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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
CONTRIBUIÇÕES DE UM GRUPO DE ESTUDOS PARA A FORMAÇÃO
MATEMÁTICA DE PROFESSORAS QUE LECIONAM NAS SÉRIES INICIAIS
- JUCELENE GIMENES -
Orientadora: Profa. Dra. Miriam Godoy Penteado
Dissertação de mestrado elaborado junto ao
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática
para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática
Rio Claro(SP)
2006
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370.71 Gimenes, Jucelene
G491c Contribuições de um grupo de estudos para a formação
matemática de professoras que lecionam nas séries iniciais /
Jucelene Gimenes. – Rio Claro: [s.n.], 2006
112 f.: il., figs., quadros
Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista,
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Orientador: Miriam Godoy Penteado
1. Professores – Formação. 2. Educação matemática. 3.
Formação continuada de professores. I. Título.
Ficha Catalográfica elaborada pela STATI – Biblioteca da UNESP
Campus de Rio Claro/SP
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Comissão examinadora
___________________________________
___________________________________
___________________________________
____________________________________
___________________________________
__________________________________________________
Rio Claro, de de 2006.
Resultado:_____________________________________________________________
DEDICATÓRIA
Dedico a meus pais, Lúcia e Arlindo Gimenes, que na simplicidade são pessoas sábias que me
ensinaram a seguir caminhos do bem. Agradeço pela compreensão e paciência que tiveram
comigo nos momentos que estive ausente.
À Thiago, companheiro e cúmplice, que compartilhou comigo todos os momentos.
AGRADECIMENTOS
Agradeço,
Primeiramente à Deus, que sempre me iluminou e me deu forças para os dias
difíceis.
À minha orientadora, Profa. Dra. Miriam Godoy Penteado, que soube me direcionar
e tornar possível a conclusão desse trabalho. Agradeço, ainda, à sua participação, como
membro e colaboradora na organização do grupo de estudos, uma vez que nosso tempo era
limitado e que necessitava de alguém mais experiente neste tipo de trabalho de campo. Muito
obrigada, por ter disponibilizado seu tempo, viajando até Piracicaba nos sábados de manhã!
Aos meus irmãos, Jocelito, João José e Jussara que sempre me apoiaram nos
momentos em que eu me sentia sozinha.
Aos meus sobrinhos, Mateus e Tiago, que me deram muita alegria nos momentos em
que a caminhada parecia triste.
Aos meus irmãos de coração: Milton, Ane e Eliane pelo apoio e cumplicidade com
minha família.
Às minhas amigas: Ana Alice, Natali, Claúdia, Luciane e Fabiana pela paciência nos
momentos de desabafo.
Ao amigo, Valter Vitti, pelas sugestões e correções feitas nessa dissertação.
À minha amiga Thaís Furlan, pela sua colaboração na elaboração do abstract da
dissertação.
Às professoras do Grupo de estudos, que foram participativas e compromissadas
com o trabalho.
À amiga Lúcia Helena Corrêa Varella, pela disponibilidade, confiança e
receptividade.
Às professoras da banca de qualificação – Profa. Dra. Cármen Lúcia B. Passos e
Profa. Dra. Laurizete F. Passos – pelas sugestões importantes que fizeram e que foram
fundamentais na finalização da dissertação.
À Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira, por ter disponibilizado um material riquíssimo,
o qual eu não teria acesso.
Ao amigo João Antonio Gâmbaro pelo apoio dado durante minha passagem pela
Diretoria de Ensino de Piracicaba.
Ao Prof. Oldack Chaves pelo exemplo de profissionalismo. Obrigada pela
receptividade!
Às amigas de trabalho, Eliana, Patrícia, Sueli, Adriana, Cristina, Maria Tereza,
Marisa, Lurdinha, Ana Lúcia, Andréia, Maria Eliana, Rose, Soraia, Sandra, Edélzia, entre
outras, que sempre disseram palavras carinhosas para me incentivar na minha caminhada.
À Ana Lúcia Novello, pelo exemplo de profissionalismo e generosidade. Obrigada
por ser paciente comigo!
Ao grupo de orientação, Rúbia, Dirlene, Douglas, Nomaiacy, Carlos Eduardo, entre
outros, que fizeram observações importantes e me deram sugestões no direcionamento da
pesquisa.
À todos aqueles que, diretamente ou indiretamente, me apoiaram, tornando possível
concluir esse trabalho.
SUMÁRIO
Índice ....................................................................................................................................II
Resumo ................................................................................................................................IV
Abstract ................................................................................................................................ V
Introdução ..............................................................................................................................1
Capítulo I
Grupo de estudos como espaço para formação de professor .................................................7
Capítulo II
Sistema de Numeração Decimal e as Operações Fundamentais ............................................20
Capítulo III
Questão norteadora e caminho metodológico .........................................................................38
Capítulo IV
O Cenário da Pesquisa ............................................................................................................44
Capítulo V
Contribuições de um grupo de estudo .....................................................................................72
Considerações Finais ..............................................................................................................95
Referências Bibliográficas ......................................................................................................97
Anexos ..................................................................................................................................100
ii
ÍNDICE
Introdução .................................................................................................................................1
Problemática ...............................................................................................................................1
Estrutura da dissertação...............................................................................................................5
Capítulo I
Grupo de estudos como espaço para formação de professor ................................................7
1.1. A formação continuada do professor....................................................................................8
1.2. Grupos de estudos e o processo de reflexão para mudança................................................11
1.2.1. Organização e estruturação de grupo de estudos.............................................................15
1.2.2. Potenciais e Limitações....................................................................................................17
1.2.3. Papel do líder e dos membros de um grupo de estudos...................................................18
Capítulo II
Sistema de Numeração Decimal e as Operações Fundamentais..........................................20
2.1. Aprendizagem do aluno e do professor .............................................................................20
2.2. Sistema de Numeração Decimal ........................................................................................24
2.3. As Operações Fundamentais ..............................................................................................30
2.3.1. Adição .............................................................................................................................31
2.3.2. Subtração .........................................................................................................................33
2.3.3. Multiplicação ..................................................................................................................34
2.3.4. Divisão.............................................................................................................................35
Capítulo III
Questão norteadora e caminho metodológico ......................................................................38
3.1. A abordagem de pesquisa ..................................................................................................38
3.2. A constituição do grupo .....................................................................................................38
3.3. O encontro de apresentação ...............................................................................................40
3.4. A estrutura do trabalho do grupo e a coleta de dados ........................................................41
Capítulo IV
O Cenário da Pesquisa ...........................................................................................................44
4.1. Apresentação dos integrantes do grupo..............................................................................44
4.2. Os encontros........................................................................................................................53
4.2.1. O primeiro encontro.........................................................................................................53
4.2.2. O segundo encontro. .......................................................................................................58
4.2.3. O terceiro encontro..........................................................................................................62
4.2.4. O quarto encontro............................................................................................................65
4.2.5. O quinto encontro............................................................................................................69
iii
Capítulo V
Contribuições de um grupo de estudo ...................................................................................72
5.1. A Matemática e sua construção .........................................................................................73
5.2. Usando a História da Matemática como abordagem metodológica para o ensino do
Sistema de Numeração Decimal................................................................................................83
5.3. Usando o Material Montessori como abordagem metodológica para o ensino das
Operações Fundamentais...........................................................................................................85
5.4. Terminologia em Matemática.............................................................................................88
5.5. Como o aluno aprende .......................................................................................................90
5.6. As opiniões das professoras em relação ao grupo de estudos ............................................91
Considerações Finais ..............................................................................................................95
Referências Bibliográficas .....................................................................................................97
Anexos ...................................................................................................................................100
iv
Resumo
Esta dissertação apresenta uma pesquisa norteada pela seguinte pergunta: Quais as
contribuições de um grupo de estudo para o professor que busca conhecer “os porquês” de
conteúdos matemáticos? Seus dados são provenientes de um grupo constituído por
professoras para estudar “os porquês” do sistema de numeração decimal e das operações
fundamentais, assuntos que foram escolhidos por elas, pois, segundo seus depoimentos, são
conceitos difíceis de ensinar e que mereciam um maior aprofundamento. Os dados foram
coletados por meio de filmagem, caderno de campo, entrevistas semi-estruturadas e fichas de
acompanhamento. A análise teve como suporte teórico os estudos sobre formação de
professores e grupos de estudos. Os resultados nos mostram que as contribuições têm a ver
com troca de experiências, segurança, valorização e reflexão sobre a prática que já vem sendo
desenvolvida, e principalmente, contribuições em relação às justificativas dos conteúdos
matemáticos mencionados. Considera-se que essas contribuições podem refletir positivamente
na atuação do professor em sala de aula o que é um dos principais objetivos da pesquisa.
Além de trazer subsídios para estudos em diferentes esferas que tratam de formação de
professores e, ainda, contribuir para organizações e estruturações de grupos de estudos.
Palavras-chave: Educação Matemática, grupo de estudos, formação continuada de
professores, séries iniciais.
v
Abstract
This dissertation reports on a research guided by the following question: What is the benefit
of participating in a study group for a teacher who is trying to understand “the why(s) and
wherefore(s)” of mathematical content? The research draws on data obtained from a study
group constituted by teachers who wanted to study “the why(s) and wherefore(s)” of the
decimal system and the four fundamental operations (+, -, *, /), contents which were chosen
by them because according to their speech they are difficult conceipts to teach and deserve to
be studied. The data where collected through video recordings, interviews, field notes by the
researcher and notes by the teachers. The data analysis was based on the literature on teacher
education and on study groups. The results show the benefits of participation are related to the
possibility of sharing experiences and reflecting on the ongoing practice as well as to the
justification of the mathematical content that were studied. All this together helped to increase
the teachers’ self confidence. It is considered that this could positively reflect on teacher way
of acting in the classroom. Besides offering tools for studies on different fields of
teachers’graduation can still contribute to structures and organizations of study groups.
Key-words: Mathematics education, study group, in-service teacher education, elementary
school.
1
Introdução
Neste texto, destacamos o principal objetivo da pesquisa aqui relatada e as razões que
nos levaram a desenvolvê-lo. Essas razões estão diretamente relacionadas a uma experiência
pessoal e profissional, e, portanto, consideramos relevante o seu relato. Logo depois,
apresentamos a problemática que envolve nosso tema, quem são os autores que tratam desse
assunto e uma possível forma de abordá-lo.
1. A problemática
Esta pesquisa tem como objetivo apresentar possíveis contribuições de um grupo de
estudos para professores de séries iniciais. Seus dados são provenientes de um grupo
constituído para estudar “os porquês” do sistema de numeração decimal e das operações
fundamentais. Detalhes sobre o desenvolvimento de sua constituição serão tratados na
metodologia.
As razões que me levaram à escolha desses professores têm a ver com minha
1
experiência pessoal e profissional. O desejo em trabalhar com crianças começou cedo. Em
1992, ingressei no Magistério, quando estagiava como monitora num centro de recreação
infantil, na Prefeitura Municipal de Piracicaba.
Somente em 1995, aos 18 anos, e formada como professora primária, comecei a
lecionar como eventual
2
e foi então que percebi algumas dificuldades que eu mesma tinha em
compreender alguns conceitos matemáticos.
Eu procurava ensinar como havia aprendido, ou seja, eu transmitia as informações
obtidas ao longo da minha vida estudantil. Muitas dúvidas surgiam, mas, como eu não tinha
orientação para buscar novos caminhos, elas permaneciam. Inconformada com essa situação
resolvi continuar meus estudos em Matemática.
1
O texto está escrito ora na primeira pessoal do plural, quando se tratar de fases em que houve a participação da
orientadora, e ora na primeira pessoa do singular, quando se tratar de experiência pessoal e profissional da
autora.
2
Na ausência do professor titular, o professor eventual o substitui.
2
Em 1998, ingressei no curso de Licenciatura em Matemática na UNESP, campus de
Rio Claro. E foi, então, através da minha constante busca pelas justificativas matemáticas que,
hoje, posso perceber como a Matemática era e como agora tem sido.
Antes, na minha visão, a Matemática era algo mágico, as regras eram colocadas e os
problemas resolvidos. Eu não conseguia justificar os conteúdos e fazer relações entre eles,
nem tampouco resolver outros tipos de problemas que não fossem aqueles a que já estava
habituada. Agora, após o curso de Licenciatura, posso perceber essa disciplina como algo
desenvolvido, construído. Eu procuro sempre saber os porquês e as relações existentes entre
os conceitos matemáticos.
Logo após minha graduação, comecei a trabalhar, como professora de Matemática,
no Ensino Fundamental I, em uma escola da rede particular de ensino, onde leciono para
crianças de 10 anos.
Nesse local de trabalho, conheci outras professoras que, diferentemente de mim, são
formadas em Pedagogia, e acredito que, por esse motivo, ensinam Matemática de uma
maneira diferente da minha. É comum acontecer de os alunos dizerem: “Mas, no ano
passado, nós aprendemos de um outro jeito” ou “Por que você não explica a regra? É mais
fácil”. Ou os pais dizerem: “Às vezes, eu quero ensiná-lo em casa, mas ele fala que o seu
jeito é diferente” e, ainda, “Nossa, como este ano está mais difícil a Matemática!”.
No início, fiquei apreensiva, afinal eu estava ali para ajudá-los e não para complicar
seu aprendizado. Mas, aos poucos, fui percebendo que a maneira como aqueles professores e
pais ensinam condiz com a forma com a qual eles aprenderam quando eram alunos.
Acredito que desse modo os alunos, em curto prazo, registram as “informações
transmitidas”, saindo-se bem nas avaliações escritas, mas não têm autonomia para resolverem
outros problemas que envolvam o mesmo conceito, e, além disso, após algum tempo, acabam
esquecendo o conteúdo estudado.
Por outro lado, a meu ver, quando a criança percebe algumas idéias incluídas aos
temas matemáticos, ela consegue desenvolver essas idéias no sentido de relacioná-las com
outras e ampliá-las. Assim, não ficam presas às regras e técnicas. Embora esse seja um
caminho mais longo e difícil, acredito que seja mais prazeroso e permite maior compreensão
no campo matemático.
Entretanto, esse meu percurso não é comum entre as professoras de séries iniciais,
são poucos os professores dessas séries que vão fazer Licenciatura em Matemática. Mas o que
fazer para que essa história não se perpetue? E assim fui me questionando.
3
Eu tinha em mente que seria inviável que todos os professores passassem pelo
mesmo caminho que fiz, porém eu procurava uma forma de contribuir. Resolvi, então,
investigar essa situação com mais profundidade.
Fui percebendo assim que eu não estava sozinha, a literatura também trazia
experiências de professores, que têm dificuldades em ensinar Matemática. Trabalhos de
autores como Ikegami (2002), Amato (2004), Ponte (1992), Mazzotti (1995), Abrantes,
Serrazina e Oliveira (1999), entre outros, abordam essa problemática.
Ikegami desenvolveu sua pesquisa com professores das séries iniciais, e ao
entrevistá-los, identificou suas dificuldades em relação à Matemática, dificuldades que antes
eram vistas como exclusivas do aluno.
Ela afirma que (2002, p.52) “esses professores vivem a realidade específica de uma
escola e, embora ensinem Matemática, têm uma formação inicial limitada ao curso de
Magistério ou de Pedagogia e, portanto, não têm formação específica na área”.
O trabalho de Amato também esteve ligado a professores de séries iniciais. Ela usou,
como forma de coletar dados, as entrevistas, as quais apontam que esses profissionais evitam
a Matemática, pois não se sentem seguros, deixando para o final de suas aulas o ensino dessa
disciplina.
Ponte afirma que pesquisas feitas nesse campo demonstram que muitos professores
são inseguros em relação aos conteúdos matemáticos que ensinam.
Mazzotti, por sua vez, apresenta em seu trabalho os dogmas e medos enfrentados
pelos professores de séries iniciais ao ensinar Matemática. Segundo ela, devido ao alto nível
de abstração, a Matemática é considerada uma disciplina difícil e, por isso, ela se torna um
mito na escola, algo que gera discriminação intelectual tanto entre os alunos como entre os
professores.
Abrantes, Serrazina e Oliveira acrescentam ainda que os conhecimentos matemáticos
dos professores de séries iniciais condizem, em grande parte, com aquele adquirido durante o
seu percurso escolar, como aluno de séries iniciais e secundárias.
A partir de toda essa problemática inserida na literatura e vivenciada por mim,
percebo a importância de conhecer os “porquês” dos conteúdos matemáticos para esses
profissionais.
Conhecer somente as regras, técnicas ou procedimentos para efetuar um algoritmo,
não garante ao professor, nem tampouco ao aluno, compreender a Matemática. Mais do que
isso, é preciso ser capaz de explicar o “porquê” e de relacionar as idéias particulares dentro da
Matemática (PONTE E SERRAZINA, 2002).
4
Para autores como Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999, p.13), “aprender
procedimentos do cálculo por si não promove o contato dos alunos com as idéias e os modos
de pensar fundamentais da Matemática”. Não dá ao indivíduo autonomia para resolver
situações problemáticas mais simples surgidas num outro contexto. É preciso ir além da
aptidão de efetuar as operações fundamentais.
Porém, nem sempre os professores das séries iniciais têm a oportunidade de aprender
sobre isso no curso de formação inicial, uma vez que pouco tempo é dedicado ao estudo da
Matemática nos cursos de Pedagogia. Desse modo, entendemos que a formação continuada
contribui para esse prosseguimento no estudo de Matemática para as séries iniciais.
Não é nosso objetivo entrar em detalhes sobre as políticas educacionais vigentes nos
currículos de ensino do curso de Pedagogia, nem tampouco fazer crítica a formação inicial,
porém neste trabalho trazemos evidencias que revelam a falta de preparação dos professores
em serviço, com relação ao ensino de conteúdos matemáticos.
O que esperamos é que o professor esteja em constante processo de aprendizagem,
que ele perceba a Matemática como algo construído, que ele saiba relacionar as idéias
essenciais de modo a favorecer seu papel de mediador do conhecimento matemático. Mas
como fazer isso?
A literatura aponta como possível caminho os grupos de estudos, que, de acordo
com Murphy e Lick (1998, p.xi), é uma idéia bem simples, mas bastante poderosa, uma vez
que pessoas trabalhando em pequenos grupos melhoram seu desempenho profissional.
Autores como Ferreira (2003), Ikegami (2002), Serrazina (2003) e Ponte (1992)
defendem essa idéia.
Ferreira considera que a criação de um grupo de trabalho colaborativo é uma
alternativa para apoiar o processo de desenvolvimento profissional e mudança dos
profissionais envolvidos.
Ikegami, por sua vez, considera que a vida, pessoal, escolar e profissional dos
professores influencia suas concepções sobre Matemática e sobre o ensino e aprendizagem
dessa disciplina. Ela investigou um grupo de estudos e concluiu que ele trouxe contribuições,
que dizem respeito à melhoria da qualidade de ensino, investigação do próprio trabalho e
reflexões sobre suas concepções.
Serrazina afirma que o professor deve contrastar suas idéias prévias sobre o ensino da
Matemática com a de seus colegas e, dessa forma, clarear e aumentar seus conhecimentos.
Para Ponte, a dinâmica em grupo proporciona um sentido de comunidade que dá
ânimo contra as resistências, estimula a expressão individual e confronta os argumentos.
5
Acreditamos então que o grupo de estudos é uma forma de organização de trabalho
do professor, que contribui para seu desenvolvimento profissional. E é exatamente esse
estímulo que considero importante para o começo de uma mudança.
Segundo Fiorentini (1995, p.30):
É nesse processo (discussões em grupo) que o professor produz novos significados,
situa-se histórico-filosoficamente, apropria-se criticamente das contribuições de
cada tendência e (re) constrói seu próprio ideário pedagógico. Quando essa
construção é processada coletivamente, atingindo um número significativo de
pessoas ou grupos, isso pode desencadear o surgimento de novas tendências
pedagógicas.
Com base na literatura acima mencionada, decidimos direcionar nossa pesquisa para
grupo de estudos com professores de séries iniciais. Desta maneira, tomamos como referência
a seguinte pergunta: “Que possíveis contribuições um grupo de estudos pode trazer ao
professor que busca conhecer ‘os porquês’ de conteúdos matemáticos?” E, em seguida,
constituímos um Grupo para estudar Matemática, mais precisamente o Sistema de Numeração
Decimal e as Operações Fundamentais, assuntos que foram escolhidos pelos próprios
integrantes.
Nesta dissertação, trazemos os detalhes de como isso ocorreu e uma discussão sobre
sua contribuição para os professores envolvidos.
2. Estrutura da dissertação
A dissertação está estruturada da seguinte maneira:
No Capítulo I, trazemos uma discussão teórica da formação continuada do
professor, sua importância para o desenvolvimento profissional, e, como uma das suas
vertentes, grupo de estudos, proposta de trabalho envolvendo professoras de um mesmo
contexto. Em seguida, apresentamos uma possível estruturação de grupo de estudos.
No Capítulo II, tratamos do Sistema de Numeração Decimal e das Operações
Fundamentais, segundo os estudos feitos na preparação do material de apoio utilizado com o
Grupo.
No Capítulo III, retomamos a questão norteadora da pesquisa e a trajetória
metodológica. Nosso objetivo é esclarecer o porquê da escolha metodológica e todas as
opções feitas ao longo da pesquisa.
No Capítulo IV, apresentamos o cenário da pesquisa, ou seja, o Grupo de estudos,
que inclui o perfil dos integrantes e como os encontros aconteceram.
6
No Capítulo V, trazemos nossa análise. Embora nosso objetivo fosse abordar as
contribuições no que diz respeito ao conteúdo matemático, verificamos que o Grupo trouxe
outras contribuições e assim optamos por incluir outros temas em nossa discussão.
Nas considerações finais, retomamos nossa pergunta diretriz e avaliamos em que
conseguimos avançar. Finalmente, trazemos, como apêndice, o material utilizado como coleta
de dados, tais como as fichas de acompanhamento, roteiro para entrevista, o questionário,
entre outros.
7
Capítulo I
Grupo de estudos como espaço para formação de professor
Neste capítulo, pretendemos, a partir da análise da literatura, trazer a fundamentação
teórica para os assuntos que estiveram envolvidos no cenário desta pesquisa, e, com a questão
principal deste trabalho. Para tanto, foi necessário estudar a teoria que trata de grupos de
estudos no âmbito da formação continuada do professor.
Ao fazer tal busca, verificamos que, no trabalho de Ferreira (2003), havia uma
abordagem condizente com aquilo que pretendíamos desenvolver. Essa autora também
estudou as possibilidades de grupos de estudos para formação de professores de Matemática.
Essa leitura nos levou aos estudos desenvolvidos por Murphy e Lick (1998), cujo
enfoque é um projeto intitulado “Whole-Faculty Study Groups”, que envolveu grupos de
várias escolas americanas.
Por meio dessa publicação, foi possível buscar caminhos que nos orientassem na
organização de um grupo de estudos. Ou seja, como grupos de estudos podem atender a uma
escola, quais são seus potenciais e limitações, como se dão o processo de organização e a
escolha do conteúdo.
Outros autores, também trouxeram contribuições. Ikegami (2002), por exemplo, traz,
na sua dissertação de mestrado, uma investigação feita dentro de um grupo com professoras
de séries iniciais. O foco de seu trabalho era analisar as influências da vida pessoal, escolar e
profissional para essas professoras e as implicações dessas influências, nas suas concepções
sobre Matemática, e sobre o ensino e aprendizagem dessa disciplina.
O trabalho de Amato
3
(2004), também teve relevância para nossa pesquisa, pois
propiciou discussões dentro daquilo que consideramos dificuldades no ensino da Matemática
entre professores. Essa autora traz relatos que revelam limitações de professoras de séries
iniciais para compreender a Matemática.
Outras leituras foram feitas e também foram importantes para nossa pesquisa
(ABRANTES, SERRAZINA E OLIVEIRA, 1999; MIZUKAMI, 2004; SEF/MEC, 1999;
SERRAZINA, 2003; entre outros).
3
Solange A. Amato, autora brasileira que apresentou uma pesquisa, feita no Brasil, no Congresso Internacional
de Educação Matemática (ICME, 2004).
8
1.1. A formação continuada do professor
Segundo estudos (FIORENTINI, NACARATO E PINTO, 1999; SEF/MEC, 1999),
os últimos tempos têm sido marcados pela preocupação com a Educação. Isso não significa
dizer que antes não ocorresse esse tipo de inquietação, mas as mudanças ocorridas, no cenário
da sociedade, de um modo geral têm trazido forte abalo no âmbito educacional.
As transformações científicas e tecnológicas têm levado as pessoas a buscarem novas
aprendizagens. O desafio é encontrar um ensino mais coerente com a realidade atual da
sociedade, ou seja, um ensino que promova o aperfeiçoamento frente às inovações
tecnológicas, o que tem levado muitos educadores a repensar os processos educativos
desenvolvidos até então e a planejar ações em diferentes esferas.
Uma das tendências tem sido abordar essa problemática, através do processo do
desenvolvimento profissional, que envolve tanto a formação inicial como a formação
continuada. E essa formação, inicial ou continuada, segundo SEF/MEC
4
(p.63), é entendida
como:
Um processo contínuo e permanente de desenvolvimento, o que pede do professor
disponibilidade para a aprendizagem; da formação, que o ensine a aprender; e do
sistema escolar no qual ele se insere como profissional, condições para continuar
aprendendo. Ser profissional implica ser capaz de aprender sempre.
Ponte acrescenta que (1998, p.9):
... a formação “formal”, que inclui as modalidades inicial e continuada é um
suporte fundamental para o desenvolvimento profissional do professor. Sendo
assim, é preciso, além de repensar a formação inicial dos professores, investir na
criação de um sistema de formação continuada como um elemento indispensável e
transformador da prática profissional dos professores.
Ao buscarmos subsídios que nos orientassem sobre a formação continuada do
professor, percebemos o quão recente atenção foi dada a esse processo de formação no Brasil.
Durante décadas, a formação se preocupou somente em transmitir para os professores
conhecimentos produzidos nas universidades e esperar que estes aplicassem na sua prática
(FERREIRA, 2003).
Hoje, porém, deixou-se de acreditar nesse tipo de formação, em que os professores
“recebiam um pacote pronto com normas e procedimentos prescritivos de como deveriam
realizar seu trabalho docente” (FIORENTINI, NACARATO E PINTO, 1999).
4
Secretaria do Ensino Fundamental. Referenciais para Formação de Professores.
9
As pesquisas foram se intensificando e buscando alternativas para contornar essa
situação. Os estudos deixaram de focar somente no processo de aprender a ensinar o professor
e passaram a centrar-se também nas crenças e concepções desses profissionais (FERREIRA,
2003; IKEGAMI, 2002, MIZUKAMI, 2004; entre outros).
Porém, a idéia de formação continuada ainda tem sido, muitas vezes, entendida como
freqüentar cursos, palestras, seminários, desconsiderando aspectos mais pessoais dos
professores, conforme esclarece Ferreira (2003).
Estudos revelam que, de um modo geral, essas modalidades, não atendem às
necessidades pedagógicas dos professores e nem sempre constituem um programa articulado
(FERREIRA, 2003; SEF/MEC, 1999;). O que se percebe é a ênfase na transmissão de
informações teóricas, desconsiderando o professor como agente ativo.
Autores, como Fiorentini, Nacarato e Pinto (1999, p.36) afirmam que essas
modalidades tais como: cursos, palestras, seminários, entre outros, não promovem mudanças
necessárias na prática pedagógica do professor por duas razões:
A primeira delas é que os conhecimentos, nesse paradigma, eram produzidos
geralmente de forma idealizada ou fragmentada, privilegiando apenas um ou outro
aspecto do processo ensino-aprendizagem. A segunda é que esses conhecimentos
eram transpostos em conhecimentos curriculares ou pedagógicos sem que os
próprios docentes participassem do processo e, sobretudo, sem que fossem
considerados os conhecimentos experienciais produzidos pelos professores ao
realizar seu trabalho docente nos diferentes contextos.
Assim, como Ferreira (2003, p.32-33), acreditamos que a formação continuada “pode
ocorrer não apenas a partir de cursos, seminários, e oficinas, mas também no dia-a-dia, no
contato com colegas, pais e alunos, nas leituras e reflexões pessoais”.
Ikegami (2002) defende que é preciso mais do que transmitir conhecimentos. Ela
ressalta que o professor deva refletir sobre sua prática pedagógica, que é condição necessária
para o desenvolvimento pessoal e profissional.
Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), consideram que a formação, especialmente a
formação de professores do 1º ciclo, deva ser organizada de modo que, ao refletirem sobre
suas práticas, desenvolvam confiança nas suas capacidades e sintam-se motivados a
compreender mais a Matemática.
Consideramos que essas discussões, acerca da formação continuada de professores,
devam ser focadas na construção de um ambiente que promova reflexões sobre a prática
pedagógica.
Para tanto, acreditamos que não basta o sistema escolar apresentar receitas para que o
professor aplique em sua sala de aula, e nem encarar o professor como um objeto. É preciso,
10
sim, que o professor tenha voz, expresse suas inquietações e que essas falas sejam ouvidas por
quem tem necessidades e experiências comuns.
E, assim, concordando com Ikegami (2002), é preciso que se promovam
oportunidades para que os professores reflitam, questionem e troquem idéias entre eles. Essas
atitudes talvez sejam as etapas fundamentais para o seu desenvolvimento profissional.
E mais, a formação continuada não deve ser entendida como algo eventual, nem
tampouco algo a corrigir numa formação malfeita, ela deve ser sim parte integrante do
exercício profissional do professor (SEF/MEC, 1999).
Ferreira (2003) ainda acrescenta que se deve criar um ambiente em que o professor
seja estimulado e ouvido, para que ele possa expressar suas reais necessidades e experiências.
Mesmo, porque, os professores são os principais coadjuvantes do ensino e uma das peças
fundamentais para que ocorra a aprendizagem.
Na tentativa de contribuir com essa discussão, procuramos apoiar nossa pesquisa
num modelo voltado às necessidades e interesses dos professores envolvidos, pois
acreditamos que o desejo pessoal é fundamental no processo de aprendizagem.
Essa vontade em aprender é o ponto de partida, a nosso ver, para que o professor se
desenvolva profissionalmente. E a tendência é, justamente essa, promover um ambiente de
formação em que o processo aconteça de modo favorável para os envolvidos.
