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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
RICARDO RIBEIRO
IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE
CONTROLE DE UM PÊNDULO INVERTIDO
Itajubá - MG
2007
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Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Ricardo Ribeiro
IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE
CONTROLE DE UM PÊNDULO INVERTIDO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade
Federal de Itajubá como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Engenharia
Elétrica.
Área de Concentração:
Automação e Sistemas Elétricos Industriais
Orientador: Prof. Carlos Alberto Murari Pinheiro, Dr.
Itajubá - 2007
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Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 2
AGRADECIMENTOS
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 3
texto da dissertação, bem como nas informações e conselhos que auxiliaram na elaboração do
modelo final e sua realização prática.
E finalmente, ao criador, que ao me presentear com características pessoais essenciais,
me ensinou a importância de utilizá-las em proveito da evolução individual e da humanidade;
A TODOS A MINHA ETERNA GRATIDÃO
Ricardo Ribeiro
Março - 2007
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 4
DEDICATÓRIA
Dedico carinhosamente este trabalho à minha mãe.
Por ter sido algo que me custou muito a conseguir, devo a ela o
aprendizado e exemplo do valor do esforço e da persistência.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 5
RESUMO
A utilização de sistemas de controle automáticos encontra-se difundida no dia-a-dia de
todas as sociedades desenvolvidas. Estes sistemas agem como elementos catalizadores da
promoção do progresso e do desenvolvimento em geral.
O exemplo do sistema de controle de um pêndulo invertido é muito citado em livros e
artigos técnicos referente ao uso de malhas de controle com realimentação, especialmente para
sistemas inerentemente instáveis, como é o caso. A razão pela qual esse sistema é de interesse
para estudos do ponto de vista da tecnologia de controle, é que ele ilustra as dificuldades práticas
associadas com aplicações de sistemas de controle no mundo real. Por exemplo, o modelo
resultante é muito similar aos usados para estabilização de foguetes em vôo, no posicionamento
de guindastes especiais, etc.
Este trabalho vislumbra construir um sistema de controle de um pêndulo invertido usando
componentes simples, uma aplicação prática para que possam ser testadas e comparadas diversas
estratégias de controle alternativas. Com esta finalidade foi construído um pequeno protótipo
usando partes de sucatas de uma impressora para computadores pessoais. A parte eletrônica
necessária para operar o sistema foi construída utilizando componentes de fácil aquisição. Como
plataforma de desenvolvimento dos algoritmos de controle utilizou-se um microcomputador
pessoal e um software de simulação e controle comercial frequentemente utilizado em
universidades e escolas técnicas. Para a interface entre o computador e a instrumentação
eletrônica do sistema foi empregada uma placa de aquisição de dados de baixo custo.
Na modelagem do sistema desenvolvido e na etapa de sintonia da malha de controle
resultante, foram empregados métodos conhecidos da teoria de controle. Os resultados práticos
obtidos foram bons, indicando a potencialidade prática da proposta do trabalho.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 6
ABSTRACT
The use of automatic control systems is found to be fully spread out through our daily use
in all the developed societies. Such systems work as catalyzing elements to promote the progress
and development.
The example of the Inverted Pendulum system is largely mentioned in books and
technical articles about feedback control loops, especially those intrinsically unstable, just like in
this work. The reason why such system is relevant for control system studies is that it illustrates
the difficulties associated with the application of control systems in the real world. For example,
the final model is much similar to those used for rockets stabilization, positioning of special
cranes, etc.
This study sought to create an inverted pendulum control system using simple analog
components, one practical application which allows the testing and benchmarking of different
control strategies. For this purpose a prototype was build using an old personal computer printer
frame. All the necessary electronic circuits were designed, mounted and tested using next-door
shop components. As a platform for developing the control algorithms, a personnel
microcomputer was required. Also a simulation and control software largely utilized by
Universities and technical schools was used. For interfacing the computer to the electronics there
was been used a low-cost commercial data acquisition board.
In modeling the system and in the control loop tuning phase, there had been used known
methods of the control theory. The practical results achieved were good enough indicating the
strength of the proposal of this present work.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 7
Índice Geral
i. Lista de Abreviaturas, Siglas e Convenções Ortográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ii. Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
iii. Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 Introdução 15
2 Resenha Bibliografia 17
3 Modelagem do Sistema Proposto 24
3.1 Modelagem do pêndulo invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Modelagem do conjunto Amplificador-Motor-Carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Estimação dos Parâmetros do Modelo 33
4.1 Estimação dos parâmetros do modelo do pêndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Estimação dos parâmetros do conjunto Amplificado-Carro-Motor . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Análise do Modelo da Planta Identificada 48
6 Projeto e Implementação do Sistema 50
7 Resultados Práticos Obtidos 57
8 Conclusão 65
Bibliografia 67
Anexos 73
A.1 Análise alternativa considerando o atrito viscoso da haste com o ar . . . . . . . . . . . . . . . 73
A.2 Considerações sobre o atrito estático e dinâmico do motor e do Carro . . . . . . . . . . . . . 77
A.3 Programa para identificação dos parâmetros do pêndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.4 Programa para cálculo dos parâmetros do controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 8
A.5 Programa de extração dos dados do bloco scopedata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.6 Folhas de dados do servo-potenciômetro de precisão Spectrol 157 . . . . . . . . . . . . . . . 84
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 9
i Lista de Abreviaturas, Siglas e Convenções Ortográficas
i.1 Abreviaturas e Siglas
a = constante
A = amplitude do sinal senoidal aplicado ao amplificador
B = amortecimento combinado do motor e do carro
2
2
r
J
B
J
B
JR
K
B
cm
a
m
++=
B
c
= constante de amortecimento viscoso do carro
B
m
= constante de amortecimento viscoso do motor
B
r
= constante de amortecimento viscoso do eixo do servo-potenciômetro
c
g
= centro de gravidade
dX
p
= primeira derivada de Xp
d
2
X
p
= segunda derivada de Xp
dY
p
= primeira derivada de Yp
d
2
Y
p
= segunda derivada de Yp
dX
cg
= primeira derivada de Xcg
d
2
X
cg
= segunda derivada de Xcg
dY
cg
= primeira derivada de Ycg
d
2
Y
cg
= segunda derivada de Ycg
E = força contra-eletromotriz no motor
e
ss
= erro de estado estacionário
F = força transmitida a correia de transmissão
g = aceleração da gravidade
H = força na direção horizontal
I = momento de inércia do pêndulo (mℓ
2
/3 para uma haste uniforme)
I
a
= corrente de armadura do motor
I
m
= momento de inércia do motor
J = Inércia combinada do motor e do carro (
2
MrIJ
m
+=
)
K = Amplitude máxima do sinal senoidal amortecido obtido no ensaio do pêndulo
K
a
= ganho constante do amplificador
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 10
K
c
= constante de amortecimento viscoso (
rKK
JR
K
ma
a
c
=
)
K
m
= constante de tensão induzida no motor
K
t
= constante de torque do motor
K
x
= constante do transdutor de posição utilizado no ensaio (Volts/m)
ℓ = metade do comprimento do pêndulo
M = massa do carro
M
p
= máximo pico da variável a ser controlada
m = massa do pêndulo
p = ponto de pivotamento do eixo do pêndulo
r = raio efetivo do eixo do motor (∆Xp = r∆Φ)
R
a
= resistência de armadura do motor
t
a
= tempo de amostragem do sistema de controle
t
s
= tempo de acomodação da variável a ser controlada
T
d
= torque requerido do motor
T
r
= torque resistente no eixo do motor
T
t
= torque total requerido do motor
V = força na direção vertical
V
i
= tensão de entrada do amplificador
V
o
= tensão de saída do amplificador
X
cg
= coordenada no eixo X do centro de gravidade
X
p
= coordenada no eixo X do ponto de pivotamento
Y
cg
= coordenada no eixo Y do centro de gravidade
Y
p
= coordenada no eixo Y do ponto de pivotamento
Φ = ângulo do eixo do motor
Θ = ângulo do pêndulo com relação à linha vertical
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 11
i.2 Convenções Ortográficas
itálico variáveis e termos em língua estrangeira
subscritos índices
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ii Lista de Figuras
Figura 2.1 – Pêndulo típico
Figura 2.2 – Princípio de operação e aplicações práticas dos mancais tipo Friction Pendulum
Figura 2.3 – Exemplos de aplicações práticas dos mancais tipo Friction Pendulum.
Figura 2.4 – Modelo simplificado da sustentação do corpo humano
Figura 3.1 – Fluxograma operacional do projeto
Figura 3.2 – Representação em diagrama de blocos do sistema de controle
Figura 3.3 – Sistema de coordenadas do conjunto do pêndulo invertido
Figura 4.1 – Pêndulo livre
Figura 4.2 – Disposição do equipamento para o levantamento dos parâmetros do sistema
Figura 4.3 – Resultado do ensaio do pêndulo
Figura 4.4 – Fluxograma do programa para identificação dos parâmetros do pêndulo
Figura 4.5 – FFT do sinal obtido no ensaio do pêndulo
Figura 4.6 – Sinais original (vermelho) e filtrado (azul) em função do número de amostras
Figura 4.7 – Dados reais e curva estimada do ensaio do pêndulo
Figura 4.8 – Componentes básicas da resposta em freqüência do sistema
Figura 4.9 – Detalhe do carro com o trandutor de posição linear
Figura 4.10 – Diagram de Bode do ensaio do conjunto amplificador-motor-carro
Figura 4.11 – Modelo completo da planta identificada
Figura 5.1 – Modelo fatorado da planta identificada
Figura 5.2 – Resposta da planta sem compensação a uma excitação tipo degráu
Figura 6.1 – Modelo da malha de controle resultante
Figura 6.2 – Lugar das raízes do sistema compensado
Figura 6.3 – Protótipo do pêndulo invertido montado
Figura 6.4 – Carro e o servo-potenciômetro
Figura 6.5 – Estrutura do hardware do sistema
Figura 6.6 – Circuito eletrônico do amplificador
Figura 6.7 – Circuito do amplificador eletrônico montado dentro da carcaça da impressora
Figura 7.1 – Implementação do controlador para o ensaio de avaliação de desempenho do
sistema
Figura 7.2 – Comportamento do protótipo real a aplicação de um pulso na entrada
Figura 7.3 – Modelo de simulação do sistema real
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 13
Figura 7.4 – Resultado da simulação do modelo quando aplicado um pulso na entrada
Figura 7.5 – Comportamento do protótipo a uma perturbação manual na haste
Figura 7.6 – Configuração do sistema de controle considerando um distúrbio externo
Figura 7.7 – Modelo para a análise de distúrbio externo aplicado ao sistema
Figura 7.8 – Resultado da simulaçao de um distúrbio externo aplicado ao sistema
Figura 7.9 – Comportamento do protótipo real ao ser estimulado por uma referência senoidal
Figura 7.10 – Comportamento do protótipo para vários valores de referência de posicionamento
Figura A.1.1 – Ação da resistência do ar contra o movimento livre da haste do pêndulo
Figura A.1.2 – Decomposição de forças do atrito viscoso com o ar
Figura A.2.1 – Aspecto da informação da posição do carro durante o ensaio em freqüência
Figura A.2.2 – Histerese no sinal de realimentação de posição do carro durante o ensaio em
freqüência
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 14
iii Lista de Tabelas
Tabela 4.1 – Dados do ensaio do conjunto amplificador-motor-carro
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 15
CAPÍTULO 1
Introdução
A Engenharia de Controle e Automação é um campo excitante no qual se podem aplicar
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 16
É necessário que o sistema pêndulo-carro-motor seja modelado como um sistema linear e
todos os seus parâmetros identificados para que se possa projetar um controlador a fim de
estabilizá-lo.
