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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL
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ANDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA EL
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ETRICA
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OS-GRADUA¸C
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AO EM ENGENHARIA EL
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TESE DE DOUTORADO
ESTRESSE ELETROMEC
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ANICO EM
TRANSFORMADORES CAUSADO POR
CURTOS-CIRCUITOS “PASSANTES” E
CORRENTES DE ENERGIZA¸C
˜
AO
Ana Claudia de Azevedo
Fevereiro
2007
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL
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ANDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA EL
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OS-GRADUA¸C
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AO EM ENGENHARIA EL
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ESTRESSE ELETROMEC
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ANICO EM
TRANSFORMADORES CAUSADO POR
CURTOS-CIRCUITOS “PASSANTES” E CORRENTES DE
ENERGIZA¸C
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AO
Ana Claudia de Azevedo
Tese de doutorado apresentada `a Uni-
versidade Federal de Uberlˆandia, p or
Ana Claudia de Azevedo, como parte
dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao
do t´ıtulo de Doutora em Ciˆencias.
Banca examinadora:
Antˆonio Carlos Delaiba, Dr - Orientador (UFU)
Dam´asio Fernandes J´unior, Dr (UFCG)
Jos´e Carlos de Oliveira, Dr (UFU)
Jos´e Roberto Cardoso, Dr (USP)
Marcelo Lynce Ribeiro Chaves, Dr (UFU)
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“O Senhor ´e o meu pastor e nada me faltar´a. Deita-me em verdes
pastos e guia-me mansamente em ´aguas tranq
¨
uilas.
Refrigera a minha alma, guia-me pelas veredas da justi¸ca, por amor
do seu nome.
Ainda que eu ande pelo vale da sombra da morte,
N˜ao temerei mal algum, porque Tu est´as comigo,
A Tua vara e o Teu cajado me consolam. Prepara-me uma mesa perante
os meus inimigos,
Unges a minha cabe¸ca com ´oleo, o meu c´alice transborda. Certamente
que a bondade e a miseric´ordia me seguir˜ao todos os
dias da minha vida
E habitarei na casa do SENHOR por longos dias.”
Salmo 23
Agradecimentos
Chega ao fim mais esta importante etapa de minha vida profissional. Agrade¸co a
todos aqueles que de forma direta ou indireta contribu´ıram para o sucesso alcan¸cado,
que se concretiza com esta defesa de doutorado.
Meu reconhecimento a Universidade Federal de Uberlˆandia, aos professores, t´ecni-
cos e colegas FEELT, pela colabora¸c˜ao ao longo desses anos todos.
Meus agradecimentos, de maneira muito especial ao professor Antˆonio Carlos De-
laiba, meu orientador, pela amizade, confian¸ca e incentivos recebidos. Ao professor
Jos´e carlos de Oliveira, presente nos momentos de necessidade.
Ao professor Bismarck Castillo Carvalho pelo incentivo e pelas discuss˜oes produ-
tivas que culminaram no desenvolvimento deste trabalho. Ao colega Fernando Nunes
Belchior, atualmente professor da Universidade Federal de Engenharia de Itajub´a, pelo
companheirismo e ajuda prestada, particularmente para resolver problemas com os
equipamentos de inform´atica.
Ao colega
´
Elvio Prado da Silva, pelo incentivo para utilizar o Latex para a confec¸c˜ao
da tese e aux´ılio em conhecer este processador de texto.
A senhora Marli Junqueira Buzzi, pela presteza e aten¸c˜ao, sempre que solicitada,
em todos os assuntos vinculados ao programa de P´os-Gradua¸c˜ao.
iii
iv
Resumo
Azevedo, Ana C. Estresse Eletromecˆanico em Transformadores Causado
por Curtos-Circuitos “Passantes” e Correntes de Energiza¸c˜ao, FEELT-
UFU, Uberlˆandia, 2007, 158 p´aginas.
Transformadores de potˆencia s˜ao dispositivos fundamentais para a opera¸c˜ao de sis-
temas de potˆencia e tˆem um peso significativo no custo total de uma instala¸c˜ao. Al´em
dos custos de manuten¸c˜ao e substitui¸c˜ao, as falhas nos transformadores devem ser
levadas em considera¸c˜ao, no sentido de manter tanto a continuidade do fornecimento
de energia como os padr˜oes m´ınimos de qualidade estabelecidos para o insumo ener-
gia el´etrico, aliado ao equil´ıbrio financeiro das empresas. Estudos realizados por con-
cession´arias de diversos pa´ıses deixam evidentes os enormes preju´ızos financeiros das
empresas do setor el´etrico, devido `as falhas mecˆanicas em transformadores. Defeitos
provocados pelos esfor¸cos mecˆanicos decorrentes de correntes de curtos-circuitos pas-
santes e correntes de inrush se constituem como importantes causadores de falhas em
transformadores. Os esfor¸cos adicionais causados nos condutores/bobinas de trans-
formadores, devido ao acr´escimo das for¸cas eletromagn´eticas resultantes, podem, em
alguns casos, vir a reduzir a vida ´util de transformadores ou at´e mesmo provocar a
sua perda total. A investiga¸c˜ao dos efeitos danosos causados pelos fenˆomenos men-
cionados, portanto, torna-se imperativa. Nessa perspectiva, a presente tese tem por
objetivo investigar as for¸cas eletromagn´eticas e o estresse mecˆanico resultantes de cor-
rentes de curtos-circuitos passantes e correntes de energiza¸c˜ao que se estabelecem no
interior de transformadores. Para alcan¸car tal prop´osito, ´e empregada uma modelagem
computacional no dom´ınio do tempo baseada em for¸cas magnetomotrizes e relutˆancias
magn´eticas. Este modelo permite simula¸c˜oes de fenˆomenos de regime transit´orio e per-
manente, al´em de possibilitar o acesso `as grandezas el´etricas, magn´eticas e mecˆanicas.
A metodologia ´e aplicada a dois modelos de transformadores operando em condi¸c˜oes
nominais e em curto-circuito. Devido `as dificuldades de se encontrar publica¸c˜oes que
contenham valores de referˆencia para validar a metodologia proposta, os resultados
s˜ao comparados aos correspondentes obtidos de um tradicional e bem aceito pacote do
M´etodo dos Elementos Finitos. Os resultados oriundos das simula¸c˜oes s˜ao avaliados
em termos do grau de impacto que ´e provocado nas grandezas utilizadas para aferir os
esfor¸cos mecˆanicos a que fica submetido um transformador, quando de sua energiza¸c˜ao
ou na ocorrˆencia de curtos-circuitos passantes. A partir dos esfor¸cos mecˆanicos deter-
minados ´e apresentada uma proposta de metodologia que estabelece uma correla¸c˜ao
entre os fenˆomenos aqui estudados e o impacto sobre a vida ´util de transformadores,
que pode auxiliar, de maneira preditiva, na redu¸c˜ao do n´umero de falhas inesperadas
e, em conseq
¨
uˆencia, nos preju´ızos financeiros decorrentes.
Palavras-chave
For¸cas eletromagn´eticas, estresse mecˆanico, m´etodo dos elementos finitos, correntes
de curto-circuito, modelagem de transformadores, dom´ınio do tempo.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
v
Abstract
Azevedo, Ana C. Electromechanical Stresses in Transformers Caused by
Through-Fault and Inrush Currents, FEELT-UFU, Uberlˆandia, 2007, 158
pages.
Power transformers are quite costly and essential to provide reliable electrical power
system operation. Besides their maintenance or substitution costs, transformer failures
must be taken into account, since its will have a large impact on the utility financial
health due to the temporary loss of power delivery capability. Concerning transformer
failure statistics, investigations carried out in many utilities in the world reveal that
the effect of electromechanical stress caused by short-circuit currents is a relevant cause
of failure in such equipment and they cause onerous financial damage. Failures caused
by mechanical stress due to external short-circuit and due to inrush currents are an
important aspect to be considered. The excessive strength caused in transformer con-
ductors/windings due to electromagnetic forces can reduce the transformer lifetime or
even cause irreversible damages of them. Therefore, the investigation of the harmful
effects caused by transient phenomena becomes imperative. With this in mind, this
work aims at investigating the electromagnetic forces and mechanical stresses due to
external short-circuit and inrush currents inside the transformer. The studies are car-
ried out using a time domain transformer model based on magnetomotive forces and
magnetic reluctances, which allows simulating the transformer transient and steady
state behavior regarding the electric, magnetic and mechanical aspects. The metho-
dology is applied in two transformer models operating under rated and short-circuit
conditions. Due to the lack of mechanical stress experimental values, a comparative
performance analysis is obtained by comparing the simulated results and the well ac-
cepted results from finite element program. The results obtained from simulations
are evaluated through of the impacts provoked in the variables used to analyze the
mechanical stresses which occur in the transformers due to short-circuit and inrush
currents. From the mechanical stress calculated it is presented a methodology that
establishes a correlation between the phenomena here investigated and the impact in
the transformer lifetime. This can assist, previously, in the reduction of the number of
unexpected failures and, consequently, in financial damages.
Keywords
Electromagnetic force, mechanical stress, finite element method, short-circuit cur-
rents, transformer modeling, time-domain.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
Sum´ario
Sum´ario vi
Lista de Figuras ix
Lista de Tabelas xiii
Lista de S´ımbolos xiv
1 Introdu¸c˜ao Geral 1
1.1 Considera¸c˜oes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Contexto da presente tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Estado da arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Contribui¸c˜oes da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Estrutura da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Falhas em Transformadores Submetidos `a Curtos-Circuitos ou Cor-
rentes de Energiza¸c˜ao 16
2.1 Considera¸c˜oes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 An´alise de falhas em transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Condi¸c˜oes de monitoramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Curto-circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Correntes de inrush . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Estimativa da amplitude do primeiro pico da corrente de inrush 28
2.6 T´ecnicas de modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Considera¸c˜oes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 For¸cas Eletromagn´eticas e Estresse Mecˆanico: Abordagem Anal´ıtica 34
3.1 Considera¸c˜oes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 For¸cas eletromagn´eticas em transformadores . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Campos magn´eticos de dispers˜ao em transformadores . . . . . . . . . . 37
3.4 C´alculo anal´ıtico das for¸cas radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 C´alculo anal´ıtico das for¸cas axiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.1 Condi¸c˜ao ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.2 Condi¸c˜ao n˜ao-ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Estresses eletromecˆanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
vi
SUM
´
ARIO vii
3.6.1 Uma revis˜ao das terminologias comumente utilizadas em estudos
de esfor¸cos eletromecˆanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6.2 Falhas devido a for¸cas radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.3 Tipos de falhas devido a for¸cas axiais . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7 Considera¸c˜oes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Avalia¸c˜ao das For¸cas Eletromagn´eticas em Transformadores Causadas
por Curtos-Circuitos Externos Utilizando o MEF 65
4.1 Considera¸c˜oes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Introdu¸c˜ao ao m´etodo dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Estrutura de funcionamento do FEMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Intera¸c˜ao entre grandezas eletromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5 Modelagem de transformadores reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.1 Caracter´ısticas do transformador de 15 kVA . . . . . . . . . . . 74
4.6.2 Caracter´ısticas do transformador de 100 MVA . . . . . . . . . . 84
4.7 S´ıntese dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8 Considera¸c˜oes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 C´alculo de For¸cas Eletromagn´eticas e Estresse Mecˆanico em Trans-
formadores Utilizando T´ecnicas no Dom´ınio do Tempo 96
5.1 Considera¸c˜oes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos . . . . . . 97
5.2.1 Determina¸c˜ao da relutˆancia de dispers˜ao a partir das dimens˜oes
do dispositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.2 C´alculo de for¸cas eletromagn´eticas para implementa¸c˜ao no dom´ınio
do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3 Modelo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 Resultados das simula¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.1 Resultados das simula¸c˜oes do transformador de distribui¸c˜ao . . 109
5.4.2 Resultados das simula¸c˜oes do transformador de potˆencia . . . . 120
5.5 S´ıntese dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6 Considera¸c˜oes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6 Metodologia para Avalia¸c˜ao dos Impactos dos Estresses Mecˆanicos
sobre os Transformadores 133
6.1 Considera¸c˜oes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 Generalidades sobre resistˆencia mecˆanica de
transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3 Proposta de metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4 Aplica¸c˜ao da metodologia para a avalia¸c˜ao do estresse mecˆanico . . . . 138
6.4.1 Quanto aos aspectos el´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.4.2 Quanto aos aspectos mecˆanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.5 An´alise dos estresses provocados pelas correntes de inrush . . . . . . . 143
6.6 T´ecnicas para detec¸c˜ao do movimento dos enrolamentos . . . . . . . . . 145
6.7 Softwares de diagn´osticos e sistemas inteligentes . . . . . . . . . . . . . 146
6.8 Considera¸c˜oes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
Lista de Figuras
2.1 Curva de falhas em transformador “bathtub”. . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Gr´afico de custos em rela¸c˜ao ao n´umero de falhas. . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Corrente de curto-circuito de uma falta completamente assim´etrica. . . 25
2.4 Varia¸c˜ao da for¸ca com o tempo durante uma falta assim´etrica. . . . . . 26
3.1 Campos de dispers˜ao e for¸cas axiais e radiais. . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Densidade de campo magn´etico t´ıpico de um transformador a vazio. . . 38
3.3 Correntes instantˆaneas nos enrolamentos intenro e externo. . . . . . . . 39
3.4 Campo magn´etico devido a corrente nos enrolamentos. . . . . . . . . . 40
3.5 Se¸c˜ao transversal de um lado do transformador mostrando as for¸cas ra-
diais nos enrolamentos e a distribui¸c˜ao da densidade de fluxo axial. . . 43
3.6 Estresse de tra¸c˜ao e de compress˜ao nos enrolamentos concˆentricos. . . 45
3.7 M´etodo para c´alculo de estresse de tra¸c˜ao m´edio. . . . . . . . . . . . . . 45
3.8 Distribui¸c˜ao de fluxo radial e de for¸ca axial em enrolamentos concˆentri-
cos iguais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9 For¸cas axiais nos enrolamentos magneticamente balanceados: F
1
=F
2
. . 49
3.10 For¸cas axiais nos enrolamentos com deslocamento axial: F
1
<F
2
. . . . . 50
3.11 Se¸c˜ao transversal de um lado do transformador mostrando as for¸cas axi-
ais nos enrolamentos e a distribui¸c˜ao de densidade de fluxo de dispers˜ao
radial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.12 Determina¸c˜ao do diagrama de amp`ere-espiras residuais para enrolamento
com deriva¸c˜ao em uma extremidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.13 M´etodo para determina¸c˜ao da carga que causar´a deforma¸c˜ao. . . . . . . 55
3.14 Carga de prova do cobre para v´arios n´ıveis de “dureza”. . . . . . . . . . 56
3.15 a) Ilustra¸c˜ao dos espa¸cadores axiais e outros componentes do transfor-
mador e b) Deforma¸c˜ao for¸cada (“forced buckling”) no enrolamento
interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.16 Deforma¸c˜ao “livre” no enrolamento interno: Free buckling. . . . . . . . 59
3.17 Inclina¸c˜ao dos condutores entre espa¸cadores radiais - vista lateral (Ben-
ding). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.18 Inclina¸c˜ao de condutores devido a for¸cas axiais - se¸c˜ao transversal. . . . 62
4.1 Vista superior do transformador trif´asico (dimens˜oes em mm). . . . . . 75
4.2 Vistas frontal e lateral do n´ucleo do transformador utilizado. . . . . . . 75
4.3 Caracter´ısticas de magnetiza¸c˜ao da chapa de a¸co sil´ıcio do transformador. 76
4.4 Malha de elementos finitos bidimensional do transformador de 15 kVA. 77
4.5 Curva de magnetiza¸c˜ao do transformador sob estudo. . . . . . . . . . . 78
4.6 Densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo: condi¸c˜ao nominal. . . . . . . 78
ix
LISTA DE FIGURAS x
4.7 Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao em fun¸c˜ao da altura do en-
rolamento: condi¸c˜ao nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.8 For¸cas axial e radial no enrolamento externo: condi¸c˜ao nominal. . . . . 80
4.9 For¸cas axial e radial no enrolamento interno: condi¸c˜ao nominal. . . . . 80
4.10 Densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo do transformador: curto-circuito. 81
4.11 Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao em fun¸c˜ao da altura do en-
rolamento: curto-circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.12 For¸cas axial e radial no enrolamento externo: curto-circuito. . . . . . . 82
4.13 For¸cas axial e radial no enrolamento interno: curto-circuito. . . . . . . 82
4.14 Densidade de fluxo magn´etico para transformador com tap’s central. . . 83
4.15 Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao em fun¸c˜ao da altura do en-
rolamento com tap’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.16 For¸cas radial e axial no enrolamento externo com tap’s. . . . . . . . . . 84
4.17 For¸cas radial e axial no enrolamento interno com tap’s. . . . . . . . . . 84
4.18 Disposi¸c˜ao dos enrolamentos do transformador de potˆencia utilizado nas
simula¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.19 Dimens˜oes do n´ucleo trif´asico do transformador. . . . . . . . . . . . . . 86
4.20 Curva de magnetiza¸c˜ao da chapa de a¸co E004. . . . . . . . . . . . . . . 86
4.21 Malha de elementos finitos bidimensional do transformador de 100 MVA. 87
4.22 Curva de magnetiza¸c˜ao do transformador de potˆencia obtida no FEMM. 88
4.23 Densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo: condi¸c˜ao nominal. . . . . . . 88
4.24 Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos 1 e 2:
condi¸c˜ao nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.25 For¸cas axial e radial no enrolamento 2 da AT: condi¸c˜ao nominal. . . . 90
4.26 For¸cas axial e radial no enrolamento 1 da BT: condi¸c˜ao nominal. . . . 90
4.27 Densidade de fluxo magn´etico: curto-circuito. . . . . . . . . . . . . . . 91
4.28 Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos 1 e 2:
curto-circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.29 For¸cas axial e radial no enrolamento externo: curto-circuito. . . . . . . 92
4.30 For¸cas axial e radial no enrolamento interno: curto-circuito. . . . . . . 92
5.1 Diagrama esquem´atico equivalente do template wind.sin. . . . . . . . . 97
5.2 Diagrama esquem´atico equivalente do template core.sin. . . . . . . . . . 99
5.3 Enrolamentos concˆentricos utilizados no c´alculo da ´area de dispers˜ao. . 101
5.4 Vista superior de uma coluna do transformador . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 Vista frontal de uma coluna do transformador . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 Segmento elementar de condutor percorrido por uma corrente I. . . . . 103
5.7 Modelo computacional implementado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.8 Conex˜ao dos templates para c´alculo dos esfor¸cos. . . . . . . . . . . . . . 107
5.9 Distribui¸c˜ao de fluxo no interior de um transformador trif´asico. . . . . 109
5.10 Modelo eletromagn´etico do transformador trif´asico de trˆes colunas e dois
enrolamentos concˆentricos por fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.11 Tens˜oes trif´asicas aplicadas ao transformador de 15 kVA. . . . . . . . . 111
5.12 Correntes trif´asicas em regime permanente: condi¸c˜ao nominal. . . . . . 112
5.13 Densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo: condi¸c˜ao nominal. . . . . . . 112
5.14 Ciclo de histerese da fase R, para o material do n´ucleo (V
F N
= 127V):
condi¸c˜ao nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.15 Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos: carga
nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
LISTA DE FIGURAS xi
5.16 For¸cas radiais nos enrolamentos da fase R: carga nominal. . . . . . . . 114
5.17 For¸cas radiais nos enrolamentos da fase S: carga nominal. . . . . . . . 114
5.18 For¸cas radiais nos enrolamentos da fase T: carga nominal. . . . . . . . 114
5.19 Tens˜oes nas trˆes fases do transformador: curto-circuito trif´asico. . . . . 115
5.20 Correntes nas trˆes fases da AT: curto-circuito trif´asico. . . . . . . . . . 116
5.21 Correntes nas trˆes fases da BT: curto-circuito trif´asico. . . . . . . . . . 116
5.22 Densidade de fluxo de dispers˜ao entre os enrolamentos: curto-circuito
trif´asico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.23 For¸cas radiais nos enrolamentos concˆentricos na fase R: curto-circuito. 117
5.24 For¸cas radiais nos enrolamentos concˆentricos na fase S: curto-circuito. 118
5.25 For¸cas radiais nos enrolamentos concˆentricos na fase T: curto-circuito. 118
5.26 Estresses eletromecˆanicos nos enrolamentos da AT e BT do transfor-
mador de 15 kVA: curto-circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.27 Correntes trif´asicas resultantes da energiza¸c˜ao do transformador. . . . 119
5.28 Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao durante o regime transit´orio
de energiza¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.29 Modelo equivalente do transformador de 100 MVA. . . . . . . . . . . . 120
5.30 Formas de onda das correntes trif´asicas da AT: condi¸c˜ao nominal. . . . 122
5.31 Formas de onda das correntes trif´asicas da BT: condi¸c˜ao nominal. . . . 122
5.32 Densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo: condi¸c˜ao nominal. . . . . . . 122
5.33 Ciclo de histerese na fase R para o material do n´ucleo: condi¸c˜ao nominal.122
5.34 Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos: condi¸c˜ao
nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.35 For¸cas radiais nos enrolamentos 2 da AT e 1 da BT: condi¸c˜ao nominal. 123
5.36 Formas de onda das correntes trif´asicas na BT: curto-circuito. . . . . . 124
5.37 Formas de onda das correntes trif´asicas na AT: curto-circuito. . . . . . 124
5.38 Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos con-
cˆentricos: curto-circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.39 For¸cas radiais nos enrolamentos 2 da AT e 1 da BT: curto-circuito. . . 125
5.40 Estresses eletromecˆanicos nos enrolamentos da AT e BT do transfor-
mador de 100 MVA: curto-circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.41 Correntes de inrush das fases R, S e T durante os primeiros 500ms de
simula¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.42 Campos magn´eticos de dispers˜ao durante o regime transit´orio de ener-
giza¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.43 For¸cas oriundas da corrente de energiza¸c˜ao no enrolamento 2 das fases
R, S e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.44 Estresse de tra¸c˜ao produzido pelas correntes de inrush no transformador
de 100 MVA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.1 Metodologia para an´alise t´ecnica da ocorrˆencia de danos no transformador.136
6.2 Estresse de tra¸c˜ao radial para o transformador de 15 kVA comparado
aos estresses de escoamento e estresse admiss´ıvel: curto-circuito. . . . . 141
6.3 Estresse de tra¸c˜ao radial m´aximo para o transformador de 100 MVA
comparado aos estresses de escoamento e estresse admiss´ıvel (BT): curto-
circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4 Estresse de tra¸c˜ao radial para o transformador de 100 MVA comparado
aos estresses de escoamento e estresse admiss´ıvel (AT): curto-circuito. . 142
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
Lista de Tabelas
2.1 Causas t´ıpicas de falhas em transformadores. . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Custos de falhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Percentual de faltas para falhas em transformadores de potˆencia. . . . . 20
2.4 Diagn´osticos de avarias de falhas em transformadores de distribui¸c˜ao. . 21
4.1 Estudos computacionais - FEMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Caracter´ısticas do transformador trif´asico de 15 kVA . . . . . . . . . . 74
4.3 Pontos espec´ıficos da curva B-H da figura 4.3 . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Caracter´ısticas do transformador trif´asico de 100 MVA . . . . . . . . . 85
4.5 Pontos espec´ıficos da curva de magnetiza¸c˜ao da figura 4.20 . . . . . . . 87
4.6 S´ıntese dos resultados obtidos para o transformador de 15 kVA . . . . . 92
4.7 S´ıntese dos resultados obtidos para o transformador de 100 MVA . . . . 92
4.8 Compara¸c˜ao entre as simula¸c˜oes e c´alculos anal´ıticos: condi¸c˜ao nominal
e curto-circuito: transformador de 15 kVA . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.9 Compara¸c˜ao entre as simula¸c˜oes e c´alculos anal´ıticos: condi¸c˜ao nominal
e curto-circuito: transformador de 100 MVA . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1 Estudos computacionais - Dom´ınio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Compara¸c˜ao entre as simula¸c˜oes da condi¸c˜ao nominal e curto-circuito:
transformador de 15 kVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3 Compara¸c˜ao entre as simula¸c˜oes da condi¸c˜ao nominal e curto-circuito:
transformador de 100 MVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 S´ıntese dos resultados do caso C (inrush): transformador de 15 kVA e
100 MVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5 S´ıntese dos resultados dos estresses de tra¸c˜ao radial: transformador de
15 kVA e 100 MVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
xiii
Lista de S´ımbolos
I
cc
- valor de pico da corrente de curto-circuito [A]
k - fator de assimetria
S
n
- potˆencia nominal de sa´ıda do transformador [MVA]
V - tens˜ao nominal fase-fase [V]
Z - impedˆancia por unidade do transformador
i
0 max
- pico da corrente de inrush
H - intensidade de campo magn´etico
n - n´umero de espiras do enrolamento energizado
h
w
- altura do enrolamento energizado
−→
f - densidade volum´etrica de for¸ca magn´etica (N/ m
3
)
−→
J - densidade superficial de corrente (A/m
2
)
B
r
- densidade de fluxo magn´etico na dire¸c˜ao radial [T]
B
a
- densidade de fluxo magn´etico na dire¸c˜ao axial [T]
F
r
- for¸ca radial [N]
F
a
- for¸ca axial [N]
phi - fluxo magn´etico [wb]
n - n´umero de espiras
I
n
- corrente nominal [A]
D
m
- diˆametro m´edio do enrolamento [m]
h - altura do enrolamento [m]
F
rmed
- for¸ca radial m´edia [N]
S - ´area da se¸c˜ao transversal [m]
I
max
- valor de pico da corrente [A]
σ
medio
- estresse m´edio [N/m
2
]
R
cc
- resistˆencia em corrente cont´ınua [Ω]
ρ - resistividade do condutor na temperatura de 75
o
C [Ω.m]
d
0
- espa¸co entre os enrolamentos [m]
d
1
e d
2
- espessura radial dos enrolamentos concˆentricos [m]
h
eff
- comprimento efetivo do caminho de fluxo radial [m]
a - comprimento m´edio da deriva¸c˜ao
σ - tra¸c˜ao (ou estresse) aplicada [N/m
2
]
ε - deforma¸c˜ao resultante
σ
crit
- valor do estresse cr´ıtico [N/m
2
]
E - m´odulo de elasticidade do material [N/m
2
]
e - espessura do condutor [m]
R - raio do enrolamento [m]
k - constante para espessura equivalente
D - diˆametro do enrolamento [m]
N - n´umero de suportes axiais
xiv
Lista de S´ımbolos xv
−→
A - potencial vetor magn´etico[wb.m
−1
]
−→
J
d
- densidade de corrente de deslocamento
σ - condutividade el´etrica do material [S.m
−1
]
−→
∇x
−→
A - rotacional de
−→
A
−→
∇V - gradiente do potencial el´etrico
V - potencial el´etrico
ρ
v
- densidade volum´etrica de carga
−→
E - vetor campo el´etrico
−→
F - for¸ca magn´etica total
dV - elemento de volume diferencial
−→
dF - elemento diferencial de for¸ca
−→
u - versor unit´ario `a superf´ıcie
ep, em - terminais el´etricos, positivo (ep) e negativo(em)
mp, mm - terminais magn´eticos, positivo (mp) e negativo (mm)
r - resistˆencia el´etrica [Ω.m]
φ - fluxo magn´etico [wb]
i - corrente instantˆanea [A]
v - tens˜ao instantˆanea [V]
Fmm - for¸ca magnetomotriz [A-espira]
- relutˆancia do n ´ucleo magn´etico [A − espira/wb]
p, m - pinos magn´eticos
l - comprimento do n´ucleo magn´etico [m]
µ: permeabilidade do material do n´ucleo magn´etico [H/m]
µ
0
- permeabilidade magn´etica do v´acuo [H/m]
µ
r
- permeabilidade magn´etica relativa do material do n ´ucleo
S
disp
- ´area do espa¸co os entre enrolamentos de uma mesma fase [m
2
]
l
m
- Comprimento m´edio de circunferˆencia dos enrolamentos [m]
S
AR
:
´
Area efetiva ou equivalente do espa¸co de ar entre o n´ucleo ferromagn´etico e o
enrolamento interno [m
2
]
S
c
-
´
Area aparente da coluna [m
2
]
dibi - Diˆametro interno da bobina interna [m]
dibe - Diˆametro interno da bobina externa [m]
debi - Diˆametro externo da bobina interna [m]
debe - Diˆametro externo da bobina externa [m]
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao Geral
1.1 Considera¸c˜oes iniciais
Transformadores s˜ao equipamentos essenciais para o funcionamento de sistemas
el´etricos de potˆencia. S˜ao dispositivos de custo significativo, comparativamente aos
custos totais de uma instala¸c˜ao. Os procedimentos para sua substitui¸c˜ao ou reparo
s˜ao igualmente onerosos para a empresa propriet´aria. Neste particular, al´em dos cus-
tos de manuten¸c˜ao/reparo ou substitui¸c˜ao, devem ser levados em considera¸c˜ao outros
aspectos que, em decorrˆencia da falha de um equipamento, tamb´em tˆem impacto so-
bre a sa´ude financeira da empresa. Focando as empresas concession´arias de energia,
de um lado, a perda de transformadores ocasiona a redu¸c˜ao da receita pela energia
n˜ao “vendida”, devido `a interrup¸c˜ao do fornecimento de energia el´etrica e de outro,
`a possibilidade de sofrer penalidades, tamb´em com implica¸c˜oes financeiras, por parte
dos ´org˜aos reguladores do setor el´etrico, por descumprimento dos ´ındices m´ınimos de
desempenho estabelecidos. Em vista disso, a prote¸c˜ao adequada, principalmente dos
grandes transformadores, contra eventuais falhas ´e uma tarefa que merece aten¸c˜ao
especial, constituindo-se numa das mais desafiadoras tarefas da ´area de prote¸c˜ao [1].
Apesar da importˆancia incontest´avel deste tipo de dispositivo para a opera¸c˜ao dos
sistemas el´etricos e a grande quantidade de bibliografia e estudos encontrados sobre
transformadores, p ouco h´a sobre os efeitos dos esfor¸cos mecˆanicos decorrentes de ele-
vadas correntes transit´orias, sejam de correntes de energiza¸c˜ao ou devido a faltas nos
sistemas el´etricos. Por outro lado, estudos realizados com concession´arias de diver-
1
1.2 Contexto da presente tese 2
sos pa´ıses [2], deixam evidente os enormes preju´ızos financeiros de empresas do setor
el´etrico, devido a falhas mecˆanicas de transformadores. Dentre as causas destacam-se,
justamente os esfor¸cos mecˆanicos, ou estresse, verificados nas estruturas internas dos
dispositivos, em decorrˆencia dos esfor¸cos adicionais provocados pelas correntes tran-
sit´orias de energiza¸c˜ao ou a faltas no sistema de potˆencia a jusante do equipamento.
Estes tipos de fenˆomenos figuram entre as maiores raz˜oes de ocorrˆencia de falhas inter-
nas em transformadores. Dentre os efeitos causados pelas correntes transit´orias, pode-se
citar as vibra¸c˜oes internas, que provocam deteriora¸c˜ao na isola¸c˜ao, fadiga mecˆanica nos
condutores/enrolamentos e danos nas estruturas de sustenta¸c˜ao dos enrolamentos.
1.2 Contexto da presente tese
A interrup¸c˜ao do fornecimento de energia el´etrica, devido a falha em transformado-
res, pode ter causas diversas, de natureza tanto interna quanto externa ao dispositivo,
ou seja, construtiva, ambiental e/ou operacional.
O projeto de transformadores de potˆencia ´e realizado prevendo-se as situa¸c˜oes mais
cr´ıticas a que possam ser submetidos no local destinado para sua instala¸c˜ao, ou seja,
devem ter a capacidade de suportar as solicita¸c˜oes de naturezas diversas a que pos-
sam ser expostos. Um exemplo disto s˜ao as for¸cas dinˆamicas causadas por correntes
transit´orias. Para assegurar a sua integridade f´ısica, na fase de projeto, os crit´erios de
dimensionamento das partes ativas e das estruturas de sustenta¸c˜ao dos transformadores
levam em considera¸c˜ao as mais severas correntes de curto-circuito e os maiores picos
pass´ıveis de ocorrˆencia. Considera-se que, sob tais condi¸c˜oes extremas, estes equipa-
mentos sejam submetidos tamb´em `as for¸cas m´aximas. Apesar do extremo cuidado
observado na fase de projeto destes dispositivos, a pr´atica tem mostrado um n´umero
de ocorrˆencias de falhas significativas, o que se traduz em preju´ızos consider´aveis [2].
As falhas podem ser atribu´ıdas a fatores diversos, dentre os quais destacam-se: pe-
quenos defeitos na fase de montagem, estimativa incorreta/desatualizada das m´aximas
correntes transit´orias, qualidade dos materiais empregados, ferramentas e t´ecnicas de
c´alculo sem a devida precis˜ao, dentre outros.
Outro fator determinante na ocorrˆencia de falhas diz respeito `a deteriora¸c˜ao, ao
longo de sua vida ´util, das caracter´ısticas mecˆanicas e el´etricas, dos materiais utiliza-
dos na fabrica¸c˜ao dos transformadores [3]. Com o envelhecimento, as caracter´ısticas
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.2 Contexto da presente tese 3
internas do transformador tendem a se degradar o que aumenta as possibilidades de
falhas. Adicionalmente ao desgaste natural, a probabilidade de ocorrˆencia de falhas ´e
potencializada por condi¸c˜oes adversas naturais ou de opera¸c˜ao, tais como, descargas
atmosf´ericas, transit´orios de chaveamento, curtos-circuitos, dentre outros. Em outras
palavras, um transformador novo tem melhores condi¸c˜oes, el´etricas e mecˆanicas, para
resistir `as condi¸c˜oes desfavor´aveis mencionadas.
Obviamente, a ado¸c˜ao da manuten¸c˜ao preditiva de transformadores, prote¸c˜ao ade-
quada e, dentro do poss´ıvel, a preven¸c˜ao de ocorrˆencia de falhas e condi¸c˜oes adequadas
de opera¸c˜ao s˜ao quest˜oes de suma imp ortˆancia para as concession´arias de energia
el´etrica e ind´ustrias. Nessa dire¸c˜ao, o monitoramento on-line dos transformadores de
potˆencia seria um grande aliado num programa de preven¸c˜ao de falhas, evitando a ocor-
rˆencia de danos de maiores propor¸c˜oes. Esta quest˜ao, no entanto, encontra limita¸c˜oes
de ordem financeira, pois, a implementa¸c˜ao de m´etodos de monitoramento existentes
implicaria em altos custos para aplica¸c˜ao em transformadores [4].
Uma alternativa `as limita¸c˜oes do monitoramento on-line s˜ao as simula¸c˜oes digitais.
Estas surgem como uma das maneiras mais econˆomicas, convenientes e perfeitamente
vi´aveis para fornecer dados para an´alise dos fenˆomenos transit´orios e dos efeitos destes
sobre a vida dos transformadores. Nas ´ultimas d´ecadas, o cen´ario da investiga¸c˜ao de
fenˆomenos transit´orios tem sido bastante influenciado p elos avan¸cos na tecnologia digi-
tal, estritamente relacionados ao desenvolvimento da eletrˆonica digital, dos computa-
dores, da sofistica¸c˜ao dos equipamentos digitais de medi¸c˜ao e da facilidade para conse-
cu¸c˜ao de tais ferramentas. No que tange aos estudos de dispositivos eletromagn´eticos,
o desenvolvimento de programas capazes de realizar c´alculos complexos, levando em
conta as intera¸c˜oes el´etricas e magn´eticas, bem como, o efeito da satura¸c˜ao, possibilita
uma investiga¸c˜ao mais criteriosa da distribui¸c˜ao de fluxo no interior de equipamentos
e dos efeitos decorrentes dessa distribui¸c˜ao, proporcionando an´alises mais precisas do
desempenho dos dispositivos.
An´alises relacionadas com fenˆomenos transit´orios dependem, quase que exclusiva-
mente de simula¸c˜oes digitais. No entanto, o uso destes recursos para executar estas
investiga¸c˜oes requer modelos eficientes e precisos para todos os dispositivos presentes
no sistema el´etrico. Neste contexto, v´arios pacotes computacionais destinados `a an´alise
de fenˆomenos transit´orios, s˜ao atualmente dispon´ıveis. Adicionalmente, para estudos
como o aqui proposto, os pacotes computacionais devem, ainda, permitir a avalia¸c˜ao
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.3 Estado da arte 4
do desempenho mecˆanico do dispositivo.
Nesse contexto, a pesquisa aqui focada, prop˜oe-se a contribuir no estudo de uma
das poss´ıveis causas de danos f´ısicos em transformadores de potˆencia, valendo-se, para
tanto, da simula¸c˜ao digital. A id´eia fundamental consiste em realizar investiga¸c˜oes
sobre os estresses mecˆanicos causados pelas for¸cas eletromagn´eticas provenientes de
curto-circuito e corrente de energiza¸c˜ao utilizando, para isso, a modelagem e imple-
menta¸c˜ao computacional de transformadores, empregando duas plataformas distintas.
Uma delas utiliza a t´ecnica dos elementos finitos, num pacote computacional dedicado
para este tipo de estudo a qual ´e utilizada para balizar a outra ferramenta que emprega
um pacote computacional, utilizando t´ecnicas no dom´ınio do tempo e permite a simu-
la¸c˜ao de fenˆomenos de regime permanente e transit´orios. Complementando os aspectos
anteriores, c´alculos anal´ıticos para a determina¸c˜ao de grandezas de interesse, tais como
correntes, fluxos magn´eticos, densidades de fluxo magn´etico, for¸cas eletromagn´eticas
e estresse mecˆanico, s˜ao realizados e servem como subs´ıdio para as an´alises compara-
tivas de desempenho dos modelos desenvolvidos, sob o ponto de vista quantitativo e
qualitativo.
A possibilidade de simular os esfor¸cos mecˆanicos adicionais provocados pelas al-
tas correntes de inrush e de curto-circuito permitir˜ao antever um potencial de risco
para um determinado equipamento. Assim ser´a vi´avel a previs˜ao de interrup¸c˜oes do
fornecimento de energia el´etrica. Essa informa¸c˜ao, disponibilizada com antecedˆencia `a
ocorrˆencia do fato, pode ser utilizada como subs´ıdio para a tomada de decis˜oes t´ecni-
cas/gerenciais quanto a melhor oportunidade ou conveniˆencia de se reparar e/ou subs-
tituir um equipamento, preventivamente. Estes estudos pr´evios possibilitar˜ao ainda,
tomadas de decis˜ao, por exemplo, no sentido de minimizar os problemas relacionados
com a perda da capacidade de transmiss˜ao dos concession´arios.
1.3 Estado da arte sobre for¸cas eletromagn´eticas e
estresse mecˆanico em transformadores
A investiga¸c˜ao dos fenˆomenos oriundos de curto-circuito e a energiza¸c˜ao de transfor-
madores pode ser realizada de diferentes maneiras, empregando-se, para tanto, t´ecnicas
diversas. Dentre elas destacam-se os:
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.3 Estado da arte 5
• m´etodos anal´ıticos para o c´alculo das correntes e estimativa das for¸cas;
• m´etodos que se valem de t´ecnicas do M´etodo dos Elementos Finitos;
• m´etodos que empregam t´ecnicas no dom´ınio do tempo;
• m´etodos que fazem uso de sistemas de medi¸c˜ao com capacidade para armazena-
mento/an´alise em tempo real das informa¸c˜oes de interesse.
Ressalta-se que o m´etodo que utiliza sistemas de medi¸c˜ao foge ao escopo desta
proposta de tese, motivo pelo que n˜ao ´e abordado no presente trabalho.
Na seq
¨
uˆencia ´e apresentada uma s´ıntese das publica¸c˜oes consideradas como sendo
de maior relevˆancia e que, de alguma forma, serviram para consubstanciar a realiza¸c˜ao
da pesquisa. De maneira a tornar mais did´atica a apresenta¸c˜ao dos resumos, dentro do
poss´ıvel, procurou-se agrupar as referˆencias por assunto pesquisado.
• Quanto aos curtos-circuitos:
Investiga¸c˜oes referentes a curtos-circuitos e seus efeitos danosos sobre transforma-
dores constitui-se em temas cotidianos para os profissionais do setor h´a muitas d´ecadas.
Por´em, foi a partir dos anos 70 que se verificou um aumento significativo do n´umero de
falhas nestes dispositivos. Tal fato pode ser relacionado a fatores como: aumento das
potˆencias nominais dos transformadores e das capacidades crescentes de curto-circuito
dos sistemas el´etricos [5].
Sobre esse assunto, diversas publica¸c˜oes utilizam das potencialidades do MEF para
desenvolver estudos referentes aos estresses originados pelos curtos-circuitos, seja em
transformadores de potˆencia ou de distribui¸c˜ao. As referˆencias [ 6] e [7] apresentam
o c´alculo das for¸cas eletromagn´eticas devido aos curtos-circuitos utilizando o m´etodo
mencionado. A referˆencia [6] apresenta, ainda, as f´ormulas para c´alculos das for¸cas
eletromagn´eticas axiais e radiais, a partir da express˜ao da densidade de for¸ca e baseado
em express˜oes aproximadas de correntes transit´orias que se manifestam durante curtos-
circuitos trif´asicos. Os resultados das simula¸c˜oes s˜ao comparados com as f´ormulas
utilizadas em c´alculos de projetos convencionais de transformadores, referentes aos
curtos-circuitos trif´asicos. As an´alises realizadas permitiram concluir que as f´ormulas
convencionais utilizadas para se efetuar c´alculos de for¸cas radiais, na fase de projeto,
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.3 Estado da arte 6
podem necessitar de ajustes para os enrolamentos localizados dentro das janelas, de-
vido `a influˆencia do n ´ucleo de ferro.
´
E recomendado no artigo, que a for¸ca axial seja
determinada utilizando m´etodos num´ericos.
A referˆencia [7] faz uso do MEF para efetuar o c´alculo das for¸cas eletromagn´eti-
cas. Para tanto, utiliza como dado de entrada, o valor do primeiro pico da corrente
de curto-circuito trif´asico que circula nos enrolamentos. Os resultados dos testes com-
putacionais mostraram que, as componentes axiais das for¸cas, s˜ao mais intensas nas
extremidades dos enrolamentos e, o deslocamento se d´a na dire¸c˜ao axial. Por outro
lado, as componentes radiais produzem estresses de tra¸c˜ao no enrolamento externo e
estresses de compress˜ao no enrolamento interno.
A referˆencia [8] utiliza o m´etodo conhecido como Finite Elements Analysis (FEA) bi
e tridimensional, para modelar um transformador monof´asico do tipo n´ucleo envolvente.
As an´alises foram efetuadas levando-se em considera¸c˜ao a influˆencia da curvatura dos
enrolamentos, o desalinhamento axial e a localiza¸c˜ao dos tap’s, para verificar o efeito
das for¸cas nessas situa¸c˜oes. A influˆencia exercida pelos efeitos Skin e de proximidade
na distribui¸c˜ao das for¸cas tamb´em foram consideradas. A confronta¸c˜ao dos resultados
obtidos para os modelos 2D e 3D mostraram que existe uma boa correla¸c˜ao para regi˜oes
que podem ser modeladas em 2D. Contudo, o modelo 3D permite que se examine
assimetrias e se calcule for¸cas na regi˜ao dos enrolamentos localizada fora da janela do
n´ucleo, o que n˜ao ´e poss´ıvel em an´alises 2D. N˜ao foi verificada uma grande influˆencia
produzida pelos efeitos Skin e de proximidade na for¸ca total.
