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Algumas Considera¸c˜oes sobre Espa¸cos de
Eilenberg-MacLane
´
Evelin Meneguesso
Orientadora: Profa. Dra. Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti
Co-orientador: Prof. Dr. Jo˜ao Peres Vieira
Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de
Matem´atica - IBILCE - UNESP, como parte dos
requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
Matem´atica.
S˜ao Jos´e do Rio Preto - SP
Mar¸co - 200 7
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Meneguesso,
´
Evelin
Algumas considera¸c˜oes sobre Espa¸cos de Eilenberg - MacLane/
´
Evelin Meneguesso - S˜ao Jos´e do Rio Preto : [s.n.], 2007. 92 f.:il
; 30cm.
Orientadora: Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti
Co-orientador: Jo˜ao Peres Vieira
Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Estadual Paulista. Insti-
tuto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas
1.Top ologia Alg´ebrica. 2.Grupos de Homotopia. 3.Eilenberg-
MacLane, Espa¸cos de. I. Fanti, Erm´ınia de Lourdes Campello.
II. Vieira, Jo˜ao Peres. III. Universidade Estadual Paulista, Ins-
tituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas. IV. T´ıtulo.
CDU – 515.1 4
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COMISS
˜
AO JULGADORA
Titulares
Prof
a
. Dra. Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti - Orientadora
Prof. Dr. Tomas Edson Barros
Prof
a
. Dra. Maria Gorete Carreira Andrade
Suplentes
Prof. Dr. Pedro Luiz Queiroz Pergher
Profa. Dra. Luciana de F´atima Martins Brito
”O temor do Senhor ´e o princ´ıpio da ciˆencia;
os l oucos desprezam a sabedoria e a instru¸c˜ao”.
Prov´erbios, 1: 7.
Dedico aos meus pais e
meus irm˜aos.
Agradecimentos
Primeiramente agrade¸co a Deus, por me conceder a gra¸ca de concluir mais
esta etapa, por ter me fortalecido nos momentos dif´ıceis e pelas pessoas que
colocou no meu caminho. Em especial agrade¸co:
Aos meus pais e meus irm˜aos pelo carinho, pelos conselhos, pela confian¸ca
e apoio que deles recebi durante todos os anos de minha vida.
`
A Prof
a
. Dra. Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti por me iniciar nos
estudos de Topologia Alg´ebrica, pela amizade, pela orienta¸c˜ao, paciˆencia, dis-
ponibilidade e tempo dedicado a este projeto.
Ao Prof. Dr. Jo˜ao Peres Vieira pela co-orient a¸c˜ao e aux´ılio nas corre¸c˜oes
necess´arias para a boa apresent a¸c˜ao deste trabalho.
`
A Prof
a
. Dra. Maria Gorete Carreira Andrade, pela amizade, colabora¸c˜ao
e pela sua alegria sempre presente.
`
A Prof
a
. Dra. Denise de Matto s, pelas sugest˜oes durante o Exame G eral
de Qualifica¸c˜ao.
`
A todos os prof essores que tive desde o col´egio, especialmente `a Prof
a
. Dina
que foi quem me ensinou a amar a Matem´atica. Agrade¸co tamb´em aos profes-
sores do Departamento de Matem´atica do Ibilce, pela for ma¸c˜ao acadˆemica.
`
As queridas amigas Marina, Michelle, Cibele e Aline pelo carinho, apoio e
agrad´aveis momentos que passamos juntas.
Ao meu namorado Rodrigo, pelo apoio e compreens˜ao pelo tempo dedicado
aos estudos em detrimento `a sua aten¸c˜ao.
N˜ao poderia deixar de agradecer `a Capes, pelo apoio financeiro sem o qual
n˜ao seria poss´ıvel a realiza¸c˜ao desse projeto.
Que Deus os aben¸coe.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 10
1 Grupos de Homotopia de Ordem Super ior 13
1.1 Defini¸c˜oes Equivalentes de π
n
(X, x
0
) . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Propriedades B´asicas e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Grupos de Homotopia Relativa e Sequˆencia Exata Longa . . . . 31
2 CW-Complexos 37
2.1 CW-Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Grupo Fundamental e Adjun¸c˜ao de 2 - C´elulas . . . . . . . . . 44
2.3 Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Postnikov . . . . . . . . . . . . 49
3 Espa¸cos de Eilenberg Mac-Lane 57
3.1 Defini¸c˜ao e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Existˆencia dos K(G, n) - Espa¸cos . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Considera¸c˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A Grupo Fundamental 66
A.1 Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundamental . . . . . . . . . 66
A.2 O Grupo Fundamental de S
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A.3 Homomorfismo Induzido e Equivalˆencia de Homotopia . . . . . 80
A.4 Exemplos de Grupos Fundamenta is e o Teorema de Van Kampen 87
Referˆencias Bibliogr´aficas 91
Resumo
O objetivo principal deste trabalho ´e mostrar a existˆencia dos complexos
de Eilenberg-MacLane, ou K(G, n)-espa¸cos (como s˜ao comumente chamados),
para G um grupo arbitr´ario se n = 1, e G abeliano, se n ≥ 2. Esses espa¸cos
desempenham um papel muito importante na Topologia Alg´ebrica, principal-
mente na conex˜ao entre homotopia e (co)homologia
Palavras chave: Grupos de Homotopia, CW-Complexos, Aproxima¸c˜ao
Celular, Espa¸cos de Eilenberg-MacLane.
Abstract
The main purpose of this wo rk is to show the existence of t he Eilenberg-
Maclane´s complexes, or K(G, n)-spaces (as they are usually called), for an
arbitrary group G if n = 1, and G abelian, if n ≥ 2. Such spaces play a
very important role in Algebraic Topology, mainly in the connection between
homotopy and (co)homology.
Key words: Homotopy Groups, CW-Complexes, Cellular Approximation,
Eilenberg-MacLane Spaces.
Introdu¸c˜ao
Dado um espa¸co topol´ogico X podemos associar a ele uma fam´ılia de
grupos “π
j
(X)”, j 1, denominados grupos de homotopia. Se G ´e um grupo
e n ´e um inteiro, n ≥ 1, um espa¸co topol´ogico conexo X ´e dito um espa¸co
Eilenberg-MacLane do tipo (G, n) ou um K(G, n)-espa¸co, ou ainda um espa¸co
Eilenberg-MacLane K(G, n), se π
j
(X) = 0, ∀j = n e π
n
(X) ≃ G. Tais espa¸cos
desempenham um papel muito importante na Topologia Alg´ebrica principal-
mente na conex˜ao entre homotopia e (co)homologia. O nome ´e devido a Samuel
Eilenberg e Saunders MacLane, mas o caso n = 1 foi estudado por Hurewicz.
A existˆencia de um espa¸co K(G, n), n > 1, s´o faz sentido para G abeliano, uma
vez que os espa¸cos K(G, n) s˜ao definidos em fun¸c˜ao dos grupos de homotopia
“π
n
(X)” e esses s˜ao abelianos se n > 1. Uma importante propriedade dos
espa¸cos K(G, n) ´e que, para um grupo G e Y um CW-complexo, existe uma
bije¸c˜ao entre [Y, K(G, n)] (o conjunto das classes de homotopia de aplica¸c˜oes
de Y em K(G, n), com pontos base) e H
n
(Y, G), o grupo de cohomologia de Y
com coeficientes em G. Os K(G, 1) - espa¸cos, em par ticular, s˜ao muito ´uteis na
teoria dos gr upos. Tais espa¸cos estabelecem uma rela¸c˜ao entre a cohomologia
de grupos e a de espa¸cos uma vez que, para cada k, o grup o de cohomologia
de um grupo G com coeficientes em um ZZG-m´odulo M, H
k
(G, M), ´e isomorfo
a H
k
(X, M), onde X ´e um K(G, 1) e M ´e um sistema de coeficientes locais
sobre X associado ao ZZG-m´odulo M.
O objetivo principal deste trabalho ´e mostrar a existˆencia dos espa¸cos de
Eilenberg-MacLane, ou K(G, n)-espa¸cos, para G um grupo arbitr´ario se n = 1,
e G abeliano, se n ≥ 2. Para tanto faz-se necess´ario o estudo de v´arios concei-
tos e resultados. Dentre os conceitos destacamos, por exemplo, os de grupos
de homotopia de ordem superior (caso absoluto e relativo), CW-complexos e
aplica¸c˜ao celular, e dentre os resultados, o de Aproxima¸c˜ao Celular para Pares
e a Torre de Postnikov. Ressaltamos que o c´a lculo do grupo fundamental do
Introdu¸c˜ao 11
bouquet de c´ırculos, e mais g eralmente do n-´esimo grupo de homotopia do
bouquet de n-esferas, desempenham um papel importante no desenvolvimento
do trabalho.
As principais referˆencias bibliogr´aficas s˜ao [5] e [7].
No Cap´ıtulo 1, apresentamos um estudo sobre grupos de homotopia de
ordem superior. Inicialmente apresentamos trˆes defini¸c˜oes equivalentes do n-
´esimo grupo de homotopia de um espa¸co X baseado no ponto x
0
, denotado
por π
n
(X, x
0
). Em seguida algumas propo si¸c˜oes b´asicas e exemplos. Mos-
tramos que o grupo π
n
(X, x
0
) de qualquer espa¸co topol´ogico X ´e abeliano se
n ≥ 2. Uma propriedade ´util dos gr upos de homotopia de ordem superior ´e
que π
n
(B, b
0
Introdu¸c˜ao 12
que para um CW-complexo X, ser K(G, 1) ´e equivalente a dizer que esse
espa¸co X tem π
1
(X) ≃ G e o espa¸co de recobrimento universal contr´actil. A
prova da existˆencia dos K(G, n) - espa¸cos ´e tratada em dois casos separados:
n = 1 e n ≥ 2, devido ao fato que π
n
(X, x
0
) s˜ao a belianos para n ≥ 2. Para o
caso n = 1 recorremos ao Corol´ario 2.2 .1 e usamos a Torre de Postnikov. J´a
para o caso n ≥ 2, precisamos do resultado seguinte (Proposi¸c˜ao 3.2.2), que
´e similar ao dado no caso n = 1, e que para ser obtido usa um resultado que
relaciona, sob certas hip´oteses, os grupos de homotopia de um par (X, A) e
do quociente X/A (Proposi¸c˜ao 3.2.1), al´em de outro s, como por exemplo, o
c´alculo do n-´esimo grupo de homotopia do bouquet de n- esferas.
Para todo grupo abeliano G e n ≥ 2, existe um CW-complexo (n − 1)-
conexo, de dimens˜ao n + 1, tal que π
n
(X) ≃ G.
Com esse resultado e o da Torre de Postnikov provamos ent˜ao a existˆencia
dos espa¸cos Eilenbeg Mac-Lane “K(G, n)” para n ≥ 2 e G um grupo abeliano
qualquer (Teorema 3.2.3). Finalizando o Cap´ıtulo apresentamos alguns exem-
plos, analisando os passos da constru¸c˜ao, e fazemos algumas considera¸c˜oes
sobre os espa¸cos de Eilenberg-MacLane.
No Apˆendice s˜ao apresentados alguns pr´e-requisitos, conceitos e resultados
sobre grupo fundamental, com destaque para o grupo fundamental do c´ırculo
unit´ario S
1
e o Teorema de Van-Kampen. Esses pr´e-requisitos s˜ao ´uteis para
definirmos grupos de homotopia de ordem superior e para melhor compreens˜ao
do texto, por´em s˜ao dispens´aveis para quem tem familiaridade com tais t´opicos.
Cap´ıtulo 1
Grupos de Homotopia de
Ordem Superior
A defini¸c˜ao dos grupos de homotopia de ordem superior de um espa¸co X, usu-
almente denotados po r “π
n
(X, x
0
)” n ≥ 2, foi dada nos anos 1932 - 1935 por
Eduard Cech (1893 - 1960) e Witold Hurewicz (1904-1956) e ´e de certo modo,
uma extens˜ao natural do conceito de grupo f und amental de X “π
1
(X, x
0
)”(vide
Apˆendice). Foi Hurewicz quem deu a defini¸c˜ao mais satisfat´oria para os grupos
de homotopia de ordem superior e provou as propriedades fundamentais. N´os
apresentaremos aqui trˆes defini¸c˜oes equivalent es para tais grupos (defini¸c˜oes
1.1.1, 1.1.2 e 1.1.5).
Se n ´e um inteiro positivo usamos o s´ımbolo I
n
para denotar o cubo unit´ario
n-dimensional
I
n
= {t = (t
1
, t
2
, . . . , t
n
) ∈ R
n
; 0 ≤ t
i
≤ 1 ∀i}
e ∂I
n
, chamado o bordo de I
n
, denota s´o seus pontos do bordo
∂I
n
= { t = (t
1
, t
2
, . . . , t
n
) ∈ I
n
; ∃i, t
i
= 0 ou 1}.
(N˜ao devemos confundir aqui o s´ımbolo ∂ com o operador bordo normalmente
usado na teoria de homologia.)
13
Defini¸c˜oes Equivalentes de π
n
(X, x
0
) 14
1.1 Defini¸c ˜oes Equivalentes de π
n
(X, x
0
)
Defini¸c˜ao 1.1.1. (A) S eja X um espa¸co e x
0
um ponto de X. Para um
dado inteiro positivo n considere o conjunto F
n
(X, x
0
) de todas as aplica¸c˜oes
cont´ınuas α do n- cubo unit´ario I
n
em X para os quais α(∂I
n
) = x
0
. Defina
uma rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼
x
0
em F
n
(X, x
0
), a saber, α ´e equivalente m´odulo
x
0
a β em F
n
(X, x
0
), escrito α ∼
x
0
β, se existe uma homotopia
H : I
n
×I −→ X tal que
H(t
1
, . . . , t
n
, 0) = α(t
1
, . . . , t
n
)
H(t
1
, . . . , t
n
, 1) = β(t
1
, . . . , t
n
), (t
1
, . . . , t
n
) ∈ I
n
,
e
H(t
1
, . . . , t
n
, s) = x
0
, (t
1
, . . . , t
n
) ∈ ∂I
n
, s ∈ I.
Sob esta rela¸c˜ao de equivalˆencia em F
n
(X, x
0
), a classe de equivalˆencia
determinada por α ´e denotada [α] e chamada a classe de ho motopia de α
m´odulo x
0
ou si mplesmente classe de homotopia de α.
Defina uma opera¸c˜ao ∗ sobre F
n
(X, x
0
) como segue: pa ra cada α e β em
F
n
(X, x
0
),
(α ∗ β)(t
1
, . . . , t
n
) =
α(2t
1
, t
2
, . . . , t
n
), 0 ≤ t
1
≤
1
2
β(2t
1
−1, t
2
. . . , t
n
),
1
2
≤ t
1
≤ 1.
Note que a opera¸c˜ao ∗ ´e completamente de termi nada pela primeira coordenada
do ponto vari´av e l (t
1
, . . . , t
n
) e q ue a continuidade de α ∗ β segue do Lema da
Continuidade (A.1.1). A opera ¸c˜ao ∗ induz uma opera¸c˜ao • sobre o conjunto
das clas s es de homotopi a de F
n
(X, x
0
):
[α] • [β] = [α ∗ β].
Com esta opera¸c˜ao, o conj unto das classes de equivalˆencia de F
n
(X, x
0
) ´e um
grupo. Este grupo ´e chamad o o n-´esimo grupo de homotopia de X com ponto
base x
0
e ´e denotado por π
n
(X, x
0
).
Observa¸c˜ao 1.1.1. Como no caso d o grupo fundamental, pode-se verificar
que:
(1) A rela¸c˜ao ∼
x
0
´e uma rela¸c˜ao de equivalˆenc i a sobre F
n
(X, x
0
).
Defini¸c˜oes Equivalentes de π
n
(X, x
0
) 15
(2) A opera¸c˜ao • est´a be m definida. Em outras palavras, se α ∼
x
0
α
′
e
β ∼
x
0
β
′
ent˜ao α ∗ β ∼
x
0
α
′
∗ β
′
.
(3) Com a opera¸c˜ao •, π
n
(X, x
0
) ´e de fato um grupo. Sua identidade ´e
a classe [c] determinada pela apl i ca¸c˜ao constante c(I
n
) = x
0
. A inversa
[α]
−1
de [α] ´e a classe [α
−1
] on de α
−1
, chamada a inversa de α, ´e definida
por
α
−1
(t
1
, . . . , t
n
) = α(1 −t
1
, . . . , t
n
), (t
1
, . . . , t
n
) ∈ I
n
.
Par a a pr´oxima defini¸c˜ao usamos que o espa¸co quociente de I
n
obtido pela
identifica¸c˜ao do ∂I
n
a um ponto ´e homeomorfo a n-esfera S
n
. Vamos assumir
que o ponto de identifica¸c˜ao ´e o ponto 1 = (1, 0, 0, . . . , 0) de S
n
, que tem a
primeira coordenada igual `a um e as demais nulas. Ent˜ao o conjunto (e con-
seq¨uentemente o grupo ,) π
n
(X, x
0
) pode ser definido em termos de aplica¸c˜oes
de (S
n
, 1) em (X, x
0
), como segue:
Defini¸c˜ao 1.1.2. (B) Para um dado i nteiro positivo n, considere o conjunto
G
n
(X, x
0
) de todas as aplica¸c˜oes cont´ınuas α, de S
n
em X, tal que α(1) =
x
0
. Defina uma rela¸c˜ao de equivalˆencia do seguinte modo: Para α e β em
G
n
(X, x
0
), α ´e equivale nte m´odulo x
0
`a β, escrito α ∼
x
0
β, se existe uma
homotopia H : S
n
× I → X tal que H(·, 0) = α e H(·, 1) = β, H(1, s) = x
0
para s ∈ I.
A classe de equivalˆencia determinada por α, a qual denotamos por [α], ´e
chamada a classe de homotopia d e α e co nsideramos o conjunto das classes de
homotopia π
n
(X, x
0
) := G
n
(X, x
0
)/ ∼
x
0
.
A ope ra¸c˜ao ◦ em π
n
(X, x
0
) ´e definida em termos da identifica¸c˜ao de I
n
com
S
n
. Mais precisamente, sejam α, β ∈ G
n
(X, x
0
). A aplica¸c˜ao identifica¸c˜ao q
leva os conjuntos
A = {(t
1
, . . . , t
n
) ∈ I
n
; t
1
≤
1
2
}, B = { ( t
1
, . . . , t
n
) ∈ I
n
; t
1
≥
1
2
}
nos hemisf´erios A
′
e B
′
, respectivamente, de S
n
cuja intersec¸c˜ao A
′
∩ B
′
=
q(A ∩ B) ´e hom eomorfo a S
n−1
.
Imagine que A
′
∩B
′
´e identifica do com o ponto base 1 pela aplica¸c˜ao iden-
tifica¸c˜ao r. O espa¸co re s ultante consiste de duas n-esferas tange ntes no seus
Defini¸c˜oes Equivalentes de π
n
(X, x
0
) 16
X
r
α
β
pontos comuns. O
n !2.7.7490
Defini¸c˜oes Equivalentes de π
n
(X, x
0
) 17
Defini¸c˜ao 1.1.3. Seja F uma cole¸c˜ao de aplica ¸c˜oes cont´ınuas de um espa¸co
Y em um espa¸co Z. Se K ´e um subconjunto compac to de Y e U ´e um aberto
de Z , seja
W (K, U) = {α ∈ F ; α(K) ⊂ U}.
A fam´ılia de todos esses conjuntos W (K, U) on de K percorre todos os com-
pactos em Y , e U todos os subconjuntos abertos de Z, ´e uma sub-bas e para uma
topologia em F . Esta topol ogia ´e chamada a topologia compacto-aberta para
F .
Como aplicaremos a topologia compacto-aberta somente sobre o conjunto
de la¸cos num espa¸co X, repetimos a defini¸c˜ao para este caso:
Defini¸c˜ao 1.1.4. Seja X um espa¸co e x
0
um ponto d e X. Considere o con-
junto Ω(X, x
0
) de todos os la¸cos em X com ponto base x
0
. Se K ´e um subcon-
junto compacto d e I e U ´e aberto em X, seja
W (K, U) = {α ∈ Ω(X, x
0
); α(K) ⊂ U}.
A fam´ılia de todos os co njuntos W (K, U), ond e K ´e compac to em I e U ´e
aberto em X, ´e uma sub-base para uma topologia em Ω(X, x
0
). Esta topologia
´e a topologia compacto-aberta para Ω(X, x
0
).
Note que abertos b´asicos na topologia compacto-aberta tem a forma
r
i=1
W (K
i
, U
i
)
onde K
1
, K
2
, . . . , K
r
s˜ao subconjuntos compactos de I e U
1
, U
2
, . . . , U
r
s˜ao
abertos de X. Um la¸co α pertence a este aberto b´asico se, e somente se,
α(K
i
) ⊂ U
i
, para cada i = 1, 2, . . . , r.
Proposi¸c˜ao 1.1.1. Se X ´e um espa¸co m´etrico, a topologia compac to-a berta
em Ω(X, x
0
) ´e equivalente `a topologia da convergˆenci a uniforme.
Demonstra¸c˜ao: Seja d a m´etrica sobre X. Recordemos que a topologia
da convergˆencia uniforme em Ω(X, x
0
) ´e determinada pela m´etrica ρ definida
como se segue: Se α e β pertencem a Ω(X, x
0
) ent˜ao
ρ(α, β) = sup{ d(α(t), β(t)), t ∈ I}.
Defini¸c˜oes Equivalentes de π
n
(X, x
0
) 18
Ent˜ao a topolo gia da convergˆencia uniforme tem como uma base o conjunto
de todas as vizinhan¸cas esf´ericas
S(α, r) = {β ∈ Ω(X, x
0
); d(α, β) < r}
onde α ∈ Ω(X, x
0
) e r ´e um n´umero positivo.
Denotemos por T e T
′
, respectivamente, a to pologia compacto-aberta e
a topologia da convergˆencia uniforme para Ω(X, x
0
). Vejamos que T ⊂ T
′
.
Seja W (K, U) um aberto sub-b´asico em T , onde K ´e compacto em I e U
´e aberto em X. Seja α ∈ W (K, U). Como o conjunto compacto α(K) est´a
contido em U, existe um n´umero positivo ε tal que qualquer ponto p de X com
d(p, α(K)) < ε temos que p ∈ U. Para obter tal ε, considere f : α(K) −→ R
tal que f(x) := d(x, X − U). Ent˜ao como f ´e cont´ınua e α(K) ´e compacto
existe o m´ınimo de f, ou seja, existe t
0
∈ K tal que f (α(t
0
)) ≤ f(α(t)), ∀t ∈ K.
Ent˜ao d(α(t
0
), X − U) ≤ d(α(t), X − U), ∀t ∈ K. Tome ε = d(α(t
0
), X − U).
Considere o aberto b´asico S(α, ε) em T
′
. Se β ∈ S(α, ε), ent˜ao para cada
t em K,
d(β(t), α( K)) = inf{d(β(t), u), u ∈ α(K)} ≤ d(β(t), α(t)) < ε.
Assim β( t) est´a em U. Conseq¨uentemente β(K) ⊂ U, ent˜ao β ∈ W (K, U).
Agora temos que
α ∈ S(α, ε) ⊂ W (K, U)
e assim W (K, U) ´e aberto em T
′
. Ent˜ao T ⊂ T
′
pois T
′
cont´em uma sub-base
para T .
Vejamos agora que T
′
⊂ T . Seja S(γ, r), com centro γ e raio r > 0 um
aberto b´asico em T
′
. Para provar que S(γ, r) est´a em T , ´e suficiente encontrar
um elemento de T que cont´em γ e est´a contido em S(γ, r). Seja {U
j
} uma
cobertura de X por abertos com diˆametros menores que r, e seja η um n´umero
de Lebesgue para a cobertura {γ
−1
(U
j
)} de I. Seja 0 = t
0
< t
1
< . . . < t
n
= 1
uma subdivis˜ao de I por pontos sucessivos diferindo por, no m´a ximo, η. Ent˜ao
para i = 1, 2, . . . , n, γ leva cada um dos conjuntos compactos K
i
= [t
i−1
, t
i
]
em um dos abertos da cobertura {U
j
}. Para cada i escolha um aberto, que
denotaremos por U
i
, t al que
γ(K
i
) ⊂ U
i
; i = 1, 2, . . . , n.
Defini¸c˜oes Equivalentes de π
n
(X, x
0
) 19
Ent˜ao
γ ∈
n
i=1
W (K
i
, U
i
)
e este conjunto ´e aberto em T . Se β ∈
n
i=1
W (K
i
, U
i
) ent˜ao ρ(γ, β) n˜ao pode
exceder o m´aximo dos diˆametros de U
1
, U
2
, . . . , U
n
. Assim ρ(γ, β) < r, e
portanto β ∈ S(γ, r). Ent˜ao S(γ, r) ´e aberto em T , e T cont´em T
′
pois
cont´em uma base de T
′
. Com isso temos que T ⊂ T
′
e T
′
⊂ T , logo T = T
′
.
Defini¸c˜ao 1.1.5. (C) Se j a X um espa¸co com x
0
∈ X, e considere o conjunto
Ω(X, x
0
) dos la¸cos em X baseados em x
0
com a mR53(h 11.9552 Tf65.64 0 T4)3.5.64 0 TJ/R111 5.9774.188013]T74.1880131691-323.02[(S)41 11conx
Propriedades B´asicas e Exemplos 20
Assim
t
1
∈ O ⊂ ˆα
−1
(W (K, U)),
logo ˆα
−1
(W (K, U)) ´e um aberto e ˆα ´e cont´ınua. Portanto cada membro de
F
2
(X, x
0
) determina de maneira natural um membro de Ω(Ω(X, x
0
), c).
Suponha que invertemos o processo e comecemos com um elemento ˆα de
Ω(Ω(X, x
0
), c). Ent˜ao ˆα determina uma aplica¸c˜ao α : I
2
−→ X definida por
α(t
1
, t
2
) = ˆα(t
1
)(t
2
); (t
1
, t
2
) ∈ I
2
.
Pode-se verificar que α ∈ F
2
(X, x
0
). Temos ent˜ao estabelecido uma corres-
pondˆencia biun´ıvoca entre F
2
(X, x
0
) e Ω(Ω(X, x
0
), c), α → ˆα. Al´em disso, te-
mos [α] = [β] (em F
2
(X, x
0
)/ ∼
x
0
) se, e somente se, [ˆα] = [
ˆ
β] (em π
1
(Ω(X, x
0
), c)
= Ω(Ω(X, x
0
), c)/ ∼
x
0
) pois se H : I
2
× I −→ X ´e uma homotopia represen-
tando a equivalˆencia de α e β como na Defini¸c˜ao A (1.1.1), ent ˜ao
ˆ
H : I × I −→ Ω(X, x
0
);
ˆ
H(t
1
, s)(t
2
) := H(t
1
, t
2
, s); t
1
, t
2
, s ∈ I,
´e uma homotopia que d´a a equivalˆencia dos la¸cos ˆα e
ˆ
β. Invertendo o argumento
mostramos que ˆα equivalente a
ˆ
β implica α equivalente a β. Assim existe uma
correspondˆencia biun´ıvoca entre classes de homotopias [α] da defini¸c˜ao A(1.1.1)
e as classes de homotopias [ˆα] da defini¸c˜ao C (1.1.5). Como a opera¸c˜ao ∗
na defini¸c˜ao A(1.1.1) ´e completamente determinada na primeira coordenada,
segue que para qualquer α, β ∈ F
2
(X, x
0
), [α ∗ β] corresponde a [ˆα ∗
ˆ
β], ou
seja, [
α ∗ β] := [ˆα ∗
ˆ
β], e conseq¨uentemente que a s duas defini¸c˜oes de π
2
(X, x
0
)
fornecem grupos isomorfos.
1.2 Propriedades B´asicas e Exe mplos
A primeira propriedade a ser tratada ´e relativa a independˆencia do ponto base.
Teorema 1.2.1. Se o espa¸co X ´e conexo por caminhos e x
0
e x
1
s˜ao pontos
de X, en t˜ao π
n
(X, x
0
) ´e i somorfo a π
n
(X, x
1
), para cada n ≥ 1.
