ads:
1
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
AS REPRESENTAÇÕES MATEMÁTICAS MEDIADAS POR SOFTWARES
EDUCATIVOS EM UMA PERSPECTIVA SEMIÓTICA: UMA CONTRIBUIÇÃO
PARA O CONHECIMENTO DO FUTURO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Maria Margarete do Rosário Farias
Orientadora: Profa. Dra. Rosana Giaretta Sguerra Miskulin
Dissertação de Mestrado elaborada junto ao Programa de Pós
Graduação em Educação Matemática - Área de Concentração em
Ensino e Aprendizagem de Matemática e seus Fundamentos
Filosóficos Científicos para obtenção do Título de Mestre em Educação
matemática
RIO CLARO
2007
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
2
510.07 Farias, Maria Margarete do Rosário.
F224r As representações matemáticas mediadas por softwares
educativos em uma perspectiva semiótica : uma contribuição
para o conhecimento do futuro professor de matemática /
Maria Margarete do Rosário Farias. - Rio Claro: [s.n.], 2007
195f. : il., figs. + 1 CD-ROM
Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista,
Instituto de Geociêcias e Ciência Exatas
Orientador: Rosana Giaretta Sguerra Miskulin
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Formação inicial.
I. Título
Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Bibliotca da UNESP
Campus de Rio Claro/SP
ads:
3
COMISSSÃO EXAMINADORA
_______________________________________
Profa. Dra. Rosana Giaretta Sguerra Miskulin
(Orientadora)
________________________________________
Prof. Dr. Rômulo Campos Lins
___________________________________________
Prof. Dr. Hermes Renato Hildebrand
Rio Claro, 18 de JUNHO de 2007
Resultado:APROVADA
4
Aos meus pais Antonio e Balbina, pela
atenção,amor e carinho que sempre me
dedicaram.
Ao meu querido esposo Paulo, amigo e
companheiro de todas as horas, em especial
aos meus filhos,Bruno e Beatriz pelo
apoio, cuidado e compressão
durante as longas
horas de ausência da
mamãe durante
o processo de
construção
e estudo
desta
pesquisa.
5
AGRADECIMENTOS
A professora Orientadora Dra. Rosana Giaretta Sguerra Miskulin, por sua atenção, dedicação
e importantes sugestões ao longo deste trabalho de pesquisa, principalmente, pela amizade,
confiança e pela aposta feita em minha pessoa. Muito obrigada por tudo.
Aos professores Prof. Dr. Rômulo Campos Lins, Dr. Hermes Renato Hildebrand, por
integrarem a banca examinadora da dissertação.
Aos professores e colegas da Pós Graduação em Educação Matemática, Prof.Dr. Marcelo
Borba, Leandro, Carla, Eduardo, Dirlene, Márcio, Marcos, Luciane, Sueli, Silvana, Maurício,
Adelino, Célia, Leonardo, Escher, Heloisa, Patrícia, Rejane e a tantos outros amigos novos e
antigos pelas discussões sobre o meu trabalho e temas diversos, pela amizade e momentos de
alegria e descontração.
Ao grupo de Formação de Professores, em especial à Profa. Dra. Rosana Miskulin, a Profa.
Dra Miriam Godoy e Profa. Dra. Laurizete Passos pelas valiosas informações que muito
ampliaram a minha visão de mundo e sobre o ensino e aprendizagem da Matemática.
Aos amigos da UESC, em especial aos meus queridos amigos Humberto Bortolossi, Jurema
Botelho, Eurivalda Ribeiro, Irene Cazorla, José Carlos Chagas por me incentivarem,
acreditarem e torcerem por mim. Muito obrigada!
Aos professores e colegas da UESC, em especial, Prof. Ms. Erinalva Calazans e Prof. Ms.
José Reis que foram os meus mentores quando ainda estudante e amigos que sempre torceram
pelo meu sucesso nessa caminhada.
Aos funcionários de Departamento de Matemática da UNESP de Rio Claro: Elisa, Ana e
Diego pela atenção, simpatia e apoio técnico que muito contribuiu para o desenvolvimento
deste trabalho de pesquisa.
Aos professores e alunos do curso de Matemática e Educação Matemática, participantes da
pesquisa, muito obrigada pela troca, atenção e disponibilidade manifestada.
Ao colega Orlando Figueiredo e Roger Miarka, muito obrigada pela tarefa de correção e
tradução para o inglês.
Ao meu esposo Paulo e aos meus filhos Bruno e Beatriz pelo amor e compreensão que sempre
demonstraram, mesmo em momento adversos.
MUITO OBRIGADA
M
a
. Margarete do R. Farias
1
SUMÁRIO
Índice.....................................................................................................................i
Índice de Figuras................................................................................................iv
Resumo...............................................................................................................vii
Abstracts...........................................................................................................viii
Introdução..........................................................................................................01
Capítulo 1: Formação Inicial de Professores..................................................06
Capítulo 2: Uma Introdução à Semiótica ..........................................................27
Capítulo 3: As Representações Matemáticas e as TICs
em uma Perspectiva Semiótica.......................................................50
Capítulo 4: Metodologia da Pesquisa (Parte 1)
As Entrevistas................................................................................65
.
Capítulo 5: Metodologia da Pesquisa (Parte 2)
Descrição das Atividades Exploratório-Investigativas
e Análise dos Dados......................................................................120
Considerações Finais.......................................................................................183
Referências Bibliográficas..............................................................................189
i
ÍNDICE
1
Introdução
: O Caminhar da Pesquisa...................................................................................01
Capítulo 1
: Formação Inicial de Professores........................................................................06
1.1. Apresentação.................................................................................................................06
1.2. Formação Inicial de Professores de Matemática...........................................................06
1.3. Dimensões Implícitas na Constituição do Conhecimento
para a Formação do Futuro Professor de Matemática...................................................07
1.4. O Cálculo Diferencial e Integral I: Uma Disciplina Fundamental
para a Formação de Futuros Professores de Matemática..............................................21
Capítulo 2
: Uma Introdução à Semiótica .............................................................................27
2.1. Apresentação.................................................................................................................27
2.2. Dando os Primeiros Passos... O que é Semiótica?........................................................27
2.3. As Categorias Fenomenológicas: O“Três” como Fundamento....................................31
2.4. O Signo: Uma Relação Triádica...................................................................................37
.
2.4.1. Objeto Imediato e Objeto Dinâmico..................................................................40
2.5. Aplicações da Semiótica para a Matemática.................................................................43
Capítulo 3
:
As Representações Matemáticas e as TICs
em uma Perspectiva Semiótica.........................................................................50
3.1. Apresentação.................................................................................................................50
3.2. As Representações Matemáticas Mediadas pelo Computador.....................................55
3.2.1. O Uso do Computador no Processo de Visualização........................................57
3.2.2. Representações Matemáticas em uma Perspectiva Semiótica
e sua relação com os Processos de Visualização..............................................61
1
Anexos (Disponíveis em CD - ROM)
Anexo A - Descrição das Atividades Exploratórias-Investigativas
Anexo B - Descrição das Observações realizadas em Classe
Anexo C - Roteiro das Entrevistas Professor e Estudante
ii
Capítulo 4
: Metodologia da Pesquisa -Parte 1: As Entrevistas.............................................65
4.1. Apresentação.................................................................................................................65
4.2. Antes: o Encaminhamento dos Trabalhos.....................................................................67
4.3. Durante: o Desenvolvimento da Pesquisa.....................................................................68
4.3.1. O Diário de Campo da Pesquisadora.................................................................70
4.3.1.1. Observando o Ambiente da Sala de Aula..............................................70
4.3.1.2. As Notas de Aula...................................................................................73
4.4. As Entrevistas..................................................................................................................74
4.5. Conversando com os Professores.....................................................................................76
4.5.1. O Professor K....................................................................................................76
4.5.1.1. Síntese Interpretativa da Entrevista com o Professor K........................81
4.5.2. O Professor Y....................................................................................................83
4.5.2.1. Síntese Interpretativa da Entrevista com o Professor Y........................86
4.5.3. O Professor W...................................................................................................88
4.5.3.1. Síntese Interpretativa da Entrevista com o Professor W.......................94
1. O professor Z.....................................................................................................96
4.5.4.1. Síntese Interpretativa da Entrevista com o Professor Z.......................104
4.6.
Conversando com os Estudantes.................................................................................106
4.6.1. Síntese Interpretativa do 1º. Bloco: Comentários dos Estudantes...................109
4.6.2. Síntese Interpretativa do 2º. Bloco: comentários dos estudantes....................112
4.6.3. Síntese Interpretativa do 3º. Bloco: Comentários dos Estudantes...................115
Capítulo 5
: Metodologia da Pesquisa -Parte 2 Descrição das Atividades
Exploratório-Investigativas e Análise dos Dados...........................................120
5.1.
Metodologia Junto aos Sujeitos Pesquisados:
Investigação Matemática em Sala de Aula.................................................................120
5.2.
As Atividades Exploratório-Investigativas.................................................................123
iii
5.2.1.
Desenvolvimento das Atividades Exploratório-Investigativas.......................128
5.3.
No Laboratório: Softwares Livres
como uma Opção para a Representação Matemática
em uma Proposta Investigativa...................................................................................130
5.3.1.
Winplot............................................................................................................132
5.4.
Análise dos Dados da Pesquisa...................................................................................133
5.4.1.
Compreendendo e Analisando as Representações Matemáticas
como um Signo: O Objeto de Investigação....................................................135
5.5.
Análise das Atividades Exploratório- Investigativas..................................................138
5.5.1.
Atividade 1......................................................................................................139
5.5.2.
Atividade 2......................................................................................................148
5.5.3.
Atividade 3......................................................................................................155
5.5.4.
Atividade 4......................................................................................................165
5.6.
Análise das Entrevistas................................................................................................178
5.6.1.
Interpretações Diferenciadas sobre
os Conceitos Matemáticos..............................................................................176
5.6.2.
O Aspecto Visual das Representações Matemáticas.......................................178
5.6.3.
Inter-relacionar Diversas Representações Matemáticas Constitui-se em
Abordagem Versus o Tecnicismo Matemático...............................................179
5.6.4.
Mobilidade das Diversas Representações Matemáticas
Possibilitando uma “Ponte” entre...............................................................
a Matemática Escolar e a Acadêmica.............................................................180
5.7. Tecendo a Análise.......................................................................................................182
5.8. Considerações Finais...................................................................................................183
Referências Bibliográficas
............................................................................................189
iv
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: A relação triádica do signo.............................................................................38
Figura 2: Contextura do signo.......................................................................................39
Figura 3: O Triângulo Epistemológico..........................................................................43
Figura 4: Atividade 1...................................................................................................124
Figura 5
:
Atividade 2....................................................................................................125
Figura 6: Atividade 3...................................................................................................126
Figura 7: Atividade 4....................................................................................................127
Figura 8: Os Procedimentos Metodológicos................................................................135
Figura 9: Variação da Função para k < 0.....................................................................141
Figura 10: Variação da Função para k > 0...................................................................141
Figura 11: Variação (a) da Função para k ≠- 2............................................................142
Figura 12: Variação (a) da Função para k =- 2............................................................142
Figura 13: Limitação do Winplot no traçado do gráfico da função f(x)......................147
Figura 14: Ponto sobre a Curva...................................................................................149
Figura 15: Cálculo Algébrico do Coeficiente Angular:
Robin e Clotilde.........................................................................................150
Figura 16: Cálculo Algébrico da Equação da Reta Secante:
Robin e Clotilde.........................................................................................150
Figura 17: Cálculo Algébrico do coeficiente Angular e da Equação da reta secante:
Any e Suka.................................................................................................151
v
Figura 18: A Reta Secante............................................................................................151
Figura 19: A reta tangente............................................................................................152
Figura 20: Descrição do Comentário - Letícia e Marcela............................................152
Figura 21:
Descrição do Comentário - Augusto e Márcio
.................................................153
Figura 22: A Circunferência.........................................................................................156
Figura 23: O Semicírculo.............................................................................................157
Figura 24: Primeiro segmento......................................................................................157
Figura 25: Retângulo inscrito.......................................................................................157
Figura 26: A Função Área............................................................................................158
Figura 27: Derivada da Função Área...........................................................................159
Figura 28: Retângulo de maior área inscrito no semicírculo de raio 1........................160
Figura 29: Retângulo de maior área inscrito no semicírculo de raio 2........................160
Figura 30: Retângulo de maior área inscrito no semicírculo de raio 3........................161
Figura 31: Pontos de Máximo, Valor Máximo e
Maior Área Classificados para cada Raio...................................................161
Figura 32: Retângulo Inscrito de Maior Área a Partir de um Raio genérico...............162
Figura 33: Tampa.........................................................................................................166
Figura 34: Base............................................................................................................166
Figura 35: Lateral.........................................................................................................166
vi
Figura 36: O Cilindro...................................................................................................167
Figura 37: Representação da Função Custo, Altura e Volume....................................168
Figura 38: Custo Mínimo.............................................................................................169
Figura 39: Cilindro versus Representação Algébrica
das Funções Custo, 1ª. e 2ª. Derivadas.......................................................170
Figura 40: Síntese das Principais Idéias Relacionadas à Entrevistas
com os Professores de CDI
I........................................................................174
Figura 41: Síntese das Principais Idéias Apresentadas
pelos Estudantes durante a Entrevista .........................................................175
vii
RESUMO
Esta pesquisa realiza um estudo epistemológico das representações matemáticas, mediadas
por softwares educativos, em uma perspectiva Semiótica, objetivando investigar as diferentes
formas representativas de conceitos matemáticos como dimensões didático-pedagógicas,
implícitas no conhecimento do professor em formação inicial, no ensino do Cálculo
Diferencial e Integral - CDI I. Nessa perspectiva temos como meta principal responder a
seguinte questão norteadora: “Quais são as contribuições das representações matemáticas em
uma perspectiva semiótica, mediadas por softwares educativos, para o conhecimento do
Futuro Professor de Matemática?” Os aportes teóricos que fundamentam este trabalho de
investigação constituem-se na Formação Inicial de Professores e Semiótica. A Metodologia
adotada é de abordagem qualitativa, sob a qual trabalhamos com os alunos do primeiro ano do
curso de Matemática, do IGCE/ UNESP/Rio Claro, na disciplina CDI I. A análise baseada em
quatro sub-panoramas constituídos pelas entrevistas realizadas com os professores e
estudantes atividades exploratório-investigativas desenvolvidas junto aos estudantes, além das
observações realizadas em classe da turma do 1º. Ano de Matemática, indica que ao
explorarmos o universo signíco das representações, agregamos valores à discussão da
constituição do conhecimento de futuros professores de Matemática, ressaltando a
importância desses estudantes/professores, conscientizarem-se da perspectiva Semiótica
implícita à abordagem de transitar entre várias representações matemáticas no processo de
investigação e interpretação dos conceitos, por meio de softwares próprios à disciplina,
aumentando assim o grau de compreensão dos mesmos.
PALAVRAS CHAVES: Representações Matemáticas, Formação Inicial, Winplot, Ensino do
Cálculo Diferencial e Integral e Semiótica.
viii
ABSTRACT
This research is an epistemological study of mathematical representations, through
educational software, in a semiotic perspective, aiming to investigate different ways of
representing mathematical concepts as didactic-pedagogical dimensions, inherent to the
teachers’ knowledge in Initial Education, in the teaching of Calculus I – CI. From this
perspective we aim to answer the question “What are the contributions of mathematical
representations, in a semiotic perspective through educational software, for the knowledge of
the future teacher?” The theory that supports this work is in the Teachers Education and
Semiotics. The methodology adopted has a qualitative approach that we have worked with
students of the first year of the Mathematics course of IGCE / UNESP/Rio Claro, in the
subject CI. The analysis is based on four sub-panorama constituted by interviews made with
teachers and students, working with exploring-investigative activities, developed and applied
with the students, as well as observations made in the classroom of the first year of the
Mathematics course. It indicates that, in the process of exploration of “signics” universe of
representations, we add value to the discussion about the constitution of the future teachers’
knowledge, highlighting the importance of these students/teachers to figure out the semiotics
perspective, inherent to an approach that propitiates different mathematical representations in
the process of investigation and interpretation of concepts, through specific software, related
to the subject, increasing the understanding of teachers and students.
KEY WORDS: Mathematical Representations, Teachers Education, Winplot, Teaching of
Calculus and Semiotics.
ix
O caminhar de uma pesquisa em Educação Matemática não é
exatamente linear, muitos são os percalços vividos pelo pesquisador.
Muitos são os momentos de insegurança e raros períodos de certeza,
existe o medo e a coragem sempre juntos, mas também existe a paixão
pelo objeto de estudo, o desejo de seguir em frente de poder enfim dar
a sua parcela de contribuição ao que se propõe realizar. A nossa
pesquisa tem o seu próprio caminhar, mas certamente não se distancia
do objetivo principal de toda e qualquer pesquisa, o que vem a ser
informar, contribuir, buscar respostas. Obviamente seguimos a passos
curtos, mas sempre constantes, e a cada passo um novo olhar ou um
aprimoramento desse olhar. A pergunta diretriz, os objetivos, a
metodologia a ser aplicada, bem como, os aportes teóricos que
fundamentam o nosso trabalho, tudo segue em busca a validar, dar
corpo a nossa investigação.
Introdução
O Caminhar da Pesquisa
1
Introdução
O Caminhar da Pesquisa
Esta pesquisa realiza um estudo epistemológico das representações matemáticas,
mediadas por softwares educativos, em uma perspectiva Semiótica, objetivando evidenciar as
diferentes formas representativas de conceitos matemáticos como dimensões didático-
pedagógicas implícitas ao conhecimento do professor em formação inicial.
A motivação principal para desenvolver este estudo decorreu da prática docente da
pesquisadora
2
como professora universitária, pois, com essa experiência pôde observar que
uma das dificuldades enfrentadas pelos licenciandos refere-se à interpretação e construção de
gráficos, assim como a compreensão dos conceitos matemáticos, envolvidos nessas
construções. Sob esse aspecto torna-se relevante ressaltar que essas dificuldades ampliam-se
claramente quando faz-se necessário a mudança de uma representação matemática para outra,
o que fortalece a concepção de que, de uma maneira geral, parte dos alunos que chegam à
universidade ainda se encontram em processos de formação de conhecimentos básicos da
Matemática. Podemos identificar esse fato considerando pontos de vistas de alguns
pesquisadores da área de Educação Matemática;
A fragilidade do conhecimento desses licenciandos muitas vezes
passam despercebidas nos cursos de graduação e futuros professores
são aprovados nos cursos de Matemática, convencidos de que
possuem o conhecimento necessário para lecionar (D’AMBRÓSIO, B.
2005, p. 63).
Nesse sentido, com a perspectiva de dar um primeiro passo em nossa investigação,
iniciamos leituras que contemplassem as Tecnologias Informacionais e Comunicacionais
(TICs), o Ensino e a Formação Inicial de Professores, buscando compreender os processos
matemáticos por meio de uma perspectiva Semiótica. Iniciativa essa que nos permitiu
considerar alguns pontos os quais passaram a ter uma amplitude e uma importância bastante
significativa na presente pesquisa.
O processo de formular a pergunta diretriz constituiu-se uma das etapas da pesquisa
que nos inquietou, devido a sua importância frente ao desenvolvimento e direcionamento da
mesma. Após alguns embates no sentido de organizar o pensamento em direção à pergunta,
para a qual tivemos que formular e reformular várias vezes na tentativa de torná-la mais clara
2
Margarete Farias - autora desta pesquisa
2
possível chegamos por fim a um consenso. Vale enfatizar que chegar a tal concordância foi
um longo caminho.
A pergunta inicial: “Quais dimensões estariam implícitas em representações
semióticas do conhecimento de futuros professores de Matemática, utilizando softwares
educativos, no ensino do Cálculo Diferencial e Integral I?” não estava ainda amadurecida,
havia um conjunto de palavras chaves tais como representações, Semiótica, conhecimentos do
professor, ensino do Cálculo Diferencial e Integral I - CDI I que vinham ao encontro do que
nós pretendíamos investigar, mas elas ainda não se harmonizavam em uma frase concisa e
convincente, a pergunta ainda mostrava-se ambígua e um pouco obscura. Diante desse
impasse foram muitas as discussões, leituras, idas e vindas.
Ao final desse processo, a pergunta da pesquisa ficou assim formulada: Quais são as
contribuições das representações matemáticas em uma perspectiva semiótica, mediadas
por softwares educativos, para o conhecimento do Futuro Professor de Matemática?
Investigar tal questão significa, entre outros aspectos, investigar a importância das
representações, em uma perspectiva da Semiótica, no processo de interpretação e
compreensão de conceitos matemáticos
3
, concernentes a constituição do conhecimento por
futuros professores na formação inicial, particularmente no ensino do CDI I.
Nesse processo de delinear a questão investigativa, outros questionamentos foram
vislumbrados. Dentre esses, o conhecimento do futuro professor de matemática, considerando
que uma grande parte dos que integram o Curso de Licenciatura
4
não desenvolvem
necessariamente os tipos de compreensões requeridas para o ensino da Matemática e o que é
mais preocupante, permanecem ao longo do seu currículo aquém desses discernimentos e,
como conseqüência, forma-se um círculo vicioso, considerando que, esses licenciados,
posteriormente, poderão transmitir (não como detentores do conhecimento, mas como
orientadores nesse processo) em uma sala de aula os conhecimentos adquiridos durante o seu
período de formação. Obviamente que conhecimento necessário para ser um bom professor de
Matemática não se limita apenas à compreensão de conteúdos específicos, pois existem outros
aspectos a serem considerados
5
. Sob o aspecto do conhecimento matemático, o NCTM
6
sugere que;
Uma componente central na preparação para o ensino da Matemática é
o desenvolvimento de uma compreensão profunda dos temas
matemáticos do currículo escolar e de como eles se enquadram na
3
Estudo de Limites e Derivadas de funções.
4
Curso de Licenciatura em Matemática.
5
Aspectos do conhecimento que serão devidamente especificados no Capítulo 1, da presente pesquisa.
6
Normas Profissionais para o Ensino da Matemática
3
disciplina de Matemática. Com demasiada freqüência, assume-se
como verdade que o conhecimento dos professores relativamente ao
conteúdo da Matemática escolar está adquirido no momento em que
concluem o secundário. Os professores devem ter a oportunidade de
retomar os tópicos da Matemática escolar através de processos que
lhes permitam desenvolver um conhecimento mais profundo. (NCTM
[1], apud Veloso, 2004, p.31).
Desse modo, o fato do futuro professor adquirir um conhecimento profundo acerca do
conteúdo matemático é de fundamental importância, pois, o tipo de compreensão a ser
desenvolvida, não se refere à memorização de fórmulas e da execução de procedimentos, mas
vai além, ou seja, visa possibilitar uma interlocução entre a Matemática e o modo de
apresentá-la de uma maneira significativa. Isso implica pensar sobre estratégias de ensino e,
que futuros professores estejam conscientes da possibilidade de constituírem uma
compreensão mais global do conteúdo que terão de ensinar no futuro e, por conseguinte,
redimensionarem seus métodos de ensino e as suas capacidades para ensinar.
Portanto, nessa perspectiva apresentamos os objetivos propostos na pesquisa, podendo
ser expressos como:
Investigar e ressaltar as potencialidades didático-cognitivas das representações
matemáticas em uma perspectiva semiótica, mediadas por softwares educativos, no
contexto da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I;
Investigar os limites e possibilidades didático-pedagógicas das representações
matemáticas na formação inicial do futuro professor de Matemática.
Apresentado os primeiros passos da pesquisa, buscaremos nos próximos capítulos,
seguir uma lógica que conduza o leitor a uma compreensão gradual das discussões envolvidas
nesta dissertação.
Assim, no primeiro capítulo versaremos sobre a Formação de Professores,
enfatizando o conhecimento do futuro professor e quais as perspectivas na área da
Educação Matemática para o desenvolvimento e constituição deste conhecimento, bem como
a formação acadêmica do futuro professor no contexto da disciplina CDI I. As principais
referências que permeiam esse capítulo são: Stylianides e Ball, (2004); Garcia Blanco, (2003),
dentre outros.
No segundo capítulo discutiremos sobre Semiótica, dedicando a nossa atenção ao
pensamento de C. S. Peirce (1839-1914), apresentando a relação triádica do signo, tendo
como principais referências, Nöth, (1996), Hildebrand (2002), Santaella (2002), entre outros.
Nesse contexto abordaremos sobre as relações entre o signo consigo mesmo, o signo com o
4
objeto e o signo com o interpretante, relações implícitas às categorias fenomenológicas da
primeiridade, secundidade e terceiridade, idealizadas por Peirce, além de apresentarmos
algumas aplicações da Semiótica na Matemática, baseada em pesquisas realizadas por
pesquisadores tais como Otte e Steinbring (2006), buscando estabelecer uma linha de
pensamento que nos conduza de maneira coerente à interpretação e análise dos dados
coletados ao longo desse trabalho de pesquisa.
No terceiro capítulo estaremos discutindo as relações das TICs (tecnologias da
informação e comunicação) e o processo de formação de professores, associado a uma
abordagem didático-pedagógica das representações matemáticas em uma perspectiva
semiótica. As referências que darão respaldo a esta discussão constituem-se, principalmente,
nos autores, Hitt (2003), (Kenski 2003), Lévy (1998), Miskulin 2003, Borba e Penteado
(2003) entre outros.
No quarto e quinto capítulos, apresentaremos a Metodologia abordada, na qual será
delineada a Descrição e Análise dos Dados da pesquisa. Para tanto, foram utilizados
procedimentos metodológicos de coleta tais como: observação em sala de aula de uma
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, em um curso de Licenciatura do 1º. Ano de
Matemática, da UNESP de Rio Claro, entrevistas e depoimentos dos alunos, entrevistas com
alguns professores que ministram ou ministraram a disciplina CDI I na UNESP de Rio Claro,
além da Metodologia junto aos sujeitos da pesquisa, na qual foram desenvolvidas atividades
exploratório-investigativas, baseadas nas concepções da IMEs (Investigações Matemáticas
em Sala de Aula). A Análise dos Dados das atividades exploratório-investigativas,
observações e entrevistas denotadas por sub-panoramas, serão fundamentadas na literatura
pesquisada destacando a Semiótica de Peirce (1839-1914).
Para concluir, serão apresentadas as Considerações Finais, e as Referências
Bibliográficas adotadas no desenvolver do texto.
Formação Inicial de Professores
Capítulo 1
Formação Inicial de Professores
5
Formação Inicial de Professores
6
Capítulo 1
Formação Inicial de Professores
1.1. Apresentação
Neste capítulo apresentaremos um estudo sobre a constituição do conhecimento no
contexto da formação de professores objetivando tecer um panorama que busque apreender as
possíveis inter-relações entre o conhecimento do futuro professor de matemática e as
representações matemáticas, mediadas por softwares educativo no contexto da disciplina
Cálculo Diferencial e Integral I.
1.2. Formação Inicial de Professores de Matemática
Uma concepção baseada no senso comum enuncia que o processo de formação inicial
de professores possui como principal motivo, formar profissionais competentes para o
exercício da profissão. Ao nos depararmos com essa frase, percebemos que há uma enorme
complexidade subjacente a essa afirmação e que, para atingir tal complexidade são muitos os
caminhos que devemos percorrer, considerando as múltiplas facetas que interferem nesse
processo.
Sob o ponto de vista de Garcia Blanco (2003), a formação de professores, e
especificamente a formação inicial, é um campo que intervêm em diferentes esferas, como a
sociedade, instituições, pesquisadores, formadores de professores e alunos, que se encontram
em constante desenvolvimento e evolução. As inter-relações dessas esferas fazem com que a
formação inicial seja considerada como uma formação necessária ao desenvolvimento da
profissionalização do professor de Matemática. Sendo assim torna-se natural pensar que todos
os envolvidos devam ter a sua parcela de responsabilidade.
Ainda, nesse processo, a pesquisa em Educação Matemática, também intervém de
forma significativa, pois através dela advém importantes fundamentos e termos conceituais
que são utilizados para fornecer e permitir elementos teóricos e metodológicos possibilitando,
deste modo, estabelecer as bases para a formação de professores de Matemática. Sob esse
aspecto o caminho percorrido pela pesquisa brasileira compreende um período relativamente
curto, mas de grande influência para o desenvolvimento e enriquecimentos de idéias e
concepções que perfazem esse importante tema. Essa conjetura está baseada no levantamento
7
do estado da arte da pesquisa sobre formação de professores que lecionam Matemática,
realizado por Ferreira (2003)
7
.
De acordo a autora acima citada, os trabalhos produzidos abrangem questões de
aspectos políticos e sociais, como também questões de fundo teórico e epistemológico. Dessa
forma, esses trabalhos têm, sem dúvida, a sua parcela de contribuição para o desenvolvimento
e enriquecimento no que se refere às mudanças ocorridas na formação de professores. Em
confirmação a esse pensamento destacamos Fiorentini (2003), o qual assinala que os
educadores matemáticos constituem-se, entre outros, em um dos grupos que buscam lançar
novos olhares e quase sempre estão a aventurarem-se em busca de novos caminhos. Mas,
muitas são as críticas destinadas à formação de professores, nesse caso, em particular, à
formação inicial.
Ainda, segundo Fiorentini (2003), a
formação de professores é um tema antigo e atual,
o qual está sendo ultimamente muito debatido e pesquisado nas universidades e outros
contextos acadêmicos, configurando-se de grande relevância para a Educação, passando a ser
dominante tanto em encontros e congressos educacionais quanto em publicações de artigos e
livros.
Nesse contexto, vamos situar algumas dimensões implícitas na constituição do
conhecimento do futuro professor de matemática.
1.3. Dimensões Implícitas na Constituição do Conhecimento para a
Formação do Futuro Professor de Matemática.
Atualmente, o professor é considerado peça chave no processo de ensino e
aprendizagem da Matemática. Em nossa percepção, ao professor, além de outras funções,
cabe a importante tarefa de ensinar e orientar o conhecimento dos seus alunos no domínio da
matéria. Ao licenciando, o desafio de aprender e de adquirir um conhecimento matemático de
nível superior que possa vir a lhe proporcionar as bases necessárias à sua formação docente.
Mas, quais dimensões estariam subjacentes na constituição do conhecimento do professor de
Matemática no que se refere à sua prática docente ou pedagógica? Em nossa pesquisa, torna-
se fundamental e importante compreendermos e conhecermos essas dimensões. Nesse sentido,
7
Apresentado em artigo publicado no livro:Formação de Professores de Matemática, organizado por Dario
Fiorentini (2003). Esse artigo faz uma retrospectiva sobre a pesquisa brasileira incluindo alguns comentários
acerca da pesquisa internacional, na qual, segundo a autora, há uma maior evidência de trabalhos registrados a
partir dos anos 70. p. 19 – 50.
8
buscamos na literatura referenciais teóricos que possam nos orientar a respeito desse
questionamento.
Assim, autores como Ball, (2004); Garcia Blanco, (2003); Fiorentini, (2003); Rocha
(2005), Melo (2000), entre outros, podem ser encontrados temas relacionados à essas
multiplicidades de dimensões que definem o conhecimento do professor.
Rocha (2005) evidencia que há uma forte dispersão semântica em referência ao termo
saber docente
, o qual muitas vezes é denominado de
saber profissional
,
saber disciplinar
,
saber da experiência
,
conhecimento do professor
entre outros. Em sua pesquisa (Borges,
2002, apud Rocha, 2005), assinala que mais de 21.000 trabalhos fazem referência a questão
do conhecimento docente, “o que evidencia a diversidade de enfoques e metodologias
gerando uma variedade de concepções teóricas” (p. 50).
É a partir dos saberes obtido na experiência profissional que os
professores avaliam sua formação inicial e julgam a relevância das
reformas nos programas de ensino. Nesse sentido, os saberes da
experiência são saberes dos professores, produzidos e legitimados por
eles em sua prática cotidiana (TARDIF et al, 2001, apud ROCHA,
2005, p.64).
Outros autores citados por Rocha (2005)
8
, tais como, Shulman e Schön têm se
preocupado pelos saberes que os professores possuem e têm mobilizado.
A partir dos últimos anos dessa década, algumas pesquisas começam a
perceber o professor (ou futuro professor) de Matemática como
alguém que pensa, reflete sobre sua prática, alguém cujas concepções
e percepções precisam ser conhecidas. Mais que uma peça útil ao
sistema ele começa a ser visto como um elemento importante no
processo ensino-aprendizagem (FERREIRA, 2003, p.29).
Outra importante questão que se baseia na integração do futuro professor ao sistema
educativo busca saber que Matemática deve o professor de Matemática aprender para ensinar?
Atualmente, essa questão tem se tornado um tema polêmico e de difícil solução, como
apontam muitos investigadores, tais como Studylianides e Ball (2004), Moreira e David
(2005), entre outros.
Iniciando uma discussão, fazemos menção a duas dimensões que são ressaltadas por
Garcia Blanco (2003), que se caracterizam no
conhecimento do professor
, o qual abrange
três aspectos (conceituação, domínios e estrutura), e na
aprendizagem do professor
de
Matemática,
na qual se integra à conceituação e caracterização.
8
A autora informa que a citação original pertence a Ludke (2001) e Monteiro (2001)
9
Deste modo, fazendo alusão ao conhecimento do professor, Garcia Blanco (2003),
identifica três perspectivas:
aprender a ensinar, trabalho profissional e perspectiva
cognitiva.
Estas perspectivas se integram às várias relações transversais classificadas pelo
autor, tais como: conhecimento e crenças, conhecimento e prática, conhecimento do conteúdo
pedagógico e conhecimento de Matemática. Essa forma de estruturar o conhecimento do
professor reforça a idéia de que “presentemente, procura-se estudar o conhecimento do
próprio professor sobre o ensino e a forma como ele raciocina nas situações da sua prática”
(LLINARES, 1994, apud Garcia Blanco, 2003).
Continuando nessa perspectiva, podemos apresentar a concepção de Ball (1988),
quando prorroga que:
A definição de conhecimento matemático engloba duas dimensões,
conhecimento da Matemática e conhecimento acerca da Matemática.
O conhecimento da Matemática integra o que se pode designar por
conhecer os conceitos e os processos matemáticos. “No caso do
conhecimento acerca da Matemática este integra a compreensão sobre
a natureza da Matemática” (BALL, 1988, apud Veloso, 2004 p.35).
É de senso comum entre educadores, que não basta saber Matemática para ensinar
Matemática. Concordamos com esse fato e, diante dessa perspectiva, buscamos teoricamente
perceber a relação entre aprender e ensinar Matemática, por meio dos estudos que ora se
apresentam. Sobre essa vertente, Garcia Blanco (2003) em seus escritos, dá especial atenção
ao conhecimento do conteúdo do professor da disciplina específica, tomando como referência
os trabalhos de Shulman (1986).
Quanto à base teórica, proposta por Shulman et al. (1986, apud Garcia Blanco, 2003),
três categorias são destacadas. A
primeira
se refere ao
conhecimento da disciplina
específica
9
, ou seja, a formação do professor deve promover um conhecimento substancial da
disciplina que ensina, de modo a tornar-se hábil a responder perante os alunos as verdades
mais aceitas nesse domínio (conhecimento do conteúdo). Para essa categoria foram propostas
quatro dimensões
:
conteúdo para o ensino
;
substantivo para o ensino
;
sintático para o
ensino
;
crenças sobre a disciplina de ensino
. A
segunda
categoria refere-se ao
conhecimento curricular
, que inclui a compreensão do programa como todo, isto é, trata
sobre a familiaridade com as formas de organizar e dividir o conhecimento para o ensino, em
forma de textos, programas, livros de exercícios etc. E quanto à
terceira
, temos o
conhecimento do conteúdo pedagógico
, que faz referência a um tipo de conhecimento que é
próprio do professor, no qual consiste em integrar o conhecimento da disciplina, como
9
Em nosso caso particular referimo-nos a Matemática
10
matéria de ensino, ao conhecimento pedagógico do professor, ou seja, maneiras de apresentar
um conteúdo, exemplos, explicações, bem como formas de representar e compor o conteúdo,
a fim de torná-lo compreensível ao estudante. Essa compreensão está associada ao
conhecimento das várias concepções de professores e alunos sobre a Matemática, em
particular.
Fazendo agora referência à
perspectiva a partir do trabalho docente
, Garcia Blanco
(2003) destaca alguns autores como Llinares (1991), Bromme (1994), Fennema e Loef
(1992), entre outros, e em suas considerações conclui que esses pesquisadores atentam pela
conceituação e pelos domínios do conhecimento do professor, no que se refere ao trabalho
docente, ou seja, a caracterização do conhecimento do professor está vinculada à sua prática
de ensino. Neste sentido Llinares (1991, apud Blanco, 2003,), afirma que, “conhecimento
profissional é uma integração cognitiva entre o conhecimento científico e o conhecimento
prático, ambos procedentes de domínios e de contextos práticos diferentes” (p. 56). Este
conhecimento profissional é gerado através de um processo de reflexão sobre a própria
prática. Bromme (1994, apud Pablo Martínez, 2000), assinala que, o conhecimento
profissional do professor abrange o conhecimento da Matemática como disciplina escolar,
conhecimento sobre a filosofia da Matemática (aspecto epistemológico) e o conhecimento
pedagógico geral, o qual compreende a forma de apresentar e organizar os conteúdos. Este
autor também se refere ao conhecimento do professor como algo mais do que o conteúdo
matemático que se discute nas aulas, incluindo também um conhecimento adicional, que
capacita o professor a ensinar a Matemática de acordo suas crenças e perspectivas pessoais.
Fenema e Loef (1992, apud Bairral, 2003, p.13) consideram que o conhecimento do
professor de Matemática possui componentes matemáticos (conceitos procedimentos e
processos de resolução de problemas no domínio que ensinam), pedagógicos (procedimentos
de ensino, de organização de aula, técnicas de motivação etc.), cognitivos (conhecimento
sobre como pensam e aprendem os alunos, suas dificuldades etc.) e as crenças.
De forma explícita ou implícita, esses autores em sua maioria vão ao encontro de uma
das referências mais marcantes nessa área de investigação: o trabalho desenvolvido por
Donald Schön (1983, 1987) relacionado ao conhecimento profissional e, posteriormente,
adaptado para o conhecimento do professor. Para Schön (1983, apud Bairral, 2003), o
conhecimento de um profissional é marcado pela prática da reflexão, na qual designa por
reflexão-na-ação os processos deliberativos realizados no decurso da própria ação, que
permitem reformular aquilo que estamos fazendo e o que pretendemos fazer.
11
Schön (1987), igualmente considera que, podemos refletir sobre a ação (reflexão
sobre-a-ação) pensando retrospectivamente sobre aquilo que fizemos, com o sentido de
descobrir como o nosso conhecimento na ação pode ter contribuído para um resultado não
esperado. Poderemos fazê-lo após a ação, em tranqüilidade, ou podemos fazê-lo numa pausa
(
stop-and-think
) no meio da ação, em ambos os casos, as nossas reflexões não têm uma
ligação direta com a ação em curso ou recentemente concluída (
present action
). “Trata-se de
refletir sobre a representação ou reconstrução a posteriore da ação” (PÉREZ GOMES, apud
Saraiva, 2001, p. 55).
Nesse sentido, Garcia e Llinares (1993, apud Garcia Blanco, 2003), ressaltam a
necessidade de esclarecer e caracterizar, com o auxílio de ferramentas teóricas, os conteúdos e
os processos que permitem ao professor tornar significativas as situações de ensino e
aprendizagem em que se envolve, ou seja, no
processo da reflexão-sobre-a-ação
está
implícita uma prática reflexiva, seja ela individual ou com apoio de outros, de modo a estar
integrada em algum processo de formação, visando contribuir para o desenvolvimento
profissional do professor.
Certamente a discussão sobre conhecimento profissional não se limita a esses autores e
esses aspectos, uma vez que, muito há ainda para se discutir, sobre essa temática.
Em relação à
perspectiva cognitiva
, são vários os trabalhos citados por Garcia Blanco
(2003), referências como: Leinhardt (1989,1990) e colaboradores; Leinhardt e Smith(1985);
Leinhardt e Greeno(1986); Leinhardt, Putnam, Stein e Baxter(1991), Ernest (1989), buscam
elaborar um modelo que possa descrever as estruturas mentais dos professores e, nesse
sentido, identificar as diferenças no que concerne ao conhecimento do professor
experiente
e
o professor
novato
. Para esses pesquisadores a capacidade de ensinar é determinada por dois
sistemas de conhecimento:
o conhecimento da matéria de ensino
(nesse caso refere-se ao
conhecimento de Matemática, dos métodos de apresentação, procedimentos de avaliação, de
atividades curriculares etc.) e o
Conhecimento da estrutura da lição
.
Ernest (1989, apud, Garcia Blanco, 2003), em particular, propõe um modelo similar ao
de Shulman, no qual busca dar resposta aos fundamentos psicológicos da prática de ensino.
Esse autor busca analisar variedades de conhecimentos próprias a formação do professor, o
que inclui crenças e atitudes (consideradas como percepções distintas) associadas à prática
docente.
Questões que buscam responder como e onde o conhecimento do professor é gerado?
Como ele se organiza? Fundamentam-se da Epistemologia bem como dos aspectos
12
cognitivos, o que, de acordo Garcia Blanco (2003), relaciona-se com a natureza do
conhecimento do professor e sua organização.
Deste modo, o conhecimento seja matemático, pedagógico, bem como o conhecimento
profissional ou cognitivo do professor sempre estarão conectados ao entendimento que esse
professor possui, frente ao seu ensino, e o papel que lhe é atribuído no contexto escolar. Mas
será possível haver uma integração entre a Matemática escolar e a vivenciada na
Universidade?
Tendo em vista essa problemática, parece-nos adequado abordar sobre duas outras
questões, implicitamente envolvidas, as quais referem-se ao conhecimento matemático de
futuros professores em nível secundário e, como esses professores podem ser ajudados a
desenvolverem um conhecimento matemático próprio ao contexto do ensino da matemática.
De acordo com Ponte (2003), a maneira mais natural de considerar este tema seria por
meio da elaboração de uma lista de conhecimentos que o futuro professor “supostamente
deveria adquirir”. Aqueles que se propuserem fazer tal lista deverão considerar a existência de
um grande acervo literário, tanto em nível internacional como nacional sobre o tema, podendo
ser encontrado facilmente em livros, periódicos, artigos, dissertações e teses disponíveis na
Internet, bibliotecas e livrarias de todo o país. No entanto, sublinhando as palavras de Ponte
(2003), tais listas deixam muitas questões em aberto, devido à dificuldade em determinar
especificamente e com clareza qual o conhecimento matemático de que os futuros professores
precisam para ensinar de uma forma significativa. Sendo assim, como podem esses futuros
professores/ estudantes desenvolverem o conhecimento matemático de que precisam para
ensinar? Ou, ainda, que tipos de experiências matemáticas lhes devem ser proporcionadas
pela formação inicial?
A partir desse ponto de vista, objetivamos buscar explicações a esses questionamentos,
não fazendo lista e, tampouco nos preocupando em definir quais seriam esses conceitos.
Nosso intuito consiste em compreender o que atualmente vem sendo discutido para formação
de futuros professores de Matemática em termos de conhecimento matemático, sob o ponto de
vista cognitivo e epistemológico. Resgatando, nesse momento, os objetivos da nossa pesquisa,
podemos dizer que a nossa preocupação maior recai sobre as contribuições que as
representações matemáticas podem desempenhar na formação inicial de professores de
matemática.
Para tanto, consideremos duas importantes referências: Ball (1988) e Liping Ma
(1999), cujas fontes de pesquisa buscam contribuir com a preparação matemática de futuros
professores.
13
Em referência a Ball (1988, apud Veloso, 2004), contesta em sua tese de doutorado, a
três pressupostos sobre a constituição do conhecimento matemático dos futuros professores.
Segundo a autora, o
primeiro
pressuposto é apresentado como: “
o conteúdo tradicional da
Matemática escolar é simples”
. Segundo a investigadora, nesta afirmação está implícita um
certo reducionismo do conhecimento matemático no sentido de que, se o futuro professor sabe
o básico, então é capaz de efetivamente ensinar, não precisando necessariamente avançar de
modo a atingir os conceitos, as conexões e a procura de evidências matemáticas. Nesse
sentido, acreditamos na necessidade de possibilitar aos futuros professores uma preparação
matemática significativa que os induzam a compreensão, ao raciocínio, à justificativas de
idéias e conceitos de maneira a tornar significativo o conhecimento sobre a matemática.
O
segundo
pressuposto contestado por Ball (1988, apud Veloso, 2004), trata-se sobre
a
s
“aulas de Matemática dos ensinos básico e secundário que podem servir como
preparação Matemática dos futuros professores”
, nesse caso a investigadora revela que
esse pressuposto é muitas vezes defendido por grande parte dos professores encarregados
dessa formação, mas o que acontece é que quando o futuro professor vê a necessidade de
revisitar os conteúdos, procurando recordar conceitos, procedimentos ou simples termos,
geralmente, o que encontra são regras, truques, fragmentos de definições e muitas vezes não
explícitos, o que para a investigadora é compreensível já que na aprendizagem, esses
estudantes tiveram como destaque a mecanização de técnicas de cálculo.
O último e
terceiro
pressuposto contestado por Ball (1988, apud Veloso, 2004),
revelam que, os
estudos universitários de Matemática asseguram um conhecimento
matemático para o ensino
. Diante disso, Ball (1988, apud Veloso, 2004) afirma que, mesmo
o aluno que obtém sucesso em cadeiras de Matemática tradicionais não desenvolve
essencialmente o tipo de compreensão requerido para o ensino, pois geralmente esse sucesso
resulta da memorização de fórmulas e execução de procedimentos.
Sendo assim, para nós, passa então a existir o seguinte paradoxo, o estudante que é
bem sucedido em seu curso universitário de Matemática, pode não possuir conhecimentos
substanciais em relação à Matemática elementar, que obviamente deveriam constituírem-se
como pré-requisitos, o que fortalece, portanto, a concepção que esses futuros professores têm
a matéria memorizada e, certamente, não compreendida.
Ao concluir o seu estudo, Ball (1988, apud Veloso, 2004) explica que, embora muitos
dos futuros professores do secundário, participantes em sua pesquisa tivessem sido avaliados
como bons estudantes, com excelentes classificações, não mostraram desenvolver os tipos de
compreensão requeridos para o ensino. As categorias analisadas pela investigadora
14
constituíram-se em “
subject matter
knowledg
10
”; tema que engloba o conhecimento sobre a
Matemática como disciplina científica, o conhecimento matemático e a atitude dos estudantes
perante a Matemática.
Em referência ao
conhecimento sobre a Matemática
, os alunos, poucos concebiam a
matéria como um domínio no qual podia existir argumentação e interpretação, fazendo supor
que fazer Matemática era simplesmente seguir procedimentos e chegar a respostas certas. No
que diz respeito ao
conhecimento de conteúdos matemáticos
“poucos foram capazes de
articular explicitamente significados e princípios subjacentes aos tópicos tratados” (BALL,
1988 apud VELOSO, 2004, p.42). Na percepção da referida pesquisadora, os estudantes em
sua maioria revelaram-se hesitantes e usualmente apresentaram respostas incorretas,
demonstrando um conhecimento fragmentado e desconexo.
Quanto à
atitude perante a Matemática
, a pesquisadora citada, detectou diferenças
substanciais entre os estudantes que participaram da pesquisa. As impressões se manifestavam
entre paralisados, negativos, confiantes, entusiásticos face à disciplina, embora alguns desses
estudantes, não dessem conta do seu conhecimento fragmentado e até mesmo deficiente para
o ensino.
Observando os resultados encontrados por Ball em 1988 e, considerando o que se
apresentam nas pesquisas atuais que focam esse ponto, podemos entender que muita coisa não
mudou, a problemática continua, e isso pode ser notado em Moreira e David (2005) ao expor
a tensão que há sobre a formação de professores - esses autores discutem em seu livro
conflitos subjacentes à Matemática Escolar e à Matemática Acadêmica. Sob esse enfoque eles
assinalam que:
Se a Matemática Escolar é concebida como mero subconjunto da
Matemática Científica, a tendência é reduzir a primeira à parte
elementar da última, com a conseqüente desqualificação do
conhecimento matemático escolar frente ao saber acadêmico.Nesse
processo a Matemática Escolar acaba se tornando apenas o elemento
fácil, simples e básico do complexo sofisticado edifício da Matemática
Científica. Essa concepção pode implicar, ainda, a idéia de que não há
muito que investigar, questionar ou refletir sobre a Matemática
Escolar e associar a ela a condição de conhecimento naturalmente
‘dado’ dentro do processo de formação profissional do professor. [...]
uma reflexão profunda sobre o papel da Matemática Escolar no
currículo da licenciatura pode contribuir para introduzir uma
referência mais direta e intrínseca da prática escolar no processo de
formação inicial do professor. (MOREIRA e DAVID, 2005, p. 34-35).
10
Conhecimento do conteúdo da matéria.
15
Referindo-nos a Liping Ma (1999) o destaque também é dado em sua tese de
doutorado, publicada em forma de livro
11
, na qual compara o conhecimento matemático dos
professores relativo aos tópicos de Matemática elementar que devem ensinar aos seus alunos.
Nesse trabalho Ma (1999, apud Veloso, 2004), retoma as objeções de Deborath Ball
(1988, apud Veloso, 2004), relativamente ao
terceiro
pressuposto, ou seja, os
estudos
universitários de Matemática asseguram um conhecimento matemático para o ensino
, o
que no conduz a concluir que o sucesso nos cursos de formação inicial em Matemática para
futuros professores não implica necessariamente uma profunda compreensão da Matemática
elementar que vão ensinar.
Para chegar a essa conclusão Ma (1999, apud Veloso, 2004), entrevistou vinte e três
professores americanos e setenta e dois chineses, no qual foi proposta aos mesmos, quatro
questão concebida por Ball em 1988, na sua tese de doutorado. Ao comparar o desempenho
frente às respostas para as quatro questões, Ma (1999, apud Veloso, 2004), observa que os
professores chineses mesmo tendo uma preparação mais rápida que os professores americanos
apresentaram resultados significantes, pois de um modo geral responderam adequadamente,
como se espera que um professor de Matemática o faça, ao contrário dos professores
americanos que demonstraram carências preocupantes.
Segundo a referida pesquisadora, essas carências emergiram da ausência de explicitar a
origem e a razão dos procedimentos adotados e, em alguns casos, a incapacidade de resolver
corretamente algumas operações.
Considerando, portanto, as evidências encontradas em seu estudo, Ma (1999, apud
Veloso, 2004), introduz um conceito relativo ao conhecimento matemático,
o entendimento
profundo da Matemática fundamental (PUFM)
12
,
o qual apresenta
um grau de
conhecimento próprio dos professores e que deve ser atingido no decorrer do seu
desenvolvimento profissional.
Nessa perspectiva, um professor com um
PUFM
, possui competências tais como
conectividade
, ou seja, o professor deve ter a capacidade de fazer conexões entre conceitos
matemáticos e procedimentos, desde conexões simples e superficiais entre partes isoladas do
conhecimento até conexões complexas e subjacentes, bem como, entre operações e
subdomínios matemáticos os quais refletidos no ensino, poderão evitar que a aprendizagem
11
Intitulado: Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers understanding of fundamental
mathematics in China and the United States.
12
A Profound Understanding of Fundamental Mathematics (PUFM)
16
dos alunos se torne fragmentada, possibilitando aos mesmos aprenderem um corpo unificado
de conhecimentos.
Uma
segunda
característica associada ao PUFM, a qual o professor, segundo Ma
(1999, apud Veloso, 2004), deve adquirir, é a
possibilidade de múltiplas perspectivas
, nesse
caso espera-se que o professor considere os diversos aspectos de uma idéia e suas várias
abordagens na resolução de um problema, observando as suas vantagens e inconveniências.
Além disso, que seja capaz de fornecer justificações dessas abordagens e argumentos
apresentados.
Assim, na concepção de Liping Ma (1999), essa capacidade possibilita o professor
conduzir os seus alunos em direção a uma compreensão substancial da disciplina. A
terceira
competência caracteriza-se por
idéias básicas
, ou seja, os professores dotados desse profundo
conhecimento possuem atitudes favoráveis à Matemática, e estão sempre atentos aos simples,
mas fundamentais conceitos e princípios básicos da Matemática (por exemplo, a idéia de
equação) de modo a estarem predispostos a revisitar e reforçar essas idéias sempre que
necessário, encorajando os alunos a fazerem o mesmo, o que pode conduzi-los a desenvolver
atividades matemáticas significativas.
Por último, a
coerência longitudinal
, característica que, segundo Ma (1999, apud
Veloso, 2004), habilita o professor limitar-se ao conteúdo que deve ser ensinado em certo ano
de escolaridade, ao contrário possibilita ao mesmo o conhecimento profundo do currículo
matemático elementar, buscando sempre valer-se de oportunidades para rever conceitos
cruciais que os alunos estudaram anteriormente, bem como o que os alunos vão estudar a
seguir e, deste modo, criar oportunidades para estabelecerem bases para essa nova
aprendizagem.
As pesquisas de Ball (1988), Liping Ma (1999), Moreira e David (2005) acima citados,
representam trabalhos desenvolvidos na perspectiva educacional, esses autores apontam uma
tensão fundamental que solicita uma postura frente a tal problemática por todos os
profissionais preocupados com a formação inicial de professores e, reconhecemos esses
trabalhos como extremamente positivos perante a Educação Matemática.
Vale ressaltar que não somente educadores matemáticos se preocupam com essas
questões, “matemáticos puros” também fazem suas críticas e apontam sugestões acerca do
tema o qual estamos a discutir - conhecimento do futuro professor de Matemática frente à sua
formação.
17
Um exemplo de contribuição que pode ser apresentado na perspectiva matemática é o
de Hung-Hsi Wu
13
(1997). Ao lermos o texto de Veloso (2004), compreendemos que Wu
(1997), adota com admiração o livro de Liping Ma (1999), deixando claro essa aprovação
quando afirma que “tendo refletido em profundidade sobre o conhecimento da Matemática
escolar por parte dos professores, sugiro que para melhorar a Educação Matemática dos
alunos, uma ação importante a tomar é melhorar a qualidade do conhecimento da Matemática
escolar dos seus professores” (WU, 1997, apud VELOSO, 2004, p.49). Nesse sentido, Wu
(1997, apud Veloso, 2004), enfatiza que, o principal objetivo a ser alcançado é que esses
sejam capazes de aprender Matemática e, além disso, que reflitam profundamente sobre o
currículo do ensino básico e secundário.
É importante ressaltar que Wu (apud Veloso, 2004), já em 1992 fazia fortes críticas à
formação dos futuros professores, o que pode ser observado quando enuncia;
Existem muitas razões para explicar a performance tão fraca de tantos
professores de Matemática. Uma razão óbvia é que nunca aprenderam
corretamente Matemática desde o jardim de infância até o fim da
universidade. Isto é um obstáculo a possibilidade de um bom ensino porque
não se pode ensinar o que não se sabe. Outra explicação para sua fraca
performance é que a sua abordagem pomposa, dissecada e rígida da matéria
afasta logo de início os alunos. Na maior parte dos casos, estes professores
nunca viram outro tipo de ensino do que o dos seus professores, na escola e na
universidade, igualmente pomposo, dissecado e rígido. Anos e anos de
exposição a este mau ensino deixam naturalmente as suas marcas. Em teoria
estes erros no modo de ensinar de cada um seriam eliminados em aula de
pedagogia no departamento de educação, mas essa teoria falha por duas
razões. A primeira, é que desfazer este problema pedagógico, requer um
profundo conhecimento matemático da parte dos futuros professores e de seus
formadores. A segunda, é que não se podem eliminar os efeitos perniciosos
dos anos e anos de observação direta de um mau ensino num semestre ou dois
de amáveis discussões sobre a maneira de ensinar. Por isso um ponto de
partida para o desenvolvimento profissional dos futuros professores tem que
consistir num melhor ensino em toda a universidade (e certamente nas escolas)
(p.48).
De acordo com Veloso (2004), H. Wu trabalhou por oito anos, aproximadamente, com
a formação continuada de professores em cursos de verão, no qual a sua principal
preocupação consistia na necessidade de preparação dos futuros professores. Em adição á esse
trabalho escreveu artigos os quais tratavam sobre questões educacionais como também textos
de Matemática elementar muito interessante.
Sob esse último enfoque, no texto de Veloso (2004), é ressaltado um artigo onde H.
Wu (1992) explica que:
13
Do Departamento de Matemática da Universidade da Califórnia, Berkeley.
18
No geral os cursos de licenciatura em Matemática são pensados para
estudantes que futuramente farão cursos de pós-graduação e, por conseguinte
esses cursos procuram dar ao estudante um embasamento para posteriores
investigações em Matemática (avançada, acréscimo nosso). Sendo assim, a
atenção é focada nos procedimentos técnicos em detrimento a uma apreensão
mais substancial dos assuntos abordados nas disciplinas de Matemática (WU,
1992, apud VELOSO, 2004, p. 49).
Mais recentemente, Wu, (1997, apud Veloso, 2004), escreve que o problema consiste
no fato que apenas 20% desses estudantes seguem para Pós-Graduação em matemática, os
restantes prepararem-se para serem futuros professores e, sendo assim, seria de fundamental
importância que esses 80% entendessem melhor o que aprenderam “mal” ou deixaram de
aprender na escola.
Na opinião desse matemático, a educação universitária proporciona aos estudantes
uma formação longa baseada em tecnicismo, mas curta na informação essencial mínima que
permite aos estudantes compreender os fatos elementares sob um ponto de vista avançado e,
nesse sentido, a proposta apresentada por ele é que novos cursos sejam criados para futuros
professores e, que embora, qualitativamente diferentes não impliquem em menos qualidade.
Ele ainda propõe que esses cursos deveriam obedecer as
seguintes condições
: fazer conexões
explícitas entre temas do curso e os tópicos da Matemática elementar, colocar os temas no seu
contexto histórico e, por último, situar os temas em contextos matemáticos amplos. Sendo
que, essa última condição implicaria na importância dos futuros professores de Matemática
adquirirem uma cultura Matemática mais ampla. As idéias de Wu foram propostas em 1997,
mas dez anos depois parecem apoiar-se no contexto atual de ensino da Matemática.
Na mesma linha de pensamento de Wu (1997), Al Cuoco (2001, apud Loureiro, 2004),
sugere uma lista de características que devem consistir em uma estrutura base de qualquer
disciplina de Matemática na formação de professores, tais como: a organização e claros
objetivos na abordagem dos conteúdos, a Matemática deve ser concebida como algo que se
faz mais do que algo que se memoriza, a ênfase deve estar presentes nos raciocínios aplicados
as atividades matemáticas, introduzir os alunos em uma cultura que prestigie uma abordagem
histórica, bem como estar focado nas interações entre alunos e professores. Por fim tomar os
problemas como precedentes às abstrações, a experiência como precedente dos sistemas de
axiomas, e o raciocínio do aluno como centro de aprendizagem.
Embora tenha prescritas essas características em menção ao conhecimento do
professor, Al Cuoco (2001, apud Loureiro, 2004), admite que mais importante do que listar
características é pensar sobre o modo como são entendidas as idéias e, sendo assim, ele afirma
19
“podemos fazer listas de tópicos, mas estas serão ineficazes se não encontramos maneiras de
comunicar o espírito de fazer Matemática às pessoas que vão ser professores de Matemática”
(AL CUOCO, 2001, apud LOUREIRO, 2004 p. 95).
Ao destacarmos trabalhos realizados por matemáticos, achamos relevante citarmos
outros dois matemáticos de indiscutível competência conhecidos por Klein (1849-1925) e
Lebesgue (1875-1941), os quais escreveram importantes textos sobre a preparação dos futuros
professores de Matemática. Referindo-nos inicialmente a Félix Klein (1849-1925), é
importante notar que já em 1908 escrevia “A Matemática não é um conjunto de temas
isolados, mas um organismo vivo” (KLEIN, 1908, apud VELOSO, 2004, p.58). Através dessa
frase é possível perceber a sua preocupação em relação ao ensino da Matemática e, para nós,
que nos preocupamos com a Educação Matemática e com a formação dos futuros professores
é muito gratificante constatar que um matemático tão ilustre como Klein (1849-1925) dedicou
tanto esforço em prol de uma melhor educação para o estudante candidato ao professorado.
Em seu livro intitulado:
Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint
14
Félix
Klein (1849-1925) mostra a sua apreensão a respeito do ensino universitário dos futuros
professores de Matemática, escrevendo que:
Os universitários estavam preocupados exclusivamente com a sua ciência, sem
pensar sequer um momento nas necessidades das escolas, sem mesmo se
preocuparem em estabelecer ligações com a Matemática escolar. Qual era o
resultado dessa prática? [...] Quando depois de ter acabado o curso, esses
estudantes (acréscimo nosso) se tornavam professores e percebiam que se
esperavam deles que ensinassem a Matemática tradicional à antiga maneira, e
como eram incapazes (sem ajuda) de descobrir qualquer ligação entre esta
tarefa e a sua Matemática universitária, recaiam rapidamente no modo habitual
de ensinar, e dos seus estudos universitários restavam apenas uma mais ou
menos agradável memória, que não tinha qualquer influência no seu ensino.
[...] Existe agora (referindo-se ao ano de 1908) um movimento para abolir esta
dupla descontinuidade, a qual é prejudicial para a escola e para a universidade.
