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Modelagem Matemática
e Controle de um
Atuador Pneumático
Por
Delair Bavaresco
Dissertação de Mestrado
Ijuí, RS – Brasil
2007
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Livros Grátis
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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA
Modelagem Matemática
e Controle de um
Atuador Pneumático
por
DELAIR BAVARESCO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Modelagem Matemática da
Universidade Regional do Noroeste do Estado
do Rio Grande do Sul (UNIJUI), como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em
Modelagem Matemática.
Ijuí, RS – Brasil
2007
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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
DeFEM - DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA
DeTec - DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
Modelagem Matemática e Controle
de um Atuador Pneumático
Elaborada por
DELAIR BAVARESCO
Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática
Comissão Examinadora
Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero – UNIJUI (Orientador)
Prof. Dr. Eduardo André Perondi - UFRGS
Prof. Dr. Wang Chong - UNIJUI
Prof. Dr. Marat Rafikov– UNIJUI (Co-Orientador)
Ijuí, RS, 16 de Março de 2007.
AGRADECIMENTOS
À minha família em especial aos meus pais Aquilino e Edi, pelo incentivo e incondicional apoio.
Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero, pela dedicação e seriedade em seus
ensinamentos e pela amizade ao longo de todo o período de desenvolvimento deste trabalho.
Aos professores do mestrado em Modelagem Matemática da UNIJUI, em especial ao meu co-
orientador Prof. Dr. Marat Rafikov, pelo conhecimento transmitido, ajuda nos momentos de
necessidade e pelas amizades formadas. Também aos funcionários do DEFEM pelo carinho e
atenção dedicados e pela amizade.
Aos professores e bolsistas do Laboratório de Automação do campus Panambí em especial ao Prof.
Pedro Luis Andrighetto, pela receptividade e dedicação.
Aos amigos e colegas Fábio e Gustavo pela convivência, companheirismo e pelas idéias trocadas,
estando sempre prontos para darem seu apoio e colaboração.
A todos os colegas do Mestrado em Modelagem Matemática, que juntamente vivemos tão
intensamente este período que quase não percebemos o tempo passar. À turma do futebol, das
incríveis festas, dos churrascos de finais de semana e também das conversas informais na
tradicional esquina. Com vocês nunca faltou motivação perante os desafios enfrentados.
Ao casal Zaida e Artur pelo agradável convívio, amizade e dedicação.
A CAPES pelo apoio financeiro.
A todos que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho.
“Nada de esplêndido jamais foi realizado,
exceto por aqueles que ousaram acreditar que
algo dentro deles era superior às circunstâncias.”
Bruce Barton
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ..............................................................................................................viii
LISTA DE TABELAS ...............................................................................................................xi
LISTA DE SÍMBOLOS ............................................................................................................xii
RESUMO ...............................................................................................................................xviii
ABSTRACT .............................................................................................................................xix
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................1
1.1 Generalidades ....................................................................................................................1
1.2 Objetivos............................................................................................................................4
1.3 Metodologia.......................................................................................................................5
1.4 Problema Proposto e Organização deste Trabalho............................................................6
2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO.................................8
2.1 Introdução..........................................................................................................................8
2.2 Modelo de 3ª Ordem por Virvalo ......................................................................................9
2.3 Modelo de 4ª Ordem por Bobrow....................................................................................11
2.4 Modelo de 5ª Ordem por Karpenko e Sepehri.................................................................13
2.5 Modelo de 5ª Ordem por Perondi....................................................................................14
2.6 Modelo Matemático Adotado..........................................................................................16
2.7 Discussões .......................................................................................................................17
3 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL DO
MODELO MATEMÁTICO..............................................................................................18
3.1 Introdução........................................................................................................................18
3.2 Descrição do Atuador Pneumático e da Bancada de Testes............................................19
3.3 Determinação dos Parâmetros do Modelo de 3ª Ordem Adotado...................................24
3.4 Validação Experimental do Modelo Adotado .................................................................27
vii
3.5 Descrição e Identificação da não Linearidade de Zona Morta em Servoválvulas...........28
3.6 Discussões .......................................................................................................................35
4 CONTROLE DO ATUADOR PNEUMÁTICO ...............................................................36
4.1 Introdução........................................................................................................................36
4.2 Controle Proposto para Sistemas não Lineares ...............................................................38
4.3 Análise de Estabilidade do Controle ...............................................................................40
4.4 Projeto de Controle do Atuador Pneumático...................................................................43
4.5 Simulação Numérica........................................................................................................45
4.5.1 Controle Ótimo Linear Direcionando o Sistema a um Ponto Fixo ..............................46
4.5.2 Controle Ótimo Linear Direcionando o Sistema a uma Trajetória Desejada...............50
4.6 Discussões .......................................................................................................................54
5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS ................................................................................55
5.1 Introdução........................................................................................................................55
5.2 Planejamento de Trajetórias ............................................................................................55
5.3 Controle Proporcional e a Compensação de Zona Morta................................................57
5.4 Controle Proposto para Sistemas Não Lineares ..............................................................62
5.5 Aplicação em um Robô Cartesiano Acionado Pneumaticamente ...................................69
5.6 Discussões .......................................................................................................................78
6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS.............................................................79
7 REFERÊNCIAS ................................................................................................................81
APÊNDICE A ........................................................................................................................85
APÊNDICE B.........................................................................................................................86
APÊNDICE C.........................................................................................................................87
APÊNDICE D ........................................................................................................................88
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Diagrama da relação interdisciplinar que envolve o conceito de mecatrônica...........3
Figura 2: Desenho esquemático de um atuador pneumático......................................................4
Figura 3: Bancada de testes do laboratório de automação do Campus Panambí da Unijuí .......6
Figura 4: Foto de um cilindro pneumático simétrico sem haste...............................................19
Figura 5: Foto de uma servoválvula de controle direcional. ....................................................19
Figura 6: Abertura da válvula com sinal positivo e movimento de avanço do cilindro...........20
Figura 7: Abertura da válvula com sinal negativo e movimento de recuo do cilindro.............20
Figura 8: Foto do transdutor de posição...................................................................................21
Figura 9: Foto do transdutor de pressão ...................................................................................21
Figura 10: Desenho esquemático da bancada experimental de testes ......................................22
Figura 11: Tela da interface gráfica do software da dspace .....................................................23
Figura 12: Diagrama de blocos da programação do controle e do acoplamento com o software
da dspace ..........................................................................................................................23
Figura 13: Gráfico do comportamento da freqüência natural em função da posição do êmbolo
do cilindro.........................................................................................................................25
Figura 14: Gráfico comparativo entre o polinômio ajustado e a equação 2.5..........................26
Figura 15: Diagrama de blocos utilizados nas simulações numéricas .....................................27
Figura 16: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação para o movimento de
avanço...............................................................................................................................28
Figura 17: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação para o movimento de
recuo .................................................................................................................................28
Figura 18: Representação gráfica do trecho de zona morta do sinal de entrada ......................30
Figura 19: Visão em corte de uma servoválvula proporcional direcional................................30
Figura 20: Trecho do sinal de controle diminuindo para determinação do limite esquerdo da
zona morta ........................................................................................................................31
Figura 21: Variação da pressão na câmara B do cilindro e indicação do limite esquerdo da
zona morta ........................................................................................................................32
Figura 22: Trecho de sinal de controle aumentando para determinação do limite direito da
zona morta ........................................................................................................................33
Figura 23: Variação da pressão na câmara A do cilindro e indicação do limite direito da zona
morta.................................................................................................................................33
ix
Figura 24: Dinâmica das pressões e marcação dos limites da zona morta...............................34
Figura 25: Diagrama de um sistema de controle em malha fechada........................................36
Figura 26: Diagrama de um sistema de controle em malha aberta...........................................37
Figura 27: Sistema de controle ótimo.......................................................................................43
Figura 28: Diagrama de blocos do sistema controlado construído no Simulink......................46
Figura 29: Diagrama de blocos do controlador construído no Simulink..................................46
Figura 30: Deslocamento do sistema direcionado a um ponto fixo desejado ..........................47
Figura 31: Sinal de controle direcionando o sistema ao ponto fixo desejado ..........................48
Figura 32: Sistema direcionado ao ponto fixo desejado 2º caso. .............................................49
Figura 33: Sinal de controle direcionando o sistema ao ponto desejado 2º caso .....................49
Figura 34: Deslocamento do sistema direcionado a trajetória desejada...................................50
Figura 35: Velocidade do sistema direcionado a trajetória desejada........................................51
Figura 36: Aceleração do sistema direcionado a trajetória desejada........................................51
Figura 37: Sinal de controle direcionando o sistema a trajetória desejada...............................52
Figura 38: Valor de h para o sistema direcionado a um ponto fixo. ........................................53
Figura 39: Valor de h para o sistema direcionado ao seguimento de uma trajetória desejada.53
Figura 40: Representação gráfica da inversa da zona morta com trechos de suavização
próximos a origem............................................................................................................58
Figura 41: Diagrama de blocos da programação da compensação da zona morta...................59
Figura 42: Resultados experimentais de seguimento de trajetórias com controle proporcional
sem e com compensação de zona morta...........................................................................60
Figura 43: Gráfico comparativo do erro de seguimento do controle proporcional com e sem
compensação de zona morta para as trajetórias senoidal e polinomial, respectivamente 61
Figura 44: Gráfico comparativo do sinal de controle aplicado à servoválvula para seguimento
das trajetórias senoidal e polinomial, respectivamente ....................................................61
Figura 45: Seguimento de trajetória com controle proporcional em comparação com o
controle proposto..............................................................................................................64
Figura 46: Erro de seguimento comparativo entre o controle proporcional e o controle
proposto sem compensação da zona morta para as trajetórias senoidal e polinomial
respectivamente. ...............................................................................................................65
Figura 47: Erro de seguimento comparativo entre o controle proporcional e o controle
proposto com compensação da zona morta para as trajetórias senoidal e polinomial
respectivamente. ...............................................................................................................66
Figura 48: Comparação dos erros de posicionamento entre o ajuste ideal e o ajuste não ideal67
x
Figura 49: Comparação entre o sinal de controle entre o ajuste ideal e o ajuste não ideal ......68
Figura 50: Comparação entre os erros de todas as metodologias de controle testadas para a
trajetória senoidal .............................................................................................................68
Figura 51: Comparação entre os erros de todas as metodologias de controle testadas para a
trajetória polinomial .........................................................................................................69
Figura 52: Visão explodida do esquema do manipulador robótico e seus principais
componentes.....................................................................................................................70
Figura 53: Foto do manipulador robótico acionado pneumaticamente....................................71
Figura 54: Trajetória desejada para movimentação na direção x .............................................72
Figura 55: Sintonia de movimentação dos três cilindros do manipulador robótico.................75
Figura 56: Seguimento de trajetória no movimento na direção x.............................................76
Figura 57: Erro de posicionamento durante a movimentação na direção x..............................76
Figura 58: Erro de velocidade durante a movimentação na direção x......................................77
Figura 59: Comparação entre os corpos de prova antes e depois da escovação.......................77
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Vantagens e desvantagens de cada sistema atuador ...................................................2
Tabela 2: Principais componentes e parâmetros da bancada experimental de testes ...............24
Tabela 3: Parâmetros do atuador pneumático...........................................................................25
Tabela 4: Parâmetros utilizados nos testes experimentais do manipulador robótico ...............73
xii
LISTA DE SÍMBOLOS
Alfabeto Latino
A Área da seção transversal da câmara do atuador
[m
2
]
A Coeficiente do polinômio de sétima ordem da trajetória polinomial
dos testes experimentais
1
A
Coeficiente do polinômio de 4ª ordem da freqüência natural
A
1
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
1
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
A
2
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
2
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
A
3
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
3
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
n n
A R
×
∈
Matriz constante formada pela parte linear do sistema dinâmico
A(p
a
- p
b
)
Força resultante da diferença de pressões entre as câmaras do
cilindro
[N]
n n
B R
×
∈
Matriz constante
B Coeficiente do polinômio de sétima ordem da trajetória polinomial
dos testes experimentais
1
B
Coeficiente do polinômio de 4ª ordem da freqüência natural
B
1
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
1
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
B
2
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
2
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
B
3
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
3
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
xiii
p
C
Calor específico do ar a pressão constante
[cal/g
⋅
ºC]
v
C
Calor específico do ar a volume constante.
[cal/g
⋅
ºC]
C Coeficiente do polinômio de sétima ordem da trajetória polinomial
dos testes experimentais
1
C
Coeficiente do polinômio de 4ª ordem da freqüência natural
C
1
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
1
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
C
2
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
2
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
C
3
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
3
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
Desl Distância de deslocamento sobre as equações polinomiais P
1
e P
2
[m]
Dlix Distância programada para ocorrer a escovação
[m]
D Coeficiente do polinômio de sétima ordem da trajetória polinomial
dos testes experimentais
1
D
Coeficiente do polinômio de 4ª ordem da freqüência natural
D
1
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
1
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
D
1
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
2
(t) da trajetória
polinomial na aplicaçã2706(ã)4(o )]TJ2706(ã)4 ca[-59([)-7.0(a)4(no )]TJETQq4489 3049.67 m4534 3049.67 l4534 2935.67 l2 T7 2935.67 lhW nq8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT/R11 12 Tf1 0 0 1 538.68 30e2721 Tm( )djETQQq8.33333 0 0 8.33333 0 0 cm BT/R50 12 Tf1 0 0 1 85.0795 516.201 Tm(D)Tj/R50 8.04 Tf8.64 -1.56 Td(1)Tj/R50 12 Tf4.08 1.56 Td( )Tj/R11 12 Tf53.64 6 Td[(C)-3(oe)4(f)3(i)-2(c)4(i)-2(e)4(nt)-2(e)4( do pol)-2(i)-2(nôm)-2(i)-2(o de)4( s)-1(é)4(t)-2(i)-2(m)-2(a)4( or)3(de)4(m)-2( )250]TJ/R50 12 Tf207.84 0 Td(P)Tj/R50 8.04 Tf7.32 -1.56 Td(3)Tj/R50 12 Tf4.2 1.56 Td[(()13(t)-12())13( )]TJ/R11 12 Tf14.16 0 Td[(da)-6( t)-2(r)3(a)4(j)-2(e)4(t)-2(ór)3(i)-2(a)4( )250]TJ-233.52 -20.64 Td[(pol)-2(i)-2(nom)-2(i)-2(a)4(l)-2( na)4( a)4(pl)-2(i)-2(c)4(a)4(ç)4(ã235o )-10(a)4(o235o )-1 cate24rtano
xiv
Polinomial na aplicação ao robô cartesiano
E
3
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
3
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
F
a
Força de atrito, equação (2.6)
[N]
F
c
Força de atrito seco
[N]
f
F
Força de atrito que inclui as características de atrito estático e de
Coulomb, equação (2.11)
[N]
f 5 2
F ( y , y )
Força de atrito, equação (2.15)
[N]
F
s
Força de atrito estático
[N]
F Coeficiente do polinômio de sétima ordem da trajetória polinomial
dos testes experimentais
F
1
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
1
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
F
2
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
2
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
F
3
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
3
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
g(y)
Vetor cujos elementos são funções contínuas
g( y )
Função que representa parte das características de atrito em regime
permanente
d
G( y, y )
Matriz composta por funções de
y
e
d
y
h(t)
Função que caracteriza a soma dos desvios quadrados do sistema da
trajetória desejada
G Coeficiente do polinômio de sétima ordem da trajetória polinomial
dos testes experimentais
G
1
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
1
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
G
2
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
2
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
G
3
Coeficiente do polinômio de sétima ordem P
3
(t) da trajetória
polinomial na aplicação ao robô cartesiano
xv
J Funcional do índice de desempenho do controle
K
p
Ganho proporcional ao erro de posicionamento
K
q
Ganho de velocidade em malha aberta
v
k
Ganho de posição do carretel da servoválvula em relação ao sinal
de controle
T
U
,
lc Largura de suavização utilizada na compensação
[V]
me Inclinação que representa a proporcionalidade entre a entrada e a
saída do sinal de controle negativo
md Inclinação que representa a proporcionalidade entre a entrada e a
saída do sinal de controle positivo
M Massa total acoplada ao êmbolo do atuador
[Kg]
a
p
Pressão na câmara 1 do atuador
[bar]
b
p
Pressão na câmara 2 do atuador
[bar]
atm
p
Pressão atmosférica
[bar]
s
p
Pressão de suprimento
[bar]
n n
P R
×
∈
Matriz simétrica e satisfaz a equação de Riccati
Per Período de deslocamento na direção x do robô cartesiano
[s]
P
i
Posição inicial
[m]
P
2
Equação polinomial de sétima ordem
P
3
Equação polinomial de sétima ordem
ma
q
Vazão mássica na câmara 1 do cilindro
[m
3
/s]
mb
q
Vazão mássica na câmara 2 do cilindro
[m
3
/s]
Q
n
Vazão volumétrica normal da válvula
[l/min]
n n
Q R
×
∈
Matriz constante, simétrica, definida positiva que satisfaz a equação
de Riccati
R Constante universal dos gases
n n
R R
×
∈
Matriz constante, definidas positiva
t Variável de tempo
[s]
T Temperatura do ar de suprimento
[ºC]
t
e
Tempo de deslocamento sobre as equações polinomiais P
1
e P
2
[s]
t
lix
Tempo para desenvolver a escovação
[s]
tr Tempo de deslocamento sobre a equação polinomial P
3
[s]
xvi
u Vetor de controle.
d
u
Parcela feedforward do controle
u
t
Parcela feedback do controle
U
d
Entrada de sinal de controle desejável sem a existência da zona
morta
U
T
Sinal de controle em tensão aplicado a servoválvula
[V]
T max
U
Tensão máxima de entrada na válvula
[V]
U
zm
.
