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ALINE DURRER PATELLI JULIANI
Análise do Campo Magnético de um
Motor de Ímã Permanente no Rotor Utilizando
o Método dos Elementos Finitos
São Carlos
2007
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ALINE DURRER PATELLI JULIANI
Análise do Campo Magnético de um
Motor de Ímã Permanente no Rotor Utilizando
o Método dos Elementos Finitos
Dissertação apresentada à Escola de Engenharia
de São Carlos, da Universidade de São Paulo,
como parte dos requisitos para a obtenção do
Título de Mestre em Engenharia Elétrica.
Área de Concentração: Sistemas Dinâmicos
Orientador: Prof. Dr. Diógenes Pereira Gonzaga
São Carlos
2007
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Dedicatória:
Aos meus pais, Fátima e Antonio, que
sempre estiveram ao meu lado, incentivando
e apoiando em todas as etapas da minha vida.
Ao meu noivo, Alex, pelo amor e pela
compreensão.
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. Diógenes Pereira Gonzaga pela sua excelente orientação e pela sua paciência no
decorrer do mestrado.
Ao Prof. Dr. José Roberto Boffino de Almeida Monteiro pela assessoria em Eletrônica de
Potência e pelas idéias sugeridas na execução deste trabalho.
Ao Prof. Dr. Naasson Pereira de Alcantara Junior pela formação da minha base em pesquisa
científica e pelo incentivo para a realização do mestrado.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico pela concessão da bolsa
de estudo.
Ao Engenheiro e Mestre em Engenharia Elétrica Fernando Henrique Pisani Teixeira pelo
projeto e construção do motor utilizado neste trabalho.
Ao Engenheiro e Mestre em Engenharia Elétrica Mário Celso Gonella pelo desenvolvimento
do acionamento e do controle da máquina tratada neste projeto, e pela disponibilização de
informações primordiais para a realização deste trabalho.
Aos amigos Wesley Fernando Usida, Danilo Hernane Spatti e Marcelo Suetake pela
colaboração com sugestões.
Ao meu noivo, Alex, pelo esclarecimento de diversas dúvidas técnicas.
Ao meu irmão, Allan, pelo auxílio no desenho das figuras.
À minha mãe, Fátima, pela revisão gramatical deste texto e dos artigos científicos.
RESUMO
JULIANI, A. D. P. Análise do Campo Magnético de um Motor de Ímã Permanente no Rotor
Utilizando o Método dos Elementos Finitos. 2007. 115 f. Dissertação (Mestrado) – Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2007.
Neste trabalho é estudado um motor trifásico de ímã permanente no rotor, com fluxo não
senoidal, através da análise do campo magnético. Essa máquina foi projetada utilizando-se a
estrutura ferromagnética do estator de um motor de indução monofásico de 24 ranhuras o qual
recebeu um novo enrolamento trifásico, e foi construído o rotor que é constituído de ímãs
permanentes em sua superfície. Ela é aplicada em compressores herméticos de refrigeração,
possibilitando o controle de velocidade e a melhoria da eficiência, quando comparada às
demais máquinas utilizadas para a mesma aplicação. O estudo é realizado através da análise
dos resultados obtidos utilizando-se um programa computacional baseado no Método dos
Elementos Finitos, aplicado em grandezas como: tensão induzida, densidade de fluxo
magnético, torque eletromagnético e perdas. São apresentados resultados numéricos
comparativos para a máquina existente (protótipo) com as seguintes alterações: diminuição do
tamanho do entreferro, troca dos ímãs de ferrita pelos de NdFeB (Bonded) e, juntamente com
essas mudanças, o recálculo do número de espiras e do diâmetro do enrolamento do estator.
Palavras-chave: Máquinas Elétricas; Máquinas com Ímã Permanente; Método dos Elementos
Finitos.
ABSTRACT
JULIANI, A. D. P. Finite Element Analysis of a Permanent Magnet Motor. 2007. 115 p.
Dissertation
(Master’s Degree) – School of Engineering of São Carlos, University of São
Paulo, São Carlos, 2007.
In this work is studied a three-phase permanent-magnet motor, with nonsinusoidal flux,
through the analysis of magnetic field. This machine was designed to use the same stator of a
24 slots single-phase induction motor that received a new three-phase winding. The rotor
consists of permanent-magnet on its surface. The main application of this machine is in
hermetic compressor household refrigeration systems. It has speed control and better
efficiency than other machines used for the same application. The study is made through the
analysis of numerical results, obtained by a software joint in the finite element method. The
results consist in electromagnetic quantity like, back-emf, magnetic flux density,
electromagnetic torque and losses. Comparisons between the prototype with these changes are
presented: fall in the size of airgap, exchange of ferrite magnets for NdFeB (Bonded) magnets
and, together with these changes, the number of turns in each winding and the wire diameter
are recalculated.
Keywords: Electrical Machines; Permanent Magnet Machine; Finite Element Method.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 Motor CC convencional mostrando a posição do eixo de referência e
do eixo da bobina (HENDERSHOT; MILLER, 1994) ..........................
27
Figura 2.2 Formas de onda do fluxo concatenado e da tensão induzida de um
motor CC convencional ..........................................................................
28
Figura 2.3 Diagrama de blocos do acionamento do MTIPR ................................... 28
Figura 2.4 Circuito de acionamento do MTIPR ...................................................... 29
Figura 2.5 Sinais de comando dos transistores do circuito de acionamento do
MTIPR ....................................................................................................
30
Figura 2.6 Tensão de saída do inversor trifásico do MTIPR ................................... 30
Figura 2.7 Estágios de excitação das bobinas (TEIXEIRA, 2006) ..........................
32
Figura 2.8 Modelo do MTIPR (GONELLA, 2006) .................................................
32
Figura 3.1 Rotor do tipo interior (HENDERSHOT; MILLER, 1994) .................... 38
Figura 3.2 Rotor do tipo exterior (HENDERSHOT; MILLER, 1994) .................... 39
Figura 3.3 Rotor do tipo disco (HENDERSHOT; MILLER, 1994) ........................ 40
Figura 3.4 Determinação do coeficiente de permeância através do segundo
quadrante da curva de histerese ..............................................................
41
Figura 3.5 Dimensões para o cálculo da área da ranhura do estator ........................
45
Figura 4.1 Dimensões do estator ............................................................................. 52
Figura 4.2 Dimensões das ranhuras ......................................................................... 52
Figura 4.3 Curva de magnetização da liga Fe-Si (MEEKER, 2006)........................ 53
Figura 4.4 Rotor dividido em regiões conforme a alimentação do enrolamento do
estator .....................................................................................................
55
Figura 4.5 Dimensões do rotor ................................................................................ 56
Figura 4.6 Curva de desmagnetização da ferrita (MEEKER, 2006) ....................... 57
Figura 4.7 Velocidade mecânica em relação ao tempo, mostrando o intervalo
temporal selecionado para a análise estática do campo magnético ........
58
Figura 4.8 Nova divisão do rotor em regiões conforme a alimentação do
enrolamento do estator ...........................................................................
58
Figura 4.9 Velocidade mecânica ..............................................................................
61
Figura 4.10 Torque de carga ...................................................................................... 61
Figura 4.11 Corrente elétrica ..................................................................................... 62
Figura 4.12 Comparação da tensão induzida obtida pelo software baseado no
método dos elementos finitos com a obtida experimentalmente ............
63
Figura 4.13 Comparação do torque eletromagnético obtido pelo software baseado
no método dos elementos finitos com o obtido pela simulação
temporal ..................................................................................................
63
Figura 4.14 Região central do entreferro em que são obtidas as curvas da
densidade de fluxo magnético da componente normal ..........................
64
Figura 4.15 Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição
0,1º; b) Posição 33,9º ..............................................................................
64
Figura 4.16 Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição
71,9º; b) Posição 101,4º ..........................................................................
65
Figura 4.17 Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição
135,2º; b) Posição 169,0º ........................................................................
65
Figura 4.18 Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição
198,6º; b) Posição 228,2º ........................................................................
66
Figura 4.19 Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição
257,8º; b) Posição 287,3º ........................................................................
66
Figura 4.20 Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição
316,8º; b) Posição 346,3º ........................................................................
66
Figura 4.21 Densidade de fluxo magnético da posição 257o4123( )-90.203010.294438(4123( )-90.20301.149556(7’7-0.294438(’7-0.)-0.12(u)8nq4144882(.)-0.179556(.)-0.144882(.)-247..)-0.144882(.-247..)-.144882(.)20086 TETQq87560086 TET31 m8852.25 8592.31 l8852.25 8353.96 l8756.08 8353.96 lhW nq1.423 0 0 17.423 0 0 cm BT/R7 12 Tf0.99941 0 0 1 502.56 482.36 Tm( )TjETQQq174223 0 0 17.423 0 0 cm BT/R7 6 Tf0.99938 0 0 1 538.68 568.76 Tm( )Tj/R7 12 Tf0.99941 0 0 1 526.68 550.)-260.302(a)3.74123(6)]TJETQq9385.4 8609.04 m9479.48 8609.04 l9479.48 8370.69 l9385.4 8370.69 lhW nq17.423 0 0 17.423 0 0 cm BT/R7 12 Tf0.99941 0 0 1 538.68 483.32 Tm( )TjETQQq17.423 0 0 17.423 0 0 cm BT/R7 12 Tf0.99941 0 0 1 85.0799 462.56 Tm[(F)5.67553(i)-2.16505(g)9.71061(u)-10.3007(r)2.80476(a)3.74065( )-0.1578(4)-0.295606(.)-0.147219(2)-0.294438(1)-0.299243( )-1601.09(D)1.57501(e)3.74006(n)-0.294438(s)-1.23033(i)-2.16505(d)-0.295606(a)3.74006(d)-0.294438(e)3.7389( )-0.4123())2.80417( )-e luxo magnético da posição
Figura 4.32 Curvas do ímã NdFeB (Bonded), (NEOMAX, 2006) ............................ 75
Figura 4.33 Comparação da densidade de fluxo magnético da componente normal
do protótipo com a do projeto refeito do MTIPR ...................................
77
Figura 4.34 Densidade de fluxo magnético da posição 316,8º, referente ao projeto
refeito do MTIPR ...................................................................................
77
Figura 4.35 Comparação da tensão induzida do protótipo com a do projeto refeito
do MTIPR ...............................................................................................
78
Figura 4.36 Comparação do torque eletromagnético do protótipo com o do projeto
refeito do MTIPR ...................................................................................
78
Figura 4.37 Comparação das perdas resistivas do protótipo com as do projeto
refeito do MTIPR ...................................................................................
79
Figura 4.38 Estimativa das perdas no ferro referentes ao: 1) Protótipo; 2)
Entreferro de tamanho igual a 0,76 mm; 3) Rotor com ímãs de NdFeB
(Bonded); 4) Projeto refeito ....................................................................
80
Figura A.1 Repre
sentação da estrutura dos domínios magnéticos dispostos
aleatoriamente em um material policristalino. Neste caso cada grão
monocristalino contém um único domínio magnético. Nesta condição
o material está desmagnetizado, ou seja, não produz um campo
magnético externo (FARIA, 2005) .........................................................
97
Figura A.2
Representação ilustrativa das orientações dos momentos de dipolo
magnético; (A) ferromagnetismo, (B) antiferromagnetismo e (C)
ferrimagnetismo (FARIA, 2005) ............................................................
99
Figura A.3 Ciclo de histerese ................................................................................... 100
Figura A.4 Curva de desmagnetização ..................................................................... 102
Figura A.5 Determinação do campo H
K
a partir de uma curva de desmagnetização
intrínseca (FARIA, 2005) .......................................................................
103
Figura B.1 a) Circuito genérico percorrido pela corrente i; b) Conjunto de malhas
(ALCANTARA, 1985) ...........................................................................
113
Figura B.2 Representação de um campo magnético bidimensional ......................... 117
Figura B.3 Representação ilustrativa de um problema de campo magnetostático
(ALCANTARA, 2003) ...........................................................................
118
Figura B.4 Representação livre de um domínio subdividido em elementos
triangulares (SYKULSKI, 1995) ............................................................
121
Figura B.5 Elemento triangular ................................................................................ 123
Figura C.1 Definição do problema ........................................................................... 132
Figura C.2 Desenho da geometria ............................................................................ 132
Figura C.3 Biblioteca dos materiais ......................................................................... 133
Figura C.4 Definição das propriedades .................................................................... 133
Figura C.5 Edição das características de um dado material ..................................... 133
Figura C.6 Discretização da geometria em elementos triangulares de primeira
ordem ......................................................................................................
134
Figura C.7 Execução dos cálculos ............................................................................ 134
Figura C.8 Gráfico de linhas .................................................................................... 135
Figura C.9 Gráfico de cores ..................................................................................... 135
Figura C.10 Gráfico da densidade de fluxo magnético da componente normal ........ 135
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 20
1.1 OBJETIVOS ........................................................................................................... 23
2 MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR ............................. 24
2.1 FUNCIONAMENTO DO MTIPR .......................................................................... 26
2.2 ACIONAMENTO ELÉTRICO DO MTIPR ...........................................................
28
2.2.1 Inversores Trifásicos ...................................................................................... 29
2.3 CONTROLE SENSORLESS ................................................................................... 31
2.4 MODELAGEM MATEMÁTICA DO MTIPR .......................................................
32
3 PROJETO DO MTIPR .............................................................................................. 36
3.1 DETERMINAÇÃO DAS NECESSIDADES DA APLICAÇÃO .......................... 36
3.2 ESCOLHA DO TIPO DE MÁQUINA ................................................................... 38
3.2.1 Máquina com Rotor do Tipo Interior ................................................................ 38
3.2.2 Máquina com Rotor do Tipo Exterior ............................................................... 39
3.2.3 Máquina com Rotor Tipo Disco ........................................................................
39
3.3 SELEÇÃO DO ÍMÃ PERMANENTE ................................................................... 40
3.4 ESCOLHA DO NÚMERO DE PÓLOS ................................................................. 41
3.5 DETERMINAÇÃO DA GEOMETRIA, DAS DIMENSÕES E DO NÚMERO
DE RANHURAS E DE FASE DO ESTATOR ............................................................
42
3.6 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DO ENTREFERRO ................................... 42
3.7 CÁLCULO DO TAMANHO DO ROTOR ............................................................ 42
3.8 CÁLCULO DO FLUXO MAGNÉTICO POR PÓLO ........................................... 43
3.9 CÁLCULO DO NÚMERO DE CONDUTORES, DE ESPIRAS E DO
DIÂMETRO DO ENROLAMENTO ...........................................................................
43
3.10 VERIFICAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS DO MOTOR ............................... 46
3.11 ESTIMATIVA DAS PERDAS MAGNÉTICAS .................................................. 47
4 RESULTADOS ............................................................................................................