Por um lado, desenvolve-se um esforço para impregnar a matéria ensinada
pelas escolas secundárias com novas idéias originadas nos avanços modernos
da ciência e de acordo com a cultura moderna. [...] Por outro lado, faz-se uma
tentativa para ter em conta na formação universitária, as necessidades dos
professores da escola secundária. [...] O meu objetivo será sempre de mostrar
as conexões mútuas entre os problemas dos vários domínios (álgebra, teoria
dos números, teoria das funções, geometria,...) coisa que não é feita
suficientemente nas aulas habituais, e em especial salientar as relações entre
esses problemas e os da Matemática escolar. Deste modo espero tornar mais
fácil para os estudantes (acréscimo nosso) adquirir aquela capacidade que
considero como a verdadeira meta que devem ter os futuros professores frente
aos seus estudos acadêmicos: a capacidade de retirar (em larga escala), do
14
De acordo com a transcrição feita por Veloso (2004) de parte do livro (1º. Parágrafo), esse livro foi inspirado
nos ciclos de lições realizadas por Klein durante muitos anos em Gottingen, destinadas a professores e futuros
professores do ensino secundário (ensino médio).
20
amplo corpo de conhecimentos que a universidade coloca diante deles, um
estímulo vivo para o ensino (KLEIN, 1908, apud LOUREIRO, p. 58-59)
Henri Lebesgue (1875-1941), por sua vez era considerado um notável matemático e
também um famoso professor e formador de professores, tema que tinha em alta conta.
Certamente isso explica a razão da sua preocupação perante a formação Matemática dos
professores. Essa preocupação é demonstrada ao declarar que: “desejaria que os professores
fossem preparados nos seus cursos a dominar completamente o que ensinam” (LEBESGUE,
apud VELOSO, 2004)
15
, acreditando que não é pedir muito que os professores avancem um
pouco mais em relação ao ensino secundário e, nesse sentido, faz o seguinte questionamento:
Quais são os prolongamentos naturais da Matemática elementar? Lebesgue (1875-1941), em
seu comentário avança com algumas sugestões gerais de conteúdos para os cursos de
Matemática universitários dos futuros professores:
Seria necessário que os candidatos estudassem a Matemática [...] que
estabelece conexões mais diretas entre partes aparentemente muito distantes
do programa (matérias como geometria pura, teoria dos números, álgebra
superior entre outras) que são de tal modo ligadas à Matemática elementar.
[...] Todas em qualquer caso, deveriam ser estudadas como prolongamentos e
esclarecimentos da Matemática elementar e não como degrau para subir ainda
mais alto em geometria pura, em teoria dos números etc. (LEBESGUE, 1904,
apud VELOSO, 2004, p. 62).
Vale ressaltar nesse contexto, que segundo Veloso (2004), o modo como Lebesgue
(1875-1941), tratava as questões do ensino dos vários temas matemáticos era exemplar. Na
sua metodologia de ensino comumente adotava uma perspectiva histórica ao tema
apresentado, preocupando-se em apresentar as várias abordagens possíveis seja ela
geométrica, gráfica, algébrica. Em suas palavras afirma que “é necessário observar, constatar
em vez de deduzir, a figura encarrega-se das deduções, tal como as equações o fazem em
geometria analítica” (LEBESGUE, 1901, apud VELOSO, 2004, p. 65).
Tendo em vista esse panorama, passemos agora a abordar com mais propriedade sobre
a importância da disciplina Cálculo Diferencial Integral, particularmente de Cálculo I, na
formação do futuro professor de Matemática.
15
Extraído de uma crítica aos concursos (da época) de recrutamento de professores - a então chamada
Aggrégation
21
1.4. O Cálculo Diferencial e Integral I: Uma Disciplina Fundamental para
a Formação de Futuros Professores de Matemática.
De acordo o que foi discutido no Item 2.3. e, trazendo a esse debate a formação de
professores no contexto da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I, passemos a considerar
as seguintes questões: Existem relações entre a disciplina Cálculo e a Matemática escolar em
nível médio e fundamental? Que conhecimentos essa disciplina pode incluir em seu percurso
para a formação do futuro professor de Matemática? Quais abordagens poderiam ser
utilizadas para possibilitar esse conhecimento? Questionamentos como esses nos motivaram a
investigar mais profundamente Quais as contribuições das representações matemáticas em
uma perspectiva semiótica, por meio de softwares educativos, para o conhecimento do futuro
professor de Matemática no contexto da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I?
Nessa perspectiva, compreendemos ser importante que no ensino da referida
disciplina, os estudantes tenham a oportunidade de estabelecer um vínculo entre os conteúdos
estudados e a Matemática apresentada no ensino médio e fundamental, possibilitando aos
mesmos perceberem o significado do conhecimento aprendido, de maneira que, futuramente,
esses possam ser aplicados em situações diversas em sala de aula. Por conseguinte, esperamos
que os conhecimentos apreendidos possam gerar transformação de caráter cognitivo no
processo de aquisição de conhecimentos importantes e pela compreensão da lógica que os
sustenta. Dentre esses saberes importantes, inclui-se o aprender a ensinar, de maneira que:
Ensinar didática ou metodologia pode ser feito por todas as disciplinas. [...]
Investigar conceitos da disciplina em estudo, analisar a gênese de determinado
conhecimento, de sua linguagem ou, ainda, de suas aplicações dentro ou fora
da Matemática, podem ser alguns exemplos de como as disciplinas
específicas, sem abandonar os conteúdos que valorizam, podem formar o
professor no sentido amplo (DINIZ e SMOLE, 2002, p 42).
Esse enfoque impõe ao professor formador e ao futuro professor, um constante diálogo
sobre o que é apreendido em termos de conteúdos específicos, articulando o que se propõe a
ensinar na matemática escolar e o que se estuda na universidade, proporcionando ao professor
em formação uma maior proximidade da realidade que o espera, isto é, a realidade que terá
que enfrentar a cada dia de sua vida profissional.
De acordo Barufi (2002), no curso de Matemática, Bacharelado ou Licenciatura, o CDI
I é concebido como uma disciplina básica, pré-requisito para várias outras. O Estudante
quando chega à Universidade e começa a estudar Cálculo, espera conseguir uma integração
com o que trabalhava na escola secundária. Mas, para a maioria dos estudantes, a Matemática
22
da Escola Secundária pouco ou nada tem a ver com o que lhes é apresentado no Cálculo. E, o
caráter de análise com o qual passa a se defrontar parece constituir uma grande dificuldade.
Entretanto, sendo o Cálculo uma disciplina considerada tanto pelos professores como pelos
estudantes de grande relevância, porque provoca tanta frustração? Tanto do ponto de vista dos
professores como dos próprios alunos?
Nesse sentido, é importante ressaltar que nas escolas de Ensino Médio normalmente
não são mostrados textos relativos ao que se é apresentado no Cálculo Diferencial e Integral.
Antes de chegar à Universidade, os alunos trabalharam alguns conceitos matemáticos muitas
vezes de maneira isolada dando a impressão de a Matemática ser estática e, quando esses
alunos se defrontam com assuntos tais como Limite, Derivada, Integral, por exemplo,
percebem que não é assim, a Matemática expressa movimento e já no primeiro curso de
Cálculo são defrontados com um tratamento lógico-formal dedutivo.
Nesse nível os alunos aprendem Cálculos Infinitesimais diferente da escola básica. A
abstração de trabalhar com a noção de infinito traz ao aluno, muitas vezes, decepção e
despreparo, pois o
Cálculo Diferencial e Integral
também chamado de
Cálculo
Infinitesimal
ou simplesmente
Cálculo
se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas
(como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma
curva ou o volume de um sólido), de maneira que o Cálculo tem como objeto de estudo às
funções matemáticas, prioritariamente o movimento ou crescimento de fenômenos variáveis
16
,
no entanto, essas noções normalmente não são exploradas no Ensino Médio, o que não é de se
surpreender que os estudantes ao se depararem com esses os conceitos, próprios da disciplina,
expressem estranhamento.
No Brasil, o ensino do Cálculo tem sido responsabilizado por um grande número de
reprovações e de evasões de estudantes universitários. A preocupação por parte dos
pesquisadores a respeito do ensino do Cálculo não é recente. Os temas mais abordados têm
girado em torno do uso de metodologias que possam motivar e desenvolver a capacidade
criadora e perceptiva do aluno no uso da modelagem, do trabalho de projetos, da utilização do
computador etc.
Pesquisas desenvolvidas, mostrando as dificuldades que os alunos apresentam no
início da universidade, quando começam a estudar Cálculo Diferencial e Integral I, buscam
identificar quais os principais fatores para tais obstáculos. Segundo Olímpio Junior (2005):
Os processos de ensino e de aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral
têm se constituído em objeto de investigação por toda uma classe de
16
Definições encontradas em http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo . Acesso em 09 de Setembro de 2006.
23
pesquisadores em Educação Matemática no Ensino Superior, no Brasil e no
Exterior, principalmente a partir da década de 1980. Sintomas das dificuldades
emergentes em tais processos - e que continuam desafiando alunos,
educadores e pesquisadores atuantes neste nível de ensino - materializam-se
de maneira bastante preocupante, por exemplo, pelos elevados índices de
reprovação e de desistência da disciplina, os quais, possivelmente, num efeito
colateral perturbador, contribui para a manutenção dos singulares índices de
evasão dos cursos de Licenciatura/Bacharelado em Matemática no cenário
brasileiro, em particular naqueles vinculados às universidades públicas (p.1).
Villarreal (1999), em sua pesquisa de doutorado, também aborda sobre a problemática
do ensino do Cálculo mostrando às preocupações ligadas às dificuldades subjacentes a forma
do professor ensinar e as dificuldades do aluno aprender. Em uma das suas discussões, ela
aponta
17
que, uma das características básicas que permeiam as aulas de Cálculo, são: “aulas
expositivas, centradas na fala do professor, conteúdos apresentados como pontos
inquestionáveis, sem relação com situações reais, apresentações caracterizadas pela
seqüência: definições, enunciados, teoremas e demonstrações, seguidos de cálculos e
exercícios” (p.24) acrescentando que tal estrutura é refletida nos livros de Cálculo
18
. Nesse
sentido: “a formalização precoce gera dificuldades aos estudantes, sendo ingrediente
fundamental para o fracasso do ensino e da aprendizagem da Matemática, particularmente do
Cálculo I (acréscimo nosso), por exemplo, nos elevados índices de reprovação, insucesso,
abandono e repetição” (NEMIROVSKY, 1993, PALIS, 1995, apud VILLARREAL, 1999, p.
24).
Em relação às dificuldades, elas não se limitam apenas as acima citadas, refletem-se
também ao grande número de estudantes presentes em sala de aula, principalmente no curso
de Cálculo I, o que dificulta a relação entre professor-aluno, em termos de comunicação
individual, no sentido de o que pensa o aluno, suas compreensões, suas dúvidas, que visão ele
tem sobre determinado conceito ou procedimento matemático.
Em particular, nos cursos de Cálculo I, o professor ao introduzir idéias abstratas como
a noção de
Limite
, por exemplo, constitui para um estudante recém chegado, uma fase difícil,
porque implica em uma mudança profunda na sua maneira de raciocinar obrigando-o a pensar
de maneira diferente ao que estava acostumado. “Na própria notação
L)x(flim
ax
=
==
=
→
→→
→
o sinal de
igualdade não tem o mesmo significado com o qual o aluno estava acostumado na escola
17
Fundamentada no texto de Franchi (1995)
18
Hoje, alguns livros de Cálculo como o de Howard Anton, Stuart já apresentam mudanças significativas em
relação à perspectiva apresentada por Villarreal em 1999. Entretanto poucas mudanças ocorreram em sala de
aula, para o ensino do Cálculo.
24
básica, pois envolve a idéia de ‘arbitrariamente próximo’, que é completamente nova”
(CÂNDIDO, BARUFI e MONTEIRO, 2004).
Outra questão apontada pelas autoras acima referidas constitui-se no fato que, “cada
estudante, considerado como um futuro profissional de sua área, precisará certamente
desenvolver habilidade e competência na utilização da tecnologia” (CÂNDIDO, BARUFI e
MONTEIRO, 2004, p.2). Nesse sentido, concebemos a disciplina Cálculo I como básica,
ampla, integradora e com um farto e rico material, envolvendo conceitos matemáticos que
podem ser explorados pelo professor na sua prática em sala de aula. Além do que, o Cálculo
favorece esse tipo de desenvolvimento.
Logo, podemos reconhecer que através de uma abordagem constituída de significado, a
qual essa pesquisa se propõe a mostrar, poderá ser possível contribuir com o conhecimento do
futuro professor no contexto do Cálculo Diferencial e Integral. Conscientes de que, para
desenvolvermos o conhecimento não basta uma simples imposição de conteúdos ou exposição
de metodologias diversas, mas, esse processo envolve toda uma estrutura complexa de
experiências que podem ser refletidas com a ajuda do professor e do cenário de ensino,
podendo assim contribuir para a constituição do conhecimento, nesse sentido, acreditamos
que, para que esses conhecimentos se constituam, torna-se necessário estarmos sempre aberto
a metodologias problematizadoras, contemporâneas e interessantes, as quais possam deflagrar
uma ação cognitiva em busca à uma maior compreensão por parte dos estudantes (futuros
professores) dos processos e conceitos matemáticos.
Nessa perspectiva, a partir do estudo de Garcia Blanco (2003),é possível perceber que
o os conhecimentos necessários ao professor de Matemática podem ser caracterizados em:
Conhecimento/ aprender a ensinar
, o qual é destacado o conteúdo específico como o
conhecimento proveniente do ensino e aprendizagem de noções matemáticas concretas.
Conhecimento/ prática profissional
, no qual as principais idéias a ressaltar são que o
desenvolvimento do conhecimento relacionado à prática profissional está vinculado à
participação e a reflexão, pois quando o professor pensa e reflete sobre o que acontece em sala
de aula, ele produz um conhecimento, o que nos faz pensar que
a prática do trabalho do
professor pode transformar a experiência docente
. Por fim, o
Conhecimento cognitivo
,
no qual pesquisadores buscam elaborar modelos que possam descrever estruturas mentais dos
futuros professores, de forma a identificar diferenças no que concerne ao conhecimento do
professor experiente e do professor novato, bem como ao conhecimento apreendido.
Considerando, portanto, as abordagens e concepções apresentadas por vários
pesquisadores e estudiosos revelados nesse capítulo deduziram que questões tão complexas,
25
como investigarem e evidenciar os conhecimentos necessários ao futuro professor de
Matemática, não apresentam soluções simples, mas, alguns pontos ficam em evidência, como
por exemplo, a importância do professor obter um conhecimento amplo e integrado da
Matemática, bem como o de desenvolver uma atitude de investigação e de permanente
questionamento sobre o que está sendo ensinado.
No próximo capítulo estaremos discutindo sobre Semiótica, e as principais aplicações
da Semiótica ao ensino da Matemática. Neste capítulo apresentamos um breve panorama
sobre como as representações matemáticas podem ser compreendidas sob a perspectiva da
Semiótica Peirceana e quais as potencialidades didático-cognitivas das representações na
constituição do conhecimento do futuro professor de Matemática.
Uma Introdução à Semiótica
Capítulo 2
Uma Introdução à Semiótica
26
Uma Introdução à Semiótica
27
Capítulo 2
Uma Introdução à Semiótica
2.1. Apresentação.
"Those who can, do. Those who understand, teach”
(Shulman, apud Kathryn F. Cochran, 1997, p. 14)
Neste capítulo pretendemos buscar alguns esclarecimentos sobre Semiótica na
perspectiva de Charles Sanders Peirce e, nesse processo, tentar compreender o significado e as
inter-relações existentes entre signo, objetos e representações e suas implicações para os
processos de ensinar e aprender Matemática.
Essa abordagem se faz necessária, pois se pretendemos analisar as contribuições das
representações matemáticas e sua importância na constituição do conhecimento matemático
na formação de futuros professores, por meio do contexto das Tecnologias de Informação e
Comunicação, as quais estão inteiramente inter-relacionadas à ciência Matemática e a uma
linguagem lógica, é importante que compreendamos os princípios signícos das linguagens
verbais e não verbais desse universo matemático.
2.2. Dando os Primeiros Passos... O que é Semiótica?
Segundo Santaella (2004a) o nome Semiótica vem da raiz grega Semeion, que
significa signo. Portanto, Semiótica é a ciência dos signos - os signos da linguagem ou em
termos mais gerais a Semiótica é a ciência das linguagens. Nesse sentido, fazemos uma
ressalva, de maneira a esclarecer que tipo de linguagem a autora se refere. Existem diferenças
entre língua e linguagem e, sendo assim, existem as linguagens verbais e não verbais. A mais
evidente e natural corresponde à língua nativa, materna ou pátria e que, segundo a referida
autora, tendemos a desaperceber que esta não é a única forma de nos comunicarmos com o
mundo e com quem está ao nosso redor.
Muitas vezes esquecemos que a nossa condição de sobrevivência neste planeta está
intrinsecamente relacionada a uma rede múltipla de linguagens, ou seja, através da “leitura
e/ou produção de formas, volumes, massas, interações de forças, movimentos; que somos
também leitores e/ou produtores de dimensões e direções de linhas, traços, cores... enfim,
também nos comunicamos e nos orientamos através de imagens, gráficos, sinais, setas,
28
números, luzes, da linguagem do computador, bem como, por meio de objetos, sons musicais,
gestos, expressões, cheiro e tato, através do olhar, do sentir e do apalpar. “Somos uma espécie
animal tão complexa quanto são complexas e plurais as linguagens que nos constituem como
seres simbólicos, isto é, seres de linguagem”. (SANTAELLA, 2004a, p. 10).
Vale notar que o que diz a autora é que não existe uma exclusividade da língua
materna como forma de linguagem ou como veículo comunicativo, mas da existência de
muitas outras formas de interação entre o ser humano e o mundo que o rodeia. A autora ainda
explicita que, a língua, como meio de comunicação é privilegiada devido a uma subordinação
histórica, o que veiculou uma crença de que a única maneira de conhecimento, de cultura,
interpretação do mundo são as transmitidas pela língua, na sua manifestação falada ou escrita.
O saber analítico, que essa linguagem permite, conduziu a legitimação
consensual e institucional de que esse é o saber de primeira ordem, em
detrimento e relegado para uma segunda ordem todos os outros
saberes, mais sensíveis, que as outras linguagens, as não verbais,
possibilitam (SANTAELLA, 2004a, p. 11).
Interpretando essa máxima, faremos um breve recorte histórico baseando-nos
inicialmente nas palavras de Lévy (2006), o qual aponta em seu texto que a oralidade primária
nos leva a palavra antes que uma dada sociedade tenha adotado a escrita, logo o fator
primordial consistia na gestão da memória social, as lembranças dos indivíduos, no qual o
saber era transmitido oralmente. A saber, a oralidade primária está diretamente ligada ao dizer
pela forma do “conto” danças nos gestos de variadas e múltiplas habilidades técnicas. Nada
era transmitido sem que fosse incansavelmente observado, escutado, repetido, imitado, atuado
pelas pessoas ou por uma comunidade como um todo.
A persistência da oralidade primária nas sociedades modernas não se
deve ao fato de que ainda falemos (o que está relacionado com a
oralidade secundária), mas à forma pela qual as representações e as
maneiras de ser continuam a transmitir-se independentemente dos
circuitos da escrita e dos meios de comunicação eletrônicos. (LÉVY,
2006, p. 84).
Na compreensão, desse autor, a oralidade primária sobreviveu enquanto mídia da
escrita, nos próprios textos. E quando enfim a oralidade primária “desapareceu
19
” devido à
literatura, há de certo modo uma busca, talvez como uma vocação paradoxal o de reencontrar
a força ativa e a magia das palavras.
19
Em termos, pois nós entendemos como um paradigma, pois de certo há de existir sociedades, mesmos que
raras, ainda se comunicam oralmente devido ao fato de não saber ler e escrever.
29
A oralidade secundária está relacionada ao código da palavra que é complementar ao
da escrita. E, assim sendo “através da escrita, o poder estatal comanda tanto os signos quanto
os homens, fixando-os em uma função, designando-os para um território, ordenando-os sobre
uma superfície unificada”. (LÉVY, 2006, p.88). Com esse adágio Lévy (2006) afirma que, por
meio da escrita as representações se mostram em outros formatos que não o canto e as
narrativas e com maiores possibilidades, se essas representações advêm do manuscrito ao
impresso podendo explorar o uso dos signos escriturários de modo a ser amplamente
disseminadas na sociedade.
As
representações
passam então a ser difundidas e perdurar independentemente da
memória, o que torna possível registrar os números e as palavras dispostos em tabelas e listas.
A tecnologia intelectual de fundamento escriturário como ressalta Lévy (2006), admite o
curso das “livres” e pequenas representações não subjacentes às narrativas, pois com seus
bancos de dados de caracteres diversos passam a ser armazenada em memórias óticas ou
magnéticas, e a Informática simplesmente aumenta, socialmente, a quantidade de informações
modulares e fora de contexto.
A partir do momento em que a tarefa da memória não mais se refere somente a
lembranças humanas, os longos encadeamentos de causas e efeitos perdem uma parte de seus
privilégios de conectar representações entre si. Segundo Lévy (2006), as lições de psicologia
cognitiva, a memória nos permite compreender, de uma forma mais concisa, como as
sociedades que não possuem meios de armazenamento como a escrita, o cinema ou a fita
magnética codificou os seus conhecimentos. Em seu texto ele ressalta que as representações
que têm mais chance de sobrevida deverão ser essencialmente aquelas que atenderem os
seguintes critérios:
“As representações serão ricamente interconectadas entre si, o que exclui listas e todos os
modos de apresentação em que a informação se encontra disposta de forma modular,
muito recortada”;
“As conexões entre representações envolverão, sobretudo, relação de causa e efeito”;
“As proposições devem ser dirigidas aos membros da sociedade fazendo referências a
domínio do conhecimento concretos e familiares de maneira que os membros dessa
sociedade possam ligá-las a esquemas pré-estabelecidos”;
“Essas representações deverão manter estreitos laços com o cotidiano, com os “problemas
da vida” envolvendo o sujeito e carregadas fortemente de sentimentos e emoções” (p.82).
A encenação da ação, as apresentações “dramáticas” cedem lugar, em parte, a
disposições sistemáticas. “A forma hipotético-dedutiva, ou ainda as cadeias de inferência
30
designadas a encontrar todas as conseqüências de um pequeno número de princípios mostra
outra forma de representação, uma outra forma sistemática de representar” (LÉVY, 2006,
p.93). Nesse caso, o referido autor toma como ilustração os Elementos de Euclides, aludindo
o fato das representações constituírem-se prioritariamente em figuras, construída por
características fortemente intuitivas. Com efeito, os Elementos de Euclides apresentam a
geometria como um sistema lógico, no qual, as definições, os axiomas ou postulados
conceitos e proposições são admitidos sem demonstração constituindo-se assim, em
fundamentos especificamente geométricos, baseados na existência dos entes fundamentais:
ponto, reta e plano.
Outra característica inerente a esse sistema relaciona-se ao fato de que os teoremas não
aparecem agrupados ao acaso, mas antes expostos em uma ordem perfeita. Cada teorema
resulta das definições, dos axiomas e dos teoremas anteriores, de acordo com uma
demonstração rigorosa. A “partir então da negação do quinto axioma de Euclides e a
introdução do conceito de conjunto não-cantorianos” (HILDEBRAND, 2002, p.43), foi
possível, segundo o autor citado, desvincular a idéia de percepção espacial Matemática das
Geometrias de maneira que por meio da teoria axiomática, tornou-se possível operar
matematicamente e de forma generalizada, na qual a escrita é a principal ferramenta para tal
ação.
A oralidade e a escrita são, portanto linguagens essenciais e intrínsecas à nossa vida. A
escrita, por sua vez, constitui-se na forma representativa mais freqüente e estável de transmitir
a conversação, os assuntos de caráter prático vivenciados em nosso dia a dia, além de, em um
contexto matemático, pois, “permitem construir modelos absolutamente abstratos e totalmente
desvinculados do mundo real. Esses são baseados em signos, operações e estruturas, muitas
vezes impossíveis de serem associados às coisas da percepção intuitiva” (HILDEBRAND,
2002, p.43-44). Nesse sentido, Lévy (2006), sublinha: “Não existe teoria enquanto gênero de
conhecimento socialmente estabelecido sem o uso regular da escrita” (p. 92). No entanto,
conforme Santaella (2004a), em todos os tempos, os grupos humanos trazem o legado de
outras e distintas linguagens verbais e não verbais como a linguagens dos sons, dos surdos-
mudos, dos números, etc. O que implica que, quando nos referimos à linguagem nos
referimos a uma variedade de modos em termos de comunicação e de significados, o que
inclui a linguagem verbal falada, mas abrange também a linguagem da Matemática e tantas
outras.
Com essa percepção compreendemos que “é no homem e pelo homem que se opera o
processo de alteração dos sinais em signos e linguagens” (SANTAELLA, 2004a, p.13). Como
31
já mencionado, o termo linguagem se projeta às linguagens binárias (a linguagem do
computador) ou até tudo que toca os sentidos do homem, como a linguagem da natureza, do
nosso corpo e até mesmo a linguagem do silêncio, de modo que as linguagens e o homem
fazem parte de um sistema no qual um depende do outro.
Voltando ao debate sobre o que é Semiótica, alguns elementos podem ser
acrescentados; Segundo Santaella (2002), a
Semiótica
também chamada de
Lógica
,
subdivide-se em três ramos: A
gramática especulativa
, a
lógica crítica
e a
metodêutica
ou
retórica
especulativa
. E, dentro desse contexto;
A gramática especulativa é o estudo de todos os tipos de signos e
formas de pensamento que eles possibilitam. [...]A lógica crítica
apoiando-se nos diversos tipos de signos estuda os modos de
inferências, raciocínios e argumentos (abdução, indução e dedução)
estruturados por meio dos signos. [...] A metodêutica, por sua vez,
dispõe-se a analisar os métodos originados por cada um dos tipos de
raciocínio, baseando-se na legitimidade de seus argumentos.
(SANTAELLA, 2002, p.3).
Os três ramos da semiótica acima designados estabelecem entre si uma dependência, a
qual advém dos níveis mais baixos aos mais altos de classificação. Neste caso, a gramática
especulativa é considerada a base das outras duas. Em nossa pesquisa, apesar desses três
ramos estarem inter-relacionados, nos restringiremos a abordar a gramática especulativa,
considerando seu caráter geral em relação ao estudo dos signos e conceitos abstratos,
permitindo-nos descrever, analisar e avaliar qualquer processo existente de signos verbais e
não verbais como a fala, escrita, imagens fixas e em movimento. Nesse contexto buscaremos
compreender as representações matemáticas por meio das categorias de primeiridade,
secundidade e terceiridade.
2.3. As Categorias Fenomenológicas: O“Três” como Fundamento
Peirce (apud Santaella, 2004a), a partir de uma complexa relação entre a noção de
experiência e a doutrina que compõe toda a estrutura do pensamento, concluiu que tudo que
aparece à consciência assim o faz numa gradação de três propriedades, que foram por si
denotadas: 1)
Qualidade
, 2)
Relação
e 3)
Representação
, sendo que posteriormente o termo
Relação
foi substituído por
Reação
e o termo
Representação
por uma denominação mais
ampla de
Mediação
. Para fins científicos Peirce (1839-1914) preferiu estabelecer esses
termos com as seguintes terminologias:
Primeiridade
,
Secundidade
e
Terceiridade
onde o
terceiro pressupõe o segundo e o primeiro. O segundo pressupõe o primeiro e o primeiro é
32
livre e qualquer relação superior a três passa a corresponder uma complexidade dessas tríades.
Segundo Santaella (2004a), “essas três categorias são, pois o que poderíamos chamar de três
modalidades possíveis de apreensão de todo e qualquer fenômeno esteja ele ocorrendo na
física, na matemática, biologia, na música entre outros” (p.42).
A partir de trechos de cartas enviadas para uma senhora chamada Lady Welby,
Charles S. Peirce (1839 - 1914) revela a sua preocupação em classificar e reduzir toda uma
pluralidade de fenômenos ao número três. Ouçamos Peirce:
Sabe senhora que sou particularmente favorável à invenção de
palavras novas para a tradução de idéias. Não sei se o assunto que
denomino Ideoscopia pode ser considerado uma idéia nova, mas o
vocábulo fenomenologia é empregado em sentido diverso. A
Ideoscopia consiste em descrever e classificar as idéias que estão na
experiência ordinária, ou que naturalmente brota em conexão com a
vida comum, independentemente de serem válidas ou não e
independentemente de sua feição psicológica. Dedicando-me ao
estudo do assunto, já há muito tempo, fui levado após apenas três ou
quatro anos de dedicação, a colocar todas as idéias em três classes, as
da Primeiridade, Secundariedade e Terciariedade. Esse tipo de noção
me é tão pouco agradável como para qualquer outra pessoa e, durante
muitos anos, tentei reduzir-lhe a importância e afastar-me dele.
Contudo, de há muito ele me conquistou por completo [...]. Eu
definiria Primeiridade, Secundariedade e Terciariedade em termos
seguintes [...].(p.135-136).
Por
primeiridade
, Peirce (1839 - 1914), classificou por impressão total, não
analisada, provocada por qualquer multiplicidade, não vista como fato concreto, mas
simplesmente como uma
qualidade
, mera possibilidade positiva de surgimento, é uma idéia
de primeiridade, ou seja, aquilo que é o que é sem referência a mais nada.
Logo o sentimento de
primeiridade
é um sentimento imediato, imperceptível, e
original de modo a não ser segundo para uma representação. De acordo com Santaella (2004a)
o mundo para uma criança nos seus primeiros anos de vida, antes que ela tenha desenvolvido
quaisquer distinções, ou estabelecido qualquer consciência da sua própria condição de existir
nesse mundo, implica em o primeiro, o novo, o presente, o livre, lembrando-se sempre que,
qualquer descrição desse estado deve fundamentalmente torná-lo falso.
Para nós adultos, o sentimento de primeiridade existe, mesmo que não possamos
descreve - lo, o que não significa que não possamos apontá-lo ou imaginar tal sentimento.
A idéia de
primeiridade
, portanto corresponde a um ponto no tempo, no qual nenhum
pensamento se pode colocar e do qual nenhum pormenor se pode isolar, em outras palavras,
corresponde a uma percepção indiferenciada, como vaga impressão de algo.
33
Em um contexto matemático, poderíamos ilustrar usando o fato de um estudante
visualizar na lousa o desenho do gráfico de uma função, aquele traço (uma linha, uma reta,
uma curva) por si só, sem fazer referência a nada, mas simplesmente a imagem do traço
registrado na lousa pela professora corresponde a uma primeira apreensão, uma
primeiridade
.
O primeiro avistar ou inferência (mesmo não consciente desse estado) de um dado
objeto matemático, no caso particular o desenho na lousa observado pelo estudante, essa
primeira apreensão, antes que ele faça qualquer relação com qualquer outro objeto
matemático, corresponde ao estado primeiro. Sublinhando o que diz Santaella (2004a),
entendemos que esse estado, o primeiro, vem a significar uma finíssima película de mediação,
entre os estudantes e os fenômenos, mas já suscetivelmente colocados, simplesmente por já
pertencer a este mundo ou especificamente a um dado contexto. Nesse sentido, Santaella
(2004a) reafirmando as palavras de Peirce assinala que:
Sentimento é, pois, um quase signo do mundo, nossa primeira forma
rudimentar, confusa e indeterminada de qualificar as coisas. Um
estado de quase lá, que indica uma possibilidade de ser e quase que
imediatamente caminha para o que já é, e nesse caminhar, já
chegando, ou sendo. Entramos no universo do segundo (p. 46-47).
A
secundidade
é entendida como a experiência, a energia dispensada sobre um
objetivo ou uma idéia em particular. Santaella (2004a) assinala que, estamos sempre a
esbarrar em fatos do nosso dia a dia, fatos que nos são externos, acontecimentos reais e que
invariavelmente não se rendem ao nosso bel prazer. O simples fato de estarmos vivos implica
uma reação em relação ao mundo, pois existir é fazer parte de uma conexão, ocupar um lugar
na interminável teia de imposições desse mundo em que habitamos, de modo que agir e
reagir, ocupar o nosso lugar no tempo e no espaço confrontar-nos com outros seres, com seus
propósitos e objetivos, faz parte da nossa vida.
Certamente, onde quer que haja um fenômeno, há uma qualidade, isto
é uma primeiridade. Mas a qualidade é apenas uma parte do
fenômeno, visto que para existir, a qualidade tem que estar encarnada
numa matéria. A fatalidade do existir (secundidade) está na
corporificação material. (SANTAELLA, 2004a, p.47).
Em outra perspectiva, a secundidade, poderia ser interpretada como a fase de busca
interpretativa, de indução frente a uma dada informação. O interpretante à secundidade
envolve conflito desencadeando relações indiciais (referência). Por conseguinte, como
assinala Santaella (2004a), qualquer sensação já é secundidade: ação de um sentimento sobre
nós e nossa reação específica, sobressalto do eu para com o estímulo.
34
Fazendo aqui uma ressalva, e voltando ao desenho na lousa, não como elemento de
análise, mas apenas como efeito ilustrativo, revivamos o instante em que o estudante vê o
traço na lousa, e imediatamente relaciona-o a uma parábola, por exemplo, gráfico de uma
função do segundo grau. Esse é o estado segundo, pois, “no plano da
primeiridade
a lógica é
a da mera probabilidade de ser, a força que não realiza.” (PEIRCE, apud SANTAELLA,
2004a, p.46). Mas, a sensação ou qualquer reação gerada nesse breve instante provocada por
esse sentimento quando esse estudante principia uma interpretação, diante a imagem desse
objeto matemático apresentado na lousa, identificando-o a algo real e concreto considerando,
por conseguinte, suas particularidades e/ou singularidades, é o estado de
secundidade
que se
manifesta nessa condição de confronto, na busca de compreensão associada ao caráter de
observação em relação aos acontecimentos que estão lhe sendo impostos. È também, o
momento de adentrar em um estado diferenciado de percepção, no qual outras potencialidades
de informação e aprendizagem poderão manifestar-se. Mas, renovar hábitos, sair de um estado
perceptivo, ou que seja, de um estado qualitativo, exige aplicação física e/ou mental.
Posteriormente essa passagem pode se tornar mais simples dada à familiaridade obtida pelo
estudante no desenvolvimento dos exercícios, e tarefas propostas pelo professor, sobre essa
temática.
Simultaneamente ao estado de receptividade do estudante, cabe ao professor preparar
as tarefas que mais favoreçam a compreensão do seu aluno, à descobertas de novas maneiras
que possam solucionar o dado problema. Nesse constante exercício de exploração pode esse
estudante transformar o seu modo de pensar. Evidenciamos, portanto que, nesse momento de
confronto e só nesse momento, haja o estabelecimento de uma suposta compreensão que lhe
permita relacionar conhecimentos anteriores aos novos adquiridos. Sob esse aspecto Peirce
(1839 - 1914) assinala;
A idéia típica da Secundariedade é a experiência de esforço privado da
idéia de objetivos. Cabe dizer que não há uma experiência dessa
ordem, que sempre está implícito um propósito quando um esforço se
realiza. [...] A existência da palavra ‘esforço’ é demonstração
suficiente de que as pessoas supõem possuir uma idéia; e é o quanto
basta (p.137).
Assumindo, portanto, que a idéia principal de
secundidade
é a experiência, faz-se
necessário esclarecer o que vem a ser experiência para Peirce (1839 - 1914). Ele diz:
“Experimentamos vicissitudes, especialmente, é a compulsão, a absoluta coação sobre nós de
alguma coisa que interrompe o fluxo de nossa quietude daquilo que estivemos pensando que
constitui a experiência” (PEIRCE, apud SANTAELLA, 2004a, p. 49).
35
Podemos assim interpretar que, experiência é a vida que segue, é tudo aquilo que de
uma maneira ou de outra o devir da vida nos impulsionou a refletir, é o que induz o nosso
pensar, retirando-nos do que estamos costumeiramente a vivenciar. E na nossa ação, diante de
um fenômeno é importante notar que essas reações à realidade, como afirma Peirce (apud
Santaella, 2004a, p.50), já se constituem em respostas significadas ao mundo, as quais já
deixam rastros de maior ou menor intensidade quando nos referimos à nossa experiência.
Assim em uma prática e experimentação contínua é configurado o ambiente de
exploração que vai permitir o desenvolvimento de idéias e concepções, de modo que o
conhecimento é elaborado mediante uma percepção sígnica. Se a nossa existência depende da
experiência, acreditamos que a mesma esteja implícita no processo de ensino e aprendizagem
de cada um de nós.
A
terceiridade
implica em generalidade, continuidade, crescimento e inteligência,
mas, a mais elementar idéia de
terceiridade
é aquela de um signo ou representação. Em
outras palavras, a
terceiridade
é uma
relação tríadíca
20
existente entre o signo, o objeto e o
pensamento interpretante, ou seja, um signo coloca um segundo - seu objeto em relação
cognitiva para com um terceiro - o interpretante.
Nesse sentido, Peirce (1839 - 1914) esclarece que, se pensarmos em signo no seu mais
amplo sentido seu interpretante não será necessariamente um signo
21
. Nessa medida, o
simples olhar atento do estudante, referindo-nos ao exemplo dado anteriormente, já está
carregado de interpretação, de busca de explicação, de análise e generalização, ou seja, a
caminho da terceiridade, sob a qual ele poderá interpretar o dado traço que corresponde à uma
parábola de acordo com uma suposta lei ou conceito matemático. Assim sendo, baseando-nos
nas anotações de Santaella (2004a), corroboramos com a concepção de que “é sempre o
resultado de uma ação cognitiva, produto de uma intervenção sígnica que se torna possível a
nossa orientação no espaço em busca de um reconhecimento e acessão frente às coisas, que só
o signo permite” (p.51).
O homem só conhece o mundo porque, de alguma forma, o representa
e só interpreta essa representação numa outra representação, que
Peirce denomina de interpretante da primeira. Daí que o signo seja
uma coisa de cujo conhecimento depende do signo, isto é aquilo que é
representado pelo signo. Daí que para nós, o signo seja o primeiro, o
objeto um segundo e o interpretante o terceiro (e esse interpretante não
corresponde a necessariamente um sujeito, acréscimo nosso). Para se
20
A relação triádica implica que o signo pode ser analisado, em si mesmo, nas suas propriedades internas, ou
seja, no seu poder de significar. Pode ser analisado na sua referência àquilo que ele indica, se refere ou
representa; e nos tipos de efeitos que está apto a produzir nos seus receptores, isto é, nos tipos de interpretação
que ele tem o potencial de despertar nos seus usuários.(SANTAELLA, 2005, p.5)
21
A idéia de signo será mais amplamente discutida no Tópico 2.4
36
conhecer o homem se faz signo e só interpreta esses signos
traduzindo-se em outros signos (SANTAELLA, 2004a, p.52).
Deste modo, entendemos que as palavras para significar têm que necessariamente
estarem conectadas com outras palavras, isto é, para compreendermos um dado pensamento
precisamos interpretá-lo com outro pensamento, uma representação em outra representação,
onde o signo faz o papel de mediador, pois de um lado representa o que é externo a ele, o seu
objeto, e do outro lado dirige-se a alguém, o interpretante que por sua vez processará a
mensagem advinda do signo. E esse processo ocorre infinitamente.
Quanto ao fato de sermos signos, é algo que nos parece bastante complexo, mas Peirce
(apud Santaella, 2004b) nos explica;
Decorre da nossa própria existência (que é provada pela ocorrência da
ignorância e do erro) que tudo que está presente a nós é uma
manifestação fenomenológica de nós mesmos. Isso não impede que
seja também a manifestação de algo fora de nós. [...] Quando
pensamos, em nós mesmos, tal como somos naquele momento,
aparecemos como signo. (p. 50).
A fenomenologia segundo Peirce (apud Santaella, 2004b) busca descrever, de maneira
geral, como os fenômenos passam a existir no mundo e como já citado acima, fenômeno é
todo e qualquer acontecimento, poderia ser, por exemplo, uma bomba, um sonho, uma
fórmula matemática.
Neste ponto retornamos à linguagem; “ação, pensamento, representação, mediação,
cognição, linguagem, está sob a dominância da categoria fenomenológica de terceiridade”
(IBRI, 1992, apud SANTAELLA, 2004b, p. 65). Portanto, elementos da
terceiridade
implicam em um processo de conhecimento, pois estabelece um pensamento, compõe uma
intercessão entre o estado de primeiridade e secundidade. E de acordo o texto de Peirce (1839
- 1914), não é possível a
terceiridade
sem que a
primeira
e a
segunda
estejam presentes, de
maneira que, esse entrelaçamento de experiências é uma relação fundamental para a
compreensão do pensamento.
37
2.4. O Signo: Uma Relação Triádica
Um signo é qualquer coisa, escreve Peirce (1839 - 1914);
Um signo, ou representamen é algo que sob certos aspectos ou de
algum modo representa alguma coisa para alguém. [...] Ao signo
assim criado, denomino interpretante do primeiro signo. O signo
representa alguma coisa, o seu objeto. Coloca-se no lugar desse
objeto, não sob todos os aspectos, mas com referência a um tipo de
idéia que tenho, por vezes denominado o fundamento do
representamen (p.94).
Para Peirce, a expressão “idéia” deve ser entendida de forma comum (banal) no
sentido corriqueiro em que dizemos que uma pessoa captou a idéia do outro.
Ao apontar que um Signo significa algo, Peirce (1839 - 1914) procura determinar que
ele se encontra em relação tal com um objeto que é reconhecido por uma mente como se fosse
esse objeto, seja ele real ou não.
Para que algo seja um signo deve “representar” e um signo pode ter
mais do que um objeto. Se um signo é diverso do seu objeto, deve
existir, no pensamento ou na expressão, uma explicação ou argumento
ou contexto mostrando de que modo - segundo que sistema ou porque
razão - o signo representa o objeto ou conjunto de objetos que
representa. (p.96)
Sublinhando, as palavras de Santaella (2004a), enfatizamos que um signo só pode
fazer sentido como tal se traz o poder de representar alguma coisa diferente dele. Um signo
não é um objeto, ele apenas está no lugar do objeto, fazendo referência ao objeto, de maneira
que ele só pode representar esse objeto de um certo modo e em uma certa capacidade. Por
exemplo, no contexto matemático, a aparência gráfica da palavra função, a representação
algébrica da função, o esboço gráfico da função, são todos signos do objeto matemático
função.
Ora, o signo só pode representar seu objeto para um intérprete do
signo, num processo relacional que se cria na mente do intérprete. A
partir da relação de representação que o signo mantém com seu objeto,
produz-se na mente interpretadora um outro signo que traduz o
significado do primeiro (é o interpretante do primeiro) sendo assim o
significado de um signo é outro signo (SANTAELLA, 2004a, p. 58).
A Semiótica, portanto, procurar estabelecer os modos de compreender os signos e para
que uma definição seja bem interpretada convém esclarecer, que um signo na concepção de
Peirce (1839 - 1914), mantém uma relação tríadíca, sendo que, um primeiro seu
38
representamen, estabelece uma relação com um segundo, seu objeto e para um terceiro
interpretante. Veja abaixo de maneira figurativa como se estabelece essa relação. (Figura 1)
Figura 1:A Relação Triádica do Signo
Partindo desse diagrama, podemos notar que a Figura 1 nos remete a idéia de
terceiridade abordada no Item 2.3., ou seja, um signo (representamen) coloca um segundo -
seu objeto em relação cognitiva para com um terceiro - o interpretante. Vejamos agora de
maneira mais sistemática como são estabelecidas ou apresentadas as divisões dos signos sob
uma perspectiva epistemologicamente matemática tendo como principal objetivo uma maior
elucidação, mas sempre esclarecendo que não nos adentraremos em maiores detalhes nessas
classificações na análise dos dados desta pesquisa.
De acordo com Santaella (2004), existem 10 divisões triádicas
22
. e dentre todas essas
tricotomias há três mais gerais, a saber:
a da relação do signo consigo mesmo
, a
relação do
signo com seu objeto
e a
relação do signo com seu interpretante
(Figura 2) Desta maneira,
é importante que mantenhamos na mente a leitura dos elementos do gráfico associados ás
categorias fenomenológicas descritas no Item 2.3., ou seja, as categorias de primeiridade,
secundidade e terceiridade. E, para uma melhor visualização consideremos abaixo o quadro
proposto por Santaella
23
, vide (Fig. 2).
22
As quais compõem combinações entre si. Na Figura 2, é mostrada a relação do signo consigo mesmo, o signo
com o objeto e o signo com o interpretante intrínseco as relações de primeiridade, secundidade e terceiridade.
Deste modo podemos identificar as seguintes relações: 111 - quali-signo (remático-icônico), 211 - sin-signo
(remático-icônico), 221 - sin-signo (indicial-remático), 222 - sin-signo (indicial-discente), 311 - legi-signo
(icônico-remático), 321 - legi-signo (indicial-remático), 322 - legi-signo (indicial-dicente), 331 - legi-signo
(simbólico-remático), 332 - legi-signo (simbólico-discente), 333 - legi-signo (simbólico-argumento)
23
Quadro mostrando as relações de tricotomias entre os signos, podendo ser mais bem analisado no livro O que
é Semiótica? autoria de Lúcia Santaella, 2004, p. 62.
Objeto
Interpretante Representamen
39
Signo (1º.)
(em si mesmo)
Signo (2º.)
(com seu objeto)
Signo (3º.)
(com seu
interpretante).
(1º.)Primeiridade Quali-signo Ícone Rema
(2º.)Secundariedade
Sin-signo Índice Dicente
(3º.)Terceiridade Legi-signo Símbolo Argumento
Figura 2: Contextura do Signo
A relação do representamen consigo mesmo
, pode ser através de uma
qualidade
-
Quali-Signo
, através de um
existente e singular
(algo real, concreto) -
Sin-Signo
ou através
de uma
lei geral
-
Legi-signo
.
Na relação do representamen com seu objeto,
o signo se tornará:
Um
ícone
de algo, ou seja, uma relação de semelhança;
Um
índice
, fazendo referência ao objeto que é afetado por ele também chamado de objeto
imediato
24
;
Um
símbolo
é aquilo que o signo substitui, podendo funcionar como uma lei geral, ou
convenção que faz com que essa palavra que não apresenta nenhuma semelhança gráfica
com o objeto, possa, no entanto representá-lo.
Em nível de raciocínio, ou seja,
na relação do representamen com o interpretante
,
o signo apresenta-se como:
Rema
, uma hipótese ou possibilidade, que de certo modo consiste naquilo que o signo
está apto a reproduzir na mente do interpretante qualquer e sob diversos aspectos. Assim
como supõe Santaella (2004a), há signos que são interpretáveis na forma de qualidade de
sentimento, outros através da experiência, outros através de possibilidades ou
pensamentos numa sucessão infinita;
Dicissigno
, também chamado de signo Dicente, representa um signo de existência real,
“um signo que veicula informação” (Nöth, 2003, p.88);
Argumento
, o qual se apresenta como lei.
Como podemos notar, há uma relação ulterior e exterior entre os signos correlatos
(representamen, objeto e interpretante), ou seja, um signo não é uma coisa estática, mas uma
relação intrínseca e complexa.
24
O termo objeto imediato será mais bem explicitado no tópico 2.4.1.
40
2.4.1. Objeto Imediato e Objeto Dinâmico
Para a compreensão desses conceitos vamos apresentar um exemplo matemático,
Pensemos assim, o gráfico de uma reta na tela do computador é um signo, aquilo que
representa algo em lugar de outra coisa. Em um contexto matemático - a função polinomial do
1º. Grau o objeto dinâmico desse signo, pois, esta função matemática faz com que o
interpretante estabeleça relações matemáticas para compreender sua essência. Entretanto, “o
modo como o signo representa, indica, se assemelha, evoca a que ele se refere é o objeto
imediato [...] Ele se chama imediato, pois só temos acesso ao objeto dinâmico por meio do
objeto imediato” (SANTAELLA, 2002, p.15). Nesse sentido, três são as palavras
imprescindíveis na relação entre
o objeto imediato
e
o objeto dinâmico
:
representa
,
indica
e
sugere
, pois, segundo Santaella (2002), vai depender novamente da natureza do fundamento
do signo. Se for uma
qualidade
, o
objeto imediato
só poderá
evocar (ícone), sugerir seu
objeto dinâmico
. Se for um
existente
(
indicial
) indica seu
objeto dinâmico
e se for uma
lei
(simbólico)
,
o objeto imediato
de um
símbolo
representa seu
objeto dinâmico
.
Peirce (1931-1958, apud Santaella, 2002) dividiu
os signos icônicos
em três níveis:
Imagem,
diagrama
e
metáfora
. Em nossa pesquisa vamos entender o termo diagrama como
uma representação gráfica, geométrica ou por tabelas ou ainda a imagem algébrica de uma
função. Sendo assim, podemos então nos ajustar à idéia concebida por Peirce (1931-1958,
apud Santaella, 2002) que assinala, “o diagrama representa seu objeto imediato por
similaridade entre as relações internas que o signo exibe e as relações internas do objeto
dinâmico que o signo visa representar” (p.19). Logo, o diagrama não se relaciona ao objeto
por similaridade.
No caso do
índice
, não existe uma divisão explícita, mas passa a idéia que
corresponde
as várias formas de indicar o objeto
e, em cada uma dessas variações, os
objetos imediatos são diferenciados
, pois variam o modo como
o mesmo objeto dinâmico
aparece. Pensemos assim, existem várias formas de representar um objeto. Outro aspecto
importante é que todos os
índices
trazem em si os
ícones
, pois é nessa
relação
dialética
que
faz o
índice funcionar como signo
. Por exemplo, é por meio da imagem de um gráfico que
se torna possível indicar a qual objeto (função, conceito) matemático ele se refere.
A
ação do símbolo reflete-se em seu fundamento
-
legi-signo
. Para tanto, são
prescritas determinadas condições para que a lei possa agir. Ou seja, para se representar um
41
objeto algebricamente devemos antes operacionalizar desempenhando determinados pré-
requisitos. Assim;
O objeto imediato do ícone é o modo como sua qualidade pode sugerir ou
evocar outras qualidades. O objeto imediato do índice é o modo particular pelo
qual o signo indica o seu objeto. O objeto imediato do símbolo é o modo como
o símbolo representa o objeto dinâmico. Enquanto o ícone sugere através de
associações por semelhança e o índice através de conexão de fato, existencial,
o símbolo representa através de uma lei [...] Enfim, o objeto dinâmico de um
símbolo, especialmente quando o símbolo é um conceito, se perde de vista
(SANTAELLA, 2002, p.20).
Como podemos entender então? Talvez, a principio, poderíamos inferir considerando
um determinado problema, o qual apresenta um gráfico de uma função. Assim, em nível de
primeiridade
temos a imagem do gráfico, a qual está expressa sua qualidade, caracterizando-
se em um
ícone
, cujo
objeto imediato
está relacionado às suas relações internas e, não
exatamente, por
similaridade
. Em nível de
secundidade
está a sua referencia, o que o gráfico
indica - uma representação algébrica, por exemplo, a qual se caracteriza em um caso
particular do objeto imediato indicar o seu objeto dinâmico, Em nível de
terceiridade
, nós
poderíamos pensar em termos de uma lei que representa esse objeto, tendo como referência o
ícone
e tudo que ele
indica
. O objeto dinâmico do símbolo, o que representa o objeto seria a
compreensão global e total de tudo que representa o objeto imediato. Como aponta Santaella
(2002);
O objeto dinâmico dos símbolos é uma referência última que engloba todo o
contexto a que o símbolo se refere ou se aplica [...] Um signo só pode
representar o seu contexto de referência dentro de certas capacidades e limites,
onde o recorte específico que um símbolo faz do seu contexto de referência é
o objeto imediato do símbolo (p.21).
Em relação
ao interpretante
,
o terceiro elemento da tríade que compõe o signo
.
Lembremos que, o
signo
propriamente dito é composto por uma relação triádica, onde “o
objeto é aquilo que o signo (representamen) determina e representa. Já o interpretante é o
efeito interpretativo que o signo produz em uma mente real ou meramente potencial”
(SANTAELLA, 2002, p.23). É importante enfatizar que o interpretante nem sempre é um
intérprete, constitui-se, portanto, em algo mais geral. Sendo assim,
o interpretante
pode ser
imediato
, revelando o potencial interpretativo do signo, mesmo sem mediação de um
intérprete. “É algo que pertence ao signo na sua objetividade” (SANTAELLA, 2002, p.24).
Por exemplo, uma representação matemática, seja ela em que forma se apresente, gráfica,
algébrica, geométrica, etc. tem um potencial a ser interpretado, mesmo antes de iniciarmos
42
qualquer reação em busca de indagar o que essas se propõem, existem nelas todas uma carga
interpretativa.
O interpretante também pode ser caracterizado por sua dinamicidade, envolvendo aí a
dimensão psicológica do intérprete. Para esse caso, são três os níveis que subdividem
o
interpretante dinâmico
: em
primeiro nível
caracteriza-se em uma simples
qualidade de
sentimento
(primeiridade), nesse caso ao nos depararmos com um ícone, podemos
conjecturar a respeito, comparando-o a algo que nos pareça familiar e junto a essa apreensão
alguns sentimentos podem ser revelados, tipo; familiaridade, aversão, satisfação etc.
Em segundo nível surge o efeito denominado
energético
que corresponde a uma “ação
física ou mental, exigindo do intérprete um dispêndio de energia de alguma espécie”
(SANTAELLA, 2002, p.25). Em terceiro nível, temos o efeito
lógico
, no qual o intérprete
canaliza a idéia por meio de uma regra interpretativa. Em outras palavras, “o símbolo está
conectado a seu objeto em virtude de uma idéia da mente que usa o símbolo, sem o que tal
conexão não existiria” (SANTAELLA, 2002, p. 25). Nesse sentido a autora citada assinala
que, as interpretações estão sujeitas as mudanças de hábito, o que Peirce (1931-1958, apud
Santaella, 2002) chamou de
interpretante lógico último
, argumentado “se as interpretações
sempre dependessem de regras interpretativas, não haveria espaço para transformação e a
evolução. A mudança de hábito introduz esse elemento transformativo e evolutivo no
processo de interpretação” (p.26).
Existe também um interpretante denominado
interpretante final,
considerado como
um limite pensável, pois segundo Santaella (2002), é impossível o interpretante dinâmico
chegar a um limite último de interpretação, atingir a um “total resultado interpretativo”.
A tricotomia dos signos
, como podemos ver traz um panorama lógico e complexo
que não nos compete nesta pesquisa adentrarmos em tais complexidades, embora, revele-se de
grande importância em termos de análise para o conhecimento matemático, bem como para a
interpretação de linguagens permitindo a compreensão do intricado jogo de relações que se
estabelecem numa Semiose - processo de apreensão do signo, ou em um sistema delas. Nesta
pesquisa nos limitaremos a analisar os dados coletados baseando-nos na relação triádica do
signo, observando os aspectos de primeiridade, secundidade e terceiridade como já
anteriormente anunciado.
No próximo Item abordaremos a
Semiótica de Peirce
sob diferentes perspectivas
teóricas, fundamentadas nos trabalhos de Otte (2006), Steinbring (2006), Hildebrand (2002),
entre outros. Entretanto, é importante ressaltar que não temos a intenção de fazer uma análise
dos pontos de vistas dos referidos autores, mas sim, apreendermos aspectos de suas teorias de
43
maneira que possam nos auxiliar a obter uma maior percepção em respeito à relevância da
Semiótica
e suas possíveis relações com a Matemática, situando entre essas concepções a
importância das representações sígnicas em referências aos conceitos e objetos matemáticos
que representam.
2.5. Aplicações da Semiótica para a Matemática.
Nesses últimos dez anos, os educadores matemáticos têm reunido diferentes
perspectivas teóricas, tendo como base a Semiótica. Trabalhos desenvolvidos na Psicologia,
Antropologia, Lingüística e Sociologia visando analisar e melhor compreender os processos
envolvendo o ensino e aprendizagem da Matemática.
Para um início de discussão daremos evidência ao trabalho de Steinbring (2006), o
qual postula que os signos matemáticos têm ambas as funções semióticas e funções
epistemológicas. Segundo o autor, a
função semiótica
corresponde ao signo matemático que,
sob certos aspectos, significa algo para alguma coisa, cuja ênfase consiste em privilegiar o
caráter representacional do signo. A
função epistemológica
corresponde ao papel do signo
sob a perspectiva da construção do saber e do pensamento matemático, em outras palavras
poderíamos dizer que a função epistemológica refere-se a uma mediação entre tipos de
entidades, no caso, objetos e signos.
Mediante essas duas funções, Steinbring (2006), propõe uma relação que pode ser
representada em um diagrama, denominado
triângulo epistemológico
(Figura 3), constituído
por três pontos interligados: “conceito”, “signo/símbolo” e “objeto/contexto de referência”, os
quais segundo o autor, constituem um sistema equilibrado e mutuamente apoiado.
Figura 3: O Triângulo Epistemológico
signo/símbolo
objeto/contexto
conceito
44
As ações recíprocas entre os “vértices” do triângulo e a relação dos
lados, no sentido que, signos/símbolos (por exemplo, operações
matemáticas) e os objeto/referência do contexto (por exemplo,
diagramas, estruturas funcionais etc.) devem ser produzidos
ativamente em interação com os outros, pelo estudante, no processo de
aprendizagem, observando as condições de influência epistemológica.
(STEINBRING, 2006, p. 136, tradução da pesquisadora)
25
.
De acordo com o pensamento do autor, a composição do triângulo epistemológico
(Figura 3), pode ajudar a modelar (mesmo que imperceptivelmente) o conhecimento
matemático do estudante por meio das representações construídas durante a atividade, na
interação com o professor e seus colegas em sala de aula. Além disso, abrem-se perspectivas
para um contexto cultural mais geral, no qual a formação do conhecimento matemático está
inserida. O autor ainda faz uma ressalva, explicando que o sujeito e a interação social não são
elementos analiticamente iguais em relação aos três componentes do “triângulo
epistemológico”, mas correspondem a um meta-elemento que é responsável na construção de
relações neste esquema.
Como ressalta Steinbring (2006), é claro que o conhecimento matemático não deve ser
traduzido e interpretado por uma mera leitura de signos, símbolos ou princípios. Essa leitura
requer experiência e conhecimento implícito, ou seja, não podemos entender esses signos sem
algumas pressuposições de tal conhecimento, bem como atitudes e maneiras de utilizá-lo. O
que se torna fundamental dentro de uma cultura.
O uso dos símbolos em uma cultura de ensino da matemática é
constituído de significados para letras, signos e diagramas [...] A
interação social constitui-se em uma cultura específica de ensino
baseada na escola-símbolos matemáticos que são interpretados
conforme convenções particulares e regras metodológicas. Desta
maneira a dependência escolar do conhecimento empírico e
epistemológico da matemática é criada, na qual as leituras dos
símbolos introduzidos são determinadas fortemente por regras
convencionais para facilitar o entendimento, mas esta forma de
apresentação entra em conflito com a teoria, isto é, com a estrutura
epistemológica do conhecimento matemático. (STEINBRING, 1997,
apud STEIMBRING, 2006 p. 137, tradução da pesquisadora)
26
.
25
“The reciprocal actions between the “corner points” of the triangle and the necessary structures on the side of
the signs/symbols (for example mathematical operations) and the object/reference context (for example diagram,
functional structures etc.) have to be actively produced by the learning student, in interaction with others and
observing the epistemological influence conditions ((STEINBRING, 2006, p. 136).
26
The use of the symbols in the culture of mathematics teaching is constituded in a specific way, giving social
and communicative meaning to letters, signs and diagrams(…). Social interaction constitutes a specific teaching
culture based on school-mathematical symbol that are interpreted according to particular conventions and
methodical rules. In this way, a very school-dependent, empirical epistemology of mathematical knowledge is
created interactively, in which the reading of the introduced symbols determined strongly by conventional rules
designed to facilitate understanding, but, in this way, coming into conflict with the theoretical, epistemological
structure of mathematical knowledge. ((STEINBRING, 1997, Apud STEIMBRING, 2006 p. 137)
45
Otte, ( 2004, apud, Sáenz-ludlow e Presmeg, 2006 p.19), por sua vez adotando a teoria
de Charles S. Peirce, argumenta que a epistemologia da Matemática sob o ponto de vista da
Semiótica é essencialmente uma “epistemologia genética” enfatizando a questão da função
epistemológica dos signos e do processo de generalização, o que conforme Peirce (1931-
1935, apud, Otte, 2006, p.17), generalização é um dos mais importantes processos do
pensamento matemático.
Na concepção de Otte (2006), a generalização também possui um papel fundamental,
determinando que no processo de ensino a epistemologia da Matemática implica,
principalmente, nos variantes e invariantes das suas representações. Esse autor também
assinala que, o significado surge da relação dialética do pensamento, entre o particular e o
geral, entre lei e aplicação, entre hábito e regra, entre crença e transformação.
Em relação à classificação dos signos Peirce (1931-1935, apud, Otte, 2006), entende,
que a cognição e o efeito transformador dos signos sobre o ensino conduz a todos os
envolvidos em um processo de pensamento mais generalizado sobre a atividade Matemática,
o que implica na importância dos signos ou símbolos sob o ponto de vista epistemológico da
Matemática.
