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Aprovada por:
EXTRAPOLAÇÃO DO CAMPO DE ONDA PARA REDATUMAÇÃO DOS
DADOS REGISTRADOS EM SUPERFÍCIE INFLUENCIADOS PELA
PRESENÇA DE CANYONS NO ASSOALHO MARINHO
UTILIZANDO FAMÍLIAS CFP
Érica Cristina Cassundé dos Santos Filgueiras
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO
DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Prof. Luiz Landau
,
D.Sc.
Dr. D
j
alma Manoel Soares Filho
,
D.Sc.
Prof. Marco Antônio Barsottelli Botelho
,
D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
MAIO DE 2007
Prof. Webe João Mansu
r
,
Ph.D.
Dr. André Bulcão
,
D.Sc.
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ii
FILGUEIRAS, ÉRICA CRISTINA
CASSUNDÉ DOS SANTOS
Extrapolação do campo de onda par
redatumação dos dados registrados e
m
superfície influenciados pela presença de
canyons no assoalho marinho utilizando
famílias CFP [Rio de Janeiro] 2007.
VIII, 110p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,
Engenharia Civil, 2007)
Dissertação – Universidade Federal do Rio
de Janeiro, COPPE
1. Extrapolação do campo de onda
2. Common Focus Point (CFP)
3. Redatumação
4. Método da Fonte Virtual (VSM)
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iii
“Todo mundo vale a pena.
Agregar sempre,
dispensar jamais.”
Para Aninha.
iv
Agradecimentos
A Deus, em primeiro lugar.
Aos meus pais por deixarem seus sonhos para que eu sonhasse. Por terem
perdido noites de sono para que eu pudesse ser feliz. Por todo amor, carinho, apoio e
atenção que vocês sempre me deram.
Ao meu esposo Rogério pelo incentivo e, sobretudo, pelas críticas que me
fizeram buscar e construir algo cada vez melhor para as nossas vidas.
Ao sol da minha vida, minha filha Ana Clara, pelo seu sorriso, pelo seu amor e
por existir.
À minha querida irmã Elida Cristina por seu eterno carinho e doação. À amiga
Ana Christina, pela amizade e pelos ternos conselhos. Ao Geólogo e amigo Nelson
Zamboni Junior pelos esclarecimentos e colaborações durante o curso.
Ao coordenador e orientador Dr. Luiz Landau e a todo corpo técnico-
administrativo do LAMCE, LAB2M, PEC e a ANP-PRH02 por fornecerem suporte
técnico e financeiro à realização de meu Mestrado.
Aos Geofísicos da PETROBRAS Dr. Marcos Gallotti e Dr. João Batista
Boechat pelas referências sugeridas.
A todos os professores e amigos do programa, em especial aos Geofísicos:
Bruno Mendes, Eldues Martins, Jorge Costa e Josias Silva, os meus mais sinceros
agradecimentos pelo auxílio, orientações e discussões durante a execução deste
trabalho.
Aos examinadores Dr. André Bulcão, Professor Botelho e ao Professor Webe
pelas fundamentais críticas e sugestões.
A Professora Érika Costa pela revisão do texto em Inglês.
A Dra. Lúcia Guimarães e ao Dr. Fernando Roxo por me liberarem em horário
integral nas semanas que antecederam a finalização deste trabalho.
A todos, que de uma maneira ou de outra, contribuíram para a concretização
deste trabalho, muito obrigada.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos para a
obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.).
EXTRAPOLAÇÃO DO CAMPO DE ONDA PARA REDATUMAÇÃO DOS DADOS
REGISTRADOS EM SUPERFÍCIE INFLUENCIADOS PELA PRESENÇA DE
CANYONS NO ASSOALHO MARINHO UTILIZANDO FAMÍLIAS CFP
Érica Cristina Cassundé dos Santos Filgueiras
Maio/2007
Orientadores: Luiz Landau
Djalma Manoel Soares Filho
Programa: Engenharia Civil
Este trabalho propõe uma nova formulação para a redatumação dos dados
registrados em superfície, que são influenciados pela presença de canyons no assoalho
marinho, utilizando Famílias CFP (Common Focus Point) com extrapolações do campo
de onda, sem aproximações assintóticas. Esta nova formulação tem como objetivo
eliminar os efeitos da topografia do fundo do mar próximo às áreas de interesse
exploratório. O algoritmo para a aplicação da metodologia, empregando a equação
acústica da onda, fora desenvolvido usando a técnica de diferenças finitas, com
aproximações de quarta ordem nas derivadas espaciais e de segunda ordem na derivada
temporal. A tecnologia CFP, que é um caso particular da tecnologia de registro de
múltiplas fontes (Areal Shot Record), utiliza o conceito de operador de síntese que é
gerado no datum de referência e registrado na superfície de um macro-modelo de
velocidades. Esse operador de síntese CFP, ou uma soma deles, é extrapolado
reversamente no tempo e registrado na superfície, gerando um novo sismograma, que é
a família CFP (para uma família de tiro comum) ou as famílias CFP (para famílias de
múltiplas fontes). A aplicação desse, no macro-modelo de velocidades, gera no novo
datum um sismograma (ou supersismograma) final redatumado. O método foi testado
em dois macro-modelos de velocidade. Os sismogramas finais foram capazes de exibir
as reflexões sem a influência dos canyons de praticamente todos os refletores que estão
sob o datum de referência.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.SC.).
WAVEFIELD EXTRAPOLATION FOR DATA RECORDED ON SURFACE
REDATUMING THAT ARE INFLUENCED BY CANYONS PRESENT IN
MARINE FLOOR USING CFP GATHER
Érica Cristina Cassundé dos Santos Filgueiras
May/2007
Advisors: Luiz Landau
Djalma Manoel Soares Filho
Department: Civil Engineering
This work proposes a new formulation for recorded data redatuming on surface
that are influenced by presence of canyons in marine floor, using the CFP (Common
Focus Point) Gather concept, with wavefield extrapolations and no asymptotic
approximations. This new formulation proposes to eliminate the effects of the floor
marine topography. The algorithm applied for this methodology, using the wave
acoustic equation, was developed using the technique of finite differences, with fourth
order approximation for spatial derivatives and with second order approximations for
time derivatives. The CFP technology, which is a particular case of Areal Shot Record
technology, uses the concept of synthesis operator, which is generated on reference
datum and registered on surface of velocity macro model. The CFP synthesis operator,
or the sum of them, is reversibly extrapolated in time and registered on surface,
generating a new seismogram, which is the CFP gather (for a commom shot gather) or
CFP gathers (for areal shot record gather). Them application on a velocities macro
model generates a seismogram in the new datum (or super seismogram) finally
redatuming. The method was tested on two macro models of velocities. The final
seismograms were able to show the reflections with no canyons influence of the almost
all the reflectors that are under the reference datum.
vii
Índice
Capítulo I
Introdução............................................................................................ 01
1.1 Motivação ............................................................................................. 02
1.2 Objetivos da Dissertação ...................................................................... 07
1.3 Estrutura da Dissertação ....................................................................... 08
Capítulo II
Considerações Teóricas ...................................................................... 09
Redatumação CFP ............................................................................. 09
2.1 Tecnologia CFP .................................................................................... 09
2.2 Redatumação dos dados usando famílias CFP ..................................... 11
2.2.1 Formulação do Problema ..................................................................... 12
2.2.1.1
Geração de uma família de tiro comum (família CFP) ao longo de
um datum de interesse ..........................................................................
14
a) Geração do operador de síntese ....................................................... 16
b) Geração da família de tiro comum CFP (família CFP) ................... 19
c) Geração do sismograma redatumado ............................................... 20
2.2.1.2 Geração da família de múltiplas fontes (famílias CFP) ....................... 22
a) Geração do operador de síntese ....................................................... 24
b) Geração da família de múltiplas fontes CFP (famílias CFP) .......... 26
c) Geração do sismograma redatumado ............................................... 27
2.2.2 Metodologia ......................................................................................... 28
Capítulo III
Aplicações ........................................................................................... 31
3.1.2. Experimentos Numéricos ..................................................................... 34
3.1.2.1
Modelo de camadas plano-horizontais com topografia de fundo do
mar irregular para 1 tiro comum ..........................................................
34
3.1.2.2
Modelo de camadas plano-horizontais com topografia de fundo do
mar irregular para 180 tiros comum .....................................................
39
3.1.2.3 Modelo de Canyons escavados no fundo do mar para 1 tiro comum .. 42
3.1.2.4
Modelo de Canyons escavados no fundo do mar para 400 tiros
comum ..................................................................................................
49
Capítulo IV
Conclusões ........................................................................................... 54
viii
Referências Bibliográficas ........................................................................................ 57
Bibliografia ................................................................................................................ 61
Anexo 1
Revisão Bibliográfica ........................................................................ 63
A.1.1 Princípio de Huygens .......................................................................... 63
A.1.2 Princípio da Reversibilidade Temporal ............................................... 64
A.1.3 Princípio da Reciprocidade .................................................................. 64
A.1.4 Modelo do Refletor Explosivo ............................................................. 65
A.1.5 Propriedades da Tecnologia CFP ......................................................... 66
A.1.6
Novas Soluções para o imageamento de situações geológicas
complexas a partir da Tecnologia CFP ................................................
67
2.1.7 O Método da Fonte Virtual .................................................................. 69
Anexo 2
Extrapolação do Campo de Onda 2D .............................................. 76
A.2.1 A Sísmica de Reflexão ......................................................................... 76
A.2.2 Modelagem Sísmica ............................................................................. 78
A.2.2.1 Modelagem 2D e 2,5D ......................................................................... 79
A.2.2.2 Aquisição Sísmica 2D .......................................................................... 80
A.2.2.3
Modelagem Acústica: Solução da Equação da Onda pelo Método das
Diferenças Finitas ................................................................................
81
A.2.2.3.1 Equação Acústica da Onda .................................................................. 82
A.2.2.3.2 Aproximação por Diferenças Finitas ................................................... 84
A.2.2.3.3 Discretização da Equação Acústica da Onda ....................................... 87
A.2.2.3.4 Condições de Contorno ........................................................................ 91
A.2.2.3.4.1 Bordas não Reflexivas ......................................................................... 92
A.2.2.3.4.1.1 Condição de Dirichlet .......................................................................... 92
A.2.2.3.4.2 Bordas Absorvedoras .......................................................................... 94
A.2.2.3.5 Condições de Dispersão e Estabilidade Numérica .............................. 96
A.2.2.3.6 Termo Fonte da Equação da Onda ....................................................... 96
Anexo 3
Trabalhos Futuros ............................................................................. 99
A.3.1 Modelo SEG-EAGE SALT-CC para 1 tiro comum .............................. 99
A.3.2 Modelo SEG-EAGE SALT-CC para 760 tiros comum ....................... 106
Introdução_____________________________________________________________
1
Capítulo 1
Introdução
Durante décadas, a sísmica de reflexão foi usada principalmente na
interpretação de aspectos estruturais das trapas de hidrocarbonetos com ênfase nos
aspectos estratigráficos
1
. A interpretação estratigráfica dos dados requer uma boa
qualidade dos mesmos e envolve habilidade técnica e científica para identificação de
possíveis alvos exploratórios e tomada de decisões. Isso sem mencionar, que o
imageamento por sísmica de reflexão vem ganhando, cada vez mais, importância nos
trabalhos de caracterização de reservatórios.
Embora uma família de traços sísmicos
2
nos forneça detalhes a cerca da
geologia em subsuperfície, às vezes, essas feições podem não ser verdadeiramente
imageadas em função do alto nível de ruído envolvido no processo de imageamento.
Com a utilização de técnicas cada vez melhores na aquisição dos dados no campo e
com grandes avanços no processamento, foi possível se obter uma melhor qualidade
desses dados.
Para imagear uma região em subsuperfície é necessário que sejam desfeitos
todos os efeitos de propagação da onda (ARAÚJO, 2000). Assim, a meta do
imageamento consiste em transformar um conjunto de sismogramas registrados na
superfície em uma seção em profundidade ou tempo, ou seja, uma imagem espacial de
alguma propriedade (física) das rochas, como por exemplo, o coeficiente de reflexão.
O processo de modelagem sísmica, por sua vez, usa considerações em relação à
estrutura geológica e estratigráfica a fim de produzir um modelo, testá-lo e confrontá-lo
com os dados reais. A principal vantagem na construção desses modelos está
relacionada em focar melhor os mecanismos que causam a distorção sísmica. Como a
1
Relativo à estratigrafia. A estratigrafia é um ramo da Geologia que se preocupa com a distribuição,
origem, propriedades, conteúdo, posição estratigráfica e correlação entre unidades estratigráficas,
principalmente de origem sedimentar (SUGIO, 1998).
2
Em reflexão sísmica, a família de traços sísmicos (ou em inglês, trace gather) apresenta um atributo
geométrico em comum, como por exemplo: o ponto de tiro, o ponto de recepção, o ponto médio fonte-
receptor ou o, afastamento da fonte ao receptor (DUARTE, 2003).
Introdução_____________________________________________________________
2
modelagem computacional possui baixo custo se comparada à perfuração de um poço
para a avaliação dos dados das interfácies para a interpretação, os geocientistas podem
avaliar e desenvolver melhores soluções para a exploração, aquisição e processamento
dos dados sísmicos.
1.1. Motivação
A área de exploração de hidrocarbonetos se constitui numa atividade de alto
risco, em função das dificuldades logísticas do impacto das áreas de geologia complexa
e domos salinos. Muitos estudos na área de imageamento sísmico vêm sendo
desenvolvidos de forma a melhorar a qualidade e a confiabilidade dos dados nessas
regiões. Para prover melhores resultados no imageamento dessas áreas, principalmente
no que diz respeito ao imageamento de alvos profundos, principalmente sob camadas
com grandes complexidades estruturais, tem havido atualmente um grande esforço da
comunidade geofísica no desenvolvimento de novas técnicas de extrapolação do
campo de onda visando a redatumação dos dados e a migração pré-empilhamento em
profundidade.
As principais províncias petrolíferas do Brasil
3
e do mundo
4
têm suas reservas
de hidrocarbonetos trapeadas em alvos exploratórios abaixo de regiões com grandes
complexidades estruturais. O que compõe hoje, um cenário de grande desafio
tecnológico para as maiores companhias de petróleo do mundo.
As bacias da margem leste brasileira, que vão desde a costa sudeste até a costa
do nordeste, constitui uma nova fronteira exploratória para a PETROBRAS.
Muitos pesquisadores, dessa companhia, têm enfatizado a presença de canyons,
canais submarinos e escorregamentos de massa como os principais elementos de
condução de sedimentos para formar os sistemas deposicionais siliciclásticos de talude
de bacia (MOHRIAK et al., 1997).
A estratigrafia sísmica da Bacia de Santos, de acordo com Moreira e Carminatti
(2004), revela a ocorrência de quatro canyons – informalmente denominados de C1,
C2, C3 e C4 – próximos à linha de borda da plataforma, resultando em difrações
3
Bacia de Santos, Campos, Espírito Santo e Sergipe Alagoas, por exemplo.
4
Oriente Médio, Golfo do México, Mar do Norte, etc.
Introdução_____________________________________________________________
3
sísmicas que prejudicam o imageamento de alvos mais profundos sob essas estruturas,
conforme pode ser visto nas figuras 1.1, 1.2, a seguir.
Figura 1.1 – Mapa de amplitude RMS ao nível do limite da seqüência deposicional mostrando
as relações de canyons (C1-C4), extraído de
MOREIRA e CARMINATTI (2004).
canyons o
Introdução_____________________________________________________________
4
Figura 1.2 – Seção sísmica paralela à linha de borda de plataforma mostrando a posição diácrona dos canyons (C1-C4), extraído de
MOREIRA e CARMINATTI (2004). Note o resultando das difrações sísmicas no imageamento nas regiões sob os canyons C1, C2 e C3.
Introdução_____________________________________________________________
5
Figura 1.3 – Linha sísmica nas bacias de Sergipe e Alagoas (Baixo de Cururipe) que cruza com uma feição diapírica próxima do PT 500, onde
há uma feição positiva que aparentemente subaflora no fundo do mar, extraído de
Mohriak et al. (1997). Note a topografia irregular do
fundo do mar.
Introdução_____________________________________________________________
6
Figura 1.4 – Linha sísmica apresentada na figura 1.3, interpretada. A interpretação sugere que a estrutura realçada seja um diápiro de sal
p
erfu
r
ante, subaflorante no fundo do mar. Extraído de MohriaK et al. (1997).