Na referˆencia [9] ´e utilizado o m´etodo conhecido como T − Ω melhorado (onde
T representa o potencial vetor el´etrico e Ω ´e o potencial escalar magn´etico). Este
procedimento ´e usado para determinar o campo transit´orio tridimensional das cor-
rentes parasitas e as for¸cas eletromagn´eticas que agem nos enrolamentos de grandes
transformadores. A aplica¸c˜ao desse m´etodo permite que T e Ω sejam determinados
separadamente dentro de regi˜oes condutoras e n˜ao condutoras. A solu¸c˜ao do problema
torna-se exeq
¨
u´ıvel fazendo uso do M´etodo dos Elementos Finitos. As simula¸c˜oes rea-
lizadas no MEF para calcular as densidades de for¸ca axial e radial ao longo da altura
da bobina permitiram concluir que a densidade de for¸ca axial perto das extremidades
dos enrolamentos ´e maior do que aquelas pr´oximas `a regi˜ao central da bobina. Isto
se deve ao efeito da densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao na dire¸c˜ao radial e da
distribui¸c˜ao n˜ao-uniforme de Amp`ere-espiras ao longo dos enrolamentos.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.3 Estado da arte 7
A referˆencia [10] analisa a resistˆencia aos curtos-circuitos de transformadores do tipo
n´ucleo envolvente atrav´es de investiga¸c˜oes da resistˆencia mecˆanica de seus condutores
e das vibra¸c˜oes de suas bobinas. As vibra¸c˜oes das bobinas s˜ao estimadas por meio de
um m´etodo num´erico considerando o movimento do ´oleo e a n˜ao-linearidade da rigidez
do grupo de bobinas. Os resultados foram comparados aos dados obtidos em medi¸c˜oes
realizadas em um transformador modelo, constatando-se que o n´ıvel de esfor¸cos nos
condutores, fornecidos pelos c´alculos num´ericos, ´e apropriado para avaliar a resistˆencia
mecˆanica dos condutores `as for¸cas originadas em decorrˆencia dos curtos-circuitos.
C´alculos dos estresses de curtos-circuitos s˜ao apresentados na referˆencia [11].
´
E
Descrito um m´etodo computacional para o c´alculo de for¸cas axiais nos enrolamentos
sem, no entanto, recorrer a simplifica¸c˜oes que comprometam os resultados. Para tanto,
as f´ormulas mais adequadas para efetuar os c´alculos num´ericos s˜ao implementadas
computacionalmente e uma rotina ´e utilizada para efetuar os c´alculos dos estresses.
A resposta dinˆamica dos transformadores submetidos a for¸cas axiais de curto-
circuito s˜ao analisadas em [12] e [13]. Na parte I do estudo, discute-se o efeito so-
bre os enrolamentos e sobre as estruturas de fixa¸c˜ao (clampings) de forma individual.
Na parte II, a avalia¸c˜ao ´e feita considerando ambas partes de maneira combinada. As
for¸cas dinˆamicas encontradas, a partir das for¸cas eletromagn´eticas geradas, mostraram-
se completamente diferentes para as duas situa¸c˜oes analisadas.
As vibra¸c˜oes axiais dos enrolamentos dos transformadores sobre curto-circuito s˜ao
consideradas em [14] e [15]. Em [14] ´e apresentado um modelo para estudar as vibra¸c˜oes
axiais baseado no sistema massa-mola. Enquanto que [15] prop˜oe um modelo n˜ao-linear
que varia com o deslocamento dos enrolamentos. As equa¸c˜oes de vibra¸c˜ao n˜ao-lineares
s˜ao solucionadas fazendo uso de um m´etodo num´erico. A resposta ao deslocamento
foi obtida para o transformador sob condi¸c˜oes de for¸cas eletromagn´eticas devido aos
curtos-circuitos, concluindo-se que condi¸c˜oes de altas correntes provocam uma vibra¸c˜ao
inst´avel dos enrolamentos.
Nas referˆencias [4] e [16] s˜ao efetuadas investiga¸c˜oes de faltas internas nos trans-
formadores de distribui¸c˜ao utilizando o programa “Finite Elements Analysis” (FEA).
A referˆencia [4] apresenta um m´etodo para detec¸c˜ao de faltas internas causadas por
curtos-circuitos entre espiras. Os estudos contemplaram simula¸c˜oes para a condi¸c˜ao de
opera¸c˜ao normal e para situa¸c˜oes de faltas t´ıpicas. A an´alise final do comportamento
do transformador foi obtida associando o mo delo estabelecido para o dispositivo a um
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.3 Estado da arte 8
programa de an´alise circuital. Para finalizar, os estudos computacionais foram con-
frontados com dados de campo e os resultados serviram para confirmar a efic´acia do
FEA na simula¸c˜ao de faltas internas em transformadores de distribui¸c˜ao. Na referˆen-
cia [16], dos mesmos autores, foi implementado um novo modelo para simular faltas
internas, desta vez, combinando o programa do FEA a um modelo de degrada¸c˜ao do
isolante.
• Quanto a corrente de inrush:
A corrente transit´oria de energiza¸c˜ao de transformadores ´e um fato conhecido de
longa data e que remonta-se `a ´ultima d´ecada do s´eculo XIX. As investiga¸c˜oes referentes
aos esfor¸cos eletromagn´eticos originados pelas elevadas correntes de inrush, no entanto,
s˜ao mais recentes. Somente a partir das ´ultimas d´ecadas observou-se um crescente
interesse de comunidades cient´ıficas do mundo, bem como de concession´arias de energia
el´etrica, na averigua¸c˜ao das for¸cas eletromagn´eticas e do estresse mecˆanico procedentes
das altas correntes provenientes destes fenˆomenos.
As for¸cas eletromagn´eticas decorrentes das altas correntes de energiza¸c˜ao de trans-
formadores a vazio tˆem efeitos considerados prejudiciais aos enrolamentos desses equipa-
mentos. Essa asser¸c˜ao ´e sustentada pelos estudos realizados em [17], os quais investigam
o impacto das correntes de inrush nos estresses eletromecˆanicos nas bobinas de alta
tens˜ao de transformadores de potˆencia. Os estudos realizados indicam que, correntes de
inrush, cujos valores de pico atingem at´e 70% dos valores alcan¸cados pelas correntes de
curto-circuito, podem originar for¸cas eletromagn´eticas com amplitude de mesma ordem
de grandeza que as correntes de falta. Assim sendo, os enrolamentos dos transforma-
dores podem ser submetidos `a for¸cas de intensidades equivalentes (ou at´e maiores) que
as causadas pelas correntes de falta.
A referˆencia [18] compara as for¸cas decorrentes das situa¸c˜oes de curto-circuito e
de inrush em um transformador monof´asico do tipo n´ucleo envolvente. Os estudos
computacionais foram executados atrav´es de uma t´ecnica de minimiza¸c˜ao de energia
denominada “Hopfield Neural Network”. Os estudos foram conduzidos considerando
as piores situa¸c˜oes transit´orias de curto-circuito e de inrush, ou seja, foram utilizados
os maiores picos poss´ıveis de ocorrˆencia para ambos fenˆomenos. A an´alise compara-
tiva mostrou que as for¸cas nos enrolamentos devidas `a ocorrˆencia de transit´orios de
energiza¸c˜ao s˜ao maiores que as for¸cas estabelecidas para a condi¸c˜ao de curto-circuito.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.3 Estado da arte 9
As diferen¸cas encontradas foram atribu´ıdas, principalmente, `a magnetiza¸c˜ao do n´u-
cleo.
´
E importante ressaltar que, no projeto mecˆanico de transformadores, utilizam-se
como referˆencia somente os m´aximos esfor¸cos poss´ıveis resultantes de curtos-circuitos
trif´asicos.
• Outros:
A referˆencia [19] aborda a instabilidade axial que ocorre em transformadores de
potˆencia cujos condutores dos enrolamentos s˜ao constru´ıdos utilizando a t´ecnica de
transposi¸c˜ao de cabos (CTC ). A instabilidade axial ´e uma condi¸c˜ao que pode vir a
causar deforma¸c˜ao dos enrolamentos de um transformador, devido `a for¸cas de com-
press˜ao resultantes da intera¸c˜ao das correntes de curto-circuito com a densidade de
fluxo magn´etico de dispers˜ao radial. Esta situa¸c˜ao se constitui num dos principais
tipos de falhas mecˆanicas em transformadores. O artigo determina as cargas cr´ıticas de
projeto, que conduzem `a instabilidade dos condutores individuais, bem como de todo
o conjunto, independentemente, utilizando um programa computacional baseado no
MEF. As an´alises mostraram que, para garantir a integridade f´ısica do transformador,
o menor desses dois limites deve ser maior do que a for¸ca compressiva na bobina, sob
a pior condi¸c˜ao de corrente de curto-circuito.
A referˆencia [20] apresenta an´alises te´oricas e experimentais dos transit´orios eletro-
magn´eticos que ocorrem devido `a sincroniza¸c˜ao fora de fase de um transformador ele-
vador. Essa ocorrˆencia anormal de sincronismo entre o transformador e o gerador
origina picos de corrente transit´oria nos enrolamentos do transformador que podem
ser sensivelmente mais elevados que as correntes de falta estimadas convencionalmente.
Tais picos transit´orios implicam em uma satura¸c˜ao muito alta das colunas de ferro do
circuito magn´etico, situa¸c˜ao s´ımile `as correntes de inrush. O programa computacional
“Electromagnetic Transient Program”(EMTP) foi utilizado para a implementa¸c˜ao e si-
mula¸c˜ao do sistema: gerador - transformador - circuito de potˆencia.
Dando seq
¨
uˆencia aos estudos iniciados na referˆencia [20], o autor, em [21], apresenta
uma compara¸c˜ao entre as for¸cas axiais nos enrolamentos concˆentricos de um transfor-
mador elevador, com e sem for¸cas magnetomotrizes balanceadas (fmm’s), durante um
paralelismo com erro de fase de 180
◦
. Os resultados mostraram que a for¸ca axial no
enrolamento externo com fmm’s desequilibradas ´e consideravelmente maior (de 2 a 10
vezes) que aquelas calculadas sem desbalan¸co de fmm’s. Isto evidencia a importˆan-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.3 Estado da arte 10
cia da satura¸c˜ao do n´ucleo de ferro em alguns tipos de faltas em transformadores e,
comprova experiˆencias anteriores, que demonstram que a opera¸c˜ao de sincroniza¸c˜ao
defasada ´e a mais prov´avel causa de altas correntes e de poss´ıveis falhas mecˆanicas em
transformadores elevadores.
A referˆencia [22] mostra estudos comparativos das for¸cas eletrodinˆamicas axiais de
um grande transformador elevador para trˆes diferentes projetos da bobina de baixa
tens˜ao, do tipo helicoidal. A avalia¸c˜ao das for¸cas ´e feita ap´os realizar-se o c´alculo dos
campos magn´eticos de disp ers˜ao, utilizando, para tanto, o M´etodo de Elementos Fini-
tos 3D. Os oscilogramas apresentados evidenciaram, claramente, que as extremidades
das bobinas s˜ao mais solicitadas pelas for¸cas axiais. Os gr´aficos de densidade de for¸ca
mostraram que, a for¸ca axial est´a dirigida para baixo na metade superior da bobina
e para cima na metade inferior, sendo que nas proximidades do plano m´edio torna-se
nula. Os resultados das simula¸c˜oes mostraram que existe uma consider´avel varia¸c˜ao
angular da for¸ca axial para o caso do projeto da bobina de baixa tens˜ao tipo helicoidal
de camada ´unica (single layer helicoidal), a qual ´e muito maior que aquelas varia¸c˜oes
encontradas para o caso de projeto dos enrolamentos de baixa tens˜ao tipo helicoidal
de camada dupla (double layer helicoidal).
A pesquisa bibliogr´afica realizada nesta fase dos trabalhos, permitiu algumas cons-
tata¸c˜oes que foram decisivas no tocante a defini¸c˜ao dos crit´erios que delineiam a estru-
tura¸c˜ao e o desenvolvimento desta tese. As observa¸c˜oes mais relevantes est˜ao descritas
a seguir.
• Com rela¸c˜ao ao uso de m´etodos que utilizam t´ecnicas num´ericas, constatou-se da
literatura pesquisada, a existˆencia de uma s´erie de publica¸c˜oes que contemplam,
de forma direta ou indireta, os estudos de curto-circuito atrav´es dos elementos
finitos - MEF, conforme pˆode-se constatar no estado da arte. Outrossim, uma
vez que o foco desta tese ´e a avalia¸c˜ao de esfor¸cos eletromecˆanicos nos enrola-
mentos de transformadores, fazendo uso de t´ecnicas num´ericas, an´alises sob o
enfoque do MEF ser˜ao incorporadas aos trabalhos devido a necessidade de se
corroborar/aferir os resultados fornecidos pela outra t´ecnica utilizada nos estu-
dos, considerando que o MEF ´e uma t´ecnica de grande aceita¸c˜ao por parte da
comunidade cient´ıfica.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.4 Contribui¸c˜oes da tese 11
• No que tange `a utiliza¸c˜ao de meto dologias que fazem uso do MEF para deter-
mina¸c˜ao de esfor¸cos devido `as correntes de inrush, verificou-se uma quantidade
muito restrita de estudos contemplando essa quest˜ao.
• Por outro lado, apesar da exaustiva pesquisa bibliogr´afica realizada, n˜ao foi iden-
tificado nenhum trabalho dentro do enfoque desta proposta de tese, quanto `a
utiliza¸c˜ao de ferramentas que fazem uso de t´ecnicas no dom´ınio do tempo para
realizar estudos de esfor¸cos mecˆanicos em enrolamentos de transformadores.
Diante desses fatos, esse trabalho est´a direcionado para o desenvolvimento de um
modelo computacional, utilizando-se de uma t´ecnica no dom´ınio do tempo, que per-
mita a an´alise dos esfor¸cos eletromecˆanicos provocados nos enrolamentos de transfor-
madores pelas elevadas correntes transit´orias oriundas de eventos de energiza¸c˜ao e de
curtos-circuitos trif´asicos e o estabelecimento de uma correla¸c˜ao entre essas correntes
transit´orias e os seus impactos sobre a integridade f´ısica de transformadores de potˆencia
e de distribui¸c˜ao.
1.4 Contribui¸c˜oes da tese
O levantamento do Estado da Arte sobre o tema foco desta pesquisa evidenciou a
relevˆancia do assunto e os significativos esfor¸cos realizados pela comunidade cient´ıfica
na busca do conhecimento dos fenˆomenos aqui abordados e de solu¸c˜oes para minimizar
os efeitos danosos verificados.
Apesar disso, h´a muito por se fazer, existindo, ainda, uma s´erie de quest˜oes que
precisam ser respondidas sobre os esfor¸cos mecˆanicos provocados p elos curtos-circuitos
e por correntes de energiza¸c˜ao nos transformadores.
Dentro deste contexto, esta proposta de tese pretende avan¸car nos seguintes aspec-
tos:
a) Compila¸c˜ao de uma metodologia anal´ıtica para c´alculo de for¸cas eletro-
magn´eticas:
Muito embora a metodologia cl´assica destinada ao c´alculo anal´ıtico das for¸cas eletro-
magn´eticas e dos estresses eletromecˆanicos j´a se encontre consolidada, entende-se como
contribui¸c˜ao neste sentido, a reuni˜ao dos diversos documentos que serviram como base
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.4 Contribui¸c˜oes da tese 12
no desenvolvimento dessa pesquisa, sintetizando-os em um documento ´unico onde s˜ao
feitas considera¸c˜oes sobre diversos aspectos que envolvem os estudos dos esfor¸cos ele-
tromecˆanicos.
b) Implementa¸c˜ao computacional de transformadores utilizando o MEF
visando avaliar os esfor¸cos mecˆanicos causados pela corrente de curto-circuito:
O MEF, como constatado pela pesquisa bibliogr´afica realizada, tem a preferˆencia
da maioria dos autores que estuda esfor¸cos mecˆanicos, principalmente, p orque oferece
uma boa precis˜ao nos resultados. Assim, pretende aproveitar de suas p otencialidades
para implementar transformadores de distribui¸c˜ao e de potˆencia. Vale ressaltar que, a
utiliza¸c˜ao dessa metodologia disponibiliza dados para confronta¸c˜ao com a t´ecnica no
dom´ınio do tempo. Entretanto, nesta etapa dos trabalhos n˜ao s˜ao propostas modifica-
¸c˜oes no software empregado, uma vez que este faz uso de equa¸c˜oes diferenciais cl´assicas
no seu processo de c´alculo.
c) Aprimoramento de modelos computacionais para representar transfor-
madores utilizando t´ecnicas no dom´ınio do tempo visando avaliar os esfor¸cos
mecˆanicos causados pelas correntes de energiza¸c˜ao e de curtos-circuitos:
Utilizando modelos computacionais no dom´ınio do tempo, frutos de pesquisas an-
teriores, ser˜ao introduzidas altera¸c˜oes que permitam o acesso direto `as grandezas re-
queridas para c´alculos de for¸cas eletromagn´eticas e do estresse mecˆanico. A modelagem
no dom´ınio do tempo tem conseguido um grande espa¸co em v´arias ´areas do conheci-
mento, assim, pretende-se mostrar a sua efic´acia e vantagens tamb´em para simula¸c˜ao
de estresses mecˆanicos. A an´alise do estresse eletromecˆanico a que ficam submetidos
os transformadores tamb´em ser´a fo cada nesta etapa dos trabalhos.
d) Estabelecimento de metodologia para avalia¸c˜ao do impacto dos es-
for¸cos mecˆanicos sobre os transformadores:
As caracter´ısticas dos modelos implementados, tanto nos estudos no dom´ınio do
tempo quanto atrav´es do MEF, permitem o conhecimento de todas as grandezas en-
volvidas no processo de transforma¸c˜ao de energia, incluindo os esfor¸cos dinˆamicos adi-
cionais. Isto possibilitar´a a identifica¸c˜ao dos parˆametros a serem monitorados nos
transformadores com vistas a subsidiar a avalia¸c˜ao da perda de vida ´util devido `as cor-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.5 Estrutura da tese 13
rentes de inrush e aos curtos-circuitos “passantes” e, ainda, o estabelecimento de uma
metodologia de estudo, via simula¸c˜ao digital, da avalia¸c˜ao do impacto das sobrecor-
rentes em transformadores.
1.5 Estrutura da tese
Para atingir os objetivos propostos, al´em deste cap´ıtulo introdut´orio, este trabalho
´e conduzido obedecendo, fundamentalmente, a seguinte estrutura:
CAP
´
ITULO 2 - Falhas em Transformadores Submetidos `a
Curtos-circuitos ou Correntes de Energiza¸c˜ao
Este cap´ıtulo, de car´ater introdut´orio, tem por objetivo principal estabelecer os
marcos te´oricos com respeito ao assunto proposto, quais sejam, os efeitos de curtos
circuitos e correntes de energiza¸c˜ao sobre a integridade de transformadores. Nesse sen-
tido, s˜ao apresentados os tipos e origem das faltas a que s˜ao comumente submetidos
estes dispositivos. Dados estat´ısticos da desativa¸c˜ao de equipamentos em decorrˆencia
dos efeitos de fenˆomenos transit´orios e a sua correla¸c˜ao com as causas s˜ao apresen-
tados. Prosseguindo, s˜ao feitas considera¸c˜oes te´oricas dos fenˆomenos enfocados neste
trabalho, de forma sucinta. Encerra-se este cap´ıtulo com a apresenta¸c˜ao de uma s´ıntese
das modelagens de transformadores existentes, com destaque `aquelas que apresentam
melhor desempenho para as proposi¸c˜oes deste trabalho.
CAP
´
ITULO 3 - For¸cas Eletromagn´eticas e Estresse Mecˆanico:
Abordagem Anal´ıtica
Este cap´ıtulo tem por objetivo a defini¸c˜ao te´orica e a caracteriza¸c˜ao das compo-
nentes de for¸cas eletromagn´eticas que se estabelecem nos enrolamentos dos transforma-
dores, sob condi¸c˜oes de opera¸c˜ao normal e transit´orias. As densidades de fluxo mag-
n´etico de dispers˜ao s˜ao analisadas com maiores detalhes, pois trata-se de um parˆametro
que afeta diretamente a amplitude das for¸cas atuantes no dispositivo. Na seq
¨
uˆencia,
s˜ao apresentadas as formula¸c˜oes para o c´alculo anal´ıtico das for¸cas radiais e axiais uti-
lizando m´etodos tradicionais e existentes na literatura sobre o assunto. O cap´ıtulo ´e
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.5 Estrutura da tese 14
conclu´ıdo, abordando os estresses mecˆanicos causados pelas for¸cas eletromagn´eticas,
relacionando-os aos principais tipos de falhas nos enrolamentos concˆentricos de trans-
formadores.
CAP
´
ITULO 4 - Avalia¸c˜ao das For¸cas Eletromagn´eticas em
Transformadores Causadas por Curtos-Circuitos Externos Uti-
lizando o MEF
Este cap´ıtulo destina-se `a apresenta¸c˜ao do MEF, uma das alternativas dispon´ıveis
para a simula¸c˜ao de dispositivos eletromagn´eticos. Preliminarmente, destacam-se as
aplicabilidades e facilidades do m´etodo e, na seq
¨
uˆencia, descreve-se a estrutura de fun-
cionamento do MEF. Encerra-se com a apresenta¸c˜ao do programa mostrando a forma
de implementa¸c˜ao dos modelos e conseq
¨
uente resolu¸c˜ao dos problemas. Para exem-
plificar a utiliza¸c˜ao do m´etodo, j´a dentro da pesquisa proposta, primeiramente um
transformador de distribui¸c˜ao e, na seq
¨
uˆencia um transformador de potˆencia tem as
suas caracter´ısticas f´ısicas e geom´etricas implementadas no programa utilizado. Ap´os
a realiza¸c˜ao de investiga¸c˜oes computacionais sob diversas condi¸c˜oes de opera¸c˜ao, os re-
sultados para as grandezas el´etricas, magn´eticas e mecˆanicas, para cada um dos casos
simulados, s˜ao apresentados e discutidos.
CAP
´
ITULO 5 - C´alculo de For¸cas Eletromagn´eticas e Es-
tresse Mecˆanico em Transformadores Utilizando T´ecnicas no
Dom´ınio do Tempo
Este cap´ıtulo contempla a modelagem e implementa¸c˜ao computacional, desta vez
num simulador que utiliza t´ecnicas no dom´ınio do tempo. Para atingir tal objetivo, e a
partir de modelos j´a existentes, s˜ao efetuadas as modifica¸c˜oes/adequa¸c˜oes necess´arias
no modelo do transformador, de maneira a permitir os estudos aqui descritos. Dando
seq
¨
uˆencia, s˜ao desenvolvidas novas rotinas computacionais, destinadas `a determina¸c˜ao
das grandezas mecˆanicas de interesse para os estudos aqui delineados, a saber: for¸cas e
estresses mecˆanicos a que ficam submetidos os transformadores, em fun¸c˜ao da condi¸c˜ao
operativa imposta. An´alises do desempenho el´etrico, magn´etico e mecˆanico do trans-
formador para v´arias condi¸c˜oes de opera¸c˜ao s˜ao apresentadas com o objetivo de avaliar
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
1.5 Estrutura da tese 15
os modelos desenvolvidos. Encerra-se o cap´ıtulo, com uma an´alise comparativa entre as
estrat´egias utilizadas na pesquisa, quais sejam: t´ecnicas em regime quase-estacion´arios
(MEF) e t´ecnicas no dom´ınio do tempo.
CAP
´
ITULO 6 - Metodologia para Avalia¸c˜ao dos Impactos
dos Estresses Mecˆanicos sobre os Transformadores
Este cap´ıtulo objetiva o estabelecimento de uma metodologia de estudo, via simu-
la¸c˜ao digital que permite a avalia¸c˜ao dos efeitos eletromecˆanicos das sobrecorrentes na
integridade f´ısica das partes ativas dos transformadores. Para tanto, a grandeza que
servir´a como base para as an´alises ´e o estresse mecˆanico oriundo dos fenˆomenos j´a
mencionados.
CAP
´
ITULO 7 - Conclus˜oes Finais
Finalmente, este cap´ıtulo destina-se a apresentar as principais discuss˜oes e con-
tribui¸c˜oes desta proposta de tese.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
Cap´ıtulo 2
Falhas em Transformadores
Submetidos `a Curtos-Circuitos ou
Correntes de Energiza¸c˜ao
2.1 Considera¸c˜oes iniciais
As falhas que acometem os transformadores s˜ao bem conhecidas e amplamente
divulgadas. E, muito embora os sistemas de prote¸c˜ao existentes sejam eficientes, ´e
importante a implementa¸c˜ao de medidas adicionais com o objetivo de minimizar a fre-
q
¨
uˆencia e a dura¸c˜ao das interrup¸c˜oes, principalmente aquelas de car´ater intempestivo.
Esta quest˜ao reveste-se de importˆancia por estar relacionada a aspectos tanto econˆomi-
cos como de seguran¸ca, e tamb´em porque pode garantir uma confiabilidade m´ınima ao
sistema ao qual o dispositivo est´a conectado, em consonˆancia com os padr˜oes estabele-
cidos pela legisla¸c˜ao vigente.
Outra quest˜ao a ser observada diz respeito `a velocidade de atua¸c˜ao dos sistemas
de prote¸c˜ao, cujo tempo de resposta, via de regra, n˜ao impede que os equipamentos
sejam submetidos aos indesej´aveis efeitos transit´orios, oriundos de fenˆomenos naturais
ou de faltas no sistema el´etrico, aumentando, em conseq
¨
uˆencia, os riscos de falhas em
decorrˆencia de esfor¸cos eletromecˆanicos.
Atentando para as quest˜oes anteriormente levantadas e tendo em vista que o obje-
tivo principal desta investiga¸c˜ao est´a voltado para a determina¸c˜ao dos esfor¸cos eletro-
mecˆanicos provo cados por correntes de energiza¸c˜ao e de curtos-circuitos, este cap´ıtulo
tem como prop´osito avan¸car nos seguintes t´opicos:
• Descrever os aspectos gerais, financeiros e gerenciais que envolvem as falhas
mecˆanicas dos transformadores e apresentar dados estat´ısticos sobre a ocorrˆencia
de eventos de faltas associados aos estresses mecˆanicos;
16
2.2 An´alise de falhas em transformadores 17
• Apresentar, de forma concisa, a defini¸c˜ao dos fenˆomenos de curto-circuito e cor-
rente de inrush, considerados nesta tese, associando-os aos esfor¸cos eletromecˆa-
nicos decorrentes de tais fenˆomenos;
• Apresentar uma s´ıntese das ferramentas dispon´ıveis para efetuar a modelagem de
transformadores, dando-se o destaque necess´ario `aquelas que foram utilizadas nos
trabalhos descritos nesta tese. Salienta-se que, para a escolha das ferramentas
computacionais, dentre outros aspectos, foram consideradas as potencialidades
dos programas, enfatizando aqueles que atendessem `as necessidades no que se
refere aos c´alculos das grandezas el´etricas, magn´eticas e mecˆanicas.
2.2 An´alise de falhas em transformadores
Falhas em transformadores s˜ao decorrentes de diferentes causas e condi¸c˜oes tanto
de instala¸c˜ao como operativas. De um modo geral, no entanto, estas p odem ser clas-
sificadas como sendo de origens el´etricas, mecˆanicas e t´ermicas [3]. Nessa linha de
pensamento, a tabela 2.1 relaciona causas t´ıpicas de falhas em transformadores, uti-
lizando como forma de classifica¸c˜ao a sua natureza, ou seja, se devida a causas internas
ou externas ao equipamento.
Tabela 2.1: Causas t´ıpicas de falhas em transformadores.
Interna Externa
Deteriora¸c˜ao do sistema isolante Descargas atmosf´ericas
Perda da press˜ao dos enrolamentos Opera¸c˜ao de chaveamento
Sobreaquecimento Sobrecarga
Umidade Faltas no sistema (curto-circuito)
Contamina¸c˜ao do ´oleo isolante
Descargas parciais
Defeitos de projeto e fabrica¸c˜ao
Ressonˆancia dos enrolamentos
Adicionalmente `as falhas relacionadas na tabela anterior, tamb´em podem ocorrer
falhas nas buchas, nos tap’s e outros acess´orios dos transformadores.
A figura 2.1 ilustra a curva que expressa uma estimativa do n´umero das falhas
em fun¸c˜ao do tempo de vida para transformadores de potˆencia. Esta ´e denominada
curva de “modelo de falhas” de transformadores (ou curva “bathtub”) e evidencia que
os per´ıodos mais cr´ıticos, em termos de probabilidade de falha de um transformador,
ocorre no in´ıcio de sua opera¸c˜ao e depois de decorridos alguns anos de funcionamento
do equipamento.
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2.2 An´alise de falhas em transformadores 18
Anos de operação
Números de falhas
Modelo característico de falhas em
transformadores
Figura 2.1: Curva de falhas em transformador “bathtub”.
A referˆencia [3] descreve a curva “bathtub” da seguinte forma: a primeira parte
refere-se `as desativa¸c˜oes que sucedem nos primeiros anos de vida e, que podem estar
relacionadas com qualquer tipo de falta de natureza interna (como por exemplo, defeitos
causados por falhas de projeto ou de constru¸c˜ao) ou externa; a segunda parte da
curva apresenta uma taxa de ocorrˆencia de falhas baixa e, praticamente, constante que
tamb´em pode estar associada a qualquer tipo de falta; e a ´ultima parte corresponde
`as falhas devido ao envelhecimento dos dispositivos. Neste caso, os defeitos podem
estar relacionados, principalmente, com a perda da resistˆencia mecˆanica do sistema de
isola¸c˜ao dos enrolamentos, que tendem a degradar-se com envelhecimento.
Os custos relacionados com reparo/substitui¸c˜ao das unidades transformadoras avari-
adas, principalmente as de potˆencia, s˜ao muito altos. Para ilustrar essa quest˜ao, foi
realizado um levantamento entre os anos de 1997 e 2001 com o objetivo de obter in-
forma¸c˜oes sobre desativa¸c˜oes de transformadores de potˆencia associando-as a causas
e custos. Concession´arios de diversos pa´ıses participaram dessa pesquisa enviando as
informa¸c˜oes requeridas. Do total de casos obtidos junto `as empresas colaboradoras, 94
continham informa¸c˜oes conclusivas que propiciaram a cria¸c˜ao de um banco de dados
e os registrados de desativa¸c˜oes foram convertidos em gastos anuais. Os resultados
desta pesquisa est˜ao sintetizados na referˆencia [2], na forma de gr´aficos e tabelas. A
tabela 2.2 associa o custo total de cada causa de falhas ao n´umero de ocorrˆencias.
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2.2 An´alise de falhas em transformadores 19
Tabela 2.2: Custos de falhas.
Causas das falhas N´umero D´olares pagos
Falhas na isola¸c˜ao 24 $149,967,277
Projeto/material 22 $64,696,051
Desconhecido 15 $29.776.245
Contamina¸c˜ao do ´oleo 4 $11.836.367
Sobrecarga 5 $8,568,768
Fogo/explos˜ao 3 $8,045,771
sobretens˜ao 4 $4,959,691
Manuten¸c˜ao incorreta 5 $3,518,783
Inunda¸c˜ao 2 $2,240,198
Perda de conex˜ao 3 $2,186,725
Descargas atmosf´ericas 3 $657,935
Umidade 1 $175,000
Total 94 $286,628,811
A figura 2.2 evidencia as maiores causas de falhas mostradas na tabela 2.2 [2] e,
portanto, que demandam maiores recursos financeiros. O n´umero de falhas para cada
situa¸c˜ao est´a indicado no eixo das abscissas e a ordenada representa a remunera¸c˜ao
gasta para os v´arios tipos de defeitos. Esta tendˆencia apresentada no gr´afico ´e deno-
minada “curva F-N” (“curva freq
¨
uˆencia - n´umero”).
Desco nh ecido
Falhas na
isolação
Proje to/material
$100.000
$1.000.000
$10.000.000
$100.000 .000
$1.000.000. 00 0
0 5 10 15 20 25 30
Número de falhas por caso
Custo das falhas (d ólares)
Figura 2.2: Gr´afico de custos em rela¸c˜ao ao n´umero de falhas.
Pode-se observar no gr´afico que a isola¸c˜ao foi o respons´avel pelo maior n´umero de
registros de falhas e, por conseguinte, pelos maiores gastos, alcan¸cando a exorbitante
quantia de 150 milh˜oes de d´olares. A referˆencia considera que as causas de falhas na
isola¸c˜ao podem ser de origem externa (por exemplo, curtos-circuitos) ou interna devido
a isola¸c˜ao inadequada ou defeituosa. O custo total envolvendo todas as categorias de
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.2 An´alise de falhas em transformadores 20
falhas, no per´ıodo de realiza¸c˜ao da pesquisa, ultrapassou os 280 milh˜oes de d´olares.
A tabela 2.3 apresenta os dados obtidos em uma outra pesquisa [23], envolvendo
transformadores de potˆencia. Embora a pesquisa n˜ao mostre os recursos financeiros
envolvidos, a mesma foi realizada com o objetivo de estabelecer estat´ısticas de falhas
de transformadores de potˆencia relacionando-as com os componentes eletromecˆanicos
atingidos.
Tabela 2.3: Percentual de faltas para falhas em transformadores de potˆencia.
Componente CIGRE CEA Doble ZTZ-Service
´
Africa do Sul
Engineering clients
Buchas/acess´orios 29 29 35 45 14
Tap-changer 15 39 16 9 24
Isola¸c˜ao principal 12 16 9 17 30
Enrolamento (envelhecimento) 31 16 16 12 17
Enrolamento (deforma¸c˜ao) 31 16 12 10 17
N´ucleo 2 10 7 7 15
* CEA: Canadian Electricity Association - Canad´a ;* ZTZ-Service: Scientific and Engi-
neering Centre - Ucrˆania.;* Doble Engineering
A tabela permite constatar que, al´em dos componentes que a princ´ıpio seriam mais
pass´ıveis de falhas, outros, a exemplo do n´ucleo magn´etico, tamb´em apresentam um
´ındice significativo de defeito. Quanto `as falhas diel´etricas, considera-se que algumas
delas iniciam-se com os movimentos mecˆanicos dos enrolamentos que, segundo a refe-
rˆencia, poderiam ser evitados por meio do monitoramento das condi¸c˜oes mecˆanicas dos
enrolamentos e do n´ucleo.
Uma outra pesquisa, desta vez focando transformadores de distribui¸c˜ao e, em n´ıvel
nacional, foi realizado pela COELBA (Companhia de Eletricidade do Estado da Bahia)
[24], objetivando levantar as taxas de falha dos transformadores de suas regionais. O
levantamento foi realizado em 1309 transformadores substitu´ıdos devido `a ocorrˆencia
de falhas. O resultado do levantamento est´a resumido na tabela 2.4, que apresenta o
percentual de faltas relacionado com o tipo de falha detectada nas unidades transfor-
madoras analisadas.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.3 Condi¸c˜oes de monitoramento 21
Tabela 2.4: Diagn´osticos de avarias de falhas em transformadores de distribui¸c˜ao.
Avaria/diagn´ostico N´umero de unidade Percentual
Penetra¸c˜ao de ´agua 60 4,58
Baixo n´ıvel de isolamento 80 6,11
Curto-circuito externo 497 37,96
Curto-circuito interno 202 15,43
Descargas atmosf´ericas 30 2,29
Interrup¸c˜ao no painel 16 1,22
Sobrecarga 320 24,45
Total 1309 100
A tabela permite constatar que o maior n´umero de ocorrˆencia de falhas ´e devido
`as faltas consideradas externas ao disp ositivo, neste caso curtos-circuitos. Do total
de falhas diagnosticadas nos transformadores de distribui¸c˜ao, 37,96% s˜ao decorrentes
desse tipo de falta.
As pesquisas apresentadas n˜ao deixam d´uvida quanto `as causas de defeitos, tanto
em transformadores de potˆencia quanto de distribui¸c˜ao, ou seja, que a maioria dos
problemas ´e atribu´ıda, direta ou indiretamente, `a falhas na isola¸c˜ao, provocadas pela
diminui¸c˜ao da resistˆencia diel´etrica dos isolantes, devido `as deforma¸c˜oes ocasionadas
pelas v´arias causas t´ıpicas de falhas. Em outras palavras, as deforma¸c˜oes amea¸cam
a integridade mecˆanica dos enrolamentos dos transformadores e s˜ao influenciadas por
alguns fatores que s˜ao, a seguir, descritos.
• For¸cas excessivas provocadas por curtos-circuitos e corrente de inrush;
• Problemas ocasionados durante o transporte (por exemplo, acidentes);
• For¸cas dinˆamicas durante a opera¸c˜ao normal, como, por exemplo vibra¸c˜oes;
• Redu¸c˜ao da press˜ao sobre os enrolamentos e estruturas de suporte, implicando
em uma redu¸c˜ao da resistˆencia mecˆanica do equipamento.
No entanto, a raz˜ao mais comum de deforma¸c˜oes mecˆanicas sofridas pelos condu-
tores utilizados nos enrolamentos, tanto de transformadores de distribui¸c˜ao como de
potˆencia, s˜ao os esfor¸cos mecˆanicos originados pelos curtos-circuitos.
2.3 Condi¸c˜oes de monitoramento
Transformadores de potˆencia s˜ao os maiores, os mais pesados, e freq
¨
uentemente os
mais caros equipamentos em um sistema de potˆencia. Obviamente, cuidados apropri-
ados s˜ao necess´arios durante o transporte, instala¸c˜ao, opera¸c˜ao e manuten¸c˜ao destes
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.3 Condi¸c˜oes de monitoramento 22
equipamentos. Devido aos aspectos mencionados e, principalmente, ao seu elevado
custo, unidades para substitui¸c˜ao nem sempre est˜ao dispon´ıveis. Assim sendo, e uma
vez que o tempo de reparo pode ser relativamente longo, ´e importante avaliar a condi¸c˜ao
de cada unidade em opera¸c˜ao no sistema el´etrico. Uma pesquisa internacional realizada
pelo CIGRE [25], sobre grandes transformadores de potˆencia, mostra uma taxa de falha
de 1-2% por ano. Este valor pode parecer pequeno, mas como j´a dito, uma ´unica falta
em um grande transformador normalmente resulta em vultosas despesas para a con-
cession´aria.
No caso da ocorrˆencia de algum tipo de falha no transformador, ´e recomendado
que uma investiga¸c˜ao seja efetuada para se levantar as poss´ıveis causas da falta. Esse
procedimento poder´a tornar fact´ıvel a implementa¸c˜ao de um sistema de monitoramento
on-line, caso se julgue conveniente [26].
O monitoramento das condi¸c˜oes de unidades transformadoras ´e uma pr´atica fun-
damental, pois tal procedimento pode determinar o tempo de vida remanescente do
dispositivo. Isto permite que um planejamento de manuten¸c˜ao/troca possa ser exe-
cutado, evitando interrup¸c˜oes do fornecimento de energia el´etrica n˜ao programadas e
possivelmente mais longas.
Para realizar o gerenciamento de tempo de vida de um transformador ´e importante
que um modelo da estimativa de vida ´util seja estabelecido. Como s˜ao m´ultiplos os
parˆametros que afetam um modelo do transformador, estes tˆem que ser investigados a
fim de avaliar a sua vida ´util.
Um dos fatores a ser considerado ´e o sistema de isola¸c˜ao, j´a mencionado na se¸c˜ao
anterior, como sendo um dos mais freq
¨
uentes causadores de falhas em transformadores.
O sistema isolante utilizado consiste de materiais orgˆanicos e/ou inorgˆanicos, essen-
cialmente ´oleo mineral e papel. A referˆencia [27] atribui a poss´ıvel ocorrˆencia de falha
na isola¸c˜ao `a redu¸c˜ao/mudan¸ca no comportamento diel´etrico e tamb´em a redu¸c˜ao da
resistˆencia mecˆanica do papel isolante dos enrolamentos.
As condi¸c˜oes mecˆanicas dos enrolamentos, tais como: resistˆencia mecˆanica, defor-
ma¸c˜oes e estruturas de suporte, tamb´em se constituem como fatores preponderantes
na an´alise de vida ´util dos dispositivos. Al´em desses fatores, pode-se citar ainda: o so-
breaquecimento do n´ucleo em decorrˆencia de faltas; buchas devido `a polui¸c˜ao, veda¸c˜ao,
etc; tanque e os componentes associados (conserva¸c˜ao, ventila¸c˜ao, etc).
A diversidade das poss´ıveis causas de falhas exige, tamb´em, que diversos m´eto-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.4 Curto-circuito 23
dos de diagn´ostico sejam desenvolvidos para avaliar as condi¸c˜oes dos componentes de
um transformador. Nesse sentido, existe uma variedade de ferramentas dispon´ıveis
para calcular as condi¸c˜oes de servi¸co destes dispositivos. A referˆencia [3] cita diversos
m´eto dos, classificando-os em: m´etodos de diagn´osticos tradicionais, ou seja, m´etodos
que tem uso difundido; e m´etodos n˜ao tradicionais, que s˜ao m´etodos cuja utiliza¸c˜ao ´e
incipiente ou ainda est´a em fase de pesquisa.
2.4 Curto-circuito
As correntes de curto circuito, al´em de ser uma das mais freq
¨
uentes causas de falhas
em transformadores, encontram-se tamb´em, entre as faltas que apresentam maior seve-
ridade, em termos de impacto sobre as estruturas de sustenta¸c˜ao de transformadores.
Os efeitos das correntes de curto-circuito nos enrolamentos s˜ao comumente agrupados
da maneira seguinte:
• efeitos t´ermicos;
• efeitos mecˆanicos.
O impacto que estes efeitos podem causar em unidades transformadoras em fun¸c˜ao
de suas potˆencias nominais ´e uma quest˜ao para a qual ainda n˜ao existe um consenso
absoluto. Entretanto, segundo a referˆencia [28], os efeitos mecˆanicos (estresse) tendem
a ser predominantes em transformadores de potˆencia, devido `as elevadas correntes de
curto-circuito envolvidas. Por outro lado, em transformadores de distribui¸c˜ao, os efeitos
t´ermicos determinam os limites operacionais sob curtos-circuitos [24].
Neste contexto, a capacidade de um transformador para resistir aos curtos-circuitos
´e considerada essencial para garantir a sua seguran¸ca e a confiabilidade dos sistemas. E,
para operarem satisfatoriamente, estes equipamentos devem ser projetados e constru´ı-
dos para suportar os curtos-circuitos a que possam ser submetidos durante o tempo de
vida para o qual foram projetados [29]. Para que isso aconte¸ca, os enrolamentos devem
ter resistˆencia mecˆanica suficiente para suportar as for¸cas eletromagn´eticas produzidas
pelas altas correntes circulantes, sem se danificar. Ao mesmo tempo, os materiais usa-
dos na constru¸c˜ao de ambos, condutores e isola¸c˜ao, devem ser capazes de resistir, sem
significativa deteriora¸c˜ao, as altas temperaturas produzidas pelas correntes de falta.
A obten¸c˜ao de um projeto seguro e eficiente requer,portanto, a ado¸c˜ao de uma
metodologia para efetuar c´alculos da resistˆencia mecˆanica das v´arias partes do trans-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.4 Curto-circuito 24
formador [29]. Nesse sentido, a seguir, s˜ao apresentados os principais aspectos que
devem ser observados quando do desenvolvimento de projetos e constru¸c˜ao de trans-
formadores.
