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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
UMA CONTRIBUIÇÃO PARA O ENSINO DE GEOMETRIA
UTILIZANDO ORIGAMI E CALEIDOSCÓPIO
Neirelise Buske
Orientador: Prof. Dr. Claudemir Murari
Dissertação de Mestrado elaborada junto ao Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática, Área de Concentração em
Ensino e Aprendizagem da Matemática e seus Fundamentos
Filosóficos-Científicos, para a obtenção do título de Mestre em
Educação Matemática.
Rio Claro (SP)
2007
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AGRADECIMENTOS
A minha mãe Lori, afinal todas as minhas conquistas são suas vitórias, pois não teria
chegado onde estou sem seu carinho e esforço.
Aos meus irmãos, Régis, Graci e Guto, pela ajuda com os pequenos detalhes que são tão
importantes na execução de um trabalho como esse.
Ao meu amor, Onoél, pela paciência e confiança, por seu apoio incondicional e ajuda
com aquelas fotos tão difíceis.
A minha tia Marlene, tio Robson e primas Fernanda e Joana, pelo carinho com que me
receberam e acolheram em sua casa, no momento em que mais precisei.
Aos amigos que fiz por este caminho, Tati, Tiago, Lívia, Leila, Vi, Camila, Frã e Karen.
Àqueles amigos especiais, Mariana, Rosa e Luis, que me acolheram em sua casa como
se eu fosse da família.
A amiga de todas as horas, Sabrina, que me acompanhou nesta solidão que é escrever
uma dissertação longe da família e em uma cidade estranha.
Ao Maurílio, professor do tempo de faculdade, que muito incentivou e sempre acreditou
que eu conseguiria.
Ao Ronei, coordenador do curso de Matemática da URI e alunos que tão bem me
receberam para que realizasse minha coleta de dados.
Aos professores e funcionários da UNESP que de uma maneira ou de outra estiveram
presentes e colaboraram com meu êxito.
Aos professores da banca, Mirian e Ruy por suas valiosas sugestões e incentivo para
que esse trabalho continue.
Ao Cnpq pelo apoio financeiro.
Ao meu orientador, Claudemir, por acreditar em meu trabalho.
4
RESUMO
O objetivo desta pesquisa foi analisar como o origami e o caleidoscópio podem
contribuir no processo de ensino e aprendizagem de alguns conceitos da Geometria. Este
trabalho foi desenvolvido seguindo a proposta metodológica de Romberg, tem abordagem do
tipo qualitativa e a coleta de dados se deu, essencialmente, por observação-participante em
sala de aula, com a utilização de questionários, gravações de áudio, fotos, anotações e análise
documental. Elaboramos uma proposta de ensino com a finalidade de levar os alunos a
trabalharem com os problemas utilizando as construções feitas com origami e caleidoscópio.
Foram desenvolvidas atividades, via resolução de problemas, com alunos do segundo
semestre de um curso de licenciatura em Matemática, e os conteúdos estudados estavam
relacionados às construções fundamentais, polígonos e poliedros. No encadeamento dos
assuntos são apresentadas as explicações de como se realizar as construções com origami e
como se confeccionar o caleidoscópio generalizado, juntamente com os preceitos
matemáticos necessários para justificá-los. A execução prática da proposta de ensino por nós
sugerida permitiu-nos fazer o levantamento e a análise de diversas possibilidades e limitações
do uso do origami e caleidoscópio no estudo de conceitos relacionados à Geometria, mas
circunscritos às proposições já citadas. Assim, trazemos sugestões para aperfeiçoar o trabalho
e também de como ele pode ser mais bem aproveitado, cônscios de que o assunto aqui não se
esgota, podendo surgir novas aplicações aos olhos de um educador interessado em utilizar
esses recursos.
Palavras-chave: Geometria, Origami, Caleidoscópio, Poliedros, Educação Matemática
5
ABSTRACT
The purpose of this research was to analyze how Origami and kaleidoscope may
contribute on the teaching and learning process over some Geometry concepts. This work has
been developed according to Romberg’s methodological proposal, it has a qualitative-type
approach and the data collecting was essentially carried out by practical class observation,
utilizing questionnaires, audio recordings, pictures, drafts and document analysis. We’ve
elaborated a teaching proposal aiming to lead students to work with problems by utilizing the
constructions made with the Origami and Kaleidoscope. Activities have been developed, via
problem solving, with the first-year students in a bachelor math’s graduation course, and the
researched subjects were related to the fundamental constructions, polygon and polyhedron.
Explanations are shown within the subject sequences on how to do the constructions by using
the Origami and how to build an average kaleidoscope, according to the mathematical
precepts needed to justify them. The practical execution of the teaching proposal suggested by
us, allowed ourselves to make the research and analyzes of many kaleidoscope and Origami
possibility and limitation use on the Geometry related concepts research, besides
circumscription to the already mentioned proposals. Thus, we bring along suggestions to
improve the work and also how it could be more developed, aware that the subject here is not
over, since applications may appear before an educator’s eyes interested in using those
resources.
Key-words: Geometry, Origami, Kaleidoscope, Polyhedron, Mathematics Education.
6
SUMÁRIO
Introdução 10
Capítulo 1 – Metodologia da Pesquisa 18
Capítulo 2 - Os Materiais: origami e caleidoscópio 27
Capítulo 3 - A Construção dos Materiais 56
Capítulo 4 - A Proposta e seu Contexto de Estudo 98
Capítulo 5 – Descrição dos Dados 109
Capítulo 6 – Possibilidades e Limitações 137
Considerações Finais 145
Referências Bibliográficas 149
Anexos 154
7
ÍNDICE
Página
Introdução ............................................................................................................................. 10
Capítulo 1 - METODOLOGIA DA PESQUISA ............................................................... 18
1.1 Modelo de Romberg ....................................................................................... 20
1.1.1 Identificando o fenômeno de interesse .................................................... 21
1.1.2 Elaborando o modelo preliminar ............................................................. 21
1.1.3 Relacionando com idéias de outros ......................................................... 22
1.1.4 Estabelecendo conjecturas ....................................................................... 22
1.1.5 Selecionando a estratégia geral da pesquisa ............................................ 23
1.1.6 Selecionando procedimentos específicos da pesquisa ............................. 24
1.1.7 Coletando informações ............................................................................ 25
1.1.7.1 Observação participante ................................................................ 25
1.1.7.2 Registro das informações .............................................................. 25
1.1.8 Interpretando as informações ................................................................... 26
Capítulo 2 - OS MATERIAIS: ORIGAMI E CALEIDOSCÓPIO .................................. 27
2.1 Origami e a Educação Matemática ............................................................... 28
2.1.1 Origami .................................................................................................... 28
2.1.2 Na Educação Matemática ........................................................................ 29
2.1.3 Construções por dobraduras ..................................................................... 30
2.1.3.1 Axiomas e construções fundamentais ......................................... 31
2.1.3.2 Axiomas de Huzita ...................................................................... 32
2.1.3.3 Procedimentos geométricos fundamentais
Origami ...................................................................................... 34
2.1.3.4 Procedimentos geométricos fundamentais das
construções com régua não graduada compasso ......................... 37
2.1.3.5 Descrevendo os procedimentos do origami ............................... 38
2.2 O Caleidoscópio e a Educação Matemática .................................................. 39
2.2.1 Caleidoscópio ........................................................................................... 43
2.2.1.1 Caleidoscópio plano .................................................................... 43
2.2.1.1.1 Caleidoscópio com dois espelhos ................................ 43
2.2.1.1.2 Caleidoscópio com três espelhos ................................. 44
2.2.1.1.2.1 Caleidoscópio educacional individual
com três espelhos ........................................ 44
2.2.1.1.2.2 Caleidoscópio educacional
modificado com três espelhos ..................... 44
2.2.1.1.3 Caleidoscópio com quatro espelhos
planos articulados, formando uma
superfície prismática de base retangular ....... 45
8
2.2.2 Caleidoscópio generalizado ..................................................................... 46
2.2.2.1 Caleidoscópio de ângulos (90°,60°,60°) ..................................... 48
2.2.2.2 Caleidoscópio de ângulos (90°,60°,45°) ..................................... 48
2.2.2.3 Caleidoscópio de ângulos (90°,60°,36°) ..................................... 49
2.2.2.4 Caleidoscópio de ângulos (90°,90°,n) ........................................ 50
2.3 Considerações sobre o Software Cabri-Géomètre II ................................... 52
2.3.1 Menus e ferramentas ................................................................................ 52
Capítulo 3 - A CONSTRUÇÃO DOS MATERIAIS .......................................................... 56
3.1 Polígonos .......................................................................................................... 57
3.1.1 Construção de polígonos por dobraduras (ou origami) ............................ 57
3.1.1.1 Retângulo .................................................................................... 58
3.1.1.2 Quadrado ..................................................................................... 59
3.1.1.3 Retângulo áureo .......................................................................... 59
3.1.1.4 Triângulo eqüilátero .................................................................... 61
3.1.1.5 Hexágono regular ........................................................................ 62
3.1.1.6 Pentágono regular ....................................................................... 63
3.1.1.7 Octógono regular ........................................................................ 64
3.2 Poliedros ................................................... ...................................................... 64
3.2.1 Poliedros regulares ou poliedros de Platão .............................................. 65
3.2.2 Poliedros semi-regulares ou poliedros de Arquimedes ............................68
3.2.3 Construção dos poliedros por dobraduras ................................................ 68
3.2.3.1 Proporções dos quadrados utilizados na confecção
dos módulos ................................................................................ 69
3.2.3.2 Construção dos módulos ............................................................. 70
3.2.3.2.1 Módulo triangular ........................................................ 70
3.2.3.2.2 Módulo quadrangular ................................................... 71
3.2.3.2.3 Módulo pentagonal ...................................................... 71
3.2.3.2.4 Módulo hexagonal ....................................................... 73
3.2.3.2.5 Módulo octogonal ........................................................ 75
3.2.3.2.6 Módulo decagonal ........................................................ 76
3.2.3.2.7 Peça de conexão ........................................................... 77
3.2.3.3 Poliedros construídos com origami modular .............................. 78
3.2.3.3.1 Poliedros regulares........................................................ 78
3.2.3.3.2 Poliedros semi-regulares .............................................. 79
3.2.4 Construção das dobraduras para a visualização dos poliedros
em caleidoscópio generalizado ............................................................... 81
3.2.4.1 Poliedros regulares ou poliedros de Platão ................................. 82
Tetraedro
Hexaedro ou Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
3.2.4.2 Poliedros semi-regulares ou poliedros de Arquimedes ............... 89
Tetraedro truncado
Cubo truncado
Octaedro truncado
Cuboctaedro
Rombicuboctaedro
Cuboctaedro truncado
9
Cubo achatado
Dodecaedro truncado
Icosaedro truncado
Icosidodecaedro
Rombicosidodecaedro
Icosidodecaedro truncado
Dodecaedro achatado
Capítulo 4 - A PROPOSTA E SEU CONTEXTO DE ESTUDO ..................................... 98
4.1 A Proposta de Pesquisa .................................................................................. 99
4.1.1 Resolução de problemas .........................................................................100
4.1.2 Descrição das atividades e conteúdos .................................................... 101
4.2 Os Sujeitos e o Ambiente da Pesquisa ......................................................... 104
4.2.1 A Universidade e o curso ....................................................................... 104
4.2.2 Os sujeitos .............................................................................................. 107
Capítulo 5 - DESCRIÇÃO DOS DADOS ......................................................................... 109
5.1 As Construções Fundamentais - 1° momento ............................................. 111
5.1.1 Construções com régua e compasso ...................................................... 111
5.1.2 Construções com dobraduras ................................................................. 112
5.2 A Construção de Polígonos – 2° momento .................................................. 117
5.2.1 O quadrado ............................................................................................. 117
5.2.2 O retângulo áureo ................................................................................... 122
5.2.3 O pentágono ............................................................................................123
5.2.4 A simetria ............................................................................................... 124
5.3 Construindo Poliedros – 3° momento ......................................................... 125
5.3.1 Os módulos ............................................................................................ 125
5.3.2 Os poliedros ........................................................................................... 128
5.3.3 Os caleidoscópios ...................................................................................134
Capítulo 6 – POSSIBILIDADES E LIMITAÇÕES ........................................................ 137
6.1 Possibilidades ................................................................................................ 138
6.1.1 Construções fundamentais ..................................................................... 139
6.1.2 Polígonos ............................................................................................... 140
6.1.3 Poliedros ................................................................................................ 140
6.2 Limitações ...................................................................................................... 142
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................. 145
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... ... 149
ANEXOS
Anexo 1 – Capítulo da dissertação de Mattos ........................................................ 155
Anexo 2 – Descrição da construção dos caleidoscópios ........................................ 163
Anexo 3 – Questionário .......................................................................................... 165
Anexo 4 – Primeira parte da apostila ...................................................................... 167
Anexo 5 – Segunda parte da apostila ...................................................................... 188
Introdução
Introdução
___________________________________________________________________________
11
INTRODUÇÃO
Neste estudo apresento alguns resultados de uma pesquisa, que tem como foco de
interesse o ensino da Geometria por meio do origami e do caleidoscópio.
Antes de discorrer sobre o tema desenvolvido nesta dissertação faço um breve relato de
meu envolvimento com a Educação, iniciado anteriormente ao ingresso no mestrado em
Educação Matemática, da UNESP – Rio Claro.
Minha relação com a Educação vem desde o ensino médio, no qual cursei Magistério, o
que me habilitava a dar aulas para alunos de 1ª a 4ª séries do ensino fundamental. Após isso,
ingressei no curso de licenciatura em Matemática, da Universidade Regional Integrada do
Alto Uruguai e das Missões, campus Santo Ângelo - RS. Quando cursava o final do segundo
ano de faculdade, comecei a trabalhar em uma escola particular que tinha turmas de educação
infantil e séries iniciais do ensino fundamental.
Nesta escola trabalhei como monitora e professora, o que me permitiu interagir com
todas as séries, desde a primeira até a quarta, tendo contato com crianças de seis a dez anos.
Foi nessa ocasião que tive a oportunidade de já utilizar o origami em sala de aula.
Desde criança sentia-me atraída pelo origami. O primeiro contato com esta arte ocorreu
quando tinha uns nove anos de idade. Numa visita à biblioteca que freqüentava, encontrei um
livro que trazia gráficos para a construção de animais. Desse dia em diante passei a procurar
mais livros com diferentes construções.
Quando comecei a lecionar, tive a oportunidade de ensinar meus alunos a
confeccionarem figuras com o origami. Percebi que esta atividade despertava muito interesse
nos alunos, então, por curiosidade, comecei a pesquisar sobre sua utilização no ensino da
Matemática e a aplicar as atividades que encontrava nos livros didáticos aos meus alunos.
Sendo a única professora da turma (quarta série), ministrava todas as disciplinas, e
aproveitando o caráter integrador do origami, trabalhava a interdisciplinaridade.
Quando terminei a graduação ingressei em um curso a distância, de especialização em
Psicologia Escolar, oferecido pela Pontifícia Universidade Católica, EADPUC – Porto
Introdução
___________________________________________________________________________
12
Alegre, ocasião em que tive contato, pela primeira vez, com a pesquisa em Educação, quando
busquei trabalhar com um assunto que fosse relacionado à Matemática. À época, com pouca
experiência, mas muita curiosidade, fui investigar as causas que levavam os alunos a não
gostarem de Matemática.
O contato com atividades investigativas despertou meu interesse por continuar os
estudos, e a proximidade com pesquisadores e centros de pesquisa possibilitou-me saber da
existência do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, da UNESP de Rio
Claro. Assim, resolvi me inscrever como aluna especial, quando cursei a disciplina de
Fundamentos de Geometria, que foi ministrada pelo professor Claudemir Murari. Minha
inserção nesse programa veio a ratificar meu objetivo, que era poder contribuir para o ensino
e aprendizagem da Geometria, realizando uma pesquisa que utilizasse o origami no estudo de
alguns conceitos e propriedades fundamentais dessa área do saber.
Ao ingressar no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, tive como
orientador o professor Claudemir que, analisando meu projeto inicial, no qual me propunha a
estudar o origami, intuiu ser plausível integrar este estudo com o trabalho que ele vinha
desenvolvendo com caleidoscópios. Assim, surgiu a idéia de desenvolvermos um experimento
de ensino que contemplasse a utilização desses dois recursos.
Ao iniciar as pesquisas sobre dobradura (ou origami), foi possível perceber que por
utilizar materiais de baixo custo e apresentar formas e cores que chamam a atenção devido a
sua beleza, esse recurso poderia ser muito útil no ensino da matemática, ainda mais se
associado ao caleidoscópio, que também reproduz belos padrões visuais. Além disso, deve-se
ressaltar que o resultado final da construção da dobradura é um material manipulável, que
permite ao aluno tocar o objeto em estudo, para analisar suas propriedades e características.
Também o caleidoscópio, afora esse caráter de apresentar o belo, é um instrumento que
desperta o interesse dos alunos e permite a observação dos modelos geométricos estudados.
Em busca, na literatura, de um embasamento para justificar a relevância do estudo de
novos recursos no ensino da Geometria, vi ressaltadas a importância e a contribuição desta no
desenvolvimento do pensamento lógico e na compreensão do ambiente em que o aluno vive.
Lorenzato (1995) afirma que é importante a presença da Geometria em nossas escolas,
por estar relacionada a problemas do cotidiano e também por auxiliar na compreensão e
solução de questões de outras áreas do conhecimento.
Introdução
___________________________________________________________________________
13
Na procura de conhecer a situação do ensino da Geometria num passado mais recente,
encontrei o trabalho de Gazire (2000), no qual são apresentados alguns fatores que podem
influenciar negativamente esse ensino: a dificuldade que os professores têm de romper com os
procedimentos tradicionais da aula expositiva; a falta de informações sobre as várias
perspectivas de cada conteúdo das Geometrias, que geram dificuldade de encontrar
alternativas para a mudança de seu ensino; o uso inadequado dos materiais concretos, entre
outros.
Com relação a este último fator, tem-se a perspectiva de Moysés (2003): “...vale dizer
que o professor esteja alerta ao uso de material figurativo-concreto. Auxiliar importante, sua
utilização deve ser seguida de processos que levem a abstrações e a amplas generalizações.”
(p. 45).
Acrescentem-se, ainda, as preocupações de Berman (1982), Fiorentini e Miorim (1996),
Pais (1996), Nacarato (2005) e Passos (2006) que alertam sobre os aspectos positivos e
negativos do uso de materiais manipuláveis para o ensino, trazendo reflexões sobre a
importância da utilização desses materiais e ressaltando que os mesmos, por si só, não são
capazes de promover a aprendizagem.
Foi pensando em se contrapor, e ao mesmo tempo auxiliar, aos professores que tem a
concepção de que o objetivo do uso de materiais manipulativos em sala de aula é apenas o de
conquistar os alunos, é que desenvolvi esta pesquisa. Além de mostrar a elaboração dos
materiais e aplicação em algumas situações-problema, a contribuição desta pesquisa centra-se
no fato de apresentar todo um embasamento teórico matemático, que visa contribuir para a
mudança do quadro apontado por Andrade e Nacarato (2004), quando em investigação sobre
os Anais dos Encontros Nacionais de Educação Matemática (ENEMs), constataram que “... ao
menos na esfera da produção, houve um resgate do Ensino de Geometria. No entanto,
pesquisas continuam apontando para o fato de que a Geometria ainda está bastante ausente
das salas de aula...” (ANDRADE e NACARATO, p.15).
Nos capítulos que se seguem comento a respeito de algumas pesquisas realizadas sobre
a utilização do origami na Educação Matemática, de sua tendência a facilitar a visualização e
o entendimento dos objetos geométricos, ressaltando que todo o trabalho com origami está
fundamentado em uma Geometria do Origami
1
.
1
Trabalho desenvolvido pelo matemático Humiaki Huzita, ver capítulo 2.
Introdução
___________________________________________________________________________
14
Como uma continuação de alguns estudos já iniciados por Murari (1999) e (2004) sobre
o uso do caleidoscópio no ensino de Matemática, o trabalho aqui apresentado mostra as
dobraduras possíveis de serem construídas para a visualização dos poliedros em caleidoscópio
generalizado, dobraduras estas, confeccionadas no software geométrico Cabri-Géomètre II
2
.
Para utilizar conjuntamente o origami e o caleidoscópio foi elaborada uma seqüência
didática seguindo a metodologia de ensino resolução de problemas, que oferece a
oportunidade de aprendizado de conceitos importantes, relacionados à Geometria. As
atividades foram aplicadas a alunos do segundo semestre do curso de Licenciatura em
Matemática, de uma Universidade do interior do Rio Grande do Sul, durante os meses de
agosto e setembro do ano de 2006.
A seqüência didática elaborada consistiu, essencialmente, na utilização de régua e
compasso e dobraduras no estudo das construções fundamentais e de alguns polígonos e suas
construções. Com relação a alguns poliedros de Platão e Arquimedes, mostramos sua
construção com origami modular e efetuamos sua dobradura para a visualização em
caleidoscópio generalizado. Como não era de nosso interesse, na fase experiencial da
pesquisa, não confeccionamos com os alunos todos os dezoito sólidos, mas foram expostas as
noções fundamentais para sua construção. Porém, neste trabalho, apresento, detalhadamente, a
construção com origami de todos esses sólidos, bem como a elaboração das dobraduras que
geram o visual de alguns poliedros em caleidoscópio, pois isso não é possível para todos
3
.
Como em todo trabalho que envolve pesquisa, houve dificuldades. A primeira delas foi
à de acesso à literatura sobre poliedros e o origami, pois a maioria das publicações é feita no
exterior e não é encontrada em livrarias brasileiras. Algumas das referências foram retiradas
de sites da internet pertencentes a associações de origamistas e de sites pessoais dos autores
de livros e teses sobre o origami. A falta de publicações em português também é um fator que
justifica a importância desta investigação.
Os meus conhecimentos referentes ao origami foram aprofundados com base,
principalmente, nas obras de autores como Imenes (1988), Franco (1999), Mattos (2001),
Alperin (2004) e Kasahara (2005), nas quais encontrei subsídios para realizar todas as
construções pretendidas, assim como o embasamento matemático necessário para justificá-las.
Relativamente aos caleidoscópios generalizados, a bibliografia foi mais acessível, pois tinha à
2
O detalhamento destas construções encontra-se no capítulo 3.
3
Não é possível gerar em caleidoscópio o visual de todos os poliedros, conforme explicito no capítulo 3.
Introdução
___________________________________________________________________________
15
disposição os estudos de Ball & Coxeter (1987), Murari (2004), Batistela (2005) e Reis
(2006), bem como os estudos sobre Geometria de O’Daffer & Clemens (1977).
Assim, além do levantamento feito sobre as necessidades percebidas de se realizar
pesquisas sobre novos materiais para o ensino e aprendizagem da Geometria, e dar subsídios
matemáticos para que os professores possam utilizá-los, outros elementos foram emergindo
no decorrer desta investigação, que remeteram a uma pergunta diretriz, a qual exprime os seus
objetivos:
Como o origami e o caleidoscópio podem contribuir no processo de ensino e
aprendizagem da Geometria?
Na análise dos dados, que foram coletados na pesquisa de campo, procuro respostas
para essa pergunta. Esta pesquisa, conforme Bogdan & Biklen (1994), Goldemberg (1999),
Alves-Mazzotti & Gewandsznajder (2001), Araújo e Borba (orgs.) (2004) tem o caráter de
uma investigação qualitativa, pois além de outros fatores que assim a classificam, houve
contato do pesquisador com o ambiente e a situação a ser investigada. Para haver uma melhor
organização do estudo aqui apresentado, ordenei as informações de acordo com a proposta
metodológica de Romberg (1992)
4
.
Em síntese, na organização da dissertação dividi o trabalho em 6 capítulos, além da
introdução, considerações, referências e anexos.
A primeira parte consiste na Introdução, na qual faço um breve relato da trajetória desta
pesquisa (como e por que surgiu). Há menção de literatura relacionada ao ensino de
Geometria, na busca por explicitar os motivos que me levaram a realizar o trabalho, assim
como referências sobre o uso do origami e do caleidoscópio no ensino, que deram
consistência e relevância a esta investigação. Finalizando essa etapa tem-se a apresentação da
pergunta norteadora da pesquisa e a descrição da organização de cada parte da dissertação.
Em seguida, apresento no capítulo 1 a Metodologia da Pesquisa, quando discuto alguns
dos elementos referentes à proposta metodológica de Romberg (1992), que explicita um
processo para o desenvolvimento de uma pesquisa em Educação Matemática. Neste capítulo
encontram-se, de forma detalhada, os passos seguidos para o desenvolvimento da
4
A explicação sobre esta proposta está no capítulo 1, referente à metodologia da pesquisa.
Introdução
___________________________________________________________________________
16
investigação, assim como os procedimentos adotados para a coleta, registro e análise dos
dados.
No capítulo 2, que trata sobre Os Materiais: origami e caleidoscópio, apresento suas
principais características e comento a respeito de alguns estudos já desenvolvidos sobre os
mesmos, dando uma noção geral de sua importância e utilidade no ensino de Geometria.
Também apresento as fundamentações matemáticas que justificam e corroboram seu uso,
além de fazer uma breve descrição do software Cabri-Géomètre II.
A seguir, no capítulo 3, tem-se A Construção dos Materiais. Nesse capítulo são
definidos os conceitos estudados referentes a polígonos e poliedros, e são apresentados os
passos para a construção dos poliedros por meio do origami modular, assim como a
confecção das dobraduras que geram o visual desses sólidos em caleidoscópio generalizado.
Tais dobraduras tiveram sua construção realizada de duas maneiras: no software Cabri-
Géomètre II e através de régua e compasso.
No capítulo 4, intitulado A Proposta e seu Contexto de Estudo, descrevo a proposta de
ensino que foi elaborada, para ser aplicada aos alunos da graduação. Também, explicito a
metodologia de ensino utilizada, justificando essa escolha. Na seqüência, apresento as
informações referentes ao perfil da turma que participou da pesquisa, bem como dados da
Universidade em que os mesmos estavam inseridos.
O capítulo 5 tratou da Descrição dos Dados. Foi destinado à apresentação, de maneira
descritiva, dos dados coletados durante o desenvolvimento das atividades com os sujeitos
pesquisados. Os materiais analisados nesta etapa se constituíam de gravações de áudio,
anotações feitas pelo pesquisador, apostilas e relatórios elaborados pelos alunos.
O capítulo foi dividido em três partes, referentes aos momentos de aplicação dos
problemas: 1º momento – construções fundamentais feitas com régua e compasso e
dobraduras; 2° momento – construção de polígonos com régua e compasso e dobraduras; e 3°
momento – construção dos poliedros com origami modular e visual dos poliedros em
caleidoscópio. Nestas três etapas procurou-se observar a maneira como os alunos lidavam
com os materiais e os problemas propostos.
No capítulo 6, denominado Possibilidades e Limitações, desenvolvi uma análise crítica
do trabalho realizado, ou seja, da utilização do origami e do caleidoscópio, no ensino de
Geometria via resolução de problemas, discutindo pontos considerados positivos e negativos,
Introdução
___________________________________________________________________________
17
trazendo sugestões para uma melhor utilização das fichas de atividades, bem como de outros
conteúdos que podem ser trabalhados com os materiais construídos.
Com as Considerações Finais aprofundo as análises desenvolvidas no capítulo anterior,
além de retomar a pergunta de pesquisa, a fim de sintetizar as compreensões e discorrer sobre
algumas conclusões que foram sendo construídas no desenvolvimento da investigação,
orientadas pela pergunta diretriz.
Capítulo 1
Metodologia da Pesquisa
Capítulo 1 Metodologia da Pesquisa
___________________________________________________________________________
19
Capítulo 1
METODOLOGIA DA PESQUISA
Conforme já dissemos, procuramos desenvolver neste trabalho uma investigação sobre
as possibilidades de uso do origami e do caleidoscópio no ensino e aprendizagem da
Geometria. Para isso fizemos, inicialmente, um levantamento de pesquisas realizadas sobre
estes materiais e apresentamos a fundamentação matemática e pedagógica que possibilita o
seu uso, para esse fim.
Feito este levantamento, partimos para a elaboração das situações problema envolvendo
o origami e o caleidoscópio, que formam o corpo das atividades desenvolvidas na pesquisa.
No momento em que se decide elaborar atividades e aplicá-las aos sujeitos, para coletar
informações sobre suas potencialidades, entra em cena a metodologia de pesquisa que norteia
o estudo. Consideramos o trabalho aqui desenvolvido como uma investigação qualitativa por
abranger as características descritas por Bogdan e Biklen (1994): 1) a fonte de dados é o
ambiente natural e o investigador é o instrumento principal; 2) é descritivo; 3) os
investigadores interessam-se mais pelo processo do que pelos resultados; 4) a análise de dados
tende a ser indutiva; e 5) o significado é de importância vital nessa abordagem.
Ao desenvolver a pesquisa proposta torna-se necessário atuar diretamente no ambiente
de investigação, envolvendo-se com a situação por meio do trabalho de campo, buscando
compreender melhor o processo mediante o qual as pessoas constroem os significados, para
descrever em que consistem estes mesmos significados, pois “o objetivo principal do
investigador é o de construir conhecimento e não o de dar opiniões sobre determinado
contexto.” (BOGDAN & BIKLEN, 1994, p. 67)
Os dados obtidos na pesquisa de campo são puramente descritivos, recolhidos por meio
de questionários, observações, fotografias, gravações de áudio e anotações. Por haver uma
preocupação com o contexto em que ocorrem e, para se ter uma boa compreensão, as ações
são observadas no seu ambiente habitual de ocorrência, em situações de contato direto.
Capítulo 1 Metodologia da Pesquisa
___________________________________________________________________________
20
Para melhor descrever a investigação, utilizamos a proposta metodológica de Romberg
5
,
que indica dez passos a serem seguidos no desenvolvimento de uma pesquisa em Educação
Matemática.
1.1 Modelo de Romberg
Romberg (1992) destaca dez procedimentos essenciais ao desenvolvimento de uma
pesquisa, ressaltando que não se realizam, necessariamente, nesta ordem e, na prática, não se
separam tão nitidamente.
(ROMBERG, 1992, p. 51)
Em seguida, apresentamos a relação das atividades do Modelo de Romberg, com as
ações que nortearam esta pesquisa.
5
Orientações de Thomas A. Romberg, apresentadas no trabalho intitulado Perspectives on Scholarship and
Research Methods (Perspectivas sobre o Conhecimento e Métodos de Pesquisa), publicado no Handbook of
Research on Mathematics Teaching and Learning, 1992.
1. Fenômeno de
interesse
2. Modelo
preliminar
3. Relacionar com
idéias de outros
4. Questões ou
conjeturas
5. Selecionar estratégias
de pesquisa
6. Selecionar
procedimentos de pesquisa
7. Coletar
evidências
8. Interpretar
evidências
9. Relatar resultados
10. Antecipar as
ações dos outros
Capítulo 1 Metodologia da Pesquisa
___________________________________________________________________________
21
1.1.1 Identificando o fenômeno de interesse
O fenômeno de interesse é o ponto de partida para o trabalho de pesquisa. Sua origem
está na curiosidade do pesquisador, em relação às questões do campo de estudos da Educação
Matemática. Em nossa pesquisa o fenômeno de interesse é:
O ensino da Geometria por meio de origami e caleidoscópio.
Como se pode verificar, na introdução do presente trabalho já foi justificado o interesse
e a relevância deste fenômeno.
1.1.2 Elaborando o modelo preliminar
O modelo preliminar ajuda a esclarecer um fenômeno complexo, e serve como ponto de
partida e orientação para o desenvolvimento do processo de pesquisa. Consiste em um
esquema composto por variáveis do fenômeno e suas relações. Essas variáveis são os
elementos que compõem e interferem no fenômeno de interesse. Abaixo, apresentamos o
modelo preliminar por nós elaborado:
Origami e
caleidoscópios
Elaboração de uma
proposta de ensino
Aspectos
educacionais
Possibilidades
de utilização
Acesso
Implicações
FASE INICIAL
Ensino de Geometria por meio de
origami e caleidoscópios
Aplicação das atividades
Utilização dos materiais
Limitações
Possibilidades
Contribuições
FASE INTERMEDIÁRIA
FASE FINA
L
Capítulo 1 Metodologia da Pesquisa
___________________________________________________________________________
22
1.1.3 Relacionando com idéias de outros
Neste momento procuramos conhecer as pesquisas já desenvolvidas, relacionadas ao
tema em questão, e fazemos um levantamento daquelas que servirão como referência ao
trabalho em desenvolvimento.
A pesquisa apresentada nesta dissertação centrou-se, principalmente, na utilização do
origami e do caleidoscópio no ensino de Geometria. Assim, os trabalhos envolvendo estes
materiais são referências importantes.
Com relação ao origami, tivemos relativa dificuldade em encontrar literatura disponível,
pois existem poucos livros que tratam do assunto. O material encontrado referia-se a
atividades de iniciação à Geometria, principalmente sobre o uso da dobradura para ensinar
noções de Geometria Euclidiana Plana.
Como nosso trabalho vai além dessas noções iniciais, foi necessário procurar
bibliografia que tratasse das construções de polígonos e poliedros, e conferisse
fundamentação matemática para esses procedimentos. Os livros nos quais encontramos estas
referências precisaram ser importados, pois as livrarias brasileiras não dispunham de tais
títulos.
Outra fonte de pesquisa foi à internet, na qual encontramos artigos e trabalhos
completos de pesquisadores sobre o origami. Temos como fonte de busca sites pessoais ou de
associações de origamistas.
A bibliografia referente aos caleidoscópios era mais acessível por se tratar de produção
de nosso pesquisador e seus orientados do programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da UNESP – Rio Claro, além de outros materiais aos quais já tínhamos acesso.
A descrição e análise dos trabalhos sobre origami e caleidoscópio, utilizados como
referências nesta dissertação, encontram-se no capítulo 2.
1.1.4 Estabelecendo conjecturas
As conjecturas são questões de pesquisa, elaboradas tendo como base o fenômeno de
interesse. Para o nosso caso, elaboramos a seguinte conjectura:
O uso da técnica do origami associada ao caleidoscópio possibilita-nos o ensino de
conteúdos matemáticos, principalmente os relacionados à Geometria, ainda mais
quando trabalhados seguindo a metodologia de ensino resolução de problemas.
Capítulo 1 Metodologia da Pesquisa
___________________________________________________________________________
23
Procurando formular uma pergunta de pesquisa que estivesse de acordo com a
conjectura elaborada, chegamos a uma primeira versão da questão que deveria nortear nosso
trabalho:
Como a dobradura pode auxiliar alunos de 2ª série do Ensino Médio num estudo
de polígonos e poliedros, que envolve conceitos básicos da Geometria Euclidiana e
algumas noções de Geometria Esférica?
Porém, em razão de dificuldades impostas pelos professores das turmas de ensino médio
(que seria o grau de ensino a que pertenceriam os sujeitos desta investigação) e, também,
durante o processo de desenvolvimento da pesquisa, o estudo e envolvimento com os
materiais pesquisados promoveram o amadurecimento de idéias, e levaram-nos a repensar
sobre a questão norteadora do trabalho.
Inicialmente o trabalho seria desenvolvido com uma turma de terceiro ano do ensino
médio. Entretanto, fomos desencorajados, pois nos meses previstos para a execução da
experiência os alunos e professores estariam muito preocupados com o vestibular, e o trabalho
poderia não ter o retorno pretendido. Tentamos, então, trabalhar com uma turma de segunda
série do ensino médio, mas a falta de apoio e dificuldades impostas pela professora da turma
levou-nos a desistir, também, dessa possibilidade.
Após momentos de reflexão, uma nova redação para a questão de pesquisa foi
elaborada, tendo como público alvo alunos de graduação do curso de licenciatura em
Matemática. Pareceu-nos apropriado principiar o trabalho com origami e caleidoscópio na
formação inicial de professores, pois esses deveriam ser os primeiros a terem contato com
estes materiais e dominarem as técnicas para seu uso, para que, então, possam trabalhar com
seus alunos. Desse modo, reformulamos a questão norteadora, que ficou assim:
Como o origami e o caleidoscópio podem contribuir no processo de ensino e
aprendizagem da Geometria?
