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Universidade Federal do Espírito Santo
C
ENTRO TECNOLÓGICO
P
ROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA AMBIENTAL
MAURÍCIO SARTORI
CARACTERIZAÇÃO HIDRODINÂMICA DE FLOCULADORES
TUBULARES HELICOIDAIS POR MEIO DE SIMULAÇÃO NUMÉRICA
TRIDIMENSIONAL
VITÓRIA-ES
2006
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M
AURÍCIO SARTORI
CARACTERIZAÇÃO HIDRODINÂMICA DE FLOCULADORES
TUBULARES HELICOIDAIS POR MEIO DE SIMULAÇÃO NUMÉRICA
TRIDIMENSIONAL
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Ambiental
do Centro Tecnológico da Universidade
Federal do Espírito Santo, como requisito
parcial para a obtenção do Grau de Mestre
em Ciências em Engenharia Ambiental.
Orientador: Edmilson Costa Teixeira.
Co-orientador: Neyval Costa Reis Junior.
VITÓRIA-ES
2006
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Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
Bibliotecária Responsável: Claudia Petinelli Souza CRB10/1647
S251c Sartori, Maurício
Caracterização hidrodinâmica de floculadores tubulares helicoidais
por meio de simulação numérica tridimensional. / Mauricio Sartori;
orientador Edmilson Costa Teixeira; co-orientador Neyval Costa Reis
Jr. – Vitória: UFES, 2006.
106 p.
Dissertação (Mestrado em Engenharia Ambiental) - UFES, Centro
Tecnológico
1. Engenharia Ambiental. 2. Floculação. 3. Floculadores
Tubulares Helicoidais. 4. Gradiente de Velocidade. 5. Hidrodinâmica
de Reatores. I. Título
CDU 62:504
AGRADECIMENTOS
Ao PPGEA da UFES por possibilitar esta oportunidade impar de aprimoramento de
meus conhecimentos.
À CAPES pela bolsa de estudos que possibilitou minha manutenção no ES.
Aos professores do PPGEA, em especial ao professor Renato, que compartilharam
comigo e com os demais colegas suas experiências e conhecimentos.
Ao meu orientador, professor Edmilson, por aceitar este projeto e acreditar no meu
potencial.
Ao meu co-orientador professor Neyval pelas valiosas informações sobre
modelagem e sua grande disposição em ajudar.
Aos colegas do Grupo de Reatores, em especial a Letícia por todas as trocas de
informações e grandes contribuições durante a execução deste curso de mestrado.
Aos colegas dos Recursos Atmosféricos por me aturarem em seu espaço,
monopolizando alguns computadores.
A minha família: Adelar (in memoriam), Deny e Sandro, por todo apoio e incentivo
dados, mesmo de tão longe...
A minha amada esposa, Susane que dividiu comigo todas as dificuldades desta
etapa de nossas vidas.
“...Senti aquele anticlímax habitual. E
agora? Era um círculo vicioso. Se você
realiza um sonho, volta ao primeiro passo
e não demora muito até começar a
conceber um novo, ligeiramente mais
difícil, um pouco mais ambicioso - um
pouco mais perigoso...”
Joe Simpson - Tocando o Vazio
RESUMO
A floculação, uma das etapas relevantes do processo de tratamento de água e
efluentes é, muitas vezes, realizada com a utilização de reatores hidráulicos que
aproveitam a própria energia da corrente líquida para promover o choque entre as
partículas. No entanto, os floculadores hidráulicos não apresentam uma constância
nos valores de gradiente de velocidade (G), uma vez que fazem o escoamento
percorrer trechos com baixos níveis de energia (por exemplo, os trechos retos dos
reatores chicanados) e trechos com elevados valores de G (trechos de mudanças de
uma chicana para outra, onde há mudança de direção do escoamento), o que pode
promover o rompimento dos flocos ora formados. Na tentativa de eliminar as
abruptas mudanças de direção, diversos autores têm proposto um sistema de
floculação em linha de formato helicoidal, denominado floculador tubular helicoidal.
Contudo, o conhecimento do escoamento no interior destas unidades,
principalmente no que diz respeito ao gradiente de velocidade, ainda não foi
suficientemente estudado. No presente trabalho, buscou-se a compreensão do
comportamento do escoamento no interior de floculadores tubulares helicoidais,
utilizando modelagem numérica. Para tanto, procedeu-se a implementação de um
modelo computacional às configurações de reator estudadas, a saber: diâmetros
internos dos tubos d = 0,0125m, 0,00952m e 0,00794m; e diâmetros de curvatura D
= 0,1125m, 0,10952m e 0,10794m, respectivamente. Com base nesta
implementação, avaliou-se a influência de variações de curvatura (número de Dean
– Dn), torção (número de Germano – Gn), diâmetro do tubo e vazão, no padrão do
escoamento no interior dessas unidades. A avaliação dos resultados demonstrou a
maior constância dos valores de G ao longo do reator, o que possivelmente
promoverá uma floculação mais constante. Observou-se também que para as
condições aqui estudadas, tanto G quanto a velocidade axial (Vax) não variam
linearmente com os parâmetros Dn e Gn. Contudo, com o auxílio das curvas
geradas no cruzamento destes parâmetros os projetos de floculadores tubulares
helicoidais podem ser mais precisos.
ABSTRACT
The flocculation, one of the relevant stages of the process of water and wastewater
treatment is, many times, accomplished with the use of hydraulic reactors that use
the energy of the fluid flow to promote the shock between particles. However, the
hydraulic flocculators do not presents constancy in the values of velocity gradient (G),
once they make the fluid flow to go through regions with low energy (for example, the
straight sectors of baffled tanks) and regions with high values of G (curved reach
between compartments where flow changes direction), what it can promote the
rupture of aggregates that have been formed. In the attempt to eliminate the abrupt
changes of direction, many authors have been proposing an in line flocculation
system of helical format, denominated tubular helical flocculator. However, the
knowledge of the flow in the interior of these units, mainly with respect to the velocity
gradient, still enough was not studied. In the present work, the understanding of the
behavior of the flow of helical tubular floculadores was looked, using numerical
modeling. For in such a way, it was proceeded implementation from a computational
model to the studied configurations of reactor, to know: internal diameters of the
tubes d = 0,0125m, 0,00952m and 0,00794m; curvature diameters D = 0,1125m,
0,10952m and 0,10794m, respectively. With base on this implementation, the
influence of curvature (Dean number - Dn), torsion (Germano number - Gn), tube
diameter and flow rate variations, on the pattern of the flow, was evaluated. The
results evaluation demonstrated the largest constancy of the G-values along the
reactor, what possibly will promote a more constant flocculation. It was also observed
that for the conditions here studied, as much G as the axial velocity (Vax) they do not
vary lineally with the parameters Dn and Gn. However, with the aid of the curves
generated on the crossing of these parameters, the projects of helical tubular
floculadores can be more accurate.
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 - Parâmetros geométricos das geometrias estudadas. ...........................41
Tabela 5.1 - Dados dos elementos das malhas testadas..........................................65
Tabela A.1 - Locação dos centros e ângulo de rotação dos planos amostrais da
geometria 1. .....................................................................................................100
Tabela A.2- Locação dos centros e ângulo de rotação dos planos amostrais da
geometria 2. .....................................................................................................100
Tabela A.3- Locação dos centros e ângulo de rotação dos planos amostrais da
geometria 3. .....................................................................................................101
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1 - Reator Gerador de Flocos – RGF (Fonte: Carissimi, 2003)...................30
Figura 3.2 - Curva de passagem do traçador Azul de Metileno ao longo do RGF
(Fonte: Carissimi, 2003).....................................................................................31
Figura 3.3 - Modelo de fluxo centrípeto radial em reator tubular helicoidal (Adaptado
de Carissimi, 2003). ...........................................................................................31
Figura 3.4 - (a) Representação esquemática de um tubo toroidal; (b) Representação
esquemática do fluxo secundário em uma seção transversal do tubo. As letras I
e E denotam o lado interno e externo à curvatura, respectivamente. ................33
Figura 3.5 - (a) Descrição do sistema de coordenadas helicoidal (s, r, θ), introduzido
por Germano (1982); (b) Tubo helicoidalmente enrolado...................................35
Figura 4.1 - Representação geométrica das configurações estudadas. (a) d =
0,0125m, D = 0,1125m; (b) d = 0,00952m, D = 0,10952m; (c) d = 0,00794m, D =
0,10794m. ..........................................................................................................39
Figura 4.2 - Localização dos parâmetros geométricos dos reatores estudados (d =
diâmetro interno do tubo, D = diâmetro do enrolamento e p = passo do
helicóide). Os eixos x, y e z representam o referencial global empregado no
CFX....................................................................................................................40
Figura 4.3 - Fluxograma da seqüência da resolução das equações utilizado pelo
CFX. (Fonte: Salgado, 2006). ............................................................................45
Figura 4.4 - Visualização das malhas construídas. (a) malha 1; (b) malha 2; (c) malha
3. ........................................................................................................................50
Figura 4.5 - Localização dos planos amostrais. (a) perspectiva isométrica; (b) vista
frontal; (c) vista lateral........................................................................................54
Figura 4.6 - Sistema de coordenadas helicoidais. x
1
corresponde ao eixo x, x
2
, ao
eixo y e x
3
ao eixo z. (Adaptado de Germano, 2003).........................................55
Figura 5.1 - Variação do resíduo percentual entre as curvas medidas e calculadas,
em função do número de Reynolds. ..................................................................59
Figura 5.2 - Variação do resíduo médio e quadrático médio entre as curvas medidas
e calculadas, em função do número de Reynolds..............................................60
Figura 5.3 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados
amostrais (Re=500; linha de amostragem horizontal)........................................60
Figura 5.4 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados
amostrais (Re=1000; linha de amostragem horizontal)......................................61
Figura 5.5 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados
amostrais (Re=2000; linha de amostragem horizontal)......................................61
Figura 5.6 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados
amostrais (Re=500; linha de amostragem vertical)............................................62
Figura 5.7 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados
amostrais (Re=1000; linha de amostragem vertical)..........................................63
Figura 5.8 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados
amostrais (Re=2000; linha de amostragem vertical)..........................................63
Figura 5.9 - Erros quadráticos médios normalizados, observados na comparação dos
resultados de velocidade axial obtidos com o emprego da malha 1 e da malha 3.
...........................................................................................................................66
Figura 5.10 - Erros quadráticos médios normalizados, observados na comparação
dos resultados de gradiente de velocidade obtidos com o emprego da malha 1 e
da malha 3. ........................................................................................................66
Figura 5.11 - Erros quadráticos médios normalizados, observados na comparação
dos resultados de velocidade axial obtidos com o emprego da malha 2 e da
malha 3. .............................................................................................................67
Figura 5.12 - Erros quadráticos médios normalizados, observados na comparação
dos resultados de gradiente de velocidade obtidos com o emprego da malha 2 e
da malha 3. ........................................................................................................67
Figura 5.13 - Comparação dos resultados de velocidade axial, amostrados em uma
linha vertical coincidente com o diâmetro do tubo, no plano 8, empregando-se as
malhas 2 e 3.......................................................................................................69
Figura 5.14 - Comparação dos resultados de velocidade axial, amostrados em uma
linha horizontal coincidente com o diâmetro do tubo, no plano 8, empregando-se
as malhas 2 e 3..................................................................................................69
Figura 5.15 - Comparação dos resultados de gradiente de velocidade, amostrados
em uma linha vertical coincidente com o diâmetro do tubo, no plano 8,
empregando-se as malhas 2 e 3........................................................................70
Figura 5.16 - Comparação dos resultados de gradiente de velocidade, amostrados
em uma linha horizontal coincidente com o diâmetro do tubo, no plano 8,
empregando-se as malhas 2 e 3........................................................................70
Figura 5.17 - Variação dos valores médios do gradiente de velocidade e da
velocidade axial ao longo do reator. Condições: d = 0,0125m; D = 0,1125m; Q =
4l.min
-1
(6,67.10
-5
m
3
.s
-1
).....................................................................................71
Figura 5.18 - (a) Escoamento secundário; (b) Isolinhas de velocidade axial
normalizada pela velocidade média na seção....................................................73
Figura 5.19 - Perfil horizontal (A-A’) da velocidade axial. Condições: idem Figura
5.18. ...................................................................................................................73
Figura 5.20 - Perfil vertical (B-B’) da velocidade axial. Condições: idem Figura 5.18.
...........................................................................................................................74
Figura 5.21 - Isolinhas de gradiente de velocidade normalizado pelo gradiente de
velocidade médio no plano. Condições: idem Figura 5.18.................................74
Figura 5.22 - Perfil horizontal (A-A’) do gradiente de velocidade normalizado.
Condições: idem Figura 5.18. ............................................................................75
Figura 5.23 - Perfil vertical (B-B’) do gradiente de velocidade normalizado.
Condições: idem Figura 5.18. ............................................................................76
Figura 5.24 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido
na linha amostral horizontal, para o diâmetro de 0,0125m.................................77
Figura 5.25 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido
na linha amostral vertical, para o diâmetro de 0,0125m.....................................77
Figura 5.26 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido
na linha amostral horizontal, para o diâmetro de 0,00952m...............................78
Figura 5.27 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido
na linha amostral vertical, para o diâmetro de 0,00952m...................................79
Figura 5.28 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido
na linha amostral horizontal, para o diâmetro de 0,00794m...............................79
Figura 5.29 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido
na linha amostral vertical, para o diâmetro de 0,00794m...................................80
Figura 5.30 - Comparação dos perfis horizontais de velocidade axial normalizada,
obtidos com cada uma das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de
0,0125m. ............................................................................................................81
Figura 5.31 - Comparação dos perfis verticais de velocidade axial normalizada,
obtidos com cada uma das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de
0,0125m. ............................................................................................................82
Figura 5.32 - Comparação dos perfis horizontais de velocidade axial normalizada,
obtidos com cada uma das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de
0,00952m. ..........................................................................................................82
Figura 5.33 - Comparação dos perfis verticais de velocidade axial normalizada,
obtidos com cada uma das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de
0,00952m. ..........................................................................................................83
Figura 5.34 - Comparação dos perfis horizontais de velocidade axial normalizada,
obtidos com cada uma das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de
0,00794m. ..........................................................................................................83
Figura 5.35 - Comparação dos perfis verticais de velocidade axial normalizada,
obtidos com cada uma das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de
0,00794m. ..........................................................................................................84
Figura 5.36 - Variação do gradiente de velocidade médio em função do número de
Dean...................................................................................................................85
Figura 5.37 - Variação do gradiente de velocidade médio em função do número de
Germano. ...........................................................................................................86
Figura 5.38 - Variação da velocidade axial média em função do número de Dean...87
Figura 5.39 - Variação da velocidade axial média em função do número de Germano.
...........................................................................................................................88
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolo Significado
Ca Número de Camp (adm)
d Diâmetro interno do tubo (m)
Dn Número de Dean (adm)
EDP Equação diferencial parcial
EPA Erro percentual de área (%)
EQMN Erro quadrático médio normalizado (%)
G Gradiente médio de velocidade (s
-1
)
g
Aceleração da gravidade (9,81 m.s
-2
)
Gn Número de Germano (adm)
G
p
Gradiente de velocidade absoluto no ponto (s
-1
)
p Passo do enrolamento do tubo (m)
Q Vazão de escoamento (m
3
.s
-1
)
R Raio de curvatura (m)
r Raio do tubo (m)
Re Número de Reynolds (adm)
Re
crit
Número de Reynolds crítico (adm)
RGF Reator gerador de flocos
S
m
Termo de fonte de quantidade de movimento
T Tempo teórico de detenção (s)
t Passo de tempo (s)
u,v e w Componentes de velocidade nas direções x, y e z, respectivamente (m.s
-1
)
U
i
Componente instantânea da velocidade na direção x
i
(m.s
-1
)
Vax Velocidade na direção principal do escoamento (m.s
-1
).