Esta dissertação é o resultado de mais de quatro anos de pesquisa que se iniciou somente
por curiosidade e culminou com este trabalho de dissertação de mestrado. O processo de
pesquisa teve como fonte principal às dezenas de artigos disponíveis pela internet. A
complementação dos experimentos foi suportada pela literatura clássica utilizada em quase todos
os cursos de engenharia. Os primeiros capítulos tratam da história do pêndulo e das referências
de trabalhos geralmente de mestrado ou doutorados encontrados. Nos capítulos seguintes
procede-se a modelagem do protótipo que foi montado, a identificação dos parâmetros do
modelo através de ensaios e o projeto de um controlador PID. Foram utilizadas várias horas de
ensaios em bancada do laboratório executando diversas experiências e aprimorando-se os
resultados obtidos. Por algumas vezes foi necessário revisar os cálculos e até mesmo a
modelagem para identificar a discrepância de alguns resultados, que muitas vezes insistiam em
não se apresentar da forma esperada. Nos capítulos finais são apresentados os resultados obtidos,
conclusões, referências bibliográficas e anexas.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 17
CAPÍTULO 2
Resenha Bibliográfica
Um pêndulo convencional ideal (figura 2.1) consiste de uma partícula suspensa por um
fio inextensível e de massa desprezível. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o
pêndulo oscilará em um plano vertical sob a ação da gravidade, o movimento é periódico e
oscilatório, sendo possível determinar o período do movimento resultante.
Figura 2.1 - Pêndulo típico.
Os parâmetros e variáveis referentes a figura 2.1 são:
l
o comprimentos do pêndulo;
m
a
massa da partícula;
Θ
o ângulo do fio com a vertical. As forças que atuam em
m
são o peso
(
mg
) e a tração da corda (
T
). O movimento oscilatório do sistema será em torno de um arco de
círculo de raio
l
. A componente da força peso
mg
pode ser decomposta em uma componente
radial de módulo igual a
Θmgcos e uma componente tangencial igual a mgsenΘ . A
componente radial da resultante é a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória circular.
A componente tangencial é a força restauradora, onde o sinal negativo indica que
F
se opõe ao
aumento de
Θ
. A força restauradora não é proporcional ao deslocamento angular
Θ
, mas sim a
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 18
senΘ
. O movimento, portanto, não é harmônico simples. Entretanto, se o ângulo
Θ
for
suficientemente pequeno a função
senΘ
será aproximadamente igual a
Θ
, e o deslocamento ao
longo do arco será
Θx l
=
. Assim obtém-se (2.1).
x
g
m
x
mgmgΘF
−=
−=−=
ll
(2.1)
Para pequenos deslocamentos, a força restauradora é proporcional ao deslocamento e tem
o sentido oposto ao mesmo. Esta é exatamente a condição para se ter movimento harmônico
simples e, de fato, a equação (2.1) tem a mesma forma que a equação
kxF
−
=
, com mg/
l
representando a constante
k
. Para pequenas amplitudes o período
T
(tempo de um ciclo) de um
pêndulo obtém-se na equação (2.2). O período
T
independe da massa
m
da partícula suspensa.
Essa característica serviu com base para a construção dos primeiros relógios mecânicos, onde
mecanismos com molas mantinham e ajustavam as oscilações de pêndulos para medições de
tempo.
==
l
mg
m
k
m
T
ππ
22
g
T
l
π
2= (2.2)
Durante os últimos três séculos o pêndulo foi o mais confiável medidor de tempo, sendo
substituído apenas nas últimas décadas por oscilações atômicas ou eletrônicas. Para um relógio
de pêndulo ser um medidor de tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida
constante, apesar das perdas por atrito afetarem todo o sistema em si. Variações na amplitude tão
pequenas quanto 4° ou 5°, fazem um relógio adiantar cerca de quinze segundos por dia, o que
não é tolerável mesmo em um relógio caseiro. Para manter constante a amplitude é necessário
compensar com pesos ou molas, fornecendo energia adicional que compensa as perdas devidas
ao atrito.
O pêndulo invertido é um sistema inerentemente instável e bastante complexo para se
analisar por meio de seu modelo matemático completo. Vários pesquisadores já abordaram este
sistema de diversas maneiras diferentes. Sobhani
31
mostrou que esse mecanismo é muito bom
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 19
para exemplificar sistemas intrinsecamente instáveis. A primeira abordagem para estabilização
destes sistemas foi descrita por Roberge
26
em sua tese “The Mechanical Seal”.
Existem várias aplicações práticas que utilizam os conceitos envolvidos nos estudos de
pêndulos. Uma implementação relativamente recente é o controle da oscilação de arranha-céus.
Na atualidade engenheiros e arquitetos têm surpreendido o mercado de construções com
edifícios de alturas cada vez maiores. Estas construções tendem a apresentar o inconveniente de
se tornarem vulneráveis a ações de ventos causando oscilações desagradáveis, e em alguns locais
do mundo sendo até mesmo perigosas. Uma solução criativa adotada foi instalar grandes contra-
pesos móveis no topo destes edifícios de forma que com o auxílio de acionamentos hidráulicos
eles possam se mover de um lado para o outro compensando a ação da força do vento, reduzindo
deste modo a amplitude do movimento da estrutura.
Neste contexto também foram desenvolvidas técnicas para proteção de edifícios em
regiões propensas à ocorrência de terremotos. Em 1985 Zayas
34
desenvolveu um conceito
original de um mecanismo para proteção sísmica denominada mancais Friction Pendulum. Este
mecanismo pode ser utilizado na proteção de edifícios, pontes e instalações industriais contra
abalos sísmicos. São utilizadas duas placas metálicas uma plana e outra convexa. Uma esfera
colocada entre as placas, em cada ponto de sustentação da estrutura, permite que o conjunto seja
protegido se movimentando suavemente sobre a base de apoio no solo durante os tremores de um
terremoto. Este conceito pode ser visualizado através da figura 2.2, permitindo que o solo se
movimente sem danificar as estruturas.
Figura 2.2 - Princípio de operação e aplicações práticas dos mancais tipo Friction Pendulum.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 20
Figura 2.3 – Exemplos de aplicações práticas dos mancais tipo Friction Pendulum.
Modelos biomecânicos do modo de caminhar dos seres humanos têm aplicações em muitas
áreas como esportes, fabricação de calçados, robótica, etc. A posição ereta estável de um ser
humano ao caminhar se aproxima muito de um pêndulo invertido pivotado em suas articulações.
A modelagem resultante é conhecida como Pêndulo Invertido Humano (HIP - Human Inverted
Pendulum). Um modelo simplificado desta descrição é mostrado na figura 2.4, cujos conceitos
definiram um novo segmento no estudo da biomecânica com os modelos conhecidos como SLIP,
um anacronismo de Spring Loaded Inverted Pendulum.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 21
Figura 2.4 - Modelo simplificado da sustentação do corpo humano.
Hurst
11
identificou que modelos SLIP contêm os conceitos básicos utilizados
implicitamente ou explicitamente na maioria dos trabalhos sobre locomoção com pernas (legged
locomotion), tanto na área de robótica quanto em biomecânica. O modelo SLIP é uma
aproximação razoável que descreve o centro de massa do movimento de um animal em
caminhada, independente do número de pernas, tamanho ou do tipo de trote. Referências básicas
são os estudos de Siebert
29
que tratou da questão de estabilidade em pêndulos utilizando o
Critério de Routh e também Altendorfer
1
, Parseghian
21
, Sugihara e Nakamura
32
, Lakie et al.
13
e
Iida et al
.
12
. Outras abordagens do pêndulo invertido também são encontradas em Stang
30
, onde
em seu projeto de dissertação de mestrado modelou e implementou um protótipo utilizando a
abordagem de espaço de estados.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 22
Outro trabalho interessante foi elaborado por Pechman e Cechin
22
. Nele é apresentada
uma técnica utilizando redes neurais recorrentes para analisar o comportamento de um sistema
de controle de um pêndulo invertido e dos dados obtidos servem para identificar os estados de
um modelo equivalente.
Uma variação mais elaborada do controle de um pêndulo é apresentada por Bugeja
5
no
qual o equilíbrio de um pêndulo invertido é iniciado com haste na sua posição de descanso
inferior. O algoritmo de controle utiliza técnicas de linearização por retroação de estados e
considerações sobre a energia do sistema para mover a haste até sua posição superior para que
possa subsequentemente ser equilibrada. Para o controle do equilíbrio da haste é utilizado um
controlador projetado através da técnica de espaço de estados. A técnica de controle em cascata é
empregada para reduzir a complexidade do sistema permitindo que duas malhas de controles
independentes sejam implementadas operando em faixas de passagem (bandwidth) distintas.
Åström e Furuta
3
apresentam uma abordagem distinta para o levantamento do pêndulo
(swing-up) e seu equilíbrio. O controle é feito pela informação da energia do pêndulo ao invés
dos dados da sua posição e velocidade. O comportamento global da operação de levantamento da
haste é completamente caracterizado pela razão entre a máxima aceleração da haste pivotada e a
aceleração da gravidade. No trabalho é mostrado, por exemplo, que para se conseguir o
levantamento da haste é suficiente que esta relação seja maior que quatro terços. Em adição a
estes trabalhos pode-se ainda citar Nair e Leonard
16
que realizaram um estudo sobre o pêndulo
de Furuta abordando o aspecto do emprego da análise por energia. Uma das questões tratadas
neste estudo foi o efeito dos atritos que podem representar um desvio significativo no modelo
por se tratar de não-linearidades que não são levadas em consideração nas modelagens típicas.
