( PDF ) Programação não linear aplicada à otimização de redes pressurizadas de distribuição de àgua

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE

PERNAMBUCO

Maria Crystianne Fonseca Rosal

PROGRMAÇÃO NÃO-LINEAR APLICADA À

OTIMIZAÇÃO DE REDES PRESSURIZADAS DE

DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

Orientador: José Almir Cirilo

Co-orientadora: Márcia Maria G. A. de Moraes

RECIFE

2007

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MARIA CRYSTIANNE FONSECA ROSAL

PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR APLICADA À OTIMIZAÇÃO DE

REDES PRESSURIZADAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

Dissertação apresentada como requisito parcial

à obtenção do grau de Mestre em Ciência em

Engenharia Civil, do Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Civil, Área de

Tecnologia Ambiental e Recursos Hídricos, do

Centro de Tecnologia e Geociência, da

Universidade Federal de Pernambuco.

Orientador: José Almir Cirilo

Co-orientadora: Márcia Maria G. A. de Moraes.

RECIFE

2007

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R789p Rosal, Maria Crystianne Fonseca

Programação não-linear aplicada à otimização de redes

pressurizadas de distribuição de água / Maria Crystianne

Fonseca Rosal. – Recife: O Autor, 2007.

xv, 97 f., il.(algumas color.), gráfs., tabs. + 1 cd-rom

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de

Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Civil, 2007.

Inclui referências bibliográficas e apêndices.

1. Engenharia Civil. 2. Redes Hidráulicas -

Otimização. 3. Programação Não-Linear Inteira Mista. I.

Título.

624 CDD (22.ed.) BCTG/2007-050

MARIA CRYSTIANNE FONSECA ROSAL

PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR APLICADA À OTIMIZAÇÃO DE

REDES PRESSURIZADAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

Dissertação aprovada como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre em Ciências em

Engenharia Civil, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Área de

Tecnologia Ambiental e Recursos Hídricos, do Centro de Tecnologia e Geociências, da

Universidade Federal de Pernambuco.

Aprovada em 23 de janeiro de 2007 pela seguinte Banca Examinadora:

RECIFE

2007

iii

Dedico este trabalho aos meus pais

Noberto e Rosilma, por uma vida

inteira de amor, aprendizado e

possibilidades, sempre acreditando

em meu potencial.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por ser a fonte do meu aprendizado e a luz que guia os meus passos.

Ao professor José Almir Cirilo, por sua orientação para execução deste trabalho e por

confiar em mim quando eu era apenas uma aluna do sexto período do curso de Engenharia

Civil. Meus sinceros agradecimentos por tudo o que me ensinou, pelo incentivo, pela

orientação em minha vida profissional, pela confiança em mim depositada e

principalmente pela amizade.

Aos professores do Laboratório de Recursos Hídricos, Suzana Montenegro, Jaime Cabral,

Roberto Azevedo e Ricardo Braga, pela amizade e conhecimentos transmitidos.

A professora Márcia Alcoforado, por toda a sua disponibilidade para me receber com

minhas inúmeras dúvidas, pela ajuda e pelos ensinamentos indispensáveis para o meu

aprendizado do GAMS.

Ao professor Thomas Rutherford, do Departamento de Economia da Universidade do

Colorado. Apesar de conhecê-lo apenas virtualmente, ele foi de fundamental importância

para o desenvolvimento deste trabalho, por ter domínio amplo no GAMS e grande

disponibilidade em responder aos meus numerosos e-mails.

Ao Eng. Sérgio Parente, que muito me ajudou na construção do modelo apresentado neste

trabalho.

A todo o Grupo de Recursos Hídricos (GRH) da UFPE, por toda amizade e conivência

familiar. Em especial a Suely, Janaína, Walquíria, Breno, Cantarelli e Ioná.

A todos os meus amigos e os companheiros da Graduação e Pós-Graduação, pelo apoio,

incentivo e paciência nos difíceis momentos. Em especial a Alice, Aline, Alinne, Andréa,

Bella, Diego, Djalena, Gustavo, Iza, Leidjane e Maria Helena.

À minha amada avó, Eurides Fonseca, por estar presente diariamente em minha vida,

sempre se preocupando e ajudando no meu crescimento.

A Diorgenes Nogueira, meu namorado, pessoa que tanto admiro e muito me ajudou nesses

dois anos, me compreendendo e incentivando.

À minhas irmãs, Crystine e Cryslaine, por serem parte essencial em minha vida.

À CAPES, pela concessão da bolsa de mestrado nos dois anos de desenvolvimento deste

trabalho.

A todos aqueles que de forma direta ou indireta contribuíram para elaboração desse

trabalho.

RESUMO

Resumo da Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil,

Área de Tecnologia Ambiental e Recursos Hídricos, do CTG/UFPE como parte dos

requisitos necessários para obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.).

PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR APLICADA À OTIMIZAÇÃO DE

REDES PRESSURIZADAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

MARIA CRYSTIANNE FONSECA ROSAL

Janeiro/2007

Orientador: Prof. José Almir Cirilo, D.Sc.

Palavras-chave: Otimização; Redes hidráulicas; Programação Não-linear Inteira Mista.

Número de páginas: 100

O trabalho proposto teve como objetivo a construção de um modelo de otimização para

redes hidráulicas de pequeno e grande porte. Esse modelo é composto por duas partes

essenciais: uma função objetivo e um conjunto de restrições. A função principal do modelo

é otimizar os diâmetros da rede em estudo, sujeitos a restrições que possibilitem que a

demanda necessária chegue aos pontos solicitados atendendo aos requisitos de pressão

mínima, entre outros. Para isso utilizou-se a Programação Não-Linear Inteira Mista devido

à não linearidade das equações que descrevem os processos hidráulicos e o fato de que os

diâmetros são variáveis discretas. Então o modelo proposto utilizou o algoritmo do

Gradiente Reduzido Generalizado para solução da Programação Não-Linear, associado ao

algoritmo Branch and Bound (Ramificação e Limite) para solução da Programação Inteira,

cujos algoritmos estão presentes na interface do programa GAMS com os solvers

CONOPT e SBB. O modelo foi avaliado em quatro casos e aplicado a redes de irrigação,

sendo duas redes de pequeno porte, uma de grande porte e uma rede de médio porte. Os

resultados obtidos mostraram que o modelo funciona perfeitamente para redes de pequeno

porte, e todos os valores encontrados foram satisfatórios. Nas redes de grande porte os

diâmetros comerciais foram calculados como variáveis contínuas e adotou-se o valor do

diâmetro comercial imediatamente superior ao valor real encontrado em cada trecho da

rede. Esta simplificação tornou-se necessária porque os solvers utilizados não suportam a

programação não-linear inteira mista com um grande número de variáveis de decisão.

vii

ABSTRACT

This work has as objective the formulation of an optimization model applied to hydraulics

network. This model is composed with two essential parts: an objective function and a set

of constraints. The main purpose of the model is to optimize the pipe diameters, subjected

to pressure and demand constraints, among others. The solver applied is a Mixed Integer

Nonlinear Programming, because of high non linearity present in the model and the

necessity to calculate the diameters as discrete variables. So, the proposed model use an

algorithm of Generalized Reduced Gradient for Nonlinear Programming, associated to the

Algorithm Branch and Bound (Ramification and Limit) for Integer Programming, through

the interface of program GAMS with the CONOPT and SBB solvers. The model was

applied to three study cases of irrigation networks, being two of them composed by a few

number of branches and the other a large irrigation network. The results obtained show that

the model calculates discrete diameters values for for small networks directly. In case of a

large number of branches, pipe diameters are calculated as continuous variables and

assumed the values of commercial diameters immediately superior to the values obtained.

This simplification is needed because the solvers applied don’t support mixed integer non

liner programming with a large number of decision variables.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Abastecimento de uma rede de irrigação por gravidade....................................5

Figura 2.2 - Abastecimento de uma rede de irrigação por bombeamento e armazenamento.6

Figura 2.3 - Representação de uma Rede Ramificada...........................................................8

Figura 2.4 - Representação de uma Rede Malhada. ..............................................................9

Figura 2.5 - Linhas Piezométrica e de Energia em tubulação com escoamento permanente.

.............................................................................................................................................13

Figura 2.6 – Rede de Irrigação com Bombeamento. ...........................................................19

Figura 2.7 – Representação da curva característica de uma bomba ....................................22

Figura 2.8 – Ponto de funcionamento de uma bomba. ........................................................23

Figura 3.1 - Árvore de soluções pelo algoritmo de Branch and Bound. .............................35

Figura 4.1 – Estruturação dos Sub-Modelos........................................................................53

Figura 4.2 – Declaração das variáveis e das equações do modelo. .....................................56

Figura 5.1 – Topologia da rede do Caso 1...........................................................................61

Figura 5.2 – Planilha para otimização de rede-exemplo por meio do Solver......................63

Figura 5.3 – Indicativos do problema. .................................................................................64

Figura 5.4 – Resultado da Programação Não-Linear...........................................................65

Figura 5.5 – Valores das variáveis de decisão e custo detalhado obtido pela Programação

Não-Linear...........................................................................................................................65

Figura 5.6 - Resultado da Programação Não-Linear Inteira Mista......................................66

Figura 5.7 - Valores das variáveis de decisão e custo detalhado obtido pela Programação

Não-Linear Inteira Mista. ....................................................................................................66

Figura 5.8 – Topologia do terreno. ......................................................................................68

Figura 5.9 – Esquema de distribuição das tubulações. ........................................................68

Figura 5.10 – Função do Custo das tubulações do caso-estudo 2........................................71

Figura 5.11 – Resultado final para o Caso 2........................................................................72

Figura 5.12 – Mapa do Equador com destaque para a região do estudo de caso. ...............73

Figura 5.13 – Rede do exemplo, plotada sobre curva de nível............................................75

Figura 5.14 – Gráfico relacionado à equação do custo........................................................77

Figura 5.15 - Rede hipotética do caso-exemplo 4. ..............................................................83

Figura 5.16 - Gráfico dos Comprimentos versus Diâmetros para o Caso 4. .......................85

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Valores da rugosidade absoluta equivalente...................................................16

Tabela 2.2 – Valores do coeficiente de Hazen-Williams.....................................................17

Tabela 4.1 – Limites de velocidade máxima recomendados por GRANADOS (1990)......46

Tabela 4.2 - Descrição dos Sets do modelo de otimização..................................................53

Tabela 4.3 – Descrição dos Parameters do modelo de otimização.....................................54

Tabela 5.1 – Dados da rede..................................................................................................61

Tabela 5.2 – Preços dos tubos de cimento-aminanto...........................................................62

Tabela 5.3 – Comparação dos resultados obtidos................................................................67

Tabela 5.4 – Preço e características hidráulicas dos tubos. .................................................70

Tabela 5.5 – Dados referentes à rede de distribuição. .........................................................70

Tabela 5.6 – Resultados obtidos por meio do programa REDES........................................71

Tabela 5.7 – Preços dos diâmetros comerciais. ...................................................................77

Tabela 5.8 – Resultado da Otimização pelo Solver.............................................................79

Tabela 5.9 – Resultados da Programação Não-Linear.........................................................80

Tabela 5.10 – Comparação dos comprimentos das tubulações. ..........................................81

Tabela 5.11 – Preços e características das tubulações.........................................................84

Tabela 5.12 – Comparação de Custos..................................................................................84

Tabela 5.13 – Comparação dos resultados obtidos para o Caso 4.......................................85

LISTA DE SÍMBOLOS

A Área da seção transversal da tubulação

Matriz de dimensão MxN

a Fator de amortização anual do capital

Vetor de dimensão N

a Número total de trecho da rede

C Coeficiente de Hazen-Williams

Sub-matriz da matriz A

Cota do terreno no nó i

cab

Cota do terreno na cabeceira da rede

C(D

,H) Custo do sistema de abastecimento, em função do diâmetro D

e da

altura de bombeamento H

Custo do bombeamento

D Diâmetro do conduto

Sub-matriz da matriz A

dir

Direção viável

Diâmetro otimizado

min

Diâmetro mínimo aceitável

Diâmetro no trecho j

max

Diâmetro máximo adotado

min

Diâmetro mínimo adotado

e Rugosidade interna do tubo

e Taxa anual do aumento de energia

f Coeficiente de atrito

Coeficiente de atrito no trecho j

f(x) Função f variável em x

Fa Fator de atualização

g Aceleração da gravidade

g(x) Função g variável em x

(x) Matriz hessiana de f(x)

Altura manométrica

Altura manométrica do nó i

mi’

Altura manométrica do nó i’

i Taxa de juro anual

i Número de trechos

J Perda de carga unitária

L Comprimento do trecho

Comprimento do trecho j

LP Programação Linear

MILP Programação Linear Inteira Mista

MINLP Programação Não-Linear Inteira Mista

N Número total de nós da rede

NLP Programação Não-Linear

n Número de anos correspondente à via útil das instalações do

projeto

p Pressão na seção do conduto

PD Programação Dinâmica

Potência de eixo

Potência hidráulica

Potência motriz

P(D

) Equação que relaciona o preço unitário com o diâmetro

Pressão disponível no nó i

Coeficiente de penalidades

max

Pressão máxima admissível

min

Pressão mínima admissível

Q Vazão

Vazão bombeada

Vazão no trecho j

Rey Número de Reynolds

Rey

Número de Reynolds no trecho j

RugRel

Rugosidade relativa do trecho j

T Número total de trechos da rede

v Velocidade média do fluxo

vel

max

Velocidade máxima admissível

xii

vel

min

Velocidade mínima admissível

Velocidade no trecho j

Vetor de variáveis básicas

Vetor de variáveis não-básicas

z Altura de elevação da massa líquida acima de um plano horizontal

de referência

z Energia ou carga de posição

Coeficiente da energia cinética ou de Coriolis

∆H

Perda de carga ou perda de energia

∆H

Perda de carga entre a seção 1 e 2

∆h

Perda de carga

∆h

Perda de carga no trecho j

Densidade do líquido

Peso específico da água

Lagrangeana da função

Viscosidade cinemática do líquido

Energia ou carga de pressão

∂

Derivada parcial de x no ponto x

∂∂

∂

Derivada segunda parcial de f(x)

f(x)∇

Gradiente da função f(x)

∇ ²f (x)

Gradiente de 2ª ordem da função

∇r(x

)

Gradiente reduzido da função

xiii

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS ..................................................................................................iv

RESUMO........................................................................................................................vi

ABSTRACT...................................................................................................................vii

LISTA DE FIGURAS..................................................................................................viii

LISTA DE TABELAS....................................................................................................x

LISTA DE SÍMBOLOS.................................................................................................xi

1. INTRODUÇÃO E OBJETIVOS.............................................................................1

1.1. INTRODUÇÃO..................................................................................................... 1

1.2. OBJETIVOS .......................................................................................................... 3

2. SISTEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA..........................................................4

2.1. DEFINIÇÃO.......................................................................................................... 4

2.2. MÉTODOS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA...................................................... 4

2.3. TIPOS DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO............................................................. 6

2.4. ESCOAMENTO DA ÁGUA NAS TUBULAÇÕES ............................................ 9

2.4.1. EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DO ESCOAMENTO ............................. 11

2.5. PERDA DE CARGA EM REDES HIDRÁULICAS .......................................... 13

2.6. BOMBEAMENTO .............................................................................................. 18

2.6.1. POTÊNCIA E RENDIMENTO DO CONJUNTO ELEVATÓRIO............. 19

2.6.2. CURVAS CARACTERISTICAS................................................................. 21

2.6.2.1. Curvas Características de uma bomba....................................................... 21

2.6.2.2. Curvas Características do Sistema............................................................. 22

2.7. ASPECTOS ECONÔMICOS.............................................................................. 23

3. PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR E APLICAÇÕES........................................26

xiv

3.1. A PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR (NLP)...................................................... 27

3.1.1. CONDIÇÕES NECESSÁRIAS DE OTIMALIDADE ................................ 27

3.2. ALGORITMOS DE CONVERGÊNCIA DA NLP............................................. 29

3.2.1. MÉTODO DAS FUNÇÕES DE PENALIDADES ...................................... 30

3.2.2. MÉTODO DO GRADIENTE REDUZIDO ................................................. 31

3.2.3. MÉTODO DO GRADIENTE REDUZIDO GENERALIZADO (GRG)..... 32

3.2.4. MÉTODO DA BUSCA DE SOLUÇÕES INTEIRAS................................. 34

3.3. PROGRAMAS COMPUTACIONAIS UTILIZADOS NA NLP........................ 36

3.3.1. O PROGRAMA GAMS (General Algebraic Modeling System)................. 37

3.3.1.1. O solver Continuous Optimizer (CONOPT) ............................................. 39

3.3.1.2. O solver Branch and Bound (SBB)............................................................ 40

4. OTIMIZAÇÃO DE REDES HIDRÁULICAS.....................................................41

4.1. VARIÁVEIS DE DECISÃO ............................................................................... 42

4.2. FUNÇÃO-OBJETIVO......................................................................................... 43

4.3. RESTRIÇÕES ..................................................................................................... 44

4.3.1. DIAMETRO MÍNIMO E MÁXIMO ........................................................... 45

4.3.2. LIMITE DE VELOCIDADE........................................................................ 45

4.3.3. LIMITE DE PRESSÃO................................................................................ 47

4.3.4. LIMITAÇÃO DO NÚMERO DE REYNOLDS .......................................... 47

4.3.5. LIMITAÇÃO DA RUGOSIDADE RELATIVA ......................................... 48

4.3.6. PERDA DE CARGA.................................................................................... 48

4.3.7. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA ............................................................... 49

4.4. OTIMIZAÇÃO DOS SISTEMAS DE IRRIGAÇÃO ......................................... 50

4.5. O MODELO DE OTIMIZAÇÃO........................................................................ 52

4.5.1. VISÃO GERAL DO MODELO................................................................... 53

4.5.2. O RELATÓRIO DE SAÍDA DO GAMS..................................................... 57

5. ESTUDOS DE CASO.............................................................................................60

5.1. CASO 1................................................................................................................ 60

5.1.1. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA ......................................................... 60

5.1.2. A SOLUÇÃO DO MODELO PARA O CASO 1......................................... 64

5.2. CASO 2................................................................................................................ 67

5.2.1. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA ......................................................... 67

5.2.2. SOLUÇÃO DO MODELO PARA O CASO 2 ............................................ 72

5.3. CASO 3................................................................................................................ 72

5.3.1. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA ......................................................... 72

5.3.2. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DE DOIS MODELOS DE

OTIMIZAÇÃO PARA O PROBLEMA PROPOSTO ................................. 78

5.3.2.1. Resultados do Modelo Proposto ................................................................ 79

5.4 CASO 4................................................................................................................. 82

5.4.1 RESULTADOS ............................................................................................. 84

6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES.............................................................88

6.1 CONCLUSÕES .................................................................................................... 88

6.2 RECOMENDAÇÕES........................................................................................... 88

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS..................................................................90

APÊNDICE....................................................................................................................98

APÊNDICE A................................................................................................................99

APÊNDICE B..............................................................................................................100

1. INTRODUÇÃO E OBJETIVOS

1.1. INTRODUÇÃO

Essencial à vida, a água é um elemento necessário a diversas atividades humanas,

além de constituir componente fundamental da paisagem e meio ambiente. Recurso de

valor inestimável, ele apresenta utilidade múltiplas e torna-se indispensável à vida, por isso

é de fundamental importância a discussão das relações entre o homem e a água, uma vez

que a sobrevivência das gerações futuras depende diretamente das decisões que hoje estão

sendo tomadas (LIMA

et al, 1999).