Introdução_____________________________________________________________
7
Como vimos, a presença de estruturas subaflorantes no fundo do mar, como as
feições diapíricas de sal e a ocorrência de canyons atuais (assoalho marinho) ou
pretéritos – como os evidenciados nas figuras 1.2 e 1.3, resultam em difrações sísmicas
que podem comprometer a qualidade dos dados levantados. Tendo em vista este desafio
a suplantar, a presente dissertação apresenta um estudo de redatumação dos dados
registrados, a fim de transpor a dificuldade imposta no imageamento de alvos que
estejam sob estruturas que apresentem topografia complexa, como as apresentadas
anteriormente.
1.2. Objetivos da Dissertação
A partir da equação acústica completa da onda, implementou-se uma técnica
para a extrapolação do campo de onda registrado na superfície para um novo datum de
aquisição. A terminologia CFP provém do conceito de Common Focus Point, baseada
no conceito introduzido por Berkhout (1997, Parte I e Parte II), sendo um caso
particular da tecnologia de registro de múltiplas fontes (Areal Shot Record).
Nossa proposta é a implementação de uma técnica para extrapolações
bidirecionais do campo de onda registrado na superfície de um macro-modelo de
velocidades apresentando o conceito de família (para uma família de tiro comum) ou
famílias (para famílias de múltiplas fontes) CFP.
A Tecnologia CFP proposta segundo a formulação de Berkhout foi
desenvolvida em termos do algoritmo de migração baseados na integral de Kirchhoff e
traçamento de raios (ray tracing). Esta dissertação, no entanto, apresenta uma
metodologia para a redatumação formulada através do algoritmo de extrapolação do
campo de onda por diferenças finitas
5
realizada por soluções da equação acústica da
onda sem aproximações assintóticas – two-way.
Esta dissertação tem por objetivos:
1. Apresentar e implementar um algoritmo para extrapolações
bidirecionais do campo de onda para um tiro comum e para uma família de tiros
comum (areal shot) introduzindo o conceito de famílias CFP a fim de redatumar os
5
Com aproximações de quarta ordem nas derivadas espaciais e de segunda ordem na derivada temporal
Introdução_____________________________________________________________
8
dados registrados na superfície para um datum específico, como exemplo de aplicação,
serão apresentados em dois macro-modelos de velocidades.
2. Comparar a resposta dos sismogramas redatumados com a dos
sismogramas esperados para a região de interesse, sob o novo datum de aquisição para
esses macro-modelos.
1.3. Estrutura da Dissertação
O presente capítulo apresenta a proposta para esta dissertação apontando o
cenário mundial, os principais desafios a serem superados e a contextualização do
tema.
No capítulo 2 são apresentadas as bases teóricas da Redatumação CFP.
Apresenta-se também neste capítulo a metodologia utilizada para o desenvolvimento
desta técnica.
O capítulo 3 é de aplicações, neste a técnica é testada em os dois macro-
modelos de velocidades.
No capítulo 4 apresentam-se as conclusões e algumas sugestões para trabalhos
futuros.
Ao final deste trabalho, em apêndice, apresenta-se o estudo realizado para o
modelo Salt-CC da SEG-EAGE (modificado), os recursos associados à modelagem da
equação acústica completa da onda e o desenvolvimento pelo método diferenças finitas
e uma revisão bibliográfica à cerca de alguns conceitos relacionados ao tema desta
dissertação, tais como: o princípio de Huygens; o princípio da reversibilidade
temporal; o princípio da reciprocidade; a conceituação do modelo dos refletores
explosivos, além das propriedades e aplicações da Tecnologia CFP desenvolvida por
Berkhout e o Método das Fontes Virtuais apresentado por Bakulin e Calvert (2004),
aplicado ao monitoramento de reservatórios.
Considerações Teóricas___________________________________________________
9
Considerações Teóricas
Redatumação CFP
2.1. A Tecnologia CFP
A Tecnologia CFP (Common Focus Point
1
) tem sua origem na tecnologia de
registro de múltiplas fontes (Areal Shot Record), proposta por Berkhout (1992) e
desenvolvida dentro do projeto DELPHI
2
por Rietveld (1995), conforme exposto em
Thorbecke (1997).
Um registro de múltiplas fontes é a resposta dos eventos de reflexões ocorridos
em subsuperfície devido a uma fonte de ondas planas. Ele pode ser construído a partir
da integração dos pesos dos registros de tiro comum, seguido pela combinação da
integração dos resultados de um único registro (THORBECKE,1997)
3
.
O peso das fontes individuais em um registro de tiro comum é determinado a
partir de um operador de síntese, que é formado a partir da iluminação de uma região
específica do modelo. De acordo com Thorbecke (1997), um campo de onda incidindo
(iluminando) perpendicularmente sobre a região de interesse é favorável para
determinar as macro-fronteiras dessa área.
Um levantamento bidimensional para um campo de onda gerado a partir de um
arranjo múltiplas de fontes na superfície, pelo princípio de Huygens, irá formar uma
frente de onda única na subsuperfície (superfície de frente de ondas). Isso ocorre devido
à interferência circular esférica e somente uma pequena parte dessas frentes de onda
tem uma contribuição significativa na frente de onda atual (THORBECKE,1997). A
Figura 2.1, apresenta a construção dessa superfície de frente de ondas, a partir da
propagação dessas frentes de onda individuais.
1
Common Focus Point – Ponto Comum de Focalização.
2
O Projeto DELPHI é um consórcio financiado por empresas da Indústria do Petróleo e da Computação,
que há 20 anos vêm desenvolvendo e fornecendo resultados bastante satisfatórios para a Indústria do
Petróleo. Esses resultados são apresentados em encontros com os patrocinadores dos projetos.
3
Além dos pesos deve-se levar em conta os atrasos (time-delay) associados a cada fonte.
Considerações Teóricas___________________________________________________
10
Figura 2.1 – Construção de uma superfície de frente de onda de um determinado número de
fontes na superfície. Note que na figura c. 201 fontes pontuais são usadas para construir a frente
de onda, mas somente uma pequena parte das frentes de onda individuais visíveis em a e b, dão
uma contribuição construtiva para uma frente de onda total (extraído de THORBECKE, 1997).
Contudo, apenas uma pequena parte dessas frentes de onda individuais,
contribuem construtivamente para uma frente de onda total, satisfazendo a combinação
do princípio de Huygens com o princípio de interferência (Huygens-Fresnel
4
, BORN e
WOLF, 1970 apud Thorbecke, 1997). O campo de onda no ponto de observação pode
é construído a partir da superposição de fontes secundárias posicionadas em uma
superfície entre o ponto de observação e a fonte. Uma das grandes vantagens dessa
iluminação controlada, de acordo com Thorbecke (1997), é a certeza de que está sendo
seguido um caminho adequado e preciso para executar uma migração em profundidade
orientada a alvos exploratórios, num passo seguinte.
4
De acordo com este princípio, cada elemento de uma frente de onda é visto como o centro de uma fonte
pontual secundária. Se o meio é homogêneo esta contribuição pode ser construtiva ou destrutiva
(THORBECKE,1997).
Considerações Teóricas___________________________________________________
11
Exemplos de resultados obtidos com iluminação controlada podem ser
encontrados em Rietveld (1995), onde ele apresenta resultados a partir de dados
sintéticos e reais.
Segundo Thorbecke (1997), o conceito de ponto de iluminação – focus point –
foi inicialmente usado para a verificação de um macro-modelo de velocidades, mas a
partir do reconhecimento do ponto de iluminação, tornou-se claro, que é uma excelente
ferramenta para a determinação do macro-modelo de velocidades e também para a
análise de AVO
5
.
O campo de onda de uma família de múltiplas fontes definido para um
determinado ponto de referência, em subsuperfície, é chamado de família de ponto
comum de focalização, em inglês commom focus point gather, (THORBECKE, 1997).
A formulação desenvolvida por Berkhout é uma correção estritamente física
6
e
está associada à extrapolação do campo de onda numa única direção (one-
way),(THORBECKE, 1997). Essa idéia se reporta a trabalhos anteriores, visando a
otimização do conceito de iluminação controlada a partir de arranjos de múltiplas
fontes; (BERKHOUT ,1992), (RIETIVELD et al, 1992) e (RIETIVELD, 1995) apud
Bolte, 2004.
2.2. Redatumação dos dados usando famílias CFP
A Tecnologia CFP proposta por Berkhout (1997 Parte I, Parte II) foi formulada
em termos do algoritmo de migração empregando a integral de Kirchhoff e traçamento
de raios (ray tracing) com extrapolação do campo de onda numa única direção – one-
way – isto é, com aproximações assintóticas.
Neste trabalho utiliza-se o conceito de ponto de focalização comum (ponto
CFP), associado ao método da fonte virtual, este conceito baseia-se no fato de que
fontes e receptores possam ser tratados como virtuais. Para um levantamento marítimo
convencional, fontes de receptores encontram-se na superfície de observação. Nesta
metodologia, é possível mudar esta configuração convencional de aquisição. Isto é, o
horizonte onde fora realizada a aquisição; trazendo a fonte (ou as famílias de múltiplas
fontes – caso Areal Shot) e os receptores para um horizonte mais próximo do objetivo
que se deseja imagear ou como foi feito, eliminar os efeitos inerentes a alguma região
que afete o levantamento. Para isso, associamos o conceito do ponto CFP ao método
5
AVO, sigla em inglês: amplitude versus offset – afastamento entre fonte receptor.
6
No sentido de ser uma correção cinemática.
Considerações Teóricas___________________________________________________
12
da fonte virtual, apresentado por Bakulin e Calvert (2004), apresentado como revisão
bibliográfica no apêndice. Tanto o conceito de common focus point quanto o método da
fonte virtual, estão baseados nos princípios da reciprocidade e da reversibilidade
temporal.
Ao supor uma aquisição virtual, com fontes e receptores próximos ao objetivo e
neste caso, sob a região que apresenta uma topografia formada por canyons, pode-se
realizar a mudança do datum de aquisição (redatumação) dos dados registrados em
superfície, para o datum de interesse.
Diferente da formulação originalmente proposta por Berkhout, o algoritmo para
a extrapolação do campo de onda foi desenvolvido a partir da equação acústica da onda
completa, sem aproximação de Born
7
, utilizando a técnica de diferenças finitas, com
aproximações de quarta ordem nas derivadas espaciais e de segunda ordem na derivada
temporal.
2.2.1 Formulação do Problema
Em uma aquisição marítima convencional, um arranjo de fontes e receptores
estão posicionados no mesmo datum, que é a superfície do mar
8
. Observe o exposto na
Figura 2.2. A figura b), ilustra a situação tratada como virtual, onde o datum de
aquisição passa a ser um novo horizonte pré-determinado em subsuperfície. Nesta
situação, observa-se que o sismograma final – obtido pela aplicação do procedimento
de redatumação exposto neste trabalho – é composto por duas regiões: uma que exibe
as contribuições acima deste novo datum de aquisição – definida como anticausal – e
outra que exibe as contribuições da região de interesse, que está abaixo do datum de
aquisição – definida como região causal
9
.
7
Aproximação de Born: método de solução da equação da onda no qual o campo de onda é
sucessivamente substituído pelo campo de onda desconhecido dentro do sinal de integral.
8
Na verdade, estão posicionados há alguns metros abaixo da superfície.
9
Esta causalidade e anticausalidade que surgem no sismograma redatumado são provenientes da
metodologia empregada no procedimento de redatumação.
Considerações Teóricas___________________________________________________
13
Figura 2.2 – Na Figura a), observa-se o esquema de uma aquisição marítima convencional real,
onde fontes e receptores estão próximos à superfície. Na Figura b), observa-se o esquema da
aquisição virtual por redatumação de dados para um horizonte pré-determinado.
Esta metodologia pode ser usada, por exemplo, como um fluxo alternativo,
pois antes da aplicação da metodologia de redatumação é necessário um processamento
para a eliminação de ruídos, correção estática, remoção de múltiplas, etc; para que
somente sejam processados os dados relativos à região de interesse. Assim, não será
necessário armazenar os dados associados às regiões que causam as distorções do sinal
sísmico acima da região de interesse.
Para realizar a redatumação utilizando famílias CFP, é necessária a utilização
de um operador de síntese, tal como proposto pela tecnologia de areal shot records –
Berkhout (1992), para que seja obtida uma síntese de frentes de onda na superfície de
observação, assim, ao fazer com que essa frente de onda sintetizada seja depropagada
para o interior do modelo, é gerada na região de interesse do imageamento, uma frente
de onda de forma pré-definida.
Uma família de tiro comum CFP, ou simplesmente família CFP, é obtida a
partir de um operador de síntese apropriado. Do mesmo modo, estendendo para uma
Considerações Teóricas___________________________________________________
14
situação de areal shot records, famílias de múltiplas fontes CFP (ou famílias CFP) são
geradas por uma soma de operadores de síntese, dando origem a um super-operador de
síntese. A formulação desse algoritmo é apresentada a seguir.
2.2.1.1 Geração de uma família de tiro comum (família CFP) ao longo de um
datum de interesse
Conforme mencionado anteriormente, em geral, na prática, tem-se fontes e
receptores posicionados ao longo de uma superfície comum de observação, conforme
ilustra a Figura 2.3, a seguir. Para realizar a redatumação, é necessário que um novo
datum para aquisição seja definido, neste caso, suponha que seja, por exemplo, entre os
horizontes h
1
e h
2
, isto porque a região que determina o horizonte (1) apresenta muitas
irregularidades em sua topografia e essas irregularidades irão formar múltiplas
chegadas para a frente de onda, ou as frentes de onda no caso do areal shot record, que
incidirem sobre elas. Assim, a supressão dos registros associados à essa região é
conveniente, para não afetar o imageamento da região que se encontra abaixo dela.
Figura 2.3 – Ilustração do macro-modelo de velocidades, com fonte e receptores posicionados
ao longo da superfície de observação comum.
Definido o novo datum para a aquisição, a metodologia aplicada faz com que
seja equivalente a um levantamento no qual as fontes e os receptores encontrem-se
neste novo datum. A Figura 2.4, ilustra esta nova situação para uma família de tiro
Considerações Teóricas___________________________________________________
15
comum, onde a frente de onda é gerada por uma única fonte, no interior do modelo.
Como foi mencionado anteriormente, um operador de síntese é obtido na superfície de
observação, a partir desta fonte pontual disposta – nesta situação virtual – no interior do
macro-modelo de velocidades.
Figura 2.4 – Ilustração do macro-modelo de velocidades, com a redatumação da fonte e
receptores posicionados em uma nova superfície de aquisição.
A frente de ondas sintetizada na superfície do modelo, para um único tiro,
situado no novo datum, é ilustrada pela Figura 2.5, a seguir. O operador de síntese é
encontrado por extrapolações ascendentes desde o horizonte previamente definido até a
superfície de observação.
Figura 2.5
– Representação do campo de pressão – ),0,(
0
tzzxP
=
=
– registrado na
superfície de observação.
Considerações Teóricas___________________________________________________
16
Para gerar a família de tiro comum CFP (família CFP), pelo princípio da
reversibilidade temporal, é necessário que este operador seja propagado de forma
reversa no tempo, como ilustra a Figura 2.6, abaixo.
(a) (b)
Figura 2.6
– Representação do operador de síntese CFP: (a) hipotético e (b) obtido pela
aplicação desta metodologia.
a) Geração do operador de síntese
Assim como foi feito em Costa (2006), Boechat et al. (2005) e muito
claramente desenvolvido em Boechat (2007), para realizar a síntese de frentes de onda
é necessário que se identifique primeiramente a área de interesse de imageamento.
Identificada a área, determina-se o horizonte no qual será gerada esta frente de onda,
em profundidade, um z = f(x). Uma fonte pontual f(t) é posicionada num dado ponto em
profundidade, por exemplo o ponto A de coordenadas (x
A
,z
A
) e essa fonte é detonada,
gerando uma frente de onda que irá se propagar até a superfície de observação,
conforme ilustra a Figura 2.7, a seguir.
Considerações Teóricas___________________________________________________
17
Figura 2.7 – Representação da geração do operador de síntese relativo ao ponto A =
()
AA
zx, .
Matematicamente, para a propagação dessa frente de onda desde esse horizonte
z = g(x) até a superfície de observação, será usada a equação acústica da onda não-
homogênea
10
, dada pela Eq. (A2.19):
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
2
2
22
2
2
2
),,(
),(
1),,(),,(
t
tzxP
zxvz
tzxP
x
tzxP
)()()(
AA
zzxxtf
−
−
δ
δ
,
Onde:
f(t) é a função fonte inserida no ponto z = A, de coordenadas
(
)
AA
zx, . O ponto A é o
ponto CFP
v(x,z) é o campo de velocidades.