Demonstra¸c˜ao: O caso n = 1 est´a provado na Proposi¸c˜ao A.1.3. Verifi-
caremos aqui o caso n = 2. Seja γ : I −→ X um caminho com γ(0) = x
0
e
γ(1) = x
1
. Podemos associar a cada a plica¸c˜ao α : (I
2
, ∂I
2
) −→ (X, x
1
), que
representa um elemento [α] ∈ π
2
(X, x
1
), um elemento α
′
: (I
2
, ∂I
2
) −→ (X, x
0
)
Propriedades B´asicas e Exemplos 21
(que vamos denotar por γ · α) por diminuir o dom´ınio de α a um quadrado
menor, concˆentrico em I
2
e ent˜ao inserir o caminho γ em cada segmento radial
na “faixa”entre o bordo do quadrado menor e ∂I
2
.
x
0
x
0
x
0
x
0
x
1
x
1
x
1
x
1
α
Assim γ ·α produz claramente um elemento de π
2
(X, x
0
) pois (γ ·α)(∂I
2
) =
{x
0
}. Agora pode-se verificar que se a aplica¸c˜ao γ ´e homot´opica a ρ e α ´e
homot´opica a β (por aplica¸c˜oes fixando ∂I = {0, 1} e ∂I
2
, respectivamente)
ent˜ao γ · α ´e homot´opica a ρ · β e porta nto [γ · α] = [ρ · β] em π
2
(X, x
0
).
Ainda γ · (α ∗ β) ∼ γ · α ∗ γ · β. Para ver isso primeiro deformamos α e
α
′
nas aplica¸c˜oes constantes sobre a s metades direitas e esquerdas de I
2
,
respectivamente, produzindo aplica¸c˜oes que podemos denotar por α ∗0 e 0 ∗β.
Da´ı eliminamos progressivament e o peda¸co sim´etrico do meio de γ · (α ∗ 0) e
γ · (0 ∗ β) at´e obter γ · (α ∗ β):
Uma f ´ormula expl´ıcita para esta ho motopia ´e
H((s
1
, s
2
), t) =
γ · (α ∗ 0)((2 − t)s
1
, s
2
), 0 ≤ s
1
≤
1
2
γ · (0 ∗ β)((2 − t)s
1
+ t − 1, s
2
),
1
2
≤ s
1
≤ 1.
Assim n´os temos γ · (α ∗ β) ∼ γ · (α ∗ 0) ∗ γ · (0 ∗ β) ∼ γ · α ∗ γ · β. Logo
Propriedades B´asicas e Exemplos 22
temos bem definida uma aplica¸c˜ao
ϕ
γ
: π
2
(X, x
1
) −→ π
2
(X, x
0
)
α −→ [γ · α]
que ´e um homomorfismo pois ϕ
γ
([α] · [β]) = [γ · (α ∗ β)] = [γ · α ∗ γ · β] =
[γ · α] · [γ · β] = ϕ
γ
([α]) · ϕ
γ
([β]).
Ainda, do fato que (γ · η) · α ∼ γ · (η · α) e 1 · α ∼ α, onde 1 denota o
caminho constante, segue que, considerando o caminho reverso ¯γ, γ ·(¯γ ·α) ∼ α
e ¯γ · (γ · α) ∼ α. Logo ϕ
γ
´e um isomorfismo com inverso dado por ϕ
¯γ
.
Note que no caso n = 1 a representa¸c˜ao anterior se reduz a
e a aplica¸c˜ao γ · α ´e o caminho produto γ ∗ α ∗ ¯γ (como usado para provar a
independˆencia do ponto base no grupo fundamental). O caso n > 2 ´e similar
ao caso n = 2, trabalhando com o cubo n-dimensional I
n
ao inv´es do quadrado
I
2
.
Como no caso do grupo fundamental, ´e usual omitir a referˆencia ao ponto
base, quando conveniente, sempre que X for conexo por caminhos.
Proposi¸c˜ao 1.2.1. Sejam X e Y espa¸cos com pontos x
0
em X e y
0
em Y.
Ent˜ao
π
n
(X × Y, (x
0
, y
0
)) ≃ π
n
(X, x
0
) ⊕ π
n
(Y, y
0
), n ≥ 1.
Demonstra¸c˜ao: Sejam p
1
e p
2
as proje¸c˜oes do espa¸co produto X ×Y em
X e Y , respectiva mente:
p
1
: X × Y → X, p
2
: X × Y → Y
(x, y) → x (x, y) → y
Todo elemento [α] de π
n
(X × Y, (x
0
, y
0
)), onde
α : I
n
−→ X × Y, α(∂I
n
) = (x
0
, y
0
),
determina elementos [α
1
] e [α
2
] em π
n
(X, x
0
) e π
n
(Y, y
0
), respectivamente, onde
α
1
= p
1
◦ α : I
n
→ X, α
2
= p
2
◦ α : I
n
→ Y
Propriedades B´asicas e Exemplos 23
pois α
1
(∂I
n
) = p
1
(α(∂I
n
)) = p
1
(x
0
, y
0
) = x
0
e α
2
(∂I
n
) = x
1
.
Inversament e, dados [α
1
] ∈ π
n
(X, x
0
) e [α
2
] ∈ π
n
(Y, y
0
), com
α
1
: I
n
→ X, α
1
(∂I
n
) = x
0
e α
2
: I
n
→ Y, α
2
(∂I
n
) = x
1
.
Considerando α : I
n
−→ X × Y definida por α := (α
1
, α
2
) temos que α de-
termina um elemento [α] ∈ π
n
(X ×Y, (x
0
, y
0
)). Ent˜ao obtemos a aplica¸c˜ao h :
π
n
(X×Y, (x
0
, y
0
)) −→ π
n
(X, x
0
)⊕π
n
(Y, y
0
) definida por h([α]) = ([α
1
], [α
2
]), [α] ∈
π
n
(X × Y, (x
0
, y
0
)). Tal aplica¸c˜ao ´e um isomorfismo entre os grupos.
De fato, h ´e injetora, pois dados [α] e [β] pertencent es `a π
n
(X ×Y, (x
0
, y
0
))
tais que h([α]) = h([β]), ent˜ao ([α
1
], [α
2
]) = ( [β
1
], [β
2
]). Logo [α
1
] = [β
1
] e
[α
2
] = [β
2
]. Assim, considerando a Defini¸c˜ao A (1.1.1) existem homotopias K
entre α
1
e β
1
e L entre α
2
e β
2
. Tomando H : I
n
× I → X × Y definida por
H(t
1
, . . . , t
n
, s) = (K(t
1
, . . . , t
n
, s), L(t
1
, . . . , t
n
, s)) obtemos uma homotopia
entre α e β e assim [α] = [β].
Claramente h ´e sobrejetora pois dado ([α
1
], [α
2
]) ∈ π
n
(X, x
0
) ⊕ π
n
(Y, y
0
)
existe [α] = [(α
1
, α
2
)] ∈ π
n
(X × Y, (x
0
, y
0
)) tal que h([α]) = ([α
1
], [α
2
]), al´em
disso h ´e homomorfismo.
Mais geralmente, pode-se mostrar:
Proposi¸c˜ao 1.2.2. Para um produto
α
X
α
de uma cole¸c˜ao qualq uer de
espa¸cos conexos por caminhos X
α
existem isomorfism os π
n
(
α
X
α
) ≃
α
π
n
(X
α
)
para todo n.
Demonstra¸c˜ao: ([5], Proposi¸c˜ao 4.2, p. 343).
Defini¸c˜ao 1.2.1. (Homomorfismo Induzido) Seja f : (X, x
0
) −→ (Y, y
0
) uma
aplica¸c˜ao cont´ın ua sobre os pares indicados. Se [α] ∈ π
n
(X, x
0
), n ≥ 1, ent˜a o
a composi¸c˜ao f ◦ α : I
n
−→ Y ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua que leva ∂I
n
em y
0
,
de modo que f ◦α re presenta um elemento [f ◦α] em π
n
(Y, y
0
). Assim f induz
uma aplica¸c˜ao
f
♯
: π
n
(X, x
0
) −→ π
n
(Y, y
0
)
definida por f
♯
([α]) = [f ◦α], [α] ∈ π
n
(X, x
0
), que ´e um homomorfismo . Essa
aplica¸c˜ao f
♯
´e chamad a homomorfismo i nduzido por f na dimens˜ao n.
Proposi¸c˜ao 1.2.3. a) Se f : (X, x
0
) −→ (X, x
0
) ´e a a p l i ca¸c˜ao id entidade,
isto ´e, f = id
X
, ent˜ao f
♯
= id
π
n
(X,x
0
)
.
Propriedades B´asicas e Exemplos 24
b) Se f : (X, x
0
) −→ (Y, y
0
) e g : (Y, y
0
) −→ (Z, z
0
) s˜ao aplica¸c˜oe s cont´ınuas
sobre os pares indicados , ent˜ao o homomorfi s mo induzido (g ◦ f)
♯
´e a
aplica¸c˜ao composta g
♯
◦f
♯
: π
n
(X, x
0
) −→ π
n
(Z, z
0
) em cada dimens˜ao n.
c) Se h : (X, x
0
) −→ (Y, y
0
) ´e um homeomorfismo ent˜ao o homomorfismo
induzido por h ´e um isomorfismo para cada val or de n.
Demonstra¸c˜ao:
´
E similar `a dada para o grupo fundamental (Proposi¸c˜ao
A.3.1).
Nesse trabalho os grupos de homotopia do c´ırculo e mais geralmente das es-
feras, desempenham um papel importante. Assim estudamos a seguir a rela¸c˜ao
entre os grupos de homotopia de um espa¸co e de seu recobrimento e como con-
sequˆencia determinamos os grupos de homotopia do c´ırculo. Computamos
tamb´em, na sequˆencia, os grupos de homotopia “π
i
(S
n
)” para 1 ≤ i ≤ n.
Ressaltamos que os grupos de homotopia “π
i
(S
n
)” para i > n n˜ao s˜ao em
geral conhecidos, muitos casos j´a foram computados e os resultados s˜ao sur-
preendentes. De fato o estudo dos grupos de homotopia das esferas tem levado
ao desenvolvimento de muitas ferramentas poderosas usadas em Topologia
Alg´ebrica ([5] §4.1, p. 339).
Recordemos que um recobrimento do espa¸co B ´e um par (E, p) tal que
para cada ponto x em B existe um conjunto aberto conexo por caminhos
U ⊂ B tal que x ∈ U e p aplica cada componente conexa por caminhos de
p
−1
(U) homeomorficamente sobre U. Cada conjunto aberto U ´e chamado uma
vizinhan¸ca admis s´ıvel ou vizinhan¸ca elementar. O espa¸co B ´e o espa¸co base e
p ´e a proje¸c˜ao de recobrimento. Para maio r es detalhes ver [3], cap´ıtulo 5.
Teorema 1.2.2. Seja (E, p) um espa¸co de recobrimento de B e sejam e
0
em
E e b
0
em B pontos tais que p(e
0
) = b
0
. Ent˜ao o homomorfismo induzido
p
♯
: π
n
(E, e
0
) −→ π
n
(B, b
0
)
´e um m onomorfismo pa ra n = 1 e um isomorfi smo para n ≥ 2.
Demonstra¸c˜ao: Considere o caso n = 1,
p
♯
: π
1
(E, e
0
) −→ π
1
(B, b
0
).
Como p
♯
´e um homomorfismo basta provar que essa aplica¸c˜ao ´e injetora.
Sejam [˜α] e [
˜
β] classes de caminhos em π
1
(E, e
0
), tais que p
♯
([˜α]) = p
♯
([
˜
β]),
Propriedades B´asicas e Exemplos 25
isto ´e, p ◦ ˜α ∼ p ◦
˜
β ent˜ao ˜α ∼
˜
β, ou seja, [˜α] = [
˜
β] (por [3], Teorema 5.5, p.89).
Logo p
♯
´e injetora e portanto um monomorfismo.
Par a o caso n ≥ 2, temos
p
♯
: π
n
(E, e
0
) −→ π
n
(B, b
0
), n ≥ 2.
Primeiro vejamos que p
♯
´e sobrejetora. Seja [α] ∈ π
n
(B, b
0
) e considere α
como uma aplica¸c˜ao cont´ınua de (S
n
,
¯
1) em (B, b
0
), (o s´ımbolo
¯
1 ´e usado aqui
como o ponto base de S
n
para evitar confus˜ao com o n´umero 1 que exercer´a
tamb´em um papel importante nesta prova ) . Como n ≥ 2, o grupo fundamental
π
1
(S
n
,
¯
1) ´e trivial pois S
n
´e simplesmente conexo se n ≥ 2 e conseq¨uentemente
α
♯
(π
1
(S
n
,
¯
1)) = 0 ⊂ p
♯
(π
1
(E, e
0
)),
onde α
♯
´e o homomorfismo induzido por α no grupo fundamental. Pelo Teo-
rema do Levantamento ([3] Teorema 5.10 , p. 95) α tem um levantamento
˜α : (S
n
,
¯
1) −→ (E, e
0
)
tal que p ◦ ˜α = α. Ent˜ao ˜α determina um elemento [˜α] em π
n
(E, e
0
) para o
qual
p
♯
([˜α]) = [p ◦ ˜α] = [α].
Logo, p
♯
´e sobrejetora.
Vejamos agora que p
♯
´e injetora. Suponha que [β] seja um elemento do
kernel de p
♯
, isto ´e,
p
♯
([β]) = [p ◦ β] = [c]
onde c ´e a aplica¸c˜ao constante c(S
n
) = b
0
. Como ambas p ◦ β e c v˜ao de
(S
n
,
¯
1) em (B, b
0
) e s˜ao equivalentes, ent˜ao existe uma homotopia
H : S
n
×I −→ B satisfazendo
H(t, 0) = (p ◦ β) (t), H(t, 1) = b
0
, t ∈ S
n
, H(
¯
1, s) = b
0
, s ∈ I.
Agora o grupo fundamental π
1
(S
n
×I, (
¯
1, 0)) ´e trivial visto que n ≥ 2 e as-
sim o Teorema do Levantamento ( [3 ], Teorema 5.3, p. 88 ) se aplica novamente
para mostrar a existˆencia de um levantament o
˜
H : S
n
× I −→ E
tal que p◦
˜
H = H e
˜
H(
¯
1, 0) = e
0
. A homotopia levantada
˜
H ´e uma homotopia
entre β e a aplica¸c˜ao constante d( S
n
) = e
0
. Para isto observe primeiro que,
p ◦
˜
H(· , 0 ) = H( · , 0) = p ◦ β,
˜
H(
¯
1, 0) = β(
¯
1).
Uma conseq¨uˆencia do Teorema do Levantamento ([3], Corol´ario 5.2, p. 87)
garante que
˜
H(· , 0) = β pois S
n
´e conexo. O mesmo argumento mostra que
˜
H(· , 1 ) = d. Resta ver que
˜
H(
¯
1, s) = e
0
para cada s em I. O caminho
˜
H(
¯
1, ·) : I −→ E tem ponto inicial e
0
e ´e um levantamento do caminho cons-
Propriedades B´asicas e Exemplos 26
tante H(
¯
1, ·) = c = b
0
. Como o ´unico levantamento de c que inicia em e
0
´e o
caminho constante e
0
, ent˜ao
˜
H(
¯
1, s) = e
0
, s ∈ I.
Assim
˜
H : S
n
× I −→ E ´e uma homotopia tal que
˜
H(· , 0) = β,
˜
H(· , 1) = d,
˜
H(
¯
1, s) = e
0
, s ∈ I,
e ent˜ao [β] = [d] ´e o elemento neutro de π
n
(E, e
0
). Logo o kernel de p
♯
cont´em
somente o elemento neutro de π
n
(E, e
0
) e portanto p
♯
´e injetora.
Exemplo 1.2.1. Os grupos de homo topi a de ordem superior do c´ırculo unit´ario
S
1
s˜ao triviais , isto ´e, π
i
(S
1
) = 0 se i ≥ 2. De fato, considere o espa¸co de
recobrimento universal (R, p) do c´ırculo unit´ario S
1
. Pelo teorema anterior
p
♯
: π
i
(R) −→ π
i
(S
1
) ´e um is omorfismo para i ≥ 2. Mas todos o s grupos de
homotopia do espa ¸co contr´actil R s˜a o triviai s, logo π
i
(S
1
) = 0 se i ≥ 2.
Par a esferas S
n
com n > 1, o que podemos afirmar ´e:
Exemplo 1.2.2. Para i < n, o i-´esimo grupo de homotopia π
i
(S
n
) ´e o grupo
trivial. De fato iss o ser´a provado no cap´ıtulo 2 ap´os falarmos de Aproxima¸c˜ao
Celular.
Exemplo 1.2.3. Para n ≥ 1, o n-´esim o grupo de homotopia π
n
(S
n
) ´e isomorfo
ao grupo ZZ dos inteiros. Notemos que o caso n=1 foi tratado no Apˆendice
(Proposi¸c˜ao A.2.2). Considere π
n
(S
n
), n ≥ 2, como o conj unto das classes de
homotopia das a plica¸c˜oes α : (S
n
, 1) −→ (S
n
, 1) como na Defini¸c˜ao B (1.1.2).
Dessa forma podemos consid erar o grau da aplica¸c˜ao α (isto ´e, o inteiro r tal
que α
∗
n
([z
n
]) = r[z
n
], onde α
∗
n
: H
n
(K) −→ H
n
(K), K ´e uma triangula¸c˜ao de
S
n
e [z
n
] ´e um gerador (class e fundamental) d e H
n
(K) ≃ Z ([3], §3.3)). D efina
ρ : π
n
(S
n
) −→ ZZ; ρ([α]) := grau de α, [α] ∈ π
n
(S
n
).
Observe que esta aplica¸c˜ao e st´a bem definida, isto ´e, se α ∼ β, com α, β :
S
n
−→ S
n
, e nt˜ao grau de α = grau de β ([3], Teorema 3.9, p.52). Agora pode-
se mostrar que ρ ´e injetora, isto ´e, grau de α = grau de β implica α ∼ β ([3],
Teorema 3.10, p.53). A aplica¸c˜ao identidade id : (S
n
, 1) −→ (S
n
, 1) tem grau
1 e a descri¸c˜ao da opera ¸c˜a o ∗ na Defini¸c˜ao B (1.1.2) mostra que a aplica¸c˜ao
id
k
= id ∗ id ∗ . . . ∗ id (k termos)
tem grau k. E pode-se verificar que [id] ´e um gerador de π
n
(S
n
), ρ([id]
k
) = k e
ρ([id]
−k
) = ρ([id
−k
]) = −k, para qualquer inteiro positivo k. Concluindo assi m
que ρ ´e um isomorfismo.
Como uma consequˆencia do teorema ant erior podemos tamb´em calcular os
Propriedades B´asicas e Exemplos 27
grupos de homotopia π
i
(RP
n
), para n ≥ 2 e 2 ≤ i ≤ n, onde RP
n
indica o
espa¸co projetivo real n-dimensional:
Exemplo 1.2.4. O espa¸co pro j etivo real n-d i mensional RP
n
, definido como
o espa¸co quociente de S
n
pela rela¸c˜a o de equivalˆencia que identifica os pon-
tos antipodais (v ∼ −v) tem, quando n ≥ 2, o n-´esimo grupo de homotopia
isomorfo ao grupo Z dos inteiros e π
i
(RP
n
) = 0, se 2 ≤ i < n. Com efeito,
considere o recobrimento duplo (S
n
, p) sobre o n-espa¸co projetivo RP
n
. O teo-
rema anterior i mplica que π
i
(RP
n
) ≃ π
i
(S
n
), 2 ≤ i ≤ n. Agora dos exemplos
anteriores, obtemos ent˜ao π
n
(RP
n
) ≃ Z, n ≥ 2 e π
i
(RP
n
) = 0, se 2 ≤ i < n,
como afirmado. Notemos que RP
1
´e homeomorfo a S
1
e assim π
1
(RP
1
) ≃ Z.
Nosso objetivo agora ´e mostrar que os grupos de homotopia π
n
(X) s˜ao
abelianos para n ≥ 2. Para tanto ser´a ´util o resultado seguinte.
Teorema 1.2.3. Seja G um grupo topol´ogico com elemento e. Ent˜ao π
1
(G, e)
´e abeliano.
Demonstra¸c˜ao: Um grupo topol´ogico ´e um grupo G com uma topologia
sob a qual a opera¸c˜ao de G ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua de G × G em G e a
aplica¸c˜ao g → g
−1
´e um homeomorfismo de G sobre G. A o pera¸c˜ao em G
induz uma opera¸c˜ao • sobre Ω(G, e), o espa¸co dos la¸cos em G baseados em e,
definida por:
(α • β)(t) = α(t) · β(t), α, β ∈ Ω(G, e), t ∈ I
onde a justaposi¸c˜ao de α(t) e β(t) indica seu produto em G. Esta opera¸c˜ao
tamb´em induz uma opera¸c˜ao ⋄ sobre π
1
(G, e):
[α] ⋄ [β] = [α • β], [α], [β] ∈ π
1
(G, e).
Seja c o la¸co constante e, e sejam [α] e [β] membros de π
1
(G, e). Observe
que
(α ∗ c) • (c ∗ β)(t) = (α ∗ c)(t) ·(c ∗ β)(t) =
=
(α ∗ c)(t) · (c ∗ β)(t), 0 ≤ t ≤
1
2
(α ∗ c)(t) · (c ∗ β)(t),
1
2
≤ t ≤ 1
=
α(2t) · c( 2 t), 0 ≤ t ≤
1
2
c(2t − 1) · β(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1
Propriedades B´asicas e Exemplos 28
=
α(2t) · e = α(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
e · β(2t − 1) = β(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1
(c ∗ α) • (β ∗ c)(t) = (c ∗ α)(t) · (β ∗ c)(t) =
=
c(2t) · β(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
α(2t − 1) · c(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1
=
e · β(2t) = β(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
α(2t − 1) · e = α(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1
Isso nos d´a que
[(α ∗ c) • (c ∗ β)] = [α ∗ β],
[(c ∗ α) • (β ∗ c)] = [β ∗ α].
Ent˜ao
[α] ◦ [β] = [α ∗ β] = [(α ∗ c) • (c ∗ β)] = [α ∗ c] ⋄ [c ∗ β] =
= [c ∗ α] ⋄ [β ∗ c] = [(c ∗ α) • (β ∗ c)] = [β ∗ α] = [β] ◦ [α].
Logo π
1
(G, e) ´e abeliano. Aqui est´a um fato curioso e adicional, as o pera¸c˜oes
◦ e ⋄ s˜ao iguais:
[α] ◦ [β] = [α ∗ β] = [(α ∗ c) •(c ∗ β)] = [α ∗ c] ⋄ [c ∗ β] = [α] ⋄ [β].
Defini¸c˜ao 1.2.2. Um H-espa¸co ou espa¸co de Hopf ´e um e s pa¸co topol´ogico Y
com uma m ultiplica¸c˜ao cont´ınua (indicada pela justaposi¸c˜ao) e um ponto y
0
em Y para o qual a aplica¸c˜ao definida pela multiplica¸c˜ao `a esquerda por y
0
e a
aplica¸c˜ao definida pela multiplica¸c˜a o `a direita por y
0
s˜ao ambas homot´op i cas `a
aplica¸c˜ao identidad e sobre Y por homotopias que deixam y
0
fixado. Em outras
palavras, existem h omotopias L e R de Y × I em Y tais que:
L(y, 0) = y
0
y, L(y, 1) = y, L(y
0
, t) = y
0
,
R(y, 0) = yy
0
, R(y, 1) = y, R(y
0
, t) = y
0
para todo y em Y e t em I. O ponto y
0
´e chamado homotopia unit´aria de Y .
Exemplo 1.2.5. Todo g rupo topol´ogico G ´e um H-espa¸co.
Propriedades B´asicas e Exemplos 29
Basta tomar as homotopias de G ×I em G como L(g, t) = g e R( g, t) = g.
Exemplo 1.2.6. Se X ´e um espa¸co e x
0
´e um ponto de X, ent˜ao o espa¸co de
la¸cos Ω(X, x
0
) com a topologia co mpacto-aberta ´e um H-espa¸co.
De fato , a multiplica¸c˜ao ´e a opera¸c˜ao ∗ (justaposi¸c˜ao de caminhos), e a
homotopia unit´aria ´e a aplica¸c˜ao constante c. As requeridas homotopias L e
R s˜ao definidas para α em Ω(X, x
0
) e s em I por:
L(α, s)(t) =
x
0
, se 0 ≤ t ≤
(1−s)
2
α(
2t+s−1
s+1
), se
(1−s)
2
≤ t ≤ 1,
R(α, s)(t) =
α(
2t
s+1
), se 0 ≤ t ≤
(s+1)
2
x
0
, se
(s+1)
2
≤ t ≤ 1.
Teorema 1.2.4. Se Y ´e um H-espa¸co com homotopia unit´aria y
0
, ent˜ao
π
1
(Y, y
0
) ´e abeliano.
Demonstra¸c˜ao: A opera¸c˜ao multiplica¸c˜ao cont´ınua sobre Y induz uma
opera¸c˜ao • sobre Ω(Y, y
0
), como no t eorema anterior, definida por:
(α • β)(t) = α(t) · β(t), α, β ∈ Ω(Y, y
0
), t ∈ I.
Esta opera¸c˜ao tamb´em induz uma opera¸c˜ao ⋄ sobre π
1
(Y, y
0
):
[α] ⋄ [β] = [α • β], [α], [β] ∈ π
1
(Y, y
0
).
Seja c o la¸co constante y
0
, ent˜ao
(α ∗ c) • (c ∗ β)(t) =
α(2t) · y
0
, se 0 ≤ t ≤
1
2
y
0
·β(2t − 1), se
1
2
≤ t ≤ 1
(c ∗ α) • (β ∗ c)(t) =
y
0
· β(2t), se 0 ≤ t ≤
1
2
α(2t − 1) · y
0
, se
1
2
≤ t ≤ 1
Como a multiplica¸c˜ao `a esquerda por y
0
e a multiplica¸c˜ao `a direita por y
0
s˜ao ambas homot´opicas a aplica¸c˜ao identidade de Y ent˜ao,
[(α ∗ c) • (c ∗ β)] = [α ∗ β],
[(c ∗ α) • (β ∗ c)] = [β ∗ α].
Propriedades B´asicas e Exemplos 30
Assim, considerando a opera¸c˜ao usual ◦ em π
1
(Y, y
0
), temos:
[α] ◦ [β] = [α ∗ β] = [(α ∗ c) • (c ∗ β)] = [α ∗ c] ⋄ [c ∗ β] =
= [c ∗ α] ⋄ [β ∗ c] = [(c ∗ α) • (β ∗ c)] = [β ∗ α] = [β] ◦ [α].
Logo π
1
(Y, y
0
) ´e abeliano. Note que, como na prova do teorema anterior
conclui-se que as opera¸c˜oes ◦ e ⋄ s˜ao iguais.
Teorema 1.2.5. Os grupos de homotopia de ordem superior π
n
(X, x
0
), n ≥ 2,
de qualquer espa¸co X, s˜ao abeliano s .
Demonstra¸c˜ao: Temos que o segundo grupo de homoto pia π
2
(X, x
0
) =
π
1
(Ω(X, x
0
), c) e assim ´e abeliano pois Ω(X, x
0
) ´e um H-espa¸co com a constante
c como homotopia unit´aria. Procedendo indutivamente, suponha que o
(n −1)-´esimo grupo de homotopia π
n−1
(Y, y
0
) ´e abeliano para todo Y . Ent˜ao,
π
n
(X, x
0
) = π
n−1
(Ω(X, x
0
), c) ´e abeliano, e a prova est´a completa.
Como no caso do grupo fundamental, se f : X −→ Y ´e uma equivalˆencia
de homotopia com f(x
0
) = y
0
ent˜ao pode-se provar que f induz isomorfismos
entre π
n
(X, x
0
) e π
n
(Y, y
0
) para todo n. Apresentaremos aqui a prova no caso
particular em que exigimos que os pa res (X, x
0
) e (Y, y
0
) tˆem o mesmo tipo de
homotopia. Isto torna a prova mais simples ([3], teorema 6.14).
