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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
A NATUREZA DA APRENDIZAGEM MATEMÁTICA
EM UM AMBIENTE ONLINE DE FORMAÇÃO
CONTINUADA DE PROFESSORES
Rúbia Barcelos Amaral Zulatto
Orientadora: Profa. Dra. Miriam Godoy Penteado
Tese de Doutorado elaborada junto ao
Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática – Área de concentração em Ensino
e Aprendizagem da Matemática e seus
Fundamentos Filosófico-Científicos, para
obtenção do Título de Doutor em Educação
Matemática.
Rio Claro (SP)
2007
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Livros Grátis
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Milhares de livros grátis para download.
Comissão Examinadora
Profa. Dra. Miriam Godoy Penteado (orientadora)
Prof. Dr. João Pedro Mendes da Ponte
Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba
Profa. Dra. Maria Elizabeth Bianconcini Trindade Morato Pinto de Almeida
Profa. Dra. Vani Moreira Kenski
Rúbia Barcelos Amaral Zulatto
Resultado: ____________________________
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Aprender é a única coisa de que a mente
nunca se cansa, nunca tem medo e
nunca se arrepende.
Leonardo da Vinci
Aos meus pais, que pelo exemplo
dado me levaram a ser o que sou
e que em minha vida são
expressão de amor, exemplo de
coragem e eterno porto seguro
Ao meu marido, com quem
compartilho minha vida, meus
sonhos, meus desejos (e
tropeços) e, principalmente,
meu crescente amor
AGRADECIMENTOS
- Aos professores Vani Kenski, Maria Elizabeth Almeida, João Pedro da Ponte e
Marcelo Borba, pela cuidadosa leitura e preciosas contribuições durante o
desenvolvimento deste trabalho;
- À Fundação Bradesco, pela parceria que gerou o curso Geometria com o
Geometricks, cenário desta pesquisa. Aos professores que vivenciaram o curso e me
enriqueceram com suas experiências e com profícuas discussões matemáticas.
- Aos amigos da PGEM, que compartilharam comigo todo percurso deste trabalho e
também momentos de amizade, em disciplinas, reuniões, “conversas furadas”,
festas, etc.;
- Aos professores da PGEM, que contribuíram, cada um ao seu modo, para a minha
formação. Em especial àqueles que mais próximo estive durante a realização das
disciplinas: Rosa Baroni, Idania Grass, Marcelo Borba e Marcus Maltempi;
- Ao professor João Pedro, pela atenciosa recepção em visita realizada a Portugal. E
à Valéria, que me deu o apoio necessário;
- Às funcionárias da Seção de Pós-Graduação do IGCE, e às secretárias do
Departamento da Matemática, Ana e Elisa, pela prontidão dos esclarecimentos e
eficiente trabalho.
- À Anne Kepple, pela polida elaboração do abstract.
- A todos que fizeram leituras cuidadosas desse trabalho, em particular: Maurício,
Telma, Paula, Ricardo, Norma e Vicente Garnica.
- À CAPES, pelo apoio financeiro;
- Ao meu maninho, Adélio Jr., que, à sua maneira, sempre demonstrou carinho e
incentivo;
- A todos que, direta ou indiretamente, colaboraram para a concretização desta
pesquisa.
Algumas frases me fizeram lembrar de pessoas especiais que estiveram
comigo nessa caminhada, a quem diretamente faço um agradecimento
especial:
“Nenhum vento sopra a favor de quem não sabe para onde ir”.
Lúcio Aneu Sêneca
A você, Miram, pela confiança em mim depositada e pela carinhosa orientação que
impediu que eu me sentisse perdida, apesar dos necessários momentos confusos.
Mais que orientadora, uma amiga. A quem incansavelmente repito: muito obrigada.
“Independente do que você é, seja bom nisso”.
Abraham Lincoln
Marcelo, nessa frase vejo você. E é assim que tenho tentado ser. Apesar da sua
forma ímpar de buscar fazer o melhor, muitas vezes diferente da minha, você sabe
que é um espelho para mim.
“Viva tratando de realizar muitas das coisas que você sempre sonhou”.
Richard Bach
Em meu coração, parece que sempre estive ouvindo vocês dizerem isso. Pai, mãe,
ter vocês como referência em minha vida, me incentivando e apoiando, foi a grande
força para a realização dessa conquista. Este é um dos nossos sonhos realizados.
Amo vocês.
“Sonho que se sonha só, é só um sonho que se sonha só, mas sonho que se
sonha junto é realidade”.
Raul Seixas
A você Cal, que por muitas vezes fez do meu sonho de me “tornar Doutora”, um
sonho nosso, superando comigo obstáculos por acreditar que essa era a nossa maior
prioridade nesses últimos quatro anos.
“As pessoas entram em nossa vida por acaso, mas não é por acaso que elas
permanecem”.
Lilian Tonet
A vocês Odinir e Hélio, que por ter aprendido a amá-los, são mais que sogra e sogro,
são para mim meus segundos pais.
“Cooperar é agir, colaborar ou trabalhar junto com o outro para um fim
comum. Cooperar, na verdade, é contribuir”.
Autor desconhecido
A todos que passaram pelo GPIMEM desde que nele estou: Norma, Telma, Paula,
Ana Karina, Francisco, Jonei, Jussara, Maria Helena Bizelli, Fernanda, Ricardo,
Silvana, Sueli, Sandra, Simone Lírio, Simone Gouvêa, Adriana, Maltempi, Geraldo,
João, Antonio, Ana Flávia, Renata, Audria, Maria Helena Barbosa, Orlando. Mais que
um grupo de pesquisa, uma escola, onde aprendi a pesquisar, estudar, conviver com
as diferenças, sugerir sem magoar e ouvir sem ficar magoada, crescer com as
contribuições, fazer amigos que perduram apesar da distância. Foram nove anos de
muito aprendizado. Meu sincero obrigada.
“O valor das coisas não está no tempo que elas duram, mas na intensidade
com que acontecem. Por isso existem momentos inesquecíveis e pessoas
incomparáveis”
Fernando Pessoa
Aos amigos queridos: Paula, Norma, Carol, Ricardo, Eliana, David, Fátima, Marcelo
Pajola, Silvana, Regiane, Jeferson, Célia, Reinaldo, Ricardo Castro, Adriana,
Edmilson, Bárbara, Cássio, Kelly, Gustavo, Carla, Valéria, Renata, Telma, Silvana
Santos, Maurício, Leandro, Heloísa, Sidnei, Dirlene, Jucelene, Douglas, Carlos
Eduardo, Denival, Sonia, Regina, Silmara, Valter, André, Elaine, Neubelena, Oswaldo
e todos da minha ENS. Cada um à sua maneira teve papel importante em minha
caminhada. Nos momentos alegres, nas palavras duras (mas necessárias), nos
ombros para chorar, no apoio que era possível sentir com um olhar... Amizade é isso.
“Saio para a multidão dos combates, livre, porque em minha mão vai tua
mão, conquistando alegrias indomáveis”.
Pablo Neruda
A Deus, que me deu a vida e me dá apoio constante para vivê-la intensamente.
RESUMO
A presente pesquisa analisa a natureza da aprendizagem matemática em um curso
online de formação continuada de professores, denominado Geometria com
Geometricks. Nele, alunos-professores de uma mesma rede de escolas, situadas em
diferentes localidades do país, desenvolveram atividades de Geometria utilizando-se
do software Geometricks, e se encontravam para discuti-las. Esses encontros
aconteceram a distância, em tempo real, por chat ou videoconferência. Nessa
proposta pedagógica, a telepresença condicionou a comunicação e oportunizou o
estar-junto-virtual-com-mídias. De modo singular, os recursos da videoconferência
permitiram que construções geométricas fossem compartilhadas visualmente e
realizadas por todos os envolvidos, fomentando a interação e a participação ativa,
constituindo, por meio do diálogo, uma comunidade virtual de aprendizagem. Os
resultados levam a inferir que, nesse contexto, a aprendizagem matemática teve
natureza colaborativa, na virtualidade das discussões, tecidas a partir das
contribuições de todos os participantes; coletiva, na medida em que a produção
matemática era condicionada pelo coletivo pensante de seres-humanos-com-mídias;
e argumentativa, uma vez que conjecturas e justificativas matemáticas se
desenvolveram intensamente do decorrer do processo, contando para isso com as
tecnologias presentes na interação ocorrida de forma constante e colaborativa.
Palavras-chaves: Educação a distância. Aprendizagem matemática online.
Colaboração. Coletivo pensante. Argumentação matemática. Comunidade virtual de
aprendizagem.
ABSTRACT
This study was conducted to analyze the nature of mathematical learning in an on-
line continuing education course for teachers entitled Geometry with Geometricks.
Teachers employed in a nation-wide network of privately-supported schools
developed geometry activities using the software Geometricks and discussed them in
virtual meetings, in real time, via chat or video-conference. In this pedagogical
proposal, tele-presence conditioned the communication and provided the opportunity
for virtual-togetherness-with-media. In a unique way, the resources of the video-
conference made it possible for everyone to participate in and visually share
geometrical constructions, encouraging interaction and active participation and
constituting a virtual learning community through dialogue. The results indicate that,
in this context, mathematical learning nature was characterized by: collaboration, in
the virtual discussions that were woven from the contributions of all the participants;
collectivity, to the degree to which mathematical production was conditioned by the
humans-with-media thinking collective; and argumentation, as the development of
mathematical conjectures and justifications was intense throughout the process,
aided by the technologies that were present in the constant, collaborative interaction.
Key words: Distance education. On-line Mathematics Learning. Thinking collective.
Collaboration. Mathematical argumentation. Learning Network.
SUMÁRIO
Capítulo I – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Capítulo II – Leis, atores e dinâmicas na Educação a Distância . . . . . . . . .
26
Capítulo III – A concepção do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Capítulo IV – Argumentação e visualização no processo de aprendizagem
matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Capítulo V – Fundamentação metodológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Capítulo VI – Um retrato das discussões matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . .
106
Capítulo VII – Aprendizagem matemática em um ambiente online . . . . . .
131
Capítulo VIII – Considerações finais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
Referências bibliográficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
Anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
ÍNDICE
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.1 Meu percurso na UNESP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.1.1 Primeiro momento: a graduação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.2 Segundo momento: o mestrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1.3 Terceiro momento: o doutorado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2 O cenário no qual se insere esta pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3 Este estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.4 Estrutura da tese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
CAPÍTULO II
LEIS, ATORES E DINÂMICAS NA EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA. . . . . . . . . . . .
26
2.1 Aspectos históricos e normativos da EaD no Brasil . . . . . . . . . . .
26
2.2 Algumas concepções de EaD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3 Educação online . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4 O professor na EaD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.5 O aluno na EaD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
CAPÍTULO III
A CONCEPÇÃO DO CURSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.1 Visão de conhecimento, seres humanos, mídias e rede. . . . . . . .
46
3.2 Modelos pedagógicos em cursos a distância. . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.3 Diálogo, interação e aprendizagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.4 Comunidades virtuais de aprendizagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.5 Formação de professores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.6 Aprendizagem colaborativa em ambiente online. . . . . . . . . . . . .
64
CAPÍTULO IV
ARGUMENTAÇÃO E VISUALIZAÇÃO NO PROCESSO DE APRENDIZAGEM
MATEMÁTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.1 O raciocínio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.2 Argumentação matemática na sala de aula . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.3 Visualização e Educação Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
CAPÍTULO V
FUNDAMENTAÇÃO METODOLÓGICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.1 Pesquisar em Educação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.2 A origem da pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.3 Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.4 O curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
5.4.1 O ponto de partida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
5.4.2 Os recursos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4.3 As atividades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.4 Características da EaD e o curso Geometria com Geometricks. .
102
CAPÍTULO VI
UM RETRATO DAS DISCUSSÕES MATEMÁTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
6.1 Atividade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
6.2 Atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
6.3 Atividade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
6.4 Atividade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
6.5 Atividade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
6.6 Atividade 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
6.7 Atividade 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
CAPÍTULO VII
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA EM UM AMBIENTE ONLINE. . . . . . . . . . . .
131
7.1 Coletivo pensante e visualização. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
7.2 Aprendizagem matemática colaborativa em uma comunidade
virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
7.3 Argumentação matemática colaborativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
7.4 Uma breve síntese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
CAPÍTULO VIII
CONSIDERAÇÕES FINAIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
ANEXOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
Anexo A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
Anexo B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
Anexo C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
13
ÍNDICE DE FIGURAS
CAPÍTULO V
FUNDAMENTAÇÃO METODOLÓGICA
Figura 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Figura 5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Figura 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Figura 5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
CAPÍTULO VI
UM RETRATO DAS DISCUSSÕES MATEMÁTICAS
Figura 6.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 6.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Figura 6.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Figura 6.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Figura 6.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Figura 6.3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Figura 6.3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Figura 6.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Figura 6.4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 6.4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 6.4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 6.4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 6.4.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 6.4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 6.4.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 6.4.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 6.4.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 6.5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Figura 6.5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Figura 6.5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Figura 6.5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Figura 6.5.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Figura 6.5.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Figura 6.6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Figura 6.7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Figura 6.7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 6.7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Figura 6.7.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Figura 6.7.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Figura 6.7.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
14
CAPÍTULO VII
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA EM UM AMBIENTE ONLINE
Figura 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
Figura 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
Figura 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
Figura 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
Figura 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
Figura 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
15
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
Para entender o coração e a mente de uma
pessoa, não olhe para o que ela já conseguiu,
mas para o que ela aspira
Kail Gibran
Neste capítulo trago uma síntese da minha trajetória acadêmica, enquanto
professora e pesquisadora em formação. Desse percurso nasceu a presente pesquisa
de doutorado, cujos detalhes de sua estruturação e o contexto à qual se insere serão
apresentados em seguida.
1.1 Meu percurso na UNESP
Há dez anos consecutivos sou aluna da UNESP – Universidade Estadual
Paulista. Inicialmente vim para esta instituição cursar a graduação e, posteriormente,
ingressei no Mestrado em Educação Matemática. Em continuidade desenvolvi, na
mesma área, esta pesquisa de doutorado. Descrevo brevemente, então, a minha
trajetória, que considero ímpar.
16
1.1.1 Primeiro momento: a graduação
Licenciatura em Matemática. Essa foi a opção, quando no final de 1996 fiz
inscrição para o vestibular. Sempre estive segura de que esta seria a profissão que
me realizaria como pessoa e profissional.
Buscando uma formação diferenciada, procurei desenvolver atividades
concomitantes à minha formação em sala de aula. Participei do grupo PET –
Programa Especial de Treinamento e procurei fazer estágios. Em 1998, fui
selecionada para receber uma bolsa de estudos em nível de Extensão Universitária,
com a orientação do Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba e da Profa. Dra. Miriam
Godoy Penteado. Naquele momento passei a integrar o GPIMEM
1
, coordenado por
esses professores naquela época.
Esse grupo teve e vem tendo uma importância indiscutível em toda a minha
formação profissional. Foi nele que aprendi o que é ser pesquisador e que há
também a possibilidade de ser pesquisador e professor e, dessa forma, o licenciado
também pode fazer pesquisa. Em 1999 passei a ser bolsista de Iniciação Científica,
com apoio financeiro do CNPq
2
.
O grupo visava estudar a relevância da utilização da mídia informática na
Educação Matemática. Nesse contexto se fez oportuno a tradução do software de
geometria dinâmica Geometricks
3
, por Penteado e Borba. Participei, junto a esses
autores, da elaboração do manual desse software e de um conjunto de atividades
que propunha familiarizar os usuários com seus comandos. Em continuidade,
elaborei uma homepage que dava informações sobre o Geometricks e disponibilizava
um e-mail na tentativa de dar suporte aos professores que faziam seu uso em suas
salas de aula.
1
Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática, que visa pesquisar a
relevância do computador, calculadoras gráficas ou outros tipos de mídia na Educação Matemática e,
mais recentemente, tem investigado questões que envolvem o uso de vídeo, análise de softwares e
de Educação à Distância, incluindo o uso da Internet.
2
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. Bolsa balcão, no período de maio de
1999 a fevereiro de 2000. Projeto nº 100678/1999-8.
3
Desenvolvido por Viggo Sadolin, da The Royal Danish of Educational Studies, Copenhagen,
Dinamarca. Tem como responsáveis pela versão em português a Profa. Dra. Miriam Godoy Penteado e
o Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba, da UNESP, Rio Claro-SP.
17
Em todo esse período fui incentivada a participar de eventos científicos e a
submeter trabalhos
4
, elaborados a partir da experiência como bolsista e integrante
do GPIMEM.
O envolvimento com a geometria dinâmica, a participação em congressos e o
contato com os professores que me procuravam em busca de suporte e que se
encontravam envolvidos com os cursos oferecidos pelo GPIMEM, despertou o meu
interesse em estudar sobre ‘geometria dinâmica’ e ‘formação de professores’, o que
culminou em minha pesquisa de mestrado.
1.1.2 Segundo momento: o mestrado
Em outubro 2000, ingressei no Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática - PGEM
5
, sendo orientada pela Profa. Dra. Miriam Godoy Penteado.
Estudei o perfil dos professores de Matemática que utilizam softwares de geometria
dinâmica em suas aulas e o que pensam sobre os mesmos, e tive apoio financeiro da
CAPES
6
.
A experiência do Mestrado foi muito importante para consolidar a escolha
pela carreira acadêmica, conciliando docência e pesquisa. Como parte das exigências
acadêmicas, fui novamente incentivada a participar de eventos científicos, publicando
cinco trabalhos. Em Zulatto (2001a) e Zulatto (2001b) apresento discussões teóricas
acerca do tema geometria dinâmica, que foi o referencial teórico principal da
pesquisa. Concepções teóricas sobre as possibilidades dos softwares de geometria
dinâmica, como as potencialidades do arrastar, da exploração e visualização nos
processos de ensino e aprendizagem de Geometria eram foco central desses artigos.
Já os trabalhos Zulatto (2001c), Zulatto (2002a) e Zulatto (2003a) focaram
os professores envolvidos na pesquisa e a concepção dos mesmos sobre as
4
Amaral et al. (1998), Amaral (1999a), Amaral (1999b), Amaral (2000a), Amaral (2000b), Amaral
(2000c).
5
Área de concentração em Ensino e Aprendizagem da Matemática e seus Fundamentos Filosófico-
Científicos, junto ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas da UNESP – Universidade Estadual
Paulista, em Rio Claro-SP.
6
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.
18
potencialidades e limitações dos softwares de geometria dinâmica. Nesses artigos,
discorri sobre as características dos professores, sua formação, e como organizavam
questões relacionadas à gestão da sala de aula quando incorporam a tecnologia na
sua prática docente; como dividiam os alunos na sala de informática, como
preparavam as atividades, entre outros aspectos. Além disso, apresentei os pontos
positivos e negativos dos softwares, sob o ponto de vista desses professores, como a
facilidade de visualizar propriedades geométricas, realizar construções e, por outro
lado, a alta demanda de tempo para preparar e desenvolver esse tipo de trabalho
diferenciado. Um outro artigo, com base nos resultados da pesquisa, foi publicado na
revista GEPEM (ZULATTO; PENTEADO, 2006a).
Ainda durante o Mestrado tive a oportunidade de acompanhar de perto as
ações da Rede Interlink, coordenada por Penteado, e que é formada por professores,
pesquisadores e futuros professores de Matemática, que interagem, presencialmente
e à distância, para discutir as implicações de recursos tecnológicos nas aulas de
Matemática, bem como desenvolver e utilizar atividades que envolvam esses
recursos em sala de aula.
O resultado do contato com interações à distância nessa rede, assim como
com professores e pesquisadores, e com as pesquisas na área de formação de
professores e Educação à distância, fortaleceram sobremaneira minha convicção no
sentido de concentrar esforços em uma nova pesquisa, agora em nível de doutorado,
sobre interação online e Educação Matemática à distância.
1.1.3 Terceiro momento: o doutorado
Em continuidade, dei início à pesquisa de Doutorado. Ao longo dos quatro
anos estive também atuando como professora, adquirindo experiência profissional.
Em exceção, durante alguns meses me afastei para coleta inicial de dados, e
novamente tive apoio financeiro da CAPES. A prática docente possibilitou a
publicação de uma experiência na revista da SBEM (ZULATTO, 2005a).
19
Continuei submetendo trabalho a eventos científicos
7
, onde foram abordadas
questões levantadas no decorrer desta pesquisa, como a possibilidade de discutir
Matemática em ambientes virtuais, e aspectos relacionados à análise dos dados.
Sempre pensando em obter uma formação diferenciada, pretendia fazer um
estágio no exterior. No entanto, esse plano não pôde ser concretizado como
inicialmente fora programado. Ainda assim, julgando ser relevante esta experiência
de contato com um outro centro de estudos, com pesquisas realizadas em outro
país, por pesquisadores aos quais dificilmente teria acesso estando no Brasil, fiz uma
visita à Universidade de Lisboa, em Portugal, sob a orientação do Prof. Dr. João
Pedro da Ponte, com duração de um mês.
Essa visita permitiu que eu conhecesse um outro centro de estudos, assim
como a estrutura organizacional para a realização de uma pesquisa em um outro
país. Pude, ainda, ter acesso a inúmeras referências bibliográficas, bem como manter
contato com vários pesquisadores nas áreas de Educação e Educação Matemática.
Participei, ainda, de grupos de orientação, onde pude apresentar meu
trabalho e receber sugestões sobre o seu encaminhamento. Além disso, assisti a
algumas aulas em quatro disciplinas: “Didática da Álgebra”, “Fundamentos da
Didática da Matemática”, “As Tecnologias da Informação e Comunicação no Ensino
das Ciências” e “Desenvolvimento curricular em Matemática”.
Essa experiência possibilitou o meu afastamento de todas as atividades
cotidianas que tinha no Brasil e contribuiu para o processo de estruturação da tese,
pois tinha maior tempo para dedicação exclusiva a ela. Desse modo, pude melhor
definir os caminhos a serem percorridos nessa pesquisa, que descrevo a seguir.
1.2 O cenário no qual se insere esta pesquisa
A Educação à distância (EaD) tem tomado novos rumos nos últimos anos.
Litwin (2001a) sintetiza sua história contando que essa modalidade nasceu no final
7
Zulatto (2003b), Zulatto (2004), Borba e Zulatto (2004), Zulatto (2005b), Zulatto e Penteado (2005),
Zulatto (2006), Zulatto e Penteado (2006b), Zulatto e Borba (2006) e Borba e Zulatto (2006).
20
do século XIX. Com o tempo, novas possibilidades tecnológicas mudaram a forma de
pensar e fazer a EaD. Especificamente na Educação superior, Vianney et al. (2003,
p.9) explicitam que
[...] os ventos da mudança para este cenário trazem a ‘educação virtual’,
que tem mostrado os seus benefícios não para substituir a educação
presencial, mas, sim, para articular-se com esta de maneira complementar,
sinergética, produtiva e criativa, [...] [visto que] o uso das novas tecnologias
permite transcender os limites geográficos e as barreiras acadêmicas
institucionais.
No Brasil, segundo esses autores, até a década de 1990 a EaD se ocupava
principalmente em desenvolver cursos livres de iniciação profissionalizante e
supletivos, utilizando-se de recursos como correspondência de material impresso e
aulas transmitidas por televisão. Na segunda metade da década de 1990 surge, no
entanto, “a Universidade Virtual, entendida como ensino superior a distância com uso
de Novas Tecnologias de Comunicação e Informação (NTIC)
8
, em especial a Internet
e a videoconferência” (VIANNEY et al., 2003, p.16).
Os cursos à distância com maior número de autorizações pelo MEC
destinavam-se à formação de professores para os ensinos fundamental e médio.
Inicialmente eles se desenvolviam por meio impresso e contavam com unidades de
apoio (com biblioteca e tutoria presencial) instaladas em pequenas e médias cidades
do interior do país (VIANNEY et al., 2003).
Litwin (2001b) nos faz refletir sobre o termo EaD, questionando a
possibilidade de alterá-lo, visto que, mais e mais, ela não se define pela distância,
que está desaparecendo com o uso cada vez maior das TIC. E concordo com essa
autora ao afirmar que “o que seguramente não vamos mudar é a sua definição de
educação e a busca de produzir um bom ensino, do mesmo modo que em qualquer
outra proposta educativa” (p.11).
É nesse cenário que, desde 2003, investigar sobre Educação Matemática à
Distância passou a ser, então, o foco das minhas atividades científicas e as recentes
oportunidades de interação virtual, proporcionadas pelas TIC, propiciaram a reflexão
sobre vários aspectos: como acontecem as interações? É possível discutir sobre
8
Nesse trabalho, escrevo apenas TIC – Tecnologia da Informação e Comunicação para designar esses
recursos tecnológicos, uma vez que considero relativo o uso de “novas” tecnologias: novas para
quem? Por que são novas?
21
conteúdos matemáticos? Como se caracteriza a aprendizagem matemática que
ocorre em cursos desenvolvidos nesse ambiente?
Com o intuito de clarear estes questionamentos é que foi estruturada a
pergunta diretriz deste trabalho:
Qual a natureza da aprendizagem matemática em um
curso online de formação continuada em Geometria?
Focar a “natureza da aprendizagem” significa, a meu ver, entender como se
caracteriza a aprendizagem matemática. Assim, o objetivo desta pesquisa é analisar
como acontece a aprendizagem matemática em um ambiente virtual; como se
desenvolvem as discussões de cunho matemático; como as pessoas comunicam suas
idéias; como expressam seu raciocínio; como se realiza a interação entre as pessoas
e as TIC.
Estudos como os de Bairral (2002), Bello (2004), Borba (2004), Gracias
(2003), Lopes (2004), Morgado (2003), Santos (2006) entre outros, narram
experiências de cursos desenvolvidos à distância no âmbito da Educação Matemática.
Porém, apesar das iniciativas existentes, esses próprios autores notam a carência de
pesquisas sobre esse tema.
Dessa forma, acredito ser importante fazer este estudo por sustentar que a
discussão matemática, base para a produção do conhecimento matemático,
apresenta algumas características diferenciadas. A própria simbologia da Matemática
modifica (e por vezes dificulta) a comunicação à distância e ressalta a necessidade
de se pensar aspectos como a visualização, por exemplo, que é parte do processo
usual do aprendizado em Geometria. Assim sendo, espero trazer contribuições para
ampliar o conhecimento sobre Educação Matemática à distância.
22
1.3 Este estudo
Como mencionei, alguns estudos no campo da Educação Matemática à
distância já foram desenvolvidos, cada um com suas características particulares. O
trabalho desenvolvido por Bairral (2002, p.1) visou “analisar as influências do
processo teleinterativo para o desenvolvimento do conteúdo do conhecimento
profissional em Geometria”, a partir de uma experiência com professores de
Matemática, a qual propôs uma estrutura de ambiente virtual para o 3º e 4º ciclos
do ensino fundamental.
Em sua tese, Morgado (2003) relata uma experiência em um curso à
distância, via Internet, para professores de Matemática, cuja ênfase era o uso de
planilhas de cálculo (excel) nas aulas de Matemática. Seu trabalho descreveu a
organização do curso (desde a preparação do material até o acompanhamento das
atividades desenvolvidas pelos professores-alunos) e apresentou uma análise sobre
as questões pedagógicas, computacionais e matemáticas que surgiram no decorrer
do curso.
O contexto das pesquisas desenvolvidas por Bello (2004) e Lopes (2004) foi
o mesmo, porém, com focos distintos. Ambos trabalharam em um curso a distância
intitulado Projeto Transformações, oferecido para alunos do ensino médio de
diferentes escolas da cidade de São Paulo. Bello (2004) preocupou-se com a
colaboração entre participantes, alunos e mediadores, no que se refere às
possibilidades de produção de conhecimento. E Lopes (2004), por sua vez, tinha
como objetivo propor e analisar um modelo de avaliação para este curso no qual a
interação se dava a partir de discussões sobre atividades de Geometria, mais
especificamente transformações geométricas (isometrias).
Borba, desde 2000, tem oferecido cursos de extensão universitária a
professores de Matemática, desenvolvidos a distância, por chat, que realçam as
Tendências em Educação Matemática. As discussões centram em temas como
Etnomatemática, Modelagem Matemática, entre outros. Dessa forma, o foco
inicialmente não eram as questões matemáticas. Relata, todavia, que estas têm
surgido desde que incorporou o tema “fractais” (BORBA, 2004). No segundo
semestre de 2005, dedicou algumas das aulas ao estudo de Geometria Espacial e
23
uma pesquisa foi recém finalizada por Santos (2006) focando a produção matemática
nesse ambiente. Para tanto, explorou diferentes concepções de espaço e concluiu
que a produção matemática online é condicionada pelo ator Internet e pelas demais
tecnologias.
Também analisando esses mesmos cursos de extensão universitária, Gracias
(2003, p.9) discutiu “o papel das tecnologias da informação e comunicação na
reorganização do pensamento, quando atores informáticos são incorporados ao
processo de produção do conhecimento”, incluindo questões como a noção de
espaço e proximidade em ambientes virtuais de aprendizagem.
Embora tais pesquisas tenham sido realizadas, Borba (2004) observa que
ainda são muitas as questões em aberto que envolvem o aspecto da comunicação
matemática à distância. Desde 2004, o GPIMEM firmou convênio com a Fundação
Bradesco e tem oferecido cursos de formação continuada para seus professores, na
área de Geometria e Funções, desenvolvidos totalmente à distância. Esses cursos
têm servido de espaço para a realização de diferentes pesquisas (BORBA, 2005;
ZULATTO; BORBA, 2006), e onde também se enquadra a que ora relato.
Dessa forma, esta pesquisa vem complementar as demais na medida em que
analisa aspectos da aprendizagem matemática em três edições de um curso na área
de Geometria, denominado Geometria com Geometricks, realizado em parceria com
a Fundação Bradesco.
Essa Fundação tem escolas em diferentes localidades do país e por se
preocupar com a formação contínua dos seus profissionais, fomentou um curso que
familiarizasse seus professores de Matemática com a tecnologia informática, mais
precisamente com o software de geometria dinâmica Geometricks.
Embora distantes fisicamente, os professores da Fundação se reuniam em
encontros/aulas aos sábados, com duração de duas horas cada, em horário pré-
determinado, via chat ou videoconferência, para discutir questões de Geometria e de
informática educativa.
Estas particularidades podem contribuir de forma a iluminar outros cursos,
ao compreender sua dinâmica de interação, as possibilidades e dificuldades que este
tipo de trabalho, em conjunto e à distância, proporciona. Os resultados poderão
também oferecer subsídios aos cursos de formação continuada, que muitas vezes
24
também são suporte aos professores, dando-lhes a oportunidade de,
presencialmente e/ou virtualmente, discutirem, trocarem experiências, informações,
opiniões, etc. A análise da natureza da aprendizagem matemática nesta experiência
é a principal contribuição deste trabalho no contexto das pesquisas existentes em
EaD e em Educação Matemática.
1.4 Estrutura da tese
Neste primeiro capítulo, delineei o caminho percorrido para a estruturação
dessa pesquisa e o seu contexto inicial. No capítulo II apresento aspectos relevantes
da EaD, pontuando, inicialmente, sobre questões históricas e normativas e, em
seguida, caracterizando teoricamente o seu conceito. Em continuidade discuto que,
com a disseminação cada vez maior de recursos informáticos, como a Internet, a
EaD se modificou e a oportunidade de sua realização online foi ampliada. Por fim
teço, nesse cenário, considerações acerca do papel do professor, e também do
aluno.
O curso Geometria com Geometricks tem algumas características
particulares. Foi um curso na área de tecnologia informática, visando a formação
continuada de professores de Matemática, com ênfase em Geometria. Havia um
número pequeno de alunos e apoio institucional, o que possibilitou o uso de recursos
informáticos para aproximar os participantes, numa proposta pedagógica composta
de encontros por chat ou videoconferência. Esse design foi estruturado a partir da
concepção de que o conhecimento é produzido por atores humanos e não humanos
em um processo colaborativo. E por considerar, também, que a aprendizagem
matemática acontece a partir do diálogo, da interação entres alunos e professores,
qualquer que seja a distância física entre eles. Aprofundo essas concepções no
capítulo III.
No capítulo IV discorro sobre aspectos matemáticos que embasaram a
elaboração e análise do curso. Em particular, aspectos da argumentação matemática,
visualização e geometria dinâmica.
25
O capítulo V tange a fundamentação metodológica desta pesquisa, em que
justifico a minha escolha pela abordagem qualitativa a partir da visão de
conhecimento que assumo. Nele são apresentados, ainda, os procedimentos
metodológicos, em especial o processo de coleta de dados. O cenário dessa pesquisa
é também detalhado, onde aponto os passos iniciais para a estruturação do curso
Geometria com Geometricks, seus participantes e a natureza das atividades
propostas. E finalizo com algumas considerações acerca dessa experiência com olhar
da teoria sobre EaD apresentada no capítulo III.
Para acompanhar o desenvolvimento dessas atividades no decorrer do curso,
o capítulo VII apresenta discussões matemáticas que se destacaram durante os
encontros por chat ou videoconferência. Uma análise dessas discussões, à luz da
literatura, é feita no capítulo VIII, focando a natureza da aprendizagem matemática
nesse contexto.
Para encerrar, teço algumas considerações finais no capítulo IX, retomando
aspectos relevantes desta pesquisa e vislumbrando possíveis desdobramentos para
futuras investigações.
26
CAPÍTULO II
LEIS, ATORES E DINÂMICAS
NA EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA:
ALGUMAS ARTICULAÇÕES
Não tenho um caminho novo. O que eu
tenho de novo é um jeito de caminhar
Thiago de Melo
Ao desenvolver esta pesquisa foi necessário um estudo para conhecer as
perspectivas dos autores da área de Educação a distância (EaD), suas teorias e as
principais questões que envolvem esse tema. Apresentar essa revisão de literatura é
o objetivo principal deste capítulo. À luz dos autores estudados, espero contribuir
para a reflexão na área da EaD, na tentativa de caracterizar o seu cenário.
2.1 Aspectos históricos e normativos da EaD no Brasil
Vianney et al. (2003) realizaram uma ampla pesquisa sobre EaD no país.
Observam que até o final do século XX, as Instituições de ensino superior não
ofereciam cursos dessa natureza e a 1ª Geração de EaD “surgiu em 1904, com o
ensino por correspondência: instituições privadas ofertando iniciação profissional em
áreas técnicas, sem exigência de escolarização anterior” (p.31). Esse modelo se
27
consolidou na segunda metade do século passado, com o desenvolvimento do
Instituto Monitor, do Instituto Universal Brasileiro e de outras organizações de
mesma natureza, que ofereciam cursos de iniciação profissionalizante pelo ensino
por correspondência impressa.
A 2ª Geração de EaD, segundo Vianney et al. (2003, p.31), foi demarcada
pelos cursos supletivos no modelo de teleducação, “com aulas via satélite
complementadas por kits de materiais impressos”, nas décadas de 1970 e 1980, e
também “pelo uso de mídias de comunicação, tais como: rádio, televisão, fitas de
áudio, conferências pelo telefone, etc.” (TORRES, 2004, p.30).
Em 1996, após dois anos da expansão da Internet no ambiente universitário,
oficializou-se a primeira legislação específica na área de EaD no ensino superior. Essa
expansão deu inicio à 3ª Geração da EaD, “que vem se estruturando às custas de
uma tecnologia avançada” (TORRES, 2004, p.31).
Essa geração tem se fortalecido com a legislação. Fragale Filho (2003, p.13)
explica:
Vista com desconfiança, tratada como uma forma supletiva ou
complementar do ensino presencial, ela foi quase ignorada nas
preocupações legislativas relativas à regulamentação da educação no Brasil.
No entanto, com o surgimento de novas tecnologias, rompem-se as
barreiras que tornam sua ampliação possível, proporcionando um aumento
de oferta sem precedentes e introduzindo sua regulamentação na agenda
legislativa.
Dessa forma, tratar de questões que envolvem a regulamentação, como
distinguir a EaD da Educação presencial, quais os procedimentos necessários para
definir e avaliar as práticas, tornou-se um desafio para os formuladores da política
pública educacional, “quando eles se vêem compelidos a elaborar, aprovar e
implementar propostas legislativas para o setor” (FRAGALE FILHO, 2003, p.13).
A lei 9.394, de 20 de dezembro de 1996 (LDB) procurou apresentar metas
quantitativas e qualitativas a serem alcançadas no âmbito da EaD, deixando de tratá-
la como projeto experimental (LOBO, 2000). Dos poucos artigos referentes à EaD, o
parágrafo 4º do art. 80 assegura que
[...] a EaD gozará de tratamento diferenciado, que incluirá: I) custos de
transmissão reduzidos em canais comerciais de radiodifusão sonora e de
sons e imagens; II) concessão de canais com finalidades exclusivamente
educativas; III) reserva de tempo mínimo, sem ônus para o Poder Público,
pelos concessionários de canais comerciais.
28
E esse artigo ainda afirma que a EaD só poderia ser oferecida por instituições
credenciadas pela União, cabendo a esta regulamentar os requisitos necessários para
a realização de exames e registro de diplomas. Assim sendo, enquanto não fossem
regulamentados esses aspectos, as demais disposições permaneceriam sem
efetivação (LOBO, 2000).
E o inciso III do parágrafo 3º do art. 87 postula que cabe ao Município e,
supletivamente, ao Estado e à União, a realização de programas de capacitação para
todos os professores em exercício, podendo, para isso, fazer uso da EaD. O Decreto
2.494, de 10 de fevereiro de 1998 avançou um pouco mais, regulamentando o art.
80 da LDB e definindo a EaD como
[...] uma forma de ensino que possibilita a auto-aprendizagem, com a
mediação de recursos didáticos sistematicamente organizados, apresentados
em diferentes suportes de informação, utilizados isoladamente ou
combinados, e veiculados pelos diversos meios de comunicação.
O que se percebeu, atenta Fragale Filho (2003), foi que, na verdade, o art.
80 da LDB não explicitou claramente o conceito legislativo de EaD, mas procurou
apontar quem poderia oferecê-la e indicou a forma como deveriam ser estruturados
os mecanismos de controle. Nessa direção, questiono o que se entende por “auto-
aprendizagem”. Acredito que o aluno, ao optar por uma formação à distância, terá
que assumir grande responsabilidade pelo seu aprendizado, caracterizada pela
autonomia e pela disciplina por alguns autores, especialmente quando o tempo é
flexível. No entanto, considero relevante salientar que o acompanhamento do aluno,
especialmente em processos de formação formal, a meu ver, é fundamental para o
seu desenvolvimento.