50
4.1 CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS DO MTIPR ......................................... 52
4.1.1 Estator ............................................................................................................... 52
4.1.1.1 Alimentação do Estator ............................................................................... 54
4.1.2 Rotor ..................................................................................................................
56
4.2 RESULTADOS DO PROGRAMA COMPUTACIONAL FEMM ........................ 57
4.2.1 Sem a Realização de Alterações do Projeto do MTIPR ....................................
60
4.2.2 Referentes a Dois Tamanhos de Entreferro ...................................................... 68
4.2.3 Referentes a Dois Tipos de Ímãs .......................................................................
71
4.2.4 Projeto Refeito do MTIPR ................................................................................ 73
4.2.4.1 Cálculos do Projeto Refeito do MTIPR ...................................................... 74
4.2.4.2 Resultados Referentes ao Projeto Refeito do MTIPR ................................. 77
4.2.5 Estimativa das Perdas Magnéticas do MTIPR................................................... 79
5 CONCLUSÕES E CONTINUIDADE DO TRABALHO ........................................ 82
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 86
APÊNDICE A - Materiais Magnéticos .........................................................................
92
APÊNDICE B - Campos Magnéticos Estáticos e o Método dos Elementos Finitos . 108
APÊNDICE C - Descrição do Programa de Elementos Finitos FEMM ................... 130
C
apítulo 1
I
ntrodução
As máquinas elétricas são utilizadas em várias aplicações e estão inseridas em diversos
ambientes. Tornaram-se elementos primordiais ao cotidiano do ser humano, o que foi
possibilitado pelo desenvolvimento da tecnologia dos semicondutores de potência e dos
microprocessadores, que melhoram o controle, as capacidades nominais e a velocidade de
chaveamento dos dispositivos de potência.
Outros fatores que contribuíram para o avanço tecnológico das máquinas elétricas
foram: o desenvolvimento de materiais, como os ímãs de ferrita e os de terras-raras, e a
melhoria dos computadores que contribuíram para a realização de simulações espaciais e de
projetos de motores, permitindo a utilização do Método dos Elementos Finitos, em
programação nas linguagens bem conhecidas ou com softwares voltados para a análise do
campo e de circuitos magnéticos.
A utilização dos ímãs permanentes, no rotor dos motores, exige o conhecimento das
propriedades magnéticas do material ferromagnético que constitui a estrutura do estator. Isso
é devido à limitação da densidade de fluxo magnético no ferro, que não deve exceder
aproximadamente 1,6-1,7 T (HENDERSHOT; MILLER, 1994), faixa na qual ocorre o rápido
decrescimento da permeabilidade magnética.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
13
Neste trabalho é feito um estudo do campo magnético, utilizando-se o Método dos
Elementos Finitos, de um Motor Brushless DC (Brushless Direct Current Motor - BDCM)
que é aplicado a compressores herméticos de refrigeração. Possui as principais vantagens,
quando comparado aos motores de indução, que são os mais empregados para esse uso:
controle de velocidade, maior eficiência e menor volume devido à baixa dissipação de energia
no rotor, em consequência da ausência de enrolamento em sua construção.
Comumente, os aparelhos de refrigeração utilizam motores de indução monofásicos,
em que o controle da velocidade é obtido com o uso de inversores de freqüência. No entanto,
estes motores são projetados para trabalhar em velocidades e tensões pré-definidas, onde
apresentam o máximo desempenho. Numa região de trabalho, fora deste ponto, o motor pode
apresentar uma variação de eficiência de 55 a 65% (ponto nominal) para 15 a 20%
(GUCKELBERGER, 2004).
Além das máquinas síncronas com ímã permanente no rotor (MSIP) apresentarem
maior eficiência (em torno de 75%) que os motores de indução monofásicos
(GUCKELBERGER, 2004), elas possuem diversas vantagens em relação aos acionamentos
convencionais de velocidade variável, que empregam motores de corrente contínua (CC):
maior desempenho, ausência das escovas (brushless), o que propicia a eliminação de vários
problemas relacionados a elas, como o centelhamento, a manutenção periódica, a restrição de
utilização em áreas classificadas (ambientes que pocdsum
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
14
1.1 Objetivos
Este trabalho tem como objetivo a análise do campo magnético no motor trifásico de
ímã permanente no rotor (MTIPR), utilizando-se o método dos elementos finitos. Os
resultados obtidos são usados para a realização de sugestões de melhorias de desempenho da
máquina.
O projeto, a construção e o acionamento do motor de ímã permanente no rotor com
controle sensorless estão disponíveis em (TEIXEIRA, 2006) e (GONELLA, 2006).
Essa máquina foi projetada e construída para ser aplicada em compressores herméticos
de refrigeração, destacando-se pela possibilidade do controle de velocidade e pela melhoria da
eficiência quando comparada aos demais tipos de máquinas utilizadas para a mesma
aplicação.
C
apítulo 2
M
otor
S
íncrono de
Í
mã
P
ermanente no
R
otor
O motor síncrono de ímã permanente no rotor (MSIP) é constituído por um estator
formado por bobinas e por um rotor com ímãs permanentes em sua superfície.
Essas máquinas podem ser classificadas de acordo com a força contra-eletromotriz
produzida pelo fluxo magnético incidindo no enrolamento do estator, que pode ser trapezoidal
ou senoidal.
As máquinas que não possuem escovas e comutadores mecânicos, como são
requeridos nos motores CC convencionais ou nas máquinas síncronas CA (corrente
alternada), são denominadas de brushless (MILLER,1989; KENJO; NAGAMORI,1985).
Vários motores enquadram-se nesta definição básica, como os motores de indução e os
motores de passo (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
Conforme o modo de operação da máquina síncrona, ela pode ser denominada
brushless DC ou brushless AC.
Segundo (NASAR; BOLDEA; UNNEWEHR, 1993), a nomenclatura brushless DC
deve-se à máquina síncrona com ímã permanente no rotor, com forma de onda não senoidal,
ser comercializada juntamente com o seu conversor de potência. Esse conjunto comporta-se
como uma máquina CC, mas com um comutador eletrônico.
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
16
Conforme (HENDERSHOT; MILLER, 1994), os motores brushless AC implicam em
excitação senoidal e a tensão induzida, ideal, tem a mesma forma de onda da alimentação.
Fisicamente o motor e o seu controle são similares ao brushless DC.
Essas máquinas são nomeadas síncronas devido ao fato do rotor girar à mesma
velocidade angular que a onda do campo magnético girante, criado pelas correntes trifásicas
do enrolamento do estator, ou seja, em sincronismo com a mesma.
O motor trifásico de ímã permanente no rotor (MTIPR), tratado neste trabalho, é uma
máquina síncrona com alimentação trapezoidal. É empregado em sistemas de refrigeração,
possuindo a mesma estrutura ferromagnética do estator de um motor de indução monofásico,
que comumente é utilizado para esse tipo de aplicação. Com isso, modificações na linha de
produção são evitadas.
Esta máquina não utiliza sensores para a detecção da posição do rotor, daí muitas
vezes ser denominada de sensorless. A ausência desses componentes implica em uma maior
facilidade para a construção do motor, possibilitando o seu emprego em ambientes hostis, pois
estes poderiam prejudicar a operação dos sensores (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
O funcionamento, o acionamento elétrico e o controle do MTIPR são detalhados nas
seções seguintes.
2.1 Funcionamento do MTIPR
O processo de comutação dos motores brushless DC é semelhante
ao das máquinas
CC convencionais. A figura 2.1 mostra o fluxo magnético produzido pelos ímãs permanentes
e a posição do rotor (θ
m
[graus mecânicos]), que representa o deslocamento da bobina em
relação ao eixo de referência, de um motor CC de dois pólos (HENDERSHOT; MILLER,
1994).
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
17
Figura 2.1. Motor CC convencional mostrando a posição do eixo de referência e do eixo da bobina
(HENDERSHOT; MILLER, 1994).
Quando θ
m
é igual a zero, o fluxo magnético produzido pelos ímãs não atravessa a
bobina, com isso, o fluxo concatenado (ψ [Wb]) é nulo. À medida que θ
m
aumenta, há o
incremento do fluxo que atinge o seu valor máximo quando a posição do rotor fica entre 60º e
120º. Como há um espaço vazio entre os ímãs, ocorre a inversão do fluxo concatenado nesta
posição.
Conhecendo-se a forma de onda do fluxo concatenado (ψ [Wb]), obtém-se a tensão
induzida pelas bobinas (e [V]) por meio de sua derivada em relação ao tempo (Lei de
Faraday):
m
m
m
m
dt
d
dt
d
e
θ
ψ
ω
θ
θ
ψψ
∂
∂
=
∂
∂
==
(1)
Onde:
ω
m
é a velocidade angular mecânica [rad/s].
O torque eletromagnético (T
el
[Nm]) pode ser calculado através da equação (2).
m
el
ie
T
ω
⋅
=
(2)
Onde:
i
é a corrente elétrica [A].
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
18
As formas de onda do fluxo concatenado e da tensão induzida podem ser vistas na
figura 2.2.
Figura 2.2. Formas de onda do fluxo concatenado e da tensão induzida de um motor CC convencional.
2.2 Acionamento Elétrico do MTIPR
O acionamento elétrico do MTIPR é representado pela figura 2.3 e é composto por
cinco blocos: alimentação do sistema (fonte de tensão alternada), retificador, inversor
trifásico, sistema de detecção da posição do rotor e controle do acionamento do inversor.
Figura 2.3. Diagrama de blocos do acionamento do MTIPR.
Nas subseções seguintes são detalhados o inversor trifásico, incluindo a sua lógica de
acionamento e o sistema de detecção da posição do rotor.
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
19
2.2.1 Inversores Trifásicos
Os inversores transformam uma tensão de entrada CC em uma tensão de saída CA
simétrica em amplitude e de freqüência ajustável (RASHID, 1999).
De acordo com a aplicação, os inversores podem utilizar dispositivos com disparo ou
bloqueio controlados, (MOSFETs e IGBTs), ou tiristores em comutação forçada.
O inversor trifásico é composto por três inversores monofásicos conectados em
paralelo, como mostra a figura 2.4.
Figura 2.4. Circuito de acionamento do MTIPR.
Os transistores de potência do inversor devem receber comandos de condução de um
sistema de controle, que é sincronizado com a posição do rotor (θ
r
[graus elétricos]).
Cada transistor conduz por 120
o
elétricos. Apenas dois transistores estão conduzindo
em qualquer instante de tempo, na seqüência (6-1), (1-2), (2-3), (3-4), (4-5) e (5-6), a partir de
30
o
. Os sinais de comando são mostrados na figura 2.5.
De acordo com o controle de cada transistor, obtém-se a tensão de alimentação da fase
a
(
v
a
), da fase
b
(
v
b
) e da fase
c
(
v
c
) do motor, figura 2.6. Quando as duas chaves da fase
correspondente estão desligadas ou abertas são as regiões de alta impedância.
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
20
Figura 2.5. Sinais de comando dos transistores do circuito de acionamento do MTIPR.
Figura 2.6. Tensão de saída do inversor trifásico do MTIPR.
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
21
2.3 Controle Sensorless
O controle do MTIPR é denominado de
sensorless
, devido à ausência de sensores de
posição e de velocidade do rotor. Normalmente, esse tipo de controle, utiliza sensores de
corrente e de tensão.
Algumas razões para a eliminação dos sensores de posição são: confiabilidade do
sistema e hostilidade do ambiente (GIERAS; WING, 2002).
O controle
sensorless
para motores síncronos de ímã permanente, com tensões
induzidas senoidais, diferencia-se do controle para motores com tensões induzidas
trapezoidais. No primeiro caso, as três fases são energizadas ao mesmo tempo, enquanto no
segundo, apenas duas fases são energizadas simultaneamente (figura 2.7). A estratégia mais
simples para a detecção da posição do rotor é através da forma de onda da tensão induzida na
fase desenergizada (GIERAS; WING, 2002), que é a utilizada pelo controle do MTIPR.
As técnicas para a detecção da posição do rotor em motores
brushless
DC
são
detalhadas em (TEIXEIRA, 2006) e (GONELLA, 2006). As principais são:
• Detecção da tensão induzida (ponto de cruzamento pelo zero da tensão na bobina que
está desenergizada);
• Detecção da terceira harmônica;
• Detecção do intervalo de condução dos diodos de retorno
do inversor trifásico.
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
22
Figura 2.7. Estágios de excitação das bobinas (TEIXEIRA, 2006).
2.4 Modelagem Matemática do MTIPR
O modelo por fase da máquina é utilizado para a realização da modelagem matemática
do MTIPR, que é representado por um circuito série contendo um resistor, um indutor e uma
fonte de tensão representando a força contra-eletromotriz (figura 2.8), conectados em “Y”.
Figura 2.8. Modelo do MTIPR (GONELLA, 2006).
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
23
Desconsiderando-se as correntes induzidas no rotor pelos campos harmônicos do
estator e as perdas de dispersão no núcleo de ferro, tem-se o equacionamento do circuito
representado pela figura 2.8 (KRISHNAN, 2001):
−
+
⋅
+
⋅
=
n
n
n
c
b
a
c
b
a
ccbca
bcbba
acaba
c
b
a
c
b
a
c
b
a
V
V
V
e
e
e
i
i
i
LMM
MLM
MML
dt
d
i
i
i
R
R
R
v
v
v
0
0
0
0
0
0
(3)
Onde:
L
a
,
L
b
e
L
c
são as indutâncias do estator da fase
a
,
b
e
c
[H];
M
ab
,
M
ac,
M
ba
,
M
bc
,
M
ca
e
M
cb
são as indutâncias mútuas [H];
R
a
,
R
b
e
R
c
são as resistências do estator da fase
a
,
b
e
c
[Ω];
V
n
é a tensão do terminal neutro [V].
Assumindo-se que as três fases são simétricas e equilibradas, e o rotor de pólos lisos,
tem-se:
MMMMMMM
cbcabcbaacab
======
(4)
LLLL
cba
===
(5)
Substituindo-se as equações 4 e 5 em 3:
−
+
⋅
+
⋅
=
n
n
n
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
V
V
V
e
e
e
i
i
i
LMM
MLM
MML
dt
d
i
i
i
R
R
R
v
v
v
0
0
0
0
0
0
(6)
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
24
A soma das correntes por fase é nula e considerando-se o terminal neutro isolado, a
equação (6) torna-se:
−
+
⋅
−
−
−
+
⋅
=
n
n
n
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
V
V
V
e
e
e
i
i
i
ML
ML
ML
dt
d
i
i
i
R
R
R
v
v
v
00
00
00
0
0
0
0
0
0
(7)
As tensões induzidas de cada fase são expressas pela equação (8).
rerff
kfe
ωθ
⋅⋅= )(
(8)
Onde:
)(
rf
f
θ
é uma função normalizada que representa a forma de onda da força contra-
eletromotriz de cada fase em função da posição do rotor;
k
e
é a constante da força contra-eletromotriz [Vs·rad
-1
].