Esta equação é discretizada pelo método das diferenças finitas com
aproximações de quarta ordem para as derivadas espaciais e de segunda ordem para a
derivada temporal, foi obtida de maneira análoga à equação Eq. (A2), para uma malha
uniforme, com
Δ
x =
Δ
z = h:
10
Lembrando que nesta equação, supõe-se a densidade do meio – ρ (x,z) – constante.
Eq. (2.1)
Considerações Teóricas___________________________________________________
18
[
(
+++−+++−=
−+−+−+−
+ n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
jiji
n
ji
PPPPPPPaP
1,,1,12,2,,2,2,
1
,
16
12
1
)
]
(
)
(
)
ff
nn
ji
n
ji
n
ji
n
ji
jjiifPPPP −−+−++
−
+
δδ
1
,,,1,
260
,
onde
2
,
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
=
h
tv
a
ji
ji
.
Os índices i, j representam as variáveis x e z discretizadas, h é o espaçamento
entre os pontos da malha, v
i,j
é a velocidade no ponto (i , j) e Δt é o intervalo de tempo
da variável temporal discretizada.
O campo propagado pela equação Eq. (2.2) será registrado na superfície de
observação em receptores distribuídos uniformemente, conforme ilustra a Figura 2.8,
sendo dado por ),,(
0
tzzxP = . Uma vez registrado na superfície, este registro será
armazenado de forma que a última amostra de tempo corresponda ao tempo zero,
garantindo a reversão temporal do mesmo. Este registro será denotado por ),( txs , que é
o operador de síntese CFP.
Figura 2.8 – Representação do geração (ponto A – ponto CFP) e registro (superfície) do
operador de síntese.
Eq. (2.2)
Considerações Teóricas___________________________________________________
19
b) Geração da família de tiro comum CFP (família CFP)
A geração da família de tiro comum CFP (família CFP), para um caso real,
pode ser definida pela convolução do operador de síntese ),( txs com os sismogramas
gerados no campo, sendo dada por:
∑
=
=∗=
sis
N
i
ii
xtzzxsistxstxp
1
0
),,(),(),(,
onde:
),( txp é a família de tiro comum CFP relativa ao ponto A, obtida a partir de
sismogramas de campo;
),,(
0 ii
xtzzxsis = é o sismograma de campo, registrado na superfície do modelo nas
coordenadas de detonação x
i
;
),( txs
i
é o operador de síntese.
Como cada traço do operador de síntese está posicionado na mesma coordenada
da fonte sísmica que gerou o sismograma, esta equação representa o empilhamento dos
traços no domínio do receptor comum, na direção da coordenada x (BOECHAT, 2007).
A figura 2.9, a seguir ilustra tal raciocíneo.
Figura 2.9 – Representação do esquema para a geração da família CFP para uma situação
prática.
Eq. (2.3)
Considerações Teóricas___________________________________________________
20
Este procedimento equivale a propagar o campo de ),( txs para o interior do
modelo obedecendo a seguinte equação da onda não-homogênea – para o caso de dados
sísmicos sintéticos:
()
txs
t
tzxP
zxvz
tzxP
x
tzxP
,
),,(
),(
1),,(),,(
2
2
22
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
,
discretizada pelo método das diferenças finitas, com aproximações de quarta ordem
para as derivadas espaciais e de segunda ordem para a derivada temporal, fica:
[
(
+++−+++−=
−+−+−+−
+ n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
jiji
n
ji
PPPPPPPaP
1,,1,12,2,,2,2,
1
,
16
12
1
)
]
(
)
i
nn
ji
n
ji
n
ji
n
ji
xsPPPP +−++
−
+
1
,,,1,
260
,
onde
2
,
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
=
h
tv
a
ji
ji
,
esse campo ),( txs quando propagado a partir da superfície do modelo, pela equação
Eq. (2.5), irá gerar na profundidade de interesse a frente de onda pré-definida, contudo,
seu registro será feito na superfície do modelo. Este, corresponde à família de tiro
comum CFP (ou família CFP), denotada por ),( txp .
c) Geração do sismograma redatumado
Para gerar o sismograma redatumado, neste trabalho, os receptores são
posicionados no datum de interesse. Assim, a configuração final apresenta fonte e os
receptores neste datum de interesse, como ilustra a Figura 2.10, a seguir.
Eq. (2.4)
Eq. (2.5)
Considerações Teóricas___________________________________________________
21
(a)
(b)
Figura 2.10 – Representação do esquema para a geração do sismograma redatumado, onde os
receptores também são posicionados no datum de interesse em (a). Em (b), representação da
configuração final: fonte e receptores redatumados para o datum de interesse.
Matematicamente, a propagação do campo de ),( txp , a partir da superfície para
o interior do modelo, obedece a seguinte equação da onda:
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
),(,,
0
),,(
),(
1),,(),,(
0
2
2
22
2
2
2
txptzzxP
t
tzxP
zxvz
tzxP
x
tzxP
Eq. (2.6)
Considerações Teóricas___________________________________________________
22
discretizada pelo método das diferenças finitas, com aproximações de quarta ordem
para as derivadas espaciais e de segunda ordem para a derivada temporal, fica:
[
(
+++−+++−=
−+−+−+−
+ n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
jiji
n
ji
PPPPPPPaP
1,,1,12,2,,2,2,
1
,
16
12
1
)
]
(
)
i
nn
ji
n
ji
n
ji
n
ji
xpPPPP +−++
−
+
1
,,,1,
260
,
o campo ),( txp , corresponde a família CFP, será registrado em profundidade, em
todos os pontos do horizonte z = g(x), que é o datum de interesse, neste caso o ponto A.
Seu registro será um sismograma final denotado por
),( txp
final
, definido como
sismograma redatumado. Onde
(
)
tzzzxPtxp
ADATUMfinal
,,),(
=
=
=
.
Dessa forma, foi possível eliminar o efeito das camadas que estão acima desse
novo datum de aquisição. Com isso, espera-se obter sismogramas mais “interpretáveis”,
como ilustram os sismogramas apresentados na Figura 2.11, a seguir.
Figura 2.11 – Ilustração dos macro-modelos de velocidades utilizados neste trabalho, com um
zoom, ao lado, dos sismogramas redatumados. Note como ficam evidentes as reflexões (quase
hiperbólicas) dos refletores que se encontram abaixo deste novo datum de aquisição.
2.2.1.2 Geração da família de múltiplas fontes (famílias CFP)
Imagine uma situação em que se atira e registra-se simultaneamente em todos os
pontos da superfície, uma situação correspondente a um areal shot record. Dessa
forma, em analogia ao desenvolvimento anterior, suponha que neste caso, haja não
mais somente uma fonte na superfície, mas uma fonte posicionada em cada ponto da
superfície do modelo, como ilustra a Figura 2.12, a seguir.
Eq. (2.7)
Considerações Teóricas___________________________________________________
23
Figura 2.12 – Ilustração do macro-modelo de velocidades, com as múltiplas fontes e receptores
posicionados ao longo da superfície de observação comum.
Analogamente ao realizado para a família de tiro comum, definido o novo
datum para a aquisição, passa-se a atirar e registrar em profundidade, como ilustra a
Figura 2.13, a seguir.
Figura 2.13 – Ilustração do macro-modelo de velocidades, com fontes e receptores
redatumados na nova superfície de aquisição.
A frente de ondas sintetizada na superfície do modelo, será dada como um
somatório dos registros individuais de cada tiro realizado, sendo ilustrada de forma
esquemática pela Figura 2.14, a seguir. Neste caso, o operador de síntese é obtido como
um somatório de operadores de síntese associados a cada um dos pontos de tiro
individuais. Ele também é gerado por extrapolações ascendentes desde o horizonte
previamente definido até a superfície de observação.
Considerações Teóricas___________________________________________________
24
(a) (b)
Figura 2.14
– Representação do operador de síntese, dado como uma soma de operadores de
síntese individuais associados a cada coordenada da fonte sísmica que o gerou: (a) hipotético e
(b) obtido pela aplicação desta metodologia.
Da mesma maneira que no desenvolvimento anterior, este registro também é
armazenado de forma reversa no tempo.
a) Geração do operador de síntese
Assim como foi feito anteriormente, para realizar a síntese de frentes de onda é
necessário que se identifique primeiramente a área de interesse de imageamento.
Identificada a área, determina-se o horizonte no qual será gerada esta frente de onda,
em profundidade, um z = g(x). Agora, no entanto, um arranjo de múltiplas fontes é
posicionado num dado ponto em profundidade. Elas são detonadas, gerando uma frente
de onda que irá se propagar até a superfície de observação.
Matematicamente, para a propagação dessa frente de onda desde esse horizonte
z =g(x) até a superfície de observação, será usada a equação acústica da onda não-
homogênea, dada pela Eq. (2.8) :
Considerações Teóricas___________________________________________________
25
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
2
2
22
2
2
2
),,(
),(
1),,(),,(
t
tzxP
zxvz
tzxP
x
tzxP
∑
=
−−
Ns
i
iii
xgzxxtf
1
))(()()(
δδ
,
onde:
f
i
(t) são cada uma das funções fonte inseridas no ponto z = A, de coordenadas
()
AA
zx, .
O ponto A é o ponto CFP;
v(x,z) é o campo de velocidades;
N
s
é o número total de detonações das fontes.
Esta equação é discretizada pelo método das diferenças finitas com
aproximações de quarta ordem para as derivadas espaciais e de segunda ordem para a
derivada temporal, com
Δ
x =
Δ
z = h:
[
(
+++−+++−=
−+−+−+−
+ n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
jiji
n
ji
PPPPPPPaP
1,,1,12,2,,2,2,
1
,
16
12
1
)
]
()( )
∑
=
−
+
−−+−++
Ns
i
ff
nn
ji
n
ji
n
ji
n
ji
jjiifPPPP
1
1
,,,1,
260
δδ
,
onde
2
,
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
=
h
tv
a
ji
ji
.
O campo propagado pela equação Eq. (2.9) será registrado na superfície de
observação, sendo armazenado de forma que a última amostra de tempo corresponda ao
tempo zero, garantindo a reversão temporal do mesmo. Este registro será denotado por
),( txS , que é o super-operador de síntese CFP, dado por uma soma de operadores de
síntese individuais. Ou seja,
∑
=
=
Ns
i
i
txstxS
1
),(),( - satisfazendo a aplicação do princípio
da superposição.
Eq. (2.8)
Eq. (2.9)
Considerações Teóricas___________________________________________________
26
b) Geração da família de múltiplas fontes CFP (famílias CFP)
Em analogia ao caso anterior, uma família de múltiplas fontes ou múltiplos tiros
CFP, também pode ser definida pela convolução do operador de síntese ),( txS com os
sismogramas gerados no campo, sendo dada por:
∑
=
=∗=Π
sis
N
i
iii
xtzzxsistxStx
1
0
),,(),(),(,
onde:
),( tx
Π é a família de múltiplas fontes CFP, obtida a partir de sismogramas de
campo;
),,(
0 iii
xtzzxsis = representa cada um dos sismograma de campo individuais
registrados na superfície do modelo, nas coordenadas de detonação x
i
;
),( txS
i
representa cada um dos operadores de síntese individuais, associados às
coordenadas de detonação x
i
.
Como no caso da geração da família CFP, este procedimento equivale a
propagar o campo de ),( txs para o interior do modelo obedecendo a seguinte equação
da onda não-homogênea
11
:
()
txS
t
tzxP
zxvz
tzxP
x
tzxP
,
),,(
),(
1),,(),,(
2
2
22
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
,
lembrando que
∑
=
=
Ns
i
i
txstxS
1
),(),( . Ela é discretizada pelo método das diferenças
finitas, com aproximações de quarta ordem para as derivadas espaciais e de segunda
ordem para a derivada temporal, fica:
[
(
+++−+++−=
−+−+−+−
+ n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
jiji
n
ji
PPPPPPPaP
1,,1,12,2,,2,2,
1
,
16
12
1
)
]
(
)
i
nn
ji
n
ji
n
ji
n
ji
xSPPPP +−++
−
+
1
,,,1,
260
.
11
Lembrando que este procedimento se aplica somente para casos sintéticos.
Eq. (2.10)
Eq. (2.11)
Eq. (2.12)
Considerações Teóricas___________________________________________________
27
O registro associado ao campo de onda
∑
=
=
Ns
i
i
txstxS
1
),(),( , realizado na
superfície do modelo, corresponde à família de múltiplas fontes CFP (ou famílias CFP),
denotada por ),( tx
Π . Onde
∑
=
=Π
Ns
i
i
txptx
1
),(),(.
c) Geração do sismograma redatumado
Para gerar o sismograma redatumado, assim como no caso anterior, a
propagação do campo de ),( tx
Π , a partir da superfície para o interior do modelo,
também obedece a equação da onda não-homogênea:
()
tx
t
tzxP
zxvz
tzxP
x
tzxP
,
),,(
),(
1),,(),,(
2
2
22
2
2
2
Π=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
,
discretizada pelo método das diferenças finitas, com aproximações de quarta ordem
para as derivadas espaciais e de segunda ordem para a derivada temporal, fica:
[
(
+++−+++−=
−+−+−+−
+ n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
jiji
n
ji
PPPPPPPaP
1,,1,12,2,,2,2,
1
,
16
12
1
)
]
(
)
i
nn
ji
n
ji
n
ji
n
ji
xPPPP Π+−++
−
+
1
,,,1,
260
,
o campo ),( tx
Π , corresponde às famílias CFP, será registrado em profundidade, em
todos os pontos do horizonte z = g(x), que é o datum de interesse, neste caso o ponto A.
Seu registro será um super-sismograma final redatumado, denotado por
()
∑
=
=Π
Ns
i
i
finalfinal
txp
1
),(.
Com um sismograma mais interpretável, a princípio, qualquer técnica de
migração poderá ser usada. A seguir, serão ilustrados fluxogramas desta metodologia
com as etapas que irão anteceder ao processamento desses dados.
Eq. (2.13)
Eq. (2.14)
Considerações Teóricas___________________________________________________
28
Figura 2.15 – Fluxograma da entrega dos dados para processamento. Note que um dos inputs
dos dados é o macro-modelo de velocidades, que é obtido, segundo Boechat (2007),
combinando técnicas de migração e tomografia sísmica, conforme descrito em Soares Filho
(1994).
2.2.2 Metodologia
A metodologia proposta, consiste de:
1. Apontar o alvo em estudo, através da seleção do refletor de interesse;
2. Determinar o ponto da malha de interesse, ou para o caso de uma família
de múltiplos tiros, os pontos da malha de interesse, ao longo do novo
datum de aquisição
12
. Esse(s) ponto(s) é (são) o(s) ponto(s) de
focalização comum (ou ponto(s) CFP), que será a posição das fontes (e
receptores) após a redatumação;
12
É conveniente mencionar que este estudo fora realizado para uma interface horizontal, apenas.
Considerações Teóricas___________________________________________________
29
3. Escolhido o novo datum de aquisição, simplifica-se um macro-modelo
de velocidades, previamente criado, onde as complexidades acima do
ponto CFP são preservadas e as velocidades abaixo desse ponto são
consideradas constantes;
4. Usando esse macro-modelo de velocidades simplificado, por
extrapolação direta do campo de onda de uma dada fonte física
13
, a partir
do ponto da malha correspondente ao ponto de focalização comum,
computa-se o operador de síntese CFP, sendo esse registro feito na
superfície do modelo;
5. Considerando que seja satisfeito o princípio de igual tempo de trânsito
(ou da reversibilidade temporal), a partir da superfície de observação,
por extrapolação direta, aplica-se o operador de síntese CFP ao macro-
modelo de velocidades original, gerando assim um novo registro em
superfície: a famílias CFP – para uma família de tiro comum – ou as
famílias CFP – para famílias de múltiplas fontes;
6. Para gerar o sismograma redatumado, aplica-se ao macro-modelo de
velocidades simplificado a(s) família(s) CFP, a partir da superfície de
observação, registrando porém, no ponto previamente determinado para
a redatumação. A esse registro final determina-se sismograma (ou super-
sismograma) redatumado.
A Figura 2.16, a seguir, ilustra os passos anteriormente citados propostos para
esta metodologia.