Ferreira (2003, p.42) afirma que:
O desenvolvimento profissional é um processo que envolve a aprendizagem de
novos conhecimentos e habilidades que, gradativamente, passam a se refletir no
discurso, nos saberes e na prática do professor. Esse processo é influenciado por
fatores pessoais, motivacionais, sociais e cognitivos-afetivos.
Concordamos também com Serrazina (1999) que “o conhecimento profissional é
indispensável para desempenhar com sucesso uma atividade profissional”.
Ponte (1994, p.175) acrescenta que:
O desenvolvimento profissional dos professores, dentro e fora da escola, é o
resultado da sua reflexão e participação em oportunidades de formação que
melhorem e ampliem o seu desenvolvimento e progresso.
Atualmente, os pesquisadores
5
não estão mais interessados em desenvolver técnicas
ou propor ‘treinamentos’, o que eles procuram é compreender melhor quem são os
professores de Matemática, quais são suas sugestões para a própria formação, suas metas,
expectativas e conhecimentos e como esses elementos se relacionam com sua prática
(FERREIRA, 2003).
5
Por exemplo: Araújo, 1990; Caldeira, 1998; Nacarato, 2000; Silva, 2001; entre outros.
11
Com essa perspectiva, Ponte (1992, p.220) considera que:
Mudanças profundas no sistema de concepções só se verificam perante abalos
fortes, geradores de grandes desequilíbrios. Isto apenas sucede no quadro de
vivências pessoais intensas como a participação num programa de formação
altamente motivador ou numa experiência com uma forte dinâmica de grupo.
Mas o que fazer? Que condições podem ser criadas para o professor desenvolver-se
profissionalmente? Que ambiente é esse? Onde ele pode refletir sobre sua prática pedagógica
e ampliar seu conhecimento? Onde ele pode ajustar ou mudar seu modo de ensinar? Onde ele
pode estudar novas tendências de ensino e assim se atualizar?
Há várias maneiras de se organizarem ações que contemplem isso e grupo de estudos
é uma que vem sendo altamente recomendada pela literatura. Por isso, nesta pesquisa,
optamos pela organização de um Grupo de estudos. Nosso intuito era buscar as contribuições
desse grupo para professores de séries iniciais.
Procuramos criar um contexto que abordasse as necessidades desses profissionais, no
qual eles pudessem refletir e analisar sobre suas práticas, e, principalmente, discutir e
aprender Matemática.
Serrazina (1999) diz que o processo de repensar o ensino da Matemática pode ser
sustentado, se existir uma equipe onde os membros colocam e discutem questões resultantes
da prática, construindo, dessa forma, novos conhecimentos e percebendo novas necessidades.
1.2. Grupos de estudos e o processo de reflexão para mudança
Além de a literatura recomendar grupo de estudos, como sendo um ambiente
promissor para o desenvolvimento profissional de professores, a idéia de constituir um grupo
de estudos também partiu da minha experiência como professora de séries iniciais. A
princípio, não sabia o que exatamente levaria professores de séries iniciais a estudar
Matemática, mas eu reconhecia a importância desse estudo.
Embora considerasse fundamental e relevante a formação inicial desses profissionais,
para o bom desempenho na sua prática em sala de aula, sabia que não era possível que eles
retornassem aos estudos e fizessem o mesmo percurso que fiz, ou seja, fazer Licenciatura em
Matemática.
12
Então, foi preciso pensar em algo que continuasse o processo de aprendizagem
vivido por eles e grupo de estudos pareceu estar mais próximo daquilo que almejávamos, ou
seja, estudar Matemática sem ter que retornar para a sala de aula de um curso formal.
Assim, fomos buscar na literatura elementos para compreender melhor sobre os
grupos de estudos, e segundo Murphy e Lick (1998), “esta é uma idéia que já vem sendo
reconhecida há décadas por psicólogos sociais, entretanto a maioria das organizações não tem
feito uso efetivo desse poder, uma vez que requer disponibilidade e interesse por parte dos
participantes”.
Esse tipo de organização é definido por Murphy e Lick (1998, p.4, tradução nossa)
como “um pequeno número de indivíduos reunidos para aumentar sua capacidade através de
nova aprendizagem para o benefício dos alunos”.
Murphy e Lick (1998, p. 2, tradução nossa
6
) esclarecem ainda que essa é:
Uma abordagem importante no desenvolvimento profissional, possibilitando aos
professores liberdade e flexibilidade para explicar, inventar e avaliar práticas que
têm o potencial de atender às necessidades dos estudantes (...).
Estudos da SEF/MEC (1999, p.115) consideram que:
O grupo de estudos propicia a construção de um percurso próprio de
desenvolvimento intelectual, compartilhado com os pares. Podem ser organizados a
partir das demandas identificadas ou de propostas dos formadores, mas sua trajetória
deve ser sempre pautada nas necessidades dos participantes do grupo.
Para Ponte (1992, p.225),
A dinâmica de grupo assume um papel muito importante porque proporciona aos
professores, através da discussão, um sentido de comunidade que lhes dá força
contra as resistências de todos os tipos, estimula a expressão individual e o
confronto de perspectivas, argumentos e modelos concretos.
Entretanto, é preciso que se tenha, entre os interessados, uma meta em comum. Para
Murphy e Lick (1998), “a meta do grupo de estudo propicia o centro para a escola na
implementação e gerenciamento da prática de ensino e aprendizagem”.
Percebemos assim que essa necessidade comum, ou melhor, dizendo, essa meta do
grupo, traduz o engajamento entre os pares, sendo um dos pontos fundamentais do bom
relacionamento e desenvolvimento do grupo de estudos.
Ferreira (2003, p. 90) acrescenta que:
O grupo avança apenas quando todos os participantes se mostram realmente
envolvidos e compromissados entre si e com uma meta. Negociar uma meta coletiva
dá origem a relações de responsabilidade mútua entre os envolvidos, pois esta ação
tanto engendra quanto direciona a energia social.
6
The professional study group process allows teachers the freedom and flexibility to explicate, invent, and
evaluate practices that have the potential to meet the needs of their students (…).
13
Embora cada grupo de estudos tenha um foco de organização, eles são, em grande
parte, organizados a partir de um problema ou de uma necessidade comum, e que, em geral,
tem a ver com as necessidades que os alunos encontram em aprender determinados conteúdos.
Entendemos que, a partir de uma meta coletiva, em que os indivíduos estejam
engajados, é possível que a dinâmica do grupo de estudos permita a motivação entre os
envolvidos.
Outro fator que acreditamos ser propiciado pelo grupo de estudos é a atitude de
pensar sobre aquilo que vem sendo feito na prática pedagógica. O professor tem oportunidade
para refletir e discutir com seus pares sobre o contexto no qual está inserido, ou seja, os
problemas vivenciados, as dificuldades de seus alunos, entre outros assuntos que são notórios
no ambiente escolar.
Concordando também com Ikegami (2002, p.58):
A participação num programa de formação em serviço propicia atitudes de reflexão
individual e também uma dinâmica de grupo consistente, pode propiciar ao
professor uma análise mais sistemática de suas práticas e, em conseqüência, de suas
concepções. Uma vez que o professor veja sua prática como problemática, pode se
dispor a mudá-la e essa mudança poderá influenciar suas concepções.
Consideramos que essa reflexão permite ao professor rever aquilo que vem sendo
feito na sua prática em sala de aula e, dessa forma, criar condições favoráveis para mudanças.
Alguns autores, tais como Ferreira (2003), Ikegami (2002), Serrazina (1999) entre outros,
defendem a idéia de grupo de estudos como um espaço que pode provocar processos de
mudanças. Mas que mudanças são essas? Mudar o quê? Mudar quem?
Conforme relata Ferreira (2003), a idéia de mudança, de uma maneira mais
abrangente, associada ao desenvolvimento profissional, tem sido abordada de diversas
maneiras. Enquanto alguns atestam que essa mudança é alcançada quando alguém de fora traz
idéias que alteram o ensino, outros, por sua vez, acreditam que essas idéias devam ser
construídas por todos os envolvidos no processo de educação.
Para Ferreira (2003, p.40):
O desenvolvimento profissional e a mudança, por vezes, envolvem construir e/ou
descobrir conhecimentos, estratégias, atitudes distintas das até então conhecidas e
incorporá-las à sua prática pedagógica.
No entanto, essa mudança não é algo que ocorre rapidamente, exige um tempo para
que ela ocorra. Um dos aspectos fundamentais nesse processo é aquele em que o professor
passa a considerar outros pontos de vista além do seu próprio. Assim, Ferreira (2003, p.40)
considera que:
14
A mudança de papéis, ou seja, os professores individualmente são levados a se
identificar como aluno. Tal mudança de papéis, de professor para aprendiz, parece
ser um ponto crucial para alguns professores.
Murphy e Lick (1998) consideram que essa mudança pode ser confortável ou não
entre os professores. Para esses autores, o ser humano é provido da necessidade de controlar a
situação, se ele tem o controle sobre a mudança ou a circunstância, ele se sente confortável, ao
passo que, se ele não tiver esse controle, ele se sentirá ameaçado e poderá resistir.
Acreditamos que, num ambiente favorável, em que pessoas com metas comuns
tenham liberdade para aprender, esclarecer, inventar, apoiar e valorizar, essas resistências são
atenuadas.
Serrazina (1999) esclarece ainda que todo esse processo de mudança pode se dar a
partir de uma prática reflexiva. Entendemos que o processo de reflexão, aqui mencionado,
envolva uma parada para pensar na própria prática pedagógica, no ensino e aprendizagem da
Matemática e, principalmente, na própria visão da Matemática.
Dessa maneira, acreditamos que esse parar para pensar e discutir desestabiliza o
indivíduo e o leva a buscar novas estratégias, atividades e caminhos para a prática
pedagógica, e mais que isso, acreditamos que seja possível ocorrer mudanças na sua visão de
ensino e aprendizagem da Matemática.
Para Serrazina (1999, p.8):
(...) um professor que não reflete sobre o ensino atua de acordo com a rotina,
aceitando a realidade da escola e os seus esforços vão no sentido de encontrar as
soluções que outros definiram por ele. O professor reflexivo é, então, o que busca o
equilíbrio entre a ação e o pensamento e uma nova prática implica sempre uma
reflexão sobre a sua experiência, as suas crenças, imagens e valores.
Consideramos aqui que essa reflexão surge como forma dos professores pensarem e
discutirem sobre ações desenvolvidas. Para nós, a reflexão propicia o voltar atrás e rever os
acontecimentos e práticas.
Ferreira (2003), assim como outros pesquisadores, acreditam que a reflexão tem
poder de criar condições favoráveis para o desenvolvimento profissional. Desse modo,
consideramos que a reflexão constitui um elemento indispensável no processo de ensino e
aprendizagem.
Serrazina (1999) esclarece que o ensino reflexivo requer permanente auto-análise por
parte do professor, assim, quando inserido numa equipe de trabalho, o professor pode analisar
a situação real, perceber os alunos com quem trabalha, avaliar o que os alunos podem
aprender em Matemática.
15
Esse processo, segundo ela, o leva à ação. De fato, e para que isso ocorra, um
caminho encontrado é as discussões coletivas sobre sua prática de sala de aula e as práticas do
contexto da sua equipe.
No entanto, consideramos que o professor não deva abolir automaticamente aquilo
que vem fazendo para aderir a cada proposta de inovação que surge no âmbito da educação. O
que se espera, a nosso ver, é que o professor tenha conhecimento e competência para
selecionar aquilo que realmente lhe parece bom e adequado para seu ambiente de trabalho e
sua prática docente.
Conforme afirma Murphy e Lick (1998), mudar não significa que o que está fazendo
é ruim ou com uma qualidade pobre, como bem dizem esses autores em outro momento, as
novas práticas e novos materiais não serão o remédio para os conteúdos ensinados. Não há
uma fórmula, uma receita pronta para ensinar.
O trabalho do professor é algo que requer reflexão e tomada de decisão diante das
constantes inovações. Porém, é preciso estar seguro naquilo que pretende chegar e,
principalmente, no caminho que pretende tomar para alcançar os objetivos.
1.2.1. Organização e estruturação de grupo de estudos
Murphy e Lick (1998) apresentam-nos o processo de grupo de estudos como um
método particular de atividades, geralmente envolvendo um número de passos ou operações.
Orientações dadas pelos autores quanto à estruturação de grupos de estudos mostram
como se dá a organização dos grupos e o que se pretende fazer. Apresentamos assim algumas
dessas orientações que traduzimos e analisamos e que foram importantes para a constituição
do grupo que foi cenário desta pesquisa.
Para Murphy e Lick (1998), o grupo deve ter no máximo seis participantes, uma vez
que a participação e responsabilidade individual são maiores, ao contrário, os integrantes
acabam se dispersando com assuntos que não condizem com o foco do estudo, alguns se
sentem intimidados para se expressar e o aproveitamento fica comprometido.
Outro fator que esses autores abordam é a composição do grupo. Para eles, a
heterogeneidade ou homogeneidade do grupo de estudos em relação às atividades dos
membros não deve ser algo visto como problemático, o grupo deve ser composto de acordo
com os interesses. Ou seja, pode se ter num grupo de estudos pessoas de cargos diferentes,
16
como professores, coordenadores, diretor, entre outros que fazem parte do mesmo contexto
escolar.
Deve ainda manter um programa regular de reuniões e planejamento dos momentos
de transição. É melhor encontrar-se freqüentemente por um período curto de tempo a ter
interrupções nos encontros, e, conseqüentemente, estendendo o período estabelecido. Dessa
maneira, a literatura sugere que o grupo se programe antes de dar início aos encontros para
que não haja essas interrupções, como as férias, por exemplo.
Deve-se, ainda, estabelecer normas de trabalho do grupo logo no primeiro encontro,
as quais podem ser estabelecidas pelo grupo de uma forma consensual ou pelo líder. Esses
autores esclarecem que esse procedimento é importante para que os membros se organizem e
sejam participantes ativos.
Os membros devem ainda fazer registros pessoais para própria reflexão. Esse registro
deve ser feito no final de cada encontro, como um diário que privilegie as observações feitas
individualmente. Dessa forma, é possível além de outros fatores, perceber os avanços do
grupo.
Não devem existir relações de hierarquia dentro do grupo. As pessoas precisam se
sentir à vontade para opinar e discutir as atividades desenvolvidas. As idéias devem ser
respeitadas. Neste caso, entendemos que, mesmo sendo um grupo heterogêneo em que os
membros são pessoas de diferentes cargos, como, por exemplo, professores e coordenadores,
o que se espera é que se tenha, entre os envolvidos, e respeito.
Entretanto, todo esse processo perde força se o grupo não tiver um conteúdo
condizente com as necessidades e interesses dos participantes. A metáfora utilizada por
Murphy e Lick (1998, p.69, tradução nossa
7
) parece esclarecer isso:
O coração do processo do grupo de estudos é o que os professores estudam, o que
investigam e o que fazem para tornarem-se mais habilidosos com os estudantes na
sala de aula. Sem o conteúdo apropriado, o processo é vazio.
Consideramos que o conteúdo deva partir das necessidades que os alunos enfrentam
em aprender ou a necessidade do professor em assimilar novas tendências.
Segundo Murphy e Lick (1998) o conteúdo do estudo do Grupo pode contemplar
vários aspectos como: o que o professor vai ensinar, como ele vai ensinar, assim, por
exemplo, como ele vai ensinar o Sistema de Numeração, como ele vai organizar as aulas com
computadores, trabalhos com projetos, entre outros.
7
The heart of the study group process is what teachers study, what teachers investigate, and what teachers do to
become more skillful in the classroom whit students. Without appropriate content, the process is empty.
17
Além disso, o grupo pode propor atividades que trabalhem com as habilidades,
como, por exemplo, usar o computador, organizar atividades com materiais manipuláveis,
dinâmicas de grupo, entre outras situações.
O grupo pode propiciar também um ambiente em que os professores discutam como
organizar os materiais e recursos, como interagir com os estudantes em sala de aula, colocar
os limites, exercer a autoridade, negociar com os estudantes, pais e diretores, entre outros.
Ferreira (2003, p.98) considera que:
...o propósito do grupo não é alcançar um determinado resultado, mas é o próprio
processo de construir e avaliar práticas e materiais que atendam às necessidades dos
alunos. O processo é o de pensar a escola como um todo e trabalhar conjuntamente
para isso.
Esses, entre outros aspectos, são notórios no cenário de grupo de estudos. No
entanto, apesar desse espaço de formação de professor ser relevante para o desenvolvimento
profissional, reconhecemos também algumas limitações.
1.2.2. Potenciais e Limitações
Murphy e Lick (1998) defendem algumas possibilidades de organização de grupo, ou
seja, para esses autores, os grupos podem ser independentes ou grupos que envolvem toda
escola.
O primeiro tipo de organização, denominados grupos independentes por Murphy e
Lick (1998), não dependem de nenhum apoio organizacional, podem se reunir dentro ou fora
do contexto da escola e os membros não precisam pertencer à mesma escola, entre outros
fatores que nos levam a perceber que o diferencial é a autonomia.
Nesse tipo de organização, quando identificada uma necessidade comum, eles se
reúnem para trabalhar juntos, os membros podem escolher quem poderá ser incluído, os
encontros têm datas e horários flexíveis, não há um lugar fixo para os encontros, os membros
usam seu próprio recurso para participar, entre outros aspectos.
Entretanto, há algumas limitações. Assim, por exemplo, a possibilidade de os
membros aplicarem seus estudos na escola é menos provável, pois não se tem uma rotina, a
ausência é grande, os resultados planejados são menos claros e, uma vez satisfeita a
necessidade individual, podem deixar de se encontrar.
18
Já os grupos que envolvem toda escola, defendidos por Murphy e Lick (1998), estão
organizados a partir de um foco organizacional, que, geralmente, pode ser a direção. Neste
tipo de organização, existe rotina na escola e, entre os membros, os encontros são freqüentes e
regulares, todos fazem parte de um mesmo contexto organizacional, têm metas em comum e a
comunicação entre eles é de fácil compreensão.
Além dessas considerações apontadas por esses autores, existem outras vantagens
desses grupos que, a nosso ver, podem ser facilmente verificadas, tais como, a criação de um
ambiente propício para estudos comuns, para esclarecimentos de dúvidas, troca de
experiência, entre outras.
Mas como todo processo que envolve indivíduos, esse tipo de organização também
tem suas limitações. Embora todos tenham uma meta comum, muitas vezes não é considerada
uma necessidade individual, ou seja, a prioridade de um nem sempre é de outro, e assim o
grupo decide pelo consensual.
Outro fator que esses autores colocam como limitação é o caso em que o critério de
afinidade por interesse não é colocado em primeiro plano. Por exemplo, se o horário de
encontro do grupo for em dias úteis, pode acontecer de pessoas que possuem interesses
comuns não tenham o mesmo horário livre disponível para os encontros. Sendo assim, o
horário disponível passa a ser o critério de seleção dos membros do grupo, podendo ocasionar
problemas de relacionamento.
1.2.3. Papel do líder e dos membros de um grupo de estudos
Para que o grupo esteja em sintonia e tenha uma organização, autores como Murphy
e Lick (1998) sugerem que o papel do líder e dos membros do grupo esteja pautado da
seguinte maneira.
O líder deve estar sempre mudando entre os membros do grupo, deve ficar
responsável pelas anotações observadas no grupo (diário de bordo), deve confirmar assuntos
administrativos com os membros do grupo, tais como hora, local e recursos necessários, deve
dar início e fim ao encontro e deve manter o grupo de estudos focado no conteúdo.
Os membros, segundo esses autores, devem fazer parte da negociação das normas de
trabalho do grupo de estudos e as mesmas devem ser respeitadas por todos, os membros
devem também assumir em caráter rotativo o papel de líder (todos os professores são líderes
19
em algum momento), devem assumir a representatividade do grupo em outros lugares e ter a
responsabilidade por sua própria aprendizagem e por buscar recursos para o grupo de estudos.
Essas considerações foram importantes na constituição do Grupo de estudos que
investigamos. A principio, não sabíamos ao certo qual seria nosso papel, pois nosso intuito,
inicialmente, era observar o grupo como ‘alguém de fora’, no entanto, fomos percebendo
também a necessidade da nossa participação como ‘alguém de dentro’, e por isso entender
esse nosso papel seria importante para o desenvolvimento da pesquisa.
Apesar de os interesses serem diferentes, ou seja, o grupo interessado em aprender
conteúdos matemáticos, e nós, preocupados em analisar o que aqueles profissionais estavam
aprendendo, nossa participação como ‘alguém de dentro’ também foi necessária.
Estudamos, discutimos e aprendemos também com o grupo, uma vez que tivemos
que organizar o material de estudo, organizar a constituição do grupo, direcionar o foco do
assunto, entre outros fatores que foram importantes na característica de um líder.
20
Capítulo II
Sistema de Numeração Decimal e as Operações Fundamentais
Antes mesmo de apresentar o grupo que esta pesquisa propôs a investigar, traremos
neste capítulo os estudos feitos sobre o sistema de numeração decimal e as operações
fundamentais, conceitos que foram antecipadamente estudados e aprofundados, por nós,
pesquisadoras para que, posteriormente, fossem estudados pelo grupo. Como mencionado
anteriormente, o estudo desses conceitos era de interesse dos participantes do grupo que trata
esta pesquisa e que está apresentado no capítulo.
Procuramos apresentar esses conceitos, segundo as novas tendências e conforme
tratado na preparação do material do Grupo de estudos. Porém, esclarecemos que as
considerações aqui apresentadas não são o material do Grupo, elas apenas serviram de apoio
na preparação desse material.
Para tais considerações, buscamos subsídios na literatura (FREITAS E BITTAR,
2004; LINS E GIMENEZ, 1997; ABRANTES, SERRAZINA E OLIVEIRA, 1999; entre
outros) que trata desses conceitos matemáticos segundo as novas perspectivas educacionais.
Consideramos necessário, antes de qualquer coisa, entender alguns aspectos
relevantes da aprendizagem da criança, seus conhecimentos prévios e como a escola pode
trabalhar de acordo com essas considerações. Para isso, nos apoiamos, principalmente, em
Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999).
Em seguida, nos questionamos sobre a aprendizagem da docência e, então,
trouxemos contribuições de Misukami (2004) e Amato (2004). Finalmente, tratamos do
Sistema de Numeração Decimal e das Operações fundamentais (Imenes, 1999).
2.1. Aprendizagem do aluno e do professor
Como a criança pensa? Como aprende? Essas perguntas talvez sejam comuns para o
professor, e foram, também para nós pesquisadoras. E, por isso, decidimos iniciar nosso
capítulo discutindo sobre elas.
Ao referir-se ao conhecimento matemático da criança, podemos incluir o
conhecimento prévio do sistema de numeração decimal e as operações fundamentais.
21
Entretanto, esse conhecimento, segundo alguns autores (FREITAS E BITTAR, 2004;
ABRANTES, SERRAZINA E OLIVEIRA, 1999; SILVA, 2003; entre outros), não está
formalizado, cabendo à escola sua formalização.
“As crianças conhecem os rudimentos das operações antes mesmo de entrarem na
escola. É comum elas dividirem balas, cartas ou outros objetos entre si” (FREITAS E
BITTAR, 2004, p.55).
Serrazina (1999, p.20) esclarece que:
...a aprendizagem é considerada um processo de construção ativa do conhecimento
por parte das crianças. Estas, tal como os adultos, concebem um modelo de mundo
com base nas experiências que vivem e nos conhecimentos prévios que têm. Ao
entrar na escola, têm já conhecimentos informais de Matemática que não podem ser
ignorados.
Assim, por exemplo, pensam que quanto maior a quantidade de algarismos de um
número, maior é o número. Dessa forma, a criança pensa que 2,34 é maior que 56, pois possui
três algarismos. Existem ainda aquelas que para saber, entre dois números, qual é o maior,
observa o primeiro algarismo do número (SERRAZINA, 1999; SILVA, 2003). Por exemplo,
entre os números 230 e 98, pode acontecer de a criança pensar que o número 98 é o maior,
pois começa com 9 que é maior que 2.
Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999, p.21) consideram que:
[...]a natureza de atividades que realizam assume uma importância fundamental uma
vez que é sobre a sua própria experiência que vão desenvolvendo os novos
conhecimentos, construídos sobre os que já possuíam e através do filtro das crenças
e atitudes que têm relativamente ao assunto em estudo e à própria aprendizagem.
Para Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), o aluno dá significado às coisas a partir
da sua experiência anterior e não necessariamente a partir da lógica dos conteúdos e, nem
tampouco, a partir do significado que o professor atribui. Nesse sentido, consideramos que
seja necessário privilegiar os raciocínios informal e intuitivo das crianças nos primeiros anos
de escolaridade.
Existem outros aspectos que a escola ainda deve privilegiar no ensino da Matemática,
tais como: atividades que promovam interesse no aluno, curiosidade, investigação, raciocínio,
auxilio nas observações sistemáticas quantitativas e qualitativas da realidade, organização e
produção de informações relevantes (FREITAS E BITTAR, 2004; LINS E GIMENEZ, 1997;
ABRANTES, SERRAZINA E OLIVEIRA, 1999; entre outros).
Esses aspectos, a nosso ver, contrapõem o treino isolado e mecanizado de
procedimentos de cálculo na Matemática. Assim, acreditamos que o ensino de regras e
técnicas contribui muito pouco para o desenvolvimento do raciocínio do aluno.
22
Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999) enfatizam que para a aprendizagem acontecer
devem-se considerar algumas características. Assim, por exemplo, o professor, ao propor
atividades, deve privilegiar o contexto do aluno. Essas atividades, que podem incluir
resolução de problemas, raciocínio e compreensão, vão além de exercícios repetitivos que
enfatizam a mecanização.
Outro fator enfatizado é que a criança não aprende tudo de uma vez. O processo de
aprendizagem se dá gradualmente. À medida que o professor vai propondo novas situações, o
aluno vai relacionando com o que já sabia e ampliando ainda mais o seu conhecimento.
A literatura recomenda ainda que o professor atente para os erros cometidos pelos
alunos, os quais podem ser uma ferramenta importante para a aprendizagem. Conforme o
aluno se expõe e o professor se apercebe do erro e da sua origem, é possível falar sobre isso e
compreender o porquê do erro. Entretanto, é preciso falar desses erros com cuidado, pois a
criança precisa estar motivada, uma vez que os aspectos afetivos também fazem parte da
aprendizagem.
Além disso, é importante que o aluno perceba a Matemática como um processo em
construção. O ponto de vista que eles têm da Matemática pode ser decisivo na aprendizagem.
Assim, acreditar que a Matemática é uma disciplina do certo ou errado gera insegurança na
resolução de um problema.
Ao observarmos tais idéias que se referem à aprendizagem do aluno, nos
questionamos também sobre a aprendizagem do professor: como ele desenvolverá tais idéias?
Para tanto, foi preciso buscar orientações que abordassem esse assunto. Assim, nos
apoiamos em autores como, Mizukami (2004), Amato (2004), entre outros.
Misukami (2004), baseada em Shulman, traz fundamentações para a aprendizagem
da docência. Em sua abordagem, ela trata de assuntos que se referem ao conhecimento do
professor e como tais conhecimentos são aprendidos ao longo da vida estudantil e
profissional.
Amato (2004), por sua vez, ao entrevistar professoras de séries iniciais com a
intenção de desenvolver um programa de ensino, deparou com questões referentes ao
processo de aprendizagem do docente.
Do que trata a literatura, escolhemos falar sobre o conhecimento do conteúdo
específico e conhecimento pedagógico do conteúdo.
Que conhecimentos são esses? Essas perguntas foram determinantes no percurso da
pesquisa. Entendemos que o professor precisa ser capaz de criar situações de aprendizagem e,
para isso, ele deve ter o Conhecimento do Conteúdo Específico.
23
No caso da Matemática, o professor passa pelo processo de aprendizagem dessa
disciplina e também percebe a forma como o conhecimento matemático é produzido por
aqueles que pesquisam na área. Esse conhecimento é necessário ao professor, no entanto não
é suficiente.
Além disso, ele deve ser capaz de produzir também um Conhecimento Pedagógico
do Conteúdo. Ou seja, o professor deve ser capaz de organizar um conteúdo de modo que o
aluno compreenda. Não basta apenas saber Matemática, o professor deve ser capaz de ensiná-
la e compreender formas de representar o conceito para o aluno.
Assim, por exemplo, o professor aprende o Sistema de Numeração Decimal de uma
maneira específica para ensinar, mas, com o passar do tempo, a partir de sua vivência, esse
conhecimento vai sendo transformado. O professor vai produzindo novos métodos, técnicas,
idéias, exemplos que são adquiridos ao longo de sua experiência profissional.
Concordamos que o processo de aprendizagem da docência não se dá como a
imagem de um círculo, que volta ao ponto de partida, mas, sim, podemos representar como a
imagem de uma espiral, termo utilizado por Mizukami (2004), que significa dizer que está
sempre se modificando e enriquecendo, dando um novo enfoque ao conhecimento já
adquirido.
O professor aprende Matemática e, aos poucos, vai transformando esse conhecimento
num Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, ou seja, ele adquire novos métodos de ensino,
consegue perceber as maneiras mais ajustadas de ensinar determinados conceitos e apropriam-
se de novos exemplos, novos recursos.
Essa transformação envolve alguns procedimentos, tais como:
Interpretação crítica do conteúdo. Ou seja, saber analisar um texto, perceber
mudanças no livro didático e analisar se um exercício foi bem formulado, entre outros fatores.
Representação. Ser capaz de escolher criticamente um determinado exercício e saber
representá-lo através de um recurso que auxilie na compreensão do mesmo.
Seleção. Dentre o repertório instrucional que o professor deva ter, tais como leitura,
demonstração, trabalho individual, aprendizagem por descoberta, métodos de projetos, ele
deve saber selecionar qual desses se apropria melhor a sua aula.
Adaptação e consideração de características dos alunos. O professor deve levar em
consideração aspectos culturais, lingüístico, classe social, idade, entre outros fatores que são
comuns dentro de um contexto escolar. Dessa maneira, saber conviver e respeitar as
diferenças são situações necessárias para a formação do cidadão.
24
Instrução. Trata-se de como o professor gerencia a organização da sala de aula, como
ele coordena atividades de aprendizagem, explicações, questionamentos, assim como todas as
características que envolvem uma sala de aula.
Avaliação. Esse processo, segundo Mizukami (2004), ocorre durante e depois da
instrução. Entendemos que seja o processo pelo qual o professor verifica o que os alunos
compreenderam e esclarece suas dúvidas.
