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OBSERVAT
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ORIO NACIONAL
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ENCIA E TECNOLOGIA
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AO EM ASTRONOMIA
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Descri¸c˜ao de Campo Escalar para
Cosmologias com Decaimento do V´acuo
Autor: Francisco Ernandes Matos Costa
Orientador: Jailson Souza de Alcaniz
Disserta¸c˜ao apresent ada ao Observat´orio
Nacional do Rio de Janeiro como
requisito parcial `a obten¸c˜ao do grau de
MESTRE em Astronomia.
Rio de Janeiro, 30 de Julho de 2007
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“Muitas vezes temos a liberdade de escolher o que semear, entretanto, somos
obrigados a colher aquilo que plantamos.”
Prov´erbio chinˆes
†
ii
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Agradecimentos
• Em primeiro lugar, agrade¸co a Deus, pelo seu dom mais sublime: a vida.
• Ao meu orientador Prof. Jailson Souza de Alcaniz que, durante esses dois
anos de conv´ıvio revelou-se al´em de um proeminente f´ısico, um grande
amigo.
• A minha fam´ılia pelo apoio moral e emocional.
•
`
A amiga Maria Aldinˆez Dantas, pelas discuss˜oes em Cosmologia e F´ısica,
pela amizade e companheirismo.
• Ao professor visitante Raimundo Silva - UERN, pelos conselhos e incentivos.
• Aos colegas de trabalho, em especial: Nobar, Daniel Mello, Alexandre,
Vin´ıcius, Maria Isela, pelos momentos vividos e conversas agrad´aveis.
• Ao p´os-doc F´abio pelas discuss˜oes em Cosmologia e F´ısica Te´orica.
• Ao estudante de doutorado Ed´esio pelas discuss˜oes em Teoria Quˆa ntica de
Campos e Cosmologia Quˆantica.
• Aos professores do ON, especialmente aqueles com os quais fiz disciplina.
• Aos professores da gradua¸c˜ao e demais professores que desempenharam
um papel importante na minha forma¸c˜ao, enquanto pessoa e ser ativo na
sociedade.
• Ao corpo de funcion´arios do ON/MCT, em especial a secret´aria Vera Dino.
• Aos meus amigos de infˆancia, colegas de escolas e faculdade pelos momentos
inesquec´ıveis que passamos juntos.
iii
• E finalmente `a CAPES pela bolsa de estudos concedida.
iv
`
A mem´oria dos meus p ais.
v
Descri¸c˜ao de Campo Escalar para Cosmologias com
Decaimento do V´acuo
por
Francisco Ernandes Matos Costa
Submetida ao Observat´orio Nacional do Rio de Janeiro em
30 de Julho de 2007, como requisito parcial `a obten¸c˜ao
do grau de Mestre em Astronomia
Resumo
Esta disserta¸c˜ao investiga uma descri¸c˜ao de campo escalar para um
modelo de decaimento do v´acuo caracterizado po r um parˆametro adimensional
ǫ, cuja lei de decaimento foi deduzida a partir dos efeitos na evolu¸c˜ao da
densidade da mat´eria escura. Utilizando um m´etodo desenvolvido recentemente
na literatura, fizemos a correspondˆencia de campo escalar acoplado para essa
lei de decaimento e obtivemos um duplo potencial exponencial associado `a
mesma. A partir de uma an´alise estat´ıstica envolvendo quatro conjuntos de
dados observacionais independentes, restringimos os parˆametros do modelo de
decaimento do v´acuo. O intervalo de valores permitidos no plano param´etrico
Ω
m
−ǫ ´e bastante restrito, especialmente o valor do parˆametro (ǫ < 0.1). No caso
mais real´ıstico, em que a componente bariˆonica Ω
b
´e adicionada ao modelo, a
´area das regi˜oes de confian¸ca do espa¸co de parˆametros aumenta levemente. Neste
caso, embora o potencial tenha a mesma forma do caso sem b´arions (Ω
b
= 0),
sua representa¸c˜ao s´o pode ser obtida numericamente. Ainda deriva mos uma
express˜ao anal´ıtica para a idade do universo, que combinada `a indica¸c˜ao de ǫ
fornece um valo r acima de 13.7 bilh˜oes de anos.
Palavras chaves: Cosmologia: teoria - constante cosmol´ogica - campo
escalar - decaimento do v´acuo.
vi
Scalar field description for cosmologies with vacuum decay
by
Francisco Ernandes Matos Costa
Submetted to the Observat´orio Nacional do Rio de Janeiro on
July 30th, 2007, in partial fulfillment of the requeriments
for the Master’s degree in Astronomy
Abstract
This thesis investigates a scalar field description for a vacuum decay
scenario characterized by a dimensionless para meter ǫ, whose decay law was
deduced from its effects in the evolution of the dark matter density. Using a
method recently developed in the literature, we investigated the correspondence
between this scenario and a coupled quintessence model with a double expo nential
potentia l. By performing statistical analyses involving four independent
observational data sets we constrain the vacuum decay model parameters. The
interval allowed in the parametrical space Ω
m
− ǫ is very restricted, especially
the values of the decay parameter (ǫ < 0.1). In a case more realistical, where the
baryonic component Ω
b
is added to the model, the area of the confidence region
of the parameter space increases slightly. In this case, although the potential
has the same for m of the case without baryons (Ω
b
= 0), its representatio n can
be obtained only numerically. We also derived an analitical expression for the
universe age, whose prediction for va lues of ǫ in the above interval is 13.7 billion
of years.
Keys words: Cosmology: theory - cosmological constant - scalar field -
vacuum decay.
vii
Conte´udo
Agradecimentos iii
Resumo vi
Abstract vii
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xii
Nota¸c˜ao e Conven¸c˜oes xiii
Informa¸c˜ao eletrˆonica xiii
Introdu¸c˜ao 1
Cap´ıtulo 1: Energia Escura e a Constante Cosmol´ogica 5
1.1 O Universo em Expans˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 A Dinˆamica do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 A Constante Cosmol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Caracter´ısticas Geom´etricas de um Universo com Λ . . . . . . . . 16
Cap´ıtulo 2: O Problema da Constante Cosmol´ogica 19
2.1 V´acuo Quˆantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Intrepreta¸c˜ao F´ısica da Constante
Cosmol´o gica: Energia do V´acuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Algumas Solu¸c˜oes Poss´ıveis ao Problema da Constante Cosmol´ogica 25
2.3.1 Supersimetria SUSY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
viii
2.3.2 Princ´ıpio Antropol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Mecanismos de Ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Cap´ıtulo 3: Decaimento do V´acuo 28
3.1 Termo Cosmol´ogico Vari´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Leis de Decaimento do V´a cuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 O Modelo de Wang e Meng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Inserindo B´arions no Modelo de Wang e Meng . . . . . . . . . . . 37
3.5 A Idade do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Termodinˆamica do Decaimento do V´acuo . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Aspectos Observacionais do Decaimento do V´acuo . . . . . . . . . 46
Cap´ıtulo 4: A Vers˜ao de Campo Escalar 49
4.1 Correspo ndˆencia de Campo Escalar para Cosmologias com Λ
Vari´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 O Algor´ıtmo Te´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Vers˜ao de Campo Escalar para o Modelo de Wa ng e Meng . . . . 54
4.4 O Efeito dos B´a r io ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 A Dinˆamica do Universo na Presen¸ca do Campo Escalar Acoplado 57
Cap´ıtulo 5: Conclus˜oes e Perspectivas 60
Apˆendice A: Um Modelo Alternativo ao de Wang e Meng 63
Apˆendice B: Quintessˆencia Acoplada 66
Bibliografia 69
ix
Lista de Figuras
1-1 Esta ´e a composi¸c˜ao mais prov´avel para o universo, sugerida
pelas observa ¸c˜oes de SNe Ia, medidas das anisotropias na radia¸c˜a o
c´osmica de fundo e estimativas da quantidade de mat´eria escura e
bariˆonica em aglomerados de gal´axias. . . . . . . . . . . . . . . . 8
1-2 O comportamento da velocidade do universo (dq/dτ) em fun¸c˜ao
da posi¸c˜ao q = (1 + z)
−1
para diferentes modelos com Ω
r
=
2.56 ×10
−5
h
−2
e h = 0.5. As curvas foram parametrizadas para os
respectivos valores de Ω
m
= 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.8, 1.0 come¸cando
de baixo para cima [6] (Figura obtida da Ref. [44]). . . . . . . . . 17
3-1 A dependˆencia do redshift de transi¸c˜ao z
⋆
com o parˆametro ǫ dado
pela Eq. (3.18) para Ω
m,0
= 0.3 (Figura obtida da Ref. [32]). . . . 36
3-2 Comportamento do parˆametro de desacelera¸c˜ao q com o redshift z
para alguns va lo r es selecionados de ǫ, (Figura obtida da Ref. [33]). 38
3-3 O redshift de transi¸c˜ao z
⋆
como fun¸c˜ao do parˆametro ǫ para os
dois cen´arios: o discutido na Ref. [32] (inexistˆencia de b´ario ns -
linhas po ntilhadas) e o da Ref. [3 3] (que apresenta b´ario ns - linhas
s´olidas). (Figura obtida da Ref. [33]). . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3-4 Evolu¸c˜ao da idade do universo com o redshift para alguns valores
selecionados de ǫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3-5 Idade do universo como fun¸c˜ao do parˆametro ǫ. . . . . . . . . . . 42
3-6 O plano param´etrico Ω
m
−ǫ, para o cen´ario Λ(t)CDM da Ref. [32]
com duas regi˜oes de confian¸ca (68.3% e 95.4%), para uma an´alise
conjunta envolvendo dados de SNe Ia, CMB, BAO e estimativas
da evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble com o redshift. . . . . . . . . 46
x
3-7 Restri¸c˜oes no espa¸co param´etrico Ω
m
−ǫ, para o cen´ario Λ(t)CDM
da Ref. [33] com duas regi˜oes de confian¸ca (68.3% e 9 5.4%), obtida
a partir de uma an´alise conjunta envolvendo dados de SNe Ia,
CMB, BAO e estimativa s da evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble
com o redshift. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4-1 Comportamento do potencial escalar equivalente `a lei de
decaimento do v´acuo dada pela Eq. (3 .1 1) par a valores arbitr´arios
de x e de ǫ. O caso em que a componente bariˆonica ´e negligenciada
em H - linha pontilhada e o caso em que componente bariˆonica ´e
considerada em H - linha s´olida [102]. . . . . . . . . . . . . . . . . 56
xi
Lista de Tabelas
2.1 Contribui¸c˜ao esperada da energia do v´acuo. . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Exemplos de Leis Fenomenol´ogicas com Decaimento do V´acuo. . . 32
xii
Nota¸c˜ao e Conven¸c˜oes
• Assinatura da M´etrica: (+ − −−).
• Nesta disserta¸c˜ao adotaremos unidades com c = ¯h = 1, de modo que a
constante gravitacional de Einstein χ = 8πG.
• Quando o sub-´ındice 0 aparece `a frente de uma grandeza est´a indicando seu
valor tomado no tempo presente.
•
´
Indices gregos variam de 0 a 3.
´
Indices latinos variam de 1 a 3. E ´ındices
repetidos obedecem a conven¸c˜ao de Einstein.
• A unidade de distˆancia utilizada ´e o megaparcec (Mpc): 1Mpc = 3, 26 x
10
6
anos - luz = 3, 09 x 10
24
cm.
Informa¸c˜ao eletrˆonica
A grande maioria da referˆencias utilizadas nesta disserta¸c˜ao podem ser
encontradas nos seguintes s´ıtios:
• http://www.slac.stanford.edu/spires/
• http://adsbs.harvard.edu/article
service.html
• http://xxx.lanl.gov
xiii
Introdu¸c˜ao
A Cosmologia constitui a ´area da F´ısica que investiga a estrututra e evolu¸c˜ao
do universo como um todo. Sob esse ponto de vista, seu objetivo principal consiste
em estabelecer um modelo cosmol´ogico que prediga e explique os resultados das
observa¸c˜oes astronˆomicas. O primeiro modelo pa ra o universo foi proposto por
Einstein em 1917 [1]. Tal modelo, uma combina¸c˜a o do princ´ıpio cosmol´og ico
1
com a sua Teoria da Relatividade Geral (TRG), tinha como principal obst´aculo
`a pr´opria natureza da gravidade, que atuando sozinha deveria causar o colapso
do universo. Para evitar que o universo colapsasse sobre si mesmo, Einstein
introduziu em suas equa¸c˜oes de campo (ECE), a constante cosmol´ogica (Λ), um
termo dotado de um car´ater gravitacional repulsivo, que atua em largas escalas
compensando o efeito atrativo da gravidade. Dessa forma, ele obteve uma solu¸c˜ao
para suas equa¸c˜oes de campo que descrevia um universo est´atico, compat´ıvel com
as observa¸c˜oes vigentes na ´epoca. Em 192 2 e 1924, o matem´atico e meteorologista
russo Alexander Friedmann, encontrou duas solu¸c˜oes expansionistas das ECE
sem o termo cosmol´ogico [2, 3]. A credibilidade dessas solu¸c˜oes se acentuou em
1929, quando Hubble observou que a radia¸c˜ao proveniente de gal´axias distantes
exibia um desvio sistem´atico para o vermelho, proporcional a distˆancia em que
tais gal´axias se encontravam [4]. Essa rela¸c˜ao de proporcionalidade obtida a
partir de dados observacionais era condizente com as solu¸c˜oes expancionistas de
Friedmann, raz˜ao pela qual Einstein abandonou seu termo cosmol´ogico.
No entanto, ao longo da hist´oria da Cosmologia moderna, a constante
cosmol´ogica ressurgiu in ´umeras outras vezes afim de compatibilizar a t eoria com
as observa¸c˜oes vigentes [5, 6, 7, 8, 9]. Um momento particularmente importante
em que o termo cosmol´ogico voltou a tona, foi no final da d´ecada de 60, quando
1
O princ´ıpio cosmol´ogico estabelece que o conte´udo material no universo se distribui
homogˆe nea e isotropicamente.
1
Zeldovich mostrou que o tensor energia-momento do estado de v´acuo, resultante
de flutua¸c˜oes quˆanticas da energia de po nto zero dos campos quˆanticos, tinha as
mesmas propriedades de uma constante cosmol´ogica [10]. Desde ent˜ao, o termo
cosmol´ogico passou a ser associado `a energia do v´acuo e a F´ısica Te´orica passou
a ser seu maior reduto.
Na d´ecada de 80, houve avan¸cos significativos na interface unindo F´ısica
de Part´ıculas, Cosmologia e Astrof´ısica [11]. Do ponto de vista te´or ico, essa
uni˜ao tem-se mostrado extremamente produtiva para ambas as partes. Por
um lado, o universo primitivo disponibiliza escalas alt´ıssimas de energias e
temperaturas, funcionando como ´unico laborat´o r io capaz de testar as teorias
de grande unifica¸c˜ao. Por outro lado, a aplica¸c˜ao de m´etodos e t´ecnicas dessas
teorias `a Cosmologia possibilitou abordar quest˜o es fundamentais que, at´e ent˜a o,
n˜ao podiam ser questionadas formalmente como, por exemplo, a existˆencia de
uma singularidade inicial [12], a assimetria existente entre mat´eria-antimat´eria
[5], a origem do espectro de flutua¸c˜oes na densidade que originaram mais ta rde as
estruturas que observamos hoje [13], assim como o porquˆe do valor da densidade
de energia ser muito pr´oxima do valor cr´ıtico [14]. G r a¸cas a essa uni˜ao, esses
problemas passaram a ser questionados e alguns deles g anharam explica¸c˜oes
plaus´ıveis.
Apesar dessa uni˜ao ter trazido bons resultados, ela trouxe tamb´em um grave
problema: a compreens˜ao das consequˆencias f´ısicas da energia do v´acuo para
a geometria do universo. Do ponto de vista da Teoria Quˆantica de Campos,
o estado de v´acuo ´e descrito como sendo um borbulhar de part´ıculas virtuais
que est˜ao a todo momento sendo criadas e destru´ıdas. Contudo, a densidade de
energia associada a esse estado ´e extremamente alta [10, 12]. Nesse contexto,
esse fato n˜ao ´e problem´atico, uma vez que o importante s˜ao as diferen¸cas de
energia e n˜ao o valor absoluto da mesma. Entretanto, no contexto cosmol´ogico,
toda forma de energia atua como fo nte do campo gravitacional. Como cada
campo quˆantico contribui com uma quantidade de energia muito alta para a
energia efetiva do v´acuo, e esta, por sua vez, ´e dada pela a soma das energias
do estado fundamental de todos os campos existentes no universo, dever´ıamos
observar os efeitos dessa energia em escalas universais atrav´es de uma constante
cosmol´ogica efetiva extremamente alta. Uma vez que a estrutura geom´etrica do
universo ´e muito sens´ıvel ao valor da constante cosmol´ogica, se a densidade de
2
energia do v´acuo fosse t˜ao grande quanto prevista por essas teorias, o universo
em que vivemos seria dra sticamente diferente (veja, e.g., [15] para uma discuss˜ao
qualitativa desse pro blema).
