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JADER OTAVIO DALTO
A Produção Escrita em Matemática:
análise interpretativa da questão discursiva de Matemática
comum à 8ª série do Ensino Fundamental e à 3ª série do Ensino
Médio da AVA/2002
LONDRINA
2007
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JADER OTAVIO DALTO
A Produção Escrita em Matemática:
a
nálise interpretativa da questão discursiva de Matemática
comum à 8ª série do Ensino Fundamental e à 3ª série do Ensino
Médio da AVA/2002
Dissertação apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Ensino de
Ciências e Educação Matemática do
Centro de Ciências Exatas da
Universidade Estadual de Londrina,
como requisito para obtenção do
Título de Mestre.
Orientadora: Profª. Drª. Regina Luzia
Corio de Buriasco.
LONDRINA
2007
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Catalogação na publicação elaborada pela Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca
Central da Universidade Estadual de Londrina.
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
D152p Dalto, Jader Otavio.
A produção escrita em matemática : análise interpretativa da questão
discursiva de matemática comum à 8ª série do ensino fundamental e a
3ª série do ensino médio da AVA/2002 / Jader Otavio Dalto. – Londrina,
2007.
100f. : il.
Orientador : Regina Luzia Corio de Buriasco.
Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) −
Universidade Estadual de Londrina, Centro de Ciências Exatas, Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática, 2007.
Bibliografia : f. 85–88.
1. Educação matemática – Teses. 2. Matemática – Avaliação da aprendizagem
– Teses. 3. Produção escrita em matemática – Teses. 4. Matemática – Acertos e
erros – Teses. I. Buriasco, Regina Luzia Corio de. II. Universidade Estadual de
Londrina. Centro de Ciências Exatas. Programa de Pós–Graduação em Ensino de
Ciências e Educação Matemática. III. Título.
CDU 51:37.02
JADER OTAVIO DALTO
A Produção Escrita em Matemática:
análise interpretativa da questão discursiva de Matemática
comum à 8ª série do Ensino Fundamental e à 3ª série do Ensino
Médio da AVA/2002
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-graduação em Ensino de Ciências e
Educação Matemática do Centro de
Ciências Exatas da Universidade
Estadual de Londrina, como requisito
para obtenção do Título de Mestre.
Orientadora: Profª. Drª. Regina Luzia
Corio de Buriasco.
COMISSÃO EXAMINADORA
_________________________________________
Profª. Drª. Ângela Marta P. das D. Savioli
Universidade Estadual de Londrina
_________________________________________
Profª. Drª. Helena Noronha Cury
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul
_________________________________________
Profª. Drª. Regina Luzia Corio de Buriasco
Universidade Estadual de Londrina
Londrina, ___ de _________________ de 2007.
A meus pais Vera Lúcia
e Rubens, nos quais me espelho.
AGRADECIMENTOS
De todas as coisas que tenho aprendido durante minha vida, a mais
importante é que nada somos sem os outros. Tudo que somos e tudo que
sabemos é resultado de nossas interações com as pessoas que nos cercam.
Assim, mesmo que pudesse, não conseguiria listar todas elas que, direta ou
indiretamente, me ensinaram algo que me fizesse ‘crescer’ e me tornar uma
pessoa melhor. A todas estas pessoas, muito obrigado.
Em especial, meus sinceros agradecimentos:
A Deus, pela vida, sabedoria, perseverança;
Aos meus pais e à minha família pelo apoio e compreensão nos
momentos em que estive ausente;
À Regina, mais que orientadora, pela atenção, paciência, dedicação,
amizade dispensadas durante todo tempo;
À Profª. Tiemi Matsuo, pelo auxílio estatístico na composição da
amostra;
As Professoras Ângela Marta e Helena que gentilmente fizeram parte da
Banca Examinadora do Exame de Qualificação e da Defesa, trazendo valiosas
contribuições para este trabalho;
A todos os amigos que fiz durante o Mestrado, em especial aos
participantes do GEPEMA.
Há quem passe por um bosque e só veja
lenha para a fogueira.
Leon Tolstoi
DALTO, Jader Otavio. A Produção Escrita em Matemática: análise
interpretativa da questão discursiva de Matemática comum à 8ª série do
Ensino Fundamental e à 3ª série do Ensino Médio da AVA/2002. 2007. 100
p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) –
Universidade Estadual de Londrina.
RESUMO
Este trabalho estuda a produção escrita presente na Questão Aberta Comum
à 8ª série do Ensino Fundamental e à 3ª série do Ensino Médio da Prova de
Questões Abertas de Matemática da Avaliação do Rendimento Escolar do
Estado do Paraná – AVA/2002. Pretendeu-se, com esse trabalho, encontrar
respostas para algumas questões, tais como: quais as
estratégias/procedimentos utilizados pelos alunos dessas séries para
resolver uma questão comum? Tais estratégias/procedimentos são os
mesmos? Que tipos de erros são encontrados? Esses erros são os mesmos,
independente da série? Existe compatibilidade de marcas de conteúdo
matemático na produção escrita encontrada? A abordagem metodológica
adotada é predominantemente qualitativa, orientando-se pelas técnicas da
análise de conteúdo como ferramenta de compreensão e inferência da
produção escrita dos alunos em uma amostra, determinada por
procedimentos estatísticos, de todas as provas aplicadas no Estado do
Paraná. Além disso, identificam-se quatro categorias de resolução da
questão comum. Em cada uma destas categorias, inferem-se os enunciados
de problemas que os estudantes parecem ter compreendido e resolvido a
partir da interpretação que fizeram do enunciado da questão original. Como
resultados principais, tem-se que: a) o desempenho dos estudantes da 3ª
série do Ensino Médio é melhor que o desempenho dos estudantes da 8ª
série do Ensino Fundamental; b) na grande maioria das Provas verifica-se a
utilização de uma estratégia aqui considerada aritmética (operações
aritméticas sobre números, como adição, subtração, multiplicação e
divisão), mesmo nas Provas da 3ª série; c) analisando as produções
escritas, parece que a maior dificuldade enfrentada pelos estudantes foi
compreender o enunciado da questão; d) as maneiras pelas quais a questão
foi resolvida não diferem muito de uma série para outra.
Palavras-chave: Educação Matemática; Avaliação da Aprendizagem em
Matemática Escolar; Produção escrita; Acerto e Erro em Matemática.
DALTO, Jader Otavio. The Written Production in Mathematics: An
Interpretative Analysis of the Open-ended Question common to grade 8th of
Fundamental Teaching and to grade 3rd of Medium Teaching of AVA/2002.
2007. 100 p. Dissertation Thesis (Master Degree in Science Teaching and
Mathematics Education) – Universidade Estadual de Londrina.
ABSTRACT
This work studies the written production at the Open-ended Question which
is common to grade 8th of Fundamental Teaching and to grade 3rd of
Medium Teaching of the Mathematics Open-Ended Question’s Test of the
School Revenue Assessment of Parana State - AVA/2002. We intended, with
that work, to find answers for some questions, such as: which
strategies/procedures do the students use to solve the common open-ended
question? Are such strategies/procedures the same ones? What kind of
mistakes can we find? Are those mistakes the same ones, independent of the
grades? Are there compatibility marks of mathematical content in the written
production? The adopted methodological approach is predominantly
qualitative. We have guided by the techniques of the content analysis as an
understanding and inference tool of the students' written production in some
tests, which were chosen by statistical procedures of all Parana State’s tests.
Moreover, four resolution’s categories of the common question are identified.
In each one of these categories, we infer the statements of problems that the
students might understood from the interpretation that they had made of the
statement of the original question. As main results, we have: a) the students
of grade 3
rd
had better performance than the grade 8
th
ones; b) most of the
students used an arithmetical strategy (arithmetic operations on numbers,
as addition, subtraction, multiplication and division) to solve the question,
even at the grade 3
rd
tests; c) analyzing the written production, we can infer
that the largest difficulty faced by the students was to understand the
statement of the question; d) the ways that the question was solved by the
students of grade 8
th
are not quite different from the way grade 3
rd
students
did.
Key-words: Mathematics Education; Learning Assessment in School
Mathematics; Written Production; Right and Mistake in Mathematics.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Resolução apresentada na Prova 8L04109 da 8ª série que
recebeu crédito 0..................................................................42
Figura 2 – Resolução apresentada na Prova 8L09205 da 8ª série que
recebeu crédito 0..................................................................44
Figura 3 – Resolução apresentada na Prova 3C03039 da 3ª série que
recebeu crédito 0..................................................................45
Figura 4 – Resolução apresentada na Prova 3L07038 da 3ª série que
recebeu crédito 1..................................................................45
Figura 5 – Resolução apresentada na Prova 3C05036 da 3ª série que
recebeu crédito 0..................................................................47
Figura 6 – Resolução apresentada na Prova 3C03119 da 3ª série que
recebeu crédito 0..................................................................48
Figura 7 – Resolução apresentada na Prova 8L05014 da 8ª série que
recebeu crédito 0..................................................................49
Figura 8 – Resolução apresentada na Prova 8L10179 da 8ª série que
recebeu crédito 1..................................................................54
Figura 9 – Resolução apresentada na Prova 8L08163 da 8ª série que
recebeu crédito 0..................................................................55
Figura 10 – Resolução apresentada na Prova 8C07014 da 8ª série que
recebeu crédito 1..................................................................57
Figura 11 – Resolução apresentada na Prova 3L04014 da 3ª série que
recebeu crédito 1..................................................................59
Figura 12 – Resolução apresentada na Prova 8C07012 da 8ª série que
recebeu crédito 1..................................................................60
Figura 13 – Resolução apresentada na Prova 8L08161 da 8ª série que
recebeu crédito 2..................................................................62
Figura 14 – Resolução apresentada na Prova 8L05063 da 8ª série que
recebeu crédito 0..................................................................64
Figura 15 – Resolução apresentada na Prova 3L06077 da 3ª Série do
Ensino Médio que recebeu crédito 2......................................67
Figura 16 – Parte da resolução apresentada na Prova 8C03122 da 8ª
Série do Ensino Fundamental que recebeu crédito 2.............67
Figura 17 – Resolução apresentada na Prova 3C05028 da 3ª Série do
Ensino Médio que recebeu crédito 2......................................68
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ..................................................................................12
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.........................................................15
1.1 Situando a Avaliação .................................................................15
1.2 A Álgebra e a Educação Algébrica ...............................................22
2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS............................................30
2.1 Objeto de Estudo........................................................................32
3 DESCRIÇÃO E ANÁLISE ................................................................37
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES ............................................................79
REFERÊNCIAS .................................................................................85
APÊNDICE 1.....................................................................................89
ANEXO 1..........................................................................................95
INTRODUÇÃO
Aprender Matemática é uma tarefa considerada por muitas
pessoas como sendo não muito fácil. Ao longo dos anos, apesar de ser uma
das disciplinas com a maior carga horária curricular, a Matemática tem sido
apontada como causa de muitas reprovações, sendo considerada a ‘vilã’ dos
meios escolares.
Mas o que indica a reprovação? Pode-se considerar que o
aluno é reprovado porque o conhecimento construído/apropriado por ele
durante um certo período – bimestre, trimestre, ano, etc. – é insuficiente
para que possa prosseguir em sua escolaridade, ou para que possa viver,
exercendo sua cidadania. Assim, um aluno é reprovado porque ainda lhe
‘falta’ aprender algo, ainda lhe ‘falta’ alguma competência e/ou habilidade
que o cidadão ‘ideal’ ou que o aluno ‘ideal’ da série seguinte deve possuir.
Percebe-se, então, que na maioria das vezes realiza-se a avaliação pela falta,
desvalorizando o conhecimento que o aluno já construiu.
Na escola, aprovação ou reprovação parecem ser tomadas
como sentenças irrevogáveis, feitas por meio de um julgamento de valor das
informações obtidas durante o processo avaliativo. Nesse sentido, se
aprender e ensinar Matemática são tarefas nada fáceis, avaliar a
aprendizagem matemática parece ser mais difícil ainda.
Durante toda minha vida escolar, dois fatos sempre me
incomodaram:
1. por que tantas pessoas têm dificuldade em aprender
Matemática?
2. até que ponto os resultados da avaliação efetivamente
refletem o quanto um aluno conhece de determinado
conteúdo?
No que diz respeito à avaliação, estas questões têm conduzido
minha vida acadêmica. São, também, preocupações presentes não apenas
no movimento Educação Matemática, mas também nos discursos dos que
conduzem os sistemas de ensino.
13
O Estado do Paraná, segundo documentos oficiais (PARANÁ,
1995; PARANÁ, 1997), com intuito de conhecer as reais condições do
Sistema Estadual de Ensino, as condições em que a educação está sendo
realizada, bem como seu nível de qualidade, implantou o Sistema de
Avaliação do Rendimento Escolar do Estado do Paraná – AVA. As primeiras
edições do AVA continham apenas questões de múltipla escolha.
Entretanto, na edição de 2002, um terço dos alunos da 4ª e 8ª séries do
Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio foram submetidos a uma
Prova de Questões Abertas de Matemática. Esta Prova
1
é composta por 3 ou
4 questões abertas, também chamadas discursivas. Neste tipo de questão,
como não são apresentadas alternativas de resposta, o aluno deve ler a
questão, compreender e interpretar o enunciado, escolher uma estratégia ou
procedimento que considera resolver a questão, registrar seu raciocínio,
seus cálculos ou o que for necessário para somente então apresentar a
resposta.
Os resultados das aferições anteriores a 2002 revelaram que,
de um modo geral, o desempenho dos estudantes em Matemática manteve-
se abaixo do esperado. Esses resultados não garantem respostas a
perguntas tais como: Que “Matemática” os alunos conhecem? Como eles
utilizam esse conhecimento na resolução de problemas, apresentando ou
não uma solução correta?
Esta investigação faz parte de um programa de pesquisa, cujo
objeto de estudo é a produção escrita de alunos e professores na Prova de
Questões Abertas de Matemática-AVA/2002. Um dos objetivos deste
programa é articular pesquisas a serem realizadas por acadêmicos do
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática,
alunos do Curso de Especialização em Educação Matemática e da
Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Londrina. Como
resultado dessa articulação, seis dissertações já foram defendidas e, além
desta, uma outra está em andamento, além de dois trabalhos de iniciação
científica (ver Anexo 1).
1
No decorrer do trabalho, “Prova” deve ser entendida como Prova de Questões Abertas de
Matemática do AVA/2002
14
Procurou-se, assim, a partir de uma amostra das Provas
aplicadas em todo o Estado, analisar a produção escrita dos alunos na
questão comum à 8ª série do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino
Médio, tendo como base as seguintes questões norteadoras: quais as
estratégias/procedimentos utilizados pelos alunos da 8ª série do Ensino
Fundamental e da 3ª série do Ensino Médio para resolver a questão comum
a essas séries? Tais estratégias/procedimentos são os mesmos? Que tipos
de erros são encontrados? Esses erros são os mesmos, independente da
série? Existem marcas diferentes de conteúdo matemático presentes na
produção escrita referente à questão comum das Provas da 8ª série do
Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio?
Além disso, tem-se como objetivos específicos:
a) compreender como os alunos utilizam as informações
contidas no enunciado da questão;
b) identificar e inventariar os erros mais freqüentes, sua
natureza e as estratégias/procedimentos utilizados; e
c) estabelecer um paralelo entre as resoluções dos alunos da
8ª série do Ensino Fundamental e os da 3ª série do Ensino
Médio.
Este trabalho encontra-se estruturado em três capítulos. No
primeiro capítulo, são apresentados os referenciais teóricos que
fundamentam esta investigação. O segundo capítulo aborda os
procedimentos metodológicos adotados. No terceiro capítulo, são
apresentadas as descrições da produção escrita, bem como uma análise
interpretativa das mesmas. Por fim, apresentam-se algumas considerações
acerca da investigação.
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1.1 Situando a Avaliação
A avaliação é uma prática complexa que vem sendo objeto de
estudo dos pesquisadores da área da educação há muitos anos. Em suas
investigações, pesquisadores desta área (ABRANTES, 1995; HADJI, 2001;
ESTEBAN, 2002, BURIASCO, 2002), por um lado, têm apontado que, de um
modo geral, a avaliação pouco tem contribuído para o processo de ensino e
de aprendizagem. Por outro lado, esses pesquisadores afirmam que a
avaliação deve estar a serviço da ação pedagógica, ou seja, deve ser um
mecanismo de regulação do processo educativo. Tem-se aqui, por
conseguinte, um problema.
Apesar de a avaliação ter feito parte dos pontos comuns das
reformas do ensino de Matemática, nos anos 80 e 90, de países como
França, Estados Unidos, Itália, Inglaterra, Japão, Portugal, Espanha,
Holanda, Brasil (PIRES, 2000), percebe-se que, ainda hoje, muitas pessoas
olham-na de uma maneira simplista, ou seja, há uma preocupação muito
mais intensa com o ato de medida do que com as reais funções da
avaliação. Nesse sentido, muitos consideram ‘prova escrita’ e ‘avaliação’
como sinônimos, o que não é verdadeiro, pois a prova escrita é apenas um
dos muitos instrumentos utilizados para recolha de informações durante o
complexo processo avaliativo. Essas informações obtidas pelos instrumentos
avaliativos, geralmente provas escritas, são tomadas como base para
determinar o destino acadêmico dos estudantes: apto ou inapto; aprovado
ou reprovado.
Desde os anos 80, vem-se percebendo um grande número de
propostas e idéias novas acerca do ensino e da aprendizagem de
Matemática. Contudo, tais mudanças não foram acompanhadas de
mudanças significativas das práticas avaliativas. Apesar de estas práticas
parecerem muito resistentes à mudança, pode-se considerar que o conceito
de avaliação vem sendo alterado, ao longo dos anos, graças às novas idéias
e teorias sobre o processo de ensino e de aprendizagem (ABRANTES, 1995).
16
Sacristán (1998) atribui esse fato à evolução das funções que
a escola vem assumindo na sociedade e no mercado de trabalho ao longo
dos anos, bem como a maneira como o conhecimento é validado, entre
outras coisas. Para ele, avaliação é:
[...] qualquer processo por meio do qual alguma ou várias
características de um aluno/a, de um grupo de estudantes, de
um ambiente educativo, de objetivos educativos, de materiais,
professores/as, programas, etc., recebem a atenção de quem
avalia, analisam-se e valorizam-se suas características e
condições em função de alguns critérios ou pontos de referência
para emitir um julgamento que seja relevante para a educação
(1998, p. 298).