De acordo com esse ponto de vista, Otte (2006), nos chama a atenção sobre a prática
da Matemática, especialmente na escola, na qual, é usualmente seduzida para uma
identificação dos signos e seus significados através de atividades, de maneira que o algoritmo
é expresso em fórmulas quando em procedimentos de cálculo, fazendo-se uma distinção entre
conceito, signos e objetos, ao invés de uma abordagem em que haja uma integração entre
esses. Nesse sentido, o referido autor ressalta que, “os conceitos matemáticos não se encontra
independente de representações, entretanto não deve ser confundido com nenhuma
representação em particular” (p. 21)
27
.
Além desses pesquisadores, acima citados, outros buscam uma compreensão dos
fenômenos matemáticos por meio de aspectos teóricos e/ou empíricos, de forma implícita ou
explícita mediadas pelos vários sistemas semióticos que circundam o ensino e aprendizagem
da Matemática. Assim, Miskulin, Martins e Mantoan, (1996) postulam que, uma abordagem
Semiótica no contexto do ensino e aprendizagem da Matemática permite “o estudante se
apropriar dos saberes com significados próprios e selecionar as linguagens e ambientes mais
próprios para representarem as suas elaborações conceituais” (MISKULIN, MARTINS e
27
Para uma leitura mais aprofundada, vide “Mathematical Epistemology from a Peircean Semiotic point of
View” por Michael Otte, (2006), p. 11-38.
46
MANTOAN, 1996, p.12). Em relação às representações as autoras acima citadas, ressaltam
que:
A representação possui uma função instrumental e um caráter de
semioticidade. Ambos são complementares e indissociáveis. A
semioticidade é abordada por diferentes modos de representação:
gestos, imagens, linguagens, entre outros. A instrumentalidade da
representação garante ao sujeito a possibilidade de refletir sobre os
objetivos e meios os quais atua (MISKULIN, MARTINS e
MANTOAN, 1996, p.12).
Com essa declaração, as autoras apontam para a relação intrínseca entre as
representações e seu caráter semiótico, o que não significa materializar o signo e sim
corporificar aa representações por meio de uma linguagem não verbal, viabilizando seus
objetivos implícitos acordando que, em um contexto matemático a resolução de problemas ou
realização de tarefas “identificam-se uma mobilidade crescente de representações”
(MISKULIN, MARTINS e MANTOAN, 1996, p.19), permitindo o estudante pensar sobre as
possibilidades de processos matemáticos frente a um dado problema. Nessa mesma linha de
pensamento, Miskulin, Moura e Silva (2006) assinalam que, frente a determinadas
representações;
Observam-se progressos e também regressões temporárias, quando um
sistema de representação está sendo constituído pelo sujeito. Podemos
dizer que um dado conhecimento quando expresso por diferentes
sistemas de representação torna-se mais compreensível pelo sujeito.
“Quanto mais o sujeito conseguir concebê-los de diferentes
perspectivas maior será a capacidade de sintetizá-los” (MISKULIN et
al, 1996, apud SILVA, MISKULIN e MOURA, 2006, p.19).
Ainda nesse enfoque, Fischbein (1993, apud Miskulin 1999, p. 290) assinala que no
processo de construir e representar um objeto matemático nós devemos atentar para o seu
aspecto conceitual e figural. Assim sendo, “nesta simbiose entre conceito e figura”
(FISCHBEIN, 1993, apud MISKULIN, 1999, p.291), propicia-se o estímulo para novas
formas de pensar. Nesse sentido, Fischbein (1994, apud Fainguelernt,1999,) assinala que:
O significado comportamental dos conceitos em Matemática é um
instrumento importante e bem controlado pela estrutura conceitual.
Por exemplo, as representações gráficas são bons modelos para
representar as relações Matemáticas abstratas. Geralmente, as
interpretações das representações que são produzidas
espontaneamente e usadas implicitamente sem se beneficiarem do
controle sistemático da instância conceitual formal podem levar a
distorções e a respostas diferentes (p.40)
47
De fato, existe toda uma logicidade ao representarmos um dado objeto matemático.
“Por isso, os estudiosos sempre estiveram preocupados com todos os tipos de representação
que comportam a matemática em particular, estiveram às voltas com as relações sígnicas no
interior da própria linguagem, preocupando-se com os estímulos visuais que recebiam dessa
ciência” (HILDEBRAND, 2002, p.19) Com essa abordagem, na sua tese de doutorado, o
referido autor ainda assinala que:
O homem estrutura seu pensamento de forma lógica. E por outro lado,
como todas as linguagens são sistemas sígnicos organizados
logicamente através de um conjunto complexo de representações.
Podemos dizer que a Matemática que é considerada como uma ciência
de mesma natureza que a Lógica, mostra a sua estrutura enquanto
linguagem, expondo-se como forma de organização do pensamento
humano. Ao longo do tempo, ela vem sendo construída baseada
substancialmente nos desenhos, gráficos, diagramas, rabiscos,
anotações, textos, artigos, enfim, nas linguagens visuais e escritas (p.
164).
Neste capítulo discutimos, sobre
Semiótica
, considerando vários olhares e
concepções, buscando compreender a relação entre os signos, conceitos matemáticos e as
implicações para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Relação que envolve tanto o
futuro professor, e o professor formador, ambos, interpretante desse processo.
Segundo Bauersfeld (1980, apud Steinbring, 2006, p.2) o professor e o estudante
deveriam se dar conta das discrepâncias entre o significado da matéria (assunto), a matéria
ensinada e a matéria aprendida. O que na concepção desse autor, a aprendizagem da
Matemática é essencialmente uma
atividade semiótica
, simultaneamente mediada por re-
criação, interpretação, e apropriação de uma variedade de sistemas semióticos.
Considerando os pontos de vistas acima expostos, podemos perceber que a teoria
Semiótica
nos conduz a novas perspectivas em termos de conhecimento, representação,
comunicação, ensino e aprendizagem, entre outros aspectos.
Esta teoria integra uma complexa cadeia de relações que circunda o
significado ou sentido do ‘processo fazer’ de indivíduos em uma atividade
sociocultural e em contextos cognitivos, além disso, a teoria semiótica
esclarece a relação entre subjetividade, intersubejetividade e objetividade.
(SÁENZ-LUDLOW e PRESMEG, 2006, p.2, tradução da pesquisadora)
28
.
A semiose de acordo Peirce (1839-1914) é um processo ininterrupto, que regride
infinitamente em direção ao objeto dinâmico, ou seja, a todas as suas várias formas
28
This theorie intertwine in a complex web of relationships that encompasses the meaning-making process of
individuals in sociocultural and cognitive contexts. In addition, semiotic theorie enlighten the relationships
among subjectivity, intersubjectivity, and objectivity (SÁENZ-LUDLOW e PRESMEG, 2006, p.2).
48
representativas e progride infinitamente em direção ao interpretante final, ou seja, as suas
infinitas formas de interpretação.
No próximo capítulo, estaremos apresentando e discutindo sobre as TICs e a
relevância de se trabalhar em um ambiente computacional, observando viabilidades e
dificuldades enfrentadas pelos professores e alunos no processo de aprender e ensinar
matemática. Além de constatar a relevância do uso de softwares educativos, como uma
abordagem significativa para o ensino da Matemática, podendo até mesmo interferir no nosso
modo de pensar sobre os conceitos matemáticos e suas formas de representar.
As Representações Matemáticas e as
em uma Perspectiva Semiótica
Capítulo 3
As Representações Matemáticas e as
TICs
em uma Perspectiva Semiótica
49
As Representações Matemáticas e as
em uma Perspectiva Semiótica
50
Capítulo 3
As Representações Matemáticas e as TICs
em uma Perspectiva Semiótica
O avanço tecnológico tem influenciado notavelmente no desenvolvimento de
noções teóricas que antes eram importantes, mas não eram consideradas como
cruciais em termos de explicar a aprendizagem de conceitos matemáticos.
Estes aspectos teóricos são a base para entender o estudo das diferentes
representações dos objetos matemáticos e seu papel na construção de
conceitos. Agora com a tecnologia, é importante o estudo das diferentes
representações dos objetos matemáticos em ambientes muitos diferentes aos
que tínhamos no passado (HITT, 2003, p. 2)
3.1. Apresentação
Neste capítulo, pretendemos trazer algumas reflexões sobre o uso do computador em
sala de aula e a relevância de se utilizar softwares educativos, particularmente software
matemáticos como um recurso metodológico para o ensino da Matemática. A seguir, em um
contexto mais específico, analisaremos a relevância do uso do software
Winplot
associado às
representações matemáticas na aplicação de atividades em uma perspectiva semiótica. Além
do que, pretendemos a posteriore (capítulo de análise) relacionar tais reflexões a alguns
aspectos à constituição do conhecimento do futuro professor, em contextos práticos dessas
atividades como um procedimento didático-pedagógico, nos quais a tecnologia se faz cada
vez mais presente.
Nessa perspectiva, antes de adentrarmos em uma discussão mais específica sobre
representações mediadas pelo computador, esboçaremos algumas conjecturas, baseadas em
pesquisas que tenham como objeto de estudo a inter-relação entre a educação e as tecnologias
informacionais e comunicacionais. Portanto, em referência ao ensino da Matemática e a
tecnologia, inseridas ao contexto de sala de aula, é importante ressaltar que:
Pensar sobre a introdução e disseminação da Tecnologia na Educação,
não significa apenas pensar em artefatos tecnológicos, mas, sobretudo,
significa refletir e pensar sobre Educação e sobre os possíveis
benefícios que essa Tecnologia poderá trazer para a sociedade. Sabe-
se que a utilização da tecnologia na Educação, por si só não conduz à
emancipação e nem a opressão de indivíduos, mas por outro lado, tal
tecnologia está incorporada em contextos econômicos e sociais, que
determinam as suas aplicações. E desse modo, esses contextos devem
ser reavaliados constantemente, para assegurar que as aplicações da
Tecnologia na sociedade desenvolvam e conservem valores humanos
ao invés de extingui-los (MISKULIN, 1999, p.51).
51
Esta citação destaca o fato que os computadores fazem parte do cotidiano,
pressupondo um cenário relacionado a aspectos culturais, sociais e políticos sobre a
introdução e disseminação desse recurso na escola com reflexos na sociedade em geral.
Segundo Miskulin (2003), no âmbito educacional, a realidade de trabalhar com
computadores em sala de aula traz a tona “uma nova lógica, uma nova linguagem, novos
conhecimentos e novas maneiras de compreender e de se situar no mundo em que vivemos”
(MISKULIN, 2003, p.217), exigindo do professor e futuros professores, uma nova cultura
profissional. Nesse sentido, a autora enuncia:
As TICs acarretam o maior uso da informática e da automação nos
meios de produção e serviços, implicando novas atitudes humanas.
[...] Ambientes como os sistemas bancários, os sistemas
informatizados das companhias aéreas, entre outros exigem, uma nova
formação do cidadão, um novo perfil do trabalhador com um nível
qualificado de informação e comunicação com conhecimento crítico,
criativo e amplo, resultando em condições que lhe permitam integrar-
se plena e consciente nas tarefas que desempenhará em sua profissão e
em sua vida (MISKULIN, 2003, p.221).
Nessa mesma linha de pensamento, Kenski (2003), aponta que as tecnologias estão por
todo lado, faz parte da nossa vida diária, está associada a inúmeras atividades que realizamos,
sejam em nossas casas, no trabalho, na escola, na rua.
Diante de tais ocorrências e, trazendo essa discussão a um contexto educacional, as
tecnologias intelectuais implicam em um gênero singular de comunicação que busca ser
introduzido na escola através das TICs sob a forma de textos, “hipertextos (matrizes de textos
potenciais), os quais possibilitam uma leitura interativa apresentando-se como um sistema de
múltiplos recursos” (LEVY, 1998, p. 18) via rede e uso de softwares didáticos, possibilitando
assim mudanças na forma de pensar do estudante, os quais são levados a buscarem novas
maneiras de domínio estabelecidos num ambiente de códigos e signos digitais.
A mediação digital remodela certas atividades cognitivas
fundamentais que envolvem a linguagem, a sensibilidade, o
conhecimento e a imaginação inventiva. A escrita, a leitura, (...) a
visão, e a elaboração das imagens, a concepção, o ensino e o
aprendizado, reestruturados por dispositivos técnicos inéditos, estão
ingressando em novas configurações sociais (LÉVY, 1998, p.17).
Esse é um dos grandes desafios para a escola nos dias atuais, a viabilização para um
uso crítico das tecnologias de informação e comunicação, pois essa se qualifica como
importante e necessária, entretanto, ainda uma sabedoria nova para nós professores em termos
de atuação em sala de aula. Sendo assim, uma especificidade que caracteriza esse desafio,
52
advém da velocidade de criação de novos produtos (softwares, Internet) e como se processam
e se utilizam essas novidades atreladas ao ensino e aprendizagem.
Nesse sentido, como fazer um uso crítico das tecnologias se, em geral, se a
preocupação predominante é a tecnologia em si própria referindo-nos aqui ás questões
técnicas? Acreditamos que só será possível se o nosso foco de preocupação centrar-se no
processo cognitivo que envolve a interação do aluno/professor com o seu meio de ensino e
aprendizagem.
Deste modo, levando-se em conta essas permanentes mudanças fica evidentemente
difícil articular determinadas alterações sobre uma tradição refletida no modo de pensar e
fazer educação. Torna-se um desafio a ser assumido por todos nós, levando em conta nessa
utilização plural da tecnologia para o ensino, a relevância e a determinação de se aplicar
novas maneiras de acesso ao conhecimento.
Ao falarmos de mudanças, devemos sempre nos reportar a realidade das escolas,
considerando classes com mais de trinta alunos, dois computadores por aluno (quando
disponíveis), softwares proprietários, conhecimento do professor sobre como operar estes
softwares, tempo de preparação das aulas e de uso destes equipamentos, reticência dos
professores.
Segundo Lévy (1998), o professor antes mesmo de importar aos alunos o uso dos
computadores, faz-se imprescindível voltar-se a si mesmo e repensar o ensino de sua
disciplina, pois o desenvolvimento de um curso ou uma aula mediada por esse instrumento,
traduzida em um software educativo, por exemplo, necessita de intenções esclarecidas em
direção aos objetivos que se propõe uma dada atividade escolar.
Assim o futuro professor somente utilizará a tecnologia de forma educativa quando
tiver a oportunidade de propiciar um contexto de aprendizagem no qual esse possa ser crítico
e ter a capacidade de criar novos modelos de representações de conceitos matemáticos.
Nessa perspectiva, a crescente modificação e velocidade que se processam as
linguagens informáticas podem constituir-se em um obstáculo, mas também em viabilidade
para o ensino. Deste modo, o professor em interação com as tecnologias de informação e
comunicação, pode adquirir e difundir metodologias de trabalho com base em uma nova
lógica, pois através de uma abordagem diferenciada, alteram-se principalmente os
procedimentos didáticos, obrigando o professor a repensar o seu modo de atuar em sala de
aula.
No caminho de possibilidades de utilização da tecnologia no contexto educativo,
encontram-se os usos de software educativo, e dentre esses os softwares matemáticos. Essa
53
tecnologia funciona como um importante auxílio em termos de ensino e aprendizagem em um
contexto educacional para o ensino da Matemática, possibilitando meios de informação
visual, simulações, nos quais o estudante em função de conhecimentos anteriores e/ou de sua
capacidade investigativa é possível representar e interagir com modelos cujo procedimento é
por vezes complexo, o que seria certamente difícil realizá-lo de maneira manipulativa.
“A informática para o ensino pode ser considerada como sendo mais do que uma simples
ferramenta de transmissão e gestão de informação” (LÉVY, 1998, p. 35). Dependendo do
objetivo da atividade proposta pelo professor ao aluno, sublinhando as palavras de Kenski
(2003), é preciso conceber as tecnologias, sendo essas representadas pelo computador, ou
seja, por meio de software, Internet ou ainda giz, pincel e lousa, como perspectivas educativas
nas quais se inserem as maneiras como serão “acessadas e trabalhadas as fontes de
informação, e os modos individuais e coletivos como irão ocorrer as aprendizagens”
(KENSKI, 2003, p 47). O que significa que cada tecnologia torna-se adequada e preferencial a
certo tipo de tarefa, onde outras, por conseguinte, tornam-se secundárias, mas não
necessariamente excludentes.
Acrescentando outros aspectos a essa abordagem, pesquisadores tais como, Borba e
Penteado (2003), Miskulin (2003), Ponte et al (2003), Papert (apud Miskulin, 2003), entre
outros, identificam e propõem perspectivas e possibilidades para o uso do computador como
uma importante abordagem que gera novas ações didáticas e epistemológicas no ensino da
Matemática e na Educação em geral.
Na concepção de Miskulin (2003), a tecnologia não deve ser concebida apenas como um
recurso a mais para os professores motivarem as suas aulas, mas principalmente em um meio
que propicie aos seus alunos novas maneiras de gerar o conhecimento.
Conseqüentemente os professores têm o papel de refletir sobre a utilização dos
computadores em sala de aula, igualmente, conduzir os seus alunos a
considerarem as várias possibilidades de exploração que permitem o uso de
um software na investigação de uma atividade Matemática. (MISKULIN,
2003, p.226).
Nessa mesma linha de pensamento, Valente (2005) assinala que o professor e o futuro
professor, precisam conhecer os diferentes usos da informática na educação. E importante que
esse professor tenha ciência das possibilidades que os recursos tecnológicos oferecem para a
construção do conhecimento. Ponte et al (2003) postula que;
54
O uso das TIC como ferramentas cada vez mais presentes nas atividades dos
professores de Matemática, constituem-se em: a) um meio educacional
auxiliar para apoiar a aprendizagem dos alunos; b) um instrumento de
produtividade pessoal, para preparar material para as aulas, para realizar
tarefas administrativas e para procurar informações e materiais; c) um meio
interativo para interagir e colaborar com outros professores e parceiros
educacionais (PONTE et al., 2003, p.163).
Com essa acepção, o autor acima citado, propõe que o professor ou futuro professor
aprendam a utilizar o computador, os programas disponíveis, como os softwares educativos,
tendo consciência de suas potencialidades, o que implica conhecer seus limites, ou seja, quais
são seus pontos fracos e seus pontos fortes. Segundo Ponte et al (2003) essas tecnologias
mudam o ambiente de trabalho e o relacionamento entre os sujeitos que convivem nesse
ambiente escolar, “trazendo um impacto importante na natureza do trabalho do professor”
(PONTE et al., 2003, p.163) e conseqüentemente no seu modo de pensar.
As concepções acima mencionadas mostram possibilidades e perspectivas para o uso
da tecnologia no ambiente escolar, mas existem alguns reveses e contratempos na utilização
desses recursos tecnológicos. Referindo-nos, portanto, às dificuldades inerentes ao uso do
computador no contexto escolar, vários são os aspectos inseridos. Entre eles, está o tempo e a
oportunidade que deve ter o professor (ou futuro professor) para familiarizar-se com as novas
tecnologias, incluindo aí os seus limites e possibilidades didático-pedagógicos. Além disso, os
recursos técnicos, a disponibilidade de computadores, softwares educativos ou ainda a
interação da escola e na escola no que concerne a reorganização da distribuição de espaço e
tempo, relacionados ao trabalho do professor com o aluno, assim como outros contratempos
passíveis de acontecer nesse processo de transformação no ambiente escolar. O que devemos
refletir como educadores matemáticos é que deveríamos considerar no processo de ensino e
aprendizagem da Matemática todas essas limitações, considerando também, não ser aceitável
conceber o uso da tecnologia informática comunicativa e educativa sem a ela conectarmos à
figura do professor e a sua formação.
Sendo assim, é natural conjeturar que futuros professores devam ter a oportunidade de
conhecimento e reflexão sobre esse aprendizado, que tenha a oportunidade de escolha, para
que possa conduzir a sua prática fazendo uso ou não da informática. Em suma, concordamos
com Vale (1999, apud Ribeiro e Cabrita, 2004) quando afirma que:
Um dos objetivos que a formação inicial deve ter é o de proporcionar um
ambiente de aprendizagem em que os futuros professores, entre outros
aspectos e conhecimentos, tenham amplas oportunidades de serem
confrontados com as mesmas atividades e experiências que deverão propor
aos seus futuros alunos (p. 144).
55
Em verdade, segundo Borba e Penteado (2003) as inovações educacionais, em sua
maior parte, conduzem à mudanças significativas na prática docente e que o uso das TICs no
ambiente educacional envolve propostas pedagógicas, recursos técnicos, particularidades da
disciplina, entre outros. O que implica que a prática do professor é dependente de todos esses
aspectos e, mesmo que o professor priorize alguns em detrimento de outros deve ter a
consciência que, da sua escolha dependerá “os diferentes caminhos para a organização de
aprendizagem e, conseqüentemente a qualidade desses ambientes” (BORBA e PENTEADO,
2003, p. 56).
Assim, torna-se necessário, no contexto tecnológico, refletirmos sobre as
representações matemáticas e sua inter-relação no processo de ensino e aprendizagem da
Matemática.
3.2. As Representações Matemáticas Mediadas pelo Computador
Hitt (2003) assinala que, cada representação é parcial em relação à uma compreensão
global, visto que é enganoso pensar que as representações de conceito deva conter o mesmo
conteúdo ou que um transpareça no outro de forma evidente. Portanto devemos considerar
como absolutamente necessário o intercâmbio entre essas diferentes representações de um
dado objeto, no que corresponde à formação ou interpretação de um conceito, uma
propriedade, ou outra noção Matemática qualquer.
Na exploração ou investigação de um problema torna-se importante não priorizar uma
representação matemática em detrimento da outra visando, deste modo, possibilitar ao aluno
perspectivas de análise e percepções sobre a atividade desenvolvida, contudo levando-se em
conta as dificuldades inseridas em tais transformações ou procedimentos adotados entre as
representações.
No que se seguem em relação ao uso da tecnologia no trato das várias representações,
autores como Borba (2005) assinalam que, com a possibilidade do uso de calculadoras
gráficas e dos computadores, o uso de múltiplas representações
29
, tem sido intensivamente
discutido, especialmente para o ensino de funções. Borba (1994, apud Borba e Villarreal
2005), Borba e Confrey (1996, apud Borba e Villarreal, 2005) têm também destacado a
importância dessa abordagem que privilegia a mudança de uma representação matemática à
outra, ou seja, visa contemplar em uma atividade ou em um dado problema a coordenação
29
Segundo Borba (2005) essa terminologia “múltiplas representações” foi criada por Cofrey e Smith (1994)
56
entre essas várias representações que podem ser ilustradas tais como tabelas, gráficos
cartesianos e expressões algébricas.
Em termos práticos, o uso reflexivo da tecnologia, tem sido ainda muito pouco
explorado nos cursos de formação inicial de professores de Matemática. Os problemas que
geram uso criativo das calculadoras, softwares como o Winplot, Maple, Planilhas entre outros
já se encontram em livros didáticos
30
, em trabalhos de pesquisas ou afins, mas não expressam,
por conseguinte o interesse de muitos dos professores formadores de futuros professores de
Matemática. O professor formador, muitas vezes, encontra-se reservado nesse sentido.
No nosso ponto de vista, acreditamos que muito ainda deve ser feito em busca de
reverter esse processo, trabalhos como o do grupo de estudo e pesquisa LAPEMMEC
31
, Hitt
(2003), Borba e Penteado (2003), Borba e Villarreal (2005), Ponte et,al (2003), Miskulin
(1994,1999 e 2003) são exemplos dessas tentativas. Na perspectiva de Ponte et al. (2003) o
uso das TICs, incluído softwares educativos próprios à disciplina ou de uso geral, pelos
professores de Matemática associado à sua prática constituem-se em ferramentas que
possibilitam o uso da linguagem gráfica e de novas formas de representação e, como
conseqüência, relativizam a valor do cálculo e da manipulação simbólica.
Para Borba e Penteado (2003) a discussão sobre informática na Educação Matemática,
o que inclui a formação inicial de professores, deve ser entendida como um direito e, portanto
entendemos que qualquer que seja o nível de ensino seja numa escola pública ou particular, o
aluno em formação deve poder usufruir uma educação tecnológica.
Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais tais
como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos,
desenvolver noções espaciais etc. E nesse sentido a escola passa a ser
parte das respostas a questões ligadas a cidadania (BORBA e
PENTEADO, 2003, p.17).
Por sua vez, Hitt (2003), assinala que o avanço tecnológico tem influenciado
notavelmente para o estudo das diferentes representações dos objetos matemáticos. E com
essa abordagem;
A visualização Matemática de um dado problema desempenha um
papel importante, e tem a ver com entender um enunciado mediante a
realização de diferentes representações da situação em questão o que
nos permite realizar uma ação que possivelmente nos conduzirá a uma
solução para o problema (HITT, 2003, p.6).
30
Tais como, Anton, Stuart entre outros.
31
Laboratório de pesquisa em Educação MatemáticaMatemática mediada por computador/Círculo de estudo,
memória e pesquisa em Educação Matemática - Faculdade de Educação/ Universidade Estadual de Campinas.
<http://www.cempem.fae.unicamp.br/lapemmec>
57
3.2.1. O Uso do Computador no Processo de Visualização
Em nossa concepção não é possível conceber a abordagem das representações
matemáticas por meio de software matemático sem trazer ao debate a necessidade de se
utilizar elementos visuais o que implica dar a visualização um significado no processo de
transformação, compreensão e interpretação dos conceitos matemáticos.
Neste tópico estaremos a discutir algumas definições aplicadas ao termo visualização,
baseando-nos em autores como Gutiérrez (1996), Borba e Villarreal (2005), Miskulin (1999),
Fishbein (apud Miskulin, 1999), Hildebrand (2002) entre outros. Faremos também uma
reflexão sobre as vantagens e desvantagens de se explorar imagens na tela do computador
tendo como recurso softwares educativos e, nesse ponto, perceber através das leituras
realizadas a importância da visualização nos processos matemáticos que os estudantes usam
no desenvolvimento de uma atividade.
Como aponta Gutiérrez (1996), a visualização das representações gráficas no ensino
da Matemática tem sido reconhecida dada a sua importância como uma das bases para
formação do conhecimento. Nesse sentido, ele afirma que muitos educadores matemáticos
têm enfatizado a relevância de se explorar esse campo de estudo. Assim em uma mostra desse
interesse Gutiérrez assinala que tanto professores como autores de livros textos de
Matemática têm ressaltado o uso de diversos diagramas de forma a serem evidenciados e
explorados em sala de aula.
Segundo Borba e Villarreal (2005), a visualização tem sido considerada como uma
fonte de pesquisas na área da Educação Matemática de maneira que vantagens e desvantagens
em termos de abordagem visual no ensino e na aprendizagem têm sido discutidas e
caracterizadas. Assim como em Gutiérrez (1996), Miskulin (1999), Borba e Villarreal (2005)
apontam a existência de uma variedade de terminologias em referência a visualização, termos
como imagens mentais, imagens visuais, habilidade espacial, visualização entre outros, os
quais em alguns casos expressam significados bem diferentes.
Com respeito ao vocabulário, os termos imagem mental, imagem espacial e
imagem visual definida por Yakimanskaya (1991), Dreyfus (1995) e Presmeg
(1986), podem ser considerados como basicamente equivalentes, e os termos
visualização, imagens visuais, e pensamento espacial podem também ser
considerados como equivalentes (Gutiérrez, 1996, apud Miskulin, 1999,
p.291)
.
Na área da Educação Matemática muitos são os trabalhos que dão suporte a uma
organização teórica geral no campo da visualização. Em Gutiérrez (1996) encontramos vários
58
posicionamentos sobre o assunto dentre estes destacamos inicialmente considerações de
educadores matemáticos sobre a necessidade da interação entre as imagens mentais e as
representações externas (não mentais)
32
como um auxílio ao estudante na compreensão e
apreensão no que concerne a resolução de problemas. “A visualização é o contexto onde esta
interação acontece” (ZIMMERMANN, CUNNIGHAM, 1991, apud GUTIERRÉZ, 1996, p.
4).
Uma imagem mental é qualquer tipo de representação cognitiva de um
conceito matemático ou propriedade por meio de elementos visuais ou
espaciais. Uma representação externa pertinente à visualização é qualquer tipo
de representação gráfica ou verbal de conceitos, propriedades incluindo
figuras, desenhos, diagramas, etc., que ajuda a criar ou transformar imagens
mentais e fazer raciocínio visual (GUTIÉRREZ, 1996, p. 8).
Sendo assim, “visualização envolve a habilidade de interpretar e compreender
informações figurais e a habilidade de conceitualizar e traduzir relações abstratas e
informações não-figurais em condições visuais” (BEM-CHAIM, LAPPAN E
HOUANG,1989, apud BORBA e VILLARREAL, 2005, p. 80). Nessas definições dois pontos
se destacam em termos de habilidades visuais. Um, a capacidade de interpretação e
compreensão dos objetos matemáticos na sua forma figural e o outro a capacidade de
concebermos mentalmente imagens desses objetos quando se apresentam em sua forma
abstrata e não-figural.
Ainda nessa perspectiva, Eisenberg e Dreyfus (1989, apud Borba e Villarreal, 2005)
afirmam que, um conceito matemático pode ser representado através de um diagrama ou um
gráfico o que implica que “a visualização está associada com a representação visual” (p.80).
Sob outro ponto de vista Bishop (1983, apud Gutiérrez, 1996 p.8), diferencia dois tipos de
visualização, sendo ele o “processo visual” de informação (VP)
33
, onde para esse inclui-se a
tradução de relações abstratas e perspectiva visual de dados não-figurais, a manipulação e
exteriorização de imagens visuais, e a conversão de uma imagem visual em outra.
O segundo tipo leva a denominação de “interpretação de informação figural” (IFI)
34
a
qual envolve informação de padrões visuais (imagens representando relacionamentos
matemáticos), “linguagem” geométrica espacial, gráficos, diagramas em geral, leitura
interpretativa de imagens visuais bem como as imagens mentais e físicas. Esses termos
32
“Uma imagem mental é qualquer tipo de representação cognitiva de um conceito matemático ou propriedade
por meio de elementos visuais ou espaciais. Uma representação externa pertinente à visualização é qualquer tipo
de representação gráfica ou verbal de conceitos, propriedades incluindo figuras, desenhos, diagramas, etc, que
ajuda a criar ou transformar imagens mentais e fazer raciocínio visual” (GUTIÉRREZ, 1996, p. 8)
33
Para criar imagens mentais
34
Para gerar informação
59
imagens mentais e imagens visuais têm gerado muito debate, no qual autores buscam fazer
distinção entre eles.
Lean, Clementes (1981, apud Gutiérrez, 1996) usa a seguinte definição: “imagens
mentais é uma ocorrência da atividade mental na percepção de um objeto, mas quando esse
não lhe é apresentado aos órgãos dos sentidos”. “Imagens visuais são imagens mentais que
incidem como uma figura no olho da mente” (p.5). Presmeg (1986, apud, Gutiérrez, 1996)
busca definir uma imagem visual como um esboço que se processa na mente o que delineia
informações visuais ou espaciais, tendo em vista um objeto ou outra representação externa
qualquer.
Hildebrand (2002) discute em sua tese de doutorado que, criar modelos de
representações de imagens mentais implica visualizar (em signos) as estruturas dos conceitos
que se pretende conceber ou até operacionalizar. Nesse sentido, ele complementa que são as
traduções entre os signos que nos conduzem a compreender os conceitos atribuídos aos
signos, ou seja, o significado de algo é dado na sintaxe semântica ou pragmática do signo.
No artigo escrito por Gutiérrez (1996) podemos perceber a amplitude das várias
considerações de diversos autores sobre imagens mentais e visuais bem como habilidades
necessárias ao processo de imagens mentais. Nesse sentido esclarecemos que nesse trabalho
em particular, não podemos abarcar aqui um estudo aprofundado, remetendo, portanto, ao
leitor que se interesse por uma descrição mais abrangente desse campo, ler McGee (1979),
citado por Gutiérrez (1996, p. 7), o qual em sua pesquisa resume resultados de vários outros
trabalhos pertinentes ao assunto.
Centralizando agora, a nossa atenção a um contexto de ensino e aprendizagem da
Matemática, esclarecemos inicialmente que vamos usar a palavra visualização tendo em
mente a sua equivalência para com os outros termos mencionados tais como imagens visuais e
pensamento espacial. Deste modo, o termo visualização em Matemática pode ser definido
como;
Um tipo de atividade de raciocínio baseada no uso de elementos visuais e
espaciais, tanto mentais como físico desenvolvido para resolver problemas ou
provar propriedades, sendo que a visualização é integrada por quatro
principais elementos: imagens mentais, representações externas, processos de
visualização
35
e habilidades visuais (GUTIÉRREZ, 1996, p.8).
Em termos educacionais, a visualização possui um papel importante para diversos
níveis educacionais incluindo aí o nível universitário. Trazendo essa discussão para um
35
“Processos de visualização é uma ação física ou mental, no qual imagens mentais estão envolvidas”
(GUTIÉRREZ, 1996, p. 8)
60
contexto particular, Gutiérrez (1996), assinala que a visualização tem sido amplamente
reconhecida em livros textos, trabalhos de pesquisas que focalizam o ensino e a aprendizagem
do Cálculo
36
. Ele ainda aponta que mesmo tendo surgido na geometria a idéia de se investigar
o processo de visualização em Matemática, esse conhecimento tem sido bastante explorado no
ensino e aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral, por exemplo.
Conceitualmente, o papel do pensamento visual é tão fundamental para a
aprendizagem do Cálculo que é difícil imaginar um curso com êxito de
Cálculo que não enfatiza os elementos visuais do tema. Isto é especialmente
verdade se o curso tem a intenção de promover um entendimento conceitual, o
qual é amplamente reconhecido como carente na maioria dos cursos de cálculo
como é atualmente ensinado. A manipulação algébrica tem sido enfatizada em
demasia e nesse processo o espírito do Cálculo se tem perdido.
(ZIMMERMANN, 1990, apud HITT, 2003 p. 6) .
A partir então da inclusão dos computadores, das possibilidades tecnológicas
apresentadas por essas ferramentas, podemos sublinhar as palavras de (Borba e Villarreal,
2005) confirmando que, a função do software é primordial em muitas atividades envolvendo
modelagem e resolução de problemas (acréscimo nosso), pois possibilita aos estudantes a
oportunidade de explorar idéias matemáticas, analisar exemplos e contra exemplos permitindo
aos mesmos um ganho de percepção visual de grande abrangência.
“A visualização é geralmente considerada útil em auxiliar a percepção e a formação de
conceitos na aprendizagem Matemática” (DREYFUS, 1991, apud BORBA e VILLARREAL,
2005, p.88), podemos então conceber que a visualização é uma ferramenta importante para a
compreensão dos processos matemáticos. Nesse sentido Zimmmermann e Cunningham
(1991, apud BORBA e VILLARREAL, 2005, p.88) advertem que a visualização é
normalmente associada à representações gráficas , mas isso não deve ser considerado como
um tópico isolado, a visualização também incide em outros contextos matemáticos tais como,
as representações numéricas e simbólicas.
Como acima mencionado há as vantagens e desvantagens no uso do computador
considerando a exploração visual dos objetos matemáticos. Vantagens tais como auxiliar a
compreensão, exploração de novos ângulos e perspectivas na investigação e resolução num
dado problema, análise diferenciada das soluções possíveis de um dado problema, aumento da
percepção visual, permitindo ao estudante um ganho de experiência na qual lhes permitirá
formar imagens mentais mais ricas do que dos livros, entre outras. Mas existem os problemas
advindos em relação ao uso dos computadores, por exemplo, algumas limitações de tela, de
36
podemos citar por exemplo algumas pesquisas na área tais como a da Mônica Villarreal (1999), Ricardo
Scucuglia (2005) entre outros.
61
potencialidade no uso de um dado software o que induz o estudante a obter falsas
interpretações. O professor, portanto deve estar atendo em auxiliar quando necessário aos seus
alunos a apreender a interpretar as figuras e desenhos projetados na tela do computador
corretamente. Um outro problema enquadra-se em termos da linguagem própria no uso do
software, o que deve ser levado em conta na seleção desse dependendo da atividade a ser
desenvolvida.
Segundo Borba e Villarreal, (2005), embora se reconheça a relevância do processo de
visualização na situação de ensino e aprendizagem da Matemática, ainda é considerada de
segunda classe na produção Matemática científica. Mas isto não acontece na Educação
Matemática, pois a visualização constitui uma alternativa de acesso ao conhecimento
matemático, a compreensão de conceitos matemáticos requer múltiplas representações e a
representação visual pode transformar o entendimento em si, a visualização é parte da
atividade matemática como um modo de resolver problemas, a tecnologia é uma interface
visual presente nas escolas e seu uso no ensino e aprendizagem Matemática requerem
compreensão do processo visual, se os conteúdos matemáticos podem ser mudados pelos
computadores é claro que deve haver algumas mudanças na escola, e embora as provas sejam
vistas como verdades na academia matemática não é necessariamente transposta para a sala de
aula de matemática em vários níveis.
A tecnologia informática realça o componente visual da matemática mudando o status
da visualização na Educação Matemática, pois alcança uma nova dimensão se considerar o
ambiente de aprendizagem com computadores como um processo que vai além de mostrar
uma imagem.
3.2.2. Representações Matemáticas em uma Perspectiva Semiótica e sua
relação com os Processos de Visualização
Em particular, quando falamos em construção de conhecimento matemático, o termo
representação passa a ter uma dimensão significativa. Por sua vez, a forma de representar
conceitos e objetos matemáticos na perspectiva da Semiótica, nos conduz a pensar em
abordagens que envolvam uma diversidade de linguagens próprias para representar essas
entidades matemáticas. Linguagens que se fundamentam em signos, sendo esses, códigos,
imagens, símbolos, sons e movimentos, entre outros.
Peirce (apud, Hildebrand, 2002) assinala que, as representações matemáticas possuem
aspectos formais, sintáticos e mentais, “cujo enfoque está nas relações internas entre os
62
diversos elementos que estruturam esse tipo de signo, isto é, na composição, na forma, na
medida, na estrutura e na inter-relação entre os aspectos visuais e mentais, sobre os quais o
discurso matemático opera” (PEIRCE, apud HILDEBRAND, 2002, p.101).
As representações, portanto, têm um papel especial e importante na visualização dos
objetos matemáticos seja essa imagem produzida por um computador ou uma imagem
reproduzida no papel.
Segundo Hildebrand (2002), em inúmeras pesquisas que abordam temas matemáticos,
os signos dão suportes visuais aos modelos que objetivamos representar. Assim, Roger
B.Nelsen (1993, apud Hildebrand, 2002) analisa que, a produção de conhecimento por meio
de imagens e diagramas visuais, constituem-se em auxílios na elaboração de demonstrações e
provas Matemáticas, ou seja, a visualização é usada como estímulo às reflexões nas
demonstrações Matemáticas.
Outro pesquisador Paul Halmos (apud Hildebrand, 2002) concebe que, a Matemática
como ciência, exige de nós sujeitos pensantes, a habilidade de visualizar figuras como um
fator fundamental e, que os professores deveriam ensinar a Matemática aos seus alunos
fazendo uso dessa habilidade. O referido autor ainda nos esclarece que, “esta forma de
raciocinar era muito utilizada por Albert Einstein e Henry Poincaré que diziam da importância
de usarmos nossa intuição visual para melhor conhecer e representar as coisas do mundo”
(p.107). A importância de visualizar desenhos, diagramas e representações no processo de
reflexão pode ser também reconhecida nos estudos de Pitágoras, que segundo Hildebrand
(2002), demonstrou a consistência de seus modelos por meio de imagens. Enfim;
A forma visual de um signo associada a um conceito é extremamente
relevante na definição da notação, principalmente em Matemática. Um
símbolo matemático deve possuir uma propriedade de dizer
visualmente qual é o seu conteúdo conceitual, isto é, deve carregar em
sua imagem a qualidade de representar o que ele substitui. Dizendo de
outro modo, o conteúdo visual da representação sígnica Matemática é
muito importante para estabelecer o desenvolvimento do raciocínio
sobre o modelo que estamos estudando. Se ele for mal elaborado
dificultará a percepção do que estamos observando (HILDEBRAND,
2002, p.110).
Assim sendo, na presente pesquisa, a importância fundamental que assume a
visualização no processo de compreensão dos conhecimentos matemáticos, será ressaltada,
pois, em nossa concepção só se concebe os conceitos matemáticos se for possível atribuirmos
um significado matemático ao signo que representa o conceito matemático intrínseco a uma
determinada representação. Nesse sentido, Miskulin (1999) assinala que, “a representação e a
visualização desempenham funções extremamente importantes” (p. 289), enfatizando que,
63
toda representação possui um caráter semiótico e um caráter instrumental. A Semioticidade
pode ser percebida pelos desenhos, gráficos, gestos, discursos, palavras, etc.
A dimensão instrumental da representação está relacionada aos objetivos, formas do
sujeito expressar o conceito matemático por meio dos signos que carrega nele próprio o
significado conceitual matemático. Assim sendo, como afirma (Fischbein, 1993, apud
Miskulin,1999) “nesta simbiose entre conceito e figura, como pode ser revelado nas figuras
geométricas, por exemplo, é a imagem componente que estimula novas direções de
pensamento, não esquecendo suas restrições lógicas e conceituais que controlam o rigor
formal do processo” (p. 291).
Metodologia da Pesquisa
Capítulo 4
Metodologia da Pesquisa
-
Parte 1
As Entrevistas
64
Parte 1
65
Capítulo 4
Metodologia da Pesquisa - Parte 1
As Entrevistas
4.1. Apresentação
37
Ao andar no campo, uma pessoa vê um pássaro amarelo no momento em que
este retira uma amora de um arbusto, mas vai a outro arbusto, deixa cair a
primeira amora e apanha uma segunda. Caso o observador fosse um
ornitologista a estudar os hábitos alimentares, podia ser que estivesse a tomar
notas detalhadas - a recolher dado. Se se tratasse de um investigador
educacional a passear num dia de folga, os detalhes podiam passar
despercebidos e não serem registrados. De modo semelhante, os arqueólogos
chamam dados ao que os outros consideram lixo (antigos depósitos de lixo são
uns dos locais favoritos para este tipo de investigação). Um memorando do
diretor de uma escola pode constituir um dado valioso se o investigador o
considerar como tal ou se compreender o seu potencial. Tal como um mineiro
apanha uma pedra, perscrutando-a na busca do ouro, também o investigador
procura identificar a informação importante por entre o material encontrado
durante o processo de investigação. Num certo sentido, os acontecimentos
vulgares tornam-se dados quando vistos de um ponto de vista particular o do
investigador (BOGDAN e BIKLEN, 1994, p.149)
Conforme enunciado, a Metodologia de Pesquisa escolhida para a Coleta e Análise
dos dados, foi baseada em uma abordagem qualitativa, com ênfase na observação participante.
Nesse sentido, Fiorentini e Lorenzato (2006) assinalam que, a observação participante
apresenta um aspecto naturalista ou etnográfico, na qual o pesquisador vivencia o local onde
ocorrem os fenômenos, ou seja, onde as pessoas trabalham, comem, conversam, estudam etc.
O termo participante significa participação do pesquisador associada ao registro das
observações, com a característica de não interferir ou inferir o mínimo possível no ambiente
investigado. Acreditamos, portanto, que a partir dessa metodologia será possível alcançar o
envolvimento necessário ao ambiente investigativo, uma vez que:
A observação participante é uma estratégia que envolve não só a observação
direta, mas todo um conjunto de técnicas metodológicas (incluindo entrevistas,
consulta a materiais, entre outros), pressupondo um grande envolvimento do
pesquisador na situação estudada (FIORENTINI e LORENZATO, 2006.
p.108).
37
Neste Capítulo, estaremos em alguns momentos, descrevendo os métodos e informações pertinentes à
metodologia da pesquisa, na primeira pessoa do singular. O motivo para tal posicionamento vem do fato que na
aplicação das atividades, bem como na realização das entrevistas e das observações em sala de aula, todos esses
procedimentos, foram aplicados diretamente pela principal autora desse trabalho de dissertação (Margarete
Farias). Além do que, acreditamos que a descrição dos dados, deverão tornar-se mais apropriado e natural ao
leitor. No entanto é importante enfatizar que os encaminhamentos foram em sua totalidade baseados em valiosas
sugestões por parte da orientadora desta pesquisa (Rosana Miskulin)
66
Nessa perspectiva, tendo em mente a pergunta diretriz e dos objetivos da pesquisa que
são apresentados como:
Investigar e ressaltar as potencialidades didático-cognitivas das representações
matemáticas em uma perspectiva semiótica, mediadas por softwares educativos, no
contexto da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I;
Investigar e evidenciar os limites e possibilidades didático-pedagógicas das
representações matemáticas na formação do futuro professor de Matemática.
Passei a me dedicar à Coleta de Dados da pesquisa, na qual, dei início observando as
aulas de
Cálculo Diferencial e Integral I
, do curso de Licenciatura em Matemática,
IGCE/UNESP – Rio claro, no turno da manhã, duas vezes por semana, sempre as segundas e
às quartas-feiras. Devo ressaltar que um dos objetivos para tal procedimento consistiu em
obter uma maior interação com os alunos e com a professora da disciplina.
Os procedimentos metodológicos da Coleta de Dados podem ser descritos
em três
momentos distintos
, porém inter-relacionados: Observação em sala de aula, interação com os
sujeitos da pesquisa por meio de entrevistas e aplicações das
atividades Exploratório-
Investigativas
, além das entrevistas com professores da UNESP de Rio Claro, que ministram
ou ministraram a disciplina
Cálculo Diferencial e Integral I
.
Quanto às observações em sala de aula, em um primeiro momento da coleta, busquei
perceber o ambiente da sala como um todo, bem como a metodologia utilizada na
apresentação da matéria, além de apreender, sob a ótica da professora,
o papel das
representações
na resolução das atividades, problemas e na apresentação de conceitos
matemáticos.
Em relação às entrevistas foi realizado um encontro com a professora da disciplina que
ora observava, além de alguns professores da UNESP de Rio Claro, que ministram ou
ministraram a disciplina CDI I
38
. A relevância dessa iniciativa consistiu no fato de
considerarmos (eu e minha orientadora) essencial conhecer mais de perto a opinião desses
formadores, no que se refere principalmente, a importância das
representações
Matemáticas
para o conhecimento do futuro professor.
Foram também realizadas
entrevistas
com os sujeitos da pesquisa, visando, por
conseguinte, perceber mais proximamente a idéias dos mesmos com respeito às suas
dificuldades, compreensões e interpretação ao explorar as várias
representações
, próprias da
matéria CDI I, na resolução dos problemas e atividades, propostos em sala de aula.
38
Não limitamos ao ano em que foi ministrada pelo professor ou grau de experiência do mesmo com a
disciplina.
67
Concluindo a coleta de dados, foram aplicadas
atividades Exploratório-
Investigativas
junto aos sujeitos da pesquisa com a finalidade de perceber sob um outro
ponto de vista, possíveis dificuldades dos estudantes, as quais poderiam emergir, perante a
exploração das várias
representações
Matemáticas, associadas ao uso do software
Winplot
.
Na descrição das
atividades
realizadas com os sujeitos pesquisados, estaremos
utilizando a denominação
atividades exploratório-Investigativas
, apoiada na perspectiva da
Investigação Matemática em Sala de Aula
tendo como principal referência João Pedro da
Ponte (2005)
39
.
Vale ressaltar, que o conjunto de
procedimentos metodológicos
, que nos propomos a
concretizar: as entrevistas, observação, aplicações de atividades, constituem-se em partes
integrantes de um todo, no sentido de obter as informações necessárias e fundamentais que,
possivelmente, permitirão um delineamento para a
análise dos dados
.
Acreditamos, portanto, na relevância da aplicação de cada uma desses procedimentos,
pois através deles, associados à teoria, objetivamos legitimar o principal questionamento
dessa pesquisa, que consiste em
investigar as contribuições das representações
matemáticas, em uma perspectiva semiótica, mediadas por software educativo, como
uma possibilidade didático-pedagógica no ensino do CDI I, de maneira a subsidiar o
conhecimento do futuro professor de Matemática.
4.2. Antes: o encaminhamento dos trabalhos
O
“
Antes
” constituiu-se em momentos de estudo e reflexão, especificamente acerca de
leituras em busca de melhor realizar as observações e as entrevistas, ou seja, como e qual a
maneira mais adequada de escrever o diário de campo acerca dos acontecimentos.
Nesse sentido, Bogdan e Biklen (1994) assinalam que, no diário de campo deve ser
escrito o que aconteceu, a descrição dos lugares, acontecimentos, atividades e, integrados à
esses dados, devem ser registradas as conversas, idéias, estratégias, reflexões e palpites, bem
como os padrões que emergem. Sendo que, depois de cada observação, entrevista ou qualquer
outra sessão de investigação é aconselhável anotar o que se viu, ouviu, experenciou, pensou
ou refletiu sobre as informações obtidas.
O
“
Antes
” também se constituiu em momentos de preparação e organização para a
coleta de dados junto aos sujeitos da pesquisa na realização das entrevistas e aplicação das
39
Tema que será abordado com mais profundidade no Capítulo 5 desta pesquisa.
68
atividades, bem como para composição do material de estudo. Esse tempo foi particularmente
importante, pois nos permitiu definir e organizar a maneira como as informações seriam
obtidas, de forma a intermediar um caminho na busca de responder a pergunta diretriz e,
conseqüentemente, vir a atender os objetivos da pesquisa.
Vale enfatizar, que toda essa elaboração foi fundamental, pois possibilitou-nos tomar
várias decisões a respeito dos procedimentos metodológicos a serem aplicados, definindo o
local da coleta de dados, o que iríamos observar a necessidade de realizar entrevistas, os
registros dos dados em áudio, vídeo ou somente em notas escritas, quais dimensões seriam
analisadas aprendizagem ou ensino, se a abordagem seria metodológica ou epistemológica,
com quantos ou quais alunos seria realizada a pesquisa, enfim decisões essenciais para o
desdobramento do nosso trabalho investigativo.
Determinados, portanto, os encaminhamentos, o primeiro passo foi procurar a
professora responsável pela disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do curso de
Matemática (1º. Ano) - UNESP de Rio Claro e apresentar-lhe formalmente a minha intenção
em observar a sua classe de alunos. Argumentei que o objetivo para tal iniciativa consistia em
interagir com os estudantes e, conseqüentemente, estar a par dos trabalhos desenvolvidos pela
professora na apresentação dos conteúdos, bem como, o de observar a dinâmica dos alunos na
resolução dos exercícios e problemas propostos em classe. Mais especificamente, o objetivo
consistiu em identificar subsídios teórico-epistemológicos para a configuração do contexto da
pesquisa, quantos e quais alunos, os procedimentos metodológicos, a abordagem do Cálculo
quanto às representações Matemáticas, entre outros.
A concordância da professora foi imediata, e tendo em mãos a sua liberação para
nossa solicitação essa pesquisadora pôde iniciar os trabalhos de coleta de dados.
4.3. Durante: o desenvolvimento da pesquisa
O desenvolvimento da Pesquisa constituiu-se principalmente, no momento da Coleta
de Dados, nesse sentido, foram realizados diferentes procedimentos já mencionados na
apresentação acima: observação, entrevistas e aplicação de atividades. A finalidade para tal
estrutura foi fundamentalmente determinada pela questão investigativa e pelos objetivos da
nossa pesquisa.
Vale enfatizar, que a idéia de observar as aulas da disciplina CDI I correspondeu à
expectativa de tentar responder em parte a nossa pergunta diretriz, no sentido de considerar a
69
relevância das representações Matemáticas sob o ponto de vista tanto do aluno como da
professora no momento da apresentação dos conceitos, teoremas e propriedades inerentes à
disciplina, bem como, na resolução dos exercícios propostos em aula. Para tanto, foi
observado por um lado, como a professora percebia e explorava essas representações em sua
prática pedagógica e, por outro lado, as dúvidas, os argumentos, as perguntas, respostas e
procedimentos que os alunos empregavam ao utilizar uma dada representação na resolução
dos problemas e atividades propostas pela professora da classe.
Para o registro das
observações
40
, utilizei
o diário de campo
, no qual foram anotados
os episódios de aulas
, retratando alguns diálogos entre os alunos e a professora, alem da
descrição do cenário da sala de aula e de alguns outros elementos envolvidos no contexto.
Essa abordagem, portanto, contribuiu para responder apenas em parte a nossa pergunta
diretriz, por conter percepções muito genéricas e superficiais, embora tenha buscado estar
sempre atenta aos acontecimentos ocorridos no ambiente do estudo que estava a observar.
Para tanto, fez-se necessário o estudo com alguns outros procedimentos metodológicos que
serão explicitados a seguir.
As entrevistas
foram realizadas com
cinco professores
41
que ministram ou
ministraram CDI I e
vinte e um alunos
da turma de CDI I - primeiro ano da UNESP de Rio
Claro, como já mencionado, relembrando que o principal objetivo consistiu essencialmente
em conhecer mais de perto a opinião desses formadores, no que se refere
principalmente, a importância das representações matemáticas para o conhecimento do
futuro professor
. Essas entrevistas vieram corresponder a nossa expectativa em obter mais
diretamente alguns dados que não foram possíveis alcançar na observação. Nesse sentido
tivemos a oportunidade de aprofundar a nossa investigação, complementando assim os outros
métodos adotados.
Na
aplicação de atividades
exploratório-investigativas
com os alunos tínhamos
como objetivo perceber, sob outra perspectiva, a relevância das múltiplas representações, na
resolução das atividades exploratório-investigativas, nesse sentido, buscar compreender a
partir da falas, registros escritos e interpretativos (gravados em áudio) dos estudantes perante
o processo de construção e realização dos problemas matemáticos propostos em tais
atividades.
40
As observações encontram-se detalhadamente descritas no Anexo B (CD-ROM) desta pesquisa.
41
Das cinco entrevistas realizadas uma não será divulgada devido problemas éticos (infelizmente um dos
professores faleceu e não houve tempo hábil para correção do texto, de maneira que não foi possível obter
autorização para publicação da referida entrevista).
70
4.3.1. O Diário de Campo da Pesquisadora
No diário de campo foram registradas as observações constando apontamentos dos
assuntos apresentados à classe de CDI I, durante as aulas e, como parte desses registros,
foram feitas anotações referentes às impressões e comentários extras ocorridos entre os alunos
e a professora, no ambiente da sala de aula. A esses dados foram também acrescentados
comentários específicos registrados sobre as entrevistas realizadas com os estudantes dessa
mesma classe e os professores de CDI I, além das anotações das atividades aplicadas no
laboratório de informática associadas aos comentários dessa pesquisadora. Nesse sentido,
acreditamos ser relevante descrever nesse texto parte do que foi registrado no diário de campo
de modo a revelar o que foi observado.
4.3.1.1 Observando o Ambiente da Sala de Aula.
A decisão tomada por mim e minha orientadora em observar a turma de graduandos do
curso de Matemática nos permitiu alcançar um dos objetivos da coleta de dados que consistia
em uma maior proximidade entre essa pesquisadora com os estudantes assim como com a
professora da disciplina. Essa oportunidade de vivenciar o ambiente natural de sala de aula me
possibilitou, portanto, registrar observações e percepções com maior acuidade, o que facilitou,
seguramente, na obtenção de dados mais esclarecedores acerca dos aspectos fundamentais
dessa investigação.
O contato inicial com a turma foi um tanto desconfortável devido ao fato de não
conhecê-los, bem como da minha própria inexperiência em estar realizando pela primeira vez
uma coleta de dados. Para resolver esse
primeiro impasse
e, de certo modo, estar
respondendo a curiosidade dos estudantes em estar vendo aquela figura “estranha” no meio
deles, foi combinado com a professora da disciplina um momento da aula para que eu pudesse
me apresentar para a turma e, nesse breve instante, explicar aos estudantes o motivo pelo qual
estava ali, explicitando, portanto, o foco e os objetivos da pesquisa frente ao trabalho que
esperava desenvolver, especificamente, que pretendia participar das aulas como ouvinte,
visando observar como os conteúdos de Cálculo I eram tratados pela professora, mais
especificamente, como as representações Matemáticas eram abordadas em sala durante as
aulas, bem como estar interagindo com todos, e que, posteriormente, os convidaria a
participar da aplicação de algumas atividades, nas quais teríamos a oportunidade de usar o
71
software matemático
Winplot
no processo de discussão e compreensão dos conceitos de CDI
I.
Na verdade, a tática de não dar muitos detalhes foi devido a uma conversa anterior
com a professora (da classe) que achou por bem não informar aos alunos que estaria ali para
observá-los, pois poderia constrangê-los e, possivelmente, os levaria a agirem não
espontaneamente no ambiente da sala de aula enquanto eu estivesse presente.
Em relação aos estudantes, é interessante destacar que durante a minha explanação,
demonstraram atenção, embora com certo desinteresse, pois ao perguntar-lhes se tinham
alguma pergunta ou dúvida não houve nenhum tipo de manifestação por parte deles, o que foi
motivo de apreensão de minha parte, pois o primeiro pensamento foi: “e se não houver
interesse por parte dos estudantes em participar da minha pesquisa?”. Este passou a ser o
terceiro impasse
.
O
segundo impasse
referiu-se à inexperiência desta pesquisadora, dificuldade que aos
poucos foi sendo encaminhado e, para tanto, se mostrou necessário estar revendo algumas das
recomendações de Bogdan e Biklen (1994) os quais assinalam que “o investigador deve ser o
mais descritivo possível” (p.163) e, nesse sentido, deve apreender o momento, registrando as
idéias, estratégias, reflexões e palpites, bem como os padrões que emergem.
Considerando tais sugestões, me dediquei a iniciar as anotações em meu diário de
campo, relatando os fatos que pude ouvir ver, experenciar no decurso da coleta de dados e,
sempre que possível, registrava as minhas reflexões acerca das notas de aula bem como das
perguntas e dúvidas dos alunos encaminhadas a professora da disciplina.
O contato com os alunos, em sala de aula ocorreu em aproximadamente dois
semestres, Nesse intervalo foram realizadas dezenove observações em classe. Na primeira
observação, fiz anotações das minhas impressões acerca do ambiente.
Ao passar dos dias a minha presença foi ficando cada vez menos incômoda e estranha
e a relação com os estudantes tornou-se menos formal o que possibilitou uma maior
integração ao ambiente. Segundo Bogdan e Biklen (1994), “à medida que o investigador vai
passando mais tempo com os sujeitos, a relação torna-se menos formal” (p.113). No meu
caso, em particular, essa relação de proximidade foi decisivo em relação ao terceiro impasse,
acima mencionado, pois com a participação em sala de aula, no dia a dia, pude sentir o
momento em que já me sentia habilitada a convocar os estudantes a participarem como
sujeitos integrantes da pesquisa.
No final do primeiro semestre, resolvi solicitar à professora da disciplina, um
momento da aula, com o objetivo de fazer um convite a todos os alunos que estivessem
72
interessados em participar como colaboradores para coleta de dados de minha pesquisa. No
momento do convite optei por ser clara e objetiva ao apresentar a proposta do trabalho,
explicando aos estudantes que a partir do segundo semestre seriam necessários alguns
encontros, extraclasse, para a aplicação de algumas atividades, nas quais os assuntos a serem
abordados, corresponderiam aos que foram apresentados durante o curso corrente da
disciplina pela professora, enfatizando que eles teriam a oportunidade de estar explorando
conceitos matemáticos de Limites e Derivadas com um software matemático - o
Winplot
.
Expliquei que a participação dos mesmos seria fundamental para o desenvolvimento
da minha pesquisa. Após essa explanação, passei aos alunos um papel, no qual propunha aos
que estivessem interessados a escreverem os seus nomes, entre outras informações, como e-
mail, fone para contato, assim como outros dados. Vale registrar que vinte e sete alunos se
dispuseram a participar o que significou o fim do terceiro impasse. É claro que a quantidade
de inscritos ultrapassou a minha expectativa, mas não significou necessariamente um
problema, embora tivesse agora um
quarto impasse
, mas esse contratempo parecia ser de
fácil resolução, afinal nesse caso, é melhor o excesso do que a falta.
Referindo-me, portanto, ao
quarto impasse
, ou seja, em relação a seleção dos sujeitos
para a coleta de dados de nossa pesquisa, tínhamos pensado (eu e minha orientadora),
inicialmente, em convidar um grupo de oito a dez licenciados, mas viemos descobrir a
posteriore que o curso de Matemática da UNESP de Rio Claro não faz distinção, nos três
primeiros anos, entre licenciatura e bacharelado. A maioria dos “novatos” quando se
matriculam ainda não tem necessariamente uma idéia, se pretendem formar-se professor ou
bacharel.
Cientes dessa informação passamos a considerar, portanto, a possibilidade de convidar
os estudantes sem a preocupação no seu interesse ou inclinação referente à que caminhos
pretendiam seguir, contanto que fossem alunos da disciplina CDI I, porém, dando prioridade
àqueles que manifestassem interesse em, futuramente, ensinar Matemática.
