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FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS
ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO
DANIEL KENDI OYA
ESTUDO SOBRE O RISCO DE UMA CARTEIRA DE OPÇÕES ATRAVÉS DA
ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS
SÃO PAULO
2006
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DANIEL KENDI OYA
ESTUDO SOBRE O RISCO DE UMA CARTEIRA DE OPÇÕES ATRAVÉS DA
ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS
Dissertação apresentada à Escola de
Economia da Fundação Getúlio
Vargas (FGV/EESP) como requisito
para obtenção do título de Mestre em
Finanças e Economia Empresarial.
Orientador: Prof. Dr. Afonso de
Campos Pinto
SÃO PAULO
2006
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DANIEL KENDI OYA
ESTUDO SOBRE O RISCO DE UMA CARTEIRA DE OPÇÕES ATRAVÉS DA
ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS
Dissertação apresentada à Escola de
Economia da Fundação Getúlio
Vargas (FGV/EESP) como requisito
para obtenção do título de Mestre em
Finanças e Economia Empresarial.
Data de aprovação:
___/___/_____
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto
(Orientador)
FGV-EAESP
Prof. Dr. Ricardo Ratner Rochman
FGV-EAESP
Prof. Dr. Marcos Eugênio da Silva
FEA-USP
Oya, Daniel Kendi.
Estudo sobre o risco de uma carteira de opções através da análise de
componentes principais / Daniel Kendi Oya. - 2006.
114 f.
Orientador: Afonso de Campos Pinto.
Dissertação (mestrado) - Escola de Economia de São Paulo.
1. Mercado de opções. 2. Administração de risco. 3. Análise de
componentes principais. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação
(mestrado) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título.
CDU 336.764.2
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto, pelo apoio, pela
orientação e pela confiança depositada neste trabalho, sem os quais não seria
possível concluí-lo com sucesso.
Agradeço aos meus pais, pelo constante apoio e incentivo.
Agradeço à Luciana, pelos conselhos, sua ajuda ao longo do trabalho e
compreensão por todos os momentos em que não pudemos estar juntos e por tornar
este período muito menos árduo com seu companheirismo e carinho.
Por fim, agradeço a todos os meus amigos e familiares que, com suas palavras de
incentivo, contribuíram para o resultado deste trabalho.
RESUMO
A presente dissertação tem como objeto de estudo a superfície de volatilidade
implícita de opções européias da paridade Real / Dólar no mercado brasileiro. Este
trabalho não tenta explicar as deformações ou os desvios da volatilidade implícita
com relação à hipótese de volatilidade constante do modelo de Black & Scholes
(1973), mas trata a volatilidade implícita como uma variável financeira interessante
por si só, procurando analisar a dinâmica de sua superfície.
Para a análise desta superfície, o presente estudo propõe a utilização de uma
ferramenta empregada em estudos empíricos de diversos ramos da ciência: a
Análise de Componentes Principais – ACP (Principal Component Analysis).
As mudanças na superfície de volatilidade alteram o apreçamento das opções de
uma carteira. Desta forma, constituem um fator de risco que precisa ser estudado e
entendido para o desenvolvimento de estratégias de imunização e de técnicas de
gerenciamento de risco, dentre elas o cálculo de Valor em Risco (V@R – Value at
Risk).
De posse dos resultados obtidos com a análise de componentes principais da
superfície de volatilidade implícita, o presente estudo tem por objetivo obter valores
limite de variação desta volatilidade implícita, como forma de estimar as
conseqüentes variações extremas nos valores de uma carteira de opções. Para
tanto, baseia-se em estudos sobre a aplicação da análise de componentes principais
da superfície de volatilidade implícita desenvolvidos por Alexander (2001). Estes
estudos, por sua vez, são derivados de estudo sobre a dinâmica de curvas de
volatilidade proposto por Derman (1999).
Para se verificar a eficiência da metodologia proposta, os valores extremos obtidos
são testados de acordo com os critérios de teste retroativo propostos pela emenda
ao comitê da Basiléia de 1996.
ABSTRACT
This dissertation is focused on the study of the implied volatility surface of european
options on Real / US$ parity traded in the Brazilian market. This work doesn’t try to
explain the deformations or deviations of the implied volatility from to the hypothesis
of constant volatility of Black & Scholes (1973) model. This work treats the implied
volatility observed in the market as an interesting variable by its own, trying to
analyze the dynamic of that surface.
To analyze this surface, the present study proposes the use of a technique widely
used to analyze empirical data: Principal Component Analysis.
The changes on the implied volatility surfaces alter the pricing of the options in a
portfolio. Therefore changes in implied volatility are a risk factor that should be
studied and analyzed for the development of immunization techniques and for risk
management purposes, such as Value at Risk (V@R).
Using the output from the use of Principal Component Analysis on the implied
volatility surface, the present study proposes a limit range of variation of the implied
volatility as a way to estimate the limit range of variation of the price of an option
portfolio. The technique used in this work to apply Principal Component Analysis on
the implied volatility surface was developed by Alexander (2001). Her study was
based on a study made by Derman (1999) where he proposed some models to
explain the dynamic of the volatility surface.
To verify the effectiveness of the methodology proposed in this dissertation, the result
was tested using criteria’s proposed on Basel committee of 1996.
.
1 Introdução................................................................................................................................ 1
2 Revisão bibliográfica................................................................................................................ 5
2.1 Modelo de Black & Scholes.................................................................................................. 5
2.2 As letras gregas – Delta, Gama, Vega, Teta e Rô.................................................................. 8
2.2.1 Delta............................................................................................................................ 9
2.2.2 Teta............................................................................................................................10
2.2.3 Gama..........................................................................................................................11
2.2.4 Vega...........................................................................................................................11
2.2.5 Rô...............................................................................................................................12
2.2.6 Opções dentro do dinheiro, fora do dinheiro e no dinheiro..............................................12
2.3 Estrutura Temporal de Volatilidade Implícita (Sorriso)...........................................................13
2.4 O Estudo da volatilidade dos ativos .....................................................................................18
2.5 Sticky-Delta, Sticky Strike e Sticky Tree...............................................................................21
2.5.1 Sticky Strike................................................................................................................22
2.5.2 Sticky Delta.................................................................................................................24
2.5.3 Sticky Tree ..................................................................................................................26
2.6 Análise de componentes principais......................................................................................29
2.6.1 Fundamentação matemática.........................................................................................30
2.7 Aplicação da análise de componentes principais à Estrutura a Termo de Volatilidade Implícita35
2.8 Modelos de cálculo de V@R ...............................................................................................43
2.8.1 Proposta para Basiléia II ..............................................................................................43
2.8.2 Cálculo de V@R para carteiras de opções ....................................................................44
2.8.3 Aproximação Delta-Gama-Vega-Teta............................................................................44
2.8.4 Utilização de ACP para cálculo de V@R .......................................................................46
3 Metodologia.............................................................................................................................47
3.1 Dados utilizados – amostra .................................................................................................47
3.2 Carteira para teste retroativo de resultados (backtesting) ......................................................51
3.3 ACP das diferenças da volatilidade em relação ao ATM ........................................................52
3.4 Teste retroativo (Backtesting) dos resultados .......................................................................53
4 apresentação dos resultados..................................................................................................60
4.1 Aplicação de ACP para a estrutura a termo de volatilidade implícita.......................................60
4.2 Variância explicada dos três componentes principais nas diversas carteiras...........................65
4.3 V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta somada a risco de
variação de volatilidade calculada por ACP................................................................................67
4.4 V@R calculado através da expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta ..................72
4.5 V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama, teta e vega ..................74
4.6 V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta somado ao risco de
variação de volatilidade sugerido pela Basiléia II........................................................................75
4.7 Influência da variação da volatilidade implícita nos parâmetros delta, gama e teta utilizados na
expansão de Taylor..................................................................................................................80
5 Conclusão ...............................................................................................................................82
6 Bibliografia..............................................................................................................................84
7 Apêndice 1 – Resultados obtidos em todas as carteiras, em todos os métodos.....................90
8 Apêndice 2 – Efeitos da mudança da volatilidade nos parâmetros delta, gama e teta para a
carteira de 3 meses..................................................................................................................103
1
1 INTRODUÇÃO
Em 1973, Fischer Black e Myron Scholes apresentaram um artigo propondo um
modelo para o cálculo de preços teóricos de opções européias de ações sem
dividendos. Este modelo é baseado em hipóteses rígidas e muitas vezes não
observáveis no mercado. Deste então, muitos estudos têm sido feitos para relaxar
estas hipóteses iniciais do modelo. No entanto, apesar de suas hipóteses, a fórmula
de Black & Scholes (1973) e os desenvolvimentos posteriores elaborados por outros
autores, são ainda amplamente empregada para o apreçamento de diversos tipos de
opções sobre diversos ativos.
A evolução do mercado de opções no mundo das finanças, acompanhada pela
diversificação e sofisticação de instrumentos tais como opções exóticas, gera a
necessidade de estudos sobre estes instrumentos financeiros, de forma a tornar seu
entendimento mais claro e simples. Instituições financeiras, em especial, têm grande
necessidade de acompanhar estes estudos de forma a incorporar estes instrumentos
em sua carteira de produtos oferecidos. Estes novos produtos, por sua vez, geram
demandas de estratégias de imunização e também do cálculo dos riscos envolvidos
na negociação dos mesmos.
Dentre as hipóteses assumidas por Black & Scholes (1973), uma se destaca para o
estudo proposto por este trabalho: a hipótese de que a volatilidade do ativo é
constante ao longo do tempo independentemente do preço de exercício ou do prazo
para o vencimento da opção. Esta hipótese, inclusive, era, até a grande queda da
bolsa de 1987, muito bem aceita pelo mercado financeiro. Como descrito por
Derman e Kani (1994), antes de 1987, a volatilidade implícita (volatilidade pela qual
o prêmio teórico obtido através do modelo de Black & Scholes se iguala ao prêmio
observado no mercado) apresentava pouca inclinação, isto é, as volatilidades
implícitas das opções de um determinado vencimento eram independentes do preço
de exercício.
2
O conceito de volatilidade implícita está muito ligado ao conceito de volatilidade
histórica. A volatilidade histórica é a volatilidade que efetivamente realizada pelo
ativo. Já a volatilidade implícita, segundo Alexander (2001), pode ser interpretada
como a expectativa do mercado para a volatilidade futura do ativo.
Antes da grande queda da bolsa de 1987, a volatilidade implícita das opções de
diferentes preços de exercício apresentava pouca variação, isto é, para um mesmo
vencimento, opções com preços de exercício abaixo do preço do ativo eram
apreçadas utilizando-se volatilidades implícitas muito semelhantes das opções com
preço de exercício acima do preço do ativo. A esta relação entre a volatilidade
implícita e o preço de exercício, o mercado atribui o nome de assimetria.
Após esta queda abrupta, os mercados começaram a apresentar uma assimetria
negativa, como constatado por Das e Sundaram(1999), Rubinstein (1994) e
Jackwerth e Rubinstein (1996), onde opções com preços de exercício abaixo do
preço do ativo eram apreçadas com uma volatilidade superior em muitos pontos à
volatilidade das opções com preço de exercício acima do preço do ativo. Este
fenômeno é conhecido como Sorriso de Volatilidade Implícita ou Sorriso. Tal
denominação deve-se ao formato da curva de volatilidade implícita em função do
preço de exercício que lembra um sorriso.
A relação tridimensional entre volatilidades implícitas, preços de exercício e prazo
para o vencimento é chamada de estrutura a termo de volatilidade ou, ainda,
superfície de volatilidade.
Tendo como objeto de estudo a superfície de volatilidade implícita de opções
européias da paridade Real / Dólar no mercado brasileiro, este trabalho não tenta
explicar as deformações ou os desvios da volatilidade implícita com relação à
hipótese de volatilidade constante do modelo de Black & Scholes (1973), mas trata a
volatilidade implícita como uma variável financeira interessante por si só, procurando
analisar a dinâmica de sua superfície. Existem muitas razões, especialmente de
caráter prático, que justificam esta abordagem, como será demonstrado a seguir.
3
Para a análise desta superfície, o presente estudo propõe a utilização de uma
ferramenta empregada em estudos empíricos de diversos ramos da ciência: a
Análise de Componentes Principais – ACP (Principal Component Analysis).
A análise de componentes principais busca identificar os principais fatores,
chamados componentes principais, que afetam a dinâmica de determinado conjunto
de dados, através da redução da dimensionalidade do mesmo.
Os primeiros autores a utilizar a análise de componentes principais para
entendimento da dinâmica do mercado financeiro foram Litterman e Scheinkman
(1991), que aplicaram a técnica à estrutura temporal de taxas de juros de títulos
norte americanos. Já com relação à aplicação específica da análise de componentes
principais a estruturas de volatilidades implícitas de opções é possível encontrar
diversos trabalhos, com destaque ao de Alexander (2001).
As mudanças na superfície de volatilidade alteram o apreçamento das opções de
uma carteira. Desta forma, constituem um fator de risco que precisa ser estudado e
entendido para o desenvolvimento de estratégias de imunização e de técnicas de
gerenciamento de risco, dentre elas o cálculo de Valor em Risco (V@R – Value at
Risk).
De posse dos resultados obtidos com a análise de componentes principais da
superfície de volatilidade implícita, o presente estudo tem por objetivo obter valores
limite de variação desta volatilidade implícita, como forma de estimar as
conseqüentes variações extremas nos valores de uma carteira de opções. Para
tanto, baseia-se em estudos sobre a aplicação da análise de componentes principais
da superfície de volatilidade implícita desenvolvidos por Alexander (2001). Estes
estudos, por sua vez, são derivados de estudo sobre a dinâmica de curvas de
volatilidade proposto por Derman (1999).
Para se verificar a eficiência da metodologia proposta, os valores extremos obtidos
serão testados de acordo com os critérios de teste retroativo propostos pela emenda
ao comitê da Basiléia de 1996.
4
Os resultados obtidos serão também comparados àqueles obtidos a partir da
aplicação das seguintes metodologias:
• proposta do acordo da Basiléia II, que propõe um critério para o cálculo do
risco de uma carteira de opções através de um deslocamento proporcional da
superfície de volatilidade;
• aproximação delta-gama-vega-teta, representada pela expansão de Taylor de
segunda ordem da mudança do valor da carteira com relação a mudanças de
preço do ativo base.
Serão utilizados como amostra, dados de volatilidade implícita de opções européias
da paridade Real / Dólar, de janeiro de 2001 até março de 2006 negociadas na
Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F).
No próximo capítulo é apresentada a revisão bibliográfica dos modelos aqui
aplicados. São apresentados trabalhos sobre o sorriso de volatilidade e
posteriormente sobre a estrutura a termo da volatilidade implícita. Seguem-se uma
apresentação sobre a teoria de análise de componentes principais, modelos de
dinâmica de curva de volatilidade apresentados por Derman (1999) e finalmente a
aplicação da análise de componentes principais na curva de volatilidade.
