( PDF ) Abordagens para o problema integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes da produção de bebidas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

Abordagens para o Problema Integrado de Dimensionamento

e Sequenciamento de Lotes da Produção de Bebidas

Deisemara Ferreira

Tese de doutorado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

Abordagens para o Problema Integrado de Dimensionamento

e Sequenciamento de Lotes da Produção de Bebidas

Deisemara Ferreira

Tese de doutorado apresentada ao Programa de

Pós-graduação em Engenharia de Produção d

Universidade Federal de São Carlos como parte dos

requisitos para a obtenção do título de Doutor e

Engenharia de Produção.

Orientador: Prof. Dr. Reinaldo Morabito

Co-orientador(a): Prof. Dra. Socorro Rangel

Agência Financiadora: FAPESP

UFSCAR - São Carlos/SP

Dezembro/2006

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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da

Biblioteca Comunitária/UFSCar

F383ap

Ferreira, Deisemara.

Abordagens para o problema integrado de

dimensionamento e sequenciamento de lotes da produção

de bebidas / Deisemara Ferreira. -- São Carlos : UFSCar,

2007.

247 f.

Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São Carlos,

2007.

1. Programação da produção. 2. Sequenciamento da

produção. 3. Bebidas. 4. Programação interia mista. 5.

Modelos de otimização. I. Título.

CDD: 658.53 (20

)

.,-" "",-.""",,

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

Rod. Washington Luis, Km. 235 - CEPo 13565-905 - São Cartos. SP - Brasil

Fone/Fax: (016) 3351-8236 /3351-8237 /3351-8238 (ramal: 232)

Em ail : ppgep@ dep.ufscar.br

FOLHA DEAPROVAÇÃO

Aluno(a): Deisemara Ferreira

TESE DE-DOUTORA~

O DEFENDIDA E APROVADA EM 13/12/2006 PELA

COMISSAO JULG~RA:

Prat. Dr. ReinaldOlMorãbito Neto

Orientador(a) PPGEP/UFSCar

Praf3D~ Maria do Socorra Nogueira Rangel

Co-orientadora-IBILCE/UNESP

Prat.Dj". r\IIaYrcõAiífórliOBrinatti

PNV1ÉPU~

Prol. Dr. p~~nça

DENSIS/UNICA~IÜ\ ral

~/~~il~

Prat. Dr. Cid Carvalho de Souza

IC/UNICAMP

,/ ~~.~

Praf3' Fr klina M ria B@gion de Toledo

ICMC/EE /USP

À Deus.

Aos meu pais, José de Paula e Maria Ilda.

Ao meus avós, José Fernandes e Zulmira.

E às minhas irmãs Rosimara e Fernanda.

Agradecimentos

Ao meu orientador, Prof. Reinaldo Morabito, agradeço por toda orientação, atenção,

incentivo e conﬁança dispostas a mim e ao trabalho.

À minha co-orientadora, Prof

Socorro Rangel, pela orientação, dedicação, incentivo

e amizade.

À minha familia, meu maior tesouro, pelo incansável apoio em todos os momentos.

Aos meus ﬁéis amigos Carlos e Juliana, e ao meu estimado primo Rodrigo, presentes

em todos os desaﬁos da minha vida.

À empresa de bebidas Ipiranga, e a Fábrica C, pela colaboração, especialmente aos

funcionários envolvidos que sempre estiveram a disposição para quaisquer esclarecimentos.

À UNESP-SJRP onde foi desenvolvida parte dos trabalhos.

À todos aqueles, professores, funcionários e amigos da UFSCAR e da UNESP-SJRP

que de alguma forma contribuiram para a elaboração deste trabalho.

À Claudio Fabiano Motta Toledo pela disponibilização dos dados.

À Fapesp pelo apoio ﬁnanceiro.

Sumário

1 Introdução 12

1.1 Objetivo e Justiﬁcativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Produção de Bebidas 20

2.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Panorama Nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Processo de produção de bebidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Fábrica A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2 Fábrica B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Fábrica C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Revisão bibliográﬁca 33

3.1 Modelos de Dimensionamento de Lotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Modelos Integrados de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes . . . . 43

3.3 Métodos de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.1 Método de Planos de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2 Métodos Heurísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Ferramentas Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.1 Pacotes de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.2 Linguagens de Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Proposta de Modelos para a Produção de Bebidas 72

4.1 Modelo Dois Estágios Multi Máquinas - (DEMM) . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Modelo Dois Estágios Mono Máquina - (DEMMaq) . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.1 Estratégia de Desagregação - (ED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Modelo Mono Estágio Multi Máquinas - (MEMM) . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3.1 Estratégia de Factibilização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4 Exemplos Ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.1 Teste 1 - Capacidades das linhas e tanques folgadas . . . . . . . . . . . 95

SUMÁRIO

4.4.2 Teste 2 - Capacidades das linhas folgadas e capacidades dos tanques

restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4.3 Teste 3 - Capacidades das linhas restritas e capacidades dos tanques

folgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5 Comparação do modelo DEMM com Modelos da literatura . . . . . . . . . . . 107

4.6 Particularidades das Fábricas A e C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.6.1 Fábrica A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.6.2 Fábrica C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5 Métodos de Solução 116

5.1 Heurísticas Relax and Fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2 Inequações Válidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2.1 Inequações Tipo Cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.2.2 Inequações de Acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6 Estudo Computacional 132

6.1 Estudo Computacional Caso Multi Máquinas - Fábrica A . . . . . . . . . . . . 133

6.1.1 Estudos iniciais dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1.2 Experimentos com outros parâmetros do CPLEX . . . . . . . . . . . . 137

6.1.3 Outra Alternativa para solução do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.4 Aplicação das Inequações de Acoplamento na solução do exemplar da

Fábrica A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.1.5 Solução do exemplar da Fábrica A pelas estratégias Relax and Fix . . . 143

6.2 Soluções das estratégias relax and ﬁx em diferentes cenários baseados no exem-

plar da Fábrica A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.2.1 Modelo Dois Estágios Multi Máquinas - DEMM . . . . . . . . . . . . 151

6.2.2 Modelo Estratégia de Desagregação - DEMMaq . . . . . . . . . . . . 158

6.2.3 Modelo Mono estágio Multi Máquinas - MEMM . . . . . . . . . . . . 164

6.3 Outros exemplares dos Modelos DEMM, DEMMaq e MEMM . . . . . . . . . 170

6.4 Estudo Computacional Caso Mono Máquina - Fábrica C . . . . . . . . . . . . 173

6.4.1 Estudos iniciais do modelo MEMM para Fábrica C . . . . . . . . . . . 175

6.5 Estudo computacional com um modelo da literatura . . . . . . . . . . . . . . . 179

7 Conclusões e Perspectivas Futuras 186

7.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.2 Perspectiva para pesquisa futura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

194

Anexos 205

A - Modelo PIDLPP 205

B - Dados utilizados nos exemplares ilustrativos 215

C - Código do modelo DEMM na linguagem de modelagem AMPL 219

D - Dados da Fábrica A 223

E - Tabelas da Etapa II da solução do modelo DEMM com dados da Fábrica A 230

F - Tabelas da Etapa II da solução do modelo DEMMaq com dados da Fábrica A 233

G - Tabelas da Etapa I da solução do modelo MEMM com dados da Fábrica A 236

H - Estudos Preliminares com Planos de Corte do CPLEX - modelos Não Sincroniza-

dos 239

Lista de Figuras

2.1 Volume de vendas de bebidas - 1986 a 2005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Representação da distribuição dos tanques nas linhas. . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Etapas do processo de produção de refrigerantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Classiﬁcação de modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Deﬁnição dos sub-períodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Custos de set up que não satisfazem a desigualdade triangular. . . . . . . . . . 48

4.1 Representação do Modelo Dois Estágios Multi Máquinas . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Programação Não Sincronizada da Produção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Programação Sincronizada da Produção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4 Representação do Modelo Dois Estágios Mono Máquina . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.5 Representação do uso do Modelo Dois Estágios Mono Máquina . . . . . . . . 89

4.6 Programação dos xaropes fornecida pelo modelo DEMM Teste 1. . . . . . . . 97

4.7 Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMM Teste 1. . . . . . . . 98

4.8 Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMMaq Teste 1. . . . . . . 98

4.9 Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase I Teste 1. . . 99

4.10 Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase II Teste 1. . . 99

4.11 Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMM Teste 2. . . . . . . . 101

4.12 Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMMaq Teste 2. . . . . . 101

4.13 Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase I Teste 2. . . 102

4.14 Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase II Teste 2. . . 102

4.15 Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMM Teste 3. . . . . . . . 104

4.16 Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMMaq Teste 3. . . . . . 104

4.17 Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase I Teste 3. . . 105

4.18 Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase II Teste 3. . . 105

5.19 Representação em blocos do Modelo DEMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.20 Inicialização: relaxação linear do modelo DEMM. . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.21 Primeira iteração da heurística relax and ﬁx usando partição por período. . . . 118

5.22 Iteração t da heurística relax and ﬁx usando partição por período. . . . . . . . . 118

6.1 Programação da produção da linha 1 - Fábrica A. . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2 Programação da produção da linha 2 - Fábrica A. . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.3 Programação da produção da linha 1 estratégia G2.1/TESTE2 . . . . . . . . . . 148

6.4 Programação da produção da linha 2 estratégia G2.1/TESTE2. . . . . . . . . . 148

6.5 Programação da produção da linha 1 estratégia G2.1/TESTE2 sem atraso. . . . 150

6.6 Programação da produção da linha 2 estratégia G2.1/TESTE2 sem atraso. . . . 150

6.7 Programação da Produção da linha - Fábrica C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.8 Programação da Produção da Fábrica C estratégia DHcpx. . . . . . . . . . . . 176

6.9 Programação da produção da Fábrica C estratégia G2.1/TESTE2. . . . . . . . . 176

6.10 Programação da produção da Fábrica C estratégia G2.1/TESTE2 sem atraso. . . 178

6.11 Programação da Produção fornecida pelo modelo PIDLPP. . . . . . . . . . . . 182

6.12 Programação da Produção fornecida pelo modelo DEMM. . . . . . . . . . . . 183

Lista de Tabelas

2.1 Volume de vendas de refrigerantes desde 1986 a 2006. Fonte: ABIR . . . . . . 22

2.2 Volume de vendas de bebidas por região - 1986 a 2004 . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Agrupamento das restrições do modelo PIDLPP pelo seu signiﬁcado . . . . . . 53

4.1

Dimensões do Exemplar 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 Solução dos modelos com o exemplar 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Solução dos modelos para o Exemplar 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4 Solução dos modelos com o exemplar 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5 Custos dos modelos DEMM e PIDLPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6 Outros dados de entrada dos modelos DEMM e PIDLPP . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.7 Variáveis dos modelos DEMM e PIDLPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.8 Diferenças e semelhanças entre as restrições de envase dos modelos DEMM e PIDLPP 111

4.9 Diferenças e semelhanças entre as restrições da xaroparia dos modelos DEMM e PIDLPP112

4.10 Restrições de ligação entre os estágios de Envase e Xaroparia, modelos DEMM e PIDLPP113

5.11 Estratégias relax and ﬁx para modelo DEMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.12 Estratégias relax and ﬁx para modelo DEMMaq. . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.13 Estratégias relax and ﬁx para modelos MEMM . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1 Valor dos custos de estoque, atraso, troca e custo total obtidos pela Fábrica A. . . . . . 134

6.2 Dimensão do Exemplar da Fábrica A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.3 Valor dos custos de estoque e atraso da melhor solução inteira do exemplar da

Fábrica A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.4 Valor dos custos de troca, valor de Z e o gap da melhor solução inteira do exemplar da

Fábrica A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.5 Estratégias testadas na solução dos modelos DEMM, DEMMaq e MEMM. . . 138

6.6 Variações dos parâmetros CPLEX Modelo DEMM exemplar Fábrica A. . . . . 138

6.7 Variações dos parâmetros CPLEX Modelo DEMMaq exemplar Fábrica A. . . 139

6.8 Variações dos parâmetros CPLEX Modelo MEMM exemplar Fábrica A. . . . . 139

6.9 Soluções do exemplar da Fábrica A sem atrasos - DEMMaq. . . . . . . . . . . 140

6.10 Soluções Modelo DEMM para exemplar da Fábrica A. . . . . . . . . . . . . . 144

6.11 Soluções Modelo DEMMaq para exemplar da Fábrica A. . . . . . . . . . . . . 145

LISTA DE TABELAS

6.12 Soluções Modelo MEMM para exemplar da Fábrica A. . . . . . . . . . . . . . 146

6.13 Melhores soluções dos modelos em relação à solução da Fábrica. . . . . . . . . 147

6.14 Soluções das melhores estratégias sem atraso - exemplar Fábrica A. . . . . . . 149

6.15 Soluções do Modelo DEMM - TESTE 1 - Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.16 Soluções do Modelo DEMM - TESTE 2 - Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.17 Soluções Modelo DEMM - TESTE 3 - Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.18 Resumo das melhores soluções dos testes para o modelo DEMM Etapas I e II . 157

6.19 Resumo das médias dos três testes no modelo DEMM . . . . . . . . . . . . . . 157

6.20 Soluções do Modelo DEMMaq - TESTE 1 - Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.21 Soluções do Modelo DEMMaq - TESTE 2 - Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.22 Soluções do Modelo DEMMaq - TESTE 3 - Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.23 Resumo das melhores soluções dos três testes para o modelo DEMMaq Fases I

e II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.24 Resumo das médias dos três testes no modelo DEMMaq . . . . . . . . . . . . 163

6.25 Soluções Modelo MEMM - TESTE 1 - Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.26 Soluções Modelo MEMM - TESTE 2 - Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.27 Soluções Modelo MEMM - TESTE 3 - Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.28 Resumo das melhores soluções dos três testes para o modelo MEMM Fases I e II 167

6.29 Resumo das médias dos três testes no modelo MEMM . . . . . . . . . . . . . 167

6.30 Melhores soluções dos três Modelos em cada exemplar . . . . . . . . . . . . . 168

6.31 Valor dos custos de estoque e atraso da melhor solução inteira . . . . . . . . . . . . 171

6.32 Tempo total de produção das linhas M1 e M2 no modelo DEMMaq. . . . . . . . . . 172

6.33 Custos da Programação da Fábrica C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.34 Custos da Programação da Estratégias Dcpx e DHcpx. . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.35 Custos da Programação das Estratégias Dcpx e DHcpx sem atraso. . . . . . . . . . . 177

6.36 Dimensão dos modelos no conjunto de exemplares 1. . . . . . . . . . . . . . . 180

6.37 Dimensão dos modelos no conjunto de exemplares 2. . . . . . . . . . . . . . . 181

6.38 Dimensão dos modelos no conjunto de exemplares 3. . . . . . . . . . . . . . . 181

6.39 Custos obtidos pelos modelos DEMM e PIDLPP na solução de um exemplar pequeno. 181

6.40 Soluções de 10 exemplares de dimensões pequenas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

E.1 Soluções Modelo DEMM - TESTE 1 - Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

E.2 Soluções Modelo DEMM - TESTE 2 - Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

E.3 Soluções Modelo DEMM - TESTE 3 - Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

F.1 Soluções Modelo DEMMaq - TESTE 1 - Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . 233

F.2 Soluções Modelo DEMMaq - TESTE 2 - Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . 234

F.3 Soluções Modelo DEMMaq - TESTE 3 - Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . 235

G.1 Soluções Modelo MEMM - TESTE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

G.2 Soluções Modelo MEMM - TESTE 2 - Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

G.3 Soluções Modelo MEMM - TESTE 3 - Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

H.1 Número de Itens . . . . . . . . 239

H.2 Número de Variáveis e Restrições dos Exemplares . . . 240

H.3 Intervalos para geração de dados Exemplares Maiores . . . . . . . . . . . . . . 240

H.4 Estratégias utilizadas na solução dos exemplares . . . . 241

H.5 Resultado Modelo Dois Estágios Multi Máquinas-Fábrica A . . . . . . . . . . 242

H.6 Resultado Mono Estágio Multi Máquinas - Fábrica A . . . . . . . . . . . . . . 243

H.7 Intervalos para geração de dados Exemplares Menores . . . . . 245

H.8 Resultado Modelo Dois Estágios Mono Máquinas-Fábrica C . . . . . . . . . . 246

H.9 Resultado Modelo Mono Estágio Multi Máquinas -Fábrica C . . . . . . . . . . 247

Lista de Símbolos e Abreviaturas

ABIR Associação Brasileira das Indústrias de Refrigerantes e de Bebidas

Não Alcoólicas

PET Polietileno Tereftalato - Tipo de plástico usado em garrafas

INMETRO Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial

www.inmetro.gov.br

Ambev Companhia de Bebidas da América

NEIT Núcleo de Economia Industrial e da Tecnologia

ml mililitros - Unidade de medida

l litros - Unidade de medida

AMPL A Modeling Language for Mathematical Programming

RESUMO

O objeto deste trabalho é o problema integrado de dimensionamento de lotes e se-

quenciamento da produção de bebidas, tais como refrigerantes, sucos, chás, águas, etc. Tal pro-

blema consiste em decidir os tamanhos dos lotes de produção de cada bebida e qual a sequência

de produção de cada lote em cada período, de maneira a satisfazer a demanda e minimizar os

custos de estoque, atraso e trocas. Os tempos de limpeza das máquinas neste tipo de produção

são dependentes do sequenciamento, o que diﬁculta a programação da produção. Este é um

problema capacitado, multi-item, multi-máquinas, com tempos e custos de troca dependentes

da sequência. Na presente tese são propostos três modelos de otimização inteira mista e dife-

rentes abordagens de solução para tratar o problema. Os modelos são baseados em estudos de

caso realizados nos processos industriais de fábricas de bebidas de pequeno, médio e grande

porte. As abordagens aplicam, entre outras, heurísticas do tipo relax and ﬁx, e o método Branch

and Cut para resolver os modelos. Uma linguagem de modelagem e um software especíﬁco de

resolução são utilizados. Os resultados foram satisfatórios e mostram que as abordagens são

capazes de produzir soluções melhores que as soluções das empresas.

PALAVRAS-CHAVE: Dimensionamento de Lotes, Sequenciamento da Produção,

Otimização Inteira Mista, Produção de Bebidas.

ABSTRACT

The object of this study is the integrated problem of lot sizing and scheduling of the

soft drink production. Such problem consists of deciding how much to produce of each drink

and in each period and in which sequence, in order to satisfy the demand and to minimize the

costs of storage, backlogging and changeover. The set up times of the machines are sequence-

dependent, consequently the production scheduling is complex. The problem is capacitated,

multi-item, with changeover times and costs dependent of the sequence. In this study we pro-

pose three mixed integer optimization models and solution approaches to solve the problem.

The models are based in cases studies of a large soft drink facility, and a small facility. We de-

veloped relax and ﬁx heuristics to solve de models. The results show that the proposed strategies

are competitive when we compare with solutions of the facilities.

KEY-WORDS: Lot sizing, Scheduling, Mixed Integer Problems, Soft Drink Produc-

tion.

1 Introdução

Atualmente o Brasil possui mais de 800 fábricas de bebidas que suprem um mercado

consumidor de mais de 12 bilhões de litros de bebida por ano, o dobro do volume consumido há

dez anos (ABIR, 2005). Este volume é o terceiro maior do mundo, ﬁcando abaixo apenas dos

EUA e México. Nestas fábricas, além de refrigerantes, é comum também a produção de sucos,

chás, águas, etc. Neste setor industrial, o Planejamento e Controle da Produção (PCP) exerce um

papel fundamental para o bom desempenho da empresa, pois o número de produtos fabricados

e a sazonalidade destes produtos é alta, e cabe ao PCP administrar os recursos disponíveis para

que o processo de produção tenha qualidade e consiga atender seus clientes nos prazos e a custos

razoáveis.

A estrutura hierárquica de um sistema de PCP pode ser dividida em três níveis dis-

tintos de planejamento: estratégico, tático e operacional (Anthony, 1965), (Nahmias, 1995). O

planejamento estratégico está relacionado ao mais alto nível de tomada de decisões, onde são

deﬁnidos os objetivos globais da empresa e as políticas adequadas para atingi-los. Neste nível,

as decisões devem avaliar os riscos de sucesso ou fracasso de mudanças em horizontes de pla-

nejamento de longo prazo. Como exemplo de decisões de planejamento estratégico, estão as

decisões de localização de novas fábricas, aquisição de grandes equipamentos, desenvolvimento

de novos produtos, etc.

O planejamento tático é responsável pela utilização eﬁciente dos recursos disponíveis

a ﬁm de cumprir os objetivos determinados no planejamento estratégico. Seu objetivo principal

é a efetiva alocação de recursos para satisfazer a demanda, levando em conta os custos envol-

vidos. As decisões deste nível se tornam mais difíceis quando o processo de produção envolve

múltiplos estágios, muitos produtos, demandas sazonais, etc. Nesta etapa a tomada de decisões

agrega muitas informações, e tem um horizonte de planejamento de médio prazo.

No planejamento operacional as informações dos níveis mais altos são desagregadas,

as decisões do dia-a-dia são deﬁnidas tendo como função executar os planos deﬁnidos anterior-

mente, ou seja, é detalhada a programação da produção. Atividades como seqüenciar pedidos

nos centros de trabalho, administrar estoques, fazer controle de qualidade, entre outras, são

atividades típicas do planejamento operacional.

Este trabalho trata das decisões de dimensionamento de lotes e programação da pro-

dução em indústrias de bebidas, em particular refrigerantes, que são decisões de nível tático-

operacional. Esta programação envolve o preparo de xaropes em tanques e a produção de

bebidas em linhas, e estes dois estágios da produção são dependentes um do outro. São propos-

tos modelos matemáticos para auxiliar no processo de tomadas de decisões da programação da

produção.

Para se produzir a bebida, antes do envase, é necessário que o xarope, que deﬁne o

sabor da bebida, seja preparado em tanques especiais, e seja enviado para o proporcionador da

linha de envase. O proporcionador adiciona xarope à água carbonada, e forma então a bebida

que será mandada para a parte da linha que enche os vasilhames. Antes de receberem a bebida,

os vasilhames passam por um enxague, depois são enchidos, fechados, rotulados, empacotados

e estão prontos para serem levados para o estoque.

A cada troca na produção de bebidas é necessário uma limpeza da linha e/ou ajustes

da linha em relação ao tamanho dos vasilhames. O tempo de preparo da linha para a produção

é dependente da seqüencia de produção. Além das linhas, o tanque também passa por uma

limpeza antes de outro xarope ser preparado, e o tempo desta limpeza também é dependente

da seqüencia de produção. Por exemplo, o tempo de limpeza entre a produção de uma bebida

normal e uma bebida diet é bem maior do que o tempo de limpeza na sequência inversa, isto

é, a produção de uma bebida diet seguida da produção de uma bebida normal. Além disto, é

necessário que exista uma sincronia entre o preparo de xarope no tanque e o envase de bebida

na linha. O xarope não pode ser enviado à linha se esta não estiver preparada, e a linha não pode

começar a envasar a bebida se o xarope não estiver pronto.

A programação da produção deve deﬁnir quanto, quando e em que ordem (sequência)

cada produto será produzido em um horizonte de planejamento ﬁnito. Em problemas onde os

tempos de troca são dependentes da sequência, normalmente, a decisão de quando o lote será

produzido na programação ﬁca deﬁnida apenas pelas decisões de sequenciamento, como no

caso da produção de bebidas. Por esta razão, nesta tese, é utilizado também o termo sequenci-

amento para signiﬁcar esta decisão da programação da produção. Durante a programação deve

ser levada em consideração a capacidade das linhas de envase, capacidade dos tanques, tempos

e/ou custos de troca de produtos nas linhas e nos tanques, e custos de estoques e de atrasos,

para que a demanda seja atendida nos prazos e com o menor custo possível. Sendo assim, os

modelos propostos pretendem responder as questões de quanto, quando e em que seqüência os

xaropes devem ser preparados nos tanques e as bebidas devem ser produzidas nas linhas, de

forma a minimizar custos. Os custos considerados nos modelos são basicamente custos de es-

toques, custos de atraso, custos de trocas de xaropes nos tanques, custos de trocas de produtos

nas linhas, e custos de horas extras.

Na prática, o dimensionamento e o sequenciamento dos lotes de produção normal-

mente são feitos em duas etapas, em uma etapa são deﬁnidos os tamanhos dos lotes e na outra

etapa é deﬁnida a seqüencia da produção destes lotes. Na literatura encontramos muitos traba-

lhos que examinam a questão do dimensionamento dos lotes (Karimi et al., 2003), do sequenci-

amento da produção (Baker, 1974; Pinedo, 1995) e também a integração do dimensionamento

e sequenciamento da produção (Drexl e Kimms, 1997). Os modelos matemáticos que inte-

gram o dimensionamento e o sequenciamento dos lotes pretendem responder: Quanto, quando

e em que seqüência produzir cada item de forma a minimizar custos, tais como custos de esto-

que, atrasos e preparação? Se forem consideradas várias máquinas devemos ainda determinar

quais itens serão produzidos em cada máquina. A incorporação do sequenciamento da produ-

ção em modelos de dimensionamento de lotes tem sido objeto de estudo de diversos autores,

como Fleishmann e Meyr (1997), Drexl e Kimms (1997), Meyr (2000). Vários modelos foram

formulados representando diferentes tipos de situações que envolvem o dimensionamento e o

sequenciamento da produção.

Fleishmann (1990) elabora um modelo matemático para tratar do dimensionamento

e do sequenciamento de lotes onde os períodos de tempo são menores: dias, turnos, horas. Em

cada período pode ser produzido no máximo um lote. Assim, sabe-se exatamente o que e quanto

será produzido em cada período. A restrição de capacidade é do tipo tudo-ou-nada, isto é, se

houver produção em um período toda a capacidade é utilizada. Este modelo é conhecido como

Discrete lot-sizing and scheduling problem (DLSP).

Em um outro modelo, Continuous setup lotsizing scheduling problem (CLSP), a res-

trição tudo-ou-nada é relaxada permitindo o uso parcial da capacidade de produção (Drexl e

Kimms, 1997). O modelo PLSP, Proportional lot sizing and scheduling problem (Drexl e Ha-

ase, 1995), também permite a utilização de parte da capacidade. Neste modelo é permitida, além

da utilização parcial da capacidade, sua utilização na produção de um segundo item dentro de

um mesmo período. Assim podem ocorrer até dois preparos dentro de um período.

Fleishmann e Meyr (1997) apresentam o modelo GLSP (General Lot-sizing and Sche-

duling Problem), onde os períodos são maiores (macro períodos): meses, semanas, e são divi-

didos em períodos menores (sub-períodos ou número de preparos do período): dias, turnos,

horas. As variáveis de preparo e produção vão indicar a produção e a troca de itens em cada

sub-período. O número de sub-períodos de cada período é deﬁnido pelo usuário, e em cada

sub-período pode haver a produção de no máximo um item.

Podem ser citados Toso (2003), Luche (2003), Araújo (2003), Ferreira (2002) e To-

ledo (2005) como exemplos de dissertações e teses que tratam de situações de empresas brasi-

leiras, onde a questão do dimensionamento e sequenciamento dos lotes é importante, e foram

representadas por modelos que integram o dimensionamento e sequenciamento dos lotes. Toso

(2003), Toso e Morabito (2005) e Toso et al. (2006a) modelam e propõem abordagens de so-

lução para o problema da programação da produção de ração animal numa fábrica do interior

de São Paulo. As rações são compostas, entre outros elementos, por produtos químicos, como

remédios e vitaminas especíﬁcos para cada tipo de animal. A contaminação de um tipo de

ração por algum componente químico de outro tipo de ração pode ser prejudicial ou até fatal

para o animal que a consumir. Por outro lado, existem algumas famílias de produtos que tem

a propriedade de remover da linha de produção resíduos de outros produtos sem que se tornem

prejudiciais para os animais. Sendo assim, os tempos de preparação de ração animal são de-

pendentes da seqüência de produção. Luche (2003) e Luche e Morabito (2005) tratam de um

problema de produção de grãos eletrofundidos numa fábrica do interior de São Paulo. Neste

tipo de processo de produção a obtenção do produto ﬁnal é dependente de uma seqüência de pe-

neiras vibratórias que possuem diferentes tamanhos de furos. Além da seqüência de peneiras é

necessário também programar os fornos, britadeiras e as moendas que fazem parte da produção

dos materiais. Em Araújo (2003) e Araújo et al. (2000, 2004, 2006) é tratado um problema de

sequenciamento de ligas de metal em fornos para produção de diferentes tipos de peças numa

fundição no interior de São Paulo. O processo de fundição consiste basicamente em fabricar

moldes, preparar e fundir metais, vazar o metal dentro dos moldes e, após a solidiﬁcação, retirar

as peças dos moldes para dar os acabamentos ﬁnais. Assim, a programação da produção en-

volve a determinação da seqüência de ligas que devem ser produzidas nos fornos e a quantidade

de cada item a ser produzido em cada máquina de moldagem.

Outros estudos de caso de sistemas de produção que envolvem o dimensionamento

e/ou o sequenciamento dos lotes aparecem na produção de bebidas; Ferreira (2002), Rangel

e Ferreira (2003), Gutiérrez e Pizzolato (2004), Toledo (2005), Toledo et al. (2006a, 2006b),

Kimms et al. (2006). Em Ferreira (2002) e Rangel e Ferreira (2003) é proposto um modelo de

otimização linear inteiro misto para tratar o problema do dimensionamento de lotes da produção

de bebidas. O modelo considera uma linha de envase e restrições da xaroparia. Gutiérrez e

Pizzolato (2004) consideram um problema mais simpliﬁcado do que o que está sendo abordado

no presente texto. As taxas de produção e demandas são consideradas constantes nos períodos,

o problema é resolvido para uma única máquina, os tempos de set up são médias dos tempos

dependentes da seqüência, atrasos não são permitidos e o setor de xaroparia não é considerado.

Os únicos trabalhos encontrados na literatura que tratam do mesmo problema estudado nesta

tese, dimensionamento e sequenciamento de lotes em várias máquinas com sincronia entre os

estágios de produção, são os trabalhos de Toledo (2005), Toledo et al. (2006a, 2006b). Estes

trabalhos propõem um modelo de otimização linear inteira mista, e um Algoritmo Genético

para resolver o problema.

1.1 Objetivo e Justiﬁcativa

O objetivo desta tese é propor modelos de otimização para apoiar decisões de plane-

jamento de nível tático-operacional, especiﬁcamente as decisões de dimensionamento de lotes

e programação da produção em indústrias de bebidas. Pretende-se mostrar que estes modelos

podem ser efetivos para apoiar as decisões envolvidas em situações reais. Os modelos são re-

solvidos por meio do método Branch and Cut implementado em softwares, e heurísticas do tipo

relax and ﬁx. Um estudo do uso de inequações válidas especíﬁcas e que não estão incluídas nos

softwares usados, também é realizado.

O enfoque na modelagem é dado ao desenvolvimento de modelos que consideram

de forma integrada o dimensionamento e o sequenciamento dos lotes e tempos e custos de

preparo de máquinas. Os modelos propostos são baseados em situações reais de três fábricas de

bebidas, uma de grande porte (Fábrica A), uma de médio porte (fábrica B) e uma de pequeno

porte (Fábrica C) .

Nestas empresas visitadas, constatou-se que ainda não há sistemas computacionais de

apoio a decisão efetivos disponíveis, incluindo todos os fatores que inﬂuenciam a programação

da produção. Na Fábrica A existe um software que auxilia a programação da produção, mas o

programador da produção, em geral, modiﬁca o resultado fornecido pelo software para adequá-

lo à realidade da fábrica. Nas fábricas B e C os programadores da produção estabelecem o

programa de produção manualmente, e esta tarefa é considerada difícil pelo grande número

de critérios e restrições que devem ser considerados. Toda vez que uma máquina quebra, ou

surgem outros imprevistos tais como, pedidos urgentes, a programação da produção é refeita.

Uma justiﬁcativa para este trabalho é colaborar para o desenvolvimento de sistemas

de apoio a decisão para o dimensionamento de lotes e a programação da produção no setor

de bebidas, em particular refrigerantes, e para outros processos de produção onde os tempos

e os custos de preparo são dependentes do sequenciamento da produção. Os modelos podem

colaborar na redução de custos e tempos de preparo, agilizar e sistematizar a programação da

produção e permitir simulações com diferentes conjuntos de dados (previsões de demandas,

limitações de capacidade, número variado de máquinas), permitindo assim que o programador

avalie diferentes cenários, o que pode ter um efeito importante na empresa, principalmente em

empresas de pequeno e de médio porte. Pretende-se contribuir para o enriquecimento do estado-

da-arte da literatura sobre o assunto. Convém salientar que foram encontrados poucos trabalhos

na literatura tratando deste problema aplicado ao setor de bebidas.

Três modelos baseados em programação matemática são propostos. Os dois primeiros

modelos consideram os casos em que os sequenciamentos das linhas e dos tanques são impor-

tantes e por isto, incluem restrições e variáveis que controlam os tempos e custos de trocas de

bebidas nas linhas e nos tanques. Um destes modelos, o Modelo Dois Estágios Multi Máquinas

(DEMM), considera vários itens, períodos, e máquinas, e supõe que cada máquina possui um

tanque dedicado a ela. O segundo modelo, Modelo Dois Estágios Uma Máquina (DEMMaq),

é um caso particular do Modelo Dois Estágios Multi Máquinas, onde apenas uma máquina e

um tanque são considerados. Para resolver o caso multi máquinas, a distribuição da demanda

para cada máquina (ou seja, para cada Modelo Dois Estágios Uma Máquina) é feita por um

modelo linear que desconsidera tempos e custos de preparo e troca de itens. O terceiro modelo,

Modelo Mono Estágio Multi Máquinas (MEMM), assim como o Modelo Dois Estágios Multi

Máquinas, considera vários itens, períodos e máquinas, no entanto, são considerados apenas os

tempos e custos de troca de produtos nas linhas. A xaroparia nunca é o gargalo da produção, e

sua programação é feita a posteriori, em função da programação das linhas. O desenvolvimento

destes modelos foi inspirado nos problemas encontrados nos estudos de caso das Fábricas A, B

e C.

Os modelos são resolvidos por meio de métodos Branch and Cut, usando o soft-

ware de otimização CPLEX, e heurísticas, em particular heurísticas relax and ﬁx. A leitura

de exemplares de modelos por sistemas de otimização, como CPLEX e XPRESS, exigem for-

matos especíﬁcos. Para facilitar a geração dos exemplares no formato exigido, é utilizado um

sistema algébrico de modelagem do tipo AMPL, GAMS, MPL, etc. Além de gerar exemplares

do modelo em vários formatos, estes sistemas facilitam a interface entre o modelo e o usuário,

e permitem uma documentação do mesmo.

A validação destes modelos e métodos de solução é feita usando dados reais coletados

nas Fábricas A e C, e comparando-se as soluções dos modelos com os programas de produção

utilizados pelas fábricas. Conforme mencionado, pretende-se mostrar que estas abordagens

são efetivas para apoiar as decisões envolvidas nas situações reais. Além disto, a modelagem

proposta é comparada com modelos da literatura.

1.2 Organização do Trabalho

Este trabalho está organizado da seguinte maneira. No capítulo 2 é descrito resumi-

damente o processo de produção de bebidas, e as diﬁculdades do dimensionamento de lotes e

da programação da produção deste tipo de processo.

No capítulo 3, é feita uma breve revisão bibliográﬁca de modelos de programação

inteira mista que integram o dimensionamento de lotes ao sequenciamento da produção, de

trabalhos que utilizam métodos como Planos de Corte e Branch and Bound e heurísticas, como

a heurística relax and ﬁx, na solução de problemas de dimensionamento e sequenciamento de

lotes. São discutidos também trabalhos que estudam a programação da produção de bebidas.

No capítulo 4 são propostos e discutidos os três modelos de programação matemática

mencionados acima, que integram o dimensionamento e o sequenciamento dos lotes para a

produção de bebidas. Um exemplar ilustrativo é resolvido para exempliﬁcar as diferenças entre

as modelagens propostas. São descritas também particularidades das fábricas de bebidas, em

particular da Fábrica C, de pequeno porte, e da Fábrica A, de grande porte, que devem ser

consideradas na solução do problema.

No capítulo 5 são propostos métodos de solução para os modelos desenvolvidos no

capítulo 4. Os métodos envolvem três classes de inequações válidas desenvolvidas a partir dos

modelos, e variações de heurísticas do tipo relax and ﬁx.

O capítulo 6 apresenta estudos computacionais aplicando os métodos de solução em

exemplares dos modelos propostos. Estes estudos tem o objetivo de avaliar o desempenho dos

métodos na solução dos modelos, em exemplares reais, bem como adequação dos modelos ao

problema. Neste capítulo são apresentados também, testes computacionais com exemplares da

literatura. No último capítulo, capítulo 7, são apresentadas as conclusões e propostos trabalhos

interessantes para pesquisas futuras.

2 Produção de Bebidas

2.1 Histórico

Uma das bebidas mais consumidas no mundo atualmente é o refrigerante. Ela co-

meçou a surgir em 1772 quando o inglês Joseph Priestley, doutor em química, descobriu como

adicionar artiﬁcialmente o gás carbônico à água natural. Surgiu então a soda water. O sucesso

da bebida despertou o interesse dos farmacêuticos da época que aumentaram as pesquisas no

sentido de colocar mais sabor na bebida, adicionando ervas e extratos de frutas, e aumentar suas

propriedades medicinais, pois na época, o refrigerante também era conhecido por seus poderes

medicinais. Assim, nasceu de fato o refrigerante. No entanto, a primeira indústria de bebidas

com marca registrada apareceu apenas em 1871 nos Estados Unidos, com a marca Lemon’s

Superior Sparkling Ginger Aleã (ABIR, 2004).

A receita da Coca-Cola, uma das mais famosas e bem guardadas do mundo, nasceu

em 1886 nos Estados Unidos, em Atlanta. O farmacêutico americano John Sith Pemberton fez

uma variação do “Vin Mariani" (bebida inventada por Angelo Mariani, composto de vinho e

xarope de cocaína), substituindo o vinho por solução de noz-de-cola africana, que é de onde

vem a cafeína. Pouco tempo depois do nascimento da Coca-Cola, em 1893, o farmacêutico

Caled Bradham inventa a “Brad’s Drink", com o intuito de suavizar o mal estar causado pelo

desequilíbrio do ácido péptico no estômago. Cinco anos depois esta bebida se torna a Pepsi

Cola.

Desde então, tem aumentado substancialmente o número de indústrias de bebidas, a

variedade de sabores, tamanhos, embalagens e tecnologias para a fabricação destas bebidas que

hoje, em função das transformações das fórmulas, não possuem mais as propriedades medici-

nais de antes.

Milhares de empresas de bebidas espalham-se pelo mundo todo. No Brasil atual-

mente temos mais de 800 fábricas que se dedicam à este tipo de produção (Laﬁs, 2003). Apro-

ximadamente 30 % do mercado é composto por fábricas regionais que produzem refrigerantes

conhecidos por tubaínas, 51,5% pela Coca Cola, e 17,3% pela Ambev.

Uma curiosidade é que, a tubaína é marca registrada da empresa Ferraspari, de Jun-

diaí, e se tornou popular graças aos concorrentes que, ainda nas décadas de 40 e 50, pediram

autorização ao proprietário da marca para utilizarem o suﬁxo do nome em seus produtos. Com

isso, surgiram a Taubaína, a Itubaína e algumas outras. “Tubaína é o sabor de uma bebida,

semelhante ao tutti-frutti. No passado, deixamos que empresas maiores utilizassem esta de-

nominação porque promoveria, indiretamente, o nosso produto", explica o gerente comercial

da Ferráspari (Recall, 2002). Este nome foi criado pelo italiano Pedro Pattini e utilizado para

batizar inicialmente as balas fabricadas por ele no início de sua atividade empresarial no Brasil.

Na década de 40, quando passou a produzir refrigerantes, estes herdaram o nome.

2.2 Panorama Nacional

O Brasil vem sendo um dos principais mercados do mundo em termos de produção e

consumo de bebidas. Em função do seu clima quente, da sua grande população e dos hábitos

dessa população, destacam-se, principalmente, o mercado de refrigerantes, cervejas, sucos e,

água.

Hoje a indústria brasileira de bebidas, com vendas de refrigerantes superiores à 12

bilhões de litros (2005), é a terceira maior do mundo, ﬁcando abaixo somente dos EUA e do

México. De janeiro a abril de 2006, a produção superou 4 bilhões de litros de refrigerantes. A

distribuição desta produção se dá por cerca de 1 milhão de pontos de venda, como bares, estabe-

lecimentos de auto-serviço, e lojas tradicionais (Laﬁs, 2003). Existem mais de 700 fábricas de

bebidas espalhadas pelo país, que geram mais de 60 mil empregos diretos e 520 mil indiretos,

para a produção de 3.500 diferentes marcas (ABIR, 2005).

Dados da Associação Brasileira da Indústria de Refrigerantes e Bebidas Não Alcoó-

licas - (ABIR) mostram que o consumo de bebida tem aumentado. A Tabela 2.1 e o Gráﬁco 2.1

apresentam o volume de vendas de refrigerantes 1986 à 2006. A Tabela 2.1 apresenta também

as porcentagem das variações de vendas de um ano para outro.

Tabela 2.1: Volume de vendas de refrigerantes desde 1986 a 2006. Fonte: ABIR

Ano Litros (em Mil) %

1986 4.895.835

1987 5.305.593 8,37

1988 5.095.788 -3,95

1989 5.800.108 13,82

1990 5.769.264 -0,53

1991 5.978.175 3,62

1992 5.147.758 -13,89

1993 5.615.803 9,09

1994 6.440.397 14,68

1995 9.146.041 42,01

1996 9.861.493 7,82

1997 10.574.528 7,23

1998 11.029.351 4,30

1999 11.052.303 0,21

2000 11.516.598 4,20

2001 11.585.868 0,60

2002 11.968.630 3,30

2003 11.571.945 -3,31

2004 12.208.950 5,50

2005 12.442.058 1,75

2006* 9.531.798

* Consumo relativo aos meses janeiro a setembro de 2006 (1,47% maior do que o mesmo período em

2005).

Figura 2.1: Volume de vendas de bebidas - 1986 a 2005.

Segundo a ABIR, no primeiro bimestre de 2006, o setor de bebidas registrou a pro-

dução recorde de 2,48 bilhões de litros de refrigerantes, um aumento de 4,75% comparado ao

primeiro bimestre de 2005. Esse resultado, o melhor dos últimos cinco anos, foi superior à

previsão do ﬁnal do ano de 2005, que era de 3% a 4%. Relata-se ainda que as expectativas para

os próximos anos são de aumento da produção do setor (ABIR, 2006a).

Pode-se perceber pela Tabela 2.1 que houve um aumento expressivo no consumo no

ano de 1995, em relação aos anos anteriores. O volume de vendas da indústria de bebidas

e bebidas não alcoólicas teve este crescimento em função da implantação do Plano Real em

1994, que possibilitou o aumento do poder aquisitivo do brasileiro, que passou a ter então um

novo comportamento de compra (ABIR, 2004).

Outro fator importante que favoreceu o aumento do consumo de bebidas foi a criação

da embalagem de plástico descartável PET (Polietileno Tereftalato), que hoje corresponde a

aproximadamente 80% das vendas, das quais 70% são de PET 2 litros. A embalagem PET

dispensa a logística reversa de recolhimento dos vasilhames, o que facilitou a comercialização e

ajudou a criar novos pontos de consumo, como postos de gasolina, por exemplo. Ela facilitou o

consumo residencial, na medida em que os consumidores não têm mais que investir, transportar

e armazenar o vasilhame de vidro, além de potencializar o consumo, pois o consumo não é mais

limitado pelo número de vasilhames que os consumidores possuem. Como a nova sistemática

de engarrafamento não exige alto investimento do fabricante em vasilhames, pois a garrafa

plástica permite um repasse imediato do seu custo, embutido no preço ﬁnal do produto (Gama,

2004), foi possível diversiﬁcar as embalagens existentes. Assim, e principalmente por não

exigir recolhimento e higienização dos usados, nem altos investimentos, esta embalagem foi

um convite para a abertura de novas fábricas de bebidas, principalmente as fábricas regionais,

produtoras dos refrigerantes populares conhecidos como tubaínas. Comercializada a preços

menores, as tubaínas conquistaram os consumidores de menor poder aquisitivo e colaboraram

para o aumento no consumo de bebidas desde 1994 (Neit, 2004).

Hoje, as fábricas regionais competem em preço e qualidade com grandes indústrias

de bebidas. Boa parte das tubaínas, são envasadas com tecnologia de ponta e grandes redes de

varejo como, Wal-Mart e Makro, possuem refrigerantes com suas marcas, mas engarrafados por

fábricas regionais (Recall, 2002).

O mercado de refrigerantes populares detém cerca de 30% de participação do mer-

cado nacional. A Tabela 2.2 exempliﬁca a participação dos refrigerantes regionais nas vendas

do período de 1996 a 2004. As vendas das tubaínas estão concentradas nos supermercados.

Estima-se que são produzidas em mais de 100 fábricas regionais e distribuídas em uma área

relativamente restrita (cidades do interior e periferia de capitais).

Tabela 2.2: Volume de vendas de bebidas por região - 1986 a 2004

Ano Nacionais Regionais

1996 82,0 18,0

1997 76,6 23,4

1998 70,3 29,7

1999 66,9 33,1

2000 66,9 33,1

2001 66,9 33,1

2002 67,0 33,0

2003 66,7 33,3

2004 68,8 31,2

Apesar do aumento das vendas, o consumo per capita no Brasil hoje continua relati-

vamente pequeno se comparado com países da Europa, mesmo apresentando clima mais quente

e mais propício para a ingestão da bebida. Enquanto um brasileiro consome 65 litros de refri-

gerante por ano, portugueses e espanhóis consomem 84 e 109 litros, respectivamente (ABIR,

2005). Isso demonstra um potencial para crescimento.

Este potencial para crescimento, o aumento do consumo, o crescimento do número

de itens produzidos pelas fábricas, a concorrência e as exigências do mercado, aumentaram a

preocupação das empresas em melhorar seus processos produtivos, tanto do ponto de vista de

tecnologia com a aquisição de novas máquinas, quanto do ponto de vista da gerência da pro-

dução, que deve administrar todos os setores envolvidos direta ou indiretamente na produção,

como setor ﬁnanceiro, administrativo, e o planejamento e controle da produção.

Em algumas empresas, softwares tem auxiliado a programação da produção das fábri-

cas, determinando rapidamente o plano de produção em um horizonte de planejamento deﬁnido

pelo gerente de produção, e ligando este setor a outros da fábrica, tornando a troca de informa-

ções mais automatizada.

Na próxima seção é descrito o processo de produção de bebidas, onde é possível

perceber que a programação da produção utiliza várias informações como demanda de produtos,

capacidade disponível, insumos necessários, tempos de preparo das linhas de produção, entre

outros.

2.3 Processo de produção de bebidas

O processo de produção de bebidas é composto por tratamento de água, preparo dos

xaropes, envase e empacotamento. Todos os tipos de refrigerantes, e outras bebidas como chás,

sucos, e água, passam por estas etapas. E em termos dos aspectos fundamentais, a produção de

todos os produtos é similar e de alto volume.

Os insumos necessários para a produção são: xaropes de diversos sabores, vasilha-

mes, tampas, rótulos variados e água gaseiﬁcada. O tratamento de água consiste na passagem

da água através de ﬁltros que retém suas impurezas.

O preparo do xarope possui duas etapas. Na primeira os ingredientes são pesados e

previamente misturados em máquinas chamadas de premix. As quantidades a serem misturadas

são denominadas kits. Dependendo do sabor, um kit é capaz de produzir uma determinada

quantidade de bebida pronta. Após esta etapa de premix, o composto é enviado para os tanques

de preparo, onde é adicionada a proporção de açúcar líquido da bebida, ou adoçante para os

sabores diet. Esta mistura é agitada por hélices que tornam o xarope uma mistura homogênea.

Para que este composto seja bem misturado pelas hélices, é necessária uma quantidade mínima

de xarope no tanque, suﬁciente para cobrir as hélices. Depois de pronto, o xarope é analisado

pelo laboratório da fábrica e enviado para as linhas de produção através de tubulações próprias.

Um tanque pode abastecer simultaneamente várias linhas de produção, conforme ilustrado na

Figura 2.2, mas uma linha recebe xarope de apenas um tanque por vez. Em geral os tanques

podem preparar qualquer sabor de xarope, mas na prática é comum as fábricas dedicarem alguns

tanques só para o preparo dos sabores light e diet.

Figura 2.2: Representação da distribuição dos tanques nas linhas.

Toda vez que há necessidade de produção de um xarope, um tempo de preparo é

consumido. Se o xarope for do mesmo sabor que o anterior, o tanque passa por um enxágue

rápido e o próximo xarope é preparado, passando pelo processo descrito acima. Se o xarope

for de sabor diferente do xarope preparado anteriormente, o tanque passa por uma limpeza mais

detalhada, o que consome mais tempo. Assim, toda vez que um xarope é produzido, há um

tempo de preparo a ser considerado.

A etapa de envase da bebida é feita por linhas de produção. Nelas, os vasilhames en-

tram através de uma esteira rolante e passam por diversos estágios. Inicialmente os vasilhames

são lavados e em seguida, passam por uma máquina que os enche com uma determinada quan-

tidade de xarope e água carbonada. Depois seguem pela esteira onde são fechados, rotulados,

empacotados em fardos plásticos com seis ou doze unidades cada um, dependendo do tamanho

do vasilhame, e então são levados para o estoque. Uma vez que os vasilhames são colocados

na esteira, eles só podem ser retirados dela ao ﬁnal do processo, quando são então transferidos

para o depósito. Existe apenas uma entrada e uma saída de vasilhames na linha.

A Figura 2.3 ilustra o processo de produção de bebidas. As linhas variam conforme

o tipo de vasilhame. Assim, no caso das garrafas retornáveis de refrigerantes, ao receber os

vasilhames, a fábrica faz uma cuidadosa inspeção para que sejam retiradas aquelas que estejam

fora das especiﬁcações de uso, ou seja, garrafas trincadas, bicadas, lascadas, lixadas, quebradas,

sujas ou com material de difícil remoção, como tintas ou cimento. Somente após essa seleção,

as garrafas são colocadas na esteira de entrada para as lavadoras, onde passam por um tanque

de pré-rinser com água. Elas são também imersas em tanques com soda cáustica quente para

retirada de impurezas e esterilização. Em seguida, passam pelo enxágüe ﬁnal em um tanque

com esguichos de água limpa. Uma nova inspeção e seleção é feita quando as garrafas saem

da lavadora em direção à enchedora. A enchedora é a parte da linha de produção que enche

as garrafas com a bebida pronta. Ela possui várias válvulas, o que possibilita o enchimento de

mais de uma garrafa quase que simultaneamente. No caso das embalagens descartáveis, não

há necessidade da limpeza com soda, pois no processo de “explosão" as garrafas passam por

temperaturas altíssimas e logo após são resfriadas por temperaturas muito baixas, o que garante

a esterilização das mesmas.

Figura 2.3: Etapas do processo de produção de refrigerantes.

A linha de produção dos vasilhames de vidro é um pouco diferente da linha PET, pois

existe a necessidade de controlar a pressão das garrafas no enchimento para que não estourem.

Em todo caso, se ocorre uma quebra de garrafas, a linha de produção tem um sistema próprio

que limpa o material derramado. Assim não é necessário parar a produção para limpeza.

Atualmente é comum uma variação do tipo de linha de produção em função do con-

trole volumétrico de bebida nos vasilhames. Nas máquinas mais tradicionais o controle é feito

por um sensor que interrompe o ﬂuxo de bebida quando entra em contato com a bebida. Neste

processo não há uma garantia do volume de bebida engarrafado. Se, por exemplo, o vasilhame

estiver um pouco amassado, o volume de bebida será menor. Em linhas mais modernas o con-

trole é volumétrico, ou seja, a enchedora coloca exatamente o volume de bebida no vasilhame,

independente do nível da bebida na garrafa. Este controle volumétrico aumenta a conﬁabilidade

do produto segundo as normas do INMETRO.

As máquinas precisam de um tempo de preparação toda vez que um novo sabor e/ou

novo tamanho de vasilhame for utilizado. Se a nova bebida for de sabor diferente, a máquina

passa por uma limpeza; se for de tamanho diferente, ajustes mecânicos são feitos. Estes prepa-

ros dependem da seqüência da produção. Se após a produção de uma bebida normal se produzir

uma bebida diet, a limpeza da máquina passa por mais estágios do que na ordem contrária, o

que consome mais tempo e pode gerar custos de atraso, preparo de máquinas, e estoque. A

simples inversão da produção de uma bebida diet para normal pode alterar os tempos e custos

de preparo signiﬁcativamente. Isto implica que a programação da produção deve considerar os

tempos e custos de troca dependentes da seqüencia de produção.

No dimensionamento e na programação da produção, o programador deve deﬁnir o

tamanho dos lotes de produção de cada bebida nas linhas e a seqüência em que serão produzidos

em cada período. O mesmo deve ser feito para os xaropes nos tanques. É importante observar

que as programações da produção das linhas e dos tanques estão diretamente relacionadas, pois

a linha não começa a produzir enquanto o xarope não for liberado, e, por outro lado, o xarope

não pode ser liberado se a linha não estiver pronta. A programação da produção é, em geral,

feita para estoque, mas é comum a venda de grandes lotes de bebidas que devem ser entregues

com urgência, e por isto fabricados antes dos outros produtos.

A produção de bebidas envolve a produção de grandes quantidades de produto e a

troca de vários tipos de bebidas nas linhas de produção, assim este sistema produtivo é inter-

mitente e repetitivo. O layout das fábricas é por produto, pois os equipamentos são arranjados

de acordo com a seqüência de operações pelas quais o produto passa. Como todos os produtos

possuem basicamente a mesma seqüência de produção nas máquinas, o padrão de ﬂuxo é um

ﬂow shop.

No presente trabalho, para se compreender melhor como o dimensionamento e o

sequenciamento da produção de bebidas é feito e como ele afeta a capacidade de produção

da fábrica, foram realizadas visitas em algumas fábricas de bebidas no interior do estado de São

Paulo, uma fábrica de maior porte (Fábrica A) e outras duas de menor porte (Fábricas B e C).

2.3.1 Fábrica A

A Fábrica A é de grande porte. Na área de envase desta fábrica existem 7 linhas de

produção, que produzem mais de 100 itens diferentes, quase todos caracterizados pela emba-

lagem e sabor de bebida. Por exemplo, o refrigerante de 600 ml sabor laranja é um item e o

refrigerante 2000 ml sabor laranja é considerado outro item. Apenas um tipo de bebida (sucos)

possui o tipo de embalagem ﬁxa e varia apenas em sabor. Para esta família é necessário especi-

ﬁcar o sabor e o número de unidades de produto do fardo levado para o estoque, pois os fardos

podem ser compostos de 12 ou 36 unidades de produto.

As 7 linhas de envase produzem diferentes conjuntos de bebidas. Apenas uma das

linhas, linha 2, pode produzir além de um conjunto distinto de bebidas, as bebidas que também

podem ser produzidas na linha 4 e uma bebida que também pode ser produzido na linha 7.

No entanto, na prática, a velocidade de produção desta linha para estes dois itens é inferior à

velocidade de produção das outras máquinas, de maneira que ela nunca é utilizada na produção

destes itens. O período de produção da fábrica é de 24 horas por dia, o que exclui a possibilidade

de utilização de horas extras ou turnos adicionais.

Na xaroparia encontram-se 9 tanques para o preparo de 20 sabores de xaropes. Destes

9 tanques, 7 tem capacidade de 24000 litros de xarope cada, dos quais 1 é dedicado ao xarope de

maior consumo, que é preparado em ﬂuxo contínuo, e 2 são para preparo de sabores diet/light.

Os outros dois tanques são um pouco menores, possuem capacidade de 22500 litros de xarope

cada. Para o preparo dos xaropes é necessária uma quantidade mínima de xarope para a reali-

zação do processo de homogeneização. Nos tanques maiores esta quantidade é de 3000 litros

de xarope e nos tanques menores, de 1000 litros.