Reflexão. Conforme esclarece Mizukami (2004, p.10):
Trata-se de processo que envolve a revisão e a análise crítica do desempenho do
professor fundamentando suas explicações em evidências. São processos reflexivos
sobre a ação pedagógica. (...) consiste no uso de conhecimento analítico para
examinar o próprio trabalho em face aos fins estabelecidos.
Nova Compreensão. Trata-se de uma compreensão enriquecida dos propósitos, da
matéria, do ensino, dos alunos e do professor.
Em suma, entendemos que, quando o professor tem o Conhecimento do Conteúdo
Específico e o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, ele tem o domínio desses
procedimentos e consegue criar novas situações de aprendizagem.
Os assuntos aqui tratados são, em nossa opinião, fundamentais para introduzir os
conceitos de sistema de numeração decimal e as operações fundamentais, pois complementam
os conceitos matemáticos que propomos apresentar.
2.2. Sistema de Numeração Decimal
Por que é importante aprender o Sistema de Numeração Decimal
8
?
No nosso cotidiano estamos diretamente em contato com os números, assim, por
exemplo, nos jornais, nas revistas, nas ruas, no trabalho, e em vários outros lugares. A
necessidade em se ter um sistema de numeração para tratar dos números de uma maneira
organizada, e assim conseguirmos ordená-los e compará-los, é muito forte.
Segundo Freitas e Bittar (2004, p.43):
As práticas de contagens, desde o homem primitivo até os dias atuais, caracterizam-
se como necessidade não apenas individual, mas também social, pois o ser humano,
ao intensificar as relações sociais, necessita trocar quantidades e também comunicar
quantidades.
Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999, p. 42) acrescentam ainda que:
8
Utilizaremos a abreviação SND para designar Sistema de Numeração Decimal.
25
A compreensão dos números e do sistema de numeração constitui o alicerce sobre o
qual a maioria das capacidades matemáticas é construída. A compreensão da
contagem resulta da vivência de muitas experiências onde ela é útil e necessária.
Compreender o sistema de numeração é tão importante quanto aprender a linguagem
da Língua Portuguesa, pois nosso sistema decimal é fundamental para a comunicação. E a
escola é um veículo pelo qual a criança pode compreender formalmente tal conceito.
Para abordar esse conceito, existem diversos caminhos e a literatura sugere a História
da Matemática como um deles. Acreditamos que essa abordagem permite conhecer os
sistemas de numeração usados por outras civilizações até chegar no nosso sistema decimal e
que, por isso, propicia ao aluno verificar e comparar a construção desse sistema de numeração
com os demais.
Freitas e Bittar (2004) nos orientam que “não se deve reduzir o uso da História da
Matemática na memorização de nomes e datas, nem tampouco na história dos matemáticos”.
O que se espera é que a História da Matemática esclareça os conteúdos estudados. Assim, por
exemplo, estudar diferentes sistemas de numeração usados no passado permite compreender
melhor nosso atual sistema.
Para Mazzotti (1995), “a Matemática deve ser apresentada para o aluno como uma
ciência construída pelo homem, portanto possível de ser conhecida e reconstruída por eles”.
Dessa maneira, a escola deve retomar essa história, tornando possível perceber a Matemática
como um instrumento para a compreensão e intervenção na realidade.
Concordamos também com Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999, p.43) em que:
O conhecimento de elementos históricos, relativos aos algoritmos das operações e a
outros aspectos como os sistemas de numeração, pode tornar-se muito relevante.
Não se trata de divulgar curiosidades, mas sim de contribuir para que os alunos
vejam a matemática como uma ciência em evolução e compreendam que os métodos
e procedimentos matemáticos não foram sempre os mesmos, dependendo das
culturas dos diferentes povos e épocas.
Desse modo, ressaltamos que nossa intenção não é incluir a memorização dos
símbolos criados por outras gerações, mas sim compreender como se deu o aprimoramento
dos sistemas de numeração, a necessidade de um símbolo para representar o zero, as diversas
bases usadas, o porquê da base decimal ser a mais apropriada, porque não utilizamos a base
vinte ou a base três, entre outros assuntos que nos levam a entender melhor nosso sistema de
numeração.
Ao buscar na história os indícios que nos ajudassem a compreender nosso sistema de
numeração, verificamos que a maneira de viver da humanidade, desde os tempos da caverna
26
até os dias de hoje, passou por diversas mudanças. O homem primitivo era nômade e com o
tempo, passou a estabelecer um lugar fixo, a plantar e a domesticar animais.
E foi então que se intensificou a necessidade de contagem. Ele precisava saber contar
seu rebanho, contar os dias e fases da lua para poder plantar. Esses foram, segundo a
literatura, alguns motivos pelos quais o homem criou os números (FREITAS E BITTAR,
2004; IMENES E LELLIS, 1999).
Outro motivo peculiar é o senso numérico que o ser humano e até mesmo os animais
têm. Ou seja, a capacidade em perceber pequenas quantidades.
A partir daí, foram dando origem às primeiras aldeias, e, em seguida, às primeiras
cidades. E surgem, então, as civilizações mais antigas, os Egípcios e os Babilônios
9
. Freitas e
Bittar (2004, p.46-47) esclarecem que:
O sistema de numeração egípcio, desenvolvido há, aproximadamente, cinco mil
anos, era baseado em agrupamento de dez em dez, como o sistema de numeração
decimal, porém não possuía valor posicional (...) era aditivo e não havia símbolo
para representar o zero.
Veja a seguir alguns exemplos desse sistema de numeração:
(Freitas e Bittar, 2004 – p.46)
Já o sistema de Numeração dos Babilônios tem valor posicional, ou seja, os
algarismos mudam de valor conforme sua posição. Trata-se de um sistema de base
sexagesimal
10
. Não existia um símbolo para representar o zero.
Esse sistema, porém, apresentava alguns inconvenientes, veja os exemplos: (Imenes e
Lellis, 1999 – p.25)
9
Civilização da Mesopotâmia, região que corresponde atualmente ao Iraque.
10
Base sessenta, fato que, para Georges Ifrah, professor marroquino, citado em Imenes (1999), é um mistério, uma vez que,
até hoje, não se tem uma explicação aceitável para essa origem.
27
É possível notar que é usado o mesmo símbolo para representar a quantidade “um” e
a quantidade “sessenta”. Isso gerava confusão, pois como não existia um símbolo para
representar o nada (zero), o “sessenta” era confundido com o “um”. (Imenes e Lellis, 1999 –
p.25).
Enquanto esses povos se desenvolviam, surgiram outras duas civilizações: a da China
e a Índia, no leste da Ásia.
Houve mais de um sistema na civilização chinesa, porém os mais utilizados eram
esses a seguir: (Imenes e Lellis, 1999 – p.28.)
O sistema era decimal e se parecia com o nosso sistema de numeração.
Essas civilizações mencionadas não foram únicas. Surgiram mais tarde, na Europa,
os gregos e romanos e, na Ásia, o Império Persa.
A seguir, alguns exemplos do sistema de numeração grega, retirados do livro “Os
números na história da civilização”(p.33), que utilizava as letras do alfabeto para designar os
números.
28
Embora o sistema de numeração romana tenha desaparecido, encontramos em
indicações de capítulo de livro e em alguns relógios de ponteiro resquícios desse sistema de
numeração. Porém, esse sistema sofreu algumas alterações ao longo dos anos.
Antigamente, por exemplo, para representar a quantidade quatro, era usado o símbolo
IIII, modificando, posteriormente, para o símbolo IV. Essa mudança se deve, à quantidade de
símbolos, pois era preciso aprimorar o sistema vigente, diminuindo os símbolos utilizados.
Concluímos então que o Sistema de Numeração Romano é: repetitivo, assim, por
exemplo, os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos no máximo três vezes; aditivo, uma
vez que o número XV é igual a 10+5; subtrativo, por exemplo, o número IV corresponde a 5-
1= 4; não tem valor posicional e não apresenta representação para o zero. Vejamos alguns
exemplos a seguir:
(Imenes e Lellis, 1999
–
p.33)
(Imenes e Lellis, 1999 – p. 34).
29
E, finalmente, destacamos as civilizações Maias, que segundo Imenes (1999) foi a
responsável pela criação do símbolo para representar o zero. Essa civilização habitava o Sul
do México e a América Central. O sistema de numeração adotado por eles era na base vinte, o
valor era posicional e talvez esse tenha sido o sistema mais complexo de numeração.
Vejamos alguns exemplos desse sistema de numeração, segundo Freitas e Bittar,
(2004, p.50).
Todos esses sistemas de numeração foram desaparecendo e o sistema de numeração
decimal (SND) passou a ser usado por quase todo mundo. Mas por quê o SND foi
considerado melhor e hoje integra a linguagem universal?
Segundo Freitas e Bittar (2004, p.51):
A força do nosso sistema de numeração consiste no uso de apenas dez símbolos
básicos incluindo o zero e no fato de possuir o valor posicional ou valor relativo.
Embora alguns sistemas de numeração antigos possuíssem o valor posicional, não
conseguiram se sobrepor sobre os demais. Os possíveis motivos desse fracasso
talvez fossem o isolamento dessas culturas, o uso de bases e notações inadequadas e
a ausência ou forma inadequada de representar o zero e o valor posicional.
A base decimal é a mais comum, pois ela apresenta algumas vantagens em relações a
outras bases. Por exemplo, se a compararmos com bases pequenas, como a base três,
perceberemos que ela utiliza menos algarismos para representar um número. Assim, o número
quarenta e um, escrito na base dez, apresenta dois algarismos, enquanto que, na base três,
precisaríamos de quatro algarismos para representá-lo, assim: 1112 (que se lê: um, um, um,
dois), (SEE/SP – CENP, 1991)
11
.
Da mesma forma, se ao invés de trabalharmos com a base decimal usássemos a
vigesimal, necessitaríamos de uma quantidade maior de símbolos e nomes para memorizar.
Assim, por exemplo, na base decimal utilizamos dez símbolos diferentes, enquanto que, na
11
SEE /SP - Secretaria de Estado da Educação – São Paulo/ CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.
30
vigesimal, utilizaríamos vinte símbolos diferentes
12
, o que seria um inconveniente, pois
exigiria decorar, além daquelas que já interiorizamos, mais representações para quantidades,
assim, por exemplo, precisaríamos de um símbolo para representar as quantias onze, doze,
treze, quatorze, e assim sucessivamente, até o dezenove (SEE/SP – CENP, 1991).
Outro recurso para trabalhar o Sistema de Numeração Decimal e também as
operações fundamentais que apresentaremos a seguir, é a utilização de materiais
manipuláveis, como, por exemplo, o material Montessori
13
. Para Abrantes, Serrazina e
Oliveira (1999, p.41-42):
Materiais manipuláveis e modelos de representação contribuem para a integração
dos processos na rede conceitual, isto é, para uma compreensão consistente. Além
disso, facilitam a comunicação, ao permitir que os alunos falem de objetos concretos
quando explicam os seus raciocínios.
Para esses autores, a experiência, acompanhada de discussão, propicia ao aluno o
estabelecimento da ligação entre a linguagem oral e os símbolos, e assim desenvolve a
capacidade e o gosto de raciocinar.
Porém, Freitas e Bittar (2004) nos orientam que o uso desses materiais não deve
ocupar lugar principal no ensino, ou seja, o professor não deve acreditar que tudo estará
resolvido e o aluno terá entendido e assimilado o conteúdo.
Entendemos que os materiais manipuláveis devem ser vistos como instrumentos
facilitadores na aprendizagem, que permitem, através do manuseio, construir conhecimento.
Mas a forma como o professor direcionará sua aula, com esses recursos, será fundamental
para o entendimento do conteúdo.
2.3. As operações fundamentais
Durante muito tempo, o foco do ensino da Matemática nas séries iniciais era na
memorização da tabuada e domínio dos algoritmos. No entanto, essa tendência vem se
modificando e hoje se fala muito na importância do desenvolvimento da capacidade de
resolver problemas e comunicar matematicamente (SERRAZINA, 1999).
Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999, p. 43) ressaltam que “os algoritmos devem
continuar a serem ensinados, mas hoje deve dar-se menos atenção à prática repetitiva dos
algoritmos e mais atenção à compreensão das operações e das relações entre elas”.
12
A conversão de bases está muito bem discutida
em “Matemática: o currículo e a compreensão da realidade. Secretaria da
Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas”. São Paulo: SE/CENP, 1991. 88p.il. (Projeto IPÊ).
13
Também conhecido como material dourado. Comentaremos logo mais sobre esse material.
31
Consideramos que o ensino das operações não deve visar apenas à aquisição de um
conjunto de regras e técnicas, mas também a uma aprendizagem significativa ligada a uma
compreensão relacional das operações.
Freitas e Bittar (2004, p.56) concordam que:
[...] não se deve, [...], enfatizar os algoritmos e as propriedades das operações em
detrimento da compreensão do sentido das mesmas. Não significa que as técnicas e
os algoritmos devem estar ausentes, mas simplesmente não devem ocupar lugar
central, ou totalitário, na aprendizagem das operações aritméticas [...].
Para que os alunos melhor compreendam as operações fundamentais, a literatura
sugere que o professor propicie condições para que ele se familiarize com as idéias intrínsecas
nessas operações.
Assim, nossa preocupação, nesse momento, é abordar as operações aritméticas,
discutindo as idéias e os algoritmos que as compõem, segundo as discussões trazidas na
literatura.
2.3.1. Adição
A operação adição envolve as idéias de juntar, reunir e acrescentar. São idéias
intuitivas, a partir das quais deve ser fundamentado o estudo sobre essa operação. Entendemos
que a utilização de vários recursos contribui para a compreensão dessas idéias, tal como
resolução de problemas.
Para Onuchic (1998, p.19):
[...] as idéias subjacentes a estas operações não são tão simples, são complexas. É
preciso tomarmos consciência de que, para cada uma das quatro operações, há
diferentes tipos de problemas que são resolvidos por uma mesma operação.
A resolução de problemas pode trazer contribuições no que diz respeito à
contextualização de uma situação, uma vez que permite abandonar uma abordagem que só
privilegia a técnica dos algoritmos.
Alguns exemplos encontrados em Freitas e Bittar (2004, p.58) e que envolvem as
idéias da adição são:
1. João tinha uma coleção de 46 figurinhas e Pedro outra de 38. Os dois resolveram
unir-se para formar uma única coleção. Com quantas figurinhas ficou a coleção? Nesse
exemplo, é usado a idéia de juntar ou reunir.
32
2. João tinha 6 figurinhas e ganhou outras 5 de seu pai. Com quantas ficou? Nesse
exemplo, é usada a idéia de acrescentar.
Consideramos que essas idéias, quando entendidas pelos alunos, tendem a ser
esclarecedora na resolução de outros problemas.
Ao trabalhar com a operação adição, outro recurso que parece também contribuir de
uma maneira mais concreta, é o material dourado, que pode auxiliar na compreensão do
algoritmo usual para essa operação.
Para tanto, antes de utilizarmos esse material, é importante o manuseio e
familiarização com suas peças, e somente, então, prosseguir com a operação (Manual de
Atividades da FUNBEC- Fundação Brasileira para o Desenvolvimento do Ensino de
Ciências).
Esclarecemos assim que, o material dourado convencional dispõe de mil ‘cubinhos’,
cem barras, dez placas e um cubo, os quais representam, respectivamente, mil unidades, cem
dezenas, dez centenas e uma unidade de milhar. Veja, a seguir, um modelo de cada peça.
Essas peças do material facilitam o entendimento, pois assim como nosso sistema de
numeração, ele também é decimal e suas peças permitem o agrupamento de dez em dez e suas
devidas trocas. Vejamos, então, como poderia ser efetuado 46 + 38.
Agruparíamos, com o material, seis mais oito ‘cubinhos’ (unidades), quatro mais três
barras (dezenas). E, dessa forma, obteríamos quatorze ‘cubinhos’ (quatorze unidades) e 7
barras (sete dezenas).
Com os ‘cubinhos’, teríamos um grupo de dez e ainda sobrariam quatro. Esse grupo
de dez ‘cubinhos
14
’ (10 unidades) seria trocado por uma barra (1 dezena), sobrando quatro
‘cubinhos’ (4 unidades). Assim, então, teríamos 8 barras (8 dezenas) e quatro ‘cubinhos’ (4
unidades), o que corresponde a oitenta e quatro.
14
Ressaltamos que os desenhos apresentados referem-se a quadradinhos (figura bidimensional) e não ‘cubinhos’
(figura tridimensional). No entanto, mencionamos ‘cubinhos’ por termos em mente o próprio material dourado.
33
A seguir a ilustração:
Freitas e Bittar (2004) explicam que a expressão “vai um”, muitas vezes utilizada na
escola, não é apropriada, pois, na verdade, o que fizemos foi trocar dez unidades por uma
dezena. Ou seja, nesse caso, o “vai um” representa dez unidades ou, então, uma dezena.
2.3.2. Subtração
Assim como a adição, a subtração também deve ser explorada através de várias
situações. Porém, a criança pode encontrar mais dificuldade com a subtração à adição, uma
vez que se trata de uma operação que, geralmente, está associada somente à idéia de tirar.
Entretanto, essa operação envolve também as idéias de comparar e completar.
Freitas e Bittar (2004, p.62) exemplificam as idéias subjacentes à subtração:
1. João tem 25 figurinhas e Pedro, 16. Quantas figuras João têm a mais do que
Pedro? Note que esse problema exemplifica a idéia de comparar.
2. Clara tem 8 tios e resolveu fazer um desenho para cada um deles. Se ela já fez 5
desenhos, quantos ainda terá que fazer? Nesse, porém, percebemos a idéia de completar.
3. Lúcia tem 14 figurinhas, deu ao seu irmão 5. Com quantas figurinhas Lúcia ficou?
E esse envolve a idéia de tirar.
Existem várias estratégias de ensino, que contemplam as idéias subjacentes à
subtração, no entanto, procuramos nos apoiar nossas considerações na utilização do material
dourado e, então, trouxemos fundamentações desse recurso.
Para Freitas e Bittar (2004, p.62), ao efetuar 21-13, podemos proceder da seguinte
maneira:
[...] se formos subtrair 13 de 21, teremos que retirar 3 unidades de 1 unidade, o que
não é possível, pois não há unidades suficientes para tal (...) pegar uma dezena
entre as duas que compõem o 21 e trocá-la por 10 unidades. [Dessa maneira,
passaríamos a ter 11 unidades e, então, poderíamos retirar 3 de 11 unidades]. E,
então, procedemos à subtração, obtendo o resultado, ou seja, efetivamente não
houve empréstimos e sim trocas.
A ilustração a seguir pode facilitar o entendimento.
trocar
46
38
+
trocar
tirar
21
13
-
34
2.3.3. Multiplicação
A operação multiplicação envolve, em geral, as idéias de somar parcelas iguais e o
raciocínio combinatório.
Segundo Freitas e Bittar (2004, p.68):
[...] A exploração dessas duas idéias é fundamental para a compreensão da operação
de multiplicação e para que os alunos consigam, diante de um problema, saber como
se colocar ou que tipo de raciocínio devem ter.
Adaptamos de livros didáticos
15
exemplos que envolvem essas idéias.
1. A boneca de Luci tem quatro camisetas, vermelha, azul, verde e amarela, e três
bermudas, xadrez, listras e bolinhas. De quantos modos diferentes Luci pode vestir sua
boneca? Essa situação envolve a idéia de combinação.
2. Uma fábrica de fogões transporta seus produtos para as lojas em caminhões. Em
cada viagem são levados 35 fogões. Quantos fogões são transportados em 16 viagens? E essa
situação envolve a idéia de juntar parcelas iguais.
Freitas e Bittar (2004, p.68) ainda esclarecem:
Um outro tipo de situação em que aparece a idéia de multiplicação é o cálculo de
áreas, ou de quadradinhos em que foi dividido um retângulo, por exemplo. É comum
apresentarmos esse tipo de situação para ilustrar ou introduzir o conceito de
multiplicação.
Muitos são os recursos para introduzir o conceito da multiplicação, e o que faremos a
seguir são apenas sugestões, baseadas na literatura, de como trabalhar tal conceito, utilizando
como recurso o material dourado.
Por exemplo, para efetuar 8x12, tomamos, oito vezes, uma barra (1 dezena) e dois
‘cubinhos’ (duas unidades). Ao juntar essas peças, obteremos 16 ‘cubinhos’ (dezesseis
unidades) e oito barras (8 dezenas), os quais deverão ser agrupados de dez em dez. Dessa
forma, teremos de dez ‘cubinhos’ (dez unidades) um grupo que será trocado por uma barra (1
dezena) e ainda sobram 6 ‘cubinhos’ (6 unidades). Essa barra será agrupada com as outras
oito, obtendo assim 9 barras (9 dezenas). Assim, obteremos como resultado 9 barras e 6
‘cubinhos’, ou seja, 9 dezenas e 6 unidades.
A seguir a ilustração:
15
Viver e aprender Matemática – Iracema Mori – 4ºsérie – editora Saraiva e Matemática Paratodos – Luiz M. Imenes,
Marcelo Lellis e Estela Milani – 4º série – editora scipione.
12
x 8
agrupar
trocar
35
Entretanto, a técnica e o algoritmo da multiplicação podem ser trabalhados
paralelamente com o material dourado (FREITAS E BITTAR, 2004).
Vejamos como Freitas e Bittar (2004, p.72) abordam a construção do algoritmo:
Para construir o algoritmo da multiplicação, é necessário trabalhar passo a passo
com a criança para que essa compreenda a conta que está fazendo. É comum
encontrarmos até mesmo adultos que não sabem justificar o algoritmo. Vamos ver
como podemos trabalhar para que o aluno possa compreender e construir o
algoritmo.
8
12
x
8
210
x
+
80+16 = 96
Assim como na adição, algo muito comum de ouvir é a expressão “vai um”. Essa
expressão é usada freqüentemente entre os alunos e professores, mas muitas vezes não é
compreendido o seu significado. Em Freitas e Bittar (2004, p.72-73), encontramos
justificativas para essa expressão.
O trabalho deve ser desenvolvido, analisando-se sempre o resultado que se obtém a
cada multiplicação. Assim calculando-se 8x2 (8 vezes duas unidades), obtém-se o
resultado 16 unidades que significa uma dezena e seis unidades. Da mesma forma
8x10 resulta 80, que significa 8 dezenas. Ou seja, se somarmos dezenas com
dezenas e unidades com unidades, teremos 9 dezenas e 6 unidades. Com esse tipo de
procedimento, repetindo com outros números, a criança poderá, pouco a pouco,
compreender que essa operação pode ser resolvida também se fazendo 8x2, 16, que
representa uma dezena e seis unidades, colocam-se 6 na casa das unidades e a
dezena será guardada para ser adicionada ao resultado de 8x1dezena (ou 8x10).
2.3.4. Divisão
Embora os alunos já venham para escola com algumas idéias de dividir, como, por
exemplo, divisão de brinquedos entre os colegas, essa operação é a última operação a ser
ensinada na escola.
Desse modo, a literatura (FREITAS E BITTAR, 2004) orienta que esses
conhecimentos intuitivos não devem ser tratados isoladamente, ou seja, não é preciso
aprender tudo sobre a adição, depois subtração e multiplicação, para, finalmente, aprender a
divisão, como uma hierarquia que não condiz com o dia-a-dia da criança.
1 2
x 8
8+1 6
U
D
36
Consideramos que a divisão pode ser ensinada à medida que os alunos apresentem
necessidade em resolver determinados problemas, como a divisão de brinquedos, por
exemplo.
Acreditamos que, quando o aluno tem o domínio do sistema de numeração decimal e
das idéias que envolvem as operações fundamentais, inclusive a divisão, as dificuldades vão
sendo amenizadas. Dessa forma, consideramos conveniente esclarecer tais idéias e apontar
algumas sugestões para ensinar o algoritmo da divisão em sala de aula.
Consideramos assim que, a divisão é a operação que envolve as idéias de dividir
como partilha, dividir por agrupamentos ou como medida e dividir como razão (PONTE &
SERRAZINA, 2000).
Vejamos alguns exemplos adaptados do livro de Ponte e Serrazina (2000 p.152-153):
1. Se dividirmos 20 balas para 4 crianças, com quantas balas fica cada uma? Essa
situação envolve a idéia de dividir como partilha.
2. Quantos grupos de 4 balas devemos pegar para termos 20 balas? Nesse caso, a
situação envolve a idéia de dividir por agrupamento.
3. O pai de João ganha R$ 3.000,00 e o de Pedro R$ 1.000, 00, qual a razão entre os
dois salários? Finalmente, nessa situação, temos a idéia de divisão como razão.
Assim como nas outras operações, muitos são os recursos para trabalhar as operações
fundamentais, para tanto traremos a seguir sugestões de como trabalhar tal conceito,
utilizando como recurso o material dourado.
Por exemplo, para efetuar a operação 126 divididos por 2, podemos fazer da seguinte
maneira: Pegamos do material dourado, uma centena (1 placa), duas dezenas (2 barras) e seis
unidades (6 ‘cubinhos’). A idéia é dividir essas peças em duas partes iguais.
Ao começar pela centena, verificamos que uma centena (1 placa), dividida em duas
partes iguais, o resultado é zero centena, uma vez que não se tem centena suficiente para
dividir em duas partes iguais.
Entretanto, uma centena pode ser trocada por dez dezenas (dez barras) e juntando-se
com as duas dezenas tem-se 12 dezenas. Dessa forma, 12 dezenas (12 barras), divididas em 2
partes iguais, tem-se 6 dezenas (6 barras) em cada parte e não sobra nenhuma. Finalmente,
seis unidades, divididas em duas partes iguais, dão três unidades em cada parte e também não
sobra nenhuma.
37
Para a produção deste capítulo, usamos, como subsídio, a literatura disponível sobre
o tema. Além disso, a aproximação que tivemos com as professoras, durante os encontros do
Grupo de estudos, propiciou um melhor entendimento das questões apresentadas na literatura
referentes ao pensamento do professor e à forma como se organizam ambientes de
aprendizagem matemática.
Aqui, chegamos ao final do que pretendíamos discutir neste capítulo. Sua preparação
foi fundamental para a condução das atividades do Grupo de estudos. Esperamos que seja de
utilidade para os leitores que queiram aprofundar-se nesse assunto.
Dividir em duas
partes iguais
Trocar 1 centena
por 10 dezenas
126
2
38
Capítulo III
Questão norteadora e caminho metodológico
3.1. A abordagem de pesquisa
Retomando nossa questão norteadora Que possíveis contribuições um grupo de
estudo pode trazer ao professor que busca conhecer “os porquês” de conteúdos
matemáticos? E analisando alguns estudos sobre tipos de abordagens de pesquisas, optamos
pela investigação qualitativa e interpretativa.
A escolha dessa abordagem é pela nossa preocupação em constituir e acompanhar
um grupo de estudos para discutir as possíveis contribuições para os participantes. Através
dessa abordagem, é possível ter uma visão particular do contexto em estudo e não ficar
limitados aos fenômenos que podem ser quantificados (ALVES-MAZZOTTI &
GEWANDSZNAJDER, 1998; ANDRÉ, 1998; GOLDENBERG, 1998; LÜDKE & ANDRÉ,
1986).
Essa preocupação ainda estava atrelada ao fato de estarmos inseridas nesse contexto
e, por isso, exercíamos dois papéis: o de pesquisadoras, quando analisávamos o Grupo como
‘alguém de fora’, e como integrantes do Grupo, neste caso nossa análise foi como ‘alguém de
dentro’
16
.
Considerando esse processo difícil, que requer do investigador analisar um contexto
exercendo papéis diferentes, precisamos de muita preparação. Era preciso organizar um grupo
de estudos, uma vez que não conhecíamos nenhum que estivesse em andamento.
Para todo esse processo, a literatura foi fundamental para subsidiar elementos que
nos orientassem (AMATO, 2004; FERREIRA, 2003; FIORENTINI, 2004; IKEGAMI, 2002;
PONTE, 1994; entre outros). Foram várias reuniões entre minha orientadora
17
e eu
18
, muitas
leituras e estudos. Somente, depois disso, é que pudemos organizar a coleta dos dados.
3.2. A constituição do Grupo
16
Terminologia utilizada por Ferreira (2003).
17
Profa. Dra. Miriam Godoy Penteado.
18
Jucelene Gimenes.
39
Tínhamos em mente constituir um grupo com professoras de um mesmo local de
trabalho e que fizessem parte de uma escola pública, isso se deve à nossa preocupação com a
situação atual das escolas dessa rede de ensino.
Formulamos, então, um questionário
19
, cujas respostas revelassem as dificuldades e
interesses desses professores. Esse questionário foi entregue à coordenação de seis escolas
públicas, que, posteriormente, seriam entregues para os professores responderem.
Após uma semana, retornei às escolas para recolher os questionários, os quais
somaram um total de 49 respondidos. Diante disso, não foi possível verificar o número de
professores que não responderam, uma vez que a quantidade de questionários que entregamos
às escolas não foi contada, pois a coordenação não sabia dizer, no momento da entrega,
quantos professores receberiam o questionário.
Ao analisar as respostas dadas pelos professores, selecionamos o conteúdo e a
escola, sendo que o critério que usamos para a escolha foi o interesse demonstrado. Ou seja,
para o conteúdo, escolhemos o Sistema de Numeração Decimal e as Operações fundamentais,
por ser na opinião dos professores, mais difícil de ensinar, e a escola foi aquela que
apresentou o maior número de questionários respondidos, trata-se de uma escola pública de
Piracicaba-SP
20
.
Inicialmente, quinze professoras, dessa escola, demonstraram interesse, mas, após a
reunião de negociação de dia e horário, que esclarecemos mais adiante, esse número diminuiu
para doze professoras, e em seguida, para onze.
Uma das perguntas do questionário estava relacionada ao conteúdo matemático mais
pertinente nas séries iniciais. As respostas obtidas, em alguns casos, não contemplaram nossas
perspectivas, pois muitas responderam de acordo com a metodologia e não ao conteúdo.
Assim, por exemplo, quando perguntávamos sobre o conteúdo que achavam mais difícil
ensinar, respondiam que tinham dificuldades em maneiras de ensinar a tabuada ou que
gostariam de conhecer novos métodos de ensino que levassem o aluno a raciocinar e assim
por diante.
