( PDF ) Cálculo de taxa de absorção específica e aumento de temperatura em modelos de cabeça de adulto e criança

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

GIOVANI BULLA

Cálculo de Taxa de Absorção Específica e

Aumento de Temperatura em Modelos de

Cabeça de Adulto e Criança

Porto Alegre

(2006)

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GIOVANI BULLA

Cálculo de Taxa de Absorção Específica e

Aumento de Temperatura em Modelos de

Cabeça de Adulto e Criança

Dissertação de mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica,

da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como

parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre

em Engenharia Elétrica.

Área de concentração: Automação e

Instrumentação Eletro-Eletrônica

ORIENTADOR: Álvaro Augusto Almeida de Salles

Porto Alegre

(2006)

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GIOVANI BULLA

Cálculo de Taxa de Absorção Específica e

Aumento de Temperatura em Modelos de

Cabeça de Adulto e Criança

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção

do título de Mestre em Engenharia Elétrica e aprovada

em sua forma final pelo Orientador e pela Banca

Examinadora.

Orientador: ____________________________________

Prof. Dr. Álvaro Augusto Almeida de Salles, UFRGS

PhD. pela University College of London , UK

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Francisco de Assis Tejo, UFPB

Doutor pela Universidade da Paraíba – Paraíba, Brasil

Prof. Dr. Hugo Enrique Hernández Figueroa, Unicamp

PhD. pela University of London – Londres, Inglaterra

Prof. Dr. Marco Tullio Menna Barreto de Vilhena, UFRGS

Doutor pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul – Porto Alegre, Brasil

Profa. Dra. Cynthia Feijó Segatto, UFRGS

Doutora pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul – Porto Alegre, Brasil

Coordenador do PPGEE: _______________________________

Prof. Dr. Marcelo Soares Lubaszewski

Porto Alegre, dezembro de 2006.

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a minha família, em especial pela dedicação e apoio em todos os

momentos.

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Dr. Álvaro Salles pela orientação e colaboração no trabalho.

Aos amigos do LACOM, Cláudio, Pedra, Gustavo e Paulo.

Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, PPGEE, pela oportunidade

de realização de trabalhos em minha área de pesquisa.

À CAPES pela provisão da bolsa de mestrado.

RESUMO

Neste trabalho é apresentado o desenvolvimento de programa para cálculo de campos

eletromagnéticos baseado no método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD).

O programa é aplicado no cálculo da Taxa de Absorção Específica (“Specific Absortion Rate”

– SAR) em modelos de cabeça de adulto e criança usuários de telefone celular. Para a

modelagem da cabeça da criança é feita análise detalhada das principais diferenças das

características de cabeças de adulto e criança. Também é desenvolvido um programa para o

cálculo do aumento de temperatura relacionado com a Taxa de Absorção Especifica. Os

resultados são comparados com dados de outros autores, bem como com as normas relativas a

níveis de exposição a ondas eletromagnéticas.

Palavras-chaves: Diferenças Finitas no Domínio do Tempo. Taxa de Absorção

Específica. Telefones Celulares. Efeitos Térmicos.

ABSTRACT

The development of software to compute the electromagnetic fields employing the Finite

Difference Time Domain (FDTD) method is shown in this work. This software is used to

estimate the Specific Absorption Rate (SAR) in head models of child and adult users of cell

phones. A detailed analysis of the main differences between child and adult heads is made in

order to model the child head. Software to compute the temperature rise related with the

calculated SAR is also developed. The results are compared with results obtained by others

authors, as well as with electromagnetic field exposure guidelines.

Keywords: Finite Difference Time Domain. Specific Absorption Rate. Cell Phones.

Thermal Effects.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ..............................................................................................................16

1.1. CONTEXTO DO PROBLEMA ..........................................................................................16

1.2. EVOLUÇÃO DO SERVIÇO MÓVEL CELULAR................................................................17

1.3. ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EFEITOS BIOLÓGICOS...............................................18

1.4. PARÂMETROS DOSIMÉTRICOS.....................................................................................20

1.5. PRINCIPAIS NORMAS....................................................................................................20

1.6. PLANO DE TESE............................................................................................................21

2. REVISÃO DA LITERATURA .....................................................................................22

3. O MÉTODO FDTD........................................................................................................31

3.1. EQUAÇÕES DE MAXWELL............................................................................................32

3.2. ALGORITMO DE YEE....................................................................................................34

3.3. DISPERSÃO E ESTABILIDADE NUMÉRICA ....................................................................39

3.4. CONDIÇÃO DE CONTORNO ABSORVEDORA.................................................................40

3.4.1. Meio Uniaxial Perfeitamente Casado ...................................................................41

3.4.2. Interface UPML-UPML.........................................................................................45

3.4.3. Estabelecimento das Expressões de Diferenças Finitas.......................................46

3.5. VALIDAÇÃO DO ALGORITMO.......................................................................................49

3.6. RECURSOS UTILIZADOS...............................................................................................51

4. CÁLCULO DA TAXA DE ABSORÇÃO ESPECÍFICA ..............................................................52

4.1. F

ORMATO DA CABEÇA E DISTRIBUIÇÃO DOS TECIDOS DENTRO DA CABEÇA ...........52

4.2. T

AMANHO DA CABEÇA.................................................................................................56

4.3. POSIÇÃO DA CABEÇA EM RELAÇÃO AO APARELHO CELULAR ..................................56

4.4. T

IPO DE ANTENA DO CELULAR ...................................................................................58

4.5. POTÊNCIA DE ALIMENTAÇÃO DA ANTENA..................................................................61

4.6. PARÂMETROS ELETROMAGNÉTICOS DOS TECIDOS....................................................62

4.7. A

LGORITMO PARA CÁLCULO DE SAR MÉDIA .............................................................66

5. RESULTADOS DE CÁLCULO DE SAR....................................................................68

6. CÁLCULO TÉRMICO..................................................................................................81

6.1. CÁLCULO DA DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA........................................................81

6.2. VALIDAÇÃO DO ALGORITMO.......................................................................................84

6.3. RESULTADOS DE CÁLCULO DE AUMENTO DE TEMPERATURA....................................86

7. CONCLUSÃO.................................................................................................................88

REFERÊNCIAS .....................................................................................................................91

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Evolução da telefonia móvel no Brasil (fonte: ANATEL). ....................................17

Figura 2 – Célula de Yee - posicionamento das componentes dos campos elétrico e

magnético.................................................................................................................35

Figura 3 - Imagens sagitais da cabeça de um adulto adquiridas com Raios-X. .......................53

Figura 4 - Imagens coronais da cabeça de uma criança adquiridas com Tomografia

Computadorizada.....................................................................................................53

Figura 5 Imagens em corte sagital da cabeça de um adulto, após segmentação dos tecidos. ..54

Figura 6 Imagens em corte coronal da cabeça de uma criança, após segmentação dos tecidos.

.................................................................................................................................54

Figura 7 -Visualização tridimensional de diversos cortes dos modelos. (a) Cérebro, medula e

esclera da criança (b) Modelo da criança retirado um quarto de cima da cabeça (c)

Modelo do adulto retirado um quadrante da cabeça (d) Modelo da criança retirado

um quadrante da cabeça (e) Osso do adulto (f) Osso da criança.............................55

Figura 8 – Modelo de cabeça orientada com a direção boca orelha paralela ao eixo z............57

Figura 9 - Imagens dos modelos de cabeça girados, em corte sagital. (a) Modelo do adulto (b)

Modelo da criança....................................................................................................58

Figura 10 Caixa retangular e antenas ajustadas sobre esta caixa. (a) Caixa retangular (b) Caixa

retangular com antena patch (c) Caixa retangular com monopolo de quarto de onda.

.................................................................................................................................59

Figura 11 Evolução do campo eletromagnético no tempo (10xlog10(|E|)). Para antena tipo

monopolo de quarto de onda em 850MHz (600 mW). No adulto após (a) 100

iterações, (b) 200 iterações, (c) 300 iterações, (d) 400 iterações. Na criança com

parâmetros eletromagnéticos de adulto após (e) 100 iterações, (f) 200 iterações, (g)

300 iterações, (h) 400 iterações. Na criança com parâmetros eletromagnéticos

ajustados após (i) 100 iterações, (j) 200 iterações, (k) 300 iterações, (l) 400

iterações...................................................................................................................69

Figura 12 Evolução do campo eletromagnético no tempo (10xlog10(|E|)). Para antena tipo

monopolo de quarto de onda em 1800MHz (125 mW). No adulto após (a) 100

iterações, (b) 200 iterações, (c) 300 iterações, (d) 400 iterações. Na criança com

parâmetros eletromagnéticos de adulto após (e) 100 iterações, (f) 200 iterações, (g)

300 iterações, (h) 400 iterações. Na criança com parâmetros eletromagnéticos

ajustados após (i) 100 iterações, (j) 200 iterações, (k) 300 iterações, (l) 400

iterações...................................................................................................................70

Figura 13 Evolução do campo eletromagnético no tempo (10xlog10(|E|)). Para antena tipo

patch em 850MHz (600 mW). No adulto após (a) 100 iterações, (b) 200 iterações,

de adulto após (e) 100 iterações, (f) 200 iterações, (g) 300 iterações, (h) 400

iterações. Na criança com parâmetros eletromagnéticos ajustados após (i) 100

iterações, (j) 200 iterações, (k) 300 iterações, (l) 400 iterações. .............................71

Figura 14 Evolução do campo eletromagnético no tempo (10xlog10(|E|)). Para antena tipo

patch em 1800MHz (125 mW). No adulto após (a) 100 iterações, (b) 200 iterações,

de adulto após (e) 100 iterações, (f) 200 iterações, (g) 300 iterações, (h) 400

iterações. Na criança com parâmetros eletromagnéticos ajustados após (i) 100

iterações, (j) 200 iterações, (k) 300 iterações, (l) 400 iterações. .............................72

Figura 15 Distribuição de SAR em diversos cortes no plano xz. Escala em dB (10log10(SAR

(mW/g) /1.6(mW/g))). Freqüência da antena = 1800MHz. Antena tipo monopolo

de quarto de onda. Potência de alimentação = 125mW. (a) Caso A, (b) Caso B, (c)

Caso C......................................................................................................................73

Figura 16 Distribuição de SAR no adulto em diversos cortes no plano xz. Escala em dB

(10log10(SAR (mW/g) /1.6(mW/g))). Freqüência da antena = 850MHz. Antena

tipo monopolo de quarto de onda. Potência de alimentação = 600mW. (a) Caso A,

(b) Caso B, (c) Caso C.............................................................................................74

Figura 17 Distribuição de SAR no adulto em diversos cortes no plano xz. Escala em dB

(10log10(SAR (mW/g) /1.6(mW/g))). Freqüência da antena = 1800MHz. Antena

tipo patch. Potência de alimentação = 125mW. (a) Caso A, (b) Caso B, (c) Caso C.

.................................................................................................................................75

Figura 18 Distribuição de SAR no adulto em diversos cortes no plano xz. Escala em dB

(10log10(SAR (mW/g) /1.6(mW/g))). Freqüência da antena = 850MHz. Antena

tipo patch. Potência de alimentação = 600mW. 125mW. (a) Caso A, (b) Caso B, (c)

Caso C......................................................................................................................76

Figura 19 - Perfil, em regime permanente, da diferença de temperatura sobre uma reta

passando pelo centro de uma esfera., foram usados os valores h=0, lkg /1

⋅

(

)

CkgJC

/2000 ⋅⋅=

(

)

CmWk

/5.0 ⋅⋅=

, SAR=10 W/kg, raio mma ⋅= 10 e

discretização espacial mm

⋅

1 em todas as direções, discretização temporal dt=1 s,

condição de contorno de temperatura constante na fronteira. .................................85

Figura 20 - Aumento de temperatura com o tempo (monopolo de quarto de onda 850MHz,

600mW)...................................................................................................................87

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Discretização e perímetro cranial dos modelos de cabeça......................................56

Tabela 2 - Discretização espacial no referencial girado...........................................................57

Tabela 3 - Parâmetros das antenas tipo monopolo para adulto ................................................60

Tabela 4 - Parâmetros das antenas tipo monopolo para criança...............................................60

Tabela 5 - Parâmetros das antenas tipo patch para adulto........................................................60

Tabela 6 - Parâmetros das antenas tipo patch para criança ......................................................61

Tabela 7 - Valores dos parâmetros eletromagnéticos nos tecidos de adultos e crianças para,

freqüência de 1800 MHz .........................................................................................64

Tabela 8 - Valores dos parâmetros eletromagnéticos nos tecidos de adultos e crianças, para

freqüência de 850 MHz ...........................................................................................65

Tabela 9 Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto e para o modelo de

criança com parâmetros de adulto e com parâmetros de criança. Antena tipo

monopolo em 1800MHz. Potência de alimentação = 125mW................................77

Tabela 10 Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto e para o modelo de

criança com parâmetros de adulto e com parâmetros de criança. Antena tipo

monopolo em 850MHz. Potência de alimentação = 600 mW................................77

Tabela 11 Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto e para o modelo de

criança com parâmetros de adulto e com parâmetros de criança. Antena tipo patch

em 1800MHz. Potência de alimentação = 125mW.................................................78

Tabela 12 Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto e para o modelo de

criança com parâmetros de adulto e com parâmetros de criança. Antena tipo patch

em 850MHz. Potência de alimentação = 600 mW.................................................78

Tabela 13 - Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto entre diversos

autores. Antena tipo monopolo de quarto de onda. Faixa 800 a 900 MHz. Potência

de alimentação = 600 mW.......................................................................................80

Tabela 14 Propriedades Térmicas de Tecidos na Cabeça Humana..........................................83

Tabela 15 – Aumento Máximo de temperatura na cabeça, em regime permanente.................86

Tabela 16 – Aumento Máximo de temperatura no cérebro, em regime permanente. ..............86

LISTA DE ABREVIATURAS

ABC “Absorbing Boundary Condition” – Condições de Contorno

Abosrvedoras.

ANATEL Agência Nacional de Telecomunicações.

ANSI American National Standards Institute – Insitituto de Normatização dos

Estados Unidos.

