( PDF ) Ação de forças gravitacionais e não gravitacionais sobre o movimento orbital de satélites artificiais

UNESP

Faculdade de Engenharia do Campus de

Guaratinguetá

2007

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JEAN PAULO DOS SANTOS CARVALHO

AÇÃO DE FORÇAS GRAVITACIONAIS E NÃO GRAVITACIONAIS

SOBRE O MOVIMENTO ORBITAL DE SATÉLITES ARTIFICIAIS

Orientador: Prof. Dr. Rodolpho Vilhena de Moraes.

Guaratinguetá

2007

Dissertação apresenta

da à Faculdade

de Engenharia do Campus de

Guaratinguetá, Universidade Estadual

Paulista, para a obtenção do título de

Mestre em Física na área de Dinâmica

orbital.

C331a

Carvalho, Jean Paulo dos Santos

Ação de forças gravitacionais e não gravitacionais sobre o

movimento orbital de satélites artificiais / Jean Paulo dos Santos

Carvalho . – Guaratinguetá : [s.n.], 2007

196 f. : il.

Bibliografia: f. 141-148

Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista,

Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2007

Orientador: Prof. Dr. Rodolpho Vilhena de Moraes

1. Satélites artificiais I. Título

CDU 629.783

DADOS CURRICULARES

JEAN PAULO DOS SANTOS CARVALHO

NASCIMENTO 14.02.1977 – Alagoinhas / BA

FILIAÇÃO Armando Torres de Carvalho

Enedina dos Santos Carvalho

1998/2003 Curso de Graduação-Licenciatura Plena em Matemática

Universidade Estadual de Feira de Santana – UEFS

2005/2007 Curso de Pós-Graduação em Física, nível de Mestrado,

na Faculdade de Engenharia do Campus de

Guaratinguetá da UNESP.

de modo especial, aos meus pais Armando e Enedina, aos meus

irmãos Leila e Armando, a minha Avó Dalva (in memory) pelo

amor, dedicação e apóio em todos os momentos da minha vida.

E a minha esposa Renata.

In Memory

Ao meu Avô Niciano Portela que muito incentivou e contribuiu para minha

jornada de estudos.

A minha Avó Dalva Torres pelo imenso carinho e apoio em todos os momentos

da minha vida.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço a Deus. Agradeço por tudo que tenho conseguido

pela constante luta e perseverança ao longo da minha vida, obrigado meu Deus.

em especial, agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Rodolpho Vilhena de Moraes

que com muita paciência, amizade e dedicação colaborou imensamente para a

realização deste trabalho

à minha esposa Renata pela imensa compreensão, dedicação, amor e

companheirismo nesta fase, dedico.

à minha família que tem colaborado bastante para realização dos meus

objetivos.

à minha sogra Luzia por suas palavras confortantes em momentos difíceis.

aos professores da pós-graduação pelos ensinamentos e sugestões ao projeto.

ao professor Sandro da Silva Fernandes pela sugestão ao projeto

aos meus colegas da pós-graduação, pela amizade e ajuda nas pequenas

dificuldades que apareceram durante a realização deste trabalho.

a todos os amigos e familiares que me deram apoio nesta caminhada

à Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, UNESP, pelo apóio.

Este trabalho contou com apoio da CAPES.

“Eu mantenho o tema dos meus estudos sempre

diante de mim, e e

spero até o amanhecer iniciar

gradualmente, pouco a pouco, numa luz clara e

completa”

Isaac Newton

CARVALHO, J. P. S.

Ação de forças gravitacionais e não gravitacionais sobre o

movimento orbital de satélites artificiais. 2007. 196f. Dissertação (Mestrado em

Física) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade

Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2007.

RESUMO

Uma teoria para estudar o movimento orbital de satélites artificiais sobre efeitos do

arrasto atmosférico e da pressão de radiação solar direta - considerando a sombra da

Terra e alguns termos do geopotencial - é desenvolvida analiticamente. A sombra da

Terra é modelada utilizando a função sombra

ψ

, como introduzida por Ferraz Mello:

ψ

igual zero quando o satélite está na região de sombra e igual um quando é

iluminado pelo Sol. As componentes do arrasto são dadas por Vilhena de Moraes

baseado no modelo atmosférico TD-88. O método de Hori para sistemas não-

canônicos é aplicado para resolver as equações de movimento. Um software para

manipulação algébrica é fundamental para fazer os cálculos necessários. Efeitos

seculares e periódicos que influenciam no movimento orbital dos satélites artificiais

são analisados. Expressões analíticas são apresentadas explicitamente para os

principais termos seculares nas variações dos elementos orbitais. É dada ênfase aos

termos de acoplamento que surgem na solução do sistema de equações diferenciais.

Utilizando dados orbitais do satélite CBERS-1 um estudo é feito para analisar ordens

de grandeza da variação do semi-eixo maior devidas às perturbações consideradas.

PALAVRAS-CHAVE: Teoria de Perturbação, arrasto atmosférico, pressão de

radiação solar, satélites artificiais.

CARVALHO, J. P. S.

Action of gravitational and non-gravitational forces on the

orbital motion of artificial satellites. 2007. 196f. Dissertação (Mestrado em Física) –

Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual

Paulista, Guaratinguetá, 2007.

ABSTRACT

A theory to study the orbital motion of artificial satellites under the effects of the

atmospheric drag and of the direct solar radiation pressure - considering the Earth’s

shadow and some terms of the geopotential – is developed analytically. The Earth

shadow is modeled using the shadow

ψ

function introduced by Ferraz Mello:

ψ

equal

zero when the satellite is in the shadow region and equal one when it is illuminated by

the Sun. The drag components are given by Vilhena of Moraes based in the TD-88

temospheric model. The Hori’s method for non-canonical systems is applied to solve

the motion equations. A algebric manipulator software is fundamental to do the

necessary calculations. Secular and periodic effects on the orbital motion of artificial

satellites are analyzed. Analytic expressions are presented explicitly for the main

secular terms of the variations of the orbital elements. Emphasis is given to the

coupling terms that appear in the solution of the differential equations system. Using

orbital data of the satellite CBERS-1 a study is done to analyze the order of magnitude

of the variation of the semi-major axis due to the considered perturbations.

KEYWORDS: Theory of perturbations, atmospheric drag, direct solar radiation

pressure, artificial satellites.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1- Potencial gravitacional num ponto P

, devido à ação da massa

dM

36

FIGURA 2- Parâmetros orbitais 38

FIGURA 3- Decaimento orbital devido ao arrasto atmosférico 44

FIGURA 4- Variação da densidade atmosférica (HL=3) 56

FIGURA 5- Variação da densidade atmosférica (HL=15) 58

FIGURA 6- Variação da densidade atmosférica 59

FIGURA 7- Variação do semi-eixo ma

ior devido ao arrasto sobre o satélite

Mimosa

122

FIGURA 8- Variação do semi-eixo maior devido ao arrasto atmosférico 131

FIGURA 9- Variação do semi-

eixo maior devido à diferença entre a solução

de ordem um e a solução de ordem dois 132

FIGURA 10- Variação do semi-

eixo maior devido ao acoplamento do arrasto

com a pressão de radiação 133

FIGURA 11- Variação do semi-

eixo maior devido ao acoplamento do arrasto

com o geopotencial 134

FIGURA 12-

Diferença entre os termos de acoplamento do arrasto com

pressão e do arrasto com geopotencial 135

FIGURA 13- Variação do semi-

eixo maior devido ao acoplamento do arrasto

com o geopotencial e do arrasto com a pressão de radiação 136

LISTA DE TABELAS

TABELA 1- Constantes numéricas K

n,j

50

TABELA 2- Fases p

n

50

TABELA 3- Constantes a

i

51

TABELA 4- Constantes numéricas K

n,j

para altitudes de 750 km até 1200 km.

51

TABELA 5- Constantes a

i

para altitudes de 750 km até 1200 km. 51

TABELA 6- Variação da densidade em relação a altitude (HL=3) 54

TABELA 7- Variação da densidade em relação a altitude (HL=15) 56

TABELA 8-

A ordem da magnitude da pressão de radiação e correção

relativística para diferentes satélites (EL-SAFTAWY; EL-

ENNA, 2002).

63

TABELA 9- Variação do semi-eixo maior sobre o satélite Mimosa 121

TABELA 10- Erros relativos do semi-

eixo maior num período de 24 horas

para abordagem de Delhaise (1991) (modificada)

123

TABELA 11- Variação do semi-eixo maior num período de 24 horas 124

TABELA 12- Variação do semi-eixo maior para o satélite CBERS-1 128

TABELA 13-

Razão entre aceleração da pressão de radiação e a aceleração do

arrasto

129

TABELA 14- Variação do semi-

eixo maior devido ao arrasto atmosférico

(km)

130

TABELA 15- Variação do semi-

eixo maior devido à solução de ordem um e a

solução de ordem dois

131

TABELA 16- Variação do semi-

eixo maior devido à diferença entre a solução

de ordem um e a solução de ordem dois

132

TABELA 17- Variação do semi-

eixo maior devido ao acoplamento do arrasto

com a pressão de radiação

133

TABELA 18- Variação do semi-

eixo maior devido ao acoplamento do arrasto

com o geopotencial

134

TABELA 19-

Diferença entre os termos de acoplamento do arrasto com

pressão e do arrasto com o geopotencial

135

TABELA 20- Magnitude das forças perturbadoras para o satélite CBERS-1 137

LISTA DE SÍMBOLOS

AKP índice geomagnético

ALAT latitude

a semi-eixo maior km

a

e

semi-

eixo equatorial do elipsóide da Terra (raio

equatorial da Terra)

km

PR

A

aceleração causada pela pressão de radiação

A

constante dependendo do arrasto

m

SC

A

D

2

1

=

c

velocidade da luz

km/s

C

D

coeficiente de arrasto

C

R

fator que depende da refletividade do satélite

DAY

dia do ano

D

módulo da aceleração do arrasto

2

1

VC

m

S

D

dD

ρ

=

D

operador definido na teoria de Hori

EFX e

EFBAR

fluxo solar

E

anomalia excêntrica

e

excentricidade

f

anomalia verdadeira

)(iF

lmp

função da inclinação normalizada

)(eG

lpq

função da excentricidade

Η

hamiltoniana

HL hora local

i

inclinação da órbita

graus

J

2

constante associada ao achatamento da Terra

J

l

(x)

função de Bessel

L

2

=G

elemento orbital de Delaunay

2

1 eLG −=

L

3

=H

elemento orbital de Delaunay

i

G

H

cos

=

l

2

= g elemento orbital de Delaunay

g =

ω

l

3

=h elemento orbital de Delaunay

h =

Ω

L

1

=l

anomalia média l=M

L

1

=L elemento orbital de Delaunay

aL

µ

=

∗

j

L

constantes de integração

∗

j

l

constantes de integração

k

constante depende das propriedades de reflexão da

superfície do satélite

K

n,j

constantes numéricas

m

massa do satélite

kg

M

massa da Terra

kg

M anomalia média

n

movimento médio

P

j

componentes da aceleração do arrasto

P

S

pressão de radiação na órbita terrestre

P

n

polinômio de Legendre

Q

j

componentes da aceleração do arrasto

q

razão entre a intensidade de radiação solar e a

velocidade da luz

s

r

ˆ

versor Terra-Sol

r

p

distância do perigeu

R

T

distância da Terra ao Sol

R

0

distância média da órbita da Terra ao Sol

r posição do satélite relativo a Terra km

R

função perturbadora referente a pressão de radiação

solar

S área da secção transversal m

2

S

n

funções geratri

zes do método de Hori para sistemas

canônicos

t tempo

n

j

T

funções geratrizes do método de Hori para sistemas

não-canônicos

U geopotencial

U

J

função que contém termos do achatamento da Terra

u

argu

mento do perigeu somado à anomalia

verdadeira

V

velocidade do satélite em relação à atmosfera da

Terra

Km/s

X

j

são as componentes da aceleração do arrasto

)(

,

eX

mn

k

coeficientes de Hansen

∗

jj

ZZ ,

funções

definidas no método de Hori para sistemas

não-canônicos

∆

distância entre o ponto e o sólido

dM elemento de massa do corpo

µ

parâmetro gravitacional da Terra 3,986x10

5

km

3

/s

2

Ω

longitude do nodo ascendente

ω

argumento do perigeu

ε

pequeno parâmetro

τ

0

tempo de passagem pelo pericentro

θ

tempo sideral

d

ρ

densidade atmosférica

ρ

magnitude da pressão de radiação solar

ρ



q

m

S

k=

ρ



pressão de radiação solar

s

ρ

parte secular da densidade atmosférica

[...] parêntesis de Poisson generalizado

ν

fator de eclipse

τ

parâmetro introduzido pelo sistema auxiliar de Hori

a

δ

variação do semi-eixo maior

L

δ

variação do termo L

Θ

longitude do Sol

λ

ângulo formado pelas direções geocêntricas do

satélite e o pólo escuro do terminador terrestre

i

σ

variável in

troduzida para evitar aparecimento de

termo secular espúrios

ψ

função sombra

ℜ

representa os termos seculares devido ao

geopotencial

0

w

intensidade de radiação à uma unidade astronômica

w

intensidade de radiação, definida como energia

incidente por unidade de área

η

ξ

,

variáveis canônicas na teoria de Brouwer-Hori

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

LISTA DE SÍMBOLOS

INTRODUÇÃO

18

1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

23

1.1 LEVANTAMENTO BIBLIOGRÁFICO 23

2 FORÇAS GRAVITACIONAIS E NÃO GRAVITACIONAIS

34

2.1 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE 34

2.2 GEOPOTENCIAL EM COORDENADAS ESFÉRICAS 35

2.3 INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES E EFEITOS DO

GEOPOTENCIAL

37

2.4 EXPRESSÃO DO GEOPOTENCIAL

EM FUNÇÃO DOS

ELEMENTOS ORBITAIS

37

2.5 GEOPOTENCIAL CONSIDERADO 40

2.6

PERTURBAÇÕES DEVIDAS AO ARRASTO ATMOSFÉRICO

43

2.6.1

Desenvolvimento da densidade em termos da anomalia excêntrica 48

2.6.2 O modelo termosférico TD-88

49

2.6.3 Densidade atmosférica

52

2.6.4 Teoria de Brouwer e Hori

60

2.7

PRESSÃO DE RADIAÇÃO SOLAR

62

2.7.1 Teoria de Vilhena de Moraes

64

3 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO

69

3.1 MÉTODO DE HORI PARA SISTEMAS CANÔNICOS 69

3.1.1 Aplicação do método de Hori para sistema canônico

73

3.1.1.1

Sistema auxiliar do método de Hori 74

3.2 MÉTODO DE HORI PARA SISTEMA NÃO-CANÔNICO 81

3.2.1

O algoritmo de Hori (1971)

82

3.2.2 Aplicação do método de Hori para sistema não-canônico

85

4 SOLUÇÃO DO SISTEMA UTILIZANDO O MÉTODO DE

HORI (1971)

93

4.1 MÉTODO DE HORI (1971) INCLUINDO A PRESSÃO DE

RADIAÇÃO

93

4.2 DEFINIÇÃO DOS NOVOS ELEMENTOS QUE SERÃO

CONSIDERADOS NO SISTEMA DE EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

96

4.2.1 Definição da hamiltoniana

96

4.2.2 Definição da pressão de radiação solar direta

99

4.2.3 Novas componentes do arrasto atmosférico

99

4.3 SOLUÇÃO DOS TERMOS SECULARES ACOPLADOS 103

5 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO MÉTODO DE HORI (1971)

115

5.1 ANÁLISE DAS EQUAÇOES DO SISTEMA AUXILIAR DE HORI 115

5.2 SOLUÇÃO DOS

TERMOS SECULARES DEVIDO AOS TERMOS

l

,

g

e

h

117

5.3 REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO GERAL DO MÉTODO DE

HORI

118

6 APLICAÇÕES

120

6.1 APLICAÇÃO DA TEORIA: SATÉLITE MIMOSA 120

6.2 APLICAÇÃO DA TEORIA: SATÉLITE EURECA 123

6.3 APLICAÇÃO DA TEORIA: SATÉLITE CBERS-1 124

7 CONCLUSÃO

138

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 141

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 148

APÊNDICE A - Geopotencial em termos das variáveis de delaunay 149

APÊNDICE B -

Definição dos termos que aparecem nas expressões

de ordem dois

150

APÊNDICE C - Funções periódicas 151

APÊNDICE D -

Programa em linguagem Fortran para calcular a

densidade atmosférica

159

APÊNDICE E - Solução de ordem dois devido aos termos seculares

das variáveis angulares

l

,

g

e

h

161

APÊNDICE F - Funções geratrizes

)1(

6

)1(

5

)1(

4

e , TTT

193

INTRODUÇÃO

O espaço sempre fascinou o homem desde a Antigüidade. À medida que a

história do homem avançava com a sua tecnologia, foi ficando cada vez mais claro que

descobrir o que nos rodeava era apenas uma questão de tempo. Soma-se a isso, as

antigas disputas territoriais, que, de uma maneira ou de outra, sempre contribuíram

para o progresso de uma nação em relação às outras. Pensava-se antes que, quem

dominasse os mares dominaria a Terra; depois, que quem dominasse os ares,

conquistaria também a Terra. Depois de conquistar tudo isso o homem ainda queria

mais e continuaram em busca de novas descobertas agora fora do nosso planeta Terra,

passaram a explorar o espaço começando a partir daí a corrida espacial e as conquistas

do século XX.

A disputa entre Estados Unidos e União Soviética (URSS) pela conquista do

espaço foi o grande impulso para a exploração espacial e resultou em grandes avanços

científicos e tecnológicos, além de descobertas importantes. Em 1957, a URSS saiu na

frente, lançando o Sputnik-1, o primeiro satélite artificial a entrar em órbita. Uma

semana depois, foi lançado o Sputnik-2.

Em 1958, os EUA reagiram com a criação da Nasa (National Aeronautics &

Space Administration), responsável pelo programa espacial do país. Nesse mesmo ano

foi lançado o primeiro satélite artificial americano, o Explorer-1.

Satélites Artificiais são lançados em órbita da Terra com diversos fins. Os

principais são: satélites de comunicações que servem para transmissões à distância,

como nas “transmissões via satélite” de televisão, satélites de sensoriamento remoto

que estudam a superfície terrestre, satélites meteorológicos que são usados para a

previsão do tempo, satélites de posicionamento global são usados por navios e aviões

(ou por qualquer pessoa) para determinar sua posição em qualquer ponto da Terra,

satélites de pesquisa científica, como o Hubble, são usados principalmente para

19

observações astronômicas; por fim os satélites para fins militares, incluindo

satélites espiões.

Cada finalidade dessas requer que as órbitas dos satélites sejam determinadas

com grande precisão, para que, a cada instante, a posição do satélite possa ser prevista.

Em qualquer missão espacial, quer se exija que a órbita seja conhecida com maior ou

menor precisão, o conhecimento do comportamento da órbita é vital para o sucesso da

missão.

Caso o movimento orbital não fosse perturbado, as órbitas dos satélites artificiais

seriam elipses de tamanhos e excentricidades constantes, em planos fixos e os satélites

permaneceriam nessas órbitas indefinidamente. Os elementos orbitais seriam todos

constantes e o movimento orbital seria o kepleriano, bem conhecido na literatura.

Porém, como veremos, estes elementos variam com o passar do tempo, com isso é

necessário um estudo para aprimorar a dinâmica que rege o movimente dos satélites

artificiais. As órbitas dos satélites são influenciadas por diversos efeitos perturbadores

como, por exemplo, os de origem gravitacionais: a não-homogeneidade da distribuição

da massa da Terra, a atração do Sol e da Lua, marés terrestres; ou os não

gravitacionais: arrasto atmosférico, pressão de radiação solar direta e indireta, o efeito

Poynting-Robertson, o efeito Yarkovsky, perturbações eletromagnéticas, eclipses etc.

Estas perturbações alteram a órbita do veículo espacial fazendo com que ela vá se

deteriorando ao passar do tempo, com isso são necessárias algumas manobras para

corrigir sua órbita para que o satélite tenha um tempo de vida útil mais longo.

Estudamos o movimento translacional de um satélite artificial sujeito à ação do

geopotencial, da pressão de radiação solar direta (considerando a sombra da Terra) e

do arrasto atmosférico.

Expressões analíticas para as perturbações, considerando-se modelos realísticos,

são desenvolvidas e substituídas nas equações de movimento. As equações são

integradas analiticamente por processos de teoria de perturbações permitindo análise

20

dos termos que compõem a solução. Utilizamos o método de Hori (1971) para resolver

o sistema não-canônico.

Neste trabalho descrevemos a teoria baseada em artigos citados na referência

bibliográfica e utilizamos um software, o Maple 9.5, para resolver as equações de

movimento.

Nosso objetivo é fazer um estudo referente às forças que perturbam o movimento

dos satélites artificiais, em especial ao satélite CBERS (satélite Sino-Brasileiro de

Recursos Terrestres). Este satélite está situado a uma altitude de 778 km sendo,

portanto, influenciado pelo arrasto atmosférico e a pressão de radiação solar que,

segundo Vilhena de Moraes (1978) satélites nesta altitude sofre influência das duas

forças citadas. A órbita do CBERS é heliossíncrona perfazendo cerca de 14 revoluções

por dia. Nesta órbita, o satélite cruza o Equador sempre na mesma hora local, 10:30h

da manhã, permitindo assim que se tenha sempre a mesma condição de iluminação

solar para a comparação de imagens tomadas em dias diferentes. O satélite obtém a

cobertura da Terra em 26 dias.

Este trabalho está dividido em 7 capítulos e 6 apêndices.

No Capítulo 1 apresentamos a revisão bibliográfica de alguns trabalhos

desenvolvidos na área.

No Capítulo 2 apresentamos um breve estudo sobre o geopotencial, a densidade

atmosférica, modelo termosférico, arrasto atmosférico e a pressão de radiação solar

direta considerando a sombra da Terra. Destacamos resumidamente a teoria de

Brouwer e Hori (1961) para o arrasto atmosférico e a teoria de Vilhena de Moraes

(1978) para a pressão de radiação solar direta e o arrasto atmosférico.

No Capítulo 3 consideramos o sistema de equações diferenciais que descreve o

movimento de um satélite artificial influenciado pelo geopotencial e arrasto

atmosférico. Apresentamos o método de Hori (1966, 1971) para sistemas canônicos e

não-canônicos respectivamente. Fazemos também uma aplicação para cada método e

comparamos com outros trabalhos para comprovar a validade do método.

21

No Capítulo 4 consideramos um satélite artificial perturbado pelo geopotencial

(considerando os harmônicos tesserais), pressão de radiação solar direta (considerando

a sombra da Terra) e o arrasto atmosférico, dados em termos das variáveis de

Delaunay. Reescrevemos o método de Hori (1971) para sistemas não-canônicos

conforme nosso propósito, incluindo a pressão de radiação. Definimos a hamiltoniana,

a pressão de radiação, o arrasto e o modelo de densidade atmosférica que são

utilizados no sistema de equações. O sistema é resolvido utilizando o software Maple.

Descrevemos também as novas componentes do arrasto que são usadas no programa.

Mostramos apenas as soluções dos termos seculares e seculares acoplados (pressão de

radiação e arrasto atmosférico) para as variáveis métricas. Pois tais termos são de

considerável importância para o estudo do sistema dinâmico.

No Capítulo 5 expomos as equações do movimento encontradas na aplicação do

método de Hori para os termos seculares angulares. Primeiramente fazemos uma

análise em relação aos termos de ordem zero do sistema auxiliar de Hori, depois

apresentamos as soluções seculares das variáveis angulares. Por fim apresentamos a

solução geral do problema.

No Capítulo 6 apresentamos algumas aplicações para verificar a solução do

sistema proposto, em que utilizamos dados dos satélites: Mimosa, Eureca e CBERS-1.

Fazemos também algumas considerações em relação a pressão de radiação solar.

No último capítulo apresentamos as conclusões e perspectivas para novos

desenvolvimentos.

No Apêndice A explicitamos a hamiltoniana segundo o geopotencial de Wnuk

(1990a) em que separamos a parte secular na hamiltoniana

0

H

e a parte periódica

1

H

considerando (harmônicos zonais e tesserais) até a terceira ordem.

No Apêndice B definimos os termos que aparecem nas expressões devidas à

solução de ordem dois.

No Apêndice C expomos as funções periódicas de primeira ordem que servem

para estudar os efeitos periódicos de curto e longo período.

22

No Apêndice D apresentamos o programa em linguagem Fortran para calcular a

densidade atmosférica utilizando o modelo de densidade TD-88.

No Apêndice E apresentamos as soluções seculares das variáveis angulares.

No Apêndice F apresentamos as funções geratrizes

)1(

6

)1(

5

)1(

4

e , TTT

23

CAPÍTULO 1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A partir do século XX, com o surgimento da tecnologia espacial,

questionamentos referentes a sua importância e utilidade têm sido levantados. Ao

decorrer dos anos, os avanços oriundos da exploração espacial foram produzindo

benefícios concretos para toda a sociedade. Citaremos alguns exemplos, como um

simples telefonema, propiciado muitas vezes por satélites, até as previsões

meteorológicas, e isso sem levar em consideração os benefícios indiretos, como o

desenvolvimento de novos materiais e tecnologias, geração de empregos e

conhecimento, entre outros. Portanto, observamos o crescente desenvolvimento nesta

área e com isso, estudos referentes à dinâmica de satélites artificiais necessitam de

aperfeiçoamento para obtermos melhores resultados na elaboração de futuras missões

espaciais. Para tal aperfeiçoamento fazemos primeiramente um estudo bibliográfico

referentes aos trabalhos desenvolvidos na área. Este levantamento bibliográfico é de

suma importância para a realização do trabalho proposto, pois foi fundamental para

descrever as equações de movimento (CARVALHO, 2006a, 2006b, 2006c).

1.1 LEVANTAMENTO BIBLIOGRÁFICO

Brouwer e Hori (1961) apresentam uma solução analítica para o movimento de

um satélite artificial no campo gravitacional terrestre considerando-se o efeito do

arrasto atmosférico. As equações do movimento são postas nas variáveis canônicas de

Delaunay, utilizando propriedades de transformações canônicas para resolver o

sistema proposto. A integração das equações desenvolvidas nas variáveis canônicas

deu-se pelo método das aproximações sucessivas. Nesse trabalho aparecem termos

espúrios de Poisson (função periódica do tempo aparece multiplicada por uma função

24

linear do tempo) e que são eliminados posteriormente (FITZGIBBON; VILHENA DE

MORAES, 1987).

Lála e Sehnal (1969) investigam as perturbações de curto-período das órbitas de

um satélite artificial, durante uma revolução do satélite ao redor da Terra, causadas

pela pressão de radiação solar direta. É de interesse especial, o estudo da influência da

sombra da Terra, que é considerada como uma função matemática especial nas

equações de perturbações. Esta teoria semi-analítica é aplicada para perturbações do

semi-eixo maior e excentricidade.

Ferraz-Mello (1972) desenvolve um novo modelo matemático para estudar o

efeito da pressão de radiação solar na órbita de um satélite artificial da Terra. É

elaborada uma teoria semi-analítica a partir de uma aproximação da função sombra

tornando canônico o sistema de equações. Isto possibilitou a utilização do método de

Von Zeipel (Ferraz-Mello, 2007) para eliminar todos os termos periódicos. O modelo

conduziu a não-existência de perturbações seculares puras devido à pressão de

radiação solar direta nos elementos métricos: semi-eixo maior, excentricidade e

inclinação.

Vilhena de Moraes (1978, 1981) desenvolve uma teoria de primeira ordem semi-

analítica (utilizando o método da variação dos parâmetros) para estudar os efeitos da

pressão de radiação solar direta e do arrasto atmosférico sobre o movimento de um

satélite artificial, considerando a sombra da Terra e incluindo os principais termos

seculares devido ao achatamento da Terra. É dada ênfase aos termos de acoplamento

que surgem como resultado dos fatores comuns das forças citadas. Fazendo a pressão

de radiação igual a zero o problema é reduzido para um já resolvido por Brouwer e

Hori (1961). As soluções não são equivalentes, pois na teoria de Brouwer e Hori

apareceram termos espúrios de Poisson. Para evitar esses termos é utilizada uma

transformação sugerida por Ferraz Mello (1981).

Vilhena de Moraes (1979) mostra que acima de 800 km o efeito da pressão de

radiação é maior que do arrasto atmosférico para satélites em órbita circular.

Especialmente para satélites com órbitas muito excêntricas, estes dois efeitos devem

25

ser considerados simultaneamente, para um estudo mais preciso da evolução orbital.

De fato, enquanto o efeito do arrasto ocorre principalmente no perigeu, a pressão de

radiação está sempre presente e com intensidade constante exceto na sombra. Além

disso, quando ambos os efeitos são levados em conta, termos acoplados aparecerão

além dos termos devido exclusivamente a cada perturbação. O artigo mostra a

importância em considerar estes termos acoplados para alguns satélites e determina a

solução de um sistema envolvendo ambos efeitos. É feita também uma aplicação para

o satélite Vanguard-I que tem altura do perigeu cerca de 650 km verificando os termos

que surgem do acoplamento.

Em Ferraz Mello (1981) a idéia da transformação de Tisserand é usada para

evitar o aparecimento de termos seculares espúrios ou seculares misto dependentes do

tempo quando estudado o efeito do acoplamento da ação simultânea de duas

perturbações de diferente tipo.

Anselmo et al (1983) analisam as perturbações devido à pressão de radiação solar

na órbita de um satélite artificial com alta altitude. É o primeiro modelo de um modo

simplificado para descrever os efeitos principais para satélites de telecomunicação

existentes. É feita uma análise dos efeitos causados por perturbações de longo período

nos elementos orbitais.

Vilhena de Moraes e Fitzgibbon (1983, 1987) apresentam uma formulação

prática do método de Lagrange para estudar o efeito do acoplamento de forças

gravitacionais e não-gravitacionais em órbitas de satélites artificiais. É feita uma

aplicação para o acoplamento do arrasto atmosférico e o achatamento da Terra. O

artigo faz uma discussão de outros métodos de teoria de perturbação que podem ser

utilizados para resolver o problema em questão, um deles é o método de Hori (1971)

que é aplicado diretamente no sistema original. A solução encontrada utilizando o

método de Lagrange não apresentou termos espúrios como os que surgem no trabalho

de Brouwer e Hori (1961).

O modelo TD (TD-Padrão para Densidade Total) é apresentado por Sehnal

(1988). O modelo TD é descrito para variações e distribuição da densidade total da

26

atmosfera da Terra numa região entre 200 e 500 km. A propriedade do modelo é

comparada com os modelos DTM, C, CIRA 72 e CIRA 86. Os elementos da densidade

que são analisados são mudança na atividade do fluxo solar e geomagnético anual e

diurno, mudança latitudinal, perfis de altura realistas. Variando esses elementos são

construídos gráficos para a comparação dos modelos. O artigo apresenta a formulação

matemática utilizada.

Segan (1988) desenvolve uma interpretação analítica das perturbações dos

elementos orbitais do satélite sob influência do arrasto atmosférico. São determinadas

algumas fórmulas para a perturbação do semi-eixo maior. O modelo de densidade

utilizado é o TD (SEHNAL, 1986a) para desenvolver a teoria, as manipulações

algébricas por serem muito complicadas e requererem muito tempo são resolvidas com

um software. O modelo atmosférico utilizado é satisfatório para a solução analítica da

equação diferencial do movimento.

Wnuk (1988, 1990a) desenvolve uma nova fórmula para o geopotencial expresso

em termos dos elementos orbitais/e ou nas variáveis de Delaunay. Aplicando o método

de perturbação de Hori (1966), novas fórmulas são desenvolvidas para perturbações do

harmônico tesseral em elementos orbitais não-singulares. Com esse novo modelo para

o geopotencial um maior número de coeficientes com maior precisão para harmônicos

tesserais pode ser aplicado para encontrar as órbitas de satélites de baixa altitude,

quando for levado em conta alta ordens e graus dos harmônicos.

