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LUIZ EDUARDO NICOLINI DO PATROCÍNIO NUNES
GERAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE UM
MANIPULADOR ROBÓTICO UTILIZANDO ALGORITMOS
GENÉTICOS
Tese apresentada à Faculdade de Engenharia
do Campus de Guaratinguetá, Universidade
Estadual Paulista, para a obtenção do título
de Doutor em Engenharia Mecânica na área
de Projetos e Materiais.
Orientador: Prof. Dr. Victor Orlando Gamarra Rosado
Co-orientador: Prof. Dr. Francisco José Grandinetti
Guaratinguetá
2007
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Livros Grátis
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Milhares de livros grátis para download.
N972g
Nunes, Luiz Eduardo Nicolini do Patrocínio
Geração e otimização de trajetórias de um manipulador
robótico utilizando algoritmos genéticos / Luiz Eduardo N. do
P. Nunes.- Guaratinguetá : [s.n.], 2007
135 f.: il.
Bibliografia: f. 106-114
Inclui apêndice
Tese (Doutorado) – Universidade Estadual Paulista,
Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2007
Orientador: Prof. Dr. Victor Orlando Gamarra Rosado
Co-orientador: Prof. Dr. Francisco José Grandinetti
1. Robótica - manipulador I. Título
CDU 007.52
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DADOS CURRICULARES
LUIZ EDUARDO NICOLINI DO PATROCÍNIO NUNES
NASCIMENTO
16.01.1962 – TAUBATÉ / SP
FILIAÇÃO
Helly Ferrari do Patrocínio Nunes
Myrthes Nicolini do Patrocínio Nunes
1982 - 1984
Graduação em Tecnólogo Em Processamento de Dados
Universidade de Taubaté - UNITAU
1994 - 1995
Curso de Pós-Graduação em Computação Avançada, nível de
Especialização, na Universidade de Taubaté
1997 - 1999
Graduação em Bacharelado Em Computação
Universidade de Taubaté - UNITAU
1997 - 2000
Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, nível de
Mestrado, na Universidade de Taubaté
2002-2007
Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, nível de
Doutorado na Faculdade de Engenharia do Campus de
Guaratinguetá da UNESP
PRODUÇÃO CIENTÍFICA NOS ÚLTIMOS 5 ANOS
NUNES, L. E. N. P., GAMARRA ROSADO, V. O. Uma Introdução aos Algoritmos
Genéticos e sua Aplicação em Otimização de Funções. Jornada de Iniciação
Científica e de Pós-graduação da FEG – UNESP, Guaratinguetá, SP, 2003.
NUNES, L. E. N. P., GAMARRA ROSADO, V. O., GRANDINETTI, F. J. Ajuste dos
Parâmetros de um Controlador PID através de Algoritmos Genéticos. I Workshop
Universidade-Empresa em Automação, Energia e Materiais, Taubaté, SP, 2004.
NUNES, L. E. N. P., GAMARRA ROSADO, V. O., GRANDINETTI, F. J. Ajuste dos
Parâmetros de um Controlador PID através de Algoritmos Genéticos. Revista
Ciências Exatas, v.9/10, p.47 - 52, 2003/2004.
NUNES, L. E. N. P., GAMARRA ROSADO, V. O., GRANDINETTI, F. J. Aplicação
de uma Rede Neural com Função de Base Radial na Solução da Cinemática Inversa de
um Manipulador com Três Graus de Liberdade. UNINDU - Proceedings of 1st.
International Congress University - Industry Cooperation, Ubatuba, SP, 2005.
NUNES, L. E. N. P., GAMARRA ROSADO, V. O., GRANDINETTI, F. J. Solução da
Cinemática Inversa de um Manipulador Robótico Através de Algoritmos Genéticos.
Anais do IV CONEM - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica, Recife, PE,
2006.
NUNES, L. E. N. P., GAMARRA ROSADO, V. O., GRANDINETTI, F. J. Aplicação
de Algoritmos Genéticos na Solução da Cinemática Inversa de um Manipulador
Robótico. Anais do XXVII CILAMCE - Iberian Latin American Congress on
Computational Methods in Engineering, Belém, PA, 2006.
NUNES, L. E. N. P., GAMARRA ROSADO, V. O., GRANDINETTI, F. J. Geração
de Trajetória de um Manipulador Robótico Planar de Três Graus de Liberdade Através
de Algoritmos Genéticos. Anais do XVI CBA – Congresso Brasileiro de
Automática, Salvador, BA, 2006.
NUNES, L. E. N. P., GAMARRA ROSADO, V. O., GRANDINETTI, F. J. Solução da
Cinemática Inversa de um Manipulador Robótico de Através de Algoritmos Genéticos.
VII Mostra de Pós-graduação da UNITAU, Taubaté, SP, 2006.
de modo especial, à minha Esposa Valéria, que foi a grande
incentivadora para que eu continuasse meus estudos, e aos meus
filhos Luiz Gustavo e Luiz Guilherme.
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeço a Deus, pela minha vida, minha inteligência, minha
família e meus amigos e por ter me iluminado com a luz do Espírito Santo,
à Pró-reitoria de Pesquisa e Pós-graduação da Universidade de Taubaté, pelo
auxílio financeiro concedido em forma de bolsa de estudo,
ao meu orientador, Prof. Dr. Victor Orlando Gamarra Rosado, pelo incentivo,
dedicação e auxílio,
ao Prof. Dr. Francisco José Grandinetti, por todo apoio, incentivo e pela
confiança a mim transmitida para a finalização deste trabalho,
aos meus pais Helly e Myrthes, e Eliane, minha irmã, pelo apoio, encorajamento
e orações nos momentos difíceis,
aos meus sogros Neide e Nelson, cunhados e amigos das Equipes de Nossa
Senhora pelas orações e incentivo,
a minha esposa e aos meus filhos, pelas inúmeras vezes que viajaram comigo e
ficavam me esperando até que minhas reuniões com o orientador terminassem,
às secretárias da pós-graduação Regina e Elisa pela atenção e dedicação no
atendimento,
por fim, aos colegas e professores da Universidade de Taubaté que colaboraram
direta ou indiretamente no desenvolvimento deste trabalho.
“É graça divina começar bem.
Graça maior, persistir na caminhada certa.
Mas a graça das graças é não desistir nunca.”
Dom Hélder Câmara
NUNES, L. E. N. P. Geração e Otimização de Trajetórias de um Manipulador
Robótico utilizando Algoritmos Genéticos. 2007. 135f. Tese (Doutorado em
Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá,
Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2007.
RESUMO
Este trabalho trata da geração e otimização de trajetórias de um manipulador robótico
planar (2D) de três graus de liberdade, num ambiente livre de obstáculos. Visto que a
cinemática inversa de braços robóticos é um problema complexo que, em geral, geram
múltiplas soluções, otimizam-se, aqui, estas soluções através de algoritmos genéticos
(AGs). A função de avaliação do AG tem caráter multi-objetivo, de forma a minimizar
os deslocamentos angulares e obter de forma precisa a posição da garra, usando
funções desenvolvidas para o ambiente Matlab, tais como, GAOT e PLANMANT,
devido a sua facilidade de programação e geração de gráficos. A seguir, foram obtidos
resultados através de programa desenvolvido em linguagem C, utilizando a biblioteca
GAUL, e tem-se avaliado o desempenho computacional de processamento. E
finalmente, para a validação experimental deste estudo, tem-se implementado este
procedimento em um manipulador robótico Robix RCS-6 de configuração similar ao
modelo simulado. Os resultados mostram que o método implementado é eficiente,
computacionalmente rápido e viável em aplicações reais.
PALAVRAS-CHAVE: Manipulador robótico, Trajetória ótima, Cinemática inversa,
Algoritmos genéticos.
NUNES, L. E. N. P. Generation and Optimization of a Robotic Manipulator
Trajectories using Genetic Algorithms. 2007. 135f. Thesis (Doctorate in Mechanical
Engineering) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade
Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2007.
ABSTRACT
This work treats of the generation and optimization of trajectories for a planar robotic
manipulator (2D) of three degrees of freedom, in free environment obstacles. Since the
inverse kinematics of robotic arms are a complex problem that, generally, generate
multiple solutions, here are optimized these solutions through genetic algorithms
(AGs). The evaluation function of the AG has multi-objective character which
minimize the angular displacements and the positional errors, being used functions
developed for the Matlab environment, such as, GAOT and PLANMANT, due its
compliance of programming and graphics generation. Immediately, results were
obtained through program developed in language C, using the GAUL library. The
computational processing performance has been evaluated. And finally, for the
experimental validation of this study, has been implemented this procedure in a robotic
manipulator Robix RCS-6 of similar configuration to the simulated model. The results
show that the implemented method is efficient, and computationally fast and viable in
real applications.
KEYWORDS: Robotic manipulator, Optimal trajectory, Inverse kinematics, Genetic
algorithm.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Múltiplas soluções do problema......................................................... 23
FIGURA 2 – Região inatingível............................................................................... 26
FIGURA 3 – Recombinação por um ponto.............................................................. 39
FIGURA 4 – Mutação Aleatória .............................................................................. 40
FIGURA 5 – Manipulador robótico planar .............................................................. 43
FIGURA 6 – Configuração inicial do manipulador ................................................. 44
FIGURA 7 – Configuração inicial e configuração ótima......................................... 45
FIGURA 8 – Estrutura de uma rede RBF ................................................................ 46
FIGURA 9 – Diagrama do sistema implementado .................................................. 47
FIGURA 10 – Fluxograma para a geração da trajetória .......................................... 50
FIGURA 11 – Fluxograma detalhado para a geração da trajetória.......................... 50
FIGURA 12 – Fluxograma da função de avaliação ................................................. 53
FIGURA 13 – Manipulador robótico Robix RCS-6 ................................................ 57
FIGURA 14 – Bancada experimental....................................................................... 58
FIGURA 15 – Servomotor Hitec HS-422 ................................................................ 59
FIGURA 16 – Sinal de pulsos do servomotor.......................................................... 60
FIGURA 17 – Modelo experimental........................................................................ 61
FIGURA 18 – Eixos de coordenadas ....................................................................... 62
FIGURA 19 – Unidades do robô e Unidades angulares .......................................... 62
FIGURA 20 – Ângulos relativos do robô................................................................. 64
FIGURA 21 – Manipulador robótico de dois graus de liberdade ............................ 65
FIGURA 22 – (a) Posição Inicial, (b) Posicionamento no ponto real...................... 67
FIGURA 23 –
(a) População Inicial, (b) população final ........................................ 68
FIGURA 24 – (a) Erro de Posicionamento, (b) Deslocamento total das Juntas ...... 68
FIGURA 25 – Manipulador robótico de três graus de liberdade ............................. 69
FIGURA 26 – População Inicial .............................................................................. 71
FIGURA 27 – Evolução da população após 18 ciclos ............................................. 71
FIGURA 28 – Evolução da população final............................................................. 72
FIGURA 29 – Erro de Posicionamento.................................................................... 72
FIGURA 30 – Deslocamento total das Juntas.......................................................... 73
FIGURA 31 – Trajetória obtida pelo AG................................................................. 75
FIGURA 32 – Distâncias entre os pontos da trajetória............................................ 75
FIGURA 33 – Configurações sucessivas da simulação 1 ........................................ 76
FIGURA 34 – Deslocamento dos ângulos obtidos pelo AG.................................... 76
FIGURA 35 – Configurações sucessivas da simulação 2 ........................................ 77
FIGURA 36 – Configurações sucessivas da simulação 3 ........................................ 77
FIGURA 37 – Configurações sucessivas da simulação 4 ........................................ 77
FIGURA 38 – Configurações sucessivas da simulação 5 ........................................ 78
FIGURA 39 – Movimentos angulares sem restrições.............................................. 82
FIGURA 40 – Configuração com menor deslocamento angular ............................. 83
FIGURA 41 –
Evolução
............................................................................................ 84
FIGURA 42 – Erro de posição ................................................................................. 85
FIGURA 43 – Deslocamento total dos ângulos das juntas ...................................... 85
FIGURA 44 – Melhor fitness ................................................................................... 86
FIGURA 45 – Diferença entre os métodos de solução ............................................ 87
FIGURA 46 – Deslocamento angular: (a) solução analítica, (b) solução por AG... 88
FIGURA 47 – Configurações sucessivas das trajetórias.......................................... 90
FIGURA 48 – Fluxograma completo do sistema proposto...................................... 92
FIGURA 49 – Soluções obtidas através da biblioteca GAUL ................................. 94
FIGURA 50 – Trecho do programa de controle do robô ......................................... 95
FIGURA 51 – Trajetória simulada........................................................................... 97
FIGURA 52 – Procedimento experimental – configurações (a) inicial e (b) final .. 98
FIGURA 53 – Seqüência de imagens da trajetória experimental ............................ 99
FIGURA 54 – Trajetória simulada e experimental .................................................. 101
FIGURA 55 – Deslocamento no eixo x....................................................................102
FIGURA 56 – Deslocamento no eixo y....................................................................102
FIGURA A1 – Robô planar de três elos...................................................................129
FIGURA B1 – Curvas da posição, velocidade e aceleração ....................................134
LISTA DE QUADROS E TABELAS
QUADRO 1 – Funcionamento de um AG ............................................................... 34
TABELA 1 – Definições em Algoritmos Genéticos................................................ 33
TABELA 2 – População inicial................................................................................ 52
TABELA 3 – Resultados da Simulação ................................................................... 66
TABELA 4 – Erros de Posicionamento ................................................................... 69
TABELA 5 – Simulação Numérica.......................................................................... 70
TABELA 6 – Erros de Posicionamento ................................................................... 73
TABELA 7 – Identificação das Simulações............................................................. 74
TABELA 8 – Desvios em Relação à Trajetória de Referência................................ 78
TABELA 9 – Erros Relativos de Posição ................................................................ 79
TABELA 10 – Parâmetros do AG............................................................................ 81
TABELA 11 – Identificação das Simulações........................................................... 83
TABELA 12 – Erros Relativos Angulares ............................................................... 86
TABELA 13 – Erros relativos de Posição................................................................ 89
TABELA 14 – Erros Relativos de Posição (linguagem C)...................................... 93
TABELA 15 – Dados da trajetória simulada ........................................................... 97
TABELA 16 – Dados da trajetória experimental.....................................................100
TABELA 17 – Distância entre os pontos inicial e final das trajetórias ................... 101
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
2D -
Duas dimensões
AG -
Algoritmo Genético
DC -
Corrente Contínua
DOS -
Sistema Operacional de Disco
EE -
Evolução Estratégica
FEA -
Algoritmo Evolucionário Fuzzy
FES -
Sistema Especialista Fuzzy
FL -
Lógica Fuzzy
GAOT -
Genetic Algorithm Optimization Toolbox
GAUL -
Genetic algorithm utility library
gdl -
Graus de Liberdade
PE -
Programação Evolutiva
PG -
Programação Genética
PLANMANT -
Planar Manipulators Toolbox
PWM -
Pulso com Modulação
RBF -
Função de Base Radial
REB -
Redução do Espaço de Busca
RNA -
Rede Neural Artificial
SUS -
Amostragem Estocástica Universal
VEGA -
Vírus-evolutionary genetic algorithms
LISTA DE SÍMBOLOS
E
a
Menor deslocamento angular cm
E
p
Erro de posição cm
f
i
Avaliação do indivíduo i [1]
L
Limite inferior da variável
θ
rad
l
1
Comprimento do elo 1 cm
l
2
Comprimento do elo 2 cm
l
3
Comprimento do elo 3 cm
N Número de pais selecionados [1]
P
c
Probabilidade de cruzamento %
p
i
Probabilidade de seleção do indivíduo i %
P
m
Probabilidade de mutação %
s Gene de um cromossomo [1]
t Instante de tempo s
t
f
Tempo de percurso s
U
Limite superior da variável
θ
rad
(x
f
, y
f
) Coordenada cartesiana final (cm, cm)
(x
i
, y
i
) Coordenada cartesiana inicial (cm, cm)
LETRAS GREGAS
θ
0
Configuração inicial rad
θ
1
Ângulo da junta 1 rad
θ
2
Ângulo da junta 2 rad
θ
3
Ângulo da junta 3 rad
0
θ
&
Velocidade inicial rad/s
)0(
θ
&
Velocidade no ponto inicial da trajetória rad/s
0
θ
&&
Aceleração inicial rad/s
2
θ
f
Configuração final rad
{
θ
i,in
}
Ângulos da configuração inicial rad
{
θ
i,f
}
Ângulos da configuração final rad
θ
(t)
Posição angular no instante de tempo t s
f
θ
&
Velocidade final rad/s
)(
f
t
θ
&
Velocidade no ponto final da trajetória rad/s
f
θ
&&
Aceleração final rad/s
2
ω
1
Fator de ponderação para o erro de posição [1]
ω
2
Fator de ponderação para o deslocamento angular [1]
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE QUADROS E TABELAS
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
LISTA DE SÍMBOLOS
1 INTRODUÇÃO
........................................................................................ 18
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.................................................................... 18
1.2 JUSTIFICATIVA E OBJETIVO DO TRABALHO.................................... 19
1.3 ORGANIZAÇÃO DOS CAPÍTULOS......................................................... 21
2 REVISÃO DA LITERATURA
............................................................. 22
2.1 CINEMÁTICA INVERSA........................................................................... 22
2.2 PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIAS..................................................... 25
3 ALGORITMOS GENÉTICOS
............................................................. 31
3.1 INTRODUÇÃO............................................................................................ 31
3.2 DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS GENÉTICOS.................................... 32
3.3 REPRESENTAÇÃO .................................................................................... 35
3.4 INICIALIZAÇÃO DA POPULAÇÃO ........................................................ 35
3.4.1 Inicialização randômica uniforme ............................................................ 36
3.4.2 Inicialização randômica não uniforme..................................................... 36
3.4.3 Inicialização randômica com dope ............................................................ 36
3.5 FUNÇÃO DE AVALIAÇÃO....................................................................... 36
3.6 SELEÇÃO .................................................................................................... 37
3.6.1 Seleção por classificação ............................................................................ 37
3.6.2 Seleção por torneio ..................................................................................... 37
3.6.3 Seleção Uniforme ........................................................................................ 38
3.6.4 Amostragem Estocástica Universal .......................................................... 38
3.7 RECOMBINAÇÃO...................................................................................... 38
3.7.1 Recombinação para codificação binária .................................................. 39
3.7.2 Recombinação para codificação real ........................................................ 39
3.8 MUTAÇÃO.................................................................................................. 39
3.8.1 Mutação aleatória....................................................................................... 40
3.8.2 Mutação por troca ...................................................................................... 40
3.9 PARÂMETROS DOS AGs.......................................................................... 40
3.9.1 Tamanho da população.............................................................................. 41
3.9.2 Probabilidade de cruzamento - P
c
............................................................. 41
3.9.3 Probabilidade de mutação - P
m
................................................................. 41
3.9.4 Critérios de Parada .................................................................................... 41
4
MÉTODOS
................................................................................................ 43
4.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ............................................................ 43
4.2 GERAÇÃO DE TRAJETÓRIAS ATRAVÉS DE REDES NEURAIS ....... 46
4.3 GERAÇÃO DE TRAJETÓRIAS LINEARES ATRAVÉS DE AGs .......... 48
4.4 SOLUÇÃO DO PROBLEMA...................................................................... 49
4.4.1 Cinemática inversa ..................................................................................... 50
4.4.1.1 Representação Genética................................................................................ 51
4.4.1.2 Inicialização.................................................................................................. 51
4.4.1.3 Função de avaliação ..................................................................................... 52
4.4.1.4 Seleção.......................................................................................................... 55
4.4.1.5 Cruzamento e mutação ................................................................................. 55
4.4.1.6 Critério de parada ......................................................................................... 56
4.4.2 Trajetória cúbica ........................................................................................ 56
4.5 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL....................................................... 57
4.5.1 Descrição da bancada experimental ......................................................... 58
4.5.1.1 Adaptador eletrônico .................................................................................... 58
4.5.1.2 Servomotores................................................................................................ 59
4.5.1.3 Programa de interface................................................................................... 60
4.5.2 Viabilidade do modelo experimental ........................................................ 61
5 RESULTADOS INTERMEDIÁRIOS
................................................. 65
5.1 MANIPULADOR COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE ....................... 65
5.2 MANIPULADOR COM TRÊS GRAUS DE LIBERDADE....................... 69
5.3 GERAÇÃO DE TRAJETÓRIAS LINEARES............................................. 74
6 RESULTADOS FINAIS
......................................................................... 80
6.1 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS.................................................................... 80
6.1.1 Parâmetros do AG...................................................................................... 81
6.1.2 Fatores de ponderação ............................................................................... 81
6.1.2.1 Minimização do erro de posição................................................................... 81
6.1.2.2 Menor deslocamento angular ....................................................................... 82
6.1.2.3 Ponderação entre erro de posição e deslocamento angular .......................... 83
6.1.3 Cinemática inversa do ponto final ............................................................ 83
6.1.4 Geração de trajetórias................................................................................ 89
6.2 RESULTADOS EXPERIMENTAIS ........................................................... 91
6.2.1 Biblioteca GAUL ........................................................................................ 91
6.2.2 Processamento das Imagens ...................................................................... 96
6.2.3 Trajetória experimental............................................................................. 96
7 CONCLUSÃO
........................................................................................... 103
7.1 CONCLUSÕES............................................................................................ 103
7.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .......................................105
REFERÊNCIAS
................................................................................................... 106
APÊNDICE A
–Código da Função de avaliação em Matlab................................ 115
APÊNDICE B
– Listagem do Código em Matlab................................................. 116
APÊNDICE C
– Listagem do Código em Linguagem C...................................... 119
APÊNDICE D
– Listagem do Código Experimental ............................................ 125
ANEXO A
– Solução Analítica da Cinemática Inversa.........................................129
ANEXO B
– Trajetórias Cúbicas ........................................................................... 133
1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo é realizada uma introdução sobre algoritmos genéticos, técnica
utilizada no trabalho desenvolvido nesta tese, iniciando com e suas aplicações em
diversas áreas, além da justificativa, objetivos e organização do trabalho.