Defini¸c˜ao 1.2.3. Sejam X e Y espa¸cos com pontos x
0
em X e y
0
em Y. Di-
zemos que os pares (X, x
0
) e (Y, y
0
) s˜ao homotopicamente equivalentes ou tˆem
o mesmo tipo de homotopia, se existem aplica¸c˜oes cont´ınuas f : (X, x
0
) −→
(Y, y
0
) e g : (Y, y
0
) −→ (X, x
0
) para as quais as aplica ¸c˜o e s compostas g ◦ f e
f ◦g s˜ao homot´opicas `as aplica¸c ˜oes identida des s obre X e Y , respectivamen te,
por h omotopias que deixam os pontos bases fixados. Em outras palavras, ´e
exigido que existam homotopias H : X × I −→ X e K : Y × I −→ Y tais que
H(x, 0) = (g ◦ f)(x), H(x, 1) = x, H(x
0
, t) = x
0
, x ∈ X, t ∈ I,
K(y, 0) = (f ◦ g)(y), K(y, 1) = y, K(y
0
, t) = y
0
, y ∈ Y, t ∈ I.
A apl i ca¸c˜ao f ´e chamada uma equivalˆencia de homotopia com inversa ho-
mot´opica g.
A prova do pr´oximo resultado ´e similar `a prova da propo si¸c˜ao A.3.2.
Proposi¸c˜ao 1.2.4. Equivalˆencia de homotopia entre pares ´e uma rela¸c˜ao de
equivalˆenci a.
Grupos de Homotopia Relativa e Sequˆencia Exata Longa 31
Teorema 1.2.6. Se uma ap l i ca¸c˜ao f : (X, x
0
) −→ (Y, y
0
) ´e uma equivalˆencia
de homotopia entre os pares indica dos, ent˜ao o homomorfismo induzido
f
♯
: π
n
(X, x
0
) −→ π
n
(Y, y
0
) ´e um isomorfismo para cada inteiro n.
Demonstra¸c˜ao: Seja g : (Y, y
0
) −→ (X, x
0
) uma inversa homot´opica para
f e H uma homotopia entre g ◦ f e a aplica¸c˜ao identidade sobre X que deixa
x
0
fixo, ent˜ao
H : X × I −→ X
H(·, 0) = g ◦ f,
H(·, 1) = id
X
,
H(x
0
, t) = x
0
, t ∈ I.
Seja [α] ∈ π
n
(X, x
0
), e considere α como uma aplica¸c˜ao de I
n
em X tal que
α(∂I
n
) = x
0
. Defina uma homotopia K : I
n
× I −→ X por
K(t, s) = H(α(t), s), t ∈ I
n
, s ∈ I.
Ent˜ao,
K(·, 0) = (g ◦ f ) ◦ α, K(·, 1) = α,
K(∂I
n
×I) = H({x
0
}× I) = x
0
,
assim
[(g ◦ f ) ◦ α] = [α].
Isto significa que
g
♯
(f
♯
[α]) = [α],
e portanto g
♯
´e uma inversa `a esquerda pa ra f
♯
. Como f ´e uma inversa ho-
mot´opica para g, conclu´ımos por simetria que g
♯
´e ta mb´em uma inversa `a
direita para f
♯
e ent˜ao f
♯
´e um isomorfismo.
1.3 Grupos de Homot opia Relativa e Sequˆencia
Exata Longa
Generaliza¸c˜oes muito ´uteis dos g r upos de homotopias π
n
(X, x
0
) s˜ao os g r u-
pos de homotopia relativa π
n
(X, A, x
0
) para um par (X, A) com um ponto base
x
0
∈ A.
Defini¸c˜ao 1.3.1. Considere I
n−1
como a face de I
n
com a ´ultima coordenada
s
n
= 0 e se j a J
n−1
o fecho de ∂I
n
− I
n−1
, a uni˜ao das faces restantes de I
n
.
Ent˜ao π
n
(X, A, x
0
) para n ≥ 1 ´e definido como sendo o conjunto das classes
Grupos de Homotopia Relativa e Sequˆencia Exata Longa 32
de homotopia de aplica¸c˜oes
ψ : (I
n
, ∂I
n
, J
n−1
) −→ (X, A, x
0
)
(isto ´e, que satisfazem ψ(∂I
n
) ⊂ A e ψ(J
n−1
) = x
0
) com homotopias por
interm´edio de aplica¸c˜oes da mes ma forma, o u seja [ψ] = [ϕ] se existe uma
homotopia H : I
n
× I −→ X satisfazendo H(u, 0) = ψ(u), H(u, 1) = ϕ(u) e
para cada t fi x o, H
t
(∂I
n
) ⊂ A, H
t
(J
n−1
) = x
0
, onde H
t
(u) := H(u, t).
Observa¸c˜ao 1.3.1. (1) Pode mos ver os grupos de homotopia ab soluta como
um caso especial d os grupos de hom otopia relativa pois π
n
(X, x
0
, x
0
) =
π
n
(X, x
0
).
(2) A defini¸c˜ao do conjunto das classes de homotopia “ π
n
(X, x
0
)” pode ser
dada de modo a incluir o caso n = 0 por tomar I
0
como sendo um
ponto, que vamos denotar por p, e ∂I
0
o conjunto vazio. Ent˜ao dado
x
0
∈ X, π
0
(X, x
0
) ´e exatamente o con j unto das componentes conexas
por caminhos de X pois dado f : I
0
= { p} −→ X ent˜ao f(p) = a ∈ X e
[f] = {g : I
0
−→ X para o qual existe um caminh o γ ligando a ao ponto
g(p)}, visto que H : I
0
× I −→ X tal que H(p, t) = γ(t) ´e uma homo-
topia (H(p, 0) = γ( 0) = a = f(p), H(p, 1) = γ(1) = g(p) e a condi¸c˜ao
H(∂I
0
, t) = x
0
´e satisfei ta uma vez que ∂I
0
= ∅). Conseq¨uentem ente,
se X ´e conexo por caminhos ent˜ao π
0
(X, x
0
) tem um ´unico elemento.
Por´em n˜ao podemo s dar `a π
0
(X, x
0
) uma estrutura de grupo a n˜ao ser
quando X ´e conexo por caminhos que podemos tomar π
0
(X, x
0
) como
sendo o grupo trivial.
(3) A defini¸c˜ao 1.3.1 n˜ao se estende de maneira natural de modo a in-
cluir o caso n = 0. Assim n´os deixa remos esse caso sem incluir na
defini¸c˜ao acima. Uma defini¸c˜a o poss´ıvel ´e consi derar π
0
(X, A, x
0
) =
π
0
(X, x
0
)/π
0
(A, x
0
) (vide [5], Cap.4, exerc´ıcio 9 ).
Opera¸c˜oes: Uma opera¸c˜ao soma ´e definida em π
n
(X, A, x
0
) da mesma
forma como em π
n
(X, x
0
), exceto que a gora a coordenada s
n
desempenha um
papel especial em fun¸c˜ao da escolha de J
n
(e n˜ao tem valor para opera¸c˜ao
soma). Dados [α] e [β] em π
n
(X, A, x
0
), [α] · [β] := [α ∗ β], onde
(α ∗ β)(s
1
, s
2
, . . . , s
n
) =
α(2s
1
, s
2
, . . . , s
n
), 0 ≤ s
1
≤
1
2
β(2s
1
−1, s
2
, . . . , s
n
),
1
2
≤ s
1
≤ 1.
Grupos de Homotopia Relativa e Sequˆencia Exata Longa 33
Ent˜ao π
n
(X, A, x
0
) ´e um grupo para n ≥ 2, e este grupo ´e abeliano para
n ≥ 3. Para n = 1 temos I
1
= [0, 1], I
0
= {0} e J
0
= {1 }, ent˜ao π
1
(X, A, x
0
)
´e o conjunto das classes de homotopias de aplica¸c˜oes α : ([0, 1], { 0}, {1}) −→
(X, A, x
0
), isto ´e, caminhos em X com ponto inicial em um po nto qualquer
(vari´avel) de A e ponto final um po nto base fixo x
0
∈ A. Em geral este n˜ao
´e um grupo de maneira nat ura l. Para n = 2 , I
2
= I × I, I
1
= I × {0}; J
1
=
{0, 1}×]0, 1] ∪I ×{1}, e π
2
(X, A, x
0
) = {[α]; α : (I
2
, ∂I
2
, J
1
) −→ (X, A, x
0
)}.
I
2
∂I
2
J
1
Observa¸c˜ao 1.3.2. (1) Exatamente como ele mentos de π
n
(X, x
0
) podem ser
considerados como classes de homotopias de aplica¸c˜oes (S
n
, s
0
) −→ (X, x
0
)
(onde S
n
= I
n
/∂I
n
e s
0
= ∂I
n
/∂I
n
), ex i s te uma defini¸c˜ao alternativa
de π
n
(X, A, x
0
) como o conjunto das classes de homotopi as de aplica¸c˜oes
(D
n
, S
n−1
, s
0
) −→ (X, A, x
0
), pois deform ando J
n−1
(que ´e o fe-
cho de ∂I
n
− I
n−1
) num ponto que vamos denotar por s
0
convertemos
(I
n
, ∂I
n
, J
n−1
) em (D
n
, S
n−1
, s
0
). Deste ponto de vista, a opera ¸c˜a o do
grupo ´e fe i ta via a aplica¸c˜ao c : D
n
−→ D
n
∨D
n
deformando D
n−1
⊂ D
n
em um ponto.
(2) At´e agora usamos, em geral, as letras gregas, como α e β, para indicar
aplica¸c˜oes de S
n
−→ X cujas class es [α], [β] representam elementos dos
grupos de homo topi a, seguindo a nota¸c˜ao de [3] e [7]. No entanto, para
[5], os elementos dos grupo s de homotopia relativa ou mes mo absoluta s˜ao
indicados por [f], [g] e em muitas oca si˜o es esta ser´a tamb´em a nota¸c˜ao
usada aqui. Tamb´em levando em conta a nota¸c˜ao em [5], nos cap´ıtulos 2
e 3 ´e comum o uso das letras α e β para i ndicar ´ındices, o que n ˜ao causa
confus˜ao (embora entendemos n˜ao ser uma nota¸c˜ao muito apropriada).
Uma reformula¸c˜ao ´util do que significa para um elemento de π
n
(X, A, x
0
)
ser trivial ´e dada pelo seguint e crit´erio:
Proposi¸c˜ao 1.3.1. (Crit´erio da Compress˜ao) Uma aplica ¸c˜a o
f : (D
n
, S
n−1
, s
0
) −→ (X, A, x
0
) re presenta o zero em π
n
(X, A, x
0
) se, e so-
mente se, ela ´e ho mot´op i ca relativamente a S
n−1
`a uma aplica¸c˜ao com image m
contida em A.
Grupos de Homotopia Relativa e Sequˆencia Exata Longa 34
Demonstra¸c˜ao: (=⇒) Suponhamos que [f] = 0 em π
n
(X, A, x
0
). Ent˜ao
existe uma homotopia F : D
n
×I −→ X (entre f e a aplica¸c˜ao constante x
0
),
satisfazendo F (x, 0) = f(x), F (x, 1) = x
0
, ∀x ∈ D
n
, e para cada t ∈ I,
F (u, t) ∈ A, ∀u ∈ S
n−1
, isto ´e, F (S
n−1
× I) ⊂ A.
Queremos definir uma homotopia
˜
F : D
n
× I −→ X, estacion´aria sobre
S
n−1
, entre f e uma aplica¸c˜ao g, com Im(g) ⊂ A. A id´eia ´e definir a homotopia
˜
F atrav´es da restri¸c˜ao da F a uma fam´ılia de n-discos em D
n
× I, iniciando
em D
n
× {0} e terminando em D
n
× {1} ∪ S
n−1
× I (todos os discos dessa
fam´ılia tendo o mesmo bordo).
Par a tanto considere os discos
˜
D
n
t
, t ∈ I, dados por
˜
D
n
t
= S
n−1
×[0, t] ∪ D
n
×{t}.
Ilustrando no caso n = 2.
˜
D
2
0
˜
D
2
t
˜
D
2
1
Note que ∂
˜
D
n
t
= S
n−1
×{0} ⊂ D
n
× I, ∀t. Restringindo F a essa fam´ılia
de discos e considerando que, para cada t, D
n
× {t} ´e homeomorfo a
˜
D
n
t
via
um homeomorfismo ϕ
t
, com ϕ
0
= id e ϕ
t
(u, t) = (u, 0), ∀u ∈ S
n−1
= ∂D
n
,
definimos ent˜ao uma homotopia
˜
F : D
n
× I −→ X; (x, t) → F (ϕ
t
(x, t))
tal que
•
˜
F (x, 0) = F (x, 0) = f(x), ∀x ∈ D
n
.
• Para cada t fixo, t ∈ [0, 1] e u ∈ S
n−1
= ∂D
n
,
˜
F (u, t) = F (ϕ
t
(u, t)) =
F (u, 0) = f(u) ∈ A.
• Tomando g(x) :=
˜
F (x, 1) temos que Im(g) ⊂ A pois Im(g) =
˜
F (D
n
×
{1}) = F (ϕ
1
(D
n
× {1})) = F (
˜
D
n
1
) = F (D
n
× {1} ∪ S
n−1
× I) ⊂ A,
porque F (D
n
× {1}) = x
0
e F (S
n−1
×I) ⊂ A.
Assim f ´e homot´opica, por uma homotopia estacion´aria sobre S
n−1
, a uma
aplica¸c˜ao g : (D
n
, S
n−1
, s
0
) −→ (X, A, x
0
) cuja imagem est´a contida em A,
como desejado.
Grupos de Homotopia Relativa e Sequˆencia Exata Longa 35
(⇐=) Suponhamos f ∼ g por uma homotopia estacion´aria sobre S
n−1
,
com Im(g) ⊂ A. Afirmamos que [g] = 0 em π
n
(X, A, x
0
). De fato , como
D
n
´e contr´actil a s
0
, existe uma homotopia K : D
n
× I −→ D
n
tal que
K(x, 0) = x = id
X
(x) e K(x, 1) = s
0
. Tomemos a composta
˜
K = g ◦ K : D
n
× I
K
−→ D
n
g
−→ X.
Ent˜ao
˜
K ´e uma homotopia entre g e a aplica¸c˜ao constante x
0
pois
˜
K(x, 0) =
g(K(x, 0)) = g(x),
˜
K(x, 1) = g(K(x, 1)) = g(s
0
) = x
0
, e para todo u ∈
S
n−1
,
˜
K(u, t) = g(K(u, t)) ∈ A, visto que Im(g) ⊂ A. Assim [f] = [g] = 0
em π
n
(X, A, x
0
).
Homomorfismo Induzido: Como no caso absoluto uma aplica¸c˜ao
ϕ : (X, A, x
0
) −→ (Y, B, y
0
) induz uma aplica¸c˜ao
ϕ
♯
: π
n
(X, A, x
0
) −→ π
n
(Y, B, y
0
)
que s˜ao homomorfismos para n ≥ 2 e tˆem propriedades an´a logas `aquelas no
caso absoluto: (ϕ ◦ ψ)
♯
= ϕ
♯
◦ ψ
♯
, (id
X
)
♯
= id
π
n
(X,A,x
0
)
e ϕ
♯
= ψ
♯
se ϕ ∼ ψ
atrav´es de aplica¸c˜oes (X, A, x
0
) −→ (Y, B, y
0
).
Provavelmente a caracter´ıstica mais ´util dos grupos de homotopia relativa
π
n
(X, A, x
0
) ´e que eles se encaixam numa seq¨uˆencia exata longa.
Proposi¸c˜ao 1.3.2. Seja (X,A,B) uma tripla de e s pa¸cos topol´ogicos e x
0
∈
B ⊂ A ⊂ X. Ent˜ao a seguinte seq¨uˆencia ´e exata:
··· → π
n
(A, B, x
0
)
i
♯
→ π
n
(X, B, x
0
)
j
♯
→ π
n
(X, A, x
0
)
∂
→ π
n−1
(A, B, x
0
) → ···
→ π
1
(X, A, x
0
).
Em particular, considera ndo B = x
0
, podemos concluir que a seq¨uˆe ncia para
pares ( X,A) ´e exata:
··· → π
n
(A, x
0
)
i
♯
→ π
n
(X, x
0
)
j
♯
→ π
n
(X, A, x
0
)
∂
→ π
n−1
(A, x
0
) → ··· → π
0
(X, x
0
).
Demonstra¸c˜ao: ([5], Teorema 4.3 , p. 344)
Observa¸c˜ao 1.3.1. (1) Nas sequˆencias anteriores i
♯
e j
♯
s˜ao as aplica¸c˜oes
induzidas das inclus˜oes naturais (de pares). A aplica¸c˜ao ∂, denomi-
nada aplica¸c˜ao bordo, vem das aplica¸c˜oes restri¸c˜oes (I
n
, ∂I
n
, J
n−1
) −→
Grupos de Homotopia Relativa e Sequˆencia Exata Longa 36
(X, A, x
0
) para I
n−1
, ou (D
n
, S
n−1
, s
0
) −→ (X, A, x
0
) para S
n−1
. Tal
aplica¸c˜ao ´e um homomorfismo quando n > 1.
(2) Pr´oximo ao fim d as seq¨uˆencias, onde estruturas de grupo n˜ao est˜ao defi-
nidas, a exatid˜a o tamb´e m ´e cons i derada no seguinte sentido: A imagem
de uma aplica ¸c˜a o ´e o “kernel” da pr´oxima, onde o kernel ´e considerado
como o conjunto dos elementos que s˜ao levados na classe de homotopia
da aplica¸c˜ao constante.
Defini¸c˜ao 1.3.2. Um espa¸co topol´ogico X com ponto bas e x
0
´e chamado n-
conexo se π
i
(X, x
0
) = 0 para todo i ≤ n. Assim es pa¸co 0- conexo sign i fica
conexo por caminhos e 1-co nexo significa espa¸co simplesmente conexo. Um
par (X, A) ´e n-con exo se π
i
(X, A, x
0
) = 0 para todo i ≤ n.
Observa¸c˜ao 1.3.3. (1) Em espa ¸cos n-conexos a escolha d o ponto base x
0
n˜ao ´e relevante poi s n-conexo implica 0-conexo e assim conexo por ca-
minhos.
(2) Notemos que S
n
´e (n-1)-co nexo, como vimos no exemplo 1.2.2.
(3) Se π
0
(X, A, x
0
) n˜ao foi d efinido, temos que exigir (na defini¸c˜ao de par
n-conexo) que π
i
(X, A, x
0
) = 0 para 1 ≤ i ≤ n e que cada componente
conexa por caminhos de X contenha pontos de A.
Cap´ıtulo 2
CW-Complexos
2.1 CW-Complexo s
Intuitivamente um CW-complexo ´e um espa¸co topol´o gico de Hausdorff que
admite uma determinada “decomposi¸c˜ao celular”, atrav´es de “c´elulas e
n
”onde
e
n
denota uma c´elula aberta de dimens˜ao n (que ´e homeomorfa ao disco aberto
n-dimensional). Tomamos as zero-c´elulas e
0
como pontos (v´ertices); uma 1-
c´elula e
1
´e homeomorfa ao intervalo ] −1, 1[; uma 2-c´elula e
2
´e homeomorfa ao
interior do disco unit´ario D
2
= { (x, y) ∈ R
2
; x
2
+ y
2
≤ 1} e assim por diante.
Mais precisamente temos ([8], p. 214):
Defini¸c˜ao 2.1.1. Um CW-complexo ´e um es pa¸co X e uma cole¸c ˜ao de c´elulas
abertas e
n
α
cuja uni˜ao ´e X tal que:
(1) X ´e Hausdorff .
(2) Para cada n-c´elula aberta e
n
α
da cole¸c˜ao, existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua
φ
α
: D
n
−→ X (onde D
n
:= { x ∈ R
n
; x ≤ 1} ) que aplica int(D
n
)
homeomorficamente sobre e
n
α
e leva ∂D
n
= S
n−1
numa uni˜ao finita de
c´elulas abertas, cada uma de dimens˜ao menor do que n.
(3) Um conj unto A ´e fechado em X se A
¯e
α
´e fechado em ¯e
α
para cada α.
A parte finita da condi¸c˜ao (2) foi chamada fecho finito (“closure-finiteness”)
por J. H. C. Whitehead. A condi¸c˜ao (3 ) expressa o fat o que X tem o que ele
chamou de topolo gia fraca (“weak topology”) relativa `a cole¸c˜ao {¯e
α
}. Estes
termos s˜ao a origem das letras C e W na frase “CW-complexo”.
37
CW-Complexos 38
Observamos que as condi¸c˜oes (1) e (2) implicam que φ
α
leva D
n
sobre
¯
e
n
α
e
∂(D
n
) sobre
¯
e
n
α
− e
n
α
. De fato, como φ
α
´e cont´ınua, φ
α
leva D
n
, que ´e o fecho
do int(D
n
), no fecho de φ
α
(int(D
n
)), que ´e
¯
e
n
α
. Como φ
α
(D
n
) ´e compacto, ele
´e fechado ( pois X ´e Hausdorff); e porque esse conjunto cont´em e
n
α
, tamb´em
cont´em
¯
e
n
α
. Assim φ
α
(D
n
) =
¯
e
n
α
. Finalmente, como φ
α
(∂D
n
) ´e disjunto de e
n
α
ent˜ao ´e igual
¯
e
n
α
− e
n
α
.
Notemos tamb´em que a rec´ıproca de (3) ´e satisfeita trivialmente; se A ´e
fechado em X, ent˜ao A
¯
e
n
α
´e fechado em
¯
e
n
α
para cada α.
Observa¸c˜ao 2.1.1. (1) A aplica¸c˜a o φ
α
: D
n
−→ X ´e chamada uma aplica-
¸c˜ao caracter´ıstica para cada c´elula e
n
α
. Por um abuso de nota¸c˜ao ´e co-
mum usar o s´ımbol o X para referir ambos , o CW-complexo e o espa¸co
adjacente.
(2) Seja X um CW-complexo, considerando X
n
= { e
i
; 0 ≤ i ≤ n}, podemos
ver X =
X
n
. O subconjunto X
n
de X ´e cham ado d e n-esqueleto de
X. Os pontos de X
0
s˜ao chamados de v´ertices ou 0-c´elulas.
(3) Um CW-com plexo X ´e dito s er finito ou infi nito se o n´umero de c´elulas
em X ´e fini to ou infinito, respectivamente. Se X = X
n
para algum n o
CW-complexo ´e dito de dimens˜ao fini ta e o menor inteiro n para o qual
isso ocorre ´e chamado a dimens˜ao de X.
(4) Observe que uma apli ca¸c˜ao caracter´ıs tica φ
α
: D
n
−→ X ´e uma extens˜ao
de uma a plica¸c˜ao ϕ
α
: S
n−1
−→ X
n−1
, ch amada aplica¸c˜ao de “cola gem”.
Esta ϕ
α
´e usada para obter X
n
de X
n−1
“colando” c´elulas e
n
α
, isto sig-
nifica que X
n
´e o espa¸co quoc iente da uni˜ao d i sjunta X
n−1
α
D
n
α
de
X
n−1
com a cole¸c˜ao de n-di scos D
n
α
sob as identifica¸c˜oes x ∼ ϕ
α
(x) para
x ∈ ∂D
n
α
= S
n−1
. Ent˜ao como um conjunto, X
n
= (X
n−1
α
e
n
α
)/ ∼
onde cada e
n
α
´e um n- d isco aberto.
Defini¸c˜ao 2.1.2. Um subcomplexo de um complex o X ´e um subespa¸co fe-
chado A ⊂ X que ´e a uni˜ao de c´elulas de X. Como A ´e fech ado a aplica¸c˜ao
caracter´ıstica de ca da c´elula em A tem ima g em contida em A, e tamb´em a
imagem da aplica¸c˜a o colagem de cada c´elula est´a con tida em A, assi m A ´e um
CW-complexo. Em particular, cada esqueleto X
n
de um complexo celular ´e
um subcomplexo. Um par (X,A) consistindo de um complex o celular X e um
subcomplexo A ser´a chamado um par de CW-co mplexos ou um par CW.
CW-Complexos 39
Exemplo 2.1.1. Um com plexo celular 1-dimensional X = X
1
´e chamado um
grafo na topologia alg´ebrica. Ele consiste de v´ertices (as 0-c´elulas) nos quais
arestas (as 1-c´elulas) s˜ao co l adas. Note que os extremos de uma aresta podem
ser colados num mesm o v´ertice .
Exemplo 2.1.2. A esfe ra S
n
tem uma estrutura celular ( canˆonica) de um
CW-complexo com exatamente duas c´elulas, e
0
e e
n
, a n-c´elula ´e colada pela
aplica¸c˜ao co nstante S
n−1
−→ e
0
. Isto ´e equivalente a enxergar S
n
como o
espa¸co quociente D
n
/∂D
n
.
Exemplo 2.1.3. O toro T
2
admite uma estrutura celular 2-dimensional, com
uma 0-c´elula, duas 1-c´elulas e uma 2- c´elula:
T
2
= e
0
∪ e
1
1
∪ e
1
2
∪e
2
.
Exemplo 2.1.4. O espa¸co projetivo real n-dimensional, d enotado por RP
n
´e
definido como sendo o espa¸co de todas as retas que passam pela origem em
R
n+1
. Cada tal reta ´e determinada por um vetor n˜ao-nulo em R
n+1
, ´unico a
menos de multiplica¸c˜ao por escalar, e RP
n
´e topologizado como o es pa¸co quoci-
ente de R
n+1
−{0} sob a rela¸c˜ao de equivalˆencia v ∼ λv para escalares λ = 0.
Podemos restringir para vetores de taman ho 1, en t˜ao RP
n
´e tamb´em visto
como o espa¸co quociente S
n
/(v ∼ −v), a esfera com pontos antipodais ide n-
tificados (como mencionado no exemp l o 1.2.4). Isto ´e equivalente a dizer que
RP
n
´e o espa¸co quoc i e nte de um hemisf´erio D
n
com pontos antipodais de ∂D
n
identificados. Como ∂D
n
com pon tos antipodais identificados ´e exatamente
RP
n−1
, vemos que RP
n
´e obtido de RP
n−1
pela colage m de uma n-c´elula, com
a proje¸c˜a o quociente S
n−1
−→ RP
n
como as aplica¸c˜oes de colagem. Segue por
indu¸c˜ao sobre n que RP
n
tem uma estrutura celular com uma c´elula e
i
em
cada d i mens˜ao i ≤ n:
RP
n
= e
0
∪e
1
∪ ··· ∪ e
n
Notemos que RP
k
s˜ao subcomplexos d e RP
n
para k ≤ n.
Ainda, como RP
n
´e obtido de RP
n−1
colando uma n-c´elula, a uni˜ao infinita
RP
∞
=
n
RP
n
se torna um complexo cel ular co m uma c´elula em cada di-
mens˜ao. Podemos tamb´em ver RP
∞
como o espa¸co de retas que passam pela
origem em R
∞
=
n
R
n
.
Exemplo 2.1.5. O n-espa¸co projetivo complexo CP
n
´e o espa¸co das retas
(complexas) passando pela origem em C
n+1
, isto ´e, subespa¸c o de vetores 1-
dimensional de C
n+1
. Como no caso de RP
n
, ca da re ta ´e determi nada por
CW-Complexos 40
um vetor n˜ao-nulo em C
n+1
, ´unico a me nos de multiplica¸c˜ao por escalar, e
CP
n
´e topologizado como o espa¸co quociente de C
n+1
− {0} sob a rela¸c˜a o de
equivalˆenci a v ∼ λv para λ = 0. Equival e ntemente, este ´e o espa¸co quoci ente
obtido da esfe ra unit´aria S
2n+1
⊂ C
n+1
, com v ∼ λv para | λ |= 1.