Sinal de entrada U em relação ao sinal de saída
[V]
V Função de Lyapunov
V
a
Volume da câmara 1 do atuador
[m
3
]
V
b
Volume da câmara 2 do atuador
[m
3
]
V
A0
Volume total da câmara 1 do atuador incluindo as tubulações
[m
3
]
V
B0
Volume total da câmara 2 do atuador incluindo as tubulações
[m
3
]
V
a0
Volume morto na câmara 1 do atuador
[m
3
]
V
b0
Volume morto na câmara 2 do atuador
[m
3
]
Vel Velocidade de escovação
[m/s]
x
v
Posição do carretel da servoválvula
[m]
y Vetor de estado
s
y
Velocidade de Stribeck [m/s]
d
y
Vetor função da trajetória desejada do sistema
z
Micro deformações médias das rugosidades entre as superfícies
elásticas de contato
[m]
zmd
xvii
2
σ
Coeficiente de atrito viscoso
v
τ
Constante de tempo da servoválvula
n
ω
Freqüência natural [rad/s]
ξ
Taxa de amortecimento do movimento do sistema
Símbolos
( ˜ ) Erro ou diferença
(
.
) Derivada primeira
(
..
) Derivada segunda
(
...
) Derivada terceira
xviii
RESUMO
O presente trabalho trata da modelagem matemática e do controle de um atuador
pneumático através de tratamentos teóricos, simulações numéricas e testes experimentais. Os
atuadores pneumáticos são limpos, de baixo custo, manutenção fácil e de boa relação
peso/potência. Entretanto, há muitas dificuldades no controle clássico linear de atuadores
pneumáticos, causadas pela compressibilidade do ar, pela relação não linear da vazão nos
orifícios da servoválvula de controle e pelo atrito nos atuadores. A modelagem matemática
através da descrição das características do atuador pneumático é importante no projeto de
algoritmos de controle e pode ser útil para fins de simulação e de análise do comportamento
dinâmico. Neste trabalho é feito um levantamento dos modelos matemáticos utilizados em
acionamentos pneumáticos disponíveis na literatura e, a partir disso, adota-se um modelo não
linear de 3ª ordem com o objetivo de facilitar a síntese e a implementação de uma estratégia
de controle de sistemas não lineares. Com base no modelo não linear adotado, formula-se o
projeto do controlador através de uma metodologia testada com sucesso em sistemas caóticos,
mas ainda não utilizada em atuadores pneumáticos. A não linearidade de zona morta da
servoválvula mostrou-se prejudicial ao desempenho do controlador e foi compensada através
da inversa de seu modelo parametrizado. Os parâmetros da zona morta são identificados a
partir da análise da dinâmica das pressões nos orifícios de saída da válvula. Os resultados das
simulações numéricas e dos testes experimentais ilustram a eficácia e a simplicidade de
implementação desta estratégia de controle em atuadores pneumáticos. A estratégia de
controle proposta foi também aplicada em um robô cartesiano acionado pneumaticamente na
realização de tarefas de escovação de painéis metálicos na indústria. Para aplicações que
exigem maior precisão de posicionamento, sugere-se a adoção de modelos matemáticos que
representem com maior fidelidade algumas características não lineares tais como a dinâmica
do atrito.
xix
ABSTRACT
The present work deals with the mathematical modeling and control of a
pneumatic actuator through theoretical treatments, numeric simulations and experimental
tests. The pneumatic actuators are clean, have low cost, easy maintenance and good relation
weight/power. However, there are a lot of difficulties in the linear classic control of
pneumatic actuators, caused by the air compressibility, by the non-linear relation of the flow
through the control servovalve gaps and by the friction in the actuators. The mathematical
modeling by describing the pneumatic actuator characteristics is important to the design of
control algorithms and can be useful in order to simulate and analyze the dynamic behavior.
In this work a survey of the mathematical models used in pneumatic automation available in
the literature is done and, starting from that, a third order non-linear model is adopted with the
objective of facilitating the synthesis and the implementation of a control strategy of non-
linear systems. Based on the non-linear model adopted, the design of the controller is
formulated through a methodology successfully tested in chaotic systems, but it has not been
used in pneumatic actuators yet. The dead band non-linearity of the servovalve has been
harmful to the performance of the controller and it was compensated by the inverse form of its
parametrical model. The parameters of the dead band are identified from the analysis of the
dynamics of the pressures in the exit gaps of the valve. The results of the numeric simulations
and the experimental tests illustrate the effectiveness and the simplicity of implementation of
this control strategy in pneumatic actuators. The control strategy proposed was also applied in
a cartesian robot which worked pneumatically in the accomplishment of tasks of metallic
panels brushing in the industry. For applications that demand larger positioning precision the
adoption of mathematical models that represent with larger fidelity some non-linear
characteristics such as the dynamics of the friction is suggested.
1 INTRODUÇÃO
1.1 Generalidades
Este trabalho trata do problema de controle de servoposicionadores pneumáticos,
utilizando-se a modelagem matemática como principal elemento de estudos. Esta dissertação
está relacionada com o campo interdisciplinar da modelagem matemática de sistemas não-
lineares e controle de sistemas dinâmicos, envolvendo estratégias de controle integrados com
servoposicionadores pneumáticos para acionamentos de manipuladores robóticos na área da
mecatrônica.
Nesta seção procura-se descrever alguns termos relacionados com
servoposicionadores pneumáticos e suas aplicações em posicionamento preciso, justificando a
importância de suas aplicações e a contribuição deste trabalho dentro do contexto geral da
pesquisa nesta área.
A palavra pneumática deriva do termo grego pneumatikos, que significa “fôlego”,
“Alma”. A pneumática é o uso do gás pressurizado na ciência e tecnologia. Nos últimos anos
a pneumática vem ganhando espaço e se tornou uma das principais tecnologias de automação
da indústria e sua aplicação se encontra em diversos setores.
O uso da pneumática em acionamentos na indústria tem como vantagens ser uma
tecnologia limpa, de custo baixo, de manutenção fácil e de boa relação peso/potência.
Entretanto, há muitas dificuldades no controle clássico linear de atuadores pneumáticos,
causadas pela compressibilidade do ar, pela relação não linear da vazão nos orifícios de
controle e pelo atrito nos atuadores (GUENTHER et al., 2006).
Uma comparação entre as vantagens e desvantagens do uso de acionamento
pneumático é mostrada através da Tabela 1. Outras comparações podem ser obtidas em
Martin (1995), Latino e Sandoval (1996) e Scheidl et al. (2000).
Este trabalho envolve conceitos e estudos relacionados com modelagem
matemática, sistemas de controle, software, sistemas elétricos e sistemas mecânicos,
incluindo-se dessa forma no contexto da mecatrônica.
Segundo o Comitê Assessor para Pesquisa e Desenvolvimento Industrial da
Comunidade Européia (IRDAC) a "Mecatrônica é a integração sinergética da engenharia
mecânica com eletrônica e controle inteligente por computador no projeto e manufatura de
Capítulo 1 – Introdução
2
produtos e processos". O conceito de mecatrônica pode sintetizar-se graficamente pela Figura
1, que evidencia a natureza interdisciplinar e as relações de fronteira com as áreas envolvidas
no contexto.
Tabela 1: Vantagens e desvantagens de cada sistema atuador
Sistema atuador Vantagens Desvantagens Custo relativo
Sistemas
pneumáticos
Fácil instalação
Fácil “debugging”
Controlabilidade média
Alta confiabilidade
Pouca eficiência
Suprimento de potência
separada
Baixa rigidez
Baixo
Sistemas
óleo-hidráulicos
Alta densidade de força
Acumuladores para picos
de carga
Boa controlabilidade
Mantém forças altas
Flexibilidade
Rigidez
Baixa velocidade
Prova d´água
Não gera faíscas
Difícil instalação do
suprimento de potência
Ruidoso
Vazamento de óleo
Risco de incêndio
Eficiência aceitável
Alto
Sistemas
hidro-hidráulicos
Alta densidade de força
Acumuladores para picos
de carga
Limpo e flexível
Boa controlabilidade
Rigidez
Não gera faíscas
Difícil instalação do
suprimento de potência
Ruidoso
Eficiência aceitável
Mais alto
Atuadores elétricos
rotativos (DC e DA)
Facilidade de instalação
Flexibilidade
Boa controlabilidade
Limpo
Baixa densidade de
força
Remoção de calor
Transmissão de
engrenagens
necessárias para
conversão em
movimento linear
Problemas com água
Faíscas
Aceitável para boa
Eficiência
Médio
Atuadores elétricos
lineares
Facilidade de instalação
Flexibilidade
Boa controlabilidade
Limpo
Baixa densidade de
força
Remoção de calor
Problemas com água
Faíscas
Boa eficiência
Alto
Capítulo 1 – Introdução
3
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Mecatr%C3%B4nica
Figura 1: Diagrama da relação interdisciplinar que envolve o conceito de mecatrônica
Também conhecida como engenharia de controle e automação, é um campo
relativamente novo no Brasil. É a área dentro da engenharia voltada ao controle de processos
industriais utilizando-se para isso de elementos sensores, elementos atuadores, sistemas de
controle, sistemas de supervisão e aquisição de dados (SCADA) e outros métodos que
utilizem os recursos da eletrônica, da mecânica e da informática. Esta área se concentra,
acima de tudo, na automação, que nada mais é do que fazer um processo manual se tornar um
processo automático. A automação se dá por completa quando toda uma linha de produção
funciona do começo ao fim sem a intervenção humana, agindo apenas pelo controle das
próprias máquinas e controladores.
A engenharia de controle se baseia na modelagem matemática de sistemas de
diversas naturezas, analisando o seu comportamento dinâmico, e usando a teoria de controle
para calcular os parâmetros de um controlador que faça o sistema evoluir da forma desejada.
Na literatura científica encontram-se modelos matemáticos (GUENTHER et al.,
2006; GYEVIKI et al., 2005; KARPENKO e SEPEHRI, 2004; VIEIRA, 1998; VALDIERO
et al., 2005) que descrevem o comportamento dinâmico de atuadores pneumáticos e suas
características não lineares. O atuador pneumático é o conjunto servoválvula de controle
direcional e cilindro pneumático atuador. A Figura 2 mostra o desenho esquemático de um
atuador pneumático.
Eletrônica
Mecânica
Informática
Controle
Eletro-
mecânica
Circuitos de
controle
Controle
digital
CAD/CAM
Mecatrônica
Sensores
Micro
controladores
Modelagem
do sistema
Simulação
Capítulo 1 – Introdução
4
Figura 2: Desenho esquemático de um atuador pneumático
A modelagem matemática de atuadores pneumáticos é complexa quando
comparada a outros tipos de acionamentos, pois o ar é bastante compressível, a vazão mássica
nos orifícios de controle da servoválvula é uma relação não linear e o atrito entre as partes
móveis e as vedações do atuador exibem características não lineares, tornando também difícil
o controle desse sistema. Dispõe-se de modelos não lineares de 3ª ordem (VIEIRA 1998), de
4ª. ordem (GYEVIKI et al. 2005) e de modelos não lineares de 5ª ordem mais complexos que
consideram a dinâmica elétrica da válvula (KARPENKO e SEPEHRI 2004) ou a dinâmica do
atrito nos atuadores (GUENTHER et al. 2006 e VALDIERO et al. 2005).
O conhecimento da dinâmica de um sistema e suas propriedades permite
desenvolver esquemas de controle com parcelas de realimentação linearizante, adaptativa e
com feedforward baseadas no modelo nominal.
1.2 Objetivos
O objetivo desta dissertação de mestrado é pesquisar, desenvolver e validar a
modelagem matemática de atuadores pneumáticos e testar a metodologia de controle proposta
y
Capítulo 1 – Introdução
5
por Rafikov e Balthazar (2005) em um atuador pneumático representado por um modelo não
linear de 3
a
ordem adaptado a partir do proposto por Virvalo apud Vieira (1998).
Pretende-se trabalhar no desenvolvimento de modelos matemáticos, de
metodologias para controle, de simulações numéricas e de testes experimentais para validação
em sistemas mecânicos acionados pneumaticamente, utilizando-se a infra-estrutura e os
componentes disponíveis na UNIJUÍ. A metodologia de controle proposta por Rafikov e
Balthazar (2005) é aplicada em tarefas de posicionamento preciso com acionamentos
pneumáticos. Tal metodologia ainda não foi aplicada no controle de sistemas mecânicos. Nos
trabalhos de Schmidt (2005), e Tusset (2004), a metodologia de Rafikov e Balthazar (2005)
foi aplicada e testada através de simulações numéricas a sistemas populacionais biológicos,
apresentando resultados satisfatórios.
Diversos trabalhos (VIRVALO, 1995; PERONDI, 2002; KARPENKO e SEPEHRI, 2004;
GYEVIKI, 2005) desenvolvem a modelagem matemática do atuador pneumático e o controle
do sistema. Dentre estes, busca-se a escolha de um modelo não linear mais simples que
facilite o aprendizado da metodologia de controle proposta.
Durante a realização deste trabalho, pretente-se submeter os resultados e
contribuições da pesquisa para publicações em revistas indexadas e congressos científicos,
além disto buscam-se oportunidades de aplicações em inovações de mecatrônica para desafios
da sociedade nos setores da indústria, da agricultura, da construção e da saúde.
1.3 Metodologia
No desenvolvimento da pesquisa, inicialmente faz-se uma ampla revisão
bibliográfica sobre o estudo e a modelagem matemática de atuadores pneumáticos,
comparando as relações e as simplificações consideradas por cada autor. Em seguida realiza-
se o estudo de controladores utilizados para acionamento pneumático e também na área da
engenharia de controle e automação, para posteriormente formular o projeto proposto para o
controlador, testando-o inicialmente com um modelo bastante simplificado.
Nas simulações numéricas utiliza-se o software MatLab. Nos testes experimentais,
dispõe-se de uma bancada com um servoposicionador pneumático e um sistema de
instrumentação eletrônica dSPACE (1996), disponível no laboratório de automação do
campus Panambi da Unijuí. A Figura 3 mostra a foto da bancada de testes do laboratório de
automação.
Capítulo 1 – Introdução
6
Figura 3: Bancada de testes do laboratório de automação do Campus Panambí da Unijuí
O desenvolvimento desta dissertação se dá através da socialização dos recursos
estruturais e intelectuais da linha de pesquisa desenvolvida no Mestrado em Modelagem
Matemática da UNIJUÍ, que trata da modelagem matemática de sistemas não lineares e
controle de sistemas dinâmicos e do grupo de pesquisa “Projeto em Sistemas Mecânicos,
Mecatrônica e Robótica” do Departamento de Tecnologia desta universidade através do curso
de Engenharia Mecânica, que desenvolve estudos relacionados à automação e mecatrônica
incluindo controle de atuadores pneumáticos.
1.4 Problema Proposto e Organização deste Trabalho
Esta dissertação de mestrado propõe contribuir nos avanços para resolução do
problema de controle de atuadores pneumáticos, através da implementação e validação
experimental de uma metodologia de controle em atuadores pneumáticos.
A necessidade de implementação experimental da metodologia de controle
proposta por Rafikov e Balthazar (2005), juntamente com a necessidade de avanços no estudo
Cilindro
pneumático
sem haste
Transdutor
de posição
Servoválvula
de controle
PC com placa
dSPACE 1102
Fonte de
alimentação
elétrica
Transdutor
de pressão
Capítulo 1 – Introdução
7
de controle de atuadores pneumáticos sugerem a realização de um trabalho conjunto que
venha a contemplar essas necessidades, utilizando dos recursos técnicos e científicos
disponíveis na Unijuí.
A estrutura deste trabalho está organizada em 7 capítulos. O capítulo 2 trata da
2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR
PNEUMÁTICO
2.1 Introdução
Neste capítulo são apresentados os modelos matemáticos pesquisados na
literatura científica que descrevem o comportamento dinâmico de atuadores pneumáticos e
suas características não lineares, bem como as considerações e simplificações que dão origem
ao modelo matemático adotado para estudo neste trabalho.
A modelagem matemática é a arte de transformar fenômenos reais em problemas
que levam a previsão de tendências envolvendo técnicas matemáticas. Consiste na obtenção
de um conjunto de relações matemáticas que descrevem um fenômeno real.
Cada autor usa uma definição diferente para modelagem matemática. Segundo
McLone (1976) um modelo matemático é um construto matemático abstrato simplificado que
representa uma parte da realidade com algum objetivo particular. Ferreira Jr. (1993) apresenta
uma definição generalizada de um modelo a partir de uma abordagem abstrata dos conceitos
básicos de dimensão, unidade e medida.