A pouca disponibilidade dos recursos hídricos e o crescimento populacional faz

com que o homem procure técnicas avançadas para produção do seu alimento. No Brasil o

consumo

per capita dobrou em 20 anos enquanto a disponibilidade de água ficou três

vezes menor. CHRISTOFIDIS (2002) cita que a má distribuição de água no planeta é uma

das principais preocupações pela expansão de fronteiras agrícolas. Em nosso país, 89% das

águas superficiais estão concentradas nas regiões Norte e Centro-Oeste, e os 11% restantes

estão concentradas nas outras regiões (Nordeste, Sudeste e Sul), onde estão localizadas

85,5% da população e 90,8% da demanda do país. Por isso, mesmo com grande potencial

hídrico, a água é objeto de conflito em várias regiões brasileiras. Este é de fato um delicado

problema mundial, constituindo um sério desafio científico-tecnológico.

Ainda de acordo com CHRISTOFIDIS (2002), a agricultura é responsável pela

maior parcela do uso consuntivo de água no mundo com cerca de 70%, seguido pelo setor

industrial com 22%, e pelo consumo humano e animal com 8% do total utilizado. No

Brasil consome-se 61,2% de água no uso agrícola, 20,8% no uso doméstico e 18,0% em

uso industrial.

Para contornar o problema da escassez de água utiliza-se, na agricultura, a

irrigação, que consiste em uma técnica agrícola de aplicação de água às plantas, através de

métodos que melhor se adaptem ao solo, ao seu declive e à cultura a explorar. Desse modo

proporciona umidade adequada ao desenvolvimento normal das plantas, suprindo a falta,

insuficiência ou a má distribuição das chuvas, com o propósito de incrementar a produção

sem o inconveniente de provocar a erosão ou o acúmulo de sais no solo (CODEVASF,

2005).

Apesar do grande volume de água necessário para a prática da agricultura irrigada,

para MEIRELLES (2000), é indiscutível a grande vantagem da agricultura irrigada,

consistindo na elevação da produtividade da terra, não só no seu sentido usual –

kg/(ha.safra) – mas no sentido de que um hectare de terra é capaz de gerar muito mais

produto por ano – kg/(ha.ano) – em comparação às culturas de sequeiro.

Segundo a CODEVASF (2005), a irrigação, sobretudo nas regiões áridas e semi-

áridas, que abrange cerca de 55% da área continental da Terra, se constitui em uma das

mais importantes tecnologias para o aumento da produtividade agrícola. Atualmente, mais

de 50% da população mundial depende de produtos irrigados, sendo a agricultura irrigada

uma das que mais desvia água da natureza, utilizando 70% do volume total extraído do

sistema global dos rios, lagos e mananciais subterrâneos. Estima-se que até 2025, a

atividade agrícola com uso da irrigação irá crescer cerca de 20 a 30%. No Brasil, calcula-se

que 61,2% da água captada para uso é destinada à irrigação, em apenas 5% da área total.

Um dos grandes desafios do presente é ampliar essa área, adotando técnicas e

equipamentos mais eficientes. Entre essas técnicas destaca-se a otimização das redes de

irrigação, que procura o menor custo e uma maior eficiência para a rede. Para MEDEIROS

e GOMES (1999), dois aspectos vêm contribuindo para o aperfeiçoamento das técnicas de

otimização: o surgimento do computador pessoal de alta velocidade e a aplicação de

técnicas numéricas. O almejo dessas técnicas é dimensionar um sistema de irrigação de

modo a se ter todas as restrições hidráulicas atendidas com o menor custo possível. Para

isso, em geral, devem-se otimizar algumas variáveis que serão decisórias para atingir esse

custo desejável.

O dimensionamento econômico de uma rede hidráulica pode ser feito de forma

heurística com base na experiência do projetista a partir de diversas tentativas, ou

utilizando-se técnicas de pesquisa operacional, dentre as quais se destacam: Programação

Linear (LP –

Linear Programming), Programação Não-Linear (NLP – Nonlinear

Programming), Programação Linear Inteira Mista (MILP – Mixed Integer Linear

Programming), Programação Não-Linear Inteira Mista (MINLP – Mixed Integer Nonlinear

Programming) e Programação Dinâmica (PD). Essas técnicas são geralmente encontradas

em programas que abrangem os algoritmos citados, cabendo ao programador escolher o

solver (algoritmo) que melhor se ajuste ao problema a ser resolvido.

Diante de tal contexto, esse trabalho visa à apresentação de um modelo

desenvolvido na plataforma do programa GAMS (

General Algebraic Modeling System),

que propõe a otimização dos sistemas de distribuição pressurizados a ser resolvido por

meio das técnicas de NLP e MINLP.

1.2. OBJETIVOS

O trabalho desenvolvido visou à obtenção de um modelo hidráulico de otimização

para redes de hidráulicas ramificadas, estruturado na forma clássica dos problemas de

otimização. Esse modelo é composto por duas partes essenciais: função objetivo, que

descreve o critério de desempenho do sistema, e conjunto de restrições, composto por

equações e/ou inequações matemáticas que definem a operação do sistema e de seus

elementos. O modelo hidráulico de otimização é formulado como um problema de NLP e

MINLP. Para obtenção desse modelo de otimização utilizou-se o programa GAMS, que é

uma plataforma onde se podem representar problemas que envolvem sistemas de

abastecimento para irrigação.

O principal objetivo a ser atingido pelo modelo é a definição de políticas

operacionais ótimas para sistemas de redes de água, otimizando os diâmetros das

tubulações e atendendo aos requisitos de demandas e pressões ao longo da rede e

minimizando os custos.

Então, como produto final pretende-se analisar técnicas de programação

incorporadas a um modelo matemático de otimização que contemple, através de uma

modelagem mais refinada e da forma mais realista possível, as características operacionais

dos elementos de um sistema pressurizado de distribuição de água, podendo o modelo ser

utilizado como ferramenta de suporte para a tomada de decisões.

O presente trabalho também tem como objetivo avaliar a aplicação da Programação

Não-Linear – NLP e Programação Não-Linear Inteira Mista – MINLP, por meio de

diferentes algoritmos, à otimização de redes hidráulicas ramificadas.

2. SISTEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

2.1. DEFINIÇÃO

AZEVEDO NETTO e ALVAREZ (1985) definem um sistema de abastecimento de

água como um conjunto de obras, equipamentos e serviços que tem por finalidade atender

diversos tipos de necessidades de água. Uma rede de distribuição pode, também, ser

definida como a unidade do sistema de abastecimento que transporta a água para os

diversos pontos de consumo, de uma cidade ou setor de abastecimento, sendo constituída

por um conjunto de tubulações e peças especiais, projetadas de forma a garantir o

abastecimento com vazão suficiente e pressão adequada.

Segundo SANTANA (1999), dentre as diversas partes que compõem um sistema de

abastecimento de água, a rede de distribuição apresenta maior grau de complexidade, uma

vez que o consumo é, por natureza, aleatório e sazonal, não só em termos de oscilações

diárias, como também, devido às oscilações em função das estações do ano.

Os sistemas de distribuição de água são projetados e operados de maneira a atingir

vários objetivos, distinguindo-se dois grandes grupos (BARBOSA

et al., 1999):

•

Objetivos técnicos: ligados ao desempenho hidráulico, tais como a garantia das

pressões mínimas e máximas, a garantia de água suficiente para seus variados

destinos, confiabilidade operacional, etc;

•

Objetivos econômicos: traduzidos pela minimização dos custos associados aos

componentes do sistema e aos custos operacionais.

2.2. MÉTODOS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

A maneira como a água é distribuída depende muito das condições gerais do

sistema. Dentre estas condições podem ser destacadas a topografia, o porte da área

abastecida e a localização das fontes de abastecimento, além de critérios econômicos e

sociais. Assim, pode-se utilizar como classificação: abastecimento por gravidade;

abastecimento por bombeamento; abastecimento por bombeamento e armazenamento

(SANTANA, 1999).

O abastecimento por gravidade é utilizado quando as condições topográficas

permitem a condução da água através da utilização das diferenças de nível do local. Esse

tipo de abastecimento é preferível a outros métodos, pelo seu custo relativamente baixo,

não necessitando de dispêndio com energia, e pela uniformidade da pressão mantida ao

longo do sistema de distribuição. No desenho abaixo (Figura 2.1) exemplifica-se o

comportamento da linha piezométrica quando o abastecimento é feito por gravidade.

Figura 2.1 - Abastecimento de uma rede de irrigação por gravidade.

Fonte: Adaptado de Almeida, 2001.

O abastecimento por bombeamento é utilizado quando as condições topográficas do

local não permitem a utilização das diferenças de nível para a condução da água. Esse

método apresenta uma série de desvantagens, pois a água só chega à rede através do

bombeamento contínuo, se ocorrer interrupção no fornecimento de energia ou falhas nas

estações de bombeamento a distribuição de água é interrompida. Outra desvantagem desse

processo são as falhas de distribuição devido às variações de pressão na rede em função de

possíveis oscilações de demanda. Por essas razões esse método é pouco utilizado.

No caso do abastecimento por bombeamento e armazenamento, os reservatórios são

locados estrategicamente, de maneira que possam receber os excessos de água dos

períodos de menor consumo e funcionar como fontes de abastecimento nos períodos de

maior consumo, como também durante curtos períodos de tempo representados por falhas

ou manutenção do sistema de bombeamento. Os reservatórios utilizados nesse tipo de

abastecimento podem estar a montante da área de consumo. A Figura 2.2 mostra o

comportamento das linhas piezométricas durante o enchimento do reservatório, por

bombeamento, e distribuição da água na rede. Neste caso, observa-se que a bomba está a

jusante do reservatório, podendo também operar a montante.

Figura 2.2 - Abastecimento de uma rede de irrigação por bombeamento e armazenamento.

Fonte: Adaptado de Almeida, 2001.

Quando a rede de distribuição é abastecida mediante estação de bombeamento, o

dimensionamento das tubulações depende da cota piezométrica de cabeceira. Essa cota

influi diretamente no custo da rede, uma vez que, mantendo-se constante as classes dos

tubos disponíveis, quanto maior for esta cota, menor será o custo, já que neste caso

poderão ser selecionados tubos de diâmetros menores, embora os custos de energia elétrica

sejam maiores, por aumentar a perda de carga. De maneira oposta, com a diminuição da

altura de bombeamento haverá diminuição do custo de energia e aumento do custo das

tubulações com diâmetros maiores, pois fornece menor perda de carga.

2.3. TIPOS DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO

Rede de distribuição é uma infra-estrutura de tubulações que objetiva conduzir água

aos diversos pontos de consumo. Para a identificação dos elementos da rede adota-se uma

nomenclatura específica. Esses elementos são constituídos das seguintes partes (GOMES,

2002):

•

Trecho: compreende cada um dos percursos da rede de distribuição onde a vazão

permanece constante;

•

Nó: ponto de conexão entre dois trechos. Nos nós se produzem modificações na

vazão circulante;

•

Nó de derivação: nó que conecta dois ou mais trechos;

•

Ramal: conjunto de trechos conectados em série sem nenhum nó de derivação;

•

Artérias: percursos principais da rede de distribuição, formados por ramais

agrupados em série;

•

Traçado da rede: configuração da distribuição das tubulações, com a definição da

situação topográfica de todos os componentes da rede;

•

Alimentação ou cabeceira da rede: origem da rede de distribuição. Normalmente

coincide com o ponto inicial do sistema de transporte, onde se localiza o

reservatório de distribuição ou o bombeamento direto. Algumas redes são

alimentadas diretamente por mais de um reservatório.

As redes são constituídas por condutos que são classificados em condutos

principais ou condutos troncos e condutos secundários. Os condutos principais são aqueles

de maior diâmetro, que têm por finalidade abastecer os condutos secundários, enquanto

estes, de menor diâmetro têm a função de abastecer diretamente os pontos de consumo do

sistema (PORTO, 1999).

De acordo com a disposição dos condutos principais e o sentido de escoamento nas

tubulações secundárias, as redes são classificadas como rede ramificada e rede malhada.

Há casos em que a rede é uma combinação dos dois tipos anteriores, sendo chamada de

rede mista. Nesse tipo de rede uma parte tem a forma de malha, e outra é ramificada ou

aberta. A parte ramificada normalmente é posicionada nas periferias ou áreas de expansão

de alguns setores do sistema de abastecimento (LENCASTRE, 1983).

Na rede ramificada (Figura 2.3), o abastecimento é feito a partir de uma tubulação

tronco. Essa é alimentada por um reservatório de montante ou sob pressão de um

bombeamento, distribuindo água para os condutos secundários, sendo os pontos terminais

desses condutos chamados de pontas secas. Nesse tipo de rede o sentido da vazão em

qualquer trecho é conhecido, e esta possui apenas um único sentido para o escoamento. O

traçado desta rede pode ser: do tipo espinha de peixe, do tipo grelha ou apenas ramos. Essa

concepção geométrica é bastante utilizada para o abastecimento de pequenas comunidades,

acampamentos, granjas e sistemas de irrigação.

Figura 2.3 - Representação de uma Rede Ramificada.

A principal vantagem dessa rede é o seu custo de implantação, pois é mais barato

que o de uma rede malhada de mesmo porte, devido ao menor número de tubulações e

conexões. Outra vantagem é a facilidade de cálculo que esta rede apresenta. Entretanto,

redes com esse tipo de traçado impõem que a distribuição de vazão fique condicionada à

tubulação tronco, de modo que uma interrupção acidental nesta paralisa todo o

abastecimento de água a jusante do local onde ocorreu o acidente. Além disso, segundo

PORTO (1999), nas extremidades das redes, como a velocidade de escoamento é nula, a

tendência ao depósito de sedimentos é muito grande, assim como o aparecimento de odores

como conseqüência da estagnação.

A rede malhada é constituída por trechos em forma de anéis ou malhas, Figura 2.4,

fazendo com que o sentido do escoamento das vazões seja reversível em função das

oscilações das demandas. A vantagem desse tipo de rede é que ela pode abastecer qualquer

ponto do sistema por vários caminhos, e sua circulação no sistema ocorre sempre que

houver consumo de água na rede, ou seja, a manutenção da rede pode ser feita com o

mínimo de interrupção no fornecimento de água, havendo uma maior flexibilidade para

satisfazer as demandas. Os traçados em forma de malha são geralmente empregados nos

projetos de rede de abastecimento de núcleos urbanos, onde se necessita de maior

segurança no fornecimento d’água às populações (BAPTISTA

et al., 2003).

Conduto

Secundário

Cabeceira da rede

Ponta Seca

Trecho

Conduto

Tronco

Figura 2.4 - Representação de uma Rede Malhada.

No dimensionamento de redes de distribuição de água é de grande importância a

seleção adequada das tubulações (conjuntos de tubos, conexões e acessórios) que

compõem a rede. Devem-se observar todos os fatores técnicos e econômicos que possam

influenciar na escolha correta para distribuir essa água de forma mais racional e econômica

possível, buscando a implantação de sistemas de distribuição eficientes (FIRMINO, 2004).

2.4. ESCOAMENTO DA ÁGUA NAS TUBULAÇÕES

O escoamento das águas em tubulações é dito como escoamento forçado, pois todo

o contorno do fluxo está em contato com a parede do conduto e está exercendo nela uma

pressão diferente das pressões atmosférica exterior.

Na classificação hidráulica, os escoamentos podem ser de diversos tipos em função

de suas características, como: laminar, turbulento, unidimensional, bidimensional,

rotacional, irrotacional, permanente, variável, uniforme, variado livre, forçado, fluvial,

torrencial, etc (PORTO, 1999).

O escoamento da água é dito como permanente quando suas características físicas

(velocidade, pressão, temperatura e massa específica) permanecem invariáveis ao longo do

tempo e em qualquer ponto do fluxo, caso contrário o escoamento será não permanente. Se

Cabeceira da Rede

Nó

Trecho

Anel

Rede Secundária

Rede

Principal

o escoamento for permanente, ele pode ser uniforme ou variado, dependendo da

velocidade. Será uniforme aquele escoamento em que os vetores velocidade, em módulo,

direção e sentido, são idênticos em todos os pontos, e permanecem constantes ao longo das

trajetórias da partícula.

Na prática, no funcionamento dos sistemas de distribuição, não existe o escoamento

permanente no sentido estrito definido anteriormente. No entanto, caso se analise os

valores médios das características físicas do fluido em cada seção do escoamento, alguns

sistemas hidráulicos de distribuição podem ser considerados, para efeitos práticos, como

permanentes e uniformes. Este é o caso, por exemplo, do escoamento da água através das

tubulações de seção constante nos sistemas de irrigação sob pressão, onde a velocidade

média da água é praticamente a mesma ao longo de todo o conduto e se mantém

aproximadamente invariável no tempo. Contudo, nas mudanças de seção dos condutos o

escoamento passa a ser permanente e variado (GOMES, 1999).

O escoamento também pode admitir diferentes regimes de fluxo de água ao longo

do conduto, podendo ser particularmente laminar ou turbulento. Será laminar se o fluxo se

forma em filetes ou lâminas líquidas paralelas. Nesse caso as partículas que passam por um

ponto determinado seguem a mesma trajetória no decorrer do tempo. O escoamento será

turbulento se o movimento da massa líquida se processa em trajetórias irregulares ao longo

do conduto e continuamente variáveis com o decorrer do tempo. Pode ocorrer ainda uma

situação transitória entre os dois regimes citados anteriormente.

Reynolds demonstrou (BAPTISTA

et. al, 2003), através do número de Reynolds,

que é possível saber o regime do fluxo em uma tubulação, mediante a seguinte relação:

D.v

Rey =

(2.1)

Onde:

v – velocidade média do fluxo (m/s);

D – diâmetro do conduto (m);

ν − viscosidade cinemática do líquido (m²/s).

Assim, através de experiências, obtidas em condições normais de escoamento nos

condutos, Reynolds definiu que:

Rey < 2000

→ Regime Laminar;

Rey > 4000

→ Regime Turbulento;

2000

≤ Rey ≤ 4000 → Regime de Transição;

Uma diferença fundamental entre os dois regimes é que a perda de carga ao longo

do conduto é mais elevada no regime turbulento do que no regime laminar. Neste último a

perda de carga varia diretamente com a velocidade média do escoamento, enquanto que no

regime turbulento, a perda varia com o quadrado da velocidade. Em geral, o regime

hidráulico nas tubulações é sempre turbulento, exceto quando as velocidades são

extremamente baixas, quase próximas do repouso (GOMES, 1999).