Letras Gregas
ν
Viscosidade cinemática (m
2
.s
-1
)
γ
Peso específico (kg.m
-2
.s
-2
)
θ
Ângulo de rotação (º)
Φ
Trabalho realizado pelas forças viscosas por unidade de volume por
unidade de tempo (kg.m
-1
.s
-3
)
ф
i
Vetor solução do sistema de equações acopladas
µ
Viscosidade dinâmica (8,90.10
-4
N.s.m
-2
a 25°C)
µ
t
Viscosidade turbulenta (N.s.m
-2
)
δij
Função delta de Kronecker
Φ
m
Trabalho total por unidade de tempo pelo volume do domínio (kg.m
-1
.s
-3
)
ε
Dissipação média de energia cinética turbulenta (m
2
.s
-3
)
κ
Curvatura adimensional
λ
Razão da torção pela curvatura (adm)
ρ
Massa específica da água (997 kg.m
-3
a 25°C)
τ
Torção do helicóide (adm)
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................17
2 OBJETIVOS............................................................................................................20
2.1 OBJETIVO GERAL..........................................................................................................20
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS...............................................................................................20
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...................................................................................21
3.1 FLOCULAÇÃO................................................................................................................21
3.1.1 Gradiente de Velocidade .......................................................................................................23
3.2 FLOCULADORES TUBULARES HELICOIDAIS.....................................................................26
3.2.1 Reator Gerador de Flocos – RGF .........................................................................................30
3.3 ESCOAMENTO EM TUBOS HELICOIDALMENTE ENROLADOS .............................................32
4 MATERIAIS E MÉTODOS......................................................................................38
4.1 CONFIGURAÇÕES DOS REATORES SIMULADOS...............................................................39
4.2 MODELAGEM MATEMÁTICA............................................................................................41
4.2.1 Equações Governantes da Dinâmica de Fluidos ..................................................................42
4.3 MODELAGEM NUMÉRICA................................................................................................44
4.3.1 Discretização Das Equações Governantes...........................................................................44
4.3.1.1 Sistema Acoplado de Equações................................................................................... 46
4.4 IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO......................................................................47
4.4.1 Representação Geométrica das Configurações Estudadas .................................................48
4.4.2 Geração da Malha Espacial e Teste de Malhas....................................................................49
4.4.3 Condições de Contorno.........................................................................................................51
4.4.4 Calibração e Validação do Modelo........................................................................................52
4.5 ANÁLISE DO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE FLOCULADORES TUBULARES HELICOIDAIS..53
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES............................................................................57
5.1 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO ..............................................................................57
5.2 TESTE DE MALHA ..........................................................................................................64
5.3 O ESCOAMENTO............................................................................................................71
5.3.1 Escoamento Secundário, Velocidade Axial e Gradiente de Velocidade...............................72
5.3.2 Influência da Vazão no Padrão de Escoamento ...................................................................76
5.3.2.1 Gradiente de Velocidade .............................................................................................. 76
5.3.2.2 Velocidade Axial ........................................................................................................... 80
5.3.3 Números Adimensionais de Dean e Germano......................................................................84
5.4 COMPARAÇÃO DO ESCOAMENTO EM FLOCULADORES TUBULARES HELICOIDAIS COM O
ESCOAMENTO EM FLOCULADORES HIDRÁULICOS CHICANADOS .................................................88
6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES.................................................................91
6.1 APLICAÇÃO DO MODELO COMPUTACIONAL CFX............................................................91
6.2 TESTE DE MALHA ..........................................................................................................92
6.3 ANÁLISE DO ESCOAMENTO ............................................................................................92
6.4 INFLUÊNCIA DA VAZÃO ..................................................................................................93
6.5 NÚMEROS ADIMENSIONAIS DE DEAN E GERMANO...........................................................94
6.6 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.............................................................94
7 REFERÊNCIAS ......................................................................................................95
ANEXO 1: LOCAÇÃO DOS PONTOS CENTRAIS DOS PLANOS AMOSTRAIS
DAS GEOMETRIAS ESTUDADAS. ............................................................................100
ANEXO 2: MATRIZES DE TRANSFORMAÇÃO .....................................................102
ANEXO 3: ISOCONTORNOS DE GRADIENTE DE VELOCIDADE NOS PLANOS
AMOSTRAIS................................................................................................................103
C
APÍTULO 1
INTRODUÇÃO
17
1 INTRODUÇÃO
Todas as comunidades produzem tanto resíduos sólidos quanto líquidos, sendo a
porção líquida composta essencialmente por águas de abastecimento após terem
sido empregadas em uma variedade de usos, carreando resíduos removidos de
residências, instituições e estabelecimentos comerciais e industriais (METCALF e
EDDY, 1991). Devido ao fato de grande parte dos resíduos contidos nos efluentes
apresentarem-se como sólidos finos em suspensão e coloidais, os processos de
separação sólido-líquido necessitam de uma etapa anterior de aglomeração destes
particulados, visando o aumento da eficiência da etapa de separação. Esta etapa é
comumente conhecida como floculação.
A floculação, quando aplicada ao tratamento de efluentes industriais ou domésticos,
ocorre sob condições distintas daquelas observadas quando o processo é aplicado
ao tratamento de águas para abastecimento público e, muitas vezes, também
emprega diferentes reagentes. Normalmente, as águas destinadas ao
abastecimento público apresentam baixas concentrações de sólidos em suspensão,
e empregam coagulantes para promover a aglomeração dos particulados. No caso
de águas residuárias, as concentrações de sólidos são bem mais elevadas e podem
empregar, além de reagentes coagulantes, polímeros floculantes. Outra importante
diferença observada na floculação de águas residuárias em comparação a aplicação
deste processo à água para abastecimento reside nos gradientes de velocidade
empregados. No caso das águas residuárias, devido ao emprego de polímeros
floculantes, os gradientes de velocidade podem alcançar valores da ordem de
1000s
-1
, enquanto que em plantas para potabilização, estes valores não superam
100s
-1
.
Em muitos países em desenvolvimento como o Brasil, é comum o emprego de
floculadores hidráulicos (BHOLE, 1993; HAARHOFF, 1998) que aproveitam a própria
energia da corrente líquida para promover o choque entre as partículas, o que, sob
condições adequadas, leva à aglomeração. Entretanto, os floculadores hidráulicos
atualmente empregados no tratamento de água e efluentes são constituídos de
compartimentos (canais) que fazem o escoamento percorrer um longo trajeto
obrigando a corrente líquida a mudar de sentido a cada mudança de compartimento.
18
Esta mudança de sentido do escoamento promovida pelos floculadores ditos
chicanados promove um aumento local no gradiente de velocidade (HAARHOFF e
VAN DER WALT, 2001; SALGADO, 2006) o que pode promover o rompimento dos
flocos ora formados.
Neste contexto, diversos autores têm apresentado um sistema de floculação em
linha formado por um reator tubular helicoidal (GROHMANN et al., 1981;
VIGNESWARAN e SETIADI, 1986; AL-HASHIMI e ASHJYAN, 1989; ELMALEH e
JABBOURI, 1991; HAMEED et al., 1995; THIRUVENKATACHARI et al., 2002;
CARISSIMI, 2003). Este tipo de reator aproveita a energia hidráulica do fluxo em seu
interior para dispersar os reagentes de coagulação/floculação e promover a
floculação dos particulados.
Embora já comparada a eficiência de formação de flocos desta configuração com a
eficiência do tradicional teste de jarros, aspectos importantes relativos aos princípios
a serem seguidos em projetos de floculadores (tais como redução gradual do
gradiente de velocidades de montante para jusante do reator, através de câmaras de
floculação, com vistas a evitar a ruptura dos flocos formados (DI BERNARDO et al.,
2000), ainda não foram considerados.
Outros aspectos também não estudados dizem respeito a influência das variações
de curvatura e torção do helicóide (quer seja por mudanças do diâmetro do reator,
quer seja por mudanças de passo ou, ainda, mudanças no diâmetro do enrolamento)
no comportamento hidrodinâmico e, principalmente, no gradiente de velocidade no
interior do reator.
Por outro lado, o Grupo de Hidrodinâmica de Reatores – HIDROREAT – do
Departamento de Engenharia Ambiental – DEA – vem, nos últimos anos,
desenvolvendo pesquisas relativas à hidrodinâmica de floculadores hidráulicos por
meio de modelagem física e numérica (SOUZA, 2005; SALGADO, 2006). Os
resultados das pesquisas têm apontado para a necessidade de intensificação do
emprego da modelagem numérica para que avanços significativos possam ser
alcançados quanto à compreensão da influência de parâmetros de projeto no
comportamento hidrodinâmico de floculadores, a exemplo do trabalho de Haarhoff e
Van der Walt (2001).
19
Os fatos descritos nos parágrafos anteriores estão entre as principais razões que
levaram à proposição da presente pesquisa, cujos objetivos são descritos na
próxima seção.
C
APÍTULO 2
OBJETIVOS
20
2 OBJETIVOS
2.1 OBJETIVO GERAL
Compreensão do comportamento do escoamento no interior de floculadores
tubulares helicoidais utilizando modelagem numérica, com vistas a melhorias de
desempenho dos processos que empregam este tipo de reator.
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
− Implantar o modelo computacional às configurações de reator utilizadas;
− Avaliar a influência dos parâmetros de projeto curvatura, torção, diâmetro do tubo
formador do reator e vazão do escoamento, no comportamento hidrodinâmico de
floculadores tubulares helicoidais.
C
APÍTULO 3
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
21
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 FLOCULAÇÃO
A floculação é o processo pelo qual as partículas desestabilizadas na etapa de
coagulação chocam-se entre si formando agregados maiores (VIANNA, 2002). A
ocorrência da floculação é dependente da oportunidade de contato entre as
partículas. Esta oportunidade é variável com a taxa de descarga, a profundidade do
escoamento, o gradiente de velocidade do sistema, a concentração e a
granulometria das partículas (METCALF e EDDY, 1991).
Os choques entre as partículas coloidais suspensas na massa líquida são resultado
de movimentos pericinéticos e ortocinéticos (SMOLUCHOWSKI apud VIANNA
2002). O processo de floculação por meio de movimentos pericinéticos ocorre
apenas pelo movimento Browniano das partículas e pela ação da gravidade
(fazendo com que as partículas se choquem quando em movimento descendente
pela ação da gravidade), enquanto que a floculação decorrente de movimentos
ortocinéticos ocorre sob condições de agitação (introdução de energia externa) da
massa líquida (YARAR et al., 1998; VIANNA, 2002; RICHTER e NETTO, 1995),
sendo este o principal mecanismo responsável pela floculação aplicada ao
tratamento de águas e efluentes.
Di Bernardo et al. (2000) explicam que diversos pesquisadores têm previsto a
possibilidade de ganhos de desempenho em unidades de floculação por meio de
sua compartimentação, com conseqüente decréscimo do gradiente de velocidade
(G), de montante para jusante do reator. Este ganho ocorre pois no início da
floculação, as partículas encontram-se muito dispersas, sendo necessária maior
agitação para promover os choques entre elas. No entanto, à medida que os flocos
vão se formando, torna-se necessário reduzir o gradiente de velocidade para evitar a
ruptura dos agregados previamente formados. O estudo realizado pelos autores
demonstra também uma possível redução no tempo de floculação devido ao
escalonamento do gradiente de velocidade. Este possível ganho no tempo de
22
floculação deve-se provavelmente a melhor eficiência de floculação alcançada
quando há redução do gradiente de velocidade ao longo das câmaras de floculação.
Cabe salientar, no entanto, que na compartimentação de floculadores deve-se
garantir que o produto entre o gradiente de velocidade e o tempo teórico de
detenção em cada compartimento seja o mesmo. Este produto é conhecido como
número de Camp (Ca).
De um modo geral, os reatores responsáveis pela floculação podem ser divididos em
dois grandes grupos: os floculadores mecanizados e os floculadores hidráulicos.
Os floculadores mecanizados são compostos de uma ou mais câmaras de mistura
equipadas com um agitador mecânico que transfere à massa líquida a energia
necessária para que ocorra o choque entre as partículas. Nestes casos, o
escalonamento do gradiente de velocidades é realizado variando-se as condições de
agitação de uma câmara para outra por meio de mudanças na rotação ou na
geometria das pás dos agitadores mecânicos.
Estes equipamentos apresentam como principal vantagem a grande flexibilidade de
variação das condições de agitação. Em outras palavras, são capazes de suportar
elevadas variações de qualidade da água bruta.
Como desvantagem principal, apresentam o alto consumo energético já que os
agitadores são movidos à energia elétrica.
Os floculadores hidráulicos, que constituem o tipo mais largamente utilizado de
floculador, principalmente nos casos de pequenas e médias estações de tratamento
de água, por sua vez, não empregam agitadores mecanizados. Deste modo, a
agitação necessária à floculação é obtida fazendo-se a corrente líquida percorrer
caminhos com sucessivas mudanças de direção, promovidos por chicanas
horizontais, chicanas verticais, pelo posicionamento alternado de orifícios nas
paredes do floculador, entre outros. Essa sucessiva mudança de direção do
escoamento transfere a energia da própria corrente para a massa líquida.
Nestes reatores, o escalonamento do gradiente de velocidade é feito diminuindo-se
a velocidade média do escoamento por meio de um aumento nas dimensões das
seções transversais dos caminhos percorridos pela massa líquida.
23
Apresentam como principais vantagens o baixo custo de implantação, operação e
manutenção, facilidade de construção, inexistência de agitadores mecânicos e,
conseqüentemente, um menor gasto energético para a agitação da água em
tratamento. No entanto, apresentam a desvantagem de não serem tão flexíveis
quanto os floculadores mecanizados, embora seja possível alguma variação por
meio de mudanças no espaçamento das chicanas, na inclinação de fundo ou ainda
na altura da lâmina d’água, como demonstrado por Haarhoff e Van der Walt (2001).
Existem diversos modelos de floculadores hidráulicos já empregados em estações
de tratamento de água, todos com suas vantagens e desvantagens. Entretanto,
Grohmann et al. (1981) introduziram uma nova concepção de floculadores
hidráulicos que apresenta uma configuração tubular helicoidal, que possibilita uma
melhor dissipação efetiva de energia com baixos índices de curtos-circuitos e zonas
mortas. Esta nova configuração será o objeto do presente estudo e, portanto, melhor
detalhada mais adiante.
A partir das considerações acima, percebe-se que um parâmetro relevante na
eficiência de floculação é o gradiente de velocidade (G). Além deste parâmetro,
outros dois parâmetros de relevância são: o tempo teórico de detenção (T) e o
número de Camp (Ca), sendo este último resultado do produto entre G e T.
3.1.1 GRADIENTE DE VELOCIDADE
O gradiente de velocidade (G) é um parâmetro que avalia indiretamente o padrão de
escoamento em unidades de mistura, tais como os floculadores. Este gradiente é
proporcional ao grau de agitação do sistema. A equação geral de cálculo de G,
Equação (3.1), foi desenvolvida em 1943 por Camp e Stein apud Camp (1953),
levando em conta a deformação de um elemento de volume de água devido as
tensões tangenciais que atuam neste elemento.
24
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
µ=µ=Φ
2
2
2
2
p
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
G
(3.1)
onde: Φ = trabalho realizado pelas forças viscosas, por unidade de volume, por
unidade de tempo (kg.m
-1
.s
-3
);
µ = viscosidade absoluta (kg.m
-1
.s
-1
);
G
p
= gradiente de velocidade absoluto no ponto (s
-1
);
u,v e w = componentes da velocidade nas direções x, y e z, respectivamente
(m.s
-1
).
Ao longo de uma câmara de mistura, os valores pontuais do gradiente de velocidade
variam consideravelmente. Contudo, em regime estacionário, pode-se definir um
gradiente médio de velocidade, que corresponde ao valor médio do trabalho ao
longo do reator. Com isso, o gradiente médio pode ser expresso segundo a Equação
(3.2).
µ
Φ
=
m
G
(3.2)
onde: Φ
m
= trabalho realizado pelas forças viscosas, por unidade de tempo, pelo
volume da câmara (kg.m
-1
.s
-3
).
Segundo Haarhoff e Van Der Walt (2001), a interpretação física do valor de G, no
entanto, não é um gradiente de velocidade mas, mais propriamente, a raiz média da
taxa de dissipação de energia por unidade de volume. Deste modo, a Equação (3.2)
também pode ser escrita em termos da dissipação de energia por unidade de
volume (Equação 3.3).
µ
ε
ρ
=G
(3.3)
onde:
ε
= Taxa de dissipação de energia cinética turbulenta (m
2
.s
-3
);
µ= viscosidade dinâmica da água (kg.m
-1
.s
-1
);
ρ = Massa específica da água.
25
Para fins de dimensionamento de unidades de floculação hidráulicas, a NBR 12.216
(ABNT, 1992) recomenda a utilização da Equação (3.4) para o cálculo do gradiente
de velocidade.
T
h
T
hg
G
pp
µ
γ
ν
==
(3.4)
onde: g = aceleração da gravidade (m.s
-2
);
h
p
= perda de carga (m);
ν = viscosidade cinemática (m
2
.s
-1
);
γ
= peso específico (kg.m
-2
.s
-2
);
µ
: = viscosidade dinâmica ou absoluta (kg.m
-1
.s
-1
);
T = tempo teórico de detenção, em (s).
Esta equação permite a obtenção de um valor médio para o gradiente de velocidade
de uma unidade hidráulica de floculação. Mas na prática, observa-se uma elevada
variação do gradiente de velocidade ao longo do reator. Esta variação é
proporcionada pela própria mudança de direção imposta à corrente líquida, pois, de
acordo com Camp (1953), a maior parte da perda de carga ocorre nas mudanças de
direção impostas ao fluxo, fazendo com que os gradientes de velocidade sejam
muito maiores nessas regiões e pouco significativos ao longo de cada
compartimento da câmara.