A seleção, portanto ficou por ser definida após entrevista com os inscritos, na qual
teríamos maiores informações a respeito dos seus interesses e projeções para sua formação,
pois no momento da inscrição, somente dois estudantes explicitaram querer cursar
licenciatura e apenas três manifestaram interesse em cursar o bacharelado. Os outros não se
manifestaram o que implicou na maioria deles. Logo, tendo em vista esse panorama, achamos
ser prudente esperar mais um pouco. As entrevistas ficariam por serem realizadas logo no
início do segundo semestre do presente ano.
73
4.3.1.2. As Notas de Aula
As aulas de
Cálculo I
, durante
todo o primeiro semestre
foram pautadas de forma
tradicional, centrada na figura da professora. E, deste modo, tornou-se inviável observar
sistematicamente a produção dos alunos, em termos de resolução de exercícios e problemas,
propostos durante as aulas. Entretanto, foi bastante proveitoso observar a metodologia e
procedimentos adotados, bem como perceber a relevância das
representações
Matemáticas
na abordagem dos conteúdos propostos em sala de aula.
Ao iniciar o curso, a professora apresentou aos alunos os conteúdos que seriam
discutidos durante o ano letivo, apresentado na seguinte ordem:
Números Reais, Funções,
Limite, Continuidade, Derivada, Integral, Coordenadas Polares, Seqüências e Séries
.
Nessa
1ªAula
a professora achou por bem dar uma breve revisão abordando
Números Reais
e
Funções
, o que em sua concepção são assuntos que costumam ser pré-requisitos para a
disciplina
Cálculo Diferencial e Integral I.
No início, ela começou relembrando as propriedades dos números naturais, inteiros, e
racionais e na sua exposição sempre fazia referência de como esse assunto é apresentado no
ensino fundamental e como os alunos sentem dificuldade em abstrair quando se fala em reta
real. Ao revisar
Funções Polinomiais
, por exemplo, é perceptível a preocupação da
professora em explorar
as várias representações algébricas e gráficas
. Alguns alunos (os
veteranos) deram a entender que não sentiam muita dificuldade em reconhecer as funções
afim, linear, quadrática e cúbica. Entretanto, em relação a outras funções como as Funções
Trigonométricas, os alunos pareciam apresentar pouca familiaridade.
Nesse sentido, para amenizar um pouco a dificuldade expressada pelos alunos, a
professora usou com muita freqüência o círculo trigonométrico para ilustrar os resultados,
sempre fazendo comparações com os gráficos dessas funções. E, mesmo assim em várias
dessas construções foram geradas algumas dúvidas por parte dos alunos, na sala de aula.
Notei também, que mesmo os veteranos e, principalmente, os calouros sentiam alguma
dificuldade na construção dos gráficos e na interpretação de funções através do círculo
trigonométrico, bem como em outras representações apresentadas durante as aulas. Vale
ressaltar, que na apresentação da maioria dos conteúdos
a professora explorou as
representações algébricas, gráficas e geométricas
, buscando sempre
mostrar as relações
intrínsecas entre elas.
Pude inferir que na concepção da professora o desenho do gráfico teve
a função de auxiliar a compreensão do aluno no desenvolvimento algébrico de um processo
74
matemático, ou seja, não teve a função de provar ou validar um resultado, seja ele concebido
por meio de um conceito, propriedade, teorema. Em suas palavras: “Provar só
algebricamente”. O que, aliás, essa forma de representar foi bastante explorada na justificação
de resultados, propriedades e teoremas de limites e derivadas de funções, apresentados
durante as aulas.
Na concepção dessa pesquisadora, de tudo o que foi visto e observado, mesmo que
ainda superficialmente, é percebível a dificuldade do aluno quanto às justificativas dos
exercícios, nas
interpretações dos gráficos
, principalmente nas demonstrações de
propriedades, mostrando assim uma compreensão parcial dos assuntos que estão sendo
aprendidos. Os motivos pelo qual isso ocorre não nos competem nesse trabalho delimitar uma
resposta, mas, certamente, influenciarão em nossas ações futuras como investigadoras.
Impressões abstraídas a partir das observações, terão as suas parcelas de importância
nessa investigação quando chegar o momento de analisar a produção desses estudantes,
considerando as entrevistas e a aplicação das atividades exploratórias - investigativas.
4.4. As Entrevistas
[...] o entrevistador deve manter-se na escuta ativa e com a atenção receptiva a
todas as informações prestadas, intervindo com discretas interrogações de
conteúdo ou com sugestões que estimulem a expressão mais circunstanciada
de questões que interessem a pesquisa. A atitude disponível à comunicação, a
confiança manifesta nas formas e escolhas de um diálogo descontraído devem
deixar o informante livre para exprimir-se sem receios, falar sem
constrangimentos sobre seus atos e atitudes, interpretando-os no contexto que
ocorrem (CHIZZOTI, 1991, apud FIORENTINI e LORENZATO, 2006,
p.122).
Segundo Bogdan e Biklen (1994), as entrevistas possuem características bem
familiares, pois consistem em uma conversa entre duas pessoas, podendo, no entanto,
envolver mais indivíduos, com o objetivo de adquirir informações sobre um tema, sobre a
pessoa, suas concepções entre outros aspectos.
A entrevista além de permitir uma obtenção mais direta e imediata dos dados,
serve para aprofundar o estudo, complementando outras técnicas de coleta de
dados de alcance superficial ou genérica, como por exemplo, a observação
(RICHARDSON et al., 1985, apud FIORENTINI e LORENZATO, 2006,
p.120).
Em nossa pesquisa, optamos pela
entrevista semi-estruturada
, a qual segundo
Fiorentini e Lorenzato (2006), essa modalidade de pesquisa é muito usual em várias pesquisas
75
educacionais. A
entrevista semi-estruturada
busca aprofundar-se sobre um fenômeno ou
questão, específica, e para a aplicação da mesma, organiza um roteiro de pontos a serem
contemplados e, nesse processo pode algumas vezes alterar a ordem dos mesmos, inclusive
formular questões não pensadas inicialmente.
Em nosso estudo investigativo, achamos relevante entrevistar tanto os sujeitos da
pesquisa, (
vinte e um estudantes do primeiro ano de Matemática
, da turma de CDI I da
UNESP de Rio Claro-SP), bem como os
professores
que trabalharam ou trabalham com a
disciplina
Cálculo I,
nessa universidade, com o objetivo de perceber a importância das
representações matemáticas para o conhecimento do futuro professores.
Vale acrescentar que, pesquisar significa para nós “enxergar” o objeto de investigação
– representações matemáticas - sob várias perspectivas, as quais se constituem nas dimensões
importantes do contexto da pesquisa. Desse modo, achamos de suma relevância entrevistar
professores de Cálculo, além dos estudantes como já mencionado.
Para aplicar as entrevistas, primeiramente entrei em contato com os possíveis
candidatos (professores formadores) e sujeitos da pesquisa (estudantes de Cálculo I),
informando-os do objetivo e natureza da presente pesquisa, explicitando o motivo pelo qual
eles foram escolhidos, em adição, me preocupei em confirmar que tudo o que fosse narrado na
entrevista seria tratado com bastante ética e respeito, pois o meu interesse constituía-se apenas
em uma investigação para o meu trabalho de pesquisa.
As
entrevistas
foram individuais, gravadas em áudio com a permissão dos
entrevistados. Os encontros com os professores e estudantes foram determinados de acordo
com a disponibilidade dos mesmos. Como já explicitado, foram entrevistados vinte e um
estudantes e cinco professores (como já enunciado em nota de rodapé, p.69, apenas quatro das
cinco entrevistas serão divulgadas), dentre esses se inclui a professora da turma de
Cálculo I.
Na transcrição das
entrevistas
, as quais serão relatadas nos itens a seguir, tanto os
professores, quanto os estudantes terão os seus nomes codificados, assim como ocorrerá na
descrição das aplicações das
atividades exploratório-investigativas
. As
entrevistas
foram
compostas no formato semi-estruturado, sendo previamente elaboradas
doze perguntas
42
dentre as quais foram articuladas questões não previstas inicialmente.
42
As perguntas propostas nas entrevistas estão disponíveis no Anexo C (CD-ROM) (desta pesquisa)
76
4.5. Conversando com os Professores
Na preparação das
entrevistas dos professores
, organizamos um roteiro em torno de
quatro blocos
: O
primeiro
referiu-se à
formação do entrevistado
43
,
a sua experiência em
lecionar para turmas de Cálculo Diferencial e Integral I
e sobre
o papel da disciplina
Cálculo para a formação do futuro professor de matemática
.
O segundo bloco
versou sobre a aplicabilidade e a
importância
das
representações
matemáticas
no contexto do ensino de
CDI I
.
O terceiro bloco
buscou perceber
a relação
do professor com as TICs
, sua
experiência com uso de softwares educativos
, sua
relação
da utilização dessa tecnologia com a abordagem das várias representações Matemáticas
e, qual
a relevância do uso dos softwares na exploração das representações matemáticas
como um recurso didático e pedagógico
.
O
último bloco
versou sobre o
conhecimento do futuro professor de matemática
,
isto é, qual a opinião do
professor formador
em referência aos conhecimentos de
CDI I,
necessários à formação inicial de professores.
Em termos de esclarecimento informamos ao leitor que as entrevistas com os
professores foram transcritas na íntegra e estão descritas em sua forma original, podendo
conter erros de linguagem. No entanto, o leitor poderá optar por ler apenas a síntese
interpretativa realizada pela pesquisadora ao final de cada entrevista.
É importante também ressaltar que, o objetivo de manter em incógnita a
identidade
dos professores entrevistados
consiste em transcrever suas concepções a respeito dos temas
abordados na sua forma original sem correções ou alterações de texto (salvo vícios de
linguagem). Esses professores, para efeitos descritivos, serão denotados pelas letras
K, Y, W
e
Z
, considerando que o termo “
o professor
” corresponde na presente pesquisa aos sujeitos
do sexo feminino e masculino.
43
Esse bloco não será revelado, objetivando preservarmos a identidade do professor entrevistado.
77
4.5.1. O Professor K
A entrevista com o professor K foi realizada no dia 22 de junho de 2006, em sua sala
de trabalho, às 10:00 hs. (dez) da manhã. Durante a nossa conversa, o professor aparentava
tranqüilidade respondendo a todas as perguntas sem restrições.
Sob o ponto de vista do professor K, um dos principais motivos da reprovação na
disciplina
Cálculo
é o despreparo do aluno quando chega à universidade. Em sua opinião os
alunos chegam realmente mal preparados e a universidade, por sua vez, ignora esse fato e
ignorando esse fato, o índice reprovatório torna-se muito alto, em conseqüência, afeta a
disciplina Cálculo, assim como outras que fazem parte do currículo do curso de Matemática.
Desta maneira, na concepção desse professor,
Cálculo é uma das disciplinas que tem
reprovação alta
.
Em relação ao despreparo do aluno, o professor K aponta que falta compreensão sobre
o conteúdo, pois em suas palavras o aluno quando chega ao primeiro do curso de Matemática,
parece estar preso às fórmulas, não se preocupando em justificar o uso dessas fórmulas ou
procedimentos de cálculos operatórios. Ele ainda entende que no Ensino Médio, a Matemática
é apresentada de maneira estática, e quando o aluno chega á universidade e vê pela primeira
vez um curso de Cálculo, percebe uma
Matemática que além de discreta é contínua
. Desta
maneira, a forma de pensar do aluno concebida no Ensino Médio, sofre uma transformação ao
deparar-se com a Matemática da universidade, Outra dificuldade é a linguagem lógico-formal
própria do Cálculo Diferencial e Integral, pois o processo de abstração leva tempo. Nesse
sentido, a abstração, na concepção do professor K:
É sempre uma reflexão sobre o que fazer, você só abstrai quando você pensa
sobre. Uma coisa é fazer, outra é pensar sobre o que está fazendo.
Tecnicamente, você pode realizar qualquer atividade, mas para realizá-la,
antes você reflete sobre aquela atividade, do que ela é feita, como ela é feita,
como é que ela funciona e é a partir daí que é possível a abstração. Então essa
reflexão é importante.
O professor K segue em sua explanação comentando que, normalmente a disciplina é
apresentada aos alunos de forma invertida, isto é, primeiro é dada a teoria e, a seguir, as
aplicações, de maneira que a abstração vem antes da reflexão, o que na opinião desse
professor, deveria ser ao contrário, primeiro deveria ser dado ao aluno a oportunidade de
refletir de pensar de experenciar, só depois então exigir a sua capacidade de abstração. E,
nesse sentido, o professor K, propõe que a disciplina Cálculo Diferencial e Integral passe a ter
mais aplicações, seja ela dada nos cursos de Geologia, Física, Química, Matemática entre
78
outros. Mas ressalta que, em geral, os alunos de Matemática não gostam e nem sentem falta
de trabalhar nessa acepção. Ouçamos o que diz o professor K;
Eu sinto que os alunos não gostam muito quando envolvem aplicações, apesar
de que eu dava muitas aplicações no curso de Cálculo. Mas, acho que isso é
um círculo vicioso, pois muito do que os alunos pensam advém do próprio
ambiente. Faz parte do ambiente em que ele está, no qual a maioria dos
professores de Matemática não valoriza o uso de aplicações no ensino do
Cálculo Diferencial e Integral. O aluno por sua vez, quando estuda Cálculo,
não vê aplicações, logo quando esse aluno torna-se um professor e se por
acaso for dá um curso de Cálculo, provavelmente não trabalhará com essa
abordagem (grifo da pesquisadora). Isso explica o sucesso dos meninos no
livro do Guidorizzi, o que no meu ver não é um livro de Cálculo, mas muitos
professores gostam, por quê? Não tem a parte de aplicação. Eu acho que,
quando eu falo em reflexão, penso também na teoria - é uma reflexão sobre
um fazer. A teoria é abstração de uma prática. E, não há como você aprender
Cálculo sem que você trabalhe com aplicações, logo o primeiro contato com
essa disciplina é dentro de um problema e o restante é a teoria sobre a
resolução daquele problema. (grifo da pesquisadora).
O professor K
, também faz uma ressalva, assinalando que o aluno do primeiro ano
está mais aberto ao curso, essa abertura advém da mudança de ambiente, pois é justamente o
que ele espera - que haja mudança. E, em um curso de
Cálculo
, se você começa com uma
abordagem diferenciada evidenciando as aplicações, ele estará aberto a essa metodologia.
Porém, isso não significa que ele goste, nem mesmo que ele ache interessante e talvez até
preferisse que não tivesse aplicações, pois isso introduz certa dificuldade, mas cabe ao
professor conduzir de maneira que seja interessante e que conceitos não sejam concebidos
mecanicamente, mas por meio da experiência.
Nos meus primeiros cursos, quando ensinei Cálculo era de forma bem
tradicional, eu começava com demonstrações, epislons e deltas, tinha
exercícios e provas, depois com o tempo eu fui mudando. Eu me lembro que
num curso anual, resolvi começar pela parte de integral, e não por Limites e
Derivadas. Eu lembro da primeira vez que fiz isso foi com alunos do primeiro
ano, não tinham idéia do curso, nunca tinha feito Cálculo, estava entrando pela
primeira vez na universidade, mas tinha alunos que já tinha feito Cálculo
antes. Eu me lembro direitinho que uma aluna chegou pra mim, depois de
algumas aulas e falou: professor, você está maluco, você vai começar
justamente por integral? (ela já tinha feito a disciplina) Ela reclamou no início,
ouvi o seu desabafo na época, até que recentemente encontrei com ela e nos
lembramos do fato, depois ela concordou que funcionou a disciplina.
Ao citar essa experiência,
o professor K
assinala que, o aluno quando chega ao
primeiro ano, ele já é introduzido em um espaço no qual existem coisas que são valorizadas
ou não são valorizadas, isso é evidente e, ele sofre a pressão do ambiente e das pessoas que o
cercam e convivem nesse meio e com as mudanças que ocorrem adicionadas à reação do
pessoal antigo, ou seja, os alunos veteranos.
79
Prosseguindo a entrevista perguntei ao
professor K
, sobre a relevância da disciplina
Cálculo
para
a formação do futuro professor de Matemática
, especificamente para o aluno
do primeiro ano. O professor K me respondeu que o Cálculo é em primeiro lugar uma
passagem de um tipo de raciocínio discreto para um tipo de raciocínio contínuo, onde o termo
contínuo faz a grande diferença do Cálculo. Ele ilustra o fato, dizendo que se o aluno pegar
um possível deslocamento e dividir em pequenos intervalos, considerar a cada pequeno
intervalo uma força constante, a seguir, calcular o trabalho pra cada um deles, somar tudo e
depois calcular limite, esse é um típico exemplo da passagem do raciocínio discreto para o
contínuo. E na Matemática essa idéia é muito importante, principalmente em termos de
aplicações, a qual na opinião do professor K é uma das
idéias fundamentais da Matemática
,
portanto, deve fazer parte da formação do professor. A questão é discutir o quanto e o quê, ou
seja, deve envolver um contexto. Na concepção do professor K, o futuro professor tem que ter
uma idéia geral da Matemática.
Ao perguntar-lhe sobre a importância de se abordar várias
representações
matemáticas para a compreensão e resolução de um dado problema? O professor K me
respondeu que:
Cada representação permite ao aluno tirar algumas conclusões que outras
representações não permitem. Então justamente por isso que é importante ter
representações, representar conceitos.(grifo da pesquisadora) Do ponto de
vista formal, lógico você tem representações, que nos permitem fazer variadas
interpretações sobre as definições. A partir das definições e axiomas você faz
as demonstrações, essa é a parte formal. Agora quando você fala em
raciocínio, o indivíduo vai pensar, e nós não pensamos com a definição (grifo
da pesquisadora), ninguém pensa em derivada, com a definição de derivada,
ninguém pensa em integral com a definição de integral. Quando você vai
resolver um problema que envolva integral ou derivada, você não vai pela
definição, você usa as representações, por isso ela é importante. Se o indivíduo
não faz isso, a única coisa que ele vai fazer é classificar problemas, e associar
esse problema ao tipo de fórmula, o que é muito comum. (grifo da
pesquisadora).
Nesse sentido, o professor K afirma que, não consegue pensar sem representações,
sublinhado que acha importante que o futuro professor tenha consciência do uso dessa
abordagem, não como uma técnica, mas como um método que possa favorecer a compreensão
da matéria seja ela qual for. O problema é diferenciar e coordenar essas representações.
Ouçamos o que diz o professor K:
O problema é que eu não posso pensar nunca isso separadamente porque
muitas vezes passo de uma pra outra (grifo da pesquisadora), em geometria
analítica costumo muito fazer isso. A idéia é como o indivíduo cola uma com
a outra, ele tem que saber. Eu acho que isso pro professor é importante, pro
80
aluno também é importante. [...] agora normalmente isso não é explorado, não
é explorado. (grifo da pesquisadora).
Dando prosseguimento à entrevista, perguntei ao professor K,
qual a sua experiência
em trabalhar com software educativo em sala de aula?
Sua resposta foi taxativa, em
afirmar que não usa software nem esporadicamente, que uma vez usou, mas já faz muito
tempo. Em suas palavras ele afirma:
Não vejo vantagem nesse uso, pois eu nunca consigo os programas
que façam o que eu gostaria que fizesse (grifo da pesquisadora). Usar
o Maple, por exemplo, é loucura, pois o individuo vai ter que aprender
antes uma linguagem super complexa. O tempo que eu acho que o
aluno perde aprendendo aquela linguagem ou escrevendo aqueles
codificadores, quando não se sabe de pronto, acho que acaba
desanimando-o a fazer outras explorações (grifo da pesquisadora).
Ao ouvir o
professor K
, pergunto-lhe: e o Winplot, você conhece? O professor K me
responde que não conhece e contrapõe que acha muito interessante que o aluno pense “com a
mão”. Insistindo ainda nesse tema eu pergunto ao professor K, se ao estar trabalhando com os
alunos em sala de aula com uma abordagem que envolva o uso de várias representações ao
investigar um dado problema, não seria importante o uso do software matemático como um
recurso didático, como um agilizador dos processos matemáticos? O professor K responde
que, deixando de lado a dificuldade em relação a linguagem que deve ser apreendida no uso
do software, realmente é importante em termos de visualização.
A seguir e já finalizando a entrevista, pergunto ao professor K, em sua opinião,
quais
conhecimentos seriam importantes para a formação do futuro professor de Matemática?
O professor K no início não entende e pergunta
conhecimento matemático?
Eu respondo,
também, mas não existe só esse conhecimento, você pode pensar em termos gerais. O
professor K, então responde, proferindo que é uma pergunta ampla e difícil, mas por fim
assinala:
Na formação Matemática do aluno é importante ter noção de problemas
envolvendo o vetorial e o não vetorial, a idéia do topológico, do métrico (grifo
da pesquisadora) isso são idéias importantes para o individuo conhecer, ter
uma idéia daquilo que se chama Matemática. Outra coisa que o aluno deve ter
nesse aprendizado entre diversos fatores, é a experiência didática (grifo da
pesquisadora), trabalhar com metodologias diferentes (grifo da pesquisadora)
daquelas que estão acostumados, é importante que ele tenha essas experiências
didáticas, principalmente no início do curso (grifo da pesquisadora). Um outro
conhecimento importante é conhecer psicologia, eu acho fundamental. Ter
também uma noção de discursividade, saber lidar com os jovens, pois o
professor em início de carreira se sente perdido quando vai pra escola ter que
lidar com uma geração diferente da sua. É importante também que ele conheça
a realidade da escola e que as discussões metodológicas ou discussões que
81
ocorrem dentro da sala de aula do professor leve ao condutor da escola (o
diretor). Não dá pra você discutir isso isoladamente. Na minha época isso não
era feito você não tinha a mínima idéia do que era sala de aula. Então o
professor também tem que ter isso tem que saber trabalhar e motivar o aluno.
Finalizando seu pensamento o professor K complementa argumentando que:
O licenciando de hoje será o professor de Matemática de amanhã e como
professor de Matemática ele pode preparar os assuntos da matéria com uma
abordagem diferenciada, pode falar de continuidade de uma maneira que não
aborde o assunto de Cálculo, mas ele prepara isso quando ele trabalha com
função, logo, essa natureza de pensamento podia ser explorada no Ensino
Médio (grifo da pesquisadora). Acho que dá pra fazer atividades interessantes
pro Ensino Médio. Fazer o aluno pensar ao invés de propor procedimentos
operatórios em que se aplique uma variedade de fórmulas que o cara não tem
nenhuma idéia do que está fazendo(grifo da pesquisadora). Agora pra
formação do professor eu acho importante, um conhecimento mais profundo,
mais substancial da área que ele está atuando(grifo da pesquisadora).
4.5.1.1. Síntese Interpretativa da Entrevista com o Professor K
Em síntese, o professor K afirma que os alunos chegam a Universidade, mal
preparados, cujo conhecimento matemático está atado à fórmulas e procedimentos operatórios
sem justificativas, o que compromete a sua compreensão em relação ao conteúdo abordado na
disciplina
Cálculo Diferencial e Integral I
Entretanto, não devemos impor essa
responsabilidade apenas ao Ensino Secundário, a universidade tem a sua parcela de culpa ao
ignorar esse fato, o que favorece o índice reprovatório tornando-o ainda mais elevado, em
conseqüência, afeta a disciplina Cálculo, assim como outras que fazem parte do currículo do
curso de Matemática. Desta maneira, na concepção desse professor,
Cálculo é uma das
disciplinas que tem reprovação alta
.
. O professor K assinala que, no Ensino Médio, a Matemática é apresentada de
maneira estática e na Universidade, o curso de
CDI I
(em particular) apresenta uma
Matemática dinâmica o que pressiona o aluno a uma mudança na forma de pensar,
percebendo uma Matemática que além de discreta é contínua
.
Para o professor K, outra dificuldade enfrentada pelo estudante é
a linguagem lógico-
formal própria da disciplina CDI I
. Nesse sentido, o referido professor adverte que,
normalmente a disciplina
CDI I
é apresentada aos alunos de forma invertida –
abstração
antes da reflexão
. Na opinião do professor K, primeiro deveria ser oferecida ao aluno a
oportunidade de refletir, pensar, experenciar, só depois então, exigir a sua capacidade de
abstração. O professor K, ainda propõe que a disciplina
CDI I
passe a ter mais aplicações.
Nesse sentido, o professor K enfatiza que, a teoria é abstração de uma prática. E, não há como
82
você aprender
Cálculo
sem explorar suas aplicações. O que cabe ao professor formador
conduzir o aluno ou futuro professor de Matemática a explorar mais essa abordagem de forma
interessante e que conceitos não sejam concebidos mecanicamente, mas por meio da
experiência.
Na concepção do professor K o
CDI I
é em primeiro lugar uma passagem de um tipo
de
raciocínio discreto para um tipo de raciocínio contínuo
, no qual o termo
contínuo
constitui-se
no fator principal do Cálculo
. Além do que, em
Cálculo I
, por exemplo, se
trabalha muito com
representações Matemáticas
, de maneira que
cada representação
permite ao aluno tirar algumas conclusões que outras representações não permitem
.
Esse é um aspecto importante das
representações
, inclusive o de representar conceitos. Em
referência a tal tópico, o professor K assinala que
não consegue pensar sem representações
concebendo a idéia de o futuro professor poder explorar as representações, não como
uma técnica, mas, como um método que possa favorecer a compreensão da matéria
coordenando as representações entre si.
Nesse sentido, ele assinala que o futuro professor
tem que ter uma idéia geral da Matemática, além de trabalhar com metodologias diferentes,
vivenciar experiências didáticas, principalmente no início do curso de Matemática,
particularmente no curso de Licenciatura em Matemática.
83
4.5.2. O Professor Y
O encontro com o professor Y realizou-se às 10:00 hs da manhã do dia 27 de Junho,
numa terça feira. Em relação a sua experiência em lecionar
Cálculo
, o professor Y, informa
ter lecionado para turmas de Biologia, Física e Computação. Em relação à turma de
Matemática sua experiência é grande em se tratando em início de curso, ou seja, Cálculo I. O
professor Y acrescenta que entres os cursos há uma grande diferença na maneira de ver a
disciplina Cálculo:
Por exemplo, o biólogo não gosta de estudar Cálculo. Parece que ele vai pra
Biologia já dizendo que não gosta de exatas, então a rejeição é muito grande e
aí o que você tem que fazer? ademais a carga horária é pequena comparada
com a Matemática, então você praticamente elimina a parte teórica de
dedução, você acaba dando a técnica. Entretanto no curso de Física, ou
Computação funciona bem como a Matemática. O problema é quando você
vai pra Ecologia, Biologia aí a rejeição é grande.
Ainda versando sobre o tema Cálculo, perguntei ao professor qual sua opinião em
relação
a grande reprovação existente na disciplina Cálculo
. Sua resposta foi:
Eu acho que tudo dá pra gente falar geral, é grande a mudança do Ensino
Médio pra o ensino superior e os estudantes não são ou estão acostumados
com abstração (grifo da pesquisadora). Na Universidade a gente trabalha
muito com demonstrações de propriedades, teoremas e os conceitos também
são novos. Limites e Derivadas são pouquíssimos os alunos que entram na
Faculdade tendo visto esse conceito. Então acho que a abstração que a gente já
dá no início na disciplina Cálculo I é uma mudança muito grande de
raciocínio, considerando o que os estudantes vêem no Ensino Médio. Então
acho que isso já é um choque, esse é o maior problema e não tem muito que
fazer, porque se você for olhar, o Cálculo é o início de tudo, então você diria
vamos aliviar, aliviar como? Você vai retardar? Se é o começo de tudo? (grifo
da pesquisadora) Então não tem jeito, eu acho que Matemática é isso aí
mesmo, ela exige um perfil do aluno e que infelizmente, se ele não tiver esse
perfil de um futuro matemático, gostar de Matemática, de trabalhar com
Matemática, ele não vai se adaptar (grifo da pesquisadora). Então acho que já
está inserida na Matemática essa dificuldade, não depende de qual curso ou de
qual aluno ou de qual professor. Esse problema de Cálculo é antigo. A gente
recebe professores aqui dando palestras, dizendo que há quarenta anos atrás
Cálculo era o terror, então não é problema de que o ensino está mais fraco ou
não. Matemática é isso daí mesmo, exige muito do aluno e não tem jeito,
talvez no Ensino Médio, pudesse já adentrar um pouco nos conceitos, chegar
aqui já com uma certa bagagem, mas aí você vê que é o contrário, essa é a
realidade(grifo da pesquisadora).
Buscando enfatizar um pouco mais o que foi exposto pelo o professor Y, acrescento a
seguinte pergunta:
O que você acha de estar ensinando, abordando esse assunto (noções
de Cálculo Diferencial e Integral) lá no Ensino Médio?
O professor me responde:
84
Interessantíssimo (grifo da pesquisadora), principalmente quando o professor
está trabalhando com física, já que precisa muito falar em velocidade,
aceleração. Então, se poderia já introduzir noções de derivada, mas o que eu
noto é que em geral eles não dão nem o básico (grifo da pesquisadora).
Mesmo nas escolas particulares que eles tem condições, eu não sei se eles
conseguiriam iniciar esse assunto não é mesmo? Mas seria interessante, com
certeza.
Finalizando o
primeiro bloco
, perguntei:
em sua opinião qual a relevância da
disciplina Cálculo Diferencial e Integral para a formação do futuro professor de
Matemática?
O professor Y me respondeu:
Eu não vejo só o Cálculo, eu acho que o futuro professor tem que saber
Matemática, não adianta fugir disso (grifo da pesquisadora). Eles têm que
saber Matemática e tem que saber bastante, para enfim, ensinar com muita
facilidade o básico não é? E o Cálculo, especificamente, pra mim ele é uma
ferramenta importante que deve ser utilizada pelo professor do ensino
fundamental e médio, quando ele está trabalhando a construção de gráficos de
uma função, mesmo que ele não vá passar pro aluno onde essa função
apresenta crescimento ou decrescimento ou comportamento assintótico etc.
(grifo da pesquisadora), mas ele sabe o comportamento, então ele tem muita
certeza do que ele está passando pro aluno, porque ele tem conhecimento mais
profundo pra dar certeza do que ele está pensando. Então você não pode ter
um aprendizado pequeno (grifo da pesquisadora), porque eu vou ensinar
pequenas coisas. Então você tem que ter um aprendizado muito forte pra
entender muito bem o básico, estar com um alicerce muito forte do que vai
falar lá não é? Portanto, não só o Cálculo, mas todo o curso de graduação em
Matemática. Quanto mais teoria que o aluno tiver muito mais liberdade ele
tem de trabalhar em sala de aula (grifo da pesquisadora). Ele vai ter segurança
de mudar de assunto e fazer relação entre os assuntos. Se ele não tem uma
bagagem boa ele vai ficar limitado (grifo da pesquisadora), ele vai pegar um
exemplo simples, porque ele não sabe um exemplo mais sofisticado certo?
Então acho o que falta hoje para a turminha que está aí dando aula é conteúdo,
é conteúdo, então tem que ensinar Matemática mesmo e Cálculo com certeza
(grifo da pesquisadora). Logo, não existe limite para Licenciatura e
bacharelado de forma alguma em referência à disciplina Cálculo. Cálculo é
Cálculo, é o básico e se você apresentar um fato novo pro aluno, nada mais
natural que você prove pro aluno o porque daquilo. Nesse sentido, eu. Acho
que na graduação você não pode mais passar só uma informação sem mostrar
pra ele de onde vem àquela afirmação, então pra mim não tem separação
(grifo da pesquisadora). Por exemplo, o nosso curso 1º. e 2º. ano não tem
separação. Como você vai separar estruturas algébricas? Nós estamos dando
uma base de álgebra pro aluno. Não importa que, se ele vai fazer mestrado ou
vai dar aula, ele precisa de uma bagagem não é? Na minha concepção, não
tem diferença principalmente em Cálculo, com certeza não (grifo da
pesquisadora).
O
segundo bloco
de perguntas foi sobre
representações Matemáticas
, nesse sentido,
questionei: É fato que a Matemática em sua totalidade é composta por símbolos e
representações. Considerando, portanto, representações Matemáticas como representações
gráficas, algébricas, geométricas, entre outras.
Em sua opinião qual a importância das
85
representações Matemáticas para o conhecimento do aluno? E para o futuro professor
de Matemática?
Para essa pergunta o professor Y me respondeu:
Muito importante, a importância é muito grande, porque se a gente acha que o
Cálculo é difícil, é pesado é árduo, é muita teoria, muita demonstração, essa
parte gráfica é “o pulo do gato”, então pra o aluno enxergar a teoria, a
compreensão dos muitos teoremas, antes de demonstrá-los, buscamos fazer
um simples desenho, e então, o aluno enxerga perfeitamente o que está
acontecendo, o porque daquilo. Lógico que você vai fazer algebricamente
(grifo da pesquisadora). Eu sempre friso aos alunos que o gráfico não prova
nada, é mais pra você enxergar o que está sendo feito, então eu acho
fundamental principalmente por isso, pela teoria ser muito difícil para o aluno.
O gráfico o ajuda a acompanhar o desenrolar de um fato, que desse fato o leva
a outro, e se nessa seqüência de fatos eles se perder, então você fez um
deseinho, ele passa a entender o esquema, de maneira que a teoria vai ficar
muito mais clara pra eles (grifo da pesquisadora), especificamente se for o
caso de uma demonstração.
Em relação
às mudanças de representações
, eu acrescento à pergunta:
Com sua
experiência em sala de aula você nota que eles têm dificuldade de fazer mudanças de
representações Matemáticas?
Por exemplo, de uma representação algébrica para uma
representação gráfica? O professor Y responde;
Aí por exemplo é que entra a maravilha do Cálculo (grifo da pesquisadora),
que é o que a gente procura dar em Cálculo. Ou seja, você não precisa ficar
criando uma tabelinha pra ele esboçar o gráfico de uma função. Você busca
olhar o crescimento, decrescimento, ponto de máximo, mínimos, assíntotas,
você tem todo o comportamento dela, sem perder tempo com tabelinha. Então
eu acho que o Cálculo faz com que o aluno abra a mente, você vai dar mais
informações pra ele, ele não precisa calcular dez pontinhos pra enxergar
aquele esboço né? Então eu acho fundamental. Agora em relação à
dificuldade, se você dá uma teoria, ele passar pro gráfico, fazer um esboço, eu
acho que é mais difícil, então essa parte em geral traz muita dificuldade pro
aluno (grifo da pesquisadora).
Ao perguntar sobre sua experiência com as TICs, especificamente sobre o uso de
softwares como um recurso didático e pedagógico para o ensino da Matemática, o professor Y
responde:
Olha o computador é muito interessante, considerando o tempo que ganhamos,
pois em poucas horas você pode fazer muitas atividades, que com certeza não
teríamos condições de fazer na lousa (grifo da pesquisadora). Olha o software
que eu tenho usado é o Maple, mesmo porque é o que nós temos no
Laboratório e eu acho que o aluno precisa sair da graduação conhecendo pelo
menos o Maple, ou o pacote Matemática, isto é, conhecer um pacote completo
onde ele faça tudo que ele precisar. Não que no dia à dia, talvez ele vá ter
condições de ter, na escola onde ele vá trabalhar, mas pra saber que existe,
mesmo porque, agora o aluno domina tranqüilamente o computador. Eu
gostaria de ter mais tempo pra fazer essas atividades (grifo da pesquisadora),
86
porque requer tempo, considerando que, as atividades, não podem ser muito
demoradas, você tem que limitar tempo, você precisa da ajuda de alguém, não
dá pra levar a turma toda um dia só, então isso está me limitando muito, a
levar a turma toda que é grande, no computador (grifo da pesquisadora).
Finalizando a entrevista perguntei sobre o conhecimento do futuro professor,
especificamente, que tipo de conhecimento é necessário ao futuro professor de Matemática?
Na opinião do professor Y essa questão requer um aprofundamento maior, já que é uma
pergunta difícil de responder, entretanto, o professor Y acha que:
Quanto mais conteúdo matemático você der pra o futuro professor melhor vai
ser (grifo da pesquisadora). E, não adianta dizer que basta o mínimo, pois isso
não é verdade, você tem que dar muita bagagem. Eu vejo pela gente da
Matemática Pura, você faz graduação, mestrado, doutorado e de repente você
está em sala de aula, e então, aparece um aluno, e "puxa vida!” Mostra um
caminho, olha! Nunca pensei nisso! Então você estuda uma vida inteira e às
vezes você se surpreende com a idéia nova de um aluno. Agora imagina se
você não estudar profundamente a Matemática, porque ela exige muito de
você. Então, primeiro detalhe a dizer pro professor, ensine o máximo que você
puder de Matemática, primeiro passo, agora é lógico, ele vai ser professor
você vai ter que tomar o cuidado com a outra parte, como lidar com a turma,
por exemplo. Hoje em dia, eu nem sei te falar o que eu proporia atualmente
num curso de graduação, ou então como lidar com esses problemas parece que
um ano de Psicologia já não está mais dando conta. Eu reconheço que nos
cursos de graduação, no nosso, por exemplo, falta fazer um pouco mais de
contato dos alunos com as escolas. A nova portaria do MEC está tentando
mudar isso aí. Eles aumentaram as horas de prática de ensino e exigindo que a
gente dilua a prática durante o curso, durante as atividades e isso já no
primeiro, segundo ano ou fazer um projeto pra uma escola, já tentar levar o
aluno mais pro seu futuro local de trabalho. Só que a gente ainda não viu essa
mudança, porque acontece mais no segundo ano. Nesse aspecto a minha
impressão é que vai melhorar bastante, o aluno ter contato com a escola. Isso
eu acho que faz falta.
4.5.2.1. Síntese Interpretativa da Entrevista com o Professor Y
Para o professor Y existe uma grande mudança do Ensino Médio para o Ensino
Superior em relação à maneira de abordar os conteúdos matemáticos. Os estudantes não estão
acostumados com
a linguagem lógico-formal
apresentada logo no início do curso de Cálculo
I., mas, em sua opinião não há como fugir disso é necessário que o aluno aprenda a abstrair,
pois o que se vê em Cálculo é o início de tudo, é a base, além de ser uma continuação do que
foi visto e estudado no Ensino Médio.
Na concepção do professor Y, o futuro professor tem que
saber Matemática
, ter um
conhecimento profundo dos conceitos matemáticos, pois, quanto maior conhecimento do
conteúdo melhor. Nesse sentido, o professor Y acrescenta que, o futuro professor precisa
gostar de Matemática. Deste modo, as noções de Cálculo constituem-se em uma ferramenta
87
importante que deve ser utilizada pelo aluno ou futuro professor de Matemática que irá
lecionar em nível de Ensino Fundamental e Médio, principalmente quando se objetiva
explorar as representações gráficas de uma função, ou seja, a importância das representações é
muito grande, pois segundo o professor Y, possibilita uma maior compreensão da teoria,
permitindo ao aluno ou futuro professor enxergar perfeitamente o processo de abstração.
Em relação às
representações matemáticas
, o professor Y faz questão de ressaltar
que, a
representação gráfica
tem apenas a função de orientar o desenrolar de um fato, de
maneira a tornar mais esclarecedor o que algebricamente é demonstrado isto é, não tem a
função de provar um resultado matemático, enquanto que a representação algébrica tem o
poder de justificação e comprovação de um fato. Portanto, para o professor Y, explorar e
coordenar as várias representações constitui-se em um fator fundamental em qualquer
disciplina, principalmente em
CDI I
, pois possibilita ao aluno ou futuro professor uma maior
compreensão dos conceitos estudados. E, considerando que, atualmente, o aluno domina
tranqüilamente o computador, o professor Y, entende ser um recurso que deve ser mais
explorado em um curso de
CDI I
, levando em conta que o ganho de tempo na exploração de
atividades que envolvem
várias representações
é substancial. Entretanto, muitas são as
limitações, principalmente quando se trabalha com um grupo grande de alunos, pois se deve
considerar o limite de tempo, apoio de um técnico, entre outros impasses ou necessidades. Por
fim o professor Y acrescenta, enfatizando que, não importa se o aluno vai fazer mestrado ou
vai dar aula, ele precisa de uma “bagagem”, de maior conhecimento matemático, estudar e
entender profundamente a Matemática.
88
4.5.3. O professor W
Contatei o professor W no final do primeiro semestre de 2006, e o convidei a
colaborar com a nossa pesquisa. Ao obter a sua concordância, foi agendada a nossa entrevista
para depois das férias de julho, com data a ser posteriormente definida. Após as férias, entrei
novamente em contato com o professor W, e finalmente foi realizada a nossa conversa em 15
de agosto, numa terça-feira, às 17:00 hs, em sua sala de trabalho nas dependências da UNESP.
É grande a experiência do professor W em ministrar a disciplina
Cálculo Diferencial
e Integral
. Segundo o professor W, nos últimos treze anos ministrou esta disciplina em cinco
oportunidades em diferentes universidades. Após as apresentações perguntei-lhe qual a sua
metodologia em sala de aula ao ensinar Cálculo, se limita os conteúdos, ou se é muito
exigente? O professor W responde:
A limitação dos conteúdos irá ser quanto a carga horária. Por exemplo, num
curso de Matemática geralmente temos uma carga horária de 90 horas, o que é
suficiente. Cabe lembrar também a questão temporal, já que esse ministro esta
disciplina há algum tempo, de maneira que não consigo repetir o mesmo nível
de cobrança exigido no passado, isso porque o aluno que chega hoje na
universidade é diferente. Às vezes, fico olhando as provas que aplicava,
comparando com as provas que eu aplico hoje. Vê-se claramente a diferença.
Esta comparação em termos de avaliação fica um pouco diferenciada, por
conta que o conteúdo também foi filtrado. Não só a platéia mudou como
também a questão de carga horária. Uma coisa que não abro mão é de fazer
demonstrações em sala de aula (grifo da pesquisadora). Atualmente ministro a
disciplina Cálculo I com uma carga horária mais “folgada”, 180 horas anuais.
Podemos acrescentar na ementa da disciplina a fórmula de Taylor e Equações
Diferenciais. Então optei por fazer um curso bem mais detalhado, logo, estou
fazendo todas as demonstrações. Talvez num curso mais rápido eu não
exigisse tantas demonstrações de teoremas ou propriedades.
Após a explanação do professor W, perguntei-lhe sobre
a questão da reprovação na
disciplina Cálculo
, qual a sua opinião? O qual me respondeu que
é um curso que
tradicionalmente reprova
associado ao fato de que o professor não consegue, muitas vezes,
ser benevolente com provas entregues quase que totalmente em “branco”, sem justificativas
ou com muitos erros. Ou seja, não consegue considerar um “mínimo a ser avaliado”
apresentado pelo aluno. Outra causa para a reprovação seria a falta de base dos estudantes que
chegam a universidade. Ouçamos o professor W:
É realmente o curso que mais reprova. Eu acho que o reprovar está preso
também a uma mentalidade profissional do professor de Matemática. Pode ser
que ele seja restrito a essa questão da aprovação. E se é assim, então ele não
costuma ser benevolente em aprovar. O outro fato marcante é que o professor
não consegue avaliar nada que o aluno apresenta caso este apresente uma
prova com respostas incompletas ou parcialmente corretas. Por que isso?
89
Porque o aluno tem problema de base, eu acredito que o problema está na
formação com que ele chega aqui (na universidade) (grifo da pesquisadora). O
aluno chega com muitas falhas em sua formação, o que dificulta acompanhar o
curso. A disciplina de Cálculo é difícil, porque é uma disciplina muito
diferente do que ele vinha fazendo até então (grifo da pesquisadora). Costumo
dizer para os alunos que a disciplina de Cálculo I é onde a Matemática passa a
ter movimento. Até então a Matemática era estática (grifo da pesquisadora). A
própria motivação do Cálculo vem das equações de movimento da Física de
Newton em sua criação. É um cálculo que é diferente já na sua concepção. O
aluno já começa com dificuldades. Acho que a reprovação não é culpa nem do
professor, nem da Matemática em si. É um problema onde se supõem certas
coisas, tais como domínio e formação tornando-se difícil nesse sentido.
Ainda nesse primeiro bloco de perguntas, indaguei: Você acha que seria interessante
para o aluno já no Ensino Médio, ter uma noção de limites, derivadas, mesmo que seja no
final do curso do terceiro ano? O professor W argumentou:
Só seria interessante, por exemplo, como ocorre nos Estados Unidos ou na
Europa que tem esse conteúdo no colegial. A diferença está que desde o
primeiro ano do ensino todo o programa é cumprido existindo condições para
que isso seja feito. Aqui, no Brasil, na atual situação do ensino eu não vejo
como algo viável, uma vez que o Ensino Médio não está cumprindo o que é
suposto cumpri. Vamos dar um exemplo, no disciplina de Cálculo I costumo
fazer uma revisão de trigonometria e sempre pergunto se alguém nunca tinha
visto esse assunto. Algo entre dois ou três alunos que levantam a mão falam
que nunca tinha visto este assunto (grifo da pesquisadora). Então de nada
adianta se temos em uma sala de 40 alunos, por volta de 10%, nunca viram
boa parte desse conteúdo. Como posso falar em dar noções de limite e
derivada no Ensino Médio? Não dá certo. Num futuro, quem sabe!?
Para finalizar esse primeiro bloco, perguntei: professor W, em sua opinião qual a
relevância da disciplina Cálculo Diferencial e Integral para a formação do futuro professor de
Matemática? O citado professor assinalou a seguinte acepção:
É a velha discussão se você ficar preso à máxima de que “só vou passar pro
aluno (futuro professor) aquilo que o indivíduo deverá ensinar”, ou seja, se
ficarmos presos no conteúdo de formação de professores e ensinar muito bem
aquilo que ele vai ensinar, então bastariam ter cursos de Tabuada o que
estaríamos ridicularizando a discussão. Acredito que só podemos ensinar algo
anterior se dominamos o conteúdo à frente dela (grifo da pesquisadora). Nesse
sentido, vamos fazer um parêntese. Numa outra disciplina que estou
ministrando levantei a seguinte questão para os alunos: será que vale a pena
ensinar determinados conceitos no segundo grau? Ressaltei essa pergunta,
porque eles estão vendo o quão é difícil é a formalização do conceito de
número complexo. Como funcionam as propriedades, etc. A idéia, portanto, é
dar uma noção melhor pra eles, para poderem ensinar de uma maneira mais
consistente e coerente esse assunto no segundo grau. Então, é claro que o
professor de Matemática não irá ensinar limites e derivadas ou integral se ele
for dar aula no chamado colégio. Mas este conteúdo dará um entendimento
melhor para ensinar os conteúdos do Ensino Médio (grifo da pesquisadora). A
isso que me referia antes. É importante fazer a disciplina de Análise
Matemática, que é como um Cálculo Avançado, pois o estudante e futuro
90
professor devem ter uma compreensão de conceitos de números reais, funções,
continuidade para ter um entendimento melhor do Cálculo. Um melhor
entendimento para o futuro professor poder posteriormente ensinar (grifo da
pesquisadora). Caso contrário, ele fica alheio ao que chamaria do pensamento
matemático. Fazendo um paralelo com as Artes, talvez fosse como o caso do
indivíduo que é um entendedor de arte. O que para alguns de nós um quadro
só passaria apenas por um desenho, talvez para ele, que tem um entendimento
da história da arte, do uso de cores, da simbologia, com certeza terá um
entendimento muito melhor do quadro. Deste modo, o professor de
Matemática que vai trabalhar só com as “pinturinhas”, seja importante ter
aquele “entendimento artístico”. Ele saberá valorizar melhor as idéias, os
variantes, detectar um aluno brilhante na sala. Saber olhar e perceber. Então
acredito que é importante sim para a formação do futuro professor. (grifo da
pesquisadora).
Terminado
o primeiro bloco de questões
, num segundo momento da entrevista
perguntei ao professor W sobre
a importância das representações Matemáticas
para o
conhecimento do aluno, incluindo o futuro professor de Matemática. Qual a sua concepção à
respeito? Segundo o professor W, é importante destacar que irá depender da experiência de
quem propõe essa abordagem. Em suas palavras ele acrescenta:
Eu sempre me preocupo muito na disciplina de Cálculo em privilegiar as
aplicações (grifo da pesquisadora). Não só no Cálculo, em qualquer disciplina
que ministre. Isso acontece, talvez por minha formação ter sido mais em
Matemática Aplicada. Tento sempre fornecer uma motivação maior, mais
prática. Partindo do “algo real” criar-se um modelo matemático. O modelo
matemático se expressa por uma linguagem seja ela geométrica ou algébrica.
A partir daí resolvemos matemática e buscamos sua comprovação
experimental. Valorizo este mecanismo pois acredito ser importante lidarmos
com as diversas representações (grifo da pesquisadora). Falando novamente da
outra disciplina que estou ministrando comento com os alunos que os números
complexos podem ser vistos ora como um par ordenado, ora como um ponto
no plano, como também por uma matriz. Desta forma, forneço ao estudante as
diversas formulações de linguagens diferentes para representar o mesmo
conceito de número complexo. Fazendo uma analogia com o conceito de
derivada, podemos mostrar ao aluno que estamos falando a mesma coisa, ora
como velocidade instantânea, ora como declividade de reta tangente. Todas
representam o mesmo conceito matemático só que com terminologias
diferentes (grifo da pesquisadora).
Após a explicação do professor, volto a lhe perguntar: Então o senhor acha que para se
trabalhar com as várias representações, o professor tem que ter um conhecimento mais
profundo do conteúdo? Para essa pergunta o referido professor responde:
Tem sim, por exemplo, se o professor irá fazer uma representação algébrica, e
tem que exibir um gráfico - a representação gráfica, e desenha o gráfico
errado? (grifo da pesquisadora) É delicado. Às vezes ao esboçar um gráfico
notamos que partes do esboço estão muito verticais, quer dizer, não é função.
Às vezes, o que esboçamos não corresponde à um gráfico de uma função que
queremos representar e dizemos para os alunos que não está bom. Então,
91
fazemos outro desenho mais claro para aluno. É importante que o professor
saiba o que está fazendo, pois nessas formulações ele pode cometer erros. Se o
futuro professor tiver um entendimento profundo, como também a capacidade
de abordar de diversas maneiras as representações Matemáticas, isto mostra
que ele está evoluindo no entendimento da Matemática. Se esse professor
priorizar apenas a parte algébrica e não ter domínio sobre a representação
gráfica isto passa a ser uma limitação dele, (grifo da pesquisadora) Um
conhecimento que ele não domina.
Dando prosseguimento a entrevista, já
no terceiro bloco de perguntas
, questiono o
professor W, perguntado-lhe:
Qual a sua experiência com as TIC em sala de aula
, pouca,
grande? Fale um pouco da
relevância de se utilizar softwares educativos
(matemáticos)
como uma metodologia de ensino. O professor W responde:
Já usei o Cabri e o Maple. Eu utilizo esses recursos não concomitantemente
com a aula, porque não é possível (grifo da pesquisadora). A razão disso é que
dependo de um laboratório de informática. Freqüentemente prefiro que o
aluno faça inicialmente alguns exercícios na mão e então no computador.
Desta forma, não uso o laboratório constantemente. Eu prefiro assim. Vale
ressaltar, que existem vários fatores que acabam complicando o uso constante
do laboratório, pois este é utilizado por muitos professores na universidade.
Quando dou aula usando algum software, procedo assim: após trabalhar
bastante em sala de aula, vou ao laboratório. Primeiro para ensinar a usar o
software, com isso eu mostro suas vantagens e limitações. Acredito ser
importante que a o aluno saiba o que está fazendo no software, o que é certo e
errado. Uma conta, um desenho, é importante. Mas, essa confiança tem de ser
avaliada pelo aluno se o programa fez certo ou não, considerando que foi feito
na mão antes. Tem que primeiro ter um trabalho em sala de aula. (grifo da
pesquisadora) Outro aspecto que acho positivo é que o aluno começa a
perceber o quanto o software faz facilmente algo que ele levou muito tempo
pra fazer usando lápis e papel. O que consiste numa das grandes vantagens de
se trabalhar com um software matemático. Agora, é necessário que o
professor saiba selecionar exemplos interessantes. Qual a diferença entre a
aula usando a lousa e o computador? Nenhuma, fazer no computador o que
você faria na aula? Na minha concepção, devemos explorar na máquina um
contexto que normalmente não faríamos em sala de aula seja ela pela
dificuldade, seja pela complexidade, para o aluno perceber a nova maneira de
abordar o problema (grifo da pesquisadora). É semelhante a você ter que fazer
uma conta num restaurante. Você ter que usar uma calculadora pra somar, eu
acho um desperdício, em certo sentido. Agora se você usar uma calculadora
para fazer contas mais elaboradas como calcular raiz quadrada, raiz cúbica, ou
uma série de cálculos numéricos, aí sim, é válido. Afinal, a função dela é pra
isso. Agora usar uma calculadora pra calcular 10 X 4? Eu acho um
desperdício. O software entra na minha disciplina como algo que vem
consolidar o que foi feito em sala de aula, reforçar, no sentido de dar uma
visão de algo que não conseguimos fazer em sala de aula facilmente, tipo
gráficos, desenhos etc. (grifo da pesquisadora). O computador faz muito mais
bonito do que você faria na lousa. Você consegue explorar muito melhor o
assunto abordado em sala de aula. Retomar o conteúdo dizendo: olha está
vendo aquilo que a vimos na aula? É uma forma de valorizar o que foi
apreendido, bem como as possibilidades e potencialidades do software, pois
ele faz coisas muito mais precisas, mais elaboradas, mais complexas (grifo da
pesquisadora). No caso da minha disciplina, acredito que está dando certo. Os
92
alunos estão gostando e querem voltar. E eu só levei uma vez. [...] Acredito
que o uso do software é extremamente positivo.
Buscando explorar um pouco mais sobre esse assunto, indaguei o professor W,
perguntando-lhe: Em relação às
representações
, essa abordagem de se usar várias
representações, você acha que o software contribui bastante com isso. E o que você acha da
questão da animação no software, em referência a visualização? Sobre esse questionamento o
professor W emitiu a seguinte opinião:
Vem reforçar aquilo que falei. No Cálculo, por exemplo, a motivação é muito
grande, porque o Cálculo envolve movimento (grifo da pesquisadora). Então,
se o aluno vai estudar derivada por retas secantes, é possível fazer uma
animação por retas secantes. É um recurso que o aluno visualiza. Só que eu
acho, na minha experiência, que a surpresa se dá muito mais para o software
do que pro conteúdo. Porque ele já tinha abstraído este resultado ao estudar
(grifo da pesquisadora). Quando o aluno vê o software realizar a figura na tela
do computador, ele acha bonito, pois está reproduzindo aquilo que ele
imaginou. Acho importante nesse sentido. Mas, surge a dúvida: a surpresa foi
pelo software ou pela maneira diferenciada de abordar o conteúdo? São muitos
os exemplos gráficos em que não é possível fazer manualmente, é quando
devemos utilizar o computador. A figura passa então, a fazer sentido, porque o
aluno vê precisamente o que está acontecendo. Essa é a vantagem no caso da
visualização (grifo da pesquisadora). Agora, vejamos o seguinte exemplo,
existem certas superfícies quando estudamos no cálculo avançado, que às
vezes o desenho na lousa apela muito mais para a abstração. Algo como
quando uma criança desenha uma casinha e mostra para você um desenho
cheio de rabisco. Mesmo assim, com certo esforço, você consegue enxergar a
casinha que a criança desenhou. Às vezes na aula temos uma situação
parecida. Fazemos um desenho e falamos para aluno, por exemplo que é um
cone e em cima tem uma semi-esfera. O desenho pode ser pobre, horrível,
mas, o aluno num processo de abstração consegue ver. Poderia ser diferente
no caso do uso de um “Notebook” e o “Data Show” em sala de aula.
Construímos diretamente o gráfico e o aluno iria ver a figura sob vários
ângulos, várias perspectivas. Mas, volto a me perguntar, qual a diferença se
tivesse uma peça de isopor, um cone de isopor e trouxesse pra sala de aula?
Nesse caso ainda ele vai poder colocar a mão, manipular. Será que fazer uma
atividade no computador, em sala de aula direto facilitou a aprendizagem?
Todo mundo visualizou. Mas será que esse processo não cortou a abstração do
aluno, o esforço que ele teria que fazer para enxergar tudo aquilo primeiro? O
aluno da Matemática tem esse problema de abstração e de visualização. Ele
sabe manipular muito bem algebricamente, mas não tem dificuldade em
representar figuras, objetos, sólidos etc. (grifo da pesquisadora), que é o
contrário que acontece com estudantes de Física. Já dei aula para os dois
cursos e possível perceber as diferenças. O aluno da Física, tem por hábito
fazer experimentos abstratos mentais constantemente. Quando você fala:
pegamos um canhão e lançamos uma projétil. Ele abstrai facilmente a
trajetória parabólica pois ele tem essa visualização na mente. Quer dizer, o
problema físico o obriga a fazer abstrações. Eles são constantemente
exercitados a fazer isso. Então, quando fazemos um desenho de um sólido na
Física eles conseguem abstrair o que está na frente e o que está por detrás. A
mesma atividade com estudantes de Matemática causa um caos.
93
Tentando esclarecer sobre a argumentação acima exposta pelo professor W em relação
a questão da visualização, pergunto: seria o fato de trabalhar muito pouco com aplicações
num curso de Matemática? Nesse sentido, o referido professor responde:
Não seria quanto às aplicações. O problema é de visualização. Representação
geométrica. O aluno da Matemática vê muito pouco esse tipo de representação
(em Cálculo) (grifo da pesquisadora). Normalmente ocorre em disciplinas
como Geometria Diferencial no caso de superfícies. O aluno de Matemática
sabe calcular. Ele acompanha sem problemas os cálculos mas quando
passamos para os desenhos (visualização e abstração) eles se perdem. Não
compreendem os desenhos. Não visualizam, (grifo da pesquisadora).
Para
o último bloco de perguntas
, busco explorar um pouco
a questão do
conhecimento do professor de Matemática
, para tanto, pergunto ao professor W, em sua
opinião, que tipo de conhecimento é necessário ao futuro professor de Matemática? Para essa
pergunta, professor argumenta que:
Não vou falar sobre educação porque não é minha área. Eu não fiz licenciatura
e conheço muito pouco sobre o assunto. Mas, às vezes fico pensando se não
seria interessante termos uma estrutura curricular em que a parte chamada
licenciatura em educação e a parte chamada bacharelado que seria a formação
para o futuro pesquisador, fossem colocadas como uma especialização.
Poderíamos em dois anos e meio ter uma formação comum às duas áreas,
fornecendo os conhecimentos básicos para o licenciando e bacharel. Nesse
sentido voltando-se mais para o ensino de metodologias, técnicas e aplicações
no ensino da Matemática. Comento isso, mais como uma crítica, pois ouço
freqüentemente o aluno questionar o porque aprender certas coisas ou mesmo
para que serve. Só podemos dizer para que serve algo ou o porquê de se
aprender algum conteúdo depois de termos uma visão GLOBAL do assunto
(grifo da pesquisadora). O que responder a um aluno para que serve aprender
derivada? Se sei o que acontece no curso como um todo, responderia que
aprende-se derivada porque em Física temos tal problema, na Economia tal
problema, na Biologia tal problema, etc. Em todos os casos precisamos do
conceito de derivada. Mais ainda, se estudar Matemática pela Matemática
precisamos estudar do conceito de derivada para o estudo de superfícies. A
derivada é uma linguagem básica. Só podemos responder a aquela pergunta se
tivermos ciência do todo. O que quero dizer é que o professor precisa ter uma
visão ampla. Fico pensando se não seria muito mais proveitoso ensinar o
básico e ter essa parte de educação ou de pesquisa como algo mais
especializado para o aluno. Acredito que ele deveria se dedicar mais na sua
própria formação, ou seja, no básico primeiro. Aprender mais, de maneira que
ele tenha condições de ter um conhecimento mínimo e substancial. Não
adianta levantar uma pergunta como se vamos ensinar derivada e limite no
segundo grau se o aluno só vai ter uma clara noção desse conceito depois do
segundo ou terceiro ano dentro da universidade. No final ele olha para trás e
diz que não pode ensinar esse assunto para os seus futuros alunos, mas que foi
importante ter aprendido pois agora conhece melhor o conteúdo (grifo da
pesquisadora). Essa é uma idéia que me passa e estou falando isso, porque eu
me lembro que quando estava a aprender a usar o Maple, percebi que para
desenvolver os programas ou resolver um problema no Maple, tive a
oportunidade de aprender muito mais sobre a Matemática. De outra forma, ao
implementar um problema e resolve-lo no software, tirando as dificuldades da
94
linguagem de programação e tudo que envolve esse processo, comecei a
perceber que certos problemas não dependia do meu conhecimento sobre o
Maple, mas do conteúdo teórico-matemático. Tive que voltar a abrir livros e
entender melhor a Matemática. Penso numa analogia horrível que o Maple
seria como um bom aluno. Para ensinar a resolver certos problemas tive que
compreender melhor os conteúdos da Matemática para então poder ensinar
ele, Maple, a fazer as contas.
Buscando esclarecer um pouco mais o que ouvia da explanação do professor W,
acrescentei: O senhor quer dizer que para manusear bem a linguagem do software, poder
explorar melhor a potencialidade do software, antes é necessário ter um conhecimento
substancial da Matemática?