Para resolver analiticamente as equações do movimento de satélites artificiais da

Terra influenciado pelo arrasto atmosférico, Vilhena de Moraes (1989) utiliza o

modelo de densidade TD-88. No presente artigo é desenvolvida uma expressão para

densidade atmosférica (

ρ

d

) em função da anomalia excêntrica/e ou anomalia média

para resolver analiticamente as equações do movimento. É feita uma aplicação para

uma perturbação secular devido ao arrasto atmosférico e o geopotencial da Terra

considerando duas novas componentes do arrasto atmosférico e integrando esse

sistema analiticamente com o modelo proposto para a densidade.

27

Em Wnuk (1990b) são calculadas as fórmulas para perturbações em componentes

radial, transversal e binormal do movimento de satélites artificiais da Terra.

Perturbações devido à parte tesseral do geopotencial são consideradas. O potencial

gravitacional expresso em termos dos elementos orbitais é proposto por Wnuk (1988).

As fórmulas para perturbações são obtidas usando o método de Hori (1966). Elas

podem ser efetivamente aplicadas em cálculos das perturbações em componentes das

forças incluindo os coeficientes de alta ordem e grau dos harmônicos tesserais. As

fórmulas derivadas não apresentam singularidades para excentricidade zero.

Sehnal (1990) faz uma comparação entre o modelo termosférico densidade total

TD-88 com o CIRA 86. A comparação dos valores de densidade determinada de

ambos os modelos é mostrada em função da altura e algumas variações individuais são

discutidas. É apresentada a formulação matemática e os termos individuais dependem

do fluxo solar médio, densidade média, assimetria norte-sul, variações anuais, semi-

anuais, diurno e semi-diurno. Este modelo é introduzido para desenvolver uma teoria

analítica do movimento do satélite artificial na atmosfera da Terra. O modelo TD 88 é

válido para uma escala de altura entre 150 e 750 km. Há uma correlação muito boa

entre as mudanças anuais de ambos os modelos, nas amplitudes e nas posições

extremas.

Vokrouhlicky e Sehnal (1993) estudam alguns aspectos da influência

perturbadora da radiação refletida pela superfície da Terra (albedo) no movimento de

um satélite artificial. É feita uma aplicação para o satélite ERS-1. Segundo o autor a

magnitude da pressão de radiação solar direta é cerca de cinco vezes maior que a força

de albedo.

Vilhena de Moraes (1994) faz um levantamento bibliográfico de alguns modelos

analíticos para forças não-gravitacionais de diferentes origens que tem sido usado em

teoria analítica para o movimento rotacional e translacional de satélites artificiais. O

artigo apresenta alguns dos modelos propostos para está finalidade e suas respectivas

equações. Apresenta também um método para estudar perturbações acopladas.

28

Breiter (1997) apresenta uma solução analítica para as perturbações de um

satélite artificial devido à parte zonal do geopotencial em que o hamiltoniano é

normalizado completamente até a segunda ordem utilizando o método de Hori (1966).

As fórmulas permitem um grau arbitrariamente alto dos harmônicos do geopotencial a

ser incluído. O modelo utilizado para o geopotencial é dado por Wnuk (1988).

Em Vilhena de Moraes e Wnuk (1998) é sugerida uma aplicação das expansões

de algumas funções da anomalia excêntrica

E

como também os coeficientes de Hansen

em séries de potência de (e – e*), em que e* é um valor fixo da excentricidade

derivado por Da Silva Fernandes (1995). Estas séries são convergentes para todos os

valores de e<1. São obtidas novas fórmulas para computação das perturbações devido

ao geopotencial em componentes radial, transversal e binormal, válidas para órbitas

altamente excêntricas.

Em El-Saftawy et al (1998 a, b) as equações canônicas do movimento de um

satélite de forma complexa (satélites de telecomunicações) sobre os efeitos em comum

do achatamento da Terra e a pressão de radiação solar direta são formuladas e

resolvidas. A hamiltoniana é desenvolvida em termos dos elementos de Delaunay

aumentados para remover a dependência explicita do tempo. É utilizado o método

adaptado de transformação desenvolvido por Lie-Deprit-Kamel (Deprit, 1969; Kamel,

1969) para desenvolver a hamiltoniana em termos de pequenos parâmetros. Em que

J

2

é considerado de primeira ordem e

J

3

,

J

4

de segunda ordem. Analisam também os

termos de ressonância e o procedimento para as transformações no caso de ressonância

é esboçado.

Wnuk (1999) faz um levantamento bibliográfico sobre teoria analítica do

movimento de satélites artificiais e apresenta alguns trabalhos desenvolvidos na área.

A análise qualitativa do movimento de satélite também precisou de uma aplicação de

fórmulas analíticas que descrevem o movimento. O caráter funcional de vários efeitos

de perturbações só pôde ser examinado com o uso de fórmulas analíticas para

perturbações. O autor chama a atenção para os métodos de perturbações gerais que têm

29

um papel importante e que o desenvolvimento de teorias analíticas ainda é uma tarefa

de grande importância.

Breiter e Métris (1999) desenvolvem um algoritmo para estudar órbitas de

satélites e lixos espaciais em longos intervalos de tempo. Utilizam a técnica do

mapeamento simplético. São consideradas as seguintes perturbações: geopotencial

(considerando os harmônicos esféricos), arrasto atmosférico, atração gravitacional do

Sol e da Lua e a pressão de radiação solar direta (sem efeitos da sombra). É feito um

exemplo numérico como aplicação da abordagem desenvolvida.

Em El-Saftawy e El-Enna (2002, 2003) os efeitos da pressão de radiação solar

direta e o achatamento da Terra considerando um potencial com correções

relativísticas (pós Newtoniano) em um satélite artificial da Terra são considerados. O

potencial devido ao achatamento da Terra é limitado para o termos principais e o

segundo harmônico zonal. A hamiltoniana do sistema é desenvolvida em termos dos

elementos de Delaunay aumentado para remover a dependência explícita do tempo,

devido à longitude média do Sol. As equações canônicas do movimento são montadas

retendo termos até (

4

2

J

) para conservar termos surgindo do acoplamento entre a

pressão de radiação e os termos do achatamento pós Newtoniano. O trabalho

desenvolve uma teoria de satélite artificial para calcular o acoplamento devido às

forças consideradas acima, obtendo um conjunto de equações em termos da

hamiltoniana.

Em Da Silva Fernandes (2003a, b) são apresentados dois trabalhos em relação ao

método de Hori para sistemas canônicos e não-canônicos respectivamente. O autor

desenvolve uma nova abordagem para determinar as funções

m

S

e

∗

m

H

para a versão

canônica do algoritmo e depois generaliza para a versão não-canônica. O autor prova

algumas proposições e faz aplicações para comprovar a validade das mesmas.

Em Ahmed A. El-Enna (2003, 2004) o problema do movimento de um satélite

artificial da Terra incluindo a força de pressão de radiação solar é considerado. O

geopotencial é expresso em termos dos harmônicos zonal e tesseral até

J

4

e

S

44

30

respectivamente. A função hamiltoniana é então obtida em termos do conjunto das

variáveis canônicas de Delaunay, aumentado para remover a dependência explícita do

tempo devido à longitude média do Sol e devido ao movimento da Terra sobre seu

eixo. Nesse trabalho as equações de movimento do satélite da Terra incluindo as

perturbações diretas e misturadas devido ao achatamento da Terra e a pressão de

radiação solar são obtidas.

Em El-Saftawy (2004) os termos de ressonância produzidos pelo efeito da

pressão de radiação solar direta no movimento de um satélite artificial no campo

achatado da Terra são analisados. O veículo espacial é assumido axialmente simétrico

com antena e painéis solares. Uma técnica de transformação canônica é desenvolvida,

baseada na técnica de Bohlin da expansão em potências fracionárias, usando série e

transformação de Lie como também o conceito da anomalia de Delaunay.

El-Salam e Sehnal (2004) desenvolvem uma teoria de arrasto atmosférico até

segunda ordem baseado no modelo TD-88 para pequenos parâmetros. As pequenas

perturbações periódicas, de todos os elementos orbitais, são avaliadas. As perturbações

seculares do semi-eixo maior e da excentricidade são obtidas. A teoria é aplicada para

determinar o tempo de vida dos satélites ROHINI (1980 62 A) e o micro-satélite

MIMOSA. As perturbações seculares da longitude do nodo e do argumento do perigeu

devido à gravidade da Terra são levadas em conta até a segunda ordem devido ao

achatamento da Terra. Para integrar as equações do movimento uma expressão

analítica é requerida para a densidade atmosférica. São feitas algumas manipulações

com a força de arrasto e as equações de Gauss para eliminar a dependência do tempo e

escrever em termo da anomalia excêntrica. Com a nova expressão para o arrasto e as

equações de Gauss resultou um novo conjunto de equações em que os elementos

orbitais dependem da anomalia excêntrica e não do tempo. Os seguintes modelos

clássicos empíricos, CIRA 86, CIRA 72 e DTM são inadequados para o trabalho

analítico. Neste artigo é conveniente o uso do modelo TD-88 expresso em termo da

anomalia excêntrica. Com essas transformações as integrais podem ser resolvidas

analiticamente.

31

Ahmed A. El-Enna (2004) neste trabalho é feito o estudo da teoria pós

Newtoniano do geopotencial e pressão de radiação solar direta que causam efeitos no

movimento de um satélite artificial da Terra. O potencial da Terra é desenvolvido em

termos das variáveis de Delaunay, assumindo

J

2

de primeira ordem. A expansão do

geopotencial é expressa em termos do harmônico zonal até

J

5

. São feitas algumas

transformações canônicas para remover a dependência explicita do tempo, ficando

com ordem de magnitude da pressão de radiação e o relativístico dependente da

relação área massa (cm

2

g

-1

) e sua altitude em km.

Vrbik (2005) resolve o problema de Kepler perturbado usando Quatérnio, para

isto, ele faz um simples exemplo de perturbações do achatamento que já é bem tratado

na literatura, depois os resultados são estendidos para lidar com alto-grau do

harmônico zonal. O artigo pretende demonstrar a versão mais recente do algoritmo,

daí faz um comentário passo a passo do mesmo. O autor pretende depois investigar

perturbações devidas ao harmônico tesseral e setorial que é de natureza dependente do

tempo e requer uma extensão correspondente deste algoritmo. Para alcançar uma

solução altamente precisa além de incluir termos da ordem de

ε

3

é necessário também

incluir termos mistos que aparecem na solução do problema. Utiliza o programa

Mathematica para integrar as equações. O programa trabalha não só com forças

conservativas, mas também para outras forças não-conservativas. A técnica pode

facilmente ser estendida para perturbações dependentes do tempo incluindo

ressonâncias.

De Saedeleer (2005) apresenta uma teoria de satélite artificial usando

transformação de Lie como técnica de perturbação canônica (eliminando termos de

curto período). É considerada uma perturbação para qualquer harmônico zonal

J

n

(n ≥

2) do primário no satélite no qual nomeou como problema zonal completo do satélite

artificial. Formulou uma expressão analítica para calcular diretamente a média da

hamiltoniana de primeira ordem. Os cálculos são feitos em forma fechada para todos

os termos, válido para todo tipo de órbitas elípticas, calculando a hamiltoniana de

modo mais compacto. Adicionalmente, o gerador de primeira ordem associado com

esta transformação é determinado na mesma forma fechada, e também é validado.

32

Pode ser usado como um primeiro passo para obter em um trabalho subseqüente, uma

teoria de segunda ordem, ou calcular as expressões explícitas direta e inversas da

mudança de variáveis na teoria de primeira-ordem atual.

Estas referências têm como objetivo selecionar alguns trabalhos desenvolvidos

na área que possam contribuir para o estudo do tema abordado. Para complementar

estas referências sugerimos o trabalho de Vilhena de Moraes (1994). O presente

trabalho será desenvolvido baseado em Brouwer e Hori (1961), Ferraz Mello (1965),

Vilhena de Moraes (1978, 1981, 1989), Fitzgibbon (1982), Vilhena de Moraes e

Fitzgibbon (1983, 1987), Sehnal (1988), Fernandes e Sessin (1989), Wnuk (1988,

1990a), Breiter (1997), Da Silva Fernandes (2003b), El-Salam e Sehnal (2004) e no

método de Hori (1966, 1971) para sistemas canônicos e não-canônicos

respectivamente.

Observamos na literatura que existem diversos trabalhos referentes aos efeitos do

geopotencial, acoplamento entre o geopotencial com arrasto atmosférico, geopotencial

com a pressão de radiação solar, porém o acoplamento das três perturbações citadas é

pouco estudado (VILHENA DE MORAES, 1978, 1981). Com isso pretendemos

desenvolver um trabalho que possa vir a contribuir para o desenvolvimento de teorias

analíticas em que consideramos novos elementos na teoria como, por exemplo, novo

geopotencial dado por Wnuk (1988) considerando os harmônicos tesserais que são

pouco abordados na literatura, novos valores para as componentes do arrasto

atmosférico e um modelo de densidade atmosférica conveniente para integrações

analíticas conforme Vilhena de Moraes (1989) e por fim um método de perturbação

(HORI, 1971) para resolver as equações de movimento. Observamos que a ação

simultânea dos três efeitos acontece, por exemplo, com órbitas de satélites com

altitude da ordem de 700 km (VILHENA DE MORAES, 1978, 1979) e que esse é o

caso de alguns dos satélites brasileiros.

Para obtermos resultados mais realísticos consideramos ainda, na integração

analítica das equações do movimento, um trabalho de Breiter (1997) em que a

33

hamiltoniana

0

H

considerada não é mais a usual em que faz-se igual ao termo não

perturbado do geopotencial e sim todos os termos seculares adotados.

34

CAPÍTULO 2 FORÇAS GRAVITACIONAIS E NÃO

GRAVITACIONAIS

Neste capítulo apresentamos um breve estudo sobre o geopotencial, a densidade

atmosférica, arrasto atmosférico, o modelo termosférico TD-88 e a pressão de radiação

solar direta considerando a sombra da Terra. Apresentamos resumidamente a teoria de

Brouwer e Hori para o arrasto atmosférico e a teoria de Vilhena de Moraes para a

pressão de radiação solar direta e o arrasto atmosférico.

2.1 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE

O campo gravitacional terrestre e a força de atração associada a este campo,

exercida sobre uma massa colocada nele, sendo que essa massa pode ser

negligenciada, serão estudados no caso de um satélite artificial. O campo gravitacional

terrestre é uma das principais perturbações nos movimentos dos satélites artificiais,

devido a sua distribuição não-homogênea de massa. O termo principal devido ao

achatamento da Terra é

J

2

, bem conhecido na literatura, os demais termos são

considerados dependendo da precisão da missão. O geopotencial é uma força de

origem gravitacional que perturba as órbitas dos satélites artificiais da Terra.

A Terra não é uma esfera perfeita com distribuição uniforme de massa. Ela não

pode ser considerada, neste contexto como sendo um ponto material, devido ao

achatamento nos pólos e a forma irregular da sua composição, fato que tem efeito

direto na sua densidade. Estas irregularidades produzem uma perturbação na órbita de

um satélite artificial, tal que os elementos keplerianos que descrevem tal órbita não

permanecem constantes.

35

2.2 GEOPOTENCIAL EM COORDENADAS ESFÉRICAS

Iremos apresentar o geopotencial em coordenadas esféricas utilizado para

satélites artificiais, segundo os desenvolvimentos apresentados por Kaula (1966) e

Osório (1973). Fazendo uma mudança de coordenadas esféricas para keplerianas para

representar os elementos orbitais explicitamente.

Vamos considerar o potencial de um ponto de massa devido a um sólido de

formato e distribuição de massa arbitrários. O ponto de massa está localizado fora do

sólido. Podemos definir o potencial da forma:



∆

=

dM

GU

(2.1 )

em que

∆

é a distância entre o ponto e o sólido,

dM

elemento de massa do corpo e

G=6,6720x10

-11

m

3

/(kg s

2

) é a constante gravitacional universal.

Representando esse potencial em termos dos polinômios associados de Legendre

dado por (OSÓRIO, 1973) temos:

dMm

xsenPsenP

ml

r

G

U

lmlm

l

m

M

m

)(cos

)()(

)!(

)2(

0 0

0

λλ

ββδ

′

−

′

+

−













′

−=





∞

= =

(2.2)

em que

δ

m o

é o delta de Kronecker e

P

l m

são os polinômios associados de Legendre de

grau

l

e ordem

m

, (

r,



,

) são as coordenadas esféricas da posição do satélite;

λ

′

e

β

′

são respectivamente a longitude e a latitude do elemento de massa

dM

. Integrando em

toda distribuição de massa e desenvolvendo

)(cos

λ

′

−

m

, o potencial fica da forma

dada por (KAULA, 1966):

)cos( )(

0 0

λλβ

µ

senmSmCsenP

r

a

r

U

lmlmlm

l

m

e

+













=



∞

= =

(2.3 )

em que

36

dM

senm

m

senPr

ml

Ma

S

C

lm

M

l

e

mo

lm













′

+

−

=















λ

β

δ

cos

)'(

)!(

)2(

(2.4)

e

a é o semi-eixo equatorial do elipsóide da Terra, M a massa da Terra, C

lm

e S

lm

os

coeficientes harmônicos esféricos e

µ

(=GM) é o parâmetro gravitacional da Terra (≅

3,986x10

5

km

3

/s

2

). O potencial satisfaz a equação de Laplace (

0

2

=∇

U

), podendo

representá-lo em função dos harmônicos esféricos. O potencial perturbador é avaliado

no ponto localizado pelo módulo do raio vetor r, pela latitude geocêntrica

β

′

e pela

longitude geocêntrica

λ

′

, conforme mostrado na Figura1.

Geralmente utilizam-se os coeficientes harmônicos de forma normalizada para

simplificar a sua execução quando calculados numericamente. São representados por

(KUGA; RAO e CARRARA, 2000):

























−

+

=













nm

S

C

mn

n

S

C

21

)!(

24

1

(2.5 )

Figura 1- Potencial gravitacional num ponto P, devido à ação da massa dM

λ

′

β

′

r

′

dM

0

∆

r

X

Y

Z

ϕ

P

′

P

(r,

λ

,

β

)

37

2.3 INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES E EFEITOS DO GEOPOTENCIAL

Considerando a expressão (2.4) e através da inspeção, observa-se que, os

harmônicos com m = 0 não dependem da longitude

λ

′

. Eles dividem a esfera em

zonas e são chamados harmônicos zonais. O efeito da distribuição não-uniforme de

massa devido ao achatamento dos pólos é refletido no coeficiente zonal C

20

, o efeito

que atribui para a Terra uma forma de pêra é chamado de coeficiente zonal C

30

. Os

harmônicos com m

≠

0 sua distribuição de massa é completamente não-simétrica,

depende da longitude

λ

′

e são chamados de tesserais. Os termos de ordem m = l = 0

descrevem o potencial principal da Terra, ou seja, C

00

= 0 corresponde a Terra com

distribuição esférica de massa. Se a origem do sistema de coordenadas coincidir com o

centro de massa da Terra pode-se mostrar que C

10

= C

11

= S

1 1

= 0 e S

00

= S

n0

= 0. A

matriz de inércia da Terra é dada por (KUGA; RAO; CARRARA, 2000):

,













=

CE F

FD B

E A D

I

t

(2.6 )

Fazendo algumas considerações os coeficientes resultam:

Ms

D

AB

Ma

C

Ma

F

Ma

E

C

ee

2

22

2

22

2

21

2

21

2

S ),(

4

1

,S ,

=−=

==

(2.7 )

2.4 EXPRESSÃO DO GEOPOTENCIAL EM FUNÇÃO DOS ELEMENTOS

ORBITAIS

38

Quando desejamos trabalhar com satélites artificiais é conveniente expressar o

geopotencial em termos dos elementos orbitais, que estão representados no sistema de

coordenadas na Figura 2.

A Figura 2 mostra uma órbita no espaço. O arco NQ descreve a órbita do satélite

cortando o equador celeste no ponto N (linha dos nodos). O ângulo i é a inclinação da

órbita, f é a anomalia verdadeira,

Ω

é a longitude do nodo ascendente, X aponta para o

ponto vernal (γ),

ω

é o argumento do perigeu (P) e Q representa o satélite na órbita.

Em geral o plano orbital está inclinado em relação ao plano de referência de um

ângulo i. A linha de interseção entre o plano da órbita e o plano de referência é

chamado linha dos nodos. O ângulo entre a linha de referência até o nodo ascendente é

chamado de longitude do nodo ascendente

Ω

. O ângulo entre a linha dos nodos até o

pericentro da órbita é o argumento do pericentro

ω

e este ângulo dá a orientação da

órbita no plano orbital.

A inclinação da órbita pode variar de 0°



i



180°. Se i < 90° o movimento é

chamado de prógrado ou direto, enquanto i > 90° o movimento é retrógrado. Quando i

Figura 2- Parâmetros orbitais

N

i

Ω

0

Q

f

ω

P

Z (eixo polar)

Y

órbita

39

tende a zero ou 180º o plano da órbita coincide com o plano de referência. Os ângulos

Ω

e

ω

podem variar de 0

°

a 360

°

. O tamanho e o formato da órbita são dados pelo

semi-eixo maior

a

e pela excentricidade

e

.

Os cinco parâmetros citados acima

a

,

e

, i,

Ω

,

ω

acrescentando τ

o

( tempo de

passagem pelo pericentro) são chamados de elementos orbitais, que são usados na

descrição da forma, tamanho e orientação no espaço da órbita de qualquer objeto sob

atração gravitacional.

Uma fórmula para o geopotencial em termos dos elementos orbitais considerando

os coeficientes zonais e tesserais é dada por (KAULA, 1966):



∞

= =

+=

2 0

,

l

m

lm

V

r

U

µ

(2.8)

em que

,),,,()()(

0



∞

−∞==

Ω













=

q

lmpq

lmp

l

p

lmp

l

e

lm

MSeGiF

a

U

θω

µ

(2.9)

a

lmpq

ml

lm

a

lmpq

ml

lm

lmpq

sen

C

S

C

S Ψ













+Ψ













−

=

−

par

ímpar

par

ímpar

cos

(2.10)

),()2()2(

θω

−Ω++−+−=Ψ mMqplpl

a

lmpq

(2.11 )

sendo que

)(iF

lmp

é a função da inclinação normalizada,

)(eG

lpq

é função da

excentricidade,

lmlm

SC ,

são os coeficientes do geopotencial normalizado,

a

,

e

, i,

ω

,

Ω

e M são os elementos orbitais, em que, M é a anomalia média definida como

)(M

o

tn

τ

−

=

,

θ

é o tempo sideral e

e

a é o raio equatorial da Terra.

Entretanto, Wnuk (1988) mostra que a fórmula dada por Kaula (1966) se torna

muito complexa e custosa quando aumenta a ordem m e o grau l dos coeficientes

harmônicos, tornando-se inconveniente para determinadas missões. Além disso, a

40

fórmula mostra singularidades para pequena excentricidade e inclinação. Portanto, a

aplicação da fórmula é bastante limitada. Para eliminar estas dificuldades, Wnuk

(1988) desenvolveu uma nova fórmula para expressar o geopotencial em termos dos

elementos orbitais e/ou nas variáveis de Delaunay. O significado dessas variáveis em

relação aos elementos orbitais clássicos é:

Ω==

==

−==

==

hl

gl

ll

iGHL

eLGL

aLL

3

2

1

3

2

1

M

cos

1

ω

µ

(2.12)

em que

µ

,

a

,

e

, i , M,

ω

, e

Ω

já foram definidos.

2.5 GEOPOTENCIAL CONSIDERADO

Com o modelo do geopotencial proposto por Wnuk (1988) um maior número de

coeficientes com maior precisão para os harmônicos zonais e tesserais podem ser

aplicados para encontrar as órbitas dos satélites, quando for levado em conta alta

ordem e grau dos harmônicos simplificando os cálculos e diminuindo o tempo de

execução.

O geopotencial expresso nas variáveis de Delaunay é dado por (WNUK, 1990a):

  

= −= −=

Ψ+Ψ+=

N

m

N

Nk

Q

Qq

kq

m

kq

m

km

senSC

Lr

U

0

2

),cos(

γ

µ

(2.13)

em que

41

,

1

*

jm

kq

jm

N

jj

kq

m

jm

kq

jm

N

jj

kq

m

SQS

CQC



=

(2.14)

),()(

,2/)(,

2

eGiA

L

Q

qkjj

k

jm

j

kq

jm −













=

µ

(2.15)

,2/)()()(

π

θ

mkhmlqkkg

−

+

−

+

=

Ψ

(2.16)

).(2

)],2/)1((2,max[

,)1(

101

1111

2/)1((

kk

mkE

km

kk

kmEkkj

δδ

γ

++=

+++=

−=

+−

(2.17)

em que

jmjm

SC ,

são os coeficientes do geopotencial normalizado,

)()(

2/)(,

iFIA

kjmj

k

jm −

=

é a função da inclinação normalizado, )(

,2/)(,

eG

qkjj

−

é função da

excentricidade, E(x) é a função inteira, N é a máxima ordem e grau dos coeficientes

levados em conta e Q é o máximo valor do índice q. O símbolo



*

representa a adição

com um passo 2. Os termos que estão representados na expressão (2.14) é definido por

Wnuk (1988) como lumped coefficients.

A hamiltoniana pode ser escrita da seguinte maneira:

(

)

  

= −= −=

Ψ+Ψ+=Η

N

m

N

Nk

Q

Qq

kq

m

kq

m

km

senSC

LL

0

2

cos

2

γ

µµ

(2.18)

Os coeficientes de )(iF

lmp

são funções da inclinação orbital dado por (KAULA,

1966):

(

)

{ } { }

kmmpmínKpmmáx

i

sen

i

k

p

km

p

pp

m

iF

k

l

lmp

22,,222,0

22

cos

222

)1(

)!(!2

!

)(

2

0

+++−=−−≤≤−−





































−













−−

−

+

=

−

=







χ

χχ

(2.19)

42

Vilhena de Moraes e Wnuk (1998) mostram que a função da excentricidade

)(

,,

eG

qpl

dada por Kaula (1966) é relacionada pelos coeficientes de Hansen

)(

,

eX

mn

k

pela seguinte equação:

)(

)2(),1(

2,,

eXG

pll

qplqpl

−−−

+−

= (2.20)

esta fórmula não é numericamente estável para alta ordem da excentricidade. Portanto,

utilizando uma fórmula demonstrada por Da Silva Fernandes (1995), em que é válida

para qualquer valor da excentricidade entre

1

0

<

e

temos:

)(

)!1(

)(

,

1

1*

,

∗

=

−

∞

=

−



−

=

ee

mn

k

l

mn

k

eX

de

d

l

ee

eX

(2.21)

em que

*

e

é um valor fixo da excentricidade. Esta série converge para todos os valores

da excentricidade

1

<

e

tal que

)(

**

eee ℘<−

. Os valores do raio de convergência

)(

*

e

℘

são determinados por Da Silva Fernandes (1995).

Os coeficientes são calculados por (GIACAGLIA, 1976):

),()(

js

1

)(

,,

0

,

1 1

keJf

mn

s

mn

eX

jmkjsn

s

j

sj

mn

k +−

= −=













+

++













+−

=

 

β

(2.22)

em que J

l

(x) é a função de Bessel.

2

212

,,

e-11

e

com ,)()1()(

+

=−+=

−

βββββ

sjn

jsn

f (2.23)

e







≤++∞

≥++++

=







≤+∞

≥

+

−

=

01mn se

01mn se s-1mn

j

01m-n se

01m-n se 1

1

mn

S

(2.24)

A função f(

β

) pode ser expressa na seguinte série de potência da excentricidade

e

(JARNAGIN, 1965):

43

sji

i

jsn

e

i

sjin

i

sjin

f

22

0

,,

2

212

222

2)(

++

∞

=





































++−+−

−













++−+−

=



β

(2.25)

as derivadas são calculadas por:





































+

++













+−

=

+−

−

== =



)()(

1

)(

00

,

1

keJ

de

d

f

de

d

r

l

js

mn

s

mn

eX

de

d

jmk

rl

r

l

r

s

j

sj

mn

k

l

β

(2.26)

para resolver esta derivada usamos a seguinte relação de Bessel



=

+−













−=

t

r

rtl

r

t

l

t

xJ

r

t

xJ

de

d

0

2

)()1(

2

1

)( (2.27)

Usando as fórmulas acima podemos calcular os coeficientes de Hansen para

valores arbitrários da excentricidade entre zero e um e valores arbitrários dos índices.

Os coeficientes de Hansen também são analisados por Osório (1973) de forma

minuciosa.

2.6 PERTURBAÇÕES DEVIDAS AO ARRASTO ATMOSFÉRICO

Um satélite que se move na atmosfera da Terra é influenciado por um atrito, que

é denominado força de arrasto, que atua no sentido contrário ao movimento do satélite

e tende a diminuir sua energia orbital. O arrasto atmosférico é a principal força não-

gravitacional que atua nos satélites de baixa altitude devido ao atrito com a atmosfera.

Toda vez que o satélite passa próximo ao perigeu, ou seja, mais próximo da Terra ele

perde energia devido ao arrasto causando uma redução no semi-eixo maior, com isso a

órbita elíptica contrai-se para uma órbita circular como podemos visualizar na Figura

4. Como um satélite artificial da Terra se move através da atmosfera da Terra, seu

movimento orbital é perturbado pela força resistiva. Está força causa perturbações

seculares nos principais parâmetros orbitais, por exemplo, no semi-eixo maior e na

44

excentricidade reduzindo consideravelmente o tempo de vida do satélite. Em

Lafontaine (1984) é feita uma análise para determinar o tempo de vida de um satélite

influenciado pela força de arrasto. Segundo Vilhena de Moraes (1978) a influência do

arrasto predomina até os 700 Km de altitude.

O módulo da expressão da força de arrasto por unidade de massa é dada por:

2

1

2

V

m

S

CD

Dd

ρ

= (2.28)

em que

d

ρ

é a densidade local do ar depende da posição e do tempo de uma maneira

muito complicada, C

D

é o coeficiente de arrasto, S é a área efetiva, m é a massa do

satélite e V é a velocidade do satélite em relação à atmosfera da Terra. A variação de

d

ρ

com altura depende da forma da atmosfera, sendo que diminui rapidamente com

ligeiro aumento na altitude. O efeito do achatamento da atmosfera é bastante

significante no movimento orbital do satélite.

A densidade

d

ρ

e o coeficiente de arrasto C

D

são modelados, temos diversos

trabalhos que modelam esses coeficientes entre eles podemos citar Sehnal (1982),

Vilhena de Moraes (1994). O coeficiente C

D

é determinado empiricamente tendo um

valor aproximado 2.2 com um erro de 5%. Um artigo apresentado por Sehnal e

Pospísilová (1994) os autores desenvolvem uma expressão para calcular o coeficiente

de arrasto. No estudo da influência do arrasto atmosférico no movimento de satélites

artificiais vários modelos têm sido propostos para descrever a densidade atmosférica

ρ

d

entre eles o modelo TD 88 dado por Sehnal (1988), este modelo é adequado para

teorias analíticas, vários autores têm desenvolvido teorias analíticas utilizando o

modelo TD 88 entre eles Segan (1988); Vilhena de Moraes (1989); El-Salam e Sehnal

(2004). Com este modelo para a densidade as equações de movimento podem ser

Figura 3- Decaimento orbital devido ao arrasto atmosférico

45

integradas analiticamente. O modelo TD 88 é válido para alturas entre 150-750 km.

Temos um trabalho atual de Bezdek e Vokrouhlicky (2004) em que utilizam este

modelo de densidade numa teoria semi-analítica e também estenderam a altitude de

alcance da aplicabilidade do modelo de 750 km para 1200 km.