A previsão de demanda desta fábrica é feita para um horizonte de tempo de dois

meses, e atualizada a cada semana, após a programação da produção, que é semanal. Esta

empresa possui um sistema informatizado que liga os diversos setores da empresa envolvidos

na produção tais como: vendas, planejamento e controle da produção, compras de matéria prima

e xaroparia. Para deﬁnir a programação da produção, o programador conta com softwares, como

SAP, Dephpro e Preactor, que o auxiliam.

A demanda semanal de cada item é enviada para o SAP que determina um pré-

dimensionamento dos lotes, onde apenas a capacidade das linhas é considerada. Em seguida o

Dephpro avalia o dimensionamento obtido pelo SAP considerando as capacidades dos tanques

e os níveis de estoque. Após o dimensionamento de cada item, o Preactor realiza o sequencia-

mento da produção.

Em entrevista com o programador de produção, ele aﬁrmou que o programa obtido

pelos softwares nunca é realizado exatamente, pois existem outros fatores como manutenção

de algumas máquinas e urgência na entrega de alguns pedidos, que não são considerados pelos

programas. Sendo assim, em geral, o programador adequa o sequenciamento para considerar as

restrições não incluídas nos softwares.

A preparação das linhas (set up) que inclui a limpeza e ajustes das máquinas, é um fa-

tor que também inﬂuencia muito o sequenciamento da produção, pois depende da seqüencia de

produção dos itens. O tempo gasto com a preparação varia de 30 minutos, quando é necessário

apenas o enxague da linha, até 5 horas, quando é necessário realizar uma limpeza profunda da

linha e fazer ajustes mecânicos para mudança de vasilhames.

2.3.2 Fábrica B

A fábrica B é de médio porte e fabrica água, pinga e 48 refrigerantes de diversos sa-

bores e em diversos tamanhos. A unidade da empresa visitada é responsável pela produção dos

refrigerantes em vasilhames descartáveis (garrafas PET). A fábrica possui 3 linhas de produção,

das quais uma se destina à produção de bebidas em vasilhames de vidro.

A fábrica possui 4 tanques grandes e 3 pequenos. Os tanques pequenos tem capaci-

dade para 5240 litros e os grandes para 13100 litros. Os tanques menores se destinam a sabores

com demanda menor. Os tanques devem trabalhar com pelo menos meia capacidade para ga-

rantir a homogeneidade do xarope. Uma amostra do líquido do fundo e de cima são retiradas.

Se estiverem iguais, a hélice pode ser desligada.

Os vasilhames de vidro são comprados e os de plástico são produzidos na própria

fábrica em um galpão separado. Existem 5 tipos de vasilhames de vidro: 200 ml, 290 ml, 600

ml, 600 ml padrão e 1 litro. Os vasilhames de plástico variam nos tamanhos: 250 ml, 350 ml,

600 ml e 2 litros.

A capacidade da linha de produção de vidro é um pouco menor que das linhas de pro-

dução de PET justamente pelo tempo a mais que se gasta para veriﬁcar a pressão nas garrafas.

Em todas as linhas de produção de bebida existem funcionários que veriﬁcam cada vasilhame

pronto, o que garante uma maior qualidade do produto.

O gargalo da linha de produção é a enchedora, que determina a capacidade da pro-

dução. As linhas de produção 1 e 2 possuem 42 válvulas e a linha 3 possui 64 válvulas. A

parte pós-enchedora (rotular, fechar, empacotar) tem capacidade maior que a da enchedora, as-

sim como a parte pré-enchedora (preparo do líquido), pois se a enchedora estiver trabalhando

bem, o restante da linha de produção deve acompanhá-la. Os tanques foram construídos para

armazenar xarope suﬁciente para a enchedora trabalhar pelo menos 4 horas consecutivas.

2.3.3 Fábrica C

A Fábrica C é de pequeno porte, e possui 1 linha de envase de bebidas em vasilhames

PET, e uma linha de envase de bebidas em vasilhames de vidro, e 10 tanques para preparo de

xarope, que produzem 27 itens diferentes, com 10 sabores distintos. A fábrica também possui

uma linha de vidro, mas que não representa nem 10% da produção da fábrica.

Os tanques para preparo de xaropes possuem 3 capacidades distintas: 7 de 15000

litros cada, 2 com 6000 litros cada e 1 de 12000 litros cada. A linha existente é responsável

pela produção de todos os itens. A preparação (set up) da linha, segundo relato do gerente de

produção, varia de 40 minutos, quando é realizada uma limpeza simples na linha, até 2 horas,

quando é necessária a limpeza profunda e a regulagem da linha. Este set up também depende

do sequenciamento dos lotes de produção.

Assim como na Fábrica A, o período de produção é de 24 horas por dia, tendo uma

pausa de produção apenas no domingo a noite em períodos de pouca demanda, impossibili-

tando a contratação de horas extras. Nesta fábrica, a previsão de demandas é mensal, e o

planejamento da produção visa manter um estoque de uma semana para cada item. Apesar dos

dados de previsão de demandas, de vendas realizadas e dos níveis de estoques estarem em pla-

nilhas eletrônicas, a programação da produção é feita manualmente, pois a fábrica não possui

softwares especializados para ajudá-la na programação da produção.

Nas visitas às Fábricas A, B e C foi observado que os responsáveis pela programação

da produção encontram diﬁculdades para estabelecer a programação da produção, principal-

mente nas fábricas B e C, devido a natureza combinatória do problema e por não possuírem

nenhuma ferramenta que os auxilie nesta tarefa. Os responsáveis pela programação da pro-

dução passam pelo menos uma manhã programando a produção, e se há quebra de máquinas,

novos pedidos de clientes importantes ou outros imprevistos, e é comum acontecerem vários

imprevistos, a programação deve ser refeita, o que novamente ocupa um período de trabalho

dos responsáveis. Uma ferramenta de apoio a decisão da programação da produção poderia

colaborar na agilização e sistematização desta tarefa, e na redução de custos de produção, prin-

cipalmente os custos de set ups. Além de permitir a avaliação de vários cenários diferentes,

como o efeito de uma diminuição ou aumento de capacidade da fábrica, a inserção de produção

de novas bebidas, oscilações de demanda e taxas de produção, entre outras variações.

3 Revisão bibliográﬁca

Em um nível tático, o planejamento e controle da produção tem como objetivo esta-

belecer qual a produção, os níveis de estoques, a força de trabalho e outros recursos necessários

para a produção durante um horizonte de planejamento, em geral de vários meses, ou semanas.

No nível operacional está a programação da produção que detalha o plano de produção estabe-

lecido, normalmente em períodos de tempo menores, dias, turnos, horas (Thomas e McClain,

1993)(Shapiro, 1993). Diversos modelos podem ser encontrados na literatura de gerência da

produção e pesquisa operacional para tratar de problemas de planejamento e programação da

produção; veja, por exemplo, Johnson & Montgomery (1974), Hax e Candea (1984), Winston

(1991), Williams (1993) e Nahmias (1995).

Deﬁnindo a programação da produção, as questões de quanto e quando produzir de

cada produto no horizonte de planejamento são respondidas. Nos casos em que há vários pro-

dutos e várias máquinas, por exemplo, a programação deve deﬁnir ainda as quantidades de

produção de cada produto em cada máquina no horizonte de planejamento. Nesta tese é estu-

dada a modelagem matemática de um problema de programação da produção de bebidas. A

programação deste tipo de produção, como foi observado anteriormente, envolve as decisões de

quanto produzir de cada bebida (dimensionamento dos lotes) e a seqüencia de produção destas

quantidades (sequenciamento da produção). Na literatura há trabalhos que modelam matemati-

camente apenas o dimensionamento dos lotes (Kuik et al., 1994), (Brahimi et al., 2006), outros

apenas o sequenciamento da produção (Manne, 1960), (Pinedo, 1995), (Cheng et al., 2004)

e também trabalhos que integram em um mesmo modelo matemático o dimensionamento e o

sequenciamento dos lotes (Fleishmann, 1990)(Drexl e Kimms, 1997).

Existem várias formas de classiﬁcar os modelos matemáticos que tratam da progra-

mação da produção. Em relação ao número de máquinas (modelos mono máquina e multi

máquinas), em relação a limitação da capacidade (modelos capacitados e não capacitados), em

relação aos tempos e/ou custos de set up (modelos com tempos e/ou custos de set up), en-

tre outras características. Em Bahl et al. (1987) encontra-se uma classiﬁcação dos modelos

de dimensionamento de lotes, onde o número de estágios os distingue em modelos de um ní-

vel (demanda independente), capacitados e não capacitados, e modelos multi níveis (demanda

dependente), capacitados e não capacitados. Salomon e Wassenhove (1994), propõem que a ca-

pacidade e a demanda são os principais eixos para classiﬁcar os modelos de dimensionamento

de lotes. Belvaux e Wolsey (2000) fazem uma classiﬁcação dos modelos de dimensionamento

de lotes baseada na diferenciação entre modelos do tipo big bucket com custos de set up, onde

vários itens podem ser produzidos por período, e modelos do tipo small bucket, onde apenas um

produto pode ser produzido por período.

O presente trabalho propõe modelos matemáticos de dimensionamento de lotes que

incluem o sequenciamento da produção. A Figura 3.1 representa a classiﬁcação adotada, o

termo em negrito representa a localização dos modelos apresentados no capítulo 4.

Figura 3.1: Classiﬁcação de modelos matemáticos

A revisão bibliográﬁca a seguir é em relação aos modelos matemáticos de dimen-

sionamento de lotes de produção (Seção 3.1) e modelos matemáticos de dimensionamento e

sequenciamento de lotes de produção (Seção 3.2).

3.1 Modelos de Dimensionamento de Lotes

O problema de dimensionamento de lotes pode ser deﬁnido como um problema de

programação da produção que consiste em determinar o tamanho dos lotes de produção de cada

produto a ser produzido em uma ou mais máquinas, em cada período ao longo do horizonte de

planejamento ﬁnito, de forma que se atenda a demanda com o menor custo possível. Algumas

revisões bibliográﬁcas neste tema são os trabalhos de Kuik et al. (1994), Salomon e Wassenhove

(1994), Karimi et al. (2003) e Brahimi et al., (2006).

Os primeiros estudos de problemas de dimensionamento de lotes ocorreram com o

Economic Order Quantity (EOQ), que determina a quantidade de produção para um item indi-

vidual, considerando o tradeoff existente entre os custos de controle de estoque e os custos de

set up, ou seja, pressupõe um processo produtivo de um produto em um nível, sem restrições de

capacidade, e demanda constante ao longo de um horizonte de planejamento inﬁnito. A solução

ótima deste problema pode ser obtida por uma expressão analítica (Wagner e Whitin, 1958).

Devido às restrições desta abordagem na modelagem de situações mais realistas, sur-

giram outros modelos, como o Economic Lot Scheduling Problem (ELSP), onde o problema é

programar a produção de mais de um produto em uma única máquina. A capacidade disponível

é limitada, os custos e tempos de set up são independentes da seqüência, e as taxas de produção

e demanda são constantes no horizonte de tempo considerado inﬁnito.

Em geral os modelos de dimensionamento de lotes podem ser classiﬁcados quanto

ao número de produtos (itens), único item como o modelo EOQ ou multi-itens como o mo-

delo ELSP, máquinas (única máquina ou várias máquinas), estágios (mono-estágio ou multi-

estágios), etc. Em Brahimi et al. (2006) é feita uma revisão dos trabalhos realizados com o

modelo de dimensionamento de um item SILSP (Single Item Lot sizing Scheduling Problem),

não capacitados e capacitados, assim como dos vários tipos de métodos utilizados para resolvê-

los.

O modelo SILSP aparece como subestrutura de vários outros modelos importantes

e mais complexos de dimensionamento de lotes. O problema básico consiste em determinar

as quantidades e os períodos onde a produção será realizada. A demanda que varia no tempo

deve ser satisfeita pela produção total, de forma a minimizar os custos totais que podem ser

custos de set up e de estoque. O custo de produção é um custo ﬁxo se a produção se iniciar no

período t. O trabalho apresenta também uma revisão dos modelos gerais de dimensionamento

de lotes do tipo big bucket, que possuem períodos de tempo maiores onde vários itens podem

ser produzidos, e dos modelos gerais de dimensionamento de lotes do tipo Small bucket, que

possuem períodos de tempo menores onde apenas um item é produzido por período.

Quando a demanda não varia com o tempo, ela é dita constante ou estacionária, caso

contrário, ela é conhecida como demanda dinâmica. Quando o horizonte de planejamento é

ﬁnito, normalmente a demanda é dinâmica. No caso de horizontes de planejamento inﬁnitos, a

demanda é considerada estacionária.

Independente do tipo de demanda, os itens produzidos podem compartilhar os recur-

sos disponíveis, como, por exemplo, a capacidade de uma máquina. Nestes casos, os modelos

que consideram esta restrição de capacidade são chamados de modelos de dimensionamento de

lotes capacitados (Bitran e Yanasse, 1982)(Trigeiro et al., 1989). Se a restrição de capacidade

não for considerada, o modelo se torna um modelo de dimensionamento de lotes não capacitado

(Wolsey, 1998).

Ao longo deste capítulo é utilizado o termo set up para o preparo da máquina, e o

termo start up que signiﬁca o início da produção da máquina. Os conjuntos de dados e variáveis,

dados na descrição dos modelos, são apresentados a seguir.

Parâmetros

J número de produtos (itens);

T número de períodos do horizonte de planejamento;

M número de recursos (máquinas) da produção;

custo de set up no período t;

custo de set up do produto j no período t;

custo de manter uma unidade do produto em estoque no período t;

custo de manter uma unidade em estoque do produto j no período t;

demanda no período t;

demanda do produto j no período t;

capacidade de produção no período t;

capacidade de produção da máquina m no período t;

capacidade necessária para produzir uma unidade do produto j;

capacidade necessária da máquina m para produzir uma unidade do produto j;

tempo de set up da máquina para o produto j;

tempo de set up da máquina m para o produto j;

tempo de start up da máquina para o produto j no período t;

ijt

tempo de troca do produto i para o produto j no período t;

min

lote mínimo de produção do item j;

custo de produção do produto j no período t;

custo de start up da máquina para o produto j no período t;

ijt

custo de troca do produto i para o produto j no período t;

ψ(j) conjunto dos sucessores do produto j; (ψ(j) = ∅ se j é um produto ﬁnal)

quantidade necessária do produto j para a produção de uma unidade do produto i;

lead time mínimo para o item j;

B número suﬁcientemente grande;

conjunto dos sub-períodos do período t;

N número total de sub-períodos;

primeiro sub-período do período t;

último sub-período do período t.

Variáveis

quantidade do produto produzida no período t;

estoque do produto no ﬁm do período t.







1 se ocorre set up no período t

0 caso contr´ario;

quantidade do produto j produzida no período t;

estoque do produto j no ﬁm do período t;







1 se ocorre set up do produto j no período t

0 caso contr´ario;







1 se há start up para o produto j no período t

0 caso contr´ario;

ijt







1 se há troca do produto i para j no período t

0 caso contr´ario;

Uma versão simples do problema de dimensionamento de lotes não capacitado pode

ser descrita pelo seguinte modelo apresentado por Hax & Candea (1984). Considere a progra-

mação de produção (ou aquisição) de um produto, cujas taxas de demanda são conhecidas em

um horizonte de planejamento composto por T períodos.

Min



δ(x

) +



(3.1)

Sujeito a

+ I

t−1

= d

+ I

, t = 1, . . . , T; (3.2)

; I

≥ 0, t = 1, . . . , T; (3.3)

onde

δ(x

) =







0, se x

= 0;

1, se x

> 0;

. (3.4)

A função objetivo (3.1) minimiza os custos de set up e estoque. Pela equação (3.2),

a quantidade produzida em um período, mais o estoque do início do período, menos a quanti-

dade em estoque no ﬁm do período, deve ser igual a demanda do período. Estas equações são

conhecidas como restrições de balanceamento de estoque. As restrições (3.3) são de não nega-

tividade, e as restrições (3.4) impõem a condição de que os custos de set up só serão incluídos

quando houver produção.

O set up normalmente é inserido no modelo por uma variável binária que assume valor

1, caso a máquina esteja preparada para produzir um determinado produto e 0, caso contrário.

Karimi et al. (2003) indica dois tipos de estruturas de set up: estrutura de set up simples, quando

o set up não é dependente da seqüência de produção, e estrutura de set up complexa, quando o

set up é dependente da seqüência de produção. Mais a frente a questão da consideração do set

up nos modelos voltará a ser discutida.

Trocando a função δ(q

) por uma variável binária de preparação y

e acrescentando

uma restrição que garanta que o custo de preparação seja considerado somente quando existe

produção, obtém-se o Modelo de dimensionamento de lotes Não Capacitado (ULSP- Uncapa-

citated lotsizing Problem), descrito pelas expressões (3.5)-(3.8) a seguir.

Min



(3.5)

Sujeito a

+ I

t−1

= d

+ I

, t = 1, . . . , T; (3.6)

≤ By

, t = 1, . . . , T; (3.7)

; I

≥ 0, y

∈ {0, 1} t = 1, . . . , T; (3.8)

Na restrição (3.7), B é um número suﬁcientemente grande que evita a limitação da

produção. Substituindo-se B pela capacidade do período t, K

, teríamos um problema capaci-

tado para um item. Para estendê-lo para vários itens, basta incluir o índice dos itens nas variáveis

e considerar as restrições para cada item. Neste caso tem-se um modelo não capacitado, mono

estágio (ou único nível), multi-item com demanda dinâmica.

Modelo ULSP multi-item

Min



(3.9)

Sujeito a

+ I

jt−1

= d

+ I

, t = 1, . . . , T j = 1, . . . , J. (3.10)

≤ By

, t = 1, . . . , T j = 1, . . . , J. (3.11)

; I

≥ 0, y

∈ {0, 1} t = 1, . . . , T j = 1, . . . , J. (3.12)

A produção dos vários itens é considerada pela inclusão do índice j para indexar as

variáveis de produção (x

), set up (y

), e as restrições (3.10), (3.11) e (3.12) . O custo total a

ser minimizado é a soma de todos os custos de set up e estoque para todos os produtos em todos

os períodos. Como não há restrições de capacidade, o problema pode ser decomposto em J

subproblemas independentes, um para cada item a ser produzido. Desta forma cada um destes

problemas pode ser resolvido independentemente (Jonhson e Montgomery, 1974).

O modelo capacitado, mono-estágio, multi-produto com demanda dinâmica, difere do

modelo não capacitado apresentado acima, pela inclusão da restrição



≤ K

. Florian et

al. (1980) mostram que o problema capacitado com um item que considera custos de preparação

é um problema da classe NP-difícil.

Uma variação da restrição de capacidade ocorre quando os tempos de set up, st

são considerados, veja o modelo CLSP (Problema de Dimensionamento de lotes capacitado

com tempo de set up -

Min



j,t



. (3.13)

Sujeito a

j,t−1

+ x

= d

+ I

, j = 1, . . . , J; t = 1 , . . . , T. (3.14)



≤ K

, t = 1, . . . , T; (3.15)

≤ By

, j = 1, . . . , J ; t = 1, . . . , T, (3.16)

; x

≥ 0 ; y

∈ {0 , 1}, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T. (3.17)

A função objetivo (3.13) minimiza o custo total de estoque, produção e set up. A

restrição (3.14) é a restrição de balanceamento de estoques. A restrição (3.15) é a restrição

de capacidade que garante que a soma dos tempos de produção dos itens no período t, mais

os tempos de set up, será menor que a capacidade disponível no período t. A restrição (3.16)

garante que se a máquina não estiver preparada para produzir o item j no período t, a produção

será nula. A restrição (3.17) impõe a não negatividade das variáveis.

Alguns autores consideram que os tempos de set up já estão embutidos nos custos

de set up, não sendo necessário considerá-los explicitamente (Maes e Van Wassenhove, 1991).

Billington et al. (1994) destacam que o tempo de set up pode ser ignorado em algumas indús-

trias de processo, mas em vários sistemas com restrições de capacidade, um dos fatores mais

críticos do problema de dimensionamento de lotes é o tempo de preparação, e não seu custo.

Trigeiro et al. (1989) discute esta questão e mostra exemplos de problemas que não devem ser

formulados sem tempos de set up.

Em alguns casos, se a produção do período e o estoque formado no período anterior

não forem suﬁcientes para suprir a demanda, pode ser inserido no modelo a possibilidade de

atraso (backlogging) no atendimento da demanda. Quando o atraso é considerado, a variável

de estoque I

é substituída pela expressão I

= I

− I

−

, onde I

e I

−

são variáveis não

negativas, e uma penalização por atraso é incluída na função objetivo (Shapiro, 1993). O atraso

do período t − 1 deverá ser suprido pela produção dos próximos períodos. Assim a restrição de

balanceamento de estoque se torna:

+ I

j,t−1

+ I

−

= d

+ I

−

jt−1

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T. (3.18)

Em certos processos, como fundições, o início da produção (start up) implica em um

custo de preparo da liga que será produzida. Este custo deve ser incluído na função objetivo

toda vez que a liga, que não estava sendo produzida no período anterior, começa a ser produzida.

Para isto é incluída no modelo a variável binária w

, que assume valor 1 se o item j começa a

ser produzido no período t, 0 caso contrário; a restrição (3.19); e a função objetivo (3.20):

≥ y

− y

j,t−1

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T; (3.19)

Min



j,t



j,t



j,t



j,t

. (3.20)

A restrição (3.19) e a função objetivo (3.20) que minimiza os custos f

de start

up, garantem que w

assume valor 1 apenas se y

= 1 e y

jt−1

= 0, ou seja, se o item j

é produzido no período t e não estava sendo produzido no período anterior (Wolsey, 1997)

(Belvaux e Wolsey, 2001)(Constantino, 1996)(Ferreira, 2002).

Em certos processos produtivos, a produção depende de algum componente ou al-

guma matéria prima que é preparada em uma etapa (ou nível) anterior ao nível da produção

do produto ﬁnal (Hax e Candea, 1984). Este tipo de processo motiva a construção de modelos

matemáticos conhecidos como Modelos Multi-nível ou Multi-estágios; veja o modelo (3.21)-

(3.25) abaixo (Maes et al., 1991). No problema de dimensionamento de lotes Multi-estágios os

produtos ﬁnais possuem demandas que são chamadas demandas independentes, enquanto que

os componentes destes produtos podem possuir a demanda dependente, que é a demanda de

consumo interno para produção dos produtos ﬁnais, e a demanda independente.

Min



j,t



j,t

. (3.21)

Sujeito a

j,t−1

+ x

jt−L

= d



i∈ψ(j)

+ I

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T. (3.22)



≤ K

, m = 1, . . . , M, t = 1, . . . , T; (3.23)

≤ By

, j = 1, . . . , J ; t = 1, . . . , T, (3.24)

; x

≥ 0 ; y

∈ {0, 1}, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T. (3.25)

A função objetivo (3.21) é similar a função objetivo dos modelos apresentados ante-

riormente. A restrição de balanceamento de estoque (3.22) passa a ter a demanda independente,

, e a demanda dependente do produto j,



i∈ψ(j)

. A restrição de capacidade (3.23)

garante que a produção do produto j, mais o tempo de set up, não ultrapasse a disponibilidade

do recurso m. As restrições (3.24) e (3.25) são semelhantes a (3.16) e (3.17), respectivamente.

3.2 Modelos Integrados de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes

Na programação da produção de itens como ração, refrigerantes, tintas, entre outros,

pretende-se determinar fundamentalmente duas coisas: quanto será produzido de cada produto

no período, e qual a seqüência de produção de cada produto dentro de cada período. O pro-

blema na prática tem sido resolvido em duas etapas: em uma primeira etapa é determinado

o tamanho dos lotes, levando em consideração as disponibilidades de insumos, capacidade de

produção, etc, e em uma etapa subseqüente, a seqüência dos lotes é deﬁnida em cada máquina,

considerando os tempos de troca, capacidade disponível e outros fatores que possam inﬂuenciar

no sequenciamento da produção. Em muitos casos os tempos e/ou custos de set up dependem

da seqüência de produção dos itens.

Na literatura encontram-se trabalhos que integram o dimensionamento e o sequen-

ciamento dos lotes em um mesmo modelo matemático (Fleishmann, 1990), (Drexl e Haase,

1995), (Fleishmann e Meyr, 1997), (Drexl e Kimms, 1997), (Haase e Kimms, 2000),(Meyr,

2000), (Meyr, 2002), (Toledo et al., 2006), (Luche e Morabito, 2005), (Toso e Morabito, 2005),

(Araújo et al., 2004), (Gutiérrez, and Pizzolato, 2004), (Gupta, Magnusson, 2005). Estes mode-

los matemáticos pretendem responder a questão: Quanto, quando e em que seqüência produzir

os itens, de forma a minimizar custos tais como custos de estoque, atrasos e preparação? Se

forem consideradas várias máquinas, deve-se ainda determinar quais itens serão produzidos em

cada máquina. Em (Staggemeier e Clark, 2001), (Drexl e Kimms, 1997) encontram-se revisões

sobre modelos que integram o dimensionamento e o sequenciamento dos lotes.

Vários modelos foram formulados representando diferentes tipos de situações que

envolvem dimensionamento e sequenciamento da produção. Uma maneira de sequenciar a

produção dos itens é considerar o intervalo de tempo menor (dias, horas, turnos) e permitir

que apenas um item seja produzido por período; veja restrição (3.29) abaixo. Assim, sabe-se

exatamente o que e quanto será produzido em cada período. Fleishmann (1990) apresenta um

modelo que considera o sequenciamento desta maneira, e é conhecido por Modelo Discreto

de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes (DLSP- Discrete lotsizing and scheduling

problem), descrito a seguir.

Min



j,t



j,t

. (3.26)

Sujeito a:

j,t−1

+ x

= I

+ d

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T, (3.27)

= K

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T, (3.28)



≤ 1, t = 1, . . . , T, (3.29)

≥ y

− y

j,t−1

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T, (3.30)

, w

, x

≥ 0; y

∈ { 0, 1}, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T. (3.31)

A restrição (3.27) é a restrição de balanceamento de estoques. A restrição (3.28) é

a restrição de capacidade. Observe que esta restrição garante que se o item for produzido, ele

deve utilizar toda a capacidade do período. Este tipo de restrição de capacidade é conhecida

como restrição tudo-ou-nada.

A restrição (3.29) garante que no máximo um item será produzido por período. E a

restrição (3.30) garante que o set up será contado apenas se houver o início da produção de um

novo item (veja a restrição de start up (3.19)). A restrição (3.31) é a de não negatividade das

variáveis. Como a variável de start up w

está sendo minimizada na função objetivo e aparece

na restrição (3.30), cujo lado direito assume apenas os valores 0 e 1, não há necessidade de

deﬁnir esta variável como sendo uma variável binária.

Observe que o modelo se diferencia dos modelos de dimensionamento de lotes clás-

sicos por restringir a produção ao máximo de um item por período. O DLSP tem complexidade

NP-difícil, sendo que uma solução factível pode ser encontrada em tempo polinomial. Se são

considerados tempos de preparo ou máquinas paralelas, o problema de factibilidade do DLSP

passa a ser um problema NP-completo. A complexidade do DLSP foi estudada por Salomon et

al. (1991).

Caso a restrição tudo-ou-nada seja relaxada, permitindo o uso parcial da capacidade

de produção, o modelo se torna o Modelo CSLP, Problema de dimensionamento e sequenci-

amento de lotes com Preparação Contínua (Continuous set up lotsizing scheduling problem)

(Drexl e Kimms, 1997). Para fazer esta modiﬁcação, a restrição de capacidade (3.28) se torna:

≤ K

j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T. (3.32)

Uma outra variação destes modelos é o modelo PLSP, Problema de dimensionamento

e sequenciamento de lotes Proporcional (Proportional lot sizing and scheduling problem), apre-

sentada por Drexl e Haase (1995), onde é permitida a utilização de parte da capacidade. Neste

caso é permitida, além da utilização parcial da capacidade, sua utilização na produção de um

segundo item dentro de um mesmo período. Assim, podem ocorrer até dois preparos dentro de

um período. Kimms (1999) estende este modelo para incluir vários estágios de produção.

Um modelo mais detalhado considera também tempos e custos de start up e troca dos

itens. Wolsey (1997) apresenta um modelo capacitado, com tempos e custos de set up, start up

e troca de itens, descrito a seguir.

Min



j,t



j,t



j,t



j,t



i,j,t

ijt

. (3.33)

Sujeito a:

= I

j,t−1

+ x

− d

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T ; (3.34)

+ β



i=j

ijt

≤ K

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T ; (3.35)



= 1, t = 1 , . . . , T, (3.36)

≥ y

− y

j,t−1

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T ; (3.37)

ijt

≥ y

i,t−1

+ y

− 1, i = 1, . . . , J; j = 1, . . . , J, i = j (3.38)

t = 1, . . . , T ; (3.39)

; x

≥ 0; , z

ijt

, w

, y

∈ {0, 1}, j = 1, . . . , J; i = 1, . . . , J, t = 1, . . . , T. (3.40)

A restrição (3.34) é a restrição de balanceamento de estoques. A restrição (3.35) é a

restrição de capacidade que garante que o tempo de produção do item j no período t, mais os

tempos de start up e troca, serão menores que a capacidade disponível para o item no período,

e se a máquina não estiver preparada para produzir o item j no período t não haverá produção.

A restrição (3.35) não é agregada para todos os itens como a restrição (3.15), pois a restrição

(3.36) garante que a máquina está preparada para produzir exatamente um item por período.

As restrições (3.37) e (3.38) são referentes a start up e trocas de itens nos períodos.

A restrição (3.37) indica se houve um start up da linha para o item j no período t, e a restrição

(3.38) garante que se houve troca de item i para j, de um período para outro, t − 1 para t, então

será contado o tempo e o custo desta troca. O autor observa que o start up pode ser modelado

apenas usando as variáveis de troca, no entanto, as variáveis de start up podem colaborar na

geração de inequações válidas para o modelo e, por este motivo, são usadas explicitamente. A

restrição (3.40) mostra a não negatividade das variáveis.

Com exceção do modelo PLSP, os modelos apresentados acima são do tipo small buc-

ket, pois permitem que apenas um item seja produzido por período e os períodos considerados

são dias, horas, turnos. Logo, ao se determinar o lote de produção de cada período, está sendo

determinado o momento que cada produto será produzido, ou seja, a seqüencia de produção,

além do tamanho dos lotes.

Fleishmann e Meyr (1997) apresentam um modelo big bucket onde os períodos (ma-

cro períodos) são divididos em períodos menores (sub-períodos ou número de preparos do pe-

ríodo), e nos sub-períodos apenas um item pode ser produzido por vez. O lote de produção é

deﬁnido em termos dos sub-períodos s pertencentes aos conjuntos S

, que são os conjuntos dos

sub-períodos do período t. Logo a variável de produção, ao invés de ser x

, é x

, sendo que a

produção do item no período t é a soma do que foi produzido daquele item em cada sub-período

s do período t. Pode ser produzido em cada sub-período no máximo um item, assim pode-se

saber exatamente o que será produzido em cada sub-período e, conseqüentemente, a seqüên-

cia de produção de cada período. O tamanho do sub-período é dado pelo tamanho do lote de

produção, podendo ser nulo. Desta maneira, no sub-período 1 pode ser produzido um lote de

1000 unidades e no sub-período 2 um lote de 200 unidades, ou seja, o tamanho do sub-período

1 pode ser diferente do tamanho do sub-período 2. A soma dos tempos de produção dos lotes

mais os tempos de troca deve ser menor que a capacidade do período.

O número total de sub-períodos é N. Como os sub-períodos variam de 1 até N, e o

conjunto S

indica quais sub-períodos pertencem ao período t, segue que N =



t=1

|, onde

| é o número de sub-períodos de cada período t (S

é previamente deﬁnido pelo usuário).

Na Figura 3.2 a seguir N = 9, N

= 3, N

= 2, N

= 4, S

= {1, 2, 3}, S

= {4, 5} e

= { 6, 7, 8, 9}.

Figura 3.2: Deﬁnição dos sub-períodos

Para determinar o primeiro e o último sub-período de cada período, P

e U

respecti-

vamente, são utilizadas as fórmulas P

= 1+

t−1



τ =1

, U

= P

−1. O modelo é chamado de

GLSP, Problema de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes Geral (General Lot-sizing

and Scheduling Problem) (Fleishmann e Meyr, 1997). Note que outros modelos conhecidos na

literatura, como o DLSP, PLSP, se diferem dele apenas por restrições relacionadas a estrutura de

tempo da solução. Com isto observa-se que o GLSP contém o conjunto de soluções dos outros

modelos. As variáveis de preparo e produção vão indicar a produção e a troca de itens de cada

sub-período. Conforme mencionado anteriormente, o número de sub-períodos de cada período

é deﬁnido pelo usuário.

Fleishmann e Meyr (1997) discutem ainda o caso de custos de preparo que não sa-

tisfazem a desigualdade triangular, onde a troca de produção de um item i para um item k,

e depois de um item k para um item j, pode ser mais econômica do que a simples troca de

produção do item i para o item j. Seja c

o custo de troca do item i para k, c

do item k

para i, e c

do item i para j. Se os custos não satisfazem a desigualdade triangular, tem-se

+ c

< c

, i, j, k = 1, . . . , J. Um exemplo deste caso está ilustrado na Figura 3.3. Nestes

casos, uma restrição que garanta a produção de um lote mínimo deve ser usada para que não

sejam considerados custos de preparo sem que o item seja produzido.

Figura 3.3: Custos de set up que não satisfazem a desigualdade triangular.

Um exemplo prático onde não vale a desigualdade triangular para os custos de set

up ocorre em indústrias de ração animal e químicas, onde a produção de alguns itens pode

colaborar na retirada de resíduos do produto feito anteriormente. Isto pode tornar desnecessário

o preparo da linha para a produção de um terceiro item. Em Toso (2003) encontra-se um estudo

da produção de ração animal, numa fábrica no interior do estado de São Paulo, onde os tempos

e custos não satisfazem a desigualdade triangular.

O Modelo de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes Geral (GLSP - General

Lot-sizing and Scheduling Problem) é descrito a seguir. A função objetivo minimiza os custos

de estoque e troca de itens.

Min



j,t



i,j,s

ijs

. (3.41)

Sujeito a

= I

j,t−1



s∈S

− d

j,t

, j = 1, . . . , J; t = 1, . . . , T, (3.42)



j,s∈S

≤ K

, t = 1, . . . , T, (3.43)

≤

, s = 1, . . . , N; j = 1, . . . , J, (3.44)

≥ min

− y

j,s−1

), s = 1, . . . , N; j = 1, . . . , J, (3.45)



= 1 , s = 1, . . . , N, (3.46)

ijs

≥ y

i,s−1

+ y

− 1, s = 1, . . . , N; i, j = 1, . . . , J, (3.47)

, x

, z

ijs

≥ 0; y

∈ {0, 1}, s = 1, . . . , N; i, j = 1, . . . , J; s ∈ S

. (3.48)

A restrição de balanceamento de estoques é a restrição (3.42). Observe que a produ-

ção do período é a soma da produção de cada sub-período. A restrição (3.43) é a restrição de

capacidade e (3.44) é a restrição de preparo de máquinas. A restrição (3.45) é a restrição de pro-

dução de lotes mínimos que garante que se os custos não satisﬁzerem a desigualdade triangular

e um custo for contado, haverá produção do item. Neste modelo é exigido que a máquina esteja

preparada para um e apenas um item em cada sub-período, o que é garantido pela restrição

(3.46). A restrição (3.47) garante que as trocas de itens entre os sub-períodos serão contadas. A

restrição (3.48) é a restrição de não negatividade das variáveis.

Observe que a variável z

de troca não foi deﬁnida como binária, isto porque a res-

trição de troca e o fato dela estar na função objetivo implicam que esta variável assumirá valor

1 apenas se houve troca do item i para j, ou seja, se as duas variáveis de preparo forem iguais a

1, caso contrário ela assume valor 0.

Em Drexl e Kimms (1997) encontra-se uma revisão dos modelos citados acima. A

extensão do modelo GLSP para várias máquinas paralelas foi feita em Meyr (2002). Em relação

a integração do dimensionamento e sequenciamento de lotes, um trabalho interessante na área

é o trabalho de Gupta e Magnusson (2005), que considera um modelo inteiro misto capacitado

de dimensionamento e sequenciamento de lotes com custos e tempos de set up dependentes e

características adicionais. Atrasos não são permitidos.

Assim como no presente trabalho, os trabalhos de Gutiérrez e Pizzolato (2004), Araújo

et al. (2004), Luche e Morabito (2005), Toso e Morabito (2005), Toledo et al. (2006), apresen-

tam modelos de dimensionamento e sequenciamento de lotes integrados para modelar proble-

mas em situações reais.

Gutiérrez e Pizzolato (2004) modelam a questão do dimensionamento e sequencia-

mento de lotes de uma fábrica de bebidas. Tal trabalho considera um problema mais simpliﬁ-

cado do que o que está sendo abordado no presente texto. As taxas de produção e demandas

são consideradas constantes nos períodos, o problema é resolvido para uma única máquina,

e os tempos de set up são médias dos tempos dependentes da seqüência. Os atrasos não são

permitidos e o processo de xaroparia não é considerado no modelo.

Em Araújo et al. (2004) é tratado um problema de planejamento e programação de

ligas de metal em fornos para produção de diferentes tipos de peças numa fundição no interior

de São Paulo. O processo de fundição consiste basicamente em fabricar moldes, preparar e fun-

dir metais, vazar o metal dentro dos moldes e, após a solidiﬁcação, retirar as peças dos moldes

para dar os acabamentos ﬁnais. Portanto, a programação da produção envolve a determinação

da seqüência das ligas que devem ser produzidas nos fornos e a quantidade de cada item a ser

produzido em cada máquina de moldagem. Araújo et al. (2004) propõem um modelo para uma

fundição de pequeno porte, estendem o modelo para considerar custo e tempo de preparação

dependente da seqüencia. Uma fundição de médio e grande porte também são retratadas por

modelos matemáticos, que consideram várias máquinas de moldagem. No modelo de fundi-

ção de grande porte é considerada também a distribuição de capacidade nos fornos. Nos três

primeiros modelos a função objetivo minimiza custos de estoque, atraso e set up das ligas, e

no último modelo é incluído um termo que penaliza algumas proibições do processo produtivo,

pois algumas peças não podem ser feitas por determinada linha, devido a alguma restrição da

linha de moldagem.

Luche e Morabito (2005) tratam de um problema de produção de grãos el-29(fundi-)]TJ-480.18 -21.66 TD[(Nos)-367(em)-367guma m∏abricm interior Paulo.Nester tipr produção produo-

evitar a realização de mais de uma preparação por dia. Além da seqüência de peneiras, é ne-

cessário também programar os fornos, britadeiras e as moendas que fazem parte da produção

dos materiais. Dois modelos que combinam modelos de seleção de processos a modelos de

dimensionamento de lotes mono estágio são propostos. O primeiro modelo (MNP) minimiza o

número de períodos necessários para produção da demanda, e é mais útil quando a programação

da produção pode ser cumprida sem atraso da produção de qualquer item. O segundo modelo

(MFP) minimiza o atraso de produção entre itens demandados durante o horizonte de planeja-

mento. O MFP é útil em situações em que a programação da produção não pode ser cumprida

sem algum atraso da produção de alguns itens.

Toso e Morabito (2005) modelam matematicamente o problema de programação da

matemática inteiro misto para o dimensionamento e sequenciamento da produção de bebidas,

modelo PIDLPP - Problema Integrado de Dimensionamento de Lotes e Programação da Pro-

dução. O modelo PIDLPP considera M máquinas, N tanques, J bebidas , L xaropes e um

horizonte de planejamento de T períodos. Para modelar o sequenciamento, assim como no

presente trabalho, os períodos (macro períodos) são particionados em sub-períodos como no

modelo GLSP, formulação (3.41)-(3.48). No modelo PIDLPP, o tamanho do sub-período é

ﬁxo, e cada lote é um múltiplo dos sub-períodos. O modelo, possui 65 famílias de restrições,

22 conjuntos de variáveis, sendo 8 conjuntos de variáveis binárias, e está detalhado no Anexo

Cada lote possui um índice distinto do índice do sub-período, a variável de produção

jms

indica a quantidade do produto j produzido na linha m no lote s. Para determinar o

tamanho do lote, o início e o ﬁm da produção são controlados por variáveis que indicam em

qual sub-período cada lote de cada linha foi iniciado e em qual sub-período foi ﬁnalizado. O

tamanho do lote é igual a diferença entre o ﬁnal deste lote e o ﬁnal do lote anterior, subtraído o

tempo gasto para troca de bebidas. O mesmo ocorre com a produção dos xaropes.

Para relacionar as linhas aos tanques, há restrições que garantem que para haver pro-

dução na linha é necessário que algum tanque tenha sido dedicado naqueles sub-períodos ao

lote da linha. A sincronia entre linha e tanque, que é uma condição fundamental no processo de

produção de bebidas, é feita estabelecendo que o xarope que abastece um lote deve estar pronto

com um sub-período de antecedência, e pode ser enviado à linha apenas durante o intervalo de

produção deste lote na linha.

A Tabela 3.1 extraída de Toledo (2005) resume as restrições do modelo PIDLPP por

suas funções na modelagem. As referências entre os parênteses na tabela correspondem as

expressões do modelo apresentadas no Anexo A.

Tabela 3.1: Agrupamento das restrições do modelo PIDLPP pelo seu signiﬁcado

Restrições das Linhas Restrições dos Tanques Signiﬁcado das Restrições

(A.1) (A.29) Atribuições não permitidas a linhas ou tanques

(A.2) (A.30) Atribuições de produtos

ou xaropes aos lotes

(A.3), (A.15) e (A.16) (A.31) e (A.32) Ligações entre atribuição de produtos ou

xaropes aos lotes e as quantidades

produzidas ou armazenadas

(A.4) (A.34) e (A.35) Trocas entre produtos ou xaropes

(A.5) - (A.7) (A.36) e (A.37) Tempo de troca

(A.8) (A.38) Uso da capacidade do macro-período

(A.9) e (A.10) (A.40) e (A.41) Balanceamento de estoque

(A.11) e (A.12) (A.42) - (A.44) Uso da capacidade disponível entre o ﬁm de

dois lotes sucessivos

(A.13) e (A.14) (A.45), (A.47) - (A.49) Estabelece um único início e

único ﬁm para cada lote

(A.17) - (A.20), (A.22), (A.23) (A.50) - (A.58), (A.60) -(A.62) Estabelece o início e ﬁm de um lote

efetivamente usado ou não

(A.21) (A.59) Ordem de ocupação dos lotes

(A.24)-(A.26) (A.39) - (A.41), (A.46) Sincroniza a retirada de xarope dos lotes com

a produção dos produtos nos lotes das linhas

(A.27) e (A.28) - Ocupação da capacidade do primeiro

sub-período de cada lote

- (A.41), (A.63) e (A.64) Reabastecimento dos tanques

Fonte: Toledo (2005).

O modelo de Toledo et al. (2006), é discutido de forma mais aprofundada nos capí-

tulos 4 e 6. No Capítulo 4, a formulação do modelo PIDLPP é comparada à formulação dos

modelos propostos no presente trabalho, e testes computacionais com alguns exemplares da

literatura são realizados no capítulo 6.

3.3 Métodos de Solução

Os modelos de otimização linear inteira mista podem ser resolvidos através de mé-

todos exatos, como o método Branch and Bound e o método de Planos de Corte (Nemhauser

e Wolsey, 1988), ou métodos não-exatos como heurísticas e meta-heurísticas, ou ainda por al-

goritmos híbridos que combinam estes métodos. Para resolver o modelo DLSP, por exemplo,

Fleishmann (1990) aplica um procedimento Branch and Bound e utiliza Relaxação Lagrangiana

para obter limitantes inferiores e soluções factíveis para o problema.

A maior parte dos métodos para tratar modelos que integram o dimensionamento e o

sequenciamento da produção, utiliza métodos híbridos que combinam heurísticas e relaxações

(Meyr, 2000), (Fleishmann e Meyr, 1997), (Drexl e Haase, 1995). Métodos exatos como Branch

and Bound e Planos de Corte foram pouco explorados na literatura, aparentemente por se acre-

ditar que eles tenham poucas chances de resolver modelos que integram o dimensionamento e o

sequenciamento da produção em situações reais. No entanto, mesmo que o método de planos de

corte não seja aplicado até obter a solução ótima do problema inteiro misto (PIM), ele colabora

na obtenção de melhores limitantes duais. Isto porque no método de planos de corte elimina-se

a solução ótima da relaxação linear, que é um limitante inferior para o (PIM) (problema de mi-

nimização). A redução da região factível do problema relaxado pode colaborar na redução do

tempo de solução de métodos como Branch and Bound. Desta forma pode-se utilizar o Método

de Planos de Corte de forma híbrida com o método Branch and Bound, dando origem aos mé-

todos conhecidos como Cut and Branch e Branch and Cut (Salkin e Marthur, 1989) (Cook et

al., 1998). No método Cut and Branch utiliza-se os Planos de Corte no problema original (nó

raiz) para obter limitantes duais melhores. Se após um certo número de iterações não é possível

gerar novos Planos de Corte, ou a diferença entre os limitantes duais obtidos entre duas itera-

ções consecutivas é pequena, aplica-se o método Branch and Bound no problema reduzido. Se

a geração de planos de corte é feita em outros nós da árvore de enumeração implícita (neste

caso devem ser globalmente válidos), temos o método Branch and Cut.

A seguir foram revisados o método de Planos de Corte e diversas inequações válidas

conhecidas da literatura e contidas no software CPLEX 10.0. Também são discutidos alguns

métodos heurísticos, em particular, foi revisada a heurística relax and ﬁx. Os leitores familiari-

zados com esse material podem pular esta seção e ir para o Capítulo 4. Supõe-se conhecida a

metodologia de solução dos problemas de otimização linear contínua (Bazarra et al., 1990).

3.3.1 Método de Planos de Corte

Dado um problema inteiro misto (PIM)={min cx + hy : Ax + Gy ≥ b, x ≥ 0 e

y ≥ 0 e inteiro}, a região factível deste problema está inserida na região factível do problem

(PL)={min cx+hy : Ax+ Gy ≥ b, y, x ≥ 0}. O problema (PL) é conhecido como a Relaxação

Linear do Problema Inteiro Misto, que é obtido relaxando-se a restrição de integralidade de

(PIM). Sabe-se que as inequações que deﬁnem (PL) formam um poliedro e a solução ótima de

(PL) está em um de seus vértices, vide deﬁnição e teorema abaixo.

Deﬁnição 3.1. (Nemhauser e Wolsey, 1988) Um poliedro P⊆ 

é o conjunto de pontos que

satisfaz um número ﬁnito de inequações lineares, isto é, P=



x ∈ 

: Ax ≥ b



, onde (A, b ) é

uma matriz m × (n + 1).

Teorema 3.1. (Bertsimas e Tsitsiklis, 1997) Considere o problema de minimização de cx sobre

um poliedro P. Suponha que P tem pelo menos um ponto extremo e que há uma solução ótima.

Então, há uma solução ótima que é um ponto extremo de P.

Considere que z

∗

P IM

é a solução ótima do (PIM) e z

∗

P L

a solução ótima do (PL), temos

então que z

∗

P L

≤ z

∗

P IM

, ou seja, a solução ótima do (PL) é um limitante inferior (limite dual)

para a solução do (PIM). Além disto, se z

∗

P L

for inteira pode-se aﬁrmar que esta é a solução

ótima do problema (PIM), (z

∗

P L

= z

∗

P IM

). A respeito da relação entre (PIM) e (PL), também

pode-se aﬁrmar que se (PL) é infactível então (PIM) também será (Wolsey, 1998).

Tendo em vista que os problemas (PL) normalmente são mais fáceis de serem resol-

vidos que os problemas (PIM), é interessante tentar descrever o problema (PIM) de forma que a

solução de sua relaxação linear seja inteira, ou seja, o problema inteiro pode ser descrito apenas

por restrições lineares (Parker e Rardin, 1988).

Deﬁnição 3.2. (Nemhauser e Wolsey, 1988) Dado um conjunto X ⊆ 

, um ponto x ∈ 

é uma combinação convexa de pontos de X se existir um conjunto ﬁnito de pontos {x

}

i=1

S e um λ ∈ 

com



i=1

= 1 e x =



i=1

. O envoltório convexo de X, denotado por

conv(X) , é o conjunto de todos pontos que são combinações convexas dos pontos de X.

Proposição 3.1. (Wolsey, 1998) conv(X) é um poliedro.

Uma classe de problemas inteiros que possui a propriedade de que a relaxação linear

associada fornece solução inteira, é a classe de problemas onde a matriz A de restrições é

totalmente unimodular, ou seja, o determinante de cada submatriz quadrada de A é +1, -1 ou

0 (Teorema 3.2 a seguir). O problema de transporte clássico, o problema da designação, e o

problema de ﬂuxo em rede com custo mínimo são exemplos de modelos que pertencem a esta

classe, e assim podem ter a restrição de integralidade das variáveis relaxadas, pois a solução

ótima da relaxação linear é inteira (Salkin e Mathur, 1989).

Teorema 3.2. (Parker e Rardin, 1988) Seja A uma matriz inteira. Então as seguintes aﬁrmações

são equivalentes:

i) Cada submatriz de A tem determinante ±1 ou 0.

ii) Os pontos extremos de X = {x : Ax ≥ b, x ≥ 0} são inteiros para qualquer b inteiro.

iii) Cada submatriz não singular de A tem uma inversa inteira.

Para os problemas que não possuem esta propriedade, pode-se tentar uma aproxima-

ção do envoltório convexo. Para isto, uma alternativa é melhorar a formulação do modelo por

meio da modiﬁcação ou inserção de restrições que deixem o modelo mais “forte". Em Miller

e Wolsey (2003), por exemplo, são discutidas várias formulações de modelos do tipo dimen-

sionamento de lotes discreto que podem tornar o processo de solução do problema mais fácil.

Outra alternativa é acrescentar ao problema restrições (inequações válidas, deﬁnição 3.3) de

forma a obter uma aproximação do envoltório convexo do problema. Estas inequações válidas

são conhecidas como Planos de Corte. O nome é derivado do fato de que procura-se gerar uma

inequação válida que corte a solução da relaxação do modelo. As deﬁnições 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7

a seguir, ajudam a caracterizar melhor as inequações que deﬁnem o envoltório convexo de um

PLI.

Deﬁnição 3.3. (Ferreira e Wakabayashi, 1996) Uma inequação do tipo a

x ≤ α, a ∈ 

, α ∈

, é chamada inequação válida em relação à S se S ⊆



x ∈ 

x ≤ α



, ou seja, é uma

inequação que é satisfeita por qualquer solução inteira factível de S.

Deﬁnição 3.4. As inequações πx ≤ π

e γx ≤ γ

são ditas equivalentes se (γ, γ

) = λ (π, π

)

para algum valor λ > 0. Se existir µ > 0 tal que γ ≥ µπ e γ

≤ µπ

, então {x ∈ 

: γx ≤

} ⊆



x ∈ 

: πx ≤ π



. Neste caso dizemos que γx ≤ γ

domina ou é mais forte que

πx ≤ π

, ou que πx ≤ π

é dominada por ou é mais fraca que γx ≤ γ

Deﬁnição 3.5. (Nemhauser e Wolsey, 1988) Se (π, π

) é uma inequação válida para P, e

F={x ∈ P : πx = π

} , F é chamada uma face de P, e dizemos que (π, π

) representa F. Uma

face F é dita ser própria se F= ∅ e F= P .

Deﬁnição 3.6. (Nemhauser e Wolsey, 1988) Uma inequação válida maximal é uma inequação

que não é dominada por nenhuma outra.

Deﬁnição 3.7. Uma face própria maximal de um poliedro é chamada de faceta.

Pelas Deﬁnições 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7, percebe-se que os melhores planos de corte são

aqueles que deﬁnem facetas do conv(X). Pois se for possível descrever todas as inequações que

deﬁnem as facetas do envoltório convexo de um problema, pode-se aﬁrmar que a solução ótima

inteira é a solução ótima da Relação Linear (Teorema 3.1).

Encontrar uma inequação válida que deﬁna um plano de corte implica em encontrar

um plano que separe um ponto infactível da região factível. O problema de gerar uma inequa-

ção válida que separa um ponto e um conjunto é conhecido como Problema de Separação. O

Teorema 3.3, garante que sempre é possível resolver o Problema de Separação, no entanto, este

problema pode ser tão difícil de ser resolvido quanto o problema original.

Teorema 3.3. (Vanderbei, 2001) Suponha que P e

P sejam dois poliedros disjuntos e não

vazios em 

. Então existe um hiperplano que gera dois semi-espaços, H e

H, tais que P ⊂ H

P ⊂

H .

Na década de 50 Gomory aplicou o método de Planos de Corte para resolver pro-

blemas de programação linear inteira (PLI). Os Cortes de Gomory são gerais, pois podem ser

gerados para qualquer problema de otimização linear inteiro. Veja a seguir.

Corte Fracionário de Gomory

Considere que a Relaxação Linear do Problema PLI foi resolvida e seja B a base

ótima.

A i-ésima variável básica x

pode ser escrita como:

−



j∈N B

¯a

, i = 1, ..., m. (3.49)

onde

b = B

−1

b, NB conjunto dos índices das variáveis não básicas, e ¯a

é o coeﬁci-

ente das variáveis não básicas (

= B

−1

) .

O Corte Fracionário de Gomory é dado por:



j∈N B

≥ g

(3.50)

Sendo que g

− 

b − i, e f

= ¯a

− ¯a

 é a parte fracionária de a

Exemplo 3.1. Considere a relaxação linear de um PLI dada por:

Max z = 2x

+ x

Sujeito a:

+ x

≤ 5

−x

+ x

≤ 0

+ 2x

≤ 21

, x

≥ 0

A solução ótima da RL é:

−

+ 2x

−

(Max) z=

4 −

−

Como x

, x

e x

não possuem valores inteiros, podemos gerar Cortes de Gomory

usando qualquer uma delas. Tomemos N={1,4}, x

= x

, e ¯a

= −

, ¯a

Temos:

decompondo o coeﬁciente das variáveis x

, x

e do termo

obtemos:

−

= 

−3

 + f

= − 2 +

= 

 + f

= 0 +

= 

 + g

= 2 +

O corte de Gomory (3.50) gerado a partir da variável x

é então:

≥

O Corte de Gomory foi estendido para considerar variáveis reais, Corte Inteiro Misto

de Gomory. O Corte Inteiro Misto de Gomory, pode ser visto como um caso particular das

inequações MIR apresentadas abaixo (Marchand et al., 2002). As inequações MIR tem sido

utilizadas para derivar outras inequações mais gerais (Günlük e Pochet, 2001)(Wolsey, 2003).

MIR - mixed integer rounding

Dado o conjunto X = {(x, y) ∈ Z

× R

: a

x + y ≤ b}, onde a ∈ R

, e b ∈ R.

Temos que:

Proposição 3.2. (Marchand et al., 2002) A inequação



i=1

(a

 +

−f

)

1−f

−

1−f

)y ≤ b

é válida para conv(X), onde f

= b − b e f

= a

− a

, e v

= max(0, v) .

Exemplo 3.2. Considere o conjunto

X = {(x, y) ∈ Z

× R

: x

+ y ≤ 10}.

Temos a

 = 1 = 1, a

 = 

, f

. Pela proposição 3.2 a inequação válida do tipo MIR é:

(1 +

+ (0 +

+ (1 +

− y ≤ 10 que resulta x

− y ≤ 10.

