( PDF ) Comparação de modelos para o cálculo de pertubações orbitais devidas à maré terrestre

COMPARAÇÃO DE MODELOS PARA O CÁLCULO DE

PERTURBAÇÕES ORBITAIS DEVIDAS À MARÉ TERRESTRE

Dissertação apresentada à Faculdade

de Engenharia do Campus de

Guaratinguetá, Universidade

Estadual Paulista, para a obtenção

do título de Mestre em Física na

área de Dinâmica Orbital e

Planetologia.

Orientador: Prof. Dr. Rodolpho Vilhena de Moraes

Guaratinguetá

2005

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UNESP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá

COMPARAÇÃO DE MODELOS PARA O CÁLCULO DE

PERTURBAÇÕES ORBITAIS DEVIDAS À MARÉ TERRESTRE

JULIANA VIEIRA PINTO

ESTA MONOGRAFIA FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO

DE

“MESTRE EM FÍSICA”

APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PÓS-

GRADUAÇÃO

Prof. Dr. DENIS DALMAZI

Coordenador

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Dr. RODOLPHO VILHENA DE MORAES

Orientador/UNESP-FEG

Profª. Drª. Mª CECÍLIA FRANÇA P. S. ZANARDI

UNESP/FEG

Prof. Dr. HÉLIO K. KUGA

INPE

Julho de 2005

DADOS CURRICULARES

JULIANA VIEIRA PINTO

NASCIMENTO 18.09.1967 – SÃO PAULO / SP

FILIAÇÃO Júlio Vieira

Rosa Bokor Vieira Xavier

1985/1988 Curso de Graduação

Matemática - UNITAU

1993/1997 Curso de Graduação

Engenharia Civil - UNITAU

2003/2005 Curso de Pós-Graduação em Física, nível de Mestrado,

na Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá –

UNESP.

Aos meus queridos filhos, Gustavo e

Guilherme, fontes de minha inspiração.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço a Deus, fonte da vida e da graça. Agradeço pela

minha vida, minha família e meus amigos,

ao meu orientador, Prof. Dr. Rodolpho Vilhena de Moraes que jamais deixou

de me incentivar. Sem a sua orientação, dedicação, auxílio e carinho, o estudo aqui

apresentado seria praticamente impossível;

aos meus pais, Júlio e Rosa, pelo exemplo de coragem, determinação,

humildade e amor. Obrigada por sempre incentivarem meus estudos e por sempre

me ajudarem nas horas mais difíceis de minha vida;

aos meus irmãos, Vera (i.m.), Júlia e Julinho, por tudo que fizeram e ainda

fazem por mim;

ao Luiz Américo, especialmente, pelo grande apoio que me deu para que essa

monografia fosse concluída;

à Andresa Fernanda, pela sua amizade e dedicação;

às minhas amigas Denise e Ana Lúcia, pelo grande incentivo;

aos Professores da Feg, pelo muito que me ensinaram;

aos Colegas da Pós Graduação, pela grande amizade e carinho que sempre

tiveram por mim.

Este trabalho contou com o apoio financeiro da CNPq:

CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E

TECNOLÓGICO

“Diante da vastidão do tempo e

da imensidão do espaço é uma alegria para mim

compartilhar uma época e um planeta com você”

(Carl Sagan)

PINTO, J. V. Comparação de modelos para o cálculo de perturbações orbitais

devidas à maré terrestre. 2005, 201f. Dissertação (Mestrado em Física) –

Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual

Paulista, Guaratinguetá.

RESUMO

Aplicações recentes de satélites artificiais da Terra com finalidades geodinâmicas

requerem órbitas determinadas com bastante precisão. Em particular, marés

terrestres influenciam o potencial terrestre causando perturbações adicionais no

movimento de satélites artificiais, as quais têm sido medidas por diversos processos.

A atração exercida pela Lua e pelo Sol sobre a Terra produz deslocamentos elásticos

em seu interior e uma protuberância em sua superfície. O resultado é uma pequena

variação na distribuição da massa na Terra, conseqüentemente alterando o

geopotencial. As perturbações nos elementos orbitais de satélites artificiais terrestres

devidas à maré terrestre podem ser estudadas a partir das equações planetárias de

Lagrange, considerando-se um potencial conveniente. Alguns modelos têm sido

propostos para o cálculo de perturbações orbitais devidas à maré, tais como os

modelos de Kaula, de Kozai, de Balmino e o utilizado pelo IERS. Os resultados

encontrados na literatura são, em geral difíceis de serem comparados, pois os

cálculos são feitos com diferentes modelos. Neste trabalho são apresentadas, para os

potenciais mencionados, as expressões analíticas em forma expandida. Alguns

cenários são propostos mostrando, para tais modelos, as diferenças nas perturbações

de longo período e seculares, nos elementos orbitais de satélites artificiais, devidas á

maré terrestre.

PALAVRAS-CHAVE: Marés terrestres, perturbações orbitais, satélites artificiais.

PINTO, J. V. Comparison of models for the calculation of orbital perturbation

due to the terrestrial tide. 2005, 201f. Dissertação (Mestrado em Física) –

Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual

Paulista, Guaratinguetá.

ABSTRACT

Recent applications of artificial Earth’s satellites, as for instance with geodynamics

purposes, require very high precision orbit determination. In particular, terrestrial

tides affects the geopotential causing additional orbital perturbations that can be

measured by several methods. The Sun and Moon attraction on the Earth produces

both an elastics displacements in the Earth’s interior and a bulge in its surface. The

resulting effect is a small variation in the Earth’s mass distribution. The

perturbations in the orbital elements due to the terrestrial tides can be analysed using

the Lagrange planetary equations considering a convenient potential. Some models

have been proposed to compute orbital perturbations due to the terrestrial tides, such

as the models proposed by Kozai, Kaula, Balmino and the model used by the IERS.

The results found in the literature about orbit perturbations due to terrestrial tides

were obtained using different models being difficult to be compared. In this work

the above-referred models are presented. Expanded analytical expressions are

presented. Some scenarios are proposed showing, for such models, the differences in

the secular and long period perturbations of the orbital elements, due to the

terrestrial tides.

KEYWORDS: Earth tides, orbit perturbations, artificial satellites.

.

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE SÍMBOLOS

LISTA DE TABELAS

1. INTRODUÇÃO.................................................................................

20

2. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS....................................................

23

2.1. MARÉS............................................................................................

23

2.2. PERTURBAÇÕES EM SATÉLITES ARTIFICIA

IS DEVIDO À

MARÉ.....................................................................................................

31

2.3. OS NÚMEROS DE LOVE..............................................................

33

2.4. RELEVÂNCIA DA PESQUISA.....................................................

35

3. OBJETIVO........................................................................................

37

3.1. METODOLOGIA............................................................................

38

4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.........................................................

39

5. MECANISMO BÁSICO DO BOJO DEVIDO À MARÉ..............

42

6. POTENCIAL DEVIDO À MARÉ...................................................

46

7. MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE PERTURBAÇÃO................

57

7.1. EQUAÇÕES PLANETÁRIAS DE LAGRANGE...........................

59

8. MODELO DE KOZAI......................................................................

61

8.1. POTENCIAL TERRESTRE DEVIDO À MARÉ...........................

61

9. FUNÇÃO PERTURBADORA – MODELO DE KOZAI..............

68

9.1. PERTURBAÇÕES SECULARES...................................................

69

9.2. VARIAÇÕES NOS ELEMENTOS ORBITAIS...................... 71

9.2.1. RESULTADOS.............................................................................

74

10. MODELO DE KAULA...................................................................

87

10.1. EFEITOS EM ÓRBITAS DE SATÉLITES PR

ÓXIMOS A

TERRA....................................................................................................

91

11. FUNÇÃO PERTURBADORA – MODELO DE KAULA...........

94

11.1. PERTURBAÇÕES SECULARES.................................................

94

11.2. VARIAÇÕES DOS ELEMENTOS ORBITAIS............................

95

11.2.1. RESULTADOS...........................................................................

97

12. MODELO DE BALMINO..............................................................

107

13. FUNÇÃO PERTURBADORA – MODELO DE BALMINO......

111

13.1. VARIAÇÕES NOS ELEMENTOS ORBITAIS............................

111

13.1.1. RESULTADOS...........................................................................

113

14. MODELO DO IERS.......................................................................

115

15. VARIAÇÕES NOS ELEMENTOS ORBITAIS –

MODELO

DO IERS.................................................................................................

118

15.1. RESULTADOS..............................................................................

120

16. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ............................

132

17. CONSIDERAÇÕES .......................................................................

133

17.1. RESSONÂNCIAS..........................................................................

133

18. CONCLUSÃO.................................................................................

136

18.1. TRABALHOS FUTUROS.............................................................

139

REFERÊNCIAS....................................................................................

140

APÊNDICE A .......................................................................................

144

APÊNDICE B .......................................................................................

158

APÊNDICE C .......................................................................................

197

APÊNDICE D .......................................................................................

200

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 -

O Space Shuttle é um excelente exemplo de um satélite de

órbita terrestre baixa. Sua órbita cerca de 100 km a 200 km à

superfície da Terra...................................................................

22

Figura 2.1.1 -

Sistema de rotação Terra-Lua..................................................

24

Figura 2.1.2 -

Rotação Terra - Lua.................................................................

25

Figura 2.1.3 -

Bojo devido à maré..................................................................

26

Figura 2.1.4 -

(a) Forças gravitacionais exercidas pela Lua na Terra. (b)

Força da maré..........................................................................

27

Figura 2.1.5 -

Bojo devido à maré(a) marés vivas. (b) marés mortas............

28

Figura 2.1.6 -

Variação da declinação da Lua: ciclo de 18,6 anos.................

30

Figura 5.1 -

A existência de forças gravitacionais diferentes consoantes à

posição de cada ponto em relação à Lua implica na

existência da força de maré.....................................................

42

Figura 5.2 -

Referente ao caso ideal, sendo a velocidade angular do

planeta exatamente igual ao movimento orbital do satélite....

44

Figura 5.3 -

Referente ao caso real do sistema Terra-Lua, sendo a

velocidade angular da Terra é maior que a velocidade do

movimento médio orbital da Lua............................................

44

Figura 5.4 -

Velocidade angular do planeta sendo menor que a

velocidade do movimento angular do satélite. Esse caso é

real para alguns planetas do Sistema Solar..............................

45

Figura 6.1 -

Um planeta e satélite movendo ao redor de um centro de

massa em órbita circular. O semi-eixo maior do planeta e do

satélite, em relação ao centro de massa é a

p

e a

s

,

respectivamente, enquanto que o semi-eixo maior do satélite

em relação ao planeta é a=a

p

+a

s....................................................................

47

Figura 6.2 -

Toda partícula do planeta move em círculos similares de

raios idênticos a

p

, mas com centros diferentes. As partículas

P

1

e P

2

estão nos círculos com centros C

1

e C

2

,

respectivamente.......................................................................

48

Figura 6.3 -

Superfície equipotencial..........................................................

50

Figura 6.4 -

(a) O eixo de simetria da distorção da maré passa através

dos centros da Terra e da Lua, embora a Terra gire sobre o

eixo z com velocidade angular

ω

, a Lua tem movimento n e

uma inclinação orbital I, com relação ao plano equatorial da

Terra. (b) As co-latitudes e longitudes da Lua (φ

m

,λ

m

) e o

ponto P(φ

p

,λ

p

) na superfície da Terra. Note que a longitude

λ

p

(e λ

m

) é medida por uma direção fixa no espaço e não por

uma direção que gira com a Terra..........................................

53

Figura 6.5 -

Forças de marés num ponto da superfície terrestre.................

54

Figura 6.6 -

Potencial terrestre....................................................................

55

Figura 8.1 -

Triângulo – órbita – equador – meridiano...............................

64

Figura 9.1 -

Variação da longitude do nodo ascendente, levada em conta

à inclinação da Lua..................................................................

75

Figura 9.2 -

Variação do argumento do perigeu, levada em conta à

inclinação da Lua.....................................................................

75

Figura 9.3 -

Representação da variação da excentricidade (caso1).............

77

Figura 9.4 -

Representação da variação da excentricidade (caso2).............

77

Figura 9.5 -

Representação da variação da inclinação (caso 1)..................

78

Figura 9.6 -

Representação da variação da inclinação (caso2)com

período de aproximadamente 6800 dias..................................

76

Figura 9.7 -

Representação da variação da inclinação (caso2) com

período de aproximadamente

6

10

4

.

2

× dias...........................

79

Figura 9.8 -

Representação da variação da inclinação (caso2) com

período de aproximadamente

6

10

4

.

2

×

dias,

desconsiderando-se o termo de maior amplitude....................

79

Figura 9.9 -

Representação da variação da inclinação (caso

2) com menor

período de aproximadamente 3400 dias..................................

80

Figura 9.10 -

Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso1).....................................................................................

80

Figura 9.11 -

Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2), com um período de aproximadamente 6800 dias......

81

Figura 9.12 -

Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2), com um período de

6

10

4

.

2

× dias..............................

81

Figura 9.13 -

Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2) com período de aproximadamente

6

10

4

.

2

×

dias,

desconsiderando-se o termo de maior amplitude....................

82

Figura 9.14 -

Representação da variação da inclinação (caso2) com menor

período de aproximadamente 3400 dias..................................

82

Figura 9.15 -

Representação da variação do argumento do perigeu (caso1).

83

Figura 9.16 -

Representação da variação do argumento do perigeu (caso2).

83

Figura 9.17 -

Representação da variação do argumento do perigeu (caso2),

na região de máximo, com menor período de

aproximadamente 6800 dias....................................................

84

Figura 9.18 -

Representação da variação do argumento do perigeu (caso2),

na região de mínimo, com menor período de

aproximadamente 6800 dias....................................................

84

Figura 11.1 -

Variação secular da longitude do nodo ascendente, levada

em conta à inclinação da Lua..................................................

98

Figura 11.2 -

Variação secular do argumento do perigeu, levada em conta

à inclinação da Lua..................................................................

98

Figura 11.3 -

Representação da variação da excentricidade

(caso1).....................................................................................

100

Figura 11.4 -

Representação da variação da excentricidade

(caso2).....................................................................................

100

Figura 11.5 -

Representação da variação da inclinação

(caso1).....................................................................................

101

Figura 11.6 -

Representação da variação da inclinação

(caso2).....................................................................................

101

Figura 11.7 -

Representação da variação da inclinação (caso2),

desconsiderando-se termos de maior amplitude......................

102

Figura 11.8 -

Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso1).....................................................................................

102

Figura 11.9 -

Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2).....................................................................................

103

Figura 11.10-

Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2), desconsiderando-se os termos de maior amplitude...

103

Figura 11.11-

Representação da variação do argumento do perigeu (caso1).

104

Figura 11.12-

Representação da variação do argumento do perigeu (caso2).

104

Figura 11.13-

Representação da variação do argumento do perigeu (caso2),

na região de máximo...............................................................

105

Figura 11.14-

Representação da variação do argumento do perigeu (caso2),

na região de mínimo................................................................

105

Figura 13.1 -

Variação secular do nodo ascendente, levada em conta à

inclinação da Lua.....................................................................

114

Figura 13.2 -

Variação secular do argumento do perigeu, levada em conta

à inclinação da Lua................................................................. 114

Figura 15.1 -

Representação da variação da excentricidade.........................

121

Figura 15.2 -

Representação da variação da inclinação................................

121

Figura 15.3 -

Representação da longitude do nodo ascendente....................

122

Figura 15.4 -

Representação do argumento do perigeu.................................

122

LISTA DE SÍMBOLOS

a

Semi-eixo maior da órbita do satélite ao redor da Terra

0

a

Semi-eixo maior inicial do satélite ao redor da Terra

p

a

Semi-eixo maior da órbita do planeta

s

a

Semi-eixo maior da órbita do satélite

e

Excentricidade da órbita do satélite ao redor da Terra

0

e

Excentricidade inicial da órbita do satélite ao redor da Terra

E

Anomalia excêntrica

∗

e

Excentricidade da órbita da Lua ao redor da Terra

c

F



Força centrífuga

g

F



Força gravitacional

m

F



Força da maré

mp

F



Funções da inclinação

G

Constante gravitacional

GE

Parâmetro Gravitacional da Terra

∗

Gm

Parâmetro Gravitacional da Lua

pq

G



Funções da excentricidade

i

Inclinação da órbita do satélite ao redor da Terra

0

i

Inclinação inicial da órbita do satélite ao redor da Terra

∗

i

Inclinação da órbita do satélite ao redor da Terra



k

Números de Love

∗

m

Massa da Lua

t

m

Massa da Terra

M

Anomalia Media do satélite

0

M

Anomalia Media inicial do satélite

s

m

Massa do satélite

p

m

Massa do planeta

N

Longitude do nodo ascendente referente a eclíptica

n

Movimento médio orbital do satélite

∗

n

Movimento médio orbital do Lua

Ω

n

Movimento médio orbital da longitude do nodo ascendente

ω

n

Movimento médio orbital do argumento do perigeu

)(cos

Ψ



P Polinômio de Legendre de ordem 

r

Distância geocêntrica do satélite

∗

r

Distância do centro da Terra à Lua

t

R

Raio da Terra

p

R

Raio do Planeta

ω

Argumento do perigeu da órbita do satélite ao redor da Terra

0

ω

Argumento do perigeu da órbita do satélite ao redor da Terra

∗

ω

Argumento do perigeu da órbita da Lua ao redor da Terra

β

Razão da massa da Lua pela massa da Terra

Ψ

Ângulo entre a distância geocêntrica do satélite à direção da Lua

Ω

Longitude do nodo ascendente da órbita do satélite ao redor da

Terra

0

Ω

Longitude do nodo ascendente da

órbita do satélite ao redor da

Terra

∗

Ω

Longitude do nodo ascendente da órbita da Lua ao redor da Terra

φ

Latitude do satélite

λ

Longitude do satélite

∗

λ

Longitude da Lua

θ

Tempo sideral

υ

Anomalia verdadeira

h

ε

Ângulo de atraso

nmnm

SC ∆∆ ,

Perturbações nos coeficientes do geopotencial

e

δ

Variação da excentricidade

i

δ

Variação da inclinação

Ω

δ

Variação da longitude do nodo ascendente

ω

δ

Variação do argumento do perigeu

LISTA DE TABELAS

Tabela 14.1 - Tabela de correção da maré diurna usando para

ssm

HKA

δ

uma amplitude de

12

10

5

−

× .....................................................