As principais etapas da modelagem numérica podem ser descritas como:
• Formulação do problema em termos do fenômeno.
• Formulação do problema em termos matemáticos.
• Desenvolvimento de modelos matemáticos.
• Elaboração de algoritmos e aplicativos computacionais.
• Simulações computacionais.
• Obtenção de dados experimentais.
• Validação do modelo.
• Elaboração de recomendações técnicas.
A formulação do modelo matemático de um sistema não linear, além de ser
importante no projeto dos algoritmos de controle, pode ser útil para fins de simulação e de
análise do comportamento dinâmico. As simulações baseadas no modelo do sistema permitem
testar estratégias de controle, prevendo problemas de projeto do controlador e/ou do sistema,
sem o perigo de acidentes decorrentes de instabilidade ou de falhas no projeto. No projeto e
construção de sistemas mecânicos, as simulações e a análise do sistema fornecem informações
Capítulo 2 – Modelagem Matemática
9
e estimativas das variáveis de estado (como por exemplo: velocidades, acelerações, torques e
forças), as quais são úteis na análise da estrutura mecânica e no projeto e especificações de
seus componentes tais como mecanismos, acionamentos e controladores.
De acordo com, A modelagem matemática pode ser utilizada na implementação
de técnicas e métodos para controle de sistemas mecânicos com acionamento pneumático
(KAZEROONI, 2005), viabilizando potenciais aplicações de atuadores pneumáticos na
indústria e na mecanização agrícola (MORAN et al., 1990).
O conhecimento da dinâmica de um sistema e suas propriedades permite
desenvolver esquemas de controle com parcelas de realimentação linearizante, adaptativa e
com feedforward baseadas no modelo nominal.
Para atuadores pneumáticos a modelagem matemática é complexa quando
comparada a outros tipos de acionamentos, pois o ar é bastante compressível e a vazão
mássica nos orifícios de controle da servoválvula é uma relação não linear da pressão e do
sinal de controle. O atrito entre as partes móveis e as vedações do atuador também exibe
características não lineares, tornando difícil o controle desse sistema. Nos modelos descritos
nesta seção, considera-se que não há forças externas no atuador pneumático e que o sistema
pode ser considerado adiabático.
Neste trabalho, o equacionamento dos modelos matemáticos é apresentado na
forma de variáveis de estado, sendo que
1
y
denota a posição do êmbolo do atuador,
2
y
é a
velocidade e
3
y
representa a aceleração.
Na seção 2.2 apresenta-se um modelo simplificado de 3ª ordem. Nas seções 2.3,
2.4 e 2.5, são descritos de maneira resumida e em ordem crescente de complexidade outros
modelos de uso freqüente na literatura recente, e que buscam representar de forma mais
precisa as não linearidades típicas dos sistemas pneumáticos.
2.2 Modelo de 3ª Ordem por Virvalo
O modelo matemático apresentado nesta seção tem como referência os trabalhos
de Virvalo apud Vieira (1998). Este é um modelo tradicionalmente utilizado no estudo de
atuadores hidráulicos e que representa de maneira simplificada os atuadores pneumáticos,
tendo em vista a compressibilidade do ar e o comportamento não linear das vazões mássicas
nos orifícios da servoválvula. Este modelo consiste de um bom ponto de partida para o estudo
Capítulo 2 – Modelagem Matemática
10
do comportamento dinâmico do atuador, facilita a aplicação de técnicas de controle e pode ser
escrito na seguinte forma de representação em variáveis de estado:
1 2
2 3
2 2
3 n 2 n 3 q n T
y y
y y
y y 2 y K U
ω ξω ω
=
=
= − − +
(2.1)
onde
1
y y
=
é a posição do êmbolo do atuador pneumático,
2
y y
=
é a velocidade,
3
y y
=
é a
aceleração,
n
ω
e
ξ
são respectivamente a freqüência natural e a taxa de amortecimento do
movimento do sistema, K
q
é o de ganho de velocidade da malha aberta e U
T
é o sinal de
controle em tensão aplicado a servoválvula. Neste modelo, o ganho de velocidade em malha
aberta pode ser calculado através da equação (2.2):
n atm
q
2
s T max
3
Q p
K
p U
= (2.2)
sendo Q
n
a vazão volumétrica normal da válvula,
atm
p a pressão atmosférica,
s
p a pressão de
suprimento e
T max
U a tensão máxima de entrada na válvula.
A taxa de amortecimento do sistema é difícil de ser determinada sem comparação
com dados experimentais. Vieira (1998), ao comparar resultados de simulações
computacionais com testes experimentais, observa que o sistema físico apresenta um aspecto
bastante amortecido e sugere o ajuste da taxa de amortecimento a partir destas comparações.
A expressão geral para determinação da freqüência natural de atuadores lineares
segundo Tonyan (1985) é dada por:
2 2 2
1 2
n
1 2 1 2
V V
A A A
V M V M M V V
β β β
ω
+
= + =
(2.3)
onde M é a massa total acoplada ao êmbolo do atuador, A é a área da seção transversal da
câmara do cilindro, V
1
e V
2
são respectivamente os volume das câmaras 1 e 2 e suas
tubulações e
β
é o fator de compressibilidade do ar que segundo Vieira (1998) é dado por:
Capítulo 2 – Modelagem Matemática
11
s
2
p
3
β γ
= (2.4)
onde
γ
é a relação entre os calores específicos do ar e p
s
a pressão de suprimento.
O volume das câmaras depende da posição (variável de estado y
1
) do êmbolo do
atuador, dessa forma a expressão para representação da freqüência natural em atuadores
pneumáticos é calculada através da equação (2.5):
2 2
s
n
A0 1 B0 1
2 p
A A
3M V A y V A y
γ
ω
= +
+ −
, (2.5)
onde V
A0
e V
B0
são os volumes mortos nas câmaras 1 e 2 respectivamente, na posição
1
y 0
=
do êmbolo do atuador, incluindo as tubulações.
2.3 Modelo de 4ª Ordem por Bobrow
O modelo proposto por Bobrow apud Gyeviki et al. (2005) baseia-se na equação
do movimento e nas equações das dinâmicas das pressões nas câmaras dos cilindros para
descrever o comportamento do atuador pneumático.
O equilíbrio de forças no êmbolo do atuador é obtido pela aplicação da segunda lei
de Newton:
a b a
A( p p ) F M y
− − =
(2.6)
onde M é a massa deslocada,
y
é a aceleração do êmbolo, F
a
é a força de atrito e A(p
a
– p
b
) é
a força resultante da diferença de pressões entre as câmaras, sendo A a área do êmbolo e p
a
e
p
b
as pressões nas câmaras 1 e 2 respectivamente.
A dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro é determinada usando a
conservação da energia, a qual é empregada para realizar o balanço energético entre a energia
interna da massa que entra no volume de controle, a potência do movimento do pistão e a
variação da energia interna no volume de controle.
Conforme Perondi (2002), a realização do balanço energético resulta em:
Capítulo 2 – Modelagem Matemática
12
a a
ma a a
p
p dV
1 d
q T ( p V )
C dt R dt
γ
− = (2.7)
onde
ma a
q dm / dt
= é a vazão mássica na câmara 1, T é a temperatura do ar de suprimento, p
a
é a pressão na câmara 1 e V
a
é o volume na câmara 1,
p
C é o calor específico do ar a pressão
constante, R a constante universal dos gases e
p v
C / C
γ
= , onde
v
C
é o calor específico do ar
a volume constante.
O volume total na câmara 1 é dado por
a a0
V V Ay
= + , onde V
a0
é o volume morto
na câmara 1 e y é o deslocamento do êmbolo. A taxa de variação desse volume é
V Ay
=
,
onde
y
= dy/dt é a velocidade do êmbolo. Como a pressão de suprimento é mantida
aproximadamente constante e a pressão de exaustão é a própria pressão atmosférica, assume-
se que as vazões mássicas são funções não lineares das pressões no cilindro e da tensão U
T
aplicada a servoválvula, ou seja
ma ma a T
q q ( p ,U )
= e
mb mb b T
q q ( p ,U )
= para as câmaras 1 e 2
respectivamente conforme descritas detalhadamente na literatura (ANDRIGHETTO et al.,
2003; BOBROW e McDONELL, 1998) além de considerarem a saturação a partir da
condição de velocidade sônica do ar.
Com isso, resolvendo a equação (2.7) para
a
p
, utilizado a relação
p
C R /( 1 )
γ γ
= −
e derivando o termo da direita chega-se a:
a a ma a T
a0 a0
A y R T
p p q ( p ,U )
Ay V Ay V
γ γ
= − +
+ +
. (2.8)
Para a câmara 2, obtém-se:
b b mb b T
b0 b0
A y R T
p p q ( p ,U )
V Ay V Ay
γ γ
= − +
− −
. (2.9)
Considerando as variáveis de estado
1
y y
=
e
2
y y
=
para posição e velocidade do
êmbolo do atuador pneumático e
3 a
y p
=
e
4 b
y p
=
para as pressões nas câmaras 1 e 2 do
cilindro, podemos escrever o modelo de quarta ordem na forma de representação de variáveis
de estado dado por:
Capítulo 2 – Modelagem Matemática
13
1 2
2 2 3 4
3 2 3 ma 3 T
a0 1 a0 1
4 2 4 mb 4 T
b0 1 b0 1
y y
B A A
y y y y
M M M
A RT
y y y q ( y ,U )
V Ay V Ay
A RT
y y y q ( y ,U )
V Ay V A y
γ γ
γ γ
=
= − + −
= − +
+ +
= −
− −
(2.10)
onde B é o coeficiente de atrito viscoso. Neste modelo, o atrito no atuador é caracterizado
como viscoso e a dinâmica das pressões é representada pelas variáveis de estado
3
y
e
4
y
.
2.4 Modelo de 5ª Ordem por Karpenko e Sepehri
Karpenko e Sepehri et al. (2004) propõe um modelo de 5ª ordem que inclui a
dinâmica da servoválvula e também o atrito no atuador. Neste modelo a dinâmica do carretel
da servoválvula é modelada com um atraso de primeira ordem em relação ao sinal de controle
U
T
. Uma não linearidade importante e presente na servoválvula é a zona morta, que na
bancada experimental de testes utilizada por Karpenko e Sepehri et al. (2004), corresponde a
aproximadamente 12% da região de deslocamento do carretel. A não linearidade de zona
morta é tratada separadamente na seção 3.5 deste trabalho onde é detalhada a sua
identificação através de testes experimentais.
A força de atrito, representada neste trabalho por
f
F
, que inclui as características
de atrito estático e Coulomb, depende dos diferentes graus de polimento das superfícies e/ou
dos diferentes graus de contaminação com substâncias estranhas. Esses fatores são quem
realmente determinam os coeficientes de atrito e a dependência da força de atrito cinético com
a velocidade relativa das superfícies em questão. Para entender a origem das forças de atrito
deve-se considerar que, ao nível atômico, as superfícies têm pequenas irregularidades e que o
contato ocorre num número relativamente pequeno de pontos, onde as irregularidades se
interpenetram e se deformam, exercendo forças mútuas cujas intensidades dependem da
intensidade da força que empurra as superfícies uma contra a outra. Nos pontos de contato
existem ligações dos átomos de uma superfície com os átomos da outra, como soldas
microscópicas.
Capítulo 2 – Modelagem Matemática
14
O modelo de 5ª ordem proposto por Karpenko e Sepehri escrito em variáveis de
estado tem a forma:
1 2
2 3 4 2 f
3 2 3 ma 3 5
a0 1 a0 1
4 2 4 mb 4 5
b0 1 b0 1
v
5 5 T
v v
y y
A A B 1
y y y y F
M M M M
A RT
y y y q ( y , y )
V Ay V Ay
A RT
y y y q ( y , y )
V Ay V A y
k
1
y y U
γ γ
γ γ
τ τ
=
= − − −
= − +
+ +
= −
− −
= − +
(2.11)
onde
5 v
y x
=
é a posição do carretel da servoválvula,
v
τ
é a constante de tempo da
servoválvula,
v
k
é o ganho de posição do carretel da servoválvula em relação ao sinal de
controle
T
U
, e os demais parâmetros e variáveis foram descritos na seção anterior.
2.5 Modelo de 5ª Ordem por Perondi
O modelo de 5ª ordem proposto por Perondi (2002) e Guenther et al. (2006) para o
atuador pneumático considera a dinâmica do atrito e despreza a dinâmica do movimento do
carretel da servoválvula.
O modelo do atrito considerado nos trabalhos de Perondi (2002) é conhecido como
“Lugre”. Este modelo além de reproduzir a maioria dos comportamentos não lineares do atrito
é adequado para ser utilizado em esquemas de compensação do atrito baseado em modelos.
O modelo Lugre baseia-se em estado interno não mensurável que representa as
micro deformações médias das rugosidades entre as superfícies elásticas de contato, esta
deformação z é dada por:
0
y
dz
y z
dt g( y )
σ
= −
(2.12)
onde
y
é a velocidade de deslizamento entre as duas superfícies
0
σ
é o coeficiente de rigidez
da deformação microscópica de z.
g( y )
é uma função que representa parte das características
Capítulo 2 – Modelagem Matemática
15
de atrito em regime permanente e depende das propriedades dos materiais, lubrificação e
temperatura. Canudas et al (1995) propõe o uso de uma parametrização para a função
g( y )
que considera o atrito seco e viscoso, bem como o efeito de Stribeck, dada pela equação (2.13)
2
s
( y / y )
c s c
g( y ) F ( F F )e
−
= + −
(2.13)
onde F
c
é a força de atrito seco, F
s
é a força de atrito estático e
s
y
é a velocidade de Stribeck.
O atrito viscoso caracteriza-se como a força de resistência que aparece durante o movimento
de um corpo em um fluido e depende da forma do corpo, da sua velocidade em relação ao
fluido e da viscosidade do fluido. Este tipo de atrito, também ocorre entre duas superfícies em
movimento relativo separadas por uma fina película contínua de fluido. Nos dois casos, o
fluido se separa em camadas paralelas onde cada camada possui uma velocidade indo desde a
velocidade da superfície que se movimenta até a velocidade nula da superfície em repouso.
Segundo Moreira et al (2005) o efeito de Stribeck é a mudança entre o repouso estático e a
fricção de Coulomb.
Considerando a variável de estado
5
y z
=
, o modelo proposto por Perondi (2002) e
Guenther et al. (2006) para um atuador pneumático pode ser escrito na forma de variáveis de
estado através da equação (2.14).
1 2
2 3 4 2 f 5 2
3 2 3 ma 3 T
a0 1 a0 1
4 2 4 mb 4 T
b0 1 b0 1
2 0
5 2 5
2
y y
A A B 1
y y y y F ( y , y )
M M M M
A RT
y y y q ( y ,U )
V Ay V Ay
A RT
y y y q ( y ,U )
V Ay V A y
y
y y y
g( y )
γ γ
γ γ
σ
=
= − − −
= − +
+ +
= −
− −
= −
(2.14)
onde
f 5 2
F ( y , y )
é a força de atrito e é dada por:
f 5 2 0 5 1 5 2 2
F ( y , y ) y y y
σ σ σ
= + +
(2.15)
Capítulo 2 – Modelagem Matemática
16
onde
0
σ
é o coeficiente de rigidez devido a deformação microscópica
5
y
,
1
σ
é o coeficiente
de amortecimento relacionado a
5
y
,
2
σ
é o coeficiente de atrito viscoso e os demais
parâmetros e variáveis foram descritos na seção anterior. Uma descrição detalhada desta
modelagem dinâmica de atrito para atuadores pneumáticos e da identificação de seus
parâmetros encontra-se em Valdiero et al. (2005). Note que neste modelo aumenta-se o grau
de complexidade e aparece uma não linearidade representada pela função módulo da
velocidade (
2
y ).
2.6 Modelo Matemático Adotado
O modelo matemático (2.1) inicialmente desenvolvido para representar o
comportamento dinâmico de atuadores hidráulicos pode não representar de forma tão precisa
os atuadores pneumáticos, mas foi adaptado e adotado neste trabalho com a grande vantagem
de facilitar o aprendizado e a implementação da estratégia de controle.
Este modelo de terceira ordem, escrito em variáveis de estado através de (2.16)
1 2
2 3
2 2
3 n 2 n 3 q n T
y y
y y
y y 2 y K U
ω ξω ω
=
=
= − − +
(2.16)
onde a freqüência natural dada por:
Capítulo 2 – Modelagem Matemática
17
A equação (2.18) foi adotada neste trabalho para o cálculo da aproximação da
freqüência natural e seus parâmetros são detalhadamente determinados na seção 3.3.
Substituindo-se a equação (2.18) no sistema dado em (2.16), pode-se escrever o
sistema de equações diferenciais na seguinte forma matricial:
1 1
2 2
2 2 2 2
1 1 n 2 1 2 n 3 1 3 q n T
3 3
y y
0 1 0 0
y 0 0 1 y 0
0 E 2 E y E y 2 y 2 E y K U
y y
ξ ω ξω ξ ω
= +
− − − + − + +
(2.19)
3 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL E VALIDAÇÃO
EXPERIMENTAL DO MODELO MATEMÁTICO
3.1 Introdução
Neste capítulo descreve-se o atuador pneumático utilizado na modelagem
matemática e na validação experimental do modelo adotado. Define-se de forma geral o
atuador pneumático e seu funcionamento apresentando-se as especificações dos componentes
da bancada experimental utilizada nos testes. Este capítulo apresenta também a identificação
da não linearidade de zona morta da servoválvula.