Exatamente. Você acaba aprendendo muito mais quando levanta questões e
problemas e acaba aprendendo um pouquinho mais da Matemática. Perguntas
de como ensinar, porque ensinar, usar ou não o computador, em que momento
ensino certo conteúdo, etc. Todas essas perguntas irão surgir num certo
momento e vão reforçar o que o aluno aprendeu. Penso que o aluno, no caso
da formação do professor, tem que saber Álgebra. Geometria, Cálculo
Diferencial e Integral, Teoria dos Números pois os alunos num momento ou
outro irão perguntar sobre estes assuntos para ele. As vezes um aluno se
dirige ao professor e diz que gosta de Matemática e quer fazer Matemática,
mas quer saber o que se estuda em Matemática. Se o professor ficar restrito
ao que vai ensinar ele não irá responder a essa última pergunta. O conteúdo e a
reciclagem é importante. Ele precisa ter domínio do assunto para poder falar a
respeito.
4.5.3.1. Síntese Interpretativa da Entrevista com o Professor W
Para o professor W as maiorias dos alunos que chegam à Universidade apresentam
problemas
de base em seu conhecimento matemático
, o que dificulta a compreensão dos
mesmos ao deparar-se com o que se propõe o curso de
CDI I
. Na concepção do professor W,
o
Cálculo
é um curso difícil, diferente de tudo que o aluno tinha visto até então, pois os
conceitos de Limites e Derivadas de funções introduzem uma
passagem de uma Matemática
discreta para uma Matemática contínua
, além de apresentarem uma linguagem lógico-
formal mais elaborada.
Toda essa mudança ocasiona grandes dificuldades para o aluno iniciante no curso de
CDI I
. Sob esse aspecto é importante que esses mesmos alunos ou futuros professores possam
vivenciar novas experiências, trabalhar com aplicações explorando e coordenando às
representações Matemáticas, sejam elas geométricas, gráficas, algébricas etc. No entanto,
segundo o professor W, para se trabalhar e coordenar as representações, o futuro professor
deve ter um conhecimento mais profundo dos conceitos matemáticos.
95
Na concepção do professor W as
representações
podem e devem ser exploradas por
meio de softwares matemáticos. Nesse sentido, ao se trabalhar com esse recurso didático-
pedagógico o professor deve considerar uma abordagem diferenciada da qual normalmente é
apresentada em sala de aula na apresentação de conceito ou resolução de problemas próprios
da disciplina. Ou seja,
o uso do computador mediado por um software educativo
, entra na
disciplina como algo que vem consolidar o que foi feito em sala de aula, um reforço, no
sentido de dar uma visão de algo que o professor não consegue fazer em sala de aula de
maneira hábil, tais como construção de gráficos de determinadas funções, desenho de figuras
geométricas em terceira dimensão, entre outras representações matemáticas.
O professor W acredita que, utilizando o computador, associado ao uso de um
software matemático adequado, torna-se possível ao professor propor aos seus alunos uma
exploração mais efetiva das
representações
de conceitos abordados em sala de aula. O
professor W ainda assinala que, o acesso ao computador constitui-se em uma forma de
valorizar o que foi apreendido em sala de aula. No cálculo I, por exemplo, a motivação é
grande, pois os conceitos de Limites, Derivadas, Integrais envolvem movimento, valores
aproximados, continuidade.
Segundo o professor W, quando o aluno usa o computador, a figura, ou gráficos
estudados em sala de aula, passam então, a ser mais esclarecedores, o aluno visualiza melhor
o processo de construção desses gráficos ou figuras. Para o professor W, esse é um aspecto
importante, considerando que o aluno de Matemática geralmente tem dificuldade em abstrair
e visualizar a figura de um gráfico, principalmente de funções mais elaboradas. No entanto,
esse mesmo aluno consegue com certa facilidade desenvolver cálculos algébricos, qualidade
que não é claramente manifestada quando a atividade é representar graficamente conceitos
matemáticos. Assim, na concepção do professor W, o aluno ou futuro professor de
Matemática precisa em sua formação
adquirir uma visão global da Matemática
, necessita
obter um conhecimento mais profundo dos conceitos matemáticos. Sendo assim a abordagem
de se explorar e coordenar as representações Matemáticas pode e deve ser incentivada.
96
4.5.4. O Professor Z
Contatei o professor Z desde abril de 2006, o qual concordou imediatamente em
participar da pesquisa, mas o nosso encontro só foi possível no dia 21 de agosto do mesmo
ano.
A entrevista foi realizada nas dependências da UNESP, às 17:00hs, numa terça-feira.
Vale ressaltar que o professor respondeu a todas as perguntas e esteve sempre solícito às
dúvidas dessa pesquisadora.
Feita as apresentações, ainda nesse
primeiro bloco de perguntas
, questionei: Há
quanto tempo leciona para turmas de Cálculo Diferencial e Integral? E para turmas de
Matemática (especificamente)? O professor Z me respondeu:
Olha! eu só ensinei Cálculo para outros cursos, ou seja, eu já ensinei
outras disciplinas pra Matemática, mas Cálculo pra outros cursos.
Enfim, no período de estudos entre Mestrado e Doutorado eu dei aula
de Cálculo pros cursos da Engenharia, Administração, Economia.
Sobre a questão da reprovação na disciplina
Cálculo Diferencial e Integral,
perguntei: pesquisas afirmam que a disciplina Cálculo Diferencial e integral é uma das que
mais reprovam em um curso de graduação em Matemática, bem como em outros cursos que
tem essa disciplina inserida no seu currículo. Em sua opinião quais os principais motivos para
tal ocorrência (isso de um modo geral) e particularmente para o curso de Matemática? O
professor Z apresentou a seguinte opinião:
Antes de qualquer coisa, você está pedindo a minha opinião e vou dar
exatamente isso certo? Sobre as pesquisas como você já disse mesmo, tem
várias, mais tem a da Rezende da USP, tem a do Antonio Olimpio Jr. (tese de
doutorado), agora recentemente, que está lidando com isso, na qual ele faz um
apanhado geral e inclusive sobre a questão da reprovação aqui do programa.
Então eu vou colocar impressões com características mais livres que uma
entrevista pode ser dada e não necessariamente como resultado de pesquisa.
Como você bem sabe, eu realizo pesquisas também nessa área, mas em temas
mais específicos que não me permitiriam gerar conclusões para a sua
pergunta. Então aqui são as opiniões do professor que vive num departamento
de Matemática e que convive com vários docentes de departamentos de
Matemática e as impressões que eu vou dar são do que eu vejo enquanto
comunidade e nas minhas reflexões e com a imensa experiência e quantidade
de leituras que eu tenho na minha área. Primeiro, o fenômeno do Cálculo, ele
não é apenas um fenômeno brasileiro, ele é um fenômeno mais ou menos
universal, embora nós tenhamos os alunos mais aplicados em termos de
reprovação entendeu? (grifo da pesquisadora) Por exemplo, nos Estados
Unidos existe a reprovação, mas esse fenômeno não é encarado dessa forma
como é aqui. O índice de reprovação não é dessa forma. Em uma universidade
fora do Brasil, onde eu estudei isto seria visto como um problema e quando
alguns níveis se elevam os responsáveis rapidamente tomavam algumas
97
providências, tentando resolver o problema. A grande questão, que eu acho,
aqui no Brasil, é que a reprovação em Matemática é vista mais ou menos
como natural, ela não é vista como algo que seja um problema, a própria
comunidade Matemática em geral não vê isso como um problema a ser
resolvido a curto prazo. Então no meu ponto de vista não há uma consciência
sobre isso (grifo da pesquisadora). Por exemplo, se acontece uma infecção
hospitalar num hospital todo mundo vai achar que é um problema porque isso
está gerando morte, certo? Agora, fazendo uma analogia às causas da nossa
“infecção hospitalar” que geram tantas reprovações, nem sempre é vista como
um problema que possa ser discutido entre os pares. No meu modo de ver, eu
acho que essa é o primeiro problema. Posso ilustrar dando um exemplo;
recentemente, duas alunas do terceiro ano de um curso de Matemática, mais
conceituados no País, com as quais tive chance de conversar bastante sobre
Cálculo de maneira informal, pois elas não eram minhas alunas. Nessa
conversa, elas perguntaram: o professor a taxa de variação tem haver com
derivada? Aí eu falei: mas, “pôxa” o que você está querendo dizer com isso?
A aluna me respondeu, há! Porque eu acho que tem alguma relação entre taxa
de variação e derivada e aí eu gostaria que o senhor me dissesse se está
relacionado ou não? Passado o susto, eu pedi que me definissem derivada.
Elas sabiam definir derivada sem nenhum problema você entende? Então, essa
é apenas uma ilustração, mas, eu me pergunto: como duas alunas que já
tinham feito Cálculo I duas vezes, com duas excelentes professoras estavam
fazendo essa pergunta? Ou seja, a reprovação, referindo-me a esse caso, como
se pode notar, ela não necessariamente vai gerar aprendizado (grifo da
pesquisadora) de questões básicas como a relação entre taxa de variação e
derivação. Talvez seja um caso para aqueles que defendem a reprovação
pensarem, será que a reprovação mantém o nível de ensino? Pois esse parece
ser o grande argumento de quem é a favor da reprovação, mas ela não está
tendo resultados, nem pra aqueles que defendem a reprovação como método
de ensino, ou melhor, como caminho para se manter o nível da Educação
Matemática. Bom a questão de cunho epistemológico, pra mim que, está por
traz, quer dizer eu já coloquei uma já de cultura, uma de filosofia dessa
cultura, ou seja, como é que ela se traduz em avaliação? Bom, eu acho que há
mais questões e uma delas é a barreira, o salto da Matemática no Ensino
Médio para a Matemática no ensino universitário, então nós teríamos no
Cálculo I, em minha opinião, quer dizer afastarmos ao máximo você entende?
A análise do Cálculo I, porque ele só amplia esse salto visto que o Cálculo já
vai trazer idéias novas e o aluno entra no curso de Cálculo I pensando que vai
calcular. A princípio a visão dele do Ensino Médio, se ele não tiver visto
derivada e provavelmente não viu e se viu, ele viu alguma regra decorada ou
algo do tipo. Então, por exemplo, o problema de máximo e mínimo do cilindro
é algo que eu acho que esse aluno está esperando, além do que, ele viu parte
disso no Ensino Médio com as ferramentas disponíveis no Ensino Médio, com
os conceitos disponíveis no Ensino Médio.Entretanto, rapidamente ele se vê
demonstrando ou tentando compreender as propriedades de limites ou algumas
definições muito formais de função em que começam a gerar um
estranhamento (grifo da pesquisadora). Em minha opinião o relevante é
compreender a noção de integral, sua relação com a derivada. O teorema
fundamental do Cálculo, ele não é só fundamental como ele é cheio de idéias,
e nem sempre é explorado o suficiente. No meu caso eu não exploro também o
bastante, porque não há nem tempo, no caso da disciplina que atualmente
leciono, mas eu tento e não necessariamente com bons resultados, mas eu
insisto, utilizando recursos como os das tecnologias da informação, utilizando
trabalhos com modelagem, buscando relacionar as noções de taxa de variação
instantânea com derivada, quando eles vão utilizar uma taxa de variação,
98
aproximações da taxa de variação instantânea etc. Portanto, como professor,
eu não tomo a reprovação como natural, mas com tristeza (grifo da
pesquisadora), como motivo de derrota. Eu tenho aprendido bastante a
identificar os potenciais perigos de reprovação nas primeiras semanas e em
geral tenho chamado esses estudantes. É muito difícil, porque como a gente
não tem condições de saber quem vai ser reprovado. Mas, quando eu noto nas
primeiras semanas, pelas perguntas que fazem ou alguma atitude que mostre
sua fragilidade quanto ao assunto, eu peço pra vir resolver algum exercício no
final da aula, de tal maneira que a turma saia e não fique uma situação
embaraçosa para os alunos e peço pra falar e encaminho a conversa pra isso.
E, logo na primeira aula eu digo pra pessoas que é muito comum em algumas
disciplinas, dizendo que aqueles que odeiem ou não gostem de Matemática
tem uma boa chance de passar a gostar e procurarem e que podiam ter espaço
pra estudarem parte da Matemática. Então, eu diria que é isso, há uma questão
cultural, onde é natural ser reprovado. Não creio que o problema é visto como
importante, (embora sob o ponto de vista do uso do dinheiro público seja
lamentável que entre 40 pessoas por ano, saia vinte, isso na melhor das
hipóteses). Várias vezes entram quarenta e saem cinco não é? Isso nos
melhores cursos do Brasil, o que reflete um mau uso do dinheiro público, mas
não é visto como um problema grave. E enquanto isso, nós sabemos que há
várias faculdades formando professores em três anos, aonde Cálculo I é
praticamente um trabalho de formatura certo? Cada vez mais um pré-requisito
para se fazer um trabalho de formatura ou para a disciplina cálculo II. É,
então, estamos vivendo essa situação paradoxal e uma resistência ainda muito
grande para se utilizar a tecnologia da informação e quando é utilizada é usada
apenas, por exemplo para se ilustrar uma determinada curva em Cálculo II,
mas não é permitido, nem incentivado que o aluno use essa tecnologia o
tempo todo, você entende? É, isso não é visto como algo fundamental que
deve ser colocado desde o começo para que o aluno construa suas idéias (grifo
da pesquisadora).
Adentrando um pouco sobre a formação do aluno no Ensino Médio buscando
relacionar esse fato com a reprovação nos curso de Matemática na universidade, pergunto ao
professor : gostaria de saber se para o caso da reprovação você incluiria o fato do aluno
chegar do Ensino Médio com uma base Matemática escolar, um tanto, fragilizada? Sobre essa
questão, o professor Z, responde:
Não, eu não acrescentaria isso, eu acrescentaria, como já disse, que há uma
grande diferença entre o currículo esperado pela academia, pela universidade e
aquela formação que vem para o Ensino Médio. Mas eu não utilizaria jamais
esse argumento do aluno mal preparado (grifo da pesquisadora). Vou justificar
a minha resposta: Não sei quem disse primeiro, mas vários educadores
matemáticos já disseram que se nós utilizarmos, o argumento do mal
preparado, nós podemos concluir que, obviamente o professor do Ensino
Médio fará o mesmo, argumentando que o Ensino Médio não vai bem porque
o aluno do ensino fundamental não veio bem preparado e em geral a culpa está
na formação das professoras primárias que não tem formação específica em
Matemática, por sua vez essas professoras culpam as professoras do infantil,
porque tem menos preparação ainda, pois muitas vezes os alunos apresentam a
mínima noção de quantidade, de curva, de figuras geométricas etc. E então a
última questão, que se transforma em uma piada é que as professoras do
infantil e da creche não tenham ninguém a culpar a não ser aqueles
99
responsáveis pela concepção da criança no momento de não terem preparado
bem durante a concepção para chegar a educação infantil, já bem preparados
para tal. Então quer dizer, esse argumento no meu modo de ver ele não pode
ser dado. Se a universidade está achando que há um vazio entre a chegada do
aluno e aonde esse aluno deve chegar, ela tem duas opções: a primeira é
continuar com o pensamento: vamos selecionar quarenta, passar vinte e vamos
efetivamente preparar dez. A segunda opção é decidir se ela quer aprender a
lidar com esse aluno que vem fazer Matemática e que já enfrentou o
preconceito dos seus colegas na escola, por gostar de Matemática (o que
reflete uma questão mais ampla no fenômeno cultural geral de que
Matemática, pois é vista como acessível para poucos). Alunos que vêm de
escolas particulares, de escola pública, os quais, é claro, têm muitas vezes
lacunas em termos de aprendizagem. Aprender a lidar no sentido de criar uma
cultura nos cursos de aprovação e não de reprovação. É uma cultura de
aprendizagem, tem que criar uma cultura que os alunos fiquem incentivados a
aprender o que é demonstrar, porque a demonstração é importante mesmo se
eu já tenho o resultado e compreender isso dentro de uma atmosfera
acadêmica e ver que em outras vezes o resultado é importante. O nosso aluno,
é claro que eu posso dizer, queria que o meu aluno fizesse mais isso, queria
que o meu aluno soubesse mais aquilo porque ia facilitar mais a minha vida - é
verdade, mas a nossa solução pode ser Cálculo zero já adotado por várias
Universidades, projeto do primeiro ano adotado por essa universidade, e se por
acaso não deu certo, vamos buscar outras soluções. Eu acho também que se
busca ensinar numa graduação, muitas coisas que não são necessárias pro
professor você entende? Quer dizer, são importantes, os professores precisa ler
Machado de Assis e precisa saber algumas disciplinas que são ensinadas aqui
e em outros cursos na Matemática. Mas não pra dar aula, precisa saber como
cultura geral e eles podem estar se formando e estar vendo cada vez mais
aquilo. Mas, ele não pode ganhar raiva de Matemática, ou perder a sua
confiança em Matemática, ou ser reprovado nessa disciplina, pra depois vir a
dar aula em Matemática, de maneira que venha reproduzir de novo o ciclo,
isso é o que eu acho que está equivocado (grifo da pesquisadora).
Ainda sobre o tema ensino do Cálculo, perguntei ao professor Z: em sua opinião qual a
relevância da disciplina Cálculo Diferencial e Integral para a formação do futuro
professor de Matemática?
Em resposta, o professor Z, falou:
Eu acho que o Cálculo é importante por vários motivos. Primeiro, porque ele
possibilita um caminho interessante perfazendo uma ponte entre um
representante da Matemática acadêmica que é a Análise e a Matemática do
Ensino Médio. Então ele é importante pra fazer essa ponte (grifo da
pesquisadora). Outro fato é porque ele permite aos alunos que chegam à
universidade tendo noção de função, calculando volumes, áreas etc., passem a
ter noções de taxas de variação. Enfim, nós temos que utilizar essa disciplina,
como uma maneira de construir essa ponte, temos que usar pra que o aluno, ou
esse futuro professor tenha noção do conceito de taxa de variação espontânea,
de áreas de figuras não formadas por linhas poligonais, mas por curvas. Que
ele saiba, por exemplo, como lidar com séries de uma maneira diferente do
que eles viram no Ensino Médio. E isso é importante que eles aprendam,
inclusive porque eu acho que seria possível que alguma dessas idéias também
fossem desenvolvidas no Ensino Médio caso a gente não tivesse também a
postura de que todos os alunos têm que estudar a mesma coisa o tempo todo
(grifo da pesquisadora). É importante reconhecermos que existe todo um leque
100
de opções em termos de disciplinas e que poderíamos abrir um pouco mais pra
eles, oferecer mais optativas. Eu acho que para um aluno se tornar um
matemático, talvez, um grau de exigência de todas as coisas que ele tenha que
passar pra ele ganhar esse título seja outro e eu nem quero entrar nessa
discussão, porque eu não sou matemático profissional, mas eu não acho que as
pessoas precisem saber todas essas áreas com o grau de rigor muitas vezes
exigido para que ele se torne um professor. Na minha opinião, um rigor
exacerbado, muitas vezes tem contribuído para um aluno que entrou aos dez
minutos do primeiro tempo do primeiro ano adorando Matemática, mas que
fica inseguro no segundo ano e às vezes sai odiando Matemática do terceiro
para o quarto ano com a mão tremendo na hora de fazer uma prova. Antes, o
que era um ato de afirmação, virou um ato de medo (grifo da pesquisadora) ou
numa história que eu já ouvi e que já contei pra vários alunos, que quando
ouvem, revelam aquele riso de solidariedade. A história fala de pessoas que
pegam determinada disciplina e decoram 28, 35, 45 demonstrações, decoram
as demonstrações porque sabem que três ou quatro vão cair na prova e aí eles
vão tentar acertar duas ou três, com o objetivo de passar na disciplina com o
famoso "cinco bola”. Então quer dizer, isso é uma prática comum, mas,
obviamente não gera bons matemáticos, não gera bons educadores
matemáticos nem algo do tipo. Então, no meu modo de ver o Cálculo é
importante, é fundamental para o aluno ter noções de determinados conceitos
matemáticos, mas não adianta saber resolver integral, ele precisa entender
integral, ele precisa entender taxa de variação pra entender o que está por trás
dos modelos econômicos, modelos de reserva de avião que estruturam as suas
vidas e isso é fundamental (grifo da pesquisadora). Modelos da economia,
muitas dessas pessoas não tem a menor noção que isso tem a ver com
derivada, que o aumento da inflação tem haver com a derivada segunda ou se
eu quiser com a derivada terceira, dependendo de onde eu comece na escala
econômica. Então nesse sentido, é que eu acho que é importante, levando em
conta essa parte da cidadania de entender a impregnação da Matemática na
nossa vida cotidiana, como uma ponte para a Matemática do Ensino Médio
pro terceiro grau, Decididamente, eu acho que é uma disciplina fundamental e
também porque eu acho que há muitas questões que sem você falar ainda ou
introduzir ferramentas mais próprias do Cálculo e com dificuldade, você
poderia estar trazendo algumas dessas idéias ligadas à taxa de variação, talvez
de maneira um pouco mais espontâneas ou mais intuitivas sobre ela para o
Ensino Médio. Que são questões também fundamentais (grifo da
pesquisadora).
Terminado
o primeiro bloco de perguntas
e já adentrando no segundo momento da
entrevista, perguntei ao professor sobre
a importância das representações Matemáticas
como uma abordagem didático-pedagógica para o ensino e conhecimento do futuro professor
de Matemática? O professor tem a seguinte posição:
Olha num determinado momento das minhas pesquisas e da minha carreira, eu
já cheguei a escrever (e está na minha tese de doutorado), que conhecer
significa coordenar diferentes representações. Eu já andei revendo essa
afirmação, dizendo que não necessariamente isso pudesse ser verdade pra
tudo, colocando assim de uma forma mais geral. Mas, concordo que,
certamente, no Cálculo diferencial eu diria que saber Cálculo é uma
coordenação entre essas representações (grifo da pesquisadora). Então,
coordenar algo que o diagrama nos apresenta, com o silogismo de uma
demonstração é fundamental. Assim como é fundamental que o aluno ou
101
futuro professor saiba coordenar resultados de uma tabela, perceber diferenças
e semelhanças entre representações de funções do primeiro grau, do segundo
grau, de uma exponencial, de uma polinomial até graus razoáveis etc. Então
ele tem que saber coordenar essas representações. E, se tiver um software para
lidar com elas, melhor ainda (grifo da pesquisadora). O software nos
possibilita observar os padrões e ter uma outra compreensão. No meu modo de
ver a visualização torna-se cada vez mais importante. Entendermos um
gráfico, entendermos diagramas. Em Cálculo mais ainda, coordenarmos os
diagramas das demonstrações com as demonstrações, aprendermos de uma
maneira criativa sem decorarmos as demonstrações, passa a ser uma
articulação. Entendermos o que foi anteriormente provado. Toda a parte lógica
com a parte algébrica, ás vezes operativas de equivalência com uma parte
gráfica e com uma parte tabular, também. Várias pesquisas tem contado isso,
cada vez, é mais importante coordenar essas representações usualmente
Matemáticas, com aquela que é a nossa organizadora mestra da lógica, ou seja,
a língua materna. Então eu acho que a coordenação entre escrever sobre os
objetos matemáticos do Cálculo, escrever sobre seus conceitos, a álgebra que
foi uma linguagem que consagrou, a informática que está consagrando uma
linguagem gráfica cada vez mais usual e transformando o grande problema da
continuidade como fundamento da Matemática, tem que ser vista também
como algo importante (grifo da pesquisadora). As tabelas que antes era um
instrumento chato, com o Excel e com vários softwares de funções se torna
um amigo para que o aluno passe a entender padrões.
Dando ênfase ao
uso dos softwares
, pergunto ao professor Z: embora me pareça
redundante fazer esse questionamento, gostaria de saber qual
a sua experiência com as TICs
em sala de aula
, pouca, grande? Fale um pouco da relevância de se utilizar softwares
educativos (matemáticos) como uma metodologia de ensino. O professor Z responde:
A primeira coisa que eu diria é que, como você mesma disse, eu só tenho feito
pesquisa sobre isso. E uma das coisas que me fez ganhar algum respeito com a
comunidade de professores do Ensino Médio é que quando a resistência pra
informática era bem maior que ela é hoje, lá pelos anos 90, A UNESP de Rio
Claro (no departamento) tinha apenas dois computadores até 1996. E dez anos
atrás (outro dia), eu utilizava as calculadoras gráficas não por opção, como eu
ainda faço até hoje, mas porque era a única maneira que eu tinha. Um pouco
tempo depois, passei a usar dois Macintosh que eu comprei com o meu
dinheiro. Mais tarde chegaram mais dois computadores, também comprados
com verba pessoal. Bom, o que gerava muito respeito com os professores, é
que eles falavam: você está falando isso, mas você não usa, eu falava,
desculpa, mas você está enganada. Eu utilizo na sala de aula. Você quer ver
um exemplo? Está aqui um exemplo olha. Eu fiz isso daqui e gerou isso daqui.
E com isso, eu tive que viver parte, do que depois a uma reconhecida autora, a
qual atua também nesse programa classificou muito bem como sendo o
professor estar na zona de risco, que era viver o risco do ambiente de sala de
aula envolvendo o uso do computador. Porque a informática desestruturava a
seqüência dos livros, desestruturava a certeza que as respostas de exercícios
ímpares traziam e de repente todos estavam lá sem saber como lidar com um
determinado fenômeno (grifo da pesquisadora). Seja por limitação do
software, ou por algo que nós não sabíamos resolver com lápis e papel.
Portanto, uma maneira de nós desenvolvermos seqüências de novas atividades
com informática num ambiente um pouco mais controlado, pra que nós
mesmos aprendêssemos um pouco mais daquele software, conseqüentemente
102
percebermos a reação do aluno frente ao software, tínhamos que correr riscos,
sairmos de um ambiente conhecido - a sala de aula, para experenciarmos
novos caminhos. É com isso, que a gente tem trabalhado, vivenciado o uso da
informática na sala de aula em experimento, enfim em palestras, em cursos
com professores e mais recentemente em cursos sobre software como o
Geometrics ou Winplot via Internet. Entretanto, é notório que mesmo em boas
universidades o uso ainda é bastante limitado. Em algumas escolas do ensino
público, por exemplo, a lógica da diretora da escola do estado ainda prevalece
de manter o computador bem trancado você entende? para que ele fique
seguro e depois apodreça de velho e vire um Windows 95, parado. Então,
infelizmente, encontramos ainda uma resistência muito grande a esse uso.
Atualmente não é mais dito que é errado. É dito, SIM, mas se deixa de lado,
com o argumento que o uso do computador altera muito pouco a dinâmica de
aulas expositivas, das maneiras dos testes etc. do trabalho que é feito. E a
Internet, Por sua vez, é ainda muito pouco autorizada a entrar na sala de aula
(grifo da pesquisadora).
No último bloco de perguntas
, já finalizando a entrevista, quis saber do professor Z,
sua concepção à respeito
do conhecimento necessário para a formação do futuro
professor de Matemática
. Sua resposta foi:
Esse é um assunto que muita gente está pesquisando e tentando responder essa
pergunta, porque uma resposta parece que não satisfaz mais - tenho que
ensinar a Matemática acadêmica, porque se ele souber n+1 ele vai saber
ensinar n ou n-1 ou n-2. Essa resposta que já era fraca nos anos 80, com o
crescimento de noções como EtnoMatemática, se mostrou completamente não
razoável (grifo da pesquisadora). A Matemática escolar não é apenas um
subconjunto da Matemática acadêmica, tem relação com ela, mas ela também
tem algo que é próprio (grifo da pesquisadora), tem determinadas regras,
determinadas questões que são importantes e que do ponto de vista da
Matemática informal não é. A minha maior fonte de inspiração para responder
a sua pergunta que é dificílima é o livro do Plínio Moreira e da Manuela
David, no meu modo de ver, é um dos livros mais importantes da Educação
Matemática Brasileira e eu diria mundial, porque eu acho que não está dito
isso com muita clareza em vários artigos que têm sido colocados sobre esse
assunto. De novo tenho que colocar uma limitação nisso, porque embora leia
bastante dessa literatura não sou um especialista nessa área, como eu sou em
informática, onde poderia estar afirmando isso um pouco mais. Mas eles
dizem com bastante clareza no livro que a questão interessante é do
relacionamento, ou seja, são determinados critérios, que podem ser visto como
verdade ou problemático na Escola e problemático na Universidade. Os
exemplos que ele dão, são sobre números racionais, números reais. Enquanto
números racionais se perdem do ponto de vista da Matemática acadêmica, um
tempo imenso lidando com frações, representações decimais, cada uma dessas
representações demora-se anos para serem consolidadas, equivalências entre
as operações e tudo mais, do ponto de vista da Matemática acadêmica isso não
é um problema há muito tempo e nem visto como importante e tem poucos
cursos que problematizam isso. Por exemplo, representação decimal versus a
representação fracionária na área dos números racionais ou tal, dos números
reais, isso não é visto como algo extremamente problemático, não é dedicado
mais do que, não sei, vou “chutar” aqui, dez horas no curso inteiro nas três mil
horas certo? Ou algo do tipo. Então esse é um grande problema, quer dizer,
para ser resolvido. Agora em relação a ensinar n+1, deve-se aprender n, isso
103
já é praticado bastante. Também já está resolvido de um ponto de vista lógico,
mas não do ponto de vista prático que apenas ensinar a Matemática do Ensino
Médio, não é a saída para que o futuro professor tenha noção daquele
conteúdo e passe a ensiná-lo sem ter uma visão da Matemática como ciência
(grifo da pesquisadora). É necessário então, que ele tenha uma visão da
Matemática como ciência e que ele tenha no meu modo de ver, uma visão de
alguns dos autores da literatura brasileira, de boa parte da Matemática
acadêmica, de boa parte das questões de sociologia pra entender a história da
miséria desse país, pra ele não torcer o nariz quando entrar numa escola de
periferia, pra ele aprender a lidar um pouco com o fato de que as universidades
são extremamentes brancas (as públicas em particular) e as escolas
extremamente negras e índias e tudo mais, bastante misturadas e ele precisa
lidar com isso. E nem sempre ele sabe lidar com isso. Então, esse
conhecimento, quer dizer, não é apenas um conhecimento. Isto é, eu não
queria me restringir apenas às questões da Matemática, embora eu já tenha
apontado as minhas limitações. Eu estou esperando muito que continuações de
pesquisas e de futuras pesquisas possam em parte desatar esse nó, trazendo
respostas mais concretas para esse impasse. Pesquisas que têm sido realizadas
nesse programa e em outros, para que nós tentemos de fato transformar essa
prática na sala de aula da licenciatura, para quem sabe em trinta anos se
modifique uma parte desses efeitos na escola do Ensino Médio e fundamental.
Não esquecendo, que uma parte está sendo modificada pelos nossos
tradutores. Eu acho que autores como Bigode ou Imenes (eles são tradutores),
bebem na água das nossas pesquisas e traduzem ao seu modo, a partir de sua
visão. E é isso mesmo que deve ser feito, no entanto, ressalto que essas minhas
palavras não se constituem uma crítica a outros autores de livros didáticos.
Enfim, acho que não são só esses autores que adotam essa prática, mas eu
estou falando desses que eu conheço um pouco mais, que levam boa parte das
idéias da comunidade pra sala de aula de uma maneira muito mais poderosa
que a gente poderia imaginar. É claro, que depois tem também a sua maneira
particular de traduzir e depois tem uma outra tradução feita pelo professor e
uma outra feita pelo aluno. Então são várias camadas de tradução, Sendo que
algumas dessas encontram-se envolvidas numa visão de que a Matemática está
espalhada pela sociedade, que a Matemática é difícil, de que a Matemática é
chata, que é algo pra “nerd”, de que é algo pra gente esquisita ou para um
cientista maluco ou algo do tipo. Adverso a essa perspectiva, eu acho que nós
podemos ter uma Matemática popular, uma Matemática aberta pra todos, o
que não impede que haja Matemática específica pra poucos entende? Mas é
justamente o pensamento contrário que ainda impera nas classes populares, na
classe média alta e naquela que se esperava ser alvo de grande crítica da
sociedade, ou seja, o subgrupo dos acadêmicos, dos universitários, vindo das
escolas de filosofia que deveriam ter a consciência crítica. No entanto, muitas
vezes reproduzem essa questão, exatamente como as classes populares fazem
e dizem que nós temos que fazer você entende? Em minha concepção a
Matemática ser bem difícil é uma forma de mostrar o seu grau de reprovação.
Eu volto a dizer, pra concluir, que a gente vai ter que conseguir, fazendo
campanha pra mostrar que o problema da reprovação em Matemática é um
problema. Seja na primeira série, na segunda, na terceira, na quarta do ensino
fundamental, médio, universitário. Não há saídas fáceis e, as saídas que estão
sendo apresentadas, definitivamente não tem funcionado para matemáticos,
para educadores, para ninguém. Não são promoções automáticas, promoções
não automáticas, que estão resolvendo o problema da reprovação, o que
também tem sido um problema, mas, algumas saídas têm sido muito corajosas.
Porque definitivamente nós já sabemos, há reprovações, via de regra, não
geram novo aprendizado, ainda mais que a pessoa venha do mesmo curso, ou
104
no caso do Ensino Médio e fundamental passa a ver o mesmo curso várias
vezes já numa situação humilhante, numa cadeira que nem cabe a pessoa,
porque ele já tem dezesseis anos e está numa turma de aluno de doze. É uma
situação muito comum ainda. Então, a respeito desse quadro, a gente tem que
continuar fazendo o que estamos fazendo, publicando artigo, publicando livro,
pesquisando. Isso que é importante, a gente está vendo livros dos outros que
fazem pesquisa e conseguem escrever essas pesquisas de maneira densa e ao
mesmo tempo acessível para outros. Espero que você consiga fazer isso com a
sua pesquisa, pra gente.
4.5.4.1. Síntese Interpretativa da Entrevista com o Professor Z
Segundo o professor Z, o Cálculo I, em particular, é uma disciplina que traz novas
idéias e, o aluno ao iniciar o curso de Cálculo I, rapidamente se vê demonstrando teoremas ou
tentando compreender as propriedades de Limites, Derivadas que se constitui em definições
formais de conceitos matemáticos, os quais geram no aluno ingressante, certo estranhamento.
Na concepção do professor Z, isso ocorre devido a grande diferença que existe entre o
currículo esperado pela universidade e a formação que vem do Ensino Médio, o que não
implica necessariamente que o aluno chegue mal preparado.
Em relação à importância do Cálculo para formação do futuro professor, o professor Z
assinala que o estudo dessa disciplina é relevante por vários motivos, entre os quais,
possibilita um caminho - uma ponte entre um representante da Matemática que é a Análise e a
Matemática do Ensino Médio, além do que, proporciona aos que se propõe estudá-la, alunos
ou futuros professores de Matemática, um conhecimento mais aprofundado dos conceitos
matemáticos, considerando que, saber CDI envolve coordenar representações, isto é,
coordenar resultados de uma tabela com sua escrita algébrica, ou sua representação gráfica,
por exemplo. Portanto, é importante que o aluno ou futuro professor de Matemática aprenda a
perceber as diferenças e semelhanças entre funções do primeiro e segundo grau, exponencial,
funções polinomiais de graus razoáveis de maneira a obter uma visão mais global dos objetos
matemáticos.
Nesse sentido, o professor Z assinala que, cada vez se torna mais importante coordenar
essas representações usualmente Matemáticas com aquela que é a organizadora mestra – a
língua materna. Logo é importante escrever sobre os conceitos matemáticos do CDI. De
acordo com o professor Z, a álgebra é a linguagem que consagrou a informática, e que está
consagrando uma linguagem gráfica mais usual. Infelizmente o uso da informática ainda é
bastante limitado.
105
Em sua explanação o professor Z busca ressaltar que
novas abordagens e
experiências devem ser vivenciadas pelo aluno ou futuro professor de Matemática
, de
maneira que estudar Matemática seja motivo de prazer e não de aversão. O futuro professor
não pode e não deve perder a confiança e o estímulo em aprender Matemática, para depois vir
a dar aula reproduzindo um ciclo de reprovação.
Sob esse aspecto, o professor Z acrescenta que
explorar novas abordagens
e métodos
de ensino tais como a modelagem Matemática, o que implica explorar aplicações de
problemas do cotidiano, por conseguinte
envolve coordenar representações matemáticas
e,
se esse processo for intermediado por recursos tecnológicos como o computador na utilização
de softwares matemáticos adequados, é fundamental para a formação do aluno ou futuro
professor de Matemática. Nesse sentido, o professor observa que a formação do futuro
professor não se restringe apenas a questões da Matemática, mas também à questões sociais e
culturais, além do que o futuro professor precisa ter uma visão da Matemática como ciência.
A seguir, dando continuidade à transcrição das entrevistas, vamos apresentar o início
de nossa interação com os estudantes de CDI I, tentando mostrar que muitas idéias e
concepções manifestadas pelos professores, acima entrevistados, vão ao encontro ou vão de
encontro ao que pensam os estudantes quando chegam ao Ensino do Terceiro grau e se
deparam com uma abordagem teórico-metodológica.
106
4.6. Conversando com os Estudantes
As entrevistas
44
com os
os alunos da disciplina CDI I
do curso de
Matemática
(1º.
Ano) da UNESP de Rio Claro - SP
foram realizadas individualmente com cada um dos
estudantes nas dependências da
UNESP
. As quais foram gravadas em áudio com a permissão
dos mesmos. É importante lembrar que no início (como enunciado no item 4.3.1.1) pensamos
em realizar as entrevistas como uma forma de seleção dos sujeitos da pesquisa, mas tendo em
vista
a possibilidade de dividir os estudantes em duas turmas para a aplicação das
atividades exploratório-investigativas
e, percebendo ser viável trabalhar com esses em
grupo de doi
s, achamos por bem permanecer com esse número, mesmo porque é comum
haver desistência por parte dos sujeitos pesquisados, durante o processo da coleta de dados.
Para apresentação dos dados estaremos utilizando nomes codificados e, para uma
dinamização das falas dos estudantes, estaremos descrevendo interativamente as percepções
apresentadas por esses durante a nossa conversa.
O roteiro de perguntas propostas aos sujeitos da pesquisa apresentou uma estrutura
semelhante ao roteiro de perguntas apresentadas aos professores. No entanto, as perguntas
foram dirigidas aos estudantes, pela pesquisadora, de maneira menos formal do que foi para
os professores. Antes de dar início as entrevistas foi solicitado a cada um dos estudantes,
preencher uma pequena ficha (com o objetivo de agilizar a entrevista), a qual solicitava dados
pessoais tais como: Nome completo, e-mail, telefone, idade, cidade de origem/estado e cidade
onde atualmente reside/estado. Após o estudante preencher esses dados, a pesquisadora
passou à entrevista gravada em áudio.
Assim como ocorrido
na entrevista com os professores
, as perguntas dirigidas aos
estudantes – sujeitos da pesquisas subdividiram-se em
quatro blocos
, com o
objetivo
de
percebermos quais as perspectivas e dificuldades apresentadas pelo estudante, futuro
professor de Matemática em estudar os conteúdos próprios da disciplina
CDI I.
Nesse
sentido, apreendermos a importância das representações matemáticas para o conhecimento
dos futuros professores, tendo como perspectiva uma abordagem semiótica, mediada por
softwares matemáticos (em particular, o Winplot). Deste modo, foram elaboradas perguntas,
as quais privilegiassem temas como conhecimento do futuro professor, TICs, representações
matemáticas e ensino do Cálculo Diferencial e Integral.
44
As perguntas propostas na entrevistas com os estudantes encontram-se disponíveis no Anexo C (CD-ROM)
(desta pesquisa)
107
No
primeiro bloco,
foi perguntado aos estudantes sobre sua motivação e expectativas
quanto ao curso de Matemática. No
segundo bloco
, foi perguntado, especificamente, sobre a
disciplina Cálculo e sua relevância para a formação do futuro professor de Matemática. O
terceiro bloco
referiu-se ao uso das representações matemáticas como uma abordagem
didático-pedagógica para o ensino da Matemática, em particular, para o ensino do CDI I.
Neste bloco também foi interrogado ao estudante sua opinião a respeito do uso do computador
como um recurso para aprender Matemática, também se já haviam utilizado essa tecnologia
em sala de aula. O último
bloco
de perguntas referiu-se a um nível mais pessoal, inquirindo o
que e como o estudante fazia para estudar e apreender os conteúdos propostos em sala de aula,
no contexto da disciplina
Cálculo Diferencial e Integral I
.
Os
entrevistados
são denominados nessa pesquisa
45
por
Clotilde
,
Robin
,
Clara
,
Alexandre
,
Ana
Paula
,
Augusto
,
Márcio
,
Patrícia
,
Ágata
,
Letícia
,
Marcela
,
Any
,
Suka
,
Rosana
,
Lara
,
Gabrielle
,
Laura
,
Serapião
,
José
,
Frederico
, e
Henrique
. Esses estudantes
são bastante jovens, numa faixa etária entre 17 e 23 anos e a maioria deles reside em Rio
Claro. Quanto à cidade de origem, a maior parte é do interior de São Paulo, sendo que, apenas
dois são naturais de Rio Claro, um da grande São Paulo e um de Recife/Pernambuco.
Novamente é importante ressaltar ao leitor que as entrevistas realizadas estão descritas na
íntegra podendo haver erros de linguagem, enfatizando que o leitor poderá optar por uma
leitura mais resumida apresentada ao final de cada bloco de entrevista.
Assim, a primeira pergunta dirigida aos estudantes foi:
Qual sua motivação para
fazer o curso de Matemática?
Segue abaixo a opinião desses estudantes sobre essa primeira
pergunta;
Rosana - Eu gosto de Matemática e gosto da área de pesquisa, eu sempre gostei da
área de exatas e quando eu entrei pro cursinho, foi que eu decidi mesmo;
Any - Kumon, aquele ensino individualizado, comecei a fazer na 6ª. série e então
aprendi Matemática de novo, de um outro ângulo e gostei.
Augusto - Sinceramente eu caí no curso de Matemática de pára-quedas, porque eu
queria fazer Engenharia Elétrica e a minha nota não seria suficiente para passar. E
realmente não foi. Mas, eu sempre tive um gosto por Ciências Exatas, por
Matemática.
José - Eu comecei a gostar de Matemática, por causa de uma professora, na qual
me identifiquei muito. E principalmente porque ela usava várias formas de resolver
um tipo de exercício. Nunca só um método de resolver. Várias formas de resolver o
exercício.
Clotilde - Eu nunca pensei em fazer Matemática, foi bem assim de última hora,
mas é porque eu tenho muita facilidade, tinha muita facilidade no
ensino
fundamental, e também é uma matéria que eu sempre gostei, então acho que é isso.
Letícia - Sempre quis ser professora, Na 8ª. série conheci uma professora de
Matemática na escola, ela era muito boa em Matemática. Então no primeiro ano,
45
Codinomes sugeridos pelos próprios sujeitos da pesquisa.
108
comecei a tomar gosto, comecei a estudar, estudar, estudar. Aí pensei vou prestar
Matemática, Eu sei que tenho dificuldade, mas eu quero prestar Matemática.
Márcio - Sempre gostei da área de exatas, principalmente, de Matemática
Ana Paula - Bom, sempre gostei de Matemática no colegial e, quando estava na
época do vestibular o curso que tinha menos concorrência, era mais acessível e eu
tinha estudado.
Marcela - Na verdade, estava pretendendo a licenciatura, porque eu sempre quis
ser professora. Só não sabia a matéria. Daí eu me identifiquei mais com a
Matemática. No terceiro Colegial eu conheci uma professora de Matemática, olha!
eu adorava o jeito que ela ensinava. Daí foi que vim pra área de Matemática.
Gabrielle - Curiosidade, mas, fazer o curso de Matemática, foi mesmo de última
hora, porque na verdade eu queria mesmo era fazer Odontologia.
Laura - há! no colegial gostava das aulas e tinha muita facilidade, então optei por
Matemática
Henrique - por gostar de Matemática.
Clara - Foi porque eu descobri nas exatas e é uma coisa que eu gosto muito de
estar fazendo, de sentar ali e ficar pesquisando sobre o assunto, de estar resolvendo
os problemas que não tem uma única solução, ou um único caminho de resolver e
encontrar a solução.
Alexandre - Eu gosto muito da área de Computação, Arte em Computação é uma
área exata também né? Praticamente Matemática pura. Mas aí eu acabei
conhecendo mais a Matemática, minha mãe é professora também, comecei a
procurar mais sobre Matemática, a pesquisar alguns livros. Daí comecei a me
interessar. Como eu não queria largar a área de Computação, eu prestei vestibular,
eu prestei também na USP em Matemática, uma introdução científica. Se não me
engano. E Matemática aqui em Rio Claro né? Acabei conseguindo entrar só na
UNESP. Eu sinto prazer mesmo em estudar Matemática, gosto de pesquisar
alguma coisa sabe? Então por isso que eu sinto motivado em estudar Matemática.
Patrícia - Matemática quando eu estudava no colegial, era uma das matérias que
eu mais gostava. Então eu acabei fazendo o vestibular, mas Matemática não é do
jeito que eu pensava não.
Robin - Sempre gostei de Matemática, acho que sempre me destaquei no
fundamental e Médio em Matemática, uma matéria que todo mundo tem mais
dificuldade. Sempre gostei, sempre estudei.
Serapião - Eu fui um excelente aluno em Matemática, minhas notas sempre eram
10.E em todas as apresentações em sala de aula, todos diziam que eu tinha jeito
para ser professor. Então juntei as coisas e decidi por fazer Matemática.
Frederico - Foi pelo curso mesmo, sempre quis me formar num curso da área de
exatas e, ou fazia Matemática, Física ou Engenharia. Como aqui não tem
Engenharia nem Física, sobrou Matemática.
Suka - Algumas professoras do ensino fundamental, me influenciaram a fazer
Matemática.
Agáta - Sempre gostei de exatas e,Matemática era a matéria que tinha mais
afinidade. Além do que as chances de entrar em Matemática são bem maiores do
que em Engenharia, por exemplo.
Lara - Desde pequena, desde o primário, era a matéria que eu mais gostava era
Matemática mesmo. Daí, na oitava série, eu ajudava sempre as minhas amigas na
aula.
109
4.6.1. Síntese Interpretativa do 1º. Bloco: Comentários dos Estudantes
Nesse
primeiro bloco de perguntas
, em relação ao principal motivo para cursar
Matemática, podemos observar que uma das principais razões apresentadas foi
o gosto
pela
Matemática, em segundo,
a influência
por parte dos professores de Matemática em nível
escolar, os quais, segundo alguns estudantes, apresentavam uma forma diferenciada (da
tradicional) e motivadora, mostrando várias maneiras de abordar os conteúdos matemáticos.
Poucos afirmaram ter feito o curso de Matemática
por acaso
ou
curiosidade
, mas mesmos
esses revelaram gostar de estudar Matemática, pois ao serem interrogados
se tinham
facilidade em entender os conteúdos matemáticos?
Os estudantes em sua maioria
responderam que SIM Esse aspecto nos leva a deduzir que o aluno não se sente mal
preparado, e se esse mesmo aluno possui o gosto e familiaridade em relação aos conteúdos
matemáticos, mesmo que, ainda, em nível escolar, consideramos ser um incentivo ao ensino
de novas abordagens e metodologias principalmente em início de curso no ingresso à
universidade.
Em termos de
dificuldades
, os problemas surgem quando esses mesmos estudantes
deparam-se com os conceitos e teorias propostas no curso de
Cálculo I
O estranhamento é
imediato, devido
a linguagem lógico-formal própria da disciplina
. Essa particularidade
aparece na entrevista quando os estudantes afirmam que passaram a sentir alguma dificuldade,
outros, muita dificuldade (a maioria), pois, segundo a opinião desses,
a Matemática é
diferente da ensinada no Ensino Médio
, embora tenham admitido que os assuntos
abordados na escola servissem de base para as disciplinas de
CDI
I
.
Quanto às condições de estudos, todos foram unânimes em dizer que na Universidade,
estão dedicando muito mais do que no Ensino Médio. Pois, se não o fazem, com certeza não
obterão resultados positivos nas avaliações. Nas respostas dos estudantes foi ressaltada
também a preferência por uma ou outra disciplina, as que mais sentiam dificuldade ou
afinidade. Dentre as disciplinas que mais sentem dificuldade inclui-se
Cálculo I
, o principal
motivo para tal dificuldade consiste principalmente na demonstração de teoremas, construção
e compreensão de gráficos de funções, particularmente de funções não-elementares. Embora,
o
Cálculo I
tenha sido apontado como uma das disciplinas mais difíceis, ela também foi
citada pela maioria dos estudantes como uma das mais interessantes e, para alguns,
CDI I
consta na lista de suas preferências.
No
segundo bloco de perguntas
, os estudantes foram questionados por essa
pesquisadora sobre
a importância da disciplina Cálculo e qual a sua influência para a
110
formação do futuro professor
. Todos, sem exceção, responderam que a disciplina Cálculo I
é muito importante, principalmente por ser uma disciplina básica. Vejamos abaixo, suas
acepções;
Rosana - Importante, tem vários procedimentos de cálculo que facilitam e
explicam alguns processos matemáticos, os quais aparecem sem sentido quando
estamos no Ensino Médio, por exemplo, encontrar o vértice de uma função do
segundo grau. Em relação a formação do futuro professor, eu acredito que é bom
o professor saber mais, ter um maior conhecimento.
Any - Claro, eu acho que é uma base, uma disciplina básica. Para a formação do
futuro professor, eu acho importante, porque possibilita uma outra visão, pra tudo,
o aluno pára de enxergar em nível de Ensino Médio - uma visão restrita. No
Cálculo você tem uma visão mais abrangente, você tem como lidar melhor com
aquilo. Eu acho muito importante o Cálculo pro professor.
Augusto - Bom, eu acredito que, mesmo não conhecendo muito da disciplina
Cálculo, pois estou no estou no primeiro ano, tenho pouca experiência, mas
acredito que tem uma importância muito grande, porque esta disciplina está
presente em muitas áreas. Em ciências exatas, nem se fala. Quanto a sua
importância para a formação do futuro professor de Matemática, eu acho que
auxilia, que é importante. Talvez não chegue a aplicar esses conhecimentos na
prática, pra seus futuros alunos, mas auxilia na compreensão do professor, dos
assuntos.
José - Talvez não saiba (ainda) dizer com propriedade, a verdadeira importância .
Mas ela é uma disciplina bem interessante. Ela é básica. Isso é o que imagino por
enquanto. Quanto à sua importância para a formação do futuro professor de
Matemática, sinceramente eu não tenho opinião, porque não vejo utilização
nenhuma em relação ao Ensino Médio. Lá a gente vê apenas a parte de funções.
Sinceramente eu não sei.
Clotilde - É importante, porque ela é a base no curso de Matemática, pré-requisito
para muitas outras disciplinas. Olha, eu tinha muita dificuldade em função, gráfico
e no Cálculo, muda bastante o jeito de abordar esses assuntos, bastante diferente do
colegial. Para o futuro professor, eu acho que ajuda bastante, principalmente para
entender construção de gráficos.Eu acho que deveria ser ensinada noção de Cálculo
no colegial,. Eu acho super importante.
etícia - Com certeza é importante. Ela é básica. o Cálculo a gente vê praticamente
em todas as matérias . Acho bem interessante falar um pouco da história do
Cálculo. Você vê assim, um teorema e você vê uma história por trás daquele
teorema. Eu acho bem interessante. O Cálculo, com certeza é importante para a
formação do futuro professor porque a gente vê como chegar a uma função, qual a
diferença de uma função pra outra, porque ela é par, porque ela é ímpar etc. O
Cálculo, é muito importante, principalmente para aquele que vai ensinar .
Márcio - Eu acho que Cálculo é importante sim, pois é base pra tudo. Para a,
também é muito importante, acho que o professor tem que saber o que está fazendo
e, a disciplina Cálculo dá base para esse conhecimento. Se ele não tiver um
conhecimento mais aprofundado - o alicerce, “não vai conseguir erguer a casa”.
Ana Paula - A disciplina Cálculo I, é importante, com certeza, não só para
Matemática, mas para qualquer curso que de exatas, lógico que é importante, ela é
a base. Agora, quanto à formação do futuro professor, depende, se for um professor
que vai dar aula pro Ensino Médio, acho que sim, mas ele não vai dar essa matéria.
Eu acredito que antigamente tinha, alguma coisa de Cálculo, Limite, Derivada no
Ensino Médio, mas hoje em dia não. Agora se for dar aula na Faculdade com
certeza é importante.
Marcela - Eu acho que ela é super importante, e indispensável para o curso de
Matemática. Ela é base para outras disciplinas e nos dá uma visão geral do assunto
111
de funções. É uma disciplina muito interessante, só que difícil.Tenho que me
dedicar muito na matéria. O futuro professor deve conhecer bem os conteúdos de
Cálculo, pois ela é fundamental. Cálculo é uma disciplina, que nunca deve ser
abolida do currículo, porque ela é que vai “abrir a porta” pra tudo (a estudante se
refere a disciplina Cálculo como pré-requisito de outras disciplinas no curso de
Matemática).
Gabrielle - Cálculo é importante, porque é base para outras matérias. É o princípio
pra gente compreender outras matérias. Na sala, a professora de Cálculo I,
enfatizou muito a parte de gráficos. Acho que, nesse sentido, Cálculo ajuda
bastante, pois a partir do cálculo da derivada a gente tem idéia de como vai ser o
gráfico de uma função. Então, é importante que o professor saiba Cálculo e, mesmo
que ele não utilize o conteúdo de Cálculo, ele tem uma visão mais ampla, no
momento que ele está ensinando, ele consegue visualizar melhor e de repente
explicar até melhor pro seus alunos.
Laura - há! eu acho que ela é importante , porque ela é base para outra disciplinas.
Em Física a gente vai usar bastante coisa de Cálculo não é?Agora, para a formação
do futuro professor, com certeza ele não vai ensinar Derivada e Integrais lá no
Ensino Médio. Mas, acho que influencia sim porque ela é básica. E, o professor
tem que ter uma base para ensinar, assim como o aluno na universidade tem que ter
base para conseguir estudar Cálculo.
Henrique - É importante, mesmo porque, Cálculo para mim é sinônimo de
Matemática superior. No Ensino Médio não vemos Cálculo. Para o futuro professor
de Matemática é importante, porque em Cálculo nós estudamos todos os conceitos
de Função e, Função é base para a Matemática do Ensino Médio. Logo, Cálculo é
bem importante.
Clara - A disciplina Cálculo é a base de tudo, do que estamos aprendendo. É base
para outras matérias. Em relação à formação do futuro professor, eu penso que,
Cálculo é base para as coisas que vamos ver mais pra frente. Mostra como calcular
e porque calcular. Logo o professor deve conhecer.
Alexandre - Olha, eu acho o Cálculo I uma das matérias mais importantes do
primeiro ano. E o Cálculo II do segundo ano. Porque, como diz o nome, vai ser a
parte que a gente vai calcular mesmo. A disciplina Cálculo é básica, ela vai me dar
a sustentação pro curso inteiro sabe? Eu vou ter que derivar e integrar em outros
cursos. Tem que calcular limites, analisar gráficos. O resto do curso tem muito a
ver com isso ok? Então, apesar de não estar indo muito bem. Pra mim é uma
meteria extremamente importante e a gente não pode estar deixando lacunas nela,
mesmo porque uma coisa que depende da outra. Derivada depende de limite e
limite depende de função. A Integral depende da derivada. Portanto, as matérias
que eu acho mais importante são Cálculo e Geometria Analítica, porque lá a gente
vê gráfico, projeções de gráfico. A disciplina Cálculo I, traz muita informação para
o futuro professor de Matemática, porque nela, se trabalha muito com função e
gráfico. E no colegial, onde eu estudei, observei que os professores não trabalham
muito com gráficos. É muito mais fácil pra mim aprender o Cálculo, usando
gráficos em vez de só teorema, teorema e calculando. Às vezes observar o gráfico,
me ajudou a entender muita coisa, que não tinha entendido até hoje. Então, a forma
do professor ensinar deve ser bem diversificada. É bem forte essa parte de gráfico.
Mostrar, oh! pessoal como as coisas acontecem. Pois, às vezes, mostrar o gráfico
de uma função, permite o aluno observar o comportamento da mesma, se vai subir,
descer etc. E até mesmo na Física, a gente vê, que muitas formas na Física sai por
derivadas e integrais que a gente aprendeu no Cálculo, então Cálculo é base para a
Matemática inteira não é? Então eu acho que o aluno “leva” muita coisa do Cálculo
para ensinar.Não que eu vá ensinar derivadas e integral pros alunos do primeiro,
segundo terceiro ano. Acho que lá quando eu for ensinar, na hora de solucionar um
exercício e rapidamente poder ensinar o aluno de uma outra forma, o que eu
112
aprendi em Cálculo, vai me ajudar a ensinar melhor o meu aluno, portanto eu acho
Cálculo essencial sim.
Patrícia - Eu acho que é uma disciplina importante, porém, eu acho que faltam no
curso as aplicações, como aluna de Cálculo, sempre me pergunto: onde eu vou usar
isso? o que eu vou fazer com isso? Eu acho que falta ensinar ao aluno onde aplicar
os ensinamentos do Cálculo. A teoria é importante, mas falta aplicação. E para o
futuro professor, dá uma base pra ele entender muitas coisas. É claro que se for dar
aula lá pra oitava série, tem muita coisa que ele não vai precisar passar. Mas é
importante o professor saber mais do que precisa para ensinar em nível
fundamental.
Robin - Cálculo, atualmente é a disciplina que eu mais gosto. Mas, eu acho que
devia ser mais aplicada. A metodologia, a teoria, deveria ser mais aplicada. Em
relação a sua importância para a formação do futuro professor, é bem complicado
responder essa pergunta. Na minha opinião, depende para quem o professor
pretende ensinar. Se for do Ensino Fundamental e Médio, ele não vai dar Cálculo.
Não tem como você querer explicar Cálculo para os alunos do Ensino Médio e
fundamental.Não tem lógica isso.Agora se for pra Universidade, aí sim. Você pode
aprofundar em tudo. Olha, o professor é aquela pessoa que o aluno deve admirar.
Ele não sabe tudo, mas é aquele que sabe muito mais do que o aluno. Se o
professor “pega” um aluno que é muito inteligente, então ele tem que ter uma
bagagem pra poder suprir o que esse aluno quiser. Se esse professor “pega” um
aluno que sabe mais do que ele, eu acho que não dá certo.
Serapião - Há! eu acho que Cálculo é uma disciplina muito importante e básica,
porque eu acho que engloba quase tudo de Matemática . Quando cheguei no curso
de Matemática, percebi que todos os meus conhecimentos de Matemática são
necessários para estudar Cálculo. Gostaria que o curso de Cálculo tivesse mais
aplicações. Em relação a formação do futuro professor, eu acho que o professor
que conhece os conteúdos de Cálculo, se sente mais seguro para dar aula no Ensino
Médio. Por exemplo, no Ensino Médio, vértice você acha de um jeito absurdo, No
Cálculo, você vai lá e deriva e iguala a zero é muito fácil! Então eu acho que dá
mais segurança para o professor.
Frederico - Cálculo é fundamental. É uma base para outras disciplinas, possui
ferramentas como limites, derivadas e integral que eu sei que a gente ainda vai usar
muito. Para o futuro professor, ela é importante, com certeza.
Suka - Para essa pergunta, a estudante não soube dar uma resposta.
Agáta - Cálculo é muito importante sim, qualquer curso de exatas que você for
fazer tem essa disciplina, eu acho que ela é básica. Para o futuro professor que vai
ensinar no Ensino Médio, eu não vejo muita aplicação.
Lara - - É importante, pois é básica para outras disciplinas. Para o futuro professor
é importante, pois vai lhe permitir obter um maior conhecimento, saber de onde
surgiu as coisas (ela se refere a alguns conceitos de Matemática) que ele vai
ensinar, se aprofundar mais no conhecimento.
4.6.2. Síntese Interpretativa do 2º. Bloco: comentários dos estudantes
No segundo bloco, a importância do Cálculo Diferencial e Integral I para a formação
do futuro professor foi relacionada a uma disciplina básica, a qual possibilita a obtenção de
novos conhecimentos. Entre esses, foi apontado pelos estudantes, a exploração das
representações gráficas de uma função, embora sintam falta de mais aplicações ao longo do
curso.
113
O CDI I também foi apontado pelos estudantes como um pré-requisito, que auxilia na
compreensão dos conteúdos abordados nas demais disciplinas estudadas em um curso de
Matemática. Porém, grande parte dos estudantes não vê ligação do que se é ensinado em
Cálculo I, com o que se ensina em Nível Médio e Fundamental, entretanto, percebem que os
conteúdos abordados em Cálculo I abrangem tudo o que foi estudado anteriormente,
possibilitando ao aluno ou futuro professor de Matemática, uma visão mais ampla, mais geral
dos conteúdos contemplados em nível médio e fundamental, o que na concepção dos
estudantes, um conhecimento mais profundo para ensinar com mais segurança.
Abrindo o
terceiro bloco
de perguntas, me dirigi aos estudantes (em momentos
diferenciados) e indaguei sobre
as representações Matemáticas (algébrica, geométricas,
gráficas, etc.), se a coordenação entre essas (na abordagem dos conteúdos matemáticos),
auxiliam na compreensão dos conceitos
. Em um caso particular, na apreensão dos conceitos
de
Cálculo I.
A respostas, em sua maioria, foram positivas, como pode ser observado de
acordo as respostas abaixo;
Rosana - Eu acho importante usar várias representações Matemáticas, porque tem
bastante gente que tem dificuldade em visualizar a solução de um problema de um
jeito, mas consegue visualizar de outro. Então quando vai pro computador,
consegue visualizar melhor ainda, o que está fazendo.