Ainda sobre o Decreto, ficou determinado que todas as instituições
credenciadas para oferecer EaD poderiam fazê-lo seguindo os critérios estabelecidos
dois meses depois, no art. 2º da Portaria 301, de 7 de abril de 1998.
Em 18 de outubro de 2001 foi outorgada a Portaria 2.253, que faculta o
desenvolvimento de disciplinas não-presenciais em cursos de graduação presenciais
reconhecidos, mesmo que a Instituição não esteja credenciada para oferecer EaD.
De acordo com essa portaria, as disciplinas poderiam ser realizadas em parte, ou na
sua totalidade, utilizando-se de recursos não presenciais, no limite de 20% da carga
horária prevista para o desenvolvimento de todo o currículo do curso. Segundo
29
Fragale Filho (2003, p.20), essa “portaria acabou criando um patamar numérico que,
uma vez ultrapassado, transforma um curso presencial em não-presencial, ou seja, a
distância”. E analisando essa possibilidade, nota que
[...] isso quer dizer que trata a oferta parcial de conteúdos não-presenciais
sob a rúbrica do experimentalismo, não a incluindo, em sentido estrito, no
universo relativo à EaD, o que é uma pena, já que o próprio PNE
9
recomenda a busca de uma clara articulação entre ensino presencial e não-
presencial (FRAGALE FILHO, 2003, p.20).
Em 19 de dezembro de 2005 foi outorgado o Decreto 5.622, que traz, no art.
1º, um novo conceito de EaD:
Caracteriza-se a educação a distância como modalidade educacional na qual
a mediação didático-pedagógica nos processos de ensino e aprendizagem
ocorre com a utilização de meios e tecnologias de informação e
comunicação, com estudantes e professores desenvolvendo atividades
educativas em lugares ou tempos diversos.
Além disso, ainda são exigidos momentos presenciais para a avaliação dos
estudantes; estágios obrigatórios e defesa de trabalhos de conclusão de curso,
quando previstos na legislação pertinente; e atividades relacionadas a laboratórios de
ensino. Explicita, também, os níveis de ensino aos quais a EaD poderá ser oferecida
e ressalta que “os cursos e programas a distância deverão ser projetados com a
mesma duração definida para os respectivos cursos na modalidade presencial”.
Entre os requisitos exigidos, é sugerido que a instituição que pretende
oferecer cursos a distância procure “apresentar corpo docente com as qualificações
exigidas na legislação em vigor e, preferencialmente, com formação para o trabalho
em educação a distância”.
Outros aspectos ainda foram abordados nesse Decreto, o que mostra uma
preocupação normativa com as questões relacionadas à EaD. Alguns pontos
certamente ainda deverão ser tratados, mas estes aparecerão a partir das
experiências realizadas nessa modalidade.
9
PNE – Plano Nacional de Educação.
30
2.2 Algumas concepções de EaD
O ensino presencial está enraizado em nossas vidas. A ele se associa a
prática desenvolvida de forma unicamente presencial, através de encontros físicos
entre as pessoas envolvidas no processo. Há, portanto, dia, local e hora
determinados e, usualmente, fixos (MORAN, 2002).
Por outro lado, quais são as principais características da EaD? Para Torres
(2004, p.60), esta é uma
[...] forma sistematizada de educação que se utiliza de meios técnicos e
tecnológicos de comunicação bidirecional/multidirecional no propósito de
promover a aprendizagem autônoma por meio da relação dialogal e
colaborativa entre discentes e docentes eqüidistantes.
A separação entre professor e aluno em espaço e/ou tempo; o controle do
aprendizado realizado com maior intensidade pelo aluno; e a comunicação mediada
por documentos impressos ou alguma forma de tecnologia são as características
principais da EaD para Gonzalez (2005).
Do ponto de vista de Moran (2003), a estruturação de um curso à distância
pode disponibilizar de
- aulas presenciais regulares e que têm alguma ou algumas poucas
atividades complementares à distância;
- carga horária presencial e à distância equilibradas;
- poucos encontros presenciais, para sua organização, e demais carga
horária à distância;
- nenhum contato físico entre professor e aluno, com atividades
desenvolvidas basicamente à distância.
Desse modo, temos um grupo que relaciona a EaD a um processo educativo
que tem uma parcela de sua carga horária para momentos não presenciais, no qual
cada pessoa envolvida determina o seu local de estudo (em casa, no trabalho, etc.).
Ou seja, parte das atividades de ensino e aprendizagem é realizada sem encontro
físico entre os participantes (incluindo, assim, os três primeiros itens supracitados).
Nessa posição podemos citar Soares (2003), que define a EaD como sendo
31
[...] o processo em que: a) existe separação total [geográfica] entre o
professor e o aluno durante a maioria do tempo que durar o processo de
ensino e aprendizagem; b) se faz uso de recursos tecnológicos para unir o
professor a seus alunos, os alunos entre si, e para transportar informações e
conteúdos didáticos; c) se garante a existência de comunicação de duas
mãos, entre professor e alunos; d) se transfere o controle do processo de
aprendizagem basicamente para os próprios alunos (p.92, grifo meu).
Uma outra concepção de EaD caracteriza-se pelo encontro não presencial na
totalidade dos processos de ensino e aprendizagem (como descreve o último item de
Moran (2003)). Nesse caso, quando se concilia encontros presenciais e momentos
não presenciais, denomina-se Educação semi-presencial.
Para Moran (2002, p.1), “a educação a distância pode ter ou não momentos
presenciais, mas acontece fundamentalmente com professores e alunos separados
fisicamente no espaço e ou no tempo, mas podendo estar juntos através de
tecnologia de comunicação”. Essa é a concepção que assumo. Para mim, o foco não
está na quantidade de horas presenciais, mas na possibilidade de interação a
distância entre os atores do processo, através da tecnologia. Aproximar pessoas
geograficamente distantes, possivelmente abrindo espaço à troca entre culturas
diferentes, é o fator central que define essa modalidade de ensino.
Por outro lado, a grande crítica à EaD é a falta de envolvimento mais
próximo entre as pessoas, pois, por não se encontrarem fisicamente, elas não
interagem “olho no olho”, o que pode causar uma posição de não comprometimento
por parte de algumas pessoas, prejudicando o bom andamento do curso. Ademais,
pode ocasionar o desestímulo, acarretando um alto índice de evasão. No entanto,
questiono se com o avanço das tecnologias da informação e comunicação (TIC),
ainda vivemos todo esse distanciamento? Com recursos como a videoconferência,
onde é possível a comunicação entre professores e alunos em tempo real, utilizando-
se de som e imagem, será que estamos tão ausentes do “olho no olho”?
Essa questão da “proximidade” tem sido foco de debate e traz
questionamentos acerca dos aspectos do conceito de “distância”. Moran (2003, p.11)
pontua que “com as tecnologias cada vez mais rápidas e integradas, o conceito de
presença e distância se altera profundamente e as formas de ensinar e aprender
também”. Outros autores corroboram essa idéia, como Litwin (2001b) e Martins
(2003), que acreditam que
32
[...] a modalidade a distância costuma caracterizar-se por sua flexibilidade
em torno da proposta de ensino, e que hoje, como resultado do
desenvolvimento das tecnologias da comunicação, as interações entre
docentes e alunos são favorecidas, encurtando as distâncias na modalidade.
[...] Talvez tenhamos de dar outro nome para a educação a distância, visto
que hoje ela já não se define pela distância [física] (LITWIN, 2001b, p.10-1).
As possibilidades cada vez mais intensas de conectividade e de interação,
propiciadas pela Internet e pelo desenvolvimento das telecomunicações em
geral, tornam a noção de presença e distância bastante discutíveis
(MARTINS, 2003, p.157).
Essa distância tem sido relacionada aos conceitos de “local” e “tempo”.
Algumas definições de EaD partem de sua flexibilidade, como Castro (2006, p.3), que
afirma que o espaço e o tempo estão se transformando, “não se constituindo fatores
limitantes para aluno e profissionais da educação”. E ainda outros, como Porter
(1997):
[...] alunos que participam em programas de aprendizagem a distância
podem receber alguns ou todos os seguintes benefícios: podem aprender
independentemente, em seu próprio ritmo, em um local conveniente, em um
tempo conveniente, sobre uma variedade maior de temas, em uma
variedade maior de instituições (p.13).
Litwin (2001a, p.14) ainda acrescenta que o caráter distintivo dessa
modalidade “consiste na mediatização das relações entre os docentes e os alunos”.
Dessa forma, acredita que é possível modificar a proposta de assistência à aula
tradicional por uma proposta de ensino e aprendizagem não convencionais, “em
espaços e tempos que não compartilham”.
Essa caracterização rege algumas concepções de EaD e acabam por permear
também os recursos tecnológicos utilizados, o papel do professor, a proposta
pedagógica, entre outros aspectos. Ao tentar prever o cenário da EaD no século XXI,
Belloni (2001) postula que o mais provável será o de
[...] sistemas de ensino superior ‘mistos’ ou ‘integrados’, que oferecem
oportunidades diversificadas de formação, organizáveis de modo flexível, de
acordo com as possibilidades do aluno, com atividades presenciais e a
distância, com uso intensivo de tecnologias e com atividades presenciais,
mas sem professor, de interação entre estudantes, que trabalharão em
equipe de modo cooperativo (p.7, grifo meu).
Não acredito na possibilidade de ausência do professor, porém Niskier (2000,
p.49) corrobora essa idéia, e ressalta que toda a estrutura organizacional também é
modificada:
Parte-se de um conceito extremamente simples: alunos e professores estão
separados por uma certa distância e, às vezes, pelo tempo. A modalidade
modifica aquela velha idéia de que, para existir ensino, seria sempre
33
necessário contar com a figura do professor em sala e de um grupo de
estudantes.
Acredito que a definição de EaD vai, ainda, além das possibilidades de
encurtar as distâncias físicas e de possibilitar flexibilidade com relação ao tempo.
Concordo com Belloni (2001) e Torres (2004), que é preciso considerar a
necessidade de atender às demandas de grupos específicos, especialmente na
educação da população adulta, tanto em nível de formação inicial como continuada.
E como assegura Oliveira (2003, p.12),
[...] esse novo jeito de conceber o processo de ensinar/aprender a distância
deve afastar-se do modelo estandartizado e massificado de EaD, pertinente
à racionalidade técnica, para compor projetos de caráter mais local e
destinados a determinados contextos, tomando por base as condições e
possibilidades concretas das instituições e clientelas que deles venham a
participar.
Por fim, destaco que o misto de EaD e Educação presencial tem sido
apontada entre alguns pesquisadores como uma alternativa de ensino preciosa,
como por Kenski (2003), Demo (2003), Moran (2003), entre outros, e é enfatizada
como uma forte tendência para os próximos tempos. Também é forte a tendência de
se utilizar a tecnologia informática, mais especificamente a Internet, nesse processo,
a qual se denomina Educação online.
2.3 Educação online
Muitos dos cursos realizados à distância se desenvolviam, e ainda hoje se
desenvolvem, por material impresso, enviado pelo correio. Nesse caso, a mídia
escrita é o principal recurso utilizado. Atualmente a informática possibilita conectar
um computador, em tempo real ou online (TORRES, 2004), por cabo, antena, satélite
ou linha telefônica, trazendo outras formas de comunicação e, para diferenciar os
processos de ensino e aprendizagem que acontecem por meio desse novo recurso é
que surgiu o termo Educação online. Moran (2003, p.39) a define como “o conjunto
34
de ações de ensino e aprendizagem desenvolvidas por meios telemáticos, como a
Internet, a videoconferência e a teleconferência
10
”.
Silva (2003a) destaca que proporcionar Educação online exige tecnologia
própria, visto que é ela que permite a comunicação nos momentos não presenciais,
possibilitando a troca de material didático, a discussão de dúvidas e o planejamento
de trabalhos em grupo.
Harasim et al. (1996, p.24) alerta, no entanto, que é importante estabelecer
“quais os melhores meios para que se alcancem os objetivos do curso dentro dos
limites dos recursos existentes, levando-se em conta a localização geográfica dos
alunos”, onde nem sempre estariam disponíveis recursos como a videoconferência.
Uma opção presente em muitas experiências de EaD online é a utilização de
um “Ambiente Virtual de Aprendizagem” (AVA). Alguns autores têm abordado esse
tema, como Gomes (2003, p.25), que o define como
[...] ambiente tecnológico no ciberespaço
11
que permite o processo de
ensino e aprendizagem através da mediação pedagógica entre os alunos ou
um grupo de alunos e o professor ou um grupo de professores, ou outros
agentes geograficamente dispersos. Apresenta-se em forma de portais,
banco de dados, bibliotecas virtuais, cursos a distância, museus ou outros.
Valentini e Soares (2005, p.19) notam que o conceito de AVA vai além de um
conjunto de páginas educacionais na Web, ou de sites com diferentes ferramentas
de interação e de imersão (realidade virtual), pois o entendem como “um espaço
social, constituindo-se de interações cognitivo-sociais sobre ou em torno de um
objeto de conhecimento: um lugar na Web, ‘cenário onde as pessoas interagem’,
mediadas pela linguagem hipermídia”.
Nessa concepção, AVA está relacionado “ao desenvolvimento de condições,
estratégias e intervenções de aprendizagem num espaço virtual na Web”
(VALENTINI; SOARES, 2005, p.20), organizado de tal maneira que possibilite a
produção de conhecimento, por meio da interação entre os atores do processo e o
10
A diferença é bem explicitada por Moran (2003, p.40, grifo do autor): “A teleconferência é uma
comunicação audiovisual, normalmente por satélite, que tem um centro produtor de imagem e som e
muitos possíveis centros de recepção (telesalas) que permitem algum retorno (e-mail, fax, telefone ou
áudio). A videoconferência tem mais de um centro produtor. Podem ser vistos os alunos de uma ou
várias salas”.
11
Lévy (1999, p.92) define ciberespaço como “o espaço de comunicação aberto pela interconexão
mundial de computadores e das memórias dos computadores”. Esse conceito será aprofundado no
capítulo III.
35
objeto de conhecimento. E, assim sendo, pode ser um espaço para a EaD online ou
para o suporte na aprendizagem presencial.
Como em todo processo que envolve ensino e aprendizagem, Prado e
Almeida (2003, p.81) ressaltam que esses ambientes
[...] podem configurar-se com características que viabilizam as atividades
reflexivas e colaborativas, mas a existência de seus recursos por si mesmo
não garante o desenvolvimento de ações dessa natureza. São os
profissionais envolvidos com o planejamento e a execução pedagógica do
curso (coordenadores, docentes e monitores) que dão significado para o uso
dos recursos dos ambientes virtuais por meio de criação e recriação de
estratégias apropriadas.
Martins (2003) ainda complementa que promover um ambiente de
aprendizagem que dê suporte para o aluno criar autonomia no seu percurso de
aprendizagem é um dos maiores desafios dos profissionais que atuam em EaD.
Britain e Liber (apud AZEVEDO, 2006a) chamam a atenção que para isso ocorrer,
tem de haver um modelo pedagógico projetado com essa perspectiva, que
normalmente não é explicitado.
Esclareço que essa, entre outras perspectivas apresentadas neste capítulo,
não são exclusivas da EaD. Muitas delas norteiam também o ensino presencial.
Nesse momento, no entanto, o foco é a EaD, objeto de estudo neste trabalho.
Quanto ao público que se pretende atingir com a EaD online, é importante
observar que, como em todo processo educacional, há propostas com diferentes
perspectivas. Há aquelas que se preocupam com a educação em massa, que acabam
tendo uma veia mais transmissiva e condutivista, através da utilização apenas de
teleconferências e/ou disponibilização de material para estudo sozinho, por exemplo,
em que, segundo Niskier (2000, p.50-1), “pode-se economizar recursos e tempo [...]
e pode-se atender a um número maior de alunos, a custos bem mais baixos, com
resultados muito mais apreciáveis, em termos de qualidade”.
Para Litwin (2001a, p.20), no entanto, “as boas propostas de EaD nunca
implicaram o barateamento dos custos, mas, fundamentalmente, o compromisso do
país ou da região com a educação pública”, embora sejamos conscientes que muitos
programas governamentais preconizam a redução de custos, quando optam pela
EaD, pregando que, ainda assim, focam a Educação de qualidade.
36
A meu ver, é difícil atingir um grande número de pessoas com Educação de
qualidade, qualquer que seja a modalidade. Da mesma forma, entendo que
Educação de qualidade não se faz de forma barata. Experiências presenciais se
diferem daquelas realizadas a distâncias, mas ambas requerem investimento. Se por
um lado as experiências em EaD economizam com construções físicas (prédios para
sala de aula, etc.), por outro têm um gasto contínuo com recursos tecnológicos e
humanos, por exemplo. Dar oportunidade às pessoas fisicamente distantes dos
centros de ensino, propiciar a interação entre alunos e professores quando esses não
têm a opção de se encontrar presencialmente, e flexibilizar o acesso à formação no
tempo disponível de cada participante, para mim, são exemplos do verdadeiro
potencial da EaD.
Considero relevante investir nas propostas de cunho mais aberto que, como
diz Oliveira (2003) e Kenski (2003), enfatizam o processo de produção de
conhecimento, numa perspectiva pedagógica transformadora. Para Moran (2003), a
projeção futura é um mix de teleconferência, videoconferência, Internet, atividades
individuais e em pequenos grupos, desenvolvidos em variados momentos: antes e
depois das aulas, estando online ou off-line.
Para Valente (2003a, 2003b), a partir dessa perspectiva a proposta pode ser
caracterizada em três abordagens, que se diferem pelo grau de interação entre
professor e aluno.
Na broadcast, a informação é enviada ao aprendiz, via Internet, e não existe
nenhuma interação entre ele e o docente. É a relação comumente
denominada de ‘um para todos’. Devido ao número grande de pessoas que
pode estar recebendo essa informação é quase impossível a interação entre
emissor e receptor. Sem essa interação, fica difícil de saber se o aprendiz foi
capaz de se apropriar da informação, convertendo-a em conhecimento
(VALENTE, 2003b, p.30).
Já na chamada “virtualização da escola tradicional”, é previsto um mínimo de
interação entre professor e aluno, numa relação de “um para poucos”. Entretanto,
essa interação se realiza de forma semelhante à praticada em uma sala de aula
presencial, em que o professor requisita o desenvolvimento de atividades, que são
enviadas pelo aluno para que seja avaliada. A interação acaba por se restringir, em
sua maioria, à troca de perguntas e respostas o que é certamente insuficiente para
saber se foi atribuído significado à informação disponível (VALENTE, 2003b).
37
Essa perspectiva é consoante com a perspectiva de Oliveira (2003) de que
muitas experiências em EaD online têm acontecido como uma adaptação da aula
presencial, com uma nova roupagem, mais sofisticada, o que a torna, precocemente,
obsoleta para os dias atuais.
Nessa mesma direção, Palloff e Pratt (2002) falam do desenvolvimento de
um novo paradigma educacional, que requer uma nova pedagogia, a chamada
pedagogia eletrônica, que não demanda a mudança do curso ou do currículo, mas da
própria prática docente. Esse novo paradigma, de interação “muitos para muitos”,
está próximo da abordagem “estar junto virtual”, discutida por Valente (2003a,
2003b), que
[...] envolve múltiplas interações no sentido de acompanhar e assessorar
constantemente o aprendiz para poder entender o que ele faz e, assim,
propor desafios que o auxiliem a atribuir significado ao que está
desenvolvendo. Essas interações criam meios para o aprendiz aplicar,
transformar e buscar outras informações e, assim, construir novos
conhecimentos (VALENTE, 2003a, p.5).
De todo o modo, Kenski (2003, p.68) ressalta que “o ambiente educacional
virtual não suprime o espaço da Educação presencial. Ao contrário, ele o amplia”, e
Moran (2003) argumenta que é possível valorizar “o melhor do presencial e do
virtual” (p.46). Para esse autor, para nos conhecermos, criarmos laços, organizarmos
grupos de trabalho, etc., é melhor estarmos presencialmente reunidos. E, para
aproveitarmos a flexibilidade do tempo e do espaço, entre outras vantagens, o virtual
é uma boa alternativa. No entanto, ele nos alerta que “aprender a ensinar e
aprender, integrando ambientes presenciais e virtuais, é um dos grandes desafios
que estamos enfrentando atualmente na educação no mundo inteiro” (p. 49).
Por fim, vale lembrar de alguns aspectos que não têm recebido muito
destaque, mas são também importantes para a constituição de um curso online e
merecem reflexão. Nova e Alves (2003) discutem sobre o potencial de imagens, que
usualmente são pouco utilizadas. Belisário (2003) trata da questão do material
didático de cursos à distância e afirma que a Internet pode oferecer uma grande
contribuição. Mustafá (2003) traz, ainda, mais um aspeto: qual a biblioteca de cursos
online? Essa autora apresenta argumentos que justificam a necessidade de se
preocupar com a existência de um bibliotecário em cursos dessa natureza.
38
2.4 O professor na EaD
Silva, no prefácio do livro “Educação online” (2003a), no seu artigo “Criar e
professorar em um curso online: relato de experiência” (2003b) e em seu livro “Sala
de aula interativa” (SILVA, 2000) nos alerta que “o professor precisa preparar-se
para ‘professorar’ online” (SILVA, 2003b, p.12).
Ele apresenta esse termo, professorar, ao falar da prática de ser professor e
do seu papel fundamental na Educação online:
Em lugar de ensinar meramente, ele [o professor] precisará aprender a
disponibilizar múltiplas experimentações e expressões, além de montar
conexões em rede que permitam múltiplas ocorrências. Em lugar de
meramente transmitir, ele será um formulador de problemas, provocador de
situações, arquiteto de percursos, mobilizador da experiência do
conhecimento (SILVA, 2003a, p.12).
Maia (2002, p.12) faz algumas observações sobre esse profissional. Para ela,
[...] não existe diferença entre o professor presencial, virtual ou
semipresencial. Todos devem ter as características básicas necessárias para
o desempenho de sua função docente, ou seja, devem ter em mente o
desejo de compartilhar um determinado conhecimento com seu grupo de
alunos e, para isso, o foco e o objetivo de sua proposta devem estar
centrados na aprendizagem do grupo, na eficiência da comunicação e na
formatação de uma metodologia que motive, incentive e valorize o
conhecimento da equipe e seu relacionamento durante o percurso.
Acredito que o professor, esteja onde estiver, próximo ou distante, deve ter
como objetivo principal o desenvolvimento de metodologias de ensino
apropriadas para garantir e promover a aprendizagem [...], o professor deve
levar em conta sua audiência, seus alunos, seu conteúdo e suas
características docentes para empreender a metodologia mais adequada
para garantir o aprendizado. Isso tanto no ensino a distância como no
ensino presencial. O foco principal, para mim, é a aprendizagem.
É possível dizer, então, que o profissional é o mesmo. Um professor que
leciona em cursos presenciais pode atuar em cursos a distância também. No entanto,
tem que estar atento para sua prática docente que, focada na aprendizagem, precisa
se diferenciar para adaptar-se a um novo ambiente e a uma nova proposta
pedagógica, que requer uma metodologia de trabalho diferente daquela da aula
presencial. Para alguns autores essas mudanças exigem uma postura característica,
que dá vida a um “novo profissional” que, segundo Kenski (2003, p.143), “precisa
agir e ser diferente no ambiente virtual. Essa necessidade se dá pela própria
especificidade do ciberespaço, que possibilita novas formas, novos espaços e novos
tempos para o ensino, a interação e a comunicação entre todos”. E destaca que “sua
39
competência deve deslocar-se no sentido de incentivar a aprendizagem e o
pensamento. O professor torna-se o animador que incita os alunos à troca de
saberes, a mediação relacional e simbólica, a pilotagem personalizada dos percursos
de aprendizagem” (p.139, grifo da autora). Ele deve propor tarefas, estabelecer os
textos para leitura, etc., para que o aluno possa sentir sua presença, mesmo estando
em um ambiente virtual.
Palloff e Pratt (2002) observam que o professor continua a definir o
conteúdo do curso e a conduzi-lo. Porém, numa perspectiva pedagógica
diferenciada, onde há a possibilidade de que os “alunos explorem o conteúdo de
forma colaborativa, ou que busquem seus interesses” (p.27). Dessa forma a
comunicação não acontece em mão única, do professor para o aluno, mas em várias
direções, entre aluno-aluno, aluno-alunos, professor-aluno e professor-alunos.
Prado e Almeida (2003) têm vivenciado algumas experiências em formação
continuada e atentam que “o papel do educador não é necessariamente o de
provedor de informações, mas principalmente de orientador e parceiro na
aprendizagem e novas descobertas, respeitando as idéias e estilos de trabalho dos
alunos” (p.76). Dessa forma, é preciso que ele assuma diferentes papéis, como o de
mediador, observador e articulador: “sua função principal é de orientar a
aprendizagem dos alunos – uma aprendizagem que se desenvolve na interação
colaborativa [...], propiciando a criação de uma rede de comunicação e
colaboração, na qual todos se inter-relacionam” (p.72, grifo das autoras).
Corroborando essa idéia, Moran (2002, p.2) postula que “o papel do
professor vem sendo redimensionado e cada vez mais ele se torna um supervisor,
um animador, um incentivador dos alunos na instigante aventura do conhecimento”,
e Torres (2004, p.112) afirma que “o professor deve ser aquele que propulsiona,
aquele que mediatiza, que coordena, que facilita, que orienta o trabalho de pesquisa,
a fim de permitir uma produção individual e/ou coletiva do saber”.
Ponte (2000, p.77) ainda complementa que, nessa perspectiva, professor e
aluno tornam-se parceiros no processo de produção do conhecimento e
[...] mais do que intervir numa esfera bem definida de conhecimentos de
natureza disciplinar, eles passam a assumir uma função educativa
primordial. E têm de o fazer mudando profundamente a sua forma
dominante de agir: de (re)transmissores de conteúdos, passam a ser co-
40
aprendentes com os seus alunos, com os seus colegas, com outros atores
educativos e com elementos da comunidade em geral.
Alguns autores ainda salientam que a administração de um curso online, à
primeira vista, parece ser fácil, porém, em sua grande maioria, demanda mais tempo
de preparação e envolvimento do que os cursos tradicionais. Como exemplo,
podemos pensar na necessidade de se visitar o site do curso diariamente, se possível
mais que uma vez ao dia, para que os alunos sintam “respaldo” por parte do
professor. Isso exige um alto grau de dedicação e tempo (PALLOFF; PRATT, 2002).
Logo, é imprescindível destacar que o uso da tecnologia demanda, pelo
menos em um primeiro momento, um grande tempo do professor, para a preparação
de atividades, planejamento, e atendimento aos alunos, que tem que acontecer
muito constantemente, para não desmotivar o aluno. Moran (2003, p.49) está em
consonância com essa idéia:
Educar em ambientes virtuais exige mais dedicação do professor, mais apoio
de uma equipe técnico-pedagógica, mais tempo de preparação [...] e
principalmente de acompanhamento, mas para os alunos há um ganho
grande de personalização da aprendizagem, de adaptação ao seu ritmo de
vida, principalmente na fase adulta.
Demanda, também, tempo para a participação em cursos de
aperfeiçoamento e atualização (KENSKI, 2003). E o professor deve conhecer bem a
ferramenta tecnológica que utiliza, o que não necessariamente dispensa a presença
de um suporte técnico, que pode dar apoio na resolução de problemas com os
equipamentos, se necessário.
Além de se preparar para integrar as tecnologias em suas aulas, Palloff e
Pratt (2002) tratam de saberes mais específicos, relacionados à prática docente com
tecnologias, em cursos online. Segundo os autores, as tarefas e papéis exigidos do
professor que atua nesse ambiente são divididos em quatro áreas: pedagógica, que
se preocupa com as questões pedagógicas do curso, seus objetivos, seu
planejamento, etc.; social, que foca o relacionamento entre as pessoas, para garantir
o envolvimento das mesmas, na expectativa de minimizar a falta de motivação e a
evasão; gerencial, que centra nas questões burocráticas e estruturais do curso; e
técnica, que trata do aspecto material, dos recursos técnicos.
Para suprir tantas demandas, os cursos à distância têm contado com a figura
do “tutor”, dando suporte ao trabalho do professor (SANTOS; REZENDE, 2001).
41
Segundo Martins (2003, p.159), “o professor tutor assume papel relevante, atuando
como intérprete do curso junto ao aluno, esclarecendo suas dúvidas, estimulando-o a
prosseguir e ao mesmo tempo participando do processo de avaliação da
aprendizagem”. Analisando a origem desse termo e o papel do tutor, a autora
explica:
A palavra tutor traz implícita a figura jurídica outorgada pela lei, isto é,
tutela e defesa de uma pessoa menor ou necessitada em sua primeira
concepção. Ampliada no sistema de educação a distância, a figura do tutor
passou a ser basicamente a de um orientador de aprendizagem do aluno
solitário, que freqüentemente necessita do docente ou de um orientador
para indicar o que mais lhe convém em cada circunstância. No sistema de
EaD, o tutor tem o papel fundamental, pois é por intermédio dele que se
garante a inter-relação personalizada e contínua do aluno no sistema e se
viabiliza a articulação necessária entre os elementos do processo e a
consecução dos objetivos propostos. Cada instituição que desenvolve este
processo de educação busca construir seu modelo tutorial visando ao
atendimento das especificidades locais regionais, incorporando nos
programas e cursos, como complemento às novas tecnologias (p.159).
Alguns teóricos se dedicam ao estudo desse tema, como Balbé (2003),
González (2005), Martins (2003), entre outros, e aprofundam questões a ele
relacionadas. Há preocupação em definir o papel do professor e do tutor e pensar a
atuação conjunta desses profissionais. Balbé (2003, p.223) ressalta que
[...] a interlocução entre o professor especialista, responsável pela
preparação do material didático (impressos e multimeios) e o professor-tutor
é de grande importância. O tutor será o mediador entre o aluno e o
professor especialista, mas o sucesso do aprendizado dos alunos depende
também de um equilíbrio entre, de um lado o comprometimento do tutor
assumindo com responsabilidade a tarefa de orientar e acompanhar os
trabalhos individuais e grupais nos momentos a distância e presencial e, de
outro, o respeito pela autonomia da aprendizagem de cada aluno.
Observo, nesse contexto, a importância de se referir a esse profissional como
“professor tutor”, ou seja, de não se esquecer de que ele atua como professor no
processo educacional. Isso é importante para que seus direitos garantidos
legalmente, como férias, teto salarial, entre outros.
E, por fim, Kenski (2003) alerta que não basta um investimento na formação
do professor e a aquisição de equipamentos com alto grau tecnológico se não houver
uma reestruturação na própria organização da escola e da prática docente, bem
como a compreensão do novo papel do aluno. Em ambos os papéis, de professor
especialista e de professor tutor, “professorar” online é um desafio. Demo (2003)
observa que o “mundo virtual não substitui o papel do professor” e é preciso tempo
42
e preparação para encarar esse novo desafio da sociedade atual. É necessário,
ainda, ter cuidado para não minimizar o importante papel do professor do presencial.
São experiências diferentes que, por conseqüência, têm demandas diferentes do
profissional. Professorar à distância é uma prática nova para muitos, e requer
estudos. Incorporar o professor tutor nesse processo tem sido a alternativa mais
freqüente, já que possibilita o suporte personalizado aos alunos.
Analisemos, agora, aspectos relacionados ao papel do aluno.
2.5 O aluno na EaD
Depois de tecer considerações acerca do papel do professor, pergunto: quem
são os alunos da EaD online? São os mesmos das aulas tradicionais? Segundo Porter
(1997), a procura maior parte dos adultos, na busca de suprir, por exemplo,
necessidades sentidas no trabalho. Além disso, acrescenta que “as potencialidades
interativas de algumas tecnologias da aprendizagem a distância, especialmente
aquelas disponíveis através da Internet, podem conseqüentemente ser mais atrativas
aos adultos” (p.10), uma vez que a EaD tende a propiciar que o aluno concilie o
trabalho e o estudo, devido à usual flexibilidade de tempo e de espaço.
Belloni (2001), Litwin (2001a), Moran (2002) e Torres (2004) também julgam
que essa modalidade é adequada para a educação dessa população. Esses alunos
tendem a ter uma idade mais avançada, e costumam apresentar uma postura séria
com relação aos cursos. Palloff e Pratt (2004), no entanto, apontam que esse perfil
está mudando, e que os cursos à distância têm se expandido para diferentes faixas
etárias.
Por ter também um comportamento usualmente participativo, Nipper (apud
Palloff e Pratt, 2002) chama esse aluno de “aprendiz barulhento”, por ele ser ativo e
criativo no processo de aprendizagem. Esse processo, por sua vez, costuma ser
colaborativo, o que requer interações constantes entre aluno-professor e aluno-
aluno. Essa observação é importante para Palloff e Pratt (2002), visto que o
43
insucesso de alguns programas de EaD se justifica pelo fato de não conseguirem
propiciar um ambiente de aprendizagem colaborativa.
Esses autores observaram características comuns aos alunos que obtiveram
bons resultados nos programas à distância: são alunos que buscam novas formas de
aprender voluntariamente; são pessoas motivadas, que têm altas expectativas, e que
têm um comportamento disciplinado, o que é essencial, visto que a cobrança da
participação ocorre de forma significativamente menor e diferente da educação
tradicional, que se utiliza, entre outros meios, da lista de presença (PALLOFF; PRATT,
2002, 2004).
São adaptações necessárias a uma nova realidade.
Para sobreviver na sociedade do século XXI, o indivíduo precisa desenvolver
uma série de capacidades novas: autogestão (capacidade de organizar seu
próprio trabalho), resolução de problemas, adaptabilidade e flexibilidade
diante das novas tarefas, assumir responsabilidades e aprender por si
próprio e constantemente trabalhar em grupo de modo cooperativo e pouco
hierarquizado (BELLONI, 2001, p.5).
Palloff e Pratt (2002) discutem os papéis dos alunos em cursos à distância, e
notam que eles se entrelaçam e interdependem. Assim, o aluno deve se preocupar
com a produção do seu conhecimento; agir colaborativamente, desencadeando a
aprendizagem colaborativa; e procurar estar atento ao gerenciamento do processo
de aprendizagem, administrando seu tempo, desenvolvendo as atividades propostas,
etc. Espera-se que ele aprenda a aprender e que adquira capacidade de pesquisar e
pensar criticamente.
Assim como o professor sofre mudanças em seu papel, também o aluno tem
que repensar sua atuação nos processos de ensino e aprendizagem, visto que é
preciso saber gerenciar seu tempo. Esse costuma ser o maior desafio para o aluno,
pois tradicionalmente ele é definido e fixo. Ao flexibilizar o tempo, a EaD requer um
auto-controle, uma disciplina do aluno, já que flexibilidade não implica em redução
de tempo para a dedicação às atividades propostas. Segundo Palloff e Pratt (2004,
p.27, grifo dos autores),
Os alunos virtuais desejam dedicar significativa quantidade de seu tempo
semanal aos estudos e não vêem o curso como uma maneira mais leve e
fácil de obter créditos ou um diploma. Ao fazê-lo, comprometem-se consigo
próprios e com o grupo de que fazem parte, de acordo com as diretrizes
estabelecidas pelo professor ou pela instituição. Eles sabem que se não o
fizerem, estarão [...] minimizando suas próprias chances de sucesso [...].
44
Esses autores ainda afirmam que os alunos são, ou podem vir a ser, pessoas
que pensam criticamente e estão conscientes de que o professor atua como
facilitador do processo de aprendizagem online, sendo eles mesmos responsáveis
pelo processo. A capacidade de refletir é, ainda, apontada como uma das qualidades
fundamentais para o aluno virtual de sucesso, sendo que “na sala de aula online, o
compartilhamento das reflexões não só transforma o aluno individualmente, mas
também o grupo e o professor” (PALLOFF; PRATT, 2004, p.28).
Nesse sentido, estruturar um curso online exige reflexão acerca de vários
aspectos, como a atuação do professor e dos alunos, a elaboração das atividades, os
recursos utilizados, entre outros. Esses são definidos a partir de uma proposta
pedagógica, norteada por concepções de quem a planeja. No próximo capítulo
apresento as concepções que moldaram o design e a análise do curso Geometria
com Geometricks.
45
CAPÍTULO III
A CONCEPÇÃO DO CURSO
Talvez seja este o aprendizado mais
difícil: manter o movimento
permanente, a renovação constante, a
vida vivida como caminho e mudança
Maria Helena Kuhner
Este capítulo apresenta concepções teóricas que permearam a proposta
pedagógica do curso Geometria com Geometricks, desenvolvido totalmente a
distância, norteando sua elaboração, desenvolvimento e análise. O objetivo do curso
era familiarizar professores de Matemática da rede de escolas da Fundação Bradesco
com o software de geometria dinâmica Geometricks e contava com momentos
assíncronos, para o desenvolvimento de atividades
12
, envio de e-mails com dúvidas,
entre outras possibilidades e também com momentos síncronos, por chat e
videoconferência
13
, para discussão e troca de idéias.
12
Nesse trabalho, uso “atividade” para designar ações que foram propostas no decorrer do curso,
como leitura de textos, envio de material por e-mail, etc. e também para me referir às tarefas
matemáticas desenvolvidas pelos alunos-professores, que serão apresentadas com maiores detalhes
no capítulo VI.
13
A chamada comunicação assíncrona refere-se a uma interação em diferentes momentos. As
pessoas não estão envolvidas num diálogo no mesmo instante de tempo. Mensagens são enviadas e
recebidas na hora em que melhor for conveniente para aqueles que se comunicam. Assim, cada um
pode acessar, a seu tempo, as informações que são transmitidas.
Já na comunicação síncrona as pessoas interagem no mesmo instante de tempo. O telefone, chat,
Messenger e Videoconferência são exemplos de recursos que possibilitam esse tipo de comunicação.
No âmbito da Educação, segundo Kenski (2003), o desafio deste tipo de ambiente é dar aos
participantes a sensação de “turma reunida”.
46
Parto da concepção de que humanos e mídias
14
interagem de modo a
produzir
15
conhecimento de forma coletiva, constituindo uma unidade: seres-
humanos-com-mídias. Para tanto, diferentes modelos pedagógicos podem ser
propostos, diferenciando-se pela forma de comunicação, e acredito, ainda, que a
aprendizagem acontece a partir do diálogo e da interação. Quando esse processo se
desenvolve a distância, reunindo pessoas de interesses comuns, pode culminar em
uma comunidade virtual de aprendizagem. Aspectos relevantes dessas comunidades
podem ser explorados em cursos de formação (continuada), e esta, por sua vez,
pode ser um ambiente propício para a aprendizagem colaborativa.