117

Tabela 16.1 -

Tabela dos resultados dos movimentos médios dos modelos

de Kozai, Kaula, Balmino e IERS..........................................

126

Tabela 16.2 -

Tabela dos resultados das excentricidades para os modelos

de Kozai, Kaula, Balmino e IERS...........................................

126

Tabela 16.3

Tabela dos resultados das inclinações para os modelos de

Kozai, Kaula, Balmino e IERS................................................

127

Tabela 16.4

Tabela dos resultados das longitudes do nodo ascendente

para os modelos de Kozai, Kaula, Balmino e IERS................

127

Tabela 16.5

Tabela dos resultados dos argumentos do perigeu para os

modelos de Kozai, Kaula, Balmino e IERS............................

128

1.INTRODUÇÃO

História da Astronomia e Astronáutica, nestes últimos anos, tem

apresentado avanços revolucionários no modo de explorar o Universo.

Conquistas sensíveis mudaram, radicalmente, nossa maneira de olhar o Cosmo, e, a

cada avanço, novas questões e modelos a serem testados. Os avanços foram grandes

do ponto de vista tecnológico e igualmente na percepção, na interpretação e

principalmente em aceitar e testar novas idéias.

O nosso Sistema Solar nunca foi tão explorado como nos últimos cinqüenta

anos do Século XX, graças aos satélites e as sondas interplanetárias. O ano de 1957

foi um ano marcante na história da Astronáutica; em outubro desse ano foi lançado o

Sputnik 1, primeiro objeto feito pelo homem colocado em órbita terrestre, em outras

palavras, o primeiro satélite artificial lançado pelo homem.

Muitos satélites passaram então a ser lançados, sendo que os primeiros foram

desenvolvidos para fins militares. Em 1962, foi lançado o primeiro satélite para

transmissão de televisão intercontinental, e para que eles pudessem ser realmente

eficientes, foram desenvolvidos os satélites geoestacionários: satélites que parecem

estar parados no céu. Eles são, na verdade colocados em órbitas bem altas ao redor

do equador, e giram junto com a rotação da Terra, estando então em posição fixa em

relação a quem estiver na superfície da terrestre.

Colocar e operar em órbita um satélite artificial representa um desafio

científico e tecnológico superado hoje por poucos países que detém esse

conhecimento. O desafio consiste na construção de um aparelho capaz de funcionar

ininterruptamente durante um longo intervalo de tempo, em ambiente hostil, gerando

sua própria energia, identificando entre milhares de transmissões aquelas a ele

dirigidas, interpretando e executando centenas de comandos diferentes, orientando-

se no espaço e, sobretudo, cumprindo a missão a qual se destina.

A

O conhecimento da dinâmica de um satélite artificial é importante em todas

as fases de seu desenvolvimento. Todo o trabalho precisa estar condicionado ao

ambiente espacial, ou corre-se o risco da perda de alguns milhões de dólares.

No ambiente espacial, as forças atuantes sobre um satélite artificial, por

menor que sejam, dentro de certas circunstâncias, podem ter efeitos drásticos,

alterando movimentos e funções do satélite. O estudo da dinâmica de satélites

artificiais abrange a natureza, a causa e os efeitos de tais “perturbações”, que atuam

sobre a órbita e a orientação desses aparelhos no espaço.

As órbitas dos primeiros satélites lançados mostraram alterações em suas

trajetórias, o que não ocorreria se a gravidade fosse a única responsável pelo

movimento orbital (considerando-se uma distribuição uniforme da massa da Terra).

A busca para explicações para esse comportamento dos satélites levou ao estudo

dessas perturbações.

Se a Terra fosse perfeitamente simétrica, esférica e homogênea com respeito

a distribuição de massa, o efeito da força gravitacional sobre os satélites próximos

produziria um movimento kepleriano. A Terra, entretanto, apresenta achatamento

nos pólos, irregularidade ao longo do equador e outros tipos de assimetria em sua

forma e em sua massa, que acarretam perturbações na órbita dos satélites,

distorcendo periodicamente alguns de seus parâmetros.

As forças gravitacionais do Sol e da Lua atuam na massa da Terra, resultando

numa deformação do tipo protuberância de sua forma (superfície) na direção do

corpo perturbador (Sol e Lua). Essa distribuição de massa causa um potencial

gravitacional adicional (diferente do potencial natural da Terra) que perturba o

espaço exterior à Terra. A força deduzida desse potencial é chamada força da maré e

afeta o movimento dos satélites artificiais.

Outros fatores também modificam a órbita dos satélites artificiais, tais como:

1. Perturbações devidas à pressão de radiação solar (direta ou refletida e

re-emissão térmica), decorrente da absorção, reflexão ou re-emissão de

fótons solares pela superfície externa do satélite;

2. Perturbações devidas à distribuição não uniforme da massa da Terra;

3. Perturbações devidas ao arrasto atmosférico, sendo essa a principal

força não gravitacional que atua nos satélites de baixa altitude, devida

ao atrito ou fricção com a atmosfera.

4. Efeito Poynting-Robertson, um efeito relativístico, que leva em

consideração a composição da velocidade da luz com a velocidade do

satélite.

5. Efeito Yarkosky, um efeito diferencial resultante do aquecimento

assimétrico do satélite.

6. Além dessas influências, que decorrem do satélite artificial no

ambiente espacial, a órbita pode ser alterada por forças provocadas

pelo próprio satélite. Algumas são voluntárias, como a atuação dos

motores dos foguetes necessários à correção da órbita ou da altitude.

Outras são involuntárias, como escapamentos de gases, e imprecisões

no tempo ou na direção do disparo de um motor.

Figura 1 - O Space Shuttle é um excelente exemplo de um satélite de órbita

terrestre baixa. Sua órbita está à cerca de 100 km a 200 km da superfície da Terra.

2. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS

2.1. MARÉS

Todos nós nos apercebemos de um fluxo e refluxo das águas do mar junto à

costa. Quase sempre duas vezes por dia e com uma relação com o ciclo lunar. São as

marés.

Este fenômeno já era conhecido na Antiguidade, mas a explicação do fato só

foi possível depois de Newton ter formulado a Lei da Gravitação Universal (1687).

A força exercida pela Lua e pelo Sol atrai as águas dos oceanos (e também

dos continentes) provocando o fenômeno das marés. Mas, apesar da imensa massa

do Sol, 27 milhões de vezes, maior que a da Lua, o fato desta se encontrar mais

próxima da Terra faz com que a influência da Lua seja mais que o dobro do que a

força do Sol.

A Terra e a Lua formam um conjunto que gira em torno do Sol. Nesse

movimento de translação o conjunto Terra-Lua (fig.2.1.1) pode ser representado

pelo centro comum de gravidade, ou baricentro, que se situa dentro do manto

terrestre, a 4700 km de distância do centro da Terra. É este baricentro que descreve,

desconsiderando-se perturbações, uma órbita elíptica em relação ao Sol. Tanto a

Terra como a Lua descrevem órbitas mais complexas e relativamente sinuosas.

Todos os pontos dentro da Terra descrevem círculos de raios iguais, à volta do

baricentro (fig 2.1.2).

Figura 2.1.1 – Sistema de rotação Terra-Lua

(Figura extraída de H. V. Thurman, 1997)

Terra e Lua se movem em torno de um centro de gravidade comum

(baricentro) que está dentro de Terra. A, a linha que atravessa o centro de Terra é o

caminho seguido por seu centro conforme ela se move ao redor do centro de

gravidade comum do sistema de Terra-Lua. Os caminhos circulares seguidos pelos

pontos a e ponto b têm o mesmo raio daquele do centro de Terra. B, se você amarra

um fio a uma pedra e balança em um círculo em volta de sua cabeça, a órbita fica

circular porque o fio exerce uma força centrípeta na pedra. Essa força puxa a pedra

para o centro do círculo. Se o fio quebrar com a pedra na posição mostrada, a pedra

sairá da órbita ao longo de um caminho direto, tangente ao círculo.

Figura 2.1.2-Rotação Terra-Lua

(Figura extraída de H. V. Thurman, 1997)

Todos os pontos da Terra descrevem trajetórias idênticas em torno do baricentro. A

força centrípeta que mantém o sistema em rotação conjunta é igual em todos os

pontos da Terra.

São as variações das posições do Sol e da Lua que comandam o ciclo das

marés. Cada vez que a Lua passa pelo meridiano do lugar o efeito da maré, a

preamar, só se faz sentir um pouco mais tarde devido ao atrito das massas (água e

fundo) e à necessidade de vencer a inércia. Por exemplo, numa Lua nova ou Lua

cheia a maré de maior amplitude só ocorre no dia seguinte, período que pode ir até

36 horas e tem o nome de “idade da maré”. Sempre que a Lua nasce ou se põe,

relativamente a esse mesmo lugar, dá-se uma baixa-mar.

Num dado momento há sempre duas marés altas na Terra. A maré direta, no

lado que está voltado para a Lua e a maré indireta no lado oposto.

Figura 2.1.3- Bojo devido à maré.

Figura 2.1.4- (a) Forças gravitacionais exercidas pela Lua na Terra. (b) Força

da maré.

As grandes marés, ou marés vivas são aquelas cuja amplitude é a maior do

ciclo lunar e correspondem ao momento de concordância das atrações solares e

lunares, na lua cheia e lua nova. O Sol e a Lua encontram-se em quadratura quando

as forças atrativas se encontram defasadas em 90º. É durante este período, quarto

minguante e quarto crescente, que as marés atingem a amplitude mínima chamando-

se assim de marés mortas.

Figura 2.1.5- Bojo devido à maré. (a) marés vivas. (b) marés mortas

O desenvolvimento deste "efeito"

Imagina que dás a mão a um (a) amigo (a) e, com os braços esticados, se

põem a correr em círculo, sendo a união das vossas mãos o centro e eixo desse

rodopio! Se o fizerem com certa velocidade, irão sentir dois tipos de força a

atuarem em cada um de vocês: a força centrípeta e a força centrífuga. A primeira é

sentida através do braço, a puxar-te em direção ao eixo (à mão). A segunda puxa-te

para trás, tentando arrancar-te desse rodopio. Agora imagina que o outro

companheiro que te segura é bastante mais forte e pesado. Há alterações neste

movimento? De fato, há; ele roda muito mais devagar do que tu, sentindo mais

fracas as tais forças. Isto acontece, porque o eixo de rotação está muito mais perto

dele - praticamente no corpo dele - e não na união das mãos, como anteriormente.

Põe-te no lugar de cada um dos intervenientes, e reflete bem na situação. É

exatamente nesta situação em que estão, continuamente, a Terra - mais "pesada", i.

é., com maior massa -, e a Lua - mais "leve", i. é., com menor massa. É devido a

este binário em rotação, que se formam as marés. As duas forças criadas puxam,

cada uma para seu lado, as grandes e facilmente deformáveis quantidades de água

oceânica. Duas "corcundas" de água são, então, formadas sobre o planeta, ambas

no alinhamento da Lua: as marés altas. Nos dois pontos onde se verificam

depressões da água, por esta ter sido puxada para as "corcundas", são as marés

rasas.

Declinação da Lua

Uma vez que as amplitudes da maré são maiores quando a Terra está mais

próximo do Sol ou da Lua, as variações na distância da Terra a cada um deles

acabam por interferir na amplitude das marés.

No entanto, existem ainda outros fatores a levarmos em conta. O plano da

órbita da Lua faz um ângulo de cerca de 5° com o plano da eclíptica. Isto significa

que a Lua pode atingir uma declinação máxima de 28,5° para Norte ou Sul do

Equador (23,5+5°). Como o plano da órbita da Lua sofre um movimento de

precessão com a duração de 18,6 anos, o resultado acaba por produzir variações

complexas, em que, por exemplo, a declinação máxima da Lua pode atingir apenas

18,5°, 9,3 anos depois do início do ciclo. Este ciclo deve ser levado em conta para a

avaliação das variações do nível do mar (fig. 2.1.6).

Figura 2.1.6-Variação da declinação da Lua: ciclo de 18,6 anos.

(Figura extraída de H. V. Thurman, 1997)

2.2. PERTURBAÇÕES EM SATÉLITES ARTIFICIAIS DEVIDO

À MARÉ

A atração gravitacional comum entre dois corpos provoca um aumento nas

deformações devido à maré, as quais são geralmente pequenas quando comparadas

às dimensões dos corpos. Quando estas condições são repetitivas, estas deformações

são periódicas. Entretanto, como as deformações jamais são perfeitamente elásticas,

a energia é dissipada, causando processos de evoluções irreversíveis nas órbitas e

nas rotações dos corpos.

No sistema Terra-Lua, as marés têm vários efeitos. A princípio elas se

apresentam como flutuações periódicas nos oceanos e na superfície terrestre. Uma

conseqüência direta desse fato é uma mudança periódica no plano da gravidade.

Mudanças no tensor de inércia da Terra causadas pelas deformações periódicas

originam um aumento destas flutuações na velocidade de rotação da Terra,

observados com a freqüência de 14 e 28 dias. As deformações devidas às marés

geram também uma força que perturba o movimento dos satélites artificiais.

Finalmente as marés são responsáveis por um aumento secular ao longo do dia e da

desaceleração da órbita lunar.

Basicamente, as observações dos vários fenômenos da maré levaram a

descoberta dos parâmetros elásticos da Terra e da Lua (números de Love) e da

quantia de energia dissipada pela parte sólida da Terra, oceanos e na Lua.

Este é o principal aspecto que têm motivado os recentes estudos sobre maré.

Para determinar a dissipação, três processos complementares são necessários:

a) Análise das perturbações orbitais dos satélites da Terra;

b) Desenvolvimento de modelos numéricos para maré oceânica;

c) Análise do ajuste do alcance do laser lunar para a Lua (se raios laser

forem utilizados).

O método (a) informa a dissipação total na Terra (terrestre mais oceânica),

enquanto que o método (b) informa somente a quantidade de energia dissipada nos

oceanos; a dissipação total do sistema Terra-Lua pode ser deduzida pelo método (c).

A trajetória dos satélites artificiais é perturbada pelas deformações, tanto da

maré terrestre como da maré oceânica. As marés semidiurnas e diurnas produzem

perturbações orbitais relevantes, mas as maiores perturbações são essencialmente as

de longo período (por exemplo, as marés semidiurnas geram uma perturbação orbital

em um período de 14 dias), (Brosche e Sundermann, 1983).

O conhecimento da maré oceânica, em geral, não é o suficiente para

retirarmos toda a contribuição da carga oceânica. Hendershott e Munk (1970), em

sua análise sobre maré oceânica, concluem que uma melhora nos resultados da maré

terrestre pode levar a um maior conhecimento das marés oceânicas.

Neste trabalho, nos restringiremos apenas ao estudo da influência da maré

terrestre nas perturbações das órbitas dos satélites artificiais.

2.3. OS NÚMEROS DE LOVE

O termo técnico aplicado à “medição” de maré planetária chama-se número

de Love, referência a Augustus E. H. Love (1909), matemático de Oxford, pioneiro

em teorias de elasticidade há mais de um século.

A magnitude do bojo devido à maré é determinada em parte pela distribuição

da densidade interna no planeta, e, portanto, a medição da amplitude da maré nos

leva a determinação de sua estrutura interna.

O primeiro corpo celeste a ter analisada sua estrutura interna foi o satélite da

Terra, ou seja, a Lua. Para sabermos o que há no coração da Lua, usamos a distorção

da maré lunar. Os números de Love mostram quão elástico é a Lua, dando indícios

de sua estrutura interna, e, indica a mudança no seu campo de gravidade de acordo

com as relações Terra-Sol. Uma conclusão recente é que a superfície da Lua encolhe

e expande até 10 cm, em resposta às diferenças da força de gravidade da Terra. Essa

elasticidade indica que a Lua é maleável.