Esse autor considera que avaliar é emitir um juízo de valor
sobre algo, tendo como critério alguns pontos de referência. Vem ao
encontro desse conceito a definição do Conselho Nacional de Professores de
Matemática (NCTM) dos Estados Unidos, que a avaliação em Matemática
pode ser entendida como o
[...] processo que inclui a recolha de evidência sobre o
conhecimento matemático de um aluno, a sua aptidão para o
usar; e sua predisposição para a matemática, e também o
estabelecimento de inferências, a partir desta evidência, para
propósitos variados (NCTM, 1991, p. 04).
Também os Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática - PCN, consideram
[...] fundamental que os resultados expressos pelos
instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos,
registros das atitudes dos alunos [...] forneçam ao professor
informações sobre as competências de cada aluno em resolver
problemas, em utilizar a linguagem matemática adequadamente
para comunicar suas idéias, em desenvolver raciocínios e
análises e em integrar todos esses aspectos no seu
conhecimento matemático (BRASIL, 1998, p.54).
Pode-se considerar que estas definições enfatizam a avaliação
como reguladora do processo ensino-aprendizagem. Esta é a perspectiva de
avaliação que se pretende delinear neste trabalho.
17
No entanto, tem-se ainda hoje, de acordo com Esteban
(2002), uma avaliação sob a ótica do exame, baseada apenas na verificação
do rendimento escolar. Em suas pesquisas, esta autora vem observando que
a avaliação na lógica do exame não tem sido muito eficaz no processo de
ensino e de aprendizagem, uma vez que não possibilita a observação de um
processo tão complexo como esse. Tal avaliação atende às exigências
administrativas da escola, de modo que seus resultados revelam apenas o
que o aluno sabe e o que não sabe. De certa forma esta avaliação parece ser
coerente com a atividade escolar, uma vez que a “a dicotomia entre erro e
acerto, conhecimento e ignorância, saber e não-saber é assumida como fio
condutor da atividade escolar” (ESTEBAN, 2002, p. 103).
O problema da avaliação na lógica do exame parece não
residir na avaliação em si, mas sim na maneira como a mesma é encarada.
Estabelece-se um padrão que é utilizado como instrumento de comparação,
classificação, diferenciação e, sobretudo, de exclusão (ESTEBAN, 2002).
Apesar de a escola ter a função de certificar, sua função
principal é escolarizar (PARO, 2000). Assim, a avaliação escolar tem a
função de regular o processo de ensino e de aprendizagem. Quando seletiva
e classificatória, apesar de não impedir o acesso físico à escola, a avaliação
escolar parece se tornar um obstáculo para os estudantes concluírem a
escolarização básica, uma vez que, da maneira como vem sendo realizada,
pouco tem contribuído para o sucesso do processo de ensino e de
aprendizagem podendo, isto sim, estar contribuindo para a exclusão.
Seguindo esse raciocínio, Sacristán (1998) afirma que a função seletiva da
avaliação é cumprida em todos os níveis de ensino. Acrescenta, ainda, que
esta prática hierarquizadora é anti-social na medida em que a educação
obrigatória não tem o objetivo de selecionar e classificar os alunos em aptos
e inaptos, mas sim de oportunizar condições para que todos adquiram a
cultura básica, definida pela sociedade.
Esteban bem coloca que “a avaliação escolar funciona como
um sistema de oferta e suspensão dos direitos, tantos nos fatos cotidianos da
sala de aula como em relação às possibilidades futuras” (2002, p. 107), além
18
de “disciplinar não só o corpo, mas também o pensamento, a vontade e as
disposições” (2002, p. 108, grifo da autora).
Contudo, pode-se considerar que a avaliação não tem
exercido com êxito sua função disciplinadora, uma vez que, em meio a
tantas privações sociais, como alimentação, habitação, saúde, trabalho, a
privação ao direito de aprender é apenas uma privação a mais (ESTEBAN,
2002).
Tendo em vista a superação do fracasso escolar, é preciso
uma mudança de perspectiva avaliativa, no sentido de que a prática
avaliativa possa, efetivamente, auxiliar educadores e estudantes no
processo de construção do conhecimento, integrando-se a esse processo.
Talvez o primeiro passo nessa direção seja a mudança na
forma como os erros dos alunos são encarados. Pesquisadores da área da
Educação têm dado muita atenção aos erros cometidos pelos estudantes
(RADATZ, 1980; BORASI, 1987; RICO, 1995; BURIASCO, 2000; ESTEBAN,
2001; HADJI, 2001, CURY, 2004)
Historicamente, as pesquisas acerca dos erros dos estudantes
seguiam a teoria educacional vigente na época (CURY, 2004). Esta autora
apresenta três fases pelas quais passaram essas pesquisas. Na primeira
fase, a preocupação centrava-se nos aspectos técnicos dos erros. Já na
segunda fase, influenciada pelo enfoque da Teoria da Informação, a
preocupação estava na forma de pensar dos estudantes. A terceira fase,
influenciada pelo Construtivismo, considera que os erros são ferramentas
de aprendizagens.
Borasi (1987) considera que os erros podem, entre outras
coisas, ser utilizados como ponto inicial para exploração matemática. Esta
autora apresenta seis formas diferentes de utilização dos erros no processo
de ensino e aprendizagem. Essas seis formas diferentes são agrupadas em
duas categorias, tendo em vista o intuito da utilização do erro:
a) diagnóstico e remediação: nesta categoria o foco da
utilização dos erros reside sobre o diagnóstico das causas
que levam ao erro e sobre os mecanismos que possam
19
levar à superação dos mesmos, de forma que tais causas
possam ser evitadas futuramente com outros estudantes;
b) investigação: nesta categoria, os erros são utilizados como
mecanismos motivacionais para a investigação sobre o
conteúdo matemático relacionado ao erro, a natureza da
Matemática e ao próprio processo de ensino e de
aprendizagem.
Seguindo o raciocínio de Borasi, referente ao item a, Rico
(1995) afirma que se os erros forem considerados como elementos que
podem naturalmente aparecer durante o processo de construção do
conhecimento matemático, é preciso que, durante esse processo, tais erros
sejam detectados, diagnosticados e superados por meio de atividades que
promovam aos estudantes o exercício crítico sobre suas próprias produções.
Para que isso ocorra, é preciso que se perceba o potencial
educacional dos erros. Borasi (1987) afirma que os erros têm se mostrado
muito estimulantes mesmo nos casos em que se duvida do seu potencial no
momento em que se inicia o trabalho com os mesmos. Para que o trabalho
com os erros seja satisfatório, é preciso que se escolham erros apropriados à
situação e aos objetivos da sua utilização. Além disso, é fundamental que se
leve em consideração o interesse e a preparação dos estudantes com os
quais esta atividade será realizada. (BORASI, 1987).
Contudo, o trabalho com os erros pode ser dificultado por
alguns obstáculos. De acordo com Borasi (1987), um deles está associado
ao fato de que os professores, bem como os estudantes, possuem
concepções pré-existentes de erro, de Matemática, de conhecimento e de
aprendizagem. Para que tais concepções não interfiram nos resultados do
trabalho com os erros, não se pode desconsiderar sua existência. Fazer com
que os estudantes se tornem cientes de suas crenças é o principal passo
para uma possível modificação delas.
Um outro obstáculo pode estar relacionado à maneira como a
avaliação é realizada pelo professor, uma vez que o tratamento dado aos
erros pode ser, muitas vezes, resultado de um processo avaliativo. Cury
20
(2002) conjectura que “os docentes apresentam uma tendência a avaliar
segundo suas concepções a respeito do que seja a Matemática” (p.39). Assim,
se um professor concebe a Matemática como uma ciência pronta e acabada,
uma prática profissional voltada para a eliminação do erro é coerente com
sua concepção. Nesse caso, pode-se considerar que o erro, para esse
professor, representa a ausência de conhecimento. Por outro lado, um
professor que considera a Matemática como uma ciência falível e corrigível,
tende a encarar o erro como algo inerente ao processo de ensino e de
aprendizagem. Sua prática, dessa forma, está voltada para a utilização do
erro como oportunidade de aprendizagem. Nesse caso, o erro não representa
ausência de conhecimento, mas sim a existência de um conhecimento
parcial.
Cury (2002) considera que, apesar de muito se ter
questionado sobre as formas de avaliar os estudantes, pode-se considerar
que não existe forma que seja melhor ou pior. O importante é que se leve em
consideração o objetivo com o qual um determinado instrumento avaliativo
é utilizado, bem como a maneira pela qual analisar-se-ão as informações
oriundas desses instrumentos.
Assim, ao corrigir uma prova escrita, se o professor considera
apenas a resposta da questão como totalmente certa ou errada, estará
perdendo uma ótima oportunidade de verificar os conhecimentos que seu
estudante já construiu e aqueles que estão em processo de construção; os
erros cometidos pelos estudantes, o que pode fornecer importantes
informações sobre o processo de ensino e de aprendizagem.
Tendo em vista a natureza da questão que se está analisando
nesta investigação, optou-se pela classificação de Movshovitz-Hadar e
colaboradores (1987). Essa classificação foi resultado da análise das
respostas dos estudantes em um exame geral anual sobre Matemática em
Israel. Os pesquisadores definiram, a partir da análise de uma amostra das
provas, as seguintes categorias:
a) utilização equivocada de informações do problema: os
erros desta categoria estão relacionados às discrepâncias
existentes entre os dados fornecidos no enunciado do
21
problema e a maneira como foram utilizados pelos alunos
na resolução. Neste caso, o estudante compreende a
situação, retira os dados do problema, mas emprega essas
informações erroneamente;
b) interpretação equivocada da linguagem: nesta categoria os
erros geralmente estão relacionados à tradução incorreta
de situações em linguagens diferentes. Neste caso, o que
se expressa na linguagem verbal, por exemplo, e aquilo
que o estudante “traduziu” para a linguagem simbólica
têm significados diferentes. Da mesma forma, incluem-se
nesta categoria erros referentes à interpretação equivocada
de símbolos e gráficos. Pode-se considerar, também, que o
estudante compreende incorretamente ou compreende em
parte o que é pedido em uma questão;
c) inferências logicamente inválidas: os erros desta categoria
estão geralmente relacionados a falácias, inferências ou
informações indevidamente consideradas como
verdadeiras a partir de outras do enunciado. Em outras
palavras, o estudante considera como verdadeiras
suposições que não podem ser logicamente consideradas
como tal;
d) distorções na utilização de definições ou teoremas: o
estudante altera um princípio, uma definição uma regra
ou um teorema de modo que seja aplicável à situação do
problema;
e) não verificação de soluções: nos erros desta categoria, os
estudantes geralmente escolhem uma estratégia que não
resolve o problema e a desenvolve corretamente. Contudo,
o resultado obtido não é solução para o problema que
deveria ser resolvido;
f)
erros técnicos: os erros desta categoria estão relacionados
a erros na execução de algoritmos, de procedimentos
22
passo-a-passo, na retirada de informações de tabelas e até
mesmo na manipulação de símbolos algébricos
elementares. Tais erros geralmente podem ser resultados
de distração.
A classificação dos erros pode ser uma importante atividade
quando se deseja utilizar todo esse potencial para o processo de ensino e de
aprendizagem de Matemática. Isso não quer dizer que é importante errar ou
que o erro é essencial para que a aprendizagem possa ocorrer. É importante
considerar que, como elemento que pode, naturalmente, aparecer durante o
processo de ensino e de aprendizagem, o erro deve ser encarado, caso
apareça, não apenas como um obstáculo ou como uma dificuldade, mas sim
como um mecanismo que auxilie e promova a aprendizagem.
1.2 A Álgebra e a Educação Algébrica
Conforme já foi citado na seção anterior, avaliações nacionais
e internacionais do rendimento escolar têm mostrado que os alunos, no
geral, apresentam um baixo rendimento em Matemática, em especial no que
se refere à álgebra. As causas desse baixo rendimento parecem não estar
relacionadas ao fato de que não se ensina álgebra nos ensinos Fundamental
e Médio, uma vez que grande parte do currículo de Matemática está voltada
para essa área. Assim, o problema do baixo rendimento parece residir na
maneira como a álgebra é trabalhada nas escolas.
Alguns estudos mostram que a álgebra que se ensina no
ensino secundário não tem mudado muito nos últimos anos (AMERON,
2002). Para esta autora, a álgebra escolar tradicional é apresentada aos
alunos como um sistema rígido, abstrato e pré-determinado, com poucas
ligações com o mundo real. Assim, o ensino tradicional de álgebra inicia-se
com suas regras sintáticas, com a linguagem simbólica que rapidamente é
formalizada, ou seja, tem-se o contexto matemático como ponto de partida,
em detrimento às aplicações da álgebra.
23
Diante das dificuldades referentes à apropriação do
conhecimento algébrico, os alunos tendem, de acordo com Kieran (1995) a
recorrer à memorização de procedimentos e regras, o que os conduz a ter
uma idéia equivocada de que a memorização é a essência da álgebra.
Não há consenso por parte dos pesquisadores da área acerca
do que é álgebra ou o que a álgebra deveria ser (AMERON, 2002). No que se
refere à álgebra escolar, esta autora afirma que, apesar de se conhecer de
imediato o que os alunos aprendem sobre álgebra, defini-la é uma tarefa
não muito fácil.
Dentre as inúmeras atividades nas quais os alunos se
envolvem durante o processo de ensino e de aprendizagem de álgebra, esta
autora afirma que se podem encontrar atividades relacionadas ao
pensamento algébrico e à simbolização algébrica. Assim, com o intuito de se
obter uma plena compreensão da álgebra, é necessário que os alunos
adquiram competências relacionadas ao pensamento e à linguagem
algébrica. Analisando os resultados das pesquisas de Vigotski sobre
pensamento e linguagem, esta idéia pode ficar mais clara. Vigotski (2005)
em suas pesquisas, concluiu que a relação existente entre pensamento e
palavra é produto do desenvolvimento histórico da consciência humana. Tal
relação “não é uma coisa, mas um processo, um movimento contínuo de
vaivém do pensamento para a palavra e vice-versa” (VIGOTSKI, 2005, p.
156). Assim, conclui-se que pensamento e linguagem são interdependentes,
uma vez que “o pensamento nasce através das palavras. Uma palavra
desprovida de pensamento é uma coisa morta, e um pensamento não
expresso por palavras permanece uma sombra” (id. ib., p.190).
A linguagem, além de expressar o pensamento, é também um
mecanismo de seu desenvolvimento. Nesse sentido, pode-se considerar que
tal característica também se aplica à relação existente entre a linguagem
algébrica e o pensamento algébrico. Esta pode ser, então, uma justificativa
para o desenvolvimento de competências relacionadas à linguagem e ao
pensamento algébrico, de modo que uma possa auxiliar o desenvolvimento
do outro.
24
Historicamente, a linguagem algébrica desempenhou
importante função para o desenvolvimento da álgebra. Foi a partir da etapa
simbólica, que se iniciou com Viète (1540 – 1603) que o conhecimento
algébrico começou a crescer em um ritmo acelerado. Tal crescimento só foi
possível graças à utilização de letras para a representação de quantidades e
incógnitas, que possibilitaram a generalização. Em outras palavras, o
simbolismo algébrico foi de fundamental importância para o
desenvolvimento do conhecimento algébrico.
Kieran (1995, p.2) considera que, ao se analisar o
desenvolvimento histórico da álgebra, pode-se considerá-la como “la rama
de las matemáticas que trata la simbolización de relaciones numéricas
generales y de estructuras matemáticas así como de la operación sobre esas
estructuras
2
”.
Na mesma direção, para Usiskin (1995), a álgebra pode ser
entendida como:
a) aritmética generalizada;
b) estudo de procedimentos para resolver certos tipos de
problemas:
c) estudo de relações entre grandezas;
d) estudo das estruturas.
Em cada uma das categorias anteriores, Usiskin (1995)
identificou que as letras – ou os símbolos – assumem diferentes funções.
Quando se concebe a álgebra como aritmética generalizada, as letras são
consideradas como generalizadoras de modelos. Na segunda categoria, as
letras são tidas como incógnitas. Na terceira categoria, as letras são
consideradas como argumentos ou parâmetros. Na concepção de álgebra
como estudo de estruturas, as letras são consideradas como objetos
arbitrários de uma estrutura estabelecida por certas propriedades.
Bednarz et al. (apud AMERON, 2002) distingue quatro
tendências principais em relação às pesquisas e ao desenvolvimento
2
“O ramo da matemática que trata da simbolização de relações numéricas e de estruturas
matemáticas assim como da operação sobre essas estruturas” (tradução livre feita pelo
autor).
25
curricular de álgebra: generalização, resolução de problemas, modelagem e
funções. Para Ameron (2002), a aceitação de uma ou outra classificação é
relevante para o tipo de programa de ensino que será utilizado. Neste
sentido, é fundamental que a concepção do professor acerca da álgebra seja
coerente com sua prática pedagógica.
Contudo, Kieran (1995) afirma que as poucas investigações
realizadas com professores de álgebra sugerem que, apesar das concepções
desses professores serem estruturais, apenas poucos alunos desenvolvem
completamente a concepção estrutural de álgebra.
Uma concepção estrutural de álgebra ou de qualquer noção
matemática abstrata é estática, instantânea e integradora. Refere-se a um
conjunto de operações que se fazem sobre as expressões algébricas. Já a
concepção procedimental de álgebra refere-se às expressões aritméticas que
se fazem sobre números para se obter números. É uma concepção
dinâmica, seqüencial e detalhada. Desta forma, quando se concebe uma
noção ou ente matemático abstrato estruturalmente, concebe-se tal ente
como objeto real, uma estrutura estática existente no tempo e espaço. Em
contrapartida, quando se concebe uma noção ou ente abstrato
procedimentalmente, está-se concebendo-o como processo, como uma
entidade em potencial cuja existência se deve a um conjunto de ações
(KIERAN, 1995). Por exemplo, considere a expressão
625
−
. Quando se
concebe essa expressão procedimentalmente, está se concebendo-a como o
número 19, resultado da operação de subtração entre 25 e 6, ou seja, o
objeto existe graças a um processo, uma ação. Quando se concebe tal
expressão estruturalmente, a expressão – ou o objeto – já possui um
significado, ou seja, existem no tempo e no espaço independentemente de se
realizar ou não a operação de subtração. Nesse sentido, o aspecto
procedimental, por ser considerado menos abstrato, deve, necessariamente,
preceder o aspecto estrutural (SFARD apud LINS & KAPUT, 2004).
