( PDF ) Aspectos do nascimento de um universo assintoticamente DeSitter

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Universidade Federal de Juiz de Fora

Instituto de Ciˆencias Exatas

Departamento de F´ısica

Dissertac¸

ao de Mestrado

Aspectos do Nascimento de um

Universo Assintoticamente

DeSitter

Candidato : Paulo Romildo Pires J´unior

Orientador : Prof. Dr. Gil de Oliveira Neto

Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de

F´ısica da Universidade Federal de Juiz de Fora

como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do

t´ıtulo de Mestre em F´ısica

Juiz de Fora - Fevereiro de 2007

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Dedico esse traba l ho `a minha fam´ılia

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”At´e uma jo rn ada de mil milhas come¸ca com o primeiro passo.”

(Prov´erbio japonˆes)

iii

Agradecimentos

Gostaria de agradecer,

• `a minha fam´ılia por me incentivar e apoiar,

• ao meu orientador Gil Oliveira-Neto, pela paciˆencia, dedica¸c˜ao e cons-

tante apoio nos momentos dif´ıceis de minha jornada,

• `a todos professores do departamento de f´ısica da UFJF, principalmente

aqueles que for am meus mestres:

– Alexei Deriglazov (hoje no departamento de matem´atica da UFJF)

– Andr´e Gondim(na ocasi˜ao professor substituto)

– Bernhard Johannes Lesche

– Carlos Raimundo Andrade Lima

– Gil Oliveira-Neto

– Ilya Lvovich Shapiro

– Jos´e Luiz Matheus Valle

– Maria Cristina A. Lopes

– Pablo Z. Coura

– Sidiney A. Leonel

– Wilson Oliveira

• Ao professor Jos´e Acacio de Barro s pela oportunidade de estudar outra

int erpreta¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica;

• aos professores do departamento de matem´atica UFJF, com os quais

tive oportunidade de aprender m´etodos matem´aticos essenciais ao tra-

balho de um f´ısico;

• `a todos os colegas que tive oportunidade de interagir, principalmente:

Cleverson, Wanderson, Gustavo, Diego Merigue, Diego Carneiro, Andr´e

Lima, Denise, Ot´avio Rianni, Daniel Oliveira, Mariana Brand˜ao, Edu-

ardo Galhardo, Cleb er Dias, Eduardo Novais, Eduardo Furtado, Geral-

do Magela, Ot´avio Gomes, Bruno Rizzuti, Alexandre do Carmo, Fl´avia

Sobreira, Emanoel, C´assio, Daniel Gustavo, Adriana, Fernanda S´a,

Fernando, Andr´e Aredes, Bruno Gon¸calves, Alex, Guilherme, Charles,

Roberto Sales, Ivo, Grigori, Regis, Luis Fernando

Avila, Luiz Fernando,

Luiz Antˆonio, Alexandre, Alberto Assafr˜ao, Leandro, Fernando, Ro-

drigo Fid´elis Miranda;

• agradecimento especial a Tib´erio pela ajuda prestada;

• agradecimento especial a Helen Silva pela ajuda prestada;

• ao professor Fl´avio Iassuo Takakura, por dispo nibilizar o laborat´orio

de simula¸c˜ao em f´ısica para nosso uso;

• `a coordenadora de p´os-gradua¸c˜ao Maria Jos´e;

• aos funcion´arios do departamento de f´ısica Domingos e Batista;

• ao professor Cliﬀord, pela ajuda no est´agio de incentivo `a docˆencia;

• aos professores Germano Amaral Monerat, Ilya Lvovich Shapiro, J´ulio

C´esar Fa bris e Wilson Oliveira por aceitarem o convite para participar

da banca;

• ao professor Wilson Oliveira por nos ensinar o caminho da paciˆencia e

perseveran¸ca;

• `a Capes, pela bolsa concedida.

Resumo

Nesta disserta¸c˜ao ﬁzemos uma revis˜ao da quantiza¸c˜ao canˆonica da Re-

latividade Geral at´e obtermos a equa¸c˜ao de Wheeler-deWitt. Usando esta

teoria, estudamos um modelo cosmol´ogico descrito por um espa¸co-tempo de

Fr iedmann-Robertson-Walker fechado, com radia¸c˜ao e uma constante cos-

mol´ogica positiva. Esse modelo descreve, em n´ıvel quˆantico, o nascimento

de um universo assint´oticamente DeSitter atrav´es do f enˆomeno do tunela-

mento. A equa¸c˜ao de Wheeler-deWitt, no nosso caso, se transforma em uma

equa¸c˜ao de Schr¨o dinger com um potencial da forma a x

− b x

. Esse poten-

cial d´a origem a uma barreira que a radia¸c˜ao primordial do universo tem

que tunelar para dar o r ig em ao conte´udo material presente no universo a-

tual. Com o intuito de estudar a probabilidade de tunelamento do universo

atrav´es dessa barreira de potencial, resolvemos numericamente a equa¸c˜ao de

Schr¨odinger do nosso modelo. Calculamos, tamb´em via m´etodos num´ericos,

a probabilidade de tunelamento como fun¸c˜ao da energia m´edia da radia¸c˜ao

e da constante cosmol´ogica, os parˆametros do nosso modelo. Comparamos

esses resultados obtidos numericamente com os resultados obtidos pelo uso

da a proxima¸c˜ao WKB.

Palavras C have: M´etodos Num´ericos em F´ısica, Relatividade Geral, Pro-

babilidade de Tunelamento .

Areas do Conhecimento: Relatividade Geral, Gravita¸c˜ao Quˆa ntica.

Abstract

In this dissertation we revised the canonical quantization o f General Re-

lativity, up to the derivation of the Wheeler-deWitt equation. Using that

theory, we studied a cosmological model described by a closed Friedmann-

Robertson-Walker space-time with radiation and a positive cosmological con-

stant. That model describ es, at the quantum level, the birth of an asymp-

totically D eSitter universe thro ugh the tunneling process. In our case, the

Wheeler-deWitt equation becomes a Schr¨odinger equation with a potential

of the form a x

−b x

. This potential originates a barrier that the primordial

radiation has to tunnel in order to form the material content of our present

universe. With the objective of studying the tunneling probability of the uni-

verse through t his barrier, we solved numerically the Schr¨odinger equation

of our model. Also using numerical methods, we computed the tunneling

probability as a function of the mean energy radiation and the cosmological

constant, the para meters of our model. We compared our numerical results

with the ones calculated using the WKB approximation.

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao 2

2 Formalismo ADM 4

2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Formalismo ADM da Relatividade Geral Quˆantica . . . . . . . 8

2.3 Reescrevendo a m´etrica g

αβ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 A Lagrangeana do Formalismo ADM . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 A Hamiltoniana do Formalismo ADM . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Inclus˜ao de Campos N˜ao-Gravitacionais . . . . . . . . 20

2.6 Quantiza¸c˜ao Canˆonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

2.7.1 Condi¸c˜oes de contorno para as fun¸c˜oes-de-onda . . . . 32

2.8 Minisuperespa¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.9 Medida de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.10 Interpreta¸c˜ao de muitos mundos . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Metodos Numericos e Aproximativos 52

3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2 Interpola¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.2 Interpola¸c˜ao Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Integra ¸c˜ao Num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.2 F´ormulas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

3.4 O M´etodo de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.1 Condi¸c˜oes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5 O M´etodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5.1 Transmiss˜ao atrav´es de uma barr eira . . . . . . . . . . 89

4 O modelo cosmol´ogico e os resultados obtidos 91

4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

CONTE

UDO viii

4.2 O Modelo Cosmol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3 Cosmologia Quˆantica com Fluido Perfeito . . . . . . . . . . . 94

4.4 Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 Conclus˜ao 107

A Tabelas 109

B A f´ormula de Gregory-Newton 112

Lista de Figuras

2.1 Folheamento do espa¸co- tempo quadri-dimensional . . . . . . . 11

3.1 Interpola¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Polinˆomios Interpoladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Dedu¸c˜ao de P

′′

(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4

Area sob uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5 Polinˆomio de primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6 F´ormula Composta da Regra do Trap´ezio . . . . . . . . . . . . 7 0

3.7 Discretiza¸c˜ao do dom´ınio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.8 Potencial V(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.9 Lineariza¸c˜ao do potencial V(x) em torno de x = B . . . . . . . 84

3.10 Representa¸c˜ao de φ e ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.11 Fun¸c˜ao de Airy para  = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.12 Barreira de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1 Potencial usado no nosso modelo e as energias E

e E

. . . . 93

4.2 Potencial usado no nosso modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 |Ψ(a, t

max

≡ ρ, para Λ = 0.0121, E = 185 e V

= 185.95 no insta nte

max

quando Ψ alcan¸ca o inﬁnito, localizado em a = 30. . . . . . . . . 102

4.4 Gr´aﬁco de log T P

int

em fun¸c˜ao da energia E , com Λ = 0.01. . . . . . 103

4.5 Compara¸c˜ao entre log T P

W KB

(c´ırculos) e log T P

int

(linha) para difer-

entes valores de (E), com Λ = 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6 log T P

int

para 21 valores diferentes de Λ pa ra e nergia ﬁxa E = 185. . . . 106

Nota¸c˜oes e conven¸c˜oes

Nesta disserta¸c˜ao convencionaremos que ´ındices gregos (α, β, γ, . . . )

variam de 0 a 3, e ´ındices latinos (i, j, k, l, . . . ) variam de 1 a 3. Em geral,

o ´ındice 0 ou n referem-se ao ´ındice da coordenada temporal, exceto quando

dito o contr´ario.

O elemento de linha ds

deﬁne a m´etrica g

αβ

da seguinte forma

= g

αβ

Adotando-se esta m´etrica quadri-dimensional g

αβ

, ent˜a o o s´ımbolo de

Christoﬀel (do segundo tipo) ´e dado por

αβ

σλ



λα

+ g

λβ

− g

αβ



onde a v´ırgula signiﬁca deriva¸c˜ao simples.

Assim, o t ensor de curvatura de Riemann ﬁca deﬁnido como

αβλ

= Γ

αλ

−Γ

αβ

+ Γ

βµ

αλ

− Γ

λµ

αβ

Adotamos o sistema de unidades em que as constantes , c, e G s˜a o

consideradas iguais a 1.

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

Nesse trabalho vamos estudar um poss´ıvel mecanismo para cria¸c˜ao de nosso

universo. Vamos trabalhar com um modelo de Friedmann-Robertson-Walker

(FRW) fechado com constante cosmol´ogica positiva e radia¸c˜ao. A radia¸c˜ao

ser´a tratada como um ﬂuido perfeito. Esse modelo dar´a origem a uma equa¸c˜ao

do tipo Schr¨o dinger, em n´ıvel quˆantico, com um potencial da forma ax

−bx

Iremos estudar a probabilidade do universo tunelar por esse barreira. Isso ´e

importante para a cosmologia porque pode contribuir para a discuss˜ao sobre

quais seriam as condi¸c˜oes iniciais da fun¸c˜ao-de-onda do universo.

E interessante mencionar que esse trabalho ´e inovador. O problema que

estamos abordando j´a foi tratado usando a aproxima¸c˜ao WKB (vide se¸c˜ao

3.4.1) mas somente para o c´alculo da fun¸c˜ao-de-onda [1], [2] . A inova¸c˜ao do

nosso trabalho consiste em calcular a fun¸c˜ao-de-onda e a probabilidade de

tunelamento numericamente sem aproxima¸c˜oes.

Como mencionado acima, o modelo em n´ıvel quˆantico resultou numa

equa¸c˜ao do tipo Schr¨odinger que n˜ao apresenta solu¸c˜ao anal´ıtica. Dessa

forma, foi necess´ario recorrer ao uso de um m´etodo num´erico - o m´etodo de

Introdu¸c˜ao 3

Crank-Nicolson - para resolvˆe-la. Conseq¨uentemente, as grandezas de nosso

int eresse que s˜ao o btidas a partir da solu¸c˜ao da EDP demandam m´etodos

num´ericos para serem calculadas. Isso ocorre com o c´alculo da probabilidade

de tunelamento, que necessita de integra¸c˜ao e interpola¸c˜ao num´erica.

Este trabalho ´e organizado da seguinte forma. O cap´ıtulo 1 ´e a introdu¸c˜ao.

O cap´ıtulo 2 aborda os aspectos essenciais para a quantiza¸c˜ao do modelo que

adotamos, determina¸c˜ao de probabilidades em mecˆanica quˆantica e inter-

preta¸c˜oes oriundas dessas probabilidades. Nesse cap´ıtulo discutimos o for-

malismo ADM e a quantiza¸c˜ao de Dirac para sistemas vinculados e a inter-

preta¸c˜ao de muitos mundos. No cap´ıtulo 3 abordamos os m´etodos num´ericos

utilizados nesse trabalho, como o m´etodo de Crank-Nicolson, os m´etodos

para integra¸c˜ao e interpola¸c˜ao num´erica. Al´em disso, discutimos um pouco o

m´etodo aproximativo WKB. No cap´ıtulo 4 discutimos o modelo cosmol´ogico

que empregamos e o s resultados o btidos nos nossos c´alculos da probabili-

dade e o utra s grandezas f´ısicas de nosso interesse. Finalmente, no cap´ıtulo 5

apresentamos as conclus˜oes que tiramos a partir dos resultados obtidos.

Cap´ıtulo 2

Formalismo ADM

2.1 Introdu¸c˜ao

A teoria da relatividade geral (R.G.) foi introduzida por A. Einstein em

1916 [3] e promoveu uma grande modiﬁca¸c˜ao conceitual na maneira de vermos

o espa¸co-tempo. Al´em disso, a R.G. trouxe predi¸c˜oes de novos fenˆomenos e

predi¸c˜oes de valores diferentes para fenˆomenos j´a estudados, como por exem-

plo, o avan¸co do peri´elio de Merc´urio. Para exempliﬁcar os novos fenˆomenos

int roduzidos pela R.G. podemos citar o desvio para o vermelho gravitacional,

o desvio de raios de luz ao passarem pr´oximos a corpos massivos e a s ondas

gravitacionais.

Apesar do sucesso experimental da R.G., algum tempo depois da in-

trodu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein, em 1922, A. Friedmann obteve solu¸c˜oes

para as equa¸c˜oes de Einstein para modelos cosmol´ogicos onde as font es

do campo gravitacional eram representadas por ﬂuidos. Essas solu¸c˜oes s˜ao

dinˆamicas e apresentam uma “´epoca” (ou instante) no passado, singular [4].

Nessa ´epoca singular, t oda a mat´eria do Universo estaria concentrada em vo-

2.1 Introdu¸c˜ao 5

lume inﬁnitesimal, o que da ria origem a uma densidade de mat´eria inﬁnita.

O surgimento dessas singularidades nas solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de Eins-

tein fornece ind´ıcios de que essa teoria apresenta inconsistˆencias f´ısicas e

matem´aticas. Isso porque as singularidades mencionadas acima podem ser

caracterizadas por valores iniﬁnitos dos escalares de curvatura de Rieman e

quantidades derivadas a partir dele, e do tensor momento-energia. Como as

equa¸c˜oes de Einstein s˜ao escritas em termos dessas quantidades, temos que

apesar da R.G. prever o a pa recimento dessas singularidades, uma vez que

elas aparecem a teoria perde completament e a sua capacidade de previs˜ao.

Nos anos 60, Roger Penrose, Stephen Hawking e Robert P. Geroch, en-

tre o utros, provaram em uma s´erie de teoremas [5] que, assumindo-se cer-

tas hip´oteses razo´aveis, o aparecimento de singularidades nas solu¸c˜oes das

equa¸c˜oes de Einstein ´e um fato natural. A generalidade de tais solu¸c˜oes se

deve ao fato de que as condi¸c˜oes impostas sobre as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes

de Einstein nos teoremas s˜ao bastante gerais, de forma a incluir um g rande

n´umero de solu¸c˜oes. Como exemplo dessas condi¸c˜oes podemos citar a neces-

sidade de que tais solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de Einstein satisfa¸cam as condi¸c˜oes

de energia forte e que n˜ao possam apresentar curvas fechadas do tipo-tempo

[5].

Assim, com o aux´ılio de tais teoremas, podemos concluir que as singula-

ridades s˜ao na verdade aspectos gen´ericos previstos pela Relatividade Geral

para os espa¸co-tempos. Como citado anteriormente, fazendo uma an´alise da

teoria, podemos perceber que as condi¸c˜oes para o surgimento de singulari-

dades s˜ao a existˆencia de campos gravitacionais muito intensos (alt´ıssimas

energias), dimens˜oes e distˆancias inﬁnitesimais e, instantes muito recuados

no passado, pr´oximo do princ´ıpio do Universo (como o caso da singularidade

2.1 Introdu¸c˜ao 6

cosmol´ogica, na chamada ´epoca de Planck).

Historicamente, a Relatividade Geral n˜ao foi a ´unica teoria a apresentar

limita¸c˜oes. Comparando-se de f orma qualitativa as limita¸c˜oes da RG com

as condi¸c˜oes em que o utras teorias cl´assicas (como o eletromagnetismo de

Maxwell e a mecˆanica newtoniana) deixavam de ser v´alidas, descobrimos

uma correla¸c˜ao positiva entre a RG e estas teorias. Ent˜ao, para tentar solu-

cionar estas limita¸c˜oes, tentou-se aplicar `a Relatividade Geral a mesma re-

ceita bem sucedida aplicada a estas outras teorias: o processo de quantiza¸c˜ao.

Desta forma, a RG deixaria de ser aplicada nas condi¸c˜oes de surgimento de

singularidade e passar-se-ia a aplicar a vers˜ao quˆantica desta teoria nestas

condi¸c˜oes.

A partir dos trabalhos pioneiros de Paul Adrien Maurice Dirac [6] nos anos

50, e depois com a colabora¸c˜ao de ta ntos outros grandes cientistas como John

Archibald Wheeler, Bryce DeWitt e Stephen Hawking, chegamos ao est´agio

ainda inacabado em que hoje se encontra essa teoria de Relatividade Geral

Quˆantica. Tal teoria poderia ser respons´avel pela compreens˜ao de incon-

sistˆencias da Relatividade Geral que ainda encontram-se inexplicadas, como

o surgimento de singularidades. Mas esta teoria ainda permanece inacabada

devido a diﬁculdades encontradas ao longo desses anos, como por exemplo, o

fato de ela ser perturbativamente inﬁnita, como demonstrado por G. ’tHooft

e M. Veltman [7], S. Deser e P. van Nieuwenhuizen [8] , entre outros. Ou seja,

ela ´e n˜ao renormaliz´avel. Estes resultados impulsionaram uma extensa busca

pela formula¸c˜ao de teorias geom´etricas para a gravita¸c˜ao que substituissem a

Relatividade Geral, que tivessem um limite cl´assico dent ro da precis˜ao obser-

vacional atual, mas que em contrapartida fossem renormaliz´aveis e unit´arias,

no n´ıvel quˆant ico.

2.1 Introdu¸c˜ao 7

Mesmo se considerarmos que a RG ´e uma teoria efetiva e sua quantiza¸c˜ao

nos leva a uma teoria n˜ao renormaliz´avel, a inda assim po demos aprender

muito a partir desse programa de quantiza¸c˜ao. E como exemplo de con-

hecimento ´util, podemos citar: a t´ecnica da quantiza¸c˜ao que envolve a for-

mula¸c˜ao Hamiltoniana de uma teoria de v´ınculos; a discuss˜ao de uma nova

int erpreta¸c˜ao para a fun¸c˜ao-de-onda do Universo, no caso da aplica¸c˜ao dessa

teoria `a cosmologia; a l´em de propriedades sem equivalentes cl´assicos que

essa teoria quˆantica venha a introduzir e que sejam comuns a outras teorias

quˆanticas de gravita¸c˜ao.

Para se obter uma teoria quˆantica da Relatividade Geral atrav´es do pro-

cesso de quantiza¸c˜ao canˆonica, ´e necess´ario que se fa¸ca uma formula¸c˜ao

“dinˆamica” da Relatividade Geral. Esta conclus˜ao se baseia na observa¸c˜ao

da quantiza¸c˜ao canˆonica de outras teorias como part´ıculas n˜ao-relativ´ısticas

e relativ´ısticas, campo eletromagn´etico, etc. Nestas o utras teorias o interes-

se est´a em se determinar a evolu¸c˜ao de uma fun¸c˜ao-de-onda em rela¸c˜ao a

um parˆametro que possa caracterizar os diferentes estados do sistema em

n´ıvel cl´assico. Esse parˆametro ´e o tempo, e a evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao-de-onda no

tempo obtida via quantiza¸c˜ao canˆonica para teorias como as mencionadas

acima haviam sido derivadas de maneira satisfat´orias. O processo de quan-

tiza¸c˜ao canˆonica n˜ao ´e adequado para ser aplicado `a Relatividade Geral, pois

n˜ao resulta em uma teoria renormaliz´avel. Mesmo a ssim, podemos assumir

que mesmo que a RG seja uma teoria efetiva e que nos leve `a uma teoria

n˜ao-renormaliz´avel, este processo de estudo j´a seria muito importante pa ra

entender melhor o problema da quant iza¸c˜ao da RG.

Assim, os pesquisadores seguiram durante anos uma formula¸c˜ao “dinˆamica”

da Relatividade Geral, a chamada ‘Geometrodinˆamica’. Um dos resulta-

2.2 Formalismo ADM da Relatividade Geral Quˆantica 8

dos mais importantes nessa linha de estudo foi o formalismo criado por R.

Arnowitt, S. Deser e C. W. Misner, o formalismo AD M (ou split 3+1) da

Relatividade Geral [9], [10]. Vale ressaltar que esse formalismo s´o foi poss´ıvel

devido ao trabalho de o utro s f´ısicos, como Dirac, que estudou a formula¸c˜ao

Lagrangeana e Hamiltoniana de sistemas vinculados e parametrizados, como

por exemplo a Relatividade Geral.

2.2 Formalismo ADM da Relatividade Geral

Quˆantica

A via imediata para a o bten¸c˜ao de uma t eoria quˆantica da Relatividade

Geral seria a aplica¸c˜ao do formalismo canˆonico. Mas para isso ´e imprescin-

d´ıvel antes reescrever a Relatividade Geral em uma formula¸c˜ao “dinˆamica”.

Numa formula¸c˜ao “dinˆamica” estamos interessados em determinar a evolu¸c˜ao

de uma fun¸c˜ao-de-onda, em rela¸c˜ao a um par ˆametro, que caracterize de

maneira un´ıvoca diferent es estados do sistema em n´ıvel quˆantico. Este pa-

rˆametro ´e o tempo e a evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao-de-onda no tempo para as teo-

rias cl´assicas nas quais este m´etodo havia sido anteriormente aplicado foram

obtidas de forma satisfat´oria. O formalismo mais eﬁcaz nessa linha foi o For -

malismo ADM (ou split 3+1) da Relatividade Geral desenvolvido por R.

Arnowitt, S. Deser e C. W. Misner [9], tamb´em chamado de Geometrodinˆa-

mica. Vamos ent˜ao come¸car a descri¸c˜ao deste fo r malismo.

