Bricmont, 2001; Reale & Antisieri, 1991; LaRouche, 1998). Em essência, o que Gödel
demonstrou é que, em um sistema matemático construído com lógica formal, a afirmação que
exige que o sistema seja livre de contradição é, em si própria, um princípio impossível de
demonstrar a partir do próprio sistema.
Um sistema formal incompleto, pode ser resumidamente explicado como um sistema
sobre o qual existem verdades, acerca do campo sobre o qual trata, que não serão dedutíveis
dos seus axiomas. Os axiomas em questão portanto, são incompletos, pois não contém em si
todas as informações que gostaríamos que estivessem neles fixadas. O que Gödel provou com
seu teorema (Barker, 1969; Penrose, 1991) é que todo sistema formal pode ser consistente,
desde que seja incompleto, e que se for completo será, necessariamente, inconsistente. Como
o atributo da consistência é mais fundamental que o da completude, segue-se a sentença co-
mum sobre o teorema de Gödel que afirma que todo sistema formal é necessariamente incom-
pleto, pois não pode conter em si todos os axiomas necessários a sua completa formalização.
Outra conseqüência fundamental é que, se para ser consistente é necessária a
incompletude, modificações no sistema no sentido de ampliar seus domínios necessariamente
implicarão alterações nos axiomas, não dedutíveis do sistema anterior. Ou seja, isso (o
teorema de Gödel) formaliza a noção intuitiva que ordinariamente temos de que uma mudança
numa determinada estrutura teórica, não é dedutível logicamente, precisando de um agente
externo para ser introduzida. Em outras palavras, não há programas logaritmicamente estrutu-
rados que possam provocar nada parecido com uma mudança conceitual, uma introdução de
um teorema perfeitamente consistente com os outros do sistema mas não dedutível de seus
axiomas. Colocando mais uma vez em novos termos a mesma idéia, não há função
logarítmica (ou qualquer outra) que possa alterar a si mesma, portanto, não há programa que
possa alterar a si mesmo. Aqui temos, como assinalou Penrose (1991), mais uma distinção
fundamental entre o processo mental humano e o processamento computacional.
Vamos ver um exemplo concreto destas questões. Como afirma Barker (1969), outra
maneira de formular, concretamente, a conclusão obtida por Gödel é dizer que qualquer
conjunto de axiomas consistentes (que geram teoremas não-contraditórios) sobre a teoria dos
números naturais, por exemplo, nunca abrangerá, na forma de teoremas, todas as verdades
acerca dos números naturais. Algumas axiomatizações podem abranger mais verdades que
outras e, qualquer que seja a verdade, existe alguma axiomatização (ou poderíamos dizer
conjunto de teoremas) que a contém como teorema; não há, porém, uma axiomatização
consistente capaz de abranger todas as verdades, ou seja, completa. É o matemático e filósofo
da matemática Stephen Barker (1969) que afirma que “esse resultado derruba, por completo, a
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