1.1.5 Selecionando a estratégia geral da pesquisa
A seleção da estratégia geral está intimamente ligada às questões escolhidas, ao modelo
preliminar elaborado e as conjecturas levantadas.
Capítulo 1 Metodologia da Pesquisa
___________________________________________________________________________
24
Neste experimento, a estratégia geral definida foi fazer um levantamento sobre as
potencialidades de uso do origami e do caleidoscópio, além de elaborar e aplicar uma
proposta de ensino de Geometria no estudo de polígonos e poliedros, com auxílio destes
materiais, utilizando a metodologia de ensino resolução de problemas.
Para o desenvolvimento de tal proposta foi escolhida uma turma que cursava o segundo
semestre de Licenciatura em Matemática, da Universidade Regional Integrada do Alto
Uruguai e das Missões, localizada na cidade de Santo Ângelo, interior do Rio Grande do Sul.
Nesse local tínhamos facilidade de acesso e não tivemos dificuldades ou obstáculos por
conhecer o coordenador do curso, pois foi nessa instituição que fizemos a graduação.
1.1.6 Selecionando procedimentos específicos da pesquisa
Para desenvolver a estratégia geral e a fim de esclarecer a questão de pesquisa, foram
selecionados procedimentos de coleta e organização das evidências.
Ao retomarmos o modelo preliminar apresentado na seção 1.1.2, considerando-o por
partes, temos na fase inicial a exploração e pesquisa sobre os materiais selecionados, que no
nosso caso são o origami e o caleidoscópio. Por meio de revisão bibliográfica é que foi
verificada a potencialidade de sua utilização em sala de aula e feito o levantamento de suas
possibilidades matemáticas, além da elaboração das atividades que poderiam ser
desenvolvidas para o estudo das construções fundamentais, polígonos e poliedros.
Na fase intermediária, que corresponde à idealização, ocorreu a escolha das atividades
que se adequariam ao desenvolvimento de problemas geradores de novos conteúdos, que
seriam aplicados aos alunos. Esses problemas foram criados pelo pesquisador ou adaptados
das atividades encontradas, com a finalidade de introduzir e orientar a compreensão e
formação de conceitos como: simetria, isometria, ângulo, fórmula de Euler, elementos e
características de polígonos e poliedros, e assim por diante, conforme a possibilidade de
exploração de cada atividade.
No momento que corresponde à primeira parte da fase final do modelo preliminar, ou
seja, a realização, no qual se recolhem às informações, foi utilizado o método de observação e
o registro das informações se deu por meio de gravações de áudio, anotações e documental.
Capítulo 1 Metodologia da Pesquisa
___________________________________________________________________________
25
1.1.7 Coletando informações
A coleta de informações consistiu na observação dos sujeitos pelo próprio pesquisador,
durante a aplicação dos problemas em sala de aula, que ocorreu no segundo semestre do ano
de 2006.
1.1.7.1 Observação participante
O coordenador do curso de Matemática cedeu as aulas das disciplinas daquele semestre
para a realização da pesquisa e, por ser o pesquisador o agente que iria aplicar as atividades,
ficou assim definido que adotaria a observação participante.
De acordo com Alves-Mazzotti & Gewandsznajder (2001) na observação participante o
pesquisador, por sua permanência prolongada no campo interagindo com os sujeitos, acaba
por se tornar parte da situação observada.
Para o estudo em questão, o pesquisador tornou-se o professor da turma, orientando os
alunos, que estavam dispostos em grupos para a resolução dos problemas propostos, os quais
estavam organizados em uma apostila disponibilizada a eles. Enquanto os grupos discutiam,
eram feitas as observações e anotações sobre as impressões das situações que nos eram
significativas.
1.1.7.2 Registro das informações
O registro das informações fez-se por meio dos seguintes recursos: questionário, fotos,
gravações de áudio, anotações e documentos elaborados pelos alunos.
Antes de iniciarmos as atividades, entregamos aos alunos um questionário com o
objetivo de fazermos um levantamento geral sobre seu perfil. Tal questionário continha
perguntas relacionadas à sua vida escolar, sua experiência com recursos didáticos em geral e
sua visão sobre o estudo da Geometria.
Durante as aulas foram feitas gravações de áudio com o auxílio de um gravador digital,
que permaneceu de posse do pesquisador enquanto este circulava entre os grupos, gravando
os diálogos ocorridos. Alguns desses diálogos foram transcritos para posterior análise.
Anotações foram feitas durante as aulas e, também, após o término delas. Esses
apontamentos correspondiam a um relato escrito daquilo que o investigador ouvia, via e
experienciava no decorrer das atividades.
Capítulo 1 Metodologia da Pesquisa
___________________________________________________________________________
26
Para finalizar, foram analisados os documentos elaborados pelos alunos, ou seja,
apostilas e relatórios. Esses relatórios eram feitos ao final de cada módulo estudado, e
continham o resumo da aula e as impressões dos alunos sobre as atividades desenvolvidas.
1.1.8 Interpretando as informações
Este momento se caracteriza pela segunda parte da fase final, no qual se selecionam, se
categorizam e se organizam as informações recolhidas, com a finalidade de responder as
questões da pesquisa, levantadas na fase inicial do projeto.
Para facilitar este processo de organização dos dados, as atividades aplicadas foram
divididas em três momentos: o primeiro referente às construções geométricas fundamentais, o
segundo ao estudo de polígonos e o terceiro ao estudo dos poliedros. Inicialmente analisamos
os dados recolhidos em cada etapa, separadamente.
A análise e a interpretação das informações (ou análise de dados) iniciaram-se
juntamente com a coleta, e foram tomando forma à medida que eram redigidas as anotações e
transcritas as gravações, pois “a análise e interpretação dos dados vão sendo feitas de forma
interativa com a coleta, acompanhando todo o processo de investigação.” (ALVES-
MAZZOTTI & GEWANDSZNAJDER, 2001, p.162).
Nesta análise observamos as atitudes dos alunos frente às atividades, como a
familiaridade com os objetos de estudo, as dificuldades que emergiam, se havia boa aceitação
e as limitações de uso dos materiais.
A interpretação das evidências foi feita por triangulação, que “em uma pesquisa
qualitativa consiste na utilização de vários e distintos procedimentos para obtenção dos
dados” (ARAÚJO e BORBA, 2004, p.35) fundamentada no inter-relacionamento dos
métodos utilizados na recolha dos dados e norteando-se pelos objetivos e pela pergunta da
pesquisa.
A triangulação se deu no instante em que refletíamos sobre as anotações, as gravações
de áudio e os relatórios feitos pelos alunos, procurando encontrar nos dados coletados,
momentos significativos que complementassem as impressões observadas pelo pesquisador
em sala de aula.
A descrição dos dados que foram recolhidos, que se encontram no capítulo 5, nos
levaram ao levantamento e análise de possibilidades e limitações no uso do origami e do
caleidoscópio no contexto deste estudo, assunto esse que está descrito no capítulo 6.
Capítulo 2
Os Materiais:
origami
e
caleidoscópio
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
28
Capítulo 2
OS MATERIAIS: ORIGAMI E CALEIDOSCÓPIO
O origami e o caleidoscópio são materiais manipuláveis que, neste contexto de estudo,
consideramos como objetos concretos que ao serem manipulados pelo aluno podem fornecer
oportunidade para alcançar certos objetivos. Caracterizam-se por seu apelo aos sentidos e
envolvimento físico numa situação ativa de aprendizagem.
Aqui a arte do origami será utilizada para realizar construções como as de polígonos e
sólidos e os caleidoscópios têm como função fornecer o visual de alguns poliedros. Por isso,
cabe realizar um estudo mais detalhado deste material, revelando sua relação com a Educação
Matemática.
2.1 O Origami e a Educação Matemática
2.1.1 Origami
O origami é a tradicional arte japonesa de confeccionar figuras
fazendo dobras no papel. Sua escrita é composta por dois caracteres
japoneses: o primeiro deriva do desenho de uma mão e significa dobrar (ori),
e o segundo deriva do desenho da seda e significa papel (kami) (fig. 2.1).
A construção de um origami, na sua forma mais tradicional, não
envolve o uso de cortes nem colagem, partindo, na maioria das vezes, de um
pedaço de papel quadrado com uma de suas faces colorida. O resultado final depende do corte
do papel utilizado e da confecção de dobras perfeitas, exigindo paciência e concentração do
executor ao seguir os passos indicados para cada figura.
De acordo com a finalidade, o origami divide-se em artístico (construção de figuras da
natureza para ornamento) e educativo (que tem por finalidade a construção de figuras para o
estudo de propriedades, como as geométricas, por exemplo).
figura 2.1
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
29
Caracteriza-se, também, pela quantia de peças de papel utilizadas em sua confecção. O
tradicional, que utiliza apenas uma peça de papel, e o modular, se baseia na construção de
módulos ou unidades (quase sempre iguais) formando figuras ao serem encaixadas. Os
poliedros são a principal fonte de inspiração do origami modular
6
.
2.1.2 Na Educação Matemática
Historicamente, no Japão, o origami teve seu valor reconhecido como recurso didático
na Era Meiji
7
, mais especificamente no ano de 1876 (ano 9 da Era Meiji), mas somente na
disciplina de Educação Artística do jardim de infância e séries iniciais.
O interesse por essa arte é crescente na área da Educação. Hoje estão sendo
desenvolvidas várias pesquisas, dentre as quais destacamos algumas relacionadas à
Matemática.
Prieto (2005) em seu trabalho Matemáticas y Papiroflexia, fala sobre a relação entre o
origami e a Matemática:
La mejor manera de darse cuenta de la relación entre las matemáticas y la
papiroflexia es desplegar un modelo y observar el cuadrado inicial: aparece ante
nuestros ojos un complejo de cicatrices que no es sino un grafo que cumple unas
ciertas propiedades.
Intuitivamente, hay unas “matemáticas del origami” funcionando cuando plegamos
un modelo. (p.04)
Também encontramos o estudo de aspectos matemáticos do origami nos trabalhos sobre
o sistema axiomático, desenvolvido por Humiaki Huzita (MATTOS, 2001), que apresenta
uma fundamentação para a possibilidade de se realizar construções geométricas por meio de
dobraduras.
Franco (1999), Kasahara (2005) e Fusè (2005) em seus livros desenvolvem atividades
com o origami para o estudo de polígonos e de poliedros e suas transformações, estes
trabalhos diferem-se pela maneira de apresentação das construções.
Franco (1999) desenvolve um trabalho bem detalhado com fichas de atividades para uso
direto em sala de aula, no ensino de Geometria e Álgebra, essas fichas contêm orientações
para o professor, detalhamento das construções e questões para os alunos explorarem os
modelos confeccionados. Inicia com uma introdução histórica sobre o origami, traz problemas
6
A construção de poliedros por origami modular está descrita no capítulo 3.
7
Era Meiji: Denominação da Era sob o governo do Imperador Meiji de setembro de 1868 a julho de 1912. De
acordo com Koda (1986).
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
30
que oferecem a oportunidade de trabalho em grupo e de discussão, além de oferecer ao
professor explicações detalhadas de como o livro pode ser utilizado.
Alguns conteúdos matemáticos estudados no livro: visualização espacial, polígonos
regulares, congruência e semelhança, frações e raios, seqüências, ângulos e poliedros.
Já nos estudos de Fusè (2005) não vemos esta preocupação com o ensino, o livro é
constituído de modelos para a confecção de módulos com os quais se constroem os mais
diversos poliedros. Essas construções são mais elaboradas, o que exige maior habilidade com
o origami e não há referências ao estudo de Matemática.
Os livros de Kasahara (1997) e (2005), são bem detalhados em relação às construções.
Trazem algumas provas matemáticas que justificam a exatidão das peças confeccionadas,
estuda os significados das dobras no papel e as possibilidades de trabalhá-los no ensino de
Matemática, mas sem esquecer seu caráter artístico e criativo, apresentando também figuras
diversas de animais, máscaras e outras construções.
Além desses três autores, que nos serviram de base para o estudo da Matemática
implícita no trabalho com origami, podemos destacar ainda os estudos desenvolvidos por
Imenes (1988), Rêgo et al (2003), Novaes (2005) e Hull (2005), que trouxeram contribuições
importantes para o desenvolvimento desta pesquisa.
Nos estudos de Imenes (1988) têm-se o uso das dobraduras para introduzir noções de
retas paralelas e perpendiculares, bissetrizes e construção de polígonos. Estuda os elementos
matemáticos presentes na confecção de aviões e figuras de animais (ângulos, frações...), além
de trabalhar com as características matemáticas de alguns poliedros que podem ser feitos a
partir da união de peças construídas, com origami, em forma de triângulos eqüiláteros e
quadrados.
Este livro traz apenas noções iniciais sem um aprofundamento dos conteúdos
apresentados, sua utilização é mais indicada para o trabalho com introdução da Geometria no
ensino fundamental.
Rêgo et al (2003) menciona o caráter interdisciplinar desta arte e ressalta vários
aspectos matemáticos que podem ser estudados fazendo seu uso. Encontramos valiosa
contribuição no que se refere à utilização do origami em sala de aula, mostrando atividades
relacionadas ao estudo de frações, ângulos, polígono, poliedros e funções.
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
31
As atividades desenvolvidas são sugeridas no trabalho com alunos do ensino
fundamental, desde a primeira série.
No estudo realizado por Novaes (2005) encontramos a busca de uma proposta que leve
os alunos a fazerem conjecturas para determinados resultados e posteriormente as
demonstrem, desenvolve isto fazendo uso do origami.
Primeiramente trabalha com a congruência de ângulos opostos pelo vértice e com o
sistema formado por duas retas paralelas e uma transversal, num segundo momento
desenvolve o estudo de frações (adição e multiplicação), para finalizar estuda os números
irracionais, passando pelo segmento áureo e razão áurea.
O trabalho desenvolvido por este autor é bem profundo no que se refere à Matemática,
todas as construções têm, junto ao seu desenvolvimento, as justificativas matemáticas para se
chegar a conclusão de que a construção está realmente correta.
Na home page do matemático Tom Hull, é possível encontrar referências à Matemática
do origami, incluindo diagramas de modelos, tutoriais, uma vasta bibliografia sobre o assunto
e links para sites relacionados, sendo um auxiliar importante no levantamento de material de
pesquisa.
O interesse em utilizar o origami em sala de aula está ligado ao fato de sua construção
trabalhar com materiais e ferramentas baratas e de fácil aquisição, proporcionar um meio para
a manipulação de objetos geométricos e ter processos de construção lógicos.
Na realização das dobraduras, os estudantes familiarizam-se com formas geométricas,
movimentos de transformação e múltiplas linhas de simetria dentro de uma mesma figura.
Noções de retas perpendiculares, retas paralelas, figuras planas e sólidas, congruência,
bissetrizes de ângulos, relações entre áreas e proporcionalidade poderão ser introduzidas de
maneira igualmente eficaz. As dobraduras possibilitam ainda o desenvolvimento de
atividades relacionadas ao estudo de frações, aritmética, álgebra e funções dentre outros.
(RÊGO et al, 2003, p. 18)
Neste contexto, o estudo aqui realizado procura desenvolver, com o uso do origami e
caleidoscópio, alternativas para o ensino de Geometria em sala de aula.
2.1.3 Construções por dobraduras
2.1.3.1 Axiomas e construções fundamentais
As construções geométricas fundamentais são realizadas com o uso de régua não
graduada e compasso, sendo possíveis pelo desenvolvimento de uma seqüência de passos que
obedecem a um conjunto de axiomas sistematizados por Euclides e expostos em seu mais
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
32
importante trabalho: Os Elementos
8
.
Contudo, essas construções fundamentais também podem ser feitas por meio de
dobraduras no papel. Isso se torna possível devido a um conjunto estruturado de axiomas, que
constituem o método de construção geométrica por dobraduras no papel, ou método origami.
O método origami consiste em um conjunto de axiomas formulado pelo matemático ítalo-
japonês Humiaki Huzita. Dentre as possíveis construções realizadas por esse método estão a
trisseção de um ângulo qualquer e a duplicação do volume de um cubo, construções estas que
não podem ser realizadas utilizando-se apenas régua não graduada e compasso.
Para apresentar esse conjunto de axiomas tomamos como base os estudos realizados por
Mattos (2001), onde inicialmente parte-se de um conjunto de axiomas ao qual são adicionados
novos axiomas, implicando em novas construções geométricas que estão relacionadas com o
corpo algébrico envolvido, possibilitando, assim, estender o corpo anterior. Essas construções
são realizadas a partir do novo conjunto de números construtíveis
9
formado pelo conjunto
estendido.
Os processos de construção origami são fundamentados pela álgebra dos números
construtíveis e os axiomas estão colocados obedecendo a uma seqüência que começa com o
corpo dos números Thalianos (a estrutura deste corpo é determinada pelos axiomas 1, 2 e 3),
seguido do corpo dos números Pitagóricos (que se tem ao introduzir o axioma 4), Euclideanos
(o axioma 5 torna possível as construções Euclideanas), até se chegar a construção do corpo
dos números origami (com a introdução do axioma 6). “Assim, cada conjunto de números é
obtido através dos axiomas que são acrescidos ao conjunto de axiomas já existentes.
Procuramos, assim, descrever a relação existente entre a teoria algébrica que envolve a
extensão de corpos e a geometria elementar". (MATTOS, 2001, p. 68)
2.1.3.2 Axiomas de Huzita (conforme MATTOS, 2001, p.68)
O conjunto de axiomas necessários para realizar construções geométricas por meio de
dobraduras no papel é dado por
10
:
8
Os Elementos: Trabalho composto de 465 proposições distribuídas em treze livros, que versam sobre
Geometria plana e espacial, teoria dos números e álgebra geométrica grega. Primeiro sistema de idéias
desenvolvido pelo homem de forma rigorosa. Considerada modelo de raciocínio dedutivo e descrição do espaço.
9
De acordo com Mattos (2001) um “número α é dito construtível se, através de procedimentos baseados em uma
geometria, podemos construir um segmento de reta de comprimento α. Se temos as construções Euclideanas
tradicionais, α será construtível apenas se o segmento pode ser obtido com uso de régua e compasso. Se temos a
geometria Origami, α será construtível apenas se o segmento pode ser obtido com uso de dobraduras no papel".
p. 67
10
Os pontos, retas e ângulos construtíveis a que o autor se refere são construtíveis por dobraduras.
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
33
Axioma 1 A reta unindo dois pontos construtíveis por dobradura é uma reta construtível.
Axioma 2 O ponto de interseção entre duas retas construtíveis é um ponto construtível.
Axioma 3 O bissetor perpendicular do segmento que une dois pontos construtíveis é uma reta
construtível (mediatriz).
Axioma 4 A reta bissetriz de qualquer ângulo construtível dado pode ser construída.
Axioma 5 Dada uma reta construída l, e os pontos construídos P e Q, a reta que passa
através de Q, refletindo P sobre l, se existir, poderá ser construída.
Axioma 6 Dadas as retas construídas l e m, e os pontos construídos P e Q, então a reta que
reflete simultaneamente P sobre l e Q sobre m, se existir, poderá ser construída.
O axioma 6 permite as construções de raízes cúbicas, resolvendo o problema da
duplicação do cubo, usando para tal a interseção de parábolas. Ele ainda admite a construção
de tangentes a duas parábolas como uma construção nova.
Esse conjunto de axiomas dá forma abstrata às construções de retas, realizadas pela
formação de vincos no papel e, pela interseção desses vincos, constroem-se pontos que são
chamados de números origami. Por meio dos procedimentos que levam às construções de
retas e pontos é que se estabelecem os passos para as construções realizadas no plano origami.
Vale ressaltar que, sobre uma reta construída, existirão pontos que não são necessariamente
construtíveis.
No plano origami as retas são os elementos fundamentais, ou seja, para realizar
qualquer construção sempre começaremos por construir uma dobra, que determina uma reta.
Assim, as retas e a interseção delas são consideradas os elementos fundamentais de todas as
construções por dobraduras no papel.
A seguir, procuramos estabelecer, de acordo com Mattos (2001), os procedimentos
necessários para implementação do conjunto de axiomas que permite formar o corpo dos
números origami, O. Este conjunto de axiomas é descrito de maneira a relacioná-los com as
construções Euclideanas por régua e compasso.
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
34
2.1.3.3 Procedimentos geométricos fundamentais do origami
Os procedimentos geométricos fundamentais do origami são enumerados de (O1) a
(O7*) e estão aqui descritos literalmente, como no trabalho de Mattos (2001, p.113-120)
11
.
Observação: Em Mattos encontramos algumas notações que não condizem com a
terminologia correta, então citaremos aqui a maneira considerada, por nós, adequada de
escrever cada termo.
Quando escreve P = l
1
∩ l
2
, o mais adequado seria {P} = l
1
∩ l
2
.
Ao se referir a c = {M; r} quer dizer, circunferência c de centro M e raio r.
O ângulo bissetor a que o autor faz referência é a reta bissetriz.
Ao invés de reta bissetora o correto é mediatriz.
No lugar de segmento ortogonal a terminologia adequada seria segmento perpendicular.
(O1) Dadas duas retas não paralelas l
1
e l
2
, pode-se determinar um único ponto de interseção
P = l
1
∩ l
2.
figura 2.2
(O2) Dadas duas retas paralelas l
1
e l
2
podemos determinar uma reta m, paralela e eqüidistante
às retas dadas, fazendo coincidir l
1
com l
2
através de uma dobra que reflita l
1
sobre l
2
(paralela
média).
figura 2.3
11
A figuras 2.2 a 2.10 foram retiradas de Mattos (2001).
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
35
(O3) Dadas duas retas l
1
e l
2
, que possuem interseção num ponto P, podemos determinar seu
ângulo bissetor (bissetriz) dobrando l
1
sobre l
2
. A reta bissetriz reflete l
1
sobre l
2
.
figura 2.4
(O4) Dados dois pontos distintos P e Q, podemos encontrar por dobradura uma única reta
PQ
ligando esses dois pontos.
figura 2.5
(O5) Dados dois pontos distintos P e Q, podemos dobrar uma única perpendicular b,
bissetora do segmento de reta
PQ
, dobrando de modo que se faça coincidir P e Q. Esta reta é
a mediatriz b do segmento
PQ
.
figura 2.6
(O6) Dados um ponto P e uma reta l, podemos dobrar l sobre si mesma, encontrando uma
única reta l’ perpendicular a l que possui P.
figura 2.7
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
36
(O7) Dados um ponto P e uma reta l, podemos encontrar qualquer tangente à parábola com
foco P e diretriz l. Especificamente, dado um ponto Q qualquer, externo ou sobre a parábola,
podemos encontrar, por dobraduras, as tangentes à parábola que possuem Q.
figura 2.8
(O7*) Dados os pontos P
1
e P
2
, que podem eventualmente ser idênticos, P = P
1
= P
2
(fig. 2.9)
e as retas l
1
e l
2
, que podem eventualmente ser idênticas, l = l
1
= l
2
(fig. 2.10), podemos
encontrar as tangentes comuns às parábolas p
1
e p
2
, com focos P
1
e P
2
e diretrizes l
1
e l
2
,
respectivamente, realizando uma única dobra que leva P ao mesmo tempo em l
1
e l
2
, fazendo
P coincidente com l
1
∩ l
2
, para o caso da figura 2.9. Todavia, a figura 2.10 mostra o caso em
que os focos distintos P
1
e P
2
são levados na diretriz comum. As retas formadas pelas dobras
possuem interseção pertencente à reta l.
figura 2.9 figura 2.10
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
37
O procedimento (O7*) é o que faz a Geometria do origami ser, fundamentalmente,
diferente das construções Euclideanas que utilizam apenas régua não graduada e compasso.
Estes últimos instrumentos podem realizar apenas os procedimentos (O1) a (O7) do origami,
enquanto que o procedimento (O7*) não é possível, pois (O7*) depende de pontos obtidos a
partir das interseções de cônicas.
2.1.3.4 Procedimentos geométricos fundamentais das construções com régua não graduada e
compasso
Um problema envolvendo construções geométricas poderá ser resolvido com a régua
não graduada e compasso se efetuado através dos procedimentos (E1) a (E5), descritos a
seguir exatamente como está em Mattos (2001, p.121-124)
12
.
(E1) Dados dois pontos distintos A e B, usando uma régua, pode-se traçar uma única reta
AB
contendo ambos os pontos.
figura 2.11
(E2) Dados um ponto M e um segmento de reta de comprimento r > 0, usando o compasso,
pode-se traçar um único círculo c = {M; r}, tendo M como centro e r como raio.
figura 2.12
O raio será dado por um segmento de reta ligando dois pontos conhecidos P e Q, um
dos quais pode ser o ponto M, com o outro ponto pertencendo ao círculo c.
(E3) Dadas duas retas não paralelas l
1
e l
2
, pode-se determinar o único ponto de interseção
entre elas, o qual denomina-se: P = l
1
∩ l
2
.
12
As figuras 2.11 a 2.14 foram retiradas de Mattos (2001).
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
38
(E4) Se são dados um círculo c = {M; r} e uma reta l, tal que o segmento ortogonal à reta l,
com extremidade no ponto M, possui medida menor que r, então se pode determinar o(s)
ponto(s) de interseção entre c e l.
(E5) Dados dois círculos c
1
= {M
1
; r
1
} e c
2
= {M
2
; r
2
} tais que:
i) nenhum contém o centro do outro em seu interior e a medida do segmento
21
MM
não é
maior que a soma de seus raios;
figura 2.13
ou
ii) um círculo contém o centro do outro em seu interior, e a medida do segmento
21
MM não é
menor que a diferença entre os seus raios. Então, é possível determinar os pontos de
interseção entre c
1
e c
2
, como nas figuras 2.13 e 2.14.
figura 2.14
2.1.3.5 Descrevendo os procedimentos do origami
A seguir, estão descritos os procedimentos do origami sobre a folha de papel, que é
considerada como o plano origami e estão colocados aqui exatamente como Mattos (2001,
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
39
p.124-132) os descreve
13
. Este detalhamento tem por objetivo verificar que se podem utilizar
os procedimentos (O1) a (O7*) como ferramentas básicas para construções no plano origami.
Em (O1), são utilizados os vincos originados pela dobradura de duas retas não
paralelas, e a interseção entre ambas determina o ponto sobre o plano origami.
Para realizar (O2) parte-se de duas retas paralelas, construídas através da dobradura de
uma das duas sobre a outra, sendo possível determinar, através deste vinco formado, uma
terceira reta, paralela e eqüidistante às duas retas dadas.
Havendo interseção entre as retas dadas, quando se realiza a dobradura de uma das retas
sobre a outra, como na figura 2.15, temos a determinação da bissetriz do ângulo formado por
estas retas, o que determina o ângulo bissetor entre elas. Desta forma, realizamos o
procedimento (O3).
figura 2.15
Da maneira como descrito acima, o procedimento (O2) realiza uma translação de uma
reta, e o procedimento (O3) realiza uma rotação em torno do ponto de interseção entre as
retas dadas.
É de fácil verificação o procedimento (O4). Uma vez estabelecidos dois pontos
distintos sobre o plano do papel, conseguimos realizar um único vinco, por meio de uma
dobradura que contenha esses dois pontos, assim determinando a reta que passa por esses dois
pontos.
Para (O5) temos que, uma vez definido o segmento PQ , podemos realizar uma dobra
para obter um dos pontos, que pode ser Q, coincidente com outro ponto denominado Q’.
Teremos, assim, gerado uma reta bissetora b (mediatriz) desse segmento, determinado pelos
pontos Q e Q’. Se P pertence a um segmento
PQ
, ao realizar esse procedimento reflete-se o
segmento
PQ
em outro segmento
''QP
, em relação à reta b, como pode ser visto na figura
2.16.
13
As figuras 2.15 a 2.22 foram retiradas de Matttos (2001).
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
40
figura 2.16
Na verificação de (O6), consideramos uma reta l e um dado ponto P. Ao dobrar a reta l
sobre si própria, a dobradura que contém P será única. Assim, para (O6) podemos ter P
pertencendo à reta l ou não.
O procedimento (O7) pode ser realizado, como na figura 2.17, desde que sejam dados
um ponto P e uma reta l, com P necessariamente fora desta reta. Podemos dobrar P sobre
qualquer ponto pertencente à reta l. Dessas dobraduras, resultam, por (O5) e (O6), uma
infinidade de retas bissetoras formadas de cada segmento determinado por
i
PP
, onde P
i
é um
ponto qualquer da reta l.
O conjunto das retas bissetoras formadas será precisamente o conjunto das tangentes à
parábola que possui P como foco e l como diretriz. Essas retas bissetoras formam a envoltória
que dá forma à parábola, como se pode observar na figura 2.18. Para completar (O7), ao
tomarmos um ponto Q diferente de P, tal que não pertença ao interior de qualquer parábola
que tenha P como foco, será possível, por (O6), realizar uma dobradura de P sobre l, de modo
que Q pertença a uma das retas bissetoras, que é tangente à parábola formada pela referida
envoltória, como na figura 2.18.
figura 2.17 figura 2.18
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
41
Para (O7*), dados dois pontos P
1
e P
2
e duas retas l
1
e l
2
, é possível realizar uma
dobradura que leve P
1
sobre l
1
, e P
2
sobre l
2
, através de um único vinco, realizado na folha de
papel. A reta bissetora formada pelo único vinco comum será tangente às duas parábolas com
focos P
1
e P
2
, e cujas retas diretrizes são dadas por l
1
e l
2
, quando esta tangente existe, como
se pode observar nas figuras 2.19 e 2.20.
figura 2.19
figura 2.20
Se P
1
e P
2
forem idênticos, ao realizar o processo acima (ver figura 2.21), encontramos
uma única reta tangente, pela dobradura de P = P
1
= P
2
sobre o ponto de interseção P’, entre l
1
e l
2
.
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
42
figura 2.21
Para o caso de as diretrizes serem iguais, l = l
1
= l
2
, existem duas tangentes comuns a
serem determinadas. Na verdade, essas serão as retas que formam os ângulos bissetores entre
a diretriz comum e a reta unindo os dois focos. Portanto, nesse caso particular, encontram-se
as tangentes comuns utilizando os métodos Euclideanos por régua e compasso, dado que o
problema torna-se linear ou quadrático, figura 2.22.
figura 2.22
Em Mattos (2001, cap. 6) é possível ver como as construções Euclideanas com régua e
compasso podem ser realizadas pelas construções por dobraduras (Anexo 1).
Para finalizar, ao realizar as construções geométricas fundamentais com dobraduras
criamos um modelo para a Geometria descrita nesse conjunto de axiomas, tendo assim uma
outra maneira de representar esses conceitos sem ser por meio do uso de régua não graduada e
compasso.
Utilizando o modelo criado para representar os axiomas podemos realizar construções
geométricas como as dos polígonos, por exemplo, que darão fundamentação para a construção
dos poliedros.
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
43
2.2 O Caleidoscópio e a Educação Matemática
2.2.1 Caleidoscópio
O caleidoscópio é um instrumento formado pela articulação de dois ou mais espelhos,
devidamente ajustados, de modo a fornecer imagens repetidas e perfeitas. Com a combinação
de espelhos se produz o efeito da multiplicação da imagem, cujo número de imagens
formadas está diretamente ligado ao ângulo entre dois espelhos.
Nas obras de Jacobs (1974), O’Daffer & Clemens (1977) e Ball e Coxeter (1987) é
possível encontrar referências ao uso de caleidoscópio em atividades educacionais, assim
como em Barbosa (1993) e Murari (1999), que em seus trabalhos desenvolvem atividades
para serem aplicadas a alunos de qualquer série e aos professores em formação ou atualização,
que possibilitam o desenvolvimento da percepção espacial, de habilidades gráficas e da
criatividade. Mais recentemente temos os trabalhos de Almeida (2003), Martins (2003),
Murari (2004), Batistela (2005), Gouvêa (2005), Reis (2006) e Santos (2006) também
relacionados ao uso do caleidoscópio em sala de aula.
Os conjuntos formados de dois, três ou quatro espelhos articulados, perpendiculares a
um plano são chamados de caleidoscópios planos
14
e o conjunto de três espelhos articulados
na forma de uma pirâmide invertida, que possibilita a visualização de pontos sobre uma
esfera, é chamado de caleidoscópio generalizado.
2.2.1.1 Caleidoscópio Plano
2.2.1.1.1 Caleidoscópio com dois espelhos
Quando se articulam dois espelhos planos (fig.2.23), tem-se a repetição perfeita de
imagens, dependendo do ângulo entre os espelhos.
figura 2.23
14
A construção detalhada e maiores explicações sobre esses caleidoscópios podem ser encontradas em Murari
(1999), Martins (2003), Almeida (2003) e Batistela (2005)
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
44
O número de imagens, conforme Barbosa (1993), é obtido pela fórmula:
'
ˆ
2
n
z
R
n +
−
=
π
onde
z
ˆ
é o ângulo entre os espelhos e n’= -1,0,1,2 se R for respectivamente
0, 0 < R
≤
2x, 2x < R
≤
2y ou 2y < R < 2z,
onde R é o resto da divisão de 360° por 2
z
ˆ
. A figura 2.24 mostra como obter imagens de um
ponto.
Observações:
1. O ponto objeto P e todas as suas imagens
produzidas pelos dois espelhos pertencem a uma
circunferência de centro O.
2. AB =
z
ˆ
, PA =
x
ˆ
e PB =
y
ˆ
. P fornece em
1
E
a
imagem
1
P
, e em
2
E
a imagem
1
Q
.
1
P
fornece em
2
E a imagem
2
P e
1
Q , fornece em
1
E a imagem
2
Q . Temos que
1
Q
2
P = 2x e yQP 2
21
=
.
figura 2. 24
Por meio destes caleidoscópios podem-se apresentar noções de polígonos regulares,
simetria e reflexão.
2.2.1.1.2 Caleidoscópio com três espelhos
2.2.1.1.2.1 Caleidoscópio educacional individual com três espelhos
Nesse caleidoscópio os espelhos formam uma superfície lateral de um prisma triangular,
onde são formadas imagens múltiplas. As imagens obtidas em um dos espelhos produzem
novas imagens nos outros dois, estendendo-se sucessivamente por todo o plano.
Como acontece com os dois espelhos, para que se tenham imagens coincidentes e
repetição perfeita das figuras obtidas, cada ângulo deve satisfazer a condição de o dobro ser
divisor de 360°, portanto, sendo ,
ˆ
a b
ˆ
e c
ˆ
os ângulos dos espelhos, devemos ter:
21
ˆ
;
ˆˆ
2
2
n
b
n
aa
===
π
π
π
e
3
ˆ
n
c
=
π
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
45
Segue de a
ˆ
+b
ˆ
+
c
ˆ
=
π
, que a condição para
1
n
,
2
n
e
3
n é
1
111
321
=++
nnn
, cujas
soluções inteiras podem ser deduzidas, e são: (3,3,3), (2,4,4) e (2,3,6), o que corresponde a
ter-se os valores de
,
ˆ
a
b
ˆ
e
c
ˆ
iguais a (60°,60°,60°), (90°,45°,45°) e (90°,60°,30°).
Caleidoscópios com tais ângulos recebem os nomes: eqüilátero (fig. 2.25), isósceles (fig.
2.26) e escaleno (fig. 2.27).
Podem ser utilizados no estudo das pavimentações do plano por polígonos.
figura 2.25 figura 2.26 figura 2.27
2.2.1.1.2.2 Caleidoscópio educacional modificado com três espelhos
Para a formação desse instrumento utilizamos um caleidoscópio de dois espelhos
articulados, ao qual um terceiro espelho é encostado verticalmente, formando ângulos não
fixos (fig. 2.28). Murari (1999) sugere que o uso deste caleidoscópio é mais adequado para o
trabalho em grupo, além de que, por meio deste tipo de caleidoscópio obtêm-se os três tipos
de caleidoscópios existentes (eqüilátero, isósceles e escaleno).