´
E tamb´em
poss´ıvel obter CP
n
como o espa¸co quocien te d o disco D
2n
sob as identifica¸c˜oes
v ∼ λv para v ∈ ∂D
2n
, da seguinte maneira. Os ve tore s em S
2n+1
⊂ C
n+1
com a ´ultima coord enada real e n˜ao negativa s˜ao precisamen te os vetores d a
forma (w,
1− | w |
2
) ∈ C
n
× C com | w |≤ 1. Tais vetores formam o g rafo
de uma fun¸c˜ao w →
1− | w |
2
. Este ´e um disco D
2n
+
limitado pel a esfera
S
2n−1
⊂ S
2n+1
consistindo dos vetores (w, 0) ∈ C
n
× C com | w |= 1. Cada
vetor em S
2n+1
´e equivalente sob identifica¸c˜oes v ∼ λv `a um vetor em D
2n
+
,
e o ´ultimo vetor ´e ´unico se s ua ´ultima coordenada ´e n˜ao-nula. Se a ´ultima
coordenada ´e zero, temos exatamente as identifica¸c ˜oe s v ∼ λv para v ∈ S
2n−1
.
Desta descri¸c˜ao de CP
n
como o espa¸co q uociente do disco D
2n
+
sob as iden-
tifica¸c˜oes v ∼ λv para v ∈ S
2n−1
segue que CP
n
´e obtido de CP
n−1
pela cola-
gem de uma c´elula e
2n
via a aplica¸c˜ao q uociente S
2n−1
−→ CP
n−1
. Ent˜ao por
indu¸c˜ao sobre n, obtemos uma e strutura celular CP
n
= e
0
∪e
2
∪···∪e
2n
com
c´elulas somente nas dimens˜oes pares. Similarmente, CP
∞
tem uma estrutura
celular com uma c´el ula em cada di mens˜ao par.
Observa¸c˜ao 2.1.1. Existem inclus˜oes naturais S
0
⊂ S
1
⊂ ··· ⊂ S
n
, mas
estas subesfera s n˜ao s˜ao subcomplexos de S
n
na sua estrutura celular usual com
exatamente duas c´elulas. No entanto, podemos dar `a S
n
uma estrutura celular
diferente na qual ca da uma das subesferas S
k
´e um subcomplexo, olhando cada
S
k
como s endo obtida indutivamente do eq uad or S
k−1
colando duas k-c´elulas,
as componentes de S
k
− S
k−1
. A esfera de dimens˜ao infinita S
∞
=
n
S
n
ent˜a o se torna um complexo celular tamb´em. Note que a aplica¸c˜ao quociente
S
∞
−→ RP
∞
que i dentifica pontos antipodais de S
∞
identifica as duas
n-c´elulas de S
∞
na ´unica n-c´elula de RP
∞
.
Complexos celulares tˆem uma boa mistura de rigidez e flexibilidade, com
rigidez suficiente para permitir que alguns argumentos procedam numa com-
bina¸c˜ao padr˜ao c´elula-por-c´elula e flexibilidade suficiente para permitir que
algumas constru¸c˜oes naturais sejam executadas sobre eles de mo do a obter
novos complexos celulares. Aqui est˜ao algumas dessas constru¸c˜o es.
CW-Complexos 41
Exemplo 2.1.6. 1.Produto. Se X e Y s˜ao CW-complexos ent˜ao X × Y
tem a estrutura de um CW-co mplexo tendo como c´e l ulas o s produtos e
m
α
× e
n
β
onde e
m
α
percorre todas as c´elulas de X e e
n
β
percorre todas as c´elulas de Y .
Por exemplo, a estrutura celular do toro S
1
× S
1
(j´a descrita) ´e ob tida deste
modo conside rando a estrutura celular padr˜ao de S
1
. No caso geral existe, no
entanto, uma pequena complica¸c˜ao: A topologia sobre X × Y como um CW-
complexo ´e `as vezes despre zadamente mai s fraca do que a topologia produto,
com mais conjuntos abertos do que a topo l ogia produto tem, embora as duas
topologias coincidam se X ou Y tem um n´umero finito de c´elulas ou ambos X
e Y tˆem uma quantidade enumer´avel de c´elulas.
2.Quocientes. Se (X, A) ´e um par CW cons i s tind o de um CW-complexo
X e um subcomplexo A, ent˜ao o espa¸co q uociente X/A herda uma estrutura
celular natural de X. As c´elulas X/A s˜ao as c´elulas de X −A mais uma nova
0-c´elula, a i magem de A em X/A. Para cada c´elula e
n
α
de X − A colada por
ϕ
α
: S
n−1
−→ X
n−1
, a aplica¸c˜ao cola gem para a co rrespondente c´elula em
X/A ´e a composi¸c˜ao S
n−1
−→ X
n−1
−→ X
n−1
/A
n−1
.
Por exemplo, se damos a S
n−1
qualquer es trutura celular e constru´ımos D
n
de S
n−1
colando uma n-c´elula, ent˜ao o quociente D
n
/S
n−1
´e S
n
com sua estru-
tura celular usual. Um outro exemplo, tome X como uma superf´ıcie orient´avel
fechada com a estrutura cel ular tendo uma ´unica 2- c´elula, e seja A o comple-
mentar dessa 2-c´elula (o 1-esqueleto de X). Ent˜ao X/A tem uma estrutura
celular co nsistindo de uma 0-c´elula com uma 2-c´elula colada, e exis te somente
uma maneira de colar uma 2-c´elula `a uma 0-c´elula, pela aplica¸c˜ao constante.
Assim X/A ´e S
2
.
3.Suspens˜ao. Para um espa¸co X, a suspens˜ao SX ´e o quociente de
X × I obtido pela deforma¸c˜ao de X × {0} a um pon to e X × {1} a outro
ponto. O exemplo motivador ´e X = S
n
, onde SX = S
n+1
com os dois “pontos
de suspens˜ao ”no p´olo norte e sul de S
n+1
, os pontos (0 , 0, . . . , ±1). Podemos
considerar SX como um cone duplo sobre X, a uni˜ao das duas c´opias do cone
CX = (X × I)/(X ×{0}).
CW-Complexos 42
Se X ´e um CW-complexo, ent˜ao tamb´em s˜ao SX e CX visto como quocien-
tes de X ×I com a estrutura celular produto, sen do dado a I a estrutura celular
padr˜ao de duas 0-c´elulas unidas por uma 1-c´elula. Uma proprieda de especi-
almente ´util de suspe ns˜ao ´e que n˜ao som ente espa¸cos mas tamb´e m aplica¸c˜oes
podem ser suspensas. Isto ´e, uma aplica¸c˜a o f : X −→ Y s uspende para
Sf : SX −→ SY , a aplica¸c˜ao quocien te de f × id
I
: X × I −→ Y ×I.
4.Join (Jun¸c˜ao). O cone CX ´e a uni˜ao de todos os segmentos de retas
ligando pontos de X a um v´ertice externo, e similarmente a suspens˜ao SX ´e
a uni˜ao de todos os segmentos de retas ligando pontos de X a dois v´ertices
externos. Mais g eralmente, dados X e um segundo espa¸co Y , pode-se definir o
espa¸co de todos segmentos de retas ligan do pontos de X a pontos de Y . Isto ´e,
o join (jun¸c˜ao) X ∗Y ´e o espa¸co quocien te de X ×Y ×I sob as identifica¸c˜oes
(x, y
1
, 0) ∼ (x, y
2
, 0) e (x
1
, y, 1) ∼ (x
2
, y, 1). Assim estamos deformando o
subespa¸co X × Y × {0} em X e X × Y ×{1} em Y . Por exemplo , se X e Y
s˜ao ambos intervalos fechad os, estamos deformando as duas faces opostas de
um c ubo sobre segmentos de retas de modo que o cubo se torna um tetraedro.
X
I
Y
No caso ge ral, X ∗ Y cont´em c ´op i as de X e Y e seus dois “extremos”, e
todos os outros pontos (x, y, t) em X ∗ Y est˜ao s o bre um ´unico segmento de
reta colando o ponto x ∈ X ⊂ X ∗ Y ao ponto y ∈ Y ⊂ X ∗ Y , o segmento
obtido por fixar x e y e conside/R51 11.955 Tf10.08 0 Td[(e)-1.0/R34 11.9552 Tf55 3093.337(s)-1Y⊂ Xe o
CW-Complexos 43
convexo de dimens˜ao n − 1 chamado um simplexo. Concretamente, se os n
pontos s˜ao os n vetores b´asicos padr˜ao para R
n
, ent˜ao seus joins ´e o e s pa¸co
△
n−1
= { (t
1
, . . . , t
n
) ∈ R
n
; t
1
+ . . . + t
n
= 1 , t
i
≥ 0}.
Se X e Y s˜ao CW-complexos, ent˜ao e xiste uma estrutura cel ular natural
sobre X ∗ Y tendo os subespa¸cos X e Y como subcomplexos, com as c´elulas
restantes sendo o produto celular de X × Y × (0, 1).
5.Soma Wedge. Esta ´e uma opera¸c˜ao trivial mas ainda muito ´util. Da-
dos es pa¸cos X e Y com pontos es colhidos x
0
∈ X e y
0
∈ Y , ent˜ao a soma
wedge X ∨Y ´e o quocie nte d a uni˜ao disjunta X
Y obtido pe l a identifica¸c˜ao
de x
0
e y
0
em um ´unico ponto. Por exemplo, S
1
∨ S
1
´e homeomorfo a figura
“8”, doi s c´ırculos se tocando num ponto. Mais geralmente, podemos formar a
soma wedge
α
X
α
de uma cole¸c˜ao arbitr´aria de espa¸cos X
α
come¸cando com
a uni˜ao dis j unta
α
X
α
e identifican do pontos x
α
∈ X
α
em um ´unico ponto.
No caso dos espa¸cos X
α
serem CW-complexos e os pontos x
α
serem 0-c´elulas,
ent˜a o
α
X
α
´e um CW-complexo poi s ele ´e obtido do CW-complexo
α
X
α
deformando um subco mplexo num ponto.
Em pa rticular temos o bouquet de n-esferas: X =
λ∈A
S
n
λ
, que tem
uma estrutura de CW-complexo n-dimension a l , com uma ´unica 0-c´elula, e
0
,
e uma n-c´elula, e
n
λ
, para cada elemento λ de A. Em especial, o bouquet de
c´ırculos X =
λ∈A
S
1
λ
´e um CW-complexo 1-dim e nsional.
Notemos que para qualquer CW-complexo X, o quociente X
n
/X
n−1
´e uma
soma wedge de n-esferas
α
X
α
com uma esfera para cada n-c´elula de X.
6.Produto Smash. Sobre um espa¸co produto X ×Y existem c´opias de X
e Y , a saber X × {y
0
} e {x
0
} × Y para pontos x
0
∈ X e y
0
∈ Y . Estas duas
c´opias de X e Y em X × Y se intercep tam somente no ponto (x
0
, y
0
), assim
a uni˜ao delas pode ser id entificada com a soma w edge de X ∨ Y . O produto
smash X ∧ Y ´e ent˜ao definido como o quoc i ente X × Y/X ∨ Y .
O prod uto smash X ∧ Y ´e um CW-complexo se X e Y s˜ao CW-compl exos
com x
0
e y
0
como 0-c´elulas, assumin do que atribu´ımos a X × Y a topologia
Grupo Fundamental e Adjun¸c˜ao de 2 - C´elulas 44
de CW-complexo preferencialmente `a topologia produto no s casos on d e essas
duas topologias diferem. Por ex emplo, S
m
∧S
n
tem uma estrutura celular com
somente duas c´elulas de dimens˜ao 0 e m + n, conseq ¨uentemente S
m
∧ S
n
=
S
m+n
. Em particular, quando m = n = 1 vemos que deformando c´ırculos
longitudinais e me ridionais de um toro em um ponto produzimos uma 2-esfera,
isto ´e, S
1
∧S
1
= T /(S
1
∨S
1
) = S
2
.
´
E interessante observar que o espa¸co de recobrimento de um CW-complexo
conexo ´e tamb´em um CW-complexo, mais precisamente:
Proposi¸c˜ao 2.1.1. Seja X um espa¸co topol´ogico conexo com estrutura de
CW-complexo. Considere
˜
X s eu espa¸co de recobrimento e p :
˜
X −→ X a
proje¸c˜ao associada. Ent˜ao
˜
X pode ser repres e ntado como um CW-complexo
de tal maneira que toda c´el ula de
˜
X ser´a aplicada pela p topologicamen te sobre
uma c´elula de X ([10], §6.9, Teorema 2, p. 251).
2.2 Grupo Fundamental e Adjun¸c˜ao de 2 -
C´elulas
Nesta se¸c˜ao estamos interessados em CW-complexos 2-dimensionais, anali-
sando como o grupo f undamental ´e af etado por colar 2-c´elulas. Seja X
∗
um
espa¸co de Hausdorff, obtido de um espa¸co conexo por caminhos X pela ad-
jun¸c˜ao (ou colagem) de uma cole¸c˜ao de 2-c´elulas abertas. Nosso principal ob-
jetivo ´e determinar a r ela¸c˜ao entre o grupo fundamental de X e de X
∗
. Par a
este prop´osito, suponhamos que colamos uma cole¸c˜ao de 2-c´elulas e
2
α
, α ∈ Λ, a
um espa¸co conexo por caminhos X via aplica¸c˜oes de colagem ϕ
α
: S
1
−→ X,
produzindo um espa¸co X
∗
. Se s
0
´e um ponto base de S
1
(que podemos supor
igual a 1), ent˜ao ϕ
α
determina um la¸co baseado em ϕ
α
(s
0
) (mesmo pensando
em la¸cos tecnicamente como aplica¸c˜oes I −→ X mais do que S
1
−→ X). Va-
mos denotar tal la¸co por ϕ
α
. Para diferentes α
′
s os pontos bases ϕ
α
(s
0
) desses
la¸cos ϕ
α
podem n˜ao coincidir (podemos ter ϕ
α
1
(s
0
) = ϕ
α
2
(s
0
), se α
1
= α
2
).
Par a corrigir isso, escolha um pont o base x
0
em X e um caminho γ
α
em X
ligando x
0
a ϕ
α
(s
0
), para cada α. Ent˜ao o produto de caminhos γ
α
∗ ϕ
α
∗ ¯γ
α
,
onde ¯γ
α
indica o caminho reverso de γ
α
, ´e um la¸co em x
0
. Este la¸co pode n˜ao
ser homotopicamente nulo em X (i.´e, homot´opico `a um la¸co constante), mas
certamente ser´a homoto picamente nulo ap´os a c´elula e
2
α
ser colada.
Grupo Fundamental e Adjun¸c˜ao de 2 - C´elulas 45
Assim o subgrupo no rmal N ⊂ π
1
(X, x
0
) g
Grupo Fundamental e Adjun¸c˜ao de 2 - C´elulas 46
Considerando que π
1
(X) ≃ π
1
(U), resta somente ver que π
1
(U
V ) ´e gerado
pelas classes dos la¸cos γ
α
∗ ϕ
α
∗ ¯γ
α
, ou melhor, la¸cos em U
V cuja imagem
em π
1
(U) (at rav´es da aplica¸c˜ao induzida da inclus˜ao) s˜ao homot´opicos a esse
la¸cos. Isto pode ser obtido como uma outra aplica¸c˜ao do Teorema de Van
Kampen. Note que U ∩ V tem o mesmo t ipo de homotopia que o bouquet
de c´ırculos
α∈Λ
S
1
α
. Considere a cobertura {U
α
; α ∈ Λ} de U
V , onde cada
U
α
= U
V −
β=α
(e
2
β
−{y
β
}). Observe que U
α
retrai por deforma¸c˜ao sobre
um c´ırculo em e
2
α
−{y
α
}. Assim, π
1
(U
α
) ≃ Z ´e gerado (desconsiderando ponto
base) pela classe de um la¸co que d´a uma volta em tor no de y
α
e a imagem
desse la¸co em π
1
(U
V ) ´e homot´opico a um la¸co cuja imagem em π
1
(U) ´e
homot´opico ao la¸co γ
α
∗ ϕ
α
∗ ¯γ
α
(que pertence a X), e o resultado segue.
Corol´ario 2.2.1. Da do um grupo G qualquer, existe um CW-complexo 2-
dimensional Y , conexo por caminhos, tal que π
1
(Y ) ´e isomorfo a G. Se G
tem uma apresenta¸c˜ao com um n´umero finito de geradores e rela¸c˜oes ent˜ao
podemos ob ter Y compacto.
Demonstra¸c˜ao: Escolha uma apresenta¸c˜ao de G, G = A; B, ou seja,
G ≃ F/R, onde F ´e livre gerado por A e R ´e o menor subgrupo normal de
F gerado por B (conjunto de rela¸c˜oes). Tome X
1
=
α∈A
S
1
α
, o bouquet de
c´ırculos. Temos que X
1
´e conexo e π
1
(X
1
) ≃ F ≃ ∗
α∈A
Z
α
(Exemplo A.4.9).
Par a cada β ∈ B, escolhemos uma aplica¸c˜ao g
β
: S
1
β
−→
α∈A
S
1
α
= X
1
, tal
que [g
β
] = β ∈ B ⊂ F e usamos esta aplica¸c˜ao pa ra colar uma 2-c´elula e
2
β
a
X
1
. Mais precisamente, cole a c´elula e
2
β
de modo que a aplica¸c˜ao caracter´ıstica
φ
β
: D
2
β
−→ X leve U
2
, o interior do disco D
2
, homeomorficamente sobre e
2
β
e
a restri¸c˜ao φ|
∂D
2
β
=S
1
β
= g
β
. Seja ent˜ao X
2
= X
1
(
β∈B
e
2
β
). Temos que X
∗
=
X
2
e X = X
1
satisfazem as hip´oteses da proposi¸c˜ao anterior. Ent˜ao π
1
(X
2
) ≃
π
1
(X
1
)/R ≃ F/R ≃ G, como desejado. Agora se G tem uma apresenta¸c˜ao G =
α
1
, α
2
, . . . alpha
n
; β
1
, β
2
, . . . , β
s
ent˜ao Y = (
n
j=1
S
1
α
j
) ∪ (
s
i=1
e
2
β
i
) = (
n
j=1
S
1
α
j
) ∪
(
s
i=1
¯e
2
β
i
), que ´e compacto.
Observa¸c˜ao 2.2.1. A prova da Proposi¸c ˜ao anterior est´a de aco rdo com [5]
mas tamb´em pode ser encontrada em [7] (Teorema 2.1, p. 213). Quando
Grupo Fundamental e Adjun¸c˜ao de 2 - C´elulas 47
X
∗
´e obtido de X por colar c´elulas de dimens˜oes maiores que 2, obtemos um
isomorfismo, como mos tra o resultado seguinte:
Teorema 2.2.1. Se X
∗
´e obtido do espa¸co X pela adjun¸c˜ao de c´elulas de
dimens˜ao n, n > 2, ent˜ao a aplica¸c˜ao inclus˜ao de X em X
∗
induz um isomor-
fismo de π
1
(X) sobre π
1
(X
∗
).
Demonstra¸c˜ao: ([7], Teorema 3.1 , p. 214).
Usando esses resultados podemos provar que o grupo fundamental de
um CW-complexo s´o depende do 2-esqueleto. Para tanto apresentamos pri-
meiramente o conceito de limite direto de um grupo ([9] §1.4, p. 22) e um
lema.
Defini¸c˜ao 2.2.1. (Limite Direto de Grupos ) Seja m G
α
uma fam´ılia de gru-
pos indexada por algum conjunto de ´ındices parcia l mente o rd enado I tendo a
propriedade que para cada par α, β ∈ I existe γ ∈ I com α ≤ γ e β ≤ γ.
Tal I ´e chamado um conjunto direto. Suponha que para cada par α ≤ β
tem-se um homomorfismo f
αβ
: G
α
−→ G
β
, tal que f
αα
= id
G
α
para cada
α, e se α ≤ β ≤ γ ent˜ao f
αγ
´e a composi¸c˜ao de f
αβ
com f
βγ
. O conjunto
{G
α
, f
αβ
, α ≤ β, α e β em I}, de grupos e homomorfismos ´e cham ado um
sistema direto de grupos. A partir d esse sistema de grupos podemos definir um
grupo, denominado “limite direto” e denotado por “ lim
−→
G
α
” da seguinte ma-
neira: Defi na uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre o conjunto
α
G
α
por a ∼ b
se f
αγ
(a) = f
βγ
(b) para alg um γ, onde a ∈ G
α
e b ∈ G
β
. (Aqui estamos su-
pondo que tal conjunto seja formado por grupos disjuntos, visto que podemos
substituir G
α
por uma c´opia isomorfa). Esta rela¸c˜ao ´e claramente reflexiva e
sim´etrica, e a transitiva seg ue da propriedad e d e conjunto d i reto. Tal rela¸c˜ao
pode tamb´em ser descrita como a rela¸c˜ao de equivalˆencia gerada pelo conjunto
a ∼ f
αβ
(a). Quaisquer duas classes de equivalˆencia [a] e [b] tem re presentantes
a
′
e b
′
pertencentes ao mesmo G
γ
, assim defina [a].[b] = [a
′
.b
′
]. Pod e-se checar
que essa opera¸c˜ao est´a bem definida e d´a uma es trutura de grupo ao conjunto
das clas s es de equivalˆencia. Tal grupo ´e que de notamos po r lim
−→
G
α
.
Observa¸c˜ao 2.2.2. (1) Se os grupos G
α
s˜ao tod o s abelianos ent˜ao lim
−→
G
α
´e isormorfo ao grupo quociente da soma d i reta ⊕
α
G
α
pelo subgrupo H
gerado pelos elementos da forma a − f
αβ
(a) para a ∈ G
α
, on de vemos
cada G
α
como um subgrupo de ⊕
α
G
α
. A aplica¸c˜ao que associa cada
Grupo Fundamental e Adjun¸c˜ao de 2 - C´elulas 48
classe de eq uivalˆencia [a] `a clas se lateral de a, aH, ´e um homomor-
fismo de lim
−→
G
α
no grupo quoc i e nte
α
G
α
/H, com inversa induzida
pela aplica¸c˜ao
i
a
i
→
i
[a
i
], para a
i
∈ G
α
i
([5] Se¸c˜ao 3.3, p. 243).
(2) Uma situa¸c˜ao interessante ´e quando I = N (ou um subcon j unto qualquer
de Z), os grupos G
n
, n ∈ N s˜ao encaixan tes e o s homomorfismos
f
mn
: G
m
−→ G
n
, para m ≤ n, s˜ao as inclus˜oes.
Lema 2.2.1. Seja X um espa¸co topol´ogico, e para cada inteiro n seja X
n
um subespa¸co de X, conexo por caminhos, contendo o pon to base x
0
de X.
Assuma que os subespa¸cos X
n
s˜ao encaixa ntes, isto ´e , X
n
⊂ X
n+1
para todo
n, que X =
∞
n=1
X
n
, e que para tod o subconjunto compacto A de X existe um
inteiro n tal que A ⊂ X
n
. Sejam i
n
: π
1
(X
n
) −→ π
1
(X) e
j
m,n
: π
1
(X
m
) −→ π
1
(X
n
), m ≤ n, homomorfismos induzidos pela inclus˜ao.
Ent˜ao:
a) Para todo α ∈ π
1
(X), existe um inteiro n e um elemento α
′
∈ π
1
(X
n
) tal
que i
n
(α
′
) = α.
b) Se β ∈ π
1
(X
m
) e i
m
(β) = 1, ent˜ao ex i ste um inteiro n ≥ m tal que
j
m,n
(β) = 1.
c) Se os homomorfismos j
n,n+1
s˜ao monomorfismos, para todo n, ent˜ao cad a i
n
´e tamb´em um monomorfismo e π
1
(X) ´e a uni˜ao dos subgrupos i
n
(π
1
(X
n
)).
Demonstra¸c˜ao: ([7], Exerc´ıcio II, 4.11, p. 67).
Observa¸c˜ao 2.2.3. : O resultado anterior nos diz que, nas hip´oteses acima,
π
1
(X) ´e o limite direto da sequˆencia de grupos π
1
(X
n
) e homomorfismos j
m,n
.
Teorema 2.2.2. Seja X um C W-complexo conexo . A a p l i ca¸c˜ao inclus˜ao do
2-esqueleto X
2
em X induz um isom o rfismo de π
1
(X
2
) em π
1
(X).
Demonstra¸c˜ao: Considere a sequˆencia de subespa¸cos de X: X
2
= X
2
,
o 2-esqueleto de X, X
3
= X
3
, o 3- esqueleto, e assim por diante, isto ´e,
X
n
= X
n
. Temos que X
n
⊂ X
n+1
e X =
∞
n=2
X
n
. Do Teorema 2.2.1 obtemos
que j
n,n+1
: π
1
(X
n
) −→ π
1
(X
n+1
) s˜ao isomorfismos para n ≥ 2. Assim, s˜ao
monomorfismos, e pelo lema anterior, i
n
: π
1
(X
n
) −→ π
1
(X) s˜ao tamb´em
Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Postnikov 49
monomorfismos e π
1
(X) =
∞
n=1
i
n
(π
1
(X
n
)). Al´em disso, da sobrejetividade,
segue que j
n,n+1
(π
1
(X
n
)) = π
1
(X
n+1
), para n ≥ 2. Como o diagrama seguinte
π
1
(X
n
)
i
n
//
j
n,n+1
π
1
(X)
π
1
(X
n+1
)
i
n+1
99
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
´e comutativo, temos que i
n+1
(j
n,n+1
(π
1
(X
n
))) = i
n
(π
1
(X
n
)). Logo, da sobre-
jetividade e, comutatividade do diag r ama, o btemos que
i
3
(π
1
(X
3
)) = i
3
(j
2,3
(π
1
(X
2
)) = i
2
(π
1
(X
2
)).
Tamb´em i
4
(π
1
(X
4
)) = i
4
(j
3,4
(π
1
(X
3
)) = i
3
(π
1
(X
3
)) = i
2
(π
1
(X
2
)).
Prosseguindo assim temos:
i
n+1
(π
1
(X
n+1
)) = i
n+1
(j
n,n+1
(π
1
(X
n
)) = i
n
(π
1
(X
n
)) = i
n−1
(π
1
(X
n−1
)) = ...
= i
2
(π
1
(X
2
)). Logo π
1
(X) =
∞
n=2
i
n
(π
1
(X
n
)) = i
2
(π
1
(X
2
)). Assim i
2
´e sobre-
jetora. Portanto i
2
´e isomorfismo de π
1
(X
2
) em π
1
(X).
2.3 Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Po stnikov
O objetivo principal dessa se¸c˜a o ´e apresentar alguns importantes resultados re-
lativos a CW complexos, com destaque para Aproxima¸c˜ao C elular para Pares,
o que nos d´a como consequˆencia, sob certas hip´oteses, uma condi¸c˜ao suficiente
para um par de CW-complexos (X, A) ser n-conexo. A seguir computamos o
grupo de homotopia no n´ıvel n, n ≥ 2, de um bouquet de n- esferas, fina-
lizando com o Teorema da Torre de Postnikov, que ´e fundamental na prova
da existˆencia de K(G, n)- espa¸cos. Outros conceitos e resultados como Pro-
priedade de Extens˜ao de Ho motopia e o Teorema de Whitehead s˜ao tamb´em
apresentados.
Propriedade de Extens˜ao de Homotopia: Um fato interessante ´e que
todo par CW, (X, A), tem a propriedade de extens˜ao de homotopia. Tornar e-
mos isso mais preciso a seguir:
Defini¸c˜ao 2.3.1. Um par (X, A) tem a propriedade de extens˜ao de homo topi a
Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Postnikov 50
se toda aplica¸c˜ao H : X ×{0}∪A×I −→ Y pode ser estendida a uma aplica¸c˜ao
˜
H : X × I −→ Y .
Notemos que dizer que (X, A) tem a propriedade de extens˜ao de homotopia
´e equiva lente a dizer que para qualquer aplica¸c˜ao f
0
: X −→ Y e homotopia
H : A×I −→ Y de f
0
|
A
podemos estender H a uma homotopia
˜
H : X ×I −→
Y de fo rma que
˜
H(x, 0) = f
0
: X −→ Y .
Proposi¸c˜ao 2.3.1. (1) Se (X,A) ´e um par CW, ent˜ao X × {0} ∪ A × I ´e
um retrato por deforma¸c˜ao de X × I e consequentemente (X,A) tem a
propriedade de ex tens˜ao de homotopia.