BHE “Bio Heat Equation” – Equação de Aquecimento Biológico.

C95.1-1991 Norma de exposição a campos eletromagnéticos do IEEE de 1992.

C95.1-2005 Norma de exposição a campos eletromagnéticos do IEEE de 2005.

CPU Unidade Central de Processamento.

CRAY T94 Supercomputador modelo T94 da CRAY

ENV50166-2 Norma de exposição a campos eletromagnéticos do ICNIRP de 1998.

ERB Estação de Rádio Base.

FDTD “Finite Diference Time Domain Method” Método das Diferenças

Finitas no Domínio do Tempo.

GB Gigabyte, unidade de armazenamento de dados.

GFLOP Unidade de velocidade de processamento.

ICNIRP ”International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection“

.Comissão Internacional de Proteção de Radiação Não Ionizante”.

IEEE “The Institute of Electrical and Electronics Engineers” – Instituto dos

Engenheiros Eletro Eletrônicos dos Estados Unidos.

PML “Perfectly Matched Layers” – Camadas Perfeitamente Casadas.

RAM “Random Acess Memory”

RF Rádio Freqüência.

SAM “Specific Anthropomorphic Mannequin”

SAR “Specific Absorption Rate” – Taxa de Absorção Específica.

SCSI “Small Computer System Interface” – Interface de computadores

TBW “Total Body Water” – Quantidade Total de Água.

TE Campo com a componente elétrica transversa à direção de propagação.

TM Campo com a componente magnética transversa à direção de

propagação.

UPML “Uniaxial Perfectly Matched Layers” – Camadas Perfeitamente Casadas

baseadas em meios uniaxiais.

WHO “World Health Organization” – Organização Mundial de Saúde.

LISTA DE SÍMBOLOS

Massa específica, em kilogramas por litro (kg/l).

t∂

Diferencial de tempo.

m∂ Diferencial de massa.

W∂ Diferencial de energia.

V∂

Diferencial de volume.

Condutividade, em Siemens por metro (S/m).

Vetor campo elétrico (V/m).

Freqüência angular em Hertz, Megahertz ou Gigahertz (Hz, MHz,

GHz).

Permissividade do vácuo, em Farads por metro (F/m).

Permissividade relativa do meio.

Vetor densidade de corrente elétrica (A/m

Vetor densidade de fluxo elétrico (C/m

Vetor campo magnético (A/m)..

Vetor densidade de fluxo magnético (Wb/m

Vetor densidade de corrente magnética equivalente (V/m

∇

Operador Nabla.

Permeabilidade magnética, em Henrys por metro (H/m).

Permissividade elétrica, em Farads por metro (F/m).

′

Resistividade magnética equivalente, em Ohms por metro (Ω/m).

zyx

EEE ,, Componentes de campo elétrico, em Volts por metro (V/m).

zyx

HHH ,, Componentes de campo magnético, em Ampéres por metro (A/m).

zyx ΔΔΔ ,,

Discretizações espaciais.

tΔ Incremento temporal.

Comprimento de onda em metros (m).

c Velodacidade da luz, em metros por segundo (m/s).

j Unidade complexa, j

= -1.

Tensor permeabilidade.

Tensor permissividade.

k Número de onda, em um sobre metro (1/m)

Coeficiente de reflexão.

Coeficiente de transmissão.

()

tzyxTT ,,,= Temperatura em graus Celsius

(

)

, no instante t e na posição (x,y,z).

C Calor específico

(

)

CKgJ

⋅/.

K Condutividade térmica

(

)

[

]

CmsJ

⋅⋅/.

b Taxa de perfusão

(

)

CmW

⋅

T Temperatura do sangue arterial.

T Temperatura ambiente.

h Coeficiente de transferência de calor convectivo

(

)

CmW

⋅

1. INTRODUÇÃO

Campos eletromagnéticos produzidos por emissoras de sinais de TV, rádios, estação

de rádio base, transmissões em rádio freqüência (RF) e outras estruturas para comunicações

estão presentes há décadas, mas exposição a sinais de telefones móveis iniciaram-se há alguns

anos. O aumento ocorreu praticamente do zero para o número atual em poucos anos, existindo

cerca de 94 milhões de usuários de telefones celulares no Brasil, com perspectiva de aumentar

ainda mais. Além disso, tem aumentado também a quantidade de crianças e adolescentes

usuários de telefones móveis. Paralelamente a isto, aumenta a preocupação da comunidade

científica, de autoridades e da população em relação à segurança no uso desses telefones, no

que diz respeito à saúde. Também há a preocupação de que crianças possam ser mais

vulneráveis a efeitos de RF do que adultos (IEGMP, 2000).

Para o estudo do problema específico de efeitos térmicos devidos a transmissores

portáteis é necessário o desenvolvimento de uma ferramenta de cálculo numérico, como o

Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD), tanto para o cálculo do campo

eletromagnético quanto para o cálculo do aumento de temperatura.

Algumas diferenças na anatomia e na fisiologia de crianças e adultos são de grande

importância na modelagem de exposição a campos eletromagnéticos. Dentre essas diferenças

têm-se a forma e tamanho da cabeça, espessura cranial e valor dos parâmetros

eletromagnéticos.

1.1. CONTEXTO DO PROBLEMA

A difusão do uso de transceptores portáteis, como os telefones celulares, tem

levantado questionamentos a respeito dos efeitos biológicos que pode provocar o campo

eletromagnético induzido na cabeça dos usuários. Para avaliar estas questões, é necessário o

desenvolvimento de solução numérica através da implementação de “software” que tenha

aplicação geral para problemas de propagação e absorção de campo eletromagnético.

Para melhor entendimento dos efeitos térmicos que definem os limites das normas

relativas à exposição a campos eletromagnéticos, é necessário implementar “software” para

solução numérica das equações de calor biológico, visando determinar principalmente a

distribuição de temperatura e identificação de possíveis pontos quentes (“hot spots”).

1.2. EVOLUÇÃO DO SERVIÇO MÓVEL CELULAR

A indústria de telefonia celular, desde a década de 90 até os dias atuais, tem

experimentado enorme crescimento em todo o mundo. O principal fator impulsionador desse

forte crescimento é o constante desenvolvimento tecnológico, que vem contribuindo para a

diminuição dos custos das operadoras e para os consumidores e o aumento da competição na

prestação do serviço. A Figura 1 mostra a evolução da telefonia celular no Brasil.

Paralelamente a isto, aumenta a preocupação da comunidade científica, de autoridades e da

população em relação à segurança sobre o uso desses telefones.

Figura 1 – Evolução da telefonia móvel no Brasil (fonte: ANATEL).

1.3. ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EFEITOS BIOLÓGICOS

Os canais de transmissão de telefones celulares usam portadoras de radiofreqüências,

por exemplo entre 800 MHz e 900 MHz, para as bandas A e B no Brasil. Desta forma, os

sinais de voz são transmitidos por meio de ondas eletromagnéticas em freqüências próximas

a 1 GHz, as quais devem ser emitidas com potência suficiente para serem recebidas pelas

Estações de Rádio Base (ERB’s) do sistema celular.

Este tipo de ondas é classificado como sendo não ionizante, pois os campos

eletromagnéticos não possuem energia suficiente para provocar a quebra das ligações

químicas. Diferentemente, as radiações ionizantes correspondem a campos em freqüências

mais elevadas que as das emissões de luz, como por exemplo os raios X e os raios gama,

cujos comprimentos de onda são nanométricos. Este tipo de radiação possui energia suficiente

para quebrar ligações químicas por ionização. Desta forma o material genético das células

pode ser danificado, levando a doenças como o câncer, por exemplo.

As conseqüências dos mecanismos de interação de ondas eletromagnéticas não

ionizantes com sistemas biológicos podem ser classificadas em dois grupos: (a) efeitos

térmicos e (b) efeitos não térmicos, quer os efeitos sejam atribuídos ao aumento de

temperatura ou à interação direta do campo com o tecido, sem aumento significativo da

temperatura.

Os efeitos térmicos decorrem diretamente do aquecimento dos tecidos, como resultado

da absorção de ondas eletromagnéticas em meios dissipativos. Grande parte do aquecimento

dos tecidos deve-se à rotação de moléculas polares induzidas pelo campo eletromagnético. Os

efeitos térmicos têm sido estudados há várias décadas e os resultados da absorção dos campos

eletromagnéticos por diferentes tipos de tecidos são bem conhecidos. A respeito existem

normas internacionalmente aceitas que estabelecem limites de exposição em função da

freqüência de operação, do tempo de exposição, do tipo de usuário, etc. Os limites de

exposição das normas consideram que aquecimentos acima de 1 ºC podem provocar efeitos

teratogênicos degenerativos (SALLES, 1999a).

Outros efeitos devidos ao aumento de temperatura são conhecidos. Como exemplo,

sabe-se que aumentos de temperatura localizados, inferiores ao limite de 3.5 ºC no cérebro

não causam danos fisiológicos. Além disso, é conhecido que aumento de temperatura no

hipotálamo de 0.2 ºC – 0.3 ºC causa alterações no sistema termoregulatório. Sabe-se também

que os danos térmicos na pele começam com elevação de temperatura no tecido em torno de

10ºC (GUYTON, 1991).

Além dos efeitos térmicos das ondas não ionizantes, existem evidências de que ocorre

interação direta dos campos eletromagnéticos oscilatórios com as moléculas polares presentes

nos fluídos e nos tecidos biológicos. Exemplos de efeitos não térmicos são os bioquímicos ou

eletrofísicos, causados diretamente por campos eletromagnéticos induzidos e não por aumento

localizado ou distribuído de temperatura. Alguns efeitos não térmicos relatados na literatura

incluem efeitos no sistema nervoso, cardiovascular e imunológico, bem como no metabolismo

e em fatores hereditários. Tais efeitos são relatados para níveis de exposição bem abaixo

daqueles nos quais efeitos térmicos são observados (SALLES, 1999b). Entretanto, nessa área

os resultados ainda são polêmicos, não existindo definições, as quais poderão demorar muitos

anos em função das pesquisas que se desenvolvem.

Este trabalho concentra-se no estudo e modelagem da interação dos campos

eletromagnéticos com cabeças de usuários de telefones celulares, visando dimensionar os

efeitos térmicos decorrentes dessa interação.

1.4. PARÂMETROS DOSIMÉTRICOS

Os limites em geral indicados nas normas e recomendações podem ser expressos em

densidade de potência incidente (p. ex., mW/cm

), intensidade de campo elétrico (V/m),

intensidade de campo magnético (A/m) ou por um parâmetro dosimétrico largamente

utilizado, qual seja a Taxa de Absorção Específica (“Specific Absortion Rate” - SAR). Esta

última é definida como sendo a derivada no tempo do aumento de energia absorvida em

elemento de massa contida num elemento de volume, cuja massa específica é “ρ”

(STUCHLY, 1995). Analiticamente pode ser expressa por

()

gmW

SAR /

)(∂

∂

(1)

É possível dizer, em outras palavras, que a SAR quantifica a potência absorvida por

unidade de massa. Utilizando o teorema do vetor de Poynting para campos eletromagnéticos

com excitação senoidal no domínio da freqüência, a SAR pode ser também expressa por

()

gmWJEESAR

iii

ρσρ

εωε

===

(2)

onde E

e J

são os valores de pico do campo elétrico e da densidade de corrente no local

considerado.

O aumento da temperatura nos tecidos decorre, dentre outros fatores, dos níveis de

SAR.

1.5. P

RINCIPAIS NORMAS

Em função dos efeitos térmicos, já bem conhecidos, diferentes normas têm sido

propostas (SALLES, 1999b), dentre as quais se destacam as normas C95.1-1991 (ANSI,

1991), recentemente revista pela norma C95.1-2005 (ANSI, 2005), adotada nos Estados

Unidos, e a ENV50166-2 (ICNIRP, 1998), adotada por diferentes paises europeus. Estas

recomendações servem de base para diferentes legislações nacionais (AGÊNCIA ..., 1999) .

Para as freqüências de telefonia celular no Brasil, a recomendação (GUIDELINES,

1998), adotada pela ANATEL (Agência Nacional de Telecomunicações), define os limites de

densidade de potência em 4,3 W/m2 e de SAR de 2 mW/g em cubos de 10 g de tecido. A

norma C95.1-1991 (ANSI, 1991) define os limites em 5.7 W/m2 e de SAR igual a 1.6 mW/g

em cubos com 1 g de tecido. A última norma foi revista pela norma C95.1-2005 (ANSI,

2005), alterando seus limites para os mesmos valores da norma do ICNIRP (”International

Commission on Non-Ionizing Radiation Protection“) .

1.6. PLANO DE TESE

No Capítulo 2 é realizada uma revisão bibliográfica mostrando os principais resultados

publicados relativos a cálculos de SAR e aumento de temperatura em seres humanos. A

seguir, no Capítulo 3, é apresentado o desenvolvimento do Método de Diferenças Finitas no

Domínio do Tempo, para determinação dos campos eletromagnéticos, bem como as

condições de estabilidade, dispersão e de contorno. No Capítulo 4 é feita uma análise

detalhada da metodologia utilizada para cálculo de SAR, considerando as diferenças

específicas entre adultos e crianças, bem como a adequada modelagem do telefone celular e a

implementação do algoritmo para cálculo de SAR. No Capítulo 5, são apresentados os

resultados de cálculo de SAR, bem como a comparação com outros resultados disponíveis na

literatura. No Capítulo 6, é apresentado o desenvolvimento do Método de Diferenças Finitas

aplicado ao cálculo de aumento de temperatura na cabeça, causado pela SAR e os resultados

obtidos. Finalmente, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões e os comentários relativos

aos métodos utilizados e aos resultados obtidos.

2. REVISÃO DA LITERATURA

Neste Capítulo é feita uma revisão dos principais resultados apresentados na literatura,

relativos ao cálculo de SAR e aumento de temperatura em seres humanos.