Como sabemos, a m´etrica g

αβ

de espa¸co-tempos quadri-dimensionais pos-

sui dez compo nentes independentes. Destas, apenas seis podem ser calculadas

a partir das equa¸c˜oes de Einstein. As quatro componentes restantes que per-

manecem livres (devido a existˆencia das Identidades de Bianchi), represen-

2.2 Formalismo ADM da Relatividade Geral Quˆantica 9

tam a liberdade que t emos para aplicarmos transforma¸c˜oes de coordenadas

nas seis componentes dinˆamicas que puderam ser calculadas. Assim, pode-

mos reescrever o formalismo da Relatividade Geral de forma que a m´etrica

do espa¸co-tempo quadri-dimensional possa ser separado em trˆes partes. A

primeira cont´em os seis componentes dinˆamicos de g

αβ

e com isto representa

as seis componentes independentes de m´etricas, sim´etricas, h

, de hipersu-

perf´ıcies tri-dimensionais, tipo-espa¸co, que chamaremos σ’s. As outras duas

partes corresponderiam as quatro componentes independentes restantes de

αβ

. Estas duas partes s˜ao representadas pelo escalar N e o vetor N

, o qual ´e

deﬁnido sobre as hipersuperf´ıcies tri-dimensionais, tipo-espa¸co, com m´etricas

. A estas g r andezas damos os nomes de “lapse function” (fun¸c˜ao lapso)

para N, e de “shift vector” (vetor deslocamento) para N

. Estas s˜ao quan-

tidades que devem ser ﬁxadas externamente e s˜ao elas que determinam a

forma p ela qual as hipersuperf´ıcies tri-dimensionais do tipo-espa¸co evoluir˜ao

para dar or ig em a o espa¸co-tempo quadri-dimensional.

Assim, o espa¸co-tempo quadri-dimensional ´e formado pela “evo lu¸c˜ao” de

se¸c˜oes espaciais, com m´etricas h

. Desta forma h

desempenham o papel

de vari´aveis dinˆamicas da teoria, como por exemplo a posi¸c˜ao da part´ıcula

na f´ısica newtoniana. Por isso, conjunto de m´etricas h

de hipersuperf´ıcies

tri-dimensionais, tipo-espa¸co formam as vari´aveis dinˆamicas da teoria da

Relatividade Geral. A arena na qual estas hipersuperf´ıcies h

evoluem se

chama superespa¸co e foi primeiramente sugerida por Wheeler. Na verdade,

as vari´aveis dinˆamicas da teoria n˜ao s˜ao todas as m´etricas h

visto que es-

tas tˆem ainda uma liberdade frente as transforma¸c˜oes de coordenadas nas

hipersuperf´ıcies tri-dimensionais. Isto implica que as verdadeiras vari´a veis

s˜ao as classes de equivalˆencia das h

frent e `as transforma¸c˜oes de coordenadas

2.3 Reescrevendo a m´etrica g

αβ

nas hipersuperf´ıcies tri-dimensionais. De qualquer maneira, o superespa¸co

tem um n´umero inﬁnito de componentes. Outro ponto importante ´e que as

m´etricas h

(ou as classes de equivalˆencia destas m´etricas) que comp˜oem o

sup erespa¸co n˜ao s˜ao necessariamente regulares, na verdade, para D. Brill,

m´etricas singulares s˜ao essenciais para a descri¸c˜ao de t ransi¸c˜oes topol´ogicas

[15].

Os passos seguintes s˜ao bastante claros, ou seja, devemos reescrever todas

as quantidades da relatividade geral em termos das m´etricas h

, da fun¸c˜ao

lapso N e do vetor deslocamento N

. Desta for ma, a partir da Ha miltoniana

resultante poderemos obter a vers˜ao quˆantica dessa teoria.

2.3 Reescrevendo a m´etrica g

αβ

Se considerarmos duas hipersuperf´ıcies tri-dimensionais S

e S

(como na

ﬁgura 2.1), tipo-espa¸co, deﬁnidas respectivamente, nos instantes de tempo

t e t + dt, em cada uma delas poderemos considerar uma m´etrica h

, com

assinatura euclidiana. Estas m´etricas nos possibilitar˜ao computar distˆancias

entre pontos que estejam sobre uma mesma hipersuperf´ıcie. Se as m´etricas

forem dadas por h

(t, x, y, z) e h

(t + dt, x, y, z), ent˜ao as distˆancias entre

os pontos de uma mesma hipersuperf´ıcie ser˜ao genericamente dados por:

(3)

= h

(2.1)

onde

(3)

se refere ao fato de estarmos restritos um espa¸co tri-dimensional,

pode assumir os valor es de h

(t, x, y, z) e h

(t + dt, x, y, z) dependendo

em qual hipersuperf´ıcie se encontram os pontos em quest˜ao, e onde x

s˜ao as

coordenadas cartesianas de cada hipersup erf´ıcie.

Podemos considerar agora que a atua¸c˜ao de um campo vetorial



dt sobre

2.3 Reescrevendo a m´etrica g

αβ

Figura 2.1: Folheament o do espa¸co-tempo quadri-dimensional

“evolui” esta hipersuperf´ıcie para uma hipersuperf´ıcie S

. Este campo

vetorial tem uma dire¸c˜ao no espa¸co-tempo quadri-dimensional em cada ponto

de S

, de tal forma que ele tem proje¸c˜oes n˜ao-nulas sobre as dire¸c˜oes da

normal n e das tangentes x

da hipersuperf´ıcie S

, no ponto em quest˜ao.

Estas proje¸c˜oes tˆem os seguintes va lo r es:

n → N dt e



→ N

dt (2.2)

em que cada ´ındice i corresponde ao valor da proje¸c˜ao de



dt sobre as dire¸c˜oes

x, y, z sobre S

Neste formalismo, podemos calcular o intervalo entre os eventos x

em S

e x

em S

para compar´a-lo com o intervalo obtido com a m´etrica g

αβ

de todo

o espa¸co-tempo, e assim obtemos uma rela¸c˜ao entre g

αβ

e as quantidades h

N e N

Fazendo isto, obtemos as rela¸c˜oes:

= h

(dx

+ N

dt)(dx

+ N

dt) − N

2.3 Reescrevendo a m´etrica g

αβ

= h

+ h

dt dx

+ h

− N

∴

= (N

− N

) dt

+ N

dt dx

+ d x

+ h

. (2.3)

Comparando-se a equa¸c˜ao (2.3) com a forma usual ds

= g

αβ

int ervalo entre eventos do espa¸co- t empo quadri-dimensional, temos:

= N

− N

; g

= N

; g

= N

; (2.4)

= h

; (2.5)

αβ





− N





; (2.6)

αβ





−





. (2.7)

A curvatura ´e um dos conceitos mais importantes da Relatividade Geral

para se descrever a gravita¸c˜ao. Neste formalismo estamos interessados em

descrever se¸c˜oes espaciais tri-dimensionais em rela¸c˜ao a um espa¸co-tempo

quadri-dimensional. Assim, para descrevermos a evolu¸c˜ao destas hipersu-

perf´ıcies precisaremos deﬁnir ainda outras grandezas, que introduzir˜ao novos

conceitos de curvatura. N˜ao s´o utilizaremos o conceito de curvatura intr´ınseca

como tamb´em o conceito de curvatura extr´ınseca em rela¸c˜ao ao espa¸co-tempo

quadri-dimensional, no qual esta hipersup erf´ıcie evolui e est´a concebida.

Precisamos, portanto, deﬁnir o tensor K

, de segunda ordem, que ser´a a

grandeza que medir´a a curvatura extr´ınseca de uma dada hipersuperf´ıcie n-

dimensional em rela¸c˜ao a um espa¸co n+1-dimensional, no qual essa hipersu-

perf´ıcie est´a concebida. Este tensor pode ser obtido da geometria diferencial

2.3 Reescrevendo a m´etrica g

αβ

pelo c´alculo da derivada covariante da normal a esta hipersuperf´ıcie sobre

a hipersuperf´ıcie n-dimensional. A normal `a hipersuperf´ıcie ´e dada como

n = n

= (N, 0, 0, 0), onde N ´e a fun¸c˜ao lapso. Assim a curvatura extr´ınseca

ser´a:

= n

i ; j

; (2.8)

n

i ; j

∂n

∂x

− Γ

n

= ∴

= −N Γ

= ∴

= −N



0ij

(3)

kij



= ∴



0ij

− N

kij



= ∴



∂N

∂x

∂N

∂x

−

∂h

∂t

− 2 N



∴



i | j

+ N

j | i

−

∂h

∂t



(2.9)

onde o s´ımbolo | signiﬁca deriva¸c˜ao covariante.

A curvatura intr´ınseca, medida na Relatividade Geral pelo tensor de cur-

vatura de Riemann, R

αβγ

, tamb´em ter´a de ser reescrita em termos de h

, N

e N

. A express˜ao de R

jkm

´e imediata, pois a ´unica diferen¸ca em rela¸c˜ao ao

caso do espa¸co-tempo quadri-dimensional ser´a o fato que usaremos a m´etrica

da hipersuperf´ıcie espacial tri-dimensional, no lugar da m´etrica g

αβ

todo o espa¸co-tempo quadri-dimensional. Podemos reescrever o tensor de

Riemann com a ajuda das equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi, que s˜ao escritas em

uma base ortonormal composta por uma base da hipersuperf´ıcie mais o vetor

unit´ario normal n como se segue [10]:

(4)

ijk

(3)

ijk



− K



; (2.10)

2.4 A Lagrangeana do Formalismo ADM 14

(4)

ijk

√



ij | k

− K

ik | j



; (2.11)

(4)



− K



+ (n

; α

)

; β

− (n

; β

)

; α

; (2.12)

onde nas equa¸c˜oes (2.1 1) e (2.12) o ´ındice n refere-se `a coordenada temporal.

Vale lembrar que podemos representar as componentes da m´etrica como o

produto escalar entre os vetores de base. Assim g

= e

· e

= n · n = n

e g

= e

· e

= 0 se n for diferente de l.

2.4 A Lagrangeana do Formalismo AD M

Atrav´es do princ´ıpio variacional podemos encontrar as equa¸c˜oes de Eins-

tein `a partir da a¸c˜ao de Einstein-Hilbert, a qual ´e dada em [1 1] por:



√

−g

(4)

R + 2



√

h K (2.13)

onde

(4)

R ´e o escalar de curvatura e g ´e o determinante da m´etrica quadri-

dimensional, e onde K ´e o escalar da curvatura extr´ınseca (K = K

) e h ´e

o determinante da m´etrica tridimensional.

Assim, com o aux´ılio das equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi (2.10) e (2.1 1) re-

escrevemos a Lagrangeana de Einstein como se segue:

√

−g

(4)

R =

√

−g



(4)

+ 2

(4)



. (2.14)

Mas:

−G

(4)

(3)

)





− K





− K





− K





(3)

R −

2 n



− K



. (2.15)

2.4 A Lagrangeana do Formalismo ADM 15

Assim, substituindo ( 2.15) e (2.12) na Lagrangeana (2.14), temos:

√

−g



(3)

R +



− K



+ 2 (n

; α

)

; β

− 2 (n

; β

)

; α



(2.16)

Com esse r esultado (2.16) e com a express˜ao do elemento de volume

quadri-dimensional em termos das quantidades introduzidas no split 3 +1:

√

−g d

x = N

√

h dt d

x (2.17)

podemos escrever a Lagrangeana, que ﬁnalmente ser´a:

√

h N



(3)

R +



− K



+ 2 (n

; α

)

; β

− 2 (n

; β

)

; α



(2.18)

onde h ´e o determinante da m´etrica tri-dimensional h

, e

(3)

R ´e a curvatura

int r´ınseca da hipersuperf´ıcie tri-dimensional.

Podemos tamb´em reescrever a a¸c˜ao (2.13) que ser´a:

16π



x N

√



(3)

R +



− K





(2.19)

onde podemos observa r claramente que os dois ´ultimos termos de (2.18)

desapareceram na integra¸c˜ao pelo fato de darem origem a termos de fronteira

(nas hipersuperf´ıcies tri-dimensionais) do tipo-espa¸co (normal tipo-tempo) e

do tipo-tempo (normal t ipo-espa¸co), respectivamente. O primeiro termo de

fronteira de (2.18) (do tipo-espa¸co com normal tipo-tempo) se anula com a

segunda integral dada na deﬁni¸c˜ao da a¸c˜ao de Einstein-Hilbert (2.13). Ou

2.4 A Lagrangeana do Formalismo ADM 16

seja:



x N

√





; α



; β

− 2



; β



; α



+ 2



√

h K =



x N

√







; i

− 2





; 0



+ 2



√

h K =



x N

√









− 2



x N

√









+ 2



√

h K = − 2



√

h K + 2



√

h K = 0.

✥

O segundo termo de fronteira de (2.18) (do tipo-tempo com normal tipo-

espa¸co) se anula porque estamos considerando que a hipersuperf´ıcie tipo-

tempo ´e fechada, e por isso n˜ao tem fronteira.

As componentes do vetor unit´ario tipo-tempo n s˜ao quase que automati-

camente determinadas quando se faz a substitui¸c˜ao da m´etrica

(4)

αβ

pela

m´etrica h

com a fun¸c˜ao lapso e o vetor deslocamento. Assim, a condi¸c˜ao de

normaliza¸c˜ao deste quadri-vetor n ´e mais facilmente formulada assumindo-se

que existe uma 1-forma, tamb´em chamada de n, por conveniˆencia, dual a n,

e tal que o produto do vetor com esta 1-f orma assume o valor de n

= −1.

Conseq¨uentemente, nossa a¸c˜ao se torna:

16π



x N

√



(3)

R + K

− K



(2.20)

que ´e a a¸c˜ao de Einstein-Hilbert no Formalismo ADM.

A esta a¸c˜ao podem

ser somados termos contendo a densidade Lagrangeana de outros campos

fundamentais n˜ao- gravitacionais (por exemplo: de mat´eria, gauge, etc. . . ).

Agora podemos passar `a obten¸c˜ao da representa¸c˜ao Hamiltoniana da teoria

uma vez que obtivemos sua representa¸c˜ao Lagrangeana.

2.5 A Hamiltoniana do Formalismo ADM 17

2.5 A Hamiltoniana do Formalismo ADM

Come¸caremos agora a identiﬁcar o espa¸co-de-fase da Relatividade Geral.

Os g r aus de liberdade dinˆamicos da teoria est˜ao contidos nas m´etricas das

hipersuperf´ıcies tri-dimensionais, espaciais, h

. O vetor deslocamento N

a fun¸c˜ao lapso N s˜ao apenas fun¸c˜oes que esp eciﬁcam a maneira pela qual

devemos evoluir as hipersuperf´ıcies para obtermos o espa¸co-tempo desejado.

Portanto, as coordenadas canˆonicas do nosso problema ser˜ao apenas os h

seus momenta canonicamente conjugados Π

, deﬁnidos usualmente a partir

da seguinte derivada:

≡

∂L

∂

(2.21)

onde L

´e a densidade Lagrangeana gravitacional obtida diretamente de

(2.20),

´e a derivada desta m´etrica em rela¸c˜ao ao parˆametro tempo e Π

´e sim´etrico por deﬁni¸c˜ao ( Π

= Π

). Fazendo explicitamente a deriva¸c˜ao

indicada em ( 2.21), com a ajuda de (2.9), obtemos:

∂L

∂

√



K − K



(2.22)

Caso deriv´assemos a densidade L agrangeana em rela¸c˜ao a

N, ob-

servar´ıamos que tais momentos canonicamente conjugados seriam nulos, pois

a densidade Lagrangeana L

independe das derivadas temporais de N

e N.

Logo, N

e N n˜ao s˜ao vari´aveis dinˆamicas da teoria . Ent˜ao estes s˜ao multi-

plicadores de Lagrange indicando que a teoria da Relatividade G eral ´e uma

teoria com v´ınculos. Conseq¨uentemente, podemos concluir que partimos de

um espa¸co de conﬁgura¸c˜oes maior que o necess´ario para a descri¸c˜ao da teoria.

A Teoria Hamiltoniana de Sistemas Vinculados (THSV) garante que deve-

mos reduzir o espa¸co de conﬁgura¸c˜ao, deixando de lado N

e N, e tomando

apenas os h

como vari´aveis dinˆamicas da teoria (o que corrobora o que j´a

2.5 A Hamiltoniana do Formalismo ADM 18

hav´ıamos visto pela forma como o Formalismo ADM reescreve a Relatividade

Geral).

Ainda a partir da THSV, sabemos que ao se escrever a a¸c˜ao (2 .20) em

sua forma Hamiltoniana obteremos parcelas que ser˜ao fun¸c˜oes dos h

e suas

primeiras derivadas, que aparecer˜ao multiplicadas r espectivamente pelos N

N. Essas parcelas s˜ao os chamados v´ınculos da teoria, e ser˜ao impostos sobre

os sistemas f´ısicos, juntamente com as equa¸c˜oes dinˆamicas, ao exigirmos que

as varia¸c˜oes da a¸c˜ao em rela¸c˜ao ao s N

e N sejam nulas sobre a “ tr ajet´oria”

f´ısica. Assim, com esse conhecimento vindo da THSV podemos passar ao

c´alculo expl´ıcito da densidade de Hamiltoniana H

da Relatividade Geral

no For malismo ADM.

Sabemos que a express˜ao geral da Hamiltoniana ´e dada em termos das

vari´aveis canˆonicas, seus momenta canonicamente conjugados e da Lagran-

geana original, como se segue:

= Π

− L

. (2.23)

Assim, com o aux´ılio da express˜ao da Lagrangeana L

obtida da ex-

press˜ao (2.20) da a¸c˜ao, e com o aux´ılio da express˜ao (2.22) dos momenta

canonicamente conjugados Π

(com a qual escrevemos K e K

em termos

de Π

), obtemos depois de alguma ´algebra, a seguinte express˜ao para H

= N



√



−



−

√

(3)



+ N



−2Π





2 N



(2.24)

onde Π ≡ T r Π

. Iremos desprezar o ´ultimo termo porque este contribui

apenas como um termo de contorno pa ra a Hamiltoniana H

. Logo, podemos

reescrever H

da seguinte forma:

= N



ijkl

−

√

(3)



+ N



−2 Π

| i



. (2.25)

2.5 A Hamiltoniana do Formalismo ADM 19

Nesta express˜ao introduzimos a m´etrica do superespa¸co G

ijkl

, que ´e deﬁ-

nida como:

ijkl

√

+ h

− h

) . (2.26)

Esta ´e a forma contravariante da m´etrica do superespa¸co, descoberta por

DeWitt [10]. Esta m´etrica possui as seguintes simetrias e propriedades:

ijkl

= G

jikl

= G

ijlk

= G

klij

(2.27)

ijkl

ijmp

= δ

. (2.28)

O superespa¸co, que ser´a discutido mais adiante, ´e uma variedade de dimens˜ao

inﬁnita.

A partir da densidade de Hamiltoniana H

(2.25) podemos escrever a

a¸c˜ao S

da Relatividade Geral, em sua fo rma Hamiltoniana, no Formalismo

ADM:

16π





− N H

− N



dt d

x (2.29)

onde

= G

ijkl

−

√

(3)

R e H

= −2 Π

| i

. (2.30)

O termo H

da a¸c˜ao ´e conhecido como o superhamiltoniana e o termo

´e conhecido como supermomentum. Variando-se S

em rela¸c˜ao a N e

, e igualando a zero temos a s quatro equa¸c˜oes de Einstein para o v´acuo

αβ

= 0), que envolvem a componente temporal R

= R

= 0, e assim

obtemos as condi¸c˜oes para H

e H

= 0 , H

= 0. (2.31)

2.5 A Hamiltoniana do Formalismo ADM 20

E se va r ia rmos S

em rela¸c˜ao a h

e Π

, obteremos as seguintes equa¸c˜oes:

∂S

∂Π

= 2 h

−



−



+ N

b | a

+ N

a | b

(2.32)

= −

∂S

∂h

= −N h



(3)

−

(3)

R h



N h

−



−



−

− 2 N h

−



−

Π Π



+ h



|b |a

− h







| c

− 2(N

)

− 2(N

)

(2.33)

Os resultados ( 2.32) e (2.33) d˜ao as demais Equa¸c˜oes de Einstein para o

v´acuo.

Na Relatividade Geral, p odemos usualmente contar as Equa¸c˜oes de Eins-

tein como sendo 10 equa¸c˜oes independentes, subtraindo-se 4 v´ınculos (origi-

nados das equa¸c˜oes R

= R

= 0), o que resulta em 6 equa¸c˜oes dinˆamicas

de segunda ordem. J´a no Formalismo ADM, dobra-se o n´umero de equa¸c˜oes

resultantes, pois nele as equa¸c˜oes de segunda ordem transformam-se em

equa¸c˜oes de primeira ordem, sendo 6 equa¸c˜oes independentes para

outras 6 equa¸c˜oes independentes para

, resultando em 12 equa¸c˜oes de

primeira ordem.

2.5.1 Inclus˜ao de Campos N˜ao-Gravitacionais

Se tivermos outros campos al´em do campo gravitacional no sistema f´ısico

sendo investigado, a a¸c˜ao to tal S para esse sistema na sua forma Hamiltoni-

2.6 Quantiza¸c˜ao Canˆonica 21

ana, no Formalismo ADM ser´a dada por:

S =

16π





+ Π

− N H − N



dt d

x (2.34)

onde Π

´e o momento canonicamente conjugado ao campo Φ

deﬁnido a

partir da varia¸c˜ao da densidade Lagrangeana L

mat´eria

da mat´eria em r ela¸c˜ao

; H ´e dado por:

H = H

+ H

mat´eria

(2.35)

onde H

mat´eria

´e a superhamiltoniana da mat´eria; e H

´e dado por:

= H

+ H

mat´eria

(2.36)

onde H

mat´eria

´e o supermomentum da mat´eria. E agora podemos passar a

quantiza¸c˜ao da Relatividade Geral, com o aux´ılio do Formalismo ADM.

2.6 Quantiza¸c˜ao Canˆonica

Poder´ıamos supor que a quantiza¸c˜ao da Relatividade Geral fosse dada

simplesmente ao transformarmos as condi¸c˜oes (2.31) em puras condi¸c˜oes o-

peratoriais, para os operadores obtidos das m´etricas tri-dimensionais, e seus

momentas conjugados. Seguindo o caminho usual, depois disso escrever´ıamos

uma ‘equa¸c˜ao de Schr¨odinger’ a partir da densidade de Hamiltoniana H

(2.25). Mas a Relatividade Geral ´e uma teoria vinculada (ou parametrizada),

o que ´e conﬁrmado pela presen¸ca das condi¸c˜oes (2.31). Com isso to r na-se

vis´ıvel que tal suposi¸c˜ao n˜ao funciona para quantizar a Relatividade porque

ao aplicarmos as condi¸c˜oes (2.3 1), a n´ıvel operatorial `a densidade de Hamil-

toniana (2.25), esta se torna ident icamente nula. Isto nos indica que o cami-

nho a ser tomado para a quantiza¸c˜ao da Relatividade Geral na verdade ser´a

outro, que vem da teoria de Dirac de quant iza¸c˜ao de sistemas vinculados [20].