À medida que se diminui o gradiente de velocidade de um compartimento para outro,
faz-se necessário aumentar o tempo teórico de detenção (que é a razão entre a
vazão afluente e o volume do reator) no compartimento com menor gradiente de
velocidade para possibilitar a mesma oportunidade de choques entre as partículas,
uma vez que a oportunidade de choques é medida pelo número de Camp que, como
dito anteriormente, é calculado pelo produto entre G e T. Deste modo, para os
compartimentos de um mesmo floculador, quanto menor o G, maior deve ser o T de
modo a manter o número de Camp constante.
26
3.2 FLOCULADORES TUBULARES HELICOIDAIS
O processo de floculação (uma das principais etapas do processo de tratamento de
água e efluentes) é normalmente realizado em tanques agitados ou em reatores que
aproveitam a energia hidráulica do próprio escoamento para promover o choque
entre as partículas e a efetiva floculação (CARISSIMI e RUBIO, 2003). No entanto,
no caso das unidades mecanizadas, observa-se que a existência de curtos-circuitos
e zonas mortas acaba influenciando na eficiência do processo de floculação e,
também, nos custos envolvidos nesta etapa. No caso das unidades hidráulicas,
observa-se uma minimização destes efeitos. Estudos mais detalhados do
escoamento no interior destas unidades demonstram que eles apresentam excesso
de dissipação de energia em algumas zonas, e zonas com baixa (ou praticamente
nenhuma) dissipação (HAARHOFF e VAN DER WALT, 2001; SALGADO, 2006).
Os problemas acima apontados não são observados em reatores tubulares.
Contudo, a dissipação de energia nestes floculadores também não é muito efetiva.
Uma alternativa que possibilita uma melhor dissipação efetiva de energia com baixos
índices de curtos-circuitos e zonas mortas foi inicialmente proposta por Grohmann et
al. (1981). Estes autores introduziram uma nova concepção de floculadores
tubulares em linha, o qual apresenta uma configuração helicoidal. Além disso,
estudaram as configurações tubulares helicoidais aplicadas na remoção de fosfato e
analisaram a eficiência desta concepção de reator para coagulação (formação de
microflocos, com adição de FeCl
3
como coagulante) e floculação (formação de
macroflocos, com adição do polímero poliacrilamida). Para verificar a aplicação
destas configurações na etapa de coagulação, os autores analisaram três situações
distintas de gradiente de velocidade (100, 150 e 200 s
-1
). Seus resultados
demonstraram que são necessários baixos tempos de detenção (~14s) para a
formação dos microflocos. Demonstraram também que, para a faixa de G analisada,
quanto maior o valor de G, menor a turbidez remanescente. Nota-se, contudo que os
melhores resultados foram obtidos para valores de G superiores aos geralmente
praticados neste processo.
27
Analisando estas configurações na etapa de floculação, os autores observaram uma
queda abrupta na turbidez com o aumento do número de Reynolds (Re~3000).
Observaram também uma redução da turbidez remanescente com o aumento do
número de Camp, tornando-se praticamente constante para Ca ≥ 4.10
4
. Contudo,
valores de Ca = 2.10
3
já se mostraram suficientes para uma redução significativa da
turbidez remanescente. Com relação ao tempo teórico de detenção, verificaram que
com apenas 10s a turbidez já pôde ser removida satisfatoriamente.
No mesmo ano, Gregory (1981), aplicando a teoria de Smoluchowski para estimar a
floculação ortocinética como resultado do escoamento laminar em tubos, analisou a
floculação tanto para o caso de tubos retos quanto para tubos helicoidalmente
enrolados. O autor observou que a configuração helicoidal apresenta uma taxa extra
de mistura e uma taxa de cisalhamento mais uniforme, resultando em uma
floculação aumentada.
Alguns anos mais tarde, Gregory (1983) apresentou a floculação em tubos
helicoidalmente enrolados como um novo método de teste para a floculação. Ele
observou que, em comparação com o teste de jarros, os testes nestas configurações
podem ser realizados de maneira muito mais rápida e com melhor correspondência
ao desempenho de unidades reais. Analisando seus resultados, pode-se observar
que, para a mesma condição de água afluente, a floculação no tubo helicoidalmente
enrolado, em comparação com o teste de jarros, apresentou menor turbidez
remanescente com menor dosagem de coagulante. Estes resultados demonstram
maior eficiência da floculação quando executada em reatores com este tipo de
configuração.
Na mesma década, Vigneswaran e Setiadi (1986) apresentaram um estudo sobre
floculação em floculadores helicoidais (ou espirais, como chamado pelos autores).
Num primeiro momento eles executaram uma série de experimentos, variando G
(25, 50, 70 e 90 s
-1
) e concentração inicial de sólidos (50 e 100 mg.L
-1
) para
comparar o desempenho dos floculadores helicoidais com o desempenho do teste
de jarros sob condições idênticas. Por fim, empregaram um modelo matemático
proposto por Tambo e Watanabe em 1984 (apud VIGNESWARAN e SETIADI, 1986)
que relaciona o desempenho de floculadores com seus parâmetros operacionais, o
qual se apresentou bem ajustado aos seus dados experimentais, após um ajuste
28
nas constantes do modelo, baseado em observações empíricas. Deste modo, a
aplicação de tal modelo mostra-se condicionada ao ajuste destes valores com base
em dados experimentais.
Dos experimentos executados, os autores observaram que, para aquelas condições,
variações do gradiente de velocidade praticamente não influenciaram a turbidez final
obtida com o floculador tubular helicoidal, diferentemente do comportamento do
teste de jarros, no qual, quanto maior o gradiente, maior foi a turbidez final
observada. Entretanto, estes dois reatores apresentam o mesmo comportamento em
relação ao tamanho final dos flocos: quanto maior o gradiente de velocidade, menor
o tamanho final dos agregados. Este comportamento pode ser explicado pelo fato de
que quanto maior o gradiente de velocidade, maior a taxa de cisalhamento presente.
Sendo importante ressaltar que, para a faixa de valores de G estudadas, os flocos
formados no floculador tubular helicoidal apresentaram-se maiores do que os obtidos
no teste de jarros e alcançam seu máximo tamanho em um tempo de floculação
menor. Os autores também demonstram que a configuração tubular helicoidal
possibilitou uma melhor dissipação efetiva de energia podendo ser este o motivo do
menor tempo de detenção para a formação dos flocos. Estas características
demonstram uma maior eficiência do floculador tubular helicoidal já que, além de
necessitar de um tempo menor para que os flocos alcancem seus tamanhos
máximos, os agregados formados, por serem maiores, sedimentaram com maior
velocidade.
No final da década de 80, Al-Hashimi e Ashjyan (1989) estudaram a eficiência deste
tipo de floculador no tratamento de água para abastecimento e a compararam com
estudos em teste de jarros. Contrariamente ao observado por Vigneswaran e Setiadi
(1986), os autores verificaram uma melhor eficiência de remoção percentual de
turbidez para o teste de jarros do que para os floculadores tubulares helicoidais
estudados. No entanto, seus resultados demonstram uma redução na diferença
entre as remoções percentuais de turbidez das duas unidades com o aumento da
turbidez inicial (concentração de sólidos). Eles também ressaltam algumas
vantagens no uso de tubos helicoidalmente enrolados como floculadores, tais como
os custos iniciais e de manutenção reduzidos, assim como menor área e energia
requeridas, quando comparados com floculadores mecanizados. Além destes,
29
mencionam também o menor tempo de detenção necessário para a formação dos
flocos, concordando com os resultados obtidos por Vigneswaran e Setiadi (1986).
No início dos anos 90, Elmaleh e Jabbouri (1991) utilizaram esta configuração de
floculador para estimar a energia necessária à floculação. Na mesma década,
Hameed et al. (1995) realizaram outro estudo de laboratório que comparava um
floculador de configuração helicoidal com um equipamento de floculação
mecanizado (teste de jarros). Em seus resultados observa-se que, quando analisada
a turbidez residual em função do número de Camp (Ca), o comportamento em
ambos os floculadores é semelhante. No entanto, nota-se que na floculação
mecanizada os autores conseguiram uma turbidez residual mínima cerca de 5%
inferior a alcançada no floculador tubular helicoidal. Porém, o número de Camp
necessário para esta turbidez mínima no floculador mecanizado é cerca de 26000,
enquanto que na configuração helicoidal a mínima turbidez residual é obtida com um
Ca por volta de 5000. De acordo com os autores, esta diferença considerável entre
os valores de Ca dos dois reatores demonstra que a configuração helicoidal
proporciona uma boa remoção dos sólidos suspensos, com baixo gradiente de
velocidade e reduzido tempo de detenção.
No início deste século, Thiruvenkatachari et al. (2002) apresentaram um sistema
híbrido para remoção de matéria orgânica, no qual, as configurações helicoidais
foram empregadas como misturador rápido e floculador, acoplados a um sistema de
microfiltração.
Recentemente, Carissimi (2003) desenvolveu um extenso estudo em um floculador
tubular helicoidal, o qual chamou de Reator Gerador de Flocos – RGF
®
, analisando a
influência de alguns parâmetros dos floculadores tubulares helicoidais na eficiência
do processo, enfocando principalmente, as variações de vazão e volume do reator.
Seus resultados apresentaram uma grande eficiência de floculação com baixos
tempos de detenção, concordando com os resultados encontrados por Hameed et
al. (1995).
O trabalho desenvolvido por Carissimi (2003) será base para o estudo da presente
dissertação. Por este motivo, a seção a seguir apresentará um detalhamento maior
de seu trabalho.
30
3.2.1 REATOR GERADOR DE FLOCOS – RGF
De acordo com Carissimi (2003), o RGF é um sistema compacto de floculação em
linha para a formação de flocos (aerados ou não) que aproveita a energia cinética do
fluxo hidráulico em um reator tubular helicoidal para promover a agitação necessária
à dispersão do polímero floculante e formação de flocos, com baixo tempo de
residência (Figura 3.1). Este autor desenvolveu um sistema tubular helicoidal
horizontal, testando várias configurações do reator (variando o comprimento do tubo
e, conseqüentemente o número de anéis do reator) e várias vazões de alimentação.
Na formação de flocos não-aerados (para remoção por decantação), os melhores
resultados foram alcançados com as seguintes condições: reator com 12 m (32
anéis) de tubo de 0,0125m de diâmetro enrolado em uma coluna fixa de PVC de
0,01m e vazão de alimentação de 4l.min
-1
(6,67.10
-5
m
3
.s
-1
).
O autor estabeleceu também uma relação entre o gradiente médio de velocidade e a
velocidade média do escoamento (v = vazão/área) além da construção de uma curva
de passagem para a configuração de 32 anéis, com uma vazão de alimentação de
3l.min
-1
(5.10
-5
m
3
.s
-1
).
Figura 3.1 - Reator Gerador de Flocos – RGF (Fonte: Carissimi, 2003).
A curva de passagem construída para este reator (Figura 3.2) demonstrou que
quando analisada a resposta à passagem de um traçador apenas no final da
unidade (análise do tipo “caixa preta”), esta é muito semelhante à observada em
escoamentos ideais tipo fluxo pistão. Por se tratar de um reator helicoidal, também é
31
percebida a ocorrência de fluxo centrípeto radial (circulação secundária), típico de
fluxos tubulares helicoidais (Figura 3.3).
Dentre as variáveis que afetam o processo, pode-se citar a concentração do
polímero floculante, a vazão de alimentação e a concentração de sólidos. Além das
variáveis que afetam o processo, alguns parâmetros de projeto podem afetar o
regime hidrodinâmico com influência no desempenho do reator. A influência destes
parâmetros será avaliada no presente estudo por meio de modelagem hidrodinâmica
computacional.
0
2
4
6
8
10
12
00,511,522,533,5
Volume, L
[AM], mg.L
-1
Figura 3.2 - Curva de passagem do traçador Azul de Metileno ao longo do RGF (Fonte: Carissimi,
2003).
Para executar-se a modelagem hidrodinâmica, é necessária a compreensão do
modo como um fluido se comporta ao escoar em um tubo com configuração
helicoidal. Neste sentido, apresentam-se na próxima seção algumas explanações
sobre o escoamento em tubos helicoidalmente enrolados.
Figura 3.3 - Modelo de fluxo centrípeto radial em reator tubular helicoidal (Adaptado de Carissimi,
2003).
Condições
:
Q = 3 l.min
-1
;
[AM] = 10000 mg.L
-1
;
RGF 12m de tubo e 32 voltas.
32
3.3 ESCOAMENTO EM TUBOS HELICOIDALMENTE ENROLADOS
Configurações tubulares helicoidais são empregadas em muitas aplicações práticas,
tais como, trocadores de calor, concentradores espirais, geradores de vapor
helicoidais e refrigeradores, e podem também ser encontradas na natureza em
vasos de sangue e em dutos de água nos vegetais (YU et al., 2003). Mais
recentemente, estas configurações têm sido testadas com eficiência como
floculadores aplicados ao tratamento de água e efluentes (GROHMANN et al., 1981;
VIGNESWARAN e SETIADI, 1986; AL-HASHIMI e ASHJYAN, 1989; ELMALEH e
JABBOURI, 1991; HAMEED et al., 1995; THIRUVENKATACHARI et al., 2002;
CARISSIMI, 2003).
Para analisar-se o escoamento em tubos com configuração helicoidal, deve-se
inicialmente entender como se desenvolve o escoamento em um tubo curvado, sem
torção. Eustice (1911) desenvolveu uma série de estudos qualitativos, aplicando a
técnica de traçadores, para a visualização do escoamento no interior de tubos
curvados. No referido trabalho, foi possível visualizar as linhas de fluxo e observar
que, diferentemente do escoamento em tubos retos, o fluido no interior das
configurações enroladas descreve trajetórias helicoidais. O autor também percebeu
que a porção do fluido que inicia seu escoamento na metade superior da seção,
descreve esta trajetória helicoidal apenas na porção compreendida entre o centro do
tubo e a parede externa superior. Do mesmo modo, a porção do fluido que inicia seu
escoamento na porção inferior, se manterá nesta posição até ser descarregada no
final do tubo.
Dean (1927) foi o primeiro a equacionar a situação de um tubo curvado sem torção
(toróide). Seus resultados confirmaram as observações de Eustice (1911). No final
da década de 1920, este mesmo autor (DEAN, 1929) mostrou que a relação entre a
redução da taxa do escoamento e a curvatura dependia de uma única variável K
(K=2Re
2
(r/R)), onde Re é o número de Reynolds, r é o raio do tubo e R é o raio de
curvatura), mais tarde adaptada para o caso geral de tubos helicoidais e chamada
de número de Dean (Equação 3.5). Esta adaptação diz respeito à substituição da
razão entre o raio do tubo e o raio de curvatura, chamada por Dean (1927) de razão
33
de curvatura, por um parâmetro leva em conta o raio do enrolamento e o
espaçamento entre as voltas do helicóide (passo), chamado na literatura de
curvatura adimensional (κ) (Equação 3.6).
ReκDn =
(3.5)
r
pR
R
κ
22
⋅
+
=
(3.6)
onde: R = raio do tubo (m);
p = passo do enrolamento
1
(m);
r = diâmetro do tubo (m).
O número de Dean pode ser descrito como a raiz quadrada da razão entre o produto
das forças de inércia e forças centrífugas pelas forças viscosas, representando
assim uma medida da magnitude do escoamento secundário (BERGER et al., 1983;
LIU e MASLIYAH, 1993).
(a)
(b)
Figura 3.4 - (a) Representação esquemática de um tubo toroidal; (b) Representação esquemática do
fluxo secundário em uma seção transversal do tubo. As letras I e E denotam o lado interno e externo
à curvatura, respectivamente.
O escoamento secundário, mencionado acima (Figura 3.4(b)), aparece sempre que
fluido escoa em um tubo ou canal curvado (BERGER et al., 1983). Ele é uma
1
Diferentemente de outras áreas da engenharia, no estudo de tubos helicoidalmente enrolados, o
passo do enrolamento (p) é obtido dividindo-se a distância entre duas voltas consecutivas (passo
utilizado, por exemplo, em problemas de engenharia mecânica) por 2π.
I
E
I
E
34
conseqüência da curvatura do tubo, e é composto por um par de vórtices que rodam
em sentidos opostos (GERMANDO, 1989).
Este escoamento secundário pode ser atribuído ao gradiente de pressão centrífuga
no escoamento principal agindo sobre o fluido relativamente estagnado próximo à
parede (BERGER et al., 1983; YAMAMOTO et al., 1995; HÜTTL e FRIEDRICH,
2000). O fluxo da região central do tubo é dirigido para a parede do lado externo à
curvatura (vide Figura 3.4(a)) onde ele se bifurca e escoa mais lentamente, próximo
à parede, em direção à parede interna à curvatura, formando duas zonas de
recirculação (BERGER et al., 1983; HÜTTL e FRIEDRICH, 2000). Estes vórtices
helicoidais, com giros em sentidos opostos, encontram-se simetricamente
localizados, com respeito ao plano de simetria (plano central) (BERGER et al.,
1983).