Rahmat-Samii (RAHMAT-SAMII, 1995) usou o método FDTD para calcular a SAR

em três modelos realísticos de cabeça de adulto, na presença de diferentes tipos de antenas e

configurações. Para a distância de 2 cm entre o dispositivo irradiante e a cabeça, com 1 W de

potência entregue à antena, o valor de pico de SAR na cabeça foi calculado entre 0.9 e 3.8

mW/kg. Nas mesma condições, o valor médio da SAR situou-se entre 0.06 e 0.10 mW/kg.

Além disso, constatou-se que a cabeça e a mão absorvem entre 48 e 68% da energia entregue

à antena.

Lu (LU, 1996) usa o método FDTD para calcular o campo eletromagnético devido a

uma onda plana incidente com densidade de potência de 10 mW/cm2, utilizando modelo de

cabeça de adulto. Usando o método de diferenças finitas, a equação de transferência de calor

biológico linear, no regime permanente, foi resolvida numericamente, obtendo-se 0.15 ºC de

aumento máximo de temperatura na cabeça.

Gandhi (GANDHI, 1996a) usa o método FDTD para calcular a SAR na cabeça

humana devido à radiação eletromagnética de telefones celulares. Para simulação realística da

posição de uso de telefone, a orelha do modelo foi comprimida contra a cabeça; a cabeça foi

girada a um ângulo apropriado, e a mão foi representada simplificadamente. Foram simulados

telefones celulares em 835 e 1900 MHz, com monopolo em cima de caixa metálica e antenas

de comprimento de quarto de onda e três oitavos de onda. A potência máxima de 600 mW foi

usada para o caso em 835 MHz, bem como 125 mW para 1900 MHz. Para o caso da cabeça

girada na posição de uso do telefone celular, foram obtidos valores de SAR em 1g de tecido,

no caso 2.93 e 1.11 W/kg para a antena de quarto de onda em 835 MHz e 1900 MHz,

respectivamente, e 1.6 e 0.96 W/kg para a antena de três oitavos de quarto de onda em 835

MHz e 1900 MHz, respectivamente. A potência de 125 mW nas simulações é utilizada por ser

o valor máximo de potência típico de celulares, comum na faixa de 1800 MHz.

Gandhi (GANDHI, 1996b) simula os mesmos casos apresentados em (GANDHI,

1996a), estes são simulados utilizando também modelos de cabeça de criança de dez e cinco

anos de idade, criados a partir de uma mudança de escala no modelo de cabeça de adulto. Os

valores de SAR em 1g de tecido na cabeça, calculados para o caso do monopolo de quarto de

onda em 835 MHz, foram 2.93, 3.21 e 4.49 W/kg para a cabeça do adulto, da criança de dez

anos e para a criança de cinco anos, respectivamente. Para o caso do monopolo de quarto de

onda em 1900 MHz, os valores de SAR em 1g de tecido na cabeça são 1.11, 0.9 e 0.97 W/kg,

para a cabeça do adulto, da criança de dez anos e para a criança de cinco anos,

respectivamente.

Okoniewski (OKONIEWSKI, 1996) usa o método FDTD para simular antena

monopolo de quarto de onda, ajustada em cima de caixa metálica para calcular a SAR em

modelo realístico de cabeça e em modelos de cabeça quadradas e esféricas. Os resultados

obtidos com modelos esféricos de cabeça estão relativamente próximos aos resultados obtidos

no modelo de cabeça realístico. Valores de SAR calculados com modelos que incluem orelhas

são menores do que em modelos que não incluem orelha.

Hombach (HOMBACH, 1996) usa um código comercial baseado na técnica de

integrais finitas para calcular a SAR em modelo realístico de adulto e em modelos com grau

de complexidade reduzido. Os modelos diferiam em forma, tamanho e anatomia interna. Os

resultados mostraram que o tamanho e a forma são de menor importância e que valores de

SAR local dependem fortemente das não homogeneidades.

Schönborn (SCHÖNBORN, 1998) usa um código comercial baseado na técnica de

integrais finitas para calcular a SAR em modelos realísticos de adulto e de criança de 7 e de 3

anos de idade. Os modelos foram baseados em imagens geradas por ressonância magnética.

As diferenças de absorção foram investigadas para as freqüências de 900 e 1800 MHZ,

usando um dipolo de nove vinte avos de comprimento de onda. Os resultados, para campo

próximo, não revelaram diferenças significativas na absorção de radiação eletromagnética

entre adultos e crianças.

Wang (WANG, 1999) usa o método FDTD para calcular a SAR em um modelo

realístico de cabeça de adulto. Ele resolve a equação de aquecimento biológico, usando um

modelo linear através de diferenças finitas no domínio do tempo. O telefone móvel foi

simulado por monopolo de quarto de onda em cima de caixa metálica. A potência de

alimentação foi ajustada para 0.6 W na antena em 900MHz e 0.27 W em 1.5 GHz. Resultados

computados mostram que uma ligação de 7 minutos leva a um aumento de temperatura de

aproximadamente 90% do aumento em regime permanente. Utilizando os limites impostos

pela norma do ANSI/IEEE (“ American National Standards Institute / The Institute of

Electrical and Electronics Engineers”), que restringe a SAR em 1 g de tecido a 1.6 W/kg, um

aumento máximo de temperatura no cérebro de 0.06

C foi obtido; usando a norma do

ICNIRP, que limita a SAR em 10 g de tecido contíguo em 2 W/kg, o aumento máximo de

temperatura no cérebro foi de 0.11 ºC.

Rowley (ROWLEY, 1999) usa o método FDTD para comparar a SAR num modelo

realístico de cabeça de adulto na presença de antena do tipo quarto de onda sobre caixa

metálica e com antenas tipo “patch” ajustadas em uma caixa metálica. As antenas “patch”

reduziram o valor da SAR em 1 g de tecido na cabeça em 70% em relação à antena

monopolo.

Bernardi (BERNARDI, 2000) usa o método FDTD para calcular a SAR e aumento de

temperatura, em modelo de cabeça de adulto exposto a diversos tipos de telefones celulares. A

temperatura foi calculada usando um modelo linear da equação de aquecimento biológico. Os

resultados obtidos mostram, para potência irradiada de 600 mW, uma SAR máxima, em 1g de

tecido, de 2.2 a 3.7 W/kg, dependendo do telefone considerado. A temperatura máxima é

calculada na orelha e varia de 0.22 ºC a 0.43 ºC, enquanto o aumento máximo de temperatura

no cérebro varia de 0.08 ºC a 0.019 ºC.

Nikita (NIKITA, 2000) realiza uma série de experimentos numéricos usando FDTD,

modelando representações canônicas da interação entre a cabeça humana e telefones

celulares, de forma a investigar efeitos de detalhes específicos das simulações. É mostrado

que diferenças significantes nos resultados computados podem ocorrer mesmo entre grupos

que usem métodos bastante similares. Na avaliação da SAR em 10 g de tecido a incerteza

relacionada pode ser da ordem de 30%, enquanto que a incerteza na SAR calculada em uma

célula pode ser da ordem de 40% a 60%, mesmo para problemas canônicos bem definidos.

Mason (MASON, 2000) demonstra o efeito de manipular a freqüência, a

permissividade e o tamanho das células nos valores calculados de SAR usando o método

FDTD. Foram usados modelos realísticos de homens e ratos, além de modelos esféricos

homogêneos. A SAR total no rato exposto a uma onda plana em 500 MHz, diminuiu de 0.95

para 0.63 W/kg/mW/cm2 quando todos os valores de permissividade foram multiplicados por

0.5 e aumentou para 1.3 W/kg/mW/cm2 quando os valores de permissividade foram

multiplicados por dois. A máxima absorção de energia no cérebro humano ocorreu entre 600

e 800 MHz, quando o campo se propagava na direção do ventre para o dorso. Alguns

resultados foram comparados com dados empíricos, em ratos, baseados em termografia em

infravermelho e em amostras térmicas implantadas. Os resultados simulados estão dentro do

erro experimental.

Gajsek (GAJSEK, 2001) analisa o efeito de variar os valores de permissividade. Para

isso irradia um modelo realístico humano de corpo inteiro com uma onda plana em diversas

orientações de propagação e freqüência. Os valores de permissividade são variados,

multiplicando os valores originais por 0.5 ou por 2. As mudanças nos valores de

permissividade não influenciam substancialmente os valores de SAR média em todo o corpo.

A mudança na permissividade teve maior efeito em valores de SAR localizada, quando estes

foram pequenos comparados com o valor de SAR média em todo o corpo. No pior caso

observado, multiplicando os valores de permissividade do músculo por 2, obteve-se um

aumento de SAR de 2 vezes, em quase 50% dos tecidos, em relação aos valores obtidos com

parâmetros originais; em 20% dos tecidos, o aumento da SAR foi maior que 3 vezes.

Hirata (HIRATA, 2003a) investigou o aumento de temperatura devido à exposição a

ondas eletromagnéticas de uma antena tipo dipolo na faixa de freqüência de 900 MHz a

2.45GHz. A SAR é inicialmente calculada em modelo de cabeça usando o método FDTD. A

temperatura é então calculada substituindo a SAR na equação de aquecimento biológico

linear. Os aumentos máximos de temperatura na cabeça e no cérebro são determinados através

de extrapolação linear da SAR média máxima nessas regiões. É calculado que a SAR média

em 1 g de tecido máxima na cabeça deveria ser aproximadamente 65 W/kg para atingir um

aumento máximo de temperatura de 10 ºC. E a SAR média em 10 g de tecido máxima na

cabeça deveria ser aproximadamente 40W/kg, o que implica num fator de 20 comparado com

a norma do ICNIRP.

Wang (WANG, 2003) baseado em dados estatísticos de crianças japonesas desenvolve

dois novos modelos de cabeça de criança a partir de um modelo de cabeça de um adulto

japonês. O método FDTD é utilizado para cálculo de SAR nesses modelos. Os valores de pico

de SAR são calculados usando os mesmo procedimentos usados em (GANDHI, 1996b) e

(SCHÖNBORN, 1998). É sugerido que as diferenças apresentadas em (GANDHI, 1996b) e

(SCHÖNBORN, 1998) devem-se a diferenças nas condições de cálculo numérico da SAR de

pico.

Hirata (HIRATA, 2003b) correlaciona o aumento máximo de temperatura na cabeça e

no cérebro com a SAR de pico devido a antenas próximas à cabeça. A temperatura é

calculada usando um modelo linear da equação de aquecimento biológico. Foi encontrado que

o aumento máximo de temperatura na cabeça e no cérebro pode ser estimado em termos do

valor de pico da SAR média em 1 g e 10 g de tecido nessas regiões. É analisado o aumento

máximo de temperatura para valores de SAR prescritos em normas de segurança. Os valores

de aumento máximo de temperatura encontrado foram 0.31 ºC na cabeça e 0.13 ºC para o

cérebro, usando os limites previstos na norma do ANSI/IEEE. Para os níveis da norma do

ICNIRP, calculou-se o máximo aumento de temperatura como sendo 0.60 ºC na cabeça e

0.25 ºC no cérebro

Fujimoto (FUJIMOTO, 2003) usa o mesmo procedimento usado em (HIRATA,

2003b) para correlacionar os valores de pico de SAR média com o aumento máximo de

temperatura na cabeça e no cérebro de adultos e crianças. O modelo de criança é criado

usando diferentes fatores de escala para regiões distintas no modelo de cabeça do adulto. Não

foram encontradas diferenças significativas nas correlações entre os valores de pico de SAR

média e a temperatura calculada no adulto e na criança.

Anderson (ANDERSON. 2003) usou esferas com diferentes raios como modelos

aproximados de cabeça de adulto e crianças de 4, 8, 12 e 16 anos de idade. A análise mostrou

que comparado com um adulto médio, a SAR em 10 g de tecido de crianças de 4, 8, 12 e 16

anos aumentou por fatores de 1.31, 1.23, 1.15 e 1.07, respectivamente.

Martinez-Burdalo (MARTÍNEZ-BÚRDALO, 2004), usando um modelo de cabeça de

criança criado a partir de uma mudança de escala em um modelo de cabeça de adulto,

comparou valores de pico de SAR média em 1 g e 10 g de tecido. Os modelos foram

irradiados usando antenas do tipo dipolo de meia onda em 900 MHz e 180 0MHz. Resultados

mostraram que a SAR média máxima na cabeça em 1 g e 10 g de tecido tendem a decair com

a diminuição do tamanho da cabeça. No entanto com a redução do tamanho da cabeça os

valores de SAR média em 1 g e 10 g de tecido no cérebro tendem a aumentar..

Bit-Babik (BIT-BABIK, 2005) usa o método FDTD para computar valores de SAR

médios em dois modelos anatomicamente corretos de adulto e criança. O algoritmo de cálculo

de SAR média é implementado usando o algoritmo descrito pelas normas do ANSI (Std.

C95.3-2002). O modelo da cabeça de criança foi obtido usando uma escala linear do modelo

de cabeça de adulto para reproduzir as condições de outros estudos da literatura. Outros

modelos também foram criados, transformando os modelos de adulto usando escalas distintas

em regiões diferentes da cabeça. As propriedades dos tecidos foram mantidas iguais nos

modelos de cabeça de adulto e criança. Os resultados mostram que a SAR média em 1 g e 10

g de tecido são semelhantes em todos os modelos de cabeça utilizados quando submetidos às

mesmas condições. As discrepâncias entre diferentes resultados apresentados na literatura são

atribuídas a inconsistências que existem quando diferentes técnicas de pós processamento são

usadas para computar valores médios de SAR em cabeças expostas a campos

eletromagnéticos de telefones móveis.

Hadjen (HADJEM, 2005) estima a SAR em dois modelos de cabeças de adultos e dois

modelos de cabeça de criança, uma criada a partir de redução simples de escala e o outro

usando escalas diferentes em regiões distintas da cabeça. Foi simulado um celular com banda

dupla. Não são observadas diferenças significativas entre os resultados obtidos com os dois

modelos de adulto, da mesma forma entre os modelos de criança. Um pequeno aumento foi

observado entre os valores calculados de SAR média em 10 g de tecido nos modelos de

criança, relativos aos calculados nos modelos de adulto.

