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HOMOG
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ENEA EM DOM
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INIOS CIL
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INDRICOS
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AO-CIL
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INDRICOS
Regina Sayuri Kainuma
Centro de Ciˆencias Exatas
Universidade Estadual de Maring´a
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
(Mestrado)
Orientador: Alfredo Tadeu Cousin
Maring´a - Pr
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A EQUAC¸
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INIOS CIL
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INDRICOS
E N
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AO-CIL
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INDRICOS
por
Regina Sayuri Kainuma
Tese submetida ao corpo docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da
Universidade Estadual de Maring´a - UEM-PR, como parte dos requisitos necess´arios
`a obten¸c˜ao do grau de Mestre.
Aprovada por:
Prof. Alfredo Tadeu Cousin - UEM ......................................................
(Orientador)
Prof. C´ıcero Lopes Frota - UEM ......................................................
Luci Harue Fatori - UEL ......................................................
Maring´a
Agosto, 2006
ii
ads:
Este trabalho ´e dedicado ao meu esposo Rog´erio.
iii
Agradecimentos
`
A Deus, Nosso Pai, pela for¸ca de superar e cumprir mais esta etapa.
Ao meu orientador Alfredo Tadeu Cousin, pela orienta¸c˜ao e dedica¸c˜ao tornou poss´ıvel
a realiza¸c˜ao deste trabalho.
`
A professora Luci Harue Fatori, pelo encorajamento, carinho e apoio. E aos profes-
sores do DMA-UEM, pelo amparo ao aspecto profissional, pela amizade e constante
incentivo.
Ao meu esposo Rog´erio, pelo apoio e compreens˜ao.
`
A minha fam´ılia pela colabora¸c˜ao incondicional e a todos os meus amigos que sempre
me incentivaram e me apoiaram.
`
A L´ucia, secret´aria do mestrado, por sua aten¸c˜ao e paciˆencia.
iv
Resumo
Neste trabalho, estudaremos o sistema de equa¸c˜oes de Carrier n˜ao-homogˆenea em
dom´ınios cil´ındricos e n˜ao-cil´ındricos. No caso do dom´ınio cil´ındrico mostraremos
a existˆencia e decaimento exponencial da solu¸c˜ao fraca e assumindo uma maior
regularidade dos dados iniciais, a existˆencia e unicidade da solu¸c˜ao forte. Por outro
lado, no caso do dom´ınio n˜ao-cil´ındrico mostraremos a existˆencia de solu¸c˜ao fraca.
v
Abstract
In this work we study the non homogeneous system of Carrier Equation in cylin-
drical domain and non-cylindrical domain. In the cylindrical domain we prove the
existence and exponential decay of weak solution and, more regularity of initial
date the existence and uniqueness the strong solution. On the other side, in the
non-cylindrical case we show the existence of weak solution.
vi
Conte´udo
Introdu¸c˜ao 1
1 Preliminares 3
1.1 Espa¸cos Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Resultados B´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Resultados da Teoria Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Teorema do Prolongamento de Solu¸c˜oes para Equa¸c˜oes Diferenciais
Ordin´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Problema no Dom´ınio Cil´ındrico 15
2.1 Existˆencia de Solu¸c˜oes Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Decaimento Exponencial da Solu¸c˜ao Fraca . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao Forte . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Problema no Dom´ınio n˜ao Cil´ındrico 54
3.1 Existˆencia de Solu¸c˜ao Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Apˆendice 66
4.1 Teorema de Compacidade de Aubin-Lions . . . . . . . . . . . . . . . 66
vii
Introdu¸c˜ao
O problema que estudamos neste trabalho ´e baseado no artigo do L´ımaco, Clark
e Medeiros , ”On an Evolution Equation of Carrier Type in Non-Cylindrical Do-
main”, ver [11]. Nesse artigo L´ımaco, Clark e Medeiros estudaram os modelos de
Kirchhoff e de Carrier para vibra¸c˜oes amortecidas de uma corda el´astica constituida
de material n˜ao homogˆeneo, no caso onde o dom´ınio Q ´e um cilindro e tamb´em no
caso onde Q n˜ao ´e cilindro , fazendo uso do M´etodo de Penaliza¸c˜ao de Lions. Estes
modelos tem sido objeto de estudo de diversos autores, nos casos unidimensionais
ou multidimensionais, com ou sem amortecimento. A equa¸c˜ao de Kirchhoff [9] no
caso n - dimensional ´e escrita na forma
u

(x, t) − M
Ω
|∇u(x, t)|
2
dx
∆u(x, t) = 0 em Q = Ω × (0, T ) ⊂ R
n+1
,
enquanto de Carrier se escreve
u

(x, t) − M(x, t,
Ω
|u(x, t)|
2
dx
∆u(x, t) = 0 em Q.
Neste trabalho estudamos o seguinte problema misto relativo `a equa¸c˜ao de Carrier
n˜ao- homogˆenea no dom´ınio n˜ao cil´ındrico
Q
u

(x, t) −
M(x, t,
Ω
t
|u(x, t)|
2
)∆u(x, t) + δu
(x, t) = 0, em
Q
u(x, t) = 0 em
,
u(x, 0) = u
0
(x), u
(x, 0) = u
1
(x) em Ω
0
onde δ ´e um n´umero real positivo, λ ≥ 0,
M(x, t, λ) = M (x, t, λ)|
(x,t)∈Q
1
e a fun¸c˜ao M(x, t, λ) ´e uma fun¸c˜ao positiva de classe C
1
no dom´ınio cil´ındrico Q.
Nosso trabalho ´e composto de quatro cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1 apresentamos os
espa¸cos funcionais utilizados e alguns resultados b´asicos necess´arios. No cap´ıtulo
2 provamos a existˆencia e decaimento exponencial de solu¸c˜oes fracas. Com dados
mais regulares e com hi´oteses adicionais sobre a fun¸c˜ao M , provamos a existˆencia
e unicidade de solu¸c˜ao forte para o problema no dom´ınio cil´ındrico. No cap´ıtulo
3 a t´ıtulo de ilustra¸c˜ao, provamos a existˆencia de solu¸c˜ao fraca no dom´ınio n˜ao
cil´ındrico. No ´ultimo cap´ıtulo demonstramos o Teorema de Compacidade de Aubin-
Lions utilizado na se¸c˜ao 2.1.
2
Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1 Espa¸cos Funcionais
Nesta se¸c˜ao ser˜ao apresentados os espa¸cos funcionais que ser˜ao necess´arios ao tra-
balho e as nota¸c˜oes adotadas e algumas propriedades importantes.
Seja Ω um subconjunto aberto limitado do R
n
. Denotaremos por L
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞,
ao espa¸co de Banach das fun¸c˜oes u mensur´aveis definidas em Ω com valores em R,
tais que |u|
p
´e integr´avel no sentido de Lebesgue em Ω, ou seja,
L
p
(Ω) =
u : Ω −→ R; u ´e mensur´avel e
Ω
|u(x)|
p
dx < ∞
munido da norma
u
p
=
Ω
|u(x)|
p
dx
1/p
Por L
∞
(Ω), o conjunto das fun¸c˜oes mensur´aveis e essencialmente limitadas em Ω,
munido da norma
u
∞
= supess u.
No caso p = 2, L
2
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert, cujo produto interno denotamos por
(u, v) =
Ω
u(x)v(x) dx.
3
e a norma por
|u|
2
= (u, u)
Dados x = (x
1
, x
2
, · · · , x
n
) ∈ R
n
e α = (α
1
, α
2
, · · · , α
n
) ∈ N
n
, define-se
|α| =
n
i=1
α
i
Denotaremos por
D
α
=
∂
|α|
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
· · · ∂x
α
n
n
o operador deriva¸c˜ao de ordem |α|. Se α = (0, 0, · · · , 0), define-se D
0
u = u, o oper-
ador identidade.
Denotaremos por C
∞
0
(Ω) o conjunto das fun¸c˜oes u : Ω −→ R que s˜ao infinitamente
diferenci´aveis em Ω e que tem suporte compacto contido em Ω. Denotaremos por
D(Ω) o espa¸co topol´ogico (C
∞
0
(Ω), D), onde D representa a topologia do limite
indutivo. Isto ´e, muniremos D(Ω) da seguinte no¸c˜ao de convergˆencia
u
ν
−→ u em D(Ω)
se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω, tal que:
(i)supp(u
ν
) ⊂ K, ∀ν ∈ N e supp(u) ⊂ K.
(ii)∀α ∈ N
n
, D
α
u
ν
−→ D
α
u uniformemente em K.
O espa¸co D(Ω) denomina-se espa¸co das fun¸c˜oes testes. Representa-se por D
(Ω),
o espa¸co das distribui¸c˜oes vetoriais sobre Ω, isto ´e, o espa¸co vetorial formado por
todas as aplica¸c˜oes lineares e cont´ınuas de D(Ω) em R ( no sentido da convergˆencia
de D(Ω)).
Sejam m ∈ N e 1 ≤ p < ∞. Representa-se por W
m,p
(Ω) o espa¸co de todas as fun¸c˜oes
mensur´aveis u pertencentes a L
p
(Ω), tais que para todoα ∈ N
n
com |α| ≤ m, tem-se
D
α
u ∈ L
p
(Ω), sendo D
α
u a derivada no sentido das distribui¸c˜oes sobre Ω. Ou ainda,
W
m,p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω); D
α
u ∈ L
p
(Ω), ∀α ∈ N
n
com |α | ≤ m}.
4
Para cada u ∈ W
m,p
(Ω), definimos a norma de u por
u
m,p
=
|α|≤m
Ω
|D
α
u(x)|
p
dx
1/p
.
O espa¸co (W
m,p
(Ω), ·
m,p
) ´e um espa¸co de Banach, denominado espa¸co de Sobolev.
Quando p = 2, W
m,p
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert e denotado por
W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω).
Define-se o espa¸co W
m,p
0
(Ω) como sendo o fecho de C
∞
0
(Ω) em W
m,p
(Ω), isto ´e,
C
∞
0
(Ω)
W
m,p
(Ω)
= W
m,p
0
(Ω).
Em particular, denotamos
C
∞
0
(Ω)
H
m
(Ω)
= H
m
0
(Ω).
o fecho de C
∞
0
(Ω) em H
m
(Ω). O dual topol´ogico de H
m
0
(Ω) ser´a denotado por
H
−m
(Ω).
Dado H um Espa¸co de Banach, se T > 0 ´e um n´umero real e 1 ≤ p < ∞, representa-
se por L
p
(0, T ; H) o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes u : (0, T ) −→ H tais que u ´e
mensur´avel e u(t)
H
∈ L
p
(0, T ), munido da norma
u
L
p
(0,T ;H)
=
T
0
u(t)
p
H
dt
1/p
.
Se 1 < p < ∞ e H ´e reflexivo, demonstra-se que L
p
(0, T ; H) tamb´em ´e reflexivo.
Obtem-se que o dual topol´ogico de L
p
(0, T ; H) ´e o espa¸co L
p
(0, T ; H
), sendo H
o dual topol´ogico de H e p
o conjugado de p, isto ´e,
1
p
+
1
p
= 1. Se p = 2 e H ´e
um espa¸co de Hilbert, ent˜ao que L
2
(0, T ; H) ´e um espa¸co de Hilbert com produto
interno
(u, v)
L
2
(0,T ;H)
=
T
0
((u(t), v(t)))
H
dt,
5
e norma
u
2
L
2
(0,T ;H)
=
T
0
u(t)
2
H
dt.
Quando p = ∞ tem-se o espa¸co de Banach L
∞
(0, T ; H) formados pelas fun¸c˜oes
u : (0, T ) −→ H mensur´aveis e essencialmente limitadas em H, isto ´e,
supessu(t)
H
< ∞
munido da norma
u
L
∞
(0,T ;H)
= supessu(t)
H
.
Se H ´e um espa¸co de Banach separ´avel e 1 ≤ p ≤ ∞, ent˜ao L
p
(0, T ; H) tamb´em ´e
um espa¸co de Banach separ´avel.
Representamoas por D
(0, T ; H) o espa¸co das distribui¸c˜oes vetoriais sobre (0, T ) com
valores em H, ou seja, o espa¸co da aplica¸c˜oes lineares e cont´ınuas de D(0, T ) em H.
Se u ∈ L
p
(0, T ; H), 1 ≤ p < ∞, associa-se a u a distribui¸c˜ao ˜u, definida por
˜u, ϕ =
T
0
u(t)ϕ(t) dt, ϕ ∈ D(0, T ).
Demonstra-se que ˜u ´e univocamente definida por u.
Identificando-se u com ˜u, podemos dizer que
L
p
(0, T ; H) ⊂ D
(0, T ; H).
Seja u ∈ D
(0, T ; H), define-se a derivada de ordem m de u, no sentido das dis-
tribui¸c˜oes, como sendo a distribui¸c˜ao
∂
m
u
∂t
m
definida por
∂
m
u
∂t
m
, ϕ = (−1)
m
u,
∂
m
ϕ
∂t
m
, ∀ϕ ∈ D(0, T ).
6
1.2 Resultados B´asicos
Nesta se¸c˜ao, reuniremos os resultados b´asicos necess´arios para obtermos a existˆencia
e unicidade de solu¸c˜oes para problema em proposto.
Defini¸c˜ao 1.1 Dizemos que u
ν
−→ u quase sempre em Ω se u
ν
(t) −→ u(t) para
quase todo t ∈ Ω.
Teorema 1.2 (Teorema de Lebesgue) Seja (u
ν
)
ν∈N
uma sequˆencia de fun¸c˜oes
integr´aveis num aberto Ω ⊂ R
n
, convergente quase sempre para a fun¸c˜ao u. Se
existir uma fun¸c˜ao u
0
tal que |u
ν
| ≤ u
0
quase sempre ∀ν ∈ N, ent˜ao u ´e integr´avel
e tem-se
u = lim
ν−→∞
u
ν
.
Proposi¸c˜ao 1.3 (Desigualdade de Young) Seja 1 < p, p
< ∞,
1
p
+
1
p
= 1.
Ent˜ao
ab ≤
a
p
p
+
b
p
p
(a, b > 0).
Proposi¸c˜ao 1.4 (Desigualdade de Holder) Se u ∈ L
p
(Ω) e v ∈ L
p
(Ω) ent˜ao
uv ∈ L
1
(Ω) e tem-se a desigualdade
Ω
|uv| ≤ u
L
p
(Ω)
v
L
p
(Ω)
,
onde 1 ≤ p ≤ ∞ e
1
p
+
1
p
= 1.
Proposi¸c˜ao 1.5 (Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz) Sejam 1 < p < ∞,
ϕ ∈ (L
p
(Ω))
e
1
p
+
1
p
= 1. Ent˜ao existe uma ´unica u ∈ L
p
(Ω) tal que
ϕ, v =
Ω
u(x)v(x)dx, ∀ v ∈ L
p
(Ω) e u
L
p
(Ω)
= ϕ
(L
p
(Ω))
.
7
Defini¸c˜ao 1.6 Seja E um Espa¸co de Banach. A topologia fraca σ(E, E
) sobre E
´e a topologia menos fina sobre E que torna cont´ınua todas as aplica¸c˜oes f ∈ E
.
Se (x
n
)
n∈N
´e uma sequˆencia de E a qual converge para x em E na topologia fraca
σ(E, E
), dizemos que
x
n
x em E.
Proposi¸c˜ao 1.7 Seja (x
n
)
n∈N
uma sequˆencia em E. Ent˜ao verifica-se:
(i) x
n
x em E se, e somente se, f, x
n
−→ f, x ∀f ∈ E
.
(ii) Se x
n
−→ x em E, ent˜ao x
n
x em E.
(iii) Se x
n
x em E, ent˜ao x
n
E
´e limitada e x
E
≤ lim inf x
n
E
.
(iv) Se x
n
x em E e f
n
−→ f em E
, ent˜ao f
n
, x
n
−→ f, x.
Teorema 1.8 (Teorema de Banach-Steinhauss) Seja E um Espa¸co de Banach
e F um espa¸co normado. Dada uma sequencia f
n
∈ L(E, F ) tal que para todo x ∈ E,
existe f(x) = lim
n−→∞
f
n
(x) ent˜ao:
(i) sup f
n
< ∞.
(ii) f ∈ L(E, F ).
(iii) f ≤ lim inf f
n
.
Seja E um Espa¸co de Banach e seja x ∈ E fixo. Definamos J
x
: E
−→ R por
J
x
, f = f, x .
As aplica¸c˜oes J
x
s˜ao lineares e cont´ınuas, portanto J
x
∈ E

