquerda ⇔ A + gA ∈ F (G), ∀ g ∈ G ⇔ A

−1

+ A

−1

∈

F (G), ∀ g ∈ G ⇔ A

−1

´e invariante `a direita, ond e A

−1

:= {a

−1

| a ∈ A}), e todos

os resultados existentes se usarmos a G-a¸c˜ao `a esquerda s˜ao v´alidos tamb´em quando

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 0

trabalham os com a G-a¸c˜ao `a direita.

Em geral, trabalharemos com a a¸c˜ao `a esquerda, a menos que se especiﬁque o

contr´ario .

Apresentaremos a seguir alguns resultados ´uteis da teoria de ends; as demon-

stra¸c˜o es ser˜ao omitidas. Para maiores detalhes, ver [18].

Considere a G-a¸c˜ao natural em ℘(G) e

Q(G)

F (G)

(de modo a tornar t ais espa¸cos Z

G-

m´odulos). Po demos veriﬁcar que (

℘(G)

F (G)

)

Q(G)

F (G)

e assim a seguinte interpreta¸c˜ao

para e(G) em termos de grupos de cohomologia pode ser dada:

Proposi¸c˜ao 4.1.1 e(G) = dim



℘(G)

F (G)



. 

Proposi¸c˜ao 4.1.2 Dado um grupo G temos um Z

G-isomorﬁsmo entre

℘(G)

F (G)

onde Z

G := Hom

G, Z

)

not

= Coind

{1}

e conseq¨uentemente,

e(G) = dim





. 

Lema 4.1.1 Temos que e(G) ≥ 2 se, e somente se, exis te um subconjunto quase

invariante (`a d i reita ou `a esquerda) K de G tal que K e K

∗

= G−K sejam inﬁnitos,

ou seja, existe K ∈

Q(G)

F (G)

tal que K = ∅ e K = G. Neste caso, ∅, K, K

∗

e G s˜ao

elementos distintos em

Q(G)

F (G)

. 

Exemplo 4.1.1 Se G ´e o grupo c´ıclico inﬁnito gerado por a ent˜ao e(G) = 2, pois

pode- se veriﬁcar q ue K = {a

; n > 0} ⊂ G ´e tal que K ∈ Q(G), K = ∅, K = K

∗

K = G e

Q(G)

F (G)

= {∅, G, K, K

∗

Teorema 4.1.1 ([18], p . 175-176)

(1) Se G

e G

s˜ao grupos isomorfos, ent˜ao e(G

) = e(G

(2) Se G ´e um grupo inﬁn i to, ent˜ao e(G) = 1 + dim

(G, Z

G).

(3) Se H ´e um subgrupo de um grupo G com (G : H) < ∞, ent˜ao e(G) = e(H);

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 1

(4) Se G possui um subgrupo normal K ent˜ao e(G) = e(G/K).

(5) Se G ´e um grupo n˜ao enumer´avel e abel i ano, ent˜ao e(G) = 1.

(6) Se G ´e ﬁnitamente gerado, A ∈ Q(G) ´e tal que A e G − A s˜ao inﬁnitos, e

H = {h ∈ G; hA = A} ´e inﬁnito ent˜ao G tem um subgrupo c´ıclico inﬁni to de ´ındice

ﬁnito.

(7) Se G ´e um grupo ﬁnitamente gerado, ent˜ao e(G) = 0, 1, 2 o u ∞.

(8) Sejam A

, A

∈ Q(G). Para quase todos g ∈ A

, isto ´e, todos exceto um n´umero

ﬁnito de elementos g ∈ A

, tem-se que gA

⊆ A

ou g(G − A

) ⊆ A

O pr´oximo resultado nos diz que quando G ´e um grupo de dualidade, o n´umero

de ends de G, e(G), ´e um.

Proposi¸c˜ao 4.1.3 Se G ´e um D

-grupo sobre Z

para algum n > 1 ent˜ao e(G) = 1.

Demonstra¸c˜ao: Como G ´e inﬁnito, temos e(G) = 1 + dim

(G, Z

G).

Calculemos dim

(G, Z

G). Seja C o m´odulo dualizante de G. Temos que

(G, Z

G) ≃ H

n−1

(G, C ⊗

G) pois G ´e um D

-grupo sobre Z

. Da´ı,

n−1

(G, C ⊗

G) ≃ H

n−1

(G, Ind

{1}

C) ≃ H

n−1

({1}, C) pelo Lema de Shapiro

(Proposi¸c˜ao 3.5.1). Assim, como n > 1, temos que H

n−1

({1}, C) = 0 (Exemplo

3.4.1, item 1). Logo, dim

(G, Z

G) = 0 o que implica em e(G) = 1. 

Corol´ario 4.1.1 ( i ) Se G ´e um D

-grupo sobre Z, n > 1, ent˜ao e(G) = 1.

(ii) Se e(G) = 1 ent˜ao G n˜ao ´e um D

-grupo sobre Z ou sobre Z

, para n > 1.

Observa¸c˜ao 4.1.2 A rec´ıproca da proposi¸c˜ao n˜ao ´e verdadeira, pois o grupo aditivo

G = R tem e(G) = 1, mas G n˜ao ´e um D

-grupo, uma vez que G n˜ao ´e ﬁnitamente

gerado (ver [5], Teorema 9.2 e Proposi¸c˜ao 2.1).