Fujimoto (FUJIMOTO, 2006) usa os mesmos modelos de cabeça de adulto e criança

desenvolvidos em (WANG, 2003). Os valores das propriedades térmicas e eletromagnéticas

são ajustados para os modelos de criança, correlacionando as propriedades com o conteúdo

total de água dos tecidos. Desta forma, variações menores que 4% nos valores das

propriedades são consideradas. É encontrado que o aumento máximo de temperatura no

cérebro pode ser estimado em termos dos valores de pico de SAR média em 1 g e 10 g de

tecido. Não foram encontradas diferenças significativas entre adultos e crianças nas

correlações entre os valores médios de SAR e a temperatura máxima. Além disso, o efeito da

variação dos valores das propriedades eletromagnéticas e térmicas mostrou ser insignificante.

Wang (WANG, 2006) usa os mesmos ajustes dos parâmetros eletromagnéticos para

crianças feitos em (FUJIMOTO, 2006). Encontrou-se que mesmo em casos extremos a

variação de parâmetros não afeta valores de pico de SAR em mais de 10%.

Beard (BEARD, 2006) comparada a SAR determinada computacionalmente no

modelo antropomórfico especifico (“Specific Anthropomorphic Mannequin” - SAM) e

modelos anatomicamente corretos de cabeça expostos a campos eletromagnétcios telefones

móveis. O método FDTD foi usado para cálculo de SAR. Os resultados mostram que quando

a SAR na parte externa da orelha é calculada separadamente da SAR na cabeça, o SAM

produz um valor de SAR maior na cabeça do que na cabeça do modelo anatomicamente

correto. Além disso, modelos de cabeça maiores produziram um maior valor de pico de SAR

média em 1 g e 10 g de tecido do que a SAR em cabeças menores, para todas as condições de

freqüência e posição.

Gandhi (GANDHI, 2006) calcula o aumento de temperatura usando valores de pico de

SAR média na parte externa da orelha aceitos pelas novas normas relaxadas do ANSI. Os

valores de aumento de temperatura computados são 2.5 vezes maiores do que o aumento de

temperatura calculada usando os valores de SAR permitidos pelas normas do ICNIRP e 7.5

vezes maior do que o aumento de temperatura calculado usando os valores de SAR permitidos

pela a antiga norma do ANSI.

3. O MÉTODO FDTD

Em 1966, Yee propôs uma técnica para resolver as equações rotacionais de Maxwell

usando método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) [Yee, 1966]. O método de

Yee tem sido usado para resolver diversos problemas de espalhamento, cálculo de parâmetros

em circuitos de microondas e absorção eletromagnética em tecidos para freqüências de

microondas, dentre outros.

Inicialmente houve pouco interesse no método FDTD. Provavelmente devido à falta

de recursos computacionais. No entanto, com o surgimento de computadores mais baratos e

poderosos, além de avanços no próprio método, a técnica FDTD tornou-se popular para a

solução de problemas eletromagnéticos.

O método é baseado na amostragem do campo elétrico e magnético de forma que cada

componente do campo elétrico é cercada por quatro componentes do campo magnético e cada

componente do campo magnético é cercada por quatro componentes do campo elétrico. Desta

forma, as derivadas espaciais nas equações rotacionais de Maxwell são substituídas por

derivadas centrais, tendo estas, precisão de segunda ordem.

O método também calcula o campo elétrico e o campo magnético no domínio do

tempo, em arranjo conhecido como “pulo do sapo” (“leap frog”). Todos os cálculos do campo

elétrico em dado instante são realizados usando valores do campo magnético previamente

armazenado na memória. Na seqüência, os cálculos para o campo magnético em todo o

domínio são realizados usando os valores do campo elétrico recém armazenados. O ciclo pode

recomeçar, calculando novamente o campo elétrico, usando a informação do campo

magnético recém computado. Os passos no tempo continuam até que se obtenha a informação

desejada. Esta formulação é completamente explicita, evitando assim problemas com

equações simultâneas e inversões de matrizes. As equações de diferenças finitas para as

derivadas no tempo são de natureza central e precisas em segunda ordem.

Um problema a ser considerado no método FDTD é que muitas situações de interesse

são definidas em regiões abertas, ou seja, a região onde os campos devem ser calculados é

ilimitada. Como não há a possibilidade de armazenar uma quantidade ilimitada de dados, o

domínio, onde os campos devem ser calculados, precisa ser limitado. Assim, o domínio deve

envolver a estrutura de interesse e uma condição de contorno adequada deve ser usada para

simular o espaço livre. Atualmente, a borda mais usada para simular o espaço aberto é a PML

(camadas perfeitamente casadas) (TAFLOVE, 1995; TAFLOVE 1998)

3.1. E

QUAÇÕES DE MAXWELL

Para a implementação do método FDTD faz-se necessária uma breve explanação sobre

as equações de Maxwell. Considera-se uma região do espaço que não tenha fontes de

correntes elétrica ou magnética, mas que possa ter materiais que absorvam energia dos

campos elétricos ou magnéticos. As equações de Maxwell, na forma diferencial, obtidas a

partir de leis clássicas do eletromagnetismo são as seguintes:

a .) Lei de Faraday:

−×−∇=

∂

(3)

b .) Lei de Ampère:

−×∇=

∂

(4)

c.) Lei de Gauss para o campo elétrico:

0=⋅∇ D

(5)

d.) Lei de Gauss para o campo magnético:

0=⋅∇ B

(6)

onde, usando o sistema de unidades MKS,

- vetor campo elétrico (V/m)

- vetor densidade de fluxo elétrico (C/m

)

- vetor campo magnético (A/m)

- vetor densidade de fluxo magnético (Wb/m

)

- vetor densidade de corrente elétrica (A/m

)

- vetor densidade de corrente magnética equivalente (V/m

)

Em materiais lineares, isotrópicos e não dispersivos,

são relacionados

mediante as relações constitutivas,

= (7)

= (8)

onde

é a permeabilidade magnética, em Henry por metro e

é a permissividade elétrica,

em Farad por metro. Havendo a possibilidade de perdas elétricas e magnéticas que possam

dissipar campos eletromagnéticos em materiais, através de conversão de energia sob forma de

calor, é definida uma corrente magnética equivalente para considerar mecanismos de perdas

magnéticas:

′

(9)

e uma corrente elétrica equivalente para considerar mecanismos de perdas elétricas:

= (10)

onde

′

é uma resistividade magnética equivalente em Ohm por metro e

é a condutividade

elétrica em Siemen por metro. Usando as relações (7) a (10) nas equações rotacionais de

Maxwell:

′

−×∇−=

∂

∂ 1

(11)

−×∇=

∂

(12)

Ou escrevendo estas equações na forma escalar:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

∂

−

∂

(13)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

∂

−

∂

(14)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

∂

−

∂

(15)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

−

∂

(16)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

−

∂

(17)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

−

∂

(18)

O conjunto de equações diferenciais acopladas (13) a (18) é a base para o algoritmo

FDTD em três dimensões, não sendo necessário explicitar as leis de Gauss. As leis de Gauss

(5,6) estão implícitas no posicionamento dos campos elétricos e magnéticos na grade FDTD e

na derivação espacial numérica sobre as componentes dos campos que modelam a ação do

operador divergente.

3.2. ALGORITMO DE YEE

O método proposto por Yee para implementar numericamente as equações de

Maxwell na forma diferencial e no domínio do tempo possibilitou a resolução de diversos

problemas, além de uma fácil compreensão física do que ocorre na propagação de ondas

eletromagnéticas.

Yee posicionou o campo elétrico e magnético de forma que sempre houvesse em um

dado plano quatro componentes de um dos campos (elétrico ou magnético) circulando ao

redor de uma componente perpendicular do outro campo (magnético ou elétrico). Isto impõe a

natureza solenoidal do campo eletromagnético imposta pelas equações de Gauss, em regiões

onde não há acúmulo de carga (TAFLOVE, 1995). Para que isso fosse possível em um espaço

tridimensional, Yee utilizou-se de um cubo (grade retangular). Posicionando as componentes

do campo elétrico na metade das arestas do cubo e as do campo magnético no centro das faces

do mesmo cubo, Yee estabeleceu o que mais tarde receberia o nome de célula de Yee, que é

apresentada na Figura 2.

Figura 2 – Célula de Yee - posicionamento das componentes dos campos elétrico e magnético.

Uma malha formada por células de Yee permite posicionar o campo elétrico defasado

no espaço e no tempo, em relação ao campo magnético, obtendo-se assim equações que, a

partir de campos previamente conhecidos, permitem o cálculo dos campos no instante

posterior.

Um ponto no espaço, em uma rede retangular e uniforme, é denotado por

(

)

(

)

zkyjxikji

,,,, (19)

onde

y e

z são, respectivamente, os incrementos de espaço nas direções x, y, z, e i, j e

k são inteiros. Além disso, qualquer função u do espaço e do tempo, avaliada num ponto

discreto da malha e em um instante discreto de tempo, é representada por

(

)

kji

utnzkyjxiu

,,, =ΔΔΔΔ (20)

onde

t é o incremento temporal, assumido uniforme sobre o intervalo de observação, e n é

um inteiro.

Yee usou expressões de diferenças centrais para aproximar as derivadas espaciais e

temporais nas equações rotacionais de Maxwell. Desta forma a derivada parcial de uma

função u, na direção x e avaliada no instante

(

)

, é aproximada por diferenças centrais

segundo a expressão

() ()

[

]

,,2/1,,2/1

,,, xO

tnzkyjxi

kji

Δ+

−

=ΔΔΔΔ

∂

−+

(21)

A expressão da derivada parcial da função u em relação ao tempo, avaliada no ponto

()

zkyjxi ΔΔΔ ,,

, é

() ()

[

]

2/1

,,, tO

tnzkyjxi

kji

Δ+

−

=ΔΔΔΔ

∂

−+

(22)

Ambas as expressões de diferenças centrais (21) e (22) são precisas em segunda

ordem.

Substituindo na equação (13) equações de derivadas centrais análogas a (21) e (22),

obtém-se

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

−+

kji

xkji

kji

,2/1,

2/1,,2/1,,

2/1

(23)

Nesta expressão, todas as quantidades do lado direito da igualdade são avaliadas na

iteração n. No entanto, a componente

não está armazenada na memória na iteração n.

Desta forma é necessário estimar este termo. Um método comum para se estimar este termo é

a chamada aproximação semi-implícita, em que

2/1

−+

kji

H (24)

Ou seja, a componente

H no instante n é estimada como sendo a média aritmética da

componente

H no instante n-1/2 e no instante n+1/2, sendo este último um valor ainda não

computado.

Substituindo a expressão (24) na equação (23) e isolando o termo

2/1

kji

H obtém-se

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

−+

kji

,2/1,,2/1,

2/1,,2/1,,

2/1

(25)

De forma similar, determinam-se as equações de diferenças finitas baseadas no

algoritmo de Yee para as demais componentes dos campos elétrico e magnético. Isto resulta

num conjunto de equações similares à equação (25)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

−+

kji

2/1,,2/1,,

,,2/1,,2/1

2/1

(26)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

−+

kji

,2/1,

2/1,,2/1,,

2/1

(27)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−+

kji

,2/1,,2/1,

2/1,,2/1,,

2/1

(28)

3.3. DISPERSÃO E ESTABILIDADE NUMÉRICA

O algoritmo FDTD causa erros de dispersão das ondas propagantes na rede formada

com as células de Yee. Dispersão é definida como a variação de velocidade de fase das

componentes espectrais de uma onda durante a sua propagação ou, por conveniência, a

variação da constante de propagação k (número de onda) com a freqüência angular ω. Ondas

possuindo velocidade de fase constante são ditas sem dispersão e mantêm seu perfil (envelope

ou formato do pulso) independentemente da distância percorrida. E estes erros de dispersão,

causados pelo algoritmo FDTD, podem variar com o comprimento de onda, com a direção de

propagação e com a discretização da malha.

Assim, a escolha de

3.4. CONDIÇÃO DE CONTORNO ABSORVEDORA

Um dos grandes desafios do método FDTD tem sido a solução precisa e eficiente de

problemas eletromagnéticos em espaço aberto. Em tais problemas, uma condição de contorno

absorvedora (ABC) deve ser utilizada na camada externa à rede para simular a extensão da

rede ao infinito. Para isto, várias técnicas já foram desenvolvidas (TAFLOVE, 1995).

Uma forma de implementar uma ABC é inserindo algumas camadas de material

absorvedor no exterior do domínio. Isto é análogo ao tratamento físico das paredes de uma

câmara anecóica. Idealmente, o meio absorvedor deve ter apenas algumas células de

espessura; independente da freqüência, ângulo de incidência e polarização, não deve

apresentar reflexões; e deve ser altamente absorvedor e eficiente também no campo próximo

de uma fonte ou de um objeto espalhador.

BERENGUER (1994) desenvolveu uma técnica que simula de forma eficiente um

material absorvedor altamente eficiente, designado como camadas perfeitamente casadas ou

PML (“Perfectly Matched Layer”). A inovação apresentada pela PML é que ondas planas em

um domínio computacional com qualquer ângulo de incidência, qualquer polarização e

freqüência, estão casadas.

Para isto, Berenguer estabeleceu uma formulação das equações de Maxwell usando

separação de campos. Assim, cada componente de cada campo eletromagnético é separado

em duas componentes ortogonais. Cada uma das doze componentes ortogonais é expressa

satisfazendo um conjunto acoplado de equações hiperbólicas. Pela escolha de parâmetros de

perdas consistentes com um meio sem dispersão, uma interface plana perfeitamente casada é

então desenvolvida (TAFLOVE, 1998).

A PML por separação de campos introduzida por Berenguer é um meio hipotético

baseado num modelo matemático. Tal formulação não representa um meio fisicamente

realizável. Devido às dependências das coordenadas dos termos de perdas, se tal meio existe,

ele deve ser anisotrópico.

De fato, um meio anisotrópico perfeitamente casado existe (TAFLOVE, 1998). Para

cada interface, o meio anisotrópico é uniaxial e é composto de tensores de permissividade

elétrica e permeabilidade magnética. Devido a isto, este meio é conhecido como meio

uniaxial perfeitamente casado (“Uniaxial Perfectly Matched Layers”, UPML). Com esta

formulação, evita-se a separação de campos usada na PML de Berenguer.