13
Nessa dissertação, nos experimentos, utilizam-se a fonte proposta por Cunha (1997).
Considerações Teóricas___________________________________________________
30
Figura 2.16 – Fluxograma proposto para aplicação desta metodologia.
Aplicações____________________________________________________
31
Capítulo 3
Aplicações
Foram realizados experimentos numéricos em dois macro-modelos de
velocidade bidimensionais, visando estimar a adequação da técnica para modelos que
apresentam camadas de interesse sob estruturas que possuem topografia complexa, tais
como canyons presentes no assoalho marinho. Os algoritmos utilizados foram obtidos
segundo a metodologia descrita no capítulo anterior.
A Figura 3.1 apresenta um modelo de camadas plano-horizontais com
topografia de fundo do mar irregular. Situação típica ao que ocorre na transição da
camada de água para o fundo marinho, muitas vezes, composto por canyons
1
escavados
atuais ou pretéritos. Tais estruturas representam um desafio ao imageamento sísmico
por causar significativa dispersão do sinal, dificultando o imageamento em áreas sob
tais estruturas.
O macro-modelo de velocidades apresentado a seguir, foi desenvolvido com o
intuito de avaliar a efetividade da focalização de energia na geração de uma família
CFP, removendo os efeitos de dispersão causados pela camada de topografia complexa.
1
1. Vale longo e estreito, de paredes íngremes, resultante da ação erosiva de um curso d´água. 2. Feição
submarina semelhante ao canyon terrestre que serve de duto par os fluxos sedimentares subaquosos. 3.
Estrutura geológica identificada como um canyon pretérito (DUARTE, 2003).
Aplicações____________________________________________________
32
Figura 3.1 – Campo de velocidades do macro-modelo de velocidades sintético de camadas
plano-horizontais com topografia de fundo do mar irregular, desenvolvido para testar a
redatumação dos dados por famílias CFP (dimensões do modelo: (2700 x 2700) m –
amostragem lateral e em profundidade: 6m; número de pontos de malha na horizontal e na
vertical: 450 pontos de malha).
A Figura 3.2 apresenta alguns snapshots
2
durante a geração de uma família
CFP, relativa ao “ponto de tiro” localizado na estação 225. Observe a frente de onda
inserida no modelo como o operador de síntese, se propagando para a sub-superfície e
note que num dado momento, esta frente de onda tem sua energia concentrada num
ponto do modelo – o ponto de focalização comum (CFP), segundo a forma de onda pré-
estabelecida que foi a fonte pontual – e a seguir, ela “explode”, neste momento ela
comporta-se como uma “fonte virtual”, na verdade, o operador de síntese é que neste
momento se comporta como uma fonte virtual. Ficando perceptível as interações dessa
frente de onda com as camadas de interesse abaixo da de topografia complexa. A partir
destas interações e seus respectivos registros na superfície, está sendo gerada a família
CFP, que será usada em seguida para a geração do sismograma redatumado.
2
Snapshots, em inglês, quer dizer instantâneos.
Aplicações____________________________________________________
33
Figura 3.2 – Snapshots durante a geração da família CFP, para um ponto de tiro localizado na
estação 225 e no ponto 200 de profundidade.
Note pelas sequências de snapshots da Figura 3.2, a concentração do sinal do
operador de síntese desde a) até g) onde o mesmo colapsa num ponto (o ponto CFP).
Em h) ocorre a “explosão virtual” e as frentes de onda se propagam pelo modelo até
atingir as camadas de interesse. Os números indicados nos snapshots indicam as
reflexões que ocorreram em resposta ao sinal da fonte virtual associadas às camadas do
modelo abaixo do ponto CFP.
1
2
3
1
1
2
p)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j
)
k)
l)
m)
n)
o)
Aplicações____________________________________________________
34
3.1.2 Experimentos Numéricos
A seguir serão apresentados os resultados obtidos para os experimentos
numéricos realizados para dois macro-modelos de velocidades, respectivamente.
3.1.2.1 Modelo de camadas plano-horizontais com topografia de fundo do mar
irregular para 1 tiro comum
Os parâmetros utilizados para a modelagem em diferenças finitas do modelo de
camadas plano-horizontais com topografia de fundo do mar irregular, foram: número de
pontos de malha na horizontal: 450; número de pontos de malha na vertical: 450;
velocidade mínima: 1500 m/s; velocidade máxima: 4000 m/s; dimensões do modelo:
(2700 x 2700) m; intervalo entre receptores: 6 ; amostragem lateral e em profundidade:
6 m; freqüência de corte: 50 hz; coordenadas do ponto CFP (x
i
, z
j
): (225,200);
amostragem em tempo: 0,0003 s ou 0,3 ms; número de amostras por traço do operador
de síntese: 5000; tempo de registro do operador de síntese: 1,5 s; número de
amostras por traço da família CFP: 12000; tempo de registro da família CFP: 3,6 s;
número de amostras por traço do sismograma redatumado: 12000; tempo de registro
do sismograma redatumado: 3,6 s; número de pontos da caixa de areia: 50; Co-fator
mínimo – co-fator máximo
3
: 0,00075.
Figura 3.3 – Modelo de velocidades sintético em reais valores.
3
Estes co-fatores possuem o mesmo valor, respectivamente, para esta modelagem e são usados na
condição de bordas absorvedoras de Cerjan (1985) e este valor equivale ao parâmetro Fat da Eq.
(A2.37).
Aplicações____________________________________________________
35
Figura 3.4 – Operador de síntese gerado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 225 , z
j
= 200 –
pontos de malha – coordenadas reais: x
i
=1350 m, z
j
= 1200 m) e registrado na superfície.
Figura 3.5 –Família CFP registrado na superfície.
Aplicações____________________________________________________
36
Figura 3.6 – Sismograma redatumado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 225 , z
j
= 200 –
pontos de malha). Em coordenadas reais: x
i
=1350 m, z
j
= 1200 m.
Figura 3.7 – Sismograma redatumado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 225 , z
j
= 200 –
pontos de malha). Em coordenadas reais: x
i
=1350 m, z
j
= 1200 m.
As reflexões representadas pelos números 1, 2 e 3, na figura anterior, estão
associadas aos refletores abaixo do ponto de focalização comum.
Aplicações____________________________________________________
37
(a)
(b)
Figura 3.8 – (a) Modelo de velocidades sintético evidenciando o ponto CFP e a posição onde
será feito o corte no modelo para a comparação com o sismograma esperado. (b) Modelo de
velocidades cortado no ponto j
CFP
.
Note que este modelo considera somente as estruturas de interesse abaixo do
ponto CFP.
Aplicações____________________________________________________
38
Figura 3.9 – Sismograma esperado registrado na superfície do modelo cortado (x
i
= 225 , z
j
=
3 – pontos de malha). As reflexões representadas pelos números 1, 2 e 3 estão associadas aos
refletores abaixo do ponto de focalização comum.
(a) (b)
Figura 3.10 – Comparação entre o sismograma esperado (a) , obtido na superfície do modelo, e
o sismograma redatumado (b), tendo sido suprimida a região associada aos eventos registrados
acima do ponto CFP.
Compare o sismograma redatumando com o sismograma esperado, acima, note
a consistência das reflexões abaixo do ponto de focalização comum presentes em
ambos os registros.
Aplicações____________________________________________________
39
3.1.2.2 Modelo de camadas plano-horizontais com topografia de fundo do mar
irregular para 180 tiros comuns
Os parâmetros utilizados para a modelagem CFP, em diferenças finitas, foram:
intervalo entre receptores: 6 m; amostragem lateral e em profundidade:6 m; freqüência
de corte:50 hz; coordenadas do ponto CFP (x
i
, z
j
): (225,200); amostragem em
tempo:0,0003 s ou 0,3 ms; número de amostras por traço do operador de síntese: 5000;
tempo de registro do operador de síntese: 1,5 s; número de amostras por traço do areal
shot (famílias CFP): 12000; tempo de registro do areal shot (famílias CFP): 3,6 s;
número de amostras por traço do sismograma redatumado: 12000; tempo de registro
do sismograma redatumado: 3,6 s; número de pontos da caixa de areia: 50; co-fator
mínimo– co-fator máximo
4
: 0,00075.
Figura 3.11 – Operador de síntese para 180 tiros gerado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
=
225 , z
j
= 200 – pontos de malha – e x
i
=1350 m, z
j
= 1200 m – coordenadas reais) e registrado
na superfície.
4
Estes co-fatores possuem o mesmo valor, respectivamente, para esta modelagem e são usados na
condição de bordas absorvedoras de Cerjan (1985) e este valor equivale ao parâmetro Fat da Eq.
(A2.37).
Aplicações____________________________________________________
40
Figura 3.12 – Areal shot (famílias CFP) para 180 tiros registrado na superfície.
Figura 3.13 – Sismograma redatumado para 180 tiros, a partir do ponto nas coordenadas do
ponto CFP (x
i
= 225 , z
j
= 200 – pontos de malha – e x
i
=1350 m, z
j
= 1200 m – coordenadas
reais).
Aplicações____________________________________________________
41
Figura 3.14 – Sismograma redatumado para 180 tiros. As reflexões representadas pelos
números 1, 2 e 3 estão associadas aos refletores abaixo do ponto de focalização comum.
Figura 3.15 – Sismograma esperado registrado na superfície do modelo cortado (x
i
= 225 , z
j
= 3 – pontos de malha).
Aplicações____________________________________________________
42
As reflexões representadas pelos números 1, 2 e 3, na figura anterior, estão
associadas aos refletores abaixo do ponto de focalização comum. Compare o
sismograma redatumado com o sismograma esperado, note a consistência das reflexões
abaixo do ponto de focalização comum presentes em ambos os registros.
(a) (b)
Figura 3.16 – Comparação entre o sismograma esperado (a) , obtido na superfície do modelo, e
o sismograma redatumado (b), tendo sido suprimida a região associada aos eventos registrados
acima do ponto CFP.
3.1.2.3 Modelo de Canyons escavados no fundo do mar para 1 tiro comum
Os parâmetros utilizados para a modelagem em diferenças finitas do modelo de
canyons escavados, foram: número de pontos de malha na horizontal: 1000; número de
pontos de malha na vertical: 500; velocidade mínima: 1551 m/s; velocidade máxima:
4680 m/s; dimensões do modelo: (6000 x 3000) m; intervalo entre receptores: 6 m;
amostragem lateral e em profundidade: 6 m; freqüência de corte: 50 hz; coordenadas do
Ponto CFP (x
i
, z
j
): (500,200); amostragem em tempo: 0,0003 s ou 0,3 ms; número de
amostras por traço do operador de síntese: 5000; tempo de registro do operador de
síntese:1,5 s; número de amostras por traço da família CFP: 12000; tempo de registro
família CFP: 3,6 s; número de amostras por traço do sismograma redatumado: 12000;
tempo de registro do operador do sismograma redatumado: 3,6 s; número de pontos da
caixa de areia: 50; co-fator mínimo – co-fator máximo
5
: 0,0025.
5
Estes co-fatores possuem o mesmo valor, respectivamente, para esta modelagem e são usados na
condição de bordas absorvedoras de Cerjan (1985) e este valor equivale ao parâmetro Fat da Eq.
(A2.37).
Aplicações____________________________________________________
43
Figura 3.17 – Modelo de velocidades sintético em reais valores.
Figura 3.17 – Sismograma obtido com fontes e receptores na superfície do modelo. Note como
a qualidade do imageamento das regiões de interesse pode vir a ficar comprometida, em função
das difrações sísmicas, resultado da presença dessas estruturas complexas – canyons.
Aplicações____________________________________________________
44
Figura 3.18 – Operador de síntese gerado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
=
Aplicações____________________________________________________
45
Figura 3.20 – Sismograma redatumado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 500 , z
j
= 200 –
pontos de malha – e x
i
=3000 m, z
j
= 1200 m – coordenadas reais).
Aplicações____________________________________________________
46
(a)
(b)
Figura 3.21 – (a) Sismograma redatumado. As reflexões representadas pelos números 1, 2, 3 e
4 estão associadas aos refletores abaixo do ponto de focalização comum. (b) Modelo de
velocidades.
Aplicações____________________________________________________
47
(a)
(b)
Figura 3.22 – (a) Modelo de velocidades sintético evidenciando o ponto CFP e a posição onde
será feito o corte no modelo para a comparação com o sismograma esperado. (b) Modelo de
velocidades cortado no ponto j
CFP
. Note que este modelo considera somente as estruturas de
interesse abaixo do ponto CFP.
Aplicações____________________________________________________
48
Figura 3.23 – Sismograma esperado registrado na superfície do modelo cortado (x
i
= 500 , z
j
= 3 – pontos de malha).
As reflexões representadas pelos números 1, 2, 3 e 4 estão associadas aos
refletores abaixo do ponto de focalização comum. Compare o sismograma redatumado
com o sismograma esperado, abaixo, note a consistência das reflexões abaixo do ponto
de focalização comum presentes em ambos os registros.
(a) (b)
Figura 3.24 – Comparação entre o sismograma esperado (a) , obtido na superfície do modelo, e
o sismograma redatumado (b), tendo sido suprimida a região associada aos eventos registrados
acima do ponto CFP.
Aplicações____________________________________________________
49
3.1.2.4 Modelo de Canyons escavados no fundo do mar para 400 tiros comuns
Observe que mesmo para um registro de 400 tiros comuns, nada pode ser dito a
cerca da geologia da região de interesse.
Figura 3.25 – Sismograma obtido com fontes e receptores na superfície do modelo.
Os parâmetros utilizados para a modelagem CFP, em diferenças finitas, do
modelo de canyons escavados, foram: intervalo entre receptores: 6 m; amostragem
lateral e em profundidade: 6 m; freqüência de corte: 50 hz; coordenadas do ponto CFP
(x
i
, z
j
): (500,200); amostragem em tempo: 0,0003 s ou 0,3 ms; número de amostras por
traço do operador de síntese: 5000; tempo de registro do operador de síntese: 1,5 s;
número de amostras por traço do areal shot (famílias CFP): 12000; tempo de registro
do areal shot (famílias CFP): 3,6 s; número de amostras por traço do sismograma
redatumado: 12000; tempo de registro do sismograma redatumado: 3,6 s; número de
pontos da caixa de areia: 50; co-fator mínimo – co-fator máximo
6
: 0,0025.
6
Estes co-fatores possuem o mesmo valor, respectivamente, para esta modelagem e são usados na
condição de bordas absorvedoras de Cerjan (1985) e este valor equivale ao parâmetro Fat da Eq.
(A2.37).
Aplicações____________________________________________________
50
Figura 3.26 – Operador de síntese gerado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 500 , z
j
= 200
– pontos de malha – e x
i
=3000 m, z
j
= 1200 m – coordenadas reais) e registrado na superfície.
Figura 3.27 – Areal shot (famílias CFP) registrado na superfície.
Aplicações____________________________________________________
51
Figura 3.28 – Sismograma redatumado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 500 , z
j
= 200 –
pontos de malha – e x
i
=3000 m, z
j
= 1200 m – coordenadas reais).
Aplicações____________________________________________________
52
(a)
(b)
Figura 3.29 – (a) Sismograma redatumado. As reflexões representadas pelos números 1, 2, 3 e
4 estão associadas aos refletores abaixo do ponto de focalização comum. (b) Modelo de
velocidades.
Aplicações____________________________________________________
53
Figura 3.30 – Sismograma esperado registrado na superfície do modelo cortado (x
i
= 500 , z
j
= 3 – pontos de malha).
As reflexões representadas pelos números 1, 2,3 e 4 estão associadas aos
refletores abaixo do ponto de focalização comum. Compare o sismograma redatumado
com o sismograma esperado, abaixo, note a consistência das reflexões abaixo do ponto
de focalização comum presentes em ambos os registros.
(a) (b)
Figura 3.31 – Comparação entre o sismograma esperado (a) , obtido na superfície do modelo, e
o sismograma redatumado (b), tendo sido suprimida a região associada aos eventos registrados
acima do ponto CFP.
Conclusões
54
Capítulo 4
Conclusões
Neste trabalho foi apresentada uma nova formulação para a redatumação dos
dados registrados em superfície, que são influenciados pela presença de canyons no
assoalho marinho, utilizando Famílias CFP com extrapolações do campo de onda, sem
aproximações assintóticas.
Esta nova formulação teve como objetivo eliminar os efeitos da topografia do
fundo do mar próximo às áreas de interesse exploratório nos dados sísmicos
registrados.