Retomando o desenvolvimento histórico da álgebra, Kieran
(1995) afirma que uma análise histórica do desenvolvimento do simbolismo
algébrico mostra que a mudança de uma perspectiva procedimental para
uma perspectiva estrutural foi facilitada pelo desenvolvimento do
26
simbolismo algébrico. A autora afirma ainda que da mesma forma que se
pode ver, historicamente, uma evolução procedimento-estrutura, pode-se
conceber a álgebra escolar como uma série de ajustes processo-objeto que
os estudantes devem realizar a fim de compreender todo o aspecto
estrutural da álgebra.
Nesta abordagem, pode-se considerar que uma concepção
processual corresponde a uma concepção aritmética, ao mesmo tempo em
que uma concepção estrutural corresponde a uma concepção algébrica,
uma vez que em aritmética enfatiza-se a ação sobre números, ao passo que
em álgebra opera-se sobre objetos. Seguindo esse raciocínio, Lins e Kaput
(2004) consideram que a álgebra, por requerer um pensamento formal, mais
abstrato e, como esse pensamento se dá em um estágio mais avançado de
desenvolvimento, pode ser posterior à aritmética.
Sendo assim, um dos caminhos para o desenvolvimento do
pensamento algébrico seria por meio de atividades que promovessem uma
série de ajustes processo-objeto, ou ainda, aritmética-álgebra. Ameron
(2002) considera que a linha divisória entre aritmética e álgebra não está
clara, mas que a tentativa de demarcá-la tem fornecido idéias sobre
atividades que proporcionam os ajustes aritmética-álgebra.
Em relação ao pensamento algébrico, Fiorentini et al. (2005)
tomam, como principal referência para identificar seu desenvolvimento, a
análise das produções ou resoluções dos estudantes. Para esses autores, o
pensamento algébrico pode ser classificado em três fases: a pré-algébrica, a
de transição e a do pensamento algébrico mais desenvolvido. O pensamento
algébrico de um aluno encontra-se, segundo estes autores, na fase pré-
algébrica quando é possível ver em suas produções a utilização de algum ou
outro elemento que é considerado algébrico, mas que se percebe que o
aluno não o concebe como um ente algébrico, por exemplo, como um
número generalizado.
Já na fase de transição, são possíveis de se perceber alguns
processos de generalização utilizando ou não a linguagem simbólica. O
aluno atinge a fase do pensamento algébrico mais desenvolvido quando é
possível se perceber em suas resoluções que é capaz de pensar e se
27
expressar genericamente, usando ou não a linguagem simbólica para
representar e operar com grandezas numéricas abertas ou variáveis.
Fiorentini et al. (2005) afirmam ainda que, na medida em que o aluno vai
desenvolvendo a linguagem mais apropriada ao pensamento algébrico, esse
pensamento vai sendo potencializado.
Pode-se considerar que classificar o pensamento algébrico do
estudante, utilizando-se da sua produção escrita, nessa ou naquela fase de
desenvolvimento do pensamento algébrico, não é uma tarefa muito fácil, por
pelo menos dois motivos: primeiro, porque se está considerando apenas a
produção escrita do estudante, ou seja, aquilo que o estudante deixou
registrado ao resolver um problema ou questão; em segundo lugar, a
categorização apresentada por Fiorentini et al. (2005) parece possuir uma
zona nebulosa entre as linhas divisórias existentes entre essas categorias, o
que dificulta o trabalho de classificação. Em outras palavras, apenas por
meio da análise da produção escrita dos estudantes pode não ser possível
classificar, com segurança, o pensamento algébrico do estudante em uma
dessas três fases.
Assim, poder-se-ia ter maior segurança, na classificação do
pensamento algébrico por meio da produção escrita, se fossem utilizadas
apenas duas categorias: algébrico e pré-algébrico – ou aritmético. Neste
sentido, pode-se dizer que o pensamento de um estudante se encontra
numa fase pré-algébrica – ou aritmética – se não for possível de se verificar
em sua produção escrita qualquer processo de generalização. Neste caso,
verifica-se apenas operações sobre números. Já na fase algébrica, é possível
de se verificar na produção escrita do estudante algum processo de
generalização, a presença de incógnitas e/ou variáveis, utilizando-se
corretamente ou não a linguagem simbólica.
Diante do que foi apresentado até aqui, pode-se ter a idéia de
que, tendo em vista o desenvolvimento do pensamento algébrico, parece que
o ideal seria que primeiro se aprendesse aritmética e depois álgebra.
Entretanto, Lins e Gimenez (1997) propõem que se faz necessário iniciar o
trabalho com álgebra mais cedo do que se inicia hoje, de modo que
aritmética e álgebra se desenvolvam em conjunto, uma vez que, para esses
28
autores, a diferença existente entre aritmética e álgebra é uma diferença “de
tratamento, de foco”.
Quando os estudantes iniciam o estudo da álgebra, eles se
deparam com algumas dificuldades. Booth (1995) afirma que, para se
descobrir por que a álgebra se torna tão difícil para esses estudantes, pode-
se identificar os tipos de erros que eles freqüentemente cometem e as
causas que levam os estudantes a cometê-los. Tem-se, aqui, que os erros
são utilizados com os propósitos de diagnóstico e de remediação (BORASI,
1987), uma vez que a intenção é de se conhecer os mecanismos que estão
produzindo esses erros e proporcionar meios para que eles sejam
superados.
Um dos obstáculos apontados por Wheeler (1996), referente à
aprendizagem de álgebra, está relacionado à linguagem. Como linguagem, a
álgebra incorpora muitas das palavras e símbolos que os estudantes já
conhecem quando estão estudando aritmética. Dessa forma, é natural que
os estudantes considerem que tais símbolos ou palavras em álgebra têm os
mesmos significados que em aritmética. Assim, é comum em aritmética
conceber que “
a3
" representa três abelhas, assim como “
m10
” refere-se a
dez metros. Em álgebra, entretanto,
a
pode ser considerado “número de
abelhas”, da mesma forma que
m
pode-se referir a “número de metros”.
Além desses exemplos, pode-se citar a função que os sinais desempenham
em aritmética e em álgebra. Em aritmética, o sinal “+”, indica uma ação, a
de somar, assim como os sinais de subtração, divisão e multiplicação
expressam as idéias básicas a eles relacionadas. Da mesma forma, o sinal
“=” indica a ação “dar a resposta”. Contudo, em álgebra, o sinal de adição
pode indicar o resultado de uma operação. O sinal “=”, em álgebra, não é
concebido pelos estudantes em geral como sendo representante de uma
relação de equivalência entre duas expressões. Assim, influenciados por
esse entendimento, os estudantes cometem erros do tipo “
aa 22
=
+
" ou
ainda “
13223
−
=
−
=
=
=
+
xx
”.
Diante de situações que envolvem a utilização de variáveis,
Booth (1995) afirma que muitas vezes as crianças consideram que as letras
sempre representam um número, como no caso da equação “
1242
=
−
x
”.
29
Assim, ao se depararem com expressões do tipo “ xy 2
=
”, os estudantes
tendem a considerar que cada uma dessas letras representa apenas um
número, o que se quer descobrir, ao invés de considerá-las como variáveis.
Dessa forma, quando os estudantes se defrontam com expressões como
“ xy 2
=
”, o que geralmente fazem é tentar descobrir o valor de
x
. Assim,
erros como “ 002
=
⇒
=
=
xxy ” podem surgir na produção escrita dos alunos.
Portanto, se for considerado que um dos objetivos de se
trabalhar com álgebra nos Ensino Fundamental e Médio é fazer com que os
estudantes se apropriem desse conhecimento e que desenvolvam o
raciocínio algébrico, é fundamental que esses e os demais tipos de erros,
quando surgirem, sejam detectados, superados ou aproveitados como
oportunidades para explorações matemáticas. Em geral, os erros, bem como
os obstáculos e os demais mecanismos produtores dos mesmos, podem ser
detectados durante o processo avaliativo, desde que esse processo esteja
voltado para a aprendizagem do aluno. Assim, num processo avaliativo, cuja
perspectiva seja a de contribuir para o processo de ensino e de
aprendizagem, a produção escrita do estudante pode fornecer informações
sobre o grau de desenvolvimento do seu pensamento algébrico, sua
concepção sobre álgebra, bem como a maneira com que o estudante
mobiliza o conhecimento – algébrico e/ou aritmético – que possui para a
resolução de problemas.
2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Tendo em vista o problema e os objetivos dessa investigação,
a abordagem metodológica predominante neste estudo é de natureza
qualitativa, uma vez que o mais importante é a compreensão de um
fenômeno complexo. De acordo com Borba (2004), o que se entende por
pesquisa qualitativa é algo que ainda “está em movimento”. Para Garnica
(2004), a pesquisa qualitativa tem as seguintes características:
(a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade
de uma análise a priori, cujo objetivo da pesquisa será
comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador
que, no processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e
filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se
desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-
se não como resultado, mas numa trajetória em que essas
mesmas compreensões e também os meios de obtê-las podem
ser (re)configuradas; e (e) a impossibilidade de se estabelecer
regulamentações, em procedimentos sistemáticos, prévios,
estáticos e generalistas. (p. 86).
Esta investigação possui todas as características descritas
por Garnica (2004), uma vez que não se pode garantir que os resultados
aqui apresentados sejam generalizáveis e não-transitórios; não se
identificou uma hipótese que se quisesse comprovar ou refutar; na análise
interpretativa, as inferências, realizadas durante todo o processo de análise,
estão impregnadas das “perspectivas e filtros vivenciais” deste pesquisador.
Assim, neste estudo realizou-se uma pesquisa de cunho interpretativo, uma
vez que, para a realização de inferências, foi necessário descrever e
compreender a produção escrita dos alunos, de modo que se pudesse
conhecer, por meio da análise da sua produção escrita, o conhecimento
matemático que mostraram possuir, bem como a maneira como este
conhecimento foi mobilizado na resolução de problemas.
31
Assim, como o objeto de estudo dessa investigação foi a
produção escrita de alunos em Matemática, referentes à Questão
3
comum
da 8ª série do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio da
AVA/2002, para a análise dos instrumentos optou-se pela orientação
presente na análise de conteúdo, que consiste em um conjunto de técnicas
que pretende analisar as formas de comunicação verbal e não verbal.
Freitas e Janissek (2000) consideram esse conjunto de
técnicas como um método de observação indireto, pois, das várias formas de
comunicação, é apenas a expressão verbal ou escrita que será observada.
Bardin (1977, p. 42) define a análise de conteúdos como
sendo:
[...] o conjunto de técnicas de análise das comunicações visando
obter, por procedimentos e objetivos de descrição do conteúdo
das mensagens, indicadores (quantitativos ou não) que
permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições
de produção / recepção (variáveis inferidas) destas mensagens.
Analisando a definição apresentada por Bardin, ficam claros
dois processos: a descrição e a inferência. É na descrição que se explora o
texto na medida em que o mesmo vai sendo ‘desconstruído’. Feito isso,
parte-se para a etapa da categorização, momento em que, seguindo certos
critérios definidos pelo analista, o texto é novamente reconstruído. Após a
categorização, parte-se para a inferência. É neste momento que se atribui,
por meio de deduções lógicas e justificadas, significado ao discurso.
Desta forma, obtêm-se novas informações a respeito do
discurso sob análise, completando as informações que não ficam tão visíveis
à primeira vista.
Para Freitas e Janissek (2000), a análise de conteúdo é um
processo objetivo, sistemático e quantitativo. Acrescentam ainda que, a
partir de dados qualitativos, realiza-se um agrupamento quantitativo que
possibilita uma análise qualitativa novamente.
3
Neste trabalho, a expressão Questão deve ser entendida como a questão comum à 8ª série
do Ensino Fundamental e à 3ª série do Ensino Médio da Prova de Questões Abertas da
AVA/2002
32
2.1 O objeto da investigação
A edição da AVA de 2002 foi a primeira a fazer uso de
questões abertas. Assim, procurou-se utilizar questões que fizessem com
que os estudantes, em um tempo limitado para resolução, demonstrassem
uma produção escrita que fosse possível de ser avaliada. Foram escolhidas,
portanto, questões de diferentes níveis de complexidade, que exigiam, para
sua resolução, desde o reconhecimento e utilização de um procedimento
simples como a execução de um algoritmo, por exemplo, até o
estabelecimento de conexões entre diferentes conteúdos matemáticos.
(BURIASCO, CYRINO E SOARES, 2003).
Esta investigação tem como objeto de pesquisa a produção
escrita dos alunos na Questão Comum à 8ª série do Ensino Fundamental e
3ª série do Ensino Médio, que é a seguinte: Um encanador A cobra por cada
serviço feito um valor fixo de 00,60$R mais 00,18$R por hora de trabalho. Um
outro encanador B cobra um valor fixo de 00,24$R mais 00,36$R por hora de
trabalho. Sendo
t
o tempo, medido em horas, para quais valores de
t
o
encanador A fica mais barato que o B?
Assim como as demais questões que são comuns a duas ou
mais séries, um dos objetivos desta Questão é verificar se os estudantes das
diferentes séries abordam-na de maneira diferente, uma vez que, em um
nível maior de escolaridade, os estudantes tendem a conhecer um número
maior de estratégias e/ou conteúdos matemáticos que podem ser
mobilizados para resolver uma questão (BURIASCO, CYRINO E SOARES,
2003).
Para cada questão foram definidos seus descritores. Os
descritores estão relacionados às competências dos estudantes, tendo em
vista seu nível de escolaridade. Assim, para as questões comuns, os
descritores não são os mesmos para todas as séries nas quais foram
aplicadas, pois se espera que os estudantes abordem a questão utilizando-
se de estratégias e desenvolvendo procedimentos que sejam coerentes com
seu nível de escolaridade.
33
O quadro a seguir relaciona os descritores dessa Questão
definidos por Buriasco, Cyrino e Soares (2003) para a 8ª série do Ensino
Fundamental e para 3ª série do Ensino Médio com as respectivas resoluções
esperadas.
Descritor Resolução esperada
8ª Série do Ensino
Fundamental:
“identificar um
sistema de equações
do primeiro grau que
expressa um
problema. Resolver
problema envolvendo
um sistema de duas
equações do 1º grau
com duas incógnitas”.
(p. 7)
O preço cobrado pelo encanador A pode ser obtido
por
ttA 1860)(
+
=
Para o encanador B, tem-se
ttB 3624)(
+
=
Assim, pode-se encontrar o valor de
t
que satisfaz a
igualdade
)()( tBtA
=
tt 36241860
+
=
+
t1836
=
2
=
t
Ou seja, quando 2
=
t , os custos para ambos os
encanadores são os mesmos. Assim, como o
coeficiente de
t
da função A é menor que o
respectivo coeficiente da função B, tem-se que para
2
<
t , A é mais caro; para 2
=
t , o custo é o mesmo e
para 2
>
t , A é mais barato. Portanto, o encanador A
será mais barato para qualquer valor de 2
>
t
3ª Série do Ensino
Médio
“identificar a
inequação do 1º grau
que representa um
problema expresso
por texto. Resolver
problema
significativo
envolvendo uma
inequação do 1º
grau” (p.7)
O preço cobrado pelo encanador A pode ser obtido
por
ttA 1860)(
+
=
Para o encanador B, tem-se
ttB 3624)(
+
=
Deve-se determinar o valor de
t
de modo que
)()( tBtA
<
, ou seja,
tt 36241860
+
<
+
t1836
<
2
>
t
Assim, o encanador A será mais barato para qualquer
valor de 2
>
t
Quadro 1- Resoluções esperadas em cada série de acordo com seus
descritores.
Fonte: Manual de Correção de Questões Abertas
34
Além destas duas resoluções, esta Questão pode ser resolvida
por meio das operações de adição e multiplicação, de modo que sejam
calculados os custos para ambos os encanadores para serviços de uma,
duas, três, quatro, cinco horas; também pode-se escrever as leis das
funções que descrevem os custos dos serviços dos encanadores, conforme
foi feito no quadro anterior, e calcular as imagens da função para 1
=
t , 2
=
t
e 3
=
t .
Esta investigação baseou-se em uma amostra das Provas
aplicadas em todo o estado do Paraná, que foi determinada da seguinte
forma: em cada sala de aula do estado, no momento em que os alunos
entregavam a Prova resolvida, a quinta entregue era separada das demais,
formando assim uma amostra que foi enviada para a SEED
4
.
A partir dessa amostra geral, foi colhida uma amostra menor,
representativa para todo o estado, de cada série avaliada, contendo um total
de 1047 Provas das três séries. No entanto, considerando o tempo no qual
este estudo foi realizado, não seria possível fazê-lo utilizando esta amostra
inteira. Assim, foi preciso definir uma nova amostra de Provas a partir da
amostra de 1047 Provas.
O primeiro passo nessa direção foi verificar o que havia nos
registros escritos na amostra de 1047 Provas. Antes de se iniciar o processo
de seleção da nova amostra com a qual seria desenvolvido este estudo,
todas as Provas foram corrigidas utilizando-se para isso o Manual para
Correção das Provas com Questões Abertas de Matemática – AVA/2002
5
(BURIASCO, CYRINO E SOARES, 2003).
A nova amostra selecionada para este estudo, consiste, então,
em uma amostra definida por conveniência, selecionada a partir das 422
Provas da 8ª série do Ensino Fundamental e das 402 Provas da 3ª série do
Ensino Médio. Com o auxílio da consultora
6
de Estatística do programa de
4
Secretaria de Estado da Educação
5
Este manual foi elaborado pelas professoras Regina Luzia Corio de Buriasco, Márcia
Cristina de Costa Trindade Cyrino e Maria Tereza Carneiro Soares a partir da correção de
aproximadamente 1100 Provas, que se deu em dois encontros: um em Curitiba e outro em
Londrina, nos quais participaram um total de aproximadamente 180 professores de
Matemática de escolas estaduais paranaenses.
6
Professora Dra. Tiemi Matsuo, docente do Departamento de Estatística da Universidade
Estadual de Londrina.
35
pesquisa do qual este estudo faz parte, optou-se por estudar a produção
escrita de alunos da 8ª série do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino
Médio que estivessem com a relação idade/série adequada. Assim, todas as
Provas que foram estudadas são de alunos que, até o dia da realização da
Prova, estavam freqüentando pela primeira vez a 8ª série do Ensino
Fundamental e 3ª série do Ensino Médio. Desta forma, foram excluídas 178
Provas da 8ª série do Ensino Fundamental e 152 Provas da 3ª série do
Ensino Médio.