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Os Algoritmos Genéticos (AGs) são técnicas de busca e otimização inspiradas na
Teoria da Evolução, cujas variáveis são representadas como genes em um cromossomo
(indivíduo). Combinam a sobrevivência dos mais aptos com a troca de informação de
uma forma estruturada, mas aleatória. O AG apresenta um grupo de soluções
candidatas (População) no espaço de soluções. Por meio da seleção natural e dos
operadores genéticos (mutação e cruzamento), os cromossomos com melhor aptidão
são encontrados. A seleção natural garante que os cromossomos mais aptos gerem
descendentes nas populações futuras. Usando um operador de cruzamento, o AG
combina genes de dois cromossomos pais previamente selecionados para formar dois
novos cromossomos, os quais têm uma grande possibilidade de serem mais aptos que
os seus genitores (Yepes, 2000).
Muitos dos problemas estudados nas mais diversas áreas podem ser formulados
como sendo um problema de busca por uma ou mais soluções dentro de um universo
limitado de respostas potenciais. Em geral, sabe-se que a solução para o problema
encontra-se dentro daquele conjunto; a verdadeira questão é como encontrá-la. O
conjunto de soluções possíveis para um problema é comumente chamado de espaço de
busca. Quando se procura a melhor solução para um problema que admite inúmeras
soluções, está-se lidando com um problema de otimização (Barreto, 2004).
Os AGs têm sido aplicados em diversos problemas de otimização, tais como:
Otimização Combinatória, Otimização de Planejamento, Problema do Caixeiro
Viajante, Otimização de Layout de Circuitos, Otimização de Distribuição, Otimização
em Negócios e Síntese de Circuitos Eletrônicos (Michalewicz, 1994). Na fase inicial
deste trabalho, e para efeitos de fundamentação com esta teoria, utilizaram-se os AGs
19
na Otimização de Funções Matemáticas (Nunes e Gamarra Rosado, 2003) e no ajuste
dos parâmetro de um controlador PID (Nunes, Gamarra Rosado e Grandinetti, 2004).
Com relação à utilização de algoritmos genéticos em diversas áreas, trabalhos
recentes mostram sua aplicação em redes radiais de distribuição (Pires, Martins e
Antunes, 2004), em plantas de processos (Carnero, Hernandez e Sanchez, 2005), no
problema de otimização de rota de veículos (Campos, Yoshizaki e Belfiore, 2006), em
sistemas hidrotérmicos de potência (Leite, Carneiro e Carvalho, 2006), no
planejamento de trajetórias de robôs polares (Rosete e Vega, 2006) e em linhas de
transmissão (Santos e Senger, 2006).
Dentro da linha de problemas de otimização, no campo da Robótica diversos
trabalhos disponíveis na literatura têm aplicado os AGs na solução da cinemática
inversa de manipuladores robóticos, que é um problema que pode apresentar várias
soluções, dependendo do número de graus de liberdade (gdl) do manipulador em
estudo.
1.2 JUSTIFICATIVA E OBJETIVO DO TRABALHO
O problema da cinemática inversa consiste em obter os ângulos das juntas para
uma posição desejada da garra do manipulador no espaço Cartesiano. A solução deste
problema complexo envolve equações não-lineares que, em geral, geram múltiplas
soluções. Assim, a escolha dos Algoritmos Genéticos para a solução da cinemática
inversa é plenamente justificável, visto que os mesmos não necessitam do
conhecimento prévio do problema a ser otimizado e, também, eliminam o problema de
múltiplas soluções.
Durante a revisão bibliográfica foi observado que em muitos trabalhos propostos
para a geração de trajetórias de manipuladores robóticos foram apresentadas técnicas
complexas na implementação do algoritmo genético, envolvendo a manipulação de
cromossomos de tamanho variável e, em outros, foi utilizada a técnica de geração de
trajetórias ponto-a-ponto, o que torna o processo lento e com custo computacional
elevado, devido ao fato de o Algoritmo Genético ser executado num processo iterativo
para cada ponto da trajetória. Também se verificou a carência de trabalhos
20
apresentando procedimentos menos complexos e computacionalmente mais rápidos
para o planejamento de trajetórias de manipuladores robóticos.
Considerando-se ainda como uma das motivações deste trabalho o fato de que, na
prática, a determinação das trajetórias dos robôs nas linhas de processo é realizada
através de uma programação ponto a ponto.
Um robô em determinada linha de manufatura, ao executar uma tarefa, deve
executá-la de forma rápida e com menor gasto de energia. Durante o processo de
treinamento do robô, o programador deve ensinar-lhe a trajetória a ser percorrida. Isto
constitui uma tarefa longa e muitas vezes difícil de se executar em face ao volume do
espaço de trabalho.
Em síntese, o objetivo deste trabalho consiste em apresentar uma nova solução da
cinemática inversa, geração de trajetórias e otimização pela redução do deslocamento
angular e precisão da garra, para um manipulador robótico planar (2D) de três graus de
liberdade num ambiente livre de obstáculos, utilizando Algoritmos Genéticos e
Trajetórias Cúbicas. Para atingir este objetivo, foram delimitados os seguintes
objetivos específicos:
- Implementar um Algoritmo Genético para encontrar os ângulos otimizados para que
o manipulador atinja o ponto desejado no espaço Cartesiano com menor
deslocamento angular.
- Implementar uma trajetória cúbica para encontrar os ângulos intermediários entre a
configuração inicial pré-determinada e a configuração final obtida pelo Algoritmo
Genético.
- Implementar o método proposto em dois ambientes de programação: Matlab e
Linguagem C, e comparar os desempenhos computacionais.
- Comparar os resultados obtidos nestes ambientes computacionais.
- Validar o método proposto em um modelo experimental utilizando um manipulador
robótico Robix RCS-6.
- Comparar as trajetórias resultantes do modelo experimental e do modelo simulado.
21
Considerando-se os aspectos explanados anteriormente, tem-se no
desenvolvimento deste trabalho mais uma contribuição a ser considerada, pois se
utilizando destas técnicas desenvolvidas podem-se otimizar estas tarefas de
programação de robôs em linhas industriais de processo.
1.3 ORGANIZAÇÃO DOS CAPÍTULOS
No Capítulo 2 faz-se uma revisão bibliográfica tanto da aplicação de algoritmos
genéticos na solução do problema da cinemática inversa para pontos isolados quanto
de sua aplicação na otimização de trajetórias para manipuladores robóticos.
O Capítulo 3 apresenta os principais fundamentos da técnica dos Algoritmos
Genéticos, além das origens do método, definições, procedimentos, vantagens,
parâmetros de configuração e outros tópicos importantes relacionados ao tema.
No Capítulo 4 é apresentada a descrição da metodologia utilizada para atingir os
objetivos propostos neste trabalho.
Os resultados de trabalhos realizados durante a confecção desta tese estão
apresentados no Capítulo 5.
Os resultados obtidos, bem como as discussões dos mesmos são apresentados no
Capítulo 6.
E finalmente, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões e sugestões para
trabalhos futuros.
22
2 REVISÃO DA LITERATURA
Neste Capítulo faz-se uma revisão bibliográfica tanto da aplicação de algoritmos
genéticos na solução do problema da cinemática inversa para pontos isolados quanto
de sua aplicação na otimização de trajetórias para manipuladores robóticos.
2.1 CINEMÁTICA INVERSA
O Problema da Cinemática Inversa é fundamental no controle de robôs
manipuladores. Normalmente, a tarefa é especificada em espaço cartesiano, enquanto
que os controladores atuam sobre atuadores de junta, requerendo que as referências de
controle sejam especificadas em espaço de juntas. Deste modo, torna-se necessário
mapear referências especificadas em espaço cartesiano em referências equivalentes em
espaço das juntas. Assim, o problema da cinemática inversa pode ser estabelecido da
seguinte forma: especificada a localização (posição e orientação) que se deseja que a
garra alcance deve-se determinar os valores das variáveis de junta (ângulos ou
deslocamentos de junta) necessários para levar a garra a tal localização (Fu, Gonzalez
e Lee, 1987).
De acordo com Craig (1989), ao contrário da cinemática direta, o problema da
cinemática inversa não é trivial e tem um complicador adicional: o mapeamento do
espaço cartesiano para o espaço de juntas não é um mapeamento um-para-um. Assim,
dois problemas adicionais devem ser levados em conta: a verificação da existência de
solução e a possibilidade de existirem múltiplas ou infinitas soluções para uma dada
localização da garra.
No caso da existência de múltiplas soluções para o problema da cinemática
inversa (Figura 1), é necessário escolher uma solução dentro do conjunto de possíveis
soluções (Santos, 2004). Deve-se definir algum critério de escolha, como por exemplo:
movimento das juntas mais suaves, contorno de obstáculos, menor movimento em
relação à localização atual, entre outros.
23
Figura 1 – Múltiplas soluções do problema (Santos, 2004)
Quanto à solução do problema da cinemática inversa, Fu, Gonzalez e Lee (1987)
destacam vários métodos, entre eles, o método da transformação inversa, matrizes
duais, quaternions duais, métodos iterativos e abordagens geométricas (Anexo A). Nas
duas últimas décadas, pesquisas científicas têm destacado aplicações bem sucedidas de
algoritmos genéticos para a solução deste tipo de problema.
O problema da cinemática inversa para pontos isolados, com solução através de
algoritmos genéticos, foi abordado por Parker, Khoogar e Goldberg (1989). O objetivo
daquele trabalho era colocar a garra do manipulador na posição correta e minimizar os
deslocamentos das juntas. Nas simulações utilizaram um manipulador industrial do
tipo Puma 566 de quatro graus de liberdade e concluíram que, mesmo com precisão de
posicionamento não ideal nos resultados obtidos, os AGs são uma contribuição
interessante no campo da cinemática inversa. Pode-se dizer que, a partir daquele
trabalho, a solução da cinemática inversa por meio de algoritmos genéticos começou a
ser investigada cientificamente.
Buckley, Hopkins e Turton (1997) utilizaram um algoritmo genético na solução
do problema da cinemática inversa de um manipulador robótico com alta redundância
cinemática. Como os primeiros resultados não apresentaram soluções aceitáveis,
ajustaram o algoritmo genético para prolongar a diversidade da população e reduziram
o espaço de busca pela aplicação do conhecimento cinemático da Junta 2. Utilizaram
um manipulador tipo Cobra de doze graus de liberdade e concluíram que, mesmo com
os ajustes realizados, não obtiveram uma solução exata.
24
Eydgahi e Ganesan (1998) apresentaram a aplicação de algoritmos genéticos para
a geração e ajuste das funções de pertinência de conjuntos difusos para a solução da
cinemática inversa de manipuladores robóticos. O método apresentado, de acordo com
os autores, converge mais rapidamente para a solução, em comparação com métodos
baseados apenas em sistemas difusos ou baseados em Inteligência Artificial.
O problema da cinemática inversa para robôs industriais não-redundantes e
redundantes foi, também, resolvido por Nearchow (1998), através de um algoritmo
genético modificado. Nesta estratégia foram utilizados dois AGs com codificação
binária. As soluções potenciais eram avaliadas por um AG em alto nível e as
mudanças incrementais, avaliadas por um AG em baixo nível, até que uma solução
global ótima fosse alcançada. O algoritmo proposto foi examinado em dois robôs do
tipo Puma e em um robô planar redundante de três graus de liberdade, e os resultados
foram comparados com o método da Pseudo-inversa e com o método baseado em um
algoritmo genético simples. De acordo com os autores, o algoritmo proposto mostrou
desempenho superior.
Chapelle e Bidaud (2001) utilizaram para a solução da cinemática inversa o
conceito de programação genética, na qual cada indivíduo (solução) é um programa de
computador codificado através de uma estrutura tipo árvore, cujos nós podem ser
funções ou terminais, sendo que estes últimos contêm números ou variáveis. A cada
execução, o algoritmo busca por um parâmetro de junta
θ
i
e a avaliação dos indivíduos
foi feita por uma função que minimiza o deslocamento angular. O objetivo daquele
trabalho era fornecer um método geral e rápido para a solução da cinemática inversa
de um robô Puma 560. Segundo os autores, a vantagem do método utilizado é que ele
pode ser utilizado on-line.
Em Kalra, Mahapatra e Aggarwal (2003) o problema da cinemática inversa
utilizando algoritmos genéticos foi explorado para pontos isolados. Naquele trabalho,
o algoritmo fornecia as duas soluções possíveis para o problema da cinemática inversa
de um manipulador robótico de dois graus de liberdade, podendo ser escolhida, como
melhor solução, a que apresentava maior valor de fitness.
Gamarra Rosado (2003) apresenta a solução da cinemática e dinâmica inversa de
um manipulador robótico flexível através de Redes Neurais Artificiais para o controle
25
de vibração. Neste trabalho duas estratégias de controle foram utilizadas: um
controlador Feedforward para encontrar a dinâmica inversa do manipulador e o torque
computado e um controlador do tipo Feedforward+Feedback para melhorar a resposta
do sistema. Os resultados das simulações demonstraram que o método garante um
controle efetivo da vibração do elo flexível.
Uma abordagem neuro-genética foi utilizada por Kalra e Prakash (2003) para a
solução da cinemática inversa de um manipulador robótico planar de dois graus de
liberdade. Naquele trabalho foi utilizada uma rede neural artificial do tipo multi-layer
feedforward, cujos pesos foram obtidos, durante a fase de treinamento, por um
algoritmo genético com codificação real. A resposta da rede foi comparada com a
resposta desejada e os erros relativos dos ângulos das juntas foram avaliados para
diferentes pontos na área de trabalho do manipulador.
2.2 PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIAS
Em manipuladores robóticos, depois de se saber como relacionar o espaço das
juntas com o espaço cartesiano em termos geométricos por meio da cinemática direta e
inversa, pode-se proceder ao que se chama de planejamento de trajetórias (Santos,
2004). O planejamento de trajetórias consiste em encontrar movimentos contínuos que
levam o braço de uma dada configuração inicial até uma posição desejada no espaço
de trabalho (Pires e Machado, 1999), englobando um conjunto de estudos e métodos
que permitem a definição da velocidade nos diversos atuadores, de forma que o
manipulador cumpra os objetivos de movimentação ou deslocamento esperado
(planejado). Estes objetivos podem ser o deslocamento da garra entre dois pontos no
espaço de trabalho, durante um determinado intervalo de tempo, ou a execução de uma
trajetória bem definida da garra no espaço cartesiano, obedecendo critérios temporais
precisos (Santos, 2004). De acordo com Craig (1989), as trajetórias podem ser
planejadas no espaço de juntas ou no espaço Cartesiano.
No espaço de juntas, o planejamento de trajetórias consiste em se determinar a
evolução de cada junta ao longo do tempo, de tal forma que são verificadas
determinadas condições cinemáticas sobre as juntas: posição, velocidade e aceleração
26
no ponto inicial e no ponto final, ou seja, um movimento deve decorrer desde o
instante de tempo t
0
até o instante t
f
, partindo da configuração inicial das juntas
0
θ
até
uma configuração final
f
θ
, com uma velocidade inicial
00
)(
θθ
&&
=t
, uma velocidade
final
ff
t
θθ
&&
=)(
, uma aceleração inicial
00
)(
θθ
&&&&
=t
e uma aceleração final
ff
t
θθ
&&&&
=)(
.
Conforme descrito em Craig (1989), o esquema de planejamento de trajetórias no
espaço de juntas é computacionalmente fácil de implementar e, devido a constante
correspondência entre o espaço de juntas e o espaço Cartesiano, singularidades não
constituem problemas. Os métodos para o planejamento de trajetórias no espaço de
juntas incluem: polinômios cúbicos (Anexo B), polinômios cúbicos com pontos
intermediários e polinômios de alta ordem (Fu, Gonzalez e Lee, 1987; Craig,1989).
O planejamento de trajetórias no espaço Cartesiano tem maior custo
computacional, pois a cinemática inversa tem que ser calculada para todos os pontos
necessários para que o manipulador execute o movimento desejado. No espaço
Cartesiano, o método de planejamento de trajetórias mais comum é o movimento em
uma linha reta (Craig, 1989).
Quando se faz o planejamento de trajetórias no espaço Cartesiano, pode ocorrer o
seguinte problema: dados o ponto inicial e o ponto final, ambos no espaço de trabalho
do manipulador, podem ocorrer pontos intermediários que o manipulador não
consegue atingir, conforme ilustra a Figura 2.
Figura 2 – Região inatingível (Santos, 2004)
27
Dos métodos para o planejamento de trajetórias de manipuladores robóticos
descritos acima, diversos trabalhos disponíveis na literatura têm mostrado a aplicação
de algoritmos genéticos no processo de otimização dos mesmos.
Davidor (1990) utilizou um Algoritmo Genético para a otimização de trajetórias
de um manipulador robótico planar de três graus de liberdade, em um ambiente livre
de obstáculos. Naquele trabalho, as soluções foram codificadas em cromossomos de
estrutura dinâmica, ou seja, comprimentos variados que, segundo o autor, representam
melhor as trajetórias do manipulador. O operador de cruzamento (crossover) foi
modificado para tornar possível a troca de informações genéticas entre estas estruturas
de diferentes tamanhos. Os resultados de várias simulações foram apresentados,
validando o método proposto.
Khoogar e Parker (1991) também investigaram o problema de trajetórias no
espaço 2D (duas dimensões). Nas simulações, foi considerado um manipulador
robótico planar de três graus de liberdade, cujo espaço de trabalho continha obstáculos
retangulares. Um Algoritmo Genético foi utilizado para encontrar uma trajetória livre
de colisões de um ponto inicial arbitrário até um ponto final desejado. O método de
codificação envolveu a especificação de N movimentos incrementais, cada qual com
um pequeno valor. A função de avaliação calculava a distância entre o ponto desejado
e o final dos N movimentos, e penalizava qualquer parte da trajetória que envolvesse
colisão com um obstáculo.
Kim e Lee (1993) propuseram a solução da cinemática inversa de um
manipulador planar de três graus de liberdade, que utiliza a relação diferencial entre o
espaço de juntas e o espaço cartesiano, eliminando o uso da pseudo-inversa da matriz
Jacobiana. Uma primeira solução da cinemática inversa foi obtida através do método
do Gradiente e, posteriormente, refinada pela introdução da Lógica Fuzzy através do
Princípio de Extensão.
Xu e Vukovich (1994) apresentaram um método que envolve a integração de
Sistemas Especialistas Difusos e Algoritmos Evolucionários, denominado Algoritmo
Evolucionário Fuzzy (FEA). Para o cálculo automático de trajetórias, os autores
utilizaram um Sistema Especialista Fuzzy (FES) para fornecer os parâmetros de
controle do AG, tais como tamanho da população, tamanho do cromossomo, taxa de
28
mutação e taxa de cruzamento. Posteriormente, o Algoritmo Genético calcula a
trajetória ótima de um manipulador com sete graus de liberdade.
Toogood, Hao e Wong (1995) utilizaram um algoritmo genético para a obtenção
de uma trajetória livre de colisões para um manipulador robótico de três graus de
liberdade (gdl) em um espaço contendo obstáculos fixos e conhecidos. Além de evitar
colisões, a trajetória poderia ser otimizada para menor distância, menor tempo ou
torques mínimos.
Kim e Kim (1996) desenvolveram um novo método utilizando Programação
Evolucionária. Propuseram dois esquemas diferentes para encontrar a solução global
ótima da cinemática inversa de um manipulador robótico planar com três elos e juntas
revolutas. No primeiro esquema o cromossomo é composto por todos os ângulos das
juntas e o resultado da simulação para uma trajetória linear não foi satisfatório,
apresentando grandes deslocamentos angulares. No segundo esquema somente as
juntas redundantes foram selecionadas como elementos do cromossomo, tornando sua
dimensão reduzida. Neste esquema, uma operação de reparação foi utilizada para
garantir que os parâmetros redundantes aleatoriamente selecionados contenham os
pontos cartesianos desejados. De acordo com os autores, este esquema apresentou
melhores resultados que o primeiro.
Num trabalho da mesma linha ao desenvolvido por Davidor (1990), Marques et
al. (1996) também utilizaram cromossomos de estrutura dinâmica, nas quais as
soluções foram codificadas em cromossomos de comprimentos variados que,
conforme pode ser visto em Davidor (1990), representam melhor as trajetórias do
manipulador. O operador de cruzamento (crossover) também foi modificado para
tornar possível a troca de informações genéticas entre estas estruturas de diferentes
tamanhos.
Kubota, Fukuda e Shimojima (1996) apresentaram um método hierárquico para a
geração de trajetórias de um manipulador redundante, utilizando uma técnica
conhecida como Vírus-Evolutionary Genetic Algorithms (VEGA). Esta técnica
executa, simultaneamente, dois processos. Um processo calcula as posições do
manipulador que sejam livres de colisão com obstáculos e o outro gera a trajetória pela
combinação destas posições intermediárias.