A área de modelagem matemática, assim como de mecânica computacional
procura simular diversos fenômenos físicos utilizando uma sistemática que envolve
engenharia, matemática e ciência da computação. O fenômeno físico em estudo é
representado por um sistema de equações, que é aproximado por métodos numéricos.
Finalmente os resultados da simulação são comparados com o fenômeno físico em estudo.
Destaca-se aqui o método de Runge Kutta de quarta ordem para aproximar a solução de
equações e de sistemas de equações diferenciais.
Os fenômenos físicos podem ser os mais variados, indos desde a simulação
estrutural à simulação de fluídos e gases, ou até mesmo circuitos elétricos. Qualquer
simulação numérica passa pelo desenvolvimento de um programa de computador que
contemple as necessidades e os objetivos requeridos. Esses programas precisam ser eficientes
e adaptados à arquitetura do computador e do problema em questão. Muitos processos podem
ser simulados com softwares comerciais disponíveis, mas mesmo nas áreas na qual a
simulação numérica é amplamente utilizada, existem tópicos de pesquisa ativos, tais como
otimização, controle de qualidade de aproximação, otimização de tempo de execução.
Na seção 3.2 descreve-se o atuador pneumático utilizado nas simulações
computacionais e nos testes experimentais de validação, na seção 3.3 é feita a determinação
dos parâmetros do modelo matemático adotado e em seguida são mostrados os resultados das
simulações numéricas e da validação experimental do modelo.
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
19
3.2 Descrição do Atuador Pneumático e da Bancada de Testes
Um servoposicionador pneumático composto por servoválvula de controle e
cilindro atuador é um sistema que permite posicionar uma carga em um determinado ponto do
curso do atuador ou seguir uma trajetória variável em função do tempo, ao contrário da
pneumática convencional, que restringe o posicionamento do atuador linear a pontos discretos
bem definidos (como, por exemplo, os fins de curso avançado e recuado). Esse sistema é
formado pelo atuador pneumático e o sistema de controle.
O sistema de controle é composto por hardware e software, elementos necessários
para implementação dos algoritmos da lei de controle proposta e também pelos sensores para
auxílio na medição dos estados do sistema.
O Cilindro atuador que neste trabalho é simétrico e sem haste, possui seu êmbolo
conectado a um cursor que movimenta a carga acoplada. O atuador é o elemento que aplica a
força sobre a carga para levá-lo a posição desejada. A Figura 4 mostra a foto de um atuador
pneumático simétrico sem haste.
Figura 4: Foto de um cilindro pneumático simétrico sem haste
A servoválvula proporcional utilizada para controlar o escoamento de ar sob
pressão é responsável por permitir a passagem proporcional do ar comprimido para o cilindro
pneumático. O deslocamento do carretel da válvula é provocado por uma tensão elétrica
aplicada no solenóide de forma que, deslocando o carretel da servoválvula em um
determinado sentido uma das câmaras é conectada a pressão de suprimento e a outra a pressão
atmosférica. A Figura 5 mostra a foto de uma servoválvula direcional utilizada na bancada de
testes.
Figura 5: Foto de uma servoválvula de controle direcional.
Cursor
Cilindro
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
20
Durante a operação, o ar comprimido é fornecido a servoválvula a uma dada
pressão de suprimento regulada. Com o objetivo de seguir as referências e a partir dos sinais
das malhas de realimentação, o controlador gera uma tensão de controle U
T
, que energiza as
bobinas dos solenóides da servoválvula e produz um deslocamento x
v
do carretel. O carretel,
ao ser deslocado, gera orifícios de passagem, fornecendo o ar comprimido para uma das
câmaras do cilindro e permitindo que o ar da outra escoe para a atmosfera. A Figura 6a ilustra
a aplicação de um sinal de controle com sinal positivo aplicado a servoválvula.
Conseqüentemente, tem-se a variação das pressões nas câmaras, resultando uma força que
movimenta o êmbolo do cilindro gerando um deslocamento y no sentido positivo conforme
mostra a Figura 6b. A Figura 7 mostra o processo inverso, onde um sinal de controle em
tensão U
T
com sinal negativo é aplicado ao solenóide da válvula gerando assim um
deslocamento no sentido negativo.
Figura 6: Abertura da válvula com sinal positivo e movimento de avanço do cilindro
Figura 7: Abertura da válvula com sinal negativo e movimento de recuo do cilindro
(a)
(b)
(a)
(b)
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
21
O deslocamento do cilindro e as posições assumidas pelo mesmo são medidas por
intermédio de um transdutor de posição. Conforme Cruz (2003), este transdutor é acoplado ao
cursor do atuador, cada posição que o transdutor assume equivale a um sinal em tensão que é
enviado ao controlador.
Figura 8: Foto do transdutor de posição
Outro elemento importante na aquisição de dados são os transdutores de pressão.
Estes transdutores, permitem medir a pressão de suprimento e a pressão em cada uma das
câmaras do cilindro atuador através de um elemento chamado diafragma. Este diafragma, em
contato direto com a pressão das câmaras ou do suprimento, é pressionado com intensidade
proporcional a essas pressões. Um sensor interno preso a este diafragma converte a variação
de pressão em sinal elétrico que por sua vez é transmitido como informação através da placa
eletrônica dSPACE. A Figura 9 mostra a foto de um transdutor de pressão utilizado na
bancada experimental de testes.
Figura 9: Foto do transdutor de pressão
Um esquema da bancada experimental utilizada para testes do sistema de
posicionamento servo-pneumático é mostrada na Figura 10, onde um sistema de controle e
aquisição de dados é montado em um microcomputador PC. O sistema pneumático é
composto por um cilindro pneumático sem haste e uma servoválvula pneumática de controle
direcional. Os sensores permitem medir a pressão de suprimento, a posição do atuador e as
pressões nas câmaras do cilindro (p
a
e p
b
).
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
22
Figura 10: Desenho esquemático da bancada experimental de testes
O sistema de controle e aquisição utilizado é uma placa DS 1102 (DsPACE,
1996), especialmente projetada para facilitar o desenvolvimento e a implementação de
controladores. Ela possui quatro conversores analógico-digital (entradas ADC) e quatro
conversores digital-analógico (saídas DAC). Nas conversões ADC e DAC, a placa utilizada
apresenta um software para gerenciamento e aquisição de dados e também, módulos de
acoplamento para o MatLab/Simulink. Esse acoplamento permite a programação do sistema
de controle diretamente no Simulink e ainda a captura dos dados das medições em tempo real
como banco de dados do MatLab. Esses bancos de dados ao serem manipulados no MatLab,
permitem a análise detalhada dos resultados obtidos. A Figura 11 mostra a interface gráfica de
manipulação do software da dspace. O diagrama de blocos do simulink com o controle do
atuador e os módulos de acoplamento com o software da dspace são mostrados na Figura 12.
A Tabela 2 apresenta os principais componentes e parâmetros da bancada experimental de
testes.
Amplificador
Condicionamento
de Sinal
Reservatório de
ar comprimido
Transdutor
de posição
Saída
de ar
Transdutor de pressão
Tensão U
T
dSPAC
E
Simulink
Matlab
Transdutor
de pressão
ADC 1, 0 .. 10 V
DAC 1, -10 .. 10 V
ADC 3, 0..10 V
ADC 4, 0..10 V
ADC 2, 0 .. 10 V
PC
Cilindro
atuador
Massa acoplada
Servoválvula
proporcional
x
v
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
23
Figura 11: Tela da interface gráfica do software da dspace
Figura 12: Diagrama de blocos da programação do controle e do acoplamento com o software da dspace
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
24
Tabela 2: Principais componentes e parâmetros da bancada experimental de testes
Componente Fabricante
Código Catálogo Especfícações
Cilindro pneumático sem haste Rexroth 502 602 020 0
Curso = 500 mm
Diâmetro = 25 mm
Servoválvula de Controle
Direcional
Festo MPYE-5-1/8
5 vias e 3 posições
vazão = 700 l/min.
Transdutores de Pressão Gefran TKG E 1 M 1DM
0-10 bar
Transdutor de Posição Festo
MLO-POT-500-
TLF
Curso = 514 mm
Reservatório de ar comprimido Pró-Ar RA 080.500.1 Volume = 2,51.10
-3
m
3
3.3 Determinação dos Parâmetros do Modelo de 3ª Ordem Adotado
O modelo matemático adotado neste trabalho foi o modelo de 3ª ordem proposto
por Virvalo (1989; 1995), seção 2.2, com a adaptação proposta na seção 2.6 . Este modelo
descrito através de variáveis de estado conforme a equação (2.16) é validado
experimentalmente nesta seção através da bancada de testes descrita na seção anterior. Os
parâmetros utilizados nas simulações numéricas do atuador pneumático estão mostrados
Tabela 3 e foram obtidos através de medições, de consulta nos catálogos técnicos dos
fabricantes ou da literatura consultada.
Utilizando-se os dados da Tabela 3 e a equação (2.17) da freqüência natural, foi
gerado o gráfico da freqüência natural em função da posição do êmbolo do atuador. Pode-se
verificar que na região das extremidades do curso do cilindro, a freqüência natural é
significativamente maior do que na região central conforme mostra a Figura 13.
No atuador pneumático em estudo, existe um sistema de amortecimento de final de
curso, medindo aproximadamente cinco centímetros, que não está modelado no
equacionamento adotado. Este mecanismo tem como objetivo prevenir danos no equipamento
nas situações onde o êmbolo do atuador atinja as posições extremas do curso, devido, por
exemplo, a oscilação na resposta do sistema.
Na grande maioria dos sistemas mecânicos que utilizam esse tipo de atuador
pneumático, principalmente em sistemas de automação, essas regiões extremas do cilindro
não são utilizadas. Com o objetivo de simplificar o modelo matemático adotado e viabilizar a
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
25
aplicação das técnicas de controle proposta, foram desconsideradas essas regiões extremas do
cilindro.
Tabela 3: Parâmetros do atuador pneumático
Parâmetro Descrição Obtenção
1,4
γ
=
Relação entre os calores específicos do ar Literatura
-4 2
A 4,91 10 m
= ×
Área do êmbolo do atuador Catálogo
M 0,5 kg
=
Massa inercial do cilindro Medido
5
s
p 6 10 Pa
= ×
Pressão de suprimento Medido
5
atm
p 1 10 Pa
= ×
Pressão atmosférica Literatura
4 3
A0
V 1,25 10 m
−
= ×
Volume morto na câmara 1 do cilindro Medido
4 3
B0
V 1,25 10 m
−
= ×
Volume morto na câmara 2 do cilindro Medido
L 0,5m
=
Comprimento do curso do atuador Catálogo
0,4
ξ
=
Taxa de amortecimento Literatura
3
n
Q 0,012 m / s
=
Vazão volumétrica normal da válvula Catálogo
T max
U 10V
=
Tensão máxima de entrada na válvula Catálogo
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
50
100
150
200
250
300
350
Posição (m)
Frequência Natural (rad/s)
Figura 13: Gráfico do comportamento da freqüência natural em função da posição do êmbolo do cilindro.
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
26
Observando o comportamento da freqüência natural, pode-se verificar que esse
comportamento permite a aproximação através de uma equação polinomial de quarto grau em
relação à posição do êmbolo do atuador conforme a equação (3.1).
4 3 2
n 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A y B y C y D y E
ω
= + + + +
(3.1)
onde A
1
, B
1
, C
1
, D
1
e E
1
são os coeficientes constantes calculados através do ajuste do
polinômio da equação (3.1) em relação a equação (2.5) elaborada para descrever o
comportamento da freqüência natural. Utilizando-se o método dos mínimos quadrados através
da função POLYFIT do software MatLab foram obtidos os seguintes valores para os
coeficientes: A
1
= 1,308×10
4
; B
1
= 1,173×10; C
1
= 2,951×10
2
; D
1
= -1,935×10
-1
e
E
1...
=..5,591×10. A Figura 14 mostra o gráfico do polinômio ajustado em comparação com a
equação (2.5). A rotina do MatLab contendo os dados utilizados nas simulações numéricas do
modelo matemático adotado pode ser consultada no apêndice A.
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
55
60
65
70
75
80
85
90
Posiçao(m)
Frequencia Natural(rad/s)
Simulaçao
Ajustada
Figura 14: Gráfico comparativo entre o polinômio ajustado e a equação 2.5
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
27
3.4 Validação Experimental do Modelo Adotado
Para realização de simulações numéricas do modelo proposto foi utilizada a
ferramenta computacional Matlab/Simulink.
Segundo o manual do usuário do MatLab, o simulink é uma extensão do MatLab,
apropriada para simulação numérica de sistemas dinâmicos, no qual a representação do
modelo matemático é realizada através de diagrama de blocos. No Simulink está disponível
uma extensa biblioteca de blocos pré-definidos que possibilitam ao usuário a representação
dos mais variados sistemas lineares e não lineares em forma de diagrama de blocos.
Para a resolução do sistema de equações diferenciais foi configurado o método de
integração de Runge Kutta através da função ODE45 com passo de 0,001 segundos. A Figura
15 ilustra o diagrama de blocos utilizado nas simulações numéricas para validação do modelo,
cujos resultados são apresentados na seqüência.
y1y2
y3
Step
Y
Saída
A1*u^4+B1*u^3+C1*u^2+D1*u+E1
Wn
u^2
Kq
1
s
1
s
1
s
2*c
Figura 15: Diagrama de blocos utilizados nas simulações numéricas
A metodologia dos testes experimentais consistiu em posicionar o êmbolo do
cilindro nas extremidades do curso (posição recuado y = - 0,25 m e posição avançado y = 0,25
m), aplicar um sinal de controle em degrau de ±10 volts em malha aberta e realizar a
aquisição dos vetores tempo e posição.
A Figura 16 refere-se à comparação entre a simulação numérica e os resultados
experimentais para o movimento de avanço, validando-se o modelo a partir dos parâmetros da
Tabela 3. A comparação entre a simulação numérica o movimento de recuo é mostrado na
Figura 17.
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
28
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Tempo (s)
Posição (m)
Experimental
Simulação
Figura 16: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação para o movimento de avanço.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Tempo (s)
Posição (m)
Experimental
Simulação
Figura 17: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação para o movimento de recuo
3.5 Descrição e Identificação da não Linearidade de Zona Morta em
Servoválvulas
Esta seção trata da identificação da não linearidade da zona morta em
servoválvulas proporcionais direcionais. Utiliza-se para tal a metodologia proposta por
Valdiero et al (2005b), utilizada em servoválvulas hidráulicas proporcionais de controle
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
29
direcional, baseada na dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro. Como será apresentado
nesta seção, esta metodologia pode ser facilmente aplicada a servoválvulas pneumáticas.
A não linearidade de zona morta é uma imperfeição causada pela sobreposição do
ressalto do carretel da servoválvula em relação ao orifício de passagem do ar sob pressão,
uma vez que a largura do ressalto do carretel é maior que a largura do orifício. Este tipo de
imperfeição é bastante comum em sistemas mecânico principalmente em servoválvulas. Um
exemplo bastante simples e de fácil compreensão da existência dessa não linearidade, trata-se
dos terminais de água que possuímos em nossas casas, onde facilmente percebemos que para
pequenas aberturas não ocorre escoamento, é necessário uma abertura mínima para que o
escoamento de água inicie, trata-se do trecho de zona morta do terminal de água.
A presença da zona morta em servoválvulas gera limitações bastante significativas
no desempenho de controladores por realimentação, principalmente no que diz respeito à
minimização do erro de posicionamento e de seguimento de trajetórias, diante disso, se faz
necessário a utilização de metodologias de identificação e compensação dessa não
linearidade.
A zona morta é uma relação entre valores de entrada e respostas de saída, na qual
para uma faixa do domínio a resposta de saída é nula. Tao e Kakotovic (1996) apresentam um
modelo genérico para a zona morta em servoválvulas de controle direcional, descrito pela
equação (3.2):
(
)
( )
zm
md U( t ) zmd se U( t ) zmd
U ( t ) 0 se
zme < U(t)<zmd
me U( t ) zme se U( t ) zme
− ≥
=
− ≤
(3.2)
onde zmd é o limite direito da zona morta a partir da origem de deslocamento do carretel e
zme é o limite esquerdo da zona morta a partir da origem do deslocamento do carretel e md e
me são as inclinações dos valores de resposta. A Figura 18 mostra a representação gráfica do
do trecho de zona morta do sinal de entrada U em relação ao sinal de saída U
zm.