Nas seções seguintes serão abordadas a formulação da UPML e sua implementação.

3.4.1. Meio Uniaxial Perfeitamente Casado

Considera-se uma onda plana harmônica e com polarização arbitrária,

yjxj

inc

eHH

ββ

−−

, que se propaga inicialmente em um meio isotrópico até atingir um meio

uniaxial isotrópico semi-infinito. A interface entre os dois meios está no plano x=0. Os

campos dentro do meio uniaxial também formam ondas planas e satisfazem as equações de

Maxwell. Para uma onda plana, num meio uniaxial, as equações de Maxwell podem ser

expressas por

μωβ

=× , EH

εωβ

−=× (32)

onde

βββ

)

e a permissividade e a permeabilidade são os tensores uniaxiais

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

εε

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

μμ

(33)

sendo

zzyy

(devido a simetria a rotação em relação ao eixo x). A equação de

onda é então desenvolvida a partir das equações rotacionais acopladas:

(

)

=+××

−

μωβεβ

(34)

Expressando o produto vetorial como um produto entre matrizes, a equação de onda é

expressa mais convenientemente como

()

() ()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

−

−−

abdk

bdkb

bbck

ββ

βββ

(35)

em que

εμω

. A relação de dispersão para o meio uniaxial é obtida a partir do

determinante da matriz operadora. Assim os modos TE

e TM

satisfazem as seguintes

relações de dispersão

(

)

(

)

=−−

−−−−

dadbk

ββ

, para modos TE

(36)

(

)

(

)

=−−

−−−−

cadbk

ββ

, para modos TM

O coeficiente de reflexão na interface entre os dois meios pode agora ser calculado.

Assume-se uma onda incidente TEz. Então, na região isotrópica, os campos são expressos

como uma superposição dos campos incidente e refletido, isto é

(

)

yjxj

eeHzH

ββ

−−

Γ+=

(37)

()

(

)

yjxj

eHeyexE

ββ

ωε

−−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

A onda transmitida para o meio anisotrópico é expressa por

yjxj

eHzH

ββ

−−

(38)

yjxj

ββ

ωε

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−=

)

em que

são o coeficiente de reflexão e transmissão, respectivamente, e são

calculados admitindo a continuidade do campo tangencial na interface, isto é

−

=Γ

ββ

−

=Γ+=

ββ

(39)

ββ

, devido à continuidade da fase. Observando (39), se

ββ

(40)

então

0=Γ

para todos os ângulos de incidência. De(36), para uma onda TE

(

)

babdk

2 −

−=

ββ

(41)

Então, se

d=b e a

-1

=b, tem-se

(

)

(

)

bkbbbk

ββββ

≡−=−=

(42)

Consequentemente,

0=Γ

para todos

O procedimento acima pode ser repetido para o modo TMz. O coeficiente de reflexão

para este modo é o dual de (39) e é calculado substituindo b por d, e a por c. Para este caso, a

condição de não reflexão se verificará se

b=d e c

-1

=d.

Em resumo, dada uma onda plana incidente em um meio semi-infinito, com a interface

plana em x=constante, e composto por um material uniaxial com os tensores de

permissividade e permeabilidade:

= , s

, onde

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(43)

então a onda plana é completamente transmitida pra o meio uniaxial. Esta propriedade de não

reflexão é completamente independente do ângulo de incidência, polarização e freqüência da

onda incidente. Além disto, de (36),as características de propagação dos modos TE e TM são

idênticas.

De forma similar à PML de Berenguer, a propriedade de não reflexão da UPML é

válida para qualquer s

. Por exemplo, escolhendo

ωε

, de (40) tem-se

(

)

βωεσβ

/1+=

(44)

É interessante notar que a parte real de

é idêntica à da onda incidente, fazendo

com que as velocidades de fase sejam idênticas. Além disto, nota-se que a onda é atenuada ao

longo da direção x.

Finalmente, dada uma onda TEz, a intensidade dos campos no meio uniaxial é dada

por

yjxjyjxjs

eeHzeHzH

θεησ

ββββ

cos

002

ˆˆ

−

−−−−

(45)

()

yjxj

eeHysxE

θεησ

ββ

θηθ

cos

012

cossin

−

−−

+−=

)

onde

é o ângulo de incidência relativo ao eixo x. Então, ao longo do eixo normal, a onda

se propaga com a mesma velocidade de fase da onda incidente, sendo simultaneamente

atenuada. O fator de atenuação é independente da freqüência, no entanto depende do ângulo

de incidência e da condutividade do meio.

3.4.2. Interface UPML-UPML

Cada limite plano da rede do algoritmo FDTD pode ser terminado em um meio

UPML. No entanto, há regiões nos cantos do domínio onde os meios UPML se superpõem.

Da mesma forma que na PML de Berenguer, os parâmetros constitutivos das regiões de canto

são determinados pelo casamento de ondas planas propagantes em meio UPML, caracterizado

por (43) para um meio tendo sua normal na direção x ou y.

A análise deste caso é bastante similar à mostrada na seção 2.4.1. Assume-se que o

novo meio UPML tenha sua normal ao longo do eixo y. Para a condição de casamento,

devem ser contínuos através da interface e os tensores elétrico e magnético devem ser

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

με

(46)

Repetindo isto para um meio com a normal ao longo do eixo z, o tensor geral é

determinado por

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

με

(47)

Em geral, as equações rotacionais de Maxwell são escritas como

HsjE

ωμ

−=×∇

EsjH

ωε

=×∇

(48)

Assim, é possível definir o domínio do algoritmo FDTD como sendo UPML em todas

as regiões. Usando

iguais a zero, as equações de Maxwell na forma (47) reduzem-

se ao caso isotrópico original. De forma similar, escolhendo

iguais a zero e

diferente de zero,

reduz-se a (43). Assim, (47) é um tensor geral que é definido por todo o

domínio do algoritmo FDTD e trata explicitamente tanto do interior do domínio quanto das

regiões de canto.

Pelas definições dos tensores elétrico e magnético como em (47), estes tensores não

são mais uniaxiais. No entanto, a PML anisotrópica é ainda referida como sendo uniaxial,

pois os tensores são uniaxiais nas regiões que não se superpõem.

3.4.3. Estabelecimento das Expressões de Diferenças Finitas

Começando com as equações (47) e (48) da UPML, a lei da Ampère é expressa como

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

−

∂

−

∂

−

∂

εωε

(49)

onde se supõe que

ωε

xxx

ωε

yyy

ωε

zzz

(50)

Inserindo (50) em (49) e transformando para o domínio do tempo obtém-se a

convolução entre o tensor de coeficientes e o campo elétrico. Implementar esta convolução

diretamente dentro do FDTD seria computacionalmente intenso. Uma forma mais eficiente é

definir relações constitutivas adequadas para desacoplar os termos dependentes da freqüência.

Especificamente, tem-se

εε

(51)

εε

(52)

εε

(53)

Então, (49) é reescrita como

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

−

∂

−

∂

−

∂

(54)

Transformando para o domínio do tempo e usando a

identidade

()( )

(

)

trftrfj ,/, ∂∂→

tem-se

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

−

∂

−

∂

−

∂

(55)

Usando aproximações por diferenças centrais para as derivadas temporais e espaciais,

e utilizando médias temporais para os termos de perdas, expressões usuais do método FDTD

são derivadas de (55).

Começando com (51), multiplicam-se ambos os lados por

. Então, a partir de (50),

tem-se

()

(

)

xzzrxxx

EjDj

000

ωε

(56)

multiplicando ambos os lados por

e transformando para o domínio do tempo tem-

() ()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

xzxx

κεε

(57)

Da mesma forma, para (50) e (51)

() ()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

yxxy

κεε

(58)

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

zyxz

κεε

(59)

A solução através do algoritmo FDTD para os campos na PML é realizada em dois

passos, baseados em (55) ou (57) à (59). As derivadas são novamente substituídas por

derivadas centrais análogas às usadas no algoritmo de Yee e a posição espacial e temporal dos

campos são as mesmas do algoritmo de Yee. Isto leva à equação explícita para atualização

dos campos, ilustrada aqui para a primeira linha de (55),

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−+++

−

kji

,2/1,2/1,2/1,2/1

2/1,,2/12/1,,2/1

2/1

,,2/1

2/1

,,2/1

σκ

(60)

Expressões similares podem ser derivadas para Dy e Dz.

Conhecido

2/1+n

, então

2/1+n

pode ser calculado a partir de (57). Usando

diferenças centrais no espaço e no tempo

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+×

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

2/1

,,2/1

2/1

,,2/1

2/1

,,2/1

2/1

,,2/1

kji

εε

σκ

VS

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

kji

2/1

2/1,,

2/1

2/1,1,

2/1

,2/1,

2/1

1,2/1,

2/1

2/1,2/1,

σκ

(62)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

kji

2/1,2/1,

μμ

σκ

(63)

Uma forma simples de implementar a PML é usar as equações para UPML obtidas

nesta seção, em todo o domínio. No entanto, assim seria necessário armazenar quatro

A antena foi projetada para um substrato de espessura 1.28 mm, permissividade

relativa ε

= 2.2 e para ter a primeira ressonância em 1800 MHz, a largura do “patch” foi

escolhida como 3 cm. A partir destes dados, pode-se calcular o comprimento e o ponto de

alimentação de 50 ohms da antena. Os valores computados são, respectivamente, L=56.3 mm

e Yo=24.3 mm.

A antena é simulada usando o procedimento descrito em (ZWEKI, 2001). A antena foi

orientada no domínio de forma que o comprimento da antena fosse paralelo ao eixo x e a

largura paralela ao eixo y. As discretizações espaciais usadas foram as seguintes: Δx=0.563

mm, Δy=1mm, Δz=0.32mm.A freqüência de ressonância calculada usando o método FDTD

foi de 1777 MHz. Obtendo-se, assim, um erro menor que 2%.

Para avaliação da variação do erro do algoritmo com a discretização usada escolheu-se

simular também o caso de uma onda plana incidente em uma esfera, já que este caso possui

solução analítica conhecida (STRATTON, 1941).

A esfera simulada tem 2.5 cm de raio, ε

=10, σ=0.5 S/m. A onda plana é simulada

como um sinal senoidal com freqüência 1800 MHz e amplitude do campo elétrico 1 V/m. As

discretizações espaciais são as mesmas para cada direção e assumiram valores de λ/5, λ/10,

λ/20 e λ/30.

Os erros máximos calculados a partir do módulo do campo elétrico no interior da

esfera foram menor que 1%, menor que 2%, da ordem de 4% e da ordem 15% para os casos

λ/30, λ/20, λ/10, λ/5, respectivamente.

3.6. RECURSOS UTILIZADOS

Todas as simulações neste trabalho foram realizadas utilizando o supercomputador

CRAY T94 (CESUP, 2005,), com 5,2 GFLOP CPU, 2 GB RAM e unidade de disco de 9.5

GB SCSI. Os algoritmos foram implementados em C++, pois esta é uma das linguagens de

programação com compilador disponível no supercomputador.

4. CÁLCULO DA TAXA DE ABSORÇÃO ESPECÍFICA

Devido à elevada não uniformidade da distribuição de SAR causada por telefones

celulares dentro da cabeça humana, a SAR de pico é um parâmetro importante na

investigação dos possíveis riscos causados por esses equipamentos. Como a SAR induzida na

cabeça é dependente de diversos parâmetros, os quais podem ser diferentes em adultos e

crianças, esses devem ser cuidadosamente analisados. Entre os parâmetros mais importantes

que devem ser considerados, encontram-se:

Formato da cabeça e distribuição dos tecidos dentro da cabeça

Tamanho da cabeça

Posição da cabeça em relação ao aparelho celular

Tipo de antena do celular

Potência de alimentação da antena

Características eletromagnéticas

Esses parâmetros serão discutidos detalhadamente nas seções seguintes.

4.1. FORMATO DA CABEÇA E DISTRIBUIÇÃO DOS TECIDOS DENTRO DA CABEÇA

Embora algumas normas e procedimentos recomendem o uso de modelos com

morfologias padrão ou médias (CENELEC, 2000) que poderiam ser usados nessas

simulações, foram desenvolvidos modelos próprios de cabeças humanas de adulto e de

criança, com resolução suficientemente fina para produzir um modelo detalhado. Para o

modelo do adulto, uma base de dados médicos com imagens bidimensionais de Raios-X, em

cortes sagitais, serve de ponto de partida para determinar o modelo. Dados esses obtidos

através do “Visible Human Project” (VISIBLE..., 2003). Para o modelo da criança, uma base

de dados de imagens de tomografia computadorizada de uma criança de 10 (dez) anos, em

cortes coronais, foi usada. Dados fornecidos pelo laboratório de imagens médicas RADICON.

Algumas destas imagens são mostradas nas Figuras 3 e 4.

A partir dessas imagens foram identificados e separados manualmente os tecidos que

compõem o corte. Usa-se para cada material uma cor. Geram-se assim cortes idealizados, em

que a qualquer ponto da imagem está associado um material. Algumas imagens processadas

do adulto e da criança são apresentadas nas Figuras 5 e 6.

Figura 3 - Imagens sagitais da cabeça de um adulto adquiridas com Raios-X.

Figura 4 - Imagens coronais da cabeça de uma criança adquiridas com Tomografia

Computadorizada.

Figura 5 Imagens em corte sagital da cabeça de um adulto, após segmentação dos tecidos.

Figura 6 Imagens em corte coronal da cabeça de uma criança, após segmentação dos tecidos.

O modelo do adulto é formado de 176 cortes sagitais. Cada um destes cortes tem uma

resolução de 341x264 pixels. O modelo da criança é formado por 113 cortes coronais, os

quais podem ser mostrados em imagens com resolução de 460x460 pixels. Pode-se, assim,

formar modelos volumétricos realistas das duas cabeças, apenas justapondo os dados das

imagens processadas em uma mesma matriz tridimensional. Estes modelos podem ser

visualizados de forma tridimensional em diversos cortes. Alguns destes cortes são

apresentados na Figura 7.