Os números de Love foram calculados dos dados recolhidos de experiências

variando o laser lunar utilizando refletores na superfície da Lua. Bastam dois

segundos e meio para um raio laser ir da Terra a Lua e voltar. Mas foram

necessários 33 anos de experiências para se ter uma visão fugaz do que talvez seja o

maior segredo da Lua: que bem por baixo de suas crateras frias e paisagem rochosa

pode existir um coração quente e generoso. A hipótese, se confirmada, pode

fortalecer a teoria de que a Lua nasceu de uma violenta colisão. A suspeita é que

uma considerável zona de rocha derretida se oculta sob a acidentada superfície lunar

que resulta dessas experiências com raios laser, cuja precisão vem aumentando

desde que os astronautas na nave Apollo colocaram pela primeira vez refletores a

laser na Lua em 1969. Há décadas, vem sendo analisado o tempo de ida e volta dos

lampejos dos raios para fazer medições cada vez mais exatas da distância entre a

Terra e a Lua, sua forma, suas oscilações e aspectos físicos.

Ciência raramente tem algo a ver com poesia. Mas nesse caso chega perto.

Quando escreveram o primeiro relatório sobre a descoberta, os cientistas do

Laboratório de Propulsão a Jato de Pasadena (Califórnia), não conseguiram resistir à

metáfora:

“O coração da Lua derreteu, dizem os números de Love lunares”.

2.4. RELEVÂNCIA DA PESQUISA

Esta pesquisa visa como aplicação à determinação de órbita de satélites

artificiais terrestres (Kuga, H. K., 2004). A determinação de uma órbita de satélites

artificiais é essencial para o bom desempenho da missão. Por exemplo, na fase de

lançamento para uma órbita terrestre, a espaçonave deve ser transferida de uma

órbita de transferência, na qual foi injetada pelo lançador, até uma órbita final. O

cálculo preciso destas órbitas intermediárias é crucial para a precisão do

posicionamento e definição da órbita final. Na fase de rotina, a determinação de

órbita deve oferecer meios para o rastreamento e controle do satélite, bem como

fornecer informações orbitais para os usuários dos experimentos científicos e

tecnológicos a bordo do satélite, além de realizar previsões orbitais estendidas para

longos períodos. Além destas fases, existem as chamadas manobras corretivas de

órbita. Devido ao fato da órbita sofrer perturbações que a afastam da órbita nominal

desejada, são necessárias correções periódicas ao longo da vida útil do satélite. Estas

fases críticas abrangem correções orbitais de fasagem, de deriva, de assincronia de

tempo de passagem, etc. Neste caso, os sistemas de determinações de órbita devem

oferecer os meios de se verificarem o desempenho dos equipamentos (e.g. motores

de empuxo) utilizados para se executar (em) a(s) manobra(s) e com isso se

calibrarem curvas de eficiência resultando numa maior economia de combustível. O

efeito líquido é o prolongamento da vida útil da missão. Além disso, um sistema

para determinação de órbita com baixo custo, exige compulsoriamente a diminuição

dos custos dos equipamentos necessários à coleta de dados orbitais para posterior

processamento. Portanto justifica-se o aprimoramento da tecnologia de satélites

artificiais, principalmente com o intuito de obter cálculos de órbitas cada vez mais

precisos, e para isso desenvolvemos modelos analíticos, que nos dá condições de

aprimorar o controle do satélite e realizar previsões por um período de tempo cada

vez maior.

Os efeitos da maré terrestre são extremamente relevantes levando em conta

longos períodos de tempo e podem ser significativos para certas aplicações em

geodinâmicas e do sistema GPS.

Atualmente, por exemplo, os efeitos da maré terrestre nos elementos orbitais

têm sido considerados para o satélite LAGEOS, para as missões GRACE, GOCE,

Mars, no estudo de constelações de satélites (Constelação Galileu) e no estudo de

evolução de debris espaciais.

De fato, como está demonstrado neste trabalho, que algumas perturbações de

termos de período muito longo, características de evoluções geodinâmicas, podem

ser consideradas, para frações razoáveis de tais períodos (adaptáveis para cada

aplicação específica) como perturbações seculares e que devem ser adicionadas às já

conhecidas.

É importante também ressaltar, analisando trabalhos já realizados (vide

capítulo 4) que a magnitude das perturbações devidas à maré, obtidas por diferentes

modelos, não foram comparadas.

3. OBJETIVO

O objetivo deste projeto é estudar e comparar modelos para o cálculo de

perturbações orbitais em satélites artificiais, devida à maré terrestre. Em particular

marés terrestres influenciam o potencial terrestre causando perturbações adicionais

no movimento de satélites artificiais, as quais têm sido medidas por diversos

processos. A atração exercida pela Lua e pelo Sol sobre a Terra produz

deslocamentos elásticos em seu interior e uma protuberância em sua superfície. O

resultado é uma pequena variação na distribuição da massa na Terra,

conseqüentemente no geopotencial. As perturbações nos elementos orbitais de

satélites artificiais terrestres devidas à maré terrestre podem ser estudadas a partir

das equações de Lagrange, considerando-se um potencial conveniente. Diversos

modelos têm sido propostos para o geopotencial. Analisaremos aqui os modelos de

Kozai (Kozai, 1959 e 1965), de Kaula (Kaula,1969), de Balmino (Balmino, 1974) e

o do IERS (1996). Estes modelos sugerem que haja um número de Love e uma

defasagem para cada excitação expandindo tais parâmetros em séries de harmônicos

esféricos. Por outro lado, como tem sido feito pelo IERS, as mudanças induzidas

pela maré terrestre no geopotencial podem ser convenientemente modeladas como

variações nos coeficientes C

nm

e S

nm

do geopotencial.

O objetivo mais geral da pesquisa é adquirir e solidificar o conhecimento

científico e tecnológico necessário para aprimorar os sistemas de navegação e de

determinação de órbita de satélites artificiais, com características de precisão

necessária para navegação em tempo real, manutenção de trajetória, e operação de

satélites. Análises relevantes deverão ser executadas de modo a permitir a efetiva

avaliação do desempenho de tais modelos analíticos para utilização realística na área

aeroespacial.

Como um dos resultados dessa pesquisa pretende-se também dotar o DMA-

FEG de fórmulas e programas já prontos para testar numericamente, para diversos

cenários, os modelos supracitados.

3.1.METODOLOGIA

As variações nos elementos orbitais devidos à maré serão calculadas

analiticamente pelas equações de Lagrange, substituindo-se nestas equações os

potenciais de cada modelo. As equações serão integradas analiticamente pelo

método das aproximações sucessivas. As variações dos elementos orbitais

calculadas para cada modelo serão comparadas.

4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A necessidade de determinar órbitas de satélites artificiais cada vez mais

precisas levou os pesquisadores a aperfeiçoarem os modelos de perturbações, onde

não só são considerados os seus efeitos, como também a influência da deformação

da maré na Terra sobre a posição da estação de observação.

Apresentaremos a seguir, resumidamente, algumas abordagens feitas nos

estudos de perturbações orbitais de satélites artificiais devido à maré terrestre.

Embora não aplicado a satélites artificiais, Love, A (1909), foi o primeiro a

introduzir constantes de grau n ao potencial da maré. Essas constantes são

coeficientes de elasticidade que definem a deformação simétrica e elástica da Terra.

Para esses coeficientes deu-se o nome de números de Love.

Kozai (1959), desenvolve o potencial em termos de elementos orbitais de um

satélite próximo a Terra, como também as expressões para as principais

perturbações seculares, através das equações de Lagrange. Tentando explicar

algumas flutuações nas inclinações das órbitas dos satélites 1959 Alpha 1, 1959 Eta

e 1960 Iota 2, Kozai suspeitou pelo período, que tais flutuações poderiam ser

provocadas pela maré. Entretanto, as amplitudes obtidas pela observação foram

muito grandes. Motivado por tal fato, Kozai (1965), considerando os números de

Love, acrescenta ao seu trabalho anterior os efeitos da deformação da Terra devida à

maré e mostra que tal perturbação adicional poderia causar um acréscimo de 10 por

cento nas perturbações luni-solares. Mostrou também que, se não forem

considerados termos de curto período, as marés não provocam perturbações no semi-

eixo e na excentricidade da órbita de satélites artificiais. Quanto às flutuações

observadas nas inclinações, nada pode concluir em vista da constatação posterior de

inconsistência dos dados observacionais.

Kaula (1969), desenvolvendo o potencial em termos de elementos orbitais, ao

estudar a fricção das marés, introduz na função perturbadora o fator de amplitude



k , chamados números de Love e o ângulo de atraso

ε

, que são expressados como

somas dos harmônicos esféricos zonais, ou seja, uma função dependente somente da

latitude e que produzem perturbações de longo período. As perturbações de curto

período são negligenciadas.

Musen e Estes (1971), desenvolveram um método geral de perturbações

utilizando elementos elípticos e vetoriais para estudar os efeitos da maré sobre o

movimento de satélites artificiais. Essas perturbações são desenvolvidas através de

séries trigonométricas nos argumentos elípticos da teoria lunar de Hill-Brown e nos

elementos equatoriais

ω

e

Ω

do satélite. A integração das equações diferenciais

para variação dos elementos do satélite é simples devido à todos os argumentos

serem lineares ou quase lineares no tempo. A expansão trigonométrica permite um

entendimento sobre a significância relativa das amplitudes e períodos das diferentes

“ondas” da maré sobre um longo período de tempo.

Musen e Felsentreger (1972), estenderam as idéias de perturbações de maré

em satélites artificiais, formulados por Musen e Estes, estabelecendo a forma

Maxwelliana da expansão do potencial de maré dentro de uma série de produtos de

harmônicos esféricos e, seguindo os passos de Kaula (1969), as perturbações de

curto período também são desconsideradas. A expansão do potencial da maré é

obtido usando o teorema de Dirichlet e as equações diferenciais para perturbações da

maré são obtidas dos elementos elípticos fazendo um exame no desvio de

2

k e

3

k .

B.C. Douglas , S. M. Klosko, J.G. Marsh e R.G. Williamson (1973), fazem

uma análise da perturbação da maré luni-solar de inclinação na órbita dos satélites

GEOS-1 (1965-89A) e GEO-2 (1968-002A) , que tem fornecidos os valores

22,0

2

=k e 31,0 respectivamente. Para o satélite GEOS-1 um novo método

numérico envolvendo elementos osculadores foi empregado. Para o satélite GEOS-2

foi necessário para a obtenção desses valores a análise das variações dos elementos

médios devido a longos períodos (450 dias) da maré solar dominante.

Balmino (1974), generaliza os resultados de Kaula e admite que o ângulos de

atraso

ε

e os números de Love sejam funções da latitude e longitude. As funções

dependentes da latitude produzem perturbações de longo período no movimento dos

satélites, enquanto aquelas dependentes da longitude, produzem perturbações de

curto período ou mistos. Há também tentativas de tratar o problema pelo método das

respostas harmônicas, substituindo os números de Love por funções dependentes do

tempo.

S. Cassoto (1990), faz uma investigação completa da estrutura de classe de

equivalência induzidas pela combinação de todos os índices (l,m,p,q) em que são

dependentes os termos do geopotencial, perturbação da maré oceânica e terrestre

num satélite. Os resultados são algoritmos provenientes dessa combinação com a

mesma freqüência na expansão da perturbação na teoria linear.

Em IERS (1996) é mostrado que a influência no movimento de um satélite

pode ser considerado em termos de perturbações nos coeficientes

nm

C e

nm

S do

geopotencial. O potencial é expressado em termos não dimensionais

m2

C∆ ,

m2

S∆ .

Santos, N. (2002), desenvolve o potencial em termos de elementos orbitais e

o substitui nas equações planetárias de Lagrange. Soluções analíticas estão

apresentadas para casos particulares considerando os números de Love constantes.

Três casos foram estudados, o primeiro quando a Lua é estática, segundo, quando a

Lua estiver em órbita circular kepleriana e o terceiro, a Lua em órbita circular

precessionada. Foi dada ênfase aos termos seculares e de longo período. Um

programa foi elaborado, permitindo calcular, para um dado satélite, a amplitude e o

período dos termos perturbadores mais significativos.

Serão analisados, neste trabalho, os modelos de Kozai (Kozai, 1959 e 1965),

de Kaula (Kaula,1969), de Balmino (Balmino, 1974) e o do IERS (1996).

5. MECANISMO BÁSICO DO BOJO DEVIDO À MARÉ

Neste capítulo, baseado nos trabalhos de Broucke (1987) e Murray e Dermott

(1999), dar-se-á uma idéia qualitativa sobre o fenômeno da maré, como ela aparece,

e quais são seus efeitos mútuos nos corpos perturbado e perturbador.

Sabe-se que as marés são devidas a uma combinação dos seguintes fatores

1. Força de atração que o Sol e a Lua exercem sobre a Terra;

2. Movimento de rotação da Terra;

3. O movimento da Terra ao redor do centro de massa do sistema Terra-

Lua.

Fm

LUA

TERRA

Fc

Fg

Fm

Fg

Fc

cm

Figura 5.1-A existência de forças gravitacionais diferentes consoantes à

posição de cada ponto em relação à Lua implica na existência da força de maré.

À parte da Terra mais próxima à Lua sofre maior força gravitacional

g

F



do

que àquela mais distante, no entanto ambas sofrem a ação da força centrífuga

c

F



,

que age dos dois lados do planeta, como mostra a figura 5.1. Do lado esquerdo da

Terra mais distante da Lua, há uma maior força centrífuga que é parcialmente

cancelada pela ação da força de gravidade da Lua. Do outro lado, há uma menor

força centrífuga que se adiciona à força de gravidade da Lua. A força da maré

m

F



é

causada por essa força diferencial que “estica” a Terra criando dois altos de cada

lado. Por esse motivo existem duas marés altas e duas marés baixas semelhantes

todos os dias, de ambos os lados.

Considerando materiais perfeitos (fig.5.2), a resposta do planeta seria

instantânea e nenhum momento angular ou energia seria transferida para a órbita de

seu satélite natural, já que a deformação (campo gravitacional) é simétrica em

relação à linha dos centros. Mas o material do planeta não sendo elástico nem fluido,

haverá necessariamente perda de energia por causa do atraso na resposta do planeta

em formar o bojo, sendo

ε

o ângulo de atraso. Na figura 5.3, que é o caso do binário

Terra-Lua, temos o caso onde a velocidade de rotação da Terra (ω

ωω

ω) é maior que o

movimento médio do orbital da Lua (n). Assim o bojo se forma um certo tempo

após o instante em que a Terra sofreu a perturbação e notamos que ele está

formando um ângulo ε com a linha dos centros. Na figura 5.4 temos a situação

oposta, ω

ωω

ω < n, e o bojo está atrasado em relação à posição do satélite. Na figura 5.3,

o desalinhamento do bojo causa um torque, o qual tende alinhá-lo. Como ω

ωω

ω > n,

então o efeito é tal que a Terra é freada. A energia cinética de rotação é então

dissipada parte em forma de calor e parte é passada ao movimento orbital da Lua.

Para que haja conservação do momento angular total, a Lua ao ganhar este

adicional, é então “empurrada” para fora de sua órbita, isto é, seu semi-eixo tende a

crescer. O processo continua e o equilíbrio ocorre quando ω

ωω

ω = n. No caso da figura

5.4, o torque faz com que o planeta ganhe mais energia de rotação e para que haja

conservação do momento angular, a órbita do satélite se contrai (semi-eixo diminui).

Este é o caso de Phobos e de alguns satélites retrógrados, os quais estão decaindo e

poderão no futuro, colidir com o planeta.

PLANETA

ω = n

ω

n

SATÉLITE

NATURAL

Figura 5.2-Referente ao caso ideal, sendo a velocidade angular do planeta

exatamente igual ao movimento orbital de seu satélite natural.

ω > n

LUA

TERRA

ω

n

ε

Figura 5.3-Referente ao caso real do sistema Terra-Lua, sendo a velocidade angular

da Terra é maior que a velocidade do movimento médio orbital da Lua.

ε

n

ω

PLANETA

ω < n

SATÉLITE

NATURAL

Figura 5.4-Velocidade angular do planeta sendo menor que a velocidade do

movimento angular do seu satélite natural. Esse caso é real para alguns planetas do

Sistema Solar.

6. POTENCIAL DEVIDO À MARÉ

Consideramos então, (Murray e Dermott, 1999) a rotação de um corpo

elástico e um satélite orbital, girando em órbita circular. Chamaremos de maré, a

saliência de um corpo causado pelo efeito do gradiente gravitacional ou variação da

força gravitacional de um lado e do outro do corpo.

Considere o caso do aumento da maré em um planeta de massa m

p

devido a

um satélite de massa m

s

. Se nós representarmos os objetos sendo pontos de massas,

então a Lei da Gravitação de Newton nos dá:

2

ps

r

mm

GF =

(6.1)

em que r é a distância dos centros. Se assumirmos que o corpo move-se em órbitas

circulares sobre seu centro de massa comum (fig. 6.1), então, o semi-eixo maior das

órbitas é relativo às massas:

s

p

s

m

a

=

(6.2)

sendo, a=a

p

+a

s..

mp

planeta

centro de

massa

ap

ms

as

satélite

Figura 6.1 – Um planeta e satélite movendo ao redor de um centro de massa

em órbita circular. O semi-eixo maior do planeta e do satélite, em relação ao centro

de massa é a

p

e a

s

, respectivamente, enquanto que o semi-eixo maior do satélite em

relação ao planeta é a=a

p

+a

s

.

