( PDF ) Vibrações em encostas produzidas por tráfego de veículos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

ESCOLA DE ENGENHARIA DE PERNAMBUCO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

VIBRAÇÕES EM ENCOSTAS PRODUZIDAS POR

TRÁFEGO DE VEÍCULOS

Dissertação de Mestrado apresentada por

Felipe Tavares da Silva

José Inácio Souza Leão Ávila

Orientador

Roberto Leal Pimentel

Co-Orientador

RECIFE, MAIO DE 2006

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VIBRAÇÕES EM ENCOSTAS PRODUZIDAS POR TRÁFEGO DE

VEÍCULOS

Felipe Tavares da Silva

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE PÓS-

GRADUAÇÃO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO COMO

PARTE DOS REQUESITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE

MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

_______________________________

José Inácio de Souza Leão Ávila, Ph.D

(ORIENTADOR)

_______________________________

Roberto Leal Pimentel, Ph.D

(CO-ORIENTADOR)

_______________________________

Eliane Maria Lopes Carvalho, D.Sc

(EXAMINADOR EXTERNO)

_______________________________

Romilde Almeida de Oliveira, D.Sc

(EXAMINADOR INTERNO)

Recife, PE – Brasil

Maio de 2006

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Silva, Felipe Tavares da

Vibrações em Encostas Produzidas por Tráfego de Veículos / Felipe

Tavares da Silva – Recife, 2006.

158 folhas.

Dissertação de (mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG.

Engenharia Civil, 2006.

Inclui bibliografia e índices

1. Vibrações. 2. Tráfego de veículos. 3. Encostas. 4. Análise dinâmica. 5.

Estabilidade de taludes. 6. Propagação de ondas.

iii

RESUMO

O problema de vibrações produzidas pelo fluxo de tráfego de veículos está

intimamente ligado à propagação de ondas pelo solo. As fontes geradoras de onda são os

veículos e o foco do problema pode se apresentar de diversas formas: de inconvenientes

em estruturas de edificações próximas a possíveis desestabilizações em encostas. Vias de

tráfego próximas a cristas de taludes é um problema em potencial a ser estudado. As ondas

oriundas do tráfego, ao atingirem o talude, podem causar efeitos erosivos e deslizamentos.

Neste trabalho, tomou-se como caso de estudo a via de tráfego de veículos localizada na

falésia do Cabo Branco, na cidade de João Pessoa. Localizada próxima ao talude, esta via

teve o fluxo de veículos interrompido devido à suspeição de que os efeitos vibratórios do

tráfego contribuiriam para a desestabilização do talude. Desta forma, para este estudo

foram desenvolvidos modelos numéricos com a finalidade de verificar a desestabilização

do talude, através da análise das acelerações das partículas no talude. As ações dinâmicas

correspondiam ao tráfego de veículos próximo à crista da encosta. O modelo foi

desenvolvido em elementos finitos através do programa ANSYS e os resultados foram

comparados e analisados por meio de parâmetros propostos na literatura, que envolvem

tensões, acelerações e propriedades do solo. Os resultados obtidos indicaram acelerações

no maciço de magnitude inferior às que produziriam risco de deslizamento.

ABSTRACT

The problem of traffic-induced vibration is closely linked to the wave propagation

throughout the soil. The vehicles are the source of the waves and the problems caused by

the traffic can vary from effects on nearby buildings to a risk of sliding on slopes. Roads

close to the top of slopes deserve investigation. The waves produced by the traffic, when

reaching the slope, could cause erosion or sliding. A road located close to Cabo Branco

cliff in the city of João Pessoa was chosen as a case study of. This road is close to the slope

and was blocked due to suspicions that the traffic-induced vibration was contributing to the

slope sliding problem. A numerical model was developed to analyse the problem, aiming

to investigate the stability of the slope. This was carried out through the analysis of the

slope accelerations due to a dynamic moving load passing nearby, representing a vehicle.

The finite element model was developed using the computer program ANSYS and the

results obtained were compared and analysed using parameters proposed in the literature,

involving stresses, acceleration and soil properties. The computed accelerations in the

slope were below those that would produce risk of sliding.

AGRADECIMENTOS

A todos os professores do Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil da

UFPE, pelas lições e pelo suporte.

Aos orientadores José Inácio e Roberto Pimentel por acreditarem no trabalho e

por todo o apoio ao longo da pesquisa.

Aos professores da banca Romilde e Eliane.

Ao professor Magno do Depto. de Geologia da UFPB pela aula sobre formação

geológica.

À Rubens por ter me ajudado ao longo de todo este caminho.

Aos amigos pela companhia fraterna.

Aos meus familiares.

À CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior por

disponibilizar a bolsa de estudos ao programa, sendo imprescindível para a realização

da pesquisa.

LISTA DE FIGURAS

Figura I.1 – Ponte Tacoma Narrows entrando em colapso.

Figura I.2 – Colapso de viaduto no Japão.

Figura I.3 – Sistema infinito para representar o solo: Ilha de solo (Adaptada de LYSMER e

KUHLEMEYER, op. cit.).

Figura I.4 – Falésia do Seixas:(a) Talude e praia; (b) Topo do talude e pista.

Figura II.1 – Amplitude das deformações cisalhantes cíclicas em relação ao índice de

plasticidade (adaptada de LAI e RIX, op. cit.).

Figura II.2 – Degradação da rigidez do material solo em relação à amplitude da

deformação cíclica cisalhante (adaptada de VUCETIC, op. cit.).

Figura II.3 – Relação tensão-deformação típica de solo submetido à ação cíclica. (adaptada

de VUCETIC, op. cit.).

Figura II.4 – (a) Aparição das ondas P, S e Rayleigh nos deslocamentos horizontais u e

vertical w com relação ao tempo t em um ponto da superfície; (b) Deslocamento das

partículas devido à onda de Rayleigh (adaptada de LAMB, 1904).

Figura II.5 – Propagação das ondas P, S e Rayleigh em meio elástico e homogêneo

(adaptada de RICHART et al., op. cit.).

Figura II.6 – Deslocamentos da resposta analítica na superfície do semi-plano.

Figura II.7 – Deslocamentos da resposta analítica na superfície do semi-espaço.

Figura II.8 – Deslocamentos verticais em relação ao tempo em ponto a 1,0 m de

profundidade devido à carga móvel sobre base elástica.

Figura II.9 – Talude junto a uma rodovia apresentando ruptura recente.

Figura II.10 – Talude com superfície potencial de escorregamento circular.

Figura II.11 – Talude com superfície de ruptura plana.

vii

Figura II.12 – Método de Fellenius: (a) Fatias ou lamelas; (b) Equilíbrio de forças na fatia

Figura II.13 – Análise pseudo-estática: (a) Ruptura circular; (b) Ruptura plana.

Figura II.14 – Método das fatias desenvolvido por SARMA (1979).

Figura II.15 – (a) Bloco rígido deslizando sobre um plano horizontal; (b) Componentes da

aceleração induzida.

Figura II.16 – Representação esquemática da propagação dos esforços no MEF.

Figura II.17 – Elemento bidimensional quadrilateral com dois graus de liberdade por nó.

Figura II.18 – Elemento sólido espacial: (a) 8 nós e 3 translações e rotações por nó; (b) 20

nós e 3 translações por nó.

Figura II.19 – Modelagem do semi-plano (solo): (a) amortecedores viscosos imperfeitos;

(b) zona absorvente.

Figura II.20 – (a) Contorno viscoso imperfeito de modelo 2D; (b) Elemento COMBIN14;

Figura II.21 – Contorno do tipo zona absorvente (adaptado de D’APUZZO, op. cit.): (a)

semi-espaço e zona absorvente; (b) idealização em EF.

Figura II.22 – Função do aumento do amortecimento na zona absorvente.

Figura II.23 – Idealização e modelagem de carga móvel.

Figura II.24 – Modelo quarter-car model: (a) Idealização do veículo; (b) Modelo.

Figura II.25 – Determinação da rigidez da fundação do pavimento (SELVADURAI, op.

cit.).

Figura II.26 – Distribuição da carga de um eixo ao longo da pista de rolamento.

Figura II.27 – Desenho esquemático do chassi do Volvo B12R 6x2

(http://www.volvo.com.br).

viii

Figura II.28 – Distribuição da carga para um e três veículos Volvo B12R segundo a

equação II.91.

Figura II.29 – Carga distribuída do veículo tipo para diferentes módulos elásticos: (a) do

pavimento; (b) da fundação.

Figura II.30 – Aplicação da carga do trem-tipo em um modelo de semi-plano.

Figura III.1 – Semi-plano com elemento da malha de D’Apuzzo (op. cit.).

Figura III.2 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície do semi-plano discretizado

com elementos de D’Apuzzo e amortecedores de Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.3 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície do semi-plano discretizado

com elementos de D’Apuzzo e amortecedores de White.

Figura III.4 – Semi-plano com elemento da malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.5 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície do semi-plano discretizado

com elementos e amortecedores de Lysmer-Kulehmeyer.

Figura III.6 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície do semi-plano discretizado

com elementos de Lysmer-Kulehmeyer e amortecedores de White.

Figura III.7 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície para modelos com o

contorno fixo: (a) Malha de D’Apuzzo; (b) Malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.8 – Semi-plano discretizado com o critério de D’Apuzzo contornado por zona

absorvente.

Figura III.9 – Deslocamentos em pontos da superfície do semi-plano discretizado com

elementos de D’Apuzzo.

Figura III.10 – Semi-plano discretizado com o critério de Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.11 – Deslocamentos em pontos da superfície do semi-espaço discretizado com

elementos de Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.12 – Quatro primeiros modos de vibração do modelo de semi-plano com

elementos de Lysmer-Kulehmeyer contornado por zona absorvente.

Figura III.13 – Deslocamentos em pontos da superfície do semi-espaço discretizado com

elementos de Lysmer-Kuhlemeyer e razão de amortecimento de 5%: comparação com a

equação de Bornitz.

Figura III.14 – Semi-planos sem amortecimento (χ=0,00) na zona absorvente: (a) Malha de

D’Apuzzo; (b) malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.15 – Semi-planos com crescimento do amortecimento na zona absorvente de

χ=0,10: (a) Malha de D’Apuzzo; (b) malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.16 – Semi-planos com crescimento do amortecimento na zona absorvente de

χ=1,00: (a) Malha de D’Apuzzo; (b) malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.17 – Deslocamentos em pontos a 5,0m e 8,0 m da fonte de excitação na

superfície do semi-plano com freqüências diferentes: (a) 10 Hz; (b) 15 Hz.

Figura III.18 – Malha do modelo de semi-espaço com elemento de D’Apuzzo.

A análise modal foi feita extraindo os quatro primeiros modos de vibração, os quais podem

ser visualizados na figura III.19.

Figura III.19 – Quatro primeiros modos de vibração e freqüências naturais correspondentes

para semi-espaço discretizado com elementos de D’Apuzzo (Vista superior do semi-

espaço).

Figura III.20 – Malha de EF do modelo de semi-espaço tridimensional com elemento de

Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.21 – Dois primeiros modos de vibração do semi-espaço com elementos de

Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.22 – Comparação dos deslocamentos obtidos no modelo em EF devido à carga

móvel com a resposta analítica de Hung-Yang.

Figura III.23 – Comparação das velocidades obtidas no modelo em EF devido à carga

móvel com a resposta analítica de Hung-Yang.

Figura III.24 – Comparação das acelerações obtidas no modelo em EF devido à carga

móvel com a resposta analítica de Hung-Yang.

Figura III.25 – (a) Fotografia aérea da falésia do Seixas; (b) Interrupção ao tráfego de

veículos em trecho da pista.

Figura III.26 – Fotografias da superfície do talude do Seixas.

Figura III.27 – (a) Croqui do projeto de sondagem; (b) Execução do furo no local.

Figura III.28 – Perfil de sondagem realizado.

Figura III.29 – Fotografia aérea da falésia do Seixas com curvas de nível (Prefeitura

Municipal de João Pessoa).

Figura III.30 – Desenho esquemático da geometria do talude.

Figura III.31 – (a) Resumo da granulometria; (b) Curva granulométrica.

Figura III.32 – Análise de estabilidade do talude em estudo (SLOPEW).

Figura III.33 – Talude original da falésia do Seixas e proposta de retaludamento.

Figura III.34 – Malha de elementos finitos do talude em estudo.

Figura III.35 – Quatro primeiros modos de vibração: (a) 1° modo; (b) 2° modo; (c) 3°

modo; (d) 4° modo.

Figura III.36 – Deslocamentos no centro geométrico da superfície de ruptura circular: (a)

horizontal; (b) vertical.

Figura III.37– Velocidades no centro geométrico da superfície de ruptura circular: (a)

horizontal; (b) vertical.

Figura III.38 – Acelerações no centro geométrico da superfície de ruptura circular: (a)

horizontal; (b) vertical.

Figura III.39 – Aceleração resistiva horizontal crítica do talude em estudo para o modo

plano de ruptura.

Figura III.40 – Tensões e deformações cisalhantes no centro geométrico da cunha com

potencial para deslizamento: (a) tensões; (b) deformações.

xii

Notações

– Velocidade de propagação da onda compressiva ou primária.

– Velocidade de propagação da onda cisalhante ou secundária.

– Velocidade de propagação da onda Rayleigh.

λ e μ – Constantes elásticas de Lamè.

υ – Coeficiente de Poisson.

ρ – Massa específica.

e A

– Amplitudes das ondas em pontos distintos.

e r

– distância em relação a fonte de excitação.

ξ – Razão de amortecimento viscoso.

– Velocidade do veículo.

Ω – Razão entre a velocidade do veículo e a velocidade de propagação da onda de

Rayleigh.

P(t) – Carga cíclica em função do tempo.

– Amplitude da carga cíclica.

t – tempo em segundos.

f – freqüência da carga cíclica.

u – componente horizontal do deslocamento bidimensional para uma carga genérica.

v – componente vertical do deslocamento bidimensional para uma carga genérica.

ω – freqüência angular.

– componente horizontal do deslocamento bidimensional para uma carga concentrada.

– componente vertical do deslocamento bidimensional para uma carga concentrada.

– componente horizontal do deslocamento tridimensional para uma carga concentrada.

– componente vertical do deslocamento tridimensional para uma carga concentrada.

– componente horizontal do deslocamento tridimensional para uma carga distribuída

elasticamente.

xiii

– componente horizontal do deslocamento tridimensional para uma carga distribuída

elasticamente.

– componente vertical do deslocamento tridimensional para uma carga distribuída

elasticamente.

e k

– número de onda em relação ao eixo correspondente.

– profundidade da fenda de tração.

c – coesão do solo.

g – aceleração da gravidade.

e T

– forças resistentes, normal e cisalhante, respectivamente.

e V

– forças horizontal e vertical atuantes.

– inclinação da fatia i.

– peso próprio da fatia.

– coeficiente de aceleração crítica.

– coeficiente de aceleração crítica obtido pelo método de Newmark.

– coeficiente de aceleração crítica obtido pelo método de Sarma.

β – ângulo que o segmento de reta entre o centro da circunferência que define a cunha

deslizante e o seu centro geométrico coma vertical.

FS – Fator de segurança da estabilidade estática de um talude.

e X

– forças horizontal e vertical atuantes no método de Sarma.

φ – ângulo de atrito do solo.

e k

– razão da componente horizontal e vertical, respectivamente, da aceleração em

relação à aceleração da gravidade.

– coeficiente de aceleração crítica obtido pelo método de Ling.

r e s – eixos do sistema de coordenada do elemento quadrilateral.

u(r,s) e v(r,s) – funções de forma do elemento quadrilateral.

r, s e t – eixos do sistema de coordenada do elemento hexaédrico.

u(r,s,t), v(r,s,t) e w(r,s,t) – funções de forma do elemento hexaédrico.

xiv

[K], {u} e {f} – matriz de rigidez do sistema e os vetores de deslocamentos e forças nodais

{φ}

- autovetores associados ao modo de vibração i.

[M] e

{}

– matriz de massa do sistema e o vetor de acelerações nodais.

[C] e

{}

– matriz de amortecimento do sistema e o vetor das velocidades nodais.

– constantes do amortecimento de Rayleigh.

Δt – Tamanho do tempo discretizado.

NORMAL

e C

CISALHANTE

– coeficientes de amortecimento dos amortecedores viscosos

imperfeitos

Φ – variação do amortecimento em relação à distância x.

, ν

e h – módulo elástico, o coeficiente de Poisson e a altura da camada do solo,

respectivamente.

k – rigidez da base elástica de Winkler.

(z), T e

– distribuição da carga de um eixo sobre o semi-espaço, carga total de cada

eixo e o comprimento característico da viga de comprimento infinito.

(z) – distribuição de N veículos.

SUMÁRIO

SUMÁRIO .............................................................................................................. 1

I – INTRODUÇÃO................................................................................................. 4

1.1 – Aspectos gerais........................................................................................... 4

1.2 – Objetivos .................................................................................................... 7

II – MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................................ 9

2.1 – Comportamento do solo sob ações dinâmicas. .......................................... 9

2.1.1 – Fenômeno de propagação de ondas pelo solo................................... 12

2.1.2 – Modelo elástico, visco-elástico e poro-elástico. ............................... 16

2.1.3 – Respostas analíticas de cargas dinâmicas no solo............................. 17

2.2 – Estabilidade de Taludes............................................................................ 24

2.2.1 – Escorregamentos de solo................................................................... 26

2.2.1.1 –Escorregamento de solo em superfície circular .......................... 26

2.2.1.2 – Escorregamento de solo em superfícies planas.......................... 27

2.2.2 – Fatores que influenciam os escorregamentos.................................... 28

2.2.3 – Métodos de cálculo da estabilidade de taludes ................................. 30

2.2.4 – Abordagem pseudo-estática .............................................................. 31

2.2.4.1 – Método de Newmark.................................................................. 33

2.2.4.2 – Método de Sarma ....................................................................... 33

2.2.4.3 – Método de Ling.......................................................................... 37

2.3 – Método dos Elementos Finitos................................................................. 39

2.3.1 – Determinação da malha..................................................................... 43

2.3.2 – Análise Dinâmica pelo Método dos Elementos Finitos.................... 45

2.3.3 – Modelos de meios semi-infinitos e condições de contorno .............. 50

2.3.3.1 – Contorno com amortecedores viscosos...................................... 51

2.3.3.2 – Contorno com zona absorvente.................................................. 54

2.4 – Modelagem do veículo e do pavimento ................................................... 55

2.4.1 – Modelos matemáticos para a carga móvel ........................................ 57

2.4.2 – Veículo modelo: Volvo B12R 6x2.................................................... 59

2.4.2.1 – Carregamento no modelo tridimensional................................... 62

2.4.2.2 – Carregamento no modelo bidimensional ................................... 62

III – RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................ 64

3.1 – Verificação dos modelos propostos ......................................................... 64

3.1.1 – Semi-plano com contorno viscoso imperfeito................................... 66

3.1.1.1 – Proposta 1: semi-plano com elementos de D’Apuzzo e contorno

viscoso....................................................................................................... 66

3.1.1.2 – Proposta 2: semi-plano com elementos de Lysmer-Kuhlemeyer e

contorno viscoso ....................................................................................... 68

3.1.1.3 – Contorno convexo fixo ou com amortecimento infinito............ 70

3.1.2 – Semi-plano com zona absorvente...................................................... 72

3.1.2.1 – Proposta 3: semi-plano com zona absorvente e elementos de

D’Apuzzo.................................................................................................. 72

3.1.2.2 – Proposta 4: semi-plano com zona absorvente e elementos de

Lysmer-Kuhlemeyer. ................................................................................ 73

3.1.2.3 – Verificação do amortecimento do material................................ 75

3.1.2.4 – Variação do amortecimento da zona absorvente........................ 76

3.1.2.5 – Modificação da freqüência do carregamento............................. 77

3.1.2.6 – Resumo das comparações entre os modelos de semi-plano....... 78

3.1.3 – Semi-espaço com zona absorvente.................................................... 79

3.1.3.1 – Proposta 5: Semi-espaço com elementos de D’Apuzzo............. 79

3.1.3.2 – Proposta 6: Semi-espaço com elementos de Lysmer-Kuhlemeyer

................................................................................................................... 80

3.1.3.3 – Análise transiente de carga móvel sobre semi-espaço............... 81

3.2 – Dados de campo....................................................................................... 83

3.2.1 – Geometria do talude.......................................................................... 87

3.2.2 – Características do material................................................................ 88

3.3 – Análise da estabilidade do talude............................................................. 91

3.3.1 – Ruptura circular................................................................................. 92

3.3.2 – Simulação do nível de aceleração na encosta devido ao tráfego de

veículos ......................................................................................................... 95

3.3.2.1 – Análise modal............................................................................. 96

3.3.2.2 – Análise transiente....................................................................... 97

IV – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ....... 101

4.1 – Conclusões ............................................................................................. 101

4.2 – Sugestões para Trabalhos Futuros.......................................................... 102

V – BIBLIOGRAFIA.......................................................................................... 104

VI – APÊNDICES .............................................................................................. 111

6.1 – Programa com o cálculo da resposta analítica de Lamb ........................ 111

6.2 – programa para o cálculo da estabilidade do talude segundo o método de

Sarma .............................................................................................................. 113

6.3 – Programa para o cálculo da estabilidade do talude segundo o método de

Ling ................................................................................................................. 116

6.4 – LINHAS DE COMANDOS DOS MODELOS E ANÁLISES

REALIZADAS NO ANSYS........................................................................... 117

6.4.1 – Geometria do semi-plano com contorno viscoso............................ 117

6.4.2 – Análise Modal................................................................................. 119

6.4.3 – Análise transiente para o modelo de semi-plano com contorno

viscoso......................................................................................................... 120

6.4.4 – Geometria do modelo de semi-plano com zona absorvente............ 121

6.4.5 – Geometria do modelo de semi-espaço ............................................ 125

6.4.6 – Carga distribuída sobre base elástica .............................................. 135

6.4.7 – Carga móvel distribuída sobre base elástica com vários eixos ....... 137

I – INTRODUÇÃO

1.1 – ASPECTOS GERAIS

As vibrações são movimentos cíclicos, harmônicos ou não, provocados por

uma excitação sobre um determinado sistema. A excitação se manifesta de formas

naturais (ação do vento, erupções vulcânicas, abalos sísmicos, etc.), ou produzidas

pelo homem (cravação de estacas de fundação de edificações, tráfego de veículos,

explosões em jazidas minerais, maquinário industrial, etc.). O sistema que vibra é

dotado de massa, rigidez aos movimentos e uma capacidade de dissipar a energia

de vibração chamada de amortecimento. Estes sistemas podem ser componentes

da estrutura de uma edificação (vigas, pilares ou lajes), taludes (encostas,

barragens, aterros, etc.), pontes rodoviárias ou ferroviárias, dentre outros casos

práticos.

Existem casos na Engenharia Civil onde as vibrações podem ocasionar

acontecimentos catastróficos. A ponte Tacoma Narrows, localizada nos Estados

Unidos, entrou em colapso no ano de 1940 depois de uma rajada de vento de

aproximadamente 60 km/h, que resultou em esforços não previstos em projeto

(Figura I.1). Outro exemplo seria o do colapso de um viaduto no Japão após a

incidência de um terremoto no ano de 1995 (Figura I.2).

Figura I.1 – Ponte Tacoma Narrows

entrando em colapso.

Figura I.2 – Colapso de viaduto no

Japão.

O fenômeno de vibração está intimamente ligado ao fenômeno de

propagação de ondas. Tomando como exemplo uma viga com apoios simples em

suas extremidades, solicitada por uma carga cíclica transversal localizada na

metade do seu comprimento (meio do vão), com freqüência coincidente com um

dos modos de vibração da barra, primeiramente se observa a propagação do

movimento imposto pela carga aplicada através de uma onda que atinge a

extremidade e, a partir daí, se inicia uma vibração segundo o modo excitado. Ou

seja, o fenômeno de propagação de ondas é o meio de transmissão de energia

mecânica que pode levar a um fenômeno vibratório (CLOUGH e PENZIEN,

1993).

Existem casos em que estas ondas se propagam através do solo.

Geralmente as fontes de excitação são terremotos, tráfego de veículos, cravação

de estacas ou explosões. Estas solicitações impostas ao solo, ao se propagarem

podem atingir o homem de alguma forma, causando desde pequenos incômodos a

grandes catástrofes.

Tráfego de veículos é uma fonte comum de vibrações transmitidas através

do solo. As vibrações induzidas pelo tráfego, sob algumas condições, podem

atingir intensidade suficiente para causar o mau funcionamento a equipamentos

sensíveis (microscópios eletrônicos, impressoras de alta precisão, etc.),

desconforto a pessoas, comprometimento da integridade de edifícios e barragens

de terra (AL-HUNAIDI et al., 1996; ÁVILA, 1999, ÁVILA e MARINHO FILHO,

2001; PYL et al., 2002).

Os taludes sob o efeito de ações dinâmicas, dependendo da amplitude de

aceleração induzida pela fonte, podem vir a entrar em colapso. Há casos relatados

na literatura em que terremotos foram a causa principal de deslizamentos de terra

em taludes naturais (ULUSAY et al., 2003) e em barragens (WOODWARD e

GRIFFITHS, 1996; MARRUGARRA, 1996). As desestabilizações de taludes por

excitações dinâmicas foram estudadas através de simulações físico-matemáticas

que visam prever se um determinado talude irá suportar certo nível de vibração.

Para se determinar quantitativamente o nível máximo de excitação que um

talude suporta, NEWMARK (1965) propôs um coeficiente de aceleração crítica ao

qual o talude poderia estar submetido. Este coeficiente é intimamente relacionado

com as forças de equilíbrio estático do talude. Por este motivo, o método de

Newmark também é conhecido como método pseudo-estático.

Posteriormente, SARMA (1973 e 1979) propôs um método semelhante ao

de Newmark, entretanto mais sofisticado em sua formulação e aplicação.

Para simular uma solicitação dinâmica no solo, pode-se recorrer à

metodologia dos elementos finitos. Amplamente utilizado para a modelagem de

vibrações que se propagam pelo solo (ZEWER et al., 2002; WOODWARD e

GRIFFITHS, op. cit.; MARRUGARRA, op. cit; D’APUZZO, 2004; GARDIEN e

STUIT, 2003), o Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método numérico

que permite determinar deslocamentos, tensões e deformações decorrentes de uma

ação, seja estática ou dinâmica. O Método dos Elementos de Contorno (MEC) é

outra metodologia que oferece os mesmos resultados do MEF, mas utilizando

formulação conceitual diferente. A escolha na utilização entre as duas

metodologias está, na maioria das vezes, no tipo de problema a ser modelado, pois

cada uma se adeqüa melhor a um determinado caso.

Em problemas de propagação de ondas pelo solo, ter-se-á que modelá-lo

como um sistema infinito. A metodologia utilizada para se proceder esta

modelagem consiste em definir um domínio finito, também conhecido como ilha

de solo (LYSMER e KUHLEMEYER, 1969) e, em adição a isto, condições de

contorno pertinentes (Figura I.3). Estas condições de contorno devem garantir que

a energia vibratória, emanada no interior da ilha de solo, dissipe-se totalmente ao

atingir o contorno do modelo.

Figura I.3 – Sistema infinito para representar o solo: Ilha de solo (Adaptada de

LYSMER e KUHLEMEYER, op. cit.).

O MEC é bastante versátil para problemas que envolvem sistemas infinitos,

porém apresenta dificuldades em problemas com geometria mais complexa. O

MEF é bastante versátil em problemas com geometria complexa, entretanto é

menos poderoso do que o MEC para representar este tipo de sistema. Apesar disto,

existem algumas técnicas no MEF que representam sistemas infinitos sob algumas

condições. Tais condições serão discutidas ao longo deste trabalho.