2.2.1.1.3 Caleidoscópio com quatro espelhos planos articulados, formando uma superfície
prismática de base retangular
Esse material pode ser obtido pela união de dois caleidoscópios formados por
dois espelhos articulados ou conforme mostrado na figura 2.29. Só existem
dois tipos de caleidoscópios com quatro espelhos que produzem repetição
perfeita das figuras obtidas por reflexões: o quadrado e o retangular (ver
Murari, 1999).
figura 2.28
figura 2.29
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
46
2.2.2 Caleidoscópio generalizado
Como o trabalho aqui desenvolvido utiliza o caleidoscópio generalizado para visualizar
os poliedros, apresentamos abaixo sua construção detalhada.
Caleidoscópio generalizado é a denominação dada por Ball e Coxeter (1987) ao
conjunto formado por três espelhos, que possibilitam a visualização de pontos-objeto numa
esfera. Nestes caleidoscópios o terceiro espelho é colocado horizontalmente ao invés de
verticalmente, determinando, analogamente aos caleidoscópios planos, a formação de três
ângulos entre eles (fig. 2.30). Estes espelhos formam uma pirâmide triangular (aberta na
base), constituindo um triedro de espelhos. Assim, temos três ângulos diedrais que são
n
e
m
l
π
π
π
, , (onde l, m e n são divisores inteiros de 180°) e que determinarão a posição de cada
espelho para formar o caleidoscópio especial ou generalizado.
figura 2.30
Desde que, para espelhos planos, um objeto e imagem são eqüidistantes do plano do
espelho, pode-se concluir que todas as imagens de um ponto no caleidoscópio generalizado
pertencem a uma esfera, cujo centro é o ponto de intersecção dos planos dos três espelhos.
Sobre a esfera, estes planos cortam-se formando um triângulo esférico, de ângulos
n
e
m
l
π
π
π
, ,
sendo a sua área um divisor inteiro da área total da esfera a ser visualizada.
Desse modo, tomando o raio da esfera como unitário, a área desta será 4
π
, enquanto
que a área de cada triângulo formado pelos ângulos
n
e
m
l
π
π
π
, sobre essa esfera é
π
πππ
−
+
+
nml
(resultado da Geometria esférica). Então, temos que a área da esfera
dividida pela área de cada triângulo é um número inteiro positivo. Assim,
⇒>
−++
0
4
π
πππ
π
n
m
l
0
1
111
π
4π
>
−++
nml
.
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
47
Dividindo os membros dessa inequação por
π
e observando que o denominador deve
ser maior que zero, obtém-se a inequação:
1
111
−++
n
m
l
> 0
n
m
l
111
++⇒ > 1, para que se tenham ângulos que possibilitem a
repetição perfeita de imagens desse triângulo tesselando a esfera.
O conjunto solução da inequação anterior são as ternas (2,2,n), (2,3,3), (2,3,4) e (2,3,5),
ou seja, para cada terna de solução correspondem os caleidoscópios cujos ângulos são o
resultado da divisão de 180° por esta terna. Obtemos assim os caleidoscópios de ângulos (90°,
90°, n), (90°, 60°, 60°), (90°, 60°, 45°) e (90°, 60°, 36°) respectivamente.
Nesse caso, temos quatro tipos de caleidoscópios (três bem definidos e um que pode
variar dependendo do valor dado a n, com n
∈
N), suas construções devem ser feitas
observando que os ângulos são as medidas dos lados de triângulos esféricos, de ângulos
n
e
m
l
π
π
π
,
.
Temos, então, os ângulos que irão determinar a maneira como
os espelhos deverão ser cortados para formação dos caleidoscópios
generalizados, os quais são utilizados para visualização de
pavimentações esféricas e, também, de poliedros. Esses ângulos são
determinados pela lei dos cossenos (Geometria esférica); então,
para um melhor entendimento, mostramos na figura 2.31 um triângulo
esférico, através do qual explicamos como chegar ao valor do ângulo do espelho a ser
utilizado para construção do caleidoscópio.
Se sobre uma esfera temos três pontos distintos (aqui nomeados de A, B, C), não
pertencentes a um mesmo círculo máximo, e unem-se esses pontos dois a dois, obtemos um
triângulo esférico. Assim, no triângulo ABC, temos que: AB, BC e AC são os lados do
triângulo, no qual BC = a, AB = c e AC = b.
Os ângulos esféricos BA
ˆ
,
ˆ
eC
ˆ
são, também, medidos pelos ângulos diedrais. Por
exemplo,
A
ˆ
é medido pelo ângulo diedral B-OA-C. As medidas dos lados a, b e c são dadas
pelos ângulos subentendidos por eles no centro da esfera. Por exemplo,
BOAcCOAbCOBa
ˆ
;
ˆ
;
ˆ
===
figura 2.31
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
48
Em qualquer triângulo esférico vale a lei dos cossenos para os lados. Conforme Nielsen
(1966) temos:
aCsenBsenCBA cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
bCsenAsenCAB cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cBsenAsenBAC cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
Calculando o ângulo central dos setores circulares, para os caleidoscópios descritos
anteriormente, temos:
2.2.2.1 Caleidoscópio de ângulos (90°, 60°,60°)
Para este caleidoscópio: Â = 90° e CB
ˆ
ˆ
= = 60°.
Calculando o valor de a temos:
► aCsenBsenCBA cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 90° = - cos 60°. cos 60° + sen 60°. sen 60°. cos a,
3
1
coscos.
4
3
4
1
cos.
2
3
.
2
3
2
1
.
2
1
0 =⇒=⇒+−= aaa
Então, a
≅
70,53° ou a
≅
70°32’.
Calculando o valor de b temos:
►
bCsenAsenCAB cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 60° = - cos 90° cos 60° + sen 90° sen 60° cos b
3
3
coscos
2
3
2
1
cos
2
3
.1
2
1
.0
2
1
=⇒=⇒+−= bbb
Então, b
≅
54,73° ou b
≅
54°44’, consequentemente, este também é o valor de c.
Assim, a terna (2,3,3) gera caleidoscópio com ângulos diedrais (90º, 60º, 60º) e terá
ângulos centrais conforme a terna: (70.53°, 54.73°, 54.73°).
2.2.2.2 Caleidoscópio de ângulos (90°, 60°,45°)
Para este caleidoscópio: Â= 90°,
B
ˆ
= 60° e C
ˆ
= 45°.
Calculando o valor de a temos:
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
49
► aCsenBsenCBA cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 90° = - cos 60°. cos 45° + sen 60°. sen 45°. cos a,
3
3
coscos
4
6
4
2
cos
2
2
2
3
2
2
2
1
0 =⇒=⇒+−= aaa
Então, a
≅
54,73° ou a
≅
54°44’.
Calculando o valor de b temos:
►
bCsenAsenCAB cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 60° = - cos 90°. cos 45° + sen 90°. sen 45° cos b ,
2
2
coscos
2
2
2
1
cos
2
2
.1
2
2
.0
2
1
=⇒=⇒+−= bbb
Então, b = 45°.
Calculando o valor de c temos:
► cBsenAsenBAC cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 45° = - cos 90°. cos 60° + sen 90°. sen 60°. cos c
3
6
coscos
2
3
2
2
cos
2
3
.1
2
1
.0
2
2
=⇒=⇒+−= ccc
Então, c
≅
35,26° ou c
≅
35°16’.
Assim, a terna (2,3,4) gera caleidoscópio com ângulos diedrais (90º, 60º, 45º) e terá
ângulos centrais conforme a terna: (35,26°, 45°, 54,73°).
2.2.2.3 Caleidoscópio de ângulos (90°, 60°,36°)
Para este caleidoscópio: Â= 90°,
B
ˆ
= 60° e
C
ˆ
= 36°.
Calculando o valor de a temos:
►
aCsenBsenCBA cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 90° = - cos 60°. cos 36° + sen 60°. sen 36°. cos a,
795,0cos
36
36cos
3
3
coscos.36.
2
3
36cos.
2
1
0 ≅⇒
°
°
=⇒°+°−= a
sen
aasen
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
50
Então, a
≅
37,38° ou a
≅
37°23’.
Calculando o valor de b temos:
►
bCsenAsenCAB cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 60° = - cos 90° cos 36° + sen 90° sen 36° cos b
8506,0
36
.
2
1
coscos.36
2
1
cos.36.136cos.0
2
1
≅
°
=⇒°=⇒°+−=
sen
bbsenbsen
Então, b
≅
31,72° ou b
≅
31°43’.
Calculando o valor de c temos:
►
cBsenAsenBAC cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 36° = - cos 90°. cos 60° + sen 90°. sen 60°. cos c,
934,036cos
3
3
.2coscos
2
3
36coscos
2
3
.1
2
1
.036cos ≅°
=⇒=°⇒+
−=° ccc
Então, c
≅
20,90° ou c
≅
20°54.
Assim, a terna (2,3,5) gera caleidoscópio com ângulos diedrais (90º, 60º, 36º) e terá
ângulos centrais conforme a terna: (20.90°, 31.72°, 37.38°).
2.2.2.4 Caleidoscópio de ângulos (90°,90°,n)
Para o caleidoscópio de ângulos (90°,90°,n) existem muitas possibilidades de ângulos
que satisfazem essa construção. Apresentamos a seguir a descrição dos que foram utilizados
neste trabalho.
O caleidoscópio (90°,90°,180°) tem A= B = 90° e C = 180°.
Calculando o valor de a temos:
►
aCsenBsenCBA cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 90° = - cos 90°. cos 180° + sen 90°. sen 180°. cos a,
Então a = 90°.
Calculando o valor de b temos:
►
bCsenAsenCAB cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
51
cos 90° = - cos 90°. cos 180° + sen 90°. sen 180°. cos b
Então b = 90°.
Calculando o valor de c temos:
► cBsenAsenBAC cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 180° = - cos 90°. cos 90° + sen 90°. sen 90°. cos c
1coscos.11cos.1.10.01
−
=
⇒
=
−
⇒
+
−
=
−
cca
Então, c = 180°.
Assim, a terna (2,2,1) gera caleidoscópio com ângulos diedrais (90º, 90º, 180º) e terá,
também, ângulos centrais conforme a terna: (90°,90°,180°).
O caleidoscópio (90°,90°,90°) tem  =
B
ˆ
= C
ˆ
= 90°.
Calculando o valor de a temos:
►
aCsenBsenCBA cos
ˆ
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
cos +−=
cos 90° = - cos 90°. cos 90° + sen 90°. sen 90°. cos a,
0coscos10cos1.10.00
=
⇒
=
⇒
+
−
=
aaa
Então, a = 90°, consequentemente este também é o valor de b e c.
Assim, a terna (2,2,2) gera caleidoscópio com ângulos diedrais (90º, 90º, 90º) e terá,
também, ângulos centrais conforme a terna: (90°,90°,90°).
Os espelhos utilizados na confecção destes caleidoscópios podem ser cortados na forma
de setores circulares. No Anexo 2 apresentamos uma descrição mais detalhada desse
procedimento e respectiva construção dos caleidoscópios.
Como um dos objetivos deste trabalho é a visualização dos poliedros regulares e semi-
regulares em caleidoscópio generalizado, apresentamos a construção de dobraduras que,
quando colocadas entre o ângulo sólido formado pelos três espelhos, geram o visual desses
sólidos geométricos.
A construção dessas dobraduras pode ser efetuada através de régua e compasso ou por
meio do computador, o qual efetua o trabalho com maior rapidez. No próximo capítulo temos,
detalhados, os procedimentos para obtenção das diversas dobraduras. Abaixo, apresentamos
o software Cabri-Géomètre II escolhido para a confecção das dobraduras no computador.
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
52
2.3 Considerações sobre o Software Cabri-Géomètre II
O software Cabri-Géomètre II é um programa interativo, desenvolvido por Jean M.
Laborde e Franck Bellemain, no Institut d’Informatique e Mathématiques Appliqées de
Grenoble, da Université Joseph Fourier de Grenoble na França. Este software apresenta
características que permitem utilizar o computador como uma ferramenta auxiliar no trabalho
de construção das dobraduras para visualização dos poliedros em caleidoscópio generalizado.
Esse software permite, por exemplo, construir um conjunto de objetos elementares
(ponto, reta, etc.) e efetuar ações sobre eles (traçar uma reta paralela a uma reta dada,
determinar o ponto médio de um segmento, etc.). Torna possível certa interatividade do aluno
com o meio e possibilita fazer, por comandos bem definidos em linguagem geométrica, as
construções que se fazem com lápis e papel.
2.3.1 Menus e ferramentas
Janela de desenho: onde se fazem construções geométricas.
Barra de menu: contém menus de interface gráfica comuns ao usuário, para o gerenciamento
e edição de arquivos, em conjunto com as opções do Cabri-Géomètre II. Os menus são:
ícones de atributos, barra de menu, barra de ferramentas, janela da ajuda, janela de desenho,
ponteiro de seleção, paleta de atributos e mensagem do ponteiro.
Barra de ferramentas: onze caixas de ferramenta são residentes nessa barra. Para acessar uma
caixa de ferramenta, devemos pressionar, e manter pressionado o botão do mouse sobre o
ícone.
Ícones de atributos: eles somente serão exibidos se selecionado o comando Mostrar
Atributos, no menu Opções da barra de menu. Estes permitem modificar a aparência de
objetos. Pode-se criar uma paleta de atributo (menu de divisão) arrastando um ícone dos
Ícones de atributos para a janela de desenho.
Opção do menu Ajuda: clicar na opção do menu Ajuda e selecionar Ajuda ou pressionar a
tecla F1 para alternar a janela de ajuda entre ATIVADA e DESATIVADA.
Ponteiro de seleção: é a ferramenta primária para selecionar menus e para construir figuras
geométricas. A forma do ponteiro se modificará de acordo com a operação e a localização do
momento.
Caixa fechar: fecha a janela e cria a caixa de diálogo que permite salvar o trabalho.
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
53
Caixa de zoom: alterna o tamanho da janela entre o atual e a tela cheia. Arrastando a caixa
tamanho para um novo local, redimensiona-se a janela de desenho.
Barras de rolagem: ao clicar nas barras de rolagem e nas setas de rolagem move-se,
verticalmente ou horizontalmente, o conteúdo da janela de desenho.
Nos menus e caixas de ferramentas encontramos os elementos que permitem fazer
construções geométricas. Esse software trabalha a partir de objetos básicos da Geometria
Euclidiana como ponto, reta, segmentos e círculos e podem-se estudar relações geométricas
como interseção, paralelismos, perpendicularismos, lugar geométrico, etc.
Na parte superior da tela encontramos a barra de menus que contém as seguintes
opções, devidamente expostas com seus comandos:
Arquivo: com os comandos Novo, Abrir, Salvar, Salvar como, Recuperar, Mostrar página ,
Formato da impressão, Imprimir e Sair.
Editar: com os comandos Desfazer, Recortar, Copiar, Colar, Apagar, Selecionar tudo, Rever
construção e Redesenhar.
Opções: com os comandos Ocultar/Mostrar atributos, Preferências e Configurações.
Ajuda: com os comandos Ajuda e Acerca do Cabri II.
Logo abaixo da barra de menus tem-se a caixa de ferramentas, representada na figura
2.32, com seus respectivos nomes.
figura 2.32
Cada um desses ícones aciona um sub-menu, que permite escolher a ferramenta
desejada. As opções podem ser observadas a seguir.
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
54
Ponteiros: Pontos: Curvas:
- Ponteiro - Ponto - Circunferência
- Giro - Ponto sobre objeto - Arco
- Rodar e dilatar - Ponto de interseção - Cônica
- Dilatar/Reduzir
Retas: Construções: Transformações:
- Reta - Reta perpendicular - Simetria axial
- Segmento - Reta paralela - Simetria
- Semi-reta - Ponto médio - Translação
- Vetor - Mediatriz - Rotação
- Triângulo - Bissetriz - Homotetia
- Polígono - Soma de vetores - Inversão
- Polígono regular - Compasso Macros:
- Transferência de medidas - Objetos iniciais
- Lugar geométrico - Objetos finais
- Redefinir objeto - Definir macro
Propriedades: Medidas: Opções:
- Alinhado - Distância e - Nomear
Comprimento
- Paralelo - Área - Comentários
- Perpendicular - Declive - Edição numérica
- Eqüidistante - Medida de ângulo - Marcar ângulo
- Pertencente - Coordenada e equação - Bloquear/Desbloquear
- Calculadora - Traço de um objeto
- Tabela - Animação
- Animação múltilpla
Capítulo 2 Os Materiais:
origami
e caleidoscópio
___________________________________________________________________________
55
Aspectos do desenho:
- Ocultar/Mostrar
- Colorir - Modificar aparência
-Preencher - Sistema de eixos
- Espessura de traço - Novos eixos
-Pontilhar - Grade
Tendo os subsídios teóricos mais importantes podemos partir para a construção dos
materiais utilizados no desenvolvimento das atividades que foram aplicadas aos alunos
pesquisados. No capítulo seguinte fazemos o detalhamento dos passos para a construção dos
sólidos por meio do origami, e das dobraduras que fornecem o visual desses sólidos em
caleidoscópio generalizado.
Capítulo 3
A Construção dos Materiais
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
57
Capítulo 3
A CONSTRUÇÃO DOS MATERIAIS
Este capítulo é dedicado ao detalhamento da construção das representações, por meio do
origami e caleidoscópio, dos polígonos e poliedros e, também, às definições por nós adotadas
para esses conceitos.
3.1 Polígonos
Definição para um polígono convexo, segundo O’Daffer & Clemens (1977):
Os pontos P
1
, P
2
, P
3
, ..., P
n
são um conjunto de n pontos distintos em um plano onde
n>2. Ao ligarmos os segmentos P
1
P
2
, P
2
P
3
, ..., P
n
P
1
, teremos um polígono somente se eles
intersectarem-se unicamente nos pontos finais, e dois segmentos com um ponto final em
comum não forem colineares.
Os pontos P
1
, P
2
, P
3
, ..., P
n
são chamados de vértices do polígono e os segmentos P
1
P
2
,
P
2
P
3
, ..., P
n
P
1
são designados de lados. Um segmento (outro, não sendo o lado) que liga dois
vértices do polígono é denominado de diagonal do polígono. Ângulo é a ligação de dois lados
consecutivos do polígono.
Um polígono é regular quando tem todos os lados e ângulos congruentes
15
.
3.1.1 Construção de polígonos por dobraduras (ou origami)
Apresentamos aqui a construção de polígonos por origami. Essas construções têm os
passos descritos e representados por figuras. Para a confecção do origami utilizamos papel
espelho, facilmente encontrado em papelarias.
Para facilitar o entendimento dos gráficos das dobraduras apresentamos uma lista com
os símbolos utilizados na sua construção.
15
Congruente: tem a mesma medida, mas estão em lugares diferentes do plano.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
58
_ _ _ _ _ _ linha de dobra para frente (vale)
linha de dobra para trás (montanha)
mover o papel nesta direção
virar
dobrar e desdobrar
................... raio X
puxar ou abrir
vinco
3.1.1.1 Retângulo
Tomando como base inicial um pedaço de papel qualquer, podemos construir um
retângulo utilizando os axiomas apresentados no capítulo 2, construindo retas paralelas e
perpendiculares. Construção feita por Imenes (1988, p. 08-11):
1. Dobrar.
2. Dobrar uma perpendicular a dobra anterior.
3. Dobrar outra perpendicular à primeira
dobra.
4. Dobrar uma paralela a primeira dobra.
4. Desdobrar o papel.
5. Retângulo pronto.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
59
3.1.1.2 Quadrado
Obtemos o quadrado a partir do retângulo. Construção apresentada por Imenes (1988,
p.12-13):
1. Dobrar fazendo o lado
menor coincidir com o lado
maior.
2. Dobrar e desdobrar a aba
restante e abrir o papel.
3. Quadrado pronto.
O quadrado servirá de base para a maioria das dobraduras a serem realizadas na
seqüência.
3.1.1.3 Retângulo áureo
O retângulo áureo é um retângulo onde há certa razão (quociente) entre o seu
comprimento e sua largura. Essa razão é chamada de razão áurea ou razão de ouro. Podemos
encontrar exemplos dessa razão na natureza e também nas construções feitas pelo homem.
O retângulo áureo é construído tomando como base um segmento qualquer
AB
. A
partir dele constrói-se um quadrado de lado
AB
, tendo M como seu ponto médio. Prolonga-
se o segmento
AB
no sentido de A para B para determinar o ponto P sobre esse
prolongamento, tal que a medida de
MP
seja igual a medida de MC . O retângulo de
comprimento
AP
e largura
AB
recebe o nome de retângulo áureo.
A propriedade fundamental dos retângulos
áureos é dada por:
BP
AB
AB
AP
=
essas razões têm um valor constante
de
2
51+
= 1,618033989... para qualquer retângulo
áureo.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
60
Para realizar a construção do retângulo áureo é necessário seguir estes passos, partindo
de um pedaço de papel quadrado. Construção feita por Kasahara (2005, p. 72):
1. Dobrar.
2. Dobrar para frente marcando
a diagonal deste retângulo.
3. Abrir o papel.
4. Dobrar a bissetriz do
ângulo mostrado na figura.
5. Virar completamente a figura
para que fique como mostra o
passo seguinte.
6. Dobrar esta parte para
frente marcando uma dobra
perpendicular à base da
figura
7. Figura formada depois de feita a dobra.
8. A parte escura é o retângulo procurado
Para provar que o retângulo encontrado é áureo, precisamos calcular o valor de x.
Prova:
De acordo com o teorema de Pitágoras, se o lado do
quadrado é 2, então
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
.514
12
2
22
2222
=⇒+=
⇒+=⇒+=
ACAC
ACDCADAC
Conseqüentemente, 15 −=PC .
Uma vertical é dobrada do
ponto Q no passo 8 da
construção.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
61
Temos
CPQADC
∆
∆
~
, assim:
QRPQ
PQPQ
DC
PC
AD
=
−
=⇒=
−
⇒=
2
151
15
2
.
Como
.~ ABSARQ
∆
∆
Temos 15
2
15
2
1
−=⇒
−
=⇒= x
x
BS
QR
AB
AR
.
Calculando a razão áurea deste retângulo temos:
...618.1
15
2
=
−
Essa prova foi feita por Hisashi Abe e retirada de Kasahara (2005, p. 73).
3.1.1.4 Triângulo eqüilátero
Para a construção de um triângulo eqüilátero por dobraduras, partimos de um papel
quadrado.
1. Dobrar e desdobrar
2. Dobrar um ponto sobre o outro.
Esta dobra mostra que o lado tem o
mesmo tamanho da base.
3. Dobrar e desdobrar.
4. Abrir.
5. Dobrar fazendo os dois pontos
coincidirem.
6. Dobrar e desdobrar.
7. Abrir.
8. Temos um triângulo eqüilátero.
Construção retirada de
Franco (1999, p. 42).
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
62
Para provar que este triângulo é eqüilátero, primeiramente, nomeamos os seus vértices
como ABC. Dobramos o ângulo bissetor de
∠
ABC, tendo o ponto A coincidindo com o ponto
C. Fazendo o mesmo para o ângulo
∠
BAC, tendo o ponto B coincidente com o ponto C, e
dobrando o ângulo bissetor para
∠
BCA, tendo o ponto B levado no ponto A. Desse modo
faz-se qualquer lado do triângulo
∆
ABC coincidente com qualquer um dos outros dois.
Com as coincidências de pontos estabelecidas pelas reflexões do item anterior, fica
determinado o triângulo eqüilátero
∆
ABC.
3.1.1.5 Hexágono regular
Partimos de um triângulo eqüilátero.
Construção feita por Mattos (2001, p. 168-170).
(1) Construir as alturas relativas do triângulo
∆
ABC, dobrando as bissetrizes para cada um dos
seguintes ângulos:
∠
ABC,
∠
ACB,
∠
BAC.
Deste modo, determinam-se, através das dobras,
as retas
AR
,
BS
e
CT
. O ponto U resulta da
interseção dessas retas.
(2) Dobrar B para que coincida com o ponto U, construindo-se, assim, a mediatriz do
segmento
BU
. Dobrar o ponto C para que coincida com o ponto U. Deste modo constrói-se a
mediatriz do segmento
CU
. Fazer o mesmo para o ponto A. Assim, construímos a mediatriz
do segmento
AU
.
(3) Para cada dobra do item anterior determinam-se as retas construídas
FG
,
ED
,
IH
. Essas
retas terão interseção com os segmentos que determinam os lados do triângulo nos pontos F,
G, H, I, D, E, todos construídos, sendo possível a construção dos segmentos FG ,
HI
,
DE
.
Para provar que este hexágono é regular basta refletir o ponto F em relação à reta
CT
.
Para isso, dobrar o segmento
EF
, de modo que o ponto F coincida com o ponto construído E.
Fazendo o mesmo para o ponto G, em relação à reta
AR
, obtém-se G coincidente com H. Da
mesma forma, obtém-se I coincidente com D, ao refletirmos I em relação à reta BS .
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
63
3.1.1.6 Pentágono regular
Para a construção de um pentágono regular por dobraduras, partimos de um papel
quadrado. Construção apresentada por Franco (1999, p. 46).
1. Dobrar a diagonal.
2. Dobrar ao meio e
desdobrar.
3. Marcar o ponto médio do
segmento
AB
, dobrando e
desdobrando. Chamar esse
ponto médio de D.
4. Marcar o ponto médio do
segmento
AD
dobrando e
desdobrando. Chamar esse
ponto médio de E.
5. Dobrar e desdobrar para
marcar a reta que une os
pontos E e F.
6. Dobrar a bissetriz do
ângulo
B
F
E
ˆ
.
7. Dobrar para frente e
marcar a bissetriz do ângulo
GFC
ˆ
.
8. Dobrar a ponta produzida
pela dobra anterior ao longo
do segmento
FE
.
9. Dobrar para trás todo o
lado direito do segmento
FE
.
10. Dobre todas as
camadas. Essa dobra
deve passar pelo ponto
G e ser perpendicular
ao lado esquerdo da
figura.
11. Desdobrar o papel.
Para provar que este pentágono é regular, fazemos dobras com os pontos construídos
para que passem por cada vértice e façam refletir um ponto no outro.
Pelas simetrias verificadas no item anterior, temos a congruência entre cada um dos
segmentos que determinam os lados do pentágono, pois cada um dos lados pode ser refletido
sobre o outro por alguma dobradura. Portanto, o pentágono construído é regular.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
64
3.1.1.7 Octógono regular
Para construir um octógono com dobraduras, fazemos a bisseção de um quadrado.
Construção apresentada por Imenes (1988, p.14):
1. Dobrar ao meio
2. Dobrar ao meio
3. Dobrar a diagonal
Dobrar a bissetriz dos
ângulos formados de cada
lado da diagonal
5. Dobrar e desdobrar a aba
formada
6. Desdobrar o papel.
Provamos que este é um octógono regular fazendo dobras que passem por cada vértice,
de modo que um ponto seja refletido no outro.
Pelas simetrias verificadas no item anterior, temos a congruência entre cada um dos
segmentos que determinam os lados do octógono, pois cada um dos lados pode ser refletido
sobre o outro por alguma dobradura. Portanto, o octógono construído é regular.
Por meio da construção dos polígonos é possível analisar suas características, fazer o
estudo de simetrias e isometrias do plano, além de preparar o aluno para a confecção dos
módulos que dão origem aos poliedros.
3.2 Poliedros
Poliedro
16
pode ser definido como um conjunto finito de polígonos planos que cercam
uma parte do espaço, com as seguintes características descritas por Colli (2006):
1. Dois polígonos se intersectam apenas em seus lados ou vértices, e a interseção é
exatamente um lado ou exatamente um vértice; os lados dos polígonos são as arestas do
poliedro, e os polígonos são suas faces.
16
Etimologicamente, a palavra poliedro deriva dos termos gregos poli=muitos e edro=faces.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
65
2. Toda aresta é lado de exatamente dois polígonos.
3. O conjunto é convexo, isto é, pode-se ir de um polígono a qualquer outro por um caminho
inteiramente contido no poliedro.
4. Fixado um vértice qualquer V e os polígonos P
1
,..., P
n
que o tocam, pode-se ir de P
j
a P
k
,
quaisquer que sejam j e k entre 1 e n, passando apenas pelos polígonos P
i
, i=1,...,n, e sem
passar pelo vértice V.
Um poliedro convexo
17
é dito uniforme quando tem faces regulares, e cada vértice
apresenta o mesmo número de arestas convergentes e de polígonos ao seu redor, dispostos na
mesma ordem. Temos, então, os poliedros regulares e semi-regulares.
3.2.1 Poliedros regulares ou poliedros de Platão
Um poliedro regular é aquele que possui como faces polígonos regulares congruentes, e
todos os vértices unem a mesma quantia de polígonos. Isto significa que existe uma simetria
do poliedro que transforma cada face, cada aresta e cada vértice numa outra face, aresta ou
vértice.
Existem apenas cinco poliedros que satisfazem a essas condições e são conhecidos
como poliedros de Platão: o tetraedro, o hexaedro ou cubo, o octaedro, o dodecaedro e o
icosaedro.
Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Para demonstrar a existência de apenas cinco poliedros regulares, utilizamos os
resultados apresentados por O’Daffer e Clemens (1977).
Primeiro consideramos o poliedro regular com faces formadas por
triângulos eqüiláteros. Ao se colocar seis triângulos em torno do mesmo
vértice percebemos que se tem uma figura plana (fig. 3.1), ou seja, a soma dos
ângulos ao redor do vértice é igual a 360°. Assim, para se ter o vértice de um
poliedro essa soma deve ser menor que esse valor.
figura 3.1
17
Um poliedro é dito convexo se toda reta que contém um ponto de seu interior intersecta o poliedro em
exatamente dois pontos, ou seja, se nenhum de seus ângulos diedrais (formados pela interseção de duas faces) é
maior que 180°.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
66
Considerando cinco triângulos eqüiláteros ao redor de um vértice, como na figura 3.2.
Juntando A e B obtemos um “telhado” tridimensional (fig. 3.3), que representa um dos
vértices de um poliedro regular de vinte faces, o icosaedro. A soma dos ângulos ao redor
desse vértice é
°
<
°
=
°
360 30060.5
.
figura 3.2
figura 3.3
Agora, tomando quatro triângulos, como mostra a figura 3.4, e unindo os vértices A e B
temos um “telhado” (fig. 3.5), que ao ser ligado a mais um desses telhados dá origem ao
poliedro regular de oito faces, o octaedro. A soma dos ângulos ao redor desse vértice é
°
<
°
=
°
360 24060.4 .
figura 3.4
figura 3.5
No caso em que temos três triângulos ao redor do vértice (fig. 3.6) ao unir A e B temos
um “telhado”, que é vértice do poliedro regular de quatro faces, o tetraedro. A soma dos
ângulos ao redor desse vértice é
°
<
°
=
°
360 18060.3
.
figura 3.6
figura 3.7
De maneira análoga, ao colocarmos quatro quadrados ao redor de um vértice temos,
°
=
°
360 90.4
, encontrando assim uma figura plana (fig. 3.8). Por isso, usamos apenas três
quadrados (fig. 3.9), que formam um “telhado” ao unir os pontos A e B, figura 3.10, e
representa o vértice de um poliedro regular de seis faces, o cubo ou hexaedro.
figura 3.8
figura 3.9
figura 3.10
A
A
B
B
A
B
A
B
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
67
Não é possível colocar mais de três pentágonos em torno de um vértice, como podemos
ver na figura 3.11. Ao colocar três pentágonos regulares em torno de um vértice (fig. 3.12),
encontramos um “telhado” tridimensional quando ligamos os pontos A e B (fig. 3.13), que
representa um dos vértices do poliedro de doze faces, o dodecaedro.
figura 3.11
figura 3.12
figura 3.13
Apresentamos, abaixo, uma prova mais formal do que foi descrito acima.
Por que não há outros poliedros regulares além dos cinco mencionados?
Seja p o número de lados dos polígonos que formam as faces, pois todas as faces são
iguais e regulares. Evidentemente p≥3. Seja q o número de polígonos ao redor de cada vértice.
Tem-se q≥3, pois para formar um telhado são necessários no mínimo três polígonos em torno
de um vértice.
Os ângulos internos de um polígono de p lados valem
p
p
i
)2(180
−
°
=
. Como são q
polígonos de p lados incidentes no mesmo vértice, e assume-se convexidade então:
−
p
p
q
)2(
180 <
p
p
q
)2(
360
−
⇔ < )2(2
−
⇔
pq < qqpp 22
−
⇔
< pqqpp 222
−
−
⇔
<0
422
+
−
−
⇔
pqqp
<
)2)(2(4
−
−
⇔
qp
<4
Se q≥6, então p<3, contradizendo p≥3. Logo q deve ser igual a 3, 4 ou 5. Se p=5, então,
na equação anterior, q=3, que é o caso do dodecaedro. Se p=4, então, q=3, que é o caso do
cubo. Se p=3, então, a equação permite que q seja 3, 4 ou 5, que são os casos,
respectivamente, do tetraedro, do octaedro e do icosaedro.
Sendo V o número de vértices, A o de arestas e F o de faces, então,
{p,q}
V A F Poliedros
{3,3}
4 6 4 Tetraedro
{4,3}
8 12
6 Cubo
{3,4}
6 12
8 Octaedro
{5,3}
20
30
12
Dodecaedro
{3,5}
12
30
20
Icosaedro
A
B
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
68
3.2.2 Poliedros semi-regulares ou poliedros de Arquimedes
Os poliedros semi-regulares são poliedros convexos, que tem como faces polígonos
regulares de mais de um tipo, com todos os vértices congruentes, isto é, existe o mesmo
arranjo de polígonos em sua volta, além de todo vértice poder ser transformado em outro
vértice por uma simetria do poliedro.
Esses poliedros são obtidos por meio de uma sucessão de cortes, chamados de
truncamento, a partir dos sólidos platônicos. Esses truncamentos são obtidos fazendo-se
cortes por planos perpendiculares aos eixos de simetria de rotação que passam em cada
vértice obtendo assim novas faces, que são, também polígonos regulares.
À distância do vértice em que se faz o truncamento é que determina o poliedro que será
obtido. Um exemplo pode ser visto na figura 3.14.
figura 3.14
Mostramos, a seguir, os gráficos para a confecção dos módulos que dão origem aos
poliedros feitos com dobraduras. No curso aplicado aos alunos foram construídos apenas o
módulo triangular, o quadrangular e o pentagonal. Contudo, além desses apresentamos aqui a
construção de outros, visando contribuir com aqueles que tiverem interesse em fazê-las.
3.2.3 Construção dos poliedros por dobraduras
Os diagramas para a construção foram retirados de livros de origami, aos quais fazemos
referência em cada um. Fizemos algumas adaptações a fim de facilitar o entendimento. A
técnica utilizada é a do origami modular.
O origami modular se baseia na construção de módulos ou unidades (quase sempre
iguais) que, ao se encaixarem, formam figuras.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
69
3.2.3.1 Proporções dos quadrados utilizados na confecção dos módulos
Para que se obtenham módulos poligonais de lados congruentes, que possam ser
encaixados uns aos outros, é necessário o uso de diferentes tamanhos de papéis. Quanto mais
ângulos a figura tiver, maior deve ser o tamanho do quadrado de papel utilizado.
Os passos para obtenção dos tamanhos dos quadrados utilizados na confecção de cada
módulo seguem a seqüência da construção do retângulo áureo, visto anteriormente, e são
encontrados em Kasahara (2005, p.222-223).
Sugerimos aqui alguns valores para os lados dos quadrados. Eles são aproximações e
podem ser substituídos desde que se mantenham as proporções indicadas. Essas proporções
são válidas somente para os módulos descritos neste trabalho.