(2) Se o par (X, A) satisfaz a pro priedade de extens˜ao de ho motopia e A ´e
contr´actil, ent˜ao a aplica¸c˜ao quociente q : X −→ X/A ´e uma equivalˆencia
de homotopia.
Demonstra¸c˜ao: ([5] Proposi¸c˜oes 0.16 e 0.17, p.15 e 16).
Uma vez que CW complexos s˜ao constru´ıdos usando aplica¸c˜oes de colagem
cujo dom´ınio s˜ao esferas, ´e de se esperar que os grupos de homotopia de CW
- complexos carreguem um grande n´umero de informa¸c˜oes. O Teorema de
Whitehead to rna isso expl´ıcito:
Teorema 2.3.1. (Teorema de Whitehead)
Se uma aplica¸c˜ao f : X −→ Y en tre CW-complexos conexos induz i somorfis-
mos f
♯
: π
n
(X) −→ π
n
(Y ) para todo n , en t˜ao f ´e uma equivalˆe ncia de homo-
topia. No caso em que f ´e a inclus˜ao de um subcomplexo X ֒→ Y, a conclus˜ao
´e mais forte: X ´e um retrato por deforma¸c˜ao de Y.
Demonstra¸c˜ao: ([5], Teorema 4.5 , p. 346).
Ressaltamos que para a prova do Teorema de Whitehead usa-se o
Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Postnikov 51
Demonstra¸c˜ao: ([5] Lema 4.6, p. 346).
Observa¸c˜ao 2.3.1. (1) O Teorema de Whitehead n˜ao diz que dois CW -
complexos X e Y com grupos de homotopia isomorfos s˜ao equivalentes
por homotopia, pois h´a uma grande d iferen¸ca entre dize r que X e Y
tˆem grupos de homotopia isomorfos e dizer que existe uma aplica¸c˜ao
f : X −→ Y que induz isomorfismos s obre todos os grupos de homotopia.
Por exemplo, considerando X = RP
2
e Y = S
2
× RP
∞
tem-se que
π
1
(X) ≃ Z
2
≃ π
1
(Y ), e usando o fato que o recobrim e nto universal de
X e Y s˜ao, respectivam e nte, S
2
e S
2
×S
∞
, que S
∞
´e contr´a ctil e que a
proje¸c˜ao de recobrimento induz isom orfismos nos grupos de homotopia,
para j ≥ 2, ob t´em-se que π
j
(RP
2
) ≃ π
j
(S
2
) ≃ π
j
(S
2
× S
∞
) ≃ π
j
(S
2
×
RP
∞
), se j ≥ 2. Mas RP
2
e S
2
× RP
∞
n˜ao tˆem o mesmo tipo de
homotopia visto que seus grupos de homologia s˜ao di f erentes: S
2
×RP
∞
tem homologia n˜ao nula em um n´umero infinito de dimens˜oes pois ele
retrai sobre RP
∞
([5], cap´ıtulo 4, p. 348).
(2) Um caso muito especial em que o tipo de homotopia de um CW-complexo
´e determi nado por seus grupos de h omotopia ´e quando todos os grupos de
homotopia s˜ao triviais, pois ent˜ao a a plica¸c˜ao inclus˜ao de uma 0-c´elula
no complexo induz um isomorfismo sobre os grupos de hom o topia e as s i m
o complexo se retrai por deforma¸c˜ao sobre a 0-c´elula.
O Lema seguinte ser´a utilizado quando falarmos em Torre de Postnikov.
Lema 2.3.2. (Lem a da Extens˜ao) Dados (X, A) um par CW e f : A −→ Y
uma aplica¸c˜ao com Y co nexo po r caminho s, ent˜a o f pode ser estendida a uma
aplica¸c˜ao ϕ : X −→ Y se π
n−1
(Y ) = 0 para todo n tal que X − A tem c´elulas
de dime ns˜ao n.
Demonstra¸c˜ao: ([5] Lema 4.7, p. 348).
Defini¸c˜ao 2.3.2. Sejam X e Y CW-complexos. Uma a plica¸c˜ao f : X −→ Y
´e chamad a uma aplica¸c˜ao celular se satisfaz f(X
n
) ⊂ Y
n
para todo n .
Teorema 2.3.2. (Teorema da Aproxima¸c˜ao Celular) Tod a aplica¸c˜ao
f : X −→ Y de CW-comple x os ´e homot´opica `a uma aplica¸c˜ao celular. Se f
j´a ´e celular sobre um subcomplexo A ⊂ X, a homotopia pode ser tomada como
sendo estacion´aria sobre A.
Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Postnikov 52
Demonstra¸c˜ao: ([5] Teorema 4 .8 , p. 349).
Observa¸c˜ao 2.3.2. Com o resultado acima pode mos justificar que π
i
(S
n
) = 0
se i < n. De fato, considere [α] ∈ π
i
(S
n
), ent˜ao α : S
i
−→ S
n
. Pelo teorem a
acima ex i s te uma apli ca¸c˜ao α
′
: S
i
−→ S
n
celular que ´e homot´opica a α. Como
α
′
´e ce l ular e i < n ent˜ao a imagem de α
′
cont´em apenas um ponto (a 0-c´elula
e
0
∈ S
n
), ou seja , α
′
´e uma ap lica¸c˜ao constante. Logo [α] = [α
′
] = 0 e portanto
π
i
(S
n
) = 0 se i < n.
Proposi¸c˜ao 2.3.2. (Aproxima¸c˜ao Celular para Pares) Toda aplica¸c˜ao
f : (X, A) −→ (Y, B) de pares CW pode ser deformada atrav´es de aplica¸c˜oes
(X, A) −→ (Y, B) a uma aplica¸c˜ao celular. Al´em di sso, se f ´e celular sobre
um subcomplexo L de X ent˜ao a homo topi a de f a uma celular pode ser tomada
estacion´aria sobre L.
Demonstra¸c˜ao: Consideremos a restri¸c˜ao f |
A
: A −→ B. Pelo teorema
da aproxima¸c˜ao celular podemos deformar f |
A
a uma aplica¸c˜ao celular g
A
:
A −→ B atrav´es de uma homotopia H
A
: A × I −→ B tal que H
A
(x, 0) =
f |
A
(x) e H
A
(x, 1) = g
A
(x).
Agora, como um par (X, A) de CW-complexos tem a propriedade de ex-
tens˜ao de homotopia (Proposi¸c˜ao 2.3.1), considerando H : X ×{0}∪A×I −→
Y ta l que H(x, 0) = f(x), H(a, t) = H
A
(a, t) ∈ B (para x ∈ X e (a, t) ∈ A×I),
segue que H pode ser estendida a uma aplica¸c˜ao
˜
H : X × I −→ Y . As-
sim considerando g(x) :=
˜
H(x, 1), temos que f ∼ g, com g |
A
= g
A
que
´e celular sobre A ⊂ X e
˜
H(a, t) ∈ B para todo (a, t) ∈ A × I. Nova-
mente pelo teorema da aproxima¸c˜ao celular, existe uma homotopia
˜
˜
H entre
g e uma a plica¸c˜ao celular g
1
: X −→ Y , com
˜
˜
H estacion´aria sobre A, as-
sim
˜
˜
H(a, t) =
˜
˜
H(a, 0) = g(a) ∈ B. Logo obtemos de f ∼ g e g ∼ g
1
,
que f ∼ g
1
com g
1
celular (e essa homotopia ´e dada atrav´es de aplica¸c˜oes
(X, A) −→ (Y, B)).
Corol´ario 2.3.1. Um par de CW-co mplexos (X,A) ´e n-conexo se todas as
c´elulas de X-A tem dimens˜ao maior que n. Em particular o par (X, X
n
) ´e
n-conexo, da´ı a inclus˜ao X
n
֒→ X induz is omorfismos π
i
(X
n
) −→ π
i
(X) para
1 ≤ i < n e uma sobreje¸c˜ao de π
n
(X
n
) −→ π
n
(X).
Demonstra¸c˜ao: Um elemento de π
i
(X, A, x
0
) pode ser visto como uma
classe de homotopia de uma aplica¸c˜ao f : (D
i
, S
i−1
, x
0
) −→ (X, A, x
0
). Apli-
cando a aproxima¸c˜a o celular para pares, temos que f pode ser deformada
Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Postnikov 53
atrav´es de aplica¸c˜oes (D
i
, S
i−1
) −→ (X, A) a uma aplica¸c˜ao celular g. Assim
[f] = [g], com g celular. Em particular g ´e celular sobre S
i−1
e assim no-
va mente pela aproxima¸c˜ao celular para pares obtemos que g ´e homot´opica a
uma aplica¸c˜ao g
1
: (D
i
, S
i−1
) −→ (X, A) (que ´e celular) por uma homotopia
estacion´aria sobre S
i−1
. Da hip´otese que as c´elulas em X − A tem dimens˜ao
maior que n, segue que X
i
= A
i
(mesmos i-esqueletos) para i ≤ n. Como
g
1
´e celular, g
1
(D
i
) ⊂ X
i
= A
i
, ou seja, Im(g
1
) ⊂ A. Assim, pelo crit´erio
da compress˜ao (Proposi¸c˜ao 1.3.1), [g
1
] = 0, [f] = [g] = [g
1
] = 0 e portanto
π
i
(X, A, x
0
) = 0 para i ≤ n.
Claramente as c´elulas em X −X
n
(se existir) tem dimens˜ao maior que n e
assim (X, X
n
) ´e n-conexo.
Agora para a ´ultima afirma¸c˜ao, considere a seguinte parte da seq¨uˆencia
exata longa de homotopia do par (X, X
n
) (Proposi¸c˜ao 1.3.2)
··· −→ π
i+1
(X, X
n
, x
0
) −→ π
i
(X
n
, x
0
) −→ π
i
(X, x
0
) −→ π
i
(X, X
n
, x
0
) −→ ···
Se i ≤ n − 1, ent˜ao i + 1 ≤ n e assim π
i+1
(X, X
n
, x
0
) = 0 = π
i
(X, X
n
, x
0
).
Logo, para i < n, obtemos isomorfismos π
i
(X
n
, x
0
) −→ π
i
(X, x
0
). Quando
i = n, como π
n
(X, X
n
, x
0
) = 0, temos a sequˆencia exata:
···π
n
(X
n
, x
0
) −→ π
n
(X, x
0
) −→ 0
portanto a sobreje¸c˜ao afirmada.
O resultado seguinte nos d´a o c´alculo de π
n
(
α
S
n
α
) a partir de π
n
(S
n
) e da
sequˆencia exata longa do par.
Proposi¸c˜ao 2.3.3. π
n
(
α
S
n
α
) ≃ ⊕
α
Z
α
, para n ≥ 2, mais precisamente
π
n
(
α
S
n
α
) ´e abeliano livre tendo como base as classes de homotopias das in-
clus˜oes S
n
α
֒→
α
S
n
α
.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos primeiro que h´a somente um n´umero fi-
nito de somandos S
n
α
1
, . . . , S
n
α
k
. Podemos olhar
k
i=1
S
n
α
i
como o n-esqueleto do
produto
k
i=1
S
n
α
i
, onde `a S
n
α
i
´e dado a estrutura usual de CW e
k
i=1
S
n
α
i
tem
a CW estrutura do produto. Observe que
k
i=1
S
n
α
i
tem c´elulas de dimens˜oes
Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Postnikov 54
m´ultiplas de n, mais especificament e, de dimens˜oes 0, n, 2n, ..., kn. Assim o
par (
k
i=1
S
n
α
i
,
k
i=1
S
n
α
i
) ´e (2n−1) - conexo pois
k
i=1
S
n
α
i
´e obtido de
k
i=1
S
n
α
i
pela ad-
jun¸c˜ao de c´elulas de dimens˜ao maio r ou igual a 2n, e obviamente, 2n −1 < 2n.
(Po r exemplo, S
2
1
×S
2
2
×S
2
3
= (e
0
1
∪e
2
1
) ×(e
0
2
∪e
2
2
) ×(e
0
3
∪e
2
3
) ≡ e
0
∪(e
2
1
∪e
2
2
∪
e
2
3
) ∪ (e
4
12
∪ e
4
13
∪ e
4
23
) ∪ e
6
tem c´elulas de dimens˜oes 0, 2, 2.2 = 4, 3.2 = 6.
Ainda,
3
i=1
S
2
i
´e obtido de
3
i=1
S
2
i
por a djun¸c˜ao das c´elulas e
4
12
, e
4
13
, e
4
23
, e
6
.)
Da´ı, conclu´ımos, usando o Corol´ario 2.3.1 (visto que o (2n-1) - esqueleto
de X =
k
i=1
S
n
α
i
´e igual a
k
i=1
S
n
α
i
) que a inclus˜ao
k
i=1
S
n
α
i
֒→
k
i=1
S
n
α
i
induz
um homomorfismo de π
j
(
k
i=1
S
n
α
i
) em π
j
(
k
i=1
S
n
α
i
) que ´e um isomorfismo para
j < 2 n − 1 e uma sobreje¸c˜ao para j = 2n − 1. Em particular, temos um
isomorfismo no n´ıvel j = n visto que n < 2n − 1 se n ≥ 2.
Agora, sabemos que π
n
(
k
i=1
S
n
α
i
) ≃ ⊕
k
i=1
π
n
(S
n
α
i
) e cada π
n
(S
n
α
i
) ´e isomorfo
ao g r upo Z. Assim, ⊕
k
i=1
π
n
(S
n
α
i
) ≃ ⊕
k
i=1
Z
α
i
, o grupo abeliano livre tendo
como base as inclus˜oes S
n
α
i
֒→
k
i=1
S
n
α
i
, e portanto obtemos π
n
(
k
i=1
S
n
α
i
) ≃
π
n
(
k
i=1
S
n
α
i
) ≃ ⊕
k
i=1
Z
α
i
para todo n ≥ 2. Isto para o caso de um n´umero
finito de somandos S
n
α
’s.
Consideremos ent˜ao o caso geral (com infinitos somandos S
n
α
’s). Para re-
duzir esse caso ao caso finito, considere o homomorfismo
φ : ⊕
α
π
n
(S
n
α
) −→ π
n
(
α
S
n
α
) induzido pelas inclus˜oes S
n
α
֒→
α
S
n
α
. Ent˜ao
φ ´e sobrejetora pois toda aplica¸c˜ao f : S
n
֒→
α
S
n
α
, representando um ele-
mento de π
n
(
α
S
n
α
), tem (visto que S
n
´e compacto) imagem compacta cont ida
na soma wedge de um n´umero finito de S
n
α
’s, isto ´e, existe k ∈ N
⋆
tal que
Im(f) ⊂
k
i=1
S
n
α
i
. Logo , pelo caso finito (j´a provado), conclu´ımos que existe
u ∈ ⊕
k
i=1
π
n
(S
n
α
i
) ⊂ ⊕
α
π
n
(S
n
α
) tal que φ(u) = [f], ou seja, [f] ∈ Im(φ).
Par a concluir que φ ´e injetora observemos que se [f] = 0 em π
n
(
α
S
n
α
),
isto ´e, f ´e homot´opica a uma constante, ent˜ao a (nulo)homotopia
Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Postnikov 55
H : S
n
× I −→
α
S
n
α
tem imagem compacta e assim Im(H) ⊂
n
i=1
S
n
α
i
(soma
wedge de um n´umero finto de esferas), ou seja, f ´e homot´opica em
n
i=1
S
n
α
i
a
uma a plica¸c˜ao constante. Da´ı a injetividade ta mb´em segue do caso finito.
Finalizando essa se¸c˜ao mostramos um resultado fundamental para a cons-
tru¸c˜ao dos K(G, n)-espa¸cos:
Defini¸c˜ao 2.3.3. Uma Torre de Postnikov para uma espa¸co conexo por cami -
nhos X ´e um diagrama comutativo (como abaixo) tal que:
.
.
.
X
3
X
2
X
//
>>
}
}
}
}
}
}
}
}
FF
X
1
(1) cada aplica¸c˜a o X ֒→ X
n
induz um isomorfismo π
i
(X) −→ π
i
(X
n
) para
i ≤ n,
(2) π
i
(X
n
) = 0, para i > n.
Teorema 2.3.3. (To rre de Pos tnikov) Para todo CW-complex o conexo X
e n ≥ 1, podemos co nstruir espa¸cos X
n
⊃ X tais que π
i
(X) ≃ π
i
(X
n
) para
i ≤ n e π
i
(X
n
) = 0 se i > n. Al´em disso essa seq¨uˆencia se encaixa num
diagrama comutativo co mo acima. Ou seja, X tem uma Torre de Postnikov.
Demonstra¸c˜ao: Escolha aplica¸c˜o es celulares ϕ
α
: S
n+1
−→ X, onde
[ϕ
α
], α ∈ Λ geram π
n+1
(X) (podemos supor ϕ
α
celulares pois pelo Teorema
da Aproxima¸c˜ao Celular, considerando que X e S
n+1
s˜ao CW-complexos, toda
aplica¸c˜ao ψ : S
n+1
−→ X ´e homot´opica `a uma aplica¸c˜ao celular ϕ : S
n+1
−→
X). Use estas aplica¸c˜oes para colar c´elulas e
n+2
α
a X, formando um CW-
complexo Y = X
(
α
e
n+2
α
).
Considere o par (Y, X). Ent˜ao, Y −X t em c´elulas de dimens˜ao n+2 > n+1.
Logo pelo Corol´ario 2.3.1, (Y, X) ´e (n + 1) - conexo. Usando a sequˆencia exata
longa de homotopia para o par (Y, X) obtemos (de maneira similar ao que f eito
Aproxima¸c˜ao Celular e Torre de Postnikov 56
na demonstra¸c˜ao do referido corol´ario para (X, X
n
)) que a inclus˜ao X ֒→ Y
induz isomorfismos π
i
(X) −→ π
i
(Y ) par a i < n + 1 ( ou i ≤ n).
Par a ver que π
n+1
(Y ) = 0, seja [ρ] ∈ π
n+1
(Y ), ρ : S
n+1
−→ Y . Como
antes, existe pela aproxima¸c˜ao celular h
0
: S
n+1
−→ Y tal que ρ ∼ h
0
e
Im(h
0
) ⊂ X. Assim podemos associar um elemento em π
n+1
(X) dado pela
classe de
˜
h : S
n+1
−→ X onde
˜
h(u) = h
0
(u) para todo u ∈ S
n+1
.
Suponha que a aplica¸c˜ao
˜
h seja um gerador para π
n+1
(X), ent˜ao j
♯
([
˜
h]) = 0
em π
n
(Y ), pois pela constru¸c˜ao inicial foi colado via
˜
h uma c´elula de dimens˜ao
n + 2 em X ⊂ Y . Mas 0 = j
♯
([
˜
h]) = [h
0
] = [ρ]. Logo π
n+1
(Y ) = 0. Ag ora, se
˜
h
n˜ao for um gerador para π
n+1
(X), ele ´e um produto de geradores e da mesma
forma temos [ρ] = j
♯
([
˜
h]) = 0.
Obtemos ent˜ao um espa¸co Y tal que π
i
(X) ≃ π
i
(Y ), para i ≤ n e
π
n+1
(Y ) = 0. O processo pode ser repetido com Y no lugar de X e n subs-
titu´ıdo por n + 1, de modo a obter um novo espa¸co Y
2
= Y
(
β
e
n+3
β
) com
π
n+2
(Y
2
) = 0 (visto que anexamos (n + 3) - c´elulas), π
n+1
(Y
2
) ≃ π
n+1
(Y ) = 0
e π
i
(Y
2
) ≃ π
i
(Y ) ≃ π
i
(X) se i ≤ n. Depois de infinitas itera¸c˜oes temos
estendido X para um CW-complexo X
n
obtido de X por a nexar c´elulas de di-
mens˜ao maior ou igual a n + 2, tal que a inclus˜ao X ֒→ X
n
induz isomorfismos
π
i
(X) ≃ π
i
(X
n
) para i ≤ n e π
i
(X
n
) = 0, para i > n.
Finalmente, aplicando o Lema da Extens˜ao (Lema 2.3.2) temos que a inclus˜a o
X ֒→ X
n
pode ser estendida para uma aplica¸c˜ao X
n+1
−→ X
n
, pois X
n+1
´e
obtido de X anexando c´elulas de dimens˜ao n+3 ou maio r, e π
i
(X
n
) = 0, par a
i > n, obtendo assim um diagrama comutat ivo como acima, ou seja uma Torre
de Postnikov para X.
Observa¸c˜ao 2.3.1. (1) Pode -se o l har os espa ¸cos X
n
como trunca¸c˜oes de X
que produzem, sucessivamente, melhores aproxima¸c˜oes para X quando n
cresce.
(2) A Torre de Postnikov para X, dada no resultado anterior, ´e ´unica a
menos de homotopia ([5], Corol´ario 4.19, p. 355).
Cap´ıtulo 3
Espa¸cos de Eilenberg Mac-Lane
3.1 Defini¸c˜ao e Propriedades
Defini¸c˜ao 3.1.1. Seja G um grupo. Um espa¸co topol´ogico conexo X tal que
π
n
(X) = G e π
i
(X) = 0 se i = n (n ≥ 1), ´e chamado um espa¸co de
Eilenberg Mac-Lane do tipo (G, n), ou simpl e smente, um K(G, n) -
espa ¸co. E usualmente denotamo s tal X por K(G, n).
Exemplo 3.1.1. O espa¸co S
1
= {(x, y) ∈ R
2
; x
2
+ y
2
= 1} com a topologia
usual ´e um K(Z, 1), poi s π
1
(S
1
) ≃ Z e π
n
(S
1
) = 0, para todo n ≥ 2 (esta
´ultima afirma¸c˜ao segue do fato que R ´e o recobrimento universal de S
1
).
Proposi¸c˜ao 3.1.1. Sejam G e L grupos. Se X ´e um K(G, n) e Y ´e um
K(L, n) ent˜ao X × Y ´e um K(G ⊕ L, n) .
Demonstra¸c˜ao: Segue do fato que π
j
(X × Y ) ≃ π
j
(X) ⊕ π
j
(Y ), ∀j ≥ 1.
Note que se X ´e um K(G, n) e Y ´e um K(L, m), com n = m ent˜ao X ×Y
n˜ao ´e um K(G ⊕L, r) para nenhum r, po is π
n
(X ×Y ) = G e π
m
(X ×Y ) = L
e se j = n e j = m ent˜ao π
j
(X × Y ) = 0.
Par a o caso n = 1, a condi¸c˜ao π
i
(X) = 0 para i > 1, pode ser substitu´ıda
(quando o espa¸co tˆem recobrimento universal do mesmo tipo de homotopia de
um CW-complexo) pela condi¸c˜ao de que X tem um espa¸co de recobrimento
universal contr´actil, como veremos na
Proposi¸c˜ao 3.1.2. Um CW-comp l exo X ´e um K(G, 1) - espa ¸co se, e somente
se, π
1
(X) = G e o es pa¸co de recobrimento unive rs al de X ´e contr´actil.
57
Existˆencia dos K(G,n)- Espa¸cos 58
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que X seja um K(G, 1). Ent˜ao, por de-
fini¸c˜ao, π
1
(X) ≃ G e π
k
(X) = 0, k ≥ 2. Seja
˜
X o recobrimento universal
de X e considere p :
˜
X → X a proje¸c˜ao associada. Essa aplica¸c˜ao induz
um isomorfismo p
♯
: π
k
(
˜
X) → π
k
(X), ∀k ≥ 2. Logo π
k
(
˜
X) = 0, ∀k ≥ 2.
Como
˜
X ´e recobrimento universal de X, ent˜ao π
1
(
˜
X) = 0. Assim temos que
π
n
(
˜
X) = 0, ∀n. Agora considere f :
˜
X → {x
0
} a aplica¸c˜ao constante. Essa
aplica¸c˜ao ´e cont´ınua e induz um isomorfismo f
♯
: π
n
(
˜
X) → π
n
({x
0
}). Ent˜ao,
pelo Teorema de Whitehead (Teorema 2.3.1), f ´e uma equivalˆencia de homo-
topia, ou seja,
˜
X tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto. Portanto
˜
X
´e contr´actil. A rec´ıproca ´e obvia.
3.2 Existˆencia d os K(G, n) - Espa¸cos
Estamos interessados no seguinte problema: Dado um grupo G e n ≥ 1, sempre
existe um CW-complexo que ´e do tipo K(G, n) (supondo G abeliano se n ≥ 2)?
Conforme veremos, a resposta ´e afirmativa.
Vejamos inicialmente o caso n=1 .
Teorema 3.2.1. Para qualquer grupo G podemos construir um CW-complexo
do tipo K(G, 1).
Demonstra¸c˜ao: Da do um grupo G, como j´a visto anteriormente (Co-
rol´ario 1.2.1) constr´oi-se inicialmente, a partir de uma apresenta¸c˜ao de G ≃
F/R, onde F ´e livre gerado por A (conjunto de geradores) e R ´e o menor
subgrupo normal de F g erado por B (conjunto de rela¸c˜oes), um 2-complexo
Y := (
α∈A
S
1
α
)
(
β∈B
e
2
β
) tal que π
1
(Y ) = G. Usando o Teorema 2.3.3 (Torre
de Postnikov) obtivemos a partir de Y, por colar c´elulas de dimens˜ao maior ou
igual a trˆes, um espa¸co X = X
1
de modo que π
1
(X) = π
1
(Y ) = G e π
j
(X) = 0
para j ≥ 2, isto ´e, obtivemos um K(G, 1)-espa¸co.
Observa¸c˜ao 3.2.1. Note que, de acordo com a demonstra¸c˜ao anterior o pri-
meiro espa¸co X
1
da Torre de Postnikov j´a nos d´a o espa¸co K(G, 1) desejado.
No entanto ´e interessante observa r que para o bter X
1
, em alg uns casos , temos
que colar c´elulas infinitamente (vide Exemplo 3.3.4).
Existˆencia dos K(G,n)- Espa¸cos 59
Nosso objetivo agora ´e a constru¸c˜ao de um K(G, n) - espa¸co com n ≥ 2.
Par a tanto necessitamos de alguns resultados.
Teorema 3.2.2. (Exci s˜ao para grupo s de homotopia) Seja X um CW-comp l e xo
que ´e decomposto como a uni˜ao de subcomp l e xos A e B com intersec¸c˜ao n˜ao
vazia C = A ∩ B. Se (A, C) ´e m - conexo e (B, C) ´e n - conexo, m, n ≥ 0,
ent˜a o a aplica¸c˜ao π
i
(A, C) −→ π
i
(X, B) induzida pela inclus˜ao ´e um isomor-
fismo para i ≤ m + n e uma sobreje¸c˜ao para i = m + n.
Demonstra¸c˜ao: ([5], Teorema 4.2 3, p. 360).
Proposi¸c˜ao 3.2.1. Se um par CW, (X, A), ´e r - conexo e A ´e s - conexo,
com r, s ≥ 0, ent˜ao e aplica¸c˜ao π
i
(X, A) −→ π
i
(X/A) induzida pela aplica¸c˜ao
quociente X −→ X/A ´e um isomo rfi s mo para i ≤ r + s e uma sobreje¸c˜a o para
i = r + s + 1.
Demonstra¸c˜ao: Considere X
CA , o complexo obtido de X colando
um cone CA ao longo de A ⊂ X. O cone CA (Exemplo 2.1.6- Join) ´e
a uni˜ao de segmentos de reta ligando pontos de A `a um v´ertice externo p.
Ent˜ao CA ´e homot´opico ao conjunto unit´ario p (por exemplo tome a ho-
motopia linear H : CA × I → CA; (x, t) → tp + (1 − t)x). Ou seja,
CA ´e um subcomplexo contr´actil de X
CA. Assim a aplica¸c˜ao quociente
X
CA
q
−→ (X
CA)/CA = X/A ´e uma equivalˆencia de homotopia visto
que o par (X
CA, CA) ´e um par CW e portant o tem a propriedade de
extens˜ao de homotopia (Proposi¸c˜ao 2.3.1). Conseq¨uentemente q induz um iso-
morfismo de π
i
(X
CA) em π
i
((X
CA)/CA) = π
i
(X/A). Assim temos o
diagrama comutativo
π
i
(X, A)
//
π
i
(X ∪ CA, CA)
//
π
i
(X ∪ CA/CA) = π
i
(X/A)
π
i
(X ∪ CA)
≃
OO
≃
44
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
onde o isomorfismo vertical vem da seq¨uˆencia exata longa
. . . −→ π
i
(CA) −→ π
i
(X ∪ CA) −→ π
i
(X ∪ CA, CA) −→ π
i−1
(CA) −→ ···
e do fato que CA ´e contr´a ctil. Donde obt´em-se da comutat ividade, um iso-
morfismo π
i
(X ∪ CA, CA) −→ π
i
(X/A) (*).