1.2 – OBJETIVOS

O objetivo geral deste estudo é analisar a estabilidade de encostas sob a

ação de cargas dinâmicas induzidas pelo tráfego de veículos.

Como aplicação, adotou-se o caso da falésia do Seixas, localizada na

cidade de João Pessoa, Paraíba. Esta falésia costeira vem sendo continuamente

degradada pelas ações da natureza através da ação das chuvas e do avanço do mar.

Nas proximidades do platô do talude da falésia existe uma pista de rolamento

(Figura I.4).

(a)

(b)

Figura I.4 – Falésia do Seixas:(a) Talude e praia; (b) Topo do talude e pista.

As autoridades locais interromperam o tráfego em um trecho da pista

devido à suspeição de que o tráfego de veículos teria colaborado para a

desestabilização do talude.

Para este estudo, modelou-se o solo através do método dos elementos

finitos (MEF) simulando-se o deslocamento de um veículo real através de um

trem tipo equivalente. O nível de aceleração produzido por este modelo foi então

comparado com a aceleração crítica através da análise de estabilidade de taludes

de acordo com a formulação empregada por SARMA (1979).

II – MATERIAIS E MÉTODOS

2.1 – COMPORTAMENTO DO SOLO SOB AÇÕES DINÂMICAS.

LAI e RIX (1988), em seus experimentos laboratoriais com amostras de

solo, investigaram algumas variáveis e fatores que influenciam o comportamento

dinâmico deste material. Estas variáveis e fatores foram divididos em externos e

intrínsecos. As externas se referem às ações dinâmicas aplicadas ao material e

incluem o tipo (harmônico ou transiente), magnitude, taxa e a duração do

carregamento. As intrínsecas seriam as características inerentes ao solo e inclui o

tipo, a granulometria, o estado de tensões em que está previamente submetido, o

número de vazios e o histórico de tensões ao qual o solo foi submetido.

Largamente relatado (FOTI, 2000; LAI e RIX, op. cit.; LANZO et al.,

1997; VUCETIC, 1994; ISHIBASHI e ZHANG, 1993), com vasta

experimentação laboratorial em todo o mundo, o comportamento do solo sob

ações dinâmicas é, principalmente, influenciado pela magnitude das deformações

cisalhantes impostas por estas ações. Existe um limite de deformações em que o

solo se comporta como um material elástico. Este limite é chamado de limiar

elástico da deformação cisalhante (linear threshold shear strain) (VUCETIC, op.

cit.), onde esta deformação limite geralmente é representada por γ

. Deformações

sofridas até este limite não acarretam perda da rigidez e o seu comportamento é

considerado como praticamente elástico-linear.

Nesse nível de deformações os solos coesivos não sofrem degradação com

o aumento do número de ciclos das ações dinâmicas aos quais estão submetidos

(VUCETIC, op. cit.). Em contrapartida, os solos não coesivos, dependendo da

magnitude das deformações, pode haver um acréscimo no módulo elástico com o

aumento do número de ciclos da ação dinâmica. Isto ocorre devido à compactação

sofrida pela areia, aumentando sua rigidez. Este fenômeno das areias geralmente

tem maior importância em solicitações dinâmicas com um grande número de

repetições (da ordem de 1.000.000 de repetições), e é importante em problemas

como o tráfego de veículos, fundações de máquinas, etc.

Para solos plásticos, que apresentam significativa presença de partículas

menores, como a argila, o índice de plasticidade (IP) tem grande influência na

determinação do nível de deformação cisalhante limite. Este nível de deformação

é o limiar para se ter um comportamento linear no diagrama tensão-deformação

(VUCETIC, op. cit.), como pode ser observado na figura II.1.

Figura II.1 – Amplitude das deformações cisalhantes cíclicas em relação ao índice

de plasticidade (adaptada de LAI e RIX, op. cit.).

Na figura II.1, há três regiões que caracterizam o comportamento do solo

frente à magnitude das deformações dinâmicas impostas. O solo que estiver sendo

solicitado a deformações cíclicas abaixo do limite elástico-linear (γ

) se

comportará praticamente como um material elástico e não apresentará perda de

rigidez nem de variação volumétrica. Entre este limite e o limite em que o solo

começa a apresentar variações permanentes no seu volume (γ

limiar de

deformações volumétricas), está a região onde o material não apresenta

degradação da rigidez, mas já apresenta não-linearidade na sua relação tensão-

deformação (VUCETIC, op. cit.). Segundo os autores, a viabilidade da

modelagem como material elástico depende da relação G/G

MAX

, onde G é o

módulo de elasticidade transversal atual, ou seja, em relação ao nível de

deformações atuais e, G

MAX

o módulo pelo qual o material ainda não sofreu

qualquer perda de rigidez.

Segundo FOTI (op. cit.), LANZO et al. (op. cit.), ISHIBASHI e ZHANG

(op. cit.), dentre outros, para que o solo se comporte como um material elástico, a

relação G/G

MAX

não deve ser menor que 0,99 (Fig. II.2).

Figura II.2 – Degradação da rigidez do material solo em relação à amplitude da

deformação cíclica cisalhante (adaptada de VUCETIC, op. cit.).

Os dois parâmetros que mais afetam a curva G/G

MAX

– γ são a pressão de

confinamento e o índice de plasticidade. ISHIBASHI e ZHANG (op. cit.)

propuseram expressões que simulam esta curva tanto para areias como para

argilas, tendo como variáveis a tensão de confinamento e o índice de plasticidade.

Sob deformações muito pequenas, o solo pode ser modelado como linear,

contudo o comportamento sob a ação cíclica é essencialmente não-linear, como

pode ser observado na figura II.3.

Figura II.3 – Relação tensão-deformação típica de solo submetido à ação cíclica.

(adaptada de VUCETIC, op. cit.).

2.1.1 – FENÔMENO DE PROPAGAÇÃO DE ONDAS PELO SOLO.

RICHART et al. (1970) é uma das bibliografias mais citadas sobre o tema,

provavelmente por tratar o assunto de forma completa, explicando a propagação

de ondas em barras e em semi-espaço elástico. Na maioria da literatura técnica

especializada, a forma representativa mais usual para o solo é como sendo um

meio elástico. Por conseguinte, neste trabalho, o solo será considerado homogêneo,

isotrópico e elástico-linear.

Baseado nestas condições, VIKTOROV (1967) desenvolveu as equações

matemáticas (II.1, II.2 e II.3) que definem a propagação de ondas em um meio

sólido, as quais determinam as velocidades de propagação das ondas P, S e

Rayleigh. Tais equações são:

μλ

⋅+

V (II.1)

V (II.2)

VV ⋅

⋅+

12,187,0

(II.3)

Nas equações II.1, II.2 e II.3 V

, V

e V

descrevem, respectivamente, a

velocidade de propagação das ondas P, S e R, onde

é a massa específica do

material,

as constantes elásticas de Lamè e

o coeficiente de Poisson.

Estas ondas se diferenciam em dois tipos: as que se propagam na

superfície e as que se propagam no interior do semi-espaço, chamadas ondas de

superfície e de corpo, respectivamente. As de corpo se classificam em ondas-P,

com movimento das partículas na direção da frente de onda e as ondas-S, com

movimento das partículas também na direção da frente de onda, porém com

sentidos intercalados em relação a esta (Figs. II.4.a e II.5). Para este tipo de meio,

só existe a manifestação de uma onda de superfície: a onda Rayleigh, com

movimentação elíptica retrógrada (Fig. II.4.b).

As ondas-P, também conhecidas por compressivas ou primárias, são assim

chamadas por aparecerem primeiro após um distúrbio. Isto se deve à sua maior

velocidade de propagação dentre as outras duas. As ondas-S, também conhecidas

por cisalhantes ou secundárias, possuem menor velocidade do que as ondas-P,

aparecendo logo em seguida após um curto período sem deslocamentos (Fig.

II.4.a), porém com maior energia. Estas duas ondas apresentam frente de onda

semi-esférica, quando a fonte de excitação está na superfície, e esférica quando a

fonte de excitação está no interior do solo (Fig. II.5).

(a)

(b)

Figura II.4 – (a) Aparição das ondas P, S e Rayleigh nos deslocamentos

horizontais u e vertical w com relação ao tempo t em um ponto da superfície; (b)

Deslocamento das partículas devido à onda de Rayleigh (adaptada de LAMB,

1904).

As ondas Rayleigh têm esse nome por terem sido descobertas por Lord

Rayleigh em 1885 e, são descritas em detalhes por LAMB (1904). Trata-se de

uma onda que se propaga apenas na superfície livre do semi-espaço com limitação

da sua atuação até um comprimento de onda de profundidade

(ATHANASOPOULOS et al., 2000; FOTI, op. cit.). A grandes distâncias esta

onda se torna predominante devido à sua menor atenuação e por sua alta

percentagem da energia total (Tab. II.1). O movimento das partículas de solo

induzido pela onda de Rayleigh descreve um movimento elíptico retrógrado (Fig.

II.4.b), se assemelhando à onda marítima (elíptico progressivo).

Tabela II.1 – Proporção da energia entre as ondas (RICHART et al., op. cit.).

Tipo de onda

Percentual da

energia total

Rayleigh 67

Onda S 26

Onda P 7

Na figura II.5 pode ser observada uma base circular vibrando

verticalmente e harmonicamente sobre um semi-espaço elástico e homogêneo,

evidenciando a forma de propagação das ondas de corpo e de superfície.

Figura II.5 – Propagação das ondas P, S e Rayleigh em meio elástico e

homogêneo (adaptada de RICHART et al., op. cit.).

Segundo ATHANASOPOULOS et al. (op. cit.), a amplitude destas ondas

é atenuada à medida que a distância em relação à fonte de vibração aumenta. Uma

porção desta atenuação é causada pela distribuição da energia de vibração sobre a

crescente área da superfície da frente de onda. Este tipo de atenuação é conhecido

como amortecimento geométrico ou amortecimento externo.

Há também outro tipo de amortecimento, o amortecimento interno ou

amortecimento do material, onde este acontece através da dissipação de energia

pelo movimento das partículas. Pode ser representado de duas formas:

amortecimento viscoso, onde as forças dissipativas são proporcionais à velocidade

da vibração, ou o amortecimento histerético, na qual a dissipação deve-se ao

comportamento não-elástico dos solos, acontecendo a partir de certo nível de

deformações.

Sob solicitação harmônica, a variação da amplitude dos deslocamentos,

devido à atenuação provocada pelo amortecimento geométrico, pode ser estimada

a partir da relação dada pela equação II.4 (RICHART et al., op. cit.).

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(II.4)

Na equação II.4,

e A

são as amplitudes de deslocamento nas posições

e r

da fonte, respectivamente, onde r

e n é a atenuação devido ao

amortecimento geométrico. Os valores de

n, indicados na tabela II.2, dependem da

localização da fonte vibratória, do tipo de fonte e do tipo de onda que está em

questão.

Tabela II.2 – Valores do coeficiente de atenuação devido ao amortecimento

geométrico (Adaptada de RICHART et al., op. cit.).

Localização da

fonte

Tipo de fonte Onda induzida n

Superfície Pontual Onda de corpo 2,0

Onda de superfície 0,5

Linha infinita Onda de corpo 1,0

Onda de superfície 0,0

No interior Pontual Onda de corpo 1,0

Linha infinita 0,5

Outra relação (Eq. II.5), muito parecida com a equação II.4, e conhecida

como a equação de Bornitz (RICHART, et al., op. cit.), considera também o

amortecimento interno do material.

()

−⋅−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

(II.5)

πξ

= (II.6)

Na equação II.5 todos os parâmetros têm o mesmo significado dos da

equação II.4 exceto pelo parâmetro

, sendo este uma relação envolvendo o

amortecimento viscoso do material

e a velocidade de propagação da onda

Rayleigh V

2.1.2 – MODELO ELÁSTICO, VISCO-ELÁSTICO E PORO-ELÁSTICO.

Nas referências bibliográficas citadas, o solo foi tratado como um sólido

homogêneo ideal. Na verdade, ele é um meio trifásico, composto por partículas

granulares com seus vazios preenchidos por ar e em alguns casos por água e ar.

Por essa diferença, na idealização do material é que podem ocorrer alguns

equívocos na sua modelagem.

A abordagem mais utilizada para a modelagem do solo como um meio

poro-elástico é a de Biot, proposta em 1956. Biot considerou a propagação de

ondas, compressivas e cisalhantes, em um meio poroso saturado por fluído.

JIN et al. (2004), em seu estudo sobre a modelagem de cargas móveis

sobre um semi-espaço poro-elástico, idêntico ao idealizado por Biot, verificou que

há diferenças entre as respostas deste e das do modelo elástico quando submetidos

a cargas móveis.

O parâmetro utilizado para avaliar a diferença da resposta entre estes

modelos é a razão Ω entre a velocidade da carga móvel V

em relação à

velocidade de propagação da onda-S V

=Ω

(II.7)

Assim os autores verificaram que as tensões obtidas num modelo poro-

elástico são maiores do que as obtidas no modelo elástico quando a relação Ω é

menor ou igual a 0,8. Quando esta relação é maior que 0,8, as tensões obtidas no

modelo de semi-espaço poro-elástico são menores do que as obtidas no modelo

elástico. Bem como que, para os valores de Ω menores ou iguais do que 0,8, as

respostas dos modelos visco-elásticos e elásticos são similares. Por outro lado,

quando esta relação ultrapassa 0,8, as respostas do modelo visco-elástico são

menores do que as do modelo elástico.

2.1.3 – RESPOSTAS ANALÍTICAS DE CARGAS DINÂMICAS NO SOLO.

Apesar de muito antigo, o artigo de LAMB (op. cit.) é o mais referenciado

no que diz respeito à resposta analítica de deslocamentos devido à excitação

dinâmica de um sólido elástico semi-infinito. Em seu trabalho, Lamb desenvolveu

a resposta dos deslocamentos de excitações dinâmicas devido a cargas

estacionárias, seja na superfície ou no interior do semi-espaço, bem como a carga

seja harmônica ou transiente.

Para ambos os casos, bi (semi-plano) e tridimensional (semi-espaço), a

carga harmônica P(t), dependente do tempo t, é dada pela equação II.8, onde P

a amplitude da carga e f é a freqüência.

()

(

)

tfPtP ⋅⋅⋅=

2cos

(II.8)

No caso bidimensional, segundo Lamb, as equações de movimento são

dadas por:

()

uμ

μλ

∇⋅+

∂

⋅ (II.9)

()

vμ

μλ

∇⋅+

∂

⋅ (II.10)

Onde u e v são as componentes horizontal e vertical, respectivamente, ρ a

massa específica do material, e

μ e λ são as constantes elásticas de Lamè. E que:

∂

= (II.11)

As equações diferenciais (Eqs II.9 e II.10) são solucionadas pelas

seguintes expressões:

∂

= (II.12)

∂

−

∂

= (II.13)

Onde

φ e ψ são funções de x e y, e que:

2μλ

∇⋅

∂

(II.14)

∇⋅=

∂

(II.15)

Para os casos de movimentos harmônicos simples, sendo o fator tempo

dado por cos(

ω.t), sendo ω a aceleração angular, a partir das duas últimas

equações pode-se ter:

(

)

0φh

=+∇ (II.16)

(

)

0ψk

=+∇ (II.17)

onde:

2μλ

ρω

⋅

(II.18)

ρω

⋅

(II.19)

Supondo que as forças prescritas estão agindo próximas ao plano y=0,

assume-se como solução:

xξiyα

eeAφ

⋅⋅⋅−

⋅⋅= (II.20)

xξiyα

eeBψ

⋅⋅⋅−

⋅⋅= (II.21)

Onde

ξ é um número real e α e β são reais positivos ou positivos

imaginários. E que:

()

h-ξξα = (II.22)

()

k-ξξβ = (II.23)

Para o caso de uma carga concentrada na linha normal ao plano xy a as

componentes de deslocamento em pontos da superfície de um semi-plano elástico-

linear e homogêneo são dadas pelas seguintes expressões:

(

)

(

)

()

∫

+∞

∞−

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−−⋅

⋅⋅

⋅−

ξF

dξeξβξα2k2ξξ

μπ2

xξi22

(II.24)

()

∫

+∞

∞−

⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅

−

ξF

dξeξαk

μπ2

xξi2

(II.25)

onde:

()

() ()

ξβξαξ4k-2ξξF

⋅⋅⋅−= (II.26)

As soluções das integrais, dadas por Lamb, são:

()

xctωi

tx,u

⋅−⋅⋅

⋅⋅

−

(II.27)

()

xctωi

tx,v

⋅−⋅⋅

⋅⋅

⋅−

(II.28)

Onde

e v

são as componentes horizontais e verticais, respectivamente,

dos deslocamentos em pontos da superfície do semi-plano. As demais grandezas

são dadas por:

()

Θh,k,ΩΘ

kΘ2k

222

⋅−

−⋅

(II.29)

(

)

()

Θh,k,Ω

kΘ2αk2

−⋅⋅⋅⋅

(II.30)

onde:

= (II.31)

()

Θαα

= (II.32)

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−−⋅⋅⋅=

461Θk16Θh,k,Ω

(II.33)

No caso de uma carga concentrada, agindo na superfície pulsante

verticalmente, sobre um semi-espaço, ou seja, o caso tridimensional, utilizam-se

as equações do problema bidimensional junto com a terceira equação, dada a

seguir:

()

wμ

μλ

∇⋅+

∂

⋅ (II.34)

Onde

w é o deslocamento vertical.

Através do processo semelhante ao da resolução das equações para o

problema bidimensional, obtêm-se as expressões que fornecem as respostas dos

deslocamentos, horizontais e verticais, em pontos da superfície do semi-espaço

devido a uma excitação harmônica.

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+⋅−⋅⋅

⋅

+⋅⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅−

yxΘtωi

yxΘπ

μ2

Θi

ty,x,q

(II.35)

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+⋅−⋅⋅

⋅

+⋅⋅

⋅⋅

⋅

yxΘtωi

yxΘπ

μ2

ty,x,w

(II.36)

Onde

é o deslocamento horizontal, w

é o deslocamento vertical em

pontos do semi-espaço, e os demais parâmetros foram definidos anteriormente.

Para o caso bidimensional, correspondente ao estado plano de

deformações, e para o caso tridimensional, com carga pontual, utilizaram-se os

parâmetros hipotéticos que estão listados na tabela II.3.

Tabela II.3 – Valores das constantes utilizadas nas respostas de Lamb.

(N)

f (Hz) E (MPa) νρ (kg/m³)

1×10

25,0 269,0 0,26 1550,0

(a)

(b)

Figura II.6 – Deslocamentos da resposta analítica na superfície do semi-plano.

Na figura II.6, observam-se os deslocamentos vertical e horizontal em

pontos da superfície do semi-plano, distantes a 10,0 e 20,0 metros da fonte de

excitação. Observa-se também que, uma vez se tratando de um modelo do estado

plano de deformações, para o caso de ondas de superfície, não há decaimento da

amplitude dos deslocamentos, pois de acordo com a tabela II.2, o parâmetro n é

nulo.

Na figura II.7, referente ao caso tridimensional, verifica-se a atenuação

geométrica, também apresentada pela equação II.4 e tabela II.2.

(a)

(b)

Figura II.7 – Deslocamentos da resposta analítica na superfície do semi-espaço.

Em ambos os casos acima descritos, observam-se que as respostas de

Lamb não fornecem o efeito transiente inicial, efeito este que caracteriza a

primeira aparição das ondas.

HUNG e YANG (2001) propuseram uma resposta analítica de semi-

espaço com carga móvel, que foi adotada neste trabalho para verificar a precisão

do modelo em elementos finitos proposto. Ela resulta, na verdade, em um modelo

de semi-espaço visco-elástico que, neste caso, pode ser comparada com as

respostas do modelo elástico discretizado em elementos finitos. Sobre este semi

espaço trafega uma carga concentrada, distribuída por pela reação de uma base

elástica, onde o vetor de deslocamentos é dado pela seguinte expressão:

[][][]

()()()

dωdkdktωiexpzkiexpxkiexp

SHD

zxzx

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅⋅⋅−=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−

(II.37)

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

−

zx1

m0ik

ikikm

0mik

(II.38)

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

ym-

y-m

e00

0e0

00e

(II.39)

[]

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅+

2zx1z

21x

2z2x

kmμkkμmkμi2-

kkμkmμmkμi2-

mkμi2-mkμi2-kkλmλ2μ

(II.40)

kkm

−+= (II.41)

kkm

−+=

(II.42)

Onde

, q

e w

são as componentes de desocamento no semi-espaço, k

kz são os números de onda em relação aos eixos correspondentes e V

e V

velocidades de propagação das ondas P e S, respectivamente.

A figura II.8 mostram o deslocamento vertical, no domínio do tempo, de

um ponto do semi-espaço, a 1,0 metro de profundidade em relação à superfície

livre e sob a linha em que a carga móvel trafega. Esta carga, que se movimenta a

uma velocidade constante de 50,0 m/s, consiste em uma força concentrada de 100

kN a qual é aplicada ao semi-espaço segundo a distribuição de uma fundação

elástica.

Figura II.8 – Deslocamentos verticais em relação ao tempo em ponto a 1,0 m de

profundidade devido à carga móvel sobre base elástica.

2.2 – ESTABILIDADE DE TALUDES

O talude é uma superfície inclinada de um terreno formada pela natureza

ou artificialmente pelo homem. Geralmente, esta forma geométrica do terreno se

apresenta em morros, encostas litorâneas, cadeias de montanhas (taludes naturais),

cortes e aterros em estradas, escavações, barragens de terra (taludes artificiais),

dentre outros casos.

Na figura II.9 pode ser observado um talude junto a uma rodovia,

parcialmente colapsado.

Figura II.9 – Talude junto a uma rodovia apresentando ruptura recente.

Os taludes, dependendo da resistência do solo e da geometria do mesmo

(altura e inclinação), entram em colapso quando a resistência mecânica do solo

não suporta os esforços devido às tensões internas provocadas pelo peso próprio

ou de sobrecargas. Quando isto ocorre, o talude tem parte de sua geometria

modificada até que atinja o equilíbrio novamente. Essa modificação se dá através

do movimento e, em alguns casos, desprendimento da massa de solo que está mais

próxima da superfície inclinada.

Os movimentos de massas de solo podem se desenvolver de maneiras

distintas e com velocidades variadas. Estes dois fatores são os principais dentre os

que diferenciam os movimentos de terra, segundo as classificações mais

conhecidas.

Segundo GUIDICINI e NIEBLE (1983), os movimentos coletivos de solo

e de rocha são classificados em três tipos fundamentais: escoamentos,

escorregamentos e subsidências. Os escoamentos correspondem a uma

movimentação contínua com ou sem superfície definida de movimentação,

englobando os rastejos (movimentos lentos da ordem de 1,5 m/ano) e corridas

(movimentos rápidos da ordem de 3,0 m/s). Os escorregamentos correspondem a

um deslocamento ao longo de uma superfície definida de deslizamento, podendo

esta superfície ter uma forma circular (escorregamentos rotacionais) ou plana. E

por fim, as subsidências, correspondente a um deslocamento finito ou deformação

contínua de direção essencialmente vertical, podendo ser subdivididas em

recalques (expulsão de fluidos do solo gerando uma deformação global do solo)

ou em desabamentos (deslocamento finito vertical geralmente com grande

rapidez).

Neste trabalho estará em foco a análise de estabilidade de escorregamento

de taludes de solo com superfície de ruptura plana e circular, tratando de alguns

métodos conhecidos que serão vistos logo a seguir.

2.2.1 – ESCORREGAMENTOS DE SOLO

Os escorregamentos de solo ou de rocha são movimentos de relativa curta

duração, com massa de terreno geralmente bem definida quanto ao seu volume,

cujo centro de gravidade se desloca para baixo e para fora do talude (GUIDICINI

e NIEBLE, op. cit.).

O escorregamento do talude acontece quando a tensão resistente do solo é

vencida pelas tensões atuantes, que geralmente são influenciadas pelo nível de

saturação do solo, pelo peso próprio e pela forma geométrica do talude.

Na análise de estabilidade de taludes, utiliza-se o conceito de coeficiente

de segurança que é definido pela razão entre a tensão resistente média do solo e a

tensão atuante na superfície de potencial deslizamento. Se esta razão for igual à

unidade, o talude está no seu equilíbrio limite, ou seja, no limiar entre o equilíbrio

e a ruína. Para valores do coeficiente de segurança superiores à unidade, o talude é

estável, para valores inferiores, ele entrará em colapso.

2.2.1.1 –Escorregamento de solo em superfície circular

Os escorregamentos rotacionais são aqueles em que a superfície de ruptura

do talude se aproxima de um arco de circunferência (visão bi-dimensional), como

mostra a figura II.10. Nesta figura,

W é o peso próprio da massa de solo com

possibilidade de desprendimento,

são as tensões resistentes do solo à ruptura, R

o raio do círculo da superfície de potencial ruptura,

O o centro da circunferência, i

o ângulo de inclinação do talude,

H a altura do talude e β o ângulo que a linha

entre o centro da circunferência de ruptura e o centro geométrico da massa

deslizante faz com a vertical.

Figura II.10 – Talude com superfície potencial de escorregamento circular.

As ações responsáveis pelo colapso geralmente são forças gravitacionais,

ou seja, o peso próprio e, eventualmente, sobrecargas. A resistência a estas ações é

devida à tensão de cisalhamento máxima do material. De fato, este caso é

considerado como um caso do estado plano de deformações que, caso as tensões

resistentes sejam vencidas pelas tensões atuantes, a massa de solo que está

circunscrita pela superfície de ruptura irá girar em torno do centro

O (Fig. II.10),

caracterizando o deslizamento.

A análise da estabilidade consiste em efetuar uma série de verificações do

equilíbrio da cunha separada do maciço de solo pela superfície de ruptura,

correspondente a várias combinações de círculos de raio

R e posição do centro O.

O conjunto (raio da superfície de ruptura e posição do centro da circunferência)

que fornecer o menor coeficiente de segurança fornece a superfície com maior

probabilidade de colapso. Esta forma geométrica da superfície de ruptura está

geralmente associada a um material coesivo e que apresenta homogeneidade,

como alguns materiais argilosos (GUIDICINI e NIEBLE, op. cit.; DER/SP, 1991).

2.2.1.2 – Escorregamento de solo em superfícies planas

Segundo o manual de geotecnia, publicado pelo DER/SP (op. cit.), nos

taludes de corte ou de aterro rodoviários com inclinação superior a 60°, com

freqüência, o colapso ocorre através de uma superfície de ruptura plana (Fig II.11).

Figura II.11 – Talude com superfície de ruptura plana.

Na figura II.11,

H e i são, respectivamente, a altura e a inclinação do

talude,

é a inclinação da superfície plana de ruptura crítica, W é o peso da massa

deslizante localizada no centro de gravidade,

é a profundidade de uma possível

fenda de tração e

é a tensão de cisalhamento resistente do solo na superfície de

ruptura.

Segundo TERZAGHI e PECK (1960), no topo do talude surge, antes de

acontecer o deslizamento, a primeira ruptura caracterizada por uma fenda oriunda

de tensões de tração (Fig. II.11). A fenda alcança uma profundidade

, dada pela

equação II.43, e se estende até a superfície de ruptura.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

(II.43)

Esta profundidade é função dos parâmetros de resistência

c e φ, que são

coesão e ângulo de atrito respectivamente, da massa específica

ρ e da aceleração

da gravidade

g. Estas fendas ocorrem independentes do modo de ruptura.