, ∀x ∈ E.
Definamos agora, J : E −→ E

tal que J(x) = J
x
.
8
Defini¸c˜ao 1.9 A topologia fraca ∗ tamb´em designada por σ(E
, E) ´e a topologia
menos fina sobre E
que torna cont´ınua todas as aplica¸c˜oes J
x
.
Quando (f
n
)
n∈N
´e uma sequˆencia de E
, a qual converge para f em E
na topologia
fraca ∗ σ(E, E
), denotaremos
f
n
∗
f em E
.
Proposi¸c˜ao 1.10 Seja (f
n
)
n∈N
uma sequˆencia em E
. Ent˜ao se verifica:
(i) f
n
∗
f em E
se, e somente se, f
n
, x −→ f, x ∀x ∈ E.
(ii) Se f
n
−→ f em E
, ent˜ao f
n
f em E
.
(iii) Se f
n
f em E
, ent˜ao f
n
∗
f em E
.
Lema 1.11 Seja E um Espa¸co de Banach reflexivo e seja (x
n
)
n∈N
uma sequˆencia
limitada em E. Ent˜ao, existe uma subsequˆencia (x
n
k
)
k∈N
tal que
x
n
x em E.
Lema 1.12 Seja E um Espa¸co de Banach separ´avel e seja (f
n
)
n∈N
uma sequˆencia
limitada em E
. Ent˜ao, existe uma subsequˆencia (f
n
k
)
k∈N
tal que
f
n
∗
f em E
.
Lema 1.13 (Lema de Du Bois Raymond) Seja Ω um subconjunto aberto do R
n
e seja f ∈ L
1
loc
(Ω) tal que
Ω
f(x)ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Ent˜ao f = 0 quase sempre em Ω.
9
Teorema 1.14 (Imers˜ao de Sobolev) Seja Ω um subconjunto aberto do R
n
. Ent˜ao
H
m
(Ω) → C
k
(
¯
Ω), se m >
n
2
+ k.
Obs.: → indica imers˜ao cont´ınua.
Teorema 1.15 (Teorema de Rellich Kondrachov) Seja Ω um subconjunto aberto
limitado do R
n
, Ω de classe C
1
e 1 ≤ p ≤ ∞. Ent˜ao
se p < n ent˜ao W
1,p
(Ω)
c
→ L
q
(Ω), ∀q ∈ [1, p
∗
[ donde
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
,
se p = n ent˜ao W
1,p
(Ω)
c
→ L
q
(Ω), ∀q ∈ [1, +∞[,
se p > n ent˜ao W
1,p
(Ω)
c
→ C(Ω).
Obs.:
c
→ indica imers˜ao compacta.
Teorema 1.16 (Desigualdade de Poincar´e) Suponhamos que Ω seja um aberto
limitado do R
n
. Ent˜ao para todo 1 ≤ p < ∞, existe uma constante C (dependendo
da medida de Ω e de p) tal que
u
p
≤ C∇u
p
, ∀u ∈ W
1,p
0
(Ω).
Como consequˆencia da desigualdade de Poincar´e, a express˜ao ∇u
p
´e uma norma
em W
1,p
0
(Ω), equivalente a norma u
1,p
. Em H
1
0
(Ω) a express˜ao
Ω
∇u∇vdx =
n
i=1
Ω
∂u
∂x
i
∂v
∂x
i
dx define um produto interno que induz a norma ∇u
2
equivalente a
norma de u
H
1
.
Estes resultados acima podem ser encontrados em [1].
10
Lema 1.17 (Lema de Gronwall) Sejam ϕ ∈ L
∞
(0, T ) e β ∈ L
1
(0, T ) tais que
β > 0, ϕ ≥ 0 e K ≥ 0 uma constante. Se
ϕ(t) ≤ K +
t
0
β(s)ϕ(s) ds, ∀t ∈ [0, T ],
ent˜ao tem-se
ϕ(t) ≤ Ke
t
0
β(s) ds
, ∀t ∈ (0, T ).
Demonstra¸c˜ao: : Ver [4]
Lema 1.18 Sejam X e Y Espa¸cos de Banach tais que X → Y. Se
u ∈ L
1
(0, T ; X) e u
∈ L
1
(0, T ; Y ),
ent˜ao
u ∈ C([0, T ]; Y ).
Demonstra¸c˜ao: : Ver [14]
11
1.3 Resultados da Teoria Espectral
A seguir ser´a apresentado o Teorema Espectral, essencial na obten¸c˜ao do problema
aproximado, isto ´e, na obten¸c˜ao da proje¸c˜ao do problema em estudo, em um espa¸co
de dimens˜ao finita. Para maiores detalhes, bem como as demonstra¸c˜oes dos resul-
tados aqui apresentados, remetemos o leitor ao texto de Milla Miranda [15].
Sejam V e H dois Espa¸cos de Hilbert complexos, cujos produtos internos e normas
ser˜ao denotados por ( · , · )
V
, | · |
V
e ( · , · )
H
, | · |
H
, respectivamente. Suponhamos
que:
(1) V ´e denso em H;
(2) V → H com imers˜ao compacta;
(3) Est´a definida uma forma sesquilinear e cont´ınua a(u, v) em V × V ;
(4) Existem α
0
e α em R, com α > 0, tais que
Re[a(v, v) + α
0
(v, v)] ≥ α|v|
2
V
, ∀v ∈ V ;
(5) a(u, v) ´e hermitiana.
(6) A denota o operador definido pela terna (V, H, a(u, v));
Teorema 1.19 (Teorema Espectral) Nas hip´oteses estabelecidas acima obtemos:
(i) A ´e auto-adjunto e existe um sistema ortonormal e completo (ω
ν
)
ν∈N
(os ω
ν
formam uma cole¸c˜ao enumer´avel) de H constitu´ıdos por vetores pr´oprios de
A.
(ii) Se (λ
ν
)
ν∈N
s˜ao os valores pr´oprios de A correspondentes a sequˆencia (ω
ν
)
ν∈N
ent˜ao 0 < λ
1
≤ λ
2
≤ · · · ≤ λ
ν
≤ · · · e λ
ν
−→ ∞ quando λ → ∞.
(iii) O dom´ınio de A ´e dado por
D(A) =
u ∈ H;
∞
ν=1
λ
2
ν
|(u, ω
ν
)|
2
< ∞
.
12
(iv)
Au =
∞
ν=1
λ
ν
(u, ω
ν
)ω
ν
.
Demonstra¸c˜ao: Ver [16]
Corol´ario 1.20 Se a(u, v) ´e coerciva, o sistema (ω
ν
)
ν∈N
´e ortogonal e completo em
V. Al´em disto a(u, v) define um produto interno em V, equivalente ao produto interno
( · , · )
V
.
13
1.4 Teorema do Prolongamento de Solu¸c˜oes para
Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias
Para obtermos a solu¸c˜ao para o problema aproximado, o qual ser´a utilizado no
cap´ıtulo seguinte para resolver o problema em quest˜ao, necessitaremos dos resultados
a seguir, os quais podem ser encontrados em [3] e [5].
Seja Ω um subconjunto aberto de R
n+1
cujos elementos s˜ao denotados por (t, x),
t ∈ R, x ∈ R
n
e seja f : Ω −→ R
n
uma fun¸c˜ao.
Consideremos o problema de valor inicial
x
(t) = f (t, x(t))
x(t
0
) = x
0
.
(1.1)
Diz-se que f : Ω −→ R
n
satisfaz as condi¸c˜oes de Caratheodory sobre Ω se:
(i) f (t, x) ´e mensur´avel em t para cada x fixado;
(ii) f (t, x) ´e cont´ınua em x para quase todo t fixado;
(iii) para cada compacto K ⊂ Ω, existe uma fun¸c˜ao real m
K
(t) integr´avel tal que
|f(t, x)|
R
n
≤ m
K
(t), ∀(t, x) ∈ K .
Teorema 1.21 (Teorema de Caratheodory) Seja f : Ω −→ R
n
satisfazendo as
condi¸c˜oes de Caratheodory sobre Ω. Ent˜ao existe uma solu¸c˜ao x(t) de (1.1) sobre
algum intervalo |t − t
0
| ≤ β (β > 0).
Lema 1.22 Seja Ω = [0, T ) × B com T > 0 e B = {x ∈ R
n
; |x| ≤ b}, b > 0.
Seja f : Ω −→ R
n
nas condi¸c˜oes de Caratheodory sobre Ω. Suponhamos que x(t)
´e uma solu¸c˜ao de (1.2) tal que |x
0
| ≤ b e que em qualquer intervalo I, onde x(t)
est´a definida, se tenha |x(t)| ≤ M, ∀t ∈ I, M independente de I e M < b. Ent˜ao x
possui um prolongamento em [0, T ].
14
Cap´ıtulo 2
Problema no Dom´ınio Cil´ındrico
2.1 Existˆencia de Solu¸c˜oes Fracas
Seja Ω ⊂ R
n
, onde Ω ´e um aberto limitado com fronteira bem regular Γ e ´e uma su-
perf´ıcie n−1 dimensional de classe C
1
. Representaremos por Q = Ω × (0, T )⊂ R
n+1
,
T > 0 o cilindro com fronteira lateral
= Γ × (0, T ). Em Q considere o seguinte
problema de valor inicial e fronteira:
u

(x, t) − M(x, t,
Ω
|u(x, t)|
2
dx)∆u(x, t) + δu
(x, t) = 0, em Q
u(x, t) = 0 em
,
u(x, 0) = u
0
(x), u
(x, 0) = u
1
(x) em Ω
(2.1)
onde δ ´e um n´umero real positivo.
Formulamos a seguir as hip´oteses para obter a existˆencia de solu¸c˜oes para o problema
(2.1).
Hip´oteses 2
• M (x, t, λ) ´e uma fun¸c˜ao real de classe C
1
com x ∈ Ω, t ≥ 0, λ ≥ 0,
• M (x, t, λ) ≥ m
0
> 0,
•
∂M
∂λ
R
≤ C
1
|λ|
p−1
R
,
15
•
∂M
∂t
R
+ |∇M|
R
≤ C
2
|λ|
p
R
.
onde C
1
, C
2
, m
0
s˜ao constantes positivas e p ≥ 1.
´
E preciso estabelecer uma defini¸c˜ao de solu¸c˜ao fraca para o problema (2.1), o que
faremos motivados pelos c´alculos formais a seguir:
Seja v ∈ H
1
0
(Ω). Tomando o produto interno de L
2
(Ω) da equa¸c˜ao em (2.1) por v
obtemos
Ω
u

(x, t)v(x)dx −
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t)v(x)dx + δ
Ω
u
(x, t)v(x)dx = 0
Seja θ ∈ D(0, T ). Multiplicando-se e integrando-se de 0 a T a identidade acima
tem-se
T
0
Ω
u

(x, t)v(x)θ(t)dxdt −
T
0
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t)v(x)θ(t)dxdt
+ δ
T
0
Ω
u
(x, t)v(x)θ(t)dxdt = 0. (2.2)
Integrando a primeira parcela por partes e aplicando o Teorema de Green na segunda
parcela temos
I
1
=
T
0
Ω
u

(x, t)v(x)θ(t)dxdt = −
T
0
Ω
u
(x, t)v(x)θ
(t)dxdt
e
I
2
= −
T
0
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t)v(x)θ(t)dxdt
=
T
0
[−
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t)v(x)dx]θ(t)dt
=
T
0
Ω
[∇M(x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t)]v(x)θ(t)dxdt +
T
0
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)v(x)[∇u(x, t)∇v(x)]θ(t)dxdt.
16
Substituindo I
1
e I
2
em (2.2) tem-se
−
T
0
Ω
u
(x, t)v(x)θ
(t)dxdt +
T
0
Ω
[∇M(x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t)]v(x)θ(t)dxdt
+
T
0
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)v(x)[∇u(x, t)∇v(x)]θ(t)dxdt
+δ
T
0
Ω
u
(x, t)v(x)θ(t)dxdt = 0 ∀ v ∈ H
1
0
(Ω) ∀ θ ∈ D(0, T ).
Isto posto, vamos estabelecer o conceito solu¸c˜ao fraca para um problema (2.1) como
segue:
Defini¸c˜ao 2.1 Seja u : Q −→ R uma fun¸c˜ao. Dizemos que u ´e uma solu¸c˜ao fraca
do problema de valor inicial e fronteira (2.1) na classe
u ∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)) e u
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) , T > 0
quando u satisfaz a seguinte identidade integral:
−
T
0
Ω
u
(x, t)v(x)θ
(t)dxdt +
T
0
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)[∇u(x, t)∇v(x)]θ(t)dxdt
+
T
0
Ω
[∇M(x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t)]v(x)θ(t)dxdt + δ
T
0
Ω
u
(x, t)v(x)θ(t)dxdt = 0
∀ v ∈ H
1
0
(Ω) ∀ θ ∈ D(0, T )
e as condi¸c˜oes iniciais
u(x, 0) = u
0
(x) e u
(x, 0) = u
1
(x).
Aqui, D(0, T ) ´e o espa¸co de fun¸c˜oes C
∞
0
, ou seja fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis,
com suporte compacto em (0, T ).
O Teorema principal deste cap´ıtulo ´e enunciado a seguir:
Teorema 2.2 Suponhamos v´alidas as hip´oteses 2. Sejam u
0
∈ H
1
0
(Ω) ,
u
1
∈ L
2
(Ω) tais que C
5
[H(0)]
p
<
m
0
δ
10
onde C
5
´e uma constante positiva que depende
de p, δ, C
1
, C
2
e da imers˜ao H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω) e
H(0) =
1
2
|u
1
|
2
+
δ
2
(u
1
, u
0
) +
δ
2
4
|u
0
|
2
+
Ω
M(x, 0, |u
0
|
2
)|∇u
0
(x)|
2
R
dx
.
17
Ent˜ao, existe pelo menos uma solu¸c˜ao fraca do problema de valor inicial e fronteira
(2.1).
Demonstra¸c˜ao: A existˆencia de solu¸c˜ao do problema (2.1) ser´a obtida pela uti-
liza¸c˜ao do m´etodo de Galerkin. Tal m´etodo consiste em aproximar o problema
projetando-o em espa¸cos adequados de dimens˜ao m para cada m ∈ N. Obtem-se as-
sim uma sequˆencia de problemas os quais satisfazem as condi¸c˜oes da Teoria Geral das
Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias mais precisamente pelo Teorema de Caratheodory
donde extrairemos solu¸c˜oes aproximadas locais em t a qual, atrav´es das estimativas
a priori, independentes de t, nos permite extender as solu¸c˜oes locais ao intervalo
(0, T ), T > 0. Desta forma, obtemos uma sucess˜ao de fun¸c˜oes (u
m
)
m∈N
, a qual
em seguida mostraremos que converge para a solu¸c˜ao problema considerado inicial-
mente. Verificaremos tamb´em que esta solu¸c˜ao satisfaz as condi¸c˜oes iniciais dadas
no teorema.
Solu¸c˜oes Aproximadas
Sendo H
1
0
(Ω) um espa¸co de Hilbert separ´avel , ele possui uma base que ´e uma
sequˆencia de vetores (w
ν
)
ν∈N
, pertencentes a H
1
0
(Ω), satisfazendo as condi¸c˜oes:
∀m ∈ N, w
1
, w
2
, ..., w
m
s˜ao linearmente independentes.
As combina¸c˜oes lineares finitas dos w
ν
s˜ao densas em H
1
0
(Ω).
Para cada m ∈ N, denotamos por V
m
= [w
1
, w
2
, ..., w
m
] o espa¸co gerado pelos m
primeiros vetores desta base. Queremos encontrar uma fun¸c˜ao
u
m
: [0, t
m
) −→ V
m
t −→ u
m
(t) =
m
i=1
g
im
(t)w
i
18
que satisfa¸ca o seguinte problema aproximado
(u

m
(t), w
j
) + (M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), ∇w
j
) + (∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), w
j
)
+δ(u
m
(t), w
j
) = 0
u
m
(x, 0) = u
0m
(x) =
m
i=1
α
im
w
i
; u
0m
−→ u
0
em H
1
0
(Ω),
u
m
(x, 0) = u
1m
(x) =
m
i=1
β
im
w
i
; u
1m
−→ u
1
em L
2
(Ω).
(2.3)
Pela defini¸c˜ao de base Hilbertiana, a sucess˜ao (w
ν
)
ν∈N
satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
a) ||w
i
|| = 1, ∀ i = 1, ..., m e ((w
i
, w
j
)) = 0, ∀j = 1, ..., m; i = j
b) [w
1
, w
2
, ..., w
m
] ´e denso em H
1
0
(Ω).
Como ((w
i
, w
j
)) = 0 ent˜ao (w
i
, w
j
) = 0 , i = j.
Note que,
(i) (u