O movimento da partícula P

1

no centro do planeta com relação ao centro de

massa, C

1

, é um círculo de raio a

p

. Se omitirmos essa rotação, o movimento passará

em qualquer outro ponto P

2

, de mesmo raio, mas com centro em C

2

, em posição

diferente de C

1

, mas com a mesma distância de P

2

à P

1

(fig. 6.2). Isto acontece

porque todas as partículas que pertencem ao planeta agem iguais (em magnitude e

direção) às forças centrífugas, mas diferentes das forças gravitacionais, F. A força

centrífuga comum e igual à da força gravitacional média, F, que é,

F = força centrífuga ≠

F

(6.3)

A força de geração de maré, F

maré

, que deforma o planeta é definida por:

F

maré

= F - F (6.4)

C2

P2

P1

planeta

C1

ap

satélite

Figura 6.2 – Toda partícula do planeta move em círculos similares de raios

idênticos a

p

, mas com centros diferentes. As partículas P

1

e P

2

estão nos círculos

com centros C

1

e C

2

, respectivamente.

Considerando agora, o sistema Terra-Lua, o problema será abordado

determinando a distribuição de massa do bojo devido à maré na Terra considerando

o potencial U gerado por um corpo perturbador (Lua) de massa m*, em algum ponto

P na superfície da Terra, temos:

∆

−=

∗

m

GU (6.5)

em que m* é a massa da Lua, ∆ é a distância do ponto P ao centro da Lua. Da lei dos

cossenos temos, fig (6.3):

2

1

2

tt

a

R

cos

a

R

21a

























+ψ













−=

∆

(6.6)

Expandindo o binômio da equação 6.6 obtemos:

321

2

....

2

1

cos3

2

1

cos1 UUU

a

R

a

R

a

m

GU

tt

++≈













+













−ψ













+ψ













+−=

∗

(6.7)

O primeiro termo da equação (6.7),

a

m

GU

∗

−=

1

, é uma constante desde que

U

m

F

−∇=

∗



, este termo não produz força no planeta.

( )

t

g

t

m

F

a

m

R

U

==

ψ∂

∂

∗

2

cos

(6.8)

sendo

t

m a massa da Terra.

Figura 6.3 - Superfície equipotencial

O segundo termo da equação (6.7), ψ













−=

∗

cos

2

2 t

R

a

m

GU , faz aumentar a

força em algum ponto P descrevendo um movimento circular e formando uma

superfície equipotencial ( =

==

=

2

U constante), conforme figura (6.3).

O bojo devido à maré se deve ao potencial descrito a partir da terceira

potência da equação (6.7), podendo ser escrita como:

( )

ψ−=

∗

cos

2

3

PR

a

m

GU

t

(6.9)

superfície

equipotencial

TERRA

ψ

Rt

P

∆

a

LUA

A equação (6.9) está associada a um polinômio de Legendre de grau dois em cos

ψ

,

ou seja:

( )

(

)

1cos3

2

1

cos

2

−ψ=ψP , em que:

( )

ψ−∇≈−−∇=−=

3

U

m

F

U

m

F

m

F

m

F

t

c

t

c

t

g

t

maré



(6.10)

A equação (6.10) representa o aumento do potencial maré.

Então, nós podemos escrever )(cosgU

23

ψ

ξ

−

=

Ρ

, em que:

t

R

a

R

M

3













=ξ

∗

(6.11)

e

2

t

R

Gm

g = (6.12)

é a aceleração gravitacional, ou superfície gravitacional da Terra. Neste caso

)(cos

2

ψΡξ é a amplitude da maré de equilíbrio para qualquer valor de ψ na

superfície do planeta. Note que )(cos

2

ψP é o máximo para

0

=

φ

ou

π

=

φ

e mínimo

para

2

π

=φ ou

2

3

π

=φ . Como a Terra dá uma volta com relação ao seu eixo a

cada 24 horas, isto explica porque a Lua produz duas marés baixas e duas marés

altas na Terra todos os dias.

A deformação da maré na Terra é mais complexa pelo fato de que (i) o Sol e

a Lua aumentam a sua significância (ii) numa ordem geocêntrica, esses corpos

definem órbitas excêntricas e inclinadas com respeito ao equador da Terra.

Usando a lei dos cossenos na trigonometria esférica podemos mostrar que o ângulo

ψ entre o vetor posição OP e OM é dado por (fig 6.4b):

)cos(sensencoscoscos

mpmpmp

λ

+

λ

φ

+

φ

=

ψ

(6.13)

em que

mpmp

λ

φ

,,, estão representadas pela figura 6.4.

conseqüentemente:

(

)

(

)

)cos(2sen2sen

4

3

)(2cossensen

4

3

1cos3

2

1

)1cos3(

2

1

1cos3

2

1

mpmp

mpm

2

p

2

m

2

p

22

λ−λφφ+

+λ−λφφ+

+−φ−φ=−ψ

(6.14)

Sendo que a co-latitude

p

φ

de um ponto fixo a Terra é uma constante, a

amplitude da maré em P varia com

mmp

,,

λ

φ

λ

. A variação no 1º termo da

equação (6.14) é determinada pela variação no tempo de

)2cos1(

2

1

cos

mm

2

φ+=φ . Consequentemente, esse termo varia com

freqüência 2n e origina a formação de uma maré quinzenal. O 2° termo varia

com freqüência

(

)

ω

≈

−

ω

2n2 e origina a formação de uma maré semidiurna, e o

3° termo varia com freqüência

ω

≈

−

ω

)n( e origina a formação de uma maré

diurna.

Figura 6.4 – (a) O eixo de simetria da distorção da maré passa através dos

centros da Terra e da Lua, embora a Terra gire sobre o eixo z com velocidade

angular

ω

, a Lua tem movimento n e uma inclinação orbital I, com relação ao plano

equatorial da Terra. (b) As co-latitudes e longitudes da Lua (φ

m

,λ

m

) e o ponto

P(φ

p

,λ

p

) na superfície da Terra. Note que a longitude λ

p

(e λ

m

) é medida por uma

direção fixa no espaço e não por uma direção que gira com a Terra.

Assim, o potencial gerado pelo corpo perturbador (Lua) de massa m* num

ponto P, localizado na longitude λ, e latitude φ e distância geocêntrica R da

Terra

x

ω

P

z

I

y

Lua

O

λ

p

φ

p

Ψ

n

z

y

P(

φ

p

,

λ

p

)

M(

φ

m

,

λ

m

)

superfície terrestre, conforme a figura 6.5 é dado por (equação 6.7 escrita de forma

genérica):

( )

ψ













=



∞

=

∗∗

∗

cos)(

2





P

r

R

r

Gm

RU (6.15)

ψ

λ

φ

P

R

y



x

z

*

r

*

m

Figura 6.5 – Potencial gerado pela Lua em um ponto da superfície da Terra.

em que r* é a distância geocêntrica até a massa m*, ∆ é a distância geocêntrica de P

até o corpo perturbador , ψ é o ângulo geocêntrico entre P e m* e



P são os

polinômios de Legendre.

Aplicando o teorema da adição de Legendre, na expressão 6.15, tem-se:

( )

( ) ( )

∗∗

∗

λ−λφφ×

+

−

δ−













=



mPP

m

r

R

r

Gm

RU

mm

m

cossensen

!

2)(

0 





(6.16)

em que,

m

P



são os polinômios associados de Legendre, R o raio da Terra,

∗

r

a

distância do centro da Terra ao corpo perturbador, G a constante gravitacional,

(

)

λφ, e

(

)

∗∗

λφ , são as extremidades do arco

Ψ

, onde

∗

φφ, são as latitudes,

∗

λλ, as

longitudes e

m0

δ o delta de Kronecker.

γ

PS



(φ∗,λ∗)

(φ,λ)

PN

z

*

r

*

m

R

y

Figura 6.6 – Potencial terrestre

Sabendo-se que a Terra é plástica, isto é, não é perfeitamente rígida e nem

completamente elástica, considera-se que a distorção do potencial, causado pelo

potencial perturbador , consiste apenas de um parâmetro



k , que é o coeficiente de

elasticidade de grau  , os quais são denominados de Números de Love. Na

superfície da Terra em que r=R o potencial é dado por:

(

)

(

)

RUkRU







=∆ (6.17)

Considerando, como corpo perturbador a Lua (raciocínio análogo pode ser

feito pelo Sol), de massa m* e orbitando a uma distância r* do centro da Terra, o

potencial na superfície da Terra, causado pela Lua, é dado por Pilchowski (1981):

( )

ψ













=∆

∗∗

∗



cos)(





P

r

R

k

r

m

GRU (6.18)

O potencial devido a Lua, num ponto externo à Terra (r>R), em um satélite

artificial situado a uma distância geocêntrica r, é proporcional à razão

1

r

R

+















tal

que na superfície da Terra essa razão é 1. Portanto, pelo teorema de Dirichlet, o

potencial perturbador das marés, no exterior da Terra, pode ser representado

segundo a equação dada por Pilchowski (1981):

( ) ( )

ψ

























=∆

+

∗

=

∗



cos

1

2





P

r

R

r

R

k

r

m

GrU (6.19)

em que, r é a distância do satélite ao centro da Terra.

7. MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE PERTURBAÇÃO

Segundo K. Rama Rao (1986) diversas teorias de órbitas de satélites são

classificadas em três métodos fundamentais. O primeiro é o “método analítico”, ou

seja, o “método geral de perturbação”. Neste método, a derivação da teoria envolve

o uso de aproximações, expansões em séries e integração analítica. O estado do

satélite é dado em função do tempo a partir das soluções fechadas. Embora as

soluções que ficam, às vezes, na forma paramétrica necessitem do computador, não

envolvem nenhuma integração numérica em computador.

As características principais dos métodos analíticos são: (a) manipulações

matemáticas laboriosas na formulação; (b) modelos simples de forças perturbadoras,

com aplicação restrita, a fim de obter soluções fechadas; (c) melhor visualização dos

efeitos de várias perturbações, mesmo na derivação da teoria, assim facilitando a

compreensão do comportamento físico de um satélite em geral, mesmo antes de ser

aplicada a um satélite específico; (d) pouco tempo computacional; (e) muito geral,

por natureza; (f) precisão razoável de cálculo; (g) cálculos feitos num só passo,

independentemente do período.

Os métodos analíticos tendem a ser complexos quando se requer alta

precisão, mas, em geral, são econômicos. A estimação da trajetória pode ser precisa

em intervalos de curto tempo, mas se torna menos precisa com o tempo.

O segundo método fundamental é o “método numérico”, ou seja, o “método

especial de perturbação”. Neste método, a derivação da teoria resulta num programa

de computador que integra diretamente as equações de movimento de satélite

perturbado usando um procedimento numérico apropriado. A solução é obtida só

depois de considerar um satélite específico.

As características principais dos métodos numéricos são: (a) simples na sua

formulação; (b) modelos complexos e mais realísticos de forças perturbadoras, como

aplicação num campo amplo e com flexibilidade de mudar modelos facilmente sem

nenhuma perda na precisão; (c) visualização difícil dos efeitos de várias

perturbações no sentido de que várias trajetórias triviais devem ser integradas cada

vez que um parâmetro é variado, para anotar sua influência; (d) grandes tempos de

computação; (e) muito específicos, por natureza; (f) melhor precisão, embora os

erros de truncamento e arredondamento sejam significativos nas previsões de longos

períodos; (g) cálculos feitos passo por passo.

Os métodos numéricos tendem a ser dispendiosos ao longo do tempo. Na

estimação da trajetória, estes métodos são muito eficientes.

O terceiro método fundamental é o método semianalítico, que surgiu como

um compromisso entre o método analítico e o método numérico. Quando a

complexidade de modelo da força perturbadora torna impossível a implementação

da teoria analítica e muito dispendiosa a teoria numérica, a tática é resolver uma

parte do problema analiticamente e a outra, numericamente. Seguindo esta idéia,

foram desenvolvidos os métodos semianalíticos que combinam a precisão dos

métodos numéricos com a eficiência dos métodos analíticos.

Os principais problemas na teoria de determinação de órbitas de satélites são

(Lafontaine, 1979): (a) dificuldade em derivar modelos matemáticos mais precisos

de fenômenos físicos relevantes; (b) a complexidade teórica e computacional dos

modelos mais realísticos; (c) a identificação de novos fenômenos físicos junto com

modelos apropriados. A tendência presente da teoria orbital é tentar resolver estes

problemas e usar mais freqüentemente os métodos semianalíticos.

A teoria analítica, em geral, depende do método das médias, que basicamente

separa o movimento periódico longo e secular. Neste processo, o espaço de

elementos osculadores é transformado num espaço de elementos médios usando um

conjunto de equações analíticas. As equações de transformação envolvem funções

periódicas curtas da função perturbadora e as taxas e elementos médios contêm

somente o movimento de longo período e secular. A integração das equações de

elementos médios é feita numericamente e, a seguir a transformação analítica

inversa é feita em sentido contrário para elementos osculadores.

O método usado neste trabalho será o método analítico.

7.1. AS EQUAÇÕES PLANETÁRIAS DE LAGRANGE

As expansões das funções perturbadoras de Kozai, Kaula e Balmino, como

efetuadas, fornecem explicitamente a dependência do potencial perturbador em

relação aos elementos orbitais. As variações orbitais, do corpo perturbado, serão

obtidas através das Equações Planetárias de Lagrange:

e

U

e

na

e

a

U

na

n

dt

dM

i

U

iena

i

e

U

ena

e

dt

d

i

U

iena

dt

d

U

iena

iU

iena

dt

di

M

U

ena

eU

ena

e

dt

de

M

U

nadt

da

∂

∂−

−

∂

−=

∂

−

∂

∂−

=

ω

∂

−

=

Ω

ω∂

∂

−

+

Ω∂

∂

−

=

∂

∂−

+

ω∂

∂−−

=

∂

=

2

22

2

22

2222

2

12

sen1

cos1

sen1

1

sen1

cos

sen1

1

11

2

(7.1)

As equações de Lagrange, já considerando os efeitos do achatamento na maré

são dadas por Kozai (1959b):

As variações de e e de i são obtidas conforme as equações:

iena

iU

iena

dt

di

M

U

ena

eU

ena

e

dt

de

sen1

cos

sen1

1

11

2222

2

−

+

Ω∂

∂

−

=

∂

∂−

+

ω∂

∂−−

= (7.2)

Usando as variações

e

δ

e

i

δ

, pode-se derivar

δω

e

Ω

δ

pelas fórmulas:

i

di

d

e

de

d

i

U

iena

i

e

U

ena

e

dt

d

i

di

d

e

de

d

i

U

iena

dt

d

δ

ω

+δ

ω

+

∂

−

∂

∂−

=

ω

δ

Ω

+δ

Ω

+

∂

−

=

Ω



sen1

cos1

sen1

1

22

2

22

(7.3)

8. MODELO DE KOZAI

Desde o começo da segunda metade do século passado os efeitos de

perturbações luni-solares sobre órbitas de satélites artificiais têm sido considerados,

sendo um dos trabalhos pioneiros o artigo de Kozai (1959

a

). Neste trabalho Kozai

desenvolve o potencial em termos de elementos orbitais de um satélite próximo da

Terra e escreve, através das equações de Lagrange, expressões para as principais

perturbações seculares. A expressão do potencial de Kozai para tal problema contém

apenas termos seculares e de longo período, que será apresentada nos capítulos

posteriores. Em um trabalho posterior, Kozai (1959

b

), baseado em observações de

satélites, determina os números de Love como sendo uma constante com uma

pequena variação de

03

.

0

29

.

0

±

e o tempo de atraso como sendo

5

10

±

minutos.

8.1.POTENCIAL TERRESTRE DEVIDO À MARÉ (KOZAI, 1965)

O potencial lunar da Terra, usando polinômios de Legendre pode ser

expandido como:

( ) ( )

,...coscos

32

3

2













+ψ+ψ=

∗∗

∗

P

r

R

P

r

RGm

U (8.1)

em que :

(

)

(

)

2/13

2

−= xxP e

(

)

(

)

2/35

2

3

xxxP −= .

Assumindo que o raio da Terra R é constante, a deformação da maré na Terra

devido à atração da Lua, definida na equação (6.18) como:

( ) ( )













+Ψ+Ψ=

∗∗

∗

.....coscos

3322

3

4

P

r

R

kPk

rm

Rm

G

RkU

t

(8.2)

de um modo semelhante pode-se introduzir a atração do Sol. Fazendo as correções

para o potencial de um satélite devido à maré terrestre, temos:

( ) ( )













+Ψ+Ψ

β

=

∗∗

...coscos

3

2

322

33

5

P

rr

R

kPk

rr

RG

U (8.3)

em que

G

é a constante gravitacional,

β

é a razão da massa da Lua pela massa da

Terra, r é a distância geocêntrica do satélite,

∗

r

é a distância do centro da Terra à

Lua e

(

)

ψ

cos

2

P é o polinômio de Legendre de grau dois e

Ψ

é o ângulo entre a

distância geocêntrica do satélite à direção da Lua.

Expressaremos essa função em termos de coordenadas esféricas e depois em

função de elementos orbitais: a, e, i,

Ω

,

ω

e M. Para isso usaremos as relações

clássicas do problema de dois corpos.

a) Do triângulo de Neper dada a figura 8.1, temos:

(

)

2

22cos1

sensen

22

υ

+

ω

−

−=φ i (8.4)

b) Da relação entre a anomalia verdadeira e anomalia excêntrica, temos:

eE

a

r

−=υ coscos

(8.5)

c)Utilizando as Tábuas de Cailey, podemos colocar a anomalia verdadeira em

termos da anomalia média:

( ) ( ) ( )

ϕ−

−

+ϕ+

+

=ϕ+υ



∞

=

pM

ba

pM

ba

p

r

a

pp

p

pp

n

cos

2

cos

2

cos

1

(8.6)

em que

p

a e

p

b são tabelados.