A equação dinâmica de um sistema rotativo é expressa pela equação (9).
celm
m
TTD
dt
d
J −=⋅+⋅
ω
ω
)(
(9)
Onde:
D é o coeficiente de atrito viscoso do eixo da máquina [Nms];
J é o coeficiente do momento de inércia [Kg·m
2
];
T
c
é o torque aplicado ao eixo pela carga [Nm].
CAPÍTULO 2. MOTOR SÍNCRONO DE ÍMÃ PERMANENTE NO ROTOR
25
A velocidade angular mecânica é dada por:
rm
P
ωω
2
=
(10)
Onde:
P é o número de pólos;
r
ω
é a velocidade angular do rotor [rad·s
-1
].
Através da equação (10), a velocidade angular do rotor pode ser expressa por:
m
r
r
P
dt
d
ω
θ
ω
2
==
(11)
Isolando-se os termos diferenciais das equações (7), (9) e (11), tem-se:
−
+−
+−
+−
⋅
−
−
−
+
⋅
−
−
−
−
−
−
−
=
•
•
•
•
•
1
00000
0
1
000
00
1
00
000
1
0
0000
1
0
2
000
0000
0000
0000
0000
cel
ncc
nbb
naa
r
m
c
b
a
c
b
a
r
m
c
b
a
TT
Vev
Vev
Vev
J
ML
ML
ML
i
i
i
P
J
D
ML
R
ML
R
ML
R
i
i
i
θ
ω
θ
ω
(12)
Para a resolução do sistema de equações diferenciais ordinárias (equação 12), utiliza-
se um método de integração numérica, como o de Runge-Kutta, para a obtenção das variáveis
desejadas (i
a
, i
b
, i
c
,
ω
m
e
θ
r
).
A partir dos valores das correntes elétricas por fase e do posicionamento do rotor,
obtidos com a simulação temporal, pode-se utilizá-los em um programa de elementos finitos
para a obtenção de grandezas eletromagnéticas, que não são obtidas pela solução do sistema
de equações diferenciais, como, por exemplo, o campo magnético.
C
apítulo 3
P
rojeto do MTIPR
Devido aos diferentes tipos de motores brushless e dos diversos materiais magnéticos,
importantes especificações devem ser realizadas antes do projeto do motor ser iniciado.
Conforme (HENDERSHOT; MILLER, 1994), os passos de um projeto de uma máquina
brushless DC são detalhados a seguir. Também é apresentada uma breve descrição do projeto
do MTIPR, de acordo com (TEIXEIRA, 2006).
3.1 Determinação das Necessidades da Aplicação
As necessidades da aplicação a serem supridas pela máquina devem ser determinadas,
pois a partir delas é que as principais características do motor são especificadas.
Uma importante definição das máquinas utilizadas em compressores herméticos é o
número de terminais disponíveis para a alimentação. Como normalmente são empregados
motores de indução, para essa aplicação, e já existe um projeto da carcaça, são
disponibilizados três terminais.
Os compressores também possuem um determinado espaço para a alocação do motor.
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
27
Nos sistemas de refrigeração uma baixa inércia é exigida, a temperatura de operação é
de 60º C e a velocidade máxima de operação é igual a 471,24 rad·s
-1
, 4500 rpm (TEIXEIRA,
2006).
3.2 Escolha do Tipo de Máquina
A seguir são apresentados os tipos de máquinas segundo (HENDERSHOT; MILLER,
1994). A escolha de um deles é feita de acordo com as necessidades da aplicação.
3.2.1 Máquina com Rotor do Tipo Interior
Um motor com rotor interior (figura 3.1) possui o estator semelhante ao dos motores
de indução. As principais vantagens dessa configuração são a baixa inércia e o elevado
torque. No entanto, possui as desvantagens em relação aos cuidados necessários da fixação
dos ímãs na superfície do rotor, para que não se desloquem da posição original (descolem)
com o movimento do rotor (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
O estator e o rotor são constituídos por lâminas de um material ferromagnético
(HENDERSHOT; MILLER, 1994).
Figura 3.1. Rotor do tipo interior (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
28
3.2.2 Máquina com Rotor do Tipo Exterior
Normalmente, os motores brushless, com rotor do tipo exterior (figura 3.2), são usados
em aplicações que necessitam de velocidade constante e alta rotação. Possui popularidade
devido ao seu baixo custo e da sua facilidade de fabricação (HENDERSHOT; MILLER,
1994).
Figura 3.2. Rotor do tipo exterior (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
3.2.3 Máquina com Rotor Tipo Disco
As principais vantagens dos motores com rotor tipo disco (figura 3.3) são: baixo custo,
a forma plana e ausência dos torques de relutância e de borda (conseqüência da inexistência
de ranhuras). Possui entreferro axial e o seu tamanho, entre os ímãs e o enrolamento do
estator, é muito grande resultando uma alta dispersão do fluxo magnético. Embora isso
implique em uma configuração ineficiente do circuito magnético, não impede que ele seja
utilizado em aplicações que necessitem de baixo torque e de velocidade em torno de 1000
rpm. Esses motores são empregados normalmente em unidades de disquete, videocassetes, etc
(HENDERSHOT; MILLER, 1994).
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
29
Figura 3.3. Rotor do tipo disco (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
Neste trabalho, foi selecionado o rotor do tipo interior, pois essa configuração
assemelha-se à dos motores de indução, apresentando baixa inércia.
3.3 Seleção do Ímã Permanente
O ímã de ferrita, em forma de arco, foi selecionado para a confecção do rotor. Essa
escolha foi feita devido a sua baixa energia, evitando-se a saturação do material
ferromagnético da máquina, e as suas vantagens econômicas, quando comparado aos ímãs de
terras-raras.
O coeficiente de permeância (PC) deve ser determinado para o prosseguimento dos
cálculos, na qual caracteriza a operação do ímã no circuito magnético formado pela geometria
do motor. Um campo estático de desmagnetização é aplicado no ímã pelo entreferro,
causando a sua operação abaixo da densidade residual (B
r
[T]). Em circuito aberto, o
coeficiente de permeância é em torno de (0,7-0,95)·B
r
. A linha que une a origem a esse ponto
de operação é chamada de linha de carga (HENDERSHOT; MILLER, 1994), que pode ser
visualizada na figura 3.4.
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
30
Figura 3.4. Determinação do coeficiente de permeância através do segundo quadrante da curva de histerese.
Através da figura 3.4, determina-se o coeficiente de permeância e a espessura do ímã
(L
m
[mm]) que será empregado no motor.
g
L
H
B
PC
m
M
M
=
⋅
=
0
µ
(13)
Onde:
B
M
é a densidade de fluxo magnético no ponto de operação em circuito aberto [T];
g é o tamanho do entreferro [mm];
H
M
é a intensidade de campo magnético no ponto de operação em circuito aberto [A·m
-1
].
Os materiais magnéticos, incluindo-se os ímãs permanentes, estão detalhados no
apêndice A.
3.4 Escolha do Número de Pólos
A escolha do número de pólos depende de vários fatores, tais como: material e
categoria do ímã, configuração do rotor, montagem mecânica do rotor e dos ímãs, velocidade
de rotação e inércia requerida (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
31
De acordo com as características citadas anteriormente, foi determinado o número de
quatro pólos para o MTIPR.
3.5 Determinação da Geometria, das Dimensões e do Número de Ranhuras e de Fase do
Estator
Pelo motivo do estator ser proveniente de um motor de indução monofásico, ele é
composto por 24 ranhuras. A sua geometria e as suas dimensões são detalhadas no Capítulo 4.
Por causa da disposição de três terminais de alimentação, o motor é trifásico.
3.6 Determinação do Tamanho do Entreferro
Segundo (HENDERSHOT; MILLER, 1994), o tamanho do entreferro dever ser entre
0,13-0,25 mm para motores de baixa potência, 0,38-0,51 mm para motores médios e 0,64-
0,89 mm para as máquinas de alta potência.
3.7 Cálculo do Tamanho do Rotor
O diâmetro do rotor (D
r
[mm]), sem os ímãs em sua superfície, é calculado pela
equação (14).
meir
LgDD ⋅−⋅−= 22
_
(14)
Onde:
D
i_e
é o diâmetro interno do estator [mm].
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
32
3.8 Cálculo do Fluxo Magnético por Pólo
O fluxo magnético por pólo (
Pólo
φ
[Wb]) é calculado através da multiplicação da área
magnética do pólo (A
m
[m
2
]) pela densidade de fluxo magnético do ponto de operação (B
M
[T]).
MmPólo
BA ⋅=
φ
(15)
Sendo:
P
TD
A
ePar
m
cot
⋅⋅
=
π
(16)
Onde:
T
Pacote
é a altura do pacote de lâminas do estator [m].
3.9 Cálculo do Número de Condutores, de Espiras e do Diâmetro do Enrolamento
Considerando a velocidade máxima de operação (
ω
máx
) de 471,24 [rad·s
-1
], a
velocidade sem carga é 20% maior para os ímãs de ferrita e 10% maior para os ímãs de
terras-raras (HENDERSHOT; MILLER, 1994). Com isso, a constante da força contra-
eletromotriz (k
e
[Vs·rad
-1
]) pode ser calculada pela equação (17).
máx
cc
e
n
V
k
ω
⋅
=
(17)
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
33
Onde:
n é igual a 1,250 se os ímãs do rotor forem de ferrita ou 1,111 se forem de terras-raras;
Vcc é a tensão de barramento.
O número total de condutores (Z) é determinado pela equação (18).
P
k
C
Z
Pólo
e
⋅
⋅
=
φ
π
1
5,1
(18)
Onde C é fator da distribuição do fluxo no enrolamento do estator, podendo ser
estimado em torno de 90% na região de comutação (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
O número de espiras
de cada bobina (N
espiras
) é determinado pela equação (19).
aeBobinasFas
espiras
NN
Z
N
⋅
=
(19)
Onde:
N
a
é igual a 1, 2 ou 3, dependendo se o motor é monofásico, bifásico ou trifásico,
respectivamente;
N
BobinasFase
é o número de bobinas por fase.
Para a determinação do diâmetro do enrolamento é necessário fazer um cálculo
aproximado da área de cada ranhura do estator (A
Ranhura
[mm
2
]). As dimensões são mostradas
na figura 3.5 e a equação (20) expressa esse cálculo.
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
34
Figura 3.5. Dimensões para o cálculo da área da ranhura do estator.
(
)
(
)
Ranhura
RanhuraDenteeiereier
Ranhura
N
NLRRRR
A
⋅⋅−−⋅−
=
π
22
(20)
Onde:
L
Dente
é a distância entre as ranhuras [mm];
N
Ranhura
é o número total de ranhuras;
R
er
é o raio do estator referente às ranhuras [mm];
R
ei
é o raio interno do estator [mm].
O diâmetro do fio (
D
Fio
[mm]) é calculado através da equação (21), sendo o seu valor
consultado em uma tabela para selecionar-se a bitola correspondente. Neste trabalho, é
utilizado o sistema AWG (
American Wire Gauge
).
Espiras
PRanhura
Fio
N
FA
D
⋅
=
(21)
Onde
F
P
é o fator de preenchimento, assumindo o valor em torno de 0,3-0,35, no caso
de camada dupla, e 0,65-0,7, no caso de camada simples (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
35
3.10 Verificação das Características do Motor
Uma importante informação, que deve ser conferida antes da implementação da
máquina, é o máximo valor da corrente de alimentação do estator, que não desmagnetize os
ímãs, podendo ser calculado através da equação (22).
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
36
3.11 Estimativa das Perdas Magnéticas
Depois das perdas resistivas (equação 23), as perdas no ferro são as maiores
responsáveis pela diminuição da eficiência dos motores
brushless
(HENDERSHOT;
MILLER, 1994).
2
IRP
r
⋅=
(23)
Onde:
I
é a corrente elétrica [A];
P
r
é a perda resistiva [W];
R
é resistência elétrica [
Ω
].
As perdas magnéticas surgem da variação da densidade de fluxo magnético no ferro,
que são dividadas em dois tipos: perdas por histerese e perdas por correntes de Foucault.
A primeira resulta da “resistência” do aço em mudar de estado magnético. Como a
indução magnética varia ciclicamente, o estado magnético descreve uma localidade no
diagrama B/H (detalhado no apêndice A): a perda de energia por ciclo é proporcional à área
fechada, então a perda por histerese é proporcional à variação da freqüência no campo
magnético (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
As correntes de Foucault também são causadas pela variação da densidade de fluxo
magnético, que induzem a circulação de corrente no ferro na mesma frequência da variação
do campo magnético. Essa perda é proporcional ao quadrado da freqüência e ao quadrado do
pico da indução magnética (HENDERSHOT; MILLER, 1994).
As perdas no ferro (
W
Fe
[W·Kg
-1
]), decorrentes de excitação senoidal, são usualmente
descritas pela equação de Steinmetz, sendo que o primeiro termo da soma expressa a perda
por histerese e o segundo a perda por correntes de Foucault:
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
37
2
2)(
fBCBfCW
pe
Bn
phFe
p
⋅⋅+⋅⋅=
(24)
Onde:
B
p
é o valor de pico da indução magnética quando o fluxo é senoidal [T];
C
e
,
C
h
e
n
são os coeficientes de perda do material, sendo que
n
é dependente de
B
p
;
f
é a freqüência do campo magnético externo [Hz].
A equação de Steinmetz foi modificada por (SLEMON; LIU, 1990) para que a
estimativa de perdas em materiais ferromagnéticos fosse feita, decorrentes de campos
magnéticos com a forma de onda não senoidal:
2
2
)(
2
+⋅⋅=
dt
dB
C
BfCW
e
Bn
phFe
p
π
(25)
Os coeficientes de perda do material podem ser obtidos através do gráfico de perda
magnética versus a freqüência (disponibilizados pelo fabricante), (HENDERSHOT; MILLER,
1994). O primeiro passo para a obtenção de C
h
e n é a divisão da equação (24) pela
freqüência:
2
pe
Bba
ph
Fe
BfCBC
f
W
p
⋅⋅+⋅=
⋅+
(26)
A equação (26) pode ser escrita como:
fED
f
W
Fe
⋅+=
(27)
CAPÍTULO 3. PROJETO DO MTIPR
38
Sendo:
p
Bba
ph
BCD
⋅+
⋅=
(28)
Aplicando-se a função logaritmo em ambos os membros da equação (28), tem-se:
pph
BBbaCD log)(loglog ⋅⋅++=
(29)
Selecionando-se três valores de indução magnética do gráfico de perdas, como por
exemplo, 1,0 T, 1,2 T e 1,5 T para as frequências de 60 Hz, 100 Hz e 500 Hz, tem-se a
respectiva perda magnética para cada ponto. Com isso, as curvas de W
Fe
/f versus f podem ser
traçadas. A partir delas, determinam-se os três valores de D (W
Fe
/f), que correspondem ao
ponto em que cada reta intercepta o eixo y. Substituindo-se esses dados na equação (29),
obtém-se um sistema de três equações com o mesmo número de incógnitas, sendo que a sua
solução resulta nos coeficientes de perda do material, C
h
e n.