No capítulo três, a amostra utilizada e o tratamento dos dados são apresentados,
bem como a metodologia adotada para o cálculo do ACP, do teste retroativo e do
cálculo da eficiência do teste.
No capítulo quatro é realizada a apresentação e a análise dos resultados obtidos
através da aplicação da metodologia descrita no capítulo três.
Finalmente, no capítulo cinco, uma conclusão geral é apresentada, juntamente com
sugestões para futuros desenvolvimentos.
5
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Nesta seção é inicialmente apresentado o modelo de Black & Scholes, com sua
formulação e hipóteses, bem como os artigos que propõem a modificação e o
aperfeiçoamento deste modelo. Posteriormente, são apresentadas as letras gregas –
delta, gama, vega, teta e rô – e sua formulação de acordo com o modelo de Garman
e Kohlhagen (1983). Em seguida, são apresentados os conceitos relacionados à
estrutura temporal de volatilidade implícita, assim como os estudos já realizados na
tentativa de explicação da formação do sorriso de volatilidade. Também são
apresentados estudos sobre volatilidade histórica, estudos sobre expectativa de
volatilidade e estudos sobre a diferença entre dados empíricos e dados observados
pela aplicação do modelo de Garman e Kohlhagen. Além destes, são apresentadas
abordagens que se utilizam de volatilidade estocástica, de modelos de jump diffusion
ou do processo de Lévy generalizado, bem como modelos que adaptam o
apreçamento de opções exóticas e não líquidas ao sorriso de volatilidade.
Finalmente – também relacionados ao estudo da volatilidade – são apresentados os
modelos propostos por Derman (1999) para tentar explicar o comportamento do
mercado – sticky delta, sticky strike e sticky tree.
Finalizando esta seção, é apresentado o modelo de análise de componentes
principais, com suas vantagens e fundamentação matemática, bem como o estudo
sobre a aplicação da análise de componentes principais à estrutura a termo de
volatilidade. Também são apresentados modelos de cálculo de valor em risco
(comumente chamados de modelos de value at risk – V@R) com ênfase ao cálculo
voltado a carteiras de opções. Por fim, apresentam-se estudos sobre a utilização da
análise de componentes principais ao cálculo do V@R de uma carteira de opções.
2.1 Modelo de Black & Scholes
Fischer Black e Myron Scholes apresentaram em um artigo de 1973, publicado pelo
Journal of Political Economy, um modelo que propunha o cálculo do preço teórico de
6
uma opção européia de ações sem dividendos. Este modelo apresenta muitas
hipóteses:
• não há pagamentos de dividendos até o vencimento da opção;
• exercício é do tipo europeu isto é, somente no dia do vencimento da opção;
• mercado é eficiente isto é, as pessoas não podem prever consistentemente a
direção do mercado ou de uma ação específica;
• mercado opera de forma contínua seguindo um processo de Itô;
• não existe custo de transação ou impostos;
• a taxa de juros se mantém constante durante a vida da opção e é conhecida;
• os investidores podem tomar emprestado ou emprestar à mesma taxa de juro
livre de risco;
• os retornos dos ativos obedecem a uma distribuição lognormal;
• a volatilidade é constante ao longo do tempo independentemente do preço de
exercício ou prazo de vencimento da opção.
Desde sua publicação, o modelo hoje conhecido por Black & Scholes tem sido alvo
de muitos estudos que, na sua maioria, têm por objetivo propor e implementar
modificações para relaxar algumas de suas hipóteses. Para ilustrar alguns
exemplos, em 1973 Robert Merton propôs uma modificação para apreçar opções
sobre ativos que pagam uma taxa de dividendos constante. Em 1976, Jonathan
Ingersoll propôs um modelo relaxando a premissa de ausência de impostos e custos
de transação. Em 1976, Merton incorporou a estrutura a termo de taxa de juros ao
modelo, relaxando a hipótese de taxas de juros constantes. Em 1983, Garman &
Kohhagen observaram que a fórmula desenvolvida por Merton (1973) poderia ser
utilizada para apreçar opções européias de taxas de câmbio, sendo que esta fórmula
é utilizada até hoje como padrão para conversão de volatilidades negociadas no
mercado de balcão de opções de moedas para preços. Esta fórmula (a ser
demonstrada posteriormente) será utilizada ao longo deste trabalho.
As fórmulas de Black & Scholes para os preços de opções de compra – call (c) – e
venda – put (p) – européias de ações sem dividendos são:
)(..)(.
21
dNeXdNSc
rT−
−= (1)
7
)(.)(..
12
dNSdNeXp
rT
−−−=
−
(2)
onde:
T
Tr
K
S
d
.
).
2
()ln(
2
1
σ
σ
++
= (3)
Td
T
Tr
K
S
d .
.
).
2
()ln(
1
2
2
σ
σ
σ
−=
−+
= (4)
onde:
S: preço da ação;
K: preço de exercício da opção;
s: volatilidade da ação;
r: taxa livre de risco;
T: tempo para o vencimento;
A função N(x) é a função de probabilidade cumulativa de uma variável normal
padronizada. Segundo Hull (1991), tal função pode ser aproximada pela função
polinomial:
)(')....(1)(
3
3
2
21
xNkakakaxN ++−= ,quando x >= 0 (5)
)
(
1
)
(
x
N
x
N
−
−
=
, quando x < 0 (6)
onde:
x
k
.1
1
α+
=
a = 0,33267
a
1
= 0,4361836
a
2
= -0,1201676
a
3
= 0,9373980
2
2
.
2
1
)('
x
exN
−
Π
= (7)
8
O modelo que é utilizado neste trabalho foi proposto por Garman e Kohlhagen
(1983), segundo o qual os preços de opções de compra – call (c) – e venda – put (p)
– européias podem ser calculados como:
)(..)(..
21
.
dNeXdNeSc
rT
Tr
f
−
−
−= (8)
)(.)(..
1
.
2
dNeSdNeXp
Tr
rT
f
−−−=
−
−
(9)
T
Trr
K
S
d
f
.
).
2
()ln(
2
1
σ
σ
+−+
= (10)
Td
T
Trr
K
S
d
f
.
.
).
2
()ln(
1
2
2
σ
σ
σ
−=
−−+
= (11)
onde:
r: taxa de juros livre de risco doméstica;
r
f
: taxa de juros livre de risco estrangeira.
2.2 As letras gregas – Delta, Gama, Vega, Teta e Rô
A fim de aprofundar o estudo sobre o sorriso de volatilidade, faz-se necessário o
conhecimento de algumas derivadas parciais da equação de Black & Scholes que
representam a sensibilidade do preço da opção a pequenas variações dos seus
parâmetros. Estas derivadas são chamadas de gregas, sendo que as mais
importantes são o delta, o gama, o vega, o teta e o rô.
Considerando-se:
S: preço da ação;
K: preço de exercício da opção;
s: volatilidade da ação;
r
f
: taxa livre de risco;
T: tempo para o vencimento;
E, N(x), uma função de probabilidade cumulativa de uma variável normal
padronizada que, segundo Hull (1991), pode ser aproximada pela função polinomial
apresentada nas fórmulas (5), (6) e (7).
9
Assim, as letras gregas podem ser calculadas das maneiras apresentadas nas
subseções seguintes.
2.2.1 Delta
O delta de uma opção é definido como a taxa de variação do preço (P) de uma
opção em relação ao preço do ativo objeto (S),
∂
∂
S
P
. Pode ser descrito para uma
opção de compra de uma ação sem dividendos como:
)(
1
dN
C
=∆ (12)
onde:
d
1
: definido na equação (3);
?
C
: delta da opção de compra
Já para uma opção de venda, o delta pode ser definido por:
1)(
1
−=∆ dN
V
(13)
onde:
d
1
: definido na equação (3);
?
V
: delta da opção de venda.
No caso da fórmula de Garman e Kohlhagen (1983) a opção de compra e de venda
tem deltas respectivamente iguais a:
)(.
1
.
dNe
Tr
C
f
−
=∆ (14)
onde:
?
C
: delta da opção de compra;
10
)1)(.(
1
.
−=∆
−
dNe
Tr
V
f
(15)
onde:
d
1
: definido na equação (10)
?
V
: delta da opção de venda.
2.2.2 Teta
O teta de uma opção representa a taxa de variação de seu valor (P) ao longo do
tempo (t),
∂
∂
t
P
. Ela pode ser expressa para a fórmula de Garman e Kohlhagen
(1983) para opções de compra e venda européia, respectivamente, por:
)(...).(..
.2
.).('.
2
.
.
1
.
1
dNeXredNSr
T
edNS
Tr
Tr
f
Tr
C
f
f
−
−
−
−+−=
σ
θ (16)
Onde:
d
1
e d
2
: são definidos na equação (10)
?
C
: teta da opção de compra;
)(...).(..
.2
.).('.
2
.
.
1
.
1
dNeXredNSr
T
edNS
Tr
Tr
f
Tr
V
f
f
−
−
−
+−−=
σ
θ (17)
Onde:
d
1
e d
2
: são definidos na equação (10)
?
V
: teta da opção de venda.
11
2.2.3 Gama
O gama de uma opção representa a taxa de variação de seu delta com relação ao
preço do ativo objeto (S),
∂
∂
2
2
S
P
. O gama é o mesmo para opções de compra e
venda. Para a fórmula de Garman e Kohlhagen (1983) tem-se:
TS
edN
Tr
f
..
).('
.
1
σ
=Γ (18)
Onde:
d
1
: é definido na equação (10)
G: é o gama da opção de compra e de venda.
2.2.4 Vega
O vega de uma opção representa a taxa de variação do valor da opção (P) com
relação a mudanças na volatilidade do ativo objeto
(
)
σ ,
∂
∂
σ
P
. O vega é o mesmo
para opções de compra e venda, e segundo Garman e Kohlhagen (1983), é
calculado de acordo com a seguinte fórmula:
Tr
f
edNTS
.
1
).('..
−
=Λ (19)
Onde:
d
1
: é definido na equação (10)
?: é o vega da opção de compra e de venda.
12
2.2.5 Rô
O rô representa a taxa de variação do valor da opção (P) com relação à taxa de
juros (r
f
),
∂
∂
f
r
P
, e pode ser descrito de acordo com Garman e Kohlhagen (1983),
para opções de compra e venda, respectivamente:
)(...
1
.
dNSeTrô
Tr
C
f
−= (20)
Onde:
d
1
: é definido na equação (10)
rô
C
: é o rô da opção de compra;
)(...
1
.
dNSeTrô
Tr
V
f
−−= (21)
Onde:
d
1
: é definido na equação (10)
rô
V
: é o rô da opção de venda.
2.2.6 Opções dentro do dinheiro, fora do dinheiro e no dinheiro
Segundo Hull (1991), as opções podem ser classificadas conforme a relação entre o
seu preço de exercício e o preço atual do ativo. Uma opção “dentro do dinheiro” –
geralmente chamada pela sua sigla em inglês ITM (in the money) – é aquela que, no
caso de exercício imediato, proporciona a seu titular ou detentor um fluxo de caixa
positivo. Para tanto, o preço do ativo deve ser maior que o preço de exercício, no
caso de uma opção de compra. Já com relação à opção de venda, o preço do ativo
deve ser inferior ao preço de exercício. As opções chamadas “no dinheiro” ou ATM
(at the money) são aquelas que, no caso de exercício imediato, produzem fluxo de
caixa zero, ou seja, quando o preço de exercício da opção se iguala ao preço do
ativo para opções de compra ou de venda. No caso onde o preço de exercício da
13
opção for maior que o preço do ativo para opções de compra e, analogamente, o
preço de exercício for menor que o preço do ativo para opções de venda, as opções
são ditas “fora do dinheiro” ou OTM (out of the money).
2.3 Estrutura Temporal de Volatilidade Implícita (Sorriso)
No modelo de Garman e Kohlhagen (1983), o preço de uma opção de câmbio é
função do preço do ativo, do preço de exercício, do tempo para vencimento, das
taxas de juros interna e externa, e da volatilidade dos retornos dos ativos. No
mercado de câmbio da BM&F, as opções são negociadas pelo valor do seu prêmio,
tornando a volatilidade o único parâmetro não observável diretamente no mercado.
A volatilidade pela qual o prêmio teórico obtido através do modelo de Black &
Scholes se iguala ao prêmio observado no mercado chama-se volatilidade implícita.
Segundo Alexander (2001), a volatilidade implícita é uma previsão da volatilidade do
processo. No caso da volatilidade do processo ser estocástica, então a volatilidade
implícita pode ser entendida como a volatilidade média do preço do ativo que está
implícita no prêmio de mercado da opção. No entanto, observa-se empiricamente
que o mercado apreça, para um mesmo ativo, opções com volatilidades implícitas
diferentes dependendo de suas características como preço de exercício ou prazo
para o vencimento, independentemente da hipótese feita sobre a volatilidade do
processo.
Segundo Derman e Kani (1994), após a queda abrupta de 1987, passou-se a
observar no mercado, uma inclinação negativa das volatilidades implícitas com
relação ao preço de exercício. Ou seja, as volatilidades implícitas das opções de
venda fora do dinheiro do S&P 500 eram superiores em muitos pontos percentuais
às volatilidades implícitas das opções de compra ou venda no dinheiro e às
volatilidades implícitas das opções de compra fora do dinheiro, considerando opções
sobre o mesmo ativo e com mesmo vencimento. A esta relação entre a volatilidade
implícita e o preço de exercício, o mercado atribui o nome de assimetria. No gráfico
14
1, observam-se duas curvas de volatilidade em relação ao preço de exercício. A
curva azul representa uma relação entre a volatilidade e o preço de exercício na qual
é possível observar pouca inclinação. Já na curva rosa é possível observar uma
grande inclinação negativa na relação entre a volatilidade e o preço de exercício
(assimetria).
Comparação das curvas de volatilidade com e sem
skew
13,95%
12,00%
11,50%
13,00%
14,10%
14,70%
15,50%
17,00%
14,00%
14,05%
14,10%
14,15%
14,20%
14,25%
9,00%
10,00%
11,00%
12,00%
13,00%
14,00%
15,00%
16,00%
17,00%
18,00%
70 80 90 100 110 120 130
Preços de exercício
Volatilidade
Curva com skew
Curva sem skew
Gráfico 1: Gráfico ilustrativo da curva de volatilidade com e sem assimetria
Esta variabilidade de volatilidades implícitas para opções sobre o mesmo ativo, com
mesmo vencimento mas com diferentes preços de exercício, é também observada
para opções sobre o mesmo ativo, com mesmo preço de exercício mas com
vencimentos diferentes. Dado o formato do gráfico que representa a relação entre as
volatilidades implícitas e os preços de exercício para um mesmo vencimento, esta
curva passou a ser conhecida pelos participantes de mercado financeiro e
posteriormente pelo meio acadêmico como Sorriso de Volatilidade (Smile).