m
(t), w
j
) =
m
i=1
g

im
(t)w
i
, w
j
=
m
i=1
g

im
(t)(w
i
, w
j
) = g

im
(t)|w
j
|
2
.
(ii) δ(u
m
(t), w
j
) = δ
m
i=1
g
im
(t)w
i
, w
j
= δ
m
i=1
g
im
(t)(w
i
, w
j
) = δg
im
(t)|w
j
|
2
.
(iii) |u
m
(t)|
2
= (u
m
(t), u
m
(t)) =
m
i=1
g
im
(t)w
i
,
m
i=1
g
jm
(t)w
j
=
n
i=1
m
j=1
g
im
(t)g
jm
(t)(w
i
, w
j
) =
m
j=1
g
2
jm
(t)|w
j
|
2
.
(iv) ∇u
m
(t) = ∇
m
i=1
g
im
(t)w
i
=
m
i=1
g
im
(t)∇w
i
.
(v) (M (t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), ∇w
j
) =
M
t,
m
j=1
g
2
jm
(t)|w
j
|
2
m
i=1
g
im
(t)∇w
i
, ∇w
j
=
m
i=1
g
im
(t)
M
t,
m
j=1
g
2
jm
(t)|w
j
|
2
∇w
i
, ∇w
j
.
(vi) (∇M (t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), w
j
) =
∇M
t,
m
j=1
g
2
jm
(t)|w
j
|
2
m
i=1
g
im
(t)∇w
i
, w
j
=
m
i=1
g
im
(t)
∇M
t,
m
j=1
g
2
jm
(t)|w
j
|
2
∇w
i
, w
j
.
19
Pelo fato de u
m
(0) = u
0m
e u
m
(0) = u
1m
resulta que:
m
i=1
g
im
(0)w
i
=
m
i=1
α
im
w
i
.
Compondo-se com w
j
tem-se:
m
i=1
g
im
(0)w
i
, w
j
=
m
i=1
α
im
w
i
, w
j
Logo,
m
i=1
g
im
(0)(w
i
, w
j
) =
m
i=1
α
im
(w
i
, w
j
)
segue que
g
jm
(0)|w
j
|
2
= α
jm
|w
j
|
2
Obtemos ent˜ao,
g
jm
(0) = α
jm
, ∀j = 1 , ..., m.
Analogamente temos,
g
jm
(0) = β
jm
, ∀j = 1 , ..., m.
De (i), ..., (vi) obtemos o seguinte sistema, que ´e equivalente ao problema aproxi-
mado (2.3)
g

im
(t)|w
j
|
2
+
m
i=1
g
im
(t)
M
t,
m
j=1
g
2
jm
(t)|w
j
|
2
∇w
i
, ∇w
j
+
m
i=1
g
im
(t)
∇M
t,
m
j=1
g
2
jm
(t)|w
j
|
2
∇w
i
, w
j
+ δg
im
(t)|w
j
|
2
= 0
g
jm
(0) = α
jm
, g
jm
(0) = β
jm
, ∀j = 1, ..., m
Para cada m ∈ N, o sistema acima possui solu¸c˜ao local em algum intervalo (0, t
m
),
garantida pelo Teorema de Caratheodory.
A seguir, ser˜ao obtidas estimativas a priori, podendo assim, estender a solu¸c˜ao no
intervalo (0, T ) e passarmos o limite quando m −→ +∞.
20
Estimativas a priori
Agora estudaremos duas desigualdades imp ortantes que depois de combinadas, fornecer˜ao
estimativas suficientes para o prolongamento das solu¸c˜oes locais e a seguir permi-
tir˜ao tomar o limite quando m −→ +∞.
Por quest˜ao de simplificar as nota¸c˜oes, omitiremos temporariamente os ´ındices m,
denotando u
m
simplesmente por u.
Desigualdade I: Multipliquemos a equa¸c˜ao (2.3) por g
jm
(t). A seguir, somamos
em j = 1, ..., m obtendo
u

(t),
m
j=1
g
jm
(t)w
j
+
M(t, |u(t)|
2
)∇u(t),
m
j=1
g
jm
(t)∇w
j
+
∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t),
m
j=1
g
jm
(t)w
j
+ δ
u
(t),
m
j=1
g
jm
(t)w
j
= 0.
Sendo u(t) =
m
j=1
g
jm
(t)w
j
temos
(u

(t), u
(t)) + (M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇u
(t)) + (∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), u
(t))
+ δ(u
(t), u
(t)) = 0. (2.4)
Observemos que
I
3
= (u

(t), u
(t)) =
1
2
d
dt
|u
(t)|
2
.
A segunda parcela
I
4
= (M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇u
(t))
ser´a analisada como segue: por deriva¸c˜ao em t, temos
d
dt
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx =
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
+
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)
d
dt
|u(t)|
2
|∇u(x, t)|
2
R
dx + 2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t)∇u
(x, t)dx.
21
Lembrando que
d
dt
|u(t)|
2
= 2(u(t), u
(t))
e reescrevemos I
4
.
I
4
= (M (t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇u
(t))
=
1
2
d
dt
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx −
1
2
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
−
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
(u(t), u
(t)).
Substituindo I
3
e I
4
em (2.4) temos
1
2
d
dt
|u
(t)|
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
+ δ|u
(t)|
2
=
−
Ω
∇M(x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t)u
(x, t)dx +
1
2
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
+
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
(u(t), u
(t)). (2.5)
Denotemos
I
5
= −
Ω
∇M(x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t)u
(x, t)dx.
Usando as hip´oteses sobre a fun¸c˜ao M e a desigualdade de Schwarz tem-se
I
5
≤
Ω
|∇M(x, t, |u(t)|
2
)|
R
|∇u(x, t)|
R
|u
(x, t)|
R
dx
≤ C
2
|u(t)|
2p
Ω
|∇u(x, t)|
R
|u
(x, t)|
R
dx
≤ C
2
|u(t)|
2p
Ω
|∇u(x, t)|
2
R
dx
1
2
Ω
|u
(x, t)|
2
R
dx
1
2
= C
2
|u(t)|
2p
|∇u(t)||u
(t)|
≤ C
2
|u(t)|
2p−1
|u(t)|u(t)|u
(t)|.
Da imers˜ao
H
1
0
(Ω)
→
L
2
(Ω) que ´e cont´ınua existe uma constante
C >
0 tal que
|u(t)| ≤ Cu(t). Substintuindo em I
5
tem-se:
I
5
≤ C
2
|u(t)|
2p−1
Cu(t)u(t)|u
(t)|
= CC
2
|u(t)|
2p−1
u(t)
2
|u
(t)|
22
Denotando
I
6
=
1
2
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
e usando mais uma vez as hip´oteses sobre M , obtemos
I
6
≤
1
2
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)
R
|∇u(x, t)|
2
R
dx
≤
1
2
C
2
|u(t)|
2p
Ω
|∇u(x, t)|
2
R
dx
=
C
2
2
|u(t)|
2p
u(t)
2
.
Denotemos I
7
a ´ultima parcela de (2.4) por
I
7
=
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx(u(t), u
(t)).
Usando a desigualdade de Schwarz e ainda as hip´oteses sobre M, segue
I
7
≤
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)
R
|
2
|∇u(x, t)|
2
R
dx|(u(t), u
(t))|
R
≤ C
1
|u(t)|
2p−2
Ω
|∇u(x, t)|
2
R
dx|u(t)||u
(t)|
= C
1
|u(t)|
2p−2
u(t)
2
|u(t)||u
(t)|
= C
1
|u(t)|
2p−1
u(t)
2
|u
(t)|.
Substituindo I
5
, I
6
e I
7
em (2.5) obtemos
1
2
d
dt
|u
(t)|
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
+ δ|u
(t)|
2
≤ CC
2
|u(t)|
2p−1
u(t)
2
|u
(t)| +
C
2
2
|u(t)|
2p
u(t)
2
+ C
1
|u(t)|
2p−1
u(t)
2
|u
(t)|
= u(t)
2
CC
2
|u(t)|
2p−1
|u
(t)| +
C
2
2
|u(t)|
2p
+ C
1
|u(t)|
2p−1
|u
(t)|
≤ u(t)
2
C
1
+
C +
1
2
C
2
|u(t)|
2p−1
|u
(t)| + |u(t)|
2p
= C
3
u(t)
2
|u(t)|
2p−1
|u
(t)| + |u(t)|
2p
(2.6)
onde C
3
= C
1
+
C +
1
2
C
2
.
23
Desigualdade II: Multipliquemos a equa¸c˜ao (2.3) por g
jm
(t) e somando desde
j = 1, ..., m tem-se
u

(t),
m
j=1
g
jm
(t)w
j
+
M(t, |u(t)|
2
)∇u(t),
m
j=1
g
jm
(t)∇w
j
+
∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t),
m
j=1
g
jm
(t)w
j
+ δ
u
(t),
m
j=1
g
jm
(t)w
j
= 0.
obtendo-se ent˜ao
(u

(t), u(t)) + (M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇u(t)) + (∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), u(t))
+ δ(u
(t), u(t)) = 0. (2.7)
Observemos que
d
dt
(u
(t), u(t)) = (u

(t), u(t)) + (u
(t), u
(t))
ent˜ao segue que
I
8
= (u

(t), u(t)) =
d
dt
(u
(t), u(t)) − |u
(t)|
2
.
Substituindo I
8
em (2.7) e usando as hip´oteses sobre M, a desigualdade de Schwarz
e da imers˜ao H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω), obtemos
d
dt
(u
(t), u(t)) +
δ
2
|u(t)|
2
− |u
(t)|
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
|∇u(x, t)|
2
R
dx
= −
Ω
∇M(x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t)u(x, t)dx
≤
Ω
|∇M(x, t, |u(t)|
2
)|
R
|∇u(x, t)|
R
|u(x, t)|
R
dx
≤ C
2
|u(t)|
2p
Ω
|∇u(x, t)|
R
|u(x, t)|
R
dx
≤ C
2
|u(t)|
2p
Ω
|∇u(x, t)|
2
R
dx
1
2
Ω
|u(x, t)|
2
R
dx
1
2
= C
2
|u(t)|
2p
u(t)|u(t)|
≤ C
2
|u(t)|
2p
u(t)Cu(t)
= CC
2
|u(t)|
2p
u(t)
2
. (2.8)
24
Note que
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx =
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
+
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx.
Da hip´otese 2, temos que a fun¸c˜ao M ´e tal que M(x, t, λ) ≥ m
0
> 0. Logo,
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
≥
m
0
2
Ω
|∇u(x, t)|
2
R
dx +
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
≥
m
0
2
u(t)
2
+
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx. (2.9)
Das desigualdades (2.8) e (2.9) temos a seguinte desigualdade:
d
dt
(u
(t), u(t)) +
δ
2
|u(t)|
2
− |u
(t)|
2
+
m
0
2
u(t)
2
+
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx ≤ CC
2
|u(t)|
2p
u(t)
2
. (2.10)
A seguir atrav´es das desigualdades I e II obteremos as estimativas para estender a
solu¸c˜ao `a todo intervalo [0, T ].
Estimativa I: Multipliquemos a desigualdade (2.10) por
δ
4
e obtemos
δ
4
d
dt
(u
(t), u(t)) +
δ
2
|u(t)|
2
−
δ
4
|u
(t)|
2
+
δm
0
8
u(t)
2
+
δ
8
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx ≤
δCC
2
4
|u(t)|
2p
u(t)
2
. (2.11)
Somando as desigualdades (2.6) e (2.11) tem-se
1
2
d
dt
|u
(t)|
2
+
δ
2
(u
(t), u(t)) +
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx +
δ
2
4
|u(t)|
2
+
3δ
4
|u
(t)|
2
+
m
0
δ
8
u(t)
2
+
δ
8
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
≤
CC
2
δ
4
|u(t)|
2p
u(t)
2
+ C
3
u(t)
2
|u(t)|
2p−1
|u
(t)| + |u(t)|
2p
= u(t)
2
CC
2
δ
4
|u(t)|
2p
+ C
3
|u(t)|
2p−1
|u
(t)| + C
3
|u(t)|
2p
.
25
Obtendo-se ent˜ao
1
2
d
dt
|u
(t)|
2
+
δ
2
(u
(t), u(t)) +
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx +
δ
2
4
|u(t)|
2
+
3δ
4
|u
(t)|
2
+ u(t)
2
m
0
δ
8
−
C
3
+
CC
2
δ
4
|u(t)|
2p
− C
3
|u(t)|
2p−1
|u
(t)|
+
δ
8
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx ≤ 0. (2.12)
Denotemos por H(t) = H(u(t)) e γ(t) = γ(u(t)) as seguintes fun¸c˜oes
H(t) =
1
2
|u
(t)|
2
+
δ
2
(u
(t), u(t)) +
δ
2
4
|u(t)|
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
(2.13)
γ(t) = C
3
|u(t)|
2p−1
|u
(t)| + C
4
|u(t)|
2p
(2.14)
onde C
4
= C
3
+
CC
2
δ
4
.
Substituindo (2.13) e (2.14) em (2.12) tem-se
d
dt
H(t) +
3δ
4
|u
(t)|
2
+
δ
8
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
+ u(t)
2
m
0
δ
8
− γ(t)
≤ 0. (2.15)
A seguir, mostraremos que a fun¸c˜ao H(t) ´e n˜ao negativa. Usando a desigualdade de
Young observemos que
δ
4
(u
(t), u(t))
≤
δ
4
Ω
|u
(x, t)|
R
|u(x, t)|
R
dx
=
1
2
Ω
|u
(x, t)|
R
δ
2
|u(x, t)|
R
dx
≤
1
2
1
2
Ω
|u
(x, t)|
2
R
+
1
2
δ
2
4
|u(x, t)|
2
R
dx
=
1
4
|u
(t)|
2
+
δ
2
16
|u(t)|
2
. (2.16)
De (2.13) e (2.16) tem-se
H(t) ≥
1
2
|u
(t)|
2
−
1
4
|u
(t)|
2
−
δ
2
16
|u(t)|
2
+
δ
2
8
|u(t)|
2
+
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
=
1
4
|u
(t)|
2
+
δ
2
16
|u(t)|
2
+
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx. (2.17)
26
Da hip´otese 2 temos que a fun¸c˜ao M ´e extremamente positiva ent˜ao de (2.17) temos
que
H(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0. (2.18)
Com isso da desigualdade (2.17) tem-se:
H(t) ≥
1
4
|u
(t)|
2
ou seja,
|u
(t)| ≤ 2 (H(t))
1
2
. (2.19)
Tamb´em de (2.17) temos
H(t) ≥
δ
2
16
|u(t)|
2
e como δ > 0 obtemos
|u(t)| ≤
4 (H(t))
1
2
δ
. (2.20)
De (2.14), (2.19) e (2.20) tem-se
γ(t) = C
3
|u(t)|
2p−1
|u
(t)| + C
4
|u(t)|
2p
≤ C
3
4 (H(t))
1
2
δ
2p−1
2 (H(t))
1
2
+ C
4
4 (H(t))
1
2
δ
2p
= C
3
16
p
[H(t)]
p−
1
2
δ
4δ
2p
2 (H(t))
1
2
+ C
4
16
p
[H(t)]
p
4δ
2p
= C
3
16
p
δ [H(t)]
p
2δ
2p
+ C
4
16
p
[H(t)]
p
4δ
2p
=
16
p
2δ
2p
C
3
δ +
C
4
2
[H(t)]
p
segue que
γ(t) ≤ C
5
[H(t)]
p
, ∀t ≥ 0 (2.21)
onde
C
5
=
16
p
2δ
2p
C
3
δ +
C
4
2
.
27
Por outro lado, como δ > 0 e da hip´otese sobre M tem-se da desigualdade (2.15)
que
d
dt
H(t) + u(t)
2
m
0
δ
8
− γ(t)
≤ 0. (2.22)
Agora, mostraremos que a fun¸c˜ao H(t) ´e limitada para todo t ≥ 0. De fato, se
provarmos que γ(t) ≤
m
0
δ
8
, ∀t ≥ 0 ent˜ao de (2.22) vem
d
dt
H(t) ≤ 0 , ∀t ≥ 0.
Integrando de 0 a t tem-se:
t
0
d
ds
H(s)ds ≤ 0
e obtemos H(t) ≤ H(0) onde
H(0) =
1
2
|u
1
|
2
+
δ
2
(u
1
, u
0
) +
δ
2
4
|u
0
|
2
+
Ω
M(x, 0, |u
0
|
2
)|∇u
0
(x)|
2
R
dx
com u
0
∈ H
1
0
e u
1
∈ L
2
(Ω). Por hip´otese temos que C
5
[H(0)]
p
≤
m
0
δ
10
, ent˜ao
H(0) ≤ C
6
onde C
6
=
m
0
δ
10C
5
1
p
e obtemos
H(t) ≤ C
6
, ∀t ≥ 0. (2.23)
Isto fornece a estimativa global para a soluc˜ao aproximada. Por esta raz˜ao, para
provarmos que γ(t) ≤
m
0
δ
8
, ∀ t ≥ 0 vamos supor que existe t
0
> 0 com γ(t
0
) >
m
0
δ
8
e assim obteremos uma contradi¸c˜ao.
Com efeito, de (2.21) tem-se
γ(0) ≤ C
5
[H(0)]
p
≤
m
0
δ
10
.
Como a fun¸c˜ao γ(t) ´e cont´ınua para t > 0, ent˜ao existe t ∈]0, t
0
[ tal que
m
0
δ
8
= γ(t).
Logo o conjunto
t ∈]0, t
0
[ ; γ(t) =
m
0
δ
8
´e n˜ao vazio e limitado inferiormente.
Assim, existe
t
∗
= inf
t ∈]0, t
0
[ ; γ(t) =
m
0
δ
8
> 0,
28
temos que
γ(t
∗
) =
m
0
δ
8
γ(t) <
m
0
δ
8
se 0 ≤ t < t
∗
De (2.22) tem-se
d
dt
H(t) < 0 , se 0 ≤ t < t
∗
.
Integrando de 0 a t
∗
obtemos H(t
∗
) < H(0). Mas de (2.21) tem-se
γ(t
∗
) ≤ C
5
[H(t
∗
)]
p
≤ C
5
[H(0)]
p
≤
m
0
δ
10
<
m
0
δ
8
o que ´e absurdo pois γ(t
∗
) =
m
0
δ
8
.
Portanto,
0 ≤ γ(t) ≤
m
0
δ
8
. (2.24)
Logo, retornando a nota¸c˜ao u(x, t) = u
m
(x, t) e usando (2.23), (2.17) e por hip´otese
sobre M tem-se
C
6
≥ H(t) ≥
1
4
|u
m
(t)|
2
+
δ
2
16
|u
m
(t)|
2
+
1
2
Ω
M(x, t, |u
m
(t)|
2
)|∇u
m
(x, t)|
2
R
dx
≥
1
4
|u
m
(t)|
2
+
δ
2
16
|u
m
(t)|
2
+
1
2
m
0
Ω
|∇u
m
(x, t)|
2
R
dx
≥
1
4
|u
m
(t)|
2
+
δ
2
16
|u
m
(t)|
2
+
m
0
2
u
m
(t)
2
≥
1
4
|u
m
(t)|
2
+
m
0
2
u
m
(t)
2
= min
1
4
,
m
0
2
|u
m
(t)|
2
+ u
m
(t)
2
= C
7
|u
m
(t)|
2
+ u
m
(t)
2
(2.25)
onde C
7
= min
1
4
,
m
0
2
obtemos ent˜ao
|u
m
(t)|
2
+ u
m
(t)
2
≤ C
8
(2.26)
onde C
8
=
C
6
C
7
independente de m e t.
Tal estimativa ´e suficiente para usarmos o Teorema de Prolongamento, podendo
estender a solu¸c˜ao aproximado u
m
(x, t) `a todo intervalo [0, T ].
29
Passagem ao Limite
A seguir mostraremos que o limite da sequˆencia das solu¸c˜oes do problema aproxi-
mado ´e solu¸c˜ao do problema (2.1).
Das estimativas temos que
(u
m
) ´e limitada em L
∞
0, T ; H
1
0
(Ω)
, (2.27)
(u
m
) ´e limitada em L
∞
0, T ; L
2
(Ω)
. (2.28)
Observe que
L
∞
0, T ; H
1
0
(Ω)