Através do cálculo do coeficiente angular (m) de cada reta (do gráfico de perdas),
obtém-se o valor de C
e
(equação 30), que pode ser o maior dos três valores encontrados
(HENDERSHOT; MILLER, 1994).
2
p
e
B
m
C =
(30)
C
apítulo 4
R
esultados
Neste capítulo são apresentados os cálculos realizados, utilizando-se um programa
computacional baseado no método dos elementos finitos (detalhado no apêndice C),
referentes ao MTIPR.
Essa máquina tem a potência nominal aproximadamente de ¼ CV.
Possui quatro pólos e foi projetada para funcionar continuamente até 4500 rpm, sem desligar,
diferentemente dos outros motores utilizados em sistemas de refrigeração.
Para utilizar-se o software de elementos finitos (FEMM), definiu-se as propriedades
magnéticas dos materiais do motor, conforme as características construtivas especificadas por
(TEIXEIRA, 2006). Em seu projeto inicial, calculou-se o tamanho do entreferro de ar de 0,76
mm, porém devido à dificuldade de encontrar-se o tamanho especificado dos ímãs do rotor,
utilizaram-se os existentes no mercado, obtendo-se um entreferro de 1,35 mm.
A alimentação do estator é realizada de acordo com os resultados da simulação
temporal de (GONELLA, 2006).
40
4.1 Características Construtivas do MTIPR
São apresentadas as geometrias e as características elétricas e magnéticas do estator e
do rotor.
4.1.1 Estator
A chapa de aço do estator possui espessura de 0,5 mm e a altura do pacote é de 47 mm
(TEIXEIRA, 2006). As dimensões do estator e das ranhuras são mostradas na figura 4.1 e 4.2,
respectivamente. A distribuição, em camada simples, das três fases do enrolamento de 4 pólos
nas ranhuras do estator também é mostrada pela figura 4.1.
Figura 4.1. Dimensões do estator.
Figura 4.2. Dimensões das ranhuras.
41
O estator possui 24 ranhuras e 12 bobinas. Devido ao motor ser trifásico, tem-se
quatro bobinas por fase e o número de espiras de cada uma é igual a 105. A bitola do
enrolamento utilizado é a 21 AWG, que possui o diâmetro igual a 0,7229 mm.
O estator é constituído pela liga Fe-Si, sendo a sua curva de magnetização mostrada na
figura 4.3.
Figura 4.3. Curva de magnetização da liga Fe-Si (MEEKER, 2006).
Para o cálculo das perdas magnéticas desse material, deve-se determinar os
coeficientes de perda, que são obtidos através da teoria e do equacionamento apresentados no
capítulo 3. A partir disso, selecionaram-se três valores de indução magnética (B
p
) com
diferentes valores de freqüência (f) e suas respectivas perdas (W
Fe
[W Kg
-1
]), retirados do
catálogo do fabricante (USS; 1978). As curvas W
Fe
/f versus f foram traçadas e determinou-se
o ponto de cruzamento de cada reta no eixo y (D):
1) B
p1
= 0,5 T, D
1
= 1,40 W·Kg
-1
·Hz;
2) B
p2
= 0,7 T, D
2
= 1,08 W·Kg
-1
·Hz;
3) B
p3
= 1,0 T, D
3
= 1,44 W·Kg
-1
·Hz.
42
Substituindo-se os valores citados anteriormente na equação (29) e resolvendo-a,
tem-se: C
h
= 1,44 e n = 2,27.
Através do cálculo dos coeficientes angulares de cada reta, determinou-se o maior
valor do coeficiente C
e
: 0,035.
4.1.1.1 Alimentação do Estator
Devido à ausência de sensores de posicionamento do rotor, necessita-se fazer a
associação da alimentação do enrolamento do estator com o posicionamento do rotor. Para
isso, adotou-se uma posição inicial (figura 4.4), e apartir dela movimentou-se o rotor de 5 em
5º mecânicos no sentido anti-horário,
calculando-se em cada posição o torque eletromagnético
através do programa computacional FEMM. Para facilitar a realização das simulações,
utilizou-se a linguagem Lua Scripting para automatizá-las.
A tabela 4.1 apresenta um resumo da figura 2.6, que consiste na saída do inversor
trifásico, ou seja, os seis estados da alimentação do enrolamento do estator.
Tabela 4.1 – Estados da
alimentação do enrolamento do estator associados com os
valores de pico das tensões.
Tipo de
Alimentação
Fase A Fase B Fase C
Alimentação 1 0 -V
b
+V
c
Alimentação 2 +V
a
- V
b
0
Alimentação 3 +V
a
0 -V
c
Alimentação 4 0 +V
b
-V
c
Alimentação 5 -V
a
+V
b
0
Alimentação 6 -V
a
0 +V
c
Considerou-se que a máquina estava funcionando em vazio, por isso a magnitude da
corrente adotada por fase é constante.
43
Para cada posição do rotor, calculou-se o torque eletromagético para todos os estados
da alimentação. Como trata-se de um motor de quatro pólos, são necessários dois ciclos
elétricos completos para completar uma revolução mecânica, com isso, a cada 30º mecânicos
tem-se a associação de um tipo de alimentação.
Analisando-se os resultados, obteve-se o torque máximo durante 25º mecânicos,
tornando-se necessário o cálculo do conjugado em um intervalo menor nas regiões em que
houve a mudança da alimentação. Realizando-se esse procedimento, chegou-se à associação
da posição do rotor com a alimentação do enrolamento do estator, mostrada na tabela 4.2.
Tabela 4.2 – Alimentação do enrolamento do estator associada com o posicionamento do rotor.
Tipo de Alimentação Posição do Rotor no Primeiro
Ciclo Elétrico
Posição do Rotor no Segundo
Ciclo Elétrico
Alimentação 1 22,2
o
≤ 52,2
o
202,2
o
≤ 232,2
o
Alimentação 2 52,2
o
≤ 82,2
o
232,2
o
≤ 262,2
o
Alimentação 3 82,2
o
≤ 112,2
o
262,2
o
≤ 292,2
o
Alimentação 4 112,2
o
≤ 142,2
o
292,2
o
≤ 322,2
o
Alimentação 5 142,2
o
≤ 172,2
o
322,2
o
≤ 352,2
o
Alimentação 6 172,2º ≤ 202,2º 352,2º ≤ 22,2º
A figura 4.4 ilustra o rotor dividido em regiões conforme os estados da alimentação do
enrolamento do estator, que são expressos pelos números próximos ao centro.
Figura 4.4. Rotor dividido em regiões conforme a alimentação do enrolamento do estator.
44
4.1.2 Rotor
O rotor é constituído por lâminas de Fe-Si e suas dimensões são mostradas na figura
4.5. Possui quatro ímãs em sua superfície, com orientação radial.
Os resultados deste trabalho referem-se a dois tipos de ímãs permanentes, ferrita e de
NdFeB (Bonded), sendo as suas propriedades magnéticas apresentadas na tabela 4.3. O ímã de
terras-raras possui a curva BH linear, com permeabilidade magnética relativa igual a 1,2. A
curva de desmagnetização da ferrita é mostrada na figura 4.6.
Tabela 4.3 – Propriedades Magnéticas
Ímãs
Produto de Energia
Máximo (BH
max
)
kJ/m
3
Coercividade Normal (H
CB
)
kA/m
Ferrita 30 260
NdFeB (Bonded) 79 478
Figura 4.5. Dimensões do rotor.
45
Figura 4.6. Curva de desmagnetização da ferrita (MEEKER, 2006).
4.2 Resultados do Programa Computacional FEMM
Nesta seção são apresentados os resultados obtidos pelo programa FEMM. Foram
utilizados os dados das correntes elétricas por fase e da velocidade mecânica, variáveis
obtidas por (GONELLA, 2006) através da simulação temporal para alimentar-se o
enrolamento do estator e para calcularem-se as tensões induzidas por fase, respectivamente.
A figura 4.7 mostra o intervalo temporal selecionado para a análise estática do campo
magnético, utilizando-se o método dos elementos finitos (MEF), que é detalhado no apêndice
B. Este período foi escolhido porque abrange a velocidade média de operação do motor para o
tipo da aplicação estudada. São apresentados os resultados referentes a uma revolução
mecânica.
46
Figura 4.7. Velocidade mecânica em relação ao tempo, mostrando o intervalo temporal selecionado para a
análise estática do campo magnético.
O movimento do rotor foi realizado em passos em torno de 3º mecânicos até
completarem-se 360º mecânicos. Esse valor é aproximado, pois para cada intervalo há um
número diferente de pontos (em torno de 400, armazenados em um arquivo de extensão txt)
contendo os resultados temporais, e estes não possuem um espaçamento fixo entre si.
Selecionou-se em torno de 120 pontos, sendo que cada um corresponde a uma
determinada posição, que é nomeada de acordo ao ângulo rotacionado no sentido anti-horário
em relação a posição zero (figura 4.8).
Figura 4.8. Nova divisão do rotor em regiões conforme a alimentação do enrolamento do estator.
47
A figura 4.4 diferencia-se da figura 4.8, pois a primeira está 32,7º adiantada em
relação a segunda (sentido anti-horário), devido à readequação do referencial zero adotado
anteriormente em relação à posição nula utilizada na simulação temporal.
A nova associação da alimentação do enrolamento do estator com o posicionamento
do rotor é mostrada na tabela 4.4.
Tabela 4.4 – Nova alimentação do enrolamento do estator associada com o posicionamento do rotor.
Tipo de Alimentação Posição do Rotor no Primeiro
Ciclo Elétrico
Posição do Rotor no Segundo
Ciclo Elétrico
Alimentação 1 349,5
o
≤ 19,5
o
169,5
o
≤ 199,5
o
Alimentação 2 19,5
o
≤ 49,5
o
199,5
o
≤ 229,5
o
Alimentação 3 49,5
o
≤ 79,5
o
229,5
o
≤ 259,5
o
Alimentação 4 79,5
o
≤ 109,5
o
259,5
o
≤ 289,5
o
Alimentação 5 109,5
o
≤ 139,5
o
289,5
o
≤ 319,5
o
Alimentação 6 139,5
o
≤ 169,5
o
319,5
o
≤ 349,5
o
Nas subseções seguintes são
apresentados os resultados referentes ao intervalo
selecionado que é de 4,00255 s até 4,01955 s.
Primeiramente são apresentados os resultados da simulação temporal, utilizados para a
análise estática no programa computacional baseado no método dos elementos finitos.
São mostrados os resultados comparativos para a máquina existente (protótipo) com o
tamanho do entreferro de 1,35 mm e outra em projeto com o tamanho igual a 0,76 mm.
Os gráficos apresentados correspondem à velocidade mecânica, ao torque de carga, à
corrente elétrica, à tensão induzida, ao torque eletromagnético e às perdas resisitivas e
magnéticas. Todos esses resultados são expostos em relação à posição angular do rotor, com
exceção das perdas no ferro que são em relação ao tipo do projeto correspondente.
48
Também são apresentadas as curvas referentes à densidade de fluxo magnético da
componente normal e gráficos de cores da densidade de fluxo magnético. Esses dados são
importantes para a análise do comportamento magnético dos materiais ferromagnéticos e dos
ímãs permanentes na máquina projetada. Através disso, sugestões de melhorias de
desempenho são propostas, como por exemplo, a substituição de materiais.
São apresentados resultados referentes à alteração dos ímãs de ferrita pelos de NdFeB
(Bonded).
Também é mostrado um novo cálculo de projeto do MTIPR, fornecendo um torque
eletromagnético próximo ao do oferecido pelo protótipo, porém usando ímãs de terras-raras
no rotor. As especificações do enrolamento do estator, como número de espiras e tamanho do
diâmetro, são modificadas, visando uma diminuição das perdas resistivas.
Todos esses resultados são provenientes do programa FEMM, utilizando-se linguagem
Lua Scripting para a automação dos cálculos. Foram armazenados em arquivos no formato txt
e são apresentados em forma de gráficos, que foram obtidos através do software Matlab
®
.
4.2.1 Sem a Realização de Alterações do Projeto do MTIPR
Nesta subseção são apresentados os resultados obtidos pela simulação temporal
realizada por (GONELLA, 2006), que são dados essenciais para a realização de todos os
cálculos deste trabalho.
São mostrados os resultados obtidos pelo programa computacional FEMM,
inicialmente, sem constar nenhuma alteração de projeto do MTIPR. É através da análise
desses resultados que melhorias de desempenho são propostas.
49
Também é apresentada a comparação da tensão induzida obtida experimentalmente,
por (TEIXEIRA, 2006), com a calculada pelo software FEMM. Essa medida é importante
para a verificação se a configuração, da geometria e dos materiais, está feita corretamente no
programa computacional, baseado no método dos elementos finitos.
A figura 4.9 ilustra a velocidade mecânica em relação à posição angular do intervalo
selecionado, obtida pela simulação temporal.
Figura 4.9. Velocidade mecânica.
A figura 4.10 é o torque de carga, mostrando a compressão e a sucção do pistão do
sistema de refrigeração, em uma revolução mecânica.
Figura 4.10. Torque de carga.
50
A corrente elétrica, por fase, obtida pela simulação temporal realizada por
(GONELLA, 2006) é mostrada na figura 4.11. Ela é utilizada para realizar a alimentação do
enrolamento do estator, no programa computacional FEMM. Todos os resultados
apresentados neste trabalho são conseqüências dessa alimentação.
Figura 4.11. Corrente elétrica.
Na figura 4.12 é ilustrada a comparação entre a tensão induzida obtida pelo software
baseado no método dos elementos finitos e a obtida experimentalmente por (TEIXEIRA,
2006). Ambas possuem a mesma forma de onda e o valor eficaz da força contra-eletromotriz
calculada é inferior em torno de 3%.
51
Figura 4.12. Comparação da tensão induzida obtida pelo software baseado no método dos elementos
finitos com a obtida experimentalmente.
A figura 4.13 mostra o torque eletromagnético obtido pela simulação temporal e o
obtido pelo software FEMM. Ambas as curvas possuem a forma de onda semelhante, e deve-
se ressaltar que esses resultados foram obtidos por abordagens diferentes.