Any - Eu acho muito importante, porque às vezes de uma forma a gente não
enxerga direito, mas se o professor mostrar aquela função na forma de um gráfico,
uma coisa mais visual, podemos passar a entender melhor. Então eu acho muito
importante mostrar várias formas de fazer, porque o aluno se dá bem com uma,
mas isso não garante que todos entendam, entendeu?Eu acho muito importante o
professor usar várias representações, principalmente, recursos visuais, gráficos,
diagramas. Eu acho muito importante pra compreensão sim.
Augusto - Primeiro, eu acho que a aula fica mais dinâmica, mais atraente, porque,
às vezes, o aluno não se interessa por uma forma de resolver o assunto, mas se
atrai, pela outra. E uma forma complementa a outra. Uma forma de representar, por
mais excelente que seja, não vai ser melhor ou pior do que a outra. Vai
complementar a outra forma de representação.
José - Usar várias representações, é perfeito. Pois, nos permite ver uma função, de
várias formas, algebricamente, em paralelo à forma gráfica No meu entender a
compreensão é quase total. Ajuda muito.
Clotilde - Eu acho interessante que o professor explique a resolução de um
problema usando várias formas de representar, porque, por exemplo, tem aluno que
tem mais facilidade em enxergar as coisas no gráfico, tem aluno que já vê o
teorema e pega todo o conteúdo.Mas eu acho importante trabalhar com variados
tipos de representações, porque um aluno não é igual ao outro não é? Logo
aprende diferente e aprende coma representação que tiver mais facilidade de
entendimento.
Letícia - Eu acho que o uso das representações ajuda muito, principalmente, a
representação gráfica. Apesar de que, em Cálculo não uso muito, pois calculo mais
algebricamente. Mas acho bem interessante. Pois a gente consegue enxergar
melhor, (os conceitos matemáticos) que a professora mostra na lousa,
principalmente as demonstrações dos teoremas. Através de um gráfico, a
compreensão é mais rápida.
114
Márcio - Eu acho que toda iniciação é válida.
Ana Paula - Eu acho que ajuda bastante, porque, por meio da representação
gráfica, nós podemos visualizar como é que vai ficar a função que está sendo
representada algebricamente. Portanto, é importante o aluno saber o que está
fazendo. Saber jogar no gráfico e usar essas visualizações.
Marcela - Conforme, a professora coloca um desenho na lousa - um gráfico pra
explicar o aquela representação algébrica, com certeza “vai dar uma luz” para o
aluno entender melhor o assunto. Há! era isso que eu tinha que fazer? E então ele
vai para a parte algébrica o que acaba ficando um pouquinho mais fácil. É
importante o aluno saber o que está fazendo, aonde quer chegar. Pelo desenho é
mais fácil.
Gabrielle - Há! Eu acho legal, pois no Ensino Médio ou você faz uma coisa ou faz
outra. Aqui, na universidade a gente tem mais possibilidade de usar várias
representações, acho que dá um esclarecimento maior pra gente, no momento em
que estamos estudando a disciplina Cálculo.
Laura - Olha eu acho interessante, porque em Matemática, ela tem toda uma parte
prática também muita teoria. E os gráficos, meio que ilustram o que a gente está
vendo e fazendo na resolução de um problema não é? Ajuda a entender a teoria (a
estudante refere-se às demonstrações)
Henrique - Eu acho que, se o professor usar várias representações Matemáticas
para explicar os conteúdos matemáticos, ajuda o aluno, visualizar melhor o que
está sendo feito. Ajuda. mas, o mais importante é entender a parte algébrica, pois,
nem sempre vamos ter a ferramenta gráfica. Se a gente for trabalhar numa função
com muitas variáveis, é difícil esboçar o gráfico dessa função, podemos até dizer
que é impossível. Então é importante a parte algébrica.
Clara - Eu acho super importante, porque você vê as várias maneiras de estar
resolvendo o problema, seja algebricamente ou graficamente, neste ultimo caso,
você não consegue provar, mas se orientar. Mas, algebricamente nós podemos
provar aquilo que vemos graficamente.
Alexandre - Além de ajudar muito, acho que é essencial. Porque as aulas que eu
assisti na escola pública, os professores podem não ser, mais bem capacitados, por
motivo de não saber usar melhor algumas representações Matemáticas. Mas, eles
têm muita prática de ensino. Lá no Ensino Médio, a gente começa aprendendo
funções, no primeiro ano, é por tabelinhas mesmo. Há! se substituir x aqui, vai ter
um pontinho aqui. E assim monta o gráfico. Assim, é importante o aluno conhecer
o gráfico, bem como saber analisar esse gráfico. O professor deve mostrar o que
aconteceu no gráfico pro aluno, dizendo: olha gente, nós analisamos isso, esse
pedaço aqui, essa inclinação, essa curva. Porque às vezes o aluno resolve uma
equação do segundo grau e acha as raízes, então diz: nossa! o que são esses dois
números? Muitas vezes ele faz o cálculo e nem sabe o que é, se aquilo é uma
parábola, sabe? Então eu acho o gráfico essencial e deve ser explorado no curso
inteiro, desde que você ensine das mais primitivas funções até as mais complexas
funções. Eu acho que gráfico é um jeito de mostrar pro aluno, uma função de outra
maneira. Torna-se mais nítido pro aluno. Ele enxerga melhor. Quer ver, quando a
gente calcula um limite, por exemplo, Há! o limite da função, indo pra alguma
coisa, vai pro infinito. Mas, como assim vai pro infinito? Mas, se o professor
mostrar no gráfico o que está acontecendo com a função, ele vai entender na hora.
Ha! agora eu sei, porque vai pro infinito. Ou seja, no gráfico, ele consegue perceber
bem melhor do que você mostrando só algebricamente.
Patrícia - Eu acho que ajuda demais no entendimento do assunto, ou um conceito
qualquer. Por exemplo, o professor está falando de uma teoria lá, vamos fazer um
“deseinho” aqui, pra tentar entender, acho muito importante a exploração de várias
representações, pois ajuda a compreender o conteúdo sim.
Robin - Eu acho importante o professor usar todos os recursos, para poder explicar
alguma coisa. Se precisar usar um gráfico, usar um gráfico, se precisar usar uma
115
tabela, usar uma tabela. Então, quanto mais fazer isso é melhor pra mostrar a
aplicação de uma função e, não só analiticamente, usar também o desenho para
falar que aquilo é verdade. Usar o gráfico pra mostrar que corresponde ao cálculo
algébrico. Então isso é muito importante. Eu pessoalmente tenho mais facilidade de
trabalhar com gráfico, do que algebricamente.
Serapião - Eu acho importante explorar várias representações Matemáticas,
porque, alguns alunos, eles não conseguem ver a parte algébrica, outros já tem
facilidade, outros não conseguem ver a parte geométrica. Um aluno é diferente do
outro. Então por isso eu acho interessante usar várias formas de representar.
Frederico - Tem horas que você não vai ter a forma gráfica, seja lá o que você
estiver estudando. Mas, se você tem auxilia bastante. Bastante mesmo.
Suka - Eu acho bom o professor usar várias representações Matemáticas para
explicar os conteúdos matemáticos, porque, o aluno tem uma visão mais geral, não
fica limitado, usar mais de uma representação, possibilita trabalhar com aplicações,
dá para visualizar. No Ensino Médio, o professor não explorava muito a
representação gráfica, pois o aluno tinha muito interesse. Eu venho de uma escola
pública e como Matemática é uma matéria que os alunos não gostam muito, a
professora não se sentia muito animada em aprofundar os assuntos.
Agáta - Eu acho importante, até porque o professor, em sala de aula, usa somente a
lousa, e acaba não explorando muito a forma gráfica. No Winplot, mostrado por
você, teve muita coisa que passou a fazer sentido para mim.
Lara - Olha ajuda muito e muda muito o a forma de pensar. Pois, às vezes a gente
está perdido, aí o professor mostra o gráfico, Nossa! centraliza não é? O aluno “se
acha”.
4.6.3. Síntese Interpretativa do 3º. Bloco: Comentários dos Estudantes
Assim como os professores, os estudantes fazem explicitamente associações das
representações gráficas
ao processo de visualização dos conceitos
, quando esses são
apresentados
na forma escrita e algébrica
. Sob esse aspecto, os estudantes, em grande parte,
esclareceram que quando o professor, na abordagem dos conteúdos, utiliza
várias
representações Matemáticas
, estão fornecendo elementos variados para o entendimento dos
alunos em referência á apreensão dos conceitos matemáticos, em particular os conceitos de
Cálculo I. Na concepção da maioria dos estudantes, essa abordagem é importante,
principalmente por que cada aluno tem
uma forma diferenciada em termos de
compreensão
.
Prosseguindo com as perguntas, ainda no
terceiro bloco
, questionei sobre
o uso do
computador, como um recurso para aprender os conteúdos matemáticos
e,
se já haviam
utilizado algum software em sala de aula, seja no colegial ou universidade
. A resposta
para esse último questionamento foi que a maioria usou muito pouco. Na universidade
(UNESP) conheceram o software Maple e o Cabri, os professores de Cálculo I e Geometria
Analítica (respectivamente) levaram os alunos, uma vez, durante o primeiro semestre de 2007,
para visualizarem alguns gráficos. No Ensino fundamental e Médio, o uso foi quase
116
inexistente, apenas um ou dois tiveram a oportunidade de trabalhar com softwares no colegial,
mas em outras disciplinas, Não, em Matemática.
Em nossa pesquisa, durante a coleta de dados, a adaptação dos estudantes em relação
ao software
Winplot
foi bastante favorável. Comentários apresentados pelos estudantes
mostram que na resolução dos problemas o
Winplot
possibilitou
um maior entendimento ao
coordenar às representações algébrica, gráficas e geométricas na exploração e resolução
das atividades exploratório-investigativas
. Vejamos abaixo concepções particulares dos
estudantes sobre o uso do computador em nível didático-pedagógico para as aulas de
Matemática, em particular para o ensino do
Cálculo I
.
Rosana - É muito importante, é bom para quem não tem visualização. Enxergar o
que a gente faz na teoria. Às vezes fazemos o Cálculo mecanicamente, e não
sabemos porque de estarmos derivando.
Any - Eu acho interessante, principalmente para desenhar gráfico. Eu acho muito
interessante.
Augusto - Eu acho que auxilia, só que o usuário tem que tomar um certo cuidado,
para não cair no comodismo. O usuário já tem que ter um conhecimento e noção
dos conceitos, o que é tal coisa. Mas, auxilia muito, porque, por exemplo, se a
gente vai verificar as retas secantes de um gráfico de uma função? se fosse na mão,
dar valores para ver a variação da inclinação iria demorar muito. Já no computador,
ele faz espontaneamente. Então se a pessoa já tem a noção do assunto, o
computador ele agiliza um processo que manualmente demoraria muito.
José - Há! Eu acho muito bom, principalmente a parte gráfica. São revoluções que
você faz no gráfico, movimenta, coisa que no papel ou na lousa é impossível. Já
usei o computador a qui na UNESP, No início da aula de Cálculo, a gente foi,
montou uma função. Estudou os detalhes. Também já usei o computador no Ensino
Médio. Mas não para Matemática.
Clotilde - Olha! Na parte gráfica eu acho importante, mas na parte algébrica, nem
tanto, pois o aluno não ficaria muito interessado. Mas a parte gráfica deveria ser
explorado mais, pois quase não usam o computador para Matemática mesmo.
Letícia - Há! Uma maravilha, agora que eu aprendi a mexer no Winplot e estou
usando em casa. Às vezes a gente estudando uma função, demora pra enxergar a
cara daquela função, principalmente quando é x
6
. x
7
e a gente vai derivando. A
gente não sabe como é a “carinha” daquela função. Então a gente põe ali, no
computador e vai vendo, vai “mexendo”, movimentando, olhando pra onde ela vai.
Então acha o limite, vai calculando as derivadas. O aluno passa tem uma noção
maior, eu acho. Seria uma maravilha poder trabalhar com ele (o Winplot) mais
tempo.
Márcio - Eu acho super válido, porque, podemos aprender com mais facilidade e
também pra ensinar os outros, no caso de querer seguir a carreira de professor.
Ana Paula - É importante, dependendo do programas a ser utilizado, É importante
o aluno ver essa parte de gráficos. Eu já usei no colegial, na minha escola (pública),
tinha um laboratório. Mas não foi a professora de Matemática.
Marcela - Há! Muito interessante. Eu gostei muito do Winplot, principalmente
para construir gráficos. Na Escola a diretora não deixava os alunos usarem, pois a
diretora tinha medo que os alunos quebrasse.Então não tive acesso. Aqui na
faculdade usei apenas duas vezes, em Geometria e... a outra disciplina, eu não
lembro mais.
Gabrielle - Aqui na Faculdade a professora de Cálculo I levou a gente, logo no
início da aula pra usar o Maple. Acho legal, porque ajuda a gente desenvolver a
117
noção das coisas não é? Principalmente, quando tem animação, ver o
comportamento que podem assumir os gráficos das funções.
Laura - É mais ou menos aquilo, que eu falei do gráfico, como na Matemática a
gente sabe bem pouco da teoria, o computador ajuda bastante a gente. Eu vejo bem
agora que a gente está estudando na sua pesquisa.
Henrique - Gostei muito do Winplot, é bom, porque é mais fácil, mais rápido, no
sentido de visualizar os conceitos.
Clara - Eu acho que enxerga melhor, pois na lousa o que o professor faz é apenas
um rascunho do que a gente está vendo. O computador revela aquilo que realmente
é, o que foi visto no papel ou na lousa.
Alexandre - Eu acho fantástico, que o professor ensine usando o computador. O
computador é uma ferramenta. A Matemática é uma ferramenta para o computador,
tudo o que o computador faz, é por meio da Matemática. A linguagem do
computador é um código binário, não é? E como eu vi nas representações gráficas
que são extremamente importantes pra mim. O computador mostra isso como
ninguém. É fantástico vê o gráfico, mexendo devagarzinho, Então você diz. Há!
Quando eu altero o coeficiente do “x”, o gráfico faz isso. Há! Quando eu altero o
“b” da função, o gráfico faz aquilo. O mais triste ver é que muitas escolas e até
faculdades não tem equipamento suficiente, pra poder dar isso pros alunos. Se todo
mundo pudesse ter acesso, a Matemática poderia ser diferente. A Matemática
poderia até não ser encarada como uma matéria difícil. A Matemática não é difícil,
ela exige desempenho. Não é incompreensível. Se você realmente estudar, e
praticar, você vai conseguir. Não precisa ser nenhum gênio para entender
Matemática.
Patrícia - Olha! Eu nunca usei nenhum software em sala de aula não. Mas, eu acho
que as escolas deveriam dar aula de Matemática usando o computador. Pois todo
mundo que aprendeu geometria usando o computador tem hoje a maior facilidade
na disciplina. E mesmo usando agora esse programa com você, às vezes quando a
professora fala: quando o x está se aproximando, o limite está indo. Nossa! eu não
estou enxergando pra onde esse limite está indo. Daí, usando o programa, como
naquele dia que você mostrou, deu pra entender direitinho.
Robin - Eu acho que é importante. Só que no computador o aluno, fica na internet.
Então o professor tem que ter autoridade na classe, se não tiver não dá. Se tiver
autoridade e o pessoal respeitar mesmo, ele pode dar uma aula excepcional, usando
o auxílio do computador para muitas matérias com assuntos da Matemática. Eu
estudei em uma escola particular e eu nunca usei nenhum software para estudar
Matemática. Também, a professora não vai levar no laboratório e dizer isso é um
gráfico, se é pra isso ela vai na lousa e mostra do mesmo jeito. Faz conta, conta, é
sempre assim. Isso é difícil de mudar, mas acaba ficando assim.
Serapião - Eu acho muito interessante, porque, é que nem uma demonstração por
outras formas. Pensando assim, tem determinados resultados que para algumas
pessoas não é interessante, mas aí quando vê no computador, passa a ficar
interessante.
Frederico - Gostei do Winplot, é uma ótima ferramenta, faz tudo pra gente.
Trabalha rápido, visualiza, auxilia nos erros.
Suka - É um algo a mais não é? Uma coisa diferente pra ver também.
Agáta - Eu acho legal, até porque, foi a coisa mais prática durante todo o curso
que eu vi até agora ( a estudante refere-se ao uso do Winplot). Na sala de aula, nós
não tiramos o olho da lousa, então é um diferencial também, eu acho.
Lara - Olha é muito legal (referindo-se ao Winplot), pois o gráfico ajuda muito na
visualização. Mesmo porque você usa a derivada e não sabe para o que serve, na
pesquisa deu pra fazer algumas aplicações, foi muito legal.
118
Como já mencionado,
no último bloco de perguntas
, busquei captar c
aracterísticas
pessoais dos estudantes á respeito de como cada um fazia para estudar a disciplina
Cálculo I.
Se estudavam em grupo ou individualmente, como estudavam a disciplina, ou seja,
se liam antes a teoria e faziam exercícios, se usavam notas de aulas, entre outros. No final
perguntei de 1 a 10 qual nota dariam para o seu conhecimento matemático e o que motivou o
estudante a participar da pesquisa.
As respostas foram bem diversificadas;
quanto a forma de estudar
, percebi que
poucos usavam as notas de aula, a maioria utilizava os livros didáticos. Uma grande parte dos
estudantes afirmou que lia antes a teoria e então passava à resolução dos exercícios. Em
respeito a estudar individualmente ou em grupo, a maioria prefere estudar individualmente e,
em caso de dúvida procura os colegas ou a professora. Quanto
à avaliação pessoal de cada
um
, os números apresentados entre 1 e 10 eram interpretados de forma particular, por
exemplo, para alguns sete é pouco, enquanto que para outros é uma nota excepcionalmente
alta. Houveram alguns poucos, que se avaliaram com nota 2, outros com 5, 6 e 7, não houve
uma avaliação acima de 8. Os alunos ao se avaliarem entendem que ainda há muito o que
aprender, que há pela frente uma grande caminhada a ser percorrida.
Quanto ao
motivo para participarem da pesquisa,
transcorreu entre entender melhor
os conceitos de Cálculo I, curiosidade em conhecer o software
Winplot
e colaborar com essa
pesquisadora em seu trabalho de pesquisa.
Capítulo 5
da Pesquisa
Descrição das Atividades Exploratório
Investigativas e Análise dos Dados
Capítulo 5
Metodologia
da Pesquisa
- Parte 2
Descrição das Atividades Exploratório
Investigativas e Análise dos Dados
119
Descrição das Atividades Exploratório
-
Investigativas e Análise dos Dados
120
Capítulo 5 - Metodologia da Pesquisa - Parte 2
Descrição das Atividades Exploratório-Investigativas e Análise dos Dados
Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática
já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza Matemática
(ao nível adequado a cada grau de ensino). [...] Aprender Matemática
sem forte intervenção da sua faceta investigativa é como tentar
aprender a andar de bicicleta vendo os outros andar e recebendo
informação sobre como conseguem. Isso não chega. Para
verdadeiramente aprender é preciso montar a bicicleta e andar,
fazendo erros e aprendendo com eles (BRAUMANN, 2002, apud
PONTE et al., 2005, p.19).
5.1. Metodologia Junto aos Sujeitos Pesquisados: Investigação
Matemática em Sala de Aula
Antes de descrevemos e analisarmos as atividades propostas em nossa coleta de dados
junto aos estudantes, sujeitos da pesquisa, faz-se necessário uma introdução à abordagem
metodológica da Investigação Matemática, cujo tema é principalmente referenciado por João
Pedro da Ponte et al. (2005). Vale ressaltar que a nossa escolha por essa abordagem como um
procedimento metodológico para a aplicação e desenvolvimento das atividades, vincula-se ao
fato de que as Investigações Matemáticas caracterizam-se em uma proposta desafiadora e
instigante no que se refere à dinâmica metodológica no processo de ensino da Matemática,
envolvendo conceitos, e mobilidade entre as representações matemáticas.
Segundo Ponte et al. (2005), em uma investigação se parte de uma questão que
inicialmente é preciso compreendê-la e interpretá-la. Essa fase inicial é de grande
importância, embora sendo curta, é decididamente crítica, pois é nesse momento que o
professor deve garantir que todos os alunos entendam o que lhes é proposto.
Assegurado o momento inicial em relação à compreensão dos alunos acerca da
atividade, o professor poderá passar a ser um observador atento, o que não quer dizer que não
possa intervir quando isso se fizer necessário, portanto, é importante procurar entender como
o trabalho dos alunos vai se desenvolvendo. Um aspecto relevante relaciona-se com a
exploração e formulação de questões, formulação de conjecturas, a justificação dessas
conjecturas e avaliação do trabalho. Conforme Ponte et al. (2005), nessa fase, os alunos
relatam aos colegas o trabalho realizado.
No ensino tradicional, não é muito comum em sala de aula haver uma discussão sobre
determinado tema matemático, o que ocorre é que, na maioria das vezes, o professor é o ator
121
principal onde expõem as suas idéias e concepções, determinando no grupo o que deve ou não
ser discutido ou estudado.
Assim, a abordagem metodológica da investigação Matemática propicia ao aluno e ao
professor a oportunidade de criarem um contexto com uma interação maior. Os alunos podem
colocar em confronto as suas estratégias, conjecturas e justificações, e o professor pode
assumir o papel de moderador desse confronto. Este também pode ser um momento crítico
para o professor, pois é nessa hora que o mesmo deve aproveitar para explorar as
potencialidades do trabalho investigativo visando realizar aulas de discussão produtivas.
Entendemos, portanto, que o professor tem um papel fundamental no planejamento
das atividades de investigação em sala de aula, participando também no processo de
delineamento dos objetivos, metodologias e estratégias, reformulando-os de acordo com a
realidade do contexto, o qual está inserido.
Deste modo, não é difícil perceber que, o futuro professor de Matemática que tem em
sua formação inicial, a possibilidade de experenciar e conhecer novos métodos tais como a
investigação, o uso da tecnologia disponível e relevante ao ensino, formas distintas de
representar os conceitos matemáticos, tenha mais possibilidade em romper com os modelos
padronizados, permitindo aos mesmos explorar e ampliar a sua capacidade de compreensão e
de reflexão sobre a Matemática enquanto objeto de aprendizagem e ensino.
Na disciplina de Matemática, como em qualquer outra disciplina escolar, o
envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem. O
aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com
vista a atingir um objetivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos fortes da
investigação. Ao requerer a participação do aluno na formulação das questões
a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu envolvimento na
aprendizagem (PONTE et.al, 2005, p.23).
Diante de tais benefícios, nos perguntamos por que a metodologia proposta pela
investigação Matemática não tem um lugar de destaque na formação do futuro professor? Pois
o que vemos, considerando a nossa experiência em sala de aula é que, na maioria das vezes
são explorados métodos retrógrados, pautados em modelos tradicionais de ensino o que
muitas vezes, tornam-se até prejudiciais à aprendizagem desse estudante/professor no sentido
de não permitir aos mesmos a chance de desenvolver um espírito investigativo.
Temos consciência que na prática nem sempre é fácil, leva tempo, pois há de se
considerar o currículo, entre outros impasses. Nesse sentido, Ponte et al (2005) chama a
atenção para o fato, de que para a realização de uma investigação, muitas vezes, há a
necessidade de se levar conta uma ligação estreita com os temas do currículo, o que facilitará
122
maior interação e consolidação dos conceitos matemáticos estudados em sala de aula.
Ora, o tempo é um fator que todo o professor tem que ponderar na sua prática,
exigindo a tomada de decisões. [...] A realização de uma investigação requer
certo tempo, mas o que se gasta nas primeiras experiências e nas primeiras
ocasiões que se procura discutir os resultados obtidos, pode ser recuperado
mais tarde. [...] Além disso, o trabalho efetuado no âmbito de uma
investigação, em torno de determinado conteúdo matemático, pode revelar-se
de tal forma produtivo que o professor já não vê a necessidade de voltar a
trabalhá-lo, ganhando assim tempo para dedicar a outro assunto (PONTE,
2005, p.141).
Acreditamos, portanto, na possibilidade de futuros professores terem ciência e
experenciarem essa metodologia, sob a perspectiva de desenvolverem em sua prática, a
possibilidade de ensinar Matemática de forma mais expressiva, proporcionando uma maior
relevância a aspectos da atividade Matemática tais como: formulação e resolução de
problemas abertos, argumentação e crítica de resultados, entre outros. Por conseguinte,
entendemos ser bastante viável, explorar essa abordagem metodológica em nível
universitário, associada à mobilidade de várias representações matemáticas, considerando o
fato de que a realização de investigações Matemáticas, pelo futuro professor, possui a função
de contribuir de maneira significativa para a sua aprendizagem, possibilitando ao mesmo
desenvolver uma atitude de descoberta em relação à disciplina Matemática e em relação à sua
prática, pois ao envolver-se nessa experiência, poderão obter conhecimentos que possam
futuramente vir a ser desenvolvidos com os seus futuros alunos.
Nessa perspectiva; alguns autores, Ball, (1990), (OLIVEIRA, 1998, apud OLIVEIRA
et.al, 1998), Castro (2004) têm sublinhado a importância das experiências Matemáticas
vividas pelos professores como fator decisivo no tipo de ensino que desenvolvem. Além do
que a investigação emerge como um poderoso elemento na constituição do conhecimento do
futuro professor de Matemática.
123
5.2. As Atividades Exploratório-Investigativas
Segundo Silva, Miskulin e Escher (2006), as atividades exploratório-investigativas são
concebidas como;
Atividades ou problemas nos quais os alunos envolvem-se em
processo de soluções, buscando estratégias próprias, experimentando
conjecturas e hipóteses a respeito das diversas partes que compõem o
problema, discutindo-as com seus colegas e reelaborando-as no
contexto prático no qual se insere o problema. [...] A mediação do
professor no desenvolvimento da aula será de fundamental
importância na constituição da característica exploratório-investigativa
de uma atividade ou um problema de Matemática. O professor ao
mediar o processo educativo por meio de atividades exploratório-
investigativas cria situações desafiantes, através dos recortes dessas
atividades em vários problemas intermediários que possibilitam aos
alunos deslocarem-se muitas vezes da atividade ou problema
principal, olhando-o e percebendo-o sob uma outra perspectiva,
possibilitando-lhes a busca de novos caminhos e a reavaliação
constante de suas estratégias e objetivos, enfim, envolvendo-os, cada
vez mais, no processo de construção do conhecimento matemático. (p.
3).
Nessa perspectiva, a proposta
das atividades exploratório-investigativas
em nossa
pesquisa cumpre em trabalhar com questões de cunho aberto, objetivando explorar e
coordenar às várias representações matemáticas por meio do software
Winplot
, sendo elas:
gráficas algébricas e geométricas, dentro de um ponto de vista semiótico associado ao
processo investigativo.
As atividades 1, 2, 3 e 4 desenvolvidas junto aos estudantes nesse trabalho de pesquisa
e, intituladas respectivamente:
um ponto de continuidade
,
encontro da reta à curva
,
o caso
do retângulo inscrito
e
a latinha de cerveja sobre outra perspectiva
(Figuras 4, 5, 6 e 7),
foram aplicadas no Laboratório de Informática da UNESP de Rio Claro, envolvendo
conteúdos da disciplina Cálculo I: Limites e Derivadas.
124
ATIVIDADE 1: “Um ponto de Continuidade”
Objetivos Gerais:
Investigar a capacidade de justificação do aluno (aspecto didático);
Analisar as representações Matemáticas utilizadas pelos alunos no desenvolvimento e
resolução da atividade apresentada, quais caminhos são abordados e quais as estratégias para
enfrentar e resolver o problema;
Analisar o conhecimento matemático do aluno;
Analisar a capacidade de generalização do aluno frente o desenvolvimento e investigação da
atividade.
Investigar a capacidade de visualização do aluno frente ao problema apresentado.
Objetivo específico: perceber a compreensão do aluno em relação ao estudo de continuidade de uma
função definida por partes em determinado ponto, para diferentes valores de k.
Problema: Considere a família de funções definida por f(x) =
>
≤+
1 xse 3-2x
1 xse 1kx
2
Discutindo o problema:
a)
Discuta com o seu colega os dados do problema, por exemplo: se a função é contínua, em caso de
descontinuidade, onde isso ocorre;
b)
desenhe a função f(x) =
>
≤+
1 xse 3-2x
1 xse 1kx
2
Observem o gráfico e respondam qual o limite da
função, quando x tende a 1 para valores menores que 1 e para valores maiores que 1, a seguir
verifiquem se existe o limite? E para k=-2, existe o limite de f quando x tende a 1? Justifiquem
suas respostas;
Figura 4: Atividade 1
A
Atividade 1,
propunha explorar o conceito de Limite e Continuidade de uma função
definida por partes, em um determinado ponto, para diferentes valores de k. Durante o
processo de investigação, foi solicitado aos estudantes desenharem por meio do
Winplot
o
gráfico da função, usando os comandos apropriados, incluindo o de animação, tendo em vista
propiciar um contexto, no qual os estudantes poderiam iniciar um processo de compreensão
envolvendo-se com os dados do problema proposto.
125
ATIVIDADE 2: “Encontro da Reta à Curva”
Objetivos Gerais:
Investigar a capacidade de justificação do aluno (aspecto didático);
Analisar as representações Matemáticas utilizadas pelos alunos no desenvolvimento e resolução da
atividade apresentada, quais caminhos são abordados e quais as estratégias para enfrentar e resolver o
problema;
Analisar o conhecimento matemático do aluno;
Analisar a capacidade de generalização do aluno frente ao desenvolvimento e a investigação da
atividade.
Investigar a capacidade de visualização do aluno frente ao problema apresentado.
Objetivo Específico: Trabalhar o conceito de derivada de uma função num dado ponto de modo a
perceber na interpretação dos alunos a relevância das várias possibilidades de representações
Matemáticas para resolução do problema.
Problema: Seja a função f(x) = x
2
e um ponto (x,y) do seu gráfico, discuta a relação da reta
secante com a reta tangente ao gráfico no ponto (1,1).
Explorando o Problema:
Use o Winplot para traçar a função f(x) = x
2
e o ponto (1,1) pertencente ao gráfico de f.
Crie um ponto genérico pertencente a função f (localizado acima do ponto (1,1)) .
Trace uma reta secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (1,1) e o ponto genérico pertencentes a
f.
Descreva o que acontece com a reta secante quando o ponto x (genérico) se aproxima de x = 1, e a
partir dos dados apresentados e do que foi observado escreva a equação da reta tangente ao gráfico de
f no ponto (1,1).
A partir das informações obtidas levando em conta o ponto dado e a função f (x) determine a equação
da reta tangente no ponto (1,1), a seguir use o Winplot para fazer a representação gráfica desta
equação. Discuta com seu colega qual a relação existente entre f ’ e a equação da reta tangente no
ponto x =1.
Figura 5: Atividade 2
A Atividade 2 propunha investigar o conceito de Derivada partindo da representação
geométrica de uma reta secante ao gráfico da função f(x) = x
2,
dado um ponto (x,y) do seu
gráfico.
126
ATIVIDADE 3: “O Caso do retângulo inscrito”
Objetivos Gerais:
Investigar a capacidade de justificação do aluno (aspecto didático);
Analisar as representações matemáticas utilizadas pelos alunos no desenvolvimento e
resolução da atividade apresentada, quais caminhos são abordados e quais as estratégias para
enfrentar e resolver o problema;
Analisar o conhecimento matemático do aluno;
Analisar a capacidade de generalização do aluno frente o desenvolvimento e investigação da
atividade.
Investigar a capacidade de visualização do aluno frente ao problema apresentado.
Objetivo Específico: investigar os diferentes tipos de representações matemáticas utilizadas pelo
aluno, bem como o grau de conhecimento matemático no processo de interpretação, compreensão e
visualização no desenvolvimento do problema.
Problema: Encontrar o retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semi-círculo de raio r.
Explorando o Problema:
a)
Apenas observando a figura através do Winplot é possível identificar qual dos retângulos tem
a maior área? Justifique sua resposta.
b)
Supondo (x,y) o vértice (do retângulo inscrito) que está no primeiro quadrante (note que este
ponto também pertence ao semi-círculo), e a partir desse dado, escreva de forma genérica a
área do retângulo.
c)
Pensando na possibilidade de eliminar o y e usando o fato que (x,y) está sobre o círculo
escreva a área do retângulo em função de x , ou seja, substitua y na fórmula da área pela
equação do semi-círculo determinado acima ( essa será a função modelo utilizada para a
representação gráfica);
d)
Determinada a função encontre o seu domínio? Esse dado é importante para o
desenvolvimento do problema? Justifique sua resposta.
e)
Usando o Winplot desenhe a imagem do gráfico da função A(x) no mesmo eixo de
coordenadas que foi feita a simulação do retângulo inscrito no semi-círculo. Para isso use a
opção equação→
→→
→ explícita (digite no espaço indicado a função) Para dinamizar a função crie
um ponto genérico clicando em Equação→
→→
→ ponto (x, y), escreva para x = a e para y = a
representação algébrica da função A, substituindo a variável x pelo parâmetro a.
f)
Analisando as funções A e A’ você poderia dizer;
f.1)Para as regiões onde A cresce, a área dos retângulos também tendem a crescer?
f.2)Os ponto no qual a função derivada A’ se anula chamam-se pontos críticos. Nesse caso
determine a derivada da função A(x) e determine quais os zeros e o domínio da função derivada?
Qual a relevância de se conhecer esses dados?
g)
A partir dos dados encontrados, e das observações realizadas a partir das imagens dos gráficos
de A e A’ você poderia chegar a alguma conclusão para resolução do problema?
h)
Você acha que visualizar o desenho do triângulo inscrito no semicírculo conjuntamente às
representações gráficas e algébrica da função Área facilitou a sua compreensão do problema?
Justifique sua resposta.
Figura 6: Atividade 3
A Atividade 3 propunha investigar um problema de otimização partindo da figura
geométrica de um retângulo inscrito em um semicírculo e, através da coordenação entre várias
representações matemáticas, conceber um modelo matemático do retângulo de maior área que
pode ser inscrito em um semicírculo de raio r.
127
ATIVIDADE 4: “A latinha de cerveja sob outra perspectiva”
Problema: Determinar as dimensões de uma lata de refrigerantes de 111,5
π
cm
3
construída
com a menor quantidade possível de metal.
Sugestão: Considere a possibilidade de visualizar a lata cilíndrica planificada, então procure
descrever a área da tampa (e do fundo ). E para determinar a área do lado da lata imagine o lado
aberto para formar um retângulo e que a tampa e o fundo tenham sido retirados. Encontrada as
respectivas áreas determine o custo do material para a confecção da embalagem.
Objetivo Específico: investigar um problema de otimização, introduzindo noções de geometria
espacial envolvendo máximos e mínimos de funções por meio do software Winplot, visando
explorar as representações algébricas, gráficas, e geométricas inerentes ao problema.
Investigando o problema.
a)
Para uma possível resolução do problema, considere os seguintes dados:
O preço do material usado para o fundo e a tampa da lata é 3 centavos por centímetro
quadrado e o preço do material usado para a lata é 2 centavos por centímetro quadrados;
Seja r o raio da tampa e do fundo, h a altura e C o custo (em centavos) do material
necessário para construir uma latinha;
b)
Expresse o custo do material necessário para construir uma latinha de cerveja em função
do raio;
c)
Use o Winplot para fazer a representação gráfica da função C(r);
d)
Calcule a derivada da função C(r), a seguir, usando o Winplot esboce a imagem do gráfico
de C’(r) no mesmo sistema de coordenadas de C(r);
e)
Para dinamizar os gráficos de C(r) e C’(r) crie um ponto genérico sobre cada função, faça
um comentário sobre o que observa.
f)
No mesmo sistema de coordenadas que foram esboçados os gráficos de C(r) e C’(r), esboce
o gráfico do Volume e da altura da latinha em função do raio.
g)
Como anteriormente, crie um ponto genérico r sobre as funções altura e volume de modo a
observar o comportamento das funções em relação as funções C(r) e C’(r). Faça um comentário
das suas observações.
h)
A partir dos cálculos e observações realizados determine as dimensões da latinha de
cerveja de 350 cm
3
enunciada no problema;
Figura 7: Atividade 4
Atividade 4
propunha um problema, interagindo assuntos de Geometria Espacial e
Cálculo Diferencial e Integral I. Nesta atividade a pesquisadora buscou investigar um
problema de otimização por meio do software
Winplot
, visando explorar as representações
algébricas, gráficas, e geométricas inerentes ao problema.
Para o registro dos comentários realizados pelos estudantes, na descrição dos dados
coletados nas atividades exploratório-investigativas, como ocorrido nas entrevistas, vale
enfatizar que foram utilizados codinomes (escolhidos pelos próprios participantes) a fim de
resguardar a identidade dos sujeitos da pesquisa, bem como preservar a originalidade e
legitimidade dos seus comentários. É importante esclarecer que as citações dos estudantes e
da pesquisadora apresentadas no desenvolvimento das atividades exploratório-investigativas
encontram-se descritas, detalhadamente, no
Anexo A
(vide
CD-ROM
), as quais foram
reproduzidas a partir de transcrições literais e mantêm, conseqüentemente, possíveis erros de
128
português cometidos no decorrer da fala. Faz-se também, importante ressaltar as
notações
utilizadas nas transcrições que aparecem no corpo do trabalho tais como:
Esclarecimento sobre as falas dos estudantes, gestos silenciosos, prolongados etc.
aparecem em negrito entre parênteses ( )
Reticências indicam o pensamento ou reflexão dos estudantes
Os gráficos aparecem para ilustrar o trabalho desenvolvido no
Winplot
5.2.1. Desenvolvimento das Atividades Exploratório-Investigativas
46
Para a realização das quatro atividades no Laboratório de Informática da UNESP de
Rio Claro, foi proposto aos estudantes, em um primeiro momento, que informassem seus
horários disponíveis, com a intenção de dividir o grupo selecionado de vinte e sete alunos, em
duas turmas, ficando assim definido:
Turma A
a noite com encontros toda terça-feira às
19:00 hs, e
Turma B
. pela manhã, com encontros toda quarta-feira às 10:00hs
47
. É importante
ressaltar, que dos vinte e sete estudantes que se inscreveram, vinte e um participaram das
entrevistas, vinte e três na
Atividade 1
, vinte na
Atividade 2
, dezenove na
Atividade 3
e
apenas seis na
Atividade 4
(a ausência dos estudantes neste último encontro foi devido ao
feriado prolongado, sendo que a maioria deles residia em cidades circunvizinhas a Rio Claro).
Esquematizados os horários e as turmas, foi possível, então, iniciarmos efetivamente a
aplicação e o desenvolvimento das atividades exploratório-investigativas, junto aos sujeitos da
pesquisa. No decorrer da aplicação e desenvolvimento das atividades, em um primeiro
momento, foi dedicado à familiarização do software
Winplot
e a apresentação das questões.
Em um segundo momento foi realizado a exploração dos problemas apresentados nas
atividades, com o intuito de organizar os dados, formular conjecturas, justificar e refinar essas
conjecturas. Em um terceiro e último momento foi realizado um balanço dos resultados
encontrados e da abordagem adotada.
Vale explicitar que durante a investigação dos problemas propostos nas atividades, a
mobilidade entre as representações matemáticas foi generosamente explorada. Para tanto,
foram utilizados os softwares
Winplot
,
Maple
(como recurso eventual)
48
,
PLANILHA
49
,
46
Mais detalhes no Anexo A (CD-ROM).
47
Durante o processo da aplicação das atividades exploratório investigativas, houveram mudanças nos horários
da Turma B, passando da quarta pela manhã para quinta-feira à noite no horário das 19:00 hs.
48
O Maple foi utilizado como um recurso opcional, por já se encontrar instalado nos computadores do
Laboratório, logo de comum acordo, foi determinado entre a pesquisadora e os estudantes o uso do referido
software, caso os estudantes desejassem fazer uso desse recurso.
49
Open Office do sistema operacional LINUX.
129
planilha de cálculo, bem como papel e lápis. Na utilização do software
Winplot
houveram
algumas limitações devido ao sistema operacional
Linux
, instalado no Laboratório de
Informática de Matemática do IGCE/Rio Claro. A saber, o
Winplot
foi concebido para rodar
no sistema operacional Windows, mas, no laboratório utilizado para a efetivação dos
trabalhos, foi feita uma “emulação”
50
na qual se tornou possível rodar o
Winplot
, com
algumas restrições em termos de comandos. Cientes desse fato empenhamo-nos, portanto, ao
trabalho de adaptar às atividades a essas limitações.
Além desse obstáculo, o qual foi perfeitamente contornável, houve problemas de
ordem técnica, por exemplo, em alguns momentos de aplicação das atividades, o computador
travava, e muitas vezes (quando o trabalho não salvo) se perdiam dados. Desta maneira, os
estudantes tinham que reiniciar todo o processo. Problemas à parte, a aplicação e
desenvolvimento das atividades orientadas pela pesquisadora, decorreram tranqüilamente.
A posteriore, no Item 5.5., serão apresentadas descrições resumidas do que foi
discutido e experenciado durante a aplicação e o desenvolvimento
das atividades
exploratório-investigativas
. Após cada descrição será apresentada uma análise semiótica
tendo como principal objeto de observação, as representações matemáticas e sua importância
na constituição do conhecimento do futuro professor de Matemática. Ressaltamos que na
elaboração desta análise serão escolhidos alguns excertos, retirados de uma descrição mais
detalhada da aplicação e do desenvolvimento das atividades (Anexo A – CD-ROM). Além
das entrevistas e observações realizadas ao longo da pesquisa.
A seguir faremos uma breve introdução sobre softwares livres contextualizando o uso
do software Winplot, acreditando assim, tornar mais claro o entendimento do leitor à respeito
da nossa escolha no uso dessa tecnologia e de sua relevância na coleta dos dados desta
pesquisa.
50
A reprodução de um sistema de computação por outro sistema através do uso de software e hardware que
permite que o hardware execute programas escritos para o software.
https://www2.rural.com.br/manual/ibm/9agloss.htm.
130
5.3. No Laboratório: Softwares Livres como uma Opção para a
Representação Matemática em uma Proposta Investigativa
O computador, usado como ferramenta, tem sido apresentado como sendo um
instrumento muito útil na condução de Atividades Matemáticas. Incentiva a
realização de um grande número de experiências permitindo a exploração de
situações e assuntos não triviais (PONTE e MATOS, 1992/1996, p.120).
O uso do computador na educação é, sem dúvida alguma, imprescindível, pois
possibilita aos professores, um melhor acesso a materiais didáticos e outras atividades. As
TICs se tornam agentes efetivos para práticas educacionais tais como modelagem
Matemática, resolução de problemas, investigação Matemática e trabalhos de projetos, enfim,
metodologias de ensino que têm sido valorizadas na Educação Matemática
.
Nesse sentido,
Borba e Penteado (2005), vêem a modelagem como uma perspectiva pedagógica adequada
para se trabalhar com investigações associadas ao uso do computador, nos quais são
explorados problemas envolvendo modelagem, gráficos e tabelas.
Miskulin (2003) ressalta que, é importante esclarecer e propagar, entre os futuros
professores e os professores em exercício, as diversas maneiras de utilizar a tecnologia na sala
de aula como um recurso metodológico. Na resolução de problemas, por exemplo, essa
tecnologia torna-se extremamente poderosa para o conhecimento matemático, nessa
perspectiva Valente (2000)
51
assinala que;
O aprendizado baseado na resolução de problemas ou na elaboração
de projetos não é novo e, já tem sido amplamente explorada através
dos meios tradicionais de ensino. O computador adiciona uma nova
dimensão - o fato de o aprendiz ter que expressar a resolução do
problema segundo uma linguagem de programação. Isso possibilita
uma série de vantagens. Nesse sentido podem ser vistas como uma
linguagem Matemática. Portanto quando um aluno representa a
resolução de um problema segundo um programa de computador ele
tem uma descrição formal, precisa desta resolução. [...] Com isto o
aluno pode verificar suas idéias e conceitos (p.14).
A tecnologia e a infra-estrutura necessária para o emprego de computadores na
educação, dependendo da solução adotada, podem se tornar inacessíveis, gerando mais um
fator para a exclusão digital. Somente instituições com elevados recursos financeiros para
investimentos nesta área poderiam oferecer aos seus alunos acesso à tecnologia, tão
fundamental, nos dias de hoje.
O software livre, embora não seja uma solução universal, pode contribuir
51
Artigo disponível em< http://www.nied.unicamp.br/publicacoes/separatas/Sep1.pdf >
131
significativamente para a disseminação e uso, em larga escala, de soluções eficientes e de
baixo custo para a educação. Embora a filosofia do movimento, free software
,
enfatize a
questão da liberdade, cobrar por um determinado programa não seria incoerente com esta
ideologia, pois na definição de software livre não consta nenhuma restrição quanto ao preço.
Poder cobrar não se torna em tese um problema para as escolas públicas com seus raríssimos
recursos financeiros, pois existem umas infinidades de softwares livres, sem ônus algum, que
podem ser utilizados nas aulas de Matemática (e em outras áreas também)
52
.
Existem professores e pesquisadores que são contra o emprego de soluções baseadas
em software livre para a Educação em geral, mas os casos de sucesso são numerosos e
representam uma prova eloqüente de sua viabilidade
53
,
casos de sucesso são verídicos, mas
um dado software utilizado em sala de aula pode, depois de algum tempo tornar-se
enfadonho, da mesma forma que para muitos uma aula com uso intensivo de giz, ou outra
baseada em discussão de textos, pode também não motivar
.
“Uma vez que essas tecnologias
envolvem muitas vertentes e estão em permanente desenvolvimento, algumas escolhas devem
ser feitas” (PONTE et al, 2003, p.161). Assim com a intenção de ressaltar a importância do
uso de softwares educativos como um grande auxilio ao professor de Matemática, na sua
prática diária apresentamos abaixo, de forma breve o ambiente computacional que usamos
com mais empenho no desenvolvimento das atividades exploratório-investigativas.
5.3.1. Winplot
54
.
Segundo Araújo (2006)
55
, o
Winplot
é um excelente programa gráfico de domínio
público inteiramente gratuito. Foi desenvolvido pelo professor Richard Parris ("Rick"), da
Philips Exeter Academy
, por volta de 1985. Escrito em linguagem computacional
C
,
chamava-se
PLOT
e rodava no antigo
DOS
. Com o lançamento do
Windows 3.1
, o
programa foi rebatizado de
"Winplot"
. Embora, não se possa estabelecer comparações entre
softwares de categorias diferentes, é importante ressaltar que o
Winplot
possui muitas
vantagens: fácil de usar, capaz de representar diversos tipos de gráficos além de que é capaz
de representar qualquer tipo de equação e, ainda pode ser armazenado em um disquete.
52
Disponível em: http://www.uol.com/aprendiz/n_colunas/g_piolla/id271001.htm, acesso 21 de setembro de
2005.
53
Acesse <http.//intermega.com.br/matemáticalivre> para verificar relatos que verificam essa afirmação.
54
O
Winplot
pode ser baixado em http://math.exeter.edu/rparris, inclusive na versão em português
55
Gregos e troianos, disponível em: www.gregosetroianos.mat.br/
132
Muitos são os recursos desse programa, por exemplo, são várias as aplicações ao
Cálculo para o estudo da Integral, Limites e Derivadas de funções, além é claro da
representação de gráficos em 2D (Bidimensional) e 3D (Tridimensional), ideal para todos os
níveis educacionais. É necessário ressaltar que a versão do
Winplot
está em português, sendo
que este trabalho de tradução resultou da iniciativa e empenho de Professor Adelmo Ribeiro
de Jesus
56
e com a participação nas versões mais recentes do Professor Carlos César de
Araújo
57
.
Diferentemente de outros softwares gratuitos, o
Winplot
se encontra em permanente
evolução, sendo que a última versão foi apresentada em português, pelo professor Adelmo,
neste último mês de Setembro de 2006, e os seus usuários podem contar com a assistência
direta do seu criador,
Richard Parris
. Alguns pontos positivos na utilização desse software
são destacados por Araújo (2006), são eles:
•
Contribui para o desenvolvimento da capacidade de observação e do senso crítico;
•
Possibilita a associação de idéias e contribui para evitar simples memorizações;
•
Desperta o interesse do usuário, permitindo melhor aprendizagem, favorecendo a
construção do conhecimento;
•
Permite promover “animação” de gráficos a partir de parâmetros adotados, traça
simultaneamente, gráfico de uma família de equações de curvas, considerando
determinados parâmetros; Mas, algumas limitações são perceptíveis como não possuir a
função “desfazer” para casos em que gráficos são apagados por engano.
58
Com todas essas vantagens, o
Winplot
pode ser utilizado no ensino de todos os tipos
de funções e facilmente operado por alunos do ensino fundamental e médio. Aplicações nas
mais diversas áreas da Matemática são possíveis, com uma surpreendente interatividade,
como pudemos perceber em nossa pesquisa, na aplicação das atividades exploratório-
investigativas, sendo que, os estudantes, frente ao
Winplot,
foram capazes de modificar
coeficientes, deslocar funções utilizando cada comando sem grandes dificuldades.
As atividades apresentadas aos estudantes, para resolução dos problemas envolvendo
a proposta do aporte teórico das representações matemáticas em uma perspectiva semiótica,
só foram possíveis com o auxílio do computador, em nosso caso, por meio do
Winplot
.
Nesse sentido, foi sugerido aos estudantes que explorassem simultaneamente o
comportamento de várias funções na sua forma algébrica, gráfica, partindo de um modelo
56
Contato no endereço: adelmo@ufba.br
57
Contato no endereço: cca@gregosetroianos.mat.br
58
www.diadematematica.com/ professores/Novas_tecnologias.htm
133
geométrico. Deste modo (representações mediadas pelo Winplot), tornou-se viável a
realização de um grande número de experiências, através das animações dos gráficos, bem
como uma retroação em diversos tipos de representações, o que de certo modo possibilitou
um produtivo diálogo entre os sujeitos pesquisados e a pesquisadora.
5.4. Análise dos Dados da Pesquisa
A análise envolve o trabalho com os dados, a sua organização, divisão em
unidades manipuláveis, síntese, decisão sobre o que vai ser transmitido aos
outros. (BOGDAN e BIKLEN, 1994, p.205).
Segundo Bogdan e Biklen (1994), a análise de dados “é um processo de busca e de
organização sistemático de transcrição de entrevistas, de notas de campo e de outros materiais
que possam ser agregados a esse processo” (p.205). Devemos enfatizar que na concepção
particular da pesquisadora, essa fase da pesquisa é intimidante, levando-se em conta à própria
inexperiência diante de tal empreendimento, mas ao mesmo tempo instigante, pois acima do
“temor” existe o desejo de compreensão e aprofundamento acerca das informações
encontradas durante a coleta dos dados.
Neste capítulo teremos a difícil tarefa de interpretar e tornar compreensível o objeto de
investigação da pesquisa – as representações matemáticas. Para tanto, achamos necessário
considerar os seguintes procedimentos metodológicos, que destacaremos por sub-panoramas,
os quais se constituem em: entrevistas com os professores e estudantes (colaboradores e
sujeitos da pesquisa), as atividades aplicadas, além das observações realizadas em sala de
aula.
Gostaríamos de enfatizar que analisar os dados coletados da pesquisa significa
“enxergarmos” o objeto investigado – representações matemáticas - sob múltiplas
perspectivas, as quais estão implicitamente representadas pelo panorama da Figura 8. Tais
dimensões, implícitas no panorama, vão nos fornecer elemento importante para
compreendermos como o objeto pesquisado se revelou e se desenvolveu no decorrer da
pesquisa. Assim,
os sub-panoramas ou dimensões
constituem-se em:
entrevistas com os
professores
e estudantes,
as atividades exploratório-investigativas aplicadas e
desenvolvidas
, além das
observações da pesquisadora, realizadas em sala de aula
.
Acreditamos, portanto, que no desenvolvimento deste trabalho investigativo um dos
aspectos relevantes relaciona-se ao envolvimento da pesquisadora com os estudantes, sujeitos
da pesquisa. Esse envolvimento só foi possível devido ao período de observação da
134
pesquisadora, em sala de aula de CDI e, principalmente, por meio das aplicações e
desenvolvimento das Atividades Exploratório-Investigativas, no Laboratório de Informática.
Esse clima de amizade e confiabilidade foi essencial para procedermos a Análise dos Dados
coletados.
A idéia de inter-relacionarmos esses quatro sub-panoramas (Figura 8), os quais estão
intimamente vinculados às dimensões: representações matemáticas, softwares educativos,
conhecimento do futuro professor de Matemática, ensino do CDI I, consiste em extrairmos
dos seus aspectos gerais, dimensões que nos possibilitem realizarmos uma análise sobre os
pontos de vista dos estudantes e professores de Matemática. Nesse processo, pretendemos
associar os aspectos mais relevantes da análise, buscando assim delinear possíveis respostas à
questão investigativa:
Quais são as contribuições das representações matemáticas,
mediadas por softwares educativos, para o conhecimento do futuro professor de
Matemática no ensino do Cálculo Diferencial e Integral I
135
Figura 8: Os Procedimentos Metodológicos
5.4.1. Compreendendo e Analisando as Representações Matemáticas como
um Signo: O Objeto de Investigação
Por que compreendermos as representações Matemáticas sob uma Perspectiva
Semiótica? Delineando possíveis respostas a esta questão apresentamos fragmentos do nosso
aporte teórico sobre
Semiótica
que nos ajudarão a compreendermos como as representações
matemáticas se constituem como representações (signos) em relação a elas próprias, em
relação aos objetos (conceitos matemáticos) e em relação ao interpretante (os estudantes, os
professores e a pesquisadora). Nesse sentido, Santaella (2002), postula: “Em uma análise
semiótica o contexto é revelador, é preciso auscultar os signos para entender o que eles têm a
dizer” (p.30).
Entrevista
com os
Professores
Aplicação
das
Atividades
Entrevista
com os
Estudantes
Observação
Aulas de
Cálculo
Representações
Matemáticas
em uma
perspectiva
semiótica
Conhecimento
do Futuro
136
Fazendo menção a discussão elaborada no Capítulo 2, entendemos que o
signo
é uma
representação de uma determinada coisa e que a mente humana só tem acesso ao mundo
externo por meio das representações ou signos, acrescendo que os fenômenos que circundam
o nosso mundo podem ser estudados a partir da Semiótica. Essa idéia advém da visão de
Peirce (1839-1914)
59
, filósofo, matemático - um gênio polivalente, que assumiu como
princípio que tudo é signo, portanto, tudo pode ser analisado segundo os preceitos da
Semiótica.
Sob esse aspecto, Buczynska-Garewicks (1978, apud Santaella, 2002) assinala que, “a
teoria dos signos é capaz de explicar e interpretar todo o domínio da cognição humana [...]
Além de ser uma
teoria do conhecimento
, a
Semiótica
também fornece as categorias para a
análise da
cognição
já realizada. Com isso, ela também é uma
metodologia
” (p. XIII).
Fortalecendo esta concepção Santaella (2002) acrescenta que, a Semiótica, constitui-se em
uma vastíssima fundação para qualquer tipo de investigação ou pesquisa de qualquer espécie
envolvendo a
representação
e os três aspectos que ela engloba; a
significação
, a
objetivação
e a
interpretação
.
Sabemos que a Semiótica pode ser compreendida a partir de três perspectivas inter-
relacionadas: Gramática Especulativa, a qual estuda os tipos de signos; a Lógica Crítica, a
qual estuda os diferentes raciocínios: Indução, Dedução e Abdução e a Metodêutica, a qual
estuda os métodos indutivos, dedutivos e métodos abdutivos. No presente trabalho de
pesquisa, em termos de proceder a análise, vamos nos restringir à Gramática Especulativa
(como já enunciado no Capítulo 2), a qual possibilitará elementos teóricos da
Semiótica
, por
meio da
tricotomia do signo
–
Primeiridade
,
Secundidade
e
Terceiridade
. Essa acepção
nos remete ao signo e sua natureza triádica, sob a qual “há três pontos de vista: a) das
qualidades, b) dos objetos e c) da mente” (PEIRCE, apud SANTAELLA, 2002, p.143).
Assim, o signo pode ser analisado na relação do representamen - signo consigo mesmo, ou
seja, no seu poder de significar. Na relação do signo (representamen) com seu objeto, ou seja,
naquilo que o signo se refere ou representa e na relação do signo (representamen) com o
interpretante, ou seja, nos tipos de interpretação que está apto a produzir e despertar no seu
usuário, estabelecendo assim
o triângulo do modelo triádico
.
59
Segundo Santaella (2002), Peirce dedicou-se às mais diversas áreas da ciência: Matemática, Física,
Astronomia, Química, Lingüística, Psicologia, História, Lógica e Filosofia. Foram tantas as áreas devido ao fato
de que seu talento o destinava para a lógica, mais propriamente a lógica da ciência. (p.1)
137
Nesse ponto
60
, é importante ressaltar que a Semiótica tem como base a
Fenomenologia, fato que possibilita a noção de signo ser tão geral, ou seja, um signo pode ser
uma ação, uma emoção ou uma reação. Segundo Santaella (2002), “um signo é aquilo que dá
corpo ao pensamento” (p.10), são externalizações traduzidas de imagens internas, sendo que
“as classes de signos revelam que espécie um signo deve ser capaz de representar a espécie de
objeto que ele representa” (PEIRCE, apud SANTAELLA, 2002, p. 11). Portanto, são
propriedades que dão fundamento ao signo e estão inseridas umas nas outras e, na maior parte
das vezes atuam simultaneamente. Cuja predominância de uma sobre as outras pode ser
observada perante a análise do fenômeno Nessa perspectiva, faz-se necessário explicitarmos
os aspectos fundamentais para podermos compreender e analisar o nosso objeto de
investigação –
representações matemáticas
. Assim, Santaella (2002) nos sugere três tipos de
olhares, os quais se caracterizam em:
contemplativo
,
observacional
e
geral
.
O
contemplativo
caracteriza-se em um estado no qual desenvolvemos a capacidade
de desvendar os nossos sentidos em busca de perceber as qualidades dos fenômenos, sem,
contudo, interpretá-los. A “capacidade contemplativa corresponde à rara capacidade que tem
o artista de ver as cores aparentes da natureza como elas realmente são sem substituí-las por
nenhuma interpretação”. (PEIRCE apud SANTAELLA 2002, p. 30).
O
observacional
relaciona-se ao estado de entrar em ação com nossa habilidade
perceptiva. “[...] trata-se de estar atento para a dimensão sin-signo do fenômeno, para o modo
como sua singularidade se delineia no seu aqui e agora”.(SANTAELLA 2002, p.31). Nesse
sentido, torna-se imprescindível estar atento às particularidades do fenômeno, delinear suas
características, distinguindo partes do todo que o identificam, ou seja, “é necessário
desenvolver considerações situacionais sobre o universo no qual o signo se manifesta e de
qual é parte”. (FERREIRA, 1997, apud SANTAELLA, 2002, p. 31).
O
geral
relaciona-se ao terceiro olhar, o qual possibilita nos dirigirmos aos
fenômenos, desenvolvendo efetivamente uma capacidade de generalização.
Considerando, portanto,
a relação do signo com o objeto imediato
, a
primeira
forma de olhar
é a que analisa o aspecto qualitativo do signo. “Sob esse olhar o objeto
imediato coincide com a qualidade de aparência do signo”. (SANTAELLA, 2002, p.34). O
segundo olhar
“é o que corresponde a existência do signo “como parte do universo a que o
signo existencialmente pertence”. (SANTAELLA, 2002, p.34). O
terceiro olhar
constitui-se
na propriedade da lei, sua generalidade, na compreensão do
objeto dinâmico
. Assim, analisar
60
Como já enunciado no Capítulo 2
138
e compreender o
objeto imediato
implica diretamente na análise e na compreensão do
objeto
dinâmico,
fato que torna difícil pensar nessas duas perspectivas do objeto de forma
independente.
Quando interpretamos signos - aliás, algo que estamos fazendo
continuamente, sem descanso -, nossas interpretações são intuitivas e
não nos damos conta da complexidade das relações que estão
implicadas nesse ato. [...] É por isso que a análise dos interpretantes
deve estar alicerçada na leitura cuidadosa tanto dos aspectos
envolvidos no fundamento do signo como nos aspectos envolvidos nas
relações do signo com o objeto. (SANTAELLA, 2002, p.37)
5.5. Análise das Atividades Exploratório-Investigativas
Para a
análise das atividades
, tomaremos como base as categorias fenomenológicas
do pensamento idealizadas por Peirce e sua relação com os signos. Nesse contexto, a análise
semiótica das atividades terá como função perceber a relevância de inter-relacionar e
coordenar as representações geométricas, gráficas e algébricas por meio dos softwares
Winplot
,
Maple
e
PLANILHA
, na resolução das atividades apresentadas. Para tanto,
faremos uma análise entre o
ponto de vista qualitativo
,
singular
e
o
convencional.
Segundo
Santaella (2002), estes três pontos de vistas são fundamentais e complementares de maneira
que; o aspecto
qualitativo
em nosso caso, o objeto de estudo (as representações matemáticas),
será analisado em referência a sua imagem e forma, “esses aspectos são responsáveis pela
primeira impressão que um objeto provoca no receptor [...] são responsáveis ainda pelas
associações de idéias que a primeira impressão desperta” (SANTAELLA, 2002, p.70).