29
O problema da minimização do tempo de percurso da trajetória foi resolvido por
Park, Kim e Choi (1997) utilizando Evolução Estratégica (EE) e Lógica Fuzzy (FL). A
solução foi dividida em dois passos. No primeiro passo, a trajetória foi especificada
por uma seqüência de pontos no espaço das juntas, conectados por um polinômio
cúbico. Os intervalos de tempo entre cada ponto foram otimizados pelo método da
Evolução Estratégica (uma variação dos Algoritmos Evolucionários). No segundo
passo, foi utilizado um controlador difuso para otimizar a precisão do manipulador no
percurso da trajetória obtida no passo anterior.
Nearchow e Aspragathos (1997) apresentaram o problema do movimento ponto-
a-ponto de um manipulador robótico redundante, trabalhando em um ambiente com
obstáculos. O problema foi abordado como um problema de otimização com
restrições, cujo principal objetivo era a minimização do erro de posição da garra do
manipulador. O segundo objetivo era satisfazer as restrições relacionadas ao desvio de
obstáculos, para tanto, a função de avaliação utilizou o cálculo da distância do corpo
do robô em relação ao obstáculo, comparando-a a um valor pré-determinado
considerado como uma distância segura do obstáculo.
Tse e Wang (1998) utilizaram um Algoritmo Genético com o propósito de
minimizar o tempo de uma trajetória cúbica. Para evitar que, no processo de busca do
AG, fossem gerados tempos incompatíveis para um determinado ponto da trajetória,
desenvolveram um procedimento, aplicado a cada geração, que converte um ponto
incompatível em um ponto de possível solução.
Her et al. (2002) apresentaram uma técnica mista para a solução da cinemática
inversa de trajetórias de robôs seriais. Utilizaram a Lógica Fuzzy, implementada em
um algoritmo recursivo e um Algoritmo Genético para o ajuste e otimização das
funções de pertinência do sistema Fuzzy. A configuração das juntas que leva a garra
do manipulador mais próxima do ponto desejado é selecionada previamente, com o
intuito de reduzir o número de iterações da Lógica Fuzzy. A técnica apresentada foi
simulada em manipuladores seriais planares de dois e quatro graus de liberdade.
Tian e Collins (2003, 2004) propuseram um algoritmo genético utilizando
codificação real para a busca de uma trajetória ótima de um manipulador redundante.
A função de avaliação foi baseada em múltiplos critérios, tais como deslocamento total
30
de todas as juntas e velocidades uniformes no espaço Cartesiano e no espaço de junta.
Para validação desta abordagem, foram realizadas simulações em um workspace com e
sem obstáculos.
Pires, Machado e Oliveira (2004a) utilizaram um Algoritmo Genético multi-
objetivo para a geração de trajetórias de manipuladores robóticos. No algoritmo
implementado, até cinco critérios podem ser otimizados simultaneamente, entre eles a
minimização das distâncias das juntas no percurso da trajetória e a minimização do
comprimento da trajetória do ponto inicial até o ponto final. As simulações foram
realizadas em manipuladores robóticos planares de dois e três graus de liberdade.
Em um outro trabalho da mesma linha, Pires, Machado e Oliveira (2004b)
propuseram um método multi-objetivo para otimização de trajetórias. Este método se
baseia em um Algoritmo Genético adotando a cinemática inversa, sendo que a tarefa
ótima é aquela que minimiza o comprimento da trajetória e a energia requerida para
executar a tarefa sem qualquer colisão com obstáculos no espaço de trabalho.
Oliveira (2005) utilizou um Algoritmo Genético para a otimização de trajetórias
definidas por curvas paramétricas B-splines. O problema de otimização foi abordado
de maneira multi-objetivo, que considera a minimização da energia gasta por seus
atuadores, o tempo total de percurso da trajetória e das acelerações.
Saramago, Rosa e Oliveira (2005) apresentaram uma formulação baseada em
Algoritmos Genéticos, com função de avaliação multi-objetivo, para a otimização do
tempo de trajetórias de estruturas paralelas. O problema de otimização foi definido
pela minimização da energia mecânica consumida pelos atuadores e do tempo para a
realização da trajetória. Como a formulação proposta trata de um problema de
otimização multi-objetivo, cabe ao usuário definir aquela que melhor satisfaça as
condições operacionais desejadas.
Santos, Gebara Junior e Lopes (2005) apresentaram um algoritmo genético capaz
de resolver o problema da cinemática inversa para todos os pontos de uma trajetória.
Utilizaram a técnica de Redução de Espaço de Busca (REB), que, segundo os autores,
melhora tanto a velocidade quanto a precisão da convergência, evitando saltos entre
soluções múltiplas.
31
3 ALGORITMOS GENÉTICOS
São apresentados neste capítulo os principais fundamentos da técnica dos
Algoritmos Genéticos, além das origens do método, definições, procedimentos,
vantagens, parâmetros de configuração e outros tópicos importantes relacionados ao
tema.
3.1 INTRODUÇÃO
Os métodos clássicos de otimização iniciam-se com um único candidato,
chamado de solução básica, e pelo cálculo de derivadas se determina para qual direção
se deve caminhar na busca do próximo candidato (Castro, 2001). Por trabalharem com
o cálculo de derivadas, são denominados algoritmos de ordem n, onde n é a maior
derivada utilizada. Exemplos típicos são os métodos dos gradientes conjugados e de
Newton, que por utilizarem derivadas primeiras e segundas, respectivamente, são
caracterizados como algoritmos de primeira e segunda ordem (Barreto, 2004).
Todavia, classificações intermediárias são também possíveis, como é o caso do
método Quasi-Newton, que se situaria entre os dois anteriores.
De acordo com Castro (2001), o maior problema destes algoritmos matemáticos
é que não existe nenhuma garantia da obtenção de um ponto extremo global, ou seja, o
algoritmo convergirá para o extremo local mais próximo da direção de busca
determinada pelas derivadas. Por esta razão, estes algoritmos são mais utilizados em
problemas unimodais, que apresentam apenas um único extremo no intervalo
considerado. A aplicação destes algoritmos para problemas multimodais não é tão
simples, já que a solução encontrada dependerá do ponto de partida inicial, podendo,
na maioria das vezes, encontrar uma solução extrema local pior que a solução ótima
global desconhecida e procurada.
Os Algoritmos Genéticos representam uma classe de ferramentas muito versátil e
robusta a ser empregada na solução de problemas de otimização. Assim como outros
métodos, por não empregarem o cálculo de derivadas, mas sim atuarem diretamente na
busca das soluções no espaço viável, ele é classificado como método direto ou de
ordem zero (Goldberg, 1989).
32
Os Algoritmos Genéticos, quando utilizados no contexto de otimização, se
distinguem dos métodos clássicos de Programação Matemática basicamente pelos
seguintes aspectos (Goldberg, 1989; Tremps e Sánches,1998):
•
Empregam sempre uma população de indivíduos ou soluções.
•
Operam com uma codificação das possíveis soluções (genótipos) e não com as
soluções propriamente ditas (fenótipos).
•
Não necessitam do cálculo do gradiente: operam unicamente com o valor da função
a ser otimizada.
•
Realizam a busca por todo o espaço de uma só vez, ao invés de proceder ponto a
ponto seqüencialmente;
•
Não requerem informações adicionais (derivadas, por exemplo) sobre a função a
otimizar.
Outra grande diferença dos métodos clássicos para os Algoritmos Genéticos é
que estes não se prendem tão facilmente a extremos locais, uma vez que trabalham
com uma população de indivíduos e realizam a busca dentro de toda a região viável
disponível (Goldberg, 1989).
3.2 DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS GENÉTICOS
Os Algoritmos Genéticos (AGs), criados por John Holland em 1975, simulam o
processo de seleção natural. O termo “genético” deriva do fato de que, embora o
processo de seleção natural tenha sido descrito em um nível mais abstrato por Darwin,
foi essa ciência que forneceu os detalhes que permitiram traduzir o mecanismo em um
modelo computacional (Barreto, 2004).
Assim como acontece no meio ambiente, em um AG existe um grupo de
indivíduos que competem entre si para garantirem a própria sobrevivência e para
assegurar que suas características sejam passadas adiante através da prole. Nessa
analogia, cada indivíduo do AG é, de fato, uma solução candidata para o problema em
questão, que, por sua vez, faz o papel do próprio meio-ambiente, já que estabelece os
33
critérios que permitem avaliar se um indivíduo/solução é adaptado ou não.
As melhores soluções têm maior probabilidade de sobreviver e, através de
operadores genéticos, gerarem outras soluções (ou descendentes) de boa qualidade. Da
combinação de bons indivíduos, podem surgir outros ainda melhores, que tenham
herdado as boas características daqueles que lhes deram origem. Cada iteração do
processo é chamada de geração (Barreto, 2004).
Após várias gerações, existe grande probabilidade de que a população tenha
aumentado a sua qualidade média, isto é, que seja composta por indivíduos mais bem
adaptados ao ambiente em questão (o problema). Nesse ponto, as soluções candidatas
tendem a ser mais parecidas.
A Tabela 1 apresenta as principais definições relacionadas aos Algoritmos
Genéticos (Pacheco, 2004).
Tabela 1 – Definições em Algoritmos Genéticos.
Nome Descrição
Cromossomo
Cadeia de caracteres representando alguma informação relativa
às variáveis do problema. Cada cromossomo representa deste
modo uma solução do problema.
Gene
Unidade básica do cromossomo. Cada cromossomo possui um
certo número de genes, cada um descrevendo uma certa variável
do problema.
Alelo Valor que um gene pode possuir.
Indivíduo Solução do problema.
População Conjunto de cromossomos ou soluções.
Espaço de Busca
Conjunto, espaço ou região que compreende as soluções
possíveis ou viáveis do problema a ser otimizado. Deve ser
caracterizado pelas funções de restrição, que definem as
soluções viáveis do problema a ser resolvido.
Geração Número da iteração que o Algoritmo Genético executa.
34
O Quadro 1 apresenta um pseudocódigo que descreve o funcionamento de um
AG simples. Existem variações que podem refletir desde diferenças conceituais até
detalhes de implementação, como, por exemplo, algoritmos genéticos paralelos
(Barreto, 2004). No entanto, a idéia básica é sempre a mesma.
Algoritmo Genético genérico
Inicialize a população de cromossomos (geração i = 1)
Avalie os indivíduos na população (função de avaliação)
Repita (evolução)
Selecione indivíduos para reprodução
Aplique operadores de recombinação e/ou mutação
Avalie os indivíduos gerados na população
Selecione indivíduos para sobreviver (geração i = i + 1)
Até objetivo final ou máximo de gerações
Fim
Quadro 1 – Funcionamento de um AG (Barreto, 2004)
Para um determinado problema, um Algoritmo Genético precisa ter os seguintes
componentes (Michalewicz, 1994):
1. Uma representação genética para a solução potencial do problema.
2. A criação de uma população inicial da solução potencial.
3. Uma função de avaliação que avalia a solução em termos de seu fitness.
4. Operadores genéticos que alteram a composição cromossomos gerados após o
cruzamento.
5. Valores para os vários parâmetros que os Algoritmos Genéticos usam, tais como,
tamanho da população, probabilidade de aplicação dos operadores genéticos, etc.
A seguir, serão apresentados os conceitos de cada um dos componentes de um
Algoritmo Genético.
35
3.3 REPRESENTAÇÃO
Cada possível solução no espaço de busca é representada por uma seqüência de
símbolos s gerados a partir de um alfabeto (binário ou real). Cada seqüência s
corresponde a um cromossomo e cada elemento de s é equivalente a um gene. Por
exemplo, uma função f(x,y) pode ter suas variáveis representadas da seguinte maneira:
44344214434421
yx
i
c 00111001101110010100=
A representação binária nem sempre pode ser empregada; muitas vezes o
problema exige um alfabeto de representação com mais símbolos. Qualquer que seja a
representação escolhida, deve ser capaz de representar todo o espaço de busca que se
deseja investigar.
A codificação real oferece uma maneira mais direta de se trabalhar em domínios
contínuos (Goldberg, 1989). Uma das grandes vantagens da representação real é a sua
naturalidade. Isso permite que conhecimento prévio sobre o domínio do problema seja
incorporado com mais facilidade ao processo. De um ponto de vista mais pragmático,
esse tipo de codificação exige cromossomos de menor comprimento, o que pode gerar
ganhos significativos de memória numa implementação em computador. Além disso,
pode-se fazer uso de toda a precisão da máquina de uma forma direta, bem como da
velocidade de processamento no caso de operações aritméticas tradicionais.
3.4 INICIALIZAÇÃO DA POPULAÇÃO
A inicialização básica de um algoritmo genético clássico se resume à síntese de
uma população inicial, sobre a qual serão aplicadas as ações dos passos subseqüentes
do processo. Tipicamente se faz uso de funções aleatórias para gerar os indivíduos,
sendo este um recurso simples que visa a fornecer maior diversidade, fundamental
para garantir uma boa abrangência do espaço de pesquisa (Goldberg, 1989).
Os operadores de inicialização mais tradicionais são (Barreto, 2004):
36
- Inicialização randômica uniforme.
- Inicialização randômica não uniforme.
- Inicialização randômica com dope.
3.4.1. Inicialização randômica uniforme
No método da Inicialização randômica uniforme, cada gene do indivíduo
receberá como valor um elemento do conjunto de alelos, sorteado de forma
aleatoriamente uniforme.
3.4.2. Inicialização randômica não uniforme
Na Inicialização randômica não uniforme, determinados valores a serem
armazenados no gene tendem a ser escolhidos com uma freqüência maior do que o
restante.
3.4.3. Inicialização randômica com dope
Neste método, Inicialização randômica com dope, indivíduos otimizados são
inseridos em meio à população aleatoriamente gerada. Esta alternativa apresenta o
risco de fazer com que um ou mais superindivíduos tendam a dominar no processo de
evolução e causar o problema de convergência prematura.
3.5 FUNÇÃO DE AVALIAÇÃO
Neste componente, todos os indivíduos da população sofrem um processo de
avaliação, que visa a atribuição de um valor de adaptação para a solução do problema
em estudo. Em conjunto com a escolha da representação, este é o ponto do algoritmo
mais dependente do problema em si, pois é necessário que o AG seja capaz de
responder sobre quão boa uma resposta é para o problema proposto (Davis, 1996).
Várias formas de avaliação são utilizadas: em casos de otimização de funções
matemáticas, o próprio valor de retorno destas funções é aplicado ao indivíduo, e em
37
problemas com muitas restrições, funções baseadas em penalidades são mais comuns.
A função de avaliação é também chamada de função objetivo.
3.6 SELEÇÃO
O processo de seleção em AGs seleciona indivíduos para posterior cruzamento.
A seleção é baseada na aptidão dos indivíduos: indivíduos mais aptos têm maior
probabilidade de serem escolhidos para a reprodução (Goldberg, 1989). Se f
i
é a
avaliação do indivíduo i na população atual, a probabilidade p
i
deste indivíduo ser
selecionado é proporcional a:
∑
=
=
n
j
i
i
i
f
f
p
1
(1)
onde n é o número de indivíduos na população. A seleção nos AGs normalmente se
implementa por uma roleta, onde cada indivíduo é representado por uma porção
proporcional a sua avaliação relativa, porém, existem outros métodos de seleção,
descritos a seguir (Barreto, 2004).
3.6.1 Seleção por classificação
No método da Seleção por classificação, os indivíduos da população são
ordenados de acordo com seu valor de aptidão e então, sua probabilidade de escolha é
atribuída conforme a posição que ocupam.
3.6.2 Seleção por torneio
Grupos de soluções são escolhidos sucessivamente no método da Seleção por
torneio e as mais adaptadas dentro de cada um destes são selecionadas (Golberg,
1989).
38
3.6.3 Seleção Uniforme
No método da Seleção Uniforme, Todos os indivíduos possuem a mesma
probabilidade de serem selecionados. Esta forma de seleção possui uma probabilidade
muito remota de causar a evolução da população sobre a qual atua.
3.6.4 Amostragem Estocástica Universal
No método da Amostragem Estocástica Universal, do inglês Stochastic Universal
Sampling (SUS), os indivíduos são mapeados em segmentos adjacentes cujos
comprimentos são iguais ao valor dado pela função de avaliação a cada indivíduo.
Dispõem-se N ponteiros igualmente espaçados entre si (N = número de pais a serem
selecionados) e a roleta gira apenas uma vez. Os pais escolhidos são os indivíduos
marcados pelos N ponteiros. A distância entre os ponteiros será 1/N e a posição do
primeiro ponteiro é dada por um número gerado aleatoriamente entre 0 e 1/N. O
método SUS é considerado suficientemente rápido para o processamento serial e mais
eficiente que os métodos de seleção da Roleta, Resto Estocástico e do Torneio (Baker,
1987).
3.7 RECOMBINAÇÃO
Os indivíduos selecionados para a população seguinte são recombinados através
do operador de recombinação. Este operador é considerado a principal característica
dos AGs. Os pares de indivíduos são escolhidos aleatoriamente e novos indivíduos são
criados a partir do intercâmbio do material genético. Os descendentes serão diferentes,
porém, com características genéticas de ambos (Michalewicz, 1994). Existem diversos
operadores de recombinação. Embora a maioria deles possa ser utilizada com um
número maior de indivíduos selecionados, será descrito o caso em que eles são
aplicados a um par de cromossomos, que é a situação mais comum e utilizada neste
trabalho.
39
3.7.1 Recombinação para codificação binária
Os operadores de recombinação binários se baseiam em geral na simples troca de
material genético dos cromossomos selecionados (Goldberg, 1989). O método mais
utilizado é a Recombinação por um ponto. Seleciona-se aleatoriamente um ponto de
corte e permutam-se as porções selecionadas.
3.7.2 Recombinação para codificação real
Os operadores convencionais (pontos e uniforme) são adequados à representação
binária, e também podem ser aplicados com a codificação real (Michalewicz, 1994),
conforme ilustra a Figura 3, cujos cromossomos são codificados com valores reais.
Pai 1 0,6732 2,8181 2,5504
Pai 2 0,3055 1,1352 0,9067
Filho 1
0,6732 2,8181 0,9067
Filho 2
0,3055 1,1352 2,5504
Figura 3 – Recombinação por um ponto
3.8 MUTAÇÃO
Os cromossomos criados a partir do operador de recombinação são,
posteriormente, submetidos à operação de mutação. Baseado na probabilidade P
m
de
mutação, o conteúdo de uma posição do cromossomo é alterado.
Durante o processo de evolução que ocorre nos AG’s, pode acontecer de alguns
elementos do alfabeto adotado (e, por conseqüência, alguns alelos) desaparecerem
definitivamente da população (Davis, 1996).
Para evitar que isso aconteça e uma porção do espaço de busca seja abandonada,
utiliza-se o operador genético conhecido como mutação. A mutação é um processo
Ponto de corte
40
simples, geralmente encarado como um operador secundário que ajuda a manter a
diversidade na população.
Ao contrário da recombinação, a mutação opera sobre um único indivíduo,
provocando pequenas perturbações no seu alelo que irão se refletir de alguma forma
no cromossomo. Os métodos de mutação serão descritos a seguir (Barreto, 2004).
3.8.1. Mutação aleatória
Cada gene a ser transformado recebe um valor sorteado do alfabeto válido
(Goldberg, 1989). A Figura 4 ilustra este processo, sendo C o cromossomo original, no
qual o gene em destaque foi o sorteado para mutação e C’ é o cromossomo resultante:
C
0,3055 1,1352 0,9067
C’
0,3055 1,1352 1,2367
Figura 4 – Mutação aleatória
3.8.2. Mutação por troca
No método da Mutação por troca são sorteados n pares de genes, e os elementos
do par trocam de valor entre si (Barreto, 2004).
3.9 PARÂMETROS DOS AGs
A configuração correta dos parâmetros de controle é um dos aspectos mais
relevantes dentro da estratégia dos Algoritmos Genéticos. Estas configurações irão
depender do tipo do problema a ser resolvido, entretanto, é intuitivo que este passo é
de muita importância para um bom desempenho do mecanismo de busca.
A eficiência e o bom funcionamento de um Algoritmo Genético dependem da
escolha correta de seus parâmetros de controle (Goldberg, 1989), sendo os principais
descritos a seguir.
41
3.9.1 Tamanho da população
O tamanho da população determina o número de pontos que serão considerados
no espaço de busca. O tamanho da população afeta a eficiência e o desempenho do AG
(Dinati,
Song, e Treiber, 2004).
Uma população de pequena dimensão pode levar o AG a convergir rapidamente
para um máximo local, enquanto que, uma população muito grande, prejudica o
desempenho computacional do algoritmo.
3.9.2 Probabilidade de cruzamento - P
c
Este parâmetro indica a taxa ou probabilidade de ocorrer o cruzamento entre
indivíduos selecionados na população. Quanto maior for esta taxa, mais rapidamente
novas estruturas serão introduzidas na população.
Em contrapartida, se ela for muito alta, estruturas com boas aptidões poderão ser
retiradas mais rapidamente da população, ocorrendo perda de estruturas de alta
aptidão. Valores baixos podem ainda tornar a convergência do algoritmo muito lenta.
Geralmente, a taxa de cruzamento varia entre 0,5 e 0,95 (Michalewicz, 1994).
3.9.3 Probabilidade de mutação - P
m
A taxa de mutação indica a probabilidade ou taxa em que haverá a mutação de
cromossomos nas populações ao longo da evolução. A mutação é empregada para
fornecer novas informações nas populações, evitando que as mesmas se tornem
saturadas com cromossomos similares e aumentar a diversidade populacional,
possibilitando, ainda, maior varredura do espaço de busca (Michalewicz, 1994).