2.6 Quantiza¸c˜ao Canˆonica 22

Nesta teoria, Dirac mostra que a forma correta de obtermos uma for mula¸c˜ao

quˆantica de teorias vinculadas se d´a ao transformarmos estes v´ınculos em

operadores e impormos tais v´ınculos como condi¸c˜oes a serem satisfeitas pela

fun¸c˜ao-de-onda do sistema.

Faremos uso dos resultados desta teoria aplicados a teorias pa rametri-

zadas, como ´e o caso da Relatividade Geral. A t´ıtulo de revis˜ao, veremos

primeiramente uma aplica¸c˜ao destes resultados a um sistema mais simples e

cuja equa¸c˜ao quˆantica j´a nos ´e bastante familiar. Posteriormente `a veriﬁca¸c˜ao

de que as condi¸c˜oes de quantiza¸c˜ao de Dirac funcionam para esse sistema mais

simples, teremos mais seguran¸ca para us´a-las na Relatividade Geral [17].

Consideremos um sistema dinˆamico elementar com um n´umero ﬁnito de

graus de liberdade X

, os quais s˜ao fun¸c˜oes do tempo T. A a¸c˜ao desse sistema

´e dada em sua forma Lagrangeana por:

S =



dT L(T, X

≡ (X

)

′

) (2.37)

onde L ´e a Lagrangiana do sistema. Este sistema elementa r, com um n´umero

ﬁnito de graus de liberdade, pode ser uma part´ıcula n˜ao-relativ´ıstica de massa

m sobre a a¸c˜ao de um campo potencial V (T, X

). A Lagrangiana deste sis-

tema ´e dada por:

L =

m δ

− V (T, X

). (2.38)

Parametrizando este sistema de tal forma que o novo parˆametro arbitr´ario

t torne este sistema num sistema vinculado, obteremos:

T = T (t) ⇒ t = t(T ); (2.39)

= X

( T (t) ) = X

(t). (2.40)

2.6 Quantiza¸c˜ao Canˆonica 23

Come¸cemos ent˜ao a reescrever a a¸c˜ao (2.37) em termos desse novo parˆa-

metro temporal (onde designamos derivadas em rela¸c˜ao a este por um po nto):

dT =

dt ≡ d t

T e

= (X

)

′

≡

−1

(2.41)

S =



T L(T, X

−1

) ≡



L(T,

T , X

) (2.42)

onde

L(T,

T , X

) =

T L(T, X

−1

O sistema descrito ´e o mesmo que o orig inal, portanto, continua com

o mesmo n´umero de graus de liberdade. Ent˜ao devemos ressaltar que as

quantidades T (t) e

T (t) devem ser tratadas apenas como fun¸c˜oes de t e n˜ao

como vari´aveis dinˆamicas. As ´unicas coordenadas que devem ser va r ia das, e

assim tratadas como vari´aveis dinˆamicas, s˜ao os X

. Assim, deﬁniremos as

velocidades

e conseq¨uentemente os moment a canonicamente conjugados:

≡

∂

∂L

∂

∂L

∂(X

)

′

∂(X

)

′

∂

∂L

∂(X

)

′

−1

∴

∂L

∂(X

)

′

= Π

. (2.43)

onde usamos explicitamente que

≡ (X

)

′

. Vemos que os novos momenta

n˜ao s˜ao diferentes dos antigos. Da mesma forma, a Hamiltoniana

H n˜ao ser´a

diferente da Hamiltoniana f´ısica original, pois ser´a apenas multiplicada por

um fator

T .

H =

−

L = Π

−

L = Π

)

′

T −

T L =



)

′

− L



T = H

T . (2.44)

Outro resultado muito importante a se saber ´e que H independe de

T ,

quando expressa em termos de suas novas vari´aveis canˆonicas X

2.6 Quantiza¸c˜ao Canˆonica 24

Reescrevendo a a¸c˜ao (2.37) em sua forma Hamiltoniana, para a teoria

parametrizada temos:

S =





−







− H







− H(T, X

)



. (2.45)

Podemos notar que a a¸c˜ao (2.45) possui uma dependˆencia linear tanto nas

“velocidades dinˆamicas ”

quanto na “velocidade temporal”

T . Por isso,

tendemos a imaginar que o tempo f´ısico T ´e uma das vari´aveis canˆonicas

int roduzidas {T, X

}, e conseq¨uentemente tamb´em tendemos a identiﬁcar

−H(T, X

) com seu momentum canonicamente conjugado Π

. Desta ma-

neira, a a¸c˜ao ( 2.45) ﬁca reescrita como:

S =





T +



. (2.46)

Na verdade, ao fazermos isso estamos aumentando o nosso espa¸co de fase

que descreve o sistema em quest˜ao. Mas devemos introduzir condi¸c˜oes, jun-

tamente com as equa¸c˜oes de movimento deriv´aveis de (2.46), que possam nos

garantir que continuamos a descrever o mesmo sistema inicial. Essa condi¸c˜ao,

ou v´ınculo, ´e imediatamente reconhecida como sendo a informa¸c˜ao de que

´e simplesmente −H (ou seja, Π

´e realmente dependente das demais

vari´aveis canˆonicas). Assim, nossa fun¸c˜ao de v´ınculo ´e:

φ = Π

+ H(T, X

) = 0. (2.47)

Agora teremos que introduzir o v´ınculo (2.47) nesta a¸c˜ao ( 2.46) para

podermos vari´a-la livremente em termos das vari´a veis canˆonicas, . Isto ´e feito

com a ajuda do multiplicador de Lagrange N, o qual pode ser no m´aximo

uma fun¸c˜ao do parˆametro t, de tal forma que a a¸c˜ao (2.46) ﬁca reescrita

2.6 Quantiza¸c˜ao Canˆonica 25

como:

S =





T +

− N φ



. (2.48)

Assim podemos obter as equa¸c˜oes de movimento e o v´ınculo (2.47) ao vari-

armos (2.48) em rela¸c˜ao as vari´a veis canˆonicas {T, Π

; X

, Π

}, e ao multipli-

cador de Lagrange N(t). Conseq ¨uentemente, para desparametrizarmos esta

teoria, seguindo o caminho inverso (ou seja, `a partir da a¸c˜ao (2.48) obter-

mos a a¸c˜ao (2.3 7) ), devemos (i) resolver o v´ınculo ( 2.47) para o momentum

canˆonico Π

, (ii) substituir esse valor na a¸c˜ao (2.48) e, (iii) escolher T

como sendo uma vari´avel que marca o tempo na teoria, e identiﬁc´a-lo com

o parˆametro temporal t. Depois n´os retornamos `a a¸c˜ao f´ısica escrita em sua

forma Hamiltoniana. Primeiramente, voltemos agora ao caso da part´ıcula

n˜ao-relativ´ıstica, de massa m, sob a a¸c˜ao de um potencial V (T, X

), cuja La-

grangeana ´e dada por (2.38). Dessa Lagrangeana ´e imediato determinarmos

a Hamiltoniana n˜ao-relativ´ıstica H

P N R

+ V (T, X

) (2.49)

em que usamos os novos momenta

pois de (2.43) estes momentum s˜ao

iguais aos anteriores. Para este caso particular da Hamiltoniana da part´ıcula

n˜ao-relativ´ıstica podemos tamb´em veriﬁcar o resultado de que H independe

T .

Com o aux´ılio da Hamiltoniana H

P N R

podemos reescrever o v´ınculo (2.47)

para esta teoria:

P N R

= Π

+ V (T, X

). (2 .5 0)

A quantiza¸c˜ao desta teoria ser´a efetuada seguindo as instru¸c˜oes do For-

malismo de D irac para quantiza¸c˜ao de sistemas vinculados. Conforme men-

2.6 Quantiza¸c˜ao Canˆonica 26

cionado brevemente, a maneira de se quantizar teorias parametrizadas (por

exemplo, o caso citado de part´ıculas n˜ao-relativ´ısticas) ´e dada por:

(i) Considere todas as coordenadas canˆonicas {T, X

} e todos os mo-

menta canonicamente conjugados {Π

} e transforme-os em operadores,

satisfazendo as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao usuais.

, X

] = [

] = 0 , [X

] = i δ

; (2.51)

[

, T ] = [X

] = [

] = 0 , [T,

] = i. (2.52)

(ii) Escolha a representa¸c˜ao {X

} e substitua os momenta pelos o per-

adores diferenciais:

= −i

∂

∂X

, Π

= −i

∂

∂T

. (2.53)

(iii) Introduza uma fun¸c˜ao Ψ(X

, T ) que representar´a o estado do sistema

a n´ıvel quˆantico na representa¸c˜ao {X

, T };

(iv) Substitua o s operadores momenta (2.53) no v´ınculo (2.50) e imponha

este v´ınculo como uma condi¸c˜ao a ser satisfeita pela fun¸c˜ao-de-onda Ψ(X

, T )

int roduzida em (iii), que usando φ

P N R

ﬁca:

−i

∂Ψ

∂T

−

∇

Ψ + V (X

) Ψ = 0; (2.54)

H Ψ = −i

∂Ψ

∂T

. (2.55)

As equa¸c˜oes (2.54) e (2.55) representam a equa¸c˜ao de Schr¨odinger para

o caso da part´ıcula n˜ao-relativ´ıstica, de massa m, sobre a a¸c˜ao do potencial

V (X

). Vemos ent˜ao que para esse caso a Regra de Q uantiza¸c˜ao de Dirac para

sistemas parametrizados funciona.

A partir deste resultado, vamos aplicar as

regras (i) a (iv) para o caso da Relatividade Geral.

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 27

Introduziremos as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao



), h

((X

)

′

)





), Π

((X

)

′

)



= 0; (2.56)



), Π

((X

)

′

)





+ δ



δ(X

, (X

)

′

). (2.57)

Depois disso, introduziremos a fun¸c˜ao-de-o nda Ψ, que na representa¸c˜ao

da m´etrica se torna um funcional da m´etrica h

Ψ = Ψ[h

)]. (2.58)

Nessa mesma representa¸c˜ao, os momenta s˜ao substitu´ıdos por derivadas

funcionais em rela¸c˜ao `a m´etrica h

) = −i

δh

)

(2.59)

e, ﬁnalmente, substitu´ımos esses operadores (2 .59) nos v´ınculos superhamil-

toniano e supermomentum ( 2.31) e, impomos estes v´ınculos como restri¸c˜oes

na f un¸c˜ao-de-onda (2.58), obtendo as equa¸c˜oes:

iklm

)

δh

)δh

)

+ h

) R(X

) Ψ = 0; (2.60)



δΨ

δh

)



= 0. (2.61)

2.7 A Equa¸c˜ao de Whee ler-DeWitt

A equa¸c˜ao (2.61) ´e o v´ınculo do supermomentum e a equa¸c˜ao (2.60) ´e

a famosa Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt [10], [12]. A n´ıvel cl´assico o super-

momentum ´e o gerador de difeomorﬁsmos ou transforma¸c˜oes de coordenadas

nas hipersuperf´ıcies Σ’s, tri-dimensionais do tipo-espa¸co. Isto pode ser conﬁr-

mado calculando-se o parˆenteses de Poisson entre o supermomentum e todas

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 28

as outras vari´aveis canˆonicas. Com isto, o signiﬁcado do v´ınculo do super-

momentum dado na segunda parte de ( 2.31), a inda a n´ıvel cl´assico, ´e que a

descri¸c˜ao da geometrodinˆamica ´e independente de transforma¸c˜oes de coorde-

nadas em uma dada hipersuperf´ıcie Σ. Ou seja, esse resultado nos mostra que

as vari´a veis da nossa teoria n˜ao s˜ao exatamente os h

, mas sim as classes de

equivalˆencia destas m´etricas frente aos difeomorﬁsmos nas hipersuperf´ıcies

Σ’s consideradas.

A n´ıvel quˆantico, o signiﬁcado da imposi¸c˜ao do v´ınculo do supermomen-

tum sobre a fun¸c˜ao-de-onda Ψ (2.61), segue diretamente do signiﬁcado a n´ıvel

cl´assico exposto acima. Em outras palavras, o v´ınculo (2.61) do supermomen-

tum restringe a dependˆencia de Ψ n˜ao das m´etricas h

individualmente, mas

sim das classes de equivalˆencia de h

frent e aos difeomorﬁsmos nas hiper-

sup erf´ıcies Σ’s consideradas. Para comprovar isto, vejamos o caso em que se

deslo ca o argumento da fun¸c˜ao-de-onda por um difeomorﬁsmo na hipersu-

perf´ıcie dado como:

−→ X

− ξ

. (2.62)

Assim, em primeira ordem temos:

′

) = h

)

∂X

= h

)



− ξ



− ξ



= h

) − h

) δ

−h

) δ

. (2.63)

Mas sabemos que:

′

) = h

′

− ξ

) = h

′

) − h

(2.64)

e ainda que





−h

= ξ

−h

(2.65)

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 29

Assim, aplicando (2.64) e (2.65) em (2.63), obtemos:

′

− h

= h

− δ

−h

− δ

−h

′

= h

− ξ

−ξ

−2 h



−h



′

= h

− ξ

−ξ

−2 h

(2.66)

e ﬁnalmente:

′

= h

− ξ

i | j

− ξ

j | i

= h

− ξ

( i | j )

(2.67)

onde as m´etricas h

e h

′

j´a est˜ao aplicadas no ponto X

e o s´ımbolo |

novamente signiﬁca deriva ¸c˜ao covariante.

Se agora ﬁzermos uma expans˜ao do funcional de Ψ[ h

+ ξ

( i | j )

] ao redor

de h

, em primeira ordem em ξ

i | j

, n´os obtemos:

Ψ[h

+ ξ

( i | j )

] = Ψ[h

] +



x ξ

i | j

δΨ

δh

= Ψ[h

] +







δΨ

δh



| j

− ξ



δΨ

δh



| j



δΨ = Ψ[h

+ ξ

( i | j )

] − Ψ[h

] =

= −



x ξ



δΨ

δh



| j





δΨ

δh





(2.68)

Vemos que a segunda integral em (2.68) nos d´a um termo de superf´ıcie

que se a nula, pois lidamos com hip ersuperf´ıcies compactas. Assim, a varia¸c˜ao

em Ψ ser´a:

δΨ = −



x ξ



δΨ

δh



| j

= −



Ψ. (2.69)

Podemos ver de (2.69) que as fun¸c˜oes-de-onda que satisfazem o v´ınculo

do supermomentum (2.61) na verdade n˜a o sentem o difeomorﬁsmo (2.62),

pois n˜ao s˜ao alteradas [21].

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 30

A superhamiltoniana a n´ıvel cl´assico ´e o gerador das transforma¸c˜oes

no parˆametro t, ou seja, de transla¸c˜oes temp orais. Assim o v´ınculo da su-

perhamiltoniana, dado na primeira parte de (2.31), for¸ca a descri¸c˜ao ge-

ometrodinˆamica a ser independente de difeomorﬁsmos envolvendo o parˆametro

A n´ıvel quˆantico, o v´ınculo (2.60) sobre Ψ[h

] indica que Ψ deve depender

apenas de quantidades que sejam independentes de reparametriza¸c˜oes de t. A

demonstra¸c˜ao deste resultado, para Relatividade Geral, n˜ao ´e muito simples,

pois Ψ ´e deﬁnida sobre as hipersuperf´ıcies Σ’s e as reparametriza¸c˜oes em t

s˜ao elementos de um gr upo completo de difeomorﬁsmos em 4-dimens˜oes [22].

E razo´avel assumir que a fun¸c˜ao-de-onda Ψ [h

] ´e o btida ao resolver-

mos a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt. Al´em disso, do estudo da part´ıcula n˜ao-

relativ´ıstica parametrizada, t emos a indica¸c˜ao de que uma das t rˆes fun¸c˜oes

que d˜ao os graus de liberdade geometrodinˆamicos deve representar um tempo

int r´ınseco, e as duas outras representam os verdadeiros graus de liberdade do

campo gravitacional. Infelizmente, n˜ao se sabe como separar de forma geral

as vari´aveis dinˆamicas do tempo.

Assim, a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt (2.60) ´e uma equa¸c˜ao diferencial

funcional, de segunda ordem nos h

’s, que descreve a evolu¸c˜ao de Ψ[h

Em geral, obtemos um grande n´umero de solu¸c˜oes para essa equa¸c˜ao. Desta

forma, ´e necess´ario impor certas condi¸c˜oes de contorno para selecionarmos

uma destas solu¸c˜oes. Na pr´oxima sess˜ao trataremos desta an´alise.

Na verdade, a passagem dos v´ınculos cl´assicos (2.31) para as equa¸c˜oes

quˆanticas correspondentes (2.60) e ( 2.61) n˜ao ´e t˜ao suave quanto poderia

parecer. N´os temos o famoso pro blema de ordenamento dos termos que en-

volvem os momenta Π

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 31

No caso do v´ınculo do supermomentum, o problema do ordenamento ´e

resolvido de forma trivial, resultando da´ı somente a equa¸c˜ao (2.61). J´a no

caso da equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt o problema ´e n˜ao trivial, e a forma

da equa¸c˜ao resultante vai depender da prop osta feita para o ordenamento. A

proposta mais aceita na literatura ´e aquela feita por DeWitt e, mais tarde, por

Hawking e Page [18]: “o operador diferencial funcional, de segunda ordem,

que aparece na equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt deve ser escrito como o operador

laplaciano, na m´etrica de DeWitt do Superespa¸co”.

De forma heur´ıstica, seguindo esta regra de ordenamento, a equa¸c˜ao de

Wheeler-DeWitt (2 .6 0), ﬁcaria reescrita da seguint e forma:

∇

Ψ[h

] +

√

h (X

) R(X

) Ψ[h

] = 0 (2.70)

onde ∇

´e o laplaciano na m´etrica de DeWitt.

A introdu¸c˜ao de outros campos ´e razoavelmente direta [14]. Vemos de

(2.35) e (2.36) que o v´ınculo do supermomentum e a equa¸c˜ao de Wheeler-

DeWitt ser˜ao modiﬁcados para se introduzir os operadores associados ao

campo de mat´eria e seus momenta canonicamente conjugado. Esses oper-

adores devem satisfazer a ´algebra dos comuta do res entre si e as demais

vari´aveis do campo gravitacional. O acoplamento de outros campos φ n˜ao-

gravitacionais implicam num aumento do superespa¸co. Este aumento serve

justamente para se levar em considera¸c˜ao os graus de liberdade destes novos

campos. Desta forma, a fun¸c˜ao-de-onda deixar´a de depender apenas dos h

mas agora tamb´em depender´a de φ. Portanto a fun¸c˜ao-de-onda passar´a a ser:

Ψ = Ψ[ h

, φ ]. (2.71)

Em particular, a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt para este caso, com a proposta

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 32

de ordenamento de DeWitt, ser´a dada por:

∇

Ψ[h

, φ

] +

√

h R Ψ[h

, φ

] + V [h

, φ

] Ψ[h

, φ

] = 0 (2.72)

onde ∇

´e o laplaciano na m´etrica de DeWitt do novo superespa¸co, agora

contendo tamb´em explicitamente os graus de liberdade do campo de mat´eria.

2.7.1 Condi¸c˜oes de c ontorno para a determina¸c˜ao d as

fun¸c˜oes-de-onda

As condi¸c˜oes iniciais e de contorno exercem papel crucial em todas as teo-

rias f´ısicas. E para o caso da quantiza¸c˜ao da Relatividade Geral n˜ao poderia

ser diferente. Por isso, uma an´alise cuidadosa ´e essencial. No caso da quan-

tiza¸c˜ao da Relatividade Geral existem ao menos duas maneiras de se calcu-

lar o estado quˆantico de um dado sistema: atrav´es da quantiza¸c˜ao canˆonica

(equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt (2.70 )) ou atrav´es do m´etodo das integrais de

caminho. Ambas a s t´ecnicas requerem que, para a determina¸c˜ao completa das

fun¸c˜oes-de-onda, antes seja feita a an´alise de condi¸c˜oes de contorno. E esta

exigˆencia ocorre devido ora `a natureza matem´atica da integral de caminho,

ora ao fato de que a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt ´e uma equa¸c˜ao pseudo-

hiperb´olica independente do tempo.

E esta investiga¸c˜ao das condi¸c˜oes de

contorno impostas sobre a fun¸c˜ao-de-onda do Universo que nos levar´a ao

caminho para se estudar a aplica¸c˜ao da Relatividade Geral Q uˆantica `a Cos-

mologia, e com isto se obter uma Cosmologia Quˆantica.

Podemos mencionar duas propostas de condi¸c˜oes de contorno que s˜ao as

mais difundidas e estudadas. Estas propostas s˜ao a ‘Condi¸c˜ao de Ausˆencia

de Conto r no’, proposta por Hartle e Hawking [19],[13] para o caso da quan-

tiza¸c˜ao atrav´es das integrais de caminho, onde devemos imp or tais condi¸c˜oes

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 33

de contorno sobre duas hipersup erf´ıcies espaciais distintas; e a ‘Condi¸c˜ao de

Contorno de Tunelamento’, proposta por Vilenkin [23], [24] para o caso da

quantiza¸c˜ao via solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt, onde as condi¸c˜oes

de contorno dever˜ao ser aplicadas sobre uma ´unica hipersuperf´ıcie espacial.

Estas condi¸c˜oes de contorno deﬁnir˜ao o estado dos campos gravitacional e

n˜ao-gravitacionais que estiverem presentes no modelo particular. Por com-

pleteza, visto que iremos trabalhar com a equa¸c˜ao de Wheeler-deWitt, vamos

int roduzir as id´eias b´asicas da ‘Condi¸c˜ao de Contorno de Tunelamento’.

Condi¸c˜ao de Contorno de Tunelamento

Esta proposta de an´alise das condi¸c˜oes de cont orno, que tamb´em contou

com a colabora¸c˜ao de Linde [25], ´e na verdade uma condi¸c˜ao para solu¸c˜oes

da equa¸c˜ao de Wheeler-D eWitt principalmente para modelos em Cosmologia

Quˆantica. O objetivo ´e encontrar uma fun¸c˜ao-de-onda para o Universo de tal

forma que este n˜ao tenha uma singularidade inicial. Como esta proposta con-

siste em restri¸c˜oes impostas sobre as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt

em regi˜oes assint´oticas ou contornos do superespa¸co, precisamos ent˜ao ana-

lisar tais contornos.

Entendemos por contorno de superespa¸co como sendo as conﬁgura¸c˜oes

singulares da geometria e dos campos de mat´eria. E conﬁgura¸c˜oes singulares

s˜ao a quelas conﬁgura¸c˜oes que contˆeem pontos ou regi˜oes de curvatura in-

ﬁnita (tri-dimensional) ou valores inﬁnitos do campo de mat´eria φ

ou ainda

suas derivadas ∂

, bem como conﬁgura¸c˜oes de volume de hipersuperf´ıcies

espaciais (tri- dimensionais) inﬁnito. Devemos salientar que se tivermos ge-

ometrias tri-dimensionais singulares isto n˜ao implicar´a que espa¸co-tempos

quadri-dimensionais for mados a partir delas sejam tamb´em singulares.