≡ L
1
0, T ; H
−1
(Ω)
, (2.29)
L
∞
0, T ; L
2
(Ω)

≡ L
1
0, T, L
2
(Ω)
. (2.30)
De (2.27), ( 2.29) e como L
1
(0, T ; H
−1
(Ω)) ´e separ´avel, existe uma subsequˆencia
da sequˆencia (u
m
)
m∈N
, a qual ainda denotaremos por ( u
m
)
m∈N
, e uma fun¸c˜ao
u ∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)) tal que
u
m
∗
u em L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)).
Agora de (2.28), (2.30) e notando que L
1
(0, T ; L
2
(Ω)) ´e separ´avel, ent˜ao existe uma
subsequˆencia da sequˆencia (u
m
)
m∈N
, a qual ainda denotaremos por (u
m
)
m∈N
, e uma
fun¸c˜ao v ∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) tal que
u
m
∗
v em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)).
Usando o fato que o operador deriva¸c˜ao
d
dt
´e cont´ınua em D
(0, T, L
2
(Ω)) ent˜ao
d
dt
u
m
−→
d
dt
u em D
(0, T, L
2
(Ω)).
Sendo
u
m
∗
v em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) → D
(0, T, L
2
(Ω))
pela unicidade do limite v =
d
dt
u = u
. Mas, v ∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) ent˜ao
u
m
∗
u
em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)).
30
Portanto,
u
m
∗
u em L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)) (2.31)
u
m
∗
u
em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)). (2.32)
Usando H
1
0
(Ω)
c
→ L
2
(Ω) e considerando
W =
u ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(Ω)) , u
∈ L
2
(0, T ; L
2
(Ω))
munido da norma
u
W
= u
L
2
(0,T ;H
1
0
(Ω))
+ u
L
2
(0,T ;L
2
(Ω))
temos de (2.27) e (2.28)
(u
m
) ´e limitada em W.
Logo, pelo Teorema de Aubin-Lions, existe uma subsequˆencia de ( u
m
)
m∈N
, que
seguimos representando pela mesma nota¸c˜ao (u
m
)
m∈N
, tal que
u
m
−→ u forte em L
2
(0, T ; L
2
(Ω)). (2.33)
Sejam j ∈ N e m ∈ N tal que m ≥ j e consideremos θ ∈ D (0, T ). Multiplicando-se
a equa¸c˜ao do problema aproximado (2.3) por θ e integrando-se em [0, T ] obtemos
T
0
(u

m
(t), w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), ∇w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), w
j
)θ(t)dt
+δ
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ(t)dt = 0.
Integrando a primeira parcela por partes, tem-se
−
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ
(t)dt
+
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), ∇w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), w
j
)θ(t)dt
+δ
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ(t)dt = 0. (2.34)
31
Da convergˆencia (2.32)
T
0
(u
m
(t), ξ(t))dt −→
T
0
(u
(t), ξ(t))dt ∀ξ ∈ L
1
(0, T, L
2
(Ω)).
Tomando em particular ξ = −w
j
θ
tem-se
−
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ
(t)dt −→ −
T
0
(u
(t), w
j
)θ
(t)dt. (2.35)
Tamb´em tomando em particular, ξ = δ w
j
θ temos
δ
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ(t)dt −→ δ
T
0
(u
(t), w
j
)θ(t)dt. (2.36)
Seja φ ∈ L
1
(0, T ; L
2
(Ω)) → L
2
(0, T ; L
2
(Ω)). Afirmamos que
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), φ(t))dt −→
T
0
(M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), φ(t))dt.
De fato,
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t) − M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), φ(t))dt
=
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t) − M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u(t), φ(t))dt
+
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u(t) − M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), φ(t))dt
=
T
0
M(t, |u
m
(t)|
2
) − M(t, |u(t)|
2
∇u(t), φ(t))dt
+
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)(∇u
m
(t) − ∇u(t), φ(t))dt. (2.37)
De (2.33) temos que
u
m
−→ u forte em L
2
(0, T ; L
2
(Ω))
ent˜ao
|u
m
|
L
2
(0,T,L
2
(Ω))
−→ |u|
L
2
(0,T ;L
2
(Ω))
ou seja,
T
0
|u
m
(t)|
2
dt −→
T
0
|u(t)|
2
dt.
32
Obtemos ent˜ao
|u
m
(t)|
2
−→ |u(t)|
2
em L
1
(0, T ). (2.38)
Logo existe uma subsequˆencia da sequˆencia (u
m
)
m∈N
, a qual ainda denotaremos por
(u
m
)
m∈N
, tal que
|u
m
(t)|
2
−→ |u(t)|
2
q.s. em (0, T ). (2.39)
Por hip´otese M ∈ C
1
e pelo (2.39) tem-se
M(x, t, |u
m
(t)|
2
) −→ M(x, t, |u
m
(t)|
2
) q.s. em Q.
Sendo ∇u(x, t) limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω))
M(x, t, |u
m
(t)|
2
)∇u(x, t) −→ M (x, t, |u
m
(t)|
2
)∇u(x, t) q.s. em Q. (2.40)
Note que, da hip´otese 3 sobre M
||M(x, t, |u
m
(t)|
2
)||
2
= |∇M(x, t, |u
m
(t)|
2
)|
2
=
Ω
|∇M(x, t, |u
m
(t)|
2
)|
2
dx
≤ C
2
|u
m
(t)|
2p
≤ C
9
.
Logo,
(M(t, |u
m
(t)|
2
)) ´e limitada em L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)) → L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)).
Sendo ∇u(x, t) limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω))
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u(t)) ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) → L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) ≡ L
2
(Q).
Pelo Lema de Lions
M(x, t, |u
m
(t)|
2
)∇u(x, t) M (x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t) em L
2
(Q). (2.41)
De (2.31) , (2.41) e (2.37) tem-se que
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t) − M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), φ(t))dt
m→∞
−→ 0.
33
Agora, queremos mostrar que
T
0
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), φ(t))dt −→
T
0
(∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), φ(t))dt.
Com efeito, da hip´oteses que M ∈ C
1
tem-se que ∇M ∈ C
0
ent˜ao de (2.39)
∇M(x, t, |u
m
(t)|
2
) −→ ∇M(x, t, |u(t)|
2
) q. s. em Q.
Logo,
∇M(x, t, |u
m
(t)|
2
)∇u(x, t) −→ ∇M (x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t) q. s. em Q.
Das estimativas e hip´oteses sobre a fun¸c˜ao M temos
|∇M(x, t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(x, t)| ≤ C
10
.
Logo,
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, T, L
2
(Ω)) → L
2
(Q).
Pelo Lema de Lions
∇M(x, t, |u
m
(t)|
2
)∇u(x, t) ∇M (x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t) em L
2
(Q). (2.42)
Seja ψ ∈ L
1
(0, T, L
2
(Ω) e usando (2.31) e (2.42) resulta
T
0
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t) − ∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ψ(t))dt
=
T
0
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t) − ∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u(t), ψ(t))dt
+
T
0
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u(t) − ∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ψ(t))dt
=
T
0
∇M(t, |u
m
(t)|
2
− ∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ψ(t)
dt
+
T
0
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)(∇u
m
(t) − ∇u(t)), ψ(t))dt
m→∞
−→ 0.
34
Tomando em particular φ = ∇w
j
θ e ψ = w
j
θ tem-se
T
0
M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), ∇w
j
θ(t) dt −→
T
0
M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇w
j
θ(t) dt
(2.43)
T
0
∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), w
j
θ(t) dt −→
T
0
∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), w
j
θ(t) dt.
(2.44)
Aplicando as convergˆencias (2.35), (2.36), (2.43) e (2.44) em (2.34) resulta que
−
T
0
(u
(t), w
j
)θ
(t)dt +
T
0
(M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), w
j
)θ(t)dt + δ
T
0
(u
(t), w
j
)θ(t)dt = 0.
Como as combina¸c˜oes lineares s˜ao densas em H
1
0
(Ω), ou seja, para todo v ∈ H
1
0
(Ω),
existe v
m
=
m
j=1
γ
jm
w
j
tal que v
m
−→ v. Ent˜ao, multipliquemos a equa¸c˜ao acima
por γ
jm
e somamos em j = 1, ..., m tem-se
−
T
0
(u
(t),
m
j=1
γ
jm
w
j
)θ
(t)dt +
T
0
(M(t, |u(t)|
2
)∇u(t),
m
j=1
γ
jm
∇w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t),
m
j=1
γ
jm
w
j
)θ(t)dt + δ
T
0
(u
(t),
m
j=1
γ
jm
w
j
)θ(t)dt = 0.
Assim, para todo v ∈ H
1
0
(Ω) tem-se
−
T
0
(u
(t), v)θ
(t)dt +
T
0
(M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇v)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), v)θ(t)dt + δ
T
0
(u
(t), v)θ(t)dt = 0. (2.45)
ou seja, u satisfaz a regularidade e a identidade integral da defini¸c˜ao de solu¸c˜ao fraca
do problema (2.1).
35
Condi¸c˜oes Iniciais
Seja ξ = θv com θ ∈ C
1
(0, T ) tal que θ(0) = 1 , θ(T ) = 0 e v ∈ H
1
0
(Ω). De (2.31)
T
0
(u
m
(t), ξ(t))dt −→
T
0
(u
(t), ξ(t))dt ∀ξ ∈ L
1
(0, T, L
2
(Ω))
ou seja,
T
0
(u
m
(t), v)θ(t)dt −→
T
0
(u
(t), v)θ(t)dt
∀ v ∈ H
1
0
(Ω)), ∀ θ ∈ C
1
(0, T ) tal que θ(0) = 1 e θ(T ) = 0. (2.46)
Integrando por partes, temos
T
0
(u
m
(t), v)θ(t)dt =
T
0
Ω
u
m
(x, t)v(x)θ(t) dxdt
=
Ω
T
0
u
m
(x, t)θ(t)dt
v(x) dx
=
Ω
u
m
(x, t)θ(t)|
T
t=0
−
T
0
u
m
(x, t)θ
(t)dt
v(x) dx
=
Ω
−u
m
(x, 0) −
T
0
u
m
(x, t)θ
(t)dt
v(x) dx
= −(u
0m
, v) −
T
0
(u
m
(t), v)θ
(t)dt. (2.47)
Por outro lado, de (2.31) tem-se
T
0
(u
m
(t), η(t))dt −→
T
0
(u(t), η(t))dt ∀η ∈ L
1
(0, T, L
2
(Ω)).
Tomando em particular η = vθ
,
T
0
(u
m
(t), v)θ
dt −→
T
0
(u(t), v)θ
dt. (2.48)
Note que,
T
0
(u
(t), v)θ(t)dt = −(u(0), v) −
T
0
(u(t), v)θ
(t)dt. (2.49)
Segue de (2.49) e (2.48) obtemos
(u
0m
, v) −→ (u(0), v) ∀v ∈ H
1
0
(Ω).
36
Pelo problema aproximado (2.3) temos que
u
0m
−→ u
0
em H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω) ent˜ao
(u
0m
, v) (u
0
, v) , ∀v ∈ L
2
(Ω).
Em particular,
(u
0m
, v) (u
0
, v) ∀v ∈ H
1
0
(Ω).
Pela unicidade do limite fraco, obtemos
u(0) = u
0
em H
1
0
(Ω).
Para mostrar que u
(0) = u
1
em L
2
(Ω), seja θ ∈ C
1
(0, T ) tal que θ(0) = 1 e θ(T ) = 0.
Consideramos j ∈ N e o problema aproximado (2.3) com m > j.
T
0
(u

m
(t), w
j
)θ(t)dt +
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), ∇w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), w
j
)θ(t)dt
+ δ
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ(t)dt = 0. (2.50)
Integrando a primeira parcela, temos
T
0
(u

m
(t), w
j
)θ(t)dt = −(u
m
(0), w
j
) −
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ
(t)dt
Substituindo em (2.50) segue
−(u
m
(0), w
j
) −
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ
(t)dt +
T
0
(M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), ∇w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), w
j
)θ(t)dt + δ
T
0
(u
m
(t), w
j
)θ(t)dt = 0.
Tomando-se o limite quando m −→ +∞, conforme j´a feito, obtemos
−(u
1
, w
j
) −
T
0
(u
(t), w
j
)θ
(t)dt +
T
0
(M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), w
j
)θ(t)dt + δ
T
0
(u
(t), w
j
)θ(t)dt = 0.
37
Pela totalidade dos w
j
obtemos
−(u
1
, v) −
T
0
(u
(t), v)θ
(t)dt +
T
0
(M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇v)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), v)θ(t)dt + δ
T
0
(u
(t), v)θ(t)dt = 0
∀v ∈ H
1
0
(Ω) ∀ θ ∈ C
1
(0, T ) tal que θ(0) = 1 e θ(T ) = 0.
Integrando a segunda parcela por partes temos
−(u
1
, v) −
−(u
(0), v) −
T
0
(u