Sob o ponto de vista
singular,
as representações matemáticas serão analisadas como
algo que existe em um espaço e universo determinados. Os traços da identidade do objeto
matemático, suas particularidades, características e qualidades próprias que fazem parte da
composição deste objeto. As referências ou indicativos passam a ser vistas em função de seu
uso, emprego e aplicações. Sob o ponto de vista
convencional
,
as representações matemáticas
serão analisadas em sua multiplicidade na busca de compreender os tipos de convenções,
generalizações e, em que medida o uso simultâneo de várias representações contribui na
constituição do conhecimento do futuro professor de Matemática.
Além de discutirmos os três pontos de vistas acima mencionados, estaremos
analisando o poder interpretativo das representações matemáticas e sua importância no
processo de compreensão dos conceitos estudados para o estudante/futuro professor.
139
Entendemos, portanto que a análise semiótica, nos permite adentrarmos nas
particularidades das representações matemáticas, o que nos dá possibilidade de compreender
os aspectos implícitos às formas gráficas, geométricas, formas escritas ou algébricas e nas
relações entre esses. Deste modo, cada representação matemática constitui-se efetivamente
em um signo, pois pode ser analisada em si mesma, em suas propriedades internas, ou seja,
em seus aspectos qualitativos, singulares e gerais. Pode também ser analisada em sua
referenciabilidade, ou aplicações a um contexto matemático. Por fim pode ser analisada nos
tipos de efeitos interpretativos que cada uma das representações matemáticas pode produzir
em termos de aprendizagem para o estudante – futuro professor de Matemática.
Tendo esse panorama em vista, passemos agora efetivamente
a análise das
Atividades
, sempre entrelaçando as possíveis inter-relações das dimensões implícitas aos
sub-panoramas (Figura 8), além de buscarmos na literatura pesquisada aportes teóricos que
possam validar tais inter-relações. Assim, vamos considerar nesta análise
excertos da
descrição das Atividades Exploratório-Investigativas
e dos demais sub-panoramas sempre
que possível, acrescentando qualitativamente os diálogos estabelecidos pela pesquisadora, os
professores e os estudantes.
5.5.1. Atividade 1
A Atividade 1
-
“Um ponto de Continuidade”
, propunha como
objetivo específico
perceber a compreensão do aluno em relação ao estudo de continuidade de uma função
definida por partes em determinado ponto, para diferentes valores de k. Sendo a função f(x) =
>
≤+
1 xse 3-2x
1 xse 1kx
2
.
De início houve uma maior preocupação na utilização do software, mas, durante a
aplicação e desenvolvimento da atividade esse impasse foi se diluindo ao longo do tempo.
Durante o processo de investigação, foi solicitado aos estudantes desenharem por meio
do
Winplot
o gráfico da função, usando os comandos apropriados, incluindo o de
animação
,
objetivando propiciar um contexto, no qual poderiam iniciar um processo de compreensão em
relação aos conceitos matemáticos implícitos no problema.
140
Foi, então, proposto aos estudantes que olhassem a função:
f(x) =
>
≤+
1 xse 3-2x
1 xse 1kx
2
, sendo k um valor real e que fizessem inferências sobre a
Continuidade da mesma. Perante questionamentos apresentados pela pesquisadora, a maioria
dos estudantes se posicionou dizendo que a função estudada era contínua, como podemos
verificar reproduzindo suas argumentações:
Robin -
Ah! ...eu acho que ela é contínua.
MA
61
-
por quê?
Robin-
Ah!... porque não vai ter salto nenhum, hum.. porque já está restringindo né?
O domínio dela.
MA -
N
o intervalo dado na função? É isso?
Robin
-
isso
MA -
E você Clotilde, o que você acha?
Clotilde -
Eu acho que vai ser contínua a função, porque não tem salto e também a
gente fez as contas pra ver se tinha algum problema na função, mas a gente não achou
problema nenhum.
Nesse momento o grupo todo começou a questionar o valor de k, apresentado na
função. Assim, um dos estudantes comentou:
Robin - A
gente pensou, a gente pensou no k se ele for ou caso... Ele vai fazer isso
daqui né?
(o Robin movimenta os braços indicando o movimento da função)
. Se o
k for variando vai fazendo isso aqui com o gráfico
(indica com os braços a
inclinação da parábola, no caso positivo)
e se for negativo vai fazendo isso
(novamente com os braços indica a inclinação da parábola, nesse caso negativo)
,
mas não vai chegar passar pra cá porque é sempre pra lá.
Nessa fala, o estudante faz referência
ao domínio da função
para o qual o valor x está
limitado. Para uma melhor compreensão reproduzimos abaixo o gráfico representando a fala
do aluno.
61
Ma - codinome da pesquisadora.
141
Figura 9:Variação da Função para k < 0 Figura 10: Variação da Função para k > 0
No momento em que começaram explorar o gráfico da função (Figuras 9 e 10)
variando o valor do parâmetro k, os estudantes (embora estivesse explícita a quebra no
gráfico) passaram a conjecturar entre si, demonstrando que já não se sentiam seguros ao
afirmarem se a função era uma função contínua. Vale ressaltar que a maioria dos estudantes
antes de visualizarem o gráfico, afirmaram que a função era contínua. Nesse momento a
pesquisadora, resolveu investigar um pouco mais perguntando se eles lembravam das
condições de Continuidade de uma Função. Os estudantes relembrando as aulas de Cálculo
começaram a apresentar uma definição tal como: “a função deveria ser definida no ponto,
deveria existir o limite para a direita e para a esquerda da função no ponto dado e esses limites
deveriam ser iguais e, ainda, o valor do limite no ponto deveria ser igual ao valor da função
no ponto”.
Percebendo, a relevância desse momento a pesquisadora solicitou aos estudantes que
voltassem a olhar o gráfico no Winplot para identificar para qual valor de k a função tornava-
se contínua. Entretanto, para a maioria a dúvida persistia. Foi então que a pesquisadora
sugeriu que passassem a fazer uso do comando de animação do Winplot o que permitiu
variar o valor do parâmetro k, possibilitando aos estudantes perceberem que apenas para k
igual a -2, a função f se tornava contínua (Figuras 11 e 12).
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
5.0
−7.0
−6.0
−5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
x
y
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
5.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
x
y
Para k > 0
Para k < 0
142
Figura 11: Variação (a) da Função para k ≠- 2 Figura 12: Variação (a) da Função para k =- 2
Ainda nesse processo de visualização, foi questionado aos estudantes se eles já
poderiam determinar o limite da função, sendo k = -2, quando x tendia a 1 “pela esquerda”.
Para esta pergunta, a maioria informou, com certa facilidade, que o Limite era igual a -1, por
conseguinte, puderam perceber que quando x se aproximava de 1 “pela direita”, o Limite
também existia e era igual a -1, Tendo em vista esses resultados para os limites laterais foi
possível concluir baseados em propriedades estudadas sobre existência do limite de uma
função em um dado ponto, que o limite da função existia correspondendo a -1.
Dando prosseguimento à investigação e considerando a exploração da representação
gráfica da função f no Winplot, a pesquisadora propôs aos estudantes que discutissem uma
outra forma representativa que justificassem os resultados visualizados no Winplot. Vejamos
abaixo argumentações apresentadas por alguns dos estudantes:
Robin e Clotilde - f só será contínua se só se os limites laterais forem iguais.
(realizados os cálculos, concluem):
1k1kxlim
2
1x
+
++
+=
==
=+
++
+
→
→→
→
e
13x2lim
1x
−
−−
−=
==
=−
−−
−
→
→→
→
, temos
que k + 1 = -1
⇒
k = -2. Substituindo k por -2 em f obtemos
>
>>
>
≤
≤≤
≤+
++
+
1x se 3-2x
1x se 12x-
2
,
neste caso a função será contínua, mas para
∈
∀
k
|R/k
≠
-2, f(x) não será contínua.
Assim, para k = -1, por exemplo,
0 1x-lim
2
1x
=
==
=+
++
+
−
−−
−
→
→→
→
e
1
lim 2 - 3 -1
x
+
→
=
, logo como os
limites bilaterais são diferentes. Assim, não existe o que implica na descontinuidade
da função f.
Clara e Alexandre - Para que a função seja contínua é necessário que os limites
laterais sejam iguais. Assim f(x) =
>
>>
>
≤
≤≤
≤+
++
+
1x se 3-2x
1x se 1kx
2
;
1k1kxlim
2
1x
+
++
+=
==
=+
++
+
→
→→
→
e
13x2lim
1x
−
−−
−=
==
=−
−−
−
→
→→
→
⇒
k = -2. Portanto, a função é contínua apenas quando k = -2 e sua
descontinuidade ocorre para D(f) = R – {-2}.
Paulo - Para k = -1 não existe o limite, pois o limite existe quando seus limites laterais
são iguais. Logo para k= -1, o limite à direita é -1 e pela esquerda é 0, quando x tende
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
x
y
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
x
y
Para k =
-
2
Para k
≠
-
2
143
a 1. Para k=-2, existe o limite, pois o limite à direita é -1 e pela esquerda é -1, quando
x tende a 1.
Ao finalizar a atividade foi proposto aos estudantes, uma breve discussão sobre o os
conceitos discutidos e quais seriam as percepções deles ao explorar no Winplot a
representação gráfica da função f em concomitância com uma exploração algébrica. Além
disso, foi discutido se essa abordagem havia facilitado a compreensão deles para o
desenvolvimento da atividade.
MA
62
- Eu queria saber se por meio do Winplot, visualizando o gráfico de f e depois
justificando algebricamente as interpretações adquiridas através do que foi visto na
tela do computador, ajudou a clarear um pouco mais o que vocês já tinham visto em
sala de aula;
Alexandre- Ajuda
Robin- ajudou
Robin- É.. a gente quer ver né? aquela imagem né? [...] então quando mostra como é
que fica (ele refere-se a imagem do gráfico) e usando o software e vendo o gráfico
é.. como se comporta, interessante que muitas vezes a gente não sabia nem como é o
gráfico... dessa função. Porque eu olhei assim e não tinha muita idéia de como era o
gráfico dela.
MA - Eu queria saber se vocês conseguiram enxergar o ponto de descontinuidade no
gráfico .
Any - deu pra enxergar direitinho
MA - E a discussão que ocorreu aqui na investigação do problema, ajudou formalizar
um pouco mais os conceitos?
Any - Ficou bem mais fácil
MA - Ótimo! E o Winplot? o que acharam?
Any - É legal, é bem gostoso de trabalhar, não é difícil.
MA - mais um comentário?... fala Augusto! (Aqui eu incentivo ao estudante
Augusto fazer algum comentário)
Augusto - Bom, eu acredito que essa maneira de trabalhar auxilia bastante na
aprendizagem dos alunos. eu vejo assim por mim mesmo que é mais fácil de
compreender os assuntos teóricos vendo é... vendo dessa maneira como foi
apresentado no Winplot.
MA - Ok. Alguém mais gostaria de fazer um outro comentário? (nesse momento eu
insisti bastante)
Henrique - É legal o Winplot, porque ele é bem simples e bem versátil. Acho que
você pode fazer "mil e uma nele" é uma aplicação bem legal do que você vê em sala
de aula. Que é... você tendo uma visão geométrica do que você está fazendo auxilia
pra “caramba” no entendimento né?
No processo de investigação da Atividade 1, pudemos perceber que trabalhando com
as representações matemáticas (gráficas e algébricas) por meio do Winplot, possibilitou aos
estudantes uma maior compreensão na resolução do problema. Alguns estudantes
conseguiram delinear conclusões acertadas, mesmo sem a visualização do gráfico por meio do
software, tendo apenas como referência a função na sua forma algébrica. Os estudantes
62
Em referência à pesquisadora
144
Augusto e Frederico perceberam de imediato que a função era contínua para k = -2, fato que
puderam comprovar com seus comentários e registros realizados via papel e lápis.
Frederico e Henrique: f é contínua dependendo do valor de k (realizado alguns
cálculos, o estudantes comprovam suas conjecturas iniciais);
3x2lim1kxlim
1x
2
1x
−
−−
−=
==
=+
++
+
→
→→
→
→
→→
→
, considerando que
1
kx
2
+
++
+
se x
≤
1 e 2x-3 se x > 1. Logo
[
[[
[
]
]]
]
03x21kxlim
2
1x
=
==
=−
−−
−−
−−
−+
++
+
→
→→
→
2
k
−
−−
−
=
==
=
⇒
⇒⇒
⇒
.
Portanto, a função f é contínua para k = - 2, para os demais valores f é descontínua.
Por exemplo, para k = -1
3x2lim1xlim
1x
2
1x
−
−−
−=
==
=+
++
+−
−−
−
→
→→
→
→
→→
→
⇒
0 = -1, ou seja, para k = -1, a
função é descontínua no ponto (1, f(1)). Enquanto que para k = -2
3x2lim1x2lim
1x
2
1x
−
−−
−=
==
=+
++
+−
−−
−
→
→→
→
→
→→
→
⇒
-1 = -1, ou seja, para k = -2, a função é contínua no
ponto (1, f(1)).
Esses alunos apresentaram algumas convenções pré-estabelecidas demonstrando
conhecimentos interiorizados a respeito dos conceitos matemáticos envolvidos. Outros
estudantes, entretanto, só conseguiram abstrair visualizando o gráfico no Winplot e
calculando os limites laterais da função. Nesse sentido, ressaltamos que, ao observarem a
função na sua forma algébrica,
>
≤+
1 xse 3-2x
1 xse 1kx
2
os estudantes a identificaram como
contínua, mas ao mostrar-lhe o gráfico da função f, puderam perceber que a “quebra” no
gráfico da função indicava descontinuidade no ponto x = 1, exceto para o valor k = -2. Nesse
caso, a função seria contínua no ponto x = 1. Fato que puderam comprovar justificando
algebricamente. Vejamos abaixo alguns comentários dos estudantes à respeito.
Alexandre- É realmente, olhando o domínio eu enxerguei de início que a função era
contínua.
Any - Bom... Eu na primeira vez "boiei legal" não deu pra ver direito, lembrei na hora
que o "fruta" (colega - José) falou que o k igual a -2 (dois negativo) era contínuo,
fiquei “boiando”, porque eu não achei que no k igual a -2 era contínuo, depois que eu
fui ver e agora que eu testei todos os limites aí fui ver que estava errada no que eu
pensei e que tenho que rever alguns... conceitos. Foi bom que eu vou lembrando aos
poucos o que eu já tinha aprendido assim é uma maneira de eu não esquecer também.
Dado o encaminhamento da atividade, foi claramente percebível que a interpretação
errônea feita pelos estudantes em relação à Continuidade de uma função foi aos poucos sendo
esclarecida. Em termos de primeiridade, esses estudantes ao visualizarem o gráfico da função
f e sua animação puderam em um primeiro momento apreender a qualidade que esse gráfico
transmitia aos “seus olhos”. A partir desse primeiro discernimento, a forma algébrica da
145
função f(x) =
>
≤+
1 xse 3-2x
1 xse 1kx
2
, passou a operar como um índice inicial para a investigação
do problema.
De acordo com Nöth (2003), os índices podem distinguir-se de outros signos por três
principais características: primeiro por não ter nenhuma semelhança significativa com o
objeto, segundo, referem-se a seus objetos por unidades singulares e terceiro dirigem-se a os
objetos com uma compulsão cega.
Deste modo, diante da indicação implícita fornecida pela função, alguns estudantes
apresentaram caminhos de resolução acertados, entretanto, as maiorias deles não souberam
interpretar corretamente o que se propunha indicar tal representação matemática, no momento
em que não consideraram a variação do ícone k. Esses estudantes só passaram a perceber o
seu engano, a partir da visualização na tela do computador, por meio do Winplot, mediante
animação do gráfico da função f. Assim, a dinamicidade do software permitiu aos mesmos
visualizarem a referência do k na função, os seus possíveis valores assumidos, os conceitos
figurais e conceituais. Essa perspectiva direcionou os estudantes a refletirem mais claramente
sobre o conceito de Continuidade de uma Função. Finalmente ao justificarem suas
observações algebricamente, puderam então constatar a descontinuidade da função, para k
diferente de – 2.
Situadas as relações matemáticas, os estudantes passaram, então, a apresentar indícios
de raciocínios relacionados à secundidade, e à terceiridade, estabelecendo uma relação
triádica entre o signo - representação algébrica e gráfica com o objeto de estudo - conceito
matemático de Continuidade de uma função, culminando em uma interpretação, na qual, a
partir da interação e das discussões entre a pesquisadora e os sujeitos pesquisados, bem como
entre eles próprios ao inter-relacionarem e coordenarem as representações gráficas e
algébricas tornou-se possível aos estudantes uma compreensão e generalização do conceito de
continuidade. Temos então, nesse momento, na análise semiótica, a Terceiridade.
É interessante também registrar, que alguns alunos, mesmo visualizando a quebra no
gráfico, não conseguiam abstrair a descontinuidade da função. Eles sabiam definir uma
função contínua, mas, não conseguiram associar essa definição à sua representação gráfica,
demonstrando, deste modo, um conhecimento fragmentado. Vejamos um pouco da discussão
sobre essa dificuldade entre a pesquisadora e os estudantes.
MA - Vocês sabem definir o que é uma função contínua, mas não conseguiram
relacionar a quebra do gráfico ao conceito, por que isso aconteceu? O que vocês
acham? (os alunos demoram a responder e eu volto a insistir em busca de uma
resposta) gostariam de falar um pouco?
146
Alexandre - Ah!... a idéia não está muito madura ainda, eu acho. ... Precisa formalizar
um pouco mais.
Robin - Não adianta esticar demais o conteúdo... é isso... é isso... é isso... Você não
consegue fixar a idéia.
Alexandre - Eu acho que vale mais a gente aprender o que significa mesmo, do que
ficar colocando exercício pra gente resolver, resolver, resolver.
Robin - É porque resolver Limite não tem dificuldade pra ninguém porque é só usar
uma fórmula uma regra tipo L' Hopital, vai lá faz. Agora saber pra que vai precisar?
(ele refere-se a uma aplicação). Háa... Na verdade é um negócio simples, mas que
falta mais explicação.
Alexandre - Falta explicação, porque do ângulo que a pessoa quer olhar aquilo, se ela
quer olhar ou quer fazer que a gente olhe só pra resolver Limites, também Háa, depois
vem a derivada é só calcular o Limite e assim vai... ou saber realmente o que ele
significa é... se deve vir para um lado, se deve vir pro outro, por ele (referindo-se ao
limite de uma função) que eu vou ver se é contínua ou não. Eu acho que é isso daí
que precisa chamar mais atenção, com x caminhando, sabe? Naquele ponto, ver o que
acontece com a imagem, tem que saber o que está calculando.
Casos como esses, nos preocupam e nos levam a crer que uma abordagem didático-
pedagógica, na qual possamos utilizar o computador como um meio de inter-relacionarmos
várias representações poderá significamente contribuir na constituição do conhecimento
matemático de futuros professores. Nas entrevistas realizadas podemos perceber que tanto
professores como estudantes acreditam nessa hipótese.
Patrícia - Olha! Eu nunca usei nenhum software em sala de aula não. Mas, eu acho
que as escolas deveriam dar aula de Matemática usando o computador. Pois todo
mundo que aprendeu geometria usando o computador tem hoje a maior facilidade na
disciplina. E mesmo usando agora esse programa com você, às vezes quando a
professora fala: quando o x está se aproximando, o limite está indo. Nossa! eu não
estou enxergando pra onde esse limite está indo. Daí, usando o programa, como
naquele dia que você mostrou, deu pra entender direitinho.
Márcio - Eu acho super válido, porque, podemos aprender com mais facilidade e
também pra ensinar os outros, no caso de querer seguir a carreira de professor.
Professor W - No Cálculo, por exemplo, o uso do computador tem uma motivação
muito grande, porque o cálculo envolve movimento. Representar, representações
geométricas, desenhos. Essas representações, o aluno da Matemática vê muito pouco
em Cálculo. Normalmente é visto mais em cursos de geometria diferencial, de
superfícies. O aluno de Matemática sabe calcular. O professor define um determinado
conceito, ele sabe calcular, mas quando você faz desenhos na lousa, eles se perdem,
não entendem os desenhos, eles não visualizam, ele não sabe o que está na frente.[...]
então, se o aluno vai estudar a derivada por retas secantes, é possível fazer uma
animação por retas secantes. É um recurso que o aluno visualiza. [...] deste modo,
quando você usa o computador, a figura passa então, a ganhar sentido, porque o aluno
vê precisamente o que está acontecendo.
Outro ponto a destacar nessa atividade consistiu no fato de que, durante o processo de
exploração e investigação do problema, o software apresentou algumas limitações, como a
que foi discutida entre a pesquisadora e o estudante Paulo.
MA - Ok. Uma última pergunta, eu... (nesse instante um estudante interrompe a
minha fala) sim? Fala Paulo, pode falar.
147
Paulo - Eu acho que fora isso a gente tem que tomar cuidado também na limitação do
programa né? Por exemplo, nessa animação quando ele vai descendo (fazendo
referência ao gráfico) olha como o ponto sai fora do gráfico.
MA- É, mais observa que o ponto sai fora do gráfico porque não colocamos... é...
vamos dizer assim, não adequamos a tela de modo a visualizar o gráfico por inteiro.
Por exemplo, se você for lá em Ver (comandos do Winplot) e você aumentar é... o
limitante inferior você vai conseguir enxergar o gráfico.
Paulo - Não!... eu falo ... o ponto sai da ponta do gráfico, olha lá oh! (Figura.13)
Figura 13: Limitação do Winplot no Traçado do Gráfico da Função f(x)
MA- Aaa... ok! é... alguém poderia falar sobre isso? Porque que o ponto do sai do
gráfico? Ele está falando que a função é descontínua no ponto? É isso que você está
falando? (Nesse momento eu não havia entendido ainda o que Paulo explicava,
pensei que ele falava da continuidade do gráfico, mas logo após o Augusto
esclareceu o ponto de vista do colega).
Augusto- Ele está falando que na hora que está subindo aqui oh! (O Augusto aponta
para o telão onde está projetado o gráfico da função) o ponto tá saindo da
extremidade do gráfico.
MA - Há entendi... entendi. Realmente precisamos ter cuidado com as limitações do
software nós temos que atentar para isso, ou seja, ter cuidado de sempre ter em mente
a teoria para que possamos entender que isso não acontece ok?
Analisando a discussão entre a pesquisadora e o estudante Paulo, acima apresentada,
podemos dizer que na literatura destacamos a idéia das muitas vantagens e desvantagens do
uso de softwares matemáticos tais como: auxiliar a compreensão, explorar novos ângulos e
perspectivas na investigação e na resolução de problemas, explorar as percepções visuais,
permitindo ao estudante um ganho de experiência, a qual lhe permitirá formar imagens
mentais que poderão ajudá-lo em seu processo de raciocínio. Por outro lado, existem os
problemas advindos das limitações próprias dos softwares, relacionadas à características
computacionais dos mesmos, os quais podem direcionar os estudantes à interpretações do
objeto imediato (a figura do gráfico) questionável quanto a sua confiabilidade em relação ao
objeto dinâmico (conceito de continuidade da função). Por exemplo, algumas limitações da
tela no uso Winplot provocou no estudante Paulo questionamentos em relação a posição do
ponto pertencente ao gráfico da função (Figura 13), fato que poderia possibilitar ao estudante
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
5.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
x
y
148
um entendimento errôneo. O professor, portanto deve estar atento em auxiliar quando
necessário os seus alunos para que esses possam apreender a interpretar corretamente as
figuras e os desenhos, projetados na tela do computador.
5.5.2. Atividade 2
A Atividade 2, propunha uma investigação envolvendo a interpretação geométrica da
inclinação de uma reta tangente a uma curva, buscando compreender o conceito da Derivada
de uma função em um dado ponto.
Para o desenvolvimento dessa atividade foi solicitado aos estudantes de Cálculo I, que
realizassem uma simulação no software Winplot, partindo da representação geométrica de
uma reta secante ao gráfico da função f(x) = x
2
, dado um ponto (x,y) do seu gráfico.
A fim de estimular um debate, a pesquisadora perguntou aos estudantes o que eles
entediam a respeito de derivada de uma função, se poderiam dar uma definição e comentar
sobre possíveis aplicações envolvendo o conceito de Derivada. Inicialmente houve um
pequeno silêncio, mas logo surgiram algumas respostas:
•
Definindo Derivada
Robin e Clotilde - Derivada é o coeficiente angular da reta que é tangente ao gráfico
num ponto.
Frederico - a derivada é o coeficiente angular da reta tangente
•
Comentando sobre as aplicações da derivada
Clotilde - A gente usa derivada pra fazer o máximo e o mínimo da função, pra montar
o gráfico...
Robin - máximo e mínimo, ponto de inflexão... você vê, se a função é crescente ou
decrescente
Clotilde - Pra achar o erro da... (Robin, completa a frase da Clotilde)
Robin - [...] tipo a gente fazia... variava dez centímetros de um cilindro , no raio do
cilindro, daí a gente tinha que ver qual era o erro. Você calculava, se tivesse à mão
(sem as ferramentas da derivada, por estimativas) e, se você fizesse com a derivada
achava outro valor, aí tinha um erro pequeno.
Serapião - serve pra qualquer problema envolvendo taxa de variação
Henrique - pra achar o máximo e o mínimo da função
Frederico - construção de gráficos.
•
Dificuldades enfrentadas pelos estudantes no estudo da derivada
Robin - Há... a parte de derivada trigonométrica, derivada de arco seno, arco co-seno,
arco tangente, arco... Derivada em geral, tipo polinômio já é mais fácil e algumas a
gente acaba lembrando como a derivada de log, por exemplo.
MA - então são derivadas de funções não elementares?
Robin - isso
MA - mas, porque? Vocês acham que essa dificuldade surge, porque vocês não
estudaram essas funções lá no Ensino Médio?
149
Robin - isso
MA - Vocês não viram funções logarítmicas ou trigonométricas?
Robin - vimos, tem logaritmo[...]
Alexandre - [...] mas só que não tem gráfico
Clotilde - eles não exploram gráfico no Ensino Médio, aí quando vem pra
universidade, sente muita dificuldade, porque... há... eu queria usar o gráfico, olhar
com o gráfico, mostrar o gráfico das funções, pois, sem esse recurso, aí fica bem
difícil pra mim.
Passado esse primeiro instante foi solicitado aos estudantes que desenhassem por meio
do Winplot o gráfico da função f(x) =x
2
, bem como o ponto (1,1). E assim foi feito, como
ilustrado abaixo (Figura 14):
Figura 14: Ponto sobre a Curva
Considerando a Figura 14, alguns questionamentos e discussões foram realizados.
Nesse sentido, foi perguntado aos estudantes como eles poderiam representar algebricamente
um ponto genérico pertencente a função f (x) = x
2
, de maneira que esse ponto estivesse
localizado acima do ponto x = 1, sobre o gráfico de f (x)? Inicialmente, os estudantes sentiram
certa dificuldade em abstrair essa idéia, o que foi necessário uma intervenção por parte da
pesquisadora, sugerindo que o ponto poderia ser, por exemplo, x igual a (1 +h), considerando
h um valor variável.
A partir desse dado, foi possível aos estudantes uma maior compreensão tornando
possível determinarem o ponto de coordenada y =(1+h)
2
iniciando a construção da reta
secante ao gráfico passando pelos pontos (1+h, (1+h)
2
) e (1,1).
Nesse processo de construção, houve algumas discussões iniciais sobre como
determinar a equação da reta secante. Nesse sentido alguns estudantes se posicionaram: a
estudante Ana Paula propôs que a equação da reta poderia ser escrita da seguinte forma: y
2
-
y
1
= m(x
2
- x
1
), diante essa resposta, a pesquisadora questionou aos demais grupos se
concordavam com essa definição. Todos responderam que sim. Porém, os estudantes
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
5.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
x
y
150
apresentaram uma certa dificuldade, ao serem questionados, sobre como calcular o coeficiente
angular da reta secante. Após sugestões e questionamentos, algumas respostas foram
apresentadas:
Figura 15:Cálculo Algébrico do Coeficiente Angular - Robin e Clotilde
Figura 16: Cálculo Algébrico da Equação da Reta Secante – Robin e Clotilde
Coeficiente Angular
Equação da Reta Secante
151
Figura 17: Cálculo Algébrico do coeficiente Angular e da Equação da reta secante – Any e Suka
A partir dessa discussão e das respostas dos estudantes, o gráfico da equação da reta
secante, gerou a seguinte figura por meio do Winplot (Figura 18)
Figura 18: A Reta Secante
Buscando, então, explorar um pouco mais essa idéia, a pesquisadora solicitou aos
estudantes animarem o gráfico, movimentando a reta sobre a curva e, a seguir que
comentassem suas observações (Figura 19)
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
5.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
x
y
Coeficiente Angular
Equação da Reta Secante
152
Figura 19: A Reta Tangente
Como resposta, os estudantes, em sua maioria enunciou que, ao movimentar a reta
sobre a curva f (x) = x
2
, no momento que a reta passava de secante a tangente, o valor h
tendia a zero. Vejamos abaixo alguns comentários redigidos pelos estudantes:
Figura 20: Descrição do Comentário - Letícia e Marcela
Letícia e Marcela escrevem;
Achada a equação da reta secante conforme aproximávamos o ponto “h +1” de
“1”percebemos que a distância entre eles diminuía tornando a reta tangente. Então,
fazendo o limite dessa distância tendendo a zero teríamos a equação da reta tangente.
Y = hx - h + 2x - 1
eq. da reta secante.
1-2x1)-2xh-hx(lim
0h
=
==
=
+
++
+
→
→→
→
(equação da
reta tangente). Pudemos perceber melhor usando o Winplot a definição de derivada,
pois estávamos vendo o que acontecia quando movíamos os pontos [...]
63
63
Transcrição parcial do comentário escrito das estudantes Letícia e Marcela
−3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0
1.0
2.0
3.0
x
y
153
Figura 21: Descrição do Comentário - Augusto e Márcio
Augusto e Márcio escrevem:
Dado o gráfico da função y = x
2
, consideremos o conjunto de retas que
contém o ponto P = (1,1) e P’ = (1+h, (1+h)
2
), uma equação desse conjunto
será da forma y = (2+h)x - (1+h), observamos que para “h” muito próximo de
zero a reta se aproxima da tangente ao Gr (Gráfico) x
2
no ponto P (1,1).
Podemos concluir que, para h = 0, y = (2 + 0)x - (1+0) = 2x - 1 é a equação
da reta tangente ao gráfico de x
2
em P = (1,1)
64
.
Na aplicação e desenvolvimento da Atividade 2 a interação entre a pesquisadora e os
estudantes foi de fundamental importância, devido a notória dificuldade apresentada pela
maioria deles, durante a investigação e exploração do problema. Tal dificuldade mostrou-se
bastante acentuada no processo de abstração, a partir dos dados inicialmente apresentados, na
busca de compreender a idéia geométrica da Derivada de uma função em um dado ponto.
Podemos inferir que muitas vezes a dificuldade encontrava-se em lembrar-se de
determinadas operações básicas na efetuação de alguns cálculos, como por exemplo, muitos
dos estudantes havia se esquecido da fórmula utilizada para calcular a equação de uma reta,
principalmente o cálculo do coeficiente angular, ficando assim muito limitados a fórmulas.
Nessa perspectiva, Ball
65
(1988, apud Veloso, 2004), nos alerta sobre essa questão, quando
em sua análise destaca o fato do futuro professor muitas vezes apresentar um conhecimento
fragmentado, pois ao revisitar os conteúdos matemáticos, procurando recordar conceitos,
procedimentos ou simples termos, geralmente, se vê lembrando regras, truques, e geralmente
não explícitos, o que para a investigadora é compreensível diante o fato que, esses estudantes
tiveram como destaque a mecanização de técnicas de cálculo.
64
Transcrição parcial do comentário escrito dos estudantes Augusto e Márcio
65
http://www-personal.umich.edu/~dball/
154
Em nossa análise pudemos comprovar alguns desses aspectos e percebemos que os
alunos ao inter-relacionarem as representações gráficas e algébricas, principalmente a partir
da visualização e animação do gráfico da função apresentada no problema proposto
apresentaram dificuldades, mas, com a interlocução da pesquisadora e refletindo sobre os
diversos gráficos representados foram aos poucos conseguindo desenvolver um processo de
abstração. O que nos leva a crer que, nesse processo de compreensão da atividade proposta,
em um dado momento, os estudantes, primeiramente apreenderam a qualidade representada
na figura do gráfico – Primeiridade. Em um outro momento, os alunos perceberam como
essas qualidades se manifestavam nas representações, por meio de suas características
singulares, favorecendo à eles indicações de novos elementos no processo de investigação -
Secundidade. Assim, a partir da interação estudante/pesquisadora; estudante/software e
estudante/estudante e considerando o cálculo da equação algébrica da reta secante e tangente,
explorando os conceitos de Limites e Derivada de uma função em um determinado ponto,
os estudantes apresentaram conjecturas à respeito do que estava sendo investigado e
experenciado, por meio do Winplot, a passagem da reta secante para a reta tangente em um
determinado ponto da curva. Nesse momento passaram a generalizar esse conceito,
percebendo que quando a reta secante passava a ser a reta tangente eles teriam a Derivada da
função no ponto de tangência - Terceridade.
Comentários de alguns estudantes, retirados das entrevistas após a aplicação e
desenvolvimento da Atividade 2, apontam que esses estudantes concordam com a
importância da visualização e coordenação entre às representações matemáticas,
possibilitando aos mesmos, compreenderam os conceitos matemáticos.
Letícia - Há! Uma maravilha, agora que eu aprendi a mexer no Winplot e estou
usando em casa. Às vezes a gente estudando uma função, demora pra enxergar a cara
daquela função, principalmente quando é x
6
. x
7
e a gente vai derivando. A gente não
sabe como é a “carinha” daquela função. Então a gente põe ali, no computador e vai
vendo, vai “mexendo”, movimentando, olhando pra onde ela vai. Então acha o limite,
vai calculando as derivadas. O aluno passa tem uma noção maior, eu acho. Seria uma
maravilha poder trabalhar com ele (o Winplot) mais tempo.
Agáta - Eu acho legal, até porque, foi a coisa mais prática durante todo o curso que eu
vi até agora ( a estudante refere-se ao uso do Winplot). Na sala de aula, nós não
tiramos o olho da lousa, então é um diferencial também, eu acho.
Lara - Olha é muito legal (referindo-se ao Winplot), pois o gráfico ajuda muito na
visualização. Mesmo porque você usa a derivada e não sabe para o que serve, na
pesquisa deu pra fazer algumas aplicações, foi muito legal.
155
Robin - Eu acho importante o professor usar todos os recursos, para poder explicar
alguma coisa. Se precisar usar um gráfico, usar um gráfico se precisar usar uma
tabela, usar uma tabela. Então, quanto mais fazer isso é melhor pra mostrar a
aplicação de uma função e, não só analiticamente, usar também o desenho para falar
que aquilo é verdade. Usar o gráfico pra mostrar que corresponde ao cálculo algébrico.
Então isso é muito importante. Eu pessoalmente tenho mais facilidade de trabalhar
com gráfico, do que algebricamente.
Esse aspecto pode ser corroborado com as falas dos professores, implícitas nas
Entrevistas realizadas. Assim, ao perguntar para um dos professores entrevistados sobre a
importância de se abordar várias representações Matemáticas para a compreensão e
resolução de um dado problema, ele respondeu que:
Professor K - Cada representação permite ao aluno tirar algumas conclusões que
outras representações não permitem. Então justamente por isso que é importante ter
representações, representar conceitos Do ponto de vista formal, lógico você tem
representações, que nos permitem fazer variadas interpretações sobre as definições. A
partir das definições e axiomas você faz as demonstrações, essa é a parte formal.
Agora quando você fala em raciocínio, o indivíduo vai pensar, e nós não pensamos
com a definição, ninguém pensa em derivada, com a definição de derivada, ninguém
pensa em integral com a definição de integral. Quando você vai resolver um problema
que envolva integral ou derivada, você não vai pela definição, você usa as
representações, por isso ela é importante. Se o indivíduo não faz isso, a única coisa
que ele vai fazer é classificar problemas, e associar esse problema ao tipo de fórmula,
o que é muito comum.
Como podemos notar na fala acima, há um papel muito importante atribuído à
representação matemática. Trata-se de um papel que considera o estatuto epistemológico das
representações matemáticas na constituição do conhecimento, fato esse fundamental, em
nossa pesquisa, pois, relaciona-se diretamente com a questão investigada.
5.5.3. Atividade 3
A Atividade 3 tinha como objetivo investigar um problema de otimização por meio do
software Winplot, visando perceber o conhecimento do estudante – futuro professor, no
processo de interpretação, compreensão, justificação e visualização do problema, a partir do
estudo das várias representações matemáticas inseridas no contexto da disciplina Cálculo
I. Para tanto, foi proposto aos estudantes o seguinte problema: Determinar as dimensões do
retângulo de área máxima, que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r.
156
Para a exploração do problema foram utilizados os softwares matemáticos Winplot e
o Maple
66
. Os encaminhamentos para as possíveis soluções da atividade proposta e para a
abordagem das representações gráficas por meio do software processaram-se da forma,
abaixo explicitada.
Interação da pesquisadora com os estudantes de modo a propiciar um ambiente
investigativo, com a perspectiva de motivar a estudante a trabalharem em um
contexto de exploração da atividade, mediada pelo software matemático Winplot.
Assim, foi inicialmente sugerido aos estudantes, que desenhassem no Winplot o
gráfico da circunferência de equação x
2
+ y
2
= r
2
(Figura 22).
Figura 22: A Circunferência
Em vista da visualização do gráfico, foi solicitado, então, que desenhassem no
Winplot a semicircunferência, de centro na origem a partir da equação da circunferência,
tendo dois dos seus vértices sobre o diâmetro localizado sobre o eixo Ox (eixo das abscissas).
A partir dessas informações, foi requerido aos estudantes que discutissem em grupo como
poderiam representar algebricamente a equação da semicircunferência. Após discussões,
mediadas pela pesquisadora e questionamentos estabelecidos pelos próprios estudantes,
algumas soluções foram apresentadas.
Dando prosseguimento à essa exploração, foi proposto aos estudantes desenharem
por meio do Winplot o gráfico da equação
22
r y x−=
, a qual gerou uma
semicircunferência de centro na origem e de raio genérico sobre o eixo das ordenadas (Figura
23).
66
Vale ressaltar que os estudantes já estavam familiarizados com alguns comandos do Winplot , PLANILHA
Eletrônica e do Maple
66
, de maneira que, sob esse aspecto o desenvolvimento dos trabalhos transcorreram
tranqüilamente.
−3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
x
y
157
Figura 23: O Semicírculo
A partir desta representação, foi sugerido aos estudantes que desenhassem o retângulo
inscrito no semicírculo. A pesquisadora, juntamente com os estudantes esboçaram o primeiro
segmento que daria origem ao retângulo inscrito na semicircunferência, deixando a cargo dos
estudantes os três segmentos restantes (Figuras 24 e 25);
Figura 24 : O Primeiro Segmento 25: O Retângulo Inscrito
Orientação para os estudantes sobre a concepção de um modelo matemático que
pudesse motivá-los a encontrar possíveis soluções para a Atividade proposta.
Tendo em vista o retângulo inscrito na semicircunferência (Figura 25), foram
levantadas algumas conjecturas e hipóteses pela pesquisadora encaminhadas aos estudantes,
orientando-os a pensarem em um modelo matemático que viesse representar a área do
retângulo inscrito na semicircunferência de raio r e de centro na origem.
O objetivo consistia em envolver os estudantes em um processo investigativo, para
que eles pudessem avançar um raciocínio que os permitissem interagir com a atividade, a fim
de chegar em estratégias que os conduzissem à respostas conclusivas. Depois de algumas
conjecturas entre os estudantes, intermediadas pela pesquisadora, foi determinada a função
A(x) =
2
x-rx2 ⋅⋅
e, em seguida, desenhado o seu gráfico no Winplot, bem como o ponto
(a,
2
a-ra2 ⋅⋅
).
−2.0 −1.0 1.0 2.0
1.0
2.0
x
y
−2.0 −1.0 1.0 2.0
1.0
2.0
x
y
−2.0 −1.0 1.0 2.0
1.0
2.0
x
y
158
Figura 26: A Função Área
Dando prosseguimento a exploração do gráfico (Figura 26), foi perguntado aos
estudantes como poderiam justificar algebricamente suas observações de maneira a
determinar as dimensões do retângulo de área máxima? Para responder tal questionamento foi
necessária a mediação da pesquisadora e discussões entre os próprios grupos presentes.
Alexandre e Clara - Pudemos observar que quando o valor se aproxima do ponto de
maior extremo, o valor da área do retângulo se aproxima do máximo. Podemos
observar melhor, junto aos cálculos de derivadas. [...] Quando encontrado o valor
máximo, a derivada zera, nesse caso, a área do retângulo inscrito é máxima.
Patrícia e Ágata - Pela primeira vez entendemos a relação para a construção de um
tipo de problema. Pudemos observar que quando a área é máxima, a derivada da
função é zero e quando é mínima também. Pudemos ainda observar que é importante
ter noção do que estamos fazendo, pois a máquina pode errar (referindo-se a uso do
software) e devemos estar atentos ao que ocorre.
Delineado os procedimentos, todos passaram então à atividade de calcular a Derivada
de A(x), bem como A’(x) e A’’(x), registrando os cálculos operatórios por meio de lápis e
papel. Após concluírem e devidamente registrarem o cálculo das derivadas de A(x) no papel,
foi solicitado aos estudantes que abrissem o pacote algébrico do Maple para poderem
confirmar se as soluções encontradas estavam corretas.
Ao observarem, portanto a solução apresentada no Maple os estudantes puderam
então comparar suas respostas. Muitos deles puderam confirmar acertos e erros e, após as
correções necessárias, concluíram que o ponto máximo da função correspondia a x = 1,4
−6.0 −4.0 −2.0 2.0 4.0 6.0 8.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
x
y
?
Gráfico: Função Área
159
considerando o raio r = 2. Considerando esses valores para o “teste da segunda derivada”
67
,
puderam concluir tanto por meio de cálculos manuais bem como por meio do Maple, que
x = 1.4 correspondia a um ponto de máximo da função.
Concluídos os cálculos os estudantes passaram então a desenhar por meio do Winplot
o gráfico da função derivada, bem como um ponto genérico representado pela seguinte
coordenada:
( )
−
−−⋅
22
222
ar
ar2
a,
a
) (Figura 27) gráfico da função área e gráfico da função
derivada), possibilitando aos mesmos perceberem que quando o ponto atingia o máximo da
função simultaneamente era mostrado a maior área do retângulo na figura do retângulo
inscrito.
Figura 27: Derivada da Função Área.
Tendo em vista o valor genérico da área do maior retângulo inscrito no semicírculo de
raio r, foi sugerido aos estudantes usarem o recurso da PLANILHA para que pudessem
analisar sob um outro ponto de vista os resultados anteriormente encontrados. O objetivo para
tal procedimento consistia em mostrar a esses possíveis futuros professores, que o problema
apresentado poderia ser trabalhado em nível médio e fundamental sem a necessidade explicita
de se trabalhar com ferramentas de Cálculo de maneira a introduzir conceitos de variação e
continuidade de uma função para os seus futuros alunos ainda em nível escolar. Assim como
foi procedido com o Winplot e o Maple, ao mesmo tempo em que discutiam os resultados, a
67
Nessa atividade também foram explorados resultados para outros valores do raio r
−6.0 −4.0 −2.0 2.0 4.0 6.0 8.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
x
y
?
Gráfico: Derivada da Função Área
Gráfico: Função Área
160
pesquisadora orientava os estudantes nos comandos para utilização da PLANILHA. Vejamos
alguns resultados encontrados (Figuras 28, 29 e 30)
Figura 29: Retângulo de maior área inscrito no semicírculo de raio 2
x y Área
0
1
0
0,1012
0,994866102
0,201360899
0,202
0,979385522
0,395671751
0,3028
0,953054122
0,577169576
0,4036
0,914935539
0,738535967
0,5044
0,863470115
0,871068652
0,6052
0,796073464
0,963567321
0,706
0,708211833
0,999995108
0,8068
0,590824644
0,953354646
0,9076
0,419835968
0,762086249
Figura 28: Retângulo de maior área inscrito no semi-círculo de raio 1
x y Área
0
2
0
0,101
1,997448122
0,403484521
0,202
1,989772851
0,803868232
0,303
1,976914515
1,198010196
0,404
1,958771043
1,582687003
0,505
1,935193789
1,954545727
0,606
1,905981112
2,310049108
0,707
1,870869049
2,645408836
0,808
1,829517969
2,956501038
0,909
1,781493475
3,238755137
1,01
1,726238686
3,487002145
1,111
1,663033072
3,695259487
1,212
1,590929288
3,856412595
1,313
1,508652047
3,961720276
1,414
1,414427093
3,999999818
maior área
maior área
161
x y Área
0
3
0
0,101
2,998299351
0,605656469
0,202
2,993191608
1,209249409
0,303
2,984659277
1,808703522
0,404
2,972672871
2,40191968
0,505
2,95719039
2,986762293
0,606
2,938156565
3,561045757
0,707
2,915501844
4,122519607
0,808
2,889141049
4,668851935
1,919
2,305957285
8,85026406
2,02
2,218017132
8,960789215
2,121
2,121640639
8,99999959
2,222
2,015618019
8,957406478
2,323
1,898333743
8,81965857
2,424
1,767547453
8,569070054
2,525
1,619992284
8,180961034
2,626
1,450559892
7,618340552
Figura 30: Retângulo de maior área inscrito no semi-círculo de raio 3
Observando os dados de pontos de máximo, valor máximo e maior área
classificados para cada raio, foi possível aos estudantes conjeturarem uma solução para o
problema. A pesquisadora solicitou então que reorganizassem uma tabela apenas com os
maiores valores de áreas encontrados em cada uma das planilhas e se possível, tentassem
generalizar os resultados. Assim foi feito (Figura 31).
R(raio) X (ponto de máximo) Y(valor máximo Área Máxima
1
0,706 0,708211833 0,999995108
2
1,414 1,414427093 3,999999818
3
2,121 2,121640639 8,99999959
....
..... .... ....
Figura 31 Pontos de Máximo, Valor Máximo e Maior Área classificados para cada raio
Para essa abordagem, os estudantes, em sua maioria, tiveram dificuldade em
generalizar os resultados. Entretanto alguns obtiveram sucesso. Os estudantes Frederico e
Henrique apresentaram a seguinte tabela (Figura 32).
maior área
162
R(raio) X (ponto de máximo) Y(valor máximo Área Máxima
1
0,706 0,708211833 0,999995108 ~ 1
2
1,414 1,414427093 3,999999818 ~ 4
3
2,121 2,121640639 8,99999959 ~ 9
....
..... .... ....
n
n
2
n
~
2
n
Figura 32: Retângulo inscrito de maior Área a partir de um raio genérico
A partir dessa discussão, foi solicitado aos estudantes que registrassem no papel esses
últimos resultados, e que comentassem um pouco sobre suas percepções à respeito da
atividade desenvolvida. Vejamos abaixo seus comentários:
Alexandre e Clara - Pudemos observar que quando o valor se aproxima do ponto de
maior extremo, o valor da área do retângulo se aproxima do máximo. Podemos
observar melhor, junto aos cálculos de derivadas. [...] Quando encontrado o valor
máximo, a derivada zera, nesse caso á área do retângulo inscrito é máxima.
Patrícia e Agáta - Pela primeira vez entendemos a relação para a construção de um
tipo de problema. Pudemos observar que quando a área é máxima, a derivada da
função é zero e quando é mínima também. Pudemos ainda observar que é importante
ter noção do que estamos fazendo, pois a máquina pode errar (referindo-se a uso do
software) e devemos estar atentos aos que ocorre.
Ana Paula e Laura - Pudemos observar no Winplot que a maior área do retângulo
pode ser vista se calcularmos o ponto máximo da função da área.
Marcela e Letícia- O que a gente achou mais difícil foi calcular a derivada, enquanto
que o mais legal foi ver no gráfico os pontos de máximo e mínimo da função e cada
vez com um raio diferente.
Frederico e Henrique - Montar o retângulo por meio do software foi o que a gente
achou mais interessante, outra coisa bem legal foi ter a noção de trabalhar na planilha,
poder relacionar máximos e mínimos. Já no Winplot foi a possibilidade de visualizar
os gráficos das funções, da função Área e das funções derivadas, além de interpretar
através da área do maior retângulo os pontos de máximo e mínimo.
Os estudantes acharam bastante interessante trabalhar com o Winplot nessa atividade.
Ao perguntar se a idéia de inter-relacionar várias representações matemáticas na exploração
do problema ajudou na compreensão? a maioria respondeu que ajudou bastante. Pudemos
perceber que a possibilidade de visualizar os gráficos de retângulo inscrito, a Função Área e a
Derivada da Função, permitiu aos estudantes explorar sob vários ângulos e perspectivas uma
solução para o problema.
163
Assim, transpondo essas considerações em uma análise Semiótica, nós podemos
inferir que a forma visual do retângulo inscrito no semicírculo correspondeu em um primeiro
momento em uma forma sígnica icônica - uma primeiridade e em um segundo momento um
indicativo para a definição do modelo matemático - a função área.
Á partir dessa primeira apreensão, por meio da interação e discussões geradas pela
pesquisadora, no contexto do desenvolvimento da atividade exploratório-investigativa e pelas
inferências e hipóteses levantadas pelos estudantes no processo de criarem estratégias para
resolverem a atividade, novos elementos surgiram, no sentido que, foram avançando e
elaborando os seus raciocínios de maneira mais significativa, ou seja, começaram a perceber
como a qualidade dos signos era manifestada nas diferentes representações das figuras, isto é,
como a circunferência, o semicírculo se relacionavam com os dados da atividade proposta –
existia “uma certa tradução” dos dados da atividade exploratório-investigativa para a sua
representação. Nesse ponto, temos então a secundidade.
Em um terceiro momento, quando os alunos começaram a relacionar os conceitos de
derivada de uma função com o fato de igualar à representação algébrica que exprimia a
função área a zero, perceberam que deveriam encontrar também a segunda derivada da função
área para saberem se o ponto era de máximo ou de mínimo começaram a relacionar os
diversos conceitos matemáticos trabalhados através da visualização e da dinamicidade do
software. Além disso, ao utilizarem um outro software para confirmarem as suas conjecturas
iniciais perceberam as diversas relações matemáticas que puderam ser extraídas e
estabelecidas à partir das diferentes representações – algébrica, gráficas (estática e dinâmica).
Nesse momento podemos considerar que os alunos atingiram um nível mais elevado de
raciocínio matemático possibilitando aos mesmos a capacidade de abstrair e generalizar os
conceitos estudados para outros contextos. Nesse ponto, temos então, na análise Semiótica, a
terceridade.
No nível do interpretante imediato, a imagem do retângulo inscrito no semicírculo
em seus vários momentos trata-se de um interpretante em abstrato, pressupondo a
probabilidade de resultados para o cálculo de área. No nível do interpretante dinâmico, a
imagem na tela do computador e a possibilidade de animação da figura por meio do Winplot
permitiram aos estudantes maiores perspectivas e simulações na abordagem do problema.
Segundo Hildebrand (2002), “a simulação é um aspecto importante na observação das formas
matemáticas” (110). Nesse sentido, o uso do software foi fundamental, pois permitiu aos
estudantes realizarem várias simulações de áreas do retângulo.
164
Nas entrevistas, alguns estudantes mostraram o interesse em trabalhar com aplicações
que envolvessem conceitos de Limites e Derivadas em um curso de Cálculo como uma forma
de experenciar novas abordagens que viessem contribuir com o seu conhecimento
matemático, didático e pedagógico.
Rosana - Importante tem vários procedimentos de cálculo que facilitam e explicam
alguns processos matemáticos, os quais aparecem sem sentido quando estamos no
Ensino Médio, por exemplo, encontrar o vértice de uma função do segundo grau. Em
relação a formação do futuro professor, eu acredito que é bom o professor saber
mais, ter um maior conhecimento.
Patrícia - Eu acho que é uma disciplina importante, porém, eu acho que faltam no
curso as aplicações, como aluna de Cálculo, sempre me pergunto: onde eu vou usar
isso? o que eu vou fazer com isso? Eu acho que falta ensinar ao aluno onde aplicar os
ensinamentos do Cálculo. A teoria é importante, mas falta aplicação. E para o futuro
professor, dá uma base pra ele entender muitas coisas. É claro que se for dar aula lá
pra oitava série, tem muita coisa que ele não vai precisar passar. Mas é importante o
professor saber mais do que precisa para ensinar em nível fundamental.
Ao considerarmos esse aspecto entendemos que na aplicação e desenvolvimento da
Atividade 3, na qual foi investigado um problema de otimização, contemplamos parte dessa
expectativa, possibilitando aos estudantes revisitarem conceitos matemáticos estudados em
nível escolar além de experenciarem uma abordagem diferenciada da qual estão comumente
acostumados a tratar em classe, durante o período letivo de aulas, como a pesquisadora pôde
constatar durante o período de observação. Nessa atividade os estudantes tiveram a
oportunidade de conjecturar sobre alguns conceitos de crescimento, decrescimento,
comportamento assintótico, máximos e mínimos de funções, por meio do software
matemático - Winplot. Vejamos abaixo excertos de comentários relacionados a essa temática,
apresentada pelos estudantes.
Frederico e Henrique - Montar o retângulo por meio do software foi o que a gente
achou mais interessante, outra coisa bem legal foi ter a noção de trabalhar na planilha,
poder relacionar máximos e mínimos. Já no Winplot foi a possibilidade de visualizar
os gráficos das funções, da função Área e das funções derivadas, além de interpretar
através da área do maior retângulo os pontos de máximo e mínimo.
A perspectiva de aplicar os conceitos de Limites e Derivadas de uma função, inter-
relacionando várias representações matemáticas no ensino do Cálculo Diferencial e Integral,
com vistas a possibilitar o estudante/futuro professor experiências didáticas além de um
conhecimento aprofundado dos conteúdos matemáticos, foi também, bastante discutida pelos
professores entrevistados. Assim, alguns dos professores comentaram que:
165
Professor K - Na formação Matemática do aluno é importante ter noção de problemas
envolvendo o vetorial e o não vetorial, a idéia do topológico, do métrico. São idéias
importantes para o individuo conhecer, ter uma idéia daquilo que se chama
Matemática. Outra coisa que o aluno deve ter nesse aprendizado entre diversos fatores
é a experiência didática, trabalhar com metodologias diferentes daquelas que estão
acostumados, é importante que ele tenha essas experiências didáticas, principalmente
no início do curso. Acho que dá pra fazer atividades interessantes pro Ensino Médio.
Fazer o aluno pensar ao invés de propor procedimentos operatórios em que se aplique
uma variedade de fórmulas que o cara não tem nenhuma idéia do que está fazendo.
Agora pra formação do professor eu acho importante, um conhecimento mais
profundo, mais substancial da área que ele está atuando.
Professor W - Em um curso de Cálculo eu costumo sempre privilegiar bastante as
aplicações. Não só no Cálculo, qualquer curso que eu ministre aulas. Isso acontece,
talvez por minha formação for mais aplicada. Então, eu tento sempre dá uma
motivação maior, mais prática. Então, essa é a história do algo real criar-se um
modelo matemático. Esse modelo matemático você expressa por uma linguagem seja
ela geométrica, algébrica etc. E aí com o conteúdo desenvolvido você resolve e busca
comprovar usando a linguagem Matemática. Então eu valorizo demais, acho que é
importante e tem que haver esse jogo, com as diversas representações
Professor Z - eu diria que saber Cálculo é uma coordenação entre essas
representações. é fundamental que o aluno ou futuro professor saiba coordenar
resultados de uma tabela, perceber diferenças e semelhanças entre representações de
funções do primeiro grau, do segundo grau, de uma exponencial, de uma polinomial
até graus razoáveis etc. Então ele tem que saber coordenar essas representações. E, se
tiver um software para lidar com elas, melhor ainda. O software nos possibilita
observar os padrões e ter uma outra compreensão. [...] aprendermos de uma maneira
criativa sem decorarmos as demonstrações, passa a ser uma articulação. Então, no
meu modo de ver o Cálculo é importante, é fundamental para o aluno ter noções de
determinados conceitos matemáticos, mas não adianta saber resolver integral, ele
precisa entender integral, ele precisa entender taxa de variação pra entender o que está
por trás dos modelos econômicos, modelos de reserva de avião que estruturam as suas
vidas e isso é fundamental.
5.5.4. Atividade 4
Para a Atividade 4, foi proposto um problema, inter-relacionando conceitos de
Geometria Espacial e Cálculo Diferencial e Integral I. Esta atividade buscava investigar
um problema de Otimização por meio do software Winplot, visando explorar as
representações algébricas, gráficas, e geométricas. A proposta da Atividade consistia em:
Determinar as dimensões de uma lata de refrigerantes de 111,5
π
cm
3
, construída com a
menor quantidade possível de metal, considerando que o preço do material usado para o
fundo e a tampa da lata custa três centavos por centímetro quadrado e o preço do
material usado para a lateral da lata custa dois centavos por centímetro quadrados.
Para tanto, foi explicitado aos estudantes, que para o desenvolvimento desta Atividade
Exploratório Investigativa, utilizaríamos o recurso dos softwares: Winplot para fazermos a
simulação geométrica do problema, bem como para esboçar os gráficos das funções. O pacote
algébrico do Maple seria utilizado para experimentarmos e comprovarmos as soluções
166
encontradas das representações algébricas, realizadas previamente pelos estudantes, utilizando
lápis e papel.
Sendo essa atividade, um pouco mais elaborada que as demais, foi sugerindo aos
estudantes que considerassem a possibilidade de visualizar a lata cilíndrica planificada e, a
seguir, que eles procurassem descrever algebricamente a Área da tampa e do fundo da
latinha. Para que pudéssemos discutir os resultados em grupo foi proposto ainda aos
estudantes que utilizassem a letra r para representar o raio da tampa e do fundo, h a altura e C
o custo (em centavos) do material necessário para construir uma latinha.
Encontrada as respectivas Áreas: A=
π
.r
2
(área da tampa e do fundo) e A = 2
π
rh
(Área da lata aberta), tarefa que todos concluíram sem grandes dificuldades, embora, em
diversos momentos a interação entre pesquisadora e estudantes tenha sido relevante para esse
intento. Prosseguindo a investigação, já cientes dos dados acima estabelecidos, os estudantes
puderam então conjecturar a respeito do custo do material para a confecção da embalagem.
Para tanto, retornaram a discutir entre eles próprios e, por meio de alguns questionamentos
por parte da pesquisadora, chegaram por fim a um consenso, determinando que o custo total
(somando o custo do lado com os custos da tampa e do fundo), poderia ser expresso da
seguinte maneira:
C = 3
π
r
2
+3
π
r
2
+ 4
π
rh
⇒
C = 6
π
r
2
+ 4
π
rh
Determinada a Equação custo, os estudantes em consenso chegaram a conclusão,
depois de muita reflexão e discussão, que para desenharem o gráfico de C = 6
π
r
2
+ 4
π
rh,
por meio do Winplot, seria necessário escrever o Custo em função apenas de uma variável,
de maneira que o próximo passo na exploração da Atividade seria o de expressar a altura h
em função de r. Foi então, solicitado aos estudantes, que conjeturassem um pouco mais a
respeito, e que sugerissem uma solução. Assim, após amplas discussões e questionamentos
entre a pesquisadora e os estudantes o Custo em função do raio pôde ser representado
algebricamente, substituindo a altura h na função custo, como indicado abaixo:
r
.
r
.
h
2
π
r
Figura 33:Tampa Figura 34: Base
Figura
35
: Lateral
167
C =
rh π4r 6π
2
⋅
⋅⋅
⋅+
++
+⋅
⋅⋅
⋅
⇒
⇒⇒
⇒
C(r) =
r π4r 6π
2
⋅
⋅⋅
⋅+
++
+⋅
⋅⋅
⋅
2
r
111,5
⇒
C(r) =
2
r π 6
+
r
π446
Nesse momento da investigação, foi sugerido aos estudantes que, antes de desenharem
o gráfico da função custo, eles deveriam fazer a construção da latinha por meio do Winplot,
simulando as dimensões do volume e da altura do cilindro.
Primeiramente foi solicitado à eles que desenhassem o círculo representando a base
(equação do círculo de raio r). Para desenhar a tampa da latinha (círculo de raio r, acima do
eixo Ox) um grupo sugeriu uma translação, somando a equação do círculo com a altura;
h =
2
r
111,5
. Isto é,
2
r π 6
+
r
π446
+
2
r
111,5
. Essa sugestão foi interessante,
principalmente por ter sido uma iniciativa dos próprios estudantes. Dado um tempo, e diante
de muitas sugestões chegaram à solução (Figura 36 ).
Figura 36: O Cilindro
Prosseguindo na exploração da Atividade foi solicitado aos estudantes que abrissem
uma outra tela, no Winplot, para que pudessem desenhar os gráficos representando as funções
Custo, Altura e Volume da latinha, bem como os pontos genéricos pertencentes a cada uma
dessas funções, de maneira que pudessem animar os gráficos comparando essas
representações à representação geométrica do cilindro. Vale ressaltar que, para essa tarefa, os
estudantes já estavam familiarizados com os comandos, portanto, poucas foram as
intervenções realizadas sob esse aspecto (Figura 37).