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 34

Um exemplo cl´assico (com assinatura euclidiana) ´e a hipersuperf´ıcie esf´e-

rica quadri-dimensional S

, formada por folia¸c˜ao de hipersuperf´ıcies esf´ericas

tri-dimensionais S

. Os S

pr´oximos aos p´olos tem raios quase nulos nessa

folhea¸c˜ao, e os escalares de curvat ura tri-dimensionais

(3)

R divergem pra in-

ﬁnito. Em compensa¸c˜ao o S

´e perfeitamente regular nos p´olos. Outro exem-

plo, mas agora de assinatura Lorentziana e espacialmente aberto, ´e o espa¸co-

tempo anti-deSitter foliado por hipersuperf´ıcies tri-dimensionais abertas de

constante de curvatura negativa , dado pela seguinte m´etrica [5]:

= −dt

+ cos

t [ dχ

+ senh

χ ( dθ

+ sen

θ dφ

) ]. (2.73)

A hipersuperf´ıcie tri-dimensional que folheia o espa¸co-tempo anti-deSitter

apresenta uma singularidade em t = ±

. Esta ´e na verdade uma singularida-

de aparente para o espa¸co-tempo anti-deSitter pois pode ser removida atrav´es

de uma mudan¸ca no sistema de coordenadas, o que poderia ser interpretado

como uma nova folia¸c˜ao do espa¸co-tempo quadri-dimensional.

Assim, levando-se em considera¸c˜ao os diferentes tipos de singularidades,

podemos ent˜ao separar o contorno do superespa¸co em duas partes. A primeira

chamaremos de contorno n˜ao-singular do superespa¸co, que ´e formada por

hipersuperf´ıcies tri-dimensionais cujas ´unicas singularidades s˜ao aquelas ge-

radas quando folheia-se variedades quadri-dimensionais regulares (como as

citadas anteriormente). A segunda parte, engloba o restante do contorno e ´e

chamado de contorno singular do superespa¸co.

Como o pr´oprio nome da proposta (Tunelamento) sugere devemos ainda

deﬁnir no¸c˜oes de modos ‘outgoing’ (que saem) e ‘ingoing’ (que adentra m).

Para entendermos melhor estes signiﬁcados vejamos primeiro um exemplo, a

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 35

equa¸c˜ao de Klein-Gordon:



 +



ℏ





Ψ = 0. (2.74)

As solu¸c˜oes Ψ para a equa¸c˜ao (2.74 ) podem ser escritas em termos de

ondas com frequˆencia positiva ou ondas com freq¨uˆencia negativa, dadas r es-

pectivamente por:

= A

−i k

, Ψ

−

= A

−

+i k

(2.75)

onde k

= (−w,



k) e w > 0. Podemos usar o vetor de Killing tipo-tempo −i

∂

∂t

para se fazer uma classiﬁca¸c˜ao em rela¸c˜ao `a positividade ou negatividade da

freq¨uˆencia da onda. Ou seja, as ondas Ψ

e Ψ

−

(2.75) s˜ao auto-fun¸c˜oes do

vetor de Killing. Assim a frequˆencia ser´a positiva ou negativa dependendo

dos sinais dos seus a uto -valores:

−i

∂Ψ

∂t

= wΨ

, −i

∂Ψ

−

∂t

= −wΨ

−

. (2.76)

Outra forma de caracteriz´a-las poderia ser feita atrav´es do sinal da com-

ponente temporal da corrente conservada de Klein-Gordon:

= ( J



J ) (2.77 )

onde



∗

∂Ψ

∂t

− Ψ

∂Ψ

∗

∂t



; (2.78)



J =



∗

(

−→

∇Ψ) − Ψ(

−→

∇Ψ

∗

)



. (2.79)

e tamb´em J

; µ

= 0. Com isto, podemos escrever o s valores J

(2.78) para

e Ψ

−

(2.75):

= −w |A

, J

−

= +w |A

−

(2.80)

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 36

e como vemos os sinais das duas compo nentes s˜ao opostos. Poderemos escre-

ver uma solu¸c˜ao qualquer da equa¸c˜ao de Klein-Gordon em termos das ondas

e Ψ

−

. Estas ondas s˜ao usadas para se impor condi¸c˜oes sobre os propa-

gadores mais a ceit´aveis da t eoria . Em particular, deﬁne-se o propagador de

Feynman, o qual tem a propriedade que somente as solu¸c˜oes com frequˆencia

positiva, ou que podem ser escritas somente em termos de Ψ

, se propagam

para o f uturo a partir de uma intera¸c˜ao [26], [27].

Podemos ent˜ao fa zer uma analogia ent re a equa¸c˜ao de Klein-Gordon e a

equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt e perceber que existem solu¸c˜oes do tipo onda

para a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt, com frequˆencias positiva ou negativa

(2.75). Usando esta analogia, poderemos no caso da equa¸c˜ao de Wheeler-

DeWitt, deﬁnir tamb´em uma corrente conservada que participar´a da deﬁni¸c˜ao

de medida de probabilidade. Com estas solu¸c˜oes poderemos obter solu¸c˜oes

mais gerais a partir de suas combina¸c˜oes lineares, introduzindo condi¸c˜oes de

contorno an´alogas aquelas que nos levaram ao propagador de Feynman na

teoria de K lein-Gordon.

Contudo, observamos ago r a um problema. Vimos que a deﬁni¸c˜ao de o ndas

com frequˆencias positivas e negativas depende da existˆencia de um vetor de

Killing (do t ipo-tempo) em todo o espa¸co-tempo de Minkowski. Mas sabemos

que para o caso do superespa¸co em geral n˜ao existe tal vetor (sobre todo

o superespa¸co). Portanto, diferentemente da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Klein-

Gordon, agora, para a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt, n˜ao poderemos em todos

os casos encontrar solu¸c˜oes do tipo Ψ

e Ψ

−

(2.75).

Mesmo assim, ainda ´e poss´ıvel obter-se solu¸c˜oes do tipo Ψ

e Ψ

−

para

a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt, bastando restringir-se a certas regi˜oes do su-

perespa¸co, como por exemplo, regi˜oes pr´oximas ao contorno. Em tais regi˜oes

2.7 A Equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt 37

´e possivel deﬁnir-se um vetor de Killing associado a uma dire¸c˜ao que dˆe uma

medida da aproxima¸c˜ao ou afastamento do contorno. Depois poderemos es-

crever solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt na dependˆencia desse

vetor de Killing. S˜ao estas as solu¸c˜oes chamadas de ‘ingoing’ e ‘outgoig’,

sendo do tipo oscilat´orio dadas por:

Ψ = C e

i S

(2.81)

onde C ser´a uma constante complexa e S ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de

Hamilton-Jacobi.

Usando (2.81) em (2.79) obtemos



J =



∗

−i S

−→

∇(C e

i S

) − C e

i S

−→

∇(C

∗

−i S

)



∴



J = −|C |

−→

∇S (2.82)

Assim, po demos usar esta corrente (2.82) para caracterizar as solu¸c˜oes (2.81)

em ‘ingoing’ e ‘outgoing’. Se no contorno, o vetor −

−→

∇S apontar para fora da

hipersuperf´ıcie deﬁnida pelo contorno, no superespa¸co, ent˜ao tais solu¸c˜oes

oscilat´orias (2.81) ser˜ao chamadas de ‘outgoing’. Se no contorno, o vetor

−

−→

∇S apontar para dentro da hipersuperf´ıcie deﬁnida pelo contorno, no su-

perespa¸co, ent˜ao tais solu¸c˜oes oscilat´orias (2.81) ser˜ao chamadas de ‘ingoing’.

Agora que temos as deﬁni¸c˜oes de solu¸c˜oes ‘ingoing’ e ‘outgoing’ no con-

torno e as deﬁni¸c˜oes de contornos singulares e n˜ao-singulares podemos ﬁ-

nalmente expor a formula¸c˜ao de Vilenkin para a Condi¸c˜ao de Contorno de

Tunelamento:

“A fun¸c˜ao-de-onda de tunelamento Ψ

, ´e uma solu¸c˜ao da

equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt que ´e limitada em todo o su-

perespa¸co, e que consiste somente de componentes ‘outgoing’

em conto r nos singulares do superespa¸co.”

2.8 Minisuperespa¸co 38

Embora haja poss´ıveis ambiguidades na sua deﬁni¸c˜ao e o impedimento

de se usar esta proposta em situa¸c˜oes mais gerais, podemos mostrar que ao

se restringir a minisuperespa¸cos tais condi¸c˜oes da proposta de Tunelamento

s˜ao bastante claras e deﬁnem univocamente solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Wheeler-

DeWitt [23], [24], [21].

2.8 Minisuperespa¸co

Vimos anteriormente que h´a pelo menos uma maneira de calcularmos

a fun¸c˜ao-de-onda da Relatividade Geral Quˆantica Ψ[h

, φ

], que ´e atrav´es

da resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt (2.72). Esta equa¸c˜ao ´e deﬁnida

em uma variedade de dimens˜ao inﬁnita e a esta variedade d´a-se o nome de

sup erespa¸co. Assim, C. Misner sistematizou, em [28], uma aproxima¸c˜ao que

reduz o superespa¸co de dimens˜ao inﬁnita a uma variedade de dimens˜ao ﬁnita,

chamada de minisuperespa¸co.

O minisuperespa¸co ´e obtido a partir do superespa¸co por elimina¸c˜ao de

algumas componentes da m´etrica g

αβ

e simpliﬁca¸c˜oes das componentes res-

tantes. Embora ainda n˜ao esteja claro se essa redu¸c˜ao a minisuperespa¸cos

consiste em uma aproxima¸c˜ao sistem´atica ou a um mecanismo para estudar

certos a spectos isolados da teoria completa, podemos mesmo assim tentar jus-

tiﬁc´a-la observando a metodologia de estudo na Relatividade Geral Cl´assica.

Quando estudamos sistemas gravitacionais como a Cosmologia ou Buracos

Negros, usando a Relatividade Geral Cl´assica, come¸camos a considerar os

ansatz mais sim´etricos e simpliﬁcados para a m´etricas dos espa¸co-tempos

que representem tais sistemas. Temos a esperan¸ca de entender algumas pro-

priedades desses sistemas atrav´es das solu¸c˜oes das Equa¸c˜oes de Einstein obti-

2.8 Minisuperespa¸co 39

das para esses ansatz. Em Cosmologia, tais simpliﬁca¸c˜oes s˜ao bem aceitas,

e uma boa justiﬁcativa ´e o fato de que acredita-se atualmente que em larga

escala o Universo seja aproximadamente homogˆeneo e isotr´opico.

De uma maneira mais precisa, quando a Relatividade Geral est´a escrita no

Formalismo ADM, a redu¸c˜ao para minisuperespa¸cos usualmente envolve as

seguintes simpliﬁca¸c˜oes: na m´etrica (2.6 ) fazemos a fun¸c˜ao lapso homogˆenea,

N = N(t), e o vetor deslocamento ig ua l a zero, N

= 0, de tal forma que

podemos escrever (2.3) como

= −N

(t) dt + h

(x, t) dx

. (2.83)

Quanto a tri-m´etrica h

(x, t) restringimos esta a ser tamb´em homogˆenea,

de tal forma que suas componentes passam a ser dadas pelo produto entre

fun¸c˜oes das coordenadas espaciais que s˜ao homogˆeneas e um n´umero ﬁnito

de fun¸c˜oes de t, digamos q

(t) onde α = 1, 2, . . . , m (m = n´umero m´aximo

de componentes independentes de h

). Podemos restringir a tri-m´etrica das

seguintes formas:

(a) Como as se¸c˜oes espaciais dos espa¸co-tempos do tipo Robertson-Walker:

(x, t) dx

= a

(t) (dΩ

)

(2.84)

onde (dΩ

)

´e o elemento de linha da tri-esfera S

; e q

(t) = a onde α = 1;

(b) Como uma m´etrica de uma hip ersuperf´ıcie, do tipo-espa¸co, homogˆenea

e anisotr´opica, com topologia S

× S

(x, t) dx

= a

(t) dr

+ b

(t) (dΩ

)

(2.85)

onde (dΩ

)

´e o elemento de linha de uma superf´ıcie esf´erica bi-dimensional

, r ´e uma coordenada peri´odica e q

(t) = (a, b) onde α = 1, 2;

2.8 Minisuperespa¸co 40

tipo-espa¸co, homogˆenea e anisotr´opica, como nas se¸c˜oes espaciais de espa¸co-

tempos do tipo Bianchi

(x, t) dx

= a

(t) β

(2.86)

onde ω

s˜ao uma base de 1- formas e q

(t) consiste do produto entre a

(t) e os

v´arios componentes da matriz β, os quais descrevem o grau de anisotropia das

se¸c˜oes espaciais (α = n´umero m´aximo de componentes n˜ao-nulas da matriz

β).

N´os podemos reescrever, em termos de N(t) e das fun¸c˜oes q

(t), todas as

quantidades at´e aqui obtidas e, com isto, obter as quantiza¸c˜oes canˆonicas no

ˆambito dos minisuperespa¸cos. Para isto, comecemos reescrevendo a a¸c˜ao de

Einstein-Hilbert (2.20) mais campos de mat´eria, em sua forma Lagrangeana

no Formalismo ADM. Com as restri¸c˜oes da m´etrica mencionadas acima, a

a¸c˜ao (2.20) ﬁca com a forma geral:

S[q

(t), N(t)] =



dt N



αβ

(q) ˙q

˙q

− U(q)



∴ (2.87)

≡



dt L (2.88)

onde f

αβ

(q) ´e a m´etrica de DeWitt G

ijkl

reduzida para minisuperespa¸cos; os

limites de integra¸c˜ao em t podem ser sempre feitos igual a 0 e 1, ajustando-

se para isso t e N; as fun¸c˜oes q

(t) em (2.87) descrevem n˜ao s´o os graus de

liberdade gravitacionais, mas tamb´em os graus de liberdade associados aos

campos de mat´eria presentes em (2.20).

A express˜ao (2.87), tem a forma da a¸c˜ao de uma part´ıcula pont ual, re-

lativ´ıstica, movendo-se em um espa¸co curvo, com m (limite superior de α)

dimens˜oes. No t amos aqui um aspecto bastante important e, e que em certo

2.8 Minisuperespa¸co 41

sentido justiﬁca a redu¸c˜ao para minisuperespa¸cos, o problema original bas-

tante complicado de teoria de campos (R elatividade Geral Quˆantica no su-

perespa¸co) foi r eduzido a um problema muito mais simples de Mecˆanica

Quˆantica de part´ıculas (Relatividade Geral Quˆantica no minisuperespa¸co).

Se n´os variarmos a a¸c˜ao (2.87) em rela¸c˜ao aos q

(t), n´os obtemos as

seguintes equa¸c˜oes de movimento:

∂L

∂ ˙q

−

∂L

∂q

= 0 (2.89)

de onde podemos obter pela substitui¸c˜ao de L dada em (2.88):



˙q



αβ

˙q

+ f

ρλ

∂U

∂q

= 0 (2.90)

onde Γ

αβ

´e o s´ımbolo de Christoﬀel constru´ıdo a partir da m´etrica f

αβ

. Se

variarmos agora a a¸c˜ao (2.87) em termos de N obtemos o seguinte v´ınculo:

∂L

∂N

= 0 =

αβ

˙q

+ U(q). (2.91)

As equa¸c˜oes (2.90) e (2.91) descrevem o movimento de uma part´ıcula

teste no minisuperespa¸co sob a a¸c˜ao de uma for¸ca f

ρλ

∂U/∂q

Por consistˆencia, as equa¸c˜oes (2.90) e (2 .9 1) devem ser equivalentes re-

spectivamente, as component es espacial-espacial (ij) e temporal-temporal

(tt) das equa¸c˜oes de Einstein

αβ

−

R g

αβ

= 8 π T

αβ

(2.92)

e obviamente as componentes temporal-espacial (0i) de (2.92) devem ser tri-

vialmente satisfeitas para os modelos de minisuperespa¸cos. Esses resultados

n˜ao s˜ao, entretanto, g arantidos par a todos os modelos de minisuperespa¸co.

Isso signiﬁca que, se introduzirmos um a nsatz para a m´etrica do modelo do

minisuperespa¸co na a¸c˜ao, e ﬁzermos as varia¸c˜oes necess´arias dessa a¸c˜ao para

2.8 Minisuperespa¸co 42

obtermos as equa¸c˜oes de movimento, essas equa¸c˜oes n˜ao s˜ao necessariamente

as mesmas obtidas de (2.92) pela substitui¸c˜ao direta desse ansatz em (2.92 ) .

Os minisuperespa¸cos que podemos considerar ser˜ao, ent˜ao, somente aqueles

para os quais as equa¸c˜oes de movimentos provenientes da varia¸c˜ao da a¸c˜ao,

ou do uso direto de (2.92) coincidirem.

No Formalismo de minisuperespa¸cos, podemos deﬁnir a Hamiltoniana da

maneira usual, introduzindo inicialmente os momenta (p

) canonicamente

conjugado as vari´aveis q

com a ajuda da Lagrangeana (2.88):

∂L

∂ ˙q

= f

αβ

˙q

. (2.93)

Desta forma a Hamiltoniana canˆonica ﬁca dada por:

= p

˙q

− L = N



αβ

+ U(q)



≡ N H ( 2.94)

onde f

αβ

(q) ´e a inversa da m´etrica f

αβ

(q) do minisuperespa¸co, e notamos

explicitamente a ausˆencia de uma contribui¸c˜ao do tipo N

associado ao

sup ermomentum. Nesse caso reduzido temos, ent˜ao, que o ´unico v´ınculo da

teoria ´e a superhamiltoniana, a qual classicamente deve se anular:

H =

αβ

+ U(q) = 0. (2.95)

Da teoria escrita em sua forma Hamiltoniana podemos obter diretamente

a quantiza¸c˜ao canˆonica da teoria. Para isso introduzimos uma fun¸c˜ao-de-onda

Ψ(q

), que representa o estado da geometria, as rela¸c˜oes de comuta ¸c˜ao entre

as vari´aveis canˆonicas da teoria, e ﬁnalmente exigimos que o ´unico v´ınculo

H (2.95), escrito na forma operatorial, na represent a¸c˜ao das coordenadas,

aniquile a fun¸c˜ao-de-onda,

H( q

, p

≡ −i

∂

∂q

) Ψ(q

) = 0. (2.96)

2.9 Medida de Probabilidade 43

Se usarmos a proposta de DeWitt para resolver o problema do ordenamento

nos termos que envolvem os momenta p

, n´os poderemos escrever a equa¸c˜ao

de Wheeler-DeWitt (2.96), como ,

−

∇

Ψ[q

] + U(q

) Ψ[q

] = 0 (2.97)

onde ∇

´e o laplaciano na m´etrica do minisup erespa¸co f

αβ

Vemos ent˜ao que podemos reescrever toda a teoria em termos da redu¸c˜ao

para minisuperespa¸cos, e a partir da´ı podemos usar estes modelos bastante

simples para obter r esultados.

Vamos falar um pouco agora sobre como medir probabilidades e inter-

pret´a-las em cosmologia quˆantica.

2.9 Medida de Prob abil i dade

Uma das propostas mais aceitas atualmente para esta deﬁni¸c˜ao de medida

de probabilidade ´e a prop osta baseada na analogia formal entre a equa¸c˜ao de

Klein-Gordon para campos escalares no espa¸co-tempo plano de Minkowski

e a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt (2.62) para a fun¸c˜ao-de-onda Ψ[h

, φ

] no

sup erespa¸co. Uma vez que obtivemos a corrente conservada para o caso da

equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt, podemos agora deﬁnir com este



J uma medida

de probabilidade. Para isto, tomemos a equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt (2.62) e

multipliquemos esta por Ψ

∗

, φ

], pela esquerda,

∗

∇

Ψ + Ψ

∗



√

R +



Ψ = 0. (2.98)

Os operadores

R e

V s˜ao operadores unit´arios, funcionais, reais, de h

e φ

. Tomando-se ago ra o complexo conjugado transp osto (

†

) de (2.62) e

2.9 Medida de Probabilidade 44

multiplicando Ψ pela esquerda teremos:

Ψ ∇

∗

+ Ψ



√

R +



∗

= 0. (2.99)

Sabemos que os operadores

R e

V dependem exclusivamente de h

e φ

Ent˜a o ao subtrair a equa¸c˜ao (2.99) da (2.98) obteremos:

∗

∇

Ψ − Ψ ∇

∗

= 0 ∴

−→

∇ ·



∗

−→

∇ Ψ − Ψ

−→

∇ Ψ

∗



= 0. (2.100)

Deﬁniremos agora o vetor entre parˆenteses como sendo proporcional a

uma corrente



J, o qual percebemos que ´e conservado no superespa¸co:



J =



∗

−→

∇ Ψ − Ψ

−→

∇ Ψ

∗



; (2.101)

−→

∇ ·



J = 0. (2.102)

Esta corrente



J (2.101) ´e an´alo ga aquela encontrada a partir da equa¸c˜ao de

Klein-Gordon.

A medida de probabilidade pode ser deﬁnida `a partir da corrent e conser-

vada



J como sendo dada pelo ﬂuxo de



J atrav´es das hipersuperf´ıcies do su-

perespa¸co. Para tal,



J deve interceptar tais hipersuperf´ıcies no superespa¸co

apenas uma ´unica vez. Para o caso da equa¸c˜ao de Klein-Gordon n˜ao pre-

cisamos nos preocupar com isto pois a densidade de probabilidade ρ ´e escol-

hida como a coordenada temporal da corrente



j. Ainda no caso da equa¸c˜ao de

Klein-Gordon precisamos lembrar que as superf´ıcies no superespa¸co sobre as

quais estamos integrando ρ s˜ao hipersuperf´ıcies Σ

do tipo-espa¸co, ou seja, a

t constante. Isto signiﬁca que j

jamais cruzar´a as hipersuperf´ıcies Σ

’s mais

de uma vez. Assim, com o aux´ılio destas hipersuperf´ıcies no superespa¸co

poderemos deﬁnir a probabilidade de se encontrar o sistema gravitacional

2.9 Medida de Probabilidade 45

em uma certa regi˜ao inﬁnitesimal do superespa¸co como sendo:

dP =



J · d



Σ (2.103)

em que d



Σ ´e o hipervolume orientado da regi˜ao inﬁnitesimal considerada no

sup erespa¸co.

A vantagem desta medida de probabilidade ´e que ela se mostra invariante

perante transforma¸c˜oes da m´etrica que envolvam transforma¸c˜oes expl´ıcitas

da fun¸c˜ao lapso N [21]. Em compensa¸c˜ao, a deﬁni¸c˜ao de medida de proba-

bilidade (2.10 3) apresenta algumas desvantagens como, por exemplo, o fato

de esta n˜ao ser positivo deﬁnida. Isto invibializa sua interpreta¸c˜ao como uma

medida de probabilidade. Outro problema que surge ´e que para o caso geral

nem sempre ´e poss´ıvel se fazer uma folhea¸c˜ao global do superespa¸co com

hipersuperf´ıcies tais que estas sejam cortadas uma ´unica vez pelo vetor



J de

um dado sistema gravitacional.