Observando as 244 Provas da 8ª série que restaram,
percebeu-se que havia poucas Provas, apenas 7, que estavam com a
questão 4 resolvida por inteiro. Sendo assim, decidiu-se por selecionar estas
7 Provas, para que houvesse uma garantia de que a produção escrita da
questão 4 também pudesse ser estudada. Das 237 Provas da 8ª série que
restaram, retiraram-se todas as que apresentavam ao menos uma ou mais
questões totalmente em branco, sendo excluídas, assim, 99 Provas.
Utilizando este mesmo critério para a seleção das Provas da 3ª série do
Ensino Médio, foram excluídas 30 Provas, restando 221.
Como a intenção era de trabalhar com uma amostra de
aproximadamente 50 Provas para cada série, realizou-se uma amostragem
sistemática com a constante de amostragem k=5 para a 3ª série do Ensino
Médio e k=3 para a 8ª série do Ensino Fundamental. Pelas respectivas
funções aleatórias, foram sorteados os números 4 para a 3ª série do Ensino
Médio e o número 1 para a 8ª Série do Ensino Fundamental. Assim, para a
8ª série, as Provas foram selecionadas, a partir da primeira, de três em três,
resultando em 46 Provas que, adicionadas às 7 outras Provas selecionadas
anteriormente, formaram a amostra de 53 Provas da 8ª série. Para a 3ª série
do Ensino Médio, as Provas foram selecionadas, a partir da 4ª Prova, de
cinco em cinco e deste processo resultou a amostra de 44 Provas. Sendo
assim, a amostra utilizada neste estudo consiste em um total de 97 Provas.
O primeiro procedimento realizado com as Provas foi a
correção, de acordo com a proposta do Manual de Correção de Questões
Abertas (BURIASCO, CYRINO e SOARES, 2003). Em seguida, procurou-se
realizar uma correção mais apurada, com o intuito de verificar não apenas
36
se as resoluções estavam corretas ou não, mas sim de se verificar as
maneiras pelas quais os estudantes abordaram a Questão. Em seguida,
para facilitar o processo de descrição e a inferência, conforme propõe a
Análise de conteúdo, as resoluções dos estudantes foram agrupadas de
acordo com suas particularidades. Os resultados de todo esse trabalho, bem
como uma descrição mais detalhada desses procedimentos, serão
apresentados no capítulo seguinte.
3 DESCRIÇÃO E ANÁLISE
Nesse capítulo apresenta-se a descrição do que foi encontrado
na produção escrita dos estudantes referente à questão comum à 8ª série do
Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio da Prova de Questões
Abertas de Matemática da AVA/2002, bem como, uma análise interpretativa
de tal produção.
O primeiro procedimento realizado com as Provas foi corrigir
a Questão. A correção foi feita tendo como base o sistema de créditos
utilizados no Manual para Correção de Provas (BURIASCO, CYRINO E
SOARES, 2003). Este manual foi elaborado com o intuito de estabelecer
procedimentos e critérios básicos para a correção da Prova de Questões
Abertas de Matemática da AVA/2002, sendo que uma das intenções era
evitar que as questões das Provas fossem corrigidas apenas como corretas
ou incorretas, o que contraria um dos objetivos desse tipo de questão, que é
verificar, por meio da produção escrita do estudante, o conhecimento
matemático que ele possui. Assim, foi proposto no Manual separar as
resoluções dos estudantes em: resolução correta - crédito completo (2);
resolução parcialmente correta – crédito parcial (1); resolução incorreta –
nenhum crédito (0); questão sem resolução (em branco) - nenhum crédito
(9).
Num primeiro momento da correção das Provas, foram
atribuídos, para a Questão, os seguintes créditos: 2, 1 e 0, conforme
indicado no Manual. O crédito 0 foi atribuído a todas as questões que
apresentavam uma resolução completamente incorreta. Àquelas que
apresentavam resolução parcialmente correta, foi atribuído crédito 1. Nas
questões que apresentavam resolução completamente corretas, foi atribuído
crédito 2. Os resultados desse primeiro levantamento quantitativo estão
dispostos na Tabela 1:
38
Tabela 1: Distribuição dos créditos atribuídos às resoluções dos estudantes
por série
Série
Totalmente
correta (2)
Parcialmente
Correta (1)
Incorreta (0) Total
N % N % N % N %
8ª E. Fund. 7 13,2 9 17,0 37 69,8 53 100,0
3ª E. Médio 12 27,3 10 22,7 22 50,0 44 100,0
Total da amostra 19 19,6 19 19,6 59 60,8 97 100,0
Fonte: Dados obtidos na pesquisa realizada
Observando os dados da Tabela 1 é possível verificar que,
basicamente, a produção escrita dos estudantes sugere uma pequena
diferença no desempenho destes, quando comparados por série, sendo que é
um pouco melhor o desempenho dos estudantes da 3ª série do Ensino
Médio. Assim, num segundo momento, com o intuito de se verificar a
existência de diferenças qualitativas na produção escrita apresentada pelos
estudantes nas Provas, foi iniciada nova etapa de correção, etapa essa mais
detalhada. Para a primeira correção, não houve preocupação com o tipo de
estratégia apresentada pelo estudante, apenas procurou-se verificar se as
resoluções estavam corretas, parcialmente corretas ou incorretas. Já na
segunda correção, procurou-se descrever a produção escrita de cada
estudante, explicitando a estratégia e o procedimento
7
utilizado ao abordar
o problema. Os resultados dessa etapa encontram-se no Apêndice 1.
Na Tabela 2, apresentam-se os processos de resolução das
questões, independente do crédito que foi atribuído à mesma. Considerou-se
como processo aritmético toda produção escrita na qual existiam apenas
operações aritméticas sobre números tais como adição, subtração,
multiplicação, divisão. Considerou-se como algébrica a produção escrita que
apresentava pelo menos indícios da utilização de incógnitas ou variáveis e a
utilização de entes algébricos como equações, inequações, funções. Foram
considerados como ‘outro processo’ a produção escrita que não se
enquadrava em nenhuma das classificações anteriores, como por exemplo
7
Considera-se, nesse trabalho, estratégia como a maneira pela qual o estudante abordou o
problema. Por exemplo, para resolver um problema um estudante pode utilizar uma
estratégia algébrica, uma aritmética, etc. Já o procedimento relaciona-se ao processo de
desenvolvimento da estratégia. Por exemplo, se um estudante utiliza-se de uma estratégia
algébrica para resolver um problema, um dos procedimentos que pode ser utilizado é a
equação, função, sistemas de equações, etc.
39
aquela produção escrita que não apresentava qualquer registro de cálculo,
mas apresentava uma resposta para o problema.
Tabela 2 – Distribuição dos processos de resolução, independente do crédito
atribuído à questão
Processo
Série
Aritmético Algébrico Outro
8ª E. Fundamental 43 06 04
3ª E. Médio 34 07 03
Total 77 13 07
Fonte: Dados obtidos na pesquisa realizada
Pode-se verificar, analisando a Tabela 2 e aplicando o Teste
Qui-quadrado, excluindo a categoria “outro”, que não existe diferença
quantitativa significativa ( 5164,0
=
p ) referente ao processo registrado pelos
estudantes em suas produções escritas quando comparados por série,
indicando que a escolha do processo de resolução independe da série, ou
seja, não se pode afirmar que, por estarem em um nível mais elevado de
escolaridade, mais estudantes da 3ª série do Ensino Médio escolheram uma
estratégia algébrica. Analisando a produção escrita dos estudantes referente
à Questão, não se pode afirmar que a maioria dos estudantes não sabe
resolver problemas algebricamente, uma vez que o simples fato de ter
escolhido uma estratégia aritmética não revela que o estudante desconheça
uma estratégia algébrica que resolva o problema. O que se pode inferir é que
a produção escrita dos estudantes revela que os mesmos sentem-se mais
seguros quando utilizam uma estratégia aritmética.
Após a segunda etapa de correção, procurou-se agrupar as
produções escritas da questão sob análise em nove grupos excludentes,
uma vez que cada Prova foi classificada em apenas um grupo, conforme
critérios apresentados no Quadro 2. Contudo, é importante destacar que,
em algumas Provas, verifica-se a ocorrência de características de dois
grupos. Por exemplo, em uma das Provas a produção escrita do estudante
mostra que ele calcula corretamente o valor de um serviço de uma hora
para ambos os encanadores (G6) e também apresenta outros cálculos que
não resolvem a questão (G8), ou seja, esta Prova poderia ser classificada em
40
qualquer um desses grupos. No entanto, como a resposta apresentada pelo
estudante baseia-se no cálculo do serviço de uma hora de trabalho para
ambos os encanadores, optou-se por enquadrar essa Prova no Grupo G6.
Assim, para enquadrar uma Prova nesse ou naquele grupo, optou-se por
considerar aquilo que o estudante utilizou para responder a questão.
Grupo Critério de agrupamento 8ª série 3ª série
G1
04 Provas
Calcula o valor do serviço dos encanadores
considerando apenas o valor cobrado por
hora
02 02
G2
09 Provas
Subtrai o preço cobrado por hora pelo
encanador B do preço cobrado por hora pelo
encanador A
05 04
G3
04 Provas
Apenas retira as informações do problema. 01 03
G4
09 Provas
Não apresenta cálculo algum e responde
incorretamente
06 03
G5
13 Provas
Calcula corretamente o valor da primeira
hora de trabalho para ambos os
encanadores, enfatizando a diferença de R$
18,00 entre eles
09 03
G6
13 Provas
Calcula o valor da primeira hora ou de
alguma hora específica de trabalho e
responde incorretamente
09 05
G7
25 Provas
Calcula aritmeticamente o valor das
primeiras horas de trabalho, consecutivas
ou não
11 14
G8
10 Provas
Apresenta outros cálculos que não resolvem
o problema
05 05
G9
08 Provas
Apresenta as leis das funções que descrevem
os custos do serviço dos dois encanadores
05 05
Fonte: Dados obtidos na pesquisa realizada
Quadro 2 – Agrupamento de resoluções de acordo com as estratégias
encontradas
A seguir, apresentam-se as descrições das produções escritas
das Provas enquadradas nos grupos citados acima.
Grupo G1: 04 Provas
Série
Crédito
completo
Crédito
Parcial
Nenhum
Crédito
8ª série Ensino Fundamental 0 0 2
3ª série Ensino Médio 0 0 2
41
As provas do Grupo G1 apresentam, como característica
principal, o cálculo do valor do serviço dos encanadores, considerando
apenas o valor cobrado por hora. Ao se analisar a produção escrita presente
nas Provas desse grupo, pode-se considerar que os estudantes cujas Provas
se enquadram neste grupo resolveram um problema diferente daquele
Problema Proposto
8
na Prova. No Problema Resolvido, os estudantes
desconsideraram o preço fixo cobrado por cada encanador para serviços de
qualquer hora de duração. Tal fato pode ser claramente verificado nas
respostas apresentadas nas Provas. A resposta apresentada em uma delas
da 3ª série do Ensino Médio foi a seguinte: “A partir do momento que ao
contratarmos o encanador A por horas se tornará mais barato por que ele
cobra 00,18$R a hora e o encanador B cobra 00,36$R ”. Pode-se inferir que o
estudante que a escreveu pode ter compreendido que se poderia contratar
os encanadores por hora ou pelo preço fixo. Assim, a resposta apresentada
pelo estudante está adequada para o Problema Resolvido, mas não para o
Problema Proposto.
Em uma das Provas da 8ª série verifica-se a seguinte
resposta: “o encanador A sempre ficará mais barato se for cobrado só pelo
tempo de trabalho”. Assim como na resposta anterior, o estudante que a
escreveu pode ter compreendido que os encanadores cobrariam o serviço
por um preço fixo, independente do tempo gasto ou por hora de trabalho.
Analisando as respostas apresentadas por esses estudantes, pode-se inferir
que eles teriam resolvido o seguinte problema, que será denominado
Problema Resolvido 1: Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor
fixo de 00,60$R ou 00,18$R por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra
um valor fixo de 00,24$R ou 00,36$R por hora de trabalho. Em qual das opções
o encanador A fica mais barato? Pode-se considerar que este problema e o
Problema Proposto referem-se a situações diferentes, mas escritas de
maneiras muito semelhantes. Portanto, o que levou estes estudantes a
solucionarem o Problema Resolvido 1 e não o Problema Proposto pode ter
8
Considera-se, nesse trabalho, Problema Proposto aquele que constava originalmente na
Prova e que se esperava que fosse resolvido pelo estudante e Problema Resolvido aquele
que se inferiu, mediante a produção escrita, que cada estudante resolveu como resultado
da interpretação que fez do Problema Proposto.
42
sido a desatenção no momento da leitura do problema. Entretanto, não se
pode deixar de considerar que em geral muitos estudantes apresentam
dificuldade em compreender o que de fato está escrito, conforme demonstra
este trabalho. É importante destacar que a análise da produção escrita
destes estudantes mostra que eles são capazes de resolver problemas como
o Problema Resolvido 1.
A Figura 1 apresenta a produção escrita de um estudante da
8ª série
Figura 1 – Resolução apresentada na Prova 8L04109 da 8ª série que
recebeu crédito 0
Como pode ser visto na figura anterior, este estudante
apresentou o valor correto cobrado pelos encanadores A e B, mas
desconsiderou tais resultados quando deu a resposta do problema.
Analisando a produção escrita desse estudante, infere-se que o mesmo pode
ter entendido que o custo de um serviço de uma hora seria obtido por meio
da adição do preço fixo com o preço cobrado por uma hora de trabalho. Para
serviços com mais de uma hora de duração, os encanadores cobrariam
43
somente o preço por hora. Dessa forma, pode-se considerar que o problema
que este estudante resolveu foi o problema seguinte, que será denominado
Problema Resolvido 2: Um encanador A cobra, por um serviço de uma hora,
um valor fixo de 00,60$R mais 00,18$R e, para serviços com mais de uma hora,
um valor de R$ 00,18$R por hora. Um outro encanador B cobra, por um serviço
de uma hora, um valor fixo de 00,24$R mais 00,36$R e, para serviços com mais
de uma hora, um valor de 00,36$R por hora de trabalho. Em qual das opções o
encanador A fica mais barato?
Esta inferência pôde ser feita ao se analisar a resposta
apresentada na resolução da Questão. Além disso, tal resposta indica que o
estudante percebeu que a diferença entre os preços cobrados pelos
encanadores A e B, nas condições do Problema Resolvido 2, sempre
aumentaria, pois afirma que “[...] se ele [encanador A ]trabalhar só uma hora
[o custo] será maior, trabalhando mais ficará sendo mais menor”(sic).
Grupo G2: 09 Provas
Série
Crédito
completo
Crédito
Parcial
Nenhum
Crédito
8ª série Ensino Fundamental 0 0 5
3ª série Ensino Médio 0 1 3
Todas as Provas deste grupo apresentam o cálculo da
diferença existente entre o preço cobrado por hora pelo encanador B do
preço cobrado por hora pelo encanador A. Em três das cinco Provas da 8ª
série, além de apresentarem o cálculo referido anteriormente, apresentam o
valor correto de um serviço de uma hora de duração para ambos os
encanadores. Entretanto, analisando as respostas apresentadas pelos
estudantes, conclui-se que este cálculo foi considerado pelo estudante como
algo irrelevante. Um dos estudantes afirma que “para resolver esta questão
foi necessário subtrair o preço pago para ao encanador B, em relação ao
encanador A, por tempo medido em horas”. Além disso, este estudante inicia
sua resposta afirmando que “o encanador A sendo o t medido em horas fica
00,18$R reais mais barato que o encanador B”.
44
Oito das nove Provas desse grupo apresentam na resposta o
valor da diferença entre os preços cobrados por hora de trabalho. Assim,
pode-se inferir que estes estudantes solucionaram o Problema Resolvido 3:
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de 00,60$R mais
00,18$R por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de
00,24$R mais 00,36$R por hora de trabalho. Sendo
t
o valor cobrado por hora
de trabalho, quantos reais a hora do encanador A é mais barata que do B?
Assim, parece que estes estudantes compreenderam o trecho
da questão “sendo
t
o tempo, medido em horas, (...)” como se fosse para
considerar, na resolução do problema, apenas o preço cobrado por hora de
trabalho para ambos os encanadores para, então, calcular a diferença entre
os preços dos dois encanadores. Esta inferência pode também ser feita a
partir da resposta apresentada a seguir, de um aluno da 8ª série:
Figura 2 – Resolução apresentada na Prova 8L09205 da 8ª série que
recebeu crédito 0
45
Para este estudante,
t
é o valor da diferença entre os preços
das horas de trabalho dos encanadores, uma vez que escreve 1836
−
=
t .
Assim “em
t
”, ou seja, considerando apenas o preço das horas de trabalho,
“o encanador A cobra 00,18$R a menos que o encanador B”, o que representa
uma resposta correta para o Problema Resolvido 3.
Em duas das Provas da 3ª série do Ensino Médio aparece um
erro na utilização do algoritmo ao efetuar a operação 1836
−
, fazendo com
que a diferença entre os preços cobrados por hora fosse maior que a
diferença correta (veja figura seguinte)
Figura 3 – Resolução apresentada na Prova 3C03039 da 3ª série que
recebeu crédito 0
A Prova seguinte destaca-se entre as demais do grupo. Apesar
de efetuar a operação 181836
=
−
, este resultado parece não ter sido utilizado
para escrever a resposta do problema.
Figura 4 – Resolução apresentada na Prova 3L07038 da 3ª série que
recebeu crédito 1
46
Como pode ser visto anteriormente, o que se apresenta na
resposta do problema é coerente com o Problema Proposto, apesar de não
respondê-lo. Assim, esta questão recebeu crédito parcial. O estudante deve
ter feito cálculos mentais para concluir que a diferença entre os custos dos
encanadores diminui, apesar do preço do encanador A ser menor que o
preço por hora de B e, para um certo valor de
t
, que o estudante não
apresenta, o custo de A se torna menor que o custo de B.
Na maioria das Provas deste grupo, é possível de se verificar
que os estudantes não compreenderam que o que se pedia era a partir de
quantas horas o custo do encanador A se torna menor que o custo do
serviço do encanador B. Assim, para estes estudantes,
t
não foi considerada
como a variável independente, mas sim uma abreviação para a palavra
tempo, que, por ser “medido em horas”, foi associada ao valor cobrado por
hora de trabalho pelos encanadores. Essa é uma das dificuldades,
relacionadas à linguagem algébrica, apontadas por Wheeler (1996), uma vez
que em álgebra se incorporam algumas palavras ou símbolos que já são
utilizados em aritmética, mas com significados diferentes. Estes estudantes
parecem estar concebendo
t
com seu significado em aritmética. Em outros
casos,
t
foi considerado como a incógnita que representa a diferença, em
reais, entre os preços cobrados por hora pelos encanadores.