Outros trabalhos também abordaram esta questão como em Abelson
2
, Olsson et al.
19
e Dietz
7
.
Há casos no qual o estudo do pêndulo foi efetuado para se averiguar a viabilidade técnica
de um determinado tipo de equipamento de controle. Svensson
33
realizou na tese de mestrado a
implementação de um controle de um pêndulo invertido em um computador pessoal utilizando o
sistema operacional Real Time Linux (RTLinux), analisando a flexibilidade e o desempenho
deste sistema operacional em garantir os requisitos de tempo necessários à sistemas em tempo
real. Palopoli, et al.
20
estudaram e utilizaram um software de tempo real com os mesmos
propósitos. Sánchez, J. et al.
27
avaliaram a possibilidade de executar o controle de um pêndulo
invertido através da Internet. Projetaram e implementaram um sistema por meio da World Wide
Web.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 23
Raffai et al.
25
estudaram e desenvolveram uma metodologia para filtragem de freqüências
ultra-baixas empregada para isolação em instrumentação científica de precisão para detecção
sísmica e análise ótica, utilizando conceitos de pêndulos invertidos. Estudos similares foram
realizados por Borg
4
. Grasser et al.
8
estudaram a dinâmica de um pêndulo invertido montado
sobre um eixo motorizado com duas rodas e projetaram um controlador para acionar o motor do
eixo de forma a equilibrar a haste. Guangyu et al.
9
adaptaram a haste de um pêndulo invertido
sobre uma junta universal de forma a permitir dois graus de liberdade ao protótipo. Com base
neste equipamento efetuaram a modelagem e implementação de um controlador tipo nested
saturating.
Popescu et al.
24
apresentam uma outra variação interessante de uma classe de pêndulos
denominados double pendulum. Nestes modelos a haste se consiste de dois segmentos acoplados
através de uma junta e que possui uma mola acoplando as duas metades. O objetivo, novamente,
trata-se em manter este conjunto equilibrado em sua posição vertical mantendo o centro de
massa do conjunto alinhado com a linha normal ao plano do carro. Landry et al.
14
utilizam um
pêndulo com dois graus de liberdade acrescentando atrasos variáveis na realimentação das
informações do sistema. O objetivo do trabalho é identificar técnicas para o controle de sistemas
que possuem atrasos. Anteriormente Sieber e Krauskopf
28
realizaram trabalhos analisando a
relevancia de atrasos na modelagem e controle de sistemas desta natureza. Lundberg e Roberge
15
realizaram uma análise e comparação de uma configuração denominada dual-pendulum, que se
trata de um carro com duas hastes montadas sobre o mesmo. O objetivo é manter as duas hastes
equilibradas ao mesmo tempo. Craig e Awtar
6
apresentaram o trabalho de projeto e montagem de
um pêndulo que ao invés de ser montado sobre um carro é montado sobre uma base giratória
(rotary driven). O equilíbrio é conseguido girando-se adequadamente a base.
Existem ainda aplicações que utilizam o mecanismo do pêndulo para funções não-
convencionais. Hori et al.
10
desenvolveram um método para a medida precisa do coeficiente de
atrito da superfície dos dentes de conjuntos de engrenagens em aplicações gerais. Um pêndulo
simples é acoplado ao conjunto de engrenagens sob teste e colocado a oscilar. A oscilação
amortecida do conjunto é medida e o coeficiente de atrito calculado pela equação de dissipação
de energia do pêndulo. Segundo os autores este método tem a grande vantagem de poder avaliar
o coeficiente de atrito de pequenas regiões das engrenagens, até de menos de um grau radiano, e
como consequência obter informações sobre o atrito total do sistema.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 24
CAPÍTULO 3
Modelagem do Sistema Proposto
Para compreender e controlar sistemas complexos é conveniente obter modelos
matemáticos quantitativos dos mesmos. Para isto é necessário analisar as relações entre as
variáveis do sistema e obter um modelo matemático o mais preciso possível. Geralmente os
sistemas dinâmicos são de natureza contínua no tempo, e as equações matemáticas que os
descrevem são equações diferenciais. Pode-se utilizar a transformada de Laplace para simplificar
a representação e os métodos de solução.
Na prática a complexidade dos sistemas reais e o desconhecimento de todos os fatores
pertinentes aos mesmos, requerem a introdução de hipóteses relativas à sua operação. Assim,
freqüentemente será útil considerar sistemas lineares e invariantes no tempo. Usando as leis
físicas que descrevem o sistema linear equivalente, pode-se obter um conjunto de equações
diferenciais lineares. E utilizando ferramentas matemáticas obtém-se a solução que descreve a
operação de um sistema devidamente modelado sem a necessidade de acessar o sistema real. Em
resumo a abordagem básica da modelagem de um sistema dinâmico pode ser listada como a
seguir:
1.
Definir o escopo do sistema e dos seus componentes essenciais.
2.
Formular o modelo matemático e listar as hipóteses necessárias.
3.
Escrever as equações diferenciais que descrevem o modelo.
4.
Resolver as equações em função das variáveis de saída de interesse.
5.
Examinar as soluções e as hipóteses.
6.
Se necessário aprimorar o modelo do sistema.
O fluxograma mostrado na figura 3.1 ilusta as etapas específicas necessárias para a
montagem, modelagem e implementação do controle proposto nesta dissertação. Conforme
citado no resumo deste trabalho, serão utilizadas partes de uma impressora de computadores
pessoais para implementar a parte mecânica do sistema de pêndulo invertido. Um amplificador
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 25
eletrônico acionara o motor do carro da impressora onde será fixada a haste do sistema. Um
servo-potênciômetro fornecera a informação da grandeza física a ser controlada (a posição da
haste). Será utilizado um microcomputador acoplado a uma placa de aquisição de dados para
realizar o controlador digital do sistema. A figura 3.2 ilustra a malha de controle proposta. A
identificação dos parâmetros do sistema e o cálculo dos ganhos do controlador serão realizados
por meio de softwares comerciais. Os próximos itens e capítulos detalharão os procedimentos
descritos no fluxograma.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 26
Figura 3.1 – Fluxograma operacional do projeto.
Figura 3.2 – Representação em diagrama de blocos do sistema de controle.
Ângulo do
pêndulo
Θ
Potenciômetro
K
pot
Amplificador
Motor/Carro
+
-
ref
Modelagem do
conjunto do
pêndulo
Modelagem do
conjunto do
carro/motor
Ensaio com
o pêndulo
Ensaio com o
carro/motor
Identificação dos
parâmetros do conjunto
do pêndulo
Identificação dos
parâmetros do conjunto do
carro/motor
Implementação do
modelo completo em
MatLab
Traçar o Lugar
Geométrico
das Raizes do
sistema
Identificar o
modelo de
controlador
adequado
Adicionar o
controlador ao
protótipo
Testar a operação
do conjunto
completo
Aquisição da
impressora HP500 e
do potenciômetro de
precisão
Projeto e montagem do
amplificador e do circuito
de interface com o
potenciômetro transdutor
de posição
Início
Operação
Correta
?
Fim
S
N
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 27
3.1 Modelagem do pêndulo invertido
A figura 3.3 servirá como base para a modelagem do sistema proposto. Por meio de
relações trigonométricas e das decomposições das forças no sistema pode se escrever as
expressões (3.1) e (3.2).
Figura 3.3 – Sistema de coordenadas do conjunto do pêndulo invertido.
Inicialmente serão mostradas as equações que regem o movimento do pêndulo. As derivadas das
equações dos deslocamentos são respectivamente as informações de velocidades e acelerações:
(
)
ΘXX
pcg
senl
+
=
;
( )
...
cos ΘΘXX
pcg
l+=
;
2
.......
)sen()cos( ΘΘΘΘXX
pcg
ll −+=
; (3.1)
cg
mg
Θ
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 28
(
)
ΘYY
pcg
cosl
+
=
;
...
)sen( ΘΘYY
pcg
l−=
;
0
.
=
p
Y
;
( ) ( )
2
.....
cossen ΘΘΘΘY
cg
ll −−=
. (3.2)
A somatória das forças na direção X, denominada como H é dada por (3.3) e (3.4).
∑
=
cg
x
XmF
..
(3.3)
( ) ( )
−+=
2
.....
sencos ΘΘΘΘXmH
p
ll
,
( ) ( )
2
.....
sencos ΘΘmΘΘmXmH
p
ll −+=
. (3.4)
A somatória das forças na direção Y, denominada como V é expressa por (3.5) e (3.6).
∑
=
cg
y
YmF
..
(3.5)
( ) ( )
−−=−
2
...
cossen ΘΘΘΘmmgV ll
,
( ) ( )
mgΘΘmΘΘmV +−−=
2
...
cossen ll
. (3.6)
A somatória dos momentos de inércia é modelada por (3.7) e (3.8).
...
Θ
B
Θ
IM
rcg
+=
∑
(3.7)
( ) ( )
...
cossen ΘBΘIΘHΘV
r
+=− ll
(3.8)
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 29
Combinando as equações anteriores vem:
( ) ( )
Θ
H
Θ
V
Θ
B
Θ
I
r
cossen
...
ll −=+
;
( ) ( ) ( )
−
+−−=+
Θ
mg
ΘΘ
m
ΘΘ
m
Θ
B
Θ
I
r
sencossen
2
......
lll
( ) ( ) ( )
ΘΘΘ
m
ΘΘ
mXm
p
cossencos
2
.....
lll
−+−
;
( ) ( ) ( )
−−Θ−=+
2
.
2
..
22
...
cossensen ΘΘΘmΘmΘBΘI
r
ll
( ) ( ) ( )
+−−+
..
22
..
coscossen
ΘΘ
m
Θ
Xm
Θ
mg
p
lll
( ) ( )
2
.
2
cossen ΘΘΘml+
;
( ) ( )
Θ
Xm
Θ
mg
Θ
m
Θ
B
Θ
I
p
r
cossen
....
2
...
lll −+−=+
;
(
)
( ) ( )
Θ
Xm
Θ
mg
Θ
B
Θ
mI
pr
cossen
.....