2.4.1. EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DO ESCOAMENTO

A trajetória da água nos condutos forçados está associada às equações da

continuidade e da energia. A equação da continuidade estabelece que, para um escoamento

permanente e um líquido incompreensível, o volume de líquido que entra é igual ao

volume de líquido que sai de uma tubulação, ou seja, a vazão mantém-se constante ao

longo do conduto. Esse princípio é representado pela equação de Continuidade

(ALMEIDA, 2001; BAPTISTA

et al., 2003; PORTO, 1999).

v.AQ =

(2.2)

Onde:

Q – vazão (m³/s);

A – área da seção transversal da tubulação (m²);

v – velocidade média do fluxo (m/s).

Em uma rede de distribuição, os nós de derivação também seguem a equação da

continuidade, verificando-se que a soma das vazões que entram em um determinado nó

deverá ser igual à soma de todas as vazões que saem deste nó (SAAD

et al., 1994).

A equação da energia é aplicada para fluidos incompressíveis e com regime

permanente, sendo apresentada como energia cinética, energia de pressão, energia

potencial e perda de carga. A equação 2.3 expressa a energia gasta por um fluido para ser

transportado da seção 1 à seção 2 num determinado conduto.

∆H

g.2

αz

g.2

αz

+++=++ ..

(2.3)

Onde:

p – pressão na seção do conduto (Kgf/m²);

– peso específico do líquido (Kgf/m³);

g - aceleração da gravidade (m²/s);

z – altura de elevação da massa líquida acima de um plano horizontal de referência;

v – velocidade média do fluxo (m/s);

∆H

– perda de carga entre a seções 1 e 2;

α − coeficiente da energia cinética ou de Coriolis.

A equação 2.3 é conhecida como Equação de Bernoulli, suas parcelas têm

dimensão linear e são denominadas de carga (energia por unidade de peso), conforme

descrito a seguir:

: carga de pressão (m);

Z: carga de posição (m);

g.2

: carga cinética (m);

∆H: perda de carga (m).

Ao lugar geométrico dos pontos de um líquido, cujas cotas são dadas pela soma p/γ

+ z, dá-se o nome de linha de carga efetiva ou linha piezométrica. Cada valor da expressão

obtido pela soma citada é chamado de cota piezométrica ou carga piezométrica. Ao

acrescentar-se o valor da carga cinética v

/2.g, obtém-se a linha de carga total ou linha de

energia. A Figura 2.5 mostra a distribuição dessas linhas em um trecho da tubulação:

Figura 2.5 - Linhas Piezométrica e de Energia em tubulação com escoamento permanente.

Observando a figura acima nota-se que (AZEVEDO NETTO et al., 1975):

• O Plano de Carga Total traduz o escoamento ideal (se não houvessem perdas);

•

A linha piezométrica real é o lugar geométrico dos pontos de cota (p/γ + z);

•

A linha de energia é o lugar geométrico dos pontos de cota (p/γ + z + v

/2.g).

2.5. PERDA DE CARGA EM REDES HIDRÁULICAS

A perda de carga é atribuída ao movimento da água ao longo das tubulações. Ela é

considerada como uniforme, ao longo de qualquer trecho de uma canalização de diâmetro

constante, e é a principal perda na maioria dos projetos de condução d’água (BERNARDO,

1995).

As perdas de energia ocorrem devido ao atrito do líquido contra as paredes internas

da tubulação e ao atrito interno da própria massa líquida, estando também relacionadas

com o tipo de escoamento. Na Hidráulica, essa parte da energia é considerada perdida

porque não contribui mais para o movimento do fluido, e por isso é chamada de perda de

carga (BAPTISTA

et al., 2003). Inúmeras experiências conduzidas por Henri Darcy e

outros pesquisadores, com tubos de seção circular, concluíram que as perdas em um

escoamento são (AZEVEDO NETTO e ALVAREZ, 1991):

Plano horizontal de referência

Energia total (Plano de Carga Total)

Linha Piezométrica

Linha de Energia

Seção 2

g.2

Seção 1

∆H

•

Diretamente proporcionais ao comprimento da tubulação;

•

Inversamente proporcionais a uma potência do diâmetro da tubulação;

•

Função de uma potência da velocidade do escoamento;

•

Independentes da posição da tubulação;

• Independentes da pressão interna sob a qual o líquido escoa;

•

Dependentes da natureza das paredes da tubulação.

As perdas de carga por atrito em escoamentos permanentes e uniformes são

determinadas por meio de fórmulas empíricas, que foram desenvolvidas para distintas

condições experimentais. A seleção da fórmula empírica mais adequada, entre as

existentes, dependerá do nível de precisão desejado, como também da semelhança entre as

condições hidráulicas do dimensionamento em questão, com as condições hidráulicas

utilizadas no desenvolvimento da fórmula (GOMES, 1999).

A fórmula empírica que possui maior aceitação, e é teoricamente a mais correta, é a

Fórmula Universal da Perda de Carga, desenvolvida, em 1857, por Henri Darcy e Julius

Weissbach. A fórmula de Darcy-Weissbach abrange todos os parâmetros básicos dos quais

depende a perda de carga contínua:

g.2

.f∆h

(2.4)

Onde:

∆h – perda de carga (m);

f – coeficiente de atrito;

L – comprimento do trecho (m);

D – diâmetro do conduto (m);

g – aceleração da gravidade (m/s

O coeficiente de perda de carga f é adimensional e depende basicamente do regime

de escoamento. Uma vez que o regime de escoamento das redes hidráulicas é, em geral,

turbulento, a fórmula mais recomendada para o cálculo do coeficiente de atrito é a

desenvolvida, em 1939, por Colebrook e White, com base em considerações teóricas e

empíricas:

)

f.Rey

2,51

3,7

e/D

log(2.

+−=

(2.5)

Onde:

D.v

Rey = ;

v – velocidade média do fluxo (m/s);

D – diâmetro do conduto (m);

ν − viscosidade cinemática do líquido;

e – rugosidade interna do tubo (m);

f – coeficiente de atrito.

A fórmula apresentada possui uma dificuldade nos cálculos por não poder ser

resolvida analiticamente, devido à forma implícita da expressão, sendo necessário o

cálculo iterativo com atribuições de sucessivos valores de f. Vários pesquisadores no

passado tentaram contornar essa dificuldade, apresentando diversas formulações para o

cálculo explícito do coeficiente de atrito, em regime de escoamento turbulento, como a de

Swamee e Jain:

0,9

Rey

5,74

D3,7.

1,325

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(2.6)

Onde:

D.v

Rey = ;

v – velocidade média do fluxo (m/s);

D – diâmetro do conduto (m);

ν − viscosidade cinemática do líquido (m

/s);

e – rugosidade interna do tubo (m);

f – coeficiente de atrito.

Essa expressão só é válida para: 5.10³ ≤ Rey ≤ 10

e 10

-6

≤ e/D ≤ 10

-2

Quando o regime de escoamento é laminar, o parâmetro f dependerá apenas do

Número de Reynolds, podendo ser obtido através da equação de Hagen-Poiseuille. Esse

parâmetro pode ser calculado pela expressão:

Rey

f =

(2.7)

As rugosidades dos diversos materiais utilizados na prática de condução de água

são de difícil especificação, devido aos processos industriais e grau de acabamento da

superfície, idade das tubulações, etc. A literatura apresenta tabelas de valores da

rugosidade para diversos materiais, com variações em faixas largas, além de valores

diferentes, para o mesmo material, em diferentes fontes de dados (Baptista

et al., 2003;

PORTO, 1999).

A Tabela 2.1 apresenta valores da rugosidade absoluta equivalente para os

principais materiais utilizados em projetos de redes hidráulicas.

Tabela 2.1 – Valores da rugosidade absoluta equivalente

Material

Rugosidade absoluta

equivalente

e (mm)

Aço soldado novo 0,05 a 0,10

Aço galvanizado, com costura 0,15 a 0,20

Aço galvanizado, sem costura 0,06 a 0,15

Ferro fundido novo 0,25 a 0,50

Ferro fundido velho 3,00 a 5,00

Cimento amianto 0,015

Concreto armado liso, vários anos de uso 0,20 a 0,30

Concreto com acabamento normal 1,00 a 3,00

Tubos de plástico – PVC 0,06

Fonte: Adaptado de Porto, 1998 e de Baptista et al., 2003.

A rugosidade depende do tipo de tubo escolhido para o sistema de distribuição.

Dentre os vários tipos de materiais encontrados para tubulação, os tubos de plástico (PVC

e polietileno) e os de aço galvanizado são os que predominam na grande maioria dos

sistemas de irrigação implantados atualmente no mundo (GOMES, 1999).

Outras fórmulas empíricas são comumente utilizadas para o cálculo da perda de

carga. A fórmula de Hazen-Williams é extensamente usada no cálculo para o

dimensionamento de condutos:

87,4

1,85

10,64

J =

(2.8)

Onde:

Q – vazão (m³/s);

D – diâmetro do conduto (m);

J – perda de carga unitária (m/m);

C – coeficiente de Hazen-Williams.

O coeficiente de Hazen-Williams depende da natureza da parede do tubo (material

e estado). A Tabela 2.2 mostra os valores desse coeficiente, para diversos materiais das

tubulações.

Tabela 2.2 – Valores do coeficiente de Hazen-Williams

Material Valores de C

Aço soldado, novo 120

Aço soldado, em uso 90

Aço soldado com revestimento especial 130

Concreto, acabamento liso 130

Concreto, acabamento comum 120

Ferro fundido, novo 130

Ferro fundido, usado 90

Ferro fundido, revestido de cimento 130

Vidros 140

PVC 145

Fonte: Adaptado de Azevedo Netto et al., 1975.

Segundo PORTO (1999), a fórmula de Hazen-Williams é recomendada

preliminarmente para:

• Escoamento turbulento de transição;

•

Diâmetro de tubulação em geral superior ou igual a 4";

•

Apenas para água a 20ºC, pois não leva em conta o efeito viscoso;

• Cálculo de redes de distribuição, adutoras e sistemas de recalque.

Existem várias outras fórmulas utilizadas no cálculo da perda de carga, como:

Fórmula de Manning, Fórmula de Scimeni, Fórmula de Scobey, Fórmula de Fair-Whipple-

Hsiao, entre outras (BAPTISTA

et al., 2003). Não são apresentadas essas fórmulas neste

texto por serem menos utilizadas do que as anteriormente citadas.

Na utilização da fórmula de Hazen-Williams tem-se um aumento de 4% a 6% nas

perdas de carga, se comparadas às perdas calculadas pela fórmula de Darcy-Weissbach

(BAPTISTA

et al., 2003, PORTO, 1999). Essas duas fórmulas são resultados de um

cuidadoso estudo estatístico e de estudos amplamente aprovados na prática (PORTO,

1999). Neste trabalho são utilizadas estas duas fórmulas para o cálculo das perdas de carga.

2.6. BOMBEAMENTO

Segundo MACINTYRE

(1987), as bombas hidráulicas podem ser definidas como

máquinas geratrizes, cuja finalidade é realizar o deslocamento de um líquido por

escoamento. Sendo uma máquina geratriz, ela transforma o trabalho mecânico que recebe

para seu funcionamento em energia, que é transmitida ao líquido sob as formas de energias

de pressão e cinética.

Os sistemas de irrigação comumente utilizam bombeamento na cabeceira da rede a

ser abastecida. A água é bombeada da fonte até um reservatório, que deverá se encontrar

em altura suficiente para que o abastecimento da rede seja feito por gravidade, no qual há

um aproveitamento potencial de posição para o transporte da água.

O sistema que compõe a elevação da água para o reservatório é chamado de sistema

de recalque, e é composto por três partes:

•

Tubulação de sucção: constituída pela canalização que liga a tomada d’água à

bomba;

•

Conjunto elevatório: constituído por uma ou mais bombas e os respectivos

motores elétricos.

• Tubulação de recalque: constituída pela canalização que liga a bomba ao

reservatório.

A Figura 2.6 mostra um esquema de um perímetro de irrigação que utiliza o

bombeamento para distribuição da água na rede.

Figura 2.6 – Rede de Irrigação com Bombeamento.

Fonte: Gomes, 1999.

2.6.1. POTÊNCIA E RENDIMENTO DO CONJUNTO ELEVATÓRIO

Para levar a vazão nominal especificada à altura manométrica total calculada, o

conjunto elevatório deve possuir uma potência adequada. Define-se por potência hidráulica

(BAPTISTA

et al., 2003) o trabalho realizado sobre o líquido ao passar pela bomba em um

segundo, dado pela seguinte expressão:

H.Q.P

(2.9)

– potência hidráulica (W);

– vazão bombeada (m³/s);

– altura manométrica (m);

γ – peso específico da água (N/m³);

Estação de

Bombeamento

Terminais

Tomada

d’água

Rede de

Distribuição

No processo de transformação do trabalho mecânico em energia cinética e de

pressão, realizado pela bomba, existem perdas hidráulicas. Essas perdas hidráulicas podem

ser divididas em dois tipos (MACINTYRE, 1987):

•

Perdas de carga que ocorrem nos componentes da bomba (rotor, vazamentos,

energia dissipada, etc) desde a entrada até à saída da bomba;

•

Perdas volumétricas, que são devidas à redução da descarga útil da bomba.

Devido às perdas hidráulicas, a potência cedida pelo motor elétrico para a bomba

deve ser maior que a potência hidráulica requerida pelo escoamento. A relação entre a

potência hidráulica e a potência cedida pelo motor elétrico para a bomba fornece o

rendimento hidráulico da bomba (ALMEIDA, 2001).

η =

(2.10)

Porém, para calcular a potência do conjunto elevatório (bomba e motor), é

necessário conhecer, além do rendimento da bomba, o rendimento do motor. Esse

rendimento está associado à transformação de energia elétrica em trabalho mecânico

realizada pelo motor elétrico acoplado à bomba. Portanto a potência de entrada do motor

elétrico (potência motriz) é maior que a potência cedida pela bomba (potência de eixo).

η =

(2.11)

Assim, tem-se:

H.Q.γ

−

(2.12)

Onde:

– potência do conjunto elevatório motor-bomba (W);

– vazão bombeada (m³/s);

– altura manométrica (m);

γ – peso específico da água (N/m³);

M-B

– rendimento do conjunto motor-bomba.

O rendimento η

Μ−Β

depende basicamente do porte e características dos

equipamentos, e os seus valores são fornecidos pelo fabricante.

2.6.2. CURVAS CARACTERISTICAS

2.6.2.1. Curvas Características de uma bomba

Curva característica é a representação gráfica das funções que relacionam os

diversos parâmetros do funcionamento da bomba. Essas curvas permitem relacionar uma

variável facilmente controlada, a vazão de recalque (Q) com a pressão gerada, a potência

absorvida (P), o rendimento (η) e principalmente a altura manométrica (Hm)

(MACINTYRE, 1987).

As curvas características de uma bomba são obtidas experimentalmente em um

banco de ensaios, no qual, para cada vazão recalcada, são medidas a vazão e a altura de

elevação, com auxílio de manômetros, e o torque no eixo da máquina. O ensaio é repetido

para outros diâmetros de rotor e os resultados são lançados em gráficos (PORTO, 1999).

Figura 2.7 – Representação da curva característica de uma bomba

As informações contidas nestas curvas são essenciais para a escolha da bomba e

para o modo de operação da elevatória (AZEVEDO NETTO

et al.,1975). A exigência,

pelo comprador, pela apresentação das curvas características é importante, porque através

delas consegue-se fazer um exame das possíveis condições de funcionamento.

2.6.2.2. Curvas Características do Sistema

A curva característica do sistema, ou curva característica da tubulação, é a

representação gráfica da carga dinâmica total em função da vazão para a tubulação do

sistema acoplado à bomba. A importância da curva do sistema é que ela permite

determinar a condição de operação (o par carga e vazão) da bomba conectada a ele

(ALMEIDA, 2001).

A curva característica do sistema pode ser desenhada, calculando-se o termo perda

de carga total (localizadas e distribuídas, nas canalizações de recalque e sucção) em função

da vazão e das características das tubulações. A altura geométrica pode assumir valores

positivos (mais comum), nulos ou negativos, situação que ocorre quando se deseja

aumentar a capacidade de vazão de um sistema por gravidade pela colocação da bomba.

A altura total de elevação não é constante com a vazão recalcada, mas é função

dela, diminuindo com o aumento da vazão.

H, P e η

Potência

Altura manométrica

Rendimento

H – altura manométrica

P – potência

Q – vazão

η – rendimento

A solução da escolha da melhor bomba é obtida com os gráficos como indicado na

Figura 2.7 e na Figura 2.8, onde tem-se a sobreposição da curva característica do sistema à

curva característica da bomba, fornecida nos catálogos dos fabricantes. O ponto de

cruzamento das curvas é chamado de ponto de funcionamento ou ponto de operação. Esse

ponto deve, na medida do possível, corresponder ao ponto ótimo de rendimento da bomba,

e em relação à tubulação, deve ser o ponto do seu custo mínimo.

Figura 2.8 – Ponto de funcionamento de uma bomba.

2.7. ASPECTOS ECONÔMICOS

Ao se realizar uma obra de engenharia, é de extrema importância a análise

econômica e financeira. Tal premissa é válida para os custos das redes de abastecimento

dos sistemas de irrigação. Esse tipo de rede geralmente envolve custos bastante elevados,

tanto nos investimentos para a implantação do projeto, como para a sua operação e

manutenção do sistema (SANTANA, 1999; CARVALLO, 1998).

Para determinar o custo de um projeto de irrigação, com relação aos seus

equipamentos hidráulicos, devem-se somar os custos fixos de investimento e os gastos

variáveis que deverão incidir ao longo da vida útil das instalações.

Os custos fixos de investimento englobarão a aquisição dos equipamentos das

instalações hidráulicas (tubulações, peças de conexões, equipamentos de bombeamento,

Curva do sistema

Curva da bomba

Ponto de

funcionamento

H – altura manométrica

Q – vazão

etc.), juntamente com os gastos de implantação do sistema. Os custos variáveis incluem os

gastos de exploração do sistema, compreendendo despesas de operação e manutenção. O

principal gasto referente a este custo é encontrado nos projetos que dispõem de sistemas de

bombeamento. Os gastos da energia de bombeamento, na maioria das vezes, chegam a

ultrapassar, ao longo da vida útil dos projetos, os custos de investimento das instalações

(GOMES, 1999).

O custo final do projeto será a soma desses dois componentes, porém os custos de

investimento, sendo fixos, e os custos de operação, sendo variáveis, não podem ser

somados. Para contornar essa dificuldade, devem-se converter os gastos fixos em

amortizações anuais, ou gastos variáveis em valores fixos atualizados.

A conversão financeira do investimento das instalações é feita pela amortização

anual do capital, multiplicando o valor presente pelo fator de amortização (GOMES,

2002).

1i)(1

i).(1i

−+

(2.13)

Onde:

a – fator de amortização anual do capital;

i – taxa de juro anual, em decimal;

n – número de anos correspondente à vida útil das instalações do projeto.

