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A regulariza¸c˜ao no Efeito Casimir em placas
paralelas
Norberto Akio Kawakami
fevereiro de 2007
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A regulariza¸c˜ao no Efeito Casimir em placas paralelas
Norberto Akio Kawakami
Orientadora: Prof
a
. Maria Carolina Nemes
Co-orientador: Prof. Walter F. Wreszinski
Disserta¸c˜ao apresentada `a UNIVERSIDADE FE-
DERAL DE MINAS GERAIS, como requisito par-
cial para a obten¸c˜ao do grau de mestre em F´ısica.
fevereiro de 2007
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`
A Nalu Aline, minha querida esposa
que muito me apoiou.
ii
Agradecimentos
Gostaria, neste momento de expressar meus sinceros agradecimentos:
`
A Nalu, minha amada esposa, pela paciˆencia e compreens˜ao por eu ter
dedicado parte de seu tempo para a F´ısica.
Ao Tariq, meu filho, que me ensinou que a vida ´e um eterno aprendizado,
ainda mais se este ´e feito com alegria e divers˜ao.
`
A Namie, minha m˜ae que com sua quase infind´avel paciˆencia me mostrou
a importˆancia da constru¸c˜ao e coerˆencia de meus pr´oprios valores.
Para estas trˆes primeiras pessoas, a minha esperan¸ca ´e que o tempo e o
esfor¸co dispendidos nesta disserta¸c˜ao venham de algum modo enriquecer-lhes
a vida, talvez com alegria e orgulho, como uma pequena e singela forma de
compensa¸c˜ao.
`
A Prof
a
Maria Carolina Nemes que me aceitou como seu orientando,
pelas enormes oportunidades de aprendizado, pelo tema da minha disserta¸c˜ao
e pelo exemplo de dedica¸c˜ao `a ciˆencia que espero alcan¸car algum dia.
Ao Prof. Walter F. Wreszinski que me mostrou por onde passam alguns
meandros da pesquisa cient´ıfica e por ter me acolhido t˜ao bem em seu escri-
t´orio no Instituto de F´ısica da USP onde tivemos conversas t˜ao produtivas
quanto agrad´aveis.
Ao Prof. Marcos Donizete Rodrigues Sampaio por ter compartilhado
id´eias que serviram como fonte de inspira¸c˜ao.
`
A Prof
a
Ariete Righi cujas dicas foram essenciais para que eu pudesse
ingressar na p´os-gradua¸c˜ao da f´ısica na UFMG.
Ao Rodrigo, L´ıvio, Leonardo, Marcone, Euclides, Kelly, Esdras, Geraldo,
enfim, aos companheiros de gradua¸c˜ao pelas nossas conversas nos intervalos
entre as aulas e durante alguns goles no buteco.
Ao Leozin (tamb´em conhecido como Leonardo Antˆonio), Magneto (tam-
b´em conhecido como Carlos Renato), J´ulia, Clarissa, Raphael, Agnaldo, An-
iii
dr´e, Maurisan, Irismar, Jonathan, Guilherme Jean, Joice, Jos´e Geraldo, en-
fim, aos colegas do mestrado e doutorado, pelo apoio, amizade e com quem
tive o prazer de conversar.
`
A FAPEMIG pelo apoio financeiro durante os meses em que durou o
mestrado.
Por fim, agrade¸co a todos a quem conheci e que de uma forma direta ou
indireta contribu´ıram para que eu chegasse aqui.
iv
Resumo
Neste trabalho estudaremos a dependˆencia do regularizador (ou cutoff)
no c´alculo do efeito Casimir em placas paralelas perfeitamente condutoras
em um campo escalar sem massa. Para tanto, utilizaremos como suporte
te´orico a Eletrodinˆamica Quˆantica desenvolvida por G. Scharf e ainda, al-
gumas ferramentas matem´aticas para tratar s´eries divergentes. Mostramos
que o resultado da energia de Casimir n˜ao depende do regularizador para
uma classe geral de fun¸c˜oes regularizadoras e identificamos que as divergˆen-
cias que ocorrem nestes c´alculos s˜ao termos de superf´ıcie. Foi poss´ıvel tratar
tais divergˆencias utilizando-se a regulariza¸c˜ao de Hadamard e a associamos,
neste caso, como uma forma anal´ıtica de uma condi¸c˜ao de contorno em Teoria
Quˆantica de Campos.
v
Abstract
In this work we study the regularization (or cutoff) dependence on the
Casimir effect of perfect conducting parallel plates in a massless scalar field.
We use the framework of Quantum Electrodynamics developed by G. Scharf
and some mathematical tools related to the divergent series. We show the
regularization independence of the Casimir energy for a large class of regulari-
zing functions and also, we show that counterterms previously introduced by
other authors correspond to divergencies coming from surface terms. We use
Hadamard regularization to deal with them and associate it to an analytical
form of a boundary condition in QFT.
Conte
´
udo
Agradecimentos ii
Resumo iv
Abstract v
1 Introdu¸c˜ao 3
2 Quantiza¸c˜ao do Campo de Radia¸c˜ao 5
2.1 Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Transforma¸c˜oes de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Ainda nas equa¸c˜oes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Transforma¸c˜oes de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Calibre de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Calibre de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Segunda quantiza¸c˜ao no espa¸co de Fock . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 A quantiza¸c˜ao do campo de radia¸c˜ao livre . . . . . . . . . . . 14
3 Energia de Casimir 18
3.1 Hamiltoniana do campo de radia¸c˜ao livre . . . . . . . . . . . . 18
CONTE
´
UDO 2
3.2 Hamiltoniana do v´acuo em placas paralelas . . . . . . . . . . . 20
4 A regulariza¸c˜ao no efeito Casimir em placas paralelas 24
4.1 Regulariza¸c˜ao na densidade de energia de Casimir . . . . . . . 25
4.2 Densidade de energia de Casimir independente do cutoff . . . 26
4.3 Energia de Casimir e a regulariza¸c˜ao de Hadamard . . . . . . 29
5 Conclus˜oes 34
A Rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao dos operadores no campo de radia¸c˜ao
livre 36
A.1 Rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao para o campo de radia¸c˜ao livre . . . . 36
A.2 Rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao do campo com placas paralelas . . . . 38
B Densidade Hamiltoniana do campo de radia¸c˜ao livre 39
C F´ormula de soma de Euler-Maclaurin 41
C.1 Densidade de energia de Casimir regularizada . . . . . . . . . 42
C.2 Demonstrando a independˆencia do regularizador . . . . . . . . 43
D Parte finita de Hadamard 47
Cap
´
ıtulo 1
4
entre as energias resultantes do v´acuo, com e sem as condi¸c˜oes de contorno;
Jaffe [8], onde prop˜oe que a press˜ao de Casimir n˜ao pode ser definida indepen-
dentemente das propriedades dinˆamicas do material que comp˜oe a condi¸c˜ao
de contorno; e Dietz [9], onde prop˜oe uma regulariza¸c˜ao que seja dependente
do material, mas cujo resultado final pode resultar independente deste.
No presente trabalho desenvolvemos as id´eias apresentadas pelo prof.
Wreszinski ao longo de diversos artigos ([10], [11], [12] e [13]) sobre o efeito
Casimir e a partir de onde pudemos dar alguns passos al´em ao demonstrar-
mos a independˆencia do cutoff no c´alculo da energia de Casimir para uma
classe geral de regularizadores e ao mostrarmos a utiliza¸c˜ao da regulariza¸c˜ao
de Hadamard como uma forma de eliminar as divergˆencias dos termos de
superf´ıcie no caso das placas paralelas.
Nas p´aginas que se seguem, veremos no cap´ıtulo 2 os passos necess´arios
para se alcan¸car a quantiza¸c˜ao do campo de radia¸c˜ao, inclusive abordando a
relatividade, as transforma¸c˜oes de calibre e a segunda quantiza¸c˜ao no espa¸co
de Fock.
No cap´ıtulo 3, basicamente, ´e a obten¸c˜ao da express˜ao para a densidade
Hamiltoniana do campo de radia¸c˜ao quantizado na configura¸c˜ao do v´acuo
com as placas paralelas a uma distˆancia d.
No cap´ıtulo 4 veremos como o regularizador pode atuar no c´alculo da
energia de Casimir de modo que o resultado deste fique independente do cu-
toff. Conseguimos, tamb´em, identificar as divergˆencias que ocorrem durante
os c´alculos desta e mostrar como ´e poss´ıvel entender a regulariza¸c˜ao.
No cap´ıtulo 5 terminamos a disserta¸c˜ao com uma discuss˜ao sobre os
resultados obtidos e a conclus˜ao sobre este trabalho.
Cap
´
ıtulo 2
Quantiza¸c˜ao do Campo de
Radia¸c˜ao
“Natura abhorret vacuum”
Arist´oteles
Para estudar o efeito Casimir em um campo escalar sem massa, inicial-
mente tem-se que quantizar o campo de radia¸c˜ao eletromagn´etica que envolve
as placas no v´acuo.
Entretanto, existem v´arios modos de fazˆe-lo. O que ´e adotado nesta
disserta¸c˜ao ´e aquela feita por G. Scharf [16] onde ele imp˜oe a covarian¸ca de
Lorentz na regra de comuta¸c˜ao entre os operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao
deste campo.
Mas antes de chegar a este ponto, alguns passos s˜ao necess´arios.