Existe uma classiﬁca¸c˜ao completa para grupos com dois ends devida a Hopf

(1943), que ´e um resultado sobre decomposi¸c˜a o de grupos e a prova ser´a omitida.

Teorema 4.1.2 ([18], Teorema 5.12) As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes pa ra

grupos ﬁnitamente gerados:

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 2

(i) e(G) = 2.

(ii) G tem um subgrupo c´ıclico inﬁnito de ´ındice ﬁnito.

(iii) G tem um subgrupo norma l K tal q ue G/K ´e isomorfo a Z ou ao grupo diedral

inﬁnito D

∞

= Z

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 3

E ⊂ Ea ∪ Ca ⊂ E ∪C ∪Ca e ent˜ao E −Ea e Ea−E s˜ao ﬁnitos (pois E −Ea ⊂ Ca,

Ea − E ⊂ C ∪ Ca e C ´e ﬁnito). Assim, E + Ea = (E − Ea) ∪ (Ea − E) ∈ F (G),

ou seja, E

= Ea. Como A e B juntos geram G, temos Eg

= E para todo g ∈ G.

Logo, neste caso, obtemos E nas condi¸c˜oes do Lema 4.1.1 anteriormente citado e

ent˜ao e(G) ≥ 2.

Agora, suponha que G = A∗

, onde C ´e ﬁnito e usaremos a forma normal para

elementos de G, dada pelo Teorema 1.5.1.

Escolha transversais T

de α

. . . a

n+1

onde a

n+1

∈ A, a

∈ T

se ε

= 1, a

∈ T

se ε

= −1 e al´em disso, a

= 1 se ε

i−1

= ε

Seja E o subconjunto dos elementos de G para os quais a

´e trivial e ε

= 1. Se

a ∈ A, ent˜ao Ea = E. Tamb´em, Et ⊂ E e Et

−1

⊂ E ∪ α

(C). Portanto, como

antes, E ´e um subconjunto quase invariant e em G como desejado e assim, pelo Lema

4.1.1, e(G) ≥ 2. 

Estaremos interessados agora em responder a quest˜ao na dire¸c˜ao contr´aria, isto

´e, e(G) ≥ 2 implica que G se decomp˜o e sobre um subgrupo ﬁnito. Para tant o, faz-se

necess´ario o resultado seguinte (cuja prova ser´a omitida):

Lema 4.1.2 ([18], Lema 6. 4 e Teorema 6. 5) Seja E um conjunto parcialmente or-

denado com uma aplica¸c˜a o (involu¸c˜ao) ϕ : E → E; e → e

−1

, ond e e = e

−1

, e

suponha que sejam v´alidas as seguin tes condi¸c ˜oes:

(1) Se e ≤ f ent˜ao f

−1

≤ e

−1

(2) S e e, f ∈ E existe somente um n´ume ro ﬁnito de elem e ntos g ∈ E tal que

e ≤ g ≤ f .

(3) Se e, f ∈ E, pelo meno s uma d as condi¸c˜oes e ≤ f, e ≤ f

−1

, e

−1

≤ f , e

−1

≤ f

−1

valem.

(4) Se e, f ∈ E n˜ao podemos ter e ≤ f e e ≤ f

−1

Vamos denotar e < f se e ≤ f e e = f e e << f se e < f e e ≤ g ≤ f implica

g = e ou g = f e deﬁna a rela¸c˜ao ∼ sobre E por:

e ∼ f se, e somente se, e = f ou e << f

−1

Ent˜ao:

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 4

(I) A rela¸c˜a o ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.

(II) Tomando V = {[e] : e ∈ E} o conjunto das classes de equivalˆenc i a de e ∈ E, e

considerando a aplica¸c ˜ao de E em V ×V que associa e → ([o(e)], [t(e)]) e a apl i ca¸c˜ao

ϕ : E → E; e → e

−1

, temos que associado a E, podemos construir um grafo Γ.

(III) O grafo Γ ´e uma ´arvore e a rela¸c˜ao de ordem que Γ induz sobre E de acordo

com a Deﬁni¸c˜ao 2.1.3 ´e a mesma rela¸c˜ao origi nal de E. 

Vejamos agora o resultado conhecido como Teorema de Estrutura de Stallings

([18], Teorema 6.1, p.182):

Teorema 4.1.4 Se G ´e um grupo ﬁn i tam ente gerado com e(G) ≥ 2 ent˜ao G se

decomp˜oe sobre um subgrupo ﬁnito.

Demonstra¸c˜ao: Notemos que pelo Teorema 4.1.1, item (7), e(G) ≥ 2 implica

que e(G) = 2 ou e(G) = ∞. Para e(G) = 2 j´a sabemos que isso ´e verdade (Teorema

4.1.2). Resta-nos analisar o caso em que e(G) = ∞.

A id´eia ´e construir uma ´arvore Γ sobre a qual G age, em que o estabilizador de

qualquer aresta seja ﬁnito e o quociente G\Γ seja uma ´unica aresta (um segmento

ou um la ¸co), para ent˜ao concluirmos, admitindo alguns passos, que G se decomp˜oe

sobre um subgrupo ﬁnito, usando o Teorema 2.2.1 ou o Teorema 2.2.3.