Já o gráfico que representa a relação tridimensional entre volatilidades implícitas,
preços de exercício e prazo para o vencimento é chamado de estrutura a termo de
volatilidade ou, ainda, superfície de volatilidade. Segundo Alexander (2001), a
superfície de volatilidade pode ser entendida como a expectativa do mercado para a
volatilidade futura do ativo. Desta forma, esta superfície se altera de acordo com o
15
comportamento passado do ativo ou com a mudança de expectativa de volatilidade
futura do ativo. Um exemplo de superfície de volatilidade é apresentada no gráfico 2.
Esta característica da superfície de volatilidade foi descrita por Das e Sundaram
(1999), Rubinstein (1994) e Jackwerth e Rubinstein (1996).
1 mês
2 meses
3 meses
6 meses
9 meses
12 meses
10% Delta Put
25% Delta Put
ATM
25% Delta Call
10% Delta Call
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
16,00%
18,00%
Volatilidade
Tempo para vencimento
Delta
Superfície de Volatilidade de 01 de fevereiro de 2001
16,00%-18,00%
14,00%-16,00%
12,00%-14,00%
10,00%-12,00%
8,00%-10,00%
6,00%-8,00%
4,00%-6,00%
Gráfico 2: Superfície de volatilidade apresentando assimetria e diferentes níveis de volatilidade
dependente do prazo de vencimento
Segundo Alexander (2005), grande parte das opções hoje negociadas no mercado
de ações e câmbio utiliza a fórmula de Garman e Kohlhagen (1983). Mas, como visto
anteriormente, as hipóteses sob as quais essa fórmula está baseada não são
justificadas empiricamente. Duas delas ajudam a explicar a existência de assimetria
para apreçar opções de diferentes preços de exercício:
i. a distribuição dos retornos pode exibir “caudas pesadas”;
ii. sua volatilidade não é constante.
16
Portanto, não é apropriado modelar-se o preço do ativo subjacente como um
movimento browniano geométrico pois este modelo assume ditribuição normal e
volatilidade constante.
Desta forma, por não se tratar de um movimento geométrico browniano, grandes
mudanças de preços podem ser observadas empiricamente com uma freqüência
maior do que aquela assumida no modelo de Garman e Kohlhagen. Assim, se a
distribuição dos retornos é normal, mas a volatilidade é estocástica, ou se a
volatilidade é constante, mas os retornos exibem caudas pesadas – ou se, de fato,
as duas coisas ocorrem –, grandes oscilações de preço são mais prováveis de
ocorrer que o previsto pela distribuição normal e, conseqüentemente, uma opção
OTM (para o caso de opções de bolsa de valores) tem maior chance de se tornar
ITM do que aquela assumida no modelo Garman e Kohlhagen.
Como conseqüência, o prêmio que se obtém utilizando Garman e Kohlhagen para
uma opção de venda OTM, utilizando-se a volatilidade implícita da Put ATM, é
menor que o observado no mercado. Como foi dito anteriormente, o único parâmetro
que pode ser alterado, e que não é observado diretamente no mercado, é a
volatilidade. Assim, a volatilidade implícita das Put´s OTM é maior que a volatilidade
implícita das Put´s ATM. Desta forma vê-se que o mercado contesta a premissa de
volatilidade do ativo constante ao longo do tempo e ao longo dos preços de
exercícios.
Muitos estudos foram feitos para tentar explicar a formação de sorrisos de
volatilidade: Fama (1965) e Corrado e Su (1997) verificaram que os retornos não são
normalmente distribuídos; Jarrow e Rudd (1982) sugerem a excessiva assimetria e
curtose nas distribuições históricas dos retornos; Longstaff (1995), Dumas (1996) e
Peña (1999) apresentam os custos de transação e liquidez; Merton (1976) destaca
os saltos nos preços dos ativos; Hull & White (1987), Johnson e Shanmo (1987),
Scott (1987) e Wiggins (1987) ressaltam o comportamento estocástico da
volatilidade.
17
Podem-se observar no mercado diferentes tipos de sorrisos de volatilidade. Podem-
se observar aqueles simétricos, em que as opções de compra e opções de venda
OTM têm volatilidades implícitas maiores que as opções ATM. Estes sorrisos de
volatilidade são geralmente observados nos mercados de câmbio de países
desenvolvidos. Sorrisos de volatilidade com assimetria negativa, em que opções de
venda OTM têm volatilidade implícita maior que as ATM, que por sua vez têm
volatilidades maiores que as opções de compra OTM. Este é o caso de opções de
bolsa de valores. Esta assimetria pode ser positiva em alguns mercados como o de
opções sobre a paridade Real / Dólar.
A assimetria pode ser explicada por diversas razões. No mercado de ações, por
exemplo, uma queda de preços é uma má notícia para os acionistas. Assim, a
assimetria negativa pode ser explicada pela demanda existente de proteção por
parte destes investidores para put´s OTM. Desta forma, o mercado utiliza volatilidade
elevada para apreçar estas opções. E freqüentemente, como ressalta Alexander
(2001), o mercado de ações torna-se muito mais turbulento (mais volátil) após uma
grande queda de preço do que após uma elevação de preços de mesma magnitude.
Assim, o prêmio de uma opção de compra ITM reflete o fato de que, se ocorrer uma
grande queda de preço, a volatilidade do preço do ativo subjacente permanecerá
elevada por algum tempo. Então, os prêmios de todas as opções aumentam em
virtude do aumento da expectativa de volatilidade futura.
A assimetria positiva observada no mercado de opções sobre a paridade Real /
Dólar negociadas na BM&F também pode ser explicada, como no caso da bolsa,
pelo fato de uma alta do dólar representar má notícia para aqueles que possuem
dívidas em dólar, ou para investidores estrangeiros que possuem investimentos no
país. E, semelhante ao mercado de ações, uma alta do dólar em grande magnitude
torna o mercado mais turbulento.
Este fenômeno de sorriso de volatilidade implícita está presente em diversos tipos de
mercados: moedas, ações, commodities, juros, energia, etc. No mercado de
commodities, por exemplo, as quedas de preços são boas notícias, enquanto que os
aumentos de preços são más notícias. Assim, por analogia, o comportamento da
18
assimetria do sorriso de volatilidade é inverso ao observado no mercado de ações. O
mercado de juros, por sua vez, se aproxima mais do mercado de opções de moedas.
2.4 O Estudo da volatilidade dos ativos
Segundo Desterro (2003), o estudo da volatilidade dos ativos financeiros tem se
tornado o ponto mais importante da teoria financeira moderna. O entendimento da
volatilidade e da expectativa do mercado sobre ela é imprescindível tanto para
controle de risco, quanto para a imunização de carteiras ou para o apreçamento de
opções. Um investidor racional utiliza proposições de Markowitz (1959), Sharpe
(1964) e Lintner (1965) para balancear seu perfil de aversão ao risco (e portanto de
variância que aceita em sua carteira de investimentos) com o retorno esperado.
Muitos estudos foram realizados sobre a volatilidade histórica, ou seja, a volatilidade
efetivamente realizada, calculada a partir do histórico dos retornos do preço do ativo
objeto (Roll, 1977). Mas os dados históricos explicam de forma limitada a volatilidade
futura, e existe no mercado uma expectativa de volatilidade futura que é aquela
implícita nos preços das opções negociadas. Esta expectativa de volatilidade foi alvo
de estudos de Dumas, Fleming, e Whaley (1998). Os autores utilizaram um modelo
de GARCH e através de um teste fora da amostra, empírico, obtiveram bons
resultados.
Mas muita literatura tem sido desenvolvida para tentar explicar as diferenças entre
os dados empíricos que se observa no mercado e aqueles previstos pelo modelo de
Black & Scholes. Jarrow e Rudd (1982) buscaram modelar o sorriso de volatilidade
através da distribuição histórica dos retornos. Dupire (1984) empregou equações
diferenciais estocásticas para tentar ajustar o sorriso observado no mercado.
As abordagens mais proeminentes acrescentam um novo grau de liberdade na
modelagem de opções. Hull e White (1987), Johnson e Sanno (1987), Scott (1987),
Wiggins (1987), Hafner (2000), Stein e Stein (1991), Heston (1993) e Bates (1996)
19
assumem que a volatilidade é uma variável estocástica. Outros autores propõem a
modelagem através de modelos de saltos descontínuos (jump diffusion), como
Merton (1976) e Prigent, Renault e Scaillet (2001). Outra abordagem consiste em
utilizar modelos baseados no processo de Lévy generalizado (como o hiperbólico
desenvolvido por Bibby and Sørensen em 1997).
No entanto, conforme apresentado por Das e Sundaran (1999) e Bakshi (1997),
nenhum desses modelos de volatilidade estocástica ou saltos foi capaz de
apresentar explicação completa para as anomalias.
Tendo como objeto de estudo a superfície de volatilidade implícita de opções
européias da paridade Real / Dólar, este trabalho não tenta explicar as deformações
ou os desvios da volatilidade implícita com relação à hipótese de volatilidade
constante do modelo de Garman e Kohlhagen (1973), mas trata a volatilidade
implícita como uma variável financeira interessante por si só, procurando analisar a
dinâmica de sua superfície. Existem muitas razões que justificam esta abordagem.
As volatilidades de Garman e Kohlhagen são amplamente utilizadas como parâmetro
único para mapeamento entre preço, preço de exercício, taxa de juros e
vencimentos. A análise deste parâmetro permite que tomadores de decisão de
investimento e gestores de risco reduzam o número de informações necessárias
para a tomada de decisão de investimento e análise de risco. Além disso, com o
aumento da liquidez dos mercados de opção tanto em bolsa como em balcão, a
volatilidade tem ganhado importância como alternativa de ativo financeiro fazendo
com que muitas instituições desejem construir carteiras com exposições em gama e
vega.
O exemplo deste interesse do mercado pela volatilidade implícita é a criação de
índices de volatilidade implícita como o VIX (calculado pela CME
1
, reflete a
volatilidade implícita dos ativos do S&P 500), VIMEX (calculado no Mercado
Mexicano de Derivados refletindo a volatilidade implícita das ações da Bolsa do
México), VXN (Calculado pelo CME, reflete a volatilidade implícita dos papéis do
Nasdaq 100).
1
CME – Chicago Mercantile Exchange
20
Do ponto de vista teórico, muitos modelos de mercado de volatilidade têm sido
criados adaptando-se o apreçamento das opções, principalmente as exóticas e não
líquidas, ao sorriso de volatilidade. Modelos inicialmente desenvolvidos para
mercado de taxas de juros por Milterse et al (1997) e Jamshidian (1997), foram
aprimorados por Ledoit e Santa-Clara (1998) e Schönbucher (1999), entre outros.
Estes modelos assumem que existem opções líquidas em número suficiente para
que seus parâmetros sejam utilizados como dados de entradas em modelos de
apreçamento de opções consistentes com o sorriso de volatilidade.
Um importante ponto a favor da modelagem da volatilidade implícita de Garman e
Kohlhagen é de ordem pragmática: modelos complexos ganham em acurácia, mas
perdem nas defasagens das atualizações, uma vez que ativos intensamente
negociados requerem constantes atualizações dos preços teóricos. Desta forma
modelos complexos têm a desvantagem da lentidão nas atualizações, como ressalta
Desterro (2003).
A análise da dinâmica da volatilidade implícita deve refletir corretamente as suas
movimentações, ou seja deve identificar e quantificar os choques e as mudanças da
curva de volatilidade com o passar do tempo. Para a análise desta dinâmica, propõe-
se neste trabalho a utilização da técnica de análise de componentes principais
(ACP). Esta técnica é comumente utilizada para a análise da estrutura a termo de
taxas de juros (Litterman e Scheikman, 1991) e já foi aplicada para a análise da
estrutura a termo de volatilidade. Avellaneda e Zhu (1997); Härdle e Schimidt (2000);
Sylla e Villa (2000); são exemplos de aplicação desta técnica para a análise de
opções ATM para diferentes prazos. Já Alexander (2001) aplicou a mesma técnica
com outro enfoque, análise do sorriso para um determinado vencimento.
Existe, no entanto, uma importante diferença entre a utilização de componentes
principais para a análise das taxas de juros e sua utilização para a análise da
volatilidade implícita, como cita Alexander (2001): “a estrutura a termo de juros
possui somente taxas e vencimentos, sendo assim uma estrutura com duas
dimensões. Já a volatilidade implícita tem preço de exercício e também um prazo
para vencimento, constituindo-se em uma estrutura tridimensional”.
21
2.5 Sticky-Delta, Sticky Strike e Sticky Tree
Em 1999 Emanuel Derman apresentou um artigo propondo a explicação da
curvatura existente na superfície de volatilidade do mercado de opções de S&P 500
após a grande queda da bolsa de 1987. Analisando mais de um ano de dados de
opções do S&P 500 ele os separou em sete períodos diferentes onde alguns
padrões de mudanças pareciam se manter constantes. Analisando estes dados ele
propôs três diferentes modelos para tentar explicar o comportamento do mercado:
Sticky Delta, Sticky Strike e Sticky Tree.
Derman (1999) propõe a criação de um modelo descrevendo aquilo que não varia e
excluindo sua influência. Assim ocorre na física e matemática, onde estes termos
são chamados invariantes. No mercado de opções estas invariantes são comumente
chamadas de sticky. Derman afirma que existem ao menos três abordagens sobre
qual variável no sorriso de volatilidade não varia. Segundo o autor existem duas
abordagens baseadas em algum tipo de intuição de mercado ou senso comum e
uma terceira com embasamento formal teórico. No entanto, o autor ressalta que,
apesar de sua base teórica, esta visão não necessariamente é a correta.
Derman verificou a existência de uma correlação negativa entre a volatilidade de
opções ATM e o valor do índice S&P 500. No entanto, uma mudança na volatilidade
implícita de uma opção ao longo do tempo altera diretamente o seu apreçamento,
conseqüentemente alterando o resultado financeiro obtido. Outro ponto a se
destacar é o fato de que no mercado, quando se negocia uma opção de compra ou
venda, o seu preço de exercício é fixo, ou seja, as opções negociadas não
necessariamente são sempre ATM. Desta forma, a análise da dinâmica deve se
concentrar nas opções existentes no mercado, ou seja, com preço de exercício fixo e
não necessariamente ATM.
A dependência da volatilidade em relação ao nível de preço, dado um preço de
exercício K, é muito importante para a definição da carteira de imunização e a
correta determinação do valor da opção. No seu trabalho, Derman investiga as
22
relações existentes entre mudanças no nível do ativo base e a volatilidade implícita
do ponto de vista de um modelo de um fator (como explicado a seguir). Derman
ainda ressalta que assim como mudanças estocásticas na volatilidade podem
acontecer, a volatilidade ATM e a inclinação de sua curvatura podem mudar de
maneira randômica, mesmo dentro de um regime em particular. Como as mudanças
dentro destes regimes não são tão grandes, a sua análise pode ainda ser válida.