Ainda segundo GOMES (1999), a conversão financeira dos custos variáreis

compreende uma taxa de juros anual de inflação ou aumento de energia. O valor fixo

atualizado é obtido multiplicando-se a anuidade dos custos por um fator de atualização,

calculado da seguinte forma:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+−+

i)(1

i)(1e)(1

(2.14)

Onde:

Fa – fator de atualização;

e – taxa anual do aumento de energia;

i – taxa de juro anual;

n – número de anos correspondente à vida útil das instalações do projeto.

O projetista deverá escolher se deseja amortizar os custos fixos ou atualizar os

custos variáveis. Neste trabalho o cálculo do custo total é feito atualizando os custos

variáveis através do fator de amortização.

3. PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR E APLICAÇÕES

A otimização teve início através de métodos clássicos, a necessidade de resolver

problemas de otimização fez surgir o cálculo diferencial e o cálculo de variações há mais

de 150 anos (FRITZSCHE, 1978). A existência dos métodos de otimização pode ser

atribuída a Newton, Lagrange e Cauchy. Já o desenvolvimento dos métodos de cálculo

diferencial de otimização só foi possível devido às contribuições de Newton e Leibnitz. O

fundamento para o cálculo de variações foi colocado por Bernoulli, Euler, Lagrange e

Weirstrass (RAO, 1979). Os problemas de minimização irrestrita foram formulados por

meio dos métodos clássicos de Cauchy e Newton. Os problemas de otimização restritiva,

por sua vez, começaram pela adição de multiplicadores, método que ficou conhecido pelo

nome do seu inventor, Lagrange (FRITZSCHE, 1978, RAO, 1979). Essas contribuições

foram pequenas para o avanço nas técnicas de otimização e muito pouco progresso foi

obtido até mais ou menos à metade do século XX. Quando os computadores digitais

começaram a ganhar velocidade houve um grande avanço nos procedimentos de

otimização, com pesquisas de novas técnicas (RAO, 1979).

As técnicas numéricas de otimização foram introduzidas na Segunda Guerra

Mundial para a solução de problemas de operações logísticas militares. Nessa época, o

professor George B. Dantzig, um dos pioneiros nessa ciência, trabalhava para a força aérea

dos Estados Unidos com a finalidade de resolver problemas de alocação de aeronaves para

o transporte de suprimentos. Foi em 1947 que Dantzing desenvolveu o método Simplex

para a resolução de problemas de Programação linear.

Para encontrar a solução ótima de um problema de grande porte faz-se necessária a

utilização de modelos matemáticos não-lineares, uma vez que os problemas da engenharia

envolvem fórmulas não-lineares e, por conseguinte a NLP.

A programação matemática, de uma forma geral, engloba duas linhas centrais de

concepção: a determinística e a estocástica. A programação matemática estocástica se

insere nos modelos probabilísticos que descrevem a aleatoriedade do futuro na formulação

do problema decisório. A NLP esta inserida na programação determinística, por ser um

procedimento de otimização aplicado a problemas com decisões seqüenciais, ainda que o

problema possa ser decomposto em vários estágios, nos quais as decisões são tomadas.

3.1. A PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR (NLP)

O modelo de NLP consiste na otimização de uma função-objetivo sujeita ou não a

restrições, onde as funções de restrições podem ser não-lineares e/ou lineares (NASH e

SOFER, 1996). Essa programação é caracterizada por não possuir um único algoritmo para

resolução de seus problemas (FIRMINO, 2004). O maior problema desse tipo de

programação está na incerteza de que a solução obtida para o problema seja realmente a

melhor, isto é, muitas vezes chega-se a um ótimo local ao invés de um ótimo global, sendo

este um fato inerente à natureza não-linear do problema; enquanto que a sua grande

vantagem é a abrangência, isto é, uma vez elaborado o modelo matemático do problema a

otimizar, com sua função-objetivo e suas restrições, normalmente nenhuma simplificação

será necessária em termos de formulação (CIRILO, 1997).

Segundo CIRILO (1997), a programação não-linear nasceu a partir do trabalho

pioneiro de KUHN E TUCKER (1951), sendo as décadas de 50 e 60 marcadas por um

grande desenvolvimento nessa área. A partir da década de 70 houve uma multiplicação do

número de pesquisas e aplicação da NLP, devido ao crescimento da capacidade de

processamento dos computadores de grande e, posteriormente, pelo desenvolvimento

acelerado dos microcomputadores.

Ainda segundo CIRILO (1997), a NLP é classificada pela junção dos métodos que

utilizam técnicas analíticas e técnicas de busca numérica. As técnicas analíticas procuram

determinar soluções ótimas, resolvendo sistemas de equações que utilizam derivadas.

Como exemplos, têm-se: Método dos Multiplicadores de Lagrange, Programação

Geométrica, Método de Cálculo Diferencial. Já as técnicas de busca numérica usam

informações passadas em um processo iterativo, gerando melhores soluções no processo de

otimização. Essas técnicas permitem o emprego de métodos numéricos para resolver

problemas dos quais não se conhece solução analítica.

3.1.1. CONDIÇÕES NECESSÁRIAS DE OTIMALIDADE

Considerando o problema simples de otimização:

Otimizar: f(x)

Sujeito a: a

≤x≤b

(3.1)

Segundo BRONSON (1985), a função-objetivo f(x) apresenta um mínimo local (ou

relativo) em x

se existir um intervalo (pequeno) centrado em x

, tal que f(x)≥f(x

) para

todo x deste intervalo, onde a função é definida. Se f(x)≥f(x

) para todo valor de x para o

qual a função é definida, então o mínimo em x

(além de ser local) é um mínimo global (ou

absoluto). Máximos local e global são definidos de maneira semelhante em termos da

desigualdade oposta.

Deve-se atentar que nem todos os problemas ou funções possuem um máximo ou

mínimo global. A condição suficiente para existência destes é que a função f(x) seja

contínua e definida no intervalo requerido [a,b]. Quando isso ocorre, a função é dita

côncava (se

≤ ) ou convexa (se 0

≥ ).

Uma importante definição para a busca do ponto ótimo é o vetor gradiente, pois

quando se encontra um ponto não-ótimo em um estágio da busca ao se pesquisar na

direção do gradiente, normalmente se obterá um ponto próximo do ótimo

(LUENBERGER, 1989). Assim, o gradiente é uma direção, e o seu vetor indicará a direção

do ponto ótimo da função. O gradiente de f(x) em qualquer ponto x é o vetor cujos

componentes são as derivadas parciais da função f, sendo definido pelo seguinte vetor:

n21

,....

f(x)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

≡∇

(3.2)

Onde:

f(x)∇ - gradiente da função f(x);

∂

- derivada parcial de x no ponto x

∇ f (x*) tem-se a representação do gradiente no ponto ótimo e esse vetor indica

a direção onde a variação de f(x) é a maior possível.

O vetor gradiente define a condição de 1ª ordem para a procura do ponto ótimo.

Achando esse ponto, a matriz hessiana define a condição de 2ª ordem através das derivadas

segundas parciais, e a partir dos valores encontrados nessa matriz se deduz se esse ponto é

um máximo ou um mínimo local.

A matriz hessiana é sempre simétrica, sendo definida por (CIRILO, 1997):

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂∂

∂

≡∇=

f(x)(x)H (i, j = 1,2,.....n)

(3.3)

Onde:

(x) – matriz hessiana de f(x);

∇ ²f (x) – gradiente de 2ª ordem da função f(x);

∂∂

∂

- derivada segunda parcial de f(x).

A matriz hessiana de f(x) analisada no ponto ótimo, em x = x*, será definida:

•

Positiva quando x* é um ponto de mínimo local;

•

Negativa quanto x* é um ponto de máximo local;

•

Semidefinida quando a condição de 2ª ordem é incompleta;

•

Indefinida quando x* for um ponto de sela.

3.2. ALGORITMOS DE CONVERGÊNCIA DA NLP

Os algoritmos da NLP não atingem necessariamente a solução exata, como ocorre

com o Método Simplex da programação linear (LP), mas geram uma seqüência de pontos

cujo limite converge ao ponto ótimo. Na prática, termina-se o processo da otimização

quando um ponto está suficientemente perto do ponto de solução (FRITZSCHE, 1978). Os

algoritmos do processo de NLP são iterativos, ou seja, geram uma série de pontos, sendo

que cada ponto é calculado com base no seu precedente.

Os algoritmos iterativos são divididos em três aspectos. O primeiro refere-se ao

caso em que os algoritmos não são esboçados aleatoriamente, sendo baseados na estrutura

do problema e na eficiência do computador. O segundo é a verificação de que o algoritmo

convergirá para um ponto ótimo. Esse aspecto é chamado de análise de convergência

global, que verifica se um algoritmo converge ao ponto ótimo de qualquer ponto de

partida. O terceiro aspecto analisa a convergência local, determinando a velocidade de

convergência (LUENBERGE, 1989).

Os algoritmos desenvolvidos para o cálculo da NLP podem ser feitos sem ou com

restrições, relacionadas à função-objetivo. Os métodos para obtenção do ponto ótimo

também são estruturados de acordo com a existência ou não de restrições. São métodos de

algoritmos sem restrições: Método de Newton-Raphson, Método do Maior Gradiente,

Método dos Gradientes Conjugados, Métodos Quase-Newtonianos, Método de Fletcher-

Powell, Método do Hooke e Jeeves, entre outros (BRONSON, 1985; CIRILO, 1997;

EHRLICH, 1991). São métodos de algoritmos com restrições: Método das Penalidades,

Método das Direções Viáveis, Método da Lagrangeana Projetada (Programação

Quadrática), Método dos Gradientes Reduzidos Generalizado (GRG), Método das

Variações nas Coordenadas, entre outros (BRONSON, 1985).

O presente trabalho deu enfoque aos algoritmos com restrições, uma vez que, para

o bom funcionamento dos sistemas de abastecimento d’água, é necessário serem impostas

restrições, tais como: limites de pressão, limites de velocidade, intervalos de diâmetros

comerciais disponíveis e limite da perda de carga unitária.

Dentre os vários métodos encontrados na literatura foram citados apenas alguns,

dentre estes os algoritmos utilizados para modelagem do problema proposto neste trabalho.

3.2.1. MÉTODO DAS FUNÇÕES DE PENALIDADES

O método das funções de penalidades é um procedimento que visa aproximar

problemas de otimização com restrições, para problemas de otimização sem restrições.

Essa aproximação é obtida adicionando-se à função-objetivo uma parcela que estabelece

uma grande penalidade pela violação das restrições (FRITZSCHE, 1978). Assim, um

problema de otimização do tipo:

Maximizar: z = f(x) com

≡

]

Sujeito a: g

(x) = 0 i = 1,2,....,m

(3.4)

Pode ser transformado em um problema sem restrição:

Maximizar: z* = (x)g.pf(x)

∑

−

(3.5)

Onde:

– coeficientes de penalidades.

Esses coeficientes de penalidades devem ser maiores que zero e constantes. Para

valores grandes de p

, a solução do problema 3.5 forçará cada função g

(x) a ficar próxima

do zero, a fim de serem evitados efeitos adversos provenientes dos termos p

(x) sobre a

função-objetivo (BRONSON, 1985). As restrições de desigualdade podem fazer parte do

problema, introduzindo variáveis de folga e assim transformando-as em igualdades

(CIRILO, 1997). Esse método é um dos mais utilizados e mais bem aceito no mundo da

programação, servindo de base para muitos outros processos de otimização.

3.2.2. MÉTODO DO GRADIENTE REDUZIDO

O Método do Gradiente Reduzido, desenvolvido por WOLFE (1963), resolve

problemas de NLP com restrições lineares.

Considerando como exemplo o seguinte problema de aplicação da programação

não-linear:

Minimizar z = f(x)

Sujeito a:

A.X = B

≥x≥α

(3.6)

Onde:

f(x) – função real diferenciável e com as primeiras derivadas contínuas;

A – matriz de dimensão MxN, onde M

≤N;

B – vetor de dimensão M;

α,β: limites dos valores assumidos pelas variáveis.

O vetor

X pode ser repartido em dois vetores, X = (X

, X

), onde X

é o vetor com

as variáveis básicas, ou dependentes, e

é o vetor com as variáveis não-básicas, ou

independentes. A matriz

A poderá ser transformada em duas sub-matrizes, C e D

(FRITZSCHE, 1978). Então, a equação 3.6 pode ser reescrita da seguinte forma:

Minimizar: z = f(

, X

) (3.7)

Sujeito a:

C. X

+ D. X

= B

≥ X

≥α

≥ X

≥α

FRITZSCHE (1978) supôs que a sub-matriz

C é composta pelas primeiras colunas

A referentes às variáveis dependentes X

, ou seja, C corresponde ao vetor X

que é

não-singular. Então pode-se explicitar

da seguinte forma:

D11C

X.D.CB.CX

−−

−=

(3.8)

A equação 3.8 expressa que se pode assinalar quaisquer valores às componentes de

e sempre resolver o sistema da equação 3.7, em termos de X

. Por isso, diz-se que o

vetor

é independente.

A partir dessa afirmação, deve-se calcular o gradiente reduzido da função e,

conseqüentemente, obter os vetores procurados. O gradiente reduzido é dado po:

fDCfXr

.)'..(.)( ∇−∇=∇

−

(3.9)

Onde:

∇ r – gradiente reduzido de X

A direção viável que melhora a função f em X também é dada em razão de D ou da

direção dir

, que é estabelecida com a direção do gradiente de f(X

) e dada por:

.DC).,XX(f),XX(fdir

DCCDCDD

−

∇+−∇=

(3.10)

A resolução do problema é iniciada com a adoção de um ponto viável

e o

cálculo da direção dir

= (dir

, dir

). Se, após todos os cálculos descritos acima, a direção

de dir

for determinante de um ponto ótimo, X

será esse ponto; caso contrário adota-se um

novo

3.2.3. MÉTODO DO GRADIENTE REDUZIDO GENERALIZADO (GRG)

O Método do Gradiente Reduzido Generalizado, como o próprio nome diz, é uma

generalização feita ABADIE E CARPENTIER (1969) do Método do Gradiente Reduzido.

Essa generalização permitiu que o método fosse introduzido para as restrições não-lineares.

O método pode empregar restrições lineares e não-lineares, e expressa o gradiente em

termos dessa base normal.

Segundo FRITZSCHE (1978), a idéia presente nessa metodologia é resolver um

NLP por um processo parecido com o método simplex da LP. Para isso, considere-se o

problema indicado a seguir:

Minimizar: z = f(

X) com

][XX ≡

Sujeito a: g(

X) = 0

β≥x≥α

(3.11)

A variável x pode ser repartida em duas outras variáveis, x = (X

)

onde X

são

as variáveis básicas e X

são as variáveis não básicas. Estas últimas variáveis deverão ser

conhecidas previamente. O problema 3.11 pode ser reescrito em função dessas variáveis,

da seguinte forma:

Minimizar: z = f(

)

Sujeito a: g(

) = 0

≥ X

≥α

≥ X

≥α

(3.12)

Em termos de função Lagrangeana o problema 3.12 será minimizado da seguinte

forma:

Minimizar: f(X

) + λ

.g(X

)

(3.13)

Deve-se iniciar o problema com um

qualquer. Então, uma vez que se conhece

e definida a restrição g(X

) = 0 pode-se, através de um método iterativo,

determinar

. Inicia-se a direção de busca das variáveis não básicas, com a direção de

busca conhecida como gradiente reduzido (

)(X

∇ ), com base no gradiente da

Lagrangeana:

)X,X(J.)X,X(f)X(

CDDD

λφ

+∇=∇

(3.14)

Onde

é dado por:

1−

−∇= )]X,X(J).[X,X(f

(3.15)

Se o módulo do vetor gradiente reduzido (

)X(

∇ ) for menor que a tolerância de

convergência pré-definida, a variável

é tida como ponto ótimo da função. Caso isso não

ocorra,

deverá ser incrementado, e as duas outras variáveis, conseqüentemente, também

serão incrementadas

)X(.XX

φα

∇+=

. O método generalizado do gradiente

reduzido é baseado sobre uma movimentação iterativa de um ponto x, até qualquer que

seja atingido um ponto x onde

)X(

∇ satisfaça as restrições do problema.

3.2.4. MÉTODO DA BUSCA DE SOLUÇÕES INTEIRAS

Muitas vezes faz-se necessário, além da busca pelo ponto ótimo, a busca por

soluções inteiras, como é o caso dos sistemas de abastecimento d’água, uma vez que

comercialmente os diâmetros disponíveis para obtenção das redes são valores discretos

(GOMES, 2002). Nesta, e em outras situações, se faz necessária a associação da NLP com

um algoritmo de programação inteira.

Segundo ALMEIDA (2001), para cada variável inteira de um problema de

otimização existe um conjunto finito de valores que as variáveis podem assumir,

compondo desse modo um conjunto de soluções específicas associadas a estes valores.

Para resolver esse problema, pode-se tentar fazer uma enumeração explícita das variáveis,

porém, por se ter um grande número de variáveis, seria impossível analisar todas as

combinações. Para contornar tal dificuldade, surgiram os métodos de enumeração implícita

(HU, 1970). Nesses, a avaliação de uma solução inteira será feita de modo que um

conjunto de soluções seja descartado implicitamente, à medida que são geradas soluções

inferiores à solução analisada.

Existem vários algoritmos para resolver um problema que envolve programação

para variáveis inteiras com enumeração implícita, dentre eles o de GOMORY (1960), o

algoritmo aditivo (BALAS, 1965) e o da procura de direção (LEMKE E SPIELBERG,

1967). A técnica mais conhecida e mais eficiente, para determinados problemas, é a da

ramificação e avaliação progressiva. Mais conhecida com

Branch and Bound, ela pode ser

aplicada a problemas de programação inteira ou de programação mista. Segundo

EHRLICH (1991), o método consiste em observar que, se depois de encontrado o ponto

ótimo de um problema, com a introdução de restrições adicionais, o novo ótimo será “não

melhor” que o anterior sem as restrições adicionais.

Para ilustrar o processo citado, considere-se o exemplo a seguir (EHRLICH, 1991):

Max Z = x

+ 4x

Sujeito a: 2x

+ 4x

≤7

10x

+ 3x

≤ 15

e x

inteiros e positivos

(3.16)

Inicialmente, resolve-se o problema desprezando a restrição de inteireza. Para

simplificar o entendimento observe-se a árvore de soluções “

Branch and Bound” a seguir:

Figura 3.1 - Árvore de soluções pelo algoritmo de Branch and Bound.

Sol. 1 (sem inteireza)

= 0

= 7/4

Z = 7

Z* = 0

Sol. 2 → x

≥ 1

= 1,2

= 1

Z = 5,2

Z* = 0

Sol. 3 → x

≤ 2

Não viável

Sol. 5 → x

≤ 2

Não viável

Sol. 4 → x

≥ 1

= 1

Z = 5

Z* = 5

De acordo com o problema da Figura 3.1, verifica-se que cada vez que uma

variável resulta não inteira, ramifica-se o resultado em duas opções de restrições inteiras,

adicionando às variáveis o inteiro logo acima e o inteiro logo abaixo.