Existˆencia dos K(G,n)- Espa¸cos 60
Ainda, da sequˆencia exata longa para o par ( CA, A),
. . . −→ π
i
(A) −→ π
i
(CA) −→ π
i
(CA, A) −→ π
i−1
(A) −→ ··· ,
do fato que A ´e s-conexo (por hip´otese) e que CA ´e contr´actil, obtemos que
π
i
(CA, A) = 0 para i ≤ s + 1, isto ´e, (CA, A) ´e s+1-conexo.
Agora usando o resultado anterior (Excis˜ao para Grupos de Homotopia -
Teorema 3.2.2) para o espa¸co X = X ∪ CA, C = X ∩ CA = A e o s pares
(X, A) r - conexo e (CA, A) s+1 - conexo, conclu´ımos que o homomorfismo
π
i
(X, A) −→ π
i
(X ∪CA, CA), induzido pela inclus˜ao , ´e um isomorfismo para
i < r + s + 1 e uma sobreje¸c˜ao para i = r + s + 1.
Logo, considerando o isomorfismo (* ) acima, conclu´ımos que π
i
(X, A) −→
π
i
(X/A) ´e um isomorfismo para i ≤ r + s ´e uma sobreje¸c˜ao para i = r + s + 1.
Lema 3.2.1. O espa¸co A =
α∈Λ
S
n
α
(bouquet de n-esferas ) n ≥ 2, ´e (n − 1)−
conexo.
Demonstra¸c˜ao: Para j ≤ n −1 , seja [ϕ] ∈ π
j
(A), com ϕ : S
j
−→ A. Pelo
Teorema da Aproxima¸c˜ao Celular, ϕ ∼ ψ : S
j
−→ A, com ψ celular. Agora o
j- esqueleto de A, A
j
, j ≤ n − 1 ´e um po nto (a ´unica 0-c´elula) uma vez que
A n˜ao possui c´elulas de dimens˜ao j, para 0 < j ≤ n − 1 e portanto, ψ ´e a
aplica¸c˜ao constante. Da´ı [ϕ] = [ψ] = 0. Assim π
j
(A) = 0, para j ≤ n − 1, ou
seja, A ´e (n −1)-conexo.
Proposi¸c˜ao 3.2.2. Para todo grupo abel i ano G e n ≥ 2, existe um CW-
complexo (n − 1)-conexo, de dimens˜ao n + 1 tal que π
n
(X) ≃ G.
Demonstra¸c˜ao: Como no caso n = 1, considere uma apresenta¸c˜ao do
grupo G, G =< A; B >, ou seja, G ≃ F/R onde F ´e o grupo livre gerado por
α ∈ A e R, normal a F , ´e o subgrupo gerado pelo conjunto de rela¸c˜o es β ∈ B.
Notemos que nesse caso, como G ´e abeliano, F ´e abeliano livre.
Par a cada gerador α a ssociamos uma n-esfera S
n
α
. Ent˜ao, considerando o
espa¸co
α∈A
S
n
α
temos, do fato que n ≥ 2 (Proposi¸c˜a o 2.3.3), que
π
n
(
α∈A
S
n
α
) ≃ ⊕
α∈A
Z
α
≃ F.
Cada rela¸c˜ao β ∈ B ⊂ F entre os geradores α
′
s pode ser realizada como
uma classe em π
n
(
α∈A
S
n
α
), [ϕ
β
], representada po r uma aplica¸c˜ao
Existˆencia dos K(G,n)- Espa¸cos 61
ϕ
β
: S
n
−→
α∈A
S
n
α
. Considere o CW-complexo X obtido de
α∈A
S
n
α
anexando
(n + 1)-c´elulas e
n+1
β
via ϕ
β
, preservando ponto ba se,
X = (
α∈A
S
n
α
)
β
e
n+1
β
.
Note que X
n
=
α∈A
S
n
α
, que o par (X, X
n
) ´e n-conexo (Corol´ario 2.3.1) e
que X
n
´e (n − 1)-conexo (pelo Lema anterior). Logo, pela Proposi¸c˜ao 3.2.1,
o homomorfismo π
i
(X, X
n
) −→ π
i
(X/X
n
), induzido pela aplica¸c˜ao quociente
X −→ X/X
n
´e um isomorfismo para i ≤ 2n−1 (e uma sobreje¸c˜ao para i = 2n).
Em particular, considerando os casos n+1 e n, e o fato que X/X
n
=
β∈B
S
n+1
β
,
obtemos que
• π
n+1
(X, X
n
) ≃ π
n+1
(X/X
n
) = π
n+1
(
β∈B
S
n+1
β
) = ⊕
β∈B
Z
β
, o grupo abe-
liano livre gerado pelas aplica¸c˜o es caracter´ısticas [φ
β
] das c´elulas e
n+1
β
, e
• π
n
(X, X
n
) ≃ π
n
(X/X
n
) = 0 (visto que X/X
n
=
β∈B
S
n+1
β
´e n - conexo).
A sequˆencia exata para o par (X, X
n
) nos d´a:
··· → π
n+1
(X, X
n
) = ⊕
β∈B
Z
β
∂
→ π
n
(X
n
)
i
♯
→ π
n
(X)
j
♯
→ π
n
(X, X
n
) = 0.
Pela exatid˜ao da sequˆencia, Im(i
♯
) = ker(j
♯
) = π
n
(X). Ent˜ao, pelo Teorema
do Homomorfismo, π
n
(X) = Im(i
♯
) ≃ π
n
(X
n
)/ker(i
♯
). Agora, o operador
bordo ∂ leva as aplica¸c˜oes caracter´ısticas [φ
β
] nas classes [ϕ
β
], assim Im(∂) =
[ϕ
β
], β ∈ B = ⊕
β∈B
Z
β
= R. Da´ı, ker(i
♯
) = Im(∂) = R, e ent˜ao temos
π
n
(X) ≃ π
n
(X
n
)/ker(i
♯
) = π
n
(
α∈A
S
n
α
)/Im(∂) = F/R ≃ G.
Par a ver que X ´e n−1 conexo, raciocinamos como no Lema anterior, isto ´e,
usamos o fato que toda aplica¸c˜ao ϕ : S
i
−→ X ´e homot´opica a uma aplica¸c˜ao
celular (teorema da aproxima¸c˜ao celular) e que tal aplica¸c˜a o ser´a constante se
i < n.
Teorema 3.2.3. Se j a G um grupo abeliano qualquer e n ≥ 2 um inteiro.
Ent˜ao ex i s te um CW-complexo do tipo K(G, n).
Demonstra¸c˜ao: Dado um grupo abeliano G e n ≥ 2 , pela Proposi¸c˜ao
Exemplos 62
anterior, existe um CW-complexo (n −1)-conexo X, de dimens˜ao n + 1 tal que
π
n
(X) ≃ G. Usando o Teorema 2.3.3 (Torre de Postnikov) para X pode-se
construir uma sequˆencia de espa¸cos X
m
tal que π
i
(X
m
) ≃ π
i
(X) para i ≤ m
e π
i
(X
m
) = 0 para i > m. Em particular, para m = n, e considerando
Z = X
n
, temos π
i
(Z) ≃ π
i
(X) para i ≤ n e π
i
(Z) = 0 para i > n. Assim
π
i
(Z) ≃ π
i
(X) = 0, para 1 ≤ i ≤ n − 1, π
n
(Z) ≃ π
n
(X) = G e π
i
(Z) = 0 para
i > n, ou seja, Z ´e um K(G, n) - espa¸co.
3.3 Exemplos
Exemplo 3.3.1. J´a vimos que o c´ırculo unit´ario S
1
´e um K(Z,1)-espa¸co. Note
que uma apresenta¸c˜ao para G = Z ´e < α, ∅ >. Nesse ca so, considerando a
constru¸c˜ao de K(G, 1) - es pa¸cos, tomamos inicialmente o “bouquet” com um
´unico c´ırculo S
1
= S
1
α
e como n˜ao h´a rela¸c˜oes n˜ao neces s i tam os colar 2-c´elulas
para obter um CW-complexo 2-dimensinonal X com π
1
(X) = Z. Tem os ai nda
que π
j
(S
1
) = 0, ∀j ≥ 2 e assim, o X
1
constru´ıdo na Torre ´e o S
1
e portanto
S
1
´e um espa¸co do tipo K(Z, 1). Um racioc´ınio similar nos d´a que o bouquet
Y =
α∈A
S
1
α
´e um K(F, 1), o nde F ´e o grupo livre gerado por A.
Exemplo 3.3.2. O toro T
2
´e um K(Z ⊕ Z, 1) - espa¸co. Temos que Z ⊕ Z
≃ F/R, onde F ´e um grupo livre gerado por {α
1
, α
2
} e R ´e o menor s ubgrupo
normal de F co ntendo a rela¸c˜a o β = α
1
α
2
α
−1
1
α
−1
2
. Considere X
1
=
2
i=1
S
1
i
(figura oito). Ent˜ao π
1
(
2
i=1
S
1
i
) ≃ Z ∗ Z. Colem o s uma 2-c´elula e
2
em X
1
, a
partir da rela¸c˜ao β = α
1
α
2
α
−1
1
α
−1
2
, para obtermos o CW-comp l e xo
2− dimensional X
2
= X
1
∪ e
2
com π
1
(X
2
) = (Z ∗ Z)/R ≃ Z ⊕ Z. Agora
X
2
= T
2
= S
1
× S
1
e π
j
(T
2
) = π
j
(IR
2
) = 0, ∀j ≥ 2. Portanto T
2
´e um espa¸co
do tipo K(Z ⊕Z, 1) . Notemos que esse ´e um caso em que foi necess´ario colar
uma 2- c´elula para obter o complexo 2-dimensional com grupo fund amental
Z⊕Z mas o complexo ob tido j´a ´e um K(Z⊕Z, 1) e assim n˜ao houve n ecessidade
de usar a Torre de Postnikov, uma vez que o e spa¸co X
1
= T
2
j´a tem π
j
trivial
para j ≥ 2.
Exemplos 63
Exemplo 3.3.3. Superf´ıcies fechadas com grupo fundam ental i nfinito, em ou-
tra s palav ras, superf´ıc i es fecha das que n˜ao se j am S
2
e RP
2
, s˜ao K(G, 1)-
espa¸cos. Isto segue d o fato que as ´unicas supe rf´ıcies sem bordo que s˜ao sim-
plesmente conexas s˜ao S
2
e R
2
(resultado da teoria de superf´ıcies) , de modo
que recobrimento universal de uma supe rf´ıcie fechada com grupo funda mental
infinito deve ser R
2
(pois o recobrimento universal nesse caso ´e n˜ao compacto
visto que as fibras s˜ao subconjuntos dis cretos que est˜ao em corres pondˆencia
com o grupo fundamental que ´e infinito), e R
2
´e contr´atil. Ainda, superf´ıcies
n˜ao fechadas s˜ao K(G, 1) - espa¸cos com G livre, poi s tais superf´ıc i es se re-
tra em por deforma¸c˜ao sobre grafos, e o grupo fundam ental de um grafo ´e livre
( [7], VI Teorema 5.1), al´em disso pos s uem grupo s de homotopias superiores
triviais.
Exemplo 3.3.4. O espa¸co projetivo real infinito dimensional RP
∞
, ´e um
K(Z
2
, 1) - espa¸co. Para isso, n otemos que o grupo c´ıclico G = Z
2
tem como
apresenta¸c˜ao G =< α; α
2
>. Consideremo s o grupo livre F ≃ Z com um
gerador α e X
1
= S
1
. Colemos uma 2-c´el ula em X
1
a partir da re l a¸c˜ao α
2
, o
espa¸co Y = X
2
, assim obtido, satisfaz π
1
(X
2
) = Z
2
e pode ser identificado com
o espa¸co RP
2
. Temos en t˜ao um CW-complexo 2- dimensional que tem grupo
fundamental Z
2
. Agora π
2
(RP
2
) ≃ π
2
(S
2
) ≃ Z = 0, assim prec i samos usar
a constru¸c˜ao na Torre de Postnikov para obter o espa¸co “X
1
” de sejado. Ou
seja, temos que adicionar c´elulas de dimens˜oes superiores (n ≥ 1 + 2 = 3). De
fato, nesse caso o processo ´e infini to, is to ´e, adicionamos uma c´elula em cada
dimens˜ao: RP
3
⊂ RP
2
e
3
e π
1
(RP
3
) ≃ π
1
(RP
2
) ≃ Z
2
, π
2
(RP
3
) = 0 mas
π
3
(RP
3
) ≃ π
3
(S
3
) ≃ Z = 0 (tem um gerador). Anexamos ent˜ao mais uma
c´elula de modo a obter um espa¸co (o RP
4
= RP
3
e
4
), que a g ora satisfaz
π
1
(RP
4
) ≃ Z
2
, π
2
(RP
4
) = π
3
(RP
4
) = 0 mas π
4
(RP
4
) ≃ π
4
(S
4
) ≃ Z = 0,
continuando o processo (Torre de Postnikov), obtem os o espa¸co X
1
= RP
∞
,
que ´e um K(Z
2
, 1)-espa¸co.
Observa¸c˜ao 3.3.1. Podemos concluir que RP
∞
´e um K(Z
2
, 1) por verifi-
car que seu recobrimento universal ´e S
∞
. Uma homotopia entre a aplica¸c˜ao
Exemplos 64
identidade de S
∞
e uma aplica¸c˜ao constante pode ser constru´ıda como se-
gue: Primeiro definimos H : R
∞
× I −→ R
∞
por H((x
1
, x
2
, ...), t) =
(1 − t)(x
1
, x
2
, ...) + t(0, x
1
, x
2
, ...).
´
E cla ro que H(., t) leva vetor n˜ao nulo em
vetor n˜ao nulo. Ent˜ao K : S
∞
× I −→ S
∞
; K(x, t) := H(x, t)/H(x, t),
onde x = (x
1
, x
2
, ...), d´a uma ho motopia entre a aplica¸c˜ao iden tida de de S
∞
e a ap l i ca¸c˜ao g : (x
1
, x
2
, ...) −→ (0, x
1
, x
2
, ...). Agora uma homotopia en-
tre g e a aplica¸c˜ao constante ´e dada por L : S
∞
× I −→ S
∞
; L(x, t) :=
S(x, t)/S(x, t), onde S(x, t) = (1 − t)(0, x
1
, x
2
, ...) + t(1, 0, 0, ...).
Exemplo 3.3.5. Generalizando o exemplo anterior, podemos construir um
K(Z
m
, 1)- espa ¸co como um espa¸co de Lens de dimens˜ao infinita L
m
= S
∞
/Z
m
,
onde Z
m
atua sobre S
∞
(visto como a esfera unit´aria em C
∞
) pela m ulti-
plica¸c˜ao por escalar pela m-´esima ra i z da unidade, um gerador desta a¸c˜a o ´e a
aplica¸c˜ao (z
1
, z
2
, . . .) → e
2πi
m
(z
1
, z
2
, . . .). Pode-se verificar que e s ta ´e uma a¸c˜ao
no espa¸co de recobrimento e que L
m
´e um K(Z
m
, 1)- es pa¸co.([13], Teorema
2.10.10-demo nstra¸c˜ao, p. 86)
Exemplo 3.3.6. A partir dos exemplos anteriores, e do fato que um produto
K(G
1
, 1) ×K(G
2
, 1) ´e um K(G
1
×G
2
, 1) podemos obter e s pa¸cos K(G, 1) para
todo grupo abeliano finitamente gera do G. Para tanto basta lembrarmos q ue um
grupo abelia no finitamente gerado ´e isomorfo a um produto de grupos c´ıclico s
infinitos e finitos. Assim basta tomar o espa¸co fo rmado por p rodutos de c´ırculos
e espa¸cos d e Lens de dime ns˜ao infinita.
Exemplo 3.3.7. Exemplos d e K(G, n)- espa¸cos, para n ≥ 2, s˜ao raros. Pode-
se verificar que o espa¸co CP
∞
´e um K(Z, 2) e consequentemente generalizar
esse exemplo tomando um produto de CP
∞
’s para ob ter um K(G, 2) com G
um p roduto d e Z’s ([5], p. 365 ).
3.4 Considera¸c˜oes Finais
(1 ) Observemos que π
1
(T
2
) ≃ Z ⊕Z ´e um grupo sem tor¸c˜ao e T
2
´e um CW-
complexo de dimens˜ao finita. Agora π
1
(RP
∞
) ≃ Z
2
, Z
2
´e um grupo de
tor¸c˜ao e RP
∞
´e um CW-complexo de dimens˜ao infinita. De fato , usando
cohomologia de grupos pode-se mostrar que se G tem t or¸c˜a o ent˜ao n˜ao
existe um CW-complexo finito que seja K(G, 1). ([5], Proposi¸c˜ao 2.45,
p. 149 ou [2], Corol´ario 3.2.1)
Exemplos 65
(2 ) Seja Y um CW-complexo. Ent˜ao existe uma bije¸c˜ao entre [Y, K(G, n)] e
H
n
(Y, G), onde [X, Y ] representa as classes de homotopia das aplica¸c˜o es
de X em Y e G ´e um grupo abeliano. A prova desse resultado pode ser
feita usando teoria de cohomologia ([5],Teorema 4.57, p. 393) ou obtida
como uma aplica¸c˜ao da teoria de obstru¸c˜ao ([11], Teorema 8. 10, p. 428).
(3 ) Pode-se mostrar a unicidade dos espa¸cos K(G, n)’s a menos de homotopia
([5], Teorema 1B.8, p. 90 para o caso n = 1; Proposi¸c˜ao 4.30, p. 366
para o caso n ≥ 2 ).
(4 ) Os K(G, 1)- espa¸cos, estabelecem uma rela¸c˜ao entre a cohomologia de
grupos e a de espa¸cos uma vez que, para cada k, o grupo de (co)homologia,
H
k
(G, M) , de um grupo G com coeficientes em um ZZG-m´odulo M ´e iso-
morfo a H
k
(X, M), onde X ´e um K(G, 1) - espa¸co e M ´e um sistema de
coeficientes locais pa ra X associado ao ZZG-m´odulo M ( [1] II. Proposi¸c˜ao
4.1; III. § 1, p. 59).
Apˆendice A
Grupo Fundamental
A.1 Caminhos Homot´opicos e o G r upo Fun-
damental
Defini¸c˜ao A.1.1. Um caminho num espa¸co topol´ogico X ´e uma aplica¸c˜ao
cont´ınua α : I = [0, 1] −→ X. Os pontos α(0) e α(1) s˜ao chamados pontos
inicial e final de α, respectivamente. Cami nhos α e β com pontos iniciais e
finais co muns, α(0) = β(0) e α(1) = β(1), s˜ao ditos equivalentes se existe uma
aplica¸c˜ao cont´ınua H : I × I −→ X tal que
H(t, 0) = α(t), H(t, 1) = β(t), t ∈ I,
H(0, s) = α(0) = β(0), H(1, s) = α(1) = β(1 ), s ∈ I,
A aplica¸c˜ao H ´e ch amada uma homotopia entre α e β. Para um dado
valor de s, a restri¸c˜ao de H `a I × {s} ´e chamada o n´ıvel s de homotopi a e ´e
usualmente denotada por H(·, s), H
s
(·) ou h
s
(·).
Defini¸c˜ao A.1.2. Um la¸co num e spa¸co topol´ogico X ´e um cami nho α em X
com α(0) = α(1). O valor comum do po nto inicial e ponto final ´e chamado
ponto base do la ¸co. Dois la¸cos α e β com mesmo pon to base x
0
s˜ao ditos
equivalentes, ou homo t´opicos m´odulo x
0
, se s˜ao equiva l entes como caminhos.
Em outras palavras, α e β s˜ao homot´opicos m´od ulo x
0
(denotado por α ∼
x
0
β)
desde que exista uma homotopia H : I × I −→ X tal que
H(·, 0) = α, H(·, 1) = β,
H(0, s) = H(1, s) = x
0
, s ∈ I.
Como H(0, s) e H(1, s) tˆem sempre valor x
0
, independente da escolha de s
66
Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundament al 67
em [0, 1], `as vezes se diz que o ponto base x
0
“fica fixo do come¸co ao fim da
homotopia”.
Exemplo A.1.1. Os caminhos α e β no plano, representados na figura s˜ao
equivalentes.
Y
X
α(0) = β(0)
α(1) = β(1)
α
β
Uma homotopia H que mostra a equivalˆen cia entre os caminhos ´e definida por
H(t, s) = s · β(t) + (1 − s) · α(t), com (t, s) ∈ I × I. A homotopia essencial-
mente “puxa α n a dire¸c˜ao de β” sem perturbar os pontos finais. Se o espa¸co
tivesse um buraco entre os tra¸co s dos caminhos α e β, ent˜ao eles n˜ao seriam
equivalentes.
O seguinte lema ser´a muito ´util nesta se¸c˜a o.
Lema A.1.1. (Lema da Co lagem ou Lema da Continuidade) Seja X um
espa¸co topol´ogico com subco njuntos fechados A e B tais que X = A ∪ B.
Sejam f : A → Y e g : B → Y aplica¸c˜oes cont´ınuas tais que f(x)=g(x ) para
cada x em A ∩ B. Ent˜ao ´e cont´ınua a aplica¸c˜ao h : X −→ Y definida por
h(x) =
f(x), se x ∈ A
g(x), se x ∈ B.
Demonstra¸c˜ao: Seja V ⊂ Y um subconjunto fechado. Temos que
h
−1
(V ) = f
−1
(V ) ∪ g
−1
(V ) ´e fechado em X, uma vez que f e g cont´ınuas
implicam que f
−1
(V ) e g
−1
(V ) s˜ao fechados em A e B, respectivamente, e
conseq¨uentemente em X, pois A e B s˜ao fechados em X. Agora, a uni˜ao finita
de fechados ´e fechado, e ent˜ao h
−1
(V ) ´e fechado. Logo h ´e cont´ınua.
Teorema A.1.1. Os resultados seguintes s˜ao v´alidos:
(a) Equivalˆencia de caminhos ´e uma re l a¸c˜ao de equivalˆencia so b re o conjunto
dos caminhos n um espa¸co X.
(b) Equivalˆencia de la¸cos ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre o conjunto dos
la¸cos em X com ponto base x
0
.
Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundament al 68
Demonstra¸c˜ao: Provemos o item (b). Considere o conjunto dos la¸cos
em X tendo como ponto base x
0
. Qualquer la¸co ´e equivalente a ele mesmo
pela homotopia F (t, s) = α(t), (t, s) ∈ I ×I. Ent˜ao a rela¸c˜a o ∼
x
0
´e reflexiva.
Suponhamos α ∼
x
0
β. Assim existe uma homotopia H : I × I −→ X tal que
H(·, 0) = α, H(·, 1) = β, H(0, s) = H(1, s) = x
0
, s ∈ I.
Ent˜ao a homotopia
¯
H(t, s) := H(t, 1 −s), (t, s) ∈ I ×I mostra que β ∼
x
0
α.
Pois,
¯
H(·, 0) = H(·, 1) = β,
¯
H(·, 1) = H(·, 0) = α
¯
H(0, s) = H(0, 1 − s) = H(1, 1 − s) =
¯
H(1, s) = x
0
, ∀s ∈ I.
Logo a equiva lˆencia de la¸cos ´e uma rela¸c˜ao sim´etrica.
Admita ag ora que os la¸cos α, β e γ s˜ao tais que α ∼
x
0
β e β ∼
x
0
γ. Ent˜ao
existem homotopias H e K tais que
H : I × I → X; K : I × I → X;
H(·, 0) = α, K(·, 0) = β,
H(·, 1) = β, K(·, 1) = γ,
H(0, s) = H(1, s) = x
0
, K(0, s) = K(1, s) = x
0
.
A homotopia desejada L : I × I → X ´e ent˜ao definida por
L(t, s) =
H(t, 2s), se 0 ≤ s ≤
1
2
K(t, 2s −1), se
1
2
≤ s ≤ 1.
Assim
L(·, 0) = H(·, 0) = α, L(·, 1) = K(·, 1) = γ.
L(0, s) =
H(0, 2s) = x
0
, 0 ≤ s ≤
1
2
K(0, 2s − 1) = x
0
,
1
2
≤ s ≤ 1.
L(1, s) =
H(1, 2s) = x
0
, 0 ≤ s ≤
1
2
K(1, 2s − 1) = x
0
,
1
2
≤ s ≤ 1.
A continuidade de L segue do Lema da Colagem (A.1.1) com A = [0 ,
1
2
] e
B = [
1
2
, 1]. Assim α ∼
x
0
γ, logo ∼
x
0
´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.
Defini¸c˜ao A.1.3. Se α e β s˜ao cam i nhos em X com α(1) = β(0), ent˜ao o
caminho produto α ∗ β ´e definido por
(α ∗ β)(t) =
α(2t), se 0 ≤ t ≤
1
2
β(2t − 1), se
1
2
≤ t ≤ 1.
Observemos que a continuidade de α ∗ β ´e uma consequˆencia imediata do
Lema da Continuidade (A.1.1). Pensando na vari´avel t como tempo, um cami-
Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundament al 69
nho α em X ( ou melhor o seu tra¸co) pode ser pensado como o deslocamento
de um ponto come¸cando em α(0) e tra¸cando um caminho cont´ınuo at´e α(1).
Um produto α ∗β ´e ent˜ao visualizado como segue: o ponto que se movimenta
come¸ca em α(0) e percorre o caminho α com o dobro da velocidade normal e
chega em α(1) quando t =
1
2
. O ponto ent˜ao percorre o caminho β com o dobro
da velocidade normal e chega em β(1) no tempo t = 1. Note que a condi¸c˜ao
α(0) = β(1) ´e necess´aria para que o produto de caminhos seja cont´ınuo.
Lema A.1.2. Suponha que α, α
′
, β e β
′
s˜ao la¸co s num espa¸co X, todos com
ponto base x
0
e satisfazendo as re l a¸c˜oes α ∼
x
0
α
′
e β ∼
x
0
β
′
. Ent˜ao o produto
α ∗ β e α
′
∗ β
′
s˜ao homot´opicos, m´odulo x
0
.
Demonstra¸c˜ao: Temos que α, α
′
, β, β
′
: I −→ X com α ∼
x
0
α
′
e
β ∼
x
0
β
′
. Ent˜ao existem homotopias H e K tais que
H : I × I → X; K : I × I → X;
H(·, 0) = α, H(·, 1) = α
′
, K(·, 0) = β, K(·, 1) = β
′
,
H(0, s) = H(1, s) = x
0
, K(0, s) = K(1, s) = x
0
.
Agora queremos uma homotopia entre α ∗ β e α
′
∗ β
′
. Tome L : I × I −→ X
definida por
L(t, s) =
H(2t, s), 0 ≤ t ≤
1
2
K(2t − 1, s),
1
2
≤ t ≤ 1.
Temos ent˜ao que
L(t, 0) =
H(2t, 0), 0 ≤ t ≤
1
2
K(2t − 1, 0),
1
2
≤ t ≤ 1
=
α(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
β(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1
= (α∗β)(t),
e
L(t, 1) =
H(2t, 1), 0 ≤ t ≤
1
2
K(2t − 1, 1),
1
2
≤ t ≤ 1
=
α
′
(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
β
′
(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1
= (α
′
∗β
′
)(t).