(t), v)θ(t)dt
+
T
0
(M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇v)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), v)θ(t)dt + δ
T
0
(u
(t), v)θ(t)dt = 0
ou seja,
−(u
1
, v) + (u
(0), v) +
T
0
(u

(t), v)θ(t)dt +
T
0
(M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇v)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), v)θ(t)dt + δ
T
0
(u
(t), v)θ(t)dt = 0. (2.51)
De (2.45) temos
d
dt
(u
(t), v), θ
D
(0,T ),D(0,T )
+
(M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇v), θ
D
(0,T ),D(0,T )
+
(∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), v), θ
D
(0,T ),D(0,T )
+ δ(u
(t), v), θ
D
(0,T ),D(0,T )
= 0
o que nos leva concluir que para todo v ∈ H
1
0
(Ω)
(u

(t), v) + (M (t, |u(t)|
2
)∇u(t), ∇v)
+ (∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t), v) + δ(u
(t), v) = 0 em D
(0, T ). (2.52)
Por outro lado, em virtude da cadeia de imers˜oes dada por
H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω) ≡ (L
2
(Ω))
→ H
−1
(Ω)
38
e de (2.45) tamb´em podemos escrever
−
T
0
u
(t)θ
(t)dt, v
+
T
0
M(t, |u(t)|
2
)∇u(t)θ(t)dt, ∇v
+
T
0
∇M(t, |u(t)|
2
)∇u(t)θ(t)dt, v
+
δ
T
0
u
(t)θ(t)dt, v
= 0 (2.53)
onde < · , · > designa a dualidade H
−1
(Ω) , H
1
0
(Ω). Portanto, de (2.52) e (2.53)
vem que
u

(x, t) − M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t) + δu
(x, t) = 0 em D
(0, T ; H
−1
(Ω)).
De (2.52) e (2.51) temos
(u
1
, v) = (u
(0), v) , ∀v ∈ H
1
0
(Ω).
Logo,
u
1
= u
(0) em L
2
(Ω).
Portanto, u ´e a solu¸c˜ao fraca do problema (2.1)
39
2.2 Decaimento Exponencial da Solu¸c˜ao Fraca
Nesta sec¸c˜ao, vamos mostrar que a energia do problema de valor inicial e fronteira
(2.1) decai exponencialmente quando t −→ +∞.
Teorema 2.3 Assumindo as hip´oteses do Teorema (2.1), a energia E(t) do prob-
lema (2.1) satisfaz
E(t) ≤ 2C
6
e
−K
2
t
, ∀t ≥ 0
onde
E(t) =
1
2
Ω
|u
(x, t)|
2
+ M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
dx
e K
2
, C
6
=
m
0
δ
10C
5
1
p
s˜ao constantes positivas.
Demonstra¸c˜ao: De (2.15) e 0 < γ(t) ≤
m
0
δ
8
, ∀t ≥ 0 tem-se
d
dt
H(t) +
3δ
4
|u
(x, t)|
2
+
δ
8
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx ≤ 0.
Tomando
K
0
=
δ
4
m´ın
3,
1
2
tem-se
d
dt
H(t) + K
0
Ω
|u
(x, t)|
2
+ M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx ≤ 0. (2.54)
Da fun¸c˜ao H(t) e pela Desigualdade de Young, temos que
δ
2
(u
(t), u(t)) = δ
Ω
u
(x, t)
1
2
u(x, t) dx
≤ δ
1
2
Ω
|u
(x, t)|
2
dx +
1
2
Ω
1
4
|u(x, t)|
2
dx
=
δ
2
|u
(t)|
2
+
δ
8
|u(t)|
2
40
ou seja,
H(t) ≤
1
2
|u
(t)|
2
+
δ
2
|u
(t)|
2
+
δ
8
|u(t)|
2
+
δ
2
4
|u(t)|
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
=
1
2

1 +
δ
2
|u
(t)|
2
+
δ
8
+
δ
2
4
|u(t)|
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
.
(2.55)
Da imers˜ao H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω), sabemos que existe C > 0 tal que |u(t)| ≤ Cu(t) e
da hip´otese 2 sobre a fun¸c˜ao M temos que
δ
8
+
δ
2
4
|u(t)|
2
≤
δ
8
+
δ
2
4
C
2
u(t)
2
≤ C
2
δ + 2δ
2
8
|∇u(t)|
2
= C
2
δ
8
(1 + 2δ)
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)
M(x, t, |u(t)|
2
)
|∇u(x, t)|
2
R
dx
≤ C
2
δ
8
(1 + 2δ)
1
m
0
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
=
C
2
δ
8m
0
(1 + 2δ)
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx.
(2.56)
Logo, de (2.55) e (2.56) obtemos
H(t) ≤
1
2

1 +
δ
2
|u
(t)|
2
+
C
2
δ
8m
0
(1 + 2δ)
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
+
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
.
Tomando
K
1
=
1
2
m´ax

1 +
δ
2
,
C
2
δ
8m
0
(1 + 2δ) + 1
tem-se
H(t) ≤ K
1
Ω
(|u
(x, t)|
2
+ M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
) dx
isto ´e,
1
K
1
H(t) ≤
Ω
|u
(x, t)|
2
+ M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx (2.57)
41
De (2.54) e (2.57) temos que
d
dt
H(t) + K
2
H(t) ≤ 0 , ∀t ≥ 0 (2.58)
onde K
2
=
K
0
K
1
.
Note que, a inequa¸c˜ao acima ´e uma inequa¸c˜ao linear de primeira ordem ent˜ao vamos
determinar a solu¸c˜ao desta inequa¸c˜ao.
Primeiro, vamos calcular o fator integrante:
µ(t) = e
t
0
K
2
dt
= e
K
2
t
.
Multiplicando a inequa¸c˜ao (2.56) por este fator, obtemos
e
K
2
t
d
dt
H(t) + e
K
2
t
K
2
H(t) ≤ 0.
Observe que,
d
dt
e
K
2
t
H(t)
= e
K
2
t
d
dt
H(t) + e
K
2
t
K
2
H(t).
Assim,
d
dt
e
K
2
t
H(t)
≤ 0.
Sendo u
0
∈ H
1
0
(Ω) e u
1
∈ L
2
(Ω) e integrando de 0 a t tem-se
0 ≥
t
0
d
ds
e
K
2
s
H(s)
ds = e
K
2
s
H(s)|
t
s=0
= e
K
2
t
H(t) − H(0).
Assim, da hip´otese H(0) ≤
m
0
δ
10C
5
1
p
= C
6
, obtemos
H(t) ≤ H(0)e
−K
2
t
≤
m
0
δ
C
5
10
1
p
e
−K
2
t
ou seja,
H(t) ≤ C
6
e
−K
2
t
, ∀ t ≥ 0 (2.59)
onde C
6
=
m
0
δ
C
5
10
1
p
.
42
Por outro lado, de (2.17) tem-se
H(t) ≥
1
4
|u
(t)|
2
+
δ
2
16
|u(t)|
2
+
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
≥
1
4
|u
(t)|
2
+
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
=
1
2
1
2
|u
(t)|
2
+
1
2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇u(x, t)|
2
R
dx
=
1
2
E(t).
Conclu´ımos de (2.59) que
E(t) ≤ 2H(t) ≤ 2C
6
e
−K
2
t
, ∀t ≥ 0.
Isto mostra que a energia da solu¸c˜ao u decai exponencialmente.
43
2.3 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao Forte
Vamos formular as hip´oteses para obter a existˆencia de solu¸c˜ao forte para o problema
(2.1).
Hip´oteses 3
• u
0
∈ H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω) e u
1
∈ H
1
0
(Ω).
• M (x, t, λ) = a(t) + b(x, t)λ fun¸c˜ao satisfazendo hip´oteses 2.
• M (x, t, λ) ≤ a + b|λ|
p
onde a e b s˜ao constantes e p ≥ 1.
O conceito de solu¸c˜ao forte para o problema de valor inicial e fronteira (2.1) ´e
estabelecido pela seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 2.4 Uma fun¸c˜ao u : Q −→ R ´e dita solu¸c˜ao forte do problema (2.1) na
classe
u ∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω)), u
∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)) e u

∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω))
e satisfaz a equa¸c˜ao do problema (2.1 ) quase sempre em Q.
Teorema 2.5 Suponhamos v´alidas as hip´oteses 2 e 3. Ent˜ao, existe uma ´unica
solu¸c˜ao forte no sentido da defini¸c˜ao 2.4.
Demonstra¸c˜ao: Consideremos (w
j
)
j∈N
base de H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω) constituidas pelas
autofun¸c˜oes do operador −∆. Logo
−∆w
j
= λ
j
w
j
γ
0
(w
j
) = 0 ∀ j ∈ N
onde (λ
j
)
j∈N
s˜ao os correspondentes autovalores de −∆ com
1 < λ
1
≤ λ
2
≤ ... ≤ λ
j
≤ ... e λ
j
−→ +∞ quando j −→ +∞.
Pelo Teorema Espectral segue que
44
• (w
j
)
j∈N
constitui um sistema ortonormal e completo em L
2
(Ω).
•
w
j
λ
j
j∈N
constitui um sistema ortonormal e completo em H
1
0
(Ω).
•
w
j
λ
j
j∈N
constitui um sistema ortonormal e completo em H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω).
Solu¸c˜oes Aproximadas Para cada m ∈ N, denotamos por V
m
= [w
1
, w
2
, ..., w
m
] o
espa¸co gerado pelas m primeiras autofun¸c˜oes do operador −∆. Queremos encontrar
uma fun¸c˜ao
u
m
: [0, t
m
) −→ V
m
t −→ u
m
(t) =
m
i=1
g
im
(t)w
i
que satisfa¸ca o seguinte problema aproximado
(u

m
(t), w
j
) + (M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), ∇w
j
) + (∇M(t, |u
m
(t)|
2
)∇u
m
(t), w
j
)
+δ(u
m
(t), w
j
) = 0
u
m
(x, 0) = u
0m
(x) =
m
i=1
α
im
w
i
; u
0m
−→ u
0
em H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω),
u
m
(x, 0) = u
1m
(x) =
m
i=1
β
im
w
i
; u
1m
−→ u
1
em H
1
0
(Ω)
(2.60)
Substituindo a express˜ao u
m
(t) =
m
i=1
g
im
(t)w
i
no sistema acima obtemos
g

im
(t) +
m
i=1
g
im
(t)
M
t,
m
j=1
g
2
jm
(t)
∇w
i
, ∇w
j
+
m
i=1
g
im
(t)
∇M
t,
m
j=1
g
2
jm
(t)
∇w
i
, w
j
+ δg
im
(t) = 0
g
jm
(0) = α
jm
, g
jm
(0) = β
jm
, ∀j = 1, ..., m
que ´e equivalente ao problema aproximado (2.3).
Para cada m ∈ N, o sistema acima possui solu¸c˜ao local em algum intervalo (0, t
m
),
garantida pelo Teorema de Caratheodory.
O objetivo a seguir, ´e obter estimativa para ∆u
m
. Com o intuito de simplificar as
nota¸c˜oes omitiremos os ´ındices m denotando u
m
simplesmente por u.
45
Multiplicando a equa¸c˜ao (2.60) por λ
j
g
jm
(t), somando em j = 1, ..., m e usando
− ∆w
j
= λ
j
w
j
obtemos
(u

(t), −∆u
(t)) − (M(t, |u(t)|
2
)∆u(t), −∆u
(t)) + (δu
(t), −∆u
(t)) = 0 (2.61)
Observamos que
J
1
:= (u

(t), −∆u
(t)) = (∇u

(t), ∇u
(t)) =
1
2
d
dt
||u
(t)||
2
J
3
:= δ(u
(t), −∆u
(t)) = δ(∇u
(t), ∇u
(t)) = δ||u
(t)||
2
.
Vamos transformar a segunda parcela
J
2
:= (M(t, |u(t)|
2
)∆u(t), −∆u
(t))
como segue: por deriva¸c˜ao em t, temos
d
dt
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx =
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx
+
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)
d
dt
|u(t)|
2
|∆u(x, t)|
2
R
dx + 2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t)∆u
(x, t)dx.
Lembrando que
d
dt
|u(t)|
2
= 2(u(t), u
(t))
e reescrevemos J
2
.
J
2
= (M (t, |u(t)|
2
)∆u(t), ∆u
(t))
=
1
2
d
dt
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx −
1
2
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx
−
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx
(u(t), u
(t)).
Substituindo J
1
, J
2
e J
3
em (2.61) temos
d
dt
||u
(t)||
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx
+ 2δ||u
(t)||
2
=
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)
2
R
dx
+ 2
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t)|
2
R
dx
(u(t), u
(t)). (2.62)
46
Denotemos por
J
4
=
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx.
Usando as hip´oteses sobre a fun¸c˜ao M temos que
J
4
≤
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)
R
|∆u(x, t)|
2
R
dx
≤ C
2
|u(t)|
2p
Ω
|∆u(x, t)|
2
R
dx = C
2
|u(t)|
2p
|∆u(t)|
2
.
Considere
J
5
= 2
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t)|
2
R
dx
(u(t), u
(t))
e usando novamente as hip´oteses sobre M e a desigualdade de Schwarz temos
J
5
≤ 2
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)
R
|∆u(x, t)|
2
R
dx
|(u(t), u
(t))|
R
≤ 2C
1
|u(t)|
2p−2
Ω
|∆u(x, t)|
2
R
dx|u(t)||u
(t)| = 2C
1
|u(t)|
2p−1
|∆u(t)||u
(t)|.
Das desigualdades J
4
, J
5
e (2.62) obtemos
d
dt
||u
(t)||
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx
+ 2δ||u
(t)||
2
≤ C
2
|u(t)|
2p
|∆u(t)|
2
+ 2C
1
|u(t)|
2p−1
|∆u(t)|
2
|u
(t)|
= |∆u(t)|
2
C
2
|u(t)|
2p
+ 2C
1
|u(t)|
2p−1
|u
(t)|
.
De (2.26), temos que
d
dt
||u
(t)||
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx
+ 2δ||u
(t)||
2
≤ K
3
|∆u(t)|
2
Integrando de 0 a t tem-se
||u
(t)||
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∆u(x, t)|
2
R
dx
≤ u
1
2
+
Ω
M(x, 0, |u
0
|
2
)|∆u
0
(x)|
2
R
dx + K
3
t
0
|∆u(s)|
2
ds. (2.63)
Pelas hip´oteses 2 e 3 temos que
0 < m
0
≤ M(x, t, λ) ≤ a + b|λ|
p
. (2.64)
47
De (2.63) e (2.64) temos
||u
(t)||
2
+ m
0
Ω
|∆u(x, t)|
2
R
dx ≤ u
1
2
+ (a + b|u
0
|
2p
)
Ω
|∆u
0
(x)|
2
R
dx
+ K
3
t
0
|∆u(s)|
2
ds,
ou seja,
||u
(t)||
2
+ m
0
|∆u(t)|
2
≤ u
1
2
+ (a + b|u
0
|
2p
)|∆u
0
|
2
+ K
4
t
0
|∆u(s)|
2
ds.
Da cadeia de imers˜oes H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω) → H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω) e pela desigualdade de
Poincar´e tem-se
||u
(t)||
2
+ m
0
|∆u(t)|
2
≤ u
1
2
+ (a + bu
0
2p
H
1
0
(Ω)∩H
2
(Ω)
)u
0
2
H
1
0
(Ω)∩H
2
(Ω)
+ K
3
t
0
|∆u(s)|
2
ds. (2.65)
De (2.60) temos que u
0m
e u
1m
s˜ao limitados em H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω) e H
1
0
(Ω) respecti-
vamente ent˜ao existe uma constante K
5
tal que
u
1
2
+ (a + bu
0
2p
H
1
0
(Ω)∩H
2
(Ω)
)u
0
2
H
1
0
(Ω)∩H
2
(Ω)
≤ K
4
(2.66)
Logo de (2.65) e (2.66) tem-se
||u
(t)||
2
+ m
0
|∆u(t)|
2
≤ K
4
+ K
3
t
0
|∆u(s)|
2
ds
≤ K
4
+ K
3
t
0
(u
(s)
2
+ |∆u(s)|
2
) ds.
Tomando K
5
= min {1, m
0
} e K
6
= max {K
3
, K
4
} temos
||u
(t)||
2
+ |∆u(t)|
2
≤
K
6
K
5
1 +
t
0
(u
(s)
2
+ |∆u(s)|
2
) ds
.
Pelo lema de Gronwall temos que
||u
(t)||
2
+ |∆u(t)|
2
≤ K
7
. (2.67)
48
Assim,
(u
m
) ´e limitada em L
∞
0, T ; H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω)
,
(u
m
) ´e limitada em L
∞
0, T ; H
1
0
(Ω)
.
Multiplicando a equa¸c˜ao (2.60) por g