2.1 Relatividade
2.1.1 Transforma¸c˜oes de Lorentz
As transforma¸c˜oes de Lorentz s˜ao transforma¸c˜oes entre referenciais iner-
ciais de um evento no espa¸co-tempo de Minkowski, onde x = (x
0
, x
1
, x
2
, x
3
) =
x
µ
∈ R
4
. Como ´e de praxe, quando um ´ındice ´e identificado por uma letra
latina (i, j, k, ...) nos referimos apenas `as coordenadas espaciais (x
1
= x,
x
2
= y e x
3
= z) onde o evento ocorre e quando ele ´e identificado por um
´ındice grego (µ, ν, α, ...), est´a-se incluindo, al´em das espaciais, a coordenada
2.1 Relatividade 6
temporal x
0
= ct que ´e quando o evento ocorre. A velocidade da luz c ´e
introduzida nesta coordenada de modo que tenhamos as mesmas dimens˜oes
em todas as componentes.
Ao especificarmos a p osi¸c˜ao x de um objeto como uma fun¸c˜ao do tempo,
estaremos definindo uma curva em R
4
. No caso espec´ıfico da luz, se um feixe
parte da origem, temos
c
2
t
2
− |x|
2
= 0 (2.1.1)
que define os cones de luz para o passado em t < 0 e para o futuro em t > 0.
As transforma¸c˜oes de Lorentz s˜ao tais que mantˆem invariante a express˜ao
s
2
= (x
0
)
2
− (x
1
)
2
− (x
2
)
2
− (x
3
)
2
. (2.1.2)
Isto significa que um observador no referencial K e outro no referencial
K
obtˆem o mesmo resultado para s
2
, ou seja,
(x
0
)
2
− (x
1
)
2
− (x
2
)
2
− (x
3
)
2
= (x
0
)
2
− (x
1
)
2
− (x
2
)
2
− (x
3
)
2
. (2.1.3)
Sabendo-se que as componentes covariantes e contravariantes s˜ao rela-
cionadas entre si atrav´es de
x
µ
= g
µν
x
ν
ou x
µ
= g
µν
x
ν
(2.1.4)
onde g
µν
e g
µν
, denominados de tensor de m´etrica, dados por
g
µν
= g
µν
=
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
, (2.1.5)
podemos escrever (2.1.3) na forma
g
µν
x
µ
x
ν
= g
αβ
x
α
x
β
(2.1.6)
onde utilizamos a conven¸c˜ao de Einstein, ou seja, a somat´oria ´e feita nos
´ındices repetidos.
2.1 Relatividade 7
Assim, quaisquer transforma¸c˜oes do tipo
x
µ
= a
µ
ν
x
ν
(2.1.7)
e que obede¸cam a (2.1.6) s˜ao denominadas de transforma¸c˜oes de Lorentz.
As transforma¸c˜oes com que estamos mais acostumados, s˜ao mais simples
pois consideramos que os referenciais inerciais K e K
tˆem seus eixos de
coordenadas paralelos e que o movimento se d´a na dire¸c˜ao do eixo x com
velocidade v, sendo que em t = t
= 0 as origens de ambos referenciais
coincidem. Neste caso, na equa¸c˜ao (2.1.7), o tensor que far´a a transforma¸c˜ao
das coordenadas entre um referencial e outro ´e
a
µ
ν
= Λ
µ
ν
=
γ −γβ 0 0
−γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(2.1.8)
onde
γ =
1 − β
2
−1/2
e β =
v
c
.
Neste caso, ent˜ao, temos que as coordenadas contravariantes se transfor-
mam
x
µ
= Λ
µ
ν
x
ν
, (2.1.9)
o que nos possibilita encontrar a transforma¸c˜ao de coordenadas covariantes,
usando (2.1.4), de modo que
x
µ
= Λ
µ
ν
g
νρ
x
ρ
(2.1.10)
e multiplicando por g
µβ
g
µβ
x
µ
= g
µβ
Λ
µ
ν
g
νρ
x
ρ
(2.1.11)
obtemos
x
β
= g
µβ
Λ
µ
ν
g
νρ
x
ρ
. (2.1.12)
2.1 Relatividade 8
Definindo
λ
ρ
β
= g
µβ
Λ
µ
ν
g
νρ
=
γ γβ 0 0
γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
, (2.1.13)
temos que
x
β
= λ
ρ
β
x
ρ
. (2.1.14)
Com a invariˆancia de s
2
apresentada em (2.1.6), ´e poss´ıvel obter uma
rela¸c˜ao entre os tensores λ e Λ, j´a que
x
ρ
x
ρ
= x
ν
x
ν
⇒
λ
β
ρ
x
β
Λ
ρ
µ
x
µ
= x
ν
x
ν
⇒
λ
β
ρ
Λ
ρ
µ
= δ
β
µ
. (2.1.15)
Enfim, o segundo postulado da relatividade diz que as leis f´ısicas devem
ser as mesmas em qualquer referencial inercial, ou seja, as leis devem ser
covariantes por uma transforma¸c˜ao de Lorentz. Exemplificando, se uma lei
f´ısica pode ser descrita matematicamente como
T
µν
A
ν
= B
µ
, (2.1.16)
ent˜ao
Λ
α
µ
T
µν
A
ν
= Λ
α
µ
B
µ
⇒
Λ
α
µ
T
µν
δ
β
ν
A
β
= B
α
⇒
Λ
α
µ
T
µν
λ
β
ρ
Λ
ρ
ν
A
β
= B
α
⇒
Λ
α
µ
Λ
ρ
ν
T
µν
λ
β
ρ
A
β
= B
α
⇒
T
αρ
A
ρ
= B
α
, (2.1.17)
mostrando-nos que ap´os a mudan¸ca de referencial inercial, a lei f´ısica mant´em
a mesma forma.
2.1 Relatividade 9
2.1.2 Ainda nas equa¸c˜oes de Maxwell
As equa¸c˜oes de Maxwell podem ser escritas na forma de 4-vetor como na
relatividade. Iniciando com as defini¸c˜oes
∂
∂x
µ
= ∂
µ
≡
∂
c∂t
, ∇
e (2.1.18)
j
µ
≡ (cρ,
j), (2.1.19)
onde ρ ´e a densidade de cargas e
j ´e a corrente, a equa¸c˜ao de continuidade
∂ρ
∂t
+ ∇ ·
j = 0, (2.1.20)
pode ser escrita do seguinte modo
∂j
µ
∂x
µ
= ∂
µ
j
µ
= 0. (2.1.21)
Agora definindo
A
µ
≡ (φ,
A) (2.1.22)
onde φ ´e o potencial escalar e
A ´e o potencial vetor, podemos escrever as
equa¸c˜oes de onda dadas por
∇
2
φ −
1
c
2
∂
2
φ
∂t
2
= −4πρ (2.1.23)
∇
2
A −
1
c
2
∂
2
A
∂t
2
= −
4π
c
J (2.1.24)
na forma
∇
2
A
µ
−
1
c
2
∂
2
A
µ
∂t
2
= −
4π
c
j
µ
. (2.1.25)
Pode-se observar que
∇
2
−
1
c
2
∂
2
∂t
2
= ∇
2
−
∂
2
(x
0
)
2
= −g
µν
∂
2
∂x
µ
∂x
ν
= ∂
µ
∂
µ
≡ (2.1.26)
conhecido como D’Alambertiano.
2.2 Transforma¸c˜oes de calibre 10
Assim (2.1.25) pode ser escrita como
A
µ
= −
4π
c
j
µ
(2.1.27)
e a condi¸c˜ao de Lorenz
1
, que ´e dada por
∇ ·
A +
1
c
∂φ
∂t
= 0 (2.1.28)
passa a ser escrita na forma
∂A
µ
∂x
µ
= 0, ou melhor ∂
µ
A
µ
= 0. (2.1.29)
Ao colocarmos as equa¸c˜oes do eletromagnetismo na forma covariante, o
que estamos dizendo ´e que estas equa¸c˜oes s˜ao invariantes sob a transforma¸c˜ao
de Lorentz, o que significa que independem do referencial inercial adotado.
2.2 Transforma¸c˜oes de calibre
As transforma¸c˜oes de calibre s˜ao tais que mantˆem os campos el´etrico e
magn´etico invariantes sob estas transforma¸c˜oes. Para que o campo magn´e-
tico e el´etrico se mantenham invariantes, podemos fazer a transforma¸c˜ao no
potencial vetor, tal que
A →
A
=
A + ∇Λ (2.2.1)
e simultaneamente a transforma¸c˜ao no potencial escalar
φ → φ
= φ −
1
c
∂Λ
∂t
(2.2.2)
2.2.1 Calibre de Lorenz
O calibre de Lorenz
2
´e o calibre que obedece `a condi¸c˜ao
∂
µ
A
µ
= 0, (2.2.3)
1
Freq
¨
uentemente esta condi¸c˜ao ´e erroneamente atribu´ıda a Lorentz.
2
Do mesmo modo que a condi¸c˜ao de Lorenz, este calibre ´e erroneamente atribu´ıdo a
Lorentz.
2.3 Segunda quantiza¸c˜ao no espa¸co de Fock 11
sendo que em uma transforma¸c˜ao de calibre, implica que Λ deva obedecer `a
equa¸c˜ao
Λ = 0. (2.2.4)
Este calibre ´e comumente utilizado pois obedece naturalmente `as transfor-
ma¸c˜oes de Lorentz, ou seja, ele ´e independente do sistema de coordenadas.
2.2.2 Calibre de Coulomb
Neste calibre, o potencial vetor deve obedecer
∂
i
A
i
= 0. (2.2.5)
Este calibre ´e bastante ´util na eletrodinˆamica quˆantica, j´a que a descri¸c˜ao
quˆantica dos f´otons necessita apenas da quantiza¸c˜ao do potencial vetor.