Dean (1928) estudando a influência da curvatura no escoamento em um tubo
curvado (toróide), observou que a vazão em um tubo reto devido a um dado
gradiente de pressão é maior do que a vazão, devido ao mesmo gradiente de
pressão, em um tubo curvado. A partir disso, descreveu que esta diferença se deve,
principalmente, ao fato de no tubo curvado, o fluido estar continuamente oscilando
entre a parte central do tubo, onde a velocidade é elevada, e as vizinhanças da
parede, onde a velocidade é baixa, devido à tendência centrífuga do fluido,
implicando em uma perda de energia que não tem contrapartida no escoamento em
um tubo reto. Deste modo, o autor nos mostra que a elevação do parâmetro K (por
aumento da curvatura ou da velocidade média) leva a uma redução da vazão.
Todos os efeitos acima descritos, induzidos pela curvatura de um tubo, são
observados mesmo quando há uma torção (o que caracteriza a configuração
helicoidal). Obviamente, é esperado que a torção induza outros efeitos no
escoamento.
Para investigar os efeitos da torção no escoamento em tubos helicoidais, Germano
(1982) introduziu um sistema de coordenadas ortogonais ao longo de uma curva
espiral genérica (Figura 3.5) e escreveu as equações de Niever-Stokes para
escoamento incompressível e estacionário neste novo sistema.
35
(a)
(b)
Figura 3.5 - (a) Descrição do sistema de coordenadas helicoidal (s, r, θ), introduzido por Germano
(1982); (b) Tubo helicoidalmente enrolado.
A introdução deste sistema ortogonal de coordenadas permitiu ao autor verificar que
a torção tem um efeito de segunda ordem no escoamento em tubos helicoidais de
seção circular.
Em outro artigo, Germano (1989) estendeu as equações desenvolvidas por Dean
(1928) para o caso do escoamento em tubos helicoidais. Ele observou que, neste
caso, o escoamento depende não só do número de Dean, mas também de um
parâmetro λ/Re, onde λ é a razão entre a torção (τ) (Equação 3.7) e a curvatura (κ)
(Equação 3.6) do eixo do tubo. Neste caso, o número de Reynolds (Re), é calculado
a partir do raio do tubo (r) e da máxima velocidade equivalente do escoamento em
um tubo reto sujeito ao mesmo gradiente de pressão.
r⋅
+
=
22
pR
p
τ
(3.7)
Germano (1989) observou também que o efeito da torção é mais pronunciado para
baixos números de Reynolds.
Devido aos estudos do escoamento em tubos helicoidais desenvolvidos por
Germano (1982, 1989), alguns autores utilizam, para quantificar o efeito da torção,
um parâmetro denominado número de Germano (Equação 3.8) que representa uma
medida direta da razão entre as forças de torção e as forças viscosas (LIU e
MASLIYAH, 1993).
36
ReτGn =
(3.8)
Outros autores (YAMAMOTO et al., 1995) estudaram experimentalmente o efeito da
torção no escoamento em tubos helicoidais de seção circular. Estes autores
observaram que, para curvatura constante, aumentando-se a torção, o fator de
fricção (ou a resistência) do escoamento desvia-se dos valores encontrados para
escoamentos em tubos toroidais e, com novos aumentos da torção, estes valores
tendem aos valores encontrados no escoamento em tubos retos. De fato, se a torção
tender a infinito, o tubo helicoidal tende a um tubo reto, justificando o encontrado
pelos autores.
No trabalho de Hüttl e Friedrich (2000) foram estudadas numericamente as
influências da curvatura e da torção no escoamento turbulento em tubos
helicoidalmente enrolados. Estes autores mostraram que a curvatura do tubo (que
induz o escoamento secundário) tem um forte efeito nas quantidades do
escoamento, inibindo significantemente a turbulência, se comparado com um tubo
reto de mesmo diâmetro, fazendo com que, para elevados valores do parâmetro de
curvatura κ, o escoamento tenda ao tipo laminar e a energia cinética turbulenta
apresente níveis muito menores do que no escoamento em tubos retos. No entanto,
mantendo a curvatura constante e aumentando o parâmetro de torção, os autores
observaram que a energia cinética turbulenta aumenta. Outra observação importante
é o efeito da torção no padrão do escoamento secundário. Com o aumento no valor
do parâmetro de torção, a componente axial da velocidade fica praticamente
inalterada, enquanto que as variações do escoamento secundário tornam-se mais
evidenciadas.
Com respeito à torção, estes autores mostraram que seu efeito físico no padrão de
escoamento é menos pronunciado do que o efeito da curvatura. Porém, devido a
sua influência no escoamento secundário, que conduz a um aumento nas flutuações
de energia cinética e da taxa de dissipação, este parâmetro não pode ser
negligenciado. Seu principal efeito é aumentar a amplitude das componentes radiais
e circunferenciais da velocidade e, conseqüentemente, seus gradientes espaciais,
ajudando assim a entender porque a energia cinética turbulenta é aumentada
quando a torção é aplicada. Outro efeito da torção observado é a introdução de
forças de inércia adicionais.
37
Mais recentemente, Ko e Ting (2005) investigaram o número de Reynolds crítico
(valor no qual um escoamento deixa de ser laminar) para o escoamento em tubos
helicoidais, baseado no princípio de geração nominal de entropia. Os autores
apresentaram uma relação deste valor crítico com a razão de curvatura (δ), dado
pela Equação (3.9):
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
1
δ1212100Re
Crit
onde δ = r/R
(3.9)
Esta expressão mostra que quanto maior a razão de curvatura, maior será o valor do
número de Reynolds crítico (Re
Crit
). Em outras palavras, quando o raio do
enrolamento (R) tende a infinito, δ tende a zero e o valor de Re
Crit
tende a 2100,
valor esperado para o escoamento em um tubo reto. Este fato concorda com os
resultados de Hüttl e Friedrich (2000), demonstrando que a turbulência é inibida no
escoamento em configurações helicoidalmente enroladas.
C
APÍTULO 4
MATERIAIS E MÉTODOS
38
4 MATERIAIS E MÉTODOS
No presente trabalho, foi realizada a implementação do modelo computacional CFX
versão 10.0 para a avaliação do escoamento no interior de floculadores tubulares
helicoidais, com três configurações distintas e três valores de vazão. Para esta
implementação, foi empregado um microcomputador com processador AMD
Athlon™ XP 2500+ com 3 GB de memória RAM, e o pacote computacional Ansys
Workbench. Este pacote computacional engloba os aplicativos do CFX responsáveis
pela definição das condições iniciais e de contorno (CFX Pre), pela resolução das
equações de transporte (CFX Solver) e pela visualização dos resultados (CFX Post).
Além destes, engloba também os aplicativos acoplados ao CFX para a construção
da geometria (DesignModeler) e discretização de domínio (CFX-Mesh).
A simulação de escoamentos no aplicativo computacional CFX apresenta-se como
uma ferramenta de grande importância no entendimento do comportamento do fluido
no interior de reatores empregados no tratamento de águas e efluentes. Além de
uma boa interface com o usuário, este programa possibilita a representação
geométrica e a definição das fronteiras físicas, a execução de simulações com
diversos modelos de turbulência e a visualização dos resultados em um mesmo
pacote computacional. No entanto, devido à necessidade de uma transformação de
coordenadas dos dados gerados pelo modelo para um sistema de coordenadas
mais usual e conveniente, introduzido por Germano (1989), os valores obtidos do
CFX foram exportados para uma planilha de cálculo, onde aplicou-se uma matriz de
transformação. De posse dos dados no novo sistema de coordenadas, foram criados
grades interpoladas, pelo método de triangulação, no aplicativo computacional
Surfer versão 7.0. Este aplicativo além de possibilitar a interpolação dos valores,
possibilita também a amostragem em linhas verticais e horizontais e a construção de
mapas de vetores e de isocontornos. Estes mapas fornecem um modo conveniente
de visualização dos resultados além de possibilitarem uma análise qualitativa dos
produtos obtidos.
39
4.1 CONFIGURAÇÕES DOS REATORES SIMULADOS
O primeiro reator simulado (Figura 4.1a) teve suas dimensões baseadas no trabalho
de Carissimi (2003), a saber: reator tubular, com diâmetro interno d = 0,0125m,
enrolado com um diâmetro interno das voltas de 0,10m (D = 0,1125m). A segunda
geometria estudada (Figura 4.1b) possuía o mesmo diâmetro interno de enrolamento
(D = 0,10952m), no entanto, um diâmetro interno do tubo formador do reator d =
0,00952m. E a terceira geometria (Figura 4.1c), um diâmetro interno do reator d =
0,00794m, com mesmo diâmetro interno de enrolamento de 0,10m (D = 0,10794m).
A Figura 4.2 apresenta a identificação e localização dos parâmetros relevantes deste
tipo de configuração.
Cabe salientar que, em todas as configurações estudadas, o diâmetro interno das
voltas foi sempre o mesmo (0,1m). No entanto, o valor do diâmetro do enrolamento
(D) difere pois este parâmetro é medido levando-se em conta o diâmetro do tubo
empregado em cada configuração. Assim, D será o valor do diâmetro interno mais o
diâmetro do tubo formador do reator.
(a)
(b)
(c)
Figura 4.1 - Representação geométrica das configurações estudadas. (a) d = 0,0125m, D = 0,1125m;
(b) d = 0,00952m, D = 0,10952m; (c) d = 0,00794m, D = 0,10794m.
40
Figura 4.2 - Localização dos parâmetros geométricos dos reatores estudados (d = diâmetro interno do
tubo, D = diâmetro do enrolamento e p = passo do helicóide). Os eixos x, y e z representam o
referencial global empregado no CFX.
O caso estudado por Carissimi (2003) apresentava 32 voltas. No entanto, segundo
Yu et al. (2003), após a segunda volta, o escoamento no interior de unidades
tubulares helicoidais não apresenta mais variações, mantendo-se praticamente
constante até a saída do reator. Por este motivo, e devido ao maior esforço
computacional para a simulação de um reator com inúmeras voltas, optou-se por
simular apenas as 4 primeiras voltas de cada geometria. Esta escolha mostrou-se
conveniente uma vez que, como poderá ser visto no capítulo Resultados e
Discussões, no reator em estudo, o escoamento tornou-se constante no início da
segunda volta.
Para cada uma das geometrias acima descritas, foram estudadas as vazões de 1, 2
e 4 l.min
-1
(1,67.10
-5
m
3
.s
-1
, 3,33.10
-5
m
3
.s
-1
e 6,67.10
-5
m
3
.s
-1
, respectivamente).
Com base nessas condições, foram calculados e agrupados na Tabela 4.1, os
números de Reynolds, Dean e Germano, e os parâmetros adimensionais de
curvatura e torção. Além destes, são apresentados os diâmetros internos dos tubos
(d), os diâmetros de enrolamento (D) e o passo (p). Os parâmetros adimensionais de
curvatura e torção foram calculados empregando-se as Equações (3.6) e (3.7),
respectivamente. E os números de Dean e Germano, calculados utilizando-se as
41
Equações (3.5) e (3.8), respectivamente. O número de Reynolds foi calculado
empregando-se o diâmetro interno do tubo e a velocidade média do escoamento,
resultado da razão entre o a vazão do escoamento e a área da seção do tubo.
Tabela 4.1 - Parâmetros geométricos das geometrias estudadas.
* vide nota de rodapé
1
, na página 33.
4.2 M
ODELAGEM MATEMÁTICA
Problemas de dinâmica de fluidos em reatores podem ser analisados por meio de
modelos físicos, onde um protótipo é construído em escala reduzida e as
características do escoamento são observadas, ou por meio de modelos
matemáticos, nos quais há a utilização de equações diferenciais de transporte, que
representam o fenômeno a ser investigado.
A modelagem matemática de reatores baseia-se nos princípios de conservação de
massa, quantidade de movimento, conservação de espécie química e conservação
da energia, no interior do domínio de interesse. De maneira geral, o escoamento no
42
interior de unidades de contato é modelado por meio de equações que descrevem o
movimento turbulento tridimensional do fluido, conhecidas como equações de
Reynolds.
Nesta seção, discutir-se-á alguns conceitos envolvidos na modelagem matemática.
Para tanto, fez-se uso dos trabalhos de Versteeg e Malalasekera (1995), Anderson
et al. (1984) e Salgado (2006).
4.2.1 EQUAÇÕES GOVERNANTES DA DINÂMICA DE FLUIDOS
Os aspectos físicos do escoamento isotérmico de um fluido são governados por três
princípios fundamentais: a conservação da massa, da quantidade de movimento e
da energia.
Os princípios de conservação de massa, quantidade de movimento e energia,
podem ser escritos matematicamente como segue:
Conservação da Massa:
()
0
x
ρU
t
ρ
i
i
=
∂
∂
+
∂
∂
(4.1)
Conservação da Quantidade de Movimento:
M
k
k
ij
i
j
j
i
jij
i
j
i
S
x
U
x
U
x
U
xx
p
x
U
U
t
U
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
µδµ
ρρ
3
2
)()(
(4.2)
Conservação da Energia:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
iij
i
ij
j
j
x
T
k
xx
U
x
eU
t
e
)(
)(
)(
σ
ρ
ρ
(4.3)
43
onde: ρ = massa específica do fluido (kg.m
-3
)
U
i, j, k
= componente da velocidade instantânea na direção x
i, j, k
(m.s
-1
);
µ = viscosidade dinâmica, (kg.m
-1
.s
-1
);
p = pressão estática instantânea (Pa);
T = temperatura (K);
S
M
= termo de fonte de quantidade de movimento (kg.m
-2
.s
-2
);
δ
ij
= função delta de Kronecker (δ
ij
= 1 se i = j e δ
ij
= 0 se i ≠ j);
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+−=
i
j
j
i
ijij
x
U
x
U
p
µδσ
Considerando-se o fluido como incompressível e assumindo regime permanente e
temperatura constante, a massa específica, a viscosidade e a difusividade podem
também ser consideradas constantes. Deste modo, as Equações (3.10), (3.11) e
(3.12) podem ser simplificadas, e dadas pelas Equações (3.13), (3.14) e (3.15),
como segue:
Equação da conservação de massa:
0
x
U
i
i
=
∂
∂
(4.4)
Equação da conservação da quantidade de movimento:
M
i
j
j
i
jij
i
j
S
x
U
x
U
xx
p
x
U
U +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
µρ
(4.5)
Equação da conservação energia:
j
i
ij
j
j
x
U
x
eU
∂
∂
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
)(
)(
σρ
(4.6)
44
4.3 MODELAGEM NUMÉRICA
A modelagem numérica tem o objetivo de possibilitar a solução das equações de
Navier-Stokes quando aplicadas a escoamentos reais, uma vez que soluções
analíticas para estas equações somente são obtidas em condições ideais e
escoamentos simples. Assim, na modelagem numérica as equações são
substituídas por aproximações algébricas, as quais devem ser resolvidas com a
aplicação de algum método numérico. Para tanto, deve-se discretizar o domínio
espacial do problema em volumes de controle finitos. A discretização aqui
empregada é descrita na seção 4.3.1.
4.3.1 DISCRETIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES GOVERNANTES
No presente trabalho, procedeu-se a discretização do domínio espacial em volumes
de controle finitos por meio de uma malha não-estruturada. Esta malha é formada
por elementos de volume tetraédricos, prismáticos e piramidais.
Em cada um dos volumes de controle no qual o domínio espacial foi discretizado, as
equações diferenciais parciais são integradas de modo que todas as quantidades de
interesse (massa, energia, quantidade de movimento, etc.) sejam conservadas de
maneira discreta.
Para a integração das equações na forma de médias de conservação de massa,
quantidade de movimento e energia, sobre um volume de controle fixo, pode-se
aplicar o Teorema de Divergência de Gauss. A aplicação deste teorema possibilita a
conversão de integrais de volume em integrais de superfície, sendo as integrais de
superfície correspondentes aos fluxos que cruzam as superfícies do volume de
controle e as integrais de volume correspondentes aos termos de fonte ou
acumulação.
45
Uma vez discretizado o domínio espacial, as equações podem ser resolvidas por
algum aplicativo computacional capaz de operar estas aproximações. No caso em
estudo, foi empregado o aplicativo CFX-10 (ANSYS Inc.). Neste aplicativo as
equações hidrodinâmicas para as velocidades e para a pressão são resolvidas de
maneira acoplada, isto é, como um único sistema. Por este motivo, a discretização
das equações, para qualquer passo de tempo, é resultado de um esquema implícito.
Figura 4.3 - Fluxograma da seqüência da resolução das equações utilizado pelo CFX. (Fonte:
Salgado, 2006).