Com estes modelos são consideradas de forma adequada as diferenças de distribuição

dos tecidos e da forma da cabeça de crianças e adultos.

(a) (b)

(e) (f)

Figura 7 -Visualização tridimensional de diversos cortes dos modelos. (a) Cérebro, medula e

esclera da criança (b) Modelo da criança retirado um quarto de cima da cabeça (c)

Modelo do adulto retirado um quadrante da cabeça (d) Modelo da criança retirado

um quadrante da cabeça (e) Osso do adulto (f) Osso da criança.

4.2. TAMANHO DA CABEÇA

As discretizações do domínio devem ser escolhidas de forma a representar o tamanho

do modelo de forma realista. Escolhe-se a direção x, passando pela linha transversa ao plano

sagital, a direção z na altura dos modelos, e a direção y ortogonal às outras duas. Têm-se suas

respectivas discretizações Δx, Δz e Δy. Da forma que foram adquiridos os dados, no modelo

do adulto tem-se Δz=Δy; no modelo da criança, Δx=Δy. Assim são necessários apenas duas

dimensões de cada cabeça para se calcular os valores das discretizações. Estes dados podem

ser, por exemplo, os encontrados em (PRADER, 1988) (eg. perímetro cranial). Desta forma

obtém-se as discretizações para os dois modelos e verifica-se que, por exemplo, o perímetro

cranial é semelhante ao de dados estatísticos. As discretizações e o perímetro cranial para

cada modelo são mostrados na Tabela 1.

Tabela 1 - Discretização e perímetro cranial dos modelos de cabeça

Modelo Adulto Criança

Δx(mm)

0,910 0,4730

Δy(mm)

0,9605 0,4730

Δz(mm)

0,9605 2,0442

Perímetro cranial (mm) 563.5 523.9

4.3. POSIÇÃO DA CABEÇA EM RELAÇÃO AO APARELHO CELULAR

O aparelho celular deve estar numa posição próxima à posição normal de uso. Isto é o

aparelho deve ter seu comprimento na direção orelha-boca. Para

Figura 8 – Modelo de cabeça orientada com a direção boca orelha paralela ao eixo z.

Por questões de memória, se optou por reduzir a resolução dos modelos. O modelo da

criança foi reduzido em 4 vezes na direção y e 2 vezes na direção x. O modelo do adulto foi

reduzido duas vezes nas direções z e y. Isto, antes de os modelos serem girados.

Uma alteração que deve ser considerada é que no referencial, após a rotação, as

discretizações não são as mesmas do modelo original. As novas discretizações usadas são as

apresentadas na Tabela 2.

Na Figura 9 é mostrada, na nova posição, um corte para cada modelo de cabeça. Por

conveniência, as imagens do modelo da criança foram postas em cortes sagitais.

Tabela 2 - Discretização espacial no referencial girado

Modelo Adulto Criança

Δx(mm)

0,910 0,9460

Δy(mm)

1,8243 2,2695

Δz(mm)

1,9016 1,6012

(a) (b)

Figura 9 - Imagens dos modelos de cabeça girados, em corte sagital. (a) Modelo do adulto (b)

Modelo da criança.

4.4. TIPO DE ANTENA DO CELULAR

Dois modelos de antena foram usados nas simulações. O primeiro tipo de antena é um

monopolo de quarto de onda. Tal modelo foi escolhido por ser comum em celulares atuais. O

segundo tipo usado é uma antena tipo “patch” retangular. Antenas patch retangulares têm seu

projeto bem documentado (BALANIS, 1997; GARG, 2000). Esse tipo de antena foi

escolhido devido ao fato de, em trabalhos anteriores, ter sido sugerido que tal tipo de antena

pudesse reduzir consideravelmente a SAR dentro da cabeça (ROWLEY, 1999; SALLES,

2003; SALLES, 2004, FERNÁNDEZ 2001, FERNÁNDEZ 2005, BULLA 2006, SALLES

2006). Para cada modelo de, antena duas freqüências foram usadas, 850 MHz e 1800 Mhz,

uma vez que são as mais utilizadas atualmente em sistemas celulares no Brasil. Ambas as

antenas foram ajustadas em caixa metálica retangular para simular os circuitos internos do

aparelho celular. A caixa retangular tem seu tamanho reproduzindo dimensões realistas de

aparelhos celulares. A antena “patch” é modelada na parte posterior desta caixa, isto é, na

posição oposta à cabeça. Para o mesmo modelo de cabeça com o celular com antena do tipo

monopolo, uma caixa metálica igual a esta é modelada. O monopolo é simulado ajustando um

condutor infinitamente fino em cima da caixa metálica e este fio com comprimento de quarto

de onda da freqüência desejada. A caixa retangular e os dois tipos de antenas ajustadas nesta

caixa são mostrados na Figura 10, junto com seus parâmetros.

(a) (b) (c)

Figura 10 Caixa retangular e antenas ajustadas sobre esta caixa. (a) Caixa retangular (b) Caixa

retangular com antena patch (c) Caixa retangular com monopolo de quarto de onda.

Cada uma das antenas é simulada, sem a presença da cabeça, usando FDTD com o

procedimento descrito em (ZWEKI, 2001). É analisado o parâmetro S11 de cada antena.

Como cada modelo de cabeça possui discretizações diferentes, a mesma antena terá

dimensões levemente diferentes em cada modelo. Assim, as freqüências de ressonância

calculadas usando FDTD são ligeiramente diferentes umas das outras. A freqüência de

ressonância encontrada nestas simulações foi a usada nas simulações com a antena na

presença dos modelos de cabeça. Nas Tabelas 3 a 6 estão as dimensões usadas em cada

antena e cada modelo, junto com a sua respectiva freqüência de ressonância.

Tabela 3 - Parâmetros das antenas tipo monopolo para adulto

Monopolo em

1800 MHz

Monopolo em 850

MHz

53Δz 53Δz

22Δy 22Δy

11Δx 11Δx

18Δz 44Δz

2Δx 2Δx

2Δy 2Δy

Freqüência de

ressonância

1792MHz 819.3MHz

Tabela 4 - Parâmetros das antenas tipo monopolo para criança

Monopolo em

1800 MHz

Monopolo em 850

MHz

63Δz 63Δz

18Δy 18Δy

11Δx 11Δx

25Δz 54Δz

2Δx 2Δx

2Δy 2Δy

Freqüência de

ressonância

1750MHz 820MHz

Tabela 5 - Parâmetros das antenas tipo patch para adulto

Patch em 1800

MHz

Patch em 850

MHz

53Δz 53Δz

23Δy 22Δy

11Δx 11Δx

28Δz 30Δz

17Δy 17Δy

2Δx 2Δx

14Δz 14Δz

11Δz 13Δz

er 2.2 9.8

Freqüência de

ressonância

1825MHz 842MHz

Tabela 6 - Parâmetros das antenas tipo patch para criança

Patch em 1800

MHz

Patch em 850

MHz

63Δz 63Δz

18Δy 18Δy

11Δx 11Δx

34Δz 36Δz

14Δy 14Δy

2Δx 2Δx

13Δz 13Δz

13Δz 15Δz

er 2.2 9.8

Freqüência de

ressonância

1780MHz 832MHz

4.5. POTÊNCIA DE ALIMENTAÇÃO DA ANTENA

Apesar do cuidado de se usar a freqüência de ressonância encontrada nas simulações

com as antenas isoladas, a impedância da antena, vista pela alimentação, pode ser alterada

quando a antena é posta na presença da cabeça. Desta forma, para se garantir que as antenas

fossem todas alimentadas com a mesma potência, optou-se em calcular a potência diretamente

a partir do cálculo da tensão e da corrente na alimentação e normalizar a potência de

alimentação para o valor desejado. A potência de alimentação foi normalizada considerando a

potência máxima de 600 mW na freqüência de 850 MHz e 125 mW em 1800 MHz. A

potência de 600 mW nas simulações é utilizada por ser o valor máximo de potência típico de

celulares nas bandas A e B. O valor de potência de 125 mW é máximo na banda de 1800

MHz.

4.6. PARÂMETROS ELETROMAGNÉTICOS DOS TECIDOS

Como há variações nos valores de permissividade e condutividade dos tecidos de seres

humanos e animais e alguma incerteza na medida destes parâmetros, a dependência da SAR

em relação a eles é importante.

Os parâmetros eletromagnéticos mais usados para cálculo de SAR, usando FDTD, são

os medidos em (GABRIEL, 1996). No entanto, há outras publicações que mostram valores

medidos diferentes (HURT, 2000). Nestas publicações os valores variam de fatores menores

que 0.5 a maiores do que 2.

As variações relatadas, associadas aos parâmetros eletromagnéticos de um dado

tecido, pode ser resultado de um ou mais dos seguintes fatores: diferente etnia do doador,

natureza heterogênea dos tecidos biológicos, idade cronológica do doador, temperatura,

método de preparação do tecido, tempo entre a retirada da amostra e da medição.

Adicionalmente a isto, há relatos de erros sistemáticos associados com as técnicas de medição

(GABRIEL, 1996).

Além disso, há resultados controversos sobre a dependência da SAR com os valores

dos parâmetros eletromagnéticos. (GAJSEK, 2001) mostrou que a SAR localizada é

substancialmente influenciada pela variação dos valores dos parâmetros eletromagnéticos,

enquanto (FUJIMOTO, 2003) não encontrou diferenças significativas nos valores calculados

de SAR quando se varia os parâmetros eletromagnéticos.

Dados de valores dos parâmetros eletromagnéticos em adultos têm grande incerteza

associada. E dados para crianças não estão ainda disponíveis.

Estudos com ratos mostram que a condutividade e a permissividade decrescem com a

idade (PEYMAN 2001). Para um rato de 10 dias de idade esses valores são aproximadamente

20% mais altos do que os de ratos adultos (P. ex. 50 dias). (WANG, 2006), usando dados de

Quantidade Total de Água (“Total Body Water” – TBW) nos tecidos humanos, estima os

valores dos parâmetros eletromagnéticos em crianças. No entanto a mesma estimativa,

baseando-se em dados de ratos, teve uma diferença em torno de 10% dos valores médios dos

parâmetros eletromagnéticos medidos por (PEYMAN, 2001).

Neste trabalho, o objetivo não é realizar uma avaliação detalhada dos valores dos

parâmetros eletromagnéticos em crianças, mas estimar a variação da SAR frente à variação

nos valores destes parâmetros. Para isto, é feita uma estimativa para os valores dos parâmetros

eletromagnéticos em crianças. Supondo que a relação entre os valores dos parâmetros

eletromagnéticos entre ratos de 10 dias e 50 dias de idade seja igual à relação dos parâmetros

eletromagnéticos de crianças e humanos adultos, os valores dos parâmetros eletromagnéticos

são ajustados para crianças. Os valores dos parâmetros eletromagnéticos para adultos e os

valores ajustados para crianças, para 1800 MHz e 850MHz, são apresentados nas Tabelas 7 e

Tabela 7 - Valores dos parâmetros eletromagnéticos nos tecidos de adultos e crianças para,

freqüência de 1800 MHz

idade adulto 10 anos

propriedade

Tabela 8 - Valores dos parâmetros eletromagnéticos nos tecidos de adultos e crianças, para

freqüência de 850 MHz

idade adulto 10 anos

propriedade

ρ(g/cm3) εr σ(Ω-1/m) ε r σ (Ω-1/m)

Ar 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00

Osso 1,85 16,70 0,23 20,18 0,26

Pele 1,10 46,29 0,83 57,78 1,03

Músculo 1,04 56,08 0,95 64,12 1,16

Cérebro 1,03 46,02 0,75 56,09 0,96

Humor vítreo 1,02 68,91 1,62 83,03 1,98

Gordura 0,90 11,35 0,11 13,68 0,13

Esclera 1,02 55,41 1,15 66,76 1,40

Líquido

espinhal 1,00 68,75 2,39 82,83 2,92

Medula 1,03 32,69 0,56 39,38 0,68

cristalino 1,02 35,94 0,47 43,30 0,58

Nas simulações realizadas com o modelo do adulto foram usados apenas os

parâmetros de adulto. No entanto, devido à incerteza com relação aos parâmetros ajustados

para crianças, as simulações realizadas com o modelo de cabeça de criança foram feitas tanto

com os parâmetros de adulto, quanto com os ajustados para 10 anos. O modelo de cabeça de

adulto, com parâmetros eletromagnéticos de adulto, será denominado Caso A; o modelo de

cabeça de criança com parâmetros eletromagnéticos de adulto, será denominado Caso B; e o

modelo de criança com parâmetros ajustados para esta idade, será referido como Caso C.

4.7. ALGORITMO PARA CÁLCULO DE SAR MÉDIA

O algoritmo implementado para cálculo de SAR média em cubos de 1 g e 10 g de

tecido é baseado no método de seis componentes descrito por (STUCHLY, 1999). Foi

permitida uma inclusão de 10% de ar dentro do cubo, ou de outros tecidos no caso de cálculo

de SAR média no cérebro. Todos os cubos têm a massa calculada com uma diferença menor

que 5% de 1g ou 10 g.

O algoritmo está de acordo com a norma C.93.5-2002 (ANSI, 2002). Essa norma faz

distinção na forma de cálculo de SAR média em tecidos no interior do corpo e na extremidade

do corpo, no entanto a norma não fornece um critério de distinção entre tecido do corpo e

tecido da extremidade. Devido a isso o algoritmo implementado considera que qualquer

tecido é tecido do interior do corpo.

Para validação do algoritmo de cálculo de SAR média, usou-se os valores de

referência de SAR para irradiação de um “phantom” retangular na presença de um dipolo de

meia onda, apresentados no documento Std. 1528-2003 (ANSI, 2003). Para simulação foi

escolhida a configuração descrita para 900 MHz. Para esta freqüência o “phantom” tem

dimensões máximas e mínimas de 22.5 e 15 cm respectivamente. A camada plástica

envolvendo o “phantom” foi escolhida tendo permissividade relativa ε

= 3.7 e condutividade

nula. O material no interior do “phantom” tem permissividade relativa ε

= 41.5 e

condutividade σ = 0.97 S/m. O dipolo tem 149 mm de comprimento e o seu raio foi

considerado desprezível. A antena está separada da interface camada plástica/material interno

por, 15 mm. O dipolo foi simulado, alinhado com seu eixo paralelo ao maior lado do

“phantom”. A potência do dipolo foi ajustada para 1 W.