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
30
Figura 18: Representação gráfica do trecho de zona morta do sinal de entrada
O desenho esquemático do corte de uma servoválvula proporcional direcional
com seus principais elementos é mostrado na Figura 19. Nesse esquema é possível visualizar
a diferença entre a largura do sobressalto do carretel é maior que a largura do orifício de
passagem do ar sob pressão.
u
Pressão de
suprimento
Carretel
Pressão
atmosférica
Pressão
atmosférica
p
a
p
b
Sobreposição
Pórtico
Figura 19: Visão em corte de uma servoválvula proporcional direcional
Para se obter um sistema de controle eficaz em atuadores pneumáticos é
importante que a abertura dos orifícios da servoválvula seja proporcional ao sinal de controle
aplicado. A presença da zona morta acaba prejudicando essa proporcionalidade desejada e
necessita de compensação.
A identificação convencional da zona morta em servoválvulas direcionais é feita
através de testes experimentais utilizando-se transdutores de vazão, estes transdutores são de
U
U
zm
zmd
zme
md
me
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
31
custo bastante elevado e podem inviabilizar a aplicação pretendida. A metodologia proposta
por Valdiero et al (2005b) utiliza apenas transdutores de pressão, sendo que estes são mais
acessíveis e muitas vezes já estão disponíveis no equipamento.
Para a identificação da região de zona morta é proposto um ensaio em malha
aberta com um sinal de controle senoidal com amplitude de 10 volts e período 100 segundos
dado pela equação
2
U( t ) 10 cos t
100
π
= −
. (3.3)
Este sinal de controle resulta em dois trechos. No primeiro trecho, conforme mostra a
Figura 20, o sinal de controle varia de 10 a -10 volts, onde é analisada dinâmica da pressão na
câmara B do cilindro possibilitando a identificação do limite esquerdo da zona morta
conforme mostra a Figura 21 a partir da compreensão da dinâmica das pressões em cada
trecho.
0 10 20 30 40 50
-10
-5
0
5
10
Tempo (s)
Sinal de controle (volts)
Figura 20: Trecho do sinal de controle diminuindo para determinação do limite esquerdo da zona morta
No trecho compreendido entre 10 até aproximadamente 1,5 volts, a válvula está
posicionada de modo que a câmara B do cilindro esteja ligada com a pressão atmosférica e a
câmara A com a pressão de suprimento, não permitindo significativas variações nas pressões
e consequentemente não ocorrendo movimento do êmbolo do cilindro. No trecho
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
32
compreendido entre 1,5 a -1 volts, aproximadamente, a variação da pressão é causada pelos
vazamentos internos da válvula, uma vez que o carretel está próximo a origem do seu
deslocamento e este fecha os orifícios de passagem do ar sob pressão. Quando o sinal de
controle ultrapassa o limite esquerdo da zona morta, observa-se uma variação brusca na
pressão da câmara conforme indicação na Figura 21, em seguida, temos um trecho de
diminuição da pressão causada pela movimentação do êmbolo do cilindro.
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
33
50 60 70 80 90 100
-10
-5
0
5
10
Tempo (s)
Sinal de controle (volts)
Figura 22: Trecho de sinal de controle aumentando para determinação do limite direito da zona morta
Figura 23: Variação da pressão na câmara A do cilindro e indicação do limite direito da zona morta
Os trechos onde ocorre variação da pressão devido aos vazamentos internos da
servoválvula, acontecem a partir do momento em que o carretel começa a bloquear os
orifícios de passagem do ar, neste trecho, o sinal de controle está próximo a sua origem e
assim, estes vazamentos se tornam significativos. Observando-se toda a dinâmica das pressões
em ambas as câmaras, pode-se perceber que estes trechos não são simétricos em relação à
origem do sinal de controle. Pode se concluir com isso, que o centro (zero) da servoválvula
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
0
1
2
3
4
5
6
Sinal de controle (volts)
Pressão na câmara A (bar)
Limite direito
da zona morta
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
34
não está na origem do sinal do sinal de controle. A identificação do centro da servoválvula se
dá através da determinação do ponto médio desses trechos de variação das pressões causadas
pelos vazamentos internos. A Figura 24, mostra toda a dinâmica das pressões, em ambas as
câmaras, gerada pelo sinal de controle senoidal aplicado a servoválvula em todo o seu período
bem como as marcações do ponto central da servoválvula e dos limites da zona morta.
A determinação dos valores dos limites da zona morta bem como da posição
central da servoválvula em relação à origem do sinal de controle, foi feita a partir da
ampliação do gráfico da Figura 24 em software gráfico com sistemas de medidas. Os valores
encontrados foram os seguintes: zero = 0.1 Volts, e a partir deste zero tem-se
zmd = zme =0,88
Volts. Os parâmetros md e me são ajustados para o valor unitário através
da curva de compensação da válvula que ajusta o sinal de controle de 10 a -10 Volts para os
limites de saturação da abertura.
No Capítulo 5 é apresentado o algoritmo para compensação da não linearidade de
zona morta da servoválvula, na aplicação da metodologia de controle proposta nos testes
experimentais.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
7
Capítulo 3 – Simulação Computacional e Validação Experimental do Modelo
35
3.6 Discussões
Este capítulo descreveu a bancada experimental do atuador pneumático utilizada
na validação do modelo proposto na seção 3.4. Foi realizada a determinação dos parâmetros
do modelo na seção 3.3, verificou-se a existência da zona morta e realizou-se a identificação
de seus parâmetros na seção 3.5.
A freqüência natural do sistema ao ser aproximada por uma equação de quarto
grau em relação à posição do atuador, ajusta-se com bastante precisão facilitando a aplicação
da metodologia de controle proposta.
A simulação numérica do modelo matemático aproxima-se dos resultados
experimentais na região de -0,2 m a 0,2 m da posição do atuador, possibilitando assim a
reprodução do comportamento físico do sistema. Para a reprodução mais precisa desse
comportamento se faz necessário a modelagem matemática de outras não linearidades
existentes. A não linearidade de zona morta da servoválvula gera limitações no controle de
posição e seguimento de trajetória. A metodologia de identificação da zona morta utilizada
possibilitou tal identificação e é importante na elaboração de algoritmos de compensação
dessa não linearidade. Tal metodologia foi submetida para publicação em Andrighetto et al.
(2007).
O modelo matemático de terceira ordem adotado envolve simplificações e não
descreve com precisão a dinâmica do sistema, mas possibilita a aplicação da metodologia de
controle proposta, sendo assim de grande importância para os objetivos deste trabalho.
4 CONTROLE DO ATUADOR PNEUMÁTICO
4.1 Introdução
Neste capítulo é descrita a estratégia de controle de sistemas não lineares utilizada
(RAFIKOV e BALTHAZAR, 2005) e a análise de estabilidade do sistema controlado. Em
seguida apresenta-se o projeto do controlador do atuador pneumático e os resultados das
simulações numéricas.
Sistemas de automação e controle são de extrema importância para o mundo atual.
Em praticamente todas as atividades humanas encontram-se exemplos de sistemas de
controle. Estes sistemas apresentam-se de maneira mais notável em processos industriais e de
fabricação automatizados.
Na engenharia de controle dois estudos de casos são desenvolvidos, o controle em
malha fechada e o controle em malha aberta. No controle em malha fechada, o sinal de
controle é determinado a partir da avaliação dos desvios (erros) entre o sinal de saída e o sinal
de referência com o objetivo de corrigir estes desvios. O diagrama básico de um sistema de
controle em malha-fechada é mostrado na Figura 25.
Figura 25: Diagrama de um sistema de controle em malha fechada
O controle em malha aberta consiste em aplicar um sinal de controle pré-
determinado, esperando-se que ao final de um determinado tempo a variável controlada atinja
um determinado valor ou apresente um determinado comportamento. Neste tipo de sistema de
controle não são utilizadas informações sobre evolução do processo para determinar o sinal de
controle a ser aplicado em um determinado instante, ou seja, o sinal de controle não é
calculado a partir de uma medição do sinal de saída. A Figura 26 mostra o diagrama de um
sistema de controle em malha aberta.
Sistema ou modelo
Contr
olador
Sensor de realimentação
Sinal de
referência
Sinal
de erro
Sinal de
controle
Saída
Sinal de realimentação
∑
+
-
Capítulo 4 – Controle do Atuador
37
Figura 26: Diagrama de um sistema de controle em malha aberta
Ogata (1995), ao comparar os dois sistemas de controle, destaca vantagens do
controle em malha fechada pelo fato de que o uso da realimentação torna a resposta do
sistema relativamente insensível a perturbações externas e a variações internas dos parâmetros
do sistema sendo assim um controle robusto. Pelo ponto de vista da estabilidade, o sistema em
malha aberta é menos problemático, ao contrário do sistema em malha fechada, que ao tentar
corrigir erros pode ocasionar oscilações de amplitude constantes ou crescentes em relação ao
tempo.
Alguns trabalhos (BOBROW e McDONELL 1998, GUENTHER et all 2006,
GYEVIKI et all 2005 e KARPENKO e SEPEHRI 2004) apresentam propostas de estratégias
de controladores baseados no modelo matemático do atuador pneumático e mostram
resultados mais precisos quando comparados com os controladores lineares clássicos (P, PI,
PID) não baseados em modelo. Kawamura et al. (1989) apresenta um controlador clássico PI
(Proporcional-Integral) aplicado a um atuador pneumático que tem a vantagem de ser de fácil
implementação, mas possui limitações no controle preciso.
Andrighetto et al. (2003) apresenta os resultados experimentais e a comparação do
controle PID (Proporcional-Integral-Derivativo) com um controlador comercial Festo
adaptativo, realizando os testes de posicionamento com um atuador pneumático. Guenther et
al. (2006) propôs um controlador cascata não linear com compensação de atrito baseada no
modelo Lugre e mostra que a convergência dos erros de seguimento depende da regulagem
dos ganhos do controlador e do conhecimento dos parâmetros do sistema. Gyeviki et al.
(2005) e Karpenko e Sepehri (2004) desenvolveram o controle não linear de modos
deslizantes para tratar das dificuldades de controle do sistema.
Ambos os controladores não lineares baseados em modelos matemáticos
obtiveram resultados satisfatórios, mas são de difícil implementação em aplicações industriais
porque são baseados em modelos complexos e que exigem maior esforço computacional no
cálculo das leis de controle. Neste contexto, surge a necessidade do desenvolvimento de
estratégias de controle eficientes para atuadores pneumáticos, mas também de simples
implementação.
Sistema ou modelo
Saída
Sinal de
controle
Capítulo 4 – Controle do Atuador
38
O sistema mecânico em estudo neste trabalho apresenta uma dinâmica com
características não lineares, conforme mostrado na seção 2.6, que dificultam a implementação
de técnicas de controle linear clássico em aplicações na indústria que requerem precisão. Para
superar tais dificuldades foi utilizada a metodologia de controle proposta por Rafikov e
Balthazar (2005). O objetivo é projetar uma lei de controle U que permita o sistema atuador
pneumático seguir um regime de trajetórias de estado desejadas, seja em testes de
posicionamento ou em seguimento de trajetórias.
4.2 Controle Proposto para Sistemas não Lineares
Rafikov e Balthazar (2005) propõem uma metodologia de controle ótimo linear
por realimentação para sistemas não lineares na forma de representação em variáveis de
estado, tal como:
y Ay g( y )
= +
(4.1)
onde
n
y R
∈
é o vetor das variáveis de estado,
n n
A R
×
∈
é matriz constante formada pela parte
linear do sistema e g(y) o vetor cujos elementos são funções contínuas. Nesse contexto, o
interesse é controlar o sistema e dessa forma posicioná-lo em um determinado ponto do curso
do cilindro ou seguir uma trajetória desejada. Seja
d
y
o vetor função da trajetória desejada do
sistema, então o sistema controlado tem a seguinte forma:
y Ay g( y ) U
= + +
(4.2)
onde
U
é o vetor de controle que consiste de duas parcelas:
d t
U u u
= +
(4.3)
onde a parcela feedforward
d
u mantém o sistema controlado na trajetória desejada e pode ser
escrita da seguinte como:
d d d d
u y A y g( y )
= − −
. (4.4)
Capítulo 4 – Controle do Atuador
39
A parcela feedback u
t
estabiliza o sistema em torno da trajetória desejada, sendo:
t
u Bu
= (4.5)
onde B é uma matriz constante e u é o vetor de controle.
Definindo o desvio da trajetória do sistema (4.2) em relação à trajetória desejada,
temos:
d
y y y
= −
(4.6)
e usando (4.3) e (4.5) chega-se a equação da dinâmica do sistema em desvios:
d d d
y Ay g( y ) y Ay g( y ) Bu
= + + − − +
d d d
y y A( y y ) g( y ) g( y ) Bu
− = − + − +
d
y Ay g( y ) g( y ) Bu
= + − +
. (4.7)
A parte não linear do sistema (4.7) pode ser escrita como:
d d d
g( y ) g( y ) G( y, y )( y y )
− = − (4.8)
onde a matriz
d
G( y, y )
é limitada e seus elementos são funções de
y
e
d
y
. Admitindo (4.8)
o sistema (4.7) tem a forma:
d
y Ay G( y, y )y Bu
= + +
(4.9)
onde o controle linear por realimentação de estados u é calculado por
1 T
u R B P y
−
= −
(4.10)
sendo que
n n
P R
×
∈
é matriz simétrica e satisfaz a equação de Riccati
Capítulo 4 – Controle do Atuador
40
T 1 T
PA A P PBR B P Q 0
−
+ − + =
(4.11)
na qual
n n
Q R
×
∈ e
n n
R R
×
∈
são matrizes constantes, definidas positivas, sendo Q simétrica,
tais que a matriz:
T
d d
Q Q G ( y, y )P PG( y, y )
= − −
(4.12)
seja definida positiva para a matriz G limitada.
Em Rafikov e Balthazar (2005) é feita a prova de estabilidade global a partir da
análise de uma função de Lyapunov utilizando-se a dinâmica do sistema escrita em desvios
(4.7), neste trabalho a prova de estabilidade do projeto de controle do atuador pneumático é
detalhada na seção 4.3.
O vetor de controle u depende da escolha adequada das matrizes Q e R. Schmid
(2004) propõe as seguintes etapas:
1. Escolher as matrizes Q e R e resolver a equação algébrica não-linear de
Riccati (4.11), encontrando a matriz P.
2. Calcular a função de controle (4.10).
3. Calcular as trajetórias integrando o sistema (4.9).
4. Verificar se a condição (4.12) é satisfeita. Caso contrário, escolher outra
matriz Q e repetir o processo a partir do item 1.
4.3 Análise de Estabilidade do Controle
Ao se projetar um sistema de controle, a característica mais importante do
comportamento dinâmico desse sistema é a estabilidade global a partir do conhecimento de
seus componentes.
Bewley (1999) e Chen (1997), assim como em vários outros trabalhos, a solução
do problema de controle ótimo não-linear (4.9) é procurada em forma de controle linear por
realimentação (4.10), porém em muitos casos o uso desse controle nem sempre é bem
justificada. Rafikov e Balthazar (2005) determinam quais as condições que permitem a
Capítulo 4 – Controle do Atuador
41
utilização do controle ótimo linear por realimentação para sistemas não lineares e em que
sentido esse controle é ótimo, formulando o seguinte teorema:
Se existem as matrizes Q e R definidas positivas, sendo Q simétrica tais que
T
d d
Q Q G ( y, y )P PG( y, y )
= − −
(4.13)
seja definida positiva para a matriz G limitada, então o controle linear por realimentação
1 T
u R B P y
−
= −
(4.14)
é ótimo para transferir o sistema não linear (4.7) do estado inicial ao estado final
y( ) 0
∞ =
(4.15)
minimizando o funcional (4.16):
T T
0
J ( y Qy u Ru )dt
∞
= +
∫
, (4.16)
Para sistemas lineares a função
g( x ) 0
≡
e o controle ótimo é encontrado na forma (4.14)
onde a matriz
n n
P R
×
∈
é simétrica e satisfaz a seguinte equação não linear algébrica de
Riccati:
T 1 T
PA A P PBR B P Q 0
−
+ − + =
. (4.17)
onde as matrizes
n n
Q R
×
∈ e
n m
R R
×
∈
são constantes, definidas positivas, cujos elementos são
coeficientes de ponderabilidade do funcional
T T
0
J ( y Qy u Ru )dt
∞
= +
∫
. (4.18)
Este teorema foi formulado com base no segundo método de Lyapunov para
minimizar o índice de desempenho quadrático do controle. A equação não linear algébrica de
Capítulo 4 – Controle do Atuador
42
Riccati tem solução única em P positiva e simétrica para quaisquer R > 0 e
Q 0
≥
dadas. O
sistema controlado (4.9) tem estabilidade global, pois existe a função de Lyapunov
T
V y Py
=
(4.19)
positiva definida, cuja derivada, calculada nas trajetórias ótimas do sistema (4.9) é definida
negativa pois,
T T
V y Qy u Ru
= − −
(4.20)
onde
Q
e R são definidas positivas.
A garantia de aplicabilidade do controle ótimo linear por realimentação para
sistemas não lineares é dada pela positividade da matriz
Q
. A dificuldade de calcular a matriz
Q
analiticamente nos leva a formulação de uma função h(t), dada por:
T
h( t ) y Qy
=
. (4.21)
que caracteriza a soma dos desvios quadrados do sistema da trajetória desejada. Se h(t) é
definida positiva, então
Q
também é definida positiva e dessa forma o controle é ótimo.
Através de simulações numéricas (seção 4.5) é possível mostrar a positividade da função h(t).