A densidade atmosférica

d

ρ

, no modelo TD 88, pode ser descrita através das

seguintes equações (SEHNAL, 1988):



=

7

1

00

n

nnxd

ghkff

ρ

(2.29 )

em que:

(

)

byx

FFaf

−

+

=

1

(2.30 )

m

faf

+

=

20

(2.31 )

(

)

160

60

−

=

b

m

F

f

(2.32 )

(

)

31

30

−

+

=

p

Kak (2.33)

A dependência da altitude é descrita por:

( ) ( )( )



=

−+=

7

1

,0,

/29/120exp

j

jnnn

jhKKh

(2.34)

As funções g

n

são descritas por:

1

=

g

42

2

a

f

g

m

+=

(

)

ψ

senpdseng

33

−

=

(

)

(

)

454

1 pdsenfag

m

−

+

=

(

)

(

)

565

21 pdsenfag

m

−

+

=

(

)

(

)

ψ

−

+

=

cosptsenfag

m 676

1

(

)

(

)

ψ−+=

2

787

21 cosptsenfag

m

46

De King-Hele (1964), pode-se escrever a seguinte equação para altitude de um

satélite:

(

)

uisen

R

seniREaeah 2cos

2

1cos

2

ε

−−−−=

(2.35)

em que

a

,

e

,

i

,

E

, e

u

são, respectivamente, o semi-eixo maior, a excentricidade, a

inclinação, a anomalia excêntrica, e

u

é o argumento do perigeu somado à anomalia

verdadeira; R é o raio equatorial da Terra e

ε

é o achatamento da Terra.

A equação para a densidade, com as funções h descritas pela expressão (2.35),

fica da seguinte forma (VILHENA DE MORAES, 1989):

(

)

(

)

 

= =

+=

7

1

3

1

0,00

] cosexp2cosexp[

n j

njjjnxd

gEucAKkff

βρ

(2.36 )

em que,

j

isenR

c

j

29,2

2

ε

=

,

(2.37 )

j

ae

j

29

=

β

(2.38 )

e

(

)

(

)

(

)

[

]

j/aisenRexpA

j

29

2

1120

2

−

ε

−+= (2.39 )

A hora local t e a latitude

ψ

podem ser descritas através de elementos orbitais

como mostrado nas seguintes expressões (SEHNAL, 1986b; VILHENA DE

MORAES, 1989):

u

sen

i

sen

=

ψ

(

)

ψ

α

cos/cossensen iu

=

Ω

−

(

)

ψ

α

coscoscos u

=

Ω

−

π

α

+

′

−

=

Ω

−

=

t

em que Ω, α e

α

′

são respectivamente, o nodo ascendente da órbita, a ascensão reta

do satélite e ascensão reta do Sol.

Das relações entre as anomalias excêntrica e verdadeira, podemos escrever

(VILHENA DE MORAES, 1989):

47



=

+++==

1

2

...3

4

2

k

lk

Esen

e

Esen

e

senEsenkEsenf

σ

(2.40)



∞

=

+++













−+−==

0

2

...3cos

4

2cos

2

cos

4

1

2

coscos

k

lk

E

e

E

e

Ee

e

kEf

γ

(2.41)

Usando os polinômios de Chebyschev, podemos expressar

mv

cos

como uma

função de

v

i

cos

(i = 1,...,m) e

senmv

como função de

v

sen

ii

cos

(i = 1,...,m).

Então, se considerarmos

:



∞

=

γ=

0k

pk

kEcospfcos

(2.42 )

kEsenpfsen

k

pk



∞

=

σ=

1

(2.43 )

As equações g

n

podem então ser escritas da seguinte forma:

(

)



′

+

=

k

nknkn

senkEGkEGg cos

0

,

=

kn

G para n = 1,2,4,5 e k>0

0

=

′

nk

G para n= 1, 2, 4, 5 e k > 0

0

10

=

G

2

20

fm

G =

(

)

(

)

4540

1 pdsenfaG

m

−

+

=

(

)

(

)

5650

21 pdsenfaG

m

−

+

=

(

)

senisenupdsenG

lkk 33

−

=

γ

(

)

usenipdsenG

lkk

cos

33

−

=

′

σ

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

B

i

B

i

faG

mlkk

++−+−+=

ωωσ

cos

2

cos

4

1

cos

2

cos

4

1

11

22

76

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

Bsen

i

Bsen

i

faG

mlkk

++−+−+=

′

ωωγ

2

cos

4

1

2

cos

4

1

11

22

76

(

)

(

)

(

)

[

]

[

]

ωωγ

22

2

coscos1

2

87

−

′

++

′

+

′

+= BsenBsen

i

iBisensenfaG

kmk

(

)

(

)

(

)

[

]

ωωσ

2cos2cos

2

cos1

2

827

−

′

++

′

+=

′

BB

i

iisenfaG

mkk

e

6

pB

−

+

′

−

Ω

=

π

α

(

)

7

2 pB

−

+

′

−

Ω

=

′

π

α

48

2.6.1 Desenvolvimento da densidade em termos da anomalia excêntrica

O termo

)cosexp( E

j

β

pode ser expandido com a ajuda de expressões assintóticas

em termos de funções modificadas de Bessel, produzindo (King-Hele, 1964):

(

)

(

)



∞

=

∞

=

+==

1

0

cos2coscosexp

m

jmj

mEIImEFE

ββ

em que, para um

j

β

(escala de altura) grande, a expansão de

(

)

jm

I

β

é:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )



=

−−−−−

=

0

22222

8!

124...34141

2

exp

k

j

k

j

jm

K

kmmm

I

β

πβ

β

(2.44)

se

j

c for pequeno:

(

)

...4cos

4

1

2cos

4

1

12cosexp

2

++++= ucuccuc

jjjj

Substituindo as equações obtidas na equação da densidade, temos (VILHENA

DE MORAES, 1989):

( )

( ) ( )

[ ]

( )

}

EksenAGBG

EmkkBGAGF

c

k

EmksenGEmkGF

c

AK

senkEGkEGKkff

jknkjknk

n j m k k

jknkkjnkjm

j

jn

m k

nknkm

n j

j

jjn

n k

nknknxd

)()(

cos)(

2

cos)(

4

1

cos

,

7

1

3

1

,

, 0 0

1

7

1

3

1

2

,

7

1 0

0,00

δε

δεδ

εε

δε

+

′

++

+

′

+

′

+

++

′

++













+







+

′

+=

′′

= =

′

∞

=

∞

== =

=

∞

=

   

  

 

(2.45)

em que

δ

e

ε

podem ser

±

1 e:

ωωγ

4cos

4

1

cos

2

jkjk

cA +=

′′

ωσωσ

4

1

2

42

sensenB

kkjk

′′′

+=

A densidade

ρ

d

pode ser expressa em termos da anomalia média

l

, se

considerarmos:

49

plmE

p

mp

coscos

0



∞

=

′

=

γ

(2.46)

senplsenmE

p

mp



∞

=

′

=

1

σ

(2.47)

sendo que,

mp

γ

′

e

mp

σ

′

podem ser obtidos usando funções de Bessel (Morando, 1974):

[ ]

plpeJpeJ

p

mAmE

p

pmpm

cos)()(

1

cos

1

0



∞

=

+−

−+=

(2.48)

[ ]

senplpeJpeJ

p

msenmE

pmpm

p

)()(

1

+−

∞

=

+=



(2.49)

em que

A

0

= 1 se

m

= 0,

A

0

= - e/2 se

m

=

±

1 e

A

0

= 0 se

m

≠

0 e

m

é diferente de

±

1.

2.6.2 O modelo termosférico TD-88

A versão utilizada de modelamento para a densidade total da termosfera é

denominada TD 88. Utiliza a linguagem de programação FORTRAN (veja apêndice

D) para fornecer-nos dados da variação e distribuição da densidade na superfície

terrestre para um intervalo entre 150-750km.

O modelo de Sehnal (1988) para a densidade atmosférica, na versão de

Pospísilová (SEHNAL; POSPÍSILOVÁ, 1988), é caracterizado por fatores

multiplicativos dependendo do fluxo solar médio e do índice geomagnético

K

p

. Assim,

a densidade é dada pela expressão (2.45).

Os símbolos utilizados são:

K

n,j

constantes numéricas (tabeladas)

p

n

fases (tabeladas)

a

i

constantes numéricas (tabeladas)

F

x

fluxo solar medido em 10,7cm, por dia

50

F

b

fluxo solar obtido após três rotações solares

K

P

índice geomagnético do local, obtido três horas antes

h altitude em km

d dia corrente do ano

ϕ

latitude

t tempo local

As constantes numéricas do modelo estão representadas nas Tabelas 1, 2 e 3 em

que os dados são obtidos por EL-Salam e Sehnal (2004):

n j = 0 j = 1 j = 2 j = 3

1

2,96815

×

10

-15

7,66373

×

10

-9

1,65738

×

10

-10

3,87086

×

10

-11

2

2,81456

×

10

-14

-4,40149

×

10

-9

3,34283

×

10

-10

9,35229

×

10

-11

3

-1,23300

×

10

-14

1,18107

×

10

-10

-1,47817

×

10

-10

-1,51755

×

10

-12

4

-1,14892

×

10

-17

-1,59664

×

10

-11

-6,46708

×

10

-12

-2,04955

×

10

-12

5

-3,90064

×

10

-16

-2,40755

×

10

-10

-1,398567

×

10

-11

-3,059493

×

10

-12

6

7,42439

×

10

-15

6,43785

×

10

-11

1,36185

×

10

-10

3,517

×

10

-11

7

-3,41594

×

10

-16

7,44666

×

10

-12

4,5416

×

10

-12

2,07975

×

10

-12

n 3 4 5 6 7

p

n

263 -263 -29,41 8,0913 10,0813

Tabela1- Constantes numéricas

K

n,j

Tabela 2- Fases

p

n

51

i 1 2 3 4 5 6 7 8

a

i

0,007 0,2875 0,04762

0,0471 7,0 7,0 0,3333

15,0

Como vimos o modelo TD 88 é válido para altitudes até 750 km, no entanto,

Bezdek e Vokrouhlicky (2004) fazem uma extensão do modelo para altitudes entre

750-1200 km. Vamos expor as novas constantes numéricas para a abordagem do

modelo segundo o autor citado.

n j=1 j=2 j=3

1

0,766348

×

10

-8

0,15645

×

10

-9

1,943

×

10

-11

2

-0,440146

×

10

-8

0,36649

×

10

-9

2,661

×

10

-10

3

0,118107

×

10

-9

-0,14007

×

10

-9

-1470

×

10

-12

4

-0,159664

×

10

-10

-0,65029

×

10

-11

-2,317

×

10

-12

5

-0,240756

×

10

-9

-0,14318

×

10

-10

-3,506

×

10

-12

6

0,643785

×

10

-10

0,14922

×

10

-9

2,019

×

10

-11

7

0,744666

×

10

-11

0,44938

×

10

-11

2,066

×

10

-12

i 1 2 3 4 5 6 7 8

a

i

0,007243

0,1778 0,1449 -0.01179

7,011 6,968 3,301 14,91

A fase

p

n

é a mesma da Tabela 2.

Tabela 3- Constantes

a

i

Tabela 4- Constantes numéricas

K

n,j

para altitudes de 750 km

até 1200 km.

Tabela 5

-

Constantes

a

i

para altitudes de 750 km até 1200 km.

52

2.6.3 Densidade atmosférica

O Sol e a Atmosfera (JACCHIA, 1975): a maioria das radiações solares visíveis

provém da superfície aparente, também chamada de fotosfera, sua distribuição de

intensidade é apresentada com comprimento de onda semelhante a um corpo negro e

temperatura de aproximadamente 5800 Kelvin. A intensidade total da radiação solar na

Terra impressiona por ser espetacularmente constante. A “constante solar” não

apresenta mudanças sistemáticas superiores a uma ou duas partes em 1000, e mesmo

com o aparecimento de “manchas solares” as mudanças não ultrapassam a faixa de três

ou quatro por cento.

O aquecimento de regiões da atmosfera terrestre descreve uma variação não

linear que vai do topo ao fundo. As nuvens refletem parte da energia de volta ao

espaço, mas a energia que passa é suficiente para aquecer a superfície.

A variação que ocorre entre 0 e 20 km é dada de forma gradativa porque existe

um aquecimento da superfície terrestre por absorção, que acaba por transmitir calor a

atmosfera. Esta temperatura vai caindo quanto maior for a altitude.

O mecanismo de aquecimento do ar à superfície é realizado por contato

(condução), por crescentes correntes de ar quente (convecção), e por absorção de raios

infravermelhos emitidos, motivo pelo qual a nossa atmosfera é opaca.

Utilizando-se de balões, na década de 40 foi possível constatar que a partir de 20-

30 km a temperatura começa a aumentar novamente. Posteriormente, com foguetes, foi

descoberto que esse aumento atinge um valor máximo de 270 Kelvin a

aproximadamente 50 km. A absorção de raios ultravioleta pela camada de ozônio foi

rapidamente identificada como a causa deste aumento de temperatura. O ar vai se

tornando rarefeito com o aumento de altitude e isso faz com que moléculas de

oxigênio (O

2

) se dissolvam como átomos de oxigênio (O). Esses átomos recombinam-

se com outras moléculas de oxigênio formando desta forma o ozônio (O

3

). A reação

53

descrita começa a ocorrer a uma altitude de 25km e processa-se pelos 20km seguintes,

mas a maior concentração de ozônio ocorre a cerca de 35km.

Após o interlúdio do aquecimento da camada atmosférica pelo ozônio, a

temperatura volta a decrescer com a altitude pela mesma razão, da troposfera até

atingir cerca de 185 K a uma altitude de 90km. Após isso, entretanto, existe um

crescimento, primeiro lento até os 100km, e mais rápido no intervalo de 100 a 150 km.

O crescimento continua a ocorrer, de forma mais lenta, entre 200 e 250km. Podemos

mencionar que esse aumento gradativo é dado pela absorção de radiação EUV, que

ocorre na região que ultrapassa os 100km.

Devemos mencionar que as regiões da atmosfera são divididas. Por convenção, é

chamada troposfera à região que compreende a superfície terrestre até onde a

temperatura decresce, por volta de 10-15km. A linha imaginária que delimita esta

camada chama-se tropopausa. A região seguinte é denominada estratosfera que, ainda

por convenção, vai até a altitude de 50km. A linha imaginária que delimita a

estratosfera chama-se estratopausa. Logo após entramos na mesosfera que se estende

até a temperatura mínima, por volta de 90km, onde fica a mesopausa. A partir daí

temos a chamada termosfera.

Utilizando-se do princípio de que a densidade varia de acordo com a altitude, são

construídos tabelas e gráficos com valores de densidade para certos valores de altitude

que, para o Modelo TD 88, compreendem a faixa que vai de 150 km a 750 km.

Para construir tais tabelas, é necessário utilizarmos dados de entrada no programa

constantes que, desta forma, não iriam intervir na análise comparativa. Os valores a

serem considerados constantes no caso da altitude são:

Dia do ano (DAY);

Fluxo Solar (EFX e EFBAR);

Índice Geomagnético (AKP);

Hora Local (HL) e

54

Latitude (ALAT).

São utilizados valores para algumas condições, que são representados nas Tabelas

6 e 7 e nas Figuras 5 e 6. As tabelas são obtidas através da implementação do modelo

matemático TD 88. Sendo que o usuário pode estar sempre atualizando o valor da

densidade já que esta varia de acordo com a altitude e outros fatores como, por

exemplo, fluxo solar, índice geomagnético etc.

Tabelas da Variação da Densidade em relação a Altitude:

Day=80 EFX=EFBAR=150,

AKP=4

HL=3,

ALAT= 0

Densidade (kg/m

3

) Densidade Escala

Altura H (km)

Altitude

(km)

4,51633E-010 31,36007 200

3,29070E-010 31,82579 210

2,40971E-010 32,37737 220

1,77469E-010 33,02762 230

1,31548E-010 33,79000 240

9,82148E-011 34,67802 250

7,39122E-011 35,70446 260

5,61045E-0111 36,88038 270

4,29811E-011 38,21383 280

3,32473E-011 39,70854 290

2,59758E-011 41,36247 300

2,05006E-011 43,16682 310

1,63429E-011 45,10528 320

1,31568E-011 47,15423 330

1,06920E-011 49,28361 340

8,76646E-012 51,45874 350

7,24721E-012 53,64274 360

6,03671E-012 55,79924 370

5,06295E-012 57,89495 380

4,27238E-012 59,90179 490

3,62497E-012 61,79818 400

3,09050E-012 63,56956 410

2,64599E-012 65,20811 420

2,27381E-012 66,71196 430

1,96031E-012 68,08404 440

1,69482E-012 69,33084 450

Tabela 6- Variação da densidade em relação a altitude (HL=3)

55

1,46891E-012 70,46121 460

1,27588E-012 71,48532 470

1,11034E-012 72,41386 480

9,67908E-013 73,25739 490

8,45015E-013 74,02597 500

7,38715E-013 74,72884 510

6,46568E-013 75,37434 520

5,66533E-013 75,96982 530

4,96898E-013 76,52172 540

4,36219E-013 77,03555 550

3,83271E-013 77,51604 560

3,37011E-013 96,71713 570

2,96547E-013 78,39230 580

2,61118E-013 78,79426 590

2,30066E-013 79,17539 600

2,02827E-013 79,53767 610

1,78914E-013 79,88273 620

1,57903E-013 80,21194 630

1,39429E-013 80,52645 640

1,23175E-013 80,82722 650

1,08864E-013 81,11508 660

9,62584E-014 81,39072 670

8,51464E-014 81,65476 680

7,53464E-014 81,90772 690

6,66990E-014 82,15008 700

5,90647E-014 82,38226 710

5,23218E-014 82,60464 720

4,63634E-014 82,81759 730

4,10961E-014 83,02144 740

3,64377E-014 83,21650 750

Com os dados da Tabela 6 plotamos a Figura 4 que representa a variação da densidade

em relação a altitude, como podemos analisar no gráfico a densidade é inversamente

proporcional a altitude.

Tabela 6- Variação da densidade em relação a altitude (HL=3)

56

Variando a hora local para HL=15 temos:

Day=80 EFX=EFBAR=150,

AKP=4

HL=15,

ALAT= 0

Densidade (kg/m

3

) Densidade Escala

Altura H (km)

Altitude

(km)

5,59304E-010 34,44652 200

4,20006E-010 35,40663 210

3,17993E-010 36,50279 220

2,42873E-010 37,74206 230

1,87213E-010 39,12772 240

1,45688E-010 40,65811 250

1,14475E-010 42,32569 260

9,08230E-011 44,11653 270

7,27430E-011 46,01031 280

5,87971E-011 47,98111 290

4,79390E-011 49,99882 300

3,94046E-011 52,03118 310

3,26331E-011 54,04599 320

Tabela 7- Variação da densidade em relação a altitude (HL=15)

Figura 4- Variação da densidade atmosférica (HL=3)

57

2,72105E-011 56,01342 330

2,28294E-011 57,90778 340

1,92597E-011 59,70883 350

1,63282E-011 61,40231 360

1,39031E-011 62,97986 370

1,18837E-011 64,43849 380

1,01919E-011 65,77961 390

8,76706E-012 67,00803 400

7,56113E-012 68,13089 410

6,53619E-012 69,15679 420

5,66180E-012 70,09497 430

4,91336E-012 70,95477 440

4,27085E-012 71,74518 450

3,71784E-012 72,47457 460

3,24077E-012 73,15056 470

2,82836E-012 73,77992 480

2,47120E-012 74,36860 490

2,16137E-012 74,92172 500

1,89219E-012 75,44366 510

1,65801E-012 75,93812 520

1,45404E-012 76,40822 530

1,27616E-012 76,85656 540

1,12087E-012 77,28527 550

9,85173E-013 77,69612 560

8,66479E-013 78,09059 570

7,62570E-013 78,46986 580

6,71527E-013 78,83491 590

5,91694E-013 79,18655 600

5,21640E-013 79,52544 610

4,60121E-013 79,85215 620

4,06062E-013 80,16712 630

3,58527E-013 80,47076 640

3,16702E-013 80,76342 650

2,79880E-013 81,04540 660

2,47443E-013 81,31698 670

2,18853E-013 81,57842 680

1,93642E-013 81,82995 690

1,71398E-013 82,07182 700

1,51762E-013 82,30425 710

1,34421E-013 82,52749 720

1,19100E-013 82,74174 730

1,05558E-013 82,94724 740

9,35829E-014 83,14423 750

Tabela 7- Variação da densidade em relação a altitude (HL=15)

58

Com os dados da Tabela 7 plotamos a Figura 5 que representa a variação da

densidade em relação a altitude.

Plotamos as Figuras 4 e 5 em um único gráfico para efeito de comparação.

Figura 5- Variação da densidade atmosférica (HL=15)

59

As tabelas e os gráficos são apenas representativos, pois os dados não estão

atualizados. Para obtermos valores mais realísticos é necessário atualizar os dados de

entrada conforme o programa solicita.

O fluxo solar é um dos fatores que influencia na densidade atmosférica podendo

ser calculado por (EL-SALAM; SEHNAL, 2004):

145

4

2

75

7.10

+

























−=

p

D

p

senF

π

em que

p

é o período do ciclo solar (em dias),

D

é o número de dias entre um certo

intervalo de tempo.

Figura 6- Variação da densidade atmosférica

60

2.6.4 Teoria de Brouwer e Hori

Brouwer e Hori (1961) desenvolvem uma teoria de acoplamento do efeito do

arrasto atmosférico no movimento do satélite artificial e o achatamento do campo

gravitacional da Terra, em que apresentam uma solução analítica.

A teoria em si compreende o desenvolvimento das equações do movimento em

variáveis de Delaunay, expressando-as depois, com auxílio de propriedades de

transformações canônicas, em termos da solução do problema sem arrasto.

As equações do movimento de um satélite artificial na presença do arrasto

atmosférico e do potencial gravitacional terrestre são dadas em um sistema de

coordenadas cartesianas por:

1,2,3j

,

2

=+

∂

=

j

J

j

X

x

U

dt

xd

(2.50)

em que a função

U

J

contém termos do achatamento e os

X

j

são as componentes da

aceleração do arrasto.

A expressão (2.50) pode ser posta em forma canônica estendida e nas variáveis

de Delaunay ficam:

,j

j

Q

Ldt

dl

P

ldt

dL

−

∂

Η∂

−=

+

∂

Η∂

=

3,2,1

=

j

(2.51)

em que

61

.)exp(

1,2,3)(j

, )exp(



∂

==

=

∂

=−−=

k

j

k

kj j j

j

k

kjjj

L

n

qq--AVQ

l

n

pprAVP

ξ

ξα

(2.52)

sendo

A

e

α

constantes (associadas a força de arrasto),

i

p

e

i

q

são encontradas com o

uso das relações do movimento kepleriano.

.0 ,

,

2

,

2

2 ),1

2

(

333

222

1

2

111

==

−==

+=−=

qLp

senf

e

qLp

senf

L

e

esenEq

r

a

Lp

(2.53)

em que E é a anomalia excêntrica, f a anomalia verdadeira

a

,

e

e r, são funções das

variáveis de Delaunay.

V

é a velocidade do satélite em relação ao ar, sendo que foi desprezada a

velocidade de rotação da atmosfera, dada por:

2

1

2/1

12







−







=

ar

V

µ

(2.54)

Ficando o sistema a ser integrado da seguinte forma:

jj

j

jj

j

qrAVqrAV

L

F

dt

dl

prAVprAV

dt

dL

δαα

)''exp('')exp(

**

)''exp('')exp(

''

−+−+

∂

−=

−−−−=

(2.55)

Devido a presença do fator

)exp( rV

α

−

ou

)''exp('' rV

α

−

nas equações acima, um

desenvolvimento em séries em termos da excentricidade e da anomalia média é

necessário antes da integração. Sendo

j

p

δ

e

j

q

δ

as partes que tem J

2

em fator.

62

2.7 PRESSÃO DE RADIAÇÃO SOLAR

A pressão de radiação solar é uma força de origem não-gravitacional que perturba

o movimento translacional de um satélite artificial. Sendo que podemos representar

sua função perturbadora através do gradiente do potencial (AHMED A. EL-ENNA,

2003, 2004), porém quando consideramos o efeito da sombra da Terra esta

representação não é mais válida, sendo que, a força agora não deriva mais de um

potencial. Vilhena de Moraes (1978) considerou a sombra da Terra no sistema de

equações diferenciais em que o sistema a ser resolvido é não-canônico devido à

sombra da Terra. A pressão de radiação solar é gerada através do contínuo fluxo de

fótons que se chocam com a superfície do satélite, podendo esta absorver ou refletir

este fluxo. A taxa da quantidade de movimento de todos os fótons incidentes na

superfície do satélite origina a força de radiação solar podendo causar perturbações nos

elementos orbitais. A sua variação é praticamente independente da altitude do satélite:

começa a predominar sobre a força aerodinâmica a partir dos 700 km. É grande a sua

influência nos satélites geoestacionários (aproximadamente 36000 km de altitude). O

interesse no estudo do efeito da pressão de radiação solar no movimento de um satélite

artificial é iniciado pela discrepância entre teoria e observação de satélites do tipo

balão. Recentemente, a importância de forças não-gravitacionais aumentou

drasticamente devido ao aumento da precisão da localização e devido à importância da

precisão no planejamento de missões espaciais. O cálculo de órbita para o movimento

do satélite artificial da Terra é uma parte importante da tecnologia espacial.

Há também um grande interesse no efeito da pressão de radiação e a correção

relativística. Com o aumento das observações houve a necessidade de introduzir

efeitos relativísticos na interpretação e medida da posição dos corpos celestes, natural

e artificial. Vários trabalhos atuais têm inserido os termos devido ao potencial

relativísticos entre eles El-Saftawy e El-Enna (2002); El-Enna e El-Saftawy (2003);

Ahmed A. El-Enna (2004); Ahmed A. El-Enna; M.K.M. Ahmed e Abd El-Salam

(2006). O efeito da pressão de radiação solar e a correção relativística dependem da

63

forma do satélite e da sua altitude. A Tabela 8 descreve a ordem de magnitude

(aceleração cm/s

2

) para o coeficiente harmônico J

2

, a pressão de radiação solar direta

e correção relativística para diferentes satélites dependendo de sua altitude (km) e a

razão entre a área e sua massa (A/m, cm

2

/g). Os dados da Tabela 8 são obtidos de El-

Saftawy e El-Enna (2002).

Tabela 8 – A ordem da magnitude da pressão de radiação e correção relativística para

diferentes satélites (EL-SAFTAWY; EL-ENNA, 2002).

Satélites Geosynchronous

Lageos Atarlette Seasat (ERS-1)

Semi-eixo

maior (a)

a = 42160 a = 12270 a = 7300 a = 7100

Taxa área /

massa (A/m)

A/m = 0,1 A/m = 0,007 A/m = 0,01 A/m = 0,2

Harmônico J

2

7,4 × 10

-4

1,0 × 10

-1

8,3 ×10

-1

9,3 × 10

-1

PRS direta

4,6 ×10

-6

3,2 ×10

-7

4,6 ×10

-7

9,2 × 10

-6

Correção

relativística

2,3 × 10

-9

9,5 × 10

-8

4,5 × 10

-7

4,9 × 10

-7

Sendo que no nosso caso não vamos considerar os termos relativísticos, em que

os dados da Tabela 8 são apenas para destacar a ordem de grandeza quando

considerado tais efeitos.

A aceleração causada pela pressão de radiação atua na direção Sol-satélite, no

sentido oposto ao versor Terra-Sol,

s

r

ˆ

, é dada por:

ˆ

ssRPR

rP

m

S

CA

ν

−=



(2.56)

em que

ν

é o fator de eclipse, que vale 0 quando o satélite se encontra na sombra da

Terra e um quando o satélite está iluminado (não é considerada a penumbra), C

R

é um

64

fator que depende da refletividade do satélite, denominado de coeficiente de pressão

de radiação, S é a secção transversal quando observada na direção de incidência dos

raios solares e m é a massa do satélite. P

S

é a pressão de radiação na órbita terrestre, e

vale aproximadamente 4,55×10

-6

N/m

2

. E

s

r



é o raio vetor do Sol relativo à Terra.

Neste trabalho estudamos a pressão de radiação solar direta, ou seja, a radiação

que incide sobre o satélite, no entanto existem outras formas de radiação que

perturbam o movimento do satélite, porém de menor magnitude como, por exemplo, a

radiação incidente na Terra parte é refletida parte é absorvida e re-irradiada, a parte

refletida causa uma pequena variação nos elementos orbitais do veículo espacial. A

radiação solar refletida pela Terra de volta ao espaço é chamada de Albedo. O Albedo

depende das características da superfície, é variável com o tempo e a posição. O

albedo é cerca de 90% menor que a radiação solar direta a 700 km de altitude e a

radiação terrestre é aproximadamente 93% menor podendo então ser desprezados.

Ambos decrescem com o aumento da altitude. Segundo Vokrouhlicky e Sehnal (1993)

a magnitude da pressão de radiação solar direta é cerca de cinco vezes maior que a

força de albedo, para maiores detalhes referentes a essa força consultar o artigo citado

logo acima.

2.7.1 Teoria de Vilhena de Moraes

Vilhena de Moraes (1978) desenvolveu uma teoria semi-analítica para o estudo

simultâneo dos efeitos do arrasto atmosférico e da pressão de radiação solar direta

sobre o movimento de um satélite artificial. Dando ênfase aos termos de acoplamento,

que em alguns casos podem tornar-se da ordem de cada uma das perturbações tomadas

isoladamente. A ordem da perturbação devida ao arrasto deve ser considerada a

mesma que a da pressão de radiação solar, fazendo com que a teoria seja válida apenas

para satélites de altura do perigeu entre aproximadamente 500 a 900 km. Os

65

desenvolvimentos são considerados até a ordem do produto das duas perturbações

desprezando-se o quadrado da perturbação do arrasto.

No estudo dos efeitos da pressão de radiação solar em órbitas de satélites

artificiais, levou-se em conta que o satélite não está sempre iluminado e que a pressão

de radiação não é uma função contínua. A sombra da Terra, que pode produzir

perturbações importantes nos elementos orbitais do satélite, é considerada neste

trabalho por meio da função sombra introduzida por Ferraz Mello (1965). A pressão de

radiação solar torna-se importante em casos de satélites de grande razão entre a área e

sua massa. Como por exemplo, satélites do tipo balão. Esta perturbação afeta a

distância do perigeu da órbita do satélite, fazendo-a decrescer periodicamente,

alterando os efeitos do arrasto (que se dá principalmente no perigeu).

Em um referencial geocêntrico cujo plano fundamental é o terminador terrestre, e

cujo eixo polar está dirigido para o pólo escuro, a função de forças devido à radiação

solar é dada por:

,

cos

λ

ρ

r

R

=

(2.57)

q

m

S

k=

ρ

(2.58)

e



=

+=

6

1

)cos(cos

i

ii

fA

λλ

(2.59)

em que r é a distância geocêntrica do satélite,

λ

é o ângulo formado pelas direções

geocêntricas do satélite e o pólo escuro do terminador terrestre, k constante depende

das propriedades de reflexão da superfície do satélite, S a área da secção transversal, m

a massa do satélite e q a razão entre a intensidade de radiação solar e a velocidade da

luz sendo:

25

/1065,4 sgcmxq

−

=

66

em que A

i

(i=1,...,6) são funções da inclinação do plano da órbita e obliqüidade da

eclíptica, e os

λ

i

(i=1,...,6) são ângulos que envolvem o argumento do perigeu

ω

, a

longitude do nodo ascendente

Ω

e a longitude do Sol

Θ

.

As equações do movimento são postas nas variáveis de Delaunay, considerando a

pressão de radiação da expressão (2.57) e a função perturbadora devido ao

geopotencial temos:

.

,

ii

i

L

R

Ldt

dl

l

R

ldt

dL

∂

−

∂

Η∂

−=

∂

+

∂

Η

∂

=

(i = 1,2,3) (2.60)

sendo que nesse caso não foi considerada a sombra da Terra. No entanto, o satélite

passa por uma região de sombra, em que cessa o efeito perturbador, ou seja, o efeito da

pressão de radiação existe somente quando o satélite estiver iluminado pelo Sol,

causando uma dificuldade adicional no estudo analítico. Para satisfazer determinadas

condições introduzimos a função sombra definida por Ferraz Mello (1965), que é um

comutador que vale um quando o satélite está iluminado pelo Sol e zero quando ele se

encontra na sombra da Terra (nessa teoria não inclui o efeito da penumbra).