Tal ´arvore ser´a constru´ıda a partir de um conjunto E parcialmente ordenado que

satisfa¸ca as condi¸c˜oes do Lema 4.1.2 . Para isto, precisamos ordenar parcialmente

os subconjuntos quase invariantes po r quase inclus˜oes e n˜ao apenas por inclus˜o es

estritas de modo que seja poss´ıvel provar que a condi¸c˜ao (3) do Lema 4.1.2 ´e v´alida

(isto ´e, consideramos a quase inclus˜ao B

⊂ C, o que signiﬁca que B ⊂ C exceto

para um n´umero ﬁnito de elementos).

Para qualquer subconjunto B em Q(G), o u seja, B subconjunto quase invariante

de G, denote por [B] o conjunto de todos os conjuntos quase invariantes de G que

s˜ao quase iguais a B, isto ´e,

[B] = {C ∈ Q(G); B

⊂ C}

pode-se ver que se B

= B

e C

= C

ent˜ao B

⊂ C ⇔ B

⊂ C

. Deﬁna ent˜ao a

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 5

rela¸c˜a o

[B] ≤ [C] se, e somente se, B

⊂ C (∗) .

Fixemos um subconjunto pr´oprio A quase inva r ia nte de G, isto ´e, com A e G − A

inﬁnitos (que existe pois estamos supondo que e(G) ≥ 2), e seja

E := {[gA], [gA

∗

], para todo g ∈ G},

parcialmente ordenado por ≤ como em (∗ ).

Temos claramente uma aplica¸c˜ao (involu¸c˜ao) sobre E; [A] → [A

∗

] (ou melhor,

[gA] → [gA

∗

] e [gA

∗

] → [gA]). Precisamos encontrar um subconjunto quase invari-

ante A tal que o conjunto parcialmente ordenado E, com a r ela¸c˜ao acima deﬁnida

satisfa¸ca as condi¸c˜oes (1) a (4) do Lema 4.1.2, de modo a obter a ´arvore Γ desejada,

pois, uma vez obtida ta l ´arvore, tem-se que o estabilizador da aresta [A] ser´a ﬁnito,

pois G

[A]

= {g ∈ G; g[A] = [A]} = {g ∈ G; [gA] = [A]} = {g ∈ G : gA

= A} ´e

ﬁnito (pelo Teorema 4.1.1 (item 6), Teorema 4.1.2 e o fato que estamos supondo

e(G) = ∞).

Po de-se veriﬁcar tamb´em que o grupo G a ge sem invers˜oes ([18], p.186).

Assim, para completar a demonstra¸c˜ao do Teorema 4.1.4, devemos mostrar como

encontrar um conjunto pr´o prio quase invariante A de G tal que o conjunt o parcial-

mente ordenado E satisfaz as condi¸c˜oes de (1) a (4). Agora:

• Pode-se veriﬁcar que as condi¸c˜oes (1) e (4) valem para qualquer escolha de A

(subconjunto pr´oprio quase inva r ia nte de G).

• Pode-se mostrar tamb´em que condi¸c˜ao (2) vale para todo A ([18], Lema 6.6).

• Devemos ent˜ao indicar como ´e poss´ıvel escolher A de modo que E satisfa¸ca a

condi¸c˜ao (3), que ´e equivalente a satisfazer a seguinte condi¸c˜ao:

Dados [g

A], [g

A] ∈ E, ao menos uma das propriedades g

⊂ g

A, g

⊂ g

∗

⊂ g

A, g

∗

⊂ g

∗

ocorre. Ou ainda, para todo g ∈ G, a o menos uma das

condi¸c˜oes A

⊂ gA, A

⊂ gA

∗

, A

∗

⊂ gA, A

∗

⊂ gA

∗

ocorre.

Notemos que para quase todo g ∈ G uma das inclus˜oes gA ⊂ A, gA ⊂ A

∗

⊂ A, gA

∗

⊂ A

∗

´e verdadeira ([18], Corol´ario 5.11). Devemos obter A de modo

que isto ocorra para todo elemento de G, quando substitu´ımos as inclus˜oes estritas

por quase inclus˜oes.

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 6

Fixamos um conjunto gerador ﬁnito S para G e seja Υ = Υ(G, S) o grafo (de

Cayley) corresp ondente. Se A ´e um subconjunto quase invariante qualquer em G

ent˜ao A ´e um conjunto de v´ertices de Υ(G, S). Considere ([9], p. 25) o cobordo do

conjunto A, δA = {e; e aresta de Υ(G, S) tal que e tem exatamente um v´ertice

em A}. Como G ´e ﬁnitamente gerado, pode-se veriﬁcar que dado A ⊂ G, δA

´e ﬁnito se, e somente se, A ´e quase invariante ([9], p.26). Denotamos o n´umero

de arestas em δA por | δA |. Notemos que | δA |≥ 1 pois Υ(G, S) ´e conexo.

Seja k o menor valor assumido por | δA | quando A percorre os conjunt os quase

invariantes de G. Dizemos que um conjunto A em G ´e reduzid o (“narrow”) se

| δA |= k. Seja g

qualquer elemento de G e seja A um conjunto reduzido em G.

Ent ˜ao A

∗

´e tamb´em reduzido (pois δA

∗

= δA) e da´ı, g

pertence a um conjunto

reduzido em G (pois g

∈ A ou g

∈ A

∗

). Agora, pode-se mostrar que o conjunto de

todos os subconjuntos reduzidos de G que contˆem g

tem elementos minimais, onde

ordenamos parcialment e os conjuntos reduzidos pela inclus˜ao ([18], Lema 6.7).