2.3 Segunda quantiza¸c˜ao no espa¸co de Fock
Quando trabalhamos na mecˆanica quˆantica, observamos que os estados
que a part´ıcula poder´a ocupar representam um espa¸co de Hilbert.
Ao colocarmos diversas part´ıculas, o que fazemos ´e um produto tensorial
sim´etrico (no caso dos b´osons) ou anti-sim´etrico (no caso dos f´ermions) dos
espa¸cos de Hilbert pertencentes `a cada part´ıcula.
Repetindo matematicamente, considerando n part´ıculas idˆenticas, temos
ψ
n
∈ H
⊗n
, (2.3.1)
onde H
⊗n
´e o produto tensorial dos espa¸cos de Hilbert das n part´ıculas e ψ
n
s˜ao os estados que eles podem ocupar. A simetriza¸c˜ao destes estados, para
b´osons ´e dada por
S
+
n
ψ
n
=
1
n!
i
ψ
n
(x
i1
, ··· , x
in
) (2.3.2)
e para f´ermions ´e dada por
S
−
n
ψ
n
=
1
n!
i
(−)
i
ψ
n
(x
i1
, ··· , x
in
), (2.3.3)
2.3 Segunda quantiza¸c˜ao no espa¸co de Fock 12
onde as somas percorrem todas as i permuta¸c˜oes poss´ıveis das n part´ıculas
3
.
O s´ımbolo (−)
i
significa que para uma permuta¸c˜ao i que corresponda a uma
permuta¸c˜ao c´ıclica (ou par) o valor ´e +1 e para uma permuta¸c˜ao n˜ao-c´ıclica
(ou ´ımpar) o valor ´e −1.
Com isto, pode-se dizer que o espa¸co de n part´ıculas com significado
f´ısico deve ser tal que
H
±
n
= S
±
n
H
⊗n
. (2.3.4)
Enfim, o espa¸co de Fock, que ´e utilizado para a descri¸c˜ao de estados
simultˆaneos de m´ultiplas part´ıculas, pode ser definido por
F
±
≡ ⊕
∞
n=0
H
±
n
. (2.3.5)
No caso em que n˜ao hajam part´ıculas, n = 0, define-se um estado que ´e
o estado do v´acuo Ω tal que
H
0
= αΩ, α ∈ C. (2.3.6)
Um elemento do espa¸co de Fock ´e, ent˜ao, dado por
Φ = (φ
0
, φ
1
, ··· , φ
n
, ···) ∈ F , (2.3.7)
que consiste da infinita sequˆencia de estados φ, tal que
φ
0
= αΩ, φ
1
∈ H
1
, ··· , φ
n
∈ H
±
n
, ··· (2.3.8)
Com isto podemos ver que o produto escalar no espa¸co de Fock ´e tal que
Φ|Ψ =
∞
n=0
φ
n
|ψ
n
H
n
, (2.3.9)
ou seja, a soma infinita dos produtos escalares dos vetores (que representam
os estados das n part´ıculas) do espa¸co de Hilbert H
n
.
3
Semelhante ao que conseguimos quando utilizamos o determinante de Slater.
2.3 Segunda quantiza¸c˜ao no espa¸co de Fock 13
Podemos definir um operador
˜
N tal que
˜
NΦ
H
n
= nφ
n
, (2.3.10)
ou seja, este operador aplicado a um estado do espa¸co de Fock retorna o n´u-
mero de part´ıculas e em quais estados do espa¸co de Hilbert eles se encontram.
Os operadores que comutam com
˜
N, ou seja
˜
A,
˜
N
= 0, (2.3.11)
n˜ao mudam a quantidade de part´ıculas do estado de Fock.
Entretanto, e o que mais nos interessam, s˜ao os operadores que mudam
a quantidade de part´ıculas. O operador de cria¸c˜ao pode ser definido de tal
forma que quando aplicado em um estado do v´acuo, gere um estado de uma
part´ıcula, ou seja
˜a(f)
†
Ω = f com f ∈ H
1
, (2.3.12)
e quando aplicado em um estado qualquer do espa¸co de Fock, temos
˜a(f)
†
Φ
H
n
=
√
nS
±
n
(f ⊗ φ
n−1
) , n = 1, 2, ··· . (2.3.13)
Podemos fazer um mapeamento deste operador no espa¸co de Fock para
o espa¸co de momentos, de forma que
˜a(f)
†
=
d
3
x ˆa(
k)
∗
ˆ
f(
k). (2.3.14)
Os operadores de aniquila¸c˜ao, tamb´em podem ser definidos a partir do
estado de v´acuo. Assim
˜a(f)Ω = 0 (2.3.15)
e da mesma forma,
˜a(f) =
d
3
x
ˆ
f(
k)
∗
ˆa(
k). (2.3.16)
2.4 A quantiza¸c˜ao do campo de radia¸c˜ao livre 14
2.4 A quantiza¸c˜ao do campo de radia¸c˜ao livre
Consideramos inicialmente o potencial vetor A
µ
(x) como sendo o campo
fundamental. Assim as equa¸c˜oes de campo covariantes podem ser tais que
∂
µ
A
µ
(x) = 0 (2.4.1)
para a condi¸c˜ao de Lorenz e
A
µ
(x) = 0 (2.4.2)
para a equa¸c˜ao de onda.
No calibre de Coulomb e sem fontes, s˜ao satisfeitas as equa¸c˜oes
A
0
= 0 (2.4.3)
e
∂
i
A
i
= 0 (2.4.4)
onde (2.4.4) pode ser escrito de uma forma tal que os campos sejam trans-
versais, ou seja,
k ·
A(t,
k) = 0, (2.4.5)
significando que n˜ao h´a f´otons longitudinais, nem f´otons temporais (devido
a (2.4.3)) neste calibre.
Quantizando A
µ
(x) como campos escalares reais, temos
A
µ
(t, x) = (2π)
−3/2
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k)e
−i
(
ωt−
k·x
)
+ a
µ
(
k)
∗
e
i
(
ωt−
k·x
)
(2.4.6)
que consideramos como uma solu¸c˜ao real da equa¸c˜ao de onda (2.4.2) ao
colocarmos o expoente
k · x na forma covariante. Isto pode ser feito se
definirmos que
ω(
k) =
k
≡ k
0
, com c = 1.
4
(2.4.7)
Com a quantiza¸c˜ao temos que A
µ
(x) se torna um operador no espa¸co de
4
A partir deste momento iremos considerar que c = = 1.
2.4 A quantiza¸c˜ao do campo de radia¸c˜ao livre 15
Fock tal que
A
µ
(t, f) =
d
3
x A
µ
(t, x)f(x) (2.4.8)
onde f(x) ´e uma fun¸c˜ao de teste.
No espa¸co dos momentos temos
f(
k) = (2π)
3/2
d
3
x f(x)e
−i
k·x
, com
f(−
k) =
f(
k)
∗
(2.4.9)
e consequentemente,
A
µ
(t, f) =
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k)
f(
k)
∗
e
−iωt
+ a
µ
(
k)
∗
f(
k)e
iωt
. (2.4.10)
Considerando
˜a
µ
(
f) =
d
3
k
√
2ω
f(
k)
∗
a
µ
(
k) (2.4.11)
como sendo operadores no espa¸co de Fock dos f´otons que obedecem as rela¸c˜oes
de comuta¸c˜ao
˜a
µ
(
f), ˜a
ν
(g)
= 0, (2.4.12a)
˜a
µ
(
f)
†
, ˜a
ν
(g)
†
= 0, (2.4.12b)
˜a
µ
(
f), ˜a
ν
(g)
†
= δ
µ
ν
d
3
k
2ω
f(
k)
∗
g(
k) (2.4.12c)
ou de outro modo e respectivamente, no espa¸co dos momentos
a
µ
(
k), a
ν
(
k
)
= 0, (2.4.13a)
a
µ
(
k)
†
, a
ν
(
k
)
†
= 0, (2.4.13b)
a
µ
(
k), a
ν
(
k
)
†
=
δ(
k −
k
) para µ = ν
0 para µ = ν
(2.4.13c)
onde a
µ†
e a
µ
s˜ao, respectivamente, os operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao
dos f´otons.
Isto significa que as componentes do potencial vetor podem ser escritas
2.4 A quantiza¸c˜ao do campo de radia¸c˜ao livre 16
na forma
A
µ
(x) = (2π)
−3/2
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k)e
−ikx
+ a
µ
(
k)
†
e
ikx
(2.4.14)
onde em kx, um pro duto escalar entre 4-vetores, omitimos os ´ındices para
n˜ao carregar a nota¸c˜ao.
Podemos calcular
5
o comutador entre suas componentes utilizando (2.4.13)
e (2.4.14). Assim temos
[A
µ
(x), A
ν
(y)] = δ
µ
ν
1
i
D
0
(x − y). (2.4.15)
Neste ponto a quantiza¸c˜ao do campo feita por Scharf ´e diferente, p ois o
que se quer manter aqui ´e a covarian¸ca em (2.4.15). Para tanto, ´e necess´ario
que se altere de modo ad hoc
6
a componente A
0
de A
µ
. O que resulta em
A
0
(x) = (2π)
−3/2
d
3
k
√
2ω
a
0
(
k)e
−ikx
− a
0
(
k)
†
e
ikx
. (2.4.16)
As consequˆencias para tal escolha s˜ao a existˆencia de estados no espa¸co de
Fock que possuem norma negativa – os chamados ghost states [26], ou seja,
estados com f´otons longitudinais e f´otons temporais sem significado f´ısico.
Entretanto, devido a (2.4.5), isto n˜ao chega a ser um problema.