3.9.4 Critérios de Parada
Quando o Algoritmo Genético encontra a solução ótima do problema, o processo
de evolução não se encerra espontaneamente. Alguns critérios de parada devem ser
pré-definidos.
42
O mais simples deles é simplesmente definir um número fixo de gerações. Outra
maneira é interromper o processo quando uma solução suficientemente boa for
alcançada. Como um último exemplo de critério, pode-se adotar a convergência, ou
seja, quando todos os indivíduos da população já estiverem muito parecidos, o
processo pode ser interrompido.
No caso da representação binária, pode-se considerar que uma população
convergiu quando 90% dos seus indivíduos apresentarem 90% de suas posições com o
mesmo valor (Lacerda e Carvalho, 1999).
43
4 MÉTODOS
Este capítulo apresenta os métodos utilizados neste trabalho para a geração de
trajetórias utilizando algoritmos genéticos e trajetórias cúbicas. O capítulo é iniciado
com a formulação do problema e apresenta, em seguida, duas propostas que foram
analisadas, mas não adotadas como solução final do problema.
4.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
Neste trabalho foi considerado um manipulador robótico planar com três graus de
liberdade, conforme ilustra a Figura 5. Os ângulos das juntas
θ
1
,
θ
2
e
θ
3
podem variar
entre -π e π. Os elos l
1
, l
2
e l
3
têm comprimento de 10 cm cada.
x
y
θ
1
θ
2
θ
3
l
3
l
2
l
1
Figura 5 – Manipulador robótico planar
A configuração angular inicial (Figura 6) corresponde ao vetor de variáveis das
juntas {0,0307; 1,8449; 1,5691}
T
em radianos. Na Figura 6, a área entre as
circunferências de raios R
1
e R
2
corresponde ao espaço de trabalho do manipulador,
sendo:
R
1
= l
1
+ l
2
+ l
3
(2)
e
2
31
2
22
)( lllR −+=
(3)
44
Figura 6 - Configuração inicial do manipulador.
A localização da garra para este tipo de manipulador robótico é dada pela equação
da cinemática direta:
+++++
+++++
=
)sin()sin()sin(
)cos()cos()cos(
321321211
321321211
θθθθθθ
θθθθθθ
lll
lll
y
x
(4)
O problema consiste em encontrar uma configuração angular final do
manipulador que seja ótima em relação à configuração inicial, isto é, deve envolver
menores deslocamentos angulares, que implica em menos energia despendida e,
consequentemente, menor desgaste das juntas.
Um exemplo de configuração ótima está ilustrado na Figura 7, que mostra a
configuração inicial (1), uma configuração ideal, com menor deslocamento angular em
relação à inicial (2) e uma outra solução distante da configuração inicial (3).
O erro de posicionamento no espaço Cartesiano também precisa ser levado em
consideração, para que a garra do manipulador atinja o ponto final desejado com o
menor erro possível.
Este problema possui dois objetivos a serem minimizados: deslocamento angular
e erro de posição, tratando-se, portanto, de um problema multi-objetivo.
45
Figura 7 – Configuração inicial e configuração ótima
Além da configuração angular ótima para que o manipulador atinja o ponto
desejado no espaço Cartesiano com baixos erros de posicionamento, o problema
também consiste no planejamento de trajetórias que interliguem o ponto inicial
conhecido e o ponto final desejado e forneçam os ângulos intermediários das juntas
entre as configurações inicial e final, e façam com que a garra do manipulador
percorra suavemente estas trajetórias, que se iniciam em coordenadas Cartesianas
distintas e terminam em diferentes pontos finais.
Dada a formulação do problema a ser resolvido neste trabalho, primeiramente
serão descritas duas abordagens que resolveram o problema da cinemática inversa e
geração de trajetórias, mas que não foram adotadas como solução final para este
trabalho: no item 4.2 a descrição da geração de trajetória utilizando redes neurais
artificiais (RNAs) e no item 4.3, a geração de trajetórias lineares através de algoritmos
genéticos (AGs). Posteriormente, no item 4.4, será apresentada a descrição da solução
final proposta para o problema.
46
4.2 GERAÇÃO DE TRAJETÓRIAS ATRAVÉS DE REDES NEURAIS
Uma proposta inicial para a solução do problema da cinemática inversa citado no
item anterior foi baseada nos trabalhos de Köker et al. (2004) e de Nunes, Gamarra
Rosado e Grandinetti (2005). Naqueles dois trabalhos, os ângulos intermediários entre
os pontos inicial e final, foram calculados através de uma trajetória cúbica, para
posterior treinamento da rede neural. A diferença entre os dois trabalhos foi o tipo de
rede neural utilizada, no primeiro foi utilizada uma rede neural do tipo Retro-
propagação, que necessita de um longo tempo de treinamento e exaustivos testes na
determinação do número ideal de camadas intermediárias e da quantidade de
neurônios em cada camada. No segundo trabalho foi utilizada uma rede neural com
Função de Base Radial (RBF), cujas principais características são o tempo de
treinamento extremamente rápido e possuir apenas três camadas (Figura 8): entrada,
intermediária ou escondida e camada de saída (Haykin, 2001). A quantidade de
neurônios na camada intermediária é definida automaticamente pelo algoritmo da rede
de acordo com o tamanho do vetor de treinamento.
⁄
⁄
∑
∑
∑
⁄
⁄
⁄
⁄
Camada de
entrada
Camada
intermediária
Camada de
saída
u
0
u
1
u
2
u
n
y
1
y
2
y
m
Função
Gaussiana
Função
Linear
Figura 8 - Estrutura de uma rede RBF
As redes recebiam como entrada as coordenadas cartesianas (x, y) e forneciam,
como saída, os ângulos (
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
) correspondentes. Um diagrama esquemático do
sistema é mostrado na Figura 9.
47
x
y
θ
1
θ
2
θ
3
Figura 9 - Diagrama do sistema implementado
Em ambos os trabalhos, a configuração angular dos pontos finais das trajetórias
simuladas foi calculada através de métodos analíticos, o que poderia não garantir uma
solução ótima para o problema da cinemática inversa daqueles pontos. Posteriormente,
uma trajetória cúbica foi utilizada para gerar os ângulos intermediários, e uma parcela
destes dados foi reservada para o treinamento das redes neurais.
De acordo com Haykin (2001) as redes neurais possuem capacidade de
generalização, mas no caso daqueles trabalhos, para que houvesse uma generalização
das redes para um dado valor de entrada não treinado, seria necessário o
preenchimento de grande parte da área de trabalho dos manipuladores por segmentos
de trajetórias, o que acarretaria em grande volume de dados de treinamento, além da
quantidade enorme de cálculos da cinemática inversa dos diversos pontos de origem e
destino no espaço Cartesiano.
Segundo os autores, nos dois trabalhos as respostas das redes neurais
implementadas apresentaram bons resultados na determinação da cinemática inversa
para os manipuladores estudados.
Aqueles trabalhos apresentaram boas contribuições tecnológicas ou científicas,
porém, a falta de motivação para continuidade da linha de pesquisa descrita nos
mesmos foi pelo fato de que as Redes Neurais necessitam do conhecimento prévio do
problema, ou seja, treiná-las com os ângulos de alguma maneira já obtidos das
configurações iniciais, finais e intermediárias.
48
4.3 GERAÇÃO DE TRAJETÓRIAS LINEARES ATRAVÉS DE AGs
Uma segunda proposta para o problema formulado no item 3.1 deste capítulo foi
a utilização de algoritmos genéticos no cálculo da cinemática inversa de trajetórias
lineares (Nunes, Gamarra Rosado e Grandinetti, 2006c), cujos resultados se
apresentam no Capítulo 5. No algoritmo implementado, os cromossomos
representavam os ângulos das juntas do manipulador para um determinado ponto. Os
ângulos das juntas foram codificados utilizando a representação real ao invés da
binária. A função de avaliação teve caráter multi-objetivo e foi definida com base em
dois critérios: deslocamento mínimo da garra no espaço Cartesiano e deslocamento
angular mínimo das juntas do manipulador, utilizando o método de ponderação dos
objetivos, descrito no item 6.1.2 do Capítulo 6.
O AG descrito naquele trabalho foi, então, utilizado para se obter trajetórias
lineares de um ponto inicial conhecido para diversos pontos finais no espaço
Cartesiano.
Para cada ponto (p
1
, p
2
, ..., p
n
) da trajetória, o AG foi executado, num processo
iterativo, até que o limite de 500 gerações fosse alcançado. Depois de encontrado o
ponto p
i
, seus valores foram atualizados como ponto inicial para encontrar o ponto p
i+1
.
As trajetórias simuladas possuíam 120 pontos.
Diversas simulações foram realizadas e as trajetórias geradas pelo AG foram,
então, comparadas com as trajetórias de referência. Foram calculados os desvios
máximos em relação às trajetórias de referência e os erros de posição para os pontos
finais de cada trajetória.
Os resultados demonstraram que as trajetórias geradas pelo AG não apresentaram
grandes desvios em relação às trajetórias de referência e a movimentação se dava sem
deslocamentos angulares bruscos. Os erros de posicionamento nos pontos finais das
trajetórias também foram muito baixos. Apesar dos bons resultados obtidos, a
metodologia apresentada também não foi adotada como a solução final para o
problema proposto para este trabalho. Isto se deve a dois motivos:
1) Quando se faz o planejamento de trajetórias no espaço Cartesiano, principalmente
no caso de trajetórias lineares, pode ocorrer o seguinte problema: dados o ponto
49
inicial e o ponto final, ambos no espaço de trabalho do manipulador, podem ocorrer
pontos intermediários que o manipulador não consegue atingir, conforme ilustra a
Figura 2 do Capítulo 2.
2) O custo computacional na obtenção das trajetórias foi muito alto, aproximadamente
45 minutos. O AG evoluía cerca de 250 vezes para cada um dos pontos da trajetória,
tornando o procedimento inviável para aplicações que exigem velocidade no
processamento.
4.4 SOLUÇÃO DO PROBLEMA
A solução final proposta neste trabalho é relativamente simples, eficiente, rápida
e tem, como contribuição, a combinação inédita entre algoritmos genéticos e
trajetórias cúbicas. De acordo com o exposto no item 4.1 deste capítulo, o problema
para configuração angular ótima do ponto final foi investigado através da aplicação de
um algoritmo genético, devido às vantagens do método apresentadas no Capítulo 3,
substituindo, então, o cálculo da cinemática inversa, eliminando os problemas
descritos no item 2.1 do Capítulo 2. Outra vantagem da aplicação de AG para este tipo
de problema é que o mesmo não necessita do conhecimento prévio do problema, ao
contrário das RNAs, que necessitam de um treinamento com dados conhecidos do
problema. Como se trata de um problema multi-objetivo, a escolha de um algoritmo
genético é plenamente justificável, devido à simplicidade em se implementar uma
função de avaliação com dois ou mais objetivos a serem otimizados. Dispondo-se das
configurações angulares do ponto inicial e do ponto final, o método adotado para a
geração de trajetórias entre estes pontos, sendo o último encontrado pelo algoritmo
genético, foi uma trajetória cúbica. Em resumo, de acordo com a Figura 10, o
algoritmo do método proposto para a geração de trajetórias do manipulador planar de
três graus de liberdade (gdl) é iniciado com a introdução do ponto inicial da trajetória.
Um algoritmo genético é, então, aplicado para encontrar os ângulos ótimos do ponto
final. A trajetória cúbica determinará os ângulos de cada uma das juntas de rotação
entre o ponto inicial e o ponto final da trajetória. Nas trajetórias cúbicas a velocidade
50
angular é contínua para evitar acelerações infinitas e conseqüentes danos ao
manipulador.
Figura 10 – Fluxograma para a geração da trajetória
Um fluxograma mais detalhado do método proposto é mostrado na Figura 11.
Após as definições dos parâmetros iniciais do AG, tais como tamanho da população,
número de ciclos de evolução e definição da função de avaliação, a primeira
população, criada aleatoriamente, passa pelo processo de avaliação. A população
evolui enquanto o critério de parada não for alcançado, passando pelos processos de
seleção, cruzamento e mutação. Quando o critério de parada for atingido, a
configuração angular ótima do ponto final da trajetória foi encontrada e, então, a
trajetória cúbica fornecerá os ângulos intermediários entre as configurações inicial e
final, finalizando o processo.
Figura 11 – Fluxograma detalhado para a geração da trajetória
4.4.1 Cinemática inversa
Conforme já visto no Capítulo 3, para um determinado problema a ser resolvido,
um Algoritmo Genético precisa ter os seguintes componentes (Michalewicz, 1994):
uma representação genética ideal para a solução do problema; a criação aleatória de
uma população inicial na qual cada indivíduo representa uma solução potencial do
problema; uma função de avaliação, cuja finalidade é atribuir a cada indivíduo um
valor que mede o grau de aptidão daquele indivíduo para a solução do problema;
51
operadores genéticos que alteram a composição dos cromossomos gerados após o
cruzamento com a finalidade de manter a diversidade da população e garantir a
sobrevivência dos indivíduos mais adaptados; valores para os parâmetros que os
Algoritmos Genéticos usam: tamanho da população e probabilidade de aplicação dos
operadores genéticos de cruzamento e mutação, valores estes, adotados
empiricamente.
4.4.1.1 Representação Genética
O sucesso de um algoritmo genético para um problema de otimização específico
depende da representação de um indivíduo na população (Kalra et. al., 2003). Cada
possível solução no espaço de busca é representada por uma seqüência de símbolos s
gerados a partir de um alfabeto (binário ou real). Cada seqüência s corresponde a um
cromossomo e cada elemento de s é equivalente a um gene.
Para o manipulador robótico estudado neste trabalho, os indivíduos na população
foram representados, com codificação real, pelos ângulos das juntas: {
θ
1
θ
2
θ
3
}. A
codificação real foi escolhida por se evitar sucessivas conversões do código binário,
tipo de representação mais comumente utilizado em AGs, para valores reais,
economizando, assim, tempo computacional.
4.4.1.2 Inicialização
No processo de inicialização, uma população de cromossomos é gerada
aleatoriamente. O tamanho da população afeta a eficiência e desempenho do AG
(Goldberg, 1989). Uma população de pequena dimensão pode levar o AG a convergir
rapidamente para um máximo local, enquanto que, uma população muito grande,
prejudica o desempenho computacional do algoritmo. A população inicial para um
robô com três graus de liberdade foi gerada aleatoriamente respeitando-se os limites
inferior (L) e superior (U) de cada variável de junta:
3,2,1=≤≤ i
U
ii
L
i
θθθ
(5)
52
onde i é o número de juntas do manipulador, L = -π e U = π. A Tabela 2 ilustra uma
população inicial na forma de uma matriz 3 x n, sendo n o tamanho da população.
Tabela 2 – População inicial
θ
3
θ
2
θ
1
n
θ
3
θ
2
θ
1
n-1
θ
3
θ
2
θ
1
3
θ
3
θ
2
θ
1
2
θ
3
θ
2
θ
1
1
θ
3
θ
2
θ
1
n
θ
3
θ
2
θ
1
n-1
θ
3
θ
2
θ
1
3
θ
3
θ
2
θ
1
2
θ
3
θ
2
θ
1
1
M M M
O trecho de programa em Matlab a seguir, utilizando o pacote GAOT, ilustra o
processo de inicialização de um AG:
%%%%% Parametros do AG
nind = 80; % número de indivíduos na população
vars = 3; % número de variáveis (ângulos das juntas)
range = [-pi -pi -pi; pi pi pi]; % cada ângulo pode variar entre -
π
e
π
%%%%% Populaçao inicial e Avaliaçao
pop = crtrp(nind, range); % a função crtrp cria uma população inicial aleatória
f = fit3(pop, xf); % a função fit3 faz a avaliação da população
4.4.1.3 Função de avaliação
A cada estrutura (solução) é associado um valor numérico aptidão (fitness) que
representa a qualidade desta estrutura e indica o grau de aptidão da mesma. O valor da
aptidão é obtido através da função de avaliação. A função de avaliação é de grande
importância na implementação do algoritmo genético, pois é através dela que se
determinam quais são os indivíduos que estão mais próximos da solução do problema.
A função de avaliação deste estudo, cujo fluxograma é mostrado na Figura 12, teve,
53
como tarefa, a minimização do erro de posição da garra do manipulador no espaço
Cartesiano e a redução do deslocamento total dos ângulos das juntas, tratando-se,
portanto de uma função multi-objetivo.
Início
Início
Fim
Fim
Parâmetros
iniciais
Parâmetros
iniciais
Cálculo da
cinemática direta
Cálculo da
cinemática direta
Cálculo do
erro de posição
Cálculo do
erro de posição
Cálculo do
deslocamento angular
Cálculo do
deslocamento angular
Cálculo do
fitness
Cálculo do
fitness
Figura 12 – Fluxograma da função de avaliação
A função de avaliação recebeu como parâmetros iniciais os comprimentos dos
elos do manipulador, a configuração angular inicial, as coordenadas do ponto final no
espaço Cartesiano e os ângulos atuais gerados pelo algoritmo genético. Por intermédio
dos ângulos atuais obtidos pelo AG, as coordenadas do ponto atual da garra do
manipulador foram calculadas pela equação da cinemática direta (Equação 4).
Dispondo-se das coordenadas do ponto atual, foi necessário medir a distância entre
este ponto e o ponto final, para se obter o erro de posição no espaço Cartesiano. A
métrica adotada foi a Distância Euclidiana, método clássico no cálculo de distâncias:
22
)()(
fifip
yyxxE −+−=
(6)
54
sendo (x
f
, y
f
) as coordenadas do ponto desejado e (x
i
, y
i
) as coordenadas da ponto atual.
A fim de impedir que o manipulador atinja o ponto final com grandes
deslocamentos angulares, foi adotado para este trabalho o erro de deslocamento
angular que, como conseqüência, permite menor gasto de energia, implicando em
menor desgaste das juntas. Para se determinar o menor deslocamento angular em
relação à configuração inicial, o método utilizado também foi a Distância Euclidiana:
(
)
(
)
(
)
2
,3,3
2
,2,2
2
,1,1 infinfinfa
E
θθθθθθ
−+−+−=
(7)
onde (
θ
i,in
) são os ângulos da configuração inicial do manipulador e (
θ
i,f
) são os
ângulos atuais gerados pelo AG. Ao contrário do erro de posição, onde a distância era
calculada entre o ponto atual e o ponto final, o erro de deslocamento angular foi
calculado tomando-se como referência a configuração inicial, visto que o objetivo é
que o manipulador alcance o ponto desejado com deslocamento angular mínimo em
relação à configuração inicial.
Portanto, neste trabalho, o erro de posicionamento e o deslocamento angular
foram abordados de forma conjunta através de uma função multi-objetivo (Nunes,
Gamarra Rosado e Grandinetti, 2006a, 2006b). Utilizando o método de ponderação
dos objetivos, que satisfaz a restrição
ω
1
+
ω
2
= 1, o valor da aptidão para este
problema de otimização foi definido como:
ap
EE
fitness
21
1
ωω
+
=
(8)
Pode não parecer possível minimizar a Eq. (8) com o inverso dos erros, mas
neste trabalho, o problema da cinemática inversa foi resolvido através de um problema
de maximização, portanto, o algoritmo genético implementado seleciona, como melhor
solução, aquela que apresenta maior valor de aptidão.
O Código completo da função de avaliação desenvolvida em Matlab está no
Apêndice A.
55
4.4.1.4 Seleção
O processo de seleção em AGs seleciona indivíduos para a reprodução. A seleção
é baseada na aptidão dos indivíduos: indivíduos mais aptos têm maior probabilidade de
serem escolhidos para a reprodução. O método de seleção escolhido para este trabalho
foi o Amostragem Estocástica Universal (SUS), apresentado no item 3.6.4 do Capítulo
3. O método SUS é considerado suficientemente rápido para o processamento serial e
mais eficiente que os métodos de seleção da Roleta, Resto Estocástico e do Torneio
(Baker, 1987). A linha de código em Matlab que implementa o processo de seleção é
mostrada a seguir:
s = select('sus', pop, F, gap);
4.4.1.5 Cruzamento e mutação
Os indivíduos selecionados para a população seguinte são recombinados através
do operador de Recombinação ou Cruzamento. Este operador é considerado a principal
característica dos AGs (Michalewicz, 1994). Os pares de indivíduos foram escolhidos
aleatoriamente e novos indivíduos criados a partir do intercâmbio do material genético.