Po de-se mostrar ainda que se A ´e reduzido e minimal com respeito a conter algum

elemento g

de G ent˜ao para qualquer conjunto reduzido A

, uma das inclus˜oes

⊂ A

, A

⊂ A

∗

, A

∗

⊂ A

, A

∗

⊂ A

∗

ocorre ([18], Lema 6.8).

Para completar a prova do Teorema, como enfatizado no in´ıcio precisamos sim-

plesmente escolher um conjunto reduzido A em G que ´e minimal com respeito a

conter a lgum elemento de G, pois para todo g ∈ G, A

= gA tamb´em ´e reduzido e

portanto, uma das inclus˜o es A

⊂ gA, A

⊂ gA

∗

, A

∗

⊂ gA, A

∗

⊂ gA

∗

ocorre. 

Baseados nos Teoremas 4.1.3 e 4.1.4 podemos ent˜ao enunciar o resultado seguinte:

Teorema 4.1.5 Se G ´e um grupo ﬁnitamente gerado, ent˜ao e(G) ≥ 2 se, e somente

se, G se decomp˜oe sobre um subgrupo ﬁn i to. 

4.2 Decomposi¸c˜ao de Grupos e o end e(G, S)

O conceito de n´umero de ends e(G, S) de um par grupo (G, S), onde S ´e um

subgrupo de G, ´e um generaliza¸c˜ao do n´umero de ends de um grupo.

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 7

A deﬁni¸c˜ao natural de e(G, S) ´e devida a Houghton e foi estabelecida para grupos

topol´o gicos. Scott em [17] (1977), explorou este invaria nte par a grupos discretos.

Po demos considerar Z

(G/S) como um Z

G-subm´odulo de Z

(G/S), e o Z

G-

m´odulo quociente

(G/S)

≃

℘(G/S)

F (G/S)

Deﬁni¸c˜ao 4.2.1 Sejam G um grupo e S um subgrupo de G. Ent˜ao, por deﬁni¸c˜ao

e(G, S) = dim

(G,

(G/S)

) = dim

(

℘(G/S)

F (G/S)

)

No lema seguinte, agrupamos algumas propriedades de e(G, S). Elas est˜ao con-

tidas em [17].

Lema 4.2.1 (i) e(G, {1}) = e(G).

(ii) e(G, S) = 0 ⇔ (G : S) < ∞.

(iii) Se S ⊂ T ⊂ G, com (G : T ) < ∞ ent˜ao e(G, S) = e(T, S).

(iv) Se S ´e um subgrupo no rmal em G ent˜ao e(G, S) = e(G/S).

(v) Se S ´e um subg rupo normal e ﬁnito de G ent˜ao e(G, S) = e(S).

(vi) Seja m A e S grupos n˜ao triviais. Se A = S = Z

ent˜ao e(A ∗ S, S) = 1, caso

contr´ario , e(A ∗ S, S) = ∞.

(vii) Se G ´e um grupo livre e S ´e um subgrupo ﬁnitame nte gerado de G tal que

(G : S) = ∞ ent˜ao e(G, S) = ∞. 

Com rela¸c˜ao a decomposi¸c˜ao de grupos para g r upos ﬁnitos j´a temos a classiﬁca¸c˜ao

dada por Stallings. Pensando em grupos mais gerais, Scott em [17] mostrou que:

Proposi¸c˜ao 4.2.1 Se G se decomp˜oe sobre S ent˜ao e(G, S) ≥ 2 .

Demonstra¸c˜ao: (Ver [17], Lema 1.8). A prova ´e muito semelhante `a prova do

Teorema 4.1.3. A id´eia ´e produzir um conjunto quase inva r iante E de G/S que ´e

n˜ao trivial, isto ´e, que E e seu complementar E

∗

em G/S sejam inﬁnitos. 

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 8

Exemplo 4.2.1 Como j´a observam os no Exe mplo 1.5.1, item 2, Z ⊕ Z = Z∗

, isto

´e, Z ⊕ Z se decomp˜oe sobre Z e e(Z ⊕ Z, Z) = e(Z) = 2.

Finalizando esta se¸c˜ao, observamos que Scott esperava prova r a implica¸c˜ao contr´aria

da Proposi¸c˜ao 4.2.1: se e(G, S) ≥ 2 ent˜ao G se decomp˜oe sobre S, ou ainda, sobre

alguma extens˜ao ﬁnita T de S, uma vez que para S ⊂ T ⊂ G, com (T : S) < ∞,

tem-se e(G, T ) = e(G, S); logo, e(G, S) ≥ 2 ⇔ e(G, T ) ≥ 2. No entanto, ele

observou que isto era falso em geral:

Temos que se G = A∗C, onde A e C s˜ao grupos n˜ao-t riviais, ent˜ao ou e(G, C) =

∞, ou ambos A e C tˆem ordem dois e e(G, C) = 1, ([17], Lema 2.6). Al´em disso,

se G = A ∗ C, ent˜ao G se decomp˜oe sobre C se, e somente se, A ´e um produto livre

n˜ao-trivial ou ´e c´ıclico inﬁnito ([17], Lema 2.7). Assim, considerando A e C grupos

simples inﬁnitos ﬁnitamente gerados e G = A ∗ C, ent˜ao e(G, C) = ∞.

