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ANDERSON SECCO
CONCEITO DE ÁREA: DA COMPOSIÇÃO E
DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS ATÉ AS FÓRMULAS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PUC/SP
São Paulo
2007
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ANDERSON SECCO
CONCEITO DE ÁREA: DA COMPOSIÇÃO E
DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS ATÉ AS FÓRMULAS
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a
orientação do Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni.
PUC/SP
São Paulo
2007
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Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
DEDICATÓRIA
A minha querida esposa Sheila Cristina Campanharo Secco e
meu filho Leonardo Campanharo Secco, pelo apoio, paciência,
incentivo e principalmente compreensão pelos momentos de ausência
durante a dedicação ao Mestrado.
AGRADECIMENTO
A DEUS, por todos os momentos de minha vida e por permitir a realização
de um sonho.
Ao Professor Dr. Vincenzo Bongiovanni, pela sua orientação competente,
sua disponibilidade, sugestões, comentários, estímulos positivos e principalmente
por acreditar em mim.
À Professora Dra. Maria Cristina Araújo de Oliveira e ao Professor Dr.
Carlos Henrique Barbosa Gonçalves, por participarem da banca examinadora e
por suas valiosas e enriquecedoras contribuições a este trabalho.
Aos Professores do Programa de Estudos de Pós-Graduados da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo por tudo que ensinaram.
Em especial, à amiga, Professora e coordenadora Meire Candido Bacci,
pelo seu apoio e participação durante a edição e revisão deste trabalho.
A todos os colegas da turma de Mestrado Profissional em Ensino de
Matemática, pela oportunidade de estudarmos juntos, em especial a Andrea,
Amarildo, Eline e Silviane, amigos de sempre.
A Professora Nívea do Nascimento Marinho pela sua contribuição na
correção gramatical.
Aos meus pais, que sempre me incentivaram a estudar, em especial a
minha mãe por querer sempre mais.
À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, por ter me concedido
bolsa de estudos e a supervisora de São Bernardo do Campo Elenir, pelas
informações e atenção dispensada.
A todas as pessoas que de forma direta ou indireta, contribuíram para a
realização deste trabalho, em especial aos alunos que fizeram parte desta
pesquisa.
RESUMO
O objetivo desta pesquisa é investigar através do uso da composição e
decomposição de figuras planas, até a demonstração das fórmulas, como o
conceito de área pode ser apresentado de maneira significativa e motivadora aos
alunos da 8ª série do Ensino Fundamental. Para tanto, norteamos nosso trabalho
a partir das hipóteses:
9 Como o processo de reconfiguração de figuras poligonais contribui para a
apropriação do conceito de área de um polígono?
9 Como esse processo favorece a passagem do empírico para o dedutivo?
Fundamentamos nossa pesquisa nos pressupostos teóricos de Duval e
suas diferentes formas de apreender uma figura, na teoria de Vergnaud, sobre os
campos conceituais, nos níveis do desenvolvimento do pensamento geométrico
de Parzysz, nas idéias de Freudenthal sobre uma organização local em um
processo dedutivo e nos pressupostos teóricos da geometria dinâmica com a
utilização do software Cabri-géomètre.
Através da metodologia da engenharia didática, desenvolvemos uma
seqüência didática formada por três blocos. No primeiro bloco, as atividades
foram desenvolvidas com o uso do material concreto, no qual todas validações
foram realizadas de forma empírica. O segundo bloco, realizado em um
laboratório de informática, tendo como recurso o software Cabri-Géomètre, as
mesmas observações feitas anteriormente, foram verificadas e validadas através
das construções geométricas, evidenciando assim as propriedades matemáticas
existentes nas figuras através de uma geometria dinâmica. No terceiro bloco,
através de atividades dedutivas, que objetivavam introduzir as fórmulas para o
cálculo de área, procuramos sistematizar o que foi verificado nos blocos
anteriores.
As análises de experimentação da seqüência mostraram que o processo
de reconfiguração de figuras poligonais planas contribuiu para a apropriação do
conceito de área e que esse processo foi significativamente favorável à passagem
do empírico para o dedutivo.
Palavras-chave: Área, reconfiguração, composição, decomposição, geometria.
ABSTRACT
The objective of this research is to investigate across the use of
composition and decomposition of plan forms, until the demonstration of the
formula, how the area concept can be showed in the significative and motivating
way to the students. To do it, we direct our studies from some hypothesis:
9 How the reconfiguration processes of polygon forms contribute to the
assumption of the polygon area concept?
9 How this process benefits the passage of the empirical to deductive?
We basis our research in the theory Duval purpose and in your different
ways to learn a form, detaching mainly the operative apprehension, in the
Vergnaud theory, about the fields concepts , in the development geometric idea of
the Parzysz and the Freudenthal ideas about on local organization in a deductive
process and in a dynamic geometry using the software Cabri-Géomètre.
Through of the engineering didactic methodology, we developed a teaching
didactic sequence formed by three blocks. In the first block, the activities was
developed using concrete material, which all deductions and validations was
realized in an empirical form. In the second block, it was realized in an informatics’
laboratory, using a resource called Cabri-Géomètre (software), the same
observation made before was verified and validated across the geometrics
constructions, indicating the mathematic properties existing in the forms across of
the dynamic geometry. In the third block, across the deductive activities, which
objective to introduce the formulas to the area calculus, we find to systematize
which was verified in the blocks earlier.
The experiment analysis of the sequences showed that the process of the
plan polygon forms reconfiguration contributed to the appropriation of the area
concept and this process was very significant and helpful to the passage between
empirical and deductive.
Keywords – area, reconfiguration, composition, decomposition, geometry.
Sumário
Capítulo 1............................................................................................................. 10
Problemática ........................................................................................................ 10
1.1 Introdução................................................................................................... 10
1.2 Descrição do trabalho................................................................................. 22
1.3 Fundamentação Teórica............................................................................. 23
1.3.1 Duval.................................................................................................... 23
1.3.2 Vergnaud.............................................................................................. 25
1.3.3 Parzysz ................................................................................................ 27
1.3.4 Freudenthal.......................................................................................... 28
1.3.5 Geometria dinâmica............................................................................. 30
1.4 Questão de pesquisa.................................................................................. 31
1.5 Considerações metodológicas.................................................................... 32
Capítulo 2............................................................................................................. 34
Um estudo do objeto matemático - Área.............................................................. 34
2.1 Um breve estudo histórico sobre o cálculo de áreas .................................. 34
2.1.1 CLAIRAUT ........................................................................................... 37
2.1.2 LEGENDRE ......................................................................................... 39
2.1.3 HADAMARD......................................................................................... 43
2.2 Um tratamento mais recente sobre o cálculo de áreas de figuras
elementares .................................................................................................. 43
2.3 Áreas de figuras gerais ........................................................................... 52
2.4 Como os livros didáticos apresentam o conceito e o cálculo de área de
figuras planas................................................................................................ 54
Capítulo 3............................................................................................................. 58
Concepção e a análise a priori das atividades..................................................... 58
3.1 Introdução................................................................................................... 58
3.2 A concepção da seqüência......................................................................... 59
3.3 Análise a priori das atividades.................................................................... 65
3.3.1 Bloco 1: Atividades concretas .............................................................. 65
3.3.2 Bloco 2: Atividades com o Cabri-Géomètre ......................................... 85
3.3.3 Bloco 3: Justificativa das fórmulas ......................................................107
Capítulo 4............................................................................................................125
Experimentação e Análise a Posteriori................................................................125
4.1 Introdução..................................................................................................125
4.2 Análise a posteriori das atividades ............................................................127
4.2.1 Bloco 1: Atividades concretas .............................................................127
4.2.2 Bloco 2: Atividades com o Cabri-Géomètre ........................................142
4.2.3 Bloco 3: Justificativa das fórmulas ......................................................163
Capítulo 5............................................................................................................179
Considerações finais...........................................................................................179
Bibliografia...........................................................................................................183
Anexos..............................................................................................................................186
10
Capítulo 1
Problemática
1.1 Introdução
Em 1994 ingressei no curso de licenciatura em Matemática na Fundação
Santo André. Começava ali um grande sonho: ser um professor de matemática.
Espelhava-me em alguns brilhantes professores de matemática que tive ao longo
da minha vida, em especial em uma professora da 5ª série de nome Maria
Aparecida Haussauer Gonçalves, que fazia com que a aula se tornasse muito
agradável. Admirava aquela senhora que conseguia envolver toda uma sala de
aula com suas estratégias diferenciadas, com sua incrível paciência e com uma
sabedoria única, que me fascinava e fazia-me desejar ser um professor como
Dona Cida.
Foram quatro anos de muita dedicação e aprendizado. Já no terceiro ano
da faculdade, comecei a lecionar na escola pública Fioravante Zampol em Santo
André e no cursinho preparatório para as escolas técnicas (Profitec), e foi então
que senti que o meu sonho estava começando a se tornar realidade: eu era um
professor de matemática.
Em 1998, depois de formado, tive o primeiro contato com um software de
geometria dinâmica denominado Cabri-Géomètre. Esse software chamou minha
atenção, pois era de geometria, a matéria com que mais me identificava.
Acreditava que a geometria aliada à informática poderia tornar as minhas aulas de
matemática, mais atrativas e interessantes.
Em 2000, já em outra escola da rede estadual, tive o primeiro contato com
o Cabri II, uma versão mais evoluída, com a qual me encantei e criei várias
atividades para os alunos. Sentia que aquele era o caminho para poder tornar as
11
aulas mais interessantes, não apenas para mim, mas principalmente para meus
alunos. Por esta razão passei a procurar algo que me ajudasse a ser um
professor mais completo, capaz de despertar na maioria dos educandos o
interesse e a curiosidade pela matemática.
Durante esses anos de magistério, participei de vários cursos de
capacitação e aperfeiçoamento que me ajudaram nesse caminho, oferecendo-me
subsídios para uma prática pedagógica mais reflexiva e coerente com a minha
concepção de ensino. No entanto, sentia que faltava algo a mais, alguma coisa
mais profunda, um estudo mais acadêmico e abrangente (desafiador). Foi então,
que resolvi tentar o Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da Pontifícia
Universidade Católica (PUC-SP), uma vez que este poderia ampliar meus
conhecimentos na medida em que me colocaria em contato com o mundo das
pesquisas acadêmicas, mostrando-me os trabalhos que estão sendo realizados
pelos pesquisadores no amplo mundo da Educação Matemática.
As minhas atenções naquele momento, depois de vários anos no
magistério, estavam voltadas para o aluno, como por exemplo, de que maneira a
aprendizagem poderia acontecer de modo mais significativo.
Logo no começo do curso, já tinha em mente o que gostaria de fazer na
minha dissertação, ou seja, queria desenvolver um tema ligado à geometria e que
pudesse envolver os recursos tecnológicos.
No segundo semestre de 2004, a partir das aulas de Tópicos de
Geometria, com o Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni, as minhas idéias foram se
tornando mais claras. Na apresentação que fiz do seminário “Construções
Geométricas com Régua e Compasso”, tive a oportunidade de apresentar um
trabalho inteiro utilizando o Cabri-Géomètre, em que pude validar algumas
propriedades geométricas de maneira dinâmica, agradável e interessante,
confirmando assim, minhas idéias iniciais e dando um norte às minhas
aspirações.
Em maio de 2005, soube de um projeto de argumentação e prova em
Educação Matemática, denominado AProvaME (CNPq), que seria coordenado
12
pela Profa. Dra. Lulu Healy com a participação dos professores Dra. Ana Paula
Jahn, Dra.Celina A. A. P. Abar, Dra. Sonia Pitta Coelho, Dra. Janete Bolite Frant e
Dr. Vincenzo Bongiovanni. Este trabalho seria realizado com alunos de 8ª série do
Ensino Fundamental e 1º ano do Ensino Médio e utilizaria o uso da tecnologia em
seu desenvolvimento. Fiquei encantado com a proposta do projeto e juntei-me a
ele.
O projeto visa mapear as concepções sobre argumentação e prova a fim
de subsidiar a elaboração de situações de aprendizagem em ambientes
informatizados para a prova. Entende-se, ainda, que uma abordagem eficiente
para o ensino da prova em matemática requer não apenas situações de
aprendizagem inovadoras, como também aceitação e apropriação, pelos
professores, de tais situações. Pretende-se investigar em que medida a
participação de professores em grupos colaborativos durante seu design de
situações sobre prova matemática, oferece condições para uma implementação
efetiva destas em suas salas de aula.
Foi através das reuniões do projeto AProvaME, paralelamente com os
encontros de orientação com o Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni, que decidimos
trabalhar com o conceito de área. Nascia assim, naquele momento, o meu projeto
de pesquisa.
Antes de iniciar a pesquisa, aplicamos um questionário diagnóstico aos
alunos, para identificar aspectos do conceito de área não apropriados durante o
processo de escolarização. O grupo era constituído de 71 alunos, sendo 52
alunos das 8
as
séries da Segunda Escola Municipal de Ensino Fundamental de
São Caetano do Sul e 19 alunos da Escola Estadual Eda Mantoanelli. Este
questionário foi composto por quatro atividades, cada uma delas com um objetivo
distinto, visando descobrir qual a concepção do aluno sobre o conceito de área e
se o aluno tinha conhecimento técnico para resolver atividades que necessitavam
de fórmulas matemáticas sobre áreas. A série escolhida foi a 8ª, considerando
que nesta etapa da escolaridade, o aluno já teve contato, em séries anteriores,
com o conteúdo abordado, além da possibilidade de participar com este mesmo
público do projeto AprovaMe.
13
A primeira pergunta do questionário foi a seguinte:
“Para você, o que significa área de uma superfície geométrica? Dê um exemplo de uma
unidade de medida utilizada para o cálculo de área”.
Esta primeira pergunta tinha por objetivo identificar através da escrita, ou
seja, através da forma como o aluno se expressa, qual era o seu conceito de
área, e que apresentasse um exemplo de unidade de medida para o cálculo de
área.
Apresentamos a seguir os resultados obtidos:
9 Apenas 7% dos alunos conseguiram associar a palavra área como uma
medida de comparação entre superfícies.
9 47,9% responderam que área é ”base vezes altura” ou “lado vezes lado”, ou
algo semelhante, mostrando assim que apenas decoraram algumas fórmulas
sem sentido, referentes a alguns polígonos, e não possuem a mínima idéia
de seu significado.
9 Apenas 16,9% dos alunos conseguiram identificar uma unidade de medida
de área, como o cm², km², m² e outras.
14
A segunda pergunta do questionário foi:
Sabendo que cada quadrado do quadriculado abaixo tem 1 u.a.(unidade de área) ,
quantos quadradinhos cabem em cada figura abaixo?
Observação: Quando o número de quadradinhos que cabem em duas figuras é o mesmo,
dizemos que as figuras são equivalentes ou que têm a mesma área.
Esse teste objetivava apresentar uma unidade de área (u.a) e pedir ao
aluno que determinasse a área das figuras através de uma malha quadriculada. A
quantidade de quadradinhos em quatro das seis figuras apresentadas (1,2,3 e 6)
era de fácil obtenção. No entanto, propositalmente, a contagem dos quadradinhos
em duas figuras – a de número quatro (triângulo) e de número cinco –
necessitava de um outro tipo de estratégia.
15
Apresentamos a seguir os resultados obtidos:
Índice de acertos
94,4%
81,7%
94,4%
60,6%
59,2%
76,1%
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Figura 6
¾ As figuras que continham apenas quadrados inteiros, ou divididos ao
meio – que eram as figuras 1, 2, 3 e 6 – apresentaram acertos
elevados de 94,4%, 81,7%, 94,4% e 76,1% respectivamente. Porém
é notória a queda de acertos nas duas questões que envolviam duas
figuras com quadrados não divididos ao meio, que era o caso das
figuras 4 e 5.
¾ Analisando os questionários, percebe-se que a maioria dos alunos
traçava os quadriculados para contar a quantidade de quadradinhos
que continha a figura, conseguindo juntar duas metades, porém isso
quase não aconteceu nos casos das figuras 4 e 5. Notamos que
muitos deles não buscaram outra estratégia para resolução do
problema.
16
A terceira pergunta foi apresentada da seguinte maneira:
Quais das figuras abaixo possuem a mesma área? Justifique sua resposta.
A proposta era que o aluno se familiarizasse com a palavra área de uma
figura, sendo essa a única diferença em relação à questão anterior.
As figuras que possuíam as mesmas áreas eram as figuras 1, 2, 6, 7 e 8
com quatro (4) u.a., as figuras 4 e 5 com oito (8) u.a. e a única figura que não era
equivalente a nenhuma outra, era a de número 3 (losango).
Apresentamos a seguir os resultados obtidos:
17
Índice de acertos
11,3%
12,7%
19,7%
35,2%
4,2%
1,4%
2,8%
1,4%
21,1%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
F
i
g
1
,
2
,
6
,
7
e
8
F
i
g
4
e
5
F
i
g
1
,
6
e
7
F
i
g
1
,
2
,
6
e
7
F
i
g
1
e
7
F
i
g
2
e
6
F
i
g
6
e
7
F
i
g
2
e
7
E
r
r
a
d
o
/
b
r
a
n
c
o
¾ Analisando o gráfico, observamos que um número muito pequeno
conseguiu identificar as figuras equivalentes, ou seja, apenas 11,3%
e 12,7% respectivamente dos alunos conseguiram identificar que as
figuras 1, 2, 6, 7 e 8 têm a mesma área, e que as figuras 4 e 5
também têm áreas iguais, revelando assim um número muito
elevado de pessoas que não conseguem resolver problemas
simples envolvendo áreas;
¾ 19,7% dos alunos identificaram apenas as figuras 1, 6 e 7 como
figuras equivalentes;
¾ 35,2% dos alunos foram um pouco além, conseguindo identificar as
figuras 1, 2, 6 e 7 como figuras equivalentes e não visualizando que
a figura 8 também era equivalente;
¾ 4,2% dos alunos identificaram apenas as figuras 1 e 7 como figuras
equivalentes;
¾ 1,4% dos alunos identificou apenas as figuras 2 e 6 e o mesmo
número, as figuras 2 e 7 como figuras equivalentes;
¾ 2,8% identificaram as figuras 6 e 7 com equivalentes;
18
¾ 21,1% dos alunos erraram completamente. Concluímos que 1 (um)
em cada 5 (cinco) alunos não sabe como calcular a área de uma
figura, mesmo estando na 8ª série do Ensino Fundamental.
A última pergunta foi:
Calcule a área da figura abaixo.
O objetivo dessa questão era desvencilhar a malha quadriculada do cálculo
de área, ou seja, uma mudança sutil para perceber se o aluno seria capaz,
através das medidas da figura, de determinar o valor da área da figura. (A figura
representava a letra k, sendo composta por três polígonos, um retângulo, um
triângulo e um paralelogramo).
Apresentamos a seguir os resultados obtidos:
¾ Quando o aluno foi desvinculado da malha quadriculada, onde ele não possuía
mais o recurso de contar quadradinhos, 98,6% deles erraram a questão ou a
deixaram em branco, ou seja, apenas 1,4% dos alunos conseguiu acertar
completamente a questão.
¾ Se analisarmos o problema em partes, verificamos que apenas 46,5% dos
alunos conseguiram acertar a área do retângulo, 11,3% a área do triângulo e
1,4% a área do paralelogramo. Esse acerto referente à área do paralelogramo
é exatamente igual ao acerto da questão, já que a única pessoa que acertou a
área do paralelogramo conseguiu acertá-la também.
19
A partir desses resultados, podemos formular a hipótese de que os alunos
não se apropriaram do conceito de área nas séries anteriores. Diante desse
resultado, resolvemos colocar como objetivo do trabalho, a investigação de como
o conceito de área pode ser apresentado de maneira mais significativa a alunos
da 8ª série do Ensino Fundamental.
O próximo passo foi consultar trabalhos e artigos escritos por
pesquisadores em Educação Matemática relacionados com a essa temática.
Entre eles encontramos:
9 Ana Franchi e outros autores (1992), com a coleção Ensinando-Aprendendo
Geometria no 1º grau: da composição e decomposição de figuras às fórmulas
de áreas.
Esta coleção foi dividida em 6 capítulos: no primeiro capítulo,
“Explorações com Tangram”, é discutida uma proposta deste quebra-cabeça
dentro da sala de aula, em que a construção do conceito de área é o foco e a
composição e decomposição são o meio; o segundo mostra a utilização dos
Pentaminós
1
como recurso em sala de aula para o ensino-aprendizagem da
geometria no 1º grau; o terceiro capítulo propõe uma seqüência de atividades
de composição e decomposição de polígonos, desenvolvidas em cursos para
professores e em classes de alunos do 1º grau. Com a realização dessas
atividades, os autores acreditam que os alunos possam chegar à construção
das fórmulas para o cálculo da área do paralelogramo, do triângulo e do
trapézio; no quarto capítulo se discute os Aspectos Cognitivos da Construção
do Conceito de Área; no quinto capítulo, os autores aprofundam as idéias dos
três primeiros capítulos; e por último, as considerações metodológicas
enfocadas no trabalho.
9 Ana Chiummo (1998), apresenta um estudo para capacitação de professores
do Ensino Fundamental. Através de estudos preliminares (histórico,
epistemológico, da transposição do conceito de áreas de figuras planas),
Chiummo elaborou uma seqüência didática para o ensino-aprendizagem do
conceito de área, em que, em um primeiro momento, realizou um
1
Pentaminós são casos particulares de objetos geométricos denominados Poliminós. Segundo
Golomb, provavelmente seu criador em 1954, “Pentaminó é um conjunto de 5 (cinco) quadrados
em ligação simples”.
20
levantamento inicial com os professores do Ensino Fundamental, através de
um questionário. Seu objetivo era colaborar no processo de ensino-
aprendizagem, com uma seqüência didática que seria mais um instrumento de
trabalho para auxiliar os professores dentro da sala de aula. As hipóteses que
nortearam seu trabalho foram:
¾ A abordagem proposta por certos professores não desenvolve
nos alunos uma concepção do conceito de área que permita
relacionar este conceito com as suas diferentes representações
numéricas;
¾ Uma capacitação para professores pode induzi-los a construir
situações de ensino-aprendizagem do conceito de área, que
levem os alunos a desenvolverem a noção de superfície e área
trabalhando o ladrilhamento, a composição e a decomposição;
¾ É necessário diferenciar área e perímetro, para uma melhor
aquisição do conceito de área;
¾ Um estudo das fórmulas de área e perímetro de superfícies
usuais, feito em relação com os invariantes geométricos das
figuras, favorece a construção da noção de área como grandeza.
Chiummo fundamentou-se na linha da Didática francesa que estuda os
fenômenos do ensino-aprendizagem em Matemática e apóia-se na noção de
obstáculo, utilizou também a dialética “ferramenta-objeto” e o jogo de quadros
de Douady.
9 Sonia Regina Facco (2003), que cria uma seqüência didática voltada ao
processo de reconstrução de figuras planas por meio de composição e
decomposição de figuras. Fundamentou-se na dialética ferramenta / objeto de
Douady e na representação semiótica de Raymond Duval. As hipóteses que
nortearam suas atividades foram:
¾ o estudo da área como grandeza e não como um número
associado a uma superfície, favorece a construção da noção de
área;
¾ uma proposta de ensino-aprendizagem do conceito de área
envolvendo o processo de decomposição e composição de
figuras proporciona ao aluno condições favoráveis à
aprendizagem do conceito de área.
21
Facco (2003) trabalhou a seqüência com alunos da 5ª série do Ensino
Fundamental, e não há na seqüência o objetivo de levar os alunos a formalização
e a generalização das fórmulas através de uma pequena organização formal. A
autora utiliza o termo “grandeza” num sentido ingênuo e não busca defini-lo.
Segundo os PCNs, atividades que exploram a composição e
decomposição de figuras, como ladrilhamento, tangrans, poliminós, fazem com
que os alunos verifiquem que o recobrimento de uma superfície pode ser feito por
determinadas figuras, como triângulos eqüiláteros, quadrados, retângulos,
hexágonos regulares, etc., assim como a descoberta de que toda figura poligonal
pode ser composta e decomposta por outra e, em particular, por triângulos e
retângulos, o que facilitaria o cálculo de áreas.
Todos esses trabalhos nos deram subsídios para a elaboração de uma
22
1.2 Descrição do trabalho
Este trabalho desenvolve-se em cinco capítulos apresentados a seguir.
No Capítulo 1, apresentamos o tema escolhido, as razões de sua escolha,
a fundamentação teórica do trabalho, a questão de pesquisa, o objetivo do
trabalho e as considerações metodológicas.
No Capítulo 2, tratamos do objeto matemático “área”. Iniciamos com um
breve histórico do ensino do conceito de área na tradição ocidental, e finalizamos
com uma análise de três coleções didáticas escolhidas para verificar como o
assunto está sendo trabalhado nas escolas. O objetivo aqui é subsidiar a
concepção das atividades do próximo capítulo.
No Capítulo 3, apresentamos as escolhas didáticas feitas por nós para
conceber a seqüência didática desenvolvida com os alunos. Descrevemos
detalhadamente cada uma das atividades, seus objetivos, e fazemos uma análise
a priori das atividades, mostrando as respostas esperadas, as prováveis
estratégias de resolução dos alunos e as possíveis intervenções por parte do
professor-pesquisador.
No Capítulo 4 descrevemos todo o processo ocorrido durante a aplicação
da seqüência e fazemos uma análise de todas as resoluções das atividades dos
alunos.
No capítulo 5, apresentamos os resultados da pesquisa.
23
1.3 Fundamentação Teórica
1.3.1 Duval
De acordo com o filósofo e psicólogo francês Raymond Duval (1995) a
distinção entre um objeto matemático e a sua representação, é de extrema
relevância no funcionamento cognitivo.
As representações semióticas, utilizadas no funcionamento matemático são
designadas por Duval de registros de representação e classificadas em quatro
tipos; linguagem natural, sistemas de escritas, registro gráfico e o registro figural.
De grande importância para o estudo da geometria é o registro figural. O
principal motivo é que na resolução de um problema, a representação figural
mostra mais facilmente a idéia da solução que em outros registros. Por exemplo,
um desenho permite um acesso mais direto, mais rico e menos trabalhoso que
um texto. Duval destaca quatro maneiras diferentes de apreender uma figura: a
apreensão perceptiva, a apreensão discursiva, a apreensão seqüencial e a
apreensão operatória.
A apreensão perceptiva é a que permite identificar ou reconhecer
imediatamente um objeto matemático ou a forma de um objeto no plano e no
espaço.
A apreensão discursiva é aquela que corresponde a uma explicação das
outras propriedades matemáticas da figura que aquela indicada por uma legenda
ou pelas hipóteses.
24
A apreensão seqüencial é solicitada na construção de uma figura
geométrica com a ajuda de um instrumento (régua, compasso, software) ou nas
tarefas de descrição com o objetivo de reproduzir uma figura.
A apreensão destacada em nosso trabalho é a apreensão operatória, que
corresponde a transformar (modificar) a figura dada em outras figuras para obter
novos elementos que poderão nos levar à idéia da solução de um problema ou
mesmo de uma prova matemática.
A apreensão operatória permite dar um sentido dinâmico às características
da figura, podendo-se, assim, fazer manipulações físicas ou mentais sobre o todo
ou parte da figura. Como toda figura pode ser modificada de muitas maneiras,
Duval (1988) distinguiu três grandes tipos de modificações:
9 modificação “mereológica”: a figura pode separar-se em partes da
figura dada, fracionando-se e reagrupando-se, isto é, uma relação da
parte e do todo;
9 modificação ótica é a transformação de uma figura em outra chamada
imagem, ou seja, consiste em aumentar, diminuir ou deformar a figura
inicial.
9 modificação posicional é o deslocamento em relação a um
referencial, ou seja, corresponde a deslocamentos por rotação,
translação e simetria.
Trataremos em nosso trabalho, principalmente da modificação
mereológica, por possibilitar o uso da operação de reconfiguração que consiste
em organizar uma ou várias subfiguras diferentes de uma figura em outra figura.
Com efeito, as partes elementares obtidas por fracionamento podem ser
reagrupadas em muitas subfiguras, todas dentro da figura de partida. Essa
operação permite, portanto, engrenar imediatamente os tratamentos tais como as
medidas de áreas por soma de partes elementares, ou evidenciar a equivalência
de dois reagrupamentos. Essas reconfigurações podem ser espontâneas e
evidentes ou, ao contrário, de difícil visualização a partir da figura inicial. Existem
alguns fatores que tornam essa operação mais ou menos visível ou mais ou
25
menos complexa. Alguns fatores que podem interferir na apreensão operatória
são o fato da figura ser ou não convexa, da figura ser ou não desenhada num
fundo quadriculado, a divisão da figuras em partes elementares ser ou não dada
na figura inicial. A identificação desses fatores é essencial no estudo de uma
reconfiguração.
Duval afirma que uma iniciação à geometria deve levar em conta colocar
em funcionamento quatro articulações:
9 A articulação entre a apreensão perceptiva e a apreensão operatória.
Esta articulação é chamada de visualização.
9 A articulação entre a apreensão perceptiva e a apreensão discursiva.
Esta articulação é chamada de figura geométrica. Para Duval, não há
figura geométrica, sem uma legenda.
9 A articulação entre a apreensão operatória e a articulação discursiva.
Esta articulação é chamada de demonstração.
9 A articulação entre a apreensão seqüencial e a apreensão discursiva.
Esta é articulação é chamada de construção.
1.3.2 Vergnaud
Gérard Vergnaud, em sua teoria sobre os campos conceituais amplia e
redireciona o foco piagetiano das estruturas gerais do pensamento, das
operações lógicas gerais, para a pesquisa do funcionamento cognitivo do "sujeito-
em-ação" e a sua organização através de esquemas. Diferentemente de Piaget,
que não trabalhou dentro da sala de aula, Vergnaud priorizou o comportamento
dentro da mesma, interessando-se pelo conteúdo do conhecimento e por
pesquisar as dificuldades dos alunos de um campo conceitual para outro.