Para a construção dos módulos podemos partir de quadrados com lados medindo:
Módulo decagonal = 20 cm
Módulo octogonal = 15 cm
Módulo hexagonal = 12 cm
Módulo pentagonal = 10 cm
Módulo quadrangular = 6 cm
Módulo triangular = 6 cm
Peça de conexão = 3 cm
Módulo decagonal = 30 cm
Módulo octogonal = 22,5 cm
Módulo hexagonal = 18 cm
Módulo pentagonal = 15 cm
Módulo quadrangular = 9 cm
Módulo triangular = 9 cm
Peça de conexão = 4,5 cm
proporção áurea
tamanho do
quadrado para
construção do
módulo decagonal
módulo octogonal
módulo hexagonal
módulo pentagonal
módulo triangular e
quadrangular
peça de conexão
OU
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
70
3.2.3.2 Construção dos módulos
Para se chegar ao módulo partimos de um papel quadrado que, após ser dobrado, de
acordo com os passos indicados para cada tipo de módulo (triangular, quadrangular,
pentagonal...), resulta em um polígono com bolsos de encaixe.
Para unir um módulo a outro é necessário construir peças de conexão. Estas são abas
que, ao serem introduzidas nos bolsos, fazem a união dos módulos. Com a interligação dos
módulos constroem-se os sólidos.
As peças modulares são construídas utilizando papéis de diferentes cores e partindo-se
sempre de um pedaço de papel quadrado. Esses módulos, depois de prontos, terão bolsos nas
laterais, que servem para o encaixe das peças de conexão (que serão construídas logo a
seguir).
3.2.3.2.1 Módulo triangular (triângulo eqüilátero)
1. Dobrar e desdobrar
2. Dobrar um ponto sobre o
outro.
3. Dobrar a aba superior e
desdobrar a inferior.
4. Dobrar um ponto sobre o
outro, tendo atenção com os
pontos maiores circulados.
5. Dobrar um ponto sobre o
outro, para frente.
6. Dobrar um ponto sobre o
outro, seguindo a seta, e
dobrar a abinha para frente.
7. Dobrar a aba para dentro
do bolso formado.
8. Dobradura completa.
Construção realizada por
Kasahara (1997, p. 284-285).
bolso
bolso
bolso
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
71
3.2.3.2.2 Módulo quadrangular (quadrado)
1. Dobrar e desdobrar
marcando o vinco
2. Dobrar as pontas até o
centro
3. Dobrar e desdobrar
marcando o vinco
4. Abrir
5. Dobrar para dentro
6. Fazer o mesmo do
outro lado.
7. A face está pronta. Neste caso os encaixes já estão ligados às
faces.
Construção realizada por Kasahara (1997, p.254).
3.2.3.2.3 Módulo pentagonal (pentágono regular)
1. Dobrar.
2. Dobrar para frente
marcando a diagonal deste
retângulo.
3. Dobrar e desdobrar a
aba superior.
4. Abrir a figura. Dobrar uma
perpendicular à base, passando
pelo ponto circulado.
5. Dobrar seguindo a seta.
6. Dobrar puxando para
frente.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
72
7. O lado marcado pelos pontos a
e b deve estar paralelo ao lado
maior. Dobrar para trás e
desdobrar de acordo com as
setas, e abrir.
8. Dobrar pelo vértice
superior e pelos pontos a e
b, marcados anteriormente.
9. Figura pronta.
Seguindo os passos 1 a 10 encontramos o pentágono. A partir
deste pentágono construímos o módulo pentagonal.
1. Colocar a peça nessa
posição.
2. Dobrar e desdobrar nos
eixos de simetria do
pentágono.
3. Dobrar o lado do
pentágono até o centro da
figura.
4. Dobrar ao meio a aba
encontrada pela dobra
anterior. Abrir.
5. Repetir os passos 3 e 4,
dobrando todos os lados da
figura.
6. Dobrar os lados sobre a
linha da dobra feita no passo
3, para encontrar a figura
mostrada a seguir.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
73
Módulo pronto, com bolsos de encaixe em todos os lados.
Construção retirada de Kasahara (1997, p. 280-284)
A peça de conexão no encaixe dos módulos pentagonais deve ter
uma dobra em dois dos seus vértices.
3.2.3.2.4 Módulo hexagonal (hexágono regular)
1. Dobrar e desdobrar para
marcar o vinco vertical e
dobrar na horizontal.
2. Dobrar levando o lado até
o centro.
3. Dobrar seguindo a seta.
Observar o ponto marcado.
4. Abrir as dobras dos passos
2 e 3.
5. Dobrar seguindo as setas.
Primeiro levar um ponto
sobre o outro (lado
esquerdo), depois dobrar a
bissetriz do ângulo marcado
(lado direito).
6. Resultado da dobra
anterior.
Vire a figura completamente
para que fique como está no
passo seguinte.
7. Dobrar para frente, pelas
dobras feitas no passo 4, para
encontrar a figura da etapa
seguinte.
8. Dobrar as abinhas
formadas para frente.
9. Introduzir as abas nos
bolsos formados em cada
lado da figura.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
74
7. Dobrar.
8. Primeiro dobrar para trás
sobre o pontilhado e
desdobrar. Abrir a dobra do
passo 7.
9. Dobrar sobrepondo os
pontos marcados.
10. Abrir as dobras dos
passos 6 e 9.
11. Dobrar por dentro
seguindo o pontilhado.
12. Dobrar as abas para
dentro seguindo o pontilhado.
13. Detalhe da dobra anterior.
Dobrar a parte de trás
primeiro, depois ajustar a de
cima.
14. Dobrar para frente e
desdobrar.
15. Dobrar a aba de cima para
dentro, apenas do lado direito.
16. Dobrar a aba
superior por
dentro da aba de
trás.
17. Inserir esta aba
por dentro do
bolso.
18. Peça pronta.
Os bolsos superiores
necessitam de peças de
conexão ajustadas, como
mostra a figura a seguir.
19. Dobrar a
bissetriz de um dos
ângulos formados
pela diagonal
marcada na peça de
conexão.
Construção realizada por Kasahara (2005, p.224-225).
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
75
3.2.3.2.5 Módulo octogonal (octógono regular)
1. Dobrar e desdobrar,
marcando as diagonais.
2. Dobrar e desdobrar
marcando o vinco do lado
avesso do papel.
3. Dobrar puxando para
dentro e unindo todos os
vértices.
4. Dobrar a bissetriz do
ângulo marcado puxando
somente a parte da frente
para o lado.
5. Repetir o mesmo
procedimento com todos os
lados.
6. Resultado final depois das
dobras do passo 5.
7. Desdobrar completamente
o papel e dobrar os vértices
conforme a figura.
8. Dobrar todos os lados até
o centro da figura e
desdobrar.
9. Virar a figura e dobrar o
lado do octógono até a marca
da dobra anterior.
10. Dobrar de acordo com os
pontilhados marcados na
figura.
11. Dobrar para frente pelas
dobras feitas no passo 9.
12. Dobrar as abas para
dentro dos bolsos formados.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
76
Módulo pronto, com bolsos de encaixe em todos os lados.
Construção realizada por Kasahara (2005, p.226-227).
3.2.3.2.6 Módulo decagonal (decágono regular)
1. Dobrar.
2. Dobrar e desdobrar.
3. Dobrar e desdobrar conforme
indicação das setas.
4. Dobrar a diagonal da
primeira parte conforme indica
a seta. Abrir, levando a aba de
trás para frente.
5. Dobrar conforme
indica a seta,
observando os pontos
fixados na figura.
6. Segurar o papel no lado
direito e puxar o lado esquerdo
para abrir.
7. Dobrar a bissetriz do ângulo
formado pelo vértice superior.
8. Dobrar a bissetriz,
levando somente a parte
superior do papel.
9. Unir as pontas dobrando para
trás.
10. Dobrar para conectar os
pontos a marcados. Atenção
para não dobrar no ponto b.
11. Vincar bem as
dobras.
12. Desdobrar completamente o
papel e dobrar os vértices do
quadrado conforme mostra a
figura.
bolso
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
77
13. Dobrar as bordas.
14. Dobrar conforme
método utilizado no
módulo octogonal
(passos 8-11)
15. Introduzir as abas nos bolsos
formados em cada lado.
Módulo pronto, com bolsos de encaixe em todos os lados.
Construção realizada por Kasahara (2005, p.228-229).
3.2.3.2.7 Peça de conexão
Esta peça serve para unir um módulo ao outro, pois a construção do origami não pode
envolver o uso de cola.
A área do quadrado usado na construção desta peça corresponde a
4
1
da área do papel utilizado para construir as faces do módulo triangular.
1. Dobrar o papel em quatro partes e desdobrar.
2. Dobrar as pontas até o centro do papel.
Peça pronta para o encaixe.
Sugestão: para haver uma maior estabilidade
nas construções pode-se colocar um pedaço de fita
adesiva na peça de conexão, antes de introduzi-la no
módulo.
Fazendo o encaixe das peças encontramos os poliedros de Platão e os poliedros de
Arquimedes, cujo estudo incorpora conceitos de simetria e isometria.
conexão
encaixe
face
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
78
Seqüência para o encaixe dos módulos (construção do tetraedro)
Passo 1 – Separar quatro módulos triangulares e seis peças de conexão. (fig. 3.15)
Passo 2 - Unir os módulos triangulares introduzindo a peça de conexão nos bolsos de encaixe.
(fig. 3.16)
Passo 3 – Com todos os módulos ligados pelas peças de conexão, deixar 3 peças de conexão
nas extremidades (triângulos vermelhos nos extremos), que servem como abas para fechar o
poliedro. (fig. 3.17)
Passo 4 - Tetraedro pronto. (fig. 3.18)
figura 3.15 figura 3.16 figura 3.17 figura 3.18
3.2.3.3 Poliedros construídos com origami modular
3.2.3.3.1 Poliedros regulares
Tetraedro (fig. 3.19)
4 módulos triangulares
6 peças de conexão
figura 3.19
Hexaedro (fig. 3.20)
6 módulos quadrangulares
figura 3.20
Octaedro (fig. 3.21)
8 módulos triangulares
12 peças de conexão
figura 3.21
Dodecaedro (fig. 3.22)
12 módulos pentagonais
18 peças de conexão
figura 3.22
Icosaedro (fig. 3.23)
20 módulos triangulares
30 peças de conexão
figura 3.23
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
79
3.2.3.3.2 Poliedros semi-regulares
Tetraedro truncado (fig. 3.24)
4 módulos triangulares
4 módulos hexagonais
18 peças de conexão
figura 3.24
Cubo truncado (fig. 3.25)
8 módulos triangulares
6 módulos octogonais
36 peças de conexão
figura 3.25
Octaedro truncado
(fig.3.26)
6 módulos quadrangulares
8 módulos hexagonais
24 peças de conexão
figura 3.26
Cuboctaedro (fig. 3.27)
8 módulos triangulares
6 módulos quadrangulares
12 peças de conexão
figura 3.27
Rombicuboctaedro
(fig. 3.28)
8 módulos triangulares
18 módulos quadrangulares
12 peças de conexão
figura 3.28
Cuboctaedro truncado
(fig. 3.29)
12 módulos quadrangulares
8 módulos hexagonais
6 módulos octogonais
48 peças de conexão
figura 3.29
Cubo achatado (fig. 3.30)
32 módulos triangulares
6 módulos quadrangulares
48 peças de conexão
figura 3.30
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
80
Dodecaedro truncado
(fig. 3.31)
20 módulos triangulares
12 módulos decagonais
90 peças de conexão
figura 3.31
Icosaedro truncado
(fig. 3.32)
12 módulos pentagonais
20 módulos hexagonais
90 peças de conexão
figura 3.32
Icosidodecaedro (fig. 3.33)
20 módulos triangulares
12 módulos pentagonais
60 peças de conexão
figura 3.33
Rombicosidodecaedro
(fig. 3.34)
20 módulos triangulares
30 módulos quadrangulares
12 módulos pentagonais
60 peças de conexão
figura 3.34
Icosidodecaedro truncado
(fig. 3.35)
30 módulos quadrangulares
20 módulos hexagonais
12 módulos decagonais
120 peças de conexão
figura 3.35
Dodecaedro achatado
(fig. 3.36)
80 módulos triangulares
12 módulos pentagonais
150 peças de conexão
figura 3.36
No estudo dos conceitos de simetria e isometria dos poliedros é possível construirmos
dobraduras que representam porções desses sólidos, que se devidamente confeccionadas
transformam-se em bases caleidoscópicas, e podem ser colocadas no interior de
caleidoscópios generalizados, para fornecerem o visual de alguns dos poliedros de Platão e
Arquimedes. As características e especificidades desse tipo de caleidoscópio são mostradas no
capítulo 2.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
81
3.2.4 Construção das dobraduras para a visualização dos poliedros em caleidoscópio
generalizado
O primeiro passo, após ter escolhido o poliedro a ser visualizado, é traçar as linhas de
simetria das suas faces, obtendo-se determinadas porções da superfície. As dobraduras para a
visualização dos poliedros são construídas para que apenas os pontos vértices dos poliedros
estejam sobre a esfera (visual formado entre os três espelhos). Algumas dessas porções, se
adequadamente construídas, possibilitam a visualização dos poliedros em caleidoscópio
generalizado.
Para realizar essa construção devemos estar atentos aos polígonos que compõem o
sólido em questão. Tais polígonos fazem parte da dobradura planificada, que passará por
dobras e recortes para um ajuste perpendicular dos lados da mesma aos espelhos, e,
conseqüentemente, gerar o visual do poliedro.
É importante ressaltar que, para haver a possibilidade de visualização dos poliedros em
caleidoscópio, é necessário que as tesselações esféricas formadas ao se inflar esses poliedros
apresentem linhas de simetria e que exista um caleidoscópio com os ângulos correspondentes
aos das porções encontradas. Assim observamos a impossibilidade de construir as dobraduras
para a visualização de todos os poliedros aqui referenciados.
Para referenciar cada poliedro utilizamos seu nome e uma notação numérica, que
corresponde ao número de lados de cada polígono que o constitui, e que se ajusta ao redor de
um vértice. Todos os vértices do poliedro contêm, sempre, os mesmos polígonos, combinados
na mesma ordem. Então, a notação (3,6,6) significa que, em cada vértice do poliedro,
encontram-se um triângulo e dois hexágonos (todos regulares), sempre nessa ordem.
Apresentamos, a seguir, a construção gráfica feita com o software Cabri-Géomètre II
das dobraduras que possibilitam a visualização dos poliedros regulares e semi-regulares.
Algumas dessas construções são descritas passo a passo, outras são apenas mostradas.
Aproveitamos também este momento para enfatizar a utilização combinada do origami e do
caleidoscópio apresentando algumas dessas dobraduras que também podem ser
confeccionadas com origami tradicional e o modular.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
82
3.2.4.1 Poliedros regulares ou poliedros de Platão
Tetraedro
figura 3.37
O tetraedro possui linhas de simetria, mas não existe um caleidoscópio que
tenha os ângulos formados pelas porções que podem vir a gerar seu visual.
Cubo
Para a visualização do cubo apresentamos três dobraduras distintas.
Dobradura 1 - para a visualização do cubo com esta dobradura utilizamos o
caleidoscópio em que n=2, cujos ângulos são: (90°, 90°, 90°).
1. Construir um quadrado (polígono regular). Nomear seus
pontos ABCD (rótulo).
2. Construir os simétricos do quadrado em relação aos lados
AB e BD (simetria axial), e marcar os pontos E, F, G e H,
respectivamente.
figura 3.38
A figura geométrica formada pelos três quadrados (ABCD, ABEF, e BGDH) é a
planificação da dobradura (fig. 3.38). Depois de recortada e dobrada (em relação aos lados AB
e BD), deve-se unir F a G, para que a dobradura se ajuste perfeitamente aos espelhos do
caleidoscópio. Nas figuras abaixo se vê, primeiro, a dobradura já pronta (fig.3.39) e, depois,
ela colocada no interior do caleidoscópio fornecendo o visual do cubo (fig.3.40).
figura 3.39
figura 3.40
Esta dobradura também pode ser construída fazendo a conexão de três módulos
quadrangulares
18
combinados de forma a obter a base acima referenciada.
18
A construção deste módulo encontra-se na página 70.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
83
Dobradura 2 - para a visualização do cubo com esta dobradura utilizamos o
caleidoscópio em que n=2, cujos ângulos são: (90°, 90°, 90°).
1. Construir um quadrado (polígono regular). Nomear seus pontos por ABCD (rótulo).
2. Construir o simétrico do quadrado em relação ao lado AB (simetria
axial), marcar os pontos E e F.
3. Obter os pontos médios dos lados AC e BD (ponto médio), e marcar
os pontos C’ e D’, respectivamente. Unir os pontos A, B, C’ e D’
(polígono) para obter o retângulo ABC’D’.
4. Traçar as diagonais do quadrado ABEF (segmento), e marcar o
ponto O, na intersecção das diagonais. Unir os pontos A, B e O
(polígono), para obter o triângulo ABO.
figura 3.41
A figura geométrica formada pelo retângulo ABC’D’ e pelo triângulo ABO (fig.3.41) é a
planificação da dobradura que, depois de dobrada, deve ficar como mostra a figura 3.42.
Quando colocada no caleidoscópio, essa dobradura fornece o visual do cubo, conforme
mostra a figura 3.43.
figura 3.42
figura 3.43
Construção da dobradura do cubo (fig. 3.42) com o uso de régua e compasso.
1. Traçar um segmento AB.
2. Traçar as retas s e t perpendiculares a AB, por A
e por B.
3. Fazer 2 circunferências de raio AB, com centros
em A e em B, obtendo os pontos C e D sobre s e t,
respectivamente. Os pontos A, B, C e D são os
vértices do quadrado, o qual deverá ser traçado com
a régua.
figura 3.44
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
84
4. Fazer 2 circunferências de raio AB, com centros em C e em D, obtendo os pontos E e F
sobre s e t, respectivamente. Os pontos C, D, E e F são os vértices de outro quadrado.
5. Traçar a mediatriz do lado AC, marcar o ponto A’ na intersecção da mediatriz com o lado
AC, e o ponto B’ na intersecção da mediatriz com o lado BD. Unir A’ e B’.
6. Traçar as diagonais do quadrado CDEF, unindo CF e ED. Marcar o ponto O na intersecção
das diagonais, obtendo o triângulo CDO.
A figura geométrica formada pelos pontos A’CODB’A’ é a dobradura procurada (fig.
3.44).
Dobradura 3 - para a visualização do cubo com esta dobradura utilizamos o
caleidoscópio em que n=1, cujos ângulos são: (90°, 90°, 180°).
1. Construir um quadrado (polígono regular). Nomear seus
pontos ABCD (rótulo).
2. Construir os simétricos do quadrado em relação aos lados BD
e AB (simetria axial), e marcar os pontos E, F, G e H,
respectivamente.
3. Obter os pontos médios dos lados AC, BD e EF (ponto médio),
e marcar os pontos C’, D’ e F’, respectivamente. Unir A, B, C’ e
figura 3.45
D’ e B, D’, F’ e E (polígono), obtendo os retângulos ABC’D’ e BD’F’E.
4. Traçar a diagonal AH do quadrado ABGH (segmento). Unir os pontos A, B e H (polígono)
para obter o triângulo ABH.
A figura geométrica formada pelos polígonos ABC’D’, BD’F’E e ABH é a planificação
da dobradura (fig. 3.45). Depois de recortada, deve-se dobrar (AB) e (BD’), e unir H e E,
ficando semelhante à figura 3.46, para que se ajuste perfeitamente aos espelhos do
caleidoscópio, conforme mostra a figura 3.47. A figura 3.48 representa o cubo.
figura 3.46
figura 3.47
figura 3.48
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
85
Octaedro
Para a visualização do octaedro mostramos duas dobraduras distintas.
Dobradura 1: para a visualização do octaedro com esta dobradura utilizamos o
caleidoscópio em que n=2, cujos ângulos são: (90°, 90°,90°).
1. Construir um triângulo eqüilátero (polígono regular).
Nomear seus pontos A, B e C (rótulo).
2. Construir o simétrico do triângulo em relação ao lado AB
(simetria axial) e marcar o ponto D (rótulo).
3. Marcar o ponto médio dos segmentos CB e BD (ponto
figura 3.49
médio) e assinalar os pontos E e F, respectivamente (rótulo).
4. Unir os pontos ABE e ABF (polígono).
A figura geométrica formada pelos dois triângulos (ABE e ABF) (fig.3.49) é a
planificação da dobradura que, depois de dobrada em relação ao lado AB (fig. 3.50) e
encaixada no caleidoscópio, fornece o visual da figura 3.51.
figura 3.50
figura 3.51
Dobradura 2: para a visualização do octaedro com esta dobradura utilizamos o
caleidoscópio em que n=1, cujos ângulos são: (90°, 90°,180°).
1. Construir um triângulo eqüilátero (polígono regular). Nomear
seus pontos A, B e C (rótulo).
2. Construir o simétrico do triângulo em relação ao lado AB
(simetria axial) e marcar o ponto D (rótulo).
figura 3.52
A figura geométrica formada pelos dois triângulos ∆ABC e ∆ABD (fig. 3.52) é a
planificação da dobradura, que depois de dobrada em relação ao lado AB (fig. 3.53) e
encaixada no caleidoscópio, fica como mostra a figura 3.54. A figura 3.55 representa um
octaedro.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
86
figura 3.53
figura 3.54
figura 3.55
Esta dobradura também pode ser obtida fazendo a conexão de dois módulos
triangulares
19
combinados de forma a obter a dobradura acima referenciada.
Dodecaedro
Para a visualização do dodecaedro apresentamos duas dobraduras distintas.
Dobradura 1: para a visualização do dodecaedro com esta dobradura utilizamos o
caleidoscópio em que n=2, cujos ângulos são: (90°, 90°,90°).
figura 3.56
figura 3.57
figura 3.58
A figura geométrica formada pelos polígonos EMCD, EDHN e CDKO (fig.3.56) é a
planificação da dobradura. Depois de recortada (fig.3.57), devem-se dobrar os segmentos
ED
e CD , e unir H e K para que fique semelhante à figura 3.58 e se ajuste perfeitamente aos
espelhos do caleidoscópio, conforme mostram as figuras 3.59 e 3.60. A figura 3.61 representa
um dodecaedro.
figura 3.59
figura 3.60
figura 3.61
19
A construção deste módulo está descrita na página 69.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
87
Dobradura 2: para a visualização do dodecaedro com esta dobradura utilizamos o
caleidoscópio em que n=1, cujos ângulos são: (90°, 90°,180°).
figura 3.62
figura 3.63
A figura geométrica formada pelo pentágono ABCDE e pelos polígonos BCKY, CLZD,
EDWQ e EFXA (fig.3.62) é a planificação da dobradura que deve ser recortada (fig.3.63) e
dobrada em relação aos lados AE, ED, CD e BC. Ao unirem-se os vértices W e Z, F e Q, K e
L, a dobradura ficará conforme mostra a figura 3.64, ajustando-se perfeitamente ao
caleidoscópio, como se vê na figura 3.65.
figura 3.64
figura 3.65
Icosaedro
Para a visualização do icosaedro mostramos duas dobraduras distintas.
Dobradura 1: para a visualização do icosaedro com esta dobradura utilizamos o
caleidoscópio em que n=2, cujos ângulos são: (90°, 90°,90°).
figura 3.66
figura 3.67
figura 3.68
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
88
figura 3.69
figura 3.70
figura 3.71
A figura geométrica formada pelos triângulos ∆ABC, ∆ABD’, ∆ACF’, ∆BCF’ (fig.
3.66) é a planificação da dobradura. Depois de recortada (fig. 3.67), devemos dobrar os
segmentos
ACABBC ,,
para que ela fique semelhante à figura 3.68 e se ajuste perfeitamente
aos espelhos (fig. 3.69 e 3.70). A figura 3.71 representa um icosaedro.
Dobradura 2: para a visualização do icosaedro com esta dobradura utilizamos o
caleidoscópio em que n=1, cujos ângulos são: (90°, 90°,180°).
figura 3.72
figura 3.73
figura 3.74
figura 3.75
A figura geométrica formada pelos triângulos ∆ABC, ∆ACG, ∆AGF’, ∆CGH’, ∆BCD,
∆BDE’ e ∆CDI’ (fig. 3.72) é a planificação da dobradura. Depois de recortada a
dobradura(fig. 3.73), devemos dobrar os segmentos CDBDBCACGCAG ,,,,, e unir os
pontos H’ e I’, para que ela fique semelhante à figura 3.74 e se ajuste perfeitamente aos
espelhos (fig. 3.75).
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
89
3.2.4.2 Poliedros semi-regulares ou poliedros de Arquimedes
Nesta seção apresentamos dobraduras para visualização de alguns poliedros semi-
regulares em caleidoscópios generalizados. Mostramos algumas peças que foram
confeccionadas no software Cabri-Géometrè II, e para que essa exposição não se torne muito
extensa, serão indicados apenas os traços básicos necessários para a confecção de outras
dobraduras.
Tetraedro truncado (3,6,6)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°,
60°, 60°).
figura 3.76
figura 3.77
figura 3.78
figura 3.79
figura 3.80
figura 3.81
Essa dobradura também pode ser construída utilizando o origami tradicional para isso
construímos um hexágono regular, que é encontrado a partir de um triângulo eqüilátero
(conforme indicado na p.60) como mostra a figura 3.82. Recortamos esse triângulo e
confeccionamos um hexágono fazendo dobras que levam os vértices ao centro do triângulo
(construção na p.61). Assim, temos um hexágono regular com três triângulos eqüiláteros
ligados (fig. 3.83).
Fazendo dobras nas linhas de simetria de um dos triângulos menores, temos a
representação da dobradura igual à figura 3.76 que foi construída no software (fig. 3.84).
figura 3. 82 figura 3. 83 figura 3. 84
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
90
Cubo truncado (3,8,8)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°,
60°, 60°).
figura 3.85
figura 3.86
figura 3.87
figura 3.88
figura 3.89
figura 3.90
Octaedro truncado (4,6,6)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°,
60°, 60°).
figura 3.91
figura 3.92
figura 3.93
figura 3.94
figura 3.95
figura 3.96
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
91
Cuboctaedro (3,4,3,4)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°,
60°, 60°).
figura 3.97
figura 3.98
figura 3.99
figura 3.100
figura 3.101
figura 3.102
Rombicuboctaedro (3,4,4,4)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos
(90°,90°,90°).
figura 3.103
figura 3.104
figura 3.105
figura 3.106
figura 3.107
figura 3.108
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
92
Cuboctaedro truncado (4,6,8)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°,
60°, 60°).
1) Construir um octógono regular (polígono regular). Nomear o ponto central como O”
(rótulo).
2) A partir da base do octógono, indicada por AB, desenhar um quadrado. Para isso traçar a
reta s perpendicular ao lado AB por A, e a reta t, perpendicular a AB por B (reta
perpendicular). Fazer duas circunferências de raio AB: uma com centro em A e outra com
centro em B (circunferência). Determinar os pontos D e C, respectivamente, sobre as retas s e
t. Unir os pontos A, B, C e D (polígono), para obter o quadrado ABCD.
3) Construir duas circunferências com raio AB e centros em B e C (circunferência), para obter
o ponto fora do quadrado, na interseção das duas circunferências, que deve ser rotulado por
O’ (rótulo). Fazer uma circunferência de centro O’ e raio O’B, para obter os pontos L e P
(rótulo). Construir outras duas circunferências com centros, agora em L e P e raio
AB=O’L=O’P, para obter os pontos M e N, que são também vértices do hexágono regular de
centro O’. Unir os pontos B, L, M, N, P e C com a ferramenta polígono, para obter o
hexágono.
4) Obter o ponto médio do lado AB do quadrado (ponto médio). Construir a reta u passando
pelo ponto O” do octógono e pelo ponto médio encontrado (reta). Construir o simétrico do
hexágono em relação à reta u (simetria axial). Rotular como O o ponto simétrico do centro do
hexágono.
5) Unir O a O’ (segmento) e a partir de O, O’ e O” ; baixar as perpendiculares aos lados dos
polígonos, contendo os vértices A e B (reta perpendicular), obtendo os pontos E, F, G e H.
(construção descrita em Batistela, 2005).
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
93
figura 3.109
figura 3.110
figura 3.111
A figura geométrica formada pelos polígonos BAGO”HB e OO”FBAEO (fig.3.109) é a
planificação da dobradura. Depois de recortada (fig.3.110) unem-se G a E e H a F, para que a
dobradura se ajuste perfeitamente aos espelhos (fig.3.111).
As figuras 3.112 e 3.113 mostram o visual fornecido por essa dobradura quando
colocada no caleidoscópio. A figura 3.114 representa o cuboctaedro truncado
figura 3.112
figura 3.113
figura 3.114
Cubo achatado (3,3,3,4)
figura 3.115
O cubo achatado pode até possuir linhas de simetria, mas não
temos um caleidoscópio que possua os ângulos formados pelas
porções que poderiam gerar seu visual.
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
94
Dodecaedro truncado (3,10,10)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°,
60°, 36°).
figura 3.116
figura 3.117
figura 3.118
figura 3.119
figura 3.120
figura 3.121
Icosaedro truncado (5,6,6)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°,
60°, 36°).
figura 3.122
figura 3.123
figura 3.124
figura 3.125
figura 3.126
figura 3.127
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
95
Icosidodecaedro (3,5,3,5)
figura 3.128
O icosidodecaedro pode até possuir linhas de simetria, mas não
temos um caleidoscópio que possua os ângulos formados pelas
porções que poderiam gerar seu visual.
Rombicosidodecaedro (3,4,5,4)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio generalizado de ângulos (90°,
60°, 36°).
1) Construir um pentágono regular ABCDE (polígono regular), e nomear o centro deste por Q
(rótulo).
2) A partir dos lados AB e AE do pentágono, construir dois quadrados. Traçar as retas s, t, u e
v perpendiculares aos respectivos lados pelos pontos A, B e E (reta perpendicular). Fazer duas
circunferências com raio AB e centros em A e B para determinar os pontos nomeados por F, I
e G (ponto e rótulo) sobre as retas u, v e t, respectivamente. Com raio AE e centro em E, fazer
uma circunferência para obter H (ponto e rótulo) sobre a reta s. Unir os pontos A, B, I, F e A; e
depois A, G, H, E e A (polígono) para obter os quadrados de centro P e O (ponto e rótulo). Os
centros dos quadrados são obtidos pela interseção de suas diagonais.
3) A partir do vértice A e do lado AG do quadrado de centro O, construir o triangulo
eqüilátero
AGR
∆
de centro T; onde o ponto R é determinado pela interseção das
circunferências de raio AG com centro em A e em G (circunferência, ponto e polígono); e o
centro T é obtido pela interseção das bissetrizes do
AGR
∆
(bissetriz, ponto e rótulo).
4) Encontrar os pontos médios de AF e de AR, rotulando-os como M e N (ponto médio e
rótulo).
5) Com a ferramenta (polígono) unir os pontos A,M, P, Q, A e A, T, N, A, para traçar a
dobradura procurada.
6) Usando a ferramenta (preencher) podem-se colorir as partes dos polígonos que formam a
dobradura. (construção feita por Batistela, 2005).
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
96
figura 3.129
figura 3.130
figura 3.131
Recortar a figura 3.129 para a dobradura ficar como mostra a figura 3.130. Colar e
dobrar a construção feita para que todos os seus lados fiquem perpendiculares a todos os
espelhos (fig. 3.131).
As figuras 3.132 e 3.133 mostram o visual do poliedro, obtido ao se colocar a dobradura
no interior do caleidoscópio. A figura 3.134 representa o sólido.
figura 3.132
figura 3.133
figura 3.134
Icosidodecaedro truncado (4,6,10)
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°,
60°, 36°).
figura 3.135
figura 3.136
figura 3.137
Capítulo 3 A Construção dos Materiais
___________________________________________________________________________
97
figura 3.138
figura 3.139
figura 3.140
Dodecaedro achatado (3,3,3,3,5)
figura 3.141
O dodecaedro achatado pode até possuir linhas de simetria, mas
não temos um caleidoscópio que possua os ângulos formados
pelas porções que poderiam gerar seu visual.
Depois de realizada a explanação dos conceitos e materiais envolvidos no estudo dos
polígonos e poliedros partimos para a descrição da proposta de ensino, elaborada para a
aplicação de algumas das construções vistas até aqui, e da coleta de dados, feita durante as
atividades desenvolvidas para o estudo das construções fundamentais, polígonos e poliedros.
Capítulo 4
A Proposta de Ensino
e seu Contexto de Estudo
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
99
Capítulo 4
A PROPOSTA DE ENSINO E SEU CONTEXTO DE ESTUDO
Neste capítulo apresentamos nossa proposta de ensino e situamos o contexto do estudo
desenvolvido, procedimento esse que é característico dos estudos qualitativos, como visto
anteriormente, pois o pesquisador precisa despender muito tempo no campo, conforme
Bogdan e Biklen (1994):
“Os investigadores qualitativos freqüentam os locais de estudo porque se preocupam
com o contexto. Entendem que as acções podem ser melhor compreendidas quando
são observadas no seu ambiente habitual de ocorrência. Os locais tem de ser
entendidos no contexto da história das instituições a que pertencem” (p. 48)
Esse cenário é complexo e envolve a relação do sujeito com o meio, com os outros
sujeitos e, também, com o pesquisador, o qual tem que interagir com os sujeitos de forma
natural, não intrusiva, para amenizar os efeitos de sua presença no campo.
As informações aqui apresentadas referem-se a informações sobre a proposta de ensino,
situando sobre quais premissas ela foi elaborada, bem como o local em que foi aplicada e
alguns dados considerados relevantes sobre o perfil dos sujeitos pesquisados.
4.1 A Proposta de Pesquisa
Para desenvolver este trabalho foram elaboradas atividades voltadas para o ensino da
Geometria Euclidiana Plana e Espacial.
A fim de situar sobre qual perspectiva o trabalho foi realizado, apresentamos uma breve
descrição de nossa visão da resolução de problemas como metodologia de ensino, que
norteou a preparação das atividades aplicadas aos alunos durante a coleta de dados.
Posteriormente, fazemos uma descrição das atividades preparadas.
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
100
4.1.1 Resolução de problemas
Pesquisas importantes foram e ainda estão sendo desenvolvidas sobre a resolução de
problemas como metodologia de ensino, buscando aprofundar compreensões sobre as suas
possibilidades e implicações.
Em Dante (1999) encontramos os objetivos da resolução de problemas, que sugerem sua
importância no ensino de Matemática:
fazer o aluno pensar produtivamente;
desenvolver o raciocínio do aluno;
ensinar o aluno a enfrentar situações novas;
dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da
Matemática;
tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras;
equipar o aluno com estratégias para resolver problemas e
dar uma boa base matemática às pessoas.
Outra autora que se dedicou a seu estudo foi Gazire (1988). Em seu trabalho destaca
que: “O desenvolvimento da habilidade de resolver problema e a capacidade de utilização do
pensamento reflexivo é considerado como sendo o resultado principal a ser observado na
aprendizagem matemática”(p. 71) e distingue três perspectivas da resolução de problemas,
que são: resolução de problemas como um novo conteúdo, ou seja, ensinar sobre resolução de
problemas; resolução de problemas como aplicação de conteúdos, isto é, ensinar para a
resolução de problemas e resolução de problemas como um meio de ensinar Matemática,
quer dizer, ensinar por meio da resolução de problemas. Antes de situar sobre qual destas
perspectivas desenvolvemos nossa pesquisa, iremos explicitar qual nossa concepção de
problema.
Concebemos problema como uma questão em que o aluno não conhece os meios para a
sua resolução, mas, mesmo assim, tem interesse em resolvê-la, o problema é olhado como um
elemento que pode disparar um processo de construção do conhecimento. De acordo com
Dante (1999) classificamos os problemas elaborados para esta pesquisa como problemas-
processo ou heurísticos, por serem problemas “cuja solução envolve operações que não estão
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
101
contidas no enunciado” (p. 17). Isso posto, entendemos que a resolução de problemas pode ser
vista na perspectiva de “como um meio de ensinar Matemática”.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998), também, indicam a resolução de
problemas como ponto de partida das atividades matemáticas e Onuchic (1999) corrobora
nossa visão ao afirmar que:
“Ao se ensinar matemática através da resolução de problemas, os problemas são
importantes não somente como um propósito para aprender matemática mas também
como um primeiro passo para se fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico
matemático começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse
tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis para
problemas razoáveis.” (p. 207)
Tendo definido nossa concepção de problema e também sobre qual perspectiva
trabalhamos, iremos explicitar as quatro fases, sugeridas por Polya (1978), para a resolução de
um problema:
Compreensão do problema: o aluno precisa estar motivado a resolvê-lo. Esta é
a fase em que precisa entender o enunciado e identificar as partes do problema.