2.2.2 – FATORES QUE INFLUENCIAM OS ESCORREGAMENTOS

Segundo TERZAGHI e PECK (op. cit.), as causas que podem desencadear

o processo de colapso de um talude podem ser classificadas em internas, externas

e intermediárias.

As causas internas são aquelas que levam ao colapso sem que ocorra

qualquer mudança na geometria do talude, mas sim, pela diminuição da

resistência do material. As causas externas seriam o oposto: o aumento das

tensões solicitantes, causando o colapso no momento em que estas ultrapassam a

tensão resistente do material. E, por fim, as causas intermediárias, que seriam o

aparecimento de outros fenômenos intrínsecos ao solo, como a liquefação

espontânea ou o rebaixamento brusco do nível de água.

Por outro lado, GUIDICINI e NIEBLE (op. cit.) explicam que a cobertura

vegetal sobre a superfície do talude pode vir a protegê-lo. A vegetação pode

proteger o material dos raios solares (dilatação térmica do material), ventos e

chuva, bem como o aumento da resistência ao cisalhamento do solo através das

raízes dos vegetais, dentre outros fatores.

O efeito de oscilações térmicas é um dos fatores que podem desencadear

um processo de diminuição da resistência do material na medida em que este,

dilatando-se e contraindo-se, pode ser submetido a tensões que ultrapassam a

resistência do material, gerando a ruptura (GUIDICINI e NIEBLE, op. cit.).

Os parâmetros de resistência também podem ser afetados pelo processo de

alteração do material através da chuva. Isto ocorre através da remoção dos

elementos solúveis constituintes dos próprios minerais, dissolução dos elementos

com função de cimentação das partículas (em solos sedimentares), dentre outros

fatores que causam modificação na estrutura do material.

A modificação da geometria, geralmente acrescentando material na crista

do talude ou retirando material de sua base, pode aumentar as tensões no interior

do maciço de solo levando o talude ao colapso (GUIDICINI e NIEBLE, op. cit.).

As vibrações também podem gerar o desequilíbrio em taludes. O efeito

vibratório geralmente depende do tipo (transiente ou cíclica), da magnitude e da

duração da ação dinâmica. Se a magnitude das tensões no solo ultrapassarem a

tensão resistente, haverá uma degradação do material que, se for próximo a um

talude pode vir a desestabilizá-lo.

Quando o solo está saturado, ações dinâmicas com grande número de

repetições em solos não-coesivos podem originar o fenômeno da liquefação. Com

ausência de drenagem do solo, as tensões cisalhantes cíclicas induzidas podem

produzir um aumento da pressão neutra, que reduz a pressão efetiva no solo, a

qual, por sua vez, influencia na tensão resistente do solo. Por outro lado, a

presença de partículas finas no solo inibe o aparecimento do fenômeno de

liquefação. Assim, este fenômeno acontece geralmente em taludes de materiais

não-coesivos que estejam saturados e sob a ação mecânica cíclica com grande

número de ciclos.

2.2.3 – MÉTODOS DE CÁLCULO DA ESTABILIDADE DE TALUDES

Os dois métodos de análise de estabilidade de taludes mais utilizados na

atualidade são o do equilíbrio-limite analítico e o de verificações de tensões

através do método dos elementos finitos. Neste trabalho, por motivo de

simplicidade sem perda de eficiência, todas as análises de estabilidade de talude

serão feitas através do método do equilíbrio-limite.

Segundo GUIDICINI e NIEBLE (op. cit.), a análise de equilíbrio limite

considera que as forças que tendem a induzir a ruptura são exatamente

balanceadas pelos esforços resistentes. A condição de equilíbrio limite

corresponderia a um fator de segurança igual a um, como foi mencionado na

seção 2.2.1. O método de cálculo da estabilidade, considerando o equilíbrio limite,

pode ser efetuado de formas distintas: através de ábacos, diagramas geométricos

ou pelo método das fatias.

O método das fatias, também conhecido como o método sueco, foi

desenvolvido por Fellenius em 1927 e consiste em analisar o equilíbrio de fatias

(ou lamelas) que dividem a região definida entre a superfície de ruptura e a

superfície livre do talude (Fig. II.12.a). É o mais utilizado dentre os métodos de

equilíbrio limite que possuem superfície curva de deslizamento.

(a)

(b)

Figura II.12 – Método de Fellenius: (a) Fatias ou lamelas; (b) Equilíbrio de forças

na fatia n.

A figura II.12.b, mostra uma fatia genérica, com forças e os parâmetros

necessários para estabelecer as equações de equilíbrio, onde: N

e T

são as forças

resistentes, normal e cisalhante respectivamente, H

e V

as forças horizontal e

vertical atuantes, W

o peso próprio da fatia e α

a inclinação da superfície de

ruptura. Este método foi posteriormente aperfeiçoado por outros autores: Bishop

em 1955, Morgenstern e Price em 1965, Jambu em 1969, dentre outros

(GUIDICINI e NIEBLE, op. cit.).

Para a ruptura que se desenvolve através de uma superfície plana (Fig.

II.11), o método de Culmann (CAPUTO, 1998) é o mais conhecido. LING (2001),

propôs uma abordagem pseudo-estática para este modo de ruptura.

2.2.4 – ABORDAGEM PSEUDO-ESTÁTICA

Há duas maneiras de se analisar a estabilidade de taludes sob a ação de

cargas dinâmicas: análise pseudo-estática e a análise dinâmica. A análise dinâmica

consiste em modelar o talude através do método dos elementos finitos verificando

as tensões induzidas pela ação dinâmica e comparando-as com a tensão resistente

do material em estudo.

Primeiramente desenvolvida por NEWMARK (op. cit.), a análise pseudo-

estática consiste em considerar uma força horizontal atuando no centro de

gravidade da massa de maior potencial de deslizamento (Fig. II.13). Esta força é

formada pelo produto do peso da cunha (

W) pelo coeficiente de aceleração crítica

(

). O produto do coeficiente K

pela aceleração da gravidade fornece a

aceleração crítica para o talude. Caso esta aceleração seja ultrapassada, o talude

entrará em ruína (NEWMARK, op. cit.).

(a)

(b)

Figura II.13 – Análise pseudo-estática: (a) Ruptura circular; (b) Ruptura plana.

Estudos posteriores aprimoraram e confirmaram esta suposição. SARMA

(1979) desenvolveu outra formulação para a análise da estabilidade que associa a

técnica do método das fatias ao da análise pseudo-estática. Segundo Sarma, a

superfície curva de deslizamento em estudo pode assumir qualquer forma, pois é

formada por sucessivos segmentos de reta. O método permite conhecer o

coeficiente de aceleração crítica

diretamente através da análise, diferentemente

do caso proposto por Newmark.

Segundo ANDERSON e RICHARDS (1989), a aproximação pelo método

pseudo-estático deve ser considerada simplificada por não considerar a variação

das tensões no tempo provocada pela ação dinâmica, bem como, pelo fato de que

o método do equilíbrio-limite não indica a variação de tensões e deformações no

interior da massa de solo. Entretanto, é bastante utilizado e não requer grande

custo computacional.

Para este trabalho, foram implementados, no ambiente do MathCad, os

programas da análise de estabilidade pelo método de SARMA (1979) e do modo

de ruptura plana de LING (op. cit.). Os programas desenvolvidos são apresentados

no Apêndice deste trabalho.

2.2.4.1 – Método de Newmark

Segundo NEWMARK (op. cit.), para solos com pouca diferença entre o

comportamento estático e dinâmico, o que geralmente ocorre no nível de

pequenas deformações, o coeficiente de aceleração crítica

Kc pode ser

determinado a partir do fator de segurança estático

FS. Este fator de segurança

pode ser obtido a partir de uma análise de estabilidade estática por um método

qualquer.

()()

sin1 ⋅−= FSK

(II.44)

Na equação II.44,

é o coeficiente de aceleração crítica determinado

segundo o método de NEWMARK (op. cit.) e

(Fig. II.10) é o ângulo

anteriormente descrito na figura II.10.

Newmark desenvolveu esta teoria para resolver os problemas de barragens

solicitadas por terremotos. Desde que o tráfego de veículos também induz

aceleração ao solo, entende-se que o método pseudo-estático pode ser aplicado à

verificação de taludes solicitados dinamicamente.

2.2.4.2 – Método de Sarma

O método de SARMA (1973) é uma aplicação do método de análise pelo

equilíbrio-limite, através do método das fatias, juntamente com a abordagem

pseudo-estática. Alguns anos depois, o mesmo autor (SARMA, 1979) aprimorou

sua técnica, satisfazendo todas as condições de aceitabilidade de solução.

Segundo este autor, as soluções obtidas numa análise pelo método das

fatias devem satisfazer algumas condições: as forças obtidas na resolução do

problema não devem violar o critério de ruptura de Mohr-Coulomb em nenhum

ponto no interior da massa de solo, nenhuma força de tração deve ser verificada e

as direções das forças devem ser cinematicamente admissíveis.

No método das fatias, para n fatias, têm-se 6n-2 incógnitas assim

distribuídas: n forças normais (N), n forças cisalhantes (T), n-1 forças de corpo

(E), n-1 forças de corpo (X), n-1 pontos de aplicação (Z) da força E, n pontos de

aplicação (L) da força normal (N), e 1 fator de segurança

FS ou coeficiente de

aceleração crítica

. Os significados destes símbolos podem ser verificados na

figura II.14, onde N

, T

, X

, E

são as forças, Z

e L

são a posições destas forças,

a inclinação da superfície de deslizamento e δ

a inclinação da fatia em relação

à vertical para a fatia i.

Figura II.14 – Método das fatias desenvolvido por SARMA (1979).

As condições que relacionam estas incógnitas são: as forças X e E são

nulas nos pontos de interseção entre a superfície de ruptura e a superfície livre; as

três equações do equilíbrio estático (somatório de forças verticais e horizontais e o

somatório dos momentos em um ponto são nulos); e a equação do critério de

ruptura de Mohr-Coulomb. Então, para n fatias, têm-se 4n equações, implicando

em um sistema de equações indeterminado, forçando a se assumir 2n-2 valores

para que o sistema se torne determinado. Uma das maiores diferenças entre os

métodos de estabilidade de taludes pelo método das fatias seriam justamente as

considerações que foram utilizadas para tornar o sistema determinado. Para Sarma,

estas condições são os n-1 números de relações entre as forças X e E e n-1 pontos

de aplicação das forças N e E.

Então, a partir do equilíbrio de forças verticais e horizontais, tem-se:

∑

⇒= 0

VERTICAIS

=⋅+⋅ )sin()cos(

iiii

)sin()sin()cos()cos(

1111 iiiiiiiii

EEXXW

⋅

−

⋅−⋅+

++++

(II.45)

∑

⇒= 0

SHORIZONTAI

=⋅−⋅ )()cos(

iiii

sinNT

)cos()cos()sin()sin(

1111 iiiiiiiiiC

EEXXWK

⋅

−

⋅

−⋅+⋅

++++

(II.46)

Desconsiderando a presença de água no problema, o critério de ruptura de

Mohr-Coulomb, aplicado na superfície de ruptura de cada fatia é dado por:

)sec()tan(

iiiiii

bcNT

⋅⋅+⋅= (II.47)

Na equação II.47,

é o ângulo de atrito, c

a coesão e b

a largura da fatia.

Sarma também aplicou o critério de Mohr-Coulomb entre as fatias,

fornecendo uma relação entre as forças E e X (Eq. II.48).

iiiii

dcEX ⋅+⋅= )tan(

(II.48.a)

11111

)tan(

+++++

⋅+⋅=

iiiii

dcEX

(II.48.b)

Substituindo as equações II.47 e II.48 nas equações II.45 e II.46, e

eliminando T

, X

i+1

e N

, obtém-se:

iiCiii

eEKpaE ⋅+

⋅

−=

(II.49.a)

A equação II.49.a é uma relação recursiva e a partir disto pode-se obter:

)(

1211

termosieeaeaaE

iiiiiii

⋅

⋅+⋅+=

−−−+

⋅

⋅⋅

⋅+−

−−+−−− 211121

)(

nnnnCiiiiii

eeeEKeepepp II.49.(b)

Sendo as forças de corpo na primeira e última fatia nulas (E

i+1

=0),

determina-se diretamente o coeficiente de aceleração crítica

231112

23112

eeeepeepepp

eeeeaeeaeaa

iniiiiii

iiiiiiiii

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅+

⋅

⋅+⋅+

−−−

ΚΚ

(II.50)

onde:

)sec()cos(

)sin()sin()cos()sin(

111

+++

⋅−+−

−

⋅

−

⋅

⋅+

−

⋅

iiiii

iiiiiiiiiiiii

SSRW

φδφαφ

(II.51)

)sec()cos(

)cos(

111 +++

⋅−+−

−⋅

iiiii

iii

φδφαφ

(II.52)

)sec()cos(

111 +++

⋅−+−

⋅

−+

−

iiiii

φδφαφ

(II.53)

)sec(

iiii

bcR

⋅⋅= (II.54)

iii

dcS ⋅= (II.55)

Para casos do solo homogêneo (única camada) e fatias verticais (

= 0), e

torna-se igual à unidade e os parâmetros de resistência devem ser divididos por

um fator igual a 1,1.

Determinado o valor de

, todos os outros valores podem ser

determinados. A partir da equação II.48 todos os valores de

podem ser

determinados. Utilizando as equações II.46 e II.47 os valores de

e T

podem ser

determinados. As linhas de ação das forças

e N

podem ser determinadas a

partir da aplicação da equação do equilíbrio de momentos em torno do ponto A

(Fig. II.14). Entretanto, a posição das forças

e N

não é uma condição de

aceitabilidade da solução, ficando com este papel apenas a condição de que os

valores de

e N

sejam positivos.

De modo a obter o fator de segurança estático do talude, devem-se reduzir

os parâmetros de resistência por um fator até que o coeficiente

seja nulo.

Assim, o fator que produz um coeficiente

nulo é o fator de segurança estático.

SARMA e BHAVE (1974), propuseram uma correlação que fornece

valores aproximados entre o fator de segurança estático e o coeficiente de

aceleração crítica, dado pela equação II.56.

KFS ⋅+= 33,30,1 (II.56)

2.2.4.3 – Método de Ling

Para LING (op. cit.), diferentemente de NEWMARK (op. cit.), o efeito

provocado pela componente vertical de aceleração contribui para a

desestabilização do talude.

Ling estendeu o método de Culmann (Fig. II.11), método este que verifica

a estabilidade do talude para uma superfície de ruptura plana a uma análise

dinâmica com o conceito pseudo-estático proposto inicialmente por NEWMARK

(op. cit.). Esta formulação pode ser ilustrada por um bloco rígido sobre um plano

horizontal (Fig. II.15)

(a)

(b)

Figura II.15 – (a) Bloco rígido deslizando sobre um plano horizontal; (b)

Componentes da aceleração induzida.

Os parâmetros W, k

, k

são o peso do bloco, os coeficientes horizontal

e vertical da aceleração a que este está submetido e o ângulo de atrito entre o

bloco e o plano, respectivamente.

As equações do equilíbrio de forças que atuam no bloco (Eqs. II.57 e II.58),

juntamente com a equação constitutiva do modelo de Mohr-Coulomb (Eq. II.59)

completam a formulação de LING (op. cit.), resultando no coeficiente de

aceleração crítica (Eq. II.60) para o exemplo dado (Fig. II.15).

WtkT

⋅= )( (II.57)

WtkN

⋅−= ))(1( (II.58)

()

tan⋅= NT (II.59)

()()

tan)(1)( ⋅±= tktk

vHC

(II.60.a)

()()

tan)(1)( ⋅+= tktk

vHC

(II.60.b)

Observa-se que na equação II.60, o sentido da componente da aceleração

vertical influencia no equilíbrio das forças (Eq. II.58), aplicando-se a equação

II.60.a quando a aceleração é no sentido oposto ao da força peso e a equação

II.60.b quando a aceleração é no mesmo sentido da força peso. Vale observar que

o coeficiente de aceleração resistiva horizontal

é dependente do tempo por ser

função do coeficiente de aceleração vertical induzida

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)(1

)(

arctan)(

(II.61)

Define-se o ângulo

como sendo o ângulo que a componente vertical da

aceleração induzida k

faz com a resultante desta aceleração (Eq. II.61), utilizando

o sinal em relação ao sentido da aceleração vertical.

)(

−

(II.62)

()

ttktK

vCL

γθφθα

θφ

))(cos())(sin(

)cos()sin(

))(tan()(1)(

−⋅−

⋅

+−⋅+= (II.63)

Para o caso de taludes de solos o coeficiente de aceleração horizontal

crítica proposto é dado pela equação II.63, onde o ângulo que o plano de ruptura

faz com a horizontal é dado pela equação II.62.

Na equação II.63, k

é o coeficiente que, multiplicado pela aceleração da

gravidade resulta na componente vertical da aceleração que solicita o talude, onde

esta componente faz um ângulo

com a aceleração resultante. Ainda na mesma

equação,

é o ângulo que a superfície crítica de ruptura faz com a horizontal,

inclinação do talude, c a coesão do solo,

o ângulo de atrito,

a massa específica

e H a altura do talude.

Desta forma, os gráficos em relação ao tempo do coeficiente horizontal da

aceleração induzida k

e do coeficiente de aceleração crítica, ou coeficiente de

aceleração resistiva, devem ser superpostos. Uma vez que, ao longo do tempo, a

aceleração induzida ultrapasse o valor da aceleração resistiva a ruptura do talude

sob este modo acontecerá.

2.3 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

A conhecida estratégia dividir e conquistar (divide and conquer) é uma das

idéias principais na modelagem de problemas de engenharia. A primeira tarefa na

modelagem de um sistema (edifícios, aviões, navios, etc) é separar as partes que

têm função estrutural e as que não desempenham este papel. As partes do sistema

que não têm função estrutural são consideradas como massas e forças e são

aplicadas no sistema. A tarefa seguinte é, considerar que o sistema é composto por

subsistemas.

No Método dos Elementos Finitos (MEF), estes subsistemas são

analisados separadamente, dividindo-os em partes elementares e interligadas por

nós, chamadas elementos. Os nós possuem graus de liberdade que, em problemas

mecânicos elásticos, são as possibilidades de deslocamento que estes podem

sofrer.

Na figura II.16 observa-se um trecho de uma malha de elementos finitos

bidimensional com uma carga estática aplicada em um de seus nós. Os outros nós

da malha se deslocarão devido à força aplicada que, através da rigidez dos

elementos, sofrerão a influência desta força. Ou seja, os elementos que estão

conectados ao nó onde a força está sendo aplicada transmitirão esta ação para os

seus outros nós que, por sua vez, transmitirão aos elementos adjacentes e assim

sucessivamente.

Figura II.16 – Representação esquemática da propagação dos esforços no

MEF.

Neste trabalho, foram utilizados elementos quadrilaterais para discretizar

os modelos bidimensionais e elementos hexaédricos para os modelos

tridimensionais.

Figura II.17 – Elemento bidimensional quadrilateral com dois graus de liberdade

por nó.

Na figura II.17, tem-se a geometria do elemento plano com quatro nós (I, J,

K e L), sendo duas translações por nó. Na mesma figura,

r e s são os eixos do

sistema de coordenada do elemento e,

u e v, respectivamente, os deslocamentos

correspondentes aos eixos

X e Y do sistema global de coordenadas.

Os deslocamentos no interior do elemento são interpolados em relação aos

nodais através das funções de forma. Para o caso do elemento quadrilateral

utilizado neste trabalho, os deslocamentos no interior deste elemento são dados

pelas equações II.64 e II.65.

() ()() ()()

[

s1r1us1r1u

sr,u

−++−−=

()() ()()

]

s1r1us1r1u

−++++

(Eq. II.64)

() ()() ()()

[

s1r1vs1r1v

sr,v

−++−−=

()() ()()

]

s1r1vs1r1v

−++++

(Eq. II.65)

Para os modelos tridimensionais, utilizou-se o elemento hexaédrico com

oito nós, sendo seis graus de liberdade por nó: três translações e três rotações (Fig.

II.18.a).

(a)

(b)

Figura II.18 – Elemento sólido espacial: (a) 8 nós e 3 translações e rotações por

nó; (b) 20 nós e 3 translações por nó.

Existe também um elemento equivalente a este, com nós adicionais no

ponto médio das arestas do prisma (Fig. II.18.b), perfazendo um total de vinte nós

e compondo três translações por nó. Este novo elemento fornece uma resposta

mais precisa em relação à do outro elemento, contudo com um maior custo de

processamento computacional devido ao maior número de graus de liberdade.

Na figura II.18, os eixos

X, Y e Z formam o sistema global de coordenadas

com seus deslocamentos

u, v e w, respectivamente. O elemento com oito (I, J, K,

L, M, N, O e P) e vinte (I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z, A e

B) nós é mostrado nas figuras II.19.a e II.19.b, respectivamente. Ainda na mesma

figura,

r, s e t são os eixos do sistema local de coordenadas do elemento.

Os deslocamentos no interior do elemento hexaédrico de vinte nós são

dados pelas seguintes funções de interpolação:

() ()()()( ) ()()()( )

[

2-tr-sr1t1s1u2-tr-s-r1t1s1u

ts,r,u

−−−++−−−−=

()()()

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2-trs-r1t1s-1u2-tr-sr1t1s1u

−+

−

−+

()()()

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2-tr-sr1t-1s1u2-tr-s-r1t-1s-1u

()()()

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

]

2-trsr1t1s-1u2-trsr1t1s1u

()

()() ()

(

)

()

[

r-1t1s1ur-1t1s1u

−++−−+

(

)

()()

(

)

(

)

(

)

r-1t1s-1ur-1t1s1u

−++−+

(

)

()()

(

)

(

)

(

)

r1t1s1ur1t1s1u

+−+++−−+

(

)

()()

(

)

(

)

(

)

r1t1s1ur1t1s1u

+−−+++−+

()()

(

)

(

)

(

)

(

)

r-1t1s1ur-1t1s1u −++−−+

()()

(

)

(

)

(

)

(

)

]

r-1t1s-1ur-1t1s1u +++++ (Eq. II.66)

() ()

[

uaanálogos1v

ts,r,v

Λ−= (Eq. II.67)

() ()

[

uaanálogos1w

ts,r,w

Λ−=

(Eq. II.68)

As funções de forma do elemento hexaédrico que contém oito nós foram

desenvolvidas por YUNUS et al. (1991) a partir das funções do elemento de vinte

nós. Este procedimento consiste em converter os deslocamentos dos nós

intermediários em rotações nos nós de canto (Eqs. II.69.a, II.69.b e II.69.c).

() () ()

YJYI

ZIZJ

JIQ

θθ

u −

−

+−

−

++=

(Eq. II.69.a)

() () ()

ZJZI

XIXJ

JIQ

θθ

v −

−

+−

−

++= (Eq. II.69.b)

() () ()

XJXI

YIYJ

JIQ

θθ

w −

−

+−

−

++= (Eq. II.69.c)

Na equação II.69, obtém-se a relação entre os deslocamentos no nó médio

Q (Fig. II.19.b) e as rotações dos nós de canto I e J, dados por

θ.

Cada elemento utilizado numa malha de elementos finitos possui uma

matriz de rigidez característica, que é função dos parâmetros elásticos do material

e das dimensões do elemento. A partir das funções de forma do elemento,

juntamente com a equação governante da elasticidade, determina-se a matriz de

rigidez do elemento considerando o equilíbrio de energia através de métodos

variacionais (Ritz) ou dos resíduos ponderados (Galerkin).

Para o exemplo de elasticidade estática, a solução é dada pela equação

II.70.

[]

{} { }

fuK =⋅ (II.70)

Nesta equação, [K], {u} e {f} são, respectivamente, a matriz de rigidez do

sistema e os vetores de deslocamentos e forças nodais. A matriz de rigidez do

sistema é formada pelas matrizes de rigidez dos elementos, de acordo com a

geometria do sistema e o arranjo dos elementos. Os elementos dos vetores de

deslocamento e de forças são prescritos como condições de contorno ou obtidos

na solução. Assim, o primeiro parâmetro obtido em uma análise de elementos

finitos é o vetor de deslocamentos e forças nodais incógnitas.

2.3.1 – DETERMINAÇÃO DA MALHA

Quanto mais elementos possuir a malha mais próxima da solução analítica

estará a resposta. Há, no entanto, um ponto em que esta subdivisão do sistema em

elementos finitos irá produzir um erro desprezível. Ao chegar neste ponto, a

malha é dita suficientemente refinada. Geralmente, em locais onde ocorre um

acentuado gradiente de tensões ou deformações é necessário utilizar uma malha

com mais elementos para que seja possível descrever o estado de tensão ou

deformações com maior precisão.

Outra fonte de erros resultantes da malha está na forma geométrica dos

elementos que a constituem. A geometria ideal do elemento, no caso

bidimensional, é o modo regular de uma região formada por um polígono. No

caso tridimensional, a configuração ideal é aquela formada por um volume

facetado regular.

O elemento é considerado distorcido quando apresenta alguma das

seguintes modificações em relação à geometria ideal: grande desvio dos ângulos

internos entre seus lados ou faces em relação à versão regular; pouco paralelismo

em elementos de quatro lados ou seis faces; ou grande diferença entre as suas

dimensões. Os elementos distorcidos podem vir a produzir erros na resposta do

modelo.

Segundo BATHE (1996), pode ser utilizada a relação entre a maior

dimensão do elemento pela menor dimensão como uma maneira de mensurar a

capacidade do elemento produzir bons resultados. No programa ANSYS

(KOHNKE, 1998), quando esta relação é superior a 20 o programa alerta o

usuário. Outro parâmetro verificado pelo programa é o ângulo interno entre lados

de elementos planos quadrilaterais ou entre faces de hexaédricos. Quando este

ângulo é desviado de 5° do ângulo reto o usuário é alertado pelo programa.

O paralelismo entre lados ou faces, para o caso de elementos quadrilaterais

planos ou hexaédricos, respectivamente, é outra checagem que o programa faz em

relação ao formato dos elementos da malha. Caso o ângulo de desvio do

paralelismo, entre lados ou faces, for superior a 70° o programa alerta o usuário.

Toda verificação do formato do elemento é feita automaticamente pelo ANSYS.

O tamanho do elemento é estimado de acordo com o tipo de problema a

ser modelado. O usuário deve utilizar uma malha de elementos determinada por

uma estimativa inicial, obter a solução do problema, e verificar os erros causados

pela malha utilizada. Nas regiões em que os elementos produziram erros acima da

tolerância deve-se aumentar o número de elementos nesta região ou o grau do

polinômio interpolador.

Em problemas de propagação de ondas em meios elásticos, a discretização

do meio também interfere no resultado. Deste modo, o tamanho do elemento da

malha deve ser estimado a partir do comprimento de onda (Eq. II.71) que se

deseja captar na modelagem.

MAX

(II.71)

N equação

é o comprimento de onda, V

é a velocidade de propagação

da onda Rayleigh e f

MAX

a maior freqüência que se deseja captar.

Para LYSMER e KUHLEMEYER (op. cit.) o tamanho do elemento deve

ser adotado igual ao a 1/8 do comprimento de onda. ZEWER et. al (op. cit.) e

D’APUZZO (op.cit.), por outro lado, recomenda se usar o dobro deste tamanho.

Uma vez que o comprimento de onda é diretamente proporcional à

estimativa do tamanho do elemento e que, quanto menor o elemento maior a

precisão do resultado, é usual, escolher-se como referência a velocidade da onda

de Rayleigh por ser a menor. Para que todas as freqüências presentes na

modelagem sejam captadas, utiliza-se a maior das velocidades na estimativa do

tamanho do elemento.

Uma forma de verificar o erro da resposta de um modelo no MEF é

comparar os resultados obtidos com respostas analíticas ou experimentais, quando

há disponibilidade destas.