Enfim, com a equa¸c˜ao (2.4.16), a rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao (2.4.15) ´e escrita
na forma covariante
[A
µ
(x), A
ν
(y)] = g
µν
iD
0
(x − y). (2.4.17)
Agora, separando os operadores de aniquila¸c˜ao
A
µ
−
(x) = (2π)
−3/2
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k)e
−ikx
(2.4.18)
5
Veja o apˆendice A.1...
6
Um procedimento que se mostrar´a correto, ou n˜ao, observando-se as consequˆencias
desta escolha.
´
E um pre¸co a pagar, do mesmo modo que o ´e, o pro cedimento de S.N.Gupta
[17] que leva a um espa¸co de m´etrica indefinida.
2.4 A quantiza¸c˜ao do campo de radia¸c˜ao livre 17
e cria¸c˜ao
A
µ
+
(x) = ∓(2π)
−3/2
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k)
†
e
ikx
− para µ = 0
+ para µ = 1, 2, 3 ,
(2.4.19)
podemos verificar quais s˜ao as aa¸c˜oes de comuta¸c˜ao entre es. De fato,
resulta
7
que os comutadores diferentes de zero s˜ao
A
µ
−
(x),A
ν
+
(y)
= g
µν
iD
(+)
0
(x − y) (2.4.20)
A
µ
+
(x),A
ν
−
(y)
= g
µν
iD
(−)
0
(x − y) (2.4.21)
Resta ainda introduzir os operadores transversos, dos quais queremos
extrair quantidades com algum significado f´ısico. Neste caso
A
µ
m
(x) = (2π)
−3/2
d
3
k
√
2ω
µ
m
(
k)
a
m
(
k)e
−ikx
+ a
m
(
k)
†
e
ikx
(2.4.22)
onde
µ
m
(
k) = (0,
m
),
k ·
m
(
k) = 0, m = 1, 2 (2.4.23)
que s˜ao os vetores de polariza¸c˜ao ortogonais e transversos com aa¸c˜ao `a
dirac˜ao de propaga¸c˜ao, e ainda
a
m
(
k) =
ν
m
(
k)a
ν
(
k). (2.4.24)
7
Ver apˆendice A.1...
Cap
´
ıtulo 3
Energia de Casimir
“Ao infinito... e al´em!”
Buzz Lightyear
1
Sabendo-se a quantiza¸c˜ao do campo de radia¸c˜ao livre, ´e poss´ıvel, a partir
de sua densidade Hamiltoniana, calcular a energia de ponto zero, ou seja,
calcular o valor esperado desta densidade Hamiltoniana para um estado em
que n˜ao haja nenhuma part´ıcula (v´acuo).
3.1 Hamiltoniana do campo de radia¸c˜ao livre
A Hamiltoniana pode ser dada a partir do campo de radia¸c˜ao livre j´a
segundo quantizado que pode ser ordenado normalmente.
H =
R
3
d
3
xH(x) =
=
1
2
R
3
d
3
x
:
E(x)
2
: + :
B(x)
2
:
(3.1.1)
Mas, para tanto, ainda ´e necess´ario colocarmos os campos
E e
B na
forma do potencial vetor cuja segunda quantiza¸c˜ao j´a foi feita. Assim sendo
2
,
1
No desenho animado T3F19Tzro,isrooito, oo
3.1 Hamiltoniana do campo de radia¸c˜ao livre 19
considerando as duas polariza¸c˜oes, temos
H(x) =
1
2
2
m=1
:
∂
A
m
(x)
∂x
0
2
: − :
A
m
(x) ·
∂
2
A
m
(x)
∂x
0
2
:
. (3.1.2)
Considerando apenas uma das polariza¸c˜oes, podemos omitir o ´ındice m,
de tal modo que
H(x) =
1
2
:
∂
A(x)
∂x
0
2
: − :
A(x) ·
∂
2
A(x)
∂x
0
2
:
. (3.1.3)
Pelo teorema de Wick, podemos calcular o primeiro termo da densidade
de Hamiltoniana
:
∂
A(x)
∂x
0
2
: = lim
y→x
:
∂
A(x)
∂x
0
·
∂
A(y)
∂y
0
: =
= lim
y→x
∂
A(x)
∂x
0
·
∂
A(y)
∂y
0
−
∂
A
−
(x)
∂x
0
,
∂
A
+
(y)
∂y
0
=
= lim
y→x
∂
A(x)
∂x
0
·
∂
A(y)
∂y
0
−
∂
2
∂x
0
∂y
0
A
−
(x),
A
+
(y)
=
= lim
y→x
∂
A(x)
∂x
0
·
∂
A(y)
∂y
0
+
1
i
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
0
(x − y)
, (3.1.4)
onde, na ´ultima linha, utilizamos o comutador em (2.4.20).
3.2 Hamiltoniana do v´acuo em placas paralelas 20
Do mesmo modo, podemos calcular o segundo termo
:
A(x) ·
∂
2
A(x)
∂x
0
2
: = lim
y→x
:
A(x) ·
∂
2
A(y)
∂y
0
2
: =
= lim
y→x
A(x) ·
∂
2
A(y)
∂y
0
2
−
A
−
(x),
∂
2
A
+
(y)
∂y
0
2
=
= lim
y→x
A(x) ·
∂
2
A(y)
∂y
0
2
−
∂
2
∂y
0
2
A
−
(x),
A
+
(y)
=
= lim
y→x
A(x) ·
∂
2
A(y)
∂y
0
2
−
1
i
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
0
(x − y)
. (3.1.5)
Com (3.1.4) e (3.1.5) temos que a densidade Hamiltoniana ´e
H(x) = lim
y→x
1
2
∂
A(x)
∂x
0
·
∂
A(y)
∂y
0
−
1
2
A(x)·
∂
2
A(y)
∂y
0
2
+
1
i
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
0
(x−y)
(3.1.6)
ou seja,
H(x) =
1
2
∂
A(x)
∂x
0
2
−
1
2
A(x) ·
∂
2
A(x)
∂x
0
2
+
+
1
i
lim
y→x
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
0
(x − y)
. (3.1.7)
3.2 Hamiltoniana do v´acuo em placas parale-
las
O efeito Casimir em placas paralelas surge quando colocamos paralela-
mente duas placas perfeitamente condutoras a uma certa distˆancia d. Po-
demos definir, para efeito de c´alculos que uma das placas est´a em x
3
= 0 e
a outra em x
3
= d. Assim, ´e necess´ario redefinir os operadores de cria¸c˜ao
e aniquila¸c˜ao que correspondem ao novo estado de v´acuo Ω
d
no espa¸co de
Fock, j´a que a presen¸ca das placas altera a configura¸c˜ao espacial de modo
que nem todas as freq
¨
uˆencias s˜ao permitidas.
Para tanto podemos redefinir
A(x) em (2.4.22) no espa¸co 0 ≤ x
3
≤ d
3.2 Hamiltoniana do v´acuo em placas paralelas 21
impondo as condi¸c˜oes de contorno.
A(x) =
1
2π
1
√
2d
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
√
2ω
n
a(
k
n
, n)e
−ik
n
x
+ a(
k
n
, n)
†
e
ik
n
x
(
k
n
, n),
(3.2.1)
onde
ω
n
2
= k
1
2
+ k
2
2
+
nπ
d
2
, (3.2.2)
k
n
=
ω
n
, k
1
, k
2
,
nπ
d
, (3.2.3)
e as condi¸c˜oes de contorno dadas por
1
(
k
n
, −n) =
1
(
k
n
, n)
2
(
k
n
, −n) =
2
(
k
n
, n)
3
(
k
n
, −n) = −
3
(
k
n
, n)
a(
k
n
, −n) = −a(
k
n
, n)
para que a componente tangencial de
E e a componente normal de
B sejam
nulas.
No espa¸co de Fock, os operadores de aniquila¸c˜ao devem obedecer
˜a(f, n)Ω
d
=
d
2
k
√
2ω
n
f(
k
n
)
∗
a(
k
n
, n)Ω
d
= 0 (3.2.4)
para qualquer n e qualquer f ∈ L
2
(R
2
).
Podemos ainda expandir (3.2.1), tal que
A(x) =
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
√
2ω
n
a(
k
n
, n)u
n
(x)e
−iω
n
x
0
+
+ a(
k
n
, n)
†
u
n
(x)
∗
e
iω
n
x
0
(
k
n
, n), (3.2.5)
onde u
n
(x) s˜ao fun¸c˜oes normalizadas que satisfazem as condi¸c˜oes de contorno
de Dirichlet ou Neumann em x
3
= 0 e em x
3
= d.