Para agravar ainda mais a situa¸c˜ao, resultados observacionais recentes, tais
como medidas de distˆancia-luminosidade a partir de supernova s do tipo Ia
(SNe Ia) [16, 17, 18, 19], anisotropias na radia¸c˜ao c´osmica de fundo (RCF)
[20], estimativas da fra¸c˜ao de mat´eria escura e bariˆonica em aglomerados de
gal´axias [21] e estimativas da idade do universo [22, 23, 24] indicam que
vivemos em um universo espacialmente plano e que se expande aceleradamente,
sendo que, cerca de 70% de seus constituintes est˜ao na forma de uma
componente ex´otica denominada energia escura, cujo candidato mais prov´avel
´e a constante cosmol´ogica. Essas indica¸c˜oes observacionais para o valor da
constante cosmol´ogica est˜ao entre 50 − 120 ordens de magnitudes abaixo das
previs˜oes te´oricas. Ta l discrepˆancia constitui o chamado problema da constante
cosmol´ogica [5, 6, 7, 9]. Este problema tem-se mostrado t˜ao impass´ıvel de solu¸c˜ao
que alguns autores o comparam com os resultados nulos das experiˆencias de
Michelson-Morley no final do s´eculo XIX e que s´o uma nova teoria fundamental
da F´ısica poderia resolvˆe-lo [25].
Teorias ainda n˜ao muito bem estabelecidas tamb´em n˜ao oferecem uma
explica¸c˜ao satisfat´oria ao problema da constante cosmol´ogica. Diante desse
dilema, surgiram no final da d´ecada de 80 v´arias propostas fenomenol´ogicas
como tentativas de resolvˆe- lo . Nessas propostas, o termo cosmol´og ico ´e pensado
como sendo uma entidade dinˆamica que varia ao longo da expans˜ao do universo
[26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33]. Em tais modelos, n˜ao se chega propriamente a uma
solu¸c˜ao do problema, mas permite que ele seja reformulado de modo a indicar um
novo caminho ainda n˜ao considerado. Dessa forma, sugerem-se leis baseadas em
argumentos f´ısicos plaus´ıveis, onde o termo cosmol´ogico ´e uma fun¸c˜ao decrescente
do tempo. Apesar de alguns desses modelos explicarem de maneira razo´avel o
universo o bserva do , eles n˜ao s˜ao derivados de primeiros princ´ıpios. No sentido de
estabelecer um status melhor para esses cen´arios fenomenol´ogicos faz-se necess´ario
relacion´a-los de alg uma maneira a teorias mais fundamentais.
Um caminho poss´ıvel para chegar a esse proposito ´e fa zendo uma descri¸c˜ao de
campo escalar para tais modelos. Uma vez que teoria s de part´ıculas element ares
prevˆeem a existˆencia de tais campos em determinadas condi¸c˜oes de energia e
3
temperaturas pelas quais acredita-se que o universo tenha passado.
´
E nesse
contexto que se insere as linhas gerais deste trabalho, descrito a seguir.
No Cap´ıtulo 1, revisaremos o novo cen´a r io cosmol´ogico padr˜ao que emergiu
ap´os a descob erta da acelera¸c˜ao c´osmica em 1 998, enfatizando, principalmente,
a constante cosmol´ogica como sendo o candidato mais prov´avel `a energia escura.
Tamb´em discutiremos as caracter´ısticas geom´etricas de um universo que evolui na
presen¸ca de uma constante cosmol´ogica. No segundo Cap´ıtulo, descreveremos o
v´acuo visto como o estado fundamental dos campos quˆanticos com uma densidade
de energia extremamente alta, o que origina o problema da constante cosmol´o gica.
Na parte final deste Cap´ıtulo, discutiremos algumas solu¸c˜oes poss´ıveis para esse
problema, sob o ponto de vista de teorias n˜ao completamente estabelecidas. No
Cap´ıtulo 3, investigaremos algumas solu¸c˜oes fenomenol´ogicas para o problema da
constante cosmol´ogica, dando um destaque especial aos cen´arios de decaimento
do v´a cuo das Refs. [32, 33]. Neste sentido discutiremos as consequˆencias de
um t ermo cosmol´ogico vari´avel na evolu¸c˜ao do universo. No quarto Cap´ıtulo,
faremos uma descri¸c˜a o de campo escalar para os cen´arios de decaimento do v´acuo
discutidos no Cap´ıtulo 3. N´os mostraremos que o potencial de campo escalar
equivalente a lei de decaimento proposta na Ref. [32] ´e um duplo potencial
exponencial, cujos limites assint´oticos s˜ao perfeitamente condizentes com a lei
de decaimento correspondente, ou seja, a mbas as descri¸c˜oes fornecem a mesma
dinˆamica para o universo. Finalmente, com intuito de facilitar uma eventual
consulta por parte de pesquisadores interessados nos a ssuntos aqui tratados,
mencionamos que as contribui¸c˜oes originais do presente trabalho encontram-se
nos Cap´ıtulos 3, 4 e tamb´em no Apendice A. Tais resultados est˜ao contidos na
seguinte referˆencia: F. E. M. Costa, J. S. Alcaniz and J. M. F. Maia, Dark Energy
and Attenuated Dilution of Dar k Matter (submetido para publica¸c˜ao).
4
Cap´ıtulo 1
Energia Escura e a Constante
Cosmol´ogica
1.1 O Universo em Expans˜ao
As premissas observacionais sobre a expans˜ao do universo foram
primeiramente apresentadas por Slipher e finalmente descobertas por Hubble em
1929, quando este observou que a luz proveniente de gal´axias distantes exibia
um desvio sistem´atico para o vermelho [4]. A partir dessas observa¸c˜oes, Hubble
obteve uma rela¸c˜ao linear entre a distˆancia r de um dado o bjeto e sua velocidade
de recess˜ao v
v = H(t)r, (1.1)
onde
H(t) =
˙a
a
, (1.2)
´e o parˆametro de Hubble, uma fun¸c˜ao do tempo cosmol´ogico que quantifica a taxa
de expans˜ao do universo e a ´e o fator de escala. Por ter dimens˜ao de inverso de
tempo [T]
−1
, o parˆametro de Hubble fornece naturalmente uma escala de tempo
para o universo, sendo seu atual valor expresso como H
0
= 100hkms
−1
Mpc
−1
,
onde h ´e um parˆametro adimensional que representa nossa ignorˆancia sobre o
5
exato valor de H
0
. Observacionalmente, o valor de h gira em torno de ≈ 0.72±0.07
[34, 35].
Por causa da expans˜ao, a distˆancia f´ısica entre as gal´axias est´a aumentando
com o tempo, ou seja, as gal´axias est˜ao se afastando umas das outras. Essa
argumenta¸c˜ao, entretanto, ´e aplicada somente `as gal´axias que est˜ao separadas o
suficiente para que os efeitos gravitacionais locais n˜ao sejam importantes. Para
o Grupo Local, por exemplo, tal argumento n˜ao ´e aplic´avel. Pelo contr´ario, em
sistemas desse tipo, ligados gr avitacionalmente, a instabilidade tende a a glomerar
cada vez mais seus constituintes em sistemas mais compactos, de t al maneira a
separ´a-los da expans˜ao universal.
A maioria das gal´axias observa das por Hubble tinha um espectro de emiss˜ao
deslo cados pa ra comprimentos de ondas maiores, o que para uma dada fonte
define o parˆametro de redshift
z =
λ
0
− λ
e
λ
e
, (1.3)
onde λ
e
´e o comprimento de onda emitido pela fonte e λ
0
´e o comprimento de
onda medido pelo o bserva do r. Como o comprimento de onda aumenta com a
expans˜ao do universo, ou seja, λ(t) ∝ a(t), o redshift z e o fator de escala a(t)
est˜ao relacionados por [36]
1 + z =
a
0
a(t)
, (1.4)
onde o sub-´ındice 0 indica que a grandeza foi tomada no tempo presente e de
agora em diante consideraremos a
0
= 1.
Como o universo est´a em expans˜ao, ´e razo´avel pensar que em algum momento
do passado todos os seus constituintes deveriam estar muito pr´oximos uns dos
outros. De fato, pode-se chegar a esse resultado a partir de um exame da fun¸c˜a o
que caracteriza a taxa de expans˜ao do universo. Ela mostra que em um tempo
finito do passado c´osmico, desenvolveu-se uma singularidade, isto ´e, em todos
os pontos do espa¸co-tempo as quantidades f´ısicas como press˜ao, densidade de
energia, temperatura, bem como as propriedades geom´etricas associadas, tais
6
como a curvatura do espa¸co-tempo, se tornaram divergentes. Dessa f orma, o
universo teria come¸cado a expandir-se a partir desse estado singular. Portanto ,
se considerarmos que os constituintes partiram dessa singularidade com uma
velocidade v
i
e hoje est˜ao com uma velocidade v
0
, devido `a gravidade ser atrativa,
devemos ter v
i
> v
0
, ou seja, a expans˜ao do universo deve ser desacelerada [veja
Sec¸c˜ao 2]. No entanto, observa¸c˜oes recentes utilizando supernovas do tipo Ia,
como vela padr˜ao, em altos redshifts [16, 17, 18, 19], indicam que o universo vem
passando por uma fase de expans˜ao acelerada, contrariando o que se pensava at´e
ent˜ao.
No contexto da Relatividade Geral, esse resultado observacional s´o pode ser
explicado se admitirmos a existˆencia de uma componente ex´otica, denominada
energia escura, que domina a fa se atual de expans˜ao do universo. Contrariamente,
`a mat´eria escura, que se aglomera gravitacionalmente, essa componente possui
um efeito gravitacional l´ıquido repulsivo. Al´em disso, n˜a o ´e prevista por nenhuma
Teoria F´ısica de Part´ıculas Elementares (para uma revis˜a o veja [6, 7, 8, 37]). Ta l
componente pode ser pa rametrizada por uma equa¸c˜ao de estado do tipo
p = ωρ, (1.5)
com −1 ≤ ω ≤ −1/3. De um modo geral, ω ´e um parˆametro que caracteriza
a constitui¸c˜a o b´asica do universo numa determinada era c´osmica.
´
E importante
ressaltar que os demais fluidos cosmol´ogicos tamb´em obedecem `a Eq. (1.5), mas
neste caso, os valores de ω est˜ao fora do intervalo a cima.
Ainda do ponto de vista observacional, outros resultados independentes como,
medidas das anisotropias na radia¸c˜ao c´osmica de fundo, que aponta para um
universo espacialmente plano, juntamente com estimativas da quantidade de
mat´eria escura e ba riˆonica em aglomerados de gal´axias, sugerem tamb´em a
existˆencia de uma energia escura. De acordo com essas observa¸c˜oes, a constitui¸c˜ao
do universo pode ser bem representada pelo diagrama mostrado na Fig. (1.1).
Note que, cerca de 2/3 da composi¸c˜ao do universo est˜ao na forma de energia
7
Figura 1-1: Esta ´e a composi¸c˜a o mais prov´avel para o universo, sugerida pelas
observa¸c˜oes de SNe Ia, medidas das anisotropias na radia¸c˜ao c´osmica de fundo
e estimativas da quantidade de mat´eria escura e bariˆonica em aglomerados de
gal´axias.
escura. Isto significa que, para melhor entendˆe-lo, ´e necess´ario compreender,
primeiramente, a natureza dessa componente ex´otica.
1.2 A Dinˆamica do Universo
`
A suposi¸c˜ao b´asica de que o conte´udo material no universo se distribui
homogˆenea e isotropicamente implica que a geometria do espa¸co-tempo pode
ser descrita pelo elemento de linha de Friedmann-Robertson-Walker (FRW)
ds
2
= dt
2
− a
2
(t)
dr
2
1 − kr
2
+ r
2
dθ
2
+ r
2
sen
2
θdφ
2
, (1.6)
8
onde o fator de escala a(t) ´e uma fun¸c˜ao apenas do tempo e k ´e o pa rˆametro
de curvatura, podendo assumir os valores k = 0, ±1, o que representa universos
planos, fechados ou abertos, respectivamente. Para universos cuja geometria
´e descrita pela Eq. (1.6), est´a associado um referencial com´ovel, ou seja, os
observadores tˆem coordenadas (r, θ, φ) fixas, implicando numa velocidade nula
peculiar a cada observador. Al´em disso, todas as quantidades s´o dependem do
tempo. Note ainda que, as coordenadas est˜ao multiplicadas por uma fun¸c˜ao do
tempo, representando a expans˜ao do universo, discutida na sec¸c˜ao anterior.
A dinˆamica do universo ´e obtida a partir das equa¸c˜oes de campo da Teoria
da Relatividade Geral que s˜ao escritas na seguinte forma:
G
µν
= R
µν
−
1
2
g
µν
R = χT
µν
, (1.7)
onde G
µν
´e tensor de Einstein, R
µν
e R s˜ao respectivamente o tensor e o escalar
de curvatura de R icci, T
µν
´e o tensor energia-momento de todos os componentes
do universo (mat´eria, radia¸c˜ao e energia escura) e χ ´e uma constante igual a
8πG. Para campos gravitacionais fracos e velocidades n˜ao relativ´ısticas, a lei
Newtoniana da gravita¸c˜ao pode ser obtida como um caso particular das Eqs.
(1.7) [38].
Qualitativamente, essas equa¸c˜oes estabelecem como o conte´udo energ´etico
perturba a geometria ao seu redor ou, simetricamente, como a geometria
do espa¸co-tempo determina a distribui¸c˜ao de mat´eria-energia `a sua volta, de
maneira que as leis de conserva¸c˜a o sejam automaticamente satisfeitas. Note que,
existe portanto, um compromisso entre a geometria do universo e seu conte´udo
energ´etico. Dessa forma, s´o ´e poss´ıvel obter express˜oes para a evolu¸c˜ao temp oral
do fator de escala admitindo uma forma para o tensor energia-momento.
A part ir das hip´oteses de homogeneidade e isotropia, o conte´udo energ´etico
deve ser descrito pelo tensor energia-momento de um fluido perfeito, ou seja
T
µν
= (ρ + p)u
µ
u
ν
− pg
µν
, (1.8)
9
onde ρ ´e a densidade de energia e p ´e a press˜ao do fluido, ambas medidas por um
observador com´ovel (u
µ
= δ
o
µ
). Para esse observador, as Eqs. (1.7) se reduzem a
8πGρ = 3
˙a
2
a
2
+ 3
k
a
2
, (1.9)
8πGp = −2
¨a
a
−
˙a
2
a
2
−
k
a
2
. (1.10)
Combinando as equa¸c˜oes acima, ´e poss´ıvel encontrar uma equa¸c˜ao de
conserva¸c˜ao pa ra a energia,
˙ρ + 3
˙a
a
(ρ + p) = 0, (1.11)
a qual tamb´em pode ser obtida projetando a divergˆencia do tensor de energia-
momento na dire¸c˜ao da quadrivelocidade (u
µ
T
µν
;ν
= 0). Ainda ´e poss´ıvel combinar
as Eqs. (1.9) e (1.10), de tal maneira que se possa encontrar uma express˜a o para
a acelera¸c˜ao do universo independentemente de sua curvatura
¨a
a
= −
4πG
3
(ρ + 3p). (1.12)
Note que para um fluido usual que satisfaz a condi¸c˜ao de energia forte (ρ+3 p ) ≥ 0
[39], a expans˜ao do universo ´e sempre desacelerada.
Considerando agora k = 0 (universo plano), a Eq. (1.9) nos fornece ainda
uma densidade cr´ıtica,
ρ
c
=
3H
2
8πG
. (1.13)
Dessa maneira, pode-se definir um parˆametro de densidade
Ω
i
=
ρ
i
ρ
c
, (1.14)
onde i = m, r, x com m representando mat´eria, r radia¸c˜ao e x energia escura.