E claro

tamb´em que A n˜ao ´e um produto livre n˜ao trivial, nem c´ıclico inﬁnito. Da´ı, temos

que G n˜ao se decomp˜oe sobre C.

O resultado obtido por Scott foi o seguint e:

Teorema 4.2.1 ([17], Teorema 4.1) Se G e S s˜ao grupos ﬁnitamen te gerados e G

´e S-residualmente ﬁnito (isto ´e, dado g ∈ G − S, existe um subgrupo G

de ´ındice

ﬁnito em G tal que G

⊃ S mas g ∈ G

). Ent˜ao e(G, S) ≥ 2 se, e somente se,

G tem um subgrupo G

de ´ındice ﬁnito em G tal que G

⊃ S e G

se deco mp˜oe

sobre S. 

Como j´a mencionado, decomposi¸c˜ao de grupos surge naturalmente quando cal-

culamos, atrav´es do Teorema de Van Kamp em, o grupo fundamental de superf´ıcies.

Tamb´em h´a um interpreta¸c˜ao topol´ogica para e(G, S) quando G ´e o grupo fun-

damenta l de uma superf´ıcie fechada. Atrav´es dessa interpreta¸c˜ao, podemos dar

exemplos de pares (G, S), com G ﬁnitamente g erado, para os quais e(G, S) assume

valores diferentes de 0, 1 , 2 ou ∞, como segue.

Deﬁni¸c˜ao 4.2.2 (a) Seja H uma superf´ıcie e C uma c ircunferˆencia mergulhada

em H. Dizemos que C ´e incompress´ıvel em H se a aplica¸c˜ao natural

(H) ´e injetiva (onde Π

indica o grupo fundamental).

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 7 9

(b) Seja Y uma sub-supe rf´ıcie compacta de H. Dizemos que Y ´e incompress´ıvel

em H s e toda componente d e bordo de Y ´e incompress´ıvel em H.

Proposi¸c˜ao 4.2.2 ([17], Lema 2.2) Sejam G o grupo fund amental de uma su-

perf´ıcie fechada H e S o grupo f und a mental de uma sub-superf´ıcie Y de H, compacta

e incompress´ıvel (em H). Ent˜ao e(G, S) ´e igual ao n ´ume ro de componen tes de bordo

de Y . 

Exemplo 4.2.2 Con sideremos H = T

(soma conexa de 2 toros), G o grupo

fundamental de H e S o grupo fundamental da sub-s uperf´ıcie incompress´ıvel C de

H como na ﬁgura:

Note que por van Kampem, G = Π

(H) = Π

(A ∪ C) ∗

(C)

(B ∪ C), isto ´e,

G se decomp˜oe sobre o subgrupo (inﬁnito) Π

4.3 A obstru¸c˜ao sing e decompos i¸c˜ao de grupo s

Vimos que e(G) assume os valores 0, 1, 2 e ∞ (Teorema 4.1.1, item 7). O

resultado de Stallings trata de decomposi¸c˜ao de grupos quando e(G) ≥ 2. Assim, ´e

interessante tr atar de decomposi¸c˜ao de grupos quando e(G) = 1.

Sabemos pela Proposi¸c˜ao 4.1.3 que se G ´e de dualidade ent˜ao e(G) = 1. Assim,

´e interessante considerar decomposi¸c˜ao para grupos de dualidade. O tra ba lho de

Kropholler e Roller ( [1 2]) vai nessa dire¸c˜ao.

Dados G um g rupo e S um subgrupo de G com G e S ﬁnitamente gerados,

Kropholler e Roller em [12], supondo que H

(G, F

G) ≃ Z

, ou equivalentemente

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 8 0

˜e(G, S) = 2, apresentaram uma condi¸c˜ao necess´aria e suﬁciente, para que G a dmita

uma decomposi¸c˜ao sobre um subgrupo comensur´avel a S. A condi¸c˜ao ´e que uma

obstru¸c˜ao “sing

S”, deﬁnida pelos autores, seja nula.

O principal resultado apresentado por Kropholler e Ro ller envolvendo esta ob-

stru¸c˜ao ´e: Se G ´e um P D

-grupo e S ´e um P D

n−1

-subgrupo, ent˜ao G se decomp˜oe

sobre um s ubgrupo comensur´avel com S se, e somen te se, sing

S = 0.

Nosso objetivo aqui ´e provar uma dessas implica¸c˜oes, a saber, nas condi¸c˜oes

acima, se G se decomp˜oe sobre um subgrupo comensur´avel com S ent˜ao sing

S = 0.

A rec´ıproca, embo ra interessante, n˜ao ser´a abordada nesse trabalho.

Deﬁni¸c˜ao 4.3.1 Dois subgrupos S e T de um grupo G s˜ao ditos comensur´aveis se,

e somen te se, (S : S ∩ T ) < ∞ e (T : S ∩ T ) < ∞.

Exemplo 4.3.1 Todo grupo ´e come nsur´avel a ele me s mo.

Exemplo 4.3.2 Tomando S = Z × {0} e T = G = Z × Z

, temos que S e T s˜a o

comensur´aveis.

Proposi¸c˜ao 4.3.1 Qualquer subgrupo comensur´avel a um P D

n−1

-subgrupo ´e ainda

um P D

n−1

-subgrupo.