3.1 Visão de conhecimento, seres humanos, mídias e rede
Para mim, pensar a produção do conhecimento implica considerar a presença
dos atores humanos e não humanos nesse processo. Há uma unidade homem-coisa
que constitui um coletivo pensante. “Fora da coletividade, desprovido de tecnologias
intelectuais, ‘eu’ não pensaria” (LÉVY, 1997, p. 135). Pensamos inseridos em um
coletivo.
Não há paradoxo em pensar que um grupo, uma instituição, uma rede social
ou uma cultura, em seu conjunto, “pensem” ou conheçam. O pensamento já
é sempre a realização de um coletivo. [...] Pensar é um devir coletivo no
qual misturam-se homens e coisas. Pois os artefatos têm o seu papel nos
coletivos pensantes (LÉVY, 1997, p.169, grifo do autor).
Borba (2001) e Borba e Villarreal (2005) também consideram que, enquanto
concepção de conhecimento, não há dicotomia entre humanos e tecnologia. Isso
porque, a todo o momento, a mídia molda a maneira como pensamos e, em
contrapartida, modificamos a mídia, o que os autores denominam de “moldagem
recíproca”. Dessa forma, a mídia não é considerada externa ao ser humano, mas
14
Assim como Borba e Villarreal (2005), uso “mídia” como sinônimo de “tecnologia” por também
acreditar que a tecnologia é usada para comunicar e, dessa forma, a mídia pode ser vista como uma
tecnologia. O uso do termo mídia visa enfatizar aspectos comunicacionais das tecnologias da
inteligência.
15
Nesta pesquisa, que tem como objeto matemático principal a Geometria, produção matemática é
entendida como define Santos (2006, p.18): “processo de exploração de conceitos matemáticos
(geométricos) e verificação de propriedades, validação e criação de conjecturas, visando a generalizá-
las. Um processo contínuo de organização e reorganização do pensamento matemático”. É um
conceito intimamente relacionado ao processo de aprendizagem matemática.
47
constitui, com ele, uma só unidade indissociável, seres-humanos-com-mídias, na
produção do conhecimento, visto aqui como o resultado da interação constante entre
atores humanos e não humanos, na qual as mídias reorganizam o pensamento
16
.
O estudo das tecnologias da inteligência possibilita ressaltar a relação
recíproca entre sujeitos e objetos. Estes últimos são produtos de sujeitos, estão
saturados de humanidade. Por outro lado, sem eles os seres humanos não
pensariam. Dessa forma, não há uma dicotomia entre homens e mídias, do ponto de
vista cognitivo, são ambos atores do processo de produção de conhecimento e
situam-se numa fronteira:
Entre o curso do mundo tal como decorre no grande coletivo cosmopolita
dos homens, dos seres vivos e das coisas, e os processos cognitivos, não
existe nenhuma diferença de natureza, talvez apenas uma fronteira
imperceptível e flutuante (LÉVY, 1997, p.184).
Nesse contexto, Lévy (1997) discorre sobre as tecnologias da inteligência:
oralidade, escrita e informática. Muitos anos atrás, a oralidade era usada para
produzir conhecimento e estender nossa memória. “A oralidade primária remete ao
papel da palavra antes que uma sociedade tenha adotado a escrita” (p.77). Na
sociedade sem escrita, a forma canônica do tempo é o círculo. “Nessas culturas,
qualquer proposição que não seja periodicamente retomada e repetida em voz alta
está condenada a desaparecer” (p.83).
Historicamente, a presença da escrita modificou a forma de falar, a qual Lévy
(1997, p.77) denomina de oralidade secundária, “relacionada a um estatuto da
palavra que é complementar ao da escrita”. A escrita, como tecnologia da
inteligência, tem uma forma linear. Um livro, por exemplo, tem uma seqüência linear
explícita pela própria enumeração das páginas. Com a escrita temos um modo de
conhecimento e estilos de temporalidade que predominam em nossas experiências.
Com a possibilidade de registro, especialmente livros, nossa memória passou a ser
qualitativamente diferente, já que é possível recuperar informações de longo
período, sem que haja necessidade de repetição constante, como na oralidade. Um
registro pode ficar milhares de anos arquivado, até que alguém o retome.
A informática tem possibilitado uma nova extensão da memória,
qualitativamente diferente das anteriores, que alterou, de modo significativo, a
16
Essa idéia de reorganização está embasada na teoria de Tikhomirov (1981).
48
linearidade do raciocínio, com o uso de simulações, experimentações, e uma nova
linguagem, que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea
(LÉVY, 1997; BORBA; VILLARREAL, 2005).
Dessa forma, Kenski (2002, p.124) observa que “o computador – e todas as
suas possibilidades interativas de comunicação e troca de informações – amplia a
qualidade e a quantidade de consumo e produção de informação”. Há uma nova
lógica que influencia os modos de comunicar e interagir com as informações, na
produção de conhecimento e nas formas como são usadas as memórias.
Com a informática pensamos qualitativamente diferente do que fazemos com
as demais tecnologias da inteligência. Para Borba e Villarreal (2005), a oralidade
agora é terciária, já que, como aconteceu com a inserção da escrita, o estatuto da
palavra se altera. Sugerem ainda que a escrita antes da informática era, então, uma
escrita primária e que agora, com a informática, temos uma escrita secundária.
Nessa perspectiva, uma mídia como a informática não substitui as outras, pelo
contrário, as transforma. Da mesma forma como a escrita não eliminou a oralidade,
mas a transformou, a informática não elimina a oralidade nem a escrita, mas fê-las
assumir novos aspectos.
A leitura informática não acontece da mesma forma que a de um texto
clássico, “ele geralmente é explorado de forma interativa [...]. O modelo informático
é essencialmente plástico, dinâmico, dotado de uma certa autonomia de ação e
reação” (LÉVY, 1997, p. 121).
A tecnologia informática tem ampliado, ainda, o conceito de rede/hipertexto.
Nos últimos anos, o conceito de rede tem surgido em discussões entre profissionais
de diferentes áreas. Para Lévy (1997, p.25), “o hipertexto é talvez uma metáfora
válida para todas as esferas da realidade em que significações estejam em jogo”.
Não centrando apenas em conexões de textos escritos, mas em um espaço interativo
e reticular de manipulação, de associação e de leitura.
Tecnicamente, um hipertexto é um conjunto de nós ligados por conexões.
Os nós podem ser palavras, páginas, imagens, gráficos ou parte de gráficos,
seqüências sonoras, documentos complexos que podem eles mesmos ser
hipertextos. Os itens de informação não são ligados linearmente, como em
uma corda com nós, mas cada um deles, ou a maioria, estende suas
conexões em estrela, de modo reticular. Navegar em um hipertexto significa
portanto desenhar um percurso em uma rede que pode ser tão complicada
quanto possível. Porque cada nó pode, por sua vez, conter uma rede inteira
(LÉVY, 1997, p.33).
49
Para Machado (1995, p.138), em uma rede “as relações entretecem-se,
articulam-se em teias, em redes, construídas social e individualmente, e em
permanente estado de atualização”. E Borba (2000, p.51) afirma que as redes
facilitam “o acesso de qualquer pessoa a um conhecimento produzido por outra em
qualquer local” que essa se encontre, e que a Internet tem facilitado a relação e a
criação de novas redes, pois permite a comunicação, em tempo real, entre
comunidades situadas a grandes distâncias geográficas, o que antes era difícil
acontecer.
Mas qualquer que seja o meio de comunicação, as interações acontecem em
diferentes direções, como ressalta Lévy (1997). Não necessariamente todas as
pessoas que a constituem participam de todas as trocas de informações ocorridas.
Pode haver comunicação entre pequenos grupos ou entre uma pessoa e os demais,
isoladamente, por exemplo. Quando se trata de uma atividade educacional, o modelo
pedagógico é um dos fatores que condicionam a forma de interagir e dialogar, como
descrevo a seguir.
3.2 Modelos pedagógicos em cursos a distância
Em termos de modelo pedagógico, pelo menos duas tendências se destacam
nos cursos de Educação a distância (EaD) online, aponta Azevedo (2006a, p.34).
“Uma tem por fundamento a idéia de que a transmissão de informação é a base da
educação. Segundo esse modelo, o aluno aprende aquilo que lhe é ensinado a partir
do foco de transmissão”. No caso de dificuldade em assimilar as informações, esse
aluno tem um suporte montado ao qual pode recorrer. Essa estratégia pedagógica
tem sido usada em muitas experiências de EaD, com tecnologias de “um-para-
muitos”, como TV, rádio e material impresso, ou de “um-para-um”, como o telefone
e os correios.
Uma outra tendência “parte do pressuposto de que a interação e o diálogo
de muitos-para-muitos (o ‘multílogo’) constituem a essência do processo educativo”
(AZEVEDO, 2006a, p.35). Nesse modelo, aprender é produzir conhecimento
50
[...] a partir do questionamento, problematização, discussão, apresentação
de dúvidas e troca de informações no contexto de uma comunidade de
aprendizagem colaborativa. E ensinar é propor, orientar e animar a
discussão dentro da comunidade. Aprender é envolver-se na troca coletiva
comunitária, contribuindo e recebendo, refletindo e pondo em
funcionamento uma inteligência coletiva. E para aplicar este modelo num
curso online é fundamental dispor de recursos de comunicação de muitos-
para-muitos que permitem e facilitem a interação (AZEVEDO, 2006a, p.35).
Para Azevedo (2006b), a comunicação um-para-um não deve ser abolida,
mas tem caráter secundário, complementando o multílogo. Grande parte das
ferramentas dos cursos de EaD online, no entanto, privilegia um modelo conteudista,
de aprendizagem individualizada e pouco tem sido desenvolvido no sentido de
ampliar para um modelo de aprendizagem colaborativa.
Nesse mesmo sentido, Lévy (1999) denomina esses dispositivos
comunicacionais de “um-um”, “um-todos” e “todos-todos”
17
. Ele ainda alerta que é
um erro pensar que os novos dispositivos de comunicação substituem os que os
precedem. “O cinema não substituiu o teatro, deslocou-o. As pessoas continuam
falando-se após a escrita, mas de outra forma. [...] As pessoas que mais se
comunicam via telefone são também aquelas que mais encontram outras pessoas”
(p.129).
Moran (2002, p.2) acrescenta que “as tecnologias interativas, sobretudo,
vêm evidenciando, na educação a distância, o que deveria ser o cerne de qualquer
processo de educação: a interação e a interlocução entre todos os que estão
envolvidos no processo”. E que alguns cursos podem ser desenvolvidos
individualmente, com acompanhamento de um tutor e, em outros, é importante
compartilhar vivências, experiências e idéias.
Outros autores também chamam a atenção para a importância da interação
na EaD, como Belisário (2003), Perosa e Santos (2003), e Silva (2000, 2003a). Silva
(2003a, p.56) observa que, para que um curso seja de fato interativo, é necessário
que satisfaça pelo menos três aspectos fundamentais:
- participação colaborativa: participar não é apenas responder ‘sim’ ou ‘não’,
prestar contas ou escolher uma opção dada, significa intervenção na
mensagem como co-criação da emissão e da recepção;
17
Nesse mesmo sentido, outros autores fazem classificações semelhantes, como Peters (2002), que
classifica esses paradigmas da www (eu-sozinho), do e-mail (um-a-um), da BBS (um-a-muitos) e da
teleconferência (muitos-a-muitos).
51
- bidirecionalidade e dialógica: a comunicação é produção conjunta da
emissão e da recepção, os dois pólos codificam e decodificam;
- conexões em teias abertas: a comunicação supõe múltiplas redes
articulatórias de conexões e liberdade de trocas, associações e significações.
E para colocar em prática um curso com uma dinâmica interativa são
necessários investimentos que, para Silva (2003a, p.55), vão além do financeiro:
- oferecer múltiplas informações (em imagens, sons, textos, etc.) sabendo
que as tecnologias digitais utilizadas de modo interativo potencializam
consideravelmente ações que resultam em conhecimento;
- [...] oferecer múltiplos percursos para conexões e expressões com que os
alunos possam contar no ato de manipular as informações e percorrer
percursos arquitetados;
- estimular os aprendizes a contribuir com novas informações e a criar e
oferecer mais e melhores percursos, participando como co-autores do
processo.
Isto posto, e considerando a visão de conhecimento previamente
apresentada, minha concepção de modelo pedagógico pressupõe que a interação e o
diálogo são aspectos fundamentais no processo de produção de conhecimento
(matemático).
3.3 Diálogo, interação e aprendizagem
Santos e Rezende (2001, p.3) pontuam que a qualidade da EaD “está
diretamente relacionada à interação e à participação entre o grupo durante o
processo de aprendizagem”. Nessa direção, Henri (apud TORRES, 2004) acrescenta
que a interação é um dos fatores determinantes da aprendizagem, sendo uma
característica importante da comunicação, modificando a natureza da aprendizagem
e também a sua qualidade.
No âmbito da aprendizagem matemática, a interação também é condição
necessária no seu processo. Trocar idéias, compartilhar soluções de problemas,
expor o raciocínio é parte do “fazer” matemática. E esse processo a distância, com
tecnologias informáticas, especialmente a Internet, conduziu a EaD para uma nova
fase, por permitir interação virtual entre pessoas envolvidas em atividades diversas
(PONTE; OLIVEIRA, 2001). Modelos que focalizam a individualidade, das mídias
unidirecionais como TV e rádio, abrem espaço para aqueles de envolvimento de
várias pessoas e, segundo Moran (2002, p.3), “caminhamos para mídias mais
52
interativas, [nos quais até] mesmo os meios de comunicação tradicionais buscam
novas formas de interação”. Tomo a concepção de interação de Gonzalez (2005,
p.19), que a define como
Fenômeno elementar das relações humanas, dentre os quais estão as
relações educacionais. Depende da cultura do grupo. A interação em EaD
não ocorre apenas entre aluno e conteúdo, mas entre alunos, entre aluno e
professor, entre alunos e o professor, entre alunos e a instituição de ensino
e ainda entre todos os elementos que compõem o universo do indivíduo
inscrito como aluno.
Essa possibilidade tem sido pouco utilizada. Embora a troca interativa
promova a aprendizagem significativa, fruto da participação ativa do aluno na
produção do conhecimento, o que se percebe é que diálogo, comunicação em grupo
e interação são valorizados por correntes educativas contemporâneas, mas pouco
incorporados aos processos educacionais (TORRES, 2004).
Como explicitam Ferreira e Miorim (2003, p.1), aprender é
“alterar/ampliar/rever/avançar em relação aos próprios saberes, à própria forma de
aprender e à prática pedagógica”. E a qualidade desse processo é influenciada pela
qualidade da interação, do fazer coletivo e compartilhado. Para essas autoras, o
diálogo não se constitui do mero ato das pessoas se comunicarem entre si, mas da
profundidade e riqueza de tal ato.
O diálogo deve ir além de uma simples conversa ou contato pessoal,
complementa Bairral (2004). Dessa forma, para que o diálogo se efetive, propiciando
troca e produção de conhecimento, é preciso incentivar que os envolvidos no
processo expressem sua opinião, exponham suas experiências para serem
compartilhadas e externalizem suas inquietudes, dividindo sentimentos de tristeza,
dúvida, raiva, alegria. Simultaneamente, é preciso valorizar essa participação,
ouvindo com respeito tudo que é socializado, em um espaço de confiança e suporte
mútuo (FERREIRA; MIORIM, 2003).
Para Coll e Onrubia (1998, p.80), “a linguagem – ou melhor, a atividade
discursiva – representa um dos instrumentos mais poderosos de ajuda para a
produção conjunta”, uma vez que possibilita
[...] que as pessoas possam tornar públicas, comparar, negociar e,
finalmente, modificar as suas representações da realidade no transcurso das
relações que mantém com outras pessoas, o que transforma a linguagem
em ferramenta essencial para a construção do conhecimento (p.79).
53
No livro “Diálogo e aprendizagem em Educação Matemática”, Alrø e
Skovsmose (2006, p.12) postulam que o diálogo pode se caracterizar pela
“apresentação de argumentos e questionamentos, ou ainda a um processo de
obtenção de conhecimento”. Sendo assim, definem diálogo como uma conversação,
mas não uma conversação como outra qualquer, e sim aquela com certas
qualidades. Com esse pressuposto, asseguram que dialogar é um modo de interação
fundamental para o processo de aprendizagem, buscando produzir novos significados
em um processo colaborativo.
Sugerimos o termo ‘aprendizagem pela conversação’ para descrever um
processo de diálogo no qual os participantes examinam e desenvolvem suas
concepções e pressupostos sobre um assunto. Assim, ‘conversação’ nesse
sentido não é um tipo de conversa, mas uma investigação verbalizada
(ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p.114).
Nessa direção, exploram aspectos teóricos e experiências de sala de aula na
tentativa de comprovar a hipótese de que “as qualidades da comunicação na sala de
aula influenciam as qualidades da aprendizagem de Matemática” (p.11). Para eles, as
relações entre as pessoas são cruciais na facilitação da aprendizagem, visto que
aprender é um ato pessoal, mas toma forma em um contexto de relações
interpessoais, e o diálogo, como modo de interação, possibilita que a reflexão e a
ação enriqueçam um ao outro. Ademais, observam que o contexto em que se dá a
comunicação tem papel de destaque no processo de aprendizagem matemática.
Tomo a concepção de que esta relação dialógica é fundamental também no processo
de aprendizagem matemática em cursos desenvolvidos à distância.
Esses autores ainda apresentam um modelo essencial ao desenvolvimento de
certas qualidades de comunicação e de aprendizagem de Matemática, onde construir
novas perspectivas é parte integrante do diálogo. Assim,
[...] se pensarmos o diálogo como um processo de descoberta e
aprendizagem, então passa a ser importante ver as coisas de uma nova
forma. Perspectivas construídas dialogicamente não precisam ser uma
manifestação de nenhuma perspectiva preexistente [...]. E o professor pode
enxergar coisas novas também. Nesse sentido, vemos o diálogo como um
processo colaborativo de construção de perspectivas (p.127).
Nesse modelo algumas características são determinantes, que são ações nas
quais os autores descrevem em termos de atos de comunicação. Estes podem não
surgir em uma ordem linear, não precisam estar sempre presentes, e são
apresentados em separado para maior detalhamento, mas se constituem de forma
54
unificada: estabelecer contato, perceber, reconhecer, posicionar-se, pensar alto,
reformular, desafiar e avaliar.
Estabelecer contato está associado à idéia de se sintonizar ao outro, é estar
presente e prestar atenção ao outro. Para tanto, é importante o desenvolvimento de
uma escuta ativa, dessa forma denominada por supor que o ouvinte tem
responsabilidade definida, não apenas absorvendo passivamente as palavras
emitidas, mas tentando entender os fatos e os sentimentos envolvidos, incentivando
quem fala a externar seus problemas. É escutar, questionar e dar apoio enquanto se
tenta descobrir o que passa com o outro, numa relação de respeito mútuo,
responsabilidade e confiança
18
.
Conhecendo o outro é possível procurar perceber sua perspectiva. Perceber é
descobrir alguma coisa da qual nada se conhecia, ou não se tinha consciência
previamente; é examinar possibilidades e experimentar coisas, explorando questões
do tipo o-que-acontece-se. E “quando o aluno torna-se apto a expressar-se em sua
própria perspectiva, então ela pode ser reconhecida em termos matemáticos, não
somente pelo professor, mas também pelo aluno” (ALR
Ø
; SKOVSMOSE, 2006, p.70).
Nesse cenário, há a possibilidade de surgirem as questões-por-quê, que conduzem à
justificação
19
, e as perspectivas dos alunos provavelmente tornar-se-ão importantes
instrumentos de aprendizagem. O processo pode, ainda, se desenvolver
fluentemente no sentido inverso, no qual os alunos procuram reconhecer a
perspectiva do professor.
A fim de clarear uma perspectiva, é importante explorar várias linhas de
argumentação, que podem conduzir-se à construção de uma perspectiva comum, o
que pressupõe posicionar-se. Nesse sentido, posicionar-se significa levantar idéias e
pontos de vistas, que não são verdades absolutas, mas algo que pode ser
investigado. “Contudo, posicionar-se não significa sustentar uma posição porque ela
é pessoal e tem que ser defendida a qualquer custo. Posicionar-se significa
argumentar em favor de uma idéia como se ela pudesse ser, por um instante,
‘minha’ idéia ou ‘nossa’ idéia” (ALR
Ø
; SKOVSMOSE, 2006, p.113, grifo do autores).
18
Respeito mútuo, responsabilidade e confiança são considerados aspectos emocionais do modelo
proposto por Alrø e Skovsmose (2006, p.106), e estes aspectos “constituem parte essencial do
processo de aprendizagem que propicia certas qualidades à aprendizagem”.
19
Alrø e Skovsmose (2006) esclarecem que, em Matemática, a justificação assume uma forma
peculiar, a da demonstração, mas existem muitas outras formas de justificação possíveis.
55
Dessa forma, é possível trocar idéias defendendo diferentes posições.
Pensando alto, muitas perspectivas eventualmente tornar-se-ão conhecidas,
ganhando visibilidade durante a comunicação. Nesse processo, há a possibilidade do
surgimento de algumas questões hipotéticas, estimulando a investigação e esta, por
sua vez, pode acontecer com a informática que, mais do que uma ferramenta,
provavelmente permitirá reestruturar todo o processo de aprendizagem. O
computador propicia uma nova forma de pensar alto. “Os procedimentos se tornam
tangíveis e os participantes abusam de apontar a tela durante a conversação. Novas
formas de pensar alto favorecem novas formas de aprendizagem e de coletividade”
(ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p.114).
Nesse contexto, há espaço para o professor apoiar o aluno e, com ele,
reformular suas perspectivas. Reformular é repetir o que já foi dito com palavras
diferentes, ou com diferente tom de voz. É elemento de um processo de escuta
consciente, em que há espaço para questões de conferência. Ao reformular, é
possível levar as coisas para uma outra direção, questionando e desafiando. O
desafio pode ser dirigido do professor para aluno, como também do aluno para o
professor, ou de aluno para aluno. Ele pode nascer de um posicionamento novo ou
por meio de um reexame de perspectivas já consolidadas e “deve estar à altura das
habilidades e experiências dos alunos no assunto” (ALRØ; SKOVSMOSE, 2006,
p.103).
Por fim, a avaliação pode assumir diferentes formas, como correção de erros,
crítica negativa ou construtiva, conselho, apoio incondicional, elogio etc., e pode ser
feita pelo próprio aluno, ou pelo professor. Nesse processo, aspectos emocionais e
cognitivos convivem lado a lado.
Alguns obstáculos, no entanto, podem dificultar o desenvolvimento desse
modelo. Em práticas tradicionais, os alunos costumam esperar, por exemplo, que o
professor apresente o conteúdo que quer que eles aprendam e, ao final, o professor
está habituado a apresentar a resposta certa ou o jeito certo de fazer. Alrø e
Skovsmose (2006) alertam para a necessidade de o professor estar atento para
evitar práticas como essas, que inviabilizam a efetivação do modelo proposto.
Além disso, o professor precisa estar atento para que o diálogo não seja
influenciado pelos papéis (e pelo poder a eles associados) das pessoas envolvidas no
56
processo. Não é preciso negar a diversidade e as diferenças, mas aprender a lidar
com elas. E promover um diálogo em que participam professor e aluno implica
superá-las.
E para que o diálogo e a interação se efetivem, é preciso operacionalizar
propostas a partir de recursos tecnológicos disponíveis. A Internet, por exemplo, tem
trazido para a EaD uma nova forma de pensar a produção de conhecimento coletiva
e virtual.
3.4 Comunidades virtuais de aprendizagem
O uso da Internet ampliou a noção de comunidade trazida da nossa
concepção presencial, que estava muito relacionada a um “lugar” físico, na qual
temos, por exemplo, a comunidade do bairro, da igreja, da escola, entre outras. Com
a Internet o objetivo de uma comunidade é o mesmo: reunir pessoas que têm
interesses comuns, mas agora é possível que essas pessoas estejam
geograficamente distantes (RHEINGOLD, 1996). Dessa forma, quando falamos de
comunidades virtuais, não nos prendemos mais a um lugar físico. Como afirma
Kenski (2003, p.104), “conectadas, as pessoas acessam múltiplos espaços virtuais.
Podem estabelecer elos – redes interligadas de saberes em permanente movimento
– por onde circulam amplamente as informações. Criar comunidades”.
O termo virtual, deriva do latim, com significado de “força”, “potência”. Do
ponto de vista filosófico, é virtual aquilo que existe em potência e não em ato,
postula Lévy (1999, 2005). Dessa forma, “o virtual tende a atualizar-se, sem ter
passado no entanto à concretização efetiva ou formal” (LÉVY, 2005, p.15). Como
exemplo, o autor ilustra que a árvore está virtualmente presente na semente.
Assim sendo, o que se contrapõe ao virtual não é o real, mas o atual, que são
duas formas diferentes de realidade. Muitas vezes o termo virtual é usado
erroneamente para dar sentido àquilo que não é real, sendo que, ao contrário, o
virtual é real (LÉVY, 1999). Ponte e Oliveira (2001, p.66) complementam que as
57
comunidades virtuais também são reais, “na medida que existem, de fato, trocas
entre os diversos intervenientes”.
Nessa abordagem, se pensarmos em redes digitais, podemos dizer que nelas
as informações se encontram “fisicamente situadas em algum lugar”, elas têm um
“endereço”. Essas informações estão “virtualmente presentes” em cada nó da rede
que a conecta. Sob um outro aspecto, podemos dizer que, com a era digital, não é
mais a pessoa, interessada na informação, que a busca, e sim a informação que se
desloca pela tela do computador, enquanto a pessoa se mantém parada em um
mesmo lugar (LÉVY, 1999; KENSKI, 2003). Da mesma forma Kenski (2003) observa
que inverteu-se o fluxo educacional: ao invés do aluno ir à escola, estamos vendo a
escola ir ao encontro do aluno, sob diferentes formas e oportunidades.
O maior facilitador deste processo atualmente é a Internet. No âmbito da
escola, Kenski (2003, p.71) comenta que a “Internet potencializa as possibilidades de
acesso às informações e a comunicação da escola como um todo, podendo integrar-
se ao universo digital para concretizar diferentes objetivos educacionais”. No
entanto, a autora faz a ressalva de que, para que os recursos da Internet possam ser
aproveitados, é necessário infra-estrutura adequada.
A Internet oportunizou, ainda, a constituição de um ciberespaço, o qual
Lévy (1999, p.17) denomina de espaço de comunicação aberto pela interconexão
mundial de computadores:
O ciberespaço é o novo meio de comunicação que surge na interconexão
mundial dos computadores. O termo especifica não apenas a infraestrutura
material de comunicação digital, mas também o universo oceânico de
informações que ela abriga, assim como os seres humanos que navegam e
alimentam esse universo.
Segundo esse autor, estamos vivendo um novo espaço de comunicação, e
está em nossas mãos a possibilidade de explorar suas potencialidades positivas nos
planos econômico, educacional, político, cultural e humano.
Esse ciberespaço enriquece um estilo de relacionamento que quase
independe dos lugares geográficos, uma telecomunicação que Lévy (1999) denomina
de “telepresença”. As mídias, enquanto veículos de mensagens (como o meio
impresso, o rádio, a televisão, o cinema, a Internet), condicionam a comunicação. O
correio (a escrita em geral) e o telefone nos trouxeram a tradição da comunicação
recíproca e a distância. Porém, particularidades do ciberespaço permitem que as
58
pessoas “se ordenem, cooperem, alimentem e consultem uma memória comum, e
isto quase em tempo real, apesar da distribuição geográfica e da diferença de
horários” (LÉVY, 1999, p.49). Dessa forma, as pessoas interagem cada vez mais,
independentes de lugares fixos e/ou determinados.
No âmbito das mídias, Lévy (1999, p.81) aponta o telefone como modelo
interativo incontestável, por permitir o diálogo, a reciprocidade e a comunicação
efetiva, “é a primeira mídia de telepresença” e
[...] numerosos projetos de pesquisa e de desenvolvimento tentam estender
e generalizar a telepresença a outras dimensões corporais: telemanipulação,
imagens tridimensionais dos corpos, realidade virtual, ambientes de
realidade ampliada para videoconferências sem impressão de restrição etc.
Entendo essa telepresença como explicita Medeiros (2005), que a define
como a presença em tempo real, ou quase real, mediada por tecnologia, como
computador e vídeo. Etimologicamente, “tele” significa “longe”. Assim,
teleconferência, por exemplo, é uma conferência que acontece à distância. E, da
mesma forma, na “telepresença” as pessoas estão fisicamente distantes, mas
presentes.
A possibilidade de telepresença propiciada pelo ciberespaço é uma
alternativa, sem pretensão de substituir, às mídias usuais, que têm tradição de
comunicação unidirecional, na qual os receptores estão distantes uns dos outros. O
ciberespaço incita a troca recíproca e comunitária (LÉVY, 1999).
E, numa comunidade virtual, levando-se em consideração as afinidades,
pessoas de diferentes faixas etárias, gênero e formação se unem e passam a
pertencer a um grupo social, que interage virtualmente. E, como em toda sociedade,
estabelecem-se regras de convivência, limites, etc. (KENSKI, 2003). Lévy (1999,
p.128) ainda salienta que, “para aqueles que não a praticaram, esclarecemos que,
longe de serem frias, as relações on-line não excluem as emoções”.
Rheingold (1996, p.18) apresenta as comunidades virtuais como
“agregados sociais surgidos na Rede, quando os intervenientes de um debate levam
por diante em número e sentimento suficientes para formarem teias de relações
pessoais no ciberespaço”. Nessa mesma direção, Lévy (1999) a descreve como um
grupo de pessoas que, por meio de computadores interconectados, se correspondem
mutuamente.
59
A comunicação propiciada pela Internet permite
[...] coisas impensáveis em outras modalidades que utilizam outras
tecnologias, como, por exemplo, a formação de comunidades virtuais de
aprendizagem colaborativa, isto é, comunidades compostas por pessoas que
estão em diversas partes do mundo e que interagem todos com todos sem
que necessariamente estejam juntas ou conectadas na mesma hora e no
mesmo lugar (AZEVEDO, 2006b, p.14).
Como pode ser observado, o conceito de comunidade tem assumido novas
dimensões e, no que tange à Educação, a sua criação acontece em função da
necessidade que um conjunto de pessoas sente de discutir, aprender, trocar
informações sobre algum tema. “A comunidade é um veículo através do qual ocorre
a aprendizagem online”, explicitam Palloff e Pratt (2002, p.53). Os professores que
têm esta perspectiva, adentrando-se a um novo paradigma de Educação, estimulam
a iniciativa, a criatividade, o questionamento, o pensamento crítico, o diálogo e a
colaboração.
Isso posto, apesar da dificuldade de diferenciar precisamente, é possível
falar das “comunidades virtuais de aprendizagem” (CVA). Alguns teóricos
partiram da idéia de “rede” e, ao invés de abordar questões acerca das CVA, falam
em “redes de aprendizagem” (HARASIM et al., 2005). Elas surgem, com maior
freqüência, a partir de um curso ou disciplina. Há casos, por exemplo, em que em
um curso semi-presencial há um suporte virtual. Com o fim do curso, muitas vezes
as pessoas querem continuar mantendo contato, trocando informações, e
constituem, então, uma CVA. Nesse caso, não há compromissos institucionais. Não
há limite de duração. As pessoas mantêm-se unidas enquanto tiverem interesse em
fazê-lo. Logo, o que determina a criação de uma CVA, é a necessidade de encontrar
pessoas com objetivos comuns (PALLOFF; PRATT, 2002).
Johnson et al. (2002) e Palloff e Pratt (2002) discutem sobre a formação e o
desenvolvimento dessas comunidades de aprendizagem, abordando suas diferentes
fases. Palloff e Pratt (2002, p.56) assinalam alguns indicadores que podem ajudar a
identificar se uma comunidade virtual está se formando:
- Interação ativa, envolvendo tanto o conteúdo do curso quanto a
comunicação pessoal;
- Aprendizagem colaborativa, evidenciada pelos comentários dirigidos mais
de um estudante a outro do que de um estudante ao professor;
- Significado construído socialmente, evidenciado pelo acordo ou pelo
questionamento;
- Compartilhamento de recursos entre os alunos;
60
- Expressões de apoio e de estímulo trocadas entre os alunos, além de
vontade de avaliar criticamente o trabalho dos colegas.
E esses aspectos abrem espaço para novas discussões. Considerando a
possibilidade de “falar na forma escrita”, Santos e Borba (2006, p.3) consideram que
“o chat é uma maneira de indivíduos, geograficamente separados, se comunicarem
utilizando a fala escrita”. Há a possibilidade do discurso síncrono, e as pessoas
podem “falar ao mesmo tempo”, ou seja, várias mensagens podem ser enviadas
simultaneamente. Dessa forma, a escrita e a leitura são reorganizadas por quem está
no chat, e se transformam com a tecnologia informática, o que Borba (2004)
denomina de “multiálogo”.
Assim sendo, é possível notar que comunicação por chat, videoconferência,
correio ou telefone, por exemplo, se diferenciam sob vários aspectos, o que ilustra o
papel da mídia no processo de interação.
Em interface com a Educação Matemática, Bairral (2004) faz uma análise das
especificidades discursivas inerentes ao chat, focando o compartilhamento e a
construção do conhecimento matemático. A partir de experiências realizadas com
professores de Matemática, em cursos de curta duração na área de Geometria,
desenvolvidos a distância, com recursos síncronos e assíncronos, esse autor destaca
a possibilidade de elaboração conjunta de uma linha de pensamento, e observa que
nesse ambiente de interação há ênfase no discurso escrito e necessidade de
implicação imediata com reflexão colaborativa. Entre suas vantagens, menciona o
registro e a reprodução impressa; e a discussão com reflexão e resposta imediata.
Por outro lado, aponta aspectos negativos, como a impossibilidade de participação
de um grande número de pessoas, uma vez que isso inviabiliza acompanhar a
discussão, e de inserção de imagens compartilhadas e desenhos explicativos.
Com a videoconferência é possível explorar imagens e desenhos e, para
Bairral (2005), essa é uma alternativa que enriquece o processo de desenvolvimento
do pensamento crítico, especialmente em países de grande extensão territorial como
o Brasil, ainda que também esteja limitada a um pequeno número de participantes.
E discussões iniciadas de forma síncrona (como por chat e videoconferência)
podem ser prolongadas em outros espaços comunicativos, como o fórum. Nesse
caso, a interação em tempo diferido pode dar abertura a uma comunicação contínua,
61
facilitando o esclarecimento e a complementação de diferentes aspectos das
atividades propostas no curso. Dessa forma, acredita que “é possível aos professores
aprender quando compartilham seriamente suas experiências profissionais e refletem
criticamente sobre elas” (BAIRRAL, 2005, p.50). Assim sendo, não é a quantidade de
intervenções que implica a produção de conhecimento, mas a disponibilidade e
abertura para se aprofundar em uma discussão proposta.
Ao propor um curso de formação continuada, é fundamental considerar
essas questões, e a forma como se entende esse processo de formação condiciona
sua proposta pedagógica.
3.5 Formação de professores
Considero a formação um movimento processual. Como observa Guérios
(2005), os movimentos de formação formal são pontuais, enquanto sua reação é
não-pontual, pois os momentos de formação formal fertilizam a prática do professor,
impulsionando-os a novos fazeres.
É como se a cada ação pontual (imediata) correspondesse uma reação não
pontual (não apenas imediata), cujos efeitos se fazem sentir ao longo da
caminhada profissional, entrelaçando-se a reflexos de tantas outras reações
provocadas por tantos outros momentos formais que, por sua vez, vão
adquirindo sentido, ao se darem refletidas experiencialmente (p.134).
Desse modo, conhecimentos produzidos em momentos formais de formação
interagem com a vida do professor, nas dimensões profissional e pessoal. No que
tange à formação continuada, Guérios (2005) sugere que esta deve produzir um
movimento interior que provoque no professor um processo de transformações. Para
essa autora, a formação continuada é um transcurso que pode ser interpretado
“como um único e contínuo caminhar, o que nos leva a conjecturar que nesse
caminhar, transformações vão ocorrendo, provocadas pela interação entre etapas
formais de formação e a experiencialidade, na dinâmica do cotidiano coletivo”
(p.136).
Pensar a formação continuada do professor deve, então, considerar aspectos
relevantes de sua experiência profissional. Bairral (2005, p.52) sugere que o
62
professor deve refletir criticamente sobre sua prática, de forma constante. Ademais,
acrescenta que “os programas formativos são instrumentos eficazes para levar o
professor a desenvolver suas capacidades de intuir, imaginar, levantar hipóteses,
refletir, analisar, organizar e selecionar, para uma tomada de decisão consciente”.
Corroborando essa idéia, Martins (2002, p.105) postula que “o conhecimento mais
importante é aquele que deriva desse processo de tomada de decisão”.
Schön (1995) enfatiza a existência de um conhecimento-na-ação. É um
conhecimento técnico, que se manifesta no saber fazer, mesmo que esse
conhecimento, fruto de experiências e reflexões anteriores, tenha se consolidado em
rotinas. Articular seu conhecimento-na-ação com o saber escolar é uma forma de
reflexão-na-ação, que exige do professor uma capacidade de individualizar, ou seja,
de dar atenção a cada aluno de forma individualizada, de esforçar-se para entender
o processo de produção de conhecimento do aluno, mesmo que estejam presentes
trinta alunos na sala de aula. Nesse processo,
[...] existe, primeiramente, um momento de surpresa: um professor
reflexivo permite-se ser surpreendido pelo que o aluno faz. Num segundo
momento, reflete sobre esse fato, ou seja, pensa sobre aquilo que o aluno
disse ou fez e, simultaneamente, procura compreender a razão por que foi
surpreendido. Depois, num terceiro momento, reformula o problema
suscitado pela situação. [...] No quarto momento, efetua uma experiência
para testar a sua nova hipótese (p.83).
Esse autor sugere, ainda, um olhar retrospectivo e uma reflexão-sobre-a-
ação, procurando analisar, após a aula, o que aconteceu, o que se observou.
Em consonância, Perez et al. (2002, p.61) explicitam que “a reflexão é vista
como um processo em que o professor analisa sua prática, compila dados, descreve
situações, elabora teorias, implementa e avalia projetos e partilha suas idéias com
colegas e alunos, estimulando discussões em grupo”.