De acordo com Ogata (1997) o índice de desempenho dado pelo funcional (4.18)
pode ser calculado através da equação:
T
J y ( 0 )Py( 0 )
=
(4.22)
e assim o índice de desempenho
J
pode ser obtido em termos do estado inicial
y( 0 )
do
sistema e da matriz P.
Como conseqüência da lei de controle ótimo (4.14), os elementos da matriz
-1 T
K = R B P
são determinados de forma a minimizar o índice de desempenho (4.16), então
u( t ) Ky( t )
= −
é ótimo para qualquer estado inicial
y( 0 )
. A Figura 27 mostra o diagrama de
blocos do sistema controlado.
Capítulo 4 – Controle do Atuador
43
Figura 27: Sistema de controle ótimo
4.4 Projeto de Controle do Atuador Pneumático
Nesta seção aplica-se a metodologia de controle ótimo linear por realimentação ao
modelo matemático do atuador pneumático, dado em (2.16) e escrito na forma vetorial (2.19).
Para o modelo adotado, a lei de controle UU
Capítulo 4 – Controle do Atuador
44
2
1 1
0 1 0
A 0 0 1
0 E 2 E
ξ
=
− −
(4.27)
0
B 0
1
=
(4.28)
Conforme mencionado na seção anterior, a escolha adequada das matrizes Q e R ,
influenciam diretamente na estabilidade do controle. Com o intuito de facilitar a determinação
dos parâmetros da matriz Q geralmente é feita a opção por uma matriz diagonal, uma vez que
a escolha da matriz ideal se dá através de tentativas e erros. Os elementos da diagonal da
matriz Q irão determinar os ganhos relativos aos desvios das variáveis do espaço de estado.
Segundo Ogata (1997), para se ter uma resposta rápida para o controle, o elemento
11
Q
deve
ser suficientemente grande em relação aos demais elementos da diagonal e também em
relação aos elementos de R. Escolhendo
10
3,55 10 0 0
Q 0 1 0
0 0 1
×
=
(4.29)
[
]
R 1
=
(4.30)
obtém-se
9 7 5
7 5 3
3
1,28 10 1,82 10 1,88 10
P 1,82 10 3,29 10 3,67 10
1,88 10 3,67 10 5,19 10
× × ×
= × × ×
× × ×
(4.31)
resolvendo a equação algébrica de Riccati através da função LQR do software MATLAB.
A função de controle ótimo (4.10) resulta em:
5 3
u 1,88 10 3,67 10 5,19 10 y
= − × × ×
(4.32)
Capítulo 4 – Controle do Atuador
45
onde o primeiro elemento é relativo aos desvios de deslocamento (variável de estado
1
y
), o
segundo é relativo aos desvios de velocidade (variável de estado
2
y
) e o terceiro elemento é
relativo aos desvios de aceleração (variável de estado
3
y
), da trajetória desejada.
A escolha das matrizes Q e R se deram através da simulação numérica do controle
direcionando o sistema a um ponto fixo. Estas matrizes resultam na convergência mais rápida
Capítulo 4 – Controle do Atuador
46
Y2
Velocidade
Yd
Trajetória
desejada
t
Tempo
Y1
Posição
UT Y
Modelo
Demux
Y
Yd
UT
Controle
Clock
Y3
Aceleração
Figura 28: Diagrama de blocos do sistema controlado construído no Simulink
feedforword
y1d
y2d
y3d
dy3d
1
UT
e1
ey
e2
edy
e3
ed2y
A1*u^4+B1*u^3+C1*u^2+D1*u+E1
Wn
Demux
Demux
Capítulo 4 – Controle do Atuador
47
o ponto escolhido para o qual deve ser direcionado o sistema. Dessa forma
1 d 1
1
2 d 2 2
3
3 d 3
y y
y 0,15
y y y y
y
y y
−
+
= − =
−
, (4.34)
com a escolha das matrizes (4.29) e (4.30) e admitindo (4.9) e (4.4), chegamos ao sistema
descrito direcionado ao ponto fixo desejado. A Figura 30 mostra o resultado do deslocamento
do sistema direcionado a um ponto fixo.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Tempo (s)
Posição (m)
Posição desejada
Simulação numérica
Figura 30: Deslocamento do sistema direcionado a um ponto fixo desejado
Para direcionar o sistema (2.16) a um ponto fixo, o controle U é gerado apenas
pela parcela feedback, pois a parcela feedforward é nula neste caso. A Figura 31 ilustra o sinal
de controle U
T
aplicado a servoválvula que resulta deste controle.
Capítulo 4 – Controle do Atuador
48
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0.4
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Tempo (s)
Sinal de controle (volts)
Figura 31: Sinal de controle direcionando o sistema ao ponto fixo desejado
Conforme mencionado na seção anterior, é possível obter através de simulações
numéricas uma convergência mais rápida para o ponto fixo desejado, porém este caso
ultrapassa as limitações e pode ser prejudicial ao mecanismo. Com o intuito de demonstrar
esse caso, foi escolhida uma matriz Q dada por:
12
1 10 0 0
Q 0 1 0
0 0 1
×
=
(4.35)
que resulta em uma função de controle
6 4 2
u 1 10 1,65 10 1,42 10 y
= − × × ×
. (4.36)
A Figura 32 mostra o sistema direcionado ao ponto fixo desejado para a matriz (4.35)
escolhida. Podemos observar que o sistema oscila antes de se estabilizar em torno da posição
desejada.
Capítulo 4 – Controle do Atuador
49
Figura 32: Sistema direcionado ao ponto fixo desejado 2º caso.
O sinal de controle gerado nessa simulação e mostrado na Figura 33 ultrapassa os
limites de saturação do sinal de entrada da servoválvula de forma bastante significativa, fato
que inviabiliza na prática o uso da matriz (4.35) na aplicação do controle.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Tempo (s)
Sinal de controle (volts)
Figura 33: Sinal de controle direcionando o sistema ao ponto desejado 2º caso
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Tempo (s)
Posição (m)
Simulação numérica
posição desejada
0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
0.14
-0.17
-0.16
-0.15
-0.14
-0.13
Capítulo 4 – Controle do Atuador
50
4.5.2 Controle Ótimo Linear Direcionando o Sistema a uma Trajetória Desejada
Nesta seção é apresentado o estudo de caso do controle direcionando a dinâmica
do sistema a uma trajetória desejada. A trajetória escolhida foi a função harmônica:
x( t ) 0,2 cos( 2t )
=
(4.37)
A trajetória periódica escolhida, escrita nas três variáveis de estado tem a forma:
d 1
d d 2
d 3
y
0,2 cos( 2t )
y y 0,4sen( 2t )
0,8 cos( 2t )
y
= = −
−
(4.38)
e conseqüentemente
1 d 1
1
2 d 2 2
3
3 d 3
y y
y 0,2 cos( 2t )
y y y y 0,4sen( 2t )
y 0,8 cos( 2t )
y y
−
−
= − = +
+
−
(4.39)
A Figura 34, Figura 35 e Figura 36 ilustram os três estados da dinâmica do
sistema atuador pneumático direcionado ao seguimento da trajetória escolhida.
0 1 2 3 4 5
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Tempo (s)
Posição (m)
Simulação numérica
Trajetória desejada
Figura 34: Deslocamento do sistema direcionado a trajetória desejada
Capítulo 4 – Controle do Atuador
51
0 1 2 3 4
5
-0.6
-0.5
-0.4
Capítulo 4 – Controle do Atuador
52
0 1 2 3 4 5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo (s)
Sinal de controle (volts)
Figura 37: Sinal de controle direcionando o sistema a trajetória desejada
Conforme mencionado na seção 4.4 para garantir a estabilidade do sistema é
necessário avaliar a positividade da matriz
Q
(4.13) através da função h(t) (4.21) a partir de
seu estado inicial
y( 0 )
. Para a determinação da matriz
Q
é necessário conhecer a matriz G.
A partir do desenvolvimento teórico apresentado através das equações (4.7) e (4.8), o sistema
em desvios tem a forma:
d
y Ay G( y, y )y Bu
= + +
(4.40)
onde A é matriz constante obtida da parte linear do sistema e G da parte não linear dada por
1 2
0 0 0
G 0 0 0
0 f 2 c f
=
− −
(4.41)
onde
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
8 7 6
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 4
1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
f = A y ( 0 ) + 2A B y ( 0 ) + (2A C +B ) y ( 0 ) +
+ (2B C +2A D ) y ( 0 ) + (2A E + 2B D + C )
y ( 0 )
+ (2B E + 2C D ) y ( 0 ) + 2C E y ( 0 ) + 2D E
y ( 0 )
(4.42)
( ) ( ) ( )
4 3 2
2 1 1 1 1 1 1 1 1
f A y ( 0 ) B y ( 0 ) C y ( 0 ) D y ( 0 )
= + + +
(4.43)
Capítulo 4 – Controle do Atuador
53
O desenvolvimento algébrico para obtenção da matriz G pode ser verificado no Apêndice C.
A Figura 38 ilustra o comportamento da matriz h para o caso do controle
direcionando o sistema a um ponto fixo. O segundo caso analisado a partir da simulação
numérica, trata-se do controle direcionando o sistema a uma trajetória desejada, em ambos os
casos, podemos observar que os valores de h, são sempre positivos e tendem a zero
satisfazendo a condição de estabilidade do controle.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0
1
2
3
4
5
6
x 10
9
Tempo (s)
h
Figura 38: Valor de h para o sistema direcionado a um ponto fixo.
0 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 10
7
Tempo (s)
h
Figura 39: Valor de h para o sistema direcionado ao seguimento de uma trajetória desejada
Capítulo 4 – Controle do Atuador
54
Os resultados da formulação do problema de controle do atuador pneumático e da
simulação numérica do controle direcionando o sistema a um ponto fixo e ao seguimento de
uma trajetória desejada encontram-se em Bavaresco et al. (2006b).
4.6 Discussões
Este capítulo apresentou inicialmente uma breve reflexão sobre sistemas de
automação e metodologias de controle. Apresenta a formulação da síntese de controle
proposto para sistemas não lineares utilizada neste trabalho. A prova de estabilidade é feita
com base na teoria de Lyapunov com a determinação das condições necessária que permitem
a utilização do controle proposto para sistemas não lineares, estipuladas por Rafikov e
Balthazar (2005).
O projeto de controle do atuador pneumático a partir do modelo adotado permitiu
a simulação numérica do sistema controlado direcionado a um ponto fixo e ao segmento de
uma trajetória desejada. A garantia de estabilidade do sistema controlado, baseada nos desvios
de seu estado inicial é mostrada como resultados das simulações numéricas onde é
comprovada a positividade da matriz Q, satisfazendo a condição de estabilidade do controle.
5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS
5.1 Introdução
Neste capítulo são apresentados os resultados dos testes experimentais realizados
na bancada de testes descrita na seção 3.2. Estes resultados têm como objetivo validar
experimentalmente os desenvolvimentos teóricos do capítulo 4, com o intuito de contribuir
para a solução do problema de controle de atuadores pneumáticos.
Os testes foram realizados com o ar comprimido fornecido ao atuador à
temperatura de 26
o
C e à pressão de suprimento de 5,2 ± 0,1 bar. A placa dSPACE DS1102
foi configurada com uma taxa de amostragem de 1ms e taxa de aquisição de 25 ms.
Nas seções seguintes, apresentam-se o planejamento das trajetórias desejadas
utilizadas nos testes experimentais, o esquema de compensação da zona morta da
servoválvula, a aplicação do controle proporcional ao atuador pneumático e os resultados da
aplicação do controle proposto neste trabalho, detalhando-se o ajuste dos fatores de ganho e as
condições adequadas para executar as tarefas de seguimento de trajetória e posicionamento.
Este capítulo apresenta também a aplicação do controle proposto a um robô
cartesiano acionado pneumaticamente, projetado para desenvolver tarefas de acabamento
superficial de painéis metálicos, incluindo descrição do robô, planejamento das trajetórias,
testes experimentais e apresentação de corpos de prova em chapas metálicas, resultantes da
escovação.
5.2 Planejamento de Trajetórias
Os testes experimentais realizados têm como objetivos validar o controle
apresentado na seção 4 para fins de seguimento de trajetória e posicionamento preciso. Foram
testadas duas trajetórias contínuas, uma senoidal e outra polinomial com trechos de paradas
em posições próximas às extremidades.
A trajetória senoidal escolhida com período 10 s e amplitude 0,2 m pode ser
descrita por (5.1).
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
56
d
2
y ( t ) 0,2 cos t
10
π
= −
(5.1)
Na segunda trajetória foi utilizada uma curva com polinômios de sétima ordem
com trechos de parada próximos às extremidades. Esta trajetória apresenta uma característica
fundamental que é a existência da primeira, segunda e terceira derivadas, correspondentes à
velocidade, aceleração e derivada da aceleração utilizadas na lei de controle. Para que a
trajetória escolhida apresente suavidade é necessário a compatibilização de condições iniciais
e finais para a trajetória e suas três derivadas. Estas condições iniciais e finais da função
polinomial são determinadas a partir das posições de parada da trajetória, ou seja, para a
equação polinomial de sétima ordem (5.2),
7 6 5 4 3 2
y( t ) At Bt Ct Dt Et Ft Gt H
= + + + + + + +
(5.2)
y( 0 ) Pi, y'( 0 ) y''( 0 ) y'''( 0 ) 0
= = = =
e
e e e e
y( t ) Desl, y'( t ) y''( t ) y'''( t ) 0
= = = =
onde
e
t
é o tempo de deslocamento da trajetória polinomial, Desl é o distância percorrida
sobre a trajetória polinomial e Pi é a posição inicial do atuador.
A programação adequada da trajetória polinomial deve permitir o ajuste da
posição inicial e final da trajetória polinomial, bem como o tempo de deslocamento através
desta equação e o tempo de espera nos testes de parada.
Para os testes realizados, foram escolhidos trechos
p
y
de parada de 5 s e trechos
de deslocamento através da trajetória polinomial
d
y
também de 5 s. O início da trajetória se
dá com um trecho de parada na posição -0,2 m do cilindro seguido de um trecho de
deslocamento até a posição 0,2 m. Após o período de parada, retorna a posição inicial através
da função -
d
y
. A trajetória desejada com duas repetições desse deslocamento pode ser
descrita pela equação (5.3).
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
57
d
d
d
d
0,2, t 5;
y ( t 5 ) 0,2, 5 t 10;
0,2, 10 t 15;
y ( t 15 ) 0,2, 15 t 20;
Y( t ) 0,2, 20 t 25;
y ( t 20 ) 0,2, 25 t 30;
0,2, 30 t 35;
y ( t 35 ) 0,2, 35 t 40;
0,2, t 40;
− ≤
− − < <
≤ ≤
− − + < <
= − ≤ ≤
− − < <
≤ ≤
− − + < <
− ≥
(5.3)
onde
5 7 4 6 3 5 2 4
d
y ( t ) 5,12 10 t 8,96 10 t 5,376 10 t 1,12 10 t
− − − −
= − × + × − × + × (5.4)
Os testes experimentais através da trajetória senoidal têm como objetivo avaliar o
desempenho do controlador nos trechos de inversão do movimento, enquanto a trajetória
polinomial busca avaliar o posicionamento nos trechos de parada.
5.3 Controle Proporcional e a Compensação de Zona Morta
Nesta seção são mostrados os resultados experimentais do controle clássico linear
proporcional sem e com a compensação de zona morta. Os resultados do controle
proporcional servem de base comparativa para a análise da importância da compensação da
não linearidade de zona morta e também como testemunha frente à estratégia de controle
proposta para sistemas não lineares.
Conforme descrito na seção 3.5, a não linearidade de zona morta em
servoválvulas gera limitações significativas no desempenho de controladores, diante disso,
faz-se necessário a construção de sua inversa para compensação dessa imperfeição,
minimizando assim os efeitos limitantes ao controlador.
Segundo Valdiero (2005b), os parâmetros da zona morta são de difícil
determinação exata, prejudicando o cancelamento perfeito dessa não linearidade. Além disso,
faz-se necessário a suavização da zona morta em trechos próximos a origem, para evitar a
descontinuidade e as oscilações em torno da origem do sinal. O conhecimento dos parâmetros
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
58
da zona morta e a sua compensação através da inversa suavizada permite a minimização dos
efeitos de degradação do desempenho de forma bastante significativa.
A representação matemática da compensação da zona morta (inversa) é dada pela
equação (5.5),
d
d
d
d
czm
d d
d d
U ( t )
zmd se U ( t ) lc
md
U ( t )
zmd se U ( t ) -lc
me
U ( t )
zmd lc md
U (t) se 0 U (t) lc
lc
zme lc me
U (t) se -lc U (t) 0
lc
+ ≥
− ≤
=
+
≤ ≤
+
≤ ≤
(5.5)
onde U
d
é a entrada de sinal de controle desejável sem a existência da zona morta, lc é a
largura de suavização utilizada na compensação, U
czm
é a saída de sinal compensado, m
e
e m
d
são as inclinações que representam a proporcionalidade entre a entrada e a saída. A Figura 40
mostra a representação gráfica da inversa da zona morta suavizada.