Estabelecimento de um plano: depois de ter visto o problema sobre diferentes
aspectos, relacioná-lo a situações semelhantes e dividi-lo em partes, o aluno
concebe uma estratégia para solucioná-lo.
Execução de um plano: neste momento o aluno executa o plano que foi
estabelecido para solucionar o problema.
Retrospecto: esta é a fase em que testa a solução encontrada. Caso esta não
seja válida recomeça todo o processo de resolução do problema.
No encaminhamento das atividades em resolução de problemas, Allevato e Onuchic
(2003) sugerem que sigamos as seguintes etapas:
1º) formar grupos e entregar as atividades;
2º) observar e intermediar o trabalho em grupos;
3º) registrar os resultados na lousa;
4º) analisar os resultados em plenária;
5º) encaminhar um consenso e
6º) formalizar o que foi aprendido.
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
102
As autoras enfatizam que o aluno precisa sentir-se desafiado e desejar resolver um
problema. Para isso, o problema deve conduzi-lo a utilizar seus conhecimentos anteriores, a
fim de que não se sinta frustrado e incapaz de resolvê-lo. Além disso, se o aluno encarar a
situação como um desafio, ele irá buscar novas alternativas, novos conhecimentos para
solucionar o problema proposto, podendo, assim, dar significado àquilo que está aprendendo.
Acreditamos que esta metodologia de ensino favorece um trabalho mais autônomo, no
qual o conhecimento construído faz mais sentido. Portanto, pelas razões já expostas, é que a
resolução de problemas foi escolhida para desenvolver com os alunos atividades usando
origami e caleidoscópio.
4.1.2 Descrição das atividades e conteúdos desenvolvidos
A coleta de dados se deu nas salas em que os sujeitos da pesquisa tinham aulas
habitualmente, uma noite no Laboratório de Matemática, localizado no prédio 5, duas no
Laboratório de Informática (laboratório 7 do prédio 9) e nos demais encontros em sala do
prédio 14, de número 14301. Sobre esses locais podemos destacar que estavam sempre em
ordem para receber os alunos. Na sala dos professores têm-se sempre, à disposição, material
como giz branco e colorido. Quanto a outro material não temos informação de sua
disponibilidade, pois nada mais precisamos solicitar, visto que levamos os objetos necessários
para a execução do nosso trabalho.
O laboratório de Informática tem várias salas disponíveis, mas devido à grande
quantidade de cursos oferecidos, no período noturno, deveria ser reservado com antecedência.
O laboratório que nos foi cedido era equipado com 20 computadores, todos em bom estado e
com o software Cabri-Géomètre II devidamente instalado, ligados em rede e com livre acesso
a internet.
Para realizarmos as atividades foram disponibilizadas aulas em dias variados,
procurando não prejudicar o andamento de nenhuma disciplina daquele semestre, trabalhamos
a mesma quantia de horas em todas as disciplinas. Em média, estavam presentes às aulas vinte
e três alunos, dos quais vinte eram fixos, ou seja, vinham em todos os encontros, pois
participavam de todas as disciplinas do semestre.
Visando melhor situar o leitor no que se refere à quantia e duração dos encontros,
apresentamos uma tabela com dia, local, horário, duração e quantia de alunos presentes em
cada um. Nas noites em que trabalhamos mais de 2 horas fizemos intervalos de 15 minutos.
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
103
Dia Local Horário Duração Alunos
presentes
31/07/2006
Laboratório de
Matemática
19h 30min – 22h 30min 3 horas 24
01/08/2006
Sala 14301 19h 30min – 22h 2 horas e 30 minutos 24
02/08/2006
Sala 14301 19h 30min - 21h 1 hora e 30minuntos 23
04/08/2006
Sala 14301 19h 30min – 21h 1 hora e 30 minutos 24
07/08/2006
Sala 14301 19h 30min – 22h 30min 3 horas 28
08/08/2006
Sala 14301 19h 30min – 22h 30min
3 horas 26
09/08/2006
Sala 14301 19h 30min – 22h 30min 3 horas 20
11/08/2006
Laboratório de
Informática
19h 30min – 22h 30min 3 horas 26
17/08/2006
Sala 14301 19h 30min – 22h 30min 3 horas 20
13/09/2006
Laboratório de
Informática
19h 30min – 22h 2 horas e 30 minutos 20
Tivemos 10 encontros com os alunos, perfazendo um total de 26 horas de trabalho.
As atividades desenvolvidas foram divididas em três momentos: o primeiro referente às
construções geométricas fundamentais; o segundo ao estudo de polígonos; e o terceiro ao
estudo dos poliedros.
1° momento - O trabalho voltado às construções fundamentais teve como objetivo
relembrar os fundamentos da Geometria Euclidiana Plana, e introduzir outra maneira de
realizar tais construções: por meio das dobraduras. Tais construções têm como embasamento
teórico os procedimentos geométricos fundamentais do origami, que foram detalhados no
capítulo 2.
Conteúdos desenvolvidos: ponto, reta, plano, ângulo, ponto médio, bissetriz, mediatriz,
perpendicularidade, retas paralelas, retas tangentes, congruência e semelhança de triângulos,
transporte de segmentos e transporte de ângulos.
2° momento - A construção de polígonos foi feita com régua e compasso e, também,
por dobraduras. Aqui os alunos, distribuídos em grupos, discutiram sobre cada polígono
construído e escreveram definições para os mesmos, além de, durante a resolução dos
problemas propostos, irem descobrindo as características (simetrias, isometrias, número de
lados, ângulos...) dos polígonos estudados.
Conteúdos desenvolvidos: polígonos (quadrado, retângulo, retângulo áureo, triângulo
eqüilátero, pentágono regular, hexágono regular, octógono regular), elementos dos polígonos
(vértices, lados, ângulos, diagonais), simetria reflexiva e rotacional, congruência e semelhança
de triângulos, soma dos ângulos internos de um triângulo, ângulos (alternos, correspondentes,
colaterais), ponto médio, mediatriz e bissetriz.
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
104
3° momento – Este momento foi destinado à introdução da técnica do origami modular
(descrita no capítulo 3), por meio do qual foi feita a construção dos módulos que dão origem
aos poliedros. A união desses módulos realizou-se seguindo uma seqüência de passos que
levam ao entendimento de conceitos como vértice, face, aresta e a descoberta da existência de
apenas cinco sólidos platônicos. Também, por meio da manipulação e observação dos sólidos,
foram estudadas suas simetrias e isometrias. O estudo das simetrias levou à encontrar as
dobraduras ou bases (que foram construídas no software Cabri-Géomètre II), que são
colocadas no interior do caleidoscópio para fornecerem o visual dos poliedros.
Conteúdos desenvolvidos: poliedros regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro,
dodecaedro, icosaedro), elementos dos poliedros (faces, arestas e vértices), planos de simetria,
eixos de simetria rotacional, relação de Euler, semelhanças e diferenças dos poliedros
regulares e semi-regulares, área da esfera, área de triângulos esféricos, ângulos diedrais, lei
dos cossenos, ponto médio, mediatriz e bissetriz.
4.2 Os Sujeitos e o Ambiente da Pesquisa
4.2.1 A Universidade e o curso
A pesquisa foi realizada na Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das
Missões – URI, campus da cidade de Santo Ângelo, que se localiza na região noroeste do
estado do Rio Grande do Sul. Essa instituição de ensino pertence a uma fundação que tem
quatro campi e duas extensões em cidades da região.
figura 4.1
Esta universidade (fig. 4.1) é privada e tem, hoje, em funcionamento 25 cursos de
graduação e conta com uma estrutura física bem conservada, composta por 20 prédios, todos
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
105
identificados por números (1 a 20), que possuem amplas salas de aulas. Possui uma biblioteca
central e laboratórios específicos para cada área.
A pesquisa foi realizada com alunos do curso de Licenciatura em Matemática. Esse
curso, oferecido somente no horário noturno, tem por objetivo a formação de professores, e
seu currículo pleno é organizado em nove semestres letivos.
Nessa faculdade o curso de Matemática tem por objetivo: “formar um profissional
crítico, responsável e comprometido com o ensino fundamental e médio. Para tanto, visa
desenvolver habilidades que levem o acadêmico a atuar como organizador, facilitador,
mediador, incentivador e avaliador do processo de aprendizagem.”
20
, almejando preparar um
profissional que atenda as demandas da sociedade. Tem em sua grade curricular as seguintes
disciplinas, oferecidas por semestre:
Grade Curricular do curso de Licenciatura em Matemática
C/H CRÉD.
PRÉ-REQ.
Código Disciplinas
T. P.
1
o
Semestre
10-800 Geometria Euclidiana 60 04
10-810 Laboratório de Geometria Euclidiana 30 02
10-801 Desenho Geométrico 45 15 04
10-106 Matemática Básica I 60 04
81-101 Língua Portuguesa 45 15 04
70-427 Metodologia Científica 20 10 02
2
o
Semestre
10-107 Matemática Básica II 60 04
10-102 Pré-Cálculo 60 04
10-802 Geometria Analítica I 60 04
10-701 Laboratório de Ensino de Matemática I 30 30 04
70-224 Psicologia da Aprendizagem 45 15 04
3
o
Semestre
10-405 Cálculo I 60 04 10-102; 10-107
10-803 Geometria Analítica II 60 04 10-802
10-804 Álgebra Linear I 60 04 10-802
10-702 Laboratório de Ensino de Matemática II 60 04 10-701
72-115 Didática I 45 15 04
4
o
Semestre
10-406 Cálculo II 60 04 10-405
10-805 Álgebra Linear II 60 04 10-804
10-108 Matemática Básica III: Tratamento da
Informação
60 04
10-109 Matemática Financeira A 60 04 10-106
10-703 Laboratório de Ensino de Matemática III 60 04 10-702
5
o
Semestre
10-407 Cálculo III 60 04 10-406
10-706 Informática no Ensino da Matemática 15 15 02
10-705 Laboratório de Ensino de Matemática IV 60 04 10-703
10-207 Física Geral I-A 60 04 10-405
72-378 Metodologia da Pesquisa 10 20 02
70-218 Política Educacional e Organização da
Educação Brasileira
45 15 04
20
Texto retirado do site da universidade www.urisan.tche.br em link dedicado ao curso de Matemática.
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
106
6
o
Semestre
10-408 Cálculo IV 60 04 10-406
10-806 Álgebra A 60 04
10-707 História da Matemática A 30 15 03
10-708 Seminários Temáticos em Educação
Matemática
30 15 03 72-115; 70-224
10-208 Física Geral B 60 04 10-207
10-605 Estágio Curricular em Ensino de Matemática I 75 05 72-115; 10-800; 10-
801; 10-810; 10-703
7
o
Semestre
10-409 Cálculo V: Equações Diferenciais 60 04 10-407
10-807 Álgebra B 30 02 10-806
70-156 Filosofia da Educação 30 02
10-209 Física Geral C 60 04 10-208; 10-406
10-606 Estágio Curricular em Ensino de Matemática II 90 06 10-605; 10-106;
10-107 e 10-108
70-578 Planejamento e Gestão Educacional A 30 02
Eletivas 30 02
8
o
Semestre
15-128 Cálculo Numérico 60 04 10-406; 10-804
10-112 Probabilidade e Estatística Aplicada 45 15 04 10-108
70-155 Sociologia da Educação 30 02
10-607 Estágio Curricular em Ensino de Matemática III
120
08 10-606; 10-703
10-620 Trabalho de Graduação I 15 15 02 72-378, 73 10-606
Eletiva 30 02
9
o
Semestre
10-411 Introdução à Análise 60 04 10-408
10-608 Estágio Curricular em Ensino de Matemática IV
120
08 10-607; 10-705;
10-802
10-621 Trabalho de Graduação II 30 02 10-606;10-620
Eletivas 90 06
Disciplinas Eletivas
Código Disciplina T P Crédito Pré-Req.
10-714 Modelagem Matemática no Ensino 15 15 02 10-703
10-715 Lógica Matemática 30 02
10-412 Geometria Diferencial 60 04 10-407 e 10-209
10-413 Equações Diferenciais Parciais 60 04 10-409
10-410 Cálculo VI: Variáveis Complexas 60 04 10-107 e 10-407
10-808 Geometria não Euclidiana 15 15 02 10-800
10-716 Tópicos Especiais em Educação
Matemática
15 15 02 72-115
10-717 Tópicos Especiais em Ensino de
Estatística
15 15 02 10-108 e 72-115
10-210 Física Geral D 60 04 10-209
10-718 Tópicos Especiais em Ensino de Física 30 02 10-209 e 10-704
10-719 Psicologia da Aprendizagem Matemática
30 02
10-720 Pesquisa em Educação Matemática 15 15 02
10-721 Seminários Temáticos em Educação 30 02
10-722 História da Matemática B 15 15 02 10-707
10-111 Modelos de Previsão 60 04
73-400 Realidade Brasileira 60 04
10-709 Introdução a Filosofia Matemática 30 02
10-723 Didática da Matemática 45 15 04
10-211 Física Experimental I 30 02 10-207
10-212 Física Experimental II 30 02 10-209
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
107
4.2.2 Os sujeitos
figura 4.3
Sujeitos pesquisados
Para fazer um levantamento do perfil dos sujeitos pesquisados foi entregue um
questionário para cada aluno, logo na primeira noite de trabalho. Ele era constituído de
questões estruturadas, relacionadas à sua vida escolar, sua relação com a Matemática e
experiência com recursos didáticos diferenciados. (Anexo 3)
Os sujeitos selecionados para a pesquisa eram alunos da turma do segundo semestre, e
as informações que seguem refletem suas características gerais.
Com a análise deste questionário foi possível observar que 60% da turma eram
mulheres e 40% homens, dos quais 76% tinham idade entre 17 e 24 anos. Os demais se
encontravam na faixa etária que vai dos 25 aos 40 anos. A maioria (62%) estudava e
trabalhava, tendo uma jornada média de trabalho de 8 horas diárias, o que corresponde a 40
horas semanais.
Observando a vida acadêmica dos sujeitos, pudemos perceber que 90% freqüentaram a
rede pública de ensino ao cursar o ensino médio, e que nenhum deles fez cursinho pré-
vestibular para ingressar na Universidade. A escolha dessa instituição de ensino, para dar
continuidade aos estudos, se deu pela proximidade do local de residência e, também, porque
nessa região essa Universidade é muito bem conceituada.
Esses alunos, em sua maioria (60%), ficaram alguns anos (em geral 2 a 5) sem estudar
no período entre o final do ensino médio e o início da faculdade, quando apenas trabalharam
ou fizeram cursos técnicos.
Capítulo 4 A Proposta de Ensino e seu Contexto de Estudo
___________________________________________________________________________
108
A escolha do curso foi justificada pelo gosto por números, por ser considerado como um
bom campo de trabalho e, também, por gostarem e terem facilidade e afinidade com a
Matemática.
Alguns comentários pareceram bem efusivos, que achamos interessante apresentá-los.
Foram frases como: “porque adoro matemática”, “porque gosto, a matemática nos faz
despertar o interesse de estudar e tem muitas curiosidades a serem descobertas”, “matéria
que mais tive afinidade e sempre gostei”, “é um curso que admiro”, “pelo carinho que sempre
tive pela disciplina de matemática”.
Finalizando este capítulo, gostaríamos de destacar algumas considerações a respeito dos
alunos, informações estas advindas dos questionários respondidos e da realidade que
conhecemos tanto da Universidade quanto da cidade em que ela se situa. Os alunos procuram
o curso como uma opção para melhorar a qualidade de vida, pois tendo uma profissão, como a
de professor, acredita-se ter emprego garantido, com um salário razoável. Em virtude de a
Matemática ser considerada difícil pela maioria das pessoas, o campo de trabalho torna-se
amplo, sempre tendo vagas para lecionar esta disciplina nas escolas.
Nesse capítulo foi apresentado o cenário em que se desenvolveu esta pesquisa. Falta
agora apresentar os dados coletados neste ambiente, tarefa que será feita no próximo capítulo.
Capítulo 5
Descrição dos Dados
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
110
Capítulo 5
DESCRIÇÃO DOS DADOS
Os horários em que foram feitas as observações eram variados, assim como os dias
disponibilizados. Para não prejudicar nenhuma disciplina do semestre foram feitos acertos
para que trabalhássemos a mesma quantia de horas, em todas as disciplinas. Ao todo foram
realizados 10 encontros, perfazendo um total de vinte e seis horas, que ocorreram nos meses
de agosto e setembro de 2006. Trabalhamos com os alunos, em média, duas horas e meia por
dia.
Conforme esclarecido anteriormente, no capítulo de metodologia, utilizamos quatro
formas de registrar os dados: anotações, documentos, fotografias e gravações de áudio.
Para análise dos dados foram realizadas leituras das anotações, que contribuíram na
narração dos fatos ocorridos e também de comentários, explicações e esclarecimentos
necessários para uma melhor compreensão dos dados.
Os documentos analisados são as apostilas com os problemas resolvidos pelos alunos,
assim como os relatórios, entregues ao final de cada módulo estudado, como descrito no
capítulo 1. Os comentários e as narrativas apresentadas derivam, também, das gravações de
áudio dos diálogos, realizados durante as atividades. Esses diálogos são constituídos pelas
falas dos alunos e do pesquisador. Os apresentados neste capítulo são aqueles considerados
mais significativos para o aprofundamento e explicação das análises.
Para melhor organizar esses diálogos utilizamos convenções: para o pesquisador
utilizamos Pe e para os alunos A, B, C... Como não conseguimos identificar pela voz qual
aluno está falando, devido ao pouco tempo em que trabalhamos com os mesmos, pode haver
casos em que um mesmo aluno seja identificado com letras diferentes em outros diálogos. Em
alguns momentos não foi possível identificar qual dos alunos está falando; então, utilizamos
um ponto de interrogação (?) para representá-lo.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
111
Outras indicações aparecem, tais como:
- SILÊNCIO para indicar que houve uma pausa, momento de silêncio.
- [texto] no caso de inclusão de comentário nosso no diálogo, ou por ser conveniente
esclarecer o que estava ocorrendo.
- palavra(s) em negrito para mostrar que a pessoa que fala deu ênfase àquela(s)
palavra(s).
Como citado no capítulo anterior, as atividades foram dividas em três momentos. A
seguir detalharemos como isso se processou.
5.1 As Construções Fundamentais - 1° momento
No primeiro momento estudamos os conceitos referentes às construções geométricas
fundamentais, como explicado a seguir.
5.1.1 Construções com régua e compasso
Para a realização destas atividades a turma fez cópia das apostilas (Anexos 4 e 5) e
dividiu-se em trios. Foram relembrados os casos de congruência e semelhança de triângulos,
por estes serem necessários nas justificativas das construções com régua e compasso, além de
serem recordadas as definições de: interseção, congruente, semelhante, etc. Para isso, os
grupos seguiram as instruções da primeira página da apostila (Anexo 4). Após escreverem o
que sabiam, foi aberta a discussão com toda a turma, na qual os grupos apresentaram suas
respostas e confrontaram com as dos colegas. Finalmente, fechou-se a discussão com a
anotação na lousa, pela pesquisadora, dos dados julgados relevantes.
Depois dessa introdução começamos o trabalho com as construções utilizando régua e
compasso, tarefa que os alunos tinham realizado em disciplina do semestre anterior. Essas
construções referiam-se ao transporte de segmentos, de ângulos, construção da bissetriz,
mediatriz, ponto médio, paralelas e reta tangente.
Um ponto que gerou discussão foi o momento de justificar as construções. A
dificuldade centrava-se no fato de eles não saberem de que ponto partir, sendo então,
orientados por nós a iniciarem a justificativa por aquilo que tinha sido construído por eles, e
que tinham certeza de estar correto. Alguns alunos sentiram dificuldade no momento de
elaborar as provas pedidas. A aluna Lidiane expressou isso em seu relatório:
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
112
“Tive muita dificuldade ao provar tudo o que construía de acordo com os
casos de congruência. Isto me fez pedir ajuda para a professora como também
para colegas... Dificuldades eu tive, mas foram superadas com o tempo...”,
...e o aluno Fábio também:
“Nestas construções surgiu certa dificuldade em justificar as construções na
linguagem matemática...”
Além da dificuldade de explicar as construções, observamos também que alguns alunos
não se sentiram muito motivados a realizar essas construções. Percebemos que, dos vinte e
quatro alunos presentes nesse dia, apenas uns dez deles estavam, realmente, empenhados em
encontrar as justificativas.
Mariana, em seu relatório, escreveu o seguinte:
“A parte em que foram trabalhados os segmentos de retas, mediatrizes,
bissetrizes talvez para grande parte dos colegas, foi repetitivo, pois no 1°
semestre já havíamos trabalhado os conceitos e também havíamos construído.”
Por outro lado, temos o depoimento de Taira que, mesmo já tendo visto este conteúdo,
considerou-o importante:
“... no semestre passado já havíamos trabalhado com esse conteúdo, porém
quanto mais estudarmos mais iremos adquirir conhecimento e dessa aula tirei
muito proveito...”
Justamente por terem trabalhado com essas construções anteriormente, solicitamos que,
antes de fazê-las, escrevessem definições para cada construção, para que após o término da
atividade proposta pudessem comparar suas descrições com as construções. Analisando e
discutindo com a turma as respostas dadas, percebemos não mais haver dificuldades quanto à
conceituação e entendimento destas construções.
Nem todos os grupos terminaram as atividades pedidas durante a aula. Então, pedimos
que as terminassem em casa, e se surgissem dúvidas retomaríamos o assunto no dia seguinte.
5.1.2 Construções com dobraduras
Por não terem surgido dúvidas referentes às construções com régua e compasso,
prosseguimos, dando início ao trabalho com as dobraduras.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
113
Os alunos receberam pedaços de papéis coloridos, para a confecção das dobraduras de
retas, bissetrizes, ponto médio e de outras figuras geométricas, propostas na apostila (Anexo
4).
O início das atividades com dobraduras despertou maior interesse nos estudantes do que
as atividades de desenho com régua e compasso. Um aluno, que antes de realizar qualquer
atividade produziu um avião de papel, ao término da aula comentou:
“Hoje a professora conseguiu despertar meu interesse.”
Todas as construções realizadas com o origami precisavam ser descritas passo a passo.
Nessa tarefa apresentaram muita dificuldade, gerando intensas discussões sobre a maneira
como escrever corretamente. Por sugestão da pesquisadora os alunos passaram a nomear as
construções (retas, pontos, etc.), obtidas com as dobras, a fim de facilitar essa descrição.
Havia certa insegurança por parte de alguns alunos, que ficavam esperando o colega
iniciar o trabalho para, então, fazer o seu. Isso pode ser comprovado no comentário retirado
do relatório de Lidiane:
“Tenho muita dificuldade de interpretar os enunciados, tenho muitas
dúvidas de que maneira responder e, as vezes, até medo de responder, pensando
que não seria a resposta correta (escreveria alguma besteira), por causa disto
solicitei muito a presença da professora que teve paciência de sentar com nosso
grupo, discutir e fazer nós mesmos entender, assim, fazendo com que
conseguíssemos responder.”
Os alunos encontraram diversas formas de dobrar os papéis e chegar às respostas
pedidas, o que gerou intensa discussão entre os grupos sobre quem estava certo. Assim, ao
término de todas as construções, as atividades eram revistas com a turma toda, a fim de se
fazer uma análise de quais estavam corretas e se era realmente possível realizar por
dobraduras, e de maneiras diferentes, essas construções fundamentais.
Cada grupo defendeu seu modo de confeccionar as dobras, mas também não descartou a
possibilidade de fazer como os outros estavam sugerindo, chegando à conclusão de que umas
eram mais fáceis que outras. A esse respeito ressaltamos que no origami, assim como nas
construções com régua e compasso, melhor e mais elegante é a construção que usar menos
passos para se chegar ao resultado esperado.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
114
Para a construção da bissetriz alguns grupos com o papel totalmente aberto, fazia com
que os lados do ângulo se sobrepusessem, tentando ver através do papel. Essa atitude
dificultava um pouco a precisão da construção e pode ser observada na figura 5.1, a dobra é
feita sobrepondo A e B. Outro grupo de alunos, utilizou a sobreposição dos lados do ângulo
com o papel dobrado, isto é, vincado nas dobras que formam cada lado do ângulo, na figura
5.2 podemos observar a dobra que é feita ao unir os pontos A e B
figura 5. 1 figura 5. 2
Apresentamos, a seguir, o modo como um dos alunos descreveu a construção da
bissetriz. As diferenças nas descrições feitas pelos grupos, são basicamente referentes às letras
utilizadas:
“Com dobraduras fiz retas concorrentes A e B, escolhi um ângulo Ô qualquer e
uni a reta B com a reta A achando a bissetriz do ângulo escolhido.” (fig. 5.3)
figura 5. 3
A confecção da perpendicular foi feita de duas maneiras diferentes pelos grupos. Alguns
grupos construíram a reta e, com o papel dobrado, fizeram a construção da perpendicular
fazendo as semi-retas se sobreporem. Outros abriam totalmente o papel e, realizando o mesmo
procedimento, faziam as semi-retas se sobreporem, mas observando através do papel (método
esse que também dificulta a precisão da construção).
Para a construção da mediatriz os alunos optaram por observar os pontos marcados
através do papel, colocando-o contra a luz. Dois grupos construíram a mediatriz marcando
perpendiculares nos extremos do segmento e unindo, com o papel dobrado nas
perpendiculares, esses pontos.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
115
Descrição feita por uma aluna para a construção da mediatriz:
“Sobre a reta dobrada marcam-se os pontos A e B, marcar perpendiculares a
esses pontos determinando as retas m e n. Unir m a n, a dobra encontrada será a
mediatriz do segmento
AB
.” (fig. 5.4)
figura 5. 4
A construção de retas paralelas proporcionou muito debate, pois os alunos queriam
utilizar a borda da folha como referência para fazer a dobra. Colocamos, então, em dúvida o
fato de a borda da folha ser uma reta, tendo eles de encontrar outro modo para realizar tal
construção. Constatamos, nesse momento, que os papéis entregues aos alunos não deveriam
ter as bordas recortadas retas, e que a melhor opção teria sido rasgar suas bordas.
Dos grupos envolvidos, apenas dois não fizeram essa construção utilizando-se dos
conceitos de retas perpendiculares, e dois alunos não estavam convencidos de que, ao fazerem
as dobras do modo como estavam procedendo, encontrariam perpendiculares. Um dos alunos
de um grupo chegou a recortar o seu papel de maneira que suas bordas não estivessem retas.
Isso para que seu colega, que descreveu a construção da reta paralela usando como referência
a borda, percebesse que sua descrição não era satisfatória, pois ela deveria esclarecer como
fazer essa construção, independentemente do formato do papel.
Duas maneiras descritas pelos grupos na construção da reta paralela:
“Fiz uma reta s, sobre ela marquei um ponto P e achei a sua perpendicular que
passe pelo ponto P determinando
t
, marquei sob a reta t o ponto O e achei a
perpendicular de t passando por O. Assim achei as retas paralelas r e s.” (fig. 5.5)
figura 5. 5
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
116
“Dobrar a reta a. Marcar um ponto P fora da reta e traçar a perpendicular da
reta passando pelo ponto P. Marcar o ponto t fora da perpendicular já obtida e traçar
outra perpendicular que passe pelo ponto t que será a paralela da reta a.” (fig. 5.6)
figura 5. 6
Cinco ou seis alunos não fizeram as descrições pedidas (por não estarem de posse da
apostila, pois ainda não tinham feito cópia da mesma), mas todos realizaram as construções
conforme o solicitado, e ninguém reclamou por não ter entendido alguma atividade ou por não
ter conseguido fazê-la. Uma das alunas que estava sem a apostila teve o interesse de anotar
todos os passos para que, posteriormente, quando estivesse com o seu material pudesse fazer a
atividade.
As construções foram coladas nos
locais indicados na apostila (figura 5.7), e
alguns perceberam que seria mais
interessante colar apenas uma parte e deixar o
restante do papel livre, para que as dobras
pudessem ser efetuadas em outro momento
caso o desejasse.
figura 5. 7
Comentário da aluna Mariana em seu relatório:
“Esse trabalho para mim, foi muito interessante e me chamou a atenção da
maneira pela qual podemos construir, por exemplo, um quadrado, apenas com
dobras paralelas e perpendiculares, também como podemos achar mediatrizes,
bissetrizes, e depois ainda comprovarmos que são realmente o que foi construído.
Todos esses procedimentos, frizando bem, sem a utilização de qualquer outro tipo
de material (régua, compasso, tesoura, ...) apenas dobrando.”
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
117
5.2 A Construção de Polígonos - 2° momento
Neste momento estudamos conceitos matemáticos, resolvendo problemas referentes à
construção de alguns polígonos com régua e compasso e dobraduras. Durante a resolução dos
problemas propostos os alunos permaneceram divididos em grupos, em sua maioria
formavam trios, mas essa formação dependia de quais alunos estavam presentes, tendo
algumas situações em que o trabalho transcorria em duplas ou até mesmo individualmente.
5.2.1 O quadrado
O trabalho teve início com a construção do quadrado. Na noite em que fizemos estas
atividades os alunos estavam um pouco dispersos. Cinco deles estavam sem apostila, o que
dificultava o andamento das atividades no grupo, por precisarem recorrer ao material do
colega para lerem as perguntas.
Mesmo tendo realizado a construção de um quadrado em disciplina do semestre
anterior, e tendo o conhecimento de como construir perpendiculares e paralelas com régua e
compasso, quase todos os alunos tiveram dificuldade em fazer essas construções conosco,
fazendo uso dos mesmos materiais.
Supomos que esta dificuldade se deveu ao fato de os alunos não terem, realmente,
aprendido como fazer esta construção, quando trabalharam com isso no semestre anterior.
Talvez, apenas decoraram a seqüência de passos dada pelo professor sem tentar entendê-la,
não se dando conta de que a construção de um quadrado envolvia tão somente a confecção de
retas paralelas e perpendiculares.
Outra atividade com origami em que os alunos sentiram muita dificuldade foi a de
encontrar um quadrado, partindo de um pedaço de papel qualquer, sem lados retos que
pudessem ser usados como base. Após várias tentativas, os grupos solucionaram o problema
valendo-se dos conceitos estudados quando da realização das construções fundamentais com
dobraduras.
As construções ficaram muito parecidas entre si, por isso descrevemos apenas uma
delas (fig. 5.8):
“1°) Dobro uma reta;
2°) Dobro uma perpendicular da primeira reta;
3°) Dobro uma perpendicular da segunda reta;
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
118
4°) Dobro a bissetriz do ângulo da 2ª com a 3ª reta e marco o ponto onde deve
passar a outra reta;
5°) Dobro uma reta que passe no ponto marcado.
figura 5. 8
A construção de um quadrado a partir de um papel retangular, também não era uma
noção clara para todos os alunos. Apenas três grupos fizeram a construção do modo
convencional, dobrando o lado menor do retângulo sobre o lado maior, vincando uma
diagonal do quadrado a ser recortado (construção descrita no capítulo 3). Os demais
utilizaram os passos descobertos na atividade descrita anteriormente.
Houve uma discussão interessante a respeito da definição de quadrado em relação ao
retângulo. Transcrevemos, abaixo, o diálogo:
Grupo 1 formado pelos alunos G, H, I e J.
Aluno G: - O quadrado tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos.
Aluna H: - Não! Ah, o quadrado é. Pensei que tava falando do retângulo, eu ia dizer que o
retângulo não tem lados iguais.
Aluno G: - O quadrado é um retângulo que tem os lados iguais.
Aluna H: - É um retângulo que tem os lados iguais. [os dois falaram juntos]
Aluno G: - O retângulo é um polígono regular que tem os quatro ângulos retos.
Aluna H: - Mas não é um quadrado.
Aluno G: - Não, pode ser um quadrado. Um quadrado é um retângulo.
Aluna H: - Hã?
Aluno G: - O quadrado é um retângulo.
Aluna H: - Ai, me deu um nó na cabeça.
Aluno G: - O retângulo pode ou não ser um quadrado.
Aluna H: - E não é!
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
119
Aluno G: - O quadrado é um retângulo, porém um retângulo pode ou não ser um quadrado.
Aluna H: - Não é um quadrado.
Aluno G: - O retângulo pode ou não ser um quadrado.
Aluna H: - O retângulo não pode ser um quadrado.
Pe: - Se o quadrado é um retângulo...
Aluna H: - Então um retângulo... [risos]
Aluno G: - O retângulo pode ou não ser um quadrado.
Aluna H: - E porque uma mulher disse semestre passado... que não.
Pe: - Qual é a definição de retângulo? Como você define retângulo?
Aluno G: - Quem disse que não?
Aluna H: - Não. Não, não, não, não... desenhado, não pode.
Pe: - Define retângulo para mim. [insistindo para que a aluna falasse sobre o que considerava
ser a definição de retângulo]
Aluna H: - Retângulo?
Pe: - É define-o para mim.
Aluna H: - É um polígono regular, com quatro ângulos...
Aluno G: - Não!
Aluna H: - Não, não é. Ah! O quadrado é regular.
Pe: - O quadrado é regular.
Aluna H: - Então o retângulo não é quadrado.
Pe: - Defina retângulo!
Aluna H: - Retângulo é um polígono... com quatro ângulos retos.
Pe: - E o quadrado não é um polígono com quatro ângulos retos?
Aluna H: - Porém é um polígono regular. O quadrado é um polígono regular.
Pe: - Tudo bem, mas o quadrado não tem quatro ângulos retos?
Aluna H: - Tem, mas é regular.
Pe: - Mas ele não tem os quatro ângulos retos que a definição do retângulo fala?
Aluna H: - Sim, mas ele tem mais definição.
Pe: - Mas ele pode ser um retângulo.
Aluna H: - Não.
Aluno G: - O quadrado é um retângulo que tem quatro ângulos retos.
Aluna H: - Tá, mas tem mais definição do quadrado.
Aluna I: - Mas isso não importa.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
120
Aluno G: - Retângulo não é um quadrado, ele pode ser um quadrado.
Aluna H: - Como pode ser?
Aluno G: - Nem sempre ele é. Tu tens dois retângulos, isso aqui... [faz um desenho
representativo do que está falando].
- Temos um quadrado e um retângulo. Certo?
Aluna H: - Tá! [sua voz demonstra impaciência]
Aluno G: - Definição do retângulo, quatro ângulos retos.
Aluna H: - Isso aí não pode ser quadrado, pra mim não pode ser quadrado. [se referindo ao
desenho]
Pe: - Esse não é um quadrado.
Aluno H: - Então, é o que eu tô dizendo.
Pe: - Mas esse aqui pode ser um retângulo. [apontando para o desenho do quadrado]
Aluno G: - O que, que é isso aqui? Tem quatro ângulos retos é retângulo.
Aluna H – A esse pode ser. [referindo-se ao quadrado]
Aluno G: - O quadrado é retângulo.
Aluna H: - Tá!
Aluno G: - O retângulo pode ou não ser um quadrado.
Aluna H: - O retângulo não pode ser um quadrado.
Pe: - Por que não?
Aluno G: - Pra ser um retângulo tem de ter quatro ângulos retos. O quadrado tem.
Aluna H: - Tá! E um retângulo pode ser um quadrado? Não!
Pe: - Todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado.
Aluna H: - Tá, acho que é isso que eu to querendo dizer.
Aluna I: - Ahn!!!
Aluna H: - Acho que é isso que eu to querendo dizer.