2.3.2 – ANÁLISE DINÂMICA PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Diferentemente do problema estático, no problema dinâmico, as forças de

inércia têm participação na resposta do sistema. Estas forças têm relação direta

com a massa do sistema e são proporcionais à aceleração que o sistema

desenvolve. No MEF, a matriz de massa do elemento é formada de maneira

análoga à formação da matriz de rigidez, onde a densidade de massa do material

tem papel relevante na determinação dos componentes desta matriz.

Um sistema vibra de acordo com os seus modos de vibração. Cada modo

de vibração possui uma freqüência associada, também conhecida como freqüência

natural ou ressonante. Tais freqüências, bem como os seus modos de vibração,

podem ser obtidas através da solução da equação II.72. Esta é a equação de

equilíbrio de um sistema submetido à vibração livre não-amortecida, onde [M] é a

matriz de massa do sistema e

{

}

é o vetor de acelerações nodais.

[]

{}

[]

{} {}

0=+ uKuM

(II.72)

Para um sistema linear, as vibrações livres são harmônicas e seus

deslocamentos podem ser descritos, por exemplo, por funções trigonométricas, ou

seja:

{} {}

(

)

⋅=

cos (II.73)

f⋅=

2 (II.74)

Na equação II.73, {φ}

são os autovetores associados ao modo de vibração

são as freqüências naturais do sistema em rad/s, correspondendo aos

autovalores, t o tempo e f

são as freqüências naturais em Hertz.

Substituindo a equação II.73 em II.72, obtém-se a equação II.75 que pode

ser resolvida como um problema de autovetores e autovalores. Este procedimento

de determinação dos modos de vibração e das freqüências naturais do sistema é

chamado de análise modal.

[]

{}

[]

{}

ϕωϕ

⋅=

(II.75)

Outro parâmetro que influencia significativamente a resposta de um

sistema dinâmico é o amortecimento. Fisicamente, o amortecimento representa a

capacidade do sistema de dissipar a energia vibratória e, em conseqüência

diminuir a amplitude dos deslocamentos. Há várias formas de se representar o

amortecimento, sendo a mais usual o do tipo viscoso.

No ANSYS, a matriz de amortecimento é obtida a partir das matrizes de

rigidez e de massa, conforme mostrado na equação II.76.

[] [ ] []

[]

∑

⋅+⋅+⋅=

NMAT

KKMC

χαα

(II.76)

Onde [C] é a matriz de amortecimento do sistema,

são as

constantes de Rayleigh e

χ é um coeficiente multiplicador de alguns componentes

da matriz de rigidez do sistema.

O coeficiente

χ é bastante útil quando se deseja definir um amortecimento

distinto em duas regiões diferentes em um sistema.

Os parâmetros

são obtidos a partir das freqüências fundamentais

do sistema e do amortecimento que este possui. Estes coeficientes são

determinados resolvendo-se um sistema de equações lineares formado a partir da

definição de duas freqüências fundamentais ω

e ω

e de uma razão de

amortecimento ξ.

A equação II.77 mostra o sistema de equações citado.

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅

ωα

(II.77)

Vários autores (GARDIEN e STUIT, op. cit.; WOODWARD e

GRIFFITHS, op.cit.) utilizam o amortecimento de Rayleigh (Eqs. II.76 e II.77)

para considerar o amortecimento do material em problemas de propagação de

ondas no solo.

No MEF, os deslocamentos nodais de um sistema dinâmico podem ser

obtidos tanto no domínio da freqüência quanto no domínio do tempo. A equação

de movimento que resolve o problema no domínio do tempo é dada por:

[]

{}

[]

{}

[]

{}

(

){}

tFuKuCuM =++

(II.78)

onde [C] é a matriz de amortecimento do material, {F(t)} o vetor de forças nodais,

{}

o vetor das velocidades nos nós e os demais termos já foram definidos.

Uma das maneiras de se resolver a equação de movimento no domínio do

tempo é através de uma metodologia chamada integração direta, discretizando o

tempo em intervalos de tamanho Δt.

Segundo BATHE (op. cit.) a idéia da integração direta consiste em duas

partes: satisfação do equilíbrio do sistema (Eq. II.78) para cada incremento de

tempo Δt e da variação dos deslocamentos, velocidades e acelerações. A forma de

como se dará esta variação é que vai determinar a precisão da análise, como será

descrito logo adiante.

Definido o intervalo de tempo que se deseja avaliar a resposta do sistema

entre 0 e T, ele é dividido em n subintervalos, ou seja Δt=T/n. O procedimento de

integração empregado estabelece uma solução aproximada nos tempos Δt, 2Δt,

3Δt,...,t + Δt,...,T. Para realizar esta tarefa existem alguns métodos: diferença

central (advindo do método das diferenças finitas), método de Houbolt, de

Wilson-θ e o de Newmark.

Neste trabalho, foi utilizado o método de Newmark para solucionar a

equação II.78, o qual é um dos métodos disponíveis no programa ANSYS

(KOHNKE, op. cit.).

O procedimento numérico consiste em definir uma relação entre os vetores

de aceleração e de deslocamento, mostrada na equação II.79.a e entre os da

velocidade e do deslocamento, conforme mostrado na equação II.79.b. Ou seja:

{}

{

}{}()

{

}

{

}

nnnnn

uauauuau

⋅

−

⋅

−−⋅=

++ 32101

(II.79.a)

{ }{} {}

{

}

1761 ++

⋅

−⋅

nnnn

uauauu

&&&

(II.79.b)

Nestas equações, os vetores de deslocamento {u

}, de velocidade

{}

de aceleração nodais

{}

são as condições iniciais no tempo n, onde a

=1/(αΔt

=δ/(αΔt), a

= 1/(αΔt), a

=1/(2α)-1, a

= δ/α-1, a

=Δt(δ/α-2)/2, a

=Δt(1-δ) e

=Δtδ são constantes, α e δ são os parâmetros de integração de Newmark e Δt o

incremento do tempo discretizado.

Os dois conceitos fundamentais a serem considerados em um esquema de

integração direta na análise dinâmica transiente são: a estabilidade e a precisão

numérica. No método de integração de Newmark, para que a solução tenha uma

boa precisão, os parâmetros de integração devem ser: δ≥0.5 e α≥0.25(δ+0.5)².

Segundo Bathe, para que o método seja incondicionalmente estável tais

parâmetros devem ter valores α=0.25 e δ=0.50.

Substituindo a equação II.79 na equação II.78 para os vetores no tempo

n+1, obtém-se a equação II.80 que permite determinar o vetor dos deslocamentos

neste tempo.

[] [][]

(){}

(

){}

[]

{} {} {}()

[]

{} {} {}()

nnnnnn

uauauaCuauauaM

tFuKCaMa

&&&&&&

541320

110

+++++

+=++

(Eq. II.80)

O vetor de deslocamentos nodais no tempo atual, calculado pela equação

II.80, possibilita a obtenção dos respectivos vetores de velocidades e acelerações

nodais. A análise completa é obtida utilizando-se este processo iterativamente até

o tempo final.

A escolha adequada da metodologia de resolução da equação diminui

bastante o tempo de processamento computacional. De acordo com o manual do

ANSYS, para sistemas com até 50.000 graus de liberdade é indicado o processo

da eliminação de Gauss direta. Para sistemas com número de graus de liberdade

entre 50.000 e 1.000.000, o método de resolução indicado é o dos Gradientes

Conjugados Pré-condicionados, que consiste em aproximar, iterativamente, a

matriz inversa.

O tamanho do intervalo de tempo Δt depende do tipo de problema. Para

problemas que visam acompanhar a vibração do sistema, recomenda-se utilizar

incrementos Δt de acordo com os modos de vibração que se deseja analisar. Para

problemas que visam acompanhar o fenômeno da propagação de ondas, Δt deve

ter relação com a velocidade de propagação da onda e com o tamanho do

elemento da malha.

BODE et al. (2002), em seu trabalho sobre modelagem da interação solo-

estrutura, propôs que Δt deve ser o tempo necessário para que a onda de Rayleigh

trafegue a metade da maior dimensão do elemento da malha, ou seja:

ELEM

⋅

=Δ

(II.81)

Nesta equação, d

ELEM

é o tamanho do elemento da malha.

ZEWER et al. (op. cit.), propõem um intervalo de tempo Δt que poderia

ser estimado no intervalo dado pela equação II.82. Esta equação mostra que os

valores limites para Δt são função do tamanho do elemento e da velocidade de

propagação da onda-P.

ELEM

≤Δ≤

⋅10

(II.82)

2.3.3 – MODELOS DE MEIOS SEMI-INFINITOS E CONDIÇÕES DE

CONTORNO

As condições de contorno na modelagem dos elementos finitos, quando

impostas, são na forma de restrições dos graus de liberdade (deslocamentos ou

rotações nos nós) ou imposições de carga em determinado grau de liberdade.

Quando não são impostas, o contorno é dito livre para se deslocar.

O solo é, geralmente, representado por um semi-espaço ou semi-plano

infinito. Desta forma, na modelagem pelo MEF, considera-se uma porção finita do

sistema infinito a ser modelado, impondo-se artifícios pertinentes no contorno.

Estas condições de contorno, sobretudo em problemas relacionados ao fenômeno

de propagação, devem evitar que as ondas, emanadas do interior do sistema,

reflitam no contorno imposto.

Atualmente, três destes artifícios são mais usuais: amortecedores viscosos,

elementos infinitos e zona absorvente (damping zone).

A primeira, e pioneira, são condições de contorno impostas nos nós

limítrofes do modelo de semi-espaço, utilizando amortecedores que absorvem a

energia vibratória. Esta técnica foi idealizada primeiramente por LYSMER e

KUHLEMEYER (op. cit.). O desempenho da absorção das ondas neste tipo de

contorno não é perfeito, sendo assim também conhecido por contorno viscoso

imperfeito.

Utilizando elementos infinitos, alguns autores (YANG et al., 2003;

KUMAR, 1987; KUMAR, 1988) propuseram um modelo de semi-espaço cujos

elementos localizados na fronteira têm, em sua formulação, condições para que a

energia das ondas incidentes seja eliminada e não reflita no contorno.

Outra metodologia, sendo esta a mais recente (D’APUZZO, op. cit.;

GARDIEN e STUIT, op. cit), propõe a implantação de uma zona absorvente entre

o semi-espaço e o contorno fixo. Esta zona é dotada de um amortecimento

suficiente para evitar reflexões na interface semi-espaço/zona absorvente

eliminando as ondas para que não voltem ao semi-espaço.

Duas destas metodologias foram utilizadas neste trabalho: o contorno

imperfeito proposto por Lysmer e Kuhlemeyer, esquematizado na figura II.19.a e

a zona de elementos absorventes, proposta por D’Apuzzo mostrada na figura

II.19.b.

(a)

(b)

Figura II.19 – Modelagem do semi-plano (solo): (a) amortecedores viscosos

imperfeitos; (b) zona absorvente.

2.3.3.1 – Contorno com amortecedores viscosos

O sistema de amortecedores imperfeitos foi originalmente idealizado por

LYSMER e KUHLEMEYER (op. cit.) para o caso bidimensional. Estes autores

desenvolveram uma expressão que, a partir de um estudo das reflexões das ondas

em um contorno, determina-se o valor das tensões normal (Eq. II.83.a) e

cisalhante (Eq. II.83.b). A partir destas tensões é que se calcula o valor dos

coeficientes de amortecimento dos amortecedores viscosos.

wVa

⋅

⋅⋅=

(II.83.a)

uVb

⋅

⋅⋅=

(II.83.b)

Nestas equações, σ é a tensão normal no contorno devido ao impacto da

onda neste, τ é a tensão cisalhante, a e b são constantes, ρ é a massa específica do

solo, V

e V

são as velocidades de propagação das ondas P e S, respectivamente,

e u

são as velocidades da partícula nas direções normal e tangencial ao

contorno, respectivamente.

Os coeficientes a e b são dependentes do tipo de onda que se deseja

absorver. Para a onda de superfície de Rayleigh, estes coeficientes são

dependentes da profundidade em relação à superfície, da freqüência da fonte de

excitação e da velocidade da onda. Caso os tipos de ondas a absorver sejam as de

corpo, tais coeficientes podem ser considerados constantes e iguais a um. Com

valores unitários para a e b, a absorção das ondas-P é, por este tipo de contorno,

de 98,5% (LYSMER e KUHLEMEYER, op. cit.).

Sabendo-se que a força responsável pelo amortecimento é, em um sistema

de um grau de liberdade, o produto do coeficiente de amortecimento do sistema

pela velocidade do deslocamento do grau de liberdade, os coeficientes de

amortecimento do contorno viscoso imperfeito de Lysmer-Kuhlemeyer são

determinados pelas equações II.84.a e II.84.b.

PNORMAL

VAaC ⋅⋅⋅=

(II.84.a)

SCISALHANTE

VAbC ⋅⋅⋅=

(II.84.b)

Nas equações II.84.a e II.84.b, C

NORMAL

e C

CISALHANTE

são os coeficientes

de amortecimento dos amortecedores viscosos imperfeitos e A a área de influência

de cada amortecedor, que nada mais é do que a área de um elemento finito da

malha. LYSMER e KULEHMEYER (op. cit.) ressalvam que, para este artifício

absorvente ter um bom desempenho, o contorno tem de ser convexo de tal forma

que as ondas, ao incidirem nele, façam um ângulo que se aproxime do ângulo reto.

Posteriormente WHITE et al. (1977) propôs uma correção para os valores

dos coeficientes a e b, onde estes seriam dependentes somente do coeficiente de

Poisson do solo, e poderiam ser calculados pelas equações II.85.a e II.85.b.

()

525

SSa ⋅−⋅+

⋅

(II.85.a)

()

Sb ⋅+

⋅

= 23

(II.85.b)

()

−⋅

⋅−

S (II.85.c)

Segundo WHITE et al. (op. cit.), estes coeficientes melhoram o

desempenho do contorno viscoso imperfeito, onde

é o coeficiente de Poisson do

solo.

No programa ANSYS, o elemento que melhor representa estes

amortecedores é o elemento formado por um sistema mola-amortecedor chamado

COMBIN14 (Figura II.20.b), sendo necessário definir a rigidez da mola deste

sistema para que haja consistência na modelagem. SILVA et al. (2004) definiu

que este sistema de um grau de liberdade seria formado por: massa M de um

elemento pertencente à fronteira do modelo de elementos finitos (Fig. II.20.a e

II.20.c), constante de mola K e o coeficiente de amortecimento C, considerando

que este amortecimento seria crítico.

(a)

(b)

(c)

Figura II.20 – (a) Contorno viscoso imperfeito de modelo 2D; (b) Elemento

COMBIN14; (c) Idealização para a determinação da constante de mola.

Da dinâmica clássica, a relação entre os parâmetros de um sistema massa-

mola-amortecedor com amortecimento crítico, é dada pela equação II.86

(CLOUGH e PENZIEN, op. cit.).

= (II.86)

2.3.3.2 – Contorno com zona absorvente

Este tipo de contorno artificial consiste em faixas de elementos, providos

de amortecimento, com o objetivo de eliminar a energia vibratória quando esta

atinge o contorno.

D’APUZZO (op. cit.) utilizou esta técnica na modelagem tridimensional

do tráfego de veículos (Fig. II.21). Ele recomenda que, para se obter um bom

desempenho, a zona de amortecimento deve ter uma faixa de dez elementos com

amortecimento variando quadraticamente e tangente inicial nula.

(a)

(b)

Figura II.21 – Contorno do tipo zona absorvente (adaptado de D’APUZZO, op.

cit.): (a) semi-espaço e zona absorvente; (b) idealização em EF.

GARDIEN e STUIT (op. cit.) utilizaram procedimento similar em

modelos de semi-planos para tráfego de trens. Eles não especificaram nem o

tamanho nem a quantidade de elementos que constituem a zona absorvente.

Porém, enfatizaram que se devem ter várias faixas de elementos com tamanho e

amortecimento crescente.

No programa ANSYS há a possibilidade de definir amortecimentos

diferentes ao longo da malha de elementos através da equação II.76.

Neste trabalho, para se dimensionar a zona absorvente, utilizou-se as duas

propostas acima: uma faixa de dez elementos com tamanho e amortecimento

crescentes. O amortecimento de cada faixa de elementos seria dado pela variação

quadrática representada pela equação:.

)( xx ⋅=Φ

(II.87)

onde

Φ é a variação do amortecimento em relação à distância x (Fig. II.22). O

valor de

χ, constante que será computada na matriz de amortecimento do sistema

pela equação II.76, foi determinada, por tentativa e erro, comparando os

deslocamentos do MEF e da resposta analítica de LAMB (op. cit.).

Figura II.22 – Função do aumento do amortecimento na zona absorvente.

Na figura II.22 pode ser observado o desenho esquemático de como o

amortecimento aumenta de acordo com a distância ao longo da zona absorvente.

A vantagem deste tipo de contorno, frente ao contorno viscoso imperfeito

é que este não depende da freqüência de excitação e nem da posição da fonte

dinâmica, onde a forma geométrica do contorno não precisa ser convexa.

2.4 – MODELAGEM DO VEÍCULO E DO PAVIMENTO

Nas simulações de cargas móveis sobre um semi-espaço, em vários

trabalhos, o veículo é representado por forças que são aplicadas ao modelo e se

movimentam com uma velocidade constante (LOMBAERT et. al, 2000;

D’APUZZO, op. cit.; GARDIEN e STUIT, op. cit.; YANG et al., op. cit.; HUNG

e YANG, op. cit.; SUN e DENG, 1998).

Figura II.23 – Idealização e modelagem de carga móvel.

Para o tráfego de trens HUNG e YANG (op. cit.) consideraram que os

trilhos do trem seriam vigas sobre base elástica onde cada eixo do trem teria seu

peso distribuído no modelo de acordo com a rigidez do trilho e de sua fundação.

Desta forma, a partir da deflexão dos trilhos, determinada pela teoria de Winkler,

obtém-se a distribuição da carga mostrada na figura II.23. Na posse desta não se

faz necessário modelar a fundação, nem os trilhos e nem os eixos do trem,

aplicando a carga diretamente no modelo de elementos finitos. Esta sub-

estruturação simplifica o modelo sem diminuir a representatividade do sistema.

(a)

(b)

Figura II.24 – Modelo quarter-car model: (a) Idealização do veículo; (b) Modelo.

Para o tráfego de veículos existem modelos que simulam veículos de um

eixo (HUNT, 1991; SUN e DENG, op. cit.) ou vários (LOMBAERT et al., op.

cit.). Em algumas destes modelos, os pneus e a suspensão são representados por

sistemas mola-amortecedor acoplados, levando-se em consideração a massa de

cada eixo (Fig. II.24). A partir deste sistema obtém-se a força que será aplicada no

pavimento. O modelo mais simplificado é o quarter-car model, representado pela

massa de um veículo sobre um eixo (HUNT, op. cit.; SUN e DENG,op. cit.).

Neste trabalho foi suposto que o veículo, ao se deslocar sobre o pavimento,

produz efeito dinâmico semelhante ao de um trem se deslocando sobre trilhos.

Assim, utilizou-se o modelo de trem sobre viga infinita, suportada por base

elástica, para representar o tráfego de veículos.

2.4.1 – MODELOS MATEMÁTICOS PARA A CARGA MÓVEL

O pavimento pode ser modelado como uma viga semi-infinita de rigidez à

flexão EI suportada por base elástica de constante k (N/m²) (Figura II.25). A

rigidez do revestimento do pavimento rígido, no caso de revestimento de concreto,

ou flexível, no caso de mistura asfáltica, pode ser determinada pelas propriedades

do material e da geometria transversal da via. A rigidez da fundação, simulada por

molas (modelo de Winkler), é avaliada através dos parâmetros do solo

(SELVADURAI, 1979), por meio da equação II.88, onde E

, ν

e h são,

respectivamente, o módulo elástico, o coeficiente de Poisson e a altura da camada

do solo.

()( )

νν

211 −+⋅

(II.88)

Figura II.25 – Determinação da rigidez da fundação do pavimento

(SELVADURAI, op. cit.).

As cargas de eixo são aplicadas no semi-espaço diretamente sob uma

distribuição de acordo com os parâmetros de rigidez do pavimento. A distribuição

de um eixo é obtida pela deflexão de uma viga elasticamente suportada, conforme

apresentado por HUNG e YANG (op. cit.) e mostrada na equação II.89.

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

ααα

sencos

(II.89)

EI4

(II.90)

Na equação II.89,

(z), T e

significam a distribuição da carga de um

eixo sobre o semi-espaço (em unidade de força por unidade de comprimento), a

carga total de cada eixo e o comprimento característico da viga dado pela equação

II.56, respectivamente. Na equação II.90,

EI é a rigidez do pavimento.

A figura II.26 mostra a distribuição da carga, ao longo do comprimento da

pista, de um eixo de 100 KN, representada pela função

(z), com

igual a 0,8.

Figura II.26 – Distribuição da carga de um eixo ao longo da pista de rolamento.

2.4.2 – VEÍCULO MODELO: VOLVO B12R 6X2

O modelo adotado pode ser extrapolado para um veículo com vários eixos,

movimentando-se com uma velocidade constante. Foi adotado o Volvo B12R de

três eixos (Fig. II.27), que é o ônibus rodoviário de maior carga permitida pelo

DNIT, órgão que administra as estradas brasileiras. As distâncias dos eixos em

relação à dianteira do veículo, juntamente com a carga máxima estão listadas na

tabela II.4.

Figura II.27 – Desenho esquemático do chassi do Volvo B12R 6x2

(http://www.volvo.com.br).

Tabela II.4 – Volvo B12R: cargas dos eixos e distâncias em relação à dianteira.

Distância da

dianteira (m)

Carga (kN)

Eixo dianteiro 2,45 70,61

Eixo traseiro 5,45 104,93

Terceiro eixo 6,75 51,98

Para um modelo de veículo com mais de um eixo, HUNG e YANG (op.

cit.) também propuseram uma expressão, obtida a partir da equação II.89, sendo

esta adaptada para o veículo tipo adotado (Eq. II.91).

()()()()()()

[]

∑

−

++++++++++=

321

)(

caLnzqbaLnzqaLnzqz

(II.91)

Nesta equação,

(z) é a distribuição de N veículos tipo, onde L é o

comprimento de cada veículo,

a, b e c é o posicionamento do eixo dianteiro, do

eixo traseiro e do terceiro eixo, respectivamente, em relação à dianteira de cada

veículo. Ainda, na mesma equação,

(z), q

(z) e q

(z) são as funções de

distribuição de cargas dos três eixos, obtidos a partir da função

(z).

Para simular a movimentação da carga distribuída

(z), com velocidade

constante

sobre o eixo da pista, faz-se uma pequena modificação na função da

equação II.91:

(

)

tVztVzP ⋅−=

),,(

(II.92)

onde, V

é a velocidade do veículo e t é o tempo. Sendo assim, pode-se variar a

carga ao longo da malha de elementos finitos, no domínio do tempo e do espaço,

computando diretamente da equação.

Na figura II.28 podem ser observados os gráficos da equação II.91 para

três veículos (N=3) e um veículo (N=1) tipo, trafegando em um pavimento cujo

correspondente valor de

α é 0,4.

Figura II.28 – Distribuição da carga para um e três veículos Volvo B12R segundo

a equação II.91.

Observa-se que o comprimento característico

, dado pela equação II.90,

varia de acordo com a rigidez da viga infinita e de sua base elástica.

Assim, para verificar a influência da rigidez do pavimento na distribuição

das cargas, fez-se uma análise paramétrica do comprimento característico

. Os

valores de referência dos módulos elásticos, obtidos em SEVERI et al. (1999) e

utilizados nesta análise, estão mostrados na tabela II.5.

Tabela II.5 – Parâmetros de pavimentos flexíveis (SEVERI et al, op. cit.).

Camada Mód. Elástico (MPa) Espessura (cm)

Concreto asfáltico 2000 a 4000 15

Fundação (base elástica) 100 a 300 30

Primeiramente fixou-se o valor do módulo da fundação em 100 MPa e

variou-se o do concreto asfáltico. Em seguida, fez-se o inverso, fixando-se o valor

do módulo do concreto asfáltico em 2000 MPa.

Na tabela II.6 pode ser verificada as variações dos módulos elásticos do

concreto asfálticos e da fundação, onde está indicada entre parênteses a variação

percentual em relação ao valor de referência. A mesma tabela apresenta a variação

do pico da carga distribuída, em relação ao valor de referência, que é de 224,6

kN/m. Estas variações podem ser melhor visualizadas através dos gráficos das

cargas distribuídas, mostrados na figura II.29.

Tabela II.6 – Variação do pico da carga distribuída em relação à variação dos

módulos elásticos.

conc. asfaltico fundação conc. asfaltico fundação

2500 (25%) 150 (50%) 212,4 (-5,4%) 248,5 (10,7%)

3000 (50%) 200 (100%) 202,9 (-9.2%) 267,1 (18,9%)

3500 (75%) 250 (150%) 195,3 (-13,1%) 282,4 (25,7%)

4000 (100%) 300 (200%) 188,9 (-15,9) 295,6 (31,6%)

Módulo elástico (MPa) Pico da carga distribuída (kN/m)

(a)

(b)

Figura II.29 – Carga distribuída do veículo tipo para diferentes módulos elásticos:

(a) do pavimento; (b) da fundação.

2.4.2.1 – Carregamento no modelo tridimensional

Para o caso tridimensional, a aplicação das cargas dos eixos dos veículos é

feita continuamente nos nós segundo a linha do eixo z (Fig. II.23). Assim,

partindo-se de uma linha de nós, seqüencialmente numerados e pertencentes a um

sistema de coordenadas, aplicam-se forças concentradas nos nós pertencentes à

pista. Estas forças são obtidas pela função de distribuição das cargas (Eq. II.92),

calculando a força equivalente nodal e aplicando-a em cada nó, pertencente ao

eixo da via. Elas são modificadas automaticamente em cada nó na medida em que

o tempo passa. Observa-se que para malhas de diferentes tamanhos, têm-se

diferentes valores para as cargas aplicadas ao modelo, apesar da distribuição da

carga ser a mesma.

2.4.2.2 – Carregamento no modelo bidimensional

Considerando que a representação do tráfego de veículos, no modelo 2D,

dar-se-á na direção normal ao semi-plano,a aplicação da carga será apenas em um

único nó, como pode ser observado na figura II.30. A função da distribuição da

carga é a mesma do modelo 3D, entretanto, para utilizá-la no modelo 2D, não se

calcula as cargas equivalentes nodais, aplicando diretamente a distribuição da

carga por metro no nó pertencente ao eixo da pista.

Figura II.30 – Aplicação da carga do trem-tipo em um modelo de semi-plano.

Para isto, na função de distribuição da carga apresentada na equação II.92,

colocam-se vários veículos, N=8 por exemplo, de modo a caracterizar uma

situação de tráfego ininterrupto. Além disso, especifica-se um valor constante para

a variável z, obtendo-se uma função apenas no domínio do tempo, ou seja:.

()

tVψt),VP(0,t),2(VP

000

⋅

−== (II.93)

III – RESULTADOS E DISCUSSÕES

3.1 – VERIFICAÇÃO DOS MODELOS PROPOSTOS

Modelos de semi-espaço, discretizados pelo método dos elementos finitos

(MEF), foram propostos para verificar o seu desempenho frente a respostas

analíticas. Na modelagem, utilizou-se valores de referência para os parâmetros de

entrada, listados na tabela III.1. Estes parâmetros permitem determinar as

velocidades de propagação da onda no meio, bem como o tamanho do elemento

do modelo.