O algoritmo de

Branch and Bound gira em torno de um Z*, e este será o maior

valor para o problema que também satisfaz às restrições de inteireza. O valor inicial do Z*

é zero, correspondendo a x

e x

iguais a zero e sendo este o valor inicial que satisfaz as

restrições de inteireza. A cada ramificação deve-se fazer uma comparação entre Z* e o

valor da função-objetivo obtido no nó de estudo, verificando se esse valor será aceito ou

descartado, será aceito apenas quando houver satisfação das restrições de inteireza. Em

problemas de maximização, o Z* atua como limite inferior, ou seja, deve-se prosseguir a

ramificação em nó se Z>Z*. Já para minimização, o Z* atua como limite superior, ou seja,

prossegue-se por um nó se Z<Z*. A solução ótima será obtida, respeitando as restrições de

inteireza, quando Z* = Z (EHRLICH, 1991).

3.3. PROGRAMAS COMPUTACIONAIS UTILIZADOS NA NLP

Existe uma grande variedade de programas computacionais para resolver problemas

de programação não-linear. Esses programas, geralmente, agrupam uma série de

algoritmos de otimização, chamados de

solver na linguagem computacional. Esse

agrupamento permite que o usuário associe mais de um

solver para a resolução de um

problema. Cabe ao usuário a preparação do arquivo de entrada num formato compatível

com o

solver escolhido e este resolve automaticamente as matrizes, hessianas, gradiente,

etc., para obtenção do valor ótimo procurado.

Dentre os vários programas computacionais de otimização existentes no mercado

ou para fins acadêmicos, destacam-se: Programa ADS, Programa AMPL, Programa EASY,

Programa GAMS, Programa LANCELOT, Programa MATLAB, a ferramenta Solver do

MS-EXCEL, entre outros. O Solver do MS-EXCEL é o programa mais difundido

mundialmente, dentre os citados. Para resolver problemas não-lineares, ele trabalha

utilizando o método Gradiente Reduzido Generalizado, enquanto que, no caso de

problemas lineares, o Solver usa o método Simplex com limites sobre as variáveis.

Em meio aos vários programas citados, este trabalho destaca o Programa GAMS,

utilizado para resolução da otimização dos problemas a serem apresentados.

3.3.1. O PROGRAMA GAMS (General Algebraic Modeling System)

O GAMS foi desenvolvido por Meeraus e Brooke para o Banco Mundial em 1980,

e faz parte do grupo de programas citados anteriormente, onde existe uma junção de

algoritmos de otimização. O programa possui uma versão estudante disponível na internet,

através de seu site (www.gams.com), e a versão completa obtida através de licença

concedida pelos administradores do programa. Ele possui uma linguagem de alto nível

para a formulação de modelos de pesquisa operacional, sendo hoje uma das ferramentas,

para este campo, mais difundida em todo mundo, suportando um grande número de

algoritmos. Ele foi especialmente idealizado para modelagem de problemas de

programação linear, não-linear, inteira e mista.

A linguagem utilizada pelo GAMS permite que o processo de elaboração de um

modelo seja independente do algoritmo a ser utilizado. Além disso, o texto explanatório

pode se tornar parte da definição de todos os símbolos ou variáveis do programa, e é

reproduzido sempre que os valores associados a esses são exibidos.

Uma visão geral e rápida da linguagem básica do GAMS pode ser vista através do

exemplo abaixo:

Min

∑

−=

)y'(yf

Sujeito a:

bx.ay

∀

αxβ

≤

(3.17)

Dado o problema 3.17, a estruturação no GAMS seria a seguinte:

SETS – definição de conjuntos; índices, elementos de vetores, etc. No problema

acima

i é um set, e para ele pode-se atribuir um nome explicativo;

PARAMETERS – são as constantes do problema. No exemplo: a, b, α e β;

VARIABLES – fatores a serem otimizados. No exemplo: x

(consequentemente y

por associação);

EQUATIONS – módulo onde são expressas as restrições do problema e a função-

objetivo. Acima temos uma igualdade e uma desigualdade;

MODEL – é usado para reunir equações em grupos e rotulá-los de modo que

possam ser resolvidos. Para o problema 3.17 todas as equações poderão ser

inclusas.

SOLVE – dá início ao processo de otimização. É nesse comando que se define o

tipo de algoritmo a ser usado, se ocorrerá maximização ou minimização, e o qual é

a função a ser otimizada (função-objetivo).

Os seguintes princípios são usados para projetar um sistema no GAMS (BROOKE,

1997):

•

Todos os métodos algorítmicos existentes ficam disponíveis, sem mudar a

representação do modelo feita pelo usuário. A introdução de novos métodos, ou de

novas implementações dos métodos existentes, deve ser possível sem exigir

mudanças nos modelos existentes.

•

O problema de otimização pode ser expresso independentemente dos dados que o

mesmo utiliza. Essa separação entre lógica e dados permite que os problemas

possam crescer em tamanho, sem causar um aumento na complexidade de

representação.

•

O uso do modelo de dados relacional requer que a alocação dos recursos

computacionais seja automatizada. Isso significa que modelos grandes e complexos

podem ser construídos sem que o usuário tenha que se preocupar com detalhes

como os tamanhos das matrizes, vetores, etc.

Então, vê-se que o GAMS facilita e agiliza a elaboração e manipulação de modelos

de otimização, pois eles podem ser escritos e alterados sem complicações. O programador

pode utilizar diversos algoritmos para a solução de um mesmo modelo. Os dados podem

ser alterados e visualizados em arquivos de texto ou planilhas eletrônicas. O maior

problema do GAMS é ter uma linguagem própria, diferente das que se encontram na

maioria dos programas para manipulação de algoritmos, criando uma certa dificuldade

para um programador iniciante entender os procedimentos.

3.3.1.1. O solver Continuous Optimizer (CONOPT)

CONOPT é um modelo que está contido no programa GAMS e resolve algoritmos

de programação não-linear, sendo esse tipo o mais solicitado dos modelos, por resolver

programações de larga escala. Ele foi desenvolvido e é mantido pela

ARKI Consulting &

Development A/S em Bagsvaerd, Dinamarca, há cerca de 25 anos.

O CONOPT é um solver baseado no método do Gradiente Reduzido Generalizado

(GRG), com algumas extensões mais novas (CONOPT, 2006). O método original GRG

exprime confiabilidade e velocidade para resolução de modelos com largo grau de não

linearidade. A sua extensão abrange, além desses aspectos citados, a dificuldade para se

obter o ponto ótimo procurado, devido ao número de iterações exigível.

Atualmente existem mais duas extensões de atualizações do CONOPT: CONOPT2

e CONOPT3. Os três CONOPTs se comportam diferentemente, sendo o CONOPT3 o

melhor para muitos modelos (CONOPT, 2006). Existe um pequeno número de modelos

que são melhor resolvidos com as versões mais velhas e, por isso, eles são distribuídos

juntos com o CONOPT3 na mesma licença.

Todos os componentes do CONOPT foram projetados para modelos grandes,

funcionando perfeitamente, também, para modelos pequenos. Modelos com mais de

10.000 restrições podem ser resolvidos neste solver, existindo problema, já resolvido nele,

com um milhão de restrições (CONOPT, 2006). Os modelos com mais de 500 variáveis

também podem ser resolvidos neste solver, podendo apenas tornar o processo iterativo um

pouco lento. Além disso, relatam-se sistemas não-lineares com mais de 20.000 equações e

variáveis resolvidos com sucesso (DRUD, 2006).

O CONOPT resolve modelos de NLP em que todas as variáveis são contínuas e

todas as restrições geralmente simples e suas derivadas também. Ele tenta encontrar um

ótimo local a fim de satisfazer as condições usuais de otimalidade de Kuhn-Tucker

(CONOPT, 2006). As funções não-lineares que definem o modelo e suas derivadas

analíticas são calculadas com uma exatidão elevada. As derivadas segundas são necessárias

em alguns componentes do CONOPT e os modelos com muitos graus de liberdade só

podem ser resolvidos, eficientemente, se as 2ª derivadas estiverem disponíveis.

Apesar da excelente aplicabilidade do CONOPT para funções não-lineares, devem

ser feitas algumas observações em seu uso (CONOPT, 2006):

•

Modelos várias variáveis podem também ser resolvidos com o CONOPT, mas o

tempo computacional pode ser mais elevado do que para algoritmos com álgebra

menos densa;

•

A NLP não pode garantir que a solução é o ótimo global. Cabe ao usuário do

algoritmo a familiaridade com a teoria de soluções globais e locais, e julgá-las.

3.3.1.2. O solver Branch and Bound (SBB)

Desenvolvido também pela

ARKI Consulting & Development A/S em Bagsvaerd,

Dinamarca, o SBB está contido no GAMS para programação não-linear inteira mista,

sendo introduzido em outubro de 2000 na versão 19.5 do GAMS. Ele é baseado na

combinação do método de Branch and Bound com a programação não-linear. O método

mais conhecido da Programação Não-Linear Inteira Mista (MINLP) atualmente é o SBB,

que pode ser usado com os seguintes

solvers: CONOPT, MINOS (MURTAGH et al.,

2002) e SNOPT (GILL et al., 2002).

Inicialmente, o modelo da MINLP é resolvido usando os valores iniciais

provenientes de modelos não inteiros. SBB não trabalha se o modelo for ilimitado,

impossível ou falho. Quando todas as variáveis discretas no modelo MINLP forem inteiras,

o SBB tornará essa solução como uma solução ótima inteira.

4. OTIMIZAÇÃO DE REDES HIDRÁULICAS

Diante da escassez dos recursos hídricos e da indisponibilidade de recursos

financeiros, cabe ao projetista procurar soluções técnicas mais eficientes e ao mesmo

tempo mais econômicas, a fim de resolver os seus projetos. Para isso, ele será levado a

fazer uma escolha, já que se tem um grande número de soluções para um determinado

problema. Na escolha da melhor solução, ou da solução ótima, impõe-se restrições que

deverão satisfazer determinados requisitos, sempre tomando como base a relação custo-

benefício. O projetista deverá simular o comportamento da realidade e otimizar os

processos decisórios que atuam sobre a nossa realidade. Antes de existir essas técnicas de

otimização, a busca do ótimo se fazia somente por aproximações baseadas na experiência

do projetista, não garantindo o ótimo ou a proximidade deste (CIRILO, 1997).

Deve-se ao

Harvard Water Program (MAASS et al., 1962) a ação pioneira de

introduzir técnicas de otimização no planejamento e gestão de recursos hídricos. Os

pesquisadores do programa criaram a análise de sistemas de recursos hídricos, que consiste

em dividir em cinco etapas qualquer problema de planejamento e operação de sistemas de

recursos hídricos. As etapas são: definir os objetivos, formular as medidas quantitativas

dos objetivos, gerar as alternativas de solução, quantificar as alternativas e selecionar a

alternativa ótima (ANTUNES, 1999).

Os modelos de simulação da operação hidráulica representam ferramentas

poderosas para projetos e operação de sistemas de abastecimento d’água. Esses modelos

podem ser usados para determinação das principais características do sistema (diâmetros,

pressões, velocidade do fluxo, operações das estações elevatórias, etc.), mas não podem

determinar os pontos de funcionamento ótimo e os custos mínimos de operação e

manutenção (CARRIJO, 2004).

A principal função de um sistema de distribuição de água é atender às demandas

necessárias com pressões adequadas. Cabe ao projetista determinar o custo mínimo para

operação e manutenção de um sistema de forma a atender adequadamente o usuário. Para

buscar as melhores soluções deve-se montar um modelo hidráulico que precisa ser

estruturado para otimização com restrições, composto por três partes essenciais: as

variáveis de decisão, a função-objetivo e as restrições.

As restrições para um problema de abastecimento de água podem ser definidas em

três grupos (CARRIJO, 2004):

•

Limitações físicas do sistema (capacidade do reservatório, capacidade dos

mananciais, configuração das bombas, velocidade na rede, etc.);

•

Leis físicas (conservação de massas dos nós da rede, conservação de energia, etc.);

•

Requisitos externos (atendimento da demanda, manutenção dos níveis de pressão

aceitáveis, etc.).

A formulação proposta para o modelo hidráulico de otimização, neste trabalho,

como será apresentada posteriormente, foi baseada na estrutura clássica de um problema de

otimização determinística restrita, composto por uma função-objetivo e um conjunto de

restrições, formando um problema de programação não-linear.

4.1. VARIÁVEIS DE DECISÃO

A depender da natureza da grandeza que representam, as variáveis de decisão

podem ser contínuas ou discretas (CIRILO, 1997). As variáveis discretas podem assumir

apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente faz sentido a

atribuição de valores inteiros. Já as variáveis contínuas assumem valores em escala

contínua (na reta real), para os quais valores fracionários fazem sentido.

Algumas grandezas, além de serem estritamente inteiras, são também binárias,

assumindo exclusivamente valores zero ou um, utilizado geralmente quando a decisão é a

adoção ou não de certa grandeza. Geralmente as variáveis de decisão são positivas, embora

algumas variáveis possam assumir valores negativos (CIRILO, 1997).

Em otimização de redes hidráulicas, as variáveis de decisão, geralmente, referem-se

aos diâmetros de tubulações, restritos a um conjunto bem definido de valores comerciais.

Verifica-se, assim, a necessidade de que os diâmetros sejam números inteiros e admitidos

dentro da escala comercial. Ao se colocar o diâmetro como variável de decisão,

conseqüentemente, têm-se associadas variáveis de estado, uma vez que elas irão depender

integralmente do valor do diâmetro.

As variáveis decisão do modelo para uma rede de irrigação podem ser, portanto:

•

Diâmetros dos tubos;

•

Velocidade da água em cada trecho;

Já as variáveis de estado do modelo para uma rede de irrigação são:

•

Número de Reynolds;

•

Coeficiente de atrito;

•

Perda de carga;

•

Pressões nos nós;

•

Cotas piezométricas;

•

Rugosidade relativa.

Além do diâmetro e da velocidade ou vazão, em projetos que possuem estações

elevatórias aparecerá como variável de decisão a altura manométrica do reservatório que

irá distribuir água para o sistema de abastecimento. Essa altura deverá ser suficiente para

atender os requisitos de pressão em cada nó da rede.

4.2. FUNÇÃO-OBJETIVO

A função-objetivo é uma forma matemática de explicitar numericamente o grau de

atendimento dos objetivos do sistema em análise. Esses objetivos não precisam ser

expressos nas mesmas unidades e não necessariamente devem ser medidos em termos

econômicos (BRANDÃO, 2004). Cabe à função-objetivo de um problema de otimização a

representação matemática do que se quer maximizar ou minimizar.

A estrutura mais simples e mais usual da função-objetivo ocorre quando se busca

minimizar custos e/ou maximizar lucros. Nesse caso, serão incluídas funções financeiras,

como taxa de juros e amortização de investimentos.

Os tipos de funções-objetivo que não envolvem custos são mais complexos,

principalmente quando se torna necessário quantificar benefícios sociais indiretos, como

por exemplo, redução da taxa de mortalidade infantil ou melhoria do padrão de vida da

população. Outras funções têm caráter estritamente matemático, como exemplo, a

calibração de modelos matemáticos e são relativamente mais simples (CIRILO, 1997).

Neste trabalho a função-objetivo utilizado em todos os casos estudados, foi uma

equação para a minimização de custos. Foram incluídos o custo da execução da rede e o

custo operacional relativo ao sistema de bombeamento de água necessário para o

atendimento das demandas. Em outro caso apenas foi considerado o custo de capital.

Basicamente, expressões do tipo:

Minimizar

∑

operinst

CustoCusto )(

(4.1)

Onde:

Custo

ins

– custo de instalação do sistema de abastecimento;

Custo

oper

– custo de bombeamento do sistema de abastecimento;

n – número de nós da rede.

O custo das instalações (Custo

inst

) pode representar, além de tubulações, o custo das

bombas e acessórios. O custo operacional (Custo

oper

) refere-se principalmente à energia

gasta no bombeamento que pode existir ou não, assumindo valor nulo em lugares onde o

abastecimento seja feito por gravidade.

4.3. RESTRIÇÕES

A formulação envolvida no modelo matemático, à exceção da função-objetivo,

compõe as restrições do problema. Essas restrições são normalmente definidas como

técnicas e econômicas, conforme a sua natureza, podendo ser restrições de igualdade ou

desigualdade (CIRILO, 1997).

Num problema de otimização de redes, seja para abastecimento humano ou de

irrigação, tem-se como restrições toda a formulação apresentada anteriormente, referente

ao cálculo das variáveis de escoamento. Essa formulação leva as restrições de igualdade,

relativa aos seguintes cálculos: velocidade, coeficiente de atrito, perda de carga e pressão

em cada nó. Como restrições de desigualdade têm-se os limites superiores e inferiores para

as variáveis diversas, ou seja, as condições hidráulicas necessárias para o bom

funcionamento da rede.

A seguir, são descritas as restrições de igualdade e de desigualdade utilizadas

usualmente no cálculo de redes de irrigação.

4.3.1. DIAMETRO MÍNIMO E MÁXIMO

Nas redes de abastecimento de água recomenda-se adotar diâmetros mínimos

relacionados à vazão, para evitar perdas excessivas no sistema, que podem comprometer a

uniformidade de pressões e vazões disponíveis para os usuários (BAPTISTA

et al., 2003).

Nas redes de distribuição dos sistemas de irrigação adota-se, de um modo geral, um

diâmetro mínimo de 50 mm. Já o diâmetro máximo irá depender do porte da rede e da

disponibilidade do material utilizado (PORTO, 1999).

maxjmin

DDD ≤≤

j = 1...T

(4.2)

Onde:

min

– diâmetro mínimo adotado;

max

– diâmetro máximo adotado;

– diâmetro no trecho j;

T – número total de trechos da rede.

4.3.2. LIMITE DE VELOCIDADE

Os limites de velocidade máxima admissíveis são estabelecidos com o objetivo de

compatibilizar o custo dos condutos com a segurança das redes hidráulicas de irrigação. A

princípio, pela equação 2.2, pode-se considerar que quanto maior for a velocidade de

circulação da água, menor será o diâmetro necessário do tubo, o que induz um custo

menor. No entanto, nem sempre é assim, já que o acréscimo de velocidade acarreta, além

de maior perda de carga no transporte, um maior risco de danos às tubulações. Por isso,

adotam-se limites para a velocidade máxima do escoamento das tubulações, em função de

seus diâmetros, dos custos dos tubos e também do nível de risco que se queira admitir

(GOMES, 2002).

A velocidade mínima é recomendada para que haja uma permanente circulação de

água na rede, evitando problemas de sedimentação e erosão, de forma a não prejudicar a

qualidade da água (GOMES, 1999).

maxjmin

velvvel ≤≤ j = 1...T

(4.3)

com

D.π

Q4.

v =

Onde:

vel

min

– velocidade mínima admissível;

vel

max

– velocidade máxima admissível;

– velocidade no trecho j;

– vazão no trecho j;

– diâmetro no trecho j;

T – número total de trechos da rede.