Aluno G: - Essa figura aqui, isso é um... losango, não é? [faz um desenho]
Aluna H: - Sei lá eu. Tá! Eu vendo aqui é um losango.
Aluno G: - Ele é um quadrado?
Aluna H: - É! [meio em dúvida] Não... sei...
Aluno G: - É um quadrado?
Aluna H: - É, é um quadrado. É um quadrado virado para baixo. [refere-se a posição em que
foi desenhado o quadrado]
Aluno G: - O losango pode ou não ser um quadrado.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
121
- Isso aqui é um losango [falando do desenho], também é um quadrado.
Aluna H: - Também é um retângulo.
Aluno G: - Também é um retângulo. Porém ele pode ser um losango e não... [não é possível
entender o restante da frase]
Pe: - Qual é a definição de losango?
Aluna H: - São quatro lados... são congruentes?
Aluno G: - Polígono regular.
Pe: - O losango é regular?
Aluna H: - Não.
Aluno G: - É regular. O losango é um polígono regular com os quatro lados iguais.
Aluna H: - Mas não obrigatoriamente.
Aluno J: - O losango regular é um polígono regular, né? [risos]
Aluna H: - Ah, é! Mas ele não fala de ângulos. Ele tem quatro lados. É um polígono que tem
quatro lados.
Aluno J: - Exatamente.
Pe: - Então, um quadrado pode ser um losango, mas nem todo losango é um quadrado?
Aluna H: - É verdade.
Aluno J – Bem como o quadrado é retângulo, mas nem todo retângulo é quadrado. Aha!
Em relação aos eixos de simetria do quadrado, apenas uma aluna estava em dúvida se
deveria considerar as duas diagonais ou apenas uma. Contudo, ao conversar com os colegas
convenceu-se de que teria 4 eixos. A simetria rotacional do quadrado também não apresentou
problemas em sua resolução.
Porém, o trabalho demorou mais do que o esperado. Os alunos se detiveram, em grande
parte do tempo, na construção do quadrado partindo de um pedaço de papel qualquer. Nem
todos leram que deveriam descrever os passos necessários para sua obtenção e representá-la
graficamente. Dois grupos não conseguiram concluir as atividades propostas para este dia,
ficaram um bom tempo tentando encontrar uma maneira para dobrar o quadrado e, mesmo
após muita discussão, ainda estavam em dúvida se a resposta encontrada estava certa. Então,
dissemos-lhes que não havia uma única resposta correta para o problema, assim, ficaram
satisfeitos com seu trabalho e não foram procurar uma alternativa mais fácil.
Como havia ainda algum tempo para o término da aula, alguns alunos seguiram lendo a
apostila. Aproveitamos o ensejo para identificar seus conhecimentos sobre razão áurea, que
seria o assunto da próxima atividade. Dos vinte e quatro alunos presentes na sala somente dois
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
122
afirmaram ter ouvido falar de razão áurea ou mesmo de retângulo áureo. Ficou, então,
combinado que deveriam pesquisar sobre o retângulo áureo para o próximo encontro, que
ocorreria na semana seguinte.
5.2.2 O retângulo áureo
Em razão de o nosso trabalho não fazer parte do cronograma de nenhuma disciplina, e
não valer nota para os alunos, a maioria não tinha interesse em fazer tarefas extra classe. Por
isso, apenas um grupo trouxe a pesquisa pedida. O grupo fez a leitura dos resultados
encontrados na investigação e iniciou-se uma discussão sobre o conceito de razão áurea.
Alguns se lembraram de uma palestra assistida no início do ano, na qual foram tratadas
noções sobre o assunto. Após isso, os grupos escreveram uma definição para razão áurea.
Neste encontro a turma era composta de vinte e cinco alunos. Observamos que em
quatro dos grupos que se mantinham constantes, os alunos não trabalhavam coletivamente.
Respondiam as perguntas individualmente. Cada um ia fazendo o seu trabalho, parando, às
vezes, para ajudar algum colega do grupo que não conseguia responder alguma questão. A
maioria dos alunos perguntava se sua construção estava certa antes de continuar seu trabalho.
Houve grande dificuldade por parte dos alunos na resolução da prova de que o retângulo
representado na atividade seis (abaixo) era realmente áureo (prova descrita no capítulo 3).
Depois de darmos algumas orientações, um grupo conseguiu resolver o problema
utilizando semelhança de triângulos. Outros três grupos não fizeram dessa maneira por
entenderem que utilizando a proporção dos triângulos em relação à razão áurea estaria
correto. Por falta de tempo, somente no dia seguinte pudemos esclarecer que esta maneira não
6.
Observar a figura abaixo. Encontrar o valor de
x
e verificar se esse retângulo é realmente o
retângulo áureo.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
123
era a correta, pois se o problema pedia para encontrar o valor de x e provar que o retângulo
era áureo, não poderíamos partir da premissa de ele ser áureo para se encontrar o valor de x.
5.2.3 O pentágono
Essa figura deveria ser feita por dobradura, mas muitos insistiam em utilizar a régua e o
compasso para marcarem os pontos, nos quais o papel deveria ser dobrado. A foto a seguir
(figura 5.9) mostra o momento em que um aluno foi flagrado utilizando o compasso para
fazer a divisão do lado do triângulo, o que deveria ser feito com dobras, conforme explicitado
no Anexo 4.
figura 5. 9
A construção do pentágono, por ser um pouco mais elaborada, exigiu maior
concentração. Mas, apesar disso, em dois grupos, os alunos decidiram confeccionar dois ou
mais pentágonos, a fim de apresentar a figura esteticamente mais bonita.
O trabalho com dobraduras exige paciência e persistência, atitudes essas reconhecidas e
comentadas por Clenhi em seu relatório:
“...os grupos não estão todos juntos, alguns estão adiantados, outros estão
com mais dificuldades, eu ainda preciso da ajuda da professora, mas agora
entendendo mais das dobraduras, consigo começar os primeiros passos, é um
trabalho que exige paciência para melhor ficar feito.”
Houve muita discussão, e certa dificuldade, para encontrarem a medida dos ângulos do
pentágono, pedidos na atividade 9 (abaixo). Isso aconteceu porque a resolução desse
problema envolvia conceitos de ângulos opostos pelo vértice, alternos internos e somas dos
ângulos internos de um triângulo.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
124
5.2.4 A simetria
O estudo das simetrias reflexiva e rotacional dos polígonos tornou-se mais complicado
quando os alunos chegaram ao pentágono. Os conceitos que pareciam claros quando estavam
lidando com o quadrado e o triângulo eqüilátero, agora, tornaram-se confusos. Isso pode ser
constatado no relatório de Lidiane:
“Ainda não consegui deixar claro o que é os eixos de simetria e a simetria
rotacional, que coisa complicada! Também achei difícil provar nas dobraduras
que fizemos porque os polígonos que construímos era realmente regulares, mas
com tantas vezes que tivemos de fazer eu aprendi.”
Para tentar amenizar estas dificuldades sugerimos aos alunos que colocassem a figura
recortada sobre o desenho dela e, com a ponta do lápis, firmassem o centro da figura (ponto
em que passa o eixo de simetria rotacional) fazendo-a girar, para encontrar sua simetria
rotacional. Isso facilitou bastante a compreensão dos alunos. Um deles até já havia furado o
centro de seu pentágono de tanto girá-lo preso à ponta da caneta, na tentativa de encontrar a
simetria desse polígono, pois ele estava procurando se havia alguma outra além da de 72°.
Quanto à simetria reflexiva, as dificuldades foram diminuindo a medida em que os
alunos faziam novas figuras e iam dobrando-as para justificar que eram regulares, pois para
fazer esta prova precisavam dobrá-las pelos eixos de simetria reflexiva.
9.
No esquema abaixo marcar a medida de cada ângulo determinado pelas dobras do pentágono
regular.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
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125
5.3 Construindo Poliedros - 3° momento
5.3.1 Os módulos
Os alunos trouxeram os papéis recortados em forma de quadrados e iniciaram a
construção dos módulos triangulares, quadrangulares e pentagonais, seguindo os passos
indicados na apostila (Anexo 5). Para o trabalho não se tornar muito penoso e demorado
foram formados grupos com seis pessoas.
Em razão de os alunos, agora, estarem mais familiarizados com os gráficos dos passos
para construção do origami, mostraram-se mais independentes na realização das construções
dos módulos.
Na construção do módulo triangular precisaram de auxílio, porque estava incorreta uma
das etapas da construção descrita na apostila, cuja correção fizemos naquele momento. Após
isso, concluíram o trabalho sem dificuldade.
No módulo quadrangular foi preciso explicar o passo 4 (abaixo) de sua construção, pois
não conseguiam entender o que o gráfico estava representando.
Já o módulo pentagonal exigiu mais paciência e dedicação, e os passos 3 e 6 da primeira
parte foram os que geraram maiores dúvidas.
3. Dobrar e desdobrar a aba superior.
6. Dobrar puxando para frente.
Nesta noite os alunos estavam mais atentos à leitura das indicações dos passos (figura
5.10), o que fez com que tivessem mais autonomia em suas construções, não necessitando
tanto de auxílio para compreender como deveriam executar a dobra pedida.
4. Abrir
Capítulo 5 Descrição dos Dados
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126
figura 5. 10
Vários alunos, mesmo observando o desenho da apostila, perguntavam quais eram os
eixos de simetria do pentágono. Essa pergunta esteve presente na construção de todos os
polígonos, evidenciando que o assunto não estava muito bem compreendido até aquela
ocasião.
Porém, este conceito foi se tornando mais claro após repetirem várias vezes as mesmas
dobras, ao fazerem a construção dos módulos, principalmente o do pentágono, pois o passo 2,
da segunda parte, pedia justamente isso.
2. Dobrar e desdobrar nos eixos de
simetria do pentágono.
Inicialmente pensamos que os alunos não conseguiriam construir o módulo pentagonal,
devido à grande quantidade de passos, dentre os quais, alguns considerados com um nível
médio de dificuldade. Entretanto, nos surpreendemos ao verificar que todos os alunos
conseguiram fazer esse módulo, ainda que com o nosso auxílio ou de outros colegas (figuras
5.11 e 5.12).
Capítulo 5 Descrição dos Dados
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127
figura 5. 11
Aluna dobrando módulo pentagonal
Os alunos que entendiam mais facilmente as construções acabavam-nas rapidamente e
depois se aplicavam a ajudar seus colegas, contribuindo para que nosso trabalho não fosse
prejudicado.
figura 5. 12
Alunos trabalhando juntos na construção dos módulos
Como era de se esperar, devido à dificuldade de sua construção, a estética dos primeiros
módulos não era muito boa, mas à medida que os estudantes repetiam o mesmo procedimento
o trabalho foi adquirindo maior qualidade.
Houve muito empenho por parte de todos os grupos nesta etapa do trabalho, o que
permitiu que a confecção de todos os módulos ficasse completa em apenas dois encontros (6
horas).
Capítulo 5 Descrição dos Dados
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128
5.3.2 Os poliedros
Com os módulos prontos demos início à resolução dos problemas propostos na segunda
etapa da apostila (Anexo 5).
Para que entendessem o que eram os “bicos”, foi preciso exemplificar, pois, de início,
não queríamos fazer referência à palavra vértice.
Foi dado um tempo para que manuseassem o material livremente. Construíram
pirâmides com diferentes bases ou utilizaram 6 peças triangulares como fundamento de outro
sólido a ser construído. Após isso, solicitamos que lessem os problemas e fizessem a
construção da maneira indicada.
As definições de vértice, aresta e face, solicitadas logo no início do trabalho, geraram
discussões interessantes. Enquanto os alunos tentavam explicar esses conceitos, eles
manipulavam e apontavam, como se o visual, por si só, respondesse a pergunta.
Transcrevemos uma das situações ocorridas:
Grupo 2 formado no momento da discussão por três alunas A, B e C.
Pe: - O que é um vértice?
Aluna todas: - Encontro das... encontro... encontro das arestas.
Pe: - O que é uma aresta?
Aluna A: - É o lado.
Pe: - Lado do quê?
Aluna A: - Da figura.
Pe: - Que figura?
[risos]
Aluna A: - Aiaiaia...
Aluna B: - Não é o lado da figura. [referindo-se ao sólido]
Pe: - Porque o lado dessa figura [referindo-se ao sólido] são as faces.
1.
Utilizando os módulos confeccionados, como juntá-los de maneira a formar “bicos”?
Inicialmente utilizar somente os módulos iguais em um mesmo “bico”.
2. Quantos “bicos” diferentes podemos formar:
a) usando triângulos? _______________________
b) usando quadrados?_______________________
c) usando pentágonos?______________________
Capítulo 5 Descrição dos Dados
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129
Aluna B: - Então...
Pe: - O que seria uma aresta?
SILÊNCIO
Aluna A: - É um canto. [risos]
Pe: - Canto dá para confundir com ponto, que seria o vértice.
Aluna C: - Aresta é isso aqui? [apontando para a aresta do sólido]
Pe: - É. Como você explicaria isso?
Aluna B: - Segmento que une um vértice a outro. Sei lá! [risos]
Pe: - Se fosse um segmento que une um vértice a outro poderia ser um segmento que passe
por dentro do sólido e ligue este vértice [apontando para um vértice do sólido] a este aqui em
baixo. [apontando o vértice oposto]
Aluna ? - Ai meu Deus!
[risos]
Pe: - Também não pode.
Aluna C: - As faces são estas, né?
Pe: - As faces são estas.
Aluna C: - Tem alguma coisa a ver com as faces? Não, profe?
Pe: - Porque não?
Pe: - Olhando assim, a aresta, você diria que ela é o quê?
SILÊNCIO
Aluna A: - Face é o lado da figura...
Aluna A: - Ela é o lado da figura. [referindo-se ao polígono, acho que falava da aresta]
Pe: - Face é o lado do poliedro.
SILÊNCIO
Aluna ?: - É isso! [Apontam a aresta no sólido construído]
Pe: - Eu sei, mas vocês estão com o material na frente de vocês.
Aluna C: - A gente sabe o que é, mas não consegue definir ele.
Pe: - Como vocês o definiriam?
Aluna A: - Esse que é o nosso problema!
Pe: - Então descreve-o para mim, descreve...descreve uma aresta para mim.
Aluna A: - Ela divide...
Pe: - Divide...
Aluna ? – Ai!
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
130
Aluna B: - Seria duas arestas. [elas estão falando sobre o lado do polígono e que o lado dele
seria uma aresta, então no sólido seriam duas juntas]
Aluna A: - Ou é uma emenda.
Pe: - Duas arestas? Seria duas arestas isso aí? [apontando para a aresta]
Aluna B: - Não! Seria uma que serve pros dois.
Pe: - Serve para os dois! Estamos indo bem, é uma aresta! Serve para os dois o quê?
Aluna B: - Pros dois lados, as duas faces.
Pe: - As duas faces.
Pe: - Qual é a função dessa aresta? Como poderíamos dizer isso?
Aluna A: - Divide duas faces.
Pe: - Dividir duas faces não está bom...
Aluna (Duas não identificadas falaram juntas): - Unir duas faces, liga...
Pe: - Então a gente poderia definir uma aresta como? Uma aresta é...
[risos]
Aluna ?: - Não sei!
Aluna B: - Tá complicado!
Pe: - Estamos indo pelo caminho certo, relação com faces... aresta, está entre elas! Une!
ela...separa, divide. O que vocês acham que ela faz?
Aluna todas: - Une duas faces.
Pe: - Então uma aresta...
Aluna B: - Une duas faces, formando um poliedro.
Pe: - Uma aresta une duas faces, ou uma aresta é o encontro de duas faces?
Aluna ?: - Ah!
Pe: - Pode ser?
Aluna C: - Encontro de duas faces.
Aluna B: - Oh, coisinha complicada...
Comentário no relatório de uma aluna que participou da discussão:
“Tivemos uma discussão para entender o que é uma aresta, foi demorado
mas conseguimos resolver.”
Terminada essa fase inicial, e já tendo construído os poliedros, percebemos a grande
satisfação com que os grupos apresentavam suas construções aos colegas, mostrando,
orgulhosos, o resultado do seu trabalho. As figuras 5.13, 5.14 e 5.15 mostram algumas
construções, e a satisfação de seus executores em exibi-las.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
131
figura 5. 13 figura 5. 14 figura 5. 15
De posse dos sólidos construídos passaram a resolver os problemas propostos,
referentes a cada poliedro. Nenhuma das respostas foi apresentada sem antes haver
manipulação dos sólidos e debate com o grupo. Na maioria das vezes, mesmo tendo a
fórmula, como aquela pedida no problema 2, referente ao octaedro (pergunta abaixo), e tendo
feito o cálculo, alguns alunos insistiam em comprovar no sólido construído, para verificar se a
resposta estava correta.
O trecho transcrito abaixo, retirado do diálogo dos alunos, representa o momento em
que eles tentavam descobrir quantas arestas tinha o icosaedro, contando no sólido construído,
sendo que um deles já havia resolvido a questão utilizando a fórmula.
Grupo 3 formado pelos alunos D, E, F.
Aluno E: - São vinte faces.
Aluno E: - É triangular, vezes três, dividido por dois trinta. [referia-se ao cálculo
2
faces polígono do lados
×
] Trinta arestas.
Aluno D: - Doze vértices. Um, dois, três, quatro, cinco, dez, vinte, trinta arestas.
[risos]
Aluno D: - Uma, duas, três, conta aqui.
Aluno E: - Peraí cara! Deixa eu te ajuda...
Aluno D: - Uma, duas, três, quatro, não, não..
Aluno E: - Conta em cada vértice.
Aluno D: - Calma cara!
Pe: - Marquem com os dedos. [risos]
2.
Desafio: Encontrar uma maneira de calcular quantas arestas tem o octaedro sem contá-las.
Fazer com que essa equação tenha validade para calcular as arestas de todos os poliedros
regulares.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
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132
Aluno D: - Pior é que não tem como marca.
RISOS
Aluno D: - Deu, deu, deu quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, vinte, trinta.
...
Aluno E: - Vinte, trinta. Mas dá onde tu tiro vinte?
Aluno D: - Mas vinte, olha aqui cara [apontando para o sólido] ó ó ó, cinco e cinco não é um
dez?
Aluno E: - Tá.
Aluno D: - Com mais vinte e mais dez aqui, trinta.
Aluno E: - Cinco?
Aluno D: - Um, dois, três, quatro, cinco [referindo-se a vértices do sólido]. Agora vai querer
contar também?
Uma outra atividade referia-se à soma dos ângulos dos polígonos em torno de cada
vértice, e um fato curioso aconteceu quando houve uma discussão, enquanto tentavam
encontrar o valor de cada ângulo interno do pentágono. Levantavam conjecturas, mas não
conseguiam provar matematicamente se estavam corretos.
Para fazer essa prova surgiram várias argumentações, e uma delas foi esta: dividir o
pentágono em cinco triângulos que tinham como ponto comum o centro dele. Neste momento
surgiu a seguinte dúvida: achavam que os triângulos formados eram eqüiláteros. Foi preciso
provar que isso era falso, fazendo a soma dos ângulos formados em torno do centro do
pentágono. O valor encontrado foi 360° e ao ser dividido por 5 resultou em um ângulo maior
que 60°, provando-se, assim, que não eram triângulos eqüiláteros. Através desse raciocínio
encontraram o valor correto.
A noção de eixo de simetria rotacional pareceu mais simples, tanto que alguns chegaram
a generalizar uma maneira de se encontrar tais eixos. Inicialmente imaginavam eixos que
passassem por uma das faces do sólido e, também, pela face oposta a essa. Depois, contavam
o número total de faces e dividiam este valor pela metade. Os outros eixos de simetria eram
encontrados ligando-se as arestas opostas do poliedro. Então, dividia-se o número de arestas
pela metade, o mesmo procedimento foi feito com os vértices. O total de eixos de simetria era
encontrado fazendo-se a soma desses valores.
Capítulo 5 Descrição dos Dados
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133
Exemplo:
Cubo
6 faces – 3 eixos passando, cada um, pelo centro de duas faces opostas. (fig. 5.16)
12 arestas – 6 eixos passando, cada um, pelo centro de duas arestas opostas. (fig. 5.17)
8 vértices – 4 eixos passando, cada um, por dois vértices opostos. (fig. 5.18)
figura 5. 16
figura 5. 17
figura 5. 18
Para encontrar os planos de simetria os alunos não conseguiram estabelecer relações que
levassem a generalizações e pudessem ajudá-los nesse cálculo. Foi necessário riscar nos
próprios sólidos os locais por onde passava cada plano. Essa foi uma tarefa demorada,
cansativa e difícil de ser executada em poliedros com muitas faces, desestimulando-os a
encontrarem, por exemplo, os planos de simetria do dodecaedro e icosaedro.
Mesmo diante de algumas dificuldades e do caráter trabalhoso de se construir os sólidos
com origami, os alunos pareciam muito interessados nesta maneira diferente de trabalhar com
os poliedros. Isso pode ser constatado em um comentário registrado no relatório de Elisandra:
“Os poliedros são muito interessante ótimo para usar no ensino
médio, pois, só assim podemos manusear o material a ser estudado de perto,
assim se aprende bem mais com o material concreto. Adorei a aula, a
construção dos poliedros é ótima para ter uma visão mais ampla e entender
melhor, isso torna a aula mais produtiva e descontraída, pois, sai da
rotina do aluno e existe mais interesse de aprender. As aulas foram
verdadeiras obras de arte eu gostei muito, pois, requer raciocínio,
interesse, dedicação e atenção, depois de tudo você vê o quanto aprendeu
com aquele trabalho e o resultado é maravilhoso, porque você é capaz de
fazer todos aqueles poliedros lindos e saber que você aprendeu e pode
demonstrar as descobertas com criatividade.”
Capítulo 5 Descrição dos Dados
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134
5.3.3 O caleidoscópio
Tendo construído todos os sólidos solicitados passamos para o estudo do caleidoscópio.
Fizemos uma discussão sobre o que seria caleidoscópio e alguns alunos lembraram-se
do brinquedo. Apresentamos a eles o caleidoscópio generalizado e demos uma breve
explicação dos conceitos envolvidos em sua construção (fig. 5.19).
figura 5. 19
Alunos observando os caleidoscópios
Deixamos que manuseassem livremente os caleidoscópios. Esse momento foi
interessante, pois os alunos introduziam partes de suas construções dentro do caleidoscópio e
ficavam fascinados com os resultados, observando que obtinham sólidos (fig. 5.20).
figura 5. 20
Foi solicitado que observassem seus sólidos e pensassem em alguma porção que poderia
ser colocada no interior dos caleidoscópios para fornecer o visual desses poliedros. Após
intensa discussão, apresentamos uma das dobraduras que dava origem ao visual do cubo no
caleidoscópio de ângulos (90°,90°,90°). Com isso, surgiram sugestões sobre as outras peças
que poderiam ser utilizadas no outro caleidoscópio, de ângulos (90°,90°,180°), para o visual
do cubo e do octaedro (fig. 5.21). Mas, além desses dois sólidos, não conseguiram encontrar
mais nenhuma dobradura que possibilitasse o visual de algum outro sólido, o que era de se
esperar, pois para se encontrar essas dobraduras necessita-se de tempo para um estudo intenso
dos planos de simetria dos sólidos e também dos caleidoscópios, tempo esse que não tivemos
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
135
disponível. Assim, apresentamos-lhes dobraduras que permitiam o visual de alguns poliedros
semi-regulares.
figura 5. 21
Aluna observando dobradura do octaedro no caleidoscópio (2,2,2)
Depois da apresentação dessas dobraduras, dirigimo-nos ao laboratório de informática
para construí-las no software geométrico Cabri-Géometrè II (atividades constantes na
apostila, Anexo 5).
Em virtude de já terem realizado a construção de alguns sólidos com o origami e já os
ter observado em caleidoscópio, não demonstraram muito interesse em realizar as construções
no software. Apenas cinco alunos construíram as figuras solicitadas. Os demais saíram antes
do término da aula, para fazer uma pesquisa requisitada pela professora da disciplina que seria
ministrada no dia seguinte.
Os alunos que realizaram as atividades de construção das dobraduras no software Cabri-
Géometrè II (apostila, Anexo 5) apresentaram dificuldade devido à falta de habilidade com o
programa e a quantidade de passos a serem seguidos. O estudo do software não pôde ser
aprofundado devido à pressão feita pelos alunos para que o trabalho fosse logo concluído, e
eles voltassem a ter suas aulas normais.
Encaminhávamo-nos para a reta final do trabalho e, como esclarecido anteriormente,
este trabalho não constava da grade curricular e não contaria como nota para nenhuma
disciplina cursada no semestre, os alunos começaram a apresentar certa inquietação por
julgarem que estavam tendo algum prejuízo com o tempo destinado ao nosso trabalho.
Conjeturavam que, talvez, estivessem sendo privados de conteúdos que poderiam ser
importantes relacionados às disciplinas que estávamos ocupando o horário.
Diante desses fatos nossa intervenção teve que ser encerrada. Apesar de nosso
planejamento inicial não ter sido cumprido em sua totalidade, acreditamos que foi alcançada a
Capítulo 5 Descrição dos Dados
___________________________________________________________________________
136
maioria dos objetivos, mesmo com a suspensão de alguns procedimentos. Trataremos no
capítulo seguinte sobre as limitações observadas no desenvolvimento da pesquisa, e do
próprio trabalho com o origami e o caleidoscópio, além de sugestões para o seu
aperfeiçoamento.
Capítulo 6
Possibilidades e Limitações
Capítulo 6 Possibilidades e Limitações
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138
Capítulo 6
POSSIBILIDADES E LIMITAÇÕES
Faremos neste capítulo uma análise retrospectiva das fichas de atividades (Anexos 4 e
5), elaboradas com base no uso do origami e dos caleidoscópios para o ensino de Geometria.
Traremos sugestões de outras possibilidades de estudo com estes materiais e, também, as
limitações observadas em sua aplicação, bem como as dificuldades e facilidades encontradas
pelos alunos na sua utilização.
6.1 Possibilidades
Primeiramente propomos que este trabalho seja desenvolvido em cursos de formação
inicial de professores. Em nossa compreensão, é bom que os professores tenham a noção de
como confeccionar peças com origami, que estejam familiarizados com os diagramas e passos
do mesmo, que conheçam os fundamentos matemáticos envolvidos na construção do
caleidoscópio generalizado, para, então aplicar as atividades em sala de aula com seus alunos.
O simples fato de ter acesso a estes materiais dará oportunidade para que analisem suas
características e percebam a variedade de possibilidades de utilização destes, para ensinar os
mais diversos conteúdos matemáticos.
Dentre os benefícios que o trabalho com o origami pode trazer destacamos o
desenvolvimento de atividades voltadas para: senso de localização espacial, leitura e
interpretação de diagramas, exploração dos elementos de linguagem relativos à posição no
espaço, como “cima”, “baixo”, “esquerda”, “direita”, etc., construção de conceitos e uso dos
termos geométricos em um contexto.
Alguns dos alunos que participaram da pesquisa relataram ao final do trabalho que,
inicialmente, não se achavam capazes de fazer construções com origami. Não imaginavam
que teriam paciência para isso, e acabaram por se surpreender com a sua capacidade de
concentração e persistência em realizar as dobras.
Capítulo 6 Possibilidades e Limitações
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139
Neste estudo o origami foi praticado em grupo, permitindo o debate de idéias, o
esclarecimento de conceitos, o desenvolvimento de estratégias individuais e coletivas e a
solidariedade entre os colegas, pois aqueles que tinham facilidade para aprender as dobras se
dispunham a ajudar os outros.
Observamos que seria melhor iniciar o trabalho com origami partindo de dobras mais
simples, como, por exemplo, a construção de polígonos para, depois, introduzir o origami
modular. Assim, o executor estaria mais familiarizado com os diagramas e dobras, sentindo-
se mais seguro para realizar as construções com maior número de elementos. A estética dos
primeiros modelos nem sempre era boa, mas à medida que eles iam repetindo o mesmo
procedimento o trabalho adquiria melhor qualidade, e os alunos orgulhavam-se em exibir suas
construções.
Conforme já citamos, dentro da pesquisa desenvolvemos três momentos específicos,
relacionados às construções fundamentais, ao estudo de alguns polígonos e poliedros. Assim,
particularizamos a seguir os conteúdos que foram ou poderiam ter sido desenvolvidos com os
materiais construídos.
6.1.1 Construções Fundamentais
No caso específico dos problemas propostos para o estudo das construções
fundamentais, dentre os conteúdos que foram ou podem ser desenvolvidos, podemos citar:
• Ponto, reta e plano,
• Retas paralelas e perpendiculares,
• ponto médio,
• mediatriz,
• bissetriz.
Nas atividades propostas na apostila (Anexo 4) fizemos também as construções com
régua e compasso, mas acreditamos que esses mesmos conceitos podem ser trabalhados
somente com o uso das dobraduras, contextualizando o estudo numa perspectiva diferente
para os alunos. Por exemplo, ao se fazer uma dobra em papel constrói-se uma reta. Essa reta
percorre todo o plano (no caso o pedaço de papel utilizado) o que geralmente não fazemos
quando desenhamos uma reta em uma folha de caderno; geralmente ela é menor do que a
extensão desse plano (folha do caderno).
No estudo da bissetriz, ao se fazer à dobra que a representa, o aluno estará sobrepondo
um lado do ângulo sobre o outro, sendo possível constatar que os dois têm a mesma medida,
Capítulo 6 Possibilidades e Limitações
___________________________________________________________________________
140
fato esse imperceptível ao se fazer um desenho. É claro que existem maneiras de se provar
que a construção está correta como, por exemplo, utilizando os conceitos referentes à
congruência de triângulos. Nesta perspectiva o origami difere-se das construções feitas com
régua e compasso devido ao seu apelo visual e manipulativo, o que pode despertar maior
interesse nos alunos, pelo fato de poderem manipular e comprovar visualmente.
6.1.2 Polígonos
Destacamos outros pontos que podem ser focados ao se trabalhar polígonos com
dobraduras:
• divisão e frações,
• semelhança de triângulos,
• ângulos: soma dos ângulos internos de um triângulo, ângulos opostos pelo vértice,
colaterais, correspondentes e alternos.
• incentro, baricentro, circuncentro;
• área de superfícies planas,
• eixos de simetria reflexiva e rotacional,
• razão áurea e retângulo áureo,
• diagonais.
Nas fichas de atividades nos detivemos no estudo dos elementos dos polígonos, das suas
simetrias e ângulos. Contudo, pode-se fazer o estudo de frações e divisões, ao pedir que os
alunos dobrem as figuras em partes iguais e observem as possibilidades que cada tipo de
figura oferece para que se faça isso.
Também podemos levar os alunos a descobrirem as fórmulas para encontrar a área
desses e de outros polígonos, fazendo a decomposição das figuras em outras, das quais se
conhece a área.
O estudo das bissetrizes, alturas e mediatrizes dos triângulos também podem ser feitos
com dobras, levando, assim, os alunos perceberem suas diferenças.
6.1.3 Poliedros
Ao trabalhar com o origami modular, temos mais opções de construções além das dos
poliedros, estudamos também prismas e pirâmides:
• semelhanças e diferenças,
Capítulo 6 Possibilidades e Limitações
___________________________________________________________________________
141
• identificação de seus elementos (arestas, faces, vértices, base),
• composição e decomposição,
• planos e eixos de simetria,
• planificação,
• fórmula de Euler,
• áreas e volume,
• vistas,
• justificativa da existência de apenas cinco sólidos de Platão,
• noções de geometria Esférica.
Construindo os poliedros com origami modular experimentam-se, de uma forma muito
simples, suas propriedades como graus de um vértice, regularidade e simetria.
As construções de prismas e pirâmides são limitadas, mas nem por isso podem deixar de
ser aproveitadas. Podemos construir pirâmides com bases triangulares e quadrangulares. Já os
prismas podem ter todos os tipos de bases (módulos que foram construídos), mas suas laterais
serão sempre quadradas. Com esses materiais é possível fazer planificações das mais diversas,
mostrando que não existe apenas uma seqüência para desmontar os sólidos e, ao mesmo
tempo, indicando que nem todas são válidas.
O trabalho com vistas envolve o desenvolvimento da visão em perspectiva. O aluno
empilha os sólidos (os cubos são os mais indicados para fazer estas edificações) e depois os
desenha, observando-os de diferentes ângulos (laterais, vista superior, em perspectiva).
É importante salientar que todo o trabalho com origami modular é melhor aproveitado
quando realizado em grupo para que a produção dos módulos não se torne cansativa, além do
que, as atividades em grupo trabalham nos alunos o senso de solidariedade.
Mesmo diante de algumas dificuldades e do caráter trabalhoso de se construir os sólidos
com origami, os alunos mostraram-se muito interessados em trabalhar com os poliedros desta
maneira diferente.
Ao utilizar os caleidoscópios podemos fazer a exploração de noções iniciais de
Geometria Esférica, pois em sua construção são necessários estes conceitos. Assim, ângulos
diedrais formados entre os espelhos; o estudo da lei dos cossenos (utilizado para calcular o
ângulo de corte dos espelhos) e tesselações esféricas são alguns dos conteúdos que poderiam
ser abordados. Porém, devido à escassez de tempo, não realizamos tais estudos durante a
Capítulo 6 Possibilidades e Limitações
___________________________________________________________________________
142
aplicação das atividades, o que nos constrangeu porque era uma excelente oportunidade de
tratarmos dessa Geometria que não é muito explanada.
Para se encontrar as dobraduras, que fornecem o visual dos poliedros quando colocadas
no interior do caleidoscópio, é preciso: fazer um intenso estudo das linhas de simetria dos
sólidos, tempo para analisar sua planificação e fazer cálculos de ângulos dos polígonos que o
formam. Para a confecção das dobraduras é preciso ter domínio do software Cabri-Géomètre
II, pois elas envolvem muitos conceitos e exigem bastante atenção do seu executor.
6.2 Limitações
No desenvolvimento desta pesquisa foi possível observar pontos nos quais os materiais
não foram tão eficientes, ou que os problemas apresentados pareceram não contribuir para o
aprendizado dos conceitos propostos. Aliado a isso, percebemos dificuldades e deficiências
nos alunos, que também prejudicaram o andamento das atividades. Assim, procuramos
ressaltar estes pontos e propor possíveis soluções para essas limitações.
No início do trabalho percebemos a dificuldade que os alunos têm em manusear os
papéis, em fazer as dobras e a leitura dos diagramas das dobraduras. Isso reforçou nossa idéia
de que seria mais adequado iniciar o trabalho com construções mais simples, que incluem
poucos passos, e ir, gradualmente, introduzindo construções mais elaboradas, como as
utilizadas no origami modular.
A maioria dos alunos demonstrou insegurança diante do novo. Não ousavam arriscar e
pareciam ter medo de errar. Tiveram dificuldade em interpretar alguns dos problemas, pois
não liam com a atenção necessária e acabavam perguntando o que era para ser feito, qual a
resposta que deveriam dar.
A falta de vocabulário, na hora de escrever as respostas, foi um empecilho no
transcorrer das atividades. Tiveram muita dificuldade em escrever, em utilizar as palavras
corretas para representar suas construções.
Notamos que os alunos, mesmo já cursando uma graduação, apresentam dificuldades
em conceitos que foram, ou deveriam ter sido aprendidos no ensino fundamental e médio.
Isso ficou claro no momento em que precisaram escrever justificativas para as construções. A
falta de familiaridade em realizar demonstrações revelou que essa não é uma prática freqüente
nas escolas.
Capítulo 6 Possibilidades e Limitações
___________________________________________________________________________
143
Observamos, também, que mesmo já tendo construído certas figuras com régua e
compasso, os alunos não conseguiam refazê-las quando solicitado. Isto levou-nos a concluir
que eles podem não ter aprendido realmente, mas apenas decorado os passos para sua
elaboração, e também pode explicar porque não conseguiam justificar as construções que
fizeram, pois não sabendo como construíram, não saberão explanar o que fizeram e nem
porque está correto.