Grupo G3: 4 Provas
Série
Crédito
completo
Crédito
Parcial
Nenhum
Crédito
8ª série Ensino Fundamental 0 0 1
3ª série Ensino Médio 0 0 3
Nas Provas deste grupo, a produção escrita dos estudantes
mostra que eles apenas retiraram corretamente as informações do
problema, conforme figura seguinte, que mostra a resolução de um
estudante da 3ª série do Ensino Médio:
47
Figura 5 – Resolução apresentada na Prova 3C05036 da 3ª série que
recebeu crédito 0
Parece que “fica = 00,18$R ” é a resposta apresentada pelo
estudante. Contudo, como não há nenhum cálculo escrito registrado na
Prova, não é possível de afirmar se esse é resultado da diferença entre os
preços cobrados por hora ( 181836
=
−
) ou se é a diferença entre os preços
dos custos dos serviços dos encanadores referentes a uma hora de trabalho
( 186078
=
−
).
A Figura 6 mostra que o estudante da 3ª série do Ensino
Médio compreendeu o Problema Proposto, uma vez que foi capaz de
representá-lo de uma outra forma, utilizando a linguagem sincopada, ou
seja, utiliza algumas abreviaturas incógnitas, mas ainda assim os cálculos
se desenvolvem na linguagem natural (MALISANI, 1999). Ele inicia a
execução de uma estratégia que resolve o problema, calculando o valor de
um serviço de uma hora para o encanador A e de uma e duas horas para o
encanador B, mas parece que abandona esta estratégia, pois apresenta uma
resposta que não é resultado dos procedimentos relativos à estratégia.
48
Figura 6 – Resolução apresentada na Prova 3C03119 da 3ª série que
recebeu crédito 0
Em uma outra Prova da 3ª série do Ensino Médio, pode-se
verificar que o estudante que a resolveu retira as informações do problema,
ou seja, identifica que os custos dos serviços para os encanadores são
obtidos adicionando um custo fixo com um custo por hora de trabalho.
Entretanto, assim como no grupo G2, este estudante parece associar a
variável
t
ao preço da hora de serviço, uma vez que responde que “o A fica
mais barato porque o B cobra o dobro”.
A Prova da 8ª Série do Ensino Fundamental que faz parte
deste grupo apresenta uma resposta interessante. Assim como nas demais
Provas desse grupo, é possível de se verificar que o estudante que a resolveu
retirou corretamente as informações do enunciado da questão. Entretanto,
apesar de não apresentar cálculo algum, apresenta uma resposta que,
mesmo não respondendo o Problema Proposto, é coerente. A resposta é a
seguinte: “(o encanador A) sairá mais barato quanto maior for o tempo
trabalhado”. Não foi possível inferir, na produção escrita, como o estudante
que a resolveu chegou a esta conclusão.
49
Figura 7 – Resolução apresentada na Prova 8L05014 da 8ª série que
recebeu crédito 0
De um modo geral, as Provas deste grupo mostram que os
estudantes compreenderam a situação do Problema Proposto. Contudo,
alguns não conseguiram escolher e/ou desenvolver uma estratégia que o
resolvesse.
Grupo G4: 9 Provas
Série
Crédito
completo
Crédito
Parcial
Nenhum
Crédito
8ª série Ensino Fundamental 0 0 6
3ª série Ensino Médio 1 0 2
As Provas do grupo G4 têm como característica principal a
ausência de cálculos escritos, mas todas apresentam uma resposta.
A Prova que recebeu crédito completo é de um estudante da
3ª Série do Ensino Médio. Apesar de não demonstrar cálculo algum,
apresenta como resposta “para todos os valores acima de 2:00 h, sendo que,
a cada hora de trabalho acrescentada, a diferença do preço de B em relação
a A aumenta”. Percebe-se que o estudante, além de responder corretamente
o problema, ainda conclui corretamente que acima de duas horas, a
diferença entre os preços dos encanadores vai aumentando, ou seja, o
encanador B vai ficando cada vez mais caro quando maior for a duração do
serviço. Este estudante parece ter chegado a esta conclusão fazendo
cálculos, mas os apagou.
50
Outra Prova da 3ª série do Ensino Médio apresenta seguinte
resposta: “Quando A cobra o serviço medido em horas”. De acordo com a
resposta, parece que o estudante que a escreveu compreendeu que, assim
como um dos estudantes do grupo G1 concluiu, poder-se-ia contratar os
encanadores por um preço fixo ou por um preço proporcional ao número de
horas trabalhadas. Assim, como o preço por hora do encanador A é menor
que o respectivo preço cobrado pelo encanador B, o encanador A sairia mais
barato quando fosse contratado por hora.
A resposta apresentada em outra Prova da 3ª série do Ensino
Médio foi:
Por que o encanador cobra
00,18$R
por hora ou seja o dia lhe é
garantido e a hora pode ser duradoura ou não no caso se ele
trabalhar 2 horas e terminar o serviço ganhará
00,36$R
, menos
do que trabalho fixo mas porém obtém maior lucro. (Prova
3C03120)
Parece que, assim como o estudante citado anteriormente, o
estudante que escreveu essa resposta compreendeu que se poderia
contratar o encanador A por um valor fixo ou por um valor por hora de
trabalho. Entretanto, é difícil de entender como é possível o encanador A
ganhar um valor menor que o preço fixo e ainda assim ter maior lucro.
Uma das Provas da 3ª série do Ensino Médio, cuja resolução
recebeu crédito zero, apresenta como resposta: “Se o encanador A e o B ter 4
horas de serviço o encanador A ficará sempre mais barato por hora”. O
estudante que a escreveu parece ter considerado, assim como alguns desse
grupo, que se poderia contratar os encanadores por um preço fixo ou por
hora de trabalho. Em uma outra Prova da 8ª série apenas aparece a
resposta: “os dois tem o mesmo preço”
Grupo G5: 12 Provas
Série
Crédito
completo
Crédito
Parcial
Nenhum
Crédito
8ª série Ensino Fundamental 0 0 9
3ª série Ensino Médio 0 0 3
51
As Provas enquadradas nesse grupo têm, como característica
comum, a apresentação do cálculo aritmético do custo de um serviço de
uma hora de trabalho para ambos os encanadores. A maioria delas, nas
respostas, enfatiza a diferença de 00,18$R existente entre os preços cobrados
pelos encanadores, referentes a um serviço de uma hora de duração. A
maioria das produções desse grupo é de estudantes da 8ª Série do Ensino
Fundamental. Em todas elas verificam-se as operações 781860
=
+
e
603624
=
+
.
Três das Provas da 8ª série apresentam as mesmas
operações, indicando como resposta que o encanador A fica mais barato.
Como o encanador A pode ficar mais barato se, pelos cálculos apresentados,
o custo de A é maior do que o custo de B? Talvez esses estudantes tenham
apenas se distraído ou consideraram que, como a diferença entre os preços
de A e B foi positiva, A é mais barato. Não se pode inferir a respeito do
motivo que levou estes estudantes a apresentarem aquela resposta.
A produção escrita de uma outra Prova da 8ª série desse
mesmo grupo apresenta alguns aspectos interessantes. Assim como os
demais, o estudante que a produziu obtém aritmeticamente o valor de um
serviço de uma hora de trabalho para ambos os encanadores. Da maneira
como sua produção escrita está disposta na folha, tudo indica que essa foi a
primeira etapa a ser feita. Em seguida, subtrai, do preço de um serviço de
uma hora do encanador A, o preço de um serviço de uma hora do
encanador B, indicando que “B fica mais barato por apenas 00,18$R amais
(sic) do que o encanador A”. Essa afirmação é contraditória, uma vez que ao
mesmo tempo em que afirma que B fica mais barato, pode-se entender que
B cobra 00,18$R a mais do que o encanador A, o que não é verdade. Feito
isso, a próxima operação feita pelo estudante foi 1386078
=
+
. Na sua
produção escrita não se pode verificar que o estudante utilizou esse
resultado.
Uma outra Prova da 8ª série apresenta a resposta “fica mais
barato se o encanador cobrar só uma hora”. Assim como outros estudantes
do grupo G1 e G4, o estudante que a escreveu parece ter compreendido que
se poderia contratar os serviços dos encanadores por um preço fixo ou por
52
hora de trabalho. Este fato também pode ser percebido na resposta
apresentada por outro estudante da 8ª série: “o encanador B é mais barato
ele fica uma hora mais barato”, ou seja, a diferença ( 00,18$R ) entre os custos
dos serviços de uma hora entre os encanadores A e B corresponde ao valor
cobrado por hora de trabalho pelo encanador A.
Outras três Provas da 8ª série e uma das Provas da 3ª série
desse grupo apresentam como resposta que o encanador B é mais barato.
Para chegar a esta conclusão, parece que estes estudantes calcularam
aritmeticamente o custo de um serviço de uma hora de trabalho para ambos
os encanadores e compararam os resultados. Assim, estes estudantes
concluíram que, como o custo do encanador B para um serviço de uma hora
é menor que o respectivo custo para o encanador A, este comportamento
repetir-se-ia para qualquer serviço de qualquer duração.
Em duas das Provas de estudantes da 3ª série do Ensino
Médio, verifica-se o cálculo aritmético correto de um serviço de uma hora de
duração para ambos os encanadores, mas as respostas apresentadas
diferem das demais desse grupo. Uma delas afirma que “O valor de 00,18
=
t
que fica mais barato”. Já a outra responde: “sim, porque ele cobra 18 reais
por hora”. O que estas duas respostas parecem ter em comum é o fato de
que ambos os estudantes que as escreveram, apesar de calcularem
corretamente os custos de um serviço de uma hora, consideraram que a
diferença entre os preços dos encanadores apenas está relacionada ao valor
cobrado por hora de trabalho. O primeiro estudante parece ter
compreendido que a variável
t
era o valor cobrado por hora e não o tempo,
medido em horas. De acordo com esta compreensão, o encanador A é mais
barato. Assim, pode-se considerar que esses estudantes solucionaram
corretamente o seguinte problema, ora denominado Problema Resolvido 4:
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de 00,60$R mais
00,18$R por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de
00,24$R mais 00,36$R por hora de trabalho. Sendo
t
o valor cobrado por hora
de trabalho, qual valor de
t
é mais barato?
53
Grupo G6: 14 Provas
Série
Crédito
completo
Crédito
Parcial
Nenhum
Crédito
8ª série Ensino Fundamental 0 2 7
3ª série Ensino Médio 0 1 4
As Provas enquadradas neste grupo têm como principal
característica a apresentação do cálculo do valor das primeiras horas de
trabalho ou de alguma hora específica para ambos os encanadores,
apresentando uma resposta incorreta.
Duas da Provas que receberam crédito parcial são da 8ª série.
Uma delas apresenta o cálculo correto do valor de um serviço de três horas
para ambos os encanadores, apresentando como resposta do problema: “o
encanador A cobrará o v.f. ( 00,60$R ) + o valor por 3 horas ( 00,54$R ) e terá
cobrado um total 00,114$R . O cobrador B, apesar do v.f. ser baixo terá
cobrado muito pelas 3 horas e no total vai sair por 00,132$R ”.
Pela resposta apresentada pelo estudante, verifica-se que ele
conseguiu perceber que a diferença entre os preços dos serviços dos
encanadores diminuiria quando o tempo do serviço aumentava, pois
percebeu que o que determinaria o preço de um serviço longo não era o
valor fixo, mas sim o valor cobrado por hora de trabalho.
A estratégia apresentada pelo estudante na outra Prova deste
grupo da 8ª série que também recebeu crédito parcial, é semelhante à
anterior. Nesta, o estudante apresenta os cálculos corretos de um serviço de
duas e três horas de trabalho para os encanadores A e B, conforme figura
seguinte:
54
Figura 8 – Resolução apresentada na Prova 8L10179 da 8ª série que
recebeu crédito 1
Contudo, a natureza da resposta apresentada por este
estudante é diferente da apresentada pelo estudante anterior. Este
estudante apresenta uma resposta para o problema, afirmando que o
encanador A será mais barato se o serviço “levar mais de três horas”.
Entretanto, o próprio estudante, pelos cálculos e pela resposta que
apresentou, parece ter percebido que já para um serviço de três horas, o
55
encanador A se mostra mais barato. Dessa forma, pode-se supor que houve
apenas um equívoco na escrita da resposta.
A Prova da 3ª série do Ensino Médio que recebeu crédito
parcial apresenta o cálculo aritmético do valor de um serviço de três horas
para os encanadores A e B e, como resposta, que A é mais barato que B,
apresentado, assim, que para um serviço de três horas, A se mostra mais
barato. Pela resposta apresentada, pode-se considerar que o estudante que
a escreveu solucionou o seguinte Problema Resolvido 5: Um encanador A
cobra por cada serviço feito um valor fixo de 00,60$R mais 00,18$R por hora de
trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de 00,24$R mais 00,36$R
por hora de trabalho. Sendo
t
o tempo, medido em horas, dê um valor de
t
para o qual o encanador A fica mais barato que o B.
Em outras sete Provas deste grupo – cinco da 8ª série e duas
da 3ª série – os estudantes apresentam o cálculo do custo do serviço de
uma, duas, três ou seis horas de trabalho e se baseiam nesses resultados
para dar a resposta do problema, conforme mostra a figura seguinte:
Figura 9 – Resolução apresentada na Prova 8L08163 da 8ª série que
recebeu crédito 0
56
Este estudante encontrou corretamente o custo de um serviço
de seis horas para ambos os encanadores e respondeu que o encanador A é
mais barato. Pode-se inferir que este estudante também solucionou
corretamente o Problema Resolvido 4. Em uma das Provas da 3ª série do
Ensino Médio, o estudante calcula corretamente o custo de um serviço de
uma hora de duração para os encanadores A e B, respondendo que “ficará
mais barato se o encanador A fizer apenas um serviço”. Antes de apresentar
essa resposta, o estudante escreveu que “cada hora de trabalho realizado o
encanador A cobrará menos pelo serviço”, mas riscou esta frase. Parece que
este estudante, de início, considerou esta frase, a riscada, como sendo a
resposta do problema, mas parece ter percebido que tal resposta não era
satisfatória, o que o levou a apresentar outra resposta. De fato a resposta
apresentada pelo estudante é coerente, mas não é a resposta correta para o
Problema Proposto.
Outra Prova da 8ª série apresenta o cálculo correto do valor
de um serviço de cinco horas de duração e, como resposta o valor da
diferença, em reais, do custo do encanador B em relação ao A. Pode-se
considerar que este estudante também solucionou corretamente o Problema
Resolvido 4.
Em uma Prova da 8ª série verifica-se o cálculo do custo um
serviço de uma hora de duração corretamente atribuído para o encanador A
e incorretamente para o encanador B, apresentando como resposta que o
encanador A mostra-se mais barato cobrando por hora de trabalho. Assim
como em outras Provas de outros grupos, este estudante parece ter
compreendido que se poderia pagar pelos serviços dos encanadores por um
preço fixo, independente do tempo de duração, ou por um valor por hora de
trabalho. Dessa forma, pode-se considerar que este estudante solucionou
corretamente o Problema Resolvido 1. Este fato também ocorreu com outro
estudante da 8ª série, pois apresenta o cálculo correto de um serviço de
uma hora de duração e a seguinte resposta “mesmo com o valor de t sendo o
tempo, o encanador B fica mais barato”.
57
Grupo G7: 25 Provas
Série
Crédito
completo
Crédito
Parcial
Nenhum
Crédito
8ª série Ensino Fundamental 5 6 0
3ª série Ensino Médio 8 6 0
Neste grupo encontram-se as Provas que apresentam o
cálculo aritmético de um serviço de uma, duas, três, quatro, cinco horas de
duração para os encanadores A e B. É o grupo com uma maior freqüência,
indicando que esta foi a estratégia utilizada pela maioria dos estudantes da
amostra.
A figura seguinte mostra a resolução apresentada em uma
das Provas da 8ª série do Ensino Fundamental que recebeu crédito parcial.
Figura 10 – Resolução apresentada na Prova 8C07014 da 8ª série que
recebeu crédito 1
Analisando a resposta apresentada na Prova, pode-se
verificar que o estudante que a resolveu, além de deixar registrados os
cálculos, ainda explicita seu raciocínio. Parece, ainda, que este estudante
58
compreende a idéia de recorrência presente no cálculo do valor do serviço
dos encanadores em função do tempo de trabalho.
Outra Prova da 3ª série do Ensino Médio apresenta os custos
corretos dos serviços dos encanadores A e B referentes a uma, duas e três
horas. Apresenta como resposta: “o único valor de
t
em que o encanador A
fica mais barato que o B é o de 1 hora de serviço”. Para apresentar tal
resposta, o estudante pode ter se distraído ao escrever a resposta, uma vez
que pelos cálculos por ele apresentados, para um serviço de uma hora, o
custo do encanador A é maior que o custo do encanador B.
Em duas das Provas da 8ª série que receberam crédito
parcial, verifica-se uma estratégia que possibilita encontrar a resposta
correta do problema. Os estudantes calculam aritmeticamente os custos dos
serviços dos encanadores A e B, mas cometem erros referentes ao algoritmo
da soma, como 583624
=
+
e 903624
=
+
. Parece que esses erros foram
decorrentes de distração, uma vez que estes estudantes apresentam outras
adições efetuadas corretamente. No primeiro caso, parece que o estudante
somou a dezena da 1ª parcela com a unidade e a dezena da 2ª parcela, o
que resulta no número 58. Já no segundo caso, parece que o estudante
somou a unidade da 2ª parcela com a unidade da 1ª parcela e com a dezena
da 1ª parcela, obtendo 90. Assim, devido a estes erros, as respostas
apresentadas pelos estudantes não são satisfatórias.
Em uma das Provas da 3ª série também se verifica uma
estratégia que possibilita encontrar a resposta correta. Contudo, o
estudante considera que o valor fixo cobrado pelo encanador B é 00,36$R e o
valor cobrado por hora é 00,24$R . Nessas condições, sua resolução, bem
como a resposta apresentada pelo mesmo, é perfeitamente coerente,
conforme pode ser visto na figura seguinte:
59
Figura 11 – Resolução apresentada na Prova 3L04014 da 3ª série que
recebeu crédito 1
Pode-se considerar que este estudante é capaz de resolver
problemas como o Problema Proposto, pois apesar de apresentar uma
60
resposta que não é adequada para o problema, mostra que consegue
escolher e desenvolver uma estratégia adequada, bem como interpretar seus
resultados para apresentar a resposta.