Vergnaud reconhece a importância da teoria de Piaget, destacando as
idéias de adaptação, desequilibração e reequilibração como pedras angulares
para a investigação em Matemática. Dá atenção especial ao conceito piagetiano
de esquema, no qual fundamenta toda a sua teoria dos campos conceituais.
Outro conceito de Piaget utilizado por Vergnaud é o de assimilação/acomodação,
26
que funciona para a teoria dos campos conceituais desde que não se tente
reduzir a adaptação de esquemas e conceitos a estruturas lógicas.
Segundo Vergnaud (1996), um campo conceitual é
Um conjunto informal e heterogêneo de problemas,
situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações
de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente,
entrelaçados durante o processo de aquisição.
Ele sustenta que é uma ilusão pedagógica acreditar que o ensino consiste
na apresentação organizada, clara e rigorosa das teorias formais e que, quando
isso é bem feito, os alunos aprendem. Trata-se de uma ilusão porque, segundo
ele, é através de situações de resolução de problemas que os conceitos se
desenvolvem no aluno.
Vergnaud toma como premissa que o conhecimento está organizado em
campos conceituais cujo domínio, por parte do sujeito, ocorre ao longo de um
período de tempo através de experiência, maturidade e aprendizagem.
Vergnaud (1996) define um conceito a partir de três conjuntos, S, I e R
onde:
S é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito;
I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os
quais repousa a operacionalidade do conceito, ou o conjunto de invariantes
operatórios associados ao conceito, ou o conjunto de invariantes que podem
ser reconhecidos e usados pelos sujeitos para analisar e dominar as situações
do primeiro conjunto;
R é um conjunto de representações simbólicas (linguagem natural, gráficos e
diagramas, sentenças formais) que podem ser usadas para indicar e
representar esses invariantes e, conseqüentemente, representar as situações
e os procedimentos para lidar com elas.
Nesse trio (S, I, R) em termos psicológicos, S é a realidade e (I, R) a
representação que pode ser considerada como dois aspectos interagentes do
pensamento, o significado (I) e o significante (R).
27
1.3.3 Parzysz
Bernard Parzysz no seu artigo “Articulation entre perception et déduction
dans une démarche géométrique em PE1 (2001)”, ou seja, articulação entre
percepção e dedução num ambiente geométrico de professores da escola
elementar, sugere uma síntese das idéias de Van Hiele (1984), Houdement–
Kuznial (1998) e de Michel Henry (1999) na organização da geometria.
1. A Geometria empírica composta dos níveis G0 e G1. No nível G0, chamado de
Geometria concreta, as figuras (modelos, diagramas) são identificadas
unicamente por seu aspecto geral. Esse nível corresponde ao nível 0 de Van
Hiele. Nesse nível, os objetos partem da realidade, do concreto e as
validações são perceptivas. No nível G1, denominado de Geometria Espaço-
Gráfica, as figuras são representadas numa folha de papel ou numa tela de
computador. Nesse nível as técnicas utilizadas para a resolução de exercícios
podem ser relacionadas à utilização de instrumentos como régua, compasso,
esquadro e transferidor.
2. A Geometria dedutiva composta pelos níveis G2 e G3. No nível G2,
denominado Geometria Proto-axiomática
2
, as demonstrações dos teoremas
são feitas a partir de premissas aceitas pelos alunos de modo intuitivo, onde
as técnicas utilizadas referem-se a objetos geométricos nos quais a existência
é assegurada pelas definições, axiomas e propriedades consideradas. Os
axiomas são parcialmente explícitos. No nível G3, denominado Geometria
Axiomática, o sistema de axiomas deve ser explicitado.
Com o objetivo de visualizar melhor essas classificações, colocamos um
diagrama a seguir:
2
O prefixo “Proto” designa em química, a combinação na qual um elemento entra na proporção
mínima. Logo proto-axiomática trata-se se uma axiomatização incompleta.
28
1.3.4 Freudenthal
O matemático holandês Hans Freudenthal (1973), se expressa em relação
à potencialidade da geometria como conhecimento da seguinte forma:
A Geometria é uma das melhores oportunidades que existem para
aprender a matematizar a realidade. É uma oportunidade de fazer
descobertas como muitos exemplos mostrarão. Com certeza, os números
são também um domínio aberto às investigações, e pode-se aprender a
pensar através da realização de cálculos, mas as descobertas feitas pelos
próprios olhos e mãos são mais surpreendentes e convincentes. Até que
possa de algum modo ser dispensadas, as formas no espaço são um guia
insubstituível para a pesquisa e a descoberta.
Freudenthal defende que a matemática é uma atividade e que a melhor
forma de aprender uma atividade é executando-a. Em seus estudos e ações,
mostrou que os estudantes podem desenvolver compreensão matemática
gradualmente a partir da observação, exploração e resolução de problemas
Geometria empírica Geometria dedutiva
G0
Geometria
Concreta
G1
Geometria
Espacial
Gráfica
Objetos Físicos
Validações perceptivas
G2
Geometria
Proto-
axiomática
G3
Geometria
Axiomática
Objetos Teóricos
Validações dedutivas
Classificação de Bernard Parzysz
Geometria empírica Geometria dedutiva
G0
Geometria
Concreta
G1
Geometria
Espacial
Gráfica
Objetos Físicos
Validações perceptivas
G2
Geometria
Proto-
axiomática
G3
Geometria
Axiomática
Objetos Teóricos
Validações dedutivas
Classificação de Bernard Parzysz
29
práticos da vida diária, até atingirem níveis cada vez mais complexos de
pensamento matemático chegando à abstração numa etapa adequada a seu
desenvolvimento cognitivo, social e cultural. Uma das conseqüências destas
atitudes é que os alunos tendem a se interessar automaticamente pela
matemática propriamente dita, adquirindo hábitos de pensar matematicamente
frente a situações diversas.
Esse hábito de pensar matematicamente pode ser considerado como uma
pequena sistematização. O termo sistematização vem do ato de sistematizar que
significa reduzir diversos elementos a sistema. Segundo o dicionário Aurélio, a
palavra sistema, de origem grega systema, é “a disposição das partes ou dos
elementos de um todo, coordenados entre si e que funcionam como estrutura
organizada”. Assim, o processo de sistematização ou organização do
conhecimento matemático consiste em dispor “partes” ou “elementos” desse
conhecimento numa forma que vai sendo gradualmente estruturada. Esse
processo gradativo pode chegar, eventualmente, até à formalização do
conhecimento na forma de um sistema minimamente estruturado.
Freudenthal analisa como o processo de sistematização ocorre dentro da
própria matemática e evolui de uma organização local para, eventualmente,
chegar a uma organização global. Segundo o autor, essa organização local se dá
num movimento espiral que se inicia na exploração do conceito, levando a um
acúmulo de experiências matemáticas que demandarão uma sistematização, em
geral através de meios matemáticos. O embrião desse processo dá-se pela
sistematização inicial, localmente, ou seja, dentro do corpo de conhecimentos que
compõe aquele conceito. Para essa sistematização fazemos escolhas: o que será
definido e o que derivará dessa definição, o que é particular, o que é geral, o que
vai fundamentar o quê e qual generalização se pode fazer. Assim, por sucessivos
processos de organização cada vez mais abrangentes, vai se construindo um
corpo de conhecimentos matemáticos de natureza axiomática. É claro que,
quando a nossa referência é a matemática do Ensino Fundamental, não cabe
pensarmos em termos de uma sistematização na forma de uma organização
global, isto é, em uma apresentação axiomática. Neste caso, nossa meta poderá
30
ser, quando muito, uma organização local minimamente estruturada ou
formalizada de alguns conceitos, idéias e resultados.
Freudenthal defende que para o ensino da demonstração em vez de se
pretender apresentar aos alunos uma organização global da geometria (um
sistema axiomático completo), devem ser apresentadas experiências de
organização local, em que alguns resultados conjecturados por eles, sejam de
curtas deduções, interligados logicamente.
1.3.5 Geometria dinâmica
As tendências atuais relativas ao ensino da geometria passam pela
promoção de uma aprendizagem baseada na experimentação, na manipulação e
pela utilização dos programas de geometria dinâmica, como Cabri-Géomètre
3
,
igeom e outros. Estimular e introduzir a experiência e a investigação são,
provavelmente, as principais vantagens oferecidas por estes programas, uma vez
que permitem a construção e manipulação de objetos geométricos e a descoberta
de novas propriedades, através da investigação das relações e propriedades que
são mantidas nas figuras mesmo após seu deslocamento.
Segundo Gravina (1996),
A partir de nossa experiência e de pesquisas publicadas podemos
dizer que os programas de criação de micro-mundos de Geometria
dinâmica, como Cabri-Géomètre e Geoplan, constituem ferramentas
poderosas na superação dos obstáculos inerentes ao aprendizado”.
Nestes ambientes, conceitos geométricos são construídos com equilíbrio
conceitual e figural; a habilidade em perceber representações diferentes
de uma mesma configuração se desenvolve; controle sobre configurações
geométricas leva a descoberta de propriedades novas e interessantes.
Quanto às atitudes dos alunos frente ao processo de aprender:
experimentam; criam estratégias; fazem conjeturas; argumentam e
deduzem propriedades matemáticas. A partir de manipulação concreta, “o
desenho em movimento”, passam para manipulação abstrata atingindo
níveis mentais superiores da dedução e rigor, e desta forma entendem a
natureza do raciocínio matemático.
3
Cabri –Géomètre é um programa computacional educativo desenvolvido por Jean-Marie Laborde
e Frank Bellemain no Institut d’Informatique et Mathématique Appliquées de Grenoble(IMAG)
(Instituto de Informática e de Matemática Aplicada), da Université Joseph Fourier em Genoble,
França. Sua primeira versão é de 1985.A palavra Cabri é a abreviatura de Cahier de Brouillon
Intéractif (Caderno de rascunho interativo)
31
A geometria dinâmica possibilita ao aluno visualizar uma mesma figura
construída com as propriedades geométricas de várias formas, facilitando a
compreensão da geometria envolvida. Nesse aspecto, o professor pode incentivar
o espírito investigativo do aluno, justificando no final, as relações encontradas, ou
seja, a “demonstração” matemática.
É também incontestável a atração que os computadores exercem sobre os
jovens de hoje. Sabemos que os alunos são capazes de passar horas a fio à sua
frente. Então, por que não transpor esse ambiente para a sala de aula,
potencializando a sua utilização na resolução de desafios que os cativem e que
desenvolvam as suas competências matemáticas?
É por esses e outros argumentos que escolhemos trabalhar em um bloco
da nossa seqüência didática com a geometria dinâmica, especificamente com o
software Cabri-Géomètre II, um programa que permite construir as figuras
geométricas de maneira dinâmica, e uma vez que as figuras podem ser
movimentadas conservando as propriedades que lhe haviam sido atribuídas.
1.4 Questão de pesquisa
Após os problemas levantados em nosso estudo inicial, o levantamento
bibliográfico, o referencial teórico apresentado, anunciamos a nossa questão de
pesquisa:
Como o processo de reconfiguração de figuras poligonais planas
contribui para a apropriação do conceito de área de um polígono? Como
esse processo favorece a passagem do empírico para o dedutivo?
Para responder à questão apresentada, iremos conceber e aplicar uma
seqüência de ensino utilizando como metodologia de pesquisa, alguns elementos
teóricos da engenharia didática.
32
1.5 Considerações metodológicas
A engenharia didática, metodologia de pesquisa desenvolvida por Michèle
Artigue, emergiu em didática da matemática no início da década de 1980, com o
objetivo de etiquetar uma forma do trabalho didático.
Este termo é comparado ao trabalho de um engenheiro que para
realizar um projeto preciso, apóia-se em conhecimentos científicos de seu
domínio, aceita submeter-se a um controle de tipo científico, mas ao
mesmo tempo, se vê obrigado a trabalhar sobre objetos bem mais
complexos que os objetos depurados das ciências e, portanto, a enfrentar
praticamente, com os meios que dispõe, problemas que a ciência não quer
33
seqüência de ensino. Essa análise visa prever procedimentos e intervenções
possíveis durante cada situação.
Etapa 3 – Aplicação da atividade: É nessa fase que é organizada a
experimentação e a seqüência de ensino aplicada aos alunos, junto com o
professor-pesquisador e os observadores.
Etapa 4 – Análise a posteriori: É nessa fase que analisamos e interpretamos as
informações obtidas na aplicação da seqüência de ensino, ou seja, na
experimentação. A análise baseia-se nas produções dos alunos. É no confronto
entre a análise a posteriori e a análise a priori que as questões de pesquisa são
validadas ou não.
34
Capítulo 2
Um estudo do objeto matemático - Área
2.1 Um breve estudo histórico sobre o cálculo de áreas
Segundo Boyer (1974), afirmações sobre as origens da matemática
(aritmética ou geometria), são muito antigas, portanto arriscadas. O homem
passou a registrar seus pensamentos em forma escrita nos últimos seis milênios
e, com isso, informações sobre a pré-história dependem de interpretações
baseadas em artefatos que restaram. Assim, Heródoto e Aristóteles não se
arriscaram a propor origens mais antigas que a civilização egípcia. Entretanto, é
possível que a geometria em que pensavam tivesse raízes mais antigas.
Para Heródoto (Boyer, 1974), a geometria se originava no Egito, pois
associava a sua criação à necessidade de se fazer novas medidas de terras após
cada inundação anual no vale do rio. Aristóteles atribuía a criação à existência no
Egito de uma classe sacerdotal com lazeres. Assim, podemos considerar as
idéias de Heródoto e Aristóteles como duas teorias opostas: uma prática e outra
baseada no lazer sacerdotal e ritual. Estas teorias não podem ser contestadas
com segurança pois os geômetras egípcios utilizavam cordas tanto para traçar as
bases de templos como para realinhar demarcações de terra. Contudo, o homem
neolítico pode ter tido pouco lazer e pouca necessidade de medir terras, porém
seus desenhos e figuras demonstram preocupação com relações espaciais, o que
abriu caminho para a geometria.
As mais antigas informações documentadas que temos hoje são oriundas
de um certo número de Papiros Egípcios que, de algum modo, resistiram ao
desgaste do tempo por mais de três e meio milênios. Um dos mais precisos e
extensos de natureza matemática com cerca de 30 cm de altura e 5 metros de
comprimento é o Papiro de Rhind. O papiro recebeu esse nome em homenagem
ao antiquário escocês, Henry Rhind, que o comprou em 1858 a beira do rio Nilo. É
35
também é chamado de papiro de Ahmes em honra ao escriba que o copiou por
volta de 1650 a.C., embora o texto faça menção que foi copiado de um
manuscrito, de cerca de 200 anos antes.
Escrito em hierático, o papiro consta de 87 problemas e suas resoluções.
Muitos dos problemas têm por base problemas do cotidiano, como a medida de
cerveja e a divisão de pão.
Alguns destes problemas tratam sobre áreas, como por exemplo, o
problema 51, que pede para se determinar a área de um triângulo isósceles de
altura 13 e base 4. O problema mostra que a área do triângulo isósceles era
achada tomando metade do que chamaríamos base e multiplicando isso pela
altura. Ahmes justifica seu método para achar a área, sugerindo que o triângulo
isósceles, pode ser pensado como dois triângulos retângulos, um dos quais pode
ser deslocado de modo que os dois juntos formam um retângulo, ou seja, de uma
forma muito parecida com a que pensamos hoje.
O problema 52 em que se pede para determinar a área de um trapézio
isósceles de base maior 6, base menor 4 e altura 20, é tratado de uma maneira
muito parecida ao problema acima, ou seja, toma-se a metade da soma das
bases, de modo a se fazer um retângulo. Ahmes multiplica isso por vinte para
achar a área.
Outros problemas do papiro de Rhind que tratam sobre o assunto são os
problemas 48, 49, 50 e 53 que tratam da área do quadrado, retângulo, triângulos
e círculos e os problemas 54 e 55 que tratam de divisão relacionada com áreas.
Estas técnicas desenvolvidas pelas primeiras civilizações tinham um
caráter particular e circunstancial, não havia procedimentos gerais para todos os
casos e basicamente os exemplos eram numéricos e tratados de maneira “ad
hoc”
4
. Foi somente com a cultura grega que a ciência matemática adquiriu um
certo grau de rigor e generalidade, possibilitando uma conceituação precisa dos
elementos envolvidos e a obtenção de resultados mais profundos e abrangentes.
4
A expressão “ad hoc” significa literalmente para isto, por exemplo, um instrumento “ad hoc” é
uma ferramenta elaborada especificamente para uma determinada ocasião ou situação. Num senso
amplo, poder-se-ia traduzir ad hoc como específico ou especificamente.
36
E foi na Grécia no período de 300 a.C aproximadamente, que viveu um
grande geômetra chamado Euclides de Alexandria, autor do texto matemático
mais bem sucedido de todos os tempos – Os Elementos. Pouco se sabe sobre
sua vida, tanto que nenhum lugar de nascimento é associado a seu nome. É
conhecido como Euclides de Alexandria porque foi chamado para lá ensinar
matemática. Da natureza de seu trabalho pode-se presumir que tivesse estudado
com os discípulos de Platão, se não na própria Academia.
Os Elementos é uma obra constituída de 13 livros que expõe todo o
conhecimento matemático elementar desde a época de Tales (600 a.C) até
Euclides (300 a.C) numa ordem lógica. O que a distingue das outras obras e faz a
sua grandeza é a sua estrutura axiomática. Euclides atraiu um grande número de
discípulos, possibilitando assim, a propagação de suas idéias.
Na obra Os Elementos podemos encontrar vários resultados relativos a
áreas de figuras planas. A primeira menção à palavra “área” ocorre na proposição
34 do livro I, seguindo várias outras proposições sobre áreas de paralelogramos,
culminando na belíssima demonstração do teorema de Pitágoras (proposição 47,
livro I). Segundo Lima (1991), entre as idéias de Euclides estavam que a
coincidência de duas figuras planas por superposição era um passo intermediário
para concluir a igualdade de suas áreas.(Com efeito, o Axioma 7 dos Elementos
(Vitrac, 2001) diz:”As coisas que se ajustam umas sobre as outras são iguais
entre si”) . Assim, era importante para ele dispor de critérios que assegurassem a
superponibilidade, por exemplo, de dois triângulos. (os três casos familiares de
“igualdade de triângulos”). Cumpridas essas condições, o Axioma 7 garantiria a
mesma área para os triângulos dados.Na realidade, Euclides nem sequer se deu
ao trabalho de definir área. Nos Elementos duas figuras são chamadas “iguais”
quando têm a mesma magnitude, isto é, quando têm o mesmo comprimento, se
forem segmentos, a mesma área se forem figuras planas, o mesmo volume se
forem sólidos ou a mesma abertura se forem ângulos.
O livro V, também possui uma enorme quantidade de resultados relativos a
áreas, muitos deles utilizados para se obter resultados que evidenciassem o
conceito de proporção.
37
Portanto, quando Euclides enuncia que triângulos ou paralelogramos com
bases iguais e situados entre as mesmas paralelas são iguais, o significado desta
última palavra “iguais” é de que as figuras em questão têm a mesma área. E a
demonstração se faz por meio de decomposição em figuras congruentes.
Nos Elementos, fica evidente que a noção de área era muito mais
qualitativa do que quantitativa, no sentido que se referia à região delimitada por
uma figura do que propriamente um valor numérico atribuído à região. Esta aliás,
era uma característica da matemática grega como um todo, a representação dos
números propriamente por uma via geométrica.
2.1.1 CLAIRAUT
Durante muito tempo, vários autores tentaram revisar a obra de Euclides,
entre eles Alexis Claude CLAIRAUT – matemático francês (1713 – 1765) que
publicou em 1741, uma geometria fora dos padrões de "Os Elementos". Não
apresentou axiomas ou postulados, mas proposições dispostas ordenadamente.
Analisamos a edição Elementos de Geometria de Clairaut, traduzida por João
Feliciano, de 1909. Ao ler o prefácio de sua obra, "Elementos de Geometria",
nota-se uma ligeira semelhança às propostas de ensino nos dias atuais, algo que
se assemelha com a organização local, estimular a investigação e descoberta,
representações e construções, uso da observação, "uma ciência natural fundada
na observação". A evolução das proposições ocorre utilizando-se proposições
anteriores ou provas evidentes, sem o rigor da obra de Euclides, mas em
linguagem natural, mais acessível ao aluno. Sua proposta foi a partir da
necessidade prática de medir terrenos e desenvolveu sua geometria sem
qualquer preocupação com rigor ou formalismo matemático. Para que tenhamos
idéia do que isso quer dizer, basta tomar como exemplo a definição dada por ele
para reta perpendicular: "uma linha que cai sobre outra sem pender nem para um
lado nem para outro, é perpendicular a essa linha". O próprio Clairaut, no Prefácio
do livro, disse:
38
Em alguns passos destes elementos, talvez me censurem por me
reportar demasiado ao testemunho dos olhos, e por me não cingir
bastante à exatidão rigorosa das demonstrações. Aos que tal censura me
fizerem, peço observem que só trato pela rama as proposições cuja
verdade se patenteia por pouco que nelas se atente. Assim procedo
sobretudo no começo, em que mais vezes se encontram proposições
desse gênero. E isto faço por haver notado que os predispostos ao estudo
da geometria gostavam de exercitar um pouco seu espírito, ao passo que
se desalentavam quando eram atochados de demonstrações, por assim
dizer, inúteis. (p.XII)
A definição de área para Clairaut é a seguinte: para determinar a extensão
de uma figura, ... “o meio mais simples e natural é usar-se de uma medida comum
que aplicada muitas vezes sobre a superfície a medir, a cubra inteiramente. É
evidente que a medida comum da superfície deve ser também uma superfície
como por exemplo, a superfície de um metro quadrado, um decímetro quadrado,
etc. Assim, medir um retângulo é determinar o número de metros quadrados ou
decímetros quadrados, etc, contidos em uma superfície”.
Um problema que aparece em sua obra para maiores esclarecimentos é
sobre o cálculo da área do retângulo, que é:
Suponha que o retângulo dado ABCD tem 7 metros de altura, com uma
base de 8 metros.
Poderemos considerar este retângulo como dividido em 7 bandas
a, b, c, d, e, f, g, contendo cada uma 8 metros quadrados. O valor do
39
retângulo será, pois, 7 vezes 8 metros quadrados ou 56 metros
quadrados.
Agora recordando-nos dos primeiros elementos do cálculo
aritmético e lembrando-nos de que multiplicar dois números é tomar um
tantas vezes quantas são as unidades do outro, acharemos uma perfeita
analogia entre a multiplicação ordinária e a operação pela qual se mede o
retângulo. Veremos que multiplicando o número de metros que dá sua
altura, pelo número de metros que dá sua base, determinaremos a
quantidade de metros quadrados que sua superfície contém.
A área do triângulo é determinada por Clairaut através da área do retângulo
da seguinte forma:
Já vimos que todo retângulo ABCD é igual ao produto de sua base
AB por sua altura BC; e além disso facilmente se percebe que esta figura,
cortada transversalmente pela linha AC, chamada de diagonal, fica
dividida em dois triângulos iguais. Daí se deduz que cada um desses
triângulos será igual à metade do produto de sua base AB ou CD por sua
altura BC ou AD.
A partir do cálculo da área do triângulo retângulo, Clairaut, através do
processo de composição e decomposição de figuras, determina a área do
triângulo acutângulo, do triângulo obtusângulo, do paralelogramo e de polígonos
regulares, que eram compostos por triângulos.
2.1.2 LEGENDRE
Outro grande matemático que teve enorme contribuição para o estudo da
geometria foi o matemático Francês Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833). Em
1794, publica Éléments de Géométrie – uma obra de geometria, cuja proposta era
aprimorar pedagogicamente para uso escolar e acadêmico os Elementos de
Euclides. Legendre obteve sucesso pela reordenação e simplificação presente em
seu trabalho. A sua obra é formada por uma estrutura bem parecida com a de
Euclides, ou seja, apresentando as definições, proposições (teoremas) e suas
respectivas demonstrações.
40
Legendre atualiza e simplifica as proposições de Os Elementos de
Euclides. Utiliza no primeiro livro, 26 definições, algumas destas citadas no
quadro comparativo.
Quadro 1: Comparativo Euclides e Legendre
Euclides
Legendre
• Um ponto é o que não tem partes. • Um ponto é o lugar em que duas linhas
se cortam.
• As extremidades de uma superfície
são linhas
• O lugar em que as superfícies de dois
corpos se encontram é denominado linha
• Uma linha reta é uma linha que
assenta igualmente entre as suas
extremidades.
• Uma linha reta é uma linha indefinida
que assinala a mais curta distância entre
quaisquer dois dos seus pontos.
• Uma superfície é o que tem apenas
comprimento e largura
• A superfície de um corpo é o limite que o
separa do espaço adjacente.
• Uma superfície plana é uma
superfície sobre a qual assenta toda
a linha reta entre dois pontos
quaisquer da superfície.
• O plano é uma superfície tal que,
tomando nela dois pontos à vontade e
unindo-os por uma reta, esta linha fica
toda situada na superfície.
Porém é no terceiro livro (Medida dos polígonos – Semelhança), que
Legendre trabalha com o conceito e cálculo de área de figuras poligonais. O livro
começa com cinco definições, três (III, IV e V) referentes cada uma delas
respectivamente a altura do paralelogramo, triângulo e trapézio, e duas sobre
área, que são:
“I. A área de uma figura é a relação entre a extensão dela e a da unidade
de superfície”.
“II. Duas figuras equivalentes são as que têm a mesma área”.
Logo após as definições, o autor observa que duas figuras diferentes
podem ser equivalentes; por exemplo, um círculo pode ser equivalente a um
quadrado, um triângulo e etc. Logo após as definições, ele utiliza sete
proposições e suas respectivas demonstrações, referentes ao cálculo de área.
9 Proposição I “Os paralelogramos que têm bases iguais e alturas iguais são
equivalentes”.
41
Seja AB a base comum dos dois paralelogramos ABCD,
42
passo que o retângulo AEFD somente conterá 4; portanto, o
retângulo ABCD está para o retângulo AEFD como 7 está para 4,
ou como AB está para AE.
9 Proposição IV “Dois retângulos estão entre si como os produtos das bases
pelas alturas”.
9 Proposição V “A área de qualquer paralelogramo é igual ao produto da sua
base pela sua altura”.
Porque o paralelogramo ABCD é equivalente ao retângulo ABEF
que tem a mesma base AB e a mesma altura BE; ora, este por medida, AB
+ BE: logo AB x BE é igual à área do paralelogramo.
Corolário. Os paralelogramos da mesma base estão entre si como
as sua alturas, e os paralelogramos da mesma altura estão entre si como
as suas bases; porque, sendo A, B, C, três grandezas quaisquer, tem-se
geralmente
B
A
BxC
AxC
=
.
9 Proposição “A área de um triângulo é igual ao produto da sua base por metade
da sua altura”.
Porque o triângulo ABC é metade do paralelogramo ABCE, que
tem mesma base BC e a mesma altura AD; ora, a superfície do
paralelogramo = BC x AD : logo a do triângulo =
2
BC
x AD, ou BC x
2
AD
.
Corolário. Dois triângulos da mesma altura estão entre si como as
suas bases, e dois triângulos da mesma base estão entre si como as suas
alturas.
43
9 Proposição VII “A área do trapézio ABCD é igual à sua altura, multiplicada pela
semi-soma das bases paralelas”.
2.1.3 HADAMARD
Um outro matemático que influenciou bastante o ensino da matemática foi
o francês Jacques Salomon HADAMARD (1865-1963) com sua obra "Leçons de
Géométrie Élémentaire" (1898) composta por dois volumes. No volume 1 temos o
estudo da geometria plana dividido em livros I ao IV e no volume 2 temos o
estudo da geometria espacial dividido em livros V ao X .
Foi no primeiro volume, no IV livro que Hadamard escreveu sobre o
conceito e cálculo de área. Com uma estrutura de definições e teoremas parecida
às de Euclides e Legendre, Hadamard demonstra as fórmulas e o cálculo das
áreas das principais figuras planas e, ao final do capítulo, faz uma comparação
entre áreas para demonstrar que cada cateto de um triângulo retângulo é a media
proporcional (ou média geométrica) entre sua projeção sobre a hipotenusa e a
hipotenusa.
2.2 Um tratamento mais recente sobre o cálculo de áreas de figuras
elementares
Um estudo rigoroso das áreas das figuras planas exige um conjunto de
axiomas próprios, e a partir desses axiomas, a dedução das fórmulas.
Segundo Lima (1991), “uma idéia básica sobre área, é medir a porção do
plano ocupada por uma figura plana F. Para isso, comparamos F com a unidade
de área. O resultado dessa comparação será um número, que deverá exprimir
quantas vezes a figura F contém a unidade de área”. Daremos aqui um
significado matemático para essa idéia.
Definição : A área de uma região R delimitada por uma ou várias curvas é
um número real positivo A(R) satisfazendo às seguintes condições:
1. Duas regiões congruentes possuem a mesma área A.
44
2. Se duas regiões R
1
e R
2
se intersectarem no máximo por pontos
em sua fronteira, isto é, sua intersecção não possui pontos
interiores, então A (R
1
U R
2
) = A (R
1
) + A (R
2
)
3. A área A de um quadrado cujo lado mede uma unidade de
comprimento é igual a uma unidade de área.
Teorema 2.2.1 A área de um quadrado de lado a é igual a a².
Demonstração: Iniciaremos com um quadrado de lado inteiro n. Se
subdividirmos seus lados em n segmentos de comprimento unitário, teremos ao
todo n² quadrados de lado unitário decompondo o quadrado original, conforme
exemplificando na figura abaixo. Todos estes quadrados de lado unitário se
intersectam no máximo por uma aresta e portanto, pelo item 2 da definição de
área, a área do quadrado é igual à soma das áreas dos quadrados de lado 1.
Segue-se que o quadrado Q deve ter área n².1, que é igual a n².