As equações de movimento ficam:

1,2,3)(i ,

,

=

∂

−

∂

Η∂

−=

∂

+

∂

Η

∂

=

ii

i

ii

i

L

R

Ldt

dl

l

R

ldt

dL

ψ

(2.61)

em que

ψ

é a função sombra e

Η

é a hamiltoniana.

Cuja solução é dada por Ferraz Mello (1965) que é da forma:

1,2,3) ,( ),(

),(

0

=+=

+=

∗∗

∗∗∗

jilLlll

lLLLL

jjiii

ρδ

(2.62)

67

em que

∗

j

L

e

∗

j

l

são constantes de integração,

)(

,)(

i0

i

jiii

L

ntLnll

∂

Η

∂

−=+=

∗∗

e

ρ

é a

magnitude da pressão de radiação solar

ρ



.

As equações de movimento de um satélite artificial da Terra submetido aos

efeitos do arrasto atmosférico e da pressão de radiação solar direta, levando em conta a

sombra da Terra, podem ser postas na seguinte forma (VILHENA DE MORAES,

1978):

i

ii

i

ii

i

Q

L

R

Ldt

dl

P

l

R

ldt

dL

−

∂

−

∂

Η∂

−=

+

∂

+

∂

Η

∂

=

ψ

(2.63)

em que

1,2,3)(i )(expQ ;)(exp

i

=

−

=

−

=

ipipi

qrrAVprrAVP

α

(2.64)

sendo A e

α

constantes ( associadas a força de arrasto),

p

r

a altura do perigeu,

i

p e

i

q

são encontradas com o uso das relações do movimento kepleriano, já definidos na

teoria de Brouwer-Hori.

A expressão (2.63) é resolvida por Vilhena de Moraes (1978) utilizando o método

da variação dos parâmetros (método de Lagrange). Na aplicação do método a pressão

de radiação solar é desprezada e a solução encontrada é comparada com os resultados

obtidos por Brouwer e Hori (1961), pode-se observar que os resultados são análogos, a

menos da presença de termos espúrios de Poisson (seculares mistos) nas expressões

analíticas obtidas por Brouwer e Hori. O aparecimento de tais termos deve ser evitado

uma vez que eles podem não ter sentido físico algum, quando surgidos apenas de

alguma falha na técnica matemática do tratamento da perturbação. Para resolver este

inconveniente Ferraz Mello (1981) sugere uma transformação para eliminar os termos

de Poisson.

68

Fitzgibbon (1982) utiliza também o método da variação dos parâmetros para o

problema de um satélite artificial sujeito à ação do geopotencial e do arrasto

atmosférico e na solução encontrada não apresentou termos de Poisson como na teoria

de Brouwer e Hori (1961) comprovando o resultado encontrado por Vilhena de

Moraes (1978).

O sistema a ser integrado considerando a pressão e o arrasto é dado por:

.

)l ()l (

n

)L ()L (

k

3

1

k

)(

k

3

1

k

)(













∂

−







∂

−−







−+=













∂

−







∂

−







−=



=

∗

−−

=

∗

−−

∗

i

ik

rr

k

i

ik

rr

k

q

L

pqAVen

dt

d

q

L

ppAVe

dt

dL

p

σ

δδ

ρρδ

σ

δδ

ρ

α

(2.65)

em que as funções devem ser calculadas nas variáveis

. ,

i

σ

∗

i

L

Sendo

i

σ

uma variável

introduzida para evitar o aparecimento de termos seculares espúrios definida por

(FERRAZ MELLO, 1965):

''''''

)()(

ijijii

ltLntLn

++=

δσ

69

CAPÍTULO 3 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO

Consideramos o sistema de equações diferenciais que descreve o movimento de

um satélite artificial influenciado pelo geopotencial, arrasto atmosférico e pressão de

radiação solar direta, considerando a sombra da Terra. Tal sistema, como visto no

capítulo dois, pode ser colocado na forma:

i

ii

i

ii

i

Q

L

R

Ldt

dl

P

l

R

ldt

dL

−

∂

−

∂

Η∂

−=

+

∂

+

∂

Η

∂

=

ψ

(3.1 )

Para resolver esse sistema de equações diferencias aplicamos neste trabalho o

método de Hori (1971) para sistemas não-canônicos. Inicialmente apresentamos

resumidamente o método de Hori para sistemas canônicos, depois o mesmo método

para sistemas não-canônicos e, por fim, resolvemos o sistema proposto com as

expressões para

Η

, P

i

, Q

i

e a densidade da atmosfera

d

ρ

diferentes das apresentadas

por Vilhena de Moraes (1978). Analisamos os resultados encontrados, dando ênfase

aos termos de acoplamento que surge da junção do arrasto atmosférico com a pressão

de radiação, acoplamento este encontrado por Vilhena de Moraes (1978).

3.1 MÉTODO DE HORI PARA SISTEMAS CANÔNICOS

Apresentamos aqui o algoritmo do método até segunda ordem e fazemos uma

aplicação com um satélite sob influência do campo gravitacional terrestre,

considerando termos até a ordem de

4

J

para os harmônicos zonais.

70

Para desenvolver o algoritmo Hori (1966) utiliza um teorema de Lie (1888) que

será exposto abaixo:

Sejam

jj

η

ξ

, um conjunto de 2

n

variáveis canônicas e

),(

η

ξ

f

,

),(

η

ξ

S

funções

arbitrarias de

j

ξ

e

j

η

. Seja o operador

...)2,1,0(

=nD

n

s

definido por:

{ }

)2( )(

,

11

1

0

≥=

=

−

nfDDfD

SffD

ffD

s

n

s

n

s

(3.2)

em que

{

}

denota o parêntesis de Poisson.

Teorema de Lie (1888): Um conjunto de 2

n

variáveis canônicas

jj

yx

, definidas

pela equação:

),(

!

),(

0

ηξ

ε

fD

n

yxf

n

s

n



∞

=

(3.3)

é canônico se a série do 2º membro da equação converge, em que

ε

é uma pequena

constante independente das variáveis

jj

η

ξ

, .

Baseado em tal teorema, Hori propõe uma nova teoria, a qual será,

resumidamente exposta a seguir, fornecendo um algoritmo para obtenção da nova

hamiltoniana e da função geratriz.

Consideramos um sistema dinâmico cujas equações de movimento são:

j

ydt

dx

∂

Η∂

=

(3.4)

j

xdt

dy

∂

Η∂

−=

(3.5)

com a hamiltoniana

71



=

+

=

Η

1

0

),(),(),(

k

yxHyxHyx

(3.6)

em que

k

H

tem

k

ε

como fator. É assumido que

Η

não depende explicitamente do

tempo e que o sistema é resolvido se

ε

aproxima-se de zero. Sendo

),(

η

ξ

S

a função

geratriz da transformação canônica

jjjj

yx

η

ξ

,,

→

.

),(

η

ξ

S

é desenvolvido em

potência de

ε

na forma



=

1

),(),(

k

SS

η

ξ

η

ξ

ε

(3.7)

em que

k

S

tem

k

ε

como um fator.

Sendo que

Η

é livre do tempo por suposição temos então a integral da energia



= =

∗

=

0 0

),(),(

k k

kk

HyxH

ηξ

.

(3.8)

Expandindo a equação (3.3) substituindo no lado esquerdo da equação (3.8) e

igualando os termos com igual potência de

ε

em ambos os lados, obtemos o seguinte

algoritmo do método dado por (HORI, 1966):

Ordem zero:

∗

=

00

HH

(3.9)

em que

),(

η

ξ

H

,

Ordem um:

{

}

;,

1101

∗

=+ HSHH

(3.10)

em que os colchetes representam o parêntesis de Poisson e

S

n

as funções geratrizes.

Ordem dois:

{ }

;,,

2

1

2201112

∗∗

=+++ HSHSHHH

(3.11)

72

generalizando temos:

{

}

.,

0

∗

=Ψ+

nnn

HSH

(3.12)

Para encontramos a nova hamiltoniana

∗

n

H

e a função geratriz

n

S

é introduzido

um parâmetro

τ

através das equações canônicas dada por (Hori, 1966):

j

H

d

ητ

ξ

∂

=

0

(3.13)

j

H

d

ξτ

η

∂

−=

0

(3.14)

em que

{ }

τ

d

dS

SH

n

−=

,

0

. (3.15)

Para resolver a expressão (3.12) já que temos

n

equações com 2

n

incógnitas que

são

∗

n

H

e

n

S

separamos em parte secular e parte periódica como se faz no princípio da

média. Utilizando as expressões (3.13), (3.14) e (3.15) Hori obteve outra maneira de

escrever o algoritmo dado por:

Ordem zero:

00

HH =

∗

(3.16 )

Ordem um:

s

HH

11

=

∗

(3.17 )



=

τ

dHS

p11

(3.18 )

Ordem dois:

73

{ }

s

SHHHH

11122

,

2

1

∗∗

++=

(3.19)

{ }

τ

dSHHFS

p















++=

∗

11122

,

2

1

(3.20)

e assim por diante, em que o índice s representa a parte secular e o índice p a parte

periódica. Para maiores detalhes consultar o artigo de Hori (1966).

A solução das expressões (3.13) e (3.14) é dada por:

),...1( ),,...,,(

),...,,(

221

njccc

ccc

njj

=+=

+

=

τηη

τ

ξ

(3.21)

em que

c

n

são 2

n

constante de integração em relação a

τ

.

3.1.1 Aplicação do método de Hori para sistema canônico

Vários autores têm trabalhado com o método de Hori, por exemplo, Wnuk

(1988); El-Saftawy;

Ahmed e Helali (1998b); El-Enna e El-Saftawy (2003); Ahmed A.

El-Enna (2004); Bernard de Saedeleer (2005); Ahmed A. El-Enna; M.K.M. Ahmed e

Abd El-Salam (2006), geralmente o método utilizado é o canônico (1966). Esses

autores em geral consideram a parte não-perturbada da hamiltoniana apenas o termo

2

0

2

L

H

µ

=

que se refere a uma elipse fixa usual. Mas podemos também considerar para

ordem zero não apenas o termo devido à parte não-perturbada da hamiltoniana como

também todos os termos seculares adotados como faz, por exemplo, Breiter (1997), se

for considerado estes termos teremos uma elipse precessionando ao invés de uma

elipse kepleriana usual fixa.

74

3.1.1.1

Sistema auxiliar do método de Hori

As expressões (3.13) e (3.14) representam o sistema de equações diferenciais

ordinárias chamados sistema auxiliar de Hori (que define a teoria de integração). Para

nossa aplicação podemos representá-lo por:

),,(

0

hgl

H

d

HGLd

∂

=

τ

(3.22)

),,(

0

HGL

H

d

hgld

∂

−=

τ

(3.23)

em que

τ

é o próprio tempo t em aproximação de ordem zero (SESSIN, 1983a).

Se considerarmos uma hamiltoniana da seguinte forma:

ps

HHH

110

+

=

Η

(3.24)

e fazendo

S

HHK

100

+

=

temos:

P

HK

10

+

=

Η

(3.25)

em que o índice s representa os termos seculares e

p

representa os termos periódicos.

Considerando estes termos na hamiltoniana

0

H

iremos escrever o algoritmo de Hori

na forma posta por Breiter (1997).

O algoritmo fica:

Ordem zero:

00

KK =

∗

(3.26)

Ordem um (BREITER, 1997):

75

 

=

∗

π π

π

2

0

2

0

1

2

1

4

1

dldgHK

p

(3.27)

A função geratriz é posta na forma (BREITER, 1997):



=

τ

dHS

P11

(3.28)

Ordem dois (BREITER, 1997):

{ }

 

+=

∗

π π

π

2

0

2

0

111

2

,

2

1

4

1

dldgSKHk

(3.29 )

A função geratriz de ordem dois é posta na forma (BREITER, 1997):

{ }

( )

τ

dKSKHS

,

2

1

21112



∗

−+=

(3.30)

os colchetes representam os parênteses de Poisson.

Consideramos o movimento de um satélite artificial ao redor de um esferóide

achatado, dado em termos das variáveis de Delaunay por:

),,,(),,(

10

lGLHHGLk

Η

+

=

Η

(3.31)

Aplicando o método na forma dada por Breiter (1997), vamos considerar as

equações diferenciais dadas por:

),,(

HGLt

hgl

hglt

HGL

∂

Η∂

−=

∂

Η

∂

=

∂

(3.32 )

em que

L,

G, H, l, g,

e

h

são as variáveis de Delaunay e

p

Hk

10

+

=

Η

é dada por

(FITZGIBBON, 1982):

76













−







+







−+













+−+=

2

5

2

3

8

35

4

15

8

3

8

3

4

3

4

1

2

4

2

73

4

6

2

33

2

4

2

0

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

L

k

ee

µµ

µ

(3.33)

( )

le

G

H

L

aJ

H

e

P

cos3

4

3

4

1

2

6

2

4

1













+−=

µ

(3.34)

Considerando o sistema auxiliar de Hori temos:

0 0,

d

dG

,0

000

=

∂

==

∂

==

∂

=

h

k

d

dH

g

k

l

k

d

dL

τττ

(3.35)

Cálculo de

L

k

d

dl

∂

−=

0

τ

:













+−













+−−













+−+=

∂

−=

2

15

2

15

8

35

4

15

8

3

8

3

4

3

4

1

3

2

4

2

34

2

4

6

2

34

2

4

3

2

0

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

LL

k

d

dl

ee

µµ

µ

τ

(3.36)

fazendo













+−













+−−













+−+=

2

15

2

15

8

35

4

15

8

3

8

3

4

3

4

1

3

2

4

2

34

2

4

6

2

34

2

4

3

2

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

L

n

ee

l

µµ

µ

(3.37 )

integrando obtemos:

τ

l

nll

+

=

0

em que

0

l

é constante de integração.

Cálculo de

G

k

g

∂

−=

0

d

τ

:

77

























+−













−+−+













−













+−−













+−=

∂

−=

2

5

4

3

2

24

4

2

73

2

4

6

2

43

2

4

0

2

3

2

5

8

385

4

135

8

21

2

15

2

35

8

35

4

15

8

3

8

3

4

15

4

3

L

G

H

G

H

GL

G

GG

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

G

k

d

dg

ee

µµ

τ

(3.38)

fazendo



















+−













−+−

+



















−













+−−













+−=

2

5

4

3

2

24

4

2

73

2

4

6

2

43

2

4

2

3

2

5

8

385

4

135

8

21

2

15

2G

35

8

35

4

15

8

3

8

3

4

15

4

3

L

G

H

G

H

G

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

n

ee

g

µµ

(3.39)

integrando obtemos:

τ

g

ngg

+

=

0

em que

0

g é constante de integração.

Cálculo de

H

k

h

∂

−=

0

d

τ

:













−













+−−=

∂

−=

2

5

2

3

2

35

2

15

8

3

2

3

-

d

2

4

3

273

2

4

6

233

2

4

0

L

G

x

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

H

k

h

ee

µµ

τ

(3.40)

fazendo













−













+−−=

2

5

2

3

2

35

2

15

8

3

2

3

-

2

4

3

273

2

4

6

233

2

4

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

n

ee

h

µµ

(3.41)

integrando obtemos:

τ

h

nhh

+

=

0

em que

0

h

é constante de integração.

Aplicando o algoritmo obtemos:

Ordem zero:

78

00

kK =

∗

(3.42)

Para calcular a ordem um substituímos a expressão (3.34) na expressão (3.27) e (3.28)

obtendo:

0

1

=

∗

K

(3.43)

( )















+−=

τ

µ

dle

G

H

L

aJ

S

e

cos3

4

3

4

1

2

6

2

4

1

(3.44)

em que

τ

l

nll

+

=

0

então

( )

le

G

H

Ln

aJ

S

l

e

sen3

4

3

4

1

2

6

2

4

1













+−=

µ

(3.45)

Para aplicar o algoritmo para ordem dois temos que calcular o parêntesis de

Poisson de

{

}

111

,SKH

p

∗

+

com

0

1

=

∗

K

e S

1

dado pela expressão (3.45):

{ }

l

L

G

H

L

aJ

L

G

H

L

aJ

L

G

H

Ln

aJ

SH

e

l

e

p

2cos1

4

3

4

1

2

9

1

4

3

4

1

2

9

1

4

3

4

1

54

,

2

12

42

2

8

2

12

42

2

8

2

13

42

2

8

11

α

µ

α

µµ













−













+−−













−













−+













−













+−−=

(3.46)

em que

1

−













∂

=

L

n

l

α

.

Para calcular a hamiltoniana de ordem dois substituindo a expressão (3.46) na

expressão (3.29). Obtemos:

α

µµ













−













−+













−













+−−=

∗

2

12

42

2

8

2

13

42

2

8

2

1

4

3

4

1

2

9

1

4

3

4

1

54

L

G

H

L

aJ

L

G

H

Ln

aJ

K

e

l

e

(3.47)

A função geratriz utilizando a expressão (3.30) fica:

79

l

L

G

H

Ln

aJ

S

l

e

2sen 1

4

3

4

1

8

9

2

12

42

2

8

2

α

µ













−













+−−=

(3.48)

Iremos calcular os elementos orbitais apenas de primeira ordem:

l

S

LL

∂

+=

1

0

(3.49)

( )

le

G

H

Ln

aJ

LL

l

e

cos3

4

3

4

1

2

6

2

4

0













+−+=

µ

(3.50)

0

1

0

GG

g

S

GG =



∂

+=

(3.51)

0

1

0

HH

h

S

HH =



∂

+=

(3.52)

L

S

ll

∂

−=

1

0

(3.53)

( )

le

G

H

L

aJ

le

G

H

Ln

aJ

ll

e

l

e

sen 3

4

3

4

1

sen3

4

3

4

1

6

2

6

2

4

2

7

2

4

0

α

µ













+−

+













+−−=

(3.54)

lembrando que

τ

l

nll

+

=

0

.

G

S

gg

∂

−=

1

0

(3.55)

( )

le

G

H

Ln

aJ

gg

l

e

sen3

2

3

2

6

2

4

0













−+=

µ

(3.56)

H

S

hh

∂

−=

1

0

(3.57)

( )

le

G

H

Ln

aJ

hh

l

e

sen3

2

3

26

2

4

0

µ

−=

(3.58)

80

Iremos comparar aqui apenas o elemento L com Brouwer (1959) sendo que a

comparação tem um caráter formal, mostrando que funcionalmente obtêm-se as

mesmas expressões, mas as variáveis têm significados diferentes no que diz respeito às

perturbações. Para Brouwer (1959) a freqüência

l

n é dada por

3

2

L

n

l

µ

=

já no nosso

caso é dado pela expressão (3.37). O resultado encontrado pelo autor é:













−













+−+=

3

2

3

2

0

2

3

2

1

G

L

r

a

G

H

L

k

LL

µ

(3.59)

sendo

( )

lee

r

a

cos31

2

3

2

3

+−=

−

(3.60)

e

( )

2

3

2

3

1

−

−= e

G

L

(3.61)

subtraindo a expressão (3.60) de (3.61) temos

(

)

le cos3 e substituindo na equação

(3.59) obtemos:

( )

le

G

H

L

k

LL cos3

2

3

2

1

2

3

2

0













+−+=

µ

(3.62)

sendo

2

e

aJ

k =

(3.63)

portanto

( )

le

G

H

L

aJ

LL

e

cos3

4

3

4

1

2

3

2

0













+−+=

µ

(3.64)

Comparando a expressão (3.50) com (3.64) os resultados são os mesmos diferindo

apenas nas freqüências

l

n

por causa dos termos devido ao

2

J

e

4

J

.

Verificamos a validade do método para a primeira ordem, vamos agora apenas

indicar o algoritmo para a segunda ordem.

81

( )

6,5,4j ; 1,2,3i 0,

2

1

3

2

21

'

==+





















∂

+

∂

+=

ε

S

l

S

l

S

LL

jj

ii

(3.65)

( )

4,5,6j ; 1,2,3i 0,

2

1

3

2

21

'

==+













∂

+

∂

+=

ε

S

L

S

L

S

ll

ii

jj

(3.66)

Na próxima seção apresentamos o método para sistemas não-canônicos.

3.2 MÉTODO DE HORI PARA SISTEMA NÃO-CANÔNICO

Apresentamos o algoritmo do método até segunda ordem e fazemos uma

aplicação com um satélite sob influência do campo gravitacional terrestre e o arrasto

atmosférico.

Seja o seguinte sistema de equações diferenciais:

)1,...,( ),( mjzZ

dt

dz

j

==

(3.67)

agora tomemos a expressão (3.67) e fazemos uma transformação de variáveis

,

jj

z

ζ

→

em que introduz-se um conjunto de n funções geratrizes

).(

ζ

j

T

O novo

sistema de equações do movimento são:

)1,...,( ),( mjzZ

dt

d

j

==

∗

ζ

(3.68)

em que as novas equações de movimento (3.68) tenha alguma vantagem para a

solução. Para maiores informações a respeito da demonstração do método consultar o

artigo de Hori (1971). Na próxima seção apresentamos o algoritmo até a segunda

ordem.

82

3.2.1 O algoritmo de Hori (1971)

Assumindo-se que

,

∗

jj

ZZ

e

j

T possam ser expandidos em séries de potências de

um pequeno parâmetro de primeira ordem temos:

...,

)3()2()1()0(

++++=

jjjjj

ZZZZZ

(3.69)

)1,...,( ...

)3()2()1()0(

mjZZZZZ

jjjjj

=++++=

∗∗∗∗∗

(3.70)

...,

)3()2()1(

+++=

jjjj

TTTT

(3.71 )

em que,

)0(

j

T

não aparece na expressão (3.71) porque

j

T é assumido ser da ordem do

pequeno parâmetro.

Seja a seguinte expressão dada por (HORI, 1971):

[ ] [ ][ ]

...,,

!

2

1

,)()( +++=

∗

jj

TTZTZZZ

ζζ

(3.72)

em que os colchetes representam o parêntesis de Poisson generalizado definido por

Hori (1971).

Considerando a expressão (3.68), em vista das equações (3.69), (3.70), (3.71),

(3.72) e igualando os termos com igual potência de um pequeno parâmetro obtemos:

Ordem zero:

)0()0(

∗

=

jj

ZZ

(3.73)

Ordem um:

[

]

)1()1()1()0(

,

∗

=+

jjjj

ZZTZ

(3.74)

Ordem dois:

83

[ ] [ ]

)2()2()1()1()1()2()0(

,

2

1

,

∗∗

=+++

jjjjjjj

ZZTZZTZ

(3.75)

sendo que Hori (1971) apresenta o algoritmo até a quarta ordem.

As m equações em cada ordem contém 2m equações não conhecidas,

)(n

j

T e

),...,1(

)(

mjZ

n

j

=

∗

, tal que um princípio deve ser introduzido para determinar as 2m

equações desconhecidas a partir das m equações conhecidas.

Introduzindo-se o parâmetro

τ

, através do sistema auxiliar de Hori dado pelas

expressões (3.13) e (3.14) temos:

)1,...,( ),(

)0(

mjZ

d

j

==

∗

ζ

τ

ζ

(3.76)

se a solução for conhecida temos:

m)1,...,( ),,...,,(

21

=

+

=

jccc

mjj

τ

ζ

(3.77)

em que c

j

são m constantes de integração em relação à

τ

.

No entanto, podemos reescrever o algoritmo da seguinte maneira (HORI, 1971;

FITZGIBBON, 1982; SESSIN, 1983b). Tal forma é também conhecida como teoria de

integração de Sessin.

Ordem zero:

)0(0

∗

=

jj

ZZ

(3.78)

Ordem um:

)1,...,( ,)(

)1()1()1(

1

)0()1(

mjZZT

Z

d

dT

jjk

m

k

jj

==+

∂

+−

∗

=



τ

ζτ

(3.79)

Ordem dois:

84

[ ]

)1,...,( ,

2

1

)(

)2()2()1()1()1()2(

1

)0()2(

mjZZTZZT

Z

d

dT

jj

j

k

m

k

jj

==+++

∂

+−

∗∗

=



τ

ζτ

(3.80)

e assim sucessivamente.

De forma geral, para uma ordem n temos:

)1,...,( ,)()(

)()()(

1

)0()(

mjZT

Z

d

dT

n

j

n

j

n

k

m

k

j

n

j

==+

∂

+−

∗

=



τφτ

ζτ

ou

)1,...,( ,)()(

)()()(

1

)0()(

mjZT

Z

d

dT

n

j

n

j

n

k

m

k

j

n

j

=−=

∂

−

∗

=



τφτ

ζτ

(3.81)

com 2m incógnitas que são

)(n

j

T

e

)(n

j

Z

∗

. Os

)(n

j

φ

e )(

)0(

τ

ζ

∂

j

Z

são funções conhecidas de

τ

.

Este sistema de equações diferenciais deve ser resolvido determinando-se

∗

j

Z

de

tal forma que

)(n

j

T

não possua termos seculares ou seculares mistos em

τ

, como é usual

em teoria de perturbação, para que a teoria seja formalmente válida para um intervalo

de tempo ilimitado.

Para resolver a equação (3.81) aplicamos uma condição de tratabilidade (HORI,

1971). Com isso obtemos:



n

k

m

k

j

n

j

n

j

T

Z



=

∗

∂

+=

1

)0(

)(

ζ

τ

φ

(3.82)

m)1,...,(j

)(

)()()(

1

)0(

)(

=−+

∂

=

∗∗

=



n

j

n

j

n

k

m

k

j

n

ZT

Z

d

dT

φ

ζ

τ

(3.83)

em que a expressão (3.82) só contém termos seculares e (3.83) contém os termos

periódicos. Observemos uma vez que a expressão (3.82) não é geral, um algoritmo

proposto por Sessin (1983b) e mais tarde tratado por Fernandes e Sessin (1989)

85

desenvolve um método geral para resolução da expressão (3.81). No entanto, no nosso

caso é possível resolver o sistema utilizando a condição de tratabilidade proposta por

Hori (1971).

3.2.2 Aplicação do método de Hori para sistema não-canônico

Para aplicação do método proposto consideramos o movimento de um satélite

artificial perturbado pelo geopotencial e arrasto atmosférico, dado pelas variáveis de

Delaunay:

),(

)3,2,1(

),,(

3

jjji

i

jjji

i

lLZQ

Ldt

dl

j

lLZP

ldt

dL

+

=−

∂

Η∂

−=

=

=+

∂

Η

∂

=

(3.84 )

em que L

j

e l

j

são as variáveis de Delaunay já definidas,

Η

é a hamiltoniana.

Iremos representar a hamiltoniana da seguinte maneira:

p

HH

10

+

=

Η

(3.85)

em que todos os termos seculares adotados estarão contidos em

0

H , sendo

(FITZGIBBON, 1982):













−













+−+













+−+=

2

5

2

3

8

35

4

15

8

3

8

3

4

3

4

1

2

4

2

73

4

6

2

33

2

4

2

0

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

L

H

ee

µµ

µ

(3.86)

e

lee

G

H

L

aJ

H

e

P

cos

8

27

3

4

3

4

1

3

2

6

2

4

1













+













+−=

µ

(3.87)

86

e as componentes de arrastos

i

P e

i

Q são (BROUWER; HORI, 1961):













−−−= 1

2

)exp(

1

r

a

LrAVP

α

(3.88)

GrAVP )exp(

2

α

−

=

(3.89)

HrAVP )exp(

3

α

−

=

(3.90)













+−= f

eG

L

EerAVQ sen

2

sen2)exp(

1

α

(3.91)













−= f

e

rAVQ sen

2

)exp(

2

α

(3.92)

0

3

=

Q

(3.93)

Consideremos:

)1(

3

)0(

33

)1()0(

)3,2,1(

+++

+=

=

+=

jjj

ZZZ

j

ZZZ

(3.94)

em que

)0(

j

Z

e

)0(

3+j

Z

contém todos os termos seculares adotado do geopotencial,

)1(

j

Z

e

)1(

3+j

Z

contém termos periódicos devido ao geopotencial e termos devido ao arrasto

atmosférico.

Para o sistema auxiliar de Hori temos:

)0(

3

0

)0(

0

),,(

)3,2,1(

),,(

+

=

∂

−=

=

∂

=

j

Z

HGL

H

d

dl

j

Z

hgl

H

d

dL

τ

(3.95)

em que L, G e H são constantes enquanto l, g e h são funções lineares em

τ

. Assim:

87

0

)0(

1

=

Z

(3.96 )

0

)0(

2

=Z

(3.97 )

0

)0(

3

=

Z

(3.98 )













+−













+−−













+−+=

2

15

2

15

8

35

4

15

8

3

8

3

4

3

4

1

3

2

4

2

34

2

4

6

2

34

2

4

3

2

)0(

4

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

L

Z

ee

µµ

µ

(3.99 )

fazendo













+−













+−−













+−+=

2

15

2

15

8

35

4

15

8

3

8

3

4

3

4

1

3

2

4

2

34

2

4

6

2

34

2

4

3

2

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

L

n

ee

l

µµ

µ

(3.100)













+−













−+−

−













−













+−−













+−=

2

5

4

3

2

73

2

4

6

24

4

2

73

2

4

6

2

43

2

4

)0(

5

2

3

2

5

8

385

4

135

8

21

8

3

2

15

2G

35

8

35

4

15

8

3

8

3

4

15

4

3

L

G

H

G

H

GGL

aJ

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

Z

e

ee

µ

µµ

(3.101)

fazendo



















+−













−+−

+



















−













+−−













+−=

2

5

4

3

2

24

4

2

73

2

4

6

2

43

2

4

2

3

2

5

8

385

4

135

8

21

2

15

2G

35

8

35

4

15

8

3

8

3

4

15

4

3

L

G

H

G

H

G

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

n

ee

g

µµ

(3.102)













−













+−−=

2

5

2

3

2

35

2

15

8

3

2

3

-

2

4

3

273

2

4

6

233

2

4

)0(

6

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

Z

ee

µµ

(3.103)

fazendo

88













−













+−−=

2

5

2

3

2

35

2

15

8

3

2

3

-

2

4

3

273

2

4

6

233

2

4

L

G

H

G

H

GL

aJ

G

H

GL

aJ

n

ee

h

µµ

(3.104)

com isso obtemos:

τ

l

nll

+

=

0

(3.105)

τ

g

ngg

+

=

0

(3.106)

τ

h

nhh

+

=

0

(3.107)

em que

0

l ,

0

g e

0

h são constantes de integração.

Seja a transformação:

jjjj

lLlL

′

→

,, por meio de 6 funções geratrizes

),3,2,1;6,...,1( ),(

=

′

jkLlT

jjk

em que:

hlglllHLGLLL

=

321321

, , , , ,

...),(

)3()2()1(''

+++=

kkkjjk

TTTLlT (3.108)

As novas equações do movimento são:

,

)3,2,1(

3

∗

+

∗

=

′

=

′

j

Z

dt

ld

j

Z

dt

Ld

(3.109)

com as novas funções sendo:

...,),(

...),(

)2(

3

)1(

3

)0(

33

)2()1()0(

+++=

′′

+++=

′

∗

+

∗

+

∗

+

∗

+

∗∗∗∗

jjjjjj

ZZZlLZ

(3.110)

Aplicando o algoritmo do método temos:

89

1,...,6)( ,)(

)1()1()1(

6

1

)0()1(

=−=

∂

−

∗

=



jZZT

Z

d

dT

jjk

k

jj

τ

ζτ

(3.111)

k

ζ

representa o conjunto das novas variáveis

),,,,,( hglHGL

′

.

Temos que calcular:

Parte secular:

1,2,3j

)1()1(

==

∗

τ

jj

ZZ

(3.112)

e

6,5,4 )(

)1(

6

1

)0(

)1()1(

=

∂

+=



=

∗

jT

Z

ZZ

k

j

jj

τ

ζ

(3.113)

Parte periódica:

3,2,1 )(

)1()1()1(

=−=



∗

jdZZT

jjj

τ

(3.114)

e

)6,5,4( d ))((

)1()1(

6

1

)0(

)1()1(

=−

∂

+=

∗

=





jZT

Z

ZT

jk

k

j

jj

ττ

ζ

(3.115)

Para fazermos esses cálculos consideramos os P

i

e Q

i

desenvolvidos por Brouwer

e Hori (1961) até a 4ª ordem na excentricidade.