−8 −4 4 8 12
−4
4
8
12
x
y
168
Figura 37: Representação da Função Custo, Altura e Volume.
Observando os gráficos, os estudantes puderam concluir que o Custo era estimado
Mínimo para algum valor de r e que deveriam achar uma maneira de encontrar esse valor.
Assim, os alunos montaram no software PLANILHA a função Custo e testaram diversos
valores. Qual seria o valor mínimo? Semelhantemente a atividade 3, embora com dados e
enfoque diferenciados, os estudantes concordaram que no valor do custo Mínimo a derivada
da função seria igual a zero. Assim, derivando a função Custo C(x), os estudantes fizeram,
primeiramente, o cálculo da Derivada no papel e então resolveram experenciar os resultados
no Maple.
Levando em conta que o raio poderia ser qualquer valor positivo, o objetivo, portanto,
seria determinar o Mínimo absoluto de C(r), para r > 0. Assim, a partir da derivada de C(r),
discutimos que os pontos críticos da função indicariam uma resposta para o problema.
Supondo então, que a função passa por um Mínimo no ponto em que a derivada é nula, o
custo Mínimo do material para confecção da latinha apresentava-se de menor valor para o
raio igual ao valor abaixo;
3372
,3
6
223
r 0 (r)C'
3
≅
≅≅
≅=
==
=⇒
⇒⇒
⇒=
==
=
.
Finalmente para ter certeza de que esse extremo correspondia realmente a um Mínimo
absoluto (e não a um Máximo), bastou que os estudantes observarem que C’(r) possuía
apenas um ponto crítico, para r > 0. Para justificar esse resultado os estudantes calcularam a
segunda derivada de C(r) com lápis e papel e, por meio do Maple, puderam experenciar e
comprovar as suas respostas. Concluída as justificações algébricas, foi solicitado aos
−4 4 8 12 16 20 24
−100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
x
y
Altura
C (r)
Volume
169
estudantes que desenhassem, por meio do Winplot, os gráficos das funções C’(r) e C”(r),
para que pudessem visualizar o comportamento das mesmas em comparação à Função Custo
C(r).
Ao movimentarem os pontos genéricos sobre essas funções (Figura 38), puderam
perceber que, quando o ponto atinge o menor valor em C(r), o ponto sobre C’(r), tocava o
eixo Ox, indicando o zero dessa função, ao mesmo tempo em que para as funções altura h(r) e
volume V(r), os valores aproximados, correspondiam a 10,011m e a 350 ml, respectivamente,
cujas dimensões determinavam a solução para a Atividade 4.
Figura 38: Custo Mínimo
Ao finalizar a investigação sobre o problema apresentado na Atividade 4, foi proposto
aos estudantes retomarmos a representação geométrica do cilindro de maneira a observarmos
simultaneamente a animação dos gráficos das funções C (r), C’(r), C”(r), h(r), V(r) em
relação a do cilindro por meio do Winplot.
−4 4 8 12 16 20 24
−100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
x
y
Altura
C(r)
Volume
C'(r)
C''(r)
170
Figura 39: Cilindro versus Representação Algébrica das Funções Custo, 1ª. e 2ª. Derivadas
Essa abordagem foi importante, pois os estudantes tiveram a oportunidade de perceber
que quando a função Custo atingia seu menor valor, simultaneamente, o cilindro
configurava-se na forma ideal, ou seja, expressando as dimensões de menor quantidade
para o metal necessário na construção da latinha de cerveja, considerando-se,
obviamente, os dados apresentados no problema.
Encerrando as Atividades, a pesquisadora solicitou aos estudantes que registrassem no
papel considerações sobre os conceitos trabalhados durante as discussões da Atividade 4,
convidando-os também a falarem um pouco sobre a abordagem empregada nesta pesquisa.
Vejamos as opiniões dos estudantes à respeito:
Robin- Lidar com gráfico é uma coisa que prende a atenção [...] pra alguns é
importante, pra outros não, mas na minha opinião achei bastante interessante.
Robin e Clotilde - A parte mais difícil do problema foi pensar como escrever a
equação dos três gráficos da função Custo, da derivada e da segunda derivada.[...]
Para o aluno que não tem noção de derivada, é importante ter um conhecimento
anterior.
Any - Mas, mesmo assim (referindo-se à fala de Henrique), pra trabalhar com os
alunos do ensino médio é bem interessante, fica bem mais rápido pra eles
visualizarem...
Henrique -...é, porque a gente pode relacionar as várias representações, é bem
melhor do que ficar imaginando a figura, o que está acontecendo. A idéia de partir de
uma figura geométrica para a equação, pode ser que no início fique difícil, mas é
possível trabalhar desta maneira mesmo com alunos que desconhecem os conteúdos
de derivada e limites.
Henrique - Gostei da atividade, pois deu pra ver o comportamento de vários gráficos.
O comportamento do gráfico do Custo, entre outros. É só meio complicado pro ensino
médio, você explicar que uma curva ou que aquele gráfico representa, por exemplo, o
volume, ou altura do cilindro. Mas essa forma de abordar os conteúdos matemáticos é
muito interessante.
−8 −4 4 8 12
−4
4
8
12
x
y
−4 4 8 12 16 20 24
−100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
x
y
Altura
C (r)
Volume
C' (r)
C'' (r)
171
Augusto - A atividade de hoje, eu gostei bastante, principalmente a parte de
manipular vários gráficos ao mesmo tempo e... é interessante que o computador
agiliza um processo, que se a gente fosse fazer manualmente seria inviável. E com
relação ao problema proposto na atividade de hoje, envolvendo cilindro e volume, eu
acho possível pelo menos nessa perspectiva ser abordado no ensino médio, porque,
por exemplo, dado um volume fixo dá pra trabalhar só com equação do segundo grau
envolvendo a variável r. Dado r, colocar a altura em função do raio. E como é uma
função do segundo grau, dá pra trabalhar normalmente com máximo, mínimo, sem
falar de derivada.
Na opinião geral dos estudantes, esta atividade foi bastante interessante, mesmo
porque tiveram a possibilidade de perceber a movimentação de vários gráficos associados à
imagem do cilindro. Mesmo com relativa dificuldade ao modelar a função Custo partindo da
figura do cilindro, foram poucas as interferências por parte da pesquisadora, no sentido de
orientar o uso dos comandos do Winplot, devido os estudantes já se encontrarem em mais
familiarizados com a linguagem do software, o que ajudou bastante no processo de
exploração do problema. Novamente a simulação das imagens, por meio do Winplot, foi de
grande relevância para a compreensão e interpretação do problema proposto na atividade.
Podemos perceber essa afirmação de acordo os comentários de alguns estudantes;
Any - pra mim ajudou bastante, melhorou muito a visão que eu tinha antes, agora,
quando começar a trabalhar (referindo-se ao estudo do Cálculo I), ficou mais fácil
perceber a importância dos gráficos em relação à sua representação algébrica. Eu acho
que ajuda muito não só pra mim, como para os meus futuros alunos do ensino médio
ou fundamental, pois é uma forma de ver e analisar os conteúdos matemáticos.
Clotilde - Eu acho que o aluno ia aprender melhor, olhando pelo gráfico, apesar de, se
não for bem trabalhado em sala de aula, com certeza sentirão alguma dificuldade, mas
para aprender é melhor, acredito que facilmente ele pega o jeito (referindo-se a
linguagem do software Winplot).
De acordo com Peirce (apud Hildebrand, 2002), “as imagens matemáticas são
representações dos modelos que concebemos mentalmente, isto é, são signos diagramáticos
que exteriorizam o comportamento de nossa idéias” (p.102).
Deste modo, sob o ponto de vista qualitativo, a imagem do cilindro relacionada aos
gráficos da função Custo, Altura, Volume, Primeira e Segunda Derivadas da Função
estudada, constituíram-se em ícones diagramáticos, possibilitando aos estudantes uma
disponibilidade contemplativa na interpretação do problema , como pudemos perceber na fala
do estudante Henrique.
Henrique - No começo não tinha entendido muito qual era a relação da construção da
latinha com as representações gráficas das funções. Mas, depois que você mostrou
pelo Windows ligando um no outro, caiu a ficha, foi bem legal.
172
Em Semiótica, ícones expressam suas características referentes aos conceitos
matemáticos em Primeiridade. Em termos da Secundidade, podemos analisar,
particularmente olhando os nossos dados, que as imagens dos gráficos, formas algébricas e
geométricas se referiram à forma singular no contexto não por similaridades, mas de acordo
com um sistema matemático, no qual estavam inseridas, respeitando regras, propriedades e
conceitos relativos aos gráficos em formas de curvas e retas correspondentes a determinadas
funções algébricas.
Em termos da Terceiridade, tendo em vista tudo o que propõe a apreensão e a
compreensão de uma representação ou de uma imagem e, ainda considerando o que esta
imagem possa referir e representar temos, no processo da interação desta pesquisa, a
interpretação das imagens pelos estudantes, por meio de diálogos e da criação de diferentes
estratégias buscando dar possíveis respostas às Atividades propostas, caminhando no sentido
da generalização do pensamento, em busca de uma Lei que pudesse exprimir os aspectos
qualitativos e como esses aspectos se manifestavam nas imagens dos diferentes gráficos,
tornado-se singulares às essas imagens por suas características matemáticas. Nesse
processo, trazendo ao contexto da Atividade 4, os estudantes criaram a Função Custo, a
Função Altura, a Função Volume do Cilindro que, por sua vez, representava a latinha de
cerveja, ou seja, constituía-se em um signo, revelando assim suas características constituintes
como objeto dinâmico e como objeto imediato do signo. Em outras palavras, as inter-
relações das características conceituais e figurais das imagens, serviram como objetos de
reflexão e de investigação para os estudantes desta pesquisa. Propiciando aos mesmos
elaborarem raciocínios cada vez mais gerais que os auxiliaram na compreensão dos conceitos
matemáticos trabalhados.
Em termos gerais, as inter-relações e coordenações entre as várias representações
gráficas, geométricas e algébricas constituíram-se em uma abordagem interessante, pois
implícitas aos problemas propostos nas atividade puderam ser observadas em seus aspectos
sígnicos, que se materializaram em imagens, gráficos e fórmulas, todos referentes ao contexto
matemático organizado, segundo um sistema fundamentalmente diagramático. De acordo com
Hildebrand (2002) “as imagens representam ou traduzem uma linguagem abstrata, enquanto
as expressões são representações destas formas”. (p.101).
173
5.6. Análise das Entrevistas
Para a análise apresentamos o seguinte panorama (Figura 8), o qual encontra-se
subdividido em quatro sub-panoramas. Onde cada um dos sub-panoramas representa um dos
procedimentos metodológicos adotados para a coleta de dados da pesquisa.
A idéia de inter-relacionarmos esses quatro sub-panoramas consistiu em extrairmos
dos seus aspectos gerais, categorias que nos possibilitaram realizar uma análise considerando,
obviamente, os pontos de vista dos estudantes e professores de Matemática. Nesse processo,
buscamos associar os aspectos mais relevantes, de maneira que se tornou possível delinear
algumas respostas para a questão diretriz que definimos como dimensões.
Depois de uma leitura aprofundada tendo em vista as percepções dos professores foi
possível esquematizar em tabelas algumas categorias.Na entrevista com os professores K, Y,
W e Z e, com os estudantes , pontos de vistas compartilhados pela maioria puderam ser
destacados em relação aos temas tratados: Conhecimento do Futuro Professor de Matemática;
Ensino do Cálculo Diferencial e Integral I; Representações Matemáticas mediadas por
Softwares Educativos em uma perspectiva Semiótica.
Nessa perspectiva explicitaremos nas tabelas a seguir (Figuras 40 e 41) os principais
aspectos retirados do conjunto de entrevistas realizadas, apresentando os temas abordados e
percepções compartilhadas entre os professores e os estudantes, considerando principalmente
as percepções assumidas na fala dos professores, K, Y, W e Z e dos estudantes, diante
questões propostas pela pesquisadora durante as Entrevistas apresentadas no Capítulo 4
(itens 4.5 e 4.6).
174
Temas
Abordados
Percepções apresentadas pelos dos Professores Identificação
do Professor
Conhecimento
do Futuro
Professor de
Matemática
Vivenciar metodologias diferenciadas no início do curso K e Z
Aplicações K,W e Z
Conhecimento mais aprofundado dos conceitos e conteúdos
matemáticos.
K,Y,W e Z
Várias formas de representar:
Vetorial/não vetorial;
Métrico/topológico.
K,W e Z
CDI I
Ensino Médio X Universidade:
Matemática discreta X Matemática com movimento;
; Discreto X Contínuo
K,Y,W e Z
Linguagem lógico formal, própria da disciplina; K,Y,W e Z
Aplicações; K,W e Z
Ferramenta básica na exploração conceitos
matemáticos;
X,Y,W e Z
Compreensão e interpretações dos conteúdos abordados ; K,Y, W e Z
TICs
(Winplot)
Difícil Linguagem; K e W
Visualização de gráficos e figuras geométricas; K,Y e W
Compreensão dos conceitos matemáticos; X,Y,W e Z
Não substitui formas de representações dos conceitos ou objetos
matemáticos, mas acrescenta.
K,W e Z
Maio rapidez e maior possibilidade em representar a linguagem
matemática.
Y,W e Z
Representações
Matemáticas
Representar conceitos K,Y,W e Z
Reflexão, compreensão e interpretação;
Cada representação permite tirar conclusões particulares de
um mesmo objeto matemático;
Transforma o pensamento
Justificação de um fato
K,Y,W e Z
Propicia um conhecimento mais profundo;
K,
Y,W e Z
Aplicações K,W e Z
Coordenação de representações Y e Z
Figura 40: Síntese das Principais Idéias Relacionadas à Entrevistas com os Professores de CDI I.
175
Temas abordados Percepções apresentadas pelos dos estudantes
Estudantes
68
1º. Bloco
Motivação para
fazer o curso de
Matemática
Gosto pela Matemática +
Facilidade e familiaridade com os conteúdos matemáticos em
nível fundamental e médio
+
Formas diferentes de resolver os problemas ±
trabalhar como professor de Matemática
±
Curiosidade -
Pesquisa -
2º. Bloco
A importância do
cálculo para a
formação do futuro
professor de
Matemática
Conhecimento aprofundado dos conceitos e conteúdos
matemáticos;
±
Matemática diferente da ensinada em nível médio; -
Falta aplicações; ±
Ferramenta básica na exploração conceitos matemáticos; +
Novas ferramentas para a construção de gráficos, possibilitando
uma maior exploração e coordenação das representações
matemáticas.
±
Oferece ao futuro professor um conhecimento mais profundo,
possibilitando ao mesmo, mais segurança para ensinar;
-
Abrange todo o conteúdo estudado em nível médio e
fundamental.
-
3º. Bloco
Representações
Matemáticas
E
TICs
Importante, Fundamental +
Visualização de gráficos e figuras geométricas; +
Compreensão dos conceitos matemáticos; +
O uso do software não substitui formas de apresentações, mas
acrescenta.
±
O uso do software possibilita maior rapidez em representar a
linguagem matemática.
±
Representar conceitos ±
Reflexão, compreensão e interpretação;
Cada representação permite tirar conclusões particulares de
um mesmo objeto matemático;
Transforma o pensamento
Justificação de um fato
±
Aplicações ±
Ajuda a entender a teoria
+
Para o uso do software, quanto maior conhecimento
matemático, melhor na investigação e exploração do problema
±
Figura 41: Síntese das Principais Idéias Apresentadas pelos estudantes durante a entrevista
A partir de sistematizações das concepções implícitas nas questões das Entrevistas, além
do que foi observado em classe e por meio da aplicação e desenvolvimento das quatro
atividades exploratório- investigativas identificamos quatro dimensões implícitas relevantes
em nossa análise:
68
A terceira coluna (Figura 41) apresenta a opinião dos estudantes, cujos sinal (+) implica na opinião
da maioria dos estudantes, (±) equivale à boa parte dos estudantes embora não corresponda na opinião da
maioria; (-) implica na opinião de poucos estudantes;
176
5.6.1. Interpretações Diferenciadas sobre os Conceitos Matemáticos
As representações possibilitam interpretações diferenciadas sobre os conceitos
matemáticos, pois cada representação permite tirar conclusões que em outras não são
evidenciadas com tanta clareza. Essa idéia foi abertamente declarada tanto pelos estudantes
como pelos professores durante as entrevistas e claramente observados pela pesquisadora
durante a aplicação e desenvolvimento das atividades bem como por meio das observações
em classe.
Professor K - Cada representação permite ao aluno tirar algumas conclusões que
outras representações não permitem. Então justamente por isso que é importante ter
representações, representar conceitos. Do ponto de vista formal, lógico você tem
representações, que nos permitem fazer variadas interpretações sobre as definições. A
partir das definições e axiomas você faz as demonstrações, essa é a parte formal.
Agora quando você fala em raciocínio, o indivíduo vai pensar, e nós não pensamos
com a definição, ninguém pensa em derivada, com a definição de derivada, ninguém
pensa em integral com a definição de integral. Quando você vai resolver um problema
que envolva integral ou derivada, você não vai pela definição, você usa as
representações, por isso ela é importante. Se o indivíduo não faz isso, a única coisa
que ele vai fazer é classificar problemas, e associar esse problema ao tipo de fórmula,
o que é muito comum.
Any - Eu acho muito importante trabalhar com várias representações, porque às vezes
de uma forma a gente não enxerga direito, mas se o professor mostrar aquela função
na forma de um gráfico, uma coisa mais visual, podemos passar a entender melhor.
Então eu acho muito importante mostrar várias formas de fazer, porque o aluno se dá
bem com uma, mas isso não garante que todos entendam, entendeu?Eu acho muito
importante o professor usar várias representações, principalmente, recursos visuais,
gráficos, diagramas. Eu acho muito importante pra compreensão sim.
Na literatura pesquisada, encontramos Hitt (2003), que aborda essa dimensão
assinalando que cada representação é parcial em relação à uma compreensão global, portanto,
devemos considerar como absolutamente necessário o intercâmbio entre as diferentes
representações de um dado conceito matemático.
Ball e Ma (1988, 1999, apud Veloso, 2004) postulam que, um professor que almeja
alcançar um conhecimento profundo acerca da Matemática e como fazer Matemática deve ter
a capacidade de inter-relacionar conceitos matemáticos às suas várias representações, de
maneira tal que venha refletir no seu conhecimento matemático didático e pedagógico,
possibilitando a esse professor em formação, um conhecimento substancial e significativo, por
conseguinte, possibilitando ao mesmo aprender um corpo unificado de conhecimentos.
Acreditamos, portanto, que essa é uma dimensão importante na abordagem de criarmos
contextos de ensino e aprendizagem, os quais possam iter-relacionar e explorar as
representações matemáticas em suas múltiplas perspectivas, de maneira a apreender suas
177
qualidades, suas referências, sua simbologia. Considerando o fato de que os estudantes ao
serem interrogados mostraram-se inclinados a novas abordagens na apreensão dos conceitos
matemáticos, evidenciando em seus comentários que a exploração de várias representações
possibilitam aos mesmos um maior esclarecimento dos conceitos estudados em sala de aula.
Nesse sentido, a fala de alguns dos estudantes vem autenticar essas afirmações.
Augusto - Primeiro, eu acho que a aula fica mais dinâmica, mais atraente, porque, às
vezes, o aluno não se interessa por uma forma de resolver o assunto, mas se atrai, pela
outra. E uma forma complementa a outra. Uma forma de representar, por mais
excelente que seja, não vai ser melhor ou pior do que a outra. Vai complementar a
outra forma de representação.
José - Usar várias representações, é perfeito. Pois, nos permite ver uma função, de
várias formas, algebricamente, em paralelo à forma gráfica No meu entender a
compreensão é quase total. Ajuda muito.
Clotilde - Eu acho interessante que o professor explique a resolução de um problema
usando várias formas de representar, porque, por exemplo, tem aluno que tem mais
facilidade em enxergar as coisas no gráfico, tem aluno que já vê o teorema e pega todo
o conteúdo.Mas eu acho importante trabalhar com variados tipos de representações,
porque um aluno não é igual ao outro não é? Logo aprende diferente e aprende coma
representação que tiver mais facilidade de entendimento.
Percepções que são corroboradas pela fala dos professores, nesse sentido o professor Z
postula que;
professor Z - É importante que o aluno ou futuro professor saiba coordenar resultados
de uma tabela, perceber diferenças e semelhanças entre representações de funções do
primeiro grau, do segundo grau, de uma exponencial, de uma polinomial até graus
razoáveis etc. Então ele tem que saber coordenar essas representações. E, se tiver um
software para lidar com elas, melhor ainda. O software nos possibilita observar os
padrões e ter uma outra compreensão. No meu modo de ver a visualização torna-se
cada vez mais importante. Entendermos um gráfico, entendermos diagramas. Em
Cálculo mais ainda, coordenarmos os diagramas das demonstrações com as
demonstrações, aprendermos de uma maneira criativa sem decorarmos as
demonstrações, passa a ser uma articulação. Entendermos o que foi anteriormente
provado. Toda a parte lógica com a parte algébrica, ás vezes operativas de
equivalência com uma parte gráfica e com uma parte tabular, também.
Essas concepções mostram a importância de desenvolver em um contexto pedagógico
a possibilidade de propiciar aos estudantes/ futuros professores a capacidade de visualizar e a
interpretar um problema matemático por meio de várias representações.
178
5.6.2. O Aspecto Visual das Representações Matemáticas
Sob o aspecto visual das representações matemáticas, em nossa análise, considerando os
comentários dos estudantes e professores é notória a relação entre representações gráficas e
visualização, Os estudantes, em particular, expressaram como a possibilidade de enxergar os
gráficos na tela do computador por meio do Winplot foi significativo e, como esse aspecto foi
importante na constituição e justificação dos modelos matemáticos desenvolvidos,
principalmente, durantes as atividades 3 e 4 ao determinarem a funções área no caso do
retângulo inscrito e custo ao modelarem o cilindro representando a latinha de cerveja.
Any - pra mim ajudou bastante, melhorou muito a visão que eu tinha antes, agora,
quando começar a trabalhar (referindo-se ao estudo do Cálculo I), ficou mais fácil
perceber a importância dos gráficos em relação à sua representação algébrica. Eu acho
que ajuda muito não só pra mim, como para os meus futuros alunos do ensino médio
ou fundamental, pois é uma forma de ver e analisar os conteúdos matemáticos.
Em relação a importância de coordenar representações na constituição do conhecimento do
futuro professor um dos professores entrevistados comenta;
Professor Z - O aluno ou futuro professor saiba coordenar resultados de uma tabela,
perceber diferenças e semelhanças entre representações de funções do primeiro grau,
do segundo grau, de uma exponencial, de uma polinomial até graus razoáveis etc.
Então ele tem que saber coordenar essas representações. E, se tiver um software para
lidar com elas, melhor ainda. O software nos possibilita observar os padrões e ter uma
outra compreensão. No meu modo de ver a visualização torna-se cada vez mais
importante.
Semioticamente podemos inferir que, não só as representações gráficas possuem a
capacidade de apresentar uma qualidade, o aspecto visual, mas todas as representações sejam
elas na forma escrita, geométrica, gráfica, todas possuem iconicidade, e dimensões
diagramáticas, cuja capacidade de referência, provoca no receptor interpretações diversas.
Nesse sentido, Hitt (2003) postula que a visualização desempenha um papel essencial
nesse processo, principalmente mediante a possibilidade de coordenarmos diferentes
representações matemáticas. Afirmação que pode ser legitimada nas palavras de muitos
autores estudados nesta pesquisa, tais como: (BEM-CHAIM, LAPPAN E HOUANG,1989,
apud BORBA e VILLARREAL, 2005, p. 80) e Miskulin (1999), os quais assinalam que a
possibilidade do estudante/professor em inter-relacionar distintas representações associada à
capacidade de visualização possibilitam-lhes a capacidade de interpretar e compreender
informações figurais e conceituais, considerando que toda representação possui aspectos
semióticos e instrumental, de maneira que a semioticidade pode ser percebida de várias
formas, seja em desenhos, gráficos, gestos, discursos, palavras, entre outras e a
179
instrumentalidade das representações está relacionada aos objetivos de se realizar tal
representação. Outra dimensão revelada em nossa coleta de dados configurou -se em:
5.6.3. Inter-Relacionar Diversas Representações Matemáticas Constitui-se
em um Método versus o Tecnicismo Operatório Matemático
O que implica que a abordagem de inter-relacionarmos e coordenarmos as
representações entre si revela-se um instrumento fundamental no processo de compreensão e
interpretação dos conceitos matemáticos, um meio de comunicação para as aplicações em
contextos variados, em termos de ensino da matemática. Possibilitando um canal de
informação visual e simulações, de maneira que o futuro professor acrescente e/ou re-
signifique conhecimentos anteriores, tornando possível representar e interagir com modelos
matemáticos, cujo procedimento é por vezes complexos.
Acreditamos assim, que no processo de ensino e aprendizagem da Matemática torna-se
necessário e fundamental o futuro professor estar em contato com uma abordagem teórico-
metodológica, a qual prioriza a coordenação das diversas representações, por meio da
tecnologia, mais especificamente, softwares educativos, pois, assim sendo, tal abordagem
poderá possibilitar-lhe a experiência de apreender os conceitos matemáticos de maneira
significativa, sem memorizações, evitando assim, o uso de técnicas desnecessárias. Essa
preocupação foi ressaltada na fala dos professores entrevistados;
Professor Z - Entendermos um gráfico, entendermos diagramas. Em Cálculo mais
ainda, coordenarmos os diagramas das demonstrações com as demonstrações,
aprendermos de uma maneira criativa sem decorarmos as demonstrações, passa a ser
uma articulação. Entendermos o que foi anteriormente provado. Toda a parte lógica
com a parte algébrica, ás vezes operativas de equivalência com uma parte gráfica e
com uma parte tabular, também.
Professor K - Quando você vai resolver um problema que envolva integral ou
derivada, você não vai pela definição, você usa as representações, por isso ela é
importante. Se o indivíduo não faz isso, a única coisa que ele vai fazer é classificar
problemas, e associar esse problema ao tipo de fórmula, o que é muito comum.
Professor W - Se o futuro professor tiver um entendimento profundo, como também a
capacidade de abordar de diversas maneiras as representações Matemáticas, mostra
que está evoluindo nos entendimentos. Então se esse estudante prioriza apenas a parte
algébrica e não tem domínio sobre a representação gráfica é uma limitação dele,
certo? Um conhecimento que ele não domina.
Dimensões como essas são corroboradas por autores diversos na literatura. Assim, Ma
(1999, apud Veloso, 2004), em sua leitura, afirma a importância dos futuros professores
adquirirem um conhecimento profundo da Matemática, mostrando que um dos caminhos para
alcançar essa sabedoria advém da possibilidade de múltiplas perspectivas na abordagem de
um problema, inter-relacionando as várias representações matemáticas. Além disso, que seja
180
capaz de fornecer justificações dessas abordagens e argumentos apresentados. Assim, na
concepção de Ma (1999), essa capacidade possibilita o professor conduzir os seus alunos em
direção a uma compreensão substancial da disciplina.
Prosseguindo, destacamos uma outra dimensão que se mostrou comum entre os pontos
de vista dos professores e estudantes e importante em nossa pesquisa;
5.6.4. Mobilidade das Diversas Representações Matemáticas Possibilitando
uma “Ponte” entre a Matemática Escolar e a Acadêmica.
Trazendo essa percepção em um contexto mais específico para o ensino do Cálculo
Diferencial e Integral I, Félix Klein (1907, apud Roxo, apud Braga, 2006) assinala que, o
ensino do Cálculo está intimamente ligado a um bom domínio de função por parte do aluno, o
que só poderia vingar se o educando transitar com relativo embaraço pelas várias
representações matemáticas. Precisamente, o referido autor, afirma com propriedade que “no
campo do Cálculo Infinitesimal a descontinuidade entre o ensino secundário e o superior
alcança grau máximo” (KLEIN, 1927, apud BRAGA, 2006, p.46).
Esse tema amplamente discutido na área da Educação Matemática revelou-se
importante em nossa pesquisa, o qual observado sob o aspecto da importância das
representações matemáticas na constituição do conhecimento do futuro professor no ensino
do CDI I, entendemos que, inter-relacionar e coordenar distintas representações matemáticas
significa gerar um contexto didático-pedagógico de possibilidades no caminho da
continuidade entre a Matemática escolar e a acadêmica. Nessa perspectiva o professor Z e Y,
assinalam;
Professor Z - No Cálculo diferencial eu diria que saber Cálculo é uma coordenação
entre essas representações.Então, coordenar algo que o diagrama nos apresenta, com o
silogismo de uma demonstração é fundamental. Assim como é fundamental que o
aluno ou futuro professor saiba coordenar resultados de uma tabela, perceber
diferenças e semelhanças entre representações de funções do primeiro grau, do
segundo grau, de uma exponencial, de uma polinomial até graus razoáveis etc. Então
ele tem que saber coordenar essas representações.
Professor Y - Na disciplina Cálculo, especificamente, para mim, coordenar várias
representações constitui-se em uma ferramenta importante que deve ser utilizada pelo
professor do ensino fundamental e médio, quando ele está trabalhando a construção de
gráficos de uma função, mesmo que ele não vá passar pro aluno onde essa função
apresenta crescimento ou decrescimento ou comportamento assintótico enfim [...].
181
Os estudantes também se manifestaram a respeito dessa questão
Alexandre - Olha, eu acho o Cálculo I uma das matérias mais importantes do
primeiro ano. E o Cálculo II do segundo ano. Porque, como diz o nome, vai ser a parte
que a gente vai calcular mesmo. A disciplina Cálculo é básica, ela vai me dar a
sustentação pro curso inteiro sabe? Eu vou ter que derivar e integrar em outros cursos.
Tem que calcular limites, analisar gráficos. O resto do curso tem muito a ver com isso
ok? Então, apesar de não estar indo muito bem. Pra mim é uma meteria extremamente
importante e a gente não pode estar deixando lacunas nela, mesmo porque uma coisa
que depende da outra. Derivada depende de limite e limite depende de função. A
Integral depende da derivada. Portanto, as matérias que eu acho mais importante são
Cálculo e Geometria Analítica, porque lá a gente vê gráfico, projeções de gráfico. A
disciplina Cálculo I, traz muita informação para o futuro professor de Matemática,
porque nela, se trabalha muito com função e gráfico. E no colegial, onde eu estudei,
observei que os professores não trabalham muito com gráficos. É muito mais fácil pra
mim aprender o Cálculo, usando gráficos em vez de só teorema, teorema e calculando.
Às vezes observar o gráfico, me ajudou a entender muita coisa, que não tinha
entendido até hoje. Então, a forma do professor ensinar deve ser bem diversificada. É
bem forte essa parte de gráfico. Mostrar, oh! pessoal como as coisas acontecem. Pois,
às vezes, mostrar o gráfico de uma função, permite o aluno observar o comportamento
da mesma, se vai subir, descer etc. E até mesmo na Física, a gente vê, que muitas
formas na Física sai por derivadas e integrais que a gente aprendeu no Cálculo, então
Cálculo é base para a Matemática inteira não é? Então eu acho que o aluno “leva”
muita coisa do Cálculo para ensinar.Não que eu vá ensinar derivadas e integral pros
alunos do primeiro, segundo terceiro ano. Acho que lá quando eu for ensinar, na hora
de solucionar um exercício e rapidamente poder ensinar o aluno de uma outra forma, o
que eu aprendi em Cálculo, vai me ajudar a ensinar melhor o meu aluno, portanto eu
acho Cálculo essencial sim.
Deste modo, entendemos que sendo as representações matemáticas uma “ponte”
entre a Matemática Escolar e a Matemática Acadêmica, elas encontram-se no centro de um
contexto pedagógico, que aborda problemas e possibilidades citados ao longo da pesquisa,
tanto na literatura estudada pela pesquisadora, como por meio dos dados coletados.
182
5.7. Tecendo a Análise
As diversas facetas que a análise semiótica apresenta podem assim nos levar a
compreender qual é a natureza e quais são os poderes de referência dos signos,
que a informação transmitem, como eles se estruturam em um sistema, como
funcionam, como são emitidos, produzidos, utilizados e que tipos de efeitos
são capazes de provocar no receptor (SANTAELLA, 2005, p.4)
“Ao se pensar em Semiótica e suas relações com a Educação Matemática mediada por
computadores, se sobressai a imagem da interação entre estudantes e professores”
(MISKULIN, MOURA E SILVA, 1996, p.3). Em nossa pesquisa essa interação foi gerada
por meio das observações realizadas em classe, nas entrevistas culminando no
desenvolvimento e aplicação das atividades exploratório-investigativas. O uso dos
softwares nesse contexto encorajou os sujeitos da pesquisa a incorporarem a proposta de
investigação dos problemas. Nesse sentido, entendemos que há um grande potencial para a
criação de um ambiente educacional dinâmico e acessível ao ensino do Cálculo na
constituição do conhecimento do futuro professor de Matemática, de forma que os estudantes
possam se apropriar de conceitos, com significados próprios, levando em conta a inter-relação
e coordenação de múltiplas representações matemáticas nas suas elaborações conceituais.
Acreditamos, portanto, que se torna necessário e fundamental para constituição do
conhecimento de futuros professores considerando o contexto investigado, ou seja, a
disciplina CDI I, a perspectiva de visualizar figuras, por meio de softwares educativos,
conectando essas imagens aos conceitos matemáticos, relacionando-os às suas múltiplas
representações. Esta constatação pôde ser legitimada tendo como referência a literatura
pesquisada, além de uma pesquisa aprofundada, considerando as inter-relações dos sub-
panoramas, apresentados e ilustrados no Item 5.4 (Figura 8), culminando nas quatro
dimensões acima explicitadas.
Reportando-nos à teoria, o estudo da Semiótica enquanto a relação apresentada por
Steinbring (2006) “conceito”, “signo/símbolo” e “objeto/contexto de referência” constituem
um sistema equilibrado e mutuamente apoiado, proporcionando um modelo de mediação
semiótica entre referência de contexto e signos subjacentes à influência epistemológica do
conhecimento matemático. Esta relação, de acordo com o autor, não deveria ser vista como
independente da aprendizagem do estudante.
183
Na perspectiva de Otte (2006), a generalização é um dos mais importantes processos
do pensamento matemático. A generalização, segundo o autor, também possui um papel
fundamental, no processo de ensino da Matemática implicando principalmente, na diversidade
das suas representações.
Peirce (apud, Otte, 2006), o grande precursor das idéias acima apresentadas pelos
autores citados, postula que a cognição e o efeito transformador dos signos sobre o ensino
possibilita a todos os envolvidos, (incluímos aqui, estudantes/futuros professores e
professores) um processo de pensamento mais generalizado sobre a atividade Matemática,
especialmente na escola, na qual, é usualmente seduzida a procedimentos tecnicistas e
mecanizados na abordagem dos conteúdos matemáticos. Assim sendo, o estudo da Semiótica
nos dá suporte aos modelos que pretendemos representar adequando a produção de
conhecimento por meio dos diagramas visuais, expressões e formas algébricas, escrita e
oralidade, auxiliando o estudante, futuro professor a interpretar e transformar a sua realidade
no contexto de ensino e aprendizagem da Matemática.
5.8 Considerações Finais
Ao investigarmos sobre a contribuição das representações matemáticas na constituição
do conhecimento de futuros professores de Matemática, associada a mediação informática por
meio do uso de softwares educativos, no ensino do Cálculo Diferencial e Integral I,
destacamos em nossa análise quatro dimensões
69
, as quais nos levam inferir, em termos
gerais, que todas as formas de representações matemáticas constituem-se em formas lógicas
de organização para o ensino e apreensão dos conceitos matemáticos. Concebendo que,
através de um processo semiótico, é possível gerar novas formas de representação e assim
ad
infinitum
.
Ao explorar o universo signíco das representações agregamos valores à discussão da
constituição do conhecimento de futuros professores de Matemática, ressaltando a
importância desses estudantes/professores, conscientizarem-se da perspectiva semiótica
implícita à abordagem de transitar entre várias representações matemáticas no processo de
exploração e interpretação dos conceitos, por meio de softwares próprios à disciplina,
aumentando assim o grau de compreensão dos mesmos diante uma Matemática que, em
princípio lhes parecia estática em nível escolar, passando a ser contínua em nível acadêmico.
69
Dimensões explicitadas no Capítulo de Análise
184
De acordo com Hildebrabd (2002), a Matemática é antes de tudo axiomática e produz
conhecimento a partir da semiose dos signos, que por sua vez, caracteriza-se em um estado de
constante evolução. Trazendo essa percepção a um contexto mais particular, entendemos que
no processo de ensino dos conceitos matemáticos, não devemos conceber cada representação
em compartimentos estanques, isoladas de maneira a considerar uma em detrimento da outra,
mas contemplá-las como um processo signíco, percebendo suas qualidades, observando suas
particularidades e referências de forma que, como interpretantes, o futuro professor possa
generalizar estando sempre aberto a interpretações “possíveis” no processo de “fazer
matemática”. Deste modo acreditamos que os objetivos desta pesquisa explicitados como:
investigar e ressaltar as potencialidades didático-cognitivas das representações
matemáticas em uma perspectiva semiótica, mediadas por softwares educativos, no
contexto da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I e investigar os limites e
possibilidades didático-pedagógicas das representações matemáticas na formação
didático- pedagógica do futuro professor de Matemática, começaram a ser contemplados
a partir da Coleta de Dados, desta pesquisa e, por meio, da Análise dos Sub-Panoramas,
descritos no Capítulo 5, sendo esses constituídos pelas entrevistas realizadas com os
estudantes e professores da UNESP de Rio Claro, observações em classe, além da
aplicação das atividades exploratório-investigativas, junto aos sujeitos da pesquisa
(estudantes do 1º. Ano de Matemática na disciplina CDI I, UNESP de Rio Claro).
Considerando as compreensões apresentadas na Análise dos Dados, algumas
inferências podem ser delineadas, de maneira que na concepção da maioria dos professores e
estudantes pesquisados, as representações matemáticas são essenciais para a compreensão e
visualização dos conceitos matemáticos. Além do que é notória a associação, das
representações gráficas à visualização de conceitos, como um meio de compreender e
perceber o que está sendo representada na forma algébrica ou escrita, seja essa, no estudo de
uma função ou na demonstração de um teorema.
O uso do computador, intermediado por softwares educativos, também foi qualificado
de grande relevância pela maioria dos professores como um método importante para o ensino
do CDI I, pois possibilita uma compreensão na abordagem dos conceitos matemáticos,
quando são exploradas as representações gráficas.
Na concepção dos estudantes pesquisados o desenvolvimento das atividades mediadas
pelo Winplot ajudou a visualizar os conceitos, permitindo aos mesmos ver ângulos e
perspectivas do problema que na lousa seria impossível, além do Winplot possuir uma
linguagem fácil de ser compreendida. Porém, eles próprios observam que o professor, ao
185
trabalhar com esse recurso, deve ser criativo ao elaborar as atividades, tornando-as
interessantes e diferenciadas.
Diante das concepções dos estudantes e professores, reveladas mediante as
entrevistas, percebemos que muito do que falaram seguem em direção ao que encontramos
na literatura a respeito dos temas abordados. Em relação ao ensino do Cálculo no curso de
Matemática, especificamente em um curso de Licenciatura, Barufi (2002) assinala que “para a
maioria dos alunos a Matemática da Escola Média pouco ou nada tem a ver com o que lhes é
apresentado no Cálculo, e o caráter de análise com o qual passa a se defrontar parece se
constituir em grande dificuldade” (p.69).
Ao atentarmos sobre o que foi revelado pelos estudantes, ao serem interrogados sobre
a relevância da disciplina Cálculo I, para a formação de futuros professores de Matemática,
buscando entender a importância das representações matemáticas na constituição do
conhecimento
70
, nós compreendemos que os estudantes ao ingressarem na Universidade
esperam integrar a Matemática que estudaram, em nível médio, com o que estão vendo na
universidade. Em Cálculo, especificamente, o estranhamento é grande e, embora procurem
estar motivados, a frustração, muitas vezes é inevitável, mesmo para aqueles que acham
possuir uma grande familiaridade com os conteúdos matemáticos. Logo, em nossa concepção,
a busca de uma metodologia mais adequada, ou seja, a exploração e coordenação das
representações matemáticas com a atuação dos estudantes poderiam propiciar uma melhor
aceitação por parte desses aos depararem-se com os conteúdos específicos de um curso de
CDI I.
Em nossa percepção, entendemos também que, a disciplina Cálculo I, para a maioria
dos estudantes entrevistados, foi qualificada como importante, relevante e fundamental para a
formação do futuro professor de Matemática. Entretanto, esses não vêem associação dos
conteúdos próprios dessa disciplina com o que é ensinado em nível escolar, como confirmado
por Barufi (2006). Para nós, como pesquisadores, esse distanciamento entre a Matemática
escolar e acadêmica, no contexto da disciplina Cálculo I constitui-se em um impasse ou até
mesmo em um contra-senso no processo de constituição do conhecimento do professor em
formação.
Nesse sentido, dentre o que foi lido e interpretado pela pesquisadora frente a literatura
pesquisada, os estudos de Klein (1927, apud Braga, 2006) é o que mais se aproximou de um
esclarecimento para esse impasse, o qual assinala que “precisamente no campo do Cálculo
70
Matemático, didático/pedagógico
186
Infinitesimal é onde a descontinuidade entre o ensino secundário e o superior alcança grau
máximo” (p.46). Para Klein (1927; apud Braga, 2006);
[...] ao menos em linhas gerais, no ensino da Matemática; dever-se-ia
conduzir a juventude, tendo em conta a sua natural capacidade e
disposição, lentamente até chegar a matérias mais elevadas e,
finalmente, a formulações abstratas, seguindo o mesmo caminho pelo
qual a humanidade tem ascendido do seu estado primitivo aos altos
cumes do conhecimento (p.48).
Segundo Braga (2006), Klein achava muito importante ser cultivado desde as séries
iniciais a idéia de variação e dependência. “Aos poucos, com o progressivo e constante
trânsito pelas representações tabular, gráfica e analítica de função, o aluno caminharia em
direção à sua formação funcional” (p.52). Nesse sentido, Klein (1907, apud Roxo, 1937, apud
Braga, 2006) entendia que, “só o precoce afeiçoamento da idéia de funcionalidade traria pleno
beneficio aos colegiais” (p.52), ou seja, a idéia de função, variação e continuidade, deveriam
ser consideradas um capítulo fundamental ao longo de todo o curso secundário, “conectando e
intermediando, sempre que possível os conceitos e os processos empregados na Aritmética, na
Álgebra, e na Geometria” (p.52). Braga (2006), ainda, acrescenta que;
O curso de Cálculo Infinitesimal não prescinde das variáveis. Assim,
ao fixar o centro da matemática escolar em função, Klein estaria
colocando as variáveis dependente e independente das funções no dia-
a-dia do secundário e disponibilizando, dessa forma, os pré-requisitos
para disciplinarizar o Cálculo. Um outro aspecto relevante para essa
disciplinarização na forma proposta por Klein é o que se refere à
capacidade de o aluno visualizar e trabalhar com alguma naturalidade
a mobilidade das figuras geométrica – a abordagem de inspiração
newtoniana do Cálculo está diretamente ligada a movimento. Essa
percepção cinética é de grande valia para toda a extensão do referido
conteúdo, desde as noções iniciais de limite até o cálculo de áreas e
volumes passando, ainda, pela interpretação geométrica da derivada e
suas aplicações (p.53).
Um outro fato relevante que pudemos observar por meio dos dados coletados, é que
existe a curiosidade do estudante que inicia um curso de Cálculo, existe a motivação, o que
pode vir a gerar novas idéias e novos entendimentos. Entendemos, portanto, que o CDI I,
além de constituir-se em uma ferramenta extremamente fértil à formação do futuro professor,
possui um conjunto de “termos específicos e símbolos correspondentes, sendo que o todo se
constitui em um mundo novo para os estudantes” (BARUFI, 2006, 71). Nesse sentido,
concordamos com Barufi (2006) ao assinalar que;
[...] nem uma simples exposição nem uma imposição acarretam a
construção do conhecimento por parte dos alunos, encontramo-nos
diante da necessidade de definição e quais mecanismos de negociação
187
poderão ser disponibilizados a fim de possibilitar a apropriação por
parte dos alunos, daqueles significados do conhecimento desejado
(p.72).
Com as perspectivas abordadas e, partindo da problemática da pesquisa, acreditamos
que o objetivo do ensino, na formação inicial consiste não apenas em formar os futuros
professores de matemática, mas, além disso, propiciar um contexto educativo que forneça aos
alunos elementos teórico-metodológicos para enfrentarem, no futuro, a sala de aula, permeada
de múltiplos problemas.
Entre os problemas destacados, nesta pesquisa, tanto pelos estudantes como pelos
professores em sua maioria encontram-se: O despreparo do aluno, tecnicismo e mecanização
dos procedimentos operatórios matemáticos, a formalidade da linguagem matemática, dirigida
no início do curso de futuros professores e falta de aplicações sobre os conteúdos matemáticos
estudados em uma disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. As propostas apresentadas
pelos próprios estudantes e professores pesquisados para possíveis contribuições sobre os
vários aspectos, acima citados, revelaram-se, em uma necessidade de mais aplicações sobre os
conteúdos matemáticos estudados, tanto em nível escolar como em nível acadêmico.
O futuro professor deve experenciar uma abordagem em que envolva modelagem,
atividades investigativas, resolução de problemas entre outras, ou seja, “fazer matemática” e,
ainda, terem a possibilidade de refletir sobre esse “fazer”. Para tanto, torna-se fundamental
transitar entre várias representações matemáticas, considerando o fato que “a Matemática é
uma forma de organização do pensamento que se concretiza por meio de signos mentais e
visuais” (Hildebrand, 2002, p. 214). Portanto, a mobilidade entre as representações
matemáticas possibilita ao estudante um gerar conhecimentos que possam ser
operacionalizados em diversas formas na interpretação e compreensão dos conceitos
matemáticos, pelas imagens, pela escrita, pelos modelos lógicos e leis que fundamentam esses
conceitos.
A Semiótica vem fornecer suporte à essa compreensão, sob o aspecto epistemológico
da constituição do conhecimento, tendo como meio de comunicação, a linguagem
matemática. Segundo Hildebrand (2002) ao longo do tempo, essa linguagem vem sendo
estabelecida fundamentalmente nos desenhos, gráficos, diagramas, enfim, nas linguagens
visuais e escritas. Sendo que a visualidade corresponde às formas signícas icônicas e que,
segundo a teoria peirceana, deve ser concebida em primeiridade. Em secundidade, é
observada a forma escrita, podemos dizer que seus signos são diagramas. Em terceiridade
188
encontramos o interpretante que, em nossa pesquisa, revelou-se nas próprias representações,
nos estudantes, nos professores e na pesquisadora.
Ao término do nosso trabalho vislumbramos perspectivas em direção a pergunta diretriz
dessa pesquisa, ao considerarmos as dimensões apresentadas o que em síntese podemos inferir
que as representações matemáticas quando inter-relacionadas e mediadas por softwares
educativos promovem significamente uma compreensão unificada e global dos conceitos
matemáticos, além de constituírem-se em um meio de comunicação entre a Matemática
escolar e Matemática acadêmica. Obviamente, não paramos nesse ponto, esse é um primeiro
passo a caminho de novos elementos na busca de contribuir com a formação inicial de
professores de Matemática, mesmo porque essas respostas não são definitivas ou mesmo
únicas, apenas um pedaço do grande quebra-cabeça que constitui o caminhar de toda
pesquisa.
189
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARAÚJO, J.L; BORBA, M.C. Contruindo Pesquisas Coletivamente em Educação
Matemática. In: BORBA, M. C; ARAÚJO, J.L. (Org.). Pesquisa Qualitativa em Educação
Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. p. 25-46.
BALL, D. L. What Do Students Know? Facinhg Challenges of distance, context and
desire in trying to hear children, 1997. Disponível em:< http://www-
personal.umich.edu/~dball/ >. Acesso em: 23 maio. 2005.
BAIRRAL, M. Natureza do Conhecimento profissional do Professor: Contribuições Teóricas
para pesquisa em Educação Matemática. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n. 41,p.11-
33.fev.2003.Disponívelem:
http://www.gepeticem.ufrrj.br/docs/publicacao/Bairral%20Gepem%2041%202003.pdf.
Acesso em: 17 Set. 2006.
BARUFI, M. O Cálculo no Curso de Licenciatura em Matemática. Educação matemática
em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, n.11A,
p.69-72, abril 2002.
BLANCO GARCIA, M..M. A formação inicial de professores de matemática: fundamentos
para a definição de um currículo. In: FIORENTINI, D. (Org.). Formação de professores de
matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas: Mercado de Letras,
2003. p. 51-86.
BOGDAN, R; BIKLEN, S. Investigação Qualitativa em Educação Matemática: uma
introdução à teoria e aos métodos. Portugal: Porto Editora, 1994. 333 p.
BORBA, M.C; PENTEADO,M.G. Informática e Educação Matemática. 3. ed. Belo
Horizonte: AUTÊNTICA, 2003.
BORBA, M.C; VILLARREAL, M.C. Humans-with-Media and the Reorganization of
Mathematical Thinking: information and communication technologies, modeling,
experimentation and visualization. Austrália: Springer, 2005. p. 125 -168.
190
BRAGA,C. Função: a alma do ensino da matemática. Pinheiros: Annablume, 2006
CÂNDIDO, C.C; BARUFI, M.C.B; MONTEIRO, M.S. Dificuldades no
ensino/aprendizagem de Cálculo, 2004. Disponível em
http://www.sbempaulista.org.br/epem/anais/grupos_trabalho/gdt04-
Claudia&Maria&Martha.doc . Acesso em: 9 Dez. 2006.
CASTRO, J.F. Um Estudo sobre a Própria Prática em um Contexto de de Aulas
Investigativasde Matemática. 2004.202f. Dissertação ( Mestrado em Educação) - Faculdade
de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2004.
COCHRAN, K.F.. Pedagogical Content Knowledge: Teachers' Integration of Subject
Matter, Pedagogy, Students, and Learning Environments, 1997. Disponível em:
<http://www.unco.edu/cebs/edpsychology/faculty/cochran.htm> Acesso em: 23 de Set. 2006.
D’ÁMBROSIO, B.S. Conteúdo e metodologias na formação de professores. In:
FIORENTINI, D; NACARATO, A.M. (Org.). Cultura, formação e desenvolvimento
profissional. de professores que ensinam.Campinas: MUSA, 2005.p.20-32.
DINIZ, M.I.S.V; SMOLE, K.S. Um professor Competente para o Ensino Médio Proposto
pelos PCNEM. Educação matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de
Educação Matemática, São Paulo, n.11A, p.39-43, abril 2002.
FERREIRA, A.C. Um olhar retrospectivo sobre a pesquisa brasileira em formação de
professores de Matemática. In: FIORENTINI, D. (Org.). Formação deprofessores de
matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas: MERCADO DE
LETRAS, 2003. p.19-50.
FIORENTINI, D. Em busca de Novos Caminhos e de outros olhares na Formação de
Professores de Matemática In: FIORENTINI, D. (Org.). Formação de professores de
matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas: Ed. MERCADO
DE LETRAS, 2003. p.7-18.
191
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos
teóricos metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006. 216 p.
GUTIÉRREZ, A. Visualização em Geometria 3-D: na procura de uma estrutura. In:, PME, 20
th, 1996, Valencia Anais... Espanha: Universidade de Valência, 1996. p. 1-19.
HILDEBRAND, H. R. As Imagens Matemáticas: a semiótica dos espaços topológicos
matemáticos e suas representações no contexto tecnológico. 2002.228 f. Tese (Doutorado em
Comunicação e Semiótica) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2002.
HITT, F. Una reflexion sobre la construccio de conceptos matemáticos en ambientes com
tecnologia. Boletin de la Asociacion Matemática Venezolana , Caracas, v. X, n.2, p.6,
2003. Disponível em:
< http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol10/fernandoHitt.pdf. >. Acesso em: 7 Jun.
2006.
KENSKI, V.M. Tecnologias e Ensino Presencial e a Distância. Campinas: Papirus, 2003.
157 p.
LÉVY, P. A Máquina do Universo: criação, cognição e cultura informática, Porto Alegre:
ARTMED, 1998. 173 p.
______.As Tecnologias da Inteligência: o futuro do pensamento na era da informática.
Tradução de C.I. da Costa. 14. ed. São Paulo: EDITORA 34, 2006. 204 p.
LOUREIRO, C. Que Formação para os Professores do 1º. Ciclo. In: BORRALHO,A;
MONTEIRO,C; ESPADEIRO,R. (Orgs.). A Matemática na Formação do Professor,
Portugal: Sociedade Portuguesa de Ciência de Educação, 2004. p. 89 - 124.
MARTÍNEZ, P. Conocimiento profesional en el área de Didáctica de la Matemática en el
Primer curso de la formación de maestros,2002. Disponível em :
<http://ddm.ugr.es/personal/pflores/Indexarticulosinvesti.htm >. Acesso em: 10 Dez. 2006.
192
MAUÉS, O.C. Reformas internacionais da educação e formação de professores. Cadernos de
Pesquisa, São Paulo, n. 118, p. 89-117, mar. 2003.
MELO,G.N. Formação inicial de professores para a educação básica: uma (re)visão radical.
Revista São Paulo em Perspectiva, São Paulo,n. 1, p 98 -110, jan/mar. 2000. Disponível em:
<www.schwartzman.org.br/simon/delphi/pdf/guiomar.pdf>.Acesso em: 15 Jun. 2005
MISKULIN,R.G.S. Concepções Teórico - Metodológicas Baseadas em Logo e em
Resolução de Problemas para o Processo Ensino-Aprendizagem da Geometria. 1994 313
f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade Estadual de
Campinas, Campinas, 1994.
______. Concepções Teórico - Metodológicas sobre a Introdução e a Utilização de
Computadores no Processo de Ensino e Aprendizagem da Geometria. 1999. 577 f. Tese
(Doutorado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas,
Campinas, 1999.
______.As possibilidades didático -pedagógicas de ambientes computacionais na formação
colaborativa de professores de matemática. In: FIORENTINI, D. (Org.). Formação de
professores de matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas: Ed.
Mercado de Letras, 2003. p. 217-248.
MISKULIN,R.G.S; MARTINS, M.C; MANTOAN,M.T.E. Análise Microgenética dos
Processos Cognitivos em Contextos Múltiplos de Resolução de Problemas: Campinas: NIED
NIED/UNICAMP, memo nº 31, 43 p., 1996
Disponível em http://www.nied.unicamp.br/publicacoes/memos/Memo31.PDF acesso 20 de
Junho de 2006
MISKULIN,R.G.S; MOURA, A.R.L; SILVA, M.R.C. Um Estudo sobre a Dimensão
Semiótica da Tecnologia na Educação e na Educação Matemática. In: SEMINÁRIO
INTERNACIONAL DE PESQUISAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2, 2003, Santos,
Anais... São Paulo: Editora, 1996, p. 1-20
MOREIRA, P.C; DAVID, M.M.M.S. A formação matemática do professores: licenciatura
e prática docente escolar. Belo Horizonte: AUTÊNTICA, 2005.
193
NÖTH, W. A Semiótica no Século XX, São Paulo: Annablume, 1996. 314 p.
OLIVEIRA, H., SEGURADO, M. I; PONTE, J. P. Tarefas de investigação em matemática: Histórias
da sala de aula. In: CEBOLA, G; PINHEIRO, M. (Org.), Desenvolvimento Curricular em
Matemática. Lisboa: SEM-SPCE, 1998. p. 107-125
OLÍMPIO JUNIOR, A. Compreensões de Conceitos de Cálculo Diferencial no Primeiro
Ano de Matemática: uma abordagem integrando oralidade, escrita e informática.2005. 264f.
Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2005.
OTTE, M. Mathematical Epistemology from a Peircean’s Semiotic Point of View.
Educational Studies in Mathematics, Nethelands, v. 61, n. 1-2, p. 11 -38, 2006.
PEIRCE, C. S. Trechos de Charles Sanders Peirce. Tradução de HARTSHORNE; WEISS,
ed. São Paulo: Cultrix; Editora da Universidade de São Paulo, 1975. v.1-6, 164p.
PONTE, J.P; BROCARDO, J; HÉLIA, O. Investigações Matemáticas na Sala de Aula Belo
Horizonte: Autêntica, 2005. 152 p.
PONTE,J.P; FONSECA, H.;BRUNHEIRA,L. As Atividades de Investigação, O professor e
a Aula de Matemática. Investigar para aprender Matemática. Disponível em:
<www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/99-fonseca-etc(ProfMat-MPT).doc. > Acesso
em:20 jun. 2003.
PONTE, J. P; MATOS, J. F. Processos Cognitivos e interações Sociais nas investigações
Matemáticas. In: ABRANTES, P; LEAL, L. C; PONTE, J. P. (Org.). Investigar para
aprender matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM, 1992-1996. p. 119-138.
PONTE, J.P; OLIVEIRA,H; VARANDAS, J.M. In: FIORENTINI, D. (Org.). Formação de
professores de matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas:
Mercado de Letras, 2003. p. 159-192.
194
RIBEIRO, A.; CABRITA, I. A Geometria e a Informática na Formação do Professor do 1º.
Ciclo do Ensino Básico. In BORRALLHO,A; MONTEIRO, C; ESPADEIRO, R. (Orgs). A
Matemática na Formação do Professor. Lisboa: Sociedade Portuguesa de Ciências de
Educação, 2004. p. 137 - 154.
ROCHA, L.P. (Re) constituição dos Saberes dos Professores de Matemática nos Primeiros
Anos de Docência. 2005. 175 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Faculdade de
Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2005.
SÁENZ-LUDLOW.A; PRESMEG.N. Semiotic Perspectives on Learning Mathematics and
Communicating Mathematically. Educational Studies in Mathematics, Nethelands v. 61, n.
1-2, p. 1-10, 2006.
SANTAELLA, L. Semiótica Aplicada. São Paulo: Thomson, 2002. 185 p.
______.2002O que é Semiótica. 20.ed. São Paulo: Brasiliense, 2004a. 86 p.
______. O Método Anticartesiano de C.S.Peirce. São Paulo:EDUNESP,2004b. 265p.
SARAIVA, M. J.F. S. O conhecimento e o desenvolvimento profissional dos professores
de matemática. 2001. 624 f. Tese (Doutorado em Educação) - Faculdade de Ciências,
Universidade de Lisboa, Lisboa, 2001. Disponível em: <http://ia.fc.ul.pt/textos/msaraiva >.
Acesso em 11 Dez.2006
SCHÖN, D. A. Teaching artistry through reflection-in-action, 1987 Disponível em:
<http://www.uiowa.edu/~c07w120/reflection.doc.> Acesso em: 17 Set. 2006
SCUCUGLIA, R. A Investigação do Teorema Fundamental do Cálculo com
Calculadoras Gráficas. 2006.145f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) -
Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2006.
195
SILVA,C. R.M; MISKULIN,R.G.S; ESCHER,M.A. A Utilização didatico-dedagógica do
Maple em uma perspectiva de Investigação matemática” - In ENCONTRO PAULISTA DE
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8, São Paulo, 2006. Anais... São Paulo :VIIIEPEM, 2006.
p.1-9.
STEINBRING, H. What Makes a Sign a Mathematical Sign? - An Epistemological
Perspective on Mathematical Interacion. Educational Studies in Mathematics, Nethelands,
v. 61, n. 1-2, p. 133-162, 2006.
STEWART, J. Cálculo. 4.ed. São Paulo: PioneiraThomson Learning,v. 1, 2005. 580 p.
STYLIANIDES, A.J; BALL, D.L. Studying the Mathematical Knowledge Needed for
Teaching: the case of teacher’s knowledge of reasoning and proof. Disponível em:
<http://www-personal.umich.edu/~dball/ >. Acesso em: 15 set. 2006.
VALENTE, J. A. Diferentes usos do computador na educação. In: VALENTE (Org.)
Computadores e conhecimento: repensando a educação. Campinas: UNICAMP/NIED, p. 1-
27, 2000. Disponível em:
http://www.nied.unicamp.br/publicacoes/pub.php?cod_publicacao=10&classe=separata.
Acesso em 25 Set. 2006.
VALENTE, J. A Pesquisa, comunicação e aprendizagem com o computador O papel do
computador no processo ensino-aprendizagem. In ALMEIDA, M. E.B.de; MORAN, J. M.
(Org.) Integração das tecnologias na Educação. Salto para o Futuro.Brasília: Ministério
da Educação, SEED, 2005, p. 22-31.
VELOSO,E. Educação matemática dos futuros professores. In BORRALHO,A;
MONTEIRO,C; ESPADEIRO,R. (Org.). A Matemática na formação do professor,
Portugal: Ed. Sociedade Portuguesa de Ciência de Educação, 2004, p. 31 - 68.
VILLARREAL, M.E. O Pensamento Matemático de Estudantes Universitários de
Cálculo e Tecnologias Informáticas. 1999. 378f. Tese (Doutorado em Educação
Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio
Claro, 1999.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