Todos os algoritmos foram gerados em ambiente Windows utilizando o Fortran
90 (Compaq Visual Fortran 6.6) e os resultados foram visualizados no Array
Visualizer 1.5.
Por ser um caso particular da tecnologia de registro de múltiplas fontes (Areal
Shot Record) utiliza o conceito de operador de síntese que é gerado no datum de
referência e registrado na superfície de um macro-modelo de velocidades simplificado.
As frentes de onda sintetizadas, a partir do operador de síntese, foram geradas num
ponto da subsuperfície, o ponto CFP, e registradas na superfície de observação. Ao
serem propagadas para o interior do modelo, geraram próximo à área de interesse uma
frente de onda pré-definida. Essa forma de onda corresponde a fonte física inserida no
macro-modelo de velocidades, em virtude da detonação.
Para uma única fonte inserida no macro-modelo de velocidades, o operador de
síntese é registrado na superfície, sendo armazenado de tal forma que, a última amostra
de tempo corresponda ao tempo zero, garantindo a reversão temporal do mesmo. Este
operador de síntese é convolvido com com os sismogramas de campo dando origem à
família CFP (para uma família de tiro comum) ou as famílias CFP (para famílias de
múltiplas fontes).
Conclusões
55
Para obter o sismograma final redatumado, a(s) família(s) são propagadas para o
interior do modelo, a partir do campo registrado na superfície, sendo registrado no
datum previamente definido para a aquisição.
Os resultados apresentados foram testados em dois macro-modelos de
velocidade. Os sismogramas finais foram capazes de exibir as reflexões sem a
influência dos canyons dos refletores que estão sob o datum de referência.
A comparação entre as imagens obtidas dos sismogramas finais, do ponto de
vista cinemático, tanto para os sismogramas redatumados, quanto para os sismogramas
esperados, constatou que ambos, quando ajustados em escala, são muito semelhantes.
A técnica também fora testada no modelo Salt-CC da SEG-EAGE modificado e
apresentada em anexo, como uma previsão para trabalhos futuros.
Sugestões para trabalhos futuros:
- Realizar estudos comparativos para a geração das Famílias CFP,
gerando as convoluções do operador de síntese com cada um dos
sismogramas gerados separadamente e depois realizar a soma destas;
- Realizar estudos que levem em conta a contribuição do modelo de
macro-velocidades como um todo (isto é, sem considerar constante as
velocidades das camadas sob o datum) e comparar os resultados
obtidos com o desenvolvimento realizado neste trabalho. A fim de
verificar a se a contribuição de todas as chegadas da função de Green,
que foram suprimidas quando realizada esta consideração, são
importantes ou não;
- Aperfeiçoar o algoritmo para que seja corretamente selecionado
somente o intervalo de tempo de registro associado à região que
contém as reflexões de interesse no sismograma redatumado,
dispensando àquelas que por ventura venham causar a dispersão do
sinal, contaminando os dados.
- Analisar mais detalhadamente a inserção do termo fonte no algoritmo
de modelagem a fim de calibrar as amplitudes das reflexões presentes
nos sismogramas finais;
- Adaptar o algoritmo considerando meios elásticos e operando com
multicomponentes;
Conclusões
56
- Estender o estudo para realizar testes com diferentes técnicas de
migração.
Nota:
Foram apresentados neste trabalho apenas dois dos macro-modelos estudados,
mas esta técnica também foi aplicada a outros macro-modelos de velocidade
(Onshore (modificado de Martins, 2003); Salt-EE, Salt-FF da SEG-EAGE e
Salt-CC da SEG-EAGE, sendo este último apresentado em anexo).
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Revisão Bibliográfica____________________________________________________
63
Anexo 1
Revisão Bibliográfica
A.1.1 Princípio de Huygens
A Teoria Ondulatória, de Huygens, baseia-se numa construção geométrica que
nos permite predizer onde estará certa frente de onda, num instante qualquer do futuro,
caso seja conhecida sua posição atual. Esta construção é baseada no Princípio de
Huygens, que diz: “Todos os pontos de uma frente de onda devem ser considerados
como fontes puntiformes de ondas esféricas secundárias. Depois de um certo tempo t, a
nova posição da frente de onda é a superfície que tangencia essas ondas secundárias”,
(RESNICK e HALLIDAY (1993) apud Silva, 2002). Então, cada ponto sobre uma
superfície refletora pode ser considerado como uma nova fonte de onda.
A lei fundamental de Snell sobre a reflexão afirma que os ângulos de incidência
e reflexão medidos a partir de uma normal à superfície refletora são iguais e situam-se
no mesmo plano, denominado plano de incidência.
Admitindo-se um meio como ópico e aplicando o Princípio de Huygens, pode-
se determinar a frente de onda dos raios refletidos, traçando-se uma linha tangente às
superfícies de frente de onda dos feixes de luz incidentes, conforme os pontos MNI da
Figura A.1. Desta forma, os feixes de luz refletidos serão perpendiculares à frente de
onda.
Figura A.1. – Princípio de Huygens aplicado à reflexão. Três pontos A, B e C de uma
determinada frente de onda atingem ao plano de interface entre dois meios com ângulos de
incidência θi e de reflexão θr normais aos pontos D, J e I, respectivamente. (retirado de
SILVA, 2002).
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
64
A.1.2 Princípio da Reversibilidade Temporal
Este princípio afirma que a mesma equação da onda usada para extrapolação
direta pode ser usada para a extrapolação inversa, ou seja, a partir das estações
receptoras para a fonte. Bastando para isso, (CUNHA (1997) apud Silva, 2002),
inverter temporalmente o sentido da fonte
1
, isto é, tt
−
→ .
()
0
2
0
2
2
0
2
)(
),,(
1
),,( rrtf
t
trrP
v
trrP
rr
r
r
rr
−−=
∂
∂
−∇
δ
()
tt
t
t
−→⇒
−∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
()
0
2
0
2
2
0
2
)(
),,(
1
),,( rrtf
t
trrP
v
trrP
rr
r
r
rr
−−−=
∂
−∂
−−∇
δ
onde
r é o vetor de localização de cada receptor;
r
0
é a localização da fonte e
f(t) representa a variação temporal da amplitude da fonte.
Desta forma, de acordo com Silva (2002), a mesma equação pode ser usada para
extrapolar o campo no sentido do tempo passado para o futuro, ou o contrário. Este
princípio é a expressão informal da invariância da equação acústica da onda pela
transformação tt
−
→ (CUNHA,1997).
A.1.3 Princípio da Reciprocidade
O princípio da reciprocidade afirma que a solução da equação acústica da onda
é preservada pelo intercâmbio
2
das coordenadas da fonte e receptor,
r
r
,
0
r
r
(CUNHA,1997).
1
Isto porque a função fonte, a derivada segunda da Gaussiana, é uma função par.
2
Isto porque a função delta (
δ
) de Dirac é uma função par.
Eq. (A.1)
Eq. (A.2)
Eq. (A.3)
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
65
A partir da equação Eq. (A.4),
()
0
2
0
2
2
0
2
)(
),,(
1
),,( rrtf
t
trrP
v
trrP
rr
r
r
rr
−−=
∂
∂
−∇
δ
.
Fazendo:
),,(),,(
00
trrPtrrP
r
r
r
r
=
,
Tem-se satisfeito o princípio da reciprocidade:
()
rrtf
t
trrP
v
trrP
rr
r
r
rr
−−=
∂
∂
−∇
0
2
0
2
2
0
2
)(
),,(
1
),,(
δ
.
Então:
)()( tftf
−
=
.
A.1.4 Modelo do Refletor Explosivo
Partindo do princípio que as frentes de onda percorrem caminhos iguais quando
viajam da fonte para o refletor e do refletor de volta à fonte, o modelo do refletor
explosivo
3
, considera as fontes não mais posicionadas na superfície, junto aos
receptores, mas sim sobre as interfaces onde são detonadas, simultaneamente no tempo,
()
0=t , permanecendo os receptores na superfície, conforme a Figura A.2.
Figura A.2 – O modelo do refletor explosivo (modificado de FARIA, 1986).
3
Introduzido por Claerbout (1985).
Eq. (A.4)
Eq. (A.5)
Eq. (A.6)
Eq. (A.7)
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
66
Na primeira situação, apresentada na Figura A.2, o caso real, onde uma fonte
impulsiva é detonada na superfície e um arranjo de receptores registram o retorno das
reflexões da onda gerada. A superposição da fonte e do receptor caracteriza a
construção de uma situação zero-offset
4
. No segundo caso, os receptores são colocados
na superfície e as fontes são, supostamente, colocadas sobre os refletores. Num dado
instante, o instante inicial da análise, os refletores “explodem”, gerando ondas
impulsivas que sobem até a superfície sendo registradas pelos receptores (VIEIRA,
2005). Pode-se observar, pela figura, que os raios que representam as frentes de onda
percorrem os mesmos caminhos com as mesmas velocidades, na primeira situação. Já
na segunda, a onda percorre a metade da distância (apenas subida), na metade do
tempo, em relação à situação anterior.
A.1.5 Propriedades da Tecnologia CFP
A aplicação de um operador de focalização, conforme pesquisa realizada por
Bolte (2004), conduz a aplicação da extrapolação do campo de onda no sentido inverso,
a partir da superfície de observação para o ponto focal escolhido (o ponto CFP). O
resultado corresponde ao posicionamento de uma fonte (ou receptor) virtual em
subsuperfície, ainda que os receptores (ou as fontes) estejam localizados na superfície,
caso que ocorre numa aquisição sísmica convencional. Segundo Bolte (2004), o
registro CFP parece então, com um novo experimento físico.
A aplicação de um operador de focalização num segundo tempo conduz à fonte
virtual e a um receptor virtual no mesmo ponto de uma determinada fronteira de um
refletor. Em outras palavras, o segundo passo de focalização, correto, para a segunda
extrapolação inversa completa, gera o imageamento para um determinado ponto da
subsuperfície.
Esse processo pode ter adensado sua quantidade de pontos de observação, a fim
de se obter uma correta focalização e com isso, gerar a imagem do alvo exploratório em
subsuperfície.
A proposta inicial do método CFP, de acordo com Bolte (2004), não é prover
um novo algoritmo de migração, mas obter os operadores de focalização a partir dos
dados sem um conhecimento prévio do campo de velocidades em profundidade.
4
Zero-offset – configuração de afastamento nulo entre fonte e receptor.
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
67
Uma propriedade muito conveniente do registro CFP está associada ao fato de
que se o operador de focalização fora corretamente escolhido, os tempos de trânsito do
operador de focalização inicial deverão marcar exatamente os tempos de trânsito do
evento correspondente no registro das famílias CFP (operador de focalização de
emissão, pela terminologia de Berkhout). Esta característica é conhecida como o
princípio de igual tempo de trânsito (BERKHOUT, 1997 Parte II) apud Bolte, 2004.
De acordo Bolte (2004), o método CFP concentra a reposta da difração num
determinado ponto do refletor, e contudo, está envolvido numa criação opcional de
imagens pré-empilhadas usando os operadores num único caminho de tempo de
trânsito.
O método CFP torna possível, para cada ponto de malha em subsuperfície, a
descrição da migração antes do empilhamento (pre-stack migration) em termos de dois
passos consecutivos de focalização: a focalização na emissão seguida pela focalização
na recepção: veja BERKHOUT (1982, 1992, 1997), RIETVELD (1995),
THORBECKE (1997) e KABIR (1997) apud Berkhout, 2000.
A.1.6 Novas Soluções para o imageamento de situações geológicas
complexas a partir da Tecnologia CFP
De acordo Kabir (1997), a proposta da formulação da migração pre-stack como
um processo de dupla focalização, através de conjuntos de pontos de malha, baseada
nas considerações desta tecnologia, fornece com acurácea e eficiência uma estimativa
do macro-modelo de velocidades desejado. Isto porque existe uma relação entre os
parâmetros da malha e a resposta sísmica (sismograma).
Como o método é orientado a um ponto de malha específico, evidenciando as
premissas de iluminação direcionada ao alvo, pode ser facilmente estendido a
aplicações em 3D (KABIR, 1997).
Conforme estudos realizados por vários autores, esta tecnologia pode ser
também aplicada na inversão paramétrica e na tomografia de inversão (BOLTE, 2004).
Os operadores de focalização podem, ainda, ser usados para remover os efeitos
próximos à superfície (KELAMIS et al., 1999, 2002; HINDRINKS e VERSCHUUR,
2001 apud Bolte, 2004) e para a remoção de múltiplas internas, (BERKHOUT, 1999;
VERSCHUUR e BERKHOUT , 2001 apud Bolte, 2004).
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
68
Quatro importantes aplicações desta tecnologia, de acordo com Berkhout
(2000):
a. Aplicada à complexidade próxima a camadas superficiais:
Em muitas situações práticas a superfície da terra é recoberta por muita
complexidade próxima a camadas superficiais. Muitas vezes a complexidade
inclui severas não-homogeneidades, anisotropia e dispersão, proibindo a
derivação do modelo geológico real que pode ser bem sucedido e usado no
processamento sísmico. Nestas situações, essa região complexa, não deveria ser
representada próximo à superfície a partir do modelo de velocidades, mas pelos
operadores que são estimados através do princípio de igual tempo de trânsito.
Pois, ao considerarmos tal região de complexidade, mais tarde nos conduzirá a
uma consideração confusa acerca das estáticas (variância temporal, consistência
da superfície e periodicidade), (TANER e BERKHOUT, 1997, apud Berkhout,
2000). Assim, uma vez que o processamento sísmico tenha sido feito, os
operadores de superfície poderão ser usados na inversão tomográfica próxima à
superfície para a conversão em profundidade.
b. Remoção de múltiplas internas:
Os dados gerados a partir do algoritmo para a remoção das múltiplas internas
são obtidos a partir da troca do algoritmo relativo à superfície e os registros dos
tiros a partir dos registros CFP´s. Os pontos focais destes registros CFP´s são
posicionados na interface de geração das múltiplas internas (BERKHOUT,
1999 apud Berkhout, 2000).
c. Imageamento sub-sal:
A partir da geração de registros CFP na fronteira superior de uma determinada
área de interesse, abaixo do sal e sob a influência de parâmetros de entrada
complexos, tais como: velocidade, anisotropia e dispersão. Pode ser estimada
com acurácia a atualização do evento envolvendo os operadores. A seguir, a
partir da extrapolação direta do registro CFP para a área de interesse,
considerando o fato de os operadores já terem sido testados, os pontos da malha
são obtidos. A parte causal do registro dos pontos da malha funcionará como o
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
69
registro dos tiros com as fontes correspondendo às camadas de interesse,
(KELAMIS et al, 1999 apud Berkhout, 2000). A parte anticausal funcionará
como um filtro multidimensional para remover todas as energias das múltiplas
internas da área de interesse (BERKHOUT, 1999). Se a camada é muito
complexa o registro do ponto da malha pode ser construído em um ou mais
níveis intermediários (a chamada aproximação recursiva).
d. Migração multicomponente:
Segundo Berkhout (2000), a aproximação CFP é a mais apropriada para o
imageamento de dados multicomponente. A focalização na detecção pode ser
feita com um operador
S
5
ou um operador P
6
e a focalização na emissão pode
ser feita com um operador
P ou um operador S, respectivamente. De acordo
com Berkhout (2000), isto leva ao princípio do igual tempo de trânsito que pode
ser aplicado para tempos de trânsito
P e para tempos de trânsito S,
separadamente. Levando em conta que os operadores
P e S estão
automaticamente inclusos nos efeitos dos parâmetros de anisotropia e dispersão.
Uma poderosa estratégia a partir de dados OBC
7
é estimar os operadores P a
partir do primeiro dado
PP
8
, seguido pela estimativa dos operadores S a partir
do dado
SP
9
. Feito isto, a resposta da focalização no registro CFP do dado PP e
o registro CFP do dado
SP devem ter os mesmos tempos de trânsito (iguais ao
verificado para o operador
P).
A.1.7 O Método da Fonte Virtual
Calvert (2005), em sua publicação da SEG, apresentou o método da fonte
virtual (VSM
10
) como uma metodologia promissora que está sendo testada e
desenvolvida.
O método da fonte virtual é uma proposta de aplicação, uma espécie de
aproximação, que visa reduzir as distorções das imagens sísmicas causadas pelo efeito
das camadas superficiais e heterogeneidades de soterramento, (KORNEEV et. al,
5
S – relacionado à onda S.
6
P – relacionado à onda P.
7
OBC – (Ocean bottom cable – cabo de fundo oceânico) uma técnica de aquisição sísmica
multicomponente, onde os receptores estão dispostos sobre o assoalho oceânico.