J´a para o caso em que se faz simpliﬁca¸c˜oes da m´etrica, ou seja, no caso em

que se trabalha apenas no minisuperespa¸co, mas num regime WKB, ´e poss´ıvel

construir tais hipersuperf´ıcies que sejam cortadas por



J uma ´unica vez. Mais

do que isto, no caso de minisuperespa¸cos a medida de probabilidade (2.103)

constru´ıda a partir de tais hipersuperf´ıcies poder´a ser positivo deﬁnida.

Infelizmente, devemos salientar que tal deﬁni¸c˜ao de medida de proba-

bilidade n˜ao ´e renormaliz´avel, o que signiﬁca que se escolhermos uma das

hipersuperf´ıcies Ξ do superespa¸co e calcularmos a probabilidade de se en-

contr ar o sistema em qualquer uma das conﬁgura¸c˜oes de Ξ (integrando nas

hipersuperf´ıcies) apropriadas n´os encontra r emos um resultado inﬁnito.

Portanto, s´o podemos calcular probabilidades condicionais com esta de-

ﬁni¸c˜ao de probabilidade (2.103). Isto signiﬁca que n˜ao poderemos efetuar

c´alculos de probabilidades sobre todo o espa¸co mas apenas sobre regi˜oes. Por

2.10 Interpreta¸c˜ao de muitos mundos 46

exemplo: dado que o universo come¸ca em uma regi˜ao ﬁnita S

de Ξ, qual a

probabilidade de que ele v´a come¸car na regi˜ao S

contida em S

? Calculada

em termos de (2.103) ter´ıamos como resposta a esta pergunta a seguinte

probabilidade:









J · d







J · d



. (2.104)

As integrais que aparecem em (2.10 4) s˜ao ﬁnitas pois os dom´ınios de

int egra ¸c˜ao S

e S

s˜ao ﬁnitos. Al´em disto, o integrando em geral ´e limitado

nesses dom´ınios.

2.10 Int erpreta¸c˜ao de muitos mundos

Agora que j´a temos como efetuar medidas de probabilidade, ´e interessante

que interpretemos os resultados obtidos dessas medidas. A primeira abor-

dagem ´e usar a interpreta¸c˜ao de Copenhaguem (IC), mas infelizmente ela

apresenta problemas conceituais que inviabilizam o seu uso na relatividade

geral quˆantica (RGQ). Isso nos motiva a buscar uma interpreta¸c˜ao mais geral

que pudesse ser usada tanto em situa¸c˜oes usuais quanto em situa¸c˜oes relativa s

a cosmologia quˆantica (CQ).

Vamos apresentar o primeiro motivo que inviabiliza o uso da IC na cos-

mologia quˆantica. Suponha que para um dado modelo encontramos que o Uni-

verso tem a probabilidade de 8 0% de assumir um certo estado E. Segundo a

int erpreta¸c˜ao estat´ıstica da IC temos que se a experiˆencia for repetida muitas

vezes, em 80% dos casos o Universo possuir´a o estado E. O problema consiste

essencialmente em como repetir a experiˆencia, ou seja, consiste no fa t o de

estarmos tratando com uma situa¸c˜ao de um ´unico evento que n˜ao pode ser

repetido, como por exemplo, o surgimento do Universo.

2.10 Interpreta¸c˜ao de muitos mundos 47

O segundo problema da IC em CQ surge quando percebemos que devi-

do ao fato do sistema em investiga¸c˜ao ser o Universo, que por deﬁni¸c˜ao ´e a

totalidade das coisas, n˜ao existe possibilidade de haver um observador ex-

terno fazendo medidas do sistema. Esses problemas conceituais motivaram os

pesquisadores a buscar uma proposta de interpreta¸c˜ao da mecˆanica quˆantica

de sistemas fechados e o resultado foi a denominada interpreta¸c˜ao de muitos

mundos (IMM) [16].

Na IMM existe o cuidado de descrever quanticamente o “sistema f´ısico”e

o “observador”(ou o a par elho de medidas). Isso a torna mais apropriada do

que a IC para estudar sistemas fechados, pois trata em igualdade o “sistema

f´ısico”e o “ observador”. Vamos discutir um pouco sobre a IMM.

Seja {|S >} uma base ortonomal de vetores que descreve os poss´ıveis esta-

dos do “ sistema f´ısico”e que al´em disso, s˜ao autovetores de um observ´avel do

“sistema f´ısico”cujos autovalores formam o conjunto {s}. Fazendo o mesmo

para o “observador”teremos os a utovetores { |O >}, de um certo observ´avel

do “observador”com autovalores {o}. Se deﬁnirmos que o universo ´e compo sto

pelo “sistema f´ısico”e o “observador”, uma base de vetores ortonormais para

o universo ser´a dada pelo conjunto de vetores formados pelo produto direto

dos vetores dos conjuntos {|S >} e {|O >}. Um elemento t´ıpico dessa base

´e dado por

|S, O >= |S > |O > . (2.105)

Por simplicidade vamos considerar o conjunto dos autovalores do ob-

serv´avel do “sistema f´ısico”s, discreto e o conjunto dos autovalores do ob-

serv´avel do “observador”o cont´ınuo. Desta forma, as condi¸c˜oes de ortonor-

malidade e completeza para a base universal s˜ao dadas resp ectivamente por:

2.10 Interpreta¸c˜ao de muitos mundos 48

< S, O|S

′

, O

′

>= δ

′

δ(o − o

′

); (2.106)





|S, A >< S, A|dA = 1. (2.107)

Vamos assumir que o estado do universo em um instante inicial ´e repre-

sentado pelo vetor

|Ψ

>= |Ψ > |Φ > (2.108)

onde |Ψ > ´e um vetor do espa¸co de Hilbert do “sistema f´ısico”e |Φ > ´e

um vetor do espa¸co de Hilbert do “observador”. Neste estado n˜ao existe

correla¸c˜ao entre “sistema f´ısico”e o “observador”. O papel do “observador”´e

fazer uma medida sobre o estado do “sistema f´ısico”. Desta forma o “ sistema

f´ısico”e o “observador ”devem se acoplar durante um certo intervalo de tempo

ou interagir, de tal forma que o estado universal inicial ser´a modiﬁcado.

Vamos supor que essa intera¸c˜ao ou medida de um estado do “sistema

f´ısico”pelo “observador”´e representada por um operador unit´ario U, que pos-

sui as seguintes pro priedades:

• quando U ´e aplicado a um estado |S, O > do universo, ele n˜ao modiﬁca

o estado do “sistema f´ısico”;

• quando U ´e aplicado a um estado |S, O > do universo, mede o estado

do “sistema f´ısico”atrav´es de modiﬁca¸c˜oes do estado do “observador”.

O novo estado do “observador”ir´a depender do seu estado antes da

medida, do acoplamento entre o “sistema f´ısico”e o “observa do r”du-

rante a medida, e do estado do “observador”.

2.10 Interpreta¸c˜ao de muitos mundos 49

Pode-se representar essa medida por

U|S, O >= |S, O + gS >= |S > |O + gS > (2.109)

onde g ´e a constante de acoplamento entre “sistema f´ısico”e o “observador”du-

rante a medida.

Podemos interpretar essa intera¸c˜ao aﬁrmando que o “o bservador”mediu

o valor s para o observ´avel do “sistema f´ısico”e armazenou essa informa¸c˜ao ,

uma vez que o vetor de estado sofreu uma modiﬁca¸c˜ao permanente de |O >

para |O + gS >. D evemos ressaltar que essa intera¸c˜ao ou medida que consi-

deramos ´e um elemento de um conjunto mais geral de int era¸c˜oes, que:

• N˜ao mant´em o autovalor do observ´avel “sistema f´ısico”inalterado;

• O estado ﬁnal do observador tem uma dependˆencia em O, g e S mais

complicada do que em (2.109).

Apesar dessa medida que iremos utilizar ser uma caso especial e sua

escolha ter sido feita com o objetivo de simpliﬁcar o tratamento do problema,

pode-se mostrar que existem Hamiltonianas que representam esse tipo de

acoplamento [29] .

Usando ent˜ao a medida representada por U, temos que o estado inicial do

universo |Ψ

> (2.108) deve ser modiﬁcada (pela a¸c˜ao de U) para um estado

ﬁnal |Ψ

|Ψ

>= U|Ψ

> . (2.110)

Desta forma, podemos avaliar, com a ajuda de (2 .1 06), (2.107), (2.109) e

da forma expl´ıcita de |Ψ

> (2.108), o resultado de uma medida do “obser-

vador”sobre o “sistema f´ısico”para o estado universal inicial considerado:

2.10 Interpreta¸c˜ao de muitos mundos 50

|Ψ

>= U|Ψ > |Φ > = U





|S >< S|Ψ >







dO|O >< O|Φ >



|Ψ

>= U





|S >







dOΦ(O)|O >



∴

|Ψ



|S >



dOΦ(O)U|O > ∴

|Ψ



|S >



dOΦ(O)|O + gS > ∴

|Ψ



|S > |Φ(S) > (2.111)

onde deﬁnimos:

=< S|Ψ >, |Φ(S) >=



dOΦ(O)|O + gS > e Φ(O) =< O|Φ >.

No que se segue va mos supor que < Ψ|Ψ >= 1 e < Φ|Φ >= 1, o que

implica que:

= |C

(2.112)

satisfaz



= 1. (2.113)

Observando a express˜ao para o estado universal ﬁnal (2.111), vemos que

esta n˜ao representa o observ´avel do “sistema f´ısico”tendo um ´unico valor. Na

verdade, (2 .1 11) representa uma combina¸c˜ao linear de vetores |S > |Φ(S) >,

cada um dos quais representa o o bserv´avel do “sistema f´ısico”tendo assumido

um dos seus valores poss´ıveis e o “observador”tendo medido este valo r . Para

Formalismo ADM 51

cada estado do “sistema f´ısico”|S >, existe um estado correspondente do

“observador”| Φ(S) >. Chegamos, agora, ao moment o em que a IMM ir´a

diferir da interpreta¸c˜ao de Copenhaguen.

A IC nos informa que a fun¸c˜ao-de-onda colapsa imediatamente a p´o s a

medida. Ao inv´es de ser formada por uma combina¸c˜ao linear de vetores in-

dividuais ela se reduz a um ´unico vetor. Assim, no presente caso, a fun¸c˜ao-

de-onda |Ψ

> ´e reduzida a um ´unico elemento | S > |Φ(S) > da combina¸c˜ao

linear ( 2.111). Uma vez que n˜ao se sabe para qual elemento da combina¸c˜ao

linear ela foi reduzida, atribui-se uma distribui¸c˜ao de probabilidades para os

resultados poss´ıveis com os pesos (2.112) associados a cada um deles.

A IMM nos informa que a fun¸c˜ao-de-onda nunca colapsa. Cada elemento

da combina¸c˜ao linear (2.111), t em uma “realidade”pr´opria e independente.

A fun¸c˜ao-de-onda universal se divide irreversivelmente em tantos ramos di-

ferentes quanto o n´umero de autovetores do observ´avel “sistema f´ısico”que

usamos para descrever |Ψ

>. Nenhuma medida o u processo f´ısico realizado

em um dos ramos poder´a ser detectado nos demais ramos, ou seja, eles s˜ao

incomunic´aveis. A quantidade (2 .1 12) d´a uma medida da probabilidade do

“observador” ter medido um dos poss´ıveis autovalores do observ´avel do “sis-

tema f´ısico”.

A aplicabilidade da IMM para cosmologia quˆant ica pode ser claramente

percebida quando notamos que esta interpreta¸c˜ao tr ata o “sistema f´ısico”e

o “observador”em igualdade de condi¸c˜oes. Ambos s˜ao descritos por estados

quˆanticos e a composi¸c˜ao dos dois resulta no espa¸co de Hilbert universal que

nessa interpreta¸c˜ao iremos descrever. Assim , se identiﬁcarmos o Universo

com a fun¸c˜ao-de-onda universal e usarmos a interpreta¸c˜ao probabil´ıstica dada

anteriormente, vemos a relevˆancia da IMM para a cosmologia quˆantica.

Cap´ıtulo 3

M´etodos Num´er icos e

Aproximati vos

3.1 Introdu¸c˜ao

Nesse trabalho fo i necess´ario resolver uma equa¸c˜ao diferencial parcial

(EDP) tipo Schr¨odinger. Essa EDP n˜ao possui solu¸c˜ao anal´ıtica conhecida.

Dessa forma, foi necess´ario recorrer ao emprego de m´etodos num´ericos para

resolvˆe-la e como sua solu¸c˜ao ´e num´erica, todas as grandezas calculadas a

partir dela tamb´em demandam o uso de m´etodos num´ericos.

Nessa se¸c˜ao descreveremos de maneira breve os m´etodos num´ericos que

foram usados nesse trabalho. Al´em disso, falaremos um pouco sobre o m´etodo

WKB, um m´etodo aproximado para resolver a equa¸c˜ao de Schr¨odinger. O

nosso intuito ´e comparar os resultados obtidos com o m´etodo WKB e a

solu¸c˜ao num´erica exata que obtivemos.

3.2 Interpola¸c˜ao 53

3.2 Inte r pola¸c˜ao

3.2.1 Introdu¸c˜ao

A interpola¸c˜ao ´e utilizada em casos onde ´e dif´ıcil calcular o valor da

fun¸c˜ao em um ponto do dom´ınio ou ainda quando dispomos de um conjunto

de valores que em geral s˜ao o btidos atrav´es de experimentos. Nesses casos,

n˜ao temos a express˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao [30]. Podemos deﬁnir o problema

da interpola¸c˜ao da seguinte forma [31], [32]:

Deﬁni¸c˜ao 3.2.1 S endo conhecidos os dados (x

, y

), i ∈ {0, 1, . . . , n} cor-

respondentes aos valores de argumen tos e valores de uma fun¸c˜ao f, de modo

que y = f(x). Deseja-se ob ter os valo res f(¯x), ¯x = x

utilizando-se os pontos

dados.

O objetivo da interpola¸c ˜ao ´e obter o valor aproximado de f (¯x). Para isso

vamos construir, a partir dos dados, uma n ova fun¸c˜ao φ que interpola a f ,

tal que:

1. (∀x

, x

≤ x

) [φ(x

) = f(x

)]

2. (∀x ∈ [x

, x

]) [φ(x

)

∼

f(x

)]

A fun¸c˜ao φ que interpola f pode pertencer a uma das seguintes fam´ılias:

• P: polinˆomios : y = a

+ a

n−1

+ ···+ a

n−1

x + a

• F: Fourier : f

(x) = a

cos(i x) + b

sen(i x)

• E: exponenciais : y = a exp(bx)

• S: splines : peda¸cos de polinˆomios

3.2 Interpola¸c˜ao 54

Vamos abordar o problema da interpola¸c˜ao no contexto de valores tabela-

dos. Nesse caso, a fun¸c˜ao f pode ser dada atr av´es de uma tabela correspon-

dente aos valores da f un¸c˜ao para um n´umero limitado de va lores x, como o

exemplo a seguir, mostrado na tabela 3.1 .

. . . x

. . . y

Tabela 3.1: Valores tabelados da fun¸c˜ao f (x)

Admitindo que os valores tabelados foram obtidos com grande precis˜ao (

isto ´e, todas a s casas s˜ao conﬁ´aveis), ´e poss´ıvel obter o valor da fun¸c˜ao em

pontos que n˜ao est˜ao na tabela.

Assim, a partir de uma tabela com valores de uma fun¸c˜ao f, onde y =

f(x), com n pontos, deve-se escolher n fun¸c˜oes f

, i ∈ {0, 1, . . . , n} cuja com-

bina¸c˜ao ser´a usada como aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao dada, conforme a equa¸c˜ao

(3.1).

f(x)

∼

(x) + c

(x) + ···+ c

(x) = φ(x). (3.1)

As fun¸c˜oes f

s˜ao conhecidas e escolhidas conforme a natureza do pro-

blema que est´a tabelado. O que desejamos calcular s˜ao as constantes c

Conforme o item (1) da deﬁni¸c˜ao de interpola¸c˜ao que apresentamos, temos

que a aproxima¸c˜ao φ(x) deve coincidir com f(x) nos pontos fornecidos na

tabela [31]. Isso nos fornece o sistema:











) + c

) + ··· + c

) = y

) + c

) + ··· + c

) = y

) + c

) + ··· + c

) = y

(3.2)

3.2 Interpola¸c˜ao 55

Esse sistema ´e linear e pode ser resolvido com as t´ecnicas apropriadas

[36]. A escolha das f

inﬂui muito no c´alculo do valor aproximado de f(

x),

onde

x n˜ao ´e tabelado. Quando n˜ao h´a uma id´eia sobre a forma anal´ıtica da

, podemos escolher f

tal que:

(x) = x

(3.3)

e com isso, a fun¸c˜ao φ que interpola a f ser´a um polinˆomio.

3.2.2 Interpola¸c˜ao Polinomial

Os polinˆomios constituem a classe de fun¸c˜oes mais usada na int erpola¸c˜ao,

pois s˜ao f´aceis de derivar, integrar e calcular. Pode-se usar v´arios tipos de

polinˆomios em interpola¸c˜ao polinomial. Mostraremos os mais comuns.

Interpola¸c˜ao Linear

A interpola¸c˜ao linear constitui em passar segmentos de reta (polinˆomios

de grau 1). A ﬁgura (3.1) ilustra essa situa¸c˜ao.

Temos ent˜ao que f(x

) = a

+ a

x, que passar´a por x

e x

, ou seja,

passando por x

e x

i+1

. Seja f

= a

i−1

+ a

, com i ∈ {1, . . . , n − 1}.

Queremos que f

) = f

i+1

). Trabalhando com essas restri¸c˜oes, obtemos:

i+1

.f(x

) − x

.f(x

i+1

)

i+1

− x

; (3.4)

i+1

f(x

i+1

) − f(x

)

i+1

− x

. (3.5)

3.2 Interpola¸c˜ao 56

A desvantagem desse m´etodo ´e que a fun¸c˜ao φ resultante n˜ao possui derivada

cont´ınua em todos os pontos[31].

Figura 3.1: Interpola¸c˜ao Linear

Interpola¸c˜ao quadr´atica

A interpola¸c˜ao quadr´atica consiste em passar um polinˆomio do segundo

grau atrav´es de trˆes pontos: x

i=1

, x

e x

i+1

, onde f

(x) ´e dada por:

(x) = p

(x) = a

+ a

x + a

. (3.6)

Deve- se ent˜ao resolver o sistema:







+ a

i−1

+ a

i−1

)

= y

i−1

+ a

)

= y

+ a

i+1

+ a

i+1

)

= y

i+1

(3.7)

3.2 Interpola¸c˜ao 57

Podemos provar que para f

(x) = x

o sistema (3.2) tem solu¸c˜ao ´unica, o

que mostaremos a seguir [31], [32]. Escrevendo (3.2) na forma matricial para

a interpola¸c˜ao quadr´atica, temos:

Xa = y

onde:

X =







1 x

. . . x

1 x

. . . x

1 x

. . . x







a =













y =













Com isso, p(x) = a

+ a

x + a

+ ···+ a

, de modo que p(x

) = y

Eis a prova da unicidade:

Teorema 3.2.1 O sistema Xa = y tem ´unica solu¸c˜ao.

Prova:

Por absurdo, suponhamos que Xa = y n˜ao tenha solu¸c˜ao ´unica. Ent˜ao

detX = 0 e o sistema Xa = 0 adm i te solu¸c˜oes n˜ao nulas. Seja ¯a = {¯a

, ¯a

, . . . , ¯a

}

uma dessas solu¸c˜oes com pelo men os uma compone nte a

= 0, i ∈ { 0, . . . , n}.

Seja q(x) o polinˆomi o dado por:

q(x) = ¯a

+ ¯a

x + ··· + ¯a

3.2 Interpola¸c˜ao 58

Este polinˆomio n˜ao ´e identicamente nulo e tem grau menor ou igual a n.

Por outro lado, q(x

) = 0, 0 ≤ i ≤ n; da´ı q tem n + 1 ra´ızes distintas, o que ´e

um absurdo pelo teorema fundamental da

Algebra. Logo X¯a = ¯y tem solu¸c˜ao

´unica.

Interpola¸c˜ao pelos polinˆomios de Lagrange

Podemos determinar mais facilmente o polinˆomio interpolador sem re-

solver o sistema (3.2) utilizando os polinˆomios de Lagrange [31].

Deﬁni¸c˜ao 3.2.2 As fun¸c˜oes:

(x) =



i=0,k=i

x − x

− x

(x − x

)(x − x

) . . . (x − x

k−1

)(x − x

k+1

) . . . (x − x

)

− x

)(x

− x

) . . . (x

− x

k−1

)(x

− x

k+1

) . . . (x

− x

)

(3.8)

s˜ao polin ˆomios de Lagrange.

Teorema 3.2.2 Propriedades do Polinˆomio de Lagrange:

1. L

(x) ∈ P

. Ou seja, L

(x) ´e um polinˆomio de grau n.

2. L

) =







1 se k = i

0 se k = i

E f´acil ver que, se x = x

, i ∈ {0, . . . , n}, ent˜ao L

(x) ´e um polinˆomio de

grau n. Caso cont r´ario, teremos um polinˆomio de grau menor que n.

Teorema 3.2.3 O po l i nˆomi o de grau n o u menor, que interpola os pontos

, y

), (x

, y

), . . . , ( x

, y

), ´e dado por:

p(x) = y

(x) + y

(x) + ··· + y

(x) (3.9)

3.2 Interpola¸c˜ao 59

p(x) =



i=0



f(x



j=0,j=i

x − x

− x



(3.10)

Teorema 3.2.4 Erro de truncamento

Seja p(x) um pol i nˆomi o (´unico) de grau n que satisfaz a cond i¸c˜ao p(x

) =

, 0 ≤ i ≤ n, onde f

= f (x

) = y

e f ´e uma fun¸c˜ao deﬁnid a no intervalo

[a, b] que con t´em os diferentes n + 1 pontos x

. Se f ´e (n + 1) vezes continu-

amente diferenci´avel em [a, b], ent˜ao para ¯x ∈ [a, b] o erro de truncamento ´e

dado por:

(¯x) = f (¯x) − p(¯x) =



(n+1)

(ζ)

(n + 1)!



(¯x − x

). (¯x − x

). . . . .(¯x − x

Interpola¸c˜ao por splines c´ubicos

Uma das grandes diﬁculdades com a interpola¸c˜ao lagrangiana ´e que para

polinˆomios de baixo grau o erro de t runcamento pode ser grande e para

polinˆomios de gra us mais alto s tamb´em poder´a haver v´arios erros.

Em certas aplica¸c˜oes em que a fun¸c˜ao interpolante precisa ser diferenciada

´e importante obter uma aproxima¸c˜ao t˜ao suave quant o poss´ıvel. Uma f orma

de obter est´a aproxima¸c˜ao ´e atrav´es dos splines c´ubicos [31], [33].