A solução para cada série de equações apresentadas no fluxograma da Figura 4.3
consiste em duas operações numéricas. Para cada passo de tempo:
1 – As equações não-lineares são linearizadas e incluídas na matriz de solução;
2 – As equações lineares são resolvidas usando um método Algebraic Multigrid.
(CFX-5.6, 2004)
46
4.3.1.1 Sistema Acoplado de Equações
Com a aplicação do Método dos Volumes Finitos surgem, para todos os volumes de
controle do domínio, uma série de equações de conservação discreta. O sistema de
equações empregadas neste método pode ser descrito pela Equação (4.7) abaixo:
∑
=
i
nb
ii
nb
i
ba
φ
(4.7)
em que φ é a solução, b é o valor, a os coeficientes da equação, i identifica o número
do volume finito ou nó em questão, e nb significa vizinhança ("neighbour"), que
também inclui o coeficiente central multiplicando a solução na i-ésima posição. O nó
deve ter algum número em relação a tais vizinhanças, para que o método seja
igualmente aplicável para malhas estruturadas e não-estruturadas.
Para uma equação onde a resposta é um escalar, cada
nb
i
a e
i
b
representa apenas
números. No caso de equações acopladas tridimensionais de massa e quantidade
de movimento, estas variáveis são representadas por uma matriz (4 x 4) ou por um
vetor (4 x 1), que podem ser expressos como segue:
nb
i
pppwpvpu
wpwwwvuwu
vpvwvvvu
upuwuvuu
nb
i
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
a
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
(4.8)
e
i
i
p
w
v
u
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=φ
(4.9)
e
47
i
p
w
v
u
i
b
b
b
b
b
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
(4.10)
Como benefícios do emprego do acoplamento das equações podem-se citar a maior
robustez e eficiência na solução do problema, e a simplicidade do tratamento do
problema e a generalidade, isto é, a condição de se aplicar para inúmeros
problemas e métodos de discretização.
Maiores detalhes quanto ao método de solução, a discretização numérica e seus
efeitos no aplicativo CFX, podem ser encontrados no guia do usuário do CFX-5.6
(2004).
4.4 IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO
Na etapa de implementação do modelo numérico realizou-se a representação
geométrica dos reatores no CFX (Figura 4.1), delimitando as fronteiras físicas onde o
escoamento ocorre, assim como as condições iniciais e de contorno. A
representação geométrica foi feita no aplicativo DesignModeler, integrado ao CFX.
Esta representação foi realizada obedecendo às características geométricas de cada
uma das configurações expressas na Tabela 4.1. A configuração denominada
geometria 1 obedece às características do reator estudado por Carissimi (2003),
exceto no que diz respeito ao número de voltas que, conforme dito anteriormente, no
presente estudo, foram realizadas apenas 4 voltas.
Após a representação geométrica, partiu-se para a etapa de geração da malha
espacial. Esta geração foi realizada no aplicativo CFX-Mesh, o qual possibilita a
construção de uma malha não estruturada, composta de tetraedros e prismas. No
caso em estudo, a geração da malha espacial foi realizada de modo a se obter
48
elementos tetraédricos no centro do tubo e elementos prismáticos nas regiões
próximas as paredes. Esta diferenciação foi feita para se poder ter uma malha mais
refinada nas porções próximas às paredes, onde os efeitos percebidos são de
menor escala.
Uma vez definida a geometria e gerada a malha espacial, partiu-se para a etapa de
definição das condições iniciais e de contorno, definição do tipo de escoamento
(laminar ou turbulento) e definição do regime de escoamento (permanente ou
transiente). Estas definições são feitas no aplicativo CFX Pre.
Com o cumprimento dos passos acima, levou-se o arquivo de saída do CFX Pre
para o aplicativo CFX Solver, no qual são resolvidas as equações de transporte e
conservação.
Os resultados desta etapa foram visualizados no CFX Post, de onde exportou-se os
dados para as transformações de coordenadas mencionadas acima.
Além da representação geométrica do reator e definição das condições iniciais e de
contorno no modelo computacional, a implementação necessita de uma fase onde
testa-se a discretização do domínio de cálculo de modo que os resultados sejam
praticamente independentes da malha espacial empregada. O modo como este teste
foi feito será descrito no tópico Geração da Malha Espacial e Teste de Malhas.
Posteriormente ao refinamento da malha de cálculo, deve-se comparar os resultados
numérico-computacionais com medidas físicas a fim de observar se o modelo é
válido para o caso em estudo. Este procedimento será descrito no tópico Calibração
e Validação do Modelo.
4.4.1 R
EPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS CONFIGURAÇÕES ESTUDADAS
As representações geométricas dos problemas estudados foram realizadas com o
auxílio do aplicativo DesignModeler. Este aplicativo possibilita a construção de
49
geometrias complexas se valendo de ferramentas de desenho tridimensionais. O
resultado desta representação pode ser vista na Figura 4.1.
4.4.2 GERAÇÃO DA MALHA ESPACIAL E TESTE DE MALHAS
Concluída a etapa de construção das geometrias, procedeu-se a geração da malha
espacial. Esta malha é gerada para discretizar o domínio de cálculo, dividindo-o em
pequenos volumes onde são feitas as aproximações numéricas. No entanto, para
um melhor desempenho da simulação numérica faz-se necessária a realização de
um teste de malha.
O teste de malha tem a finalidade de refinar a malha espacial do problema de modo
a obter-se os melhores desempenhos da simulação computacional, uma vez que
malhas muito grosseiras, embora consumam relativamente menos tempo de
processamento, podem desprezar efeitos de pequena escala e malhas muito
refinadas podem aumentar muito o esforço computacional. Este procedimento foi
feito simulando malhas cada vez mais refinadas até que as diferenças entre os
valores dos gradientes locais de velocidade e velocidade axial não apresentassem
variações consideráveis de uma malha para outra.
O CFX discretiza o domínio de cálculo por meio de uma malha não estruturada. O
aplicativo cria elementos tetraédricos, no qual o tamanho máximo das arestas de
cada elemento criado é definido. Além dos tetraedros, é possível também a criação
de elementos prismáticos próximos às fronteiras sólidas do modelo. Estes prismas
são gerados por uma sucessão de curvas, com o formato da seção de escoamento,
que interceptam a malha dos tetraedros. Neste caso, define-se o local onde serão
criados, a quantidade de curvas e um fator de escala para o espaçamento entre
elas. A construção desta porção de prismas possibilita que os elementos gerados
tenham suas faces perpendiculares e/ou paralelas à direção principal do
escoamento, assim como um maior número de nós nas regiões onde observa-se
grandes gradientes de velocidade (próximo às fronteiras físicas).
50
Neste estudo foram simuladas 3 malhas distintas, para a geometria 1 (d = 0,0125m e
D = 0,1125m) e vazão de 4l.min
-1
(6,67.10
-5
m
3
.s
-1
), variando-se a espessura da
camada de prismas. A Figura 4.4 apresenta a visualização de uma seção onde se
nota a diferença entre as malhas.
Nota-se nesta figura que a porção da malha constituída de tetraedros (porção
central) não foi alterada. Fez-se apenas alterações na quantidade de prismas
contidos na porção reservada para este tipo de volume de controle.
Figura 4.4 - Visualização das malhas construídas. (a) malha 1; (b) malha 2; (c) malha 3.
Para se quantificar as diferenças entre os valores de velocidade axial e dos
gradientes locais de velocidade obtidos para os diferentes tamanhos de malhas,
foram construídos 15 planos locados ao longo do reator. O primeiro plano foi locado
a um quarto de volta da entrada do reator, e os demais, distanciados entre si por um
quarto de volta, cobrindo 4 voltas. Este procedimento foi o mesmo empregado para
as análises posteriores e será melhor elucidado mais adiante.
Para esta comparação, foram amostrados em cada um dos 15 planos, 100 pontos
locados sobre uma linha vertical coincidente com o diâmetro e 100 pontos locados
em uma linha horizontal, também coincidente com o diâmetro do reator.
Após a construção dos planos e as amostragens verticais e horizontais, foram
calculados os Erros Quadráticos Médios Normalizados (EQMN), definido pela
Equação (4.11), para cada um dos planos amostrados.
(a)
(b) (c)
51
()
∑
=
−
=
T
i
i
ref
i
refi
a
aa
T
EQMN
1
2
2
1
(4.11)
onde: a
i
= valor do parâmetro amostrado na malha menos refinadas, no ponto i;
a
ref i
= valor do parâmetro amostrado na malha de referência (mais refinada),
no ponto i;
T = número total de pontos analisado.
4.4.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO
No presente estudo, todas as simulações foram executadas considerando-se regime
estacionário.
Adotou-se também que o escoamento no interior de todas as unidades estudadas
encontrava-se em regime laminar. Esta condição foi adotada pois em todas as
condições estudadas (exceto para o caso da geometria com menor diâmetro interno
(0,00794m) e maior vazão (Q = 4l.min
-1
= 6,67.10
-5
m
3
.s
-1
)), os valores de número de
Reynolds não alcançaram o valor crítico deste parâmetro para tubos helicoidais.
Embora um dos casos tenha apresentado um número de Reynolds superior ao
crítico, optou-se por simulá-lo também em regime laminar porque os dados
experimentais empregados na validação do modelo eram laminares. Deste modo,
não se poderia afirmar que o modelo também seria válido para casos turbulentos.
Com base no exposto acima, foram adotadas as seguintes condições:
Entrada:
Na seção de entrada, foi dada como condição a vazão mássica. Esta
vazão mássica foi obtida a partir dos valores de vazão volumétrica
estudados (1, 2 e 4 l.min
-1
) e adotando-se o valor de massa específica da
água como 0,997 kg.l
-1
, à temperatura ambiente. Deste modo, chegou-se
aos valores de vazão mássica, correspondentes respectivamente a cada
uma das vazões volumétricas, de 0,01662 kg.s
- 1
; 0.03323 kg.s
-1
e.
0,06647 kg.s
-1
52
Saída: Na seção de saída, adotou-se os mesmos valores de vazão mássica
adotados na seção de entrada.
Paredes: Nos contornos sólidos das geometrias, adotou-se a condição de
hidraulicamente lisa (smooth wall) e componentes de velocidade nulos.
Para todos os casos estudados, adotou-se uma pressão de referência de 0 Pa. Esta
pressão de referência é aconselhada pelo manual do aplicativo para obter-se
pressões absolutas quando da análise dos resultados. Isto é, se adotássemos algum
valor diferente de zero, todos os dados de pressão observados na análise dos
resultados deveriam ter este valor subtraído para termos as pressões absolutas.
4.4.4 CALIBRAÇÃO E VALIDAÇÃO DO MODELO
A calibração de modelos numéricos é feita através de ajustes no valor de parâmetros
inexatos conhecidos (por exemplo, constantes empregadas nos modelos de
turbulência) de modo a promover um bom ajuste entre os valores simulados e
medidos ou obtidos por soluções analíticas.
Devido à dificuldade de se obter dados experimentais de escoamento no interior de
tubos helicoidalmente enrolados, utilizaram-se neste estudo os dados de Yu et al.
(2003) que mediram experimentalmente valores de velocidade do escoamento
dentro de tubos helicoidalmente enrolados para uma faixa de número de Reynolds
compreendida no intervalo onde o escoamento é considerado laminar. Assim, uma
dificuldade encontrada para a calibração deste modelo a partir dos dados de Yu et
al. (2003) foi que estes autores estudaram apenas uma faixa de números de
Reynolds que garantisse o estado laminar do escoamento. Por isso, quando estas
situações foram simuladas, não foi empregado nenhum modelo de turbulência e, por
conseqüência, não havia constantes que pudessem ter seus valores variados para
53
um melhor ajuste, passando-se assim diretamente para a etapa de validação do
modelo.
Na etapa de validação deve-se assegurar a possibilidade de utilização do modelo na
representação de outras condições geométricas ou de escoamento. Isso é feito
confrontando-se os resultados obtidos com o modelo e os medidos em laboratório
(SALGADO, 2004).
A validação do modelo foi feita com base em campos de velocidade encontrados por
Yu et al. (2003), para os números de Reynolds de 500, 1000 e 2000.
A comparação dos dados experimentais de Yu et al. (2003) com os produzidos pelo
modelo, foi feita por meio de um parâmetro sugerido por Rauen (2001), denominado
EPA (Erro Percentual de Área), que representa a percentagem de área não
coincidente entre as curvas medida e calculada.
4.5 ANÁLISE DO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE FLOCULADORES TUBULARES
HELICOIDAIS
Nesta etapa, foram analisados os valores de gradiente de velocidade e velocidade
axial, em diversas seções ao longo do reator.
Para esta análise, do mesmo modo que no teste de malhas, foram construídos 15
planos locados, a partir da entrada do reator, a cada um quarto de volta (Figura 4.5),
numerados em ordem crescente na direção do escoamento.
Como o aplicativo resolve as equações em um sistema cartesiano de coordenadas,
foi necessário transformar as coordenadas para o sistema de coordenadas
introduzido por Germano (1989). Este sistema de coordenadas (Figura 4.6)
considera um eixo tangencial à linha central do tubo formador do helicóide, um eixo
normal a esta curva, e um eixo binormal, resultado do produto vetorial dos dois
primeiros.
54
Por este motivo, foram criadas matrizes de transformação (translação e rotação)
distintas para cada um dos planos amostrais em cada uma das geometrias
estudadas.
Estas matrizes transladam o centro do sistema de coordenadas para o centro da
seção (plano) em estudo, e aplicam uma rotação de modo a coincidir o eixo x do
sistema de coordenadas do CFX com o eixo normal do sistema de coordenadas de
Germano (1989), o eixo y com o eixo tangencial e o eixo z, com o eixo binormal.
Figura 4.5 - Localização dos planos amostrais. (a) perspectiva isométrica; (b) vista frontal; (c) vista
lateral.
Para a translação do centro do sistema de coordenadas do CFX para o centro da
seção (plano) em estudo, as coordenadas de cada ponto amostrado foram
diminuídas das coordenadas do centro do plano; ambas coordenadas no sistema
utilizado pelo CFX. As coordenadas do centro de cada um dos planos, em cada uma
(a)
(c)
(b)
55
das geometrias estudadas, e seus respectivos ângulos de rotação são apresentadas
no ANEXO 1.
E, para a rotação, multiplicou-se as coordenadas de cada ponto, assim como as
componentes da velocidade, pelas matrizes de transformação correspondentes.
Estas matrizes são apresentadas no ANEXO 2.
Figura 4.6 - Sistema de coordenadas helicoidais. x
1
corresponde ao eixo x, x
2
, ao eixo y e x
3
ao eixo
z. (Adaptado de Germano, 2003).
Nas matrizes de translação, os pontos dependem da geometria pois, como cada
uma apresenta um diâmetro de tubo distinto, a localização de cada centro também
será distinta. Já as matrizes de rotação, como são definidas em função de senos e
cossenos, variando de geometria para geometria apenas o ângulo de rotação,
puderam ser definidas apenas um conjunto de matrizes correspondentes a uma das
configurações e, para cada uma das outras, variou-se o ângulo de rotação. O ângulo
de rotação representa o ângulo de inclinação de cada volta em relação à vertical.
Cabe salientar que o gradiente de velocidade foi calculado a partir da Equação
(4.12) (CAMP e STEIN, 1943 apud CAMP, 1953), com os dados dos gradientes
pontuais unidirecionais exportados do CFX, antes da transformação das
coordenadas. Como o resultado da Equação (4.12) é um escalar, este valor não
necessitou de transformação de coordenadas.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
2
2
2
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
G
p
(4.12)
onde: G
p
= gradiente de velocidade absoluto no ponto;
u,v e w = componentes da velocidade nas direções x, y e z, respectivamente.
56
Após a transformação das coordenadas, gerou-se grades interpoladas, pelo método
de triangulação, do gradiente de velocidade e de todas as componentes da
velocidade. Para tanto, foi empregado o aplicativo Surfer versão 7.0, da empresa
Golden Software. A geração dessas grades possibilitou a construção de mapas de
vetores, para a visualização do escoamento secundário (tangencial à seção do
tubo), e mapas de isocontornos, para a visualização dos perfis de velocidade axial e
gradiente de velocidade.
De posse dessas grades, procedeu-se a amostragem de velocidade axial e
gradiente de velocidade, em linhas horizontais e verticais, coincidentes com o
diâmetro do tubo formador do reator, em cada um dos planos estudados.
Deste modo, cada plano teve quatro amostragens: uma horizontal e uma vertical da
velocidade axial e uma horizontal e uma vertical do gradiente de velocidade.
Em cada uma das linhas, foram coletadas 100 amostras dos parâmetros de
interesse. A partir dos dados amostrados construíram-se gráficos dos perfis de
velocidade axial e gradiente de velocidade para proceder a análise dos resultados.