Figura 8.1 – Triângulo – órbita – equador - meridiano

Sendo a longitude média é dada por:

M

+

Ω

+

ω

=

λ

(8.7)

e

3

2

a

m

Gn =

(8.8)

Contudo, a expressão de Kozai para o potencial fica:

γ

Ω u

B

DIREÇÃO DO

EQUINÓCIO VERNAL

PLANO DA ÓRBITA

φ

i

P

C

A

ω

+

υ

(

)

{

}

( )

























+













+×

×Ω−ω−λ−

−













+













+×Ω−ω−λ+

β=

∗∗

∗∗∗∗

∗

BeAe

e

BeAee

kanU

22

2

8

15

2

3

1

sen4

8

15

2

3

1cos31

2

(8.9)

em que,

0121835.0==β

∗

T

m

(8.10)

e,

( )

(

)

∗∗

∗

∗∗

∗

∗∗∗

∗∗

∗

Ω−Ω+λ+

Ω+Ω−λ+

Ω−Ω−λ−

Ω−λ+

Ω−λ













−+

Ω−Ω+













−













−=

32cos

2

sensen2sen

8

3

22cos

2

sensen

8

3

2cos

2

cossen2sen

8

3

2cos

2

cossen

8

3

2cossen

2

3

1sen

8

3

2cossensen

16

3

cos2sen2sen

16

3

sen

2

3

1sen

2

3

1

4

1

2

42

2

42

22

i

ii

i

ii

i

ii

iiA

(8.11)

(

)

( )

Ω+ω−Ω−λ+

Ω−Ω+ω+λ−

Ω−Ω−ω+λ+

Ω+Ω−ω+

Ω−Ω+ω−

Ω−ω−Ω−λ

′

+

Ω−ω+λ+

ω−Ω−λ+

Ω+ω−Ω−λ+

Ω−λ+Ω+ω+

λ+Ω−ω+

Ω−Ω+ω+

ω













−+

Ω−ω−λ=

∗∗

∗

∗∗

∗

∗∗

∗

∗∗

∗

∗∗∗

∗∗

∗

∗∗

∗

∗∗

∗

232cos

2

sensen

2

sensen

322cos

2

sensen

2

cossen

22cos

2

cossen

2

sensen

2cos2sen

2

sensen

2

1

2cossen

2

sen

2

1

2cos2sen

2

cossen

2

1

22cos

2

cosnse

2

cossen

2cossensen

8

3

2cossensen

8

3

22cos

2

sen

2

sen

22cos

2

sen

2

cos

2cos

2

cos

2

sen

2cossen

2

cos

2

1

2cossen

2

3

1sen

2

1

2cos

2

cos

2

cos

22

2

24

2

22

44

24

22

44

i

ii

i

ii

i

ii

B

(8.12)

Nas equações (8.11) e (8.12) acima,

∗

λ é a longitude a Lua,

Ω

e

∗

Ω

referem-se as longitudes do nodo ascendente do satélite e da Lua respectivamente, e

ω

,

∗

ω são os respectivos argumentos do perigeu.

Selecionando todos os termos dependentes de

∗

λ e trocando cos por sen, tem-

se as expressões para

∗

A

e

∗

B

, a partir de A e B.

9. FUNÇÃO PERTURBADORA - MODELO DE KOZAI

Efetuando expansões em harmônicos esféricos e em sistemas de coordenadas

convenientes, escrevem-se usando o modelo de Kozai alguns termos do potencial

devido à maré agindo sobre o satélite.

Considerando a Lua como corpo perturbador, desconsiderando-se a

defasagem, restringindo-se aos termos seculares e de longo período, devido apenas

ao segundo harmônico, o potencial pode ser expresso conforme a equação abaixo:

(

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

)}2cos2sen

2

sensen

2

1

2cossen

2

sen

2

1

2cos2sen

2

cossen

2

1

2cossen

2

cos

2

1

2cossen

2

3

1sen

2

1

(

8

15

)2cossensen

16

3

cos2sen2sen

16

3

sen

2

3

1sen

2

3

1

4

1

(1{

224

2

24222

2

22

2/3

2

3

5

2

∗∗∗∗

∗∗

∗∗∗

∗

−

∗

Ω+Ω−ω













+Ω+Ω−ω













+Ω+Ω+ω













−Ω−Ω+ω













+ω













−

+Ω−Ω+Ω−Ω

+













−













−−β=

i

ii

i

iie

iiii

iiek

a

R

n

U

(9.1)

9.1. PERTURBAÇÕES SECULARES

A parte secular da função perturbadora devido às marés para o modelo de

Kozai é:

(

)













−













−













−β=

∗

−

∗

iiek

a

R

n

U

22

2/3

2

3

5

sen

2

3

1sen

2

3

1

4

1

2

(9.2)

Deve-se considerar que a inclinação da Lua varia continuamente devido ao

geopotencial e à atração do Sol, segundo a equação (Kozai, 1965):

(

)

(

)

NNi 20006.0cos0652.01644.0sen

2

−+=

∗

(9.3)

320212

10

56055

.

4

10

55747

.

1

0529539

.

0

183

.

259

t

N

−−

×+×+−=



(9.4)

em que t é dado em graus/dia, sendo N a longitude do nodo ascendente em

relação a eclíptica.

Estes termos são muito importantes para analisar observações de satélites por

um longo período de tempo. Como os movimentos seculares devido às marés, que

são as marés permanentes não podem ser distinguidas do valor do

2

J (coeficiente

que representa as deformações zonais da Terra, denominado de primeiro

harmônico zonal do geopotencial), isto é, os efeitos seculares já são incluídos na

análise para a determinação do

2

J , a relação da contribuição da maré permanente

para esse harmônico, é a grosso modo

4

2

1029.0

−

×k .

É importante ressaltar que sendo o fator perturbador

2

5

1063.1

n

−

×

para

a Lua (

2

5

1075.0

n

−

×

para o Sol), em que o movimento médio n do satélite é

expressado em revoluções por dia, algumas das amplitudes para os termos

perturbadores podem ficar bastante altas.

9.2. VARIAÇÕES DOS ELEMENTOS ORBITAIS

Foram calculadas as variações dos elementos orbitais, através das equações

de Lagrange, pelo método das aproximações sucessivas. O potencial devido à maré

foi desenvolvido de forma geral pelo programa Mathematica e alguns casos foram

especificados.

Considerando apenas os termos seculares, temos o potencial descrito pela

expressão (10.2). Como não existem variáveis angulares em tal expressão, temos:

0=

Ω∂

∂

=

ω∂

∂

=

∂

UU

M

U

(9.5)

e, portanto:

0

=

a



,

0

=

e



e

0

=

i



(9.6)

Integrando, temos:

0

aa

=

,

0

ee

=

e

0

ii

=

(9.7)

Para a variação secular da longitude do nodo ascendente, temos:

0

Ω

+

=

Ω

tn

(9.8)

em que:

(

)

(

)

nea

nkiiR

n

2

25

2

5

116

2cos31cos3

2

−−

−β

−=

∗∗

Ω

(9.9)

Para a variação secular do argumento do perigeu, temos:

0

ω

+

=

ω

tn (9.10)

em que:

( )

(

)

(

)

nea

nkiiR

n

2

25

2

5

164

2cos312cos533

2

+−

++β

=

∗∗

ω

(9.11)

Para a variação secular da anomalia média, temos:

0

MtnM

M

+

=

(9.12)

em que:

( )

(

)

(

)

nea

nkiiR

n

M

2/3

25

2

5

164

2cos312cos313

2

−

++β

=

∗∗

(9.13)

Considerando-se agora a influência da inclinação da Lua para o cálculo das

variações seculares da longitude do nodo ascendente, do argumento do perigeu e da

anomalia média, descrita pela fórmula (9.3), temos apenas a parte secular do

potencial:

(

)

(

)

( )

























−+

−













−













−β=

−

∗

N

iek

a

R

n

U

2cos0006.0

cos0652.01644.0

2

3

1sen

2

3

1

4

1

2

2/3

2

3

5

2

(9.14)

9.2.1 RESULTADOS

Embora teoricamente, perturbações geopotenciais se estendam até o infinito,

elas diminuem com a altura do satélite. Também as perturbações devidas ao arrasto

atmosférico, diminuem com a altura. Assim, por exemplo, um satélite a uma altura

de 200 km, daria poucas revoluções ao redor da Terra antes de cair, ao passo que a

uma altura de 600km, ele ficaria em órbita, ainda por dezenas de anos. Acima de

700 km, a perturbação devido a pressão de radiação solar direta é maior do que a

perturbação devido ao arrasto atmosférico. Para satélites altos, por exemplo,

geoestacionários a perturbação luni-solar é da ordem da perturbação devido ao

geopotencial.

A escolha de uma órbita para se medir efeitos perturbadores devidos à maré,

deve ser tal que, não seja muito baixa para que seu efeito não seja totalmente

mascarado pelo arrasto e nem muito alto para não ser mascarado pela atração luni-

solar.

Assim, para exemplificar a ordem dos efeitos devidos à perturbação da maré

terrestre, escolhe-se um satélite em uma órbita com as seguintes características:

.

30

;60

;30

;01.0

;

7000

°=ω

°=Ω

°=

=

i

e

Km

a

Nas integrações das equações do movimento para os casos considerados, foi

desenvolvido um programa em linguagem de programação Mathematica. Este

programa gera um arquivo de saída, onde dadas às condições iniciais do satélite

artificial, são obtidos as variações dos elementos orbitais para cada caso a ser

apresentado.

Segundo o método das aproximações sucessivas, encontramos para as

variações da longitude do nodo ascendente e do argumento do perigeu, dadas pelas

equações (9.9) e (9.11), os seguintes valores:

diaradn /1033781.8

7−

Ω

×−=

diaradn /103238.1

6−

ω

×=

Considerando-se a variação da inclinação da Lua, em que as expressões são

encontradas no apêndice A, temos os seguintes resultados:

0 20000 40000 60000 80000 100000

dias

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

Wd

H

dar



aid

L

Figura 9.1 – Variação da longitude do nodo ascendente, levando em conta a

inclinação da Lua.

0 20000 40000 60000 80000 100000

dias

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

wd

H

dar



aid

L

Figura 9.2 – Variação do argumento do perigeu, levando em conta a

inclinação da Lua.

Considerando agora, os termos de longo período, descrito pela fórmula (9.1),

obtemos as expressões das variações nos elementos orbitais para as seguintes

situações:

CASO 1:

Considerando a Lua em movimento elíptico, não precessionada:

0

ω+=ω

Ω+=Ω

ω=ω

Ω=Ω

ω

Ω

∗∗

tn

CASO 2:

Considerando a Lua em órbita elíptica precessionada ao redor da Terra:

0

ω+=ω

Ω+=Ω

ω+=ω

Ω+=Ω

ω

Ω

∗

ω

∗

Ω

∗

tn

As expressões das variações nos elementos orbitais, encontram-se no

apêndice A.

Aplicando as equações de Lagrange e considerando as variações devidas à

longitude do nodo ascendente e o argumento do perigeu, temos:

Para a variação da excentricidade:

Caso 1:

Maior Amplitude: 0.00227218

Período:

dias

6

10

37316

.

2

×

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

de

Figura 9.3-Representação da variação da excentricidade (caso1)

Caso 2:

Maior Amplitude: 0.00227218

Período:

dias

6

10

37316

.

2

×

Figura 9.4-Representação da variação da excentricidade (caso2)

Para a variação da inclinação:

Caso 1:

Maior Amplitude: 0.0899087 rad

Período:

dias

6

10

53577

.

7

×

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

de

Figura 9.5-Representação da variação da inclinação (caso1)

Caso 2:

Maior Amplitude: 0.000081215 rad

Período:

dias

10

.

6807

Figura 9.6-Representação da variação da inclinação (caso2) com período de

aproximadamente 6800 dias.

0

1´ 10

6

2´ 10

6

3´ 10

6

4´ 10

6

5´ 10

6

6´ 10

6

7´ 10

6

dias

-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

0.075

di

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.0001

-0.00005

0

0.00005

0.0001

d

i

H

d

a

r

L

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

dias

-0.000075

-0.00005

-0.000025

0

0.000025

0.00005

0.000075



i



d

a

r



Figura 9.7-Representação da variação da inclinação (caso2) com período de

aproximadamente

6

10

4

.

2

× dias.

Figura 9.8-Representação da variação da inclinação (caso2) com período de

aproximadamente

6

10

4

.

2

× dias, desconsiderando-se o termo de maior

amplitude.

Figura 9.9-Representação da variação da inclinação (caso2) com menor

período de aproximadamente 3400 dias

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.00004

-0.00002

0

0.00002

0.00004

d

i

H

d

a

r

L

0 2000 4000 6000 8000 10000

dias

0.0000188

0.000019

0.0000192

0.0000194

0.0000196

0.0000198



i



d

a

r



Para a longitude do nodo ascendente:

Caso 1:

Maior Amplitude: 0.103817 rad

Período:

dias

6

10

53577

.

7

×

Figura 9.10-Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso1)

Caso 2:

Maior Amplitude: 0.0000937784 rad

Período:

dias

10

.

6807

0

1´ 10

6

2´ 10

6

3´ 10

6

4´ 10

6

5´ 10

6

6´ 10

6

7´ 10

6

dias

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Wd

H

dar

L

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

dias

-0.000075

-0.00005

-0.000025

0

0.000025

0.00005

0.000075



d

a

r



Figura 9.11-Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2), com um período de aproximadamente 6800 dias.

Figura 9.12-Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2), com um período de

6

10

4

.

2

× dias.

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0

0.00005

0.0001

0.00015

W

d

H

d

a

r

L

0 500000

1



10

6

1.5



10

6

2



10

6

dias

-0.000075

-0.00005

-0.000025

0

0.000025

0.00005

0.000075



d

a

r



Figura 9.13-Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2) com período de aproximadamente

6

10

4

.

2

× dias, desconsiderando-se

o termo de maior amplitude.

Figura 9.14-Representação da variação da inclinação (caso2) com menor

período de aproximadamente 3400 dias

Para o argumento do perigeu:

Caso 1:

Maior Amplitude: 0.22715 rad

0 2000 4000 6000 8000 10000

dias

-0.00007

-0.000069

-0.000068

-0.000067



d

a

r



Período:

dias

6

10

37316

.

2

×

Figura 9.15-Representação da variação do argumento do perigeu (caso1)

Caso 2:

Maior Amplitude: 0.22715 rad

Período:

dias

6

10

37316

.

2

×

Figura 9.16-Representação da variação do argumento do perigeu (caso2)

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

wd

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

wd

H

dar

L

360000 380000 400000 420000

dias

0.22575

0.226

0.22625

0.2265

0.22675

0.227

0.22725



d

a

r



Figura 9.17-Representação da variação do argumento do perigeu (caso2), na

região de máximo, com menor período de aproximadamente 6800 dias.

Figura 9.18-Representação da variação do argumento do perigeu (caso2), na

região de mínimo, com menor período de aproximadamente 6800 dias.

9.2.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS – KOZAI

1.55



10

6

1.56



10

6

1.57



10

6

1.58



10

6

1.59



10

6

1.6



10

6

1.61



10

6

dias

-0.2274

-0.2272

-0.227

-0.2268

-0.2266

-0.2264



d

a

r



Através dos resultados obtidos para o modelo de Kozai, verifica-se que para a

variação da excentricidade não existem diferenças nos termos de maior amplitude

(cerca de 0.002) e períodos (cerca de

dias

6

10

4

.

2

× ) para os casos 1 e 2 (figuras 9.3

e 9.4), isto significa que a excentricidade não sofre uma influência significativa da

precessão da Lua.

Para a inclinação verifica-se que a influência da precessão da Lua é bastante

significativa, pois foi encontrado um período bem menor (cerca de 6800 dias), com

seu termo de maior amplitude igual à aproximadamente 0.00008 radianos (figura

9.6). Esse período é gerado pelo termo na função perturbadora que contém

(

)

∗

Ω−Ωcos (vide equação 9.1). Existe um segundo termo de maior amplitude

(0.00004 radianos) que corresponde a um período de aproximadamente

dias

6

10

4

.

2

× (figura 9.7). Esse período é gerado pelo termo na função perturbadora

que contém

(

)

ω

2cos (vide equação 9.1). Com o objetivo de visualizar melhor o

efeito dessas perturbações, desconsidera-se da variação da inclinação seu termo de

maior amplitude. Encontra-se, neste caso, uma amplitude da ordem de

aproximadamente

rad

7

10

2

−

× , com um menor período de cerca de 3400 dias

(figura 9.9).

Um comportamento semelhante verifica-se para a variação da longitude do

nodo ascendente, em que a influência da precessão da Lua torna-se também bastante

significativa.O termo de maior amplitude é de aproximadamente 0.00009 radianos

com um período de cerca de 6800dias (figura 9.11). O segundo termo de maior

amplitude é de aproximadamente 0.00008 radianos, que corresponde ao período de

cerca da

dias

6

10

4

.

2

× (figura 9.12). Desconsiderando-se o termo de maior

amplitude (figura 9.13), encontra-se uma amplitude de aproximadamente

rad

6

10

2

−

× , com um menor período de cerca de 3400dias (figura 9.14).