Para encontrarmos a melhor árvore que descreva a assimetria atual, é necessário
saber como ele vai se comportar com a movimentação do ativo base.
A seguir são apresentadas em detalhes as proposições feitas por Derman (1999),
respectivamente Sticky Strike, Sticky Delta, Sticky Tree, que são apresentados a
seguir.
2.5.1 Sticky Strike
Segundo Derman (1999), em uma tentativa fraca de preservar o modelo de Black
and Scholes, alguns operadores acreditam que, independentemente do nível do
ativo base, a volatilidade daquele preço de exercício será a mesma. O modelo que
parte desta premissa é chamado sticky strike, pois a cada preço de exercício deve-
se construir uma determinada árvore binomial com volatilidade constante, ou seja,
cada opção é apreçada de forma independente.
Assim, quando o preço do ativo base sobe, a volatilidade das opções ATM cai, uma
vez que mudam os preços de exercícios das opções ATM. O delta neste modelo é
exatamente igual ao delta de Black and Scholes. Derman associou estas
características a mercados que estão operando lateralmente, isto é, sem uma
tendência definida. Matematicamente pode-se expressar esta característica como:
(
)
(
)
(
)
00
SKb
K
−−= τστσ (22)
23
Onde
(
)
τσ
K
denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de
uma opção de preço de exercício K e vencimento
τ
quando o preço do ativo base
vale S
0
e sua volatilidade tem valor
0
σ . O parâmetro b(t) é a inclinação da assimetria
expressa em pontos percentuais de volatilidade por ponto de preço de exercício e é
positivo quando a assimetria é negativa.
Se o preço do ativo base muda, as volatilidades de preços de exercícios fixos não
vão se modificar, mas a volatilidade do ATM (
ATM
σ ) vai subir se o preço do ativo
base cair e vice-versa. Vemos isso simplesmente substituindo K por S na equação
(22).
(
)
(
)
(
)
00
SSb
ATM
−−= τστσ (23)
Figura 1: No modelo Sticky Strike, a coluna central demonstra as diferentes volatilidades para
diferentes preços de exercício, cada qual com sua árvore binomial. Esta volatilidade se mantém
constante independente do nível do ativo base que estão representadas nas colunas da direita e da
esquerda.
24
Observa-se, na figura 1, que a volatilidade com que são apreçadas as diferentes
opções não se altera com mudanças no nível de preço do ativo base, isto é, a
volatilidade se mantém constante nas linhas da figura 1. Na coluna central, com o
ativo base com preço 100, as opções de diferentes preços de exercício possuíam
cada qual sua volatilidade implícita. Com a mudança do preço do ativo base para
110 ou para 90 (primeira e terceira coluna), a volatilidade implícita utilizada para se
apreçar as opções de diferentes preços de exercício não muda.
2.5.2 Sticky Delta
A premissa de que o nível da volatilidade ATM atual se manterá constante à medida
que o ativo base se move sustenta esta segunda proposição de Derman. Desta
forma as opções com delta 50%, ou seja, ATM, permaneceriam com volatilidade
constante, sendo este o motivo do nome sticky delta.
Este modelo é também chamado de sticky moneyness, pois a volatilidade também é
constante com respeito ao moneyness (relação entre o preço de exercício e o valor
do ativo base – K/S). O conceito de moneyness é equivalente ao delta de Garman e
Kohlhagen, pois depende das mesmas variáveis, K e S. Isto significa que o
moneyness determina a volatilidade local e esta terá uma determinada árvore
binomial com volatilidade constante. Ou seja, sticky moneyness é equivalente a
sticky delta.
Sticky Moneyness
( ) ( )
00
1 S
S
K
b
K
−−= τστσ
(24)
Sticky Delta
(
)
(
)
(
)
SKb
K
−−= τστσ
0
(25)
25
E, para o caso de assimetria negativo, o delta das opções usando-se este modelo é
maior que o delta Garman e Kohlhagen dado um mesmo preço de opção. Derman
observou que este tipo de comportamento pode ser observado em mercados que
exibem uma tendência.
Neste modelo a volatilidade do preço de exercício K vai subir com o nível de preço
do ativo base, mas a volatilidade do ATM será igual a inicial e independente do
preço do ativo base.
Figura 2: No modelo Sticky Delta, a coluna central demonstra as diferentes volatilidades para
diferentes preços de exercício, cada qual com sua árvore binomial. À medida que ocorre uma
variação no preço do ativo base, sua árvore de ATM se mantém constante, isto é, a árvore binomial
do preço de exercício 110 quando o preço do ativo base está em 110 é a mesma que a árvore do
preço de exercício 100 quando o preço do ativo base vale 100
Na figura 2, a coluna central exemplifica o estado inicial onde o ativo base possuía
um preço de 100 e as opções de preço de exercício 90, 100 e 110 possuíam
diferentes volatilidades implícitas (primeira a terceira linha). Neste modelo, com
mudanças do preço do ativo base para 90 ou 110 (primeira e terceira coluna), as
volatilidades implícitas ATM se mantiveram constante isto é, a volatilidade se
mantém constante na diagonal. Assim, a volatilidade da opção de preço de exercício
26
110, quando o ativo base vale 110 é a mesma da volatilidade da opção de 100
quando o ativo base vale 100.
2.5.3 Sticky Tree
Em 1994 Derman e Kani propuseram a construção de uma única árvore para o ativo
base de forma tal que ela seja consistente com os preços observados no mercado e
as expectativas de volatilidade futura implícitas no mercado, chamada de árvore
implícita. À volatilidade escolhida de forma a se adaptar a assimetria observada no
mercado, dá-se o nome de volatilidade local, que varia tanto com o nível futuro de
preço do ativo base como também com o tempo.
Este conceito contrasta-se com os apresentados nos dois itens anteriores, pois
nestes cada opção demandava uma árvore diferente para o mesmo ativo base.
Este modelo é chamado sticky tree. Neste modelo a volatilidade local não é mais
constante. No entanto, existe uma única árvore para apreçar todas as opções que
são determinadas pela assimetria da curva de volatilidade no momento.
Em um modelo de um fator para o cálculo de opção, o apreçamento é fruto das
expectativas sobre a volatilidade instantânea futura. No caso de opções sobre
índices de bolsas, assume-se que a volatilidade sobe quando o índice cai. Como
conseqüência, as volatilidades locais para altos valores de índice têm menores
volatilidades instantâneas.
Derman observou que o modelo de sticky tree é o mais adequado para mercados
com descontinuidades, principalmente com quedas abruptas (no caso do Índice S&P
500) sem que haja negócios no intervalo.
Pode-se expressá-lo como:
27
(
)
(
)
(
)
(
)
00
2 SbSKb
K
ττστσ ++−= (26)
Onde:
(
)
τσ
K
denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de uma
opção de preço de exercício K e vencimento
τ
quando o ativo base vale S
0
;
0
σ denota a volatilidade implícita inicial;
(
)
τb é a inclinação da assimetria expressa em pontos percentuais de volatilidade por
ponto de preço de exercício e é positivo quando a assimetria é negativa.
Assim, a volatilidade do preço de exercício fixo K vai cair quando o preço do ativo
base se valorizar e cair quando o preço do ativo base se desvalorizar e também:
(
)
(
)
(
)
00
2 SSb
ATM
−−= τστσ (27)
onde:
(
)
τσ
ATM
denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de uma
opção ATM.
A volatilidade do ATM vai cair quando o preço do ativo base se valorizar ou se
desvalorizar duas vezes mais rápido que a volatilidade de preço de exercício fixo.
28
Figura 3: No modelo Sticky Tree, a coluna central demonstra a árvore que corresponde ao corrente
sorriso de volatilidade. À medida que o preço do ativo base se move, apenas desloca-se para o nó
referente ao valor atual do preço do ativo base.
Na figura 3, a coluna central identifica o estado inicial onde o mercado apreça
diferentes opções, com diferentes volatilidades implícitas. No entanto, este modelo
utiliza uma mesma árvore binomial, chamada árvore implícita, para apreçar todas as
opções, de diferentes preços de exercício. Assim, quando o preço do ativo base se
move, a mesma árvore é utilizada, apenas deslocando-se para o nó correspondente.
Resumidamente podemos apresentar os modelos propostos por Derman:
Modelo Volatilidade Preço de
exercício Fixo
Volatilidade ATM Exposição Delta
(Considerando Skew Negativo)
Sticky Strike Independente do nível
de preço do ativo base
Decai com a alta do
preço do ativo base
Igual ao Garman e Kohlhagen
Sticky Delta Sobe com a alta do
preço do ativo base
Independente do
nível de preço do
ativo base
Maior que o de Garman e
Kohlhagen
Sticky Tree Cai com a alta de preço
do ativo base
Cai duas vezes
mais rápido com a
alta do preço do
ativo base
Menor que o de Garman e
Kohlhagen
Quadro 1: Resumo dos modelos propostos por Derman (1999)
29
No quadro observamos que o modelo Sticky Tree mantém a volatilidade implícita
constante para todos os preços de exercícios, a volatilidade implícita da opção ATM
cai com a alta do preço do ativo base para ativos que apresentam uma assimetria
negativa para a curva de volatilidade implícita e o delta equivale ao delta obtido
através da fórmula de Garman e Kohlhagen. Já o modelo de Sticky Delta, a
volatilidade de uma opção de preço de exercício fixo sobe com a alta do preço do
ativo base para ativos que apresentam assimetria negativa na sua curva de
volatilidade implícita, a volatilidade implícita da opção ATM se mantém constante
independente do nível do preço do ativo base e o delta é maior que o delta obtido
pela fórmula de Garman e Kohlhagen. No modelo Sticky Tree, a volatilidade de uma
opção de preço de exercício fixo cai com a alta do preço do ativo para ativos que
apresentam uma assimetria negativa da curva de volatilidade implícita, a volatilidade
da opção ATM cai duas vezes mais rápido com a alta do preço do ativo base e o
delta é menor que o delta obtido através da fórmula de Garman e Kohlhagen.
2.6 Análise de componentes principais
A dinâmica da estrutura a termo da volatilidade implícita muito se assemelha à
dinâmica da estrutura a termo de taxas de juros, uma vez que ambas apresentam
alto grau de colinearidade entre os retornos. Estruturas a termo como as de taxas de
juros de diferentes vencimentos exibem alto grau de correlação. Este tipo de
característica é geralmente observado quando existem informações comuns a várias
variáveis. No caso da taxa de juros, por exemplo, a taxa overnight impacta toda a
estrutura a termo. No caso da volatilidade implícita, variações do ativo base também
altera toda a sua estrutura a termo.
A análise de componentes principais é um método de extração das principais fontes
não correlacionadas de variação de um sistema multivariado. Ela reduz a
dimensionalidade de um conjunto de dados que possui um grande número de
variáveis colineares, preservando o máximo possível da variação presente no
2
Overnight refere-se à taxa de retorno de um dia.
30
conjunto original. Desta forma, como destaca Alexander (2001), apenas as fontes
mais importantes de informação são utilizadas.
Em resumo, para diminuir a dimensionalidade de um conjunto de dados, faz-se uma
transformação ortogonal dos dados originais para um novo conjunto de variáveis
não-correlacionados, e que são ordenados de maneira que os primeiros contenham
grande parte da variação presente em todas as variáveis originais. A esse novo
conjunto de dados dá-se o nome de componentes principais. Alexander (2001)
lembra que outra vantagem da metodologia é que a técnica constrói grandes
matrizes de covariância positivas definidas. “Nesse caso, a vantagem da ACP não
se encontra tanto na redução da dimensionalidade, mas na ortogonalização das
variáveis. Dado que os componentes principais são ortogonais, então sua matriz de
covariância não condicional é diagonal.”
Geralmente, somente os m-primeiros componentes principais são utilizados,
trazendo uma grande vantagem à análise de cenários.
Alexander (2001) também enfatiza o fato de que, na administração de risco, medidas
de risco e os modelos de apreçamento geralmente precisam ser aplicados a vários
cenários baseados nos movimentos de diversos fatores de risco. Isso torna sua
execução muito complexa e computacionalmente pouco eficaz. Esse tipo de barreira
costuma levar a elaboração de cenários simplistas, como no caso de análise de
livros de opção, onde o risco de variações na volatilidade implícita (vega) costuma
não ser contemplado ou utiliza-se uma movimentação paralela (e no caso da
Basiléia II, movimentação proporcional ao nível da volatilidade).
2.6.1 Fundamentação matemática
Sendo X a matriz de p variáveis de dados estacionários e normalizados. De acordo
com Alexander (2001), os componentes principais de X e suas cargas fatoriais são
escolhidos de maneira que:
31
– o primeiro componente principal explique a maior parcela da variação total de X, o
segundo componente explique a maior parcela da variação remanescente e assim
por diante;
- os componentes principais não tenham correlação entre si.
Desta forma, a ACP tem como primeiro objetivo buscar uma função linear Xaz
11
′
=
(primeiro componente principal) que possua a máxima variância.
Sendo V a matriz de covariância de X:
(
)
11111
var Vaazzz
′
=
′
= (28)
A resolução do problema se da pela maximização da variância de
(
)
1
var z sujeito a
1
11
=
′
aa . Utilizando-se de um escalar lagrangeano
1
λ :
Max
(
)
1
11111
−
′
−
′
aaVaa λ
Diferenciando com relação a
1
a
′
:
0
111
=− aVa λ
111
aVa λ= (29)
Da equação (29), acima, é possível observar que
1
λ é um autovalor de V e
1
a é o
autovetor correspondente.
Substituindo (29) em (28) tem-se que:
(
)
1111111
var λλ aaaaz
′
=
′
=
Como 1
11
=
′
aa
32
(
)
11
var λ=z (30)
Desta forma, é possível observar que a maior variância é obtida com o maior
autovalor de V.
O segundo componente principal é escolhido de forma a obter a maior variância,
sujeito a não ser correlacionado com o primeiro componente principal.
Assim, a resolução do problema se dá pela maximização da variância de
(
)
2
var z
sujeito a 1
22
=
′
aa e
(
)
0,cov
21
=zz .