Para imposição da velocidade máxima existem algumas tabelas que podem ser

seguidas. Neste trabalho utilizou-se a tabela sugerida por GRANADOS (1990), visando

evitar os efeitos danosos à tubulação (Tabela 4.1).

Tabela 4.1 – Limites de velocidade máxima recomendados por GRANADOS (1990).

Diâmetro

(mm)

Velocidade (m/s)

≤250

2,0

300 2,1

350 2,2

400 2,3

450 2,4

500 2,5

600 2,6

700 2,7

800 2,8

900 2,9

≥1000

2+D (m)

4.3.3. LIMITE DE PRESSÃO

É necessário que haja um limite inferior das pressões nas tubulações, para garantir

que a água chegue aos pontos de consumo na irrigação com uma carga suficiente para

vencer as perdas ao longo do percurso (BERNARDO, 1995). Em alguns casos (quando as

vazões de trabalho são muito grandes), também se adota um limite superior das pressões

para evitar que haja possíveis rompimentos ou vazamentos na rede (GOMES, 2002).

Geralmente esse limite é adotado para sistemas de abastecimento urbano. Em sistemas de

irrigação eles podem ser dispensados, na maioria dos casos.

maxjmin

PPP ≤≤

j = 1...N

(4.4)

Onde:

min

– pressão mínima admissível;

max

– pressão máxima admissível;

– pressão disponível no nó i;

N – número total de nós da rede.

4.3.4. LIMITAÇÃO DO NÚMERO DE REYNOLDS

A limitação do número de Reynolds pode ser necessária a depender da fórmula

utilizada para cálculo do parâmetro de atrito. Neste trabalho é adotada a fórmula de

Swamee-Jain (BAPTISTA

et al., 2003). Apesar dos limites impostos serem bastante

abrangentes, deve-se colocá-los a fim de garantir a validade da fórmula.

10Rey5.10 ≤≤

j = 1...T

Com

.Dv

Rey

(4.5)

Onde:

Rey

– número de Reynolds no trecho j;

– velocidade no trecho j;

– diâmetro no trecho j;

ν − viscosidade cinemática da água;

T – número total de trechos da rede

4.3.5. LIMITAÇÃO DA RUGOSIDADE RELATIVA

A limitação da rugosidade relativa, assim como a anterior, ocorre devido à fórmula

de Swamee-Jain (BAPTISTA

et al., 2003).

10RugRel10

−−

≤≤ j = 1...T

Com

RugRel

(4.6)

Onde:

RugRel

– rugosidade relativa do trecho j;

– rugosidade interna do tubo j;

– diâmetro no trecho j;

T – número total de trechos da rede.

4.3.6. PERDA DE CARGA

Essa restrição define o cálculo da perda de carga contínua em cada trecho da

tubulação. No modelo a fórmula previamente definida é a Fórmula Universal da Perda de

Carga, porém qualquer outra fórmula pode ser usada, cabendo, para isso, fazer as devidas

modificações. Para os parâmetros f utiliza-se a fórmula de Swamee-Jain.

g2.

=∆h j = 1...T

Com

0,9

Rey

5,74

3,7.D

1,325

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(4.7)

Onde:

∆h

– perda de carga no trecho j;

– comprimento do trecho j;

– velocidade no trecho j;

– diâmetro no trecho j;

g – aceleração da gravidade;

– coeficiente de atrito no trecho j;

– rugosidade interna do tubo j;

T – número total de trechos da rede.

4.3.7. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

A restrição referente à conservação da energia tem como base a Equação de

Bernoulli (equação 2.3). O cálculo das pressões nos nós foi dividido em duas expressões,

onde a primeira calcula a cota piezométrica (CP) e a segunda, a pressão disponível (altura

piezométrica) em cada nó.

jki

hHmHm ∆−=

i = k = 1...N , j = 1...T

(4.8)

iii

CTHmP −=

i = 1...N

(4.9)

Onde:

– cota piezométrica do nó i, a jusante do trecho j;

– cota piezométrica do nó k, a montante do trecho j;

∆h

– perda de carga do trecho j;

– pressão disponível no nó i;

– cota do terreno no nó i;

T – número total de trechos da rede.

Os índices

i e k referem-se aos nós de um trecho, onde k representa o nó de

montante e

i representa os nós de jusante. Então, a equação 4.8 mostra que a altura

manométrica do nó a jusante de um trecho é igual à cota piezométrica do nó a montante do

mesmo trecho menos a perda de carga nesse trabalho.

Pelas restrições ou formulação matemática apresentada acima, percebe-se que o

modelo de otimização proposto poderá ser empregado em qualquer tipo de sistema de

distribuição de água, ressaltando apenas algumas modificações necessárias para adaptação

do sistema a ser proposto.

4.4. OTIMIZAÇÃO DOS SISTEMAS DE IRRIGAÇÃO

Otimizar consiste em selecionar, dentre um conjunto de possíveis alternativas, uma

que seja ótima, de acordo com determinado critério. Os sistemas de irrigação utilizados na

agricultura são bastante dispendiosos quanto ao consumo de água envolvido, sendo

considerada a atividade humana que mais consome água no mundo. Os custos de execução

para projetos de grande porte são por sua vez elevados. Por isso, faz-se necessário o maior

esforço no aprimoramento dos projetos, dispositivos e eficiência operacional.

Para otimizar uma rede de irrigação deve-se atentar para a relação existente entre a

rede hidráulica utilizada e a energia por ela consumida. Tubos de diâmetros menores

apresentam um custo menor, porém dão origem a uma maior perda de carga, e,

consequentemente, maior custo de energia. Já os tubos de diâmetros maiores fornecem

menor perda de carga e menor consumo de energia, mas produzem um maior custo para a

rede (GOMES, 1999).

Nas duas últimas décadas a literatura registra muitos trabalhos voltados à

otimização de redes hidráulicas e outros aspectos de sistemas de irrigação. Alguns desses

trabalhos são descritos a seguir.

CARNELLI (1967) foi o pioneiro da otimização de redes através da programação

linear (LP). Exemplos da aplicação desta programação em sistemas de irrigação são

apresentados por MAJI e HEADY (1978), que desenvolveram um modelo estocástico e o

aplicaram em um projeto de irrigação na Índia. Em um segundo trabalho, os autores

compararam o resultado do modelo estocástico com os obtidos a partir de uma série de

dados determinísticos. PAUDYAL e GUPTA (1990) aplicaram a técnica da programação

linear e otimização “multinível” para a maximização do rendimento global anual gerado

por um grupo de irrigantes. Neste modelo, dois níveis de otimização são realizados: o

primeiro maximiza a renda líquida gerada pela produção, e o segundo maximiza o uso da

água superficial minimizando, consequentemente, os custos com armazenamento e recarga

do lençol freático. Os autores consideram duas fontes de água: superficial e subterrânea.

Para esse tipo de análise, taxas de recarga e dados de depleção dos níveis do lençol freático

foram necessários. Em 1994, SAAD otimizou a rede hidráulica de um sistema de irrigação

por gotejamento utilizando a LP, considerando os custos com tubulação e energia.

CARVALHO

et al. (2000) obtiveram épocas de cultivo ótimas de algumas culturas

praticadas no perímetro irrigado do Gorotuba – MG a partir de vazões mensais pré-

estabelecidas para cada usuário. Recentemente, CURI et al. (2004) aplicaram essa técnica

para a maximização da receita líquida sob condições de variações hídricas e econômicas

em um perímetro irrigado no noroeste da Paraíba, e GETIRANA (2005) analisou as

possíveis soluções para o conflito pelo uso da água no setor da irrigação aplicando a

técnica de LP.

Existem poucos trabalhos de programação dinâmica aplicada à irrigação. Uma

aplicação pioneira da técnica de otimização em sistemas de irrigação foi feita por HALL

(1961), na adução de água para irrigação. Ele aplicou a programação dinâmica para a

seleção analítica da seção de um canal que apresentasse o melhor fator custo-benefício

global, dentre várias seções analisadas de um canal de abastecimento de água para

irrigação, comparando os custos agregados e os benefícios gerados.

Na Programação Não-Linear (NLP) pode-se citar KHAN (1982), que utilizou esta

técnica na análise da redução do rendimento das culturas devido à salinidade do solo e a

obtenção da demanda de água extra para evitar a salinidade. WARDLAW e BARNES

(1999) utilizaram a NLP

na maximização da produtividade de culturas a partir de alocação

apropriada de recursos hídricos, mantendo a eqüidade entre diferentes blocos de irrigação e

propriedades nos blocos. CARVALLO

et al. (1998) formularam um modelo em NLP para

maximizar a renda líquida gerada por um projeto de irrigação sujeito à restrições de

disponibilidade de água, tipo de solo e mão-de-obra. Nesse estudo, os autores usaram uma

equação relacionando o tipo de solo ao rendimento da cultura.

Como trabalhos relacionados à otimização de redes através da NLP podemos citar:

HOLZAPFEL

et al. (1990), desenvolveram um modelo de otimização não-linear

para dimensionamento e gerenciamento de sistema de irrigação por gotejamento baseado

em funções de produção das culturas em relação à água, tendo como objetivo a

maximização do lucro. MEDEIROS (1997) fez uma adaptação no método de otimização

econômica integrada (aplicada a sistemas de irrigação por aspersão convencional) à

irrigação por gotejamento. Tal metodologia visou à minimização do custo da rede de

distribuição, energia de bombeamento e equipamentos das parcelas.

Em 2000, DE

MATOS propôs um sistema de equações não-lineares adaptável ao modelo de NLP,

visando determinar o dimensionamento ótimo de um sistema de irrigação localizada, sob o

enfoque da minimização dos custos para a cultura da goiaba. O trabalho desenvolvido por

FIRMINO (2004) utiliza as técnicas de NLP para o dimensionamento econômico de redes

malhadas, minimizando o custo da rede com as restrições cabíveis. O problema foi

desenvolvido no programa Solver do MS-Excel. CARVALHO (2004) desenvolveu um

programa computacional em linguagem do Visual Basic Application

para o

dimensionamento de uma malha hidráulica de sistema de irrigação localizada, e simulação

da operação em diferentes combinações de parcelas para funcionamento simultâneo

(setores de operação), visando analisar o comportamento dos parâmetros dimensionais da

malha hidráulica. E recentemente GOMES e BEZERRA (2005) apresentaram uma

otimização econômica para a reabilitação de redes ramificadas pressurizadas de

distribuição de água para projetos de irrigação que se encontra com deficiência de vazão e

pressão nos pontos de consumo. Trata-se de um processo iterativo que seleciona, a cada

passo, as possibilidades de modificação dos diâmetros das tubulações da rede, de forma a

minimizar o custo de um investimento de reabilitação do sistema.

4.5. O MODELO DE OTIMIZAÇÃO

O modelo apresentado neste trabalho trata da otimização de um sistema hidráulico

para redes de pressurizadas. Ele foi desenvolvido na plataforma do

software GAMS e,

como todo modelo de otimização, possui como elementos básicos uma função-objetivo e

suas restrições. O modelo foi desenvolvido para que o GAMS encontre o menor custo e os

diâmetros ótimos de um problema de rede a ser resolvido. Essa modelagem pode ser feita

para redes de pequeno e grande porte.

O GAMS permite que um modelo seja decomposto em várias partes, que são

resolvidas sequencialmente, com cada parte sendo incrementada ao passo posterior. O

modelo de otimização proposto possui duas partes, ou dois sub-modelos. O primeiro sub-

modelo utiliza a NLP, através do

solver CONOPT, para obtenção dos diâmetros ótimos em

valores reais. Em alguns casos esse sub-modelo também poderá otimizar a altura

manométrica para bombeamento na cabeceira da rede de irrigação. O sub-modelo seguinte

usa a MINLP, através do

solver SBB, para calcular os diâmetros ótimos em valores

comerciais a partir dos diâmetros obtidos no primeiro sub-modelo.

A segunda fase corresponde ao cálculo dos diâmetros ótimos como variáveis

discretas e, como se pode esperar, envolve mais esforço e dificuldades computacionais que

serão descritas posteriormente.

A Figura 4.1 mostra a decomposição do modelo nos sub-modelos referidos:

Figura 4.1

– Estruturação dos Sub-Modelos

4.5.1. VISÃO GERAL DO MODELO

O modelo é incrementado a partir da representação de rede que se deseja otimizar.

Inicialmente, deve-se titular o modelo e, se necessário, abordar o que ele irá otimizar,

fazendo uma breve descrição. Em seguida definem-se os dados de entrada da rede.

A primeira definição são os conjuntos ou

Sets. A Tabela 4.2 mostra os Sets contido

no modelo de otimização e sua respectiva descrição.

Tabela 4.2 - Descrição dos Sets do modelo de otimização.

Sets Descrição

n Número de nós existentes na rede

root(n) Nó onde está o(s) reservatório(s) da rede

a(n,n) Link dos nós da rede - Trechos

Interface com o usuário

DADOS DE

ENTRADA

SOLUÇÃO

FINAL

Sub-modelo 1

Sub-modelo 2

Diâmetros

otimizados em

valores contínuos

Diâmetros

otimizados em

valores discretos

RESULTADO

O segundo dado de entrada a ser posto é uma tabela com o nome data (n,*), através

do enunciado Table, contendo o nível do terreno (elev) e a demanda (demd) necessária em

cada nó da rede.

Os dados seguintes são diversos parâmetros ou constantes, com enunciado

Parameter. A Tabela 4.3 descreve os parâmetros essenciais para resolução do problema.

Tabela 4.3 – Descrição dos Parameters do modelo de otimização

Parameter Descrição

lt(n,n) Comprimento dos trechos

pi Valor da constante Pi

ni Viscosidade da água

rug Rugosidade do tubo escolhido

g Aceleração da gravidade

rend Rendimento do bombeamento

nh Número anual de horas de bombeamento

c_kwh Custo do KWh

e Taxa anual do aumento de energia

i Taxa de juros anual

nu Vida útil do projeto

Vmin Velocidade mínima

Vmax Velocidade máxima

Dmin Diâmetro mínimo

Dmax Diâmetro máximo

Reymin Valor mínimo do número de Reynolds para

atender a fórmula de Swamee e Jain

Reymax Valor máximo do número de Reynolds para

atender a fórmula de Swamee e Jain

Resmin Valor mínimo da rugosidade relativa para atender

a fórmula de Swamee e Jain

Resmax Valor máximo da rugosidade relativa para atender

a fórmula de Swamee e Jain

cjmin Pressão ou carga mínima admitida em cada nó

Após a inserção dos dados, o modelo automaticamente faz uma conferência de

todos os dados já inseridos, principalmente os que se referem aos nós e trechos, além da

verificação das pontas secas e do número de reservatórios e sua localização.

O primeiro cálculo feito pelo modelo é o acúmulo de vazões. Os valores de entrada

referentes às vazões são dados pontuais da demanda por nó da rede estudada, fazendo-se

necessário acumular essa demanda ao longo do sistema. Os primeiros dados obtido são as

vazões nos nós e, por conseguinte as vazões nos trechos.

O cálculo seguinte estima o fator de atualização a ser usado nos custos variáveis,

esse fator é representado pela equação 2.14. O cálculo é feito através da criação de mais

um parâmetro, o Fa, além de utilizar as constantes já citadas anteriormente.

O próximo passo é a definição das variáveis a serem calculadas pelo modelo de

otimização, ou seja, a(s) variável(eis) de decisão e as variáveis de estado. Faz parte do

conjunto

Variables todas as variáveis que dependerão de forma direta ou indireta das

variáveis de decisão, sendo necessárias para o cálculo das restrições. As equações devem

ser declaradas, obrigatoriamente, antes de serem usadas, através do enunciado

Equation. A

forma de declaração é constituída por uma lista de nomes, cada um provavelmente com

seus respectivos domínios, e por um texto explanatório a ser associado a cada nome. As

declarações das variáveis e das equações do modelo apresentado podem ser visualizadas na

Figura 4.2 abaixo.

Figura 4.2 – Declaração das variáveis e das equações do modelo.

Uma vez declaradas as equações, elas são definidas através de especificações

matemáticas da linguagem reconhecida pelo GAMS. As equações referidas são as

restrições, descritas no item 4.3, assim como a função-objetivo.

Para finalizar a primeira parte do modelo (Sub-modelo 1), ou a NLP, onde o

modelo faz a busca de valores contínuos dos diâmetros, deve-se dar um nome ao modelo e

determinar quais as equações que fazem parte do sub-modelo (

all no caso de todas as

equações serem componentes). Em seguida chama-se o

solver que irá otimizar o sub-

modelo 1, no caso o CONOPT através da NLP, e em seguida determina-se a função a ser

minimizada (função-objetivo). No modelo a função-objetivo refere-se ao custo do

bombeamento e ao custo da tubulação.

Terminada a primeira parte do modelo, segue-se com a programação inteira, através

do algoritmo SBB. Para isso, primeiramente, é definida uma tabela com os diâmetros

comerciais disponíveis necessários e os seus respectivos custos. Em seguida introduz-se a

variável binária B, que auxilia na escolha da dimensão da tubulação selecionada de acordo

com os tamanhos que estão disponíveis comercialmente. Através de algumas equações

definidas no sub-modelo 2, a variável B compara cada valor contínuo do diâmetro obtido

na primeira parte do programa com os valores disponíveis na tabela de diâmetro comercial,

anteriormente definida, e busca qual o melhor valor a ser adotado como diâmetro discreto

para resolução do problema. Todas as restrições são novamente calculadas e a função-

objetivo novamente otimizada.

4.5.2. O RELATÓRIO DE SAÍDA DO GAMS

O relatório de saída gerado pelo GAMS produz um arquivo bastante detalhado, que

auxilia muito na descrição e no entendimento apresentado pelo modelo. A primeira parte

apresentada é a apresentação dos parâmetros necessários para o cálculo da função-objetivo.

Em seguida mostram-se as

Equation Listing, ferramenta útil na depuração de erros.

Por

default, para cada equação do modelo, são listadas as primeiras três ocorrências

(BROOKE

et al., 1998). O valor LHS mostrado no fim de cada uma das equações é o valor

da restrição avaliado no ponto inicial testado (valor do lado esquerdo da equação no ponto

inicial), e a diferença entre o termo independente e o valor no ponto, quando diferente de

zero, é mostrada sob a sigla

INFES, indicando, juntamente com os três asteriscos, que a

restrição no ponto inicial não é viável (MORAES, 2003).

A próxima parte apresentada na saída do GAMS é o

Column Listing, que traz as

mesmas informações mostradas no

Equation Listing, porém os coeficientes individuais são

ordenados por colunas. Além disso, apresenta os limites inferiores e superiores de cada

uma das variáveis. Mais uma vez, o

default mostra as três primeiras ocorrências de cada

variável.