3.2 Hamiltoniana do v´acuo em placas paralelas 22
Assim, separando os operadores de aniquila¸c˜ao e cria¸c˜ao em (3.2.5) temos
A
−
(x) =
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
√
2ω
n
a(
k
n
, n)u
n
(x)e
−iω
n
x
0
(3.2.6)
A
+
(x) =
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
√
2ω
n
a(
k
n
, n)
†
u
n
(x)
∗
e
iω
n
x
0
(3.2.7)
cujo comutador ´e tal que
3
[A
−
(x),A
+
(y)] =
1
i
D
(+)
d
(x − y). (3.2.8)
Ent˜ao, a densidade Hamiltoniana nesta geometria pode ser calculada a
partir de (3.1.7), onde fazemos o ordenamento normal com os operadores
desta configura¸c˜ao
H
d
(x) =
1
2
::
∂
A(x)
∂x
0
2
:: − ::
A(x) ·
∂
2
A(x)
∂x
0
2
::
+
+
1
i
lim
y→x
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
0
(x − y)
. (3.2.9)
Repetindo os passos da se¸c˜ao anterior, temos
::
∂
A(x)
∂x
0
2
:: =
∂
A(x)
∂x
0
2
−
1
i
lim
y→x
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
d
(x − y)
(3.2.10)
e tamb´em
::
A(x) ·
∂
2
A(x)
∂x
0
2
:: =
A(x) ·
∂
2
A(x)
∂x
0
2
+
1
i
lim
y→x
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
d
(x − y)
(3.2.11)
de modo que a densidade Hamiltoniana para a geometria das placas paralelas
3
veja apˆendice A.2
3.2 Hamiltoniana do v´acuo em placas paralelas 23
resulta em
H
d
(x) =
1
2
∂
A(x)
∂x
0
2
−
A(x) ·
∂
2
A(x)
∂x
0
2
+
+
1
i
lim
y→x
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
0
(x − y) −
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
d
(x − y)
. (3.2.12)
Agora, calculando-se seu o valor esperado no estado do v´acuo Ω
d
, teremos
a densidade de energia de Casimir, ou seja
H
d
(x) = Ω
d
|H
d
Ω
d
=
= +
1
i
lim
y→x
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
0
(x − y) −
∂
2
∂x
0
2
D
(+)
d
(x − y)
(3.2.13)
Reescrevendo (3.2.13) explicitamente, temos
H
d
(x) =
1
i
lim
y→x
i
(2π)
3
∂
2
∂x
0
2
d
3
k
2ω
e
−ik(x−y)
−
− i
∂
2
∂x
0
2
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
2ω
n
u
n
(x)u
n
(y)
∗
e
−iω
n
(x
0
−y
0
)
=
= lim
y→x
1
(2π)
3
d
3
k
2ω
(k
0
)
2
e
−ik(x−y)
−
−
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
2ω
n
(ω
n
)
2
u
n
(x)u
n
(y)
∗
e
−iω
n
(x
0
−y
0
)
=
= lim
y→x
1
(2π)
3
d
3
k
2
ωe
−ik(x−y)
−
−
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
2
ω
n
u
n
(x)u
n
(y)
∗
e
−iω
n
(x
0
−y
0
)
. (3.2.14)
Pode-se notar que o primeiro termo em colchetes em (3.2.12) resulta
zero, p ois a ordena¸c˜ao normal dos operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao e a
equa¸c˜ao (3.2.4) implicam nisto. J´a o segundo termo diz que cada um de seus
elementos ´e infinito, pois as integrais em D
(+)
0
e D
(+)
d
resultam em (3.2.14),
o que indica uma indetermina¸c˜ao na densidade de energia de Casimir.
Cap
´
ıtulo 4
A regulariza¸c˜ao no efeito
Casimir em placas paralelas
“Who is afraid of infinities?
Not I, I just cut them off”
Anonymous
1
Conforme se viu, a densidade de energia de Casimir em (3.2.14) n˜ao re-
sulta em um valor determinado. Para o seu c´alculo ´e normalmente inserido
uma regulariza¸c˜ao dependente da freq
¨
uˆencia do f´oton, com o argumento f´ı-
sico, normalmente utilizado, de que a partir de um determinado valor, as
placas seriam transparentes para estas freq
¨
uˆencias e portanto tais f´otons n˜ao
participariam no c´alculo do efeito Casimir. O que veremos, ´e que este argu-
mento por si s´o, ´e insuficiente. E ao mesmo tempo, demonstramos que para
uma classe de regularizadores, o resultado se mostra independente do cutoff.
1
Do livro de A.Zee: Quantum field theory in a nutshell, Princ.Univ.Press, 2003, p.145
4.1 Regulariza¸c˜ao na densidade de energia de Casimir 25
4.1 Regulariza¸c˜ao na densidade de energia de
Casimir
Podemos considerar uma classe de regularizadores tal que
C
Λ
(
k) = C(Λω
k
), (4.1.1)
lim
Λ→0
C
Λ
(
k) = lim
Λ→0
C(Λω
k
) = 1, (4.1.2)
lim
x→∞
C
(j)
(x) = 0 ∀ j = 1, 2, ··· , (4.1.3)
∞
0
C
(j)
(x)dx < ∞ ∀ j = 1, 2, ··· , (4.1.4)
sendo Λ um cutoff de dimens˜oes do inverso do comprimento.
Deste modo, podemos regularizar a densidade de energia de Casimir
H
d
(x) em (3.2.14) tal que
H
d,Λ
(x) = lim
y→x
1
(2π)
3
d
3
k
2
ωe
−ik(x−y)
× C(Λω) −
−
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
2
ω
n
u
n
(x)u
n
(y)
∗
e
−iω
n
(x
0
−y
0
)
×C(Λω
n
)
=
=
1
2
∂
∂Λ
1
(2π)
3
d
3
k e
−i
[
ωτ −
k·(x−y)
]
τ =0
y=x
× C(Λω) −
−
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
|u
n
(x)|
2
× C(Λω
n
)
(4.1.5)
4.2 Densidade de energia de Casimir independente do cutoff 26
4.2 Densidade de energia de Casimir inde-
pendente do cutoff
Para efetuarmos o c´alculo da energia de Casimir a partir de (4.1.5) ne-
cessitamos efetuar
E
d,Λ
=
d
3
xH
d,Λ
=
=
1
2(2π)
2
−
1
2π
d
3
k k C(Λk)
dx
1
dx
2
d
0
dx
3
+
+
∞
n=−∞
dk
1
dk
2
4.2 Densidade de energia de Casimir independente do cutoff 27
obtemos
E
d,Λ
= −
d
(2π)
2
∞
0
dk k
3
C(Λk) +
1
8π
lim
n→∞
n
m=1
g(m) (4.2.4)
com
g(m) =
∞
0
du
u +
mπ
d
2
C
Λ
u +
mπ
d
2
=
=
∞
(
mπ
d
)
2
du
√
u C(Λ
√
u). (4.2.5)
Podemos introduzir a f´ormula de soma de Euler-Mclaurin
2
, j´a que C(Λ
√
u)
obedece (4.1.1), (4.1.2), (4.1.3) e (4.1.4), e de onde sabemos que quando
n → ∞ temos
n
m=1
g(m) −
2d
π
∞
0
dq q
3
C(Λq) −
1
2
g(0) → Σ
k
(4.2.6)
onde
Σ
k
= − S
k
(0) −
1
(2k + 2)!
∞
0
dt ψ
2k+2
(t)g
(2k+2)
(t), k = 1, 2, . . . (4.2.7)
com
S
k
(0) =
k
r=1
(−1)
r−1
B
r
(2r)!
g
(2r−1)
(0), (4.2.8)
e
ψ
k
(t) = φ
k
(t) mod 1 (4.2.9)
onde φ
k
´e obtido como segue
x
e
xt
− 1
e
x
− 1
=
∞
n=1
φ
k
(t)
x
n
n!
. (4.2.10)
Com isto ´e poss´ıvel mostrar a independˆencia do regularizador na energia
2
Veja apˆendice C.1
4.2 Densidade de energia de Casimir independente do cutoff 28
de Casimir ao demonstrarmos
3
que
Σ
k
= Σ
k+1
, (4.2.11)
4.3 Energia de Casimir e a regulariza¸c˜ao de Hadamard 29
4.3 Energia de Casimir e a regulariza¸c˜ao de
Hadamard
Em (4.2.17), quando Λ → 0, temos que o primeiro termo diverge.
´
E pos-
s´ıvel identificar esta divergˆencia utilizando-se a f´ormula de soma de Poisson.
Para tanto, devemos tomar o cuidado, em (4.2.1), de n˜ao efetuar, a
integral em x
3
. Assim, podemos denotar tal entidade como E
d,Λ
.