Para a variação do argumento do perigeu, em que o termo de maior amplitude

é de aproximadamente 0.2 radianos com um período de cerca de

dias

6

10

4

.

2

× (figura 9.16), verificam-se ondulações menores nas regiões de

máximos e mínimos (figuras 9.17 e 9.18), com uma amplitude de cerca de

rad

4

10

2

−

× , correspondente a um período de 6800 dias.

10. MODELO DE KAULA

Kaula (1969), desenvolveu a função perturbadora devida à maré, sendo que o

fator de amplitude

k

e o ângulo de atraso

ε

são expressados como somas de

harmônicos esféricos zonais. Com respeito à evolução atual da órbita da Lua, Kaula

considerou a existência de um harmônico de grau dois para o ângulo de atraso, com

objetivo de avaliar uma contribuição significante na transferência de energia para a

Lua, embora, seja improvável que esse efeito seja importante na escala de tempo

total da evolução da órbita. Se a órbita da Lua fosse equatorial, a fricção devida à

maré não alteraria a inclinação de sua órbita. Uma vez que a órbita é inclinada, a

fricção da maré faz com que ela ganhe uma inclinação adicional, desde que, a razão

entre a rotação da Terra e a revolução da Lua seja comensurável. A variação

latitudinal nas propriedades da maré tem efeitos calculáveis na órbita de satélites

próximos a Terra. Um harmônico de grau dois para o ângulo de atraso se faz

necessário para conciliar os dados de avaliação com a desaceleração da órbita da

Lua.

Pode-se expressar a função perturbadora em termos de coordenadas esféricas

e depois em função de elementos orbitais. Levando em conta o ângulo de atraso ε,

Kaula (1969) obtém cada termo como uma série infinita com coeficientes em função

da inclinação e da excentricidade da órbita:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

{ }

θ+λ−λφε−υ×

×













φλφ=λφ

∗

−

∗∗



m

PCBRkRU

mpqmpq

parm

ímparm

mmpqm

mpq

,

sen

cos

sen,,,









(10.1)

em que r,φ e λ são raio, latitude e longitude, respectivamente; θ é o ângulo sideral

de Greenwich ,

(

)

φ

sen

m

P



são os polinômios associados de Legendre, e

(

)

( )

,2

!

0m

m

GmB

m

δ−

+

−

=

∗∗



(10.2)

(

)

(

)

,

1

∗∗

+∗

∗

= eGÍF

a

C

pqmpmpq 



(10.3)

( ) ( )

∗∗∗

Ω++−+ω−=υ

∗

mMqpp

mpq

22 



, (10.4)

em que, G é a constante gravitacional;

∗∗∗∗∗∗∗

Ωω ,,,,,, MIeam são massas e

elementos keplerianos da Lua; e

( )

( ) ( )

×













+−−













×

−−−

−

=

















−−

=

∗

=

∗−−

=

−

∗

2

20

2

,

0

22

2

cos

sen

2!2!!

!22

tp

c

s

m

s

tm

kp

t

mp

c

stm

I

s

m

I

tmtt

t

IF







(10.5)

( )

,1

kc

ctp

sm

−













−−

−

(

)

( ) ( )

,11

2

0

2

k

pqk

k

pqk

q

pq

QPeG βββ+−=



∞

=

∗





em que, (10.6)

2

e11

e

−+

=β (10.7)

'qkh

+

=

se

0

'



q

(10.8)

( ) ( )

/

2

''2

!

1

2'2

0

p

eqp

r

rh

p

P

r

h

r

pqk













β

+−−













−

=



=



k

h

=

se

0

'



q

k

h

=

se

0

'



q

( )

/

2

''2

!

1'2

0

p

eqp

rrh

p

Q

r

h

r

pqk













β

+−













−

=



=



'qkh

−

=

se

0

'



q

(11.9)

em que p’ e q’ são definidos da seguinte maneira:

p

=

'

p

−

=



'

se

2



≤p e se

2



p

(10.10)

q

=

'

q

−

=

'

Para propósito da análise orbital, o modelo de Kaula, assume que



k

e

mpq

ε

sejam somente funções da latitude, pois são elas que produzem perturbações de

longo período no movimento dos satélites e, representando-os por harmônicos

esféricos:

)(sen

0

φκ=



h

Pk



(10.11)

e

(

)

φε=ε



sen

0)( n

n

mpqnmpq

P



(10.12)

Então a função perturbadora pode ser escrita:

( ) ( )

( )

{ }













υ−υ×













−

εκ+













−

κ

×













=

∗

−

+



mpqkmjg

park

ímpark

m

h

park

ímpark

m

h

lhkmkjgkmj

k

mpqhkjg

mpq

QeGiF

a

R

KU



)(

1

cos1

sen

sen1

cos

(10.13)

em que,

∗∗

=

mpqmmpq

CBRK





(10.14)

É importante enfatizar que os polinômios

(

)

∗

iF

mp

e

(

)

∗

eG

pq

são relativos à

Lua, e os polinômios

(

)

iF

kmj

e

(

)

eG

kjg

são relativos ao satélite. Os valores de

jkm

Q



, que são fatores para produtos de conversão dos polinômios associados de

Legendre estão tabelados.

No potencial equação (10.13) podemos distinguir três tipos de termos

periódicos, ver equação (10.4): longos períodos quando m=0, períodos diurnos

quando m=1, e períodos semi-diurnos quando m=2. Como os

(

)

∗

eG

pq

são

proporcionais à

q

e

, são considerados valores baixos para grandes valores de q, isto

é,

2

,

1

,

0

±

=

q

. Para  , consideramos o valor 2, pois o fator no potencial















≅













∗

60

1

a

R

é pequeno para a Lua e muito menor para o Sol.

Para análise da perturbação da maré em um satélite artificial, exige-se que

não haja termos de curto período, ou seja, g=2j-k. Então a equação (10.13),

transforma-se:

( ) ( )

( )

{ }













υ−υ×













−

εκ+













−

κ

×













=

∗

−

+



mpqkjkmj

park

ímpark

m

h

park

ímpark

m

h

hkmkjkjkmj

k

mpqhkjg

mpq

QeGiF

a

R

KU

2)2(22

2)2(

1

2

cos1

sen

sen1

cos

(10.15)

Para obtermos no potencial termos seculares, devemos fazer na equação

(10.4),

0

2

=

−

p

 ,

0

2

=

+

−

q

p

 e m=0, isto é termos que não tenham ω*,Ω* e

M*. Para obtermos termos de longo período, devemos fazer

0

2

=

+

−

q

p

 , isto é

termos que não contém M*.

10.1. EFEITOS EM ÓRBITAS DE SATÉLITES PRÓXIMOS A TERRA

Kaula (1969), examinou o comportamento de satélites artificiais para

pequenos valores de













R

a

e a sua influência na função perturbadora dada pela

equação (10.15), com o objetivo de especificar melhor as órbitas futuras para a

determinação das propriedades da maré terrestre.

Com o mesmo objetivo, Kozai (1968) determinou

k

e

ε

para perturbações da

inclinação

i

δ

e do argumento

Ω

. Para isso, ele utilizou somente os termos

mpqhkj=110021 da equação (10.15), que tem como resultado a função:

(

)

( )

(

)

∗

−

Ω−Ωε−κ−













−













= sencos1cossen

2

3

020

2/3

2

3

21002

eii

a

R

KU

(10.16)

Segundo Kaula(1969), Newton (1968) determinou

k

e

ε

para perturbações

da inclinação

i

δ

e para o nodo

Ω

δ

com os argumentos contendo

Ω

e

Ω

2

, e obteve

os fatores da órbita lunar por integração numérica, o qual seria equivalente usar os

termos

2

,

1

=

m

e

2

,

1

,

0

=

p

, com 0021

=

qhkj na equação (10.15), que tem como

resultado a função:

(

)

( )

(

)

∗

−

Ω−Ωε−κ−













=



meiF

a

R

KU

m

mp

sencos1)(

020

2/3

2

12

3

022

(10.17)

Pode-se perceber que nas equações (10.16) e (10.17), o argumento

ω

é

inexistente pois Kaula considera

2

k

j = . As variações zonais são pares , isto é

,...4,2,0

=

h ., para que

k

e

ε

tenham perturbações de mesmo período, como as

equações (10.16) e (10.17).

Como, neste trabalho, tem-se o objetivo de comparar os modelos de Kaula

com o de Kozai, é necessário que se encontre a função perturbadora com os mesmo

períodos contidos na equação (9.12), termos em que aparecem o argumento

ω

2

,

para isso é necessário considerar

2

,

1

,

0

=

m

, 2,0

=

h ,

1

=

j

e 4,2

=

k . Então a função

perturbadora, para termos de longo período fica:

( ) ( )

(

)

[

]

∗

−−

+

υ−υε−κ













=



102)2(122)2(11

1

102

sen)(cos

mkkmhhhkmkkkm

k

mhk

m

QeGiF

a

R

KU

(10.18)

Com o objetivo de simplificar a notação, Kaula (1969) formula a seguinte

equação, para expressar os números de Love e o ângulo de atraso:

(

)

(

)

h

Pk

22

2



εκ=δ



(10.19)

Utilizando os dados obtidos por Newton (1968) na análise dos parâmetros da

maré, tem-se:

202

055.0351.0 Pk

−

=

(10.20)

em que 351.0

20

=

κ

e 055.0

22

−

=

κ

,

e, para os dados de Newton referentes a Lua, temos:

(

)

4020

2

0004.00121.00072.0 PPk

−

=

δ

(10.21)

em que,

(

)

0072.0

0

2

=

ε

κ

,

(

)

0121.0

2

−

=

ε

κ

e

(

)

0004.0

4

2

−

=

ε

κ

.

11. FUNÇÃO PERTURBADORA - MODELO DE KAULA

Efetuando expansões em harmônicos esféricos e em sistemas de coordenadas

convenientes, escrevem-se usando o modelo de Kaula alguns termos do potencial

devido à maré agindo sobre o satélite.

Considerando a Lua como corpo perturbador, considerando-se a defasagem,

restringindo-se aos termos seculares e de longo período, devido apenas ao segundo

harmônico, o potencial pode ser expresso conforme a expressão (B.1), disposta no

apêndice B.

11.1. PERTURBAÇÕES SECULARES

A parte secular da função perturbadora devido às marés para o modelo de

Kaula está disposta no apêndice B, expressão (B.2).

11.2. VARIAÇÕES DOS ELEMENTOS ORBITAIS

Foram calculadas as variações dos elementos orbitais, através das equações

de Lagrange, pelo método das aproximações sucessivas. O potencial devido à maré

foi desenvolvido de forma geral pelo programa Mathematica e alguns casos foram

especificados.

Considerando apenas os termos seculares, temos o potencial descrito pela

expressão (B.2). Como não existem variáveis angulares em tal expressão, temos:

0=

Ω∂

∂

=

ω∂

∂

=

∂

UU

M

U

(11.1)

e, portanto:

0

=

a



,

0

=

e



e

0

=

i



(11.2)

Integrando, temos:

0

aa

=

,

0

ee

=

e

0

ii

=

(11.3)

Para a variação secular da longitude do nodo ascendente, temos:

0

Ω

+

=

Ω

tn

(11.4)

em que:

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2/3

232

25

2220

5

11112

272cos31cos3













−+−

κ+κ+

−=

∗∗

∗

Ω

eanea

GmiiR

n (11.5)

Para a variação secular do argumento do perigeu:

0

ω

+

=

ω

tn (11.6)

em que:

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2/3

232

25

2220

5

11448

272cos312cos533













−+−

κ+κ++

−=

∗∗

∗

ω

eanea

GmiiR

n

(11.7)

11.2.1 RESULTADOS

Para exemplificar e comparar a ordem dos efeitos devidos à perturbação da

maré terrestre é escolhido um satélite em uma órbita com as mesmas características

do capítulo 9.

Nas integrações das equações do movimento para os casos considerados, foi

desenvolvido um programa em linguagem de programação Mathematica. Este

programa gera um arquivo de saída, onde dadas às condições iniciais do satélite

artificial, são obtidos as variações dos elementos orbitais para cada caso a ser

apresentado.

Segundo o método das aproximações sucessivas, encontramos para as

variações da longitude do nodo ascendente e do argumento do perigeu, dadas pelas

equações (11.5) e (11.7), os seguintes valores:

diaradn /1037006.9

7−

Ω

×−=

diaradn /1048769.1

6−

ω

×=

Considerando-se a influência da inclinação da Lua, em que as expressões se

encontram no apêndice B, temos os seguintes resultados:

Figura 11.1 – Variação secular da longitude do nodo ascendente, levando em

conta a inclinação da Lua.

Figura 11.2 – Variação secular do argumento do perigeu, levando em conta a

inclinação da Lua.

0 20000 40000 60000 80000 100000

dias

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

Wd

H

dar



aid

L

0 20000 40000 60000 80000 100000

dias

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

wd

H

dar



aid

L

Considerando agora, os termos de longo período, obtém-se as expressões das

variações nos elementos orbitais para as seguintes situações:

CASO 1:

Considerando a Lua em movimento elíptico, não precessionada:

0

ω+=ω

Ω+=Ω

ω=ω

Ω=Ω

ω

Ω

∗∗

tn

CASO 2:

Considerando a Lua em órbita elíptica precessionada ao redor da Terra:

0

ω+=ω

Ω+=Ω

ω+=ω

Ω+=Ω

ω

Ω

∗

ω

∗

Ω

∗

tn

As expressões das variações nos elementos orbitais são encontradas no

apêndice B.

Aplicando as equações de Lagrange e considerando as variações devidas à

longitude do nodo ascendente e o argumento do perigeu, temos:

Para a variação da excentricidade:

Caso 1:

Maior Amplitude: 0.000078526

Período:

dias

6

10

11172

.

2

×

Figura 11.3-Representação da variação da excentricidade (caso1)

Caso 2:

Maior Amplitude: 0.000078526

Período:

dias

6

10

11172

.

2

×

Figura 11.4-Representação da variação da excentricidade (caso2)

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.00006

-0.00004

-0.00002

0

0.00002

0.00004

0.00006

d

e

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.000075

-0.00005

-0.000025

0

0.000025

0.00005

0.000075

d

e

Para a variação da inclinação:

Caso 1:

Maior Amplitude: 0.0787884rad

Período:

dias

6

10

7056

.

6

×

Figura 11.5-Representação da variação da inclinação (caso1)

Caso 2:

Maior Amplitude: 0.0000799721 rad

Período:

dias

34

.

6806

Figura 11.6-Representação da variação da inclinação (caso2)

0

1´ 10

6

2´ 10

6

3´ 10

6

4´ 10

6

5´ 10

6

6´ 10

6

dias

-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

0.075

di

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.0001

-0.00005

0

0.00005

0.0001

d

i

H

d

a

r

L

Figura 11.7-Representação da variação da inclinação (caso2),

desconsiderando-se termos de maior amplitude.

Para a longitude do nodo ascendente:

Caso 1:

Maior Amplitude: 0.0909762 rad

Período:

dias

6

10

7056

.

6

×

Figura 11.8-Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso1)

0

1´ 10

6

2´ 10

6

3´ 10

6

4´ 10

6

5´ 10

6

6´ 10

6

dias

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Wd

H

dar

L

0 500000

1



10

6

1.5



10

6

2



10

6

dias

-2



10

- 6

-1



10

- 6

0

1



10

- 6

2



10

- 6



i



d

a

r



Caso 2:

Maior Amplitude: 0.0000923433 rad

Período:

dias

34

.

6806

Figura 11.9-Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2)

Figura 11.10-Representação da variação da longitude do nodo ascendente

(caso2), desconsiderando-se os termos de maior amplitude.

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0

0.00005

0.0001

0.00015

W

d

H

d

a

r

L

0 500000

1



10

6

1.5



10

6

2



10

6

dias

-4



10

- 6

-2



10

- 6

0

2



10

- 6

4



10

- 6



d

a

r



Para o argumento do perigeu:

Caso 1:

Maior Amplitude: 0.00435505 rad

Período:

dias

6

10

11173

.

2

×

Figura 11.11-Representação da variação do argumento do perigeu (caso1)

Caso 2:

Maior Amplitude: 0.00422646 rad

Período:

dias

6

10

11173

.

2

×

Figura 11.12-Representação da variação do argumento do perigeu (caso2)

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

wd

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

wd

H

dar

L

Figura 11.13-Representação da variação do argumento do perigeu (caso2),

na região de máximo.

Figura 11.14-Representação da variação do argumento do perigeu (caso2),

na região de mínimo.

400000 420000 440000 460000 480000 500000

dias

0.00424

0.00426

0.00428

0.0043

0.00432

0.00434

0.00436



e

1.46



10

6

1.48



10

6

1.5



10

6

1.52



10

6

1.54



10

6

dias

-0.004375

-0.00435

-0.004325

-0.0043

-0.004275

-0.00425

-0.004225



e

11.2.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS – KAULA

Através dos resultados obtidos para o modelo de Kaula, verifica-se que para a

variação da excentricidade não existem diferenças nos termos de maior amplitude

(cerca de 0.000078) e períodos (cerca de

dias

6

10

11

.

2

× ), para os casos 1 e 2

(figuras 11.3 e 11.4), isto significa que a excentricidade não sofre uma influência

significativa da precessão da Lua.