O método da Recombinação por Um Ponto é o mais comumente aplicado e foi
utilizado neste trabalho (item 3.7.1 do Capítulo 3). Os novos cromossomos criados a
partir do operador de cruzamento foram, posteriormente, submetidos à operação de
mutação. Os genes foram alterados de acordo com a probabilidade p
m
de mutação. O
método utilizado neste trabalho foi Mutação Aleatória (item 3.8.1 do Capítulo 3). As
linhas de código a seguir implementam as funções de recombinação e mutação. Os
parâmetros 0,8 e 0,03 são as probabilidades de aplicação dos operadores de
recombinação e mutação respectivamente.
s = recombin('xovsp', s, 0.8);
s = mutbga(s, range, 0.03);
56
4.4.1.6 Critério de parada
Neste trabalho, o processo de evolução continua até que um número fixo de
gerações seja atingido ou até que o erro de posição da garra no manipulador no espaço
Cartesiano seja menor que um valor pré-determinado. O corpo principal do Algoritmo
Genético implementado é mostrado a seguir, o processo de evolução continua até que
o limite máximo de 250 gerações seja atingido.
while gen < 250, %% Evolução
F = scaling(f);
s = select('sus', pop, F, gap);
s = recombin('xovdp',s,0.8);
s = mutbga(s,range,0.03);
fs = fit3(s,xf);
[pop f]=reins(pop,s,1,1,f,fs);
gen = gen+1;
end
4.4.2 Trajetória cúbica
Os ângulos intermediários das juntas (
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
) entre os pontos inicial e final,
foram calculados através de uma trajetória cúbica (Köker et al., 2004) definida por:
2 3
0 0 0
2 3
3 2
( ) ( ) ( ) 1, ,
i i if i if i
f f
t t t i n
t t
θ θ θ θ θ θ
= + − − − = K
(9)
onde: t
f
é o tempo de percurso em segundos, t é o instante de tempo em segundos,
θ
0
é
o ângulo da junta na posição inicial,
θ
f
é o ângulo da junta na posição final e n é o
número de juntas do manipulador. A formulação matemática da trajetória cúbica é
apresentada no Anexo B.
57
O trecho do programa em Matlab que implementa a trajetória cúbica é mostrado
a seguir:
tf = 5;
pts = 120;
t = linspace(0, 5, pts);
for i = 1:3
for k = 1:pts;
qtrj(i,k) = q(i)+(3/(tf^2))*(qf(i)-q(i))*t(k)^2-(2/(tf^3))*(qf(i)-q(i))*t(k)^3;
end
end
4.5 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Para possibilitar a verificação e validação do algoritmo desenvolvido, o controle
da trajetória foi realizado em um manipulador didático Robix RCS-6, mostrado na
Figura 13. Este manipulador possui características da robótica industrial em um
sistema barato, de fácil construção e amplamente utilizado em robótica educacional.
Os materiais utilizados na parte experimental foram: um microcomputador Pentium
MMX, com 64 MB de memória RAM, três servomotores, adaptador eletrônico para o
controle dos servomotores e programas de comunicação entre o microcomputador e o
manipulador.
Figura 13 – Manipulador robótico Robix RCS-6
58
4.5.1 Descrição da bancada experimental
A bancada experimental, mostrada na Figura 14, consiste de um manipulador
robótico Robix RCS-6, configurado com três elos de juntas rotativas, fonte de
alimentação e um adaptador eletrônico para o controle dos servomotores. Estes
equipamentos estão disponíveis no Laboratório de Robótica do Departamento de
Engenharia Mecânica da Universidade de Taubaté.
Figura 14 – Bancada experimental
4.5.1.1 Adaptador eletrônico
O adaptador do ROBIX RCS-6 é um dispositivo eletrônico que controla as
funções do robô e conecta-se a um computador compatível com IBM PC, através de
uma porta paralela (Robix, 2006).
Este adaptador possui seis saídas para controle de servomotores. Apresenta
também oito entradas analógicas, com um conversor analógico-digital de oito canais e
oito bits, que permite a conexão de sensores, possuindo, também, sete chaves digitais
que comandam a comutação de cargas externas, além de duas saídas que fornecem
150mA de corrente contínua para a alimentação de pequenos motores e lâmpadas.
59
4.5.1.2 Servomotores
Foram utilizados três servomotores do tipo Hitec HS422 (Figura 15). Estes
servomotores são do tipo DC (Corrente Contínua) que é controlado por um circuito
eletrônico. O circuito de realimentação é constituído por um potenciômetro para
medição do deslocamento angular, conectado mecanicamente ao eixo do servomotor e
eletricamente à malha de controle eletrônico. A variação da resistência do
potenciômetro em função da rotação informa ao circuito eletrônico a rotação e o
sentido da rotação do servomotor.
Figura 15 – Servomotor Hitec HS-422
Ao girar em determinada direção, o motor move uma série de engrenagens que
amplificam e transferem o torque do motor ao eixo externo no qual são conectados os
controles mecânicos. O servomotor Hitec HS-422 apresenta um torque de 2,9x10
-3
N.m.
O servomotor recebe sinais de comando de um controlador conhecido como
Pulso com Modulação (PWM) com nível de tensão variando entre 0 e +5V, cujo
período em estado alto determina a posição comandada. Este período varia de 1 a 2
milisegundos (Robix, 2006). Seu controlador não possui memória, logo a ação de
controle somente ocorre imediatamente após o envio de pulsos comandados, sendo
preciso repetir periodicamente este sinal para manter o servo na posição desejada. Os
pulsos devem se repetir a cada 10 ou 20 ms, com duração entre 0,3 e 2,1 ms (Figura
16), porém, o intervalo de tempo entre os pulsos mantém-se constante e a variação da
largura dos mesmos indica ao servo a posição desejada.
60
10 – 20 ms
0,3 – 2,1 ms
5 V
0 V
Figura 16 – Sinal de pulsos do servomotor
4.5.1.3 Programa de interface
A interface ou programa console (rbxcon.exe) é um ambiente de programação
que permite programar os movimentos do robô. O programa console é executado no
Sistema Operacional de Disco (DOS), provendo um ambiente de programação
industrial para robôs de exploração. Este programa possui uma linguagem que permite
controlar o robô facilmente. O programa console implementa o modo de ensino (Teach
Mode) para programação sem que comandos tenham que ser digitados, além de exibir
continuamente os parâmetros do robô e as leituras dos sensores (Robix, 2006).
O driver de dispositivo (rbxdrv.exe) provê a interface de baixo nível com o
adaptador do ROBIX RCS-6. Este programa é automaticamente instalado na memória
quando o programa console é executado. Ele permite que o controle do ROBIX seja
feito por meio do programa console ou das bibliotecas de interface com o driver de
dispositivo, incluídas no conjunto. O driver de dispositivo permite uma coordenação
automática dos movimentos simultâneos dos servos, ajustando automaticamente a
velocidade dos mesmos para realizarem movimentos suaves, permitindo que todos
iniciem e parem ao mesmo tempo. As bibliotecas de interface com o driver de
dispositivo, possuem várias rotinas avançadas que permitem programar o robô
diretamente. Estas rotinas permitem o controle completo do ROBIX RCS-6,
possibilitando o monitoramento e o controle de suas ações, parâmetros, estados,
sensores, relatórios de erros, carga de arquivos, etc. As bibliotecas do ROBIX
permitem a programação condicional requerida, quando o comportamento do robô é
dado pela leitura de sensores provenientes do exterior.
61
4.5.2 Viabilidade do modelo experimental
O manipulador robótico Robix RCS-6 permite vários tipos de configuração, uma
vez que o conjunto que compõe o robô possui seis servomotores e vários elos com três
tamanhos diferentes (Robix, 2006). Para tornar o modelo experimental semelhante ao
simulado, o manipulador foi montado em uma configuração planar com três elos e três
juntas revolutas, conforme ilustra a Figura 17, sendo 10 cm a distância entre cada
junta.
Figura 17 – Modelo experimental
No programa de interface de controle do manipulador existe uma opção chamada
Teach Mode, que permite a movimentação do robô através do teclado do
microcomputador. Este modo foi utilizado na determinação da direção de cada elo em
relação ao elo anterior. Conforme ilustrado na Figura 18, os eixos x e y são
rotacionados de acordo com a posição de cada elo. Feito isto, os procedimentos
adotados para as simulações numéricas tiveram que passar por alguns ajustes de modo
a possibilitar a viabilidade dos resultados experimentais.
62
Figura 18 - Eixos de coordenadas
Nas simulações numéricas, os ângulos das juntas do manipulador eram livres
para girar dentro do intervalo de -
π
e
π
, em radianos. Como a movimentação do
manipulador Robix RCS-6 é feita através de unidades de pulsos dos motores, que
variam entre -1400 e 1400 (Figura 19a), para tornar o sistema simulado compatível
com o sistema experimental, os ângulos do manipulador foram configurados para girar
dentro do intervalo entre 0 e
π
, conforme ilustra a Figura 19b, representando o espaço
de trabalho do manipulador.
y
(cm)
x
(cm)
-1400 1400
0
y
(cm)
x
(cm)
0
π/2
π
(a) (b)
Figura 19 – (a) Unidades do robô e (b) Unidades angulares
63
Neste ponto houve a necessidade da resolução de um problema importante que
poderia inviabilizar o modelo experimental: a diferença entre as medidas dos
movimentos angulares em Matlab, que são expressas em radianos e as do ROBIX, que
são expressas em pulsos de motor. A solução encontrada foi a utilização de uma
função de escala desenvolvida especialmente para este trabalho, responsável pela
conversão dos ângulos em radianos em pulsos do motor. Esta função é dada por:
3,2,11400
2800
=+
−
= iy
ii
θ
π
(10)
onde y é o pulso do motor,
θ
é o ângulo em radianos e i é o número de graus de
liberdade do robô manipulador. O resultado desta conversão foi, então, usado para
transformar cada movimento gerado na simulação do robô em pulsos de motor que o
driver de dispositivo do ROBIX pudesse compreender e executar. O trecho do
programa desenvolvido em linguagem de programação C que implementa a trajetória
cúbica e converte os ângulos gerados em pulsos do motor é mostrado a seguir:
// trajetória cúbica
for(i = 0; i < 3; i++)
for(k = 0; k < pontos; k++)
qtrj[i][k]=qi[i]+(3.0/(pow(tf,2)))*(qf[i]-qi[i])*pow(t[k],2)-
(2.0/(pow(tf,3)))*(qf[i]-qi[i])*pow(t[k],3);
// conversão dos ângulos gerados pela trajetória cúbica em pulsos do motor
for(i = 0; i < 3; i++)
for(k = 0; k < pontos; k++)
robix[i][k] = -2800/pi*qtrj[i][k]+1400;
O pulso do motor permite a movimentação do elo i em relação ao elo i-1, ou seja,
seu deslocamento é relativo ao último elo e não à origem absoluta, conforme ilustra a
Figura 20. O deslocamento angular do manipulador nos procedimentos simulados era
64
em relação à origem absoluta, situada na base do sistema, então, o deslocamento
angular relativo foi adotado para os procedimentos simulados.
Figura 20 – Ângulos relativos do robô
65
5 RESULTADOS INTERMEDIÁRIOS
Este capítulo tem o objetivo de mostrar as etapas do desenvolvimento deste
trabalho, apresentando os resultados obtidos em diversos artigos publicados em anais
de congressos. Apresentam-se os resultados de simulações numéricas realizadas em
manipuladores robóticos com dois e três graus de liberdade, sendo a metodologia
adotada na implementação do algoritmo genético para a solução do problema da
cinemática inversa para os pontos finais desejados, a mesma descrita no item 4.4.1 do
Capítulo 4. Posteriormente, os resultados da geração de trajetórias lineares para um
manipulador com três graus de liberdade. Os resultados finais deste trabalho serão
apresentados no Capítulo 6.
5.1 MANIPULADOR COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE
Em Nunes, Gamarra Rosado e Grandinetti (2006a) foi utilizado um AG para a
solução da cinemática inversa para os pontos desejados. As simulações foram
realizadas em um manipulador planar com dois graus de liberdade, mostrado na Figura
21. Os comprimentos dos elos l
1
e l
2
são 25 cm e 15 cm respectivamente e os limites
dos ângulos das duas juntas variam entre -π e π. Para este tipo de manipulador,
existem duas combinações dos ângulos das juntas para uma mesma posição da garra.
x
y
l
1
l
2
θ
1
θ
2
Figura 21 - Manipulador robótico de dois graus de liberdade
66
A cinemática direta para este manipulador robótico é dada por:
1 1 2 1 2
1 1 2 1 2
cos( ) cos( )
sin( ) sin( )
l l
x
l l
y
θ θ θ
θ θ θ
+ +
=
+ +
(11)
Os seguintes parâmetros de controle são usados para o Algoritmo Genético:
tamanho da população = 80, probabilidade de mutação = 0,8 e probabilidade de
cruzamento = 0,03. Como o objetivo do trabalho é que o manipulador atinja o ponto
real com o menor erro de posicionamento e o menor deslocamento dos ângulos das
juntas, depois de vários testes, foram adotados os seguintes valores para
ω
1
e
ω
2
da
função de avaliação: 0,12 e 0,88 respectivamente. Todas as simulações foram
realizadas partindo-se de uma mesma configuração inicial do manipulador, atingindo-
se diferentes configurações finais. A configuração inicial corresponde ao vetor de
variáveis das juntas {0,05; 1,2079}
T
(Figura 22a) em radianos. A configuração final
são as coordenadas desejadas da garra (x, y). O algoritmo genético evolui enquanto o
erro de posição for maior que 1 mm. Os resultados de algumas simulações estão
apresentados na Tabela 3.
Tabela 3 - Resultados da Simulação
Erro Relativo (%)
Ponto Desejado
(x; y)
θ
θθ
θ
1
(rad)
θ
θθ
θ
2
(rad)
θ
θθ
θ
1
θ
θθ
θ
2
(-3; 25) 1,0829 2,9456 0,0018 0,0017
(5; 17) 0,6512 3,0186 0,0015 0,002
(15; 21) 0,3517 2,1709 0,0085 0,0014
(-5; 30) 1,2233 2,6937 0,0250 0
(15; 25) 0,669 2,4567 0 0,024
A Tabela 3 apresenta as coordenadas dos pontos desejados e os ângulos das
juntas do manipulador obtidos pelo Algoritmo Genético de modo que o manipulador, a
partir de uma posição inicial (Fig. 22a) atinja estas coordenadas (Fig. 22b). Os erros
67
relativos dos ângulos das juntas foram calculados através da solução analítica da
cinemática inversa do robô em relação aos valores atuais dos ângulos das juntas nos
pontos reais. A solução analítica foi obtida por meio da biblioteca para Matlab, Planar
Manipulator Toolbox (PLANMANT). O Algoritmo Genético gerou ângulos com erros
relativos baixos, de no máximo 0,025% na determinação de
θ
1
e 0,024% na
determinação de
θ
2
. Os erros foram baixo devido ao fato de o Algoritmo Genético
gerar configurações angulares semelhantes às configurações obtidas pela solução
analítica, por se tratar de um manipulador robótico com dois graus de liberdade.
-5 0 5 10 15 20 25
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
Po n to Final
Po n to FinalPo n to Final
Po n to Final
x (cm)
x (cm)x (cm)
x (cm)
y (cm)
y (cm)
y (cm)
y (cm)
-15 -10 -5 0 5 10 15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
Po nto Fi na l
Po nto Fi na lPo nto Fi na l
Po nto Fi na l
x (cm)
x (cm)x (cm)
x (cm)
y (cm)
y (cm)
y (cm)
y (cm)
(a) (b)
Figura 22 - (a) Posição Inicial, (b) Posicionamento no ponto desejado
Para a primeira simulação da Tabela 3, foram gerados gráficos da evolução da
população em torno do ponto desejado (ponto final). A Figura 23(a) mostra a
distribuição dos indivíduos da população inicial ocupando todo o espaço de busca dos
ângulos em radianos das juntas do manipulador e a Figura 23(b) mostra a aproximação
dos indivíduos da população em torno do ponto desejado (ponto final) no último ciclo
de evolução.
Posição inicial
68
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
θ
1
θ
2
θ
1
θ
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
(a) (b)
Figura 23 - (a) População Inicial, (b) população final
O erro de posicionamento da garra do manipulador e o deslocamento total dos
ângulos das juntas durante o ciclo de evolução do Algoritmo Genético estão ilustrados
na Figura 24 (a) e (b) respectivamente.
50 100 150 200 250
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Geraç ão
Geraç ãoGeraç ão
Geraç ão
Erro de P osic i onament o
Erro de P osic i onament o
Erro de P osic i onament o
Erro de P osic i onament o
Geração
Erro de Posicionamento (cm)
50 100 150 200 250
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
Geraç ão
Geraç ãoGeraç ão
Geraç ão
Desloc am ent o Total das Junt as
Desloc am ent o Total das Junt as
Desloc am ent o Total das Junt as
Desloc am ent o Total das Junt as
Geração
Deslocamento Total das Juntas (rad)
(a) (b)
Figura 24 - (a) Erro de Posicionamento, (b) Deslocamento total das Juntas
Os ângulos gerados pelo Algoritmo Genético foram, então, substituídos na
Equação (11) de modo a se obter as posições x e y do manipulador. Os resultados
obtidos estão apresentados na Tabela 4, que mostra que o maior erro relativo de
posicionamento foi de 0,1937% em x e 0,0424% em y. Como pode ser observado na
Tabela 4, apesar de o Algoritmo Genético ter como prioridade, neste trabalho, a
•
Ponto ótimo
* Indivíduos
69
redução do deslocamento total dos ângulos das juntas do manipulador, foram obtidos
baixos erros de posicionamento.
Tabela 4 - Erros de Posicionamento
Ponto Desejado
(x; y)
Posição Atual
(x; y)
Erro Relativo (x)
(%)
Erro Relativo (y)
(%)
(-3; 25) (-2,9942; 25,0045) 0,1937 0,018
(5; 17) (4,9970; 16,9935) 0,06 0,0382
(15; 21) (14,9996; 20,9911)
0,0027 0,0424
(-5; 30) (-5,0058; 30,0021) 0,1159 0,007
(8; 25) (7,9939; 24,9941) 0,0763 0,0236
5.2 MANIPULADOR COM TRÊS GRAUS DE LIBERDADE
Em um trabalho semelhante ao descrito no item 5.1, Nunes, Gamarra Rosado e
Grandinetti (2006b) ampliaram o número de graus de liberdade do manipulador de
dois para três graus. As simulações foram realizadas no manipulador mostrado na
Figura 25. Os comprimentos dos elos l
1
, l
2
e l
3
são 25 cm, 15 cm e 10 cm
respectivamente e os limites dos ângulos das duas juntas variam entre -π e π. Para este
tipo de manipulador, existem múltiplas combinações dos ângulos das juntas para uma
mesma posição da garra.
x
y
θ
1
θ
2
θ
3
l
3
l
2
l
1
Figura 25 - Manipulador robótico de três graus de liberdade
70
A localização do órgão terminal para este manipulador robótico é dada pela
equação da cinemática direta:
1 1 2 1 2 3 1 2 3
1 1 2 1 2 3 1 2 3
cos( ) cos( ) cos(
sin( ) sin( ) sin(
l l l
x
l l l
y
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
+ + + + +
=
+ + + + +
(12)
Os seguintes parâmetros de controle foram utilizados para o Algoritmo Genético:
tamanho da população = 80, probabilidade de mutação = 0,8, probabilidade de
cruzamento = 0,03, fatores de ponderação da função de avaliação
ω
1
= 0,12 e
ω
2
=
0,88.
A Tabela 5 apresenta os pontos desejados e os ângulos das juntas do manipulador
obtidos pelo Algoritmo Genético de modo que o manipulador, a partir de uma posição
inicial atinja essas posições finais. Os erros relativos dos ângulos das juntas foram
calculados em relação aos valores atuais dos ângulos das juntas na posição desejada,
obtidos através da solução analítica da cinemática inversa do robô. A solução analítica
foi obtida por meio da biblioteca Planar Manipulator Toolbox (PLANMANT), para
Matlab Os erros se devem ao fato de o Algoritmo Genético gerar configurações
diferentes das obtidas através da solução analítica.
Tabela 5 - Simulação Numérica
Ponto Desejados
(x; y)
θ
θθ
θ
1
(rad)
θ
θθ
θ
2
(rad)
θ
θθ
θ
3
(rad)
Erro Relativo (%)
(10; 20) 0,379 1,884 1,742 0,052 0,088 1,543
(5; 15) 0,272 2,466 1,906 0,780 0,276 0,574
(15; 20) 0,343 1,551 1,436 0,204 0,032 0,119
(20; 15) 0,058 1,243 1,201 0,000 0,811 1,702
(5; 25) 0,828 2,020 1,734 0,121 0,353 0,801
Para a primeira simulação da Tabela 5, foram gerados gráficos da evolução da
população em torno do ponto desejado ótimo. A Figura 26 mostra a distribuição dos
71
indivíduos da população inicial ocupando todo o espaço de busca dos ângulos das
juntas do manipulador, dados em radianos.
-2
0
2
-2
0
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
q1
q2
q3
Figura 26 - População Inicial
A Figura 27 mostra a evolução da população em torno do ponto ótimo após 18
ciclos. Nota-se a aproximação dos indivíduos em torno do ponto ótimo desejado.
-2
0
2
-2
0
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
q1
q2
q3
Figura 27 - Evolução da população após 18 ciclos
A aproximação dos indivíduos da população em torno do ponto desejado ótimo
no último ciclo de evolução é mostrada na Figura 28. Conforme ilustra a Figura 28,
apenas um indivíduo ficou muito distante da solução na população final. Isto se deve
θ
θθ
θ
1
θ
θθ
θ
2
θ
θθ
θ
3
•
- Ponto Ótimo
* - Indivíduos
•
- Ponto Ótimo
* - Indivíduos
θ
θθ
θ
3
θ
θθ
θ
2
θ
θθ
θ
1
72
ao fato deste indivíduo não ter sofrido evoluções por causa dos baixos valores a ele
atribuídos pela função de avaliação.
-2
0
2
-2
0
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
q1
q2
q3
Figura 28 - Evolução da população final
O erro de posicionamento da garra do manipulador e o deslocamento total dos
ângulos das juntas durante o ciclo de evolução do Algoritmo Genético estão ilustrados
nas Figuras 29 e 30 respectivamente. Conforme ilustra a Figura 29, o erro de
posicionamento foi estabilizado após aproximadamente 150 ciclos de evolução.