1) Os tipos de faltas verificados nos sistemas el´etricos devem ser estudados e as suas
caracter´ısticas devem ser conhecidas;
2) A partir do estudo anterior, do sistema ao qual o transformador ser´a conectado, a
corrente de curto-circuito do projeto ´e determinada;
3) As for¸cas eletromagn´eticas devido `as sobrecorrentes devem ser calculadas;
4) M´etodos de determina¸c˜ao da resistˆencia mecˆanica dos enrolamentos devem ser
planejados, de forma a garantir que os mesmos possam suportar eventuais es-
for¸cos adicionais.
Sistemas el´etricos de potˆencia est˜ao sujeitos `a ocorrˆencia de faltas. Muitas destas
faltas, no entanto, alcan¸car˜ao valores inferiores `a m´axima corrente de curto-circuito
poss´ıvel de ocorrˆencia, e somente em casos raros, um transformador estar´a sujeito
a uma falta em seus terminais com a capacidade de curto-circuito total do sistema
dispon´ıvel no lado energizado.
Dados estat´ısticos do setor el´etrico mostram que a maioria das faltas nos sistemas
el´etricos ocorrem entre fase-terra. Seguem, em termos da freq
¨
uˆencia de ocorrˆencia,
as faltas bif´asicas e bif´asicas `a terra e, por ´ultimo, as faltas trif´asicas e trif´asicas a
terra [30]. Destaca-se que apesar das faltas trif´asicas ocorrerem com menor freq
¨
uˆencia,
s˜ao as que apresentam maior severidade e, portanto, s˜ao as respons´aveis pelos maiores
esfor¸cos mecˆanicos que acometem transformadores. Por esse motivo, ´e pr´atica comum
projetar transformadores para resistir a esse tipo de falta em seus terminais [29].
A express˜ao 2.1 permite determinar o valor de crista do primeiro pico da corrente de
curto-circuito, completamente assim´etrica, para um transformador trif´asico conectado
a um sistema considerado como sendo um barramento infinito.
I
cc
=
k
√
2 ·S
n
· 10
6
√
3 ·V · Z
(2.1)
sendo:
• I
cc
: o valor de pico da corrente de curto-circuito (A);
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2.4 Curto-circuito 25
• k: fator de assimetria;
• S
n
: potˆencia nominal de sa´ıda do transformador (MVA);
• V : tens˜ao nominal fase-fase (V);
• Z : impedˆancia por unidade do transformador.
Uma vez que as for¸cas produzidas s˜ao proporcionais ao quadrado da corrente, uma
redu¸c˜ao moderada da corrente proporciona uma redu¸c˜ao substancial do estresse devido
ao curto-circuito. A exemplifica¸c˜ao a seguir demonstra a importˆancia do fator de
assimetria na determina¸c˜ao dos valores m´aximos da corrente de curto-circuito. Para
um fator de assimetria m´aximo (1,8), as for¸cas correspondentes ao pico do primeiro
ciclo da corrente de falta s˜ao (1, 8
2
= 3, 24) vezes maiores do que para uma corrente
completamente sim´etrica.
´
E oportuno ressaltar, que o fator de assimetria ´e calculado
a partir dos parˆametros do circuito e do transformador [29].
A figura 2.3 mostra uma situa¸c˜ao de m´axima assimetria da corrente. O efeito dessa
situa¸c˜ao ´e refletido na for¸ca adicional mostrada na figura 2.4.
valor de pi co da corrente de CC
1,8
pico simétrido da corrente de CC
=
Corrente assimétrica como múltiplo do
pico da corrente de CC simétrica
Tempo (ms)
Figura 2.3: Corrente de curto-circuito de uma falta completamente assim´etrica.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.4 Curto-circuito 26
Força como múltiplo do valor
máximo da força simétrica
Tempo (ms)
valor de pico da corrente de CC
1,8
pico simétrido da corrente de C C
=
Figura 2.4: Varia¸c˜ao da for¸ca com o tempo durante uma falta assim´etrica.
Essas correntes de curto-circuito produzem estresses mecˆanicos proporcionais ao
quadrado das correntes nos equipamentos pelos quais circulam. Embora a amplitude
das correntes de curto-circuito possam ser limitadas aumentando-se a impedˆancia do
sistema, esta pr´atica, geralmente, n˜ao ´e adotada, tendo em vista que tamb´em ocorre o
aumento da regula¸c˜ao da tens˜ao, que afeta o desempenho e opera¸c˜ao do sistema [31].
Um outro fator importante para a vida de transformadores ´e a freq
¨
uˆencia da ocor-
rˆencia das faltas. Embora as estruturas de suporte e os sistemas isolantes sejam proje-
tados para resistir aos m´aximos estresses provocados por curto-circuitos, a ocorrˆencia
com maior freq
¨
uˆencia de faltas, tende a prejudicar a isola¸c˜ao, reduzindo gradativamente
sua resistˆencia aos esfor¸cos mecˆanicos.
Quanto ao tempo de dura¸c˜ao das faltas, considera-se que este n˜ao seja um fator
agravante dos estresses mecˆanicos [29], uma vez que as m´aximas for¸cas se verificam
durante a ocorrˆencia do primeiro pico da corrente.
A norma IEC - 60079 [32], em sua parte 5, estabelece que a m´axima dura¸c˜ao para
um curto-circuito ´e de 2 segundos para transformadores com impedˆancias inferiores a
5% e 3 segundos para impedˆancias iguais ou superiores a 5%. O documento define,
ainda, a m´axima temperatura permiss´ıvel nos enrolamentos, que para o caso do cobre ´e
de 250
◦
C. Esse limite de temperatura ´e adotado, principalmente, para evitar o envelhe-
cimento do papel isolante, que permanece em contato com os condutores das bobinas.
Neste particular, os sistemas el´etricos possuem m´etodos de prote¸c˜ao r´apidos e eficazes,
que garantem a elimina¸c˜ao de faltas em tempos p equenos, da ordem de dezenas ou no
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.5 Correntes de inrush 27
m´aximo centenas de milisegundos.
Com respeito ao comportamento da resistˆencia mecˆanica do material comumente
utilizado como condutores de enrolamentos de transformadores, o cobre, este sofre uma
sens´ıvel redu¸c˜ao de sua resistˆencia mecˆanica em temperaturas sup eriores `a temperatura
de opera¸c˜ao normal, tais como as que se verificam em decorrˆencia de curto-circuitos,
como j´a dito, da ordem de 250
◦
C. Esta temperatura, no entanto, devido `a in´ercia
t´ermica dos materiais, leva um certo tempo para ser atingida. Dessa forma, pode-se
concluir que a ocorrˆencia dos maiores esfor¸cos, que acontecem no primeiro pico da
corrente, se verifica antes de que o material condutor tenha atingido temperaturas
tais que resultem em redu¸c˜ao de suas propriedades mecˆanicas. Na realidade, at´e que
a temperatura dos enrolamentos alcance a temperatura mencionada, a for¸ca j´a ter´a
decrescido a menos de um ter¸co do seu valor inicial. Assim sendo, ´e comum considerar-
se, para fins de c´alculo de esfor¸cos, que o condutor est´a na temperatura normal, do
ponto mais quente, a qual ´e fun¸c˜ao da classe de isolamento do transformador.
Todavia, ´e importante ressaltar, que a freq
¨
uˆencia e a dura¸c˜ao das correntes de falta
s˜ao de m´axima importˆancia no estabelecimento da coordena¸c˜ao da prote¸c˜ao, quando
efeitos t´ermicos e mecˆanicos devem ser considerados [28].
2.5 Correntes de inrush
As correntes de energiza¸c˜ao de transformadores ou inrush resultam de qualquer
varia¸c˜ao abrupta na tens˜ao dos enrolamentos [33]. Muito embora estas correntes geral-
mente sejam consideradas como resultado da energiza¸c˜ao de um transformador, elas
tamb´em p odem ser causadas pela ocorrˆencia de faltas externas aos transformadores,
quando do restabelecimento da tens˜ao, ap´os a elimina¸c˜ao de uma falta [34]. Dentre
estas poss´ıveis causas, a corrente de inrush de magnetiza¸c˜ao devido a energiza¸c˜ao de
um transformador ´e considerada o caso mais severo. Essas altas correntes podem ser
entendidas como sendo uma falta interna e provocar o disparo indesejado dos rel´es de
prote¸c˜ao [35].
A amplitude dessa corrente transit´oria depende de muitos fatores. Dentre os pre-
dominantes, pode-se mencionar: o instante de chaveamento do dispositivo e a existˆencia
ou n˜ao de magnetismo residual no n´ucleo. Em casos extremos, a m´axima corrente de
inrush poss´ıvel de ocorrer pode atingir valores de pico de v´arias vezes a amplitude da
corrente nominal. No entanto, observa-se que as correntes de inrush n˜ao s˜ao tratadas
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.5 Correntes de inrush 28
com o mesmo rigor dado `as correntes de curto-circuito durante o projeto mecˆanico de
transformadores [36]. Assim, do ponto de vista de esfor¸cos eletromecˆanicos, pesquisas
constatam que as altas correntes de energiza¸c˜ao podem submeter o enrolamento ener-
gizado a estresses mecˆanicos capazes de danific´a-lo [17], [18].
´
E interessante salientar que, embora as corrente de inrush e de curto-circuito pos-
sam parecer idˆenticas quanto aos seus efeitos nos transformadores, estas tˆem uma in-
fluˆencia significativamente distinta, do ponto de vista de magnetiza¸c˜ao do n´ucleo [18].
Em diversos eventos envolvendo correntes de inrush, os n´ucleos tornam-se saturados
e sua permeabilidade efetiva reduz-se drasticamente. Nessa condi¸c˜ao, o n´ucleo pode
ser considerado com caracter´ısticas lineares [18]. Em situa¸c˜oes de curto-circuito, as
distribui¸c˜oes das densidades de corrente em ambos enrolamentos s˜ao opostas e prati-
camente iguais. Neste caso, contrariamente ao anterior, considera-se que o n´ucleo est´a
bem abaixo da satura¸c˜ao, conduzindo a um elevado valor de permeabilidade. Dessa
forma, c´alculos envolvendo o n´ucleo tornam-se obrigat´orios a fim de se determinar as
for¸cas atuando nos enrolamentos.
Al´em disso, durante a investiga¸c˜ao das piores situa¸c˜oes de gera¸c˜ao de for¸cas, o foco
principal dever´a estar dirigido ao enrolamento energizado, pois a corrente no enro-
lamento sem carga ´e desprez´ıvel em amplitude quando comparada `a intensidade da
corrente de inrush.
O tempo de dura¸c˜ao de ambos fenˆomenos apresenta um outro diferencial. Enquanto
as correntes de falta podem ser eliminadas em dezenas de milissegundos, as correntes de
inrush podem ter dura¸c˜ao de dezenas de segundos [17]. Al´em disso, o procedimento de
energiza¸c˜ao de transformadores a vazio ´e considerado uma opera¸c˜ao normal do sistema,
devido `a freq
¨
uˆencia com que elas ocorrem.
2.5.1 Estimativa da amplitude do primeiro pico da corrente
de inrush
Os respons´aveis por instala¸c˜oes que contenham transformadores, principalmente
concession´arias de energia el´etrica, geralmente est˜ao interessados em conhecer o m´a-
ximo valor da corrente de inrush e, por vezes, a sua taxa de decaimento. Esta ´ultima
quest˜ao encontra-se `a margem das investiga¸c˜oes propostas neste trabalho, motivo pelo
qual n˜ao ´e abordada neste documento.
Uma equa¸c˜ao, aplic´avel a transformadores monof´asicos, que permite uma estimativa
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.6 T´ecnicas de modelagem 29
da m´axima corrente de inrush que circula pelo enrolamento energizado do dispositivo,
considerando o pior instante de chaveamento, corresponde a express˜ao 2.2 [36].
i
0 max
=
Hh
w
n
(2.2)
sendo:
- i
0 max
: pico da corrente de inrush;
- H: intensidade de campo magn´etico;
- n: n´umero de espiras do enrolamento energizado;
- h
w
: altura do enrolamento energizado.
A express˜ao anterior tamb´em pode ser utilizada em transformadores trif´asicos, como
parˆametro para avaliar o desempenho das correntes de inrush, em fun¸c˜ao do tipo de
conex˜ao dos enrolamentos [36].
Do exposto, torna-se evidente, que o fenˆomeno de energiza¸c˜ao de transformadores
´e um assunto que merece aten¸c˜ao especial, assim como os curtos-circuitos, em fun¸c˜ao
dos elevados valores que pode alcan¸car a corrente e a possibilidade de conseq
¨
uˆencias
danosas para estes equipamentos. Esta situa¸c˜ao ´e particularmente importante nos
grandes transformadores de potˆencia, que s˜ao freq
¨
uentemente submetidos a energiza¸c˜ao
sem carga, a corrente de magnetiza¸c˜ao sendo um importante fenˆomeno envolvido com
os estresses mecˆanicos [17].
2.6 T´ecnicas de modelagem de transformadores para
an´alise de transit´orios
Nas ´ultimas d´ecadas, muita aten¸c˜ao tem sido dedicada para avalia¸c˜ao das condi¸c˜oes
de opera¸c˜ao de transformadores instalados nos sistemas el´etricos. Esta pr´atica tem um
car´ater econˆomico e t´ecnico, uma vez que visa reduzir e/ou postergar investimentos
atrav´es da utiliza¸c˜ao de m´etodos de diagn´osticos capazes de proporcionar uma avalia¸c˜ao
da condi¸c˜ao do equipamento e sugerir a¸c˜oes que, quando aplicadas em tempo, tendem a
prolongar a estimativa da vida ´util dos equipamentos para al´em do per´ıodo estabelecido
durante a fase de projeto [23].
O uso de programas computacionais confi´aveis para a realiza¸c˜ao do projeto ´e uma
outra alternativa muito importante para antever o desempenho dos equipamentos, uma
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.6 T´ecnicas de modelagem 30
vez que, o emprego dessa t´ecnica, evita a efetiva¸c˜ao de gastos na constru¸c˜ao de pro-
t´otipos para estudar o comportamento dos dispositivos. Entretanto, o uso de modelos
computacionais para a an´alise de transit´orios eletromagn´eticos, foco deste trabalho,
requer que tais modelos sejam eficazes e precisos. O alto custo, complexidade e o fato
de os transformadores serem dispositivos indispens´aveis para a opera¸c˜ao de sistemas
el´etricos exige que os mesmos possuam modelos adequados e confi´aveis para a realiza¸c˜ao
de estudos dos fenˆomenos que ocorrem ao longo de sua vida operativa.
Em se tratando de transformadores trif´asicos, os esfor¸cos para se desenvolver mo-
delos computacionais s˜ao ainda maiores, visto que a complexidade da intera¸c˜ao entre
os fluxos magn´eticos nas trˆes fases do equipamento exige qualidade na representa¸c˜ao
da n˜ao linearidade do material ferromagn´etico do n´ucleo (histerese e satura¸c˜ao).
Seguindo esse racioc´ınio, observa-se que existem v´arias t´ecnicas para modelar estes
dispositivos eletromagn´eticos, dentre as quais pode-se citar: modelagem atrav´es de
equa¸c˜oes el´etricas, modelagem atrav´es de equa¸c˜oes el´etricas e magn´eticas, modelos
que utilizam t´ecnicas no dom´ınio do tempo, a exemplo dos software Saber e ATP
(Alternative Transient Program), modelagem que empregam o m´etodo dos Elementos
Finitos. A referˆencia [34] faz uma discuss˜ao mais aprofundada das potencialidades e
limita¸c˜oes das t´ecnicas mencionadas, voltadas para transformadores, destacando-se as
principais diferen¸cas entre elas.
Os modelos computacionais necessitam de m´etodos adequados para determina¸c˜ao
dos parˆametros elementares dos transformadores. Nesse sentido, a seguir, s˜ao desta-
cadas algumas informa¸c˜oes consideradas de maior relevˆancia para utiliza¸c˜ao em estudos
de transformadores.
1. Indutˆancias: a referˆencia [23] resume as principais t´ecnicas para os c´alculos de in-
dutˆancias, an´alise e projeto de transformadores em geral. Dentre as principais
categorias, pode-se citar:
• modelos fundamentados em indutˆancias m´utuas e pr´oprias: geralmente, utiliza-
dos quando altas freq
¨
uˆencias est˜ao envolvidas;
• modelagem baseada em indutˆancia de dispers˜ao: normalmente usada para baixas
freq
¨
uˆencias, em c´alculos de esfor¸cos de curto-circuito de transformadores;
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.6 T´ecnicas de modelagem 31
• modelos alicer¸cados no princ´ıpio da dualidade: este m´etodo ´e utilizado para fre-
q
¨
uˆencias baixas e intermedi´arias, uma vez que as indutˆancias de dispers˜ao n˜ao s˜ao
corretamente representadas. A referˆencia [37] utiliza este m´etodo na modelagem
de uma condi¸c˜ao altamente saturada;
• an´alise baseada em campos eletromagn´eticos: este m´etodo ´e utilizado por pro-
jetistas para calcular parˆametros de projeto atrav´es de aproxima¸c˜oes de campos
eletromagn´eticos. A t´ecnica dos elementos finitos ´e a mais aceita para a solu¸c˜ao
de problemas deste tipo, ou seja campos magn´eticos.
2. Capacitˆancias: estas podem ser calculadas fazendo uso de m´eto dos anal´ıticos tradi-
cionais e tamb´em com o emprego de m´etodos computacionais.
3. Perdas: modelos detalhados das perdas s˜ao indispens´aveis para o projeto de um
transformador.
A modelagem de n´ucleos de transformadores depende da aplica¸c˜ao que se tem em
vista para o dispositivo. Para aplica¸c˜oes em baixas freq
¨
uˆencias (de 60 Hz at´e alguns
kHz) os modelos devem considerar o efeito da histerese e satura¸c˜ao no n´ucleo. Por
outro lado, a modelagem para freq
¨
uˆencias elevadas pode ser estabelecida considerando
que o n´ucleo ferromagn´etico do transformador comporta-se linearmente.
Assim sendo, o m´etodo a ser escolhido para modelagem de um transformador de-
pende do tip o de estudo e/ou aplica¸c˜ao que se tem em vista (an´alise de sobreten-
s˜oes transit´orias, resposta em freq
¨
uˆencia, etc). Nessa perspectiva, e tendo em vista
a adequabilidade das ferramentas computacionais para a realiza¸c˜ao da pesquisa aqui
apresentada, optou-se pelo uso de dois simuladores: um no dom´ınio do tempo e outro
utilizando o M´etodo dos Elementos Finitos.
Quanto ao simulador no dom´ınio do tempo, salienta-se que al´em de uma variada bi-
blioteca de modelos, a plataforma selecionada possibilita a modelagem de qualquer com-
ponente el´etrico, eletrˆonico, mecˆanico, eletromagn´etico, etc. A linguagem para a cria¸c˜ao
de modelos permite a representa¸c˜ao de um dispositivo pela combina¸c˜ao de equa¸c˜oes
alg´ebricas ou diferenciais, lineares ou n˜ao-lineares. Al´em disso, esta plataforma possui
uma grande versatilidade gr´afica, capacidade de interconex˜ao com rotinas elaboradas
em outras linguagens de programa¸c˜ao, a exemplo da linguagem C e Fortran, e ma-
nipula¸c˜ao dos resultados de sa´ıda, permitindo a an´alise mais detalhada dos fenˆomenos
estudados.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.7 Considera¸c˜oes finais 32
A outra ferramenta adotada para a modelagem de transformadores, ´e Finite Ele-
ment Method Magnetics (FEMM) que consiste em um pacote compatacional baseado
no M´etodo dos Elementos Finitos (MEF) dedicado a resolu¸c˜ao de problemas eletro-
magn´eticos no dom´ınio 2D. Este programa utiliza t´ecnicas num´ericas e proporciona a
resolu¸c˜ao r´apida e direta das complexas equa¸c˜oes diferenciais que regem o comporta-
mento de dispositivos eletromagn´eticos. Esta t´ecnica constitui-se numa poderosa ferra-
menta para analisar estruturas eletromagn´eticas complexas e irregulares, pois permite
que se fa¸ca o mapeamento de campos el´etricos e magn´eticos para diversos dispositivos,
tais como: motores, transdutores, transformadores, etc. Al´em disso, a possibilidade
da an´alise estrutural, evidenciando, sobretudo, seu comportamento eletromagn´etico,
torna o m´etodo uma ferramenta eficiente, proporcionando os mais diversos tipos de
an´alises que envolvam campos eletromagn´eticos, tais como c´alculos de esfor¸cos nos en-
rolamentos [21]. O programa permite a visualiza¸c˜ao de grandezas el´etricas, magn´eticas
e mecˆanicas em qualquer regi˜ao da estrutura implementada, visto que, admite a pr´e-
sele¸c˜ao dos elementos de contornos, volumes e superf´ıcies que constituem o dom´ınio
sob estudo.
Devido as dificuldades de se encontrar valores de referˆencia de c´alculos de esfor¸cos
mecˆanicos, os resultados obtidos do FEMM ser˜ao utilizados para fins de compara¸c˜ao
com os obtidos do modelo no dom´ınio do tempo.
2.7 Considera¸c˜oes finais
O presente cap´ıtulo foi dedicado inicialmente ao fornecimento de dados estat´ısticos
sobre as principais causas de falhas em transformadores de distribui¸c˜ao e de potˆencia,
oriundos de pesquisas realizadas em empresas do setor el´etrico de diversos pa´ıses. Os
resultados apresentados se constituem como pontos de balizamento, incentivo e justi-
ficativa para a realiza¸c˜ao dos estudos desta tese, uma vez que, os dados levantados na
maioria das pesquisas mostram que as principais causas de falhas em transformadores
s˜ao devidas `a degrada¸c˜ao do sistema isolante. Parcela significativa do dano sofrido pela
isola¸c˜ao ´e resultado de faltas externas a que os equipamentos s˜ao submetidos ao longo
de sua vida, como por exemplo, curtos-circuitos “passantes” e correntes de inrush.
Considerando-se a importˆancia dos fenˆomenos considerados, foi apresentada uma
revis˜ao did´atica com o objetivo de fornecer uma base conceitual sobre estes assuntos.
Foi feita uma ligeira descri¸c˜ao sobre os asp ectos te´oricos dos curtos-circuitos e correntes
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
2.7 Considera¸c˜oes finais 33
de inrush, evidenciando-se a importˆancia que deve ser dada `as m´aximas correntes de
curto-circuito, em particular aquelas devidas `as faltas trif´asicas, pois estas s˜ao respons´a-
veis pelos maiores esfor¸cos mecˆanicos. Esse fato determina que nos projetos mecˆanicos
dos transformadores, sejam utilizados os valores de pico das correntes de curto-circuito
trif´asicas.
Encerra-se o cap´ıtulo, com a apresenta¸c˜ao das principais t´ecnicas dispon´ıveis para
realizar a modelagem de transformadores. Dentre as diversas op¸c˜oes encontradas,
optou-se pela escolha de duas estrat´egias distintas que possibilitam a an´alise do de-
sempenho el´etrico, magn´etico e mecˆanico dos dispositivos. Uma delas fundamentada
no M´etodo dos Elementos Finitos e a outra com o uso de um simulador que utiliza
t´ecnicas no dom´ınio do tempo. As t´ecnicas num´ericas selecionadas s˜ao utilizadas como
ferramenta nos cap´ıtulos subseq
¨
uentes, no tocante aos c´alculos dos esfor¸cos eletrome-
cˆanicos.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
Cap´ıtulo 3
For¸cas Eletromagn´eticas e Estresse
Mecˆanico: Abordagem Anal´ıtica
3.1 Considera¸c˜oes iniciais
A modelagem matem´atica ´e uma etapa fundamental na implementa¸c˜ao computa-
cional de qualquer equipamento. A correta representa¸c˜ao de um dispositivo permite
a simula¸c˜ao com a reprodu¸c˜ao fidedigna do seu desempenho sob as mais diversas
condi¸c˜oes de opera¸c˜ao, sem que haja a necessidade da execu¸c˜ao de ensaios, que por
vezes, podem ser destrutivos.
Nessa perspectiva, este cap´ıtulo tem como proposta apresentar uma metodologia
para o c´alculo de for¸cas e estresse eletromecˆanico que se verificam nas partes ativas e es-
truturais dos transformadores, em conseq
¨
uˆencia das elevadas correntes de curto-circuito
“passantes” ou das correntes de “inrush”. As formula¸c˜oes utilizadas para os c´alculos
anal´ıticos balizar˜ao os trabalhos de valida¸c˜ao das estrat´egias computacionais desen-
volvidas, que, por compara¸c˜ao em seus aspectos quantitativos das grandezas el´etricas,
magn´eticas e mecˆanicas permitir˜ao aferir o desempenho dos modelos desenvolvidos
empregando-se os m´etodos num´ericos selecionados para a modelagem dos transforma-
dores.
Para atender os objetivos aqui propostos, este cap´ıtulo aborda, fundamentalmente,
os seguintes aspectos:
• Defini¸c˜ao e caracteriza¸c˜ao das for¸cas eletromagn´eticas e dos campos de dispers˜ao,
evidenciando a influˆencia de tais campos na magnitude dos esfor¸cos;
• Apresenta¸c˜ao de uma metodologia anal´ıtica para c´alculo das componentes de
for¸cas axiais e radiais e dos estresses originados pelas for¸cas;
34
3.2 For¸cas eletromagn´eticas em transformadores 35
• Descri¸c˜ao dos diferentes tipos de estresses eletromecˆanicos pass´ıveis de ocorrˆencia
em transformadores e identifica¸c˜ao dos principais tipos de falhas provocados por
esses estresses nos enrolamentos concˆentricos de transformadores.
3.2 For¸cas eletromagn´eticas em transformadores
De acordo com a teoria eletrodinˆamica, a densidade de for¸ca num dado volume
de uma bobina, de um transformador por exemplo, ´e igual ao produto vetorial da
densidade de corrente na bobina pela densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao. Esta
correla¸c˜ao ´e dada pela equa¸c˜ao 3.1, a qual se fundamenta na express˜ao b´asica das for¸cas
de Lorentz.
f =
J ×
B (3.1)
sendo:
−→
f : densidade volum´etrica de for¸ca magn´etica (N/m
3
);
−→
J : densidade superficial de corrente (A/m
2
);
−→
B : densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao (T).
As for¸cas entre espiras de um mesmo enrolamento (prim´ario ou secund´ario) de um
transformador s˜ao de atra¸c˜ao. Por outro lado, as for¸cas entre as espiras de enrolamentos
distintos s˜ao de repuls˜ao, se as correntes que circulam em ambos enrolamentos tˆem
sentidos opostos. Estes efeitos estar˜ao sempre presentes quando um transformador
est´a em opera¸c˜ao, independentemente do regime de funcionamento [38].
Sob condi¸c˜oes normais de opera¸c˜ao as for¸cas e os campos de dispers˜ao s˜ao relati-
vamente pequenos e por conseguinte, os esfor¸cos s˜ao perfeitamente suport´aveis pelas
estruturas de suporte dos enrolamentos. No entanto, sob a¸c˜ao de fenˆomenos tran-
sit´orios, tais como, curtos-circuitos e correntes de energiza¸c˜ao de transformadores, os
campos de dispers˜ao devidos `as elevadas correntes tamb´em alcan¸cam valores substan-
ciais e, por conseguinte, os esfor¸cos originados podem tornar-se grande o suficiente
para destruir total ou parcialmente o transformador, caso os condutores n˜ao estejam
adequadamente sustentados por estruturas de suporte.
Com o intuito de ilustrar os efeitos decorrentes da intera¸c˜ao entre as correntes
e os campos magn´eticos de dispers˜ao nas bobinas de um transformador mostra-se a
figura 3.1, a qual representa a distribui¸c˜ao de fluxo na janela de um transformador de
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.2 For¸cas eletromagn´eticas em transformadores 36
enrolamentos concˆentricos. Esta figura foi obtida de simula¸c˜oes utilizando o FEMM.
A figura ilustra, al´em da distribui¸c˜ao de fluxo, os campos de dispers˜ao radial e axial as
for¸cas resultantes.
F
r
B
a
B
r
B
a
B
F
r
F
a
Figura 3.1: Campos de dispers˜ao e for¸cas axiais e radiais.
A figura anterior permite observar, ainda, o comportamento t´ıpico da distribui-
¸c˜ao de fluxo de disp ers˜ao na janela de transformadores com enrolamentos concˆentricos
e com for¸cas magnetomotrizes (amp`ere-espiras) uniformemente distribu´ıdas e equili-
bradas. Essa distribui¸c˜ao de fluxo magn´etico de dispers˜ao ´e quase que exclusivamente
axial (linhas de fluxo paralelas `as bobinas) ao longo da maior parte da altura dos enro-
lamentos (B
a
) e inclina-se nas extremidades das bobinas, buscando o menor caminho
de retorno. Essa inclina¸c˜ao provoca a decomposi¸c˜ao do campo de disp ers˜ao em duas
componentes: uma axial (B
a
) e outra radial (B
r
) nas extremidades superior e inferior
da bobina.
A equa¸c˜ao 3.1 define as for¸cas eletromagn´eticas como a intera¸c˜ao entre as compo-
nentes das densidades de fluxo de dispers˜ao e a corrente que circula nos enrolamentos.
O processo de intera¸c˜ao entre essas grandezas vetoriais acontece da seguinte forma:
a densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao axial (B
a
), interage com a corrente do
enrolamento, dando origem a uma for¸ca radial (F
r
), mostrada na figura em quest˜ao.
Esta ´e respons´avel pela m´utua repuls˜ao entre os enrolamentos interno e externo do
transformador. Por outro lado, a intera¸c˜ao entre o campo de dispers˜ao radial com a
corrente d´a origem `a uma for¸ca axial (F
a
), respons´avel pelos esfor¸cos de compress˜ao ax-
ial. Salienta-se que para enrolamentos perfeitamente alinhados e com uma distribui¸c˜ao
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.3 Campos magn´eticos de dispers˜ao em transformadores 37
uniforme dos amp`ere-espiras, a for¸ca axial ´e exclusivamente de compress˜ao.
Para a condi¸c˜ao em que os enrolamentos encontrem-se desequilibrados e/ou desa-
linhados, as for¸cas radiais praticamente permanecem inalteradas em rela¸c˜ao ao caso
equilibrado. As for¸cas axiais, no entanto, variam, sofrendo aumento de amplitude.
Estas for¸cas agem no sentido de aumentar ainda mais o desequil´ıbrio existente, sub-
metendo o equipamento a esfor¸cos ainda maiores, que, dependendo da severidade do
dist´urbio, podem vir a comprometer a sua integridade f´ısica.
Diferen¸cas construtivas de transformadores, tais como: tipo de n´ucleo (envolvente
ou envolvido), tipo de bobina (camada, disco e tap’s), tamb´em originam for¸cas difere-
ciadas nas diversas configura¸c˜oes de enrolamentos. Sendo que, cada tipo construtivo,
tem uma capacidade inerente para suportar os esfor¸cos nos condutores, evitando seu
movimento, quando submetidos a condi¸c˜oes adversas extremas [39].
´
E importante ressaltar, que para o c´alculo das for¸cas mecˆanicas em diferentes partes
dos enrolamentos, existe a necessidade de se ter um conhecimento preciso das dis-
tribui¸c˜oes das densidades de fluxos magn´etico de dispers˜ao, pois s˜ao de fundamental
importˆancia na fase de projeto de transformadores. Destaca-se, que o “caminho” mag-
n´etico do fluxo tem grande influˆencia tamb´em nas perdas magn´eticas e nos esfor¸cos
dinˆamicos a que s˜ao submetidos os equipamentos, em decorrˆencia dos curtos-circuitos
[40].
3.3 Campos magn´eticos de dispers˜ao em transfor-
madores
Conforme mencionado, o c´alculo das for¸cas eletromagn´eticas dep ende fundamental-
mente, do conhecimento das corrente e da trajet´oria do fluxo magn´etico de dispers˜ao
no espa¸co localizado entre os enrolamentos. Diante disso, optou-se por realizar uma
breve explana¸c˜ao do comportamento dos campos magn´eticos no interior dos transfor-
madores. Para tanto, devem ser estabelecidas as rela¸c˜oes entre os fluxos concatenados
e correntes envolvidas, levando-se em considera¸c˜ao a dispers˜ao e as propriedades mag-
n´eticas do material utilizado na confec¸c˜ao do n´ucleo. Para uma melhor compreens˜ao,
as an´alises ser˜ao efetuadas em dois momentos, inicialmente para a situa¸c˜ao de opera¸c˜ao
a vazio e, posteriormente, na condi¸c˜ao sob carga.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.3 Campos magn´eticos de dispers˜ao em transformadores 38
• Transformador operando a vazio
A figura 3.2 ilustra os fluxos que se estabelecem no interior de um transformador
tipo n ´ucleo envolvido, para duas condi¸c˜oes de opera¸c˜ao em vazio do equipamento.
x
x
x
x
x
x
l1
21
l1
2
1
2
1 2 1 21
i
1
f
f
f
(a) Energiza¸c˜ao do enrolamento in-
terno.
f
f
f
f
x
x
x
x
x
x
l2
l2l212
2
2
1 1 2
1
1
2
i
2
(b) Energiza¸c˜ao do enrolamento externo.
Figura 3.2: Densidade de campo magn´etico t´ıpico de um transformador a vazio.
A figura 3.2(a), refere-se `a situa¸c˜ao em que o enrolamento 1 (interno) ´e energizado
e o enrolamento 2 (externo) permanece aberto. A segunda condi¸c˜ao operativa, figura
3.2(b), analisa a situa¸c˜ao contr´aria, ou seja, o enrolamento 2 encontra-se conduzindo
com o enrolamento 1 mantido aberto. Note-se que, as figuras mencionadas mostram
as correntes nos enrolamentos (i
1
e i
2
) e as principais componentes dos fluxos por elas
produzidos.
Observa-se que a maior parte do fluxo mostrado na figura 3.2(a), (φ
21
), est´a confi-
nada no n´ucleo e, portanto, concatena todas as espiras de ambos enrolamentos. Outra
parte do fluxo concatena somente as espiras do enrolamento 1 (φ
l1
) [41].
Analogamente ao caso anterior, a figura 3.2(b) evidencia que o fluxo φ
12
est´a confi-
nado no n´ucleo ferromagn´etico e o fluxo φ
l2
concatena apenas as espiras do enrolamento
2.
Sabe-se, que a alta permeabilidade do material ferromagn´etico quando comparado
a outros meios, confere ao n´ucleo ferromagn´etico dos transformadores, a preferˆencia
no estabelecimento do fluxo magn´etico (φ
21
e φ
12
). Entretanto, uma parte deste fluxo
segue um caminho combinado entre o ar e o n´ucleo magn´etico (φ
l1
e φ
l2
). Neste
caso, considerando que a relutˆancia atrav´es do material n˜ao-linear ´e pequena quando
comparada com a relutˆancia linear (do ar ou ´oleo, por exemplo), para efeito de c´alculo,
pode-se considerar que a relutˆancia oferecida ao estabelecimento do fluxo de dispers˜ao
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.3 Campos magn´eticos de dispers˜ao em transformadores 39
´e formado apenas pelo caminho considerado linear.
• Transformador operando sob carga
A condi¸c˜ao operativa sob carga ´e caracterizada pela circula¸c˜ao de corrente em os
ambos enrolamentos do transformador. Os fluxos totais concatenados s˜ao produzidos
pelo efeito combinado de ambas correntes e s˜ao, em parte, devido ao acoplamento par-
cial do campo magn´etico nos espa¸cos entre os enrolamentos. Os fluxos resultantes de-
pendem tamb´em do valor instantˆaneo das correntes em ambos enrolamentos, conforme
mostra uma situa¸c˜ao ilustrativa analisada a seguir, que descreve o comportamento das
correntes e fluxos em um transformador com enrolamentos concˆentricos.
Para tanto, considere-se um transformador sob carga, com igual n´umero de espiras
em seus enrolamentos interno ou prim´ario e externo ou secund´ario, cujas formas de
onda das correntes s˜ao mostradas na figura 3.3.
i
2
i
1
t
0
t
1
t
2
t
3
Figura 3.3: Correntes instantˆaneas nos enrolamentos intenro e externo.
A for¸ca magnetomotriz produzida pela corrente secund´aria (i
2
), mostrada na figura
anterior, tende a se opor `a for¸ca magnetomotriz devida `a corrente do enrolamento
prim´ario (i
1
). Dessa forma, se as dire¸c˜oes positivas de ambas correntes s˜ao escolhi-
das na mesma dire¸c˜ao do fluxo positivo, as correntes das bobinas interna e externa
s˜ao aproximadamente iguais em amplitude e est˜ao em oposi¸c˜ao de fase, como mostra
a figura 3.3. A amplitude e a rela¸c˜ao de fase das correntes prim´aria e secund´aria
dependem da natureza da carga, bem como, das caracter´ısticas do transformador.
No instante t
0
, a corrente instantˆanea i
2
´e nula e a distribui¸c˜ao de fluxo resultante
se comporta como se enrolamento pela qual circula i
2
estivesse aberto, apresentando,
dessa forma, um comportamento semelhante ao verificado na figura 3.2(a). Analoga-
mente, em t
1
a corrente instantˆanea i
1
´e nula e a distribui¸c˜ao do fluxo ocorre de maneira
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.3 Campos magn´eticos de dispers˜ao em transformadores 40
semelhante `a figura 3.2(b). Durante a primeira parte do intervalo de tempo de t
0
a
t
1
, a corrente instantˆanea no enrolamento interno ´e maior que a do externo, e em con-
seq
¨
uˆencia, tem maior influˆencia na distribui¸c˜ao do fluxo. Assim, o fluxo de dispers˜ao
concatena a bobina interna e est´a dirigido para baixo, no espa¸co de ar entre os enrola-
mentos, como mostra a figura 3.2(a). Durante a ´ultima parte desse intervalo de tempo,
a corrente instantˆanea da bobina externa ´e maior que a interna, ou seja, o fluxo de dis-
pers˜ao concatena o enrolamento externo e est´a dirigido para cima no espa¸co de ar entre
os enrolamentos, como evidencia a figura 3.2(b).
´
E importante observar que, nesse in-
tervalo de tempo, as correntes nos enrolamentos externo e interno apresentam um valor
relativamente pequeno e, dessa forma, o fluxo de dispers˜ao tamb´em ´e de pequena ampli-
tude. Tendo em vista que a inten¸c˜ao deste caso ilustrativo ´e mostrar o comportamento
dos fluxos correlacionados com as correntes que os originam, a figura 3.4 mostra diver-
sas configura¸c˜oes para os fluxos resultantes, correspondentes `as correntes mostradas na
figura anterior e nos per´ıodos respectivos ilustrados na figura 3.3.
fl2
f
fl1
fl2
x x
2 21 1
(a) t
1
< t < t
2
x x
2 21 1
(b) t
1
< t < t
2
x
x
2 21 1
(c) t = t
2
x x
2 21 1
fl2
f
fl1
fl2
(d) t
2
< t < t
3
x x
2 21 1
(e) t
2
< t < t
3
Figura 3.4: Campo magn´etico devido a corrente nos enrolamentos.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.3 Campos magn´eticos de dispers˜ao em transformadores 41
No intervalo de tempo de t
1
a t
2
(figura 3.3) as correntes nos enrolamentos produzem
for¸cas magnetomotrizes opostas, sendo predominante a for¸ca magnetomotriz devido a
corrente i
2
. Dessa forma, o fluxo m´utuo resultante φ, mostrado na figura 3.4(a), est´a
na dire¸c˜ao da for¸ca magnetomotriz devido a i
2
, como pode ser observado pelas linhas
pontilhadas da mesma. Esta figura ilustra, ainda, atrav´es das linhas cont´ınuas, as
componentes dos fluxos de disp ers˜ao φ
l1
e φ
l2
produzidos pelas correntes individuais.
´
E importante salientar que as componentes de fluxos mencionadas n˜ao existem como
linhas de for¸cas no diagrama do campo magn´etico resultante. Todavia, a distribui-
¸c˜ao real do fluxo ´e o resultado da combina¸c˜ao dessas componentes. Por exemplo, na
figura 3.4(a), o fluxo resultante φ e o fluxo de dispers˜ao do enrolamento interno φ
l1
s˜ao componentes do fluxo na coluna do n´ucleo e essas componentes est˜ao em dire¸c˜oes
opostas como evidencia a figura. O fluxo resultante na coluna ´e a diferen¸ca entre es-
sas comp onentes. Isto ´e, a for¸ca magnetomotriz da bobina externa, que se op˜oe a da
interna, desvia parte do fluxo do n´ucleo e for¸ca-o a entrar no espa¸co de ar entre os
enrolamentos, como mostrado pelas linhas cont´ınuas na figura 3.4(b). Esta figura per-
mite observar, ainda, que as linhas de fluxo que concatenam ambos enrolamentos, como
mostrado pelas linhas tracejadas, n˜ao representam a componente m´utua resultante φ,
mostrada pelas linhas tracejadas da figura 3.4(a), e que o fluxo que passa pelo ar (linhas
cont´ınuas da figura 3.4(b)), concatena o enrolamento interno, mas n˜ao o externo.
`
A medida que o tempo aumenta de t
1
para t
2
(figura 3.3) o fluxo m´utuo resultante
vai decrescendo at´e t
2
. Nesse instante, as for¸cas magnetomotrizes dos enrolamentos
externo e interno s˜ao iguais e opostas e, conseq
¨
uentemente, a for¸ca magnetomotriz
resultante no n´ucleo ´e nula. O fluxo m´utuo resultante no tempo t
2
, portanto, ´e nulo,
se os efeitos de histerese e correntes parasitas forem desprezados. Assim, durante
o intervalo de t
1
a t
2
as correntes aumentam e o fluxo no ar aumenta de um valor
pequeno em t
1
para um valor maior em t
2
. A distribui¸c˜ao do fluxo para esta condi¸c˜ao
esta mostrada na figura 3.4(c).
No per´ıodo de t
2
a t
3
da figura 3.3, as correntes dos enrolamentos externo e interno,
mais uma vez apresentam-se em oposi¸c˜ao, entretanto, a for¸ca magnetomotriz da cor-
rente do enrolamento interno negativa (i
1
) predomina. O fluxo m´utuo resultante φ,
est´a portanto na dire¸c˜ao da for¸ca magnetomotriz devido a i
1
, mostradas pelas linhas
pontilhadas da figura 3.4(d). Esta mesma figura mostra tamb´em, em linhas cont´ınuas,
as componentes de fluxo de disp ers˜ao φ
l1
e φ
l2
produzidos por cada uma das correntes
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.3 Campos magn´eticos de dispers˜ao em transformadores 42
correspondentes. Novamente, salienta-se que os fluxos mostrados na figura mencionada
s˜ao meramente comp onentes e n˜ao devem ser identificados com qualquer uma das li-
nhas de for¸ca do desenho do campo magn´etico resultante. A distribui¸c˜ao de fluxo
resultante ´e a combina¸c˜ao das componentes conforme mostrado de forma aproximada
na figura 3.4(e). Deve-se observar que as linhas de fluxo concatenando instantanea-
mente ambos enrolamentos, linhas cont´ınuas da figura, n˜ao representam a componente
m´utua resultante φ da figura 3.4(d), e a maior parte do fluxo pelo ar (linhas tracejadas
da figura 3.4(e)), concatenam o prim´ario, mas n˜ao o secund´ario.
No per´ıodo de t
2
a t
3
(figura 3.3), as correntes instantˆaneas decrescem at´e final-
mente, em t
3
, existir t˜ao somente, a corrente no prim´ario, como em t
0
, exceto que
as correntes encontram-se com polaridades opostas. A distribui¸c˜ao do fluxo em t
3
´e
similar mas, est´a na dire¸c˜ao contr´aria `aquela mostrada na figura 3.2(a).