Tabela III.1 – Valores de referência dos parâmetros elásticos.

E (MPa) G (MPa)

(kg/m³)

50 20 0,25 2000

Na verificação do modelo 2D, ou seja, os semi-planos discretizados em EF,

aplicou-se uma carga harmônica, na origem do sistema de coordenadas dos

modelos, com freqüência de 20 Hz e amplitude de 100 kN. As respostas obtidas

foram comparadas com a resposta analítica de LAMB (op. cit.), cujas condições

de carregamento são idênticas. As duas respostas, analítica de Lamb e numérica

pelo MEF, foram comparadas através de gráficos de deslocamentos em função do

tempo para cada caso. As verificações consistem em mensurar o erro médio das

amplitudes dos deslocamentos verticais na superfície do semi-plano sem a

consideração do amortecimento do material, uma vez que este não é considerado

na resposta de LAMB (op. cit.).

Para verificar o amortecimento do material, representado pela formulação

de Rayleigh (Eq. II.44), utilizou-se o modelo de semi-plano que apresentou a

melhor resposta frente à resposta analítica de LAMB (op. cit). Assim,

considerando-se uma razão de amortecimento de 5%, a diferença da amplitude

dos deslocamentos de dois pontos na superfície, com distâncias diferentes em

relação à fonte de excitação, foi comparada com a equação de Bornitz (Eq. II.5),

na qual fornece este resultado analiticamente.

Para o caso 3D, ou seja, modelos de semi-espaço em EF, submetidos à

passagem de uma carga móvel, foi utilizada a resposta analítica de HUNG e

YANG (op.cit). Uma vez que a carga está em movimento, o contorno absorvente

mais indicado para este caso é o do tipo zona absorvente, pois, não há exigência

de que este tenha forma côncava em relação à posição da carga, como é exigida

pelo contorno viscoso imperfeito. Assim, fez-se trafegar sobre a superfície do

semi-espaço, uma carga sobre base elástica com parâmetros idênticos aos

utilizados na resposta analítica por HUNG e YANG (op. cit.).

Na tabela III.2, a partir dos dados do solo (Tab. III.1), tem-se as

velocidades de propagação das ondas que se desenvolvem no meio (Eqs. II.1, II.2

e II.3). Para o caso 3D, não há uma freqüência de excitação da carga bem definida,

pois se trata de uma carga estática que está em movimento. Entretanto,

D’APUZZO (op. cit.) menciona que a freqüência utilizada para se determinar o

tamanho do elemento em um problema desta natureza é a maior que se deseja

captar. Para o caso de tráfego de veículos, a freqüência de excitação geralmente

está em torno de 20 Hz (HAO et. al, 2001).

Tabela III.2 – Velocidade de propagação das ondas, comprimento de onda e

tamanho do elemento.

(m/s) V

(m/s)

f (Hz)

(m)

173,2 100 92 20 4,6

Na mesma tabela, V

, V

e V

são as velocidades de propagação das ondas

P, S e R, respectivamente, f a freqüência adotada,

λ o comprimento de onda em

relação à freqüência adotada e à velocidade da onda-R (V =

λ.f).

O intervalo de tempo

Δt, adotado no esquema de integração na análise

transiente, foi obtido a partir do tamanho do elemento e da velocidade da onda que

se deseja captar (BODE et al., op. cit; ZEWER et al., op. cit.). Os valores deste

parâmetro estão listados na tabela III.3 e valem tanto para semi-planos como para

semi-espaços.

Tabela III.3 – Tamanho do elemento adotado e tamanho do tempo discretizado.

(m)

(s) d

(m)

(s)

1,0 0,0050 0,5 0,0025

3.1.1 – SEMI-PLANO COM CONTORNO VISCOSO IMPERFEITO

Para o contorno composto por mola e amortecedores, que tem o objetivo

de absorver as ondas que nele incidem, foram testadas duas propostas para os

valores do coeficiente de amortecimento destes sistemas: LYSMER e

KUHLEMEYER (op. cit.) e WHITE et. al (op. cit.). Estas duas propostas para o

coeficiente de amortecimento viscoso foram verificadas com duas propostas de

densidade de malha: LYSMER e KUHLEMEYER (op. cit.) e D’APUZZO (op.

cit).

Os coeficientes de rigidez e de amortecimento nos sistemas absorventes,

obtidos tanto pela proposta de LYSMER e KUHLEMEYER (op. cit.) quanto pela

de WHITE et al. (op. cit.), são dados pela tabela III.4. Os dados da tabela foram

utilizados nos modelos que se seguem.

Tabela III.4 – Coeficientes dos sistemas mola-amortecedor.

normal cisalhante normal cisalhante

=1,0 m

L-K

1,50 x 10

5,00 x 10

3,46 x 10

2,00 x 10

White et al.

1,30 x 10

2,48 x 10

3,23 x 10

1,41 x 10

=0,5 m

L-K

1,50 x 10

5,00 x 10

1,73 x 10

1,00 x 10

White et al.

1,30 x 10

2,48 x 10

1,61 x 10

7,05 x 10

Rigidez (N/m) Amortecimento (N.s/m)

* L-K: dados segundo a formulação de Lysmer e Kuhlemeyer.

3.1.1.1 – Proposta 1: semi-plano com elementos de D’Apuzzo e contorno

viscoso

A malha com o critério de determinação do tamanho do elemento de

D’APUZZO (op. cit.) pode ser visualizada na figura III.1. Foram feitas análises

considerando o contorno imperfeito de LYSMER e KULEHMEYER (op. cit.) e

WHITE et. al (op. cit.), mostrados nas figuras III.2 e III.3, respectivamente. Os

resultados dos deslocamentos verticais em pontos da superfície do semi-plano

foram comparados com a resposta analítica de LAMB (op. cit).

Figura III.1 – Semi-plano com elemento da malha de D’Apuzzo (op. cit.).

A malha constitui-se de 665 nós, onde 417 são do elemento quadrilateral

plano. Este elemento possui oito graus de liberdade, correspondentes a duas

translações por nó. Os nós que não pertencem à malha são dos sistemas

absorventes do contorno e estão com os deslocamentos impedidos, totalizando

834 graus de liberdade.

Figura III.2 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície do semi-plano

discretizado com elementos de D’Apuzzo e amortecedores de Lysmer-

Kuhlemeyer.

A figura III.2 representa a lei de variações dos deslocamentos verticais

obtidos com malha de D’Apuzzo e contorno de Lysmer-Kuhlemeyer. Os gráficos

apresentaram uma diferença na amplitude de 17,4% no ponto a 5,0 metros da

fonte de excitação e 23,1% no ponto a 8,0 metros em relação à resposta analítica

de Lamb.

Figura III.3 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície do semi-plano

discretizado com elementos de D’Apuzzo e amortecedores de White.

Para os deslocamentos verticais com a malha de D’Apuzzo e o coeficiente

de amortecimento dos sistemas do contorno de White et. al mostrados na figura

III.3, verificou-se uma diferença média na amplitude de 9,3% para o ponto a 5,0

metros da fonte e 18,7% a 8,0 metros da fonte em relação à resposta analítica de

Lamb. Por conseguinte, pode-se dizer que os coeficientes de amortecimento dados

por WHITE et al. (op. cit) proporcionam melhor desempenho na absorção de

ondas do que os dados por LYSMER e KUHLEMEYER (op. cit.).

Nas figuras III.2 e III.3 pode ser observado que, os primeiros

deslocamentos da resposta dos modelos no MEF, são devidos ao fenômeno de

propagação de ondas e estes acontecem até o tempo de 0,1 segundo. Vale ressaltar

que os deslocamentos não variam de amplitude em pontos de distâncias diferentes

em relação à fonte de excitação e apresentaram uma menor amplitude frente aos

deslocamentos harmônicos, após o equilíbrio dinâmico.

3.1.1.2 – Proposta 2: semi-plano com elementos de Lysmer-Kuhlemeyer e

contorno viscoso

Para esta nova simulação foi feita a mesma comparação dos deslocamentos

na superfície do semi-plano frente à resposta analítica de Lamb, porém com uma

malha mais densa.

Neste caso a malha apresentada na figura III.4, possui 2481 nós, onde

1601 são do elemento quadrilateral plano com quatro nós e dois graus de

liberdade por nó, correspondentes a duas translações. O restante pertence aos

sistemas do contorno, considerando-se um grau de liberdade por nó, totalizando

3202 graus de liberdade para o modelo.

Figura III.4 – Semi-plano com elemento da malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

A figura III.5 apresenta os deslocamentos verticais com a malha e o

coeficiente de amortecimento dos sistemas absorventes de Lysmer-Kuhlemeyer.

Nos gráficos verificou-se uma diferença da amplitude de 0,4% para o ponto a 5,0

metros da fonte e 14,9% a 8,0 metros da fonte em relação à resposta analítica de

Lamb.

Figura III.5 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície do semi-plano

discretizado com elementos e amortecedores de Lysmer-Kulehmeyer.

Para os deslocamentos verticais com a malha de Lysmer-Kuhlemeyer e

coeficiente de amortecimento dos sistemas absorventes de White et. al (Fig. III.6),

verificou-se uma diferença da amplitude de 0,3% para o ponto a 5.0 metros da

fonte e 10,5% a 8,0 metros da fonte em relação à resposta analítica de Lamb.

Pode ser observado que, em relação ao fenômeno de propagação de onda,

os deslocamentos obtidos no modelo discretizado com elementos de Lysmer-

Kulehmeyer são maiores do que os do modelo discretizado com elementos de

D’Apuzzo. Isto pode ser explicado pela quantidade de elementos em relação a o

comprimento da onda de Rayleigh que cada proposta utiliza.

Figura III.6 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície do semi-plano

discretizado com elementos de Lysmer-Kulehmeyer e amortecedores de White.

3.1.1.3 – Contorno convexo fixo ou com amortecimento infinito

Com a finalidade de mostrar a necessidade do contorno absorvente em

modelos de semi-planos ou semi-espaços, fez-se as mesmas análises anteriores

com duas modificações: coeficiente de amortecimento dos sistemas mola-

amortecedor com um valor infinito (

100,1 ⋅ ) e o contorno fixo ao invés da

utilização dos sistemas absorventes.

Na figura III.7, observam-se os gráficos para as duas malhas propostas

para o modelo de semi-plano com o contorno modificado. As respostas destes

modelos com sistemas mola-amortecedor possuindo um coeficiente de

amortecimento infinito apresentaram exatamente o mesmo resultado.

(a)

(b)

Figura III.7 – Deslocamentos verticais em pontos da superfície para modelos com

o contorno fixo: (a) Malha de D’Apuzzo; (b) Malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

Pode ser verificado nos gráficos, e de forma mais evidente na figura III.7.a,

o momento em que os pontos em análise são perturbados pelas ondas que já

encontraram o contorno e retornaram. Ou seja, pode-se observar uma quebra no

padrão cíclico dos deslocamentos harmônicos, provocada pelo choque entre as

ondas que são emanadas da fonte de excitação e as refletidas no contorno. O valor

do tempo em que acontece esta primeira reflexão é o instante em que a primeira

onda leva para percorrer, na superfície de um semi-plano, a distância da fonte de

excitação ao contorno mais a distância entre o contorno e o ponto em análise.

Tomando-se a velocidade da onda de Rayleigh como referencial, pelo fato

desta possuir maior energia e por isso ter seus deslocamentos com maior

amplitude frente às demais, calcula-se o tempo em que a esta onda leva para

percorrer o trajeto descrito anteriormente. Para o ponto localizado a 8,0 metros da

fonte em um semi-plano com 10,0 metros de extensão, em aproximadamente 0,13

segundos, sendo este o tempo para a onda de Rayleigh percorrer 12,0 metros,

observa-se (Fig. III.7.a) a perturbação na freqüência e sobretudo na amplitude dos

deslocamentos, causada pelo choque entre as ondas vindas da fonte de excitação e

as das reflexões no contorno fixo.

Observa-se que o desempenho do modelo não melhora quando o

coeficiente de amortecimento dos sistemas mola-amortecedor é aumentado. Ao

invés disso, aumentando os coeficientes de amortecimento o contorno se comporta

como um contorno fixo.

3.1.2 – SEMI-PLANO COM ZONA ABSORVENTE

De forma análoga ao caso anterior, verificou-se também o modelo com

contorno do tipo zona absorvente, tomando, como comparativo, a resposta

analítica de LAMB (op. cit.). Os modelos de semi-plano tinham 20,0 metros de

extensão horizontal e 10,0 metros de profundidade, discretizado com elementos

quadrilaterais. A zona absorvente é formada por dez camadas de elementos que

possuem dimensões variáveis crescendo a uma taxa de 0,1 metro por faixa, sendo

representada nas figuras por tonalidades diferentes.

3.1.2.1 – Proposta 3: semi-plano com zona absorvente e elementos de

D’Apuzzo.

Neste modelo, o semi-plano foi discretizado por elementos de 1,0 metro e

a zona absorvente com faixas de elementos que vão de 1,1 metros a 2,0 metros,

totalizando uma extensão de 15,5 metros. O coeficiente de aumento do

amortecimento (

χ) da zona absorvente, dado pela equação II.54, foi de 0,001.

A malha apresentada na figura III.8 possui 641 nós totalizando 1.200 graus

de liberdade.

Figura III.8 – Semi-plano discretizado com o critério de D’Apuzzo contornado

por zona absorvente.

Os deslocamentos verticais obtidos do semi-plano com zona absorvente

com elementos de D’Apuzzo apresentaram uma diferença de 9,6% no ponto a 5,0

metros da fonte de excitação e 12,0% a 8,0 metros da fonte (Fig. III.9) em relação

à resposta analítica de Lamb.

No que concerne aos deslocamentos devido à propagação de ondas, estes

se apresentaram com maior amplitude do que os do modelo discretizado com

elementos de D’Apuzzo e contorno absorvente por molas e amortecedores.

Ressalta-se que a densidade da malha é a mesma, porém a forma geométrica do

modelo e o artifício que absorve as ondas que chegam ao contorno são diferentes.

Figura III.9 – Deslocamentos em pontos da superfície do semi-plano discretizado

com elementos de D’Apuzzo.

3.1.2.2 – Proposta 4: semi-plano com zona absorvente e elementos de Lysmer-

Kuhlemeyer.

Neste modelo, o semi-plano foi discretizado por elementos de 0,5 metro e

as faixas de elementos da zona absorvente com dimensão de 0,6 metro a 1,5 metro,

totalizando uma extensão de 10,5 metros. O coeficiente de aumento do

amortecimento (

χ) foi de 0,0005.

Figura III.10 – Semi-plano discretizado com o critério de Lysmer-Kuhlemeyer.

A malha apresentada na figura III.10 possui 1.671 nós totalizando 3.180

graus de liberdade.

A resposta da malha de Lysmer-Kuhlemeyer contornada por uma zona

absorvente (Fig. III.11) apresentou uma diferença das amplitudes dos

deslocamentos verticais de 1,7% a 5,0 metros da fonte e 1,1% a 8,0 metros da

fonte em relação à resposta analítica de Lamb.

Figura III.11 – Deslocamentos em pontos da superfície do semi-espaço

discretizado com elementos de Lysmer-Kuhlemeyer.

Verificando as diferenças das amplitudes, frente à resposta analítica de

LAMB (op. cit.), observa-se que os modelos discretizados com o tamanho do

elemento proposto por LYSMER e KUHLEMEYER (op. cit.) mostraram

resultados melhores do que aqueles na qual a malha foi definida pelo critério de

D’APUZZO (op. cit.). Pode ser observado também que o desempenho do semi-

plano contornado por zona absorvente é melhor do que àqueles contornados pelos

amortecedores viscosos imperfeitos.

Em relação ao fenômeno de propagação de ondas, este modelo foi o que

apresentou o maior pico de deslocamento.

Destaca-se, portanto que, os modelos discretizados com elemento de

Lysmer-Kuhlemeyer não só apresentam melhor desempenho na modelagem dos

deslocamentos harmônicos como também dos deslocamentos decorrentes do

fenômeno de propagação das ondas.

3.1.2.3 – Verificação do amortecimento do material

Diante do melhor desempenho do modelo discretizado com elementos de

Lysmer-Kuhlemeyer frente os demais até aqui apresentados, fez-se a verificação

do amortecimento do material utilizando

ξ=0,05 na equação II.5 (equação de

Bornitz). Esta equação fornece o valor dos picos de uma oscilação harmônica,

considerando o amortecimento do material.

(a)

Hz2,19f

(c)

Hz2,71f

(b)

Hz2,28f

(d)

Hz3,56f

Figura III.12 – Quatro primeiros modos de vibração do modelo de semi-plano

com elementos de Lysmer-Kulehmeyer contornado por zona absorvente.

Para isto, efetuou-se a análise modal deste semi-plano com o intuito de se

determinar as freqüências naturais do sistema. A partir destas, determinou-se os

coeficientes

e α

, necessários para a determinação da matriz de amortecimento

do sistema. Na figura III.12, observam-se os modos do sistema, juntamente com

as suas freqüências naturais correspondentes. Bem como que os deslocamentos

dos modos de vibração crescem do azul para o vermelho.

A figura III.13 apresenta o gráfico dos deslocamentos verticais em pontos

da superfície do semi-espaço discretizado por elementos de Lysmer-Kuhlemeyer,

considerando uma razão de amortecimento do material de 5%.

O decaimento da amplitude, entre pontos afastados de 5,0 e 8,0 metros, é

dado através da equação de Bornitz. Verifica-se que a diferença do valor da

amplitude do deslocamento medida a 8,0 metros da fonte de excitação, em relação

ao ponto distante de 5,0 metros da fonte, é de 6,0% em relação à resposta analítica

de Lamb.

Figura III.13 – Deslocamentos em pontos da superfície do semi-espaço

discretizado com elementos de Lysmer-Kuhlemeyer e razão de amortecimento de

5%: comparação com a equação de Bornitz.

3.1.2.4 – Variação do amortecimento da zona absorvente

De forma análoga à sessão 3.1.1.3, verifica-se o comportamento da zona

absorvente dos modelos de semi-plano, variando o valor do coeficiente

χ (Eqs.

II.42 e II.53).

(a)

(b)

Figura III.14 – Semi-planos sem amortecimento (

χ=0,00) na zona absorvente: (a)

Malha de D’Apuzzo; (b) malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

(a)

(b)

Figura III.15 – Semi-planos com crescimento do amortecimento na zona

absorvente de

χ=0,10: (a) Malha de D’Apuzzo; (b) malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

(a)

(b)

Figura III.16 – Semi-planos com crescimento do amortecimento na zona

absorvente de

χ=1,00: (a) Malha de D’Apuzzo; (b) malha de Lysmer-Kuhlemeyer.

Observa-se nas figuras III.14 a III.16 que existe um valor ideal para o

coeficiente

χ. Ou seja, se o amortecimento for muito grande ou nulo ocorrerão

reflexões no contorno.

3.1.2.5 – Modificação da freqüência do carregamento

Com a finalidade de se verificar alguma relação entre a freqüência da fonte

de excitação e a quantidade de amortecimento na zona absorvente, utilizou-se o

modelo de semi-plano com zona absorvente, discretizado com elementos de

Lysmer-Kuhlemeyer, modificando-se a freqüência do carregamento e mantendo a

amplitude deste e os coeficientes do contorno.

(a)

(b)

Figura III.17 – Deslocamentos em pontos a 5,0m e 8,0 m da fonte de excitação na

superfície do semi-plano com freqüências diferentes: (a) 10 Hz; (b) 15 Hz.

Observa-se que o desempenho deste tipo de contorno é independente da

freqüência do carregamento.

3.1.2.6 – Resumo das comparações entre os modelos de semi-plano

A tabela III.5 apresenta um resumo do resultado da comparação entre as

respostas dos semi-planos em EF e a resposta analítica de LAMB (op. cit.). A

análise dos resultados aponta as diferenças na amplitude dos deslocamentos

captados em pontos da superfície do semi-plano a 5,0 e 8,0 metros da fonte de

excitação em relação à resposta analítica de Lamb.

Tabela III.5 – Resumo da comparação dos resultados dos modelos em EF e a

resposta analítica de LAMB (op. cit.)

5,0 (m) 8,0 (m) 5,0 (m) 8,0 (m) 5,0 (m) 8,0 (m)

=1,0

17,4%

23,1% 9,3% 18,7% 9,6%

12,0%

=0,5

0,4%

14,6% 0,3% 10,5% 1,70%

1,1%

Zona Abs.L-K White

Na tabela III.5, tem-se as diferenças dos picos de deslocamentos em

pontos da superfície do semi-plano em relação à resposta analítica de lamb,

modelado com duas propostas de densidade de malha d

e d

, e três propostas de

zona absorvente: L-K (LYSMER e KULEHMEYER, op. cit.), White (WHITE et

al., op. cit.) e zona absorvente.

3.1.3 – SEMI-ESPAÇO COM ZONA ABSORVENTE

Os modelos de semi-espaço são semelhantes aos do semi-plano com zona

absorvente quanto às suas medidas, existindo uma identidade nas dimensões ao

longo do eixo Z em relação ao eixo X. Assim, o eixo Z é a linha em que a carga

móvel irá trafegar.

Nas análises transientes foi utilizado um amortecimento do material numa

razão de 5%, modelado através da formulação de Rayleigh, analogamente aos

semi-planos. Para isso, foram feitas as análises modais dos modelos de semi-

espaço, determinando assim as suas freqüências naturais.

3.1.3.1 – Proposta 5: Semi-espaço com elementos de D’Apuzzo.

A malha da figura III.18 possui 17.261 nós onde cada nó possui seis graus

de liberdade, totalizando 96.120 graus de liberdade para o modelo.

Figura III.18 – Malha do modelo de semi-espaço com elemento de D’Apuzzo.

A análise modal foi feita extraindo os quatro primeiros modos de vibração, os

quais podem ser visualizados na figura III.19.

(a)

Hz1,9735f

(b)

Hz2,0826f

(c)

Hz2,0828f

(d)

Hz2,3597f

Figura III.19 – Quatro primeiros modos de vibração e freqüências naturais

correspondentes para semi-espaço discretizado com elementos de D’Apuzzo

(Vista superior do semi-espaço).

Observa-se que os modos de vibração, mostrados na figura III.19, são

visualizados na parte superior do semi-espaço, onde os deslocamentos crescem do

azul para o vermelho.

3.1.3.2 – Proposta 6: Semi-espaço com elementos de Lysmer-Kuhlemeyer

O modelo de semi-espaço discretizado com elementos de Lysmer-

Kuhlemeyer, mostrado na figura III.20, possui 84.111 nós com seis graus de

liberdade cada, totalizando 475.380 graus de liberdade.

Figura III.20 – Malha de EF do modelo de semi-espaço tridimensional com

elemento de Lysmer-Kuhlemeyer.

Na figura III.21 estão apresentados os dois primeiros modos de vibração,

juntamente com as suas respectivas freqüências naturais, do modelo de semi-

espaço discretizado com elementos de Lysmer-Kuhlemeyer.

Observa-se que a forma dos modos de vibração deste semi-espaço são

equivalentes em relação às do modelo de semi-espaço discretizados com

elementos de D’Apuzzo, entretanto com freqüências naturais correspondentes

diferentes.

(a)

Hz2,4578f

(b)

Hz2,5946f

Figura III.21 – Dois primeiros modos de vibração do semi-espaço com elementos

de Lysmer-Kuhlemeyer.

3.1.3.3 – Análise transiente de carga móvel sobre semi-espaço

A análise consiste em fazer trafegar uma carga sobre base elástica na

superfície do semi-espaço ao longo do eixo Z. Esta carga é dada pela equação

II.55, onde o valor da carga é T=100 kN, comprimento característico

α=0,8 m e

movendo-se a uma velocidade constante igual a 50,0 m/s.

Esta é a característica da carga dada pela resposta analítica de HUNG e

YUNG (op. cit.) no ponto de coordenadas (0,1,0).

Aplicou-se então esta carga sobre os semi-espaços discretizados com

elementos de D’Apuzzo e Lysmer-Kuhlemeyer, comparando os deslocamentos,

velocidades e acelerações da partícula no ponto localizado a 1,0 metro de

profundidade na linha em que a carga trafega.

Os gráficos das figuras III.22 a III.24 apresentam as comparações entre a

resposta analítica de Hung-Yang e a dos modelos de semi-espaço com elementos

de D’Apuzzo e Lysmer-Kuhlemeyer.

Figura III.22 – Comparação dos deslocamentos obtidos no modelo em EF devido

à carga móvel com a resposta analítica de Hung-Yang.

Figura III.23 – Comparação das velocidades obtidas no modelo em EF devido à

carga móvel com a resposta analítica de Hung-Yang.

Figura III.24 – Comparação das acelerações obtidas no modelo em EF devido à

carga móvel com a resposta analítica de Hung-Yang.

As curvas da figura III.22 mostram que entre os deslocamentos obtidos

pelas duas malhas de elementos não foi observado uma diferença expressiva em

relação à resposta analítica. Contudo, podem-se notar diferenças nas curvas das

velocidades e das acelerações, pois estas grandezas são obtidas por derivadas e,

conseqüentemente, conduzem a erros cumulativos. Nestes casos, a malha com

maior densidade, com o tamanho do elemento determinado segundo a proposta de

Lysmer-Kuhlemeyer, apresentou melhores resultados.

Com respeito ao custo computacional, verificou-se que o tempo de

processamento das análises transientes da carga móvel (modelos com 475.380

graus de liberdade) é muito superior ao tempo dos modelos bidimensionais

(96.120 graus de liberdade). No caso de modelos com mais de 100.000 graus de

liberdade o ANSYS recomenda que a resolução das equações seja feita através do

método dos Gradientes Conjugados Pré-condicionados.

3.2 – DADOS DE CAMPO

A falésia do Seixas é constituída de um talude natural (Fig. III.25) situada

na praia do Cabo Branco, na cidade de João Pessoa, Paraíba. Na figura III.25.b

pode ser observado o trecho da rodovia que foi interrompido pela suspeição de

que o tráfego de veículos estaria contribuindo para a degradação do talude da

encosta.

(a)

(b)

Figura III.25 – (a) Fotografia aérea da falésia do Seixas; (b) Interrupção ao tráfego

de veículos em trecho da pista.

Com o objetivo de se obter resultados mais realísticos, realizou-se um

ensaio de reconhecimento do subsolo. Também conhecido como sondagem de

simples reconhecimento (SPT –

Standard Penetration Test), este ensaio é regido

por norma (NBR 6484, 2001) e consiste em medir a resistência à penetração de

um tubo cilíndrico conhecido como amostrador padrão. Este tubo penetra o solo

devido à força da queda livre de um peso de 65 kg a uma altura de 75 centímetros.

A partir do resultado da resistência à penetração do solo é possível obter os

módulos elásticos para se realizar as análises em elementos finitos e os parâmetros

de resistência para as análises da estabilidade do talude.

O trecho da falésia para se realizar o ensaio foi aquele em que o tráfego

está interrompido (Fig. III.25.b). Neste local o material não apresenta indícios da

presença de laterita. Há a presença de laterita no solo da região, mas não no local

onde a sondagem foi realizada.

A laterização é o conjunto de transformações físico-químicas do solo

através da ação das intempéries, fazendo com que os teores de ferro e alumínio

sejam maiores do que o teor de sílica, aumentando a resistência mecânica

(COSTA, 1991; PESSOA, 2004).

Na região do talude do Seixas, a partir da observação da superfície do

talude da encosta (Fig. III.26), pode ser observado que há regiões onde o processo

de laterização ocorreu com maior intensidade.

(a)

(c)

(b)

(d)

Figura III.26 – Fotografias da superfície do talude do Seixas.