O algoritmo foi implementado usando Discretização de 1.5 mm na direção do menor

comprimento, 2.25 mm na direção do maior comprimento e 2 mm na outra direção. Foi

deixada uma célula para a camada externa do “phantom”.

Para esta configuração os valores de SAR 1 g e 10 g computados usando o algoritmo

implementado foram de, respectivamente, 11.04 e 6.21 W/Kg. Para a mesma configuração os

valores de referência são 10.8 e 6.6 W/kg, obtendo-se assim uma diferença menor que 7%.

5. RESULTADOS DE CÁLCULO DE SAR

Para efeitos de comparação com as normas, são calculados os valores de SAR

correspondentes aos valores de campos obtidos. As recomendações requerem a medição de

SAR ao longo de períodos de alguns minutos (ANSI C.95.1-1991). Porém uma simulação

com intervalos de tempo como este teria de realizar elevado número de iterações (da ordem

de 1014 iterações) devido aos valores correspondentes de Δt, o que se torna inviável. Mesmo

que se dispusesse de recursos computacionais para realizar tal quantidade de simulações, as

propagações de erros inevitáveis, como os de truncamento, levariam à divergência dos valores

calculados.

Os resultados apresentados são estimativos de SAR, obtidos a partir da equação (2)

para diferentes modelos de antena, freqüência de alimentação da antena e idade do usuário.

Para estas estimativas, usa-se o valor de pico do campo elétrico calculado após o regime

transiente.

O algoritmo FDTD fornece, em cada iteração, soluções aproximadas do valor de

campo e SAR, no instante correspondente a essa iteração. Assim, é possível visualizar através

dele a evolução espacial das ondas se propagando desde a condição inicial de campo nulo até

a convergência, como nas Figuras 11 a 14.

A SAR local mostrada nas Figuras 15 a 18 correspondem a resultados obtidos após

tempo suficiente para caracterizar regime permanente (8 períodos).

Os valores calculados de SAR local e média em 1 g e 10 g de tecido são apresentados

nas Tabelas 9 a 12.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

Figura 11 Evolução do campo eletromagnético no tempo (10xlog10(|E|)). Para antena tipo

monopolo de quarto de onda em 850MHz (600 mW). No adulto após (a) 100 iterações,

(b) 200 iterações, (c) 300 iterações, (d) 400 iterações. Na criança com parâmetros

eletromagnéticos de adulto após (e) 100 iterações, (f) 200 iterações, (g) 300 iterações,

(h) 400 iterações. Na criança com parâmetros eletromagnéticos ajustados após (i) 100

iterações, (j) 200 iterações, (k) 300 iterações, (l) 400 iterações.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

Figura 12 Evolução do campo eletromagnético no tempo (10xlog10(|E|)). Para antena tipo

monopolo de quarto de onda em 1800MHz (125 mW). No adulto após (a) 100

iterações, (b) 200 iterações, (c) 300 iterações, (d) 400 iterações. Na criança com

parâmetros eletromagnéticos de adulto após (e) 100 iterações, (f) 200 iterações, (g)

300 iterações, (h) 400 iterações. Na criança com parâmetros eletromagnéticos

ajustados após (i) 100 iterações, (j) 200 iterações, (k) 300 iterações, (l) 400 iterações.

(

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

Figura 13 Evolução do campo eletromagnético no tempo (10xlog10(|E|)). Para antena tipo patch

em 850MHz (600 mW). No adulto após (a) 100 iterações, (b) 200 iterações, (c) 300

iterações, (d) 400 iterações. Na criança com parâmetros eletromagnéticos de adulto

após (e) 100 iterações, (f) 200 iterações, (g) 300 iterações, (h) 400 iterações. Na criança

com parâmetros eletromagnéticos ajustados após (i) 100 iterações, (j) 200 iterações,

(k) 300 iterações, (l) 400 iterações.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

Figura 14 Evolução do campo eletromagnético no tempo (10xlog10(|E|)). Para antena tipo patch

em 1800MHz (125 mW). No adulto após (a) 100 iterações, (b) 200 iterações, (c) 300

iterações, (d) 400 iterações. Na criança com parâmetros eletromagnéticos de adulto

após (e) 100 iterações, (f) 200 iterações, (g) 300 iterações, (h) 400 iterações. Na criança

com parâmetros eletromagnéticos ajustados após (i) 100 iterações, (j) 200 iterações,

(k) 300 iterações, (l) 400 iterações.

(a)

(b)

(c)

Figura 15 Distribuição de SAR em diversos cortes no plano xz. Escala em dB (10log10(SAR

(mW/g) /1.6(mW/g))). Freqüência da antena = 1800MHz. Antena tipo monopolo de

quarto de onda. Potência de alimentação = 125mW. (a) Caso A, (b) Caso B, (c) Caso

(a)

(b)

(c)

Figura 16 Distribuição de SAR no adulto em diversos cortes no plano xz. Escala em dB

(10log10(SAR (mW/g) /1.6(mW/g))). Freqüência da antena = 850MHz. Antena tipo

monopolo de quarto de onda. Potência de alimentação = 600mW. (a) Caso A, (b)

Caso B, (c) Caso C.

(A)

(B)

(C)

Figura 17 Distribuição de SAR no adulto em diversos cortes no plano xz. Escala em dB

(10log10(SAR (mW/g) /1.6(mW/g))). Freqüência da antena = 1800MHz. Antena tipo

patch. Potência de alimentação = 125mW. (a) Caso A, (b) Caso B, (c) Caso C.

(a)

(b)

(c)

Figura 18 Distribuição de SAR no adulto em diversos cortes no plano xz. Escala em dB

(10log10(SAR (mW/g) /1.6(mW/g))). Freqüência da antena = 850MHz. Antena tipo

patch. Potência de alimentação = 600mW. 125mW. (a) Caso A, (b) Caso B, (c) Caso

Tabela 9 Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto e para o modelo de

criança com parâmetros de adulto e com parâmetros de criança. Antena tipo

monopolo em 1800MHz. Potência de alimentação = 125mW.

adulto Criança com

parâmetros de adulto

Criança com

parâmetros ajustados

SAR 1g máxima

(W/kg) 0.70 0.89 1.01

SAR 10g máxima

(W/kg) 0.39 0.42 0.59

SAR 1g máxima no

cérebro (W/kg) 0.35 0.39 0.43

SAR 10g máxima no

cérebro (W/kg) 0.17 0.19 0.21

SAR média em toda a

cabeça (W/kg) 0.021 0.032 0.032

Tabela 10 Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto e para o modelo de

criança com parâmetros de adulto e com parâmetros de criança. Antena tipo

monopolo em 850MHz. Potência de alimentação = 600 mW.

adulto

Criança com

parâmetros de adulto

Criança com

parâmetros

ajustados

SAR 1g máxima

(W/kg)

1.89 2.77 2.89

SAR 10g máxima

(W/kg)

1.22 1.45 1.63

SAR 1g máxima no

cérebro (W/kg)

1.03 1.41 1.49

SAR 10g máxima no

cérebro (W/kg)

0.55 0.69 0.78

SAR média em toda a

cabeça (W/kg)

0.149 0.193 0.191

Tabela 11 Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto e para o modelo de

criança com parâmetros de adulto e com parâmetros de criança. Antena tipo patch

em 1800MHz. Potência de alimentação = 125mW.

adulto Criança com

parâmetros de adulto

Criança com

parâmetros ajustados

SAR 1g máxima

(W/kg) 0.060 0.085 0.89

SAR 10g máxima

(W/kg) 0.038 0.055 0.058

SAR 1g máxima no

cérebro (W/kg) 0.024 0.026 0.029

SAR 10g máxima no

cérebro (W/kg) 0.016 0.020 0.021

SAR média em toda a

cabeça (W/kg) 0.0058 0.0085 0.0085

Tabela 12 Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto e para o modelo de

criança com parâmetros de adulto e com parâmetros de criança. Antena tipo patch

em 850MHz. Potência de alimentação = 600 mW.

adulto

Criança com

parâmetros de adulto

Criança com

parâmetros

ajustados

SAR 1g máxima

(W/kg)

0.41 0.62 0.72

SAR 10g máxima

(W/kg)

0.24 0.30 0.31

SAR 1g máxima no

cérebro (W/kg)

0.20 0.25 0.28.

SAR 10g máxima no

cérebro (W/kg)

0.16 0.18 0.19

SAR média em toda a

cabeça (W/kg)

0.0451 0.0516 0.0524

É observado aumento na SAR média em 1 g de tecido nos casos B e C em relação ao

caso A. A SAR média em 1 g de tecido na cabeça da criança para antenas em 1800 MHz

mostrou aumento, em relação à do adulto em torno de 30% para o caso B e de 50% para o

caso C. Em 850 MHz este aumento é ainda maior. A antena patch em 850 MHz mostrou

aumento de 51% entre a SAR média em 1 g no adulto e na criança, no caso B, e de 75% entre

o adulto e a criança, no caso C.

Também é observado aumento na SAR média em toda a cabeça, entre o adulto e as

crianças (casos B e C). No entanto, nenhum aumento significativo é observado entre as SAR

média em toda a cabeça das crianças nos casos B e C. O aumento de SAR média na cabeça da

criança é esperado, devido a dimensões reduzidas da sua cabeça.

Os valores de SAR foram reduzidos em pelo menos 60% quando a antena tipo

monopolo de quarto de onda foi substituída por uma antena tipo “patch”. Desta forma, este

tipo de antena, pode ser usado como proposta inicial para desenvolvimento de telefones

celulares que irradiem o usuário com níveis mais baixo, sem diminuir a potência transmitida,

nem prejudicar a comunicação.

Trabalhos publicados por outros autores apresentam resultados de simulações

realizadas em situações semelhantes às apresentadas neste trabalho. Alguns resultados para

valores de SAR calculadas em cabeças de adultos, na presença de antena tipo monopolo de

quarto de onda, segundo diversos autores, são apresentados na Tabela 13. As diferenças nos

resultados são devidas a diferenças existentes entre as simulações. Entre essas diferenças

estão, por exemplo, freqüência de alimentação da antena, posicionamento da antena em

relação ao modelo de cabeça, discretização espacial, algoritmo de cálculo de SAR e posição

da antena monopolo em cima da caixa metálica, dentre outros.

Os valores de SAR calculados neste trabalho, para o caso de cabeça de adulto com

uma antena tipo monopolo de quarto de onda, em caixa metálica, em 850 MHz com potência

de alimentação de 600 mW, estão próximos aos valores apresentados por outros autores.

Os valores calculados de SAR média em 1 g e 10 g de tecido estão dentro dos limites

estabelecidos pelas normas ENV50166-2 (ICNIRP GUIDELINES, 1998) e C95.1-2005

(ANSI, 2005). No entanto, a SAR média calculada em 1 g de tecido dos modelos de cabeça,

na presença da antena tipo monopolo de quarto de onda, em 850 MHz e com 600 mW de

potência máxima, superou a antiga norma C95.1-1991 (ANSI, 1991) nos três modelos de

cabeça.

Tabela 13 - Comparação da distribuição de SAR para o modelo de adulto entre diversos autores.

Antena tipo monopolo de quarto de onda. Faixa 800 a 900 MHz. Potência de

alimentação = 600 mW.

Referência

SAR 1g

na cabeça

(mW/g)

SAR 10g

na cabeça

(mW/g)

SAR 1g

no cérebro

(mW/g)

SAR 10g

no cérebro

cabeça (mW/g)

(GANDHI,

1996b)

2.93

não

calculado

1.62

não

calculado

(WANG,

1999)

1.63 0.92 0.89 0.66

(BERNARDI,

2000)

2.17 1.29 1.24

não

calculado

(BIT-BABIK,

2005)

3.93 1.75 1.24

não

calculado

Este trabalho 1.89 1.22 1.03 0.55

6. CÁLCULO TÉRMICO

Nesse estudo foi analisado o aumento de temperatura induzida por uma dada

distribuição de SAR, associada à emissão do telefone. O aumento local de temperatura é

influenciado pela potência dissipada nos tecidos, por trocas térmicas com tecidos vizinhos e

com o ambiente externo.

6.1. CÁLCULO DA DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA

O aumento de temperatura na cabeça humana é governado pela equação de

aquecimento biológico (“bio heat equation” - BHE). A BHE modela diferentes mecanismos

de transferência de calor, tais como condução de calor, fluxo sangüíneo e o metabolismo.

Considera também a potência dissipada por fontes externas, tais como aquelas relacionadas ao

campo eletromagnético. A BHE é dada por (WANG, 1999)

()

SARTTbTK

⋅+−⋅+∇⋅=

∂

⋅

ρρ

(64)

com a condição de contorno

()

TTh

K −⋅−=

∂

(65)

em que

()

tzyxTT ,,,=

é a temperatura

(

)

no instante t e na posição (x, y, z),

é o calor

específico

(

)

CKgJ

⋅/

, K é a condutividade térmica

(

)

[

]

CmsJ

⋅⋅/

b é uma constante

(

)

CmW

⋅

relacionada ao fluxo sangüíneo,

é a temperatura do sangue arterial,

é a

temperatura ambiente,

é o vetor unitário normal à superfície da cabeça, h é o coeficiente de

transferência de calor convectivo

(

)

CmW

⋅

, e SAR é a fonte de aquecimento

eletromagnético dentro da BHE. Para simplificar a solução da BHE, os parâmetros

, K e b

são assumidos constantes em cada tecido.