Calculando

τ

)1()1(

jj

ZZ =

∗

temos

s

PZ

P

l

H

ZZ

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1

=

+

∂

==

∗

então

pois

1

H

é puramente periódica.

90













++







++







+













+++−−=

∗

4443322

222)1(

1

64

1

8

1

32

9

8

3

64

21

4

1

4

3

1)exp(

eaaaa

eaaaAZ

αααα

αααµ

(3.116)

s

PZ

P

g

H

ZZ

2

)1(

2

1

)1(

2

)1(

2

=

+

∂

==

∗













+++

+













++













+++−−=

∗

443322

222)1(

2

64

1

8

1

32

9

8

3

64

21

4

1

4

3

1)exp(

eaaa

aeaa

L

G

aAZ

ααα

ααααµ

(3.117)

s

PZ

P

h

H

ZZ

3

)1(

3

1

)1(

3

)1(

3

=

+

∂

==

∗













++

+













++













+++−−=

∗

4443322

222)1(

3

64

1

8

1

32

9

8

3

64

21

4

1

4

3

1)exp(

eaaa

aeaa

L

H

aAZ

ααα

ααααµ

(3.118)

Calculando

3,2,1 )(

)1()1()1(

=−=



∗

jdZZT

jjj

τ

temos:



∗

−=

τ

dZZT

)(

)1(

1

)1(

1

)1(

1



−+

∂

=

τ

dPP

l

H

T

s

p

)(

11

1

)1(

1

( )

[

senleaaa

ea

n

Ae

l

e

G

H

Ln

aJ

T

l

a

l

e



















+++

++−−













+













+−=

−

33322

3

2

6

2

4

)1(

1

8

1

8

7

2

3

4

3

3cos

8

27

3

4

3

4

1

ααα

α

µ

α

(3.119)



∗

−=

τ

dZZT )(

)1(

2

)1(

2

)1(

2

91

( )

senleaaaea

L

G

n

Ae

T

l

























++−−++−=

−

33322

a

)1(

2

8

1

8

1

2

1

4

1

αααα

µ

α

(3.120)



−+

∂

=

τ

dPP

h

H

T

s

p

)(

11

1

)1(

3

( )

senleaaaea

L

H

n

Ae

T

l

























++−−++−=

−

33322

a

)1(

3

8

1

8

1

2

1

4

1

αααα

µ

α

(3.121)

Calculando

τ

ζ

)1(

6

1

)0(

)1()1(

)(

k

j

jj

T

Z

ZZ



=

∗

∂

+=

)6,5,4(

=

j

temos:

0

)1(

4

=

∗

Z

(3.122)

0

)1(

5

=

∗

Z

(3.123)

0

)1(

6

=

∗

Z

(3.124)

Para calcular

,

(1)

5

)1(

4

TT

e

)1(

6

T

utiliza-se:

)6,5,4(j d ))((

)1()1(

6

1

)0(

)1()1(

=−

∂

+=

∗

=





ττ

ζ

jk

k

j

jj

ZT

Z

ZT

em que os resultados estão no apêndice F.

Calculadas as novas funções bem como as funções geratrizes representadas por T,

obtemos resultados que, comparados com a Tese de mestrado de Fitzgibbon (1982) o

trabalho de Brouwer e Hori (1961) encontramos os mesmos resultados. O trabalho de

Brouwer precisa de duas transformações para eliminar os termos periódicos, enquanto

que com apenas uma transformação utilizando o método de Hori (1971) eliminamos

tais termos simplificando nosso sistema de equação.

Na continuidade do trabalho além de considerarmos os termos seculares na parte

da hamiltoniana

0

H iremos considerar novos valores para P

i

e Q

i

que são as

componentes de arrasto dados por (VILHENA DE MORAES, 1989):

92

) cos(),,(

2

1

3'2'1'321

'

lllLLLp

m

SC

P

jjj

j

i

jd

D

i

γβαρ

++−=



(3.125)

) (),,(

2

1

3'2'1'321

'

lllsenLLLq

m

SC

Q

jjj

j

i

jd

D

i

γβαρ

++−=



(3.126)

em que

α

j’ ,

β

j’

, e

γ

j’

são inteiros,

m

SC

D

2

é o coeficiente balístico (será considerado

constante).

93

CAPÍTULO 4 SOLUÇÃO DO SISTEMA UTILIZANDO O MÉTODO

DE HORI

Neste capítulo o método de Hori (1971) é aplicado ao sistema de equações

diferenciais no qual a pressão de radiação solar e os novos elementos citados em

capítulos anteriores são incluídos. O sistema é resolvido utilizando o software Maple

9.5. Apresentamos aqui somente as soluções dos termos seculares acoplados para as

componentes métricas. No capítulo 5 expomos as soluções para as variáveis angulares.

4.1 MÉTODO DE HORI (1971) INCLUINDO A PRESSÃO DE RADIAÇÃO

Consideramos o movimento de um satélite artificial perturbado pelo

geopotencial, pressão de radiação solar direta (considerando a sombra da Terra) e o

arrasto atmosférico, dados em termos das variáveis de Delaunay por (VILHENA DE

MORAES, 1978):

1,2,3)(j ),(

1,2,3)(i ),(

==−

∂

−

∂

Η∂

−=

==+

∂

+

∂

Η

∂

=

jjji

ii

i

jjji

ii

i

lLZQ

L

R

Ldt

dl

lLZP

l

R

Ldt

dL

ψ

(4.1)

em que

Η

é a hamiltoniana devido ao geopotencial, R a pressão de radiação solar,

ψ

a

função sombra da Terra (FERRAZ MELLO, 1965),

i

P e

i

Q são as componentes do

arrasto (VILHENA DE MORAES, 1989).

94

Para resolver a expressão (4.1) pelo método proposto, iremos dividir o problema

em duas partes primeiro calculamos os termos de primeira ordem depois os de segunda

ordem, com isso temos:

Consideramos a seguinte hamiltoniana

p

HH

10

+

=

Η

, em que

0

H contém os

termos seculares e

p

H

1

os termos periódicos.

Primeira parte:

)1()0( ∗∗∗

+=

jjj

ZZZ

)3,2,1(

=

j

(4.2 )

1,2,3)(

)1(

3

)0(

33

=+=

∗

+

∗

+

∗

+

jZZZ

jjj

(4.3 )

Aplicando o algoritmo temos:

Ordem zero:

)0()0(

jj

ZZ =

∗

(4.4 )

)0(

3

)0(

3 +

∗

+

=

jj

ZZ

)3,2,1(

=

j

(4.5 )

em que

),,(

0

)0(

hgl

H

Z

j

∂

=

(4.6 )

),,(

0

)0(

3

HGL

H

Z

j

∂

−=

+

)3,2,1(

=

j

(4.7 )

Ordem um:

τ

)1()1(

jj

ZZ =

∗

(4.8 )

)1(

)0(

3

)1(

3

)1(

3

τ

ζ



∂

+=

+

∗

+

k

j

jj

T

Z

ZZ

)3,2,1(

=

j

(4.9 )

95

representa a parte secular de

)1(∗

j

Z

, sendo

1,2,3)(

1

)1(

=+

∂

+

∂

= jP

l

R

l

H

Z

j

jj

p

j

ψ

(4.10 )

j

jj

p

j

Q

L

R

L

H

Z −

∂

−

∂

−=

+

ψ

1

)1(

3

)3,2,1(

=

j

(4.11 )

As funções geratrizes são representadas por:

1,2,3)( )(

)1()1()1(

=−=

∗



jdZZT

jjjj

τ

(4.12 )

τ

ζ

dZT

Z

ZT

k

jk

k

j

jj

















−

∂

+=

∗

+

++

)1(

3

)1(

)0(

3

)1(

3

)1(

3

)3,2,1(

=

j

(4.13 )

Segunda parte:

Ordem dois:

[ ]

1,...,6)( ,

2

1

)1(

3

)1(

3

)1(

3

)2(

)0(

3

)2(

=++

∂

=



+

∗

++

+

∗

jTZZT

Z

k

jjjk

k

j

ζ

(4.14)

sendo

[

]

o parêntesis de Poisson generalizado definido por Hori (1971) em que este

pode ser representado por (DA SILVA FERNANDES, 2003):

[ ]



=













∂

−

∂

=

n

k

j

k

j

k

j

T

Z

TTZ

1

,

ζζ

(4.15)

A função geratriz é representada por:

[ ]

d,

2

1

)(

)2()1()1()1(2(

)0(

)2(

ττ

ζ

∗∗

−++

∂

=



jjjjk

k

j

ZTZZT

Z

T )6,...,1(

=

j (4.16)

A solução final é posta na forma (Hori, 1971):

96



=

+=

1

!

1

n

j

n

T

jj

D

n

z

ζζ

(4.17)

que pode ser expressa por:

1,...,6)( ,

2

1

6

1

)1(

)1()2()1(

=













∂

+++=



=

j

T

TTTz

k

j

kjjjj

ζ

(4.18)

em que

1,...,6)( )( ==

∗

jZ

dt

d

j

ζ

(4.19)

4.2 DEFINIÇÃO DOS NOVOS ELEMENTOS QUE SERÃO CONSIDERADOS

NO SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

4.2.1 Definição da hamiltoniana

Apresentamos os termos da forma que são considerados no programa Maple.

Inicialmente consideramos o geopotencial (WNUK, 1990a) de forma arbitrária para os

harmônicos esféricos e na aplicação do capítulo 6 consideramos apenas o J

2

.

Segundo Breiter (1997) o termo

0

H fica:

0,0

2

0

2

C

L

H +=

µ

(4.20)

em que

0,0

0

2

0 0

0,0

C

L

C

µ

γ

=

97

sendo:

)()(

,2/)(,

2

0,0

0

1

eGiA

L

C

qkjj

k

jm

j

N

jj

−

=















=

µ

(4.21)

para simplificar nosso desenvolvimento na aplicação do método fazemos:

0,0

0

2

0 0

0,0

C

L

CC

µ

γ

==

(4.22)

observamos que C contém apenas termos zonais seculares.

A parte contendo os harmônicos zonais periódicos e os tesserais ficam (WNUK,

1988, 1990a):

  

= −= −=

Ψ+Ψ=

N

m

N

Nk

Q

Qq

kq

m

kq

m

kp

senSC

L

H

0

m

2

1

)cos(

γ

µ

(4.23)

,2/)()()(

π

θ

mkhmlqkkg

−

+

−

+

=

Ψ

em que



=

N

jj

jm

kq

jm

kq

m

CQC

1

sendo

jm

C

os harmônicos esféricos normalizados (WNUK, 1990a).

Separando a parte dos termos periódicos em zonais e tesserais temos:

Para os harmônicos zonais temos:

 

= −=

−

+++=

N

k

Q

Qq

qk

k

klqkkgGAC

L

H

1

,2/)2(,2

20

0

0,2

6

4

1

)

2

)(cos(

π

γ

µ

(4.24)

para nossa simplificação fazemos:

 

= −=

−

=

N

k

Q

Qq

qk

k

GAC

L

E

1

,2/)2(,2

20

0

0,2

6

4

γ

µ

(4.25)

então

98

)

2

)(cos(

1

π

klqkkgEH +++=

em que m=0, k ≠ q≠0.

Para os harmônicos tesserais temos:

 

= = −=

Ψ=

N

m

N

k

Q

Qq

kq

m

km

C

L

H

1 0

2

cos

γ

µ

(4.26)

fazendo

 

= = −=

=

N

m

N

k

Q

Qq

kq

m

km

C

L

F

1 0

2

1

γ

µ

(4.27)

obtemos:

Ψ

=

cos

12

FH

e

 

= = −=

Ψ=

N

m

N

k

Q

Qq

kq

m

km

senS

L

H

1 0

2

3

γ

µ

(4.28)

fazendo

 

= = −=

=

N

m

N

k

Q

Qq

kq

m

km

S

L

F

1 0

2

γ

µ

(4.29)

obtemos:

Ψ

=

senFH

23

em que



=

1

jj

jm

kq

jm

kq

m

SQS

e

jm

S

são os harmônicos esféricos normalizados (WNUK,

1990a).

Portanto, a hamiltoniana fica:

99

)cos()

2

)(cos(

2

21

2

Ψ+Ψ++++++=Η



senFFklqkkgEC

L

πµ

(4.30)

4.2.2 Definição da pressão de radiação solar direta

Segundo Ferraz Mello (1965) temos:

) ( Θ+++=

∂



δγβαρ

ψ

hglsenB

l

R

j

L

j

(4.31)



Θ+++−−=

∂

)cos(

δγβαρρψ

hglba

L

R

jj

LL

j

(4.32)

em que a ,

L

B e

L

b são funções de L, G e H, já

Θ

é a longitude do Sol.

Sendo:

1,2,3)(j )sen(

=

Θ

+

=



δ

γ

β

α

ρ

hglBR

j

Lj

(4.33)

1,2,3)(j )cos(

3

=

Θ

+

−

=



+

δ

γ

β

α

ρ

hglbaR

jj

LLj

(4.34)

temos que

α

varia de

)12(

+

−

QN

à

)12(

+

QN

e

Θ

,

γ

β

variam de

)1(

+

−

N

à

).1(

+

N

4.2.3 Novas componentes do arrasto atmosférico

No capítulo três descrevemos as componentes do arrasto dadas pelas expressões

(3.125) e (3.126). Fazendo:

100

m

SC

A

D

2

1

=

(4.35)

as componentes ficam:



++−=

'

'''

)cos(),,(

321321

j

jjj

í

j

di

lllLLLpAP

γβαρ

(4.36)



++−=

'

'''

)sen(),,(

321321

j

jjj

í

j

di

lllLLLqAQ

γβαρ

(4.37)

e

d

ρ

é a densidade atmosférica.

O modelo utilizado para a densidade atmosférica é o TD 88 (SEHNAL, 1988).

Usando o Modelo TD 88 e expressando a hora local e a latitude em termos de

elementos orbitais e desconsiderando os termos periódicos fazendo

0

=

k

na expressão

(2.45) podendo ser representada por:

 

= =

































+













++=

7

1

3

1

0

2

,0,0,00

44

1

n j

j

i

j

jjnnnxs

A

c

AKKGkff

ρ

(4.38)

em que G e A

j

são funções da inclinação.

As componentes

j

p

e

j

q

dadas pelas equações (4.36) e (4.37) são dadas pelas

equações (2.53) e a velocidade V é dada pela equação (2.54).

Colocando 1/a em evidência na equação (2.54) obtemos:

2/1

1

2













−=

r

a

V

µ

(4.39)

usando a relação

)cos1( Eear

−

=

dada por Prado (2001) em que E é a anomalia

excêntrica, substituindo na expressão (4.39) e expandindo em série de Taylor obtemos:

))(0cos1(

2

eEe

a

V

++













=

µ

(4.40)

sendo que cosE é dado por (VILHENA DE MORAES, 1978):

101













+++−=

)(02cos

2

cos

2

cos

2

el

e

l

e

E

(4.41)

portanto, substituindo a expressão (4.41) na expressão (4.40) eliminando os termos

quadrados obtemos:

( )

le

L

V cos1

+=

µ

(4.42)

Para as componentes

j

p temos:

(

)

)(0cos21

2

1

eleLp ++=

(4.43 )

Gp

=

2

(4.44 )

Hp

=

3

(4.45 )

sendo que a expressão

)1

2

(

11

−=

r

a

Lp

é expandido em série de Taylor obtendo a

expressão (4.43).

Para as componentes

j

q temos:

senf

L

G

e

esenEq

2

1

+=

sendo f a anomalia verdadeira que pode ser representada por (VILHENA DE

MORAES, 1978):

senEe

r

a

senf

2

1

−=

(4.46)

senE é dado por (VILHENA DE MORAES,1978):

)(02

22

1

3

2

elsen

e

senl

e

senE

++













−=

(4.47)

102

com algumas manipulações algébricas encontramos:

...sen

4

52

2

1

+

























−+=

l

e

eL

G

eq

(4.48)

Vale salientar que no desenvolvimento da expressão (4.48) utilizamos a seguinte

equação para expandir sen2E (MORANDO, 1974).

[ ]

senplpeJpeJ

p

k

senkE

p

kpkp



∞

=

+−

+=

1

)()(

(4.49)

em que os J são funções de Bessel, definidas por (MORANDO, 1974):

(

)



∞

=

+

−=

0

2

)!(!

2

)1()(

n

kn

n

k

knn

x

xJ

(4.50)

e

)()1()( xJxJ

k

−=

−

(4.51)

Desenvolvimento de

2

q

:

f

e

q sen

2













−=

substituindo a expressão (4.46), com algumas manipulações algébricas e expansões em

séries de Taylor encontramos:

...sen

4

52

2

+













+−=

l

e

eL

G

q

(4.52)

por fim

0

3

=

q (4.53)

Substituímos a expressão (4.42) e os

j

p e 1,2,3)(

=

jq

j

nas equações (4.36) e

(4.37) que serão utilizados nas equações de movimento na aplicação do método de

103

Hori. Utilizando também a expressão (4.38) para a densidade e excluindo os termos de

ordem dois na excentricidade obtemos:

)cos(1

2

1

)cos(

1

2

1

)cos(

],[

],[1

lhglpAlhgl

xpAhglAAP

GLs

GLsss

+++−−++

−++−−=

γβαµργβα

µργβαµρµρ

(4.54 )

)cos(2

2

1

)cos(

2

1

)cos(

],[

],[2

lhglpAlhgl

xpAhgl

L

G

A

L

G

AP

GLs

GLsss

+++−−++

−++−−=

γβαµργβα

µργβαµρµρ

(4.55 )

)cos(3

2

1

)cos(

3

2

1

)cos(

],,[

],,[3

lhglpAlhgl

xpAhgl

L

H

A

L

H

AP

HGLs

HGLsss

+++−−++

−++−−=

γβαµργβα

µργβαµρµρ

(4.56 )

e

)sen(2)sen(

2)sen(1

],[

],[],[1

lhglqAlhgl

xqAhglqAQ

GLs

GLsGLs

−++++++

−

+

−

=

γβαµργβα

µρ

γ

β

α

µρ

(4.57)

)sen(4)sen(

4)sen(3

],[

],[],[2

lhglqAlhgl

xqAhglqAQ

GLs

GLsGLs

−++++++

+

−

=

γβαµργβα

µρ

γ

β

α

µρ

(4.58)

0

3

=

Q

(4.59)

Que são as novas componentes do arrasto atmosférico. Os termos

],[

1

GL

p ,

],[

2

GL

p ,

],,[

3

HGL

p ,

],[

1

GL

q ,

],[

2

GL

q ,

],[

3

GL

q e

],[

4

GL

q estão todos definidos no apêndice B.

4.3 SOLUÇÃO DOS TERMOS SECULARES ACOPLADOS

104

Apresentamos as soluções dos termos seculares devido à aplicação do método de

Hori para os elementos orbitais de Delaunay L, G e H, sendo que desprezamos os

termos de ordem maior ou igual a dois devido à pressão de radiação e ao arrasto.

O modelo conduziu a não-existência de perturbações seculares pura devido à

pressão de radiação solar direta nos elementos métricos: semi-eixo maior,

excentricidade e inclinação que está de acordo com Ferraz Mello (1972) e Vilhena de

Moraes (1978,1981). Encontramos na ordem dois devido a aplicação do método

termos seculares de acoplamento entre o (geopotencial com arrasto) e (arrasto com

pressão de radiação) nos elementos métricos que estão apresentados nas expressões

(4.61), (4.69) e (4.71):

Encontramos para a primeira ordem na variável L a seguinte expressão:

s

ord

AZ

µρ

−=

)1(

1

(4.60)

e para a segunda ordem temos:

Z

1

ord2

=

1

4 L N

L, G, H

2







A





s







-2



G

E

L, G, H















g



l, g, h













L N

L, G, H

+

E

L, G, H



g



l, g, h















G

N

L, G, H













L

+ 2 q1

L, G

E

L, G, H



l



l, g, h













2

L N

L, G, H

+ 2 G



G

E

L, G, H















l



l, g, h













N

L, G, H

- G E

L, G, H



l



l, g, h















G

N

L, G, H













- H E

L, G, H



l



l, g, h















H

N

L, G, H













+ E

L, G, H



h



l, g, h















H

N

L, G, H













L

+ 2 q3

L, G

E

L, G, H



l



l, g, h















g



l, g, h













L N

L, G, H

- 2



H

E

L, G, H















h



l, g, h













L N

L, G, H

+ 2 H



H

E

L, G, H















l



l, g, h













N

L, G, H

105

+



2



L



G

C

L, G, H













G E

L, G, H



l



l, g, h













2

+



2



H



G

C

L, G, H













H E

L, G, H



g



l, g, h















l



l, g, h













-



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h















l



l, g, h













L

-



2



G

2

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













2

L

+



2



G

2

C

L, G, H













G E

L, G, H



g



l, g, h















l



l, g, h













-



2



H

2

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













2

L

- 2



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h















g



l, g, h













L

- 2



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h















l



l, g, h













L

+



2



L



H

C

L, G, H













H E

L, G, H



l



l, g, h













2













+

1

2 N

L, G, H







A





s





b

H



h



l, g, h













+

A





s





b

G



g



l, g, h













+

A





s





b

L



l



l, g, h













+

O 

2

( ) N

L, G, H







(4.61 )

em que

2

)(

,,

π

ψ

klqkkg

hgl

+++=

hglHGL

N

,,],,[

ψ

τ

=

106

 

= −=

−

=

N

k

Q

Qq

qk

k

kHGL

GAC

L

E

1

,2/)2(,2

20

0

0,2

6

4

,,

γ

µ

224

4224

],[

4

998

1

GLL

GLGL

q

GL

−

+−

=

223

22

],[

4

)9(

3

GLL

GLG

q

GL

−

=

)()(

,2/)(,

22

2

,,

1

eGiA

LL

C

qkjj

k

jm

j

N

jj

HGL −

=















=

µµ

esses termos também aparecem nas expressões (4.69) e (4.71).

Iremos apresentar a expressão (4.61) separando os termos de acoplamento entre o

arrasto com o geopotencial e o arrasto com a pressão de radiação, respectivamente.

Z

1

ord2

=

1

4 L N

L, G, H

2







A





s







-2



G

E

L, G, H















g



l, g, h













L N

L, G, H

+

E

L, G, H



g



l, g, h















G

N

L, G, H













L

+ 2 q1

L, G

E

L, G, H



l



l, g, h













2

L N

L, G, H

+ 2 G



G

E

L, G, H















l



l, g, h













N

L, G, H

- G E

L, G, H



l



l, g, h















G

N

L, G, H













- H E

L, G, H



l



l, g, h















H

N

L, G, H













+ E

L, G, H



h



l, g, h















H

N

L, G, H













L

+ 2 q3

L, G

E

L, G, H



l



l, g, h















g



l, g, h













L N

L, G, H

- 2



H

E

L, G, H















h



l, g, h













L N

L, G, H

+ 2 H



H

E

L, G, H















l



l, g, h













N

L, G, H

107

+



2



L



G

C

L, G, H













G E

L, G, H



l



l, g, h













2

+



2



H



G

C

L, G, H













H E

L, G, H



g



l, g, h















l



l, g, h













-



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h















l



l, g, h













L

-



2



G

2

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













2

L

+



2



G

2

C

L, G, H













G E

L, G, H



g



l, g, h















l



l, g, h













-



2



H

2

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













2

L

- 2



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h















g



l, g, h













L

- 2



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h















l



l, g, h













L

+



2



L



H

C

L, G, H













H E

L, G, H



l



l, g, h













2













sendo que A representa os termos seculares devido o arrasto

HGLHGL

EC

,,,,

e denota os

termos devido ao geopotencial e

HGL

N

,,

são os termos devido aos movimentos médios

das variáveis angulares que surgem na expressão de acoplamento devido a aplicação

do método de Hori (1971) na resolução do sistema. Para o acoplamento do arrasto com

a pressão temos:

108

Z

1

ord2

=

1

2 N

L, G, H







A





s





b

H



h



l, g, h













+

A





s





b

G



g



l, g, h













+

A





s





b

L



l



l, g, h













+

O 

2

( ) N

L, G, H







sendo que

ρ

representa os termos seculares devido a pressão de radiação.

Uma observação que deve ser feita é que, quando as perturbações de segunda

ordem são incluídas, o semi-eixo maior não tem parte puramente secular devido ao

geopotencial (BROUWER; CLEMENCE, 1961). Este resultado é um teorema de

Poisson.

Os termos seculares devido ao arrasto atmosférico influenciam na trajetória do

satélite. Sendo que esta perturbação é o fator determinante em relação ao tempo de

vida útil do veículo espacial. Sendo assim, analisamos a expressão (4.60) e (4.61) com

relação ao termo secular devido ao arrasto e o acoplamento do arrasto com o

geopotencial. No capítulo 6 apresentamos algumas aplicações envolvendo essas

equações.

Quando substituímos a expressão (4.35) e (4.38) em (4.60) obtemos:

 

= =

































+













++−=

7

1

3

1

0

2

,0,0,00

)1(

1

44

1

2

n j

j

i

j

jjnnnx

D

ord

A

c

AKKGkff

m

SC

Z

µ

(4.62)

sabemos que

32

an

=

µ

(4.63 )

em que n é o movimento médio e a o semi-eixo maior. A expressão (4.63) pode ser

encontrada em Prado (2001). Também podemos obter as seguintes expressões

(BROUWER; CLEMENCE, 1961):

L

a

δ

2

=

(4.64 )

109

e

G

L

e

2

1

−













−=

δδ

δ

(4.65 )

γ

γδδ

δγ

4

21

2

−













−=

H

G

(4.66 )

sendo isen

2

1

22

=

γ

, em que relacionam as variáveis de Delaunay e os elementos

keplerianos. Lembrando que

)1(

1

ord

Z

dt

dL

=

, integrando no tempo obtemos a variação de

L, com a expressão (4.64) encontramos a variação em função do semi-eixo maior.

Substituímos a expressão (4.63) em (4.62), o resultado é substituído em (4.64) daí

obtemos:

 

= =

































+













++−=

7

1

3

1

0

2

,0,0,00

2

44

1

n j

j

jj

jjnnnx

D

A

cc

AKKGkffna

m

SC

a

δ

(4.67)

que corresponde ao resultado encontrado por Segan (1988) e Vilhena de Moraes

(1989) para uma revolução.

Para obtermos a variação do perigeu podemos utilizar uma expressão dada por

(VILHENA DE MORAES, 1978):

eaaer

p

δ

−

=

)1(

Para a variável G temos:

em primeira ordem:

L

G

AZ

s

ord

µρ

−=

)1(

2

(4.68)

em segunda ordem:

110

Z

2

ord2

=

1

4 L

5

N

L, G, H

2







-A





s

H E

L, G, H



g



l, g, h















H

N

L, G, H













L

4

- A





s

G E

L, G, H



g



l, g, h















G

N

L, G, H













L

4

- 2 A





s



L

E

L, G, H













G



l



l, g, h













L

4

N

L, G, H

+ 2 A





s

q3

L, G

E

L, G, H



g



l, g, h













2

L

5

N

L, G, H

+ 2 A





s



L

E

L, G, H















g



l, g, h













L

5

N

L, G, H

- 2 A





s



H

E

L, G, H













G



h



l, g, h













L

4

N

L, G, H

+ 2 A





s

E

L, G, H



l



l, g, h













G

L

3

N

L, G, H

+ A





s

E

L, G, H



h



l, g, h













G



H

N

L, G, H













L

4

+

2 O A

2

( ) L

5

N

L, G, H

2

- A





s

E

L, G, H



g



l, g, h















L

N

L, G, H













L

5

+ 2 A





s

H



H

E

L, G, H















g



l, g, h













L

4

N

L, G, H

+

3 A 

3



s

E

L, G, H



l



l, g, h















g



l, g, h













L

- 3 A 

3



s

E

L, G, H



l



l, g, h













2

G

- 2 A





s

E

L, G, H



g



l, g, h













L

4

N

L, G, H

+ 2 A





s

q1

L, G

E

L, G, H



l



l, g, h















g



l, g, h













L

5

N

L, G, H

- A





s



2



L

2

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h













2

G

L

4

111

- 2 A  

s



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













G



l



l, g, h













L

4

- 2 A  

s



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













G



g



l, g, h













L

4

- A





s



2



H

2

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













2

G

L

4

+ A





s



2



H



G

C

L, G, H













H E

L, G, H



g



l, g, h













2

L

4

+ A





s



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













2

L

5

+ A  

s



2



L

2

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h















g



l, g, h













L

5

+ A  

s



2



L



H

C

L, G, H













H E

L, G, H



l



l, g, h















g



l, g, h













L

4

-

A  

s



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













G



l



l, g, h













L

4







+

1

2 L N

L, G, H







A 



s



G



b

L



l



l, g, h













+ A





s



G



b

H



h



l, g, h













+ A





s



G



b

G



g



l, g, h













+

O 

2

( ) N

L, G, H

L







(4.69)

sendo que as expressões (4.68) e (4.69) nos dão a variação da excentricidade quando

se utiliza a expressão (4.65).

Para a variável H temos:

em primeira ordem:

L

H

AZ

s

ord

µρ

−=

)1(

3

(4.70)

112

em segunda ordem obtemos:

Z

3

ord2

=

1

4 L

5

N

L, G, H

2







2 O A

2

( ) L

5

N

L, G, H

2

+

3 A 

3



s

E

L, G, H



l



l, g, h















h



l, g, h













L

- 3 A 

3



s

E

L, G, H



l



l, g, h













2

H +

2 A





s

E

L, G, H



l



l, g, h













H

L

3

N

L, G, H

+ 2 A





s

G



G

E

L, G, H















h



l, g, h













L

4

N

L, G, H

+ A





s

E

L, G, H



g



l, g, h













H



G

N

L, G, H













L

4

+ 2 A





s

q1

L, G

E

L, G, H



h



l, g, h















l



l, g, h













L

5

N

L, G, H

- A





s

H E

L, G, H



h



l, g, h















H

N

L, G, H













L

4

- A





s

G E

L, G, H



h



l, g, h















G

N

L, G, H













L

4

- 2 A





s



G

E

L, G, H













H



g



l, g, h













L

4

N

L, G, H

+ 2 A





s

q3

L, G

E

L, G, H



g



l, g, h















h



l, g, h













L

5

N

L, G, H

+ 2 A





s



L

E

L, G, H















h



l, g, h













L

5

N

L, G, H

- 2 A





s

E

L, G, H



h



l, g, h













L

4

N

L, G, H

- 2 A





s



L

E

L, G, H













H



l



l, g, h













L

4

N

L, G, H

- A





s

E

L, G, H



h



l, g, h















L

N

L, G, H













L

5

113

- A  

s



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













H



g



l, g, h













L

4

- A





s



2



G

2

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













2

H

L

4

- 2 A  

s



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













H



l



l, g, h













L

4

- A





s



2



L

2

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h













2

H

L

4

+ A  

s



2



G

2

C

L, G, H













G E

L, G, H



g



l, g, h















h



l, g, h













L

4

- A





s



2



H

2

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













2

H

L

4

- A  

s



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













H



l



l, g, h













L

4

+ A  

s



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h















h



l, g, h













L

5

+ A  

s



2



L



G

C

L, G, H













G E

L, G, H



l



l, g, h















h



l, g, h













L

4

+

A  

s



2



L

2

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h















h



l, g, h













L

5







+

1

2 L N

L, G, H







A  

s



H



b

H



h



l, g, h













+ A





s



H



b

G



g



l, g, h













+ A





s



H



b

L



l



l, g, h













+

O 

2

( ) N

L, G, H

L







(4.71)

podemos encontrar a variação da inclinação da órbita em função do parâmetro i pela

expressão (4.66).