Nas figuras III.26.a, III.26.b e III.26.d, pode ser observado que há taludes

com material de cor amarelada e avermelhada, caracterizando a presença de

laterita. Na figura III.26.c a cor do material é um cinza esbranquiçado,

aparentando uma maior concentração de sílica frente os teores de ferro.

O furo de sondagem (Fig. III.27.b) foi realizado na região superior do

talude, a alguns metros da pista de rolamento.

(a)

(b)

Figura III.27 – (a) Croqui do projeto de sondagem; (b) Execução do furo no local.

Como resultado do ensaio, tem-se um gráfico com o número de golpes

necessários para penetrar todo o amostrador

versus a profundidade do solo (Fig.

III.28).

Figura III.28 – Perfil de sondagem realizado.

3.2.1 – GEOMETRIA DO TALUDE

Para determinar a geometria do talude da encosta em estudo foi utilizada

uma fotografia aérea do local. Esta fotografia, mostrada na figura III.29,

disponibilizada pela administração municipal, contém curvas de nível e escala,

possibilitando determinar os pontos que definem a geometria do talude. O

procedimento através de fotografias aéreas é uma das maneiras sugeridas pela

norma brasileira (NBR 11682, 1991).

Assim, a geometria escolhida corresponde ao talude existente (Fig. III.30)

exatamente no local onde o furo de sondagem de reconhecimento do solo foi

executado (Fig. III.27). Inspeções “in loco” e análise das fotografias confirmaram

que há um talude de menor inclinação com a horizontal e outro com maior

inclinação, que faz um ângulo próximo a 90 graus com a horizontal. A figura

III.30 mostra esquematicamente o perfil geotécnico do talude, bem como a

localização da pista de rolamento sobre o topo do talude.

Figura III.29 – Fotografia aérea da falésia do Seixas com curvas de nível

(Prefeitura Municipal de João Pessoa).

Figura III.30 – Desenho esquemático da geometria do talude.

3.2.2 – CARACTERÍSTICAS DO MATERIAL

O solo de todas as capitais nordestinas se originou pela formação Barreira

(GUSMÃO, 1982). Este tipo de solo é formado por sedimentos quaternários de

origem marinha, devido ao avanço e retrocesso do mar.

Com o objetivo de melhor estudar a composição do solo, utilizou-se

amostras retiradas durante a sondagem para análise granulométrica e

determinação dos limites de Atteberg do material do talude mais íngreme.

0,4%

13,2%

56,4%

30,0%

100,0%

69,6%

Silte e argila: abaixo de 0,074 mm

Total

Retido entre nº 10 e nº 200

Areia fina: 0,42 a 0,074 mm

RESUMO DA GRANULOMETRIA

Pedregulho: acima de 2,0 mm

Areia grossa: 2,0 a 0,42 mm

(a)

100

0,01 0,10 1,00 10,00

Abertura das peneiras (mm)

% Passante

(b)

Figura III.31 – (a) Resumo da granulometria; (b) Curva granulométrica.

O índice de plasticidade obtido é da ordem de 10% e que leva a suposição

de ser um material predominantemente granular. A massa específica do material,

que será utilizada para as análises de estabilidade de talude e para alimentar os

modelos em elementos finitos, foi estimada a partir do peso específico seco, que

foi de 1850 kg/m³.

Baseando-se nessas informações, podem ser obtidos os módulos elásticos e

os parâmetros de resistência a partir de correlações dos resultados dos ensaios de

sondagem SPT. KUHAWY e MAYNE (1990) propuseram correlações do módulo

elástico de Young em função do parâmetro de resistência à penetração do ensaio

SPT.

A equação III.1 permite determinar o módulo de elasticidade (módulo de

Young), dado por:

60S

N10/PaE ⋅= (Eq. III.1)

onde E

/Pa é o módulo elástico de Young em relação à pressão atmosférica e N60

é a resistência à penetração do solo obtida do ensaio SPT para uma eficiência de

60% do ensaio. O valor do coeficiente de Poisson, ainda segundo o mesmo autor,

é de 0,3 a 0,4 para areias densas, optando-se para o caso por um valor médio.

Como há algumas perdas durante a execução do ensaio SPT, considera-se

que a eficiência deste nunca é de 100%. O valor de referência padrão da eficiência

utilizado nos EUA, Europa e Japão é da ordem de 60%. Contudo,

CAVALCANTE (2002), em sua pesquisa sobre a eficiência do ensaio SPT

realizados por empresas da cidade de João Pessoa e Rio de Janeiro, verificou que

a eficiência do ensaio independe do tipo de solo e do comprimento das hastes de

sondagem. Verificou também que, para os casos analisados, a eficiência foi de

82,3%. Sendo assim, para que haja uma consistência na utilização da correlação, o

parâmetro N do ensaio do SPT deve ser corrigido (Eq. III.2).

3,8260

3,82

NN ⋅= (Eq. III.2)

Uma vez que no modelo da propagação de ondas utilizado neste trabalho o

solo é considerado como uma camada única, utilizou-se um valor médio do

parâmetro N do ensaio do SPT (Fig. III.28) para se determinar as constantes

elásticas necessárias para as análises através do MEF (Tab. III.6).

Tabela III.6 – Constantes elásticas das análises do solo da falésia do Seixas.

(MPa)

35,0 0,25 13,0

O perfil de sondagem mostra claramente a predominância de duas camadas:

a camada superior menos resistente que compõe o talude menos íngreme (Fig.

III.30) e a camada inferior mais resistente, formando o talude com maior

inclinação com a horizontal.

Para se determinar os parâmetros de resistência, ou seja, (ângulo de atrito

φ e a coesão c) obtidos através do ensaio de sondagem, recorre-se também a

correlações subjetivas, onde se leva em consideração o grau de compacidade da

areia.

A coesão é uma propriedade característica de materiais argilosos ou de

solo com forte presença de partículas menores. Ou seja, areias com compacidade

baixa ou mediana não apresentam essa propriedade. Para areias finas com algum

grau de compactação a coesão se faz presente. Para GARIBALDI et. al (2001)

uma areia argilosa pode apresentar uma coesão de 20 kPa, conforme pode ser

visto na tabela III.7.

Tabela III.7 – Parâmetros de resistência do solo em estudo.

c (kPa)

(°)

Camada superior 0 30

Camada inferior 20 35

O atrito interno entre os grãos de solo colabora para a resistência mecânica.

Esta propriedade é intrínseca dos materiais granulares e é mais evidente em areias

do que em argilas devido ao tamanho dos grãos. Nas argilas a coesão é a

característica mais evidente e nas areias o ângulo de atrito interno é a

característica que tem mais evidência. Segundo a ABPv (2002), para o solo com

resistência à penetração do ensaio SPT entre 4 e 10, o ângulo de atrito deste

material pode ser assumido de 30°. Para materiais com N

SPT

entre 10 e 30 o

ângulo de atrito pode ser assumido de 35° (Tab. III.7).

3.3 – ANÁLISE DA ESTABILIDADE DO TALUDE

Admitiram-se duas possibilidades de ruptura para o talude do caso de

estudo: ruptura circular e ruptura plana. Na análise da estabilidade que admite

uma superfície de ruptura circular do talude foi utilizada a metodologia de

SARMA (1979), definindo o coeficiente de segurança à estabilidade estática e o

coeficiente de aceleração crítica na mesma análise. Utilizou-se também para a

ruptura circular o método de NEWMARK (op. cit.), obtendo o coeficiente de

aceleração crítica a partir do coeficiente de segurança estático determinado pelo

método de Morgenstern-Price. Para o caso em que se admite que a ruptura se dá

através de uma superfície de falha plana, utilizou-se o método LING (op. cit.), que

é uma formulação modificada do método de Culmann (CAPUTO, op. cit.). Em

seguida, compararam-se os resultados da simulação do tráfego de veículos,

através da modelagem em elementos finitos, com os resultados das acelerações

críticas dos métodos pseudo-estáticos.

3.3.1 – RUPTURA CIRCULAR

A metodologia da análise de estabilidade de SARMA (op. cit.) e

NEWMARK (op. cit.), descrita na seção 2.2.4 deste trabalho, foi utilizada para

avaliar a seção do talude mostrado na figura III.30.

A análise de estabilidade pelo método das fatias é um método numérico

bastante comum utilizado para a avaliação de superfícies de ruptura circular.

Constitui-se na determinação de vários conjuntos distintos de centros e raios da

circunferência, onde o mais crítico é o que apresentar menor coeficiente de

segurança, representando o caso com maior probabilidade de ocorrer.

Uma vez que o programa implementado para efetuar a análise de

estabilidade segundo os critérios de SARMA (1979), não possui o recurso de

testar vários conjuntos de centros e raios, fez-se a análise através do método de

Morgenstern-Price no ambiente do programa comercial Geoslope (SLOPEW).

Com isso, obtém-se uma superfície crítica com raio, localização do centro e o

coeficiente de segurança, servindo como dado de entrada para a determinação do

coeficiente de aceleração crítica de Sarma e de Newmark.

(a)

(c)

(b)

(d)

Figura III.32 – Análise de estabilidade do talude em estudo (SLOPEW).

Na figura III.32.a é apresentado o resultado da análise da estabilidade pelo

método de Morgenstern-Price para o talude do Seixas na região onde a sondagem

de reconhecimento do subsolo foi realizada. Pode-se observar que a camada

superior, constituída de um material não-coesivo, apresenta um fator de segurança

(FS) menor que a unidade, indicando que o talude não é estável, mesmo para

cargas estáticas. Isto já era esperado, pois taludes de materiais não coesivos

permanecem estáveis sob uma inclinação de um ângulo igual ou menor ao ângulo

de atrito interno do material.

Mesmo diminuindo o ângulo do talude da camada superior para 30º e

refazendo a análise de estabilidade, observa-se que a inclinação do talude da

camada inferior ultrapassa o limite para que este seja estável estaticamente (Fig

III.32.b), apresentando um fator de segurança menor que 1,00.

Uma vez que a vegetação presente no campo não tem a sua contribuição

computada na análise de estabilidade do talude e, sabendo-se que esta

desempenha um papel importante na resistência à ruptura do talude, pode-se dizer

que o motivo pelo qual os taludes da Falésia do Seixas estão gradativamente se

rompendo deve-se basicamente à falta de estabilidade estática. Além disso, estes

taludes estão resistindo apenas por forças residuais advindas das raízes da

vegetação ou pela presença de algum aglomerante natural.

Segundo a NBR 11682 (op. cit.), o grau de segurança necessário ao local

resulta do julgamento das conseqüências que poderão advir da instabilidade de um

talude. O grau de segurança é classificado em: alto, para obras ou ocupações nas

proximidades do talude; médio, para as situações do alto grau de segurança

contanto que a região entre a ocupação e o talude esteja delimitada como área de

segurança; e baixo, adotado em casos em que sejam instituídos procedimentos

capazes de prevenir acidentes. Há, também, outra classificação quando há

rodovias nas proximidades do talude, sendo alto para rodovias que estão no

perímetro urbano, e médio em caso contrário.

No caso da falésia do Seixas, considerou-se que o local requer um alto

grau de segurança, pois há uma via urbana próxima ao topo do talude. Para este

grau de segurança necessário ao local, utiliza-se, segundo a mesma norma, um

fator de segurança de estabilidade estática de 1,50.

Figura III.33 – Talude original da falésia do Seixas e proposta de retaludamento.

Desta maneira, foi feita uma análise para determinar o perfil necessário

para atender o critério da norma. Adotou-se, então, a inclinação do talude da

camada superior igual a 20º e do talude da camada inferior igual a 55º, de maneira

que o coeficiente de segurança necessário ao local seja atendido, procedendo-se

em seguida à análise da estabilidade estática segundo o método de Morgenstern-

Price no ambiente do SLOPEW. Verificou-se que, para esta nova geometria

obtida pelo retaludamento, a camada superior apresentou um fator de segurança

de 1,619 (Fig. III.32.c) e a camada inferior um fator de 1,645 (Fig. III.31.d), sendo

estes valores compatíveis com a recomendação da NBR 11682.

Entretanto, a mudança da inclinação do talude implicaria no deslocamento

da rodovia que está localizada nas proximidades do topo do talude, conforme

figura III.33.

Considerando que, pelo motivo de estar mais próxima da rodovia e por ter

coeficientes de segurança estáticos próximos, a superfície de ruptura com a maior

suscetibilidade à vibração do tráfego seria a da camada superior (Fig. III.32.c).

Para determinar o coeficiente de aceleração crítica para este caso, utilizou-

se os resultados da análise de Morgenstern-Price como dados para a formulação

de Newmark e o programa da estabilidade de Sarma.

Tabela III.8 – Fatores de segurança estático e aceleração crítica.

FS Kc Ac (m/s²)

Morgenstern-Price (1965) 1,62 - -

Newmark (1965) - 0,21 2,08

Sarma (1969) 1,53 0,19 1,84

Na tabela III.8, FS é o coeficiente de segurança à estabilidade estática, Kc

o coeficiente de aceleração crítica, que multiplicado pela aceleração da gravidade

resulta na aceleração crítica do talude (Ac).

3.3.2 – SIMULAÇÃO DO NÍVEL DE ACELERAÇÃO NA ENCOSTA

DEVIDO AO TRÁFEGO DE VEÍCULOS

Baseado na geometria modificada do talude (Figs. III.32.c e III.33), fez-se

a simulação da passagem do veículo tipo sobre uma malha bidimensional de

elementos finitos (Fig. III.34), com o intuito de verificar o nível de aceleração

induzida e compará-la com a aceleração crítica determinada pelos métodos

pseudo-estáticos (Tab. III.8).

Por possuir menos graus de liberdade, as simulações do tráfego de veículos

nos modelos bidimensionais são viáveis em micro-computadores, caso não

observado nos modelos tridimensionais. Entende-se que as simulações do tráfego

de veículos em modelos tridimensionais devem ser realizadas em um

supercomputador ou em um

Cluster, que são vários computadores em paralelo.

A malha definida pela figura III.34 corresponde ao perfil otimizado para a

falésia do Seixas. Ela é dividida em duas regiões: uma representa o solo e a outra

a zona absorvente, que está em azul. A malha que representa o solo foi

dimensionada de acordo com o critério de LYSMER e KUHLEMEYER (op. cit.)

a partir dos parâmetros de rigidez definidos pelos dados obtidos no campo. O

modelo tem a malha formada por 13.361 nós, totalizando 26.722 graus de

liberdade. Considerou-se uma razão de amortecimento de 5%, sendo este

incorporado ao sistema através da formulação de Rayleigh (Eq. II.42).

Figura III.34 – Malha de elementos finitos do talude em estudo.

3.3.2.1 – Análise modal

A análise modal utilizou uma razão de amortecimento de 5%, representada

através da formulação de Rayleigh. Assim, na figura III.35, tem-se os modos e as

respectivas freqüências modais do modelo de semi-plano com talude.

(a)

Hz0,89f

(c)

Hz,1,23f

(b)

Hz1,01f

(d)

Hz1,57f

Figura III.35 – Quatro primeiros modos de vibração: (a) 1° modo; (b) 2° modo; (c)

3° modo; (d) 4° modo.

3.3.2.2 – Análise transiente

A simulação consiste em fazer trafegar cinco veículos tipos enfileirados,

trafegando a uma velocidade constante de 60 km/h (16,67 m/s), objetivando-se

simular uma situação de tráfego intenso. Uma vez que no local não se tem grande

comprimento de pista para se desenvolver grandes velocidades, adotou-se esta

com máxima. Este trem de cargas é representado pela equação II.59, onde os

parâmetros elásticos da base e do pavimento são dados pela tabela III.9.

Tabela III.9 – Parâmetros elásticos do pavimento.

(GPa)

I(m

)

k (GPa)

2,00 0,0024 0,10

Nas figuras III.36, III.37 e III.38 apresentam-se, respectivamente, os

deslocamentos, velocidades e acelerações, horizontais e verticais, obtidas no

centro geométrico da cunha escolhida para a análise.

(a)

(b)

Figura III.36 – Deslocamentos no centro geométrico da superfície de ruptura

circular: (a) horizontal; (b) vertical.

(a)

(b)

Figura III.37– Velocidades no centro geométrico da superfície de ruptura circular:

(a) horizontal; (b) vertical.

(a)

(b)

Figura III.38 – Acelerações no centro geométrico da superfície de ruptura circular:

(a) horizontal; (b) vertical.

Observa-se que o maior pico de aceleração, obtida na simulação do tráfego

do veículo tipo através do método dos elementos finitos, não ultrapassa o nível de

aceleração crítica determinado pelos métodos de SARMA (1979) e de

NEWMARK (op. cit.).

O maior pico de aceleração horizontal obtido na simulação (III.37.a) é de

aproximadamente 0,20 m/s² o nível de aceleração crítica, segundo o modo de

ruptura circular, é em torno de 2,00 m/s² para quaisquer um dos métodos

considerados. Trata-se de uma razão de 10, ou seja, o nível de aceleração

produzido na simulação em elementos finitos é dez vezes menor do que o nível de

aceleração crítica, segundo as análises feitas através das metodologias de Sarma

ou Newmark.

Com base na metodologia de LING (op. cit.), descrita na seção 2.2.4.3,

avaliou-se a aceleração resistiva horizontal crítica para a cunha em estudo.

Pode ser observado que o nível da aceleração resistiva (Fig. III.39) para

este talude em estudo é muito superior ao nível de aceleração crítica para os

critérios de Sarma e Newmark (Tab. III.8), onde estes dois níveis estão sob uma

razão de quatro. Ou seja, o nível crítico de aceleração segundo os critérios de

Sarma e Newmark é de aproximadamente quatro vezes menor do que o nível

crítico segundo os critérios de Ling.

Figura III.39 – Aceleração resistiva horizontal crítica do talude em estudo para o

modo plano de ruptura.

Com base nesta informação pode-se dizer que o modo de falha com maior

probabilidade de ocorrer é o circular de Sarma ou Newmark (Fig. III.32.c).

Com a finalidade de verificar o nível de deformações e tensões que estão

sendo geradas no modelo, devido à simulação da passagem do tráfego de veículos,

foram obtidos os gráficos destes parâmetros no domínio do tempo.

A partir do nível de deformações que está sendo gerado, pode-se verificar

se o problema se enquadra em um nível de deformações muito pequenas, podendo

assim considerar que o comportamento do material é elástico.

Na figura III.40, observa-se os gráficos das tensões e deformações no

domínio do tempo no centro geométrico da cunha com deslizamento em potencial

(Fig. III.32.c).

(a)

(b)

Figura III.40 – Tensões e deformações cisalhantes no centro geométrico da cunha

com potencial para deslizamento: (a) tensões; (b) deformações.

100

Observa-se na figura III.40.b que o nível máximo de deformações na

região analisada foi de aproximadamente

1006

−

⋅ , sendo considerado como

deformações pequenas. Neste nível de deformações, segundo VUCETIC (op. cit.),

o solo não apresenta perda de rigidez e a relação tensão-deformação já apresenta

não-linearidade. Esta situação pode ser melhor visualizada na figura II.1.

101

IV – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

4.1 – CONCLUSÕES

O estudo realizado leva a conclusão que:

 O talude do Seixas, na atual configuração, não apresenta estabilidade

adequada nem mesmo para seu peso próprio.

 Uma vez estável, sob as condições impostas pela norma sobre estabilidade

estática de taludes, o talude do Seixas seria também estável aos níveis de

aceleração observados nas simulações em modelos em elementos finitos.

 As malhas com elementos de dimensões da ordem de 1/8 do tamanho do

comprimento de onda são mais precisas do que aquelas com o dobro do

tamanho (1/4).

 Excetuando-se a resposta do modelo com elementos de Lysmer-

Kuhlemeyer contornado por zona absorvente, as diferenças dos picos de

deslocamentos no ponto mais próximo ao contorno foram maiores do que

aqueles apresentados em pontos mais distantes.

 Os coeficientes de amortecimento dos contornos viscosos propostos por

WHITE et al. (op. cit.) proporcionam um melhor desempenho em relação

aos propostos por LYSMER e KUHLEMEYER (op. cit).

 O desempenho dos contornos viscosos com um coeficiente de

amortecimento com um valor muito grande, da ordem de 10

, se

assemelham ao de um contorno com os seus deslocamentos impedidos.

 O pico da onda de Rayleigh nos modelos com elementos menores foi

maior do que os dos modelos com elementos maiores.

102

 A resposta produzida pelo MEF seja na propagação de ondas seja no

fenômeno vibratório, é influenciada tanto pela densidade da malha como

pela eficiência do contorno em absorver ondas.

 O amortecimento do material modelado pelos coeficientes de Rayleigh

mostrou boa representatividade quando os deslocamentos obtidos pelo

MEF foram comparados com a equação de Bornitz.

 A zona absorvente é mais eficiente e versátil do que o contorno viscoso

imperfeito, apresentando menos erros nos deslocamentos nos semi-planos

e semi-espaços.

 A zona absorvente não depende da freqüência da fonte de excitação e não

precisa possuir um formato côncavo em relação à fonte de excitação

permitindo assim semi-planos ou semi-espaços com geometria complexa.

 Os modelos de semi-espaço possuem trinta vezes mais graus de liberdade

do que os modelos de semi-plano.

 O nível de deformações observado no modelo em elementos finitos que

representa o talude do Seixas é caracterizado, segundo VUCETIC (op. cit.),

como o nível de deformações pequenas.

 Devido ao alto custo computacional dos modelos tridimensionais,

recomenda-se que estes devam ser utilizados somente quando não se pode

utilizar uma modelagem bidimensional ou quando há a possibilidade de se

utilizar o processamento em paralelo.

4.2 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

 Devido ao nível de deformações observado nas simulações em elementos

finitos, devem ser adotados modelos mais complexos que incluam a não-

linearidade da relação entre tensões e deformações do solo.

103

 A modelagem de semi-espaços ou semi-planos com camadas de solo com

diferentes propriedades elásticas e densidade deve ser estudada

acompanhando a densidade de malha, principalmente entre as camadas.

 Devem ser estudados outros modelos de veículos e validá-los frente a

medições em campo com acelerômetros.

 Estudar o comportamento de talude com relação aos efeitos de fadiga

decorrente da atuação de ações dinâmicas ao longo do tempo.

 Utilizar o modelo quarter-car para representar o veículo.

104

V – BIBLIOGRAFIA

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111

VI – APÊNDICES

6.1 – PROGRAMA COM O CÁLCULO DA RESPOSTA ANALÍTICA DE

LAMB

:= b 0.004=

0.87 1.12 ν⋅+

1 ν+

vs⋅:= vr 241.85= c

:= c 0.004=

Outras constantes (carga aplicada e semi-espaço):

Carga:

f25:=

(Hz)

ω 2 π⋅ f⋅:= ω 157.08=

(rad/s ou 1/s)

Q 100 10

⋅:=

(Neutons)

semi-espaço:

h ω a⋅:= h 0.341=

k ω b⋅:= k 0.599=

κωc⋅:= κ 0.649=

Resposta analítica de carga harmônica sobre semi-plano

Lamb,Horace. -

"On the propagations of tremors over the surface of an elastic solid" (1904)

Resposta do semi-espaço sob carga harmônica. - (18/01/2005)

Felipe Tavares da Silva - Mestrado UFPE 2004 - [email protected]

Dados do semi-plano:

E 2.69 10

⋅:=

(Pa) mód. elástico

ν 0.26:=

21 ν+()⋅

:= G 1.067 10

×=

μ G:= μ 1.06746E+008=

ν E⋅

1 ν+()12ν⋅−()⋅

:= λ 1.15642E+008=

ρ 1550:=

(kg/m³)

Velocidade das ondas:

λ 2 μ⋅+

:= vp 460.81= a

:= a 0.002=

:= vs 262.43=

112

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.2

0.1

0.2

À 10,0 m da fonte

À 20.0 m da fonte

Deslocamento vertical

Tempo (s)

Deslocamento (mm)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0.1

0.15

0.2

À 10,0 m da fonte

À 20.0 m da fonte

Deslocamento horizontal

Tempo (s)

Deslocamento (mm)

Gráfico dos deslocamentos vertical v e horizontal u:

vpos x t,() i−

⋅ K⋅ e

i ω⋅ tcx⋅−()⋅

⋅:=upos x t,()

Q−

H⋅ e

i ω⋅ tcx⋅−()⋅

⋅:=

Valores dos deslocamentos para o x POSITIVO:

K 0.18=K

⋅α1⋅ 2 κ

⋅ k

−

()

⋅

H 0.122=H

2 κ

⋅ k

−

()

⋅

κΩ⋅

Ω 16 k

⋅κ⋅ 164

⋅−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅− 61

−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

α1 0.553=α1 ακ():=

é raiz da função F.

F κ( ) 0.000=F ξ() 2ξ

⋅ k

−

()

4 ξ

⋅αξ()⋅βξ()⋅−:=

βξ() ξ

−:=αξ() ξ

−:=

113

6.2 – PROGRAMA PARA O CÁLCULO DA ESTABILIDADE DO

TALUDE SEGUNDO O MÉTODO DE SARMA

(kg/m³) => Peso específico em N/m³

Pw 0:=

(presão neutra)

g 9.80665:=

(gravidade) (m/s²)

nº de fatias:

nf 9:=

(nº de fatias)

n1nf..:=

knf1+:= k10=

i1k..:=

Coordenadas das fatias x sup. de ruptura:

= i

Xg 30.5667:=

17.3113

20.3010

23.2907

26.2804

29.2701

32.2599

35.2496

38.2393

41.2290

44.2187

29.9216

28.1455

26.5666

25.1700

23.9488

22.8880

21.9799

21.2227

20.6067

20.1282

29.9216

28.8334

27.7453

26.6571

25.5690

24.4808

23.3927

22.3045

21.2164

20.1282

29.2364

30.0279

30.9036

31.7908

32.6819

33.5746

34.5150

35.3613

36.1021

21.7907

20.8472

19.8832

18.9763

18.1236

17.3192

16.5383

14.8924

12.3286

Yg 24.4501:=

coords do

centróide da

superfície de

deslizamento.

coords do centróide das

fatias.

coords dos pts. da sup.

de ruptura.

coord. do

talude.

Análise de estabilidade de taludes de Sarma - 1979

Artigo:

"Stability Analysis of Embankments and Slopes"

Autor do programa: Felipe Tavares da Silva - [email protected]

ORIGIN 1:=

Obs: em

amarelo

estão os dados de entrada, em

cinza

os campos que não devem ser alterados e em

azul

resultados.

Obs.: Para se determinar o fator de segurança estático

para este modo de ruptura, reduz-se os parâmetros de

resistência (

e c) por um fator F até que este provoque um

coeficiente K nulo.

F 1.0:=

Static factor of safety =

1.530

Parâmetros do solo:

___________________________________

Correlação de Sarma:

Kc 0.188:=

0.00

(coesão) (N/m²)

FS 1.0 3.33 Kc⋅+:= FS 1.626=

___________________________________

KC de Newmark (FS do Morgenstern-Price

Geoslope):

180

⋅

(ang. atrito)

φ 30deg=

1.619 1−( ) sin 20.00

180

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅ 0.212=

Ru 0:=

(poro-pressão) ___________________________________

γ 1850:=

(massa específica)

114

Área total: 28,9140 (AutoCAD)Conferir com os dados de entrada no CAD!!!