Quando a reflexão sobre a ação acontece de modo constante, produzindo
conhecimento coletivamente, prevalece um processo colaborativo de formação
contínua (LOPES, 2005). Nesse sentido, o trabalho coletivo/colaborativo se constitui
de contexto e ferramenta poderosos para o desenvolvimento profissional dos
professores, como sugere Ferreira e Miorim (2003). E, nesse caso, o grupo tem papel
fundamental nos processos de produção de saberes e de reflexão, mas Nacarato
(2005) faz a ressalva de que a apropriação ou a internalização é um processo
63
individual, não dependendo apenas dos momentos compartilhados, mas também do
desenvolvimento profissional de cada um.
Assim como Perez et al. (2002), acredito em uma “formação continuada na
qual são elementos cruciais a reflexão sobre a prática pedagógica e a colaboração
e discussão entre os professores” (p. 61, grifo dos autores). E como afirma Bairral
(2005), ela deve proporcionar ao professor condições de enfrentar, individual e
coletivamente, situações de aprendizagens novas e de tipos diferentes. Essa
formação está em simbiose com o desenvolvimento profissional do professor:
A formação está muito associada à idéia de “freqüentar” cursos, numa lógica
mais ou menos “escolar”; o desenvolvimento profissional processa-se
através de múltiplas formas e processos, que incluem a freqüência de
cursos, mas também outras atividades, como projetos, troca de
experiências, leituras, reflexões [...], o professor é objeto de formação,
mas é sujeito no desenvolvimento profissional [...], o desenvolvimento
profissional tanto pode partir da teoria como da prática; e, em qualquer
caso, tende a considerar a teoria e a prática interligadas (PONTE, 1996,
p.194, grifo do autor).
Segundo Nacarato (2005, p.176), pesquisas na área de formação de
professores ressaltam “a importância da escola e do trabalho coletivo/colaborativo
como instâncias de desenvolvimento profissional, uma vez que estas proporcionam
aos professores condições de formação permanente, troca de experiências, busca de
inovações e de soluções para os problemas que emergem do cotidiano escolar”. Um
grupo constituído de professores de uma mesma escola, na própria escola, torna-se
um ambiente ‘seguro’ para a produção coletiva compartilhada, atendendo às
especificidades locais.
Nessa formação in lócus, é preciso considerar o relevante papel do agente
externo que atua junto ao grupo da escola. Sua função de facilitador educativo
estimula “processos de problematização e reflexão da prática docente. Seu papel é
colaborar com o desenvolvimento profissional do professor, no intuito de ajudá-lo a
tornar-se reflexivo sobre sua própria prática” (NACARATO, 2005, p.179).
Ademais, Nacarato (2005) salienta que tomar a experiência dos professores
como ponto de partida da formação continuada não implica em negar o saber
produzido pelas ciências da Educação, mas considerar, sim, a prática como ponto de
partida e chegada do processo de formação. Dessa forma, momentos formais de
formação se tornam espaço para reflexão, uma vez que o professor está sujeito a
64
eventos inesperados e interrupções variadas e nem sempre as aulas saem de acordo
com o planejado.
Os professores lidam diariamente com situações complexas, e considerando
o ritmo acelerado das atividades e múltiplas variáveis em interação, há
poucas oportunidades para que eles possam refletir sobre os problemas e
trazer seus conhecimentos à tona para analisá-los e interpretá-los (PEREZ et
al., 2002, p.69).
Nesse sentido, em consonância com a idéia de Perez et al. (2002), acredito
que o desenvolvimento profissional do professor e a prática reflexiva representam os
principais elementos que direcionam a formação continuada de professores. Assim,
como Guérios (2005, p.137), “adoto o postulado que o professor é sujeito de sua
formação, o que possibilita conjecturar sobre a importância que a perspectiva
experiencial adquire no processo de desenvolvimento profissional”.
Dentro desse cenário, a presença de inovações, como as tecnologias da
informação e comunicação (TIC), tem causado “a necessidade de novos
conhecimentos e competências, que exigem o seu domínio específico, mas propicia
igualmente uma reflexão mais geral sobre os objetivos e as práticas educativas”
(PONTE, 1992, p. 25). E esse deve ser um aspecto a ser considerado ao lidar com o
conhecimento matemático do professor, pois suas concepções sobre o uso de
tecnologias influenciam e são influenciadas por sua prática. Seguramente essas
questões foram consideradas quando da elaboração e do desenvolvimento do curso
Geometria com Geometricks, ao se tentar estruturar um ambiente de troca que
culminasse em um processo de formação (e aprendizagem) colaborativa.
3.6 Aprendizagem colaborativa em ambiente online
Parto da concepção de aprendizagem de Almeida (2001, p.23), no qual
[...] aprender é descobrir significados, elaborar novas sínteses e criar elos
(nós e ligações) entre parte e todo, unidade e diversidade, razão e emoção,
individual e global, advindos da investigação sobre dúvidas temporárias, cuja
compreensão leva à elaboração de certezas provisórias ou a novos
questionamentos relacionados com a realidade [...] [e que] aprender em um
processo colaborativo é planejar; desenvolver ações; receber, selecionar e
enviar informações; estabelecer conexões; refletir sobre o processo em
desenvolvimento em conjunto com os pares; desenvolver
65
interaprendizagem, a competência de resolver problemas em grupo e a
autonomia em relação à busca e ao fazer por si mesmo.
Considerando, então, a colaboração como parte do processo interativo, tomo
a concepção de Campos et al. (2003, p.26) sobre aprendizagem cooperativa, em um
ambiente online, mas não restrito a ele, como uma
[...] proposta pedagógica na qual estudantes ajudam-se no processo de
aprendizagem, atuando como parceiros entre si e com o professor, com o
objetivo de adquirir conhecimento sobre um dado objeto. A cooperação
como apoio ao processo de aprendizagem enfatiza a participação ativa e a
interação tanto dos alunos como dos professores. O conhecimento é
considerado um construto social, e desta forma o processo educativo acaba
beneficiado pela participação social em ambientes que propiciem a
interação, a colaboração e a avaliação.
Corroboro essa perspectiva dos autores. No entanto, da forma descrita ela se
relaciona, a meu ver, com a aprendizagem colaborativa. Como discute Kenski (2003),
em um grupo de pessoas a colaboração se expande para além de conteúdos
específicos, estabelecendo-se regras de convivência e sociabilidade.
Ainda concordando com essa autora,
[...] a colaboração difere da cooperação por não ser apenas um auxílio ao
colega na realização de alguma tarefa [...]. Ela pressupõe a realização de
atividades de forma coletiva, ou seja, a tarefa de um complementa o
trabalho de outros. Todos dependem de todos para a realização das
atividades, e essa interdependência exige aprendizados complexos de
interação permanente (p.112).
Miskulin et al. (2005) esclarecem que na cooperação, as pessoas estão
envolvidas de forma a executar tarefas e realizar ações de seu interesse. Na
colaboração, por sua vez, há maior reciprocidade, estabelecendo-se metas comuns.
Dessa forma, segundo Pinto (2002), o que se percebe é que, ao ajudar o outro
também me ajudo, colaborando comigo mesmo. Cada um enuncia sua voz do lugar
onde cada um ocupa, mas todos trabalham juntos. Para Ferreira e Miorim (2003,
p.17), “colaborar é co-responsabilizar-se pelo processo. É ter vez, ter voz e ser
ouvido, é sentir-se membro de algo que só funciona porque todos se empenham e
constroem coletivamente o caminho para alcançar os objetivos”.
Em consonância, Fiorentini (2004) elucida que, do ponto de vista
etimológico, embora cooperação e colaboração tenham o mesmo prefixo co, que
significa ação conjunta, eles se distinguem pelo significado de operare, que é
“operar, executar, fazer funcionar de acordo com o sistema” e laborare, que é
“trabalhar, produzir, desenvolver atividades tendo em vista determinado fim” (p.50).
66
Dessa forma, na colaboração, “todos trabalham conjuntamente (co-laboram) e se
apóiam mutuamente, visando atingir objetivos comuns”. E esse autor, assim como
Ferreira e Miorin (2003), complementa que é possível partir de uma prática
cooperativa e vir a constituir um grupo colaborativo,
[...] à medida que seus integrantes vão se conhecendo e adquirem e
produzem coletivamente conhecimentos, os participantes adquirem
autonomia e passam a auto-regular-se e a fazer valer seus próprios
interesses, tornando-se, assim, grupos efetivamente colaborativos
(FIORENTINI, 2004, p.53).
Ao abordar a formação de professores a distância, Bairral (2004) observa
que o compromisso e a colaboração fluem quando os professores percebem seus
interesses profissionais respeitados e valorizados, pois são fatores que influenciam
significativamente a qualidade da discussão virtual. Sua experiência mostrou que “é
possível (re)construir conhecimentos à distância e aprender diferencialmente,
contribuindo, assim, com mudanças significativas na prática docente” (BAIRRAL,
2005, p.64).
Ao analisar o trabalho colaborativo na formação de professores, Miskulin et
al. (2005, p.198) pontuam que
[...] há uma dimensão formativa do sujeito que participa de práticas
colaborativas. Nesse sentido, a colaboração entre professores requer
atenção especial e criação de uma sinergia no grupo de modo que possa
haver, ao mesmo tempo, produção de conhecimentos novos que promovam
melhoria da prática, aprendizagem compartilhada e também
desenvolvimento pessoal e profissional dos participantes.
A opção de pertencer a um grupo, acrescenta Fiorentini (2004, p.54), é
influenciada pela identificação da pessoa com os integrantes desse grupo, e pela
“possibilidade de compartilhar problemas, experiências e objetivos comuns”. Para
Nacarato (2005), a confiança é um ingrediente básico para a constituição de um
grupo em que a criação de relações de trabalho em colaboração seja significativa, e
essa confiança é pautada no diálogo, na lealdade e na reciprocidade nos momentos
de tomada de decisão.
Nesse contexto, o apoio mútuo entre seus membros é um fator fundamental
de sobrevivência de um ambiente colaborativo. Ao relatar sua experiência em um
grupo colaborativo de professores de Matemática, Fiorentini (2004, p.57) observa
que o respeito permeia o apoio mútuo:
O grupo, nesses casos, tem, de um lado, manifestado profundo respeito aos
saberes conceituais e experiências de cada professor traz para os encontros,
67
bem como em relação às suas dificuldades e possíveis falhas, e, de outro,
dado apoio efetivo e tentado encontrar colaborativamente soluções para os
problemas. Isso tem contribuído para aumentar a confiança, a auto-estima e
o respeito mútuo dos professores.
Isso não impede que, se necessário, o formador aja com polidez (e delicadeza), de
forma a não deixar de dizer coisas importantes por não serem agradáveis de se ouvir
(FERREIRA; MIORIM, 2003).
Dessa forma, todos os membros do grupo assumem um mínimo de ação
protagonista, não se limitando a ser meros fornecedores de informações e materiais,
mas sendo atores que produzem conhecimento, que aprendem e também ensinam
(FIORENTINI, 2004). Nessa direção, Larrín e Hernández (2003, p.45) afirmam que o
objetivo maior de um trabalho colaborativo “é criar uma sinergia que permita não
apenas a aprendizagem, mas também a geração de um conhecimento novo, na
medida em que é nutrida de vozes e de posições diferenciadas que contribuem para
a melhoria da prática”.
Para Hargreaves (2001), o que determina a colaboração é a vontade interna
de cada indivíduo de querer trabalhar junto com o outro, de desejar fazer parte de
um determinado grupo. “Nas culturas de colaboração, as relações de trabalho em
colaboração dos professores com seus colegas tendem a ser: espontâneas;
voluntárias; orientadas para o desenvolvimento; difundidas no tempo e no espaço; e
imprevistas” (HARGREAVES, 1998, p. 216). Nesse contexto, a colaboração pode
contribuir para o desenvolvimento da escola e também do professor.
Em contrapartida, trocar experiências, compartilhar soluções de problemas
propostos, atuar junto não implica pensar de maneira uniforme. As trocas visam os
diversos objetivos, que podem ser de todo o grupo, de alguns membros ou de um
único deles. É um ambiente de contribuição, em que se somam as individualidades
na busca de um benefício coletivo (KENSKI, 2003). Como enfatizam Lévy (2000) e
Torres (2004), coletivo não é necessariamente sinônimo de maciço e uniforme,
[...] já que respeita os alunos como indivíduos diferentes, que na
heterogeneidade produzem e crescem juntos [...]. E é na heterogeneidade
que se estabelecem novas formas de relação entre os pares. Ao desenvolver
atividades em grupo é preciso gerenciar conflitos sócio-cognitivos, propor
alternativas, rever conceitos, discutir posições, repartir cargas cognitivas,
reelaborar idéias, repartir autorias, negociar e muitas vezes exercer um
processo de auto e mútua-regulação (TORRES, 2004, p.14).
68
Nesse sentido, Nacarato (2005, p.183) salienta que um grupo colaborativo
pode ser um ambiente “ideal para trocas de experiências e de aprendizagem [...],
mas sem perder a subjetividade ou individualidade de cada um, ou seja, sem
produzir uma perspectiva única ou uniforme”. Como sugere Ferreira (2003), esse
processo não impede que cada participante tenha o seu ponto de vista e distintos
interesses, aportando diferentes contribuições, a partir de diferentes níveis de
participação. Ademais, colaborar não implica que todos participem da mesma forma.
“Cada um colabora à sua maneira, com os recursos de que dispõe e a partir do ‘seu
olhar’. O olhar de cada um tem a ver com sua história, suas experiências, suas
condições de trabalho e seu momento de vida atual” (FERREIRA; MIORIM, 2003,
p.19). As diferenças de ‘olhar’ podem vir a se revelar como elemento para a
colaboração, ao possibilitar que os envolvidos dêem o melhor de si, na busca de
crescer e contribuir para o grupo.
Entrelaçado ao conceito de aprendizagem colaborativa, está a perspectiva de
inteligência coletiva, de Lévy (1999, 2000), que a define como “uma inteligência
distribuída por toda a parte, incessantemente valorizada, coordenada em tempo real,
que resulta em uma mobilização efetiva das competências” (LÉVY, 2000, p.28, grifo
do autor)
20
.
Sob essa concepção, o conhecimento da humanidade está distribuído por
todos os lugares, e “não existe nenhum reservatório de conhecimento transcendente,
e o saber não é nada além do que o que as pessoas sabem” (LÉVY, 2000, p.29). A
partir dessa premissa, ninguém é totalmente ignorante, pois, em algum contexto,
20
Esclareço que neste trabalho uso “tempo real” quando me refiro à possibilidade de interação
instantânea na Internet. O Messenger, por exemplo, é um comunicador instantâneo, que permite uma
conversa em tempo real, por fala e/ou escrita. Assim que termino de escrever uma mensagem e
aperto a tecla “enter”, a pessoa que está conversando comigo recebe a mensagem. Para Lévy (2000),
“tempo real” não tem esse significado tão restrito, ainda que também considere que o tempo real
reduz “a zero o atraso na obtenção de resultados” (p.74), como eu entendo. De modo mais amplo,
observa que “a criação de uma espécie ou raça depende de uma temporalidade geológica (a seleção
natural conta em termos de milhares de anos), em seguida histórica (a seleção artificial conta em
termos de gerações) e atinge hoje o tempo real, o imediato (as biotecnologias contam em termos de
meses humanos, em equipamentos e em dólares)” (p.49). Assim sendo, ao tempo real associa-se a
possibilidade de retorno a um prazo menor de tempo em um determinado contexto. No âmbito da
informática, entendo que o ciberespaço possibilita que pessoas se comuniquem, enviem e recebam
mensagens de todas as formas, em um curto prazo, como acontece no chat, videoconferência, e
mesmo fórum ou e-mail (que não são de natureza assíncrona), desde que as pessoas se manifestem
constantemente. Sugiro a leitura de “Inteligência coletiva: por uma antropologia do ciberespaço”, de
Pierre Lévy, para maior aprofundamento sobre esse aspecto.
69
seu conhecimento é valioso. Uma pessoa analfabeta, por exemplo, pode desconhecer
as obras de Machado de Assis, mas pode saber costurar como poucos.
A inteligência coletiva procura engendrar diferentes saberes de um grupo,
valorizando o que melhor compreende cada um de seus indivíduos.
21
Nesse sentido,
Lévy (1999, p.207) observa:
É preciso compreender aqui a inteligência no sentido da educação, das
faculdades de aprendizagem (aprender em conjunto e uns com os outros!),
das competências adquiridas e colocadas em sinergia [...], das capacidades
de inovar e de acolher a inovação. Mas é preciso também entender a
inteligência no sentido de união e conformidade de sentimentos. A
inteligência coletiva também pressupõe, portanto, capacidade de criar e de
desenvolver a confiança, a aptidão para tecer laços. Ora, o ciberespaço
oferece um poderoso suporte de inteligência coletiva, tanto em sua faceta
cognitiva como em seu aspecto social.
Nessa perspectiva, “o ciberespaço tornar-se-ia o espaço móvel das
interações entre conhecimentos e conhecedores de coletivos inteligentes” (LÉVY,
2000, p.29), permitindo que o grupo se mantenha em contato contínuo.
Essa concepção se enraíza nos aspectos participativo, socializante e
emancipador. A inteligência coletiva multiplica e coloca em sinergia as competências
humanas (LÉVY, 1999). Nesse contexto, o ciberespaço organiza comunidades de
diferentes tamanhos, articulando coletivos inteligentes entre si. Azevedo (2006b,
p.15) ainda alerta que a exigência por profissionais que saibam trabalhar em grupo,
interagindo de forma virtual ou presencial, é uma tendência corrente e que
[...] a sociedade hoje requer um sujeito que saiba contribuir para o
aprendizado do grupo de pessoas do qual ele faz parte, quer ensinando,
quer mobilizando, respondendo ou perguntando. É a inteligência coletiva do
grupo que se deseja por em funcionamento, a combinação de competências
distribuídas entre seus integrantes, mais do que a genialidade de um só.
“Na atual sociedade do conhecimento, o trabalho individual não tem mais
espaço. O individualismo parece constituir-se em uma heresia”, segundo Nacarato
(2005, p. 175).
21
Esclareço, ainda, que, na minha concepção, não há uma dissonância entre “inteligência coletiva” e o
construto “seres-humanos-com-mídias”, uma vez que a primeira procura valorizar os saberes de cada
ator humano de um grupo, e cada saber é, por sua vez, qualitativamente distinto quando seres
humanos pensam-com ou agem-com mídias diferentes. No exemplo da analfabeta, certamente sua
costura é diferente quando a faz “à mão” (só com agulha e linha) ou quando é feita à máquina e,
conversando com outra pessoa, pode trocar conhecimento e aprender uma nova técnica. “Inteligência
coletiva” e “seres-humanos-com-mídias” têm, portanto, dimensões diferentes ao meu ver e, no curso
Geometria com Geometricks, entendo que ambos conceitos caminham entrelaçados.
70
Para isso é imprescindível o empenho individual de cada membro do coletivo,
pois
[...] toda inteligência coletiva do mundo jamais irá prescindir da inteligência
pessoal, do esforço individual e do tempo necessário para aprender
pesquisar, avaliar, integrar-se às diversas comunidades, mesmo que virtuais.
A rede jamais pensará em seu lugar, e é melhor assim (LÉVY, 1999, p.244-
5, grifo do autor).
Entremeando ciberespaço, comunidade virtual e inteligência coletiva, não há
comunidade virtual sem interconexão (ciberespaço) e não há inteligência coletiva que
comporte pessoas geograficamente distantes, especialmente em grande escala, sem
virtualização das comunidades no ciberespaço. “A interconexão condiciona a
comunidade virtual, que é uma inteligência coletiva em potencial” (LÉVY, 2000,
p.133).
Diante do exposto, e tomando as concepções anteriormente apresentadas,
de interação, seres-humanos-com-mídias, coletivo pensante, colaboração e
aprendizagem, defino aprendizagem colaborativa online como o processo em
que alunos, professores e tecnologia participam ativamente e interagem à distância
para produzir significados coletivamente, levantando incertezas que alimentam a
busca por compreensões e suscitam novas incertezas. Dessa forma, seres humanos e
mídias planejam e desenvolvem ações de interesse de um grupo, respeitando as
individualidades, de modo a produzir conhecimento colaborativamente no
ciberespaço.
Em seqüência, apresento algumas concepções teóricas acerca de aspectos
relacionados à visualização e argumentação matemática, que têm grande relevância
na aprendizagem colaborativa online em Matemática.
71
CAPÍTULO IV
ARGUMENTAÇÃO E
VISUALIZAÇÃO NO PROCESSO DE
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA
Não há nada que conduza à verdade.
Temos que navegar por mares sem
roteiros para encontrá-la
J. Krisnamurti
No curso Geometria com Geometricks, a produção de conhecimento foi
condicionada por aspectos matemáticos discutidos na literatura, os quais serão
tratados nesse capítulo.
4.1 O Raciocínio
Chalés Pierce, Lógico e Filósofo, ao estudar a lógica da descoberta científica,
concluiu que há três tipos de raciocínio: dedução, indução e abdução. Assim, ao
produzir conhecimento matemático, o raciocínio lógico pode ser de natureza dedutiva
(do todo para a parte), indutiva (da parte para o todo) e abdutiva (“combinação do
indutivo e do dedutivo com um componente a mais, a Reificação, que são hipóteses
ou conjecturas testáveis matematicamente” (MISKULIN, 1999, p.345)). Para Pierce
72
(1977, p.220), “a dedução prova que algo deve ser; a indução mostra que alguma
coisa é realmente operativa; a abdução simplesmente sugere que alguma coisa pode
ser”. Dessa forma, a abdução é um modo de raciocínio que, a partir de um método
de inferência, assume uma conclusão como aproximada, que pode conduzir à
verdade.
Às idéias de Pierce, Miskulin (1999, p.348) reforça que o raciocínio abdutivo
representa o “arriscar”, as tentativas e expectativas de solucionar um problema e é
concebido “como um dos mais importantes raciocínios no processo de se ‘fazer
matemática’, pois o sujeito, ao resolver problemas, lança mão de inferências e
hipóteses e testa-as matematicamente”, reorganizando as estratégias e os
procedimentos utilizados. Para Josephson e Josephson (1996, p.5), a abdução “é
uma forma de inferência que vai dos dados que descrevem algo, a uma hipótese que
melhor explique ou esclareça os dados”.
Scucuglia (2006, p.86) observa que o processo de generalização de
informações, em sua essência, “pode ser concebido como um processo de indução,
no qual as inferências intuitivas são privilegiadas. E, inerente ao indutivo no fazer
matemático, está a necessidade de uma abordagem dedutiva”. Corroborando essa
idéia, Miskulin (1999) ressalta que a indução possui um valor pedagógico, podendo
auxiliar na compreensão.
Pierce (1977) destaca a importância da “hipótese” para o processo de
descoberta científica. É o seu início e, a partir dela, é possível gerar a explicação
científica de um fenômeno. Nesse sentido, Miskulin (1999) complementa que, para
aquele autor, a abdução é parte do método científico, não o separando dos
processos de testagem, ou seja, a partir de uma hipótese, suas conseqüências
devem ser deduzidas e testadas.
Isso posto, entendo que indução, dedução e abdução podem atuar de forma
articulada e condicionam a produção de conhecimento matemático, em um processo
de levantar hipóteses, procurar testá-las e justificá-las para verificar sua veracidade.
73
4.2 Argumentação matemática na sala de aula
A fundamentação e a explicação de raciocínios, a descoberta do “porquê” de
determinados resultados, a formulação e prova de conjecturas, o desenvolvimento
de argumentos matemáticos e a seleção e utilização de vários tipos de raciocínio e
métodos de prova são aspectos importantes do “fazer” matemática. E segundo
Boavida (2005), o ato de formular argumentos válidos para justificar opiniões e de
compreender a validade de uma afirmação está ligado com a consistência da
argumentação lógica.
Essa autora fez um estudo sobre o processo de argumentação na aula de
Matemática e nos chama a atenção sobre questões relevantes nesse contexto. A
iniciar pelo fato de que, embora freqüentemente utilizado na Educação Matemática,
o seu significado não tem sido amplamente discutido, pois o foco costuma ser as
discussões sobre conceitos de prova e demonstração, que é um tipo particular de
argumentação. Tomo sua concepção de “argumentação”:
a expressão argumentação matemática é usada para designar a
argumentação na aula de Matemática, ou seja, conversações aí
desenvolvidas cujo foco é a Matemática e que assumem a forma de
raciocínios de caráter explicativo ou justificativo destinados seja a diminuir
riscos de erro ou incerteza na escolha de um caminho, seja para convencer
um auditório a aceitar ou rejeitar certos enunciados, idéias ou posições pela
indicação de razões (BOAVIDA, 2005, p.20).
Sendo que o conceito de auditório remete à idéia de considerar um outro
que, na aula de Matemática, pode ser apenas um aluno, que delibera consigo
mesmo; pode ser a classe toda; um colega com quem se discute uma idéia; ou até
ainda a comunidade matemática.
Nesse sentido, abre-se espaço para a constituição de um ambiente em que
os alunos se envolvem na discussão matemática, expondo e defendendo suas idéias
e comentando sobre as dos colegas, a qual Boavida (2005) denomina de comunidade
de discurso matemático.
Essa autora ainda destaca que para envolver os alunos em um ambiente
como esse, propício para o desenvolvimento de argumentação matemática, é
importante que haja negociação de normas de ação e interação que facilitem a sua
constituição e desenvolvimento.
74
Boavida (2005) salienta ainda que, ao pensar uma atividade que leve os
alunos a se envolver em processos de argumentação matemática acarreta numa
intensificação e complexificação da preparação da aula. Por outro lado, observa que
tão importante quanto o material proposto, são os meios que o professor usa para
fazer surgir contribuições dos alunos, e “o modo como lida com essas contribuições e
a capacidade de improvisar intervenções que, enraizando-se no que ouve, incentiva
a expressão de idéias e ajuda os alunos a avançar na compreensão da Matemática”
(p.25).
Dessa forma, se o professor estiver atento, é possível que de uma resolução
de um exercício possa surgir um momento profícuo para episódios de argumentação
matemática, o que ressalta o fato de que as oportunidades podem emergir durante
as discussões matemáticas.
Assim, é apenas em ação que o professor consegue imaginar a melhor
forma de facilitar a emergência destes episódios e o que fazer para apoiar o
seu desenvolvimento. [...] [É possível evidenciar que] um conhecimento
holístico e profundo do currículo, uma atenção sistemática a conexões entre
os temas matemáticos neles incluídos, [...] uma cuidadosa seleção de
tarefas – sem esquecer que não bastam – e uma preparação meticulosa e
abrangente das aulas, podem dotar o professor de recursos que, em
situação, lhe permitam improvisar o melhor modo de agir para favorecer e
apoiar o envolvimento dos alunos em argumentação matemática (BOAVIDA,
2005, p.26).
E esse envolvimento dos alunos é potencializado por outros aspectos, como
a ação de legitimar a possibilidade dos alunos expressarem suas idéias, de
confrontarem com o ponto de vista dos colegas e de se posicionarem em relação a
eles. Isso abre espaço para os alunos participarem da discussão matemática, para
que aprendam a falar e a ouvir.
Assim, criar um ambiente que leve os alunos a argumentarem
matematicamente é um processo complexo. É necessário preparar questões
desafiadoras do pensamento, ou mesmo improvisá-la no decorrer de uma aula;
perceber, intuitivamente, o momento propício para lançar uma ou outra pergunta e
de que forma fazê-lo; incentivar contribuições e interações entre os alunos; partilhar
a liderança da aula durante as discussões, para que eles possam expor seus
raciocínios; evidenciar posicionamentos divergentes, de modo a levar os alunos a
chegarem a consensos matematicamente válidos; mostrar a relevância da
75
participação de todo o grupo e não de apenas alguns de seus membros; e valorizar
as diferentes vozes. Harmonizar essas ações é um desafio.
Uma grande contribuição para esse processo é a exploração do aspecto
visual dos resultados matemáticos. “A justificação da validade de uma conjectura
passa pela sua verificação através de exemplos” (BOAVIDA, 2005, p.29), que é
facilitada quando apoiada na percepção visual.
4.3 Visualização e Educação Matemática
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998), o
pensamento matemático desenvolve-se inicialmente pela visualização. Para Fonseca
et al. (2001, p.75), que escreveram sobre a Geometria no ensino fundamental, o
termo visualização abordado pelo PCN tem sentido restrito à observação atenta das
figuras geométricas e ressaltam que preferem tomá-lo no sentido mais amplo, que
[...] abrange a formação ou concepção de uma imagem visual, mental (de
algo que não se tem ante os olhos no momento). Isso porque, de fato, é no
exercício de observação de formas geométricas que constituem o espaço, e
na descrição e comparação de suas diferenças, que as crianças vão
construindo uma imagem mental, o que lhes possibilitará pensar no objeto
na sua ausência.
Nesse sentido, a visualização é parte do “fazer” matemática. Frant et al.
(1999) pontuam que “existe um consenso entre os pesquisadores sobre a
importância da visualização em Matemática”, e Santos e Borba (2006, p.7)
acrescentam que “a geometria, em particular, está intimamente ligada ao aspecto
visual”.
Na Matemática, a visualização está associada à habilidade de interpretar e
entender informações figurais. Para tanto, podem ocorrer dois processos: interpretar
uma imagem visual ou criar uma imagem visual a partir de uma informação não-
figural. Visualização é considerada, ainda, como um “processo de formação de
imagens (mentalmente ou com papel e lápis ou com outra tecnologia), usada com
intuito de obter um melhor entendimento matemático e estimular o processo de
descoberta matemática” (BORBA; VILLARREAL, 2005, p.80).
76
O ato de visualizar pode consistir em uma construção mental de objetos, ou
dos processos a eles associados, percebidos pelo indivíduo como externos.
Alternativamente pode, ainda, consistir em uma construção, em uma mídia externa
como o papel, lousa ou tela do computador, de objetos ou eventos que o indivíduo
identifica com objetos ou processos de sua mente. No entanto, embora uma
distinção seja feita entre o que é externo (papel, computador, etc.) e o que é interno
(mental), é o indivíduo que percebe (e não uma outra pessoa que define) aqueles
objetos como interno ou externo (BORBA; VILLARREAL, 2005).
De acordo com Cifuentes (2005), visualizar é ser capaz de formular imagens
mentais e está no início de todo o processo de abstração. Para esse autor, “o visual
na matemática não deve ser entendido só em relação à percepção física, senão
também a um certo tipo de percepção intelectual, ligado fortemente à intuição
matemática” (p.58). E postula que, na Matemática, dá-se pouca ênfase à intuição e
aos processos de pensamento ligados a ela como a visualização, os argumentos
narrativos e indutivos.
Dessa forma, a visualização é reconhecida tanto para a Matemática quanto
para a Educação Matemática, embora com status diferente em cada uma dessas
áreas, seja ela com tecnologia ou não. Nessa perspectiva, os computadores não são
apenas assistentes dos matemáticos, mas transformam a natureza da própria
Matemática, e, portanto, são vistos como atores do coletivo pensante. Na Educação
Matemática, a visualização é parte dos processos de ensino e aprendizagem, de
produção matemática dos alunos, o que justifica sua relevância nessa área:
− a visualização se constitui em um caminho alternativo de acesso ao
conhecimento matemático;
− a compreensão de conceitos matemáticos requer múltiplas
representações, e a representação visual pode transformar sua própria
compreensão;
− a visualização é parte da atividade matemática e um caminho de resolver
problemas;
− tecnologias com boas interfaces visuais estão presentes nas escolas, e
seu uso nos processos de ensino e aprendizagem requer compreensão de
processos visuais;
− se os conteúdos da própria matemática puderem mudar devido aos
computadores, como proposto por alguns matemáticos, está claro que a
matemática nas escolas se submeterá pelo menos a algum tipo de
mudança;
− embora a demonstração seja vista como a rota oficial para a verdade na
matemática acadêmica, isso poderia não necessariamente ser transportado
para a aula de matemática nos níveis escolares (BORBA; VILLARREAL,
2005, p.96)
77
Cifuentes (2005, p.71) acredita que um dos desafios da Matemática do
século XXI será tornar a visualização um argumento de demonstração, e que “as
demonstrações visuais farão uso possivelmente de uma linguagem visual apropriada,
envolvendo também meios computacionais”.
Garnica (1995, 1996a) advoga pela importância dos “teoremas visuais” em
sala de aula, que podem ser entendidos inicialmente como
[...] um output visual ou gráfico de um programa de computação que os
olhos organizam em um todo coerente e identificável, sendo útil para
inspirar questões matemáticas de natureza tradicional ou que contribuem
para nossa compreensão e enriquecimento de algumas situações
matemáticas e reais. É a passagem da interação matemática à figura
percebida, tida ou intuída em toda sua complexidade visual, explícita ou não
(GARNICA, 1996a, p.51).
Para esse autor, podemos valorizar os olhos como um órgão que possibilita a
descoberta e, independentemente da comunidade de matemáticos concordarem ou
não, os “teoremas visuais devem ser adotados nos processos de ensino e
aprendizagem. É hora da procura de um equilíbrio entre as metodologias da
Matemática” (GARNICA, 1995, p.51).
Portanto, na Educação Matemática, a visualização tem valor pedagógico e
está relacionada à compreensão dos estudantes, que pode se traduzir em
representações internas ou externas, com ou sem uso de mídias. Com o avanço das
tecnologias, entretanto, ela tem estado muito associada às mídias, especialmente ao
computador.
Nesse sentido, para Borba e Villarreal (2005) não há dicotomia entre
representação interna e externa. “Pensamos-com” imagens mentais e externas e
com diferentes mídias, em diferentes coletivos pensantes. Ambas estão tão
associadas que a dicotomia não faz sentido. Quando não temos acesso a
representações externas, identificáveis aos olhos, recorremos às representações
internas, construídas ao longo de experiências matemáticas.
Assim sendo, a visualização é considerada como um recurso para a
compreensão matemática, não apenas associada às representações gráficas, mas
também representações numéricas e simbólicas. Para Borba e Villarreal (2005, p.93),
abordagens algébricas e visuais se complementam no processo de aprendizagem
matemática, sendo a importância dessa última justificada pelo(a):
78
− uso de informação gráfica para resolver questões matemáticas que
poderiam também ser exploradas algebricamente;
− dificuldade em estabelecer interpretações algébricas de soluções gráficas;
− não necessidade de recorrer primeiramente à álgebra quando soluções
gráficas são requisitadas;
− facilidade em formular conjecturas e refutações ou dar explicações
usando informações gráficas.
Nesse caso, o computador é usado para testar conjecturas, para calcular e para
decidir questões que têm informações visuais como ponto de partida.
Para Lourenço (2002, p.107), a informática pode contribuir sendo um
“indutor de demonstrações”, ou “um elemento auxiliar na busca de resultados”, ou
ainda um “incentivador de pesquisas”. Segundo ele, grande credibilidade é dada à
argumentação quanto à validade de uma proposição quando esta é apoiada em
fatores visuais.
Uma imagem ou uma seqüência de imagens é capaz de convencer até
mesmo observadores que não têm grande habilidade em Matemática e
pouca familiaridade e sutilezas de demonstrações formais. E entre aqueles
que possuem uma tendência para a Matemática, a observação de imagens
que sugerem resultados torna o trabalho muito mais interessante e, em
geral, incentiva o estudante para a realização de novas investigações.
Porém, apenas com o visual não é possível tecer conclusões. Assim, a busca
da justificativa não deve priorizar apenas o convencimento, mas, além disso, a
explicação (HANNA, 2000; MARIOTTI, 2000; MARRADES; GUTIÉRREZ, 2000;
VILLIERS, 1998). Nessa direção, Lourenço (2002, p.101) postula:
A necessidade de se provar resultados parece ser de reconhecida
importância, entretanto, a forma segundo a qual se faz, na medida do
possível, deve ser revista, sobretudo quando se trata de ensino, uma vez
que a simples observação constata que essas demonstrações se mostram
destituídas de significado para os estudantes.
Pensando sobre esses aspectos, ao estruturar o curso Geometria com
Geometricks, o software de geometria dinâmica (SGD) foi uma das tecnologias
escolhidas para propiciar a visualização e estimular o processo de argumentação
matemática. Softwares dessa natureza permitem que figuras sejam arrastadas pela
tela mantendo-se os vínculos estabelecidos nas construções.
Essa oportunidade suscitou, na Educação Matemática especialmente,
algumas discussões. Laborde (1998) diferencia “desenhar” e “construir” uma figura
com um SGD. Por exemplo, três segmentos de mesmo tamanho, que formam
ângulos internos de 60º, podem ser considerados um desenho de um triângulo
79
eqüilátero. Mas somente terá sido construído um triângulo eqüilátero se seus vértices
puderem ser arrastados de forma a manter as propriedades dessa figura, ou seja, se
passar pelo “teste do arrastar” (OLIVERO et al., 1998).
Em Zulatto (2002b) apresentei um estudo sobre esse tipo de software,
discutindo suas potencialidades e limitações, do ponto de vista dos professores de
Matemática que o utilizam em suas aulas. Eles destacam como aspectos positivos, a
possibilidade de realizar construções geométricas, de promover atividades
investigativas e descobertas matemáticas, de visualização e dinamicidade.
Construir e arrastar as figuras permite identificar as propriedades
geométricas descobertas. Além disso, quando conteúdos matemáticos são
trabalhados com softwares, os alunos têm mais facilidade de observar as figuras,
suas propriedades e invariantes, de acordo com os professores entrevistados em
Zulatto (2002b). Eles ainda enfatizam que, com os softwares, “é possível visualizar
as figuras em várias posições, em um curto espaço de tempo, devido à possibilidade
de arrastá-las pela tela. Assim, é possível visualizar ‘todos’ os casos de uma mesma
figura geométrica” (p.90), o que dificulta que sejam estabelecidas associações com
figuras prototípicas.
Marrades e Gutiérrez (2000) pontuam que as duas maiores contribuições dos
SGD são, primeiramente, propiciar um ambiente em que os alunos possam
experimentar livremente, checando suas intuições e conjecturas e, segundo,
propiciar maneiras não tradicionais de ensino e aprendizagem de conceitos e
métodos matemáticos. Para eles, uma das vantagens dos SGD, corroborando as
idéias de Laborde (1998), é a possibilidade de construir figuras complexas e
visualizá-las em diferentes posições sem ter que construí-las novamente,
acompanhando, em tempo real, as modificações pelo arrastar. Dessa forma, a
possibilidade de arrastar torna esse ambiente potencialmente diferente do tradicional
uso do lápis-e-papel.
Villiers (2001, p.31) ressalta, ao abordar o papel da demonstração com SGD,
que esta tem significado para o aluno quando responde às suas dúvidas, provando o
que para ele não é óbvio, e complementa que “uma demonstração é um argumento
necessário para validar uma afirmação, um argumento que pode assumir várias
formas diferentes desde que seja convincente”, que explique porque uma construção
80
é válida. A verificação (quanto à verdade de uma afirmação) e a explicação (quanto
ao fato de uma afirmação ser verdadeira) são duas das funções que Villiers (2001,
p.32) apresenta para a demonstração.