10
Um outro parˆametro relevante ´e o de desacelera¸c˜ao q, definido como
q = −
a¨a
˙a
2
. (1.15)
Toda a dinˆamica do universo pode ser o btida a partir das equa¸c˜oes diferenciais
(1.9), (1.10) e (1.11). Para tanto, faz-se uso de um v´ınculo estabelecido atrav´es
de uma equa¸c˜ao de estado p = ωρ. Resolvendo, por exemplo, a equa¸c˜ao de
conserva¸c˜ao de energia obtem-se como a densidade de uma componente va r ia
com o redshift ou, equivalentemente, com o fator de escala
ρ(z) = ρ
0
exp
a
a
0
3 [1 + ω(z)] d ln(1 + z)
. (1.16)
Para o caso em que ω ´e constante, a integral acima ´e fa cilmente resolvida,
resultando em
ρ
i
(t) ∝ a(t)
−3(1+ω)
. (1.17)
Nos seus est´agios iniciais, o universo foi dominado por radia¸c˜ao (ω = 1/3),
dessa forma, a equa¸c˜ao acima se reduz a
ρ
r
(t) ∝ a(t)
−4
. (1.18)
Para a mat´eria n˜ao relativ´ıstica (poeira) a press˜ao ´e nula, portanto, sua densidade
escala com
ρ
m
(t) ∝ a(t)
−3
. (1.19)
Os expoentes nas Eqs. (1.18) e (1.19) podem ser entendidos qualitativamente
da seguinte forma: `a medida que o universo expande, a densidade de mat´eria
cai inversamente proporcional ao aumento de seu volume. No caso da radia¸c˜a o,
al´em da diminui¸c˜ao devido `a expans˜ao, h´a mais um fator de a(t)
−1
devido ao
comprimento de onda ser proporcional ao fator de escala. Como a mat´eria decai
com uma potˆencia menor que a radia¸c˜ao em algum momento da hist´oria c´osmica
a mat´eria passou a ser o constituinte dominante do universo e deveria, a princ´ıpio,
11
dominar a sua atual fa se de expans˜ao. Entretanto, conforme mencionado
anteriormente, observa¸c˜oes recentes envolvendo supernovas do tipo Ia ( SNe Ia),
indicam que o universo estar passando por uma fase de expans˜ao acelerada, sendo
portanto, dominado por uma componente ex´otica (energia escura) cuja densidade
de energia evolui de acordo com a Eq. ( 1.16).
O candidato mais simples e natural `a energia escura ´e a constante cosmol´ogica
(Λ), cuja equa¸c˜ao de estado ´e (p
Λ
= −ρ
Λ
), [veja a demonstra¸c˜ao na Sec¸c˜ao 2.2],
o que equivale a
ρ
Λ
= constante. (1.20)
Outro forte candidato `a energia escura, que tem sido bastante discutido na
literatura, ´e um campo escalar φ rolando lentamente para o m´ınimo de seu
potencial V (φ). O t ensor energia-momento de tal campo tem a seguinte forma
T
µν
= ∂
µ
φ∂
ν
φ − g
µν
1
2
∂
α
φ∂
α
φ − V (φ)
. (1.21)
Considerando φ como sendo espacialmente homogˆeneo, a s ´unicas componentes
que n˜ao se anulam s˜ao: T
00
, T
11
, T
22
e T
33
. Assim,
T
00
=
1
2
˙
φ
2
+ V (φ) (1.22)
e
T
11
= T
22
= T
33
=
1
2
˙
φ
2
− V (φ). (1.23)
Da Eq. (1.8) tem-se que T
00
= ρ e 1/3
i
T
ii
= p, logo
ρ
φ
=
1
2
˙
φ
2
+ V (φ) (1.24)
e
p
φ
=
1
2
˙
φ
2
− V (φ), (1.25)
12
o que implica numa equa¸c˜ao de estado escrita na seguinte forma
ω
φ
=
1
2
˙
φ
2
− V (φ)
1
2
˙
φ
2
+ V (φ)
. (1.2 6)
Um campo escalar (φ) rolando lentamente para o m´ınimo de seu potencial
V (φ) pode acelerar o universo, uma vez que, o campo estando nessas condi¸c˜o es
o termo cin´etico do mesmo se t orna menor que o seu potencial resultando em
press˜ao negativa, que ´e a exigˆencia b´asica da RG para acelerar o universo.
Quando o campo chega ao m´ınimo de seu potencial a equa¸c˜ao de estado do campo
torna-se igual a equa¸c˜ao de estado do termo cosmol´ogico.
´
E imp ortante lembrar
que modelos cosmol´ogicos com campos escalares j´a vinham sendo utilizados,
anteriormente `as observa¸c˜oes de SNe Ia, para modelar cen´arios inflacion´arios
e a mat´eria escura [40, 41].
Resolvendo agora a Eq. (1.9) encontra-se o fator de escala como fun¸c˜ao do
tempo
a(t) ∝ t
2/3(1+ω)
, (1.27)
onde foi assumido k = 0 e ω constante. No caso da mat´eria, tem-se a(t) ∝ t
2/3
e para a radia¸c˜ao a(t) ∝ t
1/2
. Note que, qualquer componente com ω negativo,
implica num ´ındice maior para o expoente de t. Isto, por sua vez, significa uma
idade maio r para o universo, podendo portanto, amenizar o chamado problema
da idade (veja [42, 43] para uma discuss˜ao mais detalhada).
1.3 A Constante Cosmol´ogica
A constante cosmol´ogica apareceu pela primeira vez na F´ısica em 1917 com
Einstein. Conforme discutido a nteriormente, ele a introduziu em seu modelo
cosmol´ogico a fim de compatibilizar a teoria com as observa¸c˜oes vigentes da ´epoca
de um universo est´atico. Descreveremos a seguir como Λ pode ser intro duzido
nas ECE. O procedimento descrito aqui pode ser encontrado na Ref. [6].
13
As equa¸c˜oes de campo da TRG podem ser obtidas variando a a¸c˜ao seguinte
com respeito ao tensor m´etrico
A =
1
16πG
R
√
−gdx
4
+
L(q, ˙q)
√
−gdx
4
, (1.28)
onde L(q, ˙q) ´e a lagrangeana dos campos de mat´eria que depende das vari´aveis
dinˆamicas (q, ˙q), e g ´e o determinante do t ensor m´etrico. A varia¸c˜ao dessa a¸c˜ao
com respeito as vari´aveis dinˆamicas resulta na equa¸c˜ao de movimento do sistema
δL
δq
= 0. (1.29)
Se definirmos uma nova lagrangeana L
′
= L − Λ/8πG, onde Λ ´e uma constante,
isto n˜a o altera a dinˆamica do sistema. Mas, na a¸c˜ao, aparece agora um termo
proporcional a Λ, isto ´e,
A =
1
16πG
R
√
−gdx
4
+
L(q, ˙q) −
Λ
8πG
√
−gdx
4
, (1.30)
ou ainda,
A =
1
16πG
(R − 2Λ)
√
−gdx
4
+
L(q, ˙q)
√
−gdx
4
, (1.31)
de tal maneira que as Eqs. (1.7) s˜ao modificadas, resultando em
G
µν
= R
µν
−
1
2
g
µν
R + Λg
µν
= χT
µν
. (1.32)
Dessa maneira, ´e poss´ıvel modificar a teoria , sem alterar a dinˆamica dos
campos de mat´eria. O termo cosmol´o gico ( Λ), que aparece nas express˜oes acima
po de, a princ´pio, ser positivo, negativo ou nulo. Se positivo implica em um
efeito gravitacional repulsivo em grandes escalas. E dessa forma, a constante
cosmol´ogica contrabalancia o efeito at r ativo da gravidade. Por outro lado, um
termo cosmol´ogico negativo resulta em uma for¸ca atrativa, fazendo com que o
universo entre em colapso a p´os uma fase de expans˜ao. Ent˜ao, note que, uma
14
constante cosmol´ogica positiva possibilitou Einstein, a partir de suas equa¸c˜oes de
campo, construir um modelo cosmol´ogico compat´ıvel com a id´eia de um universo
est´atico [1]. Entretanto, seu modelo possuia um ponto fraco: sua teoria dependia
do sinal e do valor de Λ precisamente ajustado para obter o equil´ıbrio perfeito
entre o efeito at rativo da gravidade e o repulsivo ocasionado pela constante
cosmol´ogica positiva.
Conforme mencionado a nteriormente, ap´os a descoberta da expans˜ao do
universo, Einstein abandonou o termo cosmol´ogico. No entanto, a o longo da
hist´oria da Cosmologia moderna, a constante cosmol´ogica foi invocada in´umeras
outras vezes a fim de compatibilizar os dados observacionais da ´epoca com a teoria
vigente. Essa constante, aparentemente de um valo r muito pequeno, desempenha
um papel muito importante tanto em Cosmologia quanto em F´ısica de Part´ıculas
[veja Cap´ıtulo 2]. Ent endˆe-la ´e um dos maiores e mais fascinantes problemas da
F´ısica Te´orica atual [6]. A natureza de sua interpreta¸c˜ao depende das duas Eqs.
(1.30) e (1.31).
A primeira interpreta¸c˜ao, baseada na Eq. (1.30), considera Λ como um
deslo camento na Hamiltoniana dos campos de mat´eria. Isto pode ser pensado
como sendo um deslocament o na energia de ponto zero de um sistema material, de
maneira que a energia associada `a constante Λ n˜ao afeta a dinˆamica dos campos
de mat´eria, a penas contribui para a energia total. Assim, as ECE podem ser
escritas como
R
µν
−
1
2
g
µν
R = χ
T
µν
+
Λ
8πG
g
µν
. (1.33)
J´a na interpreta¸c˜ao proveniente da Eq. (1.31), considera-se um campo
gravitacional, descrito por uma La grangeana na forma L
grav
∝ (1/G)(R − 2Λ).
Nesta interpreta¸c˜ao, a g r avidade ´e descrita por duas constantes G e Λ, e o lado
esquerdo das equa¸c˜oes de Einstein ´e que ´e modificado
R
µν
−
1
2
g
µν
R + Λg
µν
= χT
µν
. (1.34)
´
E bem verdade que desde os trabalhos de Zeldovich em 1968 [10], mostrando
15
que o v´acuo possui propriedades idˆenticas a de uma constante cosmol´ogica
(p
v
= −ρ
v
), essas duas vers˜oes tˆem sido combinadas. Portanto, em geral, se
fala em uma constante cosmol´ogica efetiva que seria a soma de uma constante
intr´ınsica Λ mais a contribui¸c˜ao do v´acuo 8πGρ
v
. O problema ´e que observa ¸c˜oes
astronˆomicas recentes de SNe Ia combinadas com os ´ultimos resultados da RCF
e estimativas da quantidade de mat´eria escura e bariˆonica em aglomerados de
gal´axias, sugerem que
Ω
Λ
ef
≃
ρ
Λ
ef
ρ
c
= 0.7 (1.35)
onde ρ
c
= 1.88 ×10
−29
h
2
g/cm
3
≈ 10
−47
GeV
4
. Este valor, por sua vez, est´a entre
50 − 120 ordens de grandezas a baixo das estimativas dada pela Teoria Quˆantica
de Campos. A dificuldade em explicar tal discrepˆancia ´e conhecido como o
problema da constante cosmol´ogica, e constitui um dos principais problemas da
F´ısica Te´orica atual [5, 6, 7, 10]. D iscutiremos detalhadamente esse problema e
algumas poss´ıveis solu¸c˜oes nos Cap´ıtulos 2 e 3.
1.4 Caracter´ısticas Geom´etricas de um
Universo com Λ
De acordo com a TRG, a estrutura geom´etrica do espa¸co-tempo ´e
completamente determinada pelo seu conte´udo material. Nesse sentido, um
universo cujos constituintes s˜ao campos atrativos de mat´eria (e.g., poeira e
radia¸c˜ao) tem geometria fechada se sua densidade for maior que a densidade
cr´ıtica. Neste caso, o universo ap´os uma fase de expans˜ao come¸car´a colapsar (big
cruch). Do contr´ario, sua geometria ser´a aberta, e, finalmente, se a sua densidade
for igual a cr´ıtica ter´a uma geometria plana. Nesses dois ´ultimos casos o universo
expandir´a para sempre. No entanto, essas caracter´ısticas mudam radicalmente se
o universo evolui na presen¸ca de uma fonte que viola a condi¸c˜ao de energia forte
ρ+3p ≥ 0 [39]. A constante cosmol´ogica viola essa condi¸c˜ao se ρ
Λ
ef
> ρ
m
/2 e, na
sua presen¸ca, o universo pode, por exemplo, ser fechado e expandir para sempre.
16
Figura 1-2: O compo rt amento da vel ocidade do universo (dq/dτ) em fun¸c˜ao da
posi¸c˜ao q = (1 +z)
−1
para diferentes modelos com Ω
r
= 2.56×10
−5
h
−2
e h = 0.5.
As curvas foram parametrizadas para os respectivos valor es de Ω
m
= 0.1, 0.2, 0.3,
0.5, 0.8, 1.0 come¸cando de baixo para cima [6] (Figura obtida da Ref. [44]).
Para investigarmos o s efeitos da constante cosmol´ogica sobre a geometria do
universo, vamos considerar um modelo em que os constituintes do universo s˜ao:
radia¸c˜ao, mat´eria e constante cosmol´ogica. Nesse sentido, vamos primeiramente
introduzir uma coordenada de tempo adimensional τ = H
0
t e escrever a = q, de
tal maneira que a Eq. (1.9) pode ser reescrita obedecendo a mesma estrutura de
uma equa¸c˜ao que descreve o movimento de uma part´ıcula com energia E em um
potencial V (q), ou seja, [6]
1
2
dq
dτ
2
+ V (q) = E, (1.36)
17
onde
V (q) = −
1
2
Ω
r
q
2
+
Ω
m
q
+ Ω
Λ
q
2
(1.37)
e
E =
1
2
(1 − Ω
i
). (1.38)
Na Fig. (2) mostramos o comportamento da ve locidade (dq/dτ) como fun¸c˜ao
da posi¸c˜ao q = (1 + z)
−1
para esses modelos. Note que, para q muito pequeno
(altos redshifts), o universo ´e dominado por radia¸c˜ao e a ve l ocidade ´e independente
dos outros parˆametros cosmol´ogicos e todas as curvas s˜ao assintoticamente muito
pr´oximas. Para baixos redshifts, a presen¸ca da constante cosmol´ogica altera o
comportamento, e a fun¸c˜ao da velocidade muda de decrescente para crescente. A
constante cosmol´ogica acelera, portanto, o universo em baixos redshifts.
No caso de um universo constitu´ıdo somente com mat´eria n˜ao r elativ´ıstica
e constante cosmol´ogica o potencial em (1.37) varia com (−a
−1
) para pequenos
valores de a e (−a
2
) para a grande. O m´aximo valor est´a em q = q
max
=
(Ω
m
/2Ω
Λ
)
1/3
. Quando a part´ıcula est´a no topo do potencial, pode-se ainda obter
uma solu¸c˜ao est´atica (¨a = ˙a = 0), ajustando os valores da constante cosmol´ogica,
da densidade de energia e tomando k = 1, i.e,
Λ
crit
= 4πGρ
m
=
1
a
2
0
. (1.39)
Esta solu¸c˜ao foi originalmente proposta por Einstein, quando ele introduziu a
constante cosmol´o gica em seu modelo de universo est´atico. Obviamente essa
solu¸c˜ao ´e muito inst´avel, qualquer desvio da posi¸c˜ao de equil´ıbrio ocasiona um
universo dinˆamico.
18
Cap´ıtulo 2
O Problem a da Constante
Cosmol´ogica
2.1 V´acuo Quˆanti co
Quando uma part´ıcula de massa m est´a se movendo sobre a influˆencia de
um potencial V = kq
2
/2 (oscilador harmˆonico t´ıpico), espera-se classicamente
que tanto sua energia cin´etica como sua energia potencial, no estado mais baixo
(q = 0) sejam nulas. Assim, no cen´ario cl´assico, o v´acuo ´e visto como sendo o
estado que apresenta energia e momento nulos. Entretanto, do ponto de vista da
Mecˆanica Quˆantica a situa¸c˜ao muda completamente. O princ´ıpio da incerteza de
Heinsenberg impede que posi¸c˜ao e momento sejam mensurados simultaneamente.
Portanto, a part´ıcula n˜ao pode mais ser vista numa posi¸c˜ao fixa, apenas num
intervalo de localiza¸c˜ao ∆q. D ecorre desse resultado que, todo sistema f´ısico
em seu estado fundamental (estado de v´acuo) apresenta uma energia m´ınima
diferente de zero dada por E
m
= ω/2, onde ω = k/m [45].
A vers˜ao relativ´ıstica da Mecˆanica Quˆantica, a Teoria Quˆantica de Campos,
estabelece que todo camp o quˆantico pode ser tratado como sendo um conjunto
infinito de osciladores independentes com frequˆencia ω( k). A energia do estado
fundamental do campo deve ser dada pela soma de todas as energias de ponto
19
zero de cada oscilador que contribui individualmente com ω/2. Assim, tem-se
que
E
m
=
k
ω(k)/2. (2.1)
A rela¸c˜ao de incerteza imp˜oe, p ortanto , que um campo no seu estado fundamental
possui energia n˜ao nula (isto ocorre porque os campos flutuam em torno de suas
posi¸c˜oes de equil´ıbrio). O efeito Casimir
2
constitui uma evidˆencia experimental
indireta da existˆencia dessas flutua¸c˜oes do v´acuo [5, 46].