Segundo Lima (1991) “se o lado de um quadrado Q tem por medida o
número racional
n
m
, então podemos decompor cada lado de Q em m segmentos,
cada um dos quais tem comprimento
n
1
. Traçando paralelas aos lados de Q a
partir dos pontos de divisão, obtemos uma decomposição de Q em m² quadrados,
cada um dos quais tem lado
n
1
. Portanto, a área de cada um desses quadrados
menores é
2
1
n
. Segue-se que a área de Q deve ser
Quadrado de lado 5,
decomposto em 5² = 25
quadrados unitários
45
m² .
2
1
n
=
2
2
n
m
ou seja, a área de Q =
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
m
”.
Podemos então concluir que a área de um quadrado Q cujo lado tem para
medida um número racional a =
n
m
é dada pela expressão: área de Q = a².
Resta-nos mostrar que o resultado continua válido para quadrados de lado
com medida irracional. Para isto, vamos utilizar alguns fatos a respeito das
propriedades dos números reais:
1. Dados dois números reais positivos a e b, temos que a < b se, e
somente se a² < b².
2. Dados dois números reais quaisquer a e b, sempre existe um
número racional entre eles.
3. dado um número real positivo a, existe um único número real
positivo b tal que b² = a.
Como conseqüência da segunda condição, podemos concluir que
arbitrariamente próximos a qualquer número irracional a, podemos encontrar
números racionais r e s tais que r < a < s. Assim um quadrado de área R e lado a,
ficará sempre no interior de um quadrado de lado racional s, cuja área é igual a s²,
e terá em seu interior um quadrado de lado r, e portanto com área r², conforme
mostra a figura abaixo.
Aproximação de um quadrado de lado irracional por quadrados de lado racional, por
excesso e por falta.
46
Assim, teremos r² < A(R) < s². Por outro lado, temos pela primeira
propriedade que r² < a² < s², para quaisquer racionais r e s tais que r < a < s.
Supondo, então, que a área A(R) seja igual a um número b < a². Pela terceira
propriedade existirá a raiz quadrada de b, que será denotada por b , que será
um número menor que a. E pela segunda propriedade existirá um número
racional r entre b e a. Assim devido a todas as informações expostas
anteriormente, b < r² < A(R), o que é uma contradição, pois supusemos que
A(R)=b. Da mesma forma, podemos verificar que a área do quadrado de lado a,
não pode ser um número maior que a². Portanto A(R)=a².
Com isto, exaurimos todas as possibilidades para medida do lado de um
quadrado. Em todos os casos temos que a área do quadrado é numericamente
igual ao quadrado da medida do lado.
A maneira de provar uma fórmula mostrando que a desigualdade é
impossível é devido a Eudóxio e é conhecido como o método da exaustão.
A partir deste teorema fundamental, podemos calcular as áreas de outras
figuras planas fundamentais.
Teorema 2.2.2 A área de um retângulo é o produto de sua base pela sua
altura.
Demonstração: Consideremos Q, a área de um retângulo de medidas de
lados b e h, construiremos um quadrado de lado (b + h), cuja área pelo teorema
2.2.1 é igual a (b + h)² . Por outro lado, o quadrado de lado (b +h) é constituído de
um quadrado de lado b, portanto de área igual a b², um quadrado de lado h,
portanto de área igual a h², e dois retângulos Q de lados b e h, conforme ilustrado
na figura abaixo:
47
Cálculo da área de um retângulo
Logo, podemos concluir que a área do quadrado de lado (b +h), ou seja,
(b + h)² = b² + 2bh + h²
(b + h)² = b² + 2.Q + h²
2 .Q = 2bh
Q = b.h
Logo, fica demonstrado que a área de um retângulo é o produto de sua base pela
sua altura.
Teorema 2.2.3 A área de um triângulo é o semi-produto de qualquer base
pela altura correspondente.
Demonstração: iremos demonstrar o teorema para os três casos de
triângulos (triângulo retângulo, triângulo acutângulo e obtusângulo) começaremos
pela demonstração do triângulo retângulo com medidas de catetos a e b,
conforme mostra a figura abaixo.
1º caso (triângulo retângulo)
48
Sendo A, a área do triangulo VUX, e como o ΔVUX é congruente ao ΔVWX,
pela primeira definição, temos que os dois triângulos possuem áreas iguais, pela
segunda definição, temos que A + A = ab, logo 2A = ab , portanto A=
2
ba⋅
, sendo
assim a área de um triângulo retângulo é o semi- produto da base pela altura
correspondente.
2º caso (triângulo acutângulo)
O pé da altura está entre as extremidades da base, logo a altura divide o
ΔDEF em dois outros triângulos retângulos com base
1
b e
2
b e bbb =+
21
. Pela
demonstração anterior, as áreas destes novos triângulos são
2
1
hb ⋅
e
2
2
hb ⋅
, e pela
segunda definição, temos que á área do ΔDEF vale:
1
b
2
b
49
A =
2
1
hb ⋅
+
2
2
hb ⋅
, logo A = h
bb
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
21
, Portanto A =
2
hb⋅
. Sendo assim a
área de um triângulo acutângulo é o semi-produto da base pela altura
correspondente
3º caso (triângulo obtusângulo)
Pelo primeiro caso, temos que a área do ΔESD =
2
1
hb ⋅
, e a área do ΔESF
= h
bb
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
1
, logo pela segunda definição temos que a área do ΔESF é igual à
soma das áreas dos triângulos ESD e EDF, logo temos:
h
bb
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
1
=
2
1
hb ⋅
+ área ΔEDF
2
1
hb ⋅
+
2
hb
⋅
=
2
1
hb ⋅
+ área ΔEDF
área ΔEDF =
2
1
hb ⋅
-
2
1
hb ⋅
+
2
hb
⋅
área ΔEDF =
2
hb⋅
.
Mostramos, assim, que a área de qualquer triângulo é semi-produto de
qualquer base pela altura correspondente.
1
b
50
Teorema 2.2.4 A área de um paralelogramo é igual ao produto de qualquer
base pela altura correspondente.
Demonstração: Consideremos o paralelogramo ABCD, e tomemos b como
base e h altura deste paralelogramo, conforme figura abaixo.
Os triângulos ΔAEB e ΔDFC são congruentes. Logo, pela primeira definição
temos que os dois triângulos possuem a mesma área, logo pela segunda
definição temos:
()
22
haha
hab
⋅
+
⋅
=⋅+
+ área do paralelogramo
+⋅=⋅+⋅ hahahb
área do paralelogramo
=⋅−⋅+⋅ hahahb área do paralelogramo
Logo, área do paralelogramo = hb
⋅
O processo é exatamente igual se tomarmos como base o AB . Mostramos
assim, que a área de um paralelogramo é igual ao produto de qualquer base pela
altura correspondente.
Teorema 2.2.5 A área de um trapézio é igual à metade da soma das bases
multiplicado pela altura.
51
Demonstração: Sendo ABCD um trapézio. Isto significa que o AB e o
CD
são paralelos. Sendo
A
B =b,
1
bCD =
e h a distância entre as paralelas, conforme
a figura abaixo.
Temos que a diagonal AC decompõe o trapézio nos triângulos ΔABC e
ΔADC, com bases b e
1
b respectivamente, e a mesma altura h. Pela segunda
definição, temos que a área do trapézio ABCD é a soma das áreas desses dois
triângulos. Logo, temos que:
Área do trapézio ABCD =
2
hb
⋅
+
2
1
hb ⋅
Área do trapézio ABCD =
(
)
h
bb
⋅
+
2
1
Mostramos, assim, que a área de um trapézio é igual à metade da soma
das bases multiplicado pela altura.
Teorema 2.2.6 A área de um losango é igual ao semi-produto de suas
diagonais.
Demonstração: O quadrilátero ABCD é um losango, sendo a medida do
AC = D e
B
D = d , ou seja, as diagonais do losango, conforme a figura abaixo.
1
b
52
Temos que a diagonal BD divide o losango em dois triângulos. Logo, pela
segunda definição, a área do losango é a soma das áreas dos triângulos ΔABD e
ΔCBD, portanto temos que:
Área do losango =
2
2
2
2
D
d
D
d ⋅
+
⋅
Área do losango =
2
2
2
Dd
⋅
⋅
Área do losango =
2
Dd ⋅
Mostramos assim que a área do losango é igual ao semi-produto das
diagonais.
2.3 Áreas de figuras gerais
Mostramos que se pode associar a cada polígono P um número real não
negativo, chamado de área de P, de acordo com as três definições mencionadas
anteriormente.
Segue da segunda definição, de que a área de uma figura é sempre maior
que a área de qualquer figura contida em seu interior. No entanto, ainda não
definimos de uma forma geral a área de uma figura plana, pois não sabemos em
particular como calcular a área de figuras delimitadas por curvas.
53
Definiremos agora a área de uma figura plana Σ qualquer.
Definição: Dada uma figura Σ, um polígono
i
P interior e um polígono
E
P
exterior a Σ, dizemos que a área de
i
P
é uma aproximação da área de Σ por falta
e a área de
E
P é uma aproximação da área de Σ por excesso.
De acordo com a definição, a área da figura plana Σ deve ser um número
real não negativo, que indicaremos como A (
Σ). Ele ficará bem determinado se
conhecermos seus valores aproximados, por falta ou por excesso.
Os valores de A (
Σ) aproximados por falta são, por definição, as áreas dos
polígonos
i
P contidos em Σ. Os valores de A (Σ) aproximados por excesso são as
áreas dos polígonos
E
P que contêm Σ. Por conseguinte, quaisquer que sejam os
polígonos
i
P (contido em Σ) e
E
P (contendo Σ), o número A (Σ) satisfaz às
desigualdades A(P) < A (Σ) < A (P’), conforme figura abaixo.
Aumentando o número de lados de um polígono interior ou exterior,
fazemos com que as aproximações por falta e por excesso fiquem cada vez mais
próximas entre si. As curvas para as quais será possível a atribuição de um valor
de área serão aquelas que possuam a seguinte propriedade: Dado qualquer valor
positivo, tão pequeno quanto se queira, existe uma aproximação por excesso e
uma aproximação por falta de forma que a diferença entre estes dois valores seja
E
P
I
P
Σ
54
menor que este valor fixado. A área da figura pode, então, ser aproximada
arbitrariamente por excesso ou por falta encontrando-se polígonos exteriores e
interiores com um número cada vez maior de lados. Foi assim que Arquimedes de
Siracusa conseguiu na antiguidade uma boa aproximação para o número
π
,
aproximando a área de um círculo por polígonos inscritos e circunscritos ao
mesmo.
Isto significa que, para todo polígono P contido em Σ, tem-se A(P) < A (Σ),
além disso, dado qualquer número b <A(Σ), existe um polígono P, contido em Σ,
tal que b < A(P) < A(
Σ).
Este mesmo raciocínio também é válido para as aproximações por
excesso.
Com o advento do cálculo integral, muitas áreas de figuras curvilíneas
puderam ser calculadas explicitamente. A idéia do cálculo integral é aproximar as
figuras através de retângulos.
2.4 Como os livros didáticos apresentam o conceito e o cálculo de
área de figuras planas.
Analisaremos a seguir, três coleções didáticas do Ensino Fundamental I,
para situarmos nossa pesquisa dentro do aspecto pedagógico, no que tange à
forma como o conteúdo de área é tratado.
A análise será baseada nas coleções Matemática em Movimento – Adilson
Longen, Editora Positivo, 2004; Matemática em Atividades - Scipione Di Pierro
Netto e Elizabeth Soares, Editora Scipione, 2005; Tudo é Matemática - Luiz
Roberto Dante, Editora Ática, 2005.
Estudamos a coleção Tudo é matemática, pois a mesma é a adotada pelos
alunos que participaram do experimento, e atualmente é considerada uma boa
coleção pelos especialistas. Matemática em Atividades foi escolhida por seu
autor, Scipione, ter sido um grande conhecido entre professores de matemática e
ter sido reconhecidamente um grande autor de vários outros livros. Já Matemática
em Movimento foi selecionada por se tratar de uma coleção menos conhecida e,
talvez por esse fato, ser menos utilizada pelos professores. Todas as coleções
foram indicadas no PNLD / 2005.
55
Verificamos que todos os autores iniciam o conceito de área e perímetro na
5ª série do Ensino Fundamental.
Os autores da coleção, Matemática em Movimento iniciam o conceito de
perímetro pela definição formal, apresentam algumas figuras e definem que medir
o comprimento dessas figuras significa obter o perímetro das mesmas,
apresentam um triângulo eqüilátero, um quadrado e um hexágono regular,
definem as fórmulas do perímetro para, logo em seguida, partir para os
exercícios. Para o conceito de área, o livro fornece as fórmulas para o cálculo da
área do quadrado, do retângulo, do paralelogramo e do triângulo, não faz menção
de figuras não usuais, o ladrilhamento é usado apenas em um exemplo, a
composição e decomposição de figuras são apresentadas apenas na visualização
da área do paralelogramo, mas sem que o aluno possa experimentar este tipo de
atividade – apenas um exemplo, não traz nenhum exercício em que o perímetro
permanece constante e a área não e também não faz menção à parte histórica do
conceito de área, sendo que os exercícios todos necessitam da memorização das
fórmulas. Não faz nenhuma menção ao uso da tecnologia como, por exemplo, o
uso de softwares de geometria dinâmica.
Nos livros de 6ª, 7ª e 8ª séries, o assunto não é tratado. Apenas aparece
em alguns problemas esporádicos, mesmo assim, apenas com a utilização das
fórmulas como, por exemplo, em um exercício que traz um quadrado de lado x, e
pede-se para determinar por meio de uma igualdade a área e o perímetro deste
quadrado.
Observamos que não existe em nenhum momento a intenção de colocar o
aluno numa situação em que ele construa os conhecimentos por conta própria.
Na coleção Matemática em atividades, os autores começam o assunto
com um problema: apresentam duas cozinhas retangulares de tamanhos
diferentes desenhadas em três dimensões, perguntando qual delas é a maior.
Fazem toda uma explicação sobre o assunto, explanando que para comparar as
duas é preciso saber a quantidade de ladrilhos contidas em cada uma e
perguntam como é possível descobrir essa quantidade sem contar todos os
ladrilhos, definindo assim área e perímetro.
56
Em seguida, o autor trabalha alguns exercícios com o uso do quadriculado
para determinar o perímetro e a área de algumas figuras e não utiliza, em nenhum
momento, figuras que possuem áreas iguais e perímetros diferentes ou vice-
versa. Logo em seguida, os autores definem a fórmula da área do quadrado,
retângulo, triângulo e paralelogramo, fazendo apenas uma menção ao uso da
composição e decomposição para mostrar a fórmula do paralelogramo, não
mencionando em nenhum momento a parte histórica. Os exercícios basicamente
são apresentados memorizando as fórmulas.
Nos livros de 6ª e 7ª séries, o assunto é tratado apenas em alguns
exercícios e, novamente, com a utilização das fórmulas. Porém, percebemos um
enfoque diferente na 8ª série, retomando o assunto, e dedicando um capítulo
inteiro para o cálculo de áreas das principais figuras planas. Começa comparando
a área de duas figuras equivalentes e definindo a área com um número real
associado a uma figura plana, segundo uma lei de contagem, das unidades que a
figura contém. Trabalha com a composição de figuras para achar figuras
equivalentes e, nessa linha, vai através dos exercícios, deduzindo as fórmulas
das principais figuras planas. Trabalha alguns exercícios interessantes, em que a
resolução não depende exclusivamente das fórmulas, mas sim da composição e
decomposição de figuras. Sentimos neste último livro, uma tendência diferente
dos autores em relação aos três livros anteriores, no sentido de levar o aluno a
construir seu conhecimento, com experiências próprias e não com exemplos
prontos.
Na coleção tudo é matemática, notamos que o tema é trabalhado de
modo espiral ao longo das quatro séries, retomando, ampliando e aprofundando
gradativamente os conceitos e procedimentos já estudados. Propõem atividades
que procuram estimular a experimentação e a reflexão, possibilitando a
construção e a apropriação gradativa dos conhecimentos.
Ele começa o assunto, contextualizando com um quadro da Monalisa, de
Leonardo da Vinci, mostrando suas dimensões e o mapa do Brasil, apresentando
a superfície dos estados brasileiros. Inicia os exercícios com a composição e
decomposição de figuras com o uso do tangran, para mostrar que uma figura
pode ser composta de várias maneiras. Determina a área aproximada de regiões
57
delimitadas por curvas através do quadriculado, utilizando o processo de
aproximação por falta e por excesso. O uso de problemas contextualizados, de
quadriculados e da composição e decomposição de figuras é freqüente na
coleção. As atividades são as mais diversificadas possíveis, com a participação
dos alunos na construção de várias figuras. As fórmulas das principais figuras
planas são demonstradas ao longo da coleção através da composição e
decomposição de figuras. Vários problemas utilizam apenas a composição e
decomposição em sua resolução, apresentando também problemas em que a
área varia e o perímetro não e vice-versa, e mostra em alguns momentos uma
parte histórica, mostrando um problema de área do papiro de Rhind e uma
matéria de jornal onde arqueólogos acham um pedaço de rocha com desenhos
em forma de losangos.
Percebemos, também, o cuidado com que o autor trata da passagem do
quadro geométrico para o cálculo algébrico, e do quadro geométrico para o
numérico, criando toda uma situação a-didática, mostrando que as fórmulas não
precisam ser memorizadas, e sim entendidas.
Pedaço de rocha encontrado por arqueólogos em caverna sul-africana
com desenhos em forma de losango. Trata-se do achado mais antigo
de desenho humano, remontado há 77 mil anos .
Fonte: Dante, 8ª. Pg 209.
58
Capítulo 3
Concepção e a análise a priori das atividades
3.1 Introdução
Neste capítulo, justificaremos as escolhas didáticas feitas para a
elaboração da seqüência didática e faremos a análise a priori das atividades
propostas. Essa análise consistirá em descrever cada uma das atividades, bem
como resolvê-las, imaginar as possíveis estratégias que serão utilizadas pelos
alunos, as dificuldades que poderão surgir e as possíveis intervenções do
professor-pesquisador caso alguns deles estejam bloqueados.
Artigue (1988) descreve que:
A análise a priori deve ser concebida como uma análise do
controle do sentido, pois a teoria das situações didáticas que serve de
referência à metodologia da engenharia didática teve desde sua origem
a ambição de se constituir como uma teoria de controle das relações
entre sentido e situação.
(...) o objetivo da análise a priori é determinar no que as escolhas
feitas permitem controlar os comportamentos dos alunos e o significado
de cada um desses comportamentos. Para isso, ela vai se basear em
hipóteses e são essas hipóteses cuja validação estará em princípio,
indiretamente em jogo, na confrontação entre a análise a priori e a
análise posteriori a ser operada na quarta fase (p. 293)
A análise a priori comporta uma parte de descrição e outra de previsão e
está centrada nas características de uma situação a-didática que se quis criar e
que se quer aplicar aos alunos visados pela experimentação. Na análise a priori
deve-se:
9 Descrever cada escolha local feita e as características da
situação a-didática decorrentes de cada escolha;
9 Analisar qual o desafio da situação para o aluno decorrente das
possibilidades de ação, de escolha, de decisão, de controle e de
validação de que ele disporá durante a experimentação;
59
9 Prever os comportamentos possíveis e mostrar no que a análise
efetuada permite controlar o sentido desses comportamentos.
Além disso, deve-se assegurar que, se tais comportamentos
ocorrem, resultarão do desenvolvimento do conhecimento visado
pela aprendizagem.
Pelo exposto, fica claro que a análise a priori objetiva a consideração do
aluno sob dois aspectos: o descritivo e o previsto.
3.2 A concepção da seqüência
Segundo os PCN, a experiência tem mostrado que os alunos que
aprendem fórmulas mecanicamente costumam empregá-las de forma também
mecânica e acabam obtendo resultados sobre os quais não têm nenhum tipo de
crítica e controle, além de as esquecerem rapidamente. Desse modo, o trabalho
com áreas deve apoiar-se em procedimentos que favoreçam a compreensão das
noções envolvidas, como obter área pela composição e decomposição de figuras
cuja área eles já sabem calcular.
A criação desta seqüência didática de ensino busca auxiliar o aluno na
construção do significado do conceito de áreas de figuras planas, através da
composição e decomposição de figuras.
A composição e decomposição de figuras geométricas apóiam-se na
operação de reconfiguração. Através desta operação, esperamos que os alunos
consigam entender o conceito de área como uma medida de comparação entre
superfícies, podendo comparar, assim, figuras que possuem área maior, menor
ou igual a outras.
Uma das características da composição e decomposição é abrir
possibilidades de diferentes abordagens na resolução de um problema. A
operação de reconfiguração consiste em reagrupamento pertinente de partes
60
elementares de uma figura e permite desenvolver imediatamente nos alunos,
tratamentos tais como:
° Medir área por adição ou subtração de partes elementares. Neste
caso, as estratégias baseiam-se no princípio da conservação da área
e sobre a aplicação de um axioma de Euclides: ”Subtraindo
quantidades iguais, obtêm-se quantidades iguais”.
° Encontrar dois reagrupamentos intermediários equivalentes;
° Reconstruir, a partir da figura inicial, uma outra por deslocamento de
elementos (ou pedaços).
° Possibilitar o uso de figuras com sua função heurística
5
na resolução
de problemas matemáticos.
Outro aspecto ressaltado pela composição e decomposição de figuras é o
caráter bidimensional do conceito de área, uma vez que podemos relacionar as
áreas de duas figuras a partir da comparação delas com a de outra, considerada
a unidade de medida de superfície, determinando quantas vezes essa última cabe
em cada uma daquelas. Desse modo, começamos a evidenciar a relação entre
extensão ocupada por uma superfície plana e o número que representa essa
extensão.
A percepção da organização do conjunto das formas de uma figura leva à
realização de várias reconfigurações daquelas que são visíveis e possíveis, ou
seja, a visão de partes reagrupadas em um novo todo. Trata-se, portanto, da
apreensão operatória da figura, que segundo Duval “...é centrada sobre
modificações possíveis de uma figura inicial e, em seguida sobre as
reorganizações perceptivas que estas modificações acarretam” (1988, p.62).
Para a elaboração da seqüência, apoiamo-nos em dados provenientes dos
estudos preliminares e dos resultados de pesquisas e artigos referentes ao tema.
Neste sentido, concebemos uma seqüência de atividades divididas em três
blocos:
5
Método de ensino que consiste em que o educando chegue à verdade por seus próprios meios.
61
1. Atividades concretas
2. Atividades com o uso do cabri-géomètre
3. Justificativa das fórmulas
Escolhemos estes três blocos por acreditarmos que o conceito de área
exige que ele seja trabalhado em diversas situações e abordado sob diferentes
prismas. Um conceito trabalhado isoladamente ou situações de um mesmo tipo é
pouco funcional. Por isso, nesta seqüência, procuramos interligar vários aspectos
do conceito de área, cada um em um bloco.
No primeiro bloco, de forma empírica e com a utilização do material
concreto, trabalhamos o conceito de área através da reconfiguração de figuras.
Segundo Franchi (1992), normalmente o ensino de geometria inicia-se pelo
estudo de figuras geométricas tomadas como representações de objetos reais
que, de forma alguma, são estáticos. Neste sentido, no primeiro bloco, fizemos
uso de transformações geométricas (isometrias; rotação e translação) de forma
intrínseca na resolução das atividades. Transformamos paralelogramos em
retângulos, retângulos em triângulos, triângulos em retângulos, losangos em
retângulos, trapézios em paralelogramos...Para efetuar essas transformações,
decompusemos o polígono original e recompusemos, com as partes obtidas, um
novo polígono, por meio de certos movimentos, informalmente descritos como
girar, deslizar... (as isometrias mencionadas acima).
Essas modificações são realizadas psiquicamente, graficamente e
mentalmente. Segundo Duval (1995) “o interesse de fracionar uma figura ou seu
exame a partir de partes elementares está ligado à operação de reconfiguração
intermediária. A reconfiguração é a operação que consiste em organizar uma ou
várias subfiguras diferentes de uma figura dada em outra figura. Com efeito, as
partes elementares obtidas por fracionamento podem ser reagrupadas em muitas
subfiguras, todas dentro da figura de partida. Essa operação permite, portanto
engrenar imediatamente os tratamentos tais como as medidas de áreas por soma
de partes elementares, ou evidenciar a equivalência de dois reagrupamentos
intermediários”.
62
Por todos esses fatores, esperamos conseguir justificar para os alunos que
duas figuras F1 e F2 são equicompostas (ou equidecomponíveis) se for possível
decompor F1 em um número finito de partes e, com estas partes, compor F2 sem
sobreposição das partes, o que as torna figuras equivalentes, ou seja, com áreas
iguais. Portanto, a maneira de se calcular a área de ambas as figuras será igual.
Esperamos, com isso, levar o aluno à compreensão e uso adequados das
fórmulas no cálculo das áreas.
“... é aconselhável que se leve o aluno a vivenciar experiências
com diversos tipos de materiais concretos manipuláveis, a fim de que ele
possa ter a oportunidade de encontrar o meio material que seja mais
apropriado à sua percepção sensorial e que mais aguce sua
curiosidade”.(Kaleff, 1998)
Neste sentido, fundamenta-se o primeiro bloco de atividades, todo ele
amparado no material concreto, em que o aluno terá todas as observações e
conjecturas validadas pela percepção bidimensional das figuras. Com a
manipulação das figuras, ele conseguirá, através da comparação entre áreas,
relacionar figuras equivalentes e perceber que estas possuem mesma área. Esse
bloco está classificado no nível G0 de Parzsyz, numa geometria empírica, na qual
o aluno se baseia nos modelos, imagens e representações gráficas, e começa a
perceber as propriedades existentes nas figuras, porém não consegue explicitá-
las com teoremas e axiomas.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p. 127),
“Apesar da força de convencimento para os alunos que possam
ter esses experimentos com material concreto, eles não constituem
provas matemáticas. Ainda que essas experiências possam ser aceitas
como “provas” no terceiro ciclo, é necessário, no quarto ciclo, que as
observações do material concreto sejam elementos desencadeadores de
conjecturas e processos que levem às justificativas mais formais.”
Nesse sentido, criamos o segundo bloco que utiliza as construções
geométricas e suas propriedades com a utilização da geometria dinâmica. O
aluno não irá validar suas conjecturas apenas pela percepção, mas sim pela
percepção e propriedades matemáticas existentes nas figuras.
63
Escolhemos o segundo bloco para abordarmos os mesmos conceitos do
primeiro, mas enfocando outros aspectos, ou seja, as propriedades matemáticas
através das construções geométricas com o uso do Cabri. Acreditamos que a
manipulação das figuras construídas com as propriedades matemáticas, tais
como segmento perpendicular, ponto médio e reta paralela, movimentada de
várias maneiras, possa permitir ao aluno um melhor entendimento sobre figuras
equivalentes, através do mesmo processo de reconfiguração.
Desse modo, tentamos fazer uma passagem de nível, segundo a
classificação de Parzsyz, passando de G1 e adentrando ao G2, quando os alunos
começam a utilizar as propriedades matemáticas das figuras. As definições
passam a ganhar sentido e os alunos começam a validar “matematicamente” os
resultados obtidos empiricamente na atividade anterior.
Escolhemos a geometria dinâmica nesse bloco por acreditarmos que o uso
64
“... é bastante freqüente os alunos confundirem noções de área e
perímetro ou estabelecerem relações não verdadeiras entre elas; assim,
por exemplo, quando comparam dois polígonos concluem que” a figura
de maior área tem necessariamente maior perímetro e vice-versa”. Uma
das possíveis explicações é a de que raramente, os alunos são
colocados ante situações-problema em que as duas noções estejam
presentes.” (PCN 1998, p. 130).
Para finalizar a seqüência, criamos o terceiro bloco com o objetivo de
introduzir as fórmulas para o cálculo de área, procurando sistematizar o que foi
verificado nos blocos anteriores.
O terceiro bloco da seqüência está fundamentado, segundo a classificação
de Parzsyz no nível G2, ou seja, uma geometria proto-axiomática. Um bloco
dedutivo, em que os alunos partirão de algumas premissas tomadas como
verdadeiras para as demonstrações das fórmulas.
Ao escolhermos o tema área, decidimos por uma seqüência de atividades
que evidenciasse o aspecto bidimensional das figuras, uma vez que, através da
composição e decomposição das mesmas, podemos comparar a superfície de
duas ou mais figuras, sem relacionar suas medidas e, concluir se são
equivalentes ou se uma é maior ou menor que a outra.. Segundo Duval (1995)
(apud, Brito 2005, p.13) “a grande dificuldade no ensino de geometria é o fato de
o discurso matemático se referir, em primeiro lugar, aos elementos de dimensão
um e zero das figuras geométricas, enquanto a percepção detém primeiramente
os de dimensão dois”.
Por exemplo, quando nos referimos a um quadrado, evidenciamos suas
propriedades lineares, tais como os quatro lados congruentes e diagonais
também congruentes e perpendiculares entre si, apesar do caráter bidimensional
primeiramente observável nesta figura. Isso ocorre devido ao estudo das áreas
dos polígonos com o uso de fórmulas, pois neste caso, damos ênfase às medidas
dos lados, embora desejemos calcular a medida da superfície.
Esperamos com o processo desta seqüência, desestabilizar o princípio
fundamental de contagem das unidades de medida utilizado pelos alunos para a
definição da área de uma figura e fazê-los evoluir para a representação numérica
65
obtida através do produto de duas medidas lineares, avançando assim, para “a
análise físico-geométrico do espaço e uma aplicação dessa análise no numérico e
no dimensional” (Vergnaud,1983) (apud, Franchi 1992. p 31).
A seqüência terá duração de 12 horas e será aplicada em 6(seis) encontros
diferentes, sendo 2(dois) encontros para cada bloco com tempo de duração de
2(duas) horas cada.