Uma ferramenta importante que tem sido utilizada na identiﬁcação de inequações vá-

lidas de melhor qualidade é o estudo da estrutura geométrica ou combinatória do problema a

ser resolvido. Nestes casos os Planos de Corte são gerados a partir de conjuntos especíﬁcos de

variáveis e restrições, o que possibilita sua aplicação em qualquer modelo geral que tenha como

subestrutura estes conjuntos de variáveis e restrições. A estrutura poliédrica de problemas, tais

como o problema da mochila e o problema de ﬂuxo em redes com custo ﬁxo tem sido ampla-

mente estudada na literatura para a derivação de planos de corte. Isto porque estes problemas

freqüentemente aparecem como subestruturas de problemas mais gerais de otimização inteira

mista. O uso de facetas e faces para o problema da mochila 0/1 (inequações de cobertura -

Cover cuts) e para o problema de ﬂuxo em redes com custo ﬁxo, (inequações de ﬂuxo - Flow

cuts), como planos de corte na solução de problemas PI e PIM gerais, tem sido demonstrada

por diversos trabalhos na literatura (Hoffman, 2000). Uma ampla revisão sobre inequações vá-

Exemplo 3.3. Considere a restrição de um problema da mochila

X = {x ∈ B

: 11x

+ 6x

+ 5x

+ 4x

+ x

≤ 19}

Tomando C={1, 2, 3}, temos a

=11, a

=6, a

=6 e b=19. O conjunto C é uma cober-

tura, pois



j∈C

= 23 > 19. Assim pela proposição 3.3 a inequação x

< 3−2 = 2

é uma inequação de cobertura válida para X, e deﬁne uma faceta do conv(X

), pois C é mi-

nimal.

O conceito de cobertura também é utilizado para derivar as inequações de cobertura

de ﬂuxo. Sejam N

e N

os conjuntos dos índices das variáveis com coeﬁciente positivos e

negativos respectivamente. Seja o conjunto:

= {(x, y) ∈ R

× B



j∈N

≤ b +



j∈N

, x

≤ a

para j ∈ N

∪ N

Pode-se interpretar este conjunto como um problema de ﬂuxo em rede com custo ﬁxo, onde N

representa o índice do ﬂuxo positivo (que chega no nó) e N

o ﬂuxo negativo (que sai do nó).

Por este motivo a inequação válida da Proposição 3.4 abaixo, recebe o nome de Inequação de

Cobertura de Fluxo. Quando N

= ∅ e x

≥ a

, pode-se reformular o conjunto X

como

P M

(Ken Darby e Rangel, 1998).

Inequações de Cobertura de Fluxo

Deﬁnição 3.9. [Conjunto Cobertura Generalizado] Um conjunto C = C

∪ C

com C

⊆

, C

⊆ N

é uma cobertura generalizada para X se



j∈C

−



j∈C

= b + λ com

λ > 0, λ é chamado de excesso.

Proposição 3.4. [Inequação de Cobertura de Fluxo](Wolsey, 1998) Se C é uma cobertura

generalizada para X

, a inequação



j∈C



j∈C

− λ)

(1 − y

) ≤ b +



j∈C

+ λ



j∈L



j∈N

∪L

)

é válida para X

, onde L

⊆ N

\ C

Exemplo 3.4. Considere o conjunto

= {x ∈ R

× B

: x

+ x

≤ 4 + x

+ x

, x

≤ 3y

, x

≤ 3y

, x

≤ 6y

, x

≤

, x

≤ 5y

, x

≤ y

, }.

Tome C

= {1, 3} e C

= {4}, C = (C

, C

) é uma cobertura generalizada com λ = 2.

Tomando L

= { 5}, a Inequação de Cobertura de Fluxo resultante é

+ x

+ 1(1 − y

) + 4(1 − y

) ≤ 7 + 2y

+ x

O conjunto X

está presente em muitos problemas de programação inteiro misto.

Nos problemas de dimensionamento de lotes estas restrições estão sempre presentes, o que

implica que as Inequações de Cobertura de Fluxo podem ser utilizadas como Planos de Corte

na solução deste tipo de modelos. A partir das Inequações de Cobertura e Cobertura de Fluxo,

várias outras inequações são derivadas na literatura e para diversos modelos (Wolsey, 2003).

Outra subestrutura que também é comum em PIM, é a subestrutura formada pela

restrição da mochila e uma restrição de limite superior das variáveis. Wolsey (1990) deri-

vou inequações de cobertura válidas para esta subestrutura (inequações de cobertura GUB,



j∈S

≤ 1) e para casos especiais como: problema de designação e problema de sequen-

ciamento de máquinas, e problemas que possuem, além das restrições GUB, variáveis de ﬂuxo

limitadas superiormente.

Inequações de Cobertura GUB

Dado o conjunto X

GUB

deﬁnido por:

GUB













j∈N

−



j∈N

≤ b;



j∈S

≤ 1 para i ∈ I

∪ I

;

x ∈ B

e a

> 0 para j ∈ N

∪ N

é possível derivar inequações válidas para o problema. Para tanto é necessário deﬁnir N

e alguns subconjuntos deles. N

é formado por subconjuntos de índices S

i ∈ I

, tal que

= ∪

i∈I

para k = 1, 2, e S

∩ S

= ∅ se i, l ∈ I

e i = l. N

∩ N

= ∅, N = N

∪ N

|N| = n.

O conjunto C = C

∪ C

é um cobertura GUB para X se:

i)C

⊆ N

para k = 1, 2,

ii)|C

∩ S

| ≤ 1 para i ∈ I

e k = 1, 2

iii)



j∈C

−



j∈C

> b .

Da deﬁnição de cobertura GUB é possível derivar os conjuntos:

= {i ∈ I

: C

∩ S

= ∅} para k = 1, 2;

= { j ∈ S

: a

≥ a

para l ∈ C

∩ S

} para i ∈ I

;

= { j ∈ S

: a

≤ a

para l ∈ C

∩ S

} para i ∈ I

Proposição 3.5. A inequação



i∈I



j∈S

≤ |C| − 1 +



i∈I



j∈S



i∈I



j∈S

é válida para X

GUB

Exemplo 3.5. Dado o conjunto de restrições:

20x

+ 20x

+ 7x

+ 15x

− x

− 4x

− x

≤ 30

+ x

≤ 1

+ x

≤ 1

+ x

≤ 1

+ x

≤ 1

Tem-se N

= { 1, 2, 3, 4}, N

= {5, 6, 7, 8}, S

= {1, 2}, S

= {3, 4}, S

= {5, 6},

= {6, 7}. O conjunto C = C

∪ C

onde C

= {2, 4} e C

= {5} é uma cobertura GUB,

pois

i) C

⊂ N

e C

⊂ N

ii) |C

∩ S

| = 1, |C

∩ S

| = 1, |C

∩ S

| = 1, |C

∩ S

| = 0.

iii)



j∈C

−



j∈C

= a

+ a

− a

= 20 + 15 − 1 = 34 > 30.

Os conjuntos associados a cobertura GUB são:

= {i ∈ I

: C

∩ S

= ∅} = {1, 2}, I

= {i ∈ I

: C

∩ S

= ∅} = {3}, S

= {j ∈ S

≥ a

} = {2}, S

= {j ∈ S

: a

≥ a

} = ∅, S

= {j ∈ S

: a

≥ a

} = {6}. E ainda

\ I

= { 3, 4} \ { 3} = {4}.

Deﬁnidos os conjuntos a inequação dada pela cobertura GUB é:



j∈S



j∈S

≤ |C

| − 1 +



j∈S



j∈S

, como S

= ∅ temos,

≤ 1 + x

+ x

Na área de estudos de modelos de dimensionamento de lotes, a derivação e aplicação

de inequações válidas especíﬁcas também tem sido explorada. Nos trabalhos de Barany et al.

(1984), Constantino (1996, 2000), Miller et al. (2003), Wolsey (1997), Mokotoff e Chrétienne

(2002), Miller, Nemhauser, e Savelsbergh (2000) e (2003), Guan et al. (2006), os Planos de

Corte combinados com o Branch and Bound são aplicados para modelos de dimensionamento

de lotes.

Os modelos de dimensionamento de lotes com um único item, e os modelos de dimen-

sionamento de lotes capacitado e não capacitado são amplamente estudados na literatura por

aparecerem como subestrutura de quase todos modelos de dimensionamento de lotes. Brahimi

et al. (2006) e Karimi et al. (2003) fazem uma revisão dos trabalhos realizados com estes tipos

de modelos.

Constantino (1996) desenvolve famílias de inequações válidas para um modelo do

tipo (CSLP) descrito na seção 3.2, onde são considerados também custos de produção e set

up. As inequações são derivadas para o modelo de um item e utilizadas como Planos de Corte

em um algoritmo Cut and Branch para o modelo multi itens, que resolve vários exemplares do

modelo até a otimalidade. Uma das inequações apresentadas é a Inequação Supermodular à

Esquerda. Ela é derivada a partir das variáveis de set up e start up, e gera um limitante inferior

para as variáveis de estoque de um período. Em Ferreira (2002) esta inequação foi aplicada na

solução de um modelo de dimensionamento de lotes para a produção de bebidas pelo método

Cut and Branch. Em Constantino (2000), inequações válidas são derivadas para uma variação

do modelo apresentado em Constantino (1996), onde atrasos são considerados, e a produção

passa a ter um lote mínimo a ser produzido.

O modelo de dimensionamento de lotes capacitado também é estudado por Miller et

al. (2000, 2003). O modelo estudado por Miller et al. (2003), que será chamado de CLSP2,

é similar ao modelo de dimensionamento de lotes capacitado com tempos e custos de set up

independente (3.13) a (3.17). No entanto, o índice t é eliminado por ser considerado apenas um

período, M é substituído por K − st

, e a restrição de balanceamento de demanda e estoque

é substituída pela restrição I

+ x

≥ d

. Uma inequação válida apresentada é dada pela

proposição 3.6. São apresentados os tipos de soluções fracionárias que estas inequações cortam

e as condições para as quais elas deﬁnem facetas do conv(X

CLSP 2

Proposição 3.6. Miller et al. (2003) Dada uma cobertura C para o modelo CLSP2, a inequação



j∈C

≥ λ +



j∈C

max{−st

, d

− λ}(1 − y

)

é válida para X

CLSP 2

, onde λ =



j∈S

(st

+ d

) − K ≥ 0.

Foi investigada a utilização desta inequação na solução dos modelos propostos no

capítulo 4. A inequação (3.6) é proposta para um modelo mono-máquina, em que os tempos

de trocas não são dependentes, e para cada produto há uma, e exatamente uma, variável de

set up por período para controlar o número de preparos do item no período, 0 ou 1. Para os

modelos propostos no capítulo 4, as modiﬁcações necessárias para a utilização dessa inequação

se referem aos tempos de troca dependentes da produção, a estrutura de tempo dividida em sub-

períodos, que implica que um item pode ser preparado mais de uma vez por período, e ainda as

várias máquinas, (ver Seção 5.2.1).

Em Wolsey (1997) é feita uma revisão de algumas inequações válidas para problemas

que possuem como subestrutura modelos com set up independente, set up dependente, não

capacitados, capacitados, entre outros. O modelo inicial apresentado, de onde são identiﬁcadas

as subestruturas, é o modelo (3.33)-(3.40). Estas subestruturas são identiﬁcadas e as inequações

válidas para elas podem ser aplicadas em modelos mais gerais.

Outro trabalho interessante é o trabalho de Mokotoff e Chrétienne (2002), que trata

do problema de sequenciamento de lotes em m máquinas paralelas não relacionadas pelo mé-

todo planos de corte. Resultados computacionais mostram que todos os exemplares podem ser

resolvidos otimamente pelo algoritmo exato. Algoritmos de Separação para estas classes de

inequações podem ser encontrados nas referências citadas.

3.3.2 Métodos Heurísticos

O termo heurística é derivado do grego heuriskein, que signiﬁca descobrir ou achar

(Reeves, 1993). Em otimização podemos deﬁnir uma heurística como sendo um método de

solução de problemas de otimização que visa encontrar, com tempo e custo razoáveis, uma boa

solução para o problema, sendo que não há garantia de otimalidade para a solução encontrada.

Grande parte dos trabalhos citados na revisão bibliográﬁca desta tese utilizam heurísticas ou

métodos híbridos que incluem heurísticas para resolver os modelos estudados.

Os pacotes de otimização possuem heurísticas implementadas (em geral heurísticas

de arredondamento), pois estas podem também colaborar na redução do gap de otimalidade dos

problemas, fornecendo soluções inteiras de forma rápida. Assim, a utilização de um método

híbrido que inclua uma heurística pode acelerar o processo de solução de métodos como Branch

and Bound, reduzindo a árvore de enumeração implícita. Softwares como CPLEX possuem,

inclusive opções que controlam a taxa de aplicação de heurísticas na solução dos modelos.

Por exemplo, na versão 10 do software CPLEX foi incluída a heurística Relaxation Induced

Neighborhood Search, Danna et al (2005). Esta heurística explora a vizinhança da solução

corrente para tentar melhorá-la. A exploração da vizinhança é formulada como um problema

de otimização inteiro misto (subproblema), que é resolvido recursivamente até um limite de

nós.

Para se utilizar meta-heurísticas tais como Busca Tabu, Simulated Annealing e Algo-

rítmos Genéticos, é necessário especializá-las para o problema a ser resolvido (Reeves, 1993).

Algoritmos híbridos que combinam heurísticas também têm sido utilizados. No trabalho de

Meyr (2002), onde o GLSP é estendido para incluir várias máquinas, o modelo é resolvido com

busca local, Simulated Annealing e Threshold Accepting, combinado com um algoritmo de re-

otimização dual. Fleishmann e Meyr (1997) desenvolveram um algoritmo de busca local para

resolver exemplares do modelo GLSP mono máquina.

Toledo (2005) e Toledo et al (2006b) utilizam uma abordagem heurística para a so-

lução do problema de programação da produção de bebidas, baseada em algoritmos genéticos.

Gutiérrez e Pizzolato (2004) desenvolvem uma heurística baseada no método de Singh e Fostes

(1987), para resolver o problema de dimensionamento e sequenciamento da produção de bebi-

das, . Essa heurística é orientada em função do período de planejamento mais apropriado às

conveniências da programação, determinando assim seqüências de produção realistas e, além

disto, estima os custos anuais de set up e manutenção de inventário. A heurística também usa as

vantagens de outros artifícios, tais como permitir tempos ociosos, e uma maneira mais efetiva

para determinação da seqüência ﬁnal de produção.

Gupta e Magnusson (2005) desenvolvem uma heurística para resolver um modelo

de dimensionamento e sequenciamento da produção. A idéia principal da heurística é gerar

uma solução inicial factível, assumindo que o set up carryover é utilizado em cada período.

Os próximos set ups são seqüenciados de forma gulosa. O passo ﬁnal começa com o último

período e busca as capacidades não usadas em períodos precedentes. A heurística compara os

custos de set up e esto(S81263(estopf 30 TD -2.86 0s81263(ea1263(eda)-268(produç(edod81263(essolv)14ara(ﬂopf33(-2.86 0),)-271(4(em)-285(perî TD[( 30orF)14(os-7.95J -313.82 -21do)-32(Ò4hlv)1555(delg)(ea1265343o)-255(as)-284(ca)-255(su TD )-323(est56ado)-27mentfeiencia5543o)-255(re-268(produç5343)-1(ç534.67 T-32(∂ot)-291-325E7(F-32(ﬂ(O)-324a5543o)5(gerar)]TJ 0 -21reso)-32equencia781.6671(uacia781at6 0 TDa781do)-3278138(285(u781oportun84(capaci781),)-271781(ﬂopf3v)20(o)0 TD[-271781da)-268(produç781324hlv)15781s)-32781esgot)períorar)]TJ 0 -21A)-250((A)-285(heurí50(foi35550(i4(xem-328(ori250(d66 TD[(pair)-291(t02nal))-344(o)]TJ/F2 11.3.39Tf 47.48 0 TD02net)-263(up)]TJ/F1 11.921Tf 47.4-29i-2905desen)3(emplareência)-xnétic3o.)]/F3p)]TJ/F1 1J ET BT61.95 47.4HA)-285(heurﬂ-263(u8p)]TJ/F1 1J6.1Tf 47.4RelaxêncdetêncF72(dix51tic3o.)]/F1p)]TJ/F1 1J ET BT63)]TJ -21.e)-7(bas3uma)-238(heurís3351)-344(ís4(nís33ma)-344(soluås33do)-234(um)-37s345s33do)-233(de)-268(dimensiona343do)-233(lotapaci35odo)-3tica)-3(modelo)]TJ -48.J -21-223(tampriada)-329(um)-37s34355odo)-327(de)-268(dimensionpriadonpria(e)-355(sequencia27odo)-327(lotapacpriado)-329(ﬂ-545(Essa)-328(heurﬂ)-344(o)]TJ/F2 1392.25Tf 47.4r)19(elaxﬂa27odetﬂpriada)-x)-263(up)]TJ/F1 1-392.25Ts

o número de iterações da heurística. Em uma iteração n, as variáveis do conjunto Q

são deﬁ-

nidas como inteiras e as variáveis dos demais conjuntos são relaxadas. O problema resultante

(subproblema) é então resolvido. Se o subproblema é infactível o processo para, caso contrário,

se o subproblema for factível, apenas as variáveis do conjunto Q

, ou parte delas, são ﬁxadas

em seu valor corrente, e o processo se repete para os outros conjuntos. Dependendo do sub-

problema, pode-se ter várias opções de partições do conjunto de variáveis inteiras, tais como:

particionar o conjunto de variáveis de acordo com períodos, itens, estágios. No caso de modelos

que consideram vários itens, períodos, máquinas e estágios, as variáveis binárias são indexadas

por itens, períodos, máquinas e estágios. Estes conjuntos e a combinação entre eles são opções

na deﬁnição das partições a serem usadas na heurística

0...J, tal que 0 = T

≤ T

≤ ... ≤ T

; o conjunto de variáveis contínuas é dividido

em J conjuntos t

, para j = 1...J, onde 0 = t

≤ t

≤ ... ≤ t

. Estas divisões determinam,

respectivamente, os períodos a serem considerados em cada iteração, e as variáveis contínuas

a serem ﬁxadas em cada iteração. Para determinar quantas variáveis inteiras serão ﬁxadas, é

deﬁnido o parâmetro τ, de forma que em uma iteração l, T

− τ variáveis inteiras serão ﬁxadas,

onde τ ≥ T

− T

l−1

⇒ T

l−1

≥ T

− τ. Em uma iteração l o problema terá T

períodos,

≤ T

l−1

variáveis contínuas ﬁxas e (T

− τ) variáveis inteiras ﬁxas. Observe que o número de

variáveis inteiras ﬁxas pode ser diferente do número de variáveis contínuas ﬁxas. Pode haver

ainda sobreposição de períodos, pois τ pode ser maior do que T

− T

l−1

Federgruen et al (2004) consideram que na heurística relax and ﬁx não há ﬁxação de

variáveis contínuas, o que dá o máximo de ﬂexibilidade na obtenção de soluções factíveis. O

caso extremo de menor ﬂexibilidade é a ﬁxação de todas as variáveis contínuas da iteração, ou

seja, t

= T

l−1

e ainda τ = T

− T

l−1

. Estes dois casos da heurística de intervalos progressivos

são denominadas, respectivamente, heurística de horizonte expandido e heurística de particiona-

mento estrito. Estas heurísticas foram aplicadas na solução de um modelo de dimensionamento

de lotes do tipo big bucket capacitado com set up.

No trabalho de Dillenberger et al (1994), a heurística relax and ﬁx com a partição do

conjunto de variáveis por períodos foi utilizada para resolver um modelo de dimensionamento

de lotes multi máquinas, multi períodos e multi itens. O número de iterações da heurística é

dado então pelo número de períodos do modelo. Em Kelly e Mann (2004), um problema de

engenharia química é resolvido utilizando a heurística relax and ﬁx em que as variáveis a serem

ﬁxadas são agrupadas de acordo com os processos de produção pelos quais os itens passam. Em

Kelly e Mann (2004) a partição não é determinada previamente por meio de conjuntos. Para

determinar quais variáveis serão inteiras e quais serão ﬁxadas, a solução da relaxação linear do

modelo é avaliada e as variáveis binárias com valores próximos a 0.5 são mantidas binárias,

enquanto as variáveis com valores 0 e 1 são ﬁxadas.

Escudero e Salmeron (1995) comparam variações da heurísticas relax and ﬁx na so-

lução de um modelo de sequenciamento de projetos. Cinco heurísticas utilizam o conceito de

valor da variável para fazer a partição do conjunto de variáveis. Nesse critério de partição, a

cada variável é atribuído um valor e as variáveis são ordenadas de forma decrescente de valor.

Um parâmetro k, determina o número de iterações da heurística. Por exemplo, sendo n



o nú-

mero de variáveis inteiras e n o número total de variáveis que se deseja por iteração, pode-se

deﬁnir então k = 



. As cinco estratégias variam então pelo valor atribuído a cada variável e

pelo parâmetro k.

No trabalho de Pochet e Van Vyve (2004), a heurística relax and ﬁx é comparada

à Heurística Iterativa de Estimativa de Produção, (Iterative Production Estimate Heuristic -

IPE). Esta heurística trabalha com soluções fracionárias próximas de boas soluções inteiras, ao

invés de trabalhar com a solução da relaxação linear do problema original. A idéia é usar uma

aproximação linear para melhorar o limitante inferior da variável de set up y. Quando uma

solução fracionária é fornecida, o valor da variável de produção fornece um limitante inferior



para o set up. Se for possível melhorar este limitante, a variável y pode ﬁcar mais próxima

de 0 ou 1, e assim de uma solução inteira. O melhor candidato para o limitante é então o valor

da variável de produção na relaxação linear. A heurística (IPE), atualiza o limitante e resolve

um novo modelo linear. O processo é feito até que y seja 0 ou 1 (um vetor Γ guarda o valor

dos limitantes). Este processo pode resultar em saltos no valor da variável x, uma vez que a

variável assume no máximo o valor C



, que podem levar o algoritmo a não alcançar a solução

ótima. Para resolver o problema o limitante C



é substituído pela função λx

+ (1 − λ)C



que

evita saltos grandes. Outra opção para se evitar saltos é remover o limitante superior de x

para

que o valor da variável possa ser maior que C



se necessário, assim os valores de x

não saltam

de uma iteração para outra. O modelo estudado é um modelo de dimensionamento de lotes

capacitado com tempo e custos de set up. A heurística relax and ﬁx obteve resultados melhores

que a heurística (IPE) em exemplares de dimensões pequenas e médias.

A heurística relax and ﬁx também é utilizada de forma híbrida com meta-heurísticas

como a Busca Tabu (Pedroso, 2004; Pedroso e Kubo, 2005). Na utilização da heurística relax

and ﬁx com Busca Tabu, a heurística relax and ﬁx pode ser utilizada tanto para fornecer uma

solução inicial para a Busca Tabu, quanto para reconstrução de soluções. Pedroso e Kubo

(2005) utilizam um algoritmo híbrido com a meta-heurística Busca Tabu e a heurística relax

and ﬁx na solução de um modelo de dimensionamento de lotes capacitado com set up e atraso.

Neste trabalho também é construída uma heurística relax and ﬁx denominada relax-and-ﬁx-one-

product. Como o nome sugere, nessa heurística a partição do conjunto de variáveis é feita por

período/máquina e itens. A vantagem é resolver subproblemas menores, uma vez que alguns

modelos de dimensionamento de lotes mono máquinas, mono períodos e multi itens, ainda são

difíceis de serem resolvidos.

Araújo et al (2004) modelaram o problema de sequenciamento de ligas em indústrias

de fundição utilizando a técnica de Horizonte Rolante, e aplicaram uma heurística relax and

ﬁx para melhorar a técnica de Horizonte Rolante. Um método de busca local foi utilizado para

ﬁxar as variáveis binárias da heurística.

Em Toledo (2005), uma heurística relax and ﬁx foi aplicada na solução do problema

de dimensionamento e sequenciamento da produção de bebidas apresentado no Anexo A. O

modelo é capacitado, multi máquinas, multi itens, multi períodos, dois níveis, com tempos e

custos de set up dependentes. Nesta aplicação, a heurística não apresentou resultados satisfató-

rios. O maior exemplar resolvido possui 258 variáveis binárias, 1390 contínuas e 924 restrições.

Para ﬁxar as variáveis, o algoritmo percorre cada período t do ﬁm para o início do horizonte

de planejamento, e todos os lotes de xarope dos tanques e de bebidas nas linhas também são

percorridos do último para o primeiro lote. A partição do conjunto de variáveis é feita por lotes,

sendo que primeiro são ﬁxados os lotes das linhas, e depois os lotes dos tanques. Assim, apenas

as variáveis pertencentes a um determinado conjunto de lotes em cada iteração são mantidas

binárias. A cada iteração, as variáveis binárias indexadas pelos lotes são então ﬁxadas em seus

valores 0 ou 1.

Na presente tese, que também trata o problema de dimensionamento e sequencia-

mento da produção de bebidas, é explorada a utilização de heurísticas relax and ﬁx na solução

dos modelos propostos (Seção 5.1).

3.4 Ferramentas Computacionais

Estudos realizados com modelos matemáticos exigem ferramentas que facilitem a

veriﬁcação da validade e diﬁculdade dos modelos propostos, e que proporcionem uma interface

clara e rápida entre o modelo e o usuário. Neste sentido, pacotes de otimização e linguagens

de modelagem estão cada vez mais sendo utilizados como ferramentas de pesquisa. A seguir

é feita uma breve apresentação da utilidade de ferramentas computacionais em pesquisas com

modelos matemáticos.

3.4.1 Pacotes de Otimização

Atualmente existem diversos softwares de otimização tais como CPLEX (ILOG, 2001),

LINDO (Lindo system, 1999), XPRESS (Dash Optimization, 2000) que resolvem problemas

gerais de otimização inteira mista. A cada dia, novas técnicas de otimização são incorpora-

das aos softwares, tornando-os mais eﬁcientes. Por exemplo, o uso dos Planos de Corte na

versão 4.0 do CPLEX, incluia apenas os Cortes de Cobertura Mínima e os Corte de Cliques

(Nemhauser e Wolsey, 1988). Na versão CPLEX 9.0 são gerados automaticamente os planos

de corte: Cortes de Gomory, Inequações GUB, Inequações de Cobertura, Inequações de Cober-

tura de Fluxo, Inequações de Cobertura de Caminho de Fluxo, MIR, discutidos na Seção 3.1.

Na versão 10 não foram incluídas novas inequações, mas houve a inclusão da heurística RINS,

Relaxation Induced Neighborhood Search, veja Seção 3.3.2. No CPLEX é possível controlar a

taxa de utilização destas heurísticas, e ainda o limite de nós resolvidos em cada subproblema

da heurística RINS. O CPLEX é utilizado no presente trabalho nos testes computacionais, e são

testadas algumas variações dos padrões de controle do uso de métodos como planos de corte,

heurísticas, e também técnicas de pré-processamento.

O sistema de pesquisa bc-opt (Cordier et al, 1999) também faz a geração automática

de várias classes de inequações válidas e inclui um conjunto de sub-rotinas de interface (model

interfaces routines), que permitem a criação pelo usuário de novas subestruturas, para poste-

rior geração de inequações válidas pelo sistema. A complexidade dos modelos de otimização

aplicados a problemas de programação da produção requerem classes especiais de inequações

válidas que os sistemas gerais de otimização não dispõem. Belvaux e Wolsey (2000) criaram

o sistema bc-prod, a partir do sistema bc-opt, para explorar especiﬁcamente estruturas comuns

a problemas de dimensionamento de lotes que envolvem vários períodos, produtos e máquinas,

com tempos e custos de preparo e inicialização. Os resultados obtidos aplicando bc-prod a uma

variedade de problemas de dimensionamento de lotes indicam que a incorporação de inequa-

ções válidas especiais ao método Branch and Cut torna o método mais competitivo na solução

desta classe de problemas. O sistema bc-prod não foi disponibilizado, para que pudesse ser

aplicado na solução dos modelos aqui propostos.

Pochet et al (2005) também estão desenvolvendo outra ferramenta, LS-LIB, para fa-

cilitar a aplicação de métodos híbridos na solução de problemas de planejamento da produção.

A proposta dos autores é classiﬁcar o tipo de modelo a ser resolvido, e então aplicar heurísti-

cas e planos de corte mais especíﬁcos que aproveitem a estrutura do modelo. A linguagem de

modelagem na qual o software foi baseado é a XPRESS-MOSEL (Dash Optimization, 2000).

Estes estudos e desenvolvimentos de softwares, que exploram a estrutura dos proble-

mas para geração de inequações válidas, encorajam a investigação desta metodologia na solução

do presente problema integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes. Como foi ci-

tado nos objetivos desta tese, realizou-se um estudo para adaptar inequações válidas, a partir

de subestruturas presentes nos modelos. Três classes de inequações válidas especíﬁcas também

foram estudadas (Seção 5.2.2). Para se testar as inequações e outros métodos de solução, como

heurísticas relax and ﬁx, utilizou-se a linguagem de modelagem, AMPL (Fourer et al, 1993).

3.4.2 Linguagens de Modelagem

Quando se formula e estuda um modelo matemático, é necessário gerar e resolver

vários exemplares do modelo, testando diferentes conjuntos de dados. Esta tarefa, dependendo

das dimensões do problema, pode ser difícil se for realizada manualmente. O uso de softwa-

res de modelagem facilita este processo de construção e solução de exemplares de modelos

matemáticos, pois ele faz a interface entre o usuário e o modelo matemático, e permite uma

documentação do problema. Além disto, as linguagens de modelagem podem gerar os exem-

plares em formatos especíﬁcos (mps, lp), para que sejam lidos em pacotes de otimização como

o CPLEX, XPRESS e LINDO. Existem no mercado vários softwares de modelagem, por exem-

plo, GAMS (Brooke et al, 1992), LINGO (Schrage, 2001), MPL (Maximal System, 1998),

XPRESS-MOSEL(Dash Optimization, 2000), AMPL (Fourer, 2003).

Outra vantagem na utilização de linguagens de modelagem é a facilidade de modiﬁ-

cações e reotimizações do modelo. O AMPL, por exemplo, permite a implementação de rotinas

de solução do modelo na própria linguagem de modelagem. Isto é muito útil na implementação

de novas famílias de inequações válidas e a implementação de heurísticas para os modelos de

otimização propostos no próximo capítulo. Conforme mencionado, no presente trabalho são

utilizados, a linguagem de modelo AMPL e o software de otimização CPLEX 10. No Anexo C

é apresentado o código de um dos modelos propostos, modelo DEMM, na linguagem de mode-

lagem AMPL. Maiores detalhes sobre a utilização da linguagem de modelagem AMPL podem

ser encontrados em Fourer et al (2003).

4 Proposta de Modelos para a Produção de Bebidas

Como foi apresentado no Capítulo 2, a programação da produção de bebidas não

alcoólicas é uma tarefa difícil para os programadores de produção, principalmente quando estes

não possuem uma ferramenta computacional que os auxilie nesta tarefa. A programação da

produção envolve muitos fatores, como as demandas dos produtos, as capacidades das linhas de

produção (máquinas), capacidades dos tanques, tempos de troca de bebidas nas linhas e xaropes

nos tanques, ambos dependentes da sequência de produção, lotes mínimos de xarope a serem

preparados nos tanques, entre outros.

Neste capítulo são propostos modelos de programação matemática que auxiliem no

processo de tomada de decisão de dimensionamento de lotes e programação da produção em

fábricas de bebidas. Pretende-se resolver as questões de quanto e em que ordem as bebidas

devem ser produzidos nos tanques (xaroparia) e nas linhas de produção (envase) para atender a

demanda em um horizonte de planejamento ﬁnito, dadas restrições de capacidade disponível de

trabalho e insumos disponíveis. Os modelos propostos são do tipo multi itens, big bucket, multi

períodos, multi máquinas e dois estágios.

Foram considerados nos modelos os seguintes aspectos característicos de um pro-

grama de produção:

• Atendimento da demanda em cada período;

• Capacidade (tempo) disponível de cada máquina (linhas de produção) e cada tanque;

• m máquinas e m tanques;

• Produção apenas se a máquina estiver preparada;

• Máquinas sempre preparadas para produção de alguma bebida;

• Tempo e custo de limpeza da máquina dependentes do sequenciamento da produção;

• Lotes mínimos e máximos de xarope;

• Tempo de preparo do xarope a ser produzido;

• Produção do xarope apenas se o tanque estiver preparado;

• Sincronia entre envase na linha e o produção do xarope no tanque.

Apesar de no problema real um tanque poder atender simultaneamente mais de uma

linha de produção por vez, está sendo considerado nos modelos uma simpliﬁcação do problema

onde cada máquina possui um tanque dedicado. Isto porque, foi observado a partir do trabalho

de Toledo (2005) que a consideração do número de máquinas diferente do número de tanques,

gera um número muito alto de variáveis e restrições, o que pode inviabilizar a utilização dos

modelos como ferramentas de apoio à tomada de decisão. Além disto, como foi visto no Ca-

pítulo 2, na prática a linha recebe xarope de apenas um tanque por vez. E ainda, o número de

tanques nas fábricas visitadas é maior que o número de linhas.

Desta forma parece razoável supor que podemos dedicar tanques a linhas. Note que

isto não quer dizer que o mesmo tanque ﬁca dedicado à linha durante todo o horizonte de pla-

nejamento, mas que apenas um tanque abastece apenas uma linha por vez. Assim que o tanque

esvazia, este ou outro tanque pode passar a abastecer a linha. O primeiro modelo, Modelo Dois

estágios Multi Máquinas, considera todos os fatores citados acima: vários itens, várias linhas

de produção e tanques, e as etapas de preparo do xarope e envase da bebida que estão sendo

chamadas de estágio I e estágio II, respectivamente. Este primeiro modelo se apresentou difícil

de ser resolvido. Em 4 horas de processamento, por exemplo, com um pacote de otimização de

última geração, CPLEX 10.0, o gap obtido na resolução de um exemplar foi superior a 98%.

Por isto, também foram formulados outros dois modelos que são relaxações do primeiro.

O segundo modelo, Modelo Dois Estágios Mono Máquina, é um caso particular do

primeiro modelo, em que apenas uma máquina (linha de produção) é considerada. Para sua

aplicação em um ambiente de várias máquinas, foi desenvolvida uma heurística (Estratégia

de Desagregação), que pré-aloca a demanda para as linhas e então o modelo Mono Máquina é

aplicado para cada uma delas. A simpliﬁcação do terceiro modelo, Modelo Mono Estágio Multi

Máquinas, em relação ao primeiro, é a exclusão do sequenciamento no estágio I, xaroparia.

Neste modelo supõe-se que, dada uma programação das linhas, é sempre possível conseguir a

programação correspondente para os tanques, ou seja, considera-se que o gargalo de produção

são as linhas. A seguir são descritos os três modelos.

4.1 Modelo Dois Estágios Multi Máquinas - (DEMM)

Dos três modelos, o Modelo Dois Estágios Multi Máquinas é o mais detalhado, pois

inclui as linhas de produção e os tanques da xaroparia, e ainda o sequenciamento das bebidas

e dos xaropes nos tanques. A Figura 4.1 apresenta a situação representada pelo Modelo Dois

Estágios Multi Máquinas.

Um modelo inicial Dois Estágios Multi Máquinas, foi baseado na aplicação do mo-

Figura 4.1: Representação do Modelo Dois Estágios Multi Máquinas

delo GLSP de Fleishmann e Meyr (1997), formulação (3.41)-(3.48), com algumas modiﬁca-

ções, aos estágios de envase e xaroparia. As modiﬁcações iniciais realizadas no modelo GLSP

são a consideração de atrasos, tempos de troca de itens, a desconsideração de lotes mínimos e

a inclusão de outro estágio, a xaroparia. Com estas modiﬁcações, o modelo obtido determina a

programação dos dois estágios, considerando restrições de capacidade, tempos e custos de troca

dependentes do sequenciamento da produção. Considere a seguinte notação:

Índices:

i, j = bebidas;

t = períodos;

s = sub-períodos;

k, l = sabor dos xaropes;

máquina e tanque;

= conjunto dos sub-períodos do período t;

= primeiro sub-período do período t;

=conjunto de todas as máquinas que podem produzir a bebida j;

= conjunto de todas as bebidas que podem ser produzidas na máquina m;

= conjunto de todos os xaropes que podem ser preparados no tanque m;

∆

= conjunto de todas as bebidas que utilizam o xarope l;

= xarope utilizado para produzir a bebida j;

= conjunto de todas as bebidas que podem ser produzidas na máquina m e utilizam o xa-

rope l;

Note que para obter γ

, basta fazer a intersecção do conjunto α

com o conjunto ∆

Os dados e variáveis com o sobrescrito I se referem ao estágio I (xaroparia) do pro-

cesso de produção e os dados e variáveis com o sobrescrito II se referem ao estágio II (envase)

do processo de produção.

Dados:

J = número total de bebidas;

T = número total de períodos;

N = número total de sub-períodos;

L = número total de xaropes (sabores);

M = número total de máquinas;

= demanda da bebida j no período t;

= custo unitário de estocar a bebida j;

= custo unitário de atrasar a entrega da bebida j;

= custo de fazer a troca do xarope k para l;

= custo de fazer a troca da bebida i para j;

= quantidade consumida de tempo para fazer a troca do xarope k para o xarope l;

= quantidade consumida de tempo para fazer a troca de produção da bebida i para j;

= quantidade consumida de tempo para escoar uma unidade do xarope l do tanque m;

= quantidade consumida de tempo para produção de uma unidade da bebida j na máquina

= capacidade de tempo disponível do tanque m no período t;

= capacidade de tempo disponível na máquina m para envase no período t;

= quantidade consumida de xarope l para produção de uma unidade da bebida j;

Variáveis:

= quantidade em excesso (estoque) da bebida j no período t;

−

= quantidade em falta (atraso) da bebida j no período t;

mls

= produção do tanque m de xarope sabor l ∈ β

no sub-período s;

mjs

= produção da máquina m da bebida j ∈ α

no sub-período s;

mls











1, se o tanque m está preparado para produção do xarope l, l ∈ β

;

no sub-período s

0, caso contrário

mjs











1, se a máquina m está preparada para a produção da bebida j,

j ∈ α

, no sub-período s;

0, caso contrário

mkls











1, se no tanque m há troca do xarope k para l, k, l ∈ β

no sub-período s

0, caso contrário

mijs











1, se na máquina m há troca da bebida i para j, i, j ∈ α

;

no sub-período s

0, caso contrário

Neste modelo de dimensionamento e sequenciamento dos lotes, supõe-se que o pe-

ríodo (macro-período) t foi dividido em períodos menores (sub-períodos) s. O tamanho de cada

sub-período, como foi explicado na seção 3.2 para o modelo GLSP, é determinado pelo tamanho

do lote de produção, ou seja, se no sub-período 3 da máquina 2 for produzido o item 4, o tama-

nho deste sub-período será a

∗ x

243

. Para o Modelo Dois Estágios Multi Máquinas, o tamanho

máximo do sub-período é a capacidade máxima da linha. O número de sub-períodos, |S

|, é

deﬁnido previamente, e será dado pela quantidade máxima de bebidas que pode ser produzido

no período t. Além disto, N =



|, para t = 1, ..., T. O Modelo Dois Estágios Multi

Máquinas é deﬁnido então pela função objetivo (4.1) e pelas restrições (4.2)-(4.12) descritos a

seguir.

Min



j=1



t=1



+ g

−





m=1



k∈β



l∈β



s=1

mkls



m=1



i∈α



j∈α



s=1

mijs

(4.1)

Sujeito a:

Estágio I - Xaroparia



j∈γ

mjs

= x

mls

, m = 1, . . . , M, l ∈ β

s = 1, . . . , N ; (4.2)



l∈β



s∈S

mls



k∈β



l∈β



s∈S

mkls

≤ K

, m = 1, . . . , M, t = 1, . . . , T ; (4.3)

mls

≤

mls

, m = 1, . . . , M, l ∈ β

t = 1, . . . , T, s ∈ S

; (4.4)

mls



j∈γ

mjs

, m = 1, . . . , M, l ∈ β

s = 1, . . . , N ; (4.5)

mkls

≥ y

mk(s−1)

+ y

mls

− 1, m = 1, . . . , M, k, l ∈ β

s = 1, . . . , N ; (4.6)

Estágio II - Envase

j(t−1)



m=1



s∈S

mjs

+ I

−

= I

+ I

−

j(t−1)

+ d

, j = 1, . . . , J, t = 1, . . . , T ; (4.7)



j∈α



s∈S

mjs



i∈α



j∈α



s∈S

mijs

≤ K

, m = 1, . . . , M, t = 1, . . . , T ; (4.8)

mjs

≤

mjs

, m = 1, . . . , M, j ∈ α

s = 1, . . . , N ; (4.9)



j∈α

mjs

= 1, m = 1, . . . , M, s = 1, . . . , N; (4.10)

mijs

≥ y

mi(s−1)

+ y

mjs

− 1, m = 1, . . . , M, i, j ∈ α

s = 1, . . . , N. (4.11)

, I

−

≥ 0, j = 1, . . . , J, t = 1, . . . , T. (4.12)

mls

, x

mjs

, z

mijs

mkls

, ≥ 0; y

mls

, y

mjs

∈ {0, 1},

m = 1, . . . , M, i, j ∈ α

, k, l ∈ β

, t = 1, . . . , T, s ∈ S

. (4.13)

Observe que o modelo (4.1)-(4.13) é uma extensão direta do modelo GLSP do Capí-

tulo 3. A função objetivo minimiza os custos de estoque, atraso, troca da bebida i para j e troca

do xarope k para l. Como o período de trabalho é de 24 horas, não são considerados custos de

horas extras. Note que o modelo considera a possibilidade de atrasos. Ao resolver problemas

com prazos apertados (levando em conta a capacidade) e com vários produtos, pode-se não ter

soluções viáveis, se atrasos não são permitidos, perdendo-se assim possíveis bons programas

de produção.

A restrição (4.2) liga os dois estágios de produção. O termo



j∈γ

mjs

é a demanda

do segundo estágio. Todo xarope l, necessário para a produção no sub-período s da máquina

m, deve ser igual ao xarope l preparado no tanque m no sub-período s. Esta restrição é similar

à restrição (4.7). Elas se diferem pelo estoque, que é permitido no segundo estágio e não é

permitido no primeiro estágio, uma vez que os xaropes não podem ser estocados de um período

para outro. A restrição (4.3) é a restrição de capacidade que impede que o tempo gasto para

escoar o xarope do tanque m, mais o tempo necessário para fazer as trocas de xaropes, seja

maior que o tempo disponível do tanque. A restrição (4.4) garante que não haverá produção

de xarope caso o tanque não esteja preparado. A restrição (4.5), assim como a restrição (4.2),

liga os dois estágios. Ela garante que para cada xarope l, o número de preparos no sub-período

s da máquina m será igual ao número de preparos no sub-período s do tanque m, que será no

máximo um, conforme restrição (4.10). Ou seja, se a máquina m está preparada para produzir

algum produto j que use o xarope l no sub-período s, então o tanque m deve estar preparado

para produzir este xarope l no sub-período s. A restrição (4.6) controla a troca de xaropes nos

tanques, assegurando que se um novo xarope l for preparado na máquina m no sub-período s, a

variável de troca z

mkls

será 1.

A restrição (4.7) diz respeito ao balanceamento de estoque. Como a variável de pro-

dução está deﬁnida em termos dos sub-períodos do período t, é necessário somar a produção

dos sub-períodos s ∈ S

e de todas as máquinas. Assim como a restrição (4.3), a restrição (4.8)

garante que o tempo de produção, mais o tempo gasto para as trocas de bebidas, não excederão

a capacidade de tempo do período t da máquina m. A restrição (4.9), analogamente a restrição

(4.4), garante que não haverá produção caso a máquina m não esteja preparada. A restrição

(4.10) impede que duas bebidas sejam produzidos em um mesmo sub-período e garante que a

máquina sempre estará preparada para produzir uma bebida. A restrição (4.11) controla a troca

de bebidas. Se um nova bebida for produzida no sub-período s na máquina m, a variável de

troca z

mijs

terá valor 1. A restrição (4.11) é a restrição equivalente a restrição (4.6) do estágio

As restrições (4.12) e (4.13) determinam o domínio das variáveis. As restrições

(4.11), (4.6), restrição (4.10) e a minimização do custo de troca de bebidas e xaropes garantem

que as variáveis de troca z

mijs

e z

mkls

assumam apenas os valores 0 ou 1. Note que relaxando-

se as restrições de capacidade (4.3 ) e (4.8), por exemplo, supondo-se valores de K

e K

suﬁcientemente grandes, o modelo pode ser também usado para estimar as necessidades de

capacidade em cada estágio, o que é uma questão comum nas empresas.

O modelo Dois Estágios Multi Máquinas (4.1)-(4.13) fornece a programação da pro-

dução dos dois estágios. No entanto, foi observado que a programação dos dois estágios, obtida

nas soluções, pode não ter sincronia, ou seja, a produção da linha em cada sub-período não

começa necessariamente ao mesmo tempo em que a produção do tanque naquele sub-período.

Na prática, a linha deve aguardar até que o xarope esteja pronto para ser enviado para

o envase. Do mesmo modo, o envio de xarope para a linha deve ocorrer somente se a linha

estiver pronta para o envase da bebida. Portanto, podem ocorrer esperas da linha pelo tanque e

do tanque pela linha. A Figura 4.2 representa situações onde linha e tanque estão sequenciados,

mas não estão sincronizados. Os lotes de produção (retângulos) determinam os tamanhos dos

sub-períodos, e o espaço entre eles os tempos de troca de uma bebida para outro na linha e troca

de um xarope para outro no tanque. Os tipos de bebidas são representados por números e os

tipos de xaropes por letras.

Figura 4.2: Programação Não Sincronizada da Produção

Observe que no início do horizonte de planejamento o tanque precisa de tempo para

preparar o xarope a, enquanto a linha já iniciou a produção da bebida 1 usando este xarope,

o que não é viável na prática. Na segunda troca (xarope a para b e bebida 1 para 2), apesar

do tempo de troca ser o mesmo no tanque e na linha, a linha está adiantada em sua produção,

por não ter considerado a espera do sub-período anterior. Na terceira troca, como o tempo de

troca do xarope b para c também foi maior, a produção do tanque continuou atrasada. No quarto

sub-período, troca da bebida 3 para 3 e xarope c para c, a produção da linha não considerou

o tempo de preparo do segundo tanque de xarope (este tipo de troca pode ocorrer caso seja

necessário mais de um tanque de xarope para produzir o lote). No quinto sub-período o tempo

de troca do xarope c para d é menor que o tempo de troca da bebida 3 para 4. No sexto sub-

período a linha trocou da bebida 4 para 5, mas o sabor das bebidas são o mesmo, xarope d.

Neste caso, o tempo de preparo do xarope é menor que o da linha, assim o tanque deveria

esperar a linha estar pronta para iniciar a produção do sub-período. Se forem consideradas as

esperas, a programação sincronizada seria como na Figura 4.3. Os retângulos negros inseridos

na programação, Figura 4.3, representam as esperas que não foram consideradas na Figura 4.2.

Observe na Figura 4.3 que após esta sincronia entre os dois estágios, a sequência de produção

ilustrada na Figura 4.2 ainda é inviável, pois a capacidade disponível é insuﬁciente. A sincronia

deve ser então considerada no momento em que o dimensionamento e o sequenciamento da

produção estão sendo estabelecidos.

Figura 4.3: Programação Sincronizada da Produção

Percebe-se então a necessidade de considerar que a linha comece sua produção so-

mente quando o xarope estiver pronto para produção. E, analogamente, o xarope seja enviado

para a linha, somente se a linha estiver pronta. Caso o tanque não esteja com o xarope pronto,

a linha deve permanecer aguardando, e vice-versa.

Desta maneira, o modelo (4.1)-(4.13) é tratado no texto que segue como modelo Dois

Estágios Multi-Máquinas Não Sincronizado. A modelagem da sincronia foi um processo que

consumiu bastante tempo da pesquisa, porque envolveu várias reformulações do modelo, até

que o resultado retratasse corretamente a sincronia. Para sincronizar os dois estágios, foram

realizadas as seguintes modiﬁcações no modelo Dois Estágios Multi-Máquinas Não Sincroni-

zado:

i) Foi incluída no modelo a contínua real v

que indica o tempo de espera da linha m pelo

preparo do xarope no sub-período s, ou seja, é a diferença entre o tempo de troca de xarope e o

tempo de troca de bebida. Se o tempo de preparo da linha for maior que o preparo do tanque,

então a variável v

se anula e apenas o tempo de troca na linha é considerado na restrição

de capacidade. Desta maneira, no segundo estágio, a restrição de capacidade (4.8) passa a ter

o termo



s∈S

, que indica o tempo que a linha ﬁca aguardando o término do preparo do

xarope no período t, e foi incluída a restrição que calcula v

. As restrições estão a seguir:



j∈α



∈

mjs



i∈α



j∈α



∈

mijs



∈

≤ K

, m = 1, ..., M, t = 1, ..., T;

≥



k∈β



l∈β

mkls

−



i∈α



j∈α

mijs

, m = 1, ..., M, s = 1 , ..., N.

Observe que, quando não há produção de bebidas na solução ótima do modelo, os

tempos de troca de produção na linha e as esperas da linha pelo tanque, v

são nulos. As

variáveis de troca de xarope z

mkls

assumem valor 0 e implicam v

= 0.

Poderia se pensar em, ao invés de inserir variáveis e restrições para considerar o tempo

de espera, construir uma matriz com o maior valor entre o tempo de troca da produção da linha

e o tempo de troca do xarope a ser utilizado no tanque, max(b

, b

) para i, j = 1, ..., J e

k ∈ σ

, l ∈ σ

, e usá-la na restrição de capacidade no lugar da matriz b

. No caso da produção

de bebidas, esta matriz teria todos elementos com valores positivos, uma vez que todos os

tempos de troca nos tanques são positivos. Então seria necessário uma variável para anular

o tempo de troca quando não houvesse produção. A variável z

mkls

se anula quando não há

produção. Porém, esta variável não é suﬁciente para deﬁnir qual bebida será envasada nos sub-

períodos onde há produção. Por exemplo, o xarope de laranja pode estar preparado, mas existem

várias bebidas que utilizam este xarope, e a variável z

mkls

, sem restrições adicionais, não seria

suﬁciente para indicar qual delas é produzida. A variável z

mijs

não poderia ser utilizada, pois a

linha é mantida preparada para alguma bebida em todos os sub-períodos, ou seja, z

mijs

assume

valor 1 para alguma combinação (i, i) em todos os sub-períodos.

ii) A igualdade da restrição (4.2) indica que o termo



j∈γ

mjs

pode substituir a variável

mls

. Esta variável pode ser calculada a posteriori no processo de solução. Por exemplo: seja

m = 1, j = 7, s = 3, x

173

= 10, l = 2 (onde l = 2 é o xarope utilizado para produzir a

bebida 7), e r

= 0.5. A quantidade necessária de xarope para produzir o lote x

173

= 10,

é x

123

= r

∗ x

173

= 0.5 ∗ 10 = 5. Este cálculo pode ser feito após a solução do modelo,

pelo mesmo processo para todas as variáveis x

mls

. E estas variáveis são então substituídas no

modelo por r

mjs

iii) Tendo em vista a necessidade de considerar o tempo de preparo do xarope de cada tanque, o

tamanho máximo do sub-período passa a ser um tanque de xarope. Por exemplo, supondo que

para atender a demanda de uma bebida em um período é necessário 1,5 tanque de xarope, e a

máquina consome 4 horas para envasar o conteúdo de um tanque cheio, a produção desta bebida

no período ocupará dois sub-períodos, sendo um de 4 horas e o seguinte de 2 horas. O número

de sub-períodos, |S

|, que é deﬁnido previamente, passa a ser dado pela quantidade máxima de

tanques que se consegue preparar e utilizar no envase no período t. Se o número de preparos

de tanque no período for subestimado, a capacidade da linha pode não ser completamente uti-

lizada. Por exemplo, suponha que um período é divido em seis sub-períodos (preparo máximo

de 6 tanques), e a capacidade da linha é 10. Pode ocorrer que o tempo utilizado pela linha para

envasar um tanque cheio de xarope seja 1, e o tempo de troca no tanque seja 0.5. Se a linha

utilizar a capacidade total dos tanques nos 6 sub-períodos, a capacidade utilizada na produção é

de 6 e os tempos de espera somam 3. Todos os sub-períodos foram utilizados, mas ainda resta 1

unidade de capacidade da linha que será perdida. Se fosse possível preparar mais tanques, por

exemplo, a capacidade da linha poderia ter sido completamente utilizada.

iv) Como o tamanho do sub-período está em função do tamanho máximo do tanque, e pelas

observações sobre a variável x

mls

, a restrição (4.4) passa a ser deﬁnida por:



j∈γ

mjs

≤ K

mls

, m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N;

onde K

é o tamanho do tanque em litros de xarope. Percebeu-se a necessidade de inserir o

lote mínimo de xarope preparado para garantir a homogeneidade do xarope. Para garantir a

produção mínima de xarope, foi incluída no estágio I a restrição:



j∈γ

mjs

≥

mls

, m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N.

As restrições de lote máximo do tanque garantem que há produção de xarope apenas

quando o tanque está preparado, e se estiver preparado deve ocorrer produção, devido a restri-

ção de lote mínimo.



k∈β

mkl1

≥ y

ml1

, m = 1, ..., M, l ∈ β

mkls

≥



j∈γ

mj(s−1)

mls

−1, m = 1, ..., M, k, l ∈ β

, t = 2, ..., (T − 1), s = P

A primeira restrição garante que será contado o preparo do xarope no primeiro sub-período do

horizonte de planejamento, e as restrições de troca são deﬁnidas então a partir de sub-período

2. A segunda restrição garante que a troca que é feita no tanque entre os períodos acompanha o

sabor da bebida preparado na linha de produção. Por exemplo, se a máquina estava preparada

com uma bebida de laranja e passou a produzir uma bebida de uva, no tanque será considerado

o tempo de troca do xarope de laranja para uva. Caso tenha ocorrido produção no último sub-

período do período (de bebida de laranja), esta restrição se torna redundante, pois a restrição

(4.6) contará a troca também.

Como no tanque a restrição



i∈α

mij1

≥ y

mj1

, m = 1, ..., M, j ∈ α

, garante que será contado

o preparo da bebida no primeiro sub-período do horizonte de planejamento, e as restrições de

troca são deﬁnidas a partir do segundo sub-período.

ix) A troca de uma bebida para ela mesma, tem custo 0. Em função disto podem ocorrer

soluções onde há mais de uma troca de produto por sub-período. Para eliminar estas soluções,

são incluídas no modelo as restrições:



k∈β



l∈β

mkls

≤ 1, m = 1, ...M, s = 1, ..., N;



i∈α



j∈α

mijs

≤ 1, m = 1, ..., M, s = 1 , ..., N.

x) O custo da espera da linha pelo tanque é signiﬁcativo quando a capacidade disponível é

muito restrita, mas nestes casos a espera já está sendo penalizada através dos custos de atraso.

Portanto, a função objetivo não foi modiﬁcada.

O modelo sincronizado completo, chamado simplesmente de Modelo Dois Estágios

Multi Máquinas (DEMM), é dado pela função objetivo (4.1), (reenumerada para (4.14)) e pelas

restrições (4.15)-(4.30) apresentadas a seguir.

Min



j=1

Estágio I- Xaroparia



j∈γ

mjs

≤ K

mls

, m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N ;

(4.15)



j∈γ

mjs

≥

mls

, m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N ;

(4.16)



k∈β

mkl1

≥ y

ml1

, m = 1, ..., M, l ∈ β

;

(4.17)

mkls

≥ y

mk(s−1)

mls

−1, m = 1, ..., M, k, l ∈ β

, s = 2, ..., N ;

(4.18)

mkls

≥



j∈γ

mj(s−1)

mls

−1, m = 1, ..., M, k, l ∈ β

, t = 2, ..., (T − 1), s = P

;

(4.19)



k∈β



l∈β

mkls

≤ 1, m = 1, ...M, s = 1, ..., N ;

(4.20)



l∈β

ml(s−1)

≥



l∈β

mls

, m = 1, ..., M, t = 1, ..., T, s ∈ S

− {P

};

(4.21)

Estágio II - Envase

j(t−1)

+ I

−



m=1



s∈S

mjs

= I

+ I

−

j(t−1)

+ d

, j = 1, ..., J, t = 1, ..., T

(4.22)



j∈α



s∈S

mjs



i∈α



j∈α



s∈S

mijs



s∈S

≤ K

, m = 1, ..., M, t = 1, ..., T

(4.23)

≥



k∈β



l∈β

mkls

−



i∈α



j∈α

mijs

, m = 1, ..., M, s = 1, ..., N;

(4.24)

mjs

≤

mjs

, m = 1, ..., M, j ∈ α

, s = 1, ..., N ;

(4.25)



j∈α

mjs

= 1, m = 1, ..., M, s = 1, ..., N

(4.26)

mijs

≥ y

mi(s−1)

mjs

−1 m = 1, ..., M, i, j ∈ α

, s = 2, ..., N

(4.27)



i∈α



j∈α

mijs

≤ 1, m = 1, ..., M, s = 1, ..., N ;

(4.28)



i∈α

mij1

≥ y

mj1

, m = 1, ..., M, j ∈ α

;

(4.29)

, I

−

≥ 0, j = 1, ..., J, t = 1, ..., T, , z

mkls

, x

mjs

, v

, z

mijs

≥ 0;

mls

, y

mjs

∈ {0, 1}, m = 1, ..., M, i, j ∈ α

, k, l ∈ β

, s = 1, ..., N.