Para que se possa empregar a técnica do origami é preciso ter um número limitado de
alunos, principalmente, se o objetivo for que os grupos trabalhem independentemente. Para se
trabalhar com grupos maiores é preciso fazer um estudo dirigido, no qual o professor
apresenta a construção confeccionando a peça passo a passo com os alunos, é muito
importante que se desenvolva a solidariedade entre eles, a fim de que os que têm mais
facilidade auxiliem os outros colegas. Essa é uma atividade que, no início, exige muito
empenho e perseverança do professor até que os alunos passem a entender os gráficos
utilizados nas construções e adquiram autonomia no desenvolvimento das tarefas.
Para que a construção dos poliedros não demore muito a ser concluída é necessário que
os papéis sejam cortados fora do horário de aula, e nem sempre os alunos estão dispostos a
fazer esse trabalho em casa. Alguns se esquecem de trazer o material, o que atrasa o
andamento das atividades do grupo. Os modelos construídos são frágeis e necessitam de um
espaço adequado para serem guardados, dificultando, assim, que se tenha à disposição essas
construções ao longo do ano.
Com relação à construção do caleidoscópio, ela envolve um custo maior se comparado
ao origami, pois é necessário comprar os espelhos cortados nos tamanhos certos. Apesar de o
preço não ser muito elevado, muitas vezes, é preciso pedir ajuda dos alunos ou da escola para
arcar com estas despesas, o que nem sempre se consegue, principalmente quando nos
deparamos com instituições de ensino não preocupadas em investir no processo de ensino e
aprendizagem.
O maior prejuízo detectado na aplicação das atividades foi mesmo à escassez do tempo.
Como esclarecido anteriormente, nosso trabalho não constava da grade curricular e os alunos
começaram a preocupar-se muito com o espaço que estávamos ocupando em detrimento às
disciplinas que deveriam cursar naquele semestre. Essa preocupação os desestimulou a
concluírem o trabalho, prejudicando a última etapa, na qual faríamos o estudo do
caleidoscópio.
Capítulo 6 Possibilidades e Limitações
___________________________________________________________________________
144
Por ser este um trabalho demorado, ele seria mais bem aproveitado se fosse distribuído
ao longo do ano, ou mesmo de todo o curso. Desse modo, quando possível, os materiais
seriam utilizados à medida que fosse necessário introduzirem-se novos conceitos. Dessa
forma, também, teríamos aperfeiçoado a operacionalização do software Cabri-Géomètre II.
Teria sido muito proveitoso se tivéssemos construído o caleidoscópio com os alunos,
pois teríamos estudado importantes conceitos utilizados em sua confecção. Isso os auxiliaria
no entendimento dos cálculos utilizados para encontrar a medida dos ângulos de corte dos
espelhos, o que seria uma introdução à Geometria Esférica, além de facilitar na confecção das
dobraduras e na percepção de como são gerados os visuais dos poliedros, quando essas peças
são colocadas no interior do caleidoscópio.
Nas atividades propostas sobre o caleidoscópio (Anexo 5) seria mais proveitoso se não
fossem dados os passos para a construção das dobraduras. Os alunos poderiam analisar o
poliedro, fazer a planificação e, então, construir a dobradura, que poderia ser descrita passo a
passo por eles.
Mais especificamente em relação ao origami modular foi possível observar que o tipo
de módulos por nós escolhidos para esta pesquisa (que representam as faces dos poliedros)
não facilitou a compreensão dos planos de simetria. Portanto, em outra aplicação das
atividades, eles poderiam ser trocados por outros tipos de módulos que beneficiam este
estudo, por representarem em sua construção o interior dos sólidos.
Ao relatarmos nossas impressões sobre as possibilidades e limitações do uso do origami
e do caleidoscópio em sala de aula, tivemos a intenção de auxiliar os interessados em aplicar
as atividades propostas em nossa pesquisa, e levantar pontos em que este trabalho possa ser
melhorado em pesquisas futuras.
No capítulo seguinte formulamos as considerações finais a respeito do estudo feito
nesta dissertação, procurando fazer uma sinopse da sua contribuição para a Educação
Matemática.
Considerações Finais
Considerações Finais
___________________________________________________________________________
146
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como já dedicamos o capítulo 6 à análise da utilização do origami e do caleidoscópio
no ensino de Geometria, aqui iremos nos ater a uma apreciação geral sobre o trabalho.
Inserida no campo de pesquisa da Educação Matemática, esta dissertação contribuiu no
sentido de trazer um estudo que enseja o uso de materiais de fácil acesso e construção
simples, que podem ser utilizados em sala de aula. Através de trabalhos que precederam nosso
projeto, pesquisamos a origem desses materiais, sua aplicabilidade, suas contribuições para a
Educação Matemática e as fundamentações matemáticas de sua construção. Reunidas todas as
informações necessárias, elaboramos uma proposta de ensino que contemplou o uso destes
materiais no ensino da Geometria, com sugestão de atividades que usou a resolução de
problemas como metodologia de ensino.
A nossa proposição foi trazer novos materiais para a sala de aula. Não se trata de novos
materiais no sentido de serem usados pela primeira vez ou que ainda não tenham sido postos
em uso. A peculiaridade de nosso trabalho residiu na utilização combinada do origami e do
caleidoscópio generalizado no estudo de alguns conceitos de Geometria, procedimento esse,
pelo que temos conhecimento, ainda não consignado por escrito, além disso, descrevemos a
possibilidade de construir dobraduras para visualizar poliedros em caleidoscópio
generalizados utilizando a técnica do origami (procedimento apresentado no capítulo 3).
Esses dois recursos têm como singularidade comum a capacidade de reproduzir coisas belas,
capazes de promoverem maior atenção e interesse no processo de ensino e aprendizagem.
A questão que foi investigada partiu da seguinte conjectura:
O uso da técnica do origami associada ao caleidoscópio possibilita-nos ensinar
conteúdos matemáticos, principalmente os relacionados à Geometria, ainda mais
quando trabalhados seguindo a metodologia de ensino resolução de problemas.
Tal suposição foi validada ao longo do desenvolvimento desta pesquisa, pois
percebemos que realmente o origami e o caleidoscópio são recursos que podem ser utilizados
de maneira efetiva no ensino de Geometria e da Matemática em geral. Na fuga de um ensino
Considerações Finais
___________________________________________________________________________
147
centrado apenas no aspecto geométrico formal ou axiomático, e na busca do desenvolvimento
de um ensino mais significativo para o aprendiz, estamos realmente convencidos de que o uso
de material manipulável possui um conteúdo de significações que incentivam o seu emprego.
Com planejamento e preparo adequado para a utilização desses recursos, aliados ao
estabelecimento de estratégias de ação, o trabalho extrapola os objetivos de uma simples
atividade lúdica, já que, durante as atividades de aprendizagem, atraídos por aquilo que é
belo, o recurso da experimentação permite aos alunos, além do contato, a formulação de
conjecturas e a exploração de suas características.
Assim, considerando que a Geometria é particularmente propícia para o ensino baseado
na exploração e investigação, as relações de conformidade entre a experimentação e a
formalização devem ser desenvolvidas por meio de situações significativas, que podem ser
construídas usando conexões com idéias e conceitos conhecidos, analogias com outras
situações ou comparações com o dia-a-dia do aluno, pois as idéias geométricas fazem parte de
situações cotidianas.
Por mais que o origami pareça uma técnica rígida, com esquemas de construção pré-
definidos, podemos utilizá-lo para confeccionar materiais manipuláveis que, acreditamos,
conduzem os alunos a descobertas e os auxiliam a generalizarem os conceitos, chegando às
“fórmulas”, sem precisar decorá-las.
Esta pesquisa apresentou uma proposta de atividades, com a elaboração de alguns
problemas para ensinar conteúdos de Geometria relacionados às construções fundamentais,
estudo de polígonos, e poliedros, bem como a matemática que fundamentou esses
procedimentos por meio do origami e do caleidoscópio. Utilizamos os poliedros por
representarem um campo favorável para o estudo de muitos conceitos matemáticos, que são
importantes na formação dos alunos.
Por conseqüência, apesar de não absolutamente completo, mas também não lacônico,
nosso estudo foi suficientemente abrangente para os fins que se destinou. Igualmente, vemos
como perspectiva futura, ser possível o desenvolvimento de uma pesquisa que comprove sua
eficácia com alunos do ensino fundamental e médio, além de aperfeiçoá-lo a fim de se obter
os subsídios necessários para implementação desta proposta em cursos de formação de
professores.
Todavia, não devemos nos intimidar com os óbices que se interpõem em nossa jornada,
para obstar o desenvolvimento do nosso trabalho. São barreiras que podem ser flexibilizadas
Considerações Finais
___________________________________________________________________________
148
e, finalmente, vencidas. Vivenciamos isso, de alguma maneira, em nossa pesquisa.
Observamos que uma das dificuldades, com que se depara um pesquisador ao planejar
desenvolver uma pesquisa que busque mudanças, é a resistência das escolas e professores, que
têm seu cronograma fixado, têm as provas e exames que avaliam a qualidade do ensino com
os quais precisam se preocupar, o que prejudica o trabalho de pesquisa e a exploração de
novos materiais em sala de aula.
O tempo é outro fator preocupante para o pesquisador e idealizador de um trabalho
como este. Temos muitas idéias, sonhamos muito, mas na prática a realidade é bem diferente.
Nem sempre é possível realizar tudo o que programamos. Ao final da pesquisa desenvolvida,
com um estudo desta importância, percebemos que ainda ficaram lacunas por preencher, o
que é considerado normal em estudos de cunho científico, pois é impraticável realizarmos um
trabalho absolutamente completo, que abarque todos os enfoques possíveis.
Assim, seria pretensioso de nossa parte pensar que dissemos, nesse trabalho, o
suficiente sobre a utilização do origami e do caleidoscópio generalizado no ensino e
aprendizagem de alguns conceitos geométricos, pois muito ainda há para ser pesquisado,
discutido e analisado a respeito do assunto. As questões propostas e consideradas em nossa
pesquisa podem ainda ser analisadas de outra forma, talvez, mais sistemática, sendo-lhe
conferido outro tratamento. É possível, por exemplo, fazer um detalhamento maior da parte
matemática, que fundamenta as construções com origami, pois esse não foi nosso principal
foco, e também dar mais ênfase à construção do caleidoscópio, levando a efeito a exploração
de todos os conceitos que podem ser estudados em sua confecção, pois, por absoluta falta de
tempo, este foi um ponto que não conseguimos trabalhar adequadamente.
Há necessidade de uma mudança na postura do educador para facilitar o processo de
ensino e aprendizagem e ajudar a melhorar a relação entre docente e discente. É importante
tomar consciência do quanto é urgente proporcionar aos alunos novas experiências, novos
contactos, novas formas de adquirirem conhecimentos, de aprofundarem conceitos, bem como
novas formas de expressarem sua compreensão.
Finalmente, concluímos que uma mudança na práxis pedagógica é um fator de extrema
relevância para a melhoria do interesse em sala de aula. Ao promovermos aulas diferenciadas,
mais dinâmicas, informais e prazerosas, num clima de camaradagem, os alunos se aplicam
mais a aprender, levando-nos a inferir que, quando não há imposição de idéias e o aluno pode
experimentar para, então, recriar, a aprendizagem se processa de maneira mais efetiva,
eficiente e duradoura, capaz de provocar mudanças, as quais a escola deve promover.
Referências Bibliográficas
Referências BibliográficasReferências Bibliográficas
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Anexos
AnexosAnexos
Anexos
155
Anexo 1
Capítulo da dissertação de Mattos (2001)
Capítulo 6
Correlação entre Procedimentos do Origami e os Procedimentos Realizados com Régua
e Compasso
6.1 Relacionando os Procedimentos Euclideanos com o Origami
Nesta seção, mostramos como as construções Euclideanas por régua e compasso podem
ser realizadas pelas construções por dobraduras Origami. Vamos relacioná-las com certo
cuidado para que fique clara tal possibilidade. Na verdade, tomamos cada um dos cinco
procedimentos Euclideanos realizados por régua e compasso descritos na seção 5.2 e
mostramos a possibilidade de substituí-los por uma combinação dos sete primeiros
procedimentos do Origami descritos na seção 5.3.
Assim enunciamos o seguinte teorema:
Teorema 6.1 Toda construção que pode ser feita por métodos Euclideanos, utilizando
somente régua não marcada e compasso, pode também ser efetuada por métodos que utilizam
os procedimentos elementares das dobraduras Origami. Especificamente, os procedimentos
(E1) a (E5) podem ser substituídos por combinações dos procedimentos (O1) a (O7) do
Origami.
Demonstração. Para provar este teorema, procuramos desenvolver cada passo que
deverá ser executado para realizar as dobraduras do Origami, deixando claro como, em cada
situação, podemos substituir a régua não marcada e o compasso pelas dobraduras no papel.
Tomando primeiramente (E1), podemos observar que este é idêntico ao procedimento
(O4). O primeiro fala em traçar uma reta a partir de dois pontos dados, enquanto o segundo
estabelece que por dois pontos podemos realizar uma dobradura, que forma uma única reta
que contém os dois pontos. Na verdade, podemos notar que o verbo “traçar” foi substituído
156
pelo verbo “dobrar”, e o traçado utilizando a régua foi substituído pelo vinco formado pela
dobradura do papel.
O procedimento (E2) diz que, dados um ponto M e um segmento de reta r, podemos
traçar um único círculo c = {M; r} usando o compasso. Por aplicação direta dos métodos do
Origami não é possível realizar o traçado de um círculo.
Porém, podemos combiná-los de modo que, determinando um número de pontos
pertencentes ao círculo e determinando tangentes a ele, podemos dizer que o círculo fica bem
determinado. Propomos os seguintes passos:
1. Conhecidos o centro M e o raio r = AB, é
possível dobrar A sobre M por (O5), dobrando a
perpendicular bissetora (mediatriz) de
MA
, o que
implica em levar B em B’, e assim temos r =
'
MB
,
figura 6.1.
2. Seja uma reta específica l contendo M. Sobre esta reta dada podemos dobrar o raio
'
MB
, o
que é possível pela realização do procedimento (O3), refletindo B’ através da reta que
determina o ângulo bissetor de
MlB'
∠
. Assim fica determinado o ponto P, situado sobre o
círculo que possui diâmetro sobre a reta l. Podemos também determinar o ponto P’
pertencente ao círculo e diametralmente oposto a P, fazendo a dobradura de l sobre si mesma,
construindo o bissetor do segmento que contém M e leva P em um ponto, que ficará em
posição diametralmente oposta à P, e será denominado P’, figura 6.2.
figura 6.2
3. Dobrar l sobre ela própria de modo a construir uma perpendicular por P é possível pelo
procedimento (O6), como na figura 6.3. Assim, encontraremos a única reta t, perpendicular a
l, que contém P. Como l contém o raio
MP
, a reta t será tangente ao círculo em P. O mesmo
procedimento pode ser feito para o ponto P’, diametralmente oposto a P, como na figura 6.3.
157
Também verificamos uma identidade entre os procedimentos (E3) e (O1). O primeiro
estabelece, a partir de duas retas não paralelas,
21
e ll
, a existência de um único ponto de
interseção P =
21
ll I
, enquanto para o segundo, ao dobrarmos duas retas não paralelas, os
vincos que as formam também determinarão um único ponto de interseção P =
21
ll I
,
construído pelo encontro dos vincos.
O procedimento (E4) diz que, dado um círculo c, conhecidos seu centro M e um ponto
sobre sua circunferência, e dada uma reta l, de modo que a distância entre M e l não é maior
que o raio do círculo r, podemos determinar o(s) ponto(s) de interseção entre l e c. O
procedimento (O7) estabelece que, dado um ponto P e uma reta l, por dobradura podemos
encontrar qualquer tangente a uma parábola com foco P e diretriz l. Como o círculo fica bem
definido se são conhecidos seu centro M e um ponto P sobre sua circunferência, e se é dada
uma reta l satisfazendo às condições acima, os pontos de interseção entre o círculo c e a reta l
podem ser encontrados por dobradura de P sobre l, de modo que o vinco formado pela
dobradura represente uma reta que contém M. Assim, podemos encontrar os pontos de
interseção de um círculo c e uma reta l de modo equivalente ao utilizado para encontrar as
tangentes a uma parábola específica, com foco P e diretriz l. As tangentes às parábolas
contêm um ponto específico Q = M
≠
P, que, neste caso, será o centro do círculo. Isto pode
ser visto na figura 6.4.
158
O procedimento (E5) estabelece que, a partir de dois círculos
}
{
111
;rMc
=
e
}
{
222
;rMc
=
, sempre será possível determinar o(s) ponto(s) de interseção entre
21
e cc , desde
que nenhum dos círculos contenha o centro do outro, e a distância entre seus centros não seja
maior que a soma dos seus raios; ou ainda que um contenha o centro do outro em seu interior,
e a distância entre os centros não seja menor que a diferença dos seus respectivos raios. Os
círculos somente são possíveis no Origami através do conhecimento de pontos específicos
presentes em sua circunferência e de tangentes construídas por estes pontos. Não será possível
com procedimentos diretos do Origami encontrar pontos comuns a dois círculos. No entanto,
é possível encontrar a corda comum de interseção entre dois círculos, transformando então a
realização do procedimento (E5) na realização do procedimento (E4), como pode ser visto na
figura 6.5.
figura 6.5
Sejam dados dois círculos,
21
e cc
, cujos pontos de interseção desejamos determinar.
Tomamos por a a distância entre os centros dos círculos dados, cujos raios são
respectivamente b e c, e tais que a < b+c. Faremos um procedimento algébrico para
determinar a interseção entre os dois círculos dados. Consideraremos, então, que o centro de
um deles esteja na origem de um sistema cartesiano, e que, de acordo com o sistema de
coordenadas escolhido, eixo-x e eixo-y ortogonais, o centro do outro esteja sobre o eixo das
abscissas e possua coordenadas (a, 0). Deste modo suas equações serão dadas por:
(
)
.
2
2
e
222
2222222
22
2
222
a
cba
x
byaxaxcyx
byaxcyx
+−
=⇒
−++−=−+⇒
=+−=+
No desenvolvimento acima, o resultado explicitado para x representa a expressão da
equação da reta vertical que forma a corda comum aos dois círculos considerados. Como
dissemos anteriormente, conseguimos uma redução que leva à solução realizada para o
159
procedimento (E4), pois trata-se da interseção entre a reta l que contém a corda e um dos
círculos. Sabemos, assim, que os pontos comuns entre dois círculos estão sobre uma reta l
perpendicular à reta que contém os centros dos círculos. Esta perpendicular l intercepta a reta
que contém os centros dos círculos a uma determinada distância do centro de um deles. Em
relação ao círculo de raio c, esta distância é dada por:
.
2
222
a
cba +−
Se tomamos o círculo de raio b, esta distância será dada por:
.
2
1
2
222222
a
cba
a
cba
a
−+
=
+−
−
Primeiro verificaremos analiticamente a existência de tal interseção, e, em seguida,
estabeleceremos os passos do Origami que tornam possíveis a construção por dobraduras.
1. Com as distâncias a e c dadas, é possível dobrar um ângulo reto de um triângulo com
catetos a e c. Utilizamos para tal a seguinte combinação de procedimentos:
[(O3);O5);(O6)]. Assim teremos que a hipotenusa de tal triângulo será dada por
22
ca + , o que mostra que esta medida pode ser construída por dobraduras. Para a
figura 6.6, deveremos considerar as seguintes representações para os segmentos:
Pitágoras.por ,
;
;
22
caBC
aAC
cAB
+=⇒
=
=
2. Uma vez que
22
ca + é uma medida que pode ser construída e a distância b é
conhecida, poderemos obter, por dobraduras no papel, um triângulo retângulo de
hipotenusa
22
ca + e cateto b, cujo terceiro lado, de medida
222
cba +− , também
poderá ser obtido a partir da combinação dos procedimentos: [(O3);(O5);(O6);(O7)].
Desse modo, será possível, por dobraduras, construirmos um triângulo retângulo que
160
possui um cateto com a medida deste terceiro lado obtido. Na figura 6.7 deveremos
considerar as seguintes representações para os lados:
Pitágoras.por ,
;
;
222
22
bcaAC
caBC
bAB
−+=
+=
=
3. A partir da medida
222
cba +− construída no passo anterior e de um comprimento
unitário dado, formaremos com estas duas medidas os lados conhecidos de um
triângulo qualquer. Um triângulo semelhante a este pode ser construído por
dobraduras, combinando os procedimentos: [(O2);(O3)]. Nesta construção teremos
um segundo triângulo, cujo lado de comprimento AC =
222
cba +− será
correspondente, por semelhança, ao lado
AB
de comprimento unitário do primeiro
triângulo, formando uma razão de semelhança. Um segundo lado
AE
deste novo
triângulo formará a mesma razão de semelhança com o lado de medida
222
cba +−
do primeiro triângulo. Resolvendo a proporção determinada pelas razões de
semelhanças, temos que este segundo lado do novo triângulo construirá a medida
procurada de valor
222
cba +−
.
Para esta construção consideramos as seguintes medidas na figura 6.8:
.
,
1
;
;1
;
222
222
222
222
222
c
b
a
AE
cba
cba
AE
cbaAC
AB
cbaAD
+
−
=
⇒
+−
=
+−
⇒
+−=
=
+−=
161
4. Podemos realizar a dobradura de um triângulo qualquer onde o lado
AE
será dado por
2a, enquanto um outro lado é dado pelo segmento AC já construído no passo anterior
cujo comprimento é dado por
222
cba +−
. Esta construção é possível pela
combinação dos procedimentos: [(O2);(O3)]. Um triângulo semelhante ao dado pode
ser construído por dobraduras, tendo dois dos seus lados as seguintes medidas:
AD
terá comprimento unitário e formará razão de semelhança com o lado
AE
de medida
2a, do primeiro triângulo. Esta construção é realizada por combinação dos
procedimentos: [(O2);(O3);(O5)]. Assim, o lado correspondente ao lado AC de
comprimento
222
cba +−
, do primeiro triângulo, pela mesma razão de semelhança,
será dado por:
a
cba
AB
2
222
+−
=
que é precisamente o comprimento que queríamos produzir inicialmente.
Na figura 6.9, consideramos as seguintes medidas para os lados dos dois triângulos
construídos:
.
2
,
2
1
;
;2
;1
222
222
222
a
cba
AB
a
cba
AB
cbaAC
aAE
AD
+−
=⇒
=
+−
⇒
+−=
=
=
Proposição 6.1 É possível construir uma reta paralela a uma reta dada, passando por um
ponto conhecido, usando construções realizadas por dobraduras Origami.
162
Demonstração. Dada uma reta l e um ponto P, podemos tomar dois pontos: R e S sobre
l. Usando o procedimento (O4), podemos, por dobraduras realizadas no plano Origami,
construir as retas
21
e ll
, tal que a primeira contém os pontos P e R enquanto a segunda
contém os pontos P e S. Pelo procedimento (O6) podemos dobrar a reta construída l sobre ela
mesma de modo que a dobra construída determinou a reta
3
l
, perpendicular a l e que contém
P. Seja T a interseção entre as retas l e
3
l , T = l ∩
3
l , possível pelo procedimento (O1).
Podemos dobrar o segmento
PS
de modo a determinar a reta
6
l
bissetora a esse segmento,
realizada pelo procedimento (O5). Pelo procedimento (O1) podemos determinar o ponto Q =
6
l
∩
2
l
. Dado os pontos construídos T e Q pelo procedimento (O 4), podemos construir a
reta
4
l
que os contém. Agora dobraremos a reta l sobre ela mesma de modo a obter
5
l , a única
reta perpendicular a l e que contém o ponto S, realizável pelo procedimento (O6). Utilizando
novamente o procedimento (O1), teremos U =
4
l
∩
5
l , construído.
Finalmente podemos utilizar o procedimento (O4), e por P dado, e U construído, dobrar
uma única reta
pPU =
, de modo que p é paralela a reta l e passa pelo ponto P, dados
inicialmente, como pode ser visto na figura 6.10.
163
Anexo 2
Construção do caleidoscópio generalizado
Material:
• Material emborrachado (E.V.A) – para encapar os caleidoscópios
• Cola de contato – para colar o E.V.A. nos espelhos
• Estilete – para cortar o E.V.A.
• Fita crepe – para arranjar os espelhos antes de espalhar a cola
• Espátula ou pincel – para espalhar a cola
• Espelhos cortados em forma de setor circular com mais ou menos 20 cm de raio e
ângulo central de aproximadamente:
180° (2 espelhos)
90° (3 espelhos)
70,53° (1 espelho)
54,73° (3 espelhos)
45° (1 espelho)
37,38° (1 espelho)
35,26° (1 espelho)
31,72° (1 espelho)
20,90° (1 espelho)
O corte em forma de setor circular é uma sugestão, pois não é necessária a forma
arredondada para o efeito pretendido.
Para a construção dos caleidoscópios tomar os seguintes trios de espelhos cortados:
CALEIDOSCÓPIO (90°,60°,60°)
Espelhos de ângulos (70,53°, 54,73°, 54,73°)
CALEIDOSCÓPIO (90°,60°,36°)
Espelhos de ângulos (20,90°, 31,72°, 37,38°)
164
CALEIDOSCÓPIO (90°,60°,45°)
Espelhos de ângulos (35,26°, 45°, 54,73°)
CALEIDOSCÓPIO (90°,90°,90°)
Espelhos de ângulos (90°,90°,90°)
CALEIDOSCÓPIO (90°,90°,180°)
2 Espelhos de ângulos 180°
Articular os trios de espelho de forma a ficarem como uma pirâmide triangular, com as
faces espelhadas voltadas para o interior, e com os lados bem ajustados entre eles para a
formação perfeita dos ângulos.
Depois de devidamente ajustados os espelhos, apoiados num plano,
como mostra a figura ao lado, espalhar a cola de contato no lado opaco
dos espelhos e no material emborrachado (em um tamanho
correspondente ao tamanho dos espelhos que serão encapados). Em
seguida unir as duas superfícies que contêm cola e pressionar por alguns
segundos (de acordo com o uso da cola escolhida), unir os espelhos na
forma de um funil triangular.
figura 1
Procedendo da mesma forma com os outros trios de espelhos, constroem-se todos os
caleidoscópios sugeridos.
figura 2
Na figura 2 tem-se um caleidoscópio pronto, ele forma uma
pirâmide triangular aberta na base, esse exemplo refere-se ao
caleidoscópio de ângulos (90°,60°,60°).
OBS.: Para a confecção do caleidoscópio (90°,90°,180°) é necessário
ter um suporte metálico em forma de L, formando ângulo de 90°. Os
espelhos com 180° de ângulo devem ser fixados a este suporte para
depois serem revestidos com o emborrachado, para que fiquem como
mostra a figura 3.
figura 3
165
Anexo 3
QUESTIONÁRIO
Objetivo: Obter dados para uma investigação a respeito do perfil dos alunos do segundo semestre do
curso de Licenciatura em Matemática.
Pesquisadora: Neirelise Buske Orientador: Claudemir Murari
Instituição: UNESP – Universidade Estadual Paulista – Campus Rio Claro
1 DADOS PESSOAIS
1.1 Nome (opcional):________________________________________________________________
1.2 Sexo ( ) Masculino ( ) Feminino
1.3 Idade
( ) 17 a 20 anos
( ) 21 a 24 anos
( ) 25 a 30 anos
( ) 31 a 40 anos
( ) mais de 40 anos
1.4 Lugar de residência (Cidade) _________________________________________________
1.5 Estado civil
( ) Solteiro ( ) Casado ( ) Divorciado/desquitado ( ) Viúvo ( ) Outros
1.6 Ocupação:
( ) Só estuda ( ) Estuda e trabalha
2 DADOS ACADÊMICOS
2.1 Rede de ensino onde freqüentou o Ensino Fundamental
( ) Pública ( ) Particular
2.2 Rede de ensino onde freqüentou o Ensino Médio
( ) Pública ( ) Particular
2.3 Fez cursinho pré-vestibular?
( ) Sim ( ) Não
3 DADOS PROFISSIONAIS
3.1 Se trabalha, qual é o número de horas semanais trabalhadas? ____________________
3.2 Se trabalha, qual é o horário de trabalho?______________________________________
4 O CURSO E A FACULDADE
4.1 Você entrou na faculdade imediatamente depois de terminado o Ensino Médio?
( ) Sim ( ) Não
Se não, que atividades exerceu neste intervalo de tempo?
___________________________________________________________________________
Se ficou sem estudar, foi por quanto tempo?
_________________________________________________________________________________
4.2 Por que escolheu esse curso?
_________________________________________________________________________________
4.3 Por que escolheu esta Universidade?
_________________________________________________________________________________
166
5 A MATEMÁTICA
5.1 Seus professores costumavam utilizar algum recurso didático para ensinar Matemática? Em caso
afirmativo especifique quais.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
5.2 Você conhece o origami? Imagina que ele pode ser útil no estudo da Matemática? Em caso
afirmativo explicite como.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
5.3 Você sabe o que é um caleidoscópio? Imagina que ele pode ser útil no estudo da Matemática?
Em caso afirmativo explicite como.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
5.4 Você considera importante o estudo da Geometria? Por quê?
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
5.5 Se há mais alguma informação que julga relevante acrescentar, use este espaço.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
Anexo 4
Primeira parte da apostila
168
ATIVIDADES PARA O EN
ATIVIDADES PARA O ENATIVIDADES PARA O EN
ATIVIDADES PARA O ENSINO DE GEOMETRIA
SINO DE GEOMETRIA SINO DE GEOMETRIA
SINO DE GEOMETRIA
UTILIZANDO ORIGAMI E
UTILIZANDO ORIGAMI EUTILIZANDO ORIGAMI E
UTILIZANDO ORIGAMI E CALEIDOSCÓPIOS
CALEIDOSCÓPIOS CALEIDOSCÓPIOS
CALEIDOSCÓPIOS
Elaboração: Neirelise Buske
Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Estadual Paulista - UNESP Rio Claro
169
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS OU ELEMENTARES
Para essas construções usaremos como instrumentos a régua não graduada e o compasso. As construções a seguir
estão fundamentadas em resultados da Geometria Euclidiana Plana.
Antes de iniciarmos as construções vamos elaborar um vocabulário para facilitar as representações.
Interseção: ____________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
Congruente: ___________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
Semelhante: ___________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
Casos de congruência e semelhança de triângulos.
170
Construção de retas
Dados dois pontos distintos A e B, quantas retas, contendo ambos os pontos podemos traçar, utilizando uma
régua? Realize essa construção.
CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
1ª construção - Transporte de Segmentos
Isto significa construir um segmento congruente ao segmento dado com uma de suas extremidades
coincidindo com a origem da semi-reta.
a) Como podemos transportar o segmento
AB
sobre a semi-reta CD dada, com os instrumentos que temos?
Explicar como fez isso.
2ª construção - Transporte de Ângulos
Isto significa construir um ângulo congruente ao ângulo dado tendo a semi-reta como um de seus lados.
Para transportar o ângulo AÔB sobre a semi-reta CX dada:
• Traçar um arco com centro em O e raio r arbitrário, que interseciona os lados OA e OB , nos pontos D e E,
respectivamente.
• Traçar a circunferência C(C,r), que é congruente à circunferência C(O,OE) e que interseciona a semi-reta
CX
num ponto F.
• Traçar a circunferência C(F, DE), que interseciona a circunferência C(C,r) nos pontos G e G’. Escolhemos G.
O ângulo FCG
ˆ
tem como um de seus lados à semi-reta CX , sendo, portanto o ângulo procurado.
a) Justificar essa construção.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
171
3ª construção - Bissetriz de um ângulo
a) Discutir com o grupo e escrever uma definição para bissetriz.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
b) Para traçar a bissetriz de um ângulo AÔB:
• Traçar uma circunferência C(O,r) com raio arbitrário e suficientemente grande, a qual determina os pontos D e E
sobre os lados
OA
e
OB
do ângulo AÔB, respectivamente.
• Traçar C(D,r’) e C(E,r’) com r’ suficientemente grande, e tome o ponto P, um dos pontos da intersecção dessas
duas circunferências.
• A semi-reta
OP
é a bissetriz de AÔB.
c) Provar que esta é a bissetriz do ângulo dado.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
Perpendicularidade
Discutir com o grupo e escrever uma definição para retas perpendiculares.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
4ª construção - Dado o segmento
AB
, traçar duas circunferências C(A,r) e C(B,r), com r maior que a metade da
medida de AB, as quais encontram-se em dois pontos, que chamamos P e Q. Trace a reta m=
PQ
. Marque o ponto
M na interseção da reta m com
AB
. Utilizando o compasso meça a distância entre AM e MB.
a) O que se pode concluir sobre o ponto M?
___________________________________________________
___________________________________________________
b) E sobre a reta perpendicular
PQ
?
___________________________________________________
___________________________________________________
c) Justificar essa construção. ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
172
5ª construção - Construir uma reta perpendicular a uma reta r dada, pelo ponto P dado.
Caso 1.
r
P
∈
Para realizar essa construção determinar um segmento auxiliar
AB
em r, do qual P é o ponto médio. Este segmento
é obtido pela interseção de r com a circunferência C(P,d), com d arbitrário.
A reta s, mediatriz do segmento
AB
é a reta procurada.
a) Justificar essa construção.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
Caso 2.
rP
∉
Marque um ponto A sobre r e trace a circunferência C(P,PA). Se C(P,PA) intersecionar r em apenas um ponto, então
a reta
AP
é a reta perpendicular pedida. Por outro lado, se C(P,PA) intersecionar r também em um outro ponto B,
então, a reta procurada é a mediatriz do segmento
AB
.
a) Justificar essa construção.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
Retas Paralelas
Discutir com o grupo e escrever uma definição para retas paralelas.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
6ª construção - Retas paralelas
Dada uma reta r e um ponto A fora dela, construir por A uma reta paralela à r.
Caso 1.
• Traçar uma reta qualquer por A, que intercepte r em B. Marcar C em r. Temos o ângulo CBA
ˆ
.
• Com vértice em A e tendo
AB
como lado, construir um ângulo congruente a CBA
ˆ
.
• O outro lado desse novo ângulo, que denominaremos
AD
, é paralelo a r.
173
a) Justificar essa construção.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
Caso 2.
• Traçar uma reta qualquer por A que intercepte r em B. Marcar C em r. Temos o ângulo CBA
ˆ
.
• Marcar D sobre
AB
tal que A se encontre, nessa reta, entre B e D.
• Com vértice em A e
AD
como lado, construir um ângulo congruente ao ângulo
CBA
ˆ
.
• O outro lado desse novo ângulo, que denominaremos de
AE
, é paralelo a r.
a) Justificar essa construção.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
Retas tangentes
Discutir com o grupo e escrever uma definição para retas tangentes.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
7ª construção – Reta tangente
Dado um ponto P, numa circunferência, traçar a reta tangente à circunferência por esse ponto.
• Traçar uma reta que passe pelo ponto P e pelo centro da circunferência.
• Construir, por P, uma reta perpendicular a OP .
Essa reta é a tangente à circunferência por P.
a) Justificar essa construção.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
174
PROCEDIMENTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS DO ORIGAMI
Origami é a tradicional arte japonesa de confeccionar figuras por meio de dobras no papel. Etimologicamente
advém do japonês ori (dobrar) e kami (papel).
A construção de um origami, na sua forma mais tradicional, não envolve o uso de cortes nem colagem,
partindo, na maioria das vezes, de um pedaço de papel quadrado. O resultado final depende do corte do papel
utilizado e da confecção de dobras perfeitas, exigindo paciência e concentração do executor ao seguir os passos
indicados na construção de cada figura.
Iremos realizar as atividades fazendo as construções com dobraduras.
1. Construção de retas
Em um pedaço de papel marcar dois pontos. Quantas retas, que passem por esses dois pontos, podem ser
dobradas? Colar aqui a dobradura feita.
2. Bissetriz
• Tomar uma folha de papel e dobrá-la de modo que as bordas da folha não coincidam. Vincar bem.