2
lll −=−++
. (3.9)
Assumindo que a haste é uniforme, que possui momento de inércia
3
2
lm
e também que
Θ
é muito pequeno vem:
( ) ( ) ( ) ( )
tXmtΘmgtΘBtΘm
p
.
r
....
2
3
4
lll −=−+ ;
...
2
..
4
3
4
3
4
3
p
r
XΘ
g
Θ
m
B
Θ
lll
−=−+
. (3.10)
Visando a obtenção de uma representação padrão, são definidos os parâmetros em (3.11)
obtendo a equação (3.12), onde aplicando a transformada de Laplace resulta em (3.13) que é a
função de transferência típica de um sistema de pêndulo invertido.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 30
2
4
3
2
l
m
Br
n
=
ξω
,
l
4
3
2
g
n
=
ω
,
l
4
3
=
p
K
. (3.11)
( ) ( ) ( ) ( )
tXKtΘtΘtΘ
pp
nn
.. ..
2
.
2 −=−+
ωξω
(3.12)
2
2
2
2
)(
)(
nn
p
ss
sK
sX
sΘ
ωξω
−+
−
=
(3.13)
3.2 Modelagem do conjunto Amplificador-Motor-Carro
O pêndulo invertido é movimentado por carro acionado por um motor de corrente
contínua, que por sua vez é controlado por um amplificador eletrônico cujo modelo básico é
dado pela relação (3.14). O motor de corrente contínua tem a equação (3.15) modelando seu
circuito da armadura, onde a expressão (3.16) representa a tensão induzida e (3.17) a relação da
corrente de armadura com o torque resultante.
o
a
i
V
K
V
1
=
(3.14)
aa
o
RiEV
+
=
(3.15)
.
ΦKE
m
=
(3.16)
d
t
a
T
K
i
1
=
(3.17)
Combinando as equações acima vem:
+=
d
.
a
tm
ta
a
i
rTΦr
R
KK
rKK
R
V
. (3.18)
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 31
Equacionando o torque total requerido do motor vem
rmmt
TΦBΦIT ++=
...
.
O torque resistente no motor pode ser expresso por
rFT
r
=
.
A força (
F
) exercida na correia de transmissão do carro é
HXBXMF
pcp
++=
...
,
..
cg
XmH =
.
Assumindo que m << M implica que
....
pcg
XX ≈
e portanto
...
pcp
XBXMH +<<
, assim
...
pcp
XBXMF +=
,
+++=
......
pcpmmt
XBXMrΦBΦIT
.
Substituindo na equação (3.18) vem
++++=
.......
pcpmm
a
tm
ta
a
i
XrBXMrΦBΦIrΦr
R
KK
rKK
R
V
,
++++=
.
2
..
2
....
pcpmm
a
tm
ta
a
i
XrBXMrΦrBΦrIΦr
R
KK
rKK
R
V
,
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 32
++
++=
.
2
..
2
...
pcpm
a
tm
m
ta
a
i
XrBXMrΦrB
R
KK
ΦrI
rKK
R
V
. (3.19)
São conhecidas as seguintes relações:
ΦrX
p
∆
=
∆
;
..
ΦrX
p
=
;
....
ΦrX
p
=
.
Substituindo na equação (3.19) vem
++
++=
.
2
..
2
...
pcpm
a
tm
pm
ta
a
i
XrBXMrΦrB
R
KK
XI
rKK
R
V
,
( )
++++=
.
2
..
2
pcm
a
tm
pm
ta
a
i
XrBB
R
KK
XMrI
rKK
R
V
.
Fazendo
2
MrIJ
m
+=
tem-se
++=
2
1
rBB
R
KK
J
B
cm
a
tm
,
rKK
JR
K
ta
a
c
=
1
,
+=
...
1
pp
c
i
XBX
K
V
.
Resultando em (3.20), onde aplicando a transformada de Laplace tem-se (3.21) que é a
função de transferência do sistema amplificador-motor-carro.
( ) ( )
( )
Bss
K
sVsX
c
ip
+
=
(3.20)
( )
Bss
K
sV
sX
c
i
p
+
=
)(
)(
(3.21)
No anexo A.1 encontra-se a modelagem do sistema de pêndulo considerando o atrito do ar do
meio ambiente com a haste do sistema.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 33
CAPÍTULO 4
Estimação dos Parâmetros do Modelo
4.1 Estimação dos parâmetros do modelo do pêndulo
Para a estimação dos parâmetros do sistema do pêndulo invertido será utilizado um
artifício, o sistema pode ser ensaiado como um pêndulo convencional. Seja o sistema ilustrado
na figura 4.1, onde similarmente à figura 3.3 serão equacionadas as expressões do modelo
matemático do sistema.
Figura 4.1 – Pêndulo livre.
Equacionando o sistema têm-se:
cg
mg
Θ
Xcg
Ycg
H
V
X
Y
Yp
Xp
p
l
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 34
(
)
Θ
XX
pcg
sen
l
−
=
;
( )
...
cos ΘΘXX
pcg
l
−=
;
( ) ( )
2
.....
sencos ΘΘΘΘX
cg
ll −=
; (4.1)
(
)
ΘYY
pcg
cosl−=
;
( )
.
pcg
ΘΘYY sen
..
l+=
;
0
.
=
p
Y
;
( ) ( )
2
.....
cossen
ΘΘΘΘ
Y
cg
ll
+=
; (4.2)
∑
=
cg
x
XmF
..
;
( ) ( )
+−=
2
...
sencos
ΘΘΘΘ
mH
ll
;
( ) ( )
2
...
sencos ΘΘmΘΘmH ll +−=
; (4.3)
∑
=
cg
y
YmF
..
;
( ) ( )
+=−
2
.
cossen
ΘΘΘΘ
mmgV
..
ll
;
( ) ( )
mgΘΘmΘΘmV ++=
2
...
cossen ll
; (4.4)
.
rcg
ΘBΘIM +=
∑
..
;
( ) ( )
...
cossen
ΘBΘIΘHΘV
r
+=+
ll
. (4.5)
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 35
Combinando todas as equações vem:
( ) ( )
ΘHΘVΘBΘI
r
cossen
...
ll +−=+
;
( ) ( ) ( )
+
++=+ ΘmgΘΘmΘΘmΘBΘI
...
r
sencossen
2
...
lll
( ) ( ) ( )
ΘΘΘmΘΘm cossencos
2
...
lll
+−+
;
( ) ( ) ( )
−−=+
2
.
2
..
22
...
cossensen ΘΘΘmΘΘmΘBΘI
r
ll
( ) ( )
+−
..
22
cossen ΘΘmΘmg ll
( ) ( )
2
.
cossen ΘΘΘml+
;
( )
ΘmgΘmBΘI
r
sen
..
2
...
ll −−=Θ+
;
(
)
( )
0sen
.
2
=+++ ΘmgΘBΘmI r
..
ll
. (4.6)
Assumindo que a haste é uniforme, que possui momento de inércia
3
2
lm
e que
Θ
é
pequeno o suficiente para admitir que
(
)
ΘΘ
≈
sen
, vem:
( ) ( ) ( )
0
3
4
...
2
=++ tΘmgtΘBtΘm r
ll
;
0
4
3
4
3
2
..
=++
Θ
g
Θ
m
B
Θ
.
r
l
l
. (4.7)
Definindo os parâmetros (4.8) tem-se (4.9) que é a equação do pêndulo convencional,
cujos autovalores são dados por (4.10).
2
4
3
2
l
m
Br
n
=
ξω
,
2
2
4
3
l
g
n
=
ω
. (4.8)
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 36
( ) ( ) ( )
02
2
...
=++ tΘtΘtΘ
nn
ωξω
(4.9)
2
1
ξωξωλ
−±−=
nn
j
(4.10)
Fazendo
2
1
ξωω
−=
nd
obtém-se a solução dada por (4.11). Em geral
(
)
t
Θ
apresenta
uma resposta senoidal de freqüência (
d
ω
/2
π
) amortecida com um envelope exponencial (
t
n
e
ξω
−
).
(
)
(
)
aKet
Θ
dt
t
n
+=
−
ω
ξω
sen
(4.11)
Pode ser realizado um ensaio para estimar os parâmetros do modelo. Para tanto o
conjunto do carro foi removido da impressora e posicionado de cabeça para baixo sobre a borda
de um suporte de forma que o mesmo pudesse se movimentar livremente. Os ensaios foram
realizados posicionando-se a haste na posição 90º e soltando-a para que pudessem realizar
livremente o movimento oscilatório característico de um pêndulo. Durante esse período o sinal
do potenciômetro utilizado como transdutor de posição ângular foi registrado (figura 4.3) por
meio de um sistema de coleta de dados. A figura 4.2 mostra a disposição do equipamento para
esse experimento.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 37
Figura 4.2 – Disposição do equipamento para o levantamento dos parâmetros do sistema.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 38
para que esse procedimento funcione corretamente é necessário que o sinal a ser processado
tenha poucos ruídos adicionados que possam mascarar o comportamento do sistema, fazendo
com que o segmento do programa que identifica os valores máximos faça o processamento ser
inadequado. Através da análise do sinal, utilizando a transformada rápida de Fourier (FFT – Fast
Fourier Transform), é possível identificar a freqüência dominante do sistema para que seja
escolhida a característica da filtragem adequada. Como a freqüência de oscilação natural do
sistema identificada ficou abaixo de 1 [Hz], foi implementado um filtro digital tipo Window Sync
- Hamming com banda de passagem de 1 [Hz] e freqüência de corte de 3 [Hz]. O programa foi
implementado utilizando o software Matlab. Seu fluxograma é mostrado na figura 4.4 e sua
listagem encontra-se no anexo A.3. A figura 4.5 mostra o valor da FFT do sinal original coletado
e a figura 4.6 mostra o resultado do sinal filtrado. Um ajuste adequado dos parâmetros do filtro
permite uma filtragem sem defasagens entre o sinal de entrada e o de saída do mesmo.
Figura 4.4 - Fluxograma do programa para identificação dos parâmetros do pêndulo.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 39
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
FFT do sinal do ensaio
Figura 4.5 - FFT do sinal obtido no ensaio do pêndulo
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
-6
-4
-2
0
2
4
6
Figura 4.6 - Sinais original (vermelho) e filtrado (azul) em função do número de amostras.
n
o
. de amostras
Amplitude
[V]
Freqüência (Hz)
Amplitude
[V]
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 40
O valor obtido para o índice da função exponencial do modelo através do algoritmo foi
aproximamente 0,19. Com base neste parâmetro é possível calcular que a amplitude K vale
6,581.