A an´alise anterior deixa em evidˆencia alguns aspectos relevantes com respeito aos
fluxos envolvidos no processo em quest˜ao, dentre os quais destacam-se:
a) o fluxo de dispers˜ao pode ser considerado diretamente proporcional a corrente que
o produz;
b) a distribui¸c˜ao do fluxo em um transformador, depende, al´em do arranjo geom´etrico
de seu n´ucleo e enrolamentos, da ampitude e dire¸c˜oes instantˆaneas das correntes;
c) quando circulam correntes em ambos enrolamentos, a maior parte do fluxo que passa
pelo ar, concatena o enrolamento que estiver com a maior for¸ca magnetomotriz
instantˆanea.
A primeira constata¸c˜ao descrita anteriormente, ´e uma importante propriedade do
fluxo magn´etico de dispers˜ao e simplifica, sobremaneira, o tratamento anal´ıtico dos
transformadores com n´ucleo de ferro [41]. Essa simplifica¸c˜ao ´e v´alida, particularmente
para o c´alculo de for¸cas eletromagn´eticas, uma vez que o aumento das correntes de
curto-circuito e dos fluxos magn´eticos de dispers˜ao ´e que s˜ao os respons´aveis pelo
agravamento destas for¸cas. Quanto `as correntes de energiza¸c˜ao, essa considera¸c˜ao
tamb´em ´e de grande valia, pois, devido `as correntes de inrush, ocorre a satura¸c˜ao
do n´ucleo ferromagn´etico tornando a sua relutˆancia muito alta e pr´oxima ao valor da
relutˆancia do ar o que aumenta o fluxo de dispers˜ao [42].
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.4 C´alculo anal´ıtico das for¸cas radiais 43
3.4 C´alculo anal´ıtico das for¸cas radiais em enrola-
mentos concˆentricos
As componentes radiais das for¸cas num transformador com enrolamentos concˆentri-
cos podem ser calculadas com precis˜ao atrav´es de um m´etodo anal´ıtico cl´assico descrito
em [29]. Com esse intuito, na seq
¨
uˆencia faz-se a descri¸c˜ao do m´etodo mencionado tendo
como foco um transformador, como j´a dito, dotado de dois enrolamentos concˆentricos.
´
E importante salientar, que as formula¸c˜oes apresentadas para o c´alculo das for¸cas ra-
diais foram extra´ıdas da referˆencia mencionada.
A figura 3.5 mostra a se¸c˜ao de um dos lados de um transformador de dois enrola-
mentos, na qual est˜ao ilustradas a distribui¸c˜ao da densidade de fluxo axial e as for¸cas
radiais nas bobinas interna e externa. Salienta-se, que com o objetivo de facilitar os
c´alculos necess´arios `a obten¸c˜ao das for¸cas, a curvatura do campo pr´oximo `as extre-
midades das bobinas ´e desprezada (ver figura 3.1). Esta aproxima¸c˜ao ´e perfeitamente
justific´avel, uma vez que ´e o valor m´aximo da for¸ca que interessa e este ocorre no ponto
m´edio do enrolamento.
Ba
Distribuição de
fluxo axial
Fr
Fr
h
núcleo
Figura 3.5: Se¸c˜ao transversal de um lado do transformador mostrando as for¸cas radiais
nos enrolamentos e a distribui¸c˜ao da densidade de fluxo axial.
A figura exibe tamb´em, o comportamento da densidade de fluxo axial, representado
pelo diagrama em forma de trap´ezio no detalhe constante do lado direito do desenho.
Observa-se que esta grandeza apresenta um valor m´aximo e constante na regi˜ao entre os
enrolamentos e decresce `a medida que se aproxima da superf´ıcie externa do enrolamento
externo e da superf´ıcie interna do enrolamento interno. Ainda com respeito `a figura
anteriormente mencionada e lembrando da simplifica¸c˜ao assumida para a curvatura do
fluxo axial, pode-se considerar que nestas duas regi˜oes extremas a densidade de fluxo
de dispers˜ao axial apresenta um valor nulo. Assim sendo, pode-se assumir que o campo
´e uniforme ao longo de todo o comprimento das bobinas.
A densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao no ponto m´edio entre os enrolamentos
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.4 C´alculo anal´ıtico das for¸cas radiais 44
pode ser determinado pela equa¸c˜ao 3.2, sendo nI
n
o valor eficaz dos amp`ere-espiras (ou
for¸ca magnetomotriz) em cada um dos enrolamentos.
B
a
=
√
2 · 4π · nI
n
10
7
· h
=
√
2 · µ
0
· nI
n
h
[T ] (3.2)
sendo:
B
a
: densidade de fluxo de dispers˜ao axial (T);
n: n´umero de espiras do enrolamento;
I
n
: corrente nominal do enrolamento (A);
h: altura do enrolamento (m);
µ
0
: Permeabilidade do v´acuo (4π10
−7
).
A for¸ca magnetomotriz total, nI
n
, de cada enrolamento encontra-se imersa em uma
densidade de fluxo m´edio igual a 1/2B
a
. Da´ı, as for¸cas radiais atuando sobre um
enrolamento de diˆametro D
m
e altura h podem ser determinadas com aux´ılio da ex-
press˜ao 3.3.
F
r
=
2π
2
(nI
n
)
2
D
m
h
10
−7
[N] (3.3)
sendo:
F
r
: for¸ca radial total no enrolamento (N);
D
m
: diˆametro m´edio do enrolamento (m).
A a¸c˜ao dessa for¸ca atuando sobre os enrolamentos est´a ilustrada na figura 3.6.
Observa-se na figura, que o enrolamento externo fica sujeito a uma for¸ca radial que
age para fora e tende a esticar o condutor, produzindo um estresse de tra¸c˜ao nas
espiras (hoop stress). Por outro lado, o enrolamento interno experimenta for¸cas radiais
similares, por´em dirigidas na dire¸c˜ao do n´ucleo e cuja a¸c˜ao ´e de comprimir ou esmagar
as espiras. Este efeito ´e denominado estresse de compress˜ao (compressive stress).
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.4 C´alculo anal´ıtico das for¸cas radiais 45
Figura 3.6: Estresse de tra¸c˜ao e de compress˜ao nos enrolamentos concˆentricos.
Para o enrolamento externo, os condutores mais pr´oximos ao diˆametro interno ex-
perimentam for¸cas mais elevadas quando comparadas `aquelas pr´oximas ao diˆametro
externo [36]. De forma semelhante ao comportamento evidenciado para a densidade de
fluxo magn´etico de dispers˜ao axial, as for¸cas radiais tamb´em sofrem uma redu¸c˜ao li-
near, a partir de um valor m´aximo que ocorre pr´oximo ao diˆametro interno alcan¸cando
um valor nulo no diˆametro externo. Como os condutores das bobinas est˜ao firmemente
montados, a for¸ca ´e transferida do condutor que experimenta a maior for¸ca para aquele
que ´e menos solicitado, justificando-se, portanto, a determina¸c˜ao de um valor m´edio,
dado pela express˜ao 3.3.
O estresse de tra¸c˜ao m´edio no enrolamento externo ´e calculado considerando-se uma
camada cil´ındrica, conforme mostra a figura 3.7, `a qual o enrolamento externo pode
ser comparado. Muito embora a for¸ca n˜ao seja aplicada no interior do enrolamento,
mas sim distribu´ıda linearmente atrav´es de sua dimens˜ao, a for¸ca equivalente pode ser
obtida fazendo o produto da press˜ao exercida vezes a ´area da superf´ıcie interna total.
A
B
F
rmed
F
rmed
D
m
Figura 3.7: M´etodo para c´alculo de estresse de tra¸c˜ao m´edio.
A for¸ca radial m´edia F
rmed
, mostrada na figura anterior, que age nas duas metades
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.4 C´alculo anal´ıtico das for¸cas radiais 46
do enrolamento ´e equivalente a press˜ao sobre o diˆametro, enquanto que a for¸ca total
radial (F
r
dada pela equa¸c˜ao 3.3) ´e equivalente a press˜ao sobre a circunferˆencia de
comprimento πD
m
. Assim, tem-se que F
rmed
= F
r
/π e ´e dada por:
F
rmed
=
2π(nI
max
)
2
D
m
h
10
−7
[N] (3.4)
Esta for¸ca age em ambas extremidades do diˆametro AB da figura 3.7, isto ´e, na
se¸c˜ao reta do condutor, igual a duas vezes aquela de to do o enrolamento.
Assim, se o enrolamento tem n espiras de se¸c˜ao transversal S, o estresse de tra¸c˜ao
m´edio no enrolamento externo pode ser calculado pela equa¸c˜ao 3.5.
σ
medio
=
(nI
max
)
2
πD
m
h.n.S
10
−7
N
m
2
(3.5)
Ou ainda,
σ
medio
=
I
2
max
h
·
nπD
m
S
10
−7
(3.6)
Pode-se notar que nπD
m
´e o comprimento total do condutor no enrolamento. Assim,
multiplicando-se o numerador e o denominador da equa¸c˜ao 3.6 pela resistividade do
condutor na temperatura de 75
o
C, chega-se a equa¸c˜ao 3.7.
σ
medio
=
I
2
max
ρh
·
R
cc
10
7
N
m
2
(3.7)
sendo:
R
cc
: resistˆencia em corrente cont´ınua do condutor (Ω);
ρ: resistividade do condutor na temperatura de 75
o
C (Ω.m).
O estresse de tra¸c˜ao no primeiro pico da corrente de curto-circuito, assumindo
um fator de assimetria igual a 1,8, ´e obtido substituindo I
max
= 1, 8
√
2I
n
/Z
pu
na
equa¸c˜ao 3.7, onde I
n
e Z(pu) s˜ao, respectivamente, a corrente nominal do enrolamento
e a impedˆancia percentual do equipamento. Assim tem-se:
σ
medio
=
1, 8
√
2
2
I
2
n
· R
cc
Z
2
· ρ · h · 10
7
N
m
2
(3.8)
A equa¸c˜ao 3.8 fornece bons resultados de estresse para enrolamentos do tipo disco
rigidamente enrolados, uma vez que, embora o estresse seja maior nos condutores inter-
nos do enrolamento externo, estes n˜ao podem se deformar sem pressionar os condutores
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.5 C´alculo anal´ıtico das for¸cas axiais 47
externos. Isto resulta em um estresse de tra¸c˜ao aproximadamente uniforme em todo
o enrolamento. Em enrolamentos tipo camada/helicoidal com duas ou mais camadas,
estas n˜ao s˜ao firmemente sustentadas uma pela outra e, portanto, n˜ao h´a transferˆen-
cia de carga entre elas. Assim, o estresse de tra¸c˜ao ´e maior na camada mais interna
e decresce na dire¸c˜ao das camadas externas. Para enrolamentos de dupla camada, o
estresse m´edio na camada pr´oxima ao gap ´e 1,5 vezes maior que o estresse m´edio dos
dois enrolamentos juntos. Generalizando, se existem L camadas, o valor do estresse na
k-´esima camada, a partir do gap, ´e [2 − ((2k − 1)/L)] vezes o estresse m´edio de todas
as camadas consideradas juntas [36].
Deve-se considerar ainda que, as express˜oes das for¸cas radiais e do estresse de tra¸c˜ao
radial evidenciadas anteriormente, podem ser utilizadas para o c´alculo anal´ıtico das
for¸cas e estresses tanto no enrolamento interno quanto no externo, devendo-se apenas
atentar para uso do diˆametro correto do enrolamento que estiver sendo analisado.
Entretanto, o c´alculo dos estresses para o enrolamento interno exige considera¸c˜oes
de projeto mais detalhadas que as mencionadas nesta se¸c˜ao. Esses aspectos ser˜ao
abordados, juntamente com os tipos de falhas, nas se¸c˜oes posteriores.
3.5 C´alculo anal´ıtico das for¸cas axiais em enrola-
mentos concˆentricos
O c´alculo anal´ıtico das componentes radiais da densidade de fluxo magn´etico de
dispers˜ao em um transformador com enrolamentos concˆentricos n˜ao ´e t˜ao simples e
nem t˜ao preciso quanto o c´alculo da densidade de fluxo de dispers˜ao na dire¸c˜ao ra-
dial. Contudo, alguns m´etodos existentes podem fornecer resultados aproximados para
arranjos de enrolamentos menos complexos onde possam ser efetuadas simplifica¸c˜oes,
como por exemplo, a desconsidera¸c˜ao da curvatura. As equa¸c˜oes para c´alculos de for¸cas
eletromagn´eticas axiais e estresse mecˆanicos foram obtidas das referˆencias [29], [31] e
[36].
As for¸cas axiais devem ser analisadas sob duas condi¸c˜oes distintas as quais geram
componentes de for¸cas tamb´em diferenciadas. Essas duas situa¸c˜oes, designadas por
condi¸c˜ao ideal e n˜ao-ideal, s˜ao apresentadas na seq
¨
uˆencia.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.5 C´alculo anal´ıtico das for¸cas axiais 48
3.5.1 Condi¸c˜ao ideal
Em transformadores que tˆem distribui¸c˜ao uniforme de for¸cas magnetomotrizes em
enrolamentos concˆentricos de igual comprimento, situa¸c˜ao definida na referˆencia [36]
como condi¸c˜ao ideal, as for¸cas axiais que o correm devido aos campos radiais nas duas
extremidades das b obinas est˜ao dirigidas para o ponto m´edio dos enrolamentos. Essas
for¸cas surgem como resultado do fluxo produzido pelos pr´oprios condutores em paralelo
que transportam corrente na mesma dire¸c˜ao.
A figura 3.8 ilustra as densidades de fluxo magn´etico e as for¸cas axiais em ambos
enrolamentos para a situa¸c˜ao mencionada. Pode-se observar na figura, que embora
exista uma elevada for¸ca por unidade de comprimento nas extremidades dos enrola-
mentos, a for¸ca compressiva cumulativa ´e m´axima na metade da altura das bobinas
nos enrolamentos externo e interno.
Densidade de
fluxo
Força
Densidade de
fluxo
Força
Enrolamento interno Enrolamento externo Distribuição de força total
Figura 3.8: Distribui¸c˜ao de fluxo radial e de for¸ca axial em enrolamentos concˆentricos
iguais.
Para essa condi¸c˜ao ideal pode-se obter, diretamente, a soma das compress˜oes axiais
pr´oximo ao ponto m´edio para ambos enrolamentos. O resultado final ´e dado pela
equa¸c˜ao 3.9.
F
a
=
2
π
2
10
7
(
nI
max
)
2
D
m
h
2
d
0
+
d
1
+
d
2
3
[N] (3.9)
sendo:
nI
max
: for¸ca magnetomotriz dos enrolamentos (A-espiras);
D
m
: diˆametro m´edio do transformador, ou seja, considerando ambos enro-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.5 C´alculo anal´ıtico das for¸cas axiais 49
lamentos (m);
h: altura dos enrolamentos (m);
d
0
: espa¸co entre os enrolamentos (m);
d
1
e d
2
: espessura radial dos enrolamentos (m).
O enrolamento interno, por estar mais pr´oximo das colunas e em virtude do alto
fluxo radial, experimenta uma for¸ca compressiva maior, quando comparada ao enro-
lamento externo. De acordo com a referˆencia [29], na ausˆencia de uma an´alise mais
detalhada, pode-se considerar que cerca de 2/3 a 3/4 desta for¸ca ´e aplicada no enrola-
mento interno e os 1/3 a 1/4 restantes est˜ao aplicados no enrolamento externo.
Uma segunda componente da for¸ca axial ´e definida na referˆencia [31], tamb´em
para a condi¸c˜ao ideal. Esta componente surge como resultado da intera¸c˜ao entre a
corrente de um enrolamento e o fluxo de dispers˜ao produzido pelo outro enrolamento
que concatena o primeiro, e vice-versa. A figura 3.9 ilustra essa situa¸c˜ao. Pode-se notar
na figura que, a inclina¸c˜ao do fluxo na regi˜ao pr´oxima `as partes superior e inferior do
enrolamento externo favorece o surgimento de uma componente da densidade de fluxo
de dispers˜ao radial e, em conseq
¨
uˆencia da intera¸c˜ao deste campo com a corrente, surge
uma componente axial da for¸ca eletromagn´etica.
Componente radial de
fluxo de dispersão
Caminho do fluxo de
dispersão
Força Axial
nos
condutores
balanceados
Br
Br
F1
F2
Figura 3.9: For¸cas axiais nos enrolamentos magneticamente balanceados: F
1
=F
2
.
Pode-se observar tamb´em na figura anterior, que as for¸cas axiais nas duas metades
da bobina est˜ao em dire¸c˜oes opostas, uma vez que a corrente est´a na mesma di-
re¸c˜ao. Tendo em vista a suposi¸c˜ao de condi¸c˜oes ideais definidas anteriormente, onde os
amp`ere-espiras est˜ao balanceados de modo que o fluxo de dispers˜ao mant´em simetria,
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.5 C´alculo anal´ıtico das for¸cas axiais 50
essas for¸cas ser˜ao iguais e opostas. Em decorrˆencia disso, a for¸ca resultante, quando se
considera o enrolamento como um todo, ser´a nula.
3.5.2 Condi¸c˜ao n˜ao-ideal
Situa¸c˜oes distintas das anteriores, que proporcionam acr´escimo significativo na for¸ca
axial s˜ao consideradas condi¸c˜oes n˜ao-ideais. Nestas circunstˆancias, as for¸cas axiais s˜ao
dif´ıceis de serem calculadas atrav´es de m´etodos anal´ıticos. Isso ocorre, principalmente,
pela dificuldade de se levar em conta a curvatura dos enrolamentos e a presen¸ca do
n´ucleo ferromagn´etico, o que ´e poss´ıvel desde que se fa¸ca uso de solu¸c˜oes complexas
derivadas de modelos computacionais [29].
As condi¸c˜oes n˜ao-ideais que contribuem para o aumento das for¸cas axiais nos enrola-
mentos s˜ao diversas, dentre elas pode-se citar: o desbalanceamento dos amp`ere-espiras
dos enrolamentos concˆentricos; o deslocamanto axial dos enrolamentos; o encolhimento
axial do papel isolante que pode vir a ocorrer durante a secagem e montagem dos
enrolamentos e, o uso de deriva¸c˜ao (tap’s).
O deslocamento axial entre os enrolamentos concˆentricos constitui-se num aspecto
construtivo que dificulta o pleno balanceamento das for¸cas magnetomotrizes dos enro-
lamentos, alterando a distribui¸c˜ao do fluxo de dispers˜ao no interior do transformador e
produzindo for¸cas axiais desiguais e opostas, atuando em cada metade do enrolamento.
Essa situa¸c˜ao n˜ao-ideal est´a ilustrada na figura 3.10.
Caminho do fl uxo de
dispersão
Força Axial
nos
condutores
balanceados
Pequena componente
radial de fluxo
Grande componente
radial de fluxo
F1
F2
Br
Br
Figura 3.10: For¸cas axiais nos enrolamentos com deslocamento axial: F
1
<F
2
.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.5 C´alculo anal´ıtico das for¸cas axiais 51
Observa-se na figura, que para essa condi¸c˜ao tem-se que F
1
<F
2
e portanto, existir´a
uma for¸ca l´ıquida no enrolamento que tender´a a aumentar o deslocamento ainda mais.
Situa¸c˜ao similar ´e observada quando existe a presen¸ca de tap’s utilizados na regu-
la¸c˜ao da tens˜ao. O uso de tap’s altera a distribui¸c˜ao de fluxo magn´etico no interior do
transformador. Essa situa¸c˜ao tamb´em pode ocasionar o aparecimento de for¸cas axiais
desiguais nas metades superior e inferior das bobinas, causando uma for¸ca resultante
capaz de danificar as estruturas de suporte dos enrolamentos.
Apesar das dificuldades e imprecis˜oes que os m´etodos anal´ıticos imp˜oem aos c´alcu-
los das for¸cas axiais para as condi¸c˜oes n˜ao ideais, alguns m´etodos aproximados s˜ao ´uteis
na fase de projeto do transformador, pois permitem ao projetista determinar, pronta-
mente, se um dado arranjo de enrolamentos resultar´a ou n˜ao em altas for¸cas axiais.
Um exemplo de m´etodo anal´ıtico que produz resultados confi´aveis ´e apresentado na
seq
¨
uˆencia.
• M´etodo dos amp`ere-espiras residuais
O m´etodo dos amp`ere-espiras residuais disponibiliza f´ormulas de razo´avel precis˜ao e
que conduzem a resultados confi´aveis. Este se fundamenta no princ´ıpio de que qualquer
arranjo de enrolamentos concˆentricos, no qual a soma de for¸cas magnetomotrizes ´e nula,
divide-se em dois grupos, cada um tendo amp`ere-espiras balanceados, um produzindo
um campo axial e o outro um campo radial [31]. Os amp`ere-espiras radiais originam os
fluxos radiais e por conseguinte, as for¸cas axiais entre os enrolamentos. Este m´eto do ´e
usado para estimar as for¸cas axiais em arranjos com enrolamentos assim´etricos como
ilustrado pela figura 3.11, que mostra uma configura¸c˜ao onde o enrolamento externo
possui deriva¸c˜ao em uma extremidade. Pode-se notar que, a assimetria causa uma
concentra¸c˜ao de fluxo na regi˜ao em que ocorre o desequil´ıbrio de amp`ere-espiras e
portanto, nesse local, as for¸cas ser˜ao mais intensas.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.5 C´alculo anal´ıtico das for¸cas axiais 52
núcleo
campo
radial
a
F
a
F
a
F
a
F
a
B
r
B
r
B
r
B
r
h
eff
Figura 3.11: Se¸c˜ao transversal de um lado do transformador mostrando as for¸cas axiais
nos enrolamentos e a distribui¸c˜ao de densidade de fluxo de dispers˜ao radial.
Deve-se ressaltar que, transformadores que apresentam condi¸c˜oes ideais, ou seja,
enrolamentos concˆentricos sem deriva¸c˜ao, sem deslocamento axial e de igual compri-
mento, n˜ao possuem amp`ere-espiras residuais e nem for¸cas entre os enrolamentos, em-
bora exista uma for¸ca de compress˜ao interna em ambos enrolamentos, conforme descrito
na se¸c˜ao anterior.
O m´eto do para determina¸c˜ao da distribui¸c˜ao de amp`ere-espiras radiais ´e ilustrado
na figura 3.12.
=
a
(a)
+
(b)
a(nI
max
)
(c)
Figura 3.12: Determina¸c˜ao do diagrama de amp`ere-espiras residuais para enrolamento
com deriva¸c˜ao em uma extremidade.
A figura 3.12(a) mostra um enrolamento concˆentrico com uma deriva¸c˜ao em uma
das extremidades do enrolamento externo, de comprimento a, relativa ao comprimento
3.5 C´alculo anal´ıtico das for¸cas axiais 53
triangular. O valor m´aximo alcan¸cado ´e de a(nI
max
), em que (nI
max
) representa a
for¸ca-magnetomotriz do enrolamento interno ou do externo.
Para o c´alculo das for¸cas axiais ´e necess´aria a determina¸c˜ao da densidade de fluxo
radial produzido pelos amp`ere-espiras radiais. Em outras palavras, deve-se conhecer o
comprimento efetivo do caminho para a densidade de fluxo radial para todos os pontos
ao longo do enrolamento. Para essa finalidade, considera-se que esse comprimento ´e
constante e que n˜ao varia com a posi¸c˜ao axial do enrolamento [ 29]. Mesmo com essa
simplifica¸c˜ao obt´em-se resultados com precis˜ao satisfat´oria.
Assim, pode-se efetuar o c´alculo das for¸cas de compress˜ao axial pelo m´etodo men-
cionado, sendo necess´ario para tanto, o conhecimento das seguintes grandezas:
• O comprimento efetivo do caminho do fluxo radial, h
eff
, (ver figura 3.11), que ´e
diferente para cada arranjo de tap;
• A densidade do fluxo radial m´edio no diˆametro m´edio do transformador (B
r
),
dado p ela equa¸c˜ao 3.10, mostrada na seq
¨
uˆencia;
• O valor m´edio dos amp`ere-espiras ´e igual a (1/2)a(nI
max
), sendo a o compri-
mento do tap (ou deriva¸c˜ao), expresso como uma fra¸c˜ao do comprimento total
do enrolamento sem deriva¸c˜ao.
A densidade de fluxo m´edio no diˆametro m´edio do transformador ´e dada pela equa-
¸c˜ao 3.10.
B
r
=
4π
10
4
·
a (nI
max
)
2h
eff
[T ] (3.10)
A for¸ca axial no outro enrolamento do transformador de (nI
max
) amp`ere-espiras m´axi-
mos p ode ser determinada de atrav´es da equa¸c˜ao 3.11.
F
a
=
2πa (nI
max
)
2
10
7
·
πD
m
h
eff
[N] (3.11)
O tipo de deriva¸c˜ao mostrado anteriormente tem a finalidade t˜ao somente de evi-
denciar a influˆencia da inser¸c˜ao de tap´s no desempenho dos campos de dispers˜ao e
for¸cas eletromagn´eticas em transformadores. Outros arranjos de tap´s podem ser uti-
lizados, inclusive possibilitando um melhor balanceamento das for¸cas magnetomotrizes
ao longo da coluna e, conseq
¨
uentemente, originando for¸cas de menor intensidade [31].
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.6 Estresses eletromecˆanicos 54
3.6 Estresses eletromecˆanicos e tipos de falhas em
transformadores
Os estudos conduzidos anteriormente, a respeito das for¸cas eletromagn´eticas e densi-
dade de fluxo magn´etico de dispers˜ao que ocorrem num transformador, s˜ao a base para
a determina¸c˜ao dos esfor¸cos (ou estresses) a que um equipamento possa ser submetido
em decorrˆencia de uma determinada condi¸c˜ao operativa.
Assim sendo, este item prop˜oe-se a abordar os aspectos relacionados com os estresses
mecˆanicos originados em decorrˆencia das for¸cas eletromagn´eticas, bem como, os tipos
de falhas associados aos estresses. Entretanto, objetivando uniformizar o entendimento
sobre a terminologia existente sobre o assunto, muitos deles na l´ıngua inglesa, preli-
minarmente, ´e feita uma breve revis˜ao dos termos e defini¸c˜oes comumente empregados
em estudos da mecˆanica dos materiais.
´
E importante destacar, que os mecanismos de falhas em transformadores de n´ucleo
envolvido diferem dos mecanismos de falhas em transformadores de n´ucleo envolvente.
Tipos de falhas para ambos tipos de configura¸c˜ao dos enrolamentos podem ser encon-
trados em [39]. A referˆencia analisa, tamb´em, a capacidade inerente de resistˆencia ao
movimento dos condutores dos enrolamentos para esses dois tipos de arranjo das bobi-
nas. Fatores como: rigidez do sistema de isola¸c˜ao, firmeza dos sistemas de fixa¸c˜ao das
bobinas, resistˆencia mecˆanica dos condutores e a elasticidade do corpo das b obinas, s˜ao
destacados como sendo fundamentais na determina¸c˜ao da resposta dos enrolamentos
`as for¸cas eletromagn´eticas.
3.6.1 Uma revis˜ao das terminologias comumente utilizadas em
estudos de esfor¸cos eletromecˆanicos
As propriedades mecˆanicas compreendem a resposta dos materiais `as influˆencias
mecˆanicas externas. Essas caracter´ısticas s˜ao geralmente avaliadas por meio de ensaios
que indicam a capacidade de desenvolver, para a carga utilizada para o teste, defor-
ma¸c˜oes revers´ıveis ou irrevers´ıveis, ou de resistirem `a ruptura. A execu¸c˜ao desse tipo
de teste consiste em submeter uma amostra do material a um cont´ınuo e unidirecional
aumento da for¸ca de tra¸c˜ao ou de compress˜ao. Simultaneamente, s˜ao feitas observa¸c˜oes
e ap ontamentos sobre o comportamento da amostra. Os resultados das deforma¸c˜oes
sofridas pelo material s˜ao traduzidos em curvas denominadas estresse x deforma¸c˜ao
ou curva tens˜ao x deforma¸c˜ao. Para fins ilustrativos, a figura 3.13 mostra uma curva
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.6 Estresses eletromecˆanicos 55
t´ıpica do comportamento de um material submetido a esfor¸cos mecˆanicos.
De
Cargadeprova
(s)
percentual( )e
0.2
0.1
0.3 0.5
0.4 0.6
0.80.7
A
B
C
D
Deformação
Estresse
Figura 3.13: M´etodo para determina¸c˜ao da carga que causar´a deforma¸c˜ao.
A curva estresse x deforma¸c˜ao mostrada anteriormente apresenta duas regi˜oes bem
definidas. A primeira delas, do ponto A ao ponto B, ´e uma regi˜ao linear, onde a defor-
ma¸c˜ao aumenta proporcionalmente `a tens˜ao mecˆanica aplicada. Nesta regi˜ao a defor-
ma¸c˜ao ´e revers´ıvel, portanto, o material apresenta um comportamento perfeitamente
el´astico, ou seja, retorna ao seu formato original ap´os a retirada da carga aplicada. Na
segunda regi˜ao, do ponto B ao ponto C, o material tem um comportamento n˜ao-linear.
Nesta, as tra¸c˜oes aplicadas podem ocasionar o escoamento macromolecular do material
sob prova, com o rompimento de liga¸c˜oes secund´arias entre cadeias adjacentes. Dessa
forma, quando o carregamento ´e retirado, o material retorna `a condi¸c˜ao de tens˜ao nula
(ponto D), paralelamente `a condi¸c˜ao de carregamento, permanecendo, entretanto, uma
deforma¸c˜ao residual (∆ε ), ou seja, o material perde a capacidade de retornar ao seu
comprimento original. Neste caso, diz-se que o material apresenta um comportamento
pl´astico.
O co eficiente angular na regi˜ao de linearidade da referida curva ´e denominado m´o-
dulo de elasticidade. Este coeficiente ´e definido matematicamente atrav´es da lei de
Hooke, dada pela equa¸c˜ao 3.12.
σ = Eε (3.12)
sendo:
σ: tra¸c˜ao (ou estresse) aplicada;
ε: deforma¸c˜ao resultante;
E: m´odulo de elasticidade.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.6 Estresses eletromecˆanicos 56
´
E importante ressaltar que, a lei de Hooke ´e v´alida somente para a regi˜ao linear da
curva estresse x deforma¸c˜ao.
Para determinar a resistˆencia mecˆanica do enrolamento de um transformador, al´em
do m´odulo de elasticidade definido anteriormente, outra propriedade de importˆancia
direta do material condutor ´e o seu limite de escoamento ou limite el´astico (do inglˆes
yield stress) [29].
O valor, conhecido como “limite de escoamento” (ponto B da figura anterior), re-
presenta o valor da tens˜ao nominal de tra¸c˜ao verificado no ponto de transi¸c˜ao do regime
el´astico para o regime pl´astico, isto ´e, o valor da tens˜ao a partir da qual ocorre a defor-
ma¸c˜ao pl´astica do material (escoamento). Em muitos materiais ´e dif´ıcil localizar esta
tens˜ao na curva estresse x deforma¸c˜ao. Fabricantes, normalmente, fornecem valores de
estresses cr´ıticos b´asicos para materiais e arranjos de condutores, denominados carga
de prova ou proof stress. O valor de carga de prova corresp onde `a interse¸c˜ao entre uma
linha reta, constru´ıda paralela a por¸c˜ao el´astica, e a curva estresse x deforma¸c˜ao (ponto
C da figura 3.13).
Um outro exemplo t´ıpico de carga de prova, desta vez utilizando o cobre como
corpo de prova para diferentes n´ıveis de “dureza” ou hardness do material condutor, ´e
mostrado na figura 3.14 [25].
100
200
300
0
2
4 6
s =
Figura 3.14: Carga de prova do cobre para v´arios n´ıveis de “dureza”.
A figura indica um valor de 0,2% de carga de prova para a amostra de cobre. Dessa
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.6 Estresses eletromecˆanicos 57
forma, a carga de prova pode ser entendida como o valor do estresse que produz uma
deforma¸c˜ao permanente no condutor de 0,2% (2mm em 1000mm). Contudo, para fins
pr´aticos ´e comum usar somente 80% desse valor, sendo que alguns fabricantes utilizam
85% da carga de prova de 0,1% [25].
Encerra-se esta parte sobre as terminologias utilizadas sobre resistˆencia dos materi-
ais, salientando que o n´ıvel cr´ıtico de deforma¸c˜ao de um material ´e uma fun¸c˜ao da ´area
da se¸c˜ao transversal, do tipo de material e do tipo do condutor utilizado na constru¸c˜ao
dos enrolamentos. As v´arias formas e tipos de condutores dispon´ıveis comercialmente,
requerem tamb´em f´ormulas distintas para c´alculo dos estresses permiss´ıveis correspon-
dentes.
3.6.2 Falhas devido a for¸cas radiais
For¸cas radiais produzem efeitos diferentes nos enrolamentos externo e interno de
transformadores. As for¸cas dirigidas para fora, provocam estresse de tra¸c˜ao no enro-
lamento externo, enquanto que, estresses de compress˜ao s˜ao desenvolvidos nos enrola-
mentos sujeitos `a for¸cas dirigidas para o centro da coluna (ver figura 3.6). Para en-
rolamentos concˆentricos, a suportabilidade mecˆanica do enrolamento externo, depende
da resistˆencia `a for¸ca de tra¸c˜ao do condutor. Por outro lado, a resistˆencia mecˆanica do
enrolamento interno, depende das estruturas de suporte providenciadas para os condu-
tores.
´
E comum a ocorrˆencia da deforma¸c˜ao radial do enrolamento interno, enquanto
que, o rompimento do enrolamento externo, ´e mais dif´ıcil de ocorrer.
3.6.2.1 - Enrolamentos sujeitos a estresses de tra¸c˜ao
Em decorrˆencia de for¸cas radiais, o enrolamento externo de um transformador ´e o
que fica sujeito ao estresse de tra¸c˜ao ou hoop stress. A intensidade do estresse pode ser
estimada de acordo com equa¸c˜ao 3.8, apresentada na se¸c˜ao 3.6. Sobre este quesito ´e
importante destacar alguns aspectos relacionados `a resistˆencia mecˆanica dos condutores
submetidos `a for¸cas de tra¸c˜ao.
Nos condutores utilizados em enrolamentos compactos, tipo disco ou em qualquer
uma das camadas de enrolamentos multi-camadas, se verifica uma for¸ca de tra¸c˜ao
uniforme. Essa for¸ca, dependendo de seu valor, poder´a causar danos `a isola¸c˜ao do con-
dutor, caso o estresse de tra¸c˜ao exceda o limite de escoamento do condutor. Contudo, a
probabilidade de falha nos enrolamentos sujeitos a esse tipo de estresse ´e pequena, uma
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.6 Estresses eletromecˆanicos 58
vez que, normalmente s˜ao usados condutores dimensionados para um valor de carga de
prova de 0,2 % [36].
3.6.2.2 - Enrolamentos sujeitos a estresses de compress˜ao
Este tipo de esfor¸co ´e experimentado pelos enrolamentos internos de um transfor-
mador, em decorrˆencia das cargas de compress˜ao radial a que podem ficar exp ostos. A
compress˜ao p ode manifestar-se de duas maneiras distintas. Uma delas ocorre quando
o enrolamento interno est´a firmemente sustentado por espa¸cadores, conforme ilustra a
figura 3.15(a). Os espa¸cadores neste caso est˜ao localizados axialmente, e a estrutura
de suporte como um todo tem rigidez mecˆanica maior que a dos condutores [29]. Neste
caso, os condutores podem apresentar uma deforma¸c˜ao entre todos os suportes ao longo
da circunferˆencia do enrolamento, com a curvatura voltada para dentro, desde que o
valor do estresse exceda o limite el´astico do material condutor. Esse tipo de falha,
denominado “deforma¸c˜ao for¸cada” (forced buckling), est´a ilustrada na figura 3.15(b),
assemelhando-se a uma estrela de v´arias pontas.
(a) Espa¸cadoresaxiais (b) Deforma¸c˜ao“for¸cada”
Figura 3.15: a) Ilustra¸c˜ao dos espa¸cadores axiais e outros componentes do transfor-
mador e b) Deforma¸c˜ao for¸cada (“forced buckling”) no enrolamento interno.
A outra forma de deforma¸c˜ao que afeta o enrolamento interno ´e chamada “defor-
ma¸c˜ao livre” (free buckling). Para este caso, diferentemente do primeiro, a inclina¸c˜ao
dos condutores n˜ao est´a relacionada com os espa¸cadores axiais, sendo que a resistˆencia
mecˆanica dos condutores ´e maior do que aquela proporcionada pela estrutura de su-
porte. Nessa condi¸c˜ao, a proje¸c˜ao do condutor pode se dar tanto para dentro quanto
para fora, em um ou mais pontos da circunferˆencia, conforme ilustra a figura 3.16 [29].
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.6 Estresses eletromecˆanicos 59
Figura 3.16: Deforma¸c˜ao “livre” no enrolamento interno: Free buckling.
Os dois tip os de deforma¸c˜oes relatados podem ser vistos como um conjunto se-
q
¨
uencial de falhas, que iniciam no condutor mais externo do enrolamento interno e
caminha no sentido do condutor mais interno deste enrolamento (pr´oximo ao n´ucleo)
[36]. Existem muitos fatores que podem favorecer a ocorrˆencia da deforma¸c˜ao dos en-
rolamentos, dentre os quais pode-se citar: enrolamentos “frouxos”, uso de materiais
com caracter´ısticas inferiores `as m´ınimas requeridas, excentricidade dos enrolamentos,
baixa resistˆencia das estruturas de suporte em rela¸c˜ao ao condutor, etc.
A t´ecnica utilizada para conferir aos enrolamentos uma suportabilidade mecˆanica
suficiente para resistir `as for¸cas radiais ´e obtida pelo uso de um n´umero adequado de
suportes, que estejam em contado direto com o n´ucleo e uniformemente espa¸cados ao
redor da circunferˆencia [29].
Um condutor sujeito `a for¸cas radiais normalmente ´e modelado como um anel cir-
cular, sujeito a uma carga radial uniformemente distribu´ıda. Neste caso, o valor de
estresse cr´ıtico ´e determinado com base na utiliza¸c˜ao ou n˜ao de suportes axiais [25].
Para os casos de enrolamentos desprovidos de estruturas de sustenta¸c˜ao axial, ou seja,
que n˜ao possuem espa¸cadores axiais para aumentar a resistˆencia aos esfor¸cos de com-
press˜ao, o valor do estresse cr´ıtico pode ser calculado pela equa¸c˜ao 3.13.
σ
crit
=
E · e
2
4 · R
2
N
m
2
(3.13)
sendo:
σ
crit
: valor do estresse cr´ıtico (N/m
2
);
E: m´odulo de elasticidade do material (N/m
2
);
e: espessura do condutor (m);
R: raio do enrolamento (m).
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.6 Estresses eletromecˆanicos 60
De outro lado, a determina¸c˜ao do valor do estresse cr´ıtico em enrolamentos providos
de suportes axiais, e que sejam causados por esfor¸cos de compress˜ao, pode ser realizada
pela equa¸c˜ao 3.14.
σ
crit
=
E (δ) · (ke
2
) · N
2
12 · D
2
N
m
2
(3.14)
sendo:
E(δ): m´odulo de elasticidade incremental no valor cr´ıtico (N/m
2
);
e: espessura do condutor (m);
k: constante para espessura equivalente;
D: diˆametro do enrolamento (m);
N : n´umero de suportes axiais.
Salienta-se, que enrolamentos internos que estejam sujeitos `a for¸cas radiais que
possam provo car deforma¸c˜ao do tipo “for¸cada” (ver figura 3.15(b)), necessitam de
suportes internos, de maneira a prevenir qualquer movimento do enrolamento para
dentro. O estresse nesta situa¸c˜ao ´e fun¸c˜ao da distˆancia entre os suportes e da dimens˜ao
dos condutores, cujo valor ´e dado pela equa¸c˜ao 3.15.
σ =
F
rmed
· l
2
2 · h · e
2
N
m
2
(3.15)
sendo:
σ: estresse cr´ıtico do enrolamento (N/m
2
);
F
rmed
: for¸ca radial (N/m);
l: distˆancia entre os sup ortes (m);
h: altura do condutor (m);
e: espessura do condutor (m).
O projeto de enrolamentos, com resistˆencia mecˆanica suficiente para suportar os
estresses de tra¸c˜ao, ´e relativamente mais f´acil do que o projeto mecˆanico do estresse de
compress˜ao. Isto decorre do fato que, o estresse de tra¸c˜ao ´e mantido abaixo do limite
do escoamento do material condutor [36]. Os enrolamentos internos, por outro lado,
necessitam de estruturas de suporte internas para assegurar a sua resistˆencia mecˆanica
(como espa¸cadores axiais, por exemplo) e podem danificar-se tamb´em devido `a incli-
na¸c˜ao dos condutores entre as estruturas de suporte. A t´ecnica para estabelecimento de
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.6 Estresses eletromecˆanicos 61
crit´erios de projeto para determinar a resistˆencia mecˆanica dos enrolamentos internos
sujeitos `a compress˜ao ´e complexa e pode variar de fabricante para fabricante.
3.6.3 Tipos de falhas devido a for¸cas axiais
Um dos tipos de falhas devido `a a¸c˜ao de for¸cas axiais compressivas, ocorre quando
um enrolamento tipo camada n˜ao est´a firmemente enrolado e amarrado, facilitando a
transposi¸c˜ao do condutor adjacente. Esse efeito pode danificar a isola¸c˜ao do condutor
e, eventualmente, levar a um curto-circuito entre espiras. Um outro tipo de falha ocorre
quando um enrolamento vibra sob a a¸c˜ao de for¸cas axiais. Nessa situa¸c˜ao, a isola¸c˜ao
do condutor pode danificar-se devido ao movimento relativo entre enrolamento e os
espa¸cadores isolantes localizados axialmente.
Altas for¸cas de compress˜ao axial nas extremidades das bobinas podem causar de-
forma¸c˜ao nas estruturas de fixa¸c˜ao (clamping) das extremidades dos enrolamentos. Os
elementos de fixa¸c˜ao tˆem como fun¸c˜ao exercer uma press˜ao efetiva sobre os enrolamen-
tos durante os curtos-circuitos para garantir a resistˆencia `as for¸cas axiais.
Adicionalmente, `as falhas devido `as for¸cas axiais descritas anteriormente, existem
outros dois importantes tipos de falhas, a saber: inclina¸c˜ao entre espa¸cadores radiais
(bending) e a inclina¸c˜ao dos condutores (tilting), os quais s˜ao analisados na seq
¨
uˆencia.
3.6.3.1 - Inclina¸c˜ao de condutores entre espa¸cadores radiais (Bending)
Sob a a¸c˜ao de for¸cas axiais, o condutor de um enrolamento pode inclinar-se entre
os espa¸cadores isolantes localizados radialmente, como ilustra a figura 3.17. Essa incli-
na¸c˜ao do condutor pode, tamb´em, resultar em danos `a sua isola¸c˜ao. Contrariamente
ao que se verifica com os esfor¸cos devidos `as for¸cas radiais, neste caso, a curvatura da
deforma¸c˜ao se d´a num plano vertical e n˜ao horizontal como ocorre naquele caso.
Figura 3.17: Inclina¸c˜ao dos condutores entre espa¸cadores radiais - vista lateral (Ben-
ding).
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.6 Estresses eletromecˆanicos 62
Os estresses relacionados com a inclina¸c˜ao devido `as for¸cas axiais podem ser calcu-
lados utilizando a equa¸c˜ao 3.16 [25].
σ =
F
a
· L
2
2 · e · h
2
N
m
2
(3.16)
sendo:
F
a
: for¸ca axial (N/m);
L: distˆancia entre espa¸cadores axiais (m);
e: dimens˜ao radial do condutor (m);
h: dimens˜ao axial do condutor (m).