Como o conjunto de osciladores que constitui o campo ´e infinito, a soma
discreta acima pode ser transformada numa soma cont´ınua. Dessa forma, a
densidade de energia do estado f undamental de um campo escalar de massa m,
por exemplo, ´e dada por
ρ
v
=
1
4π
2
∞
0
√
k
2
+ m
2
k
2
dk, (2.2)
(para maiores detalhes, veja [7, 46]). A rela¸c˜ao acima mostra que a densidade
de energia do v´acuo ´e uma quantidade divergente, uma vez que o n´umero de
osciladores harmˆo nicos ´e infinito. Entretanto, qualquer teoria de campo s´o ´e
v´alida at´e uma certa escala limite ( escala m´axima de energia at´e o nde se pode
ter alguma confian¸ca no formalismo). Consequentemente, a integral acima pode
ser renormalizada impondo um cut off (k
max
), de maneira que
ρ
v
=
k
4
max
16π
2
. (2.3)
Na Tabela (2.1), mostramos a contribui¸c˜ao da energia do v´acuo, obtida da
Eq. (2 .3 ) , par a algumas escalas de energia. Note que essa expres˜ao fornece um
valor muito grande para ρ
v
, at´e mesmo para as escalas de energias em que as
2
O efeito Casimir ocorre por causa das flutua¸c˜oes do v´acuo. Conforme mostrado por Casimir
(1948) a presen¸ca de duas placas planas paralelas e condutoras se paradas por uma distˆancia
d altera a distribui¸c˜ao dos modos do campo eletroma gn´etico existentes no v´acuo, resultando
numa for¸ca atrativa por unidade de ´area entre as placas: F = ¯hcπ
2
/240d
4
cuja origem ´e o
v´acuo. Isto foi mensurado por Sparnaay(1957).
20
Tabela 2.1: Contribui¸c˜ao esperada da energia do v´acuo.
Escala de energia ρ
v
(em GeV ) ρ
v
(em erg/cm
3
)
QCD 0.3 ≃ 10
36
Eletroweak 10
2
≃ 10
47
GUT 10
16
≃ 10
102
Planck 10
18
≃ 10
110
teorias j´a for am testadas.
2.2 Intrepreta¸c˜ao F´ısica da Cons t ante
Cosmol´ogica: Energia do V´acuo
Em relatividade restrita, todas as componentes do tensor energia-momento
do estado do v´acuo ficam invariantes quando submetidas as transforma¸c˜oes de
Lorentz. Para mostrar isso, seguiremos o procedimento desenvolvido nas Refs.
[47, 48]. Dessa maneira, vamos inicialmente considerar dois observadores S e S
′
que se movem inercialmente um em rela¸c˜ao ao outro. Assim
T
µν
= T
µ
′
ν
′
= L
µ
′
α
L
ν
′
β
T
αβ
, (2.4)
onde L
µ
′
α
´e a matriz de transforma¸c˜ao. No caso em que o observador S
′
se move
ao longo da dire¸c˜ao q
1
com velocidade v em rela¸c˜ao ao sistema S, a matriz de
21
transforma¸c˜ao ´e escrita como
L
µ
µ
′
=
γ γv 0 0
γv γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
onde γ = (1 − v)
−1/2
. Substituindo a matriz de transforma¸c˜ao na Eq. (2.4) ,
encontra-se rela¸c˜oes para as componentes de T
µν
. Por exemplo,
T
00
= T
0
′
0
′
= γ
2
[T
00
+ v(T
01
+ T
10
) + v
2
T
11
]. (2.5)
Como γ
2
− 1 = γ
2
v
2
, ent˜ao a equa¸c˜ao pode ser escrita na forma
v(T
00
+ T
11
) + T
01
+ T
10
= 0. (2.6)
Um resultado an´alogo a esse, pode ser obtido a partir da t ransforma¸c˜ao para
a component e T
11
. J´a as transforma¸c˜oes para as comp onentes T
01
= T
10
nos
fornecem
T
00
+ T
11
+ v(T
01
+ T
10
) = 0. (2.7)
Combinando agora a express˜ao (2.6) com (2.7), obtem-se
T
00
= −T
11
, T
01
= −T
10
. (2.8)
J´a as transforma¸c˜oes para as componentes T
02
e T
12
, resulta, respectivamente
em
T
02
= γ(T
02
+ vT
12
) e T
12
= γ(vT
02
+ T
12
), (2.9)
de maneira que
T
02
= T
12
= 0. (2.10)
Da mesma forma, as componentes T
20
= T
21
= T
03
= T
13
= T
30
= T
31
= 0
22
Aplicando agora as transforma¸c˜oes de Lorentz na dire¸c˜ao q
2
, resulta
T
01
= T
10
= T
23
= T
32
= 0 , T
22
= −T
00
. (2.11)
Para a dire¸c˜ao q
3
a invarian¸ca de Lorentz requer que
T
33
= −T
00
. (2.12)
Finalmente devemos t er que, se o tensor energia-momento do v´acuo ´e um
invariante de Lorentz, ele deve ter a forma geral
T
µν
= T
00
η
µν
, (2.13)
onde η
µν
´e o tensor m´etrico do espa¸co-tempo de Minkowski. Reescrevendo o
tensor m´etrico em um sistema de coordenadas gerais, isto ´e, η
µν
→ g
µν
. Dessa
forma, a equa¸c˜ao acima ´e reescrita como
T
µν
= T
00
g
µν
. (2.14)
Como a compo nente T
00
do tensor energia-momento ´e interpretada como
sendo a densidade de energia e as componentes espaciais i − i como sendo a
press˜ao, ent˜ao a invariˆancia de Lo r entz imp˜oe que
T
µν
v
= ρ
v
g
µν
. (2.15)
Comparando a express˜ao acima com a forma geral do tensor energia-momento de
um fluido perfeito n´os observamos que
p
v
= −ρ
v
, (2.16)
o que tamb´em ´e uma cara cter´ıstica da constante cosmol´ogica. Ent˜ao, em geral,
23
se escreve
Λ = 8πGρ
v
. (2.17)
Em outras palavras, o v´acuo do cen´ario quˆantico tem as mesmas propriedades
da constante cosmol´ogica [10]. Conforme j´a ressaltamos no Cap´ıtulo 1, ´e mais
plaus´ıvel ter-se ent˜ao um termo cosmol´ogico efetivo resultante das contribui¸c˜oes
das densidades de energias do v´acuo de todos os campos quˆanticos existentes no
universo mais uma constante cosmol´ogica intr´ınsica, como a que foi introduzida
por Einstein. Assim:
Λ
ef
= λ + 8πGρ
v
, (2.18)
como ρ
v
´e uma quantidade divergente, Λ
ef
tamb´em ´e. De agora em diante sempre
que nos referirmos a Λ estamos na verdade nos referindo a constante cosmol´ogica
efetiva, ou seja, por conveniˆencia de nota¸c˜ao vamos chamar Λ
ef
de Λ.
No cen´ario Quˆantico, esse resultado n˜ao ´e problem´atico, uma vez que o
importante s˜ao as diferen¸cas de energia. D essa forma, n˜ao se pode observar
diretamente o valor absoluto de ρ
v
em processos f´ısicos que ocorrem nos dom´ınios
dessa teoria. A situa¸c˜ao muda dramaticamente sob o ponto de vista da Teoria
da Relatividade Geral, uma vez que nesse contexto, toda forma de energia atua
como fonte de gravita¸c˜ao. Sendo a energia do v´acuo, a soma das energias do
estado fundamental de todos os campos (escalar, espinorial, vetorial e tensorial)
existentes no universo, deveria a princ´ıpio ser uma fonte potencialmente releva nte
de campos gravitacionais, a fetando, de maneira dr´astica a geometria do espa¸co-
tempo [15].
2.3 Algumas Solu¸c˜oes Poss´ıveis ao Problema da
Constante Cosmol´ogica
Do ponto de vista de teorias fundamentais, n˜ao existe at´e o momento, uma
solu¸c˜ao ao problema da constante cosmol´ogica. As ´unicas propostas s˜ao advindas
24
de teoria s ainda n˜a o muito bem estabelecidas. Apresentaremos a seguir um breve
resumo de algumas dentre as muitas possibilidades que tˆem sido investigadas na
literatura recente. Uma discuss˜ao mais aprofundada e uma lista completa de
referˆencias pode ser encontrada nas Refs. [5, 6, 9, 49, 50].
2.3.1 Supersimetria SUSY
As part´ıculas de um modo geral podem ser agrupadas em b´osons e f´ermions.
Os primeiros s˜ao os agentes que carregam as intera¸c˜oes, j´a os f´ermions constituem
`a mat´eria. As teorias sup ersim´etricas prevˆeem que para cada estado fermiˆonico
deve haver um estado bosˆonico. Como b´osons e f´ermions contribuem com a
mesma energia para o estado f undamental, por´em com sinais contr´arios, uma
consequˆencia imediata da existˆencia de supersimetria ´e o cancelamento da energia
para o estado de v´acuo [25]. No entanto, n˜a o se o bserva supersimetria na
natureza, nem mesmo nos experimentos feitos, at´e ent˜ao, em altas condi¸c˜oes
de energia. Do ponto de vista te´orico, deve existir supersimetria em alt´ıssimas
condi¸c˜oes de energias e temperaturas, somente obtidas nos est´agios iniciais do
universo. Experimentalmente, especula-se que essas teorias sejam testadas at´e
2010 no LHC
3
. O certo ´e que se tiver existido alguma fase supersim´etrica
ao longo da hist´oria c´osmica, esta deve ter sido quebrada espo ntaneamente
durante o resfriamento do universo. Portanto , se a energia do v´acuo fosse
a ´unica contribui¸c˜ao para a constante cosmol´ogica efetiva, esta seria nula no
come¸co do universo e reapareceria ap´os a quebra da fase SUSY [5]. Qualquer
mecanismo de cancelamento entre ρ
v
e ρ
Λ
requer um enorme ajuste fino. No
presente momento, ainda n˜ao existe uma explica¸c˜ao te´orica plaus´ıvel para essa
discrepˆancia. Existem, no entanto, teorias nas quais a constante cosmol´ogica
se mant´em nula ap´os a quebra de supersimetria, como por exemplo, teorias de
sup ercordas e supergravidade [51, 52, 53].
3
Large Hadron Collider: acelerador de part´ıculas localizado no CERN, Su´ı¸ca .
25
2.3.2 Princ´ıpio Antropol´ogico
Esse princ´ıpio estab elece que as leis da F´ısica devem de alguma forma incluir
condi¸c˜oes para a existˆencia de um observador. Em outras palavras, isso equivale
a dizer que as constantes da natureza devem possuir determinados valores para
favorecer a nossa existˆencia. Somente certas combina¸c˜oes e intervalos de valores
para essas constantes permitem a existˆencia de observadores inteligentes no
universo que podem se questionar e relatar esses resultados. Sob esse ponto
de vista, argumentos antropol´ogicos em cosmologia tˆem sido frequentemente
vistos como uma aproxima¸c˜ao anti-cient´ıfica. Entretanto, diferentes vers˜o es desse
princ´ıpio tˆem sido propostas na literatura como tentativa de resolver o problema
da constante cosmol´ogica (veja [54] para mais detalhes).
Nesse contexto, a id´eia b´asica da interpreta¸c˜ao antropol´ogica ´e a seguinte: ´e
assumido uma grande variedade de valores para as constantes da natureza, cada
valor ocorre em um do s muitos universos (ou em diferentes regi˜oes do universo n˜ao
conectada causalmente). Observador es inteligentes s´o podem, portanto, existir
em um universo e/ou uma regi˜ao onde os valores dessas constantes, em par t icular
o de Λ, s˜ao tais como conhecemos hoje. Se, por exemplo, a constante cosmol´ogica
tivesse um valor muito alto e positivo o universo teria at ingido uma fase de Sitter
muito r´apido, n˜ao permitindo assim a forma¸c˜ao de estruturas. Esse fato requer
que ρ
Λ
n˜ao domine em altos redshifts, quando as gal´axias estavam come¸cando
a serem formadas. Se, contudo, Λ tivesse um va lor muito grande e negativo o
universo teria rapidamente recolapsado, antes que houvesse tempo para formar a
vida. Al´em disso, Λ negativo agrava o problema da idade do universo.
O fat o de n´os vivermos neste universo, cujas constantes possuem esses valores,
nos fazem ser observadores privilegiados (caso os valores fossem muito diferentes
n´os n˜ao estar´ıamos aqui). Usando argumenta¸c˜oes como essas, Weinberg obteve
resultados para a constante cosmol´ogica muito pr´oximos dos limites observados
[5, 55].
26
2.3.3 Mecanismos de Ajuste
Em virtude do alto valor previsto teoricamente para a constante cosmol´ogica,
alguns autores propuseram a introdu¸c˜a o de campos escalares, como uma tentativa
de cancelar os altos valores da constante cosml´ogica [56, 57]. Nessa linha de
pesquisa, a fonte de campo escalar φ ´e escrito como sendo proporcional ao tra¸co
do tensor energia-momento o u a o escalar de curvatura. Contudo, n˜ao se tem
conseguido obter solu¸c˜oes satisfat´o r ia s para as equa¸c˜oes de campo, e ao que
parece esse n˜ao deve ser um caminho vi´avel. Essas pro postas for am coletivamente
criticadas por Zee [58 ], que observou que n˜ao se conhece uma simetria na natureza
que obrigue a constante cosmol´ogica a ser nula.
Conforme discutido acima, n˜ao existe na literatura uma solu¸c˜ao plaus´ıvel
ao problema da constante cosmol´ogica. Esse fato tem estimulado o surgimento
de propo stas fenomenol´o gicas (decaimento do v´acuo) com o intuito de resolver
tal dilema. Por estarem diretamente ligado aos objetivos desta disserta¸c˜ao,
discutiremos em detalhes tais modelos no cap´ıtulo que segue.
27
Cap´ıtulo 3
Decaimento do V´acuo
3.1 Termo Cosmol´ogico Vari´avel
Na tentativa de amenizar o problema da constante cosmol´ogica, surgiram
na d´ecada de 80 modelos fenomenol´ogicos com o termo cosmol´ogico vari´avel
(decaimento do v´acuo). Esses modelos se propuseram a explicar sen˜ao o porquˆe
da constante cosmol´ogica ser t˜ao pequena hoje, pelo menos como ela chegou a
este valor. A id´eia b´asica dessas propostas ´e assumir inicialmente que o termo
cosmol´ogico ´e uma fun¸c˜ao do tempo e, assim, investigar suas consequˆencias no
contexto cosmol´ogico. Como o universo ´e bastante velho, o termo cosmol´ogico
teve todo esse tempo para decair e chegar ao valor que ´e “observado” hoje.
Embora constituindo uma poss´ıvel solu¸c˜ao ao problema da constante
cosmol´ogica, a cr´ıtica usual que se faz a esses modelos ´e: na ausˆencia
natural de um guia proveniente de F´ısica Fundamental, primeiramente deve-
se especificar uma lei de decaimento Λ (t), para posteriormente estabelecer um
cen´a r io cosmol´ogico e, assim, estudar seus aspectos te´oricos-observacionais.
Para que possamos agora obter a dinˆamica do universo na presen¸ca de
um t ermo cosmol´ogico vari´avel, devemos inicialmente considerar que, como as
identidades de Bianchi implicam numa divergˆencia nula para o tensor de Einstein,
o que, de acordo com as Eqs. (1.7), tamb´em, implicam em T
µν
;
ν
= 0. Assim, a
28
varia¸c˜ao temporal do termo cosmol´ogico s´o ser´a poss´ıvel se houver uma troca de
energia entre o v´acuo e mat´eria e/ou radia¸c˜ao. Em outras palavras, isto equivale
a dizer que:
1. decaimento do v´acuo est´a condicionado a existˆencia pr´evia de algum outro
fluido;
2. a presen¸ca do termo cosmol´ogico vari´avel resulta num acoplamento entre
T
µν
e Λ.