3.3 Análise a priori das atividades
3.3.1 Bloco 1: Atividades concretas
Apresentaremos agora a seqüência didática a ser aplicada e sua análise a
priori. Para tanto, analisaremos as atividades uma a uma, na ordem em que serão
aplicadas e observaremos primeiro, as atividades do bloco 1(um), que são as
atividades com o uso do material concreto, seguido das atividades do bloco
2(dois), que utilizará a geometria dinâmica para validação das propriedades
observadas empiricamente no primeiro bloco. Por último, apresentaremos as
atividades do bloco 3(três), que se baseiam na construção das fórmulas para o
cálculo de área das principais figuras geométricas, bem como, institucionalização
dos conceitos que permeiam o seu estudo.
As atividades apresentadas aos alunos estarão dispostas em páginas
individuais, objetivando facilitar a visualização e resolução das mesmas.
66
1. Atividade
Materiais a serem utilizados na atividade 1:
• Lápis ou caneta
• Régua de 30 cm
• Tesoura
• Uma folha de EVA
Descrição da atividade:
Na folha de EVA, desenhar um quadrado de 20 cm por 20 cm.
Dividir este quadrado em 100 novos quadrados, cada um com 2 cm de lado.
Recortar todos os quadrados.
Montar 5 figuras diferentes, utilizando para cada uma 20 quadrados que deverão ser dispostos
um ao lado do outro sem sobreposição das peças.
O que você pode dizer em relação as cinco figuras? Elas tem o mesmo formato? E a mesm
a
área?
Quando o número de quadrados (iguais) que cabem em duas figuras é o mesmo, dizemos que as
figuras são equivalentes, ou que as figuras têm a mesma área. Nesse caso dizemos que as 5 figuras
têm 20 unidades de área e escrevemos 20 u.a.
Obs: 1 quadrado equivale a 1 unidade de área.
Esta atividade tem por objetivo mostrar ao aluno a noção de área através
da composição de figuras, não através do processo simples de contagem e sim,
através da percepção, ou melhor, da comparação entre a superfície de duas
figuras, dizendo se uma figura tem área maior, menor ou igual à outra – nesse
último caso, se são figuras equivalentes.Tais procedimentos permitirão ao aluno
elaborar os significados do termo área como o “tanto” de superfície ocupado pelas
figuras.
Por hipótese, esse raciocínio levará os alunos a considerarem que o
espaço ocupado pela figura representa sua área. Logo, figuras que ocupam o
mesmo espaço, ainda que com formatos diferentes, são figuras que possuem a
mesma área, ou seja, como colocamos no problema, são chamadas de figuras
equivalentes. Essa idéia será usada em todas as atividades do primeiro bloco. Por
este motivo, esta atividade encontra-se com a resposta no final, para que o aluno
possa sentir confiança e preparo em responder as demais questões com o
mínimo possível de interferência do professor pesquisador.
67
Provavelmente teremos figuras completamente diferentes umas das outras,
podendo também ser feita a comparação entre os grupos.
Introduzimos ainda nesta atividade, o quadrado de 2cm de lado como uma
unidade de medida fazendo, assim, com que o educando tenha um primeiro
contato com uma unidade de área qualquer. (u.a.).
Acreditamos que os alunos não apresentarão dificuldades na resolução da
atividade. A exceção fica com as palavras sobrepor e u.a (unidade de área), que
provavelmente precisarão ser explicadas pelo professor-pesquisador.
2. Atividade
Materiais a serem utilizados na atividade 2:
• Lápis ou caneta
• Régua de 30 cm
• Tesoura
• Os quadradinhos da atividade 1
• Folha de papel quadriculado
Descrição da atividade:
Utilizar os quadrados da atividade 1.
Traçar e recortar as diagonais de 20 quadradinhos, transformando-os assim, em
novos 40 triângulos.
Montar 5 figuras diferentes utilizando 8 triângulos e 10 quadrados, dispondo-os
um ao lado do outro sem sobreposição das peças.
Desenhar com a régua em uma folha quadriculada, uma das figuras que você
montou.
68
diferentes, mas com a mesma quantidade de figuras, possuem, áreas iguais;
mostrar também que a medida da área depende da unidade de medida escolhida
como parâmetro, já que no problema foi apresentada uma outra unidade de
medida, ou seja, o triângulo. Por esse motivo, quando ele responder qual é a área
das figuras considerando o quadrado como unidade de medida, o que,
provavelmente o aluno não terá dificuldade para responder corretamente
14(catorze) quadrados, será diferente da outra resposta que leva em
consideração o triângulo como unidade de medida, e a resposta será 28(vinte
oito) triângulos. É a partir dessa diferença, ou seja, nessa possibilidade de um
mesmo problema apresentar 2(duas) respostas numericamente diferentes,14
(catorze) e 28 (vinte oito), que esperamos que o aluno compreenda o conceito de
unidade de área, e entenda a diferença entre as duas respostas, já que ambas
representam a mesma área, pois 2 (dois) triângulos da atividade são equivalentes
a 1 (um) quadrado da mesma atividade.
Esperamos com isso, que o aluno reflita na importância da unidade de
medida de área para resolução do problema e perceba que uma superfície pode
ser calculada em diferentes unidades de área, recebendo, assim, várias
representações numéricas diferentes, dependendo da unidade escolhida.
3. Atividade
Materiais a serem utilizados na atividade 3:
• Lápis ou caneta
• Régua de 30 cm
• Tesoura
• Uma folha de EVA
Descrição da atividade:
Desenhar e recortar um retângulo de 14 cm de comprimento por 6 cm de altura.
Utilizando como unidade de medida de área o quadrado da atividade 1, quantos quadrados
cabem no retângulo? E se fosse utilizada outra unidade de medida de área, por exemplo, u
m
quadrado de 1cm de lado, ou seja 1 cm², qual seria a área do retângulo? Como você fez para
calcular?
Essa atividade tem por objetivo, levar o aluno a efetuar o produto da
medida do comprimento pela medida da largura do retângulo em estudo, ou seja,
69
a utilização do princípio multiplicativo para o cálculo da área da região retangular,
além de fazer com que o aluno reconheça a necessidade de considerar a unidade
de medida no processo de resolução do problema para determinar a área da
figura, uma vez que um quadrado de um 1cm de lado, (1cm²), ou seja, uma nova
unidade de medida foi introduzida à atividade.
Acreditamos que para responder à primeira questão, o aluno se baseará no
princípio básico de contagem, ou seja, ele cobrirá a região retangular com
21(vinte um) quadrados e simplesmente utilizará o princípio fundamental da
contagem até conseguir responder a questão, como mostra a figura abaixo:
Acreditamos, também, que as próximas perguntas farão com que os alunos
percebam que, para a resolução da atividade, não seria necessário cobrir o
retângulo inteiro com 21(vinte um) quadrados. Ele irá perceber que na largura do
retângulo cabem exatamente 7(sete) quadrados e na altura outros 3(três)
quadrados. Portanto para a solução do problema bastaria multiplicar 7(sete)
vezes 3(três). Logo, a área do retângulo é 21 u.a.
Existe a possibilidade, nesse momento, do professor-pesquisador ter que
explicar que os 7(sete) quadrados e os 3(três) quadrados que foram utilizados na
solução, saíram da divisão das dimensões do retângulo pelas dimensões do
quadrado que foi usado como unidade de medida de área, ou seja, de 14(catorze)
dividido por 2(dois) e de 6(seis) dividido por 2(dois).
Na segunda pergunta, desejamos que o aluno consiga perceber que o
resultado esperado será outro, ou seja, numericamente diferente, pois a unidade
de medida utilizada agora será o cm², e não mais o quadrado de 2cm de lado.
Aqui está um claro exemplo de mudança de nível segundo a classificação de
70
Parzysz, partindo do G1 de uma modelação do espaço físico, adentrando no
campo G2.
Neste caso, em que não há suporte do material concreto, pois o mesmo
não possui um quadrado de 1cm² de área, esperamos que o aluno consiga
perceber que a área do retângulo sai da multiplicação de seus lados, claro que na
mesma unidade de medida. Dessa forma, desejamos que o aluno conclua que
agora, a resolução desse problema, agora, nada mais é do que o produto de
14(catorze) por 6(seis), estabelecendo uma relação para o cálculo da área de um
retângulo, não apenas deste, mas para todos os tipos, generalizando, assim, o
conhecimento adquirido.
Entendemos que nessa atividade seja interessante a intervenção do
professor-pesquisador para explicar a questão do lado do retângulo, ser a sua
altura, pois sua base e seus lados são perpendiculares.
Escolhemos o retângulo como a primeira atividade para o cálculo de área
por acreditarmos que a partir dele, os alunos conseguirão demonstrar, ou
simplesmente mostrar as fórmulas das áreas dos triângulos, paralelogramos,
losangos, trapézios e outras figuras através de suas composições e
decomposições.
71
4. Atividade
Materiais a serem utilizados na atividade 4:
• Lápis ou caneta
• Régua de 30 cm
• Tesoura
• Uma folha de EVA
Descrição da atividade:
Construir e recortar dois triângulos iguais como mostra a figura a seguir.
Recortar um dos triângulos no segmento tracejado.
Montar um retângulo utilizando as três figuras.
Qual a relação entre a área do triângulo e do retângulo? Como você calcularia a área do
triângulo sem fazer esse recorte?
Essa atividade tem por objetivo fazer com que o aluno estabeleça uma
relação entre os dois triângulos e o retângulo construído a partir da união dos
mesmos, uma vez que na atividade anterior é possível calcular a área de um
retângulo através do produto das medidas de seus lados. Logo, usando um
procedimento análogo, presume-se que, se o mesmo consegue com dois
triângulos congruentes (iguais) construir um retângulo de mesma base e mesma
altura de um dos triângulos, a área desses triângulos é exatamente a metade da
área do retângulo e, para tanto, basta calcular a área do retângulo, multiplicando
a sua base e sua altura, já visto na atividade anterior, e dividir por 2(dois).
Essa atividade é bastante semelhante às duas primeiras, nas quais o aluno
fará a comparação entre áreas sem a atribuição de valores numéricos,
simplesmente utilizando procedimentos de composição e decomposição de
figuras planas. A diferença é que nessa atividade temos o objetivo mostrar como
72
podemos calcular a área de um triângulo qualquer compondo um retângulo, ou
seja, generalizarmos uma fórmula para o cálculo da área do triângulo.
Para tanto, escolhemos propositalmente o exemplo com dois triângulos
acutângulos
6
, apesar de quase todos os exemplos apresentados em livros
didáticos fazerem menção ao triângulo retângulo, talvez de visualização mais
fácil, porém, em nossa opinião, deficitário no sentido de não dar a idéia de
generalização para todos os triângulos. Por essas razões, optamos por esse
exemplo, e na atividade 8(oito), usamos um triângulo obtusângulo.
A figura abaixo mostra a ilustração da resolução dessa atividade, e a
resolução da possibilidade da utilização triângulo retângulo.
Acreditamos que os alunos não terão dificuldades em montar esse
retângulo e estabelecer esta relação, principalmente utilizando o material
concreto. Aqui, novamente é interessante a intervenção do professor-
pesquisador na explanação sobre as figuras acima citadas, pois alguns alunos
podem nunca ter visto esse outro exemplo que, em muitos casos, é interessante a
sua utilização para resolução de problemas.
6
Triângulos acutângulo, obtusângulo e retângulo, é a classificação que se dá aos triângulos
referente aos seus ângulos internos. Quando todas as medidas dos ângulos internos de um triângulo
são menores que 90º, denomina-se triângulo acutângulo, um ângulo de medida igual a 90º,
denomina-se triângulo retângulo e um ângulo de medida maior que 90º denomina-se triângulo
obtusângulo.
73
Essa atividade objetiva fazer com que o aluno consiga estabelecer uma
relação entre o retângulo construído e o triângulo dado, com diferença apenas na
mudança de estratégia. Nesse caso, ele não terá que dividir a área do retângulo
por 2(dois), e sim perceber que o retângulo construído possui a mesma base do
triângulo dado porém, com a metade da altura. Assim, esperamos que o aluno
5.
A
tividade
74
consiga definir que a área do triângulo é a medida da base vezes a metade da
medida da altura. Com essa segunda atividade em relação à área do triângulo
desejamos que o aluno atribua um significado à fórmula: “medida da base vezes
medida da altura dividida por dois” e entender a diferença entre as atividades,
compreendendo que, mesmo usando estratégias diferentes, é possível alcançar o
mesmo resultado.
As figuras abaixo mostram a ilustração da resolução esperada nessa
atividade.
Provavelmente, uma das dificuldades com que os alunos irão se deparar
nessa atividade, é a linguagem matemática, tais como ponto médio (divide o
segmento em duas partes iguais), MN , AC e BC (segmentos) e segmento
perpendicular (segmento que forma um ângulo de 90º com outro segmento), o
que exigirá uma explicação dos termos por parte do professor-pesquisador.
Outra dificuldade com a qual os alunos poderão vir a deparar-se é como
definir a altura do triângulo. Nesse caso, é interessante mostrar que cada lado do
triângulo possui uma altura relativa a ele. Logo, todo triângulo possui 3(alturas), e
normalmente (exceção ao triângulo retângulo), essas aturas não coincidem com
os seus lados.
Segundo Leite e Santos (1992) autoras do terceiro capítulo da coleção
Ensinando Aprendendo, é freqüente a dificuldade dos alunos em trabalhar com os
conceitos de base e altura, devido à ambigüidade implícita nestes termos.
Afirmam que na linguagem corrente, o termo “base” está ligado à idéia de posição
horizontal, solo, parte inferior de um objeto, de uma figura e o termo “altura” é
usado para designar a distância de um ponto até o solo.
75
Nos exemplos acima citados, o termo “altura” traz implícitas duas idéias: a
altura é uma medida de um segmento perpendicular a uma base; a altura é a
medida de um segmento em posição vertical.
Segundo as autoras, na linguagem da geometria, os termos “base” e
“altura” podem ter outro significado. Assim, num triângulo escaleno, qualquer lado
pode ser considerado como base e a cada base corresponde uma altura, sendo o
termo altura usado, ora para designar um segmento, ora para designar a medida
desse segmento.
Acrescentam ainda que, isso se evidencia geralmente pela presença em
livros didáticos, de triângulos, trapézios e paralelogramos apresentados com um
lado na posição horizontal, o que reforça o significado que o termo “base” tem na
linguagem corrente. As autoras sugerem, para evitar este reforço, representar
esses e outros polígonos em posições variadas, para que os alunos possam
enxergar as figuras em várias posições.
Outra pesquisa neste sentido foi de Maria Solange da Silva, publicada no
Boletim GEPEM (1993). Os principais objetivos de seu trabalho foram:
1. Fazer com que os professores que ensinam geometria percebam que
não é muito fácil para o aluno dissociar a noção natural de altura (a
posição vertical), do conceito matemático de altura em relação a um
de seus lados.
2. Fazer com que os alunos desenvolvessem a habilidade de
argumentação para que pudessem construir uma definição completa
para altura de triângulo, incluindo todas as orientações que estão
dispostas no conceito matemático e percebê-las passo a passo no
decorrer da mostração.
Seu trabalho apresentou para alunos de 7ª e 8ª séries e do curso normal,
uma seqüência com quatro triângulos diferentes, colocados em posições distintas,
definindo um lado como base, e pediu aos alunos que traçassem a sua altura.
Sua fonte de inspiração foi uma pesquisa semelhante à da professora Rina
Hershkowitz, realizadas em escolas de Israel.
76
6. Atividade
Materiais a serem utilizados na atividade 6:
• Lápis ou caneta
• Régua de 30 cm
• Tesoura
• Uma folha de EVA
Descrição da atividade:
Desenhar e recortar um paralelogramo qualquer, como na figura abaixo.
Lembrando que um paralelogramo é um quadrilátero de lados paralelos dois a dois.
Traçar e recortar o segmento como mostra a figura.
Montar um retângulo com as duas figuras.
Qual a relação entre a área do paralelogramo e do retângulo? Como você calcularia a área do
paralelogramo sem fazer esse recorte?
77
7. Atividade
Materiais a serem utilizados na atividade 7:
• Lápis ou caneta
• Régua de 30 cm
• Tesoura
• Uma folha de EVA
Descrição da atividade:
Desenhar e cortar um paralelogramo como na figura abaixo.
Recortar a figura no segmento tracejado.(a posição do segmento é qualquer)
Montar um retângulo com as duas figuras.
Qual a relação entre a área do paralelogramo e do retângulo? Como você calcularia a área do
paralelogramo sem fazer esse recorte?
As atividades 6(seis) e 7(sete) têm objetivos muito semelhantes e por isso
optamos por propô-las aos alunos visando mostrar as diferentes estratégias que
podem ser utilizadas para resolução de um mesmo problema.
Estas atividades consistem na descoberta da fórmula da área do
paralelogramo a partir da composição de um retângulo, visto que o aluno já
trabalhou o cálculo da área de um retângulo na atividade anterior e no mostrar
também, porque a área do paralelogramo é o produto da medida da base pela
medida da altura, ou seja, exatamente a mesma fórmula do retângulo, com a
diferença de que no retângulo, a altura referente a sua base é seu próprio lado, e
no paralelogramo não, com exceção do paralelogramo retângulo.
As figuras abaixo mostram as possíveis estratégias de resolução das
atividades 6(seis) e 7(sete):
78
É muito importante conseguirmos entender quais as hipóteses que os
alunos formulam quando utilizam procedimentos falhos e, com esse objetivo,
apresentamos essa atividade, que questiona indiretamente as noções falsas ou
incompletas que produzem o erro. Baseados neste raciocínio, esperamos que o
aluno perceba que o lado do paralelogramo não é sua altura, pois muitos alunos
têm o hábito de multiplicar seus lados, como no caso do retângulo, levando assim
a um erro.
Talvez nesse momento da atividade, haverá a necessidade de uma
explicação por parte do professor-pesquisador, no sentido de enaltecer a
diferença entre o lado do paralelogramo e sua altura, pois é necessário para o
transcorrer da atividade, que os conceitos de altura, lado e base estejam claros
para o aluno.
Dessa forma, conseguimos “justificar” a origem da fórmula da área de um
paralelogramo partindo da conhecida fórmula da área do retângulo.
Outras atividades de composição e decomposição de polígonos permitiriam
chegar à mesma fórmula empregando outros procedimentos, porém
consideramos que dessas duas maneiras diferentes, seriam suficientes para
favorecer ao aluno, a construção do significado da fórmula da área do
paralelogramo.
79
8. Atividade
Materiais a serem utilizados na atividade 8:
• Lápis ou caneta
• Régua de 30 cm
• Tesoura
• Uma folha de EVA
Descrição da atividade:
Desenhar um triângulo obtusângulo e marcar os pontos médios de 2 lados do triângulo, como
mostra a figura abaixo:
Recortar o pontilhado.
Montar um paralelogramo com as duas figuras.
Qual a relação entre a área do triângulo obtusângulo e do paralelogramo? Como você calcularia
a área do triângulo sem fazer esse recorte?
Essa atividade tem por objetivo fazer com que o aluno estabeleça uma
relação entre um triângulo obtusângulo e um paralelogramo, uma vez que o
mesmo já identificou uma maneira de calcular a área do paralelogramo na
atividade anterior. Foi por esse motivo que colocamos essa atividade como
número 8(oito) e não 6(seis), apesar de tratar-se da área de um triângulo, visto
nas atividades 4(quatro) e 5(cinco).
Por considerarmos o triângulo obtusângulo uma figura um pouco complexa
para o aluno, pois uma das alturas do triângulo está fora do próprio triângulo,
decidimos aplicar uma atividade semelhante às atividades 4(quatro) e 5(cinco),
com o objetivo de mostrar também que a área do triângulo obtusângulo é igual à
área de um paralelogramo de mesma base e metade da medida de sua altura.
80
Logo, o aluno constatará que a área de qualquer triângulo é o produto da
medida da base pela medida da altura dividido por 2(dois).
A figura abaixo mostra a ilustração da resolução esperadas nessa
atividade:
Acreditamos que, nessa atividade, o aluno não terá dificuldades para
perceber a relação entre a área do triângulo original e a do paralelogramo, pois é
de fácil percepção, notará ambos possuem a mesma base e a altura do triângulo
é o dobro da altura do paralelogramo.
81
9. Atividade
Materiais a serem utilizados na atividade 9:
• Lápis ou caneta
• Régua de 30 cm
• Tesoura
• Uma folha de EVA
Descrição da atividade:
Desenhar e recortar um retângulo de 14 cm comprimento por 6 cm de altura. Marcar o ponto
médio dos 4 lados do retângulo e traçar os segmentos unindo os pontos médios, como mostra a
figura:
Recortar os segmentos do losango, separando assim o retângulo em 4 triângulos retângulos e
um losango.
Montar um losango utilizando os quatro triângulos.
O que você pode observar desse novo losango montado? Qual a relação entre a área do losango
e do retângulo original? Como você faria para calcular a área de um losango qualquer?
O objetivo dessa atividade é mostrar ao aluno como calcular á área de um
losango e fazê-lo perceber que a área do losango é exatamente a metade da área
do retângulo cujos pontos médios são os quatro vértices do losango, sendo
necessário apenas calcular a área do retângulo e dividi-la por 2(dois).
82
Outro fator importante nessa atividade é que o aluno perceba que uma das
diagonais do losango é congruente à base do retângulo, ou seja, têm o mesmo
tamanho, e a outra diagonal é congruente à altura do retângulo. Esperamos que
este dado leve o aluno à dedução da fórmula.
Nas figuras abaixo, representamos a resolução esperada e uma outra
possível solução que ocasionalmente possa ocorrer.
Acreditamos que todos os alunos conseguirão apresentar a primeira
solução sem grandes problemas e perceberão que, se através de um retângulo
conseguimos montar dois losangos idênticos, é porque a área de um deles é
exatamente a metade da área do retângulo. Esse raciocínio já foi utilizado pelos
alunos em atividade anterior.
Talvez nessa atividade eles não percebam e não conheçam o termo
diagonal de um losango. Logo terão alguma dificuldade em relacionar essas
medidas com as medidas do retângulo. Nesse momento, a explicação do
professor–pesquisador se tornará necessária.
83
Poderíamos, também nessa atividade, indagar se os alunos conseguiriam
“constatar” de outra maneira como obter a área do losango. Preferimos não
colocar essa questão, a fim de observarmos se os mesmos, depois de
9(atividades) conseguiriam raciocinar sozinhos de outra forma. No entanto, se
eles não perceberem tal estratégia, acreditamos ser interessante uma indagação
por parte do professor-pesquisador, no sentido de mostrar uma estratégia
diferente para resolução.
10. Atividade
Materiais a serem utilizados na atividade 10:
• Lápis ou caneta
• Régua de 30 cm
• Tesoura
• Uma folha de EVA
Descrição da atividade:
Construir e recortar dois trapézios idênticos, como mostra a figura.
Utilizar os dois trapézios e montar um paralelogramo.
Como você poderia achar a medida da base desse paralelogramo se tivesse apenas um trapézio?
Qual a relação entre a altura desse paralelogramo e a do trapézio?
Lembrando que o trapézio possui duas bases, os dois lados paralelos, como você calcularia a
área desse paralelogramo? Qual seria a área de um desses trapézios em relação ao paralelogramo?
Essa atividade tem como objetivo levar o aluno a constatar como obter a
área do trapézio, através da área do paralelogramo.
Acreditamos que esta atividade seja a de maior dificuldade para os alunos
(referentes ao primeiro bloco).
84
Consideramos que os alunos terão dificuldade em relacionar a medida da
base do paralelogramo criado, com as medidas da base do trapézio, pois não
relacionamos medidas numéricas, portanto não terão como apresentar um
número específico para aquela medida, ou seja, terão que visualizar que a
medida da base do paralelogramo é a soma de dois números diferentes. Logo, é
a soma da medida da base maior do trapézio com a medida da base menor e, por
este motivo, não pode ser representado por uma única incógnita. Talvez este fato
possa criar dificuldades na resolução da atividade, o que exigirá uma intervenção
do professor-pesquisador.
Para justificar a fórmula para o cálculo da área dos trapézios, os alunos
recortarão dois trapézios congruentes, justapondo-os com o objetivo de obter um
paralelogramo, como mostra na figura.
Esperamos, com isso, que os alunos consigam perceber que uma das
bases do paralelogramo é a soma das medidas das bases do trapézio, ou seja, a
medida da base menor, mais a medida da base maior e que a altura do trapézio é
a mesma do paralelogramo. Assim, para calcular a área do trapézio, basta
calcular a área do paralelogramo formado pelos 2(dois) trapézios e dividi-la por
2(dois), procedimento análogo ao utilizado em atividades anteriores.
Outras atividades de composição e decomposição de polígonos permitem
chegar à mesma fórmula empregando procedimentos diferentes, porém
85
escolhemos essa por considerá-la a maneira mais fácil para constatação dessa
fórmula.
3.3.2 Bloco 2: Atividades com o Cabri-Géomètre
Todas as atividades desenvolvidas nesse bloco terão como suporte
principal o programa Cabri-GéomètreII.
1. Atividade
a) Abrir o arquivo paralelogramo.fig e construir um retângulo equivalente (mesma área) ao
paralelogramo dado.
b) Utilizar o menu área e obter a área do paralelogramo dado e do retângulo construído.
O objetivo principal dessa atividade é verificar, com o auxílio do software
Cabri, que um paralelogramo e um retângulo equivalentes têm áreas iguais,
resultado este, já verificado empiricamente no bloco 1.
Entendemos que, nesse momento, o aluno apresentará dificuldades na
primeira atividade por não ter como recortar a figura e transportá-la para o outro
lado como no primeiro bloco.
Por esta razão, far-se-ão necessárias algumas indagações sugeridas pelo
professor-pesquisador, no sentido de auxiliar o aluno durante a resolução da
primeira atividade, o que possivelmente não será necessário para a resolução das
86
demais propostas desse bloco: “Será que não é possível utilizar o mesmo
procedimento do paralelogramo da atividade anterior?” “Quando você fazia o
recorte do triângulo passando pelo vértice D, na atividade anterior, como se
chamava essa reta?” “Será que não é possível passar essa reta pelos vértices C
e D?” “Depois de traçar essas retas, o que acontece com os dois triângulos
formados? Por quê?” “Já é possível construir o retângulo equivalente?”.
Com a opção área, o aluno também terá a oportunidade de verificar se
suas construções estão certas ou erradas, terá a oportunidade de manipular o
paralelogramo dado, fazendo com isso, que a construção feita do retângulo, e sua
área também se altere.
Esperamos com isso que o aluno perceba a relação entre o primeiro e o
segundo bloco de atividades, e assim, consiga definitivamente concluir que a área
de um paralelogramo e a de um retângulo de base e alturas iguais são iguais, ou
seja, que as duas figuras são equivalentes, portanto possuem a mesma área.
Abaixo colocamos a possível solução da questão:
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Prolongar o lado AD do paralelogramo dado
87
9 Pelos pontos B e C, traçar perpendiculares que interceptarão a reta suporte
AD nos pontos M e N
9 Traçar o quadrilátero BCMN
Acreditamos que todos apresentarão essa solução como resposta, não em
relação ao valor numérico da área, pois o mesmo irá se alterar quando o aluno
movimentar as figuras, mas em relação às construções geométricas.
Existem outras possíveis soluções para esse problema, como, por
exemplo, traçar uma única perpendicular AM e transportar AM sob a reta suporte
do lado AD a partir do ponto D.
2. Atividade
a) Abrir o arquivo triângulo1.fig e construir um retângulo equivalente (mesma área) ao triângulo
dado.
b) Utilizar o menu área e obter a área do triângulo dado e do retângulo construído.
O objetivo dessa atividade é verificar com software Cabri, os resultados
obtidos empiricamente na quinta atividade do primeiro bloco.
Acreditamos que o aluno, após ter realizado a primeira proposta desse
segundo bloco, não terá mais dificuldades em relacionar as atividades do primeiro
bloco com as demais e, dessa forma, atinja os objetivos propostos nesta
seqüência de atividades.
88
Abaixo colocamos a resposta esperada do aluno:
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Obter os pontos médios F e H dos lados AC e BC
9 Prolongar o lado FH
9 Pelos pontos A e B, traçar retas perpendiculares que interceptarão o
prolongamento de FH nos pontos E e D
9 Traçar o retângulo ABDE
Com isso, esperamos que os alunos observem as propriedades
matemáticas empregadas nesta construção, tais como ponto médio, reta
perpendicular e outras, e logo constatar que a área de um triângulo é igual à área
de um retângulo de mesma base e metade da altura.
Essas propriedades são facilmente observadas com as opções de medida
de ângulo, comprimento e área do menu do Cabri-Géomètre II.
89
3. Atividade
a) Abrir o arquivo triângulo2.fig e construir um paralelogramo equivalente (mesma área) ao
triângulo dado.
b) Utilizar o menu área e obter a área do triângulo dado e do paralelogramo construído.
O objetivo dessa atividade é semelhante à atividade anterior, ou seja,
verificar com o Cabri o resultado obtido na atividade 8(oito) do bloco 1.
A diferença nessa atividade é que o aluno precisa, através das construções
geométricas, construir um paralelogramo equivalente ao triângulo dado. Os
procedimentos são muito parecidos aos da atividade anterior.
Abaixo colocamos a resolução da atividade:
90
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Obter os pontos médios M e O dos lados AC e BC
9 Traçar uma reta passando pelos pontos M e O
9 Traçar uma reta paralela ao lado AC, passando por B
9 Marcar o ponto N na intersecção das retas traçadas
9 Traçar o paralelogramo AMNB
Acreditamos que os alunos não encontrarão dificuldades nesta atividade e,
portanto, constatarão que o paralelogramo é equivalente ao triângulo dado.
Nesta atividade o aluno também possui o recurso área do menu para
verificar e validar suas construções.
4. Atividade
a) Abrir o arquivo losango.fig e construir um retângulo equivalente (mesma área) ao losango
dado.
b) Utilizar o menu área e obter a área do losango dado e do retângulo construído.