Muitas das respostas revelaram a preocupação que as professoras têm com o ensino
da Matemática, mas, segundo elas, são poucas as oportunidades oferecidas para o estudo
dessa disciplina. Na maioria das vezes, os cursos oferecidos dão importância apenas à Língua
Portuguesa, tendo sido o mesmo revelado no estudo de Amato (2004).
19
Ver anexo 1.
20
Para preservar a imagem das professoras participantes da pesquisa, não apresentaremos o nome da escola.
40
No entanto, as respostas, que estavam coerentes com nossas perguntas, relatavam
que os conteúdos com maior nível de dificuldades enfrentadas eram: o Sistema de Numeração
Decimal e as Operações Fundamentais, e foi assim que selecionamos esses conteúdos.
Outro dado que também pareceu relevante é que, muitas professoras atribuem as
dificuldades de ensino ao aluno ou ao sistema. Por exemplo, algumas relataram que “a classe
é indisciplinada”, “o aluno tem preguiça de pensar”, a “classe é lotada”, “os alunos são
desinteressados”, “os alunos têm defasagem no conteúdo”, e assim por diante.
Entendemos que esses problemas devem ser discutidos, porém nossa maior
preocupação era com o professor em relação à compreensão de conteúdos matemáticos e, por
isso, não analisamos essas respostas.
Diante das respostas obtidas, durante aproximadamente seis meses, pensamos
cuidadosamente em cada encontro e preparamos um material de apoio. Nossa preocupação era
ter um planejamento que evitasse perder o foco do estudo.
Selecionamos textos
21
que tratavam dos conteúdos matemáticos a serem estudados
pelo grupo. Recorremos, em alguns momentos, à História da Matemática, às atividades de
investigação, e aos materiais manipuláveis, como o material Montessori (dourado)
22
, por
exemplo.
3.3. O encontro de apresentação
Em junho de 2004, marcamos uma reunião com as professoras para que tivéssemos
um primeiro contato, pois, até então, a direção e a coordenação da escola eram nossas únicas
intermediárias.
Nessa reunião, estabelecemos e negociamos alguns procedimentos dos encontros.
Colocamos ao Grupo nossa pergunta norteadora, para que cada uma, ao longo dos encontros,
pudesse tomar a questão como referência.
Percebemos que as professoras esperavam que minha orientadora e eu
ensinássemos a Matemática a elas. Dessa forma, foi preciso esclarecer que não se tratava de
um curso, no qual ensinaríamos a Matemática, e sim de um grupo de estudos, que por nós foi
21
Textos adaptados do Projeto Ipê – SEE/SP-CENP, 1991.
22
Através desse material é possível trabalhar o sistema de numeração decimal e as quatro operações. Existem, ainda, aqueles
que o utilizam para o ensino de perímetro, área, volume, e outros.
41
definido, como um espaço, em que estudaríamos Matemática e trocaríamos experiências e
idéias.
Foi preciso esclarecer também sobre o comprometimento que cada membro do
Grupo deveria ter ao participar dos encontros, pois se tratava de uma atividade atrelada a uma
pesquisa de mestrado. Como forma de valorizar a participação nos encontros, decidimos
oficializar a atividade junto à pró-reitoria de extensão da Unesp. Com isso, os participantes
receberiam certificados que valem pontuação para progressão na carreira do Magistério.
Ainda, nessa primeira reunião, combinamos as datas dos encontros. Esses foram
estabelecidos em cinco manhãs de sábados, entre os meses de agosto e setembro, os quais
teriam um total de 16 horas com o Grupo e mais 16 horas para leituras em casa.
Vale a pena ressaltar, também, que os encontros foram negociados com a direção da
escola. Essa negociação incluiu que os HTPCs
23
fossem substituídos por esses encontros, ou
seja, quem participasse dos encontros aos sábados ficaria liberado da reunião de HTPC que
aconteceria durante a semana. Para finalizar a reunião, sugerimos que todas as integrantes do
Grupo, inclusive a minha orientadora, e eu, lêssemos um livro
24
para o nosso primeiro
encontro.
3.4. A estrutura do trabalho do Grupo e a coleta de dados
Num primeiro momento, discutíamos sobre assuntos administrativos e passávamos
a lista de presenças, que tinha como principal intuito comprovar a freqüência das professoras
no final dos encontros, a fim de cumprir as normas estabelecidas pelos órgãos responsáveis
pelos certificados.
No segundo momento, formávamos pequenos grupos, denominados “grupinhos”,
para ler e estudar determinado assunto. Nesse momento, a Miriam, o Denival
25
e eu
procurávamos nos dispor um em cada grupo, com a intenção de observar todos de uma
maneira geral. E, em seguida, fazíamos um pequeno intervalo, com direito a cafezinho e a
um bate papo descontraído.
23
HTPC – Horário de Trabalho Pedagógico Coletivo – foi instituído nos moldes como o encontramos hoje pelo Artigo 1º da
Portaria da CENP-1 (Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas da Secretaria Estadual de Educação de São Paulo) e
tem por pressuposto básico garantir a oportunidade dos professores se reunirem em suas escolas para discutir seu trabalho
com os colegas e o professor coordenador, visando a troca de experiências entre os mesmos e a busca por soluções coletivas
de dificuldades apresentadas.
24
Os números na história da civilização – Coleção Vivendo a Matemática – Luiz Márcio Imenes e Marcio Lellis.
25
Denival Biotto Filho, aluno do curso de Matemática da Unesp/ Rio Claro. Sua principal participação nos encontros foi
filmá-los.
42
No terceiro momento, nos reuníamos em um único grupo, o qual denominamos de
“grupão”, e, nesse, a Miriam e eu levantávamos questões pertinentes ao propósito da
pesquisa.
Os depoimentos dados pelas integrantes, durante o grupão, eram gravados em fitas
de vídeo, pois para nós era o momento em que as possíveis contribuições do Grupo de
estudos poderiam ser levantadas. As transcrições das fitas foram feitas na íntegra, por
acreditar que, dessa maneira, ao se analisarem os dados, os jargões e os pequenos detalhes
poderiam ser importantes. Esses depoimentos constituíram os dados principais da pesquisa.
Terminados esses momentos, cada professora recebia uma ficha de
acompanhamento
26
que continha questões concernentes à pergunta da pesquisa. Essa ficha
era levada para casa e trazida no encontro seguinte. Comentaremos sobre as respostas dadas
nessas fichas durante a análise dos dados.
Ao final dos encontros, costumávamos nos reunir, a Miriam, o Denival e eu, para
discutirmos sobre os comentários feitos nos grupinhos. A partir dessa discussão e das
observações, foi possível compor um caderno de campo.
Além dos depoimentos dados durante os encontros e desse caderno, outra forma de
coletar informações foram as entrevistas semi-estruturadas, as quais foram feitas
individualmente, gravadas com a permissão das professoras e após o término dos encontros.
Elaboramos um roteiro
27
de perguntas em que questões eram levantadas e à medida que eram
respondidas outras iam surgindo.
O local para as entrevistas foi negociado com as integrantes, sendo que em alguns
casos a preferência foi a escola, e, em outros, a residência. As entrevistas ocorreram num
clima bastante descontraído. A presença do gravador não causou qualquer constrangimento.
Nossa intenção era conhecer um pouco mais de cada integrante, com o intuito de
traçar cada perfil e ouvir suas opiniões sobre a contribuição do Grupo para o enriquecimento
do seu conhecimento matemático para as séries iniciais, e também sobre suas visões acerca
das mudanças ocorridas após participar de um Grupo de estudos.
As respostas dadas nestas entrevistas foram reveladoras. Pudemos perceber nos
depoimentos, que o Grupo de estudos proporcionou troca de experiência, reflexão sobre a
prática, aquisição de mais conhecimentos matemáticos, entre outros aspectos citados. Por
outro lado, houve ainda, quem dissesse que o grupo pouco contribuiu. A professora Antonia,
por exemplo, disse ter dificuldades com a Matemática e, para ela, os assuntos tratados nos
26
Anexo 2.
27
Anexo 3.
43
encontros foram bastante difíceis, uma vez que ela trabalha com primeira série em que os
conceitos matemáticos são mais fáceis de serem ensinados.
Discussões acerca dessas opiniões serão tratadas no capítulo V, que trata das
contribuições do grupo de estudos.
44
Capítulo IV
O Cenário da Pesquisa
Apresentamos, neste capítulo, o Grupo e algumas de suas contribuições para os seus
integrantes e, ainda, descrevemos como os encontros foram desenvolvidos. Desse modo,
acreditamos que o leitor tenha condições de compreender melhor a abordagem dos encontros
e o propósito da pesquisa.
4.1. Apresentação dos integrantes do Grupo
Acreditamos que conhecer um pouco de cada integrante ajuda a entender melhor o
contexto do Grupo, por isso traçamos o perfil de cada um, segundo nossas observações e
depoimentos coletados durante a entrevista. No entanto, os nomes que aparecem dos
professores são fictícios, pois reconhecemos a importância da preservação da identidade de
cada um. Apenas quando se tratar dos organizadores da pesquisa é que mencionamos os
nomes reais.
Marina, 37 anos. Cursou Magistério e, em seguida, fez Licenciatura em Psicologia.
Tinha como intenção, no começo de sua carreira, ser psicóloga escolar, mas, por motivos
particulares, começou a lecionar como professora das séries iniciais, efetivando-se na Rede
Estadual de Ensino.
Constatamos que ela é bastante comunicativa, ativa, perfeccionista, responsável e
exigente. Para Marina, o silêncio em sala de aula é fundamental para que ocorra a
aprendizagem.
Apesar de gostar do ensino da Matemática, ela prefere o de Língua Portuguesa, pois
em seu conceito, a Matemática é uma disciplina repetitiva na maneira de ensinar, enquanto
que, em Língua Portuguesa, há sempre algo novo. “A Matemática vai no raciocínio dos
alunos e a Língua Portuguesa em seus sentimentos”.
Considera importante a formação continuada do professor e, por isso, sempre que
possível, está participando de oficinas e palestras. O que a levou a participar do grupo de
estudos foi o interesse em se aprofundar nos conteúdos matemáticos ensinados nas séries
iniciais.
45
Segundo ela, a participação no Grupo trouxe contribuições para sua prática em sala
de aula. Um exemplo foi o uso do material dourado para trabalhar as quatro operações.
Embora tenha feito um curso direcionado ao uso desse material, ela comenta que foi durante
os encontros do Grupo que teve o interesse em aprender.
Isadora, 36 anos. Demonstrou ser alegre, ativa e exigente. Gosta de encorajar as
pessoas, tanto em casa quanto no trabalho. Formada no Magistério e em Pedagogia, começou
a lecionar em 1987 como professora eventual e a partir daí não parou mais.
Identifica-se mais com a Língua Portuguesa, embora tenha consciência da
importância da Matemática. Em sala de aula, considera-se uma pessoa rígida e brava, mas que
dá e recebe carinho de seus alunos.
Para ela, o professor de séries iniciais permanece com os alunos durante 5 horas por
dia, e por esse motivo precisa criar um elo de amizade e afetividade com eles, como, por
exemplo, chamando-os pelo nome. Considera necessário o professor dominar o conteúdo que
se propõe a ensinar, pois ao contrário, ele poderá comprometer o aprendizado do aluno.
Resolveu participar do Grupo porque gosta de aprender coisas novas. Para ela, o
professor precisa estar atento às inovações. Uma das contribuições que o grupo lhe
proporcionou, segundo seu depoimento, foi a segurança que ela mesma adquiriu ao utilizar as
Atividades Matemáticas, mais conhecidas como AM, e ao ensinar divisão com o material
dourado. Ela atribui esse fato à união que existiu dentro do grupo.
“Ninguém estava lá para avaliar o trabalho da outra, estávamos preocupadas em
encontrar a melhor maneira de ensinar”.
Silvana, 49 anos. Pareceu ser extrovertida, responsável e exigente. Tinha o sonho de
ser professora desde criança, mas quando estava cursando o Ensino Fundamental II,
desenvolveu o gosto por Economia. Por esse motivo, pretendia ter cursado Economia
Doméstica, mas, como não tinha condições para continuar seus estudos, optou pelo
Magistério.
Formada no Magistério, prestou o concurso público e se efetivou na Rede Estadual.
Há dois anos, fez um curso oferecido pela Secretaria do Estado de São Paulo, conhecido como
PEC
28
, por considerar que o professor precisa estar atualizado com aquilo que acontece na
Educação.
28
Programa de Formação Continuada PEC – Formação Universitária. Foi idealizado para atender o que dispõe a Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional (9394/96) que, em seu artigo 62, indica a necessidade de graduação em nível
superior para os professores.
46
Gosta mais de ensinar Língua Portuguesa, especificamente o que diz respeito à
alfabetização. Para ela, o professor deve estar bem preparado para ensinar, caso contrário, ele
desenvolverá no aluno aversão ao conteúdo dado.
Resolveu participar do Grupo porque gosta de aprender coisas novas. Embora esteja
lecionando há vários anos, tem consciência de que precisa aprender muitas coisas ainda e que
os alunos estão evoluindo muito rápido. Para ela, o professor que não busca novos
conhecimentos fica limitado e defasado.
Ela afirma que, ao participar do Grupo, passou a ter mais segurança em sala de aula.
Segundo seu depoimento, a troca de experiências foi fundamental, pois, por trabalhar com a
primeira série há sete anos, acredita que tenha esquecido os conteúdos trabalhados nas outras
séries.
Outro fator que marcou os encontros foi a euforia entre as professoras, a liberdade
para falar e trocar idéias. “Sabe, eu acho uma boa essa troca de idéias, porque, por exemplo,
eu, já faz tempo que leciono com a primeira série, então eu tô bitolada naquilo lá, então às
vezes eu penso assim. Meu Deus, eu acho que eu desaprendi tudo aquilo de quarta série,
então eu acho que é bom ver a opinião de outras”.
Ana Paula, 56 anos. Demonstrou ser calma, serena e perfeccionista. Em casa e no
trabalho, procura fazer o melhor. Formou-se no Magistério em 1968 e começou a lecionar em
seguida, mas parou por 12 anos aproximadamente, devido ao seu casamento e ao nascimento
dos filhos.
Por acreditar que algo lhe faltava, resolveu voltar ao trabalho, lecionando em escola
particular. Simultaneamente, ingressou na Rede Estadual como professora efetiva e
permaneceu com os dois empregos durante três anos, mas acabou deixando a Rede Particular,
por considerar que na Rede Estadual poderia fazer carreira.
Hoje, como professora de primeira série, adora trabalhar com o lúdico. Para ela, a
relação professor - alunos torna-se mais afetuosa e o ensino mais prazeroso.
Inspirada em seu irmão, já falecido, que atuou como professor de Matemática na
Universidade de São Paulo - USP, resolveu participar do grupo de estudos para aprender mais
Matemática, embora prefira Língua Portuguesa. O que mais a marcou no grupo de estudos foi
a liberdade para falar. Segundo seu comentário, esse fator contribuiu demais para a troca de
experiências e reflexão sobre a prática.
Aline, 57 anos. Exigente, competente, perfeccionista e autocrítica. Para ela, as coisas
têm que sair da maneira como foram planejadas.
47
Fez Contabilidade, Magistério e começou a lecionar em 1979 quando seus filhos
ainda eram pequenos. Depois de vários anos, quando seus filhos já estavam crescidos,
resolveu voltar aos estudos, e, junto com sua filha, cursou Pedagogia. Trabalhou em várias
escolas, principalmente em escolas rurais.
Para ela, o professor deve orientar seus alunos e não dar respostas diretas. Muitos
pais de seus educandos reclamam dessa sua postura, mas ela argumenta que só assim o aluno
é levado a pensar, caso contrário, ele ficará somente à espera de uma resposta.
Quando ficou sabendo da formação do grupo de estudos, resolveu participar porque
assim seria dispensada dos HTPCs e também porque gosta de Matemática. A idéia de unir
esses dois motivos lhe agradava.
Porém, ao participar do Grupo, segundo seu depoimento, percebeu a relevância do
estudo em grupos e sugeriu aos participantes que, nos encontros de HTPCs, fosse introduzido
esse tipo de organização.
Ela ressaltou a importância de se ter alguém para conduzir o grupo, um líder, pois
dessa forma há ordem e direcionamento dos encontros, não ficando vagos e perdidos com
assuntos pessoais.
O que mais a marcou, nos encontros, foi a troca de experiências, maior entrosamento
entre as professoras e mais segurança para ensinar determinados assuntos.
Eu começo o caderninho de Matemática com a história dos números e agora eu
tenho mais segurança para ensinar isso. Foi muito importante.
Gabriela, 37 anos. Demonstrou ser dócil, quieta, um pouco nervosa e perfeccionista.
Gosta de planejar o seu dia e procura seguir à risca o planejado. Atualmente, trabalha com
pré-escola.
Começou a trabalhar com recreação aos 13 anos, substituindo sua irmã, numa
escolinha infantil. Ela conta que era registrada em carteira, pois naquela época não havia
idade mínima para começar a trabalhar, e a partir daí não parou mais. Fez Magistério e, em
seguida, cursou Pedagogia.
Considera-se uma professora tradicional, mas que procura aprender coisas novas e
aos poucos vai melhorando suas aulas. Para ela, o professor das séries iniciais, incluindo
educação infantil, é um modelo para as crianças e, por isso, ele precisa ser bastante afetivo e
carismático.
Embora prefira Língua Portuguesa, resolveu participar do grupo de estudos porque
procurava aprender mais Matemática, por considerar que tem dificuldades e medo ao ensinar
essa disciplina.
48
Segundo seu depoimento, o Grupo lhe proporcionou maior segurança. Muitos dos
assuntos abordados tais como a história dos números e as justificativas da divisão, eram
desconhecidos por ela.
Acredita que o grupo pode ser um suporte bastante importante para que professores,
juntos, façam e discutam sobre o planejamento escolar. O que mais a marcou foi a união
existente entre os integrantes.
Para ela, não houve avaliação do trabalho alheio e nem hierarquia entre os
integrantes, o que ocorreu foram estudos e discussões construtivas em torno dos conteúdos
matemáticos.
Antonia, 44 anos. Pareceu ser tímida, sincera e ansiosa. Formou-se em Técnico em
Contabilidade, mas trabalhava em consultórios médicos. Em seguida, cursou Magistério e
Pedagogia.
Aos vinte e cinco anos de idade, começou a lecionar na prefeitura de sua cidade,
permanecendo cinco anos nesse trabalho. Depois, ingressou na Rede Estadual como
professora ACT (Admissão em Caráter Temporário) e até hoje ocupa essa função.
Atribui o problema de aprendizagem ao número excessivo de alunos na sala de aula e
à indisciplina. Para ela, é muito difícil ensinar numa sala que tenha esses aspectos acentuados.
Prefere ensinar Língua Portuguesa para seus alunos. A Matemática é uma disciplina
que não lhe agrada, inclusive um dos motivos que a levou a participar do grupo de estudos foi
a falta de afinidade com essa disciplina, uma vez que teve péssimas experiências quando era
aluna nas séries do Ensino Fundamental II. Outro motivo que também a levou a participar dos
encontros foi a dispensa que ela teria nos HTPCs.
Embora tenha aprendido a trabalhar com o material dourado, as divisões e
multiplicações, esperava mais do Grupo de estudos. Ela ainda comenta que a experiência, ao
trabalhar com esse material em sala de aula, não foi a esperada. Seus alunos fizeram
algazarras com as peças desse material e o objetivo da aula se perdeu.
Apesar de não ter acompanhado, da maneira como previa, os estudos em Matemática,
por se considerar com dificuldade com os conteúdos dessa disciplina, os encontros eram
interessantes, mas não lhe acrescentou muito na prática. Para ela, o professor de Matemática
não deve complicar o ensino, ele deve ‘instruir’ de maneira mais concreta possível.
Ela acredita que a forma como ensina tem influência dos seus professores das séries
iniciais. A tabuada, por exemplo, ela ensina da maneira como aprendeu.
Comenta, ainda, que os conteúdos matemáticos dados na quarta série já não são mais
lembrados por ela, e, portanto, se precisar lecionar nessa série, precisaria retomar os estudos.
49
Algo que a marcou, nos encontros, foi a liberdade de expressão que todos os
participantes tiveram. Isso transmitia tranqüilidade para perguntar ou discutir.
Valéria, 45 anos. Demonstrou ser alegre, carismática e espontânea, sendo sua
principal característica descontrair as pessoas. Para ela, apesar de tantas mudanças no ensino,
“ensinar não tem grandes segredos”.
Cursou o Magistério e Pedagogia com orientação e administração escolar, e começou
a lecionar em Carapicuíba no ano de 78. Naquela época, trabalhava em dois períodos, de
manhã com primeira série do Ensino Fundamental e, à noite, com primeira série do Ensino
Médio.
Ela comenta que era um lugar de periferia. As crianças eram bastante pobres e, por
isso, era preciso trabalhar, principalmente com o emocional daquelas crianças. Depois de dois
anos trabalhando naquele lugar, casou-se e foi morar em Piracicaba, onde está até hoje como
professora de séries iniciais.
Gosta de ensinar todas as disciplinas, embora tenha mais dificuldade com a
Matemática e, por esse motivo, resolveu participar do Grupo de estudos, pois queria aprender
mais Matemática.
A partir dos encontros do Grupo, ela diz que passou a trabalhar mais com material
manipulável em sala de aula, pois agora tem mais segurança com sua utilização e, ainda,
passou a perceber a importância de trabalhar com a História da Matemática.
O que mais marcou no Grupo foi a união e a forma como os encontros foram
conduzidos. “As horas passavam muito rápido, era divertido!”. Ela ainda comenta que é
necessária a formação continuada do professor. Para ela, o professor deve estar sempre em
contato com outros professores, saber o que está sendo discutido no âmbito da Educação,
enfim, estar atento às novidades.
Sandra, 46 anos. Demonstrou ser alegre, animada, extrovertida, otimista e criativa.
Formou-se como técnica em Química Industrial, Magistério e, mais recentemente, fez o PEC.
Há 18 anos, começou a lecionar numa periferia onde não tinha nem merenda, nem
livros. Por isso, contava com os materiais recicláveis que as crianças conseguiam no lixão e
que eram transformados em materiais pedagógicos.
Dessa forma, acredita que se tornou mais criativa, pois precisava confeccionar seus
próprios materiais de ensino. Inclusive, recentemente, ganhou um prêmio concedido pela
Secretaria da Educação como professora destaque.
Em sala de aula, prefere ensinar conteúdos de Matemática e Educação Artística, pois
considera que sejam duas disciplinas comuns.
50
Em relação ao Grupo, ela comenta que sua intenção em participar era conhecer o
trabalho e as idéias das outras professoras da escola. Segundo ela, o Grupo proporcionou
maior liberdade para a troca de idéias. Aprendeu também a lidar melhor com o material
dourado.
O que mais a marcou foi a experiência, o contato, e, principalmente, a humildade que
nós, organizadores do grupo, tivemos enquanto pesquisadores.
Danila, 33 anos. Séria, segundo seu depoimento, é comprometida com o trabalho,
mas considera importante dispor de um período para estar presente com as filhas.
É uma professora apaixonada pela Língua Portuguesa, prefere ensinar esta disciplina
à Matemática. Para ela, a Matemática é uma disciplina que necessita de um tempo maior para
preparação das aulas, ao passo que a Língua Portuguesa não. Atesta esse fato aos cursos que
tem freqüentado, os quais dão mais atenção à Língua Portuguesa.
Em relação à sua participação, como membro de um grupo de estudos, considera que
foi muito importante. Pois, através do Grupo, foi possível parar para ouvir os outros, uma vez
que o trabalho do dia-dia na escola é muito corrido e pouco tempo elas têm para conversar
sobre assuntos pedagógicos.
Danila relatou que o grupo propiciou condições para que ela retomasse o trabalho
que faz mecanicamente e que, muitas vezes, não tem sentido para ela. Assim, por exemplo, a
divisão com material dourado, antes visto como algo desnecessário, agora passou a ser
importante para ela. Ela afirma que “carregou tudo” o que aprendeu no grupo de estudos, e
que tudo isso tem influenciado sua prática na sala de aula, como, por exemplo, o ensino da
divisão.
Verônica. Não foi possível entrevistar essa professora. Procuramos por ela através de
telefonemas, mas ela nos disse que estaria muito ocupada, pois leciona o dia todo e as noites
dispõe o tempo para seu filho, que é recém–nascido.
As características mais marcantes que notamos foram: timidez, muitas vezes parecia
insegura ao falar, participou apenas de três encontros e como os assuntos foram seqüenciais,
acreditamos que tenha se perdido nas discussões e reflexões do grupo.
Aqui, finalizamos a apresentação das professoras, enquanto grupo, as três pessoas a
seguir, que vinham de fora, se integraram de tal forma com os demais que consideramos
importante traçar também seus perfis.
Denival, 24 anos. A princípio estaria participando dos encontros apenas para filmá-
los. No entanto, passou a ser considerado como alguém do Grupo, pois discutia com os outros
51
integrantes, estudava, apontava suas considerações acerca dos conteúdos, enfim, sua
participação foi ativa.
Segundo ele, o Grupo pode trazer ricas contribuições para a formação de um
licenciando em Matemática, como, por exemplo, a utilização do material dourado, que
propicia ao futuro docente estabelecer conexões entre a teoria e a prática.
Alegre, ativo, gosta de ler e praticar esportes. Sempre estudou em escolas públicas, e
ao concluir o ensino médio ganhou a inscrição para o vestibular da UNESP e foi então que
decidiu cursar Licenciatura em Matemática. Quando os nossos encontros ocorreram, ele
estava no 4º ano.
Logo no começo do curso de Graduação, desenvolveu estudos em áreas relacionadas
à Educação, uma vez que foi contemplado com bolsa PAE (Programa de Auxílio ao
Estudante), que tem como finalidade gerar condições para que o aluno desenvolva pesquisa
dentro da área de interesse.
Apesar da sua participação em vários projetos de escolas, tais como: mini-cursos,
estágio, entre outros, ele ainda não atuou como professor em uma sala de aula. Ele afirma que
ao avaliar essas experiências, percebe o quão importantes elas foram e têm sido para seu
desenvolvimento profissional.
Para ele, os professores das séries iniciais e educação infantil exercem um papel
muito importante como educadores, pois são eles que formam a base de todo o conhecimento
e habilidades do estudante no que diz respeito à Educação.
Além disso, considera que o contato com professores das séries iniciais também é
importante para sua formação, pois por meio desse contato ele pode ouvir desses professores
como é a prática em sala de aula. Ouviu também vários conselhos, como, por exemplo,
disciplina dos alunos, usar a voz sem prejudicar a garganta, e outros; e para ele, a troca de
experiência foi o fato mais marcante nesse Grupo de estudos.
Acredita ainda que a formação continuada enriquece o professor como profissional, e
conseqüentemente, os alunos, as escolas e a comunidade, de uma maneira geral. Acredita
também que o professor de Matemática deve procurar atuar como um orientador para o aluno
na construção do conhecimento e do pensamento matemático, mas para isso é necessário que
ele domine muito bem o conteúdo matemático que se propõe a ensinar.
Jucelene, 28 anos. Considero-me amiga, companheira, temperamental, ansiosa,
agitada e exigente. Meu sonho sempre foi ser professora, desde pequena gostava de brincar de
“escolinha”, passava horas escrevendo na porta da cozinha, lugar que eu fazia de lousa, e os
“alunos” eram minhas bonecas.
52
Com esse sonho, segui o meu caminho. Cursei o Magistério, Licenciatura em
Matemática, e atualmente, estou inserida no Programa de Pós-graduação em Educação
Matemática na Unesp de Rio Claro, cursando o mestrado. Percebo que muito de mim mudou
desde que eu me formei em Matemática. Antes essa disciplina era vista como um arsenal de
regras, fórmulas e técnicas, em que bastava a aplicação desses resultados. Mas hoje eu a vejo
como algo a ser construído, lapidado e que precisa de muito esforço para conhecer sua
amplitude.
Acredito, depois de toda minha trajetória, ter me tornado uma professora melhor. E
por isso, penso que todos os professores devem continuar seus estudos, seja participando de
uma capacitação, seminário, cursando um mestrado, um doutorado, e até, mesmo, fazendo
parte de um grupo de estudos.
Devido a minha experiência profissional, escolhi desenvolver uma pesquisa que
tratasse de formação de professores, e o Grupo de estudos foi uma maneira encontrada para
abordar minhas perspectivas.
Aprendi muito com o Grupo! Além de eu crescer profissionalmente, trocando
experiências com os demais, pude crescer como pessoa, à medida que os encontros foram
acontecendo, os laços de amizade foram se fazendo, e isso foi muito importante para mim.
Miriam, 43 anos. Calma, tolerante, simples e estudiosa. Gosta de conhecer coisas
novas e é preocupada com as condições de trabalho dos professores da Rede Estadual.
Formou-se em Licenciatura em Matemática e, em seguida, cursou o Mestrado em
Educação Matemática, ambos na Unesp de Rio Claro. Fez doutorado na Unicamp e pós-
doutorado em Bristol na Inglaterra. Desde o começo da sua formação acadêmica, esteve
voltada às pesquisas na área de Educação Matemática, acreditando que pela Educação muito
pode ser modificado no mundo. Esse é o seu grande objetivo de vida.
Hoje, leciona e desenvolve pesquisas na Unesp de Rio Claro, atuando na formação de
professores e em tecnologia informática. Desenvolve projetos junto aos professores de escolas
da Rede Estadual.
Para ela, o professor necessita caminhar na profissão e, por esse motivo, deve estar
atento às oportunidades que lhe são oferecidas para sua formação. A participação em grupos,
por exemplo, em que as discussões e trocas de experiências são apontadas devem ser
incentivadas.
Nesse sentido, acredita que o conhecimento do professor expande em relação à
disciplina que ensina, por se tratar de investigações, estudos e reflexões. Do mesmo modo, o
53
professor de Matemática deve saber essa disciplina para ensinar, entretanto, como ninguém
sabe tudo de uma disciplina, é interessante que exista essa troca.
Conforme declara, o Grupo trouxe contribuições no sentido de fazê-la refletir sobre
sua prática enquanto formadora de professores. À medida que as vivências e práticas de sala
de aula eram colocadas pelas professoras, ela pôde amadurecer suas idéias em relação à
pesquisa na área.
As entrevistas revelaram, ainda, a força do grupo de estudos para os integrantes.