Conferir com a geom.:

(Área total)

1.866 10

5.062 10

7.23 10

8.427 10

8.714 10

8.151 10

6.765 10

4.587 10

1.654 10

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

∑

28.9135=A

1.03

2.79

3.98

4.64

4.80

4.49

3.73

2.53

0.91

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

(Peso de cada fatia)

γ⋅ g⋅:=A

n1+

()

⋅ b

⋅:=

0.536

0.486

0.437

0.388

0.341

0.295

0.248

0.203

0.159

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2.99

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.0000

0.6879

1.1787

1.4871

1.6202

1.5928

1.4128

1.0818

0.6097

0.0000

atan

n1+

−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:=b

n1+

−:=H

−:=

Peso de cada fatia:

Coordenadas da

geometria do talude

0 102030405060

Configuração do problema

horizontal

vertical

30.00

20.00

10.00

0.00

30.0

0.00

17.0960

44.5710

51.7000

60.00

0.00

j18..:=

Coordenadas do talude:

115

8.257 10

2.308 10

3.405 10

4.116 10

4.422 10

4.31 10

3.745 10

2.665 10

1.012 10

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

1.43 10

3.998 10

5.898 10

7.129 10

7.658 10

7.465 10

6.487 10

4.616 10

1.753 10

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

Estes valores têm

de ser positivos

para a resposta ser

válida.

tan φ

()

⋅ cb

⋅ sec α

()

⋅+:=

n1+

+ X

−

()

cos φ

()

⋅ sec φα

−

()

⋅:=

Valores das forças na linha de ruptura:

15 20 25 30 35 40 45

2.5

1.5

5000

0.000·10

-2.143·10

-6.629·10

-1.107·10

-1.378·10

-1.396·10

-1.152·10

-7.093·10

-2.377·10

1.365·10

-11

0.000·10

-3.711·10

-1.148·10

-1.918·10

-2.387·10

-2.418·10

-1.995·10

-1.228·10

-4.118·10

2.365·10

-11

0:=X

n1+

tan φ

()

⋅ cH

n1+

⋅+:=

n1+

Kc⋅− E

⋅+:=

0:=

Valores das forças nas fatias:

(m/s²)

Kc g⋅ 1.843=

Aceleração crítica:

(Coeficiente de aceleração crítica)

Kc 0.188=

⋅+ a

⋅ e

⋅+ a

⋅ e

⋅+ a

⋅ e

⋅+ a

⋅ e

⋅+ a

⋅ e

⋅+ a

⋅ e

⋅+ a

⋅ e

⋅+

⋅+ p

⋅ e

⋅+ p

⋅ e

⋅+ p

⋅ e

⋅+ p

⋅ e

⋅+ p

⋅ e

⋅+ p

⋅ e

⋅+ p

⋅ e

⋅+

cos 2 φ⋅α

−

()

sec φ

()

⋅

cos 2 φ⋅α

−

()

sec φ

()

⋅

cos φα

−

()

⋅

cos 2 φ⋅α

−

()

sec φ

()

⋅

:=a

sin φα

−

()

⋅ R

cos φ

()

⋅+ S

n1+

sin φα

−

()

⋅+ S

sin φα

−

()

⋅−

cos 2 φ⋅α

−

()

sec φ

()

⋅

⋅:=

⋅ sec α

()

⋅:=

Cálculo de alguns parâmetros:

116

6.3 – PROGRAMA PARA O CÁLCULO DA ESTABILIDADE DO

TALUDE SEGUNDO O MÉTODO DE LING

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

acelY

⋅:=kh

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

acelX

⋅:=k1j..:=j 1099=j length tempo():=

acelY

-1.29·10

-15

-1.63·10

-14

-1.68·10

-13

-1.45·10

-12

-1.07·10

-11

-6.82·10

-11

-3.82·10

-10

:=acelX

-5.88·10

-15

-7.5·10

-14

-7.8·10

-13

-6.79·10

-12

-5.06·10

-11

-3.27·10

-10

-1.86·10

-9

:=tempo

1·10

-5

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Dados de entrada das simulações em elementos finitos (acelerações):

β 20.0deg=

(ângulo de inclinação da crista)

β atan

27.5

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

i 55.0deg=

(ângulo de inclinação do talude)

i atan

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

Parâmetros do talude:

(peso específico em N/m³)

γ 1850 g⋅:=

(coesão em Pa)

c2510

⋅:=

(angulo de atrito em graus)

180

35⋅:=

Propriedades do solo:

(aceleração da gravidade)

g 9.80665:=

Coeficientes da aceleração atuante (terremotos, induzidas por veículos, etc):

Data:12/02/2005Autor: Felipe Tavares da Silva - [email protected]

ORIGIN 1:=

"Recent applications of sliding block theory to geotechnical design" (2001)

Hoe I. Ling

Análise de estabilidade de taludes - Sliding Block

117

aux

1kv

+ kv

0>if

1kv

− otherwise

atan

aux

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

i φ+θ

−

(ângulo de inlinação crítico do plano de ruptura)

H 10.0:=

(altura do talude)

Aceleração horizontal resistiva máxima:

Khc

1kv

()

tan φα

−

()

⋅

sin i( ) cos φ()⋅

sin i α

−

()

cos φα

−

()

⋅

2c⋅

γ H⋅

⋅+:=

Gráfico da aceleração resistiva

versus aceleração de campo:

012

Tempo (s)

Aceleração vertical (m/s²)

012

Tempo (s)

Aceleração horizontal (m/s²)

6.4 – LINHAS DE COMANDOS DOS MODELOS E ANÁLISES

REALIZADAS NO ANSYS

6.4.1 – GEOMETRIA DO SEMI-PLANO COM CONTORNO VISCOSO

! Criação da geometria do semi-espaço como um estado plano de deformação

! contornado por sistemas mola-amortecedor

! Data: 07/12/2004

! Autor: Felipe Tavares da Silva - [email protected]

118

/PREP7

! Elementos e opções

ET,1,PLANE42

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,2,0

KEYOPT,1,3,2

KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

ET,2,COMBIN14

ET,3,COMBIN14

KEYOPT,2,2,1

KEYOPT,2,3,0

KEYOPT,3,2,2

KEYOPT,3,3,0

!* Constantes dos sistemas

imperfeitos do contorno: f = 20 Hz

! Constantes reais dos sistemas do

contorno(Lysmer Kuhlemeyer)

!R,1,1.49991E+007,3.46400E+005, ,

!R,2,5.00000E+006,2.00000E+005, ,

! Constantes reais dos sistemas do

contorno(White et. al)

R,1,1.30196E+007,3.227331E+005, ,

R,2,2.48741E+006,1.410648E+005, ,

! Cte's do material (solo)

UIMP,1,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,1,DENS, , ,2000,

UIMP,1,PRXY, , ,0.25,

UIMP,1,GXY, , ,2.00E+07,

!Amortecimento do material

!ALPHAD,4.255829E+000

!BETAD,5.262712E-004

! Definição da Geometria

K,1,-10,0,0,

K,2,0,0,0,

K,3,10,0,0

K,4,0,10,0

! Linhas

L,1,2

L,2,3

L,2,4

LARC,3,4,2,10

LARC,4,1,2,10

! Área

AL,1,3,5

AL,2,3,4

! Criação da malha

ESIZE,1.0,

AMAP,1,1,2,4

119

AMAP,2,3,2,4

! Criação do contorno

LSEL,S,LINE, ,4,5,1,1

NSLL,S,1

! Duplicação dos nós a serem

duplicados

NGEN,2,417,ALL, , , , , ,1,

!Girando o sistema de coordenada

dos nós a serem engastados

CSWPLA,11,2, ,

NROTAT,ALL

!Criando os elementos do contorno

TYPE,2

REAL,1

EINTF,0.0001,

TYPE,3

REAL,2

EINTF,0.0001,

!Engastamento dos nós

NSEL,S, , ,418,665,1,

D,ALL, ,0, , , ,ALL, , , , ,

!Deleta o sistema de coordenadas

local

CSDELE,11, ,1

!Re-seleciona todas as entidades

NSEL,ALL

ESEL,ALL

ASEL,ALL

LSEL,ALL

KSEL,ALL

WSORT,Y, ,MAX,

FINISH

6.4.2 – ANÁLISE MODAL

!*-Análise modal de semiplanos e

semi-espaços

!*-18 de Junho de 2004

/SOLU

!*-Inicia a análise modal

ANTYP,2

MODOPT,SUBS, 60, 0.0 ,

100.00000000 ,,OFF

SOLVE

FINISH

120

! expand the results for

postprocessing

/SOLU

EXPASS,ON

MXPAND, 60, 0.0 ,

100.000000000 ,NO

EXPASS,ON

OUTRES,ALL,ALL

OUTPR,ALL,ALL

SOLVE

FINISH

6.4.3 – ANÁLISE TRANSIENTE PARA O MODELO DE SEMI-PLANO COM

CONTORNO VISCOSO

!*-Análise Transiente de carga

harmônica no semi-plano-

*!(18/02/2005)

! Arquivo da geometria: 2D.DAT

!*-Numéro de iterações

/CONFIG,NRES,400000000

!*-Entra no menu Solution

/SOLU

!*-Análise Transiente-*!

ANTYPE,4

!-Definição da discretização do tempo

DELTIM,0.005

!Parâmetros que deixam o método de

integração

!Incondicinalmente estável

TINTP,0.00, , , , ,

!Seleção do nó onde o deslocamento

nodal será captado:

!(5.0 m - 226)

!(7.5 m - 230)

!NSEL,S,NODE, ,226,226,1

!NSEL,S,NODE, ,230,230,1

!CM,RES,NODE

!CMGRP,TESTE,RES

!NSEL,ALL

!-Controla a saída da solução

!OUTPR,NSOL,NONE,RES

OUTPR,NSOL,NONE

!-Controla os dados de solução

escritos na base de dados

!OUTRES,NSOL,ALL,RES

OUTRES,NSOL,ALL

121

!*-Aplicação da Carga-*!

PI=3.141592654

TACUM=0.00001

TLOAD=0.005

TACUM=TACUM+TLOAD

*DO,NLOAD,1,80,1

F,2,FY,100000*COS(2*PI*20*TACUM)

TIME,TACUM

SOLVE

TACUM=TACUM+TLOAD

*ENDDO

FINISH

6.4.4 – GEOMETRIA DO MODELO DE SEMI-PLANO COM ZONA

ABSORVENTE

!Modelo de semi-espaço para o caso 2D (estado plano de deformação)

!Contorno do tipo "zona absorvente de ondas"

!Autor: Felipe Tavares da Silva - [email protected]

!Data: 18/05/2005

/PREP7

! Elementos e opções

ET,1,PLANE42

! Cte's do material (solo)

UIMP,1,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,1,DENS, , ,2000,

UIMP,1,PRXY, , ,0.25,

UIMP,1,GXY, , ,2.00E+07,

! Cte's da caixa de areia

!A=0.001

A=0.1

AM01=A*1.1**2

AM02=A*2.3**2

AM03=A*3.6**2

AM04=A*5.0**2

AM05=A*6.5**2

AM06=A*8.1**2

AM07=A*9.8**2

AM08=A*11.6**2

AM09=A*13.5**2

AM10=A*15.5**2

! Linha 1

UIMP,2,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,2,DENS, , ,2000,

UIMP,2,PRXY, , ,0.25,

UIMP,2,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,2,DAMP, , ,AM01,

! Linha 2

UIMP,3,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,3,DENS, , ,2000,

UIMP,3,PRXY, , ,0.25,

122

UIMP,3,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,3,DAMP, , ,AM02,

! Linha 3

UIMP,4,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,4,DENS, , ,2000,

UIMP,4,PRXY, , ,0.25,

UIMP,4,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,4,DAMP, , ,AM03,

! Linha 4

UIMP,5,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,5,DENS, , ,2000,

UIMP,5,PRXY, , ,0.25,

UIMP,5,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,5,DAMP, , ,AM04,

! Linha 5

UIMP,6,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,6,DENS, , ,2000,

UIMP,6,PRXY, , ,0.25,

UIMP,6,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,6,DAMP, , ,AM05,

! Linha 6

UIMP,7,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,7,DENS, , ,2000,

UIMP,7,PRXY, , ,0.25,

UIMP,7,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,7,DAMP, , ,AM06,

! Linha 7

UIMP,8,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,8,DENS, , ,2000,

UIMP,8,PRXY, , ,0.25,

UIMP,8,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,8,DAMP, , ,AM07,

! Linha 8

UIMP,9,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,9,DENS, , ,2000,

UIMP,9,PRXY, , ,0.25,

UIMP,9,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,9,DAMP, , ,AM08,

! Linha 9

UIMP,10,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,10,DENS, , ,2000,

UIMP,10,PRXY, , ,0.25,

UIMP,10,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,10,DAMP, , ,AM09,

! Linha 10

UIMP,11,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,11,DENS, , ,2000,

UIMP,11,PRXY, , ,0.25,

UIMP,11,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,11,DAMP, , ,AM10,

!Amortecimento do

material

!ALPHAD,1.299107E-001

!BETAD,2.487356E-004

! Definição da Geometria

K,1,-25.5,0.0,0.00

K,2,-23.5.0,0.0,0.00

K,3,-21.6,0.0,0.00

K,4,-19.8,0.0,0.00

K,5,-18.1,0.0,0.00

K,6,-16.5,0.0,0.00

K,7,-15.0,0.0,0.00

K,8,-13.6,0.0,0.00

K,9,-12.3,0.0,0.00

K,10,-11.1,0.0,0.0

K,11,-10.0,0.0,0.0

K,12,10.0,0.0,0.00

K,13,11.1,0.0,0.00

K,14,12.3,0.0,0.00

K,15,13.6,0.0,0.00

K,16,15.0,0.0,0.00

K,17,16.5,0.0,0.00

K,18,18.1,0.0,0.00

K,19,19.8,0.0,0.00

K,20,21.6,0.0,0.00

K,21,23.5,0.0,0.00

K,22,25.5,0.0,0.00

K,23,25.5,25.5,0.0

K,24,-25.5,25.5,0.0

K,25,-23.5,23.5,0.0

K,26,-21.6,21.6,0.0

K,27,-19.8,19.8,0.0

K,28,-18.1,18.1,0.0

K,29,-16.5,16.5,0.0

K,30,-15.0,15.0,0.0

123

K,31,-13.6,13.6,0.0

K,32,-12.3,12.3,0.0

K,33,-11.1,11.1,0.0

K,34,-10.0,10.0,0.0

K,35,10.0,10.0,0.00

K,36,11.1,11.1,0.0

K,37,12.3,12.3,0.0

K,38,13.6,13.6,0.0

K,39,15.0,15.0,0.0

K,40,16.5,16.5,0.0

K,41,18.1,18.1,0.0

K,42,19.8,19.8,0.0

K,43,21.6,21.6,0.0

K,44,23.5,23.5,0.0

! Linhas

L,1,2

L,2,3

L,3,4

L,4,5

L,5,6

L,6,7

L,7,8

L,8,9

L,9,10

L,10,11

L,11,12

L,12,13

L,13,14

L,14,15

L,15,16

L,16,17

L,17,18

L,18,19

L,19,20

L,20,21

L,21,22

L,22,23

L,23,24

L,24,25

L,25,26

L,26,27

L,27,28

L,28,29

L,29,30

L,30,31

L,31,32

L,32,33

L,33,34

L,34,35

L,35,36

L,36,37

L,37,38

L,38,39

L,39,40

L,40,41

L,41,42

L,42,43

L,43,44

L,44,23

L,1,24

L,2,25

L,3,26

L,4,27

L,5,28

L,6,29

L,7,30

L,8,31

L,9,32

L,10,33

L,11,34

L,12,35

L,13,36

L,14,37

L,15,38

L,16,39

L,17,40

L,18,41

L,19,42

L,20,43

L,21,44

L,33,36

L,32,37

L,31,38

L,30,39

L,29,40

L,28,41

L,27,42

L,26,43

L,25,44

! Área

AL,11,34,55,56

124

AL,10,33,54,55

AL,33,34,35,66

AL,12,35,56,57

AL,9,32,53,54

AL,32,36,66,67

AL,13,36,57,58

AL,8,31,52,53

AL,31,37,67,68

AL,14,37,58,59

AL,7,30,51,52

AL,30,38,68,69

AL,15,38,59,60

AL,6,29,50,51

AL,29,39,69,70

AL,16,39,60,61

AL,5,28,49,50

AL,28,40,70,71

AL,17,40,61,62

AL,4,27,48,49

AL,27,41,71,72

AL,18,41,62,63

AL,3,26,47,48

AL,26,42,72,73

AL,19,42,63,64

AL,2,25,46,47

AL,25,43,73,74

AL,20,43,64,65

AL,1,24,45,46

AL,24,44,74,23

AL,21,44,65,22

! Criação da malha

!SEMI-PLANO:

d=1.0

ESIZE,d

MAT,1

AMAP,1,11,12,34,35

!CAIXA DE AREIA

d1=2.0

d2=2.0

d3=2.5

d4=3.0

d5=3.5

d6=4.0

d7=4.5

d8=5.0

d9=5.5

d10=6.0

!FAIXA 1

ESIZE,d1

MAT,2

AMAP,2,10,11,33,34

AMAP,3,33,34,35,36

AMAP,4,12,13,35,36

!FAIXA 2

ESIZE,d2

MAT,3

AMAP,5,9,10,32,33

AMAP,6,32,33,36,37

AMAP,7,13,14,36,37

!FAIXA 3

ESIZE,d3

MAT,4

AMAP,8,8,9,31,32

AMAP,9,31,32,37,38

AMAP,10,14,15,37,38

!FAIXA 4

ESIZE,d4

MAT,5

AMAP,11,7,8,30,31

AMAP,12,30,31,38,39

AMAP,13,15,16,38,39

!FAIXA 5

ESIZE,d5

MAT,6

125

AMAP,14,6,7,29,30

AMAP,15,29,30,39,40

AMAP,16,16,17,39,40

!FAIXA 6

ESIZE,d6

MAT,7

AMAP,17,5,6,28,29

AMAP,18,28,29,40,41

AMAP,19,17,18,40,41

!FAIXA 7

ESIZE,d7

MAT,8

AMAP,20,4,5,27,28

AMAP,21,27,28,41,42

AMAP,22,18,19,41,42

!FAIXA 8

ESIZE,d8

MAT,9

AMAP,23,3,4,26,27

AMAP,24,26,27,42,43

AMAP,25,19,20,42,43

!FAIXA 9

ESIZE,d9

MAT,10

AMAP,26,2,3,25,26

AMAP,27,25,26,43,44

AMAP,28,20,21,43,44

!FAIXA 10

ESIZE,d10

MAT,11

AMAP,29,1,2,24,25

AMAP,30,24,25,23,44

AMAP,31,21,22,23,44

! Criação do contorno

LSEL,S,LINE, ,22,23,1

LSEL,A,LINE, ,45,45,1

NSLL,S,1

!Engastamento dos nós

D,ALL, ,0, , , ,ALL, , , , ,

!Re-seleciona todas as

entidades

NSEL,ALL

ESEL,ALL

ASEL,ALL

LSEL,ALL

KSEL,ALL

WSORT,Y, ,MAX,

FINISH

6.4.5 – GEOMETRIA DO MODELO DE SEMI-ESPAÇO

! Arquivo: 3DABS.DAT

! Descrição: Semi-espaço para

! comparar com os resultados analíticos de Hung & Yang.

! Autor: Felipe Tavares da Silva - [email protected]m.br - 01/06/2005

! Malha d=1.0m

/PREP7

! Elementos e opções

ET,1,SOLID73

126

! Cte's do material

(solo)