Esta atividade tem por objetivo verificar com o software Cabri que um
losango e um retângulo equivalentes têm áreas iguais, resultado este, já obtido
empiricamente no bloco1.
91
Como esta atividade refere-se à nona tarefa do primeiro bloco, cremos que
os alunos não terão dificuldades em acertá-la e que aparecerão em suas
respostas, as duas formas de construção.
Acreditamos que essa primeira parte do segundo bloco (1ª à 4ª atividade),
os alunos tomarão como referência o que foi construído no primeiro bloco. Logo,
as dificuldades que possam surgir, serão facilitadas pelos materiais já
confeccionados e manipulados naquele tipo de proposta.
Abaixo colocamos as resoluções da atividade.
Primeira resolução:
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Traçar segmento BD
9 Pelos pontos B e D traçam-se perpendiculares ao segmento BD
9 Pelo ponto A traça-se uma reta paralela ao segmento BD
9 As intersecções das retas traçadas por B e D e pela paralela pelo ponto A,
indicamos por M e N
9 Traçar o retângulo BMND
92
Segunda resolução:
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Traçar segmento AC
9 Pelos pontos A e C traçam-se perpendiculares ao segmento AC
9 Pelo ponto D traça-se uma reta paralela ao segmento BD
9 As intersecções das retas traçadas por A e C e pela paralela pelo ponto D,
indicamos por M e N
9 Traçar o retângulo ACNM
Apesar de esperarmos que os alunos não apresentem dificuldades nesta e
em outras atividades, acreditamos que por hábito, muitos ficarão à espera do
professor-pesquisador para receberem orientações quanto ao procedimento a ser
adotado ou aguardarão uma explicação sobre alguma dúvida no decorrer do
exercício. Trabalharemos para que os alunos desenvolvam com autonomia as
atividades propostas e relacionem as atividades feitas anteriormente com as que
estarão realizando no momento, procurando, assim, resolver sozinhos os
problemas expostos, discutindo com o grupo as soluções encontradas.
Vale salientar que a interferência do professor com exemplos-modelos,
facilita o raciocínio dos alunos, porém, a nosso ver, poda-lhes a criatividade, e,
93
por esse motivo, pensamos que as intervenções por parte do professor-
pesquisador, quando necessárias, estarão direcionadas a questionamentos, e
dificilmente a exemplos modelos.
5. Atividade
Abrir o arquivo triângulo3.fig.
Traçar uma reta paralela ao segmento
AB
, passando pelo ponto C.
Marcar 4 pontos D, E, F, e G, distintos, na reta paralela ao
AB
.
Com a opção triângulo, construir os triângulos
Δ
ABD ,
Δ
ABE ,
Δ
ABF e
Δ
ABG.
Com opção área, determinar a área de todos eles.
Com opção perímetro, determinar o perímetro de todos eles.
O que você pode concluir? Por que isso acontece?
94
6. Atividade
Abrir o arquivo triângulo4.fig.
Traçar uma reta paralela ao segmento
AC
, passando pelo ponto B.
Marcar 4 pontos D, E, F, e G, distintos, na reta paralela ao
AC
.
Com a opção triângulo, construir os triângulos
Δ
ACD ,
Δ
ACE ,
Δ
ACF e
Δ
ACG.
Com opção área, determinar a área de todos eles.
Com opção perímetro, determinar o perímetro de todos eles.
O que você pode concluir? Por que isso acontece?
As atividades cinco e seis possuem os mesmos objetivos: levar o aluno a
entender que triângulos de mesma base e mesma altura possuem áreas iguais,
apesar de possuírem lados completamente diferentes.
Cremos que os alunos consigam perceber que, apesar das medidas dos
lados dos triângulos criados aumentarem cada vez mais, suas áreas permanecem
constantes.
Esse é o primeiro momento que estamos relacionando o perímetro da
figura com sua área. Nesta seqüência de ensino, estamos priorizando a
percepção bidimensional da figura por acreditamos que, ao evidenciar os
95
aspectos bidimensionais das figuras, os alunos terão uma probabilidade bem
menor de confundir os conceitos de área e perímetro, o que, segundo Duval
(1995), ocorre porque os professores de matemática no estudo de áreas
enfatizam mais os aspectos de dimensão zero e um das figuras do que de
dimensões 2.
Entendemos que este é o momento dos alunos começarem também a
relacionar as medidas lineares existentes nas figuras com suas áreas. Neste
sentido, percebemos que essas atividades evidenciam esse aspecto.
Criamos as duas atividades para que o aluno perceba que a base do
triângulo pode ser qualquer um de seus lados. Logo cada lado possui uma altura
relativa a ele.
Com as opções área e perímetro do menu, acreditamos que os alunos não
encontrarão dificuldades em perceber que, nesses exemplos, as áreas de todos
os triângulos são iguais, porém todos os perímetros são diferentes.
Uma das dificuldades que imaginamos poder interferir nesta atividade é em
relação à altura de todos os triângulos da atividade seis, pois eles não estão em
uma posição favorável para sua visualização. Talvez nesse momento haverá a
necessidade da intervenção do professor-pesquisador, por exemplo, perguntando
ao aluno qual a diferença da atividade cinco e seis, ou, se faria diferença se
pudesse virar a tela do computador.
Esta atividade, também servirá de suporte para as demais propostas neste
bloco, em que os alunos transformarão um polígono de n lados num polígono
equivalente de n-1 lados.
Nas figuras abaixo, colocamos as resoluções esperadas dos alunos.
96
Esperamos que ao final dessa atividade, os alunos percebam a imensa
diferença entre as medidas bidimensionais (áreas), com as medidas lineares
(perímetros), já que para calcular o perímetro de qualquer figura, basta somar as
medidas lineares de seus lados.
97
7. Atividade
a) Abrir o arquivo paralelogramo2.fig. Determinar sem usar os recursos menu área e perímetro do
cabri-géométre, ou seja, através dos cálculos, a área e o perímetro do paralelogramo.
b) Agora, com o auxílio do menu, determine a área e o perímetro do paralelogramo.
c) Movimente o ponto P. O que você pode observar?
d) Qual á área máxima da figura? e a mínima? Justifique.
e) O que ocorre com o perímetro dessa figura? Justifique.
O objetivo desta atividade é mostrar que algumas propriedades
geométricas são invariantes nessas transformações, ou seja, na movimentação
do ponto P, enquanto outras variam de acordo com determinadas leis. Mostrar ao
aluno, que não podemos utilizar como unidade de medida o losango de 1cm de
lado, como sendo 1cm². Pelo simples processo de contagem, não é possível
resolver a questão, pois por esse critério, o paralelogramo teria 20cm², porém sua
área depende da sua altura, logo o paralelogramo tem 15cm² de área (Base x
Altura).
O fato da área do paralelogramo diminuir ou aumentar nesta transformação
fica mais evidenciado à medida que ela assume valores próximos a zero. Como a
área do paralelogramo depende da altura, mantendo-se a base constante, a área
do paralelogramo diminui proporcionalmente à diminuição da altura, pois o ponto
P se desloca numa circunferência de centro A e raio AP. Isso não ocorre com o
perímetro, pois o mesmo não depende nesse caso da altura, e sim das
dimensões do paralelogramo, que permanecem constantes nesta transformação.
98
Acreditamos que no primeiro momento, os alunos errarão a resposta,
porém o contato com a contradição provavelmente provocada pela resposta
errada e a comparação com a fornecida pelo Cabri poderá fornecer elementos
para reformular esse falso critério, e também para compreender porque se deve
considerar a medida da altura para calcular a área do paralelogramo.
Abaixo, colocamos uma representação da movimentação do ponto P, com
a diminuição da altura. Logo, no caso apresentado, a área do paralelogramo vale
6cm² e a representação de quando o paralelogramo atinge área máxima, que é de
20cm².
99
8. Atividade
Transformação de um polígono de 4 lados em um polígono
equivalente de 3 lados
.
Observe a seqüência das figuras acima e responda:
• O triângulo DBE tem a mesma área do triângulo DBC?Justifique.
• O quadrilátero ABCD tem a mesma área do triângulo ABE?Justifique.
.
r//s
Esta atividade tem por objetivo fortalecer o conceito de figuras
equivalentes. Para tanto, pediremos aos alunos que transformem um polígono de
n lados num polígono de n-1 lados. Em particular, apresentamos na atividade um
quadrilátero qualquer e, através deste quadrilátero, exibimos uma seqüência de
construções geométricas na qual construímos um triângulo equivalente, ou seja,
de uma figura com quatro lados, um quadrilátero, passamos a uma figura
equivalente (mesma área), com apenas três lados (triângulo).
100
Possivelmente nessa atividade os alunos terão algumas dificuldades para
responder algumas questões, tais como, por que o quadrilátero ABCD, foi dividido
em dois triângulos (ΔABD e ΔBDC) e o que significa r//s, ou seja, que a reta r é
paralela à reta s. Talvez nesse instante será necessária a interferência do
professor-pesquisador.
Acreditamos que depois dessa fase, o aluno com o conhecimento adquirido
nas atividades anteriores, conseguirá justificar que os triângulos DBE e DBC são
equivalentes, pois possuem a mesma base, ou seja, o segmento DB e que a
altura dos dois triângulos é a mesma, pois as retas r e s são paralelas.
Provavelmente também consigam justificar que o quadrilátero ABCD e o
triângulo ABE possuem a mesma área, pois são formados por dois triângulos
equivalentes.
Nesta atividade o aluno terá o suporte do Cabri-Géomètre apenas para
verificar, com a ajuda do menu, a área das figuras.
1. Atividade
a) Abrir o arquivo quadrilátero.fig e construir um triângulo equivalente (mesma área) ao
quadrilátero dado.
b) Utilizar o menu área e obter a área do quadrilátero dado e do triângulo construído.
101
Esta atividade é semelhante à anterior, modificando apenas a posição do
quadrilátero dado.
Entendemos que em um primeiro momento, o aluno dificilmente relacionará
a atividade anterior a esta, uma vez que ele apenas justificou a construção e não
a realizou como em outras.
Acreditamos que, após indagações simples por parte do professor-
pesquisador, o aluno conseguirá relacionar as atividades.
Nesta atividade existem duas respostas diferentes. Talvez isso possa
confundir um pouco o aluno em relação a como começar, porém se ele for
questionado a apresentar as duas respostas, não terá dificuldades em perceber
que são equivalentes.
A seguir, apresentamos algumas respostas:
reta s // segmento
DB
102
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Traçar segmento BD
9 Traçar reta s paralela ao lado BD passando por C
9 Prolongar o segmento AB até interceptar a reta s
9 Na intersecção do prolongamento do segmento AB com a reta s,
marcamos o ponto E
9 Traçar triângulo ADE
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Traçar segmento AC
9 Traçar reta s paralela ao lado AC passando por D
9 Prolongar o segmento BC até interceptar a reta s
9 Na intersecção do prolongamento do segmento BC com a reta s,
marcamos o ponto E
9 Traçar triângulo ABE
Evidentemente que, quando apresentamos duas respostas diferentes, não
estamos levando em consideração as respostas com os triângulos invertidos aos
apresentados acima, pois acreditamos que os alunos não terão dificuldades em
perceber essa igualdade.
Segmento DC // reta s
103
10. Atividade
a) Abrir o arquivo pentágono.fig e, utilizando o procedimento anterior, transformar o pentágono
num quadrilátero equivalente.
b) Utilizar o menu área e obter a área do pentágono dado e do quadrilátero construído
O objetivo desta questão assemelha-se aos objetivos da questão anterior,
com a diferença de que os alunos partirão de um pentágono para a construção de
um quadrilátero, ou seja, transformarão a redução de um polígono de 5(cinco)
lados, num polígono de 4(quatro) lados equivalente ao primeiro.
Acreditamos que, nessa questão, não terão mais a dificuldade de como
começar, pois perceberam com a atividade anterior que existem resoluções
diferentes, mas que levam ao mesmo objetivo.
Esperamos com essa proposta levar o aluno a perceber que, se ele
consegue reduzir uma figura de 5(cinco) lados para uma figura de 4(quatro) lados,
essa redução também é possível de 5(cinco) para 3(três), como veremos na
próxima atividade.
Abaixo apresentamos uma das possíveis soluções dessa questão:
104
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Traçar segmento EC
9 Traçar reta s paralela ao lado EC passando por D
9 Prolongar o segmento AE até interceptar a reta s
9 Na intersecção do prolongamento do segmento AE com a reta s,
marcamos o ponto F
9 Traçar o quadrilátero ABCF
11. Atividade
a) Abrir o arquivo pentágono2.fig e, utilizando o procedimento anterior, transformar o pentágono
num triângulo equivalente.
b) Utilizar o menu área e obter a área do pentágono dado e do triângulo construído.
105
Nessa questão, queremos verificar se, com os procedimentos das
atividades anteriores, os alunos conseguem reduzir por equivalência, o número de
lados de um pentágono para um triângulo.
Os alunos poderão ter dificuldades nessa questão, pois entendemos que
em um primeiro momento, tentarão em uma única construção, passar de um
pentágono para um triângulo, pulando assim uma passagem, que seria a
construção primeiramente do quadrilátero. Talvez nessa situação haja a
necessidade da intervenção do professor-pesquisador no sentido de orientar os
alunos a perceberem as atividades oito e nove e tentarem estabelecer uma
relação entre a atividade atual e as anteriores.
Com isso, esperamos que os alunos percebam que é possível transformar
um polígono num outro equivalente.
Abaixo apresentamos duas das possíveis soluções dessa questão:
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Traçar segmento AD
9 Traçar reta paralela ao lado AD passando por E
9 Prolongar o segmento AB até interceptar a reta paralela ao lado AD
106
9 Na intersecção do prolongamento do segmento AB com a reta, marcamos
o ponto F
9 Traçar quadrilátero BCDF
9 Traçar segmento FC
9 Traçar reta paralela ao lado FC passando por D
9 Prolongar o segmento BF até interceptar a reta paralela ao lado FC
9 Na intersecção do prolongamento do segmento BF com a reta, marcamos
o ponto G
9 Traçar triângulo BCG
Descrição das etapas da construção geométrica:
9 Traçar segmento EC
9 Traçar reta paralela ao lado EC passando por D
9 Prolongar o segmento AE até interceptar a reta paralela ao lado EC
9 Na intersecção do prolongamento do segmento AE com a reta, marcamos
o ponto F
9 Traçar quadrilátero ABCF
9 Traçar segmento FB
107
9 Traçar reta paralela ao lado FB passando por C
9 Prolongar o segmento AB até interceptar a reta paralela ao lado FB
9 Na intersecção do prolongamento do segmento AB com a reta, marcamos
o ponto G
9 Traçar triângulo AFG
3.3.3 Bloco 3: Justificativa das fórmulas
Para propiciarmos a institucionalização dos conceitos adquiridos nos
blocos anteriores, criamos o terceiro bloco. Este bloco apresenta uma série de
exercícios em que os alunos encontrarão as generalizações de todas as
atividades anteriores e outros, em que terão que usar os conhecimentos
adquiridos anteriormente para sua resolução.
Neste bloco, o aluno usará apenas lápis e papel para realização das
propostas e poderá recorrer às atividades realizadas anteriormente, com o apoio
do material concreto e do Cabri, para responder as questões. Apresentamos
também neste bloco, 3(três) informações que serão usadas pelos alunos como
axiomas, que tomarão como verdades para justificar as fórmulas algébricas.
Entendemos que esse processo de sistematização ou organização do
conhecimento matemático pode ocorrer pelo uso de algumas formas de
raciocínio, que consideramos características do pensamento matemático tais
como: relacionar ou justificar resultados novos com o conhecimento anteriormente
adquirido, generalizar ou abstrair resultados, definir conceitos, usar
adequadamente a linguagem simbólica da matemática e criar estratégias de
resolução de problemas.
Segundo Freudenthal, esse processo de sistematização ocorre dentro da
própria matemática e evolui de uma organização local para, eventualmente,
chegar a uma organização global. Essa organização local se dá num movimento
espiral que se inicia na exploração do conceito levando a um acúmulo de
experiências matemáticas que demandarão uma sistematização, em geral através
de meios matemáticos.
108
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p. 117),
“É interessante também propor situações em que os alunos
possam investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em
representações geométricas e identificar suas estruturas, construindo a
linguagem algébrica para descrevê-los simbolicamente. Esse trabalho
favorece a que o aluno construa a idéia de álgebra como uma linguagem
para expressar regularidades”.
Ainda segundo os PCN, a introdução de variáveis para representar
relações funcionais em situações-problema concretas, permite que o aluno veja
uma outra função para as letras ao identificá-las como números de um conjunto
numérico, úteis para representar generalizações.
Como em nossa pesquisa procuramos trabalhar o conceito de área em
vários aspectos, fica evidente nossa preocupação no que tange o contato com o
conceito de área. Primeiramente com o uso do material concreto, através da
manipulação e da comparação de áreas através da composição e decomposição
de figuras equivalentes. Depois através das construções geométricas para
justificar os fatos apurados empiricamente, para que só neste momento, houvesse
o contato com as generalizações e a mudança de um quadro geométrico, para um
quadro numérico, onde o mesmo terá que atribuir um valor numérico para
determinada área.
109
Cálculos e demonstrações de áreas de polígonos
Para o cálculo e demonstração de algumas fórmulas, utilizaremos as informações abaixo:
1. Duas regiões congruentes têm áreas iguais;
2. A área de um retângulo cujos lados medem a e b numa mesma unidade de medida é dada
p
o
r
a x b.
3. Podemos dividir uma superfície num número de regiões, conforme figuras abaixo, de modo que
a área da superfície seja igual a soma das áreas das regiões que a compõe.
Exemplo: A área (S) da região total é igual a R1 + R2 + R3 + R4 ou (S) = A1 + A2
1. Atividade
Determine a área do retângulo abaixo.
Qual das informações você precisou utilizar na resolução do problema?
O objetivo dessa atividade é determinar a área do retângulo e identificar
qual ou quais das informações foram necessárias para resolução do problema.
110
Esperamos, com isso, que consigam atribuir um valor numérico para
representar uma superfície, passando assim de um quadro geométrico em que
determinavam a área de uma figura, comparando com outra, para um quadro
numérico, onde se obtém o valor da área através do produto de duas medidas
lineares (Base x Altura).
Acreditamos que os alunos resolverão essa atividade com facilidade e que
encontrarão a resposta 48cm²(12cm x 4cm). Talvez a única dúvida pertinente à
questão seja em relação a qual informação ele deverá usar para resolução da
mesma (apenas a segunda informação), uma vez que ainda não realizaram
nenhuma atividade, na qual precisassem justificar suas resoluções através de
informações consideradas verdadeiras.
2. Atividade
Como você calcularia a área do triângulo retângulo representado pelo desenho abaixo?
a) b)
Qual das informações você precisou utilizar na resolução do problema?
O objetivo dessa atividade é determinar a área de triângulo retângulo e
generalizar sua fórmula, assim como identificar qual ou quais das informações
foram necessárias para resolução do problema.
Acreditamos que os alunos encontrarão com facilidade as respostas 6cm²
(
2
43
cmcm⋅
) e
2
ba⋅
, e perceberão que as informações utilizadas para a resolução
foram as duas primeiras.
111
Talvez aqui, seja pertinente que os alunos escrevam as denominações das
medidas a e b (base e altura ou vice-versa), para que se tenha uma noção clara e
objetiva da fórmula que está sendo generalizada.
Talvez nesse momento, seja interessante a explicação por parte do
professor-pesquisador, explicando aos alunos que, normalmente, em geometria,
indicamos a altura pela letra h e, assim, a generalização da fórmula do triângulo
retângulo pode ser entendida por
2
hb
⋅
.
3. Atividade
Como você calcularia a área do paralelogramo representado pelo desenho abaixo?
a) b)
Qual das informações você precisou utilizar na resolução do problema?
O objetivo dessa atividade é determinar a área de um paralelogramo e
generalizar sua fórmula, assim como identificar qual ou quais das informações
foram necessárias para resolução do problema.
Da mesma forma que nas atividades anteriores, acreditamos na facilidade
de resolução desta questão.
Esperamos que os alunos consigam responder que a área do
paralelogramo é 36cm² (9cm x 4cm) na letra a, a generalização do caso da letra b
é
hb⋅ , e que são necessários para resolução da atividade, as três informações.
112
O objetivo dessas atividades é semelhante ao da segunda proposta desse
bloco, ou seja, determinar a área do triângulo e generalizar sua fórmula, assim
como identificar qual ou quais das informações é preciso utilizar na resolução do
problema. A diferença, porém, está no tipo de triângulo que está sendo
trabalhado, nos casos das atividades quatro e cinco, triângulos acutângulos e
obtusângulos respectivamente. Pretendemos mostrar aos alunos, que a
4.
A
tividade
Como você calcularia a área do triângulo representado pelo desenho abaixo?
a) b)
Qual das informações você precisou utilizar na resolução do problema?
5.
A
tividade
Como você calcularia a área do triângulo obtusângulo representado pelo desenho abaixo?
a) b)
Qual das informações você
p
recisou utilizar na resolução do problema?
113
generalização da fórmula da área do triângulo é a mesma para qualquer tipo de
triângulo.
Acreditamos numa certa facilidade na resolução dessas atividades, e
esperamos como respostas 15cm² e 6cm² na letra a das atividades quatro e cinco
respectivamente, e que indiquem
2
hb
⋅
na letra b das duas atividades. Esperamos,
ainda, que consigam perceber que nestas atividades utilizaram as três
informações, diferente da segunda proposta, em que precisaram apenas das duas
primeiras.
Desejamos que, para a resolução desta proposta, os alunos estabeleçam
um paralelo com as atividades dos blocos anteriores.
6. Atividade
Como você calcularia a área do trapézio representado pelo desenho abaixo?
a) b)
Qual das informações você precisou utilizar na resolução do problema?
O objetivo dessa atividade é determinar a área de um trapézio e
generalizar sua fórmula, assim como identificar qual ou quais das informações
foram necessárias para resolução do problema.
Esperamos aqui, que alguns alunos talvez irão recorrer novamente ao uso
do material concreto, pois o trapézio envolve um número maior de variáveis.
Porém, com ou sem a utilização deste recurso, acreditamos que os alunos
conseguirão chegar a 35 cm² (14cm x 5cm dividido por 2) na primeira questão, e
114
()
2
hbB ⋅+
na segunda questão, concluindo que precisarão utilizar as três
informações na resolução do problema.
7. Atividade
Como você calcularia a área do losango representado pelo desenho abaixo?
a) b)
Qual das informações você precisou utilizar na resolução do problema?
O objetivo dessa atividade é determinar a área de um losango e generalizar
sua fórmula, assim como identificar qual ou quais das informações foram
necessárias para resolução do problema.
Acreditamos na facilidade por parte dos alunos na resolução desta questão
e esperamos como respostas, 120cm² (20cm x 12cm dividido por 2) e
2
ab
⋅
na
segunda questão.
Esperamos, com esta questão, finalizar uma pequena organização local
para que os alunos possam, a partir desse momento, utilizar as fórmulas com
significado na resolução de problemas, assim como justificar sua utilização.
115
8. Atividade
Escolhendo um ponto qualquer no interior de um retângulo, depois unindo esse ponto a cada
um dos vértices do retângulo, formamos quatro triângulos, como mostra a figura abaixo.
É possível afirmar que a área da região amarela é igual à área da região verde? Prove.
O objetivo desta questão é verificar se os alunos conseguem, após várias
atividades, resolver uma questão um pouco mais complexa, envolvendo o cálculo
de área. Nesta proposta, provavelmente os alunos utilizarão as fórmulas para
resolução da atividade, ou seja, partirão para os cálculos para conseguirem
provar que as áreas são iguais.
Acreditamos que os alunos terão uma certa dificuldade em provar que a
área da região amarela é igual à área da região verde, pois não há uma medida
específica para indicar em qual ponto os triângulos se encontram. Talvez aqui
seja interessante pedir aos alunos que façam primeiro a atividade, utilizando uma
medida qualquer, para depois utilizarem uma incógnita e perceberem que
independentemente do valor adotado, as áreas serão iguais.
Entendemos que os alunos darão um valor numérico qualquer para esse
encontro como, por exemplo, mostra a figura abaixo:
116
Acreditamos que determinarão a área da seguinte forma:
117
Área da região 1 = 10h
Área da região 2 = 20 . (10 - h) : 2
Área da região 2 = 10 . (10 – h)
Área da região 2 = 100 – 10h
Área da região amarela = área da região 1 + área da região 2
Área da região amarela = 100 – 10h + 10h
Logo, a área da região amarela é igual a 100cm². Portanto a metade da
área do retângulo, assim, a área da região verde também possui 100cm² e são
portanto são iguais.
O que também pode ocorrer nesta questão é que os alunos utilizem um
raciocínio análogo para determinar a área da região verde e com isso, provem
que as áreas são iguais.
9 A segunda maneira, embora mais simples porque requer apenas uma
visualização rápida da figura, possivelmente não será inicialmente apresentada
pelos alunos pelo fato de que estes, acreditam que uma prova matemática
depende única e exclusivamente de cálculos. Por este motivo, avaliamos que a
grande maioria tentará a resolução pela primeira hipótese, porém, esperamos que
através de algumas indagações simples, como por exemplo, se existe outra
maneira de provar que as regiões possuem áreas iguais sem a utilização dos
cálculos, possa levar o aluno a refletir sobre essa outra forma de resolução, como
mostra a figura abaixo.
118
Simplesmente, compusemos a figura através de quatro retângulos, e
pudemos perceber que as regiões A = V, A1 = V1, A2=V2 e A3 = V3. Como o
retângulo é composto destas oito regiões, temos que a região amarela possui a
mesma área da região verde.
9. Atividade
Calcule a área da região colorida:
119
O objetivo desta questão é verificar se o aluno consegue, em um plano
cartesiano, determinar a área de uma região qualquer, através da composição e
decomposição de figuras.
Acreditamos que os alunos conseguirão identificar sem dificuldades as
dimensões da figura e reconstruir, através da composição e decomposição de
figuras, uma figura conhecida, determinando assim, a área da região pedida.
Esta é uma atividade que possibilita várias visualizações para sua
resolução e, por este motivo, acreditamos que os alunos apresentarão algumas
respostas diferentes para este problema. Apresentamos abaixo uma das
possíveis formas de resolução.
A figura original ficou formada por um retângulo de dimensões de 6cm por
3cm, e de dois triângulos retângulo, o amarelo de 2cm de base e 2cm de altura e
o rosa de 1cm de base e 3 cm de altura. Logo as áreas valem 18cm² , 2cm² e
1,5cm² respectivamente. Portanto, a área da figura original vale 21,5cm², que é a
soma das áreas das três figuras.
120
10. Atividade
Qual é a área da figura pintada contida no quadrado de lado 6cm?
O objetivo dessa atividade é verificar se o aluno consegue resolver uma
questão envolvendo uma figura convexa através da composição e decomposição
de figuras. Na reconfiguração de figuras, segundo Duval, este é um primeiro fator
que pode interferir na apreensão operatória, ou seja, uma figura ser ou não
convexa.
Não acreditamos que os alunos terão dificuldades nesta questão, porém
entendemos que a dimensão do quadrado maior possa gerar algum problema,
pois o quadrado de 6cm de lado é composto por quatro quadrados de 3cm de
lado. Por isso, pensamos que este fato possa ocasionar em alguns alunos um
erro de interpretação, que pode ser corrigido como uma leitura mais atenta.
Abaixo, apresentamos a resolução esperada.
121
Para calcularmos a área da região pintada basta calcularmos a área de um
retângulo de lados medindo 6cm e 3cm. Portanto a área da região vale
18cm².
()
36×
11. Atividade
O segmento hachurado é a diagonal do retângulo. Sabendo que a diagonal de um retângulo
divide o mesmo em dois triângulos idênticos e a área do retângulo A é 5 cm², obtenha a área do
retângulo B:
O objetivo desta questão é mostrar que a composição e decomposição de
figuras podem nos levar a idéia de solução de um problema.
Acreditamos que em um primeiro momento, os alunos tenham uma certa
dificuldade nesta proposta, pois diferentemente da atividade de número 8 (oito),
dificilmente partirão para os cálculos, pelo fato do problema apresentar apenas a
área da região do retângulo A. Porém, entendemos que, com uma análise mais
aprofundada e um paralelo que possa ser estabelecido com a atividade de
número 8 (com a ajuda ou não do professor orientador), os alunos consigam notar
que a diagonal que divide o retângulo em dois, divide também o retângulo em seis
figuras, com isso perceber que a região A, possui área igual à região B, logo B =
5cm² como mostra a figura abaixo.
122
Acrescentamos números ao problema para facilitar a visualização e logo
temos que:
A + 1 + 2 = B + 1 + 2
A + 3 = B + 3
A = B
Assim como A = 5cm², temos que B = 5cm².
12. Atividade
Sabendo que cada quadradinho tem 0,25 cm² de área, como podemos fazer para calcular a área
das figuras abaixo?
123
O objetivo desta atividade é verificar se o aluno consegue, através da
composição e decomposição, transformar as figuras acima em retângulos e
quadrados, para que, com este procedimento, consiga determinar suas áreas.
Entendemos que, por ser a última atividade, os alunos não terão
dificuldades em compor as figuras, de modo que assim, possam determinar suas
áreas. Talvez a mudança de unidade de medida de quadradinho para cm², possa
confundir alguns alunos, mas não a maioria deles.
Abaixo, a resolução esperada de cada figura:
A )
Basta determinar a área de um retângulo de dimensões de 8 (oito)
quadradinhos por 4 (quatro) e verificar que na figura cabem 32 quadradinhos ou
8cm² (32 x 0,25), pois cada um equivale a 0,25cm².
B )
É necessário determinar a área de um quadrado de 4 (quatro)
quadradinhos de lado e perceber que na figura cabem 16 quadradinhos ou 4cm²
()
25,016× .