O valor eficaz do torque, obtido pela simulação temporal, é em torno de 2,6% maior
que o obtido pelo programa computacional FEMM. Observa-se que a sua maior magnitude
refere-se à posição 633,6º elétricos.
Figura 4.13. Comparação do torque eletromagnético obtido pelo software baseado no método dos
elementos finitos com o obtido pela simulação temporal.
52
A densidade de fluxo magnético da componente normal, da região central do
entreferro (figura 4.14), é mostrada nas figuras 4.15 - 4.20. Cada curva representa um estado
da alimentação, abrangendo os dois ciclos elétricos, durante uma revolução mecânica.
Figura 4.14. Região central do entreferro em que são obtidas as curvas da densidade de fluxo magnético da
componente normal.
A figura 4.15.a é a densidade de fluxo magnético da componente normal com o rotor
na posição 0,1º mecânicos e a 4.15.b na posição 33.9º mecânicos.
a) b)
Figura 4.15. Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição 0,1º; b) Posição 33,9º.
53
a) b)
Figura 4.16. Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição 71,9º; b) Posição 101,4º.
a) b)
Figura 4.17. Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição 135,2º; b) Posição 169,0º.
Observa-se que as magnitudes da indução magnética estão de acordo com a disposição
dos ímãs e que que as formas de onda das curvas são semelhantes. Além disso, os valores da
densidade de fluxo magnético, nos espaços vazios entre os ímãs, são próximos a zero e
exatamente nulos na região central dessas localidades.
54
a) b)
Figura 4.18. Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição 198,6º; b) Posição 228,2º.
a) r b)
Figura 4.19. Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição 257,8º; b) Posição 287,3º.
a) b)
Figura 4.20. Densidade de fluxo magnético da componente normal: a) Posição 316,8º; b) Posição 346,3º.
As figuras 4.19.a e 4.19.b referem-se às posições em que a densidade de fluxo
magnético atravessa a região central do ímãs, ocorrendo uma redução das ondulações.
55
A observação realizada anteriormente pode ser mais bem entendida analisando-se os
gráficos de cores da densidade de fluxo magnético correspondentes às posições 257,8º e
287,3º, mostrados nas figuras 4.21 e 4.22.
Figura 4.21. Densidade de fluxo magnético da posição 257,8º.
Figura 4.22. Densidade de fluxo magnético da posição 287,3º.
A figura 4.23 mostra o rotor na posição 316,8º mecânicos, que apresentou as maiores
magnitudes de densidade de fluxo magnético e conseqüentemente o maior valor de torque
eletromagnético. Nas demais subseções os gráficos de cores e da densidade de fluxo
magnético da componente normal são apresentados para essa posição do rotor.
56
Figura 4.23. Densidade de fluxo magnético da posição 316,8º, com entreferro de 1,35 mm e ímãs de ferrita.
Observando-se a figura 4.23, nota-se que a densidade de fluxo magnético entre as
ranhuras não ultrapassa 1,2 T. Isso possibilita a alteração do material dos ímãs, desde que os
limites de saturação do material ferromagnético sejam respeitados.
4.2.2 Referentes a Dois Tamanhos de Entreferro
Nesta subseção são apresentados resultados comparativos entre o protótipo existente e
outro em projeto, em que o primeiro possui tamanho de entreferro igual a 1,35 mm e o
segundo 0,76 mm. Essa alteração foi feita porque trata-se do tamanho do entreferro calculado
inicialmente, pois devido à dificuldade de se encontrar ímãs que satisfizessem essa medida
utilizou-se os existentes no mercado.
Essa mudança interfere diretamente nos valores da densidade de fluxo magnético no
entreferro (figura 4.24) e no material ferromagnético (figura 4.25).
57
Figura 4.24. Comparação da densidade de fluxo magnético da componente normal do protótipo (tamanho de
entreferro igual a 1,35 mm) com a do motor em projeto (tamanho de entreferro igual a 0,76 mm).
O valor eficaz da indução magnética do protótipo é em torno de 9% menor que o do
motor em projeto. Essa diferença pode ser observada através da figura 4.24, em que o rotor
está na posição de 316,8º mecânicos.
A densidade de fluxo magnético nos dentes também não ultrapassa 1,2 T, figura 4.25.
Figura 4.25. Densidade de fluxo magnético da posição 316,8º, com o tamanho do entreferro igual a 0,76 mm
e ímãs de ferrita.
58
A alteração da indução magnética tem como conseqüência a alteração da força contra-
elemotriz. A figura 4.26 mostra a comparação da tensão induzida por fase do protótipo
(entreferro igual a 1,35 mm) com o motor em projeto (entreferro igual a 0,76 mm). O valor
eficaz da primeira é em torno de 9% menor que o da segunda.
Figura 4.26. Comparação da tensão induzida experimental, por fase, do protótipo (entreferro igual a 1,35 mm)
com a do motor em projeto (entreferro igual a 0,76 mm) obtida com o software FEMM.
A mudança da força contra-elemotriz resulta na alteração do torque eletromagnético.
A figura 4.27 o compara para os dois tamanhos de entreferro. A magnitude do torque,
referente ao motor com menor entreferro, é em torno de 9% superior em relação ao maior.
Figura 4.27. Comparação do torque eletromagnético d
59
4.2.3 Referentes a Dois Tipos de Ímãs
Após comprovar-se que a densidade de fluxo magnético não ultrapassa 1,2 T entre os
dentes, trocou-se os ímãs de ferrita pelos de NdFeB (Bonded). Nesta subseção, os resultados
referem-se a essa única alteração do projeto do MTIPR, mantendo-se o entreferro de 1,35
mm.
A figura 4.28 compara a densidade de fluxo magnético da componente normal do
protótipo com a do motor em projeto. O valor eficaz da indução magnética do primeiro é em
torno de 25% menor que o do segundo.
Figura 4.28. Comparação da densidade de fluxo magnético da componente normal do protótipo com a do motor
constituído por ímãs de NdFeB (Bonded).
A figura 4.29 mostra a densidade de fluxo magnético, também na posição 316,8º
mecânicos, que não ultrapassa 1,5 T entre os dentes.
60
Figura 4.29. Densidade de fluxo magnético da posição 316,8º, com o tamanho do entreferro igual a 1,35 mm e
ímãs de NdFeB (Bonded).
A comparação da tensão induzida, obtida com a substituição dos ímãs de ferrita pelos
de NdFeB (Bonded), é feita pela figura 4.30. O valor eficaz da força contra-eletromotriz,
referente ao motor com ímas de terras-raras, é aproximadamente 38% maior que o da máquina
com ímãs de ferrita.
Figura 4.30. Comparação da tensão induzida experimental com a resultante da substituição dos ímãs de
ferrita pelos de NdFeB (Bonded).
61
A figura 4.31 apresenta a comparação do torque eletromagnético obtido com a
substituição do ímãs de ferrita pelos de NdFeB (Bonded). O valor eficaz do torque, referente
ao motor com ímas de terras-raras, é cerca de 38% maior que o da máquina com ímãs de
ferrita.
Figura 4.31. Comparação do torque eletromagnético do protótipo com o resultante da substituição dos
ímãs de ferrita pelos de NdFeB (Bonded).
4.2.4 Projeto Refeito do MTIPR
Na subseção anterior foram apresentados os resultados referentes à substituição dos
ímãs de ferrita pelos de NdFeB (Bonded). Através da análise da densidade de fluxo magnético
nos dentes do estator, observou-se que a indução magnética não ultrapassou 1,5 T.
Portanto, um novo projeto do MTIPR poderia ser feito, conservando-se a alteração dos
ímãs permanentes e recalculando-se a bitola do fio e o número de espiras do enrolamento,
mantendo-se o valor eficaz do torque eletromagnético próximo ao do fornecido pelo
protótipo. Com isso, um estudo da redução das perdas no cobre pode ser realizado.
A seguir são apresentados os cálculos do projeto refeito do motor, baseados nas teorias
e nas equações apresentadas no capítulo 3.
62
4.2.4.1 Cálculos do Projeto Refeito do MTIPR
Para a realização dos cálculos, referentes ao enrolamento e à geometria do rotor,
algumas especificações técnicas são definidas de acordo com (TEIXEIRA, 2006), alterando-
se o material dos ímãs permanentes e o tamanho do entreferro:
• Motor trifásico;
•
Número de pólos igual a 4;
•
Tamanho de entreferro igual a 0,76 mm;
•
Estator oriundo de um motor de indução monofásico;
•
Temperatura de operação igual a 60º C;
•
Ímãs de NdFeB (Bonded);
•
A velocidade mecânica máxima é de 471,24 rad·s
-1
;
•
Área magnética do pólo igual a 1,604·10
-3
m
2
;
•
Área aproximada de cada ranhura é de 100,6 mm
2
;
•
Tensão de barramento igual a 300 V.
Para o cálculo da espessura dos ímãs de terras-raras, o coeficiente de permeância foi
definido igual a 10:
6,71076,0 =⋅=⋅= PCgL
m
mm
(31)
O valor do arco do ímã manteve-se em 85º mecânicos, facilitando-se a montagem do
rotor e objetivando-se a mínima dispersão de fluxo entre os ímãs.
Para o prosseguimento dos cálculos é necessária a determinação da densidade de fluxo
magnético, no ponto de operação em circuito aberto, que é obtida através da figura 4.32.
63
Figura 4.32. Curvas do ímã NdFeB (Bonded), (NEOMAX, 2006).
Observando-se a figura 4.32 define-se B
M
igual a 0,6 T, para o coeficiente de
permeância igual a 10 e temperatura de operação de 60º C.
O diâmetro do rotor, sem os ímãs em sua superfície, é calculado pela equação (32).
27,446,7276,0299,6022
_
=⋅−⋅−=⋅−⋅−=
meir
LgDD mm
(32)
O fluxo magnético por pólo é calculado através da equação (33).
43
10546,96,010604,1
−−
⋅=⋅⋅=⋅=
MmPólo
BA
φ
Wb
(33)
64
A constante da força contra-eletromotriz é obtida pela equação (34).
573,0
24,471111,1
300
=
⋅
=
⋅
=
máx
cc
e
n
V
k
ω
Vs rad
-1
(34)
O número total de condutores (Z) é determinado pela equação (35).
7,785
410546,9
573,0
9,0
1
5,1
1
5,1
4
=
⋅⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
−
π
φ
π
P
k
C
Z
Pólo
e
(35)
O
número de espiras de cada bobina (N
espiras
) é determinado pela equação (36).
4,65
34
7,785
=
⋅
=
⋅
=
aeBobinasFas
espiras
NN
Z
N
(36)
O diâmetro do fio é calculado através da equação (37).
04,1
65
7,06,100
=
⋅
=
⋅
=
Espiras
PRanhura
Fio
N
FA
D
mm
(37)
O diâmetro de 1,04 mm corresponde à bitola 17 (AWG).
65
4.2.4.2 Resultados Referentes ao Projeto Refeito do MTIPR
São apresentados os resultados referentes ao projeto refeito do MTIPR.
A comparação da densidade de fluxo magnético da componente normal do protótipo
com a do projeto refeito da máquina é mostrada pela figura 4.33.
Figura 4.33. Comparação da densidade de fluxo magnético da componente normal do protótipo
com a do projeto refeito do MTIPR.
O valor eficaz da indução magnética do projeto refeito do MTIPR é aproximadamente
35% maior que o do protótipo.
66
A figura 4.34 é o gráfico de cores da densidade de fluxo magnético da posição 316,8º
mecânicos, referente ao projeto refeito do MTIPR. A indução magnética não ultrapassa
1,5 T entre os dentes.
Figura 4.35. Comparação da tensão induzida do protótipo com a do projeto refeito do MTIPR .
A figura 4.35 mostra a comparação da tensão induzida, por fase, do protótipo com a do
projeto refeito do motor. O valor eficaz da primeir
67
A figura 4.37 compara as perdas no cobre do protótipo com as do projeto refeito do
MTIré6.q1.9733(R6.q1417002,.)-0.441005 .ifrio -fsere3 ’-27.6001 LT*[8(4)-02950224(.)-0447.8012p . 5p r(s)-1230335ti is s é6i sTrIs
68
Figura 4.38. Estimativa das perdas no ferro referentes ao: 1) Protótipo; 2) Entreferro de tamanho igual a
0,76 mm; 3) Rotor com ímãs de NdFeB (Bonded); 4) Projeto refeito.
Comparando-se as perdas totais calculadas em relação ao protótipo, tem-se: que a
obtida referente ao motor com o tamanho de entreferro igual a 0,76 mm é cerca de 25,39%
maior, a do motor com ímãs de NdFeB (
Bonded
) é em torno de 100,56% superior e a do
projeto refeito é aproximadamente 183,09% maior.
Através das perdas calculadas, pode-se fazer uma estimativa da soma das perdas
elétricas e magnéticas das máquinas estudadas neste trabalho:
1) Protótipo: perda resistiva + perda magnética = 27,36 W + 5,26 W = 32,62 W;
2) Motor com tamanho de entreferro igual a 0,76 mm: 27,36 W + 6,59 W = 33,92 W;
3) Máquina com ímãs de NdFeB: 27,36 W + 10,55 W = 37,91 W;
4) Projeto refeito: 6,97 W + 14,84 W = 21,81 W.
Analisando-se os resultados acima, nota-se que mesmo com o aumento da perda
magnética decorrente da troca dos ímãs, a alteração do enrolamento do estator propicia uma
redução da perda resistiva, resultando a soma de ambas menor que a do protótipo,
aproximadamente 33,14%.
69
Capítulo 5
Conclusões e Continuidade do Trabalho
Observou-se que as curvas da tensão induzida, obtidas experimentalmente e calculadas
pelo
software
FEMM, possuem a mesma forma de onda e que os seus valores eficazes são
bem próximos um do outro. Portanto, a geometria da máquina e os seus materiais foram
corretamente configurados no programa computacional baseado no método dos elementos
finitos.
Através da análise dos gráficos de cores referentes ao protótipo, notou-se que a
densidade de fluxo magnético não ultrapassou 1,2 T, possibilitando a alteração do material
dos ímãs, pois os valores da indução magnética não superaram o limite de saturação do
material ferromagnético.
A primeira mudança realizada foi a redução do tamanho do entreferro de 1,35 mm
para 0,76 mm, aumentando o fluxo magnético, resultando em um maior valor de torque
eletromagnético.
A alteração dos ímãs de ferrita pelos de NdFeB (
Bonded
), mantendo-se as demais
características e geometria do MTIPR, teve como conseqüência o aumento em torno de 38%
do torque eletromagnético, sendo que a densidade de fluxo magnético nos dentes não
ultrapassou 1,5 T.