Figura 40: Representação gráfica da inversa da zona morta com trechos de suavização próximos a origem
Para implementação da compensação da zona morta foi desenvolvida a rotina de
programação mostrada no diagrama de blocos através da Figura 41, foram utilizados valores
iguais e unitário apara as inclinações (
d e
m m 1
= =
) e 0,05 para a largura de suavização da
compensação (
lc = 0,05). O valor da largura lc é ajustado através de uma solução de
compromisso entre a qualidade do sinal de controle e a efetiva compensação da zona morta.
U
d
U
czm
zmd
1/md
1/me
zme
lc
lc
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
59
Ou seja, se lc é muito grande há uma subcompensação da zona morta e se é muito pequeno
podem ocorrer oscilações do sinal de controle devido ao chaveamento perto da origem.
1
Sinal de controle
Compensado
ZME
Zona Morta
Esquerda
ZMD
Zona Morta
Direita
Testa se é Positivo
ou negativo
Testa se esta
na região de
suavização
(lc + ZME)/lc
Suavização
(lc + ZMD)/lc
Suavização
|u|
Abs
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
60
atuador e consequentemente no sinal de controle gerado. A Figura 42 mostra uma visão geral
do seguimento de trajetória com o controlador sem e com a compensação da zona morta.
Figura 42: Resultados experimentais de seguimento de trajetórias com controle proporcional sem e com
compensação de zona morta.
A Figura 43 mostra a comparação do erro de seguimento para as duas trajetórias
testadas, senoidal e polinomial respectivamente. Nota-se que nos trechos de baixa velocidade,
o ajuste ainda é baixo para o seguimento de trajetória e o posicionamento preciso, mas é
suficiente nos trechos de maior velocidade, onde já ocorrem algumas oscilações no
deslocamento. Nas duas trajetórias testadas, obteve-se um erro máximo em torno de 70 mm
para o controle sem compensação da zona morta e 20 mm para o controle com compensação
da zona morta da servoválvula. Nos testes de parada da trajetória polinomial obteve-se erros
menores que 1,5 mm.
A implementação da compensação da zona morta da servoválvula com o esquema
de suavização próxima à origem permite diminuir de forma satisfatória os erros de
seguimento de trajetória e de posicionamento preciso sem gerar oscilações no deslocamento
do êmbolo do atuador e no sinal de controle gerado. A Figura 44 mostra o sinal de controle
gerado com e sem a compensação da zona morta para as duas trajetórias testadas, senoidal e
polinomial respectivamente.
Posição (m)
Tempo (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
61
Figura 43: Gráfico comparativo do erro de seguimento do controle proporcional com e sem compensação
de zona morta para as trajetórias senoidal e polinomial, respectivamente
Figura 44: Gráfico comparativo do sinal de controle aplicado à servoválvula para seguimento das
trajetórias senoidal e polinomial, respectivamente
Tempo (s)
Sinal de controle (volts)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
45
-1
0
1
Tempo (s)
Sinal de controle (volts)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
0
1
2
Sem compensação da zona morta
Com compensação da zona morta
Erro (m)
Tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.1
0
0.1
Controle proporcional
Controle proposto
Erro (m)
Tempo (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.1
0
0.1
Sem compensação da zona morta
Com compensação da zona morta
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
62
Através da análise do sinal de controle, pode-se concluir que o grande mérito da
compensação da zona morta se dá pelo fato de que mesmo com erros relativamente baixos, o
controlador gera sinais com amplitudes capazes de manter o deslocamento do cilindro sem
aumento significativo do erro. Sem essa compensação o controlador gera um sinal de controle
com amplitudes semelhantes devido ao erro relativamente grande, ou seja é necessário um
erro maior para que o sinal de controle seja grande suficiente para superar a zona morta da
válvula. Além disso, nota-se uma melhoria do sinal de controle com compensação de zona
morta, ocorrendo menos oscilações deste sinal.
Os resultados apresentados comprovam na prática as limitações do controle
clássico de servoposicionadores pneumáticos e a necessidade de compensação da não
linearidade de zona morta existente na servoválvula.
5.4 Controle Proposto para Sistemas Não Lineares
Nesta seção são apresentados os resultados do controle proposto no capítulo 4
aplicado a sistemas não lineares. Este controlador é chamado de controle ótimo linear
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
63
( )
2
d 3d n 1 2 d n 1 3d
u y ( y ) y 2 ( y )y
ω ξω
= + +
(5.8)
e a parcela feedback dada por:
t
u Bu
= (5.9)
sendo
1 T
u R B P y
−
= −
. (5.10)
onde a matriz P é obtida através da solução da equação de Riccati (4.17). Para a solução da
equação de Riccati, são utilizadas as matrizes A, B, Q e R, sendo que A e B são obtidas a partir
do modelo e Q e R são escolhidas.
Dessa forma o sinal de controle aplicado a servoválvula é dado pela equação
(5.11)
( )
d t
T
2
q n 1
u u
U
K ( y )
ω
+
= (5.11)
Para os testes experimentais foram ajustadas as seguintes matrizes de ganhos do
controlador:
[ ]
9
4 10 0 0
Q 0 1 0 e R 1
0 0 1
×
= =
. (5.12)
A rotina do MatLab utilizada para geração dos gráficos dos resultados
experimentais pode ser verificada no apêndice D.
A Figura 45 mostra o seguimento de trajetória realizado pelo controle
proporcional e pelo controle proposto, ambos sem a compensação da zona morta nos dois
casos descritos pelas equações (5.1) e (5.3) respectivamente. Com esta comparação pode-se
obter uma visão geral do desempenho do controle proposto em comparação com o controle
proporcional.
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
64
Figura 45: Seguimento de trajetória com controle proporcional em comparação com o controle proposto
Na Figura 46 são mostrados os erros de seguimento de trajetória resultantes da
aplicação do controle proposto em comparação com os resultados do controle proporcional,
ambos sem a compensação da zona morta, para as trajetórias senoidal e polinomial
respectivamente. Pode-se observar que no controle proporcional o erro permanece dentro de
uma faixa de 60 mm, exceto nos trechos de baixa velocidade onde chega próximo a 70 mm.
Para o caso do controlador proposto, o erro mantém-se dentro de um limite de 40 mm, exceto
nos trechos de baixa velocidade onde chega a 60 mm.
O controlador proposto, baseado no modelo não linear, apresenta vantagens em
relação ao controle proporcional principalmente nos trechos de maior velocidade. A primeira
marcação (1) no gráfico de erros da trajetória senoidal indica o ponto de maior velocidade do
deslocamento do êmbolo do atuador, nesse ponto o erro resultante do controle proposto é de
aproximadamente 30 mm enquanto no controle proporcional é de aproximadamente 60 mm.
A segunda marcação indica o ponto de inversão de movimento próximo à extremidade do
cilindro, nesse ponto a ação feedforward do controle proposto é nula e os resultados se
aproximam do controle proporcional. Em seguida, pode-se observar um pico de erros causado
principalmente pela ação do atrito estático que não é considerado no modelo adotado.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.2
0
0.2
Trajetória desejada
Trajetória realizada com controle proporcional
Trajetória realizada com controle proposto
Posição (m)
Tempo (s)
Posição (m)
Tempo (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.2
0
0.2
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
65
Na trajetória polinomial podem ser analisados os resultados dos testes de parada,
nos quais, obteve-se um erro de posicionamento de 30 mm para o controle proporcional e 25
mm para o controle proposto. As marcações no gráfico de erros da trajetória polinomial
indicam os trechos de deslocamento e os testes de parada.
Figura 46: Erro de seguimento comparativo entre o controle proporcional e o controle proposto sem
compensação da zona morta para as trajetórias senoidal e polinomial respectivamente.
A seguir são apresentados os resultados dos testes experimentais com
compensação da zona morta da servoválvula.
Figura 47 mostra a comparação dos erros resultantes da aplicação do controle
proposto em comparação com o controle proporcional, sob o ponto de vista de uma escala
reduzida para facilitar a visualização da ação dos dois controladores, com indicação dos
trechos de maior velocidade (1) e de inversão de movimento (2).
Na trajetória senoidal, a ação do controle proporcional para o seguimento de
trajetória resulta em erros de aproximadamente 15 mm (1), com picos de até 20 mm nos
pontos de inversão de movimento (2), enquanto o controle proposto permanece dentro de uma
faixa de 5 mm (1) exceto nos pontos de inversão de movimento que chega a 20 mm (2) .
Tempo (s)
Erro (m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
66
Para os testes de parada da trajetória polinomial foram obtidos posicionamentos
com aproximadamente 10 mm de erro para o controle proporcional e de 5 mm para o controle
proposto.
Figura 47: Erro de seguimento comparativo entre o controle proporcional e o controle proposto com
compensação da zona morta para as trajetórias senoidal e polinomial respectivamente.
Os resultados apresentados através da Figura 46 e Figura 47 foram considerados
adequados após diversos testes com ganhos diferentes para o controlador proposto, sendo que
as matrizes dadas por (5.12) resultaram na obtenção dos menores erros de seguimento de
trajetória sem gerar oscilações no deslocamento do êmbolo do atuador.
Com o intuito de minimizar os erros de seguimento de trajetória, nas inversões de
movimento da trajetória senoidal e nos testes de parada da trajetória polinomial, foram
testadas diversas matrizes com valores maiores em relação aos testes anteriores. A seguir são
mostrados os resultados para um destes ajustes com as matrizes de ganho dadas por:
[ ]
9
8 10 0 0
Q 0 1 0 e R 1
0 0 1
×
= =
(5.13)
Tempo (s)
Erro (m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.02
0
0.02
Tempo (s)
Erro (m)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.02
0
0.02
0.04
Controle proporcional
Controle proposto
1
2
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
67
A Figura 48 mostra a comparação entre os erros resultantes do ajuste adequado e
do ajuste não adequado para as trajetórias senoidal e polinomial respectivamente. Estes
resultados mostram que é possível diminuir ainda mais os erros nos testes de parada e nos
trechos de inversão de movimento, mas por outro lado, estes ganhos tornam-se inadequados
para os trechos de maior velocidade onde ocorrem oscilações significativas no deslocamento
do atuador e, consequentemente, no sinal de controle podendo causar danos ao equipamento.
Nos trechos de velocidade maior que 0,1 m/s tem-se uma maior influência da ação do atrito
viscoso.
Figura 48: Comparação dos erros de posicionamento entre o ajuste ideal e o ajuste não ideal
A Figura 49 mostra o sinal de controle gerado pelo ajuste não adequado em
comparação com o ajuste adequado para as trajetórias senoidal e polinomial respectivamente.
Nos testes de parada e nos trechos de inversão de movimento, ou seja onde ocorrem menores
velocidades, estes ajustes são possíveis de serem utilizados, já nos trechos maior velocidade
na trajetória senoidal e nos trechos de deslocamento da trajetória polinomial, o sinal de
controle apresenta um comportamento bastante oscilatório, tornando-se inadequado para
utilização em aplicações pois pode causar danos ao equipamento.
Tempo (s)
Erro (m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.02
0
0.02
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.02
0
0.02
0.04
Tempo (s)
Erro (m)
Ajuste adequado
Ajuste não adequado
Ajuste 1
Ajuste 2
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
68
Figura 49: Comparação entre o sinal de controle entre o ajuste ideal e o ajuste não ideal
A comparação dos erros de seguimento resultantes da aplicação do controle
proporcional e do controle proposto para sistemas não lineares, ambos com e sem
compensação da zona morta da servoválvula, para as trajetórias senoidal e polinomial, são
mostrados na Figura 50 e na Figura 51 respectivamente. Nesta perspectiva é possível analisar
o desempenho de cada controlador e a contribuição da compensação da zona morta através da
sua inversa fixa na saída do controlador.
Figura 50: Comparação entre os erros de todas as metodologias de controle testadas para a trajetória
senoidal
Tempo (s)
Sinal de controle (volts)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
45
-1
0
1
Tempo (s)
Sinal de controle (volts)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
0
1
2
Ajuste adequado
Ajuste não adequado
Tempo (s)
Erro (m)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.1
-0.075
-0.05
-0.025
0
0.025
0.05
0.075
0.1
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
69
0 5 10 15 20 25 30 35 40
45
-0.1
-0.075
-0.05
-0.025
0
0.025
0.05
0.075
0.1
0.15
Tempo (s)
Erro (m)
Controle proporcional sem compensação da zona morta
Controle proporcional com compensação da zona morta
Controle proposto sem compensação da zona morta
Controle proposto com compensação da zona morta
Figura 51: Comparação entre os erros de todas as metodologias de controle testadas para a trajetória
polinomial
5.5 Aplicação em um Robô Cartesiano Acionado Pneumaticamente
Esta seção apresenta uma descrição simplificada do desenvolvimento de um
manipulador robótico proposto por Schneider (2006), planejado para desenvolver o processo
de escovar e polir painéis metálicos, juntamente com os principais resultados obtidos a partir
da aplicação do controle para fins de seguimento de trajetória e controle de velocidade.
O manipulador é constituído de uma estrutura metálica com dispositivo de fixação
do painel a ser lixado, um atuador pneumático sem haste para o avanço na direção x,
(longitudinal) um atuador pneumático com haste para o avanço na direção y (transversal) e
um cilindro pneumático com haste para deslocamento na direção z (vertical), no qual é
montada a ferramenta de escovação.
O painel é fixado através de suportes construídos em chapa de aço carbono com
regulagem de posição. No processo de escovação, o sistema de controle implementado
controla os movimentos da ferramenta.
A Figura 52 mostra o esquema detalhado numa visão explodida do manipulador
robótico acionado pneumaticamente com a indicação dos principais componentes que compõe
o manipulador robótico. Na Figura 53 pode-se observar os itens fabricados e montados no
protótipo.
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
70
Figura 52: Visão explodida do esquema do manipulador robótico e seus principais componentes
O sistema de controle projetado compõe diferentes estratégias de controle, uma
para cada cilindro utilizado. O principal elemento a ser controlado é o cilindro sem haste para
deslocamento na direção x, no qual é aplicada a metodologia de controle ótimo linear por
realimentação para atuadores pneumáticos desenvolvida neste trabalho. O controle de
posicionamento e consequentemente de velocidade implicam diretamente na qualidade do
acabamento dos painéis a serem lixados.
A ferramenta de escovação abrange uma faixa de aproximadamente 15cm. O
cilindro com haste para deslocamento na direção y é responsável pelo posicionamento de
troca de faixa de escovação até abranger a largura total do painel. Esta troca de faixa não
exige posicionamento com grande precisão pois é possível projetar uma pequena faixa de
sobreposição entre as faixas de escovação. Diante dessas condições foi implementado o
sistema de controle proporcional ao cilindro com haste para deslocamento transversal.
O cilindro com haste para deslocamento na direção z, tem como função baixar a
ferramenta no inicio do trecho de escovação e levantar essa ferramenta no final desse trecho,
possibilitando o uso da pneumática convencional de final de curso sem controle de
posicionamento. Nesse tipo de acionamento basta planejar os instantes de abertura e
fechamento da válvula.
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
71
Figura 53: Foto do manipulador robótico acionado pneumaticamente.
O desempenho do manipulador robótico depende do planejamento e da
programação adequada das trajetórias dos três cilindros pneumáticos que compões sua
movimentação. Estas trajetórias devem estar em sintonia de forma que cada atuador tenha sua
ação sem prejudicar o desempenho do manipulador.
A trajetória do cilindro sem haste
d
Y ( t )
para deslocamento na direção x foi
desenvolvida a partir da posição inicial P
i
, seguida de um trecho de deslocamento Desl
através de uma equação polinomial de sétima ordem P
1,
durante o intervalo de tempo t
e.
O
próximo trecho com deslocamento Dlix e velocidade constante Vel durante o intervalo de
tempo T
lix
foi projetado para realizar a escovação, seguida de outro trecho de deslocamento
Desl através da equação polinomial de sétima ordem P
2
até o repouso. Para retornar a posição
de origem foi projetada uma trajetória rápida durante o intervalo de tempo tr através da
equação polinomial de sétima ordem P
3
, seguida de um intervalo de espera E para ocorrer o
deslocamento transversal. A equação (5.14) descreve a trajetória planejada para um período
Per de escovação.
Cilindro pneumático
com haste para
deslocamento em y
Cilindro pneumático
sem haste para
deslocamento em x
Cilindro pneumático
com haste para
deslocamento
em
z
Ferramenta
para escovação
Tra
nsdutor
de posição
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
72
1 e
e e e lix
d 2 e lix e lix e lix
3 e lix e lix e lix r
1 e
P ( t ) 0 < t < t
Vel(t-t )+Desl t t t t
Y ( t ) P ( t t t ) t t < t < 2t t
P ( t 2t t ) 2t t t 2t t t
P 2t
≤ ≤ +
= − − + +
− − + ≤ ≤ + +
+
lix r
t t Per
+ ≤
(5.14)
onde
7 6 5 4 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
P ( t ) A t B t C t D t E t F t G t H
= + + + + + + +
(5.15)
7 6 5 4 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
P ( t ) A t B t C t D t E t F t G t H
= + + + + + + + (5.16)
7 6 5 4 3 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
P ( t ) A t B t C t D t E t F t G t H
= + + + + + + + (5.17)
Figura 54: Trajetória desejada para movimentação na direção x
A Figura 54 mostra a trajetória planejada para os parâmetros da Tabela 4
utilizados nos testes experimentais, com indicação dos trechos planejados. O trecho 1 através
da equação polinomial P
1
inicia o movimento a partir do repouso e termina com velocidade
igual à velocidade de escovação. Em seguida, o trecho 2 com velocidade constante é o
intervalo onde ocorre a escovação, seguido do trecho três que inicia com a velocidade de
escovação e leva até o repouso. O trecho quatro de retorno, ocorre sobre a equação polinomial
0 5 10 15 20 25
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Tempo (s)
Posição (m)
1
2
3
4
5
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
73
P
3
, seguido do trecho 5, no qual ocorre um intervalo de espera para o deslocamento
transversal.