Para os modelos que discutiremos detalhadamente nesta disserta¸c˜ao , s´o
consideraremos acoplamento entre o v´acuo e a mat´eria escura. D essa maneira,
temos que
u
µ
T
µν
;
ν
= −u
µ
Λg
µν
8πG
;
ν
, (3.1)
ou equivalentemente,
˙ρ
m
+ 3
˙a
a
ρ
m
= −˙ρ
Λ
, (3.2)
onde T
µν
= ρ
m
u
µ
u
ν
representa o tensor energia-momento dos campos de mat´eria
escura. Veja que a equa¸c˜ao acima implica numa troca de energia entre o v´acuo
e a mat´eria escura, resultando na cria¸c˜ao desta ´ultima, ou, em um aumento da
massa das part´ıculas [33].
3.2 Leis de Decaimento do V´acuo
As primeiras propostas fenomenol´ogicas na tentativa de resolver o problema
da constante cosmol´ogica surgiram no final da d´ecada de 80 com
¨
Ozer e Taha
[26]. Esse modelo era baseado nas seguintes hipo t´eses: (i) em algum est´agio
primordial de sua evolu¸c˜ao o universo passou por uma fase de expans˜ao n˜ao
adiab´atica, ocasionada pela varia¸c˜ao do termo cosmol´ogico; (ii) a densidade de
energia do fluido usual que preenche o universo (mat´eria e/ou ra dia¸c˜ao), ´e sempre
igual `a densidade cr´ıtica. A partir dessas suposi¸c˜oes, eles encontraram uma lei
29
espec´ıfica para a varia¸c˜ao de Λ como fun¸c˜ao do fator de escala, isto ´e,
Λ =
3
8πGa
2
. (3.3)
Segundo os autores, o modelo proveniente da lei de decaimento acima descreve
um universo com origem n˜ao singular e sem os problemas de horizonte, monopolos
magn´eticos e planaridade. Entretanto, o valor previsto para Λ
0
est´a bem abaixo
das expectativas observacionais.
Outra lei fenomenol´ogica com o termo cosmol´ogico vari´avel foi proposta, por
Freese et al. [27]. Esta proposta baseava-se no fato de que as densidades de
energia do v´acuo ρ
v
e da radia¸c˜ao ρ
r
se relacionam atrav´es de um parˆametro x
que caracteriza o modelo
x =
ρ
v
ρ
r
+ ρ
v
, (3.4)
Freese et al. [27] assumiram a existˆencia de um est´agio inflacion´ario primordial,
de modo que k = 0. Al´em disso, foi admitido a hip´otese de que o v´acuo decai
apenas em radia¸c˜ao, o que implica naturalmente que o parˆametro x ´e constante.
Para impor limites sobre o parˆametro x, os autores da Ref. [27] investigaram
as consequˆencias do decaimento do v´acuo sobre as abundˆancias de elementos
leves produzidos na nucleoss´ıntese primordial, bem como poss´ıveis distor¸c˜oes no
espectro da radia¸c˜ao c´osmica de fundo, caso o espectro da RCF produzido pelo
decaimento do v´acuo n˜a o fosse Planckiano. Para a nucleoss´ıntese, eles concluiram
que o modelo s´o ´e consistente se o universo n˜ao for dominado por ρ
v
para t > 1s,
isso implica que x ≤ 0.1. No que concerne ao espectro da RCF, eles obtiveram
limites ainda mais restritivo s (x ≤ 10
−4
).
Gasperini [28] t amb´em sugeriu uma lei de decaimento do v´acuo baseada em
um trabalho de Gibb ons e Hawking [59], onde f oi feita uma conex˜ao entre a
constante cosmol´ogica e a temperatura do v´acuo no espa¸co-tempo de de Sitter
T
ν
:
T
ν
=
Λ
12π
2
1/2
. (3.5)
30
Gasperini estendeu esse resultado, supondo que o mesmo fosse v´alido para toda a
hist´oria c´osmica. Levando-se ainda em considera¸c˜ao, que o v´acuo acopla apenas
com a radia¸c˜ao, foi poss´ıvel encontrar uma lei fenomenol´ogica ( compat´ıvel com a
condi¸c˜ao de x = constante) expressada por
Λ =
12π
2
b
2
a
2n
, (3.6)
onde b e n s˜ao parˆametros a serem determinados. Considerando os limites para
x encontrado por [27] e supondo T
ν
≥ 0, ele obteve resultados bem pr´oximos aos
limites observacionais da ´epoca.
Usando argumentos dimensionais compat´ıveis com a Cosmologia Quˆantica,
Chen e Wu [29] propuseram um modelo no qual Λ tem uma dependˆencia com a
−2
.
Neste cen´ario, a constante cosmol´ogica pode ser escrita em termos da densidade
de Planck ρ
pl
,
Λ ∝ ρ
pl
r
pl
a
n
, (3.7)
onde r
pl
= (G¯h/c
3
)
1/2
´e o comprimento de Planck. Para reaver o limite
semicl´assico quando ¯h → 0, ´e necess´ario que n = 2. O mo delo de Chen e Wu
alivia o problema da idade do universo e o do parˆametro de densidade. Al´em
disso, ele prevˆe uma taxa de cria¸c˜ao de mat´eria compat´ıvel com o modelo do
estado estacion´ario [36].
A partir de uma extens˜ao dos argumentos dimensionais de Chen e Wu,
Carvalho et al. [30] propuseram uma lei de decaimento mais geral dada por
Λ = 3βH
2
+
3α
a
2
, (3.8)
onde α e β s˜ao n´umeros adimensionais e o fator 3 foi incluido por conveniˆencia
matem´atica. Para determinadas combina¸c˜oes de valores dos parˆametros que
aparecem na express˜ao acima, as outras prospostas discutidas anteriormente s˜ao
recuperadas como um caso particular.
Conforme comentado na Ref. [32], todas essas leis discutidas at´e agora j´a
31
foram descartadas pelas observa¸c˜oes de SNe Ia, uma vez que, elas n˜ao s˜ao
capazes de levar o universo de uma fase de expans˜ao desacelerada para uma
fase de expans˜ao acelerada. Diversas outras leis de decaimento da densidade de
energia do v´acuo foram propostas subsequentemente na literatura com o intuito
de amenizar o pro blema da constante cosmol´ogica. Uma lista bastante completa
dessas leis se encontra na Tabela (3.1). [Para uma discuss˜ao mais detalhada veja
[31] e as Refs. l´a citadas].
Como veremos a seguir, a proposta fenomenol´ogica para o decaimento do
v´acuo discutida nas Refs. [32, 33] foi deduzida de uma argumenta¸c˜ao f´ısica
plaus´ıvel. Al´em disso, ela ´e bastante geral, tendo como um caso particular
boa parte das leis de decaimento da Tabela (3.1) [32]. Por esses motivos n´os
a discutiremos em linhas gerais no decorrer deste cap´ıtulo.
3.3 O Mod elo de Wang e Me ng
Mensionamos anteriormente que os modelos fenomenol´ogicos de decaimento
do v´acuo constituem uma alternativa relevante para resolver o problema da
constante cosmol´ogica. Na tradicional abor dagem desses modelos, inicialmente
´e especificada uma lei de decaimento e posteriormente estabelecido o cen´ario
cosmol´ogico. Aqui, entretanto, seguiremos os argumentos apresentados na Ref.
[32], em que a lei de decaimento da densidade de energia do v´acuo foi deduzida
a partir dos efeitos na evolu¸c˜ao da densidade de mat´eria escura (CDM). A
argumenta¸c˜ao qualitativa que eles utilizaram foi a seguinte: se a energia do v´acuo
est´a constantemente decaindo em part´ıculas de CDM, esta ´ultima diluir´a com
a expans˜ao do universo a uma taxa que sofrer´a um desvio da rela¸c˜ao padr˜ao
(ρ
m
∝ a
−3
), ou seja,
ρ
m
= ρ
m,0
a
−3+ǫ
, (3.9)
onde o parˆa metro ǫ deve ser positivo para que a dilui¸c˜ao da mat´eria escura seja
atenuada em rela¸c˜ao ao caso padr˜ao. O que est´a de acordo com a segunda lei da
32
Tabela 3.1: Exemplos de Leis Fenomenol´ogicas com Decaiment o do V´acuo.
Leis de Decaimento Referˆencias
Λ ∝ t
−2
[60, 61, 62, 63, 64, 65, 66]
Λ ∝ T
4
[61]
Λ ∝ T
β
[67]
Λ ∝ e
−β a
[68]
dΛ/dt ∝ Λ
β
[69]
Λ ∝ a
−2
[26, 29, 66, 70]
Λ ∝ a
−4(1+ǫ)
[27, 28, 71, 72]
Λ ∝ a
−m
[73, 74, 75, 76, 77, 78]
dΛ/dt ∝ aH
n
Λ [79]
dΛ/dt ∝ H
3
[79]
Λ ∝ C + βa
−m
[80, 81]
Λ ∝ t
ℓ−2
+ βt
2(ℓ−1)
[82]
Λ ∝ βa
−2
+ H
2
[30, 83]
Λ ∝ t
−2
+ βt
−2/ℓ
[84]
Λ ∝ C + e
−β t
[84, 85]
Λ ∝ C + βa
−2
+ H
2
[86]
Λ ∝ βa
−m
+ H
2
[87]
Λ ∝ H
2
[88, 89, 90]
Λ ∝ (1 + βH)(H
2
+ k/a
2
) [91]
Λ ∝ t
−1
(β + t)
−1
[92]
dΛ/dt ∝ βΛ − Λ
2
[93]
Λ ∝ a
−3
[94]
Λ ∝ a
−2
+ βa
−4
[95]
Λ ∝ H
2
+ βaH(dH/da) [96]
dΛ/dz ∝ dH
2
/dz [97]
Λ ∝ C + a
−3+ǫ
[32]
Λ ∝ C + a
−3γ/2
[98]
T , a, t, H s˜ao a temperatura, o fator de escala, o tempo e o p arˆametro de Hubble
respectivamente e β, ǫ, ℓ, m e C s˜ao parˆametros livres.
33
Termodinˆamica (veja Sec¸c˜ao 3.6 e a Ref. [33]).
Seguindo o mesmo procedimento feito na Ref. [32], vamos inicialmente
reescrever a Eq. (3.2) na seguinte forma
dρ
m
da
+ 3
ρ
m
a
= −
dρ
Λ
da
, (3.10)
combinando a equa¸c˜ao acima com a rela¸c˜ao (3.9), encontra-se
ρ
Λ
= ˜ρ
Λ,0
+
ǫρ
m,0
3 − ǫ
a
−3+ǫ
, (3.11)
onde ˜ρ
Λ,0
´e uma constante de integra¸c˜ao , representando um valor fixo para o
estado de v´acuo. Note que a dilui¸c˜ao da densidade de energia associada ao
termo cosmol´ogico segue exatamente `a mesma lei de potˆencia de dilui¸c˜ao da
mat´eria escura, entretanto, na Eq. (3.11) aparece um termo constante. Conforme
veremos posteriormente esse termo ´e de grande importˆancia para fazer com que
o universo transite de uma fase de expans˜ao desacelerada para uma fase de
expans˜ao acelerada, como indicado pelas observa¸c˜oes de SNe Ia [16, 17, 18, 19].
´
E importante ressaltar que embo r a o parˆametro ǫ seja positivo, a constante de
integra¸c˜ao ˜ρ
Λ,0
n˜ao necessariamente deve ser.
A Eq.(3.11) foi deduzida usando apenas uma suposi¸c˜ao plaus´ıvel sobre a taxa
de expans˜a o modificada da densidade de mat´eria escura combinada `a TRG. Sob
esse ponto de vista, essa ´e uma lei de decaimento do v´acuo bastante geral. Como
ela ´e caracterizada po r dois parˆametros livres (˜ρ
Λ,0
e ǫ), muitas outras propostas
fenomenol´ogicas, sobretudo as que fora m discutidas na Sec¸c˜ao 3.2, podem ser
obtidas como um caso particular dela, pelo ajuste de seus parˆametros [32, 99].
Tomando ag ora a express˜a o a cima no presente tempo, tem-se
ρ
Λ,0
= ˜ρ
Λ,0
+
ǫ
3 − ǫ
ρ
m,0
, (3.12)
que ´e a express˜ao que relaciona os dois parˆametros do modelo. Uma vez que,
se inferirmos limites sobre um desses parˆametros, automaticamente tamb´em
34
limitamos o intervalo de valores do outro. Note ainda que, se na ´epoca atual n˜ao
h´a mais decaimento do v´acuo, isto ´e, ǫ = 0, a constante ˜ρ
Λ,0
passa a representar
o presente valor de ρ
Λ
e o universo se expande de acordo com o modelo padr˜ao
ΛCDM.
De acordo com dado s recentes do WMAP [20] e as previs˜oes inflacion´arias
[100], o universo ´e aproximadamente plano, de maneira que
H
2
=
8πG
3
(ρ
m
+ ρ
Λ
), (3.13)
ou em termos dos parˆametros de densidade,
H
2
= H
2
0
3Ω
m,0
3 − ǫ
(1 + z)
3−ǫ
+
˜
Ω
Λ,0
, (3.14)
onde
˜
Ω
Λ,0
= ˜ρ
Λ,0
/ρ
c,0
. A partir da Eq. (3.14), n´os observamos que o universo
expandir´a exponencialmente quando o termo
˜
Ω
Λ,0
for completamente dominante.
Isto deve ocorrer futuramente, quando a → ∞, e esse cen´ario se tornar´a
equivalente ao cen´ario padr˜ao ΛCDM.
Usando agora a condi¸c˜a o de normaliza¸c˜ao, obtemos que
˜
Ω
Λ,0
= 1 −
3Ω
m,0
3 − ǫ
=
3(1 − Ω
m,0
) − ǫ
3 − ǫ
. (3.15)
Como o parˆametro ǫ ´e positivo, o intervalo de valores de ǫ que permite valores
negativos para o termo
˜
Ω
Λ,0
´e: 3(1 −Ω
m
) < ǫ < 3. No caso em que ǫ = 3(1 −Ω
m
)
a constante
˜
Ω
Λ,0
se anula. Conforme veremos na Sec¸c˜ao 3.7 esse conjunto de
valores para o parˆametro ǫ ´e descartado pelas observa¸c˜oes cosmol´ogicas.
Ainda ´e poss´ıvel combinar as Eqs. (3.2) e (3.13) e obter uma express˜ao para
a acelera¸c˜ao
¨a
a
= −
4πG
3
3 − 3ǫ
3 − ǫ
ρ
m,0
(1 + z)
3−ǫ
− 2˜ρ
Λ,0
. (3.16)
Desde que o termo ˜ρ
Λ,0
seja positivo, como ´e indicado pelas o bserva ¸c˜oes, a
sua presen¸ca na equa¸c˜ao acima possibilita a transi¸c˜ao de uma fase de expans˜ao
35
−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
log(ε)
z
q=0
Figura 3-1: A dependˆencia do redshift de transi¸c˜ao z
⋆
com o parˆametro ǫ dado
pela Eq. (3.18) para Ω
m,0
= 0.3 (Figura obtida da Ref. [32]).
desacelerada para uma fase de expans˜ao acelerada. Por outro lado, se ˜ρ
Λ,0
< 0,
o universo ap´os uma fase de expans˜ao desacelerada recolapsaria (para uma
discuss˜ao mais detalhada no contexto de teoria de gravidade modificada veja
[101]). Finalmente, se ˜ρ
Λ,0
= 0 o universo n˜ao transitaria de uma fase
de expans˜ao desacelerada para uma fase de expans˜ao acelerada, seria sempre
desacelerado. Mas, conforme veremos na Sec¸c˜ao 3.7 as indica¸c˜oes observacionais
para o parˆametro principal do modelo, ou seja, ǫ apontam naturalmente para
˜ρ
Λ,0
> 0.
Para que possamos agora encontrar o redshift de transi¸c˜ao (z
⋆
), com o intuito
de impor limites mais r estritivos sobre ǫ, vamos reescrever o parˆametro de
36
desacelera¸c˜a o q, como
q =
H
′
(z)(1 + z)
H(z)
− 1, (3.17)
onde [
′
] denota a derivada com respeito a z. O redshift de transi¸c˜ao z
⋆
´e obtido
fazendo q(z
⋆
) = 0. Assim [32]
z
⋆
=
6 − 2ǫ
3 − 3ǫ
Ω
m,0
−1
−
3
3 − ǫ
1
3−ǫ
− 1. (3.18)
A Fig. (3.1) mostra a dependˆencia de z
⋆
com o logar´ıtmo de ǫ. Pode-se
perceber que o valor de ǫ deve ser muito pequeno, pr´oximo de zero, para que
as previs˜oes do modelo fiquem pr´oximas das previs˜oes do modelo padr˜ao ΛCDM
(que est´a em boa concordˆancia com os dados observacionais atuais).