O m´aximo estresse que se verifica no condutor, devido `a inclina¸c˜ao, ocorre nos
cantos dos espa¸cadores radiais. O valor m´aximo do esfor¸co nessa regi˜ao deve ser menor
que o limite suport´avel pelo tipo de condutor utilizado (cerca de 1.200kg/cm
2
para o
cobre) [36].
3.6.3.2 - Inclina¸c˜ao dos condutores devido `a carga axial (Tilting)
Este tipo de falha, devido tamb´em a a¸c˜ao de for¸cas compressivas axiais, tilting, ´e um
dos principais tipos de defeitos em grandes transformadores. Quando essas for¸cas s˜ao
maiores que a carga limite suport´avel pelos enrolamentos do equipamento, uma falha
pode ocorrer, caracterizando-se pela inclina¸c˜ao dos condutores em forma de zig-zag.
A figura 3.18(a) mostra os condutores na posi¸c˜ao normal e a figura 3.18(b) ilustra a
inclina¸c˜ao dos mesmos condutores deformados devido a a¸c˜ao de for¸cas axiais cr´ıticas.
(a) Condutoresnormais
Fa
Fa
(b) Condutoresinclinados(tilted)
Figura 3.18: Inclina¸c˜ao de condutores devido a for¸cas axiais - se¸c˜ao transversal.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.7 Considera¸c˜oes finais 63
Nota-se na figura 3.18(b) que, devido `a for¸ca imposta, ocorre um deslocamento da
se¸c˜ao transversal dos condutores em torno do eixo de simetria perpendicular.
Esse tipo de inclina¸c˜ao ´e causado pela compress˜ao axial cumulativa, aplicada aos
condutores e que ´e transmitida atrav´es dos espa¸cadores e estruturas de fixa¸c˜ao. A carga
cr´ıtica que o enrolamento pode tolerar ´e, portanto, n˜ao somente fun¸c˜ao dos parˆametros
do condutor, mas tamb´em, da constru¸c˜ao do enrolamento, incluindo a isola¸c˜ao entre
condutores [25]. Esta carga cr´ıtica pode ser determinada pela equa¸c˜ao 3.17.
σ
crit
=
E · h
2
14 · R
2
+
m · s · c · e
2
12 · π · R · h
2
N
m
2
(3.17)
sendo:
E: m´odulo de elasticidade (N/m
2
);
h: dimens˜ao axial do condutor (m);
R: raio do enrolamento (m);
m: n´umero de cunhas;
s: comprimento dos espa¸cadores;
c: m´odulo equivalente de elasticidade do papel isolante (N/m
2
);
e: dimens˜ao radial do condutor.
Para cabos constru´ıdos utilizando a t´ecnica de transposi¸c˜ao (continously transposed
cable), dois poss´ıveis tipos de falhas s˜ao descritos na referˆencia [19]. O primeiro tipo
ocorre entre dois cabos adjacentes, que inclinam-se um contra o outro. Este ´e deno-
minado cable-wise tilting. E o segundo, chamado de strand-wise tilting, o corre quando
dois fios localizados axialmente ao cabo, inclinam-se um contra o outro.
3.7 Considera¸c˜oes finais
Os objetivos delineados para este cap´ıtulo foram concretizados atrav´es do estabe-
lecimento, inicialmente, de uma base te´orica consistente e bem fundamentada sobre
for¸cas eletromagn´eticas e estresses mecˆanicos. Foram abordados os aspectos conceitu-
ais e de c´alculo relacionados com densidade de fluxo magn´etico, for¸cas eletromagn´eticas
e estresses mecˆanicos atuantes nos enrolamentos de transformadores.
Dando seq
¨
uˆencia, os estudos se concentraram na conceitua¸c˜ao e caracteriza¸c˜ao de
for¸cas eletromagn´eticas e densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao, tendo em vista
os fenˆomenos compreendidos neste trabalho. A seguir foi feita a conceitua¸c˜ao das
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
3.7 Considera¸c˜oes finais 64
for¸cas e densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao necess´arios `a abordagem anal´ıtica
das for¸cas, identificando-se as componentes densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao
radial e densidade de fluxo magn´etico dispers˜ao axial, respons´aveis pelas componentes
das for¸cas axiais e for¸cas radiais, respectivamente. Foi evidenciada a importˆancia do
projeto na vida ´util de um transformador, que dever´a estar apto a suportar os maiores
esfor¸cos a que possa ser submetido ao longo de sua vida operativa.
Num segundo momento foi apresentada uma metodologia para a realiza¸c˜ao do c´al-
culo anal´ıtico das componentes axiais e radiais da densidade de fluxo magn´etico de
dispers˜ao e das respectivas for¸cas radiais e axiais, resultantes da intera¸c˜ao entre as
densidades de corrente e de fluxo magn´etico de dispers˜ao correspondentes. Observa-se
que estas grandezas servem como base para o c´alculo das for¸cas eletromagn´eticas, que
s˜ao confrontadas com os valores obtidos por m´etodos num´ericos.
Encerra-se o cap´ıtulo fazendo uma abordagem dos tipos de estresses mecˆanicos que
surgem nos enrolamentos de transformadores, como resultado das for¸cas eletromagn´eti-
cas atuantes. Este t´opico teve como finalidade a an´alise dos principais tipos de falhas
que podem ocorrer nas partes estruturais e ativas dos transformadores decorrentes dos
esfor¸cos mecˆanicos.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
Cap´ıtulo 4
Avalia¸c˜ao das For¸cas
Eletromagn´eticas em
Transformadores Causadas por
Curtos-Circuitos Externos
Utilizando o MEF
4.1 Considera¸c˜oes iniciais
No cap´ıtulo 3 foram abordados m´etodos anal´ıticos para c´alculo de for¸cas eletro-
magn´eticas e os estresses mecˆanicos decorrentes, nas partes ativas e estruturais de
transformadores. Muito embora os c´alculos anal´ıticos tenham a sua importˆancia na
estimativa de valores, esta estrat´egia somente conduz a resultados satisfat´orios quando
aplicadas a dispositivos f´ısicos de geometria simples e homogˆenea.
A supera¸c˜ao das limita¸c˜oes dos m´etodos anal´ıticos foi conseguida com o surgimento
dos m´etodos num´ericos, que se afirmaram como uma alternativa v´alida, pois permitem
a resolu¸c˜ao de problemas f´ısicos de geometrias complexas, com contornos de diferentes
permissividades. Dentro desta filosofia, os fenˆomenos como os enfocados nesta tese,
podem ser descritos por equa¸c˜oes diferenciais parciais, tal como ocorre com os dispo-
sitivos eletromagn´eticos. A manipula¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais parciais, no entanto,
introduz uma complexidade maior nos c´alculos, que s˜ao contornadas atrav´es da uti-
liza¸c˜ao de programas computacionais destinados a resolu¸c˜ao dos m´etodos num´ericos,
como ´e o caso do M´etodo dos Elementos Finitos (MEF).
Assim sendo, o MEF ´e uma t´ecnica de an´alise num´erica destinada `a obten¸c˜ao de
solu¸c˜oes de problemas regidos por equa¸c˜oes diferenciais. Este m´etodo, foi desenvolvido
originalmente para a an´alise est´atica de sistemas estruturais, por´em, estendeu-se ra-
65
4.2 Introdu¸c˜ao ao m´etodo dos elementos finitos 66
pidamente a outros campos do conhecimento, como o da transferˆencia de calor e da
mecˆanica dos fluidos, do eletromagnetismo, das vibra¸c˜oes mecˆanicas e ac´usticas, da
computa¸c˜ao gr´afica, da realidade virtual, etc.
Diante do exposto e, uma vez que a geometria de transformadores reais torna de
maior complexidade as aproxima¸c˜oes anal´ıticas, o MEF constitui-se numa alternativa
para tais projetos complexos, pois detalhes e varia¸c˜oes construtivas podem ser facil-
mente inclu´ıdas na modelagem deste tipo de dispositivo [43].
O presente cap´ıtulo destina-se pois, `a apresenta¸c˜ao da modelagem de transformado-
res, utilizando o MEF e tamb´em, `a an´alise dos resultados alcan¸cados pelas simula¸c˜oes
computacionais realizadas.
Salienta-se que os resultados obtidos por este m´etodo, na realidade, s˜ao utilizados
apenas como balizamento no processo de valida¸c˜ao da outra t´ecnica proposta nesta tese
e que ´e objeto de estudo no cap´ıtulo seguinte. N˜ao se pretende a inclus˜ao de inova¸c˜oes
na estrutura de modelagem utilizada pelo FEMM e na implementa¸c˜ao e simula¸c˜ao
de dispositivos eletromagn´eticos, mas sim, fazer uso de suas facilidades e, sobretudo,
da efic´acia oferecida por essa t´ecnica num´erica de maneira a servir como parˆametro
para fins de compara¸c˜ao, conferindo assim uma maior confiabilidade aos resultados
almejados.
4.2 Introdu¸c˜ao ao m´etodo dos elementos finitos
Este item destina-se a oferecer subs´ıdios para uma melhor compreens˜ao do m´etodo
dos elementos finitos. Para tanto, na seq
¨
uˆencia ´e feita uma abordagem dos conceitos
principais empregados por esta t´ecnica num´erica.
O m´etodo dos elementos finitos objetiva a obten¸c˜ao de uma formula¸c˜ao que per-
mita a an´alise de sistemas complexos e/ou irregulares, por interm´edio de programas
computacionais, de forma autom´atica. Para atingir tal objetivo, o m´etodo considera o
sistema global como sendo equivalente a um agrupamento de elementos finitos, no qual
cada um destes ´e uma estrutura cont´ınua mais simples.
Apesar do m´etodo dos elementos finitos considerar os elementos individuais como
cont´ınuos ´e, na sua essˆencia, um procedimento de discretiza¸c˜ao, que visa transformar
um problema infinito-dimensional em finito-dimensional, ou seja, num sistema com um
n´umero finito de inc´ognitas.
A resolu¸c˜ao do problema consiste em discretizar ou decompor o dom´ınio sob estudo
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.2 Introdu¸c˜ao ao m´etodo dos elementos finitos 67
em pequenos sub-dom´ınios chamados de “elementos finitos” que s˜ao conectados entre
si por meio de pontos discretos, denominados “n´os” [44]. O conjunto de elementos uti-
lizados na discretiza¸c˜ao ´e denominado malha. Uma vez que a malha e seus respectivos
n´os s˜ao obtidos, solu¸c˜oes aproximadas podem ser introduzidas para as vari´aveis de
campo dependentes no interior de cada elemento. Essas vari´aveis s˜ao expressas como
fun¸c˜oes arbitr´arias dos valores que as inc´ognitas assumem nos n´os, e s˜ao chamadas de
fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao. Tamb´em s˜ao impostas condi¸c˜oes para garantir a continuidade
da solu¸c˜ao nos n´os compartilhados por v´arios elementos. As inc´ognitas do problema,
que s˜ao denominadas graus de liberdade (g.d.l.), passam a ser os valores das vari´aveis
de campo nos pontos nodais, sendo que o n´umero de graus de liberdade (agora finito)
´e dependente da ordem, do n´umero de elementos e tamb´em do n´umero de vari´aveis
dependentes. Dependendo da natureza do problema, ap´os a discretiza¸c˜ao, o modelo
matem´atico regente ´e representado por um n ´umero finito de equa¸c˜oes diferenciais or-
din´arias ou de equa¸c˜oes alg´ebricas, cuja resolu¸c˜ao num´erica conduz aos valores das
inc´ognitas nodais. Uma vez determinadas estas inc´ognitas, os valores das vari´aveis
de campo no interior dos elementos podem ser avaliados empregando-se fun¸c˜oes de
interpola¸c˜ao.
O m´etodo dos elementos finitos n˜ao fornece, em princ´ıpio, solu¸c˜oes exatas. No
entanto, admite-se que `a medida que mais e mais elementos s˜ao usados na modelagem,
a solu¸c˜ao obtida para o problema discretizado, convirja para uma solu¸c˜ao precisa do
problema cont´ınuo.
A principal exigˆencia para se modelar geometrias mais complexas ´e manter a di-
mens˜ao da malha em um n´ıvel razo´avel, de modo que o problema possa ser resolvido.
A utiliza¸c˜ao de uma simetria axial em 2D ´e dependente unicamente de uma vari´avel (o
potencial vetor magn´etico A), enquanto que, solu¸c˜oes em 3D requerem trˆes vari´aveis
dependentes (ou seja, campo magn´etico em todas as dire¸c˜oes H
x
, H
y
e H
z
).
A implementa¸c˜ao da t´ecnica de elementos finitos ´e, em geral, realizada atrav´es da
utiliza¸c˜ao do m´etodo variacional ou do m´etodo de Galerkin (res´ıduos ponderados). O
m´eto do variacional fundamenta-se no princ´ıpio da minimiza¸c˜ao da energia associada ao
campo el´etrico presente no dom´ınio de c´alculo. O m´etodo de Garlekin ´e utilizado para
a resolu¸c˜ao de problemas mais complexos, onde a busca por um funcional energ´etico
torna-se mais complicada. Ao contr´ario do m´etodo variacional, a formula¸c˜ao num´erica
para resolu¸c˜ao dos problemas ´e obtida diretamente da equa¸c˜ao que define o fenˆomeno
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.3 Estrutura de funcionamento do FEMM 69
Processamento: esta etapa consiste na interpreta¸c˜ao das informa¸c˜oes
definidas durante a etapa de pr´e-processamento e na aplica¸c˜ao das equa¸c˜oes
de Maxwell p ertinentes `a resolu¸c˜ao do problema, atrav´es da montagem de
um sistema de equa¸c˜oes diferenciais que descrevem o comportamento da
estrutura sob an´alise.
P´os-processamento: trata-se de um programa gr´afico que disponibiliza
os resultados sob a forma de contornos e densidades. O usu´ario pode ins-
pecionar a solu¸c˜ao pontualmente, plotar resultados de interesse na forma
de gr´aficos e calcular certas integrais.
A etapa de processamneto emprega um conjunto de equa¸c˜oes desenvolvidas por
James Maxwell, as quais proporcionam uma descri¸c˜ao completa e unificada de todos os
fenˆomenos eletromagn´eticos. Essa descri¸c˜ao ´e baseada nos trabalhos de Gauss, Amp`ere,
Faraday e Lenz. A contribui¸c˜ao de Maxwell propriamente dita, est´a no conceito das
“correntes de deslocamento” que generaliza a lei de Amp`ere para incluir os fenˆomenos
que envolvem altas freq
¨
uˆencias.
Fundamentalmente, a formula¸c˜ao do FEMM utiliza os potenciais V e
−→
A para a
resolu¸c˜ao de problemas eletrost´aticos e magnetost´atico, fazendo uso do fato de que
a equa¸c˜ao diferencial parcial de Poisson ( 4.1) ´e satisfeita quando a fun¸c˜ao energia
magn´etica total ´e minimizada. Outra importante considera¸c˜ao diz respeito `a densidade
de fluxo dentro de cada elemento resultante da divis˜ao da geometria, a qual deve ser
assumida constante, de modo que o potencial vetor magn´etico varie linearmente dentro
de cada elemento. Para se obter melhor precis˜ao, considera-se que o potencial vetor
varia como um polinˆomio de grau superior a 1.
∇ ×
1
µ (B)
∇ ×
A
= −σ
∂
∂t
A +
J
d
− σ
∇V (4.1)
sendo:
−→
B : densidade de fluxo magn´etico ( Wb.m
−2
);
−→
A : potencial vetor magn´etico (Wb.m
−1
);
−→
J
d
: densidade de corrente de deslocamento (A/m
2
);
σ: condutividade el´etrica do material (S.m
−1
);
−→
∇X
−→
A : rotacional de
−→
A ;
−→
∇V : gradiente do potencial el´etrico.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.4 Intera¸c˜ao entre grandezas eletromagn´eticas 70
Para aplica¸c˜oes em baixas freq
¨
uˆencias desconsidera-se a densidade de corrente de
deslocamento
−→
J
d
, uma vez que, por defini¸c˜ao, problemas em baixa freq
¨
uˆencia se carac-
terizam por desprezar estas correntes [45].
4.4 Intera¸c˜ao entre grandezas eletromagn´eticas
A intera¸c˜ao entre grandezas eletromagn´eticas e mecˆanicas presentes em dispositivos
eletromagn´eticos ´e uma opera¸c˜ao que exige cuidado e deve ser abordada com prudˆencia.
N˜ao existe um tratamento global que possa, de maneira simples, definir de forma
´unica essa intera¸c˜ao. Assim sendo, para cada tipo de dispositivo existe uma maneira
conveniente de abordar o problema. Dentro do contexto desta proposta de tese, qual
seja, c´alculo de for¸cas e estresses mecˆanicos, o FEMM utiliza dois recursos para efetuar
o c´alculo das grandezas mecˆanicas e eletromagn´eticas que atuam sobre os enrolamentos
de transformadores, a saber: um m´etodo designado no programa por “For¸ca de Lorentz”
e outro denominado “Tensor de Maxwell”. Ambos m´etodos s˜ao descritos na seq
¨
uˆencia.
A lei da for¸ca de Lorentz afirma que a for¸ca por unidade de volume, que um campo
eletromagn´etico exerce sobre uma densidade volum´etrica de carga e uma densidade
superficial de corrente, ´e dada pela equa¸c˜ao 4.2.
f = ρ
E +
J ×
B (4.2)
sendo:
−→
f : densidade volum´etrica de for¸ca (N/m
3
);
ρ
v
: densidade volum´etrica de carga (C/m
3
);
−→
E : vetor campo el´etrico ( V/m);
−→
J : densidade superficial de corrente (A/m
2
);
A primeira parcela do lado direito da equa¸c˜ao 4.2 ´e chamada de densidade volu-
m´etrica de for¸ca el´etrica e a segunda ´e a densidade volum´etrica de for¸ca magn´etica.
Assim, a for¸ca magn´etica que ´e a grandeza de interesse ´e um caso particular da for¸ca de
Lorentz e ´e definida como a for¸ca por unidade de volume que o campo eletromagn´etico
exerce sobre uma densidade volum´etrica de corrente [45], cuja amplitude ´e dada pela
equa¸c˜ao 4.3.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.5 Modelagem de transformadores reais 71
→
F
=
→
J
×
→
B
dV (4.3)
sendo:
-
−→
F : for¸ca magn´etica total;
- dV : elemento diferencial de volume.
Para a determina¸c˜ao das for¸cas magn´eticas em dom´ınios f´ısicos compostos por ma-
teriais que possuem permeabilidade relativa unit´aria, como por exemplo as bobinas de
um transformador, o pacote FEMM disp˜oe de um bloco espec´ıfico denominada “For¸ca
de Lorentz”.
O “Tensor de Maxwell” ´e uma outra maneira de se determinar a for¸ca por unidade
de ´area produzida pelo campo magn´etico sobre uma superf´ıcie. A express˜ao do “Tensor
de Maxwell” ´e obtida a partir da equa¸c˜ao da for¸ca de Lorentz mostrada anteriormente
onde manipula¸c˜oes s˜ao efetuadas atrav´es das equa¸c˜oes de Maxwell para eliminar ρ e
−→
J em favor dos campos. Assim, a parcela do Tensor de Maxwell relativa ao c´alculo
das for¸cas magn´eticas ´e dada pela express˜ao 4.4.
→
dF =
1
2
→
H
→
B
·
→
u
+
→
B
→
H
·
→
u
−
→
H
·
→
B
→
u
(4.4)
sendo:
-
−→
dF : elemento diferencial de for¸ca;
-
−→
u : vetor unit´ario `a superf´ıcie, no ponto de interesse.
O FEMM utiliza a equa¸c˜ao 4.4 para calcular a for¸ca magn´etica l´ıquida em um ob-
jeto, criando uma superf´ıcie que envolve totalmente a ´area de interesse do objeto e,
integrando a for¸ca magn´etica sobre esta superf´ıcie. Ressalta-se que, os c´alculos obtidos
da integra¸c˜ao de contornos que englobam interface entre dois materiais de permissivi-
dades diferentes, conduzem a resultados errˆoneos. Contudo, resultados condizentes s˜ao
alcan¸cados quando os contornos escolhidos envolverem o corpo de interesse e o ar ou
regi˜oes com permeabilidade constante.
4.5 Modelagem de transformadores reais
Os principais passos para estrutura¸c˜ao e an´alise dos problemas eletromagn´eticos
foram descritos anteriormente. Entretanto, ´e oportuno que se descreva mais detalhada-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.5 Modelagem de transformadores reais 72
mente algumas etapas para a montagem e resolu¸c˜ao do problema de um transformador.
Basicamente, os procedimentos para o estudo de transformadores consistem nas
etapas seguintes:
1. Cria¸c˜ao da geometria: geometrias simples podem ser tra¸cadas utilizando as fer-
ramentas de desenho do pr´oprio FEMM. Geometrias mais complexas, por outro
lado, podem ser importadas de ferramentas apropriadas para desenho, como por
exemplo, o AUTOCAD. Estruturas bidimensionais, podem ser resolvidas em sis-
temas de coordenadas cartesianas ou axissim´etricas. Os transformadores s˜ao es-
truturas eletromagn´eticas tridimensionais. Assim sendo, a utiliza¸c˜ao de sistemas
em duas dimens˜oes torna necess´aria a introdu¸c˜ao de aproxima¸c˜oes nos modelos,
que, contudo, conduzem a resultados suficientemente precisos.
2. Cria¸c˜ao de malhas: este passo envolve a divis˜ao da geometria em pequenos ele-
mentos, como j´a mencionado. Para que a solu¸c˜ao do problema seja mais pre-
cisa, existe a necessidade de um refinamento das malhas em regi˜oes onde exista
uma apreci´avel varia¸c˜ao dos valores de densidade de fluxo, do equipamento sob
an´alise. Estas malhas devem ser refinadas at´e que n˜ao mais ocorram varia¸c˜oes
consider´aveis na densidade de fluxo em qualquer ponto.
3. Propriedades dos materiais: o n´ucleo ´e definido com uma permeabilidade rela-
tiva (µ
r
) da ordem de algumas dezenas de milhares. Outras partes s˜ao definidas
com µ
r
igual a 1. Para estudos onde as correntes parasitas podem ser desprezadas,
a condutividade n˜ao precisa ser definida.
4. Defini¸c˜ao das fontes de corrente: nesta etapa, a densidade de amp`ere-espiras
de cada enrolamento/se¸c˜ao deve ser definida.
5. Condi¸c˜oes de contorno: dois tipos de condi¸c˜oes de contorno s˜ao definidas: Dirich-
let e Neumann. A condi¸c˜ao de contorno na qual o potencial ´e definido ´e chamada
condi¸c˜ao de Dirichlet. A condi¸c˜ao na qual a derivada normal do potencial ´e
definida, ´e chamada condi¸c˜ao de Neumann. Neste caso, as linhas de fluxo s˜ao
ortogonais a essas fronteiras. Em um contorno para o qual a condi¸c˜ao de Dirichlet
n˜ao ´e definida, a condi¸c˜ao de Neumann ´e automaticamente fixada. Se o n´ucleo
n˜ao ´e modelado, o potencial vetor magn´etico dever´a ser definido na fronteira
efgh
.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 73
6. Solu¸c˜ao: esta etapa consiste na representa¸c˜ao matricial de cada elemento, for-
ma¸c˜ao da matriz de coeficientes global e na imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de contorno.
Contudo, esta fase ´e realizada internamente, pelo pr´oprio software.
7. P´os-processamento: consiste na disponibiliza¸c˜ao dos resultados gr´aficos e num´eri-
cos para as an´alises p ertinentes, como mencionado anteriormente.
Os enrolamentos s˜ao modelados como blocos triangulares. Entretanto, caso exista
uma distribui¸c˜ao n˜ao uniforme de amp`ere-espiras, os enrolamentos dever˜ao ser divididos
em se¸c˜oes adequadas, de modo que a distribui¸c˜ao da for¸ca magnetomotriz seja uniforme
em cada se¸c˜ao.
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM
Este item destina-se a apresentar e discutir os principais resultados oriundos das
simula¸c˜oes computacionais com os transformadores de potˆencia e de distribui¸c˜ao enfo-
cados.
O FEMM foi utilizado para implementar dois transformadores, sendo um de dis-
tribui¸c˜ao (15 kVA) e outro de potˆencia (100 MVA). Para avaliar o desempenho dos
modelos implementados e verificar a efic´acia do FEMM foram efetuadas simula¸c˜oes
nos modelos sob situa¸c˜oes normais de funcionamento, bem como sob condi¸c˜oes adver-
sas. As condi¸c˜oes op erativas dos transformadores sob estudo, para os casos simulados,
est˜ao descritas na tab ela a seguir.
Tabela 4.1: Estudos computacionais - FEMM
Caso Descri¸c˜ao dos casos
Caso A Simula¸c˜oes com o transformador sob carga nominal 15kVA
op erando em regime permanente 100MVA
Caso B Simula¸c˜oes com o transformador operando durante 15kVA
uma situa¸c˜ao transit´oria de curto-circuito trif´asico 100MVA
Caso C Simula¸c˜oes com o transformador op erando sob novo 15kVA
arranjo de tap’s submetido a um curto-circuito trif´asico
Os estudos do caso C s˜ao realizados somente com o transformador de 15 kVA e tem
como objetivo ilustrar a influˆencia da inser¸c˜ao de deriva¸c˜oes (tap’s) no desempenho dos
esfor¸cos eletromecˆanicos. Maiores detalhes s˜ao oferecidos oportunamente.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 74
4.6.1 Caracter´ısticas do transformador de 15 kVA
Um transformador trif´asico de 15 kVA e com rela¸c˜ao de tens˜ao de 220/220V foi
implementado e simulado no FEMM para se analisar o desempenho el´etrico, magn´etico
e mecˆanico do dispositivo. O transformador possui trˆes colunas, ´e do tip o n´ucleo
envolvido e com dois enrolamentos por fase. Para efetuar a modelagem utilizando o
FEMM, o equipamento foi dividido em quatro regi˜oes, conforme descrito a seguir, em
fun¸c˜ao de suas caracter´ısticas el´etricas e magn´eticas [7].
(1) N´ucleo ferromagn´etico (µ=constante e J =0);
(2) Enrolamentos (µ=0 e J =0);
(3) Janela do transformador (µ=1 e J =0) e;
(4) Tanque do transformador.
Como dado adicional, considerou-se, ainda, que as correntes s˜ao igualmente dis-
tribu´ıdas ao longo da se¸c˜ao reta dos condutores.
Salienta-se que a implementa¸c˜ao computacional utilizando o m´etodo dos elementos
finitos, exige o conhecimento da geometria e caracter´ısticas el´etricas e magn´eticas do
dispositivo, para a completa caracteriza¸c˜ao do equipamento. Nesse sentido, apresenta-
se na tabela 4.2 as principais caracter´ısticas geom´etricas, el´etricas e magn´eticas do
transformador em estudo.
Tabela 4.2: Caracter´ısticas do transformador trif´asico de 15 kVA
Potˆencia do trafo [kVA] 15
N´umero de fases 3
Imp edˆancia percentual 3,47%
Perdas no ferro [W] 87,55
Freq
¨
uˆencia [Hz] 60
Enrolamento Enrolamento
externo interno
Tens˜ao [V] 220 220
Dimens˜ao cobre [mm
2
] 3,5x4,5 3,5x4,5
Densidade corrente [A/mm
2
] 2,58 2,58
N´umero de espiras 66 66
Perdas nos enrolamentos [W] 190 132
Resistˆencia enrolamentos [Ω] 0,040 0,029
Diˆametro externo [m] 151x10
−3
106x10
−3
Diˆametro interno [m] 132x10
−3
87x10
−3
Coluna Culatra
´
Area aparente [m
2
] 49, 996x10
−4
52, 826x10
−4
´
Area l´ıquida [m
2
] 47, 496x10
−4
50, 185x10
−4
Largura [m] 80x10
−3
66x10
−3
Densidade de fluxo magn´etico [T] 1,55 1,44
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 75
A figura 4.1 mostra uma vista superior do transformador utilizado, detalhando os
enrolamentos interno e externo, o n´ucleo de ferro e suas principais dimens˜oes. Com-
plementarmente, a figura 4.2 ilustra as vistas frontal e lateral do n´ucleo de ferro do
transformador. A figura 4.2(a) exibe o comprimento m´edio do caminho do fluxo mag-
n´etico no n´ucleo (linha tracejada).
espaçoentreabobinainterna
enrolamentointerno
(bobinaBT)
(bobina AT)
enrolamentoexterno
espaçoentreasbobinas
núcleomagnético
eonúcleo
28
27,84
9,5
13
9,5
11,6
8,7
5,8
12
11
96
Ø87
Ø106
Ø132
Ø151
Ø85
12
Figura 4.1: Vista superior do transformador trif´asico (dimens˜oes em mm).
80 83 80 83 80
6619466
163
260
27.84
51.04
68.44
80.04
(a) Frontal
80 83 80 83 80
6619466
163
260
27.84
51.04
68.44
80.04
(b) Lateral
Figura 4.2: Vistas frontal e lateral do n´ucleo do transformador utilizado.
A figura 4.3 mostra a correspondente curva de magnetiza¸c˜ao da chapa de a¸co sil´ıcio
utilizada no n´ucleo do transformador sob estudo.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 76
Figura 4.3: Caracter´ısticas de magnetiza¸c˜ao da chapa de a¸co sil´ıcio do transformador.
A tabela 4.3 apresenta alguns pontos representativos da curva de magnetiza¸c˜ao
anteriormente exibida.
Tabela 4.3: Pontos espec´ıficos da curva B-H da figura 4.3
Indu¸c˜ao magn´etica Intensidade de fluxo magn´etico
[B] (T) [H] (A.esp/m)
0,20 8,4328
0,30 10,8990
0,40 12,9674
0,50 14,9165
0,60 16,7064
0,70 18,4964
0,72 18,6953
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 77
4.6.1.1 Resultados das simula¸c˜oes do transformador de 15 kVA
Os casos selecionados para apresenta¸c˜ao, em conformidade com a tabela 4.1, para
o transformador de 15 kVA, encontram-se descritos e analisados a seguir.
• Caso A: Simula¸c˜oes com o transformador sob carga nominal operando em regime
permanente
Como dados de entrada para as simula¸c˜oes deste primeiro caso foi utilizado um
conjunto de correntes trif´asicas equilibradas, determinadas de acordo com dados de
placa do transformador. O valor de pico nominal obtido para as correntes trif´asicas ´e
igual a 55,7 A.
A malha de elementos finitos gerada para a estrutura do transformador em estudo
est´a mostrada na figura 4.4.
R
S
T
Figura 4.4: Malha de elementos finitos bidimensional do transformador de 15 kVA.
A figura 4.5 ilustra a curva de magnetiza¸c˜ao da chapa de a¸co sil´ıcio do transfor-
mador, gerada pelo FEMM, a partir dos pontos obtidos da curva de magnetiza¸c˜ao
fornecida pelo fabricante.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 78
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 500 1000 1500
intensidade de campo magnético (A/m)
indução magnética (T)
Figura 4.5: Curva de magnetiza¸c˜ao do transformador sob estudo.
Para exemplificar o funcionamento do programa, a figura 4.6 ilustra a distribui¸c˜ao
da densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo do transformador para a condi¸c˜ao normal
de regime permanente, para o instante quando o fluxo magn´etico ´e m´aximo na fase
central.
Figura 4.6: Densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo: condi¸c˜ao nominal.
Para apresenta¸c˜ao neste trabalho, foram selecionadas as simula¸c˜oes nos instantes em
que a corrente apresenta valor m´aximo na fase central. Nessas condi¸c˜oes, a densidade
de fluxo magn´etico no n´ucleo ´e de 1,5 T e nas culatras 1,4 T. Destaca-se, que os
valores alcan¸cados est˜ao bastante pr´oximos aos constantes na tabela 4.2, fornecidos
pelo fabricante do equipamento.
´
E importante salientar, que as simula¸c˜oes para a condi¸c˜ao de opera¸c˜ao em vazio
do transformador n˜ao s˜ao mostradas neste documento, por tratar-se de uma situ-
a¸c˜ao que n˜ao apresenta relevˆancia para o tipo de an´alise enfocado nesta tese. No
entanto, registra-se, que tal condi¸c˜ao operativa foi simulada e que os resultados obti-
dos mostraram uma boa correla¸c˜ao com aqueles obtidos atrav´es do m´etodo anal´ıtico.
Destaca-se, as distribui¸c˜oes de fluxo no n´ucleo para a condi¸c˜ao nominal, as quais s˜ao
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 79
semelhantes, tanto qualitativa quanto quantitativamente, `as verificadas para o caso a
vazio.
A figura 4.7 ilustra a varia¸c˜ao da densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao em
fun¸c˜ao da altura dos enrolamentos externos.
0
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
1,00 31,80 62,60 93,40 124,20 155,00
altura do enrolamento (mm)
densidade de fluxo magnético
de dispersão (T)
Figura 4.7: Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao em fun¸c˜ao da altura do enrola-
mento: condi¸c˜ao nominal.
Observar-se que a densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao ´e praticamente cons-
tante ao longo da altura dos enrolamentos, sofrendo uma varia¸c˜ao nas extremidades
superior e inferior. Para esta condi¸c˜ao operacional, o valor de pico encontrado ´e igual
a 29 mT na regi˜ao pr´oxima ao centro dos enrolamentos.
As for¸cas radiais e axiais, determinadas de acordo com a equa¸c˜ao 4.3 da “For¸ca
de Lorentz”, est˜ao mostradas nas figuras 4.8 e 4.9, para os enrolamentos externo e
interno, respectivamente. O desempenho das for¸cas eletromagn´eticas para condi¸c˜ao
nominal que s˜ao mostradas neste ponto, s˜ao utilizadas como referˆencia para fins de
compara¸c˜ao com os outros casos estudados, e que s˜ao descritos na seq
¨
uˆencia.
Para a presente condi¸c˜ao operativa, a for¸ca radial agindo no enrolamento externo
da figura 4.8, calculada pelo FEMM, atinge um valor de 6,89 N, enquanto que a for¸ca
axial apresenta um valor praticamente nulo. J´a o enrolamento interno da figura 4.9
experimenta uma for¸ca radial de 5,73 N, e a for¸ca axial praticamente inexiste. Na-
turalmente, como era de se esperar para esta condi¸c˜ao operativa, os valores obtidos
para as for¸cas radiais e axiais s˜ao de pequena significa¸c˜ao para os dois enrolamentos
concˆentricos, notadamente para as for¸cas axiais.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 80
Figura 4.8: For¸cas axial e radial no enro-
lamento externo: condi¸c˜ao nominal.
Figura 4.9: For¸cas axial e radial no enro-
lamento interno: condi¸c˜ao nominal.
Deve-se esclarecer que, embora o programa ofere¸ca a possibilidade de determina¸c˜ao
das for¸cas nas trˆes fases, optou-se por apresentar, t˜ao somente, os resultados obtidos pe-
los enrolamentos da fase que experimenta o maior esfor¸co em um determinado instante,
por se considerar que estas an´alises s˜ao suficientes para proceder com as investiga¸c˜oes
propostas para esta fase da tese.
• Caso B: Simula¸c˜oes com o transformador operando durante uma situa¸c˜ao transi-
t´oria de curto-circuito
Este caso retrata os estudos computacionais do transformador quando submetido
a um curto-circuito trif´asico externo, ou como definido anteriormente, curtos-circuitos
“passantes”. Para a simula¸c˜ao deste caso, utilizou-se um valor de pico de corrente de
curto-circuito igual a 2558 A, calculada de acordo com a equa¸c˜ao 2.1, utilizando-se um
fator de assimetria de 1,6. A figura 4.10 ilustra a distribui¸c˜ao da densidade de fluxo
magn´etico do transformador, perante esta nova condi¸c˜ao operativa.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 81
Figura 4.10: Densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo do transformador: curto-circuito.
Nota-se na figura 4.10, que a distribui¸c˜ao de fluxo magn´etico no interior do trans-
formador sofre altera¸c˜ao do seu caminho preferencial (n´ucleo magn´etico), passando a
circular quase que totalmente pelo ar. Este fato tamb´em ´e corroborado pela figura 4.11,
a qual ilustra o aumento significativo ocorrido na densidade de fluxo de dispers˜ao,
comparativamente ao caso nominal. O valor de pico obtido para esta grandeza para
condi¸c˜ao de curto-circuito ´e de aproximadamente 1,36 T, contra os 29 mT da condi¸c˜ao
nominal. Por outro lado, a densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo magn´etico expe-
rimenta uma sens´ıvel redu¸c˜ao, alcan¸cando um valor da ordem de 0,3 T, evidenciando,
mais uma vez, que a maior parte do fluxo praticamente se fecha pelo ar.
0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
1,0 31,8 62,6 93,4 124,2 155,0
altura do enrolamento (mm)
densidade de fluxo magnético
de dispersão (T)
Figura 4.11: Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao em fun¸c˜ao da altura do enro-
lamento: curto-circuito.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 82
As figuras 4.12 e 4.13 ilustram as for¸cas eletromagn´eticas radiais e axiais, nos en-
rolamentos externo e interno, correspondentes `as condi¸c˜oes anteriormente descritas.
Figura 4.12: For¸cas axial e radial no en-
rolamento externo: curto-circuito.
Figura 4.13: For¸cas axial e radial no en-
rolamento interno: curto-circuito.
Observa-se que, devido ao aumento da corrente el´etrica e do fluxo de dispers˜ao
ocorre um acentuado aumento das for¸cas eletromagn´eticas, em rela¸c˜ao ao caso nominal.
Os valores obtidos para as for¸cas radiais e axiais no enrolamento externo foram de
aproximadamente 14,832 kN e 0,02 N, respectivamente. A intensidade da for¸ca radial
do enrolamento interno ´e cerca de 11,693 kN e da for¸ca axial ´e 0,28 N.
• Caso C: Simula¸c˜oes com o transformador operando sob novo arranjo de tap’s
submetido a um curto-circuito trif´asico
Esta situa¸c˜ao corresponde a uma condi¸c˜ao semelhante `aquela mostrada no caso an-
terior, diferenciando-se pela inclus˜ao de uma se¸c˜ao de tap’s no enrolamento externo. A
utiliza¸c˜ao de tap’s, como mencionado anteriormente, provoca uma desbalan¸co de for¸cas
magnetomotrizes dos enrolamentos. Todavia, salienta-se que os projetos desenvolvidos
para este tipo de arranjo s˜ao executados de tal forma a manter o equil´ıbrio das fmms e
tamb´em procurando minimizar o efeito das for¸cas atrav´es do re-arranjo das deriva¸c˜oes.
Dessa forma, a apresenta¸c˜ao deste caso tem um car´ater sobretudo ilustrativo, cujo
prop´osito ´e o de investigar a influˆencia desta nova configura¸c˜ao dos enrolamentos na
distribui¸c˜ao do fluxo de dispers˜ao e conseq
¨
uentemente, sobre as for¸cas eletromagn´eticas
internas atuantes no dispositivo, preservando, no entanto, o equil´ıbrio entre as for¸cas
magnetomotrizes.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 83
A figura 4.14 mostra o desempenho do fluxo magn´etico do transformador, com uma
se¸c˜ao de tap’s central no enrolamento externo e operando sob a condi¸c˜ao de curto-
circuito.
Figura 4.14: Densidade de fluxo magn´etico para transformador com tap’s central.
Observa-se que o comportamento da densidade de fluxo magn´etico apresenta-se
semelhante ao caso B, com a densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo do transformador
permanecendo com um valor aproximado de 0,3 T. Entretanto, devido `a deriva¸c˜ao,
ocorre uma altera¸c˜ao da dire¸c˜ao da densidade de fluxo de dispers˜ao, como mostra a
figura 4.15. Esta ilustra¸c˜ao mostra a varia¸c˜ao sofrida pela densidade de fluxo magn´etico
de dispers˜ao ao longo da altura do enrolamento externo.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,00 31,80 62,60 93,40 124,20 155,00
altura do enrolamento (mm)
densidade de fluxo magnético
de dispersão (T)
Figura 4.15: Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao em fun¸c˜ao da altura do enro-
lamento com tap’s.
A figura 4.15, torna evidente a altera¸c˜ao do fluxo de dispers˜ao na regi˜ao pr´oxima
ao tap’s, que causa uma concentra¸c˜ao do fluxo nas espiras imediatamente adjacentes `a
deriva¸c˜ao. O valor m´aximo calculado para a densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao
para este caso ´e de 1,4 T.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 84
Naturalmente, a varia¸c˜ao do fluxo magn´etico de dispers˜ao tem como conseq
¨
uˆencia
aumentos substanciais das componentes axiais das for¸cas eletromagn´eticas dos dois
enrolamentos, como pode ser observado nas figuras 4.16 e 4.17. Numericamente, para
o enrolamento externo, os valores encontrados para as for¸cas radiais e axiais foram,
respectivamente, 13,3 kN e 49,49 N, enquanto que, para o enrolamento interno as
mesmas grandezas foram estimadas em 11,66 kN e 33,19 N.
Figura 4.16: For¸cas radial e axial no en-
rolamento externo com tap’s.
Figura 4.17: For¸cas radial e axial no en-
rolamento interno com tap’s.
Os resultados atingidos, como poderia ser previsto, mostram que a maior varia¸c˜ao
ocorre com a comp onente da densidade de fluxo de dispers˜ao radial o que provoca
um acr´escimo substancial da componente axial da for¸ca, tanto no enrolamento externo
quanto no interno.
4.6.2 Caracter´ısticas do transformador de 100 MVA
O transformador de 100 MVA utilizado para os estudos realizados nesta fase dos
trabalhos ´e do tipo trif´asico, com quatro enrolamentos por fase, cujas principais carac-
ter´ısticas f´ısicas, construtivas e el´etricas est˜ao mostradas na tabela 4.4.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 85
Tabela 4.4: Caracter´ısticas do transformador trif´asico de 100 MVA
Potˆencia do trafo [MVA] 100
N ´umero de fases 3
Impedˆancia percentual 9,32%
Perdas no ferro [kW] 53
Freq
¨
uˆencia [Hz] 60
Enrolamento Enrolamento
Tens˜ao [kV] de Alta Tens˜ao de Baixa Tens˜ao
230 138
Enrolamentos 2 4 1 3
N ´umero de espiras 756 64 394 98
Resistˆencia [Ω] 0,68 0,06 0,13 0,04
Raio interno [mm] 556 755 409 705
Raio externo [mm] 645 787 494 730
Coluna Culatra
´
Area [m
2
] 0,38 0,38
Densidade de fluxo magn´etico [T] 1,61 1,61
A figura 4.18 mostra a disposi¸c˜ao dos enrolamentos do dispositivo, para cada
uma das fases e, complementarmente, cujas dimens˜oes foram est˜ao apresentados na
tabela 4.4, ilustrada anteriormente.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Figura 4.18: Disposi¸c˜ao dos enrolamentos do transformador de potˆencia utilizado nas
simula¸c˜oes.
O enrolamento de 138 kV ´e formado por duas b obinas ligadas em s´erie (1 e 3),
enquanto que o enrolamento de 230 kV ´e constitu´ıdo pelas bobinas 2 e 4, tamb´em
conectadas em s´erie. O enrolamento 3 ´e acess´ıvel somente nos testes em f´abrica, por
meio dos quais s˜ao feitos os ensaios em vazio e de perdas do transformador. O enrola-
mento 4 corresponde a bobina de deriva¸c˜ao (tap’s) [46].
A figura 4.19 indica a constitui¸c˜ao f´ısica/geom´etrica do n´ucleo trif´asico do trans-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 86
formador.