A figura 4.7 mostra o gráfico comparativo entre os dados reais e a curva ajusta. Os dados
foram normalizados em ambos os eixos para melhorar visualização e análise.
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
4
5
6
Figura 4.7 - Dados reais e a curva estimada do ensaio do pêndulo.
Das figuras 4.3 e 4.6 obtém-se o período da oscilação do sistema que está em torno de
1,191 segundos ou 5,2756 [rd/s]. Comparando os expoentes das equações têm-se (4.12) e (4.13).
19,0
=
n
ξω
(4.12)
2
222
ξωωω
nnd
−=
(4.13)
Substituindo os valores vem:
036,0
=
ξ
e
279,5
=
n
ω
(4.14)
___ curva ajustada
___ dados reais
t[s]
Amplitude
[V]
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 41
Do comprimento da haste tem-se o parâmetro K
p
= 2,97. A função de transferência para o
conjunto do pêndulo pode agora então ser completamente definida (4.15).
8678,273801,0
.97,2
)(
)(
2
2
−+
−
=
ss
s
sX
s
Θ
(4.15)
Adicionalmente um complemento aos cálculos anteriormente realizados pode ser feito.
De (4.8) obtêve-se
2
4
3
2
l
m
Br
n
=
ξω
. (4.16)
Como os valores de
ξ
e
n
ω
já são conhecidos é possível calcular o valor numérico de
r
B
3
42
2
lm
B
n
r
ξω
=
.
As medições foram efetuadas e delas encontrado que m = 0,0172511 [Kg] e
l
= 0,504
[m]. Desta forma calcula-se
00223,0
=
r
B
[N/rd/s].
Esses cálculos permitem agora que a equação caracterísitica do modelo do pêndulo (4.15)
possa ser facilmente obtida para outras hastes sem a necessidade de realizar novos ensaios,
bastando para isso somente substituir os novos valores de
m
e
l
em (4.8).
4.2 - Estimação dos parâmetros do conjunto Amplificador-Carro-Motor
É possível determinar experimentalmente os parâmetros do modelo do conjunto
amplificador-motor-carro do sistema de pêndulo invertido. Entre as técnicas possíveis de serem
empregadas optou-se por métodos de resposta em freqüência. O procedimento adotado será de
excitar o amplificador do sistema com um sinal senoidal expresso por (4.16), onde
A
representa
a amplitude do sinal de excitação e
ω
sua freqüência. Aplicando a transformada de Laplace na
equação obtém-se (4.17), e usando a função de transferência do conjunto resulta em:
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 42
)cos( tAV
i
ω
=
; 4.16)
22
)(
ω
+
=
s
s
AsV
i
; (4.17)
( )
Bss
K
s
s
AsX
c
p
+
+
=
22
)(
ω
=>
( )
Bss
K
AsX
c
p
++
=
)(
)(
22
ω
. (4.18)
Expandindo em frações parciais:
( )( )( )
++− Bsjsjs
AK
c
ωω
1
=>
+
+
+
+
− Bs
n
js
n
js
n
AK
c
321
ωω
;
( )
Bjj
n
+
=
ωω
2
1
1
;
( )
Bjj
n
+
−
=
ωω
2
1
2
;
( )( )
22
3
11
ω
ωω
+
=
−−+−
=
B
jBjB
n
;
++
+
++
−
−+
=
))((
1
))((2
1
))((2
1
)(
22
BsB
jsBjjjsBjj
AKsX
c
p
ω
ωωωωωω
;
++
+
+
−
−+
=
))((
1
)(
1
)(
1
)(2
1
)(
22
BsB
jsjsBjj
AKsX
c
p
ω
ωωωω
;
( ) ( )
Bs
B
AK
jsjsjBj
AK
sX
cc
p
+
+
+
+
−
−+
=
111
2
1
)(
22
ω
ωωωω
. (4.19)
Aplicando a transformada inversa de Laplace vem:
( )
[
]
Bt
c
tjtj
c
p
e
B
AK
ee
jBj
AK
tX
−−
+
+−
+
=
22
2
1
)(
ω
ωω
ωω
;
( )
( )
Bt
cc
p
e
B
AK
t
Bj
AK
tX
−
+
+
+
=
22
sen)(
ω
ω
ωω
. (4.20)
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 43
O último termo da equação (4.20) tende a zero à medida que o tempo aumenta. Então
restará somente a solução para o estado estacionário que é dado por (4.21), onde a variável X
p
representa a coordenadas do carro no eixo X.
)sen(
)(
)( t
Bj
AK
tX
c
p
ω
ωω
+
=
(4.21)
A resposta em freqüência de um sistema é representada por meio de gráficos da
magnitude e da fase pela freqüência da função que represnta o sistema. Frequentemente os
valores de magnitude são expressos em decibéis e da freqüência em radianos. A expressão (4.22)
mostra a relação da magnitude do deslocamento do carro com a freqüência de excitação de
entrada do sistema.
+
=
1
1
log20
10
B
j
B
AK
Mag
c
ω
ω
1log20log20
1
log20
101010
+−−=
B
j
B
AKMag
c
ω
ω
(4.22)
O gráfico da reposta em freqüência, conhecido como diagrama de Bode, pode ser
decomposto em três partes. A primeira delas é uma reta com valor 20log|AK
c
/B| paralela ao eixo
da freqüência. A segunda, uma reta com inclinação de -20 [dB] por década, tendo o valor de
0[dB] para
ω
= 1 [rd/s]. E finalmente uma curva definida pelo termo 20log|j(
ω
/B)+1| que pode
ser aproximada por sua assintota. A figura 4.8 ilustra cada uma destas componentes e a
resultante.
Realizando um ensaio no conjunto é possível determinar os parâmetros da função de
transferência que modela o mesmo. A idéia é excitar o amplificador com uma forma de onda
conhecida, no caso senoidal, e observar as variações de posição do carro. Essa medição da
posição foi realizada com o uso de um transdutor de posição sem contato que emprega
tecnologia magneto-restritiva. A figura 4.9 mostra a montagem experimental destacando-se o
transdutor de deslocamento linear utilzado no ensaio. A tabela 4.1 traz os dados obtidos no
ensaio. A resposta em freqüência resultante está ilustrada na figura 4.10.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 44
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0,1 1 10 100
Freqüência (rad/s)
Amplitude (dB)
Figura 4.8 – Componentes básicas da resposta em freqüência do sistema.
Figura 4.9 – Detalhe do carro com o transdutor de posição linear.
ω = B
-20 log (ω)
-20logAK
c
/B
-20log(j(ω /B)+1)
Resultante
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 45
Tabela 4.1 - Dados do ensaio do conjunto amplificador-motor-carro
Frequencia
Frequencia
Tensão pico-a-pico
Deslocamento
M
(Hz)
(Rad/s)
(Vpp)
(m)
(dB)
0.08
0.50
9.6
0.298
-13.75
0.1
0.63
8.56
0.265
-14.75
0.2
1.26
4.739
0.147
-19.89
0.3
1.88
3.45
0.107
-22.64
0.4
2.51
2.567
0.080
-25.21
0.5
3.14
2.225
0.069
-26.45
0.6
3.77
1.831
0.057
-28.15
0.7
4.40
1.645
0.051
-29.08
0.8
5.03
1.362
0.042
-30.72
0.9
5.65
1.229
0.038
-31.61
1
6.28
1.176
0.036
-31.99
1.1
6.91
1.07
0.033
-32.81
1.2
7.54
1.02
0.032
-33.23
1.3
8.17
0.913
0.028
-34.19
1.4
8.80
0.8
0.025
-35.34
1.5
9.42
0.781
0.024
-35.55
1.6
10.05
0.747
0.023
-35.93
1.7
10.68
0.75
0.023
-35.90
1.8
11.31
0.752
0.023
-35.88
1.9
11.94
0.708
0.022
-36.40
2
12.57
0.674
0.021
-36.83
2.5
15.71
0.532
0.016
-38.88
3
18.85
0.454
0.014
-40.26
3.5
21.99
0.356
0.011
-42.37
4
25.13
0.264
0.008
-44.97
4.5
28.27
0.215
0.007
-46.75
5
31.42
0.156
0.005
-49.54
5.5
34.56
0.131
0.004
-51.05
6
37.70
0.17
0.005
-48.79
6.5
40.84
0.164
0.005
-49.10
7
43.98
0.156
0.005
-49.54
7.5
47.12
0.141
0.004
-50.42
8
50.26
0.14
0.004
-50.48
8.5
53.41
0.116
0.004
-52.11
9
56.55
0.107
0.003
-52.81
9.5
59.69
0.102
0.003
-53.23
10
62.83
0.098
0.003
-53.58
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 46
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
0.10 1.00 10.00 100.00
Freqüência (rad/s)
Amplitude (dB)
Figura 4.10 – Diagrama de Bode do ensaio do conjunto amplificador-motor-carro.
Utilizando as informações do gráfico da resposta em freqüência ensaida é possível obter
os parâmetros do conjunto. Em freqüências muito baixas o termo dominante é a reta constante
função do ganho (K
c
) do sistema. Ainda em freqüêncais baixas o pólo na origem faz a magnitude
do sistema cair -20 [dB] por década de freqüência. Em freqüências mais altas o pólo com parte
real negativa do conjunto também faz a curva do módulo cair mais 20 [dB]. Isto ocorre para um
valor próximo de
ω
=19 [rd/s], que coincide com o valor numérico do parâmetro B, portanto:
19
=
B
. (4.23)
Para freqüências baixas o terceiro termo da equação (4.22) tende a valores baixos e pode
ser desprezado. Para freqüências abaixo de 0,5 [rd/s] o valor da magnitude está em torno de -13,4
[dB] resultando em (4.24). Sabendo que a amplitude do sinal de excitação tem valor A = 1,45
obtém-se (4.25). Assim a função de transferência do conjuto é definda por (4.26). A função de
todo o sistema fica determinada por (4.27) e está ilustrada na figura 4.11.
19
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 47
40,13log20
1
log20 −=−
ω
B
AK
c
(4.24)
85,3
=
c
K
(4.25)
( ) ( )
BssBss
K
sV
sX
c
i
p
+
=
+
=
85,3
)(
)(
(4.26)
( )
8678,273801,0
.97,2
.
19
85,3
)(
)(
)(
2
2
−+
−
+
==
ss
s
sss
i
V
s
Θ
sG
(4.27)
Figura 4.11 - Modelo completo da planta identificada.