Tanto as professoras como nós, pesquisadores, pudemos finalizar os encontros refletindo
sobre nossa prática, percebendo na fala de nossos colegas a preocupação com o ensino da
Matemática nas séries iniciais e tentando buscar sempre mais conhecimentos no âmbito da
educação.
4.2.Os encontros
Conforme relatamos anteriormente, a realização dos encontros se deu durante cinco
manhãs de sábados, começando às 8 horas e terminando às 11 horas. Eles serão descritos
segundo as anotações feitas em caderno de campo, das entrevistas e das gravações.
Intercalamos nossa escrita com trechos dos depoimentos.
4.2.1. O primeiro encontro
Ocorrido no dia 31 de julho de 2004. Estiveram presentes quinze pessoas: Aline, Ana
Paula, Antonia, Danila, Gabriela, Isadora, Marina, Solange
29
, Sandra, Silvana, Verônica e
Valéria, incluindo a Miriam, o Denival e eu.
Esse dia foi marcado por expectativas e ansiedades, pois não sabíamos ao certo como
seria o desenvolvimento do estudo. Tínhamos uma programação a seguir
30
, um material de
apoio, mas não sabíamos se tudo sairia como programado.
Ao chegar à escola, organizamos a sala, e logo as professoras foram chegando. Num
primeiro momento, a Miriam fez uma breve apresentação e destacou a pergunta norteadora da
pesquisa: “Que possíveis contribuições um grupo de estudos pode trazer ao professor que
29
Não traçamos o perfil dessa professora porque ela participou apenas de um encontro.
30
Ver anexo 4.
54
busca conhecer ‘os porquês’ de conteúdos matemáticos?”, ressaltando que essa pergunta
deveria ser tomada por todos os integrantes como referência.
Deveríamos estar atentos a tudo que dissesse respeito a nossa própria aprendizagem,
e aquilo que percebêssemos de contribuição para nosso conhecimento deveríamos relatar ao
Grupo.
Passamos a lista de presenças e, em seguida, apresentei uma síntese verbal do livro
“Os números na história da civilização”, sugerido na primeira reunião com o Grupo. O intuito
da sugestão dessa leitura era trazer à tona a história dos números, de tal maneira que se
entendesse o porquê do nosso sistema de numeração ser decimal, quais foram os caminhos
percorridos até chegar no sistema indo - arábico, porque se deu o aprimoramento de sistemas
de numeração, entre outras abordagens que o livro traz.
Embora tivéssemos sugerido a leitura do livro, fizemos a síntese, pois pensamos que
alguns poderiam ter deixado de ler. E também consideramos que, fazendo a síntese, as idéias
poderiam ser retomadas de maneira que os membros pudessem relembrar as observações
feitas.
Assim, num segundo momento, nos dividimos em ‘grupinhos’ (pequenos grupos de
três), para resolver as atividades sugeridas nesse livro, a leitura de um texto adaptado da
revista Nova Escola (1996) e a criação de um sistema de numeração
31
. Essa última proposta
era imaginar-se num planeta onde não houvesse um sistema de numeração e que, pela
necessidade de contagem, fosse preciso criar um sistema de numeração com regras, símbolos
e operações.
Pretendíamos, com isso, investigar, por nós mesmos, um sistema que fosse prático e
que trouxesse resultados. Percebemos que essa atividade foi coerente com aquilo que
havíamos trabalhado anteriormente.
Antes de darmos continuidade, paramos para um cafezinho, e, em seguida,
retornamos com o terceiro momento. Pedimos então ao Denival que fosse filmando esse
momento, pois considerávamos que essa ocasião era oportuna na coleta de dados para a
pesquisa, uma vez que a Miriam e eu perguntávamos ao grupo o que cada um havia aprendido
naquele encontro.
Fizemos então um único grupo, com todos os participantes dispondo-se na sala de
aula em círculo. Neste momento, cada grupo foi ao quadro para apresentar a criação de seu
sistema de numeração.
31
Ver anexo 5.
55
O primeiro grupo, a ir ao quadro, era composto pelas professoras: Solange, Verônica
e Isadora. Elas criaram um sistema em que os símbolos usados eram uma meia lua, uma lua
cheia e um sol. Dentro desses símbolos, eram colocadas bolinhas. Cada bolinha contida na
meia lua representava uma unidade, cada bolinha contida na lua cheia representava uma
dezena e cada bolinha contida no sol representava uma centena.
Assim, temos a seguir, a representação do número 131.
Depois da apresentação, surgiu a dúvida entre elas e os demais: É posicional? A
Miriam interveio para esclarecer. Pareceu que elas estavam um pouco perdidas sobre o que
era sistema posicional.
Miriam: Isadora lembra o que nós discutimos? O que vai dizer o que os pontinhos
significam, o valor dos pontinhos. Na verdade o que ajuda a contar são os pontinhos. Mas
esses pontinhos aí, eles têm um significado diferente, dependendo de onde eles estão. Então,
na verdade, o que você está chamando de unidade, não é que a lua representa a unidade. A
lua é o lugar onde o espaço está.
Isadora: A lua representa a ordem.
Miriam: A meia lua não é unidade, a lua não é dezena e o sol não é centena da
forma como a gente atribui significado. Não é unidade no sentido da ordem. Você pode
desenvolver mais esse sistema. Você pode pensar em como evoluir esse sistema. Você pode
continuar esse sistema, mas seu sistema não é posicional.
Valéria: Mas se ela conserva o sol sempre na mesma posição, ele é posicional. Eu
posso colocar no lugar da lua o sol?
Isadora: Pode. Veja. A quantidade de bolinha que vai.
Isadora coloca três bolinhas dentro da lua cheia e 5 bolinhas dentro da meia lua,
nessa seqüência, representando assim a quantia trinta e cinco (35). Em seguida, desenha outra
lua cheia e outra meia lua e coloca sete bolinhas na primeira e seis na segunda, representando
a quantia setenta e seis (76). A professora Miriam interrompe tentando responder a pergunta
de Valéria.
Miriam: Que quantidade que está aqui? Ela desenha primeiro a meia lua com duas
bolinhas dentro, depois desenha a lua cheia com quatro bolinhas dentro, e, por último, o sol
com duas bolinhas. Ele é posicional no sentido de onde ele está. Se ele estiver dentro do
solzinho, ele tem um valor, mas onde está o solzinho, a lua, não interessa.
56
Pareceu-nos que ficou entendido que aquele sistema criado não era posicional,
entretanto foi preciso a interferência da Miriam para esclarecer.
Em seguida, foi a vez do grupo composto pela Ana Paula, Danila e a Sandra. Esse
grupo teve dificuldade em encontrar uma regra. Elas criaram um sistema baseado em notas de
dinheiro e pensaram num sistema aditivo, mas criaram muitos símbolos para representar um
único número.
Assim como as notas de dinheiro, elas pensaram num símbolo para representar a
quantidade um, outro símbolo para representar a quantia cinco, outro para dez, vinte e cem. À
medida que elas iam apresentando para as demais, elas foram percebendo que, por exemplo, a
representação do número vinte poderia ser feita de várias maneiras. Ou seja, poderiam utilizar
o símbolo criado para representar o vinte, e nesse caso utilizaria apenas um símbolo, ou duas
vezes o símbolo criado para representar o dez, ou vinte vezes o símbolo que representava o
um, e assim por diante.
Depois de muitas discussões acerca desse assunto, chegamos à conclusão de que
seria necessário estabelecer uma regra que facilitasse. E então chegamos num consenso de
que o menor número de símbolos possíveis para a representação de uma quantidade seria mais
viável.
Silvana: Então o cinqüenta poderia ser...
(Sandra representa o número cinqüenta com cinco símbolos de dez).
Sandra: para a gente chegar aqui foi complicado.
Miriam: Mas o cinco então não pode ser cinco tracinhos? (ela refere-se a cinco
símbolos que representa, cada um deles, a quantidade um), tem que ser aquele lá? (referindo-
se ao símbolo criado para a quantidade cinco).
Sandra: Pode. Por que é base de troca. Então eu não posso isso daqui? (mudando
assim sua opinião).
Miriam: Porque senão, pensa no sistema de numeração. O sistema de numeração é
para facilitar as coisas.
Sandra: É que nós pensamos em dinheiro.
Miriam: Você pode pensar em dinheiro, mas com um número mínimo de notas, o
menor número de notas.
Miriam: por exemplo, o seu sistema não pode ser... (Acaba a frase)
É um sistema aditivo, você vai somando as coisas, por exemplo, o cem tem símbolos,
mas o noventa não. Então você precisa economizar a quantidade de símbolos.
Sandra: E se ele fizesse nove de dez?
Miriam: Não, porque...
Sandra: E a hora que chegou nessa divisão, 10:5.
Jucelene: Você pode pensar numa regra com o menor número de símbolos. Que nem
o vinte. Ao invés de usar dez e dez, você usa o vinte. Você escolhe o que tem o menor número
de símbolos. Para facilitar, entende?
(Mais alguns comentários e então a Miriam esclarece)
57
Miriam: Mais uma coisa aqui reforçando. Como aquilo que a Marina perguntou.
Então a gente vê que um trabalho desse tipo, mostrar os símbolos, a escolha do símbolo. Ela
escolheu esse símbolo, né? Eles têm que necessariamente ter um significado para ficar mais
fácil para memorizar, ou não? Como essas escolhas são feitas e negociadas? Como é que um
símbolo pega? A gente vai ver que esses símbolos indo - arábicos também tiveram um
desenvolvimento no desenho. Então para a criança essa matemática não chegou pronta e
acabada, é um processo de construção, então essa fase seria...(acaba a frase). Mas é claro
que essas coisas trabalham muito na pré-escola, né? Eu acho que talvez a 1º série retoma um
pouco, e estar sempre... Na verdade na 3º e 4º tendo a oportunidade, falar com eles sobre
isso. É um acordo, a gente tem que se comunicar.
Após esse momento, em que elas expuseram suas criações em torno de um sistema
de numeração, a Miriam e eu levantamos perguntas referentes as nossas perspectivas, e, então,
algumas professoras comentaram sobre o que havia ficado, para elas, naquele encontro.
Aline: Eu acho muito importante, porque toda vez que começo o ano, eu conto uma
história para eles, e eu via que muitos professores falavam que era perda de tempo. Como é
que surgiu, como é que outros povos escreviam. Então eu acho que essa parte não é perda de
tempo, e é muito importante. Então eu começo o caderninho de Matemática com a história
dos números, e agora eu tenho mais segurança para ensinar isso. Foi muito importante.
Ana Paula: Geralmente nos livros de Matemática tem essa observação. Eu faço com
certa insegurança sabe.
Miriam: Hoje. O que você acha que aconteceu hoje. Você aprendeu alguma coisa?
Ana Paula: Eu acho que sim. Acho que até para eu ter mais segurança para contar
para eles. Eu não sabia, por exemplo, que no alfabeto romano tem esse relógio onde o quatro
é representado com quatro pauzinhos (IIII).
(a Marina corrige, “algarismo romano”).
Miriam: Era assim no sistema antigo, mas foi mudado para IV.
Teve alguma coisa hoje que você pensou que antes você não tinha pensado?
Sandra: Isso que você falou.Que às vezes não tem essa ordem. Eu acho que pode ser
assim, mas como falam tem que fazer assim, eu fico meia... Então eu vou fazer como tem que
ser. E agora você chegou aqui e de repente falou assim, do jeito que eu gosto. Tem que ser
assim? Não precisa ser dessa ordem. Dá para você entender assim. Então é assim que eu
gosto. Mas eu não essa... Hoje veio reforçar o que você...
Valéria: Só pegando um ganchinho dela. Quando eu falo dois mais dois são quatro,
eu poderia dizer também um mais um, mais um, mais um são quatro.
Miriam: É sempre quatro, mas tem várias maneiras de representar.
Silvana: Sabe, eu acho uma boa essa troca de idéias, porque, por exemplo, eu já faz
tempo que leciono com a primeira série, então eu to bitolada naquilo lá, então às vezes eu
penso assim. Meu Deus, eu acho que eu desaprendi tudo aquilo de quarta série, então eu
acho que é bom ver a opinião de outras. E às vezes, a linguagem que a gente usa, porque
primeira série a gente usa...
Com o tempo esgotado, foi preciso encerrar, mas sugerimos que as duas
apresentações que estavam faltando fossem feitas no próximo encontro.
58
4.2.2. O segundo encontro
32
Ocorrido no dia 14 de agosto de 2004. Estiveram presentes onze participantes: Aline,
Ana Paula, Antonia, Gabriela, Marina, Sandra, Silvana, Valéria, Miriam, Denival e eu.
Esse dia foi tumultuado, mas tudo saiu como previsto. No primeiro momento,
conferimos as pessoas presentes, recolhemos as atividades que foram feitas em casa e a ficha
de acompanhamento, que era referente ao último encontro.
No segundo momento, os dois grupos, que não tinham apresentado seu sistema de
numeração no encontro anterior, foram convidados a fazê-los.
O primeiro grupo era composto pelas professoras: Marina, Antonia e Silvana. Elas
trouxeram um sistema bastante complexo.
O sistema era aditivo, mas não posicional. Nesse sistema, eram atribuídos símbolos
para a quantia um (um dedo), cinco (uma mão com cinco dedos), cinqüenta (um triângulo),
quinhentos (um triângulo com um outro menor dentro) e cinco mil (o mesmo que o símbolo
utilizado para quinhentos, o diferencial era que a superfície entre os dois triângulos era
colorida).
Então, quando, por exemplo, elas quisessem escrever o número quarenta e cinco,
utilizariam nove vezes o símbolo da mão com os cinco dedos, ou ainda, para o número
cinqüenta e cinco, um triângulo e a mão. A questão da base ficou um tanto quanto confusa.
Marina: Ah, eu poderia criar um símbolo, né? Mas eu fico preocupada em não
mudar a base.
Miriam: Não, mas aí, quando você passou para o cinqüenta, você fez sua alteração,
então a mesma idéia assim, o dez, por exemplo, era mão cheia.
Marina: A gente não pensou em colocar o dez, fazer um símbolo para o dez.
Miriam: Então a cada cinqüenta, você muda? Essa é a idéia?
Marina: Não, a cada dez. Formou nove dedinhos, passamos para o triângulo.
Miriam: Não. Nove dedinhos não. Cinco dedinhos.
32
Ver anexo 6.
50
500
5000
1
5
59
Marina: É, cinco dedinhos passaram para o triângulo.
Miriam: Cinco triângulos passam.
Marina: Cinco triângulos, daí não. Daí eu usei a base dez. Se eu tivesse feito base
cinco. Até uma parte ficou base cinco, depois foi para base dez, quando chegou no cinqüenta.
Aline e Silvana: Não, base cinco mesmo.
Miriam: Não, mas não é base cinco ainda, ela demorou para chegar no cinqüenta,
ela fez cinco e aí o próximo seria o vinte e cinco.
Marina: É. Seria vinte e cinco, depois para descobrir quinhentos, seria duzentos e
cinqüenta.
Jucelene: No caso você criou um símbolo para a unidade, para o um, para o cinco,
para o cinqüenta.
Silvana: Só foi o símbolo para o cinco, não, até o quatro.
Marina: Cinqüenta menos cinco é igual a quarenta e cinco.
Miriam: Do ponto de vista da necessidade de se ter o dez, se não tivesse todo mundo
saberia que dois triângulos dariam dez.
Marina: Ah, sim, mas esse aqui (referindo-se aos dois triângulos) eu não coloquei
como símbolo, só para indicar.
Miriam: Ah! tá.
Marina: Seria dez, vinte, trinta só foi o início. Aqui eu tenho todos (referindo-se a
sua notação). Inclusive aqui eu tenho até o quarenta e cinco. Inclusive aqui nove vezes
quarenta e cinco eu não tinha feito, aqui na nossa folha eu não fiz assim, na nossa folha eu
não...
Miriam: Então para mostrar cinco ficaria cinco, então cinco, cinqüenta e
quinhentos. Não, é cada vez que ela repete cinco vezes cinco.
Marina: Cada vez que repete dez.
Miriam: Cada vez que ela repete dez vezes o cinco, que ela muda, né? Não é?
Marina: O dedinho não.
Miriam: Cada vez que ela repete dez vezes aquela mãozinha, quando vai repetir a
décima ela muda, aí vai, vai quando vai repetir a décima com o símbolo do cinqüenta, ela
muda. Quando vai repetir a décima do símbolo.
Marina: Do cem também é só para representar.
Miriam: Então a necessidade.
Aline: Aí se você tivesse feito a mãozinha como você fez, deixando o dedinho, duas
mãozinhas com dedinhos... seria equivalente a uma mãozinha, sem, daí você entraria...
Marina: Não, a mãozinha sem dedinhos a gente só simplificou, continua sendo a
mesma, continua sendo cinco.
Aline: Aí então, teria feito a diferença. Por exemplo, o cinco teria sido a mãozinha
com o dedinho, quando juntasse os dois seria o triângulo, seria o dez, cinco mais cinco seria
dez.
Miriam: Agora se quisesse manter a base cinco, teria que a cada cinco símbolos,
mudar.
Marina: Aqui, eu teria posto vinte e cinco, duzentos e cinqüenta e aqui no caso, dois
mil e quinhentos.
(Mais alguns comentários e a Marina continua).
Marina: Na verdade, nós usamos o dez somente para multiplicar aquele símbolo,
mas a base mesmo continua sendo cinco.
Miriam: Depende, para mudar ali.
Marina: Veja bem, o quinhentos é cinco vezes cem, no caso o cinqüenta é cinco vezes
dez e o cinco mil é cinco vezes mil então se você analisar daqui para lá a base é cinco, agora
se analisasse de lá para cá...
60
Miriam: Mas não é bem assim, cada vez que você tem cinco símbolos de dez você
muda, cada vez que você tem cinco grupos de cem. Então na verdade, você ta com uma
relação com base dez também. Dez, cem, mil só que você não vai pegar cada grupo de dez,
você vai pegar cada cinco grupos de dez você muda de símbolo, e na base dez é cada grupo
de dez você muda de posição.
O segundo grupo era composto pelas professoras Valéria, Aline e Gabriela. Elas
iniciaram a apresentação com uma história, em que elas eram homens da caverna e
perceberam que um graveto ascenderia o fogo, porém cinco gravetos poderiam ser trocados
por uma tora, que era mais resistente ao fogo, e que, cinco toras poderiam ser trocadas por um
tronco que era ainda mais resistente ao fogo.
Dessa forma, elas perceberam que seu sistema era aditivo, de base cinco e não
posicional. Não houve nesse grupo muitas discussões, entretanto, comentamos sobre a
importância de contar historinhas para as crianças ao ensinar determinados conteúdos.
Miriam: É interessante observar essa primeira historinha que vocês contaram e que
ela relacionou, isso é fazer matemática, estabelecer relação, cinco torinhas dessa, equivale
ao tempo de uma dessa daqui, e cinco dessa, equivale ao tempo, então no fundo você ta
fazendo uma relação, é fazer matemática, sempre que você esta fazendo relação desse tipo,
elas são de tempo, quantidade, medida, espaço, você tá fazendo matemática. É um tipo de... A
gente fala: Eu tô fazendo matemática?
Jucelene: Contando história é mais fácil.
Silvana: A gente sempre conta historinha para ensinar, porque a criança...
Aline: Eu gosto muito. Toda vez que eu vou dar um conteúdo é sempre através de
uma historinha mesmo. É por isso que eu gosto da situação problema, eu dou para eles
através de uma histórinha. Às vezes a criança, no início do ano(...) Ele vai ser meu aluno, ele
fala. Professora, mas isso é Matemática? Porque eles acham que o texto é só Língua
Portuguesa. Então, eu dou a Matemática com referência a uma situação problema.
Após a apresentação dos grupos, paramos para um cafezinho e, em seguida, demos
início ao terceiro momento. Nesse, as professoras se reuniram em pequenos grupos para fazer
a leitura e estudo do texto sugerido
33
. Formaram-se, então, três grupos.
O texto sugerido nesse encontro explorava outras bases (não somente a decimal) e a
nossa intenção era aumentar a compreensão dos princípios do sistema de numeração decimal,
33
Adaptado do Projeto Ipê – SEE/SP-CENP, 1991, p.20-25.
graveto
tora
tronco
61
percebendo as vantagens em trabalhar com a base decimal e o que aconteceria se
utilizássemos outras bases, como a base dois e a base vinte.
Entretanto, ocorreram outras aprendizagens, assim como, por exemplo, um grupo
ficou interessado em saber por que o sistema de numeração da memória do computador é de
base dois. Isso gerou uma série de discussões, até que se percebeu que o computador dispõe
de dois símbolos apenas, o 0 e o 1, que representam desligado (OFF) e ligado (ON) nas
chamadas fitas perfuradas.
Nesses cartões perfurados, atravessam correntes elétricas, e quando é escrito o digito
0 não se passa corrente por essas perfurações e, ao contrário, se for escrito o digito 1, a
corrente elétrica passa pelas perfurações, entendendo que o computador está ligado. De todo
modo, foge aos nossos objetivos tentar esclarecer ao leitor esse processo e, portanto, não nos
prenderemos a esse assunto.
Foram levantadas também questões relacionadas à linguagem Matemática, ao uso de
uma regra para seguir um algoritmo, entre outros assuntos que serão mais bem detalhados no
capítulo que trata da análise dos dados.
Por volta das 10h45min demos início ao 'grupão'. Nesse momento, a Silvana disse
que se sentia na situação de seus alunos, ao ler e discutir o texto com suas colegas. Para ela, a
base decimal estava tão enraizada, pronta e acabada, que ela nunca pensara em trabalhar com
outras bases.
Silvana: Sabe o que é difícil? Porque a gente ta apegada na nossa base dez, mas se a
gente olha para outra base a do cinco, dois, a do três, é assim, na cabeça a gente passa o dez
no lugar, a gente entende melhor transformando (...) E também é novidade, porque eu nunca
imaginei em trabalhar com bases três, com base dois, com base cinco, é uma novidade, podia
fazer isso, né? É que tem também o computador que a gente vê que é o dois, né?(...) Olha, eu
senti meus alunos, porque uma coisa tão clara para a gente é tão bicho de sete cabeças para
eles! Foi isso aí. Que confusão, tentar tirar a base dez e por a base três aí, meu Deus que
troca. E sem querer a gente volta naquela linguagem. Até para ler os numerais um, dois, três,
quatro base cinco, a gente não consegue, a gente lê um mil duzentos e trinta e quatro.
Assim, como Kamii (1996), defendemos a idéia do trabalho com base decimal.
Consideramos que é preciso o professor entender que o sistema é um acordo, uma negociação,
um processo histórico e não algo pronto e acabado. Optou-se por dez, pois é um processo de
comunicação mais viável, mas poderia ser onze? Poderia. Poderia ser vinte? Poderia. Porém,
encontraríamos alguns inconvenientes.
62
Muitos relatos de experiências vivenciadas pelas professoras em sala de aula também
foram levantados, o que nos faz pensar sobre a importância de um espaço para reflexões.
Finalizamos por volta das 11h05min, quando esclareci sobre suas apresentações
34
para o
quarto encontro e entreguei outra ficha de acompanhamento.
4.2.3. O terceiro encontro
35
Ocorrido no dia 28 de agosto de 2004. Estiveram presentes doze pessoas: Aline,
Antonia, Danila, Gabriela, Isadora, Marina, Sandra, Silvana, Valéria, Miriam, Denival e eu.
Foi um dia produtivo! Começamos por volta das 8h05min, discutindo sobre assuntos
administrativos como o dia 11 de setembro, que era um dia previsto para o encontro, mas que
teria que ser mudado devido a um imprevisto surgido na escola.
Solicitamos às professoras que conversassem com a direção a fim de que nossa
programação não fosse alterada. E dessa forma elas o fizeram, tendo, posteriormente, um
retorno positivo à nossa solicitação.
No primeiro momento, nos reunimos em ‘grupinhos’ para fazermos a leitura e estudo
do texto
36
sugerido. O texto desse encontro apresentava as operações fundamentais,
envolvendo números inteiros. O intuito era explorar as diferentes idéias de associar essas
operações, as justificativas e os porquês.
Desenvolvemos esse estudo com o auxílio do material Montessori (dourado), por
considerar importante a visualização do concreto para compreender esse conceito. Muitas
professoras não sabiam trabalhar com esse material, por isso foi preciso a intervenção da
Miriam e a minha. Percebemos que, a todo instante, elas paravam para relatar experiências
vividas em suas salas de aula: como ensinam determinada operação, como os alunos se
comportam em classe, entre outros assuntos.
Dessa maneira, a Miriam e eu, precisávamos direcionar o foco do estudo, a fim de
não nos distanciarmos do nosso interesse, que era descobrir as contribuições do grupo para os
envolvidos.
Em seguida, paramos para um cafezinho e às 10h30min formamos o “grupão”. Nesse
momento, surgiu uma discussão interessante em relação à operação divisão. Por exemplo, 125
34
Essas apresentações serão esclarecidas no quarto encontro.
35
Ver anexo 7.
36
Adaptado do Projeto Ipê – SEE/SP-CENP, 1991, p.67-76.
63
divididos por 12 tem como resultado o número 10. Todas sabiam as técnicas para efetuar esse
algoritmo, porém a justificativa de se colocar o zero na unidade não era sabido.
Após discutirmos sobre isso, percebemos que algumas professoras compreenderam o
porquê. Assim, convidamos a Marina para explicar para o Grupo como ela havia entendido.
Marina: Bom, eu tenho cento e vinte e cinco que eu dividi por doze crianças.
Primeiro eu vou começar dividindo a centena. Mas não dá para eu dividir esta plaquinha
(centena) com vocês, eu preciso trocar minha plaquinha por dez dezenas (ela faz a troca com
o material dourado). Aqui eu tenho dez dezenas, vou juntar com essas duas que eu já tinha,
eu vou ficar então, na realidade, com doze dezenas. Cento e vinte seria para dividir por doze
crianças, vou tentar dividir. Então eu tenho doze crianças, uma, duas, três, quatro, cinco,
seis, sete, oito, nove, dez, onze e doze (ela vai pegando essas quantidades com o material).
Então eu tinha doze dezenas e tinha doze crianças, então quantas dezenas na realidade vocês
ganharam? Uma balinha ou dez balinhas na realidade. Dez balinhas. Então quantas dezenas
vocês ganharam? Na realidade é uma dezena, vocês ganharam uma dezena, agora eu tenho
cinco, todo mundo quer, não quer?
Jucelene: E agora?
Marina: Vou fazer o seguinte. Outra coisa dá para fazer pelo método curto. Eu dei
uma dezena para cada um, quantas sobraram? Abaixo o cinco e o cinco não posso dividir,
cinco unidades, mas a casa da unidade tem que ser preenchida, e tenho que mostrar que eu
não consegui dividir, com quantas vocês ficaram?
Todas: Dez unidades.
Marina: Não é dez, eu dei uma dezena, quantas unidades eu dei para vocês?
Todas: Zero.
Marina: Crianças, prestem atenção, por favor! Eu tenho cinco unidades aqui, destas
unidades que me sobraram, quantas eu dei para vocês?
Todas: Nenhuma.
Marina: Nenhuma é o que? Zero.
Aline: Só que eu fiquei com dez unidades.
Marina: Veja, quantas vocês têm agora? Quantas unidades vocês têm?
Todas: Dez.
(tumulto entre elas).
Marina: Gente, eu preferia dar aula para minha classe (risos). Eu não perguntei
para vocês quantas dezenas vocês ficaram, eu perguntei destas unidades daqui, quantas
vocês ganharam? Nenhuma. Tá aqui, ó. Nenhuma é o zero que eu represento.
Jucelene: É a explicação do zero então.
Acreditamos que a professora tenha compreendido justificar zero na unidade, apesar
de ter ficado presa à descrição dos procedimentos. Assim, também, acreditamos que outros
professores e alunos sabem efetuar esse cálculo, porém existe uma certa dificuldade em
entender o algoritmo.
Em seguida, convidamos a Antonia para explicar ao grupo a multiplicação, utilizando
o material dourado, visto que durante o grupinho percebemos sua dificuldade em trabalhar
com tal material.
64
A idéia utilizada por ela, ao desenvolver o processo, foi a adição de parcelas iguais.
A nosso ver, o material dourado propicia o entendimento de tal idéia, entretanto, existem
outros materiais que também poderiam ser utilizados, como, por exemplo, o ábaco.
Antonia: Eu falei para ela que na semana passada eu comecei a multiplicação.
Então eu vou pegar três vezes vinte e quatro (A Antonia pega essa quantia com as peças do
material dourado). Eu não tinha trabalhado a multiplicação com o material.
Miriam: Que série você trabalha?
Antonia: Segunda série. Eu vou começar pela unidade. Eu tenho quatro, oito, doze
‘cubinhos’. Dá para trocar por quantas barrinhas de dezena? Então eu vou trocar (ela faz a
troca, uma barrinha e ficam dois ‘cubinhos’). Eu gente, eu não sabia representar assim.
Miriam: Sem ser o algoritmo, né? O que você precisa depois está muito claro. O que
é o vinte e quatro? Vinte e quatro é. Representa com o material, o vinte e quatro. Aí, o que
significa multiplicar por três, daí a idéia de somar parcelas iguais e somar três vezes, ter essa
idéia. Por isso, que eu acho que na primeira série, na segunda série, essas coisas têm que ser
trabalhadas, a idéia, a noção, porque se ele tem desde a pré-escola trabalhar com
agrupamento e troca, ele tem idéia do que é vinte e quatro. O vinte e quatro não é o dois e o
quatro, representa alguma coisa.
Sandra: Pode trabalhar assim: três vezes vinte e três vezes o quatro.
Antonia: Viu, Miriam, aqui ó, a gente faz flechinha e tal (ela mostra a multiplicação
escrita na lousa 24 x 3), e eles estão esquecendo da soma, para eles isso aqui (ela aponta na
conta 24 x 3, “o vai um” que está acima do dois). Não, tem uns dez que já assimilaram. Eles
colocam só o seis e esquecem.
Jucelene: Eu acho que com o material, eles entendem melhor esse “vai um”, porque
esse vai um não tem muito significado para eles.
Outra discussão que nos chamou a atenção foi sobre como efetuar, por exemplo,
213X26, utilizando o material dourado. Foi então que elas perceberam a necessidade de se ter
o algoritmo para efetuar essa conta, pois precisaríamos de muitas peças com o material
dourado.