CAPÍTULO 5. CONCLUSÕES E CONTINUIDADE DO TRABALHO
70
Como comprovou-se que os ímãs de terras-raras não saturaram o material
ferromagnético da máquina, foi realizado um novo projeto do MTIPR utilizando-se esse tipo
de ímã. O número de espiras e a bitola dos fios do enrolamento do estator foram recalculados,
para que a máquina fornecesse um valor de torque eletromagnético próximo ao do protótipo.
Com isso, houve uma redução em torno de 292,36% das perdas no cobre e um aumento
aproximadamente de 64,55% das perdas magnéticas, e a soma de ambas ficou inferior cerca
de 33,14% em relação ao protótipo.
Portanto, através da análise do campo magnético, utilizando-se uma programa
computacional baseado no método dos elementos finitos, melhorias como, por exemplo, o
aumento do torque eletromagnético podem ser comprovadas diminuindo-se o tamanho do
entreferro e trocando-se o material do ímã por outro de maior energia. Além disso, o projeto
pode ser refeito objetivando-se determinadas características, como a redução das perdas
resistivas.
A importância deste tipo de estudo é a possibilidade de observação do comportamento
magnético da máquina, como a densidade de fluxo magnético e a tensão induzida, que são
conseqüências da geometria e dos materiais selecionados para o projeto.
Uma análise interessante que deve ser feita, futuramente, em elementos finitos é a
temporal, que possui uma formulação diferente da apresentada neste trabalho e possibilita o
cálculo instântaneo e refinado das perdas magnéticas.
Diferentes materiais ferromagnéticos, comumente chamados de aços elétricos, e um
novo projeto de estator, devem ser estudados, no sentido de melhorar o desempenho da
máquina.
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APÊNDICE A - Materiais Magnéticos
As propriedades magnéticas de um meio são caracterizadas por um fenômeno
chamado polarização (equação 38), que ocorre quando um momento de dipolo magnético é
induzido na presença de um campo magnético externo em um dado meio (ABELE, 1993).
P
MHB
r
r
r
+=
0
µ
(38)
Onde:
P
M
r
é o vetor de densidade de polarização magnética [T];
0
µ
é a permeabilidade magnética do vácuo [H·m
-1
].
No espaço livre e em materiais não magnéticos o vetor de densidade de polarização
magnética é igual a zero (ABELE, 1993). Este vetor consiste na soma do vetor de polarização
permanente (resultado do processo de magnetização) com o vetor de polarização induzida
pelo campo magnético.
mP
MMM
r
r
r
+=
0
(39)
Onde:
m
M
r
é o vetor de densidade de polarização magnética induzida pelo campo magnético [T];
0
M
r
é o vetor de densidade de polarização magnética devido a polarização permanente [T].
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
76
A polarização induzida (para meios isotrópicos) é proporcional ao campo magnético
aplicado (equação 40), enquanto a polarização permanente é independente da intensidade do
campo magnético (também referenciada como remanência).
→
⋅⋅= HM
mm
χµ
0
r
(40)
Sendo:
1
−=
rm
µχ
(41)
Onde:
m
χ
é a susceptibilidade magnética;
µ
r
é a permeabilidade relativa.
Substituindo-se a equação (41) na equação (40), tem-se:
HHM
rm
r
r
r
00
µµµ
−=
(42)
Substituindo-se a equação (42) na equação (38), pode-se escrevê-la da seguinte forma:
HMHMB
r
r
r
r
r
r
µµµ
+=+=
000
(43)
A polarização permanente é resultado do processso de magnetização do campo
externo, que consiste no alinhamento dos momentos magnéticos, gerando um campo
magnético.
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
77
Esse campo gerado pode ser pequeno, tendendo a reduzir o campo aplicado (materiais
diamagnéticos), ou somar-se ao campo externo (materiais paramagnéticos), e pode ser
elevado (materiais ferromagnéticos). Assim, existem três tipos básicos de materiais
magnéticos: diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos.
A.1 Materiais Diamagnéticos
A classe dos materiais diamagnéticos é a maior de todas, abrangendo todas as
moléculas orgânicas, todos os gases nobres, os metais nobres (bismuto, zinco, mercúrio e
outros) e não metais como o enxofre e o iodo (WAGNER, 1972).
Os materiais diamagnéticos não apresentam um momento magnético externo e,
quando submetidos a um campo magnético, produzem o seu próprio campo de polaridade
oposta (magnetismo negativo).
“O diamagnetismo é resultado do movimento orbital dos elétrons que, circulando ao
redor do núcleo, formam um anel eletrônico de corrente e produzem um campo magnético”.
(FARIA, 2005, p. 20). Para cada órbita têm-se dois elétrons circulando em direções opostas,
por isso não há a geração de um campo magnético externo ao material.
Na presença de um campo magnético externo, o emparelhamento de dois elétrons
girando em sentidos opostos é desbalanceado, por isso o momento magnético não é mais nulo.
De acordo com a lei de Lenz, no sentido de evitar qualquer mudança no campo magnético
produzido pelo átomo, haverá uma mudança de velocidade dos elétrons como reação contrária
ao campo magnético externo.
“O diamagnetismo é uma propriedade de todos os materiais, mas como é um efeito
relativamente fraco, ele só pode ser facilmente observado nos materiais que não sejam
também paramagnéticos.” (FARIA, 2005, p. 21).
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
78
A susceptibilidade magnética dos materiais diamagnéticos é negativa (
χ
m
<0) e a
permeabilidade magnética relativa é pouco menor que a unidade (
µ
r
<1).
A.2 Materiais Paramagnéticos
Os materiais paramagnéticos possuem os elétrons de seus átomos desemparelhados
(número ímpar de elétrons). Por isso, mesmo na ausência de um campo magnético externo,
eles possuem um momento magnético.
Existem átomos com um número atômico elevado e com um número ímpar de
elétrons, que apresentam diamagnetismo ao invés de paramagnetismo, como o bismuto.
Na presença de um campo magnético externo, os elétrons desemparelhados produzirão
o seu próprio campo magnético, devido ao seu movimento de rotação (spin) e ao seu
momento angular orbital. No sentido de evitar qualquer mudança do campo magnético,
tentando manter os dipolos atômicos dispostos aleatoriamente, a agitação térmica dos átomos
se opõe ao campo aplicado.
Exemplos de substâncias paramagnéticas: ar, sódio, alumínio, lítio, neodímio e outros.
A permeabilidade magnética relativa dos materiais paramagnéticos é pouco superior a
unidade (
µ
r
>1), e a susceptibilidade magnética é positiva (
χ
m
>0) e diminui com a
temperatura.
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
79
A.3 Materiais Ferromagnéticos
Em decorrência ao desemparelhamento dos elétrons, os materiais paramagnéticos e
ferromagnéticos possuem um momento magnético externo, mas apenas os ferromagnéticos
apresentam a formação de domínios magnéticos, que são regiões em que há o predomínio de
apenas um alinhamento magnético (figura A.1).
Figura A.1. Representação da estrutura dos domínios magnéticos dispostos aleatoriamente em um material
policristalino. Neste caso cada grão monocristalino contém um único domínio magnético. Nesta condição o
material está desmagnetizado, ou seja, não produz um campo magnético externo (FARIA, 2005).
Conforme o alinhamento dos momentos magnéticos atômicos, os materiais
ferromagnéticos podem existir tanto no estado magnetizado quanto no desmagnetizado
(FARIA, 2005). Quando todos os momentos magnéticos dos domínios estão alinhados na
mesma direção do campo magnético externo, tem-se a densidade de fluxo magnético saturada.
Conhecendo-se a estrutura cristalina do material, pode-se calcular a magnetização de
saturação. Sabendo-se que a densidade do ferro (
ρ
[Kg m
-3
]) é 7,86
×
10
3
e a sua massa
atômica (
Z
[Kg]) é igual a 55,85
×
10
-3
, tem-se (FARIA, 2005):
28
3
323
1047,8
)1085,55(
)1086,7()1002,6(
×=
×
×⋅×
=
⋅
=
−
Z
N
n
A
ρ
átomos m
-3
(44)
Onde:
n
é o número de átomos por unidade de volume [átomos·m
-3
];
N
A
é o número de Avogrado [mol
-1
].
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
80
O momento de dipolo magnético de um elétron na primeira órbita é chamado de
magnéton de Bohr (
µ
B
[Am
2
]) e é dado por (FARIA, 2005):
24
31
3419
1027,9
)1011,9(4
)1063,6()106,1(
4
−
−
−−
×=
×⋅⋅
×⋅×
=
⋅⋅
⋅
=
π
π
µ
e
B
m
he
Am
2
(45)
Onde:
e
é a carga do elétron [C];
h
é a constante de Planck [J s];
m
e
é a massa do elétron [Kg].
Como o número de magnétons de Bohr por átomo (
n
B
) é igual a 2,2 no caso do ferro, a
magnetização de saturação (
M
S
[A/m]) é então dada por (FARIA, 2005):
62428
1073,1)1027,9()2,2()1047,8( ×=×⋅⋅×=⋅⋅=
−
BBS
nnM
µ
A/m
(46)
Se a densidade do fluxo magnético do ferro exceder aproximadamente 1,6-1,7 T a
permeabilidade magnética decresce rapidamente (HENDERSHOT; MILLER, 1994). A
densidade do fluxo magnético de saturação (
B
S
[T]), correspondente à magnetização do ferro,
é dada por:
18,21073,1)104(
67
0
=×⋅×=⋅=
−
πµ
SS
MB
T
(47)
Em 2,1 T a permeabilidade magnética do ferro é praticamente a permeabilidade do ar
(HENDERSHOT; MILLER, 1994). Os projetos de máquinas elétricas devem assegurar que a
densidade de fluxo magnético não exceda 1,6 – 1,7 T.
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
81
Outras razões para limitar a densidade do fluxo magnético no ferro são as perdas
causadas por correntes parasitas e por histerese, que crescem rapidamente com o seu aumento.
Exemplos de substâncias ferromagnéticas: ferro fundido, ferro puro, ferro silício,
níquel, cobalto e outros.
Os materiais ferromagnéticos acima de uma temperatura crítica, chamada temperatura
de Curie, comportam-se como uma substância paramagnética, pois há uma redução na
intensidade de magnetização.
A susceptibilidade magnética e a permeabilidade magnética relativa dos materiais
ferromagnéticos são bem superiores à unidade (
χ
m
>> 1 e
µ
r
>>1).
Relacionados ao ferromagnetismo existem outros dois comportamentos magnéticos:
antiferromagnetismo e ferrimagnetismo. No primeiro caso, os momentos magnéticos
assumem orientações antiparalelas, apresentando um magnetismo externo praticamente zero.
Um exemplo de uma substância antiferromagnética é o óxido de manganês. No segundo caso,
existem íons magnéticos desiguais que também se orientam antiparalelamente, mas devido à
diferença entre eles a magnetização resultante não é nula. Esses materiais apresentam uma
baixa condutividade, quando comparados aos ferromagnéticos. Um exemplo de um material
ferrimagnético é a ferrita.
A
B
C
Figura A.2. Representação ilustrativa das orientações dos momentos de dipolo magnético:
(A) ferromagnetismo, (B) antiferromagnetismo e (C) ferrimagnetismo (FARIA, 2005).
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
82
A.3.1 Curva de Histerese Magnética
Aplicando-se um campo magnético (
H
m
[A m-
1
]) em um material ferromagnético até a
sua saturação e, em seguida retirando-se esse campo, observa-se que a densidade de fluxo
magnético não decresce tão rapidamente quanto aumentou na magnetização inicial (figura
A.3). Quando a intensidade do campo magnético se anula, ainda há a existência de uma
densidade residual, ou remanência (
B
r
[T]).
Para anulá-la, deve-se aplicar um campo desmagnetizante, que é chamado de força
coercitiva (
-H
C
[A m
-1
]). Aumentando-se o campo desmagnetizante, obtém-se uma curva de
magnetização com polaridade oposta à inicial, e o processo repete-se originando uma curva
fechada, conhecida como curva de histerese.
Figura A.3. Ciclo de histerese.
Os materiais que possuem uma alta coercividade são denominados materiais
magneticamente duros, como os ímãs permanentes, e os que possuem uma baixa coercividade
são denominados materiais magneticamente moles, como o ferro.
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
83
A.3.2 Ímãs Permanentes
Alguns materiais ferromagnéticos, após serem submetidos a um campo magnético,
permanecem magnetizados, mesmo se esse campo for retirado.
A.3.2.1 Remanência
Aplicando-se um campo magnético em um material até atingir a saturação, e em
seguida, retirando-o, a densidade de fluxo magnético não se anula, restando a densidade de
fluxo residual ou a remanência. Quanto maior for essa propriedade magnética, maior será o
campo magnético produzido pelo ímã.
A.3.2.2 Coercividade Intrínseca
A coercividade intrínseca representa a resistência de desmagnetização de um material.
Por isso, quanto maior for essa propriedade de um ímã permanente, maior será a dificuldade
em desmagnetizá-lo.
“A coercividade está intimamente relacionada com a movimentação das
paredes do domínio no material magnético. Para os domínios crescerem, as
paredes devem se mover, de tal forma que, os domínios orientados
favoravelmente na direção do campo aplicado, se expandam.
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
84
Os ímãs permanentes devem ser preparados com uma microestrutura que
impeça o movimento das paredes de domínio magnético ou que dificulte o
aparecimento de domínios reversos. O processo mais antigo para adequar a
microestrutura foi o de trabalho a frio dos aços magnéticos, por meio do qual
o endurecimento com tensões introduz discordâncias que imobilizam ou
bloqueiam as paredes do domínio. Com isto, obtinha-se uma alta remanência,
assim como um campo coercitivo elevado (FARIA, 2005, p. 63)”.
A.3.2.3 Produto de Energia
O produto da densidade de fluxo magnético pela intensidade de campo magnético
(produto BH) tem dimensões da densidade de energia. Através da curva de desmagnetização
indutiva (
B
×
H
) (figura A.4) obtém-se o produto BH para qualquer ponto
P
através do cálculo
da área do retângulo sombreado. O valor máximo do produto BH determina a qualidade do
ímã, pois quanto maior for o seu valor, menor será o volume deste material para a produção
de um certo campo magnético.
Figura A.4. Curva de desmagnetização.
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
85
A.3.2.4 Fator de Quadratura
O fator de quadratura (FQ) é um indicador da estabilidade de um ímã permanente face
à desmagnetização (FARIA, 2005). Ele é obtido através do segundo quadrante da curva de
desmagnetização intrínseca (figura A.5) e é calculado através da equação (48).
Figura A.5. Determinação do campo H
K
a partir de uma curva de desmagnetização intrínseca (FARIA, 2005).