No decorrer do procedimento de ensaio do sistema foram detetados alguns efeitos não-
lineares que não serão considerados nos próximos capítulos por questões de simplificações. No
anexo A.2 encontram-se as considerações a respeito destes efeitos.
8678,273801,0
97,2
2
2
−+
−
ss
s
Θ
( )
19
85,3
+ss
X
p
V
i
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 48
CAPÍTULO 5
Análise do Modelo da Planta Identificada
No capítulo anterior o protótipo foi modelado e os valores numéricos dos parâmetros
estimados. De posse destas informações é possível realizar uma análise completa do
comportamento dinâmico da planta. A função de transferência da mesma pode ser fatorada para
melhor visualização (figura 5.1).
Figura 5.1 - Modelo fatorado da planta identificada.
É possível identificar claramente a existência de um pólo no semiplano direito (cujo valor
é 5,4725) caracterizando assim um sistema instável (Ogata
18
). Existe também um pólo na origem
que tende a deixar o sistema instável. Como ilustração, a figura 5.2 traz a resposta do sistema a
um degrau unitário de excitação. Nela observa-se que o valor do ângulo do pêndulo tende a
crescer com o tempo, caracterizando a tendência de instabilidade deste sistema.
)0924,5)(4725,5(
97,2
2
+−
−
ss
s
( )
19
85,3
+ss
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 49
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
-0.5
-0.45
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
Step Response
Time (sec)
Figura 5.2 - Resposta da planta sem compensação a uma excitação tipo degrau.
Visando a estabilização e o controle da planta deve-se empregar controladores ou
compensadores adequados. Existem várias opções de controladores tais como PID
(Proporcional-Intergral-Derivativo), de avanço ou atraso de fase (lead/lag), adaptativos,
utilizando técnicas de inteligência artificial, etc.
t[s]
Amplitude
[V]
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 50
CAPÍTULO 6
Projeto e Implementação do Sistema
Neste trabalho será implementada uma malha de controle real para o sistema de pêndulo
invertido utilizando um controlador PID. Optou-se por implementar o controlador através de um
microcomputador acoplado a uma placa de aquisição de dados. O algoritmo de controle será
realizado através de um software de simulação e controle bastante utilizado em muitas
instituições de ensino. A vantagem da utilização desta plataforma de desenvolvimento é que
outras estratégias de controle podem ser facilmente desenvolvidas e testadas.
As especificações definidas para a malha de controle são: máximo pico (M
p
) menor ou
igual a 5%; tempo de acomodação (t
s
) em torno de 0,2 segundos; erro em regime permanente
(e
ss
) próximo de 0,5%.
Na implementação real do controlador o tempo de amostragem utilizado será de 0,001
segundos. Esse valor é pequeno se comparado com a menor constante de tempo da planta
identificada. Assim a atuação do controlador computadorizado a ser implementado se aproxima
bastante da função de um compensador contínuo equivalente. A equação (6.1) mostra a função
de transferência típica de um controlador PID. A variável e(s) consiste na informação do erro da
malha de controle e u(.) na variável de atuação do sistema. Os ganhos proporcional (K
p
), integral
(K
i
) e derivativo (K
d
) quando devidamente ajustados definem a dinâmica desejada para a malha
de controle, como o máximo pico estipulado, tempo de acomodação, erro em regime, etc.
sKd
s
Ki
Kp
se
su
sC ++==
)(
)(
)(
(6.1)
Para sistemas estáveis aproximados por funções de segunda ordem e com raízes
expressas por (6.2), existe uma relação entre o máximo pico e o fator de amortecimento (
ξ
) dado
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 51
pela expressão (6.3) ou (6.4), e junto com a freqüência natural de oscilação (
n
ω
) há uma relação
também com o tempo de acomodação (expressão (6.5)).
2
2,1
1
ξωξω
−±−=
nn
js
(6.2)
2
1
ξ
πξ
−
−
= eM
p
(6.3)
(
)
( )
p
p
M
M
22
2
ln
ln
+
=
π
ξ
(6.4)
n
s
t
ξω
4
=
(6.5)
As equações (6.6), (6.7) e (6.8) definidas por Phillips e Harbor
23
, são utilizadas para
calcular os ganhos típicos de um controlador PID quando conhecida (ou estimada) a função de
transferência do processo a ser controlado.
ss
n
s
x
e
sHsGsK
1
)()(lim
0
=
→
(6.6)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
1
1
111
111
cos2
sin
sin
s
sK
ssHsG
sHsGs
K
i
p
−
∠
∠+∠−
= (6.7)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2
1
1111
11
sin
sin
s
K
ssHsGs
sHsG
K
i
d
+
∠
∠
=
(6.8)
Com a especificação definida para o máximo pico (M
p
=0,05) na equação (6.4) vem:
6901,0
=
ξ
. (6.9)
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 52
E juntamente com a informação do tempo de acomodação desejado (
t
s
=0,2) na equação
(6.5) vem
s
rd
n
98,28=
ω
(6.10)
Para que se possa efetuar o cálculo, um dos três parâmetros do controlador precisa ser
estimado ou adotado (Phillips e Harbo
23
). Depois de alguns experimentos práticos foi
selecionado o valor (6.11) para o ganho integral.
823
=
i
K
(6.11)
Da equação (6.2) tem-se (6.12), onde o argumento está em radianos.
97,2000,20
2,1
js
±
−
=
,
3324
,298,28
1
∠
=
s
. (6.12)
Com os valores de (6.12) na função de transferência da planta (4.27) tem-se (6.13), onde
o argumento está em radianos.
0131,00136,0)(
1
jsG
−
=
,
7664,00189,0)(
1
−
∠
=
sG
.
(6.13)
Substituindo os valores de (6.11), (6.12) e (6.13) em (6.7) e (6.8) vem (6.14) e (6.15).
2435,
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 53
Figura 6.1 - Modelo da malha de controle resultante.
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
System: sys
Gain: 16.4
Pole: -20.5 + 20.9i
Damping: 0.7
Overshoot (%): 4.61
Frequency (rad/sec): 29.3
Figura 6.2 - Lugar das raízes do sistema compensado.
A foto da figura 6.3 mostra o protótipo do pêndulo invertido montado. A parte mecânica
foi adaptada do carro de uma impressora modelo HP500. Para a medição da posição angular do
pêndulo utilizou-se um servo-potenciômetro de precisão. O dispositivo deve possui algumas
características especiais para este tipo de aplicação. Como ele é utilizado para suportar a haste do
pêndulo, a sustentação do eixo é uma questão importante, bem como a necessidade do mesmo
apresentar baixo atrito, precisão e repetibilidade. O modelo escolhido apresenta mancais com
)0924,5)(4725,5(
97,2
2
+−
−
ss
s
(
)
19
85,3
+
s
s
s
ss 8232435,398189,0
2
++
+
-
ref
θ
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 54
esferas (tipo rolamento) o que confere robustez e baixo atrito. O elemento resistivo é de plástico
condutivo permitindo deslizar suavemente sobre toda a faixa de excursão do elemento. Foi
utilizado o modelo 157-9002-103 da Vishay/Spectrol (cujas folhas de dados estão no anexo A.6).
Foi providenciado um pequeno mecanismo que é montado no eixo do potenciômetro para que o
mesmo possa encaixar na base da haste do pêndulo (figura 6.4).
Figura 6.3 – Protótipo do pêndulo invertido montado.
Figura 6.4 – Carro e o servo-potenciômetro.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 55
O acionamento do carro, onde está fixada a haste do pêndulo, é realizado por um motor
elétrico controlado por um amplificador (condicionador-driver) eletrônico, que por sua vez é
comandado por intermédio de uma saída analógica da placa de aquisição de dados (modelo PLC-
812PG da Advantech) acoplada a um microcomputador pessoal. A informação proveniente do
potênciomentro transdutor do ângulo da haste é lida por uma entrada analógica do sistema de
aquisição de dados. A figura 6.5 ilustra a estrutura do hardware do sistema.
Figura 6.5 - Estrutura do hardware do sistema.
O circuito do amplificador eletrônico que controla o motor de acionamento do carro do
sistema está indicado nas figuras 6.6 e 6.7. O mesmo é realizado através de alguns
amplificadores operacionais e transistores de potência montados sobre dissipadores de calor.
Para minimizar problemas de ruídos foram utilizados dois conjuntos de fontes de alimentação
independentes. Um para os circuitos eletrônicos e outro para alimentação dos transistores de
potência que acionam o motor do sistema. Além disso, alguns capacitores de filtro foram
inseridos nas linhas de alimentação para garantir uma boa qualidade de tensão nos circuitos.
Condicionador
Driver
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 56
Figura 6.6 – Circuito eletrônico do amplificador.
Figura 6.7 – Circuito do amplificador eletrônico montado dentro da carcaça da impressora.
V
u
V
θ
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 57
CAPÍTULO 7
Resultados Práticos Obtidos
Para avaliar o desempenho do protótipo do pêndulo invertido e do controlador da sua
malha de controle projetado, foram realizados alguns experimentos práticos. Foi definido um
pulso padrão de distúrbio para o sistema objetivando verificar a estabilidade e dinâmica
resultante, uma vez que a malha de controle tende fazer o sistema permanecer em uma condição
de equilíbrio com erro angular aproximadamente nulo. Uma maneira de implementar uma
avaliação consistente é aplicar um pulso de determinada duração no sistema e observar o
comportamento do mesmo ao corrigir este desvio. O sinal padrão estabelecido foi um pulso com
amplitude relativa a 0,1 [rd] e duração de cem vezes o tempo de amostragem (0,001 [s]), ou seja,
100 [ms].