8
PP – relacionado à onda convertida PP.
9
SP – relacionado à onda convertida SP.
10
VSM, em inglês: virtual source method.
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
70
2006). É uma metodologia associada ao estágio de aquisição porque requer o
posicionamento dos geofones dentro do poço já perfurado, abaixo da parte mais
complexa das heterogeneidades de soterramento.
Onde a aquisição é possível, as informações oriundas dessa etapa serão usadas
no estágio de processamento pelo fato de não requerer o conhecimento prévio do
modelo de velocidades acima desses receptores em profundidade. A efetividade desta
metodologia tem sido apresentada através da publicação de vários trabalhos: Bakulin e
Calvert (2004), Calvert (2005), Korneev e Bakulin (2006) e; Bakulin e Calvert (2006).
De acordo com Calvert (2005), a indústria tem tido, atualmente, a possibilidade
de cobrir muitos dados a partir dos métodos de aquisição sísmica convencional que são
usados para o monitoramento 4D. E têm tido inúmeros benefícios associados ao
permanente monitoramento de receptores fixos.
Em seu artigo, Calvert (2005), sugere que se imagine o planejamento de uma
aquisição 4D, mas com: fontes e receptores fixos. Onde se controle as fontes, isto é, se
controle as formas de onda que são produzidas. Claro, que essas fontes teriam que ser
especiais e ter um custo relativamente barato para que possam ser desenvolvidas e
aplicadas. Com isso, considerando que tais fontes existam, nada impede que elas sejam
locadas sob determinadas regiões de interesse, tais como regiões que apresentem
grandes contrastes de heterogeneidades e que por exemplo estejam próximas à
superfície (BAKULIN e CALVERT, 2004; CALVERT e BAKULIN, 2004 apud
Calvert (2005).
A Figura A.3, mostra como aplicar tal metodologia. De acordo com Calvert
(2005), a fonte virtual pode ser locada em qualquer ponto da malha numa modelagem
computacional.
As Figuras A.4 e A.5 apresentam aplicações práticas de uma geometria
de aquisição utilizando o método.
Ao seguir os passos enumerados na Figura A.3, pode-se considerar que: uma
fonte convencional com uma forma de onda
S é captada por um receptor, como
mostrado no passo 1. O registro
R consiste de um primeiro registro, seguido por outros
múltiplos registros, os quais correspondem às reflexões esperadas da região de
interesse. Agora, no passo 2, considera-se uma troca entre a fonte e o receptor, esta
situação tem por base as propriedades do princípio da reciprocidade, com isso, pode-se
inferir que tendo uma fonte com a forma de onda
S na posição do receptor, pode-se
fazer com que este registro
R, seja recebido na posição da fonte. Ou seja, pode-se trocar
a fonte e o receptor, componente a componente, mesmo que as formas das frentes de
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
71
onda nesses “dois experimentos” sejam muito diferentes e tenham direções de
propagação em sentidos opostos. Agora, no passo 3, Calvert (2005) considera que tenha
sido feita a convolução do sinal no sentido reverso, sob a consideração do princípio da
reversibilidade temporal, do registro
R com o resultado do experimento físico do passo
1
11
, que pode ser realizado fisicamente no campo ou no computador. A partir da
convolução no tempo reverso do registro
R do passo 1 com os resultados da aquisição
do passo 1, obtém-se uma forma de onda do tipo zero-phase no receptor. No esquema,
segundo Calvert (2005), não é preciso confrontar os dados invocando o princípio da
reciprocidade, uma vez que esse resultado é meramente linear. Em função dessa
linearidade, pode-se convolver o experimento de aquisição mais adiante com outro
filtro, produzindo uma forma de onda desejada
12
. Este passo pode ser repetido para
todas as outras fontes de todas as outras posições de fonte registradas no receptor. No
passo 4, a soma dos resultados de todas essas formas de onda registradas produz uma
única forma de onda, que é a forma de onda da chamada fonte virtual, localizada na
posição do receptor. Note que não foi necessário nenhum conhecimento acerca das
camadas entre as fontes e os receptores, ou acerca da forma de onda da fonte física
S.
Calvert (2005), assegura que qualquer fonte pode gerar uma fonte virtual, desde que
aplicada corretamente. No entanto, para este método ser aplicado, segundo Calvert
(2005), o sinal da fonte virtual deve ser forte o suficiente (acima do ruído) e as formas
de onda devem ser coerentes (com o objetivo – o alvo) e terem abertura suficiente para
“iluminar” a região de interesse e refletirem o sinal para os receptores.
11
Nesta dissertação, realizamos experimentos com a aplicação da metodologia CFP tanto para as
extrapolações dos operadores de focalização quanto considerando a convolução do operador de
focalização inicial (a partir do sinal da fonte), com os sismogramas para cada ponto de malha do modelo.
Esse segundo procedimento está mais próximo do que se pode realizar numa situação real, onde os dados
que a equipe de processamento dispõe são os sismogramas obtidos a partir de uma aquisição sísmica
convencional.
12
Do tipo zero-phase ou minimum-phase.
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
72
Figura A.3 – Visualização esquemática da aplicação do método da fonte virtual, onde se
considera por exemplo, uma aquisição convencional em que os geofones estejam em
profundidade dentro de um poço. A partir do processamento, é possível re-injetar o dado, tal
que cada geofone ligado possa ser considerado como uma fonte estacionária com uma forma de
onda conhecida e devidamente controlada. Com isso, fica clara a atratividade dessa
metodologia para a aplicação em monitoramento 4D. Modificado de Calvert (2005).
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
73
Figura A.4 – Em uma aquisição convencional, cada tiro pode ser registrado em cada um dos
geofones localizados em profundidade. Para isso, os geofones devem ter a propriedade de
captar o sinal (iluminado) para todas as direções de uma determinada área alvo. Nem a forma
da onda, nem o modelo de velocidades precisam ser conhecidos, mas o sinal que retorna aos
geofones nos traz essas informações. Modificado de Calvert (2005).
Figura A.5 – No processamento, inverte-se a forma da onda para um determinado pulso
desejado para cada geofone, o qual então, traz o padrão de informação da fonte virtual.
Modificado de Calvert (2005).
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
74
Bakulin e Calvert (2004, 2006), ilustram muito claramente o princípio físico da
reversibilidade temporal, envolvido nesta metodologia, Figura A.6. Segundo Bakulin e
Calvert (2004), o fato de se efetuar essa permuta entre fontes e receptores, permite com
que a uma mesma frente de onda possa ser reproduzida no sentido reverso, se cada um
dos receptores for convertido em uma fonte (a fonte virtual) e emita um campo de onda
que possa ser registrado num tempo de trânsito cronologicamente reverso e igual ao
tempo da propagação direta (Figura A.6 (a)). Pelo princípio da reciprocidade, esse
colapso das frentes de onda oriundas das fontes virtuais (locado na posição do
receptor), deve se dar na posição original da fonte física (Figura A.6 (b)).
Figura A.6– Experimento representando o princípio da reversibilidade temporal associado ao
método da fonte virtual. Modificado de Bakulin e Calvert (2004, 2006).
Figura A.7 – Representação do experimento de fonte virtual onde os receptores estão
posicionados num poço direcional, portanto muito próximo da região de interesse. Modificado
de Bakulin e Calvert (2004, 2006).
Revisão Bibliográfica____________________________________________________
75
A Figura A.7 apresenta outro exemplo de obtenção de dados para a aplicação do
método da fonte virtual, neste exemplo, Bakulin e Calvert (2004, 2006) ilustram um
experimento de fonte virtual onde os receptores estão posicionados num poço
direcional, portanto muito próximo da região de interesse. Na qual é evidenciada a
aplicação da metodologia: uma fonte física na superfície emite um sinal direto (
α
k
S )
que é registrado na posição do receptor de interesse (
α
), esse sinal a partir do método
da fonte virtual é ajustado para um “sinal virtual” (
α
R ) e é propagado até a região de
interesse numa determinada posição em profundidade (
β
), retornando para o receptor
real a informação da região de interesse(
αβ
D ), somando essa informação à informação
oriunda da reflexão da fonte física (
β
k
S ) neste refletor de interesse, produzindo um
registro que contem a informação real dessa região (
β
R ).
Esta proposta, método da fonte virtual, pode eliminar as distorções causadas
pela região de geologia complexa (KORNEEV e BAKULIN, 2006).
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
76
Anexo 2
Extrapolação do Campo de Onda 2D
A.2.1. A Sísmica de Reflexão
A sísmica de reflexão tem sido um dos métodos geofísicos mais efetivos para
imagear as estruturas geológicas utilizando fontes artificiais (SILVA, 2002). Baseia-se
na análise da energia que chega a superfície após o envio de ondas, geradas
artificialmente, ao interior da Terra. Para cada interface, os materiais em subsuperfície,
diferem tanto em velocidade quanto em densidade e alguma energia é refletida e/ou
refratada. As medidas desta energia são registradas diretamente, em estações
receptoras , tendo seus valores de amplitude do sinal registrado como função do tempo.
A análise desta energia concentra-se na informação que retorna às estações receptoras,
devido às reflexões nas interfaces da subsuperfície, descrita pelo coeficiente de reflexão
nas mesmas. O processamento destas informações permite determinar as estruturas
geológicas do interior da Terra.
A aquisição sísmica é a resposta da perturbação de um meio (a Terra) mediante
a geração artificial de ondas. Essas se propagam neste e têm, posteriormente,
registradas em tempo as frentes de onda que retornam à superfície. À medida que essas
frentes de onda vão interagindo com as camadas de diferentes impedâncias acústicas
1
,
a frente de onda vai se dispersando e ficando cada vez mais fraca. Quanto maior for a
impedância da nova camada, em relação à anterior, maior será a intensidade da onda
refletida. A frente de onda se divide na interface entre as duas camadas de litologias
diferentes devido à troca brusca de impedância acústica. Cada vez que parte da onda
penetra num estrato inferior e parte retorna no sentido da superfície o sinal da energia
emitida pelas fontes é registrado, em sismógrafos, os chamados receptores, que são
aparelhos sensíveis à informação procedente do interior da Terra. Esses receptores
recebem o nome de geofones no caso de aquisições em Terra e hidrofones no caso de
aquisições no mar (OCHOA, 2003).
1
Impedância acústica: em sísmica, é o produto da velocidade de propagação da onda P pela densidade do
material (DUARTE, 2003)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
77
O dado sísmico, resultado desta metodologia, é um registro temporal do campo
de ondas produzido artificialmente por meio de fontes sísmicas impulsivas: explosivas,
tais como a dinamite ou outras fontes de energia, tais como os vibradores (vibroseis
2
) e
no caso marítimo, canhões de ar comprimido (air guns
3
). Tais informações das
reflexões, registradas nos receptores permitem, após seu processamento, a
determinação das profundidades e ângulos de inclinação dos refletores em
subsuperfície.
As ondas viajam para o interior da Terra, encontram os refletores e retornam à
superfície. Esse tempo desde o impulso inicial e o registro do sinal é chamado de tempo
duplo. Para um modelo de múltiplas camadas os raios não seguem o caminho mais
curto e sim o mais rápido (Princípio de Fermat) (SILVA, 2002).
Figura A.2.1 – Princípio de Fermat. Raio incidente partindo do ponto A em direção ao ponto B
com ângulo de incidência θ
i
e ângulo transmitido θ
t
em relação à normal ao plano entre os dois
meios (extraído de SILVA, 2002).
Observando a Figura A.2.1, o caminho mais curto para o trajeto do raio seria
direto do ponto A para o ponto B, porém o percurso que a onda vai seguir é o caminho
do menor tempo AOB. Ou seja, essa onda vai viajar uma distância menor na camada
com menor velocidade (V
ni
) e maior distância na camada com maior velocidade (V
nt
),
conforme exposto em Silva (2002).
Portanto, o tempo em que o sismógrafo registra as reflexões que chegam aos
geofones depende da profundidade que está localizado o objetivo do levantamento.
Quanto mais profundo estiverem as camadas que se desejem imagear, maior deverá ser
2
Vibroseis: Fonte sísmica terrestre na qual potentes vibradores mecânicos geram um sinal de longa
duração (sweep), que pode ser descrito como “um sinal senoidal”, cuja freqüência varia continuamente,
entre um valor inicial e um valor final, com duração de 15 a 30 segundos (DUARTE (2003) apud Ochoa,
2003).
3
Air guns: Canhão de ar, canhão pneumático. Fonte sísmica marítima, desenvolvida pela Bolt
Associates por volta de 1967, na qual o pulso é gerado pela súbita liberação de ar comprimido
armazenado em duas câmaras de aço sobrepostas (DUARTE (2003) apud Ochoa, 2003).
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
78
o tempo de registro do sinal. As últimas reflexões que chegam são normalmente muito
fracas, cerca da milésima parte do sinal que foi enviado, assim, os receptores devem
ser bastante sensíveis para detectar esses sinais (SILVA, 2002).
A compreensão de como é feita a disposição do equipamento em campo para
fazer uma aquisição sísmica é muito importante, pois irá auxiliar as futuras modelagens
computacionais, as quais deverão se aproximar o máximo possível das condições da
aquisição real.
A.2.2. Modelagem Sísmica
A modelagem sísmica é uma valiosa ferramenta ao longo de todo o fluxo de
processamento sísmico. Dentre as suas várias aplicações, podem-se destacar o desenho
de uma aquisição sísmica, a construção de tabelas de tempos de trânsito necessárias à
migração, tomografia sísmica e na própria construção de dados sísmicos sintéticos.
Mais especificamente, a modelagem sísmica consiste na geração de informação
cinemática e dinâmica de ondas sísmicas que se propagam no interior da Terra. Esta
pode ser representada bidimensionalmente em coordenadas cartesianas x (superfície), z
(profundidade) e interiormente por estruturas geológicas de diferentes tipos e origens
(OCHOA, 2003).
As estruturas geológicas (camadas) são formadas por regiões da subsuperfície
que possuem características físicas semelhantes e que são limitadas por interfaces (onde
ocorrem as mudanças de impedância acústica). Um modelo simplificado do interior da
Terra é mostrado na Figura A.2.2.
Figura A.2.2 – Representação de um modelo do interior da Terra, a ser usado numa
modelagem sísmica (modificado de Ochoa, 2003).
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
79
Pela praticidade, a modelagem sísmica é realizada através de simulações
computacionais, dentre as quais duas metodologias amplamente usadas se destacam: o
método de traçamento de raios
4
e simulação por diferenças finitas aplicadas à equação
da onda.
O traçamento de raios emprega a teoria de raios, que se baseia em um método
de aproximação de uma equação de onda utilizando um tipo de solução espacial para
resolvê-la. A validade desse método depende da ordem de magnitude da freqüência e
está relacionada com a escala do problema (comprimento de onda versus tamanho do
objeto de interesse). A teoria de raios é usada na sísmica de exploração para a
construção de sismogramas sintéticos para meios acústicos, elásticos isotrópicos e
elásticos anisotrópicos (ČERVENÝ (2001) apud Ochoa, 2003).
A.2.2.1. Modelagem 2D e 2,5D
A modelagem 2D é a situação em que o modelo geológico possui simetria
cilíndrica, significando que em uma direção as propriedades geológicas não variam.
Além do eixo de simetria (eixo y, para facilitar) assume-se que a linha de aquisição
sísmica está sobre o eixo x e a fonte sísmica é uma linha horizontal paralela ao eixo y.
A modelagem 2,5D, por sua vez, tem as mesmas características que a
modelagem 2D, com exceção de que a fonte é pontual. Esta é localizada no plano
vertical que passa sobre a linha sísmica. Estas características, quando combinadas,
permitem dizer que a propagação de ondas é tridimensional em um meio
essencialmente bidimensional. Graças a esta feição híbrida, essa modelagem é chamada
de 2,5D.
Sendo assim, para que uma modelagem seja considera 2,5D, conforme a Figura
A.2.3,são necessárias as seguintes premissas (OCHOA, 2003):
• Supor, que para o modelo geológico, exista um eixo de simetria, ao longo do
qual as propriedades do meio não variam.
• Considerar uma fonte pontual sobre a linha sísmica, fazendo que a propagação
das ondas seja tridimensional.
• Considerar a linha sísmica ortogonal ao eixo de simetria do meio.
4
Ray tracing.
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
80
Figura A.2.3 – Representação de um modelo 2,5D supondo um eixo de simetria perpendicular
ao plano de propagação e fonte 3D (modificado de Ochoa, 2003).