Tabela 4: Parâmetros utilizados nos testes experimentais do manipulador robótico
Parâmetro Descrição
A
1
= -
4
4,6 10
−
× ; B
1
=
3
5 10
−
× ;
C
1
= -
2
1,8 10
−
× ; D
1
=
2
1,8 10
−
×
E
1
= F
1
= G
1
= H
1
= 0
Coeficiente do polinômio P
1
A
1
= -
4
4,6 10
−
× ; B
1
=
3
4,7 10
−
× ;
C
1
=
2
1,6 10
−
− × ; D
1
=
2
2,5 10
−
×
E
1
= F
1
= H
1
= 0; G
1
=
2
3.3 10
−
×
Coeficiente do polinômio P
2
A
1
= -
1
6,4 10
−
× ; B
1
= 3,38;
C
1
= -6,1; D
1
= 3,8
E
1
= F
1
= G
1
= H
1
= 0
Coeficiente do polinômio P
3
P
i
= -0.45 m Posição inicial
Desl = 0,1 m
Deslocamento sobre as equações polinomiais
P
1
e P
2
te = 3 s
Tempo de deslocamento sobre as equações
polinomiais P
1
e P
2
Vel = 1/30 m/s Velocidade de escovação
Dlix = 0,35 m Distância de escovação
tr = 10 s
Tempo de deslocamento sobre a equação
polinomial P
3
E = 2 s Tempo de espera ao final do período
Per = 28,5 s
Período de deslocamento sobre toda a
trajetória
O planejamento da trajetória para o atuador de movimentação na direção y se
torna bem mais simples se comparada com a trajetória atuador de movimentação na direção x
descrita acima, pois basta efetuar o deslocamento sem muita preocupação com controle de
velocidade e posicionamento preciso. A maior preocupação, se deve ao fato de que este
deslocamento ocorra nos intervalos de tempo em que o atuador de deslocamento na direção x
esteja parado. A equação (5.18) descreve a trajetória de deslocamento na direção y.
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
74
i 2
d i2
P t Per 2E / 5
0,05( t ( Per 2E / 5 ))
Per 2E / 5 < t < Per 2E / 5
Y ( t ) P + 0,1
≤ −
− − − +
=
i2
i2
Per 2E / 5 t 2Per 2E / 5
0,05( t 2Per 2E / 5 ) P + 0,1 2Per 2E / 5 <
t < 3Per 2E / 5
0,1( t ( 3Per-4E/5) ) P + 0,2 3Per-4E/5 t 3Per
+ ≤ ≤ −
− − + − +
− − + ≤ ≤
(5.18)
onde P
i2
= -0,35m é a posição inicial do cilindro com haste para deslocamento transversal.
A ação do cilindro de movimentação na direção z, foi planejada para baixar a
ferramenta de escovação durante o trecho 1 do deslocamento na direção x, pouco antes de
iniciar o trecho de escovação e levantar a ferramenta durante o trecho 3, logo após o final do
trecho de escovação.
A válvula de controle do cilindro vertical é de simples ação, do tipo on/off , dessa
forma, quando é aplicado uma determinada corrente elétrica positiva, ocorre a abertura no
sentido de levar o cilindro até o seu final de curso, baixando a ferramenta de escovação. Por
outro lado, quando a corrente elétrica é nula, ocorre a abertura no sentido de levar o cilindro
até o início de seu curso de movimentação levantando a ferramenta. A equação (5.19)
descreve a variação da tensão u aplicada à válvula de controle do cilindro de movimentação
na direção z.
0 t te/2
1 te/2 < t < E/2+3te/2+TLix
u
0 E/2+3te/2+TLix t E/2+3te/2+
TLix
1 E/2+3t/2e+TLix < t < Per
≤
=
≤ ≤
(5.19)
É importante destacar que as trajetórias dos cilindros de movimentação na direção
x e na direção z se repetem dentro de cada período Per, enquanto a trajetória de
movimentação na direção y se repete a cada 3 períodos indefinidamente até que o sistema de
controle da dSPACE seja parado.
A Figura 55 mostra a sintonia da dinâmica dos três cilindros de ação do
manipulador robótico. A linha vermelha de movimentação na direção x e a azul de
movimentação na direção y mostram a posição em função do tempo, enquanto a linha preta
tracejada é uma representação do sinal de controle aplicado à válvula, e consequentemente da
posição do cilindro de movimentação na direção y.
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
75
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Tempo (s)
Posição (m)
Cilindro sem haste, deslocamento na direção x
Cilindro com haste, deslocamento na direção y
Cilindro com haste, deslocamento na direção z
Figura 55: Sintonia de movimentação dos três cilindros do manipulador robótico
É importante destacar que a programação adequada destas trajetórias deve
permitir a alteração dos parâmetros para se adaptar a diferentes peças a serem escovadas, sem
prejudicar o desempenho do manipulador e a qualidade do acabamento.
Para os testes experimentais realizados, foram utilizadas as seguintes matrizes de
ganho do controle ótimo linear por realimentação aplicado ao atuador sem haste para
deslocamento em y:
9
4 10 0 0
Q 0 1 0
0 0 1
×
=
e
[
]
R 1
=
,
enquanto para o controle proporcional aplicado ao atuador de movimentação transversal, foi
utilizado o ganho
Kp
= 100.
A Figura 56 mostra uma visão geral do seguimento de trajetória do atuador sem
haste de movimentação na direção x nos testes experimentais, enquanto a Figura 57 mostra o
erro de seguimento dessa trajetória. Pode-se observar que nos trechos de início da
movimentação e também durante os trechos de retorno, ocorre um erro significativamente
grande devido a não linearidades, tais como o atrito, que não estão modeladas, no entanto nos
trechos planejados para ocorrer a escovação esse erro é suficientemente pequeno e sem
grandes variações. Estes resultados também podem ser verificados através da Figura 58, a
qual mostra o erro de velocidade durante a movimentação longitudinal, onde nos trechos
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
76
planejados para ocorrer a escovação, esse erro é suficientemente pequeno e apresenta
pequenas variações.
Figura 56: Seguimento de trajetória no movimento na direção x
Figura 57: Erro de posicionamento durante a movimentação na direção x
O tipo de acabamento dos painéis metálicos testados pode ser alterado através do
ajuste de rotação da ferramenta de escovação. A Figura 59 mostra a comparação entre os
corpos de prova antes e depois da escovação, este ensaio foi realizado com a rotação número
5, numa gama de possibilidades de 1 a 7 oferecidas pela ferramenta de escovação.
Tempo (s)
0 10 20 30 40 50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Trajetória dessjada
Trajetória realizada
Posição (m)
Erro (m)
Tempo (s)
0
10
20
30
40
50
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
77
Figura 58: Erro de velocidade durante a movimentação na direção x
Segundo Schneider (2006), foram comparados os corpos de prova ensaiados com
o catalogo técnico da Acesita, é possível afirmarmos que conseguimos chegar aos tipos de
acabamento ofertados pelo fabricante da chapa de aço inoxidável.
Figura 59: Comparação entre os corpos de prova antes e depois da escovação
0 10 20 30 40 50
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Capítulo 5 – Resultados Experimentais
78
5.6 Discussões
Neste capítulo foram apresentados os resultados dos testes de bancada realizados
para validar experimentalmente o desenvolvimento teórico apresentado no capítulo 4. Nestes
testes foram utilizadas as trajetórias senoidal e polinomial para testar o desempenho do
controle proposto em tarefas de seguimento de trajetória e testes de posicionamento.
A aplicação do controle clássico linear proporcional serviu como base
comparativa para a estratégia de controle proposta e também para demonstrar as limitações
causadas pela não linearidade de zona morta da servoválvula e a necessidade de sua
compensação e também.
Os resultados mostram a importância da compensação da zona morta da
servoválvula de controle direcional pois os erros e atrasos causados por esta não linearidade
são significativos. O esquema de compensação da zona morta, apresentado, foi testado e
possibilitou melhor desempenho do controlador.
O controle proposto mostrou-se eficiente para objetivos estabelecidos. Pode se
verificar a dificuldade de compatibilizar o ajustar os ganhos nos trechos de baixa velocidade e
testes de parada, com os trechos de maior velocidade. Os erros de seguimento restantes
ocorrem devido a algumas não linearidades ainda não modeladas tais como o atrito e a vazão
mássica de ar através da servoválvula.
A aplicação da metodologia de controle proposta ao robô cartesiano acionado
pneumaticamente, mostrou-se eficiente para as tarefas propostas viabilizando a obtenção de
resultados importantes, no que se refere à qualidade do acabamento dos painéis escovados.
Esta aplicação obteve bons resultados pois, juntamente com o planejamento adequado das
trajetórias, o controle proposto apresenta melhores resultados nos trechos de deslocamento e
possibilita o controle de velocidade, principal fator para se obter o acabamento desejado
através da escovação dos painéis metálicos.
6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS
Esta dissertação de mestrado trata da modelagem matemática e controle de um
atuador pneumático.
Desenvolveu-se a sistematização dos modelos matemáticos encontrados na
literatura nacional e internacional que descrevem a dinâmica do atuador pneumático.
Adaptou-se um modelo não linear de 3ª ordem que facilitou o entendimento da estratégia de
controle aplicada na síntese e na análise da estabilidade.
O projeto do controlador foi desenvolvido através da teoria de Lyapunov e sua
prova de estabilidade foi demonstrada para as condições estabelecidas por Rafikov e
Balthazar (2005).
A identificação dos parâmetros da não linearidade de zona morta da servoválvula
através da análise das pressões nos orifícios de saída, juntamente com a aplicação do esquema
de compensação através da inversa fixa de seu modelo parametrizado, mostrou-se bastante
eficiente. A partir da análise dos resultados, conclui-se a compensação da zona morta é muito
importante e deve ser feita para minimizar os erros de seguimento de trajetória e para que não
haja degradação no desempenho do controlador.
O controlador proposto mostrou-se robusto, pois mesmo baseado em um modelo
muito simples forneceu resultados satisfatórios nas trajetórias senoidal e polinomial. Nota-se
uma perda do desempenho deste controlador nas inversões de movimento, nas partidas e em
velocidades maiores que 0,1 m/s, o que leva a conclusão de que esta dificuldade é decorrente
do modelo adotado que captura parte da dinâmica do atrito, embutido no fator de
amortecimento
ξ
.
Foi testada uma aplicação da pesquisa no controle de um grau de liberdade do
robô cartesiano acionado pneumaticamente obtendo-se resultados satisfatórios para os
objetivos propostos, uma vez que para esta aplicação não é exigido desempenho de grande
precisão do controlador.
Sugere-se como continuidade deste trabalho, a adoção de um modelo matemático
que inclua a dinâmica do atrito e o desenvolvimento da estratégia de controle proposta a partir
deste modelo.
Nota-se que a aplicação de controle híbrido com a mudança das matrizes de
ganhos nos trechos de partidas e nos testes de parada, onde ocorre baixa velocidade, para um
Capítulo 6 – Conclusões e Perspectivas Futuras
80
trecho com maior velocidade, poderia otimizar os resultados no desempenho do controlador.
Porém não houve oportunidade de testar esta estratégia e incluí-la na prova de estabilidade.
Prevê-se a continuação desta pesquisa em futuros trabalhos aplicados no
desenvolvimento de inovações na mecanização agrícola e em tarefas industriais insalubres.
Na mecanização agrícola houve o interesse de desenvolvimento de um servoposicionador
pneumático para nivelamento do sistema de limpeza de colheitadeiras de grãos, onde busca-se
minimizar as perdas causadas pelo sistema de limpeza utilizado.
Na industria tem-se o desafio de aplicação em robôs pneumáticos para tarefas de
soldagem de corte a plasma, o que requer o controle preciso e provavelmente o
desenvolvimento da estratégia de controle proposta a partir de modelos matemáticos mais
elaborados que incluam a dinâmica do atrito.
81
7 REFERÊNCIAS
Andrighetto, P. L.; Valdiero, A.C.; Vincensy, C. N., “Experimental Comparisons of the
Control sSolutions for Pneumatic Servo Actuators”, Proceedings of the 17th Brazilian
Congress of Mechanical Engineering (COBEM), 2003.
Andrighetto, P. L.; Valdiero, A.C.; Bavaresco, D., “Dead Zone Compensation in Pneumatic
Servo Systems”. In: 19th International Congress of Mechanical Engineering (COBEM) 2007.
Brasília, Brasil. (Submetido para publicação).
Bavaresco, D.; Valdiero, A.C.; Rafaikov, M.; Andrighetto, P. L., “Estudo do Comportamento
Dinâmico de um Atuador Pneumático”, In: Congresso Nacional de Engenharia Mecânica
(CONEM), 2006.
Bavaresco, D.; Valdiero, A.C.; Rafikov, M; and Andrighetto, P.L.; 2006, “Controle Ótimo
Linear Feedback de um Atuador Pneumático”, Proceedings of the Brazilian Conference on
Dynamics, Control and Their Applications (DINCON 2006), Guaratinguetá/SP, Brazil.
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Actuated, Force Controllable Robot”, in IEEE Trans. on Robotics and Automation, Vol. 14,
No. 5, October 1998, pp. 732-742.
Canudas de Wit, C.; Olsson, H.; Astom, K. J.; Lischinski, P., “A New Model for Control
Systems with Friction”. IEEE Trans. On Automatic Control, Vol. 40, Nº 3, pp.419-425, março
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Fract. 8 (1997) 1461-1470.
82
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Federal de Santa Catarina, Brazil, 2003.
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Doutorado), IMECC – UNICAMP, Campinas. (1993).
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Kawamura, S.; Miyata, Hanafusa, K. H.; Isida, K. "PI type hierarchical feed-back control
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83
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Ogata, K., “Engenharia de Controle Moderno”. Prentice Hall do Brasil LTDA., Rio de
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2005 and Computers and Information in Engineering Conference Long Beach, California,
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180, published by Fluid Power Net Publications, Cracóvia, Polônia, 2000.
Schmid, A. B., “Controle ótimo de sistemas populacionais que exibem caos”. 2004.
Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) UNIJUI, Ijuí.
84
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para Acabamento de Painéis” Trabalho de conclusão de curso, Departamento de Tecnologia,
UNIJUI Brazil, 2006.
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Modelagem Matemática) UNIJUI, Ijuí.
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Engineering (COBEM 2005). November, 2005.
Vieira, A. D. “Análise Teórico Experimental de um Servoposicionador Pneumático”,
Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de
Santa Catarina, Brazil, 1998.
APÊNDICE A
Segue a baixo a rotina do MatLab contendo os dados utilizados nas simulações
numéricas do modelo matemático adotado.
APÊNDICE B
Segue a baixo a rotina do MatLab contendo os dados utilizados nas simulações
numéricas do controle proposto.
APÊNDICE C
Para obtenção da Matriz G da equação (4.40)
d
y Ay G( y, y )y Bu
= + +
, (*)
parte-se das equações (2.16)
1 2
2 3
2 2
3 n 2 n 3 q n T
y y
y y
y y 2 y K U
ω ξω ω
=
=
= − − +
e (2.19)
4 3 2
n 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A y B y C y D y E
ω
= + + + +
.
Em seguida escreve-se na forma de desvios:
1 2
2 3
2
3 n 2 n 3
y y
y y
y y 2 y U
ω ξω
=
=
= − − +
(**)
Para separar a parte linear da parte não-linear do sistema, do desenvolvimento de
2
n 2
y
ω
−
observa-se que o único termo linear é
2
1 2
E y
− e do desenvolvimento de
n 3
2 y
ξω
−
o
único termo linear é
1 3
2 E y
ξ
−
.
Em seguida escreve-se a equação (**) na forma (*) separando-se a parte linear da
parte não linear.
1
1 1 1
2 2 2 2
2
1 1 1 2
3 3 3
3
y
y y B
0 1 0 0 0 0
y 0 0 1 y 0 0 0 y B U
0 E 2 E 0 f 2 c f
y y B
y
ξ
= + +
− − − −
onde
8 7 1 6 1 5 1 2 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
f = A y + 2A B y + (2A C +B )y + (2B C +2A D )y +
(2A E + 2B D + C )y +
+ (2B E + 2C D )y + 2C E y + 2D E y
e
4 3 2
2 1 1 1 1 1 1 1 1
f A y B y C y D y
= + + +
APÊNDICE D
Segue a baixo a rotina do MatLab utilizada para geração dos gráficos dos
resultados experimentais.
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