Sendo
(
)
211121112122121
,cov aaaaaaVaaVaazz
′
=
′
=
′
=
′
=
′
= λλλ
E utilizando-se dos escalares lagrangeanos
2
λ e
θ
:
Max
(
)
(
)
1222222
1 aaaaVaa
′
−−
′
−
′
θλ
Diferenciando com relação a
2
a
′
:
0
1222
=−− aaVa θλ (31)
Multiplicando todos os termos por
1
a
′
:
0
1122121
=
′
−
′
−
′
aaaaVaa θλ
0
11
=
′
aaθ
0
=
θ
(32)
Substituindo (32) em (31):
33
222
aVa λ= (33)
Como
(
)
222
var Vaaz
′
= (34)
Substituindo (33) em (34) tem-se que:
(
)
22222222
var λλλ =
′
=
′
= aaaaz
Desta forma, é possível observar que a maior variância para o segundo componente
principal, sujeito à restrição deste não ser correlacionado com o primeiro
componente principal, é obtida com o segundo maior autovalor de V.
Os demais componentes principais são escolhidos de maneira análoga, sempre
sujeitos a restrição de não serem correlacionados com os componentes principais
anteriores.
Por resolução matricial:
V.A = A.?
Onde:
=Λ
n
λ
λ
λ
...00
............
0...0
0...0
2
1
E A representa a matriz que contem os autovetores de V.
A solução para o “k-ésimo” componente principal é dada por:
34
Xaz
kk
'=
onde
k
z é o “k-ésimo” componente principal e
k
a é um autovetor de V
correspondente ao seu “k-ésimo” autovalor,
k
λ . Desta forma, tem-se que:
X
A
Z
'
=
onde A é a matriz ortogonal cuja “k-ésima” coluna,
k
a , é o “k-ésimo” autovetor de V e
contém as cargas fatoriais do “k-ésimo” componente principal.
Como observado por Santos (2005), os autovalores da matriz V representam a
variância dos dados originais projetada nos autovetores. A variância total dos dados
originais é equivalente à somatória dos autovalores. Desta forma, é possível se
observar que a variância explicada pelo “k-ésimo” componente principal é
representada por:
∑
=
==
p
i
i
kk
k
XVar
zlicadaVar
1
)(
)(exp
λ
λ
λ
(35)
Contudo a soma dos autovalores é p, isto é, o número de variáveis do sistema.
Kreinin et al (1998) sugerem a utilização do seguinte critério para escolha do número
de componentes principais a ser utilizado: seja e* uma proporção aceitável de
variância não explicada dos diversos fatores de risco. Desta forma, escolhe-se um
valor mínimo - h - de componentes principais, de forma a satisfazer a seguinte
inequação:
*1
...
...
1
1
ε
λλ
λ
λ
−>
++
+
+
p
h
(36)
35
Assim, os componentes principais j > h tem um efeito pequeno na explicação da
variância dado que sua variância explicada é pequena.
2.7 Aplicação da análise de componentes principais à Estrutura a Termo de
Volatilidade Implícita
A análise da dinâmica da volatilidade implícita deve refletir corretamente as suas
movimentações, ou seja, deve identificar e quantificar os choques e as mudanças da
curva de volatilidade com o passar do tempo. A técnica de análise de componentes
principais (ACP), comumente utilizada para a análise de estrutura a termo de taxas
de juros (Litterman e Scheikman, 1991) pode ser aplicada para a análise da
estrutura a termo de volatilidade. Avellaneda e Zhu (1997); Härdle e Schimidt (2000);
Sylla e Villa (2000); são exemplos de aplicação desta técnica para a análise de
opções ATM para diferentes prazos. Já Alexander (2001) aplicou a mesma técnica
com outro enfoque, a análise do sorriso de volatilidade para um determinado
vencimento.
O grande diferencial do artigo de Alexander (2001) é que a autora aplica o método
de ACP utilizando a diferença entre a volatilidade das opções de preço de exercício
fixo e a volatilidade das opções ATM como variável a ser modelada. A autora adota
esta metodologia em detrimento da metodologia adotada pelos autores anteriores,
que utiliza as variações diárias da volatilidade implícita. Ela demonstra que existem
vantagens empíricas e teóricas para a utilização deste procedimento.
Empiricamente Alexander (2001) observa uma autocorrelação negativa na série de
tempo da volatilidade implícita tanto de preço de exercício fixo como delta fixo. No
entanto, a diferença entre a volatilidade do preço de exercício fixo e a volatilidade
ATM tem muito menos ruído. Assim a aplicação de ACP baseada nas diferenças
entre as volatilidades das opções de preço de exercício fixo e as volatilidades das
opções ATM tem resultados mais robustos.
36
Teoricamente, a autora demonstra que os três cenários de movimentação da curva
de volatilidade propostos por Derman (1999), quando analisados do ponto de vista
de diferença de um preço de exercício fixo para um ATM, produzem resultados
teoricamente mais robustos. A relação da diferença entre o preço de exercício fixo e
o ATM e o preço do ativo base é a mesmo em todos os modelos de Derman (1999).
Assim, em mercados sem tendência (comumente chamado de lateral pelos seus
participantes), Derman propõe a utilização do modelo de sticky strike, a seguir.
Sendo:
S: preço da ativo base;
S
0
: preço inicial do ativo base;
K: preço de exercício da opção;
(
)
τσ
ATM
denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de uma
opção ATM.
(
)
τσ
K
denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de uma
opção de preço de exercício K e vencimento
τ
quando o ativo base vale S
0
;
0
σ denota a volatilidade implícita inicial;
(
)
τb é a inclinação da assimetria expressa em pontos percentuais de volatilidade por
ponto de preço de exercício e é positivo quando a assimetria é negativa.
Tem-se:
(
)
(
)
(
)
00
SKb
K
−−= τστσ (38)
(
)
(
)
(
)
00
SSb
ATM
−−= τστσ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0000
SSbSKb
ATMK
−+−−−=− τστστστσ
(
)
(
)
(
)
(
)
SKb
ATMK
−−=− ττστσ (39)
Já em mercados com tendência, Derman propõe a utilização do modelo de sticky
delta onde:
37
(
)
(
)
(
)
SKb
K
−−= τστσ
0
(
)
0
στσ =
ATM
(
)
(
)
(
)
(
)
00
στστστσ −−−=− SKb
ATMK
(
)
(
)
(
)
(
)
SKb
ATMK
−−=− ττστσ (40)
Em mercados com descontinuidade:
(
)
(
)
(
)
(
)
00
2 SbSKb
K
ττστσ ++−=
(
)
(
)
(
)
00
2 SSb
ATM
−−= τστσ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0000
22 SSbSbSKb
ATMK
−+−++−=− τσττστστσ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
SbSKb
ATMK
τττστσ 2++−=−
(
)
(
)
(
)
(
)
SKb
ATMK
−−=− ττστσ (41)
É possível observar, assim, que a diferença entre a volatilidade de preço de
exercício fixo e a volatilidade do ATM se mantém constante em todos os modelos
propostos por Derman:
( )
(
)
(
)
(
)
SKb
ATMK
−−=− ττσσ
τ
(42)
Para cada um dos tipos de resposta da curva de volatilidade à variação do ativo,
Alexander demonstra que esta diferença será de b(
τ
) para variações do ativo base.
38
Desta forma, uma maneira de testar os modelos sticky propostas por Derman, seria
fazer um ACP sobre
(
)
ATMK
σσ −∆ . De acordo com Alexander (2001), uma análise
do ACP desta diferença deve demonstrar que somente o primeiro componente
principal tem significância. Se ocorrer de encontrarmos outros componentes, de
ordens maiores e significantes, será apropriado utilizar movimentos não paralelos de
assimetria quando o ativo base se move.
O gráfico 3 mostra tanto os valores de volatilidade implícita de opções com
vencimento em um mês e preços de exercício que variam entre R$ 2,10 e R$ 3,50
(linhas coloridas, utilizando a escala da esquerda), quanto os valores da paridade
Real / Dólar (em linha preta, utilizando a escala da direita) para o período de janeiro
de 2001 até março de 2006. Observa-se que existe uma correlação positiva entre as
volatilidades implícitas e o nível da paridade Real / Dólar. Já no gráfico 4, além dos
valores da paridade Real / Dólar (linha preta, utilizando a escala da direita) é exibida
também a diferença entre a volatilidade implícita de opções com um determinado
preço de exercício e a volatilidade implícita das opções ATM com vencimento em um
mês (linhas coloridas, utilizando a escala da esquerda). Observa-se que este último
exibe menos correlação entre as diferenças de volatilidade e o valor do preço do
ativo base e que as diferenças são, entre elas, mais correlacionadas e ordenadas do
que as volatilidades em si.
Desta forma, os dados da diferença da volatilidade implícita dos diferentes preços de
exercício em relação ao ATM, mostram-se estacionários e com baixa correlação em
relação ao ativo base. Assim a aplicação da técnica de análise de componentes
principais sobre esta diferença (que exige dados estacionários) torna-se possível
para este conjunto de dados.
As volatilidade implícitas para os gráficos 3 a 8 foram calculadas utilizando a fórmula
de Garman e Kohlhagen.
39
Gráfico 3: Gráfico da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício das opções da paridade
Real / Dólar de um mês, associado ao gráfico da paridade do Real / Dólar. Pode-se notar grande
correlação entre os gráficos.
Gráfico 4: Gráfico da diferença da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício em relação
ao ATM das opções da paridade Real / Dólar de um mês, associado ao gráfico da paridade Real /
Dólar. Pode-se observar que a correlação entre os dados diminui consideravelmente.
Esta relação pode ser observada para qualquer prazo de vencimento. Seguem os
gráficos das opções com vencimento de 3 meses (gráficos 5 e 6) e 12 meses
(gráficos 7 e 8):
40
Gráfico 5: Gráfico da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício das opções da paridade
Real / Dólar de três meses, associado ao gráfico da paridade do Real / Dólar. Pode-se notar grande
correlação entre os gráficos.
Gráfico 6: Gráfico da diferença da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício em relação
ao ATM das opções da paridade Real / Dólar de três meses, associado ao gráfico da paridade Real /
Dólar. Pode-se observar que a correlação entre os dados diminui consideravelmente.
41
Gráfico 7: Gráfico da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício das opções da paridade
Real / Dólar de doze meses, associado ao gráfico da paridade do Real / Dólar. Pode-se notar grande
correlação entre os gráficos.
Gráfico 8: Gráfico da diferença da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício em relação
ao ATM das opções da paridade Real / Dólar de doze meses, associado ao gráfico da paridade Real /
Dólar. Pode-se observar que a correlação entre os dados diminui consideravelmente.
Alexander, em seu estudo, aplica esta técnica para as volatilidades implícitas de um
mês, dois meses e três meses do FTSE-100. O ACP da volatilidade de três meses
não apresenta bons resultados. No entanto, o ACP da diferença entre a volatilidade
das opções com preço de exercício fixo e a volatilidade das opções ATM para três
meses mostra bons resultados. Nesta análise, o primeiro componente explica 74%
do movimento e o segundo componente, 12%. A autora demonstra que estes
42
componentes representam respectivamente movimentos paralelo e de inclinação. O
terceiro componente, com menor poder explicativo, explica mudanças na
convexidade.
Alexander observou que, aplicando-se o ACP para as diferenças de volatilidade nos
prazos de um, dois e três meses, os três primeiros componentes explicam em geral
80 a 90% do movimento da curva, sendo que o primeiro componente explica cerca
de 65 a 80%, o segundo 5 a 15% e o terceiro 5%. As variações no poder explicativo
dos componentes dependem principalmente do prazo (1, 2 ou 3 meses).
A conclusão imediata é que a parametrização linear da assimetria e a conseqüente
análise da dinâmica da superfície de volatilidade apenas por movimentos paralelos é
uma simplificação grosseira do que realmente acontece nos mercados de opções.
O modelo desenvolvido por Alexander (2001) contempla não apenas as mudanças
paralelas, como também mudanças na inclinação e na curvatura. Este será o modelo
empregado neste trabalho para a análise da curva de volatilidade implícita das
opções da paridade Real / US$.
Fengler, M., Härdle, W. e Villa, C. (Jun 2001) fazem a análise de componentes
principais comuns para diferentes vencimentos. Inicialmente os autores estimam de
maneira não paramétrica a superfície de volatilidade implícita dia-a-dia utilizando um
procedimento feito por Härdle e Vieu (1992); Härdle e Tsybakov (1997); Aït-Sahalia e
Lo (1998, 2000). Obtêm, assim, uma superfície de volatilidade dado um moneyness
e um vencimento. Posteriormente, aplicam uma técnica de análise multivariada na
superfície de volatilidade: a análise de componentes principais. Este método parece
ser o melhor para a análise de volatilidade implícita, pois explora a natural estrutura
de grupo nos dados e não depende de metodologia de recombinação. Em terceiro
lugar, os autores testam as especificações do modelo.
43
2.8 Modelos de cálculo de V@R
Como afirma Alexander (2001), modelos de avaliação de risco têm sido alvo de
muitos estudos, não somente no campo acadêmico, mas também por parte das
instituições financeiras. A regulação, no intuito de relacionar o capital regulatório que
deve estar disponível dados os riscos a que as empresas estão expostas, tem
desempenhado um papel muito importante. O Comitê da Basiléia de Supervisão
Bancária em 1996 recomendou a utilização de dois tipos de modelos: uma baseada
em cenários dos diversos fatores de risco ao longo de um determinado período de
tempo e o outro baseado na atribuição de probabilidades aos cenários e à avaliação
do nível de perda para uma dada probabilidade, em um determinado período de
tempo. Este último modelo é conhecido como V@R (Value-at-Risk ou Valor em
Risco).
O objetivo deste trabalho se concentra na mensuração do valor em risco decorrente
somente de movimentos de preços de mercado, não envolvendo outros riscos
inerentes à operação de ativos como o risco operacional ou de crédito.
2.8.1 Proposta para Basiléia II
A proposta de novo acordo da Basiléia atualizada em Junho de 2006 contém uma
sugestão de movimentação proporcional de 25% na superfície de volatilidade para o
cálculo do V@R. Isto significa aplicar um choque proporcional de 25% sobre a
superfície de volatilidade implícita original das opções. Esta metodologia será
empregada nos testes deste trabalho para verificar seu grau de eficiência perante a
metodologia proposta.
44
2.8.2 Cálculo de V@R para carteiras de opções
Dadas as características de não-linearidade das carteiras de opções, métodos de
simulação como o de Monte Carlo são geralmente recomendados.
O cálculo do V@R através da simulação de Monte Carlo foi resumido por Alexander
(2001) em três etapas. Sendo k fatores de risco correlacionados; R
1
,..., R
k
os
retornos de h-dias destes fatores; e V sua matriz de covariância:
i. Obter uma amostra aleatória de k variáveis normais padronizadas
independentes;
ii. utilizar a matriz de covariância dos fatores de risco para transformar a amostra
em retornos de h-dias correlacionados;
iii. aplicar o modelo de apreçamento aos retornos estimados dos fatores de risco
correlacionados de h-dias.