Demonstra¸c˜ao: Sejam S e T subgrupos comensur´aveis de um gr upo G, onde

T ´e um P D

n−1

-subgrupo. Ent˜ao, (S : S ∩T ) < ∞ e (T : S ∩T ) < ∞. Como T ´e um

P D

n−1

-subgrupo e como (T : S ∩ T ) < ∞, temos que S ∩ T ´e um P D

n−1

-subgrupo.

Por Bieri [5], temos, como (S, S ∩ T ) < ∞, que S ´e um P D

n−1

-subgrupo. 

Sejam G um grupo, S um subgrupo de G e

G := {B ⊂ G | B ⊂ F.S para algum subconjunto ﬁnito F de G}.

Claramente F

G ´e um Z

G-subm´odulo de ℘(G) com as opera¸c˜oes induzidas.

Consideremos o Z

G-m´odulo Ind

S = Z

S ⊗

G com a G-a¸c˜ao natural

de m´odulo induzido (g.(g

⊗ m) = gg

⊗ m). Temos que Z

S ⊗

G e F

G s˜ao

G-isomorfos (ver [4], §3, Proposi¸c˜ao 7).

O lema seguinte ´e necess´ario para deﬁnir a obstru¸c˜ao para decomposi¸c˜ao:

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 8 1

Lema 4.3.1 S eja G um P D

-grupo e S um P D

n−1

-subgrupo. Ent˜ao o grupo d e

cohomologia H

(G, F

G) ´e d e dimens˜ao 1 e assim, cont´em uma ´unica classe de

cohomologia n˜ao trivial.

Demonstra¸c˜ao: Temos que

(G, F

G) ≃ H

n−1

(G, F

G), pois G ´e um P D

− grupo.

Pelo Lema de Shapiro, H

n−1

(G, F

G) ≃ H

n−1

(S, Z

S), uma vez que

G ≃ Z

S ⊗

G = Ind

Como S ´e um P D

n−1

-subgrupo, H

n−1

(S, Z

S) ≃ H

(S, Z

S).

Portanto, H

(G, F

G) ≃ H

(S, Z

S) = H

(S, Hom(Z

S, Z

)) =

= Hom(Z

S, Z

)

≃ Hom

S, Z

) ≃ Z

. 

Deﬁni¸c˜ao 4.3.2 Considere res

: H

(G, F

G) → H

(S, F

G) a aplica¸c˜ao re-

stri¸c˜a o e suponhamos H

(G, F

G) ≃ Z

. Seja ξ o gerador de H

(G, F

G). Deﬁni-

mos por sing

S o elemento res

(ξ), isto ´e, sing

(S) = res

(ξ).

Suponhamos que

(i) G ´e um grupo ﬁnitamente gerado;

(ii) S ´e um subgrupo de G ﬁnitamente gerado;

(iii) H

(G, F

G) tem dimens˜ao 1.

Note que o m´odulo Z

S⊗

G ≃ F

G permanece inalterado se S ´e substitu´ıdo

por qualquer subgrupo comensur´avel.

De fato, F

G = F

G se K ≤ S e (S : K) < ∞.

Temos que F

G = {H ⊆ G | H ⊆ g

K ∪ . . . ∪ g

K}.

Se H ⊆ g

K ∪ . . . ∪ g

K ⊆ g

S ∪ . . . ∪ g

S. Portant o, F

G ⊆ F

Por outro lado, como H ⊆ g

S ∪ . . . ∪ g

S e (S : K) < ∞, temos S =



i=1

Da´ı, H ⊆ g

(



i=1

K) ∪ . . . ∪ g

(



i=1

K) ⊆



i=1

K ∪ . . . ∪g

K) que ´e uma uni˜ao

ﬁnita. Logo, F

G = F

G se (S : K) < ∞ .

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 8 2

Deﬁni¸c˜ao 4.3.3 Um subconjunto B ´e S-quase invaria nte se B + gB ´e S-ﬁnito para

todo g ∈ G. O que equivale a [B] ser um ponto G-ﬁxado deste m´odulo.

Para um subconjunto B de G, seja [B] = {H ⊂ G; B + H ∈ F

G} o conjunto de

todos os subconjuntos de G cuja diferen¸ca sim´etrica com B ´e um conjunt o S-ﬁnito.

O conjunto {[B] | B ⊆ G} pode ser identiﬁcado com

S ⊗

. Este ´e um

G-m´odulo e g[B] = [gB].

Para prosseguirmos na dire¸c˜ao dos estudo de Kropholler e Roller, utilizaremos os

Teoremas 2.2.1 e 2.2.2, que reescreveremos de uma forma uniﬁcada. Aqui tamb´em

inclui-se os dois casos, o produto livre com subgrupo amalgamado e extens˜ao HNN:

Teorema 4.3.1 Sejam G um grupo e S um subgrupo de G. Ent˜ao G se decomp ˜oe

sobre S se, e somente se, existe uma G-´arvore Γ tal que:

(I) G atua livre de pontos ﬁxos ( i s to ´e, nenhum v´ertice de Γ ´e ﬁ xado por todo o

grupo G).

(II) G atua tran sitivamente e sem invers˜ao s obre as arestas de Γ, e

(III) S ´e o estabilizador de uma aresta. 

Lema 4.3.2 As seguintes aﬁrma¸c ˜oes s˜ao equivalentes:

(i) A ob stru¸c˜ao sing

(S) ´e zero;

(ii) Existe um subconjunto S- quase invaria nte B, que n˜ao ´e S-ﬁnito nem S- coﬁnito,

tal que SB = B.