jm
(t) e somando de j = 1, ..., m temos
|u

(t)|
2
= (M(t, |u(t)|
2
)∆u(t), u

(t)) − (δu
(t), u

(t)).
Pela hip´otese 3 e de (2.67) temos
|u

(t)|
2
≤ (a + b|u(t)|
2
)
Ω
∆u(x, t)u

(x, t)dx
+ δ
Ω
|u
(x, t)u

(x, t)|
R
dx
≤ K
8
Ω
∆u(x, t)u

(x, t)dx
+ δ
Ω
|u
(x, t)u

(x, t)|
R
dx,
usando a desigualdade de Young e de (2.67) temos
|u

(t)|
2
≤ K
9
|∆u(t)|
2
+
1
4
|u

(t)|
2
+ δ
2
|u
(t)|
2
+
1
4
|u

(t)|
2
≤ K
10
+
1
2
|u

(t)|
2
,
onde K
i
s s˜ao constantes positivas.
Portanto,
u

´e limitada em L
∞
(0, T, L
2
(Ω)).
Com isto obtemos o prolongamento da solu¸c˜ao aproximada no intervalo [0, T ] e por
procedimentos an´alogos aos utilizados na se¸c˜ao 2.1 passamos ao limite nas solu¸c˜oes
aproximadas de (2.60).
Unicidade Sejam u e v solu¸c˜oes fortes de (2.1). Considerando w = u − v tem-se
w ∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω) ∩ H
2
(Ω)), w
∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)), w

∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω))
e satisfaz
w

(x, t) − M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t) + M(x, t, |v(t)|
2
)∆v(x, t) + δw
(x, t) = 0, em Q
w(x, t) = 0 em
,
w(x, 0) = 0 e w
(x, 0) = 0, em Ω.
(2.68)
49
Somando-se e subtraindo M(x, t, |u(t)|
2
)∆v(x, t) na primeira equa¸c˜ao de (2.68) obte-
mos
w

(x, t) − M(x, t, |u(t)|
2
)∆u(x, t) + M(x, t, |u(t)|
2
)∆v(x, t)
+ [M(x, t, |v(t)|
2
) − M(x, t, |u(t)|
2
)] ∆v(x, t) + δw
(x, t) = 0.
segue que
w

(x, t) − M(x, t, |u(t)|
2
)∆w(x, t)
+ [M(x, t, |v(t)|
2
) − M(x, t, |u(t)|
2
)] ∆v(x, t) + δw
(x, t) = 0. (2.69)
Compondo 2w
em (2.69) resulta que
(w

(t), 2w
(t)) − (M(t, |u(t)|
2
)∆w(t), 2w
(t)) + δ(w
(t), 2w
(t))
+([M(t, |v(t)|
2
) − M(t, |u(t)|
2
)] ∆v(t), 2w
(t)) = 0. (2.70)
Observemos que
J
5
= (w

(t), 2w
(t)) =
d
dt
|w
(t)|
2
.
Pela f´ormula de Green, a segunda parcela de (2.70) ser´a dada por
J
6
= −(M(t, |u(t)|
2
)∆u(t), 2w
(t))
= −2
Ω
(M(x, t, |u(t)|
2
)∆w(x, t)w
(x, t) dx
= 2
Ω
∇
M(x, t, |u(t)|
2
)w
(x, t)
∇w(x, t) dx
= 2
Ω
∇M(x, t, |u(t)|
2
)w
(x, t)∇w(x, t) dx +
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)∇w
(x, t)∇w(x, t) dx
e vamos analisar J
6
como segue: por deriva¸c˜ao em t vistos na se¸c˜ao 2.1
d
dt
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx =
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
+ 2
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
(u
(t), u(t))
+ 2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)∇w(x, t)∇w
(x, t)dx.
50
Da igualdade anterior podemos reescrever J
6
como
J
6
= 2
Ω
(∇M(x, t, |u(t)|
2
)∇w(x, t)w
(x, t) dx
+
d
dt
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
−
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
− 2
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
(u
(t), u(t)).
Substituindo J
5
e J
6
em (2.70) obtemos
d
dt
|w
(t)|
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
+ 2δ|w
(t)|
2
=
+
Ω
∂
∂t
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
+ 2
Ω
∂
∂λ
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
(u
(t), u(t))
+ (
M(x, t, |u(t)|
2
) − M(x, t, |v(t)|
2
)
∆v(t), 2w
(t)))
− 2
Ω
(∇M(x, t, |u(t)|
2
)∇w(x, t)w
(x, t) dx. (2.71)
Como M ∈ C
1
ent˜ao pela desigualdade do Valor M´edio
M(x, t, |u(t)|
2
) − M(x, t, |v(t)|
2
)
R
≤
∂
∂λ
M(θ)
R
|u(t)|
2
− |v(t)|
2
R
, (2.72)
onde θ ´e um valor real entre |u(t)|
2
e |v(t)|
2
, ou seja θ est´a num intervalo finito e
∂
∂λ
M(θ)
R
≤ C
1
|θ|
p−1
R
≤ K
11
.
Utilizando a desigualdade anterior em (2.72) e regularidade de u e v segue que
M(x, t, |u(t)|
2
) − M(x, t, |v(t)|
2
)
R
≤ K
11
||u(t)|
2
− |v(t)|
2
|
R
≤ K
11
||u(t)| + |v(t)||
R
||u(t)| − |v(t)||
R
≤ K
12
|u(t) − v(t)| = K
13
|w(t)|. (2.73)
Denotemos por J
7
a terceira parcela do lado direito de (2.71), substituindo (2.73) e
utilizando a desigualdade de Schwarz temos
51
J
7
= (
M(x, t, |u(t)|
2
) − M(x, t, |v(t)|
2
)
∆v(x, t), 2w
(t))
≤ 2
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
) − M(x, t, |v(t)|
2
)
|∆v(x, t)||w
(x, t)|dx
≤ 2K
12
|w(t)||∆v(t)||w
(t)|
≤ K
13
|w(t)||w
(t)|. (2.74)
Utilizando as estimativas an´alogas a I
3
, I
4
e I
5
obtidas na se¸c˜ao 2.1 e (2.74) em
(2.71) tem-se
d
dt
|w
(t)|
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
+ 2δ|w
(t)|
2
≤
C
2
2
|u(t)|
2p
||w(t)||
2
+ 2C
1
|u(t)|
2p−1
||w(t)||
2
|u
(t)|
+ K
13
|w(t)||w
(t)| + 2C
2
|u(t)|
2p
|∇w(t)|
2
|w
(t)|
≤ K
14
||w(t)||
2
+ |w(t)||w
(t)| + |∇w(t)|
2
|w
(t)|
.
Integrando de 0 a t a desigualdade acima e utilizando desigualdade de Young,
Poincar´e e imers˜ao de H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω) obtemos
|w
(t)|
2
− |w
(0)|
2
+
Ω
M(x, t, |u(t)|
2
)|∇w(x, t)|
2
R
dx
−
Ω
M(x, 0, |u
0
|
2
)|∇w(x, 0)|
2
R
dx + 2δ
t
0
|w
(s)|
2
ds
≤ K
14
t
0
||w(s)||
2
+ |w(s)||w
(s)| + |∇w(s)|
2
|w
(s)|
ds
≤ K
15
t
0
||w(s)||
2
+ |w
(s)|
2
ds.
Sendo w(x, 0) = w
(x, 0) = 0 e M (x, t, λ) ≥ m
0
> 0 segue que
|w
(t)|
2
+ m
0
||w(t)||
2
≤ K
15
t
0
||w(s)||
2
+ |w
(s)|
2
ds.
Tomando K
16
= min{m
0
, 1} segue que
|w
(t)|
2
+ ||w(t)||
2
≤
K
15
K
16
t
0
||w(s)||
2
+ |w
(s)|
2
ds.
52
Assim pelo Lema de Gronwall
|w
(t)|
2
+ ||w(t)||
2
≤ 0,
ou seja,
|w
(t)|
2
+ ||w(t)||
2
= 0 t ∈ (0, T ).
Isto implica que w(t) = 0 em H
1
0
(Ω) o que prova a unicidade da solu¸c˜ao forte.
53
Cap´ıtulo 3
Problema no Dom´ınio n˜ao
Cil´ındrico
3.1 Existˆencia de Solu¸c˜ao Fraca
Seja Ω
t
um subconjunto n˜ao vazio limitado de R
n
. Consideremos um dom´ınio n˜ao
cil´ındrico
Q =
0≤t<∞
Ω
t
× {t}
tal que
Q ⊂ R
n
× [0, ∞) ou
Q ⊂ R
n
× [0, T ] T > 0.
Vamos assumir tamb´em que
Q ⊂ Q = Ω× (0, T ) onde Q ´e o dom´ınio cil´ındrico visto
no cap´ıtulo 2. Representaremos por Ω
s
onde 0 ≤ s ≤ T a sec¸c˜ao
Q ∩ {t = s}, Γ
s
a
fronteira de Ω
s
e
=
0<s<T
Γ
s
a fronteira lateral de
Q.
Em
Q consideremos o seguinte problema misto do tipo Carrier
u

(x, t) −
M(x, t,
Ω
t
|u(x, t)|
2
)∆u(x, t)dx + δu
(x, t) = 0, em
Q
u(x, t) = 0 em
,
u(x, 0) = u
0
(x), u
(x, 0) = u
1
(x) em Ω
0
(3.1)
onde δ ´e um n´umero real positivo, λ ≥ 0,
M(x, t, λ) = M (x, t, λ)|
(x,t)∈Q
54
e a fun¸c˜ao M(x, t, λ) ´e a mesma definida no cap´ıtulo 2. Formulamos a seguir as
hip´oteses sobre
Q ⊂ Q para obter a existˆencia de solu¸c˜oes para o problema (3.1).
Hip´oteses 3
• As sec¸c˜oes Ω
t
=
Q ∩ {t = s} s˜ao crescentes com s, ou seja, se s
1
≤ s
2
ent˜ao as
proje¸c˜oes de Ω
s
1
e Ω
s
2
sobre o hiperplano {t = 0} s˜ao crescentes, isto ´e,
proj|
t=0
Ω
s
1
⊆ proj|
t=0
Ω
s
2
se s
1
≤ s
2
;
• Se v ∈ H
1
0
(Ω) e v = 0 quase sempre em Ω − Ω
t
ent˜ao v ∈ H
1
0
(Ω
t
).
✲
✻
✠
-
-
-
-
s
1
s
2
0
T
t = s
Ω
Ω
t
Q Q
55
Vamos estabelecer uma defini¸c˜ao de solu¸c˜ao fraca para ( 3.1).
Defini¸c˜ao 3.1 Dizemos que u :
Q −→ R ´e uma solu¸c˜ao fraca do problema de valor
inicial e fronteira (3.1) na classe
u ∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω
t
)) e u
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω
t
)) , T > 0
quando u satisfaz a seguinte identidade integral:
−
T
0
Ω
t
u
(x, t)φ
(x, t)dxdt
+
T
0
Ω
t
M
x, t,
Ω
t
|u(x, t)|
2
R
dx
[∇u(x, t)∇φ(x, t)]dxdt
+
T
0
Ω
t
[∇
M
x, t,
Ω
t
|u(x, t)|
2
R
dx
∇u(x, t)]φ(x, t)dxdt
+ δ
T
0
Ω
t
u
(x, t)φ(x, t)dxdt = 0 ∀ φ ∈ D(
Q)
e as condi¸c˜oes iniciais
u(x, 0) = u
0
(x) e u
(x, 0) = u
1
(x) para x ∈ Ω
0
.
O Teorema principal deste cap´ıtulo ´e enunciado a seguir.
Teorema 3.2 Sejam u
0
∈ H
1
0
(Ω
0
) , u
1
∈ L
2
(Ω
0
) tais que C
5
[H(0)]
p
<
m
0
δ
10
onde a
fun¸c˜ao H(t) e a constante C
5
s˜ao definidas em (2.13) e em (2.21) respectivamente.
Ent˜ao, existe pelo menos uma solu¸c˜ao fraca do problema de valor inicial e fronteira
(3.1).
Demonstra¸c˜ao: Para mostrar a existˆencia do problema (3.1) aplicaremos o M´etodo
de Penaliza¸c˜ao de Lions para transformar o problema n˜ao cil´ındrico em
Q em um
pro- blema cil´ındrico em Q no qual aplicaremos o M´etodo de Faedo-Galerkin.
Primeiro consideremos a fun¸c˜ao caracter´ıstica X ∈ L
∞
(Q) definida por
X (x, t) =
1 se (x, t) ∈ Q −
Q ∪ {Ω
0
× {0}}
0 se (x, t) ∈
Q ∪ {Ω
0
× {0}}
56
✲
✻
1 10
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆
☎
☎
☎
☎
☎
☎
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✄
T
-
0
{
Ω
0
{
Ω
Sejam u
0
e u
1
as extens˜oes de u
0
e u
1
a Ω definidas nulas em Ω − Ω
0
ou seja,
u
0
(x) =
u
0
(x) se x ∈ Ω
0
0 se x ∈ Ω − Ω
0
u
1
(x) =
u
1
(x) se x ∈ Ω
0
0 se x ∈ Ω − Ω
0
Pelas hip´oteses sobre os dados iniciais temos que as extens˜oes u
0
∈ H
1
0
(Ω) e
u
1
∈ L
2
(Ω).
A seguir, vamos formular no dom´ınio cil´ındrico um problema penalizado.
Para todo ε > 0 queremos encontrar u
ε
: Q −→ R tal que
u

ε
(x, t) − M(x, t, |u
ε
(t)|
2
)∆u
ε
(x, t) + δu
ε
(x, t) +
1
ε
X (x, t)u
ε
(x, t) = 0, em Q
u
ε
(x, t) = 0 em
,
u
ε
(x, 0) = u
0
(x), u
ε
(x, 0) = u
1
(x) em Ω
(3.2)
57
Multiplicando (3.2) por φ ∈ D(Q) e integrando em Q temos
Q
u

ε
(x, t)φ(x, t) dxdt −
Q
M(x, t, |u
ε
(t)|
2
)∆u
ε
(x, t)φ(x, t) dxdt
+ δ
Q
u
ε
(x, t)φ(x, t) dxdt +
1
ε
Q
X (x, t)u
ε
(x, t)φ(x, t) dxdt = 0.
Utilizando a integra¸c˜ao por partes na primeira parcela e o Teorema de Green na
segunda parcela tem-se:
−
Q
u
ε
(x, t)φ
(x, t) dxdt +
Q
M(x, t, |u
ε
(t)|
2
)∇u
ε
(x, t)∇φ(x, t) dxdt
+
Q
[∇M(x, t, |u
ε
(t)|
2
)∇u
ε
(x, t)]φ(x, t) dxdt + δ
Q
u
ε
(x, t)φ(x, t) dxdt
+
1
ε
Q
X (x, t)u
ε
(x, t)φ(x, t) dxdt = 0. (3.3)
Ou seja, formulamos no dom´ınio cil´ındrico o seguinte problema perturbado:
Para todo ε > 0 queremos encontrar u
ε
na classe
u
ε
∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)) e u
ε
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(Ω))
satisfazendo a identidade integral (3.3) e as condi¸c˜oes iniciais
u
ε
(x, 0) = u
0
(x), u
ε
(x, 0) = u
1
(x) para x ∈ Ω
0
. (3.4)
Note que, (3.3) e (3.4) sastifazem a defini¸c˜ao 2.1 de solu¸c˜ao fraca do problema no
dom´ınio cil´ındrico com δ +
1
ε
X no lugar δ, ent˜ao podemos mostrar a existˆencia
utilizando o m´etodo de Galerkin.
Considere (v
ν
)
ν∈N
uma base hilbertiana de H
1
0
(Ω). Definindo
w
ν
=
u
0
se ν = 1
v
ν−1
se ν > 1
ent˜ao (w
ν
)
ν∈N
´e uma base hilbertiana de H
1
0
(Ω).
Para cada m ∈ N, denotamos por V
m
= [w
1
, ..., w
m
] o espa¸co gerado pelos m
primeiros vetores desta base. Queremos encontrar uma fun¸c˜ao
u
εm
: [0, t
m
) −→ V
m
t −→ u
εm
(t) =
m
i=1
g
ε
im
(t)w
i
58
que satisfa¸ca o seguinte problema aproximado
(u