C
APÍTULO 5
RESULTADOS E DISCUSSÕES
57
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste capítulo, são apresentados e discutidos os resultados obtidos nas simulações.
Todos os resultados foram analisados com as coordenadas e velocidades
transformadas para o sistema de coordenadas apresentado por Germano (1989).
Por este motivo, as velocidades u, v e w, assim como as coordenadas x, y e z
correspondem aos eixos normal, binormal e tangencial, respectivamente,
empregados no sistema de Germano (1989).
5.1 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO
A modelagem numérica do escoamento no interior de unidades de contato é uma
ferramenta que tem ajudado a melhor compreender e dimensionar este tido de
reator. No entanto, estes modelos só podem ser considerados válidos, quando a
comparação de seus resultados com resultados experimentais apresente um resíduo
inferior a um certo valor máximo, estabelecido conforme o grau de detalhe que se
necessita para compreensão dos fenômenos de interesse. Quanto menor o valor
máximo estabelecido para o resíduo, mais próximo à realidade será o produto do
modelo.
Contudo, uma das grandes dificuldades de se validar um modelo numérico está na
escassez de dados experimentais. Um dos grandes problemas da aquisição de
dados experimentais está no alto custo de equipamentos de medida que não
perturbam o escoamento, como é o caso dos equipamentos de medição a laser.
Por falta de dados que cobrissem o intervalo de número de Reynolds observado no
estudo de Carissimi (2003) (de 3800 a 19000), empregou-se o trabalho de Yu et al.
(2003), na validação do modelo numérico utilizado neste estudo, o qual disponibiliza
dados medidos de velocidade.
58
Estes autores mediram o campo de velocidades por meio de LDA (Laser Doppler
Anemometry) em três configurações de tubos helicoidalmente enrolados, variando o
raio interno do tubo e o passo do enrolamento helicoidal em um intervalo de número
de Reynolds de 500 a 2000.
Yu et al. (2003) fizeram as medidas de velocidade na terceira volta do enrolamento
helicoidal, na posição correspondente a 180º a partir do início desta volta. Para estas
medidas, os autores estabeleceram duas linhas de amostragem na seção do tubo:
uma vertical e outra horizontal. Deste modo, os dados numéricos aqui gerados
também foram analisados nessas linhas.
Para a comparação, simulou-se a configuração estudada por Yu et al. (2003) que
apresenta raio interno do tubo de 0,0047m, passo de 0,0318m e raio do enrolamento
de 0,0637m. Fez-se a análise para os valores de números de Reynolds de 500,
1000 e 2000. Seguindo o mesmo princípio empregado pelos autores em suas
simulações numéricas, o modelo construído apresenta somente duas voltas e as
comparações foram feitas na segunda volta, em uma posição correspondente a uma
distância angular, do início desta volta, de 180º, coincidindo com a posição por eles
analisada.
O gráfico da Figura 5.1 apresenta a variação do resíduo percentual entre as áreas
abaixo das curvas medidas e calculadas em função do número de Reynolds. E a
Figura 5.2 apresenta o comportamento do resíduo médio e médio quadrático (RMS),
nas linhas de amostragem horizontal e vertical, observados entre os dados medidos
e calculados, em função deste mesmo parâmetro.
Comparando as áreas das curvas de velocidade axial obtidas pelo modelo numérico
com as áreas das curvas formadas pelos pontos de velocidade axial amostrados por
Yu et al. (2003), observa-se os menores resíduo para o caso em que o número de
Reynolds apresenta um valor de 2000 e, os maiores resíduos, observados para a
condição de número de Reynolds igual a 1000. Na comparação feita na linha de
amostragem horizontal, o resíduo percentual de área, para a condição de
escoamento onde Re=2000, é da ordem de 6%, significando que nesta posição o
modelo subestima os valores de velocidade axial, isto é, a área abaixo da curva
formada pelos pontos amostrais é superior a área abaixo da curva obtida pelo
59
modelo numérico. Já na análise da linha de amostragem vertical, esta diferença cai
para um valor ligeiramente inferior a -1%. Este valor negativo representa que o
modelo matemático, nesta posição, superestima os valores de velocidade axial,
tornando a área abaixo da curva obtida pelo modelo cerca de 1% superior à área
calculada abaixo da curva formada pelos pontos amostrais de Yu et al. (2003).
No trabalho de Yu et al. (2003) os autores explicam que suas medidas de velocidade
axial apresentam um erro da ordem de 5%. Desta forma, pode-se dizer que os
desvios observados globalmente entre o modelo e os dados amostrais, para a
condição de Re = 2000, então dentro do intervalo dos erros de amostragem.
As Figuras 5.3, 5.4 e 5.5 apresentam a comparação dos dados gerados pelo modelo
numérico com os dados amostrais para os três valores de números de Reynolds
estudados, para a linha de amostragem horizontal.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250
Re
Resíduo, %
% Área - Linha Horizontal
% Área - Linha Vertical
Figura 5.1 - Variação do resíduo percentual entre as curvas medidas e calculadas, em função do
número de Reynolds.
60
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250
Re
Resíduo
Médio - Linha Horizontal
RMS - Linha Horizontal
Médio - Linha Vertical
RMS - Linha Vertical
Figura 5.2 - Variação do resíduo médio e quadrático médio entre as curvas medidas e calculadas, em
função do número de Reynolds.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x/r
U
ax
/U
med
Vel. Axial CFX Horizontal PL180 Vel. Axial Experimental Horizontal
Figura 5.3 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados amostrais
(Re=500; linha de amostragem horizontal).
61
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x/r
U
ax
/U
med
Vel. Axial CFX Horizontal PL180 Vel. Axial Experimental Horizontal
Figura 5.4 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados amostrais
(Re=1000; linha de amostragem horizontal).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x/r
U
ax
/U
med
Vel. Axial CFX Horizontal PL180 Vel. Axial Experimental Horizontal
Figura 5.5 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados amostrais
(Re=2000; linha de amostragem horizontal).
62
Embora o menor resíduo pontual máximo seja observado para a condição onde Re =
500, nota-se um melhor ajuste entre as curvas medida e amostrada para o caso
onde Re = 2000, uma vez que neste caso, desvios superiores a 0,10 (10%)
começam a ser percebidos nos 15% finais da seção (a partir de x/r = 0,7), enquanto
que no caso onde Re = 500, desvios dessa magnitude já são observados 10%
antes, isto é, nos 25% finais (x/r = 0,5).
Já na comparação executada na linha de amostragem vertical (Figuras 5.6, 5.7 e
5.8), tanto os resíduos pontuais quanto o melhor ajuste são percebidos na situação
onde Re = 2000, tendo a situação onde Re = 1000 o maior resíduo pontual máximo,
porém um ajuste melhor do que o caso onde Re = 500.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x/r
U
ax
/U
med
Vel. Axial CFX Vertical PL180 Vel. Axial Experimental Vertical
Figura 5.6 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados amostrais
(Re=500; linha de amostragem vertical).
63
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x/r
U
ax
/U
med
Vel. Axial CFX Vertical PL180 Vel. Axial Experimental Vertical
Figura 5.7 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados amostrais
(Re=1000; linha de amostragem vertical).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x/r
U
ax
/U
med
Vel. Axial CFX Vertical PL180 Vel. Axial Experimental Vertical
Figura 5.8 - Comparação dos dados gerados pelo modelo numérico com os dados amostrais
(Re=2000; linha de amostragem vertical).
64
Observando-se os resíduos encontrados em outros trabalhos de fluidodinâmica
computacional executados para configurações tubulares helicoidais, como o caso
dos trabalhos de Webster e Humphrey (1996) e Lin e Ebadian (1997), nota-se um
resíduo da ordem de 5%. Levando-se em conta outros trabalhos de fluidodinâmica
computacional, aplicados as diversas áreas da engenharia (CALIS et al., 2001 e
BARTAK et al., 2002), observa-se desvios médios da ordem de 10%. Assim, pode-
se dizer que os desvios aqui observados estão condizentes com os praticados na
literatura. Deste modo, pode-se considerar validado o modelo aqui empregado.
5.2 TESTE DE MALHA
O teste de malha foi executado de modo a obter-se uma malha de cálculo que
forneça informações suficientemente precisas, para o tipo de análise aqui
executada, com mínimo esforço computacional.
No aplicativo utilizado, a discretização é realizada com elementos tetraédricos. No
entanto, para se conseguir observar alguns efeitos típicos do escoamento em tubos
helicoidalmente enrolados, tais como o escoamento secundário, seria necessária
uma malha muito refinada, com elementos de volume muito pequenos, o que
acarretaria em um grande esforço computacional. Porém, este aplicativo fornece
também a opção de discretização do volume por um misto de elementos tetraédricos
com elementos prismáticos, sendo que os primeiros ocupando a porção central do
reator e os últimos, próximos aos limites sólidos do problema. Deste modo, fez-se,
em primeiro lugar, uma análise qualitativa de que tamanho deveria ter essa região
de prismas para que o problema não necessitasse de um esforço computacional
muito grande, mas que já apresentasse os efeitos provenientes da curvatura e
torção do reator. Definiu-se assim também, o tamanho máximo de aresta que um
elemento tetraédrico poderia ter. Esse tamanho máximo foi estimado em 8% do
tamanho do diâmetro do tubo. Assim, chegou-se a uma espessura total da camada
65
de prismas igual a 3 vezes o máximo tamanho de aresta dos volumes de controle
tetraédricos, correspondendo a 24% do diâmetro do tubo.
Após a análise qualitativa, fez-se o teste de malha variando-se a quantidade de
camadas de prismas, dentro da espessura total destinada para este fim.
Na malha menos refinada, adotou-se que a espessura total da camada de prismas
seria dividida em 10 porções, com espessura crescente, sendo o fator de
crescimento igual a 1,2. Na segunda malha, de refinamento intermediário, dobrou-se
a quantidade de camadas, isto é, 20 porções, com o mesmo fator de crescimento da
espessura. E, por fim, na malha mais refinada, dobrou-se a quantidade de camadas
novamente, dividindo-a em 40 porções, com o mesmo fator de crescimento da
espessura.
Deste modo, o número total de tetraedros não foi alterado em nenhuma das malhas
testadas. A variação foi feita somente com relação ao número total de prismas
gerados. A Tabela 5.1 abaixo apresenta a quantidade de elementos de cada uma
das malhas.
Tabela 5.1 - Dados dos elementos das malhas testadas.
Malha
Número
total de
nós
Número
total de
elementos
Número
total de
tetraedros
Número
total de
prismas
1 671.239 1.637.395 532.395 1.105.000
2 1.224.059 2.742.395 532.395 2.210.000
3 2.329.699 4.952.395 532.395 4.420.000
Para a definição de qual malha seria realmente utilizada, comparou-se os resultados
de velocidade axial (velocidade na direção principal do escoamento) e de gradiente
de velocidade, obtidos a partir da solução com cada uma das malhas estudadas,
para os 15 planos locados ao longo do reator.
As Figuras 5.9 e 5.10 apresentam os erros quadráticos médios normalizados,
observados na comparação dos resultados de velocidade axial e gradiente de
velocidade, obtidos com o emprego da malha 1 em relação à malha 3 (referência). E
as Figuras 5.11 e 5.12, apresentam esses desvios comparando os resultados da
malha 2 com os resultados da malha 3 (referência).
66
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
3,5%
0123456789101112131415
Plano
EQMN
Vax Linha Horizontal Vax Linha Vertical
Figura 5.9 - Erros quadráticos médios normalizados, observados na comparação dos resultados de
velocidade axial obtidos com o emprego da malha 1 e da malha 3.
0,0%
10,0%
20,0%
30,0%
40,0%
50,0%
60,0%
70,0%
80,0%
90,0%
100,0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415
Plano
EQMN
G Linha Horizontal G Linha Vertical
Figura 5.10 - Erros quadráticos médios normalizados, observados na comparação dos resultados de
gradiente de velocidade obtidos com o emprego da malha 1 e da malha 3.
67
0,00%
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,30%
0,35%
0123456789101112131415
Plano
EQMN
Vax Linha Horizontal Vax Linha Vertical
Figura 5.11 - Erros quadráticos médios normalizados, observados na comparação dos resultados de
velocidade axial obtidos com o emprego da malha 2 e da malha 3.
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
3,5%
4,0%
4,5%
5,0%
0123456789101112131415
Plano
EQMN
G Linha Horizontal G Linha Vertical
Figura 5.12 - Erros quadráticos médios normalizados, observados na comparação dos resultados de
gradiente de velocidade obtidos com o emprego da malha 2 e da malha 3.
Como pode ser observado nas Figuras 5.9, 5.10, 5.11 e 5.12, a comparação entre
as malhas 1 e 3, para o caso da velocidade axial, fornece um erro quadrático médio
normalizado (EQMN) cerca uma ordem de grandeza maior do que o EQMN
observado na comparação entre as malhas 2 e 3. Já no caso do gradiente de
68
velocidade, o EQMN observado na comparação entre as malhas 1 e 3 também
apresenta-se superior ao EQMN obtido da comparação entre as malhas 2 e 3, no
entanto não tão pronunciado, mas alcançando valores até 6 vezes superiores.
Ainda, os EQMN observados para o gradiente de velocidade, na comparação das
duas malhas mais refinadas, não supera 5%. Já para a velocidade axial, os EQMN
observados não superam os 0,35%.
Por estes motivos, e considerando que a precisão de equipamentos de medida de
velocidades em modelagens físicas são inferiores aos observados na comparação
dessas malhas, considerou-se a malha 2 como uma malha suficientemente refinada
para o problema em questão. Deste modo, todas as simulações foram realizadas
empregando-se esta discretização. Outro fato que levou a escolha dessa malha foi a
redução considerável do esforço computacional. Para a malha 3, o problema
convergia com cerca de 18 horas de processamento efetivo (uso da CPU), enquanto
que com a malha 2, este tempo se reduziu para cerca de 8 horas.
Outra observação importante é o fato de os maiores desvios percentuais de
velocidade axial serem verificados nas regiões próximas aos contornos sólidos do
problema, como pode ser observado nas Figuras 5.13 e 5.14 (velocidade axial). Os
maiores desvios percentuais nestas regiões devem-se, possivelmente, aos
pequenos valores de velocidade axial observados nestas porções, o que pode
acarretar desvios percentuais mais elevados. Contudo, os desvios não alcançaram
1%.
Observando as Figuras 5.15 e 5.16 nota-se que os desvios percentuais entre os
dados de gradiente de velocidade das malhas 2 e 3 apresentam-se superiores aos
desvios percentuais observados na comparação entre os valores de velocidade
axial. No entanto, em nenhum ponto observaram-se desvios superiores a 5%.
69
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
y/r
V ax (m/s)
0,00%
0,10%
0,20%
0,30%
0,40%
0,50%
0,60%
0,70%
0,80%
0,90%
Desvio
Malha 2 Malha 3 Desvio
Figura 5.13 - Comparação dos resultados de velocidade axial, amostrados em uma linha vertical
coincidente com o diâmetro do tubo, no plano 8, empregando-se as malhas 2 e 3.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x/r
V ax (m/s)
0,00%
0,10%
0,20%
0,30%
0,40%
0,50%
0,60%
0,70%
Desvio
Malha 2 Malha 3 Desvio
Figura 5.14 - Comparação dos resultados de velocidade axial, amostrados em uma linha horizontal
coincidente com o diâmetro do tubo, no plano 8, empregando-se as malhas 2 e 3.
70
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
2250
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
y/r
G(s
-1
)
0,00%
0,50%
1,00%
1,50%
2,00%
2,50%
3,00%
3,50%
4,00%
4,50%
Desvio
Malha 2 Malha 3 Desvio
Figura 5.15 - Comparação dos resultados de gradiente de velocidade, amostrados em uma linha
vertical coincidente com o diâmetro do tubo, no plano 8, empregando-se as malhas 2 e 3.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x/r
G (s
-1
)
0,00%
0,25%
0,50%
0,75%
1,00%
1,25%
1,50%
1,75%
2,00%
2,25%
2,50%
Desvio
Malha 2 Malha 3 Desvio
Figura 5.16 - Comparação dos resultados de gradiente de velocidade, amostrados em uma linha
horizontal coincidente com o diâmetro do tubo, no plano 8, empregando-se as malhas 2 e 3.
71
5.3 O ESCOAMENTO
Yu et al. (2003) relataram que o escoamento em configurações helicoidalmente
enroladas apresenta estabilidade, isto é, não apresentam mais variações
significativas nos perfis de velocidade axial a partir da segunda volta do helicóide.
No entanto, para o caso em estudo, como pode ser observado na Figura 5.17, que
apresenta a variação dos valores médios do gradiente de velocidade (G) e da
velocidade axial (Vax) ao longo das voltas do reator, o escoamento torna-se
praticamente uniforme em torno da metade do comprimento da segunda volta.