A demonstração não é um requisito necessário para a convicção – pelo
contrário, a convicção é mais freqüentemente um pré-requisito para a
procura de uma demonstração [...], a convicção anterior à demonstração
fornece motivação para a demonstração.
Segundo esse autor, por meio de verificações “quase-empíricas”, como a
construção de triângulo em um SGD e a medição da soma dos seus ângulos internos,
que resulta sempre em 180º, qualquer que seja o triângulo encontrado ao arrastar
seus vértices, um alto nível de confiança na validade dessa conjectura é atingido.
Diante dessa exploração com o software, pelo arrastar, já ficamos convencidos de
que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º (MARRADES; GUTIÉRREZ,
2000). O que falta é uma explicação satisfatória da razão pela qual essa afirmação é
verdadeira. Esse pode ser um dos papéis da demonstração
22
.
Quando aborda questões da prova com o uso do computador, Hanna (2000)
aponta três condições (necessárias, mas não suficientes) para a aceitação da “prova
visual”: confiabilidade (de que os meios subjacentes de chegar à prova são de
confiança), consistência (garantia de que os meios e o fim da prova são consistentes
com outros fatos e provas conhecidos) e “repetibilidade”
23
(convicção de que a prova
pode ser confirmada ou demonstrada por outras pessoas). Para essa autora, os SGD
podem ser usados para aumentar o papel dos processos heurísticos, de exploração e
visualização na sala de aula.
No contexto da formação de professores, Garnica (1995, 1996a, 1996b)
observa que, focando a sala de aula,
[...] uma prova deve explicar, convencer, permitir o reconhecimento do
fazer em Matemática, enriquecer nossa intuição, conquistar e permitir que
sejam conquistados novos objetos e, final e sinteticamente, ampliar os
horizontes de compreensão dos conceitos e práticas matemáticos
(GARNICA, 1995, p.29).
Com essa perspectiva, o curso Geometria com Geometricks procurou
explorar aspectos da argumentação matemática com vistas a entender as
22
Outras funções são tratadas por Villiers (2001) e Hanna (2000), como a descoberta (de novos
resultados), a sistematização, a comunicação e o desafio intelectual.
23
Em inglês, o termo usado por Hanna (2000) é “repeatability”. Como não encontrei uma palavra
adequada para a tradução, uso “repetibilidade”.
81
construções desenvolvidas e as propriedades a elas associadas. Maiores detalhes
sobre a estrutura desse curso, bem como a concepção metodológica que direcionou
essa pesquisa são apresentados no capítulo que se segue.
82
CAPÍTULO V
FUNDAMENTAÇÃO
METODOLÓGICA
Não se descobre novas terras sem consentir
em perder a praia de vista por um tempo
André Gide
Neste capítulo apresento, inicialmente, a abordagem metodológica que
embasou esta pesquisa. Em seqüência, descrevo o caminho percorrido para a
estruturação do curso Geometria com Geometricks, fonte de dados, bem como os
procedimentos metodológicos para sua coleta e análise.
Detalho, ainda, aspectos relevantes desse curso, como os recursos utilizados,
as atividades propostas e os participantes envolvidos. Teço, por fim, algumas
considerações acerca dessa experiência com olhar da teoria sobre Educação a
distância (EaD) apresentada no capítulo III.
5.1 Pesquisar em Educação Matemática
Pesquisar, segundo Bicudo (1993, p.18), “quer dizer ter uma interrogação e
andar em torno dela em todos os sentidos, sempre buscando as suas dimensões e
andar outra vez e outra ainda, buscando mais sentido, mais dimensões e outra
83
vez...”. Segundo essa autora, é ético que o pesquisador persiga uma pergunta de
modo rigoroso, sistemático, assumindo uma atitude de respeito e de compromisso
com o objeto/sujeito pesquisado, e é importante, ainda, que a interrogação faça
sentido para o pesquisador e seja elaborada no contexto onde ela foi formulada. E
vale salientar que “um pesquisador nunca está só, já é sempre com o outro, com as
pesquisas já elaboradas, com o contexto social onde está a região de inquérito onde
o significado é tecido e onde a generalização se esboça” (p.19).
Nessa direção, D’Ambrósio (1996, p.12) discorre sobre a pesquisa qualitativa,
a qual considera como uma
[...] pesquisa focalizada no indivíduo, com toda a sua complexidade, e na
sua inserção e interação com o ambiente sociocultural e natural. O
referencial teórico, que resulta de uma filosofia do pesquisador, é intrínseco
ao processo. Naturalmente a interação pesquisador-pesquisado é
fundamental.
Em Educação Matemática, as pesquisas procuram enfocar os núcleos de
preocupações com a compreensão matemática, com o fazer matemática, com “as
interpretações elaboradas sobre os significados sociais, culturais e históricos da
Matemática. Deve ser mencionado que também é preocupação da Educação
Matemática a ação político-pedagógica” (BICUDO, 1993, p. 19).
Analisar a natureza da aprendizagem matemática em um curso online de
formação continuada de professores é o principal objetivo deste estudo. Nesse
contexto, optei pela abordagem qualitativa de pesquisa, pois, ao acompanhar um
curso a distância, meu interesse central esteve focado em seu processo, e não em
seus resultados e produtos, o que contempla uma das características centrais da
pesquisa qualitativa, para Bogdan e Biklen (1994), Denzin e Lincoln (2000) e Vidich e
Lyman (2000). E, como enfatiza Goldenberg (1999, p.14), “na pesquisa qualitativa a
preocupação do pesquisador não é com a representatividade numérica, mas com o
aprofundamento da compreensão de um grupo social, de uma organização, de uma
instituição, de uma trajetória, etc.”. Ademais, quando a pesquisa envolve o humano
como instrumento, Lincoln e Guba (2000) sugerem que a abordagem qualitativa é a
mais adequada.
Em consonância, Alves-Mazzotti (2001, p.131) afirma que “a principal
característica das pesquisas qualitativas é o fato de que estas seguem uma tradição
‘compreensiva’ ou interpretativa”. Nessa abordagem, o pesquisador não coleta
84
“dados ou provas com o objetivo de confirmar ou infirmar hipóteses construídas
previamente; ao invés disso, as abstrações são construídas à medida que os dados
particulares que foram recolhidos se vão agrupando” (BOGDAN; BIKLEN, 1994,
p.50). Assim sendo, salientam que a preocupação central não é a generalização dos
resultados, e sim a crença que outros contextos e sujeitos a eles podem ser
generalizados. Assumo o conceito de “dados” na perspectiva de Alves-Mazzotti
(1999, p.132):
A natureza predominante dos dados qualitativos [são]: descrições
detalhadas de situações, eventos, pessoas, interações e comportamentos
observados; citações literais do que as pessoas falam sobre suas
experiências, atitudes, crenças e pensamentos; trechos ou íntegras de
documentos, correspondências, atas ou relatórios de casos.
Goldenberg (1999, p.53) acrescenta que esses dados não são padronizáveis,
“obrigando o pesquisador a ter flexibilidade e criatividade no momento de coletá-los
e analisá-los. Não existindo regras preciosas e passos a serem seguidos, o bom
resultado da pesquisa depende da sensibilidade, intuição e experiência do
pesquisador”.
E a validação dos dados é uma preocupação de diversos autores, como
Alves-Mazzotti (2001), André (1995), Denzin e Lincoln (2000), Goldenberg (1999) e
Ludke e André (1986). Eles sugerem que alguns procedimentos sejam tomados no
sentido de maximizar a fidedignidade dos dados. Entre eles a utilização de diferentes
métodos de coleta de dados; a reprodução cuidadosa de um relato completo de
todos os eventos observados e do contexto da pesquisa; a diversidade de
participantes e/ou grupos; a escolha de diferentes momentos e situações para
análise.
Ainda nessa perspectiva, segundo Martinelli (1999), é importante ir além da
apresentação dos fatos, ultrapassar a apresentação do cenário de um determinado
problema, o qual optamos por investigar. Sugere, para isso, que se priorize questões
mais específicas, que têm foco determinado e não muito amplo.
E, refletindo ainda sobre considerações dessa autora, observo que é certo
que cada pesquisa é única, pois cada sujeito é singular e “conhecê-lo significa ouvi-
lo, permitir-lhe que se revele. E onde o sujeito se revela? No discurso e na ação”
(MARTINELLI, 1999, p.22). Assim, uma pesquisa que segue uma abordagem
qualitativa procura criar um ambiente de aproximação entre os participantes e o
85
pesquisador. E como estive interessada em acompanhar a aprendizagem matemática
em um curso online, pude compor intencionalmente o grupo com o qual a pesquisa
se realizaria: professores de Matemática (BOGDAN; BIKLEN, 1994). Depois de
compor, então, o grupo envolvido na pesquisa, participei da elaboração do curso,
das discussões matemáticas realizadas nos encontros síncronos, por chat ou
videoconferência, e nos momentos assíncronos, por e-mail e no fórum.
Alves-Mazzotti (2001) e Bogdan e Biklen (1994) nos fazem refletir, também,
sobre o fato de que em pesquisas qualitativas o pesquisador é o principal
instrumento de investigação. Nessas pesquisas, de acordo com Lincoln e Guba
(2000), o pesquisador faz mais que observar a história, ele é parte dela. Assumo,
portanto, o ponto de vista de que o pesquisador não é um componente neutro de
uma pesquisa e, como nota Martinelli (1999, p.25),
[...] não podemos pensar que chegamos a uma pesquisa como um ‘saco
vazio’. Não! temos vida, temos história, temos emoção! [...] e quanto mais
emoção colocarmos em nossas pesquisas, mais vida elas terão. Não
podemos pensar que, para mantermos a objetividade, devamos ocultar a
emoção. O sujeito não pode ser oculto, nem o pesquisador, nem o
pesquisado, ambos são saturados de história, são plenos de possibilidades.
No entanto, Goldenberg (1999) alerta que o pesquisador tem que tomar
cuidado para que seus preconceitos e crenças não contaminem a investigação. É
preciso ter consciência de como sua presença afeta o grupo e até que ponto se pode
minimizar essa interferência, ou mesmo, analisá-la como dado da pesquisa. Dessa
forma, se torna fundamental que se explicite os seus passos, visando evitar o bias,
de modo a prevenir a interferência dele nas conclusões. Nesse sentido, a autora
sugere que “o pesquisador deve buscar [...] a objetivação: o esforço controlado de
conter a subjetividade. [...] Quanto mais o pesquisador tem consciência de suas
preferências pessoais mais é capaz de evitar o bias” (p.45, grifo da autora).
Nesse sentido, Bogdan e Biklen (1994) nos orientam a estudar objetivamente
as questões subjetivas inerentes à pesquisa. E, para tanto, alertam que é importante
a seleção de métodos que “limitem” substancialmente o viés do envolvimento do
pesquisador, apesar deste nunca ser totalmente “eliminado”. Consideram relevante,
ainda, que o pesquisador procure reconhecer, ter ciência desse enviesamento, na
busca de aprender a lidar com ele. Uma sugestão, segundo esses autores, é
trabalhar em grupo, compartilhando as notas de campo e os dados para análise e
86
crítica dos colegas, como uma forma de proteção a esse enviesamento. Essa é uma
prática constante no GPIMEM
24
, e os resultados consoam com a opinião dos autores.
Nesse grupo acontecem reuniões semanais que propiciam aos seus membros o
compartilhamento de suas pesquisas, além do recebimento de contribuições dos
colegas, e a apresentação de sugestões do seu encaminhamento, no sentido de
limitar o viés da pesquisa.
5.2 A origem da pesquisa
Esta pesquisa partiu da vontade de se criar um ambiente que discutisse
Matemática à distância. Narrarei brevemente o caminho percorrido, as tentativas e
fracassos, e a pergunta diretriz inicial que ajudaram a concretizar, enfim, um curso
de Geometria, oferecido a professores de Matemática.
Ao pensar inicialmente esta pesquisa, o objetivo principal era analisar
discussões matemáticas, a partir da seguinte pergunta norteadora: como acontecem
as discussões matemáticas em um ambiente virtual? Esse ambiente, a princípio, seria
uma rede que envolveria professores e futuros professores (alunos de graduação) de
Matemática. Estavam muito claras as razões pelas quais não queria desenvolver um
curso a distância para, então, analisar as discussões matemáticas. No meu ponto de
vista, a rede manteria envolvidas pessoas que realmente gostariam de discutir
problemas de Geometria, pois a participação seria espontânea e não haveria
compromisso formal. Já com o curso, corria-se o risco de envolver pessoas que, por
motivos diversos, tivessem interesse maior no certificado ou fossem pressionadas a
participar, por exemplo.
Além disso, não era meu objetivo inicial propor um conteúdo programático,
determinar quais conteúdos seriam discutidos pelos participantes, o que seria
necessário caso fosse criado um curso. Queria um ambiente aberto para que
participantes pudessem trazer problemas que vivenciaram em suas salas de aula,
24
Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática.
87
dúvidas matemáticas que possuíam, ou qualquer problema de Geometria que
julgassem interessante discutir.
Também não desejava me preocupar com limitações de tempo. Não
pretendia centrar atenção em datas, iniciais e finais, como acontece com os cursos.
Esta seria uma rede que não se poderia programar o fim. Ela duraria enquanto
houvesse interesse dos participantes, como discute a literatura apresentada no
capítulo III deste trabalho. Seria necessário, no entanto, em um certo momento,
fechar a análise para a pesquisa, pois esta, sim, tem prazo. Mas outras pesquisas
poderiam continuar a acontecer a partir desse mesmo ambiente, por exemplo.
A partir dessas perspectivas estabelecidas, comecei a convidar professores e
futuros professores que quisessem participar. Não demorou muito e dezesseis
pessoas estavam inscritas. Seria, então, o início da coleta de dados. No entanto, não
foi assim que aconteceu. As participações eram mínimas. O relatório disponibilizado
pela plataforma mostrava que algumas pessoas nem acessaram o ambiente. Outros
nada escreveram. A discussão não se expandia.
Descrevo aqui essa experiência porque penso ser importante narrar não
apenas os momentos positivos da pesquisa, mas, também, as dificuldades. Como
orientam Alves-Mazzotti (2001) e Goldenberg (1999), as observações, as impressões,
os obstáculos, os (des)caminhos e os insights que levaram a decisões no decorrer da
pesquisa devem ser descritos no trabalho. Ademais, é possível vislumbrar um
aspecto positivo nesse fato, se olhado do ponto de vista do aprendizado, do
crescimento, do amadurecimento da pesquisa, em contrapartida, claro, ao ponto
negativo que foi a perda de um semestre centrando atenção nessa atividade que não
prosperou, visto que o tempo para a realização da pesquisa é curto.
Não vou me alongar tentando explicar porque a discussão na rede não se
efetivou, uma vez que tenho apenas hipóteses, que não foram devidamente
exploradas. Apesar de ter explicitado aos participantes a minha intenção em utilizar a
rede como ambiente de coleta de dados para uma pesquisa, e ter obtido deles a
concordância de se manterem na rede nessas condições, o que pude perceber foi
que nesse tipo de proposta o comprometimento com o tempo é muito difícil. Ao
contrário do curso, em que sabemos que tanto professor quanto alunos têm suas
88
“obrigações”, em uma rede ninguém é obrigado a nada. Não há mecanismos que
garantam a participação das pessoas e é natural que seja assim.
Depois de esperar alguns meses na expectativa de reverter este quadro,
decidimos
25
que era hora de pensar em outro caminho para a coleta de dados. Essa
reestruturação da pesquisa é característica do que Lincoln e Guba (1985) chamaram
de design emergente, o qual Araújo e Borba (2004) traduzem como sendo o plano e
as estratégias que vão sendo (re)construídos à medida que a pesquisa se
desenvolve. Não havia determinado antecipadamente uma estrutura rígida de
pesquisa, e os procedimentos passaram a ser repensados.
Como percebemos que o envolvimento sem mecanismos de controle não
resultou em participações ativas, optei pela análise de um curso. Seria importante,
então, que fosse um curso aberto, que contemplasse parte das perspectivas que
buscávamos no desenvolvimento da rede. Tivemos que abrir mão de questões como
a existência de temas de estudo previamente estabelecidos e limitação do tempo,
com datas para início e término, pois todo curso tem essa característica. Mas
contemplamos outras perspectivas, como a de atender demandas dos professores,
que podiam nos trazer suas dúvidas, questionamentos, problemas de sala de aula; e
o fato de contar com pessoas de diversas localidades do país, o que justificou a
realização de um curso totalmente online.
Com essa reestruturação da pesquisa a pergunta diretriz também foi revista.
E como Araújo e Borba (2004, p.27) ressaltam, é possível que se pense que o
[...] caminho percorrido até o estabelecimento da pergunta tenha sido cheio
de enganos, não merecendo ser divulgado, e não [se] perceba que a
pergunta é a síntese desse caminho, ou seja, que todo processo de
construção da pergunta faz parte da própria pergunta.
E como esses autores sugerem, a pergunta pode ser modificada na medida
em que o foco da pesquisa é transformado. Nessa reestruturação, percebemos que,
por acompanhar um curso com encontros síncronos, os quais podemos considerar
como aulas, poderia ampliar a questão inicial, não centrando na discussão
matemática que ocorre em ambiente virtuais, mas na natureza da aprendizagem
matemática que se deu a partir dessa discussão.
25
Ao definir os caminhos e (des)caminhos da pesquisa, tive orientação da Profa. Dra. Miriam Penteado, portanto
uso, nesse caso, primeira pessoa do plural para expressar nossas percepções e escolhas.
89
Em resposta à demanda de formação continuada, que oportunizasse a
reflexão sobre questões como informática educativa, e familiarizasse os professores
de Matemática com um software de Geometria, o Geometricks, um curso foi
oferecido para os professores da Fundação Bradesco, o qual fui convidada a
participar, da elaboração ao desenvolvimento, atuando como professora, em parceria
com o Prof. Dr. Marcelo Borba. Esse curso se tornou cenário para a realização desta
e de outras pesquisas.
5.3 Procedimentos
Martinelli (1999, p.25) nos chama a atenção que “nenhuma metodologia se
aplica por si só, pois ela é sempre relacional e depende de procedimentos”. No
entanto, é sabido que o método é sempre uma relação entre o pesquisador e os
participantes e, assim sendo, ninguém pode escolher por nós, pesquisadores, o
‘melhor método’, pois “se é relação, pressupõe que nos identifiquemos com suas
características peculiares, alcance e possibilidades” (p.26). Além disso, como afirma
Goldenberg (1999, p.13), “nenhuma pesquisa é totalmente controlável, com início,
meio e fim previsíveis. A pesquisa é um processo em que é impossível prever todas
as etapas”.
E detalhar os procedimentos inclui indicar e justificar “as etapas de
desenvolvimento da pesquisa, a descrição do contexto, o processo de seleção dos
participantes, os procedimentos e o instrumental de coleta e análise dos dados, e os
recursos utilizados para maximizar a confiabilidade dos resultados” (ALVES-
MAZZOTTI, 2001, p.159). A escolha das práticas interpretativas e dos procedimentos
se constitui no processo de pesquisa, não sendo necessariamente definidas
previamente, pois dependem da pergunta diretriz que, por sua vez, também pode se
(re)construir durante o processo (DENZIN; LINCOLN, 2000). Segundo Goldenberg
(1999, p.62),
[...] é o processo da pesquisa que qualifica as técnicas e os procedimentos
necessários para as respostas que se quer alcançar. Cada pesquisador deve
estabelecer os procedimentos de coleta de dados que sejam mais
adequados para o seu objeto particular.
90
A utilização de múltiplos procedimentos favorece a confiabilidade da
pesquisa. E a análise a partir dessa multiplicidade de procedimentos de coleta de
dados é denominada de triangulação, e pode facilitar a compreensão do fenômeno
pesquisado. A triangulação reflete uma tentativa de assegurar uma compreensão
profunda do fenômeno estudado. Ela “não é uma ferramenta ou estratégia DE
validação, mas uma alternativa PARA a validação” (LINCOLN; GUBA, 2000, p.5, grifo
meu).
Essa combinação de métodos tem por objetivo abranger a máxima amplitude
na descrição, explicação e compreensão do objeto estudado (GOLDENBERG, 1999).
Tem sido, ainda, “considerada como um processo de usar múltiplas percepções para
esclarecer significados, verificar a repetibilidade de uma observação ou
interpretação, [...] identificando maneiras diferentes que o fenômeno está sendo
visto” (STAKE, 2000, p.443). Fontana e Frey (2000, p.668) acrescentam:
Está crescendo o número de pesquisadores que usam abordagens
multimetodológicas para alcançar mais amplo e profundo resultado. Essa
abordagem multimetodológica, referida como triangulação, possibilita ao
pesquisador diferentes métodos em diferentes combinações.
Além disso, a triangulação pode “aumentar a credibilidade de uma pesquisa
que adota a abordagem qualitativa, [credibilidade essa] entendida como a
plausibilidade, para os sujeitos envolvidos, dos resultados e interpretações feitas pelo
pesquisador” (ARAÚJO; BORBA, 2004, p.35).
Com essa preocupação, busquei utilizar, nesta pesquisa, diferentes fontes de
coleta de dados. O curso possibilitou o uso de recursos como o chat, e-mail, fórum e
videoconferência. Todos eles foram disponibilizados pelo ambiente do curso, de
responsabilidade da Fundação Bradesco. Isso permitiu a coleta de uma variedade de
dados, os quais foram organizados de forma a selecionar momentos, frases,
atividades que estavam diretamente relacionados com a pergunta diretriz dessa
pesquisa, como sugerem Barros e Lehfeld (1990), Bogdan e Biklen (1994) e Fine et
al. (2000).
O chat, por exemplo, tem uma linguagem escrita e o registro é automático,
pois o que é escrito fica arquivado. Da mesma forma os e-mails e a comunicação
pelo fórum. Já a videoconferência tem o registro de áudio e imagem. Sua
comunicação acontece em um outro tipo de linguagem, propiciando, então, dados de
91
natureza diferente. De todo modo, grande parte do áudio das videoconferências foi
por mim transcrito. Somando-se a isso, as atividades desenvolvidas e enviadas pelos
alunos-professores
26
, que além da resposta escrita, vinham acompanhadas de
arquivos do Geometricks
27
. Todos esses materiais compõem os dados desta pesquisa
e foram analisados conjuntamente, na expectativa de amenizar o possível viés da
pesquisa.
Destaco que pelo fato do curso ter se desenvolvido totalmente à distância,
seus dados foram gerados por meio digital. Os registros eram automáticos e a
recuperação poderia acontecer instantaneamente. Isso propicia maior fidedignidade,
uma vez que os dados podem ser freqüentemente retomados, de qualquer lugar, a
qualquer momento. Também os alunos-professores, poderiam retomar as discussões
do chat e/ou da videoconferência quando desejassem
28
.
Dessa forma, a análise se deu a partir de várias ferramentas online. E para
desenvolvê-la, se fez necessário uma delimitação progressiva do foco de estudo,
bem como reformulações de questões analíticas e aprofundamento teórico, como é
natural em pesquisas de abordagem qualitativa. Com o intuito de situar a pesquisa
entre as já existentes, apontando semelhanças e diferenças, os dados foram
constantemente confrontados com a literatura pertinente. Para a análise final foi
realizada a construção de um conjunto de temas descritivos, com suporte do
referencial teórico, estabelecendo uma primeira classificação dos dados,
determinando a necessidade (ou não) de se criar novas categorias conceituais, que
foram interpretadas à luz da literatura e com a intuição e sensibilidade do
pesquisador, como orienta Barros e Lehfeld (1990).
Vale ressaltar que a pesquisa foi se modificando com o seu desenvolvimento.
Inicialmente apenas a primeira versão do curso seria fonte de coleta de dados, com
26
Como os alunos deste curso são professores da rede de escolas da Fundação Bradesco, quando uso
“alunos-professores” referimo-me aos alunos do curso. Como os professores do curso éramos eu e o
prof. Marcelo Borba, escrevo na primeira pessoa do plural quando me refiro às nossas idéias e ações
conjuntas.
27
Como será melhor explicitado ainda neste capítulo, o curso disponibilizava algumas atividades para
os alunos-professores, que deveriam desenvolvê-las e retorná-las aos professores. Como elas
envolviam construções com o Geometricks, era usual que fossem enviados dois arquivos: um escrito,
com respostas às perguntas e outro com as construções realizadas no software.
28
O texto gerado pelo chat e a gravação da videoconferência ficavam disponíveis no site da Fundação
Bradesco. Se um aluno-professor perdesse um dos encontros, ou mesmo se quisesse retomar alguma
discussão, isso poderia ser feito com acesso direto no site.
92
vistas a concluir essa pesquisa em um prazo de três anos. No entanto, ao final dessa
primeira edição, pudemos vislumbrar ricas possibilidades com um recurso do
software até então desconhecido e decidimos que valeria a pena estender a análise
às edições seguintes, ainda que demandasse mais tempo para a conclusão do
trabalho.
Com os registros das três edições em mãos, iniciei o processo de triangular
os dados. Li a discussão de todos os chats e assisti as videoconferências diversas
vezes. Permeando esses momentos, revia as respostas dos alunos-professores,
enviadas por e-mail, para melhor entender a solução que apresentavam nos
encontros síncronos. Alguns pontos se destacaram no decorrer das discussões
matemáticas, os quais considerei ter relação direta com a natureza da aprendizagem
nesse ambiente. Assim, compus os três eixos de análise, com vistas a salientar
aspectos relevantes da aprendizagem matemática nessa experiência de EaD.
5.4 O curso
Nesta seção apresento a estrutura do curso Geometria com Geometricks,
cenário de onde foram coletados os dados desta pesquisa, detalhando sua
organização, desde a negociação inicial para que o curso se efetivasse, seus
objetivos, os participantes e a natureza das atividades desenvolvidas. Trarei, ainda,
algumas das idéias apresentadas na caracterização do cenário da EaD, presentes no
capítulo III, discutindo-as com olhar voltado para o curso.
5.4.1 O ponto de partida
Como mencionado anteriormente, o Prof. Dr. Marcelo Borba manteve contato
com a Fundação Bradesco, tendo sugerido um curso de Geometria com vistas ao
desenvolvimento profissional de seus professores. Como essa instituição adquiriu o
software Geometricks, havia uma demanda por um curso que contemplasse também
93
a familiarização dos professores com essa mídia. Uma vez aceito pela Fundação
Bradesco, e acertadas as tratativas, o curso foi denominado Geometria com
Geometricks. E, em acordo com aquela Fundação, esse curso seria objeto de estudo
em pesquisas realizadas por membros do GPIMEM, dentre elas, a presente
investigação.
A Fundação Bradesco tem uma estrutura organizacional que considero
relevante apresentar. É constituída de 44 escolas, sendo pelo menos uma em cada
estado brasileiro. Em todas elas há laboratórios de informática com estrutura para
atender as classes que têm, em média, 50 alunos. Os laboratórios de informática
contam com aproximadamente 25 máquinas, para os alunos trabalharem em dupla.
Seu objetivo é atender alunos de nível econômico menos favorecido,
situando-se em regiões com moradores de baixa renda. Em duas cidades, as escolas
ficam em lugares tão afastados que funcionam no modelo de internato. Tanto alunos
como professores ficam na escola durante toda a semana, em período integral, pois
não há transporte hábil para voltarem para casa. Alguns desses professores
participaram do curso.
Nosso objetivo geral era, então, familiarizar os professores da Fundação
Bradesco com o software Geometricks, para que este pudesse ser incorporado nas
aulas de Matemática. Alguns objetivos específicos, por sua vez, se faziam presentes
por trás dessa proposta.
Um deles é a formação matemática. O curso era uma oportunidade para os
professores da Fundação revisitarem conceitos matemáticos. Era um espaço para o
estudo de Geometria, a partir da exploração de propriedades e construções
geométricas.
Além disso, as atividades foram elaboradas com base nos livros didáticos
adotados pela Fundação Bradesco (IMENES; LELLIS, 1997; SMOLE; DINIZ, 2003).
Nossa expectativa era que os alunos-professores pudessem perceber possíveis
relações entre os exercícios neles propostos e os recursos do Geometricks, de modo
a vislumbrar caminhos para a utilização desse software no desenvolvimento do
conteúdo matemático apresentado. Com essa perspectiva, incentivamos, ainda, a
elaboração de novas atividades pelos alunos-professores, uma vez que preparar
material para o desenvolvimento de aulas com o computador é um processo
94
importante para efetiva incorporação da tecnologia informática na aula de
Matemática.
Questões pedagógicas sobre o uso da informática em aulas de Matemática
também foram abordadas. Para incorporar uma tecnologia informática na prática
docente é preciso que o professor reflita, discuta sobre aspectos positivos e sobre as
dificuldades desse processo, de modo que se sinta seguro e preparado a enfrentar
possíveis desafios.
O desenvolvimento profissional dos professores da Fundação Bradesco era,
portanto, reconhecido como relevante desde a elaboração do curso. Suas
experiências eram valorizadas e procuramos preparar e desenvolver o curso de modo
que essas experiências pudessem ser compartilhadas.
E para que o curso se efetivasse, era preciso que os professores tivessem
um dia da semana em que pudessem participar de encontros síncronos por duas
horas. Encontrar esse dia e horário foi o primeiro, e complicado, passo. A pessoa
responsável pela área de EaD, do setor de projetos da Fundação Bradesco, iniciou os
contatos com as escolas, divulgando o curso, perguntando quem tinha interesse em
participar e qual a preferência de horário.
Houve casos em que os professores disponibilizaram horários como: das
0:00 à 1:00, 18:47 às 19:39. Acredito que estes horários surgiram em função do
modelo de curso à distância que a Fundação costumava oferecer. Usualmente não
havia encontros síncronos obrigatórios, possibilitando que o professor organizasse
seu horário e desenvolvesse as atividades de acordo com seu tempo disponível, visto
que grande parte deles trabalha não apenas nas escolas da Fundação, mas em
outras escolas também, tendo uma alta carga horária de trabalho, como grande
parte dos professores em geral. Depois de esclarecido que seriam realizados
encontros síncronos, foi possível encontrar um horário comum: sábado pela
manhã
29
.
29
Na primeira edição do curso houve maior dificuldade de estabelecer um horário para os encontros
síncronos. Dessa forma, um horário alternativo ficou estabelecido para aqueles que não poderiam
participar aos sábados: a terça à noite. Essa turma era composta por apenas oito alunos-professores e
nem sempre o prof. Marcelo participava. Por analisar a natureza da aprendizagem matemática, e não
especificidades de cada edição do curso, estou considerando que as turmas de terça e sábado, desse
semestre, compõem a primeira edição do curso.
95
Uma primeira edição do curso aconteceu no segundo semestre de 2004. Ao
longo desse período foram agendados oito encontros, tentando respeitar um
intervalo de pelo menos duas semanas entre eles, para que os alunos-professores
tivessem tempo hábil para desenvolver as atividades propostas. O curso limitava o
número de participantes em 25, para que fosse possível contemplar aspectos
considerados fundamentais, como o diálogo, o compartilhamento de idéias, etc. A
procura foi grande, e para contemplar todos os professores da Fundação
interessados, por mais dois semestres este curso foi novamente oferecido. Assim, no
primeiro semestre de 2005 se desenvolveu a segunda edição do curso e, no
semestre seguinte desse mesmo ano, uma terceira. Para a análise, tomo como foco
a natureza da aprendizagem matemática no contexto desse curso, considerando,
então, suas três edições.
No total, foram envolvidas 31 escolas, sendo 76 o total de alunos-
professores
30
. Houve incentivo para que mais deles se inscrevessem de uma mesma
unidade, pois isso facilitaria as discussões e o desenvolvimento conjunto das
atividades no período assíncrono do curso. O Anexo A apresenta a origem dos
alunos-professores de cada edição do curso.
Assim sendo, em algumas escolas os alunos-professores trabalharam em
grupo, presencialmente nos momentos assíncronos, e, por vezes, nos síncronos, se
reunindo em um único computador para, por chat ou videoconferência, compartilhar
suas idéias e questionamentos.
5.4.2 Os recursos
Os recursos tecnológicos utilizados foram variados. A estrutura da Fundação
Bradesco disponibiliza um ambiente na Internet em que os alunos-professores
podem acessar as denominadas “telas” do curso
31
. Essas telas foram preparadas por
30
Saliento que do total de 76 alunos-professores, apenas 7 desistiram. Os demais participaram
ativamente e obtiveram aprovação. É um número baixo de evasão, mas não temos condições de
afirmar o que o justifica. Certamente o apoio institucional é um aspecto a ser considerado
positivamente.
31
Em www.escolavirtual.org.br.
96
nós, professores, e tinham a função de apresentar o curso aos alunos, bem como
disponibilizar as atividades a serem desenvolvidas. Como exemplo, uma tela:
Figura 5.1
Ao acessar esse ambiente, o aluno-professor não apenas poderia fazer a
leitura das telas como usufruir dos demais recursos. Na parte inferior é possível
visualizar alguns ícones. Dois deles tinham a função de adiantar e retroceder. Um
outro apresentava o índice remissivo, para que se pudesse ir direto a uma
determinada página. Havia também um ícone para a comunicação por fórum e um
para o envio de e-mail aos professores direto desse ambiente. Dessa forma, os
alunos-professores poderiam estar em constante contato conosco e com os colegas.
Em um link desse site havia um espaço, chamado painel, em que estava a
agenda do curso (com datas importantes) e ainda constava de outros recursos os
quais não foram muito utilizados: “artigos” (onde se poderia anexar artigos para
download); “quadro de avisos”; “atividades” (para disponibilizar atividades no
decorrer do curso); “FAQ”; “e-mail”; “fotos”; e “memorial”.
Link para download das
atividades
Ícones de navegação
pelas telas e de acesso
direto ao fórum e
e-mail do professor
Link para o painel
97
Figura 5.2
Além desse ambiente, de acesso restrito por senha, era possível utilizar um
ambiente da Fundação para a realização de videoconferência. Bastava acessar uma
página específica
32
, dispondo de login e senha, e todos tinham acesso a esse
recurso, pela plataforma Centra One, em qualquer ponto do país. E nós, professores,
poderíamos acessar o site e coordenar o encontro em qualquer computador de
conexão rápida
33
.
Esse ambiente dispunha de recursos que possibilitavam a comunicação
síncrona entre professores e alunos-professores. Havia dois grupos:
“apresentadores” e “participantes”. No grupo de apresentadores, além de um técnico
da Fundação Bradesco (na unidade de Osasco/SP), que dava suporte dessa natureza
e ficava responsável pela gravação da videoconferência, estávamos eu e um técnico
do GPIMEM (em Rio Claro/SP). No grupo de “participantes” ficavam os alunos-
professores e, por questões técnicas, o Prof. Marcelo
34
. O som ficava sob o comando
dos apresentadores, mas era acessível a todos. Nesse caso, como acontece em
videoconferências, todas as pessoas conectadas ao ambiente ouviam a pessoa que
estivesse falando.
32
Em www.conferencia.org.br
33
A conexão discada tornaria o acesso muito lento e interrompido.
34
Como o “participante” tem acesso a um número menor de recursos da plataforma, sua conexão fica
menos pesada e a probabilidade de queda é menor. Então, para fazermos uso dos recursos sem
correr muito risco de perder a conexão, um de nós ficava como “apresentador” e outro como
“participante”.
98
Figura 5.3 Figura 5.4
Observo que, embora a plataforma utilizada para a videoconferência
permitisse o compartilhamento de imagem dos participantes
35
(figura 5.3), devido às
limitações técnicas de conexão da Internet (havia pessoas conectadas em lugares
distantes, cuja conexão ficaria lenta e, possivelmente, interrompida se a imagem
fosse disponibilizada, pois tornaria o site “pesado”), preferimos não manter a
imagem das pessoas e a tela do Geometricks simultaneamente. As imagens pessoais
foram disponibilizadas no momento da apresentação e, na maior parte do tempo,
restringimos apenas ao som e a tela do software (figura 5.4), onde eram realizadas
as construções geométricas.
A tela do computador do laboratório do GPIMEM que eu utilizava era
compartilhada e isso permitia que todos pudessem ver o que era aberto na máquina.
Poderia ser um arquivo do Word, do Power Point, ou qualquer outro do nosso
interesse. O que usamos com maior freqüência foi o Geometricks. Como mencionei
acima, dessa forma era possível manusear o software, fazer construções
geométricas, sendo tudo acompanhado pelos alunos-professores.
Uma alternativa rica foi descoberta ao final da primeira edição do curso
36
e
usada com maior intensidade nas edições seguintes: era possível permitir que
qualquer participante controlasse o mouse da minha máquina. Ou seja, eu abria o
Geometricks e permitia que outra pessoa fizesse a construção, como se a tela que
estava compartilhada fosse a do seu computador. Por estar com o controle do
35
Imagem capturada por uma webcam, que poderia ser nossa ou dos alunos-professores.
36
A Fundação Bradesco nos ensinou como usar o ambiente de videoconferência, mas nem mesmo os
técnicos dessa instituição conheciam todos os recursos disponíveis. Possivelmente não foi sentida a
necessidade de um recurso dessa natureza pelas pessoas que o utilizavam, então não foi explorada
essa possibilidade do ambiente.
99
mouse, que associamos a uma caneta, em Zulatto e Borba (2006) denominamos
essa possibilidade de “passar a caneta”. Isso possibilitava uma participação mais
ativa dos alunos-professores, que poderiam realizar no Geometricks as construções
que elaboraram quando do desenvolvimento das atividades.
Ressalto, nesse contexto, a parceria que desenvolvi com o Prof. Marcelo.
Enquanto “apresentadora”, ficava comigo o domínio da “caneta” quando nós
apresentávamos uma solução à atividade em discussão. Simultaneamente o Prof.
Marcelo seguia narrando a construção, fazendo apontamentos, levantando
questionamentos, fazendo brincadeiras que mantinham o clima da aula agradável,
buscando a participação dos mais calados. Quem participava do curso sentia, nesse
momento, uma “presença” maior do prof. Marcelo, por ouvi-lo na maior parte do
tempo, já que poucas vezes me expressei oralmente. No entanto, atuei, com ele,
durante todo o desenvolvimento dos encontros síncronos.
E essa parceria demandava muita sintonia entre nós dois. Era preciso ter
atenção para entender suas solicitações, explicitadas pela sua fala “ao vivo”,
enquanto eu realizava as construções no Geometricks. Ele, por sua vez, também
precisava adequar sua fala quando eu realizava algumas construções “inesperadas”.