Deﬁni¸c˜ao 3.2.3 S ejam x

, x

, . . . , x

pontos distintos com a = x

< x

··· < x

= b e sejam f

, f

, . . . , f

os valores da fun¸c˜ao f nestes pontos. O

spline c´ubico que interpola estes dados ´e a fun¸c˜ao s deﬁnida em [a, b] q ue

tem as seguintes proprieda des [30], [31]:

1. s(x

) = f

, 1 ≤ i ≤ n ou f

= y

3.2 Interpola¸c˜ao 60

2. s(x) , s

′

(x) e s

′′

(x) s˜ao cont´ınuas em [a, b].

3. Em cada subintervalo [x

, x

i+1

], 1 ≤ i ≤ n − 1, s(x) ´e um polinˆomio

c´ubico.

Dedu¸c˜ao da f´ormula dos splines

Desde que s(x) ´e um polinˆomio c´ubico em cada subintervalo [x

, x

i+1

vamos indic´a-lo por p

(x). Vejamos a ﬁgura (3.2)

Figura 3.2: Polinˆomios Interpoladores

Da´ı temos (pela pro priedade 3) que p

′′

(x) ´e linear (reta) e, como desejamos

que a varia¸c˜ao do raio de curvatura seja cont´ınua nos pontos bases, em cada

ponto x

a segunda derivada do polinˆomio anterior ´e igual `a do polinˆomio

posterior, temos:

3.2 Interpola¸c˜ao 61

′′

) = p

′′

i−1

); (3.11)

′

) = p

′

i−1

). (3.12)

Da´ı p

′′

(x) deve passar nos pontos (x

i+1

, φ

i+1

) e (x

, φ

); assim, temos o

esquema da ﬁgura (3.3),

Figura 3.3: Dedu¸c˜ao de P

′′

(x)

onde

= p

′′

) = p

′′

i−1

) e h

= x

i+1

− x

Logo, a f´ormula para p

′′

) ´e dada por:

3.2 Interpola¸c˜ao 62

′′

) = φ

(φ

i+1

− φ

)(x −x

)

Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, temos:

′′

(x) =

i+1

− x)

i+1

(x −x

)

Integra ndo p

′′

(x), temos:

′

i+1

− x)

+ c

i+1

(x − x

)

+ d

onde c

e d

s˜ao constantes de integra¸c˜ao.

Integra ndo novamente, temos:

′

i+1

− x)

i+1

(x −x

)

+ c

(x − x

) + d

i+1

− x).

Substituindo x por x

, temos:

) =

+ d

i+1

) =

i+1

− x

)

+ c

i+1

− x

Como p

) = y

e p

i+1

) = y

i+1

, temos que:

−

i+1

−

i+1

3.2 Interpola¸c˜ao 63

Logo:

(x) =

i+1

− x)

i+1

(x −x

)



i+1

−

i+1



(x − x

) +(3.13)



−



i+1

− x

), 1 ≤ i ≤ n.

Diferenciando p

(x), obtemos:

′

(x) = −

i+1

− x)

−

i+1

−

i+1

(x − x

)

Calculando p

′

) e p

′

i−1

) e usando as igualdades (3.11) e (3.12), obte-

mos:

i−1

+ 2 (h

+ h

i−1

)φ

+ h

i+1

= 6



i+1

− y

−

− y

i−1



(3.14)

para 2 ≤ i ≤ n − 1.

Logo, temos n − 2 equa¸c˜oes e n inc´ognitas: φ

, . . . , φ

. No entanto, por

(3.14) temos: s

′′

) = s

′′

) = φ

= φ

= 0. Ent˜ao o sistema dado por

(3.14) ´e determinado da seguinte forma:

i = 2 h





+2(h

+ h

)φ

+ h

= 6



− y

−

− y



i = 3 3h

+ 2 (h

+ h

)φ

+ h

= 6



− y

−

− y



E assim por diante at´e i = n − 1:

n−2

+ 2 (h

n−1

+ h

n−2

)φ

n−1

= 6



− y

n−1

−

n−1

− y

n−2



3.2 Interpola¸c˜ao 64

Se chamarmos de:

= 6



i+1

− y



teremos o sistema na seguinte forma tridiagonal:







2(h

+ h

) h

2(h

+ h

) h

2(h

+ h

) h

n−2

2(h

n−2

+ h

n−1

)













n−1













− b

n−1

− b

n−2







Calcula-se φ

, φ

n−1

por Gauss e substituem-se tais valores na f´ormula

(3.14). Como o sistema ´e tridiagonal, podemos resolvˆe-lo recursivamente, da

seguinte forma:

= 2(h

+ h

);

= 2(h

i−1

+ h

) −

i−1

3 ≤ i ≤ n − 1;

= b

− b

;

= (b

+ b

i−1

) −

i−1

3 ≤ i ≤ n − 1.

Os φ

s˜ao calculados da seguinte forma:

n−1

;

− h

i+1

n −2 ≤ i ≤ 2.

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 65

Os polinˆomios s˜ao assim obtidos:

(x) = y

+ α

(x −x

) + β

(x −x

)

+ γ

(x −x

)

onde:

i+1

− y

−

i+1

−

;

i+1

− φ

3.3 Inte gra¸c˜ao Num´erica

3.3.1 Introdu¸c˜ao

A partir do c´alculo diferencial e integral sabe-se que, dada uma fun¸c˜ao

f(x) cont´ınua em um interva lo [a, b], tem-se:



f(x)dx = F (b) −F (a), (3.15)

onde F

′

(x) = f(x). Graﬁcamente a int erpreta¸c˜ao da integral ´e a ´area sob o

gr´aﬁco da fun¸c˜ao, como sugerido na ﬁgura (3.4).

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 66

Figura 3.4:

Area sob uma curva

Em muitas situa¸c˜oes pode ser dif´ıcil ou mesmo imposs´ıvel a obten¸c˜ao

de F (x). Tamb´em podem existir aplica¸c˜oes em que a fun¸c˜ao f(x) ´e conhe-

cida apenas para valores t abelados em um intervalo [a, b]. Nestas situa¸c˜oes

ﬁca inviabilizada a solu¸c˜ao da integral. A sa´ıda ´e a utiliza¸c˜ao de m´etodos

num´ericos. A id´eia b´asica da integra¸c˜ao num´erica ´e substituir a f un¸c˜ao f(x)

por um polinˆomio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b] e integrar

o polinˆomio, ou seja:



f(x)dx =



(x)dx = A

f(x

) + A

f(x

) + ··· + A

f(x

onde x

∈ [a, b], i = 1, . . . , n.

3.3.2 F´ormulas de Newton-Cotes

A fun¸c˜ao f(x) ´e aproximada por um polinˆomio interpolador gerado a

partir da f´ormula de Gregory-Newton par a pontos igualmente espa¸cados no

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 67

int ervalo [a, b]. As f´ormulas de Newton-Cotes variam de acordo com o grau

do polinˆomio interpolador, como segue [30], [33], [38]. Para ver uma r´apida

descri¸c˜ao da f´ormula de Gregory-Newton, por favor consulte o apˆendice B.

Regra dos Trap´ezios

Nesta regra, a fun¸c˜ao a ser integrada ser´a aproximada por um polinˆomio

int erpolador de ordem 1. Portanto, necessita-se de dois pontos para a inter-

pola¸c˜ao [37], ou seja, [x

, x

] = [a, b]. Tem-se a express˜ao:

A =



f(x)dx ≈



dx.

A partir da f ´ormula de Gregory-Newton, tem-se:

(x) = f (x

) +

(x −x

)

∆f(x

onde h ´e dado por (b − a).

Resultando em:

A =



f(x)dx ≈



dx =





f(x

) +

(x − x

)

∆f(x

)



dx.

Para facilitar esta integra¸c˜ao, faz-se uma mudan¸ca de vari´aveis:

= f(x

); (3.16)

z =

(x −x

)

; (3.17)

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 68

∆y

= ∆f( x

) = f(x

) −f(x

). (3.18)

Resultando em:

A ≈



+ z∆y

] dx.

Como z =

(x−x

)

e derivando em rela¸c˜ao a x, tem:

⇒ dx = hdz.

Mudando os limites de integra¸c˜ao:

a = x

⇒ z =

− x

)

= 0;

b = x

⇒ z =

− x

)

= 1,

temos:

A ≈



+ z∆y

] hdz (3.19)

Integra ndo a express˜ao (3 .19), tem-se:

A ≈



+ z∆y

] hdz = h



∆y



= h



∆y



. (3.20)

Substituindo as express˜o es (3.16) e (3.18) em (3.20) [37], tem-se:

A =



f(x)dx ≈ h



f(x

) +

f(x

) − f(x

)



[f(x

) + f(x

)] . (3.21)

A express˜ao (3.21) pode ser interpretada graﬁcamente:

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 69

Figura 3.5: Polinˆomio de primeiro grau

Observe que a ´area marcada representa um trap´ezio. A integral ´e aproxi-

mada pela ´area do trap´ezio [36]:

(BaseMenor + BaseMaior).Altura

[f(x

) + f(x

)] .

O erro cometido pela integra¸c˜ao pela Regra do Trap´ezio ´e dado pela

express˜ao (3.22). Este erro pode ser chamado de erro de truncamento, pois

se t runcou a ordem do polinˆomio interpolador em 1:

= −

′′

, x

]. (3.22)

Como o ponto c n˜a o ´e um ponto conhecido, a express˜ao (3.22) pode ser

aproximada pela express˜ao ( 3.23).

E

| ≤

.max |f

′′

(x)| x ∈ [x

, x

]. (3.23)

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 70

Regra do Trap´ezio - F´ormula Composta

A aproxima¸c˜ao da integral pela Regra do Trap´ezio pode ser po uco precisa.

Para melhorar o resultado, pode-se subdividir o intervalo [a, b] de integra¸c˜ao

em n subintervalos de amplitude h e aplicar a R egra do Trap´ezio em cada

subintervalos [32], [39], como pode ser visto na ﬁgura (3.6):

Figura 3.6: F´ormula Composta da Regra do Trap´ezio

Aplicando-se a Regra do Trap´ezio a cada subintervalo, tem-se para a

aproxima¸c˜ao da int egral:

A =



f(x)dx ≈

[f(x

) + f(x

)]+

[f(x

) + f(x

)]+···+

[f(x

n−1

) + f(x

)] .

Resultando em:

A =



f(x)dx ≈

[f(x

) + 2f(x

) + ··· + 2f(x

n−1

) + f(x

)] .

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 71

O erro resultante ´e a soma dos erros cometidos na aplica¸c˜ao da Regra do

Trap´ezio em cada subintervalo [32].

= E

+···+E

n−1

−



b−a



′′

−(b − a)

12n

′′

O erro cometido pode ser aproximado por:

≤



(b − a)

12n



max |f

′′

(x)| a ≤ x ≤ b.

Primeira Regra de Simpson

Nesta regra, a fun¸c˜ao a ser integrada ser´a aproximada por um polinˆomio

int erpolador de o rdem 2. Portanto, necessita-se de trˆes pontos para a in-

terpola¸c˜ao, ou seja, {x

, x

}, onde x

= a e x

= b [36], [37]. Tem-se a

express˜ao:

A =



f(x)dx ≈



(x)dx.

A partir da f ´ormula de Gregory-Newton, tem-se:

(x) = f (x

) +

(x −x

)

∆f(x

) + (x −x

)(x −x

)

∆2f(x

)

sendo h = x

− x

= x

− x

Resultando em :

A =



f(x)dx ≈



(x)dx ∴

A =





f(x

) +

(x −x

)

∆f(x

) + (x − x

)(x − x

)

∆2f(x

)



dx.

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 72

Para facilitar esta integra¸c˜ao, faz-se uma mudan¸ca de vari´aveis:

= f(x

); (3.24)

z =

(x − x

)

; (3.25)

(x − x

)

x − x

− h

(x − x

)

− 1 = z − 1 (3.26)

∆y

= ∆f(x

) = f(x

) − f(x

) = y

− y

(3.27)

∆

= ∆

f(x

) = ∆f(x

) − ∆f(x

)

∆

= [f(x

) − f(x

)] − [f(x

) − f(x

)]

∆

= [f(x

) − 2f(x

) + f(x

)] = [y

− 2y

+ y

] . ( 3.28)

Resultando em:

A ≈





+ z∆y

z(z − 1)

∆



dx.

Como z =

(x−x

)

e derivando em rela¸c˜ao a x, temos:

⇒ dx = hdz.

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 73

Mudando os limites de integra¸c˜ao:

a = x

⇒ z =

− x

= 0

b = x

⇒ z =

− x

= 2,

temos:

A ≈



+ z∆y

] .h.dz. (3.29)

Integra ndo a express˜ao (3 .29), tem-se:

A ≈





+ z∆y

z(z − 1)

∆



.h.dz ∴

A ≈ h



∆y



−



∆



∴

A ≈ h



+ 2 ∆y

∆



. (3.30)

Substituindo as express˜o es (3.24) a (3.28) em (3.30), tem-se:

A =



f(x)dx ≈ h



+ 2y

− 2y

−



∴

A ≈



[f(x

) + 4f(x

) + f(x

)] . (3.31)

O erro de truncamento resultante da integra¸c˜ao pela primeira regra de

Simpson ´e dado por [32]:

3.3 Integra¸c˜ao Num´erica 74

= −

(IV )

, x

]. (3.32)

Como o ponto c n˜ao ´e um ponto conhecido, a express˜ao (3.32) pode ser

aproximada pela express˜ao ( 3.33).

| ≤



max



(IV )

(x)



x ∈ [x

, x

]. (3.33)

Primeira Regra de Simpson - F´ormula Composta

Para melhorar o resultado, pode-se subdividir o intervalo [a, b] de inte-

gra¸c˜ao em n subintervalos de amplitude h e aplicar a Primeira Regra de

Simpson em cada subintervalos. Pela necessidade de haver trˆes pontos em

cada subintervalos, o n´umero de subintervalos deve ser par [32]. A formula¸c˜ao

´e dada por:

A =



f(x)dx ∴

A ≈

[f(x

) + 4f(x

) + f(x

)] +

[f(x

) + 4f(x

) + f(x

)] + (3.34)

···+

[f(x

n−2

) + 4f(x

n−1

) + f(x

)]

Resultando em:

A ≈

[f(x

) + 4f(x

) + 2f (x

) + 4f(x

) + 2f(x

) + ··· + 2f(x

n−2

) (3.35)

+4f(x

n−1

) + f(x

)]

3.4 O M´etodo de Crank-Nicholson 75

O erro de truncamento resultante da integra¸c˜ao pela Primeira Regra de

Simpson - F´ormula composta ´e dado por:

= −

(b −a)

180n

(IV )

onde n ´e o n´umero de subintervalos. Como o ponto c n˜ao ´e um ponto con-

hecido, a express˜ao (3.33).

| ≤



(b − a)

180n



.max



(IV )

(x)



x ∈ [a, b]. (3.37)

3.4 O M´etodo de Crank-Nicholson

Quando vamos estudar a natureza ´e comum utilizarmos equa¸c˜oes diferen-

ciais parciais (EDP) nos modelos matem´aticos empregados. Algumas EDPs

possuem solu¸c˜ao anal´ıtica, enquanto que outras podem ser resolvidas apenas

pelo emprego de m´etodos num´ericos. Vamos abordar o m´etodo das diferen¸cas

ﬁnitas para resolver EDPs. Concentraremos nossa aten¸c˜ao no caso em que

a EDP depende de uma vari´avel espacial e outra temporal. No caso do pre-

sente trabalho, aplicaremos o m´etodo para resolver uma equa¸c˜ao do tipo

Schr¨odinger proveniente do modelo de minisurpespa¸co que adotamos.

Nosso objetivo ´e encontrar a fun¸c˜ao u(x, t) que satisfaz

+ bu

+ cu − u

= 0 (3.38)

sujeita a condi¸c˜ao inicial u(x, 0) = f(x) ou outra poss´ıvel condi¸c˜ao de con-

torno. Os coeﬁcientes a, b, c podem ser fun¸c˜oes de x e t.

3.4 O M´etodo de Crank-Nicholson 76

Figura 3.7: Discretiza¸c˜ao do dom´ınio

Infelizmente n˜ao somos capazes de calcular a fun¸c˜ao u em todos os pontos

do dom´ınio. Calcularemos somente os valores num´ericos de u ( x, t) situados

em uma malha de x e t tomados sobre o dom´ınio, conforme a ﬁgura 3.4 . Para

obter o valor de u para valores quaisquer de x e t faremos uma interpola¸c˜ao

levando em conta os valores conhecidos de u na malha [32] , [33].

Dessa forma, vamos discretizar nosso dom´ınio de acordo com o esquema

exposto na ﬁgura 3.4. Vamos trabalhar com de valores de x e t tais que

x ∈ [x

min

, x

max

] e t ∈ [0, T ]. Dividiremos o intervalo [0, T ] em N intervalos

igualmente espa¸cados e indexados por n = 0, ..., N e [x

min

, x

max

] em I inter-

valos indexados por i = 0, ..., I. O tamanho desses intervalos ´e k na dire¸c˜ao

temporal e h na dire¸c˜ao espacial. Com isso, procuraremos valores de u na

3.4 O M´etodo de Crank-Nicholson 77

malha (N + 1) × (I + 1). Seja u

i,n

a aproxima¸c˜ao de u no ponto da malha

onde x = x

min

+ ih e t = nk.

O pr´oximo passo consiste em aproximar as derivadas parciais de u em cada

ponto da malha por diferen¸cas envolvendo os u

i,n

desconhecidos. Podemos

calcular u

i,0

para todos os i a partir da condi¸c˜ao inicial f . Vamos aproximar

as derivadas parciais a partir de um ponto de coordenadas (i, n) qualquer da

malha [32 ], [33]. Assim, temos:

u = u

i,n

(3.39)

∂u

∂t

i,n+1

− u

i,n

(3.40)

∂u

∂x

i+1,n

− u

i−1,n

(3.41)

∂

∂x

i+1,n

− 2u

i,n

+ u

i−1,n

(3.42)

Substituindo esses resultados na EDP (3.38) e resolvendo as equa¸c˜oes

para u

i,n+1

temos

i,n+1



a +



i+1,n



1 + kc −



i,n



a −



1−1,n

(3.43)

Com isso, podemos calcular todos os u

i,n+1

e obter u para todos os pontos

int eriores malha. Para calcular toda a fun¸c˜ao u, temos que usar condi¸c˜oes de

contorno em x

min

e x

max

, por exemplo. Falaremos mais sobre isso adiante.

O resultado obtido ´e denominado m´etodo das diferen¸cas ﬁnitas expl´ıcito.

Ele tem acuracidade de segunda ordem em x e primeira ordem em t. A solu¸c˜ao

num´erica ´e inst´avel se k/h

n˜ao ´e suﬁcientemente pequeno. Por inst´avel en-

tendemos que pequenos erros devido a imprecis˜ao aritm´etica ou devido as

3.4 O M´etodo de Crank-Nicholson 78

aproxima¸c˜oes que ﬁzemos para as derivadas tendem a se acumular e crescer

muito.

Para resolver o problema da instabilidade citado, usaremos o esquema

impl´ıcito das diferen¸cas ﬁnitas. Esse esquema ´e recomendado para a maioria

dos problemas em que se usa o algoritmo de Crank-Nicolson e ´e incondi-

cionalmente est´avel [34]. Al´em disso tem acuracidade de segunda ordem em

x e em t.

A diferen¸ca dessa nova abordagem para a anterior ´e que as derivadas

parciais est˜ao centradas em torno de t + k/2 em vez de t [33]. Com isso, as

derivadas ﬁcam:

u =

i,n

+ u

i,n+1

(3.44)

∂u

∂t

i,n+1

− u

i,n

(3.45)

∂u

∂x

i+1,n

− u

i−1,n

+ u

i+1,n+1

− u

i−1,n+1

(3.46)

∂

∂x

i+1,n

− 2u

i,n

+ u

i−1,n

+ u

i+1,n+1

− 2u

i,n+1

+ u

i−1,n+1

. (3.47)

Substituindo as equa¸c˜oes anteriores na EDP e multiplicando por 4h

para eliminar o s denominadores, temos:



 

−(2ka + khb) u

i+1,n+1



 



+ 4ka − 2h



i,n+1



 

−(2ka −khb) u

i−1,n+1

(2ka + khb) u

i+1,n



− 4ka + 2h



i,n

+ (2ka − khb) u

i−1,n



 

para cada i = 1, ..., I − 1.

Dispondo esses dados em forma matricial, temos:

3.5 O M´etodo WKB 79







0 0 . . . 0

0 . . . 0

0 C

. . . 0

0 ··· 0 C













0,n+1

1,n+1

2,n+1

I,n+1



















(3.48)

Esse sistema pode ser resolvido de forma eﬁciente por elimina¸c˜ao Gaus-

siana.

3.4.1 Condi¸c˜oes de Contorno

Conseguimos um procedimento para determinar toda a malha de u

i,n

a par-

tir dos valores iniciais dados. A substitui¸c˜ao das express˜oes das diferen¸cas

para as derivadas na EDP fornece somente equa¸c˜oes lineares para pontos no

int erior da malha. Ou seja, temos (I −1) equa¸c˜oes em cada passo t emporal,

o que n˜ao ´e suﬁciente para determinar as (I + 1) vari´aveis desconhecidas. As

duas equa¸c˜oes que faltam devem ser fornecidas pelas condi¸c˜oes de contorno

aplicadas para todo passo no tempo.

3.5 O M´etodo WKB

A id´eia b´asica do m´etodo WKB ´e encontrar uma solu¸c˜ao aproximada da

equa¸c˜ao de Schr¨o dinger [40]

−



∂

Ψ(x)

∂x

+ V (x)Ψ(x) = EΨ(x) (3.49)

que seja v´alida no limite de  → 0. Escrevendo a fun¸c˜ao-de-onda na forma

Ψ = exp(



) (3.50)

3.5 O M´etodo WKB 80

e substituindo em (3.49) obtemos uma equa¸c˜ao para S:



∂S

∂x



−

i

∂

∂x

= E − V. (3 .5 1)

Apesar da express˜ao para Ψ em termos de S ser completamente geral, essa

escolha n˜ao ´e arbitr´aria. Sabemos que se o potencial ´e constante as solu¸c˜oes

s˜ao da forma exp(

ipx



). Se V = V (x), ´e natural tentarmos como solu¸c˜ao a

express˜ao exp(

iS(x)



). Expandindo S em potˆencias de , temos:

S = S









+ . . . (3.52)

Substituindo (3.51) em (3.52), obtemos



∂S

∂x

− i

∂S

∂x

+ . . .



−

i



∂

∂x

∂

∂x

+ . . .