Considerando-se que os floculadores tubulares helicoidais possuem um número
elevado de voltas (32 no caso de Carissimi (2003)), o espaço percorrido pelo fluido
até o escoamento tornar-se constante é praticamente desprezível. No ANEXO 3, são
apresentados os mapas de isocontornos de gradiente de velocidade para cada um
dos planos amostrais, mas mesmas condições da Figura 5.17. Na observação
destes mapas, notae-se que a partir do plano 7 (1,75 voltas) não ocorrem variações
significativas dos isocontornos, reforçando as observações acima.
156.00
160.00
164.00
168.00
172.00
176.00
180.00
184.00
188.00
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4
Voltas
G med (s-1)
0.550
0.552
0.554
0.556
0.558
0.560
0.562
0.564
0.566
V ax med (m/s)
G V axial
Figura 5.17 - Variação dos valores médios do gradiente de velocidade e da velocidade axial ao longo
do reator. Condições: d = 0,0125m; D = 0,1125m; Q = 4l.min
-1
(6,67.10
-5
m
3
.s
-1
).
72
Diferentemente dos reatores hidráulicos chicanados, muito empregados atualmente
em países em desenvolvimento como o Brasil, onde o escoamento é obrigado a
seguir por um longo trecho retilíneo, de baixos valores de G, e mudar de direção
abruptamente, ocasionando um aumento repentino no valor deste parâmetro
(HAARHOF e VAN DER WALT, 2001; SALGADO, 2006), um floculador construído
em formato tubular helicoidal, apresenta uma constância nos valores médios de G
(Figura 5.17), desfavorecendo a quebra de flocos ora formados. Esta é uma das
características que conferem aos floculadores tubulares helicoidais uma maior
uniformidade na formação dos flocos, como observado por Carissimi (2003).
5.3.1 ESCOAMENTO SECUNDÁRIO, VELOCIDADE AXIAL E GRADIENTE DE VELOCIDADE
Como pode ser visto nas Figuras 5.18, 5.19 e 5.20, a velocidade axial além de sofrer
influência da curvatura do tubo, sofre influência do escoamento secundário que
altera seu perfil. O perfil horizontal de velocidade axial apresenta dois picos de
máxima velocidade coincidentes com os pontos onde se nota a presença dos
vórtices do escoamento secundário. Já no perfil vertical, observa-se a máxima
velocidade axial na porção próxima do lado externo ao enrolamento do reator. Este
pico no perfil vertical é devido à tendência do escoamento em manter-se em linha
reta, o que não é possível devido aos contornos sólidos do reator.
Curvas semelhantes, tanto no perfil horizontal quanto no vertical, já foram
apresentadas por diversos autores (HUTTL e FRIEDRICH, 2000; HUTTL e
FRIEDRICH, 2001; YU et al., 2003). Embora as curvas apresentadas por Huttl e
Freidrich (2000) e Huttl e Freidrich (2000) terem sido obtidas para escoamentos
turbulentos, estes efeitos também são observados em escoamentos laminares
(HUTTL e FRIEDRICH, 2001; YU et al., 2003), caso em estudo no presente trabalho.
Por este motivo, pode-se considerar que os resultados aqui apresentados estão de
acordo com os relatados na literatura.
73
Figura 5.18 - (a) Escoamento secundário; (b) Isolinhas de velocidade axial normalizada pela
velocidade média na seção.
0.00E+00
2.00E-01
4.00E-01
6.00E-01
8.00E-01
1.00E+00
1.20E+00
1.40E+00
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
V / Vmed
Figura 5.19 - Perfil horizontal (A-A’) da velocidade axial. Condições: idem Figura 5.18.
74
0.00E+00
2.00E-01
4.00E-01
6.00E-01
8.00E-01
1.00E+00
1.20E+00
1.40E+00
1.60E+00
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
V / Vmed
Figura 5.20 - Perfil vertical (B-B’) da velocidade axial. Condições: idem Figura 5.18.
A Figura 5.21 apresenta os isocontornos de gradiente de velocidade. Na análise
desta figura nota-se a grande região praticamente constante presente no centro do
tubo, assim como os picos percebidos nos perfis horizontal e vertical. Nota-se
também dois pequenos contornos fechados próximos as coordenadas x/r = ± 0,6 e
y/r = -0,4 (círculos indicados na Figura 5.21). Se compararmos a localização destes
contornos fechados com o mapa de vetores de escoamento secundário (Figura
5.18(a)), percebe-se que nestes locais ocorrem algumas recirculações resultantes do
escoamento secundário, perpendicular à direção principal do escoamento. Este fato
demonstra a influência deste escoamento no valor do gradiente de velocidade.
Figura 5.21 - Isolinhas de gradiente de velocidade normalizado pelo gradiente de velocidade médio
no plano. Condições: idem Figura 5.18.
75
Com base na Figura 5.18(a), pode-se esperar que os maiores gradientes de
velocidade sejam percebidos nas regiões próximas aos contornos sólidos do
problema. De fato, analisando a Figura 5.22, que apresenta o perfil horizontal do
gradiente de velocidade normalizado, nota-se que os picos de gradiente realmente
ocorrem próximos às paredes do reator. Já no perfil vertical (Figura 5.23), os
maiores valores são notados próximo à parede externa ao enrolamento do reator,
com um pequeno aumento local na porção próxima a parede interna ao
enrolamento. Estes valores elevados próximos às paredes no perfil horizontal e no
lado externo ao enrolamento, observado no perfil vertical mostram-se coerentes com
os resultados apresentados por Galier et al. (2003), os quais mediram o gradiente de
velocidades nas regiões próximas às paredes em tubos helicoidais com medidas
eletroquímicas.
Os picos observados tanto no perfil horizontal quanto no vertical são devidos à
condição de não escorregamento entre o fluido e os contornos sólidos, o que
significa velocidade nula na parede.
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
6.00E+00
7.00E+00
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
G / Gmed
Figura 5.22 - Perfil horizontal (A-A’) do gradiente de velocidade normalizado. Condições: idem Figura
5.18.
De fato, observando os perfis de velocidade axial (Figuras 5.19 e 5.20) nota-se que
este parâmetro deixa de ser nulo, crescendo rapidamente a uma distância inferior a
10% do diâmetro, em ambos os lados. No caso do perfil horizontal, nesta distância a
velocidade axial sai de seu valor mínimo e assume seu valor máximo. O mesmo
ocorre na porção onde x é positivo, no perfil vertical.
76
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
6.00E+00
7.00E+00
8.00E+00
9.00E+00
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
G / Gmed
Figura 5.23 - Perfil vertical (B-B’) do gradiente de velocidade normalizado. Condições: idem Figura
5.18.
5.3.2 INFLUÊNCIA DA VAZÃO NO PADRÃO DE ESCOAMENTO
Do mesmo modo da variação do diâmetro, para avaliar a influência da vazão no
padrão de escoamento, os resultados aqui comparados foram medidos no plano 8,
coincidente com o final da segunda volta. Igualmente, foram construídas duas linhas
de amostragem, uma horizontal e uma vertical. Também foram analisados os
parâmetros gradiente de velocidade e velocidade axial.
5.3.2.1 Gradiente de Velocidade
A vazão se mostrou bastante influente no perfil do gradiente de velocidades. Como
pode ser observado na Figura 5.24 (linha de amostragem horizontal e diâmetro do
reator de 0,0125m), o aumento da vazão ocasiona um leve deslocamento dos
77
máximos gradientes de velocidade para as regiões mais próxima às paredes do
reator e aumenta seu valor consideravelmente. Observa-se também que quanto
maior a vazão, maior a região de constância do gradiente de velocidade, isto é,
aumenta-se a região da seção onde o gradiente é praticamente constante.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
G / Gmed
1 Lpml 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.24 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido na linha amostral
horizontal, para o diâmetro de 0,0125m.
0
2
4
6
8
10
12
14
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
G / Gmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.25 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido na linha amostral
vertical, para o diâmetro de 0,0125m.
78
Já na linha de amostragem vertical (Figura 5.25), nota-se maior influência na porção
coincidente com a parte externa ao enrolamento do reator. Neste ponto, o valor
máximo do gradiente de velocidade também é aumentado consideravelmente.
Contudo, na porção coincidente com a porção interna ao enrolamento do reator,
também se nota um leve aumento do valor máximo local. Além disso, do mesmo
modo que no perfil horizontal, no perfil vertical, o aumento da vazão também
aumenta a região de constância do gradiente de velocidade.
Fazendo-se as mesmas comparações para os demais diâmetros estudados, nota-se
que a redução do diâmetro faz diminuir o efeito da vazão, uma vez que é visível a
redução das diferenças entre os perfis obtidos com cada uma das vazões, como
pode ser observado nas Figuras 5.26 e 5.27 (diâmetro de 0,00952m) e 5.28 e 5.29
(diâmetro de 0,00794m).
0
2
4
6
8
10
12
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
G / Gmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.26 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido na linha amostral
horizontal, para o diâmetro de 0,00952m.
79
0
2
4
6
8
10
12
14
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
G / Gmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.27 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido na linha amostral
vertical, para o diâmetro de 0,00952m.
0
2
4
6
8
10
12
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
G / Gmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.28 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido na linha amostral
horizontal, para o diâmetro de 0,00794m.
80
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
G / Gmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.29 - Comparação do perfil do gradiente de velocidade normalizado, medido na linha amostral
vertical, para o diâmetro de 0,00794m.
5.3.2.2 Velocidade Axial
Da mesma forma que no gradiente de velocidade, o aumento da vazão faz com que
a máxima velocidade axial se desloque para posições mais próximas às paredes do
reator. Como pode ser visto na Figura 5.30, que apresenta a comparação dos perfis
horizontais de velocidade axial normalizada, obtidos com cada uma das vazões de
estudo, para o reator com diâmetro de 0,0125cm, além do aumento da vazão
deslocar os pontos de máximo deste parâmetro para regiões mais próximas às
paredes, esta variação também faz com que seu valor diminua gradativamente.
No caso do perfil vertical de velocidade axial (Figura 5.31), os maiores efeitos são
percebidos na metade externa ao enrolamento do reator. Nesta porção, percebe-se
também um deslocamento dos valores máximos para as regiões mais próximas aos
contornos sólidos. No entanto, na porção correspondente ao lado interno do
enrolamento do reator, ambos os perfis são coincidentes, com um pequeno aumento
81
nos valores de velocidade axial apenas na porção correspondente a uma distância
da parede de 10% do diâmetro.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
V / Vmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.30 - Comparação dos perfis horizontais de velocidade axial normalizada, obtidos com cada
uma das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de 0,0125m.
Analisando o perfil horizontal para os demais diâmetros estudados, não são
percebidas variações significativas na influência da vazão. Isto é, os perfis
observados para cada vazão são semelhantes, independentemente do diâmetro do
tubo. Isto pode ser visto nas Figuras 5.32 (d = 0,00952m) e 5.34 (d = 0,00794m) que
apresentam os perfis horizontais de velocidade axial normalizados
Já no perfil vertical de velocidade axial, observa-se que quanto menor o diâmetro,
maior as diferenças entre os perfis obtidos com as vazões em estudo. Nas Figuras
5.33 (d = 0,00952m) e 5.35 (d = 0,00794m) nota-se nitidamente a redução da
máxima velocidade axial na porção mais próxima a parede externa do enrolamento
do reator, e um aumento do máximo local próximo à parede interna do enrolamento.
É notório também que o valor máximo se reduz com o aumento da vazão e redução
do diâmetro.
.
82
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
V / Vmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.31 - Comparação dos perfis verticais de velocidade axial normalizada, obtidos com cada uma
das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de 0,0125m.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
V / Vmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.32 - Comparação dos perfis horizontais de velocidade axial normalizada, obtidos com cada
uma das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de 0,00952m.
83
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
V / Vmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.33 - Comparação dos perfis verticais de velocidade axial normalizada, obtidos com cada uma
das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de 0,00952m.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
V / Vmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.34 - Comparação dos perfis horizontais de velocidade axial normalizada, obtidos com cada
uma das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de 0,00794m.
84
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
x / r
V / Vmed
1 Lpm 2 Lpm 4 Lpm
Figura 5.35 - Comparação dos perfis verticais de velocidade axial normalizada, obtidos com cada uma
das vazões de estudo, para o reator com diâmetro de 0,00794m.
5.3.3 NÚMEROS ADIMENSIONAIS DE DEAN E GERMANO
Os números adimensionais de Dean (Dn) e Germano (Gn) são descritos na literatura
como os mais importantes no escoamento em tubos helicoidalmente enrolados.
Neste estudo, analisou-se estes parâmetros segundo variações de vazão e de
geometria do reator (diâmetro do tubo). Cabe salientar também que o passo adotado
em cada uma das geometrias coincidia com o diâmetro do tubo. Desta forma,
variações neste diâmetro provocam tanto variações no passo como na torção e na
curvatura do reator. A variação destes parâmetros tem influência direta nos números
adimensionais Dn e Gn.
A Figura 5.36 apresenta a variação do gradiente de velocidade com o número de
Dean. Observando esta desta figura, nota-se que as variações na geometria do
reator são mais significativas do que as variações de vazão. Isto é, para uma mesma
vazão, geometrias construídas com tubos de diâmetros diferentes resultam em
85
curvas com coeficientes angulares muito mais elevados do que variações de vazão
em uma dada geometria.
0,00E+00
1,00E+02
2,00E+02
3,00E+02
4,00E+02
5,00E+02
6,00E+02
7,00E+02
8,00E+02
0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00 3500,00
Nº de Dean
G (s-1)
Q = 1L/min Q = 2 L/min Q = 4 L/min Geometria 1 Geometria 2 Geometria 3
Figura 5.36 - Variação do gradiente de velocidade médio em função do número de Dean.
Quantitativamente, dividindo-se ∆G por ∆De, para uma mesma vazão, onde ∆G e
∆De representam a diferença entre os maiores e os menores valores dos
parâmetros considerados, encontra-se um valor de 0,696, para a vazão de 1l.min
-1
,
0,721, para vazão de 2l.min
-1
e 0,756 para a vazão de 4l.min
-1
. Já para um mesmo
diâmetro, fazendo-se o mesmo cálculo, obtém-se 0,072, para o diâmetro de
0,0125m, 0,143, para o diâmetro de 0,00952m e 0,227 para o diâmetro de
0,00794m.
Com base nestes valores, nota-se claramente a maior influência da geometria no
número de Dean, podendo ter um crescimento de até uma ordem de grandeza maior
do que o crescimento observado com variações de vazão.
86
0,00E+00
1,00E+02
2,00E+02
3,00E+02
4,00E+02
5,00E+02
6,00E+02
7,00E+02
8,00E+02
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00
Nº de Germano
G (s-1)
Q = 1L/min Q = 2 L/min Q = 4 L/min Geometria 1 Geometria 2 Geometria 3
Figura 5.37 - Variação do gradiente de velocidade médio em função do número de Germano.
Efeito semelhante se observa com a variação do número de Germano (Figura 5.37).
No entanto, neste caso, variações de geometria para uma mesma vazão,
apresentam curvas com coeficientes angulares negativos, enquanto variações de
vazão para uma dada geometria apresentam curvas semelhantes às observadas
com as variações do número de Dean. Em outras palavras, quanto maior o valor de
d, menor o valor de Gn, demonstrando uma relação de proporcionalidade inversa
entre estes dois parâmetros. No caso da vazão, a relação entre os parâmetros
apresenta-se diretamente proporcional.
Analisando quantitativamente estes parâmetros, de modo semelhante à análise feita
com o número de Dean, obteve-se os seguintes valores para a razão ∆G /∆Ge: para
a vazão de 1l.min
-1
, -27,16; para vazão de 2l.min
-1
, -28,11; e para a maior vazão
(4l.min
-1
), -29,51. Fixando-se a geometria e variando-se a vazão, obteve-se 3,06,
para o maior diâmetro (0,0125m), 8,81 para o diâmetro de 0,00952m e 17,91 para o
menor diâmetro (0,00794m).
As relações observadas entre os números adimensionais Dn e Gn e o gradiente de
velocidade mostram que, em caso de dimensionamento de um floculador tubular
87
helicoidal, para um dado valor de G, possui-se varias possibilidades de Dn e Gn.
Deste modo, o projetista deve fixar um dos parâmetros, por exemplo o diâmetro do
tubo, e cruzar com o valor de vazão que ele deseja tratar. Por intermédio de
interpolação, obtém-se um dado Dn e Gn que o norteará na escolha de diâmetro de
enrolamento e passo. Adotando o passo igual ao diâmetro do tubo, como é o caso
da maioria dos floculadores tubulares helicoidais apresentados na literatura
(GROHMANN et al., 1981; VIGNESWARAN e SETIADI, 1985; AL-HASHIMI e
ASHJYAN, 1989; ELMALEH e JABBOURI, 1991; THIRUVENKATACHARI et al.,
2002; CARISSIMI, 2003; CARISSIMI e RUBIO; 2004), faltará apenas o diâmetro do
enrolamento que pode ser calculado a partir dos valores de Dn e Gn obtidos nos
gráficos das Figuras 5.36 e 5.37.