Destaco, nesse processo, o importante papel da preparação das aulas, pois era o
momento para afinarmos nossas idéias, planejarmos os caminhos a serem traçados,
os recursos utilizados para desenvolver as soluções, etc.
Já no período assíncrono, os alunos-professores mantinham maior contato
comigo. Eu os acompanhava no decorrer da semana, por e-mail, esclarecendo
dúvidas (muitas vezes em menos de 24 horas), recebendo as atividades por eles
desenvolvidas e, depois de cada encontro, comentando as soluções. Quando
necessário, o Prof. Marcelo se envolvia nesse processo. Nesses momentos minha
“presença” era mais perceptível.
5.4.3 As atividades
Assim como Ponte et al. (1998), entendo que as propostas investigativas são
aquelas de cunho aberto, que dão “ênfase a processos matemáticos como procurar
100
regularidades, formular, testar, justificar e provar conjecturas, refletir e generalizar”
(p.15) e que se caracterizam pelo “estímulo que fornecem ao aluno para este
justificar e provar as suas afirmações, explicitando matematicamente as suas
argumentações perante seus colegas e o professor” (p.16).
Para que uma atividade seja efetivamente investigativa, esses autores
salientam que é necessário que ela seja motivadora e desafiadora, não sendo
imediatamente acessível sua solução ou seu processo de resolução.
Numa investigação, parte-se de uma situação que é preciso compreender ou
de um conjunto de dados que é preciso organizar e interpretar. A partir daí,
formulam-se questões, para as quais se procura fazer conjecturas. O teste
destas conjecturas e a recolha de mais dados podem levar à formulação de
novas conjecturas ou à confirmação das conjecturas iniciais. E neste
processo podem surgir também novas questões a investigar (PONTE et al.,
1998, p.16).
As atividades do curso Geometria com Geometricks foram planejadas de
modo a levar os alunos-professores a explorar conceitos e justificativas matemáticas,
assim como possibilitar a familiarização com os menus do Geometricks. Elas foram
divididas em quatro temas: “familiarização com o software”, “semelhança”, “simetria”
e “geometria analítica”.
Em cada um deles os alunos-professores tiveram acesso a um conjunto de
atividades a serem desenvolvidas com o auxílio do software. A maioria delas foi
preparada tendo como base os livros adotados pela Fundação Bradesco (IMENES;
LELLIS, 1997; SMOLE; DINIZ, 2003). Dessa forma, acreditávamos que estaríamos
oportunizando que os alunos-professores vivenciassem o conteúdo da sala de aula
com o uso do Geometricks.
As atividades foram preparadas de forma que os alunos-professores já
pudessem utilizá-la em suas aulas, com pequenas adaptações, se necessário. E, para
incentivar a elaboração de atividades dessa natureza, a última tarefa a ser
desenvolvida por eles era a elaboração de novas atividades, que também estariam
aptas a serem utilizadas em suas salas de aula, com o Geometricks. Dessa forma,
teriam um ambiente de discussão, onde críticas e sugestões estariam surgindo entre
os colegas de curso.
Antes de cada encontro síncrono, que era relacionado a algum dos temas, os
alunos-professores deveriam enviar o conjunto de atividades desenvolvidas, assim
101
como o(s) arquivo(s) das construções realizadas no Geometricks. Dessa forma, era
possível prepará-lo, pois poderíamos observar onde estavam acontecendo as
dificuldades, as dúvidas e os erros em cada tema. Também os alunos-professores
estariam se preparando para o encontro, pois já haveriam pensado sobre as
atividades e já saberiam onde estavam tendo mais dúvidas.
Como não havia tempo hábil para discutir todas as atividades nos encontros
síncronos e julgávamos importante oferecer um feedback de todas elas,
posteriormente eu enviava, a cada aluno-professor, comentários das atividades que
haviam desenvolvido, mencionando não apenas os eventuais erros, mas
apresentando outras possibilidades de construções, e fazendo novos
questionamentos a partir das respostas que nos haviam enviado, com o intuito de
incentivar ainda mais a exploração das mesmas, ampliando também o diálogo.
Essas atividades constituíam parte dos requisitos para aprovação no curso.
Além delas, era considerada a participação nos encontros síncronos e, para tanto,
era incentivado que todos tentassem expor suas idéias, suas soluções aos problemas
propostos, suas questões às leituras realizadas, etc. Dessa forma, nas três edições
do curso, os encontros foram assim divididos:
Tema do encontro O que era explorado
Encontro 1 Aula inaugural
Apresentação dos recursos do Geometricks, a partir de
atividades matemáticas
Encontro 2 Familiarização com o software
Foram as primeiras atividades desenvolvidas pelos
alunos-professores. Abordavam conceitos matemáticos
comumente presentes na sala de aula, como a soma
dos ângulos internos e externos de um triângulo, para
que os alunos-professores pudessem centrar esforços
na familiarização inicial com os recursos do software
Encontro 3 Semelhança Atividades que abordavam o tema “semelhança”
Encontro 4 Leitura
Foi proposta a leitura de duas referências. Umas delas
tratava do uso de tecnologia informática na sala de
aula de Matemática e a outra focava questões de
geometria dinâmica
Encontro 5 Simetria Atividades que abordavam o tema “simetria”
Encontro 6 Geometria Analítica
Atividades que abordavam o tema “Geometria
Analítica”
Encontro 7 Atividade dos alunos-professores
Foram discutidas as atividades elaboradas pelos
alunos-professores. Cada um deles deveria ler e
apontar sugestões a pelo menos duas atividades dos
colegas, para enriquecer a discussão e propiciar seu
aperfeiçoamento
Encontro 8 Fechamento
Momento de retomar questões que ficaram em aberto
e de realizar uma avaliação final do curso
102
Algumas das particularidades do curso serão agora discutidas considerando
aspectos da EaD, descritos no capítulo III.
5.4.4 Características da EaD e o curso Geometria com Geometricks
O curso Geometria com Geometricks foi uma experiência que, notadamente,
fez parte da terceira geração de EaD. Por não ter encontros presenciais, se
caracterizou por um curso de Educação a distância, e, pelo uso da tecnologia
informática para a comunicação, via chat, videoconferência, e-mail, etc., foi uma
experiência de EaD online, que envolveu pessoas de diferentes localidades do país,
rompendo as barreiras geográficas.
À exceção do período de desenvolvimento das atividades, que transcorria em
horários de preferência individual/grupal, o curso foi caracterizado por encontros
síncronos. Esse pode ser considerado o seu diferencial. Embora não possibilitasse
grande flexibilidade de tempo, essa opção oportunizava o contato direto entre os
participantes, ajudando a quebrar o distanciamento entre eles, aproximando-os para
trocar idéias, expor dúvidas, discutir problemas e explorar as atividades propostas.
Era um canal importante de comunicação entre todos os envolvidos.
Dessa forma, acredito que a crítica maior à EaD, que é a possível falta de
envolvimento, foi superada. Apesar da videoconferência não ter se utilizado da
câmera constantemente, o “olho no olho” foi substituído pelas conversas e pelas
trocas de e-mails, que nos permitiram conhecer os participantes.
É importante ainda pontuar que para o curso acontecer dessa forma foi
preciso contar com bons recursos tecnológicos e rápida conexão. Os recursos
possibilitaram o diálogo, escrito e oral, e o envolvimento entre as pessoas. A
Fundação Bradesco disponibilizou um ambiente em que a comunicação entre os
professores e os alunos-professores era facilitada. Havia na tela um ícone que
conectava o aluno diretamente ao e-mail, fórum e acesso ao material. E a
videoconferência, apesar dos problemas técnicos enfrentados, possibilitou um
contato ainda mais próximo entre os participantes.
103
Os problemas técnicos, no entanto, sempre ocorrem. O importante, nesse
aspecto, é ressaltar que pudemos contar com apoio técnico especializado. Apesar de
a Fundação Bradesco ter se proposto a apoiar os alunos-professores, os técnicos não
estavam com eles em todos os encontros síncronos na primeira edição. No decorrer
da semana os técnicos estavam à disposição, mas algumas vezes era imprescindível
que eles estivessem presentes no encontro síncrono, para ajudar a superar os
problemas que surgiam.
Esse foi um aprendizado importante, e nas edições seguintes cada escola
participante contava com um técnico dando suporte também no sábado. Por outro
lado, questiono essa necessidade: sempre teremos que ter um técnico conosco para
realizarmos um curso à distância? Sabemos que essa demanda implica um alto custo.
E se não for assim, quanto temos que dominar dos recursos tecnológicos para
conseguir acompanhá-lo?
Considero relevante ponderar que estamos vivenciando uma fase de
transição. Usar as TIC no desenvolvimento de cursos à distância é uma prática
relativamente recente. Quando o telefone começou a ser utilizado, era preciso a
ajuda da telefonista para fazer uma ligação. Tanto do ponto de vista técnico, como
de familiarização pessoal, essa fase foi superada. Creio que, com o tempo,
estaremos mais familiarizados com os recursos informáticos e as plataformas ficarão
mais acessíveis, o que diminuirá a demanda por um apoio técnico especializado com
tamanha intensidade.
Ainda assim, é certo que investir na tecnologia e no apoio técnico é uma
decisão relacionada à proposta do curso. O curso Geometria com Geometricks focava
o processo de produção do conhecimento. Dessa forma, foi indiscutível a
necessidade de apoio técnico e é importante questionar a viabilidade desse apoio de
forma efetiva em cursos de formação em massa. Será que a popularização da EaD
possibilita esse apoio? Será que há espaço para a produção do conhecimento, para o
compartilhamento de informação e experiência entre os participantes? Ou somente
para a disponibilização de informação, no modelo broadcast apresentado por Valente
(2003b)?
O curso ainda teve uma participação ativa dos alunos-professores.
Procurávamos, na condição de professores, abrir espaço para que eles expusessem
104
suas construções geométricas, dúvidas e dificuldades. E incentivávamos que alguém
sugerisse soluções para os problemas, não focalizando em nós as informações, visto
que julgávamos que é nesse processo de troca que ocorre a produção do
conhecimento.
Nesse sentido, destaco nossa atuação como docentes. A postura adotada foi
baseada na visão de conhecimento comum a ambos. O fato de sermos dois atuando
como professores era um privilégio, pois permitia que “policiássemos” nossa
conduta, avisando um ao outro quando não agíamos em consonância com os
objetivos. Dessa forma, como sugere a literatura, tornamo-nos orientadores,
incentivadores, animadores, etc., permitindo que os alunos-professores explorassem
o conteúdo de forma colaborativa, numa comunicação de vários sentidos, e não
apenas unidirecional: professor-aluno. Professorar, dessa forma, foi certamente um
desafio, pelas características dessa experiência de EaD online.
Alguns outros pontos merecem uma reflexão cuidadosa. O primeiro deles é o
trabalho em grupo. Foi proposto que as atividades fossem elaboradas em conjunto.
Grande parte dos alunos-professores reuniu-se com colegas de sua escola, também
integrantes do curso, para desenvolver o trabalho. No entanto, havia algumas
unidades escolares em que somente um aluno-professor participava do curso, não
tendo como se reunir presencialmente. Com nosso incentivo, esperávamos que
estes, por necessidade, se organizassem em grupos virtuais para elaborar as
atividades.
Conjecturamos que isso não aconteceu. Na primeira edição três alunos-
professores até se contataram e trocaram idéias, mas optaram por elaborar
atividades individuais, como, de resto, ocorreu no desenvolvimento das demais.
Reuniram as três e enviaram como se tivessem sido preparadas coletivamente, mas
foi possível perceber que haviam sido agrupadas apenas para o envio, para
contemplar a exigência do trabalho em grupo. Parece que, nesse caso, mesmo com
as ferramentas disponíveis, o trabalho não foi realizado em grupo. Elas permitiam o
contato síncrono e assíncrono entre os alunos-professores, que poderiam se
comunicar, trocar atividades e informações através de e-mail, fórum e chat, que
tinha uma sala sempre aberta, sem necessidade de agendamento para a interação.
105
Talvez esse fato revele uma dificuldade, ou não familiaridade, em trabalhar em grupo
virtualmente.
O último ponto que gostaria de discutir refere-se à administração do tempo.
Organizá-lo foi uma tarefa complexa sob dois aspectos: síncrono e assíncrono.
Preparar e acompanhar um curso como esse (tempo assíncrono) superou nossas
expectativas. Foi necessário muito tempo de dedicação. Da mesma forma, pelos
comentários dos alunos-professores, eles tiveram que dispor de bastante tempo para
aprender a manusear o software e desenvolver as atividades.
Determinar a quantidade de atividades para cada encontro foi um
aprendizado importante. Percebemos que em alguns momentos erramos, excedendo
na quantidade, e constatamos isso ao ouvir dos alunos-professores que não foi
possível terminar todas as atividades porque estas eram muitas, ou que foram feitas
mas demandaram muito tempo.
Além disso, o tempo do encontro síncrono possibilitou o desenvolvimento de
apenas uma parcela das atividades propostas. Às vezes era possível perceber que a
discussão de uma mesma atividade se estenderia por muito tempo e ficávamos na
dúvida: avançamos nessa discussão, abrindo mão de discutir outras atividades do
conjunto proposto, ou deixamos algumas das questões levantadas para reflexão e
passamos às seguintes? Procuramos equilibrar e mesclar nossas decisões, e sabemos
que essas questões não são exclusivas da EaD, mas estão presentes também nela e,
portanto, merecem reflexão.
106
CAPÍTULO VI
UM RETRATO DAS
DISCUSSÕES MATEMÁTICAS
Não se pode observar diretamente os
processos de aprendizagem, mas, sim, a investigação
tal qual se manifesta na fala dos aprendizes
Helle Alrø e Ole Skovsmose
Neste capítulo descrevo algumas atividades desenvolvidas durante o curso
Geometria com Geometricks. Com o objetivo de analisar a natureza da aprendizagem
matemática, foram escolhidas aquelas com maior riqueza nas discussões
matemáticas.
6.1 Atividade 1
Na primeira edição do curso, quando o chat fora amplamente utilizado para
os encontros síncronos, foi proposta uma atividade sobre ângulos de um triângulo,
no encontro de “familiarização com o software”, descrita a seguir:
107
ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE UM TRIÂNGULO
1. Construa um triângulo e nomeie os vértices de A, B e C
2. Construa as semi-retas AB, BC, CA
3. Meça cada um dos ângulos internos deste triângulo
Obs.: Para medir os ângulos internos, entre no menu Observações e escolha a opção Ângulo
(po, po,po) ou Ângulo (re,re)
4. Calcule, com auxílio da calculadora, a soma das medidas dos ângulos internos
5. O que você observou?
6. Movimente o triângulo. O que acontece com a soma das medidas dos ângulos internos?
7. Meça os ângulos externos deste triângulo
Obs.: Para medir os ângulos externos, entre no menu Observações e escolha a opção
Ângulo (po,po,po) ou Ângulo (re,re)
8. Calcule, com auxílio da calculadora, a soma das medidas dos ângulos externos
9. O que você observou?
10. Movimente os vértices do triângulo. O que acontece com a soma das medidas
dos ângulos externos?
11. Como você justifica o que encontrou?
Leandro contou como fez a construção do triângulo e como encontrou as
medidas dos ângulos:
Leandro:
primeiro utilizei os pontos na grade, para ter maior controle das respostas, depois segui as
questões propostas. Para a medida dos ângulos internos fiz como vocês disseram que o programa faz, mas
depois de algumas tentativas.
Como as atividades nos eram enviadas antes dos encontros síncronos,
percebemos que as respostas de Leandro estavam erradas e queríamos explorar os
conceitos em questão. Marcelo observou:
Marcelo:
Leandro, eu acho que há algum problema com a sua solução. Confira de novo, se ao marcar
ângulo externo, você estava indo no sentido anti-horário e que estava sempre medindo o ângulo externo e
não interno!
Pessoal, alguém poderia dizer a definição de ângulo externo de um polígono (no caso o triângulo)?
Essas observações foram feitas tendo em vista que Leandro estava
encontrando o ângulo externo de 270º. Isso em razão dele ter construído um
triângulo retângulo e estar considerando como ângulo externo o ângulo ilustrado na
figura 6.1.1:
Figura 6.1.1
Para impulsionar os alunos-professores a colaborarem com Leandro, de
forma que pudesse perceber seu erro, Marcelo perguntou se alguém poderia dizer
108
qual a definição de ângulo externo de um polígono, nesse caso, um triângulo. Lincoln
deu uma resposta e Marcelo a complementou:
Lincoln:
definição: ângulo externo: pelo prolongamento de um dos lados do polígono e o lado seguinte.
Marcelo:
ótimo Lincoln, ou de outra forma é o suplemento do ângulo interno do triângulo. Ou
intuitivamente, é a volta que fazemos se tivéssemos andando sobre um dos lados do triângulo. Leandro,
pense sobre isso!
Esclareço que o Geometricks não encontra a medida de 270º. Esse valor,
entre outros errôneos, Leandro encontrou, como explica em sua resolução (enviada
por e-mail):
7- Meça os ângulos externos desse triângulo.
Ângulo externo ao <A 90+90+90
Ângulo externo ao <B 135+45+135
Ângulo externo ao <C 135+45+135
8- Calcule, com auxílio da calculadora, a soma das medidas dos ângulos externos.
<A 90+90+90=270°
<B 135+45+135 = 315°
<C 135+45+135 = 315°
9- O que você observou?
Que o ângulo externo é 360 menos a medida do ângulo interno, e que a soma das medidas dos
ângulos externos sempre será 900°, ou seja, 1080-180.
Esse exemplo mostra a importância de acompanhar os alunos-professores no
período assíncrono do curso. Durante a discussão do chat dificilmente teríamos
percebido o erro de Leandro, de modo a intervir e explorar os conceitos matemáticos
e os recursos do software envolvidos na atividade.
109
6.2 Atividade 2
Uma outra atividade do encontro de “familiarização com o software”, versou
sobre as bissetrizes de um paralelogramo:
EXPLORANDO BISSETRIZES DE UM PARALELOGRAMO
1. Construa um paralelogramo ABCD
2. Trace as bissetrizes dos ângulos internos deste paralelogramo
3. As quatro bissetrizes formam um quadrilátero EFGH
4. O que você pode dizer sobre o quadrilátero EFGH?
5. O que acontece quando você arrasta os pontos A, B, C ou D?
6. Que condições são necessárias para que o quadrilátero EFGH seja um quadrado?
7. Que quadrilátero você obtém, quando traça as bissetrizes do quadrilátero EFGH?
Justifique sua resposta.
8. O que acontece no caso de ABCD ser um quadrado? Por que?
Após a leitura da atividade e a construção dos itens um a três, os alunos-
professores foram questionados sobre o quadrilátero EFGH (questão quatro).
Figura 6.2.1
Elaine afirmou que EFGH é um paralelogramo. Em seguida Artur supôs que
fosse um retângulo. Marcelo interveio:
Marcelo:
O que vocês acham agora? É uma segunda resposta: um retângulo. São respostas contraditórias
ou não?
(tempo)
Nós estamos debatendo agora sobre EFGH, sobre o que que pode ser esta figura, para um
paralelogramo qualquer ABCD, e não um caso particular do paralelogramo ABCD. E houve oficialmente
duas respostas: uma que EFGH é um paralelogramo ou que EFGH é um retângulo.
(tempo)
O que vocês acham sobre as respostas, EFGH é um retângulo ou um paralelogramo?
110
Artur continuava afirmando ser um retângulo. Neuza também era dessa
opinião. Marcelo tentou fazer perguntas que suscitassem a reflexão e a busca por
justificativas, aproveitando as sugestões dos alunos-professores:
Marcelo
: Todo retângulo é um paralelogramo? Essa é a pergunta que eu gostaria de fazer?
Pedro:
Professor, acho que a gente tinha que descobrir os ângulos, né?! Se realmente são ângulos de 90º.
Marcelo:
E qual a sua sugestão, Pedro, para que nós confiramos os ângulos? Você diz fazendo a medida
utilizando o comando no menu observações, Pedro?
Pedro:
usando o comando do software, né?! do Geometricks.
Marcelo:
ok. Então inicialmente vamos fazer o que o Pedro está propondo para analisar a questão sobre
retângulo versus paralelogramo, tá ok?!... Estamos agora fazendo [...], de fato deu 90, estamos aqui agora
arrastando a figura e mantém 90. Bom, e agora, o que que vocês acham então?
Lincoln:
O que nós observamos é que realmente deu 90º os quatro ângulos, né?!
Marcelo:
Certo, por outro lado eu quero questionar este método que nós estamos utilizando. Será que é
possível dizer que precisamente tem 90º? Nós sabemos, como já foi dito, mesmo na aula de hoje, que há
problemas com aproximações. Será que não poderia estar ali 89º e 58 minutos, ou algo do tipo?! Um ângulo,
e outro com 90º e 2 minutos?
(tempo)
Vocês entenderam a pergunta que eu fiz?
A discussão começou a tomar novo rumo e estávamos perdendo a questão
inicial, de ordem conceitual, que foi retomada. Ficou esclarecido que, como está
presente na maior parte dos livros, o retângulo é um caso particular do
paralelogramo. A discussão voltou ao novo foco e, antes de justificar sobre EFGH,
Pedro encontrou uma nova hipótese:
Uma coisa que nós observamos também é que quando você traça as bissetrizes do retângulo, no centro do
retângulo você vai ter um quadrado.
Marcelo apontou que essa era a questão sete e que nós iríamos abordá-la,
mas antes questionou ainda sobre EFGH:
Marcelo:
O problema é que além da medida dos ângulos feita pelo Geometricks, se nós podemos por uma
demonstração, introduzir para um aluno da sétima, oitava, alguém que a gente fazendo essa construção de
bissetrizes assim, por exemplo, no quadro negro, ou mesmo aqui com o Geometricks, de que nós vamos ter ali
dentro um retângulo. Alguém conseguiu fazer isso? Ou, se alguém não conseguiu fazer isso nós vamos abrir
um fórum para tentar, vamos estar colocando esta questão no fórum, sobre uma demonstração, eu e a Rúbia
vamos estar dando o primeiro passo, uma dica, caso ninguém apresente o início da demonstração, ou quem
sabe até a demonstração inteira, até segunda feira, ok?!
Além de justificar que EFGH é um retângulo, procuramos argumentos que
permitissem comprovar que KLMN é um quadrado, como foi sugerido por Pedro.
111
x w
y
z
Figura 6.2.2
Os alunos-professores participaram ativamente:
Artur:
Nós já havíamos falado que também é um quadrado e justificamos da seguinte forma: que o
quadrilátero é um retângulo e no retângulo as diagonais são congruentes.
Marcelo:
Mas como você conclui isso Artur? Porque nós falamos em bissetrizes e não em diagonais...
Artur:
Num retângulo as diagonais não vão coincidir com as bissetrizes?
Marcelo:
Apenas no quadrado, certo?! É só olhar a figura que está na tela
(figura 6.2.2)
Observo que nem sempre era fácil acompanhar os raciocínios que iam
surgindo, já que o diálogo acontecia em tempo real:
Lincoln:
Professor, uma coisa que a gente pode observar, se você pegar a bissetriz que passa pelo vértice E,
a intersecção dela com o lado seguinte do nosso retângulo, forma aí, se a gente puder medir o lado EF e o F
ir até o ponto de intersecção e descobrirmos que tem dois lados iguais, então a gente pode ver que a
intersecção vai determinar um lado de um quadrado, lados iguais consecutivamente, se você pudesse marcar
a intersecção na bissetriz que passa no vértice E interceptando o lado FG, a gente pode ver que parece
formar um quadrado EF e F à intersecção. O ângulo, e como é a bissetriz, se o ângulo é 90º, temos 45º. E
podemos ver também que o triângulo ELF é um triângulo isósceles, por ter os lados iguais? Se a gente puder
estar provando aí essa relação entre essas figuras até chegar o ângulo do quadrado ou como se diz, quadrado,
estamos tentando provar a tese se é um quadrado ou não.
Marcelo:
Olha, a idéia acrescentada pelo Lincoln é muito interessante, analisando o triângulo ELF é um
triângulo que vai ter os seus ângulos internos, o ângulo E vai medir 45º, visto que é a bissetriz do retângulo.
O ângulo interno desse triângulo que dois lados azuis e um vermelho, o ângulo F vai ter também 45º e,
portanto, o ângulo L tem 90º. Então esse é um triângulo isósceles. E então como que nós fazemos então
para concluir esse raciocínio de que KLMN é um quadrado?
Lincoln deu seqüência ao problema, envolvido, sem esperar dos colegas ou
dos professores a continuidade:
Lincoln:
Procede então o que foi comentado, mesmo assim, chegando à conclusão que K, L e M são ângulos
retos ainda podemos afirmar que é um quadrado? Porque falta agora medir essas distâncias né?! KL, LM,
MN e NK, distância iguais, ou seja, os lados mantendo, os lados congruentes, mesmo valor, podemos então
chegar à conclusão de que seria então um quadrado, ou não procede o que a gente está, o que estou
afirmando?
112
O desafio, nesse momento, era encontrar uma justificativa para medidas
iguais dos lados de KLMN. Maria Divina iniciou, e o debate se seguiu até que foi
preciso fechá-lo por falta de tempo:
Divina:
Eu estava observando a bissetriz E que passa a uma mesma distância da bissetriz G e se você
observar a bissetriz F passa também a uma mesma distância da bissetriz H. Se você observar bem, esse
quadrado do centro está claro que tem a mesma distância, os lados desse quadrado. Se as quatro paralelas, as
perpendiculares, podemos observar essa questão aí do paralelismo e perpendicularismo. Dá para realmente
saber que a distância é a mesma. Estou certa ou não professor?
Marcelo:
Maria, eu acho que ainda está faltando um argumento, já está claro que os ângulos são 90º,
portanto as retas azuis são paralelas duas a duas, ou seja, y é paralela a z, tá ok?! E x é paralela a w. Mas
como que daí eu concluo que KL, eu posso concluir que KL é, então, paralelo a MN, mas como que daí eu
vou... Como os ângulos são iguais eu posso dizer que KL é congruente com MN, mas como dizer que KL é
congruente com KN? Essa que é a pergunta que falta resolver. Resolvida essa, se KL for congruente a KN,
fazemos um raciocínio semelhante para dizer que KL é congruente a LM, aliás nem precisa, porque já que
são paralelos já está resolvido o assunto. Alguém tem uma sugestão?
Pedro:
A idéia seria pensar assim, se nós temos o triângulo aí, o triângulo ELF, colocando o segmento EL
e temos um segmento um pouquinho maior na mesma linha EM. A subtração desses segmentos EM – LE,
dá o segmento do quadrado, quer dizer, que é a tese que a gente está tentando provar que é o quadrado. Da
mesma forma, a gente pega o ponto H, onde está a bissetriz desse vértice, mede a distância HM, HN,
subtrai essa duas distâncias, como eu sei que os segmentos NH e LE são praticamente congruentes, têm o
mesmo valor, então eu posso concluir que MN e LM têm a mesma medida, podemos chegar à conclusão que
realmente é um quadrado, procede?
Marcelo:
Prezado Pedro, essa é uma das dificuldades talvez de fazer Geometria à distância, mas não me
pareceu, se é que eu pude, se é que eu pude acompanhar os passos, eu não acho que houve uma conclusão
ainda sobre isso
(tempo).
Espera aí que a Rúbia quer fazer uma pergunta.
Rúbia:
Lincoln, para eu entender então o que você está comentando, se isso que você falou for válido, está
resolvido, porque aí LM vai ser igual a MN. Agora a minha dúvida é, como que você está garantindo que
EM é exatamente igual a HN e aí, então, porque que você falou que HN é igual a EL, ok?!
(tempo)
Marcelo:
Pessoal, nós estamos com o tempo terminando e está, esta questão fica aqui em aberto aqui agora,
está sendo colocada no fórum também. É claro que medir os ângulos da maneira como foi proposto nós íamos
ver, e medindo os segmentos, nós íamos ver que era um quadrado. A questão então que está em aberto é
ainda provar que aquele KLMN é um quadrado, estamos quase chegando lá! Mas não tem problema e essa
demonstração pode ser omitida de um aluno às vezes da quinta a oitava série, ele apenas ia experienciar que
é um quadrado, mas talvez já haja espaço para fazer isso no ensino médio, tá ok?!
Pedro:
Fazendo mais uma colocação a respeito da sua pergunta, traçando as diagonais desse quadrado,
elas vão se encontrar no centro do quadrado, então eu acho que é mais uma possibilidade de nós garantirmos
que isso seja um quadrado.
Essa atividade foi uma das poucas que se estenderam para uma interação
coletiva além dos encontros síncronos. Durante a semana o contato era mais direto
entre eu e os alunos-professores, individualmente, que me escreviam com dúvidas
e/ou enviando suas soluções, por exemplo. Mas essa atividade abriu espaço para
discussão no fórum, onde antes mesmo de nós colocarmos alguma dica inicial, como
fôra combinado, já foi postada uma demonstração (anexo B). Outra ainda foi enviada
por e-mail.
113
6.3 Atividade 3
Numa atividade de “semelhança”, era proposto que após construir um
quadrilátero com medidas de ângulo fixas, fosse construída uma figura semelhante:
EXPLORAÇÃO INICIAL
1) Construa um quadrilátero ABCD com as seguintes medidas de ângulos:
°= 100
ˆ
A
;
°= 70
ˆ
B
;
°= 80
ˆ
C
;
°= 110
ˆ
D
2) Construa uma figura semelhante à primeira
Poucos alunos conseguiram encontrar uma solução que resistisse ao teste do
arrastar. Essa atividade gerou bastante discussão em todas as edições do curso. Ela
foi baseada em uma atividade do livro adotado pela Fundação Bradesco (IMENES;
LELLIS, 1997) e a solução que apresentamos seguia o mesmo raciocínio desta
referência.
Para tanto, após construir o quadrilátero ABCD, traçamos quatro retas que
passavam por um ponto P e por cada um dos vértices do quadrilátero (figura 6.3.1).
Fixamos o ponto F em PA. Por F construímos uma paralela ao lado AD. Essa paralela
interceptava PD no ponto J. Por J traçamos uma paralela ao lado CD. Essa corta a
reta que passa por PC em H, e assim sucessivamente, até obtermos os vértices que
formam o quadrilátero FGHJ (figura 6.3.2). Esse era o objetivo da nossa construção;
no entanto, na primeira edição, quando arrastamos a figura, era possível notar que
não havia semelhança entre as figuras. Algum passo havia sido feito erroneamente e
não percebemos de prontidão qual fora (figura 6.3.3).
Figura 6.3.1 Figura 6.3.2 Figura 6.3.3
114
Fred se manifestou:
Fred:
Eu creio que o ponto J esteja fixado numa das retas vermelhas que passam pelo ponto O, que agora
não tem como eu verificar qual reta, o ponto J está fora da reta vermelha, então ele está fora da perspectiva
porque o ponto F, G e o ponto H estão corretos, mas o ponto J não. Eu acho que ele foi construído fora de
uma das retas.
Marcelo:
Foi exatamente isso colega, e você, de Bodoquena, pegou aqui... está de super parabéns. Note o
seguinte, na hora que nós tiramos aquele mar de retas ficou evidente isso e você viu na nossa frente que
houve um pequeno erro nessa construção. Teríamos que ter feito a outra interseção. Correto? Ficou claro
aqui o engano que nós cometemos no final... Então pedimos desculpas por essa questão aqui, mas o colega de
Bodoquena já resolveu e todos podem tentar fazer agora e enviar para a gente.
Depois de realizarmos a construção, na segunda edição do curso, pedimos
que os alunos-professores tentassem justificar porque esse procedimento satisfaz as
condições de semelhança entre as figuras. A resposta inicial veio de Eliana:
Eliana:
Oi, bom dia, aqui é a Eliana, eu tenho uma dúvida, se a semelhança tem a ver com ponto de fuga...
Marcelo:
Olha, essa é uma maneira de se pensar... Eu diria que o ponto de fuga pensa em construções como
essa para estar organizando os seus objetos, quando lidamos com esse conceito. Então essa é uma boa idéia.
Agora de qualquer jeito, quando nós pensamos o ponto de fuga, dessa forma, se pensarmos o ponto P como
sendo o ponto de fuga, por que que o quadrilátero EFGH é semelhante à ABCD? Pelas observações e pelas
contas feitas aqui na calculadora nós estamos com esse indício que é, e eu diria a vocês que é. Como seria
uma demonstração para provarmos que esses ângulos são congruentes e que os lados são proporcionais e
guardam a mesma razão de proporção? Palavra aberta.
Ricardo conseguiu verificar que as figuras eram semelhantes usando
recursos próprios dos softwares de geometria dinâmica - o arrastar - mas isso ainda
não justificava a semelhança:
Ricardo:
Se nós movimentarmos o quadrilátero ABCD conseguiremos colocar um em cima do outro, ficando
aparentemente uma só figura, daí a gente comprova até que eles são semelhantes.
Marcelo:
Prezado colega, essa é mais uma evidência, eu diria assim, em termos do software, mas nós temos
que debater com vocês e essa é uma boa oportunidade para debater com os nossos alunos também, de que às
vezes um argumento também interessante seria a demonstração. Esse argumento do software é, digamos
assim, um argumento empírico, nós estamos vendo a idéia do colega... Agora como fazer uma demonstração
com essas evidências e com essa construção de que essas figuras são de fato semelhantes?
Os alunos-professores continuavam na busca das justificativas:
Márcia:
Nós acreditamos que seja a razão de proporcionalidade que existe entre as figuras.
Marcelo:
Perfeito colega, há de fato uma razão de proporcionalidade, mas isso não justifica, esse é o fato.
O problema seria uma justificativa para essa proporcionalidade. Por que que eles são proporcionais quando
fazemos essa construção, como a que foi feita e apresentada para vocês. Palavra aberta, quem pegar o
microfone primeiro fala.
Maurício:
Não existe uma relação com o teorema de Tales aí não?
Marcelo:
Sim! E por que você não continua com esse raciocínio dizendo o que você viu sobre o teorema de
Tales na construção feita, Maurício?
Maurício:
Na verdade, trabalhando o teorema de Tales, ele fala que paralelas cortadas por transversais
formam segmentos proporcionais. E aí, se a gente medir, observar, esses segmentos, por exemplo, DF,
115
segmento CG, segmento AE, nós vamos observar pelo Teorema de Tales,
(fala cortada)
montando os
triângulos, aqui eu tô encontrando dificuldade de fazer isso... mas...
(fala cortada)
Eu não tô conseguindo facilidade em montar isso, por exemplo, em sala de aula você aproxima duas
paralelas... duas transversais e você vê mais claramente isso. Aqui agora eu não tô conseguindo raciocínio
para montar isso, é por isso que eu gostaria de... Quer dizer, eu acho que tem uma certa relação, mas eu não
estou conseguindo ver agora...
Marcelo:
Perfeito Maurício! E eu perguntaria se alguém consegue ver. O Maurício já contou mais da
metade da história, tá faltando só o que ele disse, que é organizar o pensamento, e isso é difícil de fazer ao
vivo mesmo. A Rúbia e eu tivemos chance durante a semana, fizemos o nosso dever de casa, e vimos aqui
algumas maneiras de pensarmos sobre essa questão. Alguém conseguiria ajudar o Maurício, a partir do que
ele já disse sobre o teorema de Tales e outras questões?
A justificativa quase se completou, mas ficou faltando organizar as idéias. A
fala do Maurício abriu espaço para uma observação no âmbito das mídias:
Marcelo:
O que é interessante que o Maurício colocou é um pouco da diferença das mídias. Como que é
diferente você lidar com isso no quadro negro ou lidar aqui no software. E o Maurício tem toda razão com
isso e é algo que a gente tem que aprender. Então depois vocês vão poder ver isso e vão poder utilizar depois
as razões de semelhança, essa é uma outra dica, para estarem vendo que os segmentos são proporcionais e os
ângulos congruentes...
Percebemos, nesse caso, uma possível falha nossa. Deixamos em aberto a
formalização, ou, pelo menos, a ordenação das justificativas apresentadas, na
expectativa de que algum aluno-professor desse continuidade. Isso não aconteceu e
não nos lembramos de retomá-la no último encontro, quando questões em aberto
eram novamente discutidas, com o objetivo de serem finalizadas.
Já na terceira edição do curso, o recurso de “passar a caneta” era usado com
maior freqüência, e quando foi perguntado se alguém se dispunha a desenvolver
essa atividade, André “pediu a caneta” e, de sua posse, deu início à construção.
Marcou dois pontos A e B e os uniu por um segmento. Construiu uma reta
que passava por A, com ângulo de 100º com o segmento AB. Construiu uma
segunda reta que passava por B, com ângulo de 70º com AB. Para isso, usou o
comando “Ângulo (po, re, medida)”, para o qual devem ser fornecidos: o ponto em
que se quer construir a reta; a reta ou segmento em que será formado o ângulo
desejado; e a medida do ângulo entre as duas retas. Nesse caso, por exemplo,
primeiramente foi clicado no ponto A, depois no segmento AB e em seguida digitada
a medida de 100º. Como o software considera o ângulo sempre no sentido anti-
horário, para construir a reta que passa por B, com ângulo de 70º com AB é preciso
digitar a medida do seu ângulo suplementar, cujo valor é 110º (figura 6.3.4).
116
Figura 6.3.4
Quando foi fazer o mesmo no ponto C, para encontrar o ângulo Ĉ = 80º em
ABCD, André clicou primeiramente no ponto C e, em seguida, na reta que passa por
B e C. Ao medir o ângulo, encontrou o inesperado “100º” na caixa de saída de
dados. A reação de André é de surpresa:
André:
Vamos só verificar se o ângulo é de 80º. Vamos lá em ‘observações’, ..., ‘ângulo (reta, reta)”,..., no
sentido anti-horário, ..., primeira reta, opa!, segunda... 100º? Acho que a gente fez alguma coisa errada...
Por favor, Marcelo, socorro!
Marcelo:
Olha, vamos fazer essa pequena parte aqui, atendendo o pedido de socorro do André aqui...
(risos).