Repetem-se então estes três passos milhares de vezes para obter-se uma
distribuição das perdas de h-dias. Para garantir a robustez das estimativas de V@R,
Alexander afirma que são necessárias milhares de simulações e para cada
simulação, é necessário a reavaliação da carteira. E é nesta etapa que reside o
problema para uma carteira de opções, pois muitas vezes esta reavaliação gasta
tanto tempo que se torna inviável em tempo hábil. Neste caso são empregadas
funções de apreçamento aproximadas, incluindo-se aproximações de Taylor para as
mudanças do valor da carteira.
2.8.3 Aproximação Delta-Gama-Vega-Teta
A expansão de Taylor da mudança do valor de uma carteira de opções (
∏
) do ativo
base de preço S – considerando-se um intervalo pequeno de variações do tempo
( t
δ
), do preço do ativo base ( S
δ
) e da volatilidade (
δσ
) – permite representar a
45
variação do valor da carteira de opções como função de suas diferentes letras
gregas. Pode-se representar a expansão de Taylor, simplificadamente, como sendo:
2
2
2
**
2
1
** S
S
t
t
S
S
δδδσ
σ
δδ
∂
∏∂
+
∂
∏∂
+∗
∂
∏∂
+
∂
∏∂
≈∏ (43a)
De acordo com as descrições de delta, gama, vega e teta apresentadas na seção
2.2, a equação (43), acima pode ser reescrita da maneira a seguir:
2
..
2
1
*** StS δδθδσδδ Γ++Λ+∆≈∏ (43b)
onde:
• S : preço do ativo base;
• ?: delta
• ?: teta;
• ?: delta;
• G: gama:
• s: vega:
Quando esta metodologia é aplicada para o cálculo dos riscos de variação de uma
carteira de opções, nota-se que uma mesma variação de volatilidade
)
(
δσ
é
aplicada para todas as opções da carteira, independentemente do seu prazo de
vencimento ou preço de exercício.
Este trabalho pretende oferecer uma sugestão para cálculo de risco de variações na
volatilidade implícita, ou seja, de vega de uma carteira. Ela se somaria à
aproximação de Taylor considerando-se componentes de delta, gama e teta no
cálculo do V@R de uma carteira de opções.
46
2.8.4 Utilização de ACP para cálculo de V@R
Frye (1996) e Loretan (1997) propõem em seus trabalhos a utilização de
componentes principais para o cálculo do valor em risco de uma carteira contendo
diferentes ativos. Dada a ortogonalidade dos componentes principais, eles utilizam
uma combinação linear da variância dos componentes principais para produzir
cenários extremos para reavaliação da carteira.
Kreinin (1998) salienta que é possível gerar cenários utilizando o vetor de variáveis
randômicas normalmente distribuídas da equação
hhh
UUU .........
ˆ
222111
ληληληξ +++= . Assim, Frye (1996) utiliza todos os cenários
possíveis de combinação linear entre os componentes principais para obter curvas
de juros que oferecem os maiores resultados positivos ou negativos à carteira. Ele
ressalta que em instrumentos lineares, essa combinação linear pode ser reduzida
para alguns cenários limites.
Após encontrar as combinações lineares limites, Frye (1996) multiplica essa
mudança por 2,33 desvios padrão, de forma a obter um intervalo com 99% de
confiança.
Tendo como objeto de estudo a superfície de volatilidade implícita de opções
européias da paridade Real / Dólar, este trabalho não tenta explicar as deformações
ou os desvios da volatilidade implícita com relação à hipótese de volatilidade
constante do modelo de Garman e Kohlhagen (1973), mas trata a volatilidade
implícita como uma variável financeira interessante por si só, procurando analisar a
dinâmica de sua superfície. Existem muitas razões que justificam esta abordagem,
como será demonstrado a seguir.
47
3 METODOLOGIA
Neste capítulo, primeiramente são apresentados a amostra, os métodos de
interpolação e de construção da superfície de volatilidade e as carteiras utilizadas
para o teste retroativo (backtesting) dos resultados. Em seguida, é demonstrada a
análise de componentes principais das diferenças das volatilidades implícitas obtidas
em relação às volatilidades ATM. Por fim, é apresentada a metodologia utilizada
para o teste retroativo dos resultados.
3.1 Dados utilizados – amostra
Foram utilizados dados diários de volatilidade implícita das opções européias da
paridade Real / Dólar que são negociadas na BM&F, com vencimentos em cada
primeiro dia útil de cada mês, com prazo de vencimento até um ano. A amostra
contempla dados de fechamento de 08 de janeiro de 2001 até 22 de março de 2006
(1264 observações).
As volatilidades implícitas foram obtidas através do método de Newton-Raphson
com precisão de 0,0001, utilizando-se a fórmula de Garman e Kohlhagen.
Os strikes são fixos e com intervalos de R$ 0,05, numa faixa de R$ 2,10 até R$ 3,50.
Os dados foram então interpolados e apresentados separados por vencimento e
delta, sendo que foram calculados dados para os seguintes preços de exercício:
i. Opções com preços de exercício ATM;
ii. opções de compra com preço de exercício equivalente a opções com um delta
de 0,25 (call com 25% de delta);
iii. opção de venda com preço de exercício equivalente a opções com um delta de
-0,25 (put com 25% de delta);
iv. opção de compra com preço de exercício equivalente a opções com um delta
de 0,10 (call com 10% de delta) e;
v. opção de venda com preço de exercício equivalente a opções com um delta de
-0,10 (put com 10% de delta).
48
Então, para cada dia temos uma superfície apresentada da seguinte forma:
Tabela 1: Dados interpolados de volatilidade implícita das opções da paridade Real / Dólar para o dia
19 de maio de 2001.
A interpolação dos dados se faz necessária pois os prazos que serão analisados
não são exatamente os prazos obtidos através da BM&F. Mas, as volatilidades
interpoladas apresentam sensibilidade à função interpoladora escolhida. Uma vez
que a questão da interpolação da superfície de volatilidade não é objeto principal
deste artigo, foi utilizada uma interpolação de baixo nível de complexidade
metodológica, a interpolação bilinear das volatilidades implícitas com relação ao
tempo para vencimento e moneyness, a ser apresentada a seguir.
Sendo s
1
=s(K
BMF1
, T
1
); s
2
=s(K
BMF1,
T
2
); s
3
=s(K
BMF2,
T
1
) e s
4
=s(K
BMF2,
T
2
), onde:
K
BMF1
e K
BMF2
representam os strikes de opções negociadas na BM&F dos pontos
entre os quais se quer interpolar;
T
1
e T
2
representam os respectivos prazos para o vencimento das opções
negociadas na BM&F dos pontos entre os quais se quer interpolar;
K
BMF1
<= K <= K
BMF2
e T
1
<= T <= T
2
; tem-se:
( )
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
=
2
12
2
12
1
1
12
2
12
2
)).(()).((, σσσ
TT
TT
KK
KK
TT
TT
KK
KK
TK
BMFBMF
BMF
BMFBMF
BMF
49
4
12
1
12
2
3
12
1
12
1
)).(()).(( σσ
TT
TT
KK
KK
TT
TT
KK
KK
BMFBMF
BMF
BMFBMF
BMF
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
(44)
As curvas de juros e cupom cambial sujo foram também obtidas através da BM&F.
As taxas de juros em reais obtidos através das cotações do DI futuro negociado na
BM&F estão expressas em base exponencial 252 e as taxas de cupom obtidas
através da cotação do DDI negociado na BM&F estão expressas em base linear 360.
O Ptax800
3
foi obtido através da página da Internet do Banco Central do Brasil
(www.bcb.gov.br) e o valor de fechamento do dólar foi obtido através do terminal
Bloomberg sob o código de BRL CRNCY.
De posse destes dados, o valor das volatilidades implícitas para 21, 42, 63, 126, 189
e 252 dias úteis – respectivamente chamados de um mês (1M), dois meses (2M),
três meses (3M), seis meses (6M), nove meses (9M) e doze meses (12M) – foram
obtidos através de interpolação dos dados para vencimentos BM&F. Esta
interpolação foi necessária uma vez que os dados da BM&F são fixos no vencimento
e variáveis no prazo e o objeto de estudo deste trabalho são variáveis com prazos
fixos.
Tabela 2: Dados interpolados de volatilidade implícita das opções da paridade Dólar / Real para o dia
19 de maio de 2001 interpolados para 1mês, 2, 3, 6, 9 e 12 meses.
Pode-se representar graficamente esta superfície de acordo com o gráfico a seguir:
3
Taxa média de todos os negócios com dólares realizados no dia no mercado interbancário de
câmbio, com liquidação em dois dias úteis.
50
Gráfico 9: Superfície de volatilidade implícita das opções da paridade Dólar / Real para o dia 19 de
maio de 2004 interpolados para 1mês, 2, 3, 6, 9 e 12 meses.
Foi construída, para cada dia da amostra, uma superfície como a apresentada
acima. Utilizando a fórmula de interpolação proposta, foram calculadas as
volatilidades para as opções com preços de exercício R$ 2,10; R$ 2,15; R$ 2,20;...;
R$ 3,45 e R$ 3,50; compondo 29 diferentes preços de exercício. Dados de
volatilidade implícita destes preços de exercício foram obtidos para todos os prazos
como, por exemplo, os valores de volatilidades implícitas de 12 meses mostrados
abaixo.
1 mês
2 meses
3 meses
6 meses
9 meses
12 meses
10% Delta Put
25% Delta Put
ATM
25% Delta Call
10% Delta Call
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
16,00%
18,00%
Volatilidade
Tempo para vencimento
Delta
Superfície de Volatilidade de 19 de maio de 2001
16,00%-18,00%
14,00%-16,00%
12,00%-14,00%
10,00%-12,00%
8,00%-10,00%
6,00%-8,00%
4,00%-6,00%
51
Tabela 3: Dados de volatilidades implícitas para diferentes preços de exercício com prazo de
vencimento 12 meses para o dia 19 de maio de 2001, incluindo-se os deltas das call´s.
3.2 Carteira para teste retroativo de resultados (backtesting)
Cada carteira analisada possui 29 opções de compra européias de preços de
exercício R$2,10; R$2,15; R$2,20;...; R$3,45 e R$3,50, sendo uma opção de cada
strike. Tomou-se tal composição de strikes para cada carteira pois a paridade Real /
Dólar, durante o período da amostra, variou de R$1,90 até R$4,00 e permaneceu
cerca de 90% do tempo dentro do intervalo entre R$2,10 e R$3,50. A fim de
conhecer a eficiência do modelo de risco, quatro diferentes prazos foram
considerados para cada carteira, contemplando vencimentos de curto e longo prazo:
1M, 2M, 3M e 12M.
Para que se pudesse fazer uma comparação entre o cálculo do V@R para diferentes
dias, foi utilizada a mesma carteira para todos os dias. Foram analisadas posições
compradas em todas as opções e, posteriormente, posições vendidas em todas as
opções.
Totalizam, assim, oito diferentes carteiras:
52
Tabela 4: Descrição das 8 diferentes carteiras que serão analisadas.
3.3 ACP das diferenças da volatilidade em relação ao ATM
Para se testar a aplicação da metodologia
4
proposta por Alexander (2001), cada
volatilidade implícita de um determinado strike fixo (s) foi subtraída da volatilidade
ATM (s
ATM
) do mesmo prazo.
Tabela 5: Dados da diferença das volatilidades implícitas, de diferentes preços de exercício, para a
volatilidade ATM com prazo de vencimento 12 meses de 19 de maio de 2001.
Assim, para cada opção, dada um prazo de vencimento e um preço de exercício K,
foi calculado:
4
Vide item 2.7 da Revisão Bibliográfica
53
332211
)( PwPwPw
kkkATMK
++=−∆ σσ (45)
Onde P
1
, P
2
e P
3
são os componentes principais e w
k1
, w
k2
e w
k3
são as cargas
fatoriais.
Foram calculadas as cargas fatoriais
5
para toda a amostra, de forma a verificar a
validade da análise de componentes principais para a estrutura a termo de
volatilidade. Utilizando um e*, como sugerido por Kreinin et al (1998) de 1%, ou seja,
uma proporção aceitável de 1% de variância não explicada devido a uma redução do
número de fatores utilizados, verificou-se a quantidade de componentes principais
necessários para se explicar pelo menos 99% da variância total dos dados originais.
Após a definição do número de componentes necessários, foram calculadas as
componentes principais e as cargas fatoriais de cada prazo proposto para os últimos
cem dias de diferenças de volatilidades em relação às volatilidades ATM. Como a
amostra conta com 1264 observações, foram calculados, para cada um dos prazos,
1164 conjuntos de componentes principais e cargas fatoriais, compondo no total
4656 conjuntos de dados (1164 datas de cálculo para 4 prazos distintos).
3.4 Teste retroativo (Backtesting) dos resultados
A medida de V@R de um dia calculada com base em um nível de confiança de 1%
implicaria que, em circunstâncias normais de mercado, determinada carteira
excederia suas perdas acima das esperadas pelo modelo em uma vez em cada 100,
na média. Este foi o nível de significância utilizado para o teste retroativo da
eficiência dos modelos de V@R analisados.
Esse número de perdas acima do esperado pode ser considerado, segundo
Alexander (2001), como uma variável aleatória que tem distribuição binomial. Assim
sendo, para um V@R de 1 dia com probabilidade de perda de p%, calculado para
54
com n dias retroagidos, tem-se uma quantidade de perdas esperada de n*p; com
variância de n*p*(1-p). Assim, para a amostra, composta de 1264 dias de dados
(sendo que os 100 primeiros dados foram utilizados como amostra para o primeiro
cálculo de V@R), n=1164; p=0,01; n*p = 11,64; variância = 11,52 e o desvio padrão
é de 3,39.
Como n é grande e p é pequeno, a distribuição binomial pode ser aproximada a uma
normal. Neste caso, o intervalo de confiança de número de ocorrências é dado por:
))1.(..;)1.(..(
005,0005,0
ppnZpnppnZpnIC −+−−= (46)
onde:
Z
0,005
= número de desvios padrão com relação à média equivalente a 0,5% de
probabilidade de ocorrência em uma distribuição normal padrão.
Substituindo os valores antes apresentados na fórmula acima, tem-se que:
IC =(11,64 – 2,576 * 3,39; 11,64 + 2,576 * 3,39) = (2,90; 20,37).
Assim, dada a amostra de 1164 dados, são esperados que ao menos três perdas,
em toda a amostra, excedam o valor estimado pelo critério de risco adotado.
Analogamente, são esperadas menos de vinte e uma perdas no intervalos da
amostra.