1607mm
1607mm
1740mm
720mm
f=740mm
Comprimento
docaminho
magnético
médio
L=13.808mm
Figura 4.19: Dimens˜oes do n´ucleo trif´asico do transformador.
A caracter´ıstica magn´etica da chapa de a¸co sil´ıcio utilizada na montagem do n´ucleo
do transformador de 100 MVA est´a mostrada na figura 4.20.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1 10 100 1000 10000
INTENSIDADEDECAMPOMAGNÉTICO( A/M )
INDUÇÃO(mT)
Tipode Aço/Grade :E-004
Espessura/ Thickness 0,27mm
Frequência / Frequency 60Hz
Densidade/Density 7,65 g/cm
3
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1 10 100 1000 10000
INTENSIDADEDECAMPOMAGNÉTICO( A/M )
INDUÇÃO(mT)
Tipode Aço/Grade :E-004
Espessura/ Thickness 0,27mm
Frequência / Frequency 60Hz
Densidade/Density 7,65 g/cm
3
Figura 4.20: Curva de magnetiza¸c˜ao da chapa de a¸co E004.
A tabela 4.5 apresenta alguns pontos da curva de magnetiza¸c˜ao do material utilizado
no n´ucleo do transformador.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 87
Tabela 4.5: Pontos espec´ıficos da curva de magnetiza¸c˜ao da figura 4.20
Indu¸c˜ao magn´etica Intensidade de fluxo magn´etico
[B] (T) [H] (A.esp/m)
0,20 6,684
0,30 9,056
0,40 11,099
0,60 14,634
0,80 17,729
1,00 20,605
1,20 23,805
1,30 26,511
1,40 31,495
1,50 41,348
1,60 64,166
1,70 136,311
1,80 484,729
4.6.2.1 Resultados das simula¸c˜oes do transformador de 100 MVA
O transformador de 100 MVA foi implementado no FEMM a partir das caracte-
r´ısticas f´ısicas e el´etricas descritas na tabela 4.4. Posteriormente, simula¸c˜oes foram
realizadas para condi¸c˜oes diversas de opera¸c˜ao, constantes na tabela 4.1. Os resultados
obtidos nos estudos computacionais s˜ao descritos e analisados na seq
¨
uˆencia.
• Caso A: Simula¸c˜oes com o transformador operando sob carga nominal em regime
permanente
As simula¸c˜oes para esta condi¸c˜ao operativa foram executadas utilizando correntes
trif´asicas equilibradas, calculadas em fun¸c˜ao dos dados de placa do equipamento, cujo
valor de pico nominal ´e de 355 A na AT. Na BT a corrente utilizada ´e de 591 A.
A figura 4.21 ilustra a malha de elementos finitos triangulares gerada para o dom´ınio
do transformador.
Figura 4.21: Malha de elementos finitos bidimensional do transformador de 100 MVA.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 88
A figura 4.22 apresenta a curva de magnetiza¸c˜ao da chapa de a¸co sil´ıcio do n´ucleo,
plotada com o aux´ılio do FEMM, a partir dos pontos obtidos da figura 4.20.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2000 4000 6000 8000
intensidade de campo magnético (A/m)
indução magnética (T)
Figura 4.22: Curva de magnetiza¸c˜ao do transformador de potˆencia obtida no FEMM.
A distribui¸c˜ao de fluxo magn´etico no interior do transformador ´e ilustrada na
figura 4.23. A densidade de fluxo magn´etico encontrado para o n´ucleo ferromagn´e-
tico neste caso, ´e de 1,61 T. Para a condi¸c˜ao a vazio, apesar de n˜ao serem apresentados
os resultados das simula¸c˜oes, destaca-se que foi verificada uma boa coerˆencia com os
resultados alcan¸cados para a condi¸c˜ao nominal.
Figura 4.23: Densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo: condi¸c˜ao nominal.
A figura 4.24 ilustra a varia¸c˜ao da densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre
os enrolamentos 1 e 2 em rela¸c˜ao a altura do enrolamento 1 da BT.
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 89
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1,0 303,2 605,4 907,6 1209,8 1512,0
altura do enrolamento (mm)
densidade de fluxo magnético
de dispersão (T)
Figura 4.24: Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos 1 e 2:
condi¸c˜ao nominal.
Nota-se, que as observa¸c˜oes feitas para o transformador de 15 kVA tamb´em s˜ao
v´alidas para o de 100 MVA, ou seja, a densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao
apresenta-se praticamente constante ao longo da altura dos enrolamentos, predomi-
nando nessa regi˜ao a comp onente axial da densidade de fluxo e inclina-se a medida que
se caminha na dire¸c˜ao das extremidades dos enrolamentos. Nestas regi˜oes, a inclina¸c˜ao
da densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao sugere o espalhamento do mesmo e o apa-
recimento tamb´em de uma componente radial da densidade de fluxo. O valor obtido
para a componente axial dessa grandeza ´e de aproximadamente 200 mT. Ressalta-se
que, a n˜ao apresenta¸c˜ao dos desemp enhos da dispers˜ao magn´etica nas outras duas
regi˜oes entre os enrolamentos, ´e devido ao fato de terem valores muito pequenos. Os
valores atingidos pela dispers˜ao nestas regi˜oes, entre os enrolamentos 2 e 3 ´e de apro-
ximadamente 30 mT e entre os enrolamentos 3 e 4 ´e de 18 mT.
As for¸cas radiais e axiais est˜ao mostradas nas figuras 4.25 e 4.26 para os enrolamen-
tos 2 da AT e 1 da BT, respectivamente. Estes enrolamentos apresentam os maiores
esfor¸cos em virtude de sua maior for¸ca magnetomotriz. Mais uma vez, as for¸cas eletro-
magn´eticas s˜ao apresentadas para a condi¸c˜ao nominal, para assim serem confrontadas
com os outros casos estudados.
Ressalta-se que o transformador em quest˜ao n˜ao possui uma simetria entre os enro-
lamentos concˆentricos, como pˆode ser observado na figura 4.18. Dessa forma, pode-se
constatar que as for¸cas axiais tamb´em alcan¸cam valores mais significativos nos enrola-
mentos, como mostram as figuras 4.25 e 4.26.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 90
Figura 4.25: For¸cas axial e radial no en-
rolamento 2 da AT: condi¸c˜ao nominal.
Figura 4.26: For¸cas axial e radial no en-
rolamento 1 da BT: condi¸c˜ao nominal.
Os c´alculos das for¸cas realizadas com o FEMM forneceram, para o enrolamento
de AT, uma componente radial de 36,897 kN e uma componente axial de 216,76 N.
Para o enrolamento de BT obteve-se 20,589 kN para a for¸ca radial e 473,84 N de for¸ca
axial. Observa-se, que os valores encontrados para as for¸cas agindo neste transformador
s˜ao bem maiores do que aquelas encontradas para o transformador de 15 kVA, para
a mesma condi¸c˜ao operativa, que se explica pelas maiores amplitudes das correntes
envolvidas.
• Caso B: Simula¸c˜oes com o transformador op erando sob curto-circuito trif´asico
Os estudos computacionais do transformador de potˆencia operando sob uma condi¸c˜ao
de curto-circuito trif´asico equilibrado foram conduzidos utilizando valores de pico para
as correntes iguais a 6640 A para a AT e 11061 A na BT.
A figura 4.27 ilustra a distribui¸c˜ao da densidade de fluxo magn´etico no interior do
transformador, correspondente `a opera¸c˜ao sob curto-circuito. O valor encontrado para
a densidade de fluxo magn´etico no n´ucleo ´e de aproximadamente 1,32 T.
Assim como foi observado para o caso do transformador de distribui¸c˜ao operando
sob curto-circuito, no presente caso, como n˜ao podia ser diferente, ocorre uma redis-
tribui¸c˜ao das linhas de fluxo magn´etico no interior do equipamento, que resulta em um
aumento substancial da densidade de fluxo de dispers˜ao.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.6 Resultados das simula¸c˜oes no FEMM 91
Figura 4.27: Densidade de fluxo magn´etico: curto-circuito.
A figura 4.28 ilustra a densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao obtida entre os
enrolamentos 1 e 2. O valor de pico da densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao
obtido para a condi¸c˜ao de curto-circuito nessa regi˜ao ´e de aproximadamente 3,7 T,
enquanto que, para a condi¸c˜ao nominal, o valor ´e de 200 mT.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
1,0 303,2 605,4 907,6 1209,8 1512,0
altura do enrolamento (mm)
densidade de fluxo magnético
de dispersão (T)
Figura 4.28: Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos 1 e 2:
curto-circuito.
As figuras 4.29 e 4.30 mostram as for¸cas eletromagn´eticas radiais e axiais nos
enrolamentos 2 e 1, respectivamente.
Observa-se nas figuras que as componentes das for¸cas nos dois enrolamentos tˆem
valores muito elevados comparativamente ao caso nominal. O valor da componente
radial ´e de aproximadamente 12,631 MN e de componente axial ´e de 33,60 kN, ambos
para o enrolamento 2. Para o enrolamento 1 foram obtidos 7,076 MN e 178,988 kN
para as for¸cas radiais e axiais, respectivamente.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.7 S´ıntese dos resultados 92
Figura 4.29: For¸cas axial e radial no en-
rolamento externo: curto-circuito.
Figura 4.30: For¸cas axial e radial no en-
rolamento interno: curto-circuito.
4.7 S´ıntese dos resultados
Este item destina-se `a consolida¸c˜ao dos resultados apresentados ao longo deste
cap´ıtulo, para os dois transformadores investigados. Neste sentido, a tabela 4.6 apre-
senta as grandezas el´etricas, magn´eticas e mecˆanicas, obtidas via simula¸c˜ao, para o
transformador de 15 kVA. Da mesma forma, os valores alcan¸cados para as grandezas
mencionadas para o transformador de 100 MVA, est˜ao mostrados na tabela 4.7. Os
resultados consolidados permitem evidenciar a varia¸c˜ao dos valores obtidos das diversas
grandezas, para cada um dos trˆes casos simulados.
Tabela 4.6: S´ıntese dos resultados obtidos para o transformador de 15 kVA
Caso A Caso B Caso C
B
disp
[T] 29x10
−3
1,36 1,4
B
nucleo
[T] 1,5 0,3 0,3
For¸ca radial [N] Enrol. externo 6,89 14832 13309
Enrol. interno 5,73 11693 11663
For¸ca axial [N] Enrol. externo 0,013 0,02 49,49
Enrol. interno 0,003 0,28 33,19
Tabela 4.7: S´ıntese dos resultados obtidos para o transformador de 100 MVA
Caso A Caso B
B
disp
[T] 200x10
−3
3,76
B
nucleo
[T] 1,61 1,32
For¸ca radial [N] Enrol. 2 (AT) 36897 12631x10
3
Enrol. 1 (BT) 20589 7076x10
3
For¸ca axial [N] Enrol. 2 (AT) 218,76 33600
Enrol. 1 (BT) 473,84 178988
Vale ressaltar, que os valores encontrados para as for¸cas axiais e radiais, para todas
as condi¸c˜oes de opera¸c˜ao, s˜ao relativos `as “For¸cas de Lorentz”. No entanto, como foi
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.7 S´ıntese dos resultados 93
mencionado anteriormente, o FEMM utiliza uma segunda estrat´egia para determinar
as for¸cas eletromagn´eticas via “Tensor de Maxwell” que, contudo, fornece resultados
bastante pr´oximos aos obtidos pela “For¸cas de Lorentz” e desta forma, n˜ao foi contem-
plado nesta tese.
Objetivando avaliar o desempenho do modelo implementado no FEMM, a seguir s˜ao
mostradas tabelas que congregam os valores obtidos via simula¸c˜ao e os decorrentes de
c´alculos anal´ıticos, cujas representa¸c˜oes matem´aticas foram apresentadas no cap´ıtulo
precedente. Assim, as tabelas 4.8 e 4.9 apresentam os resultados do transformador
de 15 kVA e 100 MVA, respectivamente.
´
E importante enfatizar, que somente os
resultados das for¸cas eletromagn´eticas na dire¸c˜ao radial est˜ao mostrados na tabela.
Justifica-se este fato, pela dificuldade em se obter os dados para os c´alculos anal´ıticos
das for¸cas axiais necess´arios para utiliza¸c˜ao nas formula¸c˜oes apresentadas no cap´ıtulo
3 [29]. Portanto, os resultados do caso C n˜ao s˜ao apresentados na tabela.
Tabela 4.8: Compara¸c˜ao entre as simula¸c˜oes e c´alculos anal´ıticos: condi¸c˜ao nominal e
curto-circuito: transformador de 15 kVA
M´etodo Anal´ıtico M´etodo num´erico
Caso A Caso B Caso A Caso B
B
disp
[T] 29,74x10
−3
1,36 29x10
−3
1,36
B
nucleo
[T] 1,54 - 1,50 0,30
For¸caradial[N] Enrol. externo 7,74 16350 6,89 14832
Enrol. interno 5,28 11150 5,73 11693
Tabela 4.9: Compara¸c˜ao entre as simula¸c˜oes e c´alculos anal´ıticos: condi¸c˜ao nominal e
curto-circuito: transformador de 100 MVA
M´etodo Anal´ıtico M´etodo num´erico
Caso A Caso B Caso A Caso B
B
disp
[T] 194x10
−3
3,6 200x10
−3
3,76
B
nucleo
[T] 1,61 - 1,61 1,32
For¸caradial[N] Enrol. 2 (AT) 36924 13700x10
3
36897 12631x10
3
Enrol. 1 (BT) 20351 7600x10
3
20589 7076x10
3
Os valores constantes nas tabelas anteriores mostram que, em seus aspectos quanti-
tativos, os resultados alcan¸cados via simula¸c˜ao com o simulador FEMM, de uma forma
geral, apresentam uma boa correspondˆencia com os derivados dos c´alculos anal´ıticos,
para todas as condi¸c˜oes de opera¸c˜ao estudadas, tanto para o transformador de dis-
tribui¸c˜ao quanto para o transformador de potˆencia. Essa afirmativa ´e v´alida para
todas as grandezas avaliadas pass´ıveis de compara¸c˜ao pelos dois m´etodos empregados
confrontados.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.8 Considera¸c˜oes finais 94
4.8 Considera¸c˜oes finais
Este cap´ıtulo foi dedicado `a apresenta¸c˜ao de simula¸c˜oes computacionais utilizando o
FEMM. Para tanto, o cap´ıtulo foi iniciado com uma s´ıntese desse pacote computacional,
que se baseia em m´etodos num´ericos para a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes diferenciais parciais
que descrevem os fenˆomenos eletromagn´eticos investigados. Ainda nessa parte inicial,
foram destacados os procedimentos para a montagem, sistematiza¸c˜ao e implementa¸c˜ao
das estruturas f´ısicas de dispositivos no simulador utilizado.
Dando seq
¨
uˆencia aos desenvolvimentos, e como forma de exemplificar a utiliza¸c˜ao
e potencialidades do programa, foram implementados os modelos de dois transforma-
dores, um de distribui¸c˜ao com arranjos de enrolamentos sim´etricos e outro de maior
porte, com enrolamentos assim´etricos.
Dando prosseguimento, os equipamentos foram submetidos a diversas condi¸c˜oes
operativas, para que se pudesse concluir sobre os esfor¸cos ocorridos nos enrolamentos
atrav´es de observa¸c˜ao e compara¸c˜ao dos resultados.
No caso da primeira configura¸c˜ao, observou-se que a simetria entre os enrolamentos
torna as for¸cas radiais dominantes, enquanto que as for¸cas axiais s˜ao relativamente
pequenas.
De outro lado, para a segunda configura¸c˜ao, viu-se que, a assimetria entre os en-
rolamentos do transformador de potˆencia, provoca um aumento substancial das for¸cas
axiais. Neste caso, tanto as for¸cas radiais quanto as for¸cas axiais devem ser levadas em
conta na etapa de projeto dos transformadores, ou mais precisamente, as estruturas de
suporte dever˜ao ser adequadamente providenciadas, de maneira a conferir a necess´aria
resistˆencia mecˆanica do dispositivo aos fenˆomenos a que possam ser submetidos.
Quanto aos aspectos qualitativos, o mapeamento das distribui¸c˜oes de fluxo mag-
n´etico no interior dos equipamentos mostrou que as altas correntes que circulam nos
enrolamentos concˆentricos, causadas pelos curtos-circuitos externos, provocam uma al-
tera¸c˜ao no caminho do fluxo magn´etico proporcionando um aumento significativo do
fluxo magn´etico de dispers˜ao e, conseq
¨
uentemente, das for¸cas eletromagn´eticas nos
enrolamentos.
As simula¸c˜oes efetuadas para enrolamentos em deriva¸c˜ao mostraram que o uso
dessa estrat´egia para regular a tens˜ao, altera a distribui¸c˜ao de fluxo magn´etico no
interior do transformador, provocando um significativo aumento da densidade de fluxo
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
4.8 Considera¸c˜oes finais 95
de dispers˜ao radial e, por conseguinte, da for¸ca axial. Esse efeito tamb´em foi constatado
nos enrolamentos assim´etricos do transformador de 100 MVA.
Quanto aos aspectos quantitativos, de um modo geral, observou-se uma grande
correspondˆencia entre os resultados computacionais e anal´ıticos para todas as condi¸c˜oes
de opera¸c˜ao estudadas. Isto permite dizer que os resultados obtidos nas simula¸c˜oes do
FEMM podem ser usados como valores de referˆencia para avaliar o desemp enho de
outros m´etodos num´ericos.
No tocante `as simula¸c˜oes empregando-se as correntes de energiza¸c˜ao do transfor-
mador, ´e importante salientar que estas n˜ao foram executadas neste cap´ıtulo, uma vez
que o modelo empregado nos estudos utiliza a curva de magnetiza¸c˜ao e n˜ao o ciclo de
histerese que ´e necess´ario para esta finalidade.
Finalmente, ressalta-se que o objetivo maior deste cap´ıtulo foi fundamentalmente
o de estabelecer uma base computacional confi´avel, que possa oferecer sustenta¸c˜ao aos
estudos de desempenho dos equipamentos sob investiga¸c˜ao em um programa que utiliza
t´ecnicas no dom´ınio do tempo e que ser´a apresentado no pr´oximo cap´ıtulo.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
Cap´ıtulo 5
C´alculo de For¸cas Eletromagn´eticas
e Estresse Mecˆanico em
Transformadores Utilizando
T´ecnicas no Dom´ınio do Tempo
5.1 Considera¸c˜oes iniciais
Este cap´ıtulo tem por objetivo o desenvolvimento, a modelagem e implementa¸c˜ao
computacional de modelos apropriados para c´alculos de grandezas mecˆanicas nos en-
rolamentos de transformadores utilizando t´ecnicas no dom´ınio do tempo.
Para tanto, modelos de transformadores izande dd(os)rm´ıprefer(,)-ˆisosiza[30.59-3GBT/F124.78T384e(P)27(a)1(ra3430.59-3GBT/F124.78T395.86e(P)27(a)1(ra]iza)1(niza)1([30.59-3GBT/F124.78T416TD[(cP)27(a)1(ra4630.59-3GBT/F124.78T428.24e(P)27(a)1(ra]iza)5(s˜1(i)1(5-21.6415.2(co)1(m)1(p))1(o)i)1(zan)1(d)1(o)-(es)-30(iz281(o)25((os)84359(ob)-n-375t5((os)843)1(n281(p(tan))i)1(zanden)28(t.)6419(A(n286462(e)1(cn)1(3)-37-324(no)-os)843n(os)843)om81(ı)1(tu)1(l)1(o)324(do)-325)843)o(n281((o.)]TJETBT(n281(emp30-211g(r)1(es)-os)843nasos)843refe.67TD[(r)1(o6)1(a)1(,)-ˆ)1(i)1nlo)1(s)(os)-(iza31359(ob)erm(s)(os)cap)110(3266)4832)1(os)-375(de)-359(361(i3ra)1(n)326t)1(or)1(m)11(do)1(re(r)1(es)-30-211(iza3261(i)1(zan)1(d)1(o)-eza)1(s)o1(i3rafor)490(a)6o)-325(3(re)1(sgeza)1(s)1(ag)25((o26t)1(o)1(o)inici)1(3p)117TD[(r)1(ol)1(a)1(m)5(de)oicasosiz297resgezacninoc´lotemtaniz297rfora deagutasgcn3no ´297r5st-211(s-211(iz297reecˆ]TJ-1324(do)-.67TD[(r)1(o6)1(a)1(u)1s25(d1066)4808(p(tan))i)1(zan52(j06s)o1(i07)1(a)1(g)1(em)(a)182(“bta))1(sse”37(6(25(d106for28(t)1(i07)i1(,)-388(ro)-325)(g)359(zi)1(zanden)2s1(i07)1(lo)terta))1(s)490(a)1(o)]TJ-(inici)1(08(na1(i07)to)]TJETBT(de)-g(s)(os)-25(d106)1(n)07)11324(ei)1(zan5a67TD[(r)1(o6)1(a)a(v)26)to)]Tr370(de)-r(v)21(oc1(s-209263)1(tu)1(l)1(o))1(i)einici)1lotasiezas mecˆn1(s1(cn)1J-1(d)1(os)-3701(ˆ)26)p(tan)28()21(o8()273reazan)1(d)1(o)-ezaao
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos 97
Pretende-se, com esta ferramenta realizar estudos de desempenho do equipamento
tendo como foco o c´alculo das for¸cas eletromagn´eticas e a estimativa dos estresses
mecˆanicos devido, principalmente, aos curtos-circuitos.
5.2 Estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletro-
magn´eticos utilizando t´ecnica no dom´ınio do
tempo
Atrav´es dos recursos originalmente encontrados na biblioteca do simulador empre-
gado, constata-se que esta ferramenta oferece grandes atrativos para a modelagem de
dispositivos eletromagn´eticos com componentes el´etricos (enrolamentos) e magn´eticos
(n´ucleos). Estes recursos viabilizam a modelagem de transformadores, variando desde
os arranjos mais simples at´e os mais complexos, constitu´ıdos de unidades trif´asicas do
tipo n´ucleo envolvido ou envolvente, de trˆes ou cinco colunas, dois ou mais enrolamentos
por fase.
No que tange a utiliza¸c˜ao deste simulador, a biblioteca da plataforma, para fins de
estudos de sistemas e dispositivos faz uso dos recursos/rotinas, designadas por templates
ou modelos. Visando ilustrar a forma de modelagem de componentes individuais e a
constitui¸c˜ao de um modelo mais complexo, a seguir, s˜ao descritos os modelos dos
principais componentes el´etricos e magn´eticos que formam os transformadores.
• Enrolamentos
O template representativo de um enrolamento de um transformador ´e referenciado
por template wind.sin, o qual est´a esquematicamente ilustrado na figura 5.1
Fmm
v
Figura 5.1: Diagrama esquem´atico equivalente do template wind.sin.
Os principais parˆametros de conex˜ao e entrada, destacados na figura anterior, s˜ao:
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos 98
ep, em: terminais el´etricos, positivo (ep) e negativo (em);
mp, mm: terminais magn´eticos, positivo (mp) e negativo (mm);
n: n´umero de espiras da bobina;
r: resistˆencia el´etrica da bobina.
A tens˜ao entre os terminais ep e em ´e descrita pela equa¸c˜ao 5.1.
v = ri + n
dφ
dt
(5.1)
sendo:
φ: fluxo magn´etico (wb);
i: corrente instantˆanea (A);
v: tens˜ao instantˆanea (V).
Reportando-se ainda `a figura 5.1, a corrente el´etrica (i) que circula na bobina, pro-
duz uma for¸ca magnetomotriz (Fmm) entre os terminais magn´eticos do enrolamento,
dada pela equa¸c˜ao 5.2. Estes terminais s˜ao conectados aos terminais magn´eticos cor-
respondentes do n´ucleo.
F mm = ni (5.2)
sendo:
Fmm: for¸ca magnetomotriz (A-espira).
• Caminho magn´etico
A Fmm aplicada ao n´ucleo d´a origem ao fluxo magn´etico ( φ ), cuja intensidade e
caracter´ısticas depender˜ao das propriedades magn´eticas do material e da geometria do
n´ucleo, isto ´e, da relutˆancia magn´etica do n´ucleo (). A rela¸c˜ao entre Fmm, φ e ()
´e dada pela express˜ao:
F mm = φ (5.3)
Sendo:
: relutˆancia do n´ucleo magn´etico (A − espira/wb).
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos 99
O caminho oferecido para a passagem do fluxo magn´etico, de maneira an´aloga ao
enrolamento, pode ser representado por um modelo que, dependendo das caracter´ısticas
do meio, ter´a uma representa¸c˜ao linear ou n˜ao-linear.
Caso a relutˆancia do caminho magn´etico seja linear, ela ´e representada pelo template
core.sin. Os principais parˆametros de entrada requeridos pelo referido template s˜ao a
´area da se¸c˜ao transversal, o comprimento e a permeabilidade do material do n´ucleo,
mostrados na figura 5.2.
p
m
m
l
S
Figura 5.2: Diagrama esquem´atico equivalente do template core.sin.
Sendo que, na figura tem-se:
p, m: pinos magn´eticos;
l: comprimento do n´ucleo magn´etico (m);
S: ´area transversal do n´ucleo magn´etico (m
2
);
µ: permeabilidade do material do n´ucleo magn´etico (H/m).
Os pinos de conex˜ao magn´etica p e m s˜ao conectados aos terminais magn´eticos do
enrolamento.
A relutˆancia magn´etica pode, de um modo geral, ser expressa pela equa¸c˜ao 5.4.
=
l
µ · S
=
l
µ
r
· µ
0
· S
(5.4)
sendo:
µ
0
: permeabilidade magn´etica do v´acuo (H /m );
µ
r
: permeabilidade magn´etica relativa do material do n´ucleo.
Para o caso em que a relutˆancia apresenta caracter´ısticas n˜ao lineares, como ´e o caso
dos materiais ferromagn´eticos, a representa¸c˜ao ´e feita por um outro template denomi-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos 100
nado template corenl.sin. Este modelo baseia-se no modelo de histerese ferromagn´etica
de Jiles-Atherton [47], [34].
O mo delo completo do transformador conforma-se pela combina¸c˜ao dos trˆes tipos
b´asicos de templates (wind.sin, core.sin e corenl.sin), permitindo a constru¸c˜ao de um
novo template, se necess´ario, destinado `a representa¸c˜ao de cada tipo espec´ıfico de trans-
formador. Os diversos tipos de transformadores resultam das diferentes liga¸c˜oes dos
enrolamentos e configura¸c˜oes de n´ucleo magn´etico do transformador. A facilidade de se
conectar os templates faz a implementa¸c˜ao de modelos de transformadores uma tarefa
relativamente simples e direta.
Esta abordagem para a modelagem de transformadores trif´asicos permite que as
intera¸c˜oes dos fluxos entre as trˆes fases sejam prontamente estabelecidas. Caber´a ao
simulador a fun¸c˜ao de formar o sistema de equa¸c˜oes el´etricas e magn´eticas dos acopla-
mentos em cada fase e entre as fases, permitindo ao usu´ario ater-se, especificamente e
mais rapidamente, `a an´alise dos resultados qualitativos e quantitativos do fenˆomeno de
interesse, deixando de lado quest˜oes relacionadas com os m´etodos num´ericos e de pro-
grama¸c˜ao. As facilidades proporcionadas permitem a visualiza¸c˜ao em diversos pontos
f´ısicos do n´ucleo do transformador, os diferentes n´ıveis de satura¸c˜ao a que o n´ucleo ´e
submetido durante o regime transit´orio, principalmente durante o transit´orio de ener-
giza¸c˜ao, quando o n´ıvel da densidade de fluxo magn´etico alcan¸cado em uma fase pode
ser bem maior do que aquele atingido nas outras fases [34].
A utiliza¸c˜ao do simulador na modelagem de transformadores atrav´es dos tamplates
mencionados, ser´a exemplificada nas se¸c˜oes posteriores com a implementa¸c˜ao dos dois
transformadores trif´asicos investigados neste trabalho.
5.2.1 Determina¸c˜ao da relutˆancia de dispers˜ao a partir das
dimens˜oes do dispositivo
O conhecimento do caminho do fluxo de dispers˜ao ´e primordial para o c´alculo pre-
ciso das for¸cas eletromagn´eticas, conforme foi claramente estabelecido. Diante disso,
antes de efetuar a determina¸c˜ao das for¸cas propriamente ditas, faz-se necess´ario de-
terminar a filosofia utilizada na implementa¸c˜ao computacional do transformador para
estabelecer o caminho percorrido pelo fluxo magn´etico atrav´es do duto existente entre
os enrolamentos.
O c´alculo da relutˆancia oferecida pelo ar ao fluxo magn´etico pode ser realizado
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos 101
atrav´es das for¸cas magnetomotrizes geradas nos enrolamentos, determinadas pela equa-
¸c˜ao 5.3.
A partir da geometria do transformador, pode-se calcular as relutˆancias do cir-
cuito magn´etico equivalente. A relutˆancia de cada trecho de n ´ucleo ferromagn´etico ´e
determinada com o aux´ılio da equa¸c˜ao 5.4.
Para efetuar o c´alculo da relutˆancia de dispers˜ao (
disp
), entre os enrolamentos
de um transformador, ´e necess´ario a determina¸c˜ao da ´area efetiva ou equivalente de
dispers˜ao. Esta ´area pode ser determinada pela equa¸c˜ao 5.5 mediante o conhecimento
das grandezas dispostas na figura 5.3 [48].
S
disp
= l
m
d
1
3
+ d
0
+
d
2
3
(5.5)
sendo:
S
disp
: ´area do espa¸co os entre enrolamentos de uma mesma fase (m
2
);
l
m
: comprimento m´edio de circunferˆencia dos enrolamentos (m);
d
1
: espessura do enrolamento externo (m);
d
2
: espessura do enrolamento interno (m);
d
0
: espessura do espa¸co entre os enrolamentos externo e interno (m).
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
fluxo de
dispersão
Enrolamento
externo
Enrolamento
interno
d
1
d
0
d
2
x
l
m
h
H
i
i
Figura 5.3: Enrolamentos concˆentricos utilizados no c´alculo da ´area de dispers˜ao.
A ´area efetiva ou equivalente do espa¸co de ar entre o n´ucleo ferromagn´etico e o
enrolamento interno, quando se considera a energiza¸c˜ao do transformador pelo enrola-
mento interno, ´e obtida pela express˜ao 5.6, diretamente a partir das dimens˜oes f´ısicas
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos 102
do dispositivo [34]. Salienta-se que, para a defini¸c˜ao da ´area equivalente, complemen-
tarmente `a figura 5.3 mostrada anteriormente, faz-se uso tamb´em das figuras 5.4 e
5.5.
S
AR
=
π
4
(dibi)
2
− S
c
(5.6)
sendo:
S
AR
:
´
Area efetiva ou equivalente do espa¸co de ar entre o n´ucleo ferromagn´etico
e o enrolamento interno (m
2
);
S
c
:
´
Area aparente da coluna (m
2
).
enrolamento externo
enrolamento interno
núcleo magnético
(área S )
c
espaço entre as bobinas
bobina interna e o núcleo
espaço entre a
dibi
debi
dibe
debe
d
1
d
d
3
2
Figura 5.4: Vista superior de uma coluna
do transformador
enrolamentointerno
enrolamentoexterno
espaçoentreasbobinas
Coluna
central
Culatra
superior
Culatra
inferior
Figura 5.5: Vista frontal de uma coluna do
transformador
As siglas mostradas na figura 5.4 est˜ao identificadas a seguir.
dibi: diˆametro interno da bobina interna (m);
dibe: diˆametro interno da bobina externa (m);
debi: diˆametro externo da bobina interna (m);
debe: diˆametro externo da bobina externa (m).
Para casos em que a energiza¸c˜ao do transformador ocorre pelo enrolamento externo,
a ´area efetiva ou equivalente pode ser calculada pela express˜ao 5.7.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos 103
S
AR
=
π
4
(dibe)
2
− S
c
(5.7)
O simulador utilizado permite uma modelagem mais fidedigna do transformador,
uma vez que como foi mencionado anteriormente, os diversos caminhos de fluxo mag-
n´etico podem ser representados separadamente atrav´es de suas relutˆancias lineares e
n˜ao lineares. Isto permite a determina¸c˜ao dos fluxos magn´eticos em qualquer regi˜ao da
estrutura, o que facilita enormente as an´alises. Assim, a implementa¸c˜ao computacional
da relutˆancia de dispers˜ao ´e realizada em conformidade com as estrat´egias fornecidas
neste item, atrav´es da defini¸c˜ao das ´areas equivalentes de cada regi˜ao de acordo com
dados obtidos no projeto do equipamento.
5.2.2 C´alculo de for¸cas eletromagn´eticas para implementa¸c˜ao
no dom´ınio do tempo
O c´alculo das for¸cas eletromagn´eticas no dom´ınio do tempo ´e realizado de acordo
com o postulado pela equa¸c˜ao 5.8, a qual fundamenta-se na for¸ca de Lorentz [44],
mostrada no cap´ıtulo 3 e, novamente apresentada.
f =
J ×
B (5.8)
Para determinar a for¸ca m´edia que atua nos enrolamentos, algumas manipula¸c˜oes
devem ser efetuadas na equa¸c˜ao 5.8. Primeiramente, considere que um segmento ele-
mentar (dl) do condutor percorrido por uma corrente I, est´a sob a a¸c˜ao de uma densi-
dade de fluxo magn´etico vetorial
−→
B , conforme ilustra a figura 5.6.
Figura 5.6: Segmento elementar de condutor percorrido por uma corrente I.
Considerando que o vetor
−→
J ´e a densidade superficial de corrente I, pode-se defini-
lo, na dire¸c˜ao do vetor unit´ario, pela equa¸c˜ao 5.9.
J =
I
S
u (5.9)
sendo:
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos 104
I: valor eficaz da corrente;
S: se¸c˜ao transversal do condutor;
−→
u : vetor unit´ario na dire¸c˜ao da corrente I.
O segmento dl pode ser dado por:
d
l = dlu (5.10)
sendo:
dl: comprimento elementar do condutor.
Ent˜ao, p ode-se escrever que:
u =
d
l
dl
=
J
J
(5.11)
A for¸ca agindo sobre o segmento do condutor ´e dada pela express˜ao 5.12.
d
F =
fdV (5.12)
sendo:
dV : elemento diferencial de volume dado por dV = Sdl.
Substituindo dV na equa¸c˜ao 5.12, tem-se:
d
F =
J ×
BSdl (5.13)
Substituindo a equa¸c˜ao 5.11 do vetor unit´ario em 5.13 obt´em-se:
d
F =
d
l
dl
×
BIdl (5.14)
Finalmente, chega-se a equa¸c˜ao 5.15 que exprime a for¸ca experimentada pelo con-
dutor de comprimento dl .
d
F = d
l ×
BI (5.15)
Do conceito de produto vetorial sabe-se que a for¸ca resultante ´e perpendicular ao
plano formado pelos vetores d
−→
l e
−→
B , cujo m´odulo ´e obtido pela equa¸c˜ao 5.16.
dF = BIdlsenθ (5.16)
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.2 A estrutura¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao de modelos eletromagn´eticos 105
sendo:
θ: ˆangulo formado pelos vetores d
−→
l e
−→
B .
A partir da equa¸c˜ao 5.16 pode-se determinar as for¸cas eletromagn´eticas atuando
em um enrolamento de n espiras, percorridas por uma corrente I, lembrando-se que
θ = 90
◦
. Dessa maneira, integrando-se a equa¸c˜ao 5.16, o m´odulo da for¸ca que atua nas
bobinas do transformador pode ser obtido pela express˜ao 5.17:
F = nIBl (5.17)
sendo:
n: n´umero de espiras do enrolamento;
l: comprimento da espira (m).
Considerando que o comprimento de um espira circular ´e igual a l = π.D, a equa¸c˜ao
que define a for¸ca radial total atuando sobre o enrolamento pode ser reescrita na forma
da equa¸c˜ao 5.18:
F
r
= nIBπD
m
(5.18)
sendo:
D
m
: diˆametro m´edio do enrolamento (m).
Conforme visto no cap´ıtulo 3, a for¸ca de interesse ´e aquela denominada de for¸ca
radial m´edia. Dessa forma, a partir da express˜ao 5.18, dividida pelo valor de π, obt´em-
se a express˜ao que permite determinar o valor da for¸ca radial m´edia, conforme mostra
a equa¸c˜ao 5.19.
F
rmed
= nIBD
m
(5.19)
sendo:
F
rmed
: for¸ca radial m´edia no enrolamento (N).
No dom´ınio do tempo, pode-se escrever:
f
rmed
(t) = ni (t) B (t) D
m
(5.20)
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.3 Modelo computacional 106
O estresse de tra¸c˜ao ´e calculado a partir da for¸ca radial m´edia e das dimens˜oes
f´ısicas do condutor, de acordo com a equa¸c˜ao 5.21 que ser´a reapresentada aqui.
σ
medio
=
I
2
max
h
·
nπD
m
S
10
−7
(5.21)
As equa¸c˜oes 5.19 e 5.21 foram implementadas computacionalmente e utilizadas para
efetuar o c´alculo das for¸cas radiais m´edias e dos estresses de tra¸c˜ao e de compress˜ao
radial em transformadores do tipo n´ucleo envolvido e com enrolamentos concˆentricos.
5.3 Modelo computacional para o c´alculo de for¸cas
eletromagn´eticas
O modelo computacional obtido para realizar o c´alculo das for¸cas eletromagn´eticas
e dos estresses eletromecˆanicos nos enrolamentos de transformadores encontra-se es-
quematicamente representado na figura 5.7. A figura ilustra os dois m´odulos principais
que conformam o sistema completo, a saber: o modelo modificado do transformador
trif´asico e o m´odulo destinado `a determina¸c˜ao dos esfor¸cos. No desenho est˜ao ilustradas
ainda, a intera¸c˜ao entre os sub-m´odulos e algumas das grandezas que s˜ao disponibi-
lizadas para visualiza¸c˜ao e manuseio. Devido a maior praticidade de utiliza¸c˜ao, todas
as grandezas s˜ao acess´ıveis via o template do transformador atrav´es de gr´aficos no
dom´ınio do tempo.
Tensão de
alimentação
Template do
transformador
Template de cálculos
mecânicos
i(t)B_disp(t)
v(t)
i(t)
B_disp(t)/fluxo_disp(t)
B_nucleo(t)/flux_nucleo(t)
f(t)
v(t)
frmed(t)
estresse(t)
s
(t)
Figura 5.7: Modelo computacional implementado.
O programa obtido permite a determina¸c˜ao das for¸cas eletromagn´eticas na dire¸c˜ao
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.3 Modelo computacional 107
radial e dos estresses de tra¸c˜ao e de compress˜ao radial. Para isso, tornou-se necess´ario
introduzir altera¸c˜oes no template dos transformadores de forma a que se pudesse ter
acesso `as grandezas requeridas para a avalia¸c˜ao dos equipamentos sob as situa¸c˜oes de
opera¸c˜ao especificadas, com foco no desempenho mecˆanico dos mesmos.
A modelagem computacional do template dos transformadores j´a foi explanada
anteriormente. Com rela¸c˜ao ao template para determina¸c˜ao dos estresses mecˆanicos
e das for¸cas eletromagn´eticas, este ´e composto basicamente pelas express˜oes para o
c´alculo dos mesmos, fornecidas anteriormente.
Para uma melhor compreens˜ao do programa desenvolvido, a figura 5.8 ilustra um
esquema mais detalhado da implementa¸c˜ao computacional dos modelos para c´alculo dos
esfor¸cos mostrando, inclusive os pontos selecionados para a aplica¸c˜ao dos fenˆomenos
transit´orios.
TRANSFORMADOR
FONTE
CARGA
CÁLCULO DA FORÇA
ELETROMAGNÉTICA
CÁLCULO DO
ESTRESSE
MECÂNICO
(1)
(2)
Figura 5.8: Conex˜ao dos templates para c´alculo dos esfor¸cos.
Al´em dos templates da fonte de alimenta¸c˜ao, do equipamento e da carga, onde s˜ao
impostos os dist´urbios transit´orios, a figura mostra tamb´em o template destinado ao
c´alculo dos esfor¸cos.
Quanto a aplica¸c˜ao dos fenˆomenos transit´orios, as correntes de inrush s˜ao obtidas
atrav´es do fechamento da chave (1) a partir do chaveamento das trˆes fases no mesmo
instante. O curto-circuito trif´asico no lado secund´ario ´e imposto fechando-se a chave
(2).
Os dados de entrada para alimenta¸c˜ao do template dos esfor¸cos s˜ao fornecidos via
template do transformador e s˜ao basicamente, o sinais de correntes e densidade de fluxo
de dispers˜ao, al´em das caracter´ısticas geom´etricas do transformador sob an´alise.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 108
5.4 Resultados das simula¸c˜oes
As simula¸c˜oes computacionais foram realizadas utilizando os mesmos transforma-
dores de 15 kVA e de 100 MVA empregados no cap´ıtulo 4. As caracter´ısticas f´ısicas,
el´etricas e magn´eticas destes equipamentos encontram-se descritas nas tabelas 4.2 e
4.4 do cap´ıtulo anterior.
Os estudos computacionais objetivam analisar o desempenho dos transformado-
res sob investiga¸c˜ao, a partir de seus desempenhos el´etricos, magn´eticos e mecˆanicos,
quando submetidos a condi¸c˜oes operativas diversas.
Os resultados desta parte da pesquisa ser˜ao, em estudos subseq
¨
uentes, comparados
com os resultados obtidos no cap´ıtulo 4, quando utilizou-se o M´etodo dos Elemen-
tos Finitos. Em outras palavras, a estrat´egia utilizando o FEMM, adicionalmente,
´e utilizada para refor¸car o desempenho do programa desenvolvido, para garantir a
confiabilidade dos resultados obtidos, ou seja, contribuir para a valida¸c˜ao desta nova
metodologia.
As situa¸c˜oes de opera¸c˜ao impostas `as simula¸c˜oes dos diversos casos estudados cor-
respondem `as condi¸c˜oes designadas na tabela 5.1. Entretanto, ressalta-se que, as ca-
racter´ısticas do software permitem que se utilize a tens˜ao como dado de entrada e n˜ao
as correntes das trˆes fases utilizadas pelo FEMM.
Tabela 5.1: Estudos computacionais - Dom´ınio do tempo
Caso Descri¸c˜ao dos casos
Caso A Simula¸c˜oes com o transformador sob carga nominal 15 kVA
op erando em regime permanente 100 MVA
Caso B Simula¸c˜oes com o transformador operando durante 15 kVA
uma situa¸c˜ao transit´oria de curto-circuito trif´asico 100 MVA
Caso C Simula¸c˜oes do transformador sendo energizado 15 MVA
sob situa¸c˜ao transit´oria de corrente de inrush 100MVA
Adicionalmente aos casos A e B, que foram contemplados nos estudos utilizando o
FEMM, o caso C foi inserido nas investiga¸c˜oes no dom´ınio do tempo com o objetivo de
investigar o efeito das correntes de energiza¸c˜ao no que tange aos esfor¸cos eletromecˆani-
cos. No entanto, as conclus˜oes finais sobre os estresses, para o caso C, especificamente,
enfocaram somente os resultados obtidos dos esfor¸cos relacionados aos transformado-
res de potˆencia. Este fato justifica-se por este trabalho n˜ao contemplar os esfor¸cos
causados pelas for¸cas axiais, o que ser´a melhor explanado no momento oportuno.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 109
5.4.1 Resultados das simula¸c˜oes do transformador de distri-
bui¸c˜ao
As caracter´ısticas f´ısicas, el´etricas e magn´eticas do transformador de 15 kVA j´a
descritas, foram utilizadas para implement´a-lo, desta vez, utilizando o simulador do
dom´ınio do tempo.