Defini¸c˜ao A.1.4. Considere a fam´ılia de la¸cos em X com ponto bas e x
0
. Ho-
motopia m´odulo x
0
´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia nesta fam´ılia e al´em disso
a particiona em classes de equivalˆencias disjuntas. D enote por [α] a classe
de equivalˆencia determinada pelo la¸co α. A classe [α] ´e chamada a classe de
homotopia de α. O conjunto de tais classes ´e denotado por π
1
(X, x
0
). Se [α]
Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundament al 70
e [β] pertencem `a π
1
(X, x
0
) ent˜ao o prod uto [α] ◦ [β] ´e definido como segue:
[α] ◦ [β] = [α ∗ β],
onde α ∗ β i ndica o produto de caminhos. O lema anterior assegura que o
produto ◦ est´a bem definido em π
1
(X, x
0
), e o teore ma seguinte mo stra que
π
1
(X, x
0
) ´e um grupo com a opera¸c˜ao ◦. Tal grupo ´e chamado o grupo funda-
mental de X em x
0
, ou o primeiro grupo de homotopia de X em x
0
, ou ainda
o grupo de Poincar´e de X em x
0
.
Teorema A.1.2. O conjunto π
1
(X, x
0
) ´e um grupo com a opera¸c˜ao ◦.
Demonstra¸c˜ao: Para mostrar que π
1
(X, x
0
) ´e um g r upo temos que mos-
trar que: existe um la¸co c para o qual a sua classe [c] ´e o elemento neutro para
a opera¸c˜ao ◦, que todo elemento [α] tem um sim´etrico, a saber [˜α] = [α]
−1
,
e que a multiplica¸c˜ao ◦ ´e associativa . Vamos provar cada uma dessas propri-
edades separadamente, atrav´es dos trˆes lemas seguintes (lemas (A), (B) e
(C)).
Lema A.1.3. (A) π
1
(X, x
0
) tem um elem ento neutro [c] onde c ´e o la¸co
constante cujo ´unico v alor ´e x
0
.
Demonstra¸c˜ao: O la¸co constante c ´e definido por c(t) = x
0
, t ∈ I. Se α
´e um la¸co em X baseado em x
0
, ent˜ao
(c ∗ α)(t) =
x
0
, 0 ≤ t ≤
1
2
α(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1.
Mostrar que [c ∗ α] = [α], requer uma ho motopia H : I × I −→ X tal que
H(·, 0) = c ∗ α, H(·, 1) = α,
H(0, s) = H(1, s) = x
0
, s ∈ I.
Definindo
H(t, s) =
x
0
, 0 ≤ t ≤
1−s
2
α(
2t + s − 1
s + 1
),
1−s
2
≤ t ≤ 1,
Podemos ver que H satisfaz as condi¸c˜oes da homotopia desejada pois
H(t, 0) =
x
0
, 0 ≤ t ≤
1
2
α(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1.
= (c ∗ α)(t),
H(t, 1) =
x
0
, t = 0
α(t), 0 ≤ t ≤ 1,
= α(t),
Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundament al 71
e H(0 , s) = x
0
, H(1, s) = α(1) = x
0
.
Ainda, H ´e cont´ınua pelo Lema da Continuidade (A.1.1) visto que
2t + s −1
s + 1
´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua de (t, s) e as duas partes da defini¸c˜ao de H coin-
cidem quando t =
1 − s
2
. Provamos ent˜ao que se [α] ∈ π
1
(X, x
0
), ent˜ao
[c] ◦[α] = [c ∗α] = [α]. Logo [c] ´e um elemento neutro `a esquerda de π
1
(X, x
0
).
Observemos que para obter a homotopia H, determinamos a equa¸c˜a o da reta
que passa pelos pontos (
1
2
, 0) e (0, 1), obtendo s = 1 −2t ou t =
1 − s
2
e assim
para s fixado, o ponto (
1 − s
2
, s).
Consideramos ent˜ao a aplica¸c˜ao
[0,
1−s
2
] → X
t → x
0
e a composta
[
1−s
2
, 1] −→ [0, 1] −→ X
t →
2t + s − 1
s + 1
→ α(
2t + s − 1
s + 1
),
de acordo com o diagrama mostrado na figura seguinte:
Par a ver que [c] ´e tamb´em um elemento neutro `a direita, isto ´e, que [α∗c] =
[α] considere a homotopia definida por
H
′
(t, s) =
α(
2t
s + 1
), 0 ≤ t ≤
s+1
2
x
0
,
s+1
2
≤ t ≤ 1.
Par a obter H
′
, consideramos as aplica¸c˜oes
[0,
s+1
2
] −→ [0, 1] −→ X
t →
2t
s + 1
→ α(
2t
s + 1
)
Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundament al 72
e
[
s+1
2
, 1] → X
t → x
0
.
Das afirma¸c˜oes anteriores concluimos que [c] ´e o elemento neutro para a opera¸c˜ao
◦ em π
1
(X, x
0
).
Lema A.1.4. (B) Para cada classe de homotopia [α] em π
1
(X, x
0
), o inverso
de [α] com respeito `a opera¸c˜ao ◦ e o ele mento neutro [c] ´e a classe [α
−1
] o nde
α
−1
indica o caminho inverso (ou reverso) de α, α
−1
(t) := α(1 − t), t ∈ I.
Demonstra¸c˜ao: O caminho α
−1
(t) = α(1 − t) (comumente chamado o
inverso ou o reverso do caminho α) inicia em α(1) = x
0
e percorre a mesma
“rota”de α, por´em no sentido cont r ´ario. Temos que provar que [α] ◦ [α
−1
] =
[c] = [α
−1
] ◦ [α] , ou seja, α ∗ α
−1
∼ c ∼ α
−1
∗ α. Vejamos primeiro que
c ∼ α ∗α
−1
. Note que
(α ∗ α
−1
)(t) =
α(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
α(2 − 2t),
1
2
≤ t ≤ 1.
Grosseiramente falando, a homotopia H a ser definida ser´a tal que, fixado
s ∈ [0, 1]:
• para t ∈ [0,
s
2
], o caminho H
s
(t) := H(t, s) parte de α(0) = x
0
e vai, via α,
at´e α(s),
• para t ∈ [
s
2
, 1 −
s
2
], o caminho fica “estacionado” em α(s) e,
• para t ∈ [1 −
s
2
, 1] o caminho H
s
(t)“parte de α(s) = α
−1
(1 − s) e vai, via
α
−1
, at´e α
−1
(1) = x
0
”.
Assim, para s ∈ [0, 1] temos que considerar as aplica¸c˜oes:
[0,
s
2
] −→ [0, s] −→ X
t → 2 t → α(2t)
[
s
2
, 1 −
s
2
] −→ {s} −→ X
t → s → α(s)
[1 −
s
2
, 1] −→ [1 − s, 1] −→ X
t → 2 t −1 → α
−1
(2t − 1)
Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundament al 73
A homotopia ´e ent˜ao definida por
H(t, s) =
α(2t), 0 ≤ t ≤
s
2
α(s),
s
2
≤ t ≤ 1 −
s
2
α
−1
(2t − 1), 1 −
s
2
≤ t ≤ 1,
Pelo Lema da Continuidade(A.1.1) H ´e cont´ınua, e temos
H(t, 0) =
α(2t), 0 ≤ t ≤ 0
α(0) = x
0
, 0 ≤ t ≤ 1
α
−1
(2t − 1), 1 ≤ t ≤ 1
=
α(0) = x
0
,
α(0) = x
0
,
α
−1
(1) = x
0
,
= c(t), ∀t,
H(t, 1) =
α(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
α(1), t =
1
2
α
−1
(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1.
= (α ∗ α
−1
)(t),
e H(0, s) = α(0) = x
0
, H(1, s) = α
−1
(1) = x
0
.
Logo c ∼ α ∗ α
−1
, ou seja, [c] = [α ∗ α
−1
] = [α] ◦ [α
−1
].
Analogamente, tomando o homotopia H
′
: I × I −→ X definida por
H
′
(t, s) =
α
−1
(2t), 0 ≤ t ≤
s
2
α
−1
(s),
s
2
≤ t ≤ 1 −
s
2
α(2t − 1), 1 −
s
2
≤ t ≤ 1,
temos que c ∼ α
−1
∗ α, isto ´e [c] = [α
−1
∗ α] = [α
−1
] ◦ [α]. Portanto a classe
[α
−1
] ´e o elemento sim´etrico de [α] em π
1
(X, x
0
).
Lema A.1.5. ( C) A opera¸c˜a o ◦ ´e associativa.
Demonstra¸c˜ao: Sejam [α], [β] e [γ] membros de π
1
(X, x
0
). Queremos
prova r que ( [α] ◦[β]) ◦[γ] = [α] ◦([β] ◦[γ]), ou equivalentemente, [(α ∗β) ∗γ] =
[α ∗ (β ∗ γ)].
Sabemos que
((α ∗ β) ∗ γ)(t) =
(α ∗ β)(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
γ(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1
=
α(4t), 0 ≤ t ≤
1
4
β(4t − 1),
1
4
≤ t ≤
1
2
γ(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1,
Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundament al 74
α
α
β
β
γ
γ
(
1
4
, 0)
(
1
2
, 0) (1, 0) t
(0, 1)
(α∗(β∗γ))(t) =
α(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
(β ∗ γ)(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1
=
α(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
β(4t − 2),
1
2
≤ t ≤
3
4
γ(4t − 3),
3
4
≤ t ≤ 1.
Par a um s fixo, consideremos a s aplica¸c˜oes
[0,
s+1
4
] −→ [0, 1] −→ X
t →
4t
s + 1
→ α(
4t
s + 1
)
[
s+1
4
,
s+2
4
] −→ [0, 1] −→ X
t → 4t − (s + 1) → β(4t − (s + 1))
[
s+2
4
, 1] −→ [0, 1] −→ X
t →
4t − (s + 2)
2 − s
→ γ(
4t − (s + 2)
2 − s
)
Defina ent˜ao H : I × I −→ X por
H(t, s) =
α(
4t
s + 1
), 0 ≤ t ≤
s+1
4
β(4t − (s + 1)),
s+1
4
≤ t ≤
s+2
4
γ(
4t − (s + 2)
2 − s
),
s+2
4
≤ t ≤ 1.
Temos que H ´e cont´ınua e satisfaz
H(t, 0) =
α(4t), 0 ≤ t ≤
1
4
β(4t + 1),
1
4
≤ t ≤
1
2
γ(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1.
= ((α ∗ β) ∗ γ)(t),
Caminhos Homot´opicos e o Grupo Fundament al 75
H(t, 1) =
α(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
β(4t − 2),
1
2
≤ t ≤
3
4
γ(
4t − 3
3
),
3
4
≤ t ≤ 1.
= (α ∗ (β ∗ γ))(t),
e H(0, s) = α(0) = x
0
, H(1, s) = γ(1) = x
0
.
Logo ((α ∗ β) ∗ γ) ∼ (α ∗ (β ∗ γ)). Isto completa a prova que ◦ ´e associativa e
prova finalmente que (π
1
(X, x
0
), ◦) ´e um grupo, como afirmado.
Defini¸c˜ao A.1.5. Um espa¸co X ´e conexo por ca minhos se cada pa r de pontos
de X pode ser ligado po r um caminho. Em outras pa l avras, se x
0
e x
1
s˜ao
pontos em X ent˜ao exis te um caminho em X com ponto inicial x
0
e ponto
final x
1
.
O resultado seguinte nos mostra que o grupo fundamental de um espa¸co
conexo por caminhos independe do ponto base.
Teorema A.1.3. Se um espa¸co X ´e cone x o por ca minhos e x
0
e x
1
s˜ao pontos
de X, ent˜ao os grupos π
1
(X, x
0
) e π
1
(X, x
1
) s˜ao isomorfos.
Demonstra¸c˜ao: Seja ρ : I −→ X um caminho tal que ρ(0) = x
0
e
ρ(1) = x
1
. Se α ´e um la¸co baseado em x
0
, ent˜ao (ρ
−1
∗ α) ∗ ρ ´e um la¸co
baseado em x
1
onde ρ
−1
denota o caminho reverso de ρ:
ρ
−1
(t) = ρ(1 − t), 0 ≤ t ≤ 1.
Definimos uma aplica¸c˜ao P : π
1
(X, x
0
) −→ π
1
(X, x
1
) por P ([α]) =
[(ρ
−1
∗ α) ∗ ρ], [α] ∈ π
1
(X, x
0
). Pode-se verificar que a imagem de uma
classe [α] em π
1
(X, x
0
) ´e independente da escolha do caminho α que repre-
senta a classe, e ent˜ao P est´a bem definida. Para mostrarmos que P ´e um
isomorfismo algumas observa¸c˜oes s˜ao necess´arias. Primeiro: O Lema (B ) mos-
tra que [ρ ∗ ρ
−1
] e [ρ
−1
∗ ρ] s˜ao o s element os neutros de π
1
(X, x
0
) e π
1
(X, x
1
),
respectivamente. Segundo: O Lema (C) pode ser facilmente modificado par a
mostrar que quaisquer caminhos (n˜ao necessariamente fechados) α, β, γ, para
os quais (α ∗β) ∗γ e α ∗(β ∗γ) est˜ao definidos, os produtos triplos indicados
s˜ao equivalentes. Assim em [(ρ
−1
∗α)∗ρ], podemos ignorar o parˆentese interior
e simplesmente escrever [ρ
−1
∗α ∗ρ], j´a que a classe de equivalˆencia ´e a mesma
independente do modo em que os termos do produto s˜ao associados. Agora
considere [α] e [β] em π
1
(X, x
0
), ent˜ao
P ([α] ◦ [β]) = P ([α ∗ β]) = [ρ
−1
∗ α ∗ β ∗ ρ] = [ρ
−1
∗ α ∗ ρ ∗ ρ
−1
∗ β ∗ ρ]
= [ρ
−1
∗ α ∗ ρ] ◦ [ρ
−1
∗ β ∗ ρ] = P ([α]) ◦ P ([β]).
O Grupo Fundamental de S
1
76
Logo P ´e homomorfismo. Agora, a aplica¸c˜ao Q : π
1
(X, x
1
) −→ π
1
(X, x
0
)
definida por Q([σ]) = [ρ ∗ σ ∗ ρ
−1
], [σ] ∈ π
1
(X, x
1
) ´e a inversa de P . De fato,
para [α] ∈ π
1
(X, x
0
), Q(P ([α])) = Q([ρ
−1
∗ α ∗ ρ]) = [ρ ∗ ρ
−1
∗ α ∗ ρ ∗ ρ
−1
] =
[ρ ∗ρ
−1
] ◦[α] ◦[ρ ∗ρ
−1
] = [α]. Ent˜ao a composta Q ◦P ´e a aplica¸c˜ao identidade
sobre π
1
(X, x
0
), e por simetria, observamos que a composta P ◦Q ´e a identidade
sobre π
1
(X, x
1
). Logo os grupos fundamentais indicados s˜ao isomorfos.
Por causa do teorema anterior, a men¸c˜ao `a um ponto base para o grupo
fundamental de um espa¸co conexo por caminhos ´e, `as vezes, omitida. Vamos
em geral nos referir a o “grupo fundamental de X” e escrever π
1
(X) quando
X for conexo por caminhos, j´a que o mesmo grupo abstrato ser´a obtido inde-
pendente da escolha do ponto base. O teorema n˜ao garante, no entanto, que
o isomorfismo entre π
1
(X, x
0
) e π
1
(X, x
1
) ´e ´unico; caminhos diferentes podem
conduzir `a isomorfismos diferentes. H´a situa¸c˜oes em que ´e importante esp ecifi-
car o ponto base. Quando comparamos, por exemplo, grupos fundamentais de
dois espa¸cos X e Y atrav´es uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : X −→ Y , ´e necess´ario
especificar o ponto base de cada espa¸co.
A.2 O Grupo Fu ndamental de S
1
Esta se¸c˜a o ´e dedicada a determinar o grupo fundamental do c´ırculo unit´ario.
Ser´a conveniente considerar o c´ırculo unit´ario S
1
como um subconjunto do
plano complexo. Vamos considerar R
2
como o conjunto de todos os complexos
x = x
1
+ ix
2
, onde i =
√
−1. Assim S
1
= { x + yi; x
2
+ y
2
= 1 } . Considere a
aplica¸c˜ao p : R −→ S
1
definida por
p(t) = exp(2πit), t ∈ R.
Aqui exp denota a aplica¸c˜ao exponencial no plano complexo. Em particular,
se t ∈ R, ent˜ao
exp(2πit) = cos(2πt) + i(sen(2πt)).
Note que p leva cada inteiro n ∈ R em 1 ∈ S
1
e envolve cada intervalo
[n, n + 1) exatamente uma vez em torno de S
1
no sentido anti-hor´ario.
Defini¸c˜ao A.2.1. Se σ : I −→ S
1
´e um caminho, ent˜ao um cam i nho ˜σ :
I −→ R tal que p ◦ ˜σ = σ ´e chamad o um levantamento do caminho σ para
a reta real R. Se F : I × I −→ R ´e uma homotopia, ent˜ao uma homotopia
˜
F : I × I −→ R tal que p ◦
˜
F = F , ´e chamad a um l e vantamento de F .
O Grupo Fundamental de S
1
77
Teorema A.2.1. (Propriedade do Levantam ento de Caminho s ) Se σ : I −→
S
1
´e um caminho em S
1
com ponto inicial 1, ent˜a o existe um ´unico levanta-
mento ˜σ : I −→ R tal que o ponto inicia l ´e 0.
Demonstra¸c˜ao: Seja U
1
o ar co aberto em S
1
come¸cando em 1 e cami-
nhando no sentido anti-hor´ario at´e −i, e seja U
2
o arco aberto de -1 at´e i, no
sentido anti-hor´ario, como mostra a figura.
U
1
1
−i
−1
i
U
2
Ent˜ao U
1
e U
2
s˜ao conjuntos abertos em S
1
, U
1
∪U
2
= S
1
e
p
−1
(U
1
) =
∞
n=−∞
(n, n +
3
4
), p
−1
(U
2
) =
∞
n=−∞
(n −
1
2
, n +
1
4
).
Note que p leva cada intervalo (n, n +
3
4
) homeomorficamente sobre U
1
e
cada intervalo (n −
1
2
, n +
1
4
) homeomorficamente sobre U
2
.
Daremos uma id´eia intuitiva da prova. Subdivida o dom´ınio do caminho
σ em se¸c˜oes tais que cada se¸c˜ao est´a contida em U
1
ou U
2
. Se uma se¸c˜ao
particular est´a contida em U
1
, escolhemos um do s intervalos V = (n, n +
3
4
)
e consideramos a restri¸c˜ao p |
V
. A composi¸c˜a o de (p |
V
)
−1
com esta se¸c˜ao do
caminho “levanta”a se¸c˜ao para uma se¸c˜ao de um caminho em R. O mesmo
m´etodo se aplica para se¸c˜oes que est˜a o em U
2
. Para ga rantir a continuidade n´os
precisamos ter cuidado para que o ponto inicial de uma dada se¸c˜ao levantada
seja o ponto final da se¸c˜ao levantada anteriormente.
Este m´etodo ´e aplicado indutivamente como segue. Seja ε o n´umero de
Lebesgue para uma cobertura aberta {σ
−1
(U
1
), σ
−1
(U
2
)} de I. Escolha uma
seq¨uˆencia 0 = t
0
< t
1
< . . . < t
n
= 1 de n´umeros em I tal que cada par suces-
sivo difere de pelo menos ε. Ent˜ao a imagem σ([t
i
, t
i+1
]) de um subintervalo
[t
i
, t
i+1
], 0 ≤ i ≤ n − 1, deve estar contido em U
1
ou U
2
.
Agora, σ([t
0
, t
1
]) deve estar contido em U
2
pois σ(t
0
) = σ(0) = 1 ∈ U
1
. Seja
V
1
= (−
1
2
,
1
4
) e defina ˜σ em [t
0
, t
1
] por
˜σ(t) = (p |
V
1
)
−1
σ(t).
O Grupo Fundamental de S
1
78
Procedendo indutivamente, suponha que σ foi definido sobre o intervalo
[t
0
, t
k
]. Ent˜ao σ([t
k
, t
k+1
]) ⊂ U onde U est´a em U
1
ou U
2
. Seja V
k+1
a com-
ponente de p
−1
(U) onde ˜σ(t
k
) pertence. Note que V
k+1
´e um dos intervalos
(n, n +
3
4
) ou (n −
1
2
, n +
1
4
). Ent˜a o p |
V
k+1
´e um homeomorfismo, e a extens˜ao
de ˜σ para [t
k
, t
k+1
] ´e obtida definindo
˜σ(t) = (p |
V
k+1
)
−1
(σ(t)), t ∈ [t
k
, t
k+1
].
A cont inuidade de ˜σ ´e gara ntida pelo Lema da Continuidade pois as se¸c˜o es
levantadas concordam nos pont os finais t
k
. Esse passo indutivo estende a
defini¸c˜ao de ˜σ para [t
0
, t
n
] = I.
Par a provar que ˜σ ´e um levantamento ´unico suponha que σ
′
tamb´em satisfaz
p ◦ σ
′
= σ, e σ
′
(0) = 0. Ent˜ao o caminho ˜σ − σ
′
tem ponto inicial 0 e
p(˜σ(t) − σ
′
(t)) = p(˜σ(t))/p(σ
′
(t)) = σ(t)/σ(t) = 1, t ∈ I,
ent˜ao ˜σ − σ
′
´e um levantamento do caminho constante cujo ´unico valo r ´e 1.
Como p aplica somente inteiros para 1, ent˜ao ˜σ−σ tem somente valores inteiros.
Assim, como I ´e conexo, ˜σ −σ
′
pode ter somente um valor inteiro. Este ´unico
va lor deve ser um valo r inicial, 0. Al´em disso, ˜σ − σ
′
= 0 , assim ˜σ = σ
′
. O
requerido levantamento ˜σ ´e ent˜ao ´unico.
Corol´ario A.2.1. (Propriedade do Levantamento de Caminho Generalizada)
Se σ ´e um caminho em S
1
e r ´e um n´umero real tal que p(r) = σ(0), ent˜ao
existe um ´unico levantamento ˜σ de σ com ponto inicial r.
Demonstra¸c˜ao: O caminho σ/σ(0) ´e um caminho em S
1
com ponto inicial
σ(0)/σ(0) = 1 e al´em disso tem um ´unico levantamento η com ponto inicial
0. O caminho ˜σ : I −→ R definido por ˜σ(t) = r + η(t), t ∈ I, ´e o requerido
levantamento de σ com ponto inicial r. A unicidade de ˜σ segue da unicidade
de η.
Proposi¸c˜ao A .2.1. (Prop riedade do Levantamento de Homotopia)
Se F : I × I −→ S
1
´e uma homotopia tal que F (0, 0) = 1, ent˜ao ex i s te um
´unico levantamento de homotopia
˜
F : I ×I −→ R tal que
˜
F (0, 0 ) = 0.
Demonstra¸c˜ao: A prova ´e similar `a do teorema anterior.
Defini¸c˜ao A.2.2. Seja α um la¸co em S
1
com ponto inicial 1. A prop riedade
do levantamento de caminho garante que existe exatamente um levantamen to
O Grupo Fundamental de S
1
79
˜α de α com ponto inicial 0. Como,
1 = α(1) = p(˜α(1)) = exp(2πi˜α(1)),
ent˜a o ˜α(1) ´e um inteiro. Este inteiro ´e chamado o grau do la¸co α.
Proposi¸c˜ao A.2.2. Dois la¸cos α e β em S
1
com pontos bases 1, s˜ao equiva-
lentes se, e somente se, eles tˆem o mesm o grau.
Demonstra¸c˜ao: Sejam ˜α e
˜
β os levantamentos de α e β, respectivamente,
tendo ponto inicial 0 em R. Suponha primeiro que α e β tˆem o mesmo grau
ent˜ao ˜α(1) =
˜
β(1). Defina uma homotopia H : I ×I −→ R por
H(t, s) = (1 − s)˜α(t) + s
˜
β(t), (t, s) ∈ I × I.
Ent˜ao H demonstra a equivalˆencia de ˜α e
˜
β como caminhos em R. Note,
em particular, que H(1, s) ´e o g rau comum de α e β para cada s em I. A
homotopia
p ◦ H : I × I −→ S
1
mostra a equivalˆencia de α e β como la¸cos em S
1
.
Suponha agora que α e β s˜ao la¸cos equivalentes em S
1
e que K : I×I −→ S
1
´e uma homotopia tal que
K(·, 0) = α, K(·, 1) = β, K(0, s) = K(1, s) = 1, s ∈ I.
Pela propriedade do levantamento de homotopia existe
˜
K : I × I −→ R tal
que
˜
K(0, 0) = 0 e p ◦
˜
K = K. Ent˜ao (p ◦
˜
K)( 0 , s) = K(0, s) = 1, s ∈ I.
Segue que
˜
K(0, s) ´e um inteiro para cada valor de s. Como I ´e conexo,
˜
K(0, ·)
tem somente o valor
˜
K(0, 0) = 0. Um argumento similar mostra que
˜
K(1, ·) ´e
uma aplica¸c˜ao constante. Como (p ◦
˜
K)(·, 0) = K(·, 0) = α e (p ◦
˜
K)(·, 1) =
K(·, 1) = β ent˜ao
˜
K(·, 0) = ˜α e
˜
K(·, 1) =
˜
β s˜ao os ´unicos levantamentos de α
e β, respectivamente, com ponto inicial 0. Assim
grau(α) = ˜α(1) =
˜
K(1, 0) =
˜
K(1, 1) =
˜
β(1) = grau(β),
e portanto α e β tˆem o mesmo grau.
Teorema A.2.2. O grupo fundamental π
1
(S
1
) ´e isomorfo ao grupo aditivo Z
dos inteiros .
Demonstra¸c˜ao: Considere π
1
(S
1
, 1), e defina a aplica¸c˜ao
deg : π
1
(S
1
, 1) −→ Z; [α] → deg([α]) := grau(α).
A proposi¸c˜ao anterior garante que deg est´a bem definida e ´e injetora. Vejamos
que deg leva π
1
(S
1
, 1) sobre Z. Seja n um inteiro. O la¸co γ em S
1
definido
por γ(t) = exp(2πint) ´e coberto p elo caminho t → nt, t ∈ I, e al´em disso
tem grau n. Ent˜ao deg([γ]) = n. Suponha que [α] e [β] est˜ao em π
1
(S
1
, 1).
Homomorfismo Induzido e Equivalˆencia de Homotopia 80
Mostremos agora que deg([α]◦[β]) = deg([α])+deg([β]). Se ˜α e
˜
β s˜ao os ´unicos
levantamentos de [α] e [β] que come¸cam em 0, ent˜ao o caminho f : I −→ R
definido por
f(t) =
˜α(2t), 0 ≤ t ≤
1
2
˜α(1) +
˜
β(2t − 1),
1
2
≤ t ≤ 1
´e o levantamento de α ∗ β com ponto inicial 0. Assim grau(α ∗ β) = f(1) =
˜α(1) +
˜
β(1) = grau(α) + grau(β), e portanto,
deg( [α] ◦ [β]) = grau( α ∗ β) = grau(α) + grau(β) = deg([α]) + deg([β]).
A.3 Homomorfismo Induzido e Equivalˆencia
de Homotopia
Nesta se¸c˜ao estudaremos inicialmente o efeito, no grupo fundamental, de uma
aplica¸c˜ao cont´ınua entre dois espa¸cos. Veremos tamb´em que o grupo funda-
mental ´e um invariante topol´ogico. A seguir examinaremos uma rela¸c˜ao de
equivalˆencia para espa¸cos topol´ogicos que foi introduzida p or Hurewicz em
1936. Tal rela¸c˜ao ´e mais fr aca do que homeomorfismo, mas forte o suficiente
para garantir que espa¸cos equivalentes tˆem grupos fundamentais isomorfos.
Defini¸c˜ao A.3.1. Dados X e Y espa¸cos, x
0
∈ X, y
0
∈ Y , e f : X → Y
uma aplica¸c ˜ao cont´ınua tal que f(x
0
) = y
0
. Ent˜ao f induz uma aplica¸c˜ao bem
definida f
#
: π
1
(X, x
0
) → π
1
(Y, y
0
) dada por f
#
([α]) = [f ◦ α], que ´e um
homomorfismo . Tal homomorfis mo ´e chama do hom omorfismo induzido pe l a
aplica¸c˜ao f em π
1
.