A.2.2.2. Aquisição Sísmica 2D
Uma aquisição sísmica envolve uma série de parâmetros a serem definidos
antes de ser realizada em campo. Tais como: número de tiros, número de receptores
por tiro, espaçamento entre receptores e tiros, conforme Figura A.2.4. Esses parâmetros
estão fortemente relacionados com o objetivo geológico estrutural da área de interesse.
Outros, tais como: tempo de registro, amostragem e tipo de fonte dependem geralmente
da profundidade do objetivo geológico, resolução desejada, etc.
Figura A.2.4. – Representação de um modelo com a disposição de fontes e receptores durante
uma aquisição sísmica 2D (modificado de Ochoa, 2003).
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
81
Uma vez que essas e outras decisões tenham sido efetuadas, faz-se a aquisição
em campo. Os resultados da aquisição são uma série de dados, chamados de dados
sísmicos e a geometria de aquisição. O dado sísmico é processado para obter uma
imagem da subsuperfície. Geometria de aquisição é o nome dado à distribuição
geográfica das fontes e receptores, assim como, ao arranjo de receptores por tiro no
levantamento(OCHOA, 2003).
A.2.2.3. Modelagem Acústica: Solução da Equação da Onda pelo
Método das Diferenças Finitas
Tradicionalmente, quando se realizam simulações numéricas na área de
propagação de ondas sísmicas assume-se o meio físico como sendo regido pela
Equação Acústica (ou Escalar) da Onda, isto porque está sendo considerada apenas a
propagação de ondas compressionais (ondas-P), (BULCÃO, 2004).
O método das diferenças finitas é um método numérico para a solução de
equações diferenciais ordinárias e parciais (EDOs e EDPs). Duas etapas podem ser
identificadas no processo para obter uma solução computacionalmente consistente,
(FLETCHER (1991) apud Ochoa, 2003):
• Discretização: Consiste em converter as EDOs ou EDPs, as condições iniciais
e de contorno definidas para o contínuo em um sistema discreto formado por equações
algébricas.
• Solução: Uso de algum método numérico para resolver o sistema linear criado
na primeira etapa.
O método das diferenças finitas começou a ser usado em sísmica no início da
década de 70 (KELLY et al (1990) apud Ochoa, 2003), mas as limitações
computacionais da época dificultaram seu uso por alguns anos. Atualmente, a cada
nova geração de processadores, este método aumenta seu destaque na modelagem
sísmica.
A aplicação das diferenças finitas pode ser classificada (da mesma forma que
outros métodos numéricos), quanto ao tipo de equação da onda modelada. Quando
aplicada sobre a forma escalar da equação da onda (chamada de “acústica”), descreve a
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
82
propagação de uma onda compressional (ondas-P )
5
sem polarização. Os resultados são
ótimos para modelagem estrutural, já que as informações cinemáticas têm maior
importância do que as dinâmicas. Quando a modelagem é sobre a equação “elástica”,
contempla-se a propagação e a interação entre os diferentes tipos de ondas sísmicas,
tais como as ondas compressionais (ondas-P ) e as ondas cisalhantes (ondas-S )
6
, sendo
que neste caso o campo de ondas é representado por grandezas vetoriais (expressas por
sua direção, sentido e amplitude), assim, as informações dinâmicas e cinemáticas estão
igualmente disponíveis, o que é muito importante para estudos estratigráficos em
geometrias estruturalmente complexas.
A.2.2.3.1. Equação Acústica da Onda
A equação acústica da onda é uma equação escalar e trabalha exclusivamente
com a propagação de ondas compressionais. Neste trabalho, assim como realizado em:
SILVA (2002), MARTINS (2003), FICHMAN (2005), SILVA (2006) e COSTA
(2006), será utilizada uma versão 2D da modelagem desprezadas possíveis variações de
densidade.
A equação acústica da onda é uma equação diferencial de segunda ordem não
homogênea. Pode ser obtida a partir das leis de Newton e de Hooke, que relacionam a
pressão e a velocidade. Costa (2006), desenvolveu muito claramente a dedução da
equação acústica da onda, relacionando as Leis de Newton e de Hooke, obtendo a
equação que descreve a propagação do campo de pressão para um meio acústico 3-D
com E (módulo Bulk) e densidade variáveis. Dada por:
2
2
2
2
1
t
P
v
PP
∂
∂
=∇⋅
∇
−∇
ρ
ρ
,
onde: P é o campo de pressão;
ρ
é densidade do meio;
v é a velocidade de propagação acústica do meio.
Considerando constante a densidade em todos os pontos do espaço, tem-se
ctezyx =),,(
ρ
, assim a Eq. (A2.1) pode ser reescrita, como:
5
Ondas-P : Onda Primária (Primary-wave).
6
Ondas-S : Onda Secundária (Secondary-wave).
Eq. (A2.1)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
83
2
2
2
2
1
t
P
v
P
∂
∂
=∇ ,
ou simplesmente:
2
2
22
2
2
2
2
2
1
t
P
vz
P
y
P
x
P
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
.
que é a equação acústica da onda para o campo de pressão em coordenadas cartesianas,
em três dimensões.
Para que haja solução não trivial da Eq. (A2.2), existem três possibilidades
COSTA (2006):
1
a
. A inclusão de um termo fonte em qualquer local do espaço;
2
a
. A inclusão de condições de contorno;
3
a
. A inclusão de condições iniciais não nulas.
Na modelagem, consideramos a primeira possibilidade. Ou seja, um termo fonte
no lado direito dessa equação. Assim sendo, a equação acústica da onda é escrita, por:
()
)(
1
2
2
22
2
2
2
2
2
tfrr
t
P
vz
P
y
P
x
P
′
−=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
δ
,
onde )(tf representa a força de uma linha de energia na coordenada
()
zyxr ,,
′
,
COSTA (2006).
Assumindo que o campo de pressão é invariável na direção do eixo y, a
derivada em relação à y se anula. Obtendo-se assim, a equação acústica bidimensional
da onda, que pode ser escrita como:
()
)(
1
2
2
22
2
2
2
tfrr
t
P
vz
P
x
P
′
−=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
δ
,
onde agora, )(tf representa a força de uma linha de energia na coordenada
()
zxr ,
′
.
Eq. (A2.2)
Eq. (A2.3)
Eq. (A2.5)
Eq. (A2.4)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
84
A.2.2.3.2. Aproximação por Diferenças Finitas
O método das diferenças finitas consiste em resolver as equações diferenciais
numericamente, substituindo-se os termos das derivadas parciais por temos de
diferenças discretas, através do truncamento da série de Taylor (FICHMAN, 2005).
Quanto maior a ordem desses termos mais se aproxima das derivadas, no entanto,
obviamente como o número de termos dessa série aumenta, maior será o número de
operações que serão executadas, assim o custo computacional para resolver essa
equação obviamente será maior.
Considerando a série de Taylor para uma função
(
)
xxF
Δ
±
, expandida em
torno de um ponto x
i
, por exemplo numa malha
7
unidimensional, conforme a Figura
A.2.5 , onde : x
i
= x, )()(
1
xxx
i
Δ
+=
+
e )()(
1
xxx
i
Δ
−
=
−
;
Figura A.2.5 – Representação de uma malha 1D de 3 pontos.
Então:
()
()
(
)
...
)(
!3
)(
!2
)(
)(
3
3
3
2
2
2
+
Δ
+
Δ
+Δ+=Δ+
dx
xFdx
dx
xFdx
dx
xdF
xxFxxF ,
e
7
Grid, em inglês.
Eq. (A2.6)
x
i
x
i-1
x
i+1
Δ
x
Δ
x
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
85
()
()
(
)
...
)(
!3
)(
!2
)(
)(
3
3
3
2
2
2
+
Δ
−
Δ
+Δ−=Δ−
dx
xFdx
dx
xFdx
dx
xdF
xxFxxF
Subtraindo-se a Eq. (A2.7) de Eq. (A2.6), tem-se:
()()
(
)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
86
isolando-se a segunda derivada de F(x) em relação à x:
()
(
)
󵼪
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
87
()
(
)
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ−+−Δ+Δ
=
Δ
22
2
2
4
4
2
)()(2)(
!4
2)(
!4
2
x
xxFxFxxF
dx
dx
dx
xFdx
,
Simplificando a equação, e efetuando o lado direito da equação, tem-se:
()
[
−+Δ−−Δ−=
Δ
)(6)(4)2(
12
1)(
!4
2
4
4
2
xFxxFxxF
dx
xFdx
]
)2()(4 xxFxxF
Δ
+
+
Δ
−
−
E finalmente, substituindo-se Eq. (A2.17) em Eq. (A2.12), tem-se uma
aproximação de quarta ordem para a segunda derivada de
F(x) no ponto x:
()
[
+−Δ−−Δ−−
Δ
≅ )(30)(16)2(
12
1)(
22
2
xFxxFxxF
x
dx
xFd
]
)2()(16 xxFxxF
Δ
+
−
Δ
+
+
.
A.2.2.3.3. Discretização da Equação Acústica da Onda
A partir da Eq. (A2.5), reescrevemos a equação acústica da onda, por:
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
22
2
2
2
),,(
),(
1),,(),,(
t
tzxP
zxvz
tzxP
x
tzxP
)()()(
ff
zzxxtf
−
−
+
δ
δ
,
onde:
P(x,z,t) é o campo de pressão num ponto do meio;
v(x,z) é o campo de velocidades;
f(t) é a assinatura da fonte em função do tempo na posição da fonte:
(
)
ff
zx,;
(
)
ff
zx, são as coordenadas da fonte.
A solução da equação diferencial da onda, discretizando espaço e tempo em
intervalos finitos
Δ
x,
Δ
z e
Δ
t será realizada, a seguir.
Eq. (A2.16)
Eq. (A2.17)
Eq. (A2.18)
Eq. (A2.19)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
88
Em Silva (2002), foi apresentada uma malha uniforme subdividindo-se o eixo
x(i=1,2,3,...,Nx) em espaços regulares
Δ
x e o eixo z (j=1,2,3,...,Nz), com espaçamentos
regulares Δz. Cada ponto da malha pode ser visualizado como representando o centro
de uma pequena célula retangular com seus contornos compartilhados com as células
vizinhas que a circundam. Desta forma definimos o modelo como sendo um conjunto
de pontos discretos, conforme a Figura A.2.7.
Figura A.2.7 – Representação de uma malha retangular.
O campo de onda no tempo t = 0s é zero para todos os pontos da malha. Assim,
uma certa quantidade de energia é introduzida em uma posição específica do modelo
(fonte sísmica), em intervalos uniformes ∆t. O campo de onda propaga-se em
sucessivos intervalos de tempo (t = ∆t, 2∆t, 3∆t,...,n
Δ
t).
Desta forma, as coordenadas de um ponto genérico podem ser discretizadas:
)()()( nftnftf
tnt
zjz
xix
→Δ→
Δ→
Δ→
Δ
→
e
n
ji
PtnZjxiPtzxP
,
),,(),,( →ΔΔΔ→ ,
onde:
.,...,2,1
,...,2,1
,...,2,1
Máximo
Nn
Nzj
N
xi
=
=
=
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
89
No entanto é conveniente expressar estes intervalos de tempo em função de n
variando de n, n+1, n+2, ...,N
máximo
; onde n = 0 corresponde ao tempo inicial (t = 0)
(SILVA, 2002).
Deste modo, usando as aproximações por diferenças finitas apresentadas na
seção
A.2.2.3.2., introduzindo os índices i, j e n, temos:
()
2
11
2
2
),(),(2),(
t
jiPjiPjiP
t
P
nnn
Δ
+−
=
∂
∂
−+
.
A aproximação para o campo de pressão em relação à x:
()
22
2
12
),2(),1(16),(30),1(16),2(
x
jiPjiPjiPjiPjiP
x
P
nnnn
Δ
+−++−−+−−
=
∂
∂
.
A aproximação para o campo de pressão em relação à z:
()
22
2
12
)2,()1,(16),(30)1,(16)2,(
z
jiPjiPjiPjiPjiP
z
P
nnnn
Δ
+−++−−+−−
=
∂
∂
.
O termo fonte em função do tempo na posição em que a fonte é inserida no
modelo
(
)
ff
zx, , é dado por:
(
)
(
)
ff
n
jjiif −−
δδ
Substituindo os termos discretizados: Eq. (A2.20), Eq. (A2.21), Eq. (A2.22) e
Eq. (A2.23) na equação Eq. (A2.19), temos a equação acústica da onda discretizada em
termos de diferenças finitas, com aproximações de segunda ordem para a derivada
temporal e quarta ordem para as derivadas espaciais.
() ()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎢
⎣
⎡
Δ
+−−+−−
=
Δ
+−
−+
2
2
2
),(11
12
),(30),1(16),2(),(2),(
x
jiPjiPjiP
v
t
PjiPjiP
nnnjinnn
() ()
⎢
⎣
⎡
+
Δ
−−+−−
+
⎥
⎦
⎤
Δ
+−++
22
12
),(30)1,(16)2,(
12
),2(),1(16
z
jiPjiPjiP
x
jiPjiP
nnnnn
()
)()(
12
)2,()1,(16
2
ff
n
nn
jjiif
z
jiPjiP
−−+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
Δ
+−++
δδ
.
Eq. (A2.20)
Eq. (A2.21)
Eq. (A2.22)
Eq. (A2.23)
Eq. (A2.24)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
90
Onde o operador espacial
8
de diferenças finitas é dado por:
()
()
(
)
[]
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
xx
PPPPP
x
P
,2,,1,1,2
2
,
3016
12
1
++−−
−−++−
Δ
=
e
()
()
(
)
[]
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
zz
PPPPP
z
P
2,,1,1,2,
2
,
3016
12
1
++−−
−−++−
Δ
=
.
O operador temporal
9
de diferenças finitas é dado por:
()
()
(
)
1
,,
1
,
2
,
2
1
+−
+−
Δ
=
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
tt
PPP
t
P
.
No caso da malha uniforme, isto é,
Δ
x =
Δ
z = h, substituindo as Eq. (A2.25),
Eq. (A2.26), e Eq. (A2.27) na Eq. (A2.24) , obtém-se a equação da onda discretizada:
[
(
+++−+++−=
−+−+−+−
+ n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
jiji
n
ji
PPPPPPPaP
1,,1,12,2,,2,2,
1
,
16
12
1
)
]
(
)
(
)
ff
nn
ji
n
ji
n
ji
n
ji
jjiifPPPP −−+−++
−
+
δδ
1
,,,1,
260
,
onde:
n
ji
P
,
representa o campo presente na iteração n;
1
,
−n
ji
P
representa o campo passado na
iteração n-1;
1
,
+n
ji
P
representa campo futuro na iteração n+1. E
ji
a
,
é o operador acústico
da equação da onda para duas dimensões com malha uniforme, onde
2
,
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
=
h
tv
a
ji
ji
.
8
O erro cometido na avaliação da segunda derivada do campo, proporcional à quarta potência do
intervalo da malha (Δx), (Δz), quando aplicado este operador, permite-nos reduzir indefinidamente o
valor do erro cometido na avaliação das derivadas espaciais, desde que tenhamos recursos
computacionais disponíveis para assim simular com a precisão desejada todos os fenômenos físicos reais
de propagação acústica do campo (CUNHA, 1997).
9
O emprego de operadores de Quarta ordem para a avaliação das derivadas temporais permitiria o uso de
um intervalo temporal (Δt) maior, o que poderia reduzir o número e iterações temporais. Isto demanda,
entretanto, a utilização de um número maior de matrizes para representação dos campos de pressão
passado e futuro e, conseqüentemente, grande incremento no volume de memória RAM (CUNHA,
1997).
Eq. (A2.25)
Eq. (A2.26)
Eq. (A2.27)
Eq. (A2.28)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
91
As condições iniciais para
n
ji
P
,
,
(
)
(
)
00
=
⇒
=
nt ,são:
NzjNxi
t
P
P
ji
ji
≤≤∧≤≤
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
11
0
0
0
,
0
,
A.2.2.3.4 Condições de Contorno
Em uma investigação sísmica real, as ondas propagam-se pelas camadas
geológicas sem limites geográficos, até serem atenuadas e desaparecerem. Na
modelagem computacional, o modelo deve ser dimensionado de maneira que a
propagação das ondas não encontre, nas bordas que o limita, uma interface de reflexão.
Para a borda superior do modelo, é usualmente conveniente empregar a
condição de contorno de Dirichlet, situando a fonte muito próxima da superfície e
considerando a aquisição dos dados neste mesmo nível (MUFTI, 1996).