(4.30)

Uma estratégia para resolução do modelo DEMM é resolver um modelo semelhante,

mas mono-máquina para cada uma das linhas. Esta estratégia é descrita a seguir.

4.2 Modelo Dois Estágios Mono Máquina - (DEMMaq)

O segundo modelo, Modelo Dois Estágios Mono Máquina, é uma decomposição do

Modelo Dois Estágios Multi Máquinas, (4.14)-(4.30), em m linhas independentes. As restrições

e variáveis, a menos do índice m que estará ﬁxo, são as mesmas do Modelo Dois Estágios Multi

Máquinas. A Figura 4.4 representa a situação que o Modelo Dois Estágios Mono Máquina

modela.

Figura 4.4: Representação do Modelo Dois Estágios Mono Máquina

Considere o caso particular do Modelo Dois Estágios Multi Máquinas abaixo para

m=1. A função objetivo minimiza os custos de estoque, atraso, troca da bebida i para j, i, j ∈

, e troca do xarope k para l, k, l ∈ β

. Note que a função objetivo do Modelo Dois Estágios

Mono Máquina, não possui a soma em m, e os conjuntos α

(conjunto das bebidas que podem

ser produzidos na máquina 1) e β

(conjunto dos xaropes que podem ser preparados no tanque

1), são referentes a máquina 1. Para m = 2 deﬁne-se α

e β

, e assim sucessivamente.

Como nos modelos anteriores, os dados e variáveis com o suprescrito I se referem

ao estágio I (xaroparia) do processo de produção e os dados e variáveis com o suprescrito II

se referem ao estágio II (envase) do processo de produção. O modelo dado a seguir considera

m = 1.

Min



j=1



t=1



1jt

+ g

−

1jt





k∈β



l∈β



s=1

1kls



i∈α



j∈α



s=1

1ijs

(4.31)

Restrições:

Estágio I - Xaroparia



j∈γ

1js

≤ K

1ls

, s = 1, ..., N, l ∈ β

;

(4.32)



j∈γ

1js

≥

1ls

, s = 1, ..., N, l ∈ β

;

(4.33)

1kls

≥ y

1k(s−1)

1ls

−1, k, l ∈ β

, s = 2, ..., N

(4.34)

1kls

≥



j∈γ

1j(s−1)

1ls

−1, k, l ∈ β

, t = 2, ..., T − 1,s = P

(4.35)



k∈β

1kl1

≥ y

1l1

, l ∈ β

;

(4.36)



k∈β



l∈β

1kls

≤ 1, s = 1, ..., N;

(4.37)



l∈β

(

−

≥



l∈β

1ls

, t = 1, ..., T, s ∈ S

− {P

}

(4.38)

Estágio II - Envase

1j(t−1)



s∈S

1js

+ I

−

1jt

= I

1jt

+ I

−

1j(t−1)

+ d

1jt

, j = 1, ..., J, t = 1, ..., T

(4.39)



j∈α



s∈S

1js



i∈α



j∈α



s∈S

1ijs



s∈S

≤ K

, t = 1, ..., T

(4.40)

≥



k∈β



l∈β

1kls

−



i∈α



j∈α



s∈S

1ijs

, s = 1, ..., N;

(4.41)

1js

≤

1js

, s = 1, .., N, j ∈ α

(4.42)



j∈α

1js

= 1, s = 1..N

(4.43)

1ijs

≥ y

1i(s−1)

1js

−1 s = 1, ..., N, i, j ∈ α

(4.44)



i∈α



j∈α

1ijs

≤ 1, s = 1, ..., N;

(4.45)

1jt

, I

−

1jt

, x

1js

, v

, z

1kls

, z

1ijs

≥ 0; y

1ls

, y

1js

= 0/1, i, j ∈ α

, k, l ∈ β

, s = 1, ..., N.

(4.46)

4.2.1 Estratégia de Desagregação - (ED)

Para utilizar o modelo DEMMaq em uma situação em que m > 1 máquinas estão

disponíveis, é necessário deﬁnir-se um modelo auxiliar para pré-alocar a demanda dos itens nas

máquinas, pois nos casos onde há mais de uma máquina que pode produzir um mesmo item,

a programação da produção deve indicar, além dos tamanhos e da seqüencia de produção dos

lotes, a máquina onde os lotes devem ser produzidos.

A proposta é, em uma primeira fase, resolver o dimensionamento dos lotes utilizando

um modelo linear relaxado multi-itens, m máquinas, m tanques, dois-estágios, e vários perío-

dos. Tal modelo corresponde a uma relaxação linear do Modelo Dois Estágios Multi Máquinas,

sem as variáveis e restrições referentes ao sequenciamento da produção. As variáveis de esto-

que e atraso, são deﬁnidas para cada máquina e se tornam, I

mjt

e I

−

mjt

. O modelo relaxado é

fácil de resolver, e fornece as demandas de cada máquina para a segunda e última fase. Nesta

última fase, o sequenciamento dos lotes em cada uma das m máquinas é então determinado

pela solução dos m modelos inteiros mistos, formulação (4.31)-(4.46), Dois Estágios Mono

Máquina.

Na primeira fase, uma variável dem

mjt

no modelo linear determina a demanda de

cada item j em cada período t para cada uma das m máquinas. A variável dem

mjt

se torna

um parâmetro para a segunda fase, em que o modelo DEMMaq, deﬁnido para a máquina m, é

resolvido. A função objetivo do modelo linear minimiza apenas os custos de estoque e atraso. A

Figura 4.5 ilustra a Estratégia de Desagregação que distribui os lotes nas máquinas. O modelo

linear é apresentado a seguir.

Figura 4.5: Representação do uso do Modelo Dois Estágios Mono Máquina

Min



m=1



j∈α



t=1



mjt

+ g

−

mjt



. (4.47)

Sujeito a:

Estágio I - Xaroparia



j∈γ

mjt

≤ K

|, t = 1, . . . , T, m = 1, . . . , M, l ∈ β

;(4.48)

Estágio II - Envase



m∈λ

dem

mjt

= d

, j = 1, . . . , J, t = 1, . . . , T ; (4.49)

mj(t−1)

+ x

mjt

+ I

−

mjt

− I

mjt

− I

−

mj(t−1)

= dem

mjt

, m = 1, . . . , M, j ∈ α

t = 1, . . . , T ; (4.50)



j∈α

mjt

≤ K

, m = 1, . . . , M, t = 1, . . . , T. (4.51)

mjt

, I

−

mjt

, x

mjt

, dem

mjt

≥ 0, m = 1, . . . , M, i, j ∈ α

, t = 1, . . . , T.

A capacidade total do tanque no período t é dada por seu volume máximo K

pois |S

| representa o limite de vezes que é possível preparar o tanque no período. Assim, a

restrição (4.48) garante que a capacidade dos tanques não será excedida. Por não estarem sendo

consideradas as variáveis de set up do tanque, não é possível deﬁnir a produção mínima de

xarope. As restrições (4.49) e (4.50) garantem o balanceamento do estoque. A restrição (4.51)

cuida da capacidade das máquinas.

A idéia desta estratégia surgiu da prática realizada nas empresas visitadas. Na Fábrica

A, as linhas produzem conjuntos especíﬁcos de bebidas, ou seja, a menos de competirem pela

xaroparia, as linhas podem ser consideradas praticamente independentes, com os conjuntos

, α

, . . . , α

quase totalmente disjuntos. Na Fábrica C, há apenas uma linha, e portanto, a

aplicação do modelo Dois Estágios Mono Máquina é direta.

Após a solução dos m Modelos Dois Estágios Mono Máquina (4.31)-(4.46) com a

Estratégia de Desagregação (4.47)-(4.51 ), calcula-se os custos totais de estoque, atrasos, troca

de bebidas nas linhas e trocas de xaropes nos tanques, somando os respectivos custos obtidos

pelas soluções de cada um dos m modelos. O dimensionamento e sequenciamento dos lotes

do problema é o dimensionamento e o sequenciamento que os m Modelos Dois Estágios Mono

Máquina fornecem para cada máquina.

Os modelos apresentados até aqui supõem que o gargalo da produção pode alternar

entre linha e tanque. Logo, é interessante considerar os dois estágios da produção para que o

modelo capture estas variações sem necessidade de modiﬁcações. No entanto, em casos onde

o gargalo é a linha de envase, a relaxação do estágio de xaroparia pode tornar o modelo mais

simples. A solução de um modelo mais relaxado também pode ser útil como solução inicial

de uma heurística que inclua o sequenciamento do segundo estágio, a solução. Esse modelo

relaxado, e a heurística que inclui o sequenciamento dos tanques, são apresentados a seguir.

4.3 Modelo Mono Estágio Multi Máquinas - (MEMM)

O Modelo Mono Estágio Multi Máquinas é uma relaxação do Modelo Dois Estágios

Multi Máquinas (4.14)-(4.30), onde supõe-se que a xaroparia não é o gargalo da produção. Para

isso são removidas do Modelo Dois Estágios Multi Máquinas as variáveis e restrições referentes

ao sequenciamento do estágio I (xaroparia). Este modelo supõe que, dado um programa de

produção viável para o estágio II, é possível derivar um programa de produção viável para o

estágio I. As restrições de capacidade do tanque devem ser mantidas por delimitarem o tamanho

dos sub-períodos.

A função objetivo do presente modelo minimiza os custos de estoque, atraso, e troca

da bebida i para j, ou seja, ela se difere da função objetivo do Modelo Dois Estágios Multi

Máquinas por não considerar os custos de troca de xarope. As restrições referentes às linhas de

produção continuam as mesmas do Modelo Dois Estágios Multi Máquinas, (4.22) à (4.30), a

menos da restrição (4.23) que não possui o tempo de espera no somatório, e a restrição (4.24)

que é omitida do modelo. Do estágio I ﬁcam apenas as restrições (4.15) e (4.16). O Modelo

Mono Estágio Multi Máquinas é dado a seguir:

Min



j=1



t=1



+ g

−





m=1



k∈β



l∈β



s=1

mkls



m=1



i∈α



j∈α



s=1

mijs

(4.52)

Estágio I - Xaroparia



j∈γ

mjs

≤ K

mls

, m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N ;

(4.53)



j∈γ

mjs

≥

mls

, m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N ;

(4.54)

Estágio II - Envase

j(t−1)



m=1



s∈S

mjs

+ I

−

= I

+ I

−

j(t−1)

+ d

, j = 1, ..., J, t = 1, ..., T

(4.55)



j∈α



s∈S

mjs



i∈α



j∈α



s∈S

mijs

≤ K

, m = 1, ..., M, t = 1, ..., T

(4.56)

mjs

≤

mjs

, s = 1, .., N, j ∈ α

, m = 1, ..., M

(4.57)



j∈α

mjs

= 1, m = 1, ..., M, s = 1..N

(4.58)

mijs

≥ y

mi(s−1)

mjs

−1 s = 1, ..., N, i = j ∈ α

, m = 1, ..., M

(4.59)



i∈α



j∈α

mijs

≤ 1, m = 1, ...M, s = 1, ..., N ;

(4.60)

, I

−

, x

mjs

, z

mijs

≥ 0; y

mls

, y

mjs

= 0/1,

m = 1, ..., M, i, j ∈ α

, k, l ∈ β

, s = 1, ..., N.

(4.61)

Após resolvido o modelo, a solução obtida fornece os custos de estoque, atraso e

troca de bebidas nas linhas. Para veriﬁcar a factibilidade do modelo em relação a xaroparia

e os custos de troca de xaropes, deve-se veriﬁcar qual a seqüência de xaropes que atende o

sequenciamento da linha, e calcular as esperas. Para tanto, determina-se o dimensionamento e

o sequenciamento da produção nas linhas, ou seja, deﬁne-se qual e quanto de cada bebida será

produzida em cada sub-período de cada linha. Em seguida, estabelece-se os tempos de troca

nos sub-períodos onde há produção, considerando o máximo entre o tempo de troca da bebida

na linha e o tempo de troca do xarope utilizado no tanque para aquela bebida. Se o tempo total

da programação estabelecida for menor que a capacidade disponível, então a solução é factível,

caso contrário a solução é infactível. Ao valor da solução deve ser ainda acrescido o custo

das trocas realizadas nos tanques. Este processo será ilustrado a frente com a solução de um

exemplar do problema de uma fábrica que produz 5 tipos de bebidas e 2 tipos de xarope, em uma

linha durante um horizonte de planejamento de 2 períodos. Nos casos onde a xaroparia não é o

gargalo, o modelo MEMM retrata completamente o processo de produção, sem necessidade de

cálculos adicionais. Na seção a seguir é apresentada uma heurística que factibiliza as soluções

do modelo MEMM em relação ao sequenciamento dos xaropes nos tanques.

4.3.1 Estratégia de Factibilização

Como foi discutido na seção anterior, o modelo MEMM fornece soluções que podem

ser infactíveis quando se estabelece o sequenciamento do tanque e a sincronia com o envase. Foi

então elaborada uma estratégia de factibilização das soluções baseada na ﬁxação das variáveis

binárias. Após resolver o modelo MEMM, seja qual for a estratégia, todas as variáveis binárias,

tanto as que assumem valor 1 quanto as que assumem valor 0 (dos sub-períodos onde há produ-

ção) são ﬁxadas, e as restrições do estágio I são inseridas no modelo. O objetivo é que o modelo

do passo 3 (abaixo) seja na verdade o modelo DEMM com algumas variáveis ﬁxas. Para isto,

a restrição de capacidade do modelo MEMM, (4.56), é substituída pela restrição de capacidade

(4.23) do modelo DEMM. Esta estratégia se aplica pelo seguinte Algoritmo de Factibilização

do Modelo MEMM:

Algoritmo de Factibilização do Modelo MEMM

Passo 1: Resolva modelo MEMM.

Passo 2: Se MEMM é factível, para todo m=1,..,M, j ∈ α

, s=1,...,N, veriﬁque se

mjs

> 0.

Se sim ﬁxe y

mjs

> 0 e y

mls

> 0 para todo j ∈ α

, l ∈ σ

Passo 3: Inclua as restrições do Estágio I no modelo MEMM.

Passo 4: Resolva o modelo resultante.

Note que ao ﬁxar-se as variáveis binárias, estão sendo escolhidas as bebidas e xaropes

que são preparados no sub-período. E devido a restrição de limite inferior de xarope, sempre

haverá produção nestes sub-períodos que possuem variáveis ﬁxas.

Os custos de troca de bebidas e os custos de troca de xaropes considerados neste

trabalho são relativos a perda de produção durante a parada para troca. Nos casos onde há troca

de bebidas nas linhas e xaropes nos tanques, note que estes custos de perda são duplicados pelo

modelo, quando deveriam ser contados apenas uma vez. Logo, os custos de troca de xaropes

são considerados nulos para a aplicação prática, o que torna a função objetivo do Modelo Mono

Estágio Multi Máquinas igual a função objetivo do Modelo Dois Estágios Multi Máquinas.

Eventualmente em outras aplicações, os custos de troca de xaropes poderiam ser, por exemplo,

relativos a produtos utilizados para limpeza. Nestes casos os custos de troca de xaropes não

seriam nulos, e por este motivo os modelos aqui apresentados, por generalidade, incluem os

custos de troca de xaropes.

Como foi citado no início deste capítulo, os modelos propostos são simpliﬁcações do

que ocorre na prática, pois na prática um tanque pode abastecer duas linhas simultaneamente,

enquanto os modelos dedicam tanque à linha. Eles se diferem do modelo de Toledo et al.

(2006a) particularmente pela mesma razão. Porém, espera-se que apesar desta simpliﬁcação,

os modelos consigam produzir boas soluções para exemplos práticos, uma vez que na prática

o número de tanques nas fábricas visitadas é maior que o número de linhas. Além disto, os

modelos capturam características importantes do processo de produção, como é o caso da sin-

cronia entre os estágios, que permitem que sejam utilizados para apoiar as decisões envolvidas

no problema.

A seguir, são apresentados testes com exemplares pequenos que auxiliam na valida-

ção dos mesmos para três tipos diferentes de cenários, capacidades de linhas e tanques folgadas,

capacidade das linhas folgada e dos tanques restrita, e capacidade das linhas restrita e dos tan-

ques folgada.

4.4 Exemplos Ilustrativos

Inicialmente foram realizados testes com exemplares ilustrativos dos três modelos

com sincronia: Modelo Dois Estágios Multi Máquinas, (4.14)-(4.30), Modelo Dois Estágios

Mono Máquina, (4.31)-(4.46) com a Estratégia de Desagregação, (4.47)-(4.52), e Modelo Mono

Estágio Multi Máquinas, (4.52)-(4.61), com o algoritmo de factibilização. Os exemplares utili-

zados são considerados pequenos em relação a dimensão dos problemas reais, e foram gerados

considerando o planejamento da produção de 4 tipos de bebidas, 2 sabores diferentes de xa-

ropes, 2 máquinas e 2 tanques, durante um horizonte de planejamento de 2 períodos com 6

sub-períodos cada.

Na realização dos testes foi usado um computador com processador Pentium 4, 1.0

Gb de RAM, 3.2 Ghz, e a linguagem de modelagem AMPL (Fourer et al., 2003) e o sistema

de otimização Cplex 10.0 (Ilog, 2005). Três testes foram realizados. No primeiro teste, a

capacidade das máquinas e tanques é maior do que o necessário para produção, capacidade

folgada. No segundo teste, a capacidade da máquinas continua a mesma e a capacidade dos

tanques é reduzida pela metade, fazendo com que o gargalo seja a xaroparia. Note que reduzir

a capacidade dos tanques, implica preparar mais tanques para produção dos lotes. No terceiro

teste, a capacidade das máquinas é reduzida pela metade e a capacidade dos tanques é folgada

como no primeiro teste, de maneira que o gargalo se torna então o estágio de envase. Os dados

dos exemplares são ﬁctícios, e se encontram no Anexo B. A Tabela 4.1 apresenta as dimensões

do exemplar 1 em relação ao número de variáveis e restrições.

Tabela 4.1: Dimensões do Exemplar 1

Modelos Total Var. Var. Bin. Rest.

DEMM 768 144 788

DEMMaq 384 72 402

MEMM 648 144 620

(J=4, M=2 , L=2, N=12, T=2)

4.4.1 Teste 1 - Capacidades das linhas e tanques folgadas

A Tabela 4.2 apresenta respectivamente o nome do modelo, os custos de estoque,

atrasos e trocas nos períodos 1 e 2, o valor da função objetivo Z, o gap de otimalidade e o tempo

de solução dos modelos em segundos.

Tabela 4.2: Solução dos modelos com o exemplar 1

Modelo estoque atraso troca Z gap tempo

Per. 1 Per. 2 Per. 1 Per. 2 Per. 1 Per. 2

DEMM 0 0 0 0 8,9 12,1 21,0 0,01% 57,1

DEMMaq 0 0 0 0 21,2 27,4 48,6 0,01% 4,3

MEMM-FaseI 0 0 0 0 8,9 12,1 21,0 0,00% 37,2

MEMM-FaseII 0 0 0 0 8,9 12,1 21,0 0,00% 0,05

As Figuras 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 representam respectivamente o dimensionamento e o

sequenciamento dos lotes da produção nas linhas dos modelos DEMM, DEMMaq, MEMM-

Fase I, Estratégia de Factibilização (MEMM-Fase II). A Figura 4.6 apresenta a programação

dos tanques do modelo DEMM na solução do exemplar 1. No eixo vertical das ﬁguras estão

indicadas as duas linhas de envase, M1 e M2, no caso da Figura 4.6 são os tanques T1 e T2, nos

dois períodos do horizonte de planejamento. O eixo horizontal indica a capacidade disponível

nas linhas, 1000 unidades de tempo. Os lotes são representados pelas barras cinzas e os tempos

de troca, considerando também as esperas, são representados pelas barras em preto. A bebida

e o xarope produzidos são indicados logo acima de seu lote, pelo seu respectivo número. Por

exemplo, na solução do modelo DEMM, Figura 4.7, na máquina M1 no primeiro período a

sequencia de produção é: bebida 3, bebida 1, bebida 2 e bebida 2, com seus respectivos tempos

de troca indicados entre os lotes. A capacidade total utilizada da linha é pouco menos de 400

unidades de tempo. A programação dos tanques é exatamente a mesma programação das linhas,

uma vez o xarope preparado é exatamente o xarope necessário para produção do lote, e o tempo

de espera foi considerado no sequenciamento dos lotes de produção das linhas. Por exemplo, na

Figura 4.6, o xarope indicado para produzir os lotes de bebidas 3, 1, 2 e 2, é o xarope 2, usando

quatro vezes o tanque T1.

Vários lotes consecutivos de uma mesma bebida, como a bebida 2 na máquina 1,

período 1 do modelo DEMM, signiﬁca que vários lotes de xarope foram preparados para pro-

dução. Duas razões resultam neste tipo de programação. A primeira é que, a quantidade de

xarope necessária para produção do lote pode ser maior que um tanque, e assim, ser necessário

mais de um preparo de xarope para produção da bebida. Lembrando que, este é um dos fatores

que tornam obrigatória a sincronia do tanque com a xaroparia, para que o tempo de troca de

xarope seja considerado, pois a linha ﬁca parada até que o preparo de xarope termine. A se-

gunda razão para que vários preparos de um mesmo xarope para envase de uma mesma bebida

ocorram, é que se a capacidade da linha é folgada, essas várias trocas não geram custos adici-

onais, pois o custo de troca de uma bebida para ela mesma é nulo. Muitas trocas nos tanques

prejudicam apenas a capacidade disponível da linha por gerarem muitas esperas.

Como as capacidades são folgadas, não houve necessidade de estoque e atraso em ne-

nhum dos modelos. Percebe-se também pela Tabela 4.2 que o modelo MEMM obtém a mesma

solução do modelo DEMM, que é ótima, em um tempo muito menor, aproximadamente 64%

do tempo. Como a solução da Fase I é factível, e ótima, na Fase II a heurística de factibilização

encontra obviamente a mesma solução. O modelo DEMMaq resolve o problema em um tempo

muito inferior, mas o valor da solução é quase o dobro dos outros dois modelos. Isto porque na

Estratégia de Desagregação, o Modelo Linear distribui as demandas sem considerar os tempos

de trocas dependentes. A capacidade da máquina é então completamente ocupada sem consi-

derar as máquinas ociosas que poderiam dividir produção, e sem evitar a produção de muitos

tipos diferentes de bebida em uma linha. Observe as linhas M1 e M2 do período 1 na Figura

4.8. Note que se a bebida 4 fosse produzida na linha 2, o custo e o tempo de set up da bebida

2 para 4 na linha 1, período 1, teria sido economizado. O mesmo ocorre com a linha M1 no

período 2.

Comparando a solução das Figuras 4.9 e 4.10, que representam o modelo MEMM

nas fase I e II, respectivamente é possível observar o quanto a inclusão dos tempos de troca no

tanque consome a capacidade disponível. Na máquina M1, período 1, Figura 4.9 , por exemplo,

a capacidade consumida é de aproximadamente 350 unidades de tempo, após a factibilização,

Figura 4.10, o tempo consumido é de quase 400 unidades de tempo. O mesmo ocorre com a

máquina M2 no período, que ocupava menos de 800 unidades de tempo e com o sequenciamento

passou a consumir mais de 800 unidades de tempo. No período 2, a factibilização também

consumiu mais capacidade das linhas. Note que o dimensionamento e o sequenciamento das

Figuras 4.9 e 4.10 são iguais, pois esta é a sequência ótima de produção. Em casos onde a

fase I gera uma solução infactível ou uma solução não necessariamente ótima, na estratégia de

factibilização o tamanho dos lotes pode mudar e mais lotes de produção podem ser deﬁnidos,

uma vez que as variáveis são ﬁxadas apenas se houver produção no sub-período.

Figura 4.6: Programação dos xaropes fornecida pelo modelo DEMM Teste 1.

Figura 4.7: Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMM Teste 1.

Figura 4.8: Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMMaq Teste 1.

Figura 4.9: Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase I Teste 1.

Figura 4.10: Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase II Teste 1.

100

4.4.2 Teste 2 - Capacidades das linhas folgadas e capacidades dos tanques restrita

A Tabela 4.3 apresenta as soluções dos modelos para o teste 2, e as Figuras 4.11,

4.12, 4.13 e 4.14 detalham as soluções dos modelos, DEMMaq, MEMM-Fase I, Estratégia de

Factibilização (MEMM-Fase II).

Tabela 4.3: Solução dos modelos para o Exemplar 2

Modelo estoque atraso troca Z gap tempo

Per. 1 Per. 2 Per. 1 Per. 2 Per. 1 Per. 2

DEMM 0 0 12.198,6 0 18,3 27,4 12.244,3 0,27% 13,9

DEMMaq 3,3 0 12.198,6 56.865 30,6 20,1 69.117,6 0,02% e 31,53% 0,7

MEMM-FaseI 0 0 12.198,6 0 18,3 27,4 12.244,3 0,24% 7,2

MEMM-FaseII 0 0 12.198,6 0 18,3 27,4 12.244,3 0,0% 0

Nota-se pelas ﬁguras que ao restringir a capacidade dos tanques, aumentaram o nú-

mero de trocas nos períodos. Na Figura 4.11, a máquina M1 envasa dois lotes da bebida 2

consecutivos, ou seja, usou um tanque cheio e teve que preparar mais xarope para terminar o

lote. Quando a capacidade do tanque é reduzida, são necessários três preparos, (vide Figura

4.11), ou seja, a primeira parte da produção da bebida 2 utilizou um tanque cheio, foi necessá-

rio prepará-lo novamente com sua capacidade máxima para continuar a produção da bebida 2,

e ainda prepará-lo uma terceira vez, mas desta vez não utilizando a capacidade total, pois o lote

é menor que os anteriores.

No caso da máquina M2 do período 1, foram utilizados seis tanques cheios de xaro-

pes. Apesar dos seis sub-períodos terem sido ocupados, a capacidade disponível da linha não

pode ser mais aproveitada em função da limitação da capacidade do tanque. Esta limitação fez

com que lotes da bebida 4 fossem produzidos na linha 1 para abastecer a demanda, como mostra

a Figura 4.11. No teste 1, onde a capacidade do tanque é maior, lotes maiores da bebida 4 foram

produzidos, vide Figura 4.7. Os atrasos que ocorreram no período 1 foram gerados pela falta de

tanques para preparar os xaropes. Se o número de sub-períodos, que representa quantos tanques

podem ser preparados no período, fosse maior, seria possível ocupar mais a linha.

Observando a Tabela 4.3 nota-se que o modelo MEMM obteve a solução ótima em

quase metade do tempo do modelo DEMM. Na Figura 4.13 é possível observar que a inclusão

do tempo de espera (nas trocas entre bebidas iguais) na solução não consome toda a capacidade

disponível da linha, ou seja, esta solução é factível para o sequenciamento no tanque, como se

veriﬁca com a Figura 4.14.

101

O modelo DEMMaq foi rapidamente resolvido, mas o valor da solução foi quase 6

vezes maior em virtude do número de trocas no tanque ter aumentado.

Figura 4.11: Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMM Teste 2.

Figura 4.12: Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMMaq Teste 2.

102

Figura 4.13: Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase I Teste 2.

Figura 4.14: Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase II Teste 2.

103

4.4.3 Teste 3 - Capacidades das linhas restritas e capacidades dos tanques folgadas

A Tabela 4.4 apresenta os custos de estoque, atraso, e trocas da melhor solução de

cada um dos três modelos em cada período para o teste 3, e ainda o valor do custo total desta

solução , o gap de otimalidade e o tempo de processamento. As Figuras 4.15, 4.16, 4.17 e 4.18

representam, respectivamente, o dimensionamento e o sequenciamento dos lotes da produção

dos modelos DEMM, DEMMaq, MEMM-Fase I, Estratégia de Factibilização (MEMM-Fase

II).

Tabela 4.4: Solução dos modelos com o exemplar 3

Modelo estoque atraso troca Z gap tempo

Per. 1 Per. 2 Per. 1 Per. 2 Per. 1 Per. 2

DEMM 0 0 57.345,4 67.925 21,2 21,4 125.313,0 0,53% 1.088,9

DEMMaq 0 0 85.481,8 135.751,0 15,2 21,4 221.270,0 0,0% e 0,0% 2,3

MEMM-FaseI 0 0 42.112,5 50.175 21,2 27,4 92.336,1 10,55% 85,5

MEMM-FaseII 0 0 57.112,5 80.175 21,2 27,4 137.336,1 2,91% 0,016

Pela Tabela 4.4 nota-se que o modelo DEMM obteve a melhor solução em relação

aos três modelos. Note, no entanto, que os tempos de processamento dos outros modelos são

melhores. Observe na Figura 4.17 que o modelo MEMM na Fase I ocupou toda capacidade

disponível das duas linhas no período 1 e na linha M2 no segundo período, apesar de não

utilizar os seis sub-períodos. Na segunda fase, quando o sequenciamento é incluído e as esperas

consideradas, todos os custos aumentam (veja Tabela 4.4), pois o preparo dos tanques consome

capacidade disponível, sendo necessário antecipar e atrasar a produção dos lotes.

A Figura 4.16 ilustra que nos dois períodos a linha M2 ﬁcou ociosa. Pela Tabela 4.4 é

possível veriﬁcar que os custos de atraso do modelo DEMMaq são muito altos. Pode-se concluir

então que estes custos foram gerados pela falta de capacidade da linha M1 nos períodos, ou seja,

na fase de pré-alocação de demanda a linha M1 foi sobrecarregada, provocando atrasos na fase

de sequenciamento.

Note que quando a capacidade dos tanques é folgada o tamanho dos lotes é maior, e

o número de trocas entre bebidas de um mesmo sabor diminui; veja as Figuras 4.15, 4.16, 4.17

e 4.18.

104

Figura 4.15: Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMM Teste 3.

Figura 4.16: Programação da Produção fornecida pelo Modelo DEMMaq Teste 3.

105

Figura 4.17: Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase I Teste 3.

Figura 4.18: Programação da Produção fornecida pelo Modelo MEMM - Fase II Teste 3.

106

Pelos testes realizados com os modelos nestes exemplares ilustrativos foi possível

observar as diferenças de comportamento entre os três modelos em três cenários diferentes.

O modelo MEMM se mostrou competitivo em relação aos outros modelos. Nos testes 1 e 2

obteve a solução ótima em um tempo inferior ao do modelo DEMM. Nos casos onde a capa-

cidade da linha é restrita, seu desempenho não foi tão bom quanto do modelo DEMM, mas

ainda foi melhor que o modelo DEMMaq. O modelo DEMM apresenta solução melhor que o

modelo MEMM no teste 3. Suas soluções são sempre as melhores se o modelo for resolvido

até a otimalidade, por considerar todas as máquinas, o dimensionamento e o sequenciamento

dos lotes de forma integrada. O modelo DEMMaq não apresentou boas soluções nestes exem-

plares ilustrativos. Porém, em experimentos preliminares com exemplares reais das fábricas

de bebidas, seu desempenho foi bom em relação aos outros dois modelos, o que estimulou a

utilização deste modelo na solução dos casos reais. Os testes realizados ilustraram também a

importância de se deﬁnir um número adequado de sub-períodos para que a capacidade da linha

seja completamente utilizada.

107

4.5 Comparação do modelo DEMM com Modelos da literatura

Conforme discutido no Capítulo 3, no trabalho de Toledo (2005) foi desenvolvido

um modelo de dimensionamento e sequenciamento de lotes da produção de bebidas, Modelo

PIDLPP. Este modelo considera M máquinas, N tanques, J bebidas, L xaropes e um horizonte

de planejamento de T períodos. Assim como no presente trabalho, os períodos (macro períodos)

são particionados em sub-períodos. No entanto, o tamanho do sub-período é ﬁxo, e cada lote é

um múltiplo dos sub-períodos.

Para comparar uma solução do modelo PIDLPP com uma solução do modelo DEMM,

são necessárias algumas considerações. A Tabela 4.5 a seguir resume as diferenças entre os

custos dos dois modelos.

Tabela 4.5: Custos dos modelos DEMM e PIDLPP

DEMM PIDLPP

Custo unitário de estoque da Custo unitário de estoque de

bebida j no período t bebida j no período t

Custos unitário atraso Penalização por atraso.

Custo de troca de bebidas na linha Custo de troca de bebidas na linha

Custo de troca de xaropes no tanque. Custo de troca de xaropes no tanque.

Custo de produção de bebida.

Custo de produção de xarope.

Custo de estoque de xarope

Para comparar o valor do custo total Z das soluções dos dois modelos, os custos

de produção tanto das linhas quanto dos tanques, são calculados após a solução do modelo

DEMM. O custo de atraso pode ser considerado como a penalização para todos as bebidas,

pois no modelo PIDLPP ele também é um custo unitário. O custo de estoque de xarope deve

ser subtraído do valor da função objetivo do modelo PIDLPP, pois no modelo DEMM não há

estoque de xarope.

108

A Tabela 4.6 apresenta outros dados de entrada como os que deﬁnem a dimensão dos

modelos, os tempos, entre outros. Para mais detalhes do modelo em Toledo (2005), o leitor

pode consultar o Anexo A.

Tabela 4.6: Outros dados de entrada dos modelos DEMM e PIDLPP

DEMM PIDLPP

Número de bebidas (J) Número de bebidas (J)

Número de xaropes (L) Número de xaropes (L)

Número de linhas (M) Número de linhas (M)

Número de tanques (M) Número de tanques (N)

Número de períodos (T ) Número de períodos (T )

Número de sub períodos (N) Número de sub períodos (N)

Número máximo de lotes. (S)

Bebidas que podem ser produzidos em cada linha Bebidas que podem ser produzidos em cada linha

Xaropes que podem ser produzidos em cada linha Xaropes que podem ser produzidos em cada linha

Estoque inicial nulo Estoque inicial nulo

Demandas Demandas

Tempos de produção Tempos de produção

Tempos de troca de bebida Tempos de troca de bebida

Tempos de troca de xaropes Tempos de troca de xaropes

Capacidade disponível da linha no período t Capacidade disponível da linha no período t

Capacidade do sub período

Capacidade máxima do tanque Capacidade máxima do tanque

Capacidade mínima do tanque Capacidade mínima do tanque

Quantidade utilizada de xarope Quantidade utilizada de xarope

para cada unidade de bebida. para cada unidade de bebida.

Set up da linha no período 0. Set up da linha no período 0.

Set up do tanque no período 0.

Note que o número de máquinas do modelo PIDLPP (M) não tem que ser igual ao

número de tanques (N), diferente do modelo DEMM, em que estes parâmetros são iguais (M).

O conjunto β

do modelo DEMM representa os xaropes que podem ser envasados na linha

m. Em casos onde o tanque prepara um conjunto restrito de xaropes, que são envasados em

diferentes linhas, o modelo DEMM, que dedica um tanque a somente uma linha, não representa

estas situações.

Por exemplo, se β

={1}, e o xarope 1 prepara apenas a bebida 3, e α

={1, 2, 3}.

As bebidas 2 e 3 nunca serão envasados na linhas 1, no modelo DEMM, mas no modelo PI-

DLPP, podem ser envasados desde que outro tanque prepare e envie os xaropes das bebidas 2

e 3. Lembre-se que o modelo PIDLPP permite que um tanque abasteça uma ou mais linhas

simultaneamente, diferente do modelo DEMM. Convém ressaltar que essa situação não ocorre

na prática das três empresas visitadas.

109

No modelo DEMM, os sub-períodos não têm um limite de produção especíﬁco, sendo

que a produção em um sub-período pode ocupar até a capacidade total da linha, se houver

xarope suﬁciente. No modelo PIDLPP a capacidade da linha é a soma das capacidades dos

sub-períodos; assim um lote pode começar sua produção no primeiro sub-período e terminar

no último, ou seja, o lote também ocupa a capacidade total da linha. Pode-se então deﬁnir

a capacidade da linha no modelo DEMM como sendo a capacidade total da linha no modelo

PIDLPP, sem que sejam necessárias modiﬁcações em relação a capacidade dos sub-períodos.

Os outros parâmetros são iguais para os dois modelos.

No modelo PIDLPP há o conceito de lote, como foi mencionado no início desta seção.

Este conceito representa o número máximo de bebidas que poderão ser produzidas em cada

período de cada linha. No modelo DEMM, para se limitar o número de bebidas produzidas por

períodos, basta inserir a restrição



i∈α

,s∈S

mijs

≤ ¯n para m = 1, .., M, j = i ∈ α

, onde ¯n

é o número máximo de bebidas a ser produzida no período. Outra forma seria limitar o número

de sub-períodos, mas nos casos aqui tratados o número de sub-períodos do modelo DEMM está

relacionado ao número de vezes que se consegue encher e esvaziar um tanque no período. A

Tabela 4.7 resume as variáveis presentes nos dois modelos.

110

Tabela 4.7: Variáveis dos modelos DEMM e PIDLPP

Variáveis do Estágio II - Envase

DEMM PIDLPP

Estoque de bebidas ao ﬁnal do macro período. Estoque de bebidas ao ﬁnal do macro período.

Atraso na produção de bebida. Atraso na produção de bebida.

Produção de bebida. Produção de bebida.

Set up da linha. Set up da linha.

Troca de bebida na linha. Troca de bebida na linha.

Tempo de espera (sincronia).

Início da produção de um lote.

Fim da produção de um lote.

Lote efetivamente produzido.

Tempo gasto na troca de produtos na linha entre

macro períodos.

Tempo efetivamente utilizado para troca no início do lote.

Tempo no primeiro sub-período do lote que é

reservado para tempo de troca.

Variáveis do Estágio I - Xaroparia

Estoque de xarope ao ﬁnal do macro período.

Produção do xarope em um lote.

Quantidade de xarope produzida em um

sub-período s e utilizada no lote s.

Set up do tanque. Set up do tanque.

Troca de xarope no tanque. Troca de xarope no tanque.

Início da troca de um lote de xarope.

Fim da troca de um lote de xarope.

Lote de xarope efetivamente utilizado.

Tempo efetivamente utilizado para troca no início

de um lote.

Tempo de troca programado no tanque

ao ﬁnal do macro período anterior.

A sincronia no modelo DEMM é estabelecida quando o tempo de espera da linha pelo

tanque é contado, impedindo que a linha inicie a produção antes que o xarope esteja pronto. Se

o tempo de troca da linha é maior que o tempo de troca do tanque, ele é considerado diretamente

na restrição de capacidade pelo somatório dos tempos de troca na linha. No modelo PIDLPP, a

sincronia é deﬁnida ao se dedicar a produção do lote de xarope, em um sub-período, à produção,

de pelo menos, um lote de bebida em uma linha no sub-período. O lote de xarope deve estar

preparado em um sub-período antes do início da produção na linha. E a retirada de xarope é

permitida apenas dentro dos intervalos de produção da linha.

No modelo PIDLPP há uma variável binária no estágio de envase que indica se um

lote foi produzido ou não, e outra na xaroparia, além das variáveis de set up que determinam

se o lote está dedicado ou não a produção de um item. No modelo DEMM, não há necessidade

111

de veriﬁcar se a bebida foi produzida ou não, pois a linha sempre se mantém preparada para

uma bebida. Na xaroparia, como o preparo dos tanques não é mantido, a variável y

mls

indica

se há produção do xarope l no tanque m no sub-período s, y

mls

= 1, ou não , y

mls

= 0.

Estas variáveis também permitem que a restrição (4.21) ordene a produção para o início dos

macro períodos. As Tabelas 4.8 e 4.9 apresentam semelhanças e diferenças entre as restrições

de envase e xaroparia dos modelos, respectivamente.

Tabela 4.8: Diferenças e semelhanças entre as restrições de envase dos modelos DEMM e PIDLPP

Restrições do Estágio II - Envase

DEMM PIDLPP

Atribuição das bebidas que podem ser Atribuição das bebidas que podem ser

produzidos em cada linha. (conjunto α

) produzidos em cada linha.

Determinação do preparo para cada lote.

Set up da linha para um lote. Set up da linha para um lote.

Troca de bebidas nas linhas. Troca de bebidas nas linhas.

Tempo total de troca.

O tempo utilizado do ﬁnal do macro-período anterior

deve ser menor que o tempo total necessário para a troca

no ínicio do lote que será produzido no período seguinte.

Tempo que resta do macro período anterior deve ser

suﬁciente para a troca do lote que será

produzido no período seguinte.

Os tempos de troca da linha no período, Os tempos de troca da linha no período, mais os tempos

mais os tempos de produção, mais as esperas de produção, mais o tempo utilizado para preparo no

da linha pelo set up no tanque, não podem período anterior, não podem exceder a capacidade disponível.

exceder a capacidade disponível

Balanceamento de estoque Balanceamento de estoque

"Atraso"no primeiro período do horizonte de planejamento.

Todo lote tem um único início.

Todo lote tem um único ﬁm.

A produção de um lote mais o tempo gasto na troca deve

ser no máximo a diferença entre o tempo ﬁnal deste lote

e o tempo ﬁnal do lote anterior.

O sub período ﬁnal da produção de um lote deve ser posterior

aos sub-períodos utilizados para trocas e produção.

Indicação de produção ou não do lote.

Lote mínimo se houver produção. Lote mínimo se houver produção.

Anulação do início do lote se ele não é produzido.

Anulação do ﬁm do lote se ele não é produzido.

Ordenação da produção para que lotes não utilizados

sejam colocados no ﬁnal do macro período.

O início de um lote não utilizado deve começar

após o término do lote anterior.

112

Tabela 4.9: Diferenças e semelhanças entre as restrições da xaroparia dos modelos DEMM e PIDLPP

Restrições do Estágio da Xaroparia

DEMM PIDLPP

Atribuição dos xaropes que podem Atribuição dos xaropes que podem

ser produzidos em cada tanque (conjunto β

). ser produzidos em cada tanque.

Determinação do preparo para cada lote. Determinação do preparo para cada lote.

Set up do tanque para o lote.

Determinação da efetivação do lote.

Lote mínimo de xarope. Lote mínimo de xarope.

Troca de xaropes nos tanques. Troca de xaropes nos tanques.

Start up.

Tempo total de troca.

Tempo utilizado do ﬁnal do macro-período anterior

deve ser menor que o tempo total necessário para a

troca no início do lote que será produzido no

período seguinte no tanque.

O tempo total de preparo dos xaropes não deve

exceder o tempo já utilizado no período anterior para

preparo e a capacidade do período.

A quantidade total de xarope preparada em um

período é igual a soma das quantidades

preparadas em cada sub-período.

Balanceamento de estoque de xarope.

A quantidade retirada de um tanque deve estar armazenada

pelo menos um sub-período antes de ser utilizada.

O tempo de troca de um lote de xarope deve ocorrer

o ﬁnal do lote anterior e o início do próximo lote.

Parte do tempo de troca pode ocorrer no macro

período anterior igual linha.

Há apenas um sub-período ﬁnal para cada lote.

Há apenas um sub-período inicial para cada lote.

O xarope armazenado só será disponibilizado após

o tempo de preparo terminar.

O tempo estabelecido para um lote será positivo se

e somente se ele for atribuído a algum tanque.

Sub-períodos ociosos são enviados Lotes ociosos são enviados para

para ﬁm do macro período. o ﬁm do macro período.

O tempo de troca entre xaropes é um múltiplo

da capacidade do sub-período.

Um tanque só pode ser reabastecido se estiver vazio.

113

As restrições que estabelecem a sincronia entre os estágios, e a ligação entre os lotes

de bebidas e os lotes de xaropes, são dadas na Tabela 4.10.

Tabela 4.10: Restrições de ligação entre os estágios de Envase e Xaroparia, modelos DEMM e PIDLPP

Restrições de acoplamento entre os estágios de Envase e Xaroparia

DEMM PIDLPP

Determinação do tempo de espera da linha

até o ﬁm do set up do tanque.

Lote de xarope de cada tanque utilizado para Lote de xarope de cada tanque utilizado para

produção de um determinado lote. produção de um determinado lote.

A utilização do tanque pela linha pode ocorrer entre

o primeiro sub-período do lote até o último.

Determinação do valor da variável que indica quanto há

tempo disponível no primeiro sub-período de produção

de um lote para realizar trocas ou ﬁcar ocioso.

O tempo disponível para o lote de xarope enviado a linha

no primeiro sub-período deve ser menor que a capacidade

menos este preparo.

Com esta análise das restrições dos modelos DEMM e PIDLPP, é possível observar

que em casos onde o número de linhas é igual ao número de tanques, e os tanques produzem

todos os xaropes, os dois modelos são comparáveis. No entanto, o modelo PIDLPP é mais geral,

pois considera ainda situações em que o número de tanques é diferente do número de linhas, sob

pena de ser um modelo mais complexo. É importante observar que em situações onde o número

de tanques é maior que o número de linhas, o modelo DEMM, pode ser aplicado ao dedicar-

se mais tanques a uma mesma linha, ou seja, considerando um tanque maior com capacidade

agregada, ou em alguns casos, reduzindo os tempos de set up dos tanques ao considerar que um

tanque pode ser preparado enquanto o outro está abastecendo a linha (como é o caso da Fábrica

C, e de um xarope da Fábrica A que possui um tanque dedicado ao xarope com produção

contínua).

Situações onde o número de tanques é menor que o número de linhas, ou em casos

onde β

é bem restrito, como citado anteriormente, o modelo DEMM não é aplicável. Estas

situações não foram observadas na prática das três empresas visitadas.

114

4.6 Particularidades das Fábricas A e C

No Capítulo 2 foi descrito resumidamente o processo de produção de bebidas das

três fábricas. Após diversas visitas à estas fábricas, apenas as Fábricas A e C disponibilizaram

coleta de dados para testar os modelos com dados reais. Durante as visitas nas Fábricas A e C,

veriﬁcou-se que elas possuem algumas particularidades distintas. Como pretende-se comparar

a solução dos modelos com as soluções das fábricas, estas particularidades foram inseridas nos

modelos, e estão descritas a seguir.

4.6.1 Fábrica A

A Fábrica A, que é uma fábrica de grande porte, possui um sabor de bebida cuja

demanda é muito superior à demanda das outras bebidas. Enquanto a maioria das bebidas tem

demandas na faixa de 20.000 caixas, este sabor de bebida possui demandas na faixa de 150.000

caixas. Em função deste volume de pedidos e do fato do tempo/custo de set up desta bebida

serem altos, na Fábrica A há um tanque exclusivo para o preparo deste xarope (representado

neste estudo pelo xarope número 4). Este tanque possui ﬂuxo contínuo, e há um mecanismo

que avalia o volume de xarope do tanque e aciona o preparo do xarope em um outro tanque

menor. O xarope pronto é então enviado para o tanque maior. Desta forma, consegue-se manter

este xarope sempre pronto para envase. Para representar esta realidade no modelo, o set up do

xarope 4 no tanque foi considerado nulo e as restrições de limite de capacidade dos tanques,

(4.15) e (4.16), para l = 4, foram desconsideradas no modelo. É importante observar que

desconsiderá-las é diferente de impor y

m4s

= 0, pois se y

m4s

= 0 então x

mjs

= 0, para j ∈ ∆

o que não pode ocorrer, pois este bebida deve ser produzida nas linhas, apenas o tempo de set

up do xarope 4 é nulo. Além disto, como este xarope não é preparado nos outros tanques, o

tempo de troca deste xarope para outros xaropes, e dos outros xaropes para ele, foi considerado

nulo.

Na determinação do dimensionamento e sequenciamento da produção, esta empresa

estabelece como meta um estoque no ﬁnal do período suﬁciente para suprir a produção da pró-

xima semana. Como pretende-se comparar as soluções fornecidas pelo modelo com as soluções

obtidas na fábrica, foram inseridas nos três modelos propostos as seguintes restrições:

jt−1

≥ d

, j = 1, ..., J, t = 2, ..., T + 1, (4.62)

115

4.6.2 Fábrica C

Na Fábrica C, há um xarope que necessita de 24 horas de repouso para maturação.

Como a fábrica possui 10 tanques para a linha de envase, é possível prepará-lo com antece-

dência sem perda de capacidade na xaroparia, não sendo então necessário inserir ou modiﬁcar

restrições nos modelos para este xarope.

O responsável pela programação da produção informou que, ao elaborar uma pro-

gramação da produção, ele procura evitar trocas no meio do turno dos funcionários. Ele tenta

colocar as trocas no ﬁm do turno de forma que a equipe do próximo turno ﬁque todo o tempo

com a produção do próximo lote. Pelo que foi observado na fábrica, este recurso visa ape-

nas economizar tempo disponível de produção. Então esta restrição não será considerada no

modelo.

O nível de estoque nesta fábrica é alto para algumas bebidas de baixa demanda para

evitar set up, mas é comum os níveis de estoque chegarem próximos a zero. Assim, para esta

fábrica, são desconsideradas as restrições (4.62).

A Fábrica C envasa entre outras bebidas, água mineral. Esta bebida não exige preparo

nos tanques, então as restrições de limitação de capacidade do tanque podem ser eliminadas. Os

tempos de troca de produção de água para outras bebidas são pequenos, pois na linha é necessá-

rio fazer apenas ajustes em relação ao tamanho do vasilhame. Em caso onde o mesmo tamanho

de vasilhame é utilizado, o tempo de troca é nulo. Na Fábrica A, a água mineral também é

envasada, mas antes ela passa pelo tanque para que outros componentes sejam adicionadas à

ela.

5 Métodos de Solução

5.1 Heurísticas Relax and Fix

Analisando a estrutura do modelo DEMM, (4.14)-(4.30), Capítulo 4, percebe-se que

ele é composto por conjuntos de variáveis que, se ﬁxados, resultam modelos menores e mais

fáceis de serem resolvidos. A solução desses modelos pode ajudar na solução do modelo ori-

ginal, como é o caso por exemplo da Estratégia de Decomposição (Seção 4.2), ou estratégias

heurísticas do tipo relax and ﬁx (Seção 3.3.2). Esta composição do modelo DEMM pode ser

representada por um esquema em blocos, como mostrado na Figura 5.19. As linhas verticais

pontilhadas representam a divisão dos sub-períodos, as linhas verticais contínuas representam

a separação dos macros períodos, as linhas horizontais contínuas representam a separação das

máquinas.

Figura 5.19: Representação em blocos do Modelo DEMM.

Os blocos em cinza claro representam um modelo mono-máquina, mono-período,

e dois estágios. Os blocos em cinza escuro representam também um modelo mono-máquina

dois estágios, mas com T períodos, ou seja, o modelo DEMMaq, (4.31)-(4.46), Capítulo 4. O

bloco negro representa um modelo mono-máquina, mono-estágio, mono-período que, se forem

adicionadas algumas restrições do estágio I, pode representar o modelo MEMM, (4.52)-(4.61),

Capítulo 4. Observe na Figura 5.19 que se ao invés de excluir os blocos não coloridos, apenas

relaxar suas variáveis inteiras, obtém-se as várias opções de relaxações do modelo DEMM. Por

117

exemplo, a Figura 5.20 representa a relaxação linear do modelo DEMM, com todas as variáveis

inteiras relaxadas.

Figura 5.20: Inicialização: relaxação linear do modelo DEMM.

Para tentar explorar melhor estas subestruturas, foram testadas várias estratégias heu-

rísticas do tipo relax and ﬁx na solução dos modelos. Como foi visto na revisão bibliográﬁca do

Capítulo 3, para iniciar a heurística relax and ﬁx é necessário deﬁnir a partição do conjunto de

variáveis, as variáveis a serem ﬁxadas e o critério de ﬁxação. Nas Figuras 5.19 ou 5.20 é pos-

sível ver as opções de partições do modelo DEMM. Considerando uma partição por período, a

Figura 5.21 representa o modelo a ser resolvido na primeira iteração da heurística, onde apenas

as variáveis do bloco cinza escuro (primeiro período) são inteiras. Após resolvido esse modelo,

as variáveis inteiras são ﬁxadas, e as variáveis do bloco seguinte, passam a ser as variáveis

inteiras do novo sub-problema a ser resolvido.

118

Figura 5.21: Primeira iteração da heurística relax and ﬁx usando partição por período.

A Figura 5.22 representa uma iteração genérica t . Os blocos cinza claro são as itera-

ções anteriores, em que as variáveis já foram ﬁxadas, e as variáveis do bloco cinza passaram a

ser inteiras, para formar o problema a ser resolvido nesta iteração.

Figura 5.22: Iteração t da heurística relax and ﬁx usando partição por período.

Considerando apenas uma máquina na Figura 5.20, é possível ver também as par-

tições dos modelos da Estratégia de Decomposição. Se for considerado apenas o estágio II,

tem-se as partições do modelo MEMM. Note que as restrições de limite de xarope que apare-

cem no modelo MEMM não são suﬁcientes para caracterizar esse modelo como um modelo de

dois estágios. Assim, a partição do conjunto de variáveis por estágio no modelo MEMM não

119

tem sentido.

Observando as subestruturas presentes nos três modelos, é possível veriﬁcar as di-

versas opções de partições para heurísticas do tipo relax and ﬁx. Por exemplo, a partição do

conjunto de variáveis poderia ser por período, e as variáveis binárias y

e y

corresponden-

tes seriam ﬁxadas. Note que ao ﬁxar a variável y

=1, apenas se escolhe para qual bebida a

máquina estará preparada. Fixar a variável y

=1, além de deﬁnir o preparo no tanque, deﬁne

também que haverá a produção de uma bebida daquele sabor, e o tamanho do lote varia entre

o máximo e o mínimo estabelecidos pelas restrições (4.15) e (4.16). A ﬁxação do tamanho do

lote ocorre apenas pela ﬁxação da variável x

. Além dessas variáveis, outras opções de ﬁxação

são as variáveis de troca z

e z

, que apesar de serem contínuas, sempre assumem valor 0 ou 1

no problema inteiro.

Diante destas observações, foram derivadas 15 estratégias relax and ﬁx neste estudo.

A seguir são apresentadas as estratégias usadas para os modelos DEMM, DEMMaq, e MEMM.

Para cada modelo há uma tabela que resume os critérios de partição e ﬁxação usados. A primeira

coluna das tabelas (5.11)-(5.13) indica a estratégia (Estrat.), a segunda mostra o critério usado

para partição do conjunto de variáveis (part. var.), a terceira coluna indica o conjunto de variá-

veis que serão ﬁxadas (ﬁx. variável). O critério de parada foi deﬁnido de forma que o tempo

total de processamento das estratégias não ultrapassasse um certo limite pré-estabelecido. As

variáveis descritas nas tabelas são as mesmas apresentadas nos modelos; os índices das variá-

veis foram omitidos apenas para facilitar a leitura das tabelas. As estratégias foram divididas

em três grupos. As estratégias do primeiro grupo, G1, tem o critério de partição de variáveis

inteiras por período. O segundo grupo, G2, tem a partição das variáveis variando nas máqui-

nas, períodos e estágios. E o terceiro grupo, G3, tem variações da partição por sub-períodos.

Seus nomes indicam a que grupo pertencem. Por exemplo, a estratégia G2.5 indica que esta

estratégia é a quinta estratégia do grupo G2.

Modelo DEMM

Conforme mencionado, foram implementadas 15 estratégias relax and ﬁx para o mo-

delo DEMM, divididas em 3 grupos, que estão descritos na Tabela 5.11.

Nas estratégias do Grupo G1, a partição das variáveis é feita por períodos, vide Figura

5.21. As estratégias variam pelo critério de ﬁxação das variáveis. Por exemplo, na estratégia

120

Tabela 5.11: Estratégias relax and ﬁx para modelo DEMM.