A informação final gerada enquanto um modelo está sendo preparado para ser

resolvido é o

Model Statistics, fornecendo detalhes referentes ao tamanho e não-linearidade

do modelo (BROOKE

et al., 1998). Na estatística do modelo existem dois contadores

chamados

BLOCKS OF EQUATIONS e BLOCKS OF VARIABLES, que se referem,

respectivamente, ao numero de equações e variáveis formuladas para o modelo e

declaradas no GAMS. O contador

SINGLE se refere a equações e variáveis, e faz menção a

cada uma das linhas que vai aparecer como restrição do problema gerado. Assim, para se

ter idéia da dimensão do problema, em termos de variáveis, deve-se consultar o contador

SINGLE.

Além dessas informações, o

Model Statistics mostra um contador de elementos não-

nulos, ou seja, o número de elementos da matriz Jacobiana não-nulos. Sendo o Jacobiano a

matriz de derivadas primeiras das restrições em relação a cada uma das variáveis, esse

dado é importante como medida da não-linearidade do modelo (MORAES, 2003).

O relatório de saída fornece, quando o modelo é resolvido, o

SOLVE SUMMARY. É

nesse momento que o modelo é resolvido através de um algoritmo escolhido de acordo

com o tipo de problema, dentre os

Solvers disponibilizados pelos GAMS. Essa saída é

dividida em duas partes: a primeira exibe o nome escolhido para o modelo, o tipo de

programação empregada, o solver escolhido, além de indicar se a função-objetivo foi

minimizada ou maximizada; a segunda parte mostra o status do solver e do modelo, e o

valor alcançado para a função-objetivo. Quando o modelo tem uma solução adquirida sem

problemas o status do solver deverá se apresentar escrito da seguinte forma:

NORMAL

COMPLETION

, significando que o solver foi resolvido de forma normal e não foi

interrompido pelos limites ou dificuldades internas. A mensagem procurada pelo status do

modelo em um problema não-linear é a

LOCALLY OPTIMAL, significando que um ótimo

local foi achado, já que não se pode garantir em problemas não-lineares o ótimo global. Se

o problema for de programação inteira a mensagem buscada é

INTEGER SOLUTION,

expressando que uma solução inteira foi achada para um problema inteiro misto

(BROOKE

et al., 1998).

A busca do ótimo é feita pela idéia básica de se fazer melhorias marginais, a partir

de algum ponto inicial, até que as condições de otimalidade assegurem que não existe mais

nenhuma direção que leve a um valor melhor que a função-objetivo. O ponto a partir do

qual não se identifica nenhuma direção com melhorias marginais é o ótimo local

(MORAES, 2003).

Por fim, o GAMS apresenta uma listagem de soluções, indicando os limites

inferiores (

lower), os limites superiores (upper), os valores obtidos para cada equação

(

level) e os valores marginais (marginal). Os valores obtidos e os marginais são

determinados pelo solver e são, respectivamente, aqueles que as variáveis assumem na

solução e as mudanças marginais provocadas na função-objetivo com a variação, da

variável envolvida, a partir de um ponto. Os pontos (.) que aparecem na listagem

correspondem ao valor zero.

Uma outra forma de visualização dos resultados é utilizando

GAMS Data Exchange

(GDX). Trata-se de um arquivo que armazena valores como:

sets, parâmetros e equações.

No GDX não se pode escrever modelos de fórmulas ou executar declarações, apenas

visualizar resultados.

Esse relatório é exibido cada vez que houver um solver diferente no programa, ou

seja, cada vez que um tipo de algoritmo diferente for chamado no modelo para resolver um

bloco de equações.

5. ESTUDOS DE CASO

Para analisar o potencial do modelo proposto nesse trabalho foram estudados quatro

casos iniciais que envolvem problemas semelhantes de otimização de sistemas para redes

de irrigação. Procurou-se obter diâmetros e altura manométrica ótima no bombeamento

para estação elevatória, minimizando os custos de cada sistema em estudo. Os resultados

alcançados foram comparados com os obtidos a partir de outras técnicas de otimização.

Primeiramente foi feita a simulação de duas redes de pequeno porte para validação

da programação não-linear e da programação não-linear inteira mista. Em seguida,

otimizou-se uma rede de grande porte, visando mostrar a capacidade do modelo utilizado.

E por último analisou-se o uso da MINLP com procedimento de otimização que arredonda

os diâmetros de valores contínuos (NLP) para valores comerciais, a fim de avaliar a

diferença do custo entre os dois procedimentos.

5.1. CASO 1

O primeiro caso estudado foi uma rede ramificada hipotética com apenas cinco

trechos, citada no artigo de FIRMINO (2004). Nesse artigo, o autor otimizou a rede através

da aplicação de técnicas de NLP, utilizando a ferramenta Solver presente no MS-Excel.

5.1.1. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

A topologia da rede é mostrada na Figura 5.1. Trata-se da hipótese de distribuir

água para uma área irrigada por aspersão, com tubos de cimento-amianto e uma descarga

de 17,8 m³/h, e requisito de pressão de 35 mca nos pontos de distribuição. Para

simplicidade do exemplo, consideram-se as perdas de cargas nas peças de conexões (curva,

reduções, tês, etc.) como desprezíveis.

Figura 5.1

– Topologia da rede do Caso 1.

A Tabela 5.1 apresenta sinteticamente os dados necessários para o

dimensionamento da rede de distribuição, e a Tabela 5.2 fornece os dados de preços dos

tubos de cimento-amianto utilizados pelo autor no referido artigo.

Tabela 5.1 – Dados da rede

Nós

Cota do

Terreno (m)

Pressão mínima

requerida (mca)

Vazão mínima

requerida (m³/h)

1 106 35 17,8

2 104 35 17,8

3 104 35 17,8

4 103 35 17,8

5 102 35 17,8

Cabeceira

da rede

88 m

400 m

88 m

100 m

350 m

Tabela 5.2 – Preços dos tubos de cimento-aminanto

Diâmetro

(mm)

Custo (Umt/m)

50,0 594,00

60,0 644,00

70,0 825,00

80,0 918,00

100,0 1249,00

125,0 1791,00

150,0 2503,00

175,0 3370,00

Com os dados acima verifica-se que, além da obtenção dos diâmetros ótimos, é

necessário calcular a altura manométrica na cabeceira da rede, como variável de decisão a

ser otimizada pelo modelo. A Fórmula Universal da Perda de Carga foi substituída no

modelo pela fórmula de Hazen-Williams, para comparar com os resultados do autor.

Outros dados utilizados foram:

• Número de horas de operação anual = 1000;

• Rendimento esperado do conjunto motor-bomba = 70%;

• Fator de atualização = 10;

• Custo do KWh (incluindo a tarifa de demanda) = UMT (unidade monetária) 10.

A função que relaciona o custo com o diâmetro foi definida através do ajuste dos

pontos da Tabela 5.2. A relação custo-diâmetro ajustada aos dados da Tabela 5.2 foi:

19544D03315D1280Custo

,.,., +−=

(R² = 0,9996) (5.1)

Definida a relação custo-diâmetro, pôde-se formular a função-objetivo completa

com os custos de tubulação e de bombeamento, mostrada pela equação 5.2.

∑

hiii

FaCDPLHDC .)(.),(

(5.2)

Onde:

C(D

,H) – custo do sistema de abastecimento, em função do diâmetro D

e da altura de

bombeamento H;

– comprimento do trecho i;

P(D

) – equação que relaciona o preço unitário com o diâmetro;

T – número de trechos da rede;

Fa – fator de atualização;

– custo do bombeamento.

Com a função-objetivo acima mostrada e as restrições citadas na seção 4.3, foi

possível simular o problema no GAMS e analisar os resultados, comparando-os com a

resolução obtida por meio do Solver, segundo o artigo proposto.

A resolução do Solver apresentada no artigo (Figura 5.2) é composta de três partes:

cálculos hidráulicos e custo da rede

, composta pelos dados sobre os trechos, parâmetros

das equações referentes às perdas de carga, custo dos tubos, etc.; restrições

, onde se

localizam as pressões disponíveis; custos do conjunto

, onde são determinados os custos da

energia capitalizada e o custo total do sistema de abastecimento.

Figura 5.2 – Planilha para otimização de rede-exemplo por meio do Solver.

O resultado apresentado acima mostra que os diâmetros obtidos pelo Solver são

valores não comerciais, uma vez que a otimização foi feita apenas com um algoritmo não-

linear para variáveis contínuas.

5.1.2. A SOLUÇÃO DO MODELO PARA O CASO 1

Inserindo os mesmo dados apresentados anteriormente no modelo do GAMS e

utilizando a equação do custo de tubulação empregada no artigo, os resultados

apresentados pelo primeiro sub-modelo (CONOPT), que trabalha apenas com a NLP,

foram iguais aos obtidos por meio do Solver.

Os indicativos do modelo GAMS são mostrados a seguir (relatório do programa):

Figura 5.3 – Indicativos do problema.

Como é mostrado na Figura 5.3, o problema apresentou 7 equações, 9 variáveis e

68 elementos diferentes de zero, referentes aos componentes da matriz Jacobiana. O

comprimento do código mostra que se trata de um problema não-linear com um baixo nível

de complexidade quanto à não-linearidade.

SOLVE SUMMARY (Figura 5.4) exibe os valores encontrados pela função-

objetivo do modelo. Como era de se esperar para o pequeno porte do problema, a solução

foi idêntica.

As figuras apresentadas a seguir mostram o valor obtido pela função-objetivo e os

valores das variáveis de decisão (diâmetros e altura manométrica de bombeamento),

indicados na coluna “LEVEL”, juntamente com os limites inferiores (“LOWER”) e

superiores (“UPPER”) para cada variável.

Figura 5.4 – Resultado da Programação Não-Linear.

Figura 5.5 – Valores das variáveis de decisão e custo detalhado obtido pela Programação

Não-Linear.

Uma vez que o modelo desenvolvido trabalha também com programação inteira

discreta, é interessante mostrar os resultados obtidos por esta programação. Para tanto, os

resultados obtidos por meio do GAMS (Figura 5.6 e Figura 5.7) são comparados com os

resultantes do arredondamento dos valores de solução do Excel para os diâmetros

comerciais imediatamente superiores.

Figura 5.6 - Resultado da Programação Não-Linear Inteira Mista.

Figura 5.7 - Valores das variáveis de decisão e custo detalhado obtido pela Programação

Não-Linear Inteira Mista.

A Tabela 5.3 exibe a comparação dos resultados obtidos pelo Solver e pelo GAMS.

Tabela 5.3 – Comparação dos resultados obtidos.

Resultado

SOLVER

Resultado

GAMS

Resultado SOLVER Resultado GAMS

Diâmetro com. Diâmetro com. Alt. Manométrica de Alt. Manométrica de

Trechos

(mm) (mm) bombeamento (mca) bombeamento (mca)

2.1 100 100 24,60 27,09

5.2 125 125 Custo Execução (UMT) Custo Execução (UMT)

4.3 70 80 1.937.736,76 1.625.746,00

5.4 100 80 Custo Bombeam. (UMT) Custo Bombeam. (UMT)

6.5 150 125 1.363.683,43 1.500.404,75

Custo Total (UMT) 3.301.420,19 3.126.150,75

Observa-se, da comparação dos resultados, uma redução do custo de 5,3% a partir

do problema formulado com os diâmetros como variáveis discretas. É razoável, assim,

imaginar redução significativa para problemas de maior porte.

5.2. CASO 2

O segundo caso estudado trata de um exemplo contido no apêndice do livro de

GOMES (1999), cujo objetivo é dimensionar as instalações de um projeto de irrigação por

aspersão convencional, para uma área situada no município de Sousa – PB, onde fora

cultivado o plantio de tomate. O exemplo apresenta, além do dimensionamento hidráulico

da rede, o dimensionamento das linhas laterais. Este último não será abordado no presente

trabalho por não fazer parte dos objetivos.

O estudo desse caso visa validar a programação inteira do modelo, uma vez que

para resolver o problema foi utilizado o programa REDES, desenvolvido pelo próprio

autor. Esse programa permite dimensionar redes pressurizadas de tubulações ramificadas,

através do método de Granados de otimização econômica. A diferença básica deste

programa para o modelo gerado no GAMS está no método utilizado para o

desenvolvimento da otimização.

5.2.1. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

A topologia do terreno tratada no exemplo pode ser visualizada pela Figura 5.8,

onde se podem ver as parcelas a serem irrigadas, o tamanho do terreno e as suas curvas de

nível.

Figura 5.8 – Topologia do terreno.

Fonte: Gomes, 1999.

No esboço apresentado verifica-se que, dependendo do local onde se iniciaria o

perímetro irrigado, haveria necessidade do uso de bombas para recalque. Pela distribuição

das linhas laterais obtidas no projeto, GOMES (1999), estabeleceu o seguinte esquema de

distribuição das tubulações (Figura 5.9):

Figura 5.9

– Esquema de distribuição das tubulações.

Fonte: Gomes, 1999.

Parcela 1

107

106

104

102

100

364 m

288 m

150 m

Parcela 2

Estação de

Bombeamento

100

101

102

103

104

105

106

107

Linha

Lateral

Aspersores

Adotaram-se 20 posições para as linhas laterais em cada lado da parcela, com a

primeira situada a 12m do início e a última situada a 10m do final da área a irrigar.

Considerando que se tem que atender 20 posições em cada lado da parcela, existiriam,

portanto duas linhas laterais irrigando simultaneamente, em cada lado da parcela, duas

vezes por dia, conforme o esquema apresentado na Figura 5.9.

De acordo com a disposição dos trechos na figura, nota-se a necessidade de uma

estação de bombeamento na cabeceira da rede, induzindo, assim, o acréscimo da variável

de decisão relativa à altura manométrica de bombeamento.

Dados do problema proposto:

• Custo Kwh = R$ 0,048;

• Taxa anual de aumento de energia = 9%;

• Taxa de juros anual = 10%;

• Bomba funcionando 2.100h/ano e trabalhando afogada, com uma altura estática de

alimentação desprezível;

• Rendimento esperado do conjunto motor-bomba = 70%.

O sistema de irrigação citado no exemplo é considerado como PVC, com linhas

laterais móveis e tubulações de distribuição fixas. É admitido que os equipamentos (tubos,

conexões e conjunto motor-bomba) possuem uma vida-útil de 20 anos. Os preços das

tubulações foram majorados em 40%, referentes aos custos das peças de conexão e

controle (hidrantes, curvas, tês, etc.), e aos custos de transporte, escavação e montagem de

instalação. As perdas de carga por atrito seriam acrescidas de 10% para levar em conta as

perdas localizadas nas conexões da rede de distribuição, sendo as perdas distribuídas

calculadas pela fórmula de Hazen-Williams.

A Tabela 5.4 dispõe os preços (1997) dos tubos de PVC, os respectivos diâmetros

nominais e internos, e a velocidade máxima admissível. A Tabela 5.5 apresenta os dados

básicos necessários para o dimensionamento econômico da rede de distribuição do projeto

de irrigação.

Tabela 5.4 – Preço e características hidráulicas dos tubos.

Diâmetro Nominal

(mm)

Diâmetro

Interno (mm)

Velocidade

máxima (m/s)

Preço

(R$/m)

75 70,5 2,0 10,7

100 108,4 2,0 17,5

150 156,4 2,0 32,0

200 204,2 2,0 53,3

250 252,0 2,0 79,3

300 299,8 2,0 113,0

Tabela 5.5 – Dados referentes à rede de distribuição.

Trecho

Nó

Comprimento

(m)

Vazão

(l/s)

Cota do

Terreno (m)

Pressão

Requerida (mca)

1 2 84 6,7 106,0 32,2

2 3 90 13,4 105,5 32,2

3 4 90 20,1 105,0 32,2

4 9 378 26,8 104,5 32,2

5 6 84 6,7 104,0 32,2

6 7 90 13,4 103,5 32,2

7 8 90 20,1 103,0 32,2

8 9 90 26,8 102,5 32,2

9 10 294 53,6 102,0 32,2

Com os dados apresentados na Tabela 5.4 novamente fez-se o ajuste da curva

usando a ferramenta de linha de tendência. O melhor ajuste, definido pelo R² mais próximo

de 1, foi obtido pela curva da função quadrática, com uma correlação de 0,9998. Essa

equação, mostrada pela linha de tendência, relaciona o custo das tubulações e os seus

diâmetros, sendo usada no modelo e majorada em 40% para os custos citados

anteriormente. O gráfico apresentado pela Figura 5.10 mostra a curva obtida e sua equação

correspondente.

Custo = 0,0012D

+ 0,0155D + 3,6003

= 0,9998

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0 50 100 150 200 250 300 350

Diâm etros (m m )

Custo (US$/m)

Série1

Polin ômio

(Série1)

Figura 5.10 – Função do Custo das tubulações do caso-estudo 2

A função-objetivo do sistema de distribuição é dada pela soma do custo da

tubulação, referido pela equação exibida no gráfico acima, com o custo relativo ao

bombeamento na cabeceira da rede. A função a ser minimizada foi a mesma representada

anteriormente pela equação 5.1.

A Tabela 5.6 apresenta os resultados de Gomes (1999). São indicados os valores

ótimos encontrados, com custo total de R$ 120.781,00, sendo o custo de investimento das

tubulações de R$ 60.522,00, incluindo o custo com as peças de conexão, transporte,

escavação e montagem, e o custo da energia correspondente a R$ 60.259,00.

Tabela 5.6 – Resultados obtidos por meio do programa REDES.

Cota de Cabeceira: 147

67 m

Trecho

(l/s)

Diâm.

Real

(mm)

Diâm.

Nomina

l (mm)

Pres.

Nom.

(mca)

Veloc

(m/s)

Exc.

Pres.

(m)

Comp

(m)

Cota

Piez.

(mca)

Pres.

Disp

(mca)

1 6,7 108,4 100 80 0,73 0,00 84 138,20 32,20

2 13,4 156,4 150 80 0,70 0,96 90 138,66 33,16

3 20,1 156,4 150 80 1,05 1,77 90 138,97 33,97

4 26,8 156,4 150 80 1,39 2,91 378 139,61 35,11

5 6,7 70,5 75 80 1,72 0,67 84 136,87 32,87

6 13,4 108,4 100 80 1,45 4,95 90 140,65 37,15

7 20,1 156,4 150 80 1,05 7,25 90 142,45 39,45

8 26,8 156,4 150 80 1,39 8,39 90 143,09 40,59

9 53,6 204,2 200 80 1,64 9,97 294 144,17 42,17

*Onde: Diâm. = Diâmetro; Pres. = Pressão; Veloc. = Velocidade; Exc. = Excesso; Comp. = Comprimento;

Piez. = Piezométrica; Disp. = Disponível.

5.2.2. SOLUÇÃO DO MODELO PARA O CASO 2

O modelo apresentou uma solução igual à obtida pelo programa REDES, com

diferença ínfima no custo de bombeamento.

Figura 5.11 – Resultado final para o Caso 2.