124
C)
Basta determinar a área de um quadrado de 7 (sete) quadradinhos de lado
e notar que na figura cabem 49 quadradinhos ou 12,25cm² (49 x 0,25).
D )
Basta determinar a área de um retângulo de dimensões de 9 (nove)
quadradinhos por 4 (quatro) e verificar que na figura cabem 36 quadradinhos ou
9cm² (36 x 0,25).
125
Capítulo 4
Experimentação e Análise a Posteriori
4.1 Introdução
Este capítulo tem por objetivo detalhar como aconteceu a experimentação
da seqüência de ensino destacando tópicos que mais chamaram a nossa
atenção, tais como: as dificuldades enfrentadas pelos alunos, os problemas
resolvidos de maneiras diversificadas, os itens que foram resolvidos facilmente,
as conclusões registradas pelos alunos, etc, assim como também iremos fazer um
paralelo entre os dados levantados na análise a priori com os observados nesta
etapa, fundamentados no referencial teórico do primeiro capítulo.
Fez parte de nossa seqüência de atividades, um grupo de 40 alunos da 8ª
série do Ensino Fundamental do período da manhã de uma escola da rede
Municipal de Ensino de São Caetano do Sul. Fizemos um convite aberto a todos
os alunos das 8ª séries (aproximadamente 150 alunos) que quisessem participar
do curso proposto (anexo), 56 alunos deram seus nomes para participarem.
Como era um número muito elevado, e não queríamos dispensar nenhum aluno,
pois tínhamos feito um convite sem nenhuma restrição, e a dispensa talvez
pudesse desmotivá-los, pedimos a todos que trouxessem impreterivelmente no
dia seguinte uma autorização assinada pelos pais ou responsáveis e a
entregassem na secretaria da escola. Isso fez com que o grupo se reduzisse para
40 alunos.
Apesar de entendermos ainda, ser este um número relativamente alto,
optamos por trabalhar com esse número pelos argumentos explicitados acima.
Durante o curso, tivemos no terceiro encontro duas desistências de alunos
por motivo de doença e, no último encontro, uma dupla não compareceu. Para
126
efeito das análises das atividades, consideramos apenas 2 duplas entre as 18
formadas.
Além dos alunos e do professor pesquisador, estavam presentes na sala
de aplicação dois professores observadores, (um professor de matemática e um
pedagogo) e, a partir do terceiro encontro, tivemos a presença de mais um
observador para assistir a uma outra dupla de alunos. O critério utilizado para a
escolha das duplas observadas foi a posição na qual os alunos se acomodaram
dentro da sala de aula que já estava preparada com as carteiras e cadeiras
arrumadas em duplas, das quais duas contavam com uma cadeira extra para os
observadores, o que definiu a seleção dos alunos a serem observados, ou seja,
de forma aleatória.
No início da atividade, os alunos responderam a uma pergunta, que foi
“gostaríamos de saber se você consegue explicar com suas palavras o que é área
de uma superfície? E como calcular a área de uma superfície?”,referente ao tema
do curso, para que pudéssemos fazer uma sondagem diagnóstica de seus
conhecimentos prévios sobre o tema e responderam essa mesma questão após o
quarto encontro, pois queríamos, com isso, verificar se a idéia inicial sobre o
conceito de área dos alunos havia mudado.
Ao começarmos as atividades, os observadores anotavam todas as
dúvidas, conclusões, perguntas e comentários pertinentes das duplas em
questão, sem, em nenhum momento, participar ou responder às mesmas.
Preparamos um questionário (Anexo) para ser preenchido pelos observadores,
objetivando nortear as observações e direcioná-los aos fatos que entendemos
serem de máxima importância. Utilizamos também dois gravadores para captar os
diálogos das duas duplas citadas anteriormente, para que pudéssemos ter uma
maior riqueza de detalhes.
Assim como os observadores, o professor-orientador dividiu seu tempo
com as outras duplas, sempre se preocupando na observação da reação dos
alunos diante dos problemas, das soluções, das dúvidas e das conjecturas
apresentadas na resolução das atividades, se limitando ao máximo para não
interferir nas estratégias utilizadas, mas respondendo às dúvidas dos alunos. Esta
127
tarefa foi um pouco difícil, pois os alunos não enxergavam o professor–orientador
como pesquisador, e sim como professor, tentando a todo instante, obter
respostas para seus problemas, porém com uma postura firme, estas atitudes
foram mudando durante o curso.
A seqüência de ensino foi aplicada no horário contrário ao horário de aula
dos alunos e no formato de um curso em que prevíamos 12 horas de duração,
divididos em seis encontros de 2 horas cada. No entanto, verificamos no quinto
encontro que este seria suficiente para o término do terceiro bloco de atividades,
já que os alunos tiveram poucas dificuldades na resolução das atividades
propostas. Sendo assim, o curso teve duração de 10 horas divididos em 5
encontros.
O grupo reuniu-se na primeira semana do curso na terça, quarta e quinta-
feira e na semana seguinte na terça e quinta-feira, no horário das 13h30 às
15h30. O início do curso se deu em 26/09/2006 e seu término em 05/10/2006.
Vale ressaltar que todos os alunos permaneceram na escola após o horário
de aula e lá almoçaram, com exceção do último encontro, quando não houve aula
no período da manhã e eles foram à escola no período da tarde para o curso.
Os encontros aconteceram da seguinte forma: 1º e 2º encontro – sala de
aula; 3º e 4º encontro – laboratório de informática; 5º encontro –sala de aula.
Para identificar os alunos das duplas utilizaremos as letras A e B, para os
alunos pertencentes à primeira dupla, e C e D para os alunos pertencentes à
segunda dupla.
4.2 Análise a posteriori das atividades
4.2.1 Bloco 1: Atividades concretas
Para a realização das atividades deste bloco os alunos foram agrupados
em duplas, para que as investigações fossem feitas de forma a proporcionar a
troca de experiências entre eles. Cada dupla recebeu uma pasta etiquetada para
128
identificação, uma régua de 30 cm, uma tesoura, uma folha de EVA (cores
variadas), uma folha de papel quadriculado e um bloco com as dez folhas das
atividades a serem desenvolvidas no primeiro bloco.
Atividade 1
A primeira atividade deste bloco tinha o objetivo de mostrar aos alunos a
equivalência entre figuras através da composição e decomposição de figuras.
Ao contrário do que prevíamos, as duplas tiveram rendimentos diferentes,
enquanto a primeira dupla sem nenhuma dificuldade conseguiu verificar que as
figuras eram equivalentes, pois eram formadas pela mesma quantidade de
quadrados. Isso é verificado pela fala:
B - “se vou montar todas as figuras com 20 quadrados iguais, claro que
todas terão a mesma área, independente da posição. É claro meu.”
Essa dupla foi além: quis verificar se os quadradinhos tinham ângulos de
90º e, para isso, utilizaram um esquadro.
Apesar desta atividade estar relacionada ao nível G0 de Parzysz,
percebemos uma mudança de nível para o G1, quando os mesmos se prendem
ao detalhe dos ângulos e utilizam-se do esquadro para medi-los, preocupando-se
bastante com a precisão dos traços. No final quando perguntado pelo professor
orientador “Qual tem maior área?”, respondeu “Nenhuma. Todas são iguais”.
A segunda dupla montou rapidamente um retângulo e determinou a sua
área (multiplicando seus lados). Porém quando montou outras figuras, não
conseguiu perceber que as mesmas possuíam áreas iguais.
Fala : C – “Como pode ter a mesma área, olha o tamanho dessa figura?” D
–” Essa daqui é muito maior que essa” .
Optaram por desenhar as figuras em folha. Algum tempo depois, C fala:
“Todas têm 20 quadradinhos. Nós estamos olhando a parte azul. A parte azul é a
carteira. Não conta. Por isso que está falando aqui que todas têm a mesma área”,
foi somente após esse momento, que perceberam o significado de equivalência.
130
Atividade 2
Esta segunda atividade tinha objetivos semelhantes aos da primeira: além
de também fazer o aluno perceber que unidades de medida diferentes escolhidas
como parâmetros modificam o valor numérico atribuído à área.
Assim como prevíamos, as duas duplas não apresentaram dificuldades na
resolução desta atividade. Ambas as duplas conseguiram responder corretamente
às três questões.
A primeira dupla fez uma representação interessante: “ = 1u.a. e Δ =
0,5u.a.” mostrando através da escrita, representação simbólica de que claramente
perceberam que a área do triângulo equivale à metade da área do quadrado.
Outro fato interessante nessa dupla foi seu comentário quanto à mudança
de unidades de área que muda os valores numéricos correspondentes às áreas,
sem alterá-las. A segunda dupla também percebeu esse fato ao comentar: D - “o
quadrado é o dobro do triângulo, por isso que uma deu o dobro da outra”
referindo-se aos resultados numéricos de 14(catorze) e 28(vinte oito). Outro
episódio relevante na primeira dupla foi o fato de eles se preocuparem em
desenhar figuras com formato de carro, casa, nuvem, sol e menino e, quando
indagados se havia a necessidade da construção em visual pré-definido, disseram
que não, mostrando, além de tudo, que tiveram uma preocupação estética
durante a realização da atividade.
Esses comentários mostram claramente que as duplas atingiram
perfeitamente os objetivos traçados da atividade, sem o auxilio do professor-
pesquisador.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Constatação de equivalência
13 81,25 2 12,5 - - 1 6,25
Considerando o quadrado
como unidade de medida
15 93,75 - - 1 6,25 - -
Considerando o triângulo
como unidade de medida
13 81,25 1 6,25 1 6,25 1 6,25
corretas
Erradas
Resposta das outras 16
duplas
Corretas
Parcialmente
Respostas
Em branco
Quantidade de duplas
131
Atividade 3
Essa atividade tinha por objetivo, levar o aluno a efetuar o produto da
medida do comprimento pela medida da largura do retângulo em estudo.
Novamente nesta atividade, as duplas tiveram rendimentos e
procedimentos diferentes.
A primeira dupla cobriu totalmente o retângulo e, através do procedimento
de contagem, conclui que eram 21 u.a. e foram além: desenharam (fora de
escala) um retângulo de “3 x 7” , ou seja, indicando que a largura era de 3
quadrados e o comprimento 7 quadrados e que o produto das medidas também
resultava em 21 u.a. Quando mudou a unidade de área para 1cm², perguntaram:
A –” é para considerar o quadrado da atividade 1 como unidade de área
considerando sua área como 4cm²?”, perguntei o por quê desse comentário, A –
“cabem 4cm² em um quadrado de 2cm de lado”, respondi “portanto?”. Logo eles
fizeram um retângulo (fora de escala) de 6 por 14, e responderam 84cm².
Percebemos na dupla, através das respostas apresentadas, do procedimento e
da pergunta feita, que todos os objetivos propostos na atividade foram atingidos.
Isso não ocorreu com a segunda dupla, que utilizou procedimentos e
respostas diferentes. A dupla não cobriu todo o retângulo como prevíamos
anteriormente. Os alunos calcularam mentalmente que na altura do retângulo
cabiam 3 quadradinhos e 7 quadradinhos no comprimento, calcularam o produto
de 3 por 7, e responderam 21 quadradinhos. Porém quando a unidade de área
utilizada mudou para 1cm², não utilizaram o mesmo raciocínio, responderam “21 +
21 = 42 quadradinhos de 1cm²”, ou seja, como o lado do quadrado diminui de 2cm
de lado para 1cm de lado, isto é, pela metade, eles utilizaram o raciocínio
proporcional para determinar que a área seria 42cm² (dobro). Somente quando
orientados pelo professor para recortar um quadrado de 1cm² de área e comparar
com o quadrado de 2cm de lado, que perceberam a relação. Logo em seguida
responderam 84cm². Percebemos a ansiedade da segunda dupla em realizar os
cálculos mentalmente, porém sem uma reflexão mais aprofundada sobre o
assunto. Nesse momento houve a institucionalização da proposta da atividade por
132
parte do professor-pesquisador, que utilizou um debate coletivo e a apresentação
das resoluções pelos próprios alunos.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Considerando o quadrado de
2cm de lado como u.a.
16100------
Considerando o quadrado de
1cm de lado como u.a.
10 62,50 4 25 2 12,50 - -
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 4
Esta atividade tinha por objetivo, fazer com que os alunos estabelecessem
uma relação entre a área do retângulo construído e a do triângulo. Assim como
prevíamos, ambas as duplas não tiveram nenhuma dificuldade em responder que
a área do retângulo é o dobro da área do triângulo, ou a área do triângulo é a
metade da área do retângulo. Nenhuma das duas duplas necessitou da ajuda do
professor-orientador.
Um fato interessante nessa questão foi o comentário da segunda dupla,
que logo após recortar a altura do triângulo e montar o retângulo, disse: C – “D,
por isso que é base vezes altura dividido por dois, eu multiplicava esses dois, a
altura é essa daqui” referindo aos lados do triângulo e ao lado do retângulo que
representa a altura do triângulo.
Ao final desta atividade, durante uma explanação por parte do professor-
pesquisador com relação à composição e decomposição do retângulo em dois
triângulos retângulos, uma dupla respondeu: “Professor, dá para ver esse fato
nesta mesma atividade. Olha o retângulo que formamos. É dividido claramente
em dois retângulos onde a altura do triângulo é o lado comum dos dois”
133
Segundo Duval (1994), essa apreensão operatória (modificação
mereológica), que consiste na modificação de uma figura de partida, realizada
tanto mentalmente como materialmente, permitirá que os alunos façam a
decomposição da figuras em partes, compondo subfiguras retangulares ou
triangulares a fim de subsidiar a resolução de problemas mais complexos através
da soma de partes elementares ou através da equivalência de dois
reagrupamentos.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Relação da área do triângulo
com a área do retângulo
construído
12 75 1 6,25 1 6,25 2 12,5
Definição do cálculo da área
do triângulo
12 75 1 6,25 - - 3 18,75
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
134
Atividade 5
Nesta atividade, ambas as duplas não conseguiram atingir os objetivos
sem a intervenção do professor-orientador.
A primeira dupla respondeu mecanicamente que as áreas eram iguais e
que a área do triângulo era base vezes altura dividido por dois, porém ao serem
questionados a mostrar a base do retângulo, e a ”base refere-se à quê?” não
souberam responder a questão. Pedi que voltassem à figura e percebessem qual
era a altura do triângulo e que notassem onde essa altura (esse segmento)
aparecia no retângulo. Somente após essas perguntas e algum tempo depois, foi
que a dupla conseguiu visualizar um retângulo com a mesma base do triângulo e
metade da altura.
A segunda dupla apresentou dificuldades em entender o que a atividade
pedia. Somente após a leitura conjunta com o professor-orientador começaram a
desenvolver a atividade. Porém após desenhar e recortar os triângulos, não
conseguiram montar um retângulo. Após algum tempo (5 minutos) a dupla pediu
novamente ajuda ao professor-orientador.
Assim como a primeira dupla, a segunda respondeu mecanicamente que a
área do triângulo era base vezes altura dividido por dois. Essa forma mecânica é
evidenciada na fala de C “Professor eu já sei que a área do triângulo é base
vezes altura divido por dois, então para que montar outro retângulo?” Essa
pergunta também tinha sido feita por outras duplas presentes.
Fica claro nesta atividade que os alunos acreditam que basta mostrar uma
relação matemática para um caso específico que as relações para outros casos
parecidos serão iguais.
Ao final, houve uma explicação da atividade e dos seus objetivos para toda
a sala, já que várias outras duplas apresentaram dificuldades e foi discutida
também a altura relativa a cada lado do triângulo.
Percebemos nesta atividade uma certa dificuldade dos alunos em buscar
estratégias diferentes na resolução de um mesmo problema.
135
Nº % Nº % Nº % Nº %
Relação da área do triângulo
com a área do retângulo
construído
14 87,5 - - 2 12,5 - -
Definição do cálculo da área
do triângulo
16100------
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 6 e Atividade 7
O objetivo destas atividades consistia na descoberta da fórmula da área do
paralelogramo a partir da composição de um retângulo.
Ambas as duplas atingiram facilmente os objetivos propostos sem precisar
da ajuda do professor-orientador, o que também se evidencia pelo curto espaço
de tempo que levaram para finalizá-las (menos de 10 minutos). As duplas
conseguiram estabelecer que a área do paralelogramo é equivalente à área de
um retângulo de mesma base e mesma altura e que, portanto, a área do
paralelogramo é base vezes altura.
A primeira dupla, durante a atividade 6, fez um comentário sobre o lado e a
altura do mesmo: A – “A área não tem relação com o lado pelo qual não traçamos
a perpendicular”, e ao começarem a atividade 7, disseram que era a mesma
atividade com as mesmas respostas e que a única diferença era que a altura
traçada tinha se deslocado, passando de ter uma extremidade num dos vértices
para tê-lo em qualquer outro lugar do segmento do lado. Esses comentários
mostram que dificilmente confundirão o lado do paralelogramo com sua altura. A
segunda dupla não expressou nenhum comentário sobre a atividade.
Ao final das atividades, no processo de institucionalização dos
conhecimentos adquiridos, foi realizada uma explanação sobre a diferença entre o
lado e a altura do paralelogramo, já que este é um erro muito usual cometido
pelos alunos.
136
tabela referente atividade 6
Nº % Nº % Nº % Nº %
Relação da área do
paralelogramo com a área do
retângulo construído
16100------
Definição do cálculo da área
do paralelogramo
13 81,25 2 12,5 1 6,25 - -
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
tabela referente atividade 7
Nº % Nº % Nº % Nº %
Relação da área do
paralelogramo com a área do
retângulo construído
16100------
Definição do cálculo da área
do paralelogramo
15 93,75 - - 1 6,25 - -
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 8
O objetivo desta atividade era fazer com que o aluno estabelecesse uma
relação entre o triângulo obtusângulo e o paralelogramo, para depois definir uma
maneira de determinar a área do triângulo.
Esta atividade era muito semelhante às atividades 4(quatro) e 5(cinco), nas
quais os alunos tiveram dificuldades em analisar situações parecidas por
maneiras diferentes. Neste sentido, observamos uma postura diferente das
duplas em relação à atividade anterior. Os alunos estavam mais empenhados em
analisar e estudar a situação do que em responder de forma mecânica como
ocorrido anteriormente.
A primeira dupla resolveu de forma interessante esta atividade. Antes de
desenhar e recortar os triângulos na folha de EVA como proposto na atividade,
eles fizeram uma relação com as atividades 4 e 5, dizendo A - “Essa
decomposição do triângulo em partes é igual àquela atividade que nós fizemos
antes” referindo-se à atividade 5. Após essa conclusão, traçaram um
prolongamento da base do triângulo representado na folha, traçaram a altura para
137
poder medi-la e, em seguida, desenharam ao lado o paralelogramo pedido.
Verificaram também com a régua que ele tinha exatamente metade da altura,
concluindo, assim, que as áreas eram iguais. A dupla perguntou ao professor-
orientador se o triângulo obtusângulo era o que possuía lados iguais, pois na
atividade, por coincidência, dois segmentos eram iguais. A intervenção ocorreu
em descriminar a classificação dos triângulos quanto aos lados e quanto aos
ângulos. Após estas conclusões, utilizaram o EVA para verificação das
conclusões obtidas. Percebemos nesta dupla que, apesar do aluno B ser mais
operacional que o outro, há uma atenção total da dupla durante as atividades, isto
é, enquanto um faz o outro observa e sugere soluções. Percebemos pelas
resoluções apresentadas que eles já não estão se reportando aos objetos físicos
para suas validações, o que demonstra uma clara mudança de nível de G0 para
G2, segundo a classificação de Parzysz.
A outra dupla, apesar de ter chegado às mesmas conclusões, baseou sua
análise no concreto, assim como pedia a atividade, e também não necessitou da
ajuda do professor-orientador, mostrando claramente uma mudança de postura,
uma vez que na atividade 5(cinco), fez-se necessária uma leitura conjunta para o
início da atividade.
Ao final da atividade, foram discutidos os resultados obtidos, assim como,
uma explicação para toda a sala sobre a classificação dos triângulos quanto aos
seus lados e ângulos, pelo fato de várias duplas perguntarem sobre o assunto.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Relação da área do triângulo
obtusângulo com a área do
paralelogramo construído
13 81,25 1 6,25 2 12,5 - -
Definição do cálculo da área
do triângulo obtusãngulo
12 75 - - 4 25 - -
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
138
Atividade 9
O objetivo desta atividade era mostrar ao aluno como calcular a área de um
losango.
As duplas observadas não tiveram dificuldades em resolver a questão,
porém em ambas houve a intervenção do professor-orientador.
A primeira dupla, após montar dois losangos idênticos e responder que a
área do losango é determinada por base vezes altura dividido por dois, foi
provocada a mudar o formato do losango para o de um retângulo e identificar
quais seriam os elementos que compõem a base e a altura do losango, o que
rapidamente foi identificado e montado pelos alunos. A dupla percebeu que a
base do retângulo é a diagonal maior do losango e a altura do retângulo é a
diagonal menor. Logo concluíram que a área do losango pode ser determinada
pela metade do produto das diagonais.
A segunda dupla também concluiu que a área do losango era metade da
área do retângulo e que, portanto, a área poderia ser calculada pelo produto da
base pela metade da altura. Neste sentido, essa dupla foi além: registraram
também que “o triângulo retângulo é
4
1
do losango. Juntando os 4 triângulos
formo um losango, então calculo a área de um triângulo retângulo e multiplico por
4.”. Percebemos através desta idéia, uma estratégia clara de composição de
figuras para o calculo de área. Após a conclusão da atividade, perguntamos a
dupla, o que se referia a altura e a base que mencionaram no losango,
imediatamente D respondeu: - “é essa medida e essa medida aqui” marcando
com os dedos as duas diagonais. Neste momento, foi explicado pelo professor-
orientador que aquelas medidas do losango são chamadas de diagonais (menor e
maior) e, portanto, o que a dupla definiu como calcular a área do losango,
normalmente é expressa pelo produto das diagonais dividido por 2.
139
Nº % Nº % Nº % Nº %
Relação da área do retângulo
com a área do losango
construído
16100------
Definição do cálculo da área
do losango
7 43,75 9 56,25 - - - -
Obs: As respostas consideradas parcialmente corretas ,foram aquelas definidas como base x altura
dividido por dois, onde não foram definidos o que significa esses dois termos no losango.
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 10
Esta atividade tinha como objetivo, levar os alunos a obter a área do
trapézio através da área do paralelogramo.
Prevíamos, inicialmente, que os alunos provavelmente teriam dificuldades
em relacionar as medidas da base do paralelogramo criado com as medidas da
base do trapézio. Porém, essa dificuldade não existiu. Ambas as duplas
resolveram a atividade sem dificuldades e sem a ajuda do professor-orientador.
O interessante nessa questão foi a riqueza de detalhes na resposta da
primeira dupla, que representou o paralelogramo criado através de um desenho,
marcando os nomes das bases do trapézio e a altura do mesmo.
140
Verificamos, através da resposta acima, que a dupla entendeu
perfeitamente o objetivo da atividade. A segunda dupla também respondeu
corretamente, porém sem a representação do desenho.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Como determinar a medida da
base do paralelogramo criado
apenas com um trapézio
9 56,25 1 6,25 3 18,75 3 18,75
Relação entre a altura do
paralelogramo criado com a
do trapézio
10 62,5 - - - - 6 37,5
Definição do cálculo da área
do trapézio
8 50 4 25 3 18,75 1 6,25
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
4.2.1.1 Conclusão do primeiro bloco
Percebemos após a análise de todas as atividades deste primeiro bloco,
que os alunos possuíam uma noção deficitária em relação ao conceito essencial
da nossa proposta de ensino, que era o do cálculo da área de figuras planas
através da decomposição e composição de figuras.
Identificamos facilmente no início do bloco, a necessidade nos alunos de
resolver os problemas através de fórmulas matemáticas, ainda que em muitos
casos, esta estratégia não lhes apresentasse sentido algum aos mesmos. Porém,
ao longo do processo, esta maneira de visualizar os problemas foi gradativamente
sendo alterado.
Percebemos, através do andamento das atividades, que o enfoque no
cálculo de área deu-se através de comparações, estimativas, medições por
contagem, cálculo através de soma e subtração de partes elementares
(reconfiguração), evidenciando as apreensões perceptivas e operatórias de Duval
na resolução de situações em que a figura possui um papel heurístico.
As duplas apresentaram uma autonomia crescente na realização das
atividades. Pudemos observar também uma certa facilidade das duplas na
141
realização das tarefas, o que ficou ainda mais evidenciado na primeira dupla, que
apresentou comentários e resoluções precisas, além de alguns detalhes
interessantes em suas respostas, tais como na resolução da questão 8, realizada,
em primeiro momento, sem o uso do material concreto, mostrando que não
necessita mais dos objetos físicos para suas conclusões, uma clara entrada ao
nível G2 de Parzysz,
Consideramos, porém, que a segunda dupla também mereça destaque,
principalmente pelo fato de serem alunas com rendimentos normalmente baixo
em sala de aula e, neste sentido, Vegnaud (1990) afirma que o conhecimento se
constitui e se desenvolve no tempo em interação adaptativa do indivíduo com as
situações que experiencia, incorporando conhecimento e desenvolvendo
competências cada vez mais complexas.
Desta forma, concluímos que este primeiro bloco atingiu perfeitamente os
objetivos propostos. Principalmente a idéia de Duval (1995) de reconfiguração,
que levou os alunos a engrenar tratamentos de idéias tais como medidas de
áreas por soma de partes elementares e a evidência de reagrupamentos
intermediários.
142
4.2.2 Bloco 2: Atividades com o Cabri-Géomètre
Todas as atividades deste bloco tiveram o suporte do programa Cabri-
Géomètre. Vale ressaltar aqui, que todos os alunos das 8
as
séries já conheciam o
programa por vezes utilizado como recurso durante as aulas e que cada dupla
utilizou um computador. Para a realização das atividades deste bloco em
especial, além das observadoras, estavam presentes no laboratório, dois
professores de informática que fazem parte do quadro de funcionários da escola e
mais um professor de matemática.
No início das atividades, houve explicação a todos por parte do professor
orientador, para que os alunos, após construírem as figuras, marcassem com a
opção polígono do menu as figuras construídas, pois somente desta forma
conseguiriam que o programa determinasse a área das mesmas. Além disso, foi
solicitado para que alterassem a espessura da linha das figuras, para uma melhor
identificação das construções realizadas.
Foto das duplas no local das atividades do segundo bloco:
143
Atividade 1
O objetivo principal desta atividade era verificar, com o auxílio do
programa, que um paralelogramo e um retângulo equivalentes têm áreas iguais.
As duplas nesta atividade tiveram rendimentos diferentes. A segunda dupla
levou pouquíssimo tempo na resolução da atividade, enquanto a aluna D
manuseava o computador, C ia orientando e discutindo a resolução. Fala de C –
“Passa uma perpendicular por C e A”, referindo-se aos pontos A e C, depois de
construir a reta, foi a vez de D comentar ”Depois, basta passar uma reta por AC e
BC e traçar o polígono”. Desta maneira, concluíram corretamente a atividade. A
única interferência feita pelo professor orientador foi para que as mesmas
manuseassem a figura para verificar se a construção não se alterava. Sem
nenhum problema, manusearam e constataram que a construção estava correta.
Nesta atividade, a facilidade com que a segunda dupla resolveu a atividade
foi surpreendente, apesar de acreditarmos que isso se deve ao desempenho no
primeiro bloco. Vale ressaltar também a facilidade e o interesse das alunas com o
uso do computador. Abaixo a resolução da segunda dupla.
A primeira dupla apresentou uma certa dificuldade na resolução da
atividade. Não conseguiu visualizar em que ponto deveria passar a perpendicular.
Na verdade, visualiza que a perpendicular poderia passar em qualquer ponto do
segmento AC, uma clara referência à atividade 7, porém com aquele raciocínio
144
não conseguiu construir o retângulo equivalente, mesmo com o auxílio do
programa. A dupla fez várias tentativas, todas sem sucesso e foi somente com a
intervenção do professor orientador, dando uma dica sobre em que ponto seria
mais fácil passar a perpendicular, que os alunos perceberam a semelhança com a
atividade 6, fala de A –“nossa, é igual a atividade do paralelogramo que cortava
nas extremidades, nós estamos tentando fazer o mais difícil passando por
qualquer ponto, é só passar por A e C e prolongar o segmento”.
Após a construção e a verificação da equivalência por parte dos alunos, a
dupla solicitou novamente a orientação do professor-orientador para validar o
raciocínio utilizado. Os alunos foram, então, orientados a movimentar a figura
para que pudessem verificar as propriedades da construção. Neste momento,
perceberam que quando movimentavam o vértice da figura, as figuras se
alteravam, mudando completamente seu formato e sua área.
Abaixo a primeira resolução da dupla:
Após a dupla requisitar novamente a ajuda do professor-observador,
verificamos que os alunos tinham apagado o paralelogramo pronto do arquivo
paralelogramo.fig, e criado um sem as propriedades existentes no quadrilátero.
Após esta constatação, os alunos abriram novamente o arquivo e fizeram outra
vez a construção.
145
Abaixo a segunda construção da dupla:
Vale ressaltar nesta proposta que a maioria das duplas participantes da
seqüência didática tiveram dificuldades semelhantes na resolução da atividade.
Muitos disseram que não conseguiam fazer e outros que não estava dando certo.
Até o momento, esta foi a única atividade em que os outros professores
precisaram auxiliar algumas duplas devido à quantidade de perguntas que
sobrecarregava o professor-orientador.
Após a conclusão da atividade, foi feito um debate de idéias. Foram
levantadas as principais dificuldades, as estratégias utilizadas por alguns e
explicado novamente a todos que deveriam construir a figura com opção polígono
para que o programa determinasse a área da figura e, principalmente, para que
eles tentassem relacionar as atividades deste bloco com as do primeiro.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Construção de um retângulo
equivalente ao paralelogramo
dado
9 56,25 7 43,75 - - - -
Obs: todas as respostas consideradas parcialmente corretas, foram aquelas que não utilizaram as
propriedades matemáticas
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
146
Atividade 2
O objetivo desta atividade era levar os alunos a verificar com o software
Cabri, os resultados obtidos empiricamente na quinta atividade do primeiro bloco.