A implementação prática do algorimto de controle PID foi realizada através do software
Matlab/Simulink por meio de uma biblioteca (toolbox) de tempo real do mesmo. A figura 7.1
ilustra o programa de controle. A estrutura do mesmo é semelhante a da simulação da figura 5.3
com o bloco subtrator e implementações da parte propocional, integral e derivativa com os
respectivos ganhos (Kp, Ki e Kd). O parâmetro Kf (de valor 0,01) serve para implementar um
derivador prático e seu valor é geralmente um décimo do valor de Kd. O denominador da função
com o parâmetro Kf implementa um filtro passa-baixas que minimiza os efeitos de amplificações
de enventuais ruídos que a parte derivativa (Kd.s) pode produzir, uma vez que esta apresenta um
comportamento passa-altas. O bloco RT In representa a entrada analógica que serve para ler a
informação do servo-potênciometro transdutor do ângulo da haste. O bloco RT Out indica a
saída analógica que aciona o amplificador eletrônico que comanda o carro do sistema. O bloco
Adapter realiza a comunicação dos dados do programa com a placa de aquisição de dados
utilizada. O somador de entrada com um valor constante (0,05) e o bloco gerador de pulso
implementam o distúrbio na planta. A figura 7.2 mostra o registro real do ensaio realizado. No
anexo A5 tem-se um programa que gera o gráfico do ensaio a partir dos dados visualizados ou
armazenados no bloco Osc. (Scope) do programa de controle. A malha de controle foi capaz de
manter o pêndulo na posição vertical dentro da precisão estabelecida rejeitando adequadamente a
pertubação inserida. Os picos que aparecem no sinal coletado são devido a acoplamento de
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 58
ruídos no cabo do transdutor e podem ser minimizados com um processamento adicional
(filtragem) do sinal adquirido do transdutor e/ou utilizando cabos blindados. Entretanto, as
malhas de controle apresentam comportamentos passa-baixas que minimizam ou rejeitam as
influências de ruídos de freqüências mais altas nos laços de realimentações.
Figura 7.1 - Implementação do controlador para o ensaio de avaliação de desempenho do sistema.
10 10.2 10.4 10.6 10.8 11 11.2 11.4 11.6
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Figura 7.2 - Comportamento do protótipo real a aplicação de um pulso na entrada.
Θ[rd]
t[s]
___ referência
___ feedback
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 59
A fim de se confirmar a qualidade do modelo identificado foi realizada uma simulação
adicional. Foi simulado (figura 7.3) o modelo matemático da planta junto com o controlador PID
cujos parâmetros foram calculados anteriormente. A figura 7.4 ilustra a resposta obtida, onde
aplicando o mesmo pulso na entrada de referência a expectativa é de se observar um
comportamento similar ao obtido na prática. O resultado da simulação apresentou características
semelhanres ao resultado real apresentado na figura 7.2, indicando que o modelo resultante é
adequado.
Figura 7.3 - Modelo de simulação do sistema real.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Figura 7.4 - Resultado da simulação do modelo quando aplicado um pulso na entrada.
t[s]
Θ[rd]
___ referência
___ feedback
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 60
A capacidade do sistema em compensar distúrbios externos também foi avaliada. Estando
a haste numa posição estável a mesma foi manualmente movida de sua posição de equilíbrio. A
reação do sistema foi registrada e o resultado indicou que a malha de controle é capaz de
compensar estes distúrbios dentro de determinada faixa de perturbação. A figura 7.5 ilustra a
resposta obtida neste contexto para um distúrbio aplicado em aproximadamente 3,4 [s] na escala
de tempo do ensaio realizado.
3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Figura 7.5 - Comportamento do protótipo a uma perturbação manual na haste.
Para efeito de comparação foi simulado um modelo com a planta identificada incluindo-
se um bloco para a simulação de um distúrbio externo (figura 7.6 e figura 7.7). A equação (7.1)
traduz o modelo do sistema. O sinal aplicado foi um degrau. O resultado observado (figura 7.8)
indica características de rejeição similares ao do ensaio real.
Θ[rd]
t[s]
___ referência
___ feedback
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 61
C(s)
H(s)
G(s)
θ
ref
+
-
D(s)
V
in
+
+
Figura 7.6 – Configuração do sistema de controle considerando um distúrbio externo
)()()(1
)()()(
sCsGsH
sDsGsCref
+
+
∗
=
θ
(7.1)
Figura 7.7 – Modelo para a análise de distúrbio externo aplicado ao sistema.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 62
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 63
48 49 50 51 52 53 54 55 56
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Figura 7.9 - Comportamento do protótipo real ao ser estimulado por uma referência senoidal.
O sistema pode ainda ser excitado por referências constantes diferentes de zero. Com a
ajuda de dois suportes auxiliares para limitar o deslocamento da haste, foram ensaiadas outras
referências de posição diferentes de 0 [rd]. O comportamento da planta (figura 7.10) mostra que
a malha de controle é capaz de garantir que determinadas posições sejam atingidas e mantidas
pelo sistema.
40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
0
0.5
1
1.5
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 64
Neste trabalho optou-se por usar um controlador PID típico por ser freqüente na maioria
das malhas de controle industriais, e também de ser de conhecimento geral nos cursos e textos
básicos sobre sistemas de controle. No protótipo desenvolvido o controlador utilizado apresentou
um bom desempenho, mas outros controladores mais elaborados (adaptativos, com técnicas de
inteligência artificial, etc.) ser implementados. Na plataforma de desenvolvimento utilizada (um
microcomputador pessoal acoplado a um sistema de aquisição de dados), é relativamente fácil
desenvolver programas em linguagens comerciais (C++, Visual Basic ou outras) para
implementar estratégias de controle mais elaboradas.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 65
CAPÍTULO 8
Conclusão
Esta dissertação se constitui no resultado de mais de dois anos de pesquisas e
experimentações. Os comentários encontrados em artigos sobre pêndulo invertido são
freqüentes, mas bastantes superficiais em referencia a parte prática e são normalmente
apresentados apenas com o intuito de ilustrar os conceitos teóricos. Foram encontradas várias
abordagens diferentes para modelagem e controle destes sistemas.
Os resultados obtidos neste estudo indicam o potencial da utilização do sistema proposto
na implementação de experiências práticas em sistemas de controle de processos inerentemente
instáveis, não triviais e com certo grau de complexidade. Os ensaios realizados apresentaram
resultados adequados e são fáceis de serem reproduzidos com a montagem de outros protótipos
similares.
Além de permitir experiências práticas com um sistema real de pêndulo invertido, o
sistema proposto apresenta uma plataforma de desenvolvimento adequada para se testar diversas
estratégias de controle. Neste sentido a proposta do trabalho teve sua meta alcançada.
Como sugetões para aprimoramentos pode-se indicar o uso de encoder ótico ao invés de
um servo-potenciometro para operar como transdutor da posição angular da haste do pêndulo.
Encoders tendem a ser mais precisos e imumes a ruídos. Outra substituição interessante é que no
lugar do motor de corrente contínua utilizar-se motores de passo. Os mesmos possuem alta
precisão em posicionamentos, torques relativamente elevados e circuitos para seus acionamentos
que podem ser adquiridos facilmente no mercado. A maioria das impressoras recentes tem
motores de passo no lugar de motores de corrente contínua.
Existe também uma outra característica deste protótipo que pode ser incrementada. Como
o objeto de controle do sistema é o ângulo entre a haste e a linha normal ao plano do carro da
impressora, nenhuma atenção é dada particularmente á posição do carro. Ela é somente uma
variável manipulada a fim de se atingir o objetivo de manter o ângulo dentro da especificação
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 66
desejada. Quando a haste é retirada abruptamente da sua posição de equilibro o sistema é hábil o
suficiente para trazê-la para dentro da especificação desejada em função do deslocamento do
carro do sistema. Porém, muitas vezes a velocidade resultante do carro não é nula, o mesmo pode
permanecer em um movimento contínuo lento fazendo com que o sistema atinja os limites
extremos do curso do carro. Nesta situação, seria útil existir uma segunda malha de controle, de
tal forma que fosse possível estabelecer referencias de posição do carro a fim de mantê-lo dentro
de seus limites de atuação.
Os modelos reais de sistemas de pêndulos invertidos apresentam características não-
lineares. Para sistemas não-lineares a utilização de controladores lineares nem sempre é
adequada. Sugere para trabalhos complementares o uso de outras estratégias de controle como
controladores adaptativos, controladores
fuzzy
, etc.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 67
BIBLIOGRAFIA
1- BIBLIOGRAFIA CITADA NO CORPO DO TEXTO
[1] Altendorfer, R.; Saranli, U.; Komsuoglu H.; Koditschek D.; Buerhler, M., Moore, N.,
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2- BIBLIOGRAFIA ADICIONAL
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[11] Universidade de São Paulo – Instituto de Física de São Carlos
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pendulo/PenduloSimples_HTML.htm
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FILMES COM DEMOSTRAÇÕES DE PÊNDULOS INVERTIDOS
(Data das consultas, novembro/2007)
[1] http://www.youtube.com/watch?v=9KxWU3jy3og
[2] http://www.youtube.com/watch?v=qSlIXdZdLAo&mode=related&search=
NOTAS DE AULA E APOSTILAS DE CURSOS
[1] Júnior, F.K.; Cruz, J.J.; Wolvovich, M.J.; Atkinson, P.A; Treinamento em Técnicas
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[2] Pinheiro, C. A. M., Borges. L. E.; Souza, A. C. Z.; Notas de aula; UNIFEI; 2005;
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(http://web.mit.edu/klund/www/papers/UNP_pendulum.pdf)
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 73
ANEXOS
A.1 Análise alternativa considerando o atrito viscoso da haste com o ar
Considerando a ação da resistência do ar ao movimento oscilatório da haste, é possível modelar
esse efeito conforme a figura A.1.1.
Figura A.1.1 - Ação da resistência do ar contra o movimento livre da haste do pêndulo.
Equacionando vem:
(
)
Θ
XX
pcg
sen
l
−
=
;
( )
...
cos ΘΘXX
pcg
l−=
;
0
.
=
p
X
;
( ) ( )
..
cg
ΘΘΘΘ
X
cossen
2
...
ll −= ;
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 74
(
)
Θ
YY
pcg
cosl
−
=
;
( )
...
sen ΘΘYY
pcg
l+=
;
0
.
=
p
Y
;
( ) ( )
2
.....
cossen
ΘΘΘΘ
Y
cg
ll +=
.
A decomposição das forças do atrito viscoso com o ar é definida de acordo com a figura A.1.2.
Figura A.1.2 – Decomposição de forças do atrito viscoso com o ar.
A somatória das forças na direção
X
é:
∑
==
cg
x
XmHF
..
;
( ) ( ) ( )
−=−
..
2
..
cossencos
ΘΘΘΘ
m
ΘΘ
BH
a
ll ;
( ) ( ) ( )
ΘΘBΘΘmΘΘmH
a
coscossen
...
2
.
+−= ll
.
A somatória das forças na direção
Y
é:
p
Θ
Θ
.
ΘB
a
( )
ΘΘ
B
a
cos
.
( )
ΘΘ
B
a
sen
.
Θ
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 75
∑
=
cg
y
YmF
..