Da comparação, deduz-se que, para o problema proposto, a otimização com

variáveis discretas não mostrou vantagem, possivelmente pelo fato de que o método

utilizado por GOMES (1999) também chegou à solução ótima global.

5.3. CASO 3

5.3.1. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

O terceiro caso estudado trata do projeto de rede de distribuição de um sistema de

irrigação de grande porte planejada para o estado de Manabí, região noroeste do Equador,

município de Chone. O estado de Manabí está localizado entre a cordilheira dos Andes e o

litoral equatoriano. Observa-se o mapa do Equador na Figura 5.12, com destaque para o

referido estado. Trata-se de uma das diversas redes propostas em estudo contratado para a

região (DHI Water & Environment, 2002b) e que, pelo porte do problema, foi escolhido

como caso-exemplo.

Figura 5.12

– Mapa do Equador com destaque para a região do estudo de caso.

A água que provirá o abastecimento da rede terá como origem o Rio Chone, sendo

a área da bacia hidrográfica de 3.570,6 km² e ficando no noroeste de Manabí. Na cabeceira

da rede existe uma barragem, denominada Esperanza, que abastecerá todo o sistema de

irrigação. A rede aqui estudada é ramificada e abrange uma área de 132,91 km

, possuindo

770 nós e 769 trechos, com um comprimento total de 318,48 km. Essa rede é uma das

diversas propostas feitas durante o projeto. A planta com a topologia da rede pode ser

visualizada no Apêndice A.

O projeto recebeu o nome de Projeto Carrizal-Chone e os principais cultivos

planejados para a área são: milho (7%), tomate (6%), arroz (4%), melão (11%), fava (1%),

pimentão (1%), pepino (1%), banana (29%), cítricos (11%), manga (5%), pasto (15%).

A Figura 5.13 mostra a disposição da rede sobre o terreno cotado.

Figura 5.13 – Rede do exemplo, plotada sobre curva de nível.

As diversas opções estudadas prevêem o abastecimento de toda a rede por

gravidade.

O comprimento padrão dos trechos da rede é 447m, havendo segmentos menores e

outros pouco maiores. Para o bom funcionamento da rede e garantia de que a água

demandada chegará aos nós requisitados são estabelecidas no projeto restrições como:

• Velocidade mínima = 0,40 m/s;

• Pressão disponível mínima em cada nó = 1,7 mca;

• Diâmetros maiores que 50 mm e menores que 4500 mm;

• Vazão demandada em cada nó 19,18 l/s, existindo nós sem demanda.

A maior vazão demandada está localiza no primeiro trecho, sendo este da cabeceira

da rede e ponto de distribuição de todas as demandas, onde o valor da vazão acumulada é

de 13.426 l/s.

Em cada trecho da rede supôs-se, na análise deste estudo, a presença de uma

válvula, um tê de saída lateral e duas curvas de 45

, prevendo as singularidades que

contribuíram com acréscimo na perda de carga. Os demais dados referentes ao projeto

estão dispostos no modelo, e são apresentados neste trabalho pelo relatório de saída do

GAMS que consta no arquivo do CD incorporado ao Apêndice B.

A Tabela 5.7 dispõe dos diâmetros comercias e seus respectivos preços, que

permitiram estabelecer a função-objetivo.

Tabela 5.7 – Preços dos diâmetros comerciais.

Com base na tabela mostrada acima foi possível obter a equação de custos a ser

minimizada. Essa equação, alcançada pelo melhor ajuste da função ao conjunto de pontos,

possui a forma quadrática e os seus parâmetros do ajuste são apresentados na Figura 5.14.

Admitiu-se que o custo das singularidades não seria sensivelmente afetado na otimização e

assim desconsiderado no processo.

Custo = 3E-05D

+ 0,2134D - 64,627

= 0,9986

-500,00

0,00

500,00

1.000,00

1.500,00

2.000,00

2.500,00

3.000,00

3.500,00

0 2000 4000 6000 8000

D (mm)

C (R$/m)

Série1

Polinômio

(Série1)

Figura 5.14 – Gráfico relacionado à equação do custo.

Diâmetro

(mm)

Custo

(US$/m)

150 3,23

200 5,07

250 7,90

300 12,56

350 15,99

400 20,30

450 25,72

500 31,78

600 65,62

Diâmetro

(mm)

Custo

(US$/m)

700 85,83

800 109,4

900 135,08

1000 163,24

1100 193,38

1200 227,71

1270 262,88

1397 298,05

1524 329,87

Diâmetro

(mm)

Custo

(US$/m)

1651 403,32

1778 434,65

1905 465,99

2032 497,32

2286 560,00

2413 591,33

2540 744,05

3500 1.100,00

7000 3.000,00

A equação obtida do ajuste foi utilizada como função-objetivo na resolução da

NLP, para obtenção dos diâmetros em valores não-comerciais. Os custos foram ajustados

para os valores relativos aos diâmetros comerciais, obtendo-se, assim, o custo final para a

rede.

5.3.2. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DE DOIS MODELOS DE OTIMIZAÇÃO

PARA O PROBLEMA PROPOSTO

No propósito de analisar o potencial da ferramenta, busca-se otimizar a rede por

meio de dois instrumentos: programa Solver presente no MS-Excel, e o modelo

desenvolvido no GAMS.

CIRILO (2003) analisou a rede em questão com o suporte do programa Solver. Para

isso, foi necessário a utilização de um artifício auxiliar, uma vez que não é possível

colocar todos os 770 diâmetros como variáveis de decisão, pois o programa não suporta

problema dessa ordem como NLP.

As variáveis de interesse e os diâmetros das tubulações que compõem a rede foram

definidas pela expressão:

= α + β.D

min

(5.3)

Onde:

i – índice genérico de trecho;

– diâmetro do trecho de tubulação “i”;

α e β – variáveis de decisão do processo de otimização;

min

– diâmetro mínimo aceitável para a vazão no trecho.

Foram considerados no modelo dois tipos de otimização feitas no MS-Excel. No

primeiro, considerou-se um único valor para cada parâmetro

, e portanto o problema

apresenta duas variáveis de decisão. O segundo procedimento considera um único valor

para

, mas com a existência de vários

distribuídos em faixas, conforme a vazão e

consequentemente de acordo com o diâmetro mínimo de cada trecho. Além disso, foi feita

uma otimização “fina”, reduzindo caso a caso os diâmetros obtidos onde ocorriam

excessos de pressão em cada trecho, de modo que, quando fosse permitido, a pressão no nó

ficasse com um mais próximo do mínimo admissível.

Os resultados da análise de CIRILO (2003) são mostrados na tabela a seguir:

Tabela 5.8 – Resultado da Otimização pelo Solver.

Tipo de Otimização alfa beta Custo (US$)

Otimização da Rede 0,99 1,7 38.220.372,32

1,70

1,30

1,00

1,40

1,00

1,20

1,10

Otimização "fina" da

Rede

0,00

1,20

32.174.778,00

O maior diâmetro apresentado pela rede foi de 3600 mm e o valor da menor carga

disponível foi de 1,72m, considerando todas as restrições já citadas anteriormente.

Observa-se que o ajuste “fino” e o aumento das variáveis de decisão citados em

muito contribuiu para a redução do custo final, ocorrendo redução da ordem de 16% do

custo da rede.

5.3.2.1. Resultados do Modelo Proposto

O modelo, para uma rede como esta de grande porte, sofreu algumas alterações

com relação ao apresentado para as redes de pequeno porte. Para essa rede maior não foi

possível a obtenção dos diâmetros comerciais pela MINLP. Observou-se que, devido ao

tamanho da problema, a busca da solução discreta para os diâmetros pelo solver SBB

torna-se ilimitada, existindo uma grande dificuldade para se conseguir atingir diretamente

o melhor valor comercial para cada um dos diâmetros. Por isso, a obtenção dos diâmetros

foi feita neste caso-exemplo como variáveis contínuas.

A estruturação do modelo dessa rede gerou uma programação com 2.680 linhas,

7.288 iterações e tempo de processamento médio de 20 minutos, a depender da capacidade

do computador utilizado. O grande número de iterações geradas deu-se, principalmente,

pela restrição imposta à pressão e pelo grande número de variáveis de decisão existente no

projeto.

O resultado da NLP foi satisfatório, atingindo um ótimo local e atendendo todas as

restrições impostas. A pressão mínima obtida foi de 1,7 mca e a máxima foi de 32,12 mca.

Abaixo, na Tabela 5.9, são mostrados os indicadores do porte do problema.

Tabela 5.9 – Resultados da Programação Não-Linear.

Número de Equações 6924

Número de Variáveis 6924

Elementos diferentes de zero 18460

Comprimento do Código 189178

Custo (US$)*

24.061.429,30

* Custo referente aos diâmetros não-comerciais

Os resultados detalhados são apresentados no CD do Apêndice B.

Naturalmente o valor do custo obtido nesta fase não é real, visto que os diâmetros

das tubulações precisam ser ajustados para os valores comerciais imediatamente

superiores.

Após o ajuste dos diâmetros, o custo foi elevado para US$ 31.459.562,56. Pode-se

notar que este valor foi reduzido em 2,2% (US$ 715.225,44) do custo encontrado com a

otimização “fina” da rede citada. O ganho, aparentemente pequeno em termos percentuais,

foi obtido apenas com o aumento das variáveis de decisão do problema, mesmo

considerando-as como variáveis continuas.

A tabela seguinte compara os comprimentos de tubulação nos três casos.

Tabela 5.10 – Comparação dos comprimentos das tubulações.

GAMS Solver 1* Solver 2* GAMS Solver 1* Solver 2*

Diâmetro

(mm)

Comprim.

Total (m)*

Comprim.

Total (m)*

Comprim.

Total (m)*

Diâmetro

(mm)

Comprim.

Total (m)*

Comprim.

Total (m)*

Comprim.

Total (m)*

4500 72,23 0,00 0,00 1600 895 0,00 0,00

4200 55,17 0,00 0,00 1550 0,00 2236,00 447,19

4100 308,49 0,00 0,00 1500 0,00 0,00 1527,33

4000 275,88 0,00 0,00 1450 447,19 0,00 0,00

3900 248,08 0,00 0,00 1400 0,00 0,00 447,19

3800 186,48 0,00 0,00 1350 895 0,00 0,00

3700 2319,52 0,00 0,00 1300 1070,58 1788,75 2341,30

3600 578,64 826,50 4759,99 1250 1797,31 0,00 0,00

3500 1852,22 3933,49 0,00 1200 447 1527,33 5996,04

3450 1519,05 6278,90 6278,90 1150 2682,63 1788,63 5566,14

3400 429,81 0,00 0,00 1100 1342 1789,18 0,00

3350 1482,04 0,00 0,00 1050 1341 894,38 6392,81

3300 1458,17 0,00 0,00 1000 1618,4 7719,72 0,00

3250 2219,7 3130,03 3130,03 950 2165,01 3832,22 4247,19

3200 716,42 0,00 1342 900 2157,2 490,12 8564,21

3150 447 1342,00 0,00 850 4322,03 901,40 0,00

3050 895 0,00 0,00 800 7395,87 2814,44 9928,45

3000 447 0,00 0,00 750 3980,57 5867,87 0,00

2600 0,00 0,00 894 700 4471,63 3183,98 8618,81

2250 0,00 1341,56 1341,56 650 5140,94 5657,19 0,00

2200 894 0,00 0,00 600 7759,44 7825,00 7406,95

2150 0,00 3577,25 4919,25 550 5215,47 6314,58 17992,46

2050 0,00 3170,09 3170,09 500 6031,58 7226,74 0,00

2000 2683,19 1788,81 1788,81 450 10226,05 7373,45 16243,30

1950 1788,81 0,00 0,00 400 9354,22 8151,78 0,00

1900 2722,91 0,00 0,00 350 11107,94 14362,98 49872,25

1850 1341,62 0,00 0,00 300 16843,86 19971,93 0,00

1800 447,19 894,00 2235,56 250 22369,32 43616,83 138112,90

1750 1341,56 895,00 895,00 200 42665,72 15077,05 0,00

1700 894 0,00 0,00 150 116221,56 118211,98 0,00

1650 894,44 2682,00 4023,63

TOTAL 318483,14 318483,15 318483,34

*Onde: Solver 1 – Otimização da Rede; Solver 2 – Otimização “fina” da Rede; Comprim. = comprimento.

5.4 CASO 4

O último caso estudado trata de uma rede hipotética criada para avaliar as soluções

da programação com variáveis de decisão discreta e com variáveis contínuas ajustadas a

posteriori para diâmetros comerciais. Trata-se de uma rede médio porte, com 70 nós e 69

trechos, em que as condições para o abastecimento d’água são as mesmas apresentadas no

Caso 2 (ver Tabela 5.4 e Tabela 5.5). Essa rede foi estruturada próxima ao limite suportado

pelo programa para otimização com variáveis discretas.

A Figura 5.15 mostra a disposição dos nós na rede.

Figura 5.15 - Rede hipotética do caso-exemplo 4.

A Tabela 5.11 dispõe os preços (1997) dos tubos de PVC, semelhantemente ao

Caso 2, com diâmetros até 500mm.

68 69

Tabela 5.11 – Preços e características das tubulações.

Diâmetro Nominal

(mm)

Diâmetro

Interno (mm)

Velocidade

máxima (m/s)

Preço

(R$/m)

75 70,5 2,0 10,7

100 108,4 2,0 17,5

150 156,4 2,0 32,0

200 204,2 2,0 53,3

250 252,0 2,0 79,3

300 299,8 2,0 113,0

350 156,03 2,0 351,91

400 201,80 2,0 401,68

450 253,58 2,0 451,44

500 311,35 2,0 501,21

5.4.1 RESULTADOS

O resultado encontrado mostrou, como era esperado, redução do custo (da ordem de

11%) quando foram utilizados diretamente os diâmetros comerciais como variáveis de

decisão. A diferença dos custos encontrados é mostrada na Tabela 5.12.

Tabela 5.12 – Comparação de Custos.

Custos (R$)

Tipo de programação Execução Bombeamento Total

NLP + Programação

Simples

501.772,48 663.994,12 1.165.716,60

NLP + MINLP

346.863,72 681.015,24 1.027.878,74

Diferença

(-)154.908,76 (+)1.702,12 (-)137.837,86

A Figura 5.16 compara as duas soluções em termos de comprimento totais para

diferentes diâmetros.

500

1000

1500

2000

2500

3000

75 100 150 200 250 300 350 400 500

Diâmetros (m)

Comprimento total (m)

Diam NLP

Diam MINLP

Figura 5.16 - Gráfico dos Comprimentos versus Diâmetros para o Caso 4.

A fim de comparar os diâmetros obtidos pelos dois tipos de programação, a Tabela

5.13 mostra os resultados obtidos e suas respectivas alturas manométricas.

Tabela 5.13 – Comparação dos resultados obtidos para o Caso 4.

NLP + MINLP NLP + Programação Simples

Altura Manométrica:

63,384

Altura Manométrica:

61,8

Trecho Diâmetro Trecho Diâmetro

1-11 100 1-11 200

1-49 75 1-49 100

2-1 200 2-1 250

2-12 100 2-12 150

3-2 250 3-2 250

3-13 100 3-13 150

4-3 250 4-3 300

4-14 75 4-14 150

5-15 75 5-15 100

5-23 100 5-23 150

5-50 75 5-50 100

6-5 150 6-5 200

6-16 75 6-16 100

6-24 75 6-24 150

7-6 200 7-6 250

7-17 75 7-17 100

7-25 75 7-25 150

8-7 200 8-7 250

8-18 75 8-18 100

8-26 75 8-26 150

9-4 250 9-4 300

9-8 250 9-8 300

9-27 300 9-27 350

10-9 400 10-9 500

11-19 150 11-19 200

11-44 75 11-44 100

12-20 75 12-20 100

12-45 75 12-45 100

13-21 75 13-21 100

13-46 75 13-46 100

14-22 75 14-22 100

14-47 75 14-47 100

19-48 100 19-48 150

23-36 100 23-36 100

24-37 75 24-37 100

25-38 75 25-38 100

26-39 75 26-39 100

27-28 200 27-28 300

27-61 75 27-61 100

27-62 150 27-62 200

28-29 250 28-29 300

28-31 75 28-31 100

29-30 250 29-30 250

29-32 75 29-32 100

30-33 75 30-33 100

30-34 200 30-34 250

31-51 75 31-51 100

32-52 75 32-52 100

33-53 75 33-53 100

34-35 150 34-35 200

34-56 150 34-56 200

35-54 75 35-54 100

35-55 150 35-55 150

36-40 75 36-40 100

37-41 75 37-41 100

38-42 75 38-42 100

39-43 75 39-43 100

55-58 75 55-58 100

55-60 100 55-60 150

56-57 75 56-57 100

56-59 100 56-59 150

62-63 75 62-63 100

62-64 150 62-64 200

64-65 75 64-65 100

64-67 100 64-67 150

65-66 75 65-66 100

67-68- 100 67-68 150

68-69 75 68-69 100

68-70 75 68-70 100

6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

6.1 CONCLUSÕES

Como contribuição para o estudo da otimização de sistemas de abastecimento de

água para redes pressurizadas, o presente trabalho propôs um modelo hidráulico de

otimização, estruturado na forma clássica dos problemas de otimização restritiva. Este

modelo foi aplicado a quatro casos distintos de diferentes portes, comparando-se diferentes

escolhas de variáveis de decisão e processos de otimização.

Alguns pontos relativos ao modelo proposto são importantes de ressaltar:

• O modelo de otimização apresentado funciona para redes de pequeno e grande

porte. As redes de pequeno porte podem ser otimizadas com suporte de métodos

mais simples, sem necessidade de esforço computacional maior. Já as redes de

grande porte só podem ser otimizadas com auxílio de softwares específicos.

• A programação não-linear com variáveis discretas parece mais vantajosa à medida

que o porte da rede cresce. O problema é conseguir chegar à solução, pela limitação

dos softwares. Esse modelo dá a sua contribuição para tentar atingir esse resultado

e se mostra bastante razoável para redes de médio porte;

Então, diante dos casos estudados, pode-se concluir que o modelo é bastante útil no

cálculo de sistemas de redes de distribuição de água. Para pequenas redes não devem ser

observadas diferenças em relação a procedimentos de otimização mais simples, porém

reduções significativas devem acontecer em sistemas de maior porte. Além disso, a

otimização de diâmetros discretos (comerciais), nos limites aceitos pelo programa, pode

levar a resultados ainda melhores na redução dos custos.

6.2 RECOMENDAÇÕES

A principal recomendação para continuidade e aprimoramento do modelo

desenvolvido nesse trabalho está na obtenção de um “solver” que possibilite a solução de

redes de grande porte com variáveis discretas. Várias tentativas foram feitas para resolução

de redes de maior porte com diâmetros como variáveis discretas, mas infelizmente não foi

obtido nenhum resultado positivo. Sugere-se um estudo mais aprofundado e detalhado de

programações aplicadas ao GAMS, e outros “

solvers” existentes para essa plataforma ou

para outras similares.

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APÊNDICE

APÊNDICE A

100

APÊNDICE B

101

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