Demonstra¸c˜ao: Seja ε : F → Z

G uma resolu¸c˜ao projetiva de F sobre Z

Ent ˜ao F → Z

S ´e tamb´em uma resolu¸c˜ao de F sobre Z

S, que ´e projetiva pelo fato

que Z

G ser Z

S-livre.

Da seq¨uˆencia exata

0 → F

֒→ ℘(G) →

℘(G)

→ 0

obtemos o diagrama comutativo de complexos de cocadeias com linhas exatas

0 → Hom

, F

G) → Hom

, ℘(G)) → Hom

℘(G)

) → 0

↓ ↓ ↓

0 → Hom

, F

G) → Hom

, ℘(G)) → Hom

℘(G)

) → 0

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 8 3

Da´ı, aplicando H

∗

(−), obtemos o diagrama comutativo com linhas exatas

0 → H

(G, F

G) → H

(G, ℘(G)) → H

(G,

℘(G)

) → H

(G, F

G) · · ·

↓ ↓

↓

res

0 → H

(S, F

G) → H

(S, ℘(G)) → H

(S,

℘(G)

) → H

(S, F

G) · · ·

Tanto em (i) como em (ii) temos (G : S) = ∞ e da´ı, H

(G, F

G) = Ind

(℘(S)) =

0. Tamb´em, temos H

(G, ℘(G)) = 0 pelo Lema de Shapiro. Assim,

0 → ℘(G)

≃ Z

→ (

℘(G)

)

→ H

(G, F

G) → 0

↓

res

0 → (F

֒→ ℘(G)

→ (

℘(G)

)

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 8 4

Se sing

T = 0 usando o lema anterior, existe B ⊂ G tal que B + gB ∈ F

∀g ∈ G, [B] = [∅], [B] = [G] e T B = B.

Como (S : T ) < ∞, temos que F

G = F

G. Logo, B + gB ∈ F

G, ∀g ∈ G. (∗)

Seja H

= {h

, . . . , h

} um conjunto de representantes para as classes laterais `a

esquerda de T em S.

Temos B + H

B = B + (h

B ∪ . . . ∪ h

B) ⊂ (B + h

B) ∪ . . . ∪ (B + h

B) ⊂

S ∪ . . . ∪ F

S, com F

∈ F G, i = 1, · · · , n por (∗) = (F

∪ . . . ∪ F

)S.

Portanto, B + H

B ∈ F

G e da´ı, [B] = [H

B].

Seja B

:= H

B. Ent˜ao

(a) B

+ gB

∈ F

G, ∀g ∈ G pois B

+ gB

= H

B + gH

B = (H

B + B) + (B +

B) = (H

B + B) + B + g(h

B ∪ . . . ∪ h

B) = (H

B + B) + B + (gh

B ∪

. . . ∪ gh

B) ⊂ (B + H

B) + (B + gh

B) + . . . + (B + gh

B) ∈ F

G por (∗).

(b) [B

] = [∅] e [B

] = [G] pois [B

] = [B] e [B] = [∅], [G].

= B

pois claramente B

⊂ SB

e como SH

⊂ S pois H

⊂ S,

S = h

∪ . . .

∪ h

T = H

T e T B = B, temos SB

= S(H

B) ⊂ SB =

T B = H

B = B

Logo, B

satisfaz as condi¸c˜oes do lema 4.3.2 (ii) para G e S.

Portanto, sing

S = 0. 

Estamos em condi¸c˜oes agora de provar o resultado desejado:

Teorema 4.3.2 Seja (G, S) um par grupo com G e S ﬁ nitamente gerados. Sejam

G um P D

-grupo e S um P D

n−1

-subgrupo. Se G se decomp˜oe sobre um subg rupo

comensur´avel com S ent˜ao sing

S = 0.

Demonstra¸c˜ao: Como visto no lema 4.3.3 , podemos assumir que G se decomp˜oe

sobre S (ao inv´es de um subgrupo comensur´avel com S). Seja Γ uma ´arvore na qual

G age (`a direita, que tamb´em pode ser vista como uma a¸c˜ao `a esquerda, se deﬁnimos

g.x := xg

−1

). Seja e uma ar esta com estabilizador S, isto ´e, S = {g ∈ G | eg = e}.

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 8 5

Se e ´e removida de Γ, ent˜ao obteremos dois peda¸cos disjuntos que denotaremos por

e Γ

Seja B = {g ∈ G | eg ∈ Γ

}. Claramente, SB = B, pois se s ∈ S e g ∈ B ent˜ao

e(sg) = (es)g = eg ∈ Γ

Al´em disso, B + gB ∈ F

G, ∀g ∈ G pois B − gB = {y ∈ G | ey ∈ Γ

e y ∈

gB} = {y ∈ G | ey ∈ Γ

e g

−1

y ∈ B} = {y ∈ G | ey ∈ Γ

e eg

−1

y ∈ Γ

∪ {e}} =

{y ∈ G | ey

−1

pertence ao menor caminho ligando e a eg

−1

} (a ´ultima ig ua ldade ´e

obtida fazendo y

−1

atuar `a direita no caminho que lig a ey a eg

−1

y).