Em sete das Provas de estudantes deste grupo que também
receberam crédito parcial (três da 8ª série e quatro da 3ª série), verifica-se o
desenvolvimento correto de uma estratégia que resolve o problema.
Entretanto, o que difere tais resoluções é a interpretação feita pelos
estudantes referentes aos resultados obtidos. Como exemplo, pode-se citar a
resolução apresentada a seguir:
Figura 12 – Resolução apresentada na Prova 8C07012 da 8ª série que
recebeu crédito 1
Este estudante efetua os cálculos dos serviços de uma, duas
e três horas de duração para ambos os encanadores, obtendo que o custo
do encanador A referente a um serviço de três horas é menor que o
respectivo custo do encanador B. Assim, considera que se o encanador A for
contratado para um serviço de três horas, o custo será 00,18$R a menos que
o custo do encanador B. Assim, apesar de apresentar uma resposta que faz
sentido, esta não pode ser considerada uma resposta válida para o
Problema Proposto. Respostas dessa mesma natureza foram verificadas nas
61
demais seis Provas: “quando ele trabalhar 3 horas de serviço”; “são
necessários 3 horas”, etc.
Estes estudantes podem ter compreendido que se deveria
encontrar, apenas, o primeiro valor de
t
em que o serviço do encanador A
fosse mais barato. Nessas condições, pode-se considerar que os estudantes
solucionaram o seguinte Problema Resolvido 6: Um encanador A cobra por
cada serviço feito um valor fixo de 00,60$R mais 00,18$R por hora de trabalho.
Um outro encanador B cobra um valor fixo de 00,24$R mais 00,36$R por hora
de trabalho. Sendo
t
o tempo, medido em horas, quantas horas são
necessárias para que o encanador A fique mais barato que o B?
As demais treze Provas deste grupo (cinco da 8ª série e oito
da 3ª série do Ensino Médio) receberam crédito completo. Em todas elas
verifica-se o cálculo aritmético do custo do serviço de uma a quatro horas de
duração para ambos os encanadores, conforme ilustra a figura seguinte:
62
Figura 13 – Resolução apresentada na Prova 8L08161 da 8ª série que
recebeu crédito 2
Este estudante, além de concluir que o encanador A é mais
barato quando o tempo do serviço for maior ou igual a três horas, percebe
que a diferença entre os custos dos encanadores vai aumentando conforme
o tempo vai aumentando.
As respostas apresentadas pelos demais estudantes formam
dois grupos: as relacionadas à expressão “o encanador A se mostra mais
63
barato acima de duas horas” ou à expressão “a partir de três horas o
encanador A é mais barato”.
Grupo G8: 25 Provas
Série
Crédito
completo
Crédito
Parcial
Nenhum
Crédito
8ª série Ensino Fundamental 0 0 5
3ª série Ensino Médio 0 0 5
As Provas enquadradas neste grupo têm como característica
principal a apresentação de cálculos variados que não levam à resposta do
Problema Proposto. Tais cálculos não possibilitam que as Provas sejam
enquadradas em qualquer dos outros grupos. Em uma delas, o estudante
da 8ª série subtrai o valor fixo cobrado pelo encanador B do valor fixo
cobrado pelo encanador A, subtraindo, também, os respectivos valores
cobrados por hora de trabalho, encontrando a diferença daqueles valores.
Outro estudante da 8ª série divide 36 por 18, obtendo 2 e
respondendo que o encanador A fica “mais barato por 2 h”. A figura seguinte
apresenta a resolução de outro estudante da 8ª série:
64
Figura 14 – Resolução apresentada na Prova 8L05063 da 8ª série que
recebeu crédito 0
O estudante parece ter tentado utilizar uma regra de três,
pois pode ter considerado que os preços fixos e os cobrados por hora de
cada encanador eram proporcionais. Outro estudante efetua 361818
=
+
e
responde que o preço por hora de trabalho do encanador B é duas vezes o
preço por hora do encanador A. Outro estudante da 8ª série apresenta a
operação 2460
×
e obtém como resultado “14 reais”.
Outro estudante da terceira série apresenta o custo correto de
um serviço de uma hora para cada encanador; em seguida, subtrai o
respectivo valor cobrado por hora do valor fixo de cada encanador e efetua
65
corretamente a operação 1812
×
, apresentando como resposta “ 00,18 mais
barato”.
Grupo G9: 10 Provas
Série
Crédito
completo
Crédito
Parcial
Nenhum
Crédito
8ª série Ensino Fundamental 2 1 2
3ª série Ensino Médio 3 2 0
O critério utilizado para enquadrar as produções escritas dos
estudantes nesse grupo foi a verificação das leis das funções que descrevem
os custos dos encanadores A e B, independente da utilização correta da
linguagem simbólica. Das Provas desse grupo, cinco delas receberam crédito
completo (2), três delas receberam crédito parcial (1) e outras duas nenhum
crédito (0).
As Provas que receberam crédito 0 são de alunos da 8ª série
do Ensino Fundamental. Em uma delas, o estudante escreve as leis das
funções que fornecem os custos dos encanadores, calcula a imagem de 1
=
t
e responde que “o encanador B fica mais barato”. Este estudante pode ter
inferido que, como para um serviço de uma hora, o encanador B fica mais
barato, esse comportamento se repetiria para qualquer serviço cuja duração
fosse superior a uma hora. Este fato também pôde ser percebido na outra
Prova enquadrada nesse grupo, cuja resolução está incorreta. Nela, o
estudante calcula o valor de um serviço de duas horas e responde “em nada
os dois cobram o mesmo preço”.
Uma das Provas que recebeu crédito parcial, da 3ª série do
Ensino Médio, mostra o cálculo das imagens da função que descreve os
custos dos serviços dos encanadores para 2
=
t e 3
=
t e, como resposta, que
“o encanador A se mostra mais barato a partir de 2 horas de serviço”, o que
não é verdade, uma vez que para um serviço de 2 horas, o custo do serviço é
o mesmo para ambos os encanadores. Contudo, verificando os cálculos
efetuados pelo estudante, pode-se considerar que ele percebeu que, para
um serviço de duas horas de duração, os custos dos encanadores são
iguais. Portanto, pode-se inferir que quando o estudante afirma “a partir de
66
2 horas”, ele não está incluindo um serviço de 2 horas. A segunda Prova
desse grupo que recebeu crédito incompleto é de um estudante da 8ª série
do Ensino Fundamental. Da maneira como os cálculos estão dispostos na
folha, parece que a primeira etapa feita foi o cálculo das imagens da função
para 1
=
t , 2
=
t e 3
=
t para ambos os encanadores. Em seguida, esse
estudante subtrai, da expressão da função que fornece o custo do serviço do
encanador B, a expressão da função que fornece o custo do serviço do
encanador A e não iguala a nada. Contudo, da maneira como ele opera,
implicitamente este estudante iguala esta expressão a zero. Resolvendo-a
corretamente, ele obtém como resposta “ 2
=
t ”. Pode-se considerar que este
estudante não se deu conta de que esse resultado refere-se ao tempo no
qual a diferença entre os custos dos encanadores é zero. Esse fato já tinha
sido verificado pelo estudante ao calcular, anteriormente, a imagem de 2
=
t
para ambos os encanadores. Contudo, tudo indica que esse estudante não
relacionou estes dois fatos.
Um erro pôde ser percebido quando o estudante efetuou
223618
−
=
−
. O estudante parece ter efetuado, separadamente, 268
=
−
e
231
−
=
−
, assim como se estivesse utilizando o algoritmo da subtração para
a operação 1836
−
. Contudo, ao utilizar esse resultado na equação, este
estudante percebeu que o resultado da subtração estava incorreto.
Talvez pelo fato de o enunciado do problema afirmar que “o
encanador A fica mais barato que B?”, este aluno pode ter pensado que:
como se quer descobrir o tempo em que o encanador A fica mais barato,
então se deve fazer a operação A menos B. Este fato pode evidenciar a
prática de alguns professores de incentivarem seus alunos a “retirar” as
“palavras-chave” dos problemas para se descobrir quais operações ou
estratégias podem ser utilizadas para resolver o problema.
Em três das Provas desse grupo que receberam crédito
completo pode-se verificar o cálculo do valor do serviço de uma, duas, três,
quatro, cinco horas para ambos os encanadores, conforme Figura 15, para
responder que o encanador A fica mais barato quando o tempo é maior ou
igual a três horas. Um desses estudantes efetuou a diferença entre os
preços cobrados por hora pelos encanadores, conforme Figura 16,
67
apresentando inclusive a resposta. Pode-se inferir que, de acordo com o que
está registrado na Prova, este estudante, após escrever a resposta, realizou
a verificação do problema e percebeu que a resposta apresentada por ele
não era satisfatória, o que o levou a buscar e desenvolver uma nova
estratégia. Este estudante escreveu as leis das funções que descrevem os
custos dos encanadores e calculou as imagens da função para 1
=
t , 2
=
t e
3
=
t para ambos os encanadores, respondendo que o encanador A “é mais
barato quando
t
é igual ou maior que 3 horas”.
Figura 15 – Resolução apresentada na Prova 3L06077 da 3ª Série do
Ensino Médio que recebeu crédito completo
Figura 16 – Parte da resolução apresentada na Prova 8C03122 da 8ª Série
do Ensino Fundamental que recebeu crédito 2
68
Um outro estudante da 3ª série do Ensino Médio também
apresenta as expressões das leis das funções. Entretanto, percebe-se que o
mesmo não utiliza corretamente a linguagem simbólica, uma vez que,
conforme Figura 17, apresenta h como variável independente da função,
mas acaba considerando
t
como sendo a variável. Ressalta-se o fato deste
estudante ter calculado o custo do serviço de duas horas e um minuto. Este
estudante parece ter percebido que, como os custos de um serviço de duas
horas eram os mesmos para ambos os encanadores e que o encanador A
ficava mais barato quando o tempo do serviço era de 3 horas, então
resolveu calcular o preço de um serviço de duas horas e um minuto para o
encanador B. Para tanto, dividiu corretamente o preço cobrado por hora
pelo encanador B por 60 minutos, obtendo o valor de 30,0$R por minuto.
Dessa forma, quando o tempo é de 2 horas e um minuto, o custo do serviço
do encanador B é de 30,96$R . O estudante concluiu, assim, que A ficará
mais barato quando
t
for maior ou igual a duas horas e um minuto, mesmo
sem calcular o serviço de mesmo tempo de duração para o encanador A.
Figura 17 – Resolução apresentada na Prova 3C05028 da 3ª Série do
Ensino Médio que recebeu crédito 2
69
Uma Prova da 3ª série do Ensino Médio apresenta, também,
as expressões das leis das funções que fornecem os custos dos serviços dos
encanadores e o problema corretamente por meio de inequação, obtendo
como resposta, “ 2
>
t ”. De acordo com a classificação de Fiorentini et al.
(2005), a produção escrita deste estudante mostra que o mesmo se encontra
na fase do pensamento algébrico mais desenvolvido, uma vez que foi capaz
de utilizar uma ferramenta algébrica para resolver o problema, além de
demonstrar conhecimentos relacionados à linguagem simbólica e às
operações com incógnitas.
Após a descrição dos grupos, definiram-se quatro categorias,
a partir das estratégias utilizadas pelos estudantes ao abordarem o
problema. A seguir apresenta-se uma descrição das categorias:
Categoria Custo Não Variável – o custo do serviço de um
encanador sempre será menor que o do outro, independente do tempo de
duração do serviço - nesta categoria estão as resoluções (G1, G5, G6, G9
9
)
nas quais são utilizados procedimentos aritméticos ou algébricos para
encontrar o custo de um serviço de uma duração específica, não
obrigatoriamente o custo de um serviço de uma hora. Em parte das Provas
dessa categoria, verifica-se a utilização dos valores fixos e dos valores
cobrados por hora de ambos os encanadores para encontrar o custo de um
serviço para ambos os encanadores. Destas resoluções infere-se que os
estudantes compreenderam que bastava encontrar o custo de um serviço de
uma hora específica de duração e verificar qual dos encanadores teria menor
custo para aquele determinado serviço. Das categorias de erros apontadas
por Movshovitz-Hadar (1987), o mais comum está relacionado à não
verificação de soluções, uma vez que se estes estudantes tivessem verificado
suas soluções, certamente perceberiam que as referentes aos problemas por
eles resolvidos não eram satisfatórias para o Problema Proposto. Em outra
parte das Provas desta categoria, verifica-se a utilização apenas do valor
cobrado por hora de trabalho para calcular o valor de um serviço para
ambos os encanadores. De acordo com os registros das Provas desse grupo,
9
Partes das Provas do Grupo G9 enquadram-se na categoria Custo Não-Variável e a outra
parte na categoria Custo Variável
70
parece que os estudantes apenas consideraram os valores cobrados por hora
de trabalho para calcular os custos dos serviços dos encanadores A e B. O
erro mais comum presente nessa categoria está relacionado com a utilização
equivocada de informações do problema (MOVSHOVITZ-HADAR, 1987), uma
vez que alguns destes estudantes desconsideram o valor fixo cobrado por
cada encanador. Outros parecem ter considerado o valor fixo apenas para
um serviço de uma hora de duração.
Categoria Custo Variável – o custo de um dos encanadores
não é sempre menor que o custo do outro - nesta categoria estão as
resoluções (G7, G9) nas quais são utilizados, por meio de procedimentos
aritméticos ou algébricos, os valores fixos e os valores cobrados por hora
para calcular o valor de serviços de diferentes horas de duração para ambos
os encanadores, consecutivas ou não. Infere-se, a partir da produção escrita
dos estudantes presente nas Provas, que desenvolveram uma estratégia que
resolve o problema proposto, pois calcularam os custos dos encanadores
para serviços de diferentes durações, sendo que a maioria calculou o custo
referente a serviços de uma, duas e três horas de duração. Alguns erros
técnicos (MOVSHOVITZ-HADAR, 1987) foram verificados, mais
especificamente, erros relacionados aos algoritmos da soma e multiplicação.
Em parte das Provas dessa categoria, verifica-se a utilização de funções para
calcular o custo dos encanadores A e B. Infere-se, a partir das resoluções
apresentadas nas Provas, que os estudantes desenvolveram uma resolução
que se considera, nesse trabalho, como uma resolução algébrica do
Problema Proposto. Baseando-se na classificação do desenvolvimento do
pensamento algébrico de Fiorentini et al. (2005), pode-se inferir, por meio da
análise da produção escrita desses estudantes, que eles se encontram na
fase algébrica, uma vez que mesmo não utilizando a linguagem simbólica
corretamente, percebe-se que os estudantes foram capazes de escrever as
expressões das funções que descreviam os custos dos serviços dos
encanadores A e B, o que demonstra algum processo de generalização.
Categoria Diferença - um encanador é mais barato que o outro
dependendo da diferença dos preços cobrados por hora por eles - nesta
categoria estão as resoluções (G2) nas quais se subtrai do preço cobrado por
71
hora pelo encanador B o respectivo preço do encanador A. De acordo com a
produção escrita registrada nas Provas, pode-se inferir que os estudantes
consideraram que se deveria apenas calcular quantos reais o valor cobrado
por hora do encanador A é mais barato que o respectivo valor cobrado pelo
encanador B. Percebe-se, assim como na categoria custo não variável, a
utilização equivocada de informações do problema, pois os estudantes
desconsideraram informações relevantes para a solução do problema
proposto.
Categoria Outros - nesta categoria estão outras resoluções
(G3, G4, G8) que não solucionam o problema. Estas Provas apresentam
estratégias diversas. Em algumas delas, apenas verifica-se a resposta, em
outras, verifica-se alguns cálculos como já foi descrito.
O quadro a seguir permite uma melhor compreensão das
categorias anteriormente definidas.
72
Categoria Descrição
Custo não-variável
o custo do serviço
de um encanador
sempre será menor
que o do outro,
independente do
tempo de duração
do serviço
Nesta categoria estão as resoluções nas quais são
utilizados procedimentos aritméticos ou algébricos
para encontrar o custo de um serviço de uma
duração específica, não obrigatoriamente o custo de
um serviço de uma hora. Exemplos:
a) verifica-se as operações 9621860
=
⋅
+
e
9623624
=
⋅
+
e responde que os dois tem ou mesmo
preço;
b) verifica-se 54318
=
⋅
e 72236
=
⋅
, respondendo que
o encanador A é mais barato
Custo variável
o custo de um dos
encanadores não é
sempre menor que o
custo do outro
Nesta categoria estão as resoluções nas quais são
utilizados, por meio de procedimentos aritméticos
ou algébricos, os valores fixos e os valores cobrados
por hora para calcular o valor de serviços de
diferentes horas de duração para ambos os
encanadores, consecutivas ou não. Exemplo:
efetua 6013624
=
⋅
+
, 9623624
=
⋅
+
, 13233624
=
⋅
+
7811860
=
⋅
+
, 9621860
=
⋅
+
, 11431860
=
⋅
+
,
respondendo que o encanador A é mais barato para
serviços com duração superior a duas horas.
Diferença
um encanador é
mais barato que o
outro dependendo
da diferença dos
preços cobrados por
hora por eles
Nesta categoria estão as resoluções nas quais se
subtrai do preço cobrado por hora pelo encanador B
o respectivo preço do encanador A.
Exemplo: efetua 181836
=
−
e responde que o
encanador A é 18 reais mais barato que o
encanador B
Outros
Nesta categoria estão outras resoluções que não
solucionam o problema. Exemplos:
a) apenas verifica-se a resposta “o encanador A é
mais barato”;
b) apenas efetua 21836
=
÷
Quadro 3 - Categorias definidas a partir das resoluções apresentadas nas
Provas.
O quadro seguinte relaciona as categorias acima definidas
com o que pôde ser inferido em relação aquilo que o estudante demonstra
ser capaz de fazer quando se analisou sua produção escrita referente à
Questão.
73
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$60,00 mais R$18,00 por hora de
trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$24,00 mais R$36,00 por hora de trabalho.
Sendo t
o tempo, medido em horas, para quais valores de t o encanador A fica mais barato que o B?
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$ 60,00 ou R$
18,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$ 24,00 ou R$ 36,00 por
hora de trabalho. Em qual das opções o encanador A é mais barato?