UIMP,1,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,1,DENS, , ,2000,

UIMP,1,PRXY, , ,0.25,

UIMP,1,GXY, , ,2.00E+0

! Cte's da caixa de

areia

A=0.001

AM01=A*1.1**2

AM02=A*2.3**2

AM03=A*3.6**2

AM04=A*5.0**2

AM05=A*6.5**2

AM06=A*8.1**2

AM07=A*9.8**2

AM08=A*11.6**2

AM09=A*13.5**2

AM10=A*15.5**2

! Linha 1

UIMP,2,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,2,DENS, , ,2000,

UIMP,2,PRXY, , ,0.25,

UIMP,2,GXY, , ,2.00E+0

UIMP,2,DAMP, , ,AM01,

! Linha 2

UIMP,3,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,3,DENS, , ,2000,

UIMP,3,PRXY, , ,0.25,

UIMP,3,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,3,DAMP, , ,AM02,

! Linha 3

UIMP,4,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,4,DENS, , ,2000,

UIMP,4,PRXY, , ,0.25,

UIMP,4,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,4,DAMP, , ,AM03,

! Linha 4

UIMP,5,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,5,DENS, , ,2000,

UIMP,5,PRXY, , ,0.25,

UIMP,5,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,5,DAMP, , ,AM04,

! Linha 5

UIMP,6,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,6,DENS, , ,2000,

UIMP,6,PRXY, , ,0.25,

UIMP,6,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,6,DAMP, , ,AM05,

! Linha 6

UIMP,7,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,7,DENS, , ,2000,

UIMP,7,PRXY, , ,0.25,

UIMP,7,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,7,DAMP, , ,AM06,

! Linha 7

UIMP,8,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,8,DENS, , ,2000,

UIMP,8,PRXY, , ,0.25,

UIMP,8,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,8,DAMP, , ,AM07,

! Linha 8

UIMP,9,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,9,DENS, , ,2000,

UIMP,9,PRXY, , ,0.25,

UIMP,9,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,9,DAMP, , ,AM08,

! Linha 9

UIMP,10,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,10,DENS, , ,2000,

UIMP,10,PRXY, , ,0.25,

UIMP,10,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,10,DAMP, , ,AM09,

! Linha 10

UIMP,11,EX, , ,5.00E+07,

UIMP,11,DENS, , ,2000,

UIMP,11,PRXY, , ,0.25,

UIMP,11,GXY, , ,2.00E+07,

UIMP,11,DAMP, , ,AM10,

127

!Amortecimento do

material

ALPHAD,2.546738E-001

BETAD,1.569498E-003

! Definição da

Geometria

!Keypoints

K,1,-25.5,0.0 ,25.5

K,2,25.5,0.0 ,25.5

K,3,25.5,0.0 ,-25.5

K,4,-25.5,0.0 ,-25.5

K,5,-23.5,0.0 ,23.5

K,6,23.5,0.0 ,23.5

K,7,23.5,0.0 ,-23.5

K,8,-23.5,0.0 ,-23.5

K,9,-21.6,0.0 ,21.6

K,10,21.6,0.0 ,21.6

K,11,21.6,0.0 ,-21.6

K,12,-21.6,0.0 ,-21.6

K,13,-19.8,0.0 ,19.8

K,14,19.8,0.0 ,19.8

K,15,19.8,0.0 ,-19.8

K,16,-19.8,0.0 ,-19.8

K,17,-18.1,0.0 ,18.1

K,18,18.1,0.0 ,18.1

K,19,18.1,0.0 ,-18.1

K,20,-18.1,0.0 ,-18.1

K,21,-16.5,0.0 ,16.5

K,22,16.5,0.0 ,16.5

K,23,16.5,0.0 ,-16.5

K,24,-16.5,0.0 ,-16.5

K,25,-15.0,0.0 ,15.0

K,26,15.0,0.0 ,15.0

K,27,15.0,0.0 ,-15.0

K,28,-15.0,0.0 ,-15.0

K,29,-13.6,0.0 ,13.6

K,30,13.6,0.0 ,13.6

K,31,13.6,0.0 ,-13.6

K,32,-13.6,0.0 ,-13.6

K,33,-12.3,0.0 ,12.3

K,34,12.3,0.0 ,12.3

K,35,12.3,0.0 ,-12.3

K,36,-12.3,0.0 ,-12.3

K,37,-11.1,0.0 ,11.1

K,38,11.1,0.0 ,11.1

K,39,11.1,0.0 ,-11.1

K,40,-11.1,0.0 ,-11.1

K,41,-10.0,0.0 ,10.0

K,42,10.0,0.0 ,10.0

K,43,10.0,0.0 ,-10.0

K,44,-10.0,0.0 ,-10.0

K,45,-25.5,25.5 ,25.5

K,46,25.5,25.5 ,25.5

K,47,25.5,25.5 ,-25.5

K,48,-25.5,25.5 ,-25.5

K,49,-23.5,23.5 ,23.5

K,50,23.5,23.5 ,23.5

K,51,23.5,23.5 ,-23.5

K,52,-23.5,23.5 ,-23.5

K,53,-21.6,21.6 ,21.6

K,54,21.6,21.6 ,21.6

K,55,21.6,21.6 ,-21.6

K,56,-21.6,21.6 ,-21.6

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K,58,19.8,19.8 ,19.8

K,59,19.8,19.8 ,-19.8

K,60,-19.8,19.8 ,-19.8

K,61,-18.1,18.1 ,18.1

K,62,18.1,18.1 ,18.1

K,63,18.1,18.1 ,-18.1

K,64,-18.1,18.1 ,-18.1

K,65,-16.5,16.5 ,16.5

K,66,16.5,16.5 ,16.5

K,67,16.5,16.5 ,-16.5

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K,69,-15.0,15.0 ,15.0

K,70,15.0,15.0 ,15.0

K,71,15.0,15.0 ,-15.0

K,72,-15.0,15.0 ,-15.0

K,73,-13.6,13.6 ,13.6

K,74,13.6,13.6 ,13.6

K,75,13.6,13.6 ,-13.6

K,76,-13.6,13.6 ,-13.6

K,77,-12.3,12.3 ,12.3

K,78,12.3,12.3 ,12.3

K,79,12.3,12.3 ,-12.3

K,80,-12.3,12.3 ,-12.3

K,81,-11.1,11.1 ,11.1

K,82,11.1,11.1 ,11.1

K,83,11.1,11.1 ,-11.1

K,84,-11.1,11.1 ,-11.1

K,85,-10.0,10.0 ,10.0

128

K,86,10.0,10.0 ,10.0

K,87,10.0,10.0 ,-10.0

K,88,-10.0,10.0 ,-10.0

!Linhas

L,1 ,2

L,2 ,3

L,3 ,4

L,4 ,1

L,5 ,6

L,6 ,7

L,7 ,8

L,8 ,5

L,9 ,10

L,10 ,11

L,11 ,12

L,12 ,9

L,13 ,14

L,14 ,15

L,15 ,16

L,16 ,13

L,17 ,18

L,18 ,19

L,19 ,20

L,20 ,17

L,21 ,22

L,22 ,23

L,23 ,24

L,24 ,21

L,25 ,26

L,26 ,27

L,27 ,28

L,28 ,25

L,29 ,30

L,30 ,31

L,31 ,32

L,32 ,29

L,33 ,34

L,34 ,35

L,35 ,36

L,36 ,33

L,37 ,38

L,38 ,39

L,39 ,40

L,40 ,37

L,41 ,42

L,42 ,43

L,43 ,44

L,44 ,41

L,45 ,46

L,46 ,47

L,47 ,48

L,48 ,45

L,49 ,50

L,50 ,51

L,51 ,52

L,52 ,49

L,53 ,54

L,54 ,55

L,55 ,56

L,56 ,53

L,57 ,58

L,58 ,59

L,59 ,60

L,60 ,57

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L,62 ,63

L,63 ,64

L,64 ,61

L,65 ,66

L,66 ,67

L,67 ,68

L,68 ,65

L,69 ,70

L,70 ,71

L,71 ,72

L,72 ,69

L,73 ,74

L,74 ,75

L,75 ,76

L,76 ,73

L,77 ,78

L,78 ,79

L,79 ,80

L,80 ,77

L,81 ,82

L,82 ,83

L,83 ,84

L,84 ,81

L,85 ,86

L,86 ,87

L,87 ,88

L,88 ,85

L,1 ,5

L,5 ,9

L,9 ,13

129

L,13 ,17

L,17 ,21

L,21 ,25

L,25 ,29

L,29 ,33

L,33 ,37

L,37 ,41

L,2 ,6

L,6 ,10

L,10 ,14

L,14 ,18

L,18 ,22

L,22 ,26

L,26 ,30

L,30 ,34

L,34 ,38

L,38 ,42

L,3 ,7

L,7 ,11

L,11 ,15

L,15 ,19

L,19 ,23

L,23 ,27

L,27 ,31

L,31 ,35

L,35 ,39

L,39 ,43

L,4 ,8

L,8 ,12

L,12 ,16

L,16 ,20

L,20 ,24

L,24 ,28

L,28 ,32

L,32 ,36

L,36 ,40

L,40 ,44

L,45 ,49

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L,57 ,61

L,61 ,65

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L,73 ,77

L,77 ,81

L,81 ,85

L,46 ,50

L,50 ,54

L,54 ,58

L,58 ,62

L,62 ,66

L,66 ,70

L,70 ,74

L,74 ,78

L,78 ,82

L,82 ,86

L,47 ,51

L,51 ,55

L,55 ,59

L,59 ,63

L,63 ,67

L,67 ,71

L,71 ,75

L,75 ,79

L,79 ,83

L,83 ,87

L,48 ,52

L,52 ,56

L,56 ,60

L,60 ,64

L,64 ,68

L,68 ,72

L,72 ,76

L,76 ,80

L,80 ,84

L,84 ,88

L,1 ,45

L,2 ,46

L,3 ,47

L,4 ,48

L,5 ,49

L,6 ,50

L,7 ,51

L,8 ,52

L,9 ,53

L,10 ,54

L,11 ,55

L,12 ,56

L,13 ,57

L,14 ,58

L,15 ,59

L,16 ,60

L,17 ,61

L,18 ,62

L,19 ,63

130

L,20 ,64

L,21 ,65

L,22 ,66

L,23 ,67

L,24 ,68

L,25 ,69

L,26 ,70

L,27 ,71

L,28 ,72

L,29 ,73

L,30 ,74

L,31 ,75

L,32 ,76

L,33 ,77

L,34 ,78

L,35 ,79

L,36 ,80

L,37 ,81

L,38 ,82

L,39 ,83

L,40 ,84

L,41 ,85

L,42 ,86

L,43 ,87

L,44 ,88

!Áreas

AL,45 ,46 ,47

,48

AL,49 ,50 ,51

,52

AL,53 ,54 ,55 ,56

AL,57 ,58 ,59 ,60

AL,61 ,62 ,63 ,64

AL,65 ,66 ,67 ,68

AL,69 ,70 ,71 ,72

AL,73 ,74 ,75 ,76

AL,77 ,78 ,79 ,80

AL,81 ,82 ,83 ,84

AL,85 ,86 ,87 ,88

AL,41 ,42 ,43 ,44

AL,1 ,5 ,89 ,99

AL,2 ,6 ,99 ,109

AL,3 ,7 ,109 ,119

AL,4 ,8 ,119 ,89

AL,5 ,9 ,90 ,100

AL,6 ,10 ,100 ,110

AL,7 ,11 ,110 ,120

AL,8 ,12 ,120 ,90

AL,9 ,13 ,91 ,101

AL,10 ,14 ,101 ,111

AL,11 ,15 ,111 ,121

AL,12 ,16 ,121 ,91

AL,13 ,17 ,92 ,102

AL,14 ,18 ,102 ,112

AL,15 ,19 ,112 ,122

AL,16 ,20 ,122 ,92

AL,17 ,21 ,93 ,103

AL,18 ,22 ,103 ,113

AL,19 ,23 ,113 ,123

AL,20 ,24 ,123 ,93

AL,21 ,25 ,94 ,104

AL,22 ,26 ,104 ,114

AL,23 ,27 ,114

,124

AL,24 ,28 ,124

,94

AL,25 ,29 ,95

,105

AL,26 ,30 ,105

,115

AL,27 ,31 ,115

,125

AL,28 ,32 ,125

,95

AL,29 ,33 ,96

,106

AL,30 ,34 ,106

,116

AL,31 ,35 ,116

,126

AL,32 ,36 ,126

,96

AL,33 ,37 ,97

,107

AL,34 ,38 ,107

,117

AL,35 ,39 ,117

,127

AL,36 ,40 ,127

,97

AL,37 ,41 ,98

,108

AL,38 ,42 ,108

,118

131

AL,39 ,43 ,118

,128

AL,40 ,44 ,128

,98

AL,1 ,45 ,169

,170

AL,2 ,46 ,170

,171

AL,3 ,47 ,171

,172

AL,4 ,48 ,172

,169

AL,5 ,49 ,173

,174

AL,6 ,50 ,174

,175

AL,7 ,51 ,175

,176

AL,8 ,52 ,176

,173

AL,9 ,53 ,177

,178

AL,10 ,54 ,178

,179

AL,11 ,55 ,179

,180

AL,12 ,56 ,180

,177

AL,13 ,57 ,181

,182

AL,14 ,58 ,182

,183

AL,15 ,59 ,183 ,184

AL,16 ,60 ,184 ,181

AL,17 ,61 ,185 ,186

AL,18 ,62 ,186 ,187

AL,19 ,63 ,187 ,188

AL,20 ,64 ,188 ,185

AL,21 ,65 ,189 ,190

AL,22 ,66 ,190 ,191

AL,23 ,67 ,191 ,192

AL,24 ,68 ,192 ,189

AL,25 ,69 ,193 ,194

AL,26 ,70 ,194 ,195

AL,27 ,71 ,195 ,196

AL,28 ,72 ,196 ,193

AL,29 ,73 ,197 ,198

AL,30 ,74 ,198 ,199

AL,31 ,75 ,199 ,200

AL,32 ,76 ,200 ,197

AL,33 ,77 ,201 ,202

AL,34 ,78 ,202 ,203

AL,35 ,79 ,203 ,204

AL,36 ,80 ,204 ,201

AL,37 ,81 ,205 ,206

AL,38 ,82 ,206 ,207

AL,39 ,83 ,207 ,208

AL,40 ,84 ,208 ,205

AL,41 ,85 ,209 ,210

AL,42 ,86 ,210 ,211

AL,43 ,87 ,211 ,212

AL,44 ,88 ,212 ,209

AL,89 ,129 ,169 ,173

AL,99 ,139 ,170 ,174

AL,109 ,149 ,171

,175

AL,119 ,159 ,172

,176

AL,90 ,130 ,173

,177

AL,100 ,140 ,174

,178

AL,110 ,150 ,175

,179

AL,120 ,160 ,176

,180

AL,91 ,131 ,177

,181

AL,101 ,141 ,178

,182

AL,111 ,151 ,179

,183

AL,121 ,161 ,180

,184

AL,92 ,132 ,181

,185

AL,102 ,142 ,182

,186

AL,112 ,152 ,183

,187

AL,122 ,162 ,184

,188

AL,93 ,133 ,185

,189

AL,103 ,143 ,186

,190

132

AL,113 ,153 ,187

,191

AL,123 ,163 ,188

,192

AL,94 ,134 ,189

,193

AL,104 ,144 ,190

,194

AL,114 ,154 ,191

,195

AL,124 ,164 ,192

,196

AL,95 ,135 ,193

,197

AL,105 ,145 ,194

,198

AL,115 ,155 ,195

,199

AL,125 ,165 ,196

,200

AL,96 ,136 ,197

,201

AL,106 ,146 ,198

,202

AL,116 ,156 ,199

,203

AL,126 ,166 ,200

,204

AL,97 ,137 ,201

,205

AL,107 ,147 ,202

,206

AL,117 ,157 ,203 ,207

AL,127 ,167 ,204 ,208

AL,98 ,138 ,205 ,209

AL,108 ,148 ,206 ,210

AL,118 ,158 ,207 ,211

AL,128 ,168 ,208 ,212

AL,45 ,49 ,129 ,139

AL,46 ,50 ,139 ,149

AL,47 ,51 ,149 ,159

AL,48 ,52 ,159 ,129

AL,49 ,53 ,130 ,140

AL,50 ,54 ,140 ,150

AL,51 ,55 ,150 ,160

AL,52 ,56 ,160 ,130

AL,53 ,57 ,131 ,141

AL,54 ,58 ,141 ,151

AL,55 ,59 ,151 ,161

AL,56 ,60 ,161 ,131

AL,57 ,61 ,132 ,142

AL,58 ,62 ,142 ,152

AL,59 ,63 ,152 ,162

AL,60 ,64 ,162 ,132

AL,61 ,65 ,133 ,143

AL,62 ,66 ,143 ,153

AL,63 ,67 ,153 ,163

AL,64 ,68 ,163 ,133

AL,65 ,69 ,134 ,144

AL,66 ,70 ,144 ,154

AL,67 ,71 ,154 ,164

AL,68 ,72 ,164 ,134

AL,69 ,73 ,135 ,145

AL,70 ,74 ,145 ,155

AL,71 ,75 ,155

,165

AL,72 ,76 ,165

,135

AL,73 ,77 ,136

,146

AL,74 ,78 ,146

,156

AL,75 ,79 ,156

,166

AL,76 ,80 ,166

,136

AL,77 ,81 ,137

,147

AL,78 ,82 ,147

,157

AL,79 ,83 ,157

,167

AL,80 ,84 ,167

,137

AL,81 ,85 ,138

,148

AL,82 ,86 ,148

,158

AL,83 ,87 ,158

,168

AL,84 ,88 ,168

,138

!Volumes

133

VA,13 ,53 ,57

,97 ,98

,137

VA,14 ,54 ,58

,98 ,99

,138

VA,15 ,55 ,59

,99 ,100

,139

VA,16 ,56 ,60

,100 ,97

,140

VA,1 ,2 ,137

,138 ,139

,140

VA,17 ,57 ,61

,101 ,102

,141

VA,18 ,58 ,62

,102 ,103

,142

VA,19 ,59 ,63

,103 ,104

,143

VA,20 ,60 ,64

,104 ,101

,144

VA,2 ,3 ,141

,142 ,143

,144

VA,21 ,61 ,65 ,105

,106 ,145

VA,22 ,62 ,66 ,106

,107 ,146

VA,23 ,63 ,67 ,107

,108 ,147

VA,24 ,64 ,68 ,108

,105 ,148

VA,3 ,4 ,145 ,146

,147 ,148

VA,25 ,65 ,69 ,109

,110 ,149

VA,26 ,66 ,70 ,110

,111 ,150

VA,27 ,67 ,71 ,111

,112 ,151

VA,28 ,68 ,72 ,112

,109 ,152

VA,4 ,5 ,149 ,150

,151 ,152

VA,29 ,69 ,73 ,113

,114 ,153

VA,30 ,70 ,74 ,114

,115 ,154

VA,31 ,71 ,75 ,115

,116 ,155

VA,32 ,72 ,76 ,116

,113 ,156

VA,5 ,6 ,153 ,154

,155 ,156

VA,33 ,73 ,77 ,117

,118 ,157

VA,34 ,74 ,78

,118 ,119

,158

VA,35 ,75 ,79

,119 ,120

,159

VA,36 ,76 ,80

,120 ,117

,160

VA,6 ,7 ,157

,158 ,159

,160

VA,37 ,77 ,81

,121 ,122

,161

VA,38 ,78 ,82

,122 ,123

,162

VA,39 ,79 ,83

,123 ,124

,163

VA,40 ,80 ,84

,124 ,121

,164

VA,7 ,8 ,161

,162 ,163

,164

VA,41 ,81 ,85

,125 ,126

,165

134

VA,42 ,82 ,86

,126 ,127

,166

VA,43 ,83 ,87

,127 ,128

,167

VA,44 ,84 ,88

,128 ,125

,168

VA,8 ,9 ,165

,166 ,167

,168

VA,45 ,85 ,89

,129 ,130

,169

VA,46 ,86 ,90

,130 ,131

,170

VA,47 ,87 ,91

,131 ,132

,171

VA,48 ,88 ,92

,132 ,129

,172

VA,9 ,10 ,169

,170 ,171

,172

VA,49 ,89 ,93

,133 ,134

,173

VA,50 ,90 ,94 ,134

,135 ,174

VA,51 ,91 ,95 ,135

,136 ,175

VA,52 ,92 ,96 ,136

,133 ,176

VA,10 ,11 ,173 ,174

,175 ,176

VA,11 ,12 ,93 ,94

,95 ,96

! Criação da malha

!SEMI-ESPAÇO:

d=1.0

ESIZE,d

MAT,1

VMESH,51,51,1

!CAIXA DE AREIA

d1=2.0

d2=2.5

d3=3.0

d4=3.5

d5=4.0

d6=4.5

d7=5.0

d8=5.5

d9=6.0

d10=6.5

!FAIXA 1

ESIZE,d1

MAT,2

VMESH,46,50,1

!FAIXA 2

ESIZE,d2

MAT,3

VMESH,41,45,1

!FAIXA 3

ESIZE,d3

MAT,4

VMESH,36,40,1

!FAIXA 4

ESIZE,d4

MAT,5

VMESH,31,35,1

!FAIXA 5

ESIZE,d5

MAT,6

VMESH,26,30,1

!FAIXA 6

ESIZE,d6

MAT,7

VMESH,21,25,1

135

!FAIXA 7

ESIZE,d7

MAT,8

VMESH,16,20,1

!FAIXA 8

ESIZE,d8

MAT,9

VMESH,11,15,1

!FAIXA 9

ESIZE,d9

MAT,10

VMESH,6,10,1

!FAIXA 10

ESIZE,d10

MAT,11

VMESH,1,5,1

!*Criação do contorno*!

!Seleção das áreas que fazem

parte do contorno

ASEL,S,AREA, ,1,1,1

ASEL,A,AREA, ,53,56,1

!Seleção dos nós destas áreas

selecionadas

NSLA,S,1

D,ALL, ,0, , , ,ALL, , , , ,

!Re-seleciona todas as

entidades

NSEL,ALL

ESEL,ALL

VSEL,ALL

ASEL,ALL

LSEL,ALL

KSEL,ALL

WSORT,Y, ,MAX,

FINISH

6.4.6 – CARGA DISTRIBUÍDA SOBRE BASE ELÁSTICA

! Arquivo: CARGAMHY.DAT

! Descrição: Passagem de carga móvel pontual por um semi-espaço para

! comparar com os resultados analíticos de Hung & Yang.

! Arquivo da geometria: HALFSPACEHY.DAT

! Autor: Felipe Tavares da Silva - [email protected] - 01/06/2005

!*-Numéro de

iterações

/CONFIG,NRES,4000000

!*-Entra no menu Solution

/SOLU

!*-Análise Transiente-*!

ANTYPE,4

! Constantes:

ALPHA=0.8

T=100000

c=50.0

DZ=-9.00

PAR1=T/(2*ALPHA)

136

!Tempo para a carga

passar de um nó para

o próximo (DT1)

!e o tempo

discretizado para a

análise transiente

(DT2)

DT1=0.02

DT2=0.005

!-Definição da

discretização do

tempo

DELTIM,DT2

! Definição do SOLVER

(Gradientes conjugados

pré-condicionado)

EQSLV,PCG, ,

!Parâmetros de

integração

TINTP,0.00, , , , ,

! Seleção do nó onde

será captadado o

resultado

(deslocamento nodal):

NSEL,S,NODE, ,3231,323

1,1

CM,NO1M,NODE

CMGRP,GRP,NO1M

NSEL,ALL

! Seleção dos nós onde os

resultados não serão

escritos.

NSEL,S,NODE, ,1,3230,1

NSEL,A,NODE, ,3232,17261,1

CM,TODOS,NODE

CMGRP,GRP2,TODOS

NSEL,ALL

!-Controla a saída da

solução

OUTPR,NSOL,NONE

!-Controla os dados de

solução escritos na base de

dados

OUTRES,NSOL,ALL,NO1M

OUTRES,NSOL,NONE,TODOS

!**APLICAÇÃO DA CARGA

MÓVEL:

! Criação do vetor que

calcula as cargas aplicadas

em cada

! nó da pista de rolamento:

*DIM,FS,ARRAY,19,1,1

! Loop no tempo:

TACUM=0.00001

*DO,J,1,22,1

! Loop para a aplicação

das cargas na pista:

*DO,K,1,19,1

AUX1=PAR1*EXP(-

ABS(DZ+12-

c*TACUM)/ALPHA)

AUX2=(COS(ABS(DZ+12-

c*TACUM)/ALPHA)+SIN(A

BS(DZ+12-

c*TACUM)/ALPHA))

AUX=AUX1*AUX2

*SET,FS(K,1,1),AUX

! Incremento para o

espaçamento entre os

elementos consecutivos

! que formam a pista

de rolamento:

DZ=DZ+1.0

*ENDDO

F,693,FY,FS(1,1,1)

F,694,FY,FS(2,1,1)

F,695,FY,FS(3,1,1)

F,696,FY,FS(4,1,1)

F,697,FY,FS(5,1,1)

F,698,FY,FS(6,1,1)

137

F,699,FY,FS(7,1,1)

F,700,FY,FS(8,1,1)

F,701,FY,FS(9,1,1)

F,702,FY,FS(10,1,1)

F,703,FY,FS(11,1,1)

F,704,FY,FS(12,1,1)

F,705,FY,FS(13,1,1)

F,706,FY,FS(14,1,1)

F,707,FY,FS(15,1,1)

F,708,FY,FS(16,1,1)

F,709,FY,FS(17,1,1)

F,710,FY,FS(18,1,1)

F,711,FY,FS(19,1,1)

TIME,TACUM

SOLVE

! Realimentação do loop:

F,ALL,FY,0.0

TACUM=TACUM+DT1

DZ=-9.00

*ENDDO

FINISH

6.4.7 – CARGA MÓVEL DISTRIBUÍDA SOBRE BASE ELÁSTICA COM

VÁRIOS EIXOS

! Arquivo: TREMTIPO83D.DAT

! Descrição: Passagem de carga móvel Elasticamente distribuída por

! um semi-espaço com valores do veículo tipo: Volvo B12R 6x2.

! Arquivo da geometria: halfspacehy2.dat

! Autor: Felipe Tavares da Silva - [email protected] - 26/08/2005

! dimensão da malha proposta por Lysmer (1969)

!*-Numéro de iterações

/CONFIG,NRES,40000

!*-Entra no menu Solution

/SOLU

!*-Análise Transiente-*!

ANTYPE,4

! Constantes:

138

Ep=2.0E+09

Ip=2.4E-03

EI=Ep*Ip

Kf=1.0E+08

ALPHA=(4*EI/Kf)**(1/4)

T1=70607.880

T2=104931.155

T3=51975.245

L=10.0

a=2.45

b=3.00

c=4.30

v=16.66667

PAR1=T1/(2*ALPHA)

PAR2=T2/(2*ALPHA)

PAR3=T3/(2*ALPHA)

h=0.50

!Discretização do tempo

DT1=0.0015

DT2=h/v

!-Definição da discretização do tempo

DELTIM,DT1

!Parâmetros de integração incondicionalmente estáveis

TINTP,0.00, , , , ,

! Definição do SOLVER (Gradientes conjugados pré-condicionado)

!EQSLV,PCG, ,

!6138 = 2.0 M DA SUPERFICIE

139

! Seleção do nó onde será captadado o resultado (deslocamento nodal):

NSEL,S,NODE, ,6138,6138,1

CM,NO1M,NODE

CMGRP,GRP,NO1M

NSEL,ALL

! Seleção dos nós onde os resultados não serão escritos.

NSEL,S,NODE, ,1,6137,1

NSEL,A,NODE, ,6139,9471,1

CM,TODOS,NODE

CMGRP,GRP2,TODOS

NSEL,ALL

!Seleção de elementos

ESEL,S,ELEM, ,5191,5191,1

CM,EL1,ELEM

CMGRP,GRP,EL1

ESEL,ALL

ESEL,S,ELEM, ,1,5190,1

ESEL,A,ELEM, ,5192,7600,1

CM,TODOS2,ELEM

CMGRP,GRP3,TODOS2

ESEL,ALL

!-Controla a saída da solução

OUTPR,ALL,NONE

!-Controla os dados de solução escritos na base de dados

OUTRES,NSOL,ALL,NO1M

OUTRES,NSOL,NONE,TODOS

140

OUTRES,ESOL,ALL,EL1

OUTRES,ESOL,NONE,TODOS2

!**APLICAÇÃO DA CARGA MÓVEL:

!Forma de aplicação da carga concentrada (KBC: 0=RAMPED ; 1=STEPED):

KBC,0

! Vetor que contem a distribuição das cargas

*DIM,CARGA,ARRAY,39

!Matriz com as cargas nodais equivalentes para cada elemento

*DIM,X,ARRAY,38,2,1

!Vetor com as cargas nodais equivalentes

*DIM,FEQ,ARRAY,39

*DIM,S,ARRAY,24

! Loop no tempo:

TACUM=0.00001

*DO,J,1,100,1

! Preenchimento do vetor com as ordenadas da carga distribuída nas

coordenadas nodais

Z=-20.00

*DO,I,1,39,1

S(1)=Z-v*TACUM

S(2)=Z-v*TACUM+b

141

S(3)=Z-v*TACUM+c

S(4)=Z-v*TACUM+L-a

S(5)=Z-v*TACUM+L-a+b

S(6)=Z-v*TACUM+L-a+c

S(7)=Z-v*TACUM+2*L-2*a

S(8)=Z-v*TACUM+2*L-2*a+b

S(9)=Z-v*TACUM+2*L-2*a+c

S(10)=Z-v*TACUM+3*L-3*a

S(11)=Z-v*TACUM+3*L-3*a+b

S(12)=Z-v*TACUM+3*L-3*a+c

S(13)=Z-v*TACUM+4*L-4*a

S(14)=Z-v*TACUM+4*L-4*a+b

S(15)=Z-v*TACUM+4*L-4*a+c

S(16)=Z-v*TACUM+5*L-5*a

S(17)=Z-v*TACUM+5*L-5*a+b

S(18)=Z-v*TACUM+5*L-5*a+c

S(19)=Z-v*TACUM+6*L-6*a

S(20)=Z-v*TACUM+6*L-6*a+b

S(21)=Z-v*TACUM+6*L-6*a+c

S(22)=Z-v*TACUM+7*L-7*a

S(23)=Z-v*TACUM+7*L-7*a+b

S(24)=Z-v*TACUM+7*L-7*a+c

*DO,D,1,24,1

*IF,ABS(S(D)),GE,50.00,THEN

S(D)=50.00

*ENDIF

*ENDDO

AUX01=PAR1*EXP(-ABS(S(1)))*(COS(ABS(S(1))/ALPHA)+SIN(ABS(S(1))/ALPHA))

AUX02=PAR2*EXP(-ABS(S(2)))*(COS(ABS(S(2))/ALPHA)+SIN(ABS(S(2))/ALPHA))

AUX03=PAR3*EXP(-ABS(S(3)))*(COS(ABS(S(3))/ALPHA)+SIN(ABS(S(3))/ALPHA))

142

AUX04=PAR1*EXP(-ABS(S(4)))*(COS(ABS(S(4))/ALPHA)+SIN(ABS(S(4))/ALPHA))

AUX05=PAR2*EXP(-ABS(S(5)))*(COS(ABS(S(5))/ALPHA)+SIN(ABS(S(5))/ALPHA))

AUX06=PAR3*EXP(-ABS(S(6)))*(COS(ABS(S(6))/ALPHA)+SIN(ABS(S(6))/ALPHA))

AUX07=PAR1*EXP(-ABS(S(7)))*(COS(ABS(S(7))/ALPHA)+SIN(ABS(S(7))/ALPHA))

AUX08=PAR2*EXP(-ABS(S(8)))*(COS(ABS(S(8))/ALPHA)+SIN(ABS(S(8))/ALPHA))

AUX09=PAR3*EXP(-ABS(S(9)))*(COS(ABS(S(9))/ALPHA)+SIN(ABS(S(9))/ALPHA))

AUX10=PAR1*EXP(-ABS(S(10)))*(COS(ABS(S(10))/ALPHA)+SIN(ABS(S(10))/ALPHA))

AUX11=PAR2*EXP(-ABS(S(11)))*(COS(ABS(S(11))/ALPHA)+SIN(ABS(S(11))/ALPHA))

AUX12=PAR3*EXP(-ABS(S(12)))*(COS(ABS(S(12))/ALPHA)+SIN(ABS(S(12))/ALPHA))

AUX13=PAR1*EXP(-ABS(S(13)))*(COS(ABS(S(13))/ALPHA)+SIN(ABS(S(13))/ALPHA))

AUX14=PAR2*EXP(-ABS(S(14)))*(COS(ABS(S(14))/ALPHA)+SIN(ABS(S(14))/ALPHA))

AUX15=PAR3*EXP(-ABS(S(15)))*(COS(ABS(S(15))/ALPHA)+SIN(ABS(S(15))/ALPHA))

AUX16=PAR1*EXP(-ABS(S(16)))*(COS(ABS(S(16))/ALPHA)+SIN(ABS(S(16))/ALPHA))

AUX17=PAR2*EXP(-ABS(S(17)))*(COS(ABS(S(17))/ALPHA)+SIN(ABS(S(17))/ALPHA))

AUX18=PAR3*EXP(-ABS(S(18)))*(COS(ABS(S(18))/ALPHA)+SIN(ABS(S(18))/ALPHA))

AUX19=PAR1*EXP(-ABS(S(19)))*(COS(ABS(S(19))/ALPHA)+SIN(ABS(S(19))/ALPHA))

AUX20=PAR2*EXP(-ABS(S(20)))*(COS(ABS(S(20))/ALPHA)+SIN(ABS(S(20))/ALPHA))

AUX21=PAR3*EXP(-ABS(S(21)))*(COS(ABS(S(21))/ALPHA)+SIN(ABS(S(21))/ALPHA))

AUX22=PAR1*EXP(-ABS(S(22)))*(COS(ABS(S(22))/ALPHA)+SIN(ABS(S(22))/ALPHA))

AUX23=PAR2*EXP(-ABS(S(23)))*(COS(ABS(S(23))/ALPHA)+SIN(ABS(S(23))/ALPHA))

AUX24=PAR3*EXP(-

ABS(S(24)))*(COS(ABS(S(24))/ALPHA)+SIN(ABS(S(24))/ALPHA))

U1=AUX01+AUX02+AUX03+AUX04+AUX05+AUX06

U2=AUX07+AUX08+AUX09+AUX10+AUX11+AUX12

U3=AUX13+AUX14+AUX15+AUX16+AUX17+AUX18

143

U4=AUX19+AUX20+AUX21+AUX22+AUX23+AUX24

CARGA(I)=U1+U2+U3+U4

Z=Z+0.50

*ENDDO

!Cargas resultantes no interior dos elementos da pista:

*DO,N,1,38,1

*IF,CARGA(N)*CARGA(N+1),LT,0.0,THEN

xb1=h*CARGA(N)/(CARGA(N)+CARGA(N+1))

X(N,1)=(1/2)*CARGA(N)*xb1

X(N,2)=(1/2)*CARGA(N+1)*(h-xb1)

*ELSE

R=(h/2)*(CARGA(N)+CARGA(N+1))

xb2=(h/3)*(CARGA(N)+2*CARGA(N+1))/(CARGA(N)+CARGA(N+1))

X(N,1)=R*(xb2/h)

X(N,2)=R*(1-xb2/h)

*ENDIF

*ENDDO

!Cargas nodais equivalentes nos nós da pista

FEQ(1)=X(1,2)

FEQ(39)=X(38,1)

*DO,M,2,38,1

FEQ(M)=X(M-1,2)+X(M,1)

*ENDDO

!Aplicação da força no modelo (1333 a 1371)

NOH=1333

*DO,P,1,39,1

F,NOH,FY,FEQ(P)

NOH=NOH+1

144

*ENDDO

TIME,TACUM

SOLVE

! Realimentação do loop:

TACUM=TACUM+DT2

*ENDDO

FINISH

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