Mas tá ótimo aqui... Então nós vamos aqui... ‘apagar último objeto’, e vamos aqui ‘objeto
dependente’, ‘ângulo (ponto, reta, medida)’. Então... ponto, reta, e... aqui agora vamos ver o seguinte,
estamos no sentido anti-horário... Então se nós pusermos aqui, a intuição nossa é de colocarmos aqui o
ângulo 100 para que dê 80, vamos testar essa hipótese... Então... e saímos... porque ele está no sentido anti-
horário e ele está considerando aquela reta, aquele ponto, então nós fizemos aonde o cursor está passando o
ângulo de 100, o que significa que o ângulo interno vai ser de 80, foi só esse o detalhe que os colegas de São
Luís esqueceram, mas isso estamos aqui maravilhados Rúbia e eu, e eu já digo isso, porque não só os colegas
estão fazendo, mas a maneira que Rúbia e eu pensamos de fazer era não tão eficiente quanto essa. Então
essa maneira que os colegas de São Luís estão fazendo é melhor do que aquela que Rúbia e eu pensamos e
fizemos, tanto no ano passado, como agora essa semana, recaptulando, preparando essa aula.
Essa construção foi iniciada pelo aluno, prosseguida por um momento pelo
professor e, posteriormente, finalizado pelo aluno, em um processo coletivo. E como
foi comentado, a solução proposta por André foi mais simples do que a que
havíamos planejado desenvolver.
117
6.4 Atividade 4
Por terem uma proposta investigativa e serem abertas, as atividades
permitiam que fossem encontradas diferentes soluções, como é possível ilustrar com
uma do conjunto de “simetria”:
ENCONTRANDO AS SIMETRIAS
a) se sentir necessidade, reveja o que é uma simetria axial
b) utilizando o arquivo “ativsim1.tri”
encontre as figuras simétricas em relação aos eixos x e y dados
As figuras enviadas no arquivo “ativsim1” foram:
figura 6.4.1
Na primeira edição do curso, ao descrever sua solução referente à figura
MNOPQ, Kátia apontou quais seriam as coordenadas dos pontos simétricos à M, N,
O, P e Q. Sugeriu que esses pontos fossem marcados. Sua solução se baseava na
imagem visual da figura, tendo como pontos simétricos R, S e T, igualmente
distantes a P, O e N, respectivamente (figura 6.4.2). Posteriormente requisitou a
construção dos segmentos que unissem esses pontos (figura 6.4.3). Essa construção,
no entanto, não resistia ao arrastar (figura 6.4.4).
118
figura 6.4.2 figura 6.4.3 figura 6.4.4
Waldeir, na segunda edição, encontrou uma solução que mantinha as
propriedades de forma que mesmo arrastados quaisquer dos pontos, as figuras
MNOPQ e QRSTM mantinham-se simétricas. A sua solução propunha que fosse
traçada uma reta r passando pelos pontos N e O, e outra, s, passando por O e P
(figura 6.4.5). Na interseção U entre r e o eixo de simetria y, traçou uma
circunferência de raio UN, e, na interseção W, uma circunferência de raio WP.
Construiu também três retas perpendiculares ao eixo y, a primeira passando pelo
ponto N, a segunda pelo ponto O e a terceira pelo ponto P (figura 6.4.6). Com centro
na interseção V entre a reta que passa pelo ponto O e o eixo y, traçou uma
circunferência de raio VO. Por fim, construiu os segmentos QR, RS, ST e TM (figura
6.4.7).
Figura 6.4.5 Figura 6.4.6 Figura 6.4.7
Deixando apenas as figuras, e escondendo os objetos utilizados na
construção, foi possível observar que mesmo após arrastar qualquer dos pontos, os
pentágonos MNOPQ e QRSTM mantinham-se simétricos (figura 6.4.8).
119
Figura 6.4.8
Ainda na segunda edição, Francisco Erivaldo encontrou uma outra solução,
que também fora inicialmente por nós imaginada, e que tinha semelhanças com a
construção de Waldeir. Após traçar três retas perpendiculares (como as
anteriormente descritas), uma circunferência era traçada em cada ponto de
interseção dessas retas com o eixo de simetria y, com raios MN, VO e QP (figura
6.4.9). Na verdade, as propriedades que baseavam essa construção eram as mesmas
da construção anterior, pois o ponto V foi usado em ambos, e tanto U e W como M e
Q, centros das outras duas circunferências, estavam sobre o eixo y, dividindo as
circunferências em duas partes iguais (uma superior e outra inferior ao eixo), que
garantiam a simetria. Depois foram construídos os segmentos QR, RS, ST e TM e,
escondendo os objetos utilizados na construção, foi notório que também essa
construção resistia ao teste do arrastar (figura 6.4.10).
Figura 6.4.9 Figura 6.4.10
120
Na terceira edição do curso, por questões diversas, poucos alunos tinham
pensado sobre essa atividade antes do encontro de sábado. Nessas condições, ficava
difícil iniciar uma discussão ou pedir sugestões de soluções. Propusemos, então, que
durante alguns minutos os alunos, em suas máquinas, abrissem o Geometricks e
tentassem desenvolvê-la.
Colaborando com esse processo, uma das alunas resolveu ajudar seus
colegas (apenas uma aluna e uma dupla haviam resolvido a atividade), dando
algumas dicas:
Nelma:
Eu... quando estava fazendo a atividade, eu só queria comentar que eu percebi, ficou mais fácil de
eu entender o que eu tava fazendo quando eu tive aquela percepção e vi que realmente o centro, o centro da
circunferência fica sobre o eixo de simetria, quando eu percebi isso ficou mais fácil de fazer a atividade.
Marcelo:
Olha, eu acho que o comentário da Nelma pode servir, para aqueles que estivessem ouvindo, como
excelente dica para tentar trabalhar com a atividade. Parabéns, Nelma!
Depois de um pequeno intervalo, perguntamos se alguém se propunha a
mostrar sua solução. As professoras Neuza e Oneida se prontificaram e, à medida
que iam descrevendo, a construção ia sendo simultaneamente realizada e
compartilhada com os colegas.
A construção sugerida não resistia ao teste do arrastar e os ajustes
necessários foram feitos para que assim acontecesse, sendo apresentada como uma
segunda solução possível à atividade em debate.
Marcelo:
A solução apresentada então, ela estava correta parcialmente, visto que ela não resistia ao
arrastar. Então ela foi feita, aquele ângulo foi feito de maneira correta, mas no momento em que eu arrasto
já há modificação
.
Vocês entenderam a diferença e a limitação da solução da colega, que foi bastante
criativa, foi diferente da que nós pensamos, mas nesse momento com uma limitação? Olha, mas isso é
perfeitamente normal, ainda mais que nós demos aqui poucos minutos para fazer e eu acho que vocês estão
de parabéns de terem vindo com uma solução. Só para vocês terem uma noção: alguns desses problemas,
Rúbia e eu já fizemos por três vezes, e quando nós vamos preparar as aulas de vocês surgem dúvidas ou nós
fazemos soluções incompletas também. Então eu gostaria de deixá-los bem à vontade para tentar, dizendo
que isso acontece conosco aqui também, que a princípio temos mais experiência e pensamos as atividades e
tudo mais.
Esse episódio ilustra que a proposta pedagógica do curso abria espaço para
que as atividades pudessem ser desenvolvidas tanto por nós, professores, como
pelos alunos-professores. Além disso, o ambiente de troca possibilitava que os
próprios alunos-professores ajudassem os colegas e os erros não eram vistos de
forma negativa, e por vezes não apenas os alunos erraram, mas também nós,
professores.
121
6.5 Atividade 5
Uma outra atividade do tema “simetria” merece ser apresentada,
especialmente pela troca entre os alunos-professores ao descrever suas soluções. A
atividade tinha a seguinte proposta:
SIMETRIA DO TRIÂNGULO ISÓSCELES
a) se sentir necessidade, reveja o que é uma simetria axial
b) Construa um triângulo isósceles
(Ao CONSTRUIR um triângulo isósceles lembre-se de suas propriedades e
esteja atento(a) para que depois de construí-lo, seus vértices possam ser
arrastados pela tela mantendo-se as propriedades)
c) Investigue e responda: o triângulo isósceles é um caso de simetria axial? Por que?
d) Se for, qual é o seu eixo de simetria?
A partir desse enunciado, a construção do triângulo isósceles foi feita de
forma diferente pelos alunos-professores. Três deles quiseram compartilhar sua
solução. Welhington começou. A partir de um segmento AB inicialmente construído,
traçou duas circunferências com raios fixo, uma com centro em A e outra com centro
em B. Enfatizou que o raio deveria ser maior que a metade do comprimento do
segmento AB, então julgou que a medida 6 seria suficiente. Marcando as interseções
entre as circunferências, encontrou o ponto C e traçou o triângulo ABC (figura 6.5.1).
Figura 6.5.1
Essa construção garantia que ABC era um triângulo isósceles. Como os raios
das circunferências eram os mesmos, então AC = BC. No entanto, essa construção,
no Geometricks, não resistia ao teste do arrastar, pois mantendo AC = BC = 6, esses
122
segmentos não manteriam a condição de serem maiores que a metade da medida de
AB, se este segmento fosse arrastado livremente pela tela (figura 6.5.2).
Figura 6.5.2
Cirioney manifestou que sua construção foi diferente e quis apresentá-la. A
partir de um segmento AB traçou sua mediatriz e fixou um ponto C sobre essa reta.
O triângulo ABC, nesse caso, era isósceles porque sendo a mediatriz o lugar
geométrico dos pontos eqüidistantes de A e B, AC e BC tinham a mesma medida
(figuras 6.5.3 e 6.5.4). Dessa forma AB, BC e AC poderiam variar com a única
restrição de que o ponto C não poderia estar sobre AB. Também os ângulos
variavam indefinidamente.
Figura 6.5.3 Figura 6.5.4
Maurício também fez questão que sua solução fosse compartilhada. Ele fez
uso do recurso “Ângulo (po, re, medida)”. Após construir o segmento AB, encontrou
a reta que passava por A e tinha ângulo de 50º com o segmento AB. Por B
encontrou a reta que tinha 130º no sentido anti-horário com o segmento AB,
garantindo 50º em B, interno no triângulo ABC. Essa construção manteve as
123
propriedades do triângulo isósceles, mesmo quando arrastada pela tela, pois o
comando utilizado garantia medidas fixas dos ângulos internos de ABC: A=50º
B=50º e C=80º, que satisfaziam as condições de definição do triângulo isósceles. No
entanto, construído dessa forma, apenas as medidas dos lados do triângulo
poderiam ser alteradas (figuras 6.5.5 e 6.5.6).
Figura 6.5.5 Figura 6.5.6
Essa atividade ilustra a participação ativa dos alunos-professores, ao
compartilharem suas soluções. Mostra, ainda, o relevante papel da elaboração das
atividades. Se fossem fechadas, indicando os procedimentos de construção,
dificilmente soluções diferentes iriam surgir. Isso foi possível em função da proposta
investigativa da atividade. Cada aluno-professor (ou cada grupo) ficava livre para
encontrar um caminho que resolvesse o problema apresentado, o que possibilitava,
também, a rica troca de soluções.
6.6 Atividade 6
Para não centrar os exemplos em atividades propostas por nós, professores,
trago uma atividade elaborada por uma dupla de alunos-professores. Como descrito
no capítulo V, o penúltimo encontro era destinado à apresentação e discussão de
atividades elaboradas pelos alunos-professores. Nossa expectativa era que eles
vivenciassem essa experiência durante o curso, para que pudéssemos contribuir com
sugestões no sentido de aprimorar essa fase essencial do processo de utilização de
software educativo em sala de aula, que é a elaboração/escolha das atividades.
124
Como os alunos-professores tinham maior experiência com a prática
pedagógica nos níveis fundamental e médio, poderiam, também, contribuir com os
colegas. Esse encontro possibilitava, então, um pensar coletivo sobre as atividades
por eles elaboradas.
A atividade de José Gilney e Auxiliadora propunha:
IDENTIFICANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS
a) Parta da origem;
- ande 2 unidades para a esquerda;
- ande 6 unidades para cima e marque um ponto na grade (A);
- ande 10 unidades para direita e marque um ponto na grade (B);
- ande 8 unidades para baixo e marque um ponto na grade (C);
- ande 10 unidades para esquerda e marque um ponto na grade (D);
- usando segmento de reta, ligue os pontos A,B,C e D (nessa ordem);
- marque os pontos na grade que dividem os segmentos AB, BC, CD, DA em duas partes iguais.
Entre A e B chame de E, entre B e C chame de F, entre C e D chame de G e entre D e A chame de H;
- usando segmento de reta ligue os pontos E, F, G e H (nessa ordem);
- ligue os pontos E e G e os pontos F e H.
Quais figuras são identificadas?
b) Quais são as coordenadas dos pontos A, B,C,D,E,F,G,H ?
c) A que quadrante pertencem os pontos A, B, C e D?
As atividades eram organizadas em um único arquivo e enviadas por e-mail
antes da realização do encontro síncrono. Pedíamos que todos estudassem com
atenção pelo menos duas atividades dos colegas, para poderem participar
ativamente com sugestões. As contribuições sempre apareciam:
Marcelo:
Quais figuras são identificadas?
(na figura 6.6.1)
Quais são as coordenadas dos pontos A, B, C,
D, E, F, G e H? A que quadrantes pertencem os pontos A, B, C e D? Então são perguntas que eles têm no
final para explorar? Vocês teriam outras? O que que vocês acharam das perguntas do José e da Auxiliadora?
Palavra aberta.
Lincoln:
Muito boa, gostei demais da idéia, da construção, né?! A idéia do José Gilney é uma idéia que eu
vou iniciar na oitava séria, quando for iniciar o trabalho de funções. Esse é o primeiro trabalho que nós
vamos fazer: como marcar pontos, como identificar os pontos no plano cartesiano... Achei excelente a idéia
dele. Esse é o trabalho que nós vamos fazer na próxima sexta feira com os meninos e podemos trabalhar para
questionar aí a simetria também, né?! Eixos de simetria axiais, acho que podemos questionar... Muito boa,
gostei demais! Se for ao longo do terceiro médio dá para calcular até para área de triângulo, podemos até
cobrar isso, se for alunos do terceiro médio, Geometria Analítica...
Silvana:
Professor Marcelo, nessa atividade a gente pode explorar também na quinta série, com o cálculo de
áreas e perímetros.
125
Figura 6.6.1
Essa, entre outras, passou a compor o conjunto de atividades, tendo sido
incorporada ao tema “Geometria Analítica” (GA) a partir da segunda edição do curso,
com pequenas adaptações. Era uma forma de valorizar o trabalho dos alunos-
professores e estimular a elaboração de novas atividades pelas turmas das edições
seguintes.
6.7 Atividade 7
Essa última atividade aborda questões de GA. O estudo das cônicas era um
dos focos desse tema, e como muitos alunos-professores trabalhavam no ensino
fundamental, tinha o papel importante na revisão de conceitos nessa área. Para
aqueles que atuavam no ensino médio, essa era a ocasião que participavam de
forma mais efetiva, dando suas contribuições também no âmbito pedagógico.
A participação dos alunos-professores nesse encontro foi muita ativa,
suscitando questões que não foram devidamente exploradas, por terem extrapolado
as perguntas propostas nas atividades, tendo demandado reflexão de todo o grupo.
Dessa forma, no último encontro retomamos a discussão, pois havia um tempo
destinado às questões que ficaram em aberto no decorrer do curso. Dois momentos
do estudo desse tema, na segunda edição do curso, merecem destaque: aspectos de
sua definição e de argumentação matemática. Já tendo sido realizada a construção e
126
exploração da parábola, no encontro de GA, seguimos para a construção da
hipérbole, por lugar geométrico, que partiu de dois pontos livres A e O. Uma
circunferência com centro em O e raio AO foi traçada em seguida. Nessa
circunferência foi fixado o ponto Q e, externo a ela, foi marcado um ponto livre P.
Posteriormente, foi construída a mediatriz de P e Q e uma reta que passava por O e
Q. O ponto L era a interseção dessas duas últimas retas. Ao movimentar o ponto Q
era possível visualizar o lugar geométrico de L:
Figura 6.7.1
A partir de então, iniciamos uma discussão na tentativa de justificar essa
construção. Marcelo questionou porque a figura gerada é uma hipérbole. Uma
definição do livro de Manuel Paiva foi lida (anexo C) e traduzida para a figura da tela,
de onde permaneceu a pergunta sobre como justificar a hipérbole dessa forma
construída:
Marcelo: E
ntão quando eu pego a distância na nossa construção, a distância LO – LP tem que ser
constante, a diferença entre elas. Pode ser também LP – OL porque eu estou interessado apenas no módulo,
tá ok!? Essa distância entre eles vai ser denominada de 2a, da mesma maneira que a distância entre os focos
é 2c. Essa distância tem que ser constante, essa diferença entre eles, tá ok!? Vou dar mais um minutinho
para que vocês me venham com a idéia sobre algum tipo de argumento sobre porque que LO – LP é
constante quando eu faço essa construção, quando eu desenvolvo esse... arrasto o ponto Q e gero esse lugar
geométrico.
Para facilitar um pouco a visualização mais uma dica, vamos por uma linha que não é necessária para a
construção, mas para que fique mais claro, que todos vejam que a distância LP e OL, tá ok!?
(figura 6.7.2)
.
Só para ela ficar em destaque. [...] Eu gostaria que agora alguns de vocês se pronunciassem, ou sobre um
argumento... tentassem, não tem problema se não estiver correto, ou algum tipo de comentário que tenham
sobre essa atividade da construção da hipérbole.
127
Figura 6.7.2
Gleice apresentou uma justificativa:
Eu acho que a distância permanece constante porque o ponto Q e o ponto O eles são constantes, são fixos, a
distância entre eles é sempre a mesma. Aí você fez a construção da mediatriz do ponto Q ao ponto P,
obtendo aí o ponto L, que está sempre à mesma distância de Q e P, por isso quando você movimenta
permanece sempre a mesma distância, a diferença é sempre constante.
Em seguida, outra questão, deixada por Gleice na aula do tema GA foi
retomada. Ela questionou se a construção de uma parábola, e também de uma
simétrica a ela, com relação à reta diretriz, poderia ser considerada uma hipérbole.
Esse ficou sendo um desafio e alguns alunos-professores enviaram suas soluções por
e-mail no decorrer da semana, que “serviram de inspiração”. Foi um desafio para
nós, professores, também. Encontramos uma justificativa, ainda que não tivéssemos
ficado totalmente satisfeitos.
Nós achamos uma solução, que está correta na minha
opinião, mas ainda não é tão elegante quanto mereceria. Ou seja, a pergunta da Gleice é
muito boa mesmo
(Marcelo).
Iniciamos por construir uma parábola com a concavidade para cima, e outra
com foco simétrico com relação à reta diretriz, com concavidade voltada para baixo:
128
Figura 6.7.3
Para ser uma hipérbole, pela definição já estudada anteriormente, a
diferença entre PR e RK deveria ser uma constante.
Marcelo:
Mas note o seguinte, nessa construção o que está ficando constante, que tem a mesma distância é
RK, que é congruente com QR, agora não é mais como na outra de que esse ponto mantinha então aquele
raio da circunferência constante, ta vendo? Quando eu arrasto, por exemplo, o ponto Q, QR com RK está
constante, mas não necessariamente PR – RK vai estar constante. Notaram a diferença?
Essa observação, no entanto, não poderia ser considerada uma justificativa.
Utilizando o software era possível fazer a verificação através da medição dos
segmentos PR e RK. Um primeiro resultado foi PR – RK = 13,69 - 8,49 = 5,2.
Arrastando o ponto Q essas medidas se alteraram e sua diferença deveria
permanecer constante. No entanto, foi obtido 5,17 – 1,74 = 3,43. Marcelo sugeriu
que esse tipo de contra-exemplo poderia ser explorado no primeiro ano do ensino
médio, já que
não há imprecisão do software dessa grandeza
e observou, ainda, que era
necessário um argumento mais geométrico sobre porque que gerado dessa forma não é uma
hipérbole
. Do ponto de vista geométrico argumentou:
Marcelo:
Note o seguinte, primeiramente eu vou estar fazendo aqui também um segmento aqui KP e
também o segmento PT, tá ok!?
(figura 6.7.4)
Vamos ver o seguinte, existe uma posição aqui onde eu possa
arrastar Q de tal maneira que esse ângulo aqui vai ficar reto e essa distância aqui, como eu construí uma
parábola, eu vou ter que KR=QR, ok!?
129
Figura 6.7.4
[...] Por essa construção que eu fiz aqui na parábola KR=QR, visto que aqui essa reta é a mediatriz entre os
pontos P e Q, em ambos os casos. Então agora eu tenho o retângulo KRTP e nós poderemos dizer que tem
medida de 2 para 1
[se referindo aos segmentos TR e PK como dobro da medida dos segmentos TP e
RK, numa proporção de 2 para 1]
. Ou seja, essa medida aqui é 1+1
[referindo-se a PK]
e essa daqui é 1
[apontando com o mouse o segmento TP]
. Notem que esse 2 para 1 não está usando a mesma métrica que
o software usa no menu de observações, tá ok!?
Bom, então aqui, de qualquer jeito, nesse caso aqui, nós podemos ver que ao eu ter aqui o meu RK=1 e esse
KP=2 então essa diagonal aqui
[PR]
, pelo teorema de Pitágoras, vai medir 5 . Claro para todos, não?! E
portanto, PR-KR vai dar 5 - 1, que é um pouco mais do que 1, correto? Vai dar 2 vírgula alguma coisa,
vai dar 1 e alguma coisa.
E, prosseguindo com esse raciocínio, arrastou o ponto Q de forma a obter
outra figura para PKRT, pois
como eu quero provar que isso não é uma hipérbole, eu vou achar um outro ponto agora da hipérbole, dessa
que seria a hipérbole, e mostrar que a diferença entre PR e KR não é 1 vírgula alguma coisa.
O outro “ponto especial” para Q é quando P, T, R e K estão alinhados (figura
6.7.5). Julgando ser mais fácil visualizar, preferimos deixar os pontos não alinhados
(figura 6.7.6):
130
Figura 6.7.5 Figura 6.7.6
Nessas condições, quando os pontos estão alinhados, o segmento PR medirá
1,5 (uma vez que a medida de KR = RQ). Assim, a diferença entre PR e KR é
exatamente 1,0 (pois é 1,5 – 0,5). Anteriormente tínhamos encontrado um valor um
pouco maior que 1,0. Portanto, percebemos que a diferença não se mantinha
constante, o que contradiz a definição da hipérbole.
Essa atividade ilustra como o curso Geometria com Geometricks tinha a
perspectiva de abordar aspectos de argumentação matemática, aproveitando não
apenas as idéias dos professores, mas também dos alunos-professores, que não se
limitavam a ajudar a pensar as respostas, mas a propor problemas também.
A descrição dessas atividades permite vislumbrar algumas das discussões
matemáticas que se desenvolveram durante o curso, com a preocupação de envolver
os alunos-professores no processo de produção matemática.
131
CAPÍTULO VII
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA
EM UM AMBIENTE ONLINE
Eu me multiplico incansavelmente.
Estréio mãos e bocas todos os dias,
mudo de pele, de olhos e de língua,
e visto uma alma cada vez que for preciso
Jaime Sabines
Neste capítulo, teço uma análise da natureza da aprendizagem matemática
no curso Geometria com Geometricks. Para tanto, inicio retomando alguns
questionamentos que direcionaram a pesquisa. Como acontece o processo de
compartilhar nossas idéias com lápis e papel na mão, ou usando outro mecanismo
semelhante, como giz e lousa, descrevendo nosso pensamento, fazendo
apontamentos, na Educação a distância (EaD) online? Como podemos usar os
recursos informáticos para a comunicação matemática a distância? Como
desenvolver conteúdos matemáticos envolvendo os alunos coletivamente? Estas são
algumas das questões que nortearam este trabalho, sintetizadas pela pergunta
diretriz: “qual a natureza da aprendizagem matemática em um curso online de
formação continuada em Geometria?”, a partir da qual pretendo trazer contribuições
para entender como as Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC)
condicionam a natureza da aprendizagem matemática.
Ao discutir matemática, os participantes entrelaçaram as três tecnologias da
inteligência: oralidade, escrita e informática. ‘Coletivos pensantes’ se estruturaram no
132
desenvolvimento do curso, constituindo o que Borba e Villarreal (2005) denominam
‘seres-humanos-com-mídias’. Esse coletivo condicionou o pensamento matemático
dos alunos-professores, especialmente no aspecto da visualização, visto que
aprender matemática em um curso à distância com a possibilidade de visualizar as
construções realizadas pelos demais participantes é uma dimensão própria dessa
experiência.
Seres humanos e mídias podiam interagir mesmo estando, os primeiros,
geograficamente distantes uns dos outros, pois compartilhavam o mesmo espaço
virtual: o ‘ciberespaço’. Pelo diálogo se constitui uma comunidade virtual de
aprendizagem (CVA) e esta proximidade propiciou o que se denomina por
‘telepresença’.
Os recursos informáticos presentes no curso, como a videoconferência, o
chat, o e-mail e o Geometricks deram condições para que a discussão matemática se
efetivasse no ciberespaço. Pessoas com diferentes perspectivas puderam trocar
informações, em um processo de aprendizagem colaborativa online, e essa
integração originou uma ‘inteligência coletiva’.
A postura dos professores, de estimular os alunos-professores a procurarem
entender o porquê das propriedades por eles utilizadas, era característica no curso.
Com os encontros síncronos, a possibilidade de diálogo e interação entre os
participantes, culminou na elaboração de justificativas e argumentações muitas vezes
construídas coletivamente, em um processo colaborativo.
Assim sendo, entendo que a aprendizagem matemática no curso Geometria
com Geometricks tinha natureza coletiva, envolvendo diferentes coletivos
pensantes; colaborativa, que pelo diálogo e telepresença reuniu pessoas e mídias
em uma CVA, produzindo conhecimento colaborativamente; e argumentativa, na
medida em que as discussões matemáticas culminavam no encadeamento de
justificativas e argumentações matemáticas.
133
7.1 Coletivo pensante e visualização
Lévy (1997) nos chama a atenção de que, com a informática, pensamos
qualitativamente diferente. O Geometricks permite que uma construção geométrica
seja arrastada pela tela, podendo ser analisada em diferentes posições, o que nos
faz pensar matematicamente diferente de quando estamos com uma construção
estática no papel, ou quando apenas falamos dela, sem nenhum recurso visual.
Aprende-se de outras maneiras quando se interage com tecnologias distintas. E
propiciar essas várias possibilidades em experiências à distância é um desafio.
Grande parte das experiências em EaD com informática se iniciaram (e
muitas ainda permanecem) centradas na distribuição de material pela Internet. Os
alunos fazem a leitura do que é proposto e estudam sozinhos, no modelo explicitado
por Valente (2003a; 2003b) como broadcast. Nesse contexto, a escrita é o principal
meio de comunicação entre os participantes, e usualmente de forma assíncrona
37
.
Com o passar do tempo, o uso do fórum abriu espaço para a interação entre os
participantes, e o chat trouxe novas possibilidades aos processos de ensino e
aprendizagem, com alunos e professores produzindo matemática em tempo real.
No curso Geometria com Geometricks, a videoconferência possibilitou a
integração das três tecnologias da inteligência. Oralidade, escrita e informática
constituíram, com os participantes do curso, um coletivo pensante, possibilitando a
interação ainda que estivéssemos geograficamente distantes.
A videoconferência possibilitou a comunicação oral entre os participantes. As
atividades 2 e 3 ilustram essa possibilidade, com a fala de vários deles. Esse é um
destaque particular desse curso, uma vez que a maioria das experiências em EaD
exploram as possibilidades do uso do chat, como Bairral (2002, 2004, 2005), Borba
(2004), Gracias (2003), Malheiros (2006), Ramal (2002), Rosa (2006) e Santos
(2006).
Nesse sentido, é relevante perguntar: que importância pode ter o diálogo na
aprendizagem? Para Alrø e Skovsmose (2006), existe uma relação entre a qualidade
do diálogo e a qualidade da aprendizagem matemática. Como e com quem falamos
abrem possibilidades diferentes à aprendizagem. O curso em análise propiciou um
37
Algumas experiências também fazem uso do telefone mas, com este recurso, a interação é “um-
um” (professor-aluno ou aluno-aluno), não fomentando a discussão coletiva.
134
ambiente de interação pela oralidade, através da videoconferência. Esta é uma forma
de comunicação usual em nosso cotidiano. Expressar matematicamente somente de
forma escrita
38
, como acontece no caso do chat, por exemplo, requer outra forma de
pensamento, de expressão das idéias e raciocínios desenvolvidos no decorrer de uma
atividade, em um multiálogo. O curso também era espaço para o diálogo escrito, por
chat e, como pontua Bairral (2004, p.56), não há necessidade de compará-los,
definindo qual o melhor recurso, pois “cada um se sente melhor em um espaço
comunicativo”.
Particularidades da interação por videoconferência e, em menor escala, da
interação por chat, são consideradas durante o processo de análise, na medida em
que pretendo focar a natureza da aprendizagem matemática nessa experiência, que
se diferencia das demais pesquisas por fazer uso da oralidade terciária, escrita
secundária e informática de forma interligada.
No curso, coletivos diferentes se faziam presentes. Quando o encontro
síncrono acontecia por chat, seres-humanos-com-escrita-secundária produziam
conhecimento em Educação Matemática
39
. E, por videoconferência, seres-humanos-
com-oralidade-terciária-e-Geometricks era a unidade cognitiva, sem que houvesse
dicotomia entre seres humanos e mídias.
A atividade 3 propunha que fosse construído um quadrilátero com as
medidas de seus ângulos previamente determinadas, e, em seguida, que se
encontrasse uma figura semelhante a esse quadrilátero. Depois de realizadas as
construções necessárias, os alunos-professores foram questionados sobre as
justificativas matemáticas que garantiam a semelhança entre as duas figuras.
Ricardo sugeriu a sobreposição das figuras de modo a verificar se ficavam
coincidentes, afirmando que, nesse caso, as figuras seriam certamente semelhantes.
A resposta expressada por Ricardo foi construída com o recurso de arrastar do
software.
38
A plataforma do chat não permitia o compartilhamento de imagem, apenas que as pessoas
redigissem textos escritos.
39
Um dos encontros do curso era destinado à discussão das leituras. Um livro (Informática e
Educação Matemática (BORBA; PENTEADO, 2004)) e um texto de Geometria Dinâmica (extraído de
ZULATTO, 2002b) eram lidos previamente e questões eram elaboradas para fomentar os encontros
síncronos. Para esse encontro, o uso do chat se mostrou mais frutífero, pois as pessoas podiam se
expressar livremente, podiam fazer suas colocações simultaneamente, redigindo-as.
135
Nesse exemplo, a informática condicionou o pensamento matemático de
Ricardo. Seu argumento se baseou no recurso visual do Geometricks. Aspectos da
visualização em Matemática podem ser transpostos para a experiência do curso. O
Geometricks possibilitou a exploração visual de propriedades geométricas, a partir de
várias posições de uma mesma figura, em tempo real, como sugerem Laborde
(1998) e Marrades e Gutiérrez (2000).
No contexto do curso em análise, questionávamos como poderíamos
vivenciar a exploração do arrastar, à distância? Zulatto (2002b, p.90) complementa
que “os professores enfatizam que quando trabalham um conteúdo matemático,
utilizando os softwares, os alunos têm mais facilidade de visualizar as figuras, suas
propriedades e invariantes”. Na posição de professores pensávamos: como fazer isso
numa aula online? Considerando os recursos que dispúnhamos, como poderíamos
explorar as representações visuais?
Com a videoconferência, as modificações ocorridas no Geometricks eram
acompanhadas por todos os participantes do curso. Podemos considerar que o
recurso de “passar a caneta” possibilitava uma dinâmica diferenciada às experiências
usuais em EaD (ZULATTO; BORBA, 2006). E saliento que essa ação não foi assim
denominada com o intuito de se simular, à distância, a ação física de se passar uma
caneta, ou o giz da lousa, por exemplo. Era, sim, uma ação cognitiva pois, além do
áudio, que permitia que os alunos externassem suas idéias e soluções, esse recurso
propiciou a construção coletiva, o compartilhamento de informação e a produção de
conhecimento. Podemos pensar que essa era uma “caneta virtual”.
E, dessa forma, durante as videoconferências, as representações externas
das construções realizadas no software eram compartilhadas, enquanto, por chat,
era explorada a utilização de imagens mentais.
Ao comparar as duas modalidades, Arthur afirma que
A modalidade que a gente prefere para um curso desse tipo é a videoconferência, porque como foi
feito agora mesmo, e mesmo com a atividade no nosso grupo, a gente pode visualizar a construção e
ver a idéia que o colega está tendo. Falar é uma coisa, mas a visão dá um sentido totalmente
diferente.
A afirmação de Arthur ressalta a importância da “visualização com os olhos”,
não desconsiderando a importância de imagens mentais para o processo de
produção de conhecimento matemático. Especialmente em Geometria, o que se
136
constata é que, ter a imagem do triângulo isósceles na tela do Geometricks para,
então, estudar seu eixo de simetria, como propõe a atividade 5, é um processo mais
natural do que proceder uma análise a partir de imagens mentais dessa figura, por
exemplo, pois é assim que estamos acostumados a nos comunicar matematicamente
e expressar nosso raciocínio.
Desse modo, discutir matemática à distância, com a possibilidade de
compartilhar a imagem no Geometricks, é diferente de usar apenas imagens
mentais. Apontar com o mouse o retângulo EFGH, obtido das interseções das
bissetrizes do quadrilátero ABCD, na atividade 2, é um processo mais familiar em
nossas experiências matemáticas do que pedir que alguém imagine um quadrilátero
qualquer, suas bissetrizes e a figura formada por esses pontos. O que quero destacar
é que já é possível usufruir de potencialidades da “visualização com os olhos”, usuais
em nossas práticas educativas, em experiências online.
No curso ficou evidente que, enquanto atores do coletivo pensante, a
visualização estática (papel) e visualização dinâmica (informática) têm natureza
qualitativamente diferente no processo de aprendizagem matemática. Nas aulas
tradicionais, a “visualização com os olhos” se dá a partir de coletivos como aluno(s)-
com-lápis-e-papel, aluno(s)-professor-com-lousa-e-giz e aluno(s)-professor-com-
imagens-mentais. A informática traz uma nova dimensão a esses coletivos. Não
exclui essas mídias, mas pode incorporá-las e, dessa forma, os alunos podem
visualizar-com-lápis-papel-e-computador, por exemplo. E esse coletivo com
informática pôde se constituir em uma experiência online.
A solução de Wellington à atividade 5 também aborda essas questões.
Quando pensamos-com-régua-e-compasso para construir um triângulo isósceles da
forma como ele propôs, abrindo o compasso de forma a determinar uma
circunferência de raio maior que metade da medida de AB, não há risco desse
segmento mudar de tamanho, pois é estático. Dessa forma, a circunferência manterá
sua condição de ter a medida do raio maior que a metade da medida do segmento
AB. Com o software de geometria dinâmica (SGD) e a “caneta virtual” é possível, em
segundos, arrastar, de forma compartilhada, o ponto A e/ou B de modo a alterar o
tamanho do segmento AB e, em conseqüência, “perder” o triângulo isósceles (figura
7.1).
137
Figura inicial
Figura após arrastar o ponto A e/ou B
Figura 7.1
Já na atividade 7, Gleice conjecturou que as figuras analisadas (hipérboles)
poderiam ser consideradas parábolas, a partir da imagem que visualizava no
Geometricks. A imagem visual não atuou apenas na resolução de problemas durante
o curso como, nesse caso, propôs um novo, reorganizando o pensamento
matemático de quem participava dessa aula (TIKHOMIROV, 1981). Foi preciso
buscar justificativas matemáticas para pensar sobre o problema proposto e investigar
a conjectura de Gleice.
Quanto à diferenciação de Laborde (1998), entre “desenhar” e “construir”
uma figura com um SGD, a atividade 4 ilustra essa exploração no curso. Nela foi
solicitada a construção de figuras simétricas às figuras previamente enviadas (figura
7.2). Kátia sugeriu que fossem encontradas as figuras simétricas utilizando-se da
contagem dos pontos na grade. Dessa forma, podemos dizer que, segundo Laborde
(1998), o desenho simétrico foi determinado (figura 7.3). Porém, era visivelmente
perceptível que a figura, assim determinada, não resistia ao teste do arrastar
(OLIVERO et al., 1988). Toda essa exploração foi possível de ser visualizada pelos
participantes porque pensávamos-com-caneta-virtual.
Figura 7.2 Figura 7.3
138
Outras soluções, por sua vez, resistiam ao teste do arrastar. Mesmo que
fossem modificadas as figuras originais, as figuras simétricas determinadas assim se
manteriam (figura 7.4). Dessa forma, temos que essas foram construídas.
Figura 7.4
Essa discussão não é nova na Educação Matemática. Há algum tempo os
SGD têm sido incorporados às práticas pedagógicas na escola, suscitando essas
questões. No entanto, explorá-las em cursos a distância, com diálogo síncrono, é
uma possibilidade recente.
Assim, compartilhar a tela do nosso computador, com o Geometricks aberto,
foi parte do caminho escolhido para propiciar a “visualização com os olhos” nos
encontros de sábado, oportunizando essa experiência em um curso à distância.
Também a atividade 1 propunha que fossem explorados os ângulos internos
e externos de um triângulo. Em seu e-mail, Leandro apresentou soluções algébrica e
geométrica para encontrar os ângulos externos. Visualizando a figura anexada foi
possível entender o erro em sua resposta (um dos ângulos externos medindo 270º)
e, dessa forma, intervir. Abordagens algébrica e visual se complementaram, como
sugerem Borba e Villarreal (2005).
Ressalto ainda que a distância física proporcionou algumas particularidades.
Em cada escola, seres-humanos-com-mídias constituíam um coletivo pensante
“atual”. Na escola de São João Del Rei-MG, por exemplo, Artur, Neuza, Silvana, lápis
e papel, livros, Geometricks, lousa e giz etc. pensavam coletivamente. Constituíam
um nó do hipertexto do curso.
No entanto, esses coletivos não estavam isolados, uniam-se para constituir
um coletivo pensante “virtual”: o próprio hipertexto. Ao desenvolverem as atividades
matemáticas no decorrer da semana, alunos-com-mídias eram atuais, pensavam com
139
os recursos e seres humanos de que dispunham no coletivo. E como esses coletivos
atuais se faziam presentes no coletivo virtual?
40
A mídia informática, na condição de link dessa rede, possibilitou a
aproximação dos coletivos atuais. Nesse caso, o ciberespaço foi o cenário que
permitiu a interação desses coletivos. Um mesmo Geometricks era visualizado por
todos os participantes. Uma mesma voz era ouvida por todos. Idéias, raciocínios e
comentários eram compartilhados sincronamente, propiciando aos participantes a
sensação de estarem presencialmente reunidos. Além disso, as relações um-para-um
se fizeram presentes quando do suporte personalizado aos alunos-professores, nos
momentos assíncronos, via e-mail. O ciberespaço se constituiu do ambiente da
telepresença, onde construções geométricas eram exploradas colaborativamente
pelos participantes-com-Internet-Geometricks.