0 50 100 150 200 250
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Geração
GeraçãoGeração
Geração
Erro de Posicionamento (cm)
Erro de Posicionamento (cm)
Erro de Posicionamento (cm)
Erro de Posicionamento (cm)
Figura 29 - Erro de Posicionamento
•
- Ponto Ótimo
* - Indivíduos
θ
θθ
θ
3
θ
θθ
θ
2
θ
θθ
θ
1
73
De acordo com a Figura 30, nas primeiras gerações, o deslocamento total dos
ângulos das juntas do manipulador apresenta grandes saltos, devido à inicialização
aleatória da população, estabilizando após 100 ciclos de evolução.
0 50 100 150 200 250
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Geração
GeraçãoGeração
Geração
Deslocamento Total das Juntas (rad)
Deslocamento Total das Juntas (rad)
Deslocamento Total das Juntas (rad)
Deslocamento Total das Juntas (rad)
Figura 30 - Deslocamento total das Juntas
Os ângulos gerados pelo Algoritmo Genético foram, então, substituídos na
Equação (12) de modo a se obter as novas posições x e y do manipulador. Os
resultados obtidos estão apresentados na Tabela 6, que mostra que o maior erro
relativo de posicionamento foi de 0,1937% em x e de 0,0424% em y. Como pode ser
observado na Tabela 6, apesar do Algoritmo Genético ter como prioridade, neste
trabalho, a redução do deslocamento total dos ângulos das juntas do manipulador,
foram obtidos erros de posicionamento muito pequenos. Isto é coerente visto que nesta
aplicação não se dá ênfase à precisão.
Tabela 6 - Erros de Posicionamento
Ponto Desejado
(x; y)
Posição Atual
(x; y)
Erro Relativo
em x (%)
Erro Relativo
em y (%)
(10; 20) (10,0045; 20,0088)
0,045 0,044
(5; 15) (5,0001; 14,9956) 0,002 0,0293
(15; 20) (15,0005; 19,9912)
0,0033 0,044
(20; 15) (20,0031; 14,9961)
0,0155 0,026
(5; 25) (4,9950; 24,9912) 0,1001 0,0352
74
5.3 GERAÇÃO DE TRAJETÓRIAS LINEARES
O conhecimento adquirido em AGs nos trabalhos descritos nos itens 5.1 e 5.2 foi,
então, utilizado para se obter uma trajetória linear de um ponto inicial para um ponto
final (Nunes, Gamarra Rosado e Grandinetti, 2006c). Para cada ponto (p
1
, p
2
, ..., p
n
) da
trajetória, o AG é executado, num processo iterativo, até que o limite de 250 gerações
seja alcançado. Depois que o ponto p
i
é encontrado, seus valores são atualizados como
ponto inicial para encontrar o ponto p
i
+1
. As trajetórias simuladas neste trabalho
possuem 120 pontos. Para facilitar a identificação das trajetórias simuladas, estas serão
referenciadas por números, de acordo com a Tabela 7. Todas as simulações foram
realizadas partindo-se de uma mesma configuração inicial do manipulador, atingindo-
se diferentes pontos finais.
Tabela 7 – Identificação das Simulações
Simulação
#
1 2 3 4 5
Ponto Desejado
(x; y)
(20; 10) (-5; 25) (-10; 20) (20; 20) (26,5; 5,5)
Os seguintes parâmetros de controle foram utilizados para o Algoritmo Genético:
tamanho da população = 90 indivíduos, probabilidade de cruzamento = 0,7 e
probabilidade de mutação = 0,09. Com relação à simulação 1, a Figura 31 mostra uma
região ampliada da trajetória de referência a ser seguida pelo manipulador de sua
posição inicial até o ponto final (20; 10). A trajetória gerada pelo AG, apesar de estar
muito próxima da trajetória de referência, apresenta desvios mínimos, que não
comprometem o resultado final.
75
Figura 31 - Trajetória obtida pelo AG
A Figura 32 mostra as distâncias entre cada ponto da trajetória de referência e os
pontos correspondentes da trajetória gerada pelo algoritmo genético. Nesta simulação,
o maior desvio em relação à trajetória de referência foi de 0,0056 cm.
Figura 32 - Distâncias entre os pontos da trajetória
Para permitir que o manipulador percorra a trajetória de referência com
deslocamentos angulares mínimos e suaves das juntas, foi adotado cálculo dos erros
angulares, dado pela Equação (7), esses erros foram acrescentados na função fitness
(Equação 8). A Figura 33 ilustra as sucessivas configurações do manipulador entre o
^
76
ponto inicial e o ponto final. A Figura 34 mostra o deslocamento dos ângulos obtidos
pelo AG.
Figura 33 - Configurações sucessivas da simulação 1
Figura 34 – Deslocamento dos ângulos obtidos pelo AG
Os resultados das simulações subseqüentes estão mostrados nas Figuras de 35 até
38, que correspondem às simulações de 2 a 5, respectivamente (Tabela 7). Estas
figuras mostram as sucessivas configurações do manipulador do ponto inical até o
ponto final de cada trajetória. As trajetórias obtidas pelo algoritmo genético não
apresentam desvios bruscos em relação às trajetórias de referência.
77
Figura 35 - Configurações sucessivas da simulação 2
Figura 36 - Configurações sucessivas da simulação 3
Figura 37 - Configurações sucessivas da simulação 4
78
Figura 38 - Configurações sucessivas da simulação 5
Os desvios máximos de todas as trajetórias geradas em cada simulação pelo
algoritmo genético, em relação às trajetórias de referência, estão apresentados na
Tabela 8. Todas as simulações apresentaram valores desprezíveis como desvios
máximos.
Tabela 8 – Desvios em Relação à Trajetória de Referência
Simulação
nº.
Ponto Desejado
(x; y)
Maior Desvio
(cm)
1 (20; 10) 0,0150
2 (-5; 25) 0,0073
3 (-10; 20) 0,0172
4 (20; 20) 0,0882
5 (26,5; 5,5) 0,0324
Os ângulos gerados pelo Algoritmo Genético para os pontos finais de cada
trajetória foram, então, substituídos na Equação (12) de modo a se obter as posições x
e y do manipulador naqueles pontos. Os resultados obtidos estão apresentados na
Tabela 9, que mostra que o maior erro relativo de posição foi de 0,1196% em x e de
0,12% em y, erros relativos referentes à simulação 5. Como pode ser observado na
Tabela 9, apesar de o Algoritmo Genético ter como prioridade, neste trabalho, a
79
redução do deslocamento total dos ângulos das juntas, o manipulador atingiu os pontos
finais desejados com baixos erros de posicionamento.
Tabela 9 – Erros Relativos de Posição
Ponto Desejado
(x; y)
Posição Atual
(x; y)
Erro Relativo
em x (%)
Erro Relativo
em y (%)
(20; 10) (20,0000; 9,9999) 0 0,0010
(-5; 25) (-4,9993; 24,9991)
0,0140 0,0036
(-10; 20) (-9,9993; 20,0001)
0,0070 0,0005
(20; 20) (19,9931; 20,0042)
0,0345 0,0210
(26,5; 5,5) (26,4683; 5,5066) 0,1196 0,1200
Os resultados foram satisfatórios, pois o robô atingiu as posições desejadas sem
grandes oscilações nas trajetórias geradas, sem deslocamentos bruscos das juntas e
baixos erros de posicionamento.
80
6 RESULTADOS FINAIS
Este capítulo apresenta os resultados obtidos nas simulações numéricas
realizadas em Matlab e em linguagem de programação C. Apresenta, também,
comparações dos resultados obtidos nestes dois ambientes de programação, além dos
resultados obtidos no procedimento experimental, de modo a verificar e validar a
pesquisa proposta.
6.1 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS
Conforme descrito no início do Capítulo 4, as simulações foram realizadas em
um manipulador com três graus de liberdade, cujos elos l
1
, l
2
e l
3
têm comprimento de
10 cm e os limites dos ângulos das duas juntas variam entre -π e π. Para este tipo de
manipulador existem múltiplas combinações dos ângulos das juntas para uma mesma
posição da garra. Todas as simulações foram realizadas partindo-se de uma mesma
configuração inicial, atingindo-se diferentes configurações finais do manipulador. A
configuração inicial corresponde ao vetor de variáveis das juntas {0,0307, 1,8756,
1,5691}
T
em radianos e a configuração final são as coordenadas (x, y) da garra no
espaço Cartesiano, obtidas pela Equação (4). Foram utilizados os programas Matlab
versão 5.1 (cópia licenciada para a Universidade de Taubaté), devido a sua facilidade
de programação e geração de gráficos, o pacote Genetic Algorithm Optimization
Toolbox (GAOT), que simula o processo de evolução por meio de algoritmos
genéticos em Matlab e tem distribuição gratuita (JOINES, 1998) e o pacote Planar
Manipulators Toolbox (PLANMANT), também de distribuição gratuita, este pacote de
funções desenvolvidas para o Matlab permite a simulação de manipuladores robóticos
de n graus de liberdade com juntas revolutas com o propósito de simulações
cinemáticas, dinâmicas e geração de trajetórias (ZLAJPAH, 2000). A listagem do
código implementado em Matlab está disponível no Apêndice B.
81
6.1.1 Parâmetros do AG
Não existem regras rígidas na definição dos parâmetros de controle do
Algoritmo. Os parâmetros de controle neste trabalho, listados na Tabela 10, foram
adotados com base na experiência adquirida durante a realização deste trabalho e na
observação dos resultados obtidos.
Tabela 10 – Parâmetros do AG
Número de gerações 300
Tamanho da população 80
Probabilidade de cruzamento 0.8
Probabilidade de mutação 0.03
6.1.2 Fatores de ponderação
Os fatores de ponderação
ω
1
e
ω
2
da função de avaliação tiveram papel
importante neste trabalho, pois garantiram o menor deslocamento angular das juntas
do manipulador, obtendo erros de posicionamento insignificantes. Foram realizadas
várias simulações variando-se os valores dos fatores de ponderação da função multi-
objetivo dada pela equação (8) do capítulo 4.
6.1.2.1 Minimização do erro de posição
Numa primeira simulação, partindo da posição inicial, para atingir a coordenada
(10, 20), foram adotados os seguintes valores:
ω
1
= 0,99 e
ω
2
= 0,01, neste caso,
priorizando o menor erro de posição da garra do manipulador. Com estes valores, foi
permitida ao manipulador qualquer abertura dos ângulos das juntas para atingir o
ponto desejado, conforme ilustra a Figura 39.
82
Figura 39 - Movimentos angulares sem restrições
A Figura 39 mostra a configuração das juntas do manipulador na posição inicial,
uma configuração que envolveria um menor deslocamento das juntas para atingir o
ponto desejado e a configuração obtida com os ângulos gerados pelo AG. Nota-se que
esta última é bem distante daquela que poderia ser a ideal, porém, neste caso, o erro
relativo de posicionamento para a configuração angular obtida foi praticamente nulo,
ou seja, 0,003% em x e 0,0005% em y. O Algoritmo Genético atingiu o ponto final em
menos de 250 ciclos de evolução.
6.1.2.2 Menor deslocamento angular
Em outra simulação, ainda para a coordenada (10, 20), os valores adotados
foram:
ω
1
= 0,01 e
ω
2
= 0,99, com prioridade máxima para o menor deslocamento dos
ângulos das juntas do manipulador. Após mais de 5000 ciclos de evolução, não houve
qualquer movimentação do manipulador para atingir o ponto final. A primeira
impressão é que houve alguma falha do Algoritmo Genético, mas como a prioridade
do algoritmo é garantir o menor deslocamento dos ângulos das juntas, com baixa
prioridade para o erro de posicionamento, o Algoritmo Genético manteve o
manipulador parado, garantindo, assim, um deslocamento nulo das juntas.
Final (10, 20)
83
6.1.2.3 Ponderação entre erro de posição e deslocamento angular
Como o objetivo do trabalho é que o manipulador atinja o ponto final com o
menor erro de posicionamento e o menor deslocamento dos ângulos das juntas
(Figura 40), depois de vários testes, foram adotados os valores de 0,12 e 0,88 para
ω
1
e
ω
2
respectivamente.
Figura 40 – Configuração com menor deslocamento angular
6.1.3 Cinemática inversa do ponto final
Definidos os parâmetros de controle do algoritmo genéticos e os valores dos
fatores de ponderação para o erro de posição e o deslocamento angular, o AG descrito
neste trabalho foi, então, utilizado para se obter as configurações ótimas dos pontos
finais simulados. Para facilitar a identificação das simulações dos pontos finais das
trajetórias, estas serão referenciadas por números, de acordo com a Tabela 11.
Tabela 11 – Identificação das Simulações
Simulação
#
1 2 3 4 5 6
Ponto final
(x, y)
(20; 10) (-10; 15) (26,5; 5,5) (16; 18) (25; -10) (15; 10)
Final (10, 20)
84
Com relação à simulação 1, o AG calculou a configuração angular ótima para o
ponto final (20, 10). A Figura 41 (a) mostra a distribuição dos indivíduos da população
inicial ocupando todo o espaço de busca dos ângulos das juntas, em 41 (b) está
ilustrada a evolução da população em torno do ponto ótimo após 18 ciclos, a evolução
da população após 100 ciclos é mostrada em 41 (c) e em 41 (d), a proximidade dos
indivíduos da população em torno do ponto ótimo no último ciclo de evolução.
Observa-se que nesta última figura, a maioria dos indivíduos da população (97,5%)
convergiu para a solução ótima, ficando apenas dois indivíduos (2,5%) muito distantes
da mesma.
Legenda: • Ponto Ótimo
*
Indivíduos
-2
0
2
-2
0
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
0
2
-2
0
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
0
2
-2
0
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
0
2
-2
0
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figura 41 - Evolução - (a) população inicial (b) 18 ciclos, (c) 100 ciclos, (d) população final
θ
θθ
θ
1
θ
θθ
θ
2
θ
θθ
θ
3
θ
θθ
θ
1
θ
θθ
θ
2
θ
θθ
θ
3
θ
θθ
θ
1
θ
θθ
θ
2
θ
θθ
θ
3
θ
θθ
θ
1
θ
θθ
θ
2
θ
θθ
θ
3
(a)
(c)
(d)
(b)
85
O erro de posicionamento da garra do manipulador no espaço Cartesiano e o
deslocamento total dos ângulos das juntas durante o ciclo de evolução do Algoritmo
Genético estão ilustrados nas Figuras 42 e 43 respectivamente.
50 100 150 200 250
1
2
3
4
5
6
Geraç ão
Geraç ãoGeraç ão
Geraç ão
Er ro de Pos ição
Er ro de Pos ição
Er ro de Pos ição
Er ro de Pos ição
Geração
Erro de Posição (cm)
Figura 42 – Erro de posição
O erro de posicionamento foi estabilizado após aproximadamente 20 ciclos de
evolução, ocorrendo o mesmo para o deslocamento angular. Nas primeiras gerações,
tanto o erro de posição quanto o deslocamento total dos ângulos das juntas do
manipulador apresentam grandes saltos, isto se deve ao processo de inicialização
aleatória da população.
50 100 150 200 250
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Geração
GeraçãoGeração
Geração
Des locam ento angular total
Des locam ento angular total
Des locam ento angular total
Des locam ento angular total
Geração
Deslocamento Angular Total (rad)
Figura 43 – Deslocamento total dos ângulos das juntas
86
O algoritmo genético implementado selecionou, como melhor solução, aquela
que apresentou maior valor de fitness. Os melhores valores do fitness durante o
processo evolutivo estão representados graficamente na Figura 44.
Figura 44 – Melhor fitness
Os erros relativos dos ângulos atuais das juntas nos pontos finais foram
calculados em relação aos valores obtidos através da solução analítica da cinemática
inversa do robô (Anexo A). A Tabela 12 apresenta os pontos desejados, os ângulos das
juntas do manipulador obtidos pelo Algoritmo Genético naqueles pontos e os erros
relativos em relação à solução analítica. As soluções analíticas foram obtidas por meio
da biblioteca Planar Manipulator Toolbox (PLANMANT), para Matlab. Estas
soluções foram comparadas com as soluções obtidas pelo AG, conforme a Tabela 12.
Tabela 12 – Erros relativos angulares
Ponto Desejado
(x; y)
θ
θθ
θ
1
(rad)
θ
θθ
θ
2
(rad)
θ
θθ
θ
3
(rad)
Erro Relativo (%)
(20; 10) -0,3707 1,4370 0,3820 39,6254
30,7314 49,4040
(-10; 15) 0,6732 2,8181 2,5504 27,4021
26,9300 21,2402
(26,5; 5,5) -0,3796 0,7152 0,2725 9,5113 91,4859 57,0257
(16; 18) -0,0037 1,5772 0,9304 95,2258
10,4637 14,8219
(25; -10) -1,0129 0,0571 -0,2113 2,7367 12,4016 145,1276
(15; 10) -0,7692 1,5027 0,7717 5,5849 4,9225 6,8895
87
Devido aos erros relativos apresentados na Tabela 12, os resultados podem não
parecer satisfatórios, mas, para atingir o ponto final, o Algoritmo Genético gerou
configurações diferentes das obtidas através da solução analítica, conforme ilustra a
Figura 45, comprovando que o algoritmo genético implementado procura atingir o
ponto final com o menor deslocamento angular.
Legenda: Configuração Inicial Solução Analítica Solução por AG
Figura 45 – Diferença entre os métodos de solução
88
Conforme pode ser observado na Tabela 12, as simulações apresentaram grandes
erros relativos, devido ao fato de que o algoritmo genético escolhe caminhos menores
para atingir o ponto final das trajetórias, apresentando resultados distintos dos obtidos
pela solução analítica, conforme ilustra a Figura 46, na qual as setas indicam o sentido
da trajetória.
-30 -20 -10 0 10 20 30
-30
-20
-10
0
10
20
30
Configuração
final
x
y
Configuração
inicial
x (cm)
y (cm)
-30 -20 -10 0 10 20 30
-30
-20
-10
0
10
20
30
Configuração
final
x
y
Configuração
inicial
x (cm)
y (cm)
(a) (b)
Figura 46 – Deslocamento angular: (a) solução analítica, (b) solução por AG
Os ângulos gerados pelo Algoritmo Genético para o ponto final de cada trajetória
simulada foram, então, substituídos na equação da cinemática direta, dada pela
Equação (12), de modo a se obter as posições x e y do manipulador naquele ponto.
Os resultados obtidos estão apresentados na Tabela 13, que mostra que o maior
erro relativo de posição, em relação ao ponto final foi de 0,5581% em x, referente à
simulação número 4 e de 0,7909% em y, referente à simulação número 3.
89
Tabela 13 – Erros Relativos de Posição
Ponto Desejado
(x; y)
Posição Atual
(x; y)
Erro Relativo
em x (%)
Erro Relativo
em y (%)
(20; 10) (19,9339; 10,0157) 0,3305 0,1570
(-10; 15) (-9,9660; 14,9873) 0,3400 0,0847
(26,5; 5,5) (26,4691; 5,5435) 0,1166 0,7909
(16; 18) (15,9107; 17,9815) 0,5581 0,1028
(25; -10) (25,0553; -10,0103) 0,2212 0,1030
(15; 10) (15,0323; 9,9951) 0,2153 0,0490
Os resultados obtidos por meio do algoritmo genético apresentado foram bastante
satisfatórios. Como pode ser observado na Tabela 13, apesar de o Algoritmo Genético
ter como prioridade, neste trabalho a redução do deslocamento total dos ângulos das
juntas do manipulador, foram obtidos erros de posicionamento muito pequenos,
ou
seja, o maior erro relativo em relação ao ponto desejado é menor que 1%.
6.1.4 Geração de trajetórias
Dispondo-se das configurações inicial e final do manipulador, esta última obtida
pelo algoritmo genético, uma trajetória cúbica foi utilizada para encontrar todos os
ângulos intermediários entre estas duas configurações. As trajetórias simuladas neste
trabalho possuem 120 pontos, com tempo de percurso de 5 segundos.
Os resultados das simulações estão mostrados a seguir na Figura 47, que
correspondem às simulações de 1 a 6, respectivamente. Estas figuras mostram as
sucessivas configurações do manipulador do ponto inicial até o ponto final de cada
trajetória. Conforme pode ser observado nestas figuras, a movimentação do
manipulador é coerente em termos de otimização de deslocamento angular.
90
Figura 47 -
Configurações sucessivas das trajetórias
1
2
3
4
5
6
91
Os resultados obtidos a partir das simulações realizadas com diferentes
seqüências foram bastante satisfatórios. O algoritmo genético gerou os ângulos ótimos
das configurações dos pontos finais das trajetórias simuladas com o menor
deslocamento angular em relação à configuração inicial. Após o cálculo da cinemática
direta com os ângulos obtidos pelo AG para se determinar a posição da garra do
manipulador no espaço Cartesiano, foram detectados erros de posição muito baixos,
comprovando a eficácia do método proposto.
6.2 RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Depois de efetuados os ajustes necessários para tornar viável o modelo
experimental, ajustes estes, descritos no Capítulo 4, o programa gerado na linguagem
de programação do Matlab foi, então, transcrito para a linguagem de Programação C,
utilizando a biblioteca Genetic Algorithm Utility Library (GAUL), com o objetivo
principal de se verificar o custo computacional do método proposto em uma linguagem
de programação mais rápida e, como objetivo secundário, futura implementação em
tempo real.