O teste retroativo recomendado pela emenda de 1996 ao Acordo da Basiléia usa os
últimos 250 dias de dados com perdas previstas de 1%. A carteira é mantida fixa e
as perdas dos últimos 250 dias são comparadas com o V@R. As perdas que
excedam o limite de V@R são então anotadas. Desta forma, o número esperado de
perdas, a variância, desvio padrão e intervalo de confiança serão:
5
As cargas fatoriais foram calculadas a partir de código disponível em Alexander (2001)
55
• número esperado de perdas = n*p = 250*0,01 = 2,5
• variância = n*p*(1 – p) = 250*0,01* (1 – 0,01) = 2,475
• desvio padrão = 5732,1475,2)1(** ==− ppn
• intervalo de confiança = (2,5 – 2,33 * 1,5732; 2,5 + 2,33 * 1,5732) = (zero;
6,17) com confiança de 99%.
Assim, um total de até seis perdas para um período de 250 dias é aceitável com
99% de confiança.
No teste retroativo realizado, os componentes principais e as cargas fatoriais
calculados (tal como descrito no item anterior) serão aplicados para todas as opções
que pertencem à carteira de forma que se obtenha um V@R correspondente a
movimentações das volatilidades implícitas para cada dia. Como exemplo, para o dia
29 de maio de 2001, observamos na tabela 6 os componentes principais obtidos
para cada preço de exercício. Nas colunas valores limites, é feita a combinação
linear dos componentes principais de forma a obter a maior alta e a maior baixa da
volatilidade implícita para cada preço de exercício.
56
Tabela 6: Valores do componentes principais para o dia 19 de maio de 2001 e suas combinações
lineares mais altas e mais baixas.
Os valores apresentados acima representam a variação esperada, considerando-se
um desvio padrão, da diferença da volatilidade implícita da opção com determinado
strike com relação à volatilidade implícita da opção ATM. As colunas “valores limites”
correspondem à combinação linear dos três componentes principais que representa
o pior cenário de variação da diferença da volatilidade implícita, para cima ou para
baixo. A utilização da combinação linear dos componentes principais foi realizada
com base nos artigos de Kreinin et al. (1998), Frye (1997) e Fiori e Iannoti (2006), tal
como observado no item 2.8.4 da revisão bibliográfica.
Estes “valores limites” são então multiplicadas por 2,33, que representa o nível de
confiança de 99% da distribuição normal. Estes valores são por fim somados às
57
volatilidades implícitas das opções ATM para se obter a variação máxima de cada
opção de strike K:
Tabela 7: Valores de variação da volatilidade implícita das opções de diferentes preços de exercício
para o dia 19 de maio de 2001 dado os valores de variação limites obtidos através do ACP.
Por exemplo, o valor da volatilidade limite superior do preço de exercício 2,40 é
assim obtido:
Da tabela 3 obtêm-se o valor da volatilidade inicial da opção com preço de exercício
2,40: 16,81%. Os valores extremos de variação obtidos através da tabela 6
representam variações da diferença em relação ao ATM de 2,19%. Assim, a
58
volatilidade da opção de preço de exercício 2,40 pode variar de 14,62% até 19,00%,
como apresentado na tabela 7.
As carteiras são então reavaliadas para todos estes cenários de volatilidades
implícitas e suas perdas máximas são então calculadas. Soma-se a estas perdas
máximas a variação do valor da carteira de opções utilizando a expansão de Taylor
com componentes de delta, gama e teta, como demonstrado na equação (43b), mas
desconsiderando-se o termo (
δσ
). Para o cálculo de S
δ
, foi utilizado o retorno
associado à volatilidade histórica dos 100 últimos dias e t
δ
igual a um dia. Assim:
S
diasVolHist
S *
252
100
=δ
Onde:
VolHist100dias é a volatilidade histórica calculada utilizando-se os 100 últimos dados
de preço do ativo base disponíveis;
S é o preço do ativo base;
Tabela 8: Cálculo do V@R somando-se componentes da expansão de Taylor e de variação na
volatilidade obtidos através do ACP.
Este resultado é comparado ao resultado efetivamente obtido pela carteira no dia
seguinte:
Tabela 9: Comparação do resultado obtido no dia 20 de maio de 2001 com os V@R calculados no dia
19 de maio de 2001.
A fim de testar se o modelo de V@R proposto apresenta ganho em relação a outros
modelos, a eficiência dos seguintes modelos também são apresentadas:
59
i. Expansão de Taylor considerando-se componentes de delta, gama e teta isto é,
a utilização de uma expansão simplificada sem a utilização do componente de
variação da volatilidade;
ii. Expansão de Taylor considerando-se componentes de delta, gama e teta
somado ao risco de movimentos de volatilidade implícita propostos pela
Basiléia II;
iii. Expansão de Taylor considerando-se componentes de delta, gama, teta e vega.
Tabela 10: Comparação das diferentes metodologias de cálculo de V@R.
60
4 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Neste capítulo, inicialmente, são apresentados os resultados da aplicação da análise
de componentes principais às diferenças entre as volatilidades implícitas das opções
de determinado preço de exercício e as volatilidades das opções ATM de mesmo
vencimento. Em seguida são apresentados os cálculos de V@R das oito carteiras
escolhidas, realizados através das metodologias de: análise de componentes
principais das diferenças de volatilidade adicionada à expansão de Taylor
considerando componentes de delta, gama e teta; expansão de Taylor considerando
componentes de delta, gama, teta e vega; e expansão de Taylor considerando
componentes de delta, gama e teta somada a variação de volatilidade sugeridas
pela Basiléia II. Os resultados obtidos com a aplicação de cada metodologia de
cálculo de V@R apresentada são comparados às perdas efetivas obtidas pelas oito
carteiras. Por fim, como complemento, é realizada uma análise da influência da
variação da volatilidade implícita nos parâmetros de delta, gama e teta utilizados na
expansão de Taylor.
4.1 Aplicação de ACP para a estrutura a termo de volatilidade implícita
A fim de demonstrar que a aplicação da ACP é válida para explicar o comportamento
da diferença entre a volatilidade implícita de uma opção de determinado preço de
exercício e a volatilidade da opção ATM de mesmo vencimento, foram calculados os
componentes principais para as oito diferentes carteira de diferentes prazos de
vencimento. O teste para o modelo de V@R que será feito na próxima seção,
utilizará janelas de 100 dias úteis e, neste teste inicial, esta sendo utilizada toda a
amostra de 1264 dados. Como, para este cálculo, a posição da carteira (comprada
ou vendida) não é importante, serão consideradas somente quatro carteiras, uma
por vencimento. Foram utilizados todos os dados disponíveis para esta análise.
Calculando-se o ACP para toda a estrutura a termo de volatilidade implícita das
opções européias da paridade Real / Dólar negociadas na BM&F, utilizando a
61
metodologia apresentada por Alexander (2001), foram obtidas as variâncias
explicadas pelos componentes principais, para cada prazo. Assim, a tabela 11 traz
as variâncias explicadas pelos três primeiros componentes principais para prazos de
vencimento 1M e 2M. É importante observar que o primeiro componente apresenta
grande poder de explicação da variância, chegando a atingir 98,39% de explicação.
Tabela 11: Variâncias explicadas por cada componente principal para prazos de vencimento 1M e
2M.
Já a tabela 12, traz as variâncias explicadas pelos três primeiros componentes
principais para prazos de vencimento 3M e 12M.
62
Tabela 12: Variâncias explicadas por cada componente principal para prazos de vencimento 3M e
12M.
Resumidamente, pode-se destacar as variâncias explicadas pelos diferentes
componentes, separadas por prazo, na tabela 13.
63
Tabela 13: Variâncias explicadas acumuladas por prazo de vencimento.
A variância acumulada explicada pelos diferentes componentes principais, para os
diferentes prazos, é apresentada na tabela 14.
Tabela 14: Variância explicada acumulada por componente principal.
Foi possível se constatar, assim, que os três primeiros componentes principais
explicam mais de 99,1% da variância da amostra. Desta forma, considerando-se um
e* de 1%, são necessários três componentes principais.
Os gráficos 10 a 13 apresentam as cargas dos componentes principais para cada
prazo de vencimento de opções. Através da análise gráfica das cargas dos
componentes principais, é possível observar que estas se mantêm constantes ao
64
longo dos diferentes preços de exercícios, o que representa mudanças paralelas do
sorriso de volatilidade implícita, para os diferentes preços de exercício. Já as cargas
do segundo componente principal mostram-se crescentes ao longo dos diferentes
preço de exercício, demonstrando mudanças na inclinação do sorriso de volatilidade.
Por fim, é possível observar que as cargas do terceiro componente principal
apresentam convexidade ao longo dos diferentes preços de exercício,
representando mudanças na curvatura do sorriso de volatilidade. A identificação dos
componentes de nível, inclinação e curvatura faz-se clara para os gráficos de todos
os prazos analisados.
Cargas Fatoriais - ACP 1 mes - Diferença ATM em relação ao Strike
(0,40)
(0,30)
(0,20)
(0,10)
-
0,10
0,20
0,30
2,10
2,25
2,40
2,55
2,70
2,85
3,00
3,15
3,30
3,45
Strikes
Cargas Fatoriais
Fator 1 Fator 2 Fator 3
Gráfico 10: Cargas fatoriais dos componentes principais de 1M.
Cargas Fatoriais - ACP 2 meses - Diferença ATM em relação ao Strike
(0,40)
(0,30)
(0,20)
(0,10)
-
0,10
0,20
0,30
2,10
2,25
2,40
2,55
2,70
2,85
3,00
3,15
3,30
3,45
Strikes
Cargas Fatoriais
Fator 1 Fator 2 Fator 3
Gráfico 11: Cargas fatoriais dos componentes principais de 2M.
65
Cargas Fatoriais - ACP 3 meses - Diferença ATM em relação ao Strike
(0,40)
(0,30)
(0,20)
(0,10)
-
0,10
0,20
0,30
2,10
2,25
2,40
2,55
2,70
2,85
3,00
3,15
3,30
3,45
Strikes
Cargas Fatoriais
Fator 1 Fator 2 Fator 3
Gráfico 12: Cargas fatoriais dos componentes principais de 1M.
Cargas Fatoriais - ACP 12 meses - Diferença ATM em relação ao Strike
(0,30)
(0,20)
(0,10)
-
0,10
0,20
0,30
0,40
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
Strikes
Cargas Fatoriais
Fator 1 Fator 2 Fator 3
Gráfico 13: Cargas fatoriais dos componentes principais de 1M.
4.2 Variância explicada dos três componentes principais nas diversas carteiras
A fim de demonstrar que o alto poder explicativo dos primeiros componentes
principais é alto, não apenas para a amostra como um todo, como também para as
janelas de 100 dias a serem utilizadas no cálculo do V@R, foram calculados as
variâncias explicadas por cada componente principal para cada uma destas janelas
e para cada um dos prazos. Os resultados obtidos para os prazos de um e dois
meses podem ser observados nos gráficos 14 e 15, a seguir.
66
Variância explicada pelos componentes principais de 1M
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Data
% da variância explicada
CP 1 CP 2 CP 3
Gráfico 14: Variância explicada pelos três primeiros componentes principais para o prazo de 1M.
Variância explicada pelos componentes principais de 2M
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Data
% da variância explicada
CP 1 CP 2 CP 3
Gráfico 15: Variância explicada pelos três primeiros componentes principais para o prazo de 2M
Através da análise dos gráficos 14 e 15 é possível observar que os três primeiros
componentes principais mantém um alto poder explicativo ao longo das diversas
janelas, sendo que grande parte da variância é explicada pelo primeiro componente
principal.
67
4.3 V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta
somada a risco de variação de volatilidade calculada por ACP
Uma vez verificada que a metodologia de Alexander (2001) obtém bons resultados
para a estrutura a termo de volatilidade implícita das opções européias da paridade
Real / Dólar negociadas na BM&F, partiu-se para o cálculo do V@R utilizando a
expansão de Taylor (delta, gama e teta) somada ao risco de variação de volatilidade
implícita. Os gráficos a seguir mostram os resultados obtidos através da utilização
desta metodologia para as carteiras um a oito propostas no item 3.2 da metodologia,
que compõem 4 diferentes prazos (1M, 2M, 3M e 12M). A linha fina com maior
variância (azul) representa os resultados diários efetivamente obtidos pela carteira e
utiliza a escala da esquerda. A linha fina com menor variância (rosa) representa o
V@R calculado para o dia e também utiliza a escala da esquerda. A linha mais
grossa (vermelha), utilizando a escala da direita, representa o número de
ocorrências de resultados mais negativos do que o valor esperado pelo V@R no
últimos 250 dias úteis. Este número de ocorrências, segundo critérios sugeridos pelo
emenda ao acordo da Basiléia de 1996 – tal como observado no item 3.4 da
metodologia - deve ficar entre zero e seis.
Gráfico 16: Resultados da carteira um, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperada pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
Posição comprada 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
68
No gráfico 16 observa-se os resultados diários obtidos pela carteira um,
acompanhados do cálculo do risco utilizando-se a metodologia proposta (expansão
de Taylor para o delta, gama e o teta, somada ao risco de variação de volatilidade
implícita obtido através do cálculo do ACP). Pode-se observar que o cálculo do V@R
por esta metodologia atingiu os resultados esperados para a carteira um.
Considerando-se janelas móveis de 250 dias úteis, não houve o acúmulo de mais de
seis resultados menores do que o previsto no modelo de V@R.
Gráfico 17: Resultados da carteira dois, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperada pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
No gráfico 17 observa-se o resultado diário da carteira dois utilizando-se a mesma
metodologia que a anterior para o cálculo do V@R. Observa-se que a metodologia
proposta de cálculo para V@R não foi eficaz para assegurar o número de perdas
dentro do intervalo proposto. Isto é, o número de dias com perdas superiores ao
previsto pelo modelo de V@R, em períodos móveis de 250 dias úteis, ultrapassou o
número esperado dado o nível de confiança utilizado, atingindo mais de seis
ocorrências e chegando a até nove dias de perdas acumuladas nos intervalos
móveis de 250 dias.
Posição vendida 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
69
Gráfico 18: Resultados da carteira três, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
No gráfico 18, observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R atingiu
os resultados esperados para a carteira três. Em uma média móvel de 250 dias
úteis, não ocorreu nenhuma seqüência com mais de seis perdas superiores àquelas
esperadas pelo modelo.
Gráfico 19: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
No gráfico 19 observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R não
atingiu os resultados esperados para a carteira quatro. Utilizando-se seqüências de
Posição comprada 2M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R(esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 2M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
70
médias móveis para 250 dias úteis, houve três seqüências onde o número de perdas
superiores às perdas esperadas pelo modelo excedeu o número aceito dado o nível
de confiança adotado, ou seja, excedeu o nível de seis ocorrências.
Gráfico 20: Resultados da carteira cinco, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
No gráfico 20, observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R atingiu
os resultados esperados para a carteira cinco. Em uma média móvel de 250 dias
úteis, não ocorreu nenhuma seqüência com mais de seis perdas superiores àquelas
esperadas pelo modelo.
Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
71
Gráfico 21: Resultados da carteira seis, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
No gráfico 21 observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R não
atingiu os resultados esperados para a carteira seis. Utilizando-se seqüências de
médias móveis para 250 dias úteis, houve dezoito seqüências onde o número de
perdas superiores às perdas esperadas pelo modelo excedeu o número aceito dado
o nível de confiança adotado, ou seja, excedeu o nível de seis ocorrências.
Gráfico 22: Resultados da carteira sete, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
No gráfico 22, observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R atingiu
os resultados esperados para a carteira sete. Em uma média móvel de 250 dias
úteis, não ocorreu nenhuma seqüência com mais de seis perdas superiores àquelas
esperadas pelo modelo.
Posição comprada 12M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
72
Gráfico 23: Resultados da carteira oito, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
No gráfico 23, observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R atingiu
os resultados esperados para a carteira oito. Em uma média móvel de 250 dias
úteis, não ocorreu nenhuma seqüência com mais de seis perdas superiores àquelas
esperadas pelo modelo.
4.4 V@R calculado através da expansão de Taylor para riscos de delta, gama e
teta
Os resultados acima, calculados para a expansão de Taylor para riscos de delta,
gama e teta somada a risco de variação de volatilidade calculada por ACP, foram
calculados também para a expansão de Taylor, incluindo componentes de delta,
gama e teta (sem incluir um componente de variação de volatilidade). Seguem
abaixo os resultados obtidos para as carteiras dois e quatro. Os demais resultados
podem ser observados no apêndice 1 deste trabalho.
Posição vendida 12M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
73
Gráfico 24: Resultados da carteira dois, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
No gráfico 24 observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R não
atingiu os resultados esperados para a carteira dois. Utilizando-se seqüências de
médias móveis para 250 dias úteis, houve 528 seqüências onde o número de perdas
superiores às perdas esperadas pelo modelo excedeu o número aceito dado o nível
de confiança adotado, ou seja, excedeu o nível de seis ocorrências.
Gráfico 25: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
Posição vendida 1M, V@R Expansão de Taylor
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 2M, V@R Expansão de Taylor
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
74
Novamente, na carteira quatro, utilizando-se seqüências de médias móveis para 250
dias úteis, houve 492 seqüências onde o número de perdas superiores às perdas
esperadas pelo modelo excedeu o número aceito dado o nível de confiança adotado,
ou seja, excedeu o nível de seis ocorrências.
4.5 V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama, teta e
vega
Utilizando-se a expansão de Taylor com componentes de delta, gama, teta e
também vega, ou seja, considerando-se uma componente de movimentação paralela
da volatilidade (medida pela variância da volatilidade implícita para o prazo de
vencimento considerado), podem-se destacar os resultados da carteira um e sete:
Gráfico 26: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
Observa-se no gráfico 26 que, durante todo o período, a carteira um somente
excedeu a perda esperada em duas ocasiões. Pode-se observar o mesmo efeito na
carteira sete (gráfico 27), onde somente em uma ocasião o resultado excedeu o
V@R:
Posição comprada 1M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Teta)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
75
Gráfico 27: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
Demais resultados utilizando-se esta metodologia podem ser encontrados no
apêndice 1.
4.6 V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta
somado ao risco de variação de volatilidade sugerido pela Basiléia II
Considerando-se agora a expansão de Taylor com componentes de delta, gama e
teta, e riscos de variação de volatilidade implícita como sugerido na proposta de
acordo da Basiléia II, destacam-se os resultados da carteira 2:
Posição comprada 12M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Teta)
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
76
Gráfico 28: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
Vê-se que a carteira dois (gráfico 28) não teve, em nenhum dia, seu resultado
negativo maior que o esperado pelo modelo de V@R proposto. O mesmo resultado
pode ser observado na carteira quatro (gráfico 29):
Gráfico 29: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas
maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 250 dias úteis.
Demais resultados utilizando-se este critério de V@R podem ser observados no
apêndice 1.
Posição vendida 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e critério da Basiléia II para Vega
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e critério da Basiléia II para Vega
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
77
Tabulando-se os dados dos resultados obtidos para os testes retroativos, têm-se
resumidamente:
Tabela 15: Resumo dos dados obtidos em cada metodologia nas carteiras um, dois, três e quatro.
78
Tabela 16: : Resumo dos dados obtidos em cada metodologia nas carteiras cinco, seis, sete e oito.
Nas tabelas 15 e 16, é possível se observar o número total de ocorrências com
resultado pior que o esperado pelo modelo de V@R proposto. Também é possível
se observar o máximo de ocorrências por seqüência de 250 dias úteis, a quantidade
de seqüências sem nenhuma ocorrência e a quantidade de seqüências com mais de
seis ocorrências.
Através das tabelas acima, pode-se observar que a expansão de Taylor para
aproximações de delta, gama e teta, considerando riscos de variações de
volatilidade propostos no acordo da Basiléia II, é conservadora em excesso tanto se
observando o número de ocorrências total da amostra, como se observando o
número de ocorrências em seqüências de 250 dias úteis. Em seis das oito carteiras
testadas, em nenhum momento ocorreu um resultado pior que o esperado pelo
modelo.
Utilizando a expansão de Taylor para aproximações de delta, gama, teta e vega, os
resultados demonstram que o modelo foi muito conservador para a carteira de longo
79
prazo – 12M – com apenas uma ocorrência de resultado pior do que o esperado
pelo modelo na carteira sete e duas ocorrências na carteira oito, sendo que no
mínimo três ocorrências eram esperadas para toda a amostra (tal como
demonstrado na fórmula (46) do item 3.4 da metodologia). Nas carteiras de 1M, 2M
e 3M compradas (carteiras um, três e cinco), os resultados também se mostraram
conservadores, porém em menor escala (com duas ocorrências em toda amostra).
Já nas carteiras dois, quatro e seis, os resultados são satisfatórios em relação ao
número de ocorrências na amostra. No entanto, a quantidade de ocorrências de
perdas acima do esperado pelo modelo em intervalos de 250 dias atinge somente 2
ocorrências, ainda que o nível de confiança adotado permitisse até 6 ocorrências por
intervalo de 250 dias.
Com o modelo que utiliza a expansão de Taylor para aproximações de delta, gama e
teta, para todas as carteiras compradas (carteiras 2, 4, 6 e 8) o modelo se mostrou
satisfatório em relação ao número total de ocorrências na amostra. As demais
carteiras tiveram o número de ocorrências acima do esperado para toda a amostra.
Considerando-se os intervalos móveis de 250 dias úteis, somente a carteira três se
mostrou satisfatórias.
Fazendo uso do da expansão de Taylor para aproximações de delta, gama e teta,
combinado com o uso de ACP para variações da volatilidade implícita, todas as
carteiras se mostraram satisfatórias em relação ao número total de ocorrências na
amostra. Considerando-se os intervalos móveis de 250 dias úteis, as carteiras dois,
quatro e seis se mostraram insatisfatórias. As demais (um, três, cinco, sete e oito)
mostraram-se satisfatórias.
Desta forma, pode-se concluir que a metodologia proposta (expansão de Taylor para
aproximações de delta, gama e teta, combinado com o uso de ACP para variações
da volatilidade implícita) é a mais eficiente considerando-se os critérios de avaliação
adotados.
80
4.7 Influência da variação da volatilidade implícita nos parâmetros delta, gama
e teta utilizados na expansão de Taylor
Por utilizar expansão de Taylor para a aproximação do delta, gama e teta (modelo
este que considera parâmetro de volatilidade invariáveis para pequenas mudanças
no preço do ativo, como observado no item 2.8.3 nas equações (43a) e (43b)), o
modelo proposto não considera o efeito da variação da volatilidade implícita nestes
parâmetros. Utilizando o prazo de três meses como exemplo, verificou-se o impacto
da modificação da volatilidade no cálculo da expansão de Taylor para a aproximação
do delta, gama e teta. A tabela 17 demonstra o cálculo da diferença do V@R para os
últimos 27 dias da amostra. Observa-se que o impacto médio foi de 5% de
acréscimo no V@R da carteira cinco, o que não modificou de maneira significativa o
cálculo da efetividade do modelo de risco, como podemos verificar na tabela 18, que
faz uma comparação dos resultados obtidos sem o ajuste de volatilidade e como
ajuste da volatilidade.
Tabela 17: Comparação do V@R nas carteiras sem ajuste da volatilidade implícita e do V@R nas
carteiras com ajuste da volatilidade implícita.
81
Tabela 18: Comparação dos resultado obtidos nas carteiras sem ajuste da volatilidade implícita e dos
resultados obtidos nas carteiras com ajuste da volatilidade implícita.
Os gráficos dos resultados obtidos através da mudança de volatilidade implícita no
delta, gama e teta, juntamente com o valor do V@R calculado, acompanhados do
número de ocorrências de resultados piores que o previsto em uma janela de 250
dias úteis para as carteiras de três meses (cinco e seis), encontram-se no apêndice
2.
82
5 CONCLUSÃO
A eficiência dos limites de risco de mercado utilizados no gerenciamento de uma
carteira pode ser examinada sob duas diferentes abordagens. Os limites não devem
ser excedidos em um número de ocorrências acima do previsto, e no entanto
também não devem ser conservadores em excesso de forma a não permitir que a
instituição financeira maximize a utilização do risco de mercado desejado. Assim,
são indesejáveis modelos de risco onde o número de ocorrência de eventos com
perdas maiores que a prevista é superior ao desejado e também modelos de risco
onde esse limite não é atingido dentro do padrão estatístico desejado.
Após a extensa revisão bibliográfica realizada, acredita-se que este trabalho seja o
primeiro a abordar a aplicação da análise de componentes principais para o cálculo
do V@R de instrumentos não lineares, tendo como objeto de estudo as opções
européias da paridade Real / Dólar negociadas na BM&F.
De acordo com os resultados obtidos, pôde-se observar que o modelo proposto de
cálculo de V@R para uma carteira de opções (expansão de Taylor para
aproximações de delta, gama e teta, combinado com o uso de ACP para variações
da volatilidade implícita) apresentou-se como o mais eficiente quando comparado à
expansão de Taylor com aproximações apenas de delta, gama e teta; expansão de
Taylor com aproximações de delta, gama, teta e vega; e expansão de Taylor com
aproximações de delta, gama e teta somado ao risco de variação de volatilidade
sugerido pela Basiléia II. Este resultado é de extrema importância para ao
gerenciamento eficiente do risco de carteiras que possuam instrumentos não
lineares em sua composição.
Vale salientar que o modelo proposto baseou-se nos cálculos propostos por Garman
e Kohlhagen, diferentemente de outras abordagens que tentam explicar a superfície
de volatilidade através de modelos de volatilidade estocástica ou modelos de saltos
aleatórios.
83
O presente estudo não tentou explicar as deformações ou os desvios da volatilidade
implícita com relação à hipótese de volatilidade constante do modelo de Garman e
Kohlhagen, mas tratou a volatilidade implícita como uma variável financeira
interessante por si só, procurando analisar a dinâmica de sua superfície. Esta
abordagem mostrou-se, empiricamente, bastante adequada, como já observado
anteriormente por Alexander (2001).
A utilização do modelo proposto assumiu, como simplificação, a interpolação linear
das volatilidades implícitas encontradas no mercado, que não garante a não
arbitragem das opções apreçadas com as volatilidades utilizadas. Este critério de
não arbitragem pode ser obtido através do uso de modelos que obtenham a
distribuição implícita de retornos, como proposto por Hull (1991). Desta forma,
trabalhos futuros poderiam analisar o impacto da metodologia de interpolação
utilizada nos resultados finais.
Outra simplificação assumida foi a não consideração do efeito da variação da
volatilidade implícita nos parâmetros da expansão de Taylor. Como observado na
apresentação dos resultados, o impacto da volatilidade no cálculo da expansão de
Taylor para a aproximação do delta, gama e teta mostrou-se de pequena
significância para o prazo de três meses. No entanto, fica como sugestão de estudo
um maior aprofundamento da análise do impacto nos resultados do modelo se forem
consideradas também as alterações nos valores de delta, gama e teta decorrentes
das mudanças na superfície de volatilidade implícita calculadas pela análise de
componentes principais.
Maiores problemas dos modelos de cálculo de V@R foram observados em carteiras
vendidas. Um estudo detalhado sobre as causas que levam estas carteiras vendidas
a terem maiores problemas nos modelos de V@R consiste também em um bom
tema para assuntos futuros.
84
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89
90
7 APÊNDICE 1 – RESULTADOS OBTIDOS EM TODAS AS CARTEIRAS, EM
TODOS OS MÉTODOS
Resultados obtidos para todas as carteiras testadas, em todas as metodologias
propostas.
Posição comprada 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
91
Posição comprada 1M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Teta)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 1M, V@R Expansão de Taylor- (Delta-Gama-Vega-Teta)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição comprada 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
92
Posição vendida 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição comprada 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
93
Posição comprada 2M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 2M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição comprada 2M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Theta)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
94
Posição vendida 2M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Theta)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição comprada 2M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 2M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
95
Posição comprada 2M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Te mpo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 2M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
96
Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Theta)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
97
Posição vendida 3M, V@R - (Delta-Gama-Vega-Theta)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
-
set-01
jan-02
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set-02
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set-03
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set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
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6
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10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
98
Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
99
Posição comprada 12M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 12M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição comprada 12M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Theta)
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
=
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
100
Posição vendida 12M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Theta)
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição comprada 12M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e ACP para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 12M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e ACP para Vega
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
101
Posição comprada 12M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 12M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
mai-01
set-01
jan-02
mai-02
set-02
jan-03
mai-03
set-03
jan-04
mai-04
set-04
jan-05
mai-05
set-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
102
103
8 APÊNDICE 2 – EFEITOS DA MUDANÇA DA VOLATILIDADE NOS
PARÂMETROS DELTA, GAMA E TETA PARA A CARTEIRA DE 3 MESES
Gráficos dos resultados obtidos das carteiras 5 e 6 utilizando-se mudança na
volatilidade implícita nos parâmetros delta, gama e teta.
Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) com ajuste de volatilidade
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) com ajuste de volatilidade
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
104
Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Theta) com ajuste de volatilidade
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Theta) com ajuste de volatilidade
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
105
Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e ACP para Vega com ajuste de volatilidade
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e ACP para Vega com ajuste de volatilidade
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
106
Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega com ajuste de
volatilidade
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Theta) e critério da Basiléia II para Vega com ajuste de volatilidade
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
mai-01
jul-01
set-01
nov-01
jan-02
mar-02
mai-02
jul-02
set-02
nov-02
jan-03
mar-03
mai-03
jul-03
set-03
nov-03
jan-04
mar-04
mai-04
jul-04
set-04
nov-04
jan-05
mar-05
mai-05
jul-05
set-05
nov-05
jan-06
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados da carteira testada (esq.)
V@R (esq.)
Número de ocorrências (dir.)
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