Um encanador A cobra, por um serviço de uma hora, um valor fixo de R$
60,00 mais R$ 18,00 e, para serviços com mais de uma hora, um valor de R$ 18,00 por hora. Um
outro encanador B cobra, por um serviço de uma hora, um valor fixo de R$ 24,00 mais R$ 36,00 e,
para serviços com mais de uma hora, um valor de R$ 36,00 por hora de trabalho. Em qual das
opções o encanador A fica mais barato?
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$60,00 mais
R$18,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$24,00 mais R$36,00
por hora de trabalho. Sendo t o valor cobrado por hora de trabalho, qual valor de t é mais barato?
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$60,00 mais
R$18,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$24,00 mais R$36,00
por hora de trabalho. Sendo t o tempo, medido em horas, dê um valor de t para o qual o encanador A
fica mais barato que o B.
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$60,00 mais
R$18,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$24,00 mais R$36,00
por hora de trabalho. Sendo t o tempo, medido em horas, para quais valores de t o encanador A fica
mais barato que o B?
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$60,00 mais
R$18,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$24,00 mais R$36,00
por hora de trabalho. Sendo t o tempo, medido em horas, quantas horas são necessárias para que o
encanador A fique mais barato que o B?
74
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$60,00 mais R$18,00 por hora de
trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$24,00 mais R$36,00 por hora de trabalho.
Sendo t
o tempo, medido em horas, para quais valores de t o encanador A fica mais barato que o B?
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$60,00 mais
R$18,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$24,00 mais R$36,00
por hora de trabalho. Sendo t o valor cobrado por hora de trabalho, quantos reais a hora do
encanador A é mais barata que do B?
Quadro 4 – Quadro-resumo que relaciona as estratégias apresentadas pelos estudantes na resolução da Questão
estudada com aquilo que se infere a respeito do que o estudante é capaz de fazer.
75
Tabela 3 – Distribuição das resoluções dos Problemas Resolvidos inferidos
na produção escrita dos estudantes em cada série
Fonte: Dados obtidos na pesquisa realizada.
A Tabela 3 mostra que a grande maioria dos Problemas
Resolvidos identificados na produção escrita presente nas Provas apresenta
resolução correta. Das 97 Provas em estudo, em 36 delas foram
identificadas resoluções referentes a problemas diferentes daquele que foi
proposto. Destas 36 Provas, 30 delas apresentam resolução correta para o
Problema Resolvido identificado. Esse resultado sugere que o estudante
resolve o problema que consegue compreender ao ler seu enunciado. Assim,
parece que uma das causas do baixo desempenho dos estudantes está
relacionada à dificuldade na compreensão da Questão e não no
desconhecimento do instrumental matemático necessário para resolvê-la,
assim como apontaram as pesquisas de Perego (2005), Nagy-Silva (2005),
Segura (2005), Perego (2006), Alves (2006) e Negrão de Lima (2006).
Tendo em vista o que se inferiu acerca do que o estudante
demonstrou ser capaz ao se analisar sua produção escrita referente a uma
única questão em um único momento histórico, o quadro seguinte foi
construído. Para cada um dos quatro níveis identificados, é apresentada a
descrição do que se infere a partir da análise da produção escrita que o
estudante de determinado nível mostrou ser capaz de fazer; a porcentagem
das Provas da 8ª série, da 3ª série e do total da amostra que se enquadra
10
O código 2 refere-se a resolução correta; 1 refere-se a resolução parcialmente correta e o
código 0 a resolução incorreta.
8ª série 3ª série Resolução
10
Problema
2 1 0 2 1 0
Problema Resolvido 1 6 - - 2 - -
Problema Resolvido 2 1 - - - - -
Problema Resolvido 3 5 1 - 3 - 2
Problema Resolvido 4 1 - - 1 - -
Problema Resolvido 5 3 - 1 4 1 -
Problema Resolvido 6 2 - - 2 - 1
Total 18 1 1 12 1 3
76
em cada nível, bem como a fase de desenvolvimento de pensamento
algébrico que se encontram.
Quadro 5 – Níveis identificados a partir da inferência sobre a produção
escrita dos estudantes referente à Questão.
Os níveis definidos no Quadro 5 se complementam, ou seja,
nas Provas enquadradas no nível 2 também se verificam as capacidades do
nível 1, assim como nas Provas do nível 3 se verificam as capacidades dos
níveis anteriores (1 e 2). Da mesma forma, nas Provas do nível 4, são
verificadas as capacidades inferidas nos níveis 1, 2 e 3. A porcentagem
específica do nível mostra o percentual de Provas que apresentavam as
características de cada nível. A porcentagem total no nível se refere à soma
da porcentagem específica do nível com as respectivas porcentagens
77
específicas dos níveis superiores, uma vez que, por exemplo, as capacidades
inferidas no nível 1 são verificadas também nos níveis 2, 3 e 4.
No nível 1 foram enquadradas as Provas que apresentam
apenas operações de adição e/ou multiplicação envolvendo números
inteiros. Assim, se na Prova fosse verificada uma adição e/ou de subtração
correta envolvendo quaisquer das informações relacionadas no problema, a
mesma foi enquadrada nesse nível. Se fosse verificada na Prova pelo menos
uma operação de multiplicação ou divisão desenvolvida corretamente, ela foi
enquadrada no nível 2. No nível 3 foram enquadradas as Provas nas quais
foram verificadas pelo menos uma expressão de uma função envolvendo as
informações do problema proposto. Já no nível 4, as Provas enquadradas
apresentam alguma expressão de uma função, bem como a resolução
correta de uma equação ou inequação envolvendo a expressão da função
encontrada. As Provas foram enquadradas como “não identificável” quando
apenas apresentaram uma resposta para o problema que não possibilitava a
inferência de pelo menos uma das capacidades relacionadas aos demais
níveis identificados.
Analisando o Quadro 5, verifica-se que a grande maioria das
Provas demonstra que muitos estudantes encontram-se na fase pré-
algébrica do desenvolvimento do pensamento algébrico (níveis 1 e 2), de
acordo com a classificação que está sendo utilizada neste trabalho, baseada
na classificação proposta por Fiorentini et al. (2005), uma vez que foram
verificadas apenas operações aritméticas envolvendo números, além da
ausência de elementos como variáveis ou de qualquer registro escrito que
denotasse algum processo de generalização. É importante ressaltar que tal
inferência está sendo baseada apenas na análise da produção escrita do
estudante referente apenas ao Problema Proposto. Não se pode afirmar que
estes estudantes não são capazes de abordar esse problema de uma
maneira que está sendo considerada neste trabalho como sendo algébrica.
O que se pode afirmar é que, diante de um problema que pode ser resolvido
de uma maneira algébrica ou de uma maneira aritmética, a maioria dos
estudantes parece sentir-se mais segura abordando o problema
aritmeticamente.
78
Em relação à quantidade de Provas em cada nível, percebe-se
que o nível 1 apresenta o maior percentual de Provas para a 8ª série, ao
passo que o nível 2 apresenta o maior percentual de Provas para a 3ª série .
Como era de se esperar, proporcionalmente, a porcentagem de Provas da 3ª
série nos níveis 3 e 4 é um pouco maior que a respectiva porcentagem de
Provas da 8ª série. A partir dessa informação, pode-se afirmar que mais
estudantes da 3ª série sentem-se mais seguros ao abordarem o Problema
Proposto de uma maneira algébrica.
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Esta investigação teve como um dos objetivos mostrar algo do
que se pode inferir acerca do conhecimento matemático de um estudante ao
se analisar sua produção escrita referente à resolução de um problema
durante o processo de avaliação. Assim, o referencial teórico baseou-se na
avaliação como uma atividade de investigação, uma vez que as informações
utilizadas foram provenientes da Avaliação do Rendimento Escolar do
Estado do Paraná - AVA/2002. Além disso, por se tratar de um problema
que poderia ser resolvido de uma maneira aqui considerada algébrica, na
segunda parte do referencial teórico, algumas considerações acerca da
álgebra e da educação algébrica foram realizadas.
De um modo geral, ao se analisar a Tabela 1, percebe-se que
menos de 20% dos estudantes apresentou uma resolução considerada como
correta para a Questão. Entretanto, ainda assim, seria precipitado afirmar
que os 80% restantes “não sabem Matemática”. A ser comparada a Tabela 1
com o Quadro 5, percebe-se em 87,6% das produções escritas dos
estudantes a execução de um procedimento capaz de solucionar a Questão.
Assim, conclui-se que os resultados da Tabela 1 não são derivados do
desconhecimento do instrumental matemático que pode ser utilizado na
resolução da Questão, mas que estão fortemente relacionados à
compreensão do enunciado da Questão, bem como à identificação do tipo de
instrumental mais adequado para resolvê-la.
Este fato ficou claro ao se analisar a produção escrita dos
estudantes, principalmente suas respostas, uma vez que muitas delas
expressam a diferente compreensão que tiveram do enunciado da Questão,
conforme apontaram Nagy-Silva (2005), Perego (2005), Segura (2005),
Perego (2006), Negrão de Lima (2006) e Alves (2006). Assim, para o
Problema Proposto, foram identificados seis Problemas Resolvidos que
apresentam resoluções corretas. O problema do baixo rendimento parece
residir, portanto, na compreensão que os estudantes têm do problema, uma
vez que se verificou que os problemas inferidos a partir das resoluções dos
estudantes foram resolvidos corretamente.
80
Com exceção da resolução por meio de inequação, todas as
demais maneiras pelas quais os estudantes das duas séries abordaram a
questão foram verificadas nas séries analisadas, ou seja, não houve
nenhuma resolução registrada nas Provas da 8ª série, mas não registrada
em qualquer Prova da 3ª série. Pelo Quadro 2, percebe-se que as maiores
diferenças quantitativas relacionadas às estratégias desenvolvidas pelos
estudantes estão presentes nos grupos G3, G4, G5 e G6. Em G3 percebe-se
que mais estudantes da 3ª série compreenderam a Questão e foram capazes
de retirar corretamente as informações do seu enunciado. Em G4, mais
alunos da 8ª série não apresentaram cálculo e responderam incorretamente
a Questão. Em G5, menos alunos da 3ª série calculam apenas o valor da
primeira hora de trabalho para ambos os encanadores e enfatizam a
diferença de 18 reais entre eles. Em G6 percebe-se que menos alunos da 3ª
série calcularam o custo de ambos os encanadores para apenas uma hora
específica. Portanto, associando essas informações à Tabela 1 pode-se
inferir que há alguma diferença no desempenho dos estudantes das duas
séries, sendo melhor o desempenho dos estudantes da 3ª série.
Verificou-se que a maioria dos estudantes, tanto os da 8ª
série, quanto os da 3ª série, abordou o problema de uma maneira aqui
considerada como aritmética – ou não-algébrica – envolvendo apenas
operações de adição, multiplicação de números inteiros. É importante
destacar que não se pode concluir que estes estudantes desconhecessem
alguma estratégia algébrica que resolva a Questão, mas sim que foram
capazes de identificar uma estratégia aritmética adequada, pois pode ser
que se sintam mais seguros ao utilizar tal estratégia. Essa é uma das
limitações desta investigação, ou seja, não se pode inferir, a partir da
análise da produção escrita dos estudantes referentes à Questão, aquilo que
eles não são capazes de fazer. Considerando que os estudantes da 3ª série
freqüentaram a escola por três anos a mais que os estudantes da 8ª série, e
que, por conseguinte, tiveram acesso a mais conteúdos matemáticos, e que
a álgebra compreende grande parte de todo o currículo de Matemática,
esperava-se que o número de estudantes da 3ª série que escolheram uma
estratégia algébrica fosse maior que o respectivo número de estudantes da
81
8ª série. Por conseguinte, esses resultados levam ao questionamento acerca
de como os estudantes estão concebendo o conhecimento algébrico. Apenas
como uma simples linguagem desprovida de significado? Que não tem
qualquer aplicabilidade na vida cotidiana? Evidencia-se, portanto, um
problema para futuras investigações.
É importante destacar que se verificou em apenas uma das
Provas dos estudantes da 3ª série a resolução da Questão utilizando
inequação, maneira prevista nos descritores para a 3ª Série do Ensino
Médio. Ao aplicar a mesma Questão para um grupo de professores de
Matemática, Segura (2005) verificou que apenas 25% resolveram-na
utilizando inequação. Pode-se considerar, então, que a identificação da
inequação como um procedimento de resolução da Questão foi difícil de ser
realizada até mesmo para os professores. Uma investigação acerca desse
fato seria necessária para se relacionar tais fatos.
Em relação à linguagem simbólica, apenas em algumas das
Provas verificou-se o uso correto da mesma. A maioria fez uso da linguagem
sincopada, o que parece mostrar que os estudantes que as resolveram estão
a caminho do processo de generalização. Nesses casos, o professor pode
aproveitar essa oportunidade para que os estudantes, a partir de cálculos
aritméticos dos custos dos serviços dos encanadores, possam encontrar as
leis das funções que descrevem tais custos. Agindo dessa forma, o professor
pode proporcionar aos estudantes mecanismos que possibilitem a transição
aritmética-álgebra proposta por Ameron (2002).
Este trabalho não teve como objetivo categorizar o
pensamento do estudante em aritmético ou algébrico, pois se sabe que uma
atividade como essa é muito complexa e requer mais do que a análise da
produção escrita de um estudante referente a uma única questão discursiva
presente em uma única Prova. Entretanto, foi possível fazer algumas
inferências a respeito do nível de desenvolvimento do pensamento algébrico
dos estudantes utilizando-se da linguagem algébrica, uma vez que a
linguagem é, ao mesmo tempo, mecanismo de expressão e de
desenvolvimento do pensamento (VIGOTSKI, 2005). Como resultado, a
análise da produção escrita dos estudantes mostra que 9,4% da 8ª série e
82
11,4% da 3ª série estão na fase algébrica. Isso pode significar que são
poucos os estudantes que se sentem seguros e que são capazes de
identificar e utilizar um procedimento algébrico na resolução de um
problema. Tem-se, por conseguinte, outro problema para futuras
investigações.
Assim, tentou-se mostrar como esta atividade de classificação
pode ser realizada tendo-se como base a produção escrita do estudante, ou
ainda, procurou-se mostrar que informações acerca do desenvolvimento do
pensamento algébrico do estudante podem ser inferidas quando se analisa
sua produção escrita.
A avaliação vem sendo considerada como a vilã dos meios
escolares à medida que se volta apenas para mostrar aquilo que o estudante
sabe e, sobretudo, aquilo que não sabe. Com isso, a avaliação pode gerar
exclusão, pois os estudantes, diante dos resultados muitas vezes associados
ao fracasso, sentem-se profundamente desmotivados. Assim, essa
perspectiva simplista e prejudicial de se lidar com a avaliação, ao invés de
proporcionar expectativas de superação deste ‘fracasso’, apenas contribui
para a confirmação de mais uma privação enfrentada pelos estudantes,
principalmente os das classes menos abastadas – a privação ao direito de
aprender, de se apropriar de conhecimento que possa auxiliá-los na
mudança de sua condição social e a garantir seus direitos enquanto
cidadãos.
Para que a avaliação se torne, efetivamente, um mecanismo
de regulação do processo de ensino e de aprendizagem, é preciso que seus
resultados possam indicar os caminhos para o estudante percorrer de modo
a construir novos conhecimentos.
Este trabalho pretende dar diferente significado ao resultado
“em geral o desempenho dos estudantes referente à Matemática está abaixo
do esperado”, amplamente divulgado pela imprensa. A maioria das pessoas
associa tal resultado à falta, ao erro. Procurou-se mostrar que o erro não
deve, necessariamente, ser considerado como ausência de conhecimento,
mas sim como um conhecimento que não coincide ainda com aquele que foi
definido histórica e socialmente como sendo correto. Desta forma, o que
83
hoje é considerado como incorreto, amanhã pode não o ser. Essa é a
dinâmica da construção do conhecimento científico que coincide com a
dinâmica da construção do conhecimento de cada ser humano. Se for
considerado que há séculos atrás se admitiam como corretos fatos que hoje
são considerados pela comunidade científica como absurdos, não se pode
condenar essa dinâmica quando se analisa a construção individual do
conhecimento. Em outras palavras, o estudante que ‘erra’ deve ser
considerado ‘em processo de aprendizagem’.
Em Matemática, um erro pode ser considerado como uma
maneira diferente de resolver um problema, de realizar um cálculo, etc.
Muitas vezes o erro aparece devido a uma interpretação equivocada do
problema, como já foi mencionado neste trabalho. O que para muitos
leitores pode ser considerado como simplesmente um erro, aqui foi
mostrado que pode ser derivado de uma maneira diferente de compreender
um problema. Assim, uma avaliação, nessa perspectiva, da produção escrita
dos estudantes em uma prova de questões discursivas pode contribuir para
que os resultados sejam utilizados na tomada de decisões, tendo em vista
contribuir para a aprendizagem.
Com o intuito de utilizar o erro como uma ferramenta para
aprendizagem, ao invés de dizer ao estudante que ele errou, é mais viável
dizer a ele que a solução por ele apresentada não é uma solução para o
problema que deveria ser resolvido, mas sim para um outro problema,
problema esse que o estudante pode ter sido concebido pelo estudante ao
desconsiderar alguma informação do problema proposto ou por uma
compreensão equivocada de alguma informação. Esse Problema Resolvido
pode ser explicitado pelo aluno, com o auxílio do professor, para que sejam
discutidas as semelhanças e as diferenças entre ele e o problema proposto,
abrindo portas a atividades de investigação, como propõe Borasi (1987).
Em relação às categorias de erros definidas por Movshovitz-
Hadar (1987), deve-se enfatizar que as mesmas não se aplicam totalmente a
essa questão, uma vez que tais categorias foram definidas baseadas em
provas, apresentadas em diferentes momentos com várias questões que
possibilitavam aos estudantes demonstrar uma gama de habilidades ou
84
capacidades, ao passo que neste trabalho analisou-se apenas uma única
questão específica apresentada uma única vez. Assim, não foram
encontrados erros relacionados a inferências inválidas logicamente, bem
como a distorções na utilização de definições ou teoremas, uma vez que a
Questão não exigia a utilização de teoremas ou a explicitação de definições
para sua resolução. Dos erros encontrados, os mais freqüentes estão
associados à não verificação de soluções e à utilização equivocada de
informações do enunciado da questão. Tais erros levam os estudantes a
resolverem um problema diferente do Problema Proposto, como por exemplo
quando o estudante desconsidera um dado relevante do problema e
apresenta uma resolução.