Par a verificar que f
#
est´a bem definida, temos que mostrar que α ∼ β
implica f ◦ α ∼ f ◦ β. Mas de α ∼ β, segue que existe uma homotopia
H : I × I → X entre α e β, relativamente a x
0
. Definimos ent˜ao a aplica¸c˜ao
K : I ×I → Y por K = f ◦H. Claramente K ´e uma homotopia entr e f ◦ α e
f ◦ β relativamente a f (x
0
). Logo f
#
est´a bem definida. Al´em disso f
#
´e um
homomorfismo de grupos. De fato, temos que
(f ◦(α ∗β))(t) =
(f ◦ α)(2t), se 0 ≤ t ≤
1
2
(f ◦ β)(2t − 1), se
1
2
≤ t ≤ 1
= (f ◦α)∗(f ◦β)(t).
e se [α], [β] ∈ π
1
(X, x
0
) ent˜ao f
#
([α] ◦ [β]) = f
#
([α ∗ β]) = [f ◦ (α ∗ β)] =
Homomorfismo Induzido e Equivalˆencia de Homotopia 81
[(f ◦ α) ∗ (f ◦ β)] = [f ◦ α] ◦ [f ◦ β] = f
#
([α]) ◦ f
#
([β]), o que prova que f
#
´e
realmente um homomorfismo.
Proposi¸c˜ao A .3.1. a) Se f : (X, x
0
) −→ (X, x
0
) ´e a aplica¸c˜ao identidade,
isto ´e, f = id
X
, ent˜ao f
♯
= id
π
1
(X,x
0
)
.
b) Se f : (X, x
0
) −→ (Y, y
0
) e g : (Y, y
0
) −→ (Z, z
0
) s˜ao aplica¸c˜oe s cont´ınuas
sobre os pares indicados , ent˜ao o homomorfi s mo induzido (g ◦ f)
♯
´e o
homomorfismo composto g
♯
◦ f
♯
: π
1
(X, x
0
) −→ π
1
(Z, z
0
).
c) (Invariˆancia Topol´ogica) Se h : (X, x
0
) −→ (Y, y
0
) ´e um hom eomorfismo
ent˜a o o homomorfismo induzido por h, h
♯
: π
1
(X, x
0
) −→ π
1
(Y, y
0
) ´e um
isomorfismo.
Demonstra¸c˜ao:
a) Se [α] ∈ π
1
(X, x
0
), ent˜ao (id
X
)
♯
([α]) = [id
X
◦ α] = [α] = id
π
1
(X,x
0
)
([α])
b) Seja [α] ∈ π
1
(X, x
0
), ent˜a o (g ◦ f)
♯
([α]) = [(g ◦ f )(α)] = [g ◦ (f ◦ α)] =
g
♯
([f ◦ α]) = g
♯
(f
♯
([α])) = (g
♯
◦ f
♯
)([α]). Assim, (g ◦ f)
♯
= g
♯
◦ f
♯
.
c) Supo nha que h : (X, x
0
) −→ (Y, y
0
) seja um homeomorfismo e considere
h
−1
: (Y, y
0
) −→ (X, x
0
) a inversa de h. Ent ˜ao para [α] em π
1
(X, x
0
)
temos,
((h
−1
)
♯
◦h
♯
)([α]) = ((h
−1
) ◦ h)
♯
([α]) = (id
X
)
♯
([α]) = id
π
1
(X,x
0
)
([α]) = [α].
Similarmente, para [α] ∈ π
1
(Y, y
0
) temos (h
♯
◦(h
−1
)
♯
)([α]) = id
π
1
(Y,y
0
)
([α]).
Logo, (h
♯
)
−1
= (h
−1
)
♯
.
Antes de definirmos espa¸cos homotopicamente equivalentes ou espa¸cos com
mesmo tipo de homotopia, apresentamos o conceito seguinte que ´e uma ex-
tens˜ao natural do conceito de homotopia de caminhos.
Defini¸c˜ao A.3.2. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos e f e g a plica¸c˜oes cont´ınuas
de X em Y , dizemos que f ´e homot´opica a g relativamente a um subconjunto
A ⊂ X se existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua H : X × [0, 1] → Y tal que para
todo x ∈ X, temos H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x), para todo x ∈ X e
H(a, t) = f(a) = g(a), ∀ a ∈ A e ∀ t ∈ [0, 1]. A aplica¸c˜ao H ´e chamada uma
homotopia entre f e g. Denota-se f ∼ g para indicar que f ´e homot´opica a g.
Homomorfismo Induzido e Equivalˆencia de Homotopia 82
Observa¸c˜ao A.3.1. Q uando na segunda condi¸c˜a o tivermos A = ∅, dizemos
que f e g s˜ao livremente homot´opicas ou apenas homot´opicas.
Defini¸c˜ao A.3.3. Sejam X e Y espa¸cos topo l ´og i cos. Dizemos que X e Y
s˜ao homotopicamente equivalentes, ou tˆem o mesmo tipo de homotopia, se
existem aplica¸c˜oes co nt´ınuas f : X −→ Y e g : Y −→ X para as quais as
compostas g ◦f e f ◦g s˜ao h omot´opicas `a s aplica¸c ˜oe s identida des s o bre X e Y,
respectivamente. A aplica¸c˜ao f ´e chamada uma equiva lˆencia de homotopia, e
g ´e chamada a inversa ho mot´op i ca para f. Escreve-se X ≡ Y ou X ∼ Y para
indicar que X e Y s˜ao homotopicamente equivalentes.
Exemplo A.3.1. Espa¸cos homeomorfo s s˜ao claramente homotopicamente equi-
valentes.
Proposi¸c˜ao A.3.2. A rela¸c˜ao “X ´e ho motopicamente equivale nte `a Y” ´e uma
rela¸c˜ao de eq uiva lˆencia para espa¸cos topol´ogicos.
Demonstra¸c˜ao: A rela¸c˜ao ´e reflexiva p ois a aplica¸c˜ao ident idade sobre
qualquer espa¸co X ´e uma equivalˆencia de homoto pia. A propriedade sim´etrica
est´a impl´ıcita na defini¸c˜a o. Note que ambas, f e g, s˜ao equivalˆencias de homo-
topias e que cada uma delas ´e uma inversa ho mot´opica para a outra. Vejamos
que a rela¸c˜a o ´e transitiva: sejam f : X −→ Y e h : Y −→ Z equivalˆencias
de homotopia com inversas homot´opicas g : Y −→ X e k : Z −→ Y , respec-
tiva mente. Queremos mostrar que X e Z tˆem o mesmo tipo de homotopia.
A candidata para uma equivalˆencia de homotopia entre X e Z ´e a aplica¸c˜a o
composta h◦f, tendo g◦k como inversa homot´opica. Seja L : Y ×I −→ Y uma
homotopia tal que L(·, 0) = k ◦ h e L(·, 1 ) = id
Y
. Ent˜ao M : X × I −→ X,
definida por M(x, t) = g(L(f(x), t)), (x, t) ∈ X ×I, ´e uma homotopia tal que
M(· , 0) = g(L(f(·), 0)) = g((k ◦ h)(f )) = g ◦ k ◦ h ◦ f = (g ◦ k) ◦ (h ◦ f ),
M(· , 1) = g(L(f(·), 1)) = g(f) = g ◦ f.
.
Assim ((g ◦ k) ◦ (h ◦ f)) ´e homot´opica `a g ◦f e conseq¨uentemente `a aplica¸c˜ao
identidade sobre X, uma vez que g ´e uma inversa homot´opica de f.
Um argumento completamente an´alogo mostra que ((h ◦ f) ◦ (g ◦ k)) ´e
homot´opica `a h ◦ k, e portant o `a identidade sobre Z e assim X e Z tˆem o
mesmo tipo de homotopia.
Exemplo A.3.2. Um c´ırculo e um anel tˆem o mesmo tipo de homtopia. Para
ver isto, consi dere o c´ırculo unit´ario S
1
e o anel
Homomorfismo Induzido e Equivalˆencia de Homotopia 83
A = {y ∈ R
2
; 1 ≤ |y| ≤ 2}
como na figura.
1
2
1
f
g
g(y)
x = gf(x)
S
1
f(x)
gf (y)
A
y
Uma equivalˆencia de h omotopia f : S
1
−→ A e uma inversa homot´opica
g : A −→ S
1
s˜ao, respectivamente, definidas por
f(x) = x, x ∈ S
1
; g(y) = y/|y|, y ∈ A .
Ent˜ao g ◦ f ´e a identidade sobre S
1
,
g ◦ f : S
1
→ A → S
1
; x → x → x/|x| = x e,
f ◦ g : A → S
1
→ A; y → y/|y| → y/|y|.
A homotopia entre f ◦ g e a identidade em A ´e ent˜ao dada por H(y, t) =
ty + (1 − t)y/|y|, pois H(y, 0 ) = y/|y| = (f ◦ g)(y) e H( y, 1) = y = id
A
(y).
Logo f ◦g ∼ id
A
via a aplica¸c˜ao H e portanto S
1
tem o mesmo tipo de homo-
topia do anel A.
Defini¸c˜ao A.3.4. Um espa¸co X ´e contr´ac til s e existe um ponto x
0
∈ X e uma
homotopia H : X ×I −→ X entre id
X
e a aplica¸c˜ao constante x
0
, isto ´e, H ´e
tal que
H(x, 0) = x, H(x, 1) = x
0
, x ∈ X.
A homotopia H ´e chamada contra¸c˜ao do espa¸c o X.
Proposi¸c˜ao A.3.3. Um espa¸co X ´e contr´actil se, e somente se, tem o mesmo
tipo de homotopia de um ponto.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que X ´e contr´actil, isto ´e, existe x
0
∈ X e uma
homotopia H : X × I −→ X entre id
X
e a aplica¸c˜ao constante x
0
:
H(x, 0) = x, H(x, 1) = x
0
, x ∈ X.
Ent˜ao X tem o mesmo tipo de homotopia que o espa¸co {x
0
} pela equivalˆencia
de homotopia f : X −→ {x
0
} e inversa homot´opica g : {x
0
} −→ X definidas
por
f(x) = x
0
, g(x
0
) = x
0
, x ∈ X.
Homomorfismo Induzido e Equivalˆencia de Homotopia 84
Suponha agora que f
′
: X −→ {a} ´e uma equivalˆencia de homotopia entre
X e o espa¸co com um ponto {a} com inversa homot´o pica g
′
: {a} −→ X.
Ent˜ao existe uma homotopia K : X × I −→ X entre g
′
◦f
′
e a identidade em
X, K(x, 0) = x, K(x, 1) = (g
′
◦ f
′
)(x) = g
′
(a), x ∈ X.
A homotopia K ´e ent˜ao uma contra¸c˜ao, e X ´e contr´actil.
Defini¸c˜ao A.3.5. Seja X um espa¸co e A em subespa¸co de X. Dizemos que A
´e um retrato por deforma¸c˜ao de X (ou que X retrai por def orma¸c˜ao sobre A)
se existe uma homotopia H : X × I −→ X tal que
H(x, 0) = x, H(x, 1) ∈ A, x ∈ X
H(a, t) = a, a ∈ A, t ∈ I.
A homotopia H ´e chamad a deforma¸c˜ao retr´atil.
Proposi¸c˜ao A.3.4. Se X ´e um espa¸co e A ´e um retrato por deforma¸c˜ao de
X, ent˜ao A e X tˆem o mesmo tio de homotopia.
Demonstra¸c˜ao: Existe uma homotopia H : X × I −→ X tal que
H(x, 0) = x, H(x, 1) ∈ A, x ∈ X,
H(a, t) = a, a ∈ A, t ∈ I.
Seja f : A −→ X a aplica¸c˜ao inclus˜ao f(a) = a, e defina g : X −→ A por
g(x) = H(x, 1), x ∈ X. Ent˜ao g ◦ f ´e a identidade sobre A, e H ´e uma
homotopia entre f ◦ g e a identidade sobre X, assim f ´e uma equivalˆencia de
homotopia com g como inversa homot´opica.
Considere agora X e Y espa¸cos topol´ogicos conexo s por caminhos e sejam
f, g : X → Y aplica¸c˜oes cont´ınuas tais que f ´e homot´opica a g. Seja H :
X × I → Y uma homotopia entre f e g. Ent˜ao H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) =
g(x), ∀x ∈ X e, como vimos, f e g induzem homomorfismos f
#
: π
1
(X, x
0
) →
π
1
(Y, f(x
0
)) e g
#
: π
1
(X, x
0
) → π
1
(Y, g(x
0
)). Seja γ : I → Y definido por
γ(t) = H(x
0
, t). Temos que γ(0) = f(x
0
) e γ(1 ) = g(x
0
). Assim, γ ´e um
caminho em Y ligando f (x
0
) a g(x
0
). Logo, γ induz um isomorfismo γ
#
:
π
1
(Y, f(x
0
)) → π
1
(Y, g(x
0
)) tal que γ
#
([β]) = [γ
−1
∗ β ∗ γ]. Temos ent˜ao o
seguinte resultado:
Lema A.3.1. Nas hip´oteses acima temos que g
#
= γ
#
◦f
#
. Isto ´e, o dia grama
Homomorfismo Induzido e Equivalˆencia de Homotopia 85
π
1
(X, x
0
)
f
#
−→ π
1
(Y, f(x
0
))
ց
g
#
↓
γ
#
π
1
(Y, g(x
0
))
´e comutativo.
Demonstra¸c˜ao: Seja [α] ∈ π
1
(X, x
0
). Queremos mostrar que g
#
([α]) =
(γ
#
◦ f
#
)([α]), isto ´e [(g ◦ α)] = [γ
−1
∗ (f ◦ α) ∗ γ]. Para isto temos que exibir
uma homotopia K : I ×I → Y entre (g ◦α) e (γ
−1
∗(f ◦α) ∗γ) relativamente
a g(x
0
). Definimos K : I ×I → Y por K(t, s) = H(α(t), s). Assim, temos que
K satisfaz K(t, 0 ) = H(α(t), 0) = (f ◦α)(t), K(t, 1) = H(α(t), 1) = (g ◦α)(t),
K(0, s) = H(α(0), s) = H(x
0
, s) = γ(s) = K(1, s). Portanto, K(0, s) =
K(1, s) mas n˜ao ´e igual a uma constante, para todo s pertencente a I.
“Deformando”K como indicado na figura seguinte poderemos exibir uma
homotopia L entre g ◦ α e γ
−1
∗ (f ◦ α) ∗ γ, como desejado:
Temos que
(γ
−1
∗ (f ◦ α) ∗ γ)(t) =
γ
−1
(2t), se 0 ≤ t ≤
1
2
f ◦ α(4t − 2), se
1
2
≤ t ≤
3
4
γ(4t − 3), se
3
4
≤ t ≤ 1
Seja s ∈ [0, 1]. Para t ∈ [0,
(1 − s)
2
] a homoto pia L parte de γ
−1
(0) =
γ(1) = g(x
0
) e vai at´e γ
−1
(1 − s) = γ(s). Para t ∈ [
(1 − s)
2
,
(s + 3)
4
] temos a
Homomorfismo Induzido e Equivalˆencia de Homotopia 86
composi¸c˜ao:
[
(1 − s)
2
,
(s + 3)
4
] −→ [0, 1] −→ Y
t →
(4t + 2s − 2)
(3s + 1)
→ K(
(4t + 2s − 2)
(3s + 1)
, s)
Par a t ∈ [
(s + 3)
4
, 1] a homotopia L parte de γ(s) e vai at´e g(x
0
).
Logo, a homotopia L ´e dada por
L(t, s) =
γ
−1
(2t), se 0 ≤ t ≤
1 − s
2
K(
4t+2s−2
3s+1
, s), se
1 − s
2
≤ t ≤
s + 3
4
γ(4t − 3), se
s + 3
4
≤ t ≤ 1.
Note que, para 0 ≤ t ≤ 1,
L(t, 0) =
γ
−1
(2t), se 0 ≤ t ≤
1
2
K(4t − 2, 0), se
1
2
≤ t ≤
3
4
γ(4t − 3), se
3
4
≤ t ≤ 1
= (γ
−1
∗ (f ◦ α) ∗ γ)( t),
L(t, 1) = K(t, 1) = (g ◦ α)(t), e L(0, s) = L(1, s) = g(x
0
).
Teorema A.3.1. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos conexos por
caminhos. Se X e Y tˆem o mesmo tipo de homotopia, ent˜ao π
1
(X) ´e iso-
morfo a π
1
(Y ), mais precisamente, se f : X → Y ´e uma equivalˆencia de
homotopia, ent˜ao f
#
: π
1
(X, x
0
) e π
1
(Y, f(x
0
)) ´e um isomorfismo.
Demonstra¸c˜ao: Considere f : X → Y uma equivalˆencia de homotopia.
Ent˜ao existe g : Y → X (a inversa homot´opica) tal que f ◦g ∼ id
Y
e g◦f ∼ id
X
.
Sejam y
0
∈ Y e x
0
= g(y
0
). Vamos mostrar que f
#
: π
1
(X, x
0
) → π
1
(Y, f(x
0
))
´e um isomorfismo. Temos g
#
: π
1
(Y, f(x
0
)) → π
1
(X, g(f (x
0
))). Al´em disso,
pelo lema, (f ◦ g)
#
= γ
#
◦ (id
Y
)
#
e (g ◦ f)
#
= σ
#
◦ (id
X
)
#
, onde γ ´e um
caminho ligando y
0
a f(x
0
) e σ ´e um caminho ligando x
0
a g(f(x
0
)).
Mas, (f ◦ g)
#
= f
#
◦ g
#
, (g ◦ f)
#
= g
#
◦ f
#
, (id
Y
)
#
= id
π
1
(Y,y
0
)
e,
(id
X
)
#
= id
π
1
(X,x
0
)
.
π
1
(X, x
0
)
f
#
//
(id
X
)
#
''
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
(g◦f )
♯
))
π
1
(Y, f(x
0
))
g
#
//
π
1
(X, g(f (x
0
)))
π
1
(X, x
0
)
σ
#
66
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Exemplos de Grupos Fundamentais e o Teorema de Van Kampen 87
π
1
(Y, y
0
)
g
#
//
(id
Y
)
#
&&
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
(f◦g)
♯
((
π
1
(X, x
0
)
f
#
//
π
1
(Y, f(x
0
))
π
1
(Y, y
0
)
γ
#
77
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Assim,
g
#
◦ f
#
= σ
#
◦ id
π
1
(X,x
0
)
(1)
f
#
◦ g
#
= γ
#
◦ id
π
1
(Y,y
0
)
(2)
De (1), conclu´ımos que f
#
´e injetora e de (2) o btemos que f
#
´e sobrejetora.
Logo, f
#
´e um isomorfismo entre π
1
(X, x
0
) e π
1
(Y, f(x
0
)). Como X e Y s˜ao
conexos por caminhos, o isomorfismo independe do ponto base.
Como uma primeira consequˆencia obtemos a invariˆancia topol´ogica j´a men-
cionada.
Corol´ario A.3.1. Se X e Y s˜ao espa¸cos topol´ogicos con exos por
caminhos com X homeomorfo a Y ent˜ao π
1
(X) ≃ π
1
(Y ).
Demonstra¸c˜ao: Segue do Exemplo A.3.1.
Corol´ario A.3.2. Se A ´e um retrato por deforma¸c˜ao de um espa¸co X e x
0
´e um ponto de A ent˜ao a aplica¸c˜ao de π
1
(X, x
0
) em ´e π
1
(A, x
0
) induzida da
inclus˜ao ´e um isormo rfi s mo.
Demonstra¸c˜ao: Segue do teorema anterior e da Proposi¸c˜ao A.3.4.
Defini¸c˜ao A.3.6. Um espa¸co X cone xo por caminhos ´e simplesmen te conexo
quando π
1
(X) ´e o grupo trivial.
Corol´ario A.3.3. Todo espa¸co contr´actil ´e simplesmente con exo.
Demonstra¸c˜ao: Segue do fato que o espa¸co contr´actil tem o mesmo tipo
de homotopia de um ponto e do teorema anterior.
A.4 Exemplos de Grupos Fundamentais e o
Teorema de Van Kampen
Exemplo A.4.1. Considere o pl ano R
2
\{p} consistindo de todos os pontos
em R
2
exceto um ponto particular p. Seja A um c´ırculo com cen tro p, como
na figura:
Exemplos de Grupos Fundamentais e o Teorema de Van Kampen 88
A
p
r(x)
x
Para x ∈ R
2
\{p}, a linha que vai de p at´
Exemplos de Grupos Fundamentais e o Teorema de Van Kampen 89
Exemplo A.4.6. Um cilindro fechado C ´e o prod uto de um c´ırculo S
1
e um
intervalo fechado [a, b]. Ent˜ao π
1
(C) ≃ π
1
(S
1
) ⊕ π
1
([a, b]) ≃ Z ⊕ {0} ≃ Z.
Um resultado muito ´util para calcular o grupo fundamental de certos
espa¸cos ´e o T eorema de Van Kampen ([7], IV. Teoremas 2.1 e 2.2, ou [5]
Teorema 1.20). Apresentamos aqui a vers˜ao segundo Hatcher [5]. A vers˜ao
dada em [7] envolve propriedades do diagrama universal. Ressaltamos no en-
tanto que pode-se verificar que as duas vers˜oes s˜ao equivalentes considerando
a defini¸c˜ao de produto livre via diagramas.
Teorema A.4.1. (Teo rema de Van Kampen) S eja X a uni˜ao de espa¸cos
abertos conexos por caminhos A
α
, ca da um contendo o ponto base x
0
∈ X,
j
α
: π
1
(A
α
) → π
1
(X), os homomorfismos induzidos das inclus˜oes A
α
em X, e
Φ : ∗
α
π
1
(A
α
) → π
1
(X) o homomorfi s mo e stendido no produto livre. Se cad a
intersec¸c˜ao A
α
∩ A
β
´e conexa por cami nhos, ent˜ao o homomorfismo
Φ : ∗
α
π
1
(A
α
) → π
1
(X) ´e sobrejetor. Ainda, se cada i ntersec¸c˜ao A
α
∩A
β
∩A
γ
´e cone xa por caminhos, ent˜ao o kernel de Φ ´e o subgrupo normal N gerado
pelos elementos da forma i
αβ
(ω)i
βα
(ω)
−1
(onde i
αβ
: π
1
(A
α
∩ A
β
) → π
1
(A
α
)
´e o homomorfismo induzido da inclus˜ao ) e assim Φ induz um isomorfismo
π
1
(X) ≃ ∗
α
π
1
(A
α
)/N.
Demonstra¸c˜ao: ([5], Teorema 1.2 0, p. 43).
Considerando o caso particular em que X ´e a uni˜ao de abertos A
1
e A
2
e
que A
1
, A
2
e A
1
∩ A
2
s˜ao conexos por caminhos, ent˜ao do teorema anterior
obt´em-se as seguintes conseq¨uˆencias:
Corol´ario A.4.1. Se A
1
∩A
2
´e simplesm ente conexo, ent˜ao π
1
(X) ´e o produto
livre dos grupos π
1
(A
1
) e π
1
(A
2
) com respeito ao s homomorfismos induzidos
das incl us˜oes j
1
: π
1
(A
1
) −→ π
1
(X) e j
2
: π
1
(A
2
) −→ π
1
(X).
Demonstra¸c˜ao: ([7], Teorema 3.1 , p. 122).
Corol´ario A.4.2. Assuma q ue A
2
´e simple s mente conexo. Ent˜ao
j
1
: π
1
(A
1
) −→ π
1
(X) ´e um epimorfismo, e seu kernel ´e o menor subgrupo nor-
mal de π
1
(A
1
) contendo a imagem k
1
(π
1
(A
1
∩A
2
)), onde k
1
´e o homomorfismo
induzido da inclus˜ao k
1
: π
1
(A
1
∩A
2
) −→ π
1
(A
1
). Assim, π
1
(X) ≃ π
1
(A
1
)/N,
onde N ´e o subgrupo n ormal de π
1
(A
1
) gerado por k
1
: π
1
(A
1
∩A
2
) −→ π
1
(A
1
)
Demonstra¸c˜ao: ([7], Teorema 4.1 , p. 127).
Exemplos de Grupos Fundamentais e o Teorema de Van Kampen 90
Exemplo A.4.7. Seja X a reuni ˜ao de dois c´ırculos tangentes num ponto x
0
(X = S
1
1
∨ S
1
2
). Ent˜ao π
1
(X) ≃ Z ∗ Z. Com efeito, sejam α
i
= [c
i
] onde
c
i
: I −→ X ´e o caminho com ponto base x
0
e que d´a uma ´unica vo l ta em
torno de S
1
i
, para i = 1, 2. Tome dois pontos a e b, distintos, de X com
a ∈ S
1
1
e b ∈ S
1
2
. Considere U = X − {a} e V = X − {b}. Ent˜a o U e V
s˜ao abertos, U ∩ V ´e conexo po r cami nhos e ´e simples mente conexo pois ´e
contr´actil. Pelo corol´ario A.4.1 temos que π
1
(X) ≃ π
1
(U) ∗π
1
(V ). Mas U e V
tˆem o mesmo tipo de homotopia de S
1
, logo π
1
(U) ≃ Z e π
1
(V ) ≃ Z. Portanto
π
1
(X) ≃ Z ∗ Z ≃ α
1
∗ α
2
.
Exemplo A.4.8. Se X ´e a reuni˜ao de n c´ırculos tangentes num ponto x
0
(X =
n
i=1
S
1
i
). Ent˜ao π
1
(X) ≃ Z ∗ ···∗ Z
n vezes
. Para ver isso considere agora α
i
= [c
i
]
onde c
i
: I −→ X ´e o caminho com ponto base x
0
e que d´a uma ´unica volta
em torno de S
1
i
, pa ra i = 1, . . . , n. Mostrem o s por indu¸c˜ao sobre n. Tome
pontos a
i
∈ S
1
i
(distintos de x
0
) i = 1, . . . , n . Considere U = X − {a
n
} e
V = X −{a
1
, . . . , a
n−1
}, ent˜ao U e V s˜ao abe rtos, U ∩V ´e conexo por caminhos
e ´e simplesmente conexo pois ´e contr´actil. Pelo corol´ario A.4.1 temos que
π
1
(X) ≃ π
1
(U) ∗ π
1
(V ). Mas U tˆem o mesmo tipo de homotopia de
n−1
i=1
S
1
i
e V tˆem o mesmo tipo de homotopia de S
1
, logo π
1
(U) ≃ Z ∗ ··· ∗ Z
n−1 vezes
(por
hip´otese de indu¸c˜ao) e π
1
(V ) ≃ Z. Portanto π
1
(X) ≃ Z ∗ ··· ∗Z
n vezes
.
Mais geralmente, temos:
Exemplo A.4.9. O grupo fundamental do bo uquet de c´ırculos π
1
(
α∈A
S
1
α
), in-
dexados em um conjunto A, ´e isomorfo a F onde F ´e o grupo livre g erado por
A. De fato, considere para cada α, um ponto x
α
em S
1
α
, diferente de x
0
e a
vizinhan¸ca aberta U
α
:= S
1
α
− {x
α
} de x
0
em S
1
α
. Ent˜ao x
0
´e um retrato por
deforma¸c˜ao d e U
α
em S
1
α
, e S
1
α
´e um retrato por de f orma¸c˜ao de
A
α
:= S
1
α
β=α
U
β
. A intersec¸c˜ao de dois ou mais A
′
α
s distintos ´e
α
U
α
que
´e con e xa por cam i nhos e tem como retrato por deforma¸c˜ao o ponto x
0
. O
Teorema de Van Kampen implica que π
1
(X) ≃ ∗
α
π
1
(S
1
α
)/N ond e N ´e o sub-
grupo normal gerado por i
αβ
(ω)i
βα
(ω)
−1
. Por´em N = {0} vi s to que A
α
∩A
β
´e
contr´actil para quaisquer α, β ∈ A e π
1
(S
1
α
) ≃ Z. Log o π
1
(X) ≃ ∗
α
Z
α
≃ F ,
como afirmado.
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ENCIAS BIBLIOGR
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[15] S. Eilenberg and S. MacLane (1945), Relations betwen homology
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[16] J. H. C. Whitehead (1948), On the realizability of homotopy
groups, Annals of Mathematics (2) 50 (1949), p. 2 61-263.
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