Estrat. part. var. ﬁx. variável

G1.1 período y

, y

G1.2 período y

, y

, z

G1.3 período y

, y

, z

e x

G1.4 período y

, y

, z

s.h.p.

G1.5 período y

, y

, z

s.h.p. e reavaliação

G2.1 máquina/período y

, y

G2.2 estágio II e depois estágio I y

depois y

G2.3 estágio I e depois estágio II y

depois y

G2.4 período/estágio II e depois estagio I y

depois y

G2.5 período/estagio I e depois estagio II y

depois y

G2.6 máquina/período/estágio II depois y

depois y

máquina/período/estágio I

G2.7 máquina/período/estágio II depois y

, z

depois y

, z

s.h.p. e reavaliação

máquina/período/estágio I

G3.1 sub-período y

e y

G3.2 um sub-período por período, y

e y

do primeiro até |S

G3.3 primeiro e último sub-período y

e y

de cada período

s.h.p. = se houver produção.

G1.1 ﬁxam-se apenas as variáveis binárias y

e y

, enquanto na estratégia G1.2 ﬁxam-se

também as variáveis de troca, z

e z

. Na estratégia G1.3 ocorre também a ﬁxação das variáveis

contínuas x

(tamanho do lote). Na estratégia G1.4 são ﬁxadas y

, y

, z

e z

se x

> 0,

ou seja, as variáveis binárias são ﬁxadas apenas se houver produção (s.h.p.) no sub-período

corresponde. Para a estratégia G1.4, o passo 2 do Algoritmo Relax and Fix, descrito no Capítulo

3, é substituído por:

Passo 2:

Se o problema é infactível, pare.

Caso contrário veriﬁque:



j∈α

mjs

> 0 para algum m, j, s, então ﬁxe y

mjs

e y

mls

para l ∈ σ

Se y

mk(s−1)

= 1 e y

mls

= 1 então ﬁxe z

mkls

Se x

mi(s−1)

> 0 e x

mjs

> 0 então ﬁxe z

mijs

Note que as variáveis que assumem valor 0, incluindo aquelas pertencentes a sub-

períodos em que há produção, não são ﬁxadas. Nessa estratégia, cada variável é avaliada apenas

na iteração deﬁnida pelo período a que pertence. Assim, caso a variável não seja ﬁxada, ela

permanecerá livre até o ﬁm do processo. Na estratégia G1.5, a cada iteração, as variáveis não

ﬁxadas nas iterações anteriores são reavaliadas, e sempre que x

> 0, elas serão então ﬁxadas.

121

O número de variáveis inteiras em uma iteração n, na estratégia G1.5, é |Q

|, mais as variáveis

não ﬁxadas nas iterações anteriores. No pior caso, na última iteração da heurística o modelo

original será resolvido.

Nas estratégias do Grupo G2, a partição é feita usando diferentes combinações dos

conjuntos de máquinas, períodos, e estágios, conforme Tabela 5.11. O tamanho dos problemas

resolvidos a cada iteração neste grupo de estratégias é menor do que o tamanho dos problemas

resolvidos nas estratégias do Grupo G1. Quando a estratégia varia por estágios, a ﬁxação das

variáveis também varia, ou seja, primeiro são ﬁxadas as variáveis com sobescrito II (ou I), e

depois as variáveis com sobescrito I (ou II).

As estratégias do Grupo G3 tem como critério de partição do conjunto de variáveis os

sub-períodos. Esse critério de partição deﬁne um número maior de problemas, mas o número de

variáveis binárias de cada subproblema é menor. Por exemplo, no exemplar do modelo DEMM,

enquanto a partição por períodos resulta em T modelos com 2|S



(|α

| + |β

|) variáveis

binárias, a partição por sub-períodos resulta em N modelos com 2



(|α

|+ |β

|). A estraté-

gia G3.1 deﬁne a partição do conjunto de variáveis como sendo sub-períodos. A cada iteração,

os sub-modelos resolvidos possuem apenas as variáveis de um sub-período como inteiras. Na

estratégia G3.2, a partição considera as variáveis de um sub-período de cada período. Com isto,

busca-se melhorar a qualidade das soluções, uma vez que todos períodos terão um grupo de va-

riáveis inteiras considerado. A estratégia G3.3 considera as variáveis de dois sub-períodos por

período, sendo sempre um sub-período do início do período e outro do ﬁm, o que pode evitar

que os últimos sub-períodos de cada período sejam sobrecarregados de produção.

122

Modelo DEMMaq-Estratégia de Decomposição

A Estratégia de Decomposição, como o nome indica, decompõe o modelo DEMM

em M modelos mono máquina. Assim, o conjunto de variáveis está previamente particionado

por máquinas, como foi discutido no Capítulo 4. É necessário considerar então que as partições

testadas nas estratégias relax and ﬁx para o modelo DEMMaq estejam automaticamente decom-

postas por máquina, por exemplo, se a partição é feita por período, pode-se considerar na ver-

dade a combinação máquina/período. Note no entanto, que esta combinação máquina/período é

diferente da estratégia G2.1 do modelo DEMM, pois ela não permite transferência de produção

de uma máquina para outra, como pode ocorrer no modelo DEMM. E o tamanho dos problemas

resolvidos a cada iteração sempre é menor do que no caso DEMM, pois o problema referente

a uma máquina não possui as variáveis e restrições referentes às outras máquinas, como é o

caso do modelo DEMM que ﬁca com estas variáveis e restrições relaxadas. Isto diferencia as

estratégias utilizadas na solução do modelo DEMM, das estratégias utilizadas na Estratégia de

Decomposição-modelo DEMMaq. A Tabela 5.12, apresenta as estratégias relax and ﬁx para o

modelo DEMMaq. A Tabela 5.12, o termo máquina foi omitido na descrição dos critérios de

partições das estratégias. Apesar destas estratégias serem um pouco diferentes das da Tabela

5.11, por simpliﬁcação os mesmos nomes foram mantidos em função do tipo de ﬁxação das

variáveis.

Tabela 5.12: Estratégias relax and ﬁx para modelo DEMMaq.

Estrat. part. var. ﬁx. variável

G1.1 período y

, y

G1.2 período y

, y

, z

G1.3 período y

, y

, z

e x

G1.4 período y

, y

, z

s.h.p.

G1.5 período y

, y

, z

s.h.p. e reavaliação

G2.2 estágio II depois I y

depois y

G2.3 estágio I depois II y

depois y

G2.4 Periodo/Estagio II depois Estagio I y

depois y

G2.5 Periodo/Estagio I depois Estagio II y

depois y

G2.6 Periodo/Estagio II depois Periodo/Estagio I y

depois y

G2.7 período/estágio II depois período/estágio I y

, z

depois y

, z

s.h.p. e reavaliação

G3.1 Sub-período y

, y

G3.2 Um sub-período por período, do primeiro até |S

| y

, y

G3.3 Primeiro e último sub-período de cada período y

, y

Observe que na maioria das estratégias para o caso de solução do problema pelos mo-

123

delos DEMMaq o número de iterações é M vezes maior que resolvendo pelo modelo DEMM,

em função dos M modelos DEMMaq resolvidos. Logo, para que as estratégias da Tabela 5.12

tenham o mesmo limite de tempo de processamento das estratégias da Tabela 5.11,é necessário

diminuir o tempo máximo de processamento.

Modelo MEMM

Para aplicar as estratégias relax and ﬁx ao modelo MEMM, também são necessárias

algumas considerações. O modelo MEMM se difere do modelo DEMM por possuir apenas o

estágio II (envase), (embora incorpore algumas restrições do estágio I - xaroparia). As partições

ocorrem apenas pela combinação dos conjuntos M (máquinas) e T (períodos). Isto faz com

que as estratégias do Grupo G2 não se apliquem ao modelo MEMM, com exceção da estratégia

G2.1 e da estratégia G2.8, que é uma adaptação da estratégia G2.7 sem o estágio I. A Tabela

5.13 resume as estratégias para este modelo.

Tabela 5.13: Estratégias relax and ﬁx para modelos MEMM

Estrat. part. var. ﬁx. variável

G1.1 período y

, y

G1.2 período y

, y

, z

G1.3 período y

, y

, z

e x

G1.4 período y

, y

, z

s.h.p.

G1.5 período y

, y

, z

s.h.p. e reavaliação

G2.1 máquina/período y

, y

G2.8 máquina/período y

, y

, z

s.h.p. e reavaliação

G3.1 Sub-período y

, y

G3.2 Um sub-período por período, do primeiro até |S

| y

, y

G3.3 Primeiro e último sub-período de cada período y

, y

5.2 Inequações Válidas

Na revisão bibliográﬁca do capítulo 3 foi observado que são poucos os trabalhos

que utilizam métodos exatos como o método de Planos de Corte na solução de modelos de

dimensionamento e sequenciamento de lotes, principalmente modelos que possuem a estrutura

de tempo como os modelos propostos. Apesar de serem úteis em outras classes de modelos de

dimensionamento de lotes. Foi realizado então um estudo para identiﬁcar inequações válidas

que possam ser úteis na solução dos modelos de dimensionamento e sequenciamento de lotes

124

propostos no Capítulo 4, além das disponíveis no software CPLEX 10.0. Este estudo é descrito

a seguir.

5.2.1 Inequações Tipo Cobertura

O modelo DEMM, possui restrições que permitem identiﬁcar o modelo CLSP2, for-

mulação (3.13)-(3.17), como uma sub-estrutura da sua formulação. A partir desta identiﬁca-

ção, foram estudadas adaptações de inequações válidas para o modelo CLSP2 para o modelo

DEMM. Nesta Seção, é realizado o estudo de uma inequação válida para o modelo CLSP2,

proposta por Miller et al. (2003).

O modelo para o qual a Inequação (3.6) é válida é o modelo CLSP2 visto no capítulo3.

A Inequação (3.6) e o modelo CLSP2 são reproduzidos a seguir, por conveniência:

Proposição 3.6: (Miller et al., 2003) Dada uma cobertura C para o modelo CLSP2, a inequação



j∈C

≥ λ +



j∈C

max{−st

, d

− λ}(1 − y

)

é válida para X

CLSP 2

, onde λ =



j∈S

(st

+ d

) − K ≥ 0.

Modelo CLSP2:

Min Z



j=1



j=1



j=1

sujeito a

+ I

≥ d

(5.63)



j=1



j=1

≤ K (5.64)

≤ (K − t

(5.65)

(5.66)

O primeiro passo para derivar a inequação válida (3.6) é identiﬁcar o modelo CLSP2

como subestrutura de algum dos modelos propostos no Capítulo 4. Como o modelo CLSP2

considera uma máquina e um período, torna-se inicialmente o modelo DEMMaq, (4.31)-(4.46),

com um período ﬁxo. Considere as restrições do modelo DEMMaq equivalentes as restrições

do modelo CLSP2:

125

1j(t−1)



s∈S

1js

+ I

−

1jt

= I

1jt

+ I

−

1j(t−1)

+ d

1jt

, j = 1..J, t = 1..T

(5.67)



j∈α



s∈S

1js



i∈α



j∈α



s∈S

1ijs



s∈S

≤ K

, t = 1..T

(5.68)

1js

≤

1js

, s = 1, .., N, j ∈ α

(5.69)

No modelo DEMMaq, o tempo considerado na restrição de capacidade (5.68) é o

tempo de troca, que é dependente da sequência, e ainda os tempos de espera v

. Como o

sequenciamento não pode ser deﬁnido previamente, para que seja considerado exatamente o

tempo de troca gasto, foi tomado um tempo médio de troca da seguinte maneira.

Construa uma matriz de tempo de trocas

das bebidas, em que o tempo de troca

é o maior valor entre o tempo de troca da bebida na linha, e o tempo de troca do xarope que

determina o sabor deste bebida no tanque, ou seja, max{b

, b

k,l

}, para k ∈ σ

, e l ∈ σ

, é o

xarope que produz a bebida i. Por exemplo, se o tempo de troca da bebida 2 para 3 na linha

é de 30 minutos, e o tempo de troca dos xaropes que constituem o sabor destas bebidas no

tanque demora 40 minutos, na nova matriz o tempo de troca de 2 para 3 será 40 minutos. Desta

forma, também estão sendo considerados implicitamente os tempos de espera v

. Para cada

bebida j, tem-se J opções de troca. Tendo em vista que estes tempos serão utilizados para

deﬁnir uma cobertura, tomaremos st

= min{

}, pois assim mesmo que o tempo real seja

maior, C continuará sendo uma cobertura. O termo λ representa o excesso de demanda, como

na Deﬁnição 3.9 da Seção 3.3.

A segunda consideração é em relação ao set up. No modelo CLSP2, se y

= 0, então

= 0, pela restrição (5.66). No modelo DEMMaq, em um período a bebida pode ser preparada

mais de uma vez, devido à divisão do período em sub-períodos. Assim, y

= 0 não implica

= 0 para todo período. Pode-se considerar que dado j ∈ J, pode ocorrer



s∈S

= 0,

quando a bebida j não é preparada no período t,



s∈S

= 1, quando a bebida j é preparada

uma vez, e



s∈S

> 1 quando a bebida j é preparada mais de uma vez. Então o set up

do período, y

do modelo CLSP2, é considerado como



s∈S

no modelo DEMMaq. Além

disto, o modelo DEMMaq inclue variáveis de atrasos que com o estoque e a produção devem

126

suprir a demanda, restrição (5.67).

A inequação (3.6) do capítulo 3 foi deduzida em Miller et al. (2003) através da con-

sideração sobre a quantidade de produto que deve ser mantida em estoque para o atendimento

da demanda considerando se há ou não preparo das máquinas para produção dos itens incluídos

na cobertura. É deduzida a seguir uma inequação equivalente para o modelo DEMMaq.

Proposição 5.1 (Inequação tipo cobertura). Dada uma cobertura C para o modelo DEMMaq,

a inequação



j∈C

+ I

−

) ≥ λ +



j∈C

max{−st

, d

− λ}(1 −



s∈S

)

, (5.70)

é válida para para X

DEMM aq

, onde λ =



j∈C

(st

+ d

) − K ≥ 0

Demonstração:

Dado o ponto (



¯x



¯y



¯z

ijs

, I

−

) e uma cobertura C para DEMMaq,

deﬁna os conjuntos: C

= {j ∈ C :



> 1}, o item j é preparado mais de uma vez no

período;

= { j ∈ C :



s∈S

= 1}, o item j é preparado apenas uma vez no período; e

= { j ∈ C :



s∈S

= 0}, o item j não é preparado no período.

• Para os elementos do conjunto C

sempre haverá o set up de um deles no período



= 1 e o termo



j∈C

max{−st

, d

− λ}(1 −



) se anula. E assim, o atraso e o

estoque devem suprir o excesso de demanda:



j∈C



j∈C

−

≥ λ

• Para os elementos de C

, o termo



j∈C

max{−st

, d

− λ}(1 −



) pode ser

menor ou igual a 0. Se for considerado que houve preparo para mais de um item no período, isto

é,



> 1, a simples substituição da variável y

pela expressão



no lado direito de

(5.70) poderá invalidar a inequação, pois será subtraído ou somado um valor a λ que depende

de max{−st

, d

− λ}. Uma forma de generalizar a inequação para considerar os conjuntos C

e C

é tomar então o máximo entre 0 e (1 −



), ou seja (1 −



)

• Para os elementos de C

, o termo max{−st

, d

− λ}(1 −



)

não se anula.

Vejamos então se a inequação (5.70) ainda é válida para o modelo DEMMaq.

127

Suponha que {j ∈ C

: t

+ d

> λ } = ∅. Dado que C = C

∪ C

então:



j∈C

+ I

−

) =



j∈C

+ I

−

) +



j∈C

+ I

−

) +



j∈C

+ I

−

)

i) Se j ∈ C

, o item não foi produzido e assim,



j∈C

+ I

−

) ≥



j∈C

ii) Se j ∈ C

∪ C

, o item foi produzido, então estoque e atraso suprem o que não pode ser

produzido por falta de capacidade:



j∈C

∪C

+ I

−

) ≥ [



j∈C

∪C

(st

+ d

) − K]

De (i) e (ii), segue que:



j∈C

+ I

−

) +



j∈C

+ I

−

) +



j∈C

+ I

−

) ≥



j∈C

+ [



j∈C

∪C

(st

+ d

) − K]

(5.71)

Para j ∈ C

, tem-se (1 −



s∈S

) = 1, pois, por deﬁnição,



s∈S

= 0 e daí,

então st

− st

(1 −



s∈S

) = st

− st

= 0. Pode se então fazer



j∈C



j∈C

−st

(1−



)]=



j∈C

+st

)−



j∈C

(1−



). Além disto, [



j∈C

∪C

(st

) − K]

≥



j∈C

∪C

(st

+ d

) − K. Substituindo em (5.71) resulta,



j∈C

+ I

−

) +



j∈C

+ I

−

) +



j∈C

+ I

−

) ≥



j∈C

+ st

) −



j∈C

(1 −



) +



j∈C

∪C

(st

+ d

) − K =



j∈C

+ st

) +



j∈C

∪C

(st

+ d

) − K −



j∈C

(1 −



Reescrevendo para unir C

à C

e C

, que é uma partição de C, obtemos:



j∈C

−

) ≥



j∈C

+st

)−K−



j∈C

(1−



) = λ−



j∈C

(1−



Por deﬁnição, se j ∈ C

, tem se



= 0, então o termo −



j∈C

(1 −



) resulta apenas −



j∈C

. E dai,



j∈C

+ I

−

) ≥ λ −



j∈C

Por hipótese, ∀j ∈ C

, st

+ d

≤ λ, ou seja, d

− λ ≤ −st

. Além disto, para

j ∈ C

∪ C

, (1 −



) ≤ 0. Tomando (1 −



)

, tem-se:



j∈C

+ I

−

) ≥ λ +



j∈C

max{−st

, d

− λ}(1 −



)

128

• Suponha agora que {j ∈ C

: st

+ d

> λ} = ∅, ou seja, existe pelo menos um

j ∈ C

tal que st

+ d

> λ ⇒ d

− λ > −st

Tem-se que



j∈C

+ I

−

) ≥



j∈C

+ I

−

). Além disto se j ∈ C

então



= 0 ⇒



= 0. E assim, I

+ I

−

≥ d

, resultando



j∈C

+ I

−

) ≥



j∈C

Por hipótese, λ ≥ 0, e existe pelo menos um j tal que st

+ d

> λ. Então é verdade

que



j∈C

≥ λ +



j∈C

− λ). Particionando o conjunto C

em {j ∈ C

: st

+ d

> λ }

e {j ∈ C

: st

+ d

≤ λ}, tem-se:



j∈C

+ I

−

) ≥ λ +



j∈C

:st

>λ

− λ) +



j∈C

:st

≤λ

Como para j ∈ C

ou st

+ d

> λ ou st

+ d

≤ λ, e d

≥ −st

, segue então que a

inequação:



j∈C

+ I

−

) ≥ λ +



j∈C

max{−st

, d

− λ}(1 −



)

é válida para para X

DEMM aq

. 

Note que o lado direito da inequação (5.70) envolve um termo não linear. Para ser

útil como plano de corte para os modelos discutidos no Capítulo 4, é necessário linearizar esta

inequação. Isto isto não foi explorado neste trabalho, e é um tópico interessante para pesquisa

futura. Outras classes de inequações válidas geradas a partir das restrições dos modelos são

descritas a seguir.

129

5.2.2 Inequações de Acoplamento

Analisando a solução da relaxação linear do modelo DEMM para um exemplar, se

veriﬁca que as restrições de troca (4.27) e (4.18) em geral não estão ativas e há várias soluções

factíveis para o modelo que fornecem o mesmo valor para a função objetivo. Nota-se que, pela

restrição de troca (4.27), a menos que, a soma y

mi(s−1)

+ y

mjs

seja maior que 1, a variável de

troca z

mijs

assume valor 0 para todos pares (i, j) no subperíodo s.

Por exemplo:

Seja y

m1(s−1)

= 0.3 e y

m2s

= 0.3, a restrição de troca (4.27) é z

m12s

≥ y

m1(s−1)

m2s

− 1 ⇒ z

m12s

≥ 0.3 + 0.3 − 1 = −0.4. Como a variável z

m12s

≥ 0 está sendo minimizada,

o valor mínimo para a variável é z

m12s

= 0.

A primeira classe de inequações válidas proposta elimina soluções contínuas como

as citadas acima. Essa classe de inequações é derivada a partir das restrições de troca. A cada

troca de item na linha o set up é contado por meio da variável y

mjs

e a troca da bebida i para

j pela variável z

mijs

e restrições (4.27). Apesar das restrições de trocas não estarem ativas na

relaxação linear sabe-se que nas soluções inteiras ocorre, (Wolsey, 1997):



i∈α

mijs

= y

mjs

, m = 1, ..., M, j ∈ α

, s = 1, ..., N. (5.72)

ou seja, se a bebida j é produzida no sub-período s, deve haver a troca de alguma bebida i

para este bebida j. Esta equação, que é válida para o modelo, é violada por soluções tais que

mij



= 0 para m = 1, ..., M, s = 1, ..., N, mesmo que y



> 0. Por exemplo:

Seja a máquina m = 2, a bebida j = 4 e o sub-período = 3 e y

243

= 1. Tendo

em vista que a máquina 2 foi preparada para a bebida 4 no sub-período 3, deve ocorrer uma

troca de bebida produzida neste sub-período, isto é, z

2i43

= 1 para algum i ∈ α

preparada

anteriormente. Como ocorre apenas uma troca por sub-período pode-se estabelecer



i∈α

2i43

= 1,

mas a igualdade só ocorre porque y

243

= 1, logo



i∈α

2i43

= y

243

= 1.

Quando a relaxação linear é considerada, se y

243

= 1 a inequação implica que



i∈α

2i43

= 1, ou seja, as variáveis z

2i43

não podem ser todas nulas.

130

Note que as variáveis de troca são consideradas na inequação válida de forma agre-

gada. Então apesar de ser considerada a troca no sub-período, pode ocorrer que a troca conside-

rada positiva não corresponda à bebida preparada. No exemplo acima, se a inequação (5.72) for

incluída,



i∈α

mi2s

= y

m2s

. Como as variáveis de trocas estão agregadas, para satisfazer a

inequação, pode ser que a variável z

m34s

assuma o valor 0.3 e não z

m14s

. Apesar de não garanti-

rem a troca associada a variável de set up, as inequações (5.72) eliminam as soluções contínuas

onde há set up positivo e todas as trocas são nulas. O mesmo ocorre em relação as variáveis de

set up e troca na xaroparia.

Uma segunda classe de inequações válidas elimina as soluções em que y



> 0 e

mkl



= 0 para todos os pares (k, l



) no estágio I. Esta classe de inequações é:



k∈α

mkls

= y

mls

, m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N. (5.73)

Uma terceira classe de inequações válidas pode ser obtida relacionando as variáveis de set up

mls

do estágio I com as variáveis de troca do estágio II, z

mijs



i∈γ



j∈γ

mijs

≥ y

mls

, m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N. (5.74)

A inequação (5.74) tem a mesma função da inequação (5.72), mas se y

mls

> y

mjs

para j ∈ γ

, ela é mais forte. A soma em j é necessária, pois determinar o xarope não implica

determinar qual a bebida que o utiliza.

A seguir é dado o Algoritmo de Geração de Planos de Corte para inserção das três

classes de inequações (5.72), (5.73) e (5.74), nos modelos.

131

Algoritmo de Geração de Planos de Corte

Inicialização: Faça limite=número de iterações; num= número máximo de inequações

a ser inserido; Ineq=0.

Início enquanto iteração≤ limite e Ineq<num e num1>0 faça.

Passo 1: Resolva a relaxação linear do modelo DEMM. Faça num1=0 (num1 veriﬁca se foi

gerada alguma inequação).

Passo 2: Para m = 1, ..., M, j ∈ α

, s = 1, ..., N , veriﬁque se



i∈α

mijs

= 0 e y

mjs

> 0,

e se num ≤ Ineq.

Se sim, insira a primeira classe de inequações (5.72) no modelo; faça num1=num1+1

e Ineq:=Ineq+1;

Passo 3: Para m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N , veriﬁque se



k∈β

mkls

= 0 e y

mls

> 0,

e se num ≤ Ineq.

Se sim, insira a segunda classe de inequações (5.73) no modelo; faça num1=num1+1

e Ineq:=Ineq+1;

Passo 4: Para m = 1, ..., M, l ∈ β

, s = 1, ..., N , veriﬁque se



i∈γ



j∈γ

mijs

= 1

e y

mls

> 0, e se num ≤ Ineq.

Se sim, insira a terceira classe de inequações (5.74) no modelo; faça num1=num1+1

e Ineq:=Ineq+1;

Faça iteração=iteração+1.

Passo 5: Resolva o problema inteiro.

Foram realizados testes computacionais a ﬁm de veriﬁcar o efeito das estratégias

heurísticas relax and ﬁx e das inequações válidas na solução de exemplares dos modelos. Esses

testes são descritos no próximo capítulo.

6 Estudo Computacional

O objeto de estudo desta tese é o problema integrado de dimensionamento de lotes

e sequenciamento da produção em fábricas de bebidas. Como foi citado nos Capítulos 2 e 4,

foram visitadas 3 fábricas de bebidas, das quais duas, Fábrica A e Fábrica C, concordaram em

disponibilizar dados para este estudo. Durante as visitas foram coletados os dados utilizados

para a geração dos exemplares dos três modelos propostos no Capítulo 4 e para a avaliação dos

métodos para resolvê-los discutidos no Capítulo 5, em particular, as heurísticas relax and ﬁx.

Os dados coletados nas fábricas são referentes a produção: demandas de produtos,

tempos de troca de bebidas nas linhas, tempos de troca de xaropes nos tanques, capacidade

das linhas e tanques, custos, entre outros dados necessários para resolver o problema. Foram

realizadas várias visitas para se conseguir todos os dados necessários. Os dados coletados e

utilizados nos testes da Fábrica A foram distorcidos para preservar interesses da empresa, vide

Anexo D. Por exigência explícita da empresa, os dados coletados da Fábrica C não são divulga-

dos. Por motivos de conﬁdenciabilidade, informações como custos não foram disponibilizadas

pelas fábricas. Assim, estes custos foram estimados a partir dos valores comercializados para

os consumidores. Por exemplo, o custo de estoque de uma bebida foi simplesmente conside-

rado como sendo um percentual informado do custo de produção, levando-se em conta a taxa

de juros de mercado no período de análise. Este custo representa um custo de oportunidade

associado ao valor de estoque no período. As empresas não forneceram os custos de produção

das bebidas. O custo de produção de cada bebida foi estimado da seguinte maneira: a partir

do preço de venda da bebida informado, foi simplesmente descontado deste preço a margem

de contribuição ao lucro informado da bebida. O custo de atraso de uma bebida foi estimado

como sendo um custo de venda perdida, isto é, o custo de produção da bebida mais a margem

de contribuição ao lucro que se obteria se ela tivesse sido vendida, ou seja, o preço de venda in-

formado da bebida. Note que, desta maneira, procura-se penalizar bastante atrasos, para manter

o nível de serviço ao cliente.

O custo de troca da bebida i para a bebida j na linha foi estimado como sendo um

custo de oportunidade, isto é, a margem de contribuição ao lucro que se deixou de obter com a

parada de linha para a troca, (margem de contribuição ao lucro da bebida j)*(quantas unidades

de bebida j poderiam ter sido produzidas durante este tempo de troca). Conforme mencionado

133

no Capítulo 4, não foram considerados custos de troca de xaropes nos tanques, uma vez que

os custos de oportunidade já estariam sendo considerados nos custos de troca de bebidas nas

linhas. As empresas não tinham estimativas dos seus custos de troca. Cada período do horizonte

de planejamento considerado nos testes refere-se a uma semana de produção.

O processo de coleta de dados para elaboração dos exemplares foi um processo muito

trabalhoso. Foram necessárias várias entrevistas com funcionários de diferentes setores da em-

presa para a calibragem de uma informação, como é o caso, por exemplo, da deﬁnição dos

tempos de troca. Observando os arquivos dos tempos de troca e comparando com a informação

dada pelos funcionários, notamos que na prática algumas adaptações são feitas para diminuir

estes tempos de troca. A cada nova informação foi necessária então uma análise para veriﬁcar

a adequação dos dados com a necessidade da pesquisa, e a compatibilidade da informação com

o que se observa na prática. Nas fábricas não há arquivos contendo a programação da produção

realizada. As planilhas utilizadas são levadas para diferentes departamentos, o que também di-

ﬁcultou a obtenção desses dados para comparação com a solução dos modelos. Foi necessária

ainda a organização dos dados em planilhas eletrônicas que facilitassem sua manipulação. Após

este processo, foi necessário colocar os dados no formato especíﬁco da linguagem de modela-

gem utilizada. Na realização de todos os testes, foi usado um computador com processador

Pentium 4, 1.0 Gb de RAM, 3.2 Ghz, a linguagem de modelagem AMPL (Fourer et al., 2003),

e o sistema de otimização Cplex 10.0 (Ilog, 2005), conforme mencionado anteriormente.

6.1 Estudo Computacional Caso Multi Máquinas - Fábrica A

A Fábrica A é uma fábrica de grande porte que possui 7 linhas de produção, como foi

descrito na Seção 2.3.1. As linhas produzem conjuntos distintos de bebidas, apenas duas linhas

produzem itens comuns. Tendo em vista que os modelos dedicam tanque à linha, as linhas que

não envasam itens comuns podem ser representadas pelo modelo DEMMaq (que é o modelo

DEMM com uma única linha) ou pelo modelo MEMM com uma única linha.

Foram utilizados os dados referentes as duas linhas que podem produzir itens em

comum. A primeira pode produzir 23 tipos de bebidas diferentes e a segunda pode produzir

10 destas 23 bebidas. Assim, 13 bebidas podem ser produzidas apenas na primeira linha, e 10

bebidas podem ser produzidas em qualquer uma das duas linhas, sendo que a segunda linha

as produz com velocidade maior. São necessários 18 tipos de xaropes para produção deste

134

conjunto de 23 bebidas.

Os dados das máquinas correspondem a um período do ano em que a máquina 1 ﬁcou

disponível 5.760 minutos em cada período (4 dias por semana), e a máquina 2 ﬁcou disponível

8.640 minutos em cada período (6 dias por semana). Estas variações ocorrem em função de

períodos de baixa demanda, manutenção de equipamentos, etc. Em entrevista, o responsável

pela xaroparia estimou que na prática um tanque passa por, no máximo, 5 trocas de xarope

por dia. Fazendo uma média dos dias disponíveis de produção das duas linhas (5 dias), são 25

trocas por período. Foi considerado um horizonte de planejamento de 3 períodos (3 semanas),

que é o horizonte de planejamento da empresa e, portanto, há um total de 75 sub-períodos (25

sub-períodos por período). A Tabela 6.1 apresenta os custos totais obtidos na solução utilizada

pela empresa para este cenário (exemplar 1). A primeira coluna da Tabela 6.1 indica o custo

a ser apresentado, Custo de Estoque e Custo de Trocas, as três colunas seguintes são os custos

nos períodos 1, 2 e 3, respectivamente, a última coluna indica o total do custo de cada linha. Na

última linha está calculado o custo total de cada período. A última célula da tabela apresenta

o custo total Z da solução fornecida pela empresa. Os custos de atraso são nulos. Note que os

custos de troca são elevados, se comparados com os custos de estoque. Em períodos de baixa

demanda e capacidade ociosa, estes custos devem ser analisados com cautela.

Tabela 6.1: Valor dos custos de estoque, atraso, troca e custo total obtidos pela Fábrica A.

Custos Per 1 Per 2 Per 3 Total

Estoque 5.086,7 5.655,1 6.177,8 16.919,0

Trocas 116.411,8 180.281,0 109.104,0 405.796,8

Total 422.716,8

As Figuras 6.1 e 6.2 ilustram o dimensionamento e o sequenciamento da produção das

linhas 1 e 2 nos três períodos, utilizado pela fábrica para produzir toda demanda deste exemplar.

135

Figura 6.1: Programação da produção da linha 1 - Fábrica A.

Figura 6.2: Programação da produção da linha 2 - Fábrica A.

6.1.1 Estudos iniciais dos modelos

Na prática, o programador da Fábrica A mantém o estoque de bebidas em um nível

suﬁciente para suprir a demanda do período seguinte. Aﬁm de comparar a solução do modelo

com a solução da fábrica, foram incluídos nos modelos testados para a Fábrica A restrições

que limitam o estoque, como descrito na Seção 4.6.1. Para utilizar o modelo DEMMaq, na

fase de desagregação da demanda, o modelo linear que é resolvido, formulação (4.47)-(4.52),

considera uma capacidade menor que a capacidade do modelo DEMMaq resolvidos em seguida.

Esta diminuição da capacidade é uma estimativa do tempo necessário para as trocas que serão

realizadas na fase seguinte. No exemplar da Fábrica A, essas capacidades para as máquinas 1

e 2 foram estimadas em 4.760 e 7.640, respectivamente, ou seja, 1.000 minutos a menos que

136

as capacidades dos dois modelos DEMMaq. Devido as diferenças nos programas de produção

de semana a semana, na prática a empresa tem diﬁculdades para estimar com precisão o tempo

total gasto para realizar todas as trocas nas linhas e tanques. A Tabela 6.2 apresenta o número

de variáveis e restrições dos exemplares dos Modelos DEMM, DEMMaq para a máquina 1

(M1) e máquina 2 (M2), e do modelo MEMM. Note que o número de variáveis e restrições é

relativamente grande (ordem de milhares) nos três modelos.

Tabela 6.2: Dimensão do Exemplar da Fábrica A.

Modelo Total Variáveis Var. Binárias Restrições

DEMM 86.359 4.575 86.140

DEMMaq-M1 72.300 3.075 68.645

DEMMaq-M2 20.697 1.500 17.575

MEMM 54.559 4.575 49.544

(J=23, M=2 , L=18, N=75, T=3)

Inicialmente este exemplar foi resolvido pelo CPLEX 10.0 com as opções dos parâ-

metros de solução padrão (default) do software, aqui denominado TESTE 1. Conforme relato

dos programadores, a programação da produção é deﬁnida com antecedência de 3 a 4 dias, e o

tempo para esta tarefa em geral ocupa 4 horas no caso da Fábrica A, e 1 dia no caso da Fábrica

C. Considerando estas disponibilidades, o tempo de execução para solução dos modelos foi li-

mitado em 4 horas. No caso do modelo MEMM o tempo foi limitado a 3 horas, e mais uma

hora foi utilizada para a estratégia de factibilização, totalizando 4 horas. A Tabela 6.3 apresenta

o valor dos custos totais de estoque e atraso de cada período, obtido para cada modelo.

Tabela 6.3: Valor dos custos de estoque e atraso da melhor solução inteira do exemplar da

Fábrica A.

Estoque Atraso

Per 1 Per 2 Per 3 Per 1 Per 2 Per 3

DEMM 4.259,3 4.367,6 3.495,5 69.259,8 5.464,8 0,0

DEMMaq 8.811,4 10.049,0 7.393,7 16.327,0 15.907,5 29.493,0

MEMM 4.234,7 4.194,9 3.466,4 3.603,6 0,0 0,0

A Tabela 6.4 apresenta os custos totais de troca nas linhas para cada um dos 3 pe-

ríodos, o valor da melhor solução inteira Z, o gap de integralidade da melhor solução inteira

encontrada é dado na sexta coluna da tabela, e o percentual da diferença das soluções em rela-

ção a solução da fábrica são apresentados na última coluna da tabela. O gap é calculado pela

fórmula (Z − LI)/Z onde LI é o valor do melhor limite inferior encontrado.

137

Tabela 6.4: Valor dos custos de troca, valor de Z e o gap da melhor solução inteira do exemplar da

Fábrica A.

Trocas Z gap Percentual

Per 1 Per 2 Per 3

DEMM 164.466,0 224.590,0 155.604,0 631.507,0 98,4 49,4

DEMMaq 132.528,0 89.706,0 106.957,0 417.172,7 97,5 -1,3

MEMM 187.014,0 174.912,0 147.359,0 524.784,6 98,0 24,2

Pelos gaps apresentados na Tabela 6.4, observa-se a diﬁculdade de solução dos mo-

delos. Em quatro horas de execução do CPLEX, o modelo DEMM apresentou uma solução

quase 50% mais custosa que a solução da fábrica com altos custos de atraso e troca. O modelo

MEMM fornece uma solução melhor que a solução do modelo DEMM, com custos de atraso

bem reduzidos mas os custos de troca também são elevados. A solução do modelo MEMM é

aproximadamente 24% mais custosa que a solução da fábrica. Apesar dos custos de estoque da

solução do modelo DEMMaq serem maiores, o modelo conseguiu reduzir signiﬁcativamente os

custos de troca, o que favoreceu a redução do custo total, que é 1,3% melhor que a solução da

fábrica. Esta vantagem é devido principalmente a uma redução de trocas de produtos nas linhas

e nos tanques. O valor desta solução é destacado em negrito na Tabela 6.4. Note, entretanto, que

assim como nos outros modelos, o gap de solução é alto (97,5%). O limite de 4 horas parece

não ser suﬁciente para permitir que os modelos encontrem soluções com gaps de otimalidade

menores.

6.1.2 Experimentos com outros parâmetros do CPLEX

Para tentar melhorar a solução dos modelos obtida pelo CPLEX foram realizados ou-

tros testes, alterando alguns parâmetros relacionados aos métodos de solução disponíveis no

CPLEX, e também desligando as estratégias de pré-processamento. A primeira alteração re-

alizada foi modiﬁcando o parâmetro que controla a utilização de heurísticas na solução dos

modelos. O default do CPLEX é a opção automática, ou seja, critérios internos do CPLEX

são testados e decidem se as heurísticas serão utilizadas. O CPLEX pode aplicar as heurísti-

cas tanto para determinar uma solução inicial para o modelo (heurística de arredondamento),

quanto na solução dos subproblemas do Branch and Cut (RINS). No teste realizado, DHcpx, a

opção automática foi modiﬁcada para que o CPLEX aplique heurísticas na solução de todos os

138

nós da árvore do Branch and Cut. Para avaliar a inﬂuência dos planos de corte na solução dos

modelos, no aqui denominado TESTE 2, eles foram desligados. Logo os modelos foram resol-

vidos pelo método Branch and Bound com os outros padrões default do CPLEX. As estratégias

de pré-processamento, também foram avaliadas em um terceiro teste, denominado TESTE 3.

Nele as estratégias de pré-processamento foram desativadas tanto no CPLEX quanto na lingua-

gem de modelagem AMPL. A solução do modelo sem as heurísticas foi denominada Dcpx.

As variações padrões default, Planos de Corte desligados e Pré-processamento desligados são

denominadas, conforme mencionado, por TESTE 1, TESTE 2 e TESTE 3, respectivamente.

A Tabela 6.5 resume as estratégias testadas. A solução dos modelos com uso de heurísticas e

planos de corte desligados, por exemplo, é a intersecção da estratégia DHcpx com o TESTE 2.

(Veja Tabela 6.5)

Tabela 6.5: Estratégias testadas na solução dos modelos DEMM, DEMMaq e MEMM.

Estrat. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

Dcpx default CPLEX Planos de Corte desligados Pré-processamento desligados

DHcpx heurística CPLEX heurística CPLEX uso intensivo e heurística CPLEX uso intensivo e

uso intensivo Planos de Corte desligados Pré-processamento desligados

As Tabelas 6.6, 6.7 e 6.8 apresentam o valor da melhor solução inteira obtida com

as estratégias da Tabela 6.5 em 4 horas de processamento. Logo abaixo da solução, é dado o

gap de otimalidade das soluções. O gap é calculado em relação a relaxação linear do modelo

DEMM. Os valores em negrito são os valores das melhores soluções em relação a solução da

fábrica. Na Tabela 6.7, o valor da melhor solução inteira encontrada é a soma do valor obtido

na solução do modelo DEMMaq para a máquina 1 e para máquina 2.

Modelo DEMM

Tabela 6.6: Variações dos parâmetros CPLEX Modelo DEMM exemplar Fábrica A.

Estrat. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

Dcpx 631.507,0 523.850,0 652.567,9

98,4 98,0 98,5

DHcpx 640.902,0 724.378,0 564.283,5

98,4 98,6 98,2

139

Modelo DEMMaq

Tabela 6.7: Variações dos parâmetros CPLEX Modelo DEMMaq exemplar Fábrica A.

Estrat. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

Dcpx 417.172,7 465.285,5 506.385,0

97,5 97,8 97,9

DHcpx 460.731,8 369.615,4 390.353,6

97,7 97,2 97,3

Modelo MEMM

Tabela 6.8: Variações dos parâmetros CPLEX Modelo MEMM exemplar Fábrica A.

Estrat. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

Dcpx 524.784,6 544.068,3 429.542,4

98,01 98,08 97,57

DHcpx 461.918,3 473.698,6 450.970,6

97,74 97,80 97,69

Na solução do modelo DEMM, as estratégias Dcpx com TESTE 2 e DHcpx com

TESTE 3 conseguem soluções melhores que a solução encontrada inicialmente, Dcpx com

TESTE 1 (veja Tabelas 6.4 e 6.6). No entanto, a solução da empresa ainda é melhor (veja Tabela

6.1). O mesmo ocorre com o modelo MEMM. Com exceção da estratégia Dcpx com TESTE

2, todas as soluções são melhores que a solução inicial, Dcpx com TESTE 1, mas nenhuma

das soluções é melhor que a solução da fábrica. Para estes testes, o modelo DEMMaq teve um

desempenho melhor que os outros dois modelos. Ele encontrou três soluções melhores que a

solução da empresa, a melhor das três soluções, obtida com estratégia DHcpx com TESTE 2,

supera a solução da empresa em quase 12,6%.

Para analisar o impacto de impor um nível de serviço aos clientes, um teste impe-

dindo atrasos foi realizado com as estratégias que forneceram soluções melhores que a solução

da fábrica. A primeira coluna da Tabela 6.9 (Estratégia) indica qual estratégia foi utilizada,

por exemplo, Dcpx/TESTE 1, indica que o exemplar do modelo DEMMaq foi resolvido pela

estratégia Dcpx com TESTE 1. Na segunda coluna, é apresentado o custo de estoque, a terceira

o custo de troca, e a última, (Z), o custo total.

Quando os atrasos são impedidos, as estratégias não conseguem soluções melhores

que a solução da empresa, o que sugere que 4 horas de tempo de processamento não é suﬁciente

140

Tabela 6.9: Soluções do exemplar da Fábrica A sem atrasos - DEMMaq.

Estratégia estoque atraso Z

Dcpx/TESTE1 *

DHcpx/TESTE2 -

DHcpx/TESTE3 25.959,19 504.063,00 530.022,19

*Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

-Solução infactível.

para o CPLEX gerar soluções competitivas com a da empresa. Os resultados obtidos nestes

testes estimularam as pesquisas de outros métodos para a solução dos modelos.

6.1.3 Outra Alternativa para solução do modelo

Na tentativa de melhorar as soluções dos modelos, outro experimento foi realizado,

em que as restrições do modelo DEMM são inseridas, uma de cada vez. A cada inclusão de

uma restrição, o modelo é resolvido pelo CPLEX, até que uma solução inteira factível seja

encontrada. Dado que o modelo tem muitas restrições, este teste pretende veriﬁcar se este

processo de solução pode facilitar a solução do modelo, e estuda a inﬂuência que cada restrição

tem no processo de solução do modelo por meio do CPLEX.

Inicialmente o modelo possui apenas a restrição de balanceamento de estoques, (4.22),

estoque inicial, e limite inferior de estoque, restrição (4.62). Após encontrar uma solução in-

teira, uma restrição é inserida e o processo se repete. As restrições foram inseridas na seguinte

ordem arbitrária: restrição de capacidade, restrição (4.23), set up na linha, restrição (4.25), um

set up por sub-período, restrição (4.26), trocas na linha, restrição (4.27), espera da linha pelo

tanque, restrição (4.24), uma troca por sub-período na linha, restrição (4.28), set up inicial da

linha, restrição (4.29), capacidade máxima do tanque, restrição (4.15), produção mínima do tan-

que, restrição (4.16), trocas de xaropes no tanque, restrição (4.18), troca entre macro períodos

no tanque, restrição (4.19), ordenação da produção, restrição (4.21), set up inicial do tanque,

restrição (4.17), número máximo de trocas por sub-período, restrição (4.20).

Neste experimento foi possível observar que as restrições de set up do tanque (4.15)

(que também tem a função de limitar a capacidade superiormente); as restrições de troca de

xarope, restrição (4.18), e as restrições de ordenação (4.21), diﬁcultam a solução do modelo.

Inserindo as restrições nesta ordem, a primeira solução inteira foi encontrada em 62,8 segun-

dos com um valor de 4.067.527,5. Esta solução é a mesma encontrada pelo CPLEX quando

141

o modelo DEMM é resolvido com todas as restrições (estratégia Dcpx TESTE 1), em 57.4

segundos.

Inserindo primeiro as restrições de set up do tanque, em seguida as restrições de or-

denação, e depois as restrições de troca de xarope, o tempo total é de 60,3 e a mesma solução

é encontrada. Se as restrições de ordenação forem inseridas antes das restrições de sequencia-

mento, o tempo total é de 73,4 segundos e a solução encontrada é 4.639.854,7.

O mesmo experimento foi realizado com a relaxação linear do modelo. O modelo

com todas restrições demora 1,5 segundos para encontrar a solução da relaxação linear, que é

de 10.427,0. Na relaxação, inserindo uma restrição de cada vez, o CPLEX demorou 6,6 segun-

dos para terminar o processo. O custo total da solução ótima da relaxação linear (10.427,0) é

encontrado na primeira iteração, ou seja, apenas com as restrições de balanceamento de estoque

e capacidade. Isto demonstra que a relaxação do modelo é ruim, e as outras restrições inseridas

não estão ativas na relaxação.

O resultado deste experimento mostrou que as restrições (4.15), (4.18) e (4.21), de set

up do tanque, de troca de xarope, e ordenação, juntas no mesmo modelo diﬁcultam seu processo

de solução. Este teste indica que o modelo MEMM pode ser mais fácil de ser resolvido que o

modelo DEMM, o que estimulou as pesquisas com o modelo MEMM que não considera as

restrições (4.18) e (4.21). No entanto, o processo de solução do modelo incluindo uma restrição

por vez não resultou boas soluções, e assim, a pesquisa com este tipo de estratégia não foi

aprofundada.

6.1.4 Aplicação das Inequações de Acoplamento na solução do exemplar da Fábrica A

Os estudos iniciais da solução dos modelos variando parâmetros do CPLEX mostram

que os Planos de Corte tem inﬂuência na solução dos modelos, em alguns casos melhorando

a solução, como na solução do modelo MEMM, e em outros piorando a solução, como no

modelo DEMMaq, que fornece a melhor solução com a estratégia DHcpx com TESTE 2. Esta

variação pode ocorrer, pois os planos de corte, presentes no CPLEX são gerais. Para tentar

explorar melhor as características dos modelos foram propostas, na Seção 5.2.2, três classes de

inequações, primeira classe (5.72), segunda classe (5.73), e terceira classe (5.74).

Estas inequações foram testadas inicialmente na solução do exemplar ilustrativo 3

da Seção 4.4.3, com um limite de 5 iterações para inclusão das inequações. Observando a

142

solução da relaxação linear, cujo valor é 63.425,6, veriﬁca-se que, em vários sub-períodos,

apesar das variáveis de set up serem positivas, as variáveis de troca são nulas. Estas situações

são identiﬁcadas e as inequações (5.72), (5.73), e (5.74) são geradas e inseridas no modelo. Em

5 iterações foram geradas 129 inequações, e após resolver o novo modelo a solução resultante

é 89.581,7. O CPLEX com parâmetros default resolve o modelo inteiro após a inserção das

inequações em 305,4 segundos, sendo que sem as inequações o tempo de solução é de 1.088,9

segundos.

Quando as inequações foram inseridas no modelo DEMM, na nova solução as va-

riáveis de trocas são positivas quando as variáveis de set up são positivas. O valor positivo

das variáveis de trocas de xarope inﬂuenciaram a restrição (4.24) de espera e, conseqüen-

temente, a restrição de capacidade. Por exemplo, a restrição de espera no sub-período 2 é

≥



k,l∈β

1kl2

−



i,j∈α

1ij2

. Após a inserção das inequações, a troca do xarope 1

para ele mesmo, por exemplo, no sub-período 2, passou a ser 0,67 e b

1ij2

= 0, para i, j ∈ α

A restrição se tornou ativa e v

, que antes era nulo, passou a ser positivo, consumindo mais

capacidade da máquina, que já era restrita, aumentando o atraso e, conseqüentemente, o valor

da solução da relaxação linear. A variável de troca na linha que assume valor 1, é a troca da

bebida 4 para ela mesma. Como b

=0 o termo



i,j∈α

1ij2

é nulo. Mesmo que ocorresse

1ij2

> 0, o que poderia manter v

= 0, o custo total Z aumentaria, pois na restrição de

capacidade este tempo seria contado, gerando atrasos, uma vez que a capacidade da linha é

restrita. Além disto, se b

1ij2

> 0 então i = j , logo, o custo s

1ij2

> 0 também somaria na

função objetivo. Note que, quando a capacidade da máquina é folgada e



i,j∈α

mijs

= 0,

o valor da função objetivo não se altera, pois não ocorre atraso. Desta forma, conclui-se que

estas inequações são mais úteis em casos onde a capacidade é restrita.

Em um segundo teste com o mesmo exemplar, foi estabelecido um limite de 10 ite-

rações para inserção das inequações, e foram geradas 137 inequações. Na solução do modelo

original com as inequações, o tempo de solução aumentou para 332 segundos. Percebe-se então

que é importante controlar o número de inequações inseridas para que o modelo não se torne

mais difícil.

Após estes testes preliminares, estas inequações foram aplicadas na solução do exem-

plo da Fábrica A. Foi dado um limite de 15 iterações. Apesar da solução da relaxação linear

violar as inequações válidas inseridas, o valor da função objetivo se manteve o mesmo. A capa-

143

cidade das máquinas no exemplar da Fábrica A não é tão restrita como no exemplo ilustrativo

da Seção 4.4. Para o exemplar da Fábrica A, a inclusão das inequações diﬁcultou a solução

do modelo. Em 4 horas de processamento, a solução encontrada pelo default CPLEX foi de

1.111.516,2, que é ruim se comparada à solução das estratégias testadas na seção anterior, e

foram avaliados 4.037 nós. Foram inseridas no modelo 2.844 inequações válidas. Testes com

um exemplar real da Fábrica C também foram realizados e a solução da relaxação linear não foi

melhorada. Estes experimentos desestimularam a utilização destas três classes de inequações

na solução dos modelos.

6.1.5 Solução do exemplar da Fábrica A pelas estratégias Relax and Fix

As heurísticas descritas na Seção 5.1, foram aplicadas na solução dos modelos. O

tempo de processamento de cada iteração da heurística relax and ﬁx (resolução dos subpro-

blemas) foi estabelecido de forma que o tempo total de processamento não ultrapasse 3 horas

na solução relax and ﬁx. Após encontrada a solução, esta é utilizada como solução inicial no

CPLEX, e os modelos são resolvidos por mais 1 hora, totalizando 4 horas de tempo de pro-

cessamento. No caso do modelo MEMM, após as 3 horas de solução da heurística relax and

ﬁx, é aplicada a estratégia de factibilização por mais 1 hora, totalizando 4 horas de processa-

mento. Isto permite que as soluções sejam comparáveis, todas com o mesmo limite de tempo

de execução.

Nesta primeira etapa de testes, temos como referências de qualidade da solução das

estratégias relax and ﬁx a solução fornecida pela empresa, 422.717, (Tabela 6.1), e as soluções

fornecidas pelo CPLEX, Dcpx, DHcpx com TESTE 1, TESTE 2 e TESTE 3 (Tabelas 6.6, 6.7,

6.8).

As Tabelas 6.10, 6.11 e 6.12 apresentam os resultados obtidos para os modelos DEMM,

DEMMaq e MEMM, respectivamente. Todas as heurísticas relax and ﬁx deﬁnidas na Seção 5.1

do Capítulo 5 foram testadas. A primeira coluna das tabelas indica a estratégia testada, a se-

gunda, terceira e quarta colunas indicam a solução obtida com as estratégias relax and ﬁx com

TESTE 1, TESTE 2 e TESTE 3, respectivamente. Abaixo de cada valor é dado o gap de otima-

lidade da solução. Os valores em negrito indicam as melhores soluções em relação à solução da

Fábrica A, que é de 422.717.

144

Modelo DEMM

Tabela 6.10: Soluções Modelo DEMM para exemplar da Fábrica A.

Estrat. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

G1.1 664.055,3 717.486,3 1.103.493,7

98,4 98,5 99,1

G1.2 569.879,3 763.677,8 929.253,3

98,2 98,6 98,9

G1.3 987.213,0 763.677,8 1.220.845,0

98,9 98,6 99,1

G1.4 533.200,2 837.748,9 1.179.006,0

98,0 98,8 99,1

G1.5 461.791,3 620.519,3 796.006,2

97,7 98,3 98,7

G2.1 552.116,8 577.092,8 413.415,4

98,1 98,2 97,5

G2.2 655.146,8 603.662,2 1.041.648,5

98,4 98,3 99,0

G2.3 550.669,9 770.537,6 871.932,2

98,1 98,6 98,8

G2.4 699.054,1 938.392,2 526.158,9

98,5 98,9 98,0

G2.5 889.927,2 813.551,3 741.593,0

98,8 98,7 98,6

G2.6 452.766,8 500.231,8 557.450,1

97,7 97,9 98,1

G2.7 384.080,8 467.256,8 807.941,7

97,3 97,8 98,7

G3.1 1.047.818,8 670.472,2 1.102.916,3

99,0 98,4 99,1

G3.2 785.803,2 727.227,7 956.163,7

98,7 98,6 98,9

G3.3 556.107,4 * 958.823,0

98,1 98,9

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

Na Tabela 6.10, nota-se que o TESTE 1 fornece a melhor solução para 8 das 15

estratégias, enquanto o TESTE 2 obtém 4 das melhores soluções e o TESTE 3 obtém 3 delas.

Além disto, a melhor solução do TESTE 1, dada pela estratégia G2.7, é 9,1% melhor que a

melhor solução do TESTE 3, dada pela estratégia G2.1 (ambas em negrito), que por sua vez é

2,2% melhor que a solução da fábrica.

145

Modelo DEMMaq

Tabela 6.11: Soluções Modelo DEMMaq para exemplar da Fábrica A.

Estrat. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

G1.1 760.162,5 525.909,7 604.009,3

98,6 98,0 98,3

G1.2 555.417,2 464.739,3 796.662,2

98,1 97,8 98,7

G1.3 481.895,8 606.701,3 700.240,1

97,8 98,3 98,5

G1.4 390.836,6 1.078.998,1 674.983,3

97,3 99,0 98,5

G1.5 494.651,1 495.304,5 482.339,2

97,9 97,9 97,8

G2.2 465.052,7 646.170,8 617.504,1

97,8 98,4 98,3

G2.3 872.825,5 518.168,6 722.619,1

98,8 98,0 98,6

G2.4 349.730,8 486.523,2 527.710,9

97,0 97,9 98,0

G2.5 762.655,0 556.492,8 747.010,5

98,6 98,1 98,6

G2.6 507.065,0 472.735,3 558.607,3

97,9 97,8 98,1

G2.7 434.536,5 417.940,0 324.496,2

97,6 97,5 96,8

G3.1 828.487,8 785.653,5 823.295,6

98,7 98,7 98,7

G3.2 1.360.297,8 520.563,5 379.628,6

99,2 98,0 97,3

G3.3 739.023,2 574.543,7 725.315,5

98,6 98,2 98,6

O TESTE 2 obtém a melhor solução para 7 das 14 estratégias. O TESTE 1 e o TESTE

2 obtém, respectivamente 4 e 3 das melhores soluções. Na Tabela 6.11 observa-se que, no total,

foram obtidas 5 soluções melhores que a solução da fábrica, utilizando o modelo DEMMaq.

Três destas soluções são melhores que a melhor solução obtida com o modelo DEMM, (igual a

384.080,8, Tabela 6.10). E duas delas são melhores que as soluções obtidas com as estratégias

Dcpx e DHcpx com TESTES 1, 2 e 3, Tabela 6.7.