Assim, também, Passos (2005) esclarece através de uma metáfora, que o uso do
material dourado pode ser comparado a um andaime, ele só é bom enquanto você está
construindo a casa, quando a casa está em pé, você não precisa mais dele (informação
verbal).
37
Entendemos assim que o material dourado deve ser trabalhado até que o aluno
compreenda o sistema de numeração decimal e as operações fundamentais, depois de
compreendido esses conceitos, a utilização desse recurso pouco pode contribuir.
37
Comentário feito por Cármen Lúcia B. Passos, na argüição de qualificação desta pesquisa que ocorreu no dia 15 de
setembro de 2005.
65
Em seguida, sugerimos ao grupo um exercício do livro Atividades Matemáticas
38
,
conhecido como AM. Essa atividade envolve as idéias das operações fundamentais e, embora
seja direcionada aos alunos de 4º séries, percebemos, entre o grupo, certa dificuldade na
interpretação das perguntas do exercício. Às 11h15min, finalizamos o encontro.
4.2.4. O quarto encontro
39
Ocorrido no dia 04 de setembro de 2004. Estiveram presentes treze participantes:
Aline, Ana Paula, Antonia, Danila, Gabriela, Isadora, Sandra, Silvana, Verônica, Valéria,
Miriam, Denival e eu.
Nos encontros precedentes, vínhamos combinando com as professoras um próximo
encontro em que elas apresentariam uma atividade, sugerida por nós
40
, para todo grupo.
Ou seja, o grupão seria dividido em três grupinhos e cada grupinho deveria escolher
uma atividade e discutir sobre ela. Em seguida, expor ao 'grupão', esclarecendo as idéias
envolvidas, as justificativas matemáticas e o porquê da escolha daquela atividade. Desse
modo, poderíamos analisar se o Grupo havia trazido contribuição sobre como justificar
matematicamente.
As apresentações não foram como nós esperávamos, exceto um grupo, o da Aline,
Valéria e Gabriela, que trouxe uma atividade para resolvermos. As demais aplicaram uma
atividade nas suas salas de aula e depois relataram oralmente a experiência vivida para os
demais componentes do grupo. Para elas, o relato de suas experiências é fundamental na troca
de idéias e tomadas de decisões.
Embora o intuito desse encontro tenha se diferenciado, o seu desenvolvimento não
sofreu aspectos negativos. O primeiro grupo a se apresentar trouxe um jogo que envolvia o
Sistema de Numeração Decimal. Essa atividade
41
foi sugerida aos alunos da Sandra, que
ficaram motivados por se tratar de uma atividade lúdica, e, portanto, com regras. Dessa
maneira, a Sandra quis comentar sua experiência e relatou como foi desenvolvido o assunto.
O jogo não trazia nomenclaturas como unidade, dezena e centena, e sim primeira
casa, segunda casa, terceira casa. Os alunos deveriam colorir as casas, representando o
número ditado.
38
Atividade sugerida para 4º série - exercício 6, p. 27.
39
Ver anexo 8.
40
Sugerimos várias atividades com temas diversificados.
41
Ver anexo 9.
66
Percebemos que essa atividade esclarece a composição e decomposição do numeral,
porém, para aquelas professoras essa atividade foi mais uma sugestão que pode ser trabalhada
em sala de aula.
Em seguida, a Danila veio até o quadro e relatou sobre sua aula, em que ensinou os
alunos, divisão com o auxílio do material dourado. Para ela, o uso do material na divisão
justifica o porquê dos procedimentos efetuados.
Danila: Mas eu notei o seguinte, com o material dourado, é, fica claro aquelas
passagens que nós comentamos aqui no último encontro, a troca e o porquê, naquela
história, ah vai descer? Vai descer por quê?
Terminada essa apresentação, paramos para o café. Logo após, foi a vez da Silvana
apresentar. Para ela, a primeira série ainda está apenas começando e, por isso, ela gosta de
ensinar determinados assuntos, contando sempre uma estória.
Dessa maneira, ela contou-nos a estória que costuma narrar aos seus alunos para
explicar o sistema de numeração. Essa estória, em específico, pareceu-nos de antemão
confusa para entender, visto que houve controvérsias durante a apresentação.
Silvana: Então conto a estórinha do prédio, que o prédio tem um andar, dois
andares, três, aqui mora, eu desenho um prédio assim, né? Aqui mora uma família que é, que
era muito importante, muito metida, né?! E a família da unidade aqui, todo mundo tem
sobrenome unidade, como nós, nós não temos um sobrenome? Você mora, o seu sobrenome é
Silva, você mora na família dos Oliveiras? Não. Cada um mora na sua família, então aqui
mora o número um, o número dois, o número três, todos eles são unidades, daí eu entro na
dezena aqui, nesse prédio aqui mudou, uma família que é só dezena, a unidade pode morar
na dezena? Não, senão vai sair briga, né?!
Miriam: Pensando na família aí, o doze, ele é uma pessoa só? É...O doze tem uma
parte dele na família da unidade, uma parte na família da dezena. Eles nunca perguntaram
isso?
Silvana: Nunca.
Miriam: Por que o doze, ele é o quê? Porque o um é uma coisa, uma pessoa que tem
o sobrenome unidade, depois tem uma pessoa que chama um, que tem o sobrenome dezena,
certo? Como você tem Miriam Penteado, Miriam Costa, Miriam Oliveira, então etc.
Silvana: Viu, isso foi uma coisa que você levantou que eu nunca pensei nisso, como
eu sempre trabalhei assim e nunca surgiu essa pergunta, e entra na cabecinha deles, eu
procuro nem mexer, eu fico na minha, e agora você falando nisso, eu até preciso pensar,
porque se um dia acontecer de um dos mais espertinhos perguntar, porque eles são, porque
eu tenho os espertinhos, mas eles não chegaram aí ainda.
Seu depoimento revela que ela nunca havia pensado nisso e que, muitas vezes, atribui
ao aluno a dificuldade em aprender.
67
Logo depois, foi a vez da Isadora. Ela relatou a experiência que teve, ao sugerir aos
seus alunos a mesma atividade dada no encontro passado
42
. Muito se falou sobre a
importância de usar termos corretos da linguagem Matemática, ao ensinar determinados
conteúdos.
Isadora: Mas é o vocabulário matemático.
Miriam: Mas lá você usa a palavra.
Silvana: Mas daí se você usa. Quantos faltam para chegar lá, quanto falta para
chegar, eles entendem melhor, só que quando eles vão fazer uma subtração, eles sabem mais
tirar oito menos dois, do que dois chegar no oito.
Miriam: Que é a idéia de completar. Quando eles estão aqui, eles estão mais na
idéia de completar, quantos faltam é a idéia de completar associado à subtração, agora a
outra, a subtração é aquilo que ela queria, quantos a mais.
Valéria: Sabe o que me veio agora, eu faço muito isso, quantos anos na primeira, eu
sempre falei para conta de adição, continha de mais, e eu acho que fica isso, e eu acho que é
um erro que eu cometi também, entendeu? Na primeira série, vamos fazer continha de mais,
não é continha de mais, eu acho que esse mais incorporou, esse mais incorporou, entendeu?
Vamos fazer continha de menos, esse menos no vocabulário.
Silvana: Adição. O que é mesmo adição? É uma continha de mais, eu faço assim.
Isadora: Minha filha estuda aqui na quarta série, e outro dia a gente estava
assistindo passa ou repassa, e o Celso fez essa pergunta. Adição é a operação de: somar,
subtrair, dividir ou multiplicar? Nem as crianças do palco não sabiam, e ela também não
sabia. E eu falei, filha, Adição, adição, você não sabe? Você não sabe adição? Mãe, eu não
sei. Filha, pelo amor de Deus, como você não sabe? ‘Eu não sei’.
Isadora: Mas se você der conta para ela fazer, ela faz.
Sandra: Falha na Língua Portuguesa. Vai no dicionário. O que é isso, isso, isso. Eu
bato muito nisso daí.
Em seguida, a Aline junto à Valéria fizeram suas apresentações. Ao contrário das
demais, elas trouxeram uma atividade
43
para nós, integrantes do grupo, resolvermos. O intuito
da atividade foi trazer a representação de grandes quantidades. Segundo seus depoimentos, é
importante que o aluno compreenda as ordens e classes que organiza o nosso sistema decimal.
Através dessa atividade, houve discussões sobre ordem e classe, valor absoluto e
relativo. Percebemos que as professoras ficaram mais envolvidas nessa atividade, uma vez
que resolveram e não apenas escutaram sobre como fazer.
Terminadas as apresentações, passamos ao grupão, onde foram colocados vários
depoimentos que serão analisados em outro capítulo. Entretanto, uma das colocações, feita
pela Danila, e que talvez vale a pena evidenciarmos, foi sobre a utilização de fichas coloridas,
para trabalhar o sistema de numeração decimal, material que foi distribuído, há algum tempo,
42
Atividade do AM, sugerida para 4º série - exercício 6, p. 27.
43
Ver anexo 10.
68
para escolas de ciclo básico. Ela considera ser um material pobre, pois a idéia de quantidade
fica limitada.
Assim, por exemplo, uma ficha vermelha, representando uma unidade e uma ficha
azul, representando uma dezena, em ambos os casos tem-se uma ficha, que se diferencia
apenas pela cor, o que se torna, muitas vezes, confuso para o aluno.
Danila: Eu lembro que quando eu era pequena, eram as benditas fichas, e eu lembro
até hoje, a minha professora particular usava aquelas fichas vermelhinhas, né? Então era na
unidade, colocava lá, dez fichas separadinhas, agora nós vamos mudar para dezena, agora
tem um aqui, na minha cabeça quando eu era pequena não entrava, para mim tinha um, eu
via só uma ficha ali, eu não conseguia associar, quer dizer, o jeito que a gente explica hoje
facilita, porque o material dourado, ele, ele, você monta e desmonta, e eles podem pegar
quando foi explicando, pelo menos pra gente, quando a gente era pequeno, você não tinha
essa visualização detalhada, porque aí a professora pegava o mesmo monte, quando juntava
todas as fichas para formar cem, ela queria que você deduzisse que ela estava passando cem
para lá, então, eu particularmente quando eu era pequena, eu tinha muita dificuldade, e eu
não passava cem de jeito nenhum, então eu chegava em casa para fazer conta e eu falava
para minha mãe, mas aqui tem só um, não filha, uma dezena, tem dez, mas como dez? Então
é complicado, levou um tempo para eu fazer essa associação, eu acho que para eles hoje, o
jeito que a gente explica facilita muito, mais fácil.
Nesse depoimento percebemos que a professora apresenta uma análise sobre os
materiais didáticos utilizados e que não tinham significados para ela, como aluna. No entanto,
o material parecia ser útil ao seu professor.
4.2.5. O quinto encontro
44
Ocorrido no dia 11 de setembro de 2004. Estiveram presentes quatorze pessoas:
Aline, Ana Paula, Antonia, Danila, Gabriela, Isadora, Marina, Sandra, Silvana, Verônica,
Valéria, Miriam, Denival e eu.
Esse foi o nosso último encontro. Quando chegamos, fomos surpreendidos! As
professoras haviam trazido bolos, bolachas, refrigerantes, flores e até um violão. Ficamos
muito felizes com a demonstração de carinho atribuído ao Grupo. Porém, decidimos que o
momento de descontração seria no final do encontro e passamos, assim, às atividades.
44
Ver anexo 11.
69
Inicialmente, sugerimos um jogo
45
que tem como objetivo trabalhar os números
racionais na forma decimal, através da calculadora. A partir desse jogo, era possível perceber,
por exemplo, que 5 : 0,5 tem como resultado 10 e 5 x 0,5 têm como resultado 2,5, processo
que não era, até então, analisado pelas professoras. As idéias de divisão e multiplicação, para
elas, estavam atreladas, respectivamente, à diminuição e aumento do resultado.
Onuchic e Botta (1998) esclarecem que esse problema também é comum entre alunos
das séries iniciais, pois eles fazem inúmeras vezes divisões e multiplicações, envolvendo
números naturais, que têm sempre o dividendo maior (ou múltiplo) que o divisor, e, por isso,
o quociente sempre é um número menor que o dividendo. Posteriormente, as crianças têm um
impacto diante de situações como, por exemplo, 2 divididos por 0,25, onde o resultado é 8.
Essas concepções errôneas, que sustentamos desde as séries iniciais, pareceram-nos
que foram abolidas após a execução desse jogo.
Isadora: (...) Eu faço mecanicamente, não paro para pensar, nunca parei para
pensar.
Jucelene: No que, por exemplo?
Isadora: Assim, quando nós estávamos no primeiro, aqui, cem menos zero ponto zero
nove (100 – 0,09), deu noventa e nove inteiros e noventa e um centésimos (99,91).
Centésimos? Daí nós dividimos por zero ponto zero nove (:0,09) daí o que que aconteceu?
Deu um mil cento e dez inteiros e cento e onze centésimos (1110,111), então aí eu pensei
assim: ‘mas, não são um mil cento e dez pedacinhos assim? Eu imaginei isso aí. Porque
aumentou? Porque aí a Jucelene falou: ‘Mas tem que ver quantos nove centésimos cabem em
noventa e nove inteiros e noventa e um... Quantos deles são? Cabem um mil cento e dez.
Jucelene: Aí você percebeu que não era um mil cento e dez milésimos, e sim que era
inteiro.
Isadora: Isso. Que era inteiro mesmo. Precisava de tudo isso para formar noventa e
nove inteiros.
Pelo depoimento da Isadora, percebemos que ela pensa como os alunos na divisão
com os racionais, ou seja, ao ver o resultado na calculadora, um mil cento e dez, pensou de
antemão que estava errado, ou que talvez aquele número representasse milésimos. Isso
demonstra o quanto a idéia de diminuir na divisão está latente.
No segundo momento, sugerimos a leitura e estudo de um texto
46
, que trazia também
esse assunto. A partir dos depoimentos dados pelas professoras, notamos que elas justificam
suas dificuldades nesse assunto, argumentando que se trata de um conteúdo direcionado às
quartas séries e como muitas não lecionam há anos, nessa série, acabaram se esquecendo de
como o faziam.
45
Ver anexo 12.
46
Adaptado do Projeto Ipê – SEE/SP-CENP, 1991, p.76-81.
70
Marina: Eu já não sei mais como faria mais aí. Porque faz tempo que eu não dou
matemática na quarta-série, então eu teria que rever.
Silvana: Eu acho que nem chegava a ser dúvida, porque nós nunca paramos para
pensar e fala assim: Nossa, eu não sei tal coisa, é porque vai indo a rotina, a gente vai indo e
vai fazendo. Só apareceu aí que é dúvida, a hora que mostrou isso aí, daí eu mesma parei e
falei: Nossa, eu não sabia que isso existia. Então não se tornava dúvida isso aí para mim, eu
desconhecia, né? Tem coisas aí, por exemplo, trabalhar isso daí, décimo, centésimo, isso
para mim, sempre foi um bicho de sete, uma coisa horrorosa porque eu não aprendi direito.
E não pus em prática.
Assim também a Antônia, na entrevista, disse não lembrar mais como trabalhar
números racionais escritos na forma decimal, uma vez que leciona há anos para primeiras e
segundas séries, e segundo ela, esse é um conteúdo de quarta-série.
Abordamos esse conceito, utilizando o material dourado, e as discussões geraram em
torno de se utilizar ou não esse recurso, visto que para as crianças as peças do material já
foram concebidas como unidade, dezena, centena e unidade de milhar, e que, ao definir essas
peças com outras nomenclaturas (unidade, décimo, centésimo e milésimo), poderiam acabar
confundindo a compreensão delas.
Aline: O de hoje, eu queria falar que eu acho difícil trabalhar com o material dourado
números decimais, eu acho, eu já fiz um curso aqui, acho que o pessoal conhece, conheceu,
né? Que até já faleceu, a Dionete. Só que material dourado, números decimais só que eu não
tenho, eu não senti aquela segurança para fazer. Então tudo o que não é seguro não dá para
passar para o aluno, então eu gostaria que depois se alguém fosse aí tentar fazer, e depois
daí passar para gente realmente.
Outra discussão levantada pelo Grupo foi sobre a utilização do AM, assunto que já
fora discutido no encontro anterior. Ocorreram divergências na utilização desse livro.
Enquanto a Marina considerou-o difícil de trabalhar, a Sandra, por sua vez, se sente à vontade
na utilização do mesmo. Elas sugeriram, então, a formação de um grupo para estudar esse
material. Colocaram também a importância de grupos de estudos para a troca de experiências.
Sandra: Se você trabalhar com o AM, automaticamente você vai chegar nisso aí, é
que tem trabalho, é a melhor forma.
Marina: Eu com a terceira série não consigo fazer.
Sandra: Porque ele tem que vir da primeira, primeira, segunda, terceira e você tem
que...
Miriam: Você acha difícil?
71
Marina: Eu acho difícil, pra eles eu acho que complica, eu não consigo andar com a
matéria, entendeu? Se eu ficar.
Marina: Mas veja bem, um AM, ele nunca foi trabalhado com os professores, nunca
foi trabalhado.
Miriam: Não tenha dúvida, não é uma coisa, mas é assim, a gente é assim mesmo.
Sandra: Precisa desses grupos, por isso que eu falo.
Marina: Precisa desses grupos de estudos.
Terminamos o encontro às 11h15min e, então, a Sandra nos presenteou com canções
tocadas no seu violão. A emoção tomou conta do grupo! Fizemos a nossa confraternização e
nos despedimos.
72
Capítulo V
Contribuições de um Grupo de estudos
Tomemos, como princípio, tanto na escola como na
família, não ensinar às crianças e aos jovens a
memorização mecânica de regras e fórmulas.
Façamos isso sim o maior esforço possível para
acostumá-los a pensar com prazer e consciência.
(E.I. Ignátiev, matemático russo, 1911)
Este capítulo tem por finalidade apresentar os depoimentos dos participantes do
Grupo de estudos, analisando-os sob a luz da literatura e da questão norteadora dessa
pesquisa. Como mencionado anteriormente, os dados foram coletados por meio da filmagem
(V), ficha de acompanhamento (FA), caderno de campo (CC) e entrevistas (E).
Todos esses recursos foram utilizados para dar mais confiabilidade às nossas
análises. O seu uso foi entrelaçado de tal forma que à medida que analisávamos as filmagens,
buscávamos nos apoiar também nos dados obtidos com outros recursos. Essa técnica,
chamada de triangulação, possibilita fazer comparações mais profundas entre diferentes dados
(GOLDENBERG, 1998).
Conforme íamos analisando os dados obtidos, a pergunta norteadora afunilava as
informações e direcionava a escolha de temas, enquanto a literatura sustentava a discussão.
Dessa maneira, além de verificar as contribuições do Grupo de estudos para os
professores no que diz respeito ao conteúdo matemático, pudemos observar também que, mais
do que isso, o Grupo pôde contribuir em outros aspectos. Como, por exemplo, proporcionar
troca de experiências, segurança ao professor, valorização e reflexão sobre a prática que já
vem sendo desenvolvida, entre outros assuntos que emergiram durante o transcorrer dos
encontros e que consideramos importantes.
Embora alguns depoimentos já tenham sido apresentados no capítulo precedente, em
alguns momentos eles serão retomados na análise, por considerarmos interessantes sobre
vários pontos de vistas.
Os assuntos que foram considerados, por nós, como essenciais para análise e
discussões, separamos por temas, e esses estão apresentados, segundo a seguinte estrutura.
A Matemática e sua construção
. Nesse tópico, apresentamos as contribuições do
Grupo no que diz respeito à discussão do conteúdo matemático. Além de perceberem a
73
Matemática, como algo construído, os integrantes do Grupo compreenderam algumas
justificativas matemáticas.
Usando a História da Matemática como abordagem metodológica para o ensino do
sistema de numeração decimal. Nesse tópico, apresentamos as contribuições do Grupo no que
diz respeito à valorização da prática que já vem sendo realizada e a importância de utilizar a
História da Matemática na preparação e desenvolvimento das aulas.
Usando o material Montessori como abordagem metodológica para o ensino das
operações fundamentais. Nesse tópico, apresentamos as contribuições do Grupo no que diz
respeito à utilização do material dourado. Aqueles que sabiam utilizar esse recurso ajudavam
os que não sabiam. Houve também discussão se a utilização desse material é ou não
apropriado.
Terminologia Matemática. Nesse tópico, apresentamos as contribuições do Grupo no
que diz respeito ao uso de alguns termos e que muitas vezes não são compreendidos pelos que
os usam. Verificamos que a partir da participação no Grupo, os integrantes tiveram liberdade
para expressar suas dúvidas em relação a esses termos e perceberam as conseqüências para a
aprendizagem ao utilizar termos incorretos.
Como o aluno aprende. Nesse tópico, apresentamos as contribuições do Grupo no
que diz respeito à troca de papéis vividos dentro do grupo de estudos. As professoras
passaram para o lugar de aprendizes e assim perceberam as dificuldades que seus alunos
sentem em aprender determinados conteúdos.
As opiniões das professoras em relação ao Grupo de estudos e a aprendizagem da
docência. Nesse tópico, apresentamos as contribuições do Grupo no que diz respeito à troca
de experiência, uma vez que ele (a organização de grupo) fez com que as professoras
refletissem sobre a prática e que, possivelmente, poderá levá-las às mudanças. Elas ainda
perceberam que o grupo de estudos pode ser um veículo para sua própria aprendizagem.
5.1. A Matemática e sua construção
74
Escolhemos este tema “A matemática e sua construção”, pois entendemos que, com
o grupo, os professores puderam compreender alguns porquês que estão por trás dos
conteúdos matemáticos e verificar construções que até então eram tidas como prontas e
acabadas.
Para discutir esse tema, selecionamos situações diversas em que percebemos a
contribuição do Grupo para entender justificativas matemáticas ou mesmo para entender a
Matemática como algo que é fruto da construção humana.
Assim, por exemplo, ao sugerir uma atividade em que o propósito era a invenção de
um sistema de numeração com regras, símbolos e operações, percebemos que houve
dificuldade em criar um sistema próprio sem que se utilizasse alguma característica do
sistema decimal. Esse sistema possui raízes tão profundas que era difícil pensar em outra
forma de contagem.
Antonia (CC): Vira e mexe a gente usa o símbolo que a gente já conhece.
Danila (FA): Por mais que tentemos criar novas coisas, acabamos utilizando regras
já conhecidas.
Houve a percepção de que aquele conteúdo foi construído e aprimorado ao longo
dos anos e não simplesmente inventado por algum pesquisador.
Valéria(V): Quantas mentes foram desenvolvidas para chegar no nosso sistema.
Marina (V): É, exatamente. Quanto tempo...
Valéria (V): Que evolução tem o ser humano!
75
Miriam(V): Eu acho que resquícios no sistema posicional. Lembra semana passada?
Naqueles que tinham um espacinho, não sei se eram os maias, isso já vinha acontecendo, a
hora que dava um espacinho significava que sessenta, então na verdade, não é que o arábico
foi inventado, nada é inventado assim. Junto, é a junção, alguém que passa e vê.
Valéria(V): E até para informação chegar naquele local, vê que aquilo funcionou ou
não, volta e retoma.
Miriam(V): Na verdade, é uma colagem de coisas, e hoje em dia isso é muito mais,
digamos assim, é muito mais difícil você falar que uma coisa é inédita, inédita, inédita.
Porque a informação viaja numa velocidade muito rápida. Antigamente, sim, era carta,
alguém que viajou, depois a gente vai ver como isso foi desenvolvendo ao longo dos séculos,
e é bem legal você ver isso em Matemática, né? Que até que ela torna-se universal.
Marina(V): E a gente tem impressão de que ela foi inventada agora, e ela não foi
inventada agora, ela foi inventada há milhões de anos atrás e só agora foi resgatada.
Miriam(V): Foi resgatada, burilada.
Gabriela (FA): Aprendi que os símbolos mudaram com o passar dos anos.
Outra situação que nos chamou a atenção foi quando fizemos atividades que
envolviam a exploração de outras bases que não a decimal. O principal objetivo era fomentar
a discussão acerca da base decimal, quais eram suas vantagens e porquê, por exemplo, a base
vigesimal ou duodenal não era apropriada.
Consideramos que compreender o sistema de numeração decimal inclui o
entendimento da base decimal. Para tanto, fazer esse trabalho com outras bases significa
perceber a base decimal como algo que foi negociado e aceito como mais apropriado.
Esse trabalho pareceu de antemão algo muito complexo. Os integrantes do Grupo
sentiram muita dificuldade na mudança de bases, gerando muita insegurança entre eles. A
maioria, das professoras
47
envolvidas, disse ter tanta familiaridade com a base dez que nem
haviam pensado na existência de outras bases.
Silvana(V): Sabe o que é difícil? Porque a gente está apegada na nossa base dez,
mas se a gente olha para outra base a do cinco, dois, a do três, é assim, na cabeça a gente
passa o dez no lugar, a gente entende melhor transformando.
Marina(V): Além do mais, quanto tempo a gente demorou para aprender na base
dez? E aqui a gente tinha quanto tempo para entender vários tipos de bases?
Silvana(V): E também é novidade, porque eu nunca imaginei em trabalhar com
bases três, com base dois, com base cinco, é uma novidade, podia fazer isso, né? É que tem
também o computador que a gente vê que é o dois, né?
47
Em alguns momentos utilizamos o termo ‘os professores’, para designar os integrantes do grupo, uma vez que entre os
membros existia alguém do sexo masculino, porém quando usamos o termo ‘as professoras’ estamos excluindo o Denival, a
Profa. Miriam e eu.
76
Valéria (FA): Para mim, ficaria muito mais complicado trabalhar com o aluno em
outras bases.
Percebemos que, apesar da utilização da base decimal no dia-a-dia, sua compreensão
estava limitada aos mecanismos utilizados nas operações fundamentais. Assim, também,
embora algumas professoras utilizassem materiais que envolvem a base decimal, como o
material dourado, o jogo “Nunca dez”
48
, entre outros, elas não compreendiam a importância
desses materiais para esse assunto.
Para elas, a base decimal era algo pronto e acabado, não merecendo fazer
comparações com outras bases, nem tampouco se preocupar com suas justificativas.
Miriam(V): Mas você disse, nunca tinha visto a representação de uma quantidade, a
possibilidade de representar em outras bases?
Silvana(V): Não. Mesmo olhando essas atividades, os jogos, nunca dois, nunca três,
nunca quatro. Olha, é mesmo. A gente trabalha sempre com as crianças nunca dez, eu tenho
um joguinho nunca dez, para eles fazerem a transformação, porque a gente só tem a base
dez, e eu nunca pensei em trabalhar com eles nunca cinco, porque também vai confundir a
cabeça deles também. Para eles aprender os numerais a gente usa o jogo nunca dez.
Gabriela (FA): Se quisermos fazer uma contagem que não na base dez, podemos
fazer. Só que é muito complicado!
Sandra (FA): Aprendi que há diferentes possibilidades em se trabalhar o sistema em
bases diferentes de dez.
Antonia (FA): Aprendi várias maneiras de contar, agrupar e trocar.
Valéria (FA): Aprendi a vantagem da base dez.
Após muitas discussões acerca desse assunto, observamos que o Grupo
compreendeu melhor a base decimal. Entretanto, acreditamos que esse assunto deve ser
sempre retomado em outras situações que contemplem o Sistema de Numeração Decimal,
para que se possa ampliar a discussão e compreensão das idéias matemáticas envolvidas.
Outro assunto que, a nosso ver, merece destaque é a discussão, entre os integrantes,
sobre a prática que vem sendo realizada. Ao discutir sobre a divisão, algumas professoras
acreditavam ser importante o aluno rascunhar a tabuada ao lado do desenvolvimento do
48
Tem esse nome porque sua regra é “nunca ter um monte de dez”.
77
algoritmo dessa operação, mas que, após analisar sua prática, perceberam a importância do
cálculo mental para a estimativa.
Marina(V): Você vai vendo a necessidade de você entender a Matemática sem você
fazer só por fazer, eu tou dando divisão para meus alunos agora, e eu usava até o ano
passado a divisão por dois algarismos, usava um método assim, ó: Duzentos e vinte e quatro
dividido por doze, então nós vamos fazer doze vezes um até... fazia que nem fosse uma
tabuadinha do doze, pra gente.
Aline(V): Uma estimativa?
Marina(V): Não, não é estimativa isso aí, isso eu achava que não era estimativa, eu
achava que não era estimativa, né? Vai fazendo a tabuadinha até chegar que número vai
caber no quociente. Agora eu pedi para eles, não. Quantas vezes você acha que o duzentos e
vinte e quatro. Quantas vezes você acha que o doze cabe dentro do duzentos e vinte e quatro?
Sem você usar a tabuada, imagina quantas vezes você pode tirar o doze... Então eu comecei
dar do comecinho, dentro do nove, quantas vezes você acha o três cabe dentro do nove? Nove
bolinhas, eu faço três grupos de três, cabe três vezes. Eu estou percebendo que meus alunos,
que eu mudei de método esse ano, eu não sei se vai dar certo ainda, eles são cobaias, eu não
sei se quando chegar nos números maiores vão, mas eu estou percebendo assim, que eles
estão entendendo melhor o número do quociente sem ter que ficar fazendo a tabuada.
Miriam(V): É que porque eles faziam por fazer, né?
Marina(V): Faziam por fazer, ele faz, é, ele tá colocando, a minha intenção é que
quando ele vai chegar num certo ponto lá, ele vai colocar o número e ele vai acertar o mais
próximo possível, sem ter que pôr aquele monte de multiplicação do lado, doze vezes um,
doze vezes dois, doze vezes três, doze vezes quatro até descobrir o quociente. Eu acho que ele
vai conseguir chegar...
Silvana(V): Sabe, Marina, é assim mesmo porque chuta qualquer um, tem uns que
falam vinte, outros falam ‘doi’, então a gente fala, dois? Vamos ver se dois é, daí você faz a
tabuadinha, né?
Marina(V): Não faço, não quero que eles façam a tabuada, eu quero que eles, eles
entendam, tenham a consciência.
Miriam(V): Duzentos e trinta e dois, cabem dez vezes? Cabem dez vezes, porque
multiplicar por dez é fácil, cabem cem vezes?
Marina(V): Eu comecei no dez e agora eu estou no treze.
Jucelene(V): Eu estava falando para ela aquela hora, daí quando for trabalhar essa
estimativa, é legal falar do dez, primeiro pensar em pegar dez vezes.
Marina(V): Eu trabalhei com dez, para eles foi muito bom, eles entenderam muito
bem.