Como a a¸c˜ao ´e transitiva, existem g

, . . . , g

∈ G tais que as arestas deste

caminho s˜ao eg

, . . . , eg

. Logo, para todo y ∈ B − gB, ey

−1

= eg

, pa ra algum

i ∈ {1, . . . , k} e assim, e = eg

y, isto ´e, g

y ∈ S. Da´ı, existe s ∈ S tal que g

y = s,

ou seja, y = g

−1

s. Logo, B − gB ⊆ g

−1

S ∪ . . . ∪ g

−1

S e, portanto, B − gB ∈ F

Analogamente,

gB − B = {y ∈ G | y ∈ gB} e y ∈ B} = {y ∈ G | g

−1

y ∈ B e y ∈ B} =

= {y ∈ G | eg

−1

y ∈ Y

e ey ∈ Y

∪ {e}} =

= {y ∈ G | ey

−1

pertence ao menor caminho ligando eg

−1

a e}

e pelo mesmo racioc´ınio acima, obtemos gB − B ∈ F

Da´ı, B + gB = (B − gB) ∪ (gB − B) ∈ F

G. Agora, [B] = [∅] e [B] = [G] segue

do fato que a a¸c˜ao de G sobre os v´ertices de Γ ´e livre de pontos ﬁxos.

Portanto, B satisfaz a condi¸c˜ao (ii) do lema 4.3.2 e da´ı, sing(S) = 0. 

Observa¸c˜ao 4.3.1 Conforme j´a observamos, embora n˜ao esteja apresentada neste

trabalho, a rec´ıproca do Teorema 4.3.2 tamb´em ´e v´alida. Ver [12], Teorema A.

E interessante observar que a condi¸c˜ao de que H

(G, F

G) ≃ Z

´e equivalente a

˜e(G, S) = 2, onde ˜e(G, S) ´e o invariante que ser´a deﬁnido a seguir:

4.3.1 O end ˜e(G, S)

O invariante ˜e(G, S) foi deﬁnido por Kropholler e Roller implicitamente em [12]

(1988) e explicitamente em [13] (1989). Apresentaremos aqui a deﬁni¸c˜ao deste invari-

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 8 6

ante e algumas de suas propriedades. Para maiores detalhes e resultados adicionais

ver [13].

Deﬁni¸c˜ao 4.3.4 Seja (G, S) um par de grupos (com (G : S) n˜ao necessariamente

inﬁnito). Ent˜ao por deﬁni¸c˜a o,

˜e(G, S) = dim

(G, ℘(G)/F

G) = dim

(℘(G)/F

Proposi¸c˜ao 4.3.2 (1) Se (G : S) = ∞ ent˜ao ˜e(G, S) = 1 + dim

(G, F

G).

(2) ˜e(G, {1}) = e(G) e mais geralmente, ˜e(G, F ) = e(G) se F ´e um subgrupo ﬁn i to

de G

(3) ˜e(G, {1}) = e(G) e mais geralmente, ˜e(G, F ) = e(G) se F ´e um subgrupo ﬁn i to

de G.

(4) ˜e(G, S) = 0 se, e somente se, (G : S) < ∞.

(5) Se S ≤ T ≤ G e (G : T ) < ∞ ent˜ao ˜e(G, S) = ˜e(T, S).

(6) Se S ´e ﬁnitamente gera do e normal em G ent˜ao ˜e(G, S) = e(G/S).

(7) Se S ≤ T ≤ G e (G : T ) = ∞ ent˜ao ˜e(G, S) ≤ ˜e(G, T ), em particular,

considerando S = {1} o btemos e(G) ≤ ˜e(G, T ).

(8) e(G, S) ≤ ˜e(G, S).

Demonstra¸c˜ao: ([1 3], Lemas 1.2; 2.4 e 2.5) 

Notemos que o Lema 4.3.1 pode ser reescrito na linguagem de ˜e(G, S):

Se G ´e um P D

-grupo e S um P D

n−1

-subgrupo ent˜ao ˜e(G, S) = 2.

Observa¸c˜ao 4.3.2 Em [1], Andrade e Fan ti deﬁniram um invariante end

generalizad o E(G, F, M) para um grupo G, F = {S

, i ∈ I} uma fam´ılia n˜ao vaz i a

de subgrupos de G com (G : S

) = ∞ para todo i ∈ I e M um Z

G-m´odulo qualquer.

Tal inva ri a nte est´a relacionado com os ends anteriormente citados, em especi a l o

invariante E(G, {S} , F

G) (que f oi denotado por

E(G, S) ) est´a intima mente rela-

cionado com ˜e(G, S) ([3], §5) e, conseq¨uentemente, com a obstru¸c˜ao sing. Usando

o invariante E(G, F, M) para m´odulos particulares alguns resultados sobre decom-

posi¸c˜ao de grupos foram obtidos. Por exemplo, ([11], Teorema 4.1):

CAP

ITULO 4. INVARIANTES ENDS E DECOMPOSIC¸

AO DE GRUPOS 8 7

Sejam G um grupo, G

, G

e T subgrupos de G com, G

= T = G

e (G : G

) = ∞,

para = 1, 2, tem-se:

(a) Se G se decomp˜oe sobre T na forma G = G

∗

ent˜ao E

′

(G, {G

, G

}) :=

E(G, {G

, G

}, Z

) = 1.

(b) Se G se decomp˜oe sobre T na forma G = G

∗

ent˜ao E(G, {G

}, Z

) = 2.

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas

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