• Abrir a folha e dobrá-la novamente de forma que não coincida com dobra anterior, mas a intercepte.
a) Escolher um dos ângulos formados pela interseção das linhas e encontrar a sua bissetriz.
b) Descrever como fez essa construção.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
c) Colar aqui sua construção.
175
3. Perpendicularidade
Construir uma reta perpendicular a uma reta r dada, pelo ponto P dado.
Caso 1.
r
P
∈
a) Construir com dobraduras, uma reta r e marcar o ponto P sobre ela. Dobrar a sua perpendicular fazendo com que
ela passe pelo ponto P.
b) Descrever como fez essa construção.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
c) Colar aqui sua construção.
Caso 2.
rP
∉
a) Repetir o processo anterior, mas agora marcando o ponto fora da reta. Dobrar uma perpendicular a reta que passe
por esse ponto.
b) Descrever como fez essa construção.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
c) Colar aqui sua construção.
176
Mediatriz de um segmento.
a) Em uma folha de papel dobrar uma reta. Marcar os pontos A e B. Encontrar a mediatriz desse segmento fazendo
dobras no papel.
b) Descrever como fez essa construção.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
c) Colar aqui sua construção.
4. Retas Paralelas
a) Utilizando as construções anteriores, dobrar um par de retas paralelas.
b) Descrever como fez essa construção.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
c) Colar aqui sua construção.
177
CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS
Tendo feito as construções fundamentais, por meio de dobraduras e com régua e compasso, agora podemos
construir polígonos.
Aqui realizaremos as construções por dobraduras e também utilizando régua e compasso.
Discutir com o grupo e responder: O que são polígonos regulares?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
Quadrado
1. Discutir com o grupo sobre quadrado e escrever uma definição.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
2. É possível construir um quadrado utilizando somente a régua não graduada e o compasso? Se possível, explique
como fez.
3. Sabemos dobrar retas paralelas e perpendiculares. Utilizando esses conhecimentos dobrar um quadrado em um
pedaço qualquer de papel. Representar graficamente essa construção.
4. Realizar a construção anterior partindo de um papel retangular e recortar esse quadrado.
5. Partindo do quadrado construído, quantos polígonos diferentes podem ser dobrados para que cada um tenha a
metade da área do quadrado original? Fazer quantas dobras julgar necessário. ______________________________
178
6. Representar, com desenhos, as dobras anteriores em que houve sobreposição das metades.
10. Se pudermos dobrar uma figura por uma linha que a divide ao meio unindo suas pontas, diz-se que esta figura
tem simetria reflexiva, onde o eixo de simetria é dado pela dobra feita. Pegue outro quadrado e dobre-o a fim de
encontrar seus eixos de simetria.
a) Desenhar essas linhas no quadrado construído com a régua.
b) Quantos eixos de simetria reflexiva o quadrado tem? ______________________________________
c) Descrever esses eixos de simetria.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
d) Dobrar o quadrado sobre qualquer eixo de simetria. Qual é a área do novo polígono comparada com o quadrado
original? Escrever conjeturas baseadas nos resultados sobre o eixo de simetria reflexiva.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
10. Se pudermos fazer a rotação de uma figura em torno de um ponto e a imagem dessa figura coincidir com a figura
original após uma volta de 360º, então se diz que essa figura tem simetria rotacional. A letra Z tem duas dobras de
simetria rotacional porque quando é girada 180º e 360º sobre o centro de rotação, a imagem coincide duas vezes
com a figura original.
a) Recortar um quadrado de 3 cm de lado e desenhá-lo no espaço ao lado.
Marcar A no canto superior esquerdo do quadrado recortado. Quantas vezes
podemos girar o papel em 90º até o A voltar ao seu lugar de origem?
____________________________________________
b) Descrever a simetria rotacional do quadrado.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
179
Retângulo Áureo
1. Discutir com o grupo e escrever seus conhecimentos sobre razão áurea.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
2. Apresentar para turma as conclusões a que chegaram.
3. Para construir o retângulo áureo, com régua e compasso:
• Tomar um quadrado de lado
AB
, marcar o ponto médio M desse lado.
• Prolongar o segmento
AB
no sentido de A para B.
• Seja P um ponto sobre esse prolongamento tal que a medida de
MP
seja igual à medida de MC .
a) Como determinar esse ponto P? _________________________________________________________________
• Complete o desenho construindo um retângulo de comprimento AP e largura AB.
4. Verificar se esse retângulo é áureo. Explique como fez isso.
180
5. Construção do retângulo áureo por dobraduras. Baseada na construção feita por Kasahara (2005, p. 72)
1. Dobrar
2. Dobrar para frente
marcando a diagonal deste
retângulo.
3. Abrir o papel.
4. Dobrar a bissetriz do
ângulo mostrado na figura
5. Virar completamente a
figura para que fique como
mostra o passo seguinte.
6. Dobrar esta parte para
frente marcando uma
dobra perpendicular a base
da figura
7. Figura formada após
feita a dobra.
8. A parte escura é o
retângulo procurado
Colar sua construção aqui.
6. Observar a figura abaixo. Encontrar o valor de x e verificar se esse retângulo é realmente o retângulo áureo.
181
Triângulo eqüilátero
1. Discutir com o grupo sobre triângulo eqüilátero e escrever uma definição.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
2. Construir um triângulo eqüilátero utilizando régua e compasso. Escrever os passos seguidos para realizar essa
construção.
3. Construir um triângulo eqüilátero por dobraduras. Construção retirada de Franco (1999, p. 42)
1. Dobrar e desdobrar.
2. Dobrar um ponto sobre o
outro. Esta dobra mostra que o
lado tem o mesmo tamanho da
base.
3. Dobrar para frente e
desdobrar.
4. Abrir.
5. Dobrar fazendo os dois
pontos coincidirem.
6. Dobrar para frente e
desdobrar.
7. Abrir.
8. Triângulo eqüilátero
pronto.
4. Como provar que este triângulo construído com dobraduras é eqüilátero?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
5. Recortar o triângulo construído. Fazer dobras nele para encontrar seus eixos de simetria reflexiva
6. Quantos eixos de simetria reflexiva o triângulo tem? ____________________________________
a) Traçar no triângulo desenhado esses eixos.
b) Descrever esses eixos de simetria.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
182
7. Descrever a simetria rotacional do triângulo.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
8. Construir um triângulo qualquer, o qual deve ser recortado. Qual é o valor da soma dos ângulos internos desse
triângulo? Como proceder para provar sua afirmação utilizando dobras?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
9. Colar sua construção aqui.
Hexágono regular
1. Discutir com o grupo sobre hexágono regular e escrever uma definição.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
2. Construir um hexágono regular utilizando régua e compasso. Escrever os passos seguidos para realizar essa
construção.
3. Partindo de um triângulo eqüilátero construir um hexágono regular por meio de dobraduras.
4. Escrever as instruções para realizar essa construção.
183
5. Recortar o hexágono construído com dobraduras. Como provar que este hexágono construído com dobraduras é
regular?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
6. Fazer dobras no hexágono recortado para descobrir quantos eixos de simetria reflexiva ele tem.
______________________________________________________________________________________________
a) Marcar esses eixos no hexágono desenhado.
b) Descrever esses eixos de simetria.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
8. Descrever a simetria rotacional do hexágono.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
Pentágono regular
1. Discutir com o grupo sobre pentágono regular e escrever uma definição.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
2. Para construir um pentágono regular utilizando régua e compasso.
• Construir um retângulo áureo.
• Tomar o comprimento do retângulo como raio e traçar uma circunferência.
• Dividir a circunferência em cinco partes iguais tomando como medida a diagonal do retângulo áureo construído
anteriormente, que é a hipotenusa do triangulo retângulo que tem por catetos o comprimento desse retângulo (raio da
circunferência) e o segmento áureo deste raio (largura do retângulo) .
184
3. Para construir um pentágono regular por dobraduras: Construção retirada de Franco (1999, p. 46)
1. Dobrar a diagonal.
2. Dobrar ao meio e desdobrar.
3. Marcar o ponto médio do segmento
AB
, dobrando e desdobrando. Chamar
esse ponto médio de D.
4. Marcar o ponto médio do segmento
AD
dobrando e desdobrando.
Chamar esse ponto médio de E.
5. Dobrar e desdobrar para
marcar a reta que une os pontos
E e F.
6. Dobrar a bissetriz do ângulo
B
F
E
ˆ
.
7. Dobrar para frente e marcar a
bissetriz do ângulo GFC
ˆ
.
8. Dobrar a ponta produzida pela
dobra anterior ao longo do
segmento
FE
.
9. Dobrar para trás todo o lado direito
do segmento
FE
.
10. Dobre todas as camadas. Essa dobra
deve passar pelo ponto G e ser
perpendicular ao lado esquerdo da figura.
11. Desdobrar o papel.
4. Recortar o pentágono construído com dobraduras. Como provar que este pentágono é regular?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
5. Será possível colorir o papel desdobrado com apenas duas cores, sem as repetir lado a lado?
______________________________________________________________________________________________
6. Discutir com seus colegas sobre diagonais e escrever uma definição.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
185
7. As dobras feitas na construção do pentágono coincidem com as suas diagonais? Explicar porque sim ou porque
não. Como descrever essas dobras?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
8. Desenhar as diagonais do pentágono construído com régua e compasso.
a) Quantas diagonais têm? ________________________________________________________________________
b) Descrever a figura formada pelas diagonais. ________________________________________________________
9. No esquema abaixo marcar a medida de cada ângulo determinado pelas dobras do pentágono regular.
10. Fazer a soma dos ângulos alternados em torno de cada vértice. Que resultados foram encontrados? Qual a
quantidade de ângulos em cada vértice?
11. Quantos eixos de simetria reflexiva o pentágono tem? _______________________________________________
a) Descrever esses eixos de simetria.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
12. Descrever a simetria rotacional do pentágono.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
13. Colar aqui sua construção.
186
Octógono regular
1. Discutir com o grupo sobre octógono regular e escrever uma definição.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
2. Construir um octógono regular utilizando régua e compasso. Escrever os passos seguidos para realizar essa
construção.
3. Para construir um octógono com dobraduras, fazemos a bisseção de um quadrado:
• Construir um quadrado.
• Dobrar as linhas de simetria do quadrado.
• Dobrar as bissetrizes dos ângulos formados pelas linhas de simetria do quadrado.
• O encontro das bissetrizes com os lados do quadrado formam os vértices do octógono.
4. Recortar o octógono construído com dobraduras. Como provar que ele é regular?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
5. Quantos eixos de simetria reflexiva o octógono tem? ________________________________________________
a) Descrever esses eixos de simetria.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
6. Descrever a simetria rotacional do octógono.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
7. Colar aqui sua construção.
187
Preencher o quadro abaixo de acordo com as descobertas feitas durante a construção dos polígonos regulares.
Nome do polígono
regular
Número de
vértices
Número de
lados
Número de eixos de
simetria
Simetria rotacional
QUADRADO
TRIÂNGULO EQUIL.
HEXÁGONO
PENTÁGONO
OCTÓGONO
Observe o quadro e faça conjeturas sobre a simetria reflexiva de polígonos com n lados.
BIBLIOGRAFIA
FRANCO, B. Unfolding Mathematics with Unit Origami. Emerville, CA: Key Curriculum Press, 1999.
IMENES, L. M. Vivendo a Matemática: Geometria das dobraduras. São Paulo: Scipione, 1988.
KASAHARA, K. Origami Omnibus. Paper folding for everybody. 20. ed. Tokyo, New York: Japan Publications, 2005.
MATTOS, F. R. P. Números Construtíveis por Dobraduras ou Reflexões. Dissertação de Mestrado em
Matemática Aplicada – IM/UFRJ, Rio de Janeiro, 2001.
MURARI, C. Apostila: Construções Geométricas Fundamentais, 2004 (impresso).
NOVAES, J. A. Frações e Geometria com Dobradura de Papel. Anais do III Congresso Internacional de Ensino da
Matemática. Minicurso. ULBRA – Canoas, 2005.
REZENDE, E. Q. F. e QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas.
Campinas: Editora da UNICAMP, 2000.
188
Anexo 5
Segunda parte da apostila
189
ORIGAMI MODULAR
O Origami pode ser caracterizado pela quantia de peças de papel utilizadas em sua confecção, o tradicional utiliza
apenas uma peça e o modular se baseia na construção de módulos ou unidades (quase sempre iguais) que formam
figuras ao serem encaixadas.
Para se chegar ao módulo partimos de um papel quadrado que após ser dobrado, de acordo com os passos
indicados para cada tipo de módulo (triangular, quadrangular, pentagonal...), resulta em um polígono com bolsos de
encaixe.
Para unir um módulo a outro é necessário construir peças de conexão, ou seja, abas que ao serem introduzidas
nos bolsos fazem à união dos módulos. Com a interligação dos módulos podemos construir sólidos.
PROPORÇÕES DOS QUADRADOS UTILIZADOS NA CONSTRUÇÃO DOS MÓDULOS
Para que se obtenham módulos de lados congruentes, que possam ser encaixados uns aos outros, em sua
construção é necessário o uso de diferentes tamanhos de papéis.
Quanto mais ângulos tiver a figura, maior deve ser o papel utilizado em sua construção.
O quadrado original será utilizado na construção do módulo pentagonal e o quadrado obtido pelas dobras
realizadas será utilizado na construção do módulo triangular e quadrangular.
Não iremos apresentar os passos para realizar essa construção, mas eles seguem a seqüência da construção
do retângulo áureo visto anteriormente.
FIGURA 1 FIGURA 2
A parte representada pelo quadrado menor pintado (fig. 2) é o tamanho do papel, que será utilizado na
construção do módulo triangular e quadrangular, em comparação com o utilizado na construção do módulo
pentagonal (fig. 1).
190
CONSTRUÇÃO DOS MÓDULOS
Iremos construir os módulos utilizando papéis de diferentes cores e partindo sempre de um pedaço de papel
quadrado. Esses módulos, depois de construídos, terão bolsos, nas laterais, que servem para o encaixe das peças de
conexão (que serão construídas logo a seguir).
Construção do módulo triangular (baseada em Kasahara (1997, p. 284-285).)
1. Dobrar e desdobrar
2. Dobrar um ponto sobre o
outro. Dobrar a aba superior
e desdobrar a inferior.
3. Dobrar um ponto sobre
o outro, tendo atenção
com os pontos maiores
marcados.
4. Dobrar um ponto sobre o
outro, para frente.
5. Dobrar um ponto
sobre o outro,
seguindo a seta, e
dobrar a abinha para
frente.
6. Dobrar a aba para dentro
do bolso formado.
7. Dobradura completa.
Construção do módulo quadrangular
1. Dobrar e desdobrar marcando o
vinco
2. Dobrar as pontas até o centro
3. Dobrar e desdobrar marcando
o vinco
4. Abrir
5. Dobrar para dentro
6. Fazer o mesmo do outro lado.
7. A face está pronta. Neste caso, os encaixes já estão ligados às faces.
Construção realizada por Kasahara (1997, p.254).
bolsos
bolsos
bolsos
191
Módulo pentagonal
1. Dobrar.
2. Dobrar para frente marcando a
diagonal deste retângulo.
3. Dobrar e desdobrar a aba
superior.
4. Abrir a figura. Dobrar uma
perpendicular a base que
passe pelo ponto assinalado.
5. Dobrar seguindo a seta.
6. Dobrar puxando para frente.
7. O lado marcado pelos pontos
a e b deve estar paralelo ao
lado maior. Dobrar as pontas
para trás e desdobrar, de
acordo com as setas. Abrir.
8. Virar a figura. Dobrar pelo vértice
superior e pelos pontos a e b
marcados anteriormente.
9. Figura pronta
Seguindo os passos 1 – 10 encontramos o pentágono, a partir deste pentágono
construímos o módulo pentagonal.
1.Colocar a peça nessa posição.
2. Dobrar e desdobrar nos eixos de
simetria do pentágono.
3. Dobrar o lado do pentágono até o
centro da figura.
192
4. Dobrar ao meio a aba encontrada
pela dobra anterior. Abrir.
5. Repetir os passos 3 e 4 dobrando
todos os lados da figura.
6. Dobrar os lados sobre a linha da
dobra feita no passo 3, para
encontrar a figura mostrada a
seguir.
7. Dobrar para frente, pelas dobras
feitas no passo 4, para encontrar a
figura da etapa seguinte.
8. Dobrar as abinhas formadas para
frente.
9. Introduzir as abas nos bolsos
formados em cada lado da figura.
Módulo pronto, com bolsos de encaixe em todos os lados.
Construção retirada de Kasahara (1997, p. 280-284).
Peça de conexão
Esta peça serve para unir um módulo ao outro, pois a construção do Origami não pode envolver o uso de cola.
A área do quadrado usado na construção desta peça corresponde a
4
1
da área do
papel utilizado para construir as faces do módulo triangular.
1. Dobrar o papel em quatro partes e desdobrar.
2. Dobrar as pontas até o centro do papel.
3. Peça pronta para o encaixe.
4. Para utilizar a mesma peça de conexão no encaixe
dos módulos pentagonais basta fazer uma dobra em
dois dos vértices da peça de conexão.
conexão
encaixe
face
193
ENCAIXANDO OS MÓDULOS
1. Utilizando os módulos confeccionados, como juntá-los de maneira a formar “bicos”? Inicialmente utilizar somente
os módulos iguais em um mesmo “bico”.
2. Quantos “bicos” diferentes podemos formar:
a) usando triângulos? _______________________
b) usando quadrados?_______________________
c) usando pentágonos?______________________
3. Construir sólidos partindo dos “bicos” confeccionados, fazendo com que todos os “bicos” do sólido sejam iguais.
Utilize o maior número de cores sem repeti-las lado a lado.
a) Quantos sólidos foram construídos, utilizando somente módulos triangulares? __________________________
b) Quantos sólidos foram construídos, utilizando somente módulos quadrangulares? _______________________
c) Quantos sólidos foram construídos, utilizando somente módulos pentagonais?__________________________
Esses sólidos construídos são chamados de poliedros regulares ou poliedros de Platão.
4. Que relação pode-se observar, entre os polígonos regulares e os poliedros regulares.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
5. Um polígono tem dois elementos básicos: lados e vértices. Observar os poliedros construídos e descrever seus
três elementos básicos.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
6. Discutir com o grupo e escrever uma definição para poliedros de Platão.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
7. Nomeando os poliedros construídos:
Nome dos poliedros Número de faces Forma das faces
194
CARACTERÍSTICAS DOS POLIEDROS DE PLATÃO OU POLIEDROS REGULARES
Tetraedro
1. Quantas faces foram necessárias para a construção do tetraedro? ______E quantas peças de conexão?______
2. O que essas peças de conexão representam? ____________________________________________________
3. Quantos vértices e arestas têm o tetraedro? ______________________________________________________
4. Cada vértice do tetraedro une quantos polígonos? De quais tipos? ____________________________________
5. Qual a soma dos ângulos dos polígonos em cada vértice? __________________________________________
6. O tetraedro possui planos de simetria? Traçar as linhas que correspondem ao local onde os planos de simetria
cortam o tetraedro. Quantos planos foram encontrados? _________________________
7. Usar palitos de churrasco para encontrar os eixos de simetria rotacional do tetraedro. Quantos eixos de simetria ele
tem? Descrever esses eixos. _________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Hexaedro ou Cubo
1. Quantas faces foram necessárias para a construção do cubo? _________________________
2. Quantos vértices e arestas têm o cubo? _________________________________________________________
3. Cada vértice do cubo une quantos polígonos? De que tipo? _________________________________________
4. Qual a soma dos ângulos dos polígonos em cada vértice? __________________________________________
5. Traçar as linhas que correspondem ao local onde os planos de simetria cortam o cubo. Quantos planos foram
encontrados? _________________________
6. Quantos eixos de simetria o cubo tem? Descrever esses eixos.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Octaedro
1. Quantas faces foram necessárias para a construção do octaedro? __________________
2. Desafio: Encontrar uma maneira de calcular quantas arestas tem o octaedro sem contá-las. Fazer com que essa
equação tenha validade para calcular as arestas de todos os poliedros regulares.
3. Cada vértice do octaedro une quantos polígonos? _____________________________
4. Qual a soma dos ângulos dos polígonos em cada vértice? __________________________________
5. Traçar as linhas que correspondem ao local onde os planos de simetria cortam o octaedro. Quantos planos foram
encontrados? _________________________
6. Quantos eixos de simetria o octaedro tem? Descrever esses eixos.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
195
Dodecaedro
1. Quantas faces foram necessárias para a construção do dodecaedro? ___________________________
2. Quantos vértices e arestas têm o dodecaedro? ___________________________________________________
3. Cada vértice do dodecaedro une quantos polígonos? ______________________________________________
4. Qual a soma dos ângulos dos polígonos em cada vértice? __________________________________________
5. Traçar as linhas que correspondem ao local onde os planos de simetria cortam o dodecaedro. Quantos planos
foram encontrados? _________________________
6. Quantos eixos de simetria o dodecaedro tem? Descrever esses eixos.
___________________________________________________________________________________________
Icosaedro
1. Quantas faces foram necessárias para a construção do icosaedro? ________________________
2. Quantos vértices e arestas têm o icosaedro? ____________________________________________________
3. Cada vértice do icosaedro une quantos polígonos? ________________________________________________
4. Qual a soma dos ângulos dos polígonos em cada vértice?___________________________________________
5. Traçar as linhas que correspondem ao local onde os planos de simetria cortam o icosaedro. Quantos planos foram
encontrados? _________________________
6. Quantos eixos de simetria o icosaedro tem? Descrever esses eixos.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Completar o quadro e responder:
Número
de
faces
Número
de
arestas
Número
de
vértices
Forma das
faces
Número de
arestas que
convergem para
cada vértice
Soma dos
ângulos dos
polígonos em
cada vértice
TETRAEDRO
HEXAEDRO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
a) Existe alguma relação entre o número de faces, vértices e arestas de cada poliedro? Observe o quadro e tente
identificá-la.
b) Expresse essa relação em forma de equação.
ALGUMAS DESCOBERTAS
1. Construir hexágonos e octógonos com dobraduras. Utilizando estes polígonos é possível construir o vértice de
algum poliedro regular?
2. Justificar porque conseguiu, ou não, fazer estas construções.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
196
3. Tomando a construção anterior e as respostas do quadro, sobre a soma dos ângulos dos polígonos em cada
vértice, o que você pode afirmar?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
CONSTRUÇÃO DE VÉRTICES DE POLIEDROS UTILIZANDO DIFERENTES POLÍGONOS
1. Construir vértices de poliedros utilizando os diferentes módulos confeccionados. Quais combinações foram
possíveis fazer? Descrever cada vértice construído.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
2. É possível construir poliedros com esses vértices, mantendo a propriedade de que todos os vértices sejam iguais,
isto é, tenham os mesmos polígonos? Descrever os poliedros construídos.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Esses sólidos construídos são chamados de poliedros de Arquimedes ou poliedros semi-regulares.
3. Quais as semelhanças entre esses sólidos e os sólidos platônicos?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
4. Observando os poliedros construídos escrever uma definição para poliedros de Arquimedes.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
197
POLIEDROS DE ARQUIMEDES
Sólidos de Arquimedes v a f3 f4 f5 f6 f8
f10
Configuração do
vértice
Tetraedro truncado 12 18 4 - - 4 - - (3,6,6)
Cubo truncado 24 36 8 - - - 6 - (3,8,8)
Octaedro truncado 24 36 - 6 - 8 - - (4,6,6)
Cuboctaedro 12 24 8 6 - - - - (3,4,3,4)
Rombicuboctaedro 24 48 8 18
- - - - (3,4,4,4)
Cuboctaedro truncado 48 72 - 12
- 8 6 - (4,6,8)
Cubo achatado 24 60 32
6 - - - - (3,3,3,3,4)
Dodecaedro truncado 60 90 20
- - - - 12 (3,10,10)
Icosaedro truncado 60 90 - - 12
20
- - (5,6,6)
Icosidodecaedro 30 60 20
- 12
- - - (3,5,3,5)
Rombicosidodecaedro 60 120
20
30
12
- - - (3,4,5,4)
Icosidodecaedro
truncado
120
180
- 30
- 20
- 12
(4,6,10)
Dodecaedro achatado 60 150
80
- 12
- - - (3,3,3,3,5)
• v = #vértices
• a = #arestas
• fn = #faces representadas por polígonos de n lados
CALEIDOSCÓPIOS
Os caleidoscópios são instrumentos formados pela articulação de dois ou mais espelhos, devidamente
ajustados, de modo a fornecer imagens repetidas e perfeitas. “A combinação de espelhos produz o efeito da
multiplicação da imagem, criando uma rede de imagens formadas pela conexão entre o ângulo dos espelhos e o
número de imagens formadas.” (BATISTELA, 2005, p. 34)
Seu nome é derivado do grego, kalos (belo), eidos (aspecto) e skopien (ver) é, essencialmente, um dispositivo
geométrico que produz formas pela reflexão simétrica.
O ajuste dos espelhos dos caleidoscópios é dado conforme o estudo que se pretende praticar e os objetos a
visualizar. Assim, podemos ter caleidoscópios Planos ou caleidoscópios Generalizados. A descrição da construção e
utilização dos caleidoscópios Planos pode ser encontrada em Murari (1999), Almeida (2003), Martins (2003) e
Batistela (2005). Aqui faremos uma descrição simplificada dos caleidoscópios Generalizados.
CALEIDOSCÓPIOS GENERALIZADOS
Se considerarmos um conjunto de três espelhos triangulares planos, sendo um horizontal ao plano, e os outros
dois articulados de maneira a formarem uma pirâmide triangular (aberta na base), tais espelhos se constituirão num
triedro de espelhos. Assim, temos três ângulos diedrais que são
n
e
m
l
π
π
π
, e que determinarão a posição de cada
espelho, para formar o caleidoscópio Especial ou Generalizado.
Desde que, para espelhos planos, um objeto e imagem são eqüidistantes do plano do espelho, pode-se
concluir que todas as imagens de um ponto no caleidoscópio generalizado pertencem a uma esfera, cujo centro é o
198
ponto de intersecção dos planos dos três espelhos. Sobre a esfera, estes planos cortam-se formando um triângulo
esférico, de ângulos
n
e
m
l
π
π
π
, .
O resultado das reflexões dos espelhos do triângulo esférico é a divisão da esfera toda em uma rede de tais
triângulos, contendo imagens de qualquer objeto colocado dentro do primeiro triângulo. Tomando o raio da esfera
como unitário, a área da esfera é 4
π
, enquanto que a área de cada triângulo é
π
πππ
−
+
+
nml
. Dessa
forma, temos:
)(
1n1m1l1π
4π
−++
> 0
⇒
1
111
−++
n
m
l
> 0 cujo conjunto solução são as ternas (2,2,n), (2,3,3),
(2,3,4) e (2,3,5).
Neste caso temos três tipos de caleidoscópios bem definidos e um que varia conforme o valor atribuído a n.
Suas construções devem ser feitas observando-se que os ângulos são as medidas dos lados do triângulo esférico de
ângulos
n
e
m
l
π
π
π
, . Dos casos em que os valores estão definidos temos, então, os ângulos respectivos
cba
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
, os
quais irão determinar a maneira como os espelhos deverão ser cortados para a formação dos caleidoscópios
generalizados que, no caso, são: (54°44’, 54°44’, 70°32’); (35°16’, 45°, 54°44’) e (20°54’, 31°43’, 37°23’).
Os ângulos
BA
ˆ
,
ˆ
e C
ˆ
externos (diedrais) correspondentes são:
• para a terna (l,m,n) = (2,3,3), temos os ângulos
A
ˆ
= 90°;
B
ˆ
= 60° e
C
ˆ
= 60°;
• para a terna (l,m,n) = (2,3,4), temos os ângulos
A
ˆ
= 90°;
B
ˆ
= 60° e C
ˆ
= 45° e
• para a terna (l,m,n) = (2,3,5), temos os ângulos
A
ˆ
= 90°;
B
ˆ
= 60° e C
ˆ
= 36°.
Apresentamos também duas das formas possíveis obtidas da terna (2, 2, n). Para n=1 e n=2, teremos,
respectivamente, os ângulos externos ( CeBA
ˆ
ˆ
,
ˆ
) com valores (90°, 90°, 180°) e (90°, 90°, 90°). Os ângulos internos
(
cba
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
), obtidos pela lei dos cossenos, valem para n=1
⇒
(90°, 90°, 180°) e n=2
⇒
(90°, 90°, 90°).
CONSTRUÇÃO DE DOBRADURAS PARA VISUALIZAÇÃO DOS POLIEDROS
Nesse estudo estamos utilizamos os caleidoscópios Generalizados para visualizar os poliedros regulares e
semi-regulares, faremos isso por meio da construção de dobraduras que quando colocadas entre o ângulo sólido
formado pelos três espelhos, permitirá a visualização do poliedro escolhido.
As dobraduras
para visualização dos poliedros devem ser construídas apropriadamente, para que apenas os
pontos vértices dos poliedros estejam sobre a esfera. Assim, na sua construção, há necessidade
de atentar para os polígonos que formam o poliedro. Tais polígonos, quando desenhados, farão
parte da dobradura planificada. Esta passará por dobras e recortes para um ajuste perpendicular
dos lados da mesma aos espelhos, e, consequentemente, para gerar o visual perfeito do poliedro.
(BATISTELA, 2005, p. 110)
Nem todos esses poliedros podem ser visualizados em caleidoscópios. Se forem inflados, os poliedros gerarão
tesselações esféricas em suas superfícies. Somente quando essas tesselações apresentam linhas de simetria é que
podemos construir as dobraduras para que os poliedros sejam vistos nos espelhos.
Apresentamos o passo a passo a construção gráfica com o software Cabri-géometrè II de duas dobraduras que
possibilitam a visualização dos poliedros semi-regulares: (3,4,5,4) o Rombicosidodecaedro e (4,6,8) o Cuboctaedro
truncado.
199
Construção da dobradura para visualização do sólido (4,6,8) com o software Cabri-géometrè II
Para construção dessa dobradura os seguintes passos devem ser seguidos (construção feita por Batistela,
2005):
1) Construir um octógono regular (polígono regular). Nomear o ponto central como O” (rótulo).
2) A partir da base do octógono, indicada por AB, desenhar um quadrado. Para isso traçar a reta s perpendicular ao
lado AB por A e a reta t, perpendicular a AB por B (reta perpendicular). Fazer duas circunferências de raio AB: uma
com centro em A e outra com centro em B (circunferência). Determinar os pontos D e C, respectivamente, sobre as
retas s e t. unir os ponto A, B, C e D (polígono) para obter o quadrado ABCD.
3) Construir duas circunferências com raio AB e centros em B e C (circunferência), para obter o ponto fora do
quadrado, na interseção das duas circunferências, que deve ser rotulado por O’ (rótulo). Fazer uma circunferência de
centro O’ e raio O’B para obter os ponto L e P (rótulo). Construir outras duas circunferências com centros, agora em
L e P e raio AB=O’L=O’P, para obter os pontos M e N, que são também vértices do hexágono regular de centro O’ .
Unir os pontos B, L, M, N, P e C com a ferramenta polígono para obter o hexágono.
4) Obter o ponto médio do lado AB do quadrado (ponto médio). Construir a reta u passando pelo ponto O” do
octógono e pelo ponto médio encontrado (reta). Construir o simétrico do hexágono em relação à reta u (simetria
axial). Rotular como O , o ponto simétrico do centro do hexágono.
5) Unir O a O’ (segmento) e a partir de O, O’ e O” ; baixar as perpendiculares aos lados dos polígonos, contendo os
vértices A e B (reta perpendicular), obtendo os pontos E, F, G e H.
A figura geométrica formada pelos polígonos BAGO”HB e OO”FBAEO é a planificação da dobradura. Depois
de recortada, é preciso unir, por exemplo, através de uma fita adesiva) G a E e H a F para que a dobradura se
ajuste perfeitamente aos espelhos.
O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°, 60°, 60°).
Construção da dobradura para visualização do sólido (3,4,5,4) com o software Cabri-géometrè II
Para construção dessa dobradura os seguintes passos devem ser seguidos (construção feita pro Batistela,
2005):
1) Construir um pentágono regular ABCDE (polígono regular), e nomear o centro deste por Q (rótulo).
2) A partir dos lados AB e AE do pentágono, construir dois quadrados. Traçar as retas s, t, u e v perpendiculares aos
respectivos lados pelos pontos A, B e E (reta perpendicular). Fazer duas circunferências com raio AB e centros em A
e B para determinar os pontos nomeados por F, I e G (ponto e rótulo) sobre as retas u, v e t, respectivamente. Com
raio AE e centro em E, fazer uma circunferência para obter H (ponto e rótulo) sobre a reta s. unir os pontos A, B, I, F e
A; e depois A, G, H, E e A (polígono) para obter os quadrados de centro P e O (ponto e rótulo). Os centros dos
quadrados são obtidos pela interseção de suas diagonais.
3) A partir do vértice A e do lado AG do quadrado de centro O, construir o triangulo eqüilátero AGR
∆
de centro T;
onde o ponto R é determinado pela interseção das circunferências de raio AG com centro em A e em G
(circunferência, ponto e polígono); e o centro T é obtido pela interseção das bissetrizes do
AGR
∆
(bissetriz, ponto e
rótulo).
4) Encontrar os pontos médios de AF e de AR, rotulando-os como M e N (ponto médio e rótulo).
5) Com a ferramenta (polígono) unir os pontos A,M, P, Q, A e A, t, N, A, para traçar a dobradura procurada.
6) Usando a ferramenta (preencher) pode-se colorir as partes dos polígonos que formam a dobradura.
Recortar, colar e dobrar a construção feita para que todos os seus lados fiquem perpendiculares a todos os
espelhos. O visual desse poliedro é fornecido pelo caleidoscópio Generalizado de ângulos (90°, 60°, 36°).
200
Atividade:
De posse dos poliedros construídos, observar as linhas de simetria traçadas neles e fazer conjeturas sobre
quais seriam as porções que quando colocadas no interior dos caleidoscópios poderiam fornecer o visual desses
poliedros.
Com auxílio do software Cabri-géometrè II, construir essas dobraduras.
Descrever os passos seguidos.
BIBLIOGRAFIA
ALMEIDA, S. T. de. Um Estudo de Pavimentação do Plano Utilizando Caleidoscópios e o Software Cabri
Géometrè II. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) IGCE – UNESP, Rio Claro, 2003.
BALL, W. W. R.; COXETER, H. S. M. Mathematical recreations and essays. 13. ed. New York: Dover, 1987.
BATISTELA, R. Um Kit de Espelhos Planos para o Ensino de Geometria. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) IGCE – UNESP, Rio Claro, 2005.
BUSKE, N. e MURARI, C. Dobraduras para Visualização do Cubo em Caleidoscópios. Anais do III Congresso
Internacional de Ensino da Matemática. Comunicação Científica. ULBRA – Canoas, 2005.
COLLI, E. Poliedros. Disponível em: Incubadora FAPESP
http://matemateca.incubnadura.fapesp.br/portal/textos/matemateca/poliedros/Poliedros.pdf Acesso em: fevereiro de
2006.
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IMENES, L. M. Vivendo a Matemática: Geometria das dobraduras. São Paulo: Scipione, 1988.
KASAHARA, K. Origami Omnibus. Paper folding for everybody. 20. ed. Tokyo, New York: Japan Publications, 2005.
MARTINS, R. A. Ensino-Aprendizagem de Geometria: Uma proposta fazendo uso de caleisdoscópios, sólidos
geométricos e softwares educacionais. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) IGCE – UNESP, Rio Claro,
2003.
MURARI, C. Ensino-Aprendizagem de Geometria nas 7ª e 8ª séries, via caleidoscópios. 2 v. Tese (Doutorado
em Educação Matemática) IGCE - UNESP, Rio Claro, 1999.
NIELSEN. K. L. Modern Trigonometry. New York: Barnes and Noble, 1966.
O’DAFFER, P. G. and CLEMENS, R.S. Geometry: An investigative Approach. California: Addison-Wesley, 1977.
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