146

Modelo MEMM

Tabela 6.12: Soluções Modelo MEMM para exemplar da Fábrica A.

Estrat. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

G1.1 339.793,2 505.364,5 432.358,1

96,93 97,94 97,59

G1.2 595.871,0 403.162,2 425.287,8

98,25 97,41 97,55

G1.3 346.670,9 588.664,2 572.684,4

96,99 98,23 98,18

G1.4 438.639,6 521.321,2 521.853,3

97,62 98,00 98,00

G1.5 380.754,0 323.086,3 438.915,9

97,26 96,77 97,62

G2.1 327.795,5 306.833,9 379.641,6

96,82 96,60 97,25

G2.8 334.264,0 311.553,3 324.859,4

96,88 96,65 96,79

G3.1 511.376,9 542.353,0 655.713,7

97,96 98,08 98,41

G3.2 654.758,5 487.074,6 835.120,4

98,41 97,86 98,75

G3.3 665.933,3 589.575,0 674.683,4

98,43 98,23 98,45

Na Tabela 6.12, o TESTE 2, foi melhor em 6 das 10 estratégias testadas, mas fornece

a pior solução para 4 estratégias. O conjunto de soluções do TESTE 1, foi o melhor nas outras 4

estratégias. O conjunto de soluções do TESTE 3 não obtém a melhor solução para nenhuma das

estratégias e tem a pior solução em 7 delas. Das soluções deste teste, 12 soluções são melhores

que a melhor solução da Tabela 6.8 (429.542,4).

Nos testes com o modelo MEMM obtém-se 11 soluções melhores que a solução da

fábrica. Apenas uma delas é pior que a melhor solução fornecida pelo modelo DEMM, e três

destas 11 soluções são melhores que a melhor solução do modelo DEMMaq (324.496,2, Tabela

6.11).

No total, os modelos propostos resolvidos com as estratégias relax and ﬁx, e as estra-

tégias Dcpx e DHcpx com TESTE 1, TESTE 2 e TESTE 3, forneceram 21 soluções melhores

que a solução da empresa. A Tabela 6.13 resume as 21 melhores soluções encontradas, or-

ganizadas por modelo resolvido, DEMM, DEMMaq e MEMM. A primeira coluna da tabela

(Estratégia) indica qual estratégia foi utilizada para cada modelo, por exemplo, G2.1/TESTE 3

147

no quadro DEMM, indica que a estratégia no modelo DEMM é a relax and ﬁx G2.1 no TESTE

3. Na segunda coluna, é apresentado o valor da solução (Z), e na terceira coluna, o percentual

de melhoria da solução em relação a solução da fábrica (422.717, Tabela 6.1).

Tabela 6.13: Melhores soluções dos modelos em relação à solução da Fábrica.

Estratégia Z Percentual

DEMM

G2.7/TESTE 1 384.080,8 9,1

G2.1/TESTE 3 413.415,4 2,2

DEMMaq

Dcpx/TESTE 1 417.172,7 1,3

G1.4/TESTE 1 390.836,6 7,5

G2.4/TESTE 1 349.730,8 17,3

DHcpx/TESTE 2 369.615,4 12,6

G2.7/TESTE 2 417.940,0 1,1

DHcpx/TESTE 3 390.353,6 7,7

G2.7/TESTE 3 324.496,2 23,2

G3.2/TESTE 3 379.628,6 10,2

MEMM

G1.1/TESTE 1 339.793,2 19,6

G1.3/TESTE 1 346.670,9 18,0

G1.5/TESTE 1 380.754,0 9,9

G2.1/TESTE 1 327.795,5 22,5

G2.8/TESTE 1 334.264,0 20,9

G1.2/TESTE 2 403.162,2 4,6

G1.5/TESTE 2 323.086,3 23,6

G2.1/TESTE 2 306.833,9 27,4

G2.8/TESTE 2 311.553,3 26,3

G2.1/TESTE 3 379.641,6 10,2

G2.8/TESTE 3 324.859,4 23,1

Considerando a escala de produção da Fábrica A, que é uma fábrica de grande porte,

estes percentuais de melhoria podem ser signiﬁcativos. Conclui-se então que os modelos são

capazes de representar o problema e gerar boas soluções. Note na Tabela 6.13 que a melhor

solução foi obtida com a estratégia relax and ﬁx G2.1 com TESTE 2, na solução do modelo

MEMM, que é 27,4% melhor que a solução da empresa. Apesar de haver um custo de atraso de

26.123,2, os custos de estoque, 13.695,68, e os custos de troca, 267.015, foram reduzidos em

relação aos custos da Tabela 6.1. As Figuras 6.3 e 6.4 apresentam a programação das linhas 1 e

2, respectivamente, da melhor solução obtida (estratégia G2.1/TESTE 2, vide Tabela 6.13).

148

Figura 6.3: Programação da produção da linha 1 estratégia G2.1/TESTE2 .

149

o valor da melhor solução inteira obtida, e a última coluna apresenta o percentual de melhoria

das soluções em relação a solução da fábrica.

Tabela 6.14: Soluções das melhores estratégias sem atraso - exemplar Fábrica A.

custo de estoque custo de troca (Z) Percentual

DEMM

G2.7/TESTE 1 14.653,89 515.212,00 529.865,89 -25,3

G2.1/TESTE 3 12.896,34 499.069,00 511.965,34 -21,1

DEMMaq

Dcpx/TESTE 1 *

G1.4/TESTE 1 25.835,11 466.032,00 491.867,11 -16,4

G2.4/TESTE 1 23.362,48 456.632,00 479.994,48 -13,5

DHcpx/TESTE 2 *

G2.7/TESTE 2 26.342,95 443.765,00 470.107,95 -11,2

DHcpx/TESTE 3 25.959,19 504.063,00 530.022,19 -25,4

G2.7/TESTE 3 26.288,30 502.624,00 528.912,30 -25,1

G3.2/TESTE 3 *

MEMM

G1.1/TESTE 1 11.322,27 442.579,00 453.901,27 -7,4

G1.3/TESTE 1 10.758,94 619.559,00 630.317,94 -49,1

G1.5/TESTE 1 13.198,65 470.561,00 483.759,65 -14,4

G2.1/TESTE 1 13.653,21 297.816,00 311.469,21 26,3

G2.8/TESTE 1 12.486,56 354.915,00 367.401,56 13,1

G1.2/TESTE 2 12.869,57 405.723,00 418.592,57 1,0

G1.5/TESTE 2 13.003,20 469.112,00 482.115,20 -14,1

G2.1/TESTE 2 12.318,43 330.238,00 342.556,43 19,0

G2.8/TESTE 2 14.159,54 330.789,00 344.948,54 18,4

G2.1/TESTE 3 14.707,04 348.514,00 363.221,04 14,1

G2.8/TESTE 3 14.896,08 331.821,00 346.717,08 18,0

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

A Tabela 6.14 mostra que 7 estratégias produzem soluções sem atraso melhores que

a solução da empresa. A melhor delas é obtida pela estratégia relax and ﬁx G2.1 com TESTE

1 do modelo MEMM, uma melhoria de 26,3%, seguida da estratégia G2.1 com TESTE 2 do

modelo MEMM, com melhoria de 19%. Note que tanto os custos de estoque quanto os custos

de troca são bem menores do que os da solução da empresa (Tabela 6.1).

Estes resultados mostram que os modelos podem ser úteis para apoiar as decisões

de programação da produção da fábrica, fornecendo boas soluções do ponto de vista do custo

total e que não envolvem atrasos nos prazos de entrega dos produtos. As Figuras 6.5 e 6.6

apresentam a programação das máquinas 1 e 2, respectivamente, da melhor solução obtida

(estratégia G2.1/TESTE 2, vide Tabela 6.14).

150

Figura 6.5: Programação da produção da linha 1 estratégia G2.1/TESTE2 sem atraso.

Figura 6.6: Programação da produção da linha 2 estratégia G2.1/TESTE2 sem atraso.

6.2 Soluções das estratégias relax and ﬁx em diferentes cenários baseados

no exemplar da Fábrica A

Aﬁm de comparar melhor o desempenho das estratégias propostas, foram gerados

outros exemplares dos modelos, baseados no exemplar da Fábrica A (Ex. 1). No primeiro, os

custos de estoque foram dobrados (Ex. 2). No segundo, os custos de atraso foram dobrados

(Ex. 3). No terceiro, a demanda total de cada item foi re-distribuída aleatoriamente nos três

períodos (Ex. 4). No quarto, a capacidade das máquinas foi reduzida (Ex. 5). Neste último,

para determinar a redução da capacidade das máquinas, foi considerada a capacidade necessária

para produção de uma das melhores soluções soluções encontradas, escolhida arbitrariamente,

151

estratégia G2.1 com TESTE 1 no modelo MEMM. A capacidade média utilizada nos três pe-

ríodos nesta solução na máquina 1 é 3.416, e na máquina 2 é 5.895. Esta passou a ser então a

capacidade do exemplar Ex.5.

Assim como na Seção 6.1, as estratégias Dcpx e DHcpx foram testadas na solução dos

modelos. Os resultados obtidos não superaram as soluções das heurísticas relax and ﬁx e foram

omitidos. Neste experimento, as soluções das heurísticas relax and ﬁx foram limitadas em 3

horas de processamento (Etapa I), mais 1 hora de processamento para a solução dos modelos

com CPLEX utilizando a solução da Etapa I como solução inicial (Etapa II), totalizando 4 horas

de processamento. As tabelas com as soluções da Etapa II se encontram nos Anexos E, F e G.

As seções a seguir apresentam as soluções obtidas com os TESTE 1, 2 e 3, com os modelos

DEMM, DEMMaq e MEMM para os cinco exemplares.

6.2.1 Modelo Dois Estágios Multi Máquinas - DEMM

TESTE 1 - Etapa I

A Tabela 6.15 apresenta os resultados obtidos com as estratégias relax and ﬁx para os

cinco exemplares utilizando o modelo DEMM e o default CPLEX, TESTE 1. A primeira coluna

da tabela indica o nome da estratégia testada, as próximas colunas indicam o valor da melhor

solução inteira dos exemplares, o gap é apresentado abaixo do valor da melhor solução inteira,

e a última coluna apresenta a média da solução dos exemplares para cada estratégia. A última

linha da tabela apresenta a média das soluções dos exemplares. As médias são em relação as

soluções encontradas; os casos em que as soluções não foram obtidas, por infactibilidade ou

limite de tempo, não são considerados nestas médias. Os valores em negrito indicam a melhor

solução obtida para cada exemplar.

152

Tabela 6.15: Soluções do Modelo DEMM - TESTE 1 - Etapa I

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 664.055,30 679.655,50 1.258.028,50 687.628,60 1.812.335,00 1.020.340,58

98,43 96,93 99,17 97,96 99,40 98,38

G1.2 569.879,30 2.711.456,60 1.578.769,50 697.389,80 1.779.901,90 1.467.479,42

98,17 99,23 99,34 97,99 99,39 98,82

G1.3 987.213,00 1.528.570,30 967.124,70 1.458.529,70 1.858.273,90 1.359.942,32

98,94 98,64 98,92 99,04 99,42 98,99

G1.4 533.200,20 755.150,40 1.438.215,30 1.012.236,70 2.307.947,20 1.209.349,96

98,04 97,24 99,28 98,62 99,53 98,54

G1.5 461.791,30 513.222,20 726.673,30 837.772,70 1.414.580,00 790.807,90

97,74 95,94 98,57 98,33 99,24 97,96

G2.1 552.116,80 495.160,00 594.117,00 563.097,90 930.203,50 626.939,04

98,11 95,79 98,24 97,51 98,84 97,70

G2.2 857.604,90 1.460.220,70 1.634.109,80 1.375.101,40 1.702.926,90 1.405.992,74

98,78 98,57 99,36 98,98 99,36 99,01

G2.3 1.148.068,80 1.161.159,00 1.394.899,90 + + 1.234.709,23

99,09 98,20 99,25 98,85

G2.4 699.054,10 517.526,00 932.867,90 835.849,50 1.164.549,70 829.969,44

98,51 95,97 98,88 98,32 99,07 98,15

G2.5 889.927,20 771.435,50 898.248,80 1.122.245,30 + 920.464,20

98,83 97,30 98,84 98,75 98,43

G2.6 452.766,80 572.606,60 646.323,60 421.290,90 1.285.540,80 675.705,74

97,70 96,36 98,39 96,68 99,16 97,66

G2.7 384.080,80 490.303,00 445.062,50 402.984,20 603.705,80 465.227,26

97,29 95,75 97,66 96,52 98,21 97,08

G3.1 1.047.818,90 1.824.994,20 1.060.900,80 1.084.532,70 1.055.002,60 1.214.649,84

99,00 98,86 99,02 98,71 98,97 98,91

G3.2 1.282.735,90 * * * 1.584.699,30 1.433.717,60

99,19 99,32 99,25

G3.3 847.653,80 * * 923.544,80 * 885.599,30

98,77 98,48 98,63

média 758.531,14 1.037.035,38 1.044.257,05 878.631,09 1.458.305,55

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo de 3 horas.

+ Solução infactível.

Observando a Tabela 6.15, veriﬁcou-se que a estratégia G2.7 foi a melhor nos 5 exem-

plares, seguida da estratégia G2.1. A estratégia G2.7 se destacou na qualidade da solução do

exemplar 5. Enquanto a maioria das estratégias resultou em soluções maiores que 1.000.000,

ela obteve uma solução com valor 603.705,8. Além disto, no exemplar analisado na seção ante-

rior, (Ex. 1), a estratégia G2.7 é a estratégia que produz a melhor solução em relação a solução

da empresa.

A estratégia G2.3 não consegue soluções factíves para os exemplares 4 e 5. Quando

as variáveis y

de set up do tanque são ﬁxadas, o programa da produção do tanque não é factível

153

para a linha. No caso das estratégias G3.2 e G3.3, o tempo limite de 3 horas não foi suﬁciente

para encontrar uma solução inteira.

Na segunda etapa, quando a solução obtida na Etapa I foi usada como solução inicial

do Branch and Cut, observa-se pela Tabela E.1, (ver Anexo E), que há pouca melhoria na

solução, sendo que nenhuma solução ótima é encontrada. A estratégia G2.7 continua sendo a

melhor estratégia das 17 estratégias testadas no modelo DEMM.

154

TESTE 2 - Etapa I

Neste segundo conjunto de experimentos, os planos de corte do CPLEX foram desli-

gados, TESTE 2. A Tabela 6.16 apresenta o valor da função objetivo Z, o gap de otimalidade,

logo abaixo do valor da solução, e as médias para cada estratégia na última coluna da tabela, e

as médias das soluções dos 5 exemplares na última linha da Tabela 6.16.

Tabela 6.16: Soluções do Modelo DEMM - TESTE 2 - Etapa I

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 717.486,30 996.050,30 807.200,10 921.856,10 2.315.672,30 1.151.653,02

98,55 97,91 98,71 98,48 99,53 98,64

G1.2 3.216.649,70 943.173,80 1.189.624,60 861.825,80 961.674,30 1.434.589,64

99,68 97,79 99,12 98,38 98,88 98,77

G1.3 3.216.649,70 1.071.105,00 1.736.396,04 863.140,60 1.765.729,80 1.730.604,23

99,68 98,05 99,40 98,38 99,39 98,98

G1.4 1.220.340,60 1.963.574,80 589.727,50 603.983,30 2.993.432,20 1.474.211,68

99,15 98,94 98,23 97,68 99,64 98,73

G1.5 620.519,30 862.997,00 601.815,10 588.628,50 3.759.988,00 1.286.789,58

98,32 97,58 98,27 97,62 99,71 98,30

G2.1 577.092,80 472.918,00 467.172,50 470.559,80 1.170.481,70 631.644,96

98,19 95,59 97,77 97,02 99,08 97,53

G2.2 1.641.518,00 1.326.027,80 1.860.529,00 1.379.950,90 3.457.165,50 1.933.038,24

99,36 98,43 99,44 98,99 99,69 99,18

G2.3 1.095.499,00 1.049.425,50 1.257.820,00 1.596.158,00 + 1.249.725,63

99,05 98,01 99,17 99,12 98,84

G2.4 968.181,40 650.710,60 1.039.335,80 902.962,10 1.426.303,80 997.498,74

98,92 96,80 99,00 98,45 99,24 98,48

G2.5 869.037,10 901.999,80 1.217.347,70 855.525,00 + 960.977,40

98,80 97,69 99,14 98,36 98,50

G2.6 500.231,80 542.854,40 799.535,00 772.205,20 865.892,80 696.143,84

97,92 96,16 98,70 98,19 98,75 97,94

G2.7 467.256,80 550.723,80 557.365,30 614.691,00 738.697,80 585.746,94

97,77 96,21 98,13 97,72 98,54 97,67

G3.1 883.545,00 896.934,90 1.510.865,70 1.123.206,90 952.892,00 1.073.488,90

98,82 97,67 99,31 98,75 98,86 98,68

G3.2 3.427.748,50 3.438.175,60 6.795.943,50 * 4.061.551,70 4.430.854,83

99,70 99,39 99,85 99,73 99,67

G3.3 * * * * *

média 1.387.268,29 1.119.047,95 1.459.334,13 888.822,55 1.882.267,84

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

+ Solução infactível.

Note que para este conjunto de testes, a melhor estratégia foi a estratégia G2.1, que

obteve a melhor solução em 3 exemplares e foi a terceira melhor para o exemplar 1. Quando os

planos de corte são desligados, a estratégia G2.7 piora seu desempenho em relação ao obtido

na Tabela 6.15. A solução sem os planos de corte foi em média melhor para as estratégias

G1.2 e G3.1. Comparando a melhor solução dos 5 exemplares nas Tabelas 6.15 e 6.16, em 3

155

dos 5 exemplares a solução com planos de corte, TESTE 1, é melhor que sem planos de corte,

TESTE 2. Nestes experimentos não há, portanto, uma superioridade evidente do TESTE 1 sobre

o TESTE 2.

Por outro lado, quando os planos de corte são removidos, a estratégia G3.3 é muito

prejudicada, não encontrando soluções factíveis com a heurística relax and ﬁx, (Veja Tabela

6.16). Em estratégias que obtém soluções custosas, como a estratégia G3.1, as soluções foram

melhoradas na Etapa II, vide Tabela E.2, (veja Anexo E).

156

TESTE 3 - Etapa I

No terceiro teste realizado, o pré-processamento foi desligado e os outros parâmetros

mantidos no seu valor default, TESTE 3. A Tabela 6.17 apresenta os resultados obtidos.

Tabela 6.17: Soluções Modelo DEMM - TESTE 3 - Etapa I

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 1.324.390,50 1.079.139,30 805.064,40 741.652,60 1.187.890,50 1.027.627,46

99,21 98,07 98,70 98,11 99,09 98,64

G1.2 929.253,30 729.859,60 1.193.574,80 1.159.193,50 1.547.749,50 1.111.926,14

98,88 97,14 99,13 98,79 99,30 98,65

G1.3 1.269.569,50 928.983,20 936.033,80 818.343,50 1.713.360,90 1.133.258,18

99,18 97,76 98,89 98,29 99,37 98,70

G1.4 1.179.006,00 1.431.579,40 1.352.480,10 807.702,40 2.000.378,80 1.354.229,34

99,12 98,54 99,23 98,27 99,46 98,92

G1.5 912.879,60 1.120.130,50 1.335.960,90 1.204.707,00 2.000.378,80 1.314.811,36

98,86 98,14 99,22 98,84 99,46 98,90

G2.1 442.073,90 599.298,60 486.543,50 526.141,60 809.590,90 572.729,70

97,64 96,52 97,86 97,34 98,66 97,60

G2.2 1.041.648,50 745.767,20 1.108.850,70 761.767,60 1.914.991,90 1.114.605,18

99,00 97,20 99,06 98,16 99,44 98,57

G2.3 871.932,20 933.138,40 + 1.374.592,40 + 1.059.887,67

98,80 97,77 98,98 98,52

G2.4 526.384,60 575.739,20 971.867,20 712.687,50 1.082.563,50 773.848,40

98,02 96,38 98,93 98,03 99,00 98,07

G2.5 929.764,90 1.025.355,50 1.033.592,90 868.167,80 + 964.220,28

98,88 97,97 98,99 98,39 98,56

G2.6 604.137,20 608.570,70 697.353,70 500.579,40 762.776,60 634.683,52

98,27 96,57 98,50 97,20 98,58 97,83

G2.7 814.144,60 556.103,60 747.457,50 717.559,40 1.088.656,00 784.784,22

98,72 96,25 98,61 98,05 99,01 98,13

G3.1 1.145.817,50 1.156.606,40 1.957.483,70 869.799,30 1.060.410,00 1.238.023,38

99,09 98,20 99,47 98,39 98,98 98,82

G3.2 * * 1.574.832,60 * * 1.574.832,60

99,34 19,87

G3.3 958.823,00 * * * * 958.823,00

98,91 98,91

média 924.987,52 883.867,05 1.092.391,98 850.991,85 1.378.977,04

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

+ Solução infactível.

As estratégias G2.1 e G2.6 são as melhores para 2 dos 5 exemplares. Quando o pré-

processamento é desativado, as estratégias G3.3 e G3.2 têm diﬁculdades em encontrar uma

solução factível no limite de tempo. Na etapa II, das 74 soluções apresentadas na Tabela 6.17,

34 delas são melhoradas, como é possível veriﬁcar na Tabela E.1, (veja Anexo E).

A Tabela 6.18 apresenta a melhor solução obtida para cada um dos 5 exemplares,

em cada um dos três experimentos utilizando o modelo DEMM. A primeira coluna indica o

exemplar, a segunda, a melhor solução no TESTE 1 e abaixo estratégia que a obteve, a terceira

157

a melhor solução do TESTE 2, e a quarta a melhor solução no TESTE 3. As próximas 4 colunas

apresentam as mesmas informações mas relativas a Etapa II das melhores estratégias.

Tabela 6.18: Resumo das melhores soluções dos testes para o modelo DEMM Etapas I e II

Etapa I

Ex. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

384.080,8 467.256,8 442.073,9

1 G2.7 G2.7 G2.1

490.303,0 472.918,0 556.103,6

2 G2.7 G2.1 G2.7

445.062,5 467.172,5 486.543,5

3 G2.7 G2.1 G2.1

402.984,2,0 470.559,8 500.579,4

4 G2.6 G2.1 G2.6

603.705,8 738.697,8 762.776,6

5 G2.7 G2.7 G2.6

média 479.511,4 523.321,0 553.542,5

Etapa II

Ex. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

384.080,8 467.256,8 413.415,4

1 G2.7 G2.7 G2.1

490.303,0 472.918,0 556.103,6

2 G2.7 G2.1 G2.7

445.062,5 467.172,5 415.604,9

3 G2.7 G2.1 G2.1

402.984,2 470.559,8 496.267,4

4 G2.6 G2.1 G2.6

603.705,8 738.697,8 762.776,6

5 G2.7 G2.7 G2.6

média 465.227,3 523.321,0 528.833,6

Pelo resumo apresentado na Tabela 6.18,8 -269.916percebe-se9(T)79que9(T)79a8(apreestratdia)gi49(T)79

158

6.2.2 Modelo Estratégia de Desagregação - DEMMaq

A Tabela 6.20 apresenta os resultados obtidos com as estratégias relax and ﬁx para os

cinco exemplares utilizando o modelo DEMMaq. Assim como as tabelas anteriores, a primeira

coluna da tabela indica o nome da estratégia testada, e as próximas colunas indicam o valor da

melhor solução inteira. Na Estratégia de Desagregação são resolvidos M modelos DEMMaq,

no caso M = 2, a melhor solução inteira considerada na tabela é a soma do valor da melhor

solução do modelo DEMMaq para a máquina 1, mais o valor da melhor solução do modelo

DEMMaq para a máquina 2.

TESTE 1 - Etapa I

Tabela 6.20: Soluções do Modelo DEMMaq - TESTE 1 - Etapa I

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 760.162,60 525.491,40 406.363,60 427.530,80 433.657,00 510.641,08

98,63 96,03 97,43 96,72 97,51 97,26

G1.2 555.417,20 493.887,30 601.688,20 559.197,30 903.590,40 622.756,08

98,12 95,78 98,27 97,50 98,80 97,69

G1.3 817.740,00 667.318,70 613.922,00 559.197,40 873.997,10 706.435,04

98,72 96,87 98,30 97,50 98,76 98,03

G1.4 390.836,60 410.749,40 497.013,50 310.343,70 520.361,00 425.860,84

97,33 94,92 97,90 95,49 97,92 96,71

G1.5 494.651,10 450.880,60 471.566,70 340.700,80 635.208,00 478.601,44

97,89 95,37 97,79 95,89 98,30 97,05

G2.2 465.052,70 604.517,60 582.965,50 443.616,10 703.382,30 559.906,84

97,76 96,55 98,21 96,84 98,46 97,56

G2.3 984.944,70 805.141,30 868.790,00 622.533,10 696.478,50 795.577,52

98,94 97,41 98,80 97,75 98,45 98,27

G2.4 349.730,80 491.977,60 418.155,80 373.466,30 355.556,20 397.777,34

97,02 95,76 97,51 96,25 96,96 96,70

G2.5 842.092,30 684.790,00 869.535,20 687.117,10 1.317.326,30 880.172,18

98,76 96,95 98,80 97,96 99,18 98,33

G2.6 507.065,10 559.189,90 508.958,40 519.956,70 537.147,60 526.463,54

97,94 96,27 97,95 97,31 97,99 97,49

G2.7 434.536,50 403.200,30 492.155,10 347.782,00 502.300,09 435.994,80

97,60 94,83 97,88 95,97 97,85 96,83

G3.1 901.131,60 918.321,30 1.602.814,80 979.908,00 1.074.498,40 1.095.334,82

98,84 97,73 99,35 98,57 98,99 98,70

G3.2 1.483.709,20 1.510.240,40 427.680,60 2.116.075,70 371.938,00 1.181.928,78

99,30 98,62 97,56 99,34 97,09 98,38

G3.3 739.023,20 705.841,30 1.108.587,70 820.888,40 1.040.525,70 882.973,26

98,59 97,05 99,06 98,29 98,96 98,39

média 694.720,97 659.396,22 676.442,65 650.593,81 711.854,76

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo de 3 horas.

+ Solução infactível.

Para a estratégia de desagregação, o desempenho das heurísticas relax and ﬁx foi

159

bem variado. As soluções em geral são melhores que as soluções apresentadas na solução do

modelo DEMM. No entanto, não houve uma estratégia que tenha se destacado em relação as

outras na solução dos exemplares do modelo DEMMaq. A estratégia G2.4 foi a melhor para os

exemplares 1 e 5. A estratégia G1.4 foi a melhor para o exemplar 4 e a segunda melhor para os

exemplares 1 e 2.

TESTE 2 - Etapa I

Tabela 6.21: Soluções do Modelo DEMMaq - TESTE 2 - Etapa I

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 525.909,70 475.201,80 424.577,00 528.695,70 540.116,00 498.900,04

98,02 95,61 97,54 97,35 98,00 97,30

G1.2 464.739,30 534.289,90 476.103,10 562.573,40 629.289,40 533.399,02

97,76 96,10 97,81 97,51 98,28 97,49

G1.3 663.652,40 971.364,00 963.453,60 616.794,90 461.173,60 735.287,70

98,43 97,85 98,92 97,73 97,65 98,12

G1.4 1.184.800,30 684.342,45 920.050,00 419.787,30 655.247,90 772.845,59

99,12 96,95 98,87 96,66 98,35 97,99

G1.5 495.304,50 * 380.315,40 809.782,00 662.700,90 587.025,70

97,89 97,26 98,27 98,37 97,95

G2.2 717.345,30 650.618,30 622.090,10 806.664,70 707.624,60 700.868,60

98,55 96,79 98,32 98,26 98,47 98,08

G2.3 854.214,60 866.995,80 869.918,40 737.837,60 1.197.429,60 905.279,20

98,78 97,59 98,80 98,10 99,10 98,47

G2.4 486.523,20 589.872,80 530.398,50 481.003,60 586.103,20 534.780,26

97,86 96,46 98,03 97,09 98,15 97,52

G2.5 838.018,10 832.431,70 836.573,70 707.712,50 * 803.684,00

98,76 97,49 98,75 98,02 98,26

G2.6 472.735,30 628.262,60 601.676,80 504.375,90 539.720,90 549.354,30

97,79 96,68 98,27 97,22 98,00 97,59

G2.7 417.940,00 428.806,60 413.210,50 541.871,80 499.957,80 460.357,34

97,51 95,14 97,48 97,42 97,84 97,07

G3.1 886.814,71 1.019.043,50 1.740.928,00 1.087.229,70 974.235,00 1.141.650,18

98,82 97,95 99,40 98,71 98,89 98,76

G3.2 690.470,75 548.986,73 1.166.390,63 814.828,40 516.122,03 747.359,71

98,49 96,20 99,11 98,28 97,90 98,00

G3.3 732.650,48 791.581,70 1.219.429,64 829.152,65 944.644,28 903.491,75

98,58 97,37 99,14 98,31 98,86 98,45

média 673.651,33 693.984,45 797.508,24 674.879,30 685.720,40

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo de 3 horas.

160

modelo DEMM, observamos que em geral as soluções do modelo DEMMaq são melhores. E a

melhor solução de cada exemplar do modelo DEMMaq com TESTE 2 é melhor que a melhor

solução de cada exemplar do modelo DEMM com TESTE 2. Na Etapa II, a estratégia G3.1,

que possui soluções em geral altas, obteve melhoria em todos os cinco exemplares.

161

TESTE 3 - Etapa I

O terceiro experimento com o modelo DEMMaq é similar ao realizado com o modelo

DEMM. O pré-processamento do AMPL e do CPLEX foram desativados e as 16 estratégias

utilizadas na solução do modelo DEMMaq foram testadas. As soluções são apresentadas na

Tabela 6.22.

Tabela 6.22: Soluções do Modelo DEMMaq - TESTE 3 - Etapa I

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 614.768,90 536.371,50 657.726,20 672.186,30 554.056,00 607.021,78

98,30 96,11 98,41 97,92 98,05 97,76

G1.2 815.458,40 650.573,30 546.317,30 614.710,30 645.219,00 654.455,66

98,72 96,79 98,09 97,72 98,32 97,93

G1.3 1.011.012,00 947.937,00 1.554.587,20 765.322,40 959.470,20 1.047.665,76

98,97 97,80 99,33 98,17 98,87 98,63

G1.4 759.191,70 530.424,50 679.803,80 811.417,10 736.537,30 703.474,88

98,63 96,07 98,47 98,27 98,53 97,99

G1.5 500.203,50 638.066,00 478.555,50 444.503,00 624.723,20 537.210,24

97,92 96,73 97,82 96,85 98,27 97,52

G2.2 629.243,50 737.337,80 1.015.645,80 777.653,80 719.490,40 775.874,26

98,34 97,17 98,97 98,20 98,50 98,24

G2.3 842.337,60 886.790,90 850.541,50 692.193,40 + 817.965,85

98,76 97,65 98,77 97,98 98,29

G2.4 527.710,80 615.548,30 624.169,80 638.015,50 448.802,20 570.849,32

98,02 96,61 98,33 97,81 97,59 97,67

G2.5 825.076,30 775.231,60 770.083,00 642.639,00 1.124.573,70 827.520,72

98,74 97,31 98,65 97,82 99,04 98,31

G2.6 593.148,50 620.581,60 624.169,80 553.974,10 485.020,20 575.378,84

98,24 96,64 98,33 97,47 97,77 97,69

G2.7 324.496,20 434.939,30 547.019,10 442.049,40 498.172,00 449.335,20

96,79 95,21 98,09 96,83 97,83 96,95

G3.1 853.656,70 879.699,00 143.709.106,00 1.043.990,90 961.325,80 29.489.555,68

98,78 97,63 99,99 98,66 98,87 98,79

G3.2 379.628,70 448.262,40 426.741,00 450.868,10 922.884,70 525.676,98

97,25 95,35 97,56 96,89 98,83 97,18

G3.3 801.739,70 821.078,20 1.017.868,70 957.782,70 * 899.617,33

98,70 97,46 98,98 98,54 98,42

média 676.976,61 680.202,96 10.964.452,48 679.093,29 620.019,62

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo de 3 horas.

+ Solução infactível.

A melhor estratégia foi a estratégia G2.7. É interessante observar que a estratégia

G3.2, que nos experimentos anteriores apresentou soluções ruins, passou a ser uma das três

melhores estratégias de solução. Na Etapa II, comparando a solução da Tabela F.1 com a solução

da Tabela F.2 para cada exemplar, observamos que a maioria das estratégias fornece soluções

162

melhores, se forem permitidos os planos de corte. Apenas o exemplar 1 apresenta soluções

melhores sem planos de corte para 10 das 16 estratégias testadas.

A Tabela 6.23 apresenta a melhor solução obtida para cada um dos 5 exemplares,

em cada um dos três experimentos utilizando o modelo DEMMaq. A primeira coluna indica o

exemplar, a segunda, a melhor solução no TESTE 1 e abaixo estratégia que a obteve, a terceira

a melhor solução do TESTE 2, e a quarta a melhor solução no TESTE 3. As próximas 4 colunas

apresentam as mesmas informações mas relativas a Etapa II das melhores estratégias.

Tabela 6.23: Resumo das melhores soluções dos três testes para o modelo DEMMaq Fases I e

Etapa I

Ex. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

349.730,8 417.940,0 324.496,2

1 G2.4 G2.7 G2.7

403.200,3 428.806,6 434.939,3

2 G2.7 G2.7 G2.7

406.363,6 380.315,4 426.741,0

3 G1.1 G1.5 G3.2

310.343,7 419.787,6 442.049,4

4 G1.4 G1.4 G2.7

355.556,2 461.173,6 448.802,2

5 G2.4 G1.3 G2.4

média 365.038,9 421.604,6 415.405,6

Etapa II

Ex. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

349.730,8 417.940,0 324.496,2

1 G2.4 G2.7 G2.7

403.200,3 428.806,6 434.939,3

2 G2.7 G2.7 G2.7

406.363,6 380.315,4 397.975,5

3 G1.1 G1.5 G3.2

310.343,7 419.787,6 442.049,4

4 1.4 G1.4 G2.7

355.556,2 344.219,5 448.802,2

5 G2.4 G1.3 G2.4

média 365.038,9 398.213,8 409.652,5

Pelo resumo da Tabela 6.23, percebe-se que o modelo DEMMaq é sensível e o com-

portamento das estratégias varia muito, dependendo do exemplar. A maioria das soluções da

Tabela 6.22 foram melhoradas na segunda etapa.

A Tabela 6.24 apresenta a médias das soluções dos testes. Tendo em vista que o

conjunto de testes 1 obteve soluções em média melhores (Tabela 6.24), e deste conjunto de testes

a estratégia G2.4 fornece a melhor solução para dois dos cinco exemplares, pode-se considerar

que esta é a melhor estratégia para a Estratégia de Desagregação.

163

Tabela 6.24: Resumo das médias dos três testes no modelo DEMMaq

Ex. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

G1.1 510.641,08 498.900,04 607.021,78

G1.2 622.756,08 533.399,02 654.455,66

G1.3 706.435,04 735.287,70 1.047.665,76

G1.4 425.860,84 772.845,59 703.474,88

G1.5 478.601,44 587.025,70 537.210,24

G2.2 559.906,84 700.868,60 775.874,26

G2.3 795.577,52 905.279,20 817.965,85

G2.4 397.777,34 534.780,26 570.849,32

G2.5 880.172,18 803.684,00 827.520,72

G2.6 526.463,54 549.354,30 575.378,84

G2.7 435.994,80 460.357,34 449.335,20

G3.1 1.095.334,82 1.141.650,18 1.035.152,69

G3.2 1.181.928,78 747.359,71 525.676,98

G3.3 882.973,26 903.491,75 899.617,33

média 678.601,68 705.305,96 716.228,54

A diferença entre os valores das médias do, TESTE 1, TESTE 2 e TESTE 3 não são

signiﬁcativas, veja Tabela 6.24. Percebe-se, então, que as estratégias resolvem os exemplares

de maneira satisfatórias, mas é difícil avaliar a inﬂuência dos planos de corte (TESTE 2) e das

estratégias de pré-processamento (TESTE 3) na solução dos modelos.

164

6.2.3 Modelo Mono estágio Multi Máquinas - MEMM

A Tabela apresenta os resultados obtidos com as estratégias relax and ﬁx na Etapa

II, para os cinco exemplares utilizando o modelo MEMM. A primeira coluna da tabela indica

o nome da estratégia testada, as próximas colunas indicam o valor da melhor solução inteira de

cada exemplar. Os valores em negrito indicam as melhores soluções obtidas.

TESTE 1 Etapa II

Tabela 6.25: Soluções Modelo MEMM - TESTE 1 - Etapa II

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 339.793,20 479.247,40 392.972,90 413.382,30 464.735,20 418.026,20

96,93 95,65 97,35 96,61 97,67 96,84

G1.2 595.871,00 380.592,60 345.252,50 436.722,30 439.801,50 439.647,98

98,25 94,52 96,98 96,79 97,54 96,82

G1.3 346.670,90 * 610.943,20 490.602,70 + 482.738,93

96,99 98,29 97,15 97,48

G1.4 438.639,60 448.155,40 557.624,40 388.541,40 486.386,00 463.869,36

97,62 95,35 98,13 96,40 97,78 97,05

G1.5 380.754,00 424.104,40 349.389,70 314.710,90 526.187,30 399.029,26

97,26 95,08 97,02 95,55 97,94 96,57

G2.1 327.795,50 298.971,60 335.484,20 314.104,50 366.486,30 328.568,42

96,82 93,02 96,89 95,54 97,05 95,87

G2.8 334.264,00 327.464,00 332.034,80 329.582,00 502.110,60 365.091,08

96,88 93,63 96,86 95,75 97,85 96,19

G3.1 511.376,90 574.370,50 623.838,00 620.244,20 747.461,00 615.458,12

97,96 96,37 98,33 97,74 98,55 97,79

G3.2 654.758,50 966.614,00 914.133,30 668.707,60 992.933,50 839.429,38

98,41 97,84 98,86 97,91 98,91 98,39

G3.3 665.933,30 618.806,20 636.772,40 622.850,20 896.906,00 688.253,62

98,43 96,63 98,36 97,75 98,79 97,99

média 459.585,69 502.036,23 509.844,54 459.944,81 602.556,38

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo de 4 horas.

+ Solução infactível.

Quando a Etapa II (heurística de factibilização) do modelo MEMM é resolvida, a

estratégia G2.1 obtém as melhores soluções em 4 dos 5 exemplares, conforme a Tabela 6.25.

Estas soluções obtidas são melhores que as soluções obtidas no modelo DEMM no TESTE

1 (veja Tabela E.1 no Anexo E), e melhor também que as soluções obtidas com o modelo

DEMMaq nos exemplares 1, 2 e 3 (veja Tabela F.1 no Anexo F).

165

TESTE 2 Etapa II

Tabela 6.26: Soluções Modelo MEMM - TESTE 2 - Etapa II

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 505.364,5 422.814,6 402.948,9 487.653,7 466.006,2 456.957,6

97,9 95,1 97,4 97,1 97,7 97,0

G1.2 403.162,2 351.742,9 420.676,4 368.995,3 386.637,7 386.242,9

97,4 94,1 97,5 96,2 97,2 96,5

G1.3 588.664,2 523.864,6 599.890,2 501.902,7 + 553.580,4

98,2 96,0 98,3 97,2 97,4

166

167

Tabela 6.28: Resumo das melhores soluções dos três testes para o modelo MEMM Fases I e II

Etapa I

Ex. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

314.376,3 322.691,2 338.259,4

1 G2.1 G2.1 G2.8

302.583,9 276.184,5 388.857,5

2 G2.1 G2.8 G1.1

331.859,3 284.154,2 382.734,4

3 G2.8 G2.1 G2.1

319.250,9 365.792,6 365.405,2

4 G2.1 G2.1 G2.1

396.852,3 354.303,0 307.678,0

5 G2.1 G2.1 G2.1

média 332.984,5 320.625,1 356.586,9

Etapa II

Ex. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

327.795,5 306.833,9 324.859,4

1 G2.1 G2.1 G2.8

298.971,6 276.184,5 351.690,0

2 G2.1 G2.8 G1.1

332.034,8 290.841,3 366.926,3

3 G2.8 G2.1 G2.1

314.401,5 317.598,5 351.833,0

4 G2.1 G2.1 G2.1

366.486,3 379.528,7 348.554,0

5 G2.1 G2.1 G2.1

média 327.937,9 314.197,4 348.772,5

desempenho acontece sem pré-processamento. A Tabela 6.29 apresenta a média dos TESTE 1,

TESTE 2 e TESTE 3.

Tabela 6.29: Resumo das médias dos três testes no modelo MEMM

Ex. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3

G1.1 418.026,20 456.957,6 524.774,84

G1.2 439.647,98 386.242,9 453.717,44

G1.3 482.738,93 553.580,4 567.544,80

G1.4 463.869,36 490.531,9 504.215,54

G1.5 399.029,26 371.892,3 565.824,08

G2.1 328.568,42 323.322,8 366.072,04

G2.8 365.091,08 348.125,8 431.631,06

G3.1 615.458,12 684.016,7 760.512,82

G3.2 839.429,38 753.605,5 856.766,40

G3.3 688.253,62 808.179,5 793.974,76

média 506.374,82 517.645,5 582.503,38

Nota-se na Tabela 6.29 que o TESTE 1 é, em média, um pouco melhor que os outros

dois testes. No entanto, observando a média do TESTE 2 na Tabela 6.28 percebe-se que este

teste fornece soluções melhores. Além disto, comparando as soluções das tabelas G.3, 6.26, e

6.27, as soluções do TESTE 2 são na maioria melhores que as soluções dos outros testes.

168

Considerações gerais

A Tabela 6.30 mostra as melhores soluções obtidas para cada exemplar dos três mo-

delos. A primeira coluna da tabela mostra o exemplar, a segunda as soluções fornecidas com o

modelo DEMM, abaixo da solução está a estratégia que a obteve, e abaixo da estratégia está o

percentual em relação a melhor solução dos três modelos para cada exemplar dado. A terceira

e quarta colunas da tabela apresentam as mesmas informações para os modelos DEMMaq e

MEMM, respectivamente.

Tabela 6.30: Melhores soluções dos três Modelos em cada exemplar

Ex. DEMM DEMMaq MEMM

384.080,8 324.496,2 306.833,9

1 G2.7/TESTE 1 G2.7/TESTE 3 G2.1/TESTE 2

25,18 5,76 0,0

472.918,0 403.200,3 276.184,5

2 G2.1/TESTE 2 G2.7/TESTE 1 G2.8/TESTE 2

71,23 46 0,0

445.062,5 397.975,5 290.841,3

3 G2.7/TESTE 1 G3.2/TESTE 3 G2.1/TESTE 2

53,03 36,84 0,0

402.984,2 310.343,7 314.401,5

4 G2.6/TESTE 1 G1.4/TESTE 1 G2.1/TESTE 1

29,9 0,0 1,31

603.705,8 344.219,5 348.554,0

5 G2.7/TESTE 1 G1.3/TESTE 2 G2.1/TESTE 3

75,34 0,0 1,3

média 461.750,3 356.047,0 307.363,0

Dos três modelos propostos, o modelo MEMM apresenta um melhor desempenho

em relação aos outros dois modelos, veja as médias na última linha da Tabela 6.30. O modelo

DEMMaq também se mostra competitivo, fornecendo as melhores soluções para os exemplares

4 e 5.

Nos testes realizados com os modelos DEMM, DEMMaq e MEMM, é possível ve-

riﬁcar que as heurísticas relax and ﬁx tem um bom desempenho. Para o modelo DEMM a

estratégia G2.7 com TESTE 1, obteve os melhores resultados. No caso do modelo DEMMaq,

houve uma variação no desempenho das estratégias dependendo do teste e do exemplar. Em

geral o TESTE 1 forneceu soluções melhores, e neste teste a melhor estratégia foi a estratégia

G2.4. O modelo MEMM, foi o modelo que se destacou pela melhoria nas soluções. Dentre

as estratégia aplicadas na solução deste modelo a estratégia G2.1 com TESTE 2, obteve os

melhores resultados em todos os testes.

169

Todos os modelos propostos resolvidos com as estratégias, obtiveram pelo menos

duas, soluções melhores que a solução da empresa. Estas soluções superam a solução da Fábrica

A em até 27,4% (estratégia G2.1 com TESTE 2 no modelo MEMM). Nota-se então que estas

estratégias melhoraram o desempenho do software de otimização CPLEX, que é um software

de otimização de última geração.

170

6.3 Outros exemplares dos Modelos DEMM, DEMMaq e MEMM

Dos testes apresentados na seção anterior, a estratégia G2.7 com TESTE 1 teve um

bom desempenho para o modelo DEMM, a estratégia G2.4 com TESTE 1 para o modelo DEM-

Maq, e a estratégia G2.1 com TESTE 2 para o modelo MEMM. O desempenho destas estra-

tégias foi avaliado em outras situações reais. Foram gerados outros 10 exemplares reais na

Fábrica A, correspondendo à diferentes períodos do ano.

Os parâmetros destes 10 exemplares são similares aos do exemplar 1 da Fábrica A.

Eles se diferem do exemplar 1 basicamente pelas variações da demanda dos produtos nestes

outros períodos a que se referem, os parâmetros relativos à tempos, custos e capacidades são os

mesmos do exemplar 1 da Fábrica A. Desta forma, os 10 exemplares retratam a sazonalidade

que ocorre com a demanda de bebidas, o que faz com que em outros exemplares a demanda

seja alta em relação ao exemplar 1, e em outros baixa em relação a este exemplar. O exemplar

4, por exemplo, retrata um período de demanda onde 4 bebidas tem demanda nula, e várias

outras bebidas tem demandas muito baixas. O exemplar 10 é o oposto, ou seja, todas as bebidas

tem demandas positivas e altas em todos os períodos. O exemplar 8, por outro lado, possui

uma matriz de demandas onde algumas bebidas tem demandas maiores que as demandas do

exemplar 4, mas menores que as demandas do exemplar 10. Estas variações fazem com que os

exemplares reﬂitam situações em que a capacidade é restrita, como é o caso do exemplar 10, a

capacidade é folgada, como é o caso do exemplar 4, e assim por diante. As programações da

produção destes pedidos não foram fornecidas pela empresa para a comparação das soluções

obtidas com os modelos. Portanto, não se sabe se estas programações foram capazes de produzir

todos os produtos demandados sem atrasos, como foi o caso do exemplar da seção anterior (Ex.

Fábrica A).

Na Tabela 6.31 são apresentados os resultados obtidos na solução dos 10 exemplares

no tempo limite de 4 horas de processamento. Os percentuais das soluções em relação a melhor

solução encontrada são indicados logo abaixo do valor da melhor solução inteira encontrada.

Tendo em vista que o modelo MEMM fornece a melhor solução para 9 casos, seus percentuais

nestes casos são 0,0. No caso do exemplar 7, o modelo DEMM foi o melhor.

171

Tabela 6.31: Valor dos custos de estoque e atraso da melhor solução inteira

Exemplar DEMM/TESTE 1 DEMMaq/TESTE 1 MEMM/TESTE 2

G2.7 G2.4 G 2.1

Ex. Fábrica A 384.080,8 349.730,8 306.833,9

(25,18) (13,98) (0,0)

6 663.939,0 1.753.500,8 526.473,0

(20,7) (70,0) (0,0)

7 591.466,5 1.385.867,0 509.463,7

(13,9) (63,2) (0,0)

8 569.571,2 1.475.608,1 509.668,1

(10,5) (65,5) ( 0,0)

9 685.703,0 1.481.169,6 412.236,6

(39,9) (72,2) ( 0,0)

10 474.031,0 1.069.924,4 429.867,9

(9,3) (59,8) (0,0)

11 579.246,2 1.081.728,4 289.169,9

(50,1) (73,3) (0,0)

12 436.810,6 1.555.710,9 491.724,7

(0,0) (71,9) (12,6)

13 621.970,7 2.309.687,5 369.540,0

(40,6) (84,0) (0,0)

14 588.450,0 1.973.607,5 449.511,3

(23,6) (77,2) (0,0)

15 671.317,1 1.158.206,2 446.193,9

(33,5) (61,5) (0,0)

média

∗∗

588.250,5 1.524.501,0 443.384,9

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo de 4 horas.

** A média não inclui os valores do exemplar da Fábrica A.

Comparando as soluções do modelo DEMM (com relax and ﬁx G2.7/TESTE 1) com

as soluções do modelo MEMM (com relax and ﬁx G2.1/TESTE 2), (Tabela 6.31), observa-se

que o modelo MEMM fornece as melhores soluções em 9 exemplares. A média dos exemplares

resolvidos pelo modelo MEMM é inferior à dos demais (veja última linha da tabela). O modelo

DEMM apresenta soluções até 50,1% piores que o modelo MEMM.

O modelo DEMMaq não teve um bom desempenho nestes exemplares, com soluções

envolvendo muitos atrasos. Estes atrasos ocorreram, pois na fase de desagregação de demanda,

sempre a primeira máquina é preenchida completamente com produção, não distribuindo os

tipos de bebidas entre as duas máquinas. Quando o sequenciamento é feito, este excesso de

itens na máquina gera muitas trocas e, consequentemente, muitos atrasos em virtude da falta de

capacidade.

Por exemplo, na primeira fase da Estratégia de Desagregação no exemplar 8, a má-

quina 1 é ocupada completamente com a produção das bebidas. A Tabela 6.32, apresenta os

172

tempos de produção das linhas M1 e M2 após a desagregação das demandas. A primeira coluna

da tabela indica a linha de produção, e as outras três colunas os tempos totais de produção de

cada linha em cada período.

Tabela 6.32: Tempo total de produção das linhas M1 e M2 no modelo DEMMaq.

Linha Período 1 Período 2 Período 3

M1 4.760 4.760,0 4.760,0

M2 3.035,5 3.481,6 3.463,0

Pelos tempos de produção apresentados na Tabela 6.32, é possível ver que a linha M1

está sobrecarregada em relação à linha M2. Se o sequenciamento dos itens utilizar um tempo

total de troca maior que 1.000, (que era o tempo reservado para trocas na Fase I da Estratégia

de Desagregação), a linha M1 terá que atrasar os lotes para suprir a demanda. Por outro lado,

a linha M2 tem ociosidade. Nota-se então que o modelo DEMMaq é competitivo se a capa-

cidade do modelo linear na fase de pré-alocação da demanda, for ajustada para cada situação

particular, como foi o caso do exemplar da Fábrica A, resolvido na Seção 6.1. Isto sugere uma

pesquisa adicional investigando possíveis melhorias na estratégia heurística de desagregação de

demanda.

173

6.4 Estudo Computacional Caso Mono Máquina - Fábrica C

Para a Fábrica C, também foram coletados dados como demanda dos produtos, tem-

pos de produção, capacidades disponíveis, entre outros. Alguns custos tiveram que ser esti-

mados, pois não foram disponibilizados pela empresa. Estes custos foram estimados conforme

discussão no início deste capítulo. A coleta de dados nesta fábrica foi um processo difícil, em

função do receio dos funcionários em fornecer informações, e por não haver bases de dados

eletrônicas que fornecessem informações precisas. Quando a pesquisa foi iniciada, todas as

informações foram passadas apenas verbalmente durante as visitas. Os programas de produção

executados, não foram disponibilizados, exceto o programa descrito a seguir.

Conforme mencionado no Capítulo 2, a Fábrica C é uma fábrica de pequeno porte

que possui apenas uma linha de envase em embalagens PET e uma de envase em embalagens de

vidro. São envasados 27 tipos de bebidas em PET, variando tamanhos de vasilhames e sabores.

Há 10 tipos de xaropes preparados nos 10 tanques. Apesar da capacidade total da xaroparia

ser de 129.000 litros, foram reservados três tanques de 15.000 litros para o armazenamento do

xarope que necessita de 24 horas de repouso. Assim, a capacidade da xaroparia é de 84.000

litros.

A Fábrica C pode trabalhar 24 horas por dia, todos os dias da semana. No entanto, o

período a que se referem os dados é um período de baixa demanda, e neste período a fábrica fun-

cionou de segunda a sábado, sendo que haviam paradas das 17h as 22h para redução dos gastos

de energia, pois neste horário de pico a energia tinha um custo mais alto. Logo, o tempo dispo-

nível para a produção em cada período é de 6.840 minutos. Os dados fornecidos são referentes

a um mês de produção. A primeira semana do mês tem apenas dois dias de produção, portanto,

neste primeiro período a capacidade disponível é de apenas 2.280 minutos. Esta semana menor

foi mantida para que os dados de estoque inicial fossem usados sem alteração.

174

Na Tabela 6.33 são apresentados os custos de estoque, segunda coluna, troca de be-

bidas nas linhas, terceira coluna, e o custo total da programação da produção da Fábrica C. Na

primeira coluna da tabelas é indicado o período a que se refere cada custo. Na última linha

está o total de cada um dos custos. A Figura 6.7 ilustra a programação da produção da linha

de envase da Fábrica C nos 5 períodos. O eixo horizontal representa a capacidade disponível

da linha, 6.840 minutos, (apenas o primeiro período tem capacidade menor 2.280 minutos). O

eixo vertical é a programação da linha em cada período. Os retângulos em cinza são os lotes de

cada bebida, e os retângulos pretos são os tempos de troca. A bebida envasada é indicada pelo

número logo acima do lote.

Tabela 6.33: Custos da Programação da Fábrica C.

Período Estoque Troca Z

per. 1 1.509,54 19.631,04

per. 2 1.110,30 24.173,76

per. 3 1.220,45 41.758,08

per. 4 1.409,88 47.848,32

per. 5 1.012,70 49.695,36

Total 6.262,87 183.106,56 189.369,43

Figura 6.7: Programação da Produção da linha - Fábrica C.

175

6.4.1 Estudos iniciais do modelo MEMM para Fábrica C

Como a Fábrica C possui apenas uma máquina, o exemplar do modelo DEMM equi-

vale ao exemplar do modelo DEMMaq. No entanto, foi observado que os tempos de set up dos

tanques não são considerados em função do número alto de tanques disponíveis, então o mo-

delo DEMMaq não retrata a realidade da Fábrica C. Por outro lado, o modelo MEMM se aplica

completamente a este caso real, sendo desnecessário, inclusive, utilizar a estratégia de factibi-

lização. Neste primeiro teste, o exemplar foi resolvido pelo software de otimização CPLEX

10.0, com limite de 4 horas de processamento. O modelo MEMM para o exemplar da Fábrica

C possui 82.796 variáveis, sendo 3.848 binárias, e 80.404 restrições.

Inicialmente, o exemplar do modelo MEMM com os dados da Fábrica C foi resolvido

pelas estratégias Dcpx e DHcpx, (veja Tabela 6.5), e estratégia relax and ﬁx G2.1 TESTE 2. O

limite de tempo de processamento é de 4 horas. A Tabela 6.34 apresenta na primeira, segunda e

terceira colunas, respectivamente, os custos totais de estoque, atraso e troca de bebidas obtidos,

na quarta coluna é apresentado o custo total, e na última coluna o percentual da solução em

relação a solução da Fábrica C.

Tabela 6.34: Custos da Programação da Estratégias Dcpx e DHcpx.

Estoque Atraso Troca item Z Percentual

Dcpx 4.383,95 32.199,14 292.879 329.462 42,5

DHcpx 4.396,572 8.992,62 111.284 124.673 -51,9

G2.1/TESTE 2 4.197,6 14.806 115.362 134.367 -40,9

As Figuras 6.8 e 6.9 apresentam a programação da produção da máquina, das duas

melhores soluções, obtidas pelas estratégias DHcpx e G2.1/TESTE 2, respectivamente, vide

Tabela 6.34.

176

Figura 6.8: Programação da Produção da Fábrica C estratégia DHcpx.

Figura 6.9: Programação da produção da Fábrica C estratégia G2.1/TESTE2.