εm
(t), w
j
) + (M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t), ∇w
j
) + (∇M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t), w
j
)
+δ(u
εm
(t), w
j
) +
1
ε
(X (t)u
εm
(t), w
j
) = 0 w
j
∈ V
m
u
εm
(x, 0) = u
0
(x)
u
εm
(x, 0) = u
1m
(x); u
1m
−→ u
1
em L
2
(Ω).
(3.5)
A existˆencia da solu¸c˜ao do problema aproximado (3.5) ´e garantida pelo Teorema de
Caratheodory como no cap´ıtulo 2, ou seja, (3.5) possui uma solu¸c˜ao local u
εm
em
algum intervalo (0, t
m
) para cada ε > 0 fixo.
A seguir vamos obter estimativas a priori para podermos estender a solu¸c˜ao no
intervalo (0, T ) e passarmos o limite quando m → +∞ e ε → 0.
Desigualdade III: Multipliquemos a equa¸c˜ao em (3.5) por g
ε
jm
(t). Somando de
j = 1, ..., m obtem-se
u

εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
+
M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)∇w
j
+
∇M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
+ δ
u
εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
+
1
ε
X (t)u
εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
= 0
Sendo u
εm
(t) =
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
temos
(u

εm
(t), u
εm
(t)) + (M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t), ∇u
εm
(t))
+ (∇M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t), u
εm
(t)) + δ(u
εm
(t), u
εm
(t))
+
1
ε
(X (t)u
εm
(t), u
εm
(t)) = 0. (3.6)
Usando os mesmos argumento que resultaram na desigualdade (2.6) em (3.6) obte-
mos
1
2
d
dt
|u
εm
(t)|
2
+
Ω
M(x, t, |u
εm
(t)|
2
)|∇u
εm
(x, t)|
2
R
dx
+ δ|u
εm
(t)|
2
+
1
ε
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dx ≤ C
3
u
εm
(t)
2
|u
εm
(t)|
2p−1
|u
εm
(t)| + |u
εm
(t)|
2p
.
59
Desigualdade IV: Multipliquemos a equa¸c˜ao em (3.5) por g
ε
jm
(t). Somando de
j = 1, ..., m obtem-se
u

εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
+
M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)∇w
j
+
∇M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
+ δ
u
εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
+
1
ε
X (t)u
εm
(t),
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
= 0
Sendo u
εm
(t) =
m
j=1
g
ε
jm
(t)w
j
temos
(u

εm
(t), u
εm
(t)) + (M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t), ∇u
εm
(t))
+ (∇M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t), u
εm
(t)) + δ(u
εm
(t), u
εm
(t))
+
1
ε
(X (t)u
εm
(t), u
εm
(t)) = 0. (3.7)
Usando os mesmos argumentos que resultaram na desigualdade (2.10) em (3.7 ) obte-
mos
d
dt
(u
εm
(t), u
εm
(t)) +
δ
2
|u
εm
(t)|
2
− |u
εm
(t)|
2
+
m
0
2
u
εm
(t)
2
+
1
2
Ω
M(x, t, |u
εm
(t)|
2
)|∇u
εm
(x, t)|
2
R
dx +
1
ε
Ω
X (x, t)u
εm
(x, t)u
εm
(x, t) dx
≤ CC
2
|u
εm
(t)|
2p
u
εm
(t)
2
. (3.8)
Multiplicando a desigualdade (3.8) por
δ
4
e somando com a desigualdade (3.7) obtem-
se
d
dt
H(t) +
3δ
4
|u
εm
(t)|
2
+
δ
8
Ω
M(x, t, |u
εm
(t)|
2
)|∇u
εm
(x, t)|
2
R
dx
+ u
εm
(t)
2
m
0
δ
8
− γ(t)
+
1
ε
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dx
+
δ
4ε
Ω
X (x, t)u
εm
(x, t)u
εm
(x, t) dx ≤ 0 (3.9)
onde H(t) e γ(t) s˜ao dadas por (2.13) e (2.14) calculadas em u
εm
(t).
60
De (2.18), (2.21) e (2.24) tem-se
d
dt
H(t) +
1
ε
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dx +
δ
4ε
Ω
X (x, t)u
εm
(x, t)u
εm
(x, t) dx ≤ 0
(3.10)
Note que
Ω
X (x, t)u
εm
(x, t)u
εm
(x, t) dx =
Ω
X (x, t)
1
2
d
dt
|u
εm
(x, t)|
2
R
dx
=
1
2
d
dt
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dx. (3.11)
Substituindo (3.11) em (3.10) obtemos
d
dt
H(t) +
δ
8ε
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dx
+
1
ε
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dx ≤ 0,
ou seja,
d
dt
H(t) +
δ
8ε
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dx
≤ 0.
Integrando de 0 a t tem-se
H(t) ≤ H(t) +
δ
8ε
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dx
≤ H(0) +
δ
8ε
Ω
X (x, 0)|u
εm
(x, 0)|
2
R
dx
= H(0) +
δ
8ε
Ω−Ω
0
X (x, 0)

=1
|u
0
(x)|
2
R
dx +
δ
8ε
Ω
0
X (x, 0)