= E − V. (3.53)

Comparando os dois membros da equa¸c˜ao (3.53) e separando os termos

de mesma ordem em , temos:



∂S

∂x



= E −V (3.54)



∂S

∂x



∂S

∂x



∂

∂x

= 0. (3.55)

A solu¸c˜ao para S

´e

3.5 O M´etodo WKB 81

= ±



p(x)dx (3 .5 6)

onde p(x) ´e dado por:

p(x) =



2m (E − V (x)). (3.57)

Para S

, temos:

′

= −

′′

′

= −

′

(3.58)

onde o s´ımbolo

′

indica derivada em rela¸c˜ao a x. A menos de uma constante

encontramos para S

a seguinte solu¸c˜ao [40]:

= −

ln(p(x)) (3.59)

exp(S

) = (p(x))

−

. (3.60)

Assim, nas regi˜oes classicamente acess´ıveis, onde E > V (x), a solu¸c˜ao

geral a t´e a primeira ordem em  ´e

Ψ(x) =

√

exp





pdx



√

exp



−



pdx



(3.61)

Nas regi˜oes classicamente inacess´ıveis, onde E < V (x) a solu¸c˜ao ´e dada

por:

3.5 O M´etodo WKB 82

Ψ(x) =



|p|

exp





|p|dx





|p|

exp



−



|p|dx



. (3.62)

As express˜oes (3.61) e (3.62) n˜a o s˜ao v´alidas perto de pontos de retorno

onde p = 0. A regi˜a o de validade dessas aproxima¸c˜oes po de ser estimada

impondo-se que a s´erie de potˆencias de S seja convergente, ou seja, que





′



<< |S

′

o que resulta em

2|p

mV

′

(x)

> 1

Como  ´e pequeno, (3.61) e (3.62) s˜ao v´alidas, em geral, bem perto dos

pontos de retorno, mas sempre existe um intervalo pr´oximo deles onde essas

express˜oes deixam de ser v´alidas.

Como as express˜oes (3.61) e (3.62) s˜ao aproxima¸c˜oes de uma mesma

fun¸c˜ao-de-onda, os coeﬁcientes C

, C

, D

e D

n˜ao s˜ao independentes. Para

determin´a-los ´e necess´ario estudar a conex˜ao entre (3.61) e (3.62) pr´oximo

de um pont o de retorno, como o ponto x = B, onde V (B) = E, conforme

ilustrado na ﬁgura (3.8).

3.5 O M´etodo WKB 83

Figura 3.8: Potencial V(x)

Para x > B devemos anular o coeﬁciente D

da solu¸c˜ao (3.62) para que

a fun¸c˜ao -de-onda v´a a zero no inﬁnito e ﬁcamos com [40]

Ψ =



|p|

exp



−





p(x)dx



se x > B. (3.63)

Para x < B, temos

Ψ =

√

exp







p(x)dx



√

exp



−





p(x)dx



(3.64)

onde escolhemos o ponto x = B como referˆencia para tornar as integrais

deﬁnidas. Pr´oximo de x = B podemos expandir V (x) em s´erie de Taylor e

aproximar

E − V (x)

∼

−

(x −B) = F

(x −B) (3.65)

3.5 O M´etodo WKB 84

onde F

´e a for¸ca em x = B. Se  ´e pequeno o suﬁciente e o potencial suave,

as regi˜oes de validade das aproxima¸c˜oes (3.61) e (3.62) ter˜ao superposi¸c˜ao

com a regi˜ao onde a expans˜ao linear (3.65 ) ´e aplic´avel, como ilustrado na

ﬁgura. Vamos conectar (3.61) e (3.62) pelo plano complexo.

A id´eia f undamental ´e a seguinte [40] : as f´ormulas semicl´assicas n˜ao valem

muito perto de x = B, mas podemos assumir que a fun¸c˜ao-de-onda tem uma

extens˜ao para o plano complexo e que podemos passar da regi˜ao `a direita

para a regi˜ao `a esquerda dando a volta pela dire¸c˜ao imagin´aria. Desde que

n˜ao nos aproximemos muito de x = B a t r ansi¸c˜ao entre as duas regi˜oes deve

ser suave.

Vamos ent˜ao transformar a integral de p(x)dx em uma integral de linha

que ´e feita com |x − B| constante, como ilustrado na ﬁgura (3.9).

Figura 3.9: Lineariza¸c˜ao do potencial V(x) em torno de x = B

3.5 O M´etodo WKB 85

Escrevemos ent˜ao

(x −B) ≡ ρ exp(iφ) ⇒



√

′

− B dx

′

= i



exp(

3iφ

′

) dφ

′



cos

3φ

+ i sen

3φ



(3.66)

onde ρ e φ est˜ao representados na ﬁgura. Temos que φ ´e zero `a direita e π `a

esquerda.

Figura 3.10: Representa¸c˜ao de φ e ρ

Ent˜a o,



√

′

− B dx

′



(x − B)

em φ = 0

−

i ρ

= −

(B − x)

em φ = π



e vamos ter a regra de conec¸c˜ao:

−





|p(x

′

)|dx

′

= −

√

2mF





√

′

− Bdx

′

= −

√

2mF



(x −B)

→

3



2mF

(B − x)

= −







2mF

(B − x

′

)dx

′

= −





p(x

′

)dx

′

A amplitude tamb´em muda ao passarmos de um lado para o outro, pois

3.5 O M´etodo WKB 86

−

= [2F

(x − B)]

−

= (2F

ρ)

−

exp(i

)

(x−B)

−

exp(−i

φ=0

→

(B−x)

−

exp(−i

φ=π

≡ C

(B−x)

−

e temos

exp(−i

Vemos ent˜ao que, pelo circuito acima, (3.61) recai no segundo termo de

(3.62). Fazendo o circuito por baixo, indo de zero `a −π, pegamos o primeiro

de termo de (3.62) com

exp(i

Colocando essas express˜oes juntas, obtemos

Ψ(x) =

√

cos







p(x

′

)dx

′



. (3.67)

Finalmente, se existe tamb´em um outro ponto de retorno em x = A `a es-

querda, como na ﬁgura (3.8), ent˜ao a conec¸c˜ao entre as regi˜oes classicamente

permitidas e proibidas leva `a

Ψ(x) =

′

√

cos







p(x

′

)dx

′

−



′

√

cos







p(x

′

)dx

′

−





p(x

′

)dx

′



. (3.68)

3.5 O M´etodo WKB 87

Para que as equa¸c˜oes (3.61) e (3.62) coincidam para A < x < B devemos

impor que [40]

D = D

′

(−1)

enquanto





p(x)dx =

n + 1

que ´e a regra de quantiza¸c˜ao de Bohr-Sommerfeld. Ela pode ser re-escrita

para um circuito fechado, da seguinte for ma,



p(x)dx = 2π(

n + 1

) . (3.69)

Desta regra de quantiza¸c˜ao podemos obter v´arios resultados importantes

como a quant iza¸c˜ao dos n´ıveis de energia de diversos potenciais ligados.

Observe que, pr´oximo aos pontos de retorno obtivemos

Ψ(x) =







′

2|y|

exp(−

2|y|

3

) se x > B

′

exp(

3

iπ

) +

′

exp(−

3

−

iπ

) se x < B

(3.70)

onde

y = (2mF

)

(B − x) e D

′

(2mF

)

As f´ormulas (3.70) s˜ao express˜oes assint´oticas da solu¸c˜ao exata da equa¸c˜ao

de Schr¨odinger

∂

Ψ(x)

∂x

2mF



(x − B)Ψ = 0

3.5 O M´etodo WKB 88

que ´e da da por:

Ψ(x) =

√



∞

cos



−

µy





dµ = Ai(y) (3.71)

conhecida como fun¸c˜ao de Airy. A ﬁgura (3.11) apresenta um gr´aﬁco de Ai(y)

para  = 1:

Figura 3.11: Fun¸c˜ao de Airy para  = 1

3.5 O M´etodo WKB 89

Note que a solu¸c˜ao exata n˜ao diverge no ponto de retorno y = 0, mas tem

um m´aximo deslocado para dentro da regi˜ao permitida, x < B ( ou y < 0).

Esse m´aximo ﬁca cada vez mais pronunciado e mais pr´oximo de x = B para

 → 0 .

3.5.1 Transmiss˜ao atrav´es de uma b arreira

Vamos aplicar o m´etodo WKB para calcular o coeﬁciente de transmiss˜ao

e a probabilidade de tunelamento para uma barreira em que as part´ıculas

incidem pela esquerda sem energia suﬁciente para classicamente passar para

o lado direito da barreira, o que est´a esquematizado na ﬁgura (3.12).

Figura 3.12: Barreira de Potencial

De agora em diante, usaremos que p = k nas express˜oes que envolvem

p. Aplicando a proxima¸c˜ao WKB para as trˆes regi˜oes mostradas na ﬁgura

(3.12), a solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao de Schr¨odringer ´e dada por [41]:

3.5 O M´etodo WKB 90

Ψ(x) =











√

k(x)

exp





kdx



√

k(x)

exp



−i



kdx



, se x < A

√

k(x)

exp



−



kdx



√

k(x)

exp



kdx



, se A < x < B

√

k(x)

exp





kdx



√

k(x)

exp



−i



kdx



, se x > B

Vamos usar as f ´ormulas de conex˜ao para ”ligar”as fun¸c˜oes-de-onda em

cada regi˜ao da ﬁgura (3.12), o que leva a :







2θ +

2θ



2θ −

2θ



−i



2θ −

2θ



2θ +

2θ





(3.72)

onde θ ´e dado por

θ = exp





k(x)dx



(3.73)

Vamos assumir que n˜ao existe uma onda incidente vindo da direita da

barreira. Com isso, temos que G = 0 na equa¸c˜ao anterior. O coeﬁcient e de

transmiss˜ao ´e dado por [41]

T =

|Ψ

transmitida

|Ψ

inicidente

incidente

|Ψ

transmitida

√

transmitida

|Ψ

incidente

√

incidente

|F |

|A|

∴

T =



2θ +

2θ



Para uma bar reira alta e larga o suﬁciente, temos que θ >> 1. Assim,

temos que:

T ≈

= exp



−2



k(x)dx



Cap´ıtulo 4

O modelo cosmol´ogico e os

resultados obtidos

4.1 Introdu¸c˜ao

Nesse cap´ıtulo vamos apresentar de forma detalhada o modelo usado nesse

trabalho e os resultados obtidos. Acredita-se que o tunelamento atrav´es de

uma barreira de potencial pode ter sido um dos mecanismos para o surgi-

mento do nosso Universo. Vamos calcular numericamente as probabilidades

de tunelamento para o modelo a dot ado e compar´a-las aos resultados obtidos

quando usamos a aproxima¸c˜ao WKB com a mesma ﬁnalidade. Os resultados

apresentados nesse cap´ıtulo s˜ao baseados em trabalhos apresentados em con-

gressos cient´ıﬁcos [4 3], [44] e um artigo submetido para publica¸c˜ao em uma

revista cient´ıﬁca [45].

4.2 O Modelo Cosmol´ogico 92

4.2 O Modelo Cosmol´ogico

Nesse trabalho vamos utilizar um modelo de Fr iedmann-Robertson-Wa lker

com curvatura positiva e com sess˜oes espaciais fechadas. Acredita-se que no

in´ıcio do Universo a radia¸c˜ao desempenhou um papel predominante. Por isso,

trabalharemos com um ﬂuido perfeito radiativo. Teremos, ainda, a presen¸ca

de uma constante cosmol´ogica positiva cuja presen¸ca garante a existˆencia de

uma barreira de potencial e uma fase de expans˜ao para o universo, depois do

tunelamento.

A m´etrica usada, posta em termos da fun¸c˜ao lapso N ´e dada por

α β







−N

0 0 0

0 a

0 0

0 0 a

sen

χ 0

0 0 0 a

sen

χ sen







(4.1)

onde a ´e o fator de escala, e estamos t r abalhando com as coordenadas: 0 ≤

t < ∞, 0 ≤ χ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ φ ≤ 2π.

O potencial que utilizado nesse trabalho pode ser visto na ﬁgura (4.1).

Sua express˜ao anal´ıtica ´e dada por V (x) = A x

−B x

, onde A ´e um n´umero

positivo ﬁxo e B ´e um parˆametro positivo que esta relacionado com a con-

stante cosmol´ogica e que podemos variar livremente.

Classicamente, se a energia inicial da radia¸c˜ao (E

) for menor que o valor

m´aximo do potencial (V

), o fator de escala ﬁcar´a oscilando entre um valor

m´aximo e zero. Se a energia inicial da radia¸c˜ao (E

) for maior que o valor

m´aximo do potencial (V

), o fator de escala ser´a inicialmente desacelerado e

depois de ultrapassar (a

), o valor aonde o potencial vale (V

), ser´a acelerado.

Do ponto de vista quˆantico, o comportamento do universo ´e bastante

diferente pois ´e poss´ıvel ocorrer o fenˆomeno do tunelamento pela barreira de

4.2 O Modelo Cosmol´ogico 93

Figura 4.1: Pot encial usado no nosso modelo e as energias E

e E

potencial. Inicialmente, o universo representado por uma fun¸c˜ao-de-onda que

esteja bem lo calizada `a esquerda da barreira de potencial e com uma energia

m´edia menor do que V

pode, com o pa ssar do tempo, aparecer `a direita da

barreira de potencial. Vamos estudar a probabilidade de tunelamento como

fun¸c˜ao dos dois parˆametros livres do modelo: a energia m´edia da radia¸c˜ao e a

constante cosmol´ogica. Faremos isso, a partir dos resultados obtidos com os

m´etodos num´ericos j´a descritos nessa disserta¸c˜ao. Vamos, ainda, confrontar

alguns resultados obtidos exatamente usando esses m´etodos num´ericos com

os resultados fornecidos pela aproxima¸c˜ao WKB aplicada ao presente modelo.

4.3 Cosmologia Quˆantica com Fluido Perfeito 94

4.3 Cosmologia Quˆantica com Fluido Perfeito

O modelo utilizado trabalha com um ﬂuido perfeito radiativo. Assim, vamos

construir uma hamiltoniana para um modelo de ﬂuido pefeito de acordo

com o formalismo desenvolvido por Sch utz [46]. Para uma referˆencia em

portuguˆes, consulte [47].

A a¸c˜ao para o modelo ´e dada por

S =



√

−g (R − 2Λ) −



√

−gρ (4.2)

onde R ´e o escalar de curvatura, g ´e o determinante da m´etrica, Λ ´e a con-

stante cosmol´ogica, ρ ´e a densidade do ﬂuido e M ´e uma variedade quadri-

mensional.

Na express˜ao (4.2) o primeiro termo est´a relacionado `a a¸c˜ao gravitacional

e o segundo ao ﬂuido perfeito. No f ormalimso de Schutz [46] a quadriveloci-

dade do ﬂuido ´e dada por

(ǫ

,ν

+ Ωβ

,ν

+ ΘB

,ν

) (4.3)

onde µ ´e a entalpia espec´ıﬁca, B ´e a entropia espec´ıﬁca, Ω e β est˜ao rela-

cionados com a rota¸c˜ao do ﬂuido e est˜ao ausentes nos modelos de Friedmann-

Robertson-Walker. As vari´aveis ǫ e Θ n˜ao possuem signiﬁcado f´ısico claro.

O escalar de curvatura R para a m´etrica (4 .1 ) ´e dado por:

R =

3¨a

−

3˙a

6˙a

(4.4)

e o determinante g ´e

4.3 Cosmologia Quˆantica com Fluido Perfeito 95

g = −N

sen

χsen

θ. ( 4.5)

Introduzindo essas grandezas na express˜ao (4.2) e realizando algumas

manipula¸c˜oes alg´ebricas, chegamos a

S =





−

3˙a

− 3Na



sen

χsenθ − 2Λ







sen

χsenθ

−



ρ sen

χsenθ. (4.6)

A integral da parte espacial resulta em 2π

. Assim, a express˜ao (4.6) ﬁca

S = 2π





−

6˙a

+ 6Na



− 4Λπ







−2π



dtNa

ρ. (4.7)

As equa¸c˜oes da Termodinˆamica para um ﬂuido perfeito [48] s˜ao:

ρ = ρ

(1 + Π), (4.8)

µ = (1 + Π) +

, (4.9)

T dB = dΠ + pd





= (1 + Π)d [ln(1 + Π) − (γ − 1 ) ln(ρ

)] ,(4.10)

em que p ´e a press˜ao, ρ a densidade de energia do ﬂuido, ρ

´e a densidade

do n´umero de part´ıculas, T ´e a temperatura absoluta, Π a energia interna

espec´ıﬁca, µ ´e a entalpia espec´ıﬁca e B ´e a entropia espec´ıﬁca. Como o ﬂuido

que estamos trabalhando ´e considerado perfeito radiativo, temos que γ =

4.3 Cosmologia Quˆantica com Fluido Perfeito 96

Combinando (4 .8 ) , (4.9) e utilizando a equa¸c˜ao de estado p =

ρ encon-

tramos que

3µ

= (1 + Π). (4.11)

De acordo com (4.1 0),







T = 1 + Π,

B = ln(1 + Π) − (

) ln ρ

(4.12)

Manipulando algebricamente a s express˜oes (4.1 1) e (4 .1 2), podemos ree-

screver a densidade do n´umero de part´ıculas como:



3µ



exp (−3B) . (4.13)

Dessa forma, podemos agora escrever a densidade de energia interna ρ do

ﬂuido perfeito como:

ρ =



3µ



exp (−3B) . (4.14)

Podemos ainda reescrever a entalpia espec´ıﬁca em fun¸c˜ao dos potenciais

ǫ e B. Para isso, fazemos uso da express˜ao (4.2), onde consideramos um

sistema de coordenadas tal que U

= (N, 0, 0, 0). Ent˜ao :

µ =

˙ǫ + Θ

. (4.15)

Substituindo (4.15) na a¸c˜ao ( 4.6) encontramos:

S = 2π





−

3a˙a

− 3Na



− 2π







−

2π







˙ǫ + Θ





exp(−3B). (4.16)

Com isso, a Lagrangiana do modelo ´e dada por:

L = −

3a˙a

− 3Na −ΛNa

−





˙ǫ + Θ





exp(−3B). (4.17)

4.3 Cosmologia Quˆantica com Fluido Perfeito 97

Os momentos canˆonicos s˜ao dados por:

∂L

∂ ˙a

= −

6˙aa

(4.18)

∂L

∂ ˙ǫ

= −3a





˙ǫ + Θ





exp(−3B). (4.19)

∂L

∂

= −3a





˙ǫ + Θ





Θ exp(−3B) (4.20)

Observe que p

= Θp

. Deste modo, a Hamiltoniana do sistema pode ser

escrita na forma:

H = N



−

12a

− 3a −

√

exp(B)

+ Λ a



. (4.21)

Podemos colocar a express˜ao (4.21) em uma forma mais simples atrav´es

da transforma¸c˜ao

T = −

√

3 p

exp(−B) p

; p

= −

√

3 p

exp(B) ; ¯ǫ = ǫ −

; ¯p

= p

(4.22)

que leva a express˜ao (4.21) `a forma

H = N



−

12a

− 3a +

+ Λ a



. (4.23)

Vamos passar pa ra o processo de quantiza¸c˜ao do presente modelo, im-

pondo as regras de quantiza¸c˜ao padr˜ao sobre os momentos canˆonicos:

= −i

∂

∂a

e p

= −i

∂

∂T

. (4.24)

4.3 Cosmologia Quˆantica com Fluido Perfeito 98

Subsituindo os operadoes p

e p

na equa¸c˜ao (4.23), temos:

H =



∂

∂a

− 3a

+ Λ a

− i

∂

∂T



. (4.25)

Exigindo que o op erador Hamiltoniano aniquile a fun¸c˜ao-de-onda do uni-

verso,

HΨ = 0, (4.26)

temos a seguinte equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt:



∂

Ψ(a, t)

∂a





−3a

+ Λ a



Ψ(a, t) = −i

∂

∂t

Ψ(a, t) (4.2 7)

onde intro duzimos t = −T como a coordenada temporal e o calibre do tempo

conforme N = a.

4.4 Resultados Obtidos 99

4.4 Resultados Obtidos

Vamos apresentar os resultados obtidos no c´alculo da probabilidade para o

fator de escala do universo tunelar pela ba rr eira de potencial proposta e pas-

sar para a direita da barreira.

E interessante mencionar que o problema que

estamos abordando j´a foi tratado usando a aproxima¸c˜ao WKB (vide se¸c˜ao

3.4.1) mas somente para o c´alculo da fun¸c˜ao-de-onda [1], [2] . A novidade do

nosso trabalho ´e que calculamos a fun¸c˜ao-de-onda sem aproxima¸c˜oes numeri-

camente e a s probabilidades de tunelamento n˜ao foram calculadas usando

essa abordagem antes.

O potencial e algumas grandezas de nosso interesse est˜ao representados

na ﬁgura (4.2). Preste a t en¸c˜ao em ace e acd, que s˜ao a s abscissas dos pontos

em que a energia E

int ercepta o potencial V.

Figura 4.2: Pot encial usado no nosso modelo

4.4 Resultados Obtidos 100

Vamos introduzir agora o conceito de uma grandeza que calculamos nesse

trabalho: o tempo τ que o universo ﬁca conﬁnado `a esquerda da barreira antes

de tunelar por ela. Usou-se o seguinte racioc´ınio para estimar esse tempo

[42]. Vamos supor que exista um f´oton que comp˜oe a radia¸c˜ao preso do lado

esquerdo da barreira de potencial. Esse f´oton ﬁca oscilando entre 0 e ace

(veja ﬁgura 4.2) com um tempo ig ual a

t =

2ace

No sistema de unidades que estamos utilizando, temos que c = 1. Com

isso, t = 2ace. Para obtermos a frequˆencia f com que o f´oton colide com o

potencial basta invertermos o tempo t. Assim,

f =

2ace

O f´oto n possui uma probabilidade P T

int

de tunelar. A probabilidade p

′

dele atravessar a barreira de potencial por unidade de tempo ´e a freq¨uˆencia

com que ele colide com a barreira de potencial multiplicada por P T

int

. Assim,

′

P T

int

2ace

Se invertermos p

′

vamos obter o tempo m´edio τ que o f´oton ﬁca preso no

lado esquerdo do potencial, ou seja,

τ =

2ace

P T

int

Supondo que a maioria dos f´otons que comp˜oe a radia¸c˜ao escapam juntos

nesse tempo, podemos considerar que esse ´e o tempo que o universo do nosso

modelo leva para nuclear.

4.4 Resultados Obtidos 101

Usamos m´etodos num´ericos pa ra resolver uma EDP (equa¸c˜ao 4.27) tipo

Schr¨odinger e calcular a probabilidade de tunelamento P T que o universo

possui de tunelar pela barreira de potencial.

Para resolver a EDP, usamos o m´etodo de Crank-Nicholson (se¸c˜ao 3.3.2) ,

que foi implementado no programa GNU-OCTAVE. Escolhemos esse m´etodo

porque ele apresenta boa acuracidade na solu¸c˜ao e ´e r´apido o suﬁciente. Ado-

tamos que a fun¸c˜ao-de-onda ´e nula na origem e no inﬁnito. Inicialmente a

fun¸c˜ao-de-onda encontra-se bem localizada `a esquerda da barreira de po-

tencial, bem pr´oxima de a = 0. Escolhemos para fun¸c˜ao-de-onda inicial a

seguinte gaussiana normalizada:

Ψ(a, 0) =



8192E



a exp



−4Ea



onde E ´e a energia m´edia do pacote que est´a associada a energia da radia¸c˜ao.