177

Pela tabela 6.34, nota-se que a estratégia Dcpx, não tem um bom desempenho, ob-

tendo uma solução 42,5% pior que a solução da empresa. Por outro lado, as estratégias DHcpx

e G2.1/TESTE 2 obtém soluções melhores do que a solução da empresa. A estratégia DHcpx

obtém uma solução 51,9% melhor, e a estratégia G2.1 com TESTE 2 obtém uma solução 40,9%

melhor. No entanto, esta solução envolve atrasos na produção. Então, um novo teste foi reali-

zado impedindo atrasos. A Tabela 6.35 apresenta as soluções obtidas pelas estratégias DHcpx

e G2.1 com TESTE 2, ambas sem atrasos.

Tabela 6.35: Custos da Programação das Estratégias Dcpx e DHcpx sem atraso.

Estoque Atraso Troca item Z Percentual

DHcpx 4.056,371 0 120.311 124.367 -52,3

G2.1/TESTE 2 3.815,52 0 119.825 123.641 -53,2

As soluções obtidas são melhores que a solução da empresa. Além disto, as soluções

de cada uma das duas estratégias foi melhor que a solução onde há atrasos (dentro do limite

de tempo de 4 horas). Em ambas soluções os custos de estoque diminuiram, enquanto o custo

de troca aumentou. Neste segundo teste, a estratégia G2.1 com TESTE 2 foi melhor que a

solução da estratégia DHcpx. Tanto os custos de estoque, quanto os custos de troca fornecidos

pela estratégia G2.1 com TESTE 2 são menores que os fornecidos pela estratégia DHcpx. A

Figura 6.10 apresenta a programação da máquina da Fábrica C para a melhor solução obtida

pela estratégia G2.1/TESTE 2, vide Tabela 6.35.

178

Como foi discutido no início desta seção, a obtenção dos dados da Fábrica C foi

um processo difícil e apenas recentemente este programa de produção foi obtido. Os testes

realizados com este exemplar mostraram que o modelo MEMM representa satisfatoriamente o

processo de produção de bebidas deste tipo de fábrica, não sendo necessário modiﬁcações na

solução, como a aplicação de uma estratégia de factibilização. Nos testes com as estratégias

Dcpx, DHcpx e G2.1 com TESTE 2, foram obtidas duas soluções melhores que a programação

da fábrica. Mesmo quando não há atrasos na programação estas soluções continuam boas.

A estratégia G2.1 TESTE 2 obtém a melhor solução, que é 53,2% melhor que a solução da

empresa, e não envolve atrasos. Este resultado reforça o bom desempenho da estratégia G2.1

com TESTE 2 na solução do modelo MEMM, conforme observado nos experimentos das seções

anteriores. A Figura 6.10 apresenta a programação da produção da melhor solução obtida sem

atrasos, cujo custo total é 123.641 e foi obtido pela estratégia G2.1/TESTE2.

Figura 6.10: Programação da produção da Fábrica C estratégia G2.1/TESTE2 sem atraso.

179

6.5 Estudo computacional com um modelo da literatura

No trabalho de Toledo (2005), foi desenvolvido um modelo de dimensionamento e

sequenciamento de lotes da produção de bebidas, Modelo PIDLPP. O modelo PIDLPP con-

sidera M máquinas, N tanques, J bebidas, L xaropes e um horizonte de planejamento de T

períodos. Assim como no presente trabalho, os períodos (macro períodos) são particionados

em sub-períodos. No entanto, o tamanho do sub-período é ﬁxo, e cada lote é um múltiplo dos

sub-períodos.

Cada lote possui um índice distinto do índice do sub-período, a variável de produção

jms

indica a quantidade do produto j produzido na linha m no lote s. Para determinar o

tamanho do lote, o início e o ﬁm da produção são controlados por variáveis que indicam em

qual sub-período cada lote de cada linha é iniciado e em qual sub-período é ﬁnalizado. O

tamanho do lote é a diferença entre o ﬁnal deste lote e o ﬁnal do lote anterior, subtraído o tempo

gasto para troca de bebidas. O mesmo ocorre com a produção dos xaropes.

A sincronia entre linha e tanque é feita estabelecendo que o xarope que abastece um

lote deve estar pronto com um sub-período de antecedência, e pode ser enviado a linha apenas

durante o intervalo de produção deste lote na linha. Além destas, há restrições que garantem

que para haver produção na linha, é necessário que algum tanque tenha sido dedicado ao lote

da linha naquele sub-período.

Testes com exemplares da Literatura

Foram disponibilizados exemplares de Toledo (2005) para que o modelo DEMM e o

modelo PIDLPP pudessem ser comparados. Estes exemplares foram gerados aleatoriamente.

Como foi discutido no Capítulo 4, o modelo DEMM se difere dos modelo PIDLPP por ter o

número de tanques igual ao número de linhas, e tanques dedicados às linhas, sendo que neles

podem ser preparados todos os xaropes envasados na linha onde ele está dedicado. Logo, a

comparação entre os modelos se limita a subconjuntos de exemplares onde o número de tanques

é igual ao número de linhas, e no tanque podem ser preparados todos os xaropes envasados na

linha. Foram obtidos três conjuntos de exemplares onde o número de tanques é igual ao número

de linhas. O primeiro conjunto de exemplares testado possui M=2 máquinas e tanques, J=2

bebidas, L=1 xarope, T=2 períodos, e |S

|=5 sub-períodos em cada período t. O número de

sub-períodos do modelo DEMM também foi mantido no valor 5. O segundo conjunto de dados

180

possui M=5 máquinas, M=5 tanques, J=10 bebidas, L=5 xarope, T =4 períodos, e |S

|=10

sub-períodos em cada período t. Um terceiro conjunto de exemplares foi obtido, este conjunto

de testes possui M=5 máquinas, M=5 tanques, J=10 bebidas, L=5 xarope, T =12 períodos, e

|=10 sub-períodos em cada período t.

Observando os exemplares dos conjuntos 2 e 3, notou-se que os conjuntos β

, m =

1, ..., M, dos xaropes preparados nos M tanques, são restritos e impossibilitam a dedicação de

tanque a linha. Por exemplo, no exemplar 1 do conjunto de dados 2, as bebidas envasadas na

linha 5 indicam que o conjunto β

de xaropes deve conter os 5 tipos de xaropes. Porém, em

nenhum dos tanques, deste exemplar, pode-se preparar este conjunto de xaropes. E assim, não

é possível dedicar nenhum dos tanques a linha 5 no modelo DEMM. Além disto, as estratégias

propostas no presente trabalho foram analisadas em relação a cenários reais das Fábricas A e C,

que tem como uma de suas características um número alto de produtos em relação ao número

de linhas disponíveis, e os tempos de troca nos tanques variam de 1,5% a 5% da capacidade,

aproximadamente, enquanto os exemplares da literatura possuem um número baixo de produtos

em relação ao número de linhas, e os tempos de troca de xaropes são da ordem de 20% da

capacidade.

As Tabelas 6.36, 6.37 e 6.38 apresentam a dimensão dos dois modelos para os três

conjuntos de exemplares, conjunto 1, conjunto 2 e conjunto 3, respectivamente. Cada conjunto

de exemplares possui 10 exemplares cada um. Apesar dos conjuntos de exemplares 2 e 3 não

poderem ser utilizados para comparação dos modelos, as Tabelas 6.37 e 6.38 ilustram as dife-

rençcas nas dimensões dos modelos DEMM e PIDLPP. Note que os exemplares da Tabela 6.36

podem ser considerados pequenos, os da Tabela 6.37 médios, e os da Tabela 6.38 grandes.

Tabela 6.36: Dimensão dos modelos no conjunto de exemplares 1.

Modelo Total Variáveis Var. Binárias Restrições

PIDLPP 743 210 575

DEMM 182 40 248

(J=2, M=2, L=1, N=10, T=2).

181

Tabela 6.37: Dimensão dos modelos no conjunto de exemplares 2.

Modelo Total Variáveis Var. Binárias Restrições

PIDLPP 76.771 4.810 23.857

DEMM 11.900 1.640 12.060

(J=10, M=5, L=5, N=40, T=4).

Tabela 6.38: Dimensão dos modelos no conjunto de exemplares 3.

Modelo Total Variáveis Var. Binárias Restrições

PIDLPP 230.491 14.530 70.657

DEMM 41.900 5.280 43.196

(J=10, M=5, L=5, N=120, T=12).

Exemplo Ilustrativo

A solução do primeiro exemplar do conjunto de dados 1 é descrita abaixo, e ilustra as

diferenças nas soluções dos modelos. A Tabela 6.39 apresenta os custos das soluções obtidas

pelos dois modelos para o primeiro exemplar do conjunto de dados pequeno. A primeira coluna

da tabela indica o modelo, a segunda coluna (Est. L) indica o custo total de estoque de bebidas

na linha, a terceira coluna da tabela (Est.X) indica o custo total de estoque de xarope, a quarta

coluna (Troca L) apresenta os custos de troca de bebidas na linha, a quinta coluna da tabela

(Troca X.) mostra os custos de troca de xaropes nos tanques, a sexta coluna da tabela (Atraso

L) apresenta o custo de atrasos na produção das bebidas, a sétima coluna (Prod.L) mostra o

custo de produção da linha, a oitava coluna (Prod.X) informa o custo de produção nos tanques,

e a última coluna (Z) é o custo total da solução ótima dos exemplares. O valor de Z é o valor

comparável entre os modelos, ou seja, foram somados apenas os custos em comum, que são

os custos de troca nas linhas, trocas nos tanques, produção de bebida, produção de xarope,

estoque de bebida e atraso nas linhas. Para resolver estes exemplares, Toledo (2005) utilizou

um computador com processador Pentium IV com 2.8 GHz, enquanto o modelo DEMM foi

aqui resolvido em um computador com processador Pentium IV com 3.2 GHz.

Tabela 6.39: Custos obtidos pelos modelos DEMM e PIDLPP na solução de um exemplar pequeno.

Est. L. Est. X. Troca L. Troca X Atraso L. Prod. L. Prod. X. Z

DEMM 2.955,0 - 560 2.000 0,0 18.769,0 13.111,4 37.395,4

PIDLPP 206,0 1.709,0 560 2.000 0,0 18.769,0 13.111,4 34.646,4

182

O modelo DEMM fornece uma solução 7,9 % mais custosa que a solução do modelo

PIDLPP. O tempo de solução foi de 0,047 segundos. Não foi possível obter a distribuição dos

tanques para as linhas do modelo PIDLPP, mas a Figura 6.11 apresenta o dimensionamento e o

sequenciamento da produção das linhas. A Figura 6.12 representa a solução do modelo DEMM.

Observando a máquina 1 na Figura 6.11, é possível notar que no período 2, a capacidade da linha

é completamente utilizada, o que não ocorre na Figura 6.12 onde há tempos de troca nas linhas.

O tempo de troca nos tanques consome uma unidade de tempo de capacidade, então na linha 1,

períodos 1 e 2, Figura 6.12, a capacidade da linha não pôde ser utilizada totalmente, pois para

produção de mais um lote seria necessário um set up no tanque e não há capacidade disponível.

No modelo PIDLPP há ﬂexibilidade de nestes casos utilizar o outro tanque para preparar o

xarope em um sub-período anterior e portanto, evita o tempo de set up do tanque. Desta forma,

a capacidade da linha é totalmente utilizada evitando os estoques

Figura 6.11: Programação da Produção fornecida pelo modelo PIDLPP.

183

Figura 6.12: Programação da Produção fornecida pelo modelo DEMM.

Solução dos conjuntos de dados - Modelo DEMM

Conjunto 1 - exemplares pequenos

Na Tabela 6.40 são apresentadas as soluções obtidas pelo modelo DEMM para os

exemplares pequenos. A primeira coluna da tabela (Ex.) apresenta o exemplar a que se refe-

rem as soluções, a segunda coluna (PIDLPP) mostra o valor da solução encontrada por Toledo

(2005) com o modelo PIDLPP, a terceira coluna (DEMM ) mostra a solução ótima encontrada

com o modelo DEMM, na quarta coluna (Percentual) está calculado o percentual de melhoria da

solução do modelo DEMM em relação a solução do modelo PIDLPP, a última coluna (Tempos

seg.) mostra o tempo gasto na solução do modelo DEMM.

Tabela 6.40: Soluções de 10 exemplares de dimensões pequenas.

Exe. PIDLPP DEMM Percentual Tempos seg.

1 34.646,4 37.395,4 7,9 0,078

2 40.713,4 42.619,4 4,7 0,094

3 37.304,9 +

4 32.875,2 33.375,2 1,5 0,265

5 29.538,8 32.575,8 10,3 0,5

6 24.615,0 24.615,0 0,0 0,078

7 33.646,3 +

8 32.741,7 33.241,7 1,5 0,266

9 29.679,4 31.042,9 4,6 0,437

10 33.381,9 34.041,9 2,0 0,266

+ Solução infactível.

Para resolver os exemplares do modelo PIDLPP, implementado no software GAMS e

184

resolvido pelo CPLEX 7.0, são gastos em média 28,27 segundos, o menor e o maior tempo são

respectivamente 1,02 segundo e 107,97.

Observando a Tabela 6.40, percebe-se que, nos exemplares resolvidos, o pior desem-

penho do modelo DEMM foi no exemplar 5, resultando numa solução 10,3% pior do que a

do modelo PIDLPP. No caso dos exemplares 3 e 7, o modelo DEMM não foi capaz de gerar

soluções factíveis. Isto ocorreu, porque a capacidade das linhas nestes casos é restrita, e para

a produção dos lotes nas linhas são necessários mais de dois preparos de tanque. Cada troca

de xarope, nestes exemplares, consome 1/5 da capacidade da linha, ou seja, dois preparos do

tanque consomem 2/5 da capacidade, o que resulta em 3 unidades de tempo para produção. No

modelo PIDLPP, estes tempos de set up podem ser eliminados, pois o xarope pode ser prepa-

rado em outro tanque. Por exemplo, a linha 1 utiliza metade da capacidade de um tanque em

sua produção. A linha 2, utiliza um tanque e meio. Dado que neste conjunto de exemplares, há

apenas um xarope, no modelo PIDLPP, o tanque da linha 1 pode ser utilizado em sua capacidade

total. Parte do xarope é enviado para linha 1, e a outra parte ﬁca armazenada para ser enviada

a linha 2. E assim não há espera na linha 2 pelo preparo do restante de xarope necessário para

sua produção.

Conjuntos 2 e 3 - exemplares médios e grandes

Como foi discutido na Seção 4.5, para que as soluções dos modelos DEMM e PIDLPP

sejam comparáveis, é necessário que os conjuntos dos xaropes preparados nos tanques nos dois

modelos sejam iguais. No caso dos exemplares de dimensões médias e grandes, obtidos de

Toledo (2005), não é possível adaptar o conjunto β

, uma vez que em alguns tanques ele é

muito restrito (por exemplo, produz apenas um ou dois xaropes, enquanto as linhas precisam

de vários xaropes). No entanto, no modelo DEMM supõe-se que em cada tanque m pode-se

preparar todos os xaropes necessários para as bebidas produzidas na linha m. O tempo de troca

de um xarope k para l foi considerado igual ao máximo dos tempos de troca destes xaropes nos

M tanques nos dados da literatura. Em casos onde a troca não existe em nenhum tanque, este

tempo foi considerado igual a 1 se k = l e 2 se k = l, que é o padrão gerado por Toledo (2005),

ou seja, adotou-se a situação mais desfavorável possível. Os custos de troca foram considerados

da mesma maneira, isto é, igual ao máximo entre os custos de troca dos M tanques, ou seja,

tomando-se também a situação mais desfavorável possível. Quando a troca não é deﬁnida nos

dados disponíveis, se k = l o custo é 1.000 e se k = l o custo é 2.000, que é igual ao máximo

185

do intervalo de variação deste custo em Toledo (2005). Desta maneira os tempos e custos estão

suﬁcientemente penalizados. A proposta é veriﬁcar se uma mudança que tornasse os tanques

mais ﬂexíveis dedicados às linhas pudesse gerar soluções melhores do que com tanques mais

restritos e não dedicados às linhas.

Em três exemplares obteve-se soluções melhores do que as reportadas em Toledo

(2005), (que foram obtidas com um algoritmo genético), mostrando que estas modiﬁcações

podem ser vantajosas. Em particular, no exemplar 7 do conjunto 3, obteve-se uma solução

28% melhor do que a de Toledo (2005), com economias nos custos de estoque, e trocas. Estes

resultados ainda são preliminares; uma comparação mais efetiva entre as soluções dos dois

modelos é um tópico para pesquisa futura.

7 Conclusões e Perspectivas Futuras

7.1 Conclusões

O objetivo desta tese é pesquisar modelos e métodos de solução para resolver o pro-

blema integrado de dimensionamento de lotes e sequenciamento da produção em fábricas de

bebidas, como refrigerantes, chás, sucos, águas, etc. Foram propostos três modelos matemá-

ticos, Modelo DEMM, Modelo DEMMaq e Modelo MEMM, para resolver o problema, con-

siderando a necessidade de sincronia entre os dois estágios de xaroparia e envase do processo

de produção. O modelo DEMM considera M linhas de envase e tanques dedicados as linhas.

Os modelos DEMMaq e MEMM são relaxações do modelo DEMM. O modelo DEMMaq é

um modelo mono-máquina, dois estágios com sincronia entre os estágios. Em um ambiente

multi linhas, uma heurística baseada na solução de um modelo de otimização linear distribui

a demanda entre os M modelos DEMMaq. O modelo MEMM considera várias linhas, com

tanques dedicados, mas apenas as capacidades dos tanques é considerada. Logo, este modelo

possui apenas o estágio de envase com restrições de capacidade para o preparo de xaropes. Este

modelo retrata situações em que o gargalo de produção são as linhas de envase. Nos casos em

que é importante considerar o sequenciamento dos tanques, como na Fábrica A, uma heurística

que factibiliza a solução do modelo MEMM foi proposta.

Três fábricas foram estudadas, uma fábrica de grande porte, Fábrica A, uma de médio

porte, Fábrica B e uma de pequeno porte, Fábrica C. Para resolver o problema, são estudadas

variações de heurísticas relax and ﬁx e o uso de algumas inequações válidas. Os testes compu-

tacionais foram realizados com três variações de parâmetros do software de otimização CPLEX

10. As abordagens propostas se mostraram competitivas quando as soluções são comparadas

as soluções fornecidas pelas empresas. O tempo limite de solução é considerado razoável, uma

vez que na prática a tarefa de dimensionar e sequenciar os lotes é feita com antecedência, e

nas fábricas chega-se a gastar meio dia ou até um dia de trabalho para gerar um programa de

produção.

Para resolver o modelo DEMM, a melhor estratégia foi a heurística relax and ﬁx G2.7,

com os parâmetros default do CPLEX, que apresentou bom desempenho nos experimentos

realizados. Esta estratégia relax and ﬁx particiona o problema por linhas, períodos e estágios,

187

e as variáveis de set up são ﬁxadas apenas quando há produção nos sub-períodos. Em um

exemplar fornecido pela Fábrica A, a solução fornecida foi aproximadamente 9% melhor que

a solução da fábrica. A melhor solução fornecida pelo modelo DEMMaq foi ainda melhor,

mais de 23% de redução do custo total da programação para este exemplar. Esta solução foi

obtida pela estratégia G2.7 adaptada para este modelo. Mas a melhor solução de todas foi

fornecida pelo modelo MEMM com a estratégia G2.1 sem planos de corte, com redução de

27,4% do custo total, o que pode ser expressivo considerando a escala dos processos industriais

envolvidos. No total foram conseguidas 21 soluções melhores que a solução da Fábrica A.

Testes impedindo atrasos também foram realizados, e 7 soluções sem atrasos com custo inferior

ao custo de solução da empresa, também foram obtidas.

Outros testes com variações dos exemplares foram realizados e mostraram o bom

desempenho das abordagens. Para o modelo DEMM, a estratégia G2.7 é a mais indicada. As

estratégias apresentaram instabilidade na solução do modelo DEMMaq, de forma geral, pode-se

dizer que a estratégia G2.4 teve bom desempenho. E para o modelo MEMM, a estratégia G2.1

teve um desempenho superior às outras estratégias em quase todos os testes. A partir destes

experimentos, 10 exemplares referentes ao período de demanda de quase um ano da Fábrica A

foram resolvidos por meio das abordagens recomendadas. Apesar de não ser possível comparar

a solução dos modelos com as soluções da empresa neste período, devido à indisponibilidade

de dados, os resultados mostraram que destas três estratégias, a estratégia G2.1 com o modelo

MEMM resolve os exemplares com um percentual de até 50,1% de melhoria em relação ao

modelo DEMM, e até 77,2% de melhoria em relação ao modelo DEMMaq. Estes resultados

reforçam as observações dos experimentos anteriores.

Testes com as abordagens propostas também foram realizados com exemplares da

Fábrica C, de pequeno porte. O modelo MEMM, que não considera o sequenciamento na

xaroparia, foi aplicado a este caso, sem necessidade de modiﬁcações. A melhor estratégia

obtida nos testes com a Fábrica A para este modelo foi utilizada e boas soluções, com e sem

atrasos também foram obtidas para este problema real. Obteve-se soluções com até 53% de

melhoria em relação à solução da Fábrica C.

A literatura sobre problemas de dimensionamento de lotes e sequenciamento da pro-

dução de bebidas, principalmente considerando sincronia entre estágios, é escassa. Apenas o

trabalho de Toledo (2005) e Toledo et al. (2006a, 2006b) foi encontrado. No Capítulo 6 al-

188

guns testes preliminares foram realizados comparando os resultados das abordagens propostas

em exemplares gerados aleatoriamente da literatura. A análise ﬁcou prejudicada porque estes

exemplares retratam situações diferentes das analisadas com dados reais nas Fábricas A e C.

Por exemplo, o número de produtos não é tão grande em relação ao número de linhas de en-

vase, os tempos de troca nos tanques são elevados em relação a capacidade disponível (ordem

de 20%), e alguns tanques podem produzir conjuntos muito restritos de xaropes, limitando suas

ﬂexibilidades.

Uma perspectiva de pesquisa futura é comparar as abordagens propostas neste traba-

lho e as da literatura de forma mais efetiva, por exemplo, comparando-se as soluções obtidas

em exemplares das empresas A, B e C, e também em exemplares gerados aleatoriamente com

maior ﬂexibilidade nos tanques, para veriﬁcar melhor a eﬁcácia da estratégia de dedicação de

tanque as linhas explorada neste trabalho.

189

7.2 Perspectiva para pesquisa futura

Ajustes nas estratégias testadas

Em função da diﬁculdade de obtenção de mais dados das fábricas, e da limitação de

tempo para conclusão da tese, não foi possível testar de maneira mais efetiva todas as estratégias

propostas em exemplares destas fábricas. No entanto, os resultados obtidos com os exemplares

fornecidos mostram que os modelos são competitivos em relação as técnicas aplicadas na prática

das empresas. A realização de experimentos computacionais adicionais que testem todas as

estratégias propostas em fábricas com as dimensões das fábricas B e C, poderiam indicar outras

estratégias mais eﬁcientes na solução do problema de dimensionamento e sequenciamento da

produção de bebidas, além do modelo MEMM com a estratégia G2.1 com TESTE 2.

Os resultados obtidos, principalmente com a fábrica de pequeno porte, onde o mo-

delo MEMM retrata completamente a realidade da empresa, estimulam pesquisas futuras com

a aplicação prática destas estratégias nas fábricas. Para o caso de fábricas maiores, nota-se

que, conforme o número de linhas paralelas cresce, os modelos que dedicam linha a tanque

subestimam a capacidade da xaroparia. Para tornar os modelos ainda mais competitivos e apli-

cáveis, seria interessante desenvolver ou reformular os modelos, para que a real capacidade da

xaroparia seja considerada de forma mais precisa.

Os modelos propostos ainda podem ser melhorados. Por exemplo, o modelo DEM-

Maq apresentou bons resultados em alguns exemplares com dados reais. Em casos em que não

foi possível ajustar, de forma realista, a capacidade do modelo linear que distribui a demanda

para as linhas, a estratégia ﬁca em desvantagem em relação aos outros modelos. Seria inte-

ressante desenvolver uma heurística que consiga ajustar melhor a capacidade do modelo linear

para que a utilização das máquinas seja mais balanceada.

Foi observado que algumas estratégias, como a estratégia G2.3, resultam frequen-

temente em soluções infactíveis, pois ﬁxam o lote de produção. Um passo de reavaliação e

ajuste destes lotes para remover a infactibilidade pode tornar esta estratégia mais aplicável e

competitiva.

No modelo MEMM, foi observado que, mesmo não havendo produção em todos os

190

infactibilidade quando a estratégia de factibilização é aplicada, devido a restrição de ordenação.

Uma modiﬁcação nas estratégias poderia resolver o problema, como por exemplo incluir no

modelo MEMM a restrição de ordenação, que apesar de diﬁcultar o problema, como foi visto

no Capítulo 6, poderia ser vantajosa se o modelo for resolvido pela estratégia relax and ﬁx G2.1.

Tendo em vista a variação das soluções em função da modiﬁcações da geração de

planos de corte e das estratégias de pré-processamento, supõe-se que a variação de outros parâ-

metros, como variação na busca da árvore do branch and bound, eliminação de apenas alguns

tipos de planos de corte, inclusão de prioridade nas variáveis a serem ramiﬁcadas, entre outros

parâmetros, possam resultar em ajustes que favoreçam a melhoria das soluções obtidas. Os

testes realizados com as inequações válidas propostas no Capítulo 4 não estimularam o apro-

fundamento das pesquisas com estas inequações. Porém, um teste realizado com exemplares

gerados aleatoriamente do modelo DEMM Não Sincronizado mostrou que excluir os planos

de corte do CPLEX prejudica o desempenho do software (veja Tabelas H.5, H.6, H.8 e H.9

do Anexo H). Nos testes foram aplicadas 3 estratégias na solução dos exemplares, Estratégia 1

(padrões default CPLEX), Estratégia 2 (default sem planos de corte) e Estratégia 3 (Estratégia 2

com Inequações de Fluxo). Nos testes com os exemplares aleatórios da Fábrica A, Tabelas H.5,

H.6, nota-se que em 7 dos 10 exemplares as melhores soluções são obtidas com as Estratégias

1 e 3, respectivamente. Nos testes das Tabelas H.8 e H.9, Fábrica C, a Estratégia 3 obtém as

melhores soluções em 6 exemplares, diferentes para cada teste.

Estratégias que reformulam os modelos

Durante o desenvolvimento da tese, foram revisados métodos de solução que podem

ser adaptadas e podem ajudar na solução dos modelos propostos. Uma destas abordagens está

no trabalho de Wolsey (2001), onde o problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes

é visto como um problema de ﬂuxo, em que a variável z

ijt

indica o ﬂuxo do nó i do período

t − 1 para o nó j no período t.

Como foi discutido na Seção 5.2.2, pode-se aﬁrmar que



ijt

= y

, ∀j, t e também

que



ijt

= y

i(t−1)

∀j, t. Além disto, pode-se deﬁnir o start up q

em função das variáveis

de troca, pois q

= y

− z

iit



j:j=i

ijt

, e a variável de switch off w

= y

− z

ii(t+1)



j:j=i

ij(t+1)

Em reunião com Wolsey (2006) foi sugerido que fosse testada uma reformulação das

191

variáveis de troca do modelo DEMM, para serem usadas inequações válidas para problemas

de dimensionamento de lotes com start up. No caso do modelo DEMM, é necessário adptar

estas variáveis para os sub-períodos, e em relação a restrição



mjs

= 1 , que implica que as

variáveis de troca sempre assumam valor um para algum item j em todos os sub-períodos.

Outra proposta interessante a ser testada é a reformulação do modelo aﬁm de melho-

rar a qualidade da solução da relaxação linear. Em Johnson et al. (2000) entre outros autores

é proposta uma reformulação onde as variáveis de estoque e as restrições de set up são modiﬁ-

cadas e melhoram a solução da relaxação linear do problema de dimensionamento de lotes não

capacitado com set up. De forma resumida, a reformulação consiste em:

Seja x

a variável de produção do período t. Há um limite implícito para esta variável

que é

≤



k=t

= D

t = 1, ..., T. (7.1)

Dado que não existe atraso, a continuidade do estoque é dada pela restrição:

= s

t−1

+ y

− d

, t = 1, ..., T. (7.2)

Considerando o set up através da variável y

, temos que

≤ D

t = 1, ..., T. (7.3)

Se as variáveis de set up forem relaxadas e os custos de set up forem positivos, obtém-

se:

= y

t = 1, ..., T. (7.4)

Portanto, se x

é positiva e não está em seu limite superior, então y

será fracionária. É

possível eliminarmos as variáveis de estoque usando variáveis x

que representam a quantidade

produzida no período t para atender a demanda no período k, onde k ≥ t. A demanda do período

t é então:



t=1

k = 1, ..., T. (7.5)

e as restrições de set up tornam-se

192

≤ d

k = 1, ..., T, t = 1, ..., k. (7.6)

Com as novas variáveis e restrições, é possível então substituir a variável de estoque e

tornar mais forte a relaxação linear do modelo. Para o modelo DEMM, é necessário considerar

o atraso, e os vários itens e máquinas na deﬁnição destas novas variáveis. Denotemos por ψ

jtk

a nova variável que representa o que foi produzido da bebida j no período t e utilizado para

suprir a demanda do período k. Como há atraso, o índice t passa a variar em todo horizonte de

planejamento t = 1, ..., T. A variável ψ é associada a produção pela restrição:



k=1

jtk



m∈λ



s∈S

mjs

j = 1, ..., J, t = 1, ..., T. (7.7)

Tendo em vista o atraso, a restrição (7.5) passa a ser



t=1

jtk

k = 1, ..., T. (7.8)

A restrição de set up (7.6) se torna

jtk

≤ d



m∈λ



s∈S

mjs

j = 1, ..., J t = 1, ..., T, k = 1, ..., T, . (7.9)

Pode-se, por exemplo, ao invés de substituir as variáveis de estoque, apenas incluí-las

no modelo DEMM para que a estrutura do modelo não seja modiﬁcada. Outras estratégias de

reformulação podem ser encontradas em Wolsey (2002).

Estratégias heurísticas para solução dos modelos

Dentre as aplicações de heurísticas, uma estratégia que pode fornecer bons resultados

é uma heurística onde o Problema do Caixeiro Viajante Assimétrico -ATSP (Assimetric Tra-

velling Salesman Problem) é resolvido em cada período e determina a sequência de produção

dos itens. Nesta estratégia, primeiro é feito o dimensionamento dos lotes, e assim, aloca-se

a demanda para cada período. Em seguida, um problema ATSP, sem proibição de sub-rotas

é resolvido para cada período. A solução gerada pode conter sub-rotas. Neste caso, estas são

identiﬁcadas e proibidas, e o problema é resolvido novamente. Ao ﬁnal do processo uma heurís-

tica é aplicada para contabilizar os set ups entre os macro períodos. Em trabalho recente (Toso

193

et al., 2006a, 2006b), esta proposta é aplicada na solução de um problema de dimensionamento

e sequenciamento de lotes de ração animal, e os resultados preliminares foram encorajadores.

As soluções da estratégia são comparadas a soluções obtidas com uma estratégia ignore and ﬁx,

inspirada nas estratégias relax and ﬁx.

No caso do modelo DEMM, a estratégia deve ser adaptada para as várias máquinas

e os dois estágios de produção. Uma proposta seria, na etapa de dimensionamento, resolver

o problema multi-máquinas, e aplicar o ATSP para as máquinas de forma independente. Para

os dois estágios, como estes são dependentes um do outro, uma sugestão é seqüenciar um dos

níveis pelo ATSP, ﬁxar as variáveis deste nível e veriﬁcar a factibilidade em relação ao outro

estágio.

Sabendo da diﬁculdade de solução dos modelos, técnicas de Horizonte Rolante po-

deriam ser aplicadas. Finalmente, outra perspectiva interessante para pesquisa futura é o desen-

volvimento de meta-heurísticas para resolver os três modelos propostos tais como, Algoritmo

Genético, GRASP, Simulated Annealing, Busca Tabu. Também pode-se considerar a utiliza-

ção de técnicas mais recentes para otimizar a solução do modelo no ambiente AMPL/CPLEX,

como Local Branching (LB) (Fischetti e Lodi, 2003) e Variable Neighborhood Search (VNS)

(Hansen et al., 2006).

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Universidade de Campinas, Campinas, Setembro, 2005.

[104] TOSO, E. ; MORABITO, R. e CLARK A. R., Lot-Sizing and Sequencing Optimisation

at an Animal-Feed Plant, submetido para publicação, 2006a.

[105] TOSO, E.V. ; CLARK A. R., e MORABITO, R. Multi-period Production Setup-

sequencing and Lot-sizing through ATSP Subtour Elimination and Patching, submetido

para publicação, 2006b.

[106] TOSO, E.V. ; MORABITO, R. . Otimização do dimensionamento e sequenciamento de

lotes de produção: Estudo de caso numa fábrica de rações. Gestão & Produção, v. 12, n.

2, 203-217,2005.

[107] TOSO, E.V., Otimização do problema integrado de dimensionamento de lotes e progra-

mação da produção: Estudo de caso na indústria de rações, Dissertação de Mestrado,

Universidade Federal de São Carlos, Departamento de Engenharia de Produção, São

Carlos, Novembro, 2003.

[108] VANDERBEI R.J., Linear Programming - Formulations and Extensions, Kluwer Aca-

demic Publishers,2a ed.,2001.

[109] WAGNER, H.M. e WHITIN, T.M., Dynamic Version of the Economic Lot Size Model,

Management Sciense, Vol.5, n.1, 89-96, 1958.

[110] WILLIAMS H.P., Model Building in Mathematical Programming, John Wiley & Sons,

3a ed., 1993.

[111] WINSTON, W., Operations Research: Applications and algorithms. PWS-Kent, Boston,

1991.

[112] WOLSEY, L.A. Reunião Técnica, Deisemara Ferreira, Socorro Rangel, Cid de Souza

IC/UNICAMP, Campinas, 08 de agosto de 2006.

[113] WOLSEY, L.A. Strong formulations for mixed integer programs: valid inequalities and

extended formulations, Mathematical programming, Series B, 423-447, 2003.

204

[114] WOLSEY, L.A.,Solving Multi-item Lot-Sizing Problems with an MIP Solver Using

Classiﬁcation and Reformulation, Management Science, 48, 12, 1587-1602, 2002.

[115] WOLSEY, L.A., Integer Programming, John Wiley & Sons, 1998.

[116] WOLSEY, L.A., MIP modelling of changeovers in production planning and scheduling

problems, European Journal of Operational Research, 99, 154-165, 1997.

[117] WOLSEY, L.A., Valid inequalities for 0-1 knapsack and MIPs with generalized upper

bound constraints. Discrete Applied Mathematics, 29, 251-261, 1990.

205

A - Modelo PIDLPP

A seguir é apresentado o modelo PIDLPP, extraído de Toledo (2005) e Toledo et al

(2006a).

Parâmetros gerais

T : Número de macro-períodos.

C: Capacidade (em unidades de tempo) dentro de um macro-período.

: Número de sub-períodos por macro-períodos.

: Capacidade (em unidades de tempo) dentro de um sub-período (C = T

: Um número real positivo suﬁcientemente pequeno.

BUm número real positivo suﬁcientemente grande.

Parâmetros para as Linhas de Produção

J: número de produtos.

L: número de linhas em paralelo.

: conjunto de linhas nas quais o produto j pode ser produzido.

S : número máximo de lotes por macro-período, ou seja, número de lotes.

: demanda pelo produto j no ﬁnal do macro-período t.

ijl

: custo de troca dependente da seqüência de produção do produto i para o produto j na linha l (s

jjl

= 0).

: custo de estoque para cada unidade do produto j que permanece em estoque ao ﬁnal de um macro-período.

: custo de produção de uma unidade do produto j na linha l.

: tempo de processamento de uma unidade do produto j na linha l (hipótese: p

≤ C

)

jl

= 1, se a linha l está ajustada inicialmente para o produtoj.



ijl

tempo de troca (setup time) para ajustar a linha l a partir do produto i para o produto j (hipóteses: σ



ijl

≤ C;



jjl

= 0)

l

tempo de troca para o primeiro lote na linha l no macro-período 1 que já foi executado antes do macro-período

1 começar (Observação: se ω

1 > 0, então os valores x

jl

são conhecidos e estas variáveis devem ser ajustadas

adequadamente).

j

estoque inicial do produto j.

Variáveis de decisão para as Linhas de Produção

ijls

= 1, indica se a linha l é ajustada a partir do produto i para j no início do lote s; 0, caso contrário (deﬁnir

ijls

≥ 0 é suﬁciente)

quantidade de produto j em estoque no ﬁnal do macro-período t.

jls

quantidade do produto j produzido na linha l no lote s

jls

= 1 se o lote s na linha l pode ser usado para produzir o produto j; 0, caso contrário.

= se uma quantidade é efetivamente produzida no lote s na linha l; 0, caso contrário.

206

tempo de troca na linha l no início do lote s.

tempo de troca gasto antes do primeiro lote na linha l no macro-período t que é programado ao ﬁnal do macro-

período t − 1.

lsτ

= 1, se o lote s na linha l termina no sub-período τ.

lsτ

] = 1, se o lote s na linha l começa no macro período τ.

tempo no primeiro sub-período do lote s que é reservado para tempo de troca e tempo ocioso.



quantidade de produto j que deixará de ser produzida, ou seja, será positiva toda vez que a demanda do produto

j não for satisfeita.

Parâmetros para os Tanques

J número de xaropes.

L número de tanques paralelos.

Conjunto de tanques nos quais o xarope j pode ser armazenado.

S número máximo de lotes por macro-período.

¯s

ijk

] custo de troca do xarope i para o xarope j no tanque k.

custo de estoque para cada unidade do xarope j que permanece no tanque ao ﬁnal de um macro-período.

¯v

custo de produção para cada unidade do xarope j utilizada no tanque k.

¯x

jk

= 1, se o tanque k é ajustado para o xarope j no início do horizonte de planejamento.

¯σ



ijk

tempo de troca do xarope i para o xarope j gasto no tanque no tanque k. (hipótese ¯σ



ijk

≤ C e ¯σ



ijk

é um

inteiro múltiplo de C

)

¯ω

k

tempo de troca do primeiro lote no tanque k no macro-período 1 realizado antes do macro-período 1 começar.

(Obs: se ¯ω

k

> 0 os valores ¯x

jk

são conhecidos e devem ser ajustados).

jk

estoque inicial do xarope j no tanque k.

capacidade máxima do tanque k.

capacidade mínima do tanque k.

Variáveis de decisão para os Tanques

¯z

ijks

= 1, indica se o tanque k é ajustado a partir do xarope i para o xarope j no início do lote s; 0, caso contrário

(¯z

ijks

≥ 0 é suﬁciente)

jkτ

quantidade de xarope j no tanque k ao ﬁnal do sub-período τ.

¯q

jks

quantidade de xarope j armazenada no tanque k no lote s.

¯q

jksτ

] quantidade de xarope j armazenada no tanque k no lote s no sub-período τ.

¯x

jks

= 1, se o lote s pode ser usado para armazenar o xarope j no tanque k; 0, caso contrário.

¯u

= 1, se o lote s é usado para armazenar xarope no tanque k; 0, caso contrário.

¯σ

tempo de troca gasto no tanque k no início do lote s.

¯ω

tempo de troca programado no tanque k ao ﬁnal do macro-período t − 1.

¯x

ksτ

=1, se o tempo de troca para o xarope no lote s do tanque k termina no sub-período τ.

207

¯x

ksτ

= 1, se o tempo de troca para o xarope no lote s do tanque k começa no sub-período τ.

Parâmetros para ajustar Linhas de Produção e Tanques

fator de conversão que determina a quantidade de xarope j necessária para produzir uma unidade do produto i.

Variáveis de decisão para ajustar Linhas de Produção e Tanques

kjlsτ

quantidade de produto j produzida na linha l, sub-período e que pertence ao lote s que utiliza xarope do

tanque k.



i



j



l

T ·S



s

ijl

ijls



j



t



j



l

T ·S



s

jls



i



j



k

T ·



s

¯s

ijk

¯z

ijks



j



k



t

jk,t·T



j



k

T ·



s

¯v

¯q

jks

+ B



j



jls

= 0

j = 1, . . . , J

l ∈ {1, . . . , L}\L

s = 1, . . . , T · S

(A.1)



j

jls

= 1

l = 1, . . . , L

s = 1, . . . , T · S

(A.2)

jls

≤ Cx

jls

j = 1, . . . , J

l = 1, . . . , L

s = 1, . . . , T · S

(A.3)

ijls

≥ x

jls

+ x

il,s−

− 1

i, j = 1, . . . , J

l = 1, . . . , L

s = 1, . . . , T · S

(A.4)



i



j



ijl

ijls

l = 1, . . . , L

s = 1, . . . , T · S

(A.5)

≤ σ

l,t−S

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

(A.6)

t · C −

t·T



τ t−T



τx

l,t·S,τ

≥ ω

l,t

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T − 1

(A.7)

208

t·S



st−S

(σ



j

jls

) ≤ C + ω

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

(A.8)

j

= I

j

+ q





l



s

jls

− d

j

j = 1, . . . , J

(A.9)

= I

j,t−



l

t·S



st−S

jls

− d

j = 1, . . . , J

t = 2, . . . , T

(A.10)

t·T



τ t−T



τx

lsτ

−

t·T



τ t−T



τx

l,s−,τ

≥ σ



j

jls

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 2, . . . , t · S

(A.11)

t·T



τ t−T



τx

l,t−S,τ

≥ (t − 1)C + σ

l,t−S

− ω



j

jl,t−S

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

(A.12)

t·T



τ t−T



lsτ

= 1

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

(A.13)

t·T



τ t−T



lsτ

= 1

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

(A.14)



j

jls

≤ Cu

l = 1, . . . , L

s = 1, . . . , T · S

(A.15)

u

≤



j

jls

l = 1, . . . , L

s = 1, . . . , T · S

(A.16)

209

t·T



τ t−T



τx

lsτ

−

t·T



τ t−T



τx

lsτ

≤ T

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

(A.17)

t·T



τ t−T



τx

lsτ

−

t·T



τ t−T



τx

lsτ

≤ u

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

(A.18)

t·T



τ t−T



τx

lsτ

−

t·T



τ t−T



τx

l,s−,τ

≤ T

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 2, . . . , t · S

(A.19)

t·T



τ t−T



τx

l,t−S,τ

− ((t − 1)T

+ 1)

≤ T

l,t−S

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

(A.20)

≥ u

l,s

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S − 1

(A.21)

u

t·T



τ t−T



τx

lsτ

−

t·T



τ t−T



τx

lsτ

≤



j

jls

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

(A.22)

t·T



τ t−T



τx

lsτ

−

t·T



τ t−T



τx

lsτ

≥



j

jls

− C

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

(A.23)

jls



k

t·T



τ t−T



kjlsτ

j = 1, . . . , J

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

(A.24)

210



k



j

kjlsτ

≤

t·T





τ

lsτ



l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

τ = (t − 1)T

+ 1, . . . , t · T

(A.25)



k



j

kjlsτ

≤





t−T



lsτ



l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

τ = (t − 1)T

+ 1, . . . , t · T

(A.26)





t·T



τ t−T



τx

lsτ

−

t·T



τ t−T



τx

lsτ

+ 1





−



j

jls

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

(A.27)



k



j

kjlsτ

≤ C

− δ

+ (1 − x

lsτ

l = 1, . . . , L

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 1, . . . , t · S

τ = (t − 1)T

+ 1, . . . , t · T

(A.28)

¯x

jks

= 0

j = 1, . . . ,

l ∈ {1, . . . ,

L}\

s = 1, . . . , T ·

(A.29)



j

¯x

jks

= 1

k = 1, . . . ,

s = 1, . . . , T ·

(A.30)

¯q

jks

≤ Q

¯x

jks

j = 1, . . . ,

k = 1, . . . ,

s = 1, . . . , T ·

(A.31)

¯q

jks

≤ Q

¯u

j = 1, . . . ,

k = 1, . . . ,

s = 1, . . . , T ·

(A.32)



j

¯q

jks

≥ Q

¯u

k = 1, . . . ,

s = 1, . . . , T ·

(A.33)

211

¯z

ijks

≥ ¯x

jks

+ ¯x

ik,s−

− 2 + ¯u

i, j = 1, . . . ,

k = 1, . . . ,

s = 1, . . . , T ·

(A.34)

¯x

jks

− ¯x

jk,s−

≤ ¯u

j = 1, . . . ,

k = 1, . . . ,

s = 1, . . . , T ·

(A.35)

¯σ



i



j

¯σ



ijk

¯z

ijks

k = 1, . . . ,

s = 1, . . . , T ·

(A.36)

¯ω

≤ ¯σ

k,t−S

t = 1, . . . , T

(A.37)

t·



st−

S

¯σ

≤ C + ¯ω

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

(A.38)

¯q

jks

t·T



τ t−T



¯q

jksτ

j = 1, . . . ,

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)

S + 1, . . . , t ·

(A.39)

jkτ

jk,τ −

t·



st−

S

¯q

jksτ

−



i



l

t·S



st−S

kilsτ

j = 1, . . . ,

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

τ = (t − 1)T

+ 1, . . . , t · T

(A.40)

jkτ

≥



i



l

t·S



st−S

kils,τ 

j = 1, . . . ,

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

τ = (t − 1)T

, . . . , t · T

− 1

(A.41)

212

t · C −

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,t·

S,τ

≥ ¯ω

k,t

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T − 1

(A.42)

t·T



τ t−T



τ ¯x

ksτ

−

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,s−,τ

≥ ¯σ

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)

S + 2, . . . , t ·

(A.43)

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,t−

S,τ

≥ (t − 1)C + ¯σ

k,t−

S

− ¯ω

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

(A.44)

t·T



τ t−T



¯x

ksτ

= 1

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)

S + 1, . . . , t ·

(A.45)



j

¯q

jksτ

≤ Q

¯x

ksτ

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)

S + 1, . . . , t ·

τ = (t − 1)T

+ 1, . . . , t · T

(A.46)

t·T



τ t−T



¯x

ksτ

= 1

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)

S + 2, . . . , t ·

(A.47)

t·T



τ t−T



¯x

k,t−

S,τ

= 1

k = 1, . . . ,

t = 2, . . . , T

(A.48)



τ 

¯x

kτ

= 1

k = 1, . . . ,

(A.49)

213

t·T



τ t−T



τ ¯x

ksτ

−

t·T



τ t−T



τ ¯x

ksτ

≤ T

¯u

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)

S + 2, . . . , t ·

(A.50)

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,t−

S,τ

−

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,t−

S,τ

≤ T

¯u

k,t−

S

k = 1, . . . ,

t = 2, . . . , T

(A.51)



τ 

τ ¯x

kτ

−



τ 

τ ¯x

kτ

≤ T

¯u

k

k = 1, . . . ,

(A.52)

t·T



τ t−T



τ ¯x

ksτ

−

t·T



τ t−T



τ ¯x

ksτ

≤ ¯u

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)

S + 2, . . . , t ·

(A.53)

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,t−

S,τ

−

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,t−

S,τ

≤ ¯u

k,t−

S

k = 1, . . . ,

t = 2, . . . , T

(A.54)



τ 

τ ¯x

kτ

−



τ 

τ ¯x

kτ

≤ ¯u

k

k = 1, . . . ,

(A.55)

t·T



τ t−T



τ ¯x

ksτ

−

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,s−,τ

≤ T

¯u

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)S + 2, . . . , t · S

(A.56)

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,t−S,τ

− ((t − 1)T

+ 1)

≤ T

¯u

k,t−S

k = 1, . . . ,

t = 2, . . . , T

(A.57)



τ 

τ ¯x

kτ

− 1 ≤ T

¯u

k

k = 1, . . . ,

(A.58)

214

¯u

≥ ¯u

k,s

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)

S + 1, . . . , t ·

S − 1

(A.59)

¯u

t·T



τ t−T



τ ¯x

ksτ

−

t·T



τ t−T



τ ¯x

ksτ

= ¯σ

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T

s = (t − 1)

S + 2, . . . , t ·

(A.60)

¯u

k,t−

S

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,t−

S,τ

−

t·T



τ t−T



τ ¯x

k,t−

S,τ

= ¯σ

k,t−

S

k = 1, . . . ,

t = 2, . . . , T

(A.61)

¯u

k



τ 

τ ¯x

kτ

−



τ 

τ ¯x

kτ

= ¯σ

k

− ¯ω

k

k = 1, . . . ,

(A.62)



j

jk,τ −

≤ Q

((1 − ¯x

ksτ

) + (1 − ¯u

))

k = 1, . . . ,

t = 1, . . . , T − 1

s = (t − 1)

S + 1, . . . , t ·

S + 1

τ = (t − 1)T

+ 1, . . . , t · T

(A.63)



j

jk,τ −

≤ Q

((1 − ¯x

ksτ

) + (1 − ¯u

))

k = 1, . . . ,

s = (T − 1)

S + 1, . . . , T ·

τ = (T − 1)T

+ 1, . . . , T · T

(A.64)

215

B - Dados utilizados nos exemplares ilustrativos

A seguir são apresentados os dados aleatórios utilizados no exemplar ilustrativo da

Seção 4.4. Para leitura do AMPL, o separador de casas decimais é o ponto “.".

Inicialmente são declarados no AMPL os parâmetros que deﬁnem as dimensões dos

modelos e dos dados. Os parâmetros são número de períodos tempo, número de bebidas

item

número de xaropes xarope, e número de máquinas.

param tempo:=2;

param item:=4;

param xarope:=2;

param maquinas:=2;

Os conjuntos utilizados para deﬁnição dos índices das variáveis devem ser deﬁnidos

explicitamente para leitura no AMPL. Os conjuntos utilizados para deﬁnir o modelo DEMM

são: conjunto de todos as bebidas a serem envasados J, conjunto dos xaropes L, conjunto dos

períodos T , conjunto das máquinas M, conjunto de todos os sub-períodos do período S, con-

junto dos sub-períodos de cada um dos três períodos respectivamente sub[1], sub[2], conjunto

das bebidas que utilizam o xarope l, delta[1], delta[2], conjunto das bebidas que pode ser pro-

216

set beta[1]:=1 2;

set beta[2]:=1 2;

A matriz dos custos de troca de bebidas nas linhas, c

é uma matriz com |J|∗ |J| que

será denominada no modelo AMPL de custos. Esta matriz, os J custos de estoque h

, e os J

custos de atraso g

são apresentados a seguir. A primeira linha das matrizes de parâmetros como

dos custos de troca, tempos de troca na linha e tempos de troca nos tanques, indica o índice da

coluna, e a primeira coluna destas matrizes indicam o índice de cada linha. Por exemplo na

matriz custos dos custos c

, a primeira linha numerada de 1 a 4, entre a pontuação ":"e ":=",

indicam as 4 bebidas que variam o índice j. A primeira coluna desta matriz, também numerada

de 1 a 4 indicam as 4 bebidas do índice i. Desta forma, o custo de troca da bebida 2 para 3

por exemplo, c

é indicado pela interseção da linha onde o primeiro elemento é o 2, e a coluna

onde se encontra o número 3. O valor de c

é 9.2, indicado em negrito na matriz.

param custos: 1 2 3 4 :=

1 0 6.0 9.2 12.3

2 7.9 0 9.2 12.3

3 2.9 10.0 0 12.3

4 19.9 20.1 18.5 0 ;

Nos casos onde os custos variam apenas em um parâmetro com custo de estoque

e custo de atraso, não há necessidade de numeração para coluna. Nestes casos há apenas a

numeração dos respectivos índices nas linhas.

param h:=

1 0.007

2 0.006

3 0.007

4 0.009;

param g:=

1 15.0

2 15.0

3 16.2

217

4 18.9;

Os parâmetros relacionados a tempos nos modelos são os tempos de produção de cada

bebida nas máquinas a

, denotado no modelo AMPL por a2; tempos de trocas de bebidas nas

linhas b

, e tempos de trocas de xaropes nos tanques b

, denotados no modelo AMPL por b2 e

b1 respectivamente.

param a2: 1 2 3 4 :=

1 0.03 0.06 0.03 0.06

2 0.03 0.06 0.03 0.06 ;

param b2: 1 2 3 4 :=

1 0 9 15 30

2 12 0 15 30

3 4 15 0 30

4 30 30 30 0;

param b1: 1 2:=

1 8 16

2 16 8 ;

A demanda d

de cada um dos 4 bebidas da nos 2 períodos é dada abaixo.

param d: 1 2 :=

1 1464 1459

2 4691 2719

3 753 746

4 12958 12666 ;

Os parâmetros 1k2 e 1k1 são as capacidades das máquinas para o modelo linear re-

solvido na Estratégia de Desagregação.

param 1k2: 1 2 :=

1 170 170

2 170 170 ;

A capacidade da máquina nos modelos DEMM, DEMMaq, MEMM são iguais e de-

notadas no modelo AMPL por k2, capacidade da linha e k1, capacidade do tanque.

param k2: 1 2 :=

218

1 1000 1000

2 1000 1000 ;

param k1:=1000;

O fator de conversão de bebida em xarope r

é uma matriz com |J||L| elementos.

param r: 1 2 3 4 :=

1 0.29 0.29 0.237 0.29

2 0.29 0.29 0.237 0.29;

219

C - Código do modelo DEMM na linguagem de modelagem

AMPL

O código apresentado a seguir, é o código do modelo DEMM implementado na linguagem de

modelagem AMPL. As informações precedidas pelo símbolo “"não são consideradas como dados pelo

software. Maiores detalhes sobre a utilização da linguagem de modelagem AMPL podem ser encontrados

em Fourer et al (2003).

param tempo integer >0;  Número de períodos

param item integer >0;  Número de bebidas

param xarope;  Número de xaropes

param maquinas;  Número de máquinas

set J ordered;  Conjunto das bebidas

set L ordered;  Conjunto dos xaropes

set T ordered;  Conjunto dos períodos

set S ordered;  Conjunto dos sub-períodos

set M ordered;  Conjunto das máquinas

set sub {T} within S ordered;  Conjunto dos sub-períodos de cada período t em T

set alfa {M} within J;  Conjunto das bebidas que podem ser produzidas

na máquina m em M

set delta {L} within J;  Conjunto das bebidas que utilizam o xarope L

set gama {m in M,l in L}:={j in alfa[m]: j in delta[l]};  Conjunto das bebidas que podem ser produzidas

na maquina m e utilizam o xarope l

set beta {M} within L;  Xaropes que podem ser preparados no tanque m

set lambda {j in J}:= {m in M: j in alfa[m]};  Conjunto das máquinas que podem produzir a bebida j

param 1d{J, T};  Demanda

param a2{M, J}>0 ;  Tempo de produção da bebida j na linha m

param r{L,J};  Quantidade de xarope l necessária para produzir a bebida j

param b2{J,J};  Tempo de troca da bebida i para j

param b1{L, L};  Tempo de troca do xarope k para l

param k2{M,T};  Capacidade da linha m no período t

param k1 ;  Capacidade maxima dos tanques

param dfutura{J};  Demanda prevista para o primeiro período

 após o horizonte de planejamento estabelecido

 (deﬁne o estoque de segurança do período t)

220

param estini{J};  Estoque inicial

param h{ J };  Custo de estoque

param g{ J };  Custo de atraso

param custos{J,J};  Custo de troca

param x1C{m in M,l in beta[m],S} >=0;  Lote de xarope (calculada a posteriore)

 Declaração das variáveis.

var IpC{j in J, 0..tempo} >=0;  Estoque

var ImC{J, 0..tempo} >=0;  Atraso

var x2C{m in M,j in alfa[m],S} >=0;  Lote de bebida (produção)

var y1C{m in M,l in beta[m],S} binary;  set up no tanque

var y2C{m in M,j in alfa[m],S} binary;  set up na linha

var z2C{m in M,i in alfa[m],j in alfa[m],S} >=0,<=1;  Troca na linha

var z1C{m in M,l1 in beta[m],l in beta[m],S} >=0, <=1;  Troca no tanque

var Atraso2C{m in M, S} >=0;  Tempo de espera da linha m no sub-período s

 Deﬁnição da função objetivo e das restrições. As restrições X1 à X8 são

 relativas a xaroparia, e as restrições L1 a L12 são relativas às linhas.