3.4 Inserindo B´arions no Mod elo de Wang e
Meng
Os autores da Ref. [32] n˜ao consideraram os efeitos dos b´arions conservados
separadamente na taxa de expans˜ao do universo. Mas, n´os vimos na Fig. 1.1
que os b´arions representam cerca de 4.5% do conte´udo energ´etico do universo
e, po r tanto, a presen¸ca dos mesmos na taxa de expans˜ao do universo n˜ao deve
ser negligenciada. Fisicamente, ´e esperado que a mat´eria bariˆonica ocasione um
pequeno retardo na ´epoca de transi¸c˜ao, em outras palavras, isto significa que
agora deve ser encontrado um valor menor para o redshift de transi¸c˜ao em rela¸c˜ao
ao caso anterior. Essa quest˜ao foi investigada subsequentemente por Alcaniz e
Lima [33], que levaram em considera¸c˜ao os efeitos dos b´arions na dinˆamica do
universo e ainda fizeram uma conex˜ao do modelo com a termodinˆamica. Ao
levarem em conta a presen¸ca dos b´arions, a Eq. (3.14) ´e modificada para
H
2
= H
2
0
Ω
b,0
(1 + z)
3
+
3Ω
m,0
3 − ǫ
(1 + z)
3−ǫ
+
˜
Ω
Λ,0
, (3.19)
37
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
redshift - z
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
deceleration parameter - q(z)
ε = 0.05
ε = 0.10
ε = 0.20
ΛCDM
Ω
m
= 0.27
deceleration
acceleration
Figura 3-2: Comportamento do parˆametro de desacelera¸c˜ao q com o redshift z
para alguns va lo r es selecionados de ǫ, (Figura obtida da Ref. [33]).
onde Ω
b,0
´e o parˆametro de densidade dos b´arions no tempo presente. A presen¸ca
do termo (1+z)
3
na equa¸c˜ao acima ´e justificada p elo fa to do v´acuo est´a decaindo
somente em mat´eria escura. Portanto, a evolu¸c˜ao da densidade de energia da
componente bariˆonica continua obedecendo a rela¸c˜ao padr˜ao. De maneira an´aloga
ao que foi feito anteriormente, o par ˆametro de desacelera¸c˜ao pode ser escrito como
q(a) =
3
2
Ω
b
a
−3
+ Ω
m
a
−3+ǫ
Ω
b
a
−3
+
3Ω
m
3−ǫ
a
−3+ǫ
+
˜
Ω
Λ,0
− 1, (3.20)
38
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
ε
0.0
0.5
1.0
1.5
transition redshift - z
*
no baryons
Ω
b
= 0.044
Ω
m
= 0.27
0.2 < z
*
< 0.72
(2σ)
Figura 3-3: O redshift de transi¸c˜ao z
⋆
como f un¸c˜ao do parˆametro ǫ para o s dois
cen´a r io s: o discutido na Ref. [32] (inexistˆencia de b´arions - linhas pontilhadas)
e o da Ref. [33] (que apresenta b´arions - linhas s´olidas). (Figura obtida da Ref.
[33]).
e o redshift de transi¸c˜ao ´e dado pela seguinte equa¸c˜ao
Ω
b
(1 + z
⋆
)
3
+
3 − 3ǫ
3 − ǫ
Ω
m
(1 + z
⋆
)
3−ǫ
− 2
˜
Ω
Λ,0
= 0. (3.21)
Os resultados obtidos incluindo os efeitos dos b´arions na taxa de expans˜ao
do universo podem ser melhor visualizados nas Figs. (3.2) e (3.3). A Fig. (3.2)
mostra o comportamento do parˆametro de desacelera¸c˜ao como fun¸c˜ao do redshift
z para valores selecionados de ǫ. Para chegar a esses resultados foi assumido
que Ω
m,0
= 0.27 e Ω
b,0
= 0.044 [WMAP]. O caso padr˜ao ΛCDM tamb´em ´e
39
0 1 2 3 4
Redshift
0.0
4.0
8.0
12.0
16.0
Age of the Universe (Gyr)
ΛCDM
ε = 0.06
ε = 0.15
ε = 0.30
Ω
m
= 0.27
H
o
= 72 km.s
-1
.Mpc
-1
Figura 3-4: Evolu¸c˜ao da idade do universo com o redshift para alguns valores
selecionados de ǫ.
mostrado na figura por motivo de compara¸c˜ao, uma vez que esse mo delo fita com
boa precis˜ao a maioria das observa¸c˜oes. Na F ig. (3.3) mostramos o redshift de
transi¸c˜ao z
⋆
como fun¸c˜ao do parˆametro ǫ para os dois casos: o cen´ario da Ref. [3 2]
(n˜ao h´a b´arions - linhas pontilhadas) e o modelo da Ref. [33] (que considera os
efeitos dos b´arions - linhas s´olidas). Veja que os resultados obtidos por Alcaniz
e Lima [33] est˜a o em melhor concordˆancia com as observa¸c˜oes de SNe Ia, que
sugerem z
⋆
≈ 0.5, do que os obtidos por Wang e Meng [32]. Conforme j ustificado
na Ref. [33], esse resultado j´a era fisicamente esperado, uma vez que, o efeito
gravitacional atrativo do conte´udo bariˆonico f az com que o redshift de transi¸c˜ao
seja menor.
40
3.5 A Idade do Universo
Uma forma para testar a viabilidade de um modelo cosmol´ogico ´e atrav´es da
estimativa da idade do universo prevista pelo modelo. Dessa forma, vamos ent˜ao
encontrar uma express˜ao para a idade em termos do fator de escala. A princ´ıpio
tem-se que,
t
a
0
dt =
a
0
da
′
˙
a
′
, (3.22)
ou ainda
t(a) =
a
0
da
′
a
′
H
. (3.23)
Substituindo a Eq. (3.19) na rela¸c˜ao acima, obtemos
t(a) = H
−1
0
a
0
1
Ω
b,0
a
−3
+
3Ω
m,0
3−ǫ
a
−3+ǫ
+
˜
Ω
Λ,0
1/2
da
′
a
′
. (3.24)
Para o caso em que a componente bariˆonica ´e nula ou est´a acoplada ao v´acuo
da mesma forma que a mat´eria escura, a integral acima pode ser resolvida
analiticamente, resultando em
t(a) = −
H
−1
0
3Ω
m,0
(3 − ǫ)C
√
a
−3+ǫ
+ C −
√
C
√
a
−3+ǫ
+ C +
√
C
, (3.25)
ou equivalentemente,
t(z) = −
H
−1
0
3Ω
m,0
(3 − ǫ)C
(1 + z)
3−ǫ
+ C −
√
C
(1 + z)
3−ǫ
+ C +
√
C
, (3.26)
onde C = [(3 − ǫ)/3Ω
m,0
] − 1 [102]. A Fig. (3.4) mostra a evolu¸c˜ao da idade
com o redshift para valores fixos do parˆametro ǫ e para o caso padr˜ao ΛCDM.
Observe que todas as curvas do modelo est˜ao acima da curva padr˜ao ΛCDM, o
que indica que esse modelo prevˆe uma idade para o universo levemente maior
que a idade prevista pelo modelo ΛCDM. Na Fig. (3.5) n´os mostramos a idade
total do universo como fun¸c˜ao do parˆametro ǫ. Note que, `a medida que ǫ
41
0 0.1 0.2 0.3 0.4
ε
13.0
14.0
15.0
Age of the Universe (Gyr)
Ω
m
= 0.27
H
o
= 72 km.s
-1
.Mpc
-1
13.5 < t
0
< 13.9
>
>
Figura 3-5: Idade do universo como fun¸c˜ao do parˆametro ǫ.
aumenta, a idade prevista pelo modelo tamb´em aumenta. E para o intervalo
de valores permitido observacionalmente para ǫ, a idade prevista pelo modelo
est´a em excelente concordˆancia com as indica¸c˜oes observacionais.
3.6 Termodinˆamica do Decaimento do V´acuo
Investigaremos agora algumas caracter´ısticas termodinˆamicas do cen´ario de
decaimento do v´a cuo descrito nas Sec¸c˜oes 3.3 e 3.4. Conforme discutido na
Ref. [103], o comportamento termodinˆamico desses cen´arios ´e simplificado se for
assumido que o potencial qu´ımico do v´acuo seja nulo. Dessa forma, a descri¸c˜ao
termodinˆamica requer o conhecimento do fluxo de part´ıculas
N
α
= nu
α
, (3.27)
42
e da entropia
S
α
= nσu
α
, (3.28)
onde n = N/ a
3
´e a concentra¸c˜ao e σ = S/N ´e a entropia espec´ıfica por part´ıcula,
ambas referentes a componente criada. A princ´ıpio, a densidade da mat´eria escura
po de ser escrita como ρ = nm, onde m ´e a massa de cada part´ıcula de mat´eria
escura. Portanto, pode haver duas possibilidades para o processo de decaimento:
1. a equa¸c˜ao que descreve a concentra¸c˜ao tem um termo de fonte, enquanto a
massa de cada part´ıcula permanece constante,
2. a massa das part´ıculas ´e uma fun¸c˜ao do tempo, enquanto que o n´umero de
part´ıculas permanece constante.
Seguindo a Ref. [33] vamos analisar cada caso separadamente.
Caso I: Cria¸c˜ao de part´ıculas
Neste caso, existe um termo de fonte (Ψ) para as par t´ıculas de CDM, ou
seja,
N
α
;
α
= Ψ. (3.29)
E a equa¸c˜ao acima pode ser reescrita como
˙n + 3
˙a
a
n = Ψ (3.30)
onde Ψ ´e a fonte de part´ıculas. Se ρ = nm e ρ = ρ
0
a
−3+ǫ
, ent˜ao
n = n
0
a
−3+ǫ
. (3.31)
O termo de fonte toma agora a seguinte forma
Ψ
n
= Γ = ǫ
˙a
a
, (3.32)
43
onde Γ ´e a taxa de decaimento.
O processo de decaimento do v´acuo e sua consequente cria¸c˜ao de mat´eria s˜ao
processos irrevers´ıveis com gera¸c˜ao de entropia. De acordo com a Termodinˆamica
esse processo pode ocorrer por caminhos diferentes. Talvez o mais fisicamente
relevante, seja o decaimento adiab´atico do v´acuo [103], onde h´a gera¸c˜ao de
entropia, mas a entropia espec´ıfica por part´ıcula permanece constante, isto ´e,
( ˙σ = 0). Isto nos permite escrever ( veja Ref. [33] para mais detalhes)
˙
S
S
=
˙
N
N
= Γ. (3.33)
Combinando o resultado anterior com Eq. (3.32) encontra-se
N(t) = N
0
a(t)
ǫ
. (3.34)
A segunda lei da termodinˆamica (
˙
S ≥ 0) implica que (ǫ ≥ 0).
Caso II: Massa Vari´avel
Agora n˜ao vamos considerar cria¸c˜ao de part´ıculas. Isso equivale a termos
N(t) = constante, ou equivalentemente
˙n + 3
˙a
a
n = 0. (3.35)
Consequentemente, a energia que estar sendo doada do v´acuo para a mat´eria
escura ´e utilizada para aumentar a massa individual das part´ıculas. Como ρ = nm
e n = n
0
a
−3
, logo
m(t) = m
0
a(t)
ǫ
, (3.36)
onde m
0
´e o presente valor da massa de cada part´ıcula de mat´eria escura. Modelos
com intera¸c˜ao entre energia escura e mat´eria escura, levando em considera¸c˜ao um
44
acr´escimo na massa das par t´ıculas s˜ao comumente chamados de VAMP
4
(veja Ref.
[104] e as Refs. l´a citadas para mais detalhes sobre esses modelos).
Para finalizar a conex˜ao da termodinˆamica com o cen´ario de Wang e Meng,
vamos fazer um tratamento similar para o caso em que o v´acuo decai em radia¸c˜ao.
Nesse sentido, a Eq. (3.2) pode ser reescrita como [33]
˙ρ
r
+ 4Hρ
r
= −˙ρ
Λ
, (3.3 7)
onde ρ
r
´e densidade de energia da radia¸c˜ao. Considerando que ρ
r
evolua
mais lentamente que a rela¸c˜ao padr˜ao (ρ
r
∝ a
−4
) e que esse desvio pode ser
caracterizado por um parˆametro α, assim
ρ
r
= ρ
r,0
a
−4+α
, (3.38)
onde ρ
r,0
´e a densidade da radia¸c˜ao hoje. Inserindo a Eq. (3.3 8) em (3.37), resulta
ρ
Λ
= ˜ρ
Λ,0
+
αρ
r,0
4 − α
a
−4+α
. (3.39)
Tomando agora a raz˜a o entre as densidades de energia do v´acuo e da radia¸c˜ao,
obtemos
ρ
Λ
ρ
r
=
˜ρ
Λ,0
ρ
r,0
a
4−α
+
α
4 − α
, (3.40)
Note que, para a muito pequeno o primeiro termo na equa¸c˜ao acima se anula,
enquanto que o segundo termo ´e uma constante e menor do que uma unidade.
Portanto o dom´ınio da radia¸c˜ao neste est´agio ´e garantido pelo modelo.
45
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
182 SNe Ia + BAO + CMB + H(z)
Ω
m
ε
Figura 3-6 : O plano param´etrico Ω
m
− ǫ, para o cen´ario Λ(t)CD M da Ref.
[32] com duas regi˜oes de confian¸ca (68.3% e 95.4%), para uma an´alise conjunta
envolvendo dados de SNe Ia, CMB, BAO e estimativas da evolu¸c˜ao do parˆametro
de Hubble com o redshift.
3.7 Aspectos Observacionais do Decaimento do
V´acuo
Para testar a viabilidade dos cen´arios de decaimento do v´acuo discutidos
at´e agora [32, 33], bem como restringir o espa¸co de parˆametros Ω
m
− ǫ, n´os
fizemos uma an´alise estat´ıstica envolvendo quatro grupos de dados observacionais
4
Variable Mass Particles.
46
complementares, nominalmente, o chamado novo gold sampl e de 182 SNe Ia,
recentemente publicada por R iess et al. [105]; estimativas atuais do parˆa metro
de deslocamento na RCF do WMAP, CBI, e ACBAR [107], dado por
R ≡ Ω
1/2
m
Γ(z
RCF
) = 1.70 ± 0.0 3 , (3.41)
onde Γ(z) ´e distˆancia com´ovel adimensional e z
RCF
= 1089; medidas de oscila¸c˜oes
ac´usticas bariˆonicas (BAO) feitas pelo Sloan Digita l Sky Survey (SDSS),
d
v
(z
BAO
) =
Γ
2
(z
BAO
)
cz
BAO
H(z
BAO
)
1/3
= 1.300 ± 0.088Gpc, (3.42)
obtido na Ref. [106], onde z
BAO
= 0 .35 e estimativas da evolu¸c˜ao do parˆametro
de Hubble com o redshift [108], (para maiores detalhes veja [102]).
Nas Figs. (3.6) e (3.7) n´o s mostramos os resultados obtidos de nossas an´alises
estat´ısticas. As regi˜oes de confian¸ca (68% e 95.4%) no plano Ω
m
−ǫ s˜ao mostradas
para uma combina¸c˜ao particular do s dados descritos acima. A Fig. (3.6)
corresponde ao caso em que a contribui¸c˜ao da componente bariˆonica Ω
b
(1 + z)
3
,
´e negligenciada ou ent˜ao ´e incluida no processo de decaimento do v´acuo. Note
que, o intervalo de valores do parˆametro ǫ ´e muito restrito, portanto, as an´alises
mostram que o modelo constitui um leve desvio do cen´ario padr˜ao ΛCDM (caso
em que ǫ ´e nulo). Para a regi˜ao de confian¸ca de 95.4% essas an´alises nos fornecem
ǫ ≤ 0.05 e Ω
m
= 0.31
+0.05
−0.04
.
Os efeitos da contribui¸c˜ao de 4.4% da componente bariˆonica conservada
separadamente s˜ao mostrados na Fig. (3.7), neste caso, a ´area das r egi˜oes de
contorno aumenta levemente. O best fit encontrado foi ǫ = 0.08 e Ω
m
= 0.29.
Esses valores fornecem um parˆametro de desacelera¸c˜ao q
0
= −0.49 e um redshift
de transi¸c˜ao (z
⋆
= 0.62). Para a regi˜ao de confian¸ca de 95.4% as an´alises fornecem
ǫ ≤ 0.14 e 0.24 ≤ Ω
m
≤ 0.36, que est´a em excelente concordˆancia com estimativas
de velo cidades relativa s entre pares de gal´axias [109].