=0
|u
0
(x)|
2
R
dx
= H(0) +
δ
8ε
Ω−Ω
0
|u
0
(x)|
2
R
dx

=0
.
Portanto,
H(t) ≤ H(0) ≤ K
18
∀ t ≥ 0, e ε > 0
onde K
18
´e uma constante independente de m.
Isto fornece a estimativa global para a solu¸c˜ao aproximada. De (2.25) e da de-
sigualdade anterior existe uma subsequˆencia (u
εm
)
n∈N
o qual ainda denotaremos do
61
mesmo modo tal que
u
εm
∗
u
ε
em L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)) quando m → ∞ (3.12)
u
εm
∗
u
ε
em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) quando m → ∞ (3.13)
e pelo Teorema de Aubin Lions
u
εm
−→ u
ε
em L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) quando m → ∞. (3.14)
Tamb´em temos que
X u
εm
∗
X u
ε
em L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)) quando m → ∞.
X u
εm
∗
X u
ε
em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) quando m → ∞. (3.15)
Sejam j ∈ N e m ∈ N tal que m ≥ j e consideremos θ ∈ D (0, T ). Multiplicando-se
a equa¸c˜ao (3.5) por θ e integrando 0 a T obtemos
−
T
0
(u
εm
(t), w
j
)θ
(t)dt +
T
0
(M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t), ∇w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u
εm
(t)|
2
)∇u
εm
(t), w
j
)θ(t)dt + δ
T
0
(u
εm
(t), w
j
)θ(t)dt
+
1
ε
T
0
(X (t)u
εm
(t), w
j
)θ(t)dt = 0.
Das convergˆencias (3.12), (3.13) , (3.14), (3.15) e utilizando argumento semelhante
ao do cap´ıtulo 2 temos que quando m → ∞ tem-se
−
T
0
(u
ε
(t), w
j
)θ
(t)dt +
T
0
(M(t, |u
ε
(t)|
2
)∇u
ε
(t), ∇w
j
)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u
ε
(t)|
2
)∇u
ε
(t), w
j
)θ(t)dt + δ
T
0
(u
ε
(t), w
j
)θ(t)dt
+
1
ε
T
0
(X (t)u
ε
(t), w
j
)θ(t)dt = 0.
Usando o fato que as combina¸c˜oes lineares s˜ao densas em H
1
0
(Ω) obtemos
−
T
0
(u
ε
(t), v)θ
(t)dt +
T
0
(M(t, |u
ε
(t)|
2
)∇u
ε
(t), ∇v)θ(t)dt
+
T
0
(∇M(t, |u
ε
(t)|
2
)∇u
ε
(t), v)θ(t)dt + δ
T
0
(u
ε
(t), v)θ(t)dt
+
1
ε
T
0
(X (t)u
ε
(t), v)θ(t)dt = 0 ∀v ∈ H
1
0
(Ω).
62
Analogamente aos argumentos utilizados no cap´ıtulo 2 mostra-se u
ε
´e solu¸c˜ao fraca
do problema (3.2). A etapa a seguir ´e obter estimativas para u
ε
indenpendentes de
ε > 0 para podermos tomar o limite quando ε → 0.
Por (3.12) e pelo Teorema de Banach-Steinhauss temos que
|u
ε
|
L
∞
(0,T ;H
1
0
(Ω))
≤ lim inf
m→∞
|u
εm
|
L
∞
(0,T ;H
1
0
(Ω))
≤ K
17
.
Logo existe uma subsequˆencia (u
ε
)
0<ε<1
o qual denotaremos de mesmo modo e uma
fun¸c˜ao w : Q → R tal que
u
ε
∗
w em L
∞
(0, T ; H
1
0
(Ω)) quando ε → 0. (3.16)
Analogamente, das convergˆencias (3.13), (3.14) e pelo Teorema de Banach-Steinhauss
temos que
u
ε
∗
w
em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) quando ε → 0 (3.17)
u
ε
−→ w em L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) quando ε → 0. (3.18)
Por outro lado, integrando de 0 a T (3.10) temos
H(T ) − H(0) +
1
ε
T
0
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dxdt
+
δ
4ε
T
0
Ω
X (x, t)u
εm
(x, t)u
εm
(x, t) dxdt ≤ 0. (3.19)
Utilizando (3.11) tem-se
T
0
Ω
X (x, t)u
εm
(x, t)u
εm
(x, t) dxdt ≥
1
2
T
0
d
dt
Ω
X
2
(x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dxdt
=
1
2
T
0
d
dt
|X (t)u
εm
(t)|
2
dt
=
1
2
|X (T )u
εm
(T )|
2
− |X (0)u
0
|
2
=
1
2
|X (T )u
εm
(T )|
2
≥ 0. (3.20)
De (3.19) e (3.20) obtemos
−H(0) +
1
ε
T
0
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dxdt ≤ 0.
63
Portanto,
T
0
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dxdt ≤ εH(0) ≤ εK
17
. (3.21)
Da convergˆencia (3.15) tem-se
X u
εm
X u
ε
em L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) quando m → ∞
e pela Proposi¸c˜ao 1.7 obtemos
|X u
ε
|
L
2
(Q)
≤ lim inf
m→∞
|X u
εm
|
L
2
(Q)
.
Mas,
|X u
εm
|
L
2
(Q)
=
T
0
Ω
X
2
(x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dxdt
≤
T
0
Ω
X (x, t)|u
εm
(x, t)|
2
R
dxdt ≤ εK
17
.
Portanto,
|X u
ε
|
L
2
(Q)
≤ lim inf
m→∞
|X u
εm
|
L
2
(Q)
≤ εK
17
,
ou seja,
X u
ε
0 em L
2
(Q) quando ε → 0.
Da convergˆencia (3.17)
X u
ε
X w
em L
2
(0, T ; L
2
(Ω)) quando ε → 0.
Assim, pela unicidade do limite temos que X w
= 0, ou seja,
T
0
Ω
X (x, t)|w
(x, t)|
2
R
dxdt = 0.
Pela Lema de Du Bois Raymond tem-se
X (x, t)w
(x, t) = 0 q. s. em Q.
Da defini¸c˜ao de X tem-se que
w
(x, t) = 0 q. s. em Q −
Q ∪ {Ω
0
× {0}}.
64
Integrando de 0 a t e pelo fato que
Q ´e crescente
w(x, t) = w(x, 0) q. s. em Q −
Q ∪ {Ω
0
× {0}}.
Mas u
εm
(x, 0) = u
0
(x) ent˜ao w(x, 0) = u
0
(x) e como u
0
(x) = 0 se x ∈ Ω − Ω
0
segue
que w(x, 0) = 0 em Ω − Ω
0
. Sendo Ω − Ω
t
⊂ Ω − Ω
0
, w(x, 0) = 0 em Ω − Ω
t
.
Portanto,
w(x, t) = 0 q. s. em Q −
Q ∪ {Ω
0
× {0}}.
Temos que w ∈ L
∞
(0, T, H
1
0
(Ω)) e pela hip´otese 3 obtem-se
u = w|
Q
∈ L
∞
(0, T, H
1
0
(Ω
t
)). (3.22)
Analogamente, como w
∈ L
∞
(0, T, L
2
(Ω)) ent˜ao
u
= w
|
Q
∈ L
∞
(0, T, L
2
(Ω
t
)). (3.23)
Por outro lado, restringindo o problema penalizado (3.3) em
Q temos
−
Q
u
ε
(x, t)φ
(x, t) dxdt +
Q
M(x, t, |u
ε
(t)|
2
)∇u
ε
(x, t)∇φ(x, t) dxdt
+
Q
∇
M(x, t, |u
ε
(t)|
2
)∇u
ε
(x, t)
φ(x, t) dxdt + δ
Q
u
ε
(x, t)φ(x, t) dxdt = 0
φ ∈ D(
Q) (3.24)
onde u
ε
= u
ε
|
Q
e u
ε
= u
ε
|
Q
.
Das convergˆencias (3.16), (3.17), (3.18) e usando argumentos an´alogos ao cap´ıtulo
2 em (3.24) quando ε → 0 temos
−
Q
u
(x, t)φ
(x, t) dxdt +
Q
M(x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t)∇φ(x, t) dxdt
+
Q
∇
M(x, t, |u(t)|
2
)∇u(x, t)
φ(x, t) dxdt + δ
Q
u
(x, t)φ(x, t) dxdt = 0
φ ∈ D(
Q). (3.25)
De (3.22), (3.23) e (3.25) concluimos que u ´e solu¸c˜ao do problema (3.1).
65
Cap´ıtulo 4
Apˆendice
Neste cap´ıtulo mostraremos o Teorema de Compacidade de Aubin Lions, o qual foi
aplicado para tomar o limite no problema aproximado.
4.1 Teorema de Compacidade de Aubin-Lions
Na presente se¸c˜ao demonstraremos um teorema de compacidade usado na se¸c˜ao 2.1,
para mostrar que u ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.1). Inicialmente demonstraremos dois
lemas necess´arios na demonstra¸c˜ao de tal Teorema.
Lema 4.1 : Sejam X um Espa¸co de Banach e u, g ∈ L
1
((a, b) : X).
Ent˜ao as trˆes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) u ´e igual quase sempre a uma primitiva de g, isto ´e,
u(t) = ξ +
t
0
g(s) ds, ξ ∈ X,
para quase todo t ∈ [a, b].
(ii) Para cada fun¸c˜ao teste ρ ∈ D(a, b)
b
a
u(t)ρ
(t)dt = −
b
a
g(t)ρ(t)dt.
(iii)
d
dt
u(t), η = g(t), η no sentido das distribui¸c˜oes sobre (a, b).
66
Se (i), (ii) e (iii) s˜ao satisfeitas, ent˜ao u ´e igual quase sempre a uma fun¸c˜ao cont´ınua
de [a, b] em X.
Demonstra¸c˜ao:
Mostraremos que u ´e cont´ınua de [a, b] em X. Suponhamos p or comodidade que
[a, b] = [0, T ].
Por (i) para 0 < t
0
≤ T temos
u(t) − u(t
0
)
X
−→ 0 quase sempre quando t −→ t
0
.
De fato,
u(t)−u(t
0
)
X
=
ξ +
t
0
g(s) ds − ξ −
t
0
0
g(s)ds
X
=
t
t
0
g(s)ds
X
≤
t
t
0
g(s)
X
ds,
assim
lim
t−→t
0
u(t) − u(t
0
)
X
≤ lim
t−→t
0
t
t
0
g(s)
X
ds = 0.
Al´em disso, u(t) − ξ
X
−→ 0 quando t −→ 0, pois
u(t) − ξ
X
=
t
0
g(s) ds
X
≤
t
0
g(s)
X
ds −→ 0,
quando t −→ 0.
Ent˜ao modificando u num conjunto de medida nula, podemos consider´a-la cont´ınua
de [0, T ] em X.
Mostraremos agora, as equivalˆencias.
(i) =⇒ (ii)
Para mostrar esta implica¸c˜ao, usaremos o seguinte resultado:
Teorema: Sejam X e Y Espa¸cos de Banach. Se T ∈ L(X, Y ) e f : B −→ X
´e Bochner Integral, ent˜ao T ◦ f : B −→ Y ´e Bochner Integral e T
B
f(s)ds
=
B
T f(s)ds.
67
Seja ρ ∈ D(0, T ) :
T
0
u(t)ρ
(t) dt =
T
0
ξ +
t
0
g(s) ds
ρ
(t) dt
=
T
0
ξρ
(t) dt +
T
0
t
0
g(s) ds
ρ
(t) dt
= −
T
0
g(t)ρ(t) dt,
pois,
T
0
ξρ
(t) dt = ξ
T
0
ρ
(t) dt = 0
e
T
0
t
0
g(s) ds
ρ
(t) dt =
T
0
ds
T
s
g(s)ρ
(t) dt
=
T
0
g(s)(ρ(T ) − ρ(s)) dt
= −
T
0
g(t)ρ(t) dt
lembrando que ρ(0) = ρ(T ) = 0.
(ii) =⇒ (iii)
Seja η ∈ X
e ρ ∈ D(0, T ).
Seja f : [0, T ] −→ R definida por f(t) = u(t), η, ent˜ao f ∈ L
1
(0, T ), pois
T
0
|f(t)| dt =
T
0
|u(t), η| dt ≤
T
0
u(t)
X
η
X
dt,
assim
T
0
|f(t)| dt ≤ η
X
T
0
u(t)
X
dt < C,
pois u ∈ L
1
(0, T ; X).
68
Logo,
d
dt
u(t), η, ρ = −u(t), η, ρ
= −
T
0
u(t), ηρ
(t) dt
= −
T
0
u(t)ρ
(t), η dt
= −
T
0
u(t)ρ
(t) dt, η
usando (ii) obtemos
d
dt
u(t), η, ρ =
T
0
g(t)ρ(t) dt, η
=
T
0
g(t), ηρ(t) dt
= g(t), η, ρ ∀ρ ∈ D(0, T ),
logo,
d
dt
u(t), η, ρ = g( t), η, ρ ∀ρ ∈ D(0, T ).
Portanto
d
dt
u(t), η = g(t), η em D
(0, T ).
(iii) =⇒ (ii)
Suponhamos
T
0
u(t), ηρ
(t) dt = −
T
0
g(t), ηρ(t) dt ∀ρ ∈ D(0, T ). Ent˜ao
T
0
u(t)ρ
(t) + g(t)ρ(t), η dt = 0 ∀η ∈ X
,
ou ainda,
T
0
[u(t)ρ
(t) + g(t)ρ(t)] dt, η = 0 ∀η ∈ X
69
pelo Lema 1.13, segue-se que
T
0
[u(t)ρ
(t) + g(t)ρ(t)] dt = 0
portanto
T
0
u(t)ρ
(t) dt = −
T
0
g(t)ρ(t) dt.
(ii) =⇒ (i)
Fa¸camos v = u − u
0
onde u
0
(t) =
t
0
g(s) ds, ent˜ao u
0
´e absolutamente cont´ınua e
u
0
= g.
Trocando u por u
0
+ v em (ii) tem-se
T
0
(u
0
(t) + v(t))ρ
(t) dt = −
T
0
g(t)ρ(t) dt ∀ρ ∈ D(0, T ).
Ent˜ao
T
0
u
0
(t)ρ
(t) dt +
T
0
v(t)ρ
(t) dt = −
T
0
g(t)ρ(t) dt
calculando a primeira integral por parte, obtemos
T
0
u
0
(t)ρ
(t) dt = −
T
0
g(t)ρ(t) dt
que implica que
T
0
v(t)ρ
(t) dt = 0 ∀ρ ∈ D(0, T ). (4.1)
Afirmo que v(t) = ξ quase sempre em [0, T ].
Com efeito, seja ρ
0
∈ D(0, T ) tal que
T
0
ρ
0
(t) dt = 1.
Seja ρ ∈ D(0, T ), ponhamos
λ =
T
0
ρ(t) dt e ψ(t) =
t
0
(ρ(s) − λρ
0
(s)) ds.
Ent˜ao ψ
(t) = ρ(t) − λρ
0
(t).
70
Como ρ, ρ
0
∈ D(0, T ), ent˜ao supp(ρ), supp(ρ
0
) ⊂ (0, T ), logo, existe δ tal que ρ =
ρ
0
= 0 em (0, δ) ∪ (T − δ, T ) e ψ ≡ 0 em (0, δ), pois ψ(t) =
t
0
(ρ(s) − λρ
0
(s)) ds.
Seja t ∈ (T − δ, T ) ent˜ao
ψ(t) =
t
0
ρ(s)ds − λ
t
0
ρ
0
(s)ds
=
T −δ
0
ρ(s)ds − λ
T −δ
0
ρ
0
(s)ds
=
T
0
ρ(s)ds − λ
T
0
ρ
0
(s)ds
=
T
0
ρ(s)ds − λ = 0.
Logo, supp(ψ) ⊂ [δ, T − δ] e portanto supp(ψ) ´e compacto, isto ´e, ψ ∈ D(0, T ).
Ent˜ao, por (4.1) tem-se
T
0
v(t)ψ
(t) dt = 0
=⇒
T
0
v(t)(ρ(t) − λρ
0
(t)) dt = 0
=⇒
T
0
v(t)ρ(t) dt − λ
T
0
v(t)ρ
0
(t) dt = 0
=⇒
T
0
v(t)ρ(t) dt −
T
0
ρ(t) dt
T
0
v(t)ρ
0
(t) dt = 0
tomando
T
0
v(t)ρ
0
(t) dt = ξ obtemos
T
0
(v(t) − ξ)ρ(t) dt = 0 ∀ρ ∈ D(0, T ).
Logo, para cada f ∈ X
tem-se
f,
T
0
(v(t) − ξ)ρ(t) dt =
T
0
f, (v(t) − ξ)ρ(t) dt = 0.
71
E como f(v(t) − ξ) ∈ L
1
(0, T ), tem-se
f, (v(t) − ξ) = 0 ∀f ∈ X
.
Novamente pelo lema 1.13, v(t) = ξ para quase todo t ∈ (0, T ).
Lema 4.2 : (Lema de Aubin-Lions) Sejam X
0
, X e X
1
trˆes Espa¸cos de Banach
tais que:
(i) X
0
⊂ X ⊂ X
1
;
(ii) X → X
1
;
(iii) X
0
c
→ X.
Ent˜ao ∀η > 0, ∃C
η
dependendo de η, tais que:
ν
X
≤ ην
X
0
+ C
η
ν
X
1
, ∀ ν ∈ X
0
. (4.2)
Demonstra¸c˜ao:
A prova ser´a feita p or contradi¸c˜ao. Suponhamos que (4.2) n˜ao seja v´alida, ou seja,
∃η tal que ∀C ∈ R
ν
X
> ην
X
0
+ Cν
X
1
para ao menos um ν ∈ X
0
. Fazendo C = m, para cada m ∈ N, obtemos uma
sequˆencia ν
m
satisfazendo
ν
m
X
> ην
m
X
0
+ mν
m
X
1
, ∀m ∈ N.
Consideremos ent˜ao a sequˆencia normalizada em X
0
w
m
=
ν
m
ν
m
X
0
,
72
a qual satisfaz
w
m
X
> η + mw
m
X
1
, ∀m ∈ N. (4.3)
Como w
m
X
0
= 1, ∀m ∈ N a sequˆencia (w
m
)
m∈N
´e limitada em X
0
, assim de (iii)
(w
m
)
m∈N
´e limitada em X. Logo, de (4.3) a sequˆencia (η +mw
m
X
1
)
m∈N
´e limitada,
o que ocorre somente se
w
m
X
1
−→ 0 quando m −→ ∞. (4.4)
Da condi¸c˜ao (iii), temos que existe uma subsequˆencia (w
µ
)
m∈N
da sequˆecnia (w
m
)
m∈N
tal que
w
µ
−→ w em X
de (ii) temos que
w
µ
−→ w em X
1
.
Logo w = 0, e de (4.4) obtemos
lim
µ−→∞
w
µ
X
> η,
o que ´e absurdo pois η > 0. Portanto (4.2) ´e v´alida.
Novamente consideraremos X
0
, X, X
1
Espa¸cos de Banach tais que :
X
0
⊂ X ⊂ X
1
X
0
, X
1
s˜ao reflexivos
X
0
c
→ X
X → X
1
73
Seja T > 0 um n´umero finito fixo, e seja α
0
, α
1
dois n´umeros finitos tais que α
0
, α
1
>
1. Consideremos o espa¸co
Y = Y(0, T ; α
0
, α
1
; X
0
, X
1
)
Y = {ν ∈ L
α
0
(0, T ; X
0
) : ν
∈ L
α
1
(0, T ; X
1
)}
munido da norma
ν
Y
= ν
L
α
0
(0,T ;X
0
)
+ ν
L
α
1
(0,T ;X
1
)
´e um Espa¸co de Banach, tal que
Y → L
α
0
(0, T ; X).
De fato, como X
0
→ X obtemos que L
α
0
(0, T ; X
0
) → L
α
0
(0, T ; X), logo, ∃C > 0
tal que
ν
L
α
0
(0,T ;X)
≤ Cν
L
α
0
(0,T ;X
0
)
.
Segue-se que
ν
L
α
0
(0,T ;X
0
)
≤ ν
Y
,
portanto
ν
L
α
0
(0,T ;X)
≤ Cν
Y
.
O resultado a seguir mostra que esta inje¸c˜ao ´e compacta.
74
Teorema 4.3 :(Teorema de Compacidade de Aubin-Lions) Assumindo que
as hip´oteses acima sejam v´alidas ent˜ao a inje¸c˜ao de Y em L
α
0
(0, T ; X) ´e compacta.
Demonstra¸c˜ao: :
Seja (u
m
)
m∈N
uma sequˆencia limitada de Y. Devemos provar que esta sequˆencia
possui uma subsequˆencia (u
µ
)
µ∈N
que converge forte em L
α
0
(0, T ; X).
Como X
,
X
1
s˜ao reflexivos e 1 < α
0
, α
1
< ∞, os espa¸cos L
α
0
(0, T ; X
0
), L
α
1
(0, T ; X
1
)
s˜ao tamb´em reflexivos e portanto Y ´e reflexivo. Como (u
m
)
m∈N
´e limitada em Y,
da defini¸c˜ao da norma em Y segue-se que (u
m
)
m∈N
´e limitada em L
α
0
(0, T ; X
0
) e
(u
m
)
m∈N
´e limitada em L
α
1
(0, T ; X
1
). Pelo Teorema 1.14 existe uma subsequˆencia
(u
µ
)
µ∈N
da sequˆencia (u
m
)
m∈N
tal que
u
µ
u em Y,
u
µ
u em L
α
0
(0, T ; X
0
), (4.5)
u
µ
u
em L
α
1
(0, T ; X
1
). (4.6)
Provaremos que
v
µ
= u
µ
− u −→ 0 em L
α
0
(0, T ; X). (4.7)
Assumiremos agora que
v
µ
−→ 0 em L
α
0
(0, T ; X
1
). (4.8)
Ent˜ao, ∀η > 0 ∃C
η
tal que
v
µ
(t)
X
≤ ηv
µ
(t)
X
0
+ C
η
v
µ
(t)
X
1
, ∀t ∈ (0, T ).
Tomando a norma em L
α
0
(0, T ) na desigualdade acima obtemos
v
µ
L
α
0
(0,T ;X)
≤ ¯ηv
µ
L
α
0
(0,T ;X
0
)
+
¯
C
η
v
µ
L
α
0
(0,T ;X
1
)
.
75
Como (v
µ
)
µ∈N
´e limitada em L
α
0
(0, T ; X
0
), existe C tal que
v
µ
L
α
0
(0,T ;X)
≤ ¯η C +
¯
C
η
v
µ
L
α
0
(0,T ;X
1
)
.
Tomando o limite na desigualdade acima quando µ −→ ∞ segue-se de (4.8) que
lim
µ−→∞
v
µ
L
α
0
(0,T ;X)
≤ ¯η C, ∀η > 0,
podemos ent˜ao fazer η −→ 0 ( o que implica que ¯η −→ 0) obtendo
0 ≤ lim
µ−→∞
v
µ
L
α
0
(0,T ;X)
≤ 0.
Portanto
v
µ
−→ 0 em L
α
0
(0, T ; X)
o que mostra (4.7). Mostraremos agora (4.8). Temos que
Y → C
0
([0, T ]; X). (4.9)
Usando o Teorema de Lebesgue ´e suficiente mostrar que
v
µ
(t) −→ 0 em X
1
(4.10)
para quase todo t ∈ [0, T ].
Mostraremos (4.10) para t = 0, a demonstra¸c˜ao para outro t ∈ [0, T ] ´e semelhante
a esta. Observe que, de (4.9) podemos calcular v
µ
(0). Logo, podemos escrever
v
µ
(0) = v
µ
(t) −
t
0
v
µ
(ξ)dξ.
Integrando a igualdade acima de 0 a s, tem-se
s
0
v
µ
(0)dt =
s
0
v
µ
(t)dt −
s
0
t
0
v
µ
(ξ)dξdt,
ou seja,
76
v
µ
(0) =
1
s
s
0
v
µ
(t)dt −
s
0
t
0
v
µ
(ξ)dξdt
.
Portanto
v
µ
(0) = a
µ
+ b
µ
,
onde
a
µ
=
1
s
s
0
v
µ
(t)dt
e
b
µ
= −
1
s
s
0
(s − t)v
µ
(t)dt.
Usando (4.6) temos que v
µ
0 em L
α
1
(0, T ; X
1
), logo, pela proposi¸c˜ao 1.7 a
sequˆencia (v
µ
)
µ∈N
´e limitada em L
α
1
(0, T ; X
1
), isto ´e existe C > 0 tal que
v
µ
L
α
1
(0,T ;X
1
)
=
T
0
v
µ
(t)
α
1
X
1
dt
1/α
1
≤ C, ∀µ ∈ N. (4.11)
Ent˜ao existe
¯
C tal que
v
µ
(t)
X
1
≤
¯
C
∀µ ∈ N e para quase todo t ∈ [0, T ].
De fato, se existem µ
0
e E, com med(E) > 0, tais que
v
µ
0
(t)
X
1
> N, ∀N ∈ N e t ∈ E,
obtemos
T
0
v
µ
0
(t)
α
1
X
1
dt ≥
E
v
µ
0
(t)
α
1
X
1
dt ≥
E
N
α
1
dt = med(E)N
α
1
∀N ∈ N.
O que ´e absurdo por (4.11).
77
Dado > 0, tomando s <
¯
C
obtemos
b
µ
X
1
=
|s − t|
s
s
0
v
µ
(t)
X
1
dt ≤
s
0
v
µ
(t)
X
1
dt ≤
¯
Cs < .
Logo,
b
µ
−→ 0 em X
1
.
De (4.5) temos tamb´em que v
µ
0 em L
α
0
(0, T ; X
0
), isto implica que ∀ϕ ∈
L
α
0
(0, T ; X
0
) tem-se
ϕ, v
µ
−→ 0,
isto ´e,
T
0
ϕ(t), v
µ
(t) dt −→ 0,
logo, ∀ψ ∈ X
0
. obtemos
ψ, a
µ
=
1
s
s
0
ψ, v
µ
(t)dt −→ 0,
Portanto
a
µ
0 em X
0
,
da imers˜ao compacta de X
0
em X existe uma subsequˆencia de (v
µ
)
µ∈N
a qual ainda
denotaremos pelo mesmo s´ımbolo, tal que a
µ
−→ 0 em X e da imers˜ao compacta
de X em X
1
, tem-se que
a
µ
−→ 0 em X
1
.
Portanto
v
µ
(0) −→ 0 em X
1
,
o que mostra (4.8).
78
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