Usando a equa¸c˜ao (4.2.3), um regularizador especial cujas caracter´ısticas
obede¸cam as equa¸c˜oes (4.1.1), (4.1.2), (4.1.3) e (4.1.4), ou seja, utilizando
C(x) = e
−x
, (4.3.1)
e ainda considerando que
u
n
(x) =
1
2π
2
d
sen
nπ
d
x
3
e
i
(
k
1
x
1
+k
2
x
2
)
(4.3.2)
o qual obedece `a condi¸c˜ao de contorno de Dirichlet em x
3
= 0 e x
3
= d,
podemos escrever
E
d,Λ
(x) =
1
2
−
1
(2π)
3
d
3
k ke
−Λk
+
1
(2π)
2
2
d
∞
n=1
dk
1
dk
2
sen
2
nπ
d
x
3
e
−Λω
n
, (4.3.3)
lembrando novamente que
ω
n
2
= k
1
2
+ k
2
2
+
nπ
d
2
(4.3.4)
e
k =
ω
n
, k
1
, k
2
,
nπ
d
. (4.3.5)
O termo com a somat´oria em (4.3.3) pode ser extendido de modo a
acomodar os termos negativos em n, notando que a paridade do integrando
4.3 Energia de Casimir e a regulariza¸c˜ao de Hadamard 30
´e par e que o termo n = 0 ´e nulo. Assim
I ≡
1
(2π)
2
2
d
∞
n=1
dk
1
dk
2
sen
2
nπ
d
x
3
e
−Λω
n
=
=
1
(2π)
2
d
+∞
n=−∞
dk
1
dk
2
sen
2
nπ
d
x
3
e
−Λω
n
. (4.3.6)
Com isto, introduzindo a f´ormula de soma de Poisson tal que
+∞
n=−∞
f(2πn) =
1
√
2π
+∞
m=−∞
ˆ
f(m) (4.3.7)
onde
ˆ
f(m) =
1
√
2π
+∞
−∞
dk e
−imk
f(k) (4.3.8)
e
f(2πn) ≡ sen
2
nπ
d
x
3
e
−Λω
n
(4.3.9)
obtemos
I =
1
(2π)
3
d
∞
m=−∞
+∞
−∞
dk
1
+∞
−∞
dk
2
+∞
−∞
dk
3
k
2
1
+ k
2
2
+
k
3
2d
2
×
× sen
2
k
3
2d
x
3
e
−Λ k
2
1
+k
2
2
+
k
3
2d
2
e
−imk
3
. (4.3.10)
Fazendo a troca de vari´avel k
3
= k
3
/2d em (4.3.10) temos
I = I
1
+ I
2
(4.3.11)
onde
I
1
=
1
(2π)
3
+∞
m=−∞
+∞
−∞
dk
1
+∞
−∞
dk
2
+∞
−∞
dk
3
k
2
1
+ k
2
2
+ k
2
3
e
−Λ
√
k
2
1
+k
2
2
+k
2
3
e
−i2mdk
3
(4.3.12)
4.3 Energia de Casimir e a regulariza¸c˜ao de Hadamard 31
e
I
2
= −
1
(2π)
3
+∞
m=−∞
+∞
−∞
dk
1
+∞
−∞
dk
2
+∞
−∞
dk
3
k
2
1
+ k
2
2
+ k
2
3
×
× cos(2k
3
x
3
)e
−Λ
√
k
2
1
+k
2
2
+k
2
3
e
−i2mdk
3
. (4.3.13)
Atrav´es de (4.3.3), (4.3.11), (4.3.12) e (4.3.13), resulta
4
que
E
d,Λ
(x
3
, d) =
1
2
4
(2π)
2
(2x
3
)
2
− 3Λ
2
[Λ
2
+ (2x
3
)
2
]
3
−
4
(2π)
2
m=0
(2md)
2
− 3Λ
2
[Λ
2
+ (2md)
2
]
3
+
+
2
(2π)
2
m=0
2(md + x
3
)
2
− 3Λ
2
Λ
2
+ [2(md + x
3
)]
2
3
+
2(md − x
3
)
2
− 3Λ
2
Λ
2
+ [2(md − x
3
)]
2
3
(4.3.14)
onde o primeiro termo em (4.3.14) ´e o termo para m = 0 em I
2
. O termo
para m = 0 em I
1
cancela exatamente a primeira integral em (4.3.3). Com
isto podemos definir
E
d
(x
3
) ≡ lim
Λ→0
E
d,Λ
(x
3
, d) =
1
2
1
4(2π)
2
1
(x
3
)
4
−
−
1
2(2π)
2
∞
m=1
1
(md)
4
+
1
4(2π)
2
∞
m=1
1
(md + x
3
)
4
+
1
(md − x
3
)
4
(4.3.15)
´
E poss´ıvel notar em (4.3.15) que E
d
(x
3
) n˜ao ´e integr´avel no intervalo entre
as placas em 0 ≤ x
3
≤ d. O seu primeiro termo diverge sobre a placa em
x
3
= 0 e o ´ultimo termo, para m = ±1, diverge sobre a outra placa em x
3
= d.
Estes termos dominantes tamb´em podem ser identificados atrav´es de pontos
estacion´arios na f´ormula de soma de Poisson em (4.3.10) ao escrevermos
sen
2
k
3
2d
x
3
=
e
i
k
3
2d
x
3
− e
−i
k
3
2d
x
3
2i
2
(4.3.16)
4
Basta efetuarmos inicialmente as integrais em k
1
e k
2
e posteriormente em k
3
.
4.3 Energia de Casimir e a regulariza¸c˜ao de Hadamard 32
resultando em
I =
1
(2π)
3
d
∞
m=−∞
+∞
−∞
dk
1
+∞
−∞
dk
2
+∞
−∞
dk
3
k
2
1
+ k
2
2
+
k
3
2d
2
×
× e
−Λ k
2
1
+k
2
2
+
k
3
2d
2
e
−imk
3
e
i
k
3
2d
x
3
− e
−i
k
3
2d
x
3
2i
2
=
=
1
(2π)
3
d
∞
m=−∞
+∞
−∞
dk
1
+∞
−∞
dk
2
+∞
−∞
dk
3
k
2
1
+ k
2
2
+
k
3
2d
2
×
×e
−Λ k
2
1
+k
2
2
+
k
3
2d
2
e
−i m−
x
3
d
k
3
+ e
−i m+
x
3
d
k
3
− 2e
−imk
3
−4
(4.3.17)
onde identificamos os pontos estacion´arios atrav´es de
∂
∂k
3
m ±
x
3
d
k
3
= 0 (4.3.18)
que nos levam a x
3
= 0 para m = 0 e x
3
= d para m = ±1.
Para obtermos a energia de Casimir, ´e necess´ario ainda fazer mais uma
regulariza¸c˜ao.
Neste passo final, tomamos como ferramenta a regulariza¸c˜ao de Hada-
mard, proposta por Elizalde [18] para trabalharmos com os infinitos que sur-
gem quando lidamos com problemas que incluem condi¸c˜oes de contorno. Esta
prescri¸c˜ao demonstrou ser capaz de identificar e separar as singularidades na
energia de Casimir como tamb´em veremos aqui.
Denotamos P(.) como sendo a regulariza¸c˜ao de Hadamard
5
ou a “parte
finita” de uma integral divergente, com a qual podemos calcular a energia de
Casimir. Assim, sabendo que
P
d
0
dx
3
1
4(2π)
2
1
(x
3
)
4
= −
1
12(2π)
2
1
d
3
, m = 0; (4.3.19)
P
d
0
dx
3
1
4(2π)
2
1
(d − x
3
)
4
= −
1
12(2π)
2
1
d
3
, m = 1, (4.3.20)
5
Veja o apˆendice D
4.3 Energia de Casimir e a regulariza¸c˜ao de Hadamard 33
podemos obtemos a energia de Casimir regularizada, tal que
E
d
= P
d
0
E
d
(x
3
)dx
3
=
= −
1
2
1
2(2π)
2
d
3
∞
m=1
1
m
4
=
= −
1
2
π
2
720
1
d
3
. (4.3.21)
Finalmente, ´e poss´ıvel dizer que o termo divergente em (4.2.17) pode ser
identific´avel como sendo as divergˆencias de termos de superf´ıcie localizados
em x
3
= 0 e em x
3
= d que n˜ao foram removidas quando colocamos um
regularizador visando a regi˜ao do ultra-violeta, significando que o argumento
f´ısico
6
utilizado na introdu¸c˜ao do regularizador em (4.1.5) n˜ao ´e suficiente
para justificar o resultado do c´alculo da energia de Casimir.
6
Normalmente argumenta-se que para as altas freq
¨
uˆencias, as placas seriam transpa-
rentes para tais f´otons, especialmente se tiverem um comprimento de onda menores que o
raio de Bohr.
Cap
´
ıtulo 5
Conclus˜oes
“H´a sem d´uvida quem ame o infinito,
h´a sem d´uvida quem deseje o imposs´ıvel,
h´a sem d´uvida quem n˜ao queira nada -
trˆes tipos de idealistas, e eu nenhum deles:
porque eu amo infinitamente o finito,
porque eu desejo impossivelmente o poss´ıvel,
porque quero tudo, ou um pouco mais, se puder ser,
ou at´e se n˜ao puder ser...”
Fernando Pessoa
1
Neste trabalho mostramos a abordagem de Scharf para a quantiza¸c˜ao
do campo eletromagn´etico de onde obtivemos a quantiza¸c˜ao do campo de
radia¸c˜ao. Com ele, foi poss´ıvel determinar o operador Hamiltoniano com
o qual pudemos obter seu valor esperado no estado de v´acuo Ω. A partir
deste, calculamos a energia de Casimir em placas paralelas de duas formas
diferentes, atrav´es do tratamento de s´eries divergentes com 1) a f´ormula de
soma de Euler-Maclaurin, e com 2) a f´ormula de soma de Poisson.
Foi poss´ıvel mostrar a partir do m´etodo 1), que apesar do resultado apre-
sentado por Hagen, (em [7], onde ele mostra que o efeito Casimir ´e dependente
do cutoff aplicado e portanto de significado f´ısico duvidoso) existem algumas
caracter´ısticas que podem ser atribu´ıdas ao regularizador (atrav´es de (4.1.1),
(4.1.2), (4.1.3) e (4.1.4)) de modo que o resultado final seja independente
do mesmo, significando que os c´alculos apresentam relevˆancia f´ısica. Vimos
tamb´em que neste caso, ao fazermos o limite Λ → 0, ainda restava um termo
1
Do livro Poesia -
´
Alvaro de Campos, Cia. das Letras, 2002, p.475
35
divergente. Tal termo foi identificado utilizando-se o m´etodo 2), combinado
com a an´alise da fase estacion´aria, de onde observamos que as divergˆencias
est˜ao relacionadas com os termos de superf´ıcie em x
3
= 0 e em x
3
= d.
Symanzik em seu artigo [27] mostrou que todas as divergˆencias podem
ser sistematicamente canceladas introduzindo, a priori, contratermos de su-
perf´ıcie na densidade Hamiltoniana. Entretanto, optamos pela regulariza¸c˜ao
de Hadamard apresentado por Elizalde em [18], pois no caminho desta pres-
cri¸c˜ao, atrav´es do m´etodo 2), foi poss´ıvel identificar claramente, a posteriori,
que s˜ao os termos de superf´ıcie que contribuem para a divergˆencia e por-
tanto trat´a-los de forma a que tenham algum significado f´ısico, ou seja, que
´e poss´ıvel (ainda que apresentado neste contexto espec´ıfico) considerar a re-
gulariza¸c˜ao de Hadamard como sendo uma representa¸c˜ao anal´ıtica de uma
condi¸c˜ao de contorno na Teoria Quˆantica de Campos.