Assim como prevíamos, as duplas não tiveram muita dificuldade na
realização da atividade. Apesar disto, ambas precisaram da ajuda do professor-
orientador em algum momento da atividade, o que acreditamos não ter
comprometido a autonomia dos alunos.
Os alunos da primeira dupla, inicialmente, ficaram um pouco confusos
sobre qual caminho seguir, até receberem uma dica “será que não é possível
relacionar nenhuma atividade do primeiro bloco?”. No mesmo instante A
respondeu - “É aquela primeira atividade com o triângulo acutângulo. Entendi!”.
Após esta conclusão, assim como prevíamos, a dupla concluiu a atividade
corretamente, sem nenhum problema. A resolução desta dupla foi exatamente
igual a que prevíamos.
Abaixo a resolução da dupla:
Novamente, a segunda dupla não teve dificuldades na resolução da
atividade. Observando sua resolução, percebemos que a dupla utilizou estratégia
diferente da primeira e, portanto, diferente também do que tínhamos previsto.
Enquanto a resolução da primeira dupla remete à idéia da quinta atividade do
primeiro bloco, a segunda traz uma clara influência da quarta atividade do
147
primeiro bloco. Não tínhamos previsto esta resolução, o que mostra claramente
que nossos objetivos estão sendo atingidos, ou seja, os alunos começam a
buscar estratégias diferenciadas na resolução de problemas, resolvendo-os
através da reconfiguração de figuras.
Abaixo a primeira resolução da dupla:
Em sua resolução, a dupla construiu duas perpendiculares ao segmento
AC passando pelos pontos A e C e uma reta paralela ao lado AC passando por B.
O interessante na resolução da dupla foi o uso da calculadora do programa para
verificar que sempre a razão entre as áreas era dois.
Após a conclusão da atividade, sem o pedido da dupla, houve a
interferência do professor-orientador “O que significa construir um retângulo
equivalente ao triângulo?” fala de C – “Tem a mesma área”, professor-orientador
“O seu tem?” fala de C – “Não, tem o dobro” - “Então?” “Basta dividi-lo ao meio”.
Logo após esta interferência, traçaram os pontos médios e construíram
corretamente um retângulo equivalente.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Construção de um retângulo
equivalente ao triângulo dado
12 75 3 18,75 1 6,25 - -
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
148
Atividade 3
O objetivo desta atividade era semelhante ao da atividade anterior e, assim
como prevíamos, as duplas não tiveram grandes dificuldades na resolução da
atividade e também não precisaram da ajuda do professor-orientador em nenhum
momento.
Ambas as duplas conseguiram relacionar esta atividade com a atividade 8
do primeiro bloco, discutindo que a construção seria de forma análoga. Neste
sentido, a primeira dupla resolveu rapidamente a questão. Porém a segunda
dupla apesar de evidenciar esta relação com a atividade do primeiro bloco, sentiu
uma maior dificuldade em relação às duas atividades anteriores. Houve
primeiramente um movimento de tentativa e erro com as opções oferecidas pelo
software, principalmente com o uso de retas perpendiculares e, somente após
algumas tentativas erradas, conseguiu resolver corretamente a atividade. Nesta
resolução da segunda dupla, percebemos claramente a idéia de Freudenthal
(1973) que uma das conseqüências da observação, exploração e resolução de
problemas práticos, é que os alunos acabam adquirindo hábitos de pensar
matematicamente frente a situações diversas.
Ambas as duplas utilizaram exatamente a mesma estratégia na resolução
do problema: construíram primeiramente um paralelogramo com o dobro da área
do triângulo e traçaram seus pontos médios, construindo, assim, um novo
paralelogramo com a metade da área, portanto equivalente ao triângulo dado.
Essa estratégia foi um pouco diferente da prevista por nós, o que nos mostra,
claramente que estão utilizando suas próprias estratégias de resolução com muita
autonomia.
Abaixo a resolução da segunda dupla:
149
Percebemos na resolução da segunda dupla, o cuidado que tiveram em
verificar que a área do primeiro paralelogramo criado era o dobro da área do
triângulo, exatamente como tinham verificado na atividade anterior.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Construção de um
paralelogramo equivalente ao
triângulo dado
13 81,25 3 18,75 - - - -
Quantidade de duplas
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Atividade 4
O objetivo desta atividade era verificar com o auxílio do software Cabri que
um losango e um retângulo equivalentes têm áreas iguais, resultado este, já
obtido empiricamente no primeiro bloco.
Assim como prevíamos, as duplas não tiveram dificuldade alguma na
resolução da atividade e também, em momento algum precisaram da ajuda do
professor orientador. Percebemos que ambas as duplas realizaram rapidamente
uma analogia ao bloco concreto, facilitando bastante a construção no Cabri.
O fato interessante nesta questão ficou por conta da resolução da primeira
dupla, que apresentou as duas respostas possíveis na mesma resolução. Isto não
ocorreu com a segunda dupla, que apresentou, também de forma correta apenas
a segunda resposta que previmos.
150
Abaixo as resoluções da primeira e segunda dupla respectivamente:
151
Nº % Nº % Nº % Nº %
Construção de um retângulo
equivalente ao losango dado
15 93,75 1 6,25 - - - -
Apresentou mais de uma
resposta como solução do
problema
637,5------
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 5
O objetivo desta atividade era mostrar aos alunos que triângulos de mesma
base e mesma altura possuem áreas iguais, apesar de possuírem lados
diferentes.
Ambas as duplas, assim como prevíamos, atingiram os objetivos propostos
sem a ajuda do professor orientador. Apesar de terem atingido os objetivos da
atividade, as duplas tiveram desempenhos um pouco diferentes uma das outra. A
segunda dupla resolveu a questão rapidamente e concluiu a questão da seguinte
forma: “Podemos concluir que todos têm a mesma área, pois a base e a altura
são as mesmas e os perímetros são diferentes”. Após a conclusão da atividade, o
professor-orientador questionou a resposta da dupla com relação ao perímetro, –
“Vocês escreveram que os perímetros são diferentes. Por que os perímetros são
diferentes?”. Rapidamente C respondeu: – “Professor quando você altera os
pontos na reta paralela, você altera o tamanho dos lados do triângulo, logo o
perímetro é diferente. A área não se altera porque a base é a mesma e a altura é
a mesma de todos os triângulos”.
A primeira dupla também percebeu rapidamente que as áreas eram iguais,
concluiu em um primeiro momento da seguinte forma ”A área é a mesma, pois
ambos têm a mesma base (
A
B ) e a altura é a mesma pois há uma reta paralela
determinando a mesma altura”. Porém, achou estranho e não conseguiu entender
a razão pela qual o perímetro estava dando diferente (esperava que fossem
iguais). Foi somente quando deslocou bastante um dos pontos criados, (ponto G)
que a dupla percebeu que os perímetros mudavam, pois estavam alterando os
tamanhos dos segmentos dos triângulos. A exceção era o segmento AB, o
mesmo para todos os triângulos.
152
As resoluções e respostas obtidas pelas duplas nos mostram que
dificilmente os alunos irão confundir o perímetro com a área das figuras. Segundo
Duval (1995) a confusão entre perímetro e área ocorre pelo fato das atividades
matemáticas evidenciarem os aspectos de dimensão zero e um das figuras ao
invés aos de dimensões dois.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Concluiram que as áreas dos
triângulos eram equivalentes,
pois tinham a mesma base e
mesma altura
13 81,25 2 12,5 - - 1 6,25
Concluiram o porque da
variação do perímetro
8 50 3 18,75 - - 5 31,25
Obs: as respostas consideradas parcialmente corretas, foram aquelas em que os alunos não justificaram
os fatos
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 6
O objetivo desta atividade era o mesmo da atividade anterior, mudando
apenas a posição dos triângulos criados.
Novamente as duplas não necessitaram da ajuda do professor-orientador,
e também não tiveram dificuldade alguma em responder corretamente a atividade.
O que nos chamou bastante atenção nesta proposta foi o fato da primeira
dupla não ter utilizado o computador na resolução da atividade. Assim que
abriram o arquivo e a analisaram, o aluno A comentou “É igual à atividade
anterior, só muda a base que agora é o segmento AC e a posição pela qual se
passa a paralela”. Isso indica uma clara evidência do nível de abstração da dupla,
mostrando que normalmente não precisa mais do apoio do concreto para suas
conclusões que, segundo Parzysz, é classificado como G2, uma geometria Proto-
axiomática.
Abaixo a resposta da primeira dupla sem o auxílio do computador:
153
Esta foi a última atividade do dia. Nos últimos 15 minutos fizemos um
debate com todas as duplas sobre suas conclusões e idéias. Finalizamos com a
observação de que as conclusões levantadas por eles até aquele momento,
serviriam de suporte para as demais propostas que seriam apresentadas neste
bloco.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Concluiram que as áreas dos
triângulos eram equivalentes,
pois tinham a mesma base e
mesma altura
14 87,5 1 6,25 - - 1 6,25
Concluiram o porque da
variação do perímetro
8 50 2 12,5 - - 6 37,5
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 7
Prevíamos nesta atividade que, provavelmente no primeiro momento, os
alunos teriam dificuldade com a questão e apenas após a solução fornecida pelo
Cabri, reformulariam esse falso critério utilizado na resolução da área do
paralelogramo. Porém, isso aconteceu parcialmente e somente a segunda dupla
que inicialmente contou os quadrados e multiplicou os valores (5 x 4),
respondendo 20cm² de área, o que era confirmado pelo visual de 20
paralelogramos de 1cm de lado. Porém antes de conferir a resposta com o
programa, D questionou C –“Tá errado. Não vai dar 20. A altura do paralelogramo
é 3 e não 4. Vai dar 15 e não 20”. Após a troca de idéias e a conclusão de que
154
realmente a área do paralelogramo era 15cm², conferiram com o auxílio do
software, o resultado obtido.
O que chamou muita a nossa atenção foi o fato de que apesar de se tratar
de uma situação que provavelmente induziria ao erro (isto ocorreu, em partes,
com a segunda dupla), os alunos responderam corretamente à questão,
mostrando claramente que diferenciam para o cálculo da área, o lado do
paralelogramo com sua altura. Este é um erro muito comum, diríamos até mesmo
clássico, cometido pelos alunos quando apresentados ao assunto através
simplesmente do uso de fórmulas. Ademais, cabe registrar que as dificuldades em
torno da dissociação das variações de área e perímetro de paralelogramos no
estudo das deformações descritas na atividade, mostram-se resistentes e
parecem ser reforçadas pelo teorema em ação (Vergnaud, 1993) segundo o qual
a área de um paralelogramo é dada pelo produto das medidas de seus lados.
No restante da atividade, as duas duplas conseguiram responder
corretamente e sem nenhum problema a todas as questões. Isto se deu sem a
ajuda do professor-orientador, exceção feita à segunda dupla, que requisitou este
auxílio em um determinado momento para entender a área mínima, embora já
tivesse discutido as mesmas idéias apresentadas pelo professor.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Conclusão sobre a variação
da área do paralelogramo
10 62,5 4 25 2 12,5 - -
Conclusão sobre a não
variação do perímetro
11 68,75 2 12,5 2 12,5 1 6,25
Obs: as respostas parcialmente corretas foram aquelas respostas sem justificativa
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 8
Esta atividade tinha por objetivo fortalecer o conceito de figuras
equivalentes. Neste sentido, as duplas tiveram rendimentos diferentes. A primeira
dupla sem dificuldades, registrou as duas questões da seguinte forma:
“Sim, pois sua base é a mesma e sua altura também, não alterando a
área”.
155
“Sim, pois a área do triângulo DBE é igual ao DBC e ABD é igual a ABD”.
Analisando as duas respostas, percebemos claramente na segunda
resposta, a intenção da dupla em mencionar que o quadrilátero ABCD é formado
pelos triângulos ΔABD + ΔDBC e o triângulo ABE é formado pelos triângulos
ΔABD + ΔDBE, logo como os triângulos ΔDBC e ΔBDE são equivalentes, temos
que o quadrilátero ABCD e o triângulo ABE possuem a mesma área.
Após a conclusão da atividade por parte da dupla e no sentido de
esclarecer com maior precisão suas respostas, houve um questionamento do
parte do professor-observador: – “Vocês disseram que os triângulos são iguais.
Isso justifica que o quadrilátero ABCD e o triângulo ABE são equivalentes? Por
quê? Não entendi!”. Prontamente A respondeu: – “O quadrilátero é formado pelos
triângulos ABD e BDC e o triângulo (referindo-se ao
Δ
ABE) é formado por ABD e
DBE, ABD é o mesmo nos dois casos e os outros dois são equivalentes pois sua
base é a mesma e sua altura também”. Percebemos claramente que a dupla não
teve dificuldade em perceber a composição das figuras em forma de triângulos
para mostrar sua equivalência.
A segunda dupla pareceu desatenta. Ao analisarmos suas respostas e
seus diálogos, percebemos uma total discrepância entre elas. Enquanto a
primeira resposta: “Sim, porque tem a mesma base e a mesma altura” e o diálogo
referente à segunda questão D – “o quadrilátero também é composto pelas
mesmas figuras do triângulo”, encaminhavam a dupla para uma conclusão
perfeita, a segunda resposta “não, porque a altura não é a mesma, só a base.
Que um é um triângulo e o outro é um quadrilátero”, nos coloca sérias dúvidas
sobre o entendimento da dupla sobre a equivalência de figuras através do
processo de composição e decomposição. No entanto, vale ressaltar uma
observação feita pelo professor-orientador e pela observadora no início da
atividade em que ambas as alunas pareciam estar cansadas e que visivelmente
estava havendo um envolvimento menor em relação aos dias anteriores. Esse
fato talvez fosse justificado por elas terem apresentado um seminário de Ciências
no período anterior. Foi somente após a interferência do professor-observador
lendo a conclusão da dupla e orientando-as a discutirem o que havia sido
156
registrado, que a dupla percebeu o erro cometido. C: – “Tem a mesma área, não
é professor?”. Professor-orientador – “Não sei. Por que vocês acham isso?” C –
“O quadrilátero é formado pelo triângulo amarelo e o triângulo azul e o triângulo
(referindo-se ao
Δ
ABE) é formado também pelo triângulo amarelo e o verde.
Como o verde tem a mesma área do azul, os dois têm a mesma área”. Professor-
orientador – “Exatamente igual ao que vocês registraram, não é?”. Percebemos
na interferência do professor orientador que o erro da dupla se deu mais pelo fato
de estarem desatentas à atividade, do que ao fato de não perceberem quais
figuras compunham o quadrilátero e o triângulo.
Entendemos que mesmo havendo interferência do professor-orientador, as
duplas atingiram perfeitamente os objetivos traçados na atividade.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Concluíram que os dois
triângulos eram equivalentes
13 81,25 1 6,25 2 12,5 - -
Concluíram que o quadrilátero
e o triângulo eram
equivalentes
10 62,5 4 25 2 12,5 - -
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 9
O objetivo desta atividade era semelhante ao da anterior, com a diferença
de que nesta, as duplas fariam a redução do número de lados de um polígono
através das construções geométricas. Neste sentido, e sem a ajuda do professor
observador, as duplas atingiram perfeitamente os objetivos da atividade, porém
utilizaram estratégias completamente diferentes.
Assim como prevíamos anteriormente, a segunda dupla utilizou-se da
mesma estratégia apresentada na atividade anterior.
Abaixo a resolução da segunda dupla com uma observação feita por nós.
157
Descrição das etapas da construção geométrica da dupla:
9 Reta passando pelos pontos A e C
9 Reta paralela ao AC passando pelo ponto B
9 Reta passando pelos pontos A e D
9 Ponto de intersecção entre as retas
9 Construção do triângulo DC e o ponto de intersecção das retas
Percebemos na resolução da dupla que entenderam perfeitamente os
objetivos da atividade. Porém, assim como relatado anteriormente, houve um
envolvimento menor da dupla em relação aos dias anteriores. Este fato se
evidencia também na construção da dupla, já que não se preocuparam em marcar
com uma linha de espessura maior ou cor diferente como em atividades
anteriores o triângulo construído.
A segunda dupla utilizou-se de uma estratégia de resolução totalmente
diferente da prevista por nós.
Abaixo a resolução da segunda dupla:
158
Descrição das etapas da construção geométrica da dupla:
9 Reta passando pelos pontos D e B
9 Reta paralela ao
D
B
passando pelo ponto A
9 Reta paralela ao
D
B passando pelo ponto C
9 Retas perpendiculares ao
D
B passando pelos pontos D e B
9 Construção do retângulo idêntico ao circunscrito ao quadrilátero
ABCD
9 Construção da diagonal do retângulo
9 Construção do triângulo verde, equivalente ao quadrilátero ABCD
Podemos observar na resolução da dupla um raciocínio matemático
complexo, o que nos leva a idéia de que os aspectos geométricos envolvidos na
comparação de áreas por composição e decomposição de polígonos foi muito
bem assimilado pela dupla. Para que os demais alunos pudessem compartilhar
deste raciocínio, ao final da atividade, a dupla apresentou sua resolução.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Construíram um triângulo
equivalente ao quadrilátero
dado
13 81,25 1 6,25 2 12,5 - -
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
159
Atividade 10
O objetivo desta atividade era transformar um pentágono em um
quadrilátero equivalente. Neste sentido, ambas as duplas conseguiram atingir o
objetivo proposto, porém, diferentemente do que prevíamos tiveram algumas
dificuldades.
Os alunos da primeira dupla não conseguiram manter o mesmo raciocínio
construído na atividade anterior para esta atividade. Isto fez com que a dupla não
buscasse outro tipo de construção. A dupla passou bastante tempo observando
as paralelas e perpendiculares a todos os vértices do pentágono, numa tentativa
de resolver o exercício como fez na atividade 9. Após esse momento, pediu ajuda
ao professor-orientador. Nesse sentido, orientamos a dupla que fizesse uma
analogia com a atividade 8, para que buscasse uma estratégia de resolução
diferente ao que havia feito na atividade anterior. Após esta interferência, concluiu
corretamente a atividade.
Abaixo a resolução da dupla:
A segunda dupla começou a atividade com muita dificuldade. Não sabia
que recursos usar e qual raciocínio seguir. Embora tivesse desenhado no papel
(corretamente), não conseguia construí-lo no computador. Foi somente após a
intervenção do professor-orientador que a orientou a analisar com cuidado a
atividade anterior e, principalmente, a resolução manual que tinha acabado de
construir, que a dupla conseguiu concluir a atividade.
160
Abaixo a resolução da dupla:
Nº % Nº % Nº % Nº %
Construíram um quadrilátero
equivalente ao pentágono
dado
10 62,5 1 6,25 2 12,5 3 18,75
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 11
O objetivo desta atividade era verificar se com os procedimentos das
atividades anteriores, os alunos conseguiriam reduzir por equivalência, o número
de lados de um pentágono, para um triângul
161
que esta dificuldade foi totalmente influenciada pelas várias construções
desnecessárias que tiveram ao longo do caminho.
Abaixo a resolução da dupla:
Abaixo a mesma resolução destacadas apenas as construções
necessárias:
A resolução apresentada pela dupla que não utilizou o lado do pentágono
como sendo um dos lados do triângulo, difere um pouco da prevista por nós como
a solução que seria apresentada pelos alunos para este problema. Entendemos,
após sua aplicação, que se tratava de uma atividade de complexidade muito
162
elevada para esse nível. Nesse sentido as duplas que conseguiram realizá-la
superaram significativamente nossas expectativas.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Construíram um triângulo
equivalente ao pentágono
dado
2 12,5 2 12,5 - - 12 75
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
4.2.2.1 Conclusões do segundo bloco
Para finalizar este bloco, gostaríamos de refletir sobre o uso de tecnologias
existentes, em particular do programa de geometria dinâmica Cabri-Géomètre,
como forma de auxiliar ou até mesmo superar dificuldades inerentes à
compreensão do raciocínio geométrico.
Desta maneira, podemos dizer que a aprendizagem se deu através de
ações que se opunham ao papel passivo do aprendiz frente à apresentação
formal do conhecimento, baseado essencialmente na transmissão ordenada de
“fatos”, geralmente na forma de definições e propriedades. Ao contrário, nossa
proposta foi de uma aprendizagem baseada em ações que caracterizaram o
“fazer matemática”: Experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjecturar,
abstrair, generalizar e enfim demonstrar. Nesse sentido, foi fundamental o uso da
tecnologia, que possibilitou aos alunos explorar, usar e brincar com a matemática.
Segundo Gravina (1996), essas ferramentas “... trazem em seus projetos
recursos com consonância com a concepção de aprendizado dentro de uma
abordagem construtivista, a qual tem como princípio que o conhecimento é
construído a partir de percepções e ações do sujeito, constantemente medidas
por estruturas mentais já construídos ou que vão se construindo ao longo do
processo”.
Percebemos que o uso do software contribuiu para o desenvolvimento de
uma autonomia e um interesse muito grande pelas atividades por parte dos
alunos. Entendemos que, apesar da interferência do professor-pesquisador em
algumas atividades (que provavelmente aconteceria com maior intensidade se
163
utilizado apenas lápis e papel), foi surpreendente o rendimento apresentado pelos
alunos. Isso pôde ser muito facilmente constatado nas resoluções apresentadas
pelas duplas. Resoluções essas que apresentaram, em muitos casos, um
raciocínio matemático e um desenvolvimento da apreensão operatória muito
elevados, que, em nosso entender, dificilmente seriam apresentadas em um
ambiente estático.
Pudemos analisar nas atitudes e estratégias utilizadas pelos alunos, que a
etapa concreta do primeiro bloco, facilitou significativamente as conclusões e
construções realizadas o Cabri. Em suma, pudemos observar que a apresentação
de uma geometria que envolva um amplo espectro de atividades, iniciando-se
pela exploração concreta e experimentação, passando pelo ato de conjecturar,
têm um papel preponderante no rendimento dos alunos. Sua importância, vai
muito além da simples aquisição de conteúdos predeterminados. Envolve o
desenvolvimento da compreensão em Matemática. Sob este ponto de vista,
percebemos que o software de Geometria Dinâmica têm uma contribuição
específica a dar, oferecendo novas representações de objetos geométricos que,
de alguma forma, ‘concretizam’ a figura formal. O trabalho com estes softwares
oferece formas alternativas de aprender geometria e como conseqüência, novas
formas de ensiná-la.
4.2.3 Bloco 3: Justificativa das fórmulas
Neste bloco, os alunos reuniram-se em uma sala de atividades extras
curriculares (sala não possui lousa). Antes de começarem as atividades, houve
uma explanação por parte do professor-pesquisador expondo as orientações e
objetivos referentes ao bloco.
Inicialmente foram previstos dois encontros de 2 horas cada, porém, não foi
necessário o segundo encontro, pois os alunos conseguiram concluir todas as
atividades do bloco no primeiro.
164
Atividade 1
O objetivo desta atividade era determinar a área de um retângulo e
identificar qual ou quais das informações eram necessárias para esta resolução.
Assim como previmos inicialmente, as duplas não apresentaram dificuldade
em determinar a área do retângulo, passando assim de um quadro geométrico
para um quadro numérico, onde obtiveram o valor através do produto de duas
medidas lineares. Ambas registraram como respostas 48cm² de área e a
informação número 2.
As duplas não fizeram explicitamente nenhuma relação com as atividades
do primeiro ou segundo bloco, porém, é evidente que para calcular a área eles
implicitamente remeteram o raciocínio a essas atividades.
Ao final da atividade, pela necessidade da intervenção do professor-
pesquisador em outras três duplas para esclarecer quais das informações
precisaram utilizar na resolução do problema, foi feita uma explanação geral
sobre o assunto.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Cálculo da área do retângulo
12 75 4 25 - - - -
Informação utilizada nesta
atividade
14 87,5 - - 1 6,25 1 6,25
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 2
Os objetivos dessa atividade eram determinar a área de um triângulo
retângulo e generalizar sua fórmula, assim como identificar quais das informações
eram necessárias na resolução do problema.
Novamente, assim como previmos, ambas as duplas tiveram facilidade na
resolução da atividade e registraram como respostas 6cm² ,
2
ba⋅
e as
informações de número 1 e 2. Esta facilidade também ficou evidente no
comentário da segunda dupla C –“isso aqui é muito fácil, metade da área do
165
retângulo que é 6, dois triângulos iguais informação 1, área do retângulo
informação 2”.
Essa visualização fácil do problema, sem a necessidade de uma referência
concreta para suas conclusões, nos remete a uma clara evidência do nível G2 do
pensamento geométrico de Parzysz.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Cálculo da área do triângulo
14 87,5 2 12,5 - - - -
Informações utilizadas nesta
atividade
166
Nº % Nº % Nº % Nº %
Cálculo da área do
paralelogramo
14 87,5 1 6,25 1 6,25 - -
Informações utilizadas nesta
atividade
11 68,75 2 12,5 2 12,5 1 6,25
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 4 e Atividade 5
Os objetivos dessas atividades eram determinar a área dos triângulos e
generalizar suas fórmulas assim como identificar quais das informações eram
necessárias na resolução do problema.
Assim como prevíamos, novamente as duplas tiveram muita facilidade na
resolução das atividades e apresentaram 15cm² e 6cm² como resposta da letra a
das atividades 4 e 5 respectivamente, assim como b.h e as informações de
número 1, 2 e 3 para as duas atividades na letra b.
Nessas atividades, percebemos um diálogo muito pequeno entre as duplas.
Novamente, não estabeleceram explicitamente, nenhum comparativo entre as
atividades deste bloco com as do bloco anterior, porém, ao analisarmos os
detalhes na resolução abaixo da segunda dupla, percebemos que na primeira
questão da atividade 5, os alunos construíram um paralelogramo com duas retas
paralelas, obtendo assim, dois triângulos obtusângulo idênticos, exatamente como
as duplas realizaram na atividade 3 do segundo bloco. Isso nos mostra
claramente a influência dos blocos anteriores neste bloco, justificando com isso a
facilidade encontrada pelos alunos até o momento.
167
tabela da atividade 4
Nº % Nº % Nº % Nº %
Cálculo da área do triângulo
16100------
Informações utilizadas nesta
atividade
13 81,25 2 12,5 - - 1 6,25
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
tabela da atividade 5
Nº % Nº % Nº % Nº %
Cálculo da área do triângulo
16100------
Informações utilizadas nesta
atividade
12 75 3 18,75 - - 1 6,25
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 6
O objetivo dessa atividade era determinar a área de um trapézio e
generalizar sua fórmula assim como identificar quais das informações eram
necessárias na resolução do problema.
Detalhe da
atividade
168
Ao contrário das atividades anteriores, as duplas apresentaram
rendimentos diferentes. A primeira dupla manteve a mesma facilidade observada
nas demais propostas e registrou sem o auxílio do professor-pesquisador as
respostas de forma correta, preocupando-se com os detalhes, inclusive em
explicar o motivo de dividir o resultado por 2, uma clara evidência de que não
necessitam mais dos objetos físicos para suas conclusões. Uma evidência do
nível G2 de Parzysz como mostra a resolução abaixo.
A segunda dupla errou a questão. Registraram
2
25
2
10.5
cm=
,
2
.
hb
e as
informações de número 1, 3 e 2. Ao percebemos o registro ao final da atividade
da dupla, perguntamos – “de que forma vocês utilizaram as informações 1, 3 e 2
ou 1, 2 e 3 não sei, a ordem muda? Não muda ? Como vocês utilizaram as três
informações?”. As alunas ficaram um tempo em silêncio e depois responderam
que não sabiam. Perguntamos novamente – “então tá bom, como vocês utilizaram
as três informações na atividade anterior?”. Voltaram à atividade anterior,
analisaram e responderam C -“fizemos um paralelogramo com dois triângulos
169
iguais, primeira, do paralelogramo montamos um retângulo, segunda e terceira”
professor-orientador - “esse raciocínio foi perfeito, vocês visualizaram a
composição da figura, isso aconteceu na outra atividade? Não!, voltem lá para a
atividade 10 do primeiro bloco e observem a besteira que fizeram”. Somente após
a intervenção e a utilização novamente das observações feitas na atividade do
primeiro bloco a dupla conseguiu apresentar corretamente as respostas e
justificar as informações utilizadas.
Percebemos na dupla, a necessidade em algumas situações de remeter o
raciocínio aos objetos físicos, mostrando-nos que em alguns casos, não estão
totalmente adaptados ao nível G2 no pensamento geométrico de Parzysz. Porém,
vale ressaltar nesta segunda dupla um avanço significativo no que tange as
questões que envolveram o uso do computador (caso das questões anteriores),
além de ter sido esta, a única atividade para a demonstração das fórmulas não
contemplada no segundo bloco. Isso nos mostra ainda mais claramente que a
construção de um conceito exige que ele seja trabalhado em diversas situações e
abordado sob diferentes prismas. Entendemos que este fato mostra uma pequena
falha em nossa seqüência didática, onde deveríamos ter apresentado no segundo
bloco uma atividade com o uso do trapézio. Ainda neste sentido Vergnaud (1993)
afirma que “os ‘erros’ encontrados em alguns estudos freqüentemente decorrem
do fato de que os sujeitos se deparam com questões que nunca se propuseram
antes ou que envolvem valores não usuais das variáveis de uma dada situação”.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Cálculo da área do trapézio
11 68,75 3 18,75 2 12,5 - -
Informações utilizadas nesta
atividade
13 81,25 2 12,5 - - 1 6,25
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
170
Atividade 7
O objetivo dessa atividade era determinar a área de um losango e
generalizar sua fórmula assim como identificar quais das informações eram
necessárias na resolução do problema.
Assim como prevíamos inicialmente, as duas duplas conseguiram
facilmente resolver a questão. Apresentaram como solução 120cm²,
2
..
ba
e as
informações de número 1, 2 e 3.