6.2.1 Biblioteca GAUL
O problema da cinemática inversa para a configuração angular final foi
investigado utilizando algoritmos genéticos, através da biblioteca computacional
GAUL. A biblioteca GAUL tem distribuição gratuita e foi desenvolvida por Adcock
(2005) e é composta por um conjunto de funções codificadas em linguagem de
programação C, que permite o estudo e aplicação de AGs seriais ou paralelos. AGs
seriais são aqueles que são executados em um único computador, e os paralelos têm
seu processamento distribuído entre diversos computadores. Esta biblioteca foi
compilada utilizando-se o ambiente integrado de desenvolvimento para a linguagem de
programação C/C++, Bloodshed Dev-C++, também de distribuição gratuita. Estes
programas foram instalados em um microcomputador equipado com processador
Intel® Pentium IV, com 512 MB de memória RAM e velocidade de processamento de
92
2.8 GHz. A listagem do programa desenvolvido neste trabalho se encontra no
Apêndice C.
O fluxograma completo do sistema proposto é ilustrado da Figura 48, que mostra
que após a geração dos ângulos pela trajetória cúbica, estes são convertidos em pulsos
do motor para a movimentação das juntas.
Início
Início
Avaliação
Avaliação
Critério de
parada
Critério de
parada
Seleção
Seleção
Cruzamento
Cruzamento
Mutação
Mutação
Trajetória
Cúbica
Trajetória
Cúbica
{
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
}
{
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
}
Conversão de
unidades
Conversão de
unidades
Fim
Fim
V
F
Figura 48 - Fluxograma completo do sistema proposto
O programa em linguagem C utilizando a biblioteca de algoritmos genéticos
GAUL foi testado com os mesmos pontos finais utilizados nas simulações em Matlab.
Os parâmetros de controle do AG não foram os mesmos adotados para as simulações
em Matlab, pois, com aqueles parâmetros, o algoritmo genético não convergiu
corretamente para a solução desejada tanto para o erro de posição quanto para o
deslocamento angular, não obtendo, portanto, bons resultados em termos de
otimização. Após vários testes, foram adotados os seguintes parâmetros de controle do
AG: probabilidade de cruzamento = 0,85, probabilidade de mutação = 0,045 e foram
93
necessários 1000 ciclos de evolução. Com estes parâmetros, os resultados obtidos
foram satisfatórios.
Depois que o AG encontrou os ângulos otimizados para todos os pontos finais
das trajetórias simuladas, as posições atuais foram obtidas por meio do cálculo da
cinemática direta. Os erros relativos de posição no espaço Cartesiano foram, então,
calculados. Estes erros estão apresentados na Tabela 14, na qual pode-se observar que
também foram obtidos erros de posicionamento muito baixos.
Tabela 14 – Erros Relativos de Posição (linguagem C)
Ponto Desejado
(x; y)
Posição Atual
(x; y)
Erro Relativo
em x (%)
Erro Relativo
em y (%)
(20; 10) (20,0027; 10,0023) 0,0135 0,0230
(-10; 15) (-9,8812; 14,7360) 1,1880 1,7600
(26,5; 5,5) (26,4678; 5,5250) 0,1215 0,4545
(16; 18) (15,8396; 17,9676) 1,0025 0,1800
(25; -10) (24,9850; -9,9617) 0,0600 0,3830
(15; 10) (15,0090; 10,0040) 0,0600 0,0400
De acordo com a Tabela 14, em comparação com os resultados obtidos nas
simulações em Matlab, também foram obtidos baixos erros de posição, sendo o maior
erro relativo de posicionamento no eixo y de 1,76%. A comparação entre os ângulos
gerados pelo programa em linguagem C e os ângulos gerados nas simulações é
mostrada na Figura 49. Nesta figura, as configurações sucessivas das trajetórias
simuladas em Matlab estão representas pelas linhas finas e, para facilitar a
visualização, foram desenhadas somente as configurações finais de cada trajetória,
obtidas pelo programa em linguagem C, representadas pelas linhas mais espessas.
94
Figura 49 – Soluções obtidas através da biblioteca GAUL
1
2
3
4
5
6
95
Conforme pode ser observado na Figura 49, nas três primeiras simulações (1, 2 e
3) o Algoritmo Genético implementado em linguagem C gerou configurações finais
semelhantes às obtidas no Matlab e nas três últimas (4, 5 e 6), apresentou resultados
melhores que os obtidos em Matlab, obtendo configurações finais com menores
deslocamentos em relação à configuração inicial. Com estes resultados pode-se
observar que o manipulador descreve trajetórias ótimas atingindo os pontos finais
desejados com bastante precisão e, consequentemente, com menos gasto de energia.
Para se conseguir os resultados apresentados, foram necessários 1000 ciclos de
evolução, e um resultado inesperado, foi que o algoritmo desenvolvido em linguagem
C apresentou bom desempenho computacional: todo o procedimento, desde a
determinação dos ângulos ótimos da configuração final pelo algoritmo genético, até a
obtenção dos ângulos intermediários pela trajetória cúbica, foi executado em pouco
menos de um segundo, ou seja, em 0,844 segundos para todos os testes.
Obtida a configuração final através do AG, os ângulos intermediários através da
trajetória cúbica e a conversão dos ângulos em pulsos do motor, no final da execução
do programa, um arquivo de texto com a extensão RBX, formato padrão da interface
de controle do ROBIX, é gerado automaticamente pelo sistema. Este arquivo contém
todos os comandos necessários para mover o manipulador da posição inicial até a
posição desejada. A Figura 50 mostra um trecho deste arquivo, listado de forma
completa no Apêndice D, sendo que em cada linha, as juntas 1, 2 e 3 são movidas
simultaneamente através do comando Move.
Figura 50 – Trecho do programa de controle do robô
move 1 to 651, 2 to 721, 3 to -1087
move 1 to 652, 2 to 721, 3 to -1087
move 1 to 652, 2 to 721, 3 to -1087
move 1 to 652, 2 to 722, 3 to -1086
move 1 to 653, 2 to 722, 3 to -1086
move 1 to 654, 2 to 723, 3 to -1086
M
96
6.2.2 Processamento das Imagens
Devido ao tipo de servomotores utilizados neste trabalho não possuírem qualquer
tipo de controle externo para se verificar se o manipulador robótico realizou ou não a
trajetória desejada, este item trata do procedimento adotado para tornar possível tal
verificação. Uma das formas seria instrumentar o manipulador com encoders para
adquirir as posições reais dos ângulos de rotação correspondentes a cada junta do
manipulador, mas este método não foi possível devido às dimensões reduzidas do
mesmo. Então, o método adotado para testar a veracidade do programa desenvolvido e
apresentado foi a filmagem do movimento do manipulador e o posterior
processamento da imagem de modo que fosse permitido medir os ângulos das juntas.
Para este objetivo, o programa utilizado foi o Scion Image for Windows, que é
um programa de distribuição gratuita para o processamento e análise de imagens,
disponível para microcomputadores padrão IBM-PC (Scion, 2006). Com este
programa é possível adquirir, mostrar, editar, realçar e analisar imagens, possuindo
muitas funções para o processamento de imagens, incluindo realce de contraste,
suavização, detecção de bordas, filtragem pela média e convolução espacial com
filtros definidos pelo usuário. Como o objetivo deste trabalho não é o processamento
de imagens, maiores informações sobre estas funções podem ser obtidas em Gonzalez
e Woods (2000). O Scion Image pode ser usado na medida de áreas, cálculo de médias,
centróides, perímetros, além de comprimentos e ângulos. Um recurso importante do
programa é a calibração espacial da imagem, que permite que as medidas de
comprimentos e áreas sejam compatíveis com as medidas do mundo real.
6.2.3 Trajetória experimental
O programa desenvolvido foi utilizado para gerar uma trajetória partindo da
configuração inicial {0,8399; 0,8399; 0,3516}, cuja coordenada é (1,1426; 26,3443)
até a coordenada cartesiana (20, 20), conforme ilustra a Figura 51, resultado da
simulação em Matlab.
97
Figura 51 – Trajetória simulada
A Tabela 15 apresenta os ângulos obtidos para alguns pontos da trajetória
percorrida pelo manipulador nesta simulação, estes pontos incluem a configuração
inicial, a configuração final e sete pontos intermediários. A posição do manipulador no
espaço Cartesiano foi obtida por meio do cálculo da cinemática direta. Os erros
relativos de posição da configuração final (última linha da Tabela 15) foram baixos:
0,3985% no eixo x e 0,226% no eixo y.
Tabela 15 – Dados da trajetória simulada
Ângulos (rad) Posição (cm)
θ
θθ
θ
1
θ
θθ
θ
2
θ
θθ
θ
3
x y
0,8399 0,8399 0,3516 1,1426 26,3443
0,8170 0,8293 0,3467 1,9908 26,3844
0,7568 0,8015 0,3337 4,2400 26,3538
0,6715 0,7621 0,3153 7,4241 25,9698
0,5739 0,7170 0,2942 11,0195 25,0383
0,4762 0,6718 0,2731 14,4823 23,5912
0,3909 0,6324 0,2548 17,3355 21,9241
0,3307 0,6046 0,2417 19,2316 20,5287
0,3078 0,5940 0,2368 19,9203 19,9548
98
Após a execução do programa em linguagem C com a mesma configuração
inicial da simulação anterior, um código de controle do manipulador (Apêndice D) foi
gerado e utilizado no modelo experimental. A trajetória percorrida pelo manipulador
foi, então, filmada para posterior análise. A Figura 52(a) mostra a configuração inicial
da trajetória e o ponto final desejado na coordenada (20, 20). A grade quadriculada na
base no manipulador tem distância de 10 cm tanto na horizontal (eixo x) quanto na
vertical (eixo y). A Figura 52(b) mostra o modelo experimental já na posição desejada,
depois de percorrida a trajetória. Nota-se que a configuração inicial e a configuração
final do modelo experimental são semelhantes às mesmas configurações do modelo
simulado da Figura 51.
(a) (b)
Figura 52 – Procedimento experimental – configurações (a) inicial e (b) final
A Figura 53 apresenta uma seqüência de imagens, numeradas de 1 até 9, que
descrevem o percurso do modelo experimental da posição inicial até o ponto final
desejado. Conforme pode ser observado na Figura 53, a movimentação do
manipulador é compatível com a movimentação do modelo simulado apresentada na
Figura 51.
ponto
final
99
Figura 53 – Seqüência de imagens da trajetória experimental
De modo a se reconstruir a trajetória percorrida pelo modelo experimental para
fins de verificação se o manipulador percorreu a trajetória planejada, foram tomadas as
imagens da Figura 53, nas quais, com a utilização do programa Scion Image, foram
realizadas as medidas dos ângulos das juntas do manipulador. Os ângulos medidos
estão apresentados na Tabela 16, que também mostra a posição do manipulador no
espaço Cartesiano, obtida por meio da cinemática direta.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
100
Tabela 16 – Dados da trajetória experimental
Ângulos (rad) Posição (cm)
Imagem
θ
θθ
θ
1
θ
θθ
θ
2
θ
θθ
θ
3
x y
1 0,8401 0,8649 0,3706 0,5000 26,1100
2 0,7441 0,8216 0,3571 3,9614 26,1600
3 0,6838 0,7728 0,3303 6,7469 26,0200
4 0,6207 0,7113 0,2879 10,0098 25,5200
5 0,5304 0,6775 0,2572 13,2300 24,3522
6 0,4898 0,6493 0,2230 15,0800 23,5704
7 0,4674 0,6231 0,1893 16,4176 22,9537
8 0,3681 0,6190 0,1432 19,1061 20,9874
9 0,3070 0,6227 0,1062 20,6100 19,6400
Com a utilização dos dados de posição da tabela 16, foi possível gerar a trajetória
percorrida pelo modelo experimental, bem como o cálculo das distâncias em relação à
trajetória simulada. A Figura 54 mostra a comparação entre a trajetória simulada e a
trajetória obtida no procedimento experimental. Na Figura 54 é possível observar que,
apesar de bem próxima da trajetória simulada, as variações na trajetória experimental
são devido às características físicas do manipulador em estudo e às folgas existentes
em suas juntas. Os erros relativos de posição da configuração final (última linha da
Tabela 16) foram relativamente baixos: 3,05% no eixo x e 1,8% no eixo y.
101
Figura 54 – Trajetória simulada e experimental
Foram medidas as distâncias Euclidianas entre os pontos inicial e final da
trajetória simulada e da trajetória experimental. Estas distâncias estão apresentadas na
Tabela 17. O ponto inicial da trajetória experimental ficou 0,6840 cm de distância do
mesmo ponto da trajetória simulada e o ponto final, distante 0,7581 cm do ponto final
da trajetória simulada. Conforme dito anteriormente, isto se deve às características
físicas do manipulador em estudo e às folgas existentes em suas juntas.
Tabela 17 – Distância entre os pontos inicial e final das trajetórias
Traj. simulada Traj. experimental Distância (cm)
Ponto inicial
(1,1426; 26,3443) (0,5; 26,11) 0,6840
Ponto final
(19,9203; 19,9548)
(20,61; 19,64) 0,7581
As Figuras 55 e 56 mostram respectivamente a comparação entre o modelo
simulado e o modelo experimental do deslocamento da garra do manipulador nos eixos
x e y. Conforme pode ser observado nestas figuras, apesar do desvio apresentado, o
procedimento experimental apresentou bom desempenho, visto que os deslocamentos
nos eixos x e y possuem as mesmas características do deslocamento obtido na
trajetória simulada.
102
Figura 55 – Deslocamento no eixo x
Figura 56 – Deslocamento no eixo y
Mesmo com os desvios observados nos deslocamentos dos eixos x e y, mostrados
nas Figuras 55 e 56 respectivamente, o resultado obtido foi satisfatório, considerando-
se que o manipulador utilizado foi um modelo para fins didáticos, com folgas em suas
juntas. Este resultado valida o método proposto neste trabalho, pois o manipulador
percorreu a trajetória planejada.
103
7 CONCLUSÃO
Este capítulo apresenta as principais conclusões resultantes do trabalho realizado,
destacando os resultados, as contribuições e as sugestões para desenvolvimento em
trabalhos futuros.
7.1 CONCLUSÕES
Algoritmos Genéticos foram implementados para encontrar os ângulos
otimizados para que o manipulador atinja o ponto final no espaço Cartesiano com
menor deslocamento angular.
Dispondo-se da configuração inicial pré-determinada e da configuração final
obtida pelo Algoritmo Genético, uma trajetória cúbica foi implementada para
encontrar os ângulos intermediários entre estas configurações.
O método proposto foi implementado em dois ambientes de programação: em
Matlab e em Linguagem de Programação C.
O desempenho computacional do método proposto desenvolvido em Matlab e em
linguagem de programação C foi comparado, como, também, foram comparados os
resultados obtidos nestes dois ambientes.
Um manipulador robótico Robix RCS-6, de configuração similar ao modelo
simulado, foi utilizado nos procedimentos experimentais e os resultados foram
comparados aos obtidos no modelo simulado.
Os resultados obtidos por meio do algoritmo genético apresentado foram bastante
satisfatórios. Apesar de o Algoritmo Genético ter como prioridade neste trabalho a
redução do deslocamento total dos ângulos das juntas do manipulador, foram obtidos
baixos erros de posicionamento na maioria dos casos analisados.
Em algumas simulações, o Algoritmo Genético implementado em linguagem C
gerou configurações finais semelhantes às obtidas no Matlab e, em outras, apresentou
resultados melhores, obtendo configurações finais com menores deslocamentos em
relação à configuração inicial.
O programa desenvolvido em linguagem de programação C permitiu o
processamento do sistema com custo computacional muito baixo, as trajetórias foram
104
geradas com tempo de processamento menor que um segundo. Para validação do
modelo experimental, este programa converteu todos os ângulos da trajetória em
pulsos do motor.
A reconstrução da trajetória percorrida pelo modelo experimental em computador
foi possível devido à medição dos ângulos das juntas do manipulador em algumas
imagens do filme do percurso da trajetória. Este procedimento possibilitou a
verificação se o manipulador percorreu, ou não, a trajetória planejada.
O desvio da trajetória experimental em relação à trajetória simulada foi
conseqüência das características físicas do manipulador em estudo e às folgas
existentes em suas juntas. O resultado validou o método proposto neste trabalho, pois
o manipulador percorreu a trajetória planejada.
Os resultados obtidos tanto nos procedimentos numéricos quanto nos
procedimentos experimentais foram satisfatórios. O algoritmo genético implementado
gerou configurações com deslocamentos angulares reduzidos em relação à
configuração inicial, sendo atingido o objetivo proposto neste trabalho.
As vantagens e contribuições deste método se devem ao fato do algoritmo
genético gerar ângulos ótimos da configuração final com redução do deslocamento
angular e com baixos erros de posicionamento, além de que a trajetória cúbica
proporciona a movimentação do manipulador sem deslocamentos angulares bruscos.
Outra contribuição deste trabalho é a combinação inédita entre AGs e trajetórias
cúbicas: obtenção dos ângulos ótimos da configuração final do manipulador por meio
de algoritmos genéticos e a geração de trajetórias por meio de polinômios cúbicos,
proporcionando um sistema cuja implementação é relativamente simples, gerando
trajetórias sem deslocamentos angulares bruscos e com baixo custo computacional.
Os resultados mostraram que o método implementado é eficiente,
computacionalmente rápido e viável em aplicações reais.
105
7.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
- Aprimorar o algoritmo genético implementado em linguagem C de modo que este
alcance o ponto final desejado com erros de posicionamento ainda menores.
- Propor o estudo de novos parâmetros de otimização na função de avaliação do
algoritmo genético em manipuladores robóticos.
- Implementar a metodologia apresentada para robôs que operem em ambientes
tridimensionais, o que permitirá o teste de forma mais ampla do algoritmo
desenvolvido neste trabalho.
- Realizar o estudo de controle de trajetórias ótimas em um manipulador com desvio
de obstáculos fixos.
106
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ensino dos conceitos básicos, aplicações, técnicas e formas de implementação dos
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<http://www.geocities.com/igoryepes/index.htm>. Acesso: 25 set. 2005.
ZLAJPAH, L. Planar Manipulators Toolbox for use with Matlab/Simulink, 2000.
Disponível em <http://www2.ijs.si/~leon/planman.html>. Acesso: 20 set. 2002.