;
( ) ( ) ( )
+=+−
2
..
cossensen ΘΘΘΘmΘΘBmgV
..
a
ll
;
( ) ( ) ( )
ΘΘBmgΘΘmΘΘmV
a
sencossen
.
2
...
−++= ll
.
A somatória dos momentos no centro de gravidade é:
...
ΘBΘJM
r
+=
∑
.
Combinando todas as equações juntas tem-se:
( ) ( )
ΘHΘVΘBΘJ
r
cossen
...
ll +−=+
;
( ) ( )
+
−−−−=+ )sen()sen(cossen
.
2
......
ΘΘΘBmgΘΘmΘΘmΘBΘJ
ar
lll
( ) ( ) ( ) ( )
ΘΘΘ
B
ΘΘ
m
ΘΘ
m
a
coscoscossen
...
2
.
lll
+−+
;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−−−−=+ ΘΘBΘmgΘΘΘmΘΘmΘBΘJ
ar
22
.
2
2
.
2
..
22
...
sensencossensen llll
( ) ( )
+−+
..
2222
.
coscos ΘΘmΘΘB
a
ll
( ) ( )
2
.
2
cossen ΘΘΘml
;
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
Θ
gm
ΘΘΘ
B
ΘΘ
m
Θ
B
Θ
J
ar
sencossencossen
222
.
22
..
2
...
lll
−+−+Θ−=+
;
( )
2
...
2
..
sen lll Θ
B
Θ
mg
Θ
m
Θ
B
Θ
J
a
.
r
−−−=+
;
(
)
(
)
( )
0sen
2
...
2
=++++
Θ
mgBB
ΘΘ
mJ
ar
lll .
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 76
Assumindo que a haste é uniforme e que possui momento de inércia
3
2
lm
J =
e também
assumindo que para pequenos ângulos
Θ
,
(
)
ΘΘ
=
sen
vem:
(
)
0
3
4
.
2
..
2
=+++ ΘmgΘBBΘm
ar
lll
;
(
)
0
4
3
4
3
2
2
=+
+
+
Θ
g
Θ
m
BB
Θ
.
ar
..
ll
l
.
Conclusão: Mesmo levando em conta a existência do atrito do ar com a haste, há somente o
aparecimento de uma nova constante no termo da derivada de primeira ordem, o que em
essência, não muda a forma da dinâmica do sistema, ou seja, continua ainda válida a premissa de
uma aproximação do modelo com função de segunda ordem.
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 77
A.2 Considerações sobre o atrito estático e dinâmico do motor e do carro
Durante o ensaio em freqüência realizado com o conjunto do carro/amplificador/motor o
mesmo foi estimulado com um sinal senoidal com amplitude constante e freqüência que variou
de zero até dez Hertz. A variável monitorada foi a posição do carro. Esperava-se obter um sinal
também senoidal cuja amplitude decaísse à medida que a freqüência do sinal de excitação
aumentasse. Entretanto o aspecto do sinal obtido não é exatamente senoidal. Através da figuras
A.2.1 e A.2.2 nota-se a existência de uma histerese no deslocamento do carro. Esse efeito
apresenta-se visivelmente nos picos do sinal senoidal, tornando a forma de onda relativa à
posição do carro achatada nestas regiões. Isto se deve ao atrito viscoso do acoplamento mecânico
do conjunto motor-carro. É possível perceber que é necessário que seja aplicada uma tensão
mínima no motor em torno de 0,2 [V] para que o mesmo comece a se movimentar. Isso
representa uma não-linearidade do sistema que foi desconsiderada na modelagem original.
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
Feedback de Posicao
Sec
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Tensao do sinal de ensaio
Sec
18:55:34 18:55:36 18:55:38 18:55:40
Figura A.2.1 - Aspecto da informação da posição do carro durante o ensaio em freqüência.
X [V]
t[s]
V
i
[V]
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 78
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
Feedback de Posicao
Sec
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Tensao do sinal de ensaio
Sec
18:55:34.75 18:55:35.00 18:55:35.25 18:55:35.50 18:55:35.75
Figura A.2.2 - Histerese no sinal de realimentação de posição do carro durante o ensaio em freqüência.
V
i
[V]
t[s]
X [V]
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 79
A.3 Programa para identificação dos parâmetros do pêndulo
%% ************************************************************
%
% Este programa le os dados obtidos do ensaio com o pêndulo,
% efetua a filtragem e posteriormente faz o ajuste deste conjunto
% a uma exponencial usando um método iterativo.
% A equacao a ser identificada é do tipo:
%
% y(t) = exp (teta*t)
%
% Autor: Ricardo Ribeiro Matrícula: 13440
%
% Curso de Mestrado - UNIFEI
% Prof.Orientador: Carlos Alberto Murari Pinheiro
% 05/Nov/2006
% *************************************************************
%
% Carrega os dados do ensaio
%
load Haste1.txt -ascii
input = Haste1(:,1);
fs = 1/0.006; % Taxa de amostragem de 6ms (166,67 Hz)
%
% Elimina qualquer offset no sinal lido
%
tamanho=length(input);
media=0;
for i=1:tamanho
media=media+input(i);
end
media=media/tamanho;
input = input-media;
%
% Faz a FFT do sinal obtido do ensaio
%
figure
dspfreqresp(fs,input)
grid on
title ('FFT do sinal do ensaio')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
% Criacao de um filtro passa-baixa de 3Hz
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
fc = 3;
BW = 1;
fcs= fc/fs;
BWs = BW/fs;
M = 4/BWs;
n = 0:M;
h = sin(2*pi*fcs*(n-M/2))./(n-M/2);
hm = hamming(length(h))';
h= h.*hm;
k = sum(h);
h = h/k;
%
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 80
%Efetua a filtragem
%
saida = conv(h, input);
%
% Mostra o sinal original e o sinal filtrado
%
figure
plot (saida)
hold on
plot (input, 'r')
grid on
title ('Aspectos dos sinal original e o sinal filtrado')
%
% Faz a identificacao do valores maximos da parte positiva dos sinal filtrado
%
j=1;
y(j)=0;
for i = 320:tamanho
if (sign(saida(i))==1) & ( (sign(saida(i-1))==-1) | (sign(saida(i-1))== 0) )
j = j+1;
y(j) = 0;
end
if (sign(saida(i))==1)
if (saida(i) > y(j))
y(j) = saida(i);
end
end
end
%
% Identifica o valor máximo que será utilizado na recomposição do sinal
% original
%
ganho = y(1);
%
% Metodo iterativo para identificar o melhor coeficiente
% (Minimo valor do somatorio do quadrado dos erros)
%
%
melhor=0;
err=999999;
x = (1:length(y))';
for teta=-0.25: 0.001 : -0.10
g=exp(teta*(x-1));
%
% Recompoe o valor inicial original
%
for i=1:length(g)
g(i)=g(i)* ganho;
end
erro=0;
for i=1:length(g)
erro = (y(i)- g(i))^2 + erro;
end
if err > erro
err = erro
melhorteta = teta
end
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 81
end
%
% Plota os valores máximos (envoltoria) do sinal original e da funcao exponencial identificada
%
g=exp(melhorteta*(x-1));
%
% Recompoe o valor inicial original
%
for i=1:length(g)
g(i)=g(i)* ganho;
end
figure
hold
plot(y)
plot(g,'.r')
grid on
title ('Funcao exponencial identificada x sinais do ensaio')
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 82
A.4 Programa para cálculo dos parâmetros do controlador PID
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% UNIFEI - UNVERSIDADE DE ITAJUBÁ
% Programa de Pós-Graduaçao em Engenharia Elétrica
% Dissertaçao de Mestrado de Ricardo Ribeiro - Matrícula 13440
% Implementação de um sistema de Pêndulo Invertido
%
% Rotina par cálculo dos parametros do controlador PID
%
% São argumentos desta rotina:
% Hs, Gs: Deverão ser digitador diretamente dentro do codigo do programa
% ess, Mp e Ta : Deverão ter seus valores inseridos na workarea do Matlab
%
% Versão: 05-Nov-2006
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
syms s;
Hs = 11.25;
Gs = (3.85 / (s*(s+19))) * ( (-2.97*s^2) / (s^2 + 0.3801*s - 27.8678));
GsHs = (3.85 / (s*(s+19))) * ( (-2.97*s) / (s^2 + 0.3801*s - 27.8678))* Hs;
LimitGsHs = eval(limit (GsHs,s,0))
Ki = 1 / (LimitGsHs * ess)
qsi=sqrt( ((log(Mp))^2) / ( (pi^2) + (log(Mp))^2))
wn= 4 / (Ta * qsi)
s1= -( qsi*wn) + i*wn*sqrt(1-qsi^2)
mod_s1=abs(s1)
ang_s1=angle(s1)
mod_G_s1=abs(eval(limit (Gs,s,s1)))
ang_G_s1=angle(eval(limit (Gs,s,s1)))
Ki
Kp= ((-sin(ang_s1 + (ang_G_s1 * Hs))) / (mod_G_s1 * Hs * sin (ang_s1))) - ( (2*Ki*cos(ang_s1)) / mod_s1)
Kd= ( (sin(ang_G_s1 * Hs)) / (mod_s1 * mod_G_s1 * Hs * sin(ang_s1)) ) + (Ki/(mod_s1^2))
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 83
A.5 Programa de extração dos dados do bloco scopedata
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% UNIFEI - UNVERSIDADE DE ITAJUBÁ
% Programa de Pós-Graduaçao em Engenharia Elétrica
% Dissertaçao de Mestrado de Ricardo Ribeiro - Matrícula 13440
% Implementação de um sistema de Pêndulo Invertido
%
% Rotina para extraçao de dados do Scope do Simulink salvos na variável
% ScopeData
%
% O usuário deverá selecionar de qual dos arquivos deseja extrair
% os dados e a correta seleçao das variáveis. Isso e feito comentando ou retirando
% o sinal de cometário (%) das linhas do código
%
%
%
% Versão: 05-Nov-2006
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
load ScopeDataStep
%load ScopeDataSimulacaoPlanta
%load ScopeDataOffset
%load ScopeDataDif
%load ScopeDataPosicao
tamanho = length(ScopeData);
time = ScopeData(1:tamanho);
reference = ScopeData(tamanho+1:tamanho*2);
feedback = ScopeData(tamanho*2+1:tamanho*3);
%posicao = ScopeData(tamanho*3+1:tamanho*4);
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 84
A.6 Folhas de dados do servo-potenciômetro de precisão Spectrol 157
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Página 85
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