114

Quando substituirmos as expressões (4.60), (4.61), (4.68), (4.69), (4.70) e (4.71)

na expressão (4.19) integrando em relação ao tempo e substituindo na expressão (4.18)

obtemos a solução geral do problema, observamos que a teoria de perturbação

utilizada não aparece termos mistos de Poisson como aparecem no trabalho de

Brouwer e Hori (1961). O método de Hori (1971) torna-se então eficaz em relação ao

trabalho citado.

Vale salientar que todas as variáveis métricas possuem na solução do sistema

termos seculares acoplados (arrasto com o geopotencial e arrasto com a pressão de

radiação) que são de suma importância para alguns tipos de satélites como é o caso do

satélite CBERS, cuja altitude está na faixa dos 700 a 800 km, e segundo Vilhena de

Moraes (1978) nessa altitude as duas forças possuem a mesma magnitude podendo

alterar a órbita do satélite consideravelmente.

No próximo capítulo apresentamos as soluções para as variáveis angulares

seculares.

115

CAPÍTULO 5 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO MÉTODO DE HORI

Neste capítulo expomos as equações do movimento encontradas na aplicação do

método de Hori para os termos seculares das variáveis angulares. Primeiramente

fazemos uma análise em relação aos termos de ordem zero do sistema auxiliar de Hori

depois apresentamos as soluções seculares das variáveis angulares. Por fim

apresentamos a solução geral do problema.

5.1 ANALISE DAS EQUAÇOES DO SISTEMA AUXILIAR DE HORI

O sistema auxiliar de Hori fornece as seguintes equações:

H

C

Z

G

C

Z

L

C

L

Z

∂

−=

∂

−=

∂

−=

=

0,0

)0(

6

0,0

)0(

5

0,0

3

2

)0(

4

)0(

3

)0(

2

)0(

1

0

µ

(5.1)

Portanto obtemos:

0

0 LL

dt

dL

=→=

(5.2)

em que

0

L é constante de integração.

116

0

0 GG

dt

dG

=→=

(5.3)

em que

0

G é constante de integração.

0

0 HH

dt

dH

=→=

(5.4)

em que

0

H é constante de integração.

t

L

C

t

L

ll

L

C

L

dt

dl

∂

−+=→

∂

−=

0,0

3

2

0

0,0

3

2

µµ

(5.5)

fazendo

L

C

L

n

l

∂

−=

0,0

3

2

µ

(5.6)

obtemos

tnll

l

+

=

0

(5.7)

em que

0

l

é constante de integração.

t

G

C

gg

G

C

dt

dg

∂

−=→

∂

−=

0,0

0

0,0

(5.8)

fazendo

G

C

n

g

∂

−=

0,0

(5.9)

obtemos

tngg

g

+

=

0

(5.10)

em que

0

g

é constante de integração.

117

Por fim:

t

H

C

hh

H

C

dt

dh

∂

−=→

∂

−=

0,0

0

0,0

(5.11)

fazendo

H

C

n

h

∂

−=

0,0

(5.12)

obtemos

tnhh

h

+

=

0

(5.13)

em que

0

h

é constante de integração. Sendo

gl

nn ,

e

h

n

denominados na literatura por

movimento médio. Devido ao fato de escolhermos na hamiltoniana

0

H não só o termo

do movimento elíptico mais também todos os termos seculares adotados, com isso,

aparecem nos elementos angulares de ordem zero termos do potencial perturbador que

corresponde a precessão da órbita . Com estas equações obtemos seis constantes de

integração de ordem zero.

5.2 SOLUÇÃO DOS TERMOS SECULARES DEVIDO AOS TERMOS l, g e h

Apresentamos as soluções dos termos seculares devido à aplicação do método de

Hori para os elementos orbitais de Delaunay l, g e h, sendo que desprezamos os termos

de ordem maior ou igual a dois devido à pressão de radiação e ao arrasto. Observamos

que até a segunda ordem do método o modelo conduziu a não-existência de

perturbações seculares pura devido ao arrasto nas variáveis angulares, que está de

acordo com Vilhena de Moraes (1978,1981). Na solução de primeira ordem do método

encontramos o termo secular puro devido à pressão de radiação solar. Na solução de

segunda ordem do método surgem termos seculares puro devido ao geopotencial e

118

termos seculares acoplados devido ao geopotencial e a pressão de radiação solar, que

era esperado como, por exemplo, em Vilhena de Moraes (1978).

Apresentamos a expressão da anomalia média em função da variável de Delaunay

ular

Z

dt

dl

sec

4

= dada por:

ρ

L

ord

Z a

)1(

4

=

(5.14)

Apresentamos a expressão do argumento do perigeu em função da variável de

Delaunay

ular

Z

dt

dg

sec

5

= dada por:

ρ

G

ord

Z a

)1(

5

=

(5.15)

Apresentamos a expressão do nodo ascendente em função da variável de

Delaunay

ular

Z

dt

dh

sec

6

= dada por:

ρ

H

ord

Z a

)1(

6

=

(5.16)

as respectivas soluções de ordem dois estão representadas no apêndice E.

5.3 REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO GERAL DO MÉTODO DE HORI

Podemos escrever a solução dos termos métricos da seguinte maneira:

...periódicos 0

)()(

termos

tAtAALL

+

ℜ

+

=

ρ

(5.17)

em que

ℜ

representa os termos seculares devido ao geopotencial,

A

representa os

termos seculares devido ao arrasto e

ρ

representa os termos seculares devido a

pressão de radiação.

119

Considerando a solução completa do método de Hori para as variáveis métricas

obtemos:

...periódicos 000

)()(),,(),,(

termos

tAtAAHGLGHL

+

ℜ

+

=

ρ

(5.18 )

Para as variáveis angulares a solução pode ser escrita da seguinte maneira:

...periódicos0

)(

termosl

tttnll

+

ℜ

+

ℜ

+

=

ρ

(5.19 )

Generalizando obtemos:

...periódicos000

)(),,(),,(),,(

termoshgl

tttnnnhglhgl

+

ℜ

+

ℜ

+

=

ρ

(5.20 )

sendo que os termos periódicos podem ser encontrados utilizando a expressão (4.18) e

as funções geratrizes de primeira ordem estão representadas no apêndice C.

120

CAPÍTULO 6 APLICAÇÕES

Neste capítulo apresentamos algumas aplicações, construímos tabelas e gráficos

para comparação com outros trabalhos. Desenvolvemos algumas considerações em

relação à pressão de radiação.

6.1 APLICAÇÃO DA TEORIA: SATÉLITE MIMOSA

O satélite Mimosa por ser um satélite de baixa altitude é influenciado pelo efeito

do arrasto atmosférico já que este predomina sobre órbitas de satélites entre altitudes

de 200 a 700 km (VILHENA DE MORAES, 1978), causando assim variações

consideráveis nos elementos orbitais em especial o semi-eixo maior e a excentricidade.

Para termos soluções mais precisas é necessário considerar os parâmetros devido ao J

2

, J

3

, J

4

e

2

J

do potencial perturbador na hamiltoniana considerada.

Consideramos a solução devido ao arrasto expressão (4.60) e o acoplamento do

arrasto com termos do potencial perturbador expressão (4.61). Inicialmente, fazemos

uma análise na variação do semi-eixo maior, construímos tabelas e gráficos para

comparação com El-Salam e Sehnal (2004). Fazemos uma aplicação com o satélite

Mimosa em que os dados dos elementos orbitais são apresentados por (EL-SALAM;

SEHNAL, 2004). O trabalho citado também utiliza o modelo TD 88 para analisar o

efeito do arrasto atmosférico, sendo que o autor constrói uma teoria de segunda ordem

utilizando as equações de Gauss, a expressão para a densidade encontra-se em função

da anomalia excêntrica.

121

Consideramos a altura do perigeu e do apogeu de 320km e 820km

respectivamente. A inclinação da órbita igual a 98º, excentricidade 0,034591 e o semi-

eixo maior de 6948,578 km.

Algumas características do satélite são:

kgm

kgmA

C

mS

D

66

/004532,0

2,2

27190,0

2

=

(6.1)

Variação do semi-eixo maior devido ao

arrasto atmosférico

Tempo em dias

-0,7238493424e-2 1

-0,7834274996e-1 10

-0,1553655076 20

-0,2418104485 30

-0,3480512543 40

-0,4796197070 50

-0,6378367824 60

-0,8180471957 70

-1,010284562 80

-1,199672682 90

-1,368490113 100

-1,498245687 110

-1,572422615 120

-1,579532224 130

-1,516537432 140

-1,391000337 150

-1,222267150 160

-1,040877585 170

-0,8849715638 180

-0,7950092670 190

-0,8075425592 200

-0,9506079820 210

-1,240009692 220

-1,679154152 230

-2,260226831 240

-2,967004005 250

Tabela 9- Variação do semi-

eixo maior devido ao arrasto

atmosférico sobre o satélite Mimosa

122

Neste caso fazemos o argumento do perigeu e o nodo ascendente igual a zero, ou

seja, a posição inicial do perigeu é no equador da órbita. Sabe-se que o fluxo solar é

quase constante para um intervalo de tempo de um ano, então calculamos o valor da

densidade atmosférica utilizando o modelo TD 88 para um valor fixo do fluxo solar e

depois calculamos a variação do semi-eixo maior para um intervalo de 250 dias.

Apresentamos os valores obtidos através da Tabela-9 e a Figura-7 que estão de

acordo com El-Salam e Sehnal (2004), sendo que utilizamos a expressão (4.61).

Com os dados da Tabela 9 construímos a Figura 7.

Utilizando a solução de ordem dois dada pela expressão (4.61) considerando

somente a parte devido ao acoplamento do arrasto com o geopotencial em que

consideramos apenas o

2

J encontramos:

Figura 7- Variação do semi-eixo maior devido ao a

rrasto sobre o

satélite Mimosa

123

mm

dt

ad

84,62−=

δ

/dia

O valor obtido é comparado com o de outros autores citados no início do

capítulo. Apesar de ser um valor pequeno comparado com a primeira ordem não pode

ser negligenciado, pois, para obtermos o estudo do tempo de vida útil mais preciso é

necessário considerarmos essa variação. É necessário também considerarmos outros

termos do potencial perturbador.

6.2 APLICAÇÃO DA TEORIA: SATÉLITE EURECA.

Em Delhaise (1991) é desenvolvida uma solução analítica para o movimento de

um satélite artificial da Terra sujeito aos efeitos combinados do campo gravitacional

terrestre e do arrasto atmosférico. O modelo de densidade leva em conta uma variação

linear da altura de escala da densidade com altitude. A teoria de perturbação é baseada

em transformações de Lie. A autora constrói uma tabela para representar a variação do

semi-eixo maior do satélite Eureca que está representado na Tabela-10.

a

0

(km)

h

0

(km)

ρ

0

(kg/m

3

)

a

δ

(km)

6780

400

1.210 ×10

-11

-5,130

6680

300

2.210 ×10

-11

-3,729

6640

250

6.810 ×10

-11

-16,168

6590

200

2.710

×

10

-10

-73,584

Tabela 10- variação do semi-

eixo maior

num período de 24 horas para abordagem

de Delhaise (1991) (modificada)

124

Algumas características do satélite são:

kgm

A

C

mS

D

2200

025,0

2,2

50

2

=

(6.2)

Com esses dados fornecidos substituímos na expressão (4.61), utilizando nossa

teoria obtivemos os valores apresentados na Tabela-11. Nosso resultado aproxima-se

do valor apresentado na Tabela 10.

a

0

(km)

h

0

(km)

ρ

0

(kg/m

3

)

a

δ

(Km)

6780

400

1,210 ×10

-11

-2.717

6680

300

2,210 ×10

-11

-4.926

6640

250

6,810 ×10

-11

-15.135

6590

200

2,710 ×10

-10

-60.002

6.3 APLICAÇÃO DA TEORIA: SATÉLITE CBERS-1.

Considerando as expressões (4.60) e (4.61) fazemos uma aplicação com o satélite

CBERS-1 cujos dados orbitais são dados por:

Tabela 11- Variação do semi-eixo

maior num período de 24 horas

125

kgmA

mkg

mS

C

i

e

km

a

s

D

/01342,0

/101,72507

37,15

62,2

406,98

00001,0

9448

,

7148

2

314-

2

=

×=

=

ρ



(6.3)

em que a densidade é calculada utilizando o programa em linguagem Fortran que está

exposto no apêndice D. Os dados de entrada são:

Dia do ano (DAY) = 1

Fluxo Solar (EFX e EFBAR) = 145

Índice Geomagnético (AKP) = 3

Hora Local (HL) = 3

Latitude (ALAT) = 0

Altitude (ALTI) = 770,80 km

Substituindo esses valores na expressão (4.60) e fazendo os cálculos

encontramos:

variação do semi-eixo maior

(

)

a

δ

Ordem um:

km

dt

ad

3

1013541,2

−

×−=

δ

/dia

(6.4)

que corresponde a solução de primeira ordem. Para a solução de segunda ordem

utilizamos a expressão (4.61) apenas os termos de acoplamento do arrasto com o

geopotencial obtemos:

Ordem dois:

126

km

dt

ad

1089932,6

7

−

×−=

δ

/dia

(6.5)

Para calcular a variação da excentricidade utilizamos as expressões (4.68), (4.69)

e (4.65) encontramos para o caso do satélite CBERS-1 uma variação da ordem de 10

-7

.

Observamos que, para o caso real, como a excentricidade é próxima de zero, devemos

utilizar variáveis não-singulares.

Para o acoplamento do arrasto com a pressão apresentamos um comentário a

respeito da pressão para depois fazermos uma aplicação utilizando a expressão (4.61).

Considerando a expressão (2.56) cujo módulo é dado por:

sRpr

P

m

S

CA

ν

=

(6.6)

em que o coeficiente

R

C pode ser modelado. O valor do coeficiente de pressão de

radiação é maior em satélites que possuem superfícies altamente refletoras, e depende

tanto da geometria quanto das propriedades das superfícies externas. Segundo Kuga;

Rao e Carrara (2000) o valor de

R

C está compreendido entre 1 e 1,44 para satélites

esféricos.

As órbitas de satélites cuja razão entre a área e sua massa for muito grande

podem sofrer efeitos significativos devido à força de pressão de radiação solar

(VILHENA DE MORAES, 1978). A força aplicada ao satélite depende da energia

irradiada pelo Sol. Na órbita da Terra esta energia é constante (não varia com a

atividade solar) e vale aproximadamente

2

/ 1350 mw

(KUGA; RAO e CARRARA,

2000).

Nas proximidades da órbita da Terra

s

P é definida por:

cwP

s

/

=

(6.7)

127

em que c é a velocidade da luz (300000 km/s) e w é a intensidade de radiação,

definida como energia incidente por unidade de área, por unidade de tempo emitida

pelo Sol. Sendo:

2

0













=

T

R

ww

(6.8)

em que

0

w

é a intensidade de radiação à uma unidade astronômica, igual a 1350 w/m

2

,

R

T

é a distância da Terra ao Sol e R

0

é a distância média da órbita da Terra ao Sol

(uma unidade astronômica). Substituindo a expressão (6.8) em (6.7) obtemos:

2

0

6

2

00

/105,4 mN

R

c

w

P

TT

s













×=













=

−

(6.9)

Em primeira aproximação vamos supor que

0

RR

T

=

, ou seja, supondo que o

satélite esteja na superfície da Terra, pois a distância do satélite ao Sol é muito maior

do que a distância do satélite à Terra. Portanto, obtemos:

26

/105,4 mNP

s

−

×=

(6.10)

que substituído na expressão (6.6) temos:

26

/105,4 mN

m

S

CA

Rpr

−

×













=

ν

(6.11)

fazendo

ρ

=

pr

A

temos:

26

/105,4 mN

m

S

C

R

−

×













=

νρ

(6.12)

lembrando que S é área efetiva e m a massa do satélite.

128

Para a aplicação consideramos:

kgm

mS

C

R

1550

37,15

1

44,1

2

=

ν

(6.13)

encontramos para a variação do semi-eixo maior.

Ordem dois (acoplamento do arrasto coma pressão de radiação):

km

dt

ad

101,18190

11-

×−=

δ

/dia

(6.14)

em que utilizamos a expressão (4.61) somente o termo de acoplamento entre o arrasto

e a pressão de radiação. O termo b

L

que aparece na expressão (4.61) é dado por

(FERRAZ MELLO, 1965):

µ

L

b

L

2=

.

Sabemos que o efeito da pressão de radiação é importante principalmente para

satélites cuja razão entre a área e sua massa for muito grande (VILHENA DE

MORAES, 1978), então vamos supor que a razão área massa do satélite CBERS-1 seja

20,7 m

2

/kg sendo que este valor é de um satélite do tipo balão, com isso obtemos:

Forças perturbadoras Variação do semi-eixo maior (km/dia)

arrasto -4,31489

acoplamento do arrasto com o

geopotencial

-1,39411×10

-3

acoplamento do arrasto com a pressão de

radiação

-3,67564×10

-8

Tabela 12-Variação do semi-eixo maior para o satélite CBERS-1

129

Comparando estes resultados com as expressões (6.4), (6.5) e (6.14) observamos

o aumento da variação do semi-eixo maior como, por exemplo, para o arrasto a

variação era de 2 m passando aproximadamente para 4 km, nesse caso o satélite cairia

rapidamente, para o acoplamento do arrasto com a pressão cuja ordem de grandeza era

de 10

-11

passa para 10

-8

que é um efeito considerável para determinada missão

espacial. Confirmando assim, o resultado encontrado por Vilhena de Moraes (1978).

Com os dados orbitais do satélite CBERS-1 calculamos à aceleração do arrasto

utilizando a expressão (2.28) e encontramos:

28

m/s 1029076,1

−

×−=D

(6.15)

Calculamos também à aceleração da pressão de radiação utilizando a expressão

(6.12) encontramos:

28

/1063984,6 sm

−

×=

ρ

(6.16 )

Dividindo a expressão (6.16) por (6.15) encontramos 14414,5=

D

ρ

, ou seja, na

altitude do satélite CBERS-1 prevalece o efeito da aceleração da pressão de radiação.

Fazendo a relação da taxa de pressão de radiação pelo arrasto atmosférico numa

órbita circular obtemos:

Altitura

da órbita

h, (km)

200 300 400 500 600 700 800

D

ρ

0,00029 0,00540 0,04155 0,17836 0,64585 2,20225 7,27311

Em que o valor da densidade

d

ρ

é calculado usando o modelo TD-88 para

Day=1.

Tabela 13- Razão entre aceleração da pressão de radiação e a aceleração do arrasto

130

Nós mostramos que a taxa é inversamente proporcional a densidade do ar (

d

ρ

) e

aumenta com a altitude h. Portanto, para o satélite CBERS-1 o arrasto atmosférico

predomina até 600 km de altitude no intervalo entre 600 e 700 km as duas

perturbações são consideráveis e a partir dos 700 km a pressão de radiação predomina

em relação ao arrasto.

Uma questão importante é que, se fazermos o produto da expressão (6.15) com

(6.16) obtemos uma grandeza da ordem de 10

-16

devido ao acoplamento do arrasto

com a pressão, porém, utilizando teoria de perturbação para resolver o sistema

percebemos que esse acoplamento na verdade não é dessa ordem e sim da ordem de

10

-11

. Está queda na ordem de grandeza é devido aos termos do movimento médio os

quais, devido ao processo de integração, aparecem no denominador das expressões de

acoplamento representados por

HGL

N

,,

.

A Tabela 14 e a Figura 8 mostram a variação do semi-eixo maior devido ao

arrasto na solução de ordem um dado pela expressão (4.60), em que variamos o valor

da densidade atmosférica conforme o modelo TD 88. Na Tabela 15 consideramos a

expressão (4.60) e a expressão (4.61), ou seja, consideramos a solução de ordem um e

a solução de ordem dois (acoplamento do arrasto com geopotencial e arrasto com a

pressão) novamente variando a densidade atmosférica.

Variação do semi-eixo maior (km) Tempo em dias

-0,2135407722e-2 1

-0,2041908462e-1 10

-0,4043626776e-1 20

-0,6274065096e-1 30

-0,8962967128e-1 40

-0,1224522864 50

-0,1612631821 60

-0,2046532524 70

-0,2498106202 80

-0,2929004127 90

-0,3295533104 100

Com os dados da Tabela 14 plotamos a Figura 8.

Tabela 14- Variação do semi-eixo maior devido ao arrasto atmosférico (km)

131

Variação do semi-eixo maior (km) Tempo em dias

-0,2136097672e-2 1

-0,2042568203e-1 10

-0,4044933278e-1 20

-0,6276092261e-1 30

-0,8965863115e-1 40

-0,1224918519 50

-0,1613152887 60

-0,2047193806 70

-0,2498913420 80

-0,2929950615 90

-0,3296598078 100

Observamos que a Tabela 15 apresenta uma variação maior que a Tabela 14 na

ordem de 10

-4

, por causa do efeito proveniente do acoplamento do arrasto com o

geopotencial e do arrasto com a pressão.

Tabela 15- Variação do semi-eixo maior devido à solução de

ordem um e a

solução de ordem dois

Figura 8- Variação do semi-eixo maior devido ao arrasto atmosférico

132

Considerando a diferença entre a Tabela 14 com a Tabela 15 obtemos:

Variação do semi-

eixo maior devido à

diferença entre as Tabelas 12 e 13

(km)

Tempo em dias

0,689950e-6 1

0,659741e-5 10

0,1306502e-4 20

0,2027165e-4 30

0,2895987e-4 40

0,395655e-4 50

0,521066e-4 60

0,661282e-4 70

0,807218e-4 80

0,946488e-4 90

0,1064974e-3 100

Com os dados da Tabela 16 plotamos a Figura 9.

Tabela 16- Variação do semi-

eixo maior devido à diferença entre a solução

de ordem um e a solução de ordem dois

Figura 9- Variação do semi-e

ixo maior devido à diferença entre a solução

de ordem um e a solução de ordem dois

133

Apresentamos a Tabela 17 e a Figura 10 em que consideramos a expressão (4.61)

somente os termos de acoplamento entre o arrasto e a pressão de radiação.

Variação do semi-eixo maior (km) Tempo em dias

-0,1819048619e-10 1

-0,1739401467e-9 10

-0,3443753146e-9 20

-0,5340778053e-9 30

-0,7623367944e-9 40

-0,1040393711e-8 50

-0,1368188643e-8 60

-0,1732678731e-8 70

-0,2109962462e-8 80

-0,2466542894e-8 90

-0,2765284421e-8 100

Tabela 17- Variação do semi-

eixo maior devido ao acoplamento do arrasto

com a pressão de radiação

Figura 10- Variação do semi-

eixo maior devido ao acoplamento do

arrasto com a pressão de radiação

134

Utilizando ainda a expressão (4.61) construímos a Tabela 18 e a Figura 11

considerando o efeito do acoplamento do arrasto com o geopotencial.

Variação do semi-eixo maior (km) Tempo em dias

-0,6899321370e-6 1

-0,6597234168e-5 10

-0,1306153087e-4 20

-0,2025660221e-4 30

-0,2891405161e-4 40

-0,3946024623e-4 50

-0,5189291366e-4 60

-0,6573000472e-4 70

-0,8004244616e-4 80

-0,9356949828e-4 90

-0,1049024040e-3 100

Tabela 18- Variação do semi-

eixo maior devido ao acoplamento do

arrasto com o geopotencial

Figura 11- Variação do semi-

eixo maior devido ao acoplamento do arrasto

com o geopotencial

135

Apresentamos também a diferença entre a Tabela 17 e 18 para obtermos a

magnitude dos efeitos considerados, esboçamos os resultados através da Tabela 19 e

da Figura 12.

Variação do semi-eixo maior (km) Tempo em dias

0,6899139465e-6

1

0,6597060228e-5

10

0,1306118649e-4

20

0,2025606813e-4

30

0,2891328927e-4

40

0,3945920584e-4

50

0,5189154547e-4

60

0,6572827204e-4

70

0,8004033620e-4

80

0,9356703174e-4

90

0,1048996387e-3

100

Tabela19- Di

ferença entre os termos de acoplamento do arrasto com

pressão e do arrasto com o geopotencial

Figura 12- Diferença entre os termos de acoplamento do arrasto com

pressão e do arrasto com geopotencial

136

Iremos apresentar o resultado das Figuras 10 e 11 em uma única figura para

efeito de comparação.

Construímos a Tabela 20 para expor a magnitude da variação do semi-eixo maior

devido às forças perturbadoras atuando sobre o satélite CBERS-1.



Esses resultados

são importantes para determinadas missões que necessitam de uma precisão acurada

da órbita do veículo espacial.

Sendo que esta ordem de grandeza representada na Tabela 20 depende das

características do satélite e de sua altitude.

Figura 13- Variação do semi-eixo maior devido ao acoplamento do arrasto

com o geopotencial e do arrasto com a pressão de radiação

137

Forças perturbadoras Variação do semi-

eixo maior (km/

dia)

Arrasto 10

-3

Arrasto acoplado com geopotencial 10

-7

Arrasto acoplado com a pressão 10

-11

No próximo capítulo apresentamos as conclusões e abordagens subseqüentes.

Tabela 20- Magnitude das forças perturbadoras para o satélite CBERS-1

138

CAPÍTULO 7 CONCLUSÃO

Estudamos o movimento translacional de um satélite artificial sujeito à ação do

geopotencial, da pressão de radiação solar direta (considerando a sombra da Terra) e

do arrasto atmosférico.

Expressões analíticas para as perturbações, considerando-se modelos realísticos,

são desenvolvidas e substituídas nas equações de movimento. As equações são

integradas analiticamente por processos de teoria de perturbações permitindo análise

dos termos que compõem a solução. É utilizado o método de perturbação de Hori

(1971) para resolver o sistema não-canônico.

Resolvido o sistema de equações diferencias encontramos, para as perturbações

devidas à pressão de radiação solar, soluções de acordo com Vilhena de Moraes (1978)

e Ferraz Mello (1972). É dada ênfase a variável métrica de Delaunay L em que

fazemos algumas manipulações encontrando resultados convenientes para serem

comparados com trabalhos que citamos ao longo do texto. Para fazermos aplicações

colocamos o resultado em função do semi-eixo maior já que o mesmo encontra-se em

função das variáveis de Delaunay.

São feitas algumas aplicações para o satélite CBERS-1 em que as perturbações

consideradas são analisadas determinando a ordem de grandeza de cada efeito

considerado. Na solução de primeira ordem devido a aplicação do método de Hori

(1971) encontramos uma variação para o semi-eixo maior da ordem de 10

-3

km/dia.

Considerando a solução de ordem dois é feita uma análise dos termos de acoplamento

em duas etapas; na primeira consideramos o acoplamento entre o geopotencial e o

arrasto em que obtivemos uma variação para o semi-eixo maior da ordem de 10

-7

km/dia, na segunda etapa consideramos o arrasto e a pressão de radiação, cuja variação

é da ordem de 10

-11

km/dia. Esses resultados são importantes para determinadas

missões que necessitam de uma precisão acurada da órbita do veículo espacial.

139

Principalmente para satélites com grande razão área/massa (VILHENA DE MORAES,

1978) o efeito do acoplamento da pressão de radiação e o geopotencial são muito

importantes.

Mostramos que a ordem do acoplamento da perturbação do arrasto com a pressão

de radiação, não é simplesmente a multiplicação da ordem de ambas as perturbações.

A multiplicação daria uma ordem de grandeza de 10

-16

km/dia e ao utilizarmos a teoria

encontramos, para os termos acoplados uma variação da ordem de 10

-11

km/dia. Está

queda na ordem de grandeza é devido aos termos do movimento médio os quais,

devido ao processo de integração, aparecem no denominador das expressões de

acoplamento.

Expressões Analíticas estão expostas nos capítulos 4, 5 e no apêndice E, sendo

que estas servem para estudos referentes a perturbações seculares nos elementos

orbitais a, e, i, M,

ω

e

Ω

. Para estudar os efeitos de curto e longo período apresentamos

no apêndice C as funções periódicas de primeira ordem.

Utilizando o método de Hori (1971), fazemos uma transformação canônica e

obtemos a solução do sistema original sem necessidade de efetuarmos transformação

inversa. Também termos espúrios de Poisson não surgem na resolução do sistema

como os que surgiram no trabalho de Brouwer e Hori (1961). Portanto, o método de

Hori (1971) é eficiente e dinâmico para resolução de sistemas não-canônicos. Outro

fator importante é que a solução encontrada nos permite calcular diretamente a

variação dos seis principais elementos orbitais tanto para analisarmos os efeitos

seculares como também os periódicos, de curto e longo período.

Para trabalhos subseqüentes pode-se melhorar o modelo de densidade TD 88

considerando além dos termos seculares também os termos periódicos que no nosso

caso não são considerados. Sabe-se que o efeito da pressão de radiação depende da

geometria do satélite além da descontinuidade da região entre sombra (esta teoria não

considera o efeito de penumbra) ou iluminado entre outros fatores. Então, é necessária

uma nova modelagem para a pressão de radiação em que considere esses fatores

podendo assim, obter resultados mais convenientes. O satélite CBERS-1, por exemplo,

140

possui um corpo cúbico e painel solar, como a pressão depende da atitude do satélite

ela varia ao longo do tempo. Portanto, podemos perceber a importância de um novo

modelo para a pressão de radiação solar (

ρ

) que no nosso caso é considerado

constante.

Um estudo que pode ser feito em relação a esse trabalho é analisar os efeitos de

curto e longo período proveniente das soluções periódicas, utilizando as expressões do

apêndice C.