Ap
ˆ
endice A
Rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao dos
operadores no campo de
radia¸c˜ao livre
A.1 Rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao para o campo de
radia¸c˜ao livre
Sabendo que as componentes do potencial vetor quantizado podem ser
escritas na forma
A
µ
(x) = (2π)
−3/2
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k)e
−ikx
+ a
µ
(
k)
†
e
ikx
(A.1.1)
podemos calcular a rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao entre as suas componentes, lem-
brando da equa¸c˜ao (2.4.13), de modo que
[A
µ
(x),A
ν
(y)] = (2π)
−3
d
3
k
√
2ω
d
3
k
√
2ω
×
×
a
µ
(
k),a
ν
(
k
)
†
e
−ikx+ik
y
+
a
µ
(
k
)
†
,a
ν
(
k)
e
ikx−ik
y
=
= (2π)
−3
δ
µ
ν
d
3
k
2ω
e
−ik(x−y)
− e
ik(x−y)
=
= (2π)
−3
δ
µ
ν
d
4
k δ(k
2
)e
−ik(x−y)
sgn(k
0
) =
= δ
µ
ν
1
i
D
0
(x − y). (A.1.2)
A.1 Rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao para o campo de radia¸c˜ao livre 37
de onde podemos notar que D
0
(x − y) ´e invariante de Lorentz.
Com a separa¸c˜ao dos operadores de aniquila¸c˜ao e cria¸c˜ao em (A.1.1),
respectivamente
A
µ
−
(x) = (2π)
−3/2
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k)e
−ikx
(A.1.3)
A
µ
+
(x) = ∓(2π)
−3/2
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k)
†
e
ikx
− para µ = 0
+ para µ = 1, 2, 3
(A.1.4)
as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao destes operadores que resultam n˜ao nulas, devido
`a (2.4.13) s˜ao tais que
A
µ
−
(x),A
ν
+
(y)
= (2π)
−3
d
3
k
√
2ω
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k),a
ν
(
k
)
†
e
−ikx+ik
y
=
= −g
µν
(2π)
−3
d
3
k
2ω
e
−ik(x−y)
=
= g
µν
iD
(+)
0
(x − y), (A.1.5)
ou seja,
D
(+)
0
(x − y) =
i
(2π)
3
d
3
k
2ω
e
−ik(x−y)
. (A.1.6)
Do mesmo modo temos
A
µ
+
(x),A
ν
−
(y)
= (2π)
−3
d
3
k
√
2ω
d
3
k
√
2ω
a
µ
(
k)
†
,a
ν
(
k
)
e
ikx−ik
y
=
= g
µν
(2π)
−3
d
3
k
2ω
e
−ik(x−y)
=
= g
µν
iD
(+)
0
(x − y), (A.1.7)
ou seja,
D
(−)
0
(x − y) = −
i
(2π)
3
d
3
k
2ω
e
ik(x−y)
. (A.1.8)
Ap
ˆ
endice B
Densidade Hamiltoniana do
campo de radia¸c˜ao livre
A densidade de Hamiltoniana do campo de radia¸c˜ao livre ´e dada por
H(x) =
1
2
R
3
d
3
x
:
E(x)
2
: + :
B(x)
2
:
. (B.0.1)
Como estamos trabalhando no calibre de radia¸c˜ao onde
A
0
= 0, (B.0.2)
∂
i
A
i
= 0, (B.0.3)
temos que
E(x)
2
=
∂
A
∂x
0
2
. (B.0.4)
Para o campo magn´etico, temos que
B(x)
2
= B
i
B
i
=
=
ijk
∂
j
A
k
ilm
∂
l
A
m
=
=
δ
l
j
δ
m
k
− δ
m
j
δ
l
k
∂
j
A
k
∂
l
A
m
=
= ∂
j
A
k
∂
j
A
k
− ∂
j
A
k
∂
k
A
j
=
= ∂
j
A
k
∂
j
A
k
− A
k
∂
j
∂
j
A
k
− ∂
j
A
k
∂
k
A
j
+ A
k
∂
k
∂
j
A
j
=
= ∂
j
A
k
∂
j
A
k
− A
k
∂
j
∂
j
A
k
− ∂
j
A
k
∂
k
A
j
. (B.0.5)
40
Como
R
3
B
2
d
3
x =
R
3
∂
j
A
k
∂
j
A
k
− A
k
∂
j
∂
j
A
k
− ∂
j
A
k
∂
k
A
j
d
3
x =
= −
R
3
A
k
∂
j
∂
j
A
k
d
3
x (B.0.6)
sendo que o resultado ´e devido ao primeiro e terceiro termos em (B.0.6) serem
nulos no infinito.
Lembrando que neste calibre
A
µ
= 0, (B.0.7)
temos
∂
j
∂
j
A
k
= ∂
0
∂
0
A
k
, (B.0.8)
assim, substituindo (B.0.8) em (B.0.6) e sem considerar cada uma das pola-
riza¸c˜oes, temos que
H(x) =
1
2
:
∂
A(x)
∂x
0
2
: − :
A(x) ·
∂
2
A(x)
∂x
0
2
:
. (B.0.9)
Ap
ˆ
endice C
F´ormula de soma de
Euler-Maclaurin
A f´ormula de soma de Euler-Maclaurin, conforme [14], ´e dada por
n
m=1
g(m) = F (n) +
1
2
g(n) + S
k
(n) + C
k
+ R
k,n
(C.0.1)
onde
F (n) =
n
0
g(t)dt, (C.0.2)
S
k
(n) =
k
r=1
(−1)
r−1
B
r
(2r)!
g
(2r−1)
(n), (C.0.3)
C
k
= −F (0) +
1
2
g(0) − S
k
(0) −
1
(2k + 2)!
∞
0
ψ
2k+2
(t)dt, (C.0.4)
R
k,n
=
1
(2k + 2)!
∞
n
ψ
2k+2
(t)g
(2k+2)
(t)dt, (C.0.5)
e ainda
ψ
k
(t) = φ
k
(t) mod 1, (C.0.6)
com
x
e
xt
− 1
e
x
− 1
=
∞
n=1
φ
k
(t)
x
n
n!
(C.0.7)
expressa uma soma discreta de g(m) em termos de sua integral e de suas
derivadas.
C.1 Densidade de energia de Casimir regularizada 42
C.1 Densidade de energia de Casimir regula-
rizada
No caso em que n → ∞, temos que R
k,n
→ 0 e tamb´em
n
m=1
g(m) − F (n) −
1
2
g(n) − S
k
(n) → Ξ
k
(C.1.1)
onde
Ξ
k
= −F (0) +
1
2
g(0) − S
k
(0) −
1
(2k + 2)!
∞
0
ψ
2k+2
(t)g
(2k+2)
(t)dt. (C.1.2)
Com a equa¸c˜ao (4.2.5), ou seja
g(m) =
∞
(
mπ
d
)
2
du
√
u C(Λ
√
u), (C.1.3)
temos
lim
n→∞
g(n) = 0,
lim
n→∞
S
k
(n) = 0,
C.2 Demonstrando a independˆencia do regularizador 43
e ainda
lim
n→∞
F (n) =
∞
0
dt
∞
(
tπ
d
)
2
du
√
u C(Λ
√
u) =
= 2
∞
0
dt
∞
0
k
dk
tπ
d
2
+ k
2
C(Λ
tπ
d
2
+ k
2
) =
=
1
π
∞
0
dt
∞
−∞
dk
1
∞
−∞
dk
2
tπ
d
2
+ k
1
2
+ k
2
2
×
×C(Λ
tπ
d
2
+ k
1
2
+ k
2
2
) =
=
d
2π
2
∞
−∞
dk
3
∞
−∞
dk
1
∞
−∞
dk
2
k
3
2
+ k
1
2
+ k
2
2
C(Λ
k
3
2
+ k
1
2
+ k
2
2
) =
=
2d
π
∞
0
q
3
C(Λq)dq. (C.1.4)
Assim em (C.1.1), quando n → ∞, temos
n
m=1
g(m) −
2d
π
∞
0
q
3
C(Λq)dq −
1
2
g(0) →
→ −S
k
(0) −
1
(2k + 2)!
∞
0
ψ
2k+2
(t)g
(2k+2)
(t)dt,
ou seja
n
m=1
g(m) −
2d
π
∞
0
dq q
3
C(Λq) −
1
2
g(0) → Σ
k
(C.1.5)
C.2 Demonstrando a independˆencia do regu-
larizador
´
E poss´ıvel mostrar a independˆencia do regularizador no c´alculo da energia
de Casimir ao demonstrar que Σ
k
independe de qual termo k ´e utilizado.
Σ
k
= −S
k
(0) −
1
(2k + 2)!
∞
0
ψ
2k+2
(t)g
(2k+2)
(t)dt (C.2.1)
C.2 Demonstrando a independˆencia do regularizador 44
onde
S
k
(0) =
k
r=1
(−1)
r−1
B
r
(2r)!
g
(2r−1)
(0) (C.2.2)
e B
r
s˜ao os n´umeros de Bernoulli.
Ent˜ao,
Σ
k+1
= −S
k+1
(0) −
1
[2(k + 1) + 2]!