Depois essa fun¸c˜ao-de-onda evolui no tempo segundo a EDP at´e atingir o

inﬁnito, que no presente caso foi colocado em a = 30. A seguir temos o gr´aﬁco

de uma solu¸c˜ao obtida para a fun¸c˜ao-de-onda com os parˆametros Λ = 0.0121,

E = 185 no momento em que Ψ atinge o inﬁnito, localizado em a = 30. Para

este caso, temos ace = 10.72 87, acd = 11.5252 e V

= 185.95.

Usando os m´etodos num´ericos apropriados para integra¸c˜ao num´erica (se¸c˜ao

3.3.2) e spline c´ubico (se¸c˜ao 3.2.2 ) , podemos calcular essa probabilidade de

tunelamento. Para integra¸c˜ao num´erica usamos a f´ormula composta da re-

gra do trap´ezio (se¸c˜ao 3.3.2). Escolhemos essa regra porque apresenta grande

acuracidade e ´e computacionalmente muito r´a pida. Para interpola¸c˜ao usamos

a t´ecnica do spline c´ubico (se¸c˜ao 3.2.2), pois apresenta boa acuracidade. Cal-

culamos (P T ) da seginte forma:

4.4 Resultados Obtidos 102

0.1

0.2

0.3

0.4

5 10 15 20 25 30

Figura 4.3: |Ψ(a, t

max

≡ ρ, para Λ = 0.0121, E = 185 e V

= 185.95 no instante t

max

quando Ψ alcan¸ca o inﬁnito, localizado em a = 30.

P T

int



∞

acd

|Ψ(a, tmax)|



∞

|Ψ(a, tmax)|

, (4.28)

onde ∞ ´e o inﬁnito para ﬁns de c´alculos computacionais que no presente caso

ser´a igual a a = 30 e Ψ(a, t

max

) ´e a fun¸c˜ao-de-o nda calculada numericamente

no instante tmax em que a fun¸c˜ao-de-onda atinge o inﬁnito em a = 30.

Como Ψ ´e uma fun¸c˜ao-de-onda normalizada, a probabilidade ´e dada pelo

numerador de (4.28).

O nosso modelo apresenta dois parˆametros que podemos variar: a energia

E e a constante cosmol´ogica Λ. Primeiro vamos considerar a dependˆencia da

P T

int

em rela¸c˜ao a energia. Fixamos Λ = 0.01 e calculamos numericamente

P T

int

para 47 valores distintos da energia. Isso signiﬁca que resolvemos nu-

mericamente a equa¸c˜ao diferencial parcial tipo Schr¨odinger do nosso modelo

e calculamos a integral mostrada em (4.28) 47 vezes, uma vez para cada valor

da energia. Para Λ = 0.01 temos que a a ltura m´axima da barreira de poten-

cial vale 225. Todos os 47 valores de E s˜ao menores que 225 para termos o

4.4 Resultados Obtidos 103

fenˆomeno do tunelamento. As tabelas ( A.1) e (A.2), no Apˆendice A, mostram

os resultados obtidos nos c´alculos de P T

int

, τ, ace e acd para cada valor de E.

Na ﬁgura (4.4), temos o gr´aﬁco da pro babilidade de tunelamento em fun¸c˜ao

da energia. Pelo fato dos valores da probabilidade serem pequenos, t omamos

o logaritmo da probabilidade para fazer o gr´aﬁco.

–60

–50

–40

–30

–20

–10

logTP

0 50 100 150 200

Figura 4.4: Gr´aﬁco de log T P

int

em fun¸c˜ao da e nergia E , com Λ = 0.01.

Observando o gr´aﬁco podemos preceber que a PT cresce com E, com Λ

ﬁxo. Segundo o modelo adotado, temos que ´e mais prov´avel que o universo

tenha nucleado com a maior energia poss´ıvel.

Foi calculado tamb´em a probabilidade de tunelamento usando a aprox-

ima¸c˜ao WKB, que chamaremos P T

W KB

. Para o modelo em quest˜ao temos

4.4 Resultados Obtidos 104

P T

W KB



2θ +

(2θ)



, (4.29)

onde,

θ = exp





acd

ace



12(3a

− Λa

− E)



. (4.30)

Para calcular P T

W KB

ﬁxou-se Λ = 0.01 e realizou-se o c´alculo represen-

tado pelas express˜oes (4.29) e (4.30) para cada um dos 47 valores da energia

usados para calcular P T

int

. O s resultados est˜ao nas tabelas (A.1) e (A.2), no

Apˆendice A. Na ﬁgura (4.5) temos a compara¸c˜ao entre P T

int

e P T

W KB

. Pela

an´alise do gr´aﬁco podemos perceber que P T

int

e P T

W KB

s˜ao semelhantes

apenas para valores da energia E pr´oximos do topo da barreira de poten-

cial. Isso ocorre porque o m´etodo WKB o ferece uma boa aproxima¸c˜ao para

a fun¸c˜ao-de-onda somente em regi˜oes onde o potencial n˜ao apresenta grande

varia¸c˜ao, que ocorre pr´oximo ao topo da barreira.

4.4 Resultados Obtidos 105

–500

–400

–300

–200

–100

logTP

50 100 150 200

Figura 4.5: Compara¸c˜ao entre log T P

W KB

(c´ırculos) e log T P

int

(linha) para diferentes

valores de (E), com Λ = 0.01.

Vamos agora ﬁxar a energia em E = 185 e calcular as probabilidades de

tunelamento para 21 valores distintos de Λ. Na tabela (A.3) no Apˆendice A,

temos os resultados dos c´alculos de P T

int

, V

(valor m´aximo da barr eira de

potencial), τ, ace e acd para cada va lo r de Λ. Na ﬁgura (4.6) temos o gr´aﬁco

do logaritmo da probabilidade de tunelamento por Λ. Podemos perceber que

a probabilidade aumenta `a medida que Λ aumenta, com E ﬁxo. Isso sugere

que pelo presente modelo o universo tem a maior probabilidade de tunelar

com maior valo r poss´ıvel para a constante cosmol´ogica.

4.4 Resultados Obtidos 106

logTP

-4

-8

-16

-12

Lambda

0,0120,01150,01050,01 0,011

Figura 4.6: log T P

int

para 21 valores diferentes de Λ pa ra e nergia ﬁxa E = 185.

Cap´ıtulo 5

Conclus˜ao

Neste trabalho estudamos um modelo de Friedmann-Robertson-Walker fe-

chado. Nesse modelo considera-se que o universo ´e homogˆeneo e isotr´opico

e ´e consitu´ıdo por radia¸c˜ao. A radia¸c˜ao ´e tr atada como um ﬂuido perfeito e

temos, a inda, uma constant e cosmol´ogica positiva.

Usamos m´etodos num´ericos para resolver as equa¸c˜oes pertinentes a o mo-

delo, no caso uma equa¸c˜ao diferencial parcial (EDP). Aplicando o m´etodo

de Crank-Nicolson na resolu¸c˜ao de uma EDP t ipo Schr¨o dinger obtivemos

fun¸c˜oes-de-onda que representam o fenˆomeno do tunelamento. O tunela-

mento pode ser encarado como um poss´ıvel mecanismo para o surgimento

do nosso Universo.

O nosso modelo admite dois parˆametros que podemos ajustar: a energia

e a constante cosmol´ogica. Fixamos um parˆametro e variamos o outro com o

int uito de calcular a probabilidade de tunelamento.

Variando a energia e ﬁxando o valo r da constante cosmol´ogica, calculamos

a probabilidade de tunelamento. Ap´os construir um gr´aﬁco com os resultados

obtidos perceb emos que existe uma possibilidade maior do universo tunelar

108

se a energia inicial da radi¸c˜ao for a maior poss´ıvel.

Quando ﬁxamos a energia e variamos a constante cosmol´ogica para cal-

cular a probabilidade de tunelamento percebemos, atrav´es do gr´aﬁco que

existe maior probabilidade do universo tunelar se a constante cosmol´ogica

for a maior poss´ıvel.

Apˆendi ce A

Tabelas

Energia T P

int

T P

W KB

τ ace acd

0.0000 0.0000 7.0246 × 10

−522

∞ 0.0000 17.3205

1.0000 2.5795 × 10

−67

2.7574 × 10

−517

4.4790 × 10

+66

0.5777 17.3109

2.0000 3.9975 × 10

−64

2.7181 × 10

−513

4.0896 × 10

+63

0.8174 17.3012

3.0000 4.8040 × 10

−61

1.5939 × 10

−509

4.1702 × 10

+60

1.0017 17.2915

4.0000 2.6388 × 10

−59

6.6774 × 10

−506

8.7714 × 10

+58

1.1573 17.2818

5.0000 5.7738 × 10

−57

2.1799 × 10

−502

4.4844 × 10

+56

1.2946 17.2721

6.0000 9.3459 × 10

−56

5.8369 × 10

−499

3.0366 × 10

+55

1.4190 17.2623

7.0000 6.9178 × 10

−55

1.3258 × 10

−495

4.4337 × 10

+54

1.5335 17.2525

8.0000 7.0061 × 10

−56

2.6169 × 10

−492

4.6827 × 10

+55

1.6404 17.2427

9.0000 6.3878 × 10

−53

4.5691 × 10

−489

5.4506 × 10

+52

1.7409 17.2328

10.0000 3.9939 × 10

−51

7.1563 × 10

−486

9.1944 × 10

+50

1.8361 17.2229

15.0000 1.3310 × 10

−46

1.8319 × 10

−470

3.3888 × 10

+46

2.2553 17.1731

Tabela A.1: Os valore s calculados de P T

int

, P T

W KB

, τ , a c e e acd para 47 valores

diferentes de E quando Λ = 0 .01.

110

Energia T P

int

T P

W KB

τ ace acd

20.0000 3.3918 × 10

−44

9.0816 × 10

−456

1.5401 × 10

+44

2.6119 17.1224

30.0000 1.4814 × 10

−41

7.5933 × 10

−428

4.3450 × 10

+41

3.2183 17.0189

40.0000 5.8991 × 10

−40

2.5466 × 10

−401

1.2679 × 10

+40

3.7397 16.9120

50.0000 9.8017 × 10

−39

8.0358 × 10

−376

8.5875 × 10

+38

4.2086 16.8014

60.0000 1.1252 × 10

−37

3.9314 × 10

−351

8.2507 × 10

+37

4.6419 16.6869

70.0000 1.1121 × 10

−36

4.1409 × 10

−327

9.0821 × 10

+36

5.0499 16.5680

80.0000 1.0627 × 10

−35

1.1845 × 10

−303

1.0236 × 10

+36

5.4391 16.4443

90.0000 1.0557 × 10

−34

1.0939 × 10

−280

1.1016 × 10

+35

5.8147 16.3153

100.0000 1.1488 × 10

−33

3.7271 × 10

−258

1.0760 × 10

+34

6.1803 16.1803

110.0000 1.4319 × 10

−32

5.2113 × 10

−236

9.1338 × 10

+32

6.5393 16.0386

120.0000 2.1333 × 10

−31

3.2602 × 10

−213

6.4634 × 10

+31

6.8942 15.8893

130.0000 3.9754 × 10

−30

9.8051 × 10

−193

3.6464 × 10

+30

7.2479 15.7311

140.0000 9.7584 × 10

−29

1.5060 × 10

−171

1.5582 × 10

+29

7.6029 15.5626

150.0000 3.3597 × 10

−27

1.2439 × 10

−150

4.7398 × 10

+27

7.9623 15.3819

160.0000 1.7562 × 10

−25

5.7774 × 10

−130

9.4858 × 10

+25

8.3293 15.1863

165.0000 1.5321 × 10

−24

1.0157 × 10

−119

1.1118 × 10

+25

8.5171 15.0818

170.0000 1.5472 × 10

−23

1.5685 × 10

−109

1.1259 × 10

+24

8.7085 14.9720

175.0000 1.8431 × 10

−22

2.1361 × 10

−99

9.6624 × 10

+22

8.9045 14.8563

180.0000 2.6520 × 10

−21

2.5758 × 10

−89

6.8673 × 10

+21

9.1059 14.7337

185.0000 4.7418 × 10

−20

2.7600 × 10

−79

3.9286 × 10

+20

9.3142 14.6029

190.0000 1.0919 × 10

−18

2.6372 × 10

−69

1.7457 × 10

+19

9.5310 14.4624

195.0000 3.3916 × 10

−17

2.2544 × 10

−59

5.7545 × 10

+17

9.7585 14.3099

200.0000 1.5114 × 10

−15

1.7295 × 10

−49

1.3233 × 10

+16

10.0000 14.1421

205.0000 1.0542 × 10

−13

1.1943 × 10

−39

1.9466 × 10

+14

10.2605 13.9543

210.0000 1.3129 × 10

−11

7.4432 × 10

−30

1.6069 × 10

+12

10.5485 13.7379

215.0000 3.6494 × 10

−09

4.1983 × 10

−20

5.9628 × 10

+09

10.8801 13.4767

216.0000 1.2796 × 10

−08

3.7003 × 10

−18

1.7121 × 10

+09

10.9545 13.4164

217.0000 4.7368 × 10

−08

3.2487 × 10

−16

4.6582 × 10

+08

11.0325 13.3523

218.0000 1.8642 × 10

−07

2.8413 × 10

−14

1.1926 × 10

+08

11.1150 13.2837

219.0000 7.8683 × 10

−07

2.4754 × 10

−12

2.8476 × 10

+07

11.2029 13.2097

220.0000 3.6052 × 10

−06

2.1485 × 10

−10

6.2674 × 10

+06

11.2978 13.1286

221.0000 1.8228 × 10

−05

1.8577 × 10

−8

1.2512 × 10

+06

11.4018 13.0384

222.0000 1.0419 × 10

−04

1.6002 × 10

−6

2.2110 × 10

+05

11.5187 12.9352

223.0000 7.0045 × 10

−04

1.3731 × 10

−4

3.3281 × 10

+04

11.6558 12.8118

224.0000 5.9816 × 10

−03

1.1671 × 10

−2

3.9562 × 10

+03

11.8322 12.6491

Tabela A.2: Continua¸c˜ao da tabela A.1

111

Λ T P

int

τ ace acd

0.0100 4.7449 × 10

−20

2.2500 × 10

+02

3.9260 × 10

+20

9.3142 14.6029

0.0101 1.9386 × 10

−17

2.2277 × 10

+02

9.6427 × 10

+17

9.3467 14.4800

0.0102 5.5162 × 10

−15

2.2059 × 10

+02

3.4010 × 10

+15

9.3803 14.3571

0.0103 1.0768 × 10

−12

2.1845 × 10

+02

1.7487 × 10

+13

9.4152 14.2343

0.0104 1.4239 × 10

−10

2.1635 × 10

+02

1.3276 × 10

+11

9.4515 14.1114

0.0105 1.2522 × 10

−08

2.1429 × 10

+02

1.5156 × 10

+09

9.4892 13.9882

0.0106 7.1354 × 10

−07

2.1226 × 10

+02

2.6708 × 10

+07

9.5286 13.8645

0.0107 2.5363 × 10

−05

2.1028 × 10

+02

7.5462 × 10

+05

9.5697 13.7402

0.0108 5.3391 × 10

−04

2.0833 × 10

+02

3.6009 × 10

+04

9.6129 13.6151

0.0109 6.1795 × 10

−03

2.0642 × 10

+02

3.1259 × 10

+03

9.6583 13.4888

0.0110 3.5077 × 10

−02

2.0455 × 10

+02

5.5342 × 10

+02

9.7062 13.3610

0.0111 8.4175 × 10

−02

2.0270 × 10

+02

2.3183 × 10

+02

9.7570 13.2314

0.0112 9.5984 × 10

−02

2.0089 × 10

+02

2.0443 × 10

+02

9.8112 13.0996

0.0113 1.2079 × 10

−01

1.9912 × 10

+02

1.6341 × 10

+02

9.8692 12.9648

0.0114 1.3117 × 10

−01

1.9737 × 10

+02

1.5143 × 10

+02

9.9318 12.8264

0.0115 1.4639 × 10

−01

1.9565 × 10

+02

1.3662 × 10

+02

10.0000 12.6834

0.0116 1.6190 × 10

−01

1.9397 × 10

+02

1.2446 × 10

+02

10.0752 12.5344

0.0117 1.7538 × 10

−01

1.9231 × 10

+02

1.1586 × 10

+02

10.1594 12.3773

0.0118 1.8752 × 10

−01

1.9068 × 10

+02

1.0938 × 10

+02

10.2559 12.2088

0.0119 1.9940 × 10

−01

1.8908 × 10

+02

1.0402 × 10

+02

10.3703 12.0232

0.0120 2.1463 × 10

−01

1.8750 × 10

+02

9.7983 × 10

+01

10.5150 11.8082

0.0121 2.2964 × 10

−01

1.8595 × 10

+02

9.3439 × 10

+01

10.7287 11.5252

Tabela A.3: Os va lores calculados de P T

int

, EP

max

, τ , ace e acd pa ra 22 valores difer-

entes de Λ ﬁxando E = 185.

Apˆendi ce B

A f´ormula de Gregory-Newton

Vamos deduzir a f´o r mula de Gregory-Newton.

Deﬁni¸c˜ao B.0.1 Dado um conjunto de pontos (x

, y

), 0 ≤ i ≤ n, ent˜ao a

diferen¸ca dividida de primeira ordem ´e dada por:

, x

i+1

] =

f(x

i+1

− f(x

))

i+1

− x

, 0 ≤ i ≤ n − 1 (B.1)

Al´em da nota¸c˜ao usada em (B.1), vamos usar tamb´em a seguinte nota¸c˜ao:

, x

i+1

] = ∆y

= f[x

, x

i+1

]

Podemos tamb´em deﬁnir as diferen¸cas divididas de ordem zero e de ordens

sup eriores `a primeira. A diferen¸ca dividida de ordem zero ´e dada por:

∆

◦

= f[x

] = y

, 0 ≤ i ≤ n (B.2)

Podemos escrever a diferen¸ca dividida de primeira ordem por [36]:

113

∆y

= f[x

, x

i+1

] = [x

, x

i+1

] =

∆y

i+1

− ∆y

i+1

− x

Podemos generalizar e deﬁnir a diferen¸ca dividida de ordem n que ´e dada

por:

∆

= [x

, x

i+1

, ..., x

i+n

]



 

(n+1)termos

f[x

i+1

, x

i+2

, ..., x

i+n

] − f[x

, x

i+1

, ..., x

i+n−1

]

i+n

− x

ou a inda

, x

i+1

, ..., x

i+n

] =

∆

n−1

i+1

− ∆

n−1

i+n

− x

Por conveniˆencia, vamos usar a no ta¸c˜ao p(x) em vez de f(x). Assim , a

partir da diferen¸ca dividida de primeira ordem, temos:

p[x, x

] =

p(x) − p(x

)

x − x

(B.3)

Isolando p(x), temos

p(x) = p(x

) + (x − x

)p[x, x

] (B.4)

Mas

p[x, x

, x

] =

p[x, x

] − p[x

, x

]

x −x

Da´ı:

p[x, x

] = p[x

, x

] + (x − x

)p[x, x

, x

] (B.5)

Substituindo (B.5) em (B.4 ), temos:

p(x) = p(x

) + (x −x

)p[x

, x

] + (x − x

)(x − x

)p[x, x

, x

] (B.6)

114

Por outro lado:

p[x, x

, x

] = (x − x

)p[x, x

, x

] + p[x

, x

] (B.7)

e substituindo (B.7) em (B.6), temos:

p(x) = p(x

) + (x − x

)p[x

, x

] + (x −x

)(x −x

)p[x

, x

] +

+(x −x

)(x −x

)p[x, x

, x

] (B.8)

Continuando o processo, temos:

p(x) = p(x

) + (x − x

)p[x

, x

] + (x −x

)(x −x

)p[x

, x

] +

+ ···+ (x − x

)(x − x

) . . . (x − x

n−1

)p[x

, x

, . . . , x

] +

+(x − x

)(x − x

) . . . (x − x

)p[x, x

, x

, . . . , x

]. (B.9)

Com alguns c´alculos alg´ebricos vemos que:

p[x, x

, . . . , x

] = 0

Substituindo p(x

) por y

em (B.8), temos:

p(x) = y

+ (x − x

)p[x

, x

] + (x − x

)(x − x

)p[x

, x

] +

+ ··· + (x −x

)(x −x

) . . . (x − x

n−1

)p[x

, x

, . . . , x

]. (B.10)

Podemos ver que ∆

= p[x

, x

, . . . , x

]; da´ı (B.10) pode ser escrita

como

115

p(x) = y

+ (x − x

)∆y

+ (x − x

)(x −x

)∆

+ ··· + (x − x

)(x − x

) . . . (x − x

n−1

)∆

(B.11)

O polinˆomio dado em (B.11 ) ´e chamado Polinˆomio de Newton [36] e pode

ser escrito como:

p(x) = y



i=1

∆

i−1



j=0

(x −x

)

No caso dos pontos x

, 0 ≤ i ≤ n serem igualmente espa¸cados [32 ] , [36],

podemos adotar o seguinte artif´ıcio. Seja h = x

i+1

−x

, para todo 0 ≤ i ≤ n,

isto ´e, h ´e uma constante.

Seja z dado por:

z =

x −x

Logo:

(x −x

) = zh

(x − x

) = (x − (x

+ h)) = x −x

− h = h(z − 1)

(x −x

n−1

) = (x − (x

+ (n − 1)h)) = h(z − (n − 1))

Substituindo estes valores em (B.10), temos:

p(x) = y

+ hz∆y

+ h

z(z − 1)∆

+ ···+ h

z(z − 1) . . .

. . . (z − (n − 1))∆

(B.12)

Vamos deﬁnir a diferen¸ca ﬁnita quando os pontos est˜ao igualmente espa¸cados.

116

Deﬁni¸c˜ao B.0.2 As diferen¸cas ﬁnitas ascend entes s˜ao dadas por:

1. ∆

= y

2. ∆y

= y

i+1

− y

= ∆

i+1

− ∆

3. ∆

= ∆y

i+1

− ∆y

4. ∆

= ∆

n−1

i+1

− ∆

n−1

Teorema B.0.1 Seja a fun¸c˜ao y = f(x) deﬁnida pel os pon tos (x

, y

), 0 ≤

i ≤ n, tais que x

i+1

− x

= h, para todo i.

∆

n!h

(B.13)

Substituindo (B.13) em (B.12), t emos:

p(x) = y

+ z

∆y

+ z(z −1)

∆

+ ···+ z(z − 1) . . .

. . . (z − (n −1))

∆

(B.14)

A f´ormula (B.14) ´e conhecida como f´ormula de Gregory-Newton e s´o pode

ser utilizada quando os pontos x

, 0 ≤ i ≤ n, s˜ao igualmente espa¸cados.

Bibliograﬁa

[1] O. Bertolami and J. M. Mour˜ao, Class. Quantum Grav. 8, 1271 (1991) .

[2] M. Cavaglia, V. Alfaro and A. T. Filippov, Int. J. Mod. Phys. A 10, 611

(1995).

[3] A. Einstein, Annalen der Physik 49, 769-822 (1916).

[4] A. Friedman, Z. Phys. 10, 377-381 (1922).

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