A discretização da BHE segue a mesma discretização da célula FDTD usada no

cálculo de SAR. Para uma função contínua no espaço e no tempo

()

tzyxF ,,,

, sua forma

discreta no m-ésimo passo pode ser expressa por

(

)

(

)

tmzkyjxiFkjiF

ΔΔΔΔ= ,,,,,

, onde

yΔ

zΔ

são as dimensões das células nas direções x, y e z, respectivamente, e

é o

incremento temporal. Abrindo a BHE em sua aproximação de diferenças finitas, (65) e (66)

podem ser escritas como

(66)

()

(

)

xhK

xhT

xhK

kjiKT

kjiT

Δ+

,,1

min

(67)

onde a aproximação por diferenças finitas de (65) representa o caso de uma superfície cuja

normal está orientada no sentido do semi-eixo negativo dos x. Aproximações semelhantes

podem ser obtidas para os demais casos. As equações (66) e (67) podem facilmente ser

implementadas em um computador. Para garantir estabilidade numérica,

tΔ

é escolhido de

forma a satisfazer

≤Δ

(68)

()()

()

()()

[]

()

()()

()()()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−++

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−++

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−++

⋅

+−⋅

−

,,21,,1,,

,,2,1,,1,

,,2,,1,,1

,,,,

kjiTkjiTkjiT

kjiCkji

kjitK

jiTkjib

kjiCkji

kjiSAR

kjiC

kjiTkjiT

mmm

em que

é qualquer uma das discretizações

. A inequação (68) é obtida da

condição de estabilidade de Von Neumann.

Os parâmetros térmicos usados para cálculo de aumento de temperatura na cabeça são

encontrados na literatura (GUYTON, 1991; BERNARDI, 2000) e estão apresentados na

Tabela 14.

Tabela 14 Propriedades Térmicas de Tecidos na Cabeça Humana

TECIDO

[J/(kg

C)] K[W/(m

C)] b[W/(m

C)]

PELE 3500 0.42

9100

MÚSCULO 3600 0.5 2700

OSSO 1300 0.4 1000

GORDURA 2500 0.25 520

CÉREBRO 3650 0.54 35000

HUMOR VÍTREO 4000 0.6 0

CRISTALINO 3000 0.4 0

ESCLERA 4200 0.58 0

CSF 4000 0.6 0

O aumento de temperatura devido à exposição eletromagnética do telefone celular é

obtido pela diferença entre a temperatura

(

)

tzyxTT ,,,

()

0,,, zyxTT =

onde

()

0,,, zyxTT =

é a distribuição normal de temperatura, em cabeça não exposta (SAR=0), no

equilíbrio térmico.

6.2. VALIDAÇÃO DO ALGORITMO

O algoritmo térmico foi validado avaliando um material de forma cúbica, de lado 10

cm, sob uma SAR uniforme de 350 W/kg e com propriedades K=0,

lkg /1

(

)

CmWb

/35000 ⋅=

(

)

CkgJC

/3500 ⋅=

. Desta forma, no equilíbrio térmico, o aumento

de temperatura no interior do material é de 10 ºC, enquanto que na superfície a temperatura

deve ser a mesma do meio externo. A temperatura do ambiente foi escolhida como 25 ºC e a

temperatura inicial do corpo foi escolhida como a temperatura do sangue arterial (37ºC).

Usou-se uma Discretização espacial de 5 mm em todas as dimensões e um intervalo de tempo

de 2s.

O aumento de temperatura no interior do corpo, em regime permanente, foi calculado

usando o algoritmo numérico, em 9.99 ºC, exibindo, assim, um erro de apenas 0.1%.

No entanto, é importante avaliar também a parte de condução de calor, por condução,

do algoritmo. Para isto estuda-se o caso em que b=0, com condições de contorno de

temperatura fixa, e em regime permanente. Para este caso, é possível calcular analiticamente o

aumento de temperatura para uma esfera com uma distribuição uniforme de SAR (MCGEE,

1999). A solução analítica para este caso é

(

)

SAR

−=Δ

(69)

em que “a” é o raio da esfera e “r” é a distancia do centro da esfera até alguma posição dentro

da esfera. Serão usados os seguintes parâmetros nesta simulação:

lkg /1

⋅

(

)

CkgJC

/2000 ⋅⋅=

(

)

CmWk

/5.0 ⋅⋅=

, SAR=10W/kg, raio

mma 10= , discretização

espacial

mm⋅1 em todas as direções, e discretização temporal dt=1s.

Usando estes dados em (68), é calculado um aumento máximo de temperatura de 10/3

ºC, no centro da esfera. O valor calculado usando o algoritmo baseado em diferenças finitas é

0.353 ºC, tendo-se, assim, uma diferença em relação ao valor analítico menor do que 6%. A

Figura 19 mostra o perfil da diferença de temperatura sobre reta linha passando pelo

centro da esfera. Boa concordância é observada entre o modelo analítico e o modelo

numérico.

Figura 19 - Perfil, em regime permanente, da diferença de temperatura sobre uma reta

passando pelo centro de uma esfera., foram usados os valores h=0,

lkg /1

⋅

(

)

CkgJC

/2000 ⋅⋅=

(

)

CmWk

/5.0 ⋅⋅=

, SAR=10 W/kg, raio

mma ⋅= 10

discretização espacial

⋅

1 em todas as direções, discretização temporal dt=1 s,

condição de contorno de temperatura constante na fronteira.

6.3. RESULTADOS DE CÁLCULO DE AUMENTO DE TEMPERATURA

O aumento de temperatura em cabeças de adulto e criança expostas à radiação

eletromagnética proveniente de aparelho celular, é calculado. Os valores de temperatura

máxima computados na cabeça e no cérebro, para a situação de regime permanente, são

mostrados nas Tabelas 15 e 16.

Tabela 15 – Aumento Máximo de temperatura na cabeça, em regime permanente.

Modelo

Adulto Criança de 10 anos

Parâmetros

Eletromagnéticos

Parâmetros de

adulto

Parâmetros de

adulto

Parâmetros de

criança

Tipo de antena/

freqüência/ potencia

Aumento de Temperatura (

ºC)

Monopolo de λ/4/

850MHz / 600mW

0.210 0.310 0.380

Monopolo de λ/4/

1800MHz / 125mW

0.062 0.106 0.118

Antena Patch /

850MHz / 600mW

0.043 0.064 0.079

Antena Patch/

1800MHz / 125mW

0.0065 0.015 0.018

Tabela 16 – Aumento Máximo de temperatura no cérebro, em regime permanente.

Modelo

Adulto Criança de 10 anos

Parâmetros

Eletromagnéticos

Parâmetros de

adulto

Parâmetros de

adulto

Parâmetros de

criança

Tipo de antena/

freqüência/ potência

Aumento de Temperatura (

ºC)

Monopolo de λ/4/

850MHz / 600mW

0.110 0.15 0.18

Monopolo de λ/4/

1800MHz / 125mW

0.035 0.049 0.0544

Antena Patch /

850MHz / 600mW

0.0225 0.0293 0.0362

Antena Patch/

1800MHz / 125mW

0.0034 0.0067 0.0080

As diferenças observadas entre os aumentos máximos de temperatura na cabeça de

adulto e de criança, são semelhantes às apresentadas entre as diferenças entre a SAR média

em 1 g de tecido na cabeça de adulto e a SAR média em 1 g de tecido na cabeça de criança.

Observa-se a tendência de aumento da temperatura na cabeça e no cérebro da criança, em

comparação com a de um adulto.

Os valores de aumento de temperatura estimado estão abaixo dos níveis indicados na

literatura como sendo limites de indução de dano térmico. Ou seja, não há na literatura

evidências de que aumento de temperatura dessa magnitude possam causar danos.

O aumento de temperatura na cabeça e no cérebro, em função do tempo, para a antena

monopolo em 850MHz e 600mW, para os casos A, B e C, está mostrado na Figura 20.

Observa-se que para um tempo em torno de 8 minutos o aumento de temperatura na cabeça

atinge cerca de 90% do seu valor de regime permanente.

Figura 20 - Aumento de temperatura com o tempo (monopolo de quarto de onda 850MHz,

600mW).

7. CONCLUSÃO

Foi apresentado o desenvolvimento de programa para cálculo de campos

eletromagnéticos baseado no método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD).

O programa foi aplicado no cálculo de SAR em modelos de cabeça de adulto e criança

usuários de telefone celular. Para a modelagem da cabeça da criança foi feita análise

detalhada das diferenças de tamanho, forma e valores das propriedades eletromagnéticas de

cabeças de adultos e crianças.

Também foi desenvolvido “software” para cálculo de aumento de temperatura causado

pela distribuição de SAR na cabeça.

Os valores de SAR foram comparados a outros resultados apresentados na literatura e

com as normas relativas a exposição a campo eletromagnético.

A SAR induzida por um celular num modelo de cabeça de criança de 10 anos de

idade foi calculada e comparada aos resultados obtidos para a SAR calculada num modelo de

cabeça de adulto. No aparelho celular foram usadas antenas “patch” e monopolo de quarto de

onda, em 1800 e 850 MHz.

Resultados de SAR na criança, com parâmetros eletromagnéticos ajustados para esta

idade, tiveram valores pelo menos 50% maiores do que os observados no adulto. Isto se

verificou, independentemente do tipo de antena ou freqüência utilizada. Isto era esperado

devido às diferenças nas dimensões e nos parâmetros eletromagnéticos, em conformidade

com resultados obtidos por outros autores.

A relação entre a SAR média em 1 g de tecido, calculada com o modelo de criança e a

SAR média em 1 g de tecido calculada usando o modelo de adulto, se mostrou mais alta em

850 MHz do que em 1800 MHz. Isto se deve ao fato de o comprimento de onda relativo a 850

MHz ser da mesma ordem de grandeza das dimensões da cabeça da criança.

Os valores de SAR foram reduzidos em pelo menos 60% quando a antena tipo

monopolo de quarto de onda foi substituída por uma antena tipo “patch”. Isso é esperado

devido a grande relação frente costas para esse tipo de antena, em relação a antena monopolo.

Este tipo de antena pode ser usado como proposta inicial para desenvolvimento de telefones

celulares que irradiem o usuário com níveis mais baixos, sem diminuir a potência transmitida

nem prejudicar a comunicação.

O aumento na SAR média em toda a cabeça nos modelos de criança também é

esperado devido às dimensões reduzidas da sua cabeça.

Os valores calculados de SAR em todos os modelos ficaram dentro dos limites

estabelecidos pelas normas atuais do IEEE (ANSI, 2005) e ICNIRP (ICNIRP GUIDELINES,

1998). Isto entretanto não garante que não existam riscos à saúde dos usuários, uma vez que já

foram demonstrados efeitos não térmicos, em níveis de exposição substancialmente abaixo

daqueles limites.

Os aumentos máximos de temperatura na cabeça mostraram se comportar de forma

semelhante às variações de SAR média em 1 g de tecido nas cabeças de adulto e criança.

Maior aumento de temperatura é observado no modelo de cabeça da criança.

Os valores estimados de aumento de temperatura estão dentro dos valores normais de

variação biológica de temperatura, em humanos.

Devido ao aumento do uso de telefones móveis por crianças e como os testes de

acoplamento eletromagnético usam modelos de cabeça baseados, exclusivamente, em dados

de adulto, os resultados mostrados neste trabalho sugerem que mais pesquisas teóricas e

experimentais devem ser feitas para se avaliar o tema com mais profundidade. O objetivo,

naturalmente, é reduzir os riscos para as crianças.

Dentre as perspectivas de desenvolvimentos futuros deste trabalho, incluem-se (a) uso

do método FDTD no desenvolvimento de antenas planares diretivas para comunicações

móveis; (b) adaptação do algoritmo para uso de malhas não uniformes, não ortogonais e não

estruturadas; (c) implementação de cálculos para campo distante.

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ANEXO A: ESTABILIDADE NUMÉRICA DO ALGORITMO DE YEE

Nesta seção será reproduzido o estabelecimento do critério de estabilidade numérica

do algoritmo de Yee apresentado em (TAFLOVE, 1995).

Considerando por conveniência uma região normalizada do espaço, com 1=

, 1

, 0'=

, e 1

c . Sendo 1−=j , as equações de Maxwell são reescritas de forma

compacta como

(

)

(

)

EjH

EjHj

∂

=+×∇ (A1)

ou mais simplesmente como

(

)

(

)

∂

=×∇ (A2)

onde

EjHV

+= . A estabilidade de uma representação numérica particular de (A1) pode ser

examinada simplesmente considerando o seguinte par de auto vetores

numérico

Λ=

∂

(A3)

VVj

numérico

Λ=∇ (A4)

Portanto, o espectro dos autovalores para modos espaciais numericamente estáveis em

três dimensões são puramente imaginários e dados por

()

tt Δ

∂

≤Λ≤

∂

− Im

(A5)

Sendo

(

)

zKkyJkxIkJ

KJI

zyx

eVV

Δ+Δ+Δ

(A6)

Representando um modo espacial arbitrário da rede. Usando as derivadas centrais para

implementar as derivadas do operador rotacional, (A4) torna-se

(

)

(

)

(

)

KJIKJI

zyx

VVzk

,,,,

sin

sin2

)

Λ=×

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+Δ

−

(A7)

onde

)

, y

)

e z

)

são os vetores unitários nas direções x, y e z. Depois de realizar o produto

vetorial em (A7), o sistema de equações resultantes pode ser resolvido para

Λ . Isso resulta

()

(

)

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+Δ

−=Λ

sin

sin4

2222

zyx

)

(A8)

É claro que para quaisquer

(

)

0Re

(A9)

() () ()

()

() ()

222222

111

2Im

111

zyxzyx Δ

≤Λ≤

−

(A10)

Para garantir a estabilidade numérica para os modos espaciais arbitrários, o raio dos

autovalores para os modos espaciais dados por (A9) e (A10) devem estar contidos

completamente dentro do raio de estabilidade dos autovalores para os modos temporais dados

por

()

tt Δ

≤Λ≤

−

(A11)

Notando que todos os auto valores temporais e espaciais estão localizados sob o eixo

imaginário centrados simetricamente em torno do zero, é suficiente que o limite superior em

(A10) seja menor ou igual aquele de (A11):

() () ()

zyx

≤

2111

222

(A12)

O limite superior para

tΔ segue imediatamente:

() () ()

222

111

zyx

≤Δ

(A13)

Desnormalizando para um valor não unitário de c, pode-se mostrar que (A13) é levemente

modificada:

() () ()

222

111

zyx

≤Δ

(A14)

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