Quanto ao problema das reflexões indesejáveis nas bordas laterais e inferior,
utilizam-se os algoritmos introduzidos por REYNOLDS (1978) e CERJAN et. Al
(1985), que visam evitar ao máximo a influência destas reflexões. A condição imposta
pelo algoritmo de Reynolds assume que a borda superior do modelo esteja
suficientemente distante da fonte, de tal forma que as várias frentes de onda que
atingem as outras bordas laterais (esquerda e direita) e inferior possam ser tratadas
como ondas planas no momento que as incidirem. Já a condição atribuída ao algoritmo
de Cerjan, leva em consideração uma região de atenuação numérica, uma espécie de
zona de amortecimento numérico que reduz a intensidade da onda sobre uma região da
malha próxima das bordas (a “caixa de areia”). Aplicando estas condições na
modelagem computacional, espera-se reproduzir numericamente a situação de uma
investigação sísmica real. A figura A.2.8 ilustra a utilização dessas condições de
contorno para as bordas do modelo, convém mencionar, no entanto, que a dimensão da
grandeza Na está ilustrada exageradamente, na verdade esta não é tão espessa como
ilustram as figuras A.2.8 e 2.9, a seguir.
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
92
Figura A.2.8 – Idealização das condições de contorno associadas às bordas de um modelo de
velocidades. A região destacada em cinza, de largura Na nas direções x e z respectivamente,
representa a região do modelo onde é aplicado o tratamento para as bordas atenuadoras
(Cerjan). Para os dois últimos pontos das bordas foram utilizadas as condições de Reynolds
(com a equação da onda unidirecional – one-way).
A.2.2.3.4.1. Bordas não reflexivas
A.2.2.3.4.1.1 Condição de Dirichlet
A borda superior se assemelha ao contraste que há na investigação sísmica real,
onde há uma forte variação de impedância acústica entre a terra e o ar, no caso de
investigação terrestre, ou entre a água e o ar, no caso de investigação marítima
(FICHMAN,2005). O tratamento aplicado na borda superior deve simular este forte
contraste de impedância. Já as bordas laterais e inferior são limites que não existem no
caso real, necessitando de tratamento não reflexivo e absortivo, com a finalidade de
eliminar, ou pelo menos minimizar, essas reflexões.
A condição de Dirichlet é dada pela seguinte expressão
0
0,
=
n
i
P
com n = 0, 1, 2, ..., N
max
e z = 0.
Eq. (A2.29)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
93
As fontes e estações de receptores são, normalmente, colocadas no plano j = 3.
Essa condição é útil pois no caso real existe a reflexão “fantasma” (ghost) pelo fato de a
fonte ficar a uma certa profundidade do modelo.
Como não queremos que a propagação da onda seja refletida nos limites do
modelo, implementamos um algoritmo introduzido por Reynolds (1978) para evitar a
estas reflexões. Este está baseado na hipótese de que os limites do modelo estão
suficientemente distantes da fonte sísmica de forma que as frentes de ondas nestes
pontos podem ser consideradas como ondas planas. Os operadores diferenciais parciais
são fatorados, como segue:
0),,(
11
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
tzxP
tv
x
tv
x
,
E a propagação da onda se dá no sentido do sinal das equações: Eq. (A2.31),
Eq. (A2.32) e Eq. (A2.33), respectivamente.
Como P(x, z, t)
≠
0, então o produto dos termos da equação Eq. (A2.30) é nulo.
Assim, a onda se propagando para a direita satisfaz:
0),,(
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
tzxP
tv
x
,
e a onda se propagando para a esquerda satisfaz:
0),,(
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
tzxP
tv
x
.
Analogamente, para a base, uma vez que a condição de Dirichlet fora aplicada para a
borda superior, temos:
0),,(
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
tzxP
tv
z
.
Eq. (A2.30)
Eq. (A2.31)
Eq. (A2.32)
Eq. (A2.33)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
94
Discretizando as equações Eq. (A2.31), Eq. (A2.32) e Eq. (A2.33), pelo método
das diferenças finitas com aproximações de primeira ordem, temos:
Para a borda da direita:
(
)
n
jNx
n
jNx
n
jNx
n
jNx
PP
x
tv
PP
,1,,
1
, −
+
−
Δ
Δ
−= ,
( j = 1, 2, ..., N
z
; n = 0, 1, 2, ..., N
max
).
Para a borda da esquerda:
(
)
n
j
n
j
n
j
n
j
PP
x
tv
PP
,1,2,1
1
,1
−
Δ
Δ
+=
+
,
( j = 1, 2, ..., N
z
; n = 0, 1, 2, ..., N
max
).
Para a base do modelo:
(
)
n
Nzi
n
Nzi
n
Nzi
n
Nzi
PP
z
tv
PP
1,,,
1
, −
+
−
Δ
Δ
−= ,
( i = 1, 2, ..., N
x
; n = 0, 1, 2, ..., N
max
).
A.2.2.3.4.2. Bordas Absorvedoras
Este conceito foi proposto por Cerjan (1985) e basicamente consiste em aplicar
ao modelo uma zona de amortecimento
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
95
mais importante é que estes valores estão intimamente associados ao tamanho do
modelo. E mais, Na e o Fat mantém entre si uma relação do tipo:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Fat
Na
1
α
. Por
exemplo, no artigo de Cerjan (1985), foram propostos os seguintes valores para Na e
Fat:
015,0
20
=
=
Fat
Na
Estes parâmetros foram testados durante a etapa de modelagem, para se propor uma
caixa de areia, tal como ilustrada pela figura A.2.9 – abaixo, apresentando resultados
excelentes. No entanto, o modelo era relativamente pequeno (128 x 128 pontos de
malha), e quando estes valores foram utilizados em outro modelo consideravelmente
maior que o proposto por Cerjan (1985), notou-se que os resultados foram
insatisfatórios e a condição de absorção não se mostrou eficaz. Em Silva (2006), foi
feito um estudo onde para um valor de Na =50 foram testados uma série de Fat´s
10
,
onde o mais eficaz para as dimensões do modelo (300 x 300 pontos de malha) equivale
a
Fat = 0,0025.
Assim, a partir de estudos posteriores, observou-se que de fato, para modelos
de dimensões representativas, esta “caixa de areia” deve ser mais espessa e o fator Fat
deve ser menor.
Figura A.2.9 – Representação da região do modelo onde é aplicado o tratamento de bordas
atenuadoras.
10
Fat = 0.00025; Fat = 0.0005; Fat = 0.00075; Fat = 0.001; Fat = 0.0025; Fat = 0.005; Fat = 0.0075 e
Fat = 0.015.
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
96
A.2.2.3.5. Condições de Dispersão e Estabilidade Numérica
As dimensões da malha são de vital importância para o método das diferenças
finitas. A função velocidade
ji
v
,
é discretizada dentro de um valor médio para cada
quadrado da malha. Esta hipótese é válida desde que os espaçamentos da malha sejam
pequenos se comparados com o comprimento de onda da propagação.
Uma relação entre a menor velocidade, de acordo com Silva (2002), utilizada no
modelo (v
min
) e a freqüência de corte (f
corte
), limita o máximo valor do espaçamento da
malha de forma a não se ter uma excessiva dispersão de energia. Conforme exposto
anteriormente na seção
A.2.2.3.3, a malha é uniforme, assim:
Δ
x =
Δ
z = h. Portanto:
corte
f
v
h
α
min
=
onde
α
representa o número máximo de amostras por comprimento de onda
correspondente à freqüência máxima. Sendo sugerido um valor para
α
igual a 5.
Outro problema muito importante a ser considerado é o da estabilidade
numérica. De modo análogo ao caso anterior (dispersão numérica), foi desenvolvida
uma relação para controle dos valores dos intervalos do tempo, a fim de se evitar que o
sistema se torne numericamente instável, assim:
max
v
h
t
β
=Δ
onde v
max
é a maior velocidade adotada no modelo e
β
é uma constante definida
empiricamente, da mesma forma que na dispersão numérica, tendo também o seu valor
sugerido, igual a 5.
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
97
matemáticas para tal fim, embora seja conveniente que tais funções possuam certas
características especiais descritas a seguir (BULCÃO, 2004).
A função matemática utilizada como termo fonte deve preferencialmente ser
limitada, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da freqüência. Isto é, possui
valores não nulos apenas em uma determinada região do seu domínio.
A função deve ser limitada no domínio do tempo com o intuito de simular uma
fonte sísmica do tipo explosiva. Já no domínio da freqüência, esta característica faz
com que se tenha um controle sobre a freqüência máxima a qual o modelo numérico
esteja sujeito, denominada freqüência de corte (
f
corte
). Tal freqüência influencia no grau
de refinamento da discretização empregada para a simulação numérica (BORDING e
LINES (1997) apud Bulcão, 2004), conforme exposto, na seção 2.2.3.5, anteriormente.
A fonte sísmica empregada nas simulações numéricas realizadas ao longo desta
dissertação é a derivada segunda da função Gaussiana proposta por Cunha (1997). A
expressão matemática da mesma é apresentada a seguir:
[
]
2
)(
2
)(21)(
tf
c
c
etftf
ππ
ππ
−
−=
onde:
t é o tempo;
f
c
é a freqüência central da fonte sísmica, descrita a seguir.
Conforme Silva (2002), para que haja somente valores positivos da variável t,
podemos discretizar a função acima fazendo:
(
)
TFtnt
−
Δ
−
=
1 , onde n é o passo de
tempo do programa, tΔ é o incremento temporal e TF é o período da função Gaussiana
dada pela equação:
corte
f
TF
π
2
=
A equação que controla a freqüência de corte é dada por:
ccorte
ff
π
3=
Eq. (A2.40)
Eq. (A2.41)
Eq. (A2.42)
Extrapolação do Campo de Onda 2D________________________________________
98
A Figura A.2.10 mostra um exemplo da função fonte no domínio do tempo para
uma freqüência de corte de 60 Hz.
Figura A.2.10 – Representação da função fonte
11
: Segunda derivada da Gaussiana expressa
pela equação Eq. (A2.40), correspondendo ao caso em que a freqüência de corte (f
c
), é igual a
60Hz.
O Comprimento do pulso
(
)
f
N no domínio do tempo é dada por:
max
4
tf
N
f
Δ
=
π
A expressão dada pela equação A.2.40 e conseqüentemente pelas equações
A.2.41, A.2.42 e A.2.43, será usada para simular as fontes sísmicas empregadas nas
modelagens ao longo deste trabalho.
11
Note que esta função é uma função de fase zero (zero-phase). A função de fase zero é uma função real
de tempo cujo espectro de fase é nulo para todos os valores de freqüência e é sempre simétrica em
relação à origem, de acordo com Duarte (2003).
Eq. (A2.43)
Trabalhos Futuros
99
Anexo 3
Trabalhos Futuros
Foram realizados também, experimentos numéricos no macro-modelo de
velocidade da SEG-EAGE SALT-CC , visando estimar a adequação da técnica para
modelos que apresentam tectônica salífera. Os algoritmos utilizados são os mesmos que
foram utilizados para gerar os dados obtidos no capítulo de aplicações.
A.3.1 Modelo SEG-EAGE SALT-CC para 1 tiro comum
Os parâmetros utilizados para a modelagem em diferenças finitas do modelo
SEG-EAGE SALT-CC, foram: número de pontos de malha na horizontal: 780; número
de pontos de malha na vertical: 209; velocidade mínima: 1500 m/s; velocidade máxima:
4600m/s; dimensões do modelo: (4680 x 1254) m; intervalo entre receptores: 6 m;
amostragem lateral e em profundidade: 6 m; freqüência de corte: 50 hz; coordenadas do
ponto CFP (x
i
, z
j
): (447,129); amostragem em tempo: 0,0003 s ou 0,3 ms; número de
amostras por traço do operador de síntese: 5000; tempo de registro do operador de
síntese: 1,5 s; número de amostras por traço da família CFP: 9000; tempo de registro
da família CFP: 2,7 s; número de amostras por traço do sismograma redatumado:
9000; tempo de registro do sismograma redatumado: 2,7 s; número de pontos da caixa
de areia: 50; co-fator mínimo – co-fator máximo
1
: 0,0025.
1
Estes co-fatores possuem o mesmo valor, respectivamente, para esta modelagem.
Trabalhos Futuros
100
Figura A.3.1 – Modelo de velocidades sintético em reais valores.
Figura A.3.2 – Sismograma obtido com fontes e receptores na superfície do modelo.
Trabalhos Futuros
101
Figura A.3.3 – Operador de síntese gerado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 447 , z
j
= 129
– pontos de malha – e x
i
=2682 m, z
j
= 774 m – coordenadas reais) e registrado na superfície.
Figura A.3.4 – Família CFP registrada na superfície.
Trabalhos Futuros
102
Figura A.3.5 – Sismograma redatumado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 447 , z
j
= 129 –
pontos de malha – e x
i
=2682 m, z
j
= 774 m – coordenadas reais).
Trabalhos Futuros
103
(a)
(b)
Figura A.3.6 – (a) Sismograma redatumado. As reflexões representadas pelos números 1 e 2
estão associadas aos refletores abaixo do ponto de focalização comum. (b) Modelo de
velocidades.
Trabalhos Futuros
104
(a)
(b)
Figura A.3.7 – (a) Modelo de velocidades sintético evidenciando o ponto CFP e a posição onde
será feito o corte no modelo para a comparação com o sismograma esperado. (b) Modelo de
cortado no ponto j
CFP
. Note que este modelo considera somente as estruturas de interesse
abaixo do ponto CFP.
Trabalhos Futuros
105
(a)
(b)
Figura A.3.8– Sismograma esperado registrado na superfície do modelo cortado (x
i
= 447 , z
j
= 3 – pontos de malha).
As reflexões representadas pelos números 1, 2 e 3 estão associadas aos
refletores abaixo do ponto de focalização comum. Compare o sismograma redatumado
Trabalhos Futuros
106
com o sismograma esperado, Figura A.3.8 (a), note a consistência das reflexões abaixo
do ponto de focalização comum presentes em ambos os registros.
A.3.2 Modelo SEG-EAGE SALT-CC para 760 tiros comum
Os parâmetros utilizados para a modelagem CFP, em diferenças finitas, do
Modelo SEG-EAGE SALT-CC, foram: intervalo entre receptores: 6 m; amostragem
lateral e em profundidade: 6 m; freqüência de corte: 50 hz; coordenadas do ponto CFP
(x
i
, z
j
): (447,129); amostragem em tempo: 0,0003 s ou 0,3 ms; número de amostras por
traço do operador de síntese: 5000; tempo de registro do operador de síntese: 1,5 s;
número de amostras por traço do areal shot (famílias CFP): 9000; tempo de registro do
areal shot (famílias CFP): 2,7 s; número de amostras por traço do sismograma
redatumado: 9000; tempo de registro do sismograma redatumado: 2,7 s; número de
pontos da caixa de areia: 50; Co-fator mínimo – co-fator máximo
2
: 0,0025.
Figura A.3.9 – Sismograma obtido com fontes e receptores na superfície do modelo.
2
Estes co-fatores possuem o mesmo valor, respectivamente, para esta modelagem.
Trabalhos Futuros
107
Figura A.3.10 – Operador de síntese gerado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 447 , z
j
=
129 – pontos de malha – e x
i
=2682 m, z
j
= 774 m – coordenadas reais) e registrado na
superfície.
Figura A.3.11 – Areal shot (famílias CFP) registrado na superfície.
Trabalhos Futuros
108
Figura A.3.12 – Sismograma redatumado nas coordenadas do ponto CFP (x
i
= 447 , z
j
= 129
– pontos de malha – e x
i
=2682 m, z
j
= 774 m – coordenadas reais).
Trabalhos Futuros
109
(a)
(b)
Figura A.3.13 – (a) Sismograma redatumado. As reflexões representadas pelos números 1, 2,
3 e 4 estão associadas aos refletores abaixo do ponto de focalização comum. (b) Modelo de
velocidades.
Trabalhos Futuros
110
Figura A.3.14 – Sismograma esperado registrado na superfície do modelo cortado (x
i
= 447 ,
z
j
= 3 – pontos de malha).
As reflexões representadas pelos números 1, 2, 3 e 4, estão associadas aos
refletores abaixo do ponto de focalização comum. Compare o sismograma redatumado
com o sismograma esperado, acima, note a consistência das reflexões abaixo do ponto
de focalização comum presentes em ambos os registros.
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