A figura 5.9 tem um car´ater meramente ilustrativo, e ´e utilizada para a demonstrar
a inter-rela¸c˜ao entre os fluxos magn´eticos e as relutˆancias oferecidas ao seu estab e-
lecimento no interior do transformador trif´asico. A distribui¸c˜ao de fluxo magn´etico
mostrada na figura refere-se a um determinado instante quando o fluxo magn´etico na
fase central ´e m´aximo.
sRS
R
S
T
sST
nuR
nuS
nuT
iRS
iST
dispR
dispS
dispT
arR
arS
arT
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
Figura 5.9: Distribui¸c˜ao de fluxo no interior de um transformador trif´asico.
De acordo com a figura 5.9 e tendo em vista as finalidades da modelagem, os fluxos
magn´eticos e seus caminhos, relacionados com o transformador trif´asico, podem ser
divididos de acordo com as referˆencias [34] e [42] em:
• fluxo magn´etico que concatena os enrolamentos de uma mesma fase, cujo caminho
magn´etico d´a-se, principalmente, pelo material do n´ucleo (φ
nuR
, φ
nuS
e φ
nuT
) e o
ar entre a coluna e o enrolamento interno (φ
arR
, φ
arS
e φ
arT
);
• fluxo de dispers˜ao entre os enrolamentos de uma mesma fase, cuja principal via
magn´etica d´a-se atrav´es do espa¸co de ar entre os enrolamentos de cada fase
(φ
dispR
, φ
dispS
e φ
dispT
);
• fluxos nas culatras superior e inferior do n´ucleo de ferro que interligam as trˆes
colunas principais do n´ucleo trif´asico (φ
sRS
, φ
sST
, φ
iRS
e φ
iST
).
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 110
´
E importante ressaltar, que para os modelos desenvolvidos dos transformadores, o
fluxo entre as culatras superior e inferior, que se fecha externamente ao n´ucleo de ferro,
atrav´es do ar, foi desconsiderado, uma vez que para o tipo de estudo desenvolvido neste
trabalho, estes s˜ao irrelevantes.
O circuito magn´etico equivalente do modelo do transformador implementado no
simulador, com as for¸cas magnetomotrizes e relutˆancias em correspondˆencia com as
vias de fluxo magn´etico est´a ilustrado na figura 5.10.
n
mm
mp
Ø
FmmPR
n
mm
mp
Ø
n
mm
mp
Ø
n
mm
mp
Ø
n
mm
mp
Ø
n
mm
mp
Ø
RarR
RarT
RnuR
RnuS
RnuT
RsRS
RsST
RiRS
RiST
RdispR
RdispS
RdispT
ep
PR
ep
SR
em
PR
em
SR
ep
SS
ep
ST
em
SS
em
ST
ep
PS
ep
PT
em
PS
em
PT
v
PR
v
PS
v
PT
v
SR
v
SS
v
ST
i
SR
i
SS
i
ST
i
PR
i
PS
i
PT
r
SR
r
SS
r
ST
r
PR
r
PS
r
PT
FmmPS FmmPT
FmmSR
FmmSS
FmmST
RarS
Figura 5.10: Modelo eletromagn´etico do transformador trif´asico de trˆes colunas e dois
enrolamentos concˆentricos por fase.
As relutˆancias n˜ao lineares do material ferromagn´etico (representadas pelos retˆan-
gulos em negrito) correspondem `as:
• relutˆancias das colunas de material ferromagn´etico envolvidas pelos enrolamentos
das fases R, S e T (
nuR
,
nuS
e
nuT
);
• relutˆancias das culatras de material ferromagn´etico que interligam as trˆes colunas
principais do n´ucleo trif´asico (
sRS
,
sST
,
iRS
e
iST
).
As relutˆancias lineares (representadas pelos retˆangulos vazios) correspondem `as:
• relutˆancias do espa¸co de ar entre as colunas de material ferromagn´etico e o enro-
lamento interno em cada fase (
arR
,
arS
e
arT
);
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 111
• relutˆancias de dispers˜ao entre os enrolamentos de uma mesma fase (
dispR
,
dispS
e
dispT
).
O transformador de distribui¸c˜ao foi simulado sob diversas condi¸c˜oes operativas e
os resultados obtidos est˜ao descritos e analisados na seq
¨
uˆencia para cada situa¸c˜ao
estudada.
• Caso A: Simula¸c˜oes com o transformador sob carga nominal operando em regime
permanente
Para a realiza¸c˜ao dos estudos computacionais do transformador operando sob carga
nominal utilizou-se uma carga trif´asica equilibrada, com caracter´ısticas puramente re-
sistivas. A corrente nominal requerida pela carga, nas trˆes fases foi de 39,36 A de-
terminada a partir dos dados de placa do transformador. A simula¸c˜ao foi realizada
alimentando o transformador trif´asico conectado em estrela, com uma tens˜ao de 127 V
(fase-neutro), como pode ser observado na figura 5.11.
Figura 5.11: Tens˜oes trif´asicas aplicadas ao transformador de 15 kVA.
A figura 5.12 exibe as formas de onda das correntes trif´asicas do equipamento, para
opera¸c˜ao sob condi¸c˜ao nominal.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 112
Figura 5.12: Correntes trif´asicas em regime permanente: condi¸c˜ao nominal.
A forma de onda da densidade de fluxo magn´etico ´e mostrada na figura 5.13. O
ciclo de histerese do n´ucleo ferromagn´etico para a condi¸c˜ao nominal est´a ilustrado na
figura 5.14.
B
S
B
R
B
T
Figura 5.13: Densidade de fluxo magn´etico
no n´ucleo: condi¸c˜ao nominal.
Figura 5.14: Ciclo de histerese da fase R,
para o material do n´ucleo (V
F N
= 127V):
condi¸c˜ao nominal.
Neste ponto ´e interessante destacar que, para o caso do FEMM, ´e poss´ıvel se im-
plementar apenas a curva de magnetiza¸c˜ao obtida em ensaios com o transformador.
O simulador que utiliza t´ecnicas no dom´ınio do tempo, no entanto, permite a repre-
senta¸c˜ao do ciclo de histerese do dispositivo sob estudo, obtido atrav´es de dados de
fabricantes do equipamento ou do material utilizado no n´ucleo.
Outra quest˜ao de suma importˆancia, diz respeito `as simula¸c˜oes executadas para
condi¸c˜oes a vazio do transformador. Da mesma forma como ocorreu no FEMM, essas
simula¸c˜oes, embora tenham sido processadas, optou-se por n˜ao inclu´ı-las no documento,
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 113
uma vez que n˜ao s˜ao de interesse para o tipo de an´alise realizado neste trabalho.
Entretanto, pˆode-se observar, o bom desempenho do modelo implementado tamb´em
para condi¸c˜ao operativa a vazio.
A figura 5.15 mostra a densidade de fluxo de dispers˜ao na regi˜ao entre os dois
enrolamentos concˆentricos. A relutˆancia do caminho de disp ers˜ao foi obtida atrav´es
da representa¸c˜ao do template core.sin por uma relutˆancia linear. A figura permite
observar a simetria entre as trˆes fases de transformador, atribu´ıdo ao fato de este ser
constitu´ıdo de enrolamentos concˆentricos e que possuem as mesmas dimens˜oes f´ısicas.
O valor de pico da densidade de fluxo de dispers˜ao nas trˆes fases, para este caso nominal,
mostrados na figura ´e de 29,78 mT.
0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Figura 5.15: Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos: carga
nominal.
As for¸cas radiais m´edias para as trˆes fases do transformador s˜ao determinadas a
partir da equa¸c˜ao 5.20. As formas de onda das for¸cas radiais nos enrolamentos interno
e externo, para a fase R, est˜ao ilustradas na figura 5.16.
As for¸cas radiais para as fases S e T s˜ao mostradas nas figuras 5.17 e 5.18.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 114
Figura 5.16: For¸cas radiais nos enrolamentos da fase R: carga nominal.
Figura 5.17: For¸cas radiais nos enrolamen-
tos da fase S: carga nominal.
0.1 0.11 0.12 0.13 0.14
Figura 5.18: For¸cas radiais nos enrolamen-
tos da fase T: carga nominal.
Pode-se constatar nas figuras que as for¸cas eletromagn´eticas dos enrolamentos ex-
terno e interno tˆem valores aproximadamente iguais nas trˆes fases, respectivamente.
Sendo que o valor da for¸ca de tra¸c˜ao radial para as bobinas externas das trˆes fases ´e
de aproximadamente 7,70 N e a for¸ca de compress˜ao radial para as bobinas internas ´e
de 5,30 N.
Muito embora a amplitude da densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao e as for¸cas
eletromagn´eticas apresentem valores relativamente baixos para a condi¸c˜ao nominal, es-
tas grandezas ser˜ao tomadas como referˆencia para fins de compara¸c˜ao `as outras situ-
a¸c˜oes operativas simuladas. Quanto aos c´alculos dos estresses mecˆanicos, estes n˜ao
ser˜ao apresentados, pois seus valores s˜ao insignificantes para o equipamento analisado.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 115
• Caso B: Simula¸c˜oes com o transformador operando durante uma situa¸c˜ao transi-
t´oria de curto-circuito
Este item apresenta as simula¸c˜oes com o transformador submetido a um curto-
circuito trif´asico, uma vez que este ´e considerado o tipo de falta que origina os mais
elevados picos de corrente, e portanto, s˜ao respons´aveis pelos maiores estresses nos enro-
lamentos dos transformadores. O curto-circuito foi aplicado diretamente aos terminais
da BT do equipamento.
A figura 5.19 mostra as tens˜oes trif´asicas de alimenta¸c˜ao do transformador, quando
da imposi¸c˜ao do curto-circuito trif´asico no lado de BT do transformador, em t=200
ms, quando a tens˜ao na fase R passa pelo seu valor nulo. O afundamento observado
na figura, em decorrˆencia do curto-circuito imposto, ´e um efeito caracter´ıstico da ocor-
rˆencia de faltas trif´asicas e trif´asicas `a terra.
Figura 5.19: Tens˜oes nas trˆes fases do transformador: curto-circuito trif´asico.
A figura 5.20 ilustra os oscilogramas de corrente das trˆes fases do lado da AT do
transformador. Observa-se que, em decorrˆencia do instante da aplica¸c˜ao do curto-
circuito, o maior pico de corrente ´e verificado na fase R, enquanto que, as amplitudes
das outras duas fases tˆem metade desse valor no instante de ocorrˆencia da falta, como
se observa na mesma figura. Para o lado de BT do transformador, se verifica uma
situa¸c˜ao semelhante, onde o valor da corrente na fase R apresenta maior amplitude,
conforme mostra a figura 5.21. As figuras permitem observar, ainda, os picos atingidos
pelas correntes nas outras duas fases.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 116
0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
Figura 5.20: Correntes nas trˆes fases da
AT: curto-circuito trif´asico.
0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
corrente (A)
tempo (s)
i
R(pico)
= -2558,0 A
i
S (pico)
= 2056,5 A
i
T(pico)
= 2144,7 A
Figura 5.21: Correntes nas trˆes fases da
BT: curto-circuito trif´asico.
A figura 5.22 mostra o comportamento da densidade de fluxo magn´etico de disper-
s˜ao, na regi˜ao entre os enrolamentos, para as trˆes fases, em decorrˆencia do curto-circuito
aplicado.
0.15
0.2 0.25 0.3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
tempo (s)
campo magnético de dispersão (T)
B
disp_pico_R
=1,36 T
B
disp_pico_S
= -1,06 T
B
disp_pico_T
= -1,21 T
Figura 5.22: Densidade de fluxo de dispers˜ao entre os enrolamentos: curto-circuito
trif´asico.
Pode-se verificar na figura, que a densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre
as bobinas da AT e BT da fase R alcan¸ca um valor de pico em torno de 1,36 T, bas-
tante superior ao resultado do caso anterior (29 mT). Observa-se que o valor fornecido
da dispers˜ao magn´etica, para a condi¸c˜ao de curto-circuito, ´e da ordem de magnitude
atingida pela densidade de fluxo magn´etico que se estabelece no n´ucleo ferromagn´etico
do transformador (figura 5.13) para a condi¸c˜ao de opera¸c˜ao normal do equipamento.
As for¸cas radiais nos enrolamentos interno e externo da fase R est˜ao ilustradas na
figura 5.23.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 117
Figura 5.23: For¸cas radiais nos enrolamentos concˆentricos na fase R: curto-circuito.
Os valores m´aximos atingidos pelas for¸cas para esta condi¸c˜ao operativa, tanto do
enrolamento interno como externo, mostram-se com valores cerca de duas mil vezes
maiores do que `aquelas alcan¸cadas na condi¸c˜ao nominal. Este expressivo aumento
verificado nas for¸cas, obviamente, deve-se ao forte incremento ocorrido com as correntes
durante o curto-circuito e com as correspondentes densidade de fluxo de dispers˜ao.
Assim, a for¸ca de tra¸c˜ao radial no enrolamento externo tem um valor de pico de cerca de
16,35 kN e na bobina interna a amplitude da for¸ca de compress˜ao ´e de aproximadamente
11,15 kN.
As for¸cas radiais verificadas para as fases S e T est˜ao mostradas nas figuras 5.24 e
5.25. As observa¸c˜oes feitas para a fase R, com respeito aos valores m´aximos atingidos,
respeitadas as devidas propor¸c˜oes, aplicam-se tamb´em a estas duas fases. Sendo que o
valor de pico atingido para a for¸ca de tra¸c˜ao radial no enrolamento externo da fase B
´e de 10,60 kN e para a for¸ca de compress˜ao do enrolamento interno ´e de 7,23 kN, ou
seja, houve uma intensifica¸c˜ao de cerca de 1300 vezes, em rela¸c˜ao a for¸ca determinada
no caso nominal. Para o enrolamento externo da fase C o valor m´aximo da for¸ca ´e de
11,54 kN e no enrolamento interno esse valor atinge cerca de 7,87 kN, atingindo, dessa
forma, uma intensifica¸c˜ao de aproximadamente 1400 vezes.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 118
Figura 5.24: For¸cas radiais nos enrolamen-
tos concˆentricos na fase S: curto-circuito.
Figura 5.25: For¸cas radiais nos enrolamen-
tos concˆentricos na fase T: curto-circuito.
A figura 5.26 mostra as formas de onda dos estresses em fun¸c˜ao do temp o para os
enrolamentos da AT e da BT nas trˆes fases do transformador de 15 kVA.
0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26
0
100
200
300
400
500
600
700
800
tempo (s)
estresse (N/cm2)
Enrol. interno:
536,32 [N/cm2]
Enrol externo:
786,27 [N/cm2]
(a) Fase R
0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26
0
100
200
300
400
500
600
tempo (s)
estresse (N/cm2)
Enrol. interno:
304,69 [N/cm2]
Enrol externo:
508,2 [N/cm2]
(b) Fase S
0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26
0
100
200
300
400
500
600
tempo ( s)
estresse (N/cm2)
Enrol. interno:
307,3 [N/cm2]
Enrol externo:
553,07 [N/cm2]
(c) Fase T
Figura 5.26: Estresses eletromecˆanicos nos enrolamentos da AT e BT do transformador
de 15 kVA: curto-circuito.
Pode-se observar que o m´aximo pico do estresse de tra¸c˜ao ocorre no enrolamento
que fica submetido ao maior valor da for¸ca radial. Assim, o enrolamento da AT da
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 119
fase R possui um estresse de 786,27 N/cm
2
e o enrolamento da BT tem valor de 536,32
N/cm
2
. Os valores de m´aximo de estresse para as fases S e T s˜ao, respectivamente,
508,2 N/cm
2
e 553,07 N/cm
2
para a AT e 304,69 N/cm
2
e 307,7 N/cm
2
na BT.
• Caso C: Energiza¸c˜ao do transformador a vazio
Os estudos previstos para esta situa¸c˜ao de opera¸c˜ao do transformador de 15 kVA
tˆem por objetivo apenas mostrar as correntes de inrush que circulam no enrolamento
energizado para efeito de compara¸c˜ao com a situa¸c˜ao similar do transformador de
potˆencia. As an´alises de estresses n˜ao est˜ao previstas para esta condi¸c˜ao, uma vez que
o transformador em quest˜ao opera em vazio, n˜ao existindo, portanto, as for¸cas radiais e
os estresses de compress˜ao radial. Apenas as componentes da for¸ca axial est˜ao presentes
nessa situa¸c˜ao. No entanto, os estudos desenvolvidos neste trabalho n˜ao contemplam
o c´alculo das componentes axiais das for¸cas.
Outrossim, ´e importante observar que, a condi¸c˜ao analisada neste item refere-se a
uma situa¸c˜ao de opera¸c˜ao a vazio e sem magnetismo residual.
A figura 5.27 mostra as correntes transit´orias de magnetiza¸c˜ao nas trˆes fases em
decorrˆencia da energiza¸c˜ao do transformador.
Figura 5.27: Correntes trif´asicas resultantes da energiza¸c˜ao do transformador.
Pode-se observar que o valor de pico da corrente das trˆes fases ´e bastante superior
ao valor das correntes alcan¸cadas durante opera¸c˜ao nominal do transformador. No en-
tanto, este ´e inferior ao valor m´aximo da corrente proveniente do curto-circuito trif´asico
mostrado no caso B.
A densidade de fluxo de dispers˜ao nas trˆes fases est˜ao ilustrados na figura 5.28.
Pode-se observar que, os valores de pico das densidades de fluxo de dispers˜ao nos
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 120
espa¸cos entre os enrolamentos superam os m´aximos obtidos para condi¸c˜ao nominal.
Figura 5.28: Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao durante o regime transit´orio
de energiza¸c˜ao.
5.4.2 Resultados das simula¸c˜oes do transformador de potˆencia
Utilizando os princ´ıpios da modelagem de transformadores dentro da filosofia em-
pregada no simulador do dom´ınio do tempo apresentados anteriormente, o modelo
magn´etico equivalente do transformador de 100 MVA que foi implementado ´e consti-
tu´ıdo de for¸cas magnetomotrizes e relutˆancias para cada uma das colunas e culatras,
conforme pode ser verificado na figura 5.29 [46] que representa o modelo simulado.
Fmm4
RarR
RarT
RnuR
RnuS
RnuT
RsRS
RsST
RiRS
RiST
Rdisp2
Rdisp2
Rdisp2
RarS
Fmm4
Fmm4
Fmm2
Fmm2
Fmm2
Fmm1
Fmm1
Fmm1
Fmm3
Fmm3
Fmm3
Rdisp1
Rdisp1
Rdisp1
Rdisp3
Rdisp3
Rdisp3
Figura 5.29: Modelo equivalente do transformador de 100 MVA.
O transformador em quest˜ao, encontra-se caracterizado na tabela 4.4 do cap´ıtulo 4.
N˜ao obstante, ´e oportuno relembrar que o equipamento ´e do tipo trif´asico com quatro
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 121
enrolamentos por fase, com uma potˆencia de 100 MVA e tens˜ao nominal de 230 kV.
As relutˆancias n˜ao lineares do material ferromagn´etico (representadas pelos retˆangulos
em negrito) correspondem `as:
• relutˆancias das colunas de material ferromagn´etico envolvidas pelos enrolamentos
das fases R, S e T (
nuR
,
nuS
e
nuT
);
• relutˆancias das culatras de material ferromagn´etico que interligam as trˆes colunas
do n´ucleo trif´asico (
sRS
,
sST
,
iRS
e
iST
).
As relutˆancias lineares (representadas pelos retˆangulos vazios) correspondem `as:
• relutˆancias do espa¸co de ar entre as colunas de material ferromagn´etico e o enro-
lamento interno em cada fase (
arR
,
arS
e
arT
);
• relutˆancias de dispers˜ao entre os enrolamentos de uma mesma fase para cada fase
(
disp1
,
disp2
e
disp3
).
As relutˆancias e as ´areas envolvendo os enrolamentos concˆentricos, podem ser cal-
culadas de acordo com as equa¸c˜oes 5.4 e 5.5.
O transformador foi submetido `as diversas condi¸c˜oes de opera¸c˜ao, mencionadas an-
teriormente, e os resultados das simula¸c˜oes obtidas para as v´arias condi¸c˜oes analisadas
est˜ao descritos na seq
¨
uˆencia.
• Caso A: Simula¸c˜oes com o transformador sob carga nominal operando em regime
permanente
A carga utilizada para execu¸c˜ao das simula¸c˜oes do transformador sob condi¸c˜ao
operativa nominal foi uma carga trif´asica equilibrada, com caracter´ısticas puramente
resistivas.
As figuras 5.30 e 5.31 exibem as formas de onda das correntes trif´asicas nos enrola-
mentos do equipamento, para a situa¸c˜ao sob an´alise. Pode-se observar nas figuras que
as correntes nas trˆes fases dos enrolamentos de AT e de BT fornecidas p elo simulador
foram 252 A e 418 A, respectivamente. Ressalta-se que, os enrolamentos das trˆes fases
tˆem caracter´ısticas f´ısicas e el´etricas idˆenticas e, portanto, apenas ser˜ao apresentados
os resultados referentes `a fase R dos casos investigados.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 122
Figura 5.30: Formas de onda das correntes
trif´asicas da AT: condi¸c˜ao nominal.
Figura 5.31: Formas de onda das correntes
trif´asicas da BT: condi¸c˜ao nominal.
A forma de onda da indu¸c˜ao magn´etica obtida no material ferromagn´etico est´a
ilustrada na figura 5.32. O la¸co de histerese correspondente `as perdas totais no n´ucleo
´e mostrado na figura 5.33. Pode-se observar que a m´axima densidade de fluxo magn´etica
obtida ´e de 1,6 T.
Figura 5.32: Densidade de fluxo magn´etico
no n´ucleo: condi¸c˜ao nominal.
-150 -100 -50 0 50 100 150
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
intensidade de campo magne tico (A/m)
densidade de fluxo magnético (T)
(143,44; 1,6)
Figura 5.33: Ciclo de histerese na fase R
para o material do n´ucleo: condi¸c˜ao nomi-
nal.
A figura 5.34 mostra as densidades de fluxo de dispers˜ao nas trˆes regi˜oes entre os
quatro enrolamentos da AT e BT da fase R. Pode-se notar que as trˆes regi˜oes est˜ao
envolvidas em densidades de fluxo de dispers˜ao diferentes, uma vez que os enrolamentos
possuem caracter´ısticas f´ısicas e el´etricas distintas. Deve-se ressaltar que, devido `as
caracter´ısticas f´ısicas idˆenticas dos enrolamentos das trˆes fases, as densidades de fluxo
de dispers˜ao para as fases S e T s˜ao similares `as mostradas para a fase R.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 123
Figura 5.34: Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos:
condi¸c˜ao nominal.
Uma vez calculadas as correntes nos enrolamentos e as densidades de fluxo mag-
n´etico de dispers˜ao, as formas de onda das for¸cas radiais podem ser calculadas para os
quatro enrolamentos concˆentricos. Essas for¸cas, em fun¸c˜ao do tempo, est˜ao ilustradas
na figura de 5.35 para os enrolamentos da 2 da AT e 1 e da BT da fase R, respec-
tivamente. Ressalta-se que, s˜ao apresentados os gr´aficos das for¸cas apenas para os
enrolamentos onde essas tˆem valores mais elevados.
(a) Enrolamento 2 (b) Enrolamento 1
Figura 5.35: For¸cas radiais nos enrolamentos 2 da AT e 1 da BT: condi¸c˜ao nominal.
As for¸cas radiais no enrolamento 2 da AT atinge um valor m´aximo de 36,93 kN e
para o enrolamento 1 da BT ´e de 20,64 kN.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 124
• Caso B: Simula¸c˜oes com o transformador operando durante uma situa¸c˜ao transi-
t´oria de curto-circuito
Os estudos realizados para esta condi¸c˜ao de opera¸c˜ao foram viabilizados submetendo
os terminais da BT do transformador de potˆencia a um curto-circuito trif´asico a terra
em condi¸c˜oes similares `aquelas mencionadas para o transformador de 15 kVA.
Os oscilogramas de corrente nas trˆes fases do lado da BT s˜ao mostrados na figura 5.36.
Pode-se notar que o pico de corrente mais elevado ´e experimentado pela fase R, uma
vez que a aplica¸c˜ao do curto-circuito ocorre no instante em que a tens˜ao na referida fase
intercepta o eixo das abscissas. A figura 5.37 ilustra as formas de onda das correntes
trif´asicas correspondentes ao lado da AT.
Figura 5.36: Formas de onda das cor-
rentes trif´asicas na BT: curto-circuito.
Figura 5.37: Formas de onda das cor-
rentes trif´asicas na AT: curto-circuito.
As densidades de fluxo magn´etico nos espa¸cos entre os quatro enrolamentos s˜ao
mostradas na figura 5.38. Pode-se notar que, o valor m´aximo da densidade de fluxo
magn´etico de dispers˜ao est´a em torno de 3,56 T, sendo bastante superior ao valor
correspondente atingido durante a opera¸c˜ao nominal do transformador (194,8 mT).
Ressalta-se que, uma vez que os quatro enrolamentos possuem geometrias distintas,
as densidades de fluxo magn´etico de dispers˜ao nos espa¸cos entre eles, tamb´em s˜ao
distintas.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 125
0.15 0.2 0.25 0.3
tempo (s)
0.35
-2
-1
0
1
2
3
4
densidade de fluxo de dispersão (T)
B
disp_12
=3,56 T
B
disp_34
=360 mT
B
disp_23
=920 mT
Figura 5.38: Densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao entre os enrolamentos concˆen-
tricos: curto-circuito.
As for¸cas radiais a que ficam submetidos os enrolamentos da 2 da AT e 1 da BT
est˜ao ilustradas na figura 5.39.
0.15 0.2 0.25 0.3
0
2
4
6
8
10
12
14
tempo (s)
força radial (N)
(x10
6
)
12,3 M N
0.35
(a) Enrolamento 2 (b) Enrolamento 1
Figura 5.39: For¸cas radiais nos enrolamentos 2 da AT e 1 da BT: curto-circuito.
Como era de se esp erar, as for¸cas radiais m´edias para o transformador de 100 MVA
alcan¸cam valores mais elevados do que as observadas no transformador de distribui¸c˜ao,
uma vez que as correntes em transformadores de potˆencia s˜ao consideravelmente mais
altas. Assim, pode-se observar na figura que a for¸ca radial m´edia mais elevada ocorre
no enrolamento 2 da AT e atinge aproximadamente de 12,3 MN, enquanto que, no
enrolamento 1 da BT equivale a 7 MN.
Os estresses de tra¸c˜ao referentes ao transformador de 100 MVA est˜ao ilustrados na
figura 5.40 para situa¸c˜ao de curto-circuito. S˜ao representados os estresses dos enrola-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 126
mentos 1 da BT e 2 da AT nas trˆes fases, uma vez que, nestas bobinas as correntes s˜ao
mais altas.
(a) Fase R
0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
tempo (s)
estresse (N/cm2)
Enrol. 1 (BT):
3347,8 [N/cm2]
Enrol 2 (AT):
5114,3 [N/cm2]
(b) Fase S
(c) Fase T
Figura 5.40: Estresses eletromecˆanicos nos enrolamentos da AT e BT do transformador
de 100 MVA: curto-circuito.
Como era previsto, os valores de pico dos estresses do transformador de 100 MVA
s˜ao substancialmente superiores aos do transformador de 15 kVA, uma vez que os n´ıveis
de correntes s˜ao bem mais elevados. Durante o curto-circuito trif´asico, o enrolamento
da AT da fase R do transformador de potˆencia experimenta o maior esfor¸co, alcan¸cando
o valor de 9,17 kN/cm
2
e o enrolamento da BT da mesma fase possui um estresse de
5,92 kN/cm
2
.
• Caso C: Simula¸c˜oes do transformador sendo energizado com corrente de inrush
As simula¸c˜oes referentes `as correntes de inrush no transformador de potˆencia tˆem
por objetivo avaliar o efeito das correntes de energiza¸c˜ao sobre os esfor¸cos eletromecˆa-
nicos no enrolamento energizado.
Preliminarmente, ´e importante observar que o transformador investigado possui
quatro enrolamentos concˆentricos por fase, sendo dois da AT e dois da BT. Assim,
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 127
os estresses calculados s˜ao referentes aos estresses de tra¸c˜ao radial entre os dois enro-
lamentos da AT. No entanto, apenas os esfor¸cos do enrolamento 2, que possui maior
for¸ca magnetomotriz ser˜ao apresentados.
Comparativamente aos transformadores de distribui¸c˜ao, as correntes de energiza-
¸c˜ao tendem a ser mais comuns nos transformadores de potˆencia devido a ocorrˆencia
freq
¨
uente de eventos de energiza¸c˜ao e desenergiza¸c˜ao desses equipamentos.
As elevadas correntes de magnetiza¸c˜ao provenientes da energiza¸c˜ao do transfor-
mador a vazio est˜ao ilustradas na figura 5.41.
Figura 5.41: Correntes de inrush das fases R, S e T durante os primeiros 500ms de
simula¸c˜ao.
Pode-se notar na figura que, a corrente de inrush das fases R, S e T do enrolamento
energizado possuem valores superiores `as correspondentes ao caso nominal. E embora
esses valores para condi¸c˜ao de inrush sejam inferiores as correntes obtidas para a si-
mula¸c˜ao do curto-circuito, pode-se observar na figura que o tempo de permanˆencia do
evento ´e maior para a situa¸c˜ao de energiza¸c˜ao.
As densidades de fluxo de dispers˜ao entre os enrolamentos est˜ao ilustrados na
figura 5.42. Obviamente, no equipamento analisado tamb´em encontra-se valores de
densidade de fluxo de dispers˜ao superiores para a situa¸c˜ao de inrush, comparativa-
mente, ao caso de opera¸c˜ao nominal.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.4 Resultados das simula¸c˜oes 128
Figura 5.42: Campos magn´eticos de dispers˜ao durante o regime transit´orio de energiza-
¸c˜ao.
As for¸cas eletromagn´eticas no enrolamento 2 s˜ao mostradas na figura 5.43. A for¸ca
no enrolamento 4 foi omitida, uma vez que esta tem valor bem inferior nesta bobina.
Figura 5.43: For¸cas oriundas da corrente de energiza¸c˜ao no enrolamento 2 das fases
R, S e T.
Pode-se notar que, o enrolamento 2 ´e submetido ao valor m´aximo da for¸ca. O
valor de 487 kN encontrado para situa¸c˜ao de energiza¸c˜ao ´e bastante superior aos 36 kN
verificados na mesma fase para a condi¸c˜ao nominal.
Os estresses decorrentes das correntes de inrush no enrolamento 2 das trˆes fases s˜ao
mostrados na figura 5.44.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.5 S´ıntese dos resultados 129
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
estresse (N/cm2)
tempo (s)
363,97 N/cm2
47,88 N/cm2
69,93 N/cm2
Figura 5.44: Estresse de tra¸c˜ao produzido pelas correntes de inrush no transformador
de 100 MVA.
Os esfor¸cos ocasionados pelas correntes de inrush apresentaram-se menores quando
comparados aos prov3m1(d)373-26(el)1(as)-286(cor)1(r40449(elaos)-u1(res)-286(73r)493-u(ela266)o28(tcir)1(esecuelaos)-266)o493trosodoelaos 5.44TJ/21DoQBT/F5357.7495Tf13.0421D[(5TD[(5.)1(5)-374(S)124(´)438(ın)31(t)1(es4se)-2)-u374(dos)-37s 5.4.00g0.00GBT/F5391.22Tf80.68(ı24lao68(m63240(os)-40321.66˜5)89c0321e-s8(ı24laa63242)4368(ab6325e)1cor)ce(e3240(um[(co)324laco-21.66T66)raTD[(Os)-286(e˜5)90co)1(odo24lam)1(aotTf36.436324laas6324lad)1(o)1(rs6324lae.67(o)t-286(O1(5)63segelaos)-as6324la)1(aou.15-286(O1(5)63se(elaos)--u)1(a)TJ/5(d)1(o)]TJ-27)1(rs6339uzimTf36.43gelao)27()1(rs6339uzn)-2986(cse.)-653(P)d986(a)-286()-40321,4917(F)1(9uztab6325e)1[(co)a50(MV)101(A.)]TJETF10.8691211.95Tf13.02a50(MV)101(A.)]TJETF19BT791211.95Tf5Tf36.430TD[(aaotTfaT1(986os6339uz(e)-Tfls)-266)ov39uzobs mpaJ/53do
5.5 S´ıntese dos resultados 130
A tabela 5.3 apresenta as mesmas an´alises anteriores, por´em para o transformador
de 100 MVA.
Tabela 5.3: Compara¸c˜ao entre as simula¸c˜oes da condi¸c˜ao nominal e curto-circuito:
transformador de 100 MVA
Dom´ınio do tempo FEMM
Caso A Caso B Caso A Caso B
Corrente m´axima nominal [A] 355 6510 355 6640
Densidade de fluxo de dispers˜ao [T] 196x10
−3
3,56 200x10
−3
3,76
Densidade de fluxo no n´ucleo [T] 1,60 1,24 1,61 1,32
For¸caradial[N] Enrol. externo 36930 12300x10
3
36890 12600x10
3
Enrol. interno 20645 7000x10
3
20580 7060x10
3
Os resultados fornecidos pelas duas estrat´egias de estudo mostraram uma boa cor-
rela¸c˜ao entre as grandezas disponibilizadas pelos dois m´etodos para as duas condi¸c˜oes
de opera¸c˜ao comparadas. Os resultados se mantˆem coerentes tanto para as simula¸c˜oes
do transformador de distribui¸c˜ao quanto para o transformador de potˆencia. Isto per-
mite concluir que, o desempenho do software no dom´ınio do tempo ´e apropriado para
calcular os esfor¸cos eletromecˆanicos nos enrolamentos de transformadores.
Diante desse fato, foram realizadas simula¸c˜oes para uma terceira condi¸c˜ao de ope-
ra¸c˜ao dos transformadores com o objetivo da calcular os esfor¸cos provenientes das
correntes de inrush. Estes estudos foram desenvolvidos apenas utilizando a estrat´egia
no dom´ınio do tempo. Os resultados est˜ao sintetizados na tabela 5.4.
Tabela 5.4: S´ıntese dos resultados do caso C (inrush): transformador de 15 kVA e 100
MVA
Dom´ınio do tempo
Caso C: corrente de inrush
15 kVA 100 MVA
Corrente m´axima [A] 975,95 1705,90
Densidade de fluxo de dispers˜ao [T] 106,90x10
−3
629x10
−3
For¸caradial[N] Enrol. externo 660,78 487,50x10
3
A tabela 5.5 mostra os resultados fornecidos pelo simulador no dom´ınio do tempo
para os estresses de tra¸c˜ao radial.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.6 Considera¸c˜oes finais 131
Tabela 5.5: S´ıntese dos resultados dos estresses de tra¸c˜ao radial: transformador de 15
kVA e 100 MVA
Dom´ınio do tempo
Condi¸c˜ao de Estresse de tra¸c˜ao radial (N/m
2
)
Opera¸c˜ao 15 kVA 100 MVA
Enrol. externo Enrol. interno Enrol. 2 Enrol. 1
Curto-circuito 786,27 536,32 9,17x10
3
5,92x10
3
Inrush - - 363,90 -
Uma compara¸c˜ao dos resultados obtidos para os estresses mecˆanicos mostram que
a condi¸c˜ao de curto-circuito apresenta os maiores esfor¸cos para os enrolamentos dos
transformadores. A condi¸c˜ao de inrush, embora apresente resultados de estresses supe-
riores `a condi¸c˜ao nominal, ´e menos prejudicial aos enrolamentos dos transformadores
do que a condi¸c˜ao de curto-circuito.
5.6 Considera¸c˜oes finais
Este cap´ıtulo destinou-se, sobretudo, a apresenta¸c˜ao de uma modelagem computa-
cional para c´alculo de for¸cas eletromagn´eticas e de estresses mecˆanicos nos enrolamentos
de transformadores empregando, para tanto, um pacote computacional que utiliza t´ec-
nicas no dom´ınio do tempo. Essa t´ecnica num´erica proposta para o desenvolvimento
dos estudos utiliza fmms e relutˆancias magn´eticas na modelagem de dispositivos eletro-
magn´eticos e possibilita a simula¸c˜ao de fenˆomenos de regime permanente e transit´orio.
Para ilustrar a aplica¸c˜ao do m´etodo e destacar suas potencialidades foram reali-
zados estudos utilizando transformadores de distribui¸c˜ao e de potˆencia sob diversas
condi¸c˜oes de opera¸c˜ao. Os resultados foram apresentados atrav´es das formas de onda
das grandezas el´etricas, magn´eticas e mecˆanicas.
Devido `as dificuldades associadas a falta de valores de referˆencia, os resultados
dessa t´ecnica num´erica foram comparados aos resultados correspondentes extra´ıdos do
FEMM. Os c´alculos demonstraram que existe uma boa correla¸c˜ao de resultados do
desempenho do transformador em condi¸c˜oes normais de opera¸c˜ao e sob curto-circuito.
Portanto, pode-se considerar que a t´ecnica no dom´ınio do tempo ´e um bom procedi-
mento para c´alculo de for¸cas internas e, em conseq
¨
uˆencia, de estresses mecˆanicos de
transformadores.
Outro ponto que merece destaque, refere-se ao c´alculo dos estresses decorrentes das
correntes de inrush. Observou-se que esta condi¸c˜ao de op era¸c˜ao oferece menos riscos a
integridade f´ısica dos equipamentos, uma vez que os n´ıveis de estresse originados pelas
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
5.6 Considera¸c˜oes finais 132
correntes de energiza¸c˜ao, para a situa¸c˜ao analisada neste trabalho, est˜ao abaixo dos
experimentados durante uma situa¸c˜ao de curto-circuito.
Com rela¸c˜ao aos estresses de tra¸c˜ao decorrentes de curtos-circuitos, confirmou-se
que estes tˆem maior influˆencia nos transformadores de potˆencia devido aos n´ıveis de
corrente mais elevados observados nos equipamentos de maior porte.
Por ´ultimo, salienta-se que as an´alises dos resultados obtidos neste cap´ıtulo s˜ao
realizadas no cap´ıtulo subseq
¨
uente.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
Cap´ıtulo 6
Metodologia para Avalia¸c˜ao dos
Impactos dos Estresses Mecˆanicos
sobre os Transformadores
6.1 Considera¸c˜oes iniciais
Uma vez que os estresses eletromecˆanicos em transformadores foram devidamente
tratados nos cap´ıtulos precedentes, esta etapa da tese destina-se `a apresenta¸c˜ao de uma
metodologia para avaliar a correla¸c˜ao entre esses fenˆomenos e a vida ´util de transfor-
madores.
Sabe-se que transformadores, ao longo de sua vida ´util, s˜ao submetidos a eventos
de curtos-circuitos e opera¸c˜oes de energiza¸c˜ao. As elevadas correntes envolvidas e o
tempo de dura¸c˜ao, em particular da corrente de “inrush”, que ´e v´arias vezes superior
ao tempo de elimina¸c˜ao dos curtos-circuitos, faz com que esses fenˆomenos tenham um
efeito prejudicial para os enrolamentos dos transformadores.
´
E desej´avel, portanto, que
se fa¸ca uma verifica¸c˜ao peri´odica das condi¸c˜oes mecˆanicas do transformador.
Estrat´egias de monitora¸c˜ao s˜ao uma alternativa poss´ıvel, que contudo, encontram
limita¸c˜oes devido a aspectos de ordem econˆomica e t´ecnica. Uma alternativa plena-
mente vi´avel para se avaliar o desempenho de equipamentos sob condi¸c˜oes diversas de
opera¸c˜ao, ´e apoiada nas simula¸c˜oes digitais, utilizando-se modelos de dispositivos reais.
Este tipo de estrat´egia, atualmente, ´e utilizada por fabricantes desses equipamentos.
Avan¸cando nessa dire¸c˜ao, o objetivo do presente cap´ıtulo ´e o de apresentar uma
proposta metodol´ogica que auxilie nos trabalhos de avalia¸c˜ao do comprometimento
da vida ´util de um transformador, decorrentes da exposi¸c˜ao a esfor¸cos mecˆanicos adi-
cionais, provocados pelas correntes de energiza¸c˜ao ou de curto-circuito. Para tanto, a
partir de uma grandeza pr´e-selecionada, a saber, o estresse eletromecˆanico, busca-se
133
6.2 Generalidades sobre resistˆencia mecˆanica de
transformadores 134
uma correla¸c˜ao entre as correntes transit´orias mencionadas (curto-circuito e inrush) e
os seus impactos sobre a integridade f´ısica de transformadores.
6.2 Generalidades sobre resistˆencia mecˆanica de
transformadores
Os limites de resistˆencia mecˆanica dos enrolamentos de transformadores a fenˆo-
menos como os focados neste trabalho podem ser determinados atrav´es da realiza¸c˜ao
de ensaios que, para equipamentos de p equeno porte e custo, podem at´e mesmo ser de
car´ater destrutivo.
Ensaios laboratoriais com equipamento de maior porte, a exemplo de transforma-
dores de potˆencia, pode ser uma tarefa de dif´ıcil consecu¸c˜ao ou at´e mesmo imposs´ıvel
de se realizar. As dificuldades levantadas, em parte, dizem respeito ao acesso ou at´e
mesmo `a inexistˆencia de estruturas capazes de permitir a aplica¸c˜ao de esfor¸cos nos
n´ıveis exigidos para se verificar os estresses m´aximos que podem ocorrer em situa¸c˜oes
reais de opera¸c˜ao [25]. Por outro lado, dado o elevado custo desse tipo de equipamento,
pode-se tornar restritiva a realiza¸c˜ao de tais ensaios, pois corre-se o risco de provocar
danos que podem, inclusive, inutilizar o equipamento. Obviamente, alternativas para
contornar estas quest˜oes existem. A t´ıtulo de exemplo, cita-se, que o esfor¸co a que
poderia ser submetido o enrolamento de um transformador, pode ser avaliado pela
constru¸c˜ao de uma espira (ou um conjunto destas) e assim realizar ensaios que permi-
tam obter informa¸c˜oes sobre o poss´ıvel desempenho do equipamento completo, numa
situa¸c˜ao real.
Os procedimentos adotados para a elabora¸c˜ao do projeto mecˆanico devem assegu-
rar que os enrolamentos e as estruturas de suporte como um todo, com rela¸c˜ao ao
material e tipo de constru¸c˜ao utilizado, resistir˜ao `as for¸cas atuantes e conseq
¨
uentes aos
estresses mecˆanicos que surgir˜ao quando o transformador for submetido a esses tipos
de fenˆomenos transit´orios. Todas as precau¸c˜oes devem ser tomadas para garantir a
integridade futura da unidade.
´
E recomend´avel que tais procedimentos sejam adotados
ou, em caso contr´ario, testes dever˜ao ser executados nos dispositivos.
A tecnologia para o projeto e execu¸c˜ao de transformadores tem evolu´ıdo nas ´ultimas
d´ecadas, fato que aumenta a garantia de que estes dispositivos est˜ao aptos a resistir
aos elevados esfor¸cos devidos aos curtos-circuitos. Contudo, problemas ainda podem
surgir, particularmente, com unidades que est˜ao em servi¸co h´a mais tempo. Um fato
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.3 Proposta de metodologia 135
importante relacionado com transformadores ditos “mais velhos”, ´e que pode ocorrer um
significativo encolhimento dos enrolamentos com o envelhecimento, levando a redu¸c˜ao
da press˜ao das estruturas de suporte (clampings) e, conseq
¨
uentemente, diminui¸c˜ao da
resistˆencia mecˆanica aos curtos-circuitos. Assim, as faltas se tornam potencialmente
destrutivas, uma vez que, estes sistemas podem n˜ao ser capazes de resistir ao movimento
dos enrolamentos.