∞
0
ψ
2(k+1)+2
(t)g
[2(k+1)+2]
(t)dt (C.2.3)
onde
S
k+1
(0) =
k+1
r=1
(−1)
r−1
B
r
(2r)!
g
(2r−1)
(0). (C.2.4)
Sabendo que
g
(k)
(t → ∞) = 0; ∀ k > 0 inteiro; (C.2.5)
e ainda
ψ
n
(0) = 0 (C.2.6)
ψ
2m−1
(x) =
ψ
2m
(x)
2m
(C.2.7)
ψ
2m
(x) =
ψ
2m+1
(x)
2m + 1
+ (−1)
m
B
m
(C.2.8)
podemos calcular Σ
k+1
.
O primeiro termo em (C.2.3) pode ser escrito em fun¸c˜ao do primeiro
termo em (C.2.1), ou seja,
S
k+1
(0) =
k+1
r=1
(−1)
r−1
B
r
(2r)!
g
(2r−1)
(0) =
=
k
r=1
(−1)
r−1
B
r
(2r)!
g
(2r−1)
(0) + (−1)
k
B
k+1
[2(k + 1)]!
g
[2(k+1)−1]
(0) =
= S
k
(0) + (−1)
k
B
k+1
[2(k + 1)]!
g
[2(k+1)−1]
(0) (C.2.9)
C.2 Demonstrando a independˆencia do regularizador 45
O segundo termo em (C.2.3) pode ser calculado atrav´es do segundo termo
em (C.2.1), como segue (onde o s´ımbolo * significa integra¸c˜ao por partes):
1
(2k + 2)!
∞
0
ψ
2k+2
(t)g
(2k+2)
(t)dt
(C.2.8) com m=k+1
=
=
1
(2k + 2)!
∞
0
ψ
2k+3
(t)
2k + 3
g
(2k+2)
(t)dt + (−1)
k+1
B
k+
∞
0
g
(2k+2)
(t)dt
∗
=
=
1
(2k + 2)!
1
2k + 3
ψ
2k+3
(t)g
(2k+2)
(t)
∞
|
0
−
∞
0
ψ
2k+3
(t)g
(2k+3)
(t)dt
+
+ (−1)
k
B
k+1
g
(2k+1)
(0)
(C.2.7) com m=k+2
=
=
1
(2k + 2)!
−1
2k + 3
∞
0
ψ
2k+4
(t)
2k + 4
g
(2k+3)
(t)dt
+ (−1)
k
B
k+1
g
(2k+1)
(0)
∗
=
=
1
(2k + 2)!
−1
(2k + 3)(2k + 4)
ψ
2k+4
(t)g
(2k+3)
(t)
∞
|
0
−
−
∞
0
ψ
2k+4
(t)g
(2k+4)
(t)dt
+ (−1)
k
B
k+1
g
(2k+1)
(0)
=
=
1
(2k + 4)!
∞
0
ψ
2k+4
(t)g
(2k+4)
(t)dt+
1
(2k + 2)!
(−1)
k
B
k+1
g
(2k+1)
(0),
ou seja
1
(2k + 4)!
∞
0
ψ
2k+4
(t)g
(2k+4)
(t)dt =
1
(2k + 2)!
∞
0
ψ
2k+2
(t)g
(2k+2)
(t)dt −
− (−1)
k
B
k+1
(2k + 2)!
g
(2k+1)
(0). (C.2.10)
C.2 Demonstrando a independˆencia do regularizador 46
E finalmente, substituindo (C.2.9) e (C.2.10) em (C.2.3), temos
Σ
k+1
= −S
k
(0) − (−1)
k
B
k+1
[2(k + 1)]!
g
[2(k+1)−1]
(0) −
−
1
(2k + 2)!
∞
0
ψ
2k+2
(t)g
(2k+2)
(t)dt +
B
k+1
(2k + 2)!
(−1)
k
g
(2k+1)
(0) =
= −S
k
(0) −
1
(2k + 2)!
∞
0
ψ
2k+2
(t)g
(2k+2)
(t)dt =
= Σ
k
(C.2.11)
conforme quer´ıamos demonstrar.
Ap
ˆ
endice D
Parte finita de Hadamard
Supondo uma fun¸c˜ao f(x) que seja integr´avel em um intervalo [a + , b]
(com > 0), mas n˜ao no intervalo [a, b]. Podemos definir uma integral, tal
que
F () =
b
a+
f(x)dx. (D.0.1)
No limite em que → 0 temos que F () se torna indefinida, mas que
poder´a ser separ´avel em uma parte n˜ao-divergente e uma parte divergente.
Para as distribui¸c˜oes de interesse, podemos aplicar as pseudo-fun¸c˜oes de Ha-
damard onde a integral divergente
lim
→0
b
a+
f(x)dx (D.0.2)
possa ser separada em um termo I(), que diverge, da parte finita, tal que
P
b
a
f(x)dx
= lim
→0
b
a+
f(x)dx − I()
, (D.0.3)
onde
I() =
f(x)dx |
x=a+
. (D.0.4)
48
Exemplificando atrav´es de nosso caso espec´ıfico, temos
P
d
0
dz
1
4(2π)
2
1
z
4
=
1
4(2π)
2
lim
→0
d
1
z
4
+
1
3
3
=
= −
1
12(2π)
2
1
d
3
, (D.0.5)
do mesmo modo para
P
d
0
dz
1
4(2π)
2
1
(d − z)
4
= −
1
12(2π)
2
1
d
3
. (D.0.6)
Bibliografia
[1] COUGO-PINTO,M.V.; FARINA, C.; TORT, A.: O efeito Casimir, Rev.
Bras. Ens. Fis., V.22, 122-132 (2000). No apˆendice 2 deste artigo temos
a tradu¸c˜ao do artigo original H.B.G.Casimir, Proc. K. Ned. Akad. Wet.
51 (1948) 793.
[2] SPARNAAY, M.J.: Measurements of attractive forces between flat pla-
tes, Physica 24, 751 (1958).
[3] LAMOREAUX, S.K.: Demonstration of the Casimir Force in the 0.6 to
6 µm Range, Phys. Rev. Lett. 78, 5 (1997).
[4] ERDETH, T.: Template-stripped gold surfaces with 0.4-nm rms rough-
ness suitable for force measurements: Application to the Casimir force
in the 20 to 100-nm range , Phys. Rev. A 62, 6 062104 (2000).
[5] PASSOS SOBRINHO, J.J.; TORT, A.C.. Uma introdu¸c˜ao aos m´etodos
de c´alculo da energia de Casimir, Rev. Bras. Ens. Fis., v. 23, n. 4, 2001,
pp. 401-421.
[6] WIGNER, E.: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the
Natural Sciences, Comm.P.Appl.Math. vol13, n.1 (1960).
[7] HAGEN, C.R.:Cutoff dependence of the Casimir effect, Eur. Phys. J.
C19 677-680 (2001).
[8] JAFFE, R.L.: Unnatural acts: Unphysical consequences of imposing
boundary conditions on quantum fields, arXiv:hep-th/0307014 v2 (2003).
[9] DIETZ, K.: Vacuum fluctuations in radiation- and matter-fields, Phy-
sica Scripta, vol. T21, 65-69, 1988.
BIBLIOGRAFIA 50
[10] SCHARF, G.; WRESZINSKI, W.F.: On the Casimir effect without cu-
toff, Found. Phys. Lett. 5, 479 (1992).
[11] SCHARF, G.; WRESZINSKI, W.F.: The Casimir effect and field quan-
tization with boundaries, Nuovo Cimento vol. 107A, n.12, 2879-2883
(1994).
[12] MANZONI, L.A.; WRESZINSKI, W.F.: On a theory of the Casimir
effect, Phys. Lett. 292, 156 (2001).
[13] MANZONI, L.A.; WRESZINSKI, W.F.: A theory of the Casimir effect
for compact regions, Eur. Phys. J. C 25, 315-325 (2002).
[14] HARDY, G.H.: Divergent series, Claredon, Oxford, 1949.
[15] MILONNI, P.W.: The quantum vacuum: An introduction to quantum
electrodynamics, Academic Press, Boston, 1993.
[16] SCHARF, G.: Finite quantum electrodynamics: A causal approach, 2
nd
ed. Springer, Berlin, 1995.
[17] GUPTA, S.J.: Quantum electrodynamics, Gordon and Breach Science
Publishers, Inc, New York, 1995.
[18] ELIZALDE, E.: On the issue of imposing boundary conditions on quan-
tum fields, J.Phys.A: Math.Gen. 36 (2003) L567-L576.
[19] GRAHAM, N.; JAFFE, R.L.; KHEMANI, V.; QUANDT, M.; SCAN-
DURRA, M.: Casimir energies in light of quantum field theory,
arXiv:hep-th/0207005 v3 (2003).
[20] RYDER, L.H.: Quantum field theory, 2
nd
ed., Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 1996.
[21] SCHWARTZ, L.: Th´eorie des distributions, ed. Hermann, Paris, 1966.
[22] BRAGA, C.L.R.: Notas de f´ısica matem´atica, ed. Livraria da F´ısica,
S˜ao Paulo, 2006.
[23] AITCHISON, I.J.R.: Nothing is plenty: The vacuum in modern quan-
tum field theory, Contemp.Phys. 1985, vol. 26, n
o
, 333-391.
Bibliografia 51
[24] JACKSON, John David: Classical Electrodynamics, 3
rd
ed., J.Wiley and
Sons Inc., 2001.
[25] MILTON, K.A.: CASIMIR EFFECT: Physical Manifestations of Zero-
Point Energy, World Scientific, 2001.
[26] HATFIELD, Brian: Quantum Field Theory of Point Particles and
Strings, Westview Press, 1992.
[27] SYMANZIK, K.: Schr
¨
odinger representation and Casimir effect in re-
normalizable quantum field theory, Nucl.Phys. B 190,1 (1981).
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