C
K
H
H
FQ =
(48)
Onde:
H
C
é a coercividade intrínseca [A m
-1
];
H
K
é intensidade do campo magnético responsável pela redução de 10% da remanência
[A m
-1
].
Quanto mais próximo da unidade estiver o fator de quadratura, maior a estabilidade de
um ímã quando submetido a um campo desmagnetizante. Fisicamente, este fator representa o
número de grãos magnéticos que compõe o ímã permanente, que já reverteu sua magnetização
devido à aplicação do campo desmagnetizante. Desta forma, um ímã ideal seria aquele no
qual os grãos reverteriam concomitantemente sua magnetização para um dado valor do campo
magnético reverso (FARIA, 2005).
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
86
A.3.2.5 Tipos de Ímãs Permanentes
Os materiais magnéticos avançaram tecnologicamente a partir da década de 30:
1930: foram desenvolvidas as ligas do tipo alumínio-níquel-cobalto (Alnico);
1952: foram desenvolvidas as ferritas de bário;
1970: foram desenvolvidas as ligas de cobalto e terras-raras;
1983: surgiu a liga neodímio-ferro (NdFe), que posteriormente foi aperfeiçoada com a
introdução do boro (B), formando a liga magnética NdFeB.
Esses avanços tecnológicos possibilitaram a fabricação dos ímãs permanentes que
estão inseridos em diferentes aplicações. Existem basicamente quatro tipos deles: alnico,
ferrita, samário-cobalto e neodímio-ferro-boro.
A.3.2.5.1 Alnico
Os ímãs de alnico são resistentes à corrosão e podem ser utilizados em aplicações que
encontram-se em elevadas temperaturas (550
o
C). São fabricados pelo processo de fundição e
possuem uma geometria simplificada.
As propriedades magnéticas do alnico são mostradas na tabela A.1.
Tabela A.1 – Propriedades magnéticas do alnico.
Material Remanência
[T]
Coercividade
Intrínseca [kA m
-1
]
Produto de
Energia Máximo
[kJ m
-3
]
Temperatura
de Curie
[
o
C]
Alnico
0,65 – 1,28 43,80 – 121,00 11,10 – 42,10 890,00
Fonte: CIBAS (2006).
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
87
A.3.2.5.2 Ferrita
Os ímãs de ferrita também são conhecidos como cerâmicos (não metálicos). São
formados sinterizando misturas de óxidos metálicos (
K
O
×
6Fe
2
O
3
), podendo
K
ser estrôncio
(Sr), bário (Ba) ou chumbo (Pb). São resistentes à corrosão, aos ácidos, aos sais e aos gases.
Apresentam uma alta resistividade elétrica e possuem a temperatura máxima de trabalho de
250
o
C. São os ímãs de menores custos comparados aos demais.
As propriedades magnéticas da ferrita dependem da sua constituição e do seu
tratamento térmico, são mostradas na tabela A.2.
Tabela A.2 – Propriedades magnéticas da ferrita.
Material Remanência
[T]
Coercividade
Intrínseca [kA m
-1
]
Produto de
Energia Máximo
[kJ m
-3
]
Temperatura
de Curie
[
o
C]
Ferrita
0,20 – 0,44 132,00 – 382,00 6,40 – 35,00 450,00
Fonte: CIBAS (2006).
A densidade do fluxo magnético produzida no entreferro (
B
g
[T]), por ímãs de ferrita
em motores síncronos, pode ser estimada pela equação (49)
(GIERAS; WING, 2002).
rg
BB
⋅≈ )7,03,0(
K
(49)
A.3.2.5.3 Samário-Cobalto e Neodímio-Ferro-Boro
Os ímãs de Samário-Cobalto (SmCo
5
) formam a primeira geração de ímãs à base de
terras-raras e de metais de transição. Já a segunda foi desenvolvida com os compostos do tipo
Sm
2
Co
17
, com adições de ferro e cobre (FARIA, 2005). A terceira é constituída pelos ímãs à
base de neodímio-ferro-boro, que foram desenvolvidos sem a adição do cobalto, que na
década de 70 tinha um alto custo.
APÊNDICE A – MATERIAIS MAGNÉTICOS
88
As propriedades magnéticas desses ímãs são mostradas na tabela A.3.
Tabela A.3 – Propriedades magnéticas do samário-cobalto e do NdFeB.
Material Remanência
[T]
Coercividade
Intrínseca [kA m
-1
]
Produto de Energia
Máximo [kJ m
-3
]
Temperatura
de Curie
[
o
C]
SmCo
0,95 - 1,14 420,00 – 1592,00 159,00 – 256,00 770,00
Nd
15
Fe
77
B
8
1,04 – 1,46 807,60 – 2388,00 207,00 – 406,00 310,00
Fonte: CIBAS (2006).
A.3.3 Ligas Magnéticas de Ferro-Silício
As ligas magnéticas de ferro-silício são utilizadas na fabricação dos rotores e dos
estatores das máquinas elétricas, pois a adição do silício ao ferro aumenta a resistividade
elétrica, causando a diminuição de perdas por correntes de Foucault e por histerese.
Essas ligas contêm até 6,5% de silício e algumas impurezas (carbono, enxofre, fósforo
e manganês) associadas ao ferro.
As propriedades magnéticas e a resistividade elétrica das ligas de ferro-silício (Fe-Si)
dependem de suas constituições e dos tratamentos térmicos a que foram submetidas.
Na tabela A.4 são apresentadas as propriedades magnéticas da liga Fe-Si.
Tabela A.4 – Propriedades magnéticas da liga Fe-Si.
Material Permeabilidade
Relativa Inicial
Perdas por Histerese
para B
máx
=1,5 T
Magnetização
de Saturação [T]
Fe-3% Si 500 200 2
Fe-3% Si - Grão orientado 15000 50 2
Fonte: CIBAS (2006)
APÊNDICE B – Campos Magnéticos Estáticos e o Método
dos Elementos Finitos
A Lei de Ampère associa a corrente elétrica com a intensidade de campo magnético, e
a sua equação diz que a integral de linha da componente tangencial da intensidade de campo
magnético sobre um percurso l fechado é igual à corrente envolvida por esse caminho.
(
)
IdH
=⋅
∫
l
l
r
r
(50)
Onde:
l
r
d
é um elemento infinitesimal do caminho percorrido [m];
H
r
é o vetor de intensidade de campo magnético [A m
-1
];
I
é a corrente elétrica [A];
l
é o caminho total percorrido [m].
Aplicando-se o Teorema de Stokes ao primeiro membro da equação (50), tem-se:
(
)
∫∫
⋅=⋅∇
SS
SdJSdHx
r
r
r
r
r
(51)
Onde:
Sd
r
é um elemento infinitesimal de área [m
2
];
J
r
é a densidade de corrente [A m
-2
];
S
é a área delimitada pelo caminho fechado
l
[m
2
].
Pode-se escrever a Lei de Ampère na forma vetorial:
JH
r
r
r
=×∇
(52)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
90
A intensidade de campo magnético depende apenas da corrente e é independente do
meio. O campo de forças associado a
H
r
[A m
-1
] é a densidade de fluxo magnético
B
r
[T], que
é dado por:
HB
r
r
⋅=
µ
(53)
e tendo-se:
µυ
1=
(54)
tem-se:
JB
r
r
r
=×∇ )(
ν
(55)
Onde:
B
é a densidade de fluxo magnético [T];
ν é a relutividade [m H
-1
];
µ
é a permeabilidade magnética [H m
-1
].
O fluxo magnético (
Φ
[Wb]) através de uma superfície é definido como:
∫
⋅=Φ
S
SdB
r
r
(56)
Deve-se observar que as linhas do fluxo magnético são percursos fechados, sem um
ponto inicial ou final. Isto contrasta com o fluxo elétrico que se origina nas cargas positivas e
termina nas negativas. Portanto, os campos
B
r
não possuem fontes ou sorvedouros, o que é
matematicamente expresso por:
0=⋅∇ B
r
r
(57)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
91
Sabe-se do cálculo vetorial que para qualquer função vetorial
Φ
, pode-se escrever:
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
92
Com estas simplificações o potencial magnético, inicialmente apresentado como um
vetor, passa a ser tratado como uma função escalar, conforme equação (62), conhecida como
equação de Poisson não linear.
Se a relação entre B e H for linear,
ν
independe de A, e por isso pode ser isolada na
equação (62), (ALCANTARA, 1985):
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
93
a) b)
Figura B.1. a) Circuito genérico percorrido pela corrente i;
b) Conjunto de malhas (ALCANTARA, 1985).
Observando-se a figura B.1 b, nota-se que se cada malha conduzir uma corrente igual
à do contorno, não haverá corrente no interior do conjunto de malhas, pois elas se cancelam,
restando apenas a do contorno.
As malhas de corrente podem ser aproximadas por dipolos magnéticos, e a energia
associada a uma distribuição de corrente pode ser obtida através do cálculo do trabalho para
se estabelecer a distribuição de dipolos equivalentes.
O trabalho realizado para girar um dipolo de um ângulo
δθ
, contra o seu binário, é
expresso pela equação (65).
δθ
δ
TW
=
(65)
θθδθδ
dsenBsiBmW ⋅⋅∆⋅=×=
r
r
(66)
Onde:
m
r
é o vetor momento magnético [A·m
2
];
i é a corrente da malha [A];
T é o torque [Nm];
W é trabalho [J];
∆
s é a área da malha do dipolo elementar [m
2
].
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
94
A energia total é expressa pela equação (67).
∫
Φ⋅=⋅⋅∆⋅=⋅⋅∆=∆ iBsidsenBsiW
θθθ
cos
(67)
“Calcula-se a energia mais simplesmente por uma maneira semelhante a que
é empregada na eletrostática: imaginando-se todos os dipolos, representados
por pequenas argolas, reunidos em seus lugares, com orientação correta, mas
com todas as correntes mantidas nulas. Evidentemente, não se requer
nenhuma energia para se proceder assim. Todas as correntes são então
lentamente elevadas aos seus valores finais (ALCANTARA, 1985, p. 21)”.
“Todos os fluxos devem elevar-se em proporção às correntes. Em alguma fase do
processo, os fluxos dos dipolos terão valores
K
hΦ e as correntes
K
hi , onde h é algum número
entre zero e a unidade”. (ALCANTARA, 1985, p. 21).
Elevando-se as correntes, aumenta-se a energia:
∑
∑
Φ=⋅Φ=
K K
KKKK
ihdhdhihdW
(68)
Integrando-se em h, encontra-se a energia total:
∫
∑∑
⋅Φ=⋅Φ=
1
0
2
1
K
KK
K
KK
iihdhW
(69)
Sabendo-se que:
∫∫∫
=∇=⋅=Φ
lSS
ldASdAxSdB
r
r
r
r
r
r
)(
(70)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
95
i
K
= J
K
dS (71)
i dl = J dS dl = J dU (72)
Substituindo-se as equações (70), (71) e (72) na (69), tem-se:
∑
∫
⋅=
l
KKK
dUJAW
r
r
2
1
(73)
“Desde que o integrando seja zero em todas as porções do espaço não
incluídos na equação (73), pode-se estender a região de integração para todo
o espaço, pois nenhuma contribuição adicional será acrescentada e, pode-se
escrever a equação (73) com uma notação simplificada”. (ALCANTARA,
1985, p. 23):
∑
∫
⋅=
l
dUJAW
r
r
2
1
(74)
Da Lei de Ampère, tem-se:
JH
r
r
=×∇
(75)
Substituindo-se a equação (75) na (74):
∫
×∇⋅= dUHAW
r
r
2
1
(76)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
96
Utilizando-se a identidade vetorial:
AHHAAH
r
r
r
r
r
r
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ )(
(77)
Tem-se a expressão para a energia:
∫ ∫ ∫
×∇⋅+×⋅∇=⋅= dUAHdUAHdUJAW
r
r
r
r
r
r
2
1
)(
2
1
2
1
(78)
Rearranjando-se a equação (78):
∫ ∫∫
⋅−⋅=×⋅∇ dUBHdUJAdUAH
r
r
r
r
r
r
2
1
2
1
)(
2
1
(79)
Quando a superfície é estendida a distâncias suficientemente grandes o primeiro termo
da equação (79) é nulo:
∫ ∫
⋅=⋅
V V
dUBHdUJA
v
r
r
r
2
1
2
1
(80)
B.2 Funcional de Energia para Campos Magnéticos no Plano
Devido ao fluxo magntco no entrefero do motor ser idimensol o cam
magnéco amm tem mesmo comortamento (simeria aar)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
97
Figura B.2. Representação de um campo magnético bidimensional.
Devido ao comportamento bidimensional do campo magnético, as integrais espaciais
da equação (80) podem ser substituídas por integrais no plano:
∫ ∫
⋅=⋅
S S
BdSHJdSA
2
1
2
1
(81)
O termo do lado direito da equação (81) representa a densidade de energia (w [J
m
-3
])
e pode ser escrito como:
∫
=
B
BdBw
0
ν
(82)
Substituindo-se a equação (82) na (81), obtém-se:
0
2
1
)(
0
=⋅−
∫ ∫∫
dSJAdSBdB
B
SS
ν
(83)
Subtraindo-se
⋅
∫
S
JdSA
2
1
de ambos os membros, tem-se:
dSJABdBJdSA
B
SS
))((
2
1
0
⋅−=⋅−
∫∫∫
ν
(84)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
98
Desse modo o funcional de energia F é obtido:
∫∫
−=
B
S
dSAJBdByxAF
0
)()),((
ν
(85)
A minimização do funcional deve obedecer às condições de contorno. Na figura B.3
está ilustrada a representação de um problema de campo magnético estático.
Figura B.3. Representação ilustrativa de um problema de campo magnetostático (ALCANTARA, 2003).
O funcional F encontrado na equação (85) é do tipo:
∫
= dxdyyxAAAIF
yx
),,,,(
(86)
A equação do integrando é a de Euler-Lagrange:
0=
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
yx
A
I
yA
I
xA
I
(87)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
99
Substituindo-se a equação (85) na equação (87), tem-se:
0
000
=
−
∂
∂
∂
∂
−
−
∂
∂
∂
∂
−
−
∂
∂
∫∫∫
B
yy
B
x
B
AJBdB
A
AJBdB
Ax
AJBdB
A
ννν
(88)
Manipulando-se algebricamente, obtém-se:
0
000
=
∂
∂
−
∂
∂
⋅
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
⋅
∂
∂
−
−
∂
∂
∫∫∫
y
B
x
BB
A
B
AJBdB
ByA
B
AJBdB
Bx
AJBdB
A
ννν
(89)
Ou
0=
∂
∂
⋅⋅
∂
∂
−
∂
∂
⋅⋅
∂
∂
−−
yx
A
B
B
yA
B
B
x
J
(90)
Mas:
x
A
AAA
A
B
A
B
B
xyx
xx
∂
∂
==
+
∂
∂
=
∂
∂
22
(91)
Semelhantemente:
y
A
AAA
A
B
A
B
B
yyx
yy
∂
∂
==
+
∂
∂
=
∂
∂
22
(92)
A equação Euler-Lagrange se reduz a:
J
y
A
yx
A
x
−=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
νν
(93)
Isso comprova que o funcional F encontrado é válido para a resolução do problema de
campo magnético no plano.