115
APÊNDICE A
– Código da Função de avaliação em Matlab
function yy = fit3(pop,xf)
linha = size(pop,1);
%%%%% Configuraçoes iniciais do robo %%%%%
L = [10;10;10];
qi = [0.0307; 1.8756; 1.5691];
%%%%% Ângulos atuais gerados pelo AG %%%%
for i=1:linha
qf = [pop(i,1); pop(i,2); pop(i,3)];
%%% Cinemática Direta %%%
cL=L.*cos(qf);
sL=L.*sin(qf);
x=[sum(cL);sum(sL)];
%%% Distancia Euclidiana %%%
dist = sqrt((xf(1) - x(1))^2 + (xf(2) - x(2))^2);
Dt = sqrt((qf(1)-qi(1))^2 + (qf(2)-qi(2))^2 + (qf(3)-qi(3))^2);
%%% Valor do Fitness %%%
yy(i,1) = 1/(0.12*dist+0.88*Dt);
end
116
APÊNDICE B
– Listagem do Código em Matlab
%clear all
clc
L=[10,10,10];
xf = [20; 20];
q = [0,0307; 1,8756; 1,5691];
hold on
plot(xf(1),xf(2),'ob');
%text(xf(1)+3,xf(2),'Target');
plotrobot(q,L)
pause(2)
%%%%% Parametros do AG
nind = 80;
vars = 3;
range = [-pi -pi -pi; pi pi pi];
gap = 0.98;
gen = 0;
erro = 10;
%%%%% Populaçao inicial e Avaliaçao
pop = crtrp(nind, range);
f = fitcubic(pop,xf);
tic
tmp=cputime;
%%%%% Geraçoes
while gen < 250,
F = scaling(f);
s = select('sus', pop, F, gap);
s = recombin('xovsp',s,0.8);
s = mutbga(s,range,0.03);
fs = fitcubic(s,xf);
[pop f]=reins(pop,s,1,1,f,fs);
gen = gen+1;
%%%%% Escolha do melhor elemento
[m,indm] = max(f);
[p,indp] = min(f);
t1 = pop(indm,1);
t2 = pop(indm,2);
t3 = pop(indm,3);
117
the = [t1;t2;t3];
qf = the;
%%%%% Cinemática Direta
%cL=L.*cos(qf);
%sL=L.*sin(qf);
%%%%% posição do end-effector
%x=[sum(cL);sum(sL)];
[x]=kinmodel(qf,L);
%%%%% Calculo do erro
erro = sqrt((xf(1) - x(1))^2 + (xf(2) - x(2))^2);
et = sqrt((t1 - q(1))^2 + (t2 - q(2))^2 + (t3 - q(3))^2);
%%%%% Desenha a posiçao atual do robo
title(['Geraçao: ',num2str(gen), ' Erro: ',num2str(erro)]);
plotrobot(the,L)
%%%%% Estatisticas
de(gen,1) = erro; %erro de posiçao
dt(gen,1) = et; %menor deslocamento de juntas
mf(gen,1) = m; %melhor fitness
pf(gen,1) = p; %pior fitness
fm(gen,1) = sum(f)/nind; %fitness medio da geraçao
end
%%%%% Trajetória Cúbica
tf = 5;
pts = 9;
t = linspace(0,5,pts);
%tic
%tmp=cputime;
for i = 1:3
for k = 1:pts;
qtrj(i,k) = q(i) + (3/(tf^2))*(qf(i) - q(i))*t(k)^2 - (2/(tf^3))*(qf(i) - q(i))*t(k)^3;
end
end
for i = 1:pts
pos(:,i) = kinmodel(qtrj(:,i),L);
end
118
qtrj = qtrj';
elos=[10 10 10];
th = [qtrj(:,1) qtrj(:,2) qtrj(:,3)];
%pos = [x y];
toc
cputime-tmp
qf
grafico(pos',th,elos,xf)
119
APÊNDICE C
– Listagem do Código em Linguagem C
/*********************************************************************
*
test_ga.c
*********************************************************************
*********************************************************************/
#include <time.h>
#include "gaul.h"
#define pi 3.14159265
#define pontos 120
/*********************************************************************
test_to_double()
synopsis: Convert to double array.
parameters:
return:
last updated: 25 Nov 2002
*********************************************************************/
boolean test_to_double(population *pop, entity *entity, double *array)
{
if (!pop) die("Null pointer to population structure passed.");
if (!entity) die("Null pointer to entity structure passed.");
array[0] = ((double *)entity->chromosome[0])[0];
array[1] = ((double *)entity->chromosome[0])[1];
array[2] = ((double *)entity->chromosome[0])[2];
return TRUE;
}
/*********************************************************************
test_from_double()
synopsis: Convert from double array.
parameters:
return:
last updated: 25 Nov 2002
*********************************************************************/
120
boolean test_from_double(population *pop, entity *entity, double *array)
{
if (!pop) die("Null pointer to population structure passed.");
if (!entity) die("Null pointer to entity structure passed.");
if (!entity->chromosome) die("Entity has no chromsomes.");
((double *)entity->chromosome[0])[0] = array[0];
((double *)entity->chromosome[0])[1] = array[1];
((double *)entity->chromosome[0])[2] = array[2];
return TRUE;
}
/*********************************************************************
test_score()
synopsis: Fitness function.
parameters:
return:
updated: 25 Nov 2002
*********************************************************************/
boolean test_score(population *pop, entity *entity)
{
int i, L[3] = {10, 10, 10}; /* Loop variable over all alleles. */
double xf[2] = {-12.0, 20.0};
double qi[3] = {0.0307, 1.8756, 1.5691};
double qf[3] = {0.0, 0.0, 0.0};
double dist = 0.0, Dt = 0.0, x = 0.0, y = 0.0;
double cL[3] = {0.0, 0.0, 0.0}, sL[3] = {0.0, 0.0, 0.0};
entity->fitness = 0.0;
qf[0] = ((double *)entity->chromosome[0])[0];
qf[1] = ((double *)entity->chromosome[0])[1];
qf[2] = ((double *)entity->chromosome[0])[2];
for(i = 0; i < 3; i++)
{
cL[i] = L[i] * cos(qf[i]);
sL[i] = L[i] * sin(qf[i]);
x = x + cL[i];
121
y = y + sL[i];
}
dist = sqrt(pow((xf[0]-x),2) + pow((xf[1]-y),2));
Dt = sqrt(pow((qf[0]-qi[0]),2) + pow((qf[1]-qi[1]),2) + pow((qf[2]-qi[2]),2));
entity->fitness = 1.0/(0.15*dist+0.85*Dt);
return TRUE;
}
/*********************************************************************
test_generation_callback()
synopsis: Generation callback
parameters:
return:
updated: 25 Nov 2002
*********************************************************************/
boolean test_generation_callback(int generation, population *pop)
{
//printf( "%3d: T1 = %5.4f T2 = %5.4f T3 = %5.4f (fitness = %5.4f)\n",
// generation,
// ((double *)pop->entity_iarray[0]->chromosome[0])[0],
// ((double *)pop->entity_iarray[0]->chromosome[0])[1],
// ((double *)pop->entity_iarray[0]->chromosome[0])[2],
// pop->entity_iarray[0]->fitness );
//return TRUE;
}
/*********************************************************************
test_seed()
synopsis: Seed genetic data.
parameters: population *pop
entity *adam
return: success
last updated: 25 Nov 2002
*********************************************************************/
boolean test_seed(population *pop, entity *adam)
{
/* Checks. */
122
if (!pop) die("Null pointer to population structure passed.");
if (!adam) die("Null pointer to entity structure passed.");
/* Seeding. */
((double *)adam->chromosome[0])[0] = random_double_range(-pi, pi);
((double *)adam->chromosome[0])[1] = random_double_range(-pi, pi);
((double *)adam->chromosome[0])[2] = random_double_range(-pi, pi);
return TRUE;
}
/*********************************************************************
main()
synopsis: Main function.
parameters:
return:
updated: 25 Nov 2002
*********************************************************************/
int main(int argc, char **argv)
{
double e1, tf = 5, t[pontos], qtrj[3][pontos], robix[3][pontos];
double qi[3] = {0.0307, 1.8756, 1.5691};
double qf[3] = {0.0, 0.0, 0.0};
int i, k;
time_t t1, t2;
population *pop; /* Population of solutions. */
e1 = (tf)/(pontos-1);
for(i = 0; i < pontos; i++)
{
t[i] = 0 + i * e1;
}
random_seed(23091975);
pop = ga_genesis_double(
80, /* const int population_size */
3, /* const int num_chromo */
3, /* const int len_chromo */
test_generation_callback,/* GAgeneration_hook generation_hook */
NULL, /* GAiteration_hook iteration_hook */
NULL, /* GAdata_destructor data_destructor */
NULL, /* GAdata_ref_incrementor data_ref_incrementor */
123
test_score, /* GAevaluate evaluate */
test_seed, /* GAseed seed */
NULL, /* GAadapt adapt */
ga_select_one_sus, /* GAselect_one select_one */
ga_select_two_sus, /* GAselect_two select_two */
ga_mutate_double_singlepoint_randomize, /* GAmutate mutate */
ga_crossover_double_doublepoints, /* GAcrossover crossover */
NULL, /* GAreplace replace */
NULL /* vpointer User data */
);
ga_population_set_parameters(
pop, /* population *pop */
GA_SCHEME_DARWIN, /* const ga_scheme_type scheme */
GA_ELITISM_PARENTS_SURVIVE, /* const ga_elitism_type elitism */
0.85, /* double crossover */
0.045, /* double mutation */
0.0 /* double migration */
);
t1 = clock();
ga_evolution(
pop, /* population *pop */
1000 /* const int max_generations */
);
qf[0] = ((double *)pop->entity_iarray[0]->chromosome[0])[0];
qf[1] = ((double *)pop->entity_iarray[0]->chromosome[0])[1];
qf[2] = ((double *)pop->entity_iarray[0]->chromosome[0])[2];
for(i = 0; i < 3; i++)
for(k = 0; k < pontos; k++)
qtrj[i][k] = qi[i] + (3.0/(pow(tf,2)))*(qf[i] - qi[i])*pow(t[k],2) -
(2.0/(pow(tf,3)))*(qf[i] - qi[i])*pow(t[k],3);
t2 = clock();
printf("\nTempo: %4.3f segundos\n\n", (t2-t1)/(double) CLOCKS_PER_SEC);
printf( "T1 = %5.4f T2 = %5.4f T3 = %5.4f (fitness = %5.4f)\n\n",
((double *)pop->entity_iarray[0]->chromosome[0])[0],
((double *)pop->entity_iarray[0]->chromosome[0])[1],
((double *)pop->entity_iarray[0]->chromosome[0])[2],
pop->entity_iarray[0]->fitness );
124
/* Conversao dos angulos em radianos em pulsos do motor */
for(i = 0; i < 3; i++)
for(k = 0; k < pontos; k++)
robix[i][k] = -2800/pi*qtrj[i][k]+1400;
for(k = 0; k < pontos; k++)
{
for(i = 0; i < 3; i++)
printf("%5.0f ",round(robix[i][k]));
printf("\n");
}
ga_extinction(pop);
getch();
exit(EXIT_SUCCESS);
}
125
APÊNDICE D
– Listagem do Código Experimental
move 1 to 651, 2 to 721, 3 to -1087
move 1 to 652, 2 to 721, 3 to -1087
move 1 to 652, 2 to 721, 3 to -1087
move 1 to 652, 2 to 722, 3 to -1086
move 1 to 653, 2 to 722, 3 to -1086
move 1 to 654, 2 to 723, 3 to -1086
move 1 to 654, 2 to 724, 3 to -1086
move 1 to 656, 2 to 725, 3 to -1086
move 1 to 657, 2 to 726, 3 to -1085
move 1 to 658, 2 to 727, 3 to -1085
move 1 to 660, 2 to 728, 3 to -1085
move 1 to 661, 2 to 729, 3 to -1084
move 1 to 663, 2 to 731, 3 to -1084
move 1 to 665, 2 to 733, 3 to -1083
move 1 to 667, 2 to 734, 3 to -1083
move 1 to 669, 2 to 736, 3 to -1082
move 1 to 672, 2 to 738, 3 to -1082
move 1 to 674, 2 to 740, 3 to -1081
move 1 to 677, 2 to 742, 3 to -1081
move 1 to 680, 2 to 744, 3 to -1080
move 1 to 682, 2 to 747, 3 to -1079
move 1 to 685, 2 to 749, 3 to -1079
move 1 to 688, 2 to 752, 3 to -1078
move 1 to 692, 2 to 754, 3 to -1077
move 1 to 695, 2 to 757, 3 to -1076
move 1 to 698, 2 to 760, 3 to -1075
move 1 to 702, 2 to 763, 3 to -1075
move 1 to 705, 2 to 766, 3 to -1074
move 1 to 709, 2 to 769, 3 to -1073
126
move 1 to 713, 2 to 772, 3 to -1072
move 1 to 717, 2 to 775, 3 to -1071
move 1 to 721, 2 to 778, 3 to -1070
move 1 to 725, 2 to 782, 3 to -1069
move 1 to 729, 2 to 785, 3 to -1068
move 1 to 733, 2 to 789, 3 to -1067
move 1 to 737, 2 to 792, 3 to -1066
move 1 to 742, 2 to 796, 3 to -1065
move 1 to 746, 2 to 799, 3 to -1064
move 1 to 750, 2 to 803, 3 to -1063
move 1 to 755, 2 to 807, 3 to -1062
move 1 to 760, 2 to 811, 3 to -1061
move 1 to 764, 2 to 815, 3 to -1060
move 1 to 769, 2 to 819, 3 to -1059
move 1 to 774, 2 to 822, 3 to -1057
move 1 to 779, 2 to 826, 3 to -1056
move 1 to 783, 2 to 830, 3 to -1055
move 1 to 788, 2 to 834, 3 to -1054
move 1 to 793, 2 to 839, 3 to -1053
move 1 to 798, 2 to 843, 3 to -1052
move 1 to 803, 2 to 847, 3 to -1050
move 1 to 808, 2 to 851, 3 to -1049
move 1 to 813, 2 to 855, 3 to -1048
move 1 to 818, 2 to 859, 3 to -1047
move 1 to 824, 2 to 864, 3 to -1046
move 1 to 829, 2 to 868, 3 to -1044
move 1 to 834, 2 to 872, 3 to -1043
move 1 to 839, 2 to 876, 3 to -1042
move 1 to 844, 2 to 881, 3 to -1041
move 1 to 849, 2 to 885, 3 to -1039
move 1 to 855, 2 to 889, 3 to -1038
127
move 1 to 860, 2 to 894, 3 to -1037
move 1 to 865, 2 to 898, 3 to -1036
move 1 to 870, 2 to 902, 3 to -1034
move 1 to 875, 2 to 906, 3 to -1033
move 1 to 880, 2 to 911, 3 to -1032
move 1 to 886, 2 to 915, 3 to -1031
move 1 to 891, 2 to 919, 3 to -1029
move 1 to 896, 2 to 923, 3 to -1028
move 1 to 901, 2 to 928, 3 to -1027
move 1 to 906, 2 to 932, 3 to -1026
move 1 to 911, 2 to 936, 3 to -1025
move 1 to 916, 2 to 940, 3 to -1023
move 1 to 921, 2 to 944, 3 to -1022
move 1 to 926, 2 to 948, 3 to -1021
move 1 to 931, 2 to 952, 3 to -1020
move 1 to 936, 2 to 956, 3 to -1019
move 1 to 940, 2 to 960, 3 to -1018
move 1 to 945, 2 to 964, 3 to -1016
move 1 to 950, 2 to 968, 3 to -1015
move 1 to 955, 2 to 972, 3 to -1014
move 1 to 959, 2 to 976, 3 to -1013
move 1 to 964, 2 to 980, 3 to -1012
move 1 to 968, 2 to 983, 3 to -1011
move 1 to 973, 2 to 987, 3 to -1010
move 1 to 977, 2 to 991, 3 to -1009
move 1 to 981, 2 to 994, 3 to -1008
move 1 to 985, 2 to 998, 3 to -1007
move 1 to 990, 2 to 1001, 3 to -1006
move 1 to 994, 2 to 1004, 3 to -1005
move 1 to 998, 2 to 1008, 3 to -1004
move 1 to 1001, 2 to 1011, 3 to -1003
128
move 1 to 1005, 2 to 1014, 3 to -1002
move 1 to 1009, 2 to 1017, 3 to -1001
move 1 to 1012, 2 to 1020, 3 to -1000
move 1 to 1016, 2 to 1023, 3 to -1000
move 1 to 1019, 2 to 1026, 3 to -999
move 1 to 1023, 2 to 1028, 3 to -998
move 1 to 1026, 2 to 1031, 3 to -997
move 1 to 1029, 2 to 1034, 3 to -996
move 1 to 1032, 2 to 1036, 3 to -996
move 1 to 1035, 2 to 1038, 3 to -995
move 1 to 1037, 2 to 1041, 3 to -994
move 1 to 1040, 2 to 1043, 3 to -994
move 1 to 1042, 2 to 1045, 3 to -993
move 1 to 1045, 2 to 1047, 3 to -993
move 1 to 1047, 2 to 1049, 3 to -992
move 1 to 1049, 2 to 1050, 3 to -992
move 1 to 1051, 2 to 1052, 3 to -991
move 1 to 1053, 2 to 1053, 3 to -991
move 1 to 1055, 2 to 1055, 3 to -990
move 1 to 1056, 2 to 1056, 3 to -990
move 1 to 1057, 2 to 1057, 3 to -990
move 1 to 1059, 2 to 1058, 3 to -989
move 1 to 1060, 2 to 1059, 3 to -989
move 1 to 1061, 2 to 1060, 3 to -989
move 1 to 1061, 2 to 1061, 3 to -989
move 1 to 1062, 2 to 1061, 3 to -989
move 1 to 1062, 2 to 1061, 3 to -988
move 1 to 1063, 2 to 1062, 3 to -988
move 1 to 1063, 2 to 1062, 3 to -988
129
ANEXO A
– Solução Analítica da Cinemática Inversa
A cinemática inversa de um robô planar de três elos (Figura A1) é o
procedimento usado para calcular as expressões coordenadas das juntas do
manipulador (
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
) para uma dada coordenada da garra (x, y,
φ
). Este
procedimento envolve a solução de um conjunto de equações que são, geralmente,
não-lineares e complexas (Craig, 1989). Embora seja possível a solução de equações
não-lineares, soluções únicas não são garantidas (Ata e Myo, 2005).
Figura A1 – Robô planar de três elos
As equações cinemáticas do manipulador da Figura 1 são dadas por:
++++++
++++−++
=
1000
0100
)sin()sin(0)cos()sin(
)cos()cos(0)sin()cos(
21211321321
21211321321
θθθθθθθθθ
θθθθθθθθθ
ll
ll
T
B
W
(A1)
321
θ
θ
θ
φ
+
+
=
(A2)
Como se trata de um manipulador de três graus de liberdade, o objetivo pode ser
expresso através de três parâmetros que definem a posição e a orientação do punho
(x, y,
φ
):
130
−
=
1000
0100
0)cos()sin(
0)sin()cos(
y
x
T
B
W
φφ
φφ
(A3)
Igualando-se as equações (A1) e (A3), tem-se:
)cos()cos(
321
φ
θ
θ
θ
=
+
+
(A4)
)sin()sin(
321
φ
θ
θ
θ
=
+
+
(A5)
xll
=
+
+
+
)cos()cos(
321211
θ
θ
θ
θ
(A6)
yll
=
+
+
+
)sin()sin(
321211
θ
θ
θ
θ
(A7)
O problema da cinemática inversa consiste em determinar
θ
1
,
θ
2
, e
θ
3
a partir
destas equações. De (A6) e (A7):
22
221
2
2
2
1
)cos(2
yxllll +=++
θ
(A8)
de onde resulta:
21
2
2
2
1
22
2
2
)cos(
ll
llyx −−+
=
θ
(A9)
e portanto,
2
21
2
2
2
1
22
2
2
1)sin(
−−+
−±=
ll
llyx
θ
(A10)
Das equações (A9) e (A10), obtém-se:
=
)cos(
)sin(
2
2
2
θ
θ
θ
arctg
(A11)
131
Uma vez encontrado o valor de
θ
2
, as equações (A6) e (A7) fornecem o valor de
θ
1
. Para isso, define-se:
)cos(
2211
θ
llk
+
=
(A12)
)sin(
222
θ
lk
=
(A13)
e as equações (A6) e (A7) podem ser reescritas como:
xkk
=
−
)sin()cos(
1211
θ
θ
(A14)
ykk
=
+
)cos()sin(
1212
θ
θ
(A15)
Definindo agora r e
γ
,
2
2
2
1
kkr +=
(A16)
=
1
2
k
k
arctg
γ
(A17)
tem-se:
)cos(
1
γ
rk
=
(A18)
)sin(
2
γ
rk
=
(A19)
o que permite reescrever (A14) e (A15) como:
rx /)sin()sin()cos()cos(
11
=
−
θ
γ
θ
γ
(A20)
ry /)cos()sin()sin()cos(
11
=
+
θ
γ
θ
γ
(A21)
Ou seja:
rx /)cos(
1
=
+
γ
θ
(A22)
ry /)sin(
1
=
+
γ
θ
(A23)
132
de onde vem:
γθ
−
=
x
y
arctg
1
(A24)
Com os valores de
θ
1
e
θ
2
, as equações (A4) e (A5) fornecem o valor de
θ
3
. Para
isso, define-se:
213
)cos(
)sin(
θθ
φ
φ
θ
−−
= arctg
(A25)
ou seja:
3
θ
=
21
θ
θ
φ
−
−
(A26)
133
ANEXO B
– Trajetórias Cúbicas
Este anexo investiga, em um tempo constante, o problema da trajetória do
manipulador de um ponto inicial até um ponto final no espaço Cartesiano.
O conjunto de ângulos da posição e orientação final do manipulador pode ser
calculado, através do uso de suas equações cinemáticas. A posição inicial do
manipulador também é conhecida na forma de um conjunto de ângulos de juntas
(Craig, 1989).
Na busca de uma função contínua para cada junta entre a posição inicial,
0
θ
, e a
posição final,
f
θ
, pretende-se que a velocidade angular seja contínua para evitar
acelerações infinitas e, portanto, esforços para os equipamentos físicos.
Para um movimento suave são necessárias quatro condições na função
)(t
θ
.
Aqui,
)(t
θ
representa a posição angular no instante de tempo t. Duas condições são a
escolha dos valores inicial e final:
0
)0(
θ
θ
=
(B1)
ff
t
θ
θ
=
)(
(B2)
Duas condições adicionais são dadas pelas equações (B3) e (B4), nas quais a
velocidade será zero nos pontos inicial e final da trajetória.
0)0( =
θ
&
(B3)
0)(
=
f
t
θ
&
(B4)
Estas quatro condições podem ser satisfeitas por um polinômio de terceira
ordem. Uma vez que um polinômio cúbico tem quatro coeficientes, então, uma
trajetória cúbica pode ser escrita como,
3
3
2
210
)(
tatataat +++=
θ
(B5)
134
A velocidade e a aceleração da junta ao longo da trajetória são dadas por:
2
321
32)(
tataat ++=
θ
&
(B6)
taat
32
62)(
+=
θ
&&
(B7)
Sem perda de generalidade pode-se assumir que o instante t
0
igual a 0 é o início
da contagem do tempo, e assim as equações (B5), (B6) e (B7) têm uma tradução
gráfica como ilustrado na Figura B1:
Figura B1 – Curvas da posição, velocidade e aceleração
Se as equações (B5), (B6) e (B7) são combinadas, quatro equações com quatro
incógnitas são obtidas. Quando estas equações são resolvidas, tem-se a seguinte
fórmula:
2
321
0
3
3
2
210
00
320
0
ff
ffff
tataa
a
tatataa
a
++=
=
++−=
=
θ
θ
(B8)
Finalmente, pela solução das equações acima, os coeficientes são encontrados
como segue:
135
)(
2
)(
3
0
0
3
3
0
2
2
1
00
θθ
θθ
θ
−
−
=
−=
=
=
f
f
f
f
t
a
t
a
a
a
(B9)
Utilizando as equações acima, pode-se calcular o polinômio cúbico que conecta
qualquer posição angular inicial a qualquer posição final desejada. A equação (B10) é
derivada e usada para computar a função de referência da velocidade e posição:
mit
t
t
t
t
iif
f
iif
f
ii
,,1)(
2
)(
3
)(
3
0
3
2
0
2
0
K=−−−+=
θθθθθθ
(B10)
onde, m é o número de juntas do manipulador.
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