Apesar disso, ´e esperado que um transformador experimente e sobreviva a um certo
n´umero de curtos-circuitos durante o tempo de servi¸co.camtb18(t266)462(e)-(m)-2295´e soerf1(e)toaente to
si31(v)287eml-3943que ist-2943qcedo-2943qou-2943qma1(i)1(st-2943qtar1(d)1(o,)-2409al-3942ev)187eto setgu1(m)-3942movmern187eo seua27(v)17(v)13343qos en
solamentos.1(,)-416(te)-416(tne1(st)1(is)-262(ecao)1(,s)-416(a)-263(eap)1(a)1(zi)1(rd1(ad)1(oe-2631mec)ˆ490(ao)1(i)1(ca)-3631mdo-2631mra)1(n)1(sfo)1(r)1(m)1(ad)1(o)1(r)-2631mde-262(ersi)1(st)2(i)1(r)-2631m27654898a)1(s)-TJ0-21.66TD[(no)1(,b1(r))1(cior1(r)1(es)28(t)1(e))-3235toeriror1(e) aamentoe-3235teduzrd1(ad)]TJETBTF1117.21Tf13.04-1267.34TD[(6.)1(3)-3112(Pro)1(p)-30(ost)1(a)-3270de dologia a vlal273co˜55(4a)1(o)-2270des
6.3 Proposta de metodologia 136
Suspeita de
problema
Dados para
alimentação do
programa
Curto-circuito
Correntes de
inrush
Aplicação de
testes
Simulação do
fenômeno
FIM
Identificação do
problema e o rigem
Estresses
mecânicos são
maiores que os
limites?
Não
Sim
O problema tem
solução?
Sim
Continua em
operação
Não
Retirada/substituição
do equipamento
Manutenção
(2)
(10)
(9)
(6)
(7)
(5)
(3)
(1)
(8)
(4)
Figura 6.1: Metodologia para an´alise t´ecnica da ocorrˆencia de danos no transformador.
A descri¸c˜ao das diferentes etapas constituintes da proposta ´e realizada na seq
¨
uˆencia.
Bloco (1)- Suspeita de problema:
O processo inicia logo ap´os a atua¸c˜ao de um dispositivo de prote¸c˜ao. Nos casos em
que h´a suspeita da ocorrˆencia de alguma avaria nas partes ativas, estruturais e sistemas
de isola¸c˜ao, a decis˜ao das medidas que dever˜ao ser adotadas, depender´a de quest˜oes
relacionadas com a aplica¸c˜ao do transformador e o custo do mesmo [39].
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.3 Proposta de metodologia 137
Bloco (2)- Aplica¸c˜ao de testes:
Na pr´atica, esta fase consiste na realiza¸c˜ao de ensaios com o transformador dep ois
que ocorre a atua¸c˜ao da prote¸c˜ao. Um conjunto de testes devem ser realizados tanto
no pr´oprio local da instala¸c˜ao quanto em laborat´orios com estruturas adequadas [39].
Bloco (3)- Identifica¸c˜ao do problema e origem:
Esta etapa destina-se a identificar o tipo de fenˆomeno transit´orio ocorrido no sis-
tema, com vistas a reprodu¸c˜ao fiel dos fenˆomenos e execu¸c˜ao de estudos computacionais
correlatos. Uma alternativa para a fundamenta¸c˜ao das an´alises baseia-se na disponibili-
dade de informa¸c˜oes coletadas atrav´es de registradores on-line instalados nos sistemas.
Dentro desta ´otica, registros de tens˜oes e correntes com eventuais dist´urbios seriam
conhecidos.
Bloco (4)- Dados para alimenta¸c˜ao do programa:
A alimenta¸c˜ao do programa computacional depende, al´em da identifica¸c˜ao e carac-
teriza¸c˜ao do fenˆomeno feita na etapa anterior, dos dados de projeto do transformador
sob investiga¸c˜ao, bem como do local que se encontra instalado o equipamento.
Bloco (5)- Simula¸c˜ao do fenˆomeno:
Uma vez identificado o problema e fornecidos os dados necess´arios ao processamento,
nesta fase procede-se `a execu¸c˜ao de simula¸c˜oes computacionais do transformador, de
maneira a reproduzir o fenˆomeno real, com a maior fidelidade poss´ıvel, para verifica¸c˜ao
da possibilidade de ocorrˆencia de danos f´ısicos no equipamento.
Bloco (6)- Avalia¸c˜ao dos estresses mecˆanicos:
De posse dos resultados dos estresses de tra¸c˜ao radial determinados na fase anterior,
proceder-se-´a a an´alise comparativa dos valores obtidos para a situa¸c˜ao de transit´orios
com os estresses admiss´ıveis pelo material utilizado nos enrolamentos (cobre) com vis-
tas a identifica¸c˜ao da possibilidade de danos f´ısicos no equipamento.
Bloco (7)- Probabilidade de ocorrˆencia de danos:
Para os casos em que os estresses de tra¸c˜ao radial ultrapassem os limites de estresses
admiss´ıveis para o cobre, ´e recomendado que o equipamento passe por uma bateria de
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.4 Aplica¸c˜ao da metodologia para a avalia¸c˜ao do estresse mecˆanico 138
testes cuja finalidade ´e verificar a possibilidade da existˆencia de algum dano f´ısico nos
enrolamentos e sistemas isolantes. Em caso afirmativo, ´e necess´ario se verificar a ex-
tens˜ao do dano e a possibilidade de manuten¸c˜ao da parte avariada.
Bloco (8)- Manuten¸c˜ao:
A manuten¸c˜ao deve ser realizada para os transformadores cujos danos n˜ao ocupem
grandes extens˜oes e valores e obviamente, que possam ser recuperados.
Bloco (9)- Retirada/substitui¸c˜ao do equipamento:
A necessidade de substitui¸c˜ao definitiva do transformador ocorre para os casos em
que o dano causado pelo estresse mecˆanico seja irrevers´ıvel.
Bloco (10)- Impossibilidade de ocorrˆencia de danos f´ısicos:
Estresses de tra¸c˜ao radial calculados que resultem em valores menores que os es-
tresses limites para o cobre, n˜ao oferecem riscos a integridade f´ısica dos enrolamentos
e neste caso o transformador pode continuar em opera¸c˜ao.
Os estresses de tra¸c˜ao radial obtidos para os dois transformadores investigados s˜ao
apresentados na seq
¨
uˆencia para exemplificar a aplica¸c˜ao da metodologia.
6.4 Aplica¸c˜ao da metodologia para a avalia¸c˜ao do
estresse mecˆanico
O objetivo maior das t´ecnicas de monitoramento e diagn´ostico de transformadores
se fundamenta na aquisi¸c˜ao de um conjunto de sistemas/dispositivos destinados a moni-
torar e prognosticar o potencial de risco de determinado equipamento. Assim, decis˜oes
t´ecnico/gerenciais podem ser tomadas preventivamente, assegurando a continuidade
do fornecimento de energia. No entanto, a implementa¸c˜ao das t´ecnicas atualmente
dispon´ıveis impactam, principalmente, com a cultura organizacional das empresas con-
cession´arias, uma vez que a ado¸c˜ao dessa estrat´egia implicaria em altos custos para
aplica¸c˜ao em transformadores.
As simula¸c˜oes digitais surgem como alternativa para contornar as “limita¸c˜oes” im-
postas ao monitoramento on-line. Assim, tomando-se como base os resultados das
simula¸c˜oes computacionais dos cap´ıtulos precedentes, nos pr´oximos ´ıtens apresentar-
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.4 Aplica¸c˜ao da metodologia para a avalia¸c˜ao do estresse mecˆanico 139
se-˜ao an´alises dos aspectos el´etricos e, sobretudo, mecˆanicos dos transformadores sob
investiga¸c˜ao, com vistas ao estabelecimento de uma proposta de metodologia para
avalia¸c˜ao da vida ´util de transformadores.
6.4.1 Quanto aos aspectos el´etricos
Embora essa quest˜ao j´a tenha sido abordada nos cap´ıtulos anteriores, neste mo-
mento, ´e importante frisar que os transformadores s˜ao projetados para resistir as ele-
vadas correntes oriundas dos curtos-circuitos trif´asicos que porventura venham a ocorrer
em seus terminais.
Neste aspecto, a referˆencia [29] recomenda a ado¸c˜ao da teoria conhecida como 8x8x8
que estabelece que, um transformador deve ser capaz de resistir, durante toda a sua
vida ´util, a oito curtos-circuitos trif´asicos em seus terminais que atinjam oito vezes
a corrente nominal durante oito ciclos. De acordo com informa¸c˜oes n˜ao publicadas
fornecidas por consultores de fabricantes, alguns adotam a teoria do 10x10x10 para
garantir a integridade de seus equipamentos.
Muito embora o termo “idade” de transformadores n˜ao tenha figurado entre as
principais causas de falhas destes equipamentos caracterizadas nas an´alises precedentes,
´e fato que, com o envelhecimento h´a uma redu¸c˜ao tanto da resistˆencia mecˆanica como
da resistˆencia diel´etrica dos sistemas isolantes dos transformadores. Nessas condi¸c˜oes,
quando um transformador ´e submetido a uma falta, existe a possibilidade de n˜ao resistir
as altas for¸cas eletromagn´eticas experimentadas, uma vez que a isola¸c˜ao dos condutores
encontra-se enfraquecida e pode n˜ao resistir aos esfor¸cos mecˆanicos. As faltas podem
tamb´em causar o afrouxamento do sistema de amarras que fixam os enrolamentos o
que reduz a capacidade dos transformadores para resistir a eventuais ocorrˆencias de
faltas posteriores.
6.4.2 Quanto aos aspectos mecˆanicos
Com rela¸c˜ao aos aspectos mecˆanicos ´e importante considerar a resistˆencia mecˆanica
das partes ativas e estruturais dos transformadores e dos sistemas isolantes, bem como
os n´ıveis de estresses que os esfor¸cos originam nos enrolamentos. No entanto, a an´alise
realizada neste item enfoca, al´em dos aspectos citados, a distin¸c˜ao entre os limites
operacionais de transformadores de potˆencia e de distribui¸c˜ao, objetivando concluir
sobre os comportamentos t´ermico e mecˆanico destes equipamentos.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.4 Aplica¸c˜ao da metodologia para a avalia¸c˜ao do estresse mecˆanico 140
Os limites operacionais dos transformadores s˜ao estabelecidos a partir da deter-
mina¸c˜ao da corrente transit´oria de curto-circuito, considerando-se o seu valor de pico
[24].
As elevadas correntes transit´orias se manifestam nos equipamentos na forma de
efeitos t´ermicos e mecˆanicos. Sendo que os efeitos mecˆanicos regem o comportamento
dos transformadores de potˆencia sob curtos-circuitos e os efeitos t´ermicos s˜ao deter-
minantes dos limites operacionais de transformadores de distribui¸c˜ao [24]. Valendo-se
dessa premissa, e conhecendo-se as caracter´ısticas dos transformadores sob investiga¸c˜ao,
procurar-se-´a demonstrar os reflexos dos efeitos mecˆanicos sobre as partes ativas destes
equipamentos.
A. Transformadores de distribui¸c˜ao
Conforme estabelecido anteriormente, projetos de transformadores de distribui¸c˜ao
s˜ao regidos pelos limites t´ermicos originados de curtos-circuitos. As solicita¸c˜oes t´er-
micas causadas pelas correntes de curto-circuito s˜ao caracterizadas pela eleva¸c˜ao da
temperatura nos condutores e no isolamento das bobinas, causada basicamente pelas
perdas ˆohmicas. Assim, para efeito de an´alise, as principais caracter´ısticas da isola¸c˜ao
que devem ser consideradas s˜ao: as resistˆencias diel´etrica e mecˆanica [49].
A suportabilidade dos transformadores com rela¸c˜ao `as eleva¸c˜oes de temperatura
pode ser avaliada em fun¸c˜ao do tempo m´aximo permiss´ıvel do curto-circuito. Nesse
particular, existem v´arios m´etodos que se dedicam ao estudo das solicita¸c˜oes t´ermicas,
dentre eles pode-se citar: o de K
¨
uchler, Vidmar e o da energia espec´ıfica em curto-
circuito [24]. Uma vez que a an´alise dos efeitos t´ermicos n˜ao fazem parte do escopo
deste trabalho n˜ao ser˜ao feitos maiores aprofundamentos sobre o assunto.
Com o intuito de comparar os valores encontrados via simula¸c˜ao para o estresse de
tra¸c˜ao m´edio a que ficam submetidos os enrolamentos do transformador de 15 kVA, sob
um curto-circuito, com as caracter´ısticas termomecˆanicas do cobre, a figura 6.2 mostra
valores de referˆencia para esse metal para o estresse de escoamento na temperatura de
200
◦
C e o estresse de tra¸c˜ao radial m´aximo suport´avel pelo mesmo. Ressalta-se que
os limites cr´ıticos de estresse foram definidos no cap´ıtulo 3.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.4 Aplica¸c˜ao da metodologia para a avalia¸c˜ao do estresse mecˆanico 141
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
estresse mecânico (N/cm2)
estresse de tração
radial
estresse de
escoamento no
cobre a 200ºC
estresse de tração
radial máxim o
admissível no cobre
Figura 6.2: Estresse de tra¸c˜ao radial para o transformador de 15 kVA comparado aos
estresses de escoamento e estresse admiss´ıvel: curto-circuito.
A figura permite constatar, que o estresse de tra¸c˜ao radial m´aximo obtido via simu-
la¸c˜ao digital, atinge um valor cerca dos 800 N/cm
2
contra 9.806,65 N/cm
2
do estresse
de tra¸c˜ao radial m´aximo admiss´ıvel pelo cobre. Da mesma forma, o estresse de escoa-
mento do metal, a 200
◦
C e com dura¸c˜ao de 3 segundos, alcan¸ca um valor aproximado
de 6.276,256 N/cm
2
, igualmente muito superior aos esfor¸cos verificados nos enrolamen-
tos. Desta forma, confirma-se a premissa estabelecida anteriormente, qual seja, de que
os limites mecˆanicos n˜ao se apresentam como sendo os mais cr´ıticos para o caso de
transformadores de distribui¸c˜ao. Por outro lado, considera-se que os fatores t´ermicos
governam o projeto de tais dispositivos, devido as caracter´ısticas f´ısicas desses trans-
formadores, os quais possuem diˆametro e espessura radial das bobinas com dimens˜oes
inferiores as dos transformadores de potˆencia [24].
B. Transformadores de potˆencia
Contrariamente aos equipamentos de pequeno porte, projetos de transformadores de
potˆencia s˜ao governados fundamentalmente p elos esfor¸cos mecˆanicos [24]. Solicita¸c˜oes
mecˆanicas nos enrolamentos de transformadores tˆem origem na a¸c˜ao m´utua entre as
elevadas correntes circulantes e a densidade de fluxo de disp ers˜ao que surgem durante
esses fenˆomenos transit´orios. As for¸cas eletromagn´eticas podem ser determinadas com
uma certa precis˜ao, conforme explanado, utilizando m´etodos num´ericos ou atrav´es da
realiza¸c˜ao de ensaios. Entretanto, persiste a dificuldade de se obter uma garantia total
de que cada parte do transformador resistir´a a a¸c˜ao das for¸cas. Resultados confi´aveis
podem ser obtidos a partir de testes, uma vez que os c´alculos para definir a resistˆencia
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.4 Aplica¸c˜ao da metodologia para a avalia¸c˜ao do estresse mecˆanico 142
mecˆanica dos enrolamentos e da isola¸c˜ao devem ser baseados em testes.
A figura 6.3, a exemplo do que foi feito para o transformador de 15 kVA, apresenta,
para o transformador de 100 MVA, o valor calculado computacionalmente do estresse
de tra¸c˜ao radial, juntamente com os valores do estresse de escoamento e o estresse radial
m´aximo admiss´ıvel para o cobre. Salienta-se que os valores mostrados referem-se ao
enrolamento da BT da fase R, com a presen¸ca de um curto-circuito.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
estresse mecânico (N/cm2)
estresse de tração
radial
estresse de
escoamento no
cobre a 200ºC
estresse de tração
radial máxim o
admissível no cobre
Figura 6.3: Estresse de tra¸c˜ao radial m´aximo para o transformador de 100 MVA com-
parado aos estresses de escoamento e estresse admiss´ıvel (BT): curto-circuito.
A figura 6.4 mostra uma situa¸c˜ao semelhante `a anterior, desta vez referentes `a
bobina da AT da fase R.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
estresse mecânico (N/cm2)
estresse de tração
radial
estresse de
escoamento no
cobre a 200ºC
estresse de tração
radial máxim o
admissível no cobre
Figura 6.4: Estresse de tra¸c˜ao radial para o transformador de 100 MVA comparado aos
estresses de escoamento e estresse admiss´ıvel (AT): curto-circuito.
Pode-se observar na figura 6.3 que o estresse de tra¸c˜ao radial agindo no enrolamento
da BT do transformador de potˆencia atinge um valor pr´oximo, por´em inferior, ao
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.5 An´alise dos estresses provocados pelas correntes de inrush 143
limite de escoamento para o cobre. Dessa forma, n˜ao oferecendo risco de dano para
o mencionado enrolamento, para o caso de ocorrˆencia de um curto-circuito nos n´ıveis
estabelecidos neste trabalho. Por outro lado, o estresse de tra¸c˜ao radial do enrolamento
da AT, mostrado na figura 6.4, alcan¸ca um valor superior ao limite de escoamento do
material, entretanto, encontra-se abaixo do estresse m´aximo admiss´ıvel para o cobre.
Analisando os resultados apresentados nas figuras 6.3 e 6.4 e, comparando-os com
aqueles constantes na figura 6.2 (para o transformador de 15 kVA), nota-se que, con-
trariamente ao que acontece nos equipamentos de pequeno porte, os transformadores de
potˆencia tˆem os valores de pico dos estresses mecˆanicos bastante elevados. No entanto,
sabe-se que estes picos possuem uma curta dura¸c˜ao, possivelmente devido a atua¸c˜ao de
equipamentos de prote¸c˜ao, dessa forma, o aquecimento provocado dificilmente ultra-
passa os limites t´ermicos de projeto. Por outro lado, a densidade de corrente de curto-
circuito para transformadores de potˆencia pode ser elevada ao ponto de originar for¸cas
eletromagn´eticas significativas nos enrolamentos e, conseq
¨
uentemente esfor¸cos mecˆani-
cos tamb´em elevados, conforme pode-se constatar. Dessa forma, os limites mecˆanicos
´e que determinam os limites operacionais dos transformadores de potˆencia submetidos
a curtos-circuitos.
6.5 An´alise dos estresses provocados pelas correntes
de inrush
Geralmente, a rela¸c˜ao entre correntes de inrush e corrente nominal ´e menor para os
transformadores de potˆencia do que aqueles utilizados na distribui¸c˜ao, como demons-
trado pelos estudos realizados neste trabalho e como mostram as rela¸c˜oes a seguir:
- I
IR
(100M V A)
/I
nom
= 4, 8 para o transformador de 100 MVA e;
- I
IR
(1kV A)
/I
nom
= 17, 7 para o transformador de 15 kVA.
Por outro lado, a constante de tempo de decaimento das correntes de inrush para
transformadores de distribui¸c˜ao ´e maior, pois ´e amortecida pelas resistˆencias tamb´em
maiores destes equipamentos. No entanto, o tempo de permanˆencia das correntes de
energiza¸c˜ao ´e superior ao das correntes de curtos-circuitos. Normalmente, a corrente
de inrush tem o seu valor de pico reduzido num tempo aproximado de cerca de 10ms,
contudo, pode levar dezenas de segundos at´e que retorne ao valor normal.
Por maior que seja o valor de pico alcan¸cado pela corrente de inrush, este sempre ´e
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.5 An´alise dos estresses provocados pelas correntes de inrush 144
menor que o pico da corrente de curto-circuito. Entretanto, quando a rela¸c˜ao I
IR
/I
CC
varia entre 0,25 e 1, ´e recomend´avel que c´alculos de esfor¸cos sejam realizados. De acordo
com a referˆencia [17] a rela¸c˜ao I
IR
/I
CC
pode variar entre 0,15 e 0,6, entretanto, as
simula¸c˜oes realizadas neste trabalho mostram que valores de pico da corrente de inrush
iguais a 0,7 do valor m´aximo da corrente de curto-circuito, causa for¸cas da mesma
ordem de magnitude destas ´ultimas. Essas for¸cas, portanto, podem causar danos aos
enrolamentos devido aos estresses mecˆanicos que surgem, ainda mais, porque ocorrem
com maior freq
¨
uˆencia e dura¸c˜ao. Acredita-se que os danos ocorrem, na maioria das
vezes, na forma de redu¸c˜ao da capacidade de isola¸c˜ao podendo, portanto, causar falhas
na isola¸c˜ao.
A figura 6.5 apresenta o estresse de tra¸c˜ao radial m´aximo produzido pela corrente
de inrush no enrolamento 2 do transformador de 100 MVA juntamente com os estresses
de escoamento e estresse admiss´ıvel pelo cobre.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
estresse mecânico (N/cm2)
estresse de tração
radial
estresse de
escoamento no
cobre a 200ºC
estresse de tração
radial máxim o
admissível no cobre
Figura 6.5: Estresse de tra¸c˜ao radial para o transformador de 100 MVA comparado aos
estresses de escoamento e estresse admiss´ıvel: inrush.
Observa-se que o estresse radial produzido pela corrente de inrush, com o n´ıvel
estabelecido para a corrente de magnetiza¸c˜ao para o transformador de 100 MVA, ´e in-
ferior ao estresse provocado pelo curto-circuito no mesmo enrolamento (ver figura 6.4).
Assim, para as condi¸c˜oes estabelecidas neste trabalho, conclui-se que os estresses ori-
ginados por correntes de inrush, oferecem menos riscos aos enrolamentos dos transfor-
madores de potˆencia.
O estresse mecˆanico no enrolamento 4 n˜ao foi apresentado devido a ter um valor
bem inferior ao do enrolamento 2.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.6 T´ecnicas para detec¸c˜ao do movimento dos enrolamentos 145
6.6 T´ecnicas para detec¸c˜ao do movimento dos en-
rolamentos
Movimentos ou deforma¸c˜oes dos enrolamentos de transformadores s˜ao um problema
s´erio e podem acarretar falhas nos equipamentos. Em termos gerais, os enrolamentos
podem deformar-se de duas maneiras: em fun¸c˜ao dos estresses mecˆanicos produzidos
pelos curtos-circuitos ou pela redu¸c˜ao da press˜ao exercida pelas estruturas de suporte
sobre os enrolamentos [50]. Estes danos, no entanto, s˜ao dif´ıceis de serem detectados
durante avalia¸c˜oes normais das condi¸c˜oes dos equipamentos [51].
Existem t´ecnicas pr´oprias para monitorar/detectar o movimento dos enrolamentos
de transformadores, sendo que as principais podem ser divididas em dois grupos dis-
tintos [25]. O primeiro grupo compreende as t´ecnicas que tratam da varia¸c˜ao de uma
´unica grandeza, a densidade de fluxo de dispers˜ao total. Os m´etodos que empregam
esta t´ecnica s˜ao: capacitˆancia dos enrolamentos; corrente de magnetiza¸c˜ao; impedˆancia
de curto-circuito/reatˆancia de dispers˜ao.
O segundo grupo compreende as t´ecnicas que respondem pela detec¸c˜ao dos efeitos
da varia¸c˜ao nas caracter´ısticas do sinal de propaga¸c˜ao produzidos por uma falta, quais
sejam: impulso de baixa tens˜ao; an´alise de resposta em freq
¨
uˆencia.
Na seq
¨
uˆencia s˜ao abordadas de forma breve os m´etodos supracitados.
• Capacitˆancia dos enrolamentos
A medi¸c˜ao da capacitˆancia dos enrolamentos pode, em princ´ıpio, indicar o movi-
mento dos enrolamentos, caso uma capacitˆancia com um valor mensur´avel tenha sido
afetada.
• Corrente de magnetiza¸c˜ao
Embora seja a maneira mais f´acil para detectar a existˆencia de espiras curto-
circuitadas, que podem ter surgido com o movimento dos enrolamentos, esta t´ecnica ´e
sensivelmente limitada para identifica¸c˜ao de outros tipos de falhas.
• Impedˆancia de curto-circuito/reatˆancia de dispers˜ao
Testes de impedˆancia de curto-circuito consistem na medi¸c˜ao das impedˆancias du-
rante a realiza¸c˜ao de ensaios por parte do fabricante do transformador. Posteriormente,
medi¸c˜oes on-site s˜ao efetuadas e comparadas com os valores de referˆencia.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.7 Softwares de diagn´osticos e sistemas inteligentes 146
• Impulso de baixa tens˜ao
O teste ´e fundamentado na aplica¸c˜ao de um impulso de baixa tens˜ao em um en-
rolamento e no registro da corrente ou tens˜ao no mesmo ou em outro enrolamento.
As varia¸c˜oes registradas na capacitˆancia entre os enrolamentos ou entre espiras, cau-
sadas pelo movimento dos enrolamentos, s˜ao refletidas na varia¸c˜ao da forma de onda
da tens˜ao ou corrente [52].
• An´alise de resposta em freq
¨
uˆencia
Testes de resposta em freq
¨
uˆencia (FRA) dos transformadores requerem que o equipa-
mento seja isolado, de maneira a que a impedˆancia ou admitˆancia seja medida em
fun¸c˜ao da freq
¨
uˆencia, fornecendo o que se chama de “impress˜ao digital” do equipa-
mento. A varia¸c˜ao das grandezas indica o qu˜ao, um enrolamento ou parte dele, foi
deslocado durante a ocorrˆencia de um curto-circuito, por exemplo. Atualmente, este
tipo de teste ´e considerado um dos mais efetivos na detec¸c˜ao do movimento dos enro-
lamentos de grandes transformadores [3].
6.7 Softwares de diagn´osticos e sistemas inteligentes
Softwares de diagn´ostico que fornecem uma indica¸c˜ao mais precisa dos problemas
que acometem transformadores, do que as an´alises convencionais, s˜ao objeto de in-
vestiga¸c˜ao por parte de muitos pesquisadores e concession´arios [3] e [53]. O uso de
programas computacionais pode melhorar a confiabilidade e a repetibilidade dos en-
saios e an´alises dos dados obtidos, bem como pode ser usado para extrair informa¸c˜oes
que n˜ao est˜ao dispon´ıveis a partir de dados de testes diretamente.
Uma das id´eias dos pesquisadores consiste em implementar um software tal que,
a partir dos testes de ´oleo de transformadores, possam ser extra´ıdas informa¸c˜oes tais
como existˆencia de g´as, conte´udo da mistura e resistˆencia diel´etrica e, correlacion´a-los
com as condi¸c˜oes de isola¸c˜ao de transformadores. Sistemas inteligentes tamb´em est˜ao
sendo desenvolvidos com a finalidade de gerar um sinal de alerta ao operador do sistema
monitorado.
Os avan¸cos ocorridos com as t´ecnicas de modelagem utilizando inteligˆencia artificial
tˆem possibilitado aos engenheiros de potˆencia e pesquisadores, o desenvolvimento de
poderosos e vers´ateis programas para diagnosticar faltas em transformadores. Entre-
tanto, essa potencial ferramenta ainda n˜ao tem o seu uso difundido.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.8 Considera¸c˜oes finais 147
A t´ecnica mais utilizada para diagnosticar as condi¸c˜oes de trabalho de transforma-
dores ainda ´e o tradicional teste do ´oleo isolante. O uso de outros tipos de ensaios
dispon´ıveis tem aumentado, no entanto, fatores como, alto custo, confiabilidade dos
equipamentos de teste e, muitas vezes, a indisponibilidade de profissionais experientes
para fornecer uma interpreta¸c˜ao correta dos dados obtidos nos testes, tˆem dificultado
a consolida¸c˜ao dessas novas t´ecnicas de monitoramento.
6.8 Considera¸c˜oes finais
Em sua parte inicial, o presente cap´ıtulo fez um apanhado sobre os diversos as-
pectos que podem impactar a integridade f´ısica de transformadores e, em decorrˆencia,
provocar uma redu¸c˜ao de sua vida ´util. Com essa finalidade e a partir dos resultados
alcan¸cados com os estudos computacionais desenvolvidos no cap´ıtulo 5, foram estabele-
cidas algumas conclus˜oes sobre os impactos dos estresses mecˆanicos nos enrolamentos
dos transformadores.
As an´alises realizadas com os dois transformadores sob investiga¸c˜ao, permitiram
constatar que os estresses mecˆanicos relacionados com curtos-circuitos oferecem maior
influˆencia no desempenho dos transformadores de potˆencia, enquanto que transforma-
dores de distribui¸c˜ao parecem ter seu desempenho mais influenciado pelos estresses
t´ermicos.
Com respeito `as correntes de inrush, os estudos demonstraram que os estresses
mecˆanicos decorrentes, oferecem menor riscos para a integridade f´ısica dos equipamen-
tos quando comparado aos curtos-circuitos.
´
E importante salientar que essa conclus˜ao
´e v´alida para a situa¸c˜ao analisada neste trabalho, ou seja, energiza¸c˜ao com magnetismo
residual nulo. Outros trabalhos, no entanto, mostram que em determinadas situa¸c˜oes,
as correntes de inrush podem provocar esfor¸cos mecˆanicos de amplitude semelhante
aos causados pelos curtos-circuitos.
Encerrando o cap´ıtulo, ´e apresentada uma proposta de meto dologia para avaliar os
impactos sobre a integridade f´ısica de transformadores, em particular, devido aos efeitos
transit´orios das correntes de energiza¸c˜ao e curtos-circuitos passantes. Esta metodologia,
balizada pelos resultados fornecidos pelo programa computacio(u)1(t)1(a)355(de)1(sen)28(v)28(ol)1(v)1(i)1(d)1(o)nesta
tese, se constitui em uma importante ferramenta para avalia¸c˜oes preliminares do estado
de conserva¸c˜ao deste tipo de dispositivo. Destaca-se, por fim, que os estresses mecˆanicos
s˜ao determinantes na suportabilidade f´ısica dos transformadores de potˆencia, motivo
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
6.8 Considera¸c˜oes finais 148
da escolha como parˆametro de compara¸c˜ao da metodologia proposta e que, portanto,
permite antever o potencial de risco de um determinado equipamento.
Cap´ıtulo 7
Conclus˜oes Finais
`
A luz dos desenvolvimentos apresentados ao longo desta tese, este cap´ıtulo final,
consolida as principais contribui¸c˜oes e os avan¸cos mais significativos concretizados na
pesquisa aqui descrita.
Inicialmente, e como fruto da pesquisa bibliogr´afica realizada, constatou-se, atrav´es
de dados estat´ısticos de concession´arias de diversos pa´ıses, que transformadores de
grande porte, ou de potˆencia, como s˜ao comumente denominados, tˆem uma elevada
incidˆencia de falhas devido `a ocorrˆencia de curtos-circuitos externos ou passantes nos
sistemas el´etricos. Estes eventos manifestam-se nos esfor¸cos a que ficam submetidos
os enrolamentos dos equipamentos, tanto pelos seus efeitos t´ermicos como dinˆamicos
e os conseq
¨
uentes desgastes do sistema isolante e da sua estrutura de sustenta¸c˜ao.
Obviamente, o efeito imediato sentido pelas empresas afetadas diz respeito aos preju´ı-
zos financeiros decorrentes da interrup¸c˜ao do fornecimento, seja para manuten¸c˜ao ou
substitui¸c˜ao destes dispositivos, al´em de poss´ıveis penalidades por descumprimento de
padr˜oes de fornecimento estabelecidos em norma.
Apesar da importˆancia dos transformadores nos sistemas el´etricos e das consta-
ta¸c˜oes mencionadas anteriormente, o levantamento realizado evidenciou a existˆencia
de um limitado n´umero de investiga¸c˜oes sobre estresses em transformadores, inclu-
sive de ferramentas computacionais dispon´ıveis, particularmente quando se refere a
programas computacionais que fazem uso de t´ecnicas no dom´ınio do tempo. A pre-
ferˆencia dos pesquisadores sobre este assunto, esta direcionado, preponderantemente,
para metodologias num´ericas fundamentadas no M´etodo dos Elementos Finitos.
Assim sendo, e como forma de suprir a carˆencia de dados de referˆencia relacionados
com os estresses mecˆanicos de transformadores em geral, foram utilizados m´etodos
anal´ıticos consagrados. Os resultados obtidos, num primeiro momento, serviram como
149
150
referˆencia, para fins de compara¸c˜ao, com os correspondentes resultados extra´ıdos do
tradicional e bem aceito pacote computacional alicer¸cado no M´etodo dos Elementos
Finitos (FEMM), dedicado para a resolu¸c˜ao de problemas de natureza eletromagn´etica.
Foi destacada a maior facilidade e precis˜ao do c´alculo anal´ıtico para as for¸cas radiais,
ao contr´ario do que se verifica no c´alculo das for¸cas axiais, que exige maior esfor¸co
e n˜ao oferece precis˜ao. Foram apresentando tamb´em, os c´alculos dos estresses que
podem surgir em transformadores com enrolamentos concˆentricos, provenientes das
for¸cas axiais e radiais e associando-os aos tipos de falhas que esses esfor¸cos podem
ocasionar nos enrolamentos.
Para tal finalidade foram apresentados os conceitos b´asicos necess´arios ao entendi-
mento dos fenˆomenos de curto-circuito e correntes de inrush e os seus efeitos sobre
os enrolamentos de transformadores. Destacam-se como pontos de maior relevˆancia,
os aspectos relacionados com o c´alculo anal´ıtico de for¸cas eletromagn´eticas e estresses
eletromecˆanicos. Sobre este particular, vale destacar a importˆancia do pr´evio conheci-
mento da distribui¸c˜ao dos fluxos de dispers˜ao, fundamental para a determina¸c˜ao dos
esfor¸cos atuantes no dispositivo. Isto garantir´a um projeto eletromecˆanico de transfor-
madores que atenda aos requisitos m´ınimos de resistˆencia mecˆanica e, portanto, que
assegure a vida ´util estimada para o dispositivo, desde que operando nas condi¸c˜oes
previstas no projeto.
Com rela¸c˜ao aos trabalhos de modelagem e implementa¸c˜ao propriamente dita, muito
embora o foco principal fosse o desenvolvimento de um programa no dom´ınio do tempo,
vale destacar alguns aspectos do simulador FEMM. Dentre eles, pode-se citar o fato
de que o FEMM utiliza a formula¸c˜ao do potencial vetor magn´etico para a resolu¸c˜ao
dos problemas eletromagn´eticos. Essa pr´atica, na verdade, tamb´em ´e considerada
como uma vantagem na utiliza¸c˜ao dessa t´ecnica, uma vez que permite que todas as
condi¸c˜oes de contorno da estrutura sob an´alise sejam inseridas em uma ´unica equa¸c˜ao,
garantindo assim, a precis˜ao de resultados. As potencialidades do programa foram evi-
denciadas atrav´es da implementa¸c˜ao e posterior simula¸c˜ao dos transformadores, para
distintas condi¸c˜oes de opera¸c˜ao. Quanto `as simula¸c˜oes realizadas, os resultados foram
analisados e comparados com os c´alculos derivados de express˜oes anal´ıticas, apresen-
tando uma boa semelhan¸ca, o que atesta a eficiˆencia do m´etodo. Os estudos realizados
com o FEMM conduziram a resultados com boa precis˜ao, para todas as grandezas
avaliadas, tais como: densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao, perdas el´etricas nos
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
151
enrolamentos e n´ucleo, for¸cas eletromagn´eticas, etc. Essa performance satisfat´oria deu
a seguran¸ca necess´aria para utilizar esse m´etodo como referˆencia para o m´etodo que
utiliza o dom´ınio do tempo, objetivo principal desta tese.
Os trabalhos para o estabelecimento de uma metodologia computacional utilizando
t´ecnicas no dom´ınio do tempo iniciaram-se a partir de modelos de transformadores
pr´e-existentes. A estes foram introduzidas modifica¸c˜oes e desenvolvidas novas rotinas
dedicadas ao c´alculo de grandezas mecˆanicas que tornaram poss´ıvel a determina¸c˜ao e
manuseio tamb´em de grandezas mecˆanicas, que permitem avaliar o grau dos esfor¸cos a
que ficam submetidos dispositivos de convers˜ao eletro-mecˆanica de energia.
Uma vez estabelecida a metodologia no dom´ınio do tempo, os estudos foram rea-
lizados utilizando os mesmos transformadores utilizados no FEMM, um de 15 kVA e
outro de 100 MVA, e para as mesmas condi¸c˜oes operativas. De um modo geral, pˆode-
se verificar que os resultados computacionais fornecidos pela t´ecnica no dom´ınio do
tempo levaram a respostas com boa semelhan¸ca, comparativamente `as obtidas tanto
pelos m´etodos anal´ıticos como os decorrentes de simula¸c˜oes utilizando o FEMM. No
que tange ao c´alculo dos estresses, estes foram efetuados somente com o modelo no
dom´ınio do tempo. N˜ao obstante esse fato, os resultados alcan¸cados se mostram satis-
fat´orios e coerentes, uma vez que os estresses s˜ao dependentes de grandezas validadas,
tais como for¸cas e densidade de fluxo magn´etico de dispers˜ao, al´em das caracter´ısticas
geom´etricas dos enrolamentos.
Com rela¸c˜ao `a distribui¸c˜ao de fluxo magn´etico, para as diversas condi¸c˜oes de ope-
ra¸c˜ao avaliadas, observou-se, primeiramente, que os curtos-circuitos provocam uma
“redistribui¸c˜ao” do caminho percorrido pelas linhas de fluxo. Em condi¸c˜oes normais
de opera¸c˜ao, estas fecham-se quase que totalmente pelo material ferromagn´etico, en-
quanto que sob condi¸c˜oes de curto-circuito, desviam-se deste caminho preferencial e
fecham-se pelo espa¸co entre os enrolamentos concˆentricos do transformador. Esta nova
distribui¸c˜ao do fluxo, em que se verifica um aumento significativo dos fluxos magn´eti-
cos de dispers˜ao, se traduzem em aumento substanciais das for¸cas eletromagn´eticas
atuantes nas estruturas do dispositivo. Em particular, o transformador de potˆencia fi-
cou submetido a maiores esfor¸cos, uma vez que para equipamentos como este circulam
correntes significativamente mais elevadas.
Como fechamento das investiga¸c˜oes, e uma vez que a ferramenta computacional
encontrava-se devidamente validada, como contribui¸c˜ao final desta tese, foi apresentada
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
152
uma proposta de metodologia para avaliar o impacto que as elevadas correntes tran-
sit´orias origin´arias de curtos-circuitos e de correntes de energiza¸c˜ao, podem ter sobre o
desempenho da vida ´util deste tipo de dispositivo. Fundamentalmente, a metodologia
estabelecida toma como parˆametros os esfor¸cos a que ficam submetidos os transforma-
dores (estresses mecˆanicos), em fun¸c˜ao das for¸cas atuantes. Os valores encontrados s˜ao
confrontados com as caracter´ısticas mecˆanicas do material utilizado na constru¸c˜ao do
transformador, em particular, o cobre, da´ı permitindo a extra¸c˜ao de conclus˜oes a res-
peito dos impactos alcan¸cados. Nesse sentido, quest˜oes relacionadas com a resistˆencia
mecˆanica dos materiais utilizados na constru¸c˜ao dos equipamentos foram discutidas.
Assim sendo, a proposta aqui apresentada mostra-se interessante, uma vez que nem
sempre ´e poss´ıvel a execu¸c˜ao de ensaios em transformadores que permitam a determi-
na¸c˜ao das grandezas em quest˜ao, principalmente para os de grande porte, pelos motivos
levantados ao longo da tese. Todavia, embora existam ensaios espec´ıficos destinados `a
detec¸c˜ao do movimento dos enrolamentos, que podem ocorrer durante a manifesta¸c˜ao
de um evento transit´orio de magnitude consider´avel, alguns destes, apesar da eficiˆencia
comprovada, nem sempre s˜ao disponibilizados pelas empresas concession´arias, al´em das
quest˜oes de ordem financeira.
A metodologia em quest˜ao foi aplicada aos dois transformadores utilizados nesta
investiga¸c˜ao, podendo extrair-se as constata¸c˜oes a seguir. Transforma¸c˜oes de distri-
bui¸c˜ao embora sofram acr´escimos dos estresses atuantes nas estruturas internas, n˜ao
s˜ao afetados por estes, uma vez que os valores encontrados para o modelo investigado
apresentam-se bem abaixo dos estresses admiss´ıveis pelos materiais utilizados nos en-
rolamentos (limites cr´ıticos). De outro lado, os resultados alcan¸cados evidenciaram
que, para o caso de transformadores de grande porte, os estresses mecˆanicos tˆem uma
importˆancia maior, uma vez que as correntes envolvidas s˜ao de maior valor e em con-
seq
¨
uˆencia os estresses tamb´em sofrem fortes acr´escimos.
Finalmente, pode-se afirmar que a metodologia computacional desenvolvida, se
constitui numa ferramenta de grande valia para a an´alise dos estresses mecˆanicos. Os
resultados dos estudos permitem a emiss˜ao de pareceres t´ecnicos conclusivos sobre a
possibilidade de ocorrˆencia de danos f´ısicos nos equipamentos e a necessidade da re-
tirada de servi¸co para reparo ou substitui¸c˜ao e permitem a tomada de decis˜oes sobre
procedimentos a serem adotados para conferir uma maior seguran¸ca `a opera¸c˜ao dos
sistemas el´etricos.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
7.1 Sugest˜oes para trabalhos futuros 153
Desta forma, os desenvolvimentos apresentados nesta tese, se revestem de importˆan-
cia, pois possibilitam a realiza¸c˜ao de estudos, de maneira confi´avel e com custos bem
menores, de certa forma contornando as dificuldades encontradas para a realiza¸c˜ao de
ensaios com dispositivos reais.
7.1 Sugest˜oes para trabalhos futuros
Mesmo reconhecendo que os principais objetivos desse trabalho de pesquisa tenham
sido atingidos, vale destacar que investiga¸c˜oes complementares certamente ainda se
fazem necess´arias para complementa¸c˜ao da pesquisa. dentre os poss´ıveis temas, pode-
se citar:
• Efetuar a modelagem e implementa¸c˜ao computacional das componentes radiais
dos fluxos de dispers˜ao e das correspondentes for¸cas axiais, para avaliar os es-
tresses causados nos enrolamentos de transformadores pelos esfor¸cos axiais;
• Objetivando suprir a falta de dados de campo, construir um prot´otipo de um
transformador, dotado de sensores para detec¸c˜ao de movimento das espiras. Este
prot´otipo ser´a utilizado em ensaios laboratoriais como forma de corroborar a
efic´acia do modelo computacional desenvolvido e outros desenvolvimentos que
possam ser executados;
• Tendo em vista que as empresas do setor el´etrico brasileiro utilizam de maneira
ampla o programa ATP (Alternative Transient Program), seria interessante que
o modelo computacional desenvolvido nesta tese fosse implementado tamb´em
naquele pacote computacional;
• Inserir no programa computacional desenvolvido nesta tese, um modelo de degra-
da¸c˜ao dos sistemas isolantes dos transformadores, de maneira que permita estimar
a perda de vida ´util de um dispositivo, associada a degrada¸c˜ao provocada p ela
ocorrˆencia de estresses mecˆanicos nesses equipamentos.
Tese de doutorado Ana Claudia de Azevedo
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