141

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APÊNDICE A – Geopotencial em termos das variáveis de delaunay

Geopotencial em termos das variáveis de Delaunay dado por Edwin Wnuk (1990a):

)se nc o s(

0

2

Ψ+Ψ+=

  

= −= −=

k q

m

k q

m

N

m

N

NK

Q

Qq

k m

SC

L

r

V

γ

µµ

  

) ,()( ,S ,

,2/)(,

2

**

11

eGIA

L

QSQCQC

qkjj

k

jm

j

k q

jm

k q

jm

N

jj

k q

mjm

k q

jm

N

jj

k q

m

−

==













===



µ

)],

2

1

(2,[ m a xj

,)1( ,

2

)()()(

1

11

)

2

1

(

km

+−

+=

−=−+−+++=Ψ

+−

km

Ekk

mkhmlqkk g

mk

E

γ

π

θ

)(2

11 ko k

kK

δδ

++=

Parteseculardahamiltoniana

H



0







2



0

L

2





4



0

C



2,0

A



20

0



G

2,1,0

2L

6

Parte periódicada hamiltoniana

H



1





1

2L

6







4

C



2,0





Cos



2g



2l





2o

A



20

2

G

2,0,0



Cos



2g



3l





2o

A



20

2

G

2,0,1



Cos



2g



4l





2o

A



20

2

G

2,0,2



Sin



g



l





o

A



20

G

2,

1

2

,0



Sin



g



2l





o

A



20

G

2,

1

2

,1



Sin



g



3l





o

A



20

G

2,

1

2

,2





1

L

2







2





Cos



l



2



h

 





Sin



l



2



h

 





0







Cos



2l



2



h

 





Sin



2l



2



h

 





0







Cos



h

 





Sin



h

 





0







Cos



2



h

 





Sin



2



h

 





0







Cos



h



l







Sin



h



l







0







Cos



h



2l







Sin



h



2l

 





0





Cos



g



h



l







Sin



g



h



l

 





1







Cos



g



l



2



h

 





Sin



g



l



2



h

 





2





Cos



2g



h



2l







Sin



2g



h



2l

 





2





Cos



2g



2l



2



h

 





Sin



2g



2l



2



h







4





1



Cos



g



h



2l

 



C



1



Sin



g



h



2l

 



S



1



 

2





Sin



2g



h



3l

 



C



1

2



Cos



2g



h



3l

 



S



1

2







1



Cos



g



h



3l

 



C



1

2



Sin



g



h



3l

 



S



1

2



 

2





Sin



2g



h



4l

 



C



1

4



Cos



2g



h



4l

 



S



1

4







2



Sin



g



2l



2



h

 



C



2



Cos



g



2l



2



h

 



S



2







2



Sin



g



3l



2



h

 





C



2



Cos



g



3l



2



h

 





S



2







4



Cos



2g



3l



2



h

 





C



2



Sin



2g



3l



2



h

 





S



2







4



Cos



2g



4l



2



h

 





C



2

4



Sin



2g



4l



2



h

 





S



2

4



150

APÊNDICE B

-

Definição dos termos que aparecem nas expressões de ordem dois

Uma observação que deve ser feita em relação à solução encontrada é que o

movimento médio n

l

, n

g

e n

h

estão representados por:

],,[],,[ hglHGL

nN

=

Iremos representar algumas componentes que estão na solução das equações:

L

GL

p

GL

22

],[

31

−

=

2

22

],[

2

L

GLG

p

GL

−

=

2

22

],,[

3

L

GLH

p

HGL

−

=

224

4224

],[

4

998

1

GLL

GLGL

q

GL

−

+−

=

3

2

],[

2

L

G

q

GL

=

223

22

],[

4

)9(

3

GLL

GLG

q

GL

−

=

2

],[

4

L

G

q

GL

=

Para os argumentos das funções periódicas temos:

2

)(

,,

π

ψ

klqkkg

hgl

+++=

Θ

+

=

Θ

δ

γ

β

α

ψ

hgl

hgl ,,,



+++= )(2

,,

lhgl

hgl

γβαψ



−++= )(3

,,

lhgl

hgl

γβαψ

2

)()()(

,,,

π

θψ

θ

mkhmlqkkg

hgl

−+−+++=

hglHGL

N

,,],,[

ψ

τ

=

θ

ψ

τ

,,,],,[

2

hglHGL

N

=

Θ

=

,,,],,[

3

hglHGL

N

ψ

τ

hglHGL

N

,,],,[

24

ψ

τ

=

hglHGL

N

,,],,[

35

ψ

τ

=

151

APÊNDICE C – Funções periódicas

As funções periódicas de primeira ordem podem ser substituídas na expressão

(4.18) para encontrar a solução dos termos periódicos e fazer análise em relação aos

termos de curto e longo período que também são importantes para o estudo de satélites

artificiais. Estão aqui representadas:

T

1

ord1

=

E

L, G, H



l



l, g, h













cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

+

F1

L, G, H



l



l, g, h, 













cos



l, g, h, 

( )

N2

L, G, H

+

F2

L, G, H



l



l, g, h, 













sin



l, g, h, 

( )

N2

L, G, H

-





B

L

cos



l, g, h, 

( )

N3

L, G, H

-

A





s

sin



l, g, h

( )

N

L, G, H

-

A





s

p1

L, G

sin



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

-

A





s

p1

L, G

sin



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

T

2

ord1

=

E

L, G, H



g



l, g, h













cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

+

F1

L, G, H



g



l, g, h, 













cos



l, g, h, 

( )

N2

L, G, H

+

F2

L, G, H



g



l, g, h, 













sin



l, g, h, 

( )

N2

L, G, H

-





B

G

cos



l, g, h, 

( )

N3

L, G, H

-

A





s

G sin



l, g, h

( )

L N

L, G, H

-

A





s

p2

L, G

sin



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

-

A





s

p2

L, G

sin



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

T

3

ord1

=

E

L, G, H



h



l, g, h













cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

+

F1

L, G, H



h



l, g, h, 













cos



l, g, h, 

( )

N2

L, G, H

152

+

F2

L, G, H



h



l, g, h, 













sin



l, g, h, 

( )

N2

L, G, H

-





B

H

cos



l, g, h, 

( )

N3

L, G, H

-

A





s

H sin



l, g, h

( )

L N

L, G, H

-

A





s

p3

L, G, H

sin



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

-

A





s

p3

L, G, H

sin



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

T

4

ord1

= -



L

E

L, G, H













sin



l, g, h

( )

N

L, G, H

-



L

F1

L, G, H













sin



l, g, h, 

( )

N2

L, G, H

+



L

F2

L, G, H













cos



l, g, h, 

( )

N2

L, G, H

+





b

L

sin



l, g, h

( )

N

L, G, H

+





b

L

sin



l, g, h, 

( )

N3

L, G, H

-

A





s

q1

L, G

cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

-

A





s

q2

L, G

cos



l, g, h

( )

N4

L, G, H

-

A





s

q2

L, G

cos



l, g, h

( )

N5

L, G, H

-



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H

sin



l, g, h

( )



g



l, g, h













N

L, G, H

2

-



2



L

2

C

L, G, H













E

L, G, H

sin



l, g, h

( )



l



l, g, h













N

L, G, H

2

-



2



L

2

C

L, G, H













F1

L, G, H

sin



l, g, h, 

( )



l



l, g, h, 













N2

L, G, H

2

+



2



L

2

C

L, G, H













F2

L, G, H

cos



l, g, h, 

( )



l



l, g, h, 













N2

L, G, H

2

+



2



L

2

C

L, G, H













  B

L

sin



l, g, h, 

( )

N3

L, G, H

2

-



2



L

2

C

L, G, H













A  

s

cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

2

153

+



2



L



H

C

L, G, H













  B

H

sin



l, g, h, 

( )

N3

L, G, H

2

-



2



L



G

C

L, G, H













F1

L, G, H

sin



l, g, h,



( )



g



l, g, h,















N2

L, G, H

2

+



2



L



G

C

L, G, H













F2

L, G, H

cos



l, g, h,



( )



g



l, g, h,















N2

L, G, H

2

+



2



L



G

C

L, G, H













  B

G

sin



l, g, h, 

( )

N3

L, G, H

2

-



2



L



G

C

L, G, H













A  

s

G

cos



l, g, h

( )

L N

L, G, H

2

-



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H

sin



l, g, h

( )



h



l, g, h













N

L, G, H

2

-



2



L



H

C

L, G, H













F1

L, G, H

sin



l, g, h, 

( )



h



l, g, h, 













N2

L, G, H

2

+



2



L



H

C

L, G, H













F2

L, G, H

cos



l, g, h, 

( )



h



l, g, h, 













N2

L, G, H

2

-



2



L



H

C

L, G, H













A  

s

H

cos



l, g, h

( )

L N

L, G, H

2

-

3 

2

E

L, G, H

sin



l, g, h

( )



l



l, g, h













L

4

N

L, G, H

2

-

3 

2

F1

L, G, H

sin



l, g, h, 

( )



l



l, g, h, 













L

4

N2

L, G, H

2

+

3 

2

F2

L, G, H

cos



l, g, h, 

( )



l



l, g, h, 













L

4

N2

L, G, H

2

+

3 

2

  B

L

sin



l, g, h,



( )

L

4

N3

L, G, H

2

-

3 

3

A 

s

cos



l, g, h

( )

L

4

N

L, G, H

2

-

3 

3

A 

s

p1

L, G

cos



l, g, h

( )

2 L

4

N5

L, G, H

2

154

-

3 

3

A 

s

p1

L, G

cos



l, g, h

( )

2 L

4

N4

L, G, H

2

-



2



L

2

C

L, G, H













A  

s

p1

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

2

-



2



L

2

C

L, G, H













A  

s

p1

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

2

-



2



L



G

C

L, G, H













A  

s

p2

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

2

-



2



L



G

C

L, G, H













A  

s

p2

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

2

-



2



L



H

C

L, G, H













A  

s

p3

L, G, H

cos



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

2

-



2



L



H

C

L, G, H













A  

s

p3

L, G, H

cos



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

2

T

5

ord1

= -



G

E

L, G, H













sin



l, g, h

( )

N

L, G, H

-



G

F1

L, G, H













sin



l, g, h,



( )

N2

L, G, H

+



G

F2

L, G, H













cos



l, g, h,



( )

N2

L, G, H

+





b

G

sin



l, g, h

( )

N

L, G, H

+





b

G

sin



l, g, h,



( )

N3

L, G, H

-

A





s

q3

L, G

cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

+

A





s

q4

L, G

cos



l, g, h

( )

N4

L, G, H

+



2



H



G

C

L, G, H













F2

L, G, H

cos



l, g, h,



( )



h



l, g, h,















N2

L, G, H

2

+

A





s

q4

L, G

cos



l, g, h

( )

N5

L, G, H

155

-



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H

sin



l, g, h

( )



h



l, g, h













N

L, G, H

2

-



2



H



G

C

L, G, H













F1

L, G, H

sin



l, g, h,



( )



h



l, g, h,















N2

L, G, H

2

-



2



L



G

C

L, G, H













F1

L, G, H



l



l, g, h,















sin



l, g, h,



( )

N2

L, G, H

2

+



2



H



G

C

L, G, H













  B

H

sin



l, g, h,



( )

N3

L, G, H

2

-



2



H



G

C

L, G, H













A  

s

H

cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

2

L

-



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h













sin



l, g, h

( )

N

L, G, H

2

+



2



L



G

C

L, G, H













F2

L, G, H



l



l, g, h,















cos



l, g, h,



( )

N2

L, G, H

2

+



2



G

2

C

L, G, H













F2

L, G, H

cos



l, g, h,



( )



g



l, g, h,















N2

L, G, H

2

+



2



G

2

C

L, G, H













  B

G

sin



l, g, h,



( )

N3

L, G, H

2

-



2



G

2

C

L, G, H













A  

s

G

cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

2

L

-



2



G

2

C

L, G, H













E

L, G, H

sin



l, g, h

( )



g



l, g, h













N

L, G, H

2

156

-



2



G

2

C

L, G, H













F1

L, G, H

sin



l, g, h,



( )



g



l, g, h,















N2

L, G, H

2

-



2



H



G

C

L, G, H













A  

s

p3

L, G, H

cos



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

2

+



2



L



G

C

L, G, H













  B

L

sin



l, g, h,



( )

N3

L, G, H

2

-



2



L



G

C

L, G, H













A  

s

cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

2

-



2



H



G

C

L, G, H













A  

s

p3

L, G, H

cos



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

2

-



2



G

2

C

L, G, H













A  

s

p2

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

2

-



2



G

2

C

L, G, H













A  

s

p2

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

2

-



2



L



G

C

L, G, H













A  

s

p1

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

2

-



2



L



G

C

L, G, H













A  

s

p1

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

2

T

6

ord1

= -



H

E

L, G, H













sin



l, g, h

( )

N

L, G, H

-



H

F1

L, G, H













sin



l, g, h,



( )

N2

L, G, H

+



H

F2

L, G, H













cos



l, g, h,



( )

N2

L, G, H

+





b

H

sin



l, g, h

( )

N

L, G, H

+





b

H

sin



l, g, h,



( )

N3

L, G, H

-



2



L



H

C

L, G, H













F1

L, G, H



l



l, g, h,















sin



l, g, h,



( )

N2

L, G, H

2

157

-



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h













sin



l, g, h

( )

N

L, G, H

2

+



2



L



H

C

L, G, H













F2

L, G, H



l



l, g, h,















cos



l, g, h,



( )

N2

L, G, H

2

-



2



H



G

C

L, G, H













A  

s

G

cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

2

L

+



2



L



H

C

L, G, H













  B

L

sin



l, g, h,



( )

N3

L, G, H

2

-



2



L



H

C

L, G, H













A  

s

cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

2

-



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H

sin



l, g, h

( )



g



l, g, h













N

L, G, H

2

-



2



H



G

C

L, G, H













F1

L, G, H

sin



l, g, h,



( )



g



l, g, h,















N2

L, G, H

2

+



2



H



G

C

L, G, H













F2

L, G, H

cos



l, g, h,



( )



g



l, g, h,















N2

L, G, H

2

+



2



H



G

C

L, G, H













  B

G

sin



l, g, h,



( )

N3

L, G, H

2

-



2



H

2

C

L, G, H













E

L, G, H

sin



l, g, h

( )



h



l, g, h













N

L, G, H

2

158

-



2



H

2

C

L, G, H













F1

L, G, H

sin



l, g, h,



( )



h



l, g, h,















N2

L, G, H

2

+



2



H

2

C

L, G, H













F2

L, G, H

cos



l, g, h,



( )



h



l, g, h,















N2

L, G, H

2

+



2



H

2

C

L, G, H













  B

H

sin



l, g, h,



( )

N3

L, G, H

2

-



2



H

2

C

L, G, H













A  

s

H

cos



l, g, h

( )

N

L, G, H

2

L

-



2



L



H

C

L, G, H













A  

s

p1

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

2

-



2



L



H

C

L, G, H













A  

s

p1

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

2

-



2



H



G

C

L, G, H













A  

s

p2

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

2

-



2



H



G

C

L, G, H













A  

s

p2

L, G

cos



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

2

-



2



H

2

C

L, G, H













A  

s

p3

L, G, H

cos



l, g, h

( )

2 N5

L, G, H

2

-



2



H

2

C

L, G, H













A  

s

p3

L, G, H

cos



l, g, h

( )

2 N4

L, G, H

2

159

APÊNDICE D – Programa em linguagem Fortran para calcular a densidade

atmosférica

O modelo, programado em linguagem Fortran, para calcular a densidade atmosférica

utilizando o TD 88 é representado a seguir (SEHNAL; POSPÍSILOVÁ, 1988):

SUBROUTINE TD88

(DAY,EFX,EFBAR,AKP,ALTI,HL,ALAT,ROA,DENSCH)

C

C....................................................................

C

C INPUT

C DAY ...... DAY NUMBER IN THE YEAR

C EFX ...... SOLAR FLUX ON 10.7 CM FOR DAY - 1

C EFBAR .... MEAN SOLAR FLUX

C AKP ...... GEOMAGNETIC KP INDEX FOR HL - 3

C ALTI ..... ALTITUDE IN KM

C HL ....... LOCAL TIME IN HOURS

C ALAT ..... LATITUDE IN DEGREES

C

C OUTPUT

C ROA ...... TOTAL DENSITY (KG/M**3)

C DENSCH.... DENSITY SCALE HEIGHT

C...................................................................

C

IMPLICIT REAL *8 (A-H,O-Z)

REAL*8 K

00210 DIMENSION K (7,4),G(12),H(7),A(8),D(7)

DATA P3,P4,P5,P6,P7/263D0,-263D0,-29.41D0,8.0913D0,10.0813D0/

DATA K/ 2.96815D-15, 2.81456D-14,-1.23300D-14,-1.14892D-17,

1 -3.90065D-16, 7.42439D-15,-3.41594D-16,

2 7.66373D-09,-4.40149D-09, 1.18107D-10,-1.59664D-11,

3 -2.40755D-10, 6.43785D-11, 7.44666D-12,

4 1.65738D-10, 3.34283D-10,-1.47817D-10,-6.46708D-12,

5 -1.39856D-11, 1.36185D-10, 4.54160D-12,

6 3.87086D-11, 9.35229D-11,-1.51755D-12,-2.04955D-12,

7 -3.05949D-12, 3.51700D-11, 2.07975D-12/

DATA

A/0.007D0,0.2875D0,0.04762D0,0.0471D0,2*7D0,0.3333D0,15D0/

00320 DATA CDR/0.01745329252D0/,PI/3.14159265D0/

C

C ................................................................

C

00360 ALAR=ALAT*CDR

160

00370 DPI=2D0*PI

00380 OV=DPI/365D0

00390 OM=DPI/24D0

00400 FX=1D0+A(1)*(EFX-EFBAR)

00410 AK0=1D0+A(3)*(AKP-3D0)

00420 FM=(EFBAR-60D0)/160D0

00430 F0=A(2)+FM

00440 DA=DCOS(ALAR)

C

C ..............................................................

C

00480 G(1)=1D0

00490 G(2)=FM/2D0+A(4)

00500 G(3)=DSIN(OV*(DAY-P3))*DSIN(ALAR)

00510 G(4)=(A(5)*FM+1D0)*DSIN(OV*(DAY-P4))

00520 G(5)=(A(6)*FM+1D0)*DSIN(2D0*(OV*(DAY-P5)))

00530 G(6)=(A(7)*FM+1D0)*DSIN(OM*(HL-P6))*DA

00540 G(7)=(A(8)*FM+1D0)*DSIN(2D0*(OM*(HL-P7)))*DA*DA

C

C ...............................................................

C

90 DO 45 N=1,7

00590 H(N)=0D0

00600 D(N)=0D0

DO 45 J=2,4

00620 AUX=K(N,J)*DEXP((120D0-ALTI)/29D0/(J-1))

00630 D(N)=D(N)+AUX

00640 H(N)=H(N)-AUX/29D0/(J-1)

45 CONTINUE

00660 D(N)=D(N)+K(N,1)

00670 ROA=0D0

00680 DROA=0D0

00690 DO 41 I=1,7

00700 DROA=DROA+H(I)*G(I)

41 ROA=ROA+D(I)*G(I)

00720 DENSCH=-ROA/DROA

00730 ROA=ROA*FX*F0*AK0

C

C ...............................................................

C

00770 RETURN

00780 END

161

APÊNDICE E – Solução de ordem dois devido aos termos seculares das variáveis

angulares l, g e h

Z

4

ord2

=

-

1

4 N

L, G, H

3

N2

L, G, H

3

L

5







-2 O A

2

( ) N

L, G, H

3

N2

L, G, H

3

L

5

- F1

L, G, H



g



l, g, h, 















L

F1

L, G, H















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- E

L, G, H



h



l, g, h















L

E

L, G, H















H

N

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

- E

L, G, H



g



l, g, h















L

E

L, G, H















G

N

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

- F2

L, G, H



h



l, g, h, 















L

F2

L, G, H















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- F1

L, G, H



l



l, g, h,

















L

F1

L, G, H















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- E

L, G, H



l



l, g, h















L

E

L, G, H















L

N

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

- F2

L, G, H



l



l, g, h,

















L

F2

L, G, H















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- F2

L, G, H



g



l, g, h,

















L

F2

L, G, H















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- F1

L, G, H



h



l, g, h,

















L

F1

L, G, H















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+

F1

L, G, H

2



h



l, g, h, 













2



3



L



H

2

C

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+



2



H

2

C

L, G, H













F1

L, G, H



h



l, g, h,















2



L

F1

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

162

+

E

L, G, H

2



g



l, g, h













2



3



L



G

2

C

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h















L

E

L, G, H















g



l, g, h













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+ E

L, G, H









h



l, g, h









2



L



G

C

L, G, H















H

E

L, G, H















g



l, g, h













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+

F2

L, G, H

2



g



l, g, h,















2



3



L



G

2

C

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+

E

L, G, H

2



l



l, g, h













2



3

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L

3

C

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+



2



G

2

C

L, G, H













F1

L, G, H



g



l, g, h,















2



L

F1

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+

F1

L, G, H

2



l



l, g, h,















2



3



L

3

C

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+

E

L, G, H

2



h



l, g, h













2

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3



L



H

2

C

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+

F2

L, G, H

2



l



l, g, h,















2

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3



L

3

C

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ E

L, G, H



h



l, g, h













2



2



L



H

C

L, G, H















H

E

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+



2



H

2

C

L, G, H













F2

L, G, H



h



l, g, h,















2



L

F2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ E

L, G, H



h



l, g, h















2



L

2

C

L, G, H















H

E

L, G, H















l



l, g, h













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+

F2

L, G, H

2



h



l, g, h,















2



3



L



H

2

C

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

163

+

F1

L, G, H

2



g



l, g, h,















2



3



L



G

2

C

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+



2



G

2

C

L, G, H













F2

L, G, H



g



l, g, h,















2



L

F2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+



2



G

2

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













2



L

E

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

- 2

F1

L, G, H

2



l



l, g, h,















2



2



L

2

C

L, G, H















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

5

- 2

E

L, G, H

2



h



l, g, h













2



2



L



H

C

L, G, H















H

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

5

+ 2 F1

L, G, H



l



l, g, h,

















2



L

2

F1

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

- 6

F1

L, G, H

2



h



l, g, h,

















2



l



l, g, h,

















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

+ 6 

2

E

L, G, H



l



l, g, h













2



L

E

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

+ 2



G

F1

L, G, H















L

F1

L, G, H















g



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

- 12

F2

L, G, H

2



l



l, g, h,















2



2

N

L, G, H

3

N2

L, G, H

+ 6



L

F2

L, G, H















2

F2

L, G, H



l



l, g, h,















2

N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

- 6

E

L, G, H

2



h



l, g, h















2



l



l, g, h















H

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

+ 6



G

E

L, G, H















2

E

L, G, H



g



l, g, h















l



l, g, h













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

+ 2



L

F1

L, G, H













2



l



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

164

+ 2



H

F1

L, G, H















L

F1

L, G, H















h



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

+ 6 

2

F1

L, G, H



l



l, g, h,















2



L

F1

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

+ 2



G

F2

L, G, H















L

F2

L, G, H















g



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

+ 2



L

E

L, G, H













2



l



l, g, h













N

L, G, H

2

N2

L, G, H

3

L

5

+ 2



H

F2

L, G, H















L

F2

L, G, H















h



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

+ 2



L

F2

L, G, H













2



l



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

+ 6 F2

L, G, H



h



l, g, h,

















2



H

F2

L, G, H















l



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

+ 3 E

L, G, H



h



l, g, h















2



H

E

L, G, H















l



l, g, h













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

+ 6 F2

L, G, H



g



l, g, h,

















2



G

F2

L, G, H















l



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

- 12

F1

L, G, H

2



l



l, g, h,















2



2

N

L, G, H

3

N2

L, G, H

- 6

F2

L, G, H

2



g



l, g, h,

















2



l



l, g, h,

















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

+ 6 F1

L, G, H



h



l, g, h,

















2



H

F1

L, G, H















l



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

- 6

F1

L, G, H

2



g



l, g, h,

















2



l



l, g, h,

















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

- 6

F2

L, G, H

2



h



l, g, h,

















2



l



l, g, h,

















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

165

- 6

E

L, G, H

2



g



l, g, h















2



l



l, g, h















G

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

+ 2



G

E

L, G, H















L

E

L, G, H















g



l, g, h













N

L, G, H

2

N2

L, G, H

3

L

5

+ 6



G

F1

L, G, H















2

F1

L, G, H



g



l, g, h,

















l



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

- 12

E

L, G, H

2



l



l, g, h













2



2

N

L, G, H

N2

L, G, H

3

+ 2 F2

L, G, H



h



l, g, h,

















2



L



H

F2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

+ 3



2



L

2

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h













2



L

E

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

- 2

E

L, G, H

2



l



l, g, h















2



L



G

C

L, G, H















g



l, g, h















L

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

5

-

2

F1

L, G, H

2



l



l, g, h, 















2



L



H

C

L, G, H















h



l, g, h, 















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

5

+ 2

F1

L, G, H

2



l



l, g, h, 















3



L

2



G

C

L, G, H















g



l, g, h, 













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 2

E

L, G, H

2



l



l, g, h















3



L

2



G

C

L, G, H















g



l, g, h













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+ 2









2



H



G

C

L, G, H







F1

L, G, H



h



l, g, h, 















L

F1

L, G, H















g



l, g, h, 













N

L, G, H

3

N2

L,

G, H

L

5

+ 3



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h















L

E

L, G, H















l



l, g, h













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+ 2



G

E

L, G, H















2



L

2

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h















l



l, g, h













N

L,

G, H

N2

L, G, H

3

L

5

166

- 2

E

L, G, H

2



g



l, g, h













2



2



L



G

C

L, G, H















G

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

5

+ 4









2



L



G

C

L, G, H







E

L, G, H



g



l, g, h















L

E

L, G, H















l



l, g, h













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+ 2 F1

L,

G, H



g



l, g, h,

















2



L

2

C

L, G, H















G

F1

L, G, H















l



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 4



L

F2

L, G, H















2



L



G

C

L, G, H













F2

L, G, H



l



l, g, h,

















g



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- 2

F2

L, G, H

2



h



l, g, h,

















2



L



G

C

L, G, H















g



l, g, h,























H

N2

L, G, H







N

L, G, H

3

L

5

+ 2



G

E

L, G, H















2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h





















h



l, g, h







N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

- 2

F2

L, G, H

2



l



l, g, h,















2



2



L

2

C

L, G, H















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

5

+ 2



G

F2

L, G, H















2



L



G

C

L, G, H













F2

L, G, H



g



l, g, h, 













2

N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 2









H

F1

L, G, H









2



L

2

C

L, G, H













F1

L, G, H



h



l, g, h,

















l



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L,

G, H

L

5

+ 2

F2

L, G, H

2



g



l, g, h,

















3



L



H



G

C

L, G, H















h



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 2 F2

L, G, H



h



l, g, h,

















2



L



G

C

L, G, H















H

F2

L, G, H















g



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- 2

F1

L, G, H

2



g



l, g, h,















2



2



L



G

C

L, G, H















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

5

+ 2 F1

L, G,

167

H



h



l, g, h,

















2



L



G

C

L, G, H















H

F1

L, G, H















g



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- 2

E

L, G, H

2



g



l, g, h















2



L

2

C

L, G, H















l



l, g, h















G

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

5

+

2



G

F1

L, G, H















2



L



H

C

L, G, H













F1

L, G, H



g



l, g, h,

















h



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 2



2



H



G

C

L, G, H













F2

L, G, H



h



l, g, h,

















L

F2

L, G, H





















g



l, g,

h,









N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 2 E

L, G, H



g



l, g, h













2



2



L



G

C

L, G, H















G

E

L, G, H













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+ 2 E

L, G, H



l



l, g, h















2



L

2

E

L, G, H













N

L, G, H

2

N2

L, G, H

3

L

5

- 2

F2

L, G, H

2



h



l, g, h,

















2



L

2

C

L, G, H















l



l, g, h,

















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

5

+ 4



2



L



H

C

L, G, H













F2

L, G, H



h



l, g, h,

















L

F2

L, G, H















l



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 2 E

L, G, H



h



l, g, h















2



L



H

E

L, G, H













N

L, G, H

2

N2

L, G, H

3

L

5

+ 3



L

F2

L, G, H















2



L

2

C

L, G, H













F2

L, G, H



l



l, g, h,















2

N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 2 F2

L, G, H



g



l, g, h,

















2



L



G

F2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

+ 4









L

F1

L, G, H









2



L



G

C

L, G, H













F1

L, G, H



l



l, g, h,

















g



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 2 F2

L, G, H



g



l, g, h,

















2



L



H

C

L, G, H















G

F2

L, G, H















h



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L,

168

G, H

L

5

- 2

F1

L, G, H

2



h



l, g, h,

















2



L

2

C

L, G, H















l



l, g, h,

















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

5

+ 2 F1

L, G, H



g



l, g, h,

















2



L



G

F1

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

- 2

F2

L, G, H

2









l



l, g, h,











2



L



G

C

L, G, H















g



l, g, h,

















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

5

+ 2 F2

L, G, H



l



l, g, h,

















2



L

2

F2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

+ 2 F1

L, G, H



h



l, g, h,

















2



L



H

F1

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

2

L

5

- 2

F2

L, G, H

2



h



l, g, h,















2



2



L



H

C

L, G, H















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

5

+ 2

E

L, G, H

2



g



l, g, h















3



L



H



G

C

L, G, H















h



l, g, h













N

L, G, H

N2

L, G, H

3

L

5

+ 4









L

F1

L, G, H









2



L



H

C

L, G, H













F1

L, G, H



l



l, g, h,

















h



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L,

G, H

L

5

+ 2

F2

L, G, H

2



l



l, g, h,

















3



L

2



G

C

L, G, H















g



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

+ 2

F1

L, G, H

2



g



l, g, h,

















3



L



H



G

C

L, G, H















h



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- 2

F2

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h

,

















2



L

2

C

L

,

G

,

H















l



l

,

g

,

h

,

















G

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

5

- 2

E

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h















2



L



H

C

L

,

G

,

H















h



l

,

g

,

h















G

N

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

L

5

169

+ 2 F2

L, G, H



h



l, g, h,















2



2



L



H

C

L, G, H















H

F2

L, G, H













N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5

- 2

F1

L

,

G

,

H

2



h



l

,

g

,

h

,

















2



L



G

C

L

,

G

,

H















g



l

,

g

,

h

,

















H

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

5

- 2

F2

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h

,

















2



L



H

C

L

,

G

,

H















h



l

,

g

,

h

,

















G

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

5

+ 2

F2

L

,

G

,

H

2



l



l

,

g

,

h

,

















3

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L

2



H

C

L

,

G

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H





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





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h



l

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g

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h

,















N

L

,

G

,

H

3

N2

L

,

G

,

H

L

5

- 2

E

L

,

G

,

H

2

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h



l

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g

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

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

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L

2

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L

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G

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



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l



l

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g

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

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

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H

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L

,

G

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

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L

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G

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3

L

5

- 2

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L

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G

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H

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g

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,

g

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h

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

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2

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L

2

C

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G

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

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l

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g

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G

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G

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G

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H

3

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5

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L

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H

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g

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g

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

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L

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G

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,

G

,

H

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

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

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L

,

G

,

H

2

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L

,

G

,

H

3

L

5

- 2

E

L

,

G

,

H

2

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l



l

,

g

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h

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



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



2

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2

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L

2

C

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,

G

,

H

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



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



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L

N

L

,

G

,

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



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N2

L

,

G

,

H

3

L

5

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L

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G

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H

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g

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g

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G

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G

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G

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

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

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,

G

,

H

3

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5

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,

G

,

H

2

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l



l

,

g

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





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2

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L

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G

C

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G

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



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g



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g

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

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









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L

N2

L

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G

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



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

N

L

,

G

,

H

3

L

5

+ 3

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2

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L

2

C

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,

G

,

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

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,

G

,

H

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l

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l

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g

,

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

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

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



2

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L

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L

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G

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

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

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L

,

G

,

H

3

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L

,

G

,

H

L

5

+ 2

F1

L

,

G

,

H

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h



l

,

g

,

h

,



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









2



2



L



H

C

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,

G

,

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











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H

F1

L

,

G

,

H





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





N

L

,

G

,

H

3

N2

L

,

G

,

H

L

5

+ 2

E

L

,

G

,

H

2

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l



l

,

g

,

h





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

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

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3

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L

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H

C

L

,

G

,

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











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h



l

,

g

,

h













N

L

,

G

,

H

N2

L

,

G

,

H

3

L

5

+ 2

F2

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,

170

G

,

H

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g



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,

g

,

h

,



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





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

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2

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L

2

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G

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

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





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G

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G

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



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l



l

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g

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

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

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

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L

,

G

,

H

3

N2

L

,

G

,

H

L

5

+ 2 F2

L, G, H

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h



l, g, h, 









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

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2

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L

2

C

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







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H

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L, G, H









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

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l



l, g, h, 







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



N

L, G, H

3

N2

L

,

G

,

H

L

5

- 2

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L

,

G

,

H

2

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l



l

,

g

,

h

,











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

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2

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L

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H

C

L

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G

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H













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h



l

,

g

,

h

,





















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L

N2

L

,

G

,

H







N

L

,

G

,

H

3

L

5

- 2

E

L, G, H

2

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h



l, g, h





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

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



2



L



G

C

L, G, H

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











g



l, g, h















H

N

L, G, H







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



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L, G, H

3

L

5

+ 2

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G

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L

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G

,

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

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

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

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2

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L



G

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L

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G

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









F1

L

,

G

,

H

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g



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,

g

,

h

,















2

N

L

,

G

,

H

3

N2

L

,

G

,

H

L

5

- 2

F1

L

,

G

,

H

2

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h



l

,

g

,

h

,









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



2



2

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L



H

C

L

,

G

,

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



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





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H

N2

L

,

G

,

H





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

N

L

,

G

,

H

3

L

5

- 2

E

L, G, H

2

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l

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l, g, h







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





2

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L



H

C

L, G, H

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











h



l, g, h















L

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

5

-

2

F1

L, G, H

2



g



l, g, h,

















2



L



H

C

L, G, H















h



l, g, h,

















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

5

+ 2

F1

L, G, H

2



l



l, g, h,

















3



L

2



H

C

L, G, H















h



l, g, h,















N

L, G, H

3

N2

L, G, H

L

5







+

1

4

N

L

,

G

,

H

2

L

4







6





b

L



2

E

L

,

G

,

H

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l



l

,

g

,

h













2

+ 2





b

G



L

E

L

,

G

,

H













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g



l

,

g

,

h













N

L

,

G

,

H

L

4

-



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E

L

,

G

,

H

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l



l

,

g

,

h













b

L



L

N

L

,

G

,

H













L

4

+ 2





E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h





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







L

b

L













N

L

,

G

,

H

L

4

171

+ 3





b

G



2

E

L

,

G

,

H

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g



l

,

g

,

h





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







l



l

,

g

,

h













+ 4







L

E

L

,

G

,

H













b

L



l



l

,

g

,

h













N

L

,

G

,

H

L

4

-



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E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h













b

L



H

N

L

,

G

,

H













L

4

+ 2







H

E

L

,

G

,

H













b

L



h



l

,

g

,

h













N

L

,

G

,

H

L

4

-





E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h













b

L



G

N

L

,

G

,

H













L

4

+ 2







G

E

L

,

G

,

H













b

L



g



l

,

g

,

h













N

L

,

G

,

H

L

4

+





b

G



2



L



G

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h













2

L

4

+ 2





b

L



2



L

2

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h













2

L

4

+  

b

G



2



L



H

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h















h



l

,

g

,

h













L

4

+  

b

G



2



L

2

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h















l



l

,

g

,

h













L

4

+ 3  

b

L



2



L



G

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h















g



l

,

g

,

h













L

4

+ 3





b

L



2



L



H

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h















h



l

,

g

,

h













L

4

+ 2  



2



H



G

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h













b

L



g



l

,

g

,

h













L

4

+







2



H

2

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h













2

b

L

4

172

+ 





2



G

2

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h













2

b

L

4

+

2

O



2

( )