Este trabalho iniciou-se com o pensamento do escritor russo
Leon Tolstoi: “Há quem passe por um bosque e só veja lenha para a
fogueira”. Tal epígrafe não foi escolhida ao acaso, pois parece se aproximar
muito da maneira simplista pela qual o uso que se faz dos resultados da
avaliação vem influenciando o modo como os estudantes estão sendo
rotulados – apenas e simplesmente pelos seus ‘fracassos’. No entanto,
tomando a avaliação como atividade de investigação, este trabalho fornece
subsídios que mostram que, enxergando o bosque, os resultados da
avaliação podem e devem apontar caminhos a serem percorridos pelos
envolvidos, na busca de tornarem-se melhores seres humanos, para si
mesmos e para o mundo.
85
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89
APÊNDICE 1
90
Resultado da Primeira Correção das Provas, baseada no Manual de Correção de Provas (BURIASCO, CYRINO E
SOARES, 2003)
Provas
11
Descrição
12
8C01014, 8C03015,
8C06019, 8C07022,
8L04107, 8L08152,
3C03120, 3C04038,
0.01 – não apresenta cálculo algum e responde incorretamente
8C06012, 8L05063,
8L05071, 3C01011, 3C04013
0.02 - apresenta cálculos que não resolvem o problema e responde incorretamente
8C03059, 8L05044
0.03 - retira as informações do problema. Apresenta cálculos corretos que não resolvem
o problema. Não apresenta resposta
8C03083, 8L05014,
0.04 - retira as informações do problema e responde incorretamente
11
Todas as Provas que compõem a amostra oficial do Estado do Paraná foram nomeadas com sete dígitos. O primeiro dígito se refere à série. O
segundo, se refere ao local onde a Prova foi inicialmente corrigida. O terceiro e quarto número são da meso-região e os três últimos números
se referem ao numero da Prova dentro da meso-região. Por exemplo, a Prova 3C01004 é uma prova da 3ª série do Ensino Médio, que foi
corrigida em Curitiba, da meso-região 01 (Metropolitana), com número 004
12
Todas as descrições são precedidas de um código numérico composto de três algarismos. O algarismo que precede o ponto refere-se à
classificação da resolução presente na Prova. Assim, se a resolução for correta, o primeiro algarismo será 2, se for parcialmente correta, será
1 e se for incorreta, será 0. Os algarismos posteriores ao ponto referem-se ao tipo de resolução em cada grupo, ou seja, uma subclassificação
de cada um dos grupos 2, 1 e 0.
91
3C03119, 3C05036,
3C05003, 3L08103
8C03069
0.05 - calcula corretamente o valor de um serviço de uma hora para o encanador A e
incorretamente para o encanador B. Responde incorretamente
8C03063 0.06 - apresenta cálculos incorretos. Não responde o problema
8C01009
0.07 - calcula os valores de um serviço de uma e duas horas para ambos encanadores,
alguns corretos outros incorretos. Responde incorretamente
8C03120
0.08 - calcula corretamente o valor de um serviço de duas horas para ambos os
encanadores. Responde incorretamente
8L05012
0.09 - calcula corretamente o valor de serviços de várias horas de duração e responde
incorretamente.
8C03028, 8C03040,
8C03090, 8L05001,
8L05054, 8L04086,
8L04110, 8L05009,
8L05045, 8L05065,
3C01013, 3C02007, 3L06062
0.10 - calcula corretamente o valor de um serviço de uma hora e responde
incorretamente (enfatiza a diferença entre os valores cobrados por hora)
8C06017, 8L04130, 3C04020
0.11 - calcula corretamente o valor de um serviço de uma hora. Responde
92
incorretamente
8C01018, 8C02008,
8L09191, 8L09205,
3C03009, 3L07038,
3L09045, 3C03039
0.12 - subtrai o preço por hora do encanador B do preço por hora do encanador A.
Responde incorretamente
8L04109
0.13 - calcula o valor de um serviço de três horas para ambos os encanadores,
considerando apenas o valor cobrado por hora. Responde incorretamente
8L08163
0.14 - calcula corretamente o valor de um serviço de seis horas para ambos os
encanadores. Responde incorretamente
8L10180
0.15 - calcula o valor de um serviço de uma a três horas, considerando apenas o valor
cobrado por hora. Responde incorretamente
3C05018
0.16 - calcula corretamente o valor de um serviço de três horas e nao apresenta
resposta
3C04046, 3C05075
0.17 - retira as informações do problema. Apresenta cálculos que não resolvem o
problema e responde incorretamente
3C03094
0.18 - calcula o valor de um serviço de duas e quatro horas para ambos os encanadores,
considerando apenas o valor do serviço cobrado por hora. Responde incorretamente
3C03070 0.19 - apresenta cálculos que não resolvem o problema e não apresenta resposta
3C03055 0.20 - retira as informações do problema e não apresenta resposta
3L10017, 3L09046
0.21 - calcula corretamente o valor de um serviço de três horas para ambos os
encanadores. Responde incorretamente
3L04037
0.22 - calcula corretamente o valor de um serviço de uma hora para ambos os
encanadores e nao apresenta resposta
93
8C03106
1.02 - calcula corretamente o valor de um serviço de três horas para ambos os
encanadores mas não apresenta resposta
3C05074, 3L08082,
8C07012, 8L08149,
8L04083, 3C03113,
3L08097, 3C04014
1.03 - calcula corretamente o valor de um serviço de uma, duas e três horas mas
responde incorretamente
3L07032
1.04 - calcula corretamente o valor de um serviço de uma a quatro horas, mas nao
apresenta resposta
8L04124
1.05 - calcula corretamente o valor de um serviço de cinco horas para ambos os
encanadores mas responde incorretamente
8L10179
1.06 - calcula corretamente o valor de um serviço de duas horas para o encanador A e
incorretamente para o encanador B. Apresenta resposta incorreta
8C06015
1.07 - apresenta as leis das funções que descrevem os custos dos serviços de ambos os
encanadores. Calcula corretamente as imagens de t=1 até t=3. Subtrai a função B da
função A. Não apresenta resposta.
8L08145
1.08 - apresenta as leis das funções que descrevem os custos dos serviços de ambos os
encanadores. Calcula corretamente a imagem de t=2 mas responde incorretamente
3L04014
1.09 - calcula o valor de um serviço de uma a cinco horas para ambos os encanadores,
uns corretos outros incorretos. Responde incorretamente
8C03122, 3C05028,
3C03091, 3L06077
2.01 - apresenta as leis das funções que descrevem o custo para os dois encanadores e
calcula as imagens de t=1 até 3 e responde corretamente
8C01011
2.02 - calcula o valor de um serviço de três horas para ambos os encanadores e
responde corretamente
94
8L04093, 8L10173,
3C03052, 3C04037,
3C05057, 3C05062,
3C05068, 3C01023,
3C02010
2.03 - calcula o valor de um serviço de uma, duas e três horas e responde corretamente
8C07014, 8L05080
2.04 - calcula o valor de um serviço de uma, duas, três, quatro e cinco horas e responde
corretamente
8L08161 2.05 - calcula o valor de um serviço de duas a seis horas e responde corretamente
8C03102
2.06 - apresenta as leis das funções que descrevem o custo para os dois encanadores e
calcula as imagens de t=2 até 5 e responde corretamente
3C03073
2.07 - apresenta as leis das funções que descrevem os custos para ambos encanadores
e resolve por inequação. Responde corretamente
3C05041 2.08 – não apresenta cálculo algum e responde corretamente
95
ANEXO
1
96
ANÁLISE DA PRODUÇÃO ESCRITA DE ALUNOS E PROFESSORES
NAS PROVAS DE QUESTÕES ABERTAS DE MATEMÁTICA
13
Regina Luzia Corio de Buriasco
coordenadora do projeto
O projeto é constituído de investigações a serem realizadas por docentes,
alunos dos programas de Mestrado em Ensino de Ciências e Educação
Matemática, de Educação, e, alunos da Licenciatura em Matemática da
Universidade Estadual de Londrina, articuladas em torno do eixo temático da
Avaliação em Matemática tendo como foco dos estudos a Prova de Questões
Abertas de Matemática da AVA 2002.
Pretende-se desenvolver um estudo qualitativo envolvendo a produção
escrita de alunos e professores que ensinam matemática na resolução da
Prova de Questões Abertas de Matemática da Avaliação Estadual do
Rendimento Escolar do Paraná – AVA/2002.
Os registros que os alunos fazem ao resolver as questões dão valiosas
informações sobre o modo como compreenderam e registraram suas idéias a
respeito da situação apresentada. Tais informações fornecem rico material
para o professor incorporar ao seu repertório no planejamento das aulas e
para orientar suas escolhas didáticas, servindo como referência para
conversar sobre matemática com o aluno.
Ao analisar uma produção escrita, mantém-se um diálogo com as respostas
dadas, indaga-se sua configuração, procura-se encontrar quais as relações
que as constituem. O erro, então, não é considerado como algo negativo e
sim como um indício importante sobre os conhecimentos, processos de
relação das informações, valores, presentes na relação do sujeito com o
objeto do conhecimento, quase sempre invisíveis e ignorados na prática
educativa escolar.
Pretende-se estudar tanto erros como acertos, pois “tal como o sucesso não
é garantia absoluta da existência da competência pretendida, o erro não é a
prova absoluta da sua ausência” (HADJI, 1994, p.123), por conseguinte neste
estudo todas as respostas e as estratégias utilizadas por quem as obtém
serão fontes de investigação.
No caso deste estudo, não se pretende apresentar ‘receitas’ sobre avaliação
13
Projeto financiado pela Fundação Araucária, sob protocolo no. 5998 do
PROGRAMA DE APOIO À PESQUISA BÁSICA E APLICADA – Chamada de
Projetos 06/2003. Modalidade B.
97
ou correção de provas escritas, mas sim conhecer mais e melhor como
alunos e professores lidam com questões abertas de matemática. Dessa
forma, buscará subsidiar a realização de uma das tarefas do professor que é
a de fazer com que o erro, aos poucos se torne observável ao aluno para que
este tome consciência daquele. Essa é uma das contribuições possíveis do
presente projeto na tentativa de diminuir o fracasso escolar.
Objetivos Gerais
Analisar a produção escrita de alunos e professores em questões
abertas de matemática.
Aprofundar o conhecimento dos processos de aprender e ensinar
matemática, mediante um estudo da produção escrita de alunos e
professores.
Material e Participantes
Para o desenvolvimento deste estudo serão utilizadas:
a) uma amostra retirada do universo das provas de Matemática realizadas
pelos alunos de 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino
Médio das escolas públicas que participaram da AVA-2002, atendendo ao
sistema de referência estatístico definido para este estudo, de modo a que
seja representativa do universo dos participantes da AVA- 2002. Por
conseguinte, será levado em conta o total de alunos, séries, dependência
administrativa (pública), a amostra aleatória previamente selecionada e turno
em que os alunos estavam matriculados. O sistema de referência será
estruturado tendo como base as 10 meso-regiões em função da localização
geográfica dos municípios. Deste modo, serão selecionadas, por sorteio
aleatório, dentro da cota de participação de cada meso-região, sendo 400
provas de 4ª série e 422 provas da 8ª série do Ensino Fundamental e 327
provas da 3ª série do Ensino Médio;
b) uma prova composta por todas as questões da prova estadual de 4ª e 8ª
séries do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio a qual será
resolvida por professores que ensinam matemática no Ensino Fundamental e
no Ensino Médio, da rede pública do estado do Paraná, e, por alunos do curso
de Licenciatura em Matemática.
O presente estudo terá, então, como participantes alunos de escolas públicas
paranaenses que realizaram a AVA/2002; alunos do curso de Licenciatura em
Matemática da Universidade Estadual de Londrina – UEL; alunos que
cursaram, em 2002, a 4ª. série do Ensino Fundamental numa escola
municipal de Cambé; professores que ensinam matemática no Ensino
Fundamental e Médio em escolas públicas na região de Londrina.
Indicadores previstos para a análise
Reafirmando que um dos propósitos principais é o de estimar a proficiência
matemática examinando, atentamente, toda produção escrita na busca de
indícios dos modos e estratégias utilizados na resolução de cada questão, e,
98
devido à natureza da prova, os registros escritos dos alunos e professores
serão separados inicialmente em três blocos - “resolve adequadamente a
questão” (crédito completo), “resolve parcialmente a questão”(crédito
parcial) e “não resolve a questão” (nenhum crédito ).
Há duas razões para isto: levar em consideração o grau de compreensão
demonstrado pelo aluno/professor na interpretação do enunciado da questão
e em sua resolução, sempre, tendo como objetivo identificar o que ele já
sabe e o que está a caminho de saber, para que, posteriormente, possa se
esclarecer aos professores a existência de respostas que podem receber
“crédito completo” mesmo não sendo aquelas ‘perfeitas’ de acordo com o
modelo por eles conhecido.
Relevância Estimada do Projeto
Com relação a esta investigação espera-se que:
a tradução das descobertas geradas possa contribuir nos
programas de formação inicial e continuada de professores que
ensinam matemática, bem como para a área de estudos sobre
avaliação em matemática;
seus resultados e as informações inventariadas possam se
converter em subsídios para instrumentalizar a prática
pedagógica do professor que ensina matemática;
possa servir de mote para outros estudos, para a elaboração de
material que subsidie a prática pedagógica do professor na busca
de superar os obstáculos didáticos por eles encontrados.
Têm-se, ainda, como meta e indício de sua relevância que o presente estudo
incorpore e gere produções acadêmicas, especificamente: dissertações de
mestrado; trabalhos de iniciação científica; publicações de artigos e
apresentações em eventos das áreas de Educação Matemática e de Educação
em geral, por exemplo, em eventos como o ENEM, SIPEM, ANPED; ENDIPE e
outros similares, nacionais e internacionais.
Até o momento
a)estão concluídas as seguintes dissertações:
PEREGO, Sibéle Cristina. Questões Abertas de Matemática: um estudo de
registros escritos. [produção de alunos da Licenciatura em Matemática] 2005.
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Depto.
de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina – Paraná.
Orientadora: Regina Luzia Corio de Buriasco.
NAGY-SILVA, Marcia Cristina. Do observável para o oculto: um estudo da
produção escrita de alunos da 4ª. série em questões de matemática. 2005.
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Depto.
de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina – Paraná.
Orientadora: Regina Luzia Corio de Buriasco.
99
SEGURA, Raquel de Oliveira. Estudo da Produção Escrita de Professores
em Questões Discursivas de Matemática. 2005. Programa de Mestrado em
Educação, Depto. de Educação, Universidade Estadual de Londrina, Londrina
– Paraná. Orientadora: Regina Luzia Corio de Buriasco.
PEREGO, Franciele. O que a Produção Escrita Pode Revelar? Uma análise de
questões de matemática. 2006. Programa de Mestrado em Ensino de Ciências
e Educação Matemática, Depto. de Matemática, Universidade Estadual de
Londrina, Londrina – Paraná. Orientadora: Regina Luzia Corio de Buriasco.
NEGRÃO DE LIMA, Roseli Cristina. Avaliação em Matemática: análise da
produção escrita de alunos da 4ª. série do Ensino Fundamental em questões
discursivas. 2006. Programa de Mestrado em Educação, Depto. de Educação,
Universidade Estadual de Londrina, Londrina – Paraná. Orientadora: Regina
Luzia Corio de Buriasco.
ALVES, Rose Mary Fernandes. Estudo da produção escrita de alunos do
Ensino Médio em questões de matemática. 2006. Programa de Mestrado em
Ensino de Ciências e Educação Matemática, Depto. de Matemática,
Universidade Estadual de Londrina, Londrina – Paraná. Orientadora: Regina
Luzia Corio de Buriasco.
b) está em fase de defesa a seguinte dissertação:
João Ricardo Viola dos Santos - este mestrando está investigando a
produção escrita de alunos encontrada na questão comum de uma amostra
retirada do universo das Provas de Questões Abertas de Matemática da 4ª. e
8ª. séries do Ensino Fundamental e 3ª. série do Ensino Médio, das escolas
públicas paranaenses que participaram da AVA-2002, para compreender o
sentido/significado que os alunos atribuem às informações contidas nos
enunciados das questões e a utilização que fazem delas; inventariar e
analisar os acertos e erros mais freqüentes e sua natureza; identificar as
estratégias/procedimentos mais utilizados; verificar se a produção escrita
destes alunos apresenta marcas de conteúdo matemático compatíveis com o
seu nível de escolaridade e, identificar os possíveis fatores intervenientes.
c) está em andamento a investigação:
Magna Natalia Marin Pires - esta colaboradora está iniciando uma
investigação sobre a produção escrita de alunos encontrada na questão
comum de uma amostra retirada do universo das Provas de Questões Abertas
de Matemática da 4ª. e 8ª. séries do Ensino Fundamental, das escolas
públicas paranaenses que participaram da AVA-2002, para compreender o
sentido/significado que os alunos atribuem às informações contidas nos
enunciados das questões e a utilização que fazem delas; inventariar e
analisar os acertos e erros mais freqüentes e sua natureza; identificar as
estratégias/procedimentos mais utilizados; verificar se a produção escrita
destes alunos apresenta marcas de conteúdo matemático compatíveis com o
seu nível de escolaridade e, identificar os possíveis fatores intervenientes.
b) estão em andamento os seguintes trabalhos de Iniciação Científica:
100
Pamela Emanueli Alves Ferreira - com uma abordagem qualitativa de
cunho interpretativo, esta estudante da Licenciatura em Matemática está
investigando a produção escrita de alunos contida na questão específica da
Prova de Questões Abertas de Matemática da 8ª. série do Ensino
Fundamental de uma amostra retirada pela SEED/PR do universo das provas
realizadas pelos alunos das escolas públicas paranaenses que participaram da
AVA-2002. Com este estudo pretende inventariar e analisar os acertos e
erros mais freqüentes e sua natureza; identificar as
estratégias/procedimentos mais utilizados.
Sérgio Luis Lima Filho - com uma abordagem qualitativa de cunho
interpretativo, este estudante da Licenciatura em Matemática está
investigando a produção escrita de alunos contida na questão específica da
Prova de Questões Abertas de Matemática da 3ª. série do Ensino Médio de
uma amostra retirada pela SEED/PR do universo das provas realizadas pelos
alunos das escolas públicas paranaenses que participaram da AVA-2002. Com
este estudo pretende inventariar e analisar os acertos e erros mais
freqüentes e sua natureza; identificar as estratégias/procedimentos mais
utilizados.
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