´
E importante ressaltar que, embora do ponto de vista observacional esses
47
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
182 SNe Ia + BAO + CMB + H(z)
Ω
m
ε
Figura 3-7: Restri¸c˜oes no espa¸co param´etrico Ω
m
− ǫ, para o cen´ario Λ(t)CDM
da Ref. [33] com duas regi˜oes de confian¸ca (68.3% e 95.4%), obtida a partir de
uma an´alise conjunta envolvendo dados de SNe Ia, CMB, BAO e estimativas da
evolu¸c˜a o do parˆametro de Hubble com o redshift.
dois modelos de decaimento do v´acuo [32, 33] sejam muito pr´oximos do modelo
ΛCDM, do ponto de vista te´orico eles s˜ao bastante diferentes. Pois nesses dois
modelos o termo cosmol´ogico ´e considerado uma ent idade dinˆamica, o que por
sua vez, permite abordar o problema da constante cosmol´ogica. Enquanto que,
no modelo ΛCDM o t ermo cosmol´ogico se mantem constante ao longo de toda a
evolu¸c˜a o do universo.
48
Cap´ıtulo 4
A Vers˜ao de Campo Escalar
4.1 Correspondˆencia de Campo Escalar para
Cosmologias com Λ Vari´avel
Conforme mostramos no Cap´ıtulo 1 , um campo escalar ´e uma componente
dinˆamica caracterizada por uma densidade de energia ρ
φ
e uma press˜ao p
φ
, dadas
respectivamente por
ρ
φ
=
1
2
˙
φ
2
+ V (φ), (4.1)
p
φ
=
1
2
˙
φ
2
− V (φ). (4 .2 )
A forma tradicional de obter a dinˆamica do universo na presen¸ca de um
campo escalar ´e assumir inicialmente um potencial e verificar as consequˆencias
do mesmo para evolu¸c˜ao do universo. Dependendo da forma do potencial, pode-
se obter um universo cuja expans˜a o ´e desacelerada em uma fase e acelerada em
outra. Se o campo escalar for acoplado ao fluido perfeito pode-se f azer ainda uma
correspondˆencia desses modelos que seja equivalente aos cen´a rio s com o termo
cosmol´ogico vari´avel. Em outras palavras, para toda lei de decaimento do v´acuo,
existe um potencial de campo escalar acoplado correspondente a essa lei, que
produz uma dinˆamica equivalente para o universo. Existem algumas motiva¸c˜oes
49
para fazer essa correspo ndˆencia
1. os cen´arios Λ(t)CDM n˜ao tˆem embasamento na F´ısica Fundamental,
2. campos escalares s˜ao previstos por modelos de part´ıculas elementares, bem
como pelas Teorias de Grande Unifica¸c˜ao,
3. resolver as equa¸c˜oes dinˆamicas de um campo escalar acoplado ´e uma tarefa
geralmente muito complicada,
4. a vers˜ao de campo escalar permite o bter a lagrangeana associada a um dado
modelo de decaimento do v´acuo, o que pode levar a uma formula¸c˜ao mais
fundamental para esses cen´arios.
Portanto, na tent ativa de aproximar esses modelos de uma teoria fundamental
n´os discutiremos incialmente como uma cosmologia gen´erica Λ(t) pode ser
interpretada em termos de um campo escalar acoplado, para tanto usaremos
um algor´ıtmo te´orico desenvolvido por Maia e Lima [110].
4.2 O Algor´ıtmo Te´orico
Inicialmente, vamos escrever as equa¸c˜oes que fornecem a dinˆamica do
universo na presen¸ca de um termo cosmol´ogico vari´avel da seguinte forma:
8πGρ + Λ = 3H
2
, (4.3)
8πGp − Λ = −3H
2
− 2
˙
H. (4.4)
Definindo uma fun¸c˜ao dinˆamica γ
eff
, como sendo
γ
eff
= −
2
˙
H
3H
2
. (4.5)
50
Essa fun¸c˜a o dinˆa mica ´e de grande importˆancia, uma vez que ela se mant´em
invariante nas duas vers˜oes. A partir das Eqs. (4.3) e (4.4) ´e poss´ıvel reescrevˆe-la
γ
eff
= 1 −
Λ
3H
2
, (4.6)
dessa forma, γ
eff
caracteriza cada modelo espec´ıfico de decaimento do v´acuo. A
densidade de energia do fluido perfeito pode agora ser escrita em termos de γ
eff
,
como segue
ρ =
3H
2
8πG
γ
eff
(4.7)
Para que possamos encontrar a correspondˆencia de campo escalar
substituiremos a densidade de energia e press˜ao associadas ao termo cosmol´ogico
pela densidade de energia e press˜ao do campo escalar, isto ´e:
Λ
8πG
→ ρ
φ
=
˙
φ
2
2
+ V (φ) (4.8)
e
−Λ
8πG
→ p
φ
=
˙
φ
2
2
− V (φ). (4.9)
De tal maneira que
3H
2
= 8πG
˙
φ
2
2
+ V (φ) + ˜ρ
, (4.10)
3H
2
+ 2
˙
H = −8πG
˙
φ
2
2
− V (φ) + ˜p
. (4.11)
Combinando as duas equa¸c˜oes acima, obtem-se uma equa¸c˜ao de balan¸co, escrita
como segue
˙
˜ρ + 3H ˜ρ = −
˙
φ(
¨
φ + 3H
˙
φ + V
′
(φ)) =
˜
F , (4.12)
onde o til que apar ece sobre as componentes do fluido e do termo de fonte
foi usado para distinguir do valor das respectivas quantidades nos modelos
com o termo cosmol´ogico vari´avel. Uma vez que, mesmo essas duas vers˜oes
sendo dinamicamente equivalentes (mesmo γ
eff
), podem em princ´ıpio serem
51
termodinamicamente diferentes.
A fun¸c˜a o γ
eff
po de agora ser escrita em termos das componentes do campo
escalar e do fluido a ele acoplado, ou seja,
γ
eff
=
˙
φ
2
+ ˜ρ
˜ρ
t
, (4.13)
onde ˜ρ
t
=
˙
φ
2
/2 + V (φ) + ˜ρ ´e a densidade de energia total.
Para que possamos separar as contribui¸c˜oes do campo, vamos introduzir um
segundo parˆametro adimensional
x =
˙
φ
2
˙
φ
2
+ ˜ρ
. (4.14)
Note que
˙
φ
2
= ρ
φ
+ p
φ
(4.15)
e
˙
φ
2
+ ˜ρ = ˜ρ
t
+ ˜p
t
. (4.16)
Portanto, x ´e na verdade uma esp´ecie de peso relativo entre a por¸c˜ao gravitante
do campo escalar e a por¸c˜ao gravitante da mistura (campo escalar mais a
componente material). Indiretamente, esse parˆametro quantifica o quanto de
energia que o potencial escalar entrega para cada componente ao longo da
evolu¸c˜a o do universo. Dessa forma, x ´e visto como sendo uma quantidade
dependente das condi¸c˜oes termodinˆamicas envolvidas no processo de decaimento
[110].
Agora ´e poss´ıvel separar as partes do campo escalar e escrevˆe-las em termos
de x and γ
eff
, como segue
˙
φ
2
=
3H
2
8πG
γ
eff
x, (4.17)
V (φ) =
3H
2
8πG
1 − γ
eff
x
2
+ (1 − x)
. (4.18)
52
A densidade do fluido ˜ρ tamb´em pode ser escrita em termos de x e de γ
eff
, i.e,
˜ρ =
3H
2
8πG
γ
eff
(1 − x) = (1 − x)ρ, (4.19)
onde ρ ´e densidade do fluido referente ao processo de decaimento do v´acuo.
Note que, as densidades nas duas vers˜oes est˜ao relacionadas pelo par ˆametro x.
Embora as duas vers˜oes sejam dinamicamente equivalentes as quantidades f´ısicas
importantes (como, por exemplo, a densidade de energia) n˜ao precisam ser iguais.
Como o campo φ ´e, a princ´ıpio, uma fun¸c˜ao do tempo, a Eq. (4.17) pode ser
reescrita como
φ − φ
I
= ±
3
8πG
t
t
I
√
γ
eff
xHdt,
= ±
3
8πG
a
a
I
√
γ
eff
x
da
a
, (4.20)
= ±
1
√
6πG
H
I
H
x
γ
eff
dH
H
,
Para uma dada lei de decaimento do v´a cuo, se pudermos encontrar φ(t), φ(a),
ou φ(H), a invers˜ao resultar´a numa forma expl´ıcita para V (φ).
´
E bem verdade
que nem sempre isso pode ser feito analiticamente. Entretanto, para alguns
cen´a r io s essa descri¸c˜ao ´e perfeitamente poss´ıvel. Portanto, de agora em diante
faremos a correspondˆencia de campo escalar pa ra a lei de decaimento do v´acuo
deduzida originalmente na Ref. [32], visando dessa forma encontrar o potencial
escalar correspondente a referida lei de decaimento (este ´e, na verdade, o principal
resultado desta disserta¸c˜ao).
53
4.3 Vers˜ao de C ampo Escalar para o Modelo
de Wang e Meng
Vamos agora a plicar o procedimento descrito anteriormente para encontrar
o potential escalar associado ao cen´ario discutido na Ref. [32]. A fun¸c˜ao γ
eff
po de ser encontrada a partir das Eqs. (3.11), (3.13) e ( 4.6)
γ
eff
=
3 − ǫ
3
a
−3+ǫ
B + a
−3+ǫ
, (4.21)
onde B = (3 −ǫ)˜ρ
Λ,0
/3ρ
m,0
. Inserindo esta express˜ao na Eq. (4.20) e integrando,
encontramos
φ = C ln(
√
B + a
−3+ǫ
+
√
a
−3+ǫ
), (4.22)
onde C = −
x/(2πG(3 − ǫ)). Para chegar a express˜ao acima n´os assumimos
que x ´e uma constante. Isso equivale a impor a condi¸c˜ao de que ambas as vers˜oes
(campo escalar e decaimento do v´acuo) possuem a mesma lei de evolu¸c˜ao da
temperatura [111].
Reescrevendo a Eq. (4.18) como fun¸c˜ao do fat or de escala para o cen´ario da
Ref. [32] encontramos que
V ∝ c + a
−3+ǫ
. (4.23)
Agora combinando o resultado acima com Eq. (4.22) e fazendo alguns
procedimentos alg´ebricos, encontra-se
V (φ) = ˜ρ
Λ,0
+ A
e
2φ/C
+ B
2
e
−2φ/C
− 2B
, (4.24)
onde A = [(3 −ǫ)x + 2ǫ]ρ
m,0
/8(3 −ǫ) (veja [10 2]). Conforme p ode ser verificado,
quando a → ∞, φ = C ln(
√
B) e a densidade de energia do campo ´e especificada
apenas pelo potencial, isto ´e,
ρ
φ
= V (φ) = ˜ρ
Λ,0
, (4.25)
54
que ´e exatamente o limite a ssint´otico da densidade de energia do v´acuo dada pela
Eq. (3.11). Isso significa que o universo evoluir´a, inevitavelmente, para uma fase
de Sitter.
Como ´e bem conhecido, potenciais com exponenciais duplas do tipo (4.24) tˆem
sido considerados na literatura como exemplos vi´aveis de cen´arios de quintessˆencia
(veja, e.g, [112]). Esses tipos de potenciais tamb´em s˜ao motiva dos na redu¸c˜ao
dimensional de teorias-M, com interessantes aplica¸c˜oes para o comportamento da
expans˜ao acelerada do universo [113, 114].
4.4 O Efeito dos B´arions
Para encontrar o potencial dado pela Eq. (4.24), n´os negligenciamos
os efeitos da componente bariˆonica conservada separadamente na t axa de
expans˜ao do universo. Entretanto, vimos na Sec¸c˜ao 3.7 que os b´arions s˜ao
importantes do ponto de vista observacional. Na verdade, s˜ao eles que viabilizam
observacionalmente o modelo de decaimento do v´acuo discutido no Cap´ıtuo 3.
Portanto, vamos agora aplicar o mesmo procedimento descrito acima para deriva r
o potencial quando a componente bariˆonica conservada separadamente ´e inserida
na taxa de expans˜ao do universo. No caso do decaimento do v´acuo, havia duas
possibilidades: os b´arions eram conservados separadamente, ou ent˜ao estavam
acoplados ao v´acuo da mesma forma que a mat´eria escura. Aqui, entretanto,
eles n˜ao podem ser acoplados ao campo escalar, pois se os mesmos fossem
observar´ıa mos uma quinta fo r ¸ca no universo, o que n˜ao ´e o caso [27]. Portanto, a
mat´eria bariˆonica se conserva separadamente, ou seja, essa componente continua
evoluindo de acordo com a rela¸c˜ao padr˜a o ρ
b
∝ a
−3
. Dessa forma, na fun¸c˜ao γ
eff
encontrada anteriormente aparece mais um termo tanto no numerador quanto no
denominador escalando com a potˆencia (a
−3
). Assim
γ
eff
=
Aa
−3+ǫ
+ a
−3
B + Ca
−3+ǫ
+ a
−3
, (4.26)
55
φ
φφ
φ
end
= C x ln(B
1/2
)
4.4% of baryons
no baryons
V(
φ
φ
φ
φ
)
φ
φφ
φ
Figura 4-1: Comportamento do po tencial escalar equivalente `a lei de decaimento
do v´acuo dada pela Eq. (3.11) para valores arbitr´arios de x e de ǫ. O caso em
que a componente bariˆonica ´e negligenciada em H - linha pontilhada e o caso em
que componente bariˆo nica ´e considerada em H - linha s´olida [102].
onde A = ρ
m,0
/ρ
b,0
, B = ˜ρ
Λ,0
/ρ
b,0
e C = 3ρ
m,0
/(3 − ǫ)ρ
b,0
. Consequentemente
φ − φ
I
= ±
3x
8πG
a
a
I
Aa
−3+ǫ
+ a
−3
B + Ca
−3+ǫ
+ a
−3
1/2
da
a
. (4.27)
Essa integra¸c˜ao provavelmente s´o po de ser resolvida numericamente. Dessa
forma, n˜ao ´e poss´ıvel encontrar uma express˜ao anal´ıtica para o potencial escalar
levando-se em conta os efeitos dos b´ar io ns conservados separadamente na taxa de
expans˜ao do universo. Mas, n´os mostramos numericamente que a presen¸ca dos
56
b´arions na taxa de expans˜ao do universo ocasiona apenas um leve desvio na forma
do potencial dado pela Eq. (4.24) [veja Fig. (4.1)]. De maneira que o potencial
para o caso em Ω
b
= 0 ainda pode ser expresso em termos de exponenciais duplas.
Isso pode ser melhor visualizado na Fig. (4.1), que mostra o comport amento do
potencial para os dois casos sem a componente bariˆonica - linha pontilhada e com
a componente bariˆonica - linha s´olida.
4.5 A Dinˆamica d o Universo na Pres en¸ca do
Campo Escalar Acoplado
O procedimento usual para obter a dinˆamica do universo na presen¸ca de
um campo escalar acoplado `a mat´eria escura ´e resolver o sistema de equa¸c˜oes
seguinte
3H
2
= 8πG
˙
φ
2
2
+ V (φ) + ˜ρ
, (4.28)
˙
˜ρ + 3H ˜ρ = −
˙
φ(
¨
φ + 3H
˙
φ + V
′
(φ)) =
˜
F . (4.29)
Mas, resolver analiticamente esse sistema de equa¸c˜oes para um dado potencial,
por mais simples que ele seja, ´e uma tarefa praticamente imposs´ıvel de ser feita.
Entretanto , aqui n´os podemos encontrar toda a dinˆamica do universo, sem ter
que resolver o sistema de equa¸c˜oes acima. Simplesmente, podemos fazer isso
utilizando a condi¸c˜ao de que ambas as vers˜o es (decaimento do v´acuo e sua
correspondˆencia de campo escalar acoplado) fornecem dinˆamicas equivalentes,
isto ´e, mesmo γ
eff
. Assim
1 −
Λ
3H
2
=
˙
φ
2
+ ˜ρ
˜ρ
t
. (4.30)
Utilizando as Eqs. (4.1 7) e (4.1 9), ´e poss´ıvel reescrever a equa¸c˜ao acima na
seguinte forma
(1 − x)
−1
˜ρ
m
ρ
φ
+ ˜ρ
m
=
ρ
m
ρ
m
+ ρ
Λ
. (4.31)
57
Como ˜ρ
m
= (1 − x)ρ
m
, a densidade de energia do campo ρ
φ
po de ser expressa
em termos de ˜ρ
m
e ρ
Λ
, como segue
ρ
φ
=
x
1 − x
˜ρ
m
+ ρ
Λ
, (4.32)
ou em termos do fator de escala
ρ
φ
= ˜ρ
Λ,0
+
ǫ + (3 − ǫ)x
(3 − ǫ)(1 − x)
˜ρ
m,0
a
−3+ǫ
. (4.33)
Note que atr av´es desse procedimento ´e poss´ıvel expressar a densidade de energia
do campo em termos da densidade de energia associada ao termo cosmol´og ico
vari´avel e do fluido a ele acoplado.