N

L

,

G

,

H

2

L

4







Z

5

ord2

=

1

4 N2

L, G, H

3

N

L, G, H

3

L

4







2 O A

2

( ) N2

L, G, H

3

N

L, G, H

3

L

4

+

2 O 

2

( )

N2

L, G, H

3

N

L, G, H

3

L

4

-



2



L

2

C

L

,

G

,

H













F2

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h

,















2



G

F2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

-

E

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h













2



3



G

3

C

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

+



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H





2



L

2

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h













2

b

G

L

4

-

E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h













2



2



H



G

C

L

,

G

,

H















H

E

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

+



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H





2



H

2

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h













2

b

G

L

4

-

F1

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h

,















2



3



G

3

C

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

-



2



H

2

C

L

,

G

,

H













F1

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h

,















2



G

F1

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

-



2



H

2

C

L

,

G

,

H













F2

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h

,















2



G

F2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

-

F2

L

,

G

,

H

2



h



l

,

g

,

h

,















2



3



H

2



G

C

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

-

E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h















2



G

2

C

L

,

G

,

H















H

E

L

,

G

,

H















g



l

,

g

,

h













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

173

L

4

-

E

L

,

G

,

H

2



l



l

,

g

,

h













2



3



L

2



G

C

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

-



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H



E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h













b

G



G

N

L

,

G

,

H













L

4

-



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H



E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h













b

G



L

N

L

,

G

,

H













L

4

-



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H



E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h













b

G



H

N

L

,

G

,

H













L

4

+ F2

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h

,

















G

F2

L

,

G

,

H















H

N2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ F2

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h

,

















G

F2

L

,

G

,

H















L

N2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+

E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h















G

E

L

,

G

,

H















H

N

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

+ F1

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h

,

















G

F1

L

,

G

,

H















H

N2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ F1

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h

,

















G

F1

L

,

G

,

H















L

N2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+

E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h















G

E

L

,

G

,

H















L

N

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

+ E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h















G

E

L

,

G

,

H















G

N

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

+

F1

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h

,

















G

F1

L

,

G

,

H















G

N2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ F2

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h

,

















G

F2

L

,

G

,

H















G

N2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 

N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H



b

L



2



G

2

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h















g



l

,

g

,

h













L

4

174

-

F1

L

,

G

,

H

2



h



l

,

g

,

h

,















2



3



H

2



G

C

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- E

L

,

G

,

H









h



l

,

g

,

h









2



L



G

C

L

,

G

,

H















H

E

L

,

G

,

H















l



l

,

g

,

h













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

-



2



L

2

C

L

,

G

,

H













F1

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h

,















2



G

F1

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

-



2



L

2

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h













2



G

E

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

+ 

N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H



b

L



2



H



G

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h















h



l

,

g

,

h













L

4

+



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H



b

L



2



L



G

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h













2

L

4

-

F2

L

,

G

,

H

2



l



l

,

g

,

h

,















2



3



L

2



G

C

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

-

E

L

,

G

,

H

2



h



l

,

g

,

h













2



3



H

2



G

C

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

-

F1

L

,

G

,

H

2



l



l

,

g

,

h

,















2



3



L

2



G

C

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

-

F2

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h

,















2



3



G

3

C

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

-



2



L



H

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h















G

E

L

,

G

,

H















l



l

,

g

,

h













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

- 2

E

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h















2



H



G

E

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

2

L

4

- 4



2



L



G

C

L

,

G

,

H













F1

L, G, H



g



l, g, h, 















G

F1

L, G, H















l



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2 F1

L, G, H







175



h



l

,

g

,

h

,











2



L



G

C

L

,

G

,

H













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H

F1

L

,

G

,

H















l



l

,

g

,

h

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













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

F1

L

,

G

,

H

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h



l

,

g

,

h

,















2



2



H



G

C

L

,

G

,

H















H

F1

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h













2



2



L



G

C

L

,

G

,

H















L

E

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

- 2

F2

L

,

G

,

H

2

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l



l

,

g

,

h

,

















3



L



G

2

C

L

,

G

,

H















g



l

,

g

,

h

,















N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2

F1

L

,

G

,

H

2



l



l

,

g

,

h

,















2



2



L



G

C

L

,

G

,

H















L

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 3



G

F2

L

,

G

,

H















2



G

2

C

L

,

G

,

H













F2

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h

,















2

N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

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H

F2

L

,

G

,

H















2



H



G

C

L

,

G

,

H













F2

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h

,















2

N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2

E

L

,

G

,

H

2



h



l

,

g

,

h















2

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L



G

C

L

,

G

,

H















l



l

,

g

,

h















H

N

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

F2

L

,

G

,

H

2

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l



l

,

g

,

h

,

















3



L



H



G

C

L

,

G

,

H















h



l

,

g

,

h

,















N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H





2



G

2

C

L

,

G

,

H





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





E

L

,

G

,

H

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g



l

,

g

,

h









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

2

b

G

L

4

+ 3 

N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H



b

G



2



H



G

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h















h



l

,

g

,

h













L

4

+ 2

E

L, G, H

2



g



l, g, h















2



H



G

C

L, G, H















h



l, g, h















G

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

-

2

E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h















2



G

2

C

L

,

G

,

H















L

E

L

,

G

,

H















g



l

,

g

,

h













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

176

L

4

- 2

F2

L, G, H

2



g



l, g, h,

















3



H



G

2

C

L, G, H















h



l, g, h,















N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F1

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h

,

















2



H



G

F1

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

2

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2

E

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h













2



2



G

2

C

L

,

G

,

H















G

N

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

E

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h















3



H



G

2

C

L

,

G

,

H















h



l

,

g

,

h













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

- 2

F1

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h

,

















2



G

2

F1

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

2

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h















2



L



G

E

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

2

L

4

- 2

E

L

,

G

,

H

2



l



l

,

g

,

h















3



L



H



G

C

L

,

G

,

H















h



l

,

g

,

h













N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

- 2









2



L



H

C

L

,

G

,

H







F1

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h

,

















G

F1

L

,

G

,

H















l



l

,

g

,

h

,















N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 4



G

F2

L

,

G

,

H















2



L



G

C

L

,

G

,

H













F2

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h

,























g



l

,

g

,

h

,









N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2



2



L



H

C

L, G, H













F2

L, G, H



h



l, g, h,

















G

F2

L, G, H





















l



l

,

g

,

h

,









N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2



H

F2

L

,

G

,

H















2



G

2

C

L

,

G

,

H













F2

L

,

G

,

H









h



l

,

g

,

h

,











g



l

,

g

,

h

,















N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 3



2



G

2

C

L

,

G

,

H













F1

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h

,















2



G

F1

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2

F1

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h

,















2



2



G

2

C

L

,

G

,

H















G

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

4

177

+ 2

F2

L

,

G

,

H

2



g



l

,

g

,

h

,















2



2



G

2

C

L

,

G

,

H















G

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2

F2

L

,

G

,

H

2



h



l

,

g

,

h

,















2



2



H



G

C

L

,

G

,

H















H

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

F2

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h

,

















2



L



G

F2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

2

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 3



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H





2

E

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h













2

b

G

+ 2



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

2



E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h















G

b

G













L

4

+ 4



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

2



b

G



G

E

L

,

G

,

H















g



l

,

g

,

h













L

4

+ 2



N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

2



b

L



G

E

L

,

G

,

H













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l

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l

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g

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h

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

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

L

4

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

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L

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G

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H

3

N

L

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G

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H

2

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H

E

L

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G

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H





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

b

G



h

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g

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h



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



L

4

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

N2

L

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G

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H

3

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L

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G

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H

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L

E

L

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G

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b

G

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l

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g

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L

4

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E

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G

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H

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g

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2

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G

E

L

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G

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H

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L

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G

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3

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G

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H

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G

F2

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G

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

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g

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g

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h

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

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

N2

L

,

G

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H

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N

L

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G

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H

3

L

4

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2

F1

L

,

G

,

H

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l



l

,

g

,

h

,



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









2

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G

F1

L

,

G

,

H





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

N2

L

,

G

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H

N

L

,

G

,

H

3

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L

E

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G

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

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G

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L

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G

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

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l

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l

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g

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

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L

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G

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G

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H

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L

4

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G

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G

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

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g

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l

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g

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

N2

L

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G

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H

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L

,

G

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H

3

L

4

178

- 2

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G

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L

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G

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g

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g

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

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L

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G

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H

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G

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H

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L

4

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F2

L

,

G

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H

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l

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g

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

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

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



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G

F2

L

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G

,

H







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

N2

L

,

G

,

H

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L

,

G

,

H

3

- 2

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L

F1

L

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G

,

H

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



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G

F1

L

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G

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H

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

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l

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l

,

g

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h

,















N2

L

,

G

,

H

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N

L

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G

,

H

3

L

4

- 2

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H

F1

L

,

G

,

H

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









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G

F1

L

,

G

,

H







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



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h



l

,

g

,

h

,





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



N2

L

,

G

,

H

2

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

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H

F2

L

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G

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H

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

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



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G

F2

L

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G

,

H

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

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h

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,

g

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h

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

N2

L

,

G

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H

2

N

L

,

G

,

H

3

L

4

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

N2

L

,

G

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H

3

N

L

,

G

,

H



b

G

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2

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L



G

C

L

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G

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H

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L

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G

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H

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

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g

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g

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L

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G

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H

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l

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

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L

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G

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C

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G

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g

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g

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L

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G

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L

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G

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H

L

4

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F1

L

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G

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H

2

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g

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g

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h

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

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2

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L

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G

C

L

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G

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

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l

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l

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g

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

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



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G

N2

L

,

G

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H

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

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



N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 3

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2

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H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h





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







G

E

L, G, H







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



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g

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l, g, h





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



N2

L, G, H

3

N

L

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G

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H

L

4

+ 2

E

L, G, H

2

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g

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l, g, h







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





2



L



G

C

L, G, H



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

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



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l

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l, g, h















G

N

L, G, H









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

N2

L, G, H

3

L

4

- 2

F1

L, G, H

2



l



l, g, h,



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





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3



L



G

2

C

L, G, H













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g



l, g, h,









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



N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 4







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G

F2

L

,

G

,

H









2

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H



G

C

L

,

G

,

H













F2

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h

,















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h



l

,

g

,

h

,



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









N2

L

,

G

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H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2

F2

L, G, H

2



l



l, g, h,















2

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2



L



G

C

L, G, H















L

N2

L, G, H









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

N

L, G, H

3

L

4

179

- 2

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L

F1

L

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G

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H

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

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2

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L

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G

C

L

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G

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H

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

F1

L

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G

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H

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l

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l

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g

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h

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

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

2

N2

L

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G

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H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2

E

L, G, H

2

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l

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l, g, h







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

2



2



L



G

C

L, G, H















L

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

+ 2

F2

L, G, H

2









g



l

,

g

,

h

,









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2



L



G

C

L

,

G

,

H













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l



l

,

g

,

h

,



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











G

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2

F1

L

,

G

,

H

2

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g



l

,

g

,

h

,

















2



H



G

C

L

,

G

,

H















h



l

,

g

,

h

,

















G

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2

F2

L

,

G

,

H

2



l



l

,

g

,

h

,

















2



H



G

C

L

,

G

,

H















h



l

,

g

,

h

,

















L

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

F2

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h

,

















2



G

2

C

L

,

G

,

H















L

F2

L

,

G

,

H















g



l

,

g

,

h

,















N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2



L

E

L, G, H















2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h





















h



l,

g

,

h







N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

- 2 F2

L

,

G

,

H



h



l

,

g

,

h

,

















2



H



G

F2

L

,

G

,

H













N2

L

,

G

,

H

2

N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 3



G

E

L

,

G

,

H















2



G

2

C

L

,

G

,

H













E

L

,

G

,

H



g



l

,

g

,

h













2

N2

L

,

G

,

H

3

N

L

,

G

,

H

L

4

+ 2

F1

L

,

G

,

H

2



h



l

,

g

,

h

,

















2



G

2

C

L

,

G

,

H















g



l

,

g

,

h

,

















H

N2

L

,

G

,

H













N

L

,

G

,

H

3

L

4

- 2

F1

L

,

G

,

H



l



l

,

g

,

h

,

















2



G

2

C

L

,

G

,

H















L

F1

L

,

G

,

H















g



l

,

g

,

h

,















N2

L

,

G

,

H

N

L

,

G

,

H

3

L

4

+ 2

E

L, G, H

2



h



l, g, h















2



G

2

C

L, G, H















g



l, g, h















H

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

180

- 2



L

F2

L, G, H















G

F2

L, G, H















l



l, g, h,















N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

+ 2

E

L, G, H

2



h



l, g, h













2



2



H



G

C

L, G, H















H

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

+ 2

F2

L, G, H

2



h



l, g, h,

















2



G

2

C

L, G, H















g



l, g, h,

















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

+ 2

F1

L, G, H

2



l



l, g, h,

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G

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L, G, H

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g

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L, G, H

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L, G, H

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g

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G

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G

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L, G, H

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L, G, H

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G

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L, G, H

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L, G, H

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L, G, H

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l

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L

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G

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L

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G

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L,

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H

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G

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L, G, H

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g

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G

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L, G, H

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L, G, H

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G

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g

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L, G, H

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2

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g

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

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2

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L

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G

C

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l

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H

N2

L, G, H

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L

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2

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G

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L, G, H

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g

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L, G, H

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L, G, H

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L, G, H

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

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G

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L

4

- 2

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L, G, H

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l

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

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L

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G

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

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L, G, H

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L, G, H

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L

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-

2 F1

L, G, H

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2

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H

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G

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L, G, H

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G

C

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L

N

L, G, H

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L, G, H

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L

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182

+

2

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L, G, H

2

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l

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l, g, h













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G

2

C

L, G, H

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



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



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g

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l, g, h

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

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



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L

N

L, G, H







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

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L, G, H

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L

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

Z

6

ord2

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-

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L, G, H

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N

L, G, H

3

L

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

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

-2 O A

2

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L, G, H

3

N

L, G, H

3

L

4

+

E

L, G, H

2

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l



l, g, h







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

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2

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3

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L

2



H

C

L, G, H







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



N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+

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2



L

2

C

L, G, H













E

L, G, H

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l



l, g, h













2



H

E

L, G, H













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+



2



G

2

C

L, G, H







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



F1

L, G, H

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g

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l, g, h,









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



2

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H

F1

L, G, H

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



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



N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ E

L, G, H



h



l, g, h













2



2



H

2

C

L, G, H















H

E

L, G, H













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L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+

F2

L, G, H

2



h



l, g, h,















2



3

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H

3

C

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+

F1

L, G, H

2



g



l, g, h,









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



2



3

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H

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G

2

C

L, G, H







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



N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+

F2

L, G, H

2

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g



l, g, h,









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

2

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3

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H

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G

2

C

L, G, H







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

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L, G, H

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L, G, H

3

L

4

- F2

L, G, H

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g

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l, g, h,

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

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

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H

F2

L, G, H

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

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

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G

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L, G, H

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

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L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- F1

L, G, H

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h

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



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









H

F1

L, G, H

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



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

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H

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L, G, H





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

N2

L, G, H

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L, G, H

3

L

4

183

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L, G, H

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h



l, g, h













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H

E

L, G, H







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



H

N

L, G, H







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



N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

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L, G, H

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l

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l, g, h,



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





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

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H

F1

L, G, H

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

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L

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L, G, H

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L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- F2

L, G, H

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l

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l, g, h,

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



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H

F2

L, G, H

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L

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L, G, H

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

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L, G, H

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3

L

4

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l

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H

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L

N

L, G, H

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L, G, H

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N

L, G, H

L

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L, G, H

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g

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l, g, h

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H

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L, G, H

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

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G

N

L, G, H

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

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

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L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

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L, G, H

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h

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



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H

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H

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

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L, G, H

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L

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g

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G

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L, G, H

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L, G, H

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3

L

4

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L, G, H

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g

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G

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L, G, H

3

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L, G, H

L

4

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2

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L, G, H

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F1

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l

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

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







2



H

F1

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+



2



L

2

C

L, G, H













F2

L, G, H



l



l, g, h,















2



H

F2

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+

F2

L, G, H

2



l



l, g, h,















2



3



L

2



H

C

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+

F1

L, G, H

2



h



l, g, h,















2



3



H

3

C

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+

F1

L, G, H

2



l



l, g, h,















2



3



L

2



H

C

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+



2



G

2

C

L, G, H













F2

L, G, H



g



l, g, h,















2



H

F2

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

184

+

E

L, G, H

2



h



l, g, h













2



3



H

3

C

L, G, H













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+



2



G

2

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













2



H

E

L, G, H













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+ 2 F2

L, G, H



h



l, g, h,

















2



H

2

F2

L, G, H













N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F2

L, G, H

2



l



l, g, h,















2



2



L



H

C

L, G, H















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

- 2

E

L, G, H

2



g



l, g, h















2



H

2

C

L, G, H















h



l, g, h















G

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

- 2

E

L, G, H

2



h



l, g, h















2



H



G

C

L, G, H















g



l, g, h















H

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

- 2

E

L, G, H

2



h



l, g, h













2



2



H

2

C

L, G, H















H

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

+ 2

F2

L, G, H

2



l



l, g, h, 















3



L



H



G

C

L, G, H















g



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 3



H

F2

L, G, H















2



H

2

C

L, G, H













F2

L, G, H



h



l, g, h,















2

N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2

F1

L, G, H

2



l



l, g, h, 















3



L



H

2

C

L, G, H















h



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

E

L, G, H

2



l



l, g, h















2



H

2

C

L, G, H















h



l, g, h















L

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

+ 4









2



H



G

C

L, G, H







F2

L, G, H



h



l, g, h,

















H

F2

L, G, H















g



l, g, h,















N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F1

L, G, H

2



g



l, g, h, 













2



2



H



G

C

L, G, H















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

+ 2

F1

L, G, H

2



g



l, g, h, 















3



H

2



G

C

L, G, H















h



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

185

+ 2 F1

L, G, H



l



l, g, h,















2



2



L



H

C

L, G, H















L

F1

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2 E

L, G, H



g



l, g, h













2



2



H



G

C

L, G, H















G

E

L, G, H













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

- 2

F1

L, G, H

2



l



l, g, h, 















2



H



G

C

L, G, H















g



l, g, h, 















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

+ 2 F1

L, G, H



g



l, g, h, 















2



H

2

C

L, G, H















G

F1

L, G, H















h



l, g, h, 













N2

L, G,

H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h















H

E

L, G, H















l



l, g, h













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

- 2

F1

L, G, H

2



h



l, g, h, 















2



L



H

C

L, G, H















l



l, g, h, 





















H

N2

L, G, H







N

L, G, H

3

L

4

+ 2



L

E

L, G, H















2



H

2

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h





















h



l, g, h







N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

- 2

F2

L, G, H

2



h



l, g, h, 















2



H



G

C

L, G, H





















g



l, g, h,











H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

+ 3



H

F1

L, G, H















2



H

2

C

L, G, H













F1

L, G, H



h



l, g, h,















2

N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2



L

E

L, G, H















2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h













2

N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+ 2 F2

L, G, H



g



l, g, h,

















2



H



G

F2

L, G, H













N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

+ 2 E

L, G, H



l



l, g, h















2



L



H

E

L, G, H













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

2

L

4

+ 2



H

F2

L, G, H













2



h



l, g, h,















N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

186

+ 2



G

F2

L, G, H















H

F2

L, G, H















g



l, g, h,















N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

+ 2



L

F2

L, G, H















H

F2

L, G, H















l



l, g, h,















N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

+ 2



L

F1

L, G, H















H

F1

L, G, H















l



l, g, h,















N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

+ 3 

2

F1

L, G, H



l



l, g, h,















2



H

F1

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

+ 2



G

F1

L, G, H















H

F1

L, G, H















g



l, g, h,















N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

+ 2



L

E

L, G, H















H

E

L, G, H















l



l, g, h













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

2

L

4

+ 2



H

F1

L, G, H













2



h



l, g, h,















N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

+ 2



G

E

L, G, H















H

E

L, G, H















g



l, g, h













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

2

L

4

+ 3 

2

F2

L, G, H



l



l, g, h,















2



H

F2

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

- 2

E

L, G, H

2



g



l, g, h













2



2



H



G

C

L, G, H







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





G

N

L, G, H

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

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



N2

L, G, H

3

L

4

+ 3 

2

E

L, G, H

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l



l, g, h













2

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H

E

L, G, H













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

+ 2 E

L, G, H



g



l, g, h



















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2

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H

2

C

L, G, H

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



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G

E

L, G, H

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



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



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h



l, g, h





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

N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+ 2

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2

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L

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G

C

L, G, H













F1

L, G, H

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g



l, g, h,

















H

F1

L, G, H



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









l



l, g, h,









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



N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2 F2

L, G, H



g



l, g, h,















2



2



H



G

C

L, G, H















G

F2

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

187

F1

L, G, H

2



g

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l, g, h, 















2

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L

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H

C

L, G, H















l



l, g, h, 















G

N2

L, G, H







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



N

L, G, H

3

L

4

+ 2

F1

L, G, H

2

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l



l, g, h,

















3



L

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H



G

C

L, G, H







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





g



l, g, h,















N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2

E

L, G, H

2

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g



l, g, h

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

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





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3

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H

2



G

C

L, G, H







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



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h



l, g, h



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



N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+ 2 F2

L, G, H



l



l, g, h,





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

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



2

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2

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L

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H

C

L, G, H



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

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L

F2

L, G, H













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F1

L, G, H

2

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l

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l, g, h, 















2

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H

2

C

L, G, H







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



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h



l, g, h, 







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



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L

N2

L, G, H

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

N

L, G, H

3

L

4

+ 2

E

L, G, H

2

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l

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l, g, h















3

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L



H

2

C

L, G, H















h



l, g, h













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+ 2 E

L, G, H



g



l, g, h













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2

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H



G

E

L, G, H













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

2

L

4

+ 2







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2



L



G

C

L, G, H







F2

L, G, H



g



l, g, h,

















H

F2

L, G, H







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

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l



l, g, h,















N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F1

L, G, H

2

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g

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

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2

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H

2

C

L, G, H



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

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

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h



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





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

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G

N2

L, G, H

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N

L, G, H

3

L

4

+ 2

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G

F1

L, G, H

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

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

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2

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H

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G

C

L, G, H





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



F1

L, G, H

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g



l, g, h, 







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



2

N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+

2

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2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h















H

E

L, G, H















g



l, g, h













N2

L, G, H

3

N

L, G,

H

L

4

+ 2

F2

L, G, H

2



g



l, g, h, 















3



H

2



G

C

L, G, H















h



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

-

2

F2

L, G, H

2



h



l, g, h, 















2

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L



H

C

L, G, H













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l



l, g, h, 















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

188

L

4

+ 2 E

L, G, H



h



l, g, h













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2

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H

2

E

L, G, H













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

2

L

4

+ 4



H

F2

L, G, H





















2

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L



H

C

L, G, H







F2

L, G, H

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l



l, g, h, 















h



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2









G

E

L, G, H









2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h















g



l, g, h













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+ 4









H

F1

L, G, H









2



L



H

C

L, G, H













F1

L, G, H

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l



l, g, h,

















h



l, g, h,















N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F1

L, G, H

2



h



l, g, h, 













2



2



H

2

C

L, G, H















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

+ 2

E

L, G, H

2



l



l, g, h















3



L



H



G

C

L, G, H















g



l, g, h













N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+ 2

F1

L, G, H



g



l, g, h, 















2



L



H

C

L, G, H















G

F1

L, G, H















l



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2



G

F2

L, G, H















2



H

2

C

L, G, H













F2

L, G, H



g



l, g, h, 





















h



l, g, h, 







N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2 E

L, G, H



l



l, g, h















2



H



G

C

L, G, H















L

E

L, G, H





















g



l, g, h







N2

L, G, H

3

N

L, G, H

L

4

+ 2 F2

L, G, H



l



l, g, h, 















2



L



H

F2

L, G, H













N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

+ 2



L

F1

L, G, H





















2



H

2

C

L, G, H







F1

L, G, H



l



l, g, h, 















h



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F2

L, G, H

2



l



l, g, h, 















2



H



G

C

L, G, H















g



l, g, h, 















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

+ 2 F2

L, G, H



l



l, g, h, 















2



H

2

C

L, G, H















L

F2

L, G, H















h



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

189

- 2

E

L, G, H

2



l



l, g, h















2



H



G

C

L, G, H















g



l, g, h















L

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

+ 2 F1

L, G, H



l



l, g, h, 















2



L



H

F1

L, G, H













N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F2

L, G, H

2



g



l, g, h, 













2



2



H



G

C

L, G, H















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

- 2

F2

L, G, H

2



l



l, g, h, 















2



H

2

C

L, G, H















h



l, g, h, 















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

- 2

F2

L, G, H

2



h



l, g, h, 













2



2



H

2

C

L, G, H















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

- 2

F1

L, G, H

2



h



l, g, h, 















2



H



G

C

L, G, H















g



l, g, h, 















H

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

+ 4



2



H



G

C

L, G, H













F1

L, G, H



h



l, g, h, 















H

F1

L, G, H















g



l, g, h, 













N2

L,

G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2 F1

L, G, H



g



l, g, h, 















2



H



G

F1

L, G, H













N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

- 2

E

L, G, H

2



g



l, g, h















2



L



H

C

L, G, H















l



l, g, h















G

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

+

2 F1

L, G, H



l



l, g, h, 















2



H



G

C

L, G, H















L

F1

L, G, H















g



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

E

L, G, H

2



h



l, g, h















2



L



H

C

L, G, H















l



l, g, h















H

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

+

2



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h















H

E

L, G, H















l



l, g, h













N2

L, G, H

3

N

L, G,

H

L

4

- 2

E

L, G, H

2



l



l, g, h













2



2



L



H

C

L, G, H















L

N

L, G, H













N2

L, G, H

3

L

4

190

+ 2

F2

L, G, H

2



l



l, g, h, 















3



L



H

2

C

L, G, H















h



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F2

L, G, H

2



g



l, g, h, 















2



H

2

C

L, G, H















h



l, g, h, 















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

+ 2 F1

L, G, H



h



l, g, h, 















2



H

2

F1

L, G, H













N2

L, G, H

2

N

L, G, H

3

L

4

+ 2 F2

L, G, H









g



l, g, h,











2



L



H

C

L, G, H















G

F2

L, G, H















l



l, g, h,















N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

+ 2









L

F2

L, G, H









2



H



G

C

L, G, H













F2

L, G, H



l



l, g, h, 















g



l, g, h, 













N2

L, G, H

N

L, G, H

3

L

4

- 2

F1

L, G, H

2



l



l, g, h, 













2



2



L



H

C

L, G, H















L

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4

-

2

F2

L, G, H

2



g



l, g, h, 















2



L



H

C

L, G, H















l



l, g, h, 















G

N2

L, G, H













N

L, G, H

3

L

4







+

1

4 N

L, G, H

2

L

4







-





E

L, G, H



l



l, g, h













b

H



L

N

L, G, H













L

4

+ 2







L

E

L, G, H













b

H



l



l, g, h













N

L, G, H

L

4

+ 2







H

E

L, G, H













b

H



h



l, g, h













N

L, G, H

L

4

+ 2





E

L, G, H



h



l, g, h















H

b

H













N

L, G, H

L

4

- 



E

L, G, H



h



l, g, h













b

H



H

N

L, G, H













L

4

+ 3







2

E

L, G, H



l



l, g, h













2

b

H

+ 2





b

L



H

E

L, G, H















l



l, g, h













N

L, G, H

L

4

+ 2







G

E

L, G, H













b

H



g



l, g, h













N

L, G, H

L

4

191

+ 2





b

G



H

E

L, G, H















g



l, g, h













N

L, G, H

L

4

-





E

L, G, H



g



l, g, h













b

H



G

N

L, G, H













L

4

+







2



G

2

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













2

b

H

L

4

+ 2  



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













b

H



l



l, g, h













L

4

+







2



L

2

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h













2

b

H

L

4

+





b

G



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













2

L

4

+ 2  



2



L



G

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h













b

H



l



l, g, h













L

4

+ 2  



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













b

H



g



l, g, h













L

4

+





b

G



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h















g



l, g, h













L

4

+   b

L



2



H

2

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h















h



l, g, h













L

4

+   b

G



2



H

2

C

L, G, H













E

L, G, H



g



l, g, h















h



l, g, h













L

4

+





b

L



2



L



H

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h













2

L

4

+







2



H

2

C

L, G, H













E

L, G, H



h



l, g, h













2

b

H

L

4

+   b

L



2



H



G

C

L, G, H













E

L, G, H



l



l, g, h















g



l, g, h













L

4

+

2 O 

2

( )

N

L, G, H

2

L

4

192







193

APÊNDICE F- Funções geratrizes

)1(

6

)1(

5

)1(

4

e , TTT

T

4

=

1

n

l







-

4

J

2

a

e

2

3

2 L

7

-

9 H

2

2 L

7

G

2













3 e +

27

8

e

3













sin l( )

-

2



A

e

- a

( )

L e + -1 +



2

a

2

8













e

3













cos l( )

a e

2

G

+







3 

2

L

4

+



4

J

2

a

e

2

-

3

L

5

G

3

+

9 H

2

L

5

G

5













+

3

8



6

J

4

a

e

4

3

8 G

7

-

15 H

2

4 G

9

+

35 H

4

8 G

11













45

L

7

G

5

-

30

L

5

G

7



























4

J

2

a

e

2

-

1

4

+

3 H

2

4 G

2













3 e +

27

8

e

3













sin l( )

L

6

n

1

+

 A

e

-



a( )

3 +



a( ) e +

3

4

+

3

2



a

+

7

8



2

a

2

+

1

8



3

a

3













e

3













cos l( )

n

1







+

1

L n

1















4

J

2

a

e

2







-

9

4 L

4

G

4

+

45 H

2

4 L

4

G

6







+

3

8



6

J

4

a

e

4

-

21

8 G

8

+

135 H

2

4 G

10

-

385 H

4

8 G

12













-

15

2 L

6

G

5

+

15

2 L

4

G

7













+

3

8



6

J

4

a

e

4

3

8 G

7

-

15 H

2

4 G

9

+

35 H

4

8 G

11













75

2 L

6

G

6

-

105

2 L

4

G

8



















 A

e

-



a

( )

G







1 +



a( ) e

+

-

1

4

-

1

2



a

+

1

8



2

a

2

+

1

8



3

a

3













e

3







cos l( )







+

1

L n

1













-

9

2



4

J

2

a

e

2

H

L

4

G

5

+

3

8



6

J

4

a

e

4

-

15 H

2 G

9

+

35 H

3

2 G

11













-

15

2 L

6

G

5

+

15

2 L

4

G

7













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

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