Ambas as duplas utilizaram a mesma estratégia de resolução para esta
atividade, construíram um retângulo externo ao losango contendo seus vértices e
subdividiram esse retângulo em outros quatro retângulos idênticos, assim como
mostra a figura abaixo, evidenciando claramente a idéia de composição e
decomposição de figuras para a demonstração das fórmulas. Exatamente a idéia
que buscamos ao longo da seqüência didática.
Com essas idéias segundo Vergnaud (1993), verificamos que,
gradativamente os alunos identificaram os padrões e construíram o processo para
generalização, prosseguindo assim para a construção do significado das
fórmulas.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Cálculo da área do losango
100-------
Informações utilizadas nesta
atividade
14 87,25 1 6,25 - - 1 6,25
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
171
Atividade 8
O objetivo desta questão era verificar se os alunos conseguem, após várias
atividades, resolver uma questão um pouco mais complexa, envolvendo o cálculo
de área. Neste sentido, as duplas não tiveram a mesma facilidade encontrada nas
questões anteriores, fato este normal considerando que o grau de dificuldade
desta questão era muito maior que as questões anteriores.
As duplas tiveram rendimentos parecidos, porém as estratégias foram
ligeiramente diferentes. A primeira dupla, após um pequeno tempo analisando a
questão, partiu rapidamente para os cálculos algébricos, traçando e chamando as
alturas dos triângulos verdes de 20-y e y, e os triângulos amarelos de 10-x e x
(neste sentido houve a intervenção da observadora, pois, a priori utilizaram x para
as duas representações). Durante a realização dos cálculos, ao traçar a altura, a
dupla decompôs a figura em 4 quadriláteros e, visualmente, percebeu que tinha
acabado de obter quadriláteros formados por dois triângulos cada um, sendo um
verde e outro amarelo, concluindo assim, que a região amarela e a verde eram
iguais. Para justificar ainda mais sua conclusão, a dupla terminou os cálculos
algébricos. Percebemos que o contrato didático apareceu fortemente nesta
questão: sem muito pensar, quase que mecanicamente, a dupla foi algebrizando
as alturas dos triângulos dados, e foi durante este processo que um dos alunos da
dupla percebeu o que foi citado anteriormente.
Abaixo a resolução da primeira dupla:
172
A segunda dupla apresentou uma dificuldade momentânea, não conseguia
começar o exercício. Após algum tempo analisando a questão, requisitou a ajuda
do professor-pesquisador, que orientou a dupla a analisar o vértice em que os
triângulos se encontravam e, atribuir um valor numérico para aquele ponto. Após
a interferência, a dupla simplesmente traçou duas retas paralelas aos lados do
retângulo passando pelo vértice mencionado. Antes de atribuir um valor numérico,
perceberam que haviam acabado de resolver a questão e, concluíram seguinte
forma:
“Sim, a soma dos triângulos verdes é igual a soma dos triângulos
amarelos.”
173
“Porque o retângulo é dividido por um vértice formando 4 triângulos. Se
dividir a figura no vértice formando 4 retângulos e dividir o retângulo formando 2
triângulos com a mesma área”
Percebemos na redação apresentada uma certa dificuldade em se
expressar, porém é notório na conclusão, qual raciocínio utilizaram na resolução
da atividade.
Diferente do previsto por nós, não houve a necessidade da intervenção do
professor-pesquisador para que os alunos apresentassem essa resolução via
decomposição e composição de figuras, mostrando assim, que os alunos
começam a mudar a idéia que uma prova matemática dependa única e
exclusivamente de cálculos, mostrando que a comparação entre áreas também
vale como uma demonstração.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Concluíram que a área da
região verde é igual a área da
região amarela
12 75 - - 4 25 - -
Concluíram algebricamente a
questão
6 37,5 - - 4 25 - -
Concluíram através do
processo de reconfiguração
10 62,5 - - - - - -
Concluíram através dos dois
processos
425------
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Atividade 9
O objetivo desta questão era determinar em um plano cartesiano, a área de
uma região qualquer, através da composição e decomposição de figuras.
Assim como previmos, as duplas conseguiram facilmente e sem a ajuda do
professor observador resolver a questão. A segunda dupla apresentou
exatamente a mesma resposta prevista por nós, ou seja, decompôs a figura
original em dois triângulos e um retângulo, registrando assim 21,5cm² de área. A
primeira diferenciou-se apenas na composição da figura, dividiu a figura original
em dois retângulos, meio quadrado (triângulo retângulo isósceles) e um triângulo,
registrando assim 21,5u.
174
No momento da atividade não nos atentamos ao fato da dupla ter
registrado 21,5u, porém, ao analisarmos a atividade posteriormente, percebemos
que em nenhum momento indicamos que a unidade representada na figura era o
cm, logo a área seria em cm², assim como prevista por nós. Isso mostra uma
falha em nossa atividade, na qual não apresentamos a unidade de medida, e uma
percepção muito boa por parte da dupla, mostrando claramente que percebeu a
importância da unidade de medida de área na representação numérica,
evidenciando claramente o nível G2 no pensamento geométrico de Parzysz.
Nº % Nº % Nº % Nº %
Calcularam a área da região
colorida
15 93,75 1 6,25 - - - -
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Resposta das outras 16
duplas
Atividade 10
O objetivo dessa atividade era calcular a área de uma figura convexa
através da composição e decomposição de figuras.
Assim como prevíamos, as duplas tiveram muita facilidade na resolução da
atividade, perceberam rapidamente que juntando a parte 3 com a parte 1 daria um
quadrado, e o mesmo aconteceria com as partes 2 e 4. A partir deste fato,
determinaram a área de um retângulo de dimensões de 6cm por 3cm, registrando
18cm². Ambas as duplas resolveram a questão em menos de dois minutos,
evidenciando ainda mais a facilidade que tiveram.
Assim, podemos concluir que a operação de reconfiguração consiste,
basicamente, na complementaridade de formas, ou seja, das partes obtidas por
um fracionamento que podem ser reagrupadas em sub-figuras incluídas na figura
inicial. Portanto, o fracionamento de uma figura, ou exame desta a partir de suas
elementares, permite a aplicação de reconfiguração.
175
Nº % Nº % Nº % Nº %
Calcularam a área da região
convexa
14 87,50 - - 2 12,5 - -
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
Obs: as duas duplas que erraram a questão, entenderam que o quadrado maior tinha 12cm de lado.
Atividade 11
O objetivo desta atividade era mostrar que a composição e decomposição
de figuras podem nos levar a idéia de solução de um problema.
Diferentemente do que tínhamos previsto, as duplas analisadas não
apresentaram grandes dificuldades e nem necessitaram da ajuda do professor-
pesquisador. Após um pequeno intervalo de tempo analisando a questão, ambas
as duplas observaram a decomposição dos dois triângulos maiores em 3(três)
figuras, notando que 2(duas) das 3(três) figuras tinham áreas iguais, já que
possuíam as mesmas dimensões, todavia, os retângulos A e B só poderiam ser
figuras de mesma área. A primeira dupla registrou apenas 5cm² como resposta, a
segunda dupla também registrou 5cm², porém, logo após justificou da seguinte
forma “Se os dois triângulos são iguais, racionalmente a área da região A e igual
à área da região B”.
Vale ressaltar nesta questão, que apesar das duplas analisadas não
apresentarem grandes dificuldades, 6 outras duplas presentes necessitaram de
ajuda do professor-pesquisador.
Neste sentido, após a conclusão da atividade houve uma explicação geral
por parte do professor-pesquisador, mostrando que em certas situações,
podemos acrescentar números ao problema para facilitar sua visualização.
7
7
Resolução apresentada pelo professor-pesquisador aos alunos está mencionada na análise a priori
, página 117.
176
Nº % Nº % Nº % Nº %
Determinaram a área do
retângulo B
16100------
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
obs: essa questão foi discutida e realizada pelo professor orientador após a conclusão das duplas, com
isso, algumas duplas apagaram as respostas anteriores e responderam corretamente.
Atividade 12
O objetivo desta atividade era demonstrar que através da decomposição e
composição é possível transformar as figuras em retângulos e quadrados,
determinando assim suas áreas.
Assim como prevíamos as duplas tiveram facilidade na resolução da
atividade. Ambas determinaram primeiramente a área em quadradinhos de
medida e, então, calcularam em cm², simplesmente multiplicando o valor
encontrado por 0,25.
Identificamos na primeira dupla, uma organização muito grande na
decomposição das figuras, utilizando sempre números para identificar as figuras
decompostas, deixando claro qual foi o raciocínio por eles empregado, assim
como a notação muito interessante que fizeram “um² = 0,25cm²”, ou seja, um
quadradinho de 0,5cm de lado foi representado por “um²” como mostra a
resolução:
Nº % Nº % Nº % Nº %
Determinaram a área das
quatro figuras da atividade
15 93,75 1 6,25 - - - -
Resposta das outras 16
duplas
Respostas
Corretas
Parcialmente
Erradas Em branco
corretas
Quantidade de duplas
177
Destaque da resolução
4.2.3.1 Conclusão do terceiro bloco
Concluímos que pensar no caso da reconfiguração de figuras geométricas
planas no ensino de matemática como possibilidade heurística na resolução de
problemas, significou para alunos conhecer novas formas de resolver uma mesma
atividade matemática, ampliando assim, as possibilidades de solução das
mesmas. Avaliamos que este fato propiciou ao aluno uma maior desenvoltura
tanto na sua forma de pensar como na sua forma de olhar e, além de tudo, de
raciocinar.
Notamos que este “novo olhar” exercitado durante a seqüência didática,
pode ser o fator que justifica a facilidade de resolução, observada nos alunos,
178
durante a realização das propostas deste bloco, inclusive na “demonstração” e
justificativa das fórmulas, que foram facilmente encontradas através de curtas
deduções, interligadas logicamente através de algumas definições (“axiomas”),
exatamente como a defendida por Freudenthal.
Verificamos ainda, que estas demonstrações, a partir do processo de
reconfiguração, possibilitaram aos alunos a visualização da importância do uso
correto das fórmulas para o cálculo da medida de área das figuras planas,
inclusive na diferenciação da dimensionalidade, propriedade distintiva entre
comprimento (dimensão 1) e área (dimensão 2), que é obtida através do produto
de duas medidas lineares.
Cabe ressaltar também, que a influência dos blocos anteriores teve um
papel preponderante na facilidade encontrada pelos alunos neste bloco dedutivo,
o que pode ser facilmente observado em alguns diálogos, nas resoluções
registradas e, principalmente na única grande dificuldade enfrentada pela
segunda dupla neste bloco, questão 6(seis), que assim como já relatamos não foi
trabalhada no segundo bloco, exemplificando claramente a afirmação de
Vergnaud (1993) “os ‘erros’ encontrados em alguns estudos freqüentemente
decorrem do fato de que os sujeitos se deparam com questões que nunca se
propuseram antes ou que envolvem valores não usuais das variáveis de uma
dada situação”.
179
Capítulo 5
Considerações finais
Esta pesquisa teve como objetivo apresentar uma proposta de ensino-
aprendizagem sobre o conceito de área, por meio de uma seqüência didática, que
evidenciasse o aspecto bidimensional das figuras, voltada ao processo de
composição e decomposição (reconfiguração) de figuras planas. A escolha deste
tema foi motivada pelos seguintes fatores: a possibilidade da utilização da
geometria dinâmica na realização da pesquisa; as influências das aulas de
Tópicos de Geometria, com o Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni e a participação no
projeto AprovaME que concilia a tecnologia às investigações de argumentação e
prova matemática. Analisamos também alguns trabalhos relativos ao tema a fim
de vincular nossa pesquisa a outras realizadas na área de educação Matemática.
O público alvo desta pesquisa foi formado por alunos da 8ª série do Ensino
Fundamental.
Um estudo do objeto matemático – “Área”, foi realizado através de um
breve estudo histórico. Para tanto, consultamos as obras de Euclides, Clairaut,
Legendre e Hadamard, além da análise de três coleções didáticas atuais (PNLD),
verificando como o assunto é abordado atualmente.
Fundamentamos nossa pesquisa nos pressupostos teóricos de Duval e
suas diferentes formas de apreender uma figura, na teoria de Vergnaud, sobre os
campos conceituais, nos níveis do desenvolvimento do pensamento geométrico
de Parzysz, nas idéias de Freudenthal sobre uma organização local em um
processo dedutivo e nos pressupostos teóricos da geometria dinâmica.
Através da metodologia da engenharia didática, desenvolvemos a
seqüência didática formada por três blocos. No primeiro, as atividades foram
180
desenvolvidas com o uso do material concreto, no qual todas as validações foram
realizadas de forma empírica. O segundo bloco foi realizado em um laboratório de
informática, tendo como recurso o software Cabri-Géomètre, onde as mesmas
observações feitas anteriormente foram verificadas e validadas através das
construções geométricas. No terceiro bloco, composto por atividades dedutivas,
que objetivavam introduzir as fórmulas para o cálculo de área. Nesse bloco
procuramos sistematizar o que foi verificado nos blocos anteriores.
Os resultados das atividades nos permitem apresentar alguns elementos
de resposta para a primeira questão desta pesquisa: Como o processo de
reconfiguração de figuras poligonais planas contribui para a apropriação do
conceito de área de um polígono?
Esta questão está relacionada com as atividades dos dois primeiros blocos,
que tinham como objetivo a construção do conceito de área através da
comparação de figuras utilizando a manipulação, visualização e construção das
mesmas. Uma das características das atividades propostas era abrir
possibilidades de diferentes abordagens na resolução dos problemas.
As produções dos alunos no primeiro bloco, todas amparadas nos níveis
G0 e G1 de Parzysz, nos mostraram claramente que a idéia inicial (principalmente
da segunda dupla) de resolver problemas através de fórmulas matemáticas,
evoluiu gradativamente para comparações, estimativas, medições por contagem e
principalmente por adição e subtração de partes elementares, ou seja, a
reconfiguração de figuras. Essa etapa permitiu coordenar a noção de extensão
ocupada por uma superfície plana com a de um número que representa a área
dessa figura, além de dar o significado do cálculo algébrico obtido através do
produto de duas medidas lineares.
Observamos nos alunos uma autonomia crescente na realização das
atividades e que as situações propostas no primeiro bloco provocaram o uso de
vários procedimentos de resolução, os quais ressaltaram, com maior ou menor
ênfase, relações de natureza algébrica ou de natureza geométrica promovendo
uma interação entre esses aspectos e favorecendo a atribuição de significados
181
aos termos de área e superfície, como salientados anteriormente, sob vários
pontos de vista.
Neste sentido, o segundo bloco também teve um papel significativo. Os
alunos basearam suas ações no “fazer matemática”, tais como: experimentar,
interpretar, visualizar, induzir, conjecturar, abstrair e generalizar. Nesse sentido foi
fundamental o uso do software Cabri-Géomètre. Pudemos também perceber que
a geometria dinâmica trouxe um interesse muito grande nas atividades deste
bloco.
Observamos em algumas atividades deste bloco, um raciocínio matemático
complexo, assim como na atividade nove (9) feita pelos alunos da primeira dupla,
que para obterem um triângulo equivalente ao quadrilátero dado, fizeram a
construção de um retângulo que continha em cada um de seus lados, um dos
vértices do quadrilátero e depois simplesmente dividiram o retângulo ao meio. Um
raciocínio totalmente diferente do previsto por nós e que nos mostrou uma clara
entrada no nível G2 de Parzysz.
Dessa forma, os resultados obtidos nos dois primeiros blocos sugerem que
o processo de reconfiguração de figuras poligonais planas contribuiu para que os
alunos se apropriassem melhor do conceito de área de um polígono.
A segunda questão: Como esse processo favorece a passagem do
empírico para o dedutivo? está relacionada com as atividades do bloco 3, todas
elas resolvidas no ambiente lápis e papel e desenvolvidas no nível G2 de
Parzysz.
Pudemos analisar neste bloco, que as duplas não tiveram grandes
dificuldades na resolução das atividades, e que a interferência do professor-
pesquisador se fez de maneira mínima.
As justificativas das fórmulas foram apresentadas nas 7(sete) primeiras
atividades. Nesse sentido, os alunos conseguiram deduzir e justificar todas as
fórmulas dos principais polígonos sem dificuldade, assim como reconhecer
resultados necessários para suas conclusões, exceção feita para a atividade 6,
182
que gerou uma grande dificuldade, uma vez que foi a única não vivenciada e
trabalhada no bloco anterior.
A função heurística da figura como forma de resolução de um problema,
também teve um papel significativo na resolução das atividades, principalmente
nas propostas 8 e 11, mostrando com isso que as idéias de reconfiguração
contidas nos dois primeiros blocos, foram bem assimiladas pelos alunos.
A passagem progressiva de uma linguagem informal para falar sobre
conceitos e procedimentos matemáticos a uma linguagem mais formalizada foi
também um princípio que norteou nossa pesquisa.
Concluímos assim, que esse processo de reconfiguração favoreceu a
passagem do empírico para o dedutivo.
Esperamos que os resultados e conclusões desta pesquisa contribuam
para o estudo do conceito de área, assim como para a compreensão do uso das
fórmulas, tornando-as mais significativas para os alunos. Diante dos resultados e
dos problemas apresentados durante a aplicação desta seqüência,
encaminhamos algumas sugestões que podem direcionar melhor futuros
trabalhos : destinar um tempo maior ao segundo bloco e uma preocupação maior
do pesquisador no processo de apropriação dos comandos do software de
geometria dinâmica. Esperamos que esse trabalho centrado no estudo do
conceito de área de polígonos via processo de reconfiguração estimule novas
abordagens para a construção desse conceito.
“Nunca conte às pessoas como fazer algo. Diga-lhes o que fazer – a
ingenuidade delas o surpreenderá. O verdadeiro professor não ensina,
cria o ambiente para aprender”.
(George S. Patton, 365 reflexões sobre a arte de Ensinar).
183
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fundamental: três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. Belo
Horizonte, Autêntica, 2001.
FRANCHI, A. et. Al. Geometria no 1º grau: da composição a decomposição de
figuras às formulas de áreas, CLR Baileiro Editores Ltda, 1992
FREUDENTHAL, Hans (1973) Mathematics as an Educational Task – Dordrecht-
Holland: D. Reidel Publishing Company.
GRAVINA, Maria Alice. Geometria Dinâmica: Uma nova abordagem para o
aprendizado da geometria. VII simpósio Brasileiro de informática na Educação,
Belo Horizonte, MG,1996.
HADAMARD, Jacques . Leçons Géométrie, Cours complet de mathématiques
élémentaires publié sous la direction de M. Darboux, doyen de la Faculté des
sciences de Paris. 1901.
LEGENDRE. A. M. Éléments de Géométrie, traduzido por José Feliciano tradução
da quinta edição francesa. (1909).
LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria, Coleção do Professor de
Matemática, SBM (1991)
LIMA, Elon Lages. Matemática e Ensino, coleção do Professor de matemática,
SBM (2001).
185
KALEFF, Ana Maria M. R. Vendo e entendendo poliedros. Niterói: Eduff,1998.
MACHADO, Sílvia Dias Alcântara et al. Educação Matemática: uma introdução.
São Paulo: EDUC, 2002. 2ª ed.
MOISE, Edwin E. e DOWNS F. JR. Geometria Moderna, ed. Edgard Blücher Ltda
- SP ,1971.
NETO, Scipione Di Pierro. Matemática em Atividades, ed. Scipione 5ª,6ª,7ª e 8ª
séries. 2005
PIRES, Célia Carolino. Educação Matemática – 7ª série. São Paulo: Atual,2002.
PCNs. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática/ Secretaria de educação
Fundamental.-Brasília: MEC/SEF,1998.
SANGIACOMO, L. O processo da mudança de estatuto: de desenho para figura
geométrica. Uma engenharia didática com o auxilio do Cabri-Géomètre.
Dissertação de Mestrado, PUC/SP, 1996.
VERGNAUD, G. Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.)
Acquisition of Mathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press
Inc. P 127-174, 1983.
______ Teoria dos campos conceituais. In Nasser, L. (Ed.) Anais do 1ª Seminário
Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro, 1993.
GEPEM, Boletim. Grupo de estudos e pesquisa em educação matemática,n.31,
1993.
186
Anexos
I
II
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
Centro das Ciências Exatas e Tecnologia
Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática
TERMO DE COMPROMISSO
Este termo tem como objetivo esclarecer os procedimentos de nossa
pesquisa, realizada na S.E.M.E.F (Segunda Escola Municipal Ensino
Fundamental de São Caetano do Sul) em setembro e outubro de 2006,
principalmente no que tange à utilização dos dados nela coletados.
O material coletado – as atividades realizadas, as transcrições, os registros
escritos, as fotografias – servirá de base para pesquisas que procuram entender
melhor o processo de produção de significados relativo às pesquisas sobre
Conceito de áreas: Da composição e decomposição de figuras até as fórmulas.
As transcrições, os registros escritos e as fotografias terão seus nomes trocados
por pseudônimos preservando a identidade dos sujeitos em sigilo.
As informações provenientes da análise desse material poderão ainda ser
utilizadas pelos pesquisadores em publicações e eventos específicos.
São Caetano do Sul, 6 de outubro de 2006.
______________________________
Anderson Secco
Professor-Pesquisador
______________________________ ______________________________
Meire Candido Bacci Responsável pelo aluno:
Coordenadora da S.E.M.E.F
_____________________________
(Nome legível do aluno)
III
Questionário do observador
(marcar o tempo de duração e cada atividade)
Bloco 1: Atividades concretas
Atividade 1
1. A dupla apresentou dificuldades para perceber que as 5 (cinco) figuras são
equivalentes, ou seja, possuem a mesma área? Quais?
2. A dupla conseguiu entender o significado de u.a (unidade de área)?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações.
Atividade 2
1. A dupla apresentou dificuldades em perceber que as 5 (cinco) figuras são
equivalentes? Quais?
2. Quando foi considerado o quadrado como u.a., a dupla conseguiu determinar
a área das figuras? E com o triângulo como unidade de área?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. A dupla expressou alguma opinião a respeito do resultado numérico referente
às duas questões serem diferentes? Quais?
5. Outras observações.
Atividade 3
1. Para responder quantos quadradinhos de 2cm de lado cabem no retângulo, a
dupla cobriu todo o retângulo com 21 quadradinhos ou utilizou outro
raciocínio? Qual?
2. A dupla apresentou dificuldades em resolver a questão quando mudou a u.a.?
Qual? E qual o raciocínio utilizado para responder esta questão?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações.
IV
Atividade 4
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre os dois triângulos e o
retângulo? Qual?
2. De que maneira a dupla definiu como calcular a área de um triângulo?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações.
Atividade 5
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre o triângulo e o retângulo
criado? Qual?
2. A dupla fez alguma comparação entre as atividades 4 e 5? Qual? E de que
maneira a dupla definiu como calcular a área de um triângulo?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações.
Atividade 6
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre o paralelogramo e o
retângulo? Qual?
2. De que maneira a dupla definiu como calcular a área de um paralelogramo?
Fizeram algum comentário sobre o lado do paralelogramo e a altura do
mesmo?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações.
Atividade 7
1. A dupla fez alguma comparação entre as atividades 6 e 7? Quais?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Outras observações.
4.
Atividade 8
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre o triângulo obtusângulo e
o paralelogramo criado? Qual?
2. A dupla fez alguma comparação entre as atividades 4 e 5? Qual?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
V
4. Outras observações.
Atividade 9
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre o losango e o retângulo?
Qual?
Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
2. Como a dupla definiu como calcular área de um losango qualquer?
3. Outras observações.
Atividade 10
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre os 2 trapézios e o
paralelogramo criado? Qual?
2. Conseguiram representar uma maneira de calcular a base desse
paralelogramo? Qual?
3. Como a dupla definiu como calcular área de um trapézio qualquer?
4. Outras observações.
5. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
Bloco 2: Atividades com o Cabri-Géomètre
Atividade 1
1. A dupla apresentou dificuldades em construir um retângulo equivalente ao
paralelogramo dado? Qual?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com as atividades 6 e 7 do primeiro bloco?
Qual?
4. Outras observações.
Atividade 2
1. A dupla apresentou dificuldades em construir um retângulo equivalente ao
triângulo dado? Qual?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
VI
3. Os alunos fizeram alguma relação com as atividades 4 e 5 do primeiro bloco?
Qual?
4. Outras observações
Atividade 3
1. A dupla apresentou dificuldades em construir um paralelogramo equivalente
ao triângulo dado? Qual?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com a atividades 8 do primeiro bloco?
Qual?
4. Outras observações
Atividade 4
1. A dupla apresentou dificuldades em construir um retângulo equivalente ao
losango dado? Qual?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com a atividade 9 do primeiro bloco? Qual?
4. Outras observações
Atividade 5
1. A dupla conseguiu verificar o porquê da área de todos os triângulos serem
iguais?
2. A dupla conseguiu analisar por que se todas as áreas são iguais, os perímetros
são diferentes?
3. A dupla conseguiu diferenciar área de perímetro? Qual a evidência deste
motivo?
4. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
5. Outras observações
Atividade 6
1. A dupla conseguiu verificar o porquê da área de todos os triângulos serem
iguais?
2. A dupla conseguiu analisar por que se todas as áreas são iguais, os
perímetros são diferentes?
VII
3. A dupla fez alguma comparação entre as atividades 5 e 6? Qual?
4. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
5. Outras observações
Atividade 7
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre a área do paralelogramo,
seu lado e sua altura? Qual?
2. A dupla conseguiu analisar por que a área do paralelogramo se altera,
enquanto o perímetro permanece constante?
3. A dupla fez alguma comparação com as atividades 5 e 6? Qual?
4. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
5. Outras observações
Atividade 8
1. A dupla conseguiu perceber que os Δ DBE e DBC possuem a mesma área?
Qual a evidência deste fato?
2. A dupla conseguiu analisar por que a área do quadrilátero ABCD e do Δ ABE
são iguais? Qual a evidência deste fato?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações
Atividade 9
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre as atividades 8 e 9?
Qual?
2. A dupla teve dificuldades em construir um triângulo equivalente ao quadrilátero
dado? Qual?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações
Atividade 10
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre as atividades 9 e 10?
Qual?
2. A dupla teve dificuldades em construir um quadrilátero equivalente ao
pentágono dado? Qual?
VIII
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações
Atividade 11
1. A dupla conseguiu estabelecer alguma relação entre as atividades 8,9,10 e
11? Qual?
2. A dupla teve dificuldades em construir um triângulo equivalente ao pentágono
dado? Qual?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações
Bloco 3: Justificativa das fórmulas
Atividade 1
1. A dupla apresentou dificuldades em determinar á área do retângulo?Qual?
Conseguiram identificar qual das informações é necessária na resolução do
problema?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com as atividades do primeiro ou segundo
bloco? Qual?
4. Outras observações.
Atividade 2
1. A dupla apresentou dificuldades em determinar á área do triângulo nos itens a
e b? Conseguiram identificar quais das informações são necessárias na
resolução do problema?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com as atividades do primeiro ou segundo
bloco? Qual?
4. Outras observações.
IX
Atividade 3
1. A dupla apresentou dificuldades em determinar á área do paralelogramo nos
itens a e b? Conseguiram identificar quais das informações são necessárias
na resolução do problema?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com as atividades do primeiro ou segundo
bloco? Qual?
4. Outras observações.
Atividade 4
1. A dupla apresentou dificuldades em determinar á área do triângulo nos itens a
e b? Conseguiram identificar quais das informações são necessárias na
resolução do problema?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com as atividades anteriores? Qual?
4. Outras observações.
Atividade 5
1. A dupla apresentou dificuldades em determinar á área do triângulo nos itens a
e b? Conseguiram identificar quais das informações são necessárias na
resolução do problema?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com as atividades anteriores? Qual?
4. Outras observações.
Atividade 6
1. A dupla apresentou dificuldades em determinar á área do trapézio nos itens a
e b? Conseguiram identificar quais das informações são necessárias na
resolução do problema?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com as atividades do primeiro ou segundo
bloco? Qual?
4. Outras observações.
X
Atividade 7
1. A dupla apresentou dificuldades em determinar á área do losango nos itens a
e b? Conseguiram identificar quais das informações são necessárias na
resolução do problema?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Os alunos fizeram alguma relação com as atividades do primeiro ou segundo
bloco? Qual?
4. Outras observações.
Atividade 8
1. A dupla apresentou dificuldades em provar que as áreas são iguais? Qual?
2. Estabeleceram um valor numérico qualquer ou um valor algébrico para o ponto
de intersecção para determinar a área dos triângulos?
3. Utilizaram as fórmulas ou composição e decomposição de figuras para
resolverem o problema?
4. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
5. Outras observações.
Atividade 9
1. A dupla conseguiu desmembrar a figura em outras figuras? Quais?
2. Conseguiram determinar a área da região colorida?
3. Os alunos conseguiram visualizar mais de uma maneira para visualizar e
resolver o problema? Qual?
4. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
5. Outras observações.
Atividade 10
1. A dupla conseguiu determinar a área da região colorida? Como?
2. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
3. Outras observações.
Atividade 11
1. A dupla conseguiu determinar a área da região colorida? Como?
XI
2. A dupla tentou utilizar a composição e decomposição de figuras, ou tentou
resolver a questão utilizando fórmulas?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações.
Atividade 12
1. A dupla conseguiu determinar a área em quadradinho da região colorida em
cada item? Como?
2. A dupla conseguiu determinar a área em cm² da região colorida em cada item?
Como?
3. Precisaram da ajuda do professor observador? Em quê?
4. Outras observações.
Pergunta inicial
Gostaríamos de saber se você consegue explicar com suas palavras o que é área
de uma superfície? E como calcular a área de uma superfície?
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Após as atividades dos blocos 1 e 2, gostaríamos de saber se você consegue
explicar com suas palavras o que é área de uma superfície? E como calcular a
área de uma superfície?
_________________________________________________________________
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