Jucelene(V): Isso vai desenvolvendo a rapidez de eles fazerem a divisão.
Miriam(V): Ainda, trabalhando pelo sistema de numeração, daí você tem duzentos
dividido por doze, quantas centenas...
Marina(V): É, isso que eu estou falando não sei até quando vai dar certo minha...
Miriam(V): Não, eu acho o que você tem que se preocupar não é se vai dar certo ou
não vai, você está atenta, no momento que você perceber, olha aqui cabe um outro, porque os
alunos são diferentes, você vai...
Com o depoimento da professora Marina, percebemos que antes ela ensinava a seus
alunos o algoritmo da divisão, desprezando as idéias fundamentais. E que, agora, ela
78
reconhece essa atitude como negativa e ressalta a importância do cálculo mental para a
estimativa.
Embora essa mudança de opinião não tenha se dado pelo Grupo, conforme
percebemos no depoimento de Marina, acreditamos que ele foi um veículo no qual essa
professora relatou sua experiência, levando outras professoras a refletirem sobre essa prática.
Autores como Freitas e Bittar (p. 87, 2004) nos orientam que:
O cálculo mental é uma técnica operatória muito importante, porque permite que as
crianças desenvolvam seus próprios procedimentos sem se limitar a um único
processo. Há inúmeros motivos que justificam o emprego do cálculo mental. As
crianças que efetuam essas técnicas demonstram, em geral, mais segurança ao
resolver situações-problema do dia-a-dia. Isso as torna mais autônomas, pois têm
maior liberdade de escolher caminhos para obter soluções para um problema. Por
fim, possibilita compreender com mais facilidade as técnicas de cálculo. E o mais
importante, estimula o raciocínio.
Segundo esses autores, estimular o aluno a fazer cálculo mental ajuda-o a fazer
estimativas. E, assim, acreditamos que, ao efetuar uma divisão, o aluno não fica limitado
apenas aos procedimentos desse algoritmo, ele consegue aproximar-se mais do cotidiano.
Essa análise foi feita no Grupo, a partir do depoimento da professora Marina, o que
nos faz pensar que as professoras envolvidas ficarão atentas para o ensino dessa operação e
não ficarão limitadas apenas às técnicas da divisão.
Em outro momento, sugerimos que essa mesma professora explicasse ao Grupo
como efetuar a divisão 125 por 12, utilizando o material dourado. Com isso, levantou-se a
preocupação em justificar o porquê do zero no quociente dessa divisão.
Marina (V): Eu me preocupei mais com a divisão com dois algarismos, porque é o
que estou trabalhando. Então eu queria com o material dourado a divisão. Se fizesse com
número menor seria mais fácil. É que eu queria divisão com dois algarismos, porque tem as
professoras que gostariam de aprender por dois. Bom, eu tenho cento e vinte e cinco que eu
dividi por doze crianças. Primeiro eu vou começar dividindo a centena. Mas não dá para eu
dividir esta plaquinha (centena) com vocês, eu preciso trocar minha plaquinha por dez
dezenas (ela faz a troca com o material dourado). Aqui eu tenho dez dezenas, vou juntar com
essas duas que eu já tinha, eu vou ficar então, na realidade, com doze dezenas. Cento e vinte
seria para dividir por doze crianças, vou tentar dividir. Então eu tenho doze crianças, uma,
duas, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, onze e doze (ela vai pegando essas
quantidades com o material). Então eu tinha doze dezenas e tinha doze crianças, então
quantas dezenas na realidade vocês ganharam? Uma balinha ou dez balinhas na realidade.
Dez balinhas. Então quantas dezenas vocês ganharam? Na realidade é uma dezena, vocês
ganharam uma dezena, agora eu tenho cinco, todo mundo quer, não quer?
Jucelene(V): E agora?
Marina(V): Vou fazer o seguinte. Outra coisa dá para fazer pelo método curto. Eu
dei uma dezena para cada um, quantas sobraram? Abaixo o cinco e o cinco não posso
79
dividir, cinco unidades, mas a casa da unidade tem que ser preenchida, e tenho que mostrar
que eu não consegui dividir, com quantas vocês ficaram?
Todas(V): Dez unidades.
Marina(V): Não é dez, eu dei uma dezena, quantas unidades eu dei para vocês?
Todas(V): Zero.
Marina(V): Crianças, prestem atenção, por favor! Eu tenho cinco unidades aqui,
dessas unidades que me sobraram, quantas eu dei para vocês?(risos).
Todas(V): Nenhuma.
Marina(V): Nenhuma é o quê? Zero.
Aline(V): Só que eu fiquei com dez unidades.
Marina(V): Veja, quantas vocês tem agora? Quantas unidades vocês tem?
Todas(V): Dez.
(tumulto entre elas).
Marina (V): Gente, eu preferia dar aula para minha classe (risos). Eu não perguntei
para vocês com quantas dezenas vocês ficaram, eu perguntei dessas unidades daqui, quantas
vocês ganharam? Nenhuma. Ta aqui, ó. Nenhuma é o zero que eu represento.
Jucelene (V): É a explicação do zero então.
Entendemos que o erro é cometido, possivelmente, quando não se compreende o
porquê do zero no quociente, ou seja, deixa-se apenas o número um como resultado. A nosso
ver, há várias maneiras de trabalhar com esse tipo de divisão, uma é o professor ter claro que,
por exemplo, doze dezenas divididas por doze são iguais a uma dezena, e cinco unidades
divididas por doze são iguais a zero unidade, visto que não se tem unidade suficiente para
fazer a divisão e que a ordem da unidade deve ser preenchida pelo algarismo zero e, dessa
maneira, o resultado de tal divisão é 10 e sobra resto 5.
Outra idéia que também pode ser discutida é que o resultado 1 numa divisão como
esta seria incorreto, podendo exemplificar essa situação da seguinte maneira, 125 laranjas
divididas por 12 crianças seria incorreto que cada criança recebesse apenas uma laranja.
Vejamos como Aline explica esse mesmo tipo de operação. Ao efetuar o cálculo
1260: 12, ela explora as ordens e classes no sistema de numeração.
Aline (V): Vou usar esse número mesmo, quando eu dou um mil duzentos e sessenta
dividido por doze, eu falo assim: Nós vamos fazer uma previsão. Eu tenho unidade de milhar,
120
10
-
5
12
125
Trocar 1 centena por
10 dezenas
sobram 5 unidades
80
centena, eu tenho dezena, eu tenho unidade, então se o aluno fizer essa previsão aqui
embaixo, ele não erra nunca, nem com o zero.
Aline (V): Então eu tenho unidade de milhar para dar para todo mundo? Não, eu
não tenho. Então eu vou pegar doze centenas que vai dar um, abaixei a dezena, seis dezenas
divididas por doze dá zero dezenas e então eu abaixo a unidade, sessenta unidades divididas
por doze. Então, o que eu faço? Eu faço uma previsão.
Miriam(V): É muito importante, porque quando ele vê que vai ter centena, aí ele vai,
qual é o erro mais comum nisso? Tem que trabalhar muito com a previsão antes de começar.
Trabalhar com a calma. Nas primeiras séries, insistir muito na previsão, na estimativa. Que é
um número, um mil duzentos e sessenta dividido por doze, né? A idéia do início daí. A Silvana
pode fazer na primeira série isso, essa conta que foi feita aí, um mil duzentos e sessenta
divididos por doze, dá para fazer na primeira série, sem precisar registrar, só fazendo troca,
se quiser usar dinheiro também dá. A gente pode fazer também, o material dourado pode ser
representado por dinheiro, por mil, por cem. Com certeza, eles resolvem. O material dourado
ajuda muito e eles gostam.
Marina(V): Mas, se eles têm essa noção na primeira série, na segunda série. Na
terceira, eles vão fazer de olhos fechados. O problema se ele for sem essa noção.
Essa discussão apresentada nos faz pensar que a idéia da previsão, que tem a ver com
a estimativa, contribui para o entendimento desse ‘zero’ no quociente e pode ser trabalhada
desde as séries iniciais.
Miriam(V): Mas daí o professor na segunda. Volta.
Jucelene(V): Se eu pegar cem vezes o doze, pensando já no cálculo mental, eu teria
um mil e duzentos, eu sei então que vai ser um pouco mais de cem vezes, é um jeito de saber o
resultado aproximado.
Miriam(V): Estimativa é muito importante. Se trabalhar bastante com isso. Agora
uma pergunta, eu preciso abaixar o seis? Aí é assim, se você está usando esse algoritmo,
algoritmo nesse texto é uma regra. E se a regra disse que tem que abaixar, tem que abaixar.
Agora pode fazer de outro jeito? Pode.
Marina(V): Na primeira e na segunda não precisa abaixar, na terceira que é preciso
abaixar. Você pode também fazer o algoritmo falado. Pega lá uma unidade de milhar. Não
dá. Troca. É um algoritmo. Trocou? Tá, trocou. Você tá começando também sempre do maior
para o menor, você poderia começar lá do zero?
Silvana(V): Não.
Miriam(V): Poderia. Você pode começar de onde você quiser, mas a troca fica mais
complicada. Por exemplo, se você pegar cento e vinte e cinco. Ah, eu vou começar dividindo
primeiro as dezenas. Eu vou lá. Eu pego cinco unidades, eu sei que não dá para dividir por
1260 12
__ __ __ __
UM C D U
81
doze, então eu pego vinte e cinco unidades e divido, dá dois para cada um e assim vai. Dá um
rolo!
Marina(V): E dai eles vão começar a confundir, mandou eu começar da unidade e
agora manda eu começar da milhar.
Miriam(V): Eu estou pensando assim. Tenta fazer, Marina. Pega o cento e vinte e
cinco. Vamos deixar a Antonia fazer a multiplicação primeiro, depois você faz.
Embora o “porquê” do zero no quociente dessa divisão não tenha sido compreendido
por todos, segundo nossas observações, acreditamos que a maioria percebeu que há uma
explicação para tal situação e que saber justificar o procedimento é tão importante quanto
efetuar o cálculo. Acreditamos que esse é um ponto de partida para buscar justificativas para
os conteúdos matemáticos que se propõe a ensinar.
Ainda em relação à divisão, o que pareceu bastante complexo foi essa operação
associada à idéia de medida. Por exemplo, foi comum surgirem dúvidas do tipo “Como o
quociente pode ser maior que o dividendo?”, no momento de fazer divisão, envolvendo
números com vírgula, tal como 1 por 0,5 é igual a 2.
Isso evidencia talvez a dificuldade de se compreender os números racionais escritos
na forma decimal, ou até mesmo quando são escritos na forma de fração. O que parece é que
parte do Grupo não tinha familiaridade na manipulação de números menores que um, no
entanto, após o jogo Labirinto as discussões a respeito desse assunto emergiram e acreditamos
serem de grande valia para a compreensão do mesmo.
Amato (2004) também aborda essa questão nas entrevistas que faz com professores
de séries iniciais. Uma das professoras que era sujeito da sua pesquisa afirmou que nem ela,
nem ninguém do departamento onde trabalhava conseguiu esclarecer a seguinte dúvida de seu
aluno: Por que na multiplicação envolvendo frações o resultado era menor que os fatores?
Assim, por exemplo, ½ x 1/3 é igual a 1/6, sendo que 1/6 é menor do que ½ e 1/3.
Ferreira (2003, p. 144), em seu grupo de estudos, também abordou atividades desse
tipo e segundo essa autora:
Foi interessante observar a reação dos participantes e a forma como se envolviam
nas discussões. Todos pareciam surpresos com as diversas possibilidades de se
pensar/ entender as frações e as implicações dessas novas leituras na sala de aula. Os
professores manifestaram a compreensão de que era limitada a forma pela qual o
tema era geralmente desenvolvido, carecendo de vitalidade e de interação.
Assim, também, no Grupo de estudos dessa pesquisa, foi grande a surpresa ao
perceber resultados que até então nunca foram analisados. Após fazermos a atividade do
Labirinto, que envolve o conteúdo mencionado, a professora Isadora, embora não tivesse
claro o que era décimo, centésimo e milésimo e nem tampouco algoritmos que envolvessem
82
números dessa ordem, pelas nossas observações, compreendeu por que, fazendo a divisão de
um número inteiro por um número menor que um, o quociente é maior que o dividendo.
Isadora (V): Que a gente sempre faz. Eu faço mecanicamente, mas não paro para
pensar, nunca parei para pensar.
Jucelene (V): No quê, por exemplo?
Isadora (V): Assim, quando nós estávamos no primeiro, aqui, cem menos zero ponto
zero nove (100 – 0,09), deu noventa e nove inteiros e noventa e um centésimos (99,91).
Centésimos?(Ela faz essa pergunta ao Grupo porque não tem certeza se é centésimo, décimo
ou milésimo) Daí nós dividimos por zero ponto zero nove (99,99: 0,09) daí o que que
aconteceu? Deu um mil cento e dez inteiros e cento e onze centésimos (1110,111), então aí eu
pensei assim: ‘mas, não são um mil cento e dez pedacinhos assim? Eu imaginei isso aí. Por
que aumentou? Porque aí a Jucelene falou: ‘Mas tem que ver quantos nove centésimos cabem
em noventa e nove inteiros e noventa e um... Quantos deles são? Cabem um mil cento e dez.
Jucelene(V): Aí você percebeu que não era um mil cento e dez milésimos, e sim que
era inteiro?
Isadora (V): Isso. Que era inteiro mesmo. Precisava de tudo isso para formar
noventa e nove inteiros.
Alguns pesquisadores (AMATO, 2004; FERREIRA, 2003; ONUCHIC E BOTTA,
1998, entre outros) contemplam esse assunto. Professores e, principalmente, alunos ficam
intrigados, ao deparar com situações em que a divisão, entre um número inteiro por um
número menor que um, tem como quociente um número maior que o dividendo.
Onuchic e Botta (1998) esclarecem que as crianças são levadas a achar que a divisão
entre dois números sempre leva a um resultado menor que a quantidade inicial considerada,
por fazerem diversas vezes divisões onde o divisor é um número inteiro e maior (ou múltiplo)
que o dividendo, e desta forma, o quociente sempre é um número menor que o dividendo.
Depois de discutirmos sobre isso, o assunto foi direcionado em como ensinar para as
crianças as operações, envolvendo números decimais. Alguns membros do Grupo disseram
(CC) acreditar que o material dourado pode contribuir, outros, por sua vez, pensam que esse
material pode confundir as crianças, uma vez que esse recurso foi utilizado para trabalhar
números naturais e que eles já foram convencionados como unidade, dezena e centena.
Encontramos em livros didáticos para séries iniciais o uso do material dourado para
trabalhar tal conceito. Uma observação que fizemos, e que talvez seja um bom objeto de
estudo, são as diferenças, entre os livros, em nomear as peças do material, assim, por
exemplo, ao tratar dos números racionais escritos na forma decimal, alguns livros usam a
placa para indicar a unidade, enquanto que em outros, a unidade é indicada pelo cubo maior.
83
Algumas professoras, como a Aline e a Marina, disseram que não utilizam o material
Montessori para inserir esse conceito, pois para elas isso causaria confusão entre os alunos,
uma vez que esse material já foi convencionado pelos alunos, quando foram trabalhados os
números naturais.
Outras professoras disseram (CC) que preferem representar o cubo maior como
sendo a unidade, pois desse modo elas terão material, no caso o ‘cubinho’, para representar o
milésimo, ao passo que se utilizarem a placa como unidade não terão material para essa
posição decimal.
Muitas discussões acerca desses assuntos foram levantadas, sendo que a troca de
opiniões entre elas altera de alguma forma sua relação com a Matemática, o que nos parece
algo positivo, uma vez que percebem a necessidade de aprender mais Matemática e não
ficarem apenas limitadas ao conteúdo apresentado no livro didático.
Alguns autores (BALL 1991; SERRAZINA, 1999; entre outros) esclarecem que,
quando se pensa no ensino da Matemática, essa troca de opiniões pode partir de diversos
aspectos e que à medida que se conversa sobre determinadas situações vai-se descobrindo a
capacidade de tornar explícito o seu conhecimento matemático.
Nesse sentido, consideramos que o Grupo trouxe contribuições no que diz respeito à
discussão sobre a prática e, principalmente, na construção de alguns conceitos matemáticos.
Serrazina (1999, p.24) reforça que:
Este processo pode ser estimulado pela presença de alguém que os ajude a refletir
nas suas próprias práticas e um ambiente onde possam discutir e partilhar
significados, de forma a adquirirem mais conhecimento matemático e maior
confiança nas suas próprias capacidades para aprender mais Matemática.
Embora reconheçamos que a constituição de um grupo de estudos não seja uma
tarefa simples, acreditamos que, se tiver uma programação prévia e interesse entre os
envolvidos, o resultado poderá ser satisfatório.
5.2. Usando a História da Matemática como abordagem metodológica para o ensino do
Sistema de Numeração Decimal
Alguns autores, assim como, por exemplo, Miguel (1997) tratam das potencialidades
pedagógicas da História da Matemática, trazendo argumentos que reforçam e outros que, por
sua vez, são questionadores.
Para esse autor, alguns pesquisadores afirmam que a História da Matemática, como
ação pedagógica para o ensino da Matemática, pode ser automotivadora, fonte de objetivos,
84
fonte de métodos adequados, fonte para a seleção de problemas práticos, curiosos,
informativos e recreativos, instrumento facilitador na desmistificação da Matemática, na
formalização de conceitos, na promoção do pensamento independente e crítico, na unificação
dos vários campos da Matemática, na promoção de atitudes e valores, na conscientização
epistemológica, promoção da aprendizagem significativa, resgate da identidade cultural e
assim por diante.
Outros, por sua vez, contrapõem essas afirmações com argumentos questionadores,
tais como: ausência de literatura adequada, a utilização da história pode ser um elemento
complicador, desinteresse da criança pelo progresso histórico, entre outros fatores que são
levantados por Miguel (1997).
Entendemos que é preciso encarar com prudência a importância pedagógica da
História da Matemática. À medida que articulamos a história pedagogicamente a outros
conceitos do processo de planejamento didático, possibilitamos a problematização.
Miguel (1997, p. 101) esclarece que:
Entre as posições extremadas que tentam nos convencer de que a história tudo pode
ou de que a história nada pode, parece-nos mais adequado assumir uma posição
intermediária que acredita que a história – (...)- pode e deve desempenhar um papel
subsidiário em Educação Matemática, qual seja, o de um ponto de referência para a
problematização pedagógica.
Desse modo, ao estudar o Sistema de Numeração Decimal no Grupo, buscamos
apoio na História da Matemática, pois assim pudemos verificar outros sistemas de numeração
desenvolvidos por civilizações diferentes, durante o decorrer da história, e que trazem para os
dias de hoje explicações para o nosso sistema de numeração.
Serrazina (1999, p.48) ressalta que:
Os alunos precisam compreender que tipos de problemas deram origem à criação de
novos conjuntos numéricos e como se relacionam estes conjuntos com aqueles que
já conheciam. A história da evolução do conceito de número, incluindo os aspectos
humanos a ela ligados, ajuda os alunos a compreender essa evolução e pode
contribuir para que apreciem a matemática.
Nosso principal objetivo era perceber relações e fazer comparações entre sistemas de
numeração usados por diversos povos com o sistema que utilizamos nos dias de hoje, ou seja,
o indo-arábico. Desse modo, acreditamos que os porquês que sustentam o Sistema de
Numeração Decimal são trazidos à tona.
Assim, também, Freitas e Bittar (2004, p.35) acrescentam que:
Estudar diferentes sistemas de numeração usados no passado permite compreender
melhor nosso atual sistema. De fato, para melhor compreender o que significam
conceitos como base 10, valor posicional e até mesmo a importância do zero, nada
melhor do que estudar outros sistemas nos quais não valem essas mesmas
propriedades, estabelecendo comparações entre eles.
85
De qualquer maneira, percebemos que o Grupo ficou mais confiante e seguro ao
tratar desse assunto, apoiados na história. A professora Aline passou a valorizar mais a sua
prática, uma vez que já vinha utilizando a História da Matemática nas suas aulas, e isso para
nós é mais um indício de contribuição do Grupo.
Aline(V): Eu acho muito importante, porque toda vez que começo o ano, eu conto
uma história para eles, e eu via que muitos professores falavam que era perda de tempo.
Como é que surgiu, como é que outros povos escreviam. Então, eu acho que essa parte não é
perda de tempo, e é muito importante. Então, eu começo o caderninho de Matemática com a
história dos números, e agora eu tenho mais segurança para ensinar isso. Foi muito
importante.
Antes desse episódio, pareceu-nos que os membros do Grupo não acreditavam muito
que o conhecimento de sistemas utilizados por outras civilizações pudesse trazer
contribuições para a aula.
Silvana (FA): Aprendi usar os sinais de numeração de outros povos antigos e
valorizar sua história, dando maior importância nas aulas em classe.
Ana Paula(V): Acho que até para eu ter mais segurança para contar para eles. Eu
não sabia, por exemplo, que no alfabeto romano tem esse relógio onde o quatro é
representado com quatro pauzinhos (IIII), (a Marina corrige, algarismo romano).
Dessa maneira, consideramos que a partir da História da Matemática, o ensino se
torna mais compreensível, pois podemos perceber a Matemática como algo construído, e não
simplesmente pronto e acabado. E, certamente, o professor perceberá que determinadas
dificuldades encontradas no seu dia-a-dia com os alunos representaram grandes dificuldades
também para os matemáticos, como é o caso do número zero, que estivera ausente em muitos
sistemas de numeração, gerando tamanha confusão (FREITAS E BITTAR, 2004).
5.3. Usando o Material Montessori como abordagem metodológica para o ensino das
Operações Fundamentais
Ao tratar das operações fundamentais
49
, optamos, além dos textos de apoio, trabalhar
com o material dourado, pois acreditávamos que, a partir desse material, poderiam surgir
49
Ver no capítulo anterior, o 3º encontro.
86
discussões, as quais trariam depoimentos sobre as contribuições do Grupo, e nesse caso, no
que diz respeito à compreensão de agrupamentos, trocas e mudanças de posição.
Tínhamos em mente que os integrantes já utilizavam o material dourado nas suas
aulas, no entanto, pareceu-nos que somente a Aline sabia como utilizá-lo. Verificamos que,
em outras pesquisas, envolvendo professores de séries iniciais, o desconhecimento ou
conhecimento superficial em trabalhar com materiais manipuláveis é comum (SERRAZINA,
1999). Assim, todos estavam interessados em aprender e aqueles que sabiam ajudavam os que
não sabiam.
A professora Antonia foi convidada a apresentar ao grupo o que ela havia entendido
da multiplicação, utilizando o material dourado. Essa professora, segundo nossas observações,
que foram registradas no caderno de campo, era, entre todas, uma que tinha pouca afinidade
com o material dourado, mas que, ao estudar com seus pares no Grupo, fez uma grande
descoberta ao relacionar o algoritmo com o material.
Antonia(V): Eu falei para ela que na semana passada eu comecei a multiplicação.
Então eu vou pegar três vezes vinte e quatro (A Antonia pega essa quantia com as peças do
material dourado). Eu não tinha trabalhado a multiplicação com o material.
Miriam(V): Que série você trabalha?
Antonia(V): Segunda série. Eu vou começar pela unidade. Eu tenho quatro, oito,
doze ‘cubinhos’. Dá para trocar por quantas barrinhas de dezena? Então eu vou trocar (ela
faz a troca, uma barrinha e ficam dois ‘cubinhos’). Eu, gente, eu não sabia representar
assim.
Veja, a seguir, a representação com o material dourado da apresentação de Antonia.
Ao perguntar a elas o que haviam aprendido, no encontro em que fora abordado esse
assunto, algumas professoras foram categóricas.
Marina (V): Bom, eu aprendi divisão com o material dourado, que eu não sabia.
Antonia (V): E eu a multiplicação.
Danila (V): Mas eu notei o seguinte, com o material dourado, é, ficam claras
aquelas passagens que nós comentamos aqui no último encontro, a troca e o porquê, naquela
história, ah vai descer? Vai descer por quê? Por que que eu não posso pôr embaixo do
24
x 3
agrupamento
e troca
87
outro? Por que que tem que ficar na mesma linha? E eu fui usando os alunos para fazer as
trocas, e então além de gostar, sem perceber...Se eu fosse dar em termos de passos, né?
Antonia (E): Eu achava difícil trabalhar com o material dourado.
Isadora (E): Foi importante aprender a trabalhar com o material dourado.
Essas respostas se repetiram nas fichas de acompanhamento.
Sandra (FA): Aprendi a utilizar o material dourado na multiplicação e divisão.
Silvana (FA): Aprendi usar o material dourado na divisão e multiplicação.
Marina (FA): Aprendi a trabalhar a divisão e multiplicação no material dourado.
Antonia (FA): Aprendi trabalhar com o material dourado.
Danila (FA): Aprendi utilizar o material dourado.
Entretanto, houve quem considerasse o uso do material dourado difícil de ser
trabalhado. A professora Antonia, por exemplo, comentou que, embora tenha aprendido a
lidar com esse recurso, não foi boa a experiência que teve, ao inseri-lo na sua aula. Os alunos
fizeram algazarras e o objetivo da aula se perdeu.
Um ponto importante acerca do material dourado é quanto a sua utilização ou não.
Questões foram levantadas e discutidas entre os componentes do Grupo. E uma delas, em
nossa opinião, merece destaque. ‘Como poderíamos ensinar aos nossos alunos, com esse
material, efetuar 213 X 26, uma vez que o número de peças é limitado?’ A partir dessa
pergunta, foi possível perceber a importância do algoritmo (CC).
Silvana(V): Mas sabe que já tem aluno que já me perguntou. Assim ó, professora,
duas vezes o cinco, é o cinco e o cinco. Mas se eu tiver número grandão? Como eu vou pegar
cinqüenta e dois mais cinqüenta e dois?
Miriam (V): Então, nós estávamos discutindo isso no nosso grupo, nós estávamos
querendo fazer isso, oitocentos e trinta e dois vezes quinze com o material concreto, nós
desistimos.
Autores como Freitas e Bittar (2004) recomendam que o trabalho com o material
dourado deve ser registrado no quadro e nos cadernos das crianças, para que analisando esses
registros seja possível construir um algoritmo. Dessa maneira, entendemos que esse material
deve ser trabalhado simultaneamente com o algoritmo. Após a compreensão da construção do
algoritmo, o material dourado pode ser dispensado.
88
5.4. Terminologia em Matemática
(scannear tira do Calvin)
A situação apresentada na tira parece engraçada e irreal, mas infelizmente ouvimos
relatos e até mesmo pela nossa experiência, como educadoras, que existem termos usados na
Matemática que são desconhecidos pelos alunos, e que, quando são usados em determinadas
situações-problema, geram dúvidas na sua resolução. Ponte (1994, p.152) esclarece que:
Os alunos podem ter falta de vocabulário e sintaxe apropriados para se exprimirem
matematicamente, mas mesmo assim serem capazes de aprender e demonstrar um
conhecimento sofisticado da matemática. Em certas circunstâncias, a sua
compreensão da linguagem utilizada para a comunicação em matemática pode ser
incompleta ou incorreta; estas incompreensões podem criar barreiras difíceis de
perceber, mas que conduzem ao insucesso na aula de Matemática.
No Grupo, esse fator pareceu preocupante. Algumas professoras destacaram (CC)
experiências em sala de aula que têm a ver com esse assunto e o que percebemos é que,
muitas vezes, esse episódio acontece não somente com os alunos, mas também com os
professores, o que, certamente, agrava a situação dos alunos. Ponte (1994) afirma que os
professores têm a responsabilidade de ajudar os seus alunos a desenvolverem um uso correto
e apropriado da linguagem matemática.
Por exemplo, algumas professoras desconheciam o significado da palavra algoritmo,
e foi no Grupo, através das discussões com os colegas, que elas aprenderam.
Sandra (V): O meu foi sobre o algoritmo, o termo eu tava falando para elas, que eu
adoro palavras chiques, sempre falei para os alunos que eu não subestimo, eu gosto que eles
falam, mas saber usar, e uma vez me balançou, porque a professora, eu sempre falo: Agora
vocês vão fazer o algoritmo, eu quero com algoritmo da subtração, da divisão, e achava que
eu tava abafando, né? Aí alguém me questionou, mas o que é algoritmo? Né?! Algoritmo
89
para mim, é uma conta, a conta que se faz, uma conta, uma subtração, uma conta. Eu tava
conversando com a Miriam, ela tava me explicando, que na verdade, o algoritmo tem um
significado mais amplo do que só uma conta, realmente ele tem que ter uma regra, uma
seqüência, de, de, de passos, teria que ter os passos pode ter na computação, qualquer coisa
que você use passos.
Miriam (V): Deixa, ela vai complementar, ela vai complementar o que ela entendeu
por algoritmo, ela também tava discutindo isso.
Ana Paula(V): Eu também tinha essa dúvida (..) E aí, ela disse que até mesmo uma
receita de bolo a gente faz o algoritmo, a gente vai fazendo as seqüências, são os
procedimentos mesmo, né?
Ana Paula (E): Eu gostei muito quando discutimos sobre o termo algoritmo.
Outro termo muito usado e que causa confusão é adição. As crianças ouvem
constantemente “vamos fazer continha de mais”, mas quando se deparam com uma situação
problema em que no enunciado aparece o termo adição, muitas se sentem inseguras e
confusas. As professoras Valéria, Silvana e Isadora retratam essa situação em seus
depoimentos.
Valéria(V): Sabe o que me veio agora, eu faço muito isso, quantos anos na primeira,
eu sempre falei para conta de adição, continha de mais, e eu acho que fica isso, e eu acho
que é um erro que eu cometi também, entendeu? Na primeira série, vamos fazer continha de
mais, não é continha de mais, eu acho que esse mais incorporou, esse mais incorporou,
entendeu? Vamos fazer continha de menos, esse menos no vocabulário.
Silvana(V): Adição. O que é mesmo adição? É uma continha de mais, eu faço assim.
Isadora(V): Minha filha estuda aqui na quarta série, e outro dia a gente estava
assistindo passa ou repassa, e o Celso fez essa pergunta. Adição é a operação de: somar,
subtrair, dividir ou multiplicar? Nem as crianças do palco não sabiam, e ela também não
sabia. E eu falei, filha, adição, adição, você não sabe? Você não sabe adição? Mãe, eu não
sei. Filha, pelo amor de Deus, como você não sabe? ‘Eu não sei’.