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
100
B.3 O Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos é um dos métodos numéricos utilizados para se
encontrar soluções aproximadas para equações diferenciais a derivadas parciais, dadas as
condições de contorno.
Normalmente este método é utilizado em eletromagnetismo para o cálculo e a análise
de grandezas, tais como: intensidade de fluxo elétrico, campo elétrico, intensidade de campo
magnético, densidade de fluxo elétrico, densidade de fluxo magnético, potencial magnético,
torque eletromagnético, indutâncias, resistências, potência elétrica e energia.
A resolução de problemas, utilizando o método acima, engloba os seguintes passos:
discretização do domínio da função, seleção da função de interpolação, formulação do sistema
de equações e solução do sistema de equações.
B.3.1 Discretização do Domínio da Função
A discretização do domínio da função consiste em subdividi-lo em inúmeros
subdomínios (figura B.4). Estes últimos são denominados elementos, sendo que os mais
utilizados para a modelagem eletromagnética são: segmento de reta, triângulo e tetraedro,
respectivamente para uma, duas e três dimensões (JIN, 1993).
Os problemas são formulados em termos de uma função desconhecida φ associada aos
nós de cada elemento (i, j, k), ou seja, para um elemento triangular linear há três nós, sendo
um em cada vértice. A discretização do domínio (
Ω
) é chamada de pré-processamento, pois
pode ser executada separadamente e independentemente dos outros passos.
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
101
Figura B.4. Representação livre de um domínio subdividido em elementos triangulares (SYKULSKI, 1995).
B.3.2 Seleção da Função de Interpolação
O segundo passo para a análise, através do método dos elementos finitos, é a seleção
da função de interpolação, que irá aproximar o valor da função desconhecida dentro de cada
elemento.
Geralmente uma função polinomial é escolhida para ser a função de interpolação. As
mais utilizadas são as equações polinomiais de primeira, segunda e terceira ordem. Quanto
maior o grau do polinômio, maior a complexidade da formulação, sendo que a mais utilizada
é a linear, ou seja, um polinômio de primeira ordem (JIN, 1993).
B.3.3 Formulação do Sistema de Equações
Um funcional geralmente é uma integral definida, em que o resultado depende da
função que define o integrando. Na equação (85) a função é a expressão do potencial
magnético A em função de x e y.
A solução consiste em encontrar a função A que dá o menor valor para o funcional F,
ou seja, a minimização do funcional, que é realizada em relação aos valores do potencial
magnético nos nós do domínio (
Ω
). A função aproximada utilizada é de primeira ordem:
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
102
m
m
m
AyxA ⋅=
∑
=
3
1
),(
φ
(94)
Onde:
A
m
é o potencial magnético em cada nó das malhas dos elementos finitos;
m
φ
são as funções de forma.
A minimização do funcional F é feita igualando-se a sua primeira derivada em relação
ao potencial magnético em cada nó (k) igual a zero (equação 95).
0=
∂
∂
k
A
F
(95)
O potencial magnético é aproximado dentro do elemento triangular por uma função
linear:
yaxaayxA
e
321
),( ++=
(96)
Para cada vértice do elemento triangular, o potencial magnético é expresso pela
equação (97).
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
103
i
j
k
u
i
u
j
u
k
x
y
x
i
x
j
x
k
y
i
y
j
y
k
Figura B.5. Elemento triangular.
kkk
jjj
iii
yaxaaA
yaxaaA
yaxaaA
321
321
321
++=
++=
+
+
=
(97)
Resolvendo-se o sistema de equações (97), tem-se:
(
)
( )
( )
kkjjii
kkjjii
kkjjii
AcAcAca
AbAbAba
AaAaAaa
++
∆
=
++
∆
=
++
∆
=
2
1
2
1
2
1
3
2
1
(98)
Sendo:
=∆
k
j
i
k
j
i
y
y
y
x
x
x
1
1
1
det2
(99)
Onde:
∆
é a área do triângulo [m
2
].
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
104
kjjki
jkkji
jkkji
xxxc
yyyb
yxyxa
=−=
=−=
−
=
(100)
Os coeficientes a
j
, b
j
, . . . são calculados pela permutação cíclica dos subíndices i, j, k
(SYKULSKI, 1995):
K,
kij
ikj
kiikj
xxc
yyb
yxyxa
−=
−=
−
=
(101)
Substituindo-se a equação (98) na equação (97), tem-se:
kjim
ycxba
mmm
m
,,
2
=
∆
++
=
φ
(102)
Como a densidade de fluxo magnético é igual ao rotacional do vetor potencial
magnético (equação 59) e este último é aproximado pela função de primeira ordem (equação
94), a densidade de fluxo magnético pode ser expressa por:
( )
∑
=
+
∆
=
3
1
2
1
i
iyixi
AicibB
r
(103)
Sendo o módulo igual a:
2
332211
2
332211
)()(
2
1
AcAcAcAbAbAbB +++++
∆
=
(104)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
105
Como a aproximação do vetor potencial magnético é definida em termos dos nós dos
elementos, a minimização do funcional F será feita igualando-se a sua primeira derivada em
relação ao potencial magnético em cada nó igual a zero (equação 105). Por isso, o funcional F
deve ser reescrito como sendo um somatório de integrais nos elementos (equação 106).
0=
∂
∂
=
∂
∂
∑
k
t
k
A
F
A
F
(105)
∑
=
)),(()),((
yxAFyxAF
t
(106)
Sendo:
∫ ∫
⋅+⋅−=
S
B
t
dxdyBdBAJF
0
)(
ν
(107)
Realizando-se as operações algébricas necessárias, conforme ALCANTARA (1985),
tem-se a formulação matemática para cada nó do elemento triangular:
Para o nó 1:
( ) ( ) ( )( )
34
331312212111111
J
AccbbAccbbAccbb
v ∆
=+++++
∆
(108)
Para o nó 2:
( ) ( ) ( )( )
34
332322222211212
J
AccbbAccbbAccbb
v ∆
=+++++
∆
(109)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
106
Para o nó 3:
( ) ( ) ( )( )
34
333332232311313
J
AccbbAccbbAccbb
v ∆
=+++++
∆
(110)
Na forma matricial, tem-se:
∆
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
∆
J
J
J
A
A
A
ccbb
ccbb
ccbb
ccbb
ccbb
ccbb
ccbb
ccbb
ccbb
v
3
3
2
1
4
3333
3232
3131
2323
2222
2121
1313
1212
1111
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
107
B.3.4 Solução do sistema de equações
Com as condições de contorno impostas ao sistema, ele pode ser resolvido por
métodos numéricos que explorem a esparsidade da matriz [S]. Esses métodos podem ser
diretos (que fornecem a solução exata do sistema após um número finito de iterações), ou
iterativos (que geram uma seqüência de vetores que convergem para a solução do sistema).
B.3.5 Métodos para o Cálculo do Torque
Um dos principais objetivos em utilizar-se o método dos elementos finitos é o cálculo
do torque, que possibilita uma melhor análise do funcionamento da máquina elétrica.
Nas subseções seguintes são apresentados os principais métodos para o cálculo do
torque eletromagnético.
B.3.5.1 O Tensor das Tensões de Maxwell
O torque eletromagnético (equação 113) em uma máquina elétrica pode ser calculado
pela integral de superfície da
força normal no entreferro, obtida pelo tensor das tensões de
Maxwell (equação 114), que é a força por unidade de área produzida pelo campo magnético
na superfície (CHUNG; KIM; HAHN, 1997).
dSFrT
S
el
∫
×=
r
r
r
(113)
nBnBBF
v
r
r
r
r
2
00
2
1
)(
1
µµ
−⋅=
(114)
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
108
Onde:
F
r
é o tensor de Maxwell [N m
-2
];
n
r
é o vetor normal à superfície S;
r é o raio do rotor [m].
O cálculo do torque, pelo tensor das tensões de Maxwell, pode apresentar resultados
imprecisos, se o domínio da função não for discretizado corretamente no local em que se
deseja obtê-lo, pois as funções de forma podem não aproximar corretamente os elementos.
Erros maiores podem ocorrer nas componentes tangenciais de
B
r
e
H
r
em elementos
adjacentes às fronteiras entre materiais de diferentes permeabilidades. Erros piores podem
ocorrer nos cantos das interfaces, onde a solução exata de
B
r
é aproximadamente simplificada
(MEEKER, 2006).
Para a obtenção de valores mais precisos do torque, pode-se calculá-lo através do
Weighted Stress Tensor, que é a versão da integral de volume pelo tensor das tensões de
Maxwell. As aproximações para esse cálculo são descritas em (McFee; WEBB; LOWTHER,
1988).
O método baseado no tensor de tensões de Maxwell é um artifício matemático. A
densidade de força calculada não é um resultado físico, enquanto que o método baseado no
princípio do trabalho virtual apresenta um significado físico (MEDEIROS; REYNE;
MEUNIER, 1999).
APÊNDICE B – CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
109
B.3.5.2 O Princípio do Trabalho Virtual
O princípio do trabalho virtual pode determinar o torque pelo cálculo da derivada da
energia magnética (W [J]) em relação a um deslocamento virtual da parte móvel (rotor).
m
el
W
T
θ
∂
∂
=
(115)
B.3.5.3 A Fórmula de Lorentz
O torque pode ser calculado através da equação (116), sendo )( BJ
×
a força de
Lorentz.
dVBJaT
V
el
∫
××−= )(
(116)
Onde:
a é o momento perpendicular ao eixo de rotação e direcionado ao ponto em que a força é
calculada.
APÊNDICE C - Descrição do Programa Computacional
de Elementos Finitos FEMM
O programa FEMM (Finite Element Method Magnetics) é obtido gratuitamente em
(MEEKER, 2006), incluindo o seu código fonte. Suas principais características são:
•
Utilizar formulação variacional de problemas de campos eletromagnéticos resolvidos
pelo método dos elementos finitos (MEEKER, 2006);
• Discretizar o domínio com elementos triangulares de primeira ordem (MEEKER,
2006);
•
O algoritmo de triangularização é o de Delaunay (JIN, 1993), com possibilidade de
refinamento da malha em regiões onde isto se faz necessário;
• A função de aproximação é de primeira ordem, ou seja, linear (MEEKER, 2006);
•
Utilizar o método do Conjugado-Gradiente e o método de Newton-Rapson para a
solução do sistema de equações algébricas resultantes da formulação por elementos
finitos (MEEKER, 2006).
O programa possui três etapas: pré-processador, processador e o pós-processador. A
primeira parte é responsável pela modelagem geométrica, definindo-se materiais, correntes e
condições de contorno. A segunda parte executa os cálculos e a terceira visualiza os
resultados. Cada etapa é detalhada a seguir.
APÊNDICE C – DESCRIÇÃO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL FEMM
111
C.1 Pré-processador
Nesta etapa, define-se o tipo de problema, a unidade do desenho e a precisão dos
cálculos (figura C.1). Desenha-se o modelo geométrico a ser estudado (figura C.2), define-se
as propriedades elétricas e magnéticas dos materiais, selecionando-as na biblioteca (figura
C.3), e acrescenta-as através da definição de propriedades (figura C.4). O programa também
permite a inclusão de novos materiais (figura C.5).
A última parte dessa etapa é a criação da geometria discretizada com elementos
triangulares (figura C.6).
Figura C.1. Definição do problema.
Figura C.2. Desenho da geometria.
APÊNDICE C – DESCRIÇÃO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL FEMM
112
Figura C.3. Biblioteca dos materiais.
Figura C.4. Definição das propriedades.
Figura C.5. Edição das características de um dado material.
APÊNDICE C – DESCRIÇÃO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL FEMM
113
Figura C.6. Discretização da geometria em elementos triangulares de primeira ordem.
C.2 Processador
Nesta fase, a geometria já está totalmente configurada, os materiais já foram definidos,
as condições de contorno impostas e a discretização realizada (MEEKER, 2006). O cálculo é
efetuado através das equações geradas utilizando-se métodos numéricos. Pode-se observar
essa etapa através da figura C.7.
Figura C.7. Execução dos cálculos.
APÊNDICE C – DESCRIÇÃO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL FEMM
114
C.3 Pós-processador
Nesta etapa, visualiza-se os resultados através dos gráficos de linhas de fluxo (figura
C.8), dos gráficos de cores que representam a densidade de fluxo magnético (figura C.9) e dos
gráficos da curva de indução magnética (figura C.10). Também é possível gravar resultados
numéricos em arquivos do tipo texto durante a fase do pós-processamento. Isso foi muito
utilizado durante a execução deste trabalho.
Figura C.8. Gráfico de linhas.
Figura C.9. Gráfico de cores.
Figura C.10. Gráfico da densidade de fluxo magnético da componente normal.
APÊNDICE C – DESCRIÇÃO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL FEMM
115
C.4 Descrição da Linguagem Lua Scripting
A linguagem Lua foi projetada e implementada pelo Grupo da Tecnologia de
Computação Gráfica (Tecgraf), da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-
Rio), por: Roberto Lerusalimschy, Waldemar Celes e Luiz Henrique de Figueiredo. A
primeira versão (Lua 1.0) é de julho de 1993 e a versão atual (Lua 4.1.1.) é de junho de 2006.
A motivação para a criação dessa linguagem foi a necessidade das aplicações do Tecgraf
serem configuradas externamente pelos usuários (LUA, 2006).
A distribuição de Lua é gratuita, incluindo o seu código fonte, que está disponível em
(LUA, 2006).
A linguagem Lua Scripting é projetada para estender aplicações e também utilizada
como uma linguagem de propósito geral. Possui a grande vantagem de ser interpretada, ou
seja, não precisa ser compilada, apenas executada.
Lua é escrita em ANSI C e é implementada como uma pequena biblioteca de funções
C. Funciona acoplada a programas hospedeiros em linguagens tradicionais como C e C+ +.
Combina programação procedural com poderosas construções para descrição de dados,
baseados em tabelas associativas e semântica extensível. É considerada uma linguagem
segura, pois não é possível acessar serviços não autorizados do programa hospedeiro (LUA,
2006).
“Lua é tipada dinamicamente, interpretada a partir de bytecodes e tem gerenciamento
automático de memória com coleta de lixo. Essas características fazem de Lua uma
linguagem ideal para configuração, automação (scripting) e prototipagem rápida.”
(LUA,2006).
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