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
1,40E+00
1,60E+00
0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00 3500,00
Nº de Dean
V ax (m/s)
Q = 1L/min Q = 2 L/min Q = 4 L/min Geometria 1 Geometria 2 Geometria 3
Figura 5.38 - Variação da velocidade axial média em função do número de Dean.
Fazendo-se uma análise da relação entre Dn e Gn com a velocidade axial (Figuras
5.38 e 5.39), nota-se relações semelhantes às observadas na análise do gradiente
de velocidade. Neste caso também, as variações de vazão são menos significativas
do que as variações de geometria (diâmetro do tubo), como pode-se perceber
analisando as inclinações das curvas das Figuras 5.38 e 5.39. De maneira
semelhante ao gradiente de velocidade, também pode-se assumir um valor de
88
velocidade axial e, cruzando com os dados das referidas figuras, encontrar valores
de Dn e Gn que ajudem a nortear a construção de um reator deste tipo.
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
1,40E+00
1,60E+00
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00
Nº de Germano
V ax (m/s)
Q = 1L/min Q = 2 L/min Q = 4 L/min Geometria 1 Geometria 2 Geometria 3
Figura 5.39 - Variação da velocidade axial média em função do número de Germano.
5.4 C
OMPARAÇÃO DO ESCOAMENTO EM FLOCULADORES TUBULARES HELICOIDAIS COM O
ESCOAMENTO EM FLOCULADORES HIDRÁULICOS CHICANADOS
Salgado (2006) realizou a análise do escoamento no interior de floculadores
chicanados, utilizando o mesmo aplicativo computacional aqui empregado. Seus
resultados demonstram zonas de recirculação logo após a mudança de
compartimento (mudança de sentido do escoamento). Estas zonas de recirculação
fazem com que o gradiente de velocidade apresente valores cerca de uma ordem de
grandeza maiores do que os observados no meio do compartimento. Este fato
também foi observado por Haarhof e Van Der Walt (2001). Estes últimos autores
89
estudaram o melhor arranjo geométrico para floculadores chicanados com o
emprego de dinâmica de fluidos computacional. Em seus resultados também
verifica-se claramente a elevação repentina do gradiente de velocidade logo após a
mudança de compartimento.
No caso de floculadores tubulares helicoidais, este aumento repentino não é notado
uma vez que não ocorrem mudanças bruscas no padrão (direção) do escoamento.
Ao invés disso, o escoamento avança de maneira espiralada.
Conforme a Figura 5.17 e os isocontornos de gradiente de velocidade apresentados
no ANEXO 3, verifica-se que o gradiente de velocidade apresenta alguma variação
significativa apenas na primeira volta do helicóide formador do reator. Após o início
da segunda volta, o gradiente de velocidade apresenta-se praticamente constante,
desfavorecendo a quebra dos flocos ora formados. É importante salientar também
que a distância percorrida pelo escoamento nos reatores tubulares até alcançar sua
estabilidade é muito pequena comparada ao comprimento total do reator. Já nos
floculadores chicanados a relação entre a distância percorrida pelo escoamento até
alcançar a estabilidade, e o comprimento total do escoamento é muito mais elevada,
como pode ser observado nos trabalhos de Teixeira (1993) e Souza (2005).
Nota-se também no escoamento em tubos helicoidalmente enrolados um elevado
valor de gradiente de velocidade próximo aos contornos sólidos do problema. Este
valor elevado próximo às paredes do reator pode favorecer a floculação, uma vez
que, conforme o estudo sobre a influência da razão de curvatura no tempo de
residência de partículas de diferentes densidades, realizado por Palazoglu e
Sandeep (2004), nota-se que, em misturas pouco concentradas (40-60g de
sólidos/kg de água), as partículas mais densas são carregadas pelo escoamento
principal, no centro do tubo, enquanto que as partículas menos densas apresentam-
se distribuídas radialmente ao longo da seção. Ainda, o movimento das partículas
mais densas empurra as partículas menos densas para as porções próximas aos
contornos sólidos.
Pensando em termos de floculação, com o crescimento dos flocos, percebe-se um
aumento na massa do agregado. Esta maior massa pode fazer com que os
agregados já formados sejam carregados pelo escoamento principal, na porção
90
central do tubo, onde o gradiente de velocidade não apresenta variações
significativas (Figuras 5.24, 5.25, 5.26, 5.27, 5.28 e 5.29). Como ocuparão uma
região de pouca variação de gradiente de velocidade, estes flocos dificilmente se
romperão e, ao contrário, possivelmente crescerão até alcançarem seu tamanho
máximo.
As partículas ainda não floculadas, com menor massa, podem apresentar
comportamento semelhante às partículas de menor densidade estudadas por
Palazoglu e Sandeep (2004). Como relatado pelos autores, estas partículas
aparecem distribuídas radialmente na seção do tubo e são empurradas pelas
partículas mais pesadas em direção aos contornos sólidos, onde o gradiente de
velocidade é mais elevado. Assim, as partículas ainda não floculadas ocuparão as
porções onde a transferência de energia da massa líquida é maior, o que possibilita
o aumento da probabilidade de choque e da efetiva floculação.
Outra comparação de grande relevância diz respeito ao tempo teórico de detenção.
Nos floculadores hidráulicos convencionais, observam-se tempos de detenção da
ordem da dezena de minutos (VIANNA, 2002; RICHTER e NETTO, 1995), enquanto
nos floculadores tubulares helicoidais os tempos de detenção ficam na casa das
dezenas de segundos (GROHMANN et al., 1981; VIGNESWARAN e SETIADI, 1986;
HAMEED et al., 1995; CARISSIMI, 2003; CARISSIMI e RUBIO, 2003). Esta rapidez
do processo deve-se possivelmente à excelente mistura proporcionada pelo
escoamento secundário que, embora faça o escoamento rodar, não aumenta a
dispersão das partículas em seu interior, apresentando uma curva de resposta à
passagem de um traçador muito próxima ao escoamento ideal tipo pistão
(CARISSIMI, 2003).
Assim, pode-se dizer que os floculadores tubulares helicoidais apresentam inúmeras
vantagens quando comparados com os floculadores hidráulicos comumente
empregados no tratamento de água e efluentes. Seus menores tempos de detenção
aliados à constância dos gradientes de velocidade, possibilitam a construção de
unidades compactas e uma maior agilidade no processo de tratamento como um
todo.
C
APÍTULO 6
CONCLUSÕES E
RECOMENDAÇÕES
91
6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
No presente estudo foram avaliadas as influências de alguns parâmetros de projeto
de floculadores tubulares helicoidais em seu comportamento hidrodinâmico, por
meio de simulação numérica computacional tridimensional. A realização destas
simulações demonstrou a importância desta ferramenta de análise de escoamento,
uma vez que possibilita o conhecimento dos perfis de velocidade e gradiente de
velocidade sem a necessidade de onerosos aparatos experimentais de medida que,
assim como nesta análise, não perturbem o escoamento.
A seguir, serão explanadas as conclusões relativas a cada etapa do trabalho.
6.1 APLICAÇÃO DO MODELO COMPUTACIONAL CFX
A aplicação do referido modelo computacional demonstrou-se adequada ao tipo de
análise executada neste trabalho, uma vez que na etapa de validação do modelo a
partir da comparação com dados experimentais não foram observados desvios
maiores do que os relatados por Yu et al. (2003) em seus equipamentos de medida.
Cabe salientar também que os melhores ajustes foram obtidos para a situação
medida pelos referidos autores na condição de Re = 2000, sendo este o valor de Re
mais próximo aos valores aqui estudados.
Embora tenha-se estudado alguns casos onde o número de Reynolds crítico para
tubos helicoidais tenha sido superado, todas as simulações foram feitas assumindo-
se escoamento laminar. Esta hipótese não influenciou na precisão dos resultados,
confirmando a robustez do referido modelo computacional.
92
6.2 TESTE DE MALHA
O teste de malha é uma etapa importante no estudo de modelos computacionais,
uma vez que quanto menores os volumes de controle, mais próximas à realidade
serão as medidas realizadas. No entanto, deve-se atentar para não se gerar um
problema que exija demasiado esforço computacional.
No caso em estudo, o refinamento foi limitado pela capacidade computacional
instalada. No entanto, embora a malha pudesse ser ainda mais refinada, a
possibilidade de construção de uma malha prismática próximo aos contornos sólidos
possibilitou a avaliação de todos os efeitos de pequena escala relevantes para o tipo
de estudo aqui realizado.
6.3 ANÁLISE DO ESCOAMENTO
Com a análise do escoamento, pode-se perceber que os floculadores tubulares
helicoidais apresentam uma constância nos valores de gradiente de velocidade ao
longo de todo seu comprimento, sendo notada alguma variação apenas na porção
inicial do reator.
É notório também que tanto o gradiente de velocidade quanto a velocidade axial
sofrem influência do escoamento secundário, típico de escoamentos em
configurações enroladas.
Os maiores valores de gradiente de velocidade observados próximos aos contornos
sólidos devem-se à condição de não escorregamento entre as paredes e o fluido.
Esta condição faz com que, em uma curta distância (correspondente a menos de
10% do diâmetro), as velocidades saiam de um valor nulo e assumam seus valores
máximos locais.
93
6.4 INFLUÊNCIA DA VAZÃO
A vazão apresentou grande influência tanto na velocidade axial quanto no gradiente
de velocidade. No perfil horizontal do gradiente de velocidade, observa-se um
deslocamento dos máximos para regiões mais próximas aos contornos sólidos do
problema, com um aumento considerável (maior do que 50%, comparando a menor
vazão com a maior) de seu valor. Outra conclusão relevante é o aumento da região
de constância do gradiente de velocidade, no centro do reator, que é aumentada
com o aumento da vazão.
No perfil vertical do gradiente de velocidade, os maiores efeitos são notados na
porção coincidente com o lado externo ao enrolamento do helicóide. Neste ponto
também os valores máximos são aumentados (cerca de 20% na comparação entre a
menor e a maior vazão) porém com menor intensidade do que no perfil horizontal.
Neste caso, a zona de gradiente de velocidade praticamente constante também é
aumentada. Entretanto, quanto menor o diâmetro estudado, menos é percebido o
efeito da vazão.
Quanto à velocidade axial, observa-se também no perfil horizontal o efeito de
deslocamento dos máximos para as regiões próximas às paredes. Contudo,
percebe-se um ligeiro decréscimo em seu valor normalizado com o aumento da
vazão.
A variação de diâmetros combinada com a variação de vazão não mostrou
mudanças significativas nos perfis horizontais deste parâmetro. Em outras palavras,
os perfis observados para cada vazão são independentes do diâmetro empregado.
Já no caso dos perfis verticais de velocidade axial, quanto menor o diâmetro, maior a
diferença entre os perfis medidos com as diferentes vazões. Neste caso, ocorre uma
diminuição do máximo local, situado na porção coincidente com o lado externo do
enrolamento do reator, e um aumento nos valores de velocidade axial na metade
interna ao enrolamento. Quanto maior a vazão e menor o diâmetro, mais
pronunciada é a redução do valor máximo.
94
6.5 NÚMEROS ADIMENSIONAIS DE DEAN E GERMANO
Observou-se no presente estudo que não somente a variação do número
adimensional é importante, mas também a forma como ele é variado. Observou-se
que variações na geometria (variações no diâmetro do reator) são mais significativas
do que variações de vazão. As variações de geometria podem gerar curvas com
coeficientes angulares cerca de uma ordem de grandeza maiores do que os
coeficientes de curvas geradas com variações de vazão.
6.6 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Devido às dificuldades iniciais de implementação deste modelo computacional, não
foi possível avaliar a influência de variações de passo e diâmetro do enrolamento.
Deste modo, sugere-se para trabalhos futuros a avaliação, por meio de modelagem
computacional tridimensional, da influência destes parâmetros, assim como a
execução de uma análise dimensional para analisar os parâmetros de maior
relevância no estudo deste tipo de configuração.
Outra recomendação é a avaliação da compartimentação do floculador, isto é, a
construção de um reator com câmaras que apresentem valores decrescentes de G,
uma vez que pode se perceber que mudanças de geometria, tais como diâmetro do
tubo, diâmetro do enrolamento e passo proporcionam a variação deste parâmetro de
maneira mais fácil e direta do que nos floculadores hidráulicos comumente
empregados no tratamento de água e efluentes.
Por fim, sugere-se ainda a aplicação deste modelo para um escoamento bifásico,
onde seja incorporada uma expressão relativa ao crescimento dos flocos para assim
poder avaliar efetivamente a floculação.
Capítulo 7
REFERÊNCIAS
95
7 REFERÊNCIAS
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ANEXOS
100
ANEXO 1: Locação dos pontos centrais dos planos amostrais das
geometrias estudadas.
Tabela A.1 - Locação dos centros e ângulo de rotação dos planos amostrais da geometria 1.
Centro
Plano
x (m) y (m) z (m)
Ângulo
Rotação
(graus)
1 0,003515625 0 -0.05625
2 0,00703125 0,05625 0
3 0,010546875 0 0,05625
4 0,0140625 -0,05625 0
5 0,017578125 0 -0,05625
6 0,02109375 0,05625 0
7 0,024609375 0 0,05625
8 0,028125 -0,05625 0
9 0,031640625 0 -0,05625
10 0,03515625 0,05625 0
11 0,038671875 0 0,05625
12 0,0421875 -0,05625 0
13 0,045703125 0 -0,05625
14 0,04921875 0,05625 0
15 0,052734375 0 0,05625
86,42º
Tabela A.2- Locação dos centros e ângulo de rotação dos planos amostrais da geometria 2.
Centro
Plano
x (m) y (m) z (m)
Ângulo
Rotação
(graus)
1 0,00287469 0 -0,05476
2 0,00537469 0,05476 0
3 0,00787469 0 0,05476
4 0,01037469 -0,05476 0
5 0,01287469 0 -0,05476
6 0,01537469 0,05476 0
7 0,01787469 0 0,05476
8 0,02037469 -0,05476 0
9 0,0287469 0 -0,05476
10 0,02537469 0,05476 0
11 0,02787469 0 0,05476
12 0,03037469 -0,05476 0
13 0,03287469 0 -0,05476
14 0,03537469 0,05476 0
15 0,03787469 0 0,05476
87,39º
101
Tabela A.3- Locação dos centros e ângulo de rotação dos planos amostrais da geometria 3.
Centro
Plano
x (m) y (m) z (m)
Ângulo
Rotação θ
(graus)
1 0,00209375 0 -0,05397
2 0,0041875 0,05397 0
3 0,00628125 0 0,05397
4 0,008375 -0,05397 0
5 0,01046875 0 -0,05397
6 0,0125625 0,05397 0
7 0,01465625 0 0,05397
8 0,01675 -0,05397 0
9 0,01884375 0 -0,05397
10 0,0209375 0,05397 0
11 0,02303125 0 0,05397
12 0,025125 -0,05397 0
13 0,02721875 0 -0,05397
14 0,0293125 0,05397 0
15 0,03140625 0 0,05397
87,78º
102
ANEXO 2: Matrizes de Transformação
Matriz de transformação (Q) para os planos 1, 5, 9 e 13:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
100
0
0
θθ
θθ
sencos
cossen
Q
Matriz de transformação (Q) para os planos 2, 6, 10 e 14:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
010
0
0
θθ
θθ
sencos
cossen
Q
Matriz de transformação (Q) para os planos 3, 7, 11 e 15
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0
0
θθ
θθ
sencos
cossen
Q
Matriz de transformação (Q) para os planos 4, 8 e 12
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
010
0
0
θθ
θθ
sencos
cossen
Q
103
ANEXO 3: Isocontornos de Gradiente de Velocidade nos Planos Amostrais
Condições: d = 0,0125m e D = 0,1125m (Geometria 1); Q = 4l.min
-1
(6,67.10
-5
m
3
.s
-1
). Em
todos os planos, o escoamento está saindo da página.
Figura A1 - Localização dos planos amostrais
-0 .00625 -0.00 5 -0.00375 -0.002 5 -0. 00125 0 0.001 25 0.002 5 0.0037 5 0.005 0.0062 5
x/r
-0.00625
-0 .005
-0.00375
-0.0025
-0.00125
0
0.00125
0.0025
0.00375
0.005
0.00625
y/r
-0.00625 -0.005 -0.00375 -0.0025 -0.00125 0 0.00125 0.0025 0. 00375 0.005 0.0 0625
x/r
-0.0 0625
-0.005
-0.0 0375
-0. 0025
-0.0 0125
0
0.00125
0.0025
0.00375
0.005
0.00625
y/r
Plano 1 Plano 2
104
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y/r
Plano 15
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