A press˜ao do campo escalar, por sua vez, ´e dada por
p
φ
=
˙
φ
2
− ρ
φ
. (4.34)
Mas, vimos anteriormente que
˙
φ
2
= [x/(1 − x)]˜ρ
m
. Substituindo esse resultado
juntamente com o valor de ρ
φ
na equa¸c˜ao da press˜ao, resulta
p
φ
= −ρ
Λ
= −˜ρ
Λ,0
−
ǫ˜ρ
m,0
(3 − ǫ)(1 − x)
a
−3+ǫ
, (4.35)
ou seja, a press˜ao do campo escalar ´e igual a press˜ao do termo cosmol´ogico. A
equa¸c˜ao de estado do campo escalar ω
φ
= p
φ
/ρ
φ
fica ent˜ao
ω
φ
= −
˜ρ
Λ,0
+
ǫ˜ρ
m,0
(3−ǫ)(1−x)
a
−3+ǫ
˜ρ
Λ,0
+
ǫ+(3−ǫ)x
(3−ǫ)(1−x)
˜ρ
m,0
a
−3+ǫ
. (4.36)
Para a → ∞, =⇒ ω
φ
= −1, como j´a era esperado. No caso em que a = 1,
temos
ω
φ,0
= −
1 − (x + ˜ρ
m,0
)
(1 − x)(1 − ˜ρ
m,0
)
. (4.37)
58
A taxa de expans˜ao do universo H(t) pode a gora ser escrita como
H
2
=
8πG
3
(˜ρ
m
+ ρ
φ
), (4.38)
ou ainda,
H
2
= H
2
0
3
˜
Ω
m,0
(3 − ǫ)(1 − x)
(1 + z)
3−ǫ
+
˜
Ω
Λ,0
, (4.39)
onde
˜
Ω
Λ,0
= ˜ρ
Λ,0
/ρ
c,0
. Por sua vez, a equa¸c˜ao para a a celera¸c˜ao ´e dada por
¨a
a
= −
4πG
3
3 − 3ǫ
(3 − ǫ)(1 − x)
˜ρ
m,0
a
−3+ǫ
− 2˜ρ
Λ,0
. (4.40)
Note que, embora a dinˆamica o btida aqui seja idˆentica `a discutida na Sec¸c˜ao 3.3,
po demos perceber que quantidades importantes como a densidade de energia do
fluido ´e modificada na vers˜ao de campo escalar de sua correspondente vers˜ao
Λ(t) pelo fator (1 − x), em outras palavras na vers˜ao de campo escalar aparece
mais um parˆametro livre x. Fisicamente, essa diferen¸ca ´e entendida devido ao
fato do potencial, al´em de fornecer energia para o fluido acoplado ao campo
tamb´em fornece energia para o pr´oprio campo rolar at´e o m´ınimo de seu potencial,
enquanto que o v´acuo s´o fornece energia para o fluido a ele acoplado. Do ponto
de vista observacional ´e esperado que esse parˆametro x, ocasione uma mudan¸ca
no intervalo de valores do par ˆametro ǫ permitido pelas observa¸c˜oes.
59
Cap´ıtulo 5
Conclus˜oes e Perspectivas
Nesta disserta¸c˜ao, discutimos inicialmente o novo cen´ario cosmol´ogico padr˜ao
que emergiu ap´os a descob erta da acelera¸c˜ao c´osmica em 1998, enfatizando,
principalmente, a constante cosmol´ogica como o candidato mais prov´avel `a
energia escura. Vimos que tal supo si¸c˜ao origina o chamado problema da
constante cosmol´o gica, que consiste numa discrepˆancia de cerca de 12 0 o rdens
de magnitudes entre as expectativas te´or icas e as observa¸c˜oes cosmol´ogicas par a
o valor de Λ.
Na tentativa de amenizar tal discrepˆancia ´e sugerido que o termo cosmol´ogico
varie ao longo da expans˜ao do universo. Contudo, na ausˆencia natural de um guia
proveniente de F´ısica Fundamental, para estabelecer um modelo cosmol´ogico ´e
preciso, primeiramente, especificar uma lei fenomenol´ogica para a va r ia ¸c˜ao do
termo cosmol´og ico, sendo esta a maio r obje¸c˜ao desses modelos. Aqui, entretanto,
n´os discutimos os aspectos te´or icos e observacionais de um cen´ario em que a
lei de decaimento do v´acuo foi deduzida a partir dos efeitos na evolu¸c˜ao da
densidade de mat´eria escura [32]. Sob esse ponto de vista, essa ´e uma cosmologia
de decaimento do v´acuo bastante geral. Portanto, ´e particularmente importante
testar observacionalmente esse modelo, bem como pesquisar uma formula¸c˜ao mais
fundamental para o mesmo.
N´os fizemos uma an´alise estat´ıstica envolvendo quatro grupos de dados
60
observacionais complementares, nominalmente, o chamado novo g old sample de
182 SNe Ia, recentemente publicada por Riess et al. [105]; estimativas atuais do
parˆametro de deslocamento na RCF do WMAP, CBI, e ACBAR [107], medidas
de BAO feitas pelo SDSS [106] e estimativas da evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble
com o redshift [108]. Para o caso em que a componente bariˆonica ´e negligenciada
ou est´a acoplada ao v´acuo da mesma forma que a mat´eria escura, essas an´alises
mostram que o espa¸co param´etrico Ω
m
− ǫ ´e muito restrito, principalmente o
intervalo de valores do parˆametro ǫ. Na regi˜ao de confian¸ca de 2σ as an´alises
fornecem ǫ ≤ 0 .05 e Ω
m
= 0.31
+0.05
−0.04
. Quando os efeitos de 4.4% da componente
bariˆonica conservada separadamente s˜ao levados em considera¸c˜ao a ´area das
regi˜oes de confian¸ca do espa¸co de parˆametros aumenta levemente. Neste caso, o
melhor fit obtido fo i Ω
m
= 0.29 e ǫ = 0.08. Estes valores fornecem um parˆametro
de desacelera¸c˜ao q
0
= −0.49, um redshift de transi¸c˜ao z
⋆
= 0.62 e uma idade de
≈ 13.7 bilh˜oes de anos para o universo. Todas essas previs˜oes s˜ao bem pr´oximas
das indica¸c˜o es observacionais, o que mostra que esse mo delo explica com razo´avel
precis˜ao o universo observado (para maiores detalhes veja [102]).
No sentido de estabelecer um status melhor, do ponto de vista te´orico, para
o cen´ario da Ref. [32], n´os fizemos a correspondˆencia de campo escalar acoplado
para esse modelo e obtivemos um duplo potencial exponencial. Conforme
verificado o limite assint´otico, quando a → ∞, ´e exatamente o mesmo dado
pela lei de decaimento da Ref. [32]. Utilizando a condi¸c˜ao de que ambas as
vers˜oes fornecem a mesma dinˆamica para o universo n´os encontramos a equa¸c˜ao
de estado do campo e consequentemente a taxa de expans˜ao do universo. Note que
na vers˜ao de campo escalar aparece mais um parˆametro livre x, que parametriza
as quantidades f´ısicas imp ortantes dessa vers˜ao de sua correspondente vers˜ao de
decaimento do v´acuo.
Finalmente, n´os enfatizamos que pretendemos fazer futuramente, uma an´alise
estat´ıstica com os mesmos conjuntos de dados, para o caso em que o campo
escalar correspondente a lei de decaimento do v´acuo da Ref. [32] est´a acoplado
a mat´eria escura. Tamb´em ´e importante ressaltar que fizemos a correspondˆencia
61
de campo escalar acoplado para o utro cen´ario de decaimento do v´acuo, que tem
um embasamento muito forte em teorias de grupo de renormaliza¸c˜a o e obtivemos
um potencial idˆentico ao encontrado anteriormente (veja Apˆendice A). O pr´oximo
passo j´a iniciado consiste em uma investiga¸c˜ao mais aprofundada de quintessˆencia
acoplada (veja Apˆendice B). Outro aspecto importante que merece ser estudado
sequencialmente ao t´ermino desses dois trabalhos ´e uma poss´ıvel correla¸c˜ao de
modelos com acoplamento no setor escuro com teorias de gravidade modificada
[f(R)].
62
Apˆendice A
Um Modelo Alternativo ao de Wang e Meng
Neste apˆendice consideraremos um cen´ario cosmol´ogico de decaimento da
densidade de energia do v´acuo dado por
Λ = Λ
I
+ αH
2
, (A.1)
onde α ´e uma constante. Uma rela¸c˜ao idˆentica a essa foi obtida por Shapiro e
S`ola, baseado em argumentos de teorias de grupo de renormaliza¸c˜ao [97].
Para que possamos agora encontrar toda a dinˆamica do universo fornecida
por essa lei de decaimento do v´acuo, vamos combinar a express˜ao acima com a
Eq. (3.13), dessa forma
8πG(ρ
m
+ ρ
Λ
I
) = (3 − α)H
2
, (A.2)
derivando as Eqs. (A.1) e (A.2) com respeito ao tempo e combinando os
resultados, vem
˙ρ
m
˙ρ
Λ
=
3 − α
α
. (A.3)
Substituindo esse resultado na Eq. (3.2) encontra-se uma express˜ao para a
63
evolu¸c˜a o modificada da densidade de mat´eria escura
ρ
m
= ρ
m,0
a
−3+α
. (A.4)
Note que esse cen´ario fornece uma express˜ao para evolu¸c˜ao da densidade da
mat´eria escura igual ao da Ref. [32]. Em outras palavras, ´e poss´ıvel chegar a
sup osi¸c˜ao b´asica sobre a taxa modificada de evolu¸c˜ao da densidade de mat´eria
escura proposta por Wang e Meng, adimitindo que o termo cosmol´ogico evolua
de acordo com Λ = Λ
I
+ αH
2
.
A taxa de expans˜ao do universo para esse cen´ario de decaimento do v´acuo
po de ser escrita como
H
2
= H
2
0
3
3 − α
[Ω
m,0
(1 + z)
3−α
+ Ω
Λ,I
]
. (A.5)
No caso em o conte´udo bariˆo nico ´e conservado separadamente, a equa¸c˜ao acima
´e reescrita na seguinte forma
H
2
= H
2
0
3
3 − α
[Ω
b,0
(1 + z)
3
+ Ω
m,0
(1 + z)
3−α
+ Ω
Λ,I
]
. (A.6)
Embora subdominante no atual est´agio da evolu¸c˜ao do universo os b´arions
po dem ser, a princ´ıpio, importante para conciliar esse cen´ario de Λ(t)CDM
com as observa¸c˜oes. A partir da Eq. (3.17) podemos escrever o parˆametro de
desacelera¸c˜a o, como segue
q(z) =
1
2
3Ω
b,0
(1 + z)
3
+ (3 − α)Ω
m,0
(1 + z)
3−α
Ω
b,0
(1 + z)
3
+ Ω
m,0
(1 + z)
3−α
+ Ω
Λ,I
− 1. (A.7)
A equa¸c˜ao que fornece o redshift de transi¸c˜ao (z
⋆
) ´e obtida fazendo q(z) = 0,
64
assim
Ω
b,0
(1 + z
⋆
)
3
+ (1 − α)Ω
m,0
(1 + z
⋆
)
3−α
− 2Ω
Λ,I
= 0. (A.8)
A correspondˆencia de campo escalar acoplado para esse modelo tamb´em
po de ser obtida aplicando o mesmo procedimento discutido no Cap´ıtulo 4.
Inicialmente, temos que
γ
eff
=
(3 − α)H
2
− Λ
I
3H
2
. (A.9)
substituindo a rela¸c˜ao acima na Eq. (4.20) encontra-se
φ = B
−1
ln(H +
√
H
2
− C), (A.10)
onde B = −
2πG(3 − α)/x e C = Λ
I
/(3 − α). Resolvendo a equa¸c˜ao acima
para H e combinando o resultado com a Eq. (4.1 8) encontra-se
V (φ) =
(2 − x)
2
ρ
Λ
I
+ D
e
2Bφ
+ C
2
e
−2Bφ
+ 2C
, (A.11)
onde D = [(3 − α)x + 2α]/64πG. Note que o potencial encontrado ´e semelhante
ao que foi obtido no Cap´ıtulo 4.
65
Apˆendice B
Quintessˆencia Acoplada
Neste apˆendice discutiremos um modelo fenomenol´ogico de intera¸c˜ao no
setor escuro, isto ´e, a intera¸c˜ao ocorre entre a energia escura e a mat´eria escura.
Para que possamos modelar a intera¸c˜ao, vamos inicialmente considerar que as
componentes interagem via troca de energia. Dessa forma, tem-se que a equa¸c˜a o
de continuidade pode ser escrita na m´etrica de FRW como
˙ρ
m
+ 3Hρ
m
= δHρ
m
, (B.1)
˙ρ
x
+ 3Hρ
x
(1 + ω
x
) = −δHρ
m
, (B.2)
onde δ ´e uma fun¸c˜ao de acoplamento adimensional e ρ
x
´e a densidade da energia
escura. Se considerarmos δ como sendo uma fun¸c˜ao explicita do fator de escala,
a primeira das equa¸c˜oes acima pode ser facilmente integrada, nos fornecendo
ρ
m
= ρ
m0
a
−3
e
δdlna
. (B.3)
Note que na evolu¸c˜ao de CDM aparece mais um termo, ao inv´es de, apenas a
−3
caracter´ıstico da rela¸c˜ao padr˜ao. Isto mostra que a intera¸c˜ao causa um desvio na
66
evolu¸c˜a o da densidade de mat´eria escura. Isto, de fato, era fisicamente esperado,
uma vez que, `a medida que o universo evolui CDM est´a trocando energia com a
quintessˆencia.
Com o intuito de obter express˜oes anal´ıticas para δ, ρ
m
, ρ
x
e H vamos
considerar que a raz˜ao entre as densidades de energia dos fluidos interagentes
obedecem a seguinte rela¸c˜ao [115]
ρ
x
/ρ
m
= Aa
ξ
, (B.4)
onde A e ξ s˜ao duas constantes. Derivando a equa¸c˜ao acima com respeito ao
tempo e combinando o resultado com a Eq. (B.1) encontramos
δ = −
ξ + 3ω
x
ρ
x
+ ρ
m
ρ
x
, (B.5)
que ainda pode ser escrita em termos dos parˆametros de densidades, como segue
δ = −
ξ + 3ω
x
Ω
x
+ Ω
m
Ω
x
. (B.6 )
Assumindo que o universo possui curvatura espacial nula k = 0, tem-se que
Ω
x
+ Ω
m
+ Ω
b
= 1. Dessa forma a Eq. (B.4) pode ser reescrita como
Ω
x
+
1
A
Ω
x
a
−ξ
= 1 − Ω
b
, (B.7)
a constante A pode ent˜ao ser obtida tomando a equa¸c˜ao acima no t empo presente,
assim
A =
Ω
x,0
1 − Ω
b,0
− Ω
x,0
. (B.8)
Combinando agora as Eqs.(B.7) e (B.6) obtem-se uma express˜a o para a fun¸c˜ao
67
de acoplamento em termos apenas do fator de escala
δ = −
ξ + 3ω
x
Ω
x,0
+ (1 − Ω
x,0
− Ω
b,0
)a
−ξ
Ω
x,0
. (B.9)
Observe que o modelo padr˜ao, isto ´e fluidos n˜ao acoplados ´e recuperado quando
ξ = −3ω
x
. Para que possamos agora encontra r a evolu¸c˜a o da densidade de
mat´eria escura em termos do fator de escala, vamos substituir δ na Eq. (B.3) e
resolvermos a integra¸c˜ao. Segue ent˜ao que
ρ
m
= ρ
m,0
a
−3
a
ξ
+ C
1 + C
−
ξ+3ω
ξ
, (B.10)
e consequentemente
ρ
x
= ρ
x,0
a
−3+ξ
a
ξ
+ C
1 + C
−
ξ+3ω
ξ
, (B.11)
onde
C =
1 − Ω
b,0
− Ω
x,0
Ω
x,0
. (B.12)
Como j´a encontramos express˜o es anal´ıticas para a evolu¸c˜ao de ρ
m
e ρ
x
, ´e f´acil
mostrar que a taxa de expans˜ao do universo ´e dada por
H
2
= H
2
0
Ω
b,0
a
−3
+ [Ω
m,0
+ (1 − Ω
b,0
− Ω
m,0
)a
ξ
]a
−3
a
ξ
+ C
1 + C
−
ξ+3ω
ξ
. (B.13)
68
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