Para a variação da inclinação, verifica-se que a influência da precessão da

Lua é bastante significativa, pois foi encontrado um período bem menor (cerca de

6800 dias), com dois termos de maior amplitude iguais a aproximadamente 0.00008

radianos e 0.00004 radianos (figura 11.6). Desconsiderando-se esses termos,

encontramos um período de aproximadamente

dias

6

10

11

.

2

× com uma amplitude

total de aproximadamente

rad

6

10

6

.

2

−

× (figura 11.7).

Um comportamento semelhante foi encontrado para a variação da longitude

do nodo ascendente, pois se tem para os termos de maior amplitude (cerca de

0.00009 radianos e 0.00004 radianos) um período de cerca de 6800 dias.

Desconsiderando-se esses termos, encontramos um período de aproximadamente

dias

6

10

11

.

2

× , com uma amplitude total de aproximadamente

rad

6

10

5

.

4

−

× (figura

11.10).

Para a variação do argumento do perigeu, em que o termo de maior

amplitude é de aproximadamente 0.04 radianos, com um período de

aproximadamente

dias

6

10

11

.

2

× (figura 11.12), verificou-se ondulações menores

nas regiões de máximos e mínimos, com uma amplitude total de aproximadamente

rad

5

10

4

−

× (figura 11.13 e 11.14).

12. MODELO DE BALMINO

Balmino generaliza o desenvolvimento analítico das perturbações das marés

terrestres, considerando



k função da longitude

λ

e latitude

Φ

, e



ε

função da

latitude

Φ

.

Por definição, conservando as notações de Kaula, o potencial perturbador T devido à

maré, na superfície terrestre é dado por:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

λφε+θ+λυ













φλφ

×

+

−

δ−













=λφ

∗

∗∗

∗



,

sen

cos

sen,

!

2,,T

0

mpqmpqmmpq

pqmpm

mpq

mPk

eGiF

m

a

R

a

M

GR







(12.1)

em que,

(

)

∗

iF

mp

e

(

)

∗

eG

pq

são funções da inclinação da excentricidade ,

m

P



é

um polinômio associado de Legendre, de grau  e ordem m , θ é o tempo sideral e,

(

)

(

)

∗∗∗∗

Ω+ω−++−=υ mpMqp

mpq

22 



(12.2)

O potencial perturbador

(

)

λ

φ

,,rT em um ponto P exterior (r>R), se obtém de

uma aplicação do teorema de Dirichlet, em uma multiplicação de seus termos

respectivamente por:

1

+













k

r

R

e

1

+













s

r

R

(12.3)

em que

k

e

s

representam a ordem dos Polinômios de Legendre.

Após cálculos algébricos, a função perturbadora no satélite, fica:

( )( )

( )

( ) ( )

( )

































′













−

























+

+±













−

























×

+

−−













=

±

−−±−

±−

−

=

∞+

−∞=

−

′

±

+

±=

±

∞

=

−−±−

+±−

−

∞+

−∞=

±

=

+

−

+

±=

±

∞

= =

∞

−∞===

+

∞

=

∗

 



 



)W(

cos1

sen

1



(e)GF

a

R

Q

W

1

cos



1

eG(I)F

a

R

Q

2

K

e*GI*F

!m

!m2

R

Gm*

T

par:m)(ms

impar:m)(ms

ms

par:m

impar:m

S

0j g'

m



g'j's,

jm

s

1s

nk

ms

m

kns,

~

0n

n

mpq

parmmk

ímparm)(mk

1mk

p:m

:m

g

m



kjg

jm

k

0j

1k

h

mk

hkm

0h

h

0

h

mpq

q

pq

0p

pq

0m

om

1

2



ar

ímpar

a

R

(12.4)

em que,

)mm(mpq*W

)mm(W



h

mpq

m



m

g',j',ms,

h

mpq

m



mpq

m

gj,,mk,

m

−

−−

±

−

µ

−

∗

−

±

−±−±













υ−υ=

−±−±













υ−υ=



(12.5)

m−

µ

ξ =













−





















µ≤−

µ≥

+



−

+

−

+

forsesinalose

mpara

fordesinalose

1

(12.6)

No modelo de Balmino para o potencial, é importante ressaltar que o

coeficiente de elasticidade é função dependente da latitude φ e da longitude λ.

Escrevemos então:

( )

(

)

( )

φλ−λµ=λφ

µ

∞

= =µ

µµ

 

sencos,

0 0

h

mpq

h

mpq

PKK





(12.7)

A equação (12.7) é o desenvolvimento do

mpq

K



em harmônicos esféricos

zonais e tesserais.

O ângulo de atraso continua sendo função somente da latitude:

( ) ( )

φε=λφε



∞

=

sen,

0n

n

mpqmpq

P



(12.8)

Balmino utiliza os seguintes dados na análise dos parâmetros da maré,

independentes de

q

p

m

,

.

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

°+λϕ+ϕ+

°

−

λ

ϕ

−

ϕ

+

=

1502cossen005.0sen001.0

702cossen01.0sen05.03.0

4240

22202

PP

PPk

(12.9)

(

)

ϕ

+

=

sen02.01.0

203

Pk

(12.10)

em que 3.0

00

2

=K e 05.0

20

2

=K ,

(

)

(

)

ϕ

°

+

ϕ

°

−

°

=

ε

sen1.0sen5.02

40202

PP

(12.11)

°

−

=

ε

2.0

3

(12.13)

em que º2

0

2

=ε e °−=ε 5.0

2

.

13. FUNÇÃO PERTURBADORA - MODELO DE BALMINO

Efetuando expansões em harmônicos esféricos e em sistemas de coordenadas

convenientes, escrevem-se usando o modelo de Balmino alguns termos do potencial

devido à maré agindo sobre o satélite.

Considerando a Lua como corpo perturbador, considerando-se a defasagem,

restringindo-se aos termos seculares, devido apenas ao segundo harmônico, o

potencial pode ser expresso conforme a expressão C.1, disposta no apêndice C.

13.1. VARIAÇÕES DOS ELEMENTOS ORBITAIS

Foram calculadas as variações dos elementos orbitais, através das equações

de Lagrange, pelo método das aproximações sucessivas. O potencial devido à maré

foi desenvolvido de forma geral pelo programa Mathematica e alguns casos foram

especificados.

Considerando apenas os termos seculares, temos o potencial descrito pela

expressão (C.1). Como não existem variáveis angulares em tal expressão, temos:

0=

Ω∂

∂

=

ω∂

∂

=

∂

UU

M

U

(13.1)

e, portanto:

0

=

a



,

0

=

e



e

0

=

i



(13.2)

Integrando, temos:

0

aa

=

,

0

ee

=

e

0

ii

=

(13.3)

Para a variação secular da longitude do nodo ascendente, temos:

0

Ω

+

=

Ω

tn

(13.4)

em que:

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2/3

232

25

2220

5

11112

272cos31cos3













−+−

Κ+Κ+

−=

∗∗

∗

Ω

eanea

GmiiR

n (13.5)

Para a variação secular do argumento do perigeu, temos:

0

ω

+

=

ω

tn (13.6)

em que:

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2/3

232

25

2220

5

11448

272cos312cos533













−+−

Κ+Κ++

−=

∗∗

∗

ω

eanea

GmiiR

n (13.7)

13.1.1. RESULTADOS

Para exemplificar e comparar a ordem dos efeitos devidos à perturbação da

maré terrestre é escolhido um satélite em uma órbita com as mesmas características

do capítulo 9.

Nas integrações das equações do movimento para os casos considerados, foi

desenvolvido um programa em linguagem de programação Mathematica. Este

programa gera um arquivo de saída, onde dadas às condições iniciais do satélite

artificial, são obtidos as variações dos elementos orbitais para cada caso a ser

apresentado.

Segundo o método das aproximações sucessivas, encontramos para as

variações da longitude do nodo ascendente e do argumento do perigeu, dadas pelas

equações (13.5) e (13.7), os seguintes valores:

diaradn /1078318.9

7−

Ω

×−=

diaradn /1039452.1

6−

ω

×=

Considerando-se a influência da inclinação da Lua, em que as expressões se

encontram no apêndice C, temos os seguintes resultados:

Figura 13.1 – Variação secular do nodo ascendente, levada em conta à

inclinação da Lua.

Figura 13.2 – Variação secular do argumento do perigeu, levada em conta à

inclinação da Lua.

Observação: Não foram encontrados outros resultados para o modelo de

Balmino.

0 20000 40000 60000 80000 100000

dias

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

wd

H

dar



aid

L

0 20000 40000 60000 80000 100000

dias

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

Wd

H

dar



aid

L

14. MODELO DO IERS

O modelo de IERS, diferentemente dos outros, considera a influência no

movimento de um satélite em termos de perturbações nos coeficientes

nm

C e

nm

S do

geopotencial.

Sabemos que a função perturbadora devida à maré gerada pelo corpo

perturbador de massa M

j

, num ponto P, localizado a distância geocêntrica R

0

da

superfície terrestre é:

( )

j

LSj

j

o

P

r

GM

RKV ψ=∆



=

cos

20

,

3

2

(14.1)

Em que a função perturbadora devida à maré no exterior da Terra é:

( )

j

LSj

j

P

r

GM

r

R

KV ψ=∆



=

cos

,

20

33

5

0

2

(14.2)

em que R

0

é o raio médio da Terra e GM

j

é o parâmetro gravitacional da Lua

(j=L) ou do Sol (j=S).

Neste trabalho considera-se apenas j=L.

Para expressar

V

∆

de forma adimensional

m2

C∆ ,

m2

S∆ , um fator

2

e

GEa é

aplicado. Sendo a

e

o raio equatorial da Terra.

Considera-se neste trabalho

e

aR

=

0

.

Assim, as perturbações no satélite dadas pelas mudanças no coeficiente do

geopotencial de grau 2 são:

( )

j

LSj

j

e

P

r

GM

GEa

R

KC φ=∆



=

sen0

5

1

20

,

32

5

0

220

(14.3)

( )

ji

j

LSj

j

e

eP

r

GM

GEa

R

KSiC

λ−

=

φ=∆−∆



sen1

5

3

1

21

,

32

5

0

22121

(14.4)

( )

ji

j

LSj

j

e

eP

r

GM

GEa

R

KSiC

λ−

=

φ=∆−∆



2

22

,

32

5

0

22222

sen2

5

12

1

(14.5)

em que,

K

2

(0) = 0.299, longo-período de 2º grau do número de Love;

K

2

(1) = 0.3, maré diurna de 2º grau do número de Love;

K

2

(2) = 0.302, maré semidiurna de 2º grau do número de Love;

GE= parâmetro gravitacional da Terra;

R

j

= distância geocêntrica da Lua ou do Sol;

φ

j,

λ

j

= latitude e longitude geocêntricas da Lua e do Sol.

As mudanças dos coeficientes são:

θ

+













−

δ=∆−∆



i

ímparmn

parmn

s

mnS

smnmnm

e

i

HKASiC

)(

),(

1

(14.6)

sendo,

( )





















≠

=

=δ

δ−π

−

=

00

01

,

24

1

0

00

mse

R

A

m

(14.7)

=

θ

s

argumentos astronômicos, calculados por números Doodson.

(

)

(

)

1K1KK

2

S

2s

−=δ , diferença entre a freqüência atual dependendo do

número de Love e do primeiro número.

Sendo 0

=

δ

s

K para marés de longo período e semidiurnas, somente as

marés diurnas necessitam das correções acima mencionadas. Essas correções estão

mostradas na tabela abaixo:

Números de Doodson

12

10×δ

ssm

HKA

(

)

1

555.145 O

(

)

1

555.163 P

545

.

165

(

)

1

555.165 K

565

.

165

(

)

1

554.166

Ψ

4

.

16

−

5

.

48

−

8

.

8

−

6

.

472

−

3

.

68

−

7

.

19

−

Tabela 14.1 – Tabela de correção da maré diurna usando para

ssm

HKA

δ

uma amplitude de

12

10

5

−

× .

15. VARIAÇÕES DOS ELEMENTOS ORBITAIS - MODELO

DO IERS

Para o cálculos elemento orbitais, usaremos as expressões de Brouwer e

Clemence (1961), em que temos os termos seculares e de longo período da ordem de

2

J :

(

)

ωθ−θ−θ−ηγ+=δ

−

2cos]5140111[

8

1

2422'

20

eee (15.1)

(

)

ωθ−θ−θ−γ−=δ

−

2cos]5140111[cot

8

1

2422'

20

ieii (15.2)

(

)

(

)

( ) ( )

ωθ−θ+θ−θ+θγ−

θη−η−−+θη+η+−γ+θγ−+Ω=Ωδ

−−

2sen]51200518011[

8

1

]}536359125[

8

3

3{

2

24

1

222'

2

322

2

'

2

'

20

e

nt

(15.3)

(

)

(

)

(

)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

ωθ−θ−

θ−θ+−θ+−+γ−

θη+η+

+θη−η−+η+η+−γ+θ+−γ+ω=δω

−

2sen]5140

51524032112[

16

1

]}45360385

12619290252435[

32

3

51

2

3

{

2

262

1

242222'

2

42

222

2

'

2

2'

20

e

eee

nt

(15.4)

em que

(

)

2/1

2

1 e−=η ,

i

cos

=

θ

,

42

2

2'

2

2/ η=γ aJa

e

2/32/1 −

µ= an .

Considerando apenas a parte secular das expressões (15.3) e (15.4),

chegamos nas expressões que representam o movimento médio da longitude do

nodo ascendente e do argumento do perigeu:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

]}cos1513635cos191125[

12

8

3

cos

12

3{

32

2/1

22

2/1

2

22

20

2

22

20

2

2/3

2/1

ieeiee

ea

CR

i

ea

CR

aGEn













−−−−−+













−+−+−

×













−

∆

+

−

∆

−=

−

Ω

(15.5)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

]}cos1451360385

cos112611929012512435[

12

32

3

cos51

12

3{

42

2/1

2

22

2/1

22

2/1

2

22

20

2

22

20

2

2/3

2/1

iee

ieeee

ea

CR

i

ea

CR

aGEn













−−−−

+

























−−−−+−+−+−

×













−

∆

+−−

−

∆

−=

−

ω

(15.6)

15.1. RESULTADOS

Para exemplificar e comparar a ordem dos efeitos devidos à perturbação da

maré terrestre é escolhido um satélite em uma órbita com as mesmas características

da citada no capítulo 9.

Através das expressões (15.5) e (15.6) encontramos para as variações da

longitude do nodo ascendente e do argumento do perigeu os seguintes valores:

dia

rad

n

diaradn

/

10

97654

.

1

/1060365.3

6

7

−

Ω

×=ω

×−=

Considerando agora, os termos de longo período, obtem-se as expressões das

variações nos elementos orbitais, através das expressões (15.1), (15.2), (15.3) e

(15.4), que são encontradas no apêndice D. Considerando as variações devidas

apenas ao argumento do perigeu, temos:

Para a excentricidade:

Maior amplitude: 0.0000172631

Período:

dias

6

10

58944

.

1

×

Figura 15.1 – Representação da variação da excentricidade.

Para a inclinação:

Maior amplitude:

rad

7

10

99035

.

2

−

×

Período:

dias

6

10

58944

.

1

×

Figura 15.2 – Representação da variação da inclinação

0 250000500000750000

1´ 10

6

1.25 ´ 10

6

1.5 ´ 10

6

dias

-0.000015

-0.00001

-5´ 10

- 6

0

5´ 10

- 6

0.00001

0.000015

d

e

0 250000 500000 750000

1´ 10

6

1.25 ´ 10

6

1.5 ´ 10

6

dias

-3´ 10

- 7

-2´ 10

- 7

-1´ 10

- 7

0

1´ 10

- 7

2´ 10

- 7

3´ 10

- 7

di

H

dar

L

Para a longitude do nodo ascendente:

Maior amplitude:

rad

7

10

74324

.

1

−

×

Período:

dias

6

10

58944

.

1

×

0 250000500000750000

1´ 10

6

1.25 ´ 10

6

1.5 ´ 10

6

dias

-1.5 ´ 10

- 7

-1´ 10

- 7

-5´ 10

- 8

0

5´ 10

- 8

1´ 10

- 7

1.5 ´ 10

- 7

W

d

H

d

a

r

L

Figura 15.3 – Representação da longitude do nodo ascendente.

Para o argumento do perigeu:

Maior amplitude:

rad

6

10

62191

.

7

−

×

Período:

dias

6

10

58944

.

1

×

0 250000500000750000

1´ 10

6

1.25 ´ 10

6

1.5 ´ 10

6

dias

-7.5 ´ 10

- 6

-5´ 10

- 6

-2.5 ´ 10

- 6

0

2.5 ´ 10

- 6

5´ 10

- 6

7.5 ´ 10

- 6

w

d

H

d

a

r

L

Figura 15.4 – Representação do argumento do perigeu.

Observação: A análise dos resultados do IERS se encontra na conclusão

deste trabalho.

16. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

Neste capítulo é feita uma exposição ordenada dos resultados analíticos e

numéricos, visando exprimir com clareza as diferenças de cada modelo utilizado e

as conclusões obtidas neste estudo.

EXPRESSÕES PARA O MOVIMENTO MÉDIO:

MODELO DE KOZAI:

(

)

(

)

nea

nkiiR

n

2

25

2

5

116

2cos31cos3

2

−−

−β

−=

∗∗

Ω

( )

(

)

(

)

nea

nkiiR

n

2

25

2

5

164

2cos312cos533

2

+−

++β

=

∗∗

ω

em que

2

k (número de Love) é uma constante.