7.2 Aprendizagem matemática colaborativa em uma comunidade virtual
No curso Geometria com Geometricks, diferentes coletivos pensantes se
constituíam para discutir atividades matemáticas. Dessa forma, os participantes
podiam colaborar entre si, apesar da distância geográfica. Especialmente a
videoconferência propiciava a telepresença dos atores humanos, reorganizando os
modos de comunicação. Conversas por e-mail, chat e telefone também se
realizaram, ainda que em menor escala.
Nesse cenário foram estabelecidos elos entre os participantes do curso, que
tinham interesse em discutir matemática, trocar experiências, aprender a usar o
software Geometricks em suas aulas, etc. E não só nós, professores, levantávamos
novas questões e compartilhávamos soluções, como também os próprios alunos-
professores o faziam, como ilustra a atividade 7. E sempre que possível, havia apoio
dos demais participantes. A comunicação era muitos-para-muitos (AZEVEDO, 2006a),
ou todos-todos (LÉVY, 1999).
40
Sob o olhar de Lévy (1999, 2005), os conceitos de atual e virtual podem ter mais de uma leitura
com o foco nos dados dessa pesquisa. Neste momento, concebo “atual” de acordo com a física
clássica, à realidade corpórea. O que acontece no ciberespaço, no entanto, tem dimensão diferente,
ao qual associo a uma realidade “virtual”. Em consonância com esse autor, atual e virtual são,
portanto, duas formas distintas de realidade.
140
As potencialidades do ciberespaço foram, assim, exploradas na formação
continuada dos professores de Matemática da Fundação Bradesco. Os alunos-
professores puderam colaborar uns com outros, em consonância com a proximidade
proposta de “estar junto virtual” de Valente (2003a; 2003b). A interação entre mídias
e profissionais de uma mesma instituição que, embora fisicamente distantes, tinham
objetivos comuns, propiciou um “estar-junto-virtual-com-mídias”.
Nesse contexto, coletivos pensantes atuais se reuniram, constituindo um
coletivo pensante virtual e, dessa forma, uma comunidade virtual de
aprendizagem. Algumas avaliações feitas pelos alunos-professores corroboram
essa afirmação, como a de Rosa:
A dinâmica com que o curso foi desenvolvido, da participação, da fala da Rúbia, o
acompanhamento da Rúbia durante as apresentações, as suas (do prof. Marcelo) intervenções, as
discussões, tornaram o curso meio presencial, meio a distância e isso para nós foi um ganho muito
positivo, foi muito interessante realmente a participação no curso, e seria interessante que tivesse
possibilidade de dar continuidade à comunidade gerada pelo curso. Muito obrigada e parabéns pela
administração geral da organização metodológica do curso.
Interação e colaboração são aspectos tratados na literatura na área de
formação de professores, por autores como Hargreaves (1998, 2001), Larraín e
Hernández (2003), Ferreira e Miorim (2003), Fiorentini (2004), Nacarato (2005),
entre outros, que observam que a colaboração e o compartilhar são ações poderosas
que podem gerar conhecimento. Trazendo estas idéias para experiências à distância,
temos um forte argumento para organizar cursos que enfatizem a interação não
somente com o líder do curso, mas entre todos os participantes.
A participação ativa e o trabalho em conjunto constituíram uma inteligência
coletiva no centro da CVA, em que a direção que traduz essa perspectiva é a da
aprendizagem colaborativa online.
Nesse sentido, a informática tinha o papel de mídia de comunicação
(MORAN, 2002). Seus recursos condicionavam a interação entre professores e alunos
do curso. E, com essa possibilidade, todos os alunos acompanhavam as construções
que eram realizadas em nossa máquina. E, como nossa proposta era participativa,
não queríamos uma aula expositiva, onde as construções das atividades fossem por
nós realizadas e simplesmente “assistidas” pelos alunos.
As atividades 4 e 5 ilustram a exploração do aspecto visual e a possibilidade
dos alunos-professores participarem da aula não apenas como ouvintes, mas
141
mostrando suas idéias/soluções. Na atividade 4, eles expuseram suas soluções ao
problema proposto de encontrar as figuras simétricas às figuras dadas, utilizando-se
da “caneta virtual” para manusear o Geometricks, ou narrando os caminhos
percorridos (enquanto eles narravam, nós, professores, fazíamos a construção no
software). Na atividade 5, construções diferentes do triângulo isósceles foram
compartilhadas. Como sugerem Ferreira e Miorim (2003), o diálogo se efetivava a
partir do envolvimento dos alunos-professores, que expressavam sua opinião. Era
uma conversação com certas qualidades, gerando um processo de descoberta. Era
um diálogo que, certamente, ia além de uma simples conversa (ALRØ; SKOVSMOSE,
2006; BAIRRAL, 2004).
As atividades elaboradas por eles foram também discutidas nos encontros e
estavam abertas às sugestões. Preparar atividades para a utilização do Geometricks
em aulas de Matemática era uma experiência nova para a maioria dos alunos-
professores, e a contribuição dos colegas poderia enriquecer esse aprendizado e
vislumbrar novas práticas pedagógicas.
A atividade 6 retrata que essas contribuições tinham diferentes naturezas.
Algumas com o objetivo de melhorar/clarear o enunciado, usualmente apontadas por
nós, professores, na tentativa de corrigir possíveis ambigüidades; outras abordavam
questões pedagógicas, como os comentários de Lincoln e Silvana:
Lincoln:
Muito boa, gostei demais da idéia, da construção, né?! A idéia do José Gilney é uma idéia
que eu vou iniciar na oitava séria, quando for iniciar o trabalho de funções. Esse é o primeiro
trabalho que nós vamos fazer: como marcar pontos, como identificar os pontos no plano
cartesiano... Achei excelente a idéia dele. Esse é o trabalho que nós vamos fazer na próxima sexta
feira com os meninos e podemos trabalhar para questionar aí a simetria também, né?! Eixos de
simetria axiais, acho que podemos questionar... Muito boa, gostei demais! Se for ao longo do terceiro
médio dá para calcular até para área de triângulo, podemos até cobrar isso, se for alunos do terceiro
médio, Geometria Analítica...
Silvana:
Nessa atividade a gente pode explorar também na quinta série, com o cálculo de áreas e
perímetros.
E, ao final de cada curso, uma pequena apostila foi estruturada, contendo
todas as atividades. Dessa forma, os alunos-professores elaboraram um material
inicial para usar em suas aulas.
Sob o aspecto da não uniformização, tratado por Torres (2004) e Lévy
(2000), destaco a atividade 5. Um problema aparentemente simples do ponto de
vista conceitual – construção de um triângulo isósceles - possibilitou rica discussão e
142
troca entre os alunos-professores, que não procuraram encontrar uma única
resposta, supostamente “correta”, para o problema em questão. Ao contrário,
quiseram expor sua maneira de pensar, mostrando as diferenças. Ainda que
concordassem com a solução dos colegas, não se sentiam satisfeitos em apenas
assisti-la, queriam contribuir com o processo de aprendizagem coletiva.
Várias ações do modelo de Alrø e Skovsmose (2006) se efetivavam nessa
atividade. Os alunos estabeleceram contato, perceberam e reconheceram suas
perspectivas e as dos colegas, posicionaram-se e pensaram alto, reformulando as
conjecturas propostas. Os recursos do software foram usados de forma diferente
pelos coletivos pensantes e compartilhar suas soluções valorizava e otimizava as
qualidades de cada um, vislumbrando o aprendizado do grupo pois, como afirma
Lévy (2000, p.27), “toda atividade, todo ato de comunicação, toda relação humana
implica num aprendizado”.
E, nesse ambiente de aprendizagem, tivemos o papel de facilitadores. “Em
lugar de atuar como o especialista que fornece as informações, como nas aulas
expositivas, o professor estrutura este ambiente de forma a incentivar a interação
entre os alunos” (CAMPOS et al., 2003, p.30).
Com essa preocupação, procurávamos incentivar em todos os encontros a
interação entre os alunos-professores, caracterizada, segundo Silva (2003a), pela
participação colaborativa, pelo diálogo com vozes de todos os atores humanos do
processo e pela liberdade de troca entre eles. As mídias condicionam a colaboração
do grupo, atuando de forma a possibilitar a comunicação e a propor novos
questionamentos, como na atividade 7.
Nessa perspectiva, os erros não eram vistos de forma negativa, e não
apenas os alunos erravam, mas também nós, professores. E esse ambiente convertia
os erros em uma oportunidade para o aprendizado. A atividade 1 retrata a
exploração do erro a partir da integração das mídias. Como no primeiro encontro os
alunos-professores ainda não estavam muito familiarizados com o software, e
também se sentiam inseguros em expor suas dúvidas, dificuldades e erros, é difícil
fazer afirmações quanto ao erro de Leandro, e fica a dúvida se esse erro foi de
definição, ou se ao explorar o software, até então desconhecido, ele acabou
143
cometendo um equívoco na medição, já que a Matemática discutida estava dentro do
contexto de atuação dos alunos-professores na escola.
Houve momentos em que os alunos-professores colaboravam conosco de
forma a superar dificuldades e/ou erros, como aconteceu na primeira edição do
curso, no desenvolvimento da atividade 3, em que Fred nos indicou onde estava o
erro na construção do quadrilátero semelhante que realizamos. Não havia
semelhança entre as duas figuras e não conseguíamos perceber o motivo. Quando
preparamos a aula, esse procedimento foi realizado corretamente, mas, na aula, a
escolha de um ponto errado no processo de construção da figura semelhante foi a
causa do erro, diagnosticada por Fred.
Nessa mesma atividade, na segunda edição do curso, ao “passar a caneta”
pudemos permitir que um dos alunos-professores conduzisse a aula. Com o
microfone, ele descrevia os passos de sua solução, justificando porque os escolheu.
A construção era por todos acompanhada. E, no momento em que sentiu dificuldade,
pediu “socorro”. Depois do nosso auxílio, pôde continuar compartilhando suas idéias,
em um processo contínuo de interação e colaboração.
Quando o processo de “passar a caneta” ficava muito lento, por questões
técnicas
41
, era sugerido que um aluno narrasse os passos de sua construção e, ao
invés de nós realizarmos a construção, um outro aluno a desenvolvia.
As palavras de André externam sua avaliação desse processo, ao final de
uma aula:
Nós também temos uma avaliação positiva. Aparentemente, essa coisa de estar passando o comando
para os colegas dá uma idéia de lentidão, mas acaba sendo muito interessante, a gente vai
percebendo as dificuldades de cada um. É extremamente positivo.
Com esse recurso de “passar a caneta”, nem sempre a pessoa que iniciava a
atividade era a mesma que a finalizava. E sugestões poderiam ser elaboradas, tanto
por nós, professores, como pelos colegas, em um processo de pensar coletivamente,
condicionado pela tecnologia atuante.
Dessa forma, o trabalho colaborativo teve participação ativa da tecnologia
disponível e utilizada. No curso Geometria com Geometricks a interação pôde
41
Quando se fazia uso simultaneamente de áudio e imagem, manuseando o software, a conexão
ficava mais lenta. Quando uma pessoa falava e outra manuseava o Geometricks havia um menor
delay entre o som e a imagem.
144
acontecer de forma síncrona porque a plataforma da Fundação Bradesco assim o
permitia. Obviamente que apenas dispor de recursos tecnológicos não é suficiente. A
utilização que fizemos deles caracterizou nossa proposta pedagógica. A
videoconferência atuava de forma a possibilitar que ouvíssemos os alunos, e não
apenas para expor nossas idéias, por exemplo, o que estava diretamente ligado à
nossa concepção de aprendizagem pelo diálogo, pela interação, pois, como Alrø e
Skovsmose (2006), pressupúnhamos que a qualidade do diálogo influencia a
qualidade da aprendizagem matemática. Certamente a profundidade do diálogo
garantiu a aprendizagem colaborativa online.
7.3 Argumentação matemática colaborativa
A abordagem investigativa foi explorada no curso Geometria com
Geometricks, e as atividades foram elaboradas de forma a estimular os alunos a
encontrarem justificativas às suas respostas. Propúnhamos problemas abertos, que
poderiam ter solução única, mas que em sua maioria poderia ser encontrada
percorrendo-se diferentes caminhos. Muitos sabiam usar as propriedades
matemáticas no desenvolvimento das atividades, mas não sabiam justificá-las.
Hipóteses e conjecturas eram levantadas no decorrer das atividades, sem que
houvesse uma explicação.
Quando percebíamos que justificativas e argumentações não eram
exploradas, procurávamos debatê-las nos encontros síncronos, já que nele os alunos-
professores poderiam pensar coletivamente, trocar idéias, etc. Percebemos que, em
sua prática docente, poucos sentiam necessidade de procurar justificativas
matemáticas para as conclusões obtidas e, dessa forma, não estavam familiarizados
com esse tipo de proposta. Juntos, certamente poderiam valer-se de ajuda mútua,
ou mesmo se apropriar da solução apresentada por um colega. Em alguns
momentos, fomos além e sugerimos que tentassem realizar uma demonstração
formal do problema em questão.
Como exemplo, tomamos aquele momento em que Gleice levantou uma
questão desafiadora sobre o tema “cônicas”, apresentada na atividade 7. Como
145
sugerem Goldenberg, Cuoco e Mark (1998) e Hadas et al. (2000), ambientes de
geometria dinâmica podem criar oportunidades para incertezas, que levam os alunos
a buscarem explicações. Foi preciso relembrar alguns conceitos para conseguir
argumentar sobre o encaminhamento proposto ao problema. Pensando
colaborativamente-com-Geometricks foi possível encontrar um contra-exemplo que
garantisse que as duas curvas esboçadas não correspondiam à construção de
hipérboles. Estávamos convencidos, mas sem saber explicar o porquê. Revisitando
definições e propriedades matemáticas já estudadas foi possível estruturar
argumentos que justificassem nossa hipótese. Aspectos relevantes do processo de
argumentação matemática se fizeram presentes, como sugere Boavida (2005).
Na atividade 3, em que era proposta a construção de um quadrilátero e de
uma figura semelhante a ele, a solução encontrada foi baseada em uma construção
apresentada no livro didático utilizado pelos alunos-professores. Queríamos saber,
então, porque aquela construção era válida, ou seja, o que garantia a semelhança
entre os dois quadriláteros.
Como mencionado anteriormente, Ricardo apresentou uma justificativa que
se apoiava no recurso do “arrastar”, característico em SGD. Sobrepondo as duas
figuras, confirmou-se que ambas eram semelhantes. Ainda julgávamos que faltava
uma explicação matemática. Márcia pensou em verificar a proporção entre as
figuras. Novamente estava sendo encontrada uma maneira de saber se as figuras
eram semelhantes. Mais uma vez foi confirmada a semelhança. Ficamos
convencidos, mas faltava um argumento matemático. Maurício trouxe para reflexão a
possibilidade de justificar com o uso do Teorema de Tales. A justificativa quase se
completou, mas ficou faltando organizar as idéias. A fala do Maurício abriu espaço
para uma discussão no âmbito das mídias:
Maurício:
Eu não tô conseguindo facilidade em montar isso, por exemplo, em sala de aula você aproxima
duas paralelas... duas transversais e você vê mais claramente isso. Aqui agora eu não tô conseguindo
raciocínio para montar isso, é por isso que eu gostaria de... Quer dizer, eu acho que tem uma certa relação,
mas eu não estou conseguindo ver agora...
Marcelo:
O que é interessante que o Maurício colocou é um pouco da diferença das mídias. Como que é
diferente você lidar com isso no quadro negro ou lidar aqui no software. E o Maurício tem toda razão com
isso e é algo que a gente tem que aprender. Então depois vocês vão poder ver isso e vão poder utilizar depois
as razões de semelhança, essa é uma outra dica, para estarem vendo que os segmentos são proporcionais e os
ângulos congruentes.
146
Certamente as mídias envolvidas no processo de comunicação e exploração
matemática atuaram como indutoras de demonstrações, como observam Lourenço
(2002) e Marrades e Gutiérrez (2000). Fatores visuais, muitas vezes, propiciavam a
convicção dos alunos-professores sobre suas conjecturas, sendo estimulados a
procurar uma explicação matemática.
Na atividade 2, os alunos-professores levantaram hipóteses e procuraram
justificá-las, explorando o quadrilátero EFGH formado pelas bissetrizes da figura
original ABCD e o quadrilátero KLMN formado pelas bissetrizes de EFGH (figuras 7.5
e 7.6). As idéias e os argumentos foram compartilhados coletivamente, no momento
que surgiam. O encontro síncrono possibilitava o diálogo simultâneo e a interação
entre todos os envolvidos nos processos de ensino e aprendizagem.
Figura 7.5 Figura 7.6
Essa atividade ilustra, ainda, a presença de um processo de abdução, de
inferência. Depois de traçadas as bissetrizes do paralelogramo ABCD, os alunos-
professores se arriscavam, conjecturando que EFGH era um retângulo e, traçadas as
bissetrizes dessa figura, levantaram a hipótese de KLMN ser um quadrado, a partir
de conhecimentos, valores e crenças construídos ao longo da sua experiência
profissional (MISKULIN, 1999). Ademais, é possível perceber que as hipóteses eram,
muitas vezes, levantadas pelos próprios alunos (foram eles que concluíram sobre
EFGH ser um retângulo e KLMN ser um quadrado) e destaco que os argumentos
eram encadeados coletivamente. Havia troca de conhecimento entre os colegas, que
procuravam argumentar, ainda que informalmente, sobre a validade das
propriedades em cena. As idéias “pipocavam” durante o diálogo. Diferentes
possibilidades eram apontadas. Assim, o que se constata é que o desenvolvimento
147
de argumentações deu-se, em sua maioria, a partir do que poderíamos chamar de
“abdução colaborativa”.
Em alguns momentos do curso, as justificativas ocorreram por meio de
provas visuais, considerando as condições apresentadas por Hanna (2000), como na
atividade 4. Para garantir que a construção resistisse ao teste do arrastar foi preciso
buscar argumentos matemáticos que a sustentassem, aumentando o papel dos
processos heurísticos, de exploração e visualização, valorizando os olhos como um
órgão que possibilita a descoberta (GARNICA, 1995).
Essa abordagem esteve constantemente presente no curso. Como fazíamos
uso de videoconferência em quase todos os encontros síncronos, a comunicação oral
e visual (das construções realizadas no Geometricks) era muito mais utilizada que a
escrita (algébrica). Assim sendo, as conjecturas eram levantadas a partir da
visualização das figuras construídas no Geometricks e suas justificativas aconteciam
oralmente, encadeando-se argumentos que explicassem as propriedades observadas.
A mídia atuante possibilitou que idéias fossem compartilhadas e que
justificativas fossem elaboradas. No encontro síncrono isso pôde acontecer em
tempo real e esse exemplo ilustra o pensar colaborativo, em um processo de
aprendizagem de proposições e argumentações matemáticas. Essa costuma ser uma
atividade individual, cada um com seu caderno e livro, na maioria das nossas
experiências presenciais e a distância.
Não encontrei referências que abordassem essa questão. Talvez porque o
processo aconteça de forma tão natural que não tenha suscitado questionamentos.
Professores apresentam algumas demonstrações, explicam como é o processo de
encadeamento de argumentos e convidam os alunos a tentar desenvolvê-lo.
Apoiados em teoremas, proposições, etc. demonstramos-com-lápis-papel-e-livro.
Essa é a prática usual quando do desenvolvimento de demonstrações em aulas de
Matemática.
O curso foi espaço para uma nova forma: demonstrávamos-estando-juntos-
virtualmente-com-mídias, em um processo colaborativo. O encadeamento não era
apresentado, ou mesmo elaborado, por uma mesma pessoa, era construído a partir
de contribuições de diferentes participantes. Não era possível identificar “o” autor
desse processo.
148
Observo que acompanhar esse encadeamento de justificativas não era trivial,
mesmo visualizando as figuras na tela do computador. Talvez por ser uma prática
diferente daquela que estamos acostumados, sentíamos dificuldade em acompanhar
as distintas linhas de raciocínio que surgiam e nem sempre se complementavam.
Como disse anteriormente, em tempo real tínhamos que seguir o raciocínio dos
colegas, que não necessariamente tinham uma seqüência lógica, as idéias
“pipocavam”, cada um compartilhava as suas com os demais, e era preciso esforço
para acompanhá-las e organizá-las. Era um espaço de escuta ativa, para estabelecer
contato, perceber, reconhecer, posicionar-se, pensar alto, reformular e desafiar
(ALRØ; SKOVSMOSE, 2006). Na atividade 2, chegamos a pedir que fosse enviado por
escrito, depois do encontro, a demonstração estruturada.
Como observa Boavida (2005), criar um ambiente que leve os alunos a
argumentarem matematicamente é um processo complexo. E ações por ela
apontadas, como a de propor questões que desafiassem o pensamento, ou
improvisá-las no decorrer dos encontros; incentivar a contribuição dos alunos-
professores; partilhar a liderança; e estimular a participação de todos, e não deixar
que apenas alguns poucos interajam, ganham uma nova dimensão quando
acontecem em um ambiente virtual. “Perceber intuitivamente” o momento propício
para uma nova pergunta nesse cenário é diferente de quando atuamos numa aula
presencial. Não podemos nos basear nos gestos e nas expressões faciais, por
exemplo, que costumam nos ajudar a sentir se ainda há dúvidas ou se podemos
prosseguir nossa aula. São aspectos que nos levam a uma nova postura como
professor.
Por todo o exposto, o curso tinha a perspectiva de abordar aspectos da
argumentação matemática, procurando fazer dessa busca um pensar coletivo.
7.4 Uma breve síntese
Com poucos alunos (em média 25 alunos em cada edição) foi possível
propiciar encontros síncronos que oportunizavam a interação em tempo real entre os
participantes, que aprendiam colaborativamente online.
149
Aprender matemática em um curso a distância com a possibilidade de
visualizar as construções realizadas pelos demais participantes é uma dimensão
própria da experiência aqui relatada. Com a plataforma para videoconferência,
disponibilizada pela Fundação Bradesco, era possível compartilhar a tela de nosso
computador, “passando a caneta” aos alunos-professores. Isso permitia que eles
acompanhassem e participassem ativamente das construções geométricas realizadas
no Geometricks. O microfone poderia estar sob nosso comando, mas, se não
estivesse sendo utilizado por nós, ficava livre para que qualquer um tivesse o
domínio da voz.
Desse modo, uma construção poderia ser por nós iniciada, e complementada
por um dos alunos-professores. Em um momento seguinte, poderia, ainda, ser
alterada por um outro aluno-professor. Ou seja, era possível “passar a caneta” aos
alunos-professores, para realizações de construções geométricas coletivamente,
sendo simultaneamente acompanhadas pelos colegas de qualquer localidade do país.
O chat, por sua vez, possibilitava que os alunos-professores se
manifestassem simultaneamente, sem que houvesse a necessidade de esperar sua
vez. Isso permitia que expressassem suas idéias livremente, ao que Borba (2004)
refere como multiálogo. E para aqueles que têm dificuldade de se comunicar
oralmente, com o chat poderiam fazer uso da escrita para expor suas opiniões.
A linguagem teve papel crucial no desenvolvimento do curso, na forma
escrita e, especialmente, na falada. A possibilidade de ouvir os alunos-professores
explicarem suas idéias, apresentarem oral e visualmente suas soluções às atividades
propostas (pelo uso do microfone e compartilhamento da tela do Geometricks)
durante as videoconferências, ou a discussão por chat, que permitia que eles se
posicionassem livremente, sem ter que esperar a fala do colega, ou até mesmo sobre
diferentes assuntos em um mesmo momento, fez do curso um ambiente de
produção coletiva.
Constituindo uma inteligência coletiva, alunos e professores levantavam
hipóteses e conjecturas e procuravam justificá-las. Compartilhar a tela do
Geometricks, de modo a possibilitar a visualização das figuras construídas, incitava o
“estar-junto-virtual-com-mídias”, criando uma CVA que diferencia qualitativamente
150
essa experiência da maioria existente em EaD, especialmente na área de
Matemática.
151
CAPÍTULO VIII
CONSIDERAÇÕES FINAIS
É sábio olhar para trás, pois é avaliando a
tortuosidade de nossas pegadas que poderemos
traçar um caminho reto para o futuro
Autor desconhecido
A presente pesquisa traz resultados sobre a natureza da aprendizagem
matemática em um ambiente online para formação continuada de professores. Os
dados são provenientes de um curso intitulado Geometria com Geometricks cujo
objetivo foi abordar aspectos da utilização de tecnologia informática nas aulas de
Matemática, propiciando a familiarização com o Geometricks.
Docentes da Fundação Bradesco, de diferentes localidades do país e
denominados nesse trabalho de alunos-professores, desenvolveram atividades de
Geometria utilizando-se do software e, para discuti-las, encontravam-se
periodicamente. Esses encontros aconteceram a distância, de forma síncrona, por
chat ou videoconferência.
Tomando a concepção de que a qualidade da aprendizagem é condicionada
pela qualidade da comunicação, o curso foi estruturado com ênfase na interação.
Especialmente os recursos da videoconferência possibilitaram que construções
geométricas fossem compartilhadas visualmente e realizadas por todos os
envolvidos, fomentando a participação ativa e constituindo, por meio do diálogo,
uma comunidade virtual de aprendizagem.
152
Nesse contexto singular, a natureza da aprendizagem matemática se revelou
a partir de um conjunto de características específicas, do qual destaco a coletividade
que engloba atores humanos e não humanos em um coletivo pensante de seres-
humanos-com-mídias; a colaboração que se dá também nessa coletividade, mas que
sustenta a ação de “passar a caneta” de Roraima ao Rio Grande do Sul em tempo
real e entrelaça contribuições de todos os participantes; e argumentativa, uma vez
que conjecturas e justificativas matemáticas se desenvolveram intensamente no
decorrer do processo, contando para isso com as mídias presentes na interação
ocorrida de forma constante e colaborativa.
As mídias condicionaram esse processo, pois a distância geográfica foi
superada por meio do ciberespaço, e a interação em tempo real aproximou coletivos
pensantes atuais em um coletivo pensante virtual. Dessa forma, se constituiu uma
inteligência coletiva em que os participantes se sentiam reunidos, em um grupo de
interesse comum, trocando idéias e experiências, ou seja, “estavam-juntos-
virtualmente-com-mídias”. E as possibilidades dos seres-humanos-com-escrita eram
ampliadas quando as discussões ocorriam por videoconferência, o que culminou na
opção desse recurso nas duas últimas edições do curso na quase totalidade dos
encontros, constituindo um coletivo pensante de seres-humanos-com-oralidade-
Geometricks.
Não posso deixar de mencionar aqui as relações do ambiente de
aprendizagem constituído neste curso, com a formação dos professores nele
envolvidos. O modo como o professor aprende nesse processo pode condicionar a
maneira como ele percebe e desenvolve a Matemática em suas aulas. Isto é,
possibilita a reflexão sobre elementos importantes do processo de aprendizagem,
como conjecturar em cima de problemas específicos, trocar idéias, elaborar
justificativas, entre outros. Assim, o curso foi planejado a partir de concepções de
Educação Matemática à distância em que dialogar, discutir conceitos matemáticos,
errar, interagir, enfim, produzir conhecimento matemático, foi seu principal objetivo.
Tanto humanos como não humanos foram fundamentais para que essa produção
acontecesse. As tecnologias de informação e comunicação (nesse caso, em especial
a plataforma do chat e da videoconferência) propiciaram a participação ativa, atual
153
ou virtual, dos alunos-professores, estabelecendo um hipertexto que permitiu a
constituição de uma rede-de-aprendizagem-com-tecnologia.
É fato que um curso online é novidade para muitos, especialmente com
participações em tempo real. Por não ser usual, o processo de comunicação pode ser
dificultado, uma vez que dialogar com pessoas que não são vistas por estarem em
diferentes locais (nesse caso, apenas ouvir em grande parte do tempo, visualizando
o Geometricks), muitas vezes, intimida. Para que os alunos-professores
expressassem suas idéias e raciocínios foi preciso estímulo.
Atenção especial foi dada a demandas como essa, à necessidade de fazer do
aluno-professor um ator ativo do processo de produção do conhecimento
matemático coletivo, e a possibilidade de “passar a caneta” foi um grande propulsor.
Uma rede foi criada na expectativa de que seres-humanos-com-mídias pudessem
produzir conhecimento colaborativamente. Aprofundar a análise sobre o papel do
professor na aprendizagem colaborativa online é um espaço frutífero para futuras
pesquisas na área de formação de professores.
Ainda sobre o papel do professor na Educação a distância (EaD) online, vale
ressaltar a necessidade de se refletir sobre sua formação. A própria legislação em
EaD sugere a qualificação docente, entre os pré-requisitos para a oferta de cursos a
distância. E como essa formação tem acontecido? Será que os cursos de formação
de professores, nas diferentes áreas, estão formando um profissional preparado para
essa especificidade? Ou pelo menos consciente dessa necessidade?
Outro aspecto que considero relevante observar é o fato de que os alunos-
professores discutiam as atividades com colegas e participavam das aulas em seu
local de trabalho, ainda que de forma online. Focar o aspecto da formação “in lócus
virtual” foge ao escopo desta pesquisa, entretanto, não deixa de ser um caminho
aberto para novas investigações.
No que tange a questões matemáticas, a videoconferência oportunizou que o
aspecto visual fosse explorado. Essa possibilidade não é freqüentemente observável
em cursos à distância, especialmente se considerarmos a “orientação visual” que um
aluno ou professor pode fornecer aos demais durante o processo de produção
coletiva do conhecimento. Em aulas presenciais de Matemática, especialmente de
Geometria, utilizamos constantemente imagens para ilustrar nosso raciocínio, nossas
154
idéias, os passos que seguimos no desenvolvimento de uma atividade, fazer
apontamentos, etc. É isso que fazemos “face a face”. Como fazer isso à distância,
virtualmente?
O curso Geometria com Geometricks é uma experiência que traz
contribuições nesse sentido. A videoconferência possibilitou a “orientação visual” nos
momentos de aprendizagem matemática, ao permitir que as imagens fossem
compartilhadas entre os participantes, articuladas com a voz dos mesmos, de forma
síncrona. Assim sendo, era possível que uma atividade envolvesse alunos e
professores em um pensar coletivo, acompanhando as construções (visuais) de quem
estava com a “caneta virtual”. É uma experiência que ressalta a possibilidade de
alternância da liderança, sem que cada um deixe de ocupar seu papel (de aluno ou
professor).
Destaco que o curso era um espaço para argumentar coletivamente, e esse
processo só foi possível pela presença da mídia em colaboração com humanos.
Observo que apesar das construções serem baseadas nos livros textos, e dessa
forma usuais nas práticas pedagógicas, foi possível perceber que os alunos-
professores não tinham o costume de elaborar justificativas para as mesmas. Assim
sendo, considero a reflexão dessa dimensão uma contribuição no âmbito da
formação continuada. Nessa direção, investigar experiências em EaD, cujo o foco
principal são propostas em que processos dedutivo, indutivo e abdutivo coletivos
sejam vivenciados pelos alunos, é um possível desdobramento desta pesquisa.
Ao discutirem matemática, os alunos-professores se posicionavam sobre
como trabalhar em sala de aula com aquela matemática estudada. Procurou-se
valorizar o conhecimento dos professores e também dos alunos-professores,
constituindo, por meio do diálogo, uma inteligência coletiva. Considero que esta
pesquisa mostra que o ambiente online pode, sim, atender às recomendações de
pesquisadores da área de formação de professores. Ou seja, é possível trabalhar
colaborativamente, é possível refletir sobre a prática e trocar experiência.
De todo modo, é preciso adotar uma postura crítica. Sabemos que não é
freqüente a possibilidade de existirem turmas de 25 alunos, com a orientação de dois
professores. Da mesma forma, raras são as experiências, especialmente com
155
Matemática, que podem contar com a tecnologia da videoconferência e um suporte
técnico especializado tão próximo do professor em formação.
Também é sabido que ter boas condições não é garantia de que um curso
prospere. Vale ressaltar a importância da arquitetura global do curso: a valorização
dos diferentes saberes, a forma como as atividades foram propostas, o incentivo à
participação ativa dos alunos-professores nos encontros síncronos, o suporte
contínuo nos momentos assíncronos. Isso demandou cuidado especial da elaboração
ao acompanhamento do curso, muito esforço e grande dedicação.
A postura de estímulo à participação, entre outros aspectos, condicionou: a
natureza coletiva, quando ao elaborar as atividades essas foram pensadas com o
Geometricks de forma que o software dava condições, juntamente com o grupo
virtual, para que a Geometria fosse explorada; a natureza colaborativa, na
virtualidade das discussões por videoconferência, ou no pensamento coletivo
formado ao se utilizar o software em conjunto, embora os participantes estivessem a
quilômetros de distância; e a argumentativa, no encadeamento de justificativas
matemáticas, que só foram possíveis pela forma de condução dessas discussões,
assim como pelas mídias que atuaram no processo de aprendizagem nesse
ambiente.
Assim, com um último olhar para a natureza da aprendizagem matemática,
no curso Geometria com Geometricks, percebo a inter-relação de diversos aspectos:
ciberespaço, comunidade virtual, inteligência coletiva, diálogo, colaboração,
interação, aprendizagem, etc. O ciberespaço condicionou a comunicação entre os
participantes. Alunos-professores de um mesmo contexto institucional constituíram
uma comunidade de aprendizagem que se caracterizou virtualmente. E, por sua
proposta pedagógica interativa, o curso procurou valorizar o conhecimento dos
professores e também dos alunos-professores, constituindo, por meio do diálogo,
uma inteligência coletiva.
Refletindo sob aspectos da formação, é notório que conceitos, propriedades
e outros aspectos de Geometria, especialmente, foram explorados durante o curso.
Questões teóricas também tiveram espaço, impulsionando a reflexão e o
pensamento crítico. E a familiarização com o Geometricks possibilitou que fossem
vislumbradas diversas alternativas para o estudo de Geometria.
156
Espero, então, que o presente trabalho possa iluminar outras experiências
em EaD online, de modo especial àquelas na área de Matemática. Minha expectativa
é que se encontrem maneiras para desenvolver propostas de trabalho com
geometria dinâmica, como aquelas exploradas no curso, ou seja, que as discussões
pedagógicas e matemáticas realmente se tornem “práticas”.
157
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ZULATTO, R.B.A.; BORBA, M.C. Diferentes mídias, diferentes tipos de trabalhos
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PROFESSORES, 7., 2005, Águas de Lindóia, SP. Anais... Águas de Lindóia, 2005.
169
ANEXOS
170
ANEXO A
Alunos da primeira edição do curso – 2º semestre de 2004
Mapa retirado do site da Fundação Bradesco. www.fundacaobradesco.org.br
Rio Branco-AC
Alessandro
São João Del Rei – MG
Ângela
Artur
Neusa
Ceilândia – DF
Auxiliadora
José Gilney
Marília – SP
Elaine
Caucaia – CE
Francisco Erivaldo
José Ivan
Miron
Bodoquena – MS
Leandro
Frederico
Canuanã – TO
Lincoln
Maria Divina
Pedro
Natal - RN
Maria Marone
Luciana
Salvador – BA
Taísa
Paragominas – PA
Alan
Marcus Vinícius
Bagé – RS
Carla
Boa Vista – RR
Marcos Aurélio
Cacoal – RO
Eudismar
Gravataí – RS
Jotoar
Katia
Paranavaí – PR
Abigail
Jaboatão – PE
Ana Catarina
171
Alunos da primeira edição do curso – 1º semestre de 2005
Mapa retirado do site da Fundação Bradesco. www.fundacaobradesco.org.br
Aparecida de Goiânia – DF
Eugênio
Glamy
Bagé – RS
Glademir
Cacoal – RO
Cícera
Gleice
Irecê – BA
Cristiane
Jaboatão – PE
Marcos
Naralina
Jardim Conceição – SP
Mariângela
Renato
Macapá – AP
Alfredo
Ana Paula
Marília – SP
Layress
Waldeir
Pinheiro – MA
Antonio
Solange
Registro – SP
João Marcelino
Marisa
Silvana
Osasco – SP
Paulo
Rosa
Rio Branco-AC
Ewerton
Vila Velha – ES
Leonardo
Alessandra
Teresina – PI
Francisco
172
Alunos da primeira edição do curso – 2º semestre de 2005
Mapa retirado do site da Fundação Bradesco. www.fundacaobradesco.org.br
Itajubá – MG
Neuza
Oneida
São Luis – MA
Alberto
André
Irecê – BA
Welhington
Conceição do Araguaia – PA
Cirioney
Anilton
Lindomar
Macapá – AP
Alfredo
Ana Paula
Vila Velha – ES
Maurício
Rio De Janeiro – RJ
Nelma
Salvador – BA
Ricardo
Osasco – SP
Márcia
Mônica
Eliana
Maria Inês
Paragominas – PA
Madson
Tiago
Boa Vista - RR
Edson Costa
Teresina – PI
Edson Lira
Cuiabá – MT
Conceição
Pinheiro – MA
Valdemir
João Pessoa – PB
Ubiratan
173
ANEXO B
Demonstração da atividade das bissetrizes do paralelogramo
Artur, Neuza e Silvana – São João Del Rei/MG
“O quadrilátero formado pelas bissetrizes dos ângulos de seu paralelogramo é
um retângulo.
Os ângulos A e B são suplementares (
AD
//
BC
e
AD
é transversal).Logo:
ângulo A + ângulo B = 180°
a = ângulo A (bissetriz)
2
= a + b = 90°
b = ângulo B (bissetriz)
2
No triângulo ABR, temos:
a + b + ângulo R = 180
90° + ângulo R + 180
⇒
ângulo R= 90°
Aplicando e ADS, prova-se que ângulo S = ângulo P= ângulo Q= 90°. Portanto PQRS é
retângulo.”
174
ANEXO C
Leitura da definição de hipérbole
Marcelo: Eu vou ler uma definição de hipérbole do livro de Manuel Paiva, da Editora
Moderna: fixados dois pontos F1 e F2, na nossa construção seriam os pontos O e P,
tal ok? Mas eu tô lendo a definição do livro, fixados dois pontos F1 e F2 de um plano,
tais que F1F2=2C, C > 0, ou seja a distância entre os focos, chama-se hipérbole o
conjuntos dos ponto P de alfa, cujas as diferenças em módulo das distância PF1 e
PF2 é uma constante 2a. Quem que é P na nossa construção? Vai ser o ponto L, tá
ok!?
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