        

 FUNÇÃO OBJETIVO   

      

 Função Objetivo (4.14) Função Objetivo: minimiza custos de estoque + atraso + troca de bebida na linha.

minimize ValorC : sum{j in J ,t in T}h[j]*IpC[j,t]+sum{j in J,t in T}g[j]*ImC[j,t]+

sum{m in M,i in alfa[m], j in alfa[m],s in S}z2C[m,i,j,s]*custos[i,j];

        

  ESTAGIO I - XAROPARIA   

      

 Restrição (4.15)  Limite superior do tanque

subject to X1 {m in M, l in beta [m], t in T, s in sub[t]:l<>4}:

sum {j in gama[m,l]}r[l,j]*x2C[m,j,s]<=k1*y1C[m,l,s];



 Restrição (4.16)  Limite inferior do tanque

subject to X2 {m in M, l in beta [m], t in T, s in sub[t]:l<>4}:

sum {j in gama[m,l]}r[l,j]*x2C[m,j,s]>=(k1/8)*y1C[m,l,s];



 Restrição (4.17)  A troca de xarope no tanque no primeiro

 sub-período deve acompanhar o set up neste sub-período.

subject to X3 {m in M, l in beta[m]}: sum{l1 in beta[m]} z1C[m,l1,l,1]>=y1C[m,l,1];

221



 Restrição (4.18)  Troca nos sub-períodos tanque

subject to X5{m in M,l1 in beta[m], l in beta[m], s in S:ord(s)>1}:

z1C[m,l1,l,s]-y1C[m,l1,prev(s)]-y1C[m,l,s]>=-1;



 Restrição (4.19)  Troca entre macro-períodos nos tanques.

subject to X6 {m in M, l1 in beta[m], l in beta[m], t in T, s in S: ord(s)=t*(card(S)/card(T)) and ord(t)<card(T)}:

z1C[m,l1,l,s+1]>=sum{j in gama[m,l1]}y2C[m,j,s]+y1C[m,l,s+1]-1;



 Restrição (4.20)  Garantia de haver apenas uma troca no tanque por sub-período

subject to X7{m in M,s in S}:sum{l1 in beta[m], l in beta[m]} z1C[m,l1,l,s]<=1;



 Restrição (4.21)  Ordenação da produção em sub-períodos consecutivos

subject to X8 {m in M, t in T, s in sub[t]:ord(s)>1 and ord(s)!=(t*(card(S)/card(T))+1)}:

sum{l in beta [m] }y1C[m,l,s-1]>=sum{l in beta [m]} y1C[m,l,s];

        

 ESTAGIO II - ENVASE   

      

  Estoque inicial

subject to L1 {j in J}: IpC[j,0]=estini[j];



 Restrição (4.62)  Estoque de segurança

subject to L2 {j in J, t in T: ord(t)>1}: IpC[j,t-1]>=1d[j, t];



  Estoque de segurança do último período

subject to L3 {j in J}:IpC[j,tempo]>=dfutura[j];



  Atraso inicial nulo

subject to L4 {j in J}:ImC[j,0]=0;

 Restrição (4.22)  Restrição de balanceamento de estoque

subject to L5 {j in J,t in T}: IpC[j,t-1]-ImC[j,t-1]+sum{m in lambda[j], s in sub[t]} x2C[m,j,s]-

IpC[j,t]+ImC[j,t]=1d[j,t];



 Restrição (4.23)  Restrição de capacidade

222

subject to L6 {m in M,t in T}: sum{j in alfa[m],s in sub[t]} a2[m,j]*x2C[m,j,s] +sum{i in alfa [m], j in alfa[m],

s in sub[t]}b2 [i,j]*z2C[m,i,j,s]+sum{s in sub[t]}Atraso2C[m,s]<=k2[m,t];



 Restrição (4.24)  Tempo de espera da linha pelo tanque em cada sub-período

subject to L7 {m in M, s in S}: Atraso2C[m,s]>=

sum{l1 in beta[m], l in beta[m]} b1[l1,l]*z1C[m,l1,l,s]-

sum{i in alfa [m], j in alfa[m]} b2[i,j]*z2C[m,i,j,s];



 Restrição (4.25)  set up na linha, se não há set up não há produção

subject to L8 {m in M,j in alfa[m], t in T, s in sub[t]}: x2C[m,j,s]<=(k2[m,t]/a2[m,j])*y2C[m,j,s];



 Restrição (4.26)  Restrição de preparo da máquina para alguma bebida em todos os sub-períodos.

subject to L9 {m in M, s in S}: sum{j in alfa [m] } y2C[m,j,s]=1;



 Restrição (4.27)  Troca de bebidas na linha

subject to L10 {m in M, i in alfa [m], j in alfa[m], s in S: ord(s)>1}:

z2C[m,i,j,s]-y2C[m,i,prev(s)]-y2C[m,j,s]>=-1;



 Restrição (4.29)  A troca de bebidas na linha no primeiro sub-período deve acompanhar o

 set up neste sub-período.

subject to L11 {m in M, j in alfa[m]}: sum{i in alfa[m]} z2C[m,i,j,1]>=y2C[m,j,1];



 Restrição (4.28)  Garantia de haver apenas uma troca na linha por sub-período

subject to L12 {m in M, s in S}:sum{i in alfa[m], j in alfa[m]} z2C[m,i ,j,s]<=1;

223

D - Dados da Fábrica A

A seguir são apresentados os dados utilizados nos testes da Fábrica A (veja capítulo 4) no

formato de leitura do AMPL. Cabe ressaltar que, para proteger as informações fornecidas pela empresa,

todos os dados foram distorcidos, mantendo-se apenas a proporcionalidade dos mesmos.

param tempo:=3;

param item:=23;

param xarope:=18;

param maquinas:=2;

set J:=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23;

set L:=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;

set T:=1 2 3 ;

set M:=1 2 ;

set S:=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75;

set sub[1]:= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25;

set sub[2]:= 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 ;

set sub[3]:= 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75;

set delta[1]:=1 9 ;

set delta[2]:=2 ;

set delta[3]:= 3 ;

set delta[4]:=4 14;

set delta[5]:= 5 ;

set delta[6]:= 6 ;

set delta[7]:= 7;

set delta[8]:= 8;

set delta[9]:= 10 11;

set delta[10]:= 12 15 ;

set delta[11]:= 17 ;

set delta[12]:= 19;

set delta[13]:= 16;

set delta[14]:= 13 20;

set delta[15]:= 18;

set delta[16]:= 21;

set delta[17]:= 22;

set delta[18]:= 23;

set alfa[1]:= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23;

set alfa[2]:=14 15 16 17 18 19 20 21 22 23;

set beta[1]:=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;

set beta[2]:=4 10 11 12 13 14 15 16 17 18;

224

param custos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23:=

1 0 6037 9282 12324 17316 17316 17316 17316 12402 8023 9750 17049 17049 32152 35100 31044 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044

2 7987 0 9282 12324 17316 17316 17316 17316 18603 8023 9750 17049 17049 32152 35100 31044 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044

3 2995 10062 0 12324 17316 17316 17316 17316 18603 8023 9750 17049 17049 32152 35100 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044 31044

4 19968 20124 18564 0 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 10229 10229 21434 35100 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044 31044

5 19968 20124 18564 7394 0 8658 8658 8658 20670 8023 9750 10229 10229 35724 35100 31044 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044

6 19968 20124 18564 7394 8658 0 8658 8658 20670 8023 9750 10229 10229 35724 35100 31044 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044

7 19968 20124 18564 7394 8658 8658 0 8658 20670 8023 9750 10229 10229 35724 35100 31044 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044

8 19968 20124 18564 7394 8658 8658 8658 0 20670 8023 9750 10229 10229 35724 35100 31044 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044

9 11981 20124 18564 11092 17316 17316 17316 17316 0 8023 9750 15344 17049 32152 31590 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044 31044

10 11981 12074 11138 7394 10390 10390 10390 10390 12402 0 5850 341 341 21434 21060 18626 18626 18626

18626 18626 18626 18626 18626

11 11981 12074 11138 7394 10390 10390 10390 10390 12402 4814 0 10229 10229 21434 21060 18626 18626

18626 18626 18626 18626 18626 18626

12 19968 20124 18564 7394 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 0 17049 1429 17550 12418 12418

12418 12418 12418 15522 15522 15522

13 19968 20124 18564 12324 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 8524 0 35724 35100 31044 31044

31044 31044 31044 31044 31044 31044

14 19968 20124 18564 12324 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 8524 17049 0 17550 12418 12418

12418 12418 12418 15522 31044 15522

15 19968 20124 18564 7394 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 10229 17049 5359 0 12418 12418

12418 12418 12418 15522 15522 15522

16 17971 18112 18564 11092 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 17049 15344 14290 17550 0 12418

31044 12418 12418 31044 4657 15522

17 19968 20124 18564 12324 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 17049 17049 14290 17550 12418 0

4657 12418 12418 15522 15522 15522

18 19968 20124 18564 12324 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 17049 17049 14290 17550 12418

4657 0 12418 12418 15522 15522 15522

19 19968 20124 18564 11092 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 17049 17049 10717 17550 12418

225

12418 15522 0 12418 12418 12418 4657

20 19968 20124 18564 12324 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 17049 17049 14290 17550 12418

12418 15522 12418 0 12418 15522 15522

21 19968 20124 18564 12324 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 17049 10229 14290 17550 12418

12418 15522 12418 4657 0 15522 15522

22 19968 20124 18564 12324 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 17049 17049 14290 17550 4657 4657

6209 12418 12418 15522 0 15522

23 19968 20124 18564 12324 17316 17316 17316 17316 20670 8023 9750 17049 17049 14290 17550 12418

12418 15522 4657 12418 15522 15522 0;

param h:=

1 0.007

2 0.007

3 0.006

4 0.009

5 0.014

6 0.014

7 0.014

8 0.014

9 0.014

10 0.007

11 0.003

12 0.009

13 0.014

14 0.013

15 0.012

16 0.011

17 0.011

18 0.011

19 0.011

20 0.011

21 0.011

22 0.011

23 0.011;

param g:=

1 5.0

2 5.0

3 4.6

4 6.2

5 10.1

6 10.1

7 10.1

226

8 10.1

9 10.3

10 4.7

11 2.0

12 6.2

13 9.9

14 8.9

15 8.8

16 7.8

17 7.8

18 7.8

19 7.8

20 7.8

21 7.8

22 7.8

23 7.8;

param a2: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 :=

1 0.03 0.03 0.03 0.06 0.07 0.07 0.07 0.07 0.06 0.07 0.024 0.06 0.07 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06

0.06 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03;

param b2: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23:=

1 0 90 150 300 300 300 300 300 180 300 300 300 300 270 300 300 300 300 300 300 300 300 300

2 120 0 150 300 300 300 300 300 270 300 300 300 300 270 300 300 300 300 300 300 300 300 300

3 45 150 0 300 300 300 300 300 270 300 300 300 300 270 300 300 300 300 300 300 300 300 300

4 300 300 300 0 300 300 300 300 300 300 300 180 180 180 300 300 300 300 300 300 300 300 300

5 300 300 300 180 0 150 150 150 300 300 300 180 180 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300

6 300 300 300 180 150 0 150 150 300 300 300 180 180 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300

7 300 300 300 180 150 150 0 150 300 300 300 180 180 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300

8 300 300 300 180 150 150 150 0 300 300 300 180 180 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300

9 180 300 300 270 300 300 300 300 0 300 300 270 300 270 270 300 300 300 300 300 300 300 300

10 180 180 180 180 180 180 180 180 180 0 180 6 6 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180

11 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 0 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180

12 300 300 300 180 300 300 300 300 300 300 300 0 300 12 150 120 120 120 120 120 150 150 150

13 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 150 0 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300

14 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 150 300 0 150 120 120 120 120 120 150 300 150

15 300 300 300 180 300 300 300 300 300 300 300 180 300 45 0 120 120 120 120 120 150 150 150

16 270 270 300 270 300 300 300 300 300 300 300 300 270 120 150 0 120 300 120 120 300 45 150

17 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 120 150 120 0 45 120 120 150 150 150

18 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 120 150 120 45 0 120 120 150 150 150

19 300 300 300 270 300 300 300 300 300 300 300 300 300 90 150 120 120 150 0 120 120 120 45

20 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 120 150 120 120 150 120 0 120 150 150

21 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 180 120 150 120 120 150 120 45 0 150 150

22 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 120 150 45 45 60 120 120 150 0 150

227

23 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 120 150 120 120 150 45 120 150 150 0;

param b1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18:=

1 85 165 165 0 225 225 225 225 195 165 165 165 165 165 195 195 195 195

2 165 85 165 0 225 225 225 225 195 165 165 165 165 165 195 195 195 195

3 120 120 40 0 180 180 180 180 150 120 120 120 120 120 150 150 150 150

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 240 240 240 0 160 160 300 300 270 240 240 240 240 240 240 240 240 240

6 240 240 240 0 300 160 300 300 270 240 240 240 240 240 270 270 270 270

7 240 240 240 0 300 300 160 300 270 240 240 240 240 240 270 270 270 270

8 240 240 240 0 300 300 160 160 270 240 240 240 240 240 240 240 240 240

9 40 40 40 0 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

10 165 165 165 0 225 225 225 225 195 85 165 165 165 165 165 165 165 165

11 165 165 165 0 225 225 225 225 195 165 85 165 165 165 195 195 195 195

12 165 165 165 0 225 225 225 225 195 165 165 85 165 165 195 195 195 195

13 165 165 165 0 225 225 225 225 195 165 165 165 85 165 195 195 195 195

14 165 165 165 0 225 225 225 225 195 165 165 165 165 85 195 195 195 195

15 165 165 165 0 225 225 225 225 195 165 85 165 165 165 85 165 165 165

16 165 165 165 0 225 225 225 225 195 165 165 165 165 85 165 85 165 165

17 165 165 165 0 225 225 225 225 195 165 165 165 85 165 165 165 85 165

18 165 165 165 0 225 225 225 225 195 165 165 85 165 165 165 165 165 85;

param d: 1 2 3 :=

1 14649 14596 14638

2 46916 27199 26578

3 5058 5027 5020

4 7538 7468 7329

5 2676 1800 1800

6 5490 5481 5475

7 4511 4544 4555

8 2400 2200 2262

9 4000 0 4000 10 811 794 773

11 2086 2172 2288

12 725 760 800

13 4584 4551 4549

14 129582 126669 122022

15 12605 13343 13250

16 21955 21378 34268

17 6304 6435 7709

18 1047 1504 1290

19 8793 9171 11469

20 13135 13210 18333

21 4487 4636 5222

22 2325 2527 2883

23 2974 3115 3687 ;

228

param 1k2: 1 2 3 :=

1 4760 4760 4760

2 7640 7640 7640 ;

param k2: 1 2 3 :=

1 5760 5760 5760

2 8640 8640 8640;

param k1:=24000;

param r: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23:=

1 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

7 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

9 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

10 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

11 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

13 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

14 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

15 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

16 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

17 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

18 0.29 0.29 0.29 0.237 1.5 1.5 1.5 1.5 1 1.5 0.51 0.237 1.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2;

O estoque inicial de bebida e a demanda do período futuro são dados a seguir e denotados

respectivamente por estini, dfutura.

param estini:=

1 27072

2 62200

3 7502

4 26240

5 4701

6 10787

7 10468

8 1662

9 1518

229

10 1393

11 4360

12 3171

13 13132

14 190000

15 19505

16 45000

17 12450

18 2581

19 16177

20 42300

21 7000

22 4679

23 4542 ;

param dfutura:=

1 14673

2 26690

3 5036

4 7409

5 2007

6 5537

7 4566

8 1951

9 4000

10 861

11 2704

12 763

13 4517

14 129091

15 13492

16 29363

17 6957

18 1243

19 11878

20 17856

21 5198

22 2909

23 3893;

230

E - Tabelas da Etapa II da solução do modelo DEMM com

dados da Fábrica A

São apresentados a seguir, nas Tabelas E.1, E.2 e E.3 os dados da Etapa I dos testes, TESTE 1,

TESTE 2 e TESTE 3, respectivamente, realizados com as heurísticas relax and ﬁx na solução do modelo

DEMM, Seção 6.2.1. A primeira coluna da tabela indica o nome da estratégia testada, as próximas

colunas indicam o valor da melhor solução inteira de cada exemplar, o gap de otimalidade é apresentado

logo abaixo da valor da solução.

TESTE 1 - Etapa II

Tabela E.1: Soluções Modelo DEMM - TESTE 1 - Etapa II

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 664.055,3 679.655,5 1.258.028,5 687.628,6 1.812.335,0 1.020.340,6

98,4 96,9 99,2 98,0 99,4 98,4

G1.2 569.879,3 763.466,4 1.030.681,7 697.389,8 1.779.901,9 968.263,8

98,2 97,3 99,0 98,0 99,4 98,4

G1.3 987.213,0 946.261,4 967.124,7 2.378.616,5 1.858.273,9 1.427.497,9

98,9 98,9 98,9 99,4 99,4 99,1

G1.4 533.200,2 755.150,4 1.438.215,3 1.012.236,7 1.804.570,8 1.108.674,7

98,0 97,2 99,3 98,6 99,4 98,5

G1.5 461.791,3 513.222,2 726.673,3 645.509,3 1.414.580,0 752.355,2

97,7 95,9 98,6 97,8 99,2 97,9

G2.1 552.116,8 495.159,9 594.116,9 563.097,9 930.203,5 626.939,0

98,1 95,8 98,2 97,5 98,8 97,7

G2.2 655.146,8 743.140,7 1.163.605,2 945.867,1 1.702.926,9 1.042.137,3

98,4 97,2 99,1 98,5 99,4 98,5

G2.3 550.669,9 538.523,0 782.867,7 + + 624.020,2

98,1 96,1 98,7 97,6

G2.4 699.054,1 517.526,0 932.867,9 706.944,7 1.164.549,7 804.188,5

98,5 96,0 98,9 98,0 99,1 98,1

G2.5 889.927,2 771.435,4 898.248,8 773.004,2 * 833.153,9

98,8 97,3 98,8 98,2 98,3

G2.6 452.766,8 572.606,6 646.323,6 421.290,9 1.285.540,8 675.705,7

97,7 96,4 98,4 96,7 99,2 97,7

G2.7 384.080,8 490.303,0 445.062,5 402.984,2 603.705,8 465.227,3

97,3 95,7 97,7 96,5 98,2 97,1

G3.1 1.047.818,8 1.060.900,8 633.753,3 1.084.532,7 1.055.002,6 976.401,6

99,0 98,0 98,4 98,7 99,0 98,6

G3.2 785.803,2 * * * 1.584.699,3 1.185.251,3

98,7 99,3 99,0

G3.3 556.107,4 * * 923.544,8 * 739.826,1

98,1 98,5 98,3

média 652.642,1 680.565,5 885.966,9 864.819,0 1.416.357,5

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

+ Solução infactível.

231

TESTE 2 - Etapa II

Tabela E.2: Soluções Modelo DEMM - TESTE 2 - Etapa II

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 717.486,3 996.050,3 712.798,9 921.856,1 2.315.672,9 1.132.772,9

98,5 97,9 98,5 98,5 99,5 98,6

G1.2 763.677,8 943.173,8 1.189.624,6 861.825,8 961.674,3 943.995,3

98,6 97,8 99,1 98,4 98,5 98,5

G1.3 763.677,8 570.044,7 1.736.396,0 796.592,7 1.543.059,8 1.081.954,2

98,6 96,3 99,4 98,2 99,3 98,4

G1.4 837.748,9 490.713,5 452.895,6 603.983,3 2.993.432,2 1.075.754,7

98,8 95,8 97,7 97,7 99,6 97,9

G1.5 620.519,3 862.997,0 601.815,1 588.628,8 3.009.668,4 1.136.725,7

98,3 97,6 98,3 97,6 99,6 98,3

G2.1 577.092,8 472.918,0 467.172,5 470.559,8 1.170.481,7 631.645,0

98,2 95,6 97,8 97,0 99,1 97,5

G2.2 603.662,2 469.236,4 991.077,5 1.379.950,9 3.009.668,4 1.290.719,1

98,3 95,6 98,9 99,0 99,6 98,3

G2.3 770.537,6 1.049.425,5 707.589,3 1.596.158,0 + 1.030.927,6

98,6 98,0 98,5 99,1 98,6

G2.4 938.392,2 650.710,6 642.754,0 902.962,1 1.426.303,8 912.224,5

98,9 96,8 98,4 98,4 99,2 98,4

G2.5 813.551,3 901.999,8 873.439,8 855.525,0 + 861.129,0

98,7 97,7 98,8 98,4 98,4

G2.6 500.231,8 542.854,4 799.535,0 772.205,2 865.892,8 696.143,8

97,9 96,2 98,7 98,2 98,8 97,9

G2.7 467.256,8 550.723,8 557.365,3 614.691,0 738.697,8 585.746,9

97,8 96,2 98,1 97,7 98,5 97,7

G3.1 670.472,2 896.934,9 684.039,7 1.123.206,9 952.892,0 865.509,1

98,4 97,7 98,5 98,8 98,9 98,4

G3.2 727.227,7 1.226.203,3 747.955,2 * * 900.462,1

98,6 98,3 98,6 98,5

G3.3 * * * * *

média 697.966,76 758.856,14 797.461,32 971.610,21 1.825.728,73

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

+ Solução infactível.

232

TESTE 3 - Etapa II

Tabela E.3: Soluções Modelo DEMM - TESTE 3 - Etapa II

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 1.103.493,7 1.071.341,0 805.064,4 739.766,2 1.187.895,0 981.512,1

99,1 98,1 98,7 98,1 99,1 98,6

G1.2 929.253,3 729.859,6 1.193.574,8 949.660,9 1.547.749,5 1.070.019,6

98,9 97,1 99,1 98,5 99,3 98,6

G1.3 1.220.845,0 852.139,7 880.787,3 814.650,7 1.713.360,9 1.096.356,7

99,1 97,6 98,8 98,3 99,4 98,6

G1.4 1.179.006,0 1.183.305,7 1.352.480,1 760.988,0 1.848.281,0 1.264.812,2

99,1 98,2 99,2 98,2 99,4 98,8

G1.5 796.006,2 1.120.130,2 1.335.960,9 1.204.707,0 1.848.281,0 1.261.017,1

98,7 98,1 99,2 98,8 99,4 98,9

G2.1 413.415,4 599.298,6 415.604,9 517.685,0 809.590,9 551.119,0

97,5 96,5 97,5 97,3 98,7 97,5

G2.2 1.041.648,5 745.767,2 1.108.850,7 685.833,2 1.914.991,9 1.099.418,3

99,0 97,2 99,1 98,0 99,4 98,5

G2.3 871.932,2 933.138,4 + 647.103,6 + 817.391,4

98,8 97,8 97,8 98,1

G2.4 526.158,9 575.739,2 971.867,2 709.427,5 896.926,0 736.023,8

98,0 96,4 98,9 98,0 98,8 98,0

G2.5 741.593,0 1.025.355,6 1.033.588,2 839.961,8 1.107.010,9 949.501,9

98,6 98,0 99,0 98,3 99,0 98,6

G2.6 557.450,1 607.017,7 697.353,7 496.267,4 762.776,6 624.173,1

98,1 96,6 98,5 97,2 98,6 97,8

G2.7 807.941,7 556.103,6 747.457,5 680.501,0 1.088.656,0 776.132,0

98,7 96,2 98,6 97,9 99,0 98,1

G3.1 1.102.916,3 1.156.606,4 1.957.483,7 869.799,3 1.060.410,2 1.229.443,2

99,1 98,2 99,5 98,4 99,0 98,8

G3.2 * * 1.477.780,0 * * 1.477.780,0

99,3 99,3

G3.3 958.823,0 * * * * 958.823,0

98,9 98,9

média 875.034,5 858.138,7 1.075.219,5 762.796,3 1.315.494,2

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

+ Solução infactível.

233

F - Tabelas da Etapa II da solução do modelo DEMMaq com

dados da Fábrica A

São apresentados a seguir, nas Tabelas F.1, F.2 e F.3 os dados da Etapa I dos testes, TESTE 1,

TESTE 2 e TESTE 3, respectivamente, realizados com as heurísticas relax and ﬁx na solução do modelo

DEMMaq, Seção6.2.2. A primeira coluna da tabela indica o nome da estratégia testada, as próximas

colunas indicam o valor da melhor solução inteira de cada exemplar, o gap de otimalidade é apresentado

logo abaixo da valor da solução.

TESTE 1 - Etapa II

Tabela F.1: Soluções Modelo DEMMaq - TESTE 1 - Etapa II

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 760.162,5 525.491,4 406.363,6 427.530,8 433.657,2 510.641,1

98,6 96,0 97,4 96,7 97,5 97,3

G1.2 555.417,2 493.887,3 601.688,2 559.197,3 538.137,2 549.665,4

98,1 95,8 98,3 97,5 98,0 97,5

G1.3 481.895,8 667.318,7 613.922,0 559.197,3 873.997,1 639.266,2

97,8 96,9 98,3 97,5 98,8 97,9

G1.4 390.836,6 410.749,4 497.013,5 310.343,7 520.361,0 425.860,8

97,3 94,9 97,9 95,5 97,9 96,7

G1.5 494.651,1 450.880,6 437.907,0 340.700,8 635.208,1 471.869,5

97,9 95,4 97,6 95,9 98,3 97,0

G2.2 465.052,7 604.517,6 582.965,5 443.616,1 703.382,3 559.906,8

97,8 96,6 98,2 96,8 98,5 97,6

G2.3 872.825,5 718.540,2 730.345,3 622.533,1 696.478,5 728.144,5

98,8 97,1 98,6 97,8 98,4 98,1

G2.4 349.730,8 491.977,6 418.155,8 373.466,3 355.556,2 397.777,3

97,0 95,8 97,5 96,3 97,0 96,7

G2.5 762.655,0 684.790,0 781.029,9 611.160,0 849.955,0 737.918,0

98,6 97,0 98,7 97,7 98,7 98,1

G2.6 507.065,0 559.189,9 508.958,4 519.956,7 537.147,5 526.463,5

97,9 96,3 98,0 97,3 98,0 97,5

G2.7 434.536,5 403.200,3 492.155,1 347.782,0 502.300,1 435.994,8

97,6 94,8 97,9 96,0 97,8 96,8

G3.1 828.487,8 799.574,5 712.291,1 747.876,5 809.373,4 779.520,7

98,7 97,4 98,5 98,1 98,7 98,3

G3.2 1.360.297,8 752.208,2 427.680,6 641.651,0 371.938,0 710.755,1

99,2 97,2 97,6 97,8 97,1 97,8

G3.3 739.023,2 705.841,3 1.108.587,7 680.410,7 909.287,9 828.630,2

98,6 97,0 99,1 97,9 98,8 98,3

média 643.045,5 590.583,4 594.218,8 513.244,5 624.055,7

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

+ Solução infactível.

234

TESTE 2 - Etapa II

Tabela F.2: Soluções Modelo DEMMaq - TESTE 2 - Etapa II

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 525.909,7 475.201,8 424.577,0 528.695,7 540.116,0 498.900,0

98,0 95,6 97,5 97,4 98,0 97,3

G1.2 464.739,3 534.289,9 476.103,1 562.573,4 629.289,4 533.399,0

97,8 96,1 97,8 97,5 98,3 97,5

G1.3 606.701,3 864.667,2 730.734,9 536.739,1 344.219,5 616.612,4

98,3 97,6 98,6 97,4 96,9 97,7

G1.4 1.078.998,1 684.342,4 920.050,0 419.787,4 655.247,9 751.685,2

99,0 97,0 98,9 96,7 98,3 98,0

G1.5 495.304,5 * 380.315,3 809.782,1 662.700,9 587.025,7

97,9 97,3 98,3 98,4 97,9

G2.2 646.170,8 650.618,2 622.090,1 657.224,7 707.624,6 656.745,7

98,4 96,8 98,3 97,9 98,5 98,0

G2.3 518.168,6 691.792,5 743.535,0 609.606,2 1.015.918,6 715.804,2

98,0 97,0 98,6 97,7 98,9 98,0

G2.4 486.523,2 589.872,8 530.398,5 481.003,5 586.103,2 534.780,2

97,9 96,5 98,0 97,1 98,2 97,5

G2.5 556.492,8 664.867,9 684.027,8 707.712,4 * 653.275,2

98,1 96,9 98,5 98,0 97,9

G2.6 472.735,3 628.262,5 472.908,2 504.375,8 539.720,9 523.600,5

97,8 96,7 97,8 97,2 98,0 97,5

G2.7 417.940,0 428.806,0 406.877,7 541.871,8 499.957,8 459.090,7

97,5 95,1 97,4 98,1 97,9 97,2

G3.1 785.653,5 882.417,6 842.769,3 874.895,4 608.324,8 798.812,1

98,7 97,6 98,8 98,4 98,2 98,3

G3.2 520.563,5 548.986,7 582.879,0 460.692,6 516.122,1 525.848,8

98,0 96,2 98,2 97,0 97,9 97,5

G3.3 574.543,7 791.581,7 1.219.429,7 703.128,0 944.644,3 846.665,5

98,2 97,4 99,1 98,0 98,9 98,3

média 582.174,6 648.900,6 645.478,3 599.863,4 634.614,6

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

+ Solução infactível.

235

TESTE 3 - Etapa II

Tabela F.3: Soluções Modelo DEMMaq - TESTE 3 - Etapa II

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 604.009,3 533.337,0 638.246,0 608.940,7 485.824,6 574.071,5

98,3 96,1 98,4 97,7 97,8 97,6

G1.2 796.662,2 650.441,0 546.284,5 590.983,0 595.958,5 636.065,8

98,7 96,8 98,1 97,6 98,2 97,9

G1.3 700.240,1 664.900,5 1.106.843,1 737.780,1 743.526,6 790.658,1

98,5 96,9 99,1 98,1 98,5 98,2

G1.4 674.983,3 527.319,5 643.779,7 799.135,7 736.537,3 676.351,1

98,5 96,0 98,4 98,2 98,5 97,9

G1.5 482.339,2 638.066,0 442.499,8 426.197,1 624.723,2 522.765,1

97,8 96,7 97,6 96,7 98,3 97,4

G2.2 617.504,1 721.416,9 863.220,1 646.754,7 706.293,9 711.037,9

98,3 97,1 98,8 97,8 98,5 98,1

G2.3 722.619,1 753.963,0 760.370,6 594.592,2 * 566.309,0

98,6 97,2 98,6 97,6 78,4

G2.4 527.710,9 606.931,1 554.143,8 637.986,8 448.802,2 555.115,0

98,0 96,6 98,1 97,8 97,6 97,6

G2.5 747.010,5 711.414,5 726.012,3 598.268,8 1.114.544,0 779.450,0

98,6 97,1 98,6 97,7 99,0 98,2

G2.6 558.607,3 617.594,8 580.449,4 378.727,7 485.020,2 524.079,9

98,1 96,6 98,2 96,3 97,8 97,4

G2.7 324.496,2 434.939,3 496.986,1 442.049,4 498.172,0 439.328,6

96,8 95,2 97,9 96,8 97,8 96,9

G3.1 823.295,6 688.256,2 1.389.652,2 847.122,4 910.013,1 931.667,9

98,7 97,0 99,2 98,3 98,8 98,4

G3.2 379.628,6 442.024,1 397.975,5 450.868,2 822.886,7 498.676,6

97,3 95,3 97,4 96,9 98,7 97,1

G3.3 725.315,5 755.174,8 856.735,4 835.694,2 * 634.584,0

98,6 97,2 98,8 98,3 78,6

média 620.315,9 624.698,5 714.514,2 613.935,8 793.974,4

* Não encontra uma solução inteira no limite de tempo.

+ Solução infactível.

236

G - Tabelas da Etapa I da solução do modelo MEMM com

dados da Fábrica A

São apresentados a seguir, nas Tabelas G.1, G.2 e G.3 os dados da Etapa I dos testes, TESTE 1,

TESTE 2 e TESTE 3, respectivamente, realizados com as heurísticas relax and ﬁx na solução do modelo

MEMM, Seção 6.2.2. A primeira coluna da tabela indica o nome da estratégia testada, as próximas

colunas indicam o valor da melhor solução inteira de cada exemplar, o gap de otimalidade é apresentado

logo abaixo da valor da solução. O status da solução, (+), se ela factível ou (-), caso contrário, é indicado

logo abaixo do valor da solução.

TESTE 1 Etapa I

Tabela G.1: Soluções Modelo MEMM - TESTE 1

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 434.437,3 605.443,0 433.492,7 452.442,7 551.832,2 495.529,6

(+) (-) (-) (-) (+)

G1.2 811.499,0 416.048,6 356.354,2 477.585,2 555.987,2 523.494,8

(-) (+) (-) (-) (-)

G1.3 356.357,2 674.772,9 663.605,5 534.725,2 1.152.189,0 676.330,0

(+) (-) (-) (-) (-)

G1.4 434.804,8 431.093,8 434.854,6 400.818,4 507.311,5 441.776,6

(-) (-) (-) (-) (-)

G1.5 387.001,1 434.608,4 346.418,3 314.710,9 382.807,2 373.109,2

(-) (-) (-) (+) (-)

G2.1 314.376,3 302.583,9 328.617,0 319.250,9 396.852,3 332.336,1

(-) (-) (-) (+) (-)

G2.8 337.453,0 301.711,9 331.859,3 323.955,0 443.282,7 347.652,4

(+) (-) (-) (-) (-)

G3.1 1.274.420,3 1.197.388,9 2.200.161,3 1.681.776,7 2.139.843,6 1.698.718,2

(-) (-) (+) (-) (-)

G3.2 1.409.654,0 1.755.516,5 4.615.886,6 1.455.859,0 2.296.138,0 2.306.610,8

(-) (-) (+) (-) (-)

G3.3 1.430.149,5 1.637.466,0 1.937.734,2 1.175.186,2 1.350.459,8 1.506.199,1

(-) (+) (+) (+) (-)

média 719.015,3 775.663,4 1.164.898,4 713.631,0 977.670,4

237

TESTE 2 Etapa I

Tabela G.2: Soluções Modelo MEMM - TESTE 2 - Etapa I

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 478.013,0 432.753,9 439.490,7 514.897,3 639.073,9 500.845,8

(-) (-) (-) (-) (-)

G1.2 417.074,8 379.217,4 486.769,7 398.486,8 456.467,6 427.603,3

(-) (+) (+) (-) (-)

G1.3 716.029,7 654.532,1 733.901,3 586.151,1 1.086.628,3 755.448,5

(-) (-) (-) (-) (-)

G1.4 426.720,0 453.183,8 275.088,2 424.406,5 458.971,0 407.673,9

(-) (-) (-) (-) (-)

G1.5 301.892,9 348.525,4 307.740,7 362.782,1 422.960,3 348.780,3

(-) (-) (+) (+) (-)

G2.1 322.691,2 332.432,6 284.154,2 365.792,6 354.303,0 331.874,7

(+) (+) (-) (+) (-)

G2.8 320.275,7 276.184,5 346.210,9 331.786,2 424.943,0 339.880,1

(-) (+) (-) (-) (-)

238

TESTE 3 Etapa I

Tabela G.3: Soluções Modelo MEMM - TESTE 3 - Etapa I

Est. Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5 média

G1.1 449.243,6 388.857,5 473.987,0 453.327,3 483.146,3 449.712,3

(-) (-) (-) (-) (-)

G1.2 434.454,8 437.703,3 485.093,0 563.373,4 539.099,0 491.944,7

(-) (-) (-) (+) (-)

G1.3 604.652,8 671.498,3 654.833,0 674.869,6 1.194.408,3 760.052,4

(-) (-) (-) (-) (-)

G1.4 513.060,9 497.402,7 473.471,8 398.010,2 607.650,8 497.919,3

(-) (-) (-) (-) (-)

G1.5 473.971,7 482.600,6 521.226,0 399.856,2 563.416,1 488.214,1

(-) (-) (-) (-) (-)

G2.1 335.217,6 363.131,2 382.734,4 365.405,2 307.678,0 350.833,3

(-) (-) (+) (+) (-)

G2.8 338.259,4 339.953,4 361.756,3 385.555,4 554.121,2 395.929,1

(+) (-) (-) (+) (-)

G3.1 2.199.080,1 2.116.110,9 4.288.899,8 2.160.548,7 2.089.945,3 2.570.917,0

(+) (+) (+) (-) (+)

G3.2 2.280.325,6 2.288.855,9 4.368.076,4 2.346.633,5 2.114.949,9 2.679.768,3

(+) (+) (+) (+) (+)

G3.3 2.178.142,0 1.982.818,9 3.102.266,9 1.820.588,1 1.424.027,1 2.101.568,6

(+) (+) (+) (+) (+)

média 980.640,9 956.893,3 1.511.234,5 956.816,8 987.844,2

H - Estudos Preliminares com Planos de Corte do CPLEX -

modelos Não Sincronizados

Testes com Exemplares Gerados Aleatoriamente

Aﬁm de veriﬁcar qual o desempenho do CPLEX na solução de exemplares com as dimensões

dos problemas reais, foram realizados testes com 10 exemplares do modelo Dois Estágios Multi Máqui-

nas Não Sincronizado, e 10 exemplares do modelo Mono Estágios Multi Máquinas Não Sincronizado,

MEMM. No entanto, após as visitas a empresa percebeu-se que alguns parâmetros de entrada estavam

pouco realistas. Por exemplo, as capacidades disponíveis estão bem mais folgadas que na prática, os

custos de atrasos e estoques estão grandes em relação aos outros custos. A sincronia entre os estágios de

envase e xaroparia também não havia sido considerada, ou seja, os modelos testados são do tipo (4.14)-

(4.12). Assim, os resultados abaixo devem ser analisados com cautela. Mas servem como indicativos da

eﬁciência do CPLEX para esta classe de problemas, no modelo DEMM Não Sincronizado.

A Tabela H.1 apresenta as dimensões dos exemplares em relação ao número de itens, e a

Tabela H.2 apresenta o número total de variáveis, variáveis binárias, restrições, e esparsidade da matriz

de restrições dos exemplares. Nesta seção DEMM-C e MEMM-C, são os exemplares dos Modelos

Dois Estágios Mono Máquinas (que está inserido na Estratégia de Desagregação) e o Modelo Mono

Estágio Multi Máquinas que possuem dimensões do problema da Fábrica C, e DEMM-A e MEMM-A

são, o Modelo Dois Estágios Multi Máquinas e o Modelo Mono Estágio Multi Máquinas que possuem

dimensões do problema da Fábrica A.

Tabela H.1: Número de Itens

Exemplar Bebida. (J) Xaropes (L) Máquinas (M) Período (T) Sub-per. (N)

DEMM-A 18 10 2 4 72

MEMM-A 18 10 2 4 72

DEMM-C 27 9 1 4 108

MEMM-C 27 9 1 4 108

240

Tabela H.2: Número de Variáveis e Restrições dos Exemplares

Exemplar Total Variáveis Var. Binárias Restrições Não Zeros

DEMM-A 69300 4032 68236 269044

MEMM-A 52060 2592 49552 201932

DEMM-C 71658 3888 70206 276075

MEMM-C 63666 2916 61485 244296

Fábrica A

Os tempos de troca variam de 30 minutos a 5 horas (300 minutos). Na xaroparia os tempos

de troca mais os tempos de preparo variam de 1 hora a 2 horas. A demanda na fábrica é semanal e pode

variar de 0 a 700 pacotes dependendo da bebida. A velocidade de produção varia de bebida para bebida e

é dada por pacotes produzidos por hora. Tendo em vista que o modelo considera o tempo de produção em

termos da velocidade de produção de 1 pacote por unidade de tempo, no caso minutos, os tempos foram

adequados e variam de 0.024 minutos a 0.075 minutos. Os tempos de produção dos xaropes também

foram ﬁxados em 1 unidade de tempo, como nos dados da fábrica de menor porte.

Tabela H.3: Intervalos para geração de dados Exemplares Maiores

Dados Notação Intervalos

Demanda d

[0, 7000]

Tempo Produção bebida a

[0.024, 0.075]

Tempo Produção de Xarope a

Tempo de troca de bebida b

[30, 300]

Tempo de troca de Xarope b

[12000, 24000]

Quantidade de Xarope por bebida r

[0.25, 2.5]

Capacidade da Linha K

9005400

Capacidade do Tanque K

120000

Custos de Estoque h

[5, 20]

Custos de Atraso g

[20, 100]

Custos de troca de bebida s

2∗b

1000

Custos de troca de Xarope s

2∗b

1000

Para estudar o comportamento do modelo em relação ao uso de planos de corte foram testadas

três estratégias. O critério de parada foi a avaliação de 10000 nós. Inicialmente os exemplares foram

resolvidos com os parâmetros padrões do CPLEX 9.1. Esta é a primeira estratégia (estratégia 1). Na so-

lução dos testes pela estratégia 1 foi observada a geração de Planos de Corte. Então a segunda estratégia

(estratégia 2) utilizada é a solução dos modelos pelo padrão do CPLEX 9.0 sem a geração de qualquer

241

Plano de Corte.

Tendo em vista que os únicos planos de corte gerados foram os Planos de Corte de Fluxo e

os Planos de Corte de Gomory, seção 3.3, a terceira estratégia utilizada na solução dos exemplares foi o

padrão do CPLEX com a geração agressiva de Inequações de Fluxo. A Tabela H.4 resume as diferenças

entre as estratégias adotadas.

Tabela H.4: Estratégias utilizadas na solução dos exemplares

Estratégias Inequações de Fluxo Outras Inequações

Estratégia 1 padrão padrão

(Padrão CPLEX) (automático) (automático)

Estratégia 2 desligado desligado

(Sem Planos de Corte)

Estratégia 3 geração moderada desligado

Modelo Dois Estágios Multi Máquinas

Para a solução do Modelo Dois Estágios Multi Máquinas, os planos de corte tiveram uma

boa inﬂuência. No entanto, a geração dos Cortes de Fluxo não foram tão eﬁcazes quanto para os outros

modelos, pois a estratégia 3 foi melhor em apenas 2 exemplos, enquanto a estratégia 1 foi melhor em 7.

Modelo Mono Estágio Multi Máquinas

Observa-se que para o Modelo Mono Estágio Multi Máquinas a estratégia 3 também tem um

bom desempenho, melhor em 6 exemplares. E as estratégias 2 e 3 foram melhores em dois exemplares

cada uma.

242

Tabela H.5: Resultado Modelo Dois Estágios Multi Máquinas-Fábrica A

Exemp. Estrat. Melhor Nó melhor Iter. Tempo gap Flow Flow Gom.

Sol. Int. Sol. Int. (segundos) path

DEMM-A1 Estrat. 1 58046225.7 720 1077839 19023.55 70.88% 93 1 7

Estrat. 2 70906709.4 3330 618739 9841.51 76.16%

Estrat. 3 68362403.9 660 938756 15021.8 75.27% 92

DEMM-A2 Estrat. 1 40900670.5 7510 1356514 25849.51 91.05% 116 14

Estrat. 2 44763562.0 2000 648226 10048.60 91.82%

Estrat. 3 43438056.4 570 1264792 98414.3 91.57% 109

DEMM-A3 Estrat. 1 44725139.7 8120 2186852 53142.72 88.47% 119 2 24

Estrat. 2 47910691.7 6630 903346 22513.73 89.24%

Estrat. 3 46461747.6 31818.6 1657879 31818.6 88.90% 108

DEMM-A4 Estrat. 1 43872114.3 620 1808230 31389.38 89.92% 103 2 15

Estrat. 2 49586007.9 3871 903272 20949.6 91.08%

Estrat. 3 49993483.3 1940 1542913 31468.1 91.15% 127

DEMM-A5 Estrat. 1 65953956.4 150 1080081 18090.74 58.90% 103 2 27

Estrat. 2 71881979.9 9040 1262342 68636.6 62.29%

Estrat. 3 67707497.8 740 1598979 38520.5 59.96 % 100

DEMM-A6 Estrat. 1 74735073.0 720 1462998 36787.52 58.35% 90 1 19

Estrat. 2 78281159.9 7100 819286 15274.1 60.23%

Estrat. 3 75448162.2 480 1071806 18778.8 58.74% 91

DEMM-A7 Estrat. 1 94034101.9 2190 1180763 31086.81 57.88% 81 0 31

Estrat. 2 89548049.5 1970 663607 25791.0 55.77%

Estrat. 3 87682125.5 630 915391 15301.2 54.83% 86

DEMM-A8 Estrat. 1 71759724.7 1600 1627050 33033.01 74.39% 90 2 27

Estrat. 2 70468021.3 7850 708726 11788.3 73.92%

Estrat. 3 77456814.8 1070 1440407 24190.6 76.27% 92

DEMM-A9 Estrat. 1 79093244.9 4830 702672 11731.65 45.61% 65 4 34

Estrat. 2 80150012.0 6840 696711 11590.8 46.33%

Estrat. 3 83881127.2 490 909350 14721.0 48.72% 71

DEMM-A10 Estrat. 1 57423015.8 2530 1163078 19714.22 81.97% 106 34

Estrat. 2 59493058.5 4030 828883 12494.9 82.59%

Estrat. 3 54444104.4 770 1207613 23178.7 80.98% 116

243

Tabela H.6: Resultado Mono Estágio Multi Máquinas - Fábrica A

Exemp. Estrat. Melhor Nó melhor Iter. Tempo gap Flow Flow Gom.

Sol. Int. Sol. Int. (segundos) path

MEMM-A1 Estrat. 1 1699.9 4861 370956 3399.75 100 % 103 0 20

Estrat. 2 15789.8 8903 303335 2309.92 100 %

Estrat. 3 1275.0 4976 359862 3320.7 100 % 118

MEMM-A2 Estrat. 1 1618.1 3989 416217 3959.97 100 % 102 0 16

Estrat. 2 1731.5 3506 268364 2246.70 100 %

Estrat. 3 1687.4 4101 403649 3800.4 100 % 104

MEMM-A3 Estrat. 1 1533.0 8345 484701 3773.46 100 % 95 0 19

Estrat. 2 1998.9 8805 333277 2526.07 100 %

Estrat. 3 1494.9 5519 306074 2854.9 100 % 116

MEMM-A4 Estrat. 1 1240.6 6125 349484 2760.17 100 % 114 0 13

Estrat. 2 1423.9 3301 278524 2313.93 100 %

Estrat. 3 1530.8 4419 378506 2904.8 100 % 112

MEMM-A5 Estrat. 1 1880.6 8037 334065 2842.87 100 % 88 0 9

Estrat. 2 1517.7 2482 284432 2601.56 100 %

Estrat. 3 1591.9 5288 295533 2820.6 100 % 90

MEMM-A6 Estrat. 1 1612.6 5194 359722 3021.92 100 % 93 0 9

Estrat. 2 1798.1 8616 334675 2395.34 100 %

Estrat. 3 1542.4 3481 370931 3050.5 100 % 87

MEMM-A7 Estrat. 1 1440.3 4040 407319 3339.44 100 % 94 0 11

Estrat. 2 12376.1 9828 278929 2209.60 100 %

Estrat. 3 1405.8 4451 334811 2754.4 100 % 112

MEMM-A8 Estrat. 1 1731.0 8396 362284 3537.27 100 % 107 19

Estrat. 2 1653.0 2901 321287 2410.18 100 %

Estrat. 3 1894.6 4204 364404 3513.3 100 % 111

MEMM-A9 Estrat. 1 1682.1 6643 528013 4050.05 100 % 117 20

Estrat. 2 1919.3 7647 275902 2425.18 100 %

Estrat. 3 1490.0 9278 409679 3467.3 100 % 117

MEMM-A10 Estrat. 1 1618.6 7584 484291 3989.3 100 % 118 28

Estrat. 2 2067.6 8410 301374 2335.69 100 %

Estrat. 3 1438.0 5427 363995 2832.3 100 % 116

244

Fábrica C

A fábrica menor possui 27 itens; 1 máquina; e 9 xaropes. A demanda dos itens está em

um intervalo de 0 à 15000 pacotes. Os tempos de produção de bebida variam de 0.05 minutos a 0.075

minutos. Supondo que se tenha uma demanda máxima de 15000 pacotes para cada bebida se a máquina

demora 0.075 minutos para fabricar um pacote então são necessários 20250 minutos de tempo disponível

para fabricar os itens. Além disto há um tempo de troca de bebidas nas linhas de no máximo 150

minutos. Se todas as trocas de bebidas na linha forem de 150 minutos, serão realizadas 26 trocas que

consomem 6500 minutos. Somando o tempo total de produção com o tempo total de troca tem-se 26750

minutos para realizar toda a produção em um caso de demanda e tempos de troca máximos para todos as

bebida s. A capacidade da máquina é então 26750 minutos, ou seja, a capacidade é bem folgada nestes

experimentos.

Os tempos de troca de bebidas na linha variam de 40 à 150 minutos, sendo que de um item

para ele mesmo é nulo. O valor de M grande é estabelecido como sendo a capacidade da máquina

dividida pelo menor tempo de produção que é 0.05 (26750/0.05)=535000.

Na xaroparia, a capacidade é de 149200 litros de xarope, que o resultado da soma de todas

os tanques disponíveis para preparo de xarope. A proporção de xarope, r

j l

, varia de 0.5 a 2 litros. Os

tempos de trocas de xaropes variam de 50 à 625, sendo que a unidade de medida é litros de xarope. Então

pode-se interpretar b

como sendo a quantidade em litros de xarope que deixaram de ser produzidos no

período de limpeza. Como a unidade de medida da variável x

é litros de xarope, que é a mesma da

capacidade da xaroparia, o tempo de produção a

é 1.

Os custos de troca são dados por: custo de troca de bebidas na linhas, s

2∗b

; custos

de troca de xaropes no tanque s

2∗b

proporcionais aos tempos de troca. Os custos de troca são

proporcionais aos tempos de troca, quanto maior o tempo de troca maior o custo. Os intervalos de custos

de estoque e atraso são respectivamente, [5, 20], [20, 100]. A Tabela H.7 resume os intervalos de valores

para geração dos exemplares.

Modelo Dois Estágios Mono Máquinas

A Tabela H.8 apresenta os resultados obtidos na solução dos exemplares do Modelo Dois

Estágios Mono Máquinas. Observando a coluna do gap de Otimalidade, percebe-se que a Estratégia 3

foi melhor em 6 exemplares, e a Estratégia 1 em 4 exemplares. Tanto a estratégia 1 como a estratégia

3 geram vários planos de corte para os modelos, sendo que a Estr. 3, apesar de gerar menos planos de

corte, gera apenas os Planos de Cobertura de Fluxo que conseguem aproveitar melhor as características

do modelo. Podemos então perceber que para estes exemplares os planos de corte, principalmente os

245

Tabela H.7: Intervalos para geração de dados Exemplares Menores

Dados Notação Intervalos

Demanda d

[0, 15000]

Tempo Produção Bebida a

[0.05, 0.075]

Tempo Produção de Xarope a

Tempo de troca de Bebida b

[40, 150]

Tempo de troca de Xarope b

[50, 625]

Quantidade de Xarope por Bebida r

[0.5, 2]

Capacidade da Linha K

26750

Capacidade do Tanque K

149200

Custos de Estoque h

[5, 20]

Custos de Atraso g

[20, 100]

Custos de troca de bebida s

2∗b

Custos de troca de Xarope s

2∗b

Planos de Corte de Fluxo, colaboram na diminuição do gap de otimalidade.

Em relação ao tempo necessário para a busca em 10000 nós a Estratégia 2 tem melhor desem-

penho. Este resultado se deve ao fato desta estratégia não consumir tempo gerando planos de corte como

as outras duas estratégias.

Modelo Mono Estágio Multi Máquinas

Os resultados da solução dos exemplares do Modelo Mono Estágio Multi Máquinas com

dimensões menores (vide Tabela H.9), foram similares. Em 7 exemplares a estratégia 3 foi melhor, mas

a estratégia 1 foi melhor em 3 casos e a estratégia 2 em 1 caso. Em relação ao tempo a estratégia 2 foi

melhor em 9 casos, e a estratégia 3 em 1 caso.

246

Tabela H.8: Resultado Modelo Dois Estágios Mono Máquinas-Fábrica C

Exemp. Estrat. Melhor Nó melhor Iter. Tempo gap Flow Flow Gom.

Sol. Int. Sol. Int. (segundos) path

DEMM-C1 Estrat. 1 8525633.6 4401 847683 15110.73 7.76% 113 1 25

Estrat. 2 8734826.7 5935 482987 6559.78 9.97%

Estrat. 3 8556427.6 6211 704719 12807.8 8.09% 107

DEMM-C2 Estrat. 1 11936729.6 6761 819048 14581.55 6.09% 111 0 23

Estrat. 2 12140322.0 7966 364286 5653.25 7.67%

Estrat. 3 12318796.5 8228 789854 14200.6 9.01% 91

DEMM-C3 Estrat. 1 8456437.2 9200 896033 14201.36 7.38% 114 1 48

Estrat. 2 8538903.0 7186 500455 6279.96 8.27%

Estrat. 3 8333539.2 8209 775221 13264.9 6.01% 109

DEMM-C4 Estrat. 1 7394135.0 5361 1050134 19213.26 10.95% 135 0 42

Estrat. 2 8236381.9 9912 455003 6439.92 20.06%

Estrat. 3 7298025.3 9999 982569 20283.0 9.78% 133

DEMM-C5 Estrat. 1 6437428.4 3520 1512642 25850.11 9.90% 121 1 35

Estrat. 2 6642945.5 9463 531565 6367.27 12.69%

Estrat. 3 6350866.6 7441 1070349 19192.3 8.67% 121

DEMM-C6 Estrat. 1 17392414.7 6310 622654 12260.47 5.84% 93 0 12

Estrat. 2 17483092.9 9691 494288 6766.76 6.33%

Estrat. 3 17359799.9 8185 801510 14237.6 5.66% 103

DEMM-C7 Estrat. 1 7339871.4 8050 1017478 16604.49 8.84% 128 0 32

Estrat. 2 8141976.7 9705 551092 7028.66 17.82%

Estrat. 3 7239228.9 2420 1521433 23598.8 7.57% 127

DEMM-C8 Estrat. 1 6622482.7 7580 1571914 26125.78 8.17% 133 1 47

Estrat. 2 6936656.5 6518 420735 5878.08 12.33%

Estrat. 3 6798288.7 9846 1295427 21674.7 10.55% 127

DEMM-C9 Estrat. 1 6892327.7 5597 863489 14565.54 11.74% 120 1 32

Estrat. 2 7078978.6 7540 457283 6580.80 14.07%

Estrat. 3 6882958.6 9507 859655 15318.5 11.62% 124

DEMM-C10 Estrat. 1 11516841.9 9410 1052631 16480.44 4.30% 115 2 20

Estrat. 2 12262798.1 9534 443618 5862.17 10.12%

Estrat. 3 11728328.9 5808 856729 14786.5 6.02% 101

247

Tabela H.9: Resultado Modelo Mono Estágio Multi Máquinas -Fábrica C

Exemp. Estrat. Melhor Nó melhor Iter. Tempo gap Flow Flow Gom.

Sol. Int. Sol. Int. (segundos) path

MEMM-C1 Estrat. 1 13912513.5 359 106878 1695.66 0.01% 77 1 16

Estrat. 2 13912635.5 3564 387042 3327.55 0.01%

Estrat. 3 13912509.5 546 114503 1481.6 0.01% 75

MEMM-C2 Estrat. 1 5612785.9 9943 1420886 17297.23 0.02% 126 1 25

Estrat. 2 6285871.7 9216 509779 4747.87 10.72%

Estrat. 3 5612735.9 6078 1508457 21509.3 0.02% 130

MEMM-C3 Estrat. 1 4669133.0 9806 1196613 15181.22 0.02% 136 1 38

Estrat. 2 6531359.3 1164 485506 4717.8 28.52%

Estrat. 3 4738973.2 9798 1235782 15464.9 1.49% 127

MEMM-C4 Estrat. 1 11669777.3 1541 433771 4563.73 0.01% 95 29

Estrat. 2 11669829.3 6658 519550 4112.63 0.01%

Estrat. 3 11669661.3 1029 472391 5336.9 0.01% 97

MEMM-C5 Estrat. 1 12700961.6 211 48348 972.42 0.01% 67 30

Estrat. 2 12700961.6 1074 138422 1415.25 0.01%

Estrat. 3 12701041.6 654 147117 1762.8 0.01% 70

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