MODELO DE KAULA:

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2/3

232

25

2220

5

11112

272cos31cos3













−+−

κ+κ+

−=

∗∗

∗

Ω

eanea

GmiiR

n

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2/3

232

25

2220

5

11448

272cos312cos533













−+−

κ+κ++

−=

∗∗

∗

ω

eanea

GmiiR

n

em que

2

k é uma função da latitude.

MODELO DE BALMINO

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2/3

232

25

2220

5

11112

272cos31cos3













−+−

Κ+Κ+

−=

∗∗

∗

Ω

eanea

GmiiR

n

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2/3

232

25

2220

5

11448

272cos312cos533













−+−

Κ+Κ++

−=

∗∗

∗

ω

eanea

GmiiR

n

em que

2

k é uma função da latitude e da longitude.

MODELO DO IERS

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

]}cos1513635cos191125[

12

8

3

cos

12

3{

32

2/1

22

2/1

2

22

20

2

22

20

2

2/3

2/1

ieeiee

ea

CR

i

ea

CR

aGEn













−−−−−+













−+−+−

×













−

∆

+

−

∆

−=

−

Ω

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

]}cos1451360385

cos112611929012512435[

12

32

3

cos51

12

3{

42

2/1

2

22

2/1

22

2/1

2

22

20

2

22

20

2

2/3

2/1

iee

ieeee

ea

CR

i

ea

CR

aGEn













−−−−

+

























−−−−+−+−+−

×













−

∆

+−−

−

∆

−=

−

ω

sendo este modelo diferenciado dos outros três, em que o

2

k é uma constante para o

cálculo de

20

C∆ (variação do coeficiente

20

C do geopotencial).

VALORES ENCONTRADOS:

Plano da órbita da Lua

coincidente com o plano da

eclíptica

Considerando a influência da

inclinação da Lua

MODELOS

)/( diaradn

Ω

)/( diaradn

ω

)/( diaradn

Ω

)/ diaradn

ω

KOZAI

7

10

33781

.

8

−

×−

6

10

3238

.

1

−

×

7

10

35757

.

6

−

×−

6

10

0094

.

1

−

×

KAULA

7

10

37006

.

9

−

×−

6

10

48769

.

1

−

×

7

10

12171

.

8

−

×−

6

10

28949

.

1

−

×

BALMINO

7

10

78318

.

8

−

×−

6

10

39452

.

1

−

×

7

10

61302

.

7

−

×−

6

10

20873

.

1

−

×

IERS

7

10

60365

.

3

−

×−

6

10

97654

.

1

−

×

7

10

60365

.

3

−

×−

6

10

97654

.

1

−

×

Tabela 16.1 – Tabela dos resultados dos movimentos médios dos modelos de

Kozai, Kaula, Balmino e IERS.





CIDADE

LUA NÃO

PRECESSIONADA

CASO1

LUA PRECESSIONADA

CASO2

MODELOS

Maior

amplitude

Período

(dias)

Maior

amplitude

Período

(dias)

KOZAI

0.00227218

6

10

37316

.

2

×

0.00227218

6

10

37316

.

2

×

KAULA

0.000078526

6

10

11172

.

2

×

0.000078526

6

10

11172

.

2

×

IERS

0.0000172631

6

10

58944

.

1

×

0.0000172631

6

10

58944

.

1

×

Tabela 16.2 – Tabela dos resultados das excentricidades para os modelos de

Kozai, Kaula, Balmino e IERS.

INCLINAÇÃO

LUA NÃO

PRECESSIONADA

CASO1

LUA PRECESSIONADA

CASO2

MODELOS

Maior amplitude

(rad)

Período

(dias)

Maior amplitude

(rad)

Período

(dias)

KOZAI

0.0899087

6

10

53577

.

7

×

0.000081215 6807.10

KAULA

0.0787884

6

10

7056

.

6

×

0.0000799721

6806.34

IERS

7

10

99035

.

2

−

×

6

10

58944

.

1

×

7

10

99035

.

2

−

×

6

10

58944

.

1

×

Tabela 16.3 – Tabela dos resultados das inclinações para os modelos de

Kozai, Kaula, Balmino e IERS.

NODO

ASC.

LUA NÃO

PRECESSIONADA

CASO1

LUA PRECESSIONADA

CASO2

MODELOS

Maior amplitude

(rad)

Período

(dias)

Maior amplitude

(rad)

Período

(dias)

KOZAI

0.103817

6

10

53577

.

7

×

0.0000937784 6807.10

KAULA

0.0909762

6

10

7056

.

6

×

0.0000923433 6806.34

IERS

7

10

74324

.

1

−

×

6

10

58944

.

1

×

7

10

74324

.

1

−

×

6

10

58944

.

1

×

Tabela 16.4 – Tabela dos resultados das longitudes do nodo ascendente para

os modelos de Kozai, Kaula, Balmino e IERS.

ARG.

PERIGEU

LUA NÃO

PRECESSIONADA

CASO1

LUA PRECESSIONADA

CASO2

MODELOS

Maior amplitude

(rad)

Período

(dias)

Maior amplitude

(rad)

Período

(dias)

KOZAI

0.22715

6

10

37316

.

2

×

0.22715

6

10

37316

.

2

×

KAULA

0.00435505

6

10

11173

.

2

×

0.00422646

6

10

11173

.

2

×

IERS

6

10

62191

.

7

−

×

6

10

58944

.

1

×

6

10

62191

.

7

−

×

6

10

58944

.

1

×

Tabela 16.5 – Tabela dos resultados dos argumentos do perigeu para os

modelos de Kozai, Kaula, Balmino e IERS.

Para uma melhor visualização do comportamento físico de cada modelo, será

feita abaixo uma exposição dos gráficos que representam as variações de longo

período dos elementos orbitais considerados.

GRÁFICOS ENCONTRADOS:

EXCENTRICIDADE

KOZAI - CASO 1 KOZAI - CASO 2

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

de

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

de

Figura 9.5

Figura 9.6

KAULA – CASO 1 KAULA – CASO 2

Figura 11.3

Figura 11.4

IERS

Figura 15.1

INCLINAÇÃO

KOZAI - CASO 1 KOZAI - CASO 2

Figura 9.5

Figura 9.7

KAULA – CASO 1 KAULA – CASO 2

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.00006

-0.00004

-0.00002

0

0.00002

0.00004

0.00006

d

e

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.000075

-0.00005

-0.000025

0

0.000025

0.00005

0.000075

d

e

0 250000500000750000

1´ 10

6

1.25 ´ 10

6

1.5 ´ 10

6

dias

-0.000015

-0.00001

-5´ 10

- 6

0

5´ 10

- 6

0.00001

0.000015

d

e

0

1´ 10

6

2´ 10

6

3´ 10

6

4´ 10

6

5´ 10

6

6´ 10

6

7´ 10

6

dias

-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

0.075

di

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.0001

-0.00005

0

0.00005

0.0001

d

i

H

d

a

r

L

0

1´ 10

6

2´ 10

6

3´ 10

6

4´ 10

6

5´ 10

6

6´ 10

6

dias

-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

0.075

di

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.0001

-0.00005

0

0.00005

0.0001

d

i

H

d

a

r

L

Figura 11.5

Figura 11.6

IERS

0 250000 500000 750000

1´ 10

6

1.25 ´ 10

6

1.5 ´ 10

6

dias

-3´ 10

- 7

-2´ 10

- 7

-1´ 10

- 7

0

1´ 10

- 7

2´ 10

- 7

3´ 10

- 7

di

H

dar

L

Figura 15.2

LONGITUDE DO NODO ASCENDENTE

KOZAI - CASO 1 KOZAI - CASO 2

Figura 9.10

Figura 9.11

KAULA – CASO 1 KAULA – CASO 2

Figura 11.8

Figura 11.9

IERS

Figura 15.3

0

1´ 10

6

2´ 10

6

3´ 10

6

4´ 10

6

5´ 10

6

6´ 10

6

7´ 10

6

dias

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Wd

H

dar

L

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

dias

-0.000075

-0.00005

-0.000025

0

0.000025

0.00005

0.000075



d

a

r



0

1´ 10

6

2´ 10

6

3´ 10

6

4´ 10

6

5´ 10

6

6´ 10

6

dias

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Wd

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0

0.00005

0.0001

0.00015

W

d

H

d

a

r

L

0 250000500000750000

1´ 10

6

1.25 ´ 10

6

1.5 ´ 10

6

dias

-1.5 ´ 10

- 7

-1´ 10

- 7

-5´ 10

- 8

0

5´ 10

- 8

1´ 10

- 7

1.5 ´ 10

- 7

W

d

H

d

a

r

L

LONGITUDE DO NODO ASCENDENTE

KOZAI - CASO 1 KOZAI - CASO 2

Figura 9.15

Figura 9.16

KAULA – CASO 1 KAULA – CASO 2

Figura 11.11

Figura 11.12

IERS

Figura 15.3

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

wd

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

wd

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

wd

H

dar

L

0 500000

1´ 10

6

1.5 ´ 10

6

2´ 10

6

dias

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

wd

H

dar

L

0 250000500000750000

1´ 10

6

1.25 ´ 10

6

1.5 ´ 10

6

dias

-7.5 ´ 10

- 6

-5´ 10

- 6

-2.5 ´ 10

- 6

0

2.5 ´ 10

- 6

5´ 10

- 6

7.5 ´ 10

- 6

w

d

H

d

a

r

L

17. CONSIDERAÇÕES

17.1. RESSONÂNCIAS

A ressonância ocorre quando o período de revolução de um satélite é um

múltiplo inteiro do período de rotação da Terra, levando a uma amplificação de

certos coeficientes dos harmônicos Cnm e Snm, resultando em uma perturbação nos

elementos orbitais, maior do que o normal. Deste modo, um satélite com m

revoluções/dia estará sensivelmente afetado pela ressonância.

Levando em conta os efeitos da maré terrestre, Kaula (1969) na análise da

evolução orbital da Lua, considera a equação (10.13), e impõe as seguintes

condições:

(i) razão zero:

0=υ−υ

∗

mpqkmjg 



(17.1)

ou, para a equação (10.4),

( )

pkj +−= 

2

1

, (17.2)

q

g

=

; (17.3)

(ii) um pequeno fator “amortecedor”

1

−

+∗













+

k

aa



, ou:

k

 = 20,22,24,33 ou 42 (17.4)

A combinação 31 para

k

 é excluída devido a um harmônico de primeiro

grau, que representaria um deslocamento da origem, o centro de massa da Terra.

Para a evolução da órbita lunar, escreve-se:

420

TTTT

+

=

(17.5)

em que:

( ) ( )

mphqhjgmj

qhmp

mpq

qhmp

mphqmhpqmpmpq

hqhq

qh

q

QGF

a

R

KT

QGF

a

R

K

T

QGF

a

R

KT





 −−

−

=

 















=

ψ













=

ψ













=

626

7

4

2

4

222222

3

2

201002000002010

,

(17.6)

em que:

(

)

(

)

(

)

∗

υ−υε−κ=ψ

mpqkmjq

h

hkmphq

k



sencos (17.7)

e j está relacionado com ,k e p pela equação (17.2).

Para que haja uma alteração na inclinação da função perturbadora (17.6), a

combinação

(

)

[

]

imijkFF

kmjmp

csccot2

−



deve ser diferente de zero (ver Kaula,

1966, pág.40).

Para i=0, isto jamais ocorre:

kmjmp

FF



contém um fator diferente de zero

somente para jkm 2

−

=

.

Se jkm 2

−

≠

,

kmjmp

FF



é pelo menos da ordem de

2

i

.

Diante disto, podemos dizer que variações meramente latitudinais nas

propriedades da maré jamais poderão deslocar a Lua para fora de uma órbita

equatorial. Faz-se necessária uma interação, tal que:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

022 ≈θ−Ω−++ω−−−







 msMpjk (17.8)

com

m

s

≠

, isto é, uma ressonância.

Para manter uma ressonância suficientemente longa e com um efeito

significativo,

θ





n

deve ser igual a

θ



n

, em que n é o movimento médio do satélite.

18. CONCLUSÃO

Nesta pesquisa, apresentou-se uma revisão sobre o efeito das marés na Terra,

as suas variações de acordo com as posições do Sol e da Lua, e principalmente como

esse efeito perturba a órbita dos satélites artificiais. Apresentou-se também o

mecanismo do bojo devido à maré, como também, o potencial devido à maré

terrestre, sendo este descrito tanto em um ponto da superfície da Terra como num

ponto externo a Terra, considerando-se apenas a influência da Lua. Mostrou-se que a

distorção causada nesse potencial consiste num parâmetro denominado número de

Love.

Quatro modelos de maré terrestre foram estudados e comparados.

Começamos com o modelo mais simples que é o de Kozai, em que o potencial

considerado contém apenas os termos seculares e de longo período, que Kozai já

havia determinado em seu artigo em 1959. O número de Love para o potencial de

Kozai é uma constante, que consideramos ser 299.0

2

=

k .

O modelo de Kaula (1969), que é um modelo mais atualizado que o de Kozai,

foi expandido em séries de polinômios, e, depois de um trabalho laborioso, em que

algumas condições foram impostas, encontram-se os termos convenientes para que a

comparação fosse possível. A expressão encontrada que contém esses termos é a

(10.18). Kaula escreve os números de Love e o ângulo de atraso como funções da

latitude, representando-os por harmônicos esféricos.

O modelo de Balmino (1974), é muito parecido com o de Kaula, apesar de ter

uma notação muito complexa. Os termos de curto período são idênticos aos de

Kaula, variando apenas o número de Love, que Balmino representa não apenas

como função da latitude, mas também da longitude.

Obteve-se, pelo método das aproximações sucessivas as expressões das

variações seculares da longitude do nodo ascendente e do argumento do perigeu,

levando em conta também à influência da inclinação da Lua, para os três modelos

citados acima.

Obteve-se também pelo método das aproximações sucessivas as expressões

das variações da excentricidade, inclinação, longitude do nodo ascendente e

argumento do perigeu para os modelos de Kozai e Kaula. Para o modelo de Balmino

os termos de longo período foram encontrados, mas o programa usado

(Mathematica) integrou as equações, devido ao grande número de termos de sua

função perturbadora.

O modelo do IERS (1996), sendo hoje o modelo padrão, diferentemente dos

outros três, considera a influência no movimento orbital de um satélite em termos de

perturbações nos coeficientes Cnm e Snm do geopotencial.

Para exemplificar a ordem dos efeitos das perturbações, foi escolhido um

satélite com as características descritas no capítulo 9. Verifica-se que as marés

provocam perturbações seculares e de longo período na longitude do nodo

ascendente e no argumento do perigeu. Os resultados encontrados mostram que os

modelos utilizados levam a resultados diferentes, embora com a mesma ordem de

grandeza. Isto pode ser importante para análises de perturbações de longo período.

Verifica-se também que os resultados dos modelos de Kozai, Kaula e Balmino são

bem aproximados, enquanto que o resultado do modelo padrão (IERS) se distancia

bastante desses três.

Foram mostrados gráficos das variações de cada elemento orbital (para os

modelos de Kozai e de Kaula), para dois casos específicos: caso 1: Lua em órbita

elíptica não precessionada; caso 2: Lua em órbita elíptica precessionada.

Verifica-se que para a variação da excentricidade não existem diferenças

nos termos de maior amplitude e no período para o caso 1 e para o caso 2, isto

significa que a excentricidade do satélite considerado não sofre uma influência

significativa da precessão da Lua.

Para a inclinação e longitude do nodo ascendente, verifica-se que a

influência da precessão da Lua é bastante significativa, pois encontramos períodos

bem menores (cerca de 6800 dias) para o caso 2, nos dois modelos. As ondulações

são bem definidas para o modelo de Kozai, pois os termos com amplitudes altas

apresentam períodos da ordem de

6

10

2

× dias. Já para o modelo de Kaula os termos

de grandes períodos )102(

6

dias× apresentam amplitudes bastante pequenas, que são

“mascarados” pelos termos de grandes amplitudes, que apresentam períodos

menores (cerca de 6800 dias).

Para o argumento do perigeu, verifica-se que existe a influência da Lua

embora não seja muito significativa. As ondulações aparecem nas regiões de

máximos e mínimos.

Conclui-se também que a maré, em primeira ordem provoca perturbações de

longo período em todos os elementos orbitais, como exceção do semi-eixo maior,

sendo que essas perturbações podem ser consideradas, para períodos de alguns anos,

como perturbações seculares, pelo fato desse efeito apresentar períodos muito

grandes.

Os resultados do modelo de Kaula são os que mais se aproximam dos

resultados do modelo padrão (IERS), embora se distanciem muito ainda quando

comparados.

Kaula acredita e isso confirma-se com essa pesquisa, que os termos que

contém o argumento do perigeu podem ser desconsiderados devido ao fato do

período das variações na excentricidade serem muito grandes , então

dt

de

pode ser

igual a zero, sendo inútil o cálculo de

ω∂

∂

U

. Kaula expressa isso em sua expressão

(10.17), em que considera apenas termos dependentes do nodo ascendente. Essa

expressão simplificada fornece apenas as variações da inclinação e da longitude do

nodo ascendente, os quais apresentam variações significativas.

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