E ainda um outro exemplo que envolve esse tema é o caso da Ana Paula. Essa
professora tinha uma idéia deturpada do que é semiconcreto. A partir disso, discutimos muito
sobre o que seria o semiconcreto e o concreto e então ela concluiu que:
Ana Paula (FA): Antes eu dizia que trabalhava as quatro operações, primeiramente
com o material concreto, em seguida o semiconcreto (desenhos) e em seguida, a conta em si.
Com o encontro desse dia, aprendi que o mais correto é dizer: trabalhar com material
concreto, depois com a representação gráfica (desenhos) para organizar o pensamento e, em
seguida, a representação da quantidade (a conta).
Grupos de estudo têm, a nosso ver, essa característica. Quando os componentes
alcançam liberdade para se expressar, as dúvidas e inquietações passam a ser aceitas, e não
90
mais, motivo de desqualificação ou algo do tipo. Os componentes do Grupo se sentiram
confortáveis ao falar de suas dúvidas e experiências em relação a termos usados no ensino da
Matemática.
5.5. Como o aluno aprende
Acreditamos que se colocar no lugar do aluno pode ser algo fundamental para que
ocorra a aprendizagem. Assim também Ferreira (2003) esclarece que esse é um passo
importante para a mudança do professor. Para ela, essa situação oferece oportunidade para
que o professor observe a si mesmo de fora, gerando assim ‘perturbação’ em seu pensamento.
Consideramos que o Grupo contribuiu também nesse sentido. Ao sugerir a atividade
de criar um sistema próprio de numeração, percebemos a preocupação entre as professoras em
relação à maneira como seu aluno aprende o sistema decimal.
Gabriela: (FA) Aprendi que às vezes o que pode ser simples para alguns alunos pode
ser complicado para outros.
Aline: (FA) Nós, professores, também temos dificuldades em criar e achamos que a
criança tem que criar facilmente.
Antônia (E): Eu me senti no lugar dos meus alunos, quando você e a Miriam
falavam.
Desse modo, percebemos que, ao ensinar determinados conceitos pela primeira vez,
professores esperam que seus alunos aprendam sem nenhuma dificuldade, pois consideram
aquilo fácil. Entretanto, ao passar pela experiência de aprendizes, podem refletir sobre as
dificuldades que eles apresentam.
Será que ao falar de unidade, dezena e centena, o aluno tem claro o que isso
representa? Essas, entre outras questões, foram surgindo, e isso nos faz perceber o quanto a
troca de experiências faz o indivíduo parar para pensar sobre a sua prática.
Sandra(V): Quando a Silvana falou nunca dez, o que para nós é mais comum, para
os alunos é difícil, o que a gente estava discutindo era isso, que nossa dificuldade em resolver
isso, os alunos também... que é comum para nós, para eles, eles sentem essa dificuldade, eles
sentem na base dez, ou na própria numeração nossa. Porque a gente fala assim: Mas como
você não entendeu? Agora eu vou até pensar para falar isso.
91
Valéria(V): Eu acho que essa postura do professor, a gente tem que se vigiar muito.
Eu procuro, mas tenho muitas falhas. Eu tô me aposentando, mas eu tenho muitas falhas, é
complicado.
Miriam(V): Vocês pensando assim, com essa experiência que a gente teve aqui.
Imagine, se a gente tivesse que aprender agora o algoritmo da divisão por dois algarismos na
base cinco? Agora.
Todas(V): Nossa!
Marina(V): Sem nenhuma bagagem?
Silvana(V): Olha, eu senti meus alunos, porque uma coisa tão clara para a gente é
tão bicho de sete cabeças para eles! Foi isso aí. Que confusão, tentar tirar a base dez e pôr a
base três aí, meu Deus que troca. E sem querer a gente volta naquela linguagem. Até para ler
os numerais um, dois, três, quatro base cinco (1234)5, a gente não consegue, a gente lê um
mil duzentos e trinta e quatro.
Miriam(V): E a gente ainda tem uma base para voltar, e os alunos em geral, eles não
têm aonde voltar, porque eles sabem ler os números, mas dizer que eles sabem o que significa
aquilo, eles sabem até ler dois mil trezentos e trinta e dois, eles sabem ler, muitos sabem, mas
o significado, a quantidade que isso aí está representando, eles chegam na quinta série ainda
sem ter essa idéia.
Silvana(V): É isso mesmo, saber entender a cabeça deles, o que se passa na cabeça
deles para a gente mudar o nosso jeito, a nossa postura, alguma coisa, porque embaralhou
tanto, que eu me senti aluna mesmo, né?
Na ficha de acompanhamento, a professora Sandra acrescenta:
Sandra (FA): Os alunos encontram as mesmas dificuldades em trabalhar com
situações que lhes são apresentadas, as quais nos parecem fáceis, mas que para eles é um
tanto difícil e novo.
A respeito disso, Ponte (1994) considera que os professores precisam ter
oportunidades para estudar o pensamento matemático das crianças e, por isso, acreditamos
que o ambiente de grupo pode trazer contribuições no que diz respeito ao reconhecimento das
dificuldades vivenciadas pelos alunos.
5.6. As opiniões das professoras em relação ao Grupo de estudos
Duas professoras, Antonia e Aline, afirmaram que a participação, inicialmente, no
Grupo de estudos foi devido à dispensa dos HTPCs, uma vez que a direção havia feito um
acordo. Aqueles que participassem do Grupo de estudos ficariam isentos da participação nessa
reunião pedagógica.
Pareceu-nos que a opção em participar do Grupo seria uma forma de ‘escapar’ dos
HTPCs, o que nos deixou apreensivas inicialmente. No entanto, as professoras, que tinham
essa intenção, disseram (E) que esse motivo foi abolido após participar dos encontros.
92
Passaram a achar atraente essa idéia de grupo de estudos, pois para elas essa
dinâmica de trabalho proporcionou maior integração, o que possibilitou mais segurança no
seu trabalho.
Ana Paula (FA): Dá mais segurança em meu trabalho pedagógico através de
experiências de outros colegas.
Gabriela (FA): O encontro com as amigas possibilita a troca de experiências e
segurança em realizar determinados trabalhos.
Marina (FA): Para mim, essa troca de idéias nos faz renovar o espírito da profissão
e o desejo de continuar se aperfeiçoando cada vez mais.
Silvana(V): Sabe, eu acho uma boa essa troca de idéias, porque, por exemplo, eu já
faço tempo que leciono com a primeira série, então eu tô bitolada naquilo lá, então às vezes
eu penso assim. Meu Deus, eu acho que eu desaprendi tudo aquilo de quarta série, então eu
acho que é bom ver a opinião de outras. E, às vezes, a linguagem que a gente usa, porque
primeira série a gente usa uma linguagem mais assim, às vezes passa uma idéia melhor.
Durante as entrevistas, percebemos que a aceitação pelo grupo de estudos foi boa. A
professora Isadora disse que o grupo de estudos poderia ser uma boa oportunidade para que o
trabalho em ciclo, proposto pelo Estado, desse certo. Com o grupo, os professores poderiam
trocar experiências, discutir sobre aquilo que foi dado para o aluno e, dessa forma, a
professora que o recebesse daria continuidade ao trabalho.
A professora Sandra, por sua vez, disse que (E) embora houvesse no Grupo pessoas
da universidade, o Grupo lhe proporcionou liberdade para a troca de idéias. Para ela, nós
organizadores do Grupo tivemos ‘humildade’ para ouvir, perguntar e discutir sobre os
assuntos abordados.
As professoras ainda comentaram que a partir de grupos de estudos pode-se estudar
as propostas das Atividades Matemáticas (AM).
Sandra (V): Se você trabalhar com o AM, automaticamente você vai chegar nisso aí,
é que tem trabalho, é a melhor forma.
Marina (V): Eu com a terceira série não consigo fazer.
Sandra (V): Porque ele tem que vir da primeira, primeira, segunda, terceira e você
tem que...
Marina(V): Mas veja bem, um AM, ele nunca foi trabalhado com os professores,
nunca foi trabalhado.
Miriam (V): Não tenha dúvida, não é uma coisa, mas é assim, a gente é assim
mesmo.
Sandra (V): Precisa desses grupos, por isso que eu falo.
93
Marina(V): Precisa desses grupos de estudos.
Para nós, a organização de grupo propicia troca de experiência entre os componentes,
e com essa troca é possível refletir sobre a prática e, conseqüentemente, pode alterar aquilo
que não parece bom.
Autores como Ferreira (2003) e Ikegami (2002) abordam em suas pesquisas esse
assunto. Ikegami afirma que a participação em grupo de estudos favorece ao professor uma
análise mais sistemática de suas práticas, o que possibilita a identificação de problemas e a
necessidade de mudança.
Ferreira afirma que essa mudança depende do desejo e das condições favoráveis,
como apoio, suporte intelectual, espaço e tempo, e dessa maneira o grupo de estudos pode ser
um ambiente propício para tais condições.
Embora tenhamos aspectos positivos vivenciados no Grupo de estudos, algumas
opiniões contraditórias também ocorreram. É o caso da professora Antonia, que disse ter
aprendido utilizar o material Montessori no Grupo de estudos. No entanto, o Grupo não lhe
trouxe tanta contribuição, pois, segundo ela, os assuntos discutidos não foram tão fáceis.
Como ela leciona para 2º série, acredita que o Grupo tenha privilegiado apenas as quartas
séries.
Antonia (E): Às vezes, você, a Miriam, a Aline e a Marina ficavam falando e eu não
conseguia acompanhar, talvez porque a Marina e a Aline trabalhem com terceiras e quartas
séries e na segunda a gente não vê aquelas coisas.
Entendemos que alguns professores ficam presos apenas ao conteúdo proposto na
série, pois ficam, por períodos longos lecionando para uma mesma série e, por isso, dizem não
saber a matéria ensinada nos níveis escolares subseqüentes.
Assim, concluímos que o Grupo pode ser um espaço onde aconteça a aprendizagem
da docência (AMATO, 2004; MIZUKAMI, 2004; SERRAZINA, 1999). Com o estudo, a
troca de experiência, o pensar sobre a prática que vem sendo realizada, a discussão entre os
pares, entre outros fatores que podem vir à tona, acreditamos que o professor tem condição
para enriquecer seus conhecimentos e sua prática.
Muitas questões abordadas nesse trabalho, que foram evidenciados pelo grupo,
revelam a força que o grupo de estudos teve. Assim, por exemplo, refletir sobre a prática e
perceber lacunas no ensino da Matemática pode ser uma alavanca para que o professor busque
mais conhecimento na Matemática.
94
A pesquisa também revela-nos os desdobramentos possíveis para outros estudos
dessa natureza. Como por exemplo, investigar a formação inicial, uma vez que essa poderia,
ou deveria, contemplar as deficiências de professores em relação à Matemática.
Percebemos com nosso estudo que a dificuldade em compreender e justificar
conteúdos matemáticos são bastante notórios e talvez trabalhar essas dificuldades num curso
de formação inicial seja um possível caminho para a aprendizagem da docência.
95
Considerações Finais
Começamos esta pesquisa com a seguinte indagação: Que possíveis contribuições um
grupo de estudos pode trazer ao professor que busca conhecer ‘os porquês’ de conteúdos
matemáticos?
Ao longo do desenvolvimento, fomos percebendo que um grupo de estudos pode
contribuir não somente em relação ao conhecimento matemático, mas também em outros
aspectos, tais como: troca de experiências, segurança, valorização no trabalho que vem sendo
realizado e reflexão sobre a prática.
No entanto, um grupo perde forças, se não for bem estruturado. Assim, por exemplo,
deve-se ter o cuidado de estabelecer um número máximo de participantes.
Embora a literatura (MURPHY E LICK, 1998) tenha orientado que o número
máximo seja de seis pessoas e nós reconheçamos a importância desse critério, visto que com
mais pessoas o grupo pode ter problemas, como medo de se expor perante os demais,
distanciamento do foco de estudo, entre outros fatores que pareciam ser comuns, nosso Grupo
foi constituído inicialmente com quinze pessoas.
Apesar de ficarmos apreensivas com o resultado, aceitamos o desafio. Uma vez que
estávamos numa escola em que um número maior de pessoas demonstrava interesse e que por
fazerem parte de um mesmo contexto de trabalho consideramos que não haveria problema de
desempenho. E realmente tudo decorreu como prevíamos. As professoras estiveram o tempo
todo em sintonia, mesmo com um número maior que o estipulado, não se sentiram inibidas
para expressar e colocar suas idéias.
Outro cuidado apresentado pela literatura, ao constituir um grupo de estudos, foi
sobre a programação prévia. Não basta definir as datas, é preciso uma organização de modo
que não se estenda um encontro de outro. Ou seja, que não aconteçam interrupções entre os
encontros. Assim, ao constituir nosso Grupo, optamos por começar após o recesso de julho,
para que não ficássemos um período sem nos reunirmos.
A literatura (MURPHY E LICK, 1998) também orienta que se faça uma primeira
reunião, estabelecendo as regras e normas, que serão vigoradas com o grupo. Dessa maneira,
o professor terá claro qual será seu papel como membro de um grupo, qual será a prioridade
do grupo, o que eles estudarão, enfim, quais serão as condições dos encontros.
Esse fator foi fundamental para nosso Grupo, pois, após essa primeira reunião, alguns
professores, que se diziam interessados em participar, desistiram. Acreditamos que esse fato
96
se deve ao que ficou estabelecido, como datas e horário dos encontros, compromisso com o
grupo, estudo em casa, entre outros fatores que não condiziam com a disponibilidade ou
interesse daqueles docentes.
Além dessas orientações vindas da literatura e adaptadas no nosso Grupo, existiram
outras, tais como registro e composição do grupo. Em relação ao registro, é necessário que se
tenha em mãos um caderno de nota, onde os participantes possam registrar aquilo que
consideram relevantes.
No nosso caso, as professoras preenchiam uma ficha de acompanhamento ao final de
cada encontro. Elas respondiam, por escrito, o que haviam aprendido naquele determinado
encontro, quais foram os pontos positivos e negativos e sugestões que elas considerassem
importantes. Esse registro contribuiu tanto na coleta de dados para as perspectivas dessa
pesquisa como também para organização dos estudos dos professores envolvidos, uma vez
que a anotação daquilo que é aprendido favorece a organização do pensamento.
A composição do grupo, segundo orientações da literatura, era algo que não deveria
ser uma característica preocupante, no entanto, ao darmos início aos encontros com o Grupo,
ficamos preocupadas, uma vez que ele era composto por organizadores da universidade e as
professoras se comportaram como que as pessoas da universidade fossem mais importantes
dentro do grupo, porém, com o passar dos encontros, isso foi totalmente dissipado.
Embora a constituição do grupo possa ser algo imprevisível, visto que se trata de
indivíduos com crenças e costumes diferentes, acreditamos que o conteúdo escolhido para o
estudo é o ponto de partida para que haja sucesso dentro de um grupo, pois pelo que
observamos, essa escolha tem a ver com o interesse e a necessidade do professor.
Assim, para selecionarmos um conteúdo que fosse condizente com os anseios do
Grupo, e porque não, dizer, apropriado, elaboramos um questionário, como mencionado no
capítulo III, para verificarmos qual era o conteúdo que o Grupo tinha mais interesse em
estudar.
Dentro daquilo que estudamos e vivenciamos com o Grupo de estudos, percebemos a
força que esse tipo de organização pode ter no cenário escolar. Professores reunidos,
estudando sobre aquilo que sentem dificuldades, discutindo sobre seus comportamentos,
buscando novas estratégias de ensino e trocando idéias com seus pares, são características
notórias nesse espaço de estudo, que podem propiciar possíveis mudanças na escola.
Além das contribuições pontuais a que nos referimos, esta pesquisa ainda sugere
possíveis desdobramentos, como mencionado anteriormente, que podem ser aprofundados no
campo de estudo da formação da docência, e essa inclui formação inicial e continuada.
97
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Pernambuco, Recife, 2001.
100
ANEXOS
101
ANEXO 1
Prezada(o) Professora e Professor
Queremos compor um grupo com professores das séries iniciais para um
estudo sobre a educação matemática neste nível de ensino. Para isso elaboramos
algumas questões com o objetivo de levantar o que, na opinião das professoras e
professores, deveria ser priorizado nas atividades de um tal grupo. Agradecemos
se puder colaborar conosco respondendo ao questionário abaixo e informamos
que esta resposta não implica necessariamente no seu comprometimento em
participar do grupo.
Atenciosamente
Jucelene Gimenes [estudante de mestrado em Rio Claro - UNESP]
Miriam Godoy Penteado [docente da UNESP–Rio Claro, orientadora da
pesquisa]
1. Qual a série que você trabalha?
2. Há quantos anos leciona? Qual sua formação profissional?
3. Quantos alunos você tem?
4. Quantas turmas? Em quantas escolas você leciona?
5. Quais são os problemas mais comuns que você tem em sala de aula?
6. Você considera ser um professor tradicional?
7. Em relação ao conteúdo matemático, quais são as suas dificuldades ao
ensinar?
8. Quais os conteúdos matemáticos que você considera mais difíceis de ensinar?
9.Quais são os principais conteúdos matemáticos que você gostaria de mudar a
maneira como ensina? Por quê?
10. Se você participasse de um grupo de estudo sobre matemática, qual seria seu
maior interesse?
11. Se tiver interesse em participar de um grupo [talvez 2º. Semestre de 2004]
deixe, por favor, seu nome, endereço e telefone para contato.
102
ANEXO 2
FICHA DE ACOMPANHAMENTO (Use também o verso, se considerar necessário)
1. O que você aprendeu com o encontro de hoje?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2. Para você, quais foram os pontos positivos desse encontro?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3. E os pontos negativos?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4. Sugestões:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
DATA:
NOME (opcional):
103
ANEXO 3
Roteiro para entrevista
Nome:
Idade:
Qual sua formação escolar?
Como você se descreveria como pessoa?
Como se deu sua experiência profissional na área de educação?
Como você avaliaria ou descreveria seu trabalho hoje?
Que disciplina você mais gosta de ensinar?
Para você, qual é a importância do professor de séries iniciais?
Por que você resolveu participar do grupo?
O grupo de estudos contribuiu de alguma maneira na sua prática em sala de aula?
Qual foi a principal contribuição? Dê um exemplo.
Como você vê a formação continuada?
O grupo de estudos trouxe algum tipo de repercussão (comentário) dentro da escola?
Para você, como deve atuar o professor de Matemática?
O que mais marcou no grupo de estudos para você?
A sua formação tem influência na forma como você ensina?
Para você, o professor precisa dominar o conteúdo matemático que propõe a ensinar?
104
ANEXO 4
Encontro – Dia 31/07/04 - PAUTA
MONTAR CÂMERA
• 1º Momento:
Boas vindas, conferir pessoas presentes, perguntar quem leu o livro e retomar pergunta da
pesquisa: Quais as contribuições de um grupo de estudos para o professor que busca
conhecer “os porquês” dos conteúdos matemáticos que está ensinando?
• 2º Momento:
Apresentação/ Síntese do livro.
• 3º Momento:
Formação de pequenos grupos e entrega das atividades.
• 4º Momento:
Grupão. Síntese da discussão.
• 5º Momento:
Entrega do Material para o próximo encontro e da ficha de acompanhamento.
Despedida
105
ANEXO 5
Leitura e atividade propostas no 1º encontro
Texto adaptado da Revista Nova Escola (Março, 1996)
Vera de Faria Ronca, professora de Didática da Pontifica Universidade Católica
(PUC) de São Paulo, gosta de contar a história do professor que apresenta um problema aos
alunos.
- “Digam, se eu cavar um buraco sem parar, o que vou encontrar?”.
Silêncio absoluto. Ele então indaga:
- “Qual é o estado físico encontrado no centro da Terra?”.
A turma responde em coro:
- “O estado de fusão ígnea”.
Percebemos que as perguntas têm o mesmo significado, porém os alunos estão
acostumados a “aprender” mecanicamente. A primeira pergunta poderia ter sido respondida,
se a capacidade de raciocinar e compreender tivesse sido trabalhada e desenvolvida nas
crianças.
Muitas vezes, percebemos que o que acontece na Matemática são situações parecidas
onde os alunos recebem um ensinamento mecânico, sem significado.
Portanto, o que queremos é despertar essa visão de ensino. Procurar ensinar aos
alunos de maneira mais significativa, justificando cada conteúdo, dizendo “os porquês” de
cada procedimento efetuado.
Atividade: Criação de um novo sistema de numeração
Imagine essa situação. “De uma hora para outra, você e um grupo de 3 pessoas foram
levadas para uma outra dimensão do planeta. Além de estarem em um lugar totalmente
diferente, perceberam que haviam perdido a capacidade de contarem, ou seja, não conseguiam
mais se lembrar como era o sistema de numeração no qual estavam inseridos. Começaram a
estabelecer um outro tipo de vida e chegaram à conclusão de que precisariam criar um outro
sistema de numeração”. Baseados nessa situação, como resolveriam o problema?
Crie um sistema de numeração próprio, com:
* símbolos;
* regras;
* aplicação prática;
* operações com os símbolos.
106
ANEXO 6
Encontro – Dia 14/08/04- PAUTA DO 2º ENCONTRO
MONTAR CÂMERA
• 1º Momento:
Boas vindas, conferir pessoas presentes, perguntar quem leu o texto, recolher as atividades
deixadas no último encontro, recolher a ficha de acompanhamento e retomar a pergunta da
pesquisa: Quais as contribuições de um grupo de estudos para o professor que busca
conhecer “os porquês” dos conteúdos matemáticos que está ensinando?
• 2º Momento:
Apresentação dos dois grupos sobre a criação do sistema de numeração.
• 3º Momento:
Formação de pequenos grupos para fazer a leitura e estudo do texto sugerido no último
encontro.
• 4º Momento:
Grupão. Síntese da discussão e comentários.
Perguntas norteadoras (exemplos): perguntar a elas o que elas sentiram em discutir
sobre outras bases, se elas acham importante discutir isso com os seus alunos, o que de
mais significativo ficou explicito para o grupo, entre outras.
• 5º Momento:
Esclarecer sobre a apresentação dos professores no próximo encontro. Eles deverão
escolher a atividade, o tema e justificar o porquê da sua escolha. Deverá também dizer que
idéias matemáticas estão por trás da atividade seleciona.
Finalmente, entregar a ficha de acompanhamento.
Café e despedida
107
ANEXO 7
Encontro – Dia 28/08/04 – PAUTA DO 3º ENCONTRO
MONTAR CÂMERA
• 1º Momento:
Boas vindas, conferir pessoas presentes, recolher a ficha de acompanhamento e retomar a
pergunta da pesquisa: Quais as contribuições de um grupo de estudos para o professor
que busca conhecer “os porquês” dos conteúdos matemáticos que está ensinando?
• 2º Momento:
Formação de pequenos grupos para fazer a leitura e estudo do texto sugerido.
• 3º Momento:
Cada grupo fará a demonstração de uma operação, utilizando o material dourado.
• 4º Momento:
Entrega das atividades
• 5º Momento:
Grupão. Síntese da discussão e comentários.
Perguntas norteadoras (exemplos): Quais as idéias que estão associadas as operações?
Como, para vc, deve ser desenvolvido o ensino das operações fundamentais?
• 6º Momento:
Finalmente, entregar a ficha de acompanhamento e marcar o próximo encontro (04/09 às
8h). Café e despedida
Obs: Falar sobre o dia 11/09. Esse dia será letivo e, portanto os professores deverão
se reunir à tarde, ou senão em outro dia.
108
ANEXO 8
Encontro – Dia 04/09/04 - PAUTA
MONTAR CÂMERA
• 1º Momento:
Boas vindas, conferir pessoas presentes e recolher a ficha de acompanhamento.
• 2º Momento:
Apresentações dos grupinhos.
• 3º Momento:
Café
4º Momento:
Apresentações dos grupinhos.
5º Momento:
Formação do Grupão para o fechamento do encontro.
109
ANEXO 9
Segundo as explicações do grupo, a atividade consiste na sobreposição das peças. Ou
seja, a criança pinta cada quadro de uma cor, recorta o número de acordo com a cor, por
exemplo, a cor vermelha representa números com três algarismos, a cor roxa com dois
algarismos e a cor verde com um.
Dessa maneira, ao sobrepor o número sessenta (roxa) sobre o quatrocentos
(vermelha), obterá o número quatrocentos e sessenta. Da mesma forma, se sobrepor o sete
(verde) sobre o número novecentos (vermelha), obterá novecentos e sete, e assim por diante.
De acordo com as professoras que apresentaram o jogo, é possível trabalhar com as
crianças as idéias de unidade, dezena e centena, composição e decomposição de números,
entre outros.
Para maiores detalhes e regras do jogo ver: BUENO, A.M.; LEITE, A.M.; LIMA, S. A.;
Pensar e Vivera – Matemática 2º série. Editora Ática.
Números até 999
Faça fichas como as que aparecem abaixo em cartolina
1 0 0
1 0
1
2 0 0
2 0
2
3 0 0
3 0
3
4 0 0
4 0
4
5 0 0
5 0
5
6 0 0
6 0
6
7 0 0
7 0
7
8 0 0
8 0
8
9 0 0
9 0
9
0 0 0
0 0
0
110
ANEXO 10
ATIVIDADES DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL – SND
Observe na tabela abaixo a distância aproximada entre o Sol e cada um dos nove planetas do
sistema solar.
PLANETAS DO SISTEMA SOLAR
PLANETAS DISTÂNCIA APROXIMADA DO SOL (em Km)
Vênus 108.000.000 Cento e oito milhões
Urano 2.871.000.000 Dois bilhões, oitocentos e setenta e um milhões
Marte 228.000.000 Duzentos e vinte e oito milhões
Plutão 5.914.000.000 Cinco bilhões, novecentos e quatorze milhões
Mercúrio 58.000.000 Cinqüenta e oito milhões
Júpiter 778.000.000 Setecentos e setenta e oito milhões
Netuno 4.504.000.000 Quatro bilhões, quinhentos e quatro milhões
Terra 150.000.000 Cento e cinqüenta milhões
Saturno 1.429.000.000 Um bilhão, quatrocentos e vinte e nove milhões
1. Observe a distância de Saturno até o Sol e copie no quadro abaixo:
a) Este número possui ......... ordens e ......... classes.
b) Qual é o algarismo da sétima ordem? ............ E o seu valor relativo? ..................................
c) Qual é o algarismo de maior valor absoluto? .........................................................................
d) Os algarismo que ocupam a classe dos milhões são: .............................................................
e) A leitura, por extenso, desse número é ...................................................................................
2. Observe na tabela o planeta que apresenta a menor distância do Sol.
a) Escreva por extenso esse número.
.....................................................................................................................................................
b) Decomponha esse número.
.....................................................................................................................................................
c) Qual é o seu antecessor?
.....................................................................................................................................................
d) Qual é o seu sucessor?
.....................................................................................................................................................
e) Qual é o nome da 7º ordem?
.....................................................................................................................................................
BILHÕES MILHÕES MILHARES UNIDADES
C D U C D U C D U C D U
111
ANEXO 11
Encontro – Dia 11/09/04 - PAUTA
MONTAR CÂMERA
• 1º Momento:
Boas vindas, conferir pessoas presentes, recolher a ficha de acompanhamento e retomar a
pergunta da pesquisa: Quais as contribuições de um grupo de estudos para o professor
que busca conhecer “os porquês” dos conteúdos matemáticos que está ensinando?
• 2º Momento:
Formação de pequenos grupos e entrega da atividade
• 3º Momento:
Leitura e estudo do texto sugerido. Eles irão fazer discussões sobre a maneira de inserir os
números decimais aos alunos.
4º Momento:
Grupão. Síntese da discussão e comentários.
Será aberto um espaço, para que cada grupo fale como, a partir do que eles discutiram, os
números decimais poderiam ser ensinados.
5º Momento:
Café e despedida
112
ANEXO 12 -LABIRINTO
×
××
×0.97
÷
÷÷
÷ 1.2
×
××
×1.01
- 1.7
÷
÷÷
÷1.4
÷
÷÷
÷ 0.87
÷
÷÷
÷0.7
÷
÷÷
÷ 0.8
÷
÷÷
÷0.5
÷
÷÷
÷0.4
÷
÷÷
÷2.01
÷
÷÷
÷
0.09
÷
÷÷
÷0.6
×
××
×1.09
×
××
×1.09
×
××
×0.5
×
××
×1.89
×
××
×1.9 ×
××
×0.99
×
××
×
1.2
×
××
×0.9
-12
-0.8
+2.1
+1.9
-0.09
+0.7
TABULEIRO
INÍCIO
100
FIM
113
Labirinto
50
Objetivo: Atingir o menor número na calculadora através das operações indicadas em
cada caminho escolhido por você para chegar até o final do labirinto.
Materiais Utilizados: Tabuleiro, calculadora e um marcador (como feijão, milho, etc).
Regras: O jogo começa na marca INÍCIO e com os dois jogadores colocando o
número 100 em suas calculadoras. O jogador 1 escolhe o caminho conectado com o INÍCIO e
move a peça, fazendo a operação indicada no caminho escolhido. O jogador 2 move a peça
através dos caminhos conectados com o ponto em que a peça se encontra e faz na sua
calculadora a operação indicada no caminho escolhido.
Os caminhos podem ser percorridos mais de uma vez, mas não em jogadas sucessivas.
Quando a marca FINAL for atingida o jogo termina e ganha o jogador que tiver o menor
número em sua calculadora.
Sugestões ao professor: Após os alunos jogarem em dupla, propor que se formem
grupos na classe e cada grupo tente obter o menor número possível na calculadora.
Questões:
1 – Se os caminhos possíveis a serem percorridos estiverem indicando as seguintes operações
× 1.02 ou ÷ 0.5 ou + 2, qual dos caminhos você deveria escolher?
2 – Em geral, qual o tipo de caminho (operação) seria o mais útil para você seguir?
3 – Existe algum caminho (operação) prejudicial?
4 – Como o número do seu adversário poderia afetar sua jogada?
Variações
O ganhador é aquele que tiver o maior número quando o FINAL é atingido
Um mesmo caminho não deve ser seguido mais de uma vez. O jogo termina quando
chegar no FINAL ou quando não for mais possível se movimentar.
Cada jogador tem seu próprio marcador. O jogo termina quando ambos alcançarem o
FINAL.
50
Esta atividade foi adaptada de MORRIS, J. How to develop problem solving using a calculator
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