( PDF ) Estudo da dispersão numérica em simuladores de fluxo para o problema de deslocamento imiscível

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ESTUDO DA DISPERSÃO NUMÉRICA EM SIMULADORES DE FLUXO

PARA O PROBLEMA DE DESLOCAMENTO IMISCÍVEL

JOSÉ B MENEZES LEITE NETTO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE – UENF

MACAÉ – RJ

NOVEMBRO 2003

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ESTUDO DA DISPERSÃO NUMÉRICA EM SIMULADORES DE FLUXO

PARA O PROBLEMA DE DESLOCAMENTO IMISCÍVEL

JOSÉ B MENEZES LEITE NETTO

Tese apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia ,

da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como

parte das exigências para obtenção do título de

Mestre em Engenharia de Petróleo

Orientador: Prof. Viatcheslav I. Priimenko, Phd.

MACAÉ – RJ

NOVEMBRO 2003

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ESTUDO DA DISPERSÃO NUMÉRICA EM SIMULADORES DE FLUXO

PARA O PROBLEMA DE DESLOCAMENTO IMISCÍVEL

JOSÉ B MENEZES LEITE NETTO

Tese apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia ,

da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como

parte das exigências para obtenção do título de

Mestre em Engenharia de Petróleo

Aprovada em 24 de novembro de 2003

Comissão Examinadora:

iii

SUMÁRIO

SUMÁRIO.............................................................................................................................III

LISTA DE FIGURAS............................................................................................................IV

LISTA DE TABELAS ...........................................................................................................IX

NOMENCLATURAS.............................................................................................................X

DEDICATÓRIA.................................................................................................................XIII

AGRADECIMENTOS .......................................................................................................XIV

INTRODUÇÃO........................................................................................................................1

CAPÍTULO 1 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA....................................................................7

CAPÍTULO 2 – MODELAGEM ANALÍTICA DO DESLOCAMENTO IMISCÍVEL 1-

D..............................................................................................................................................11

CAPÍTULO 3 – TRATAMENTO NUMÉRICO DO FLUXO EM MEIO POROSO.....26

CAPÍTULO 4 – DISPERSÃO NUMÉRICA.......................................................................39

CAPÍTULO 5 – SOLUÇÃO DO PROBLEMA..................................................................51

CAPÍTULO 6 – ANÁLISE EM SISTEMAS COM MAIS LINHAS DE FLUXO...........78

CAPÍTULO 7 - DISCUSSÕES SOBRE O MÉTODO.......................................................87

CONCLUSÕES......................................................................................................................90

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................91

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – PROJETO DE RECUPERAÇÃO DE ÓLEO POR INJEÇÃO DE ÁGUA..............................2

FIGURA 2 – AMOSTRA DE ROCHA PARA ENSAIO DE PERMEABILIDADE RELATIVA......................2

FIGURA 3 – CURVA DE PRODUÇÃO EM ENSAIO DE FLUXO FRACIONÁRIO ÓLEO/ÁGUA..............3

FIGURA 4 – CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA OBTIDA NO ENSAIO....................................3

FIGURA 5 - MALHA DE SIMULAÇÃO DE RESERVATÓRIO..............................................................4

FIGURA 6 - SIMULAÇÃO DE FLUXO FRACIONÁRIO NA AMOSTRA DE ENSAIO...............................4

FIGURA 7 - GRÁFICO DE RESULTADOS NUMÉRICOS DO PROBLEMA DE BUCLEY & LEVERETT..5

FIGURA 1.1 – GRÁFICO DE PSEUDOFUNÇÕES GERADAS PELO PROGRAMA UPA

(PETROBRAS/CENPES)..................................................................................................10

FIGURA 2.1 - ESQUEMA DE INJEÇÃO DE ÁGUA EM UM CORPO POROSO.................................11

FIGURA 2.2 – GRÁFICO TÍPICO DE PERMEABILIDADE RELATIVA ÓLEO/ÁGUA..........................14

FIGURA 2.3 – CURVA DE FLUXO FRACIONÁRIO.......................................................................15

FIGURA 2.4 – SEÇÃO ESQUEMÁTICA DE AMOSTRA DE ROCHA COM FLUXO FRACIONÁRIO

IMISCÍVEL...........................................................................................................................16

FIGURA 2.5 - GRÁFICO DA DERIVADA DO FLUXO FRACIONÁRIO DA ÁGUA...............................17

FIGURA 2.6 - DISTRIBUIÇÃO DA SATURAÇÃO DE ÁGUA INJETADA...........................................18

FIGURA 2.7 - GRÁFICO DE SATURAÇÃO MÉDIA NA REGIÃO INVADIDA PELA ÁGUA INJETADA..19

FIGURA 2.8 –SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE BUCKLEY-LEVERETT (1942) POR WELGE (1953)21

FIGURA 2.9 – PRODUÇÃO PREVISTA DE ÁGUA NO PROBLEMA DE BUCKLEY-LEVERETT (1942)

...........................................................................................................................................23

FIGURA 3.1 – ESQUEMA DE BLOCO DE SIMULAÇÃO E ORIENTAÇÃO DE EIXOS .......................26

FIGURA 3.2 – SISTEMA DE MALHA DE BLOCO CENTRADO.......................................................31

FIGURA 3.3 – SISTEMA DE MALHA DE BLOCO CENTRADO.......................................................31

FIGURA 3.4- SISTEMA DE MALHA DE PONTOS DEFINIDOS.......................................................32

FIGURA 3.5 SISTEMA DE MALHA DE PONTOS DEFINIDOS ........................................................33

FIGURA 4.1 –ESQUEMA NUMÉRICO DO PROBLEMA DE BUCKLEY-LEVERETT, POR DAKE

(1994)...............................................................................................................................40

FIGURA 4.2 – ESQUEMA DE SIMULAÇÃO DE FLUXO.................................................................42

FIGURA 4.3 – CONDIÇÃO INICIAL DE FLUXO ............................................................................42

FIGURA 4.4 - PERFIL DE SATURAÇÃO NUMA SIMULAÇÃO DE DESLOCAMENTO DE FLUIDOS...44

FIGURA 4.5 ESQUEMA DE 10 BLOCOS IGUAIS PARA SIMULAÇÃO............................................44

FIGURA 4.6 –ESQUEMA DE 8 BLOCOS PARA SIMULAÇÃO.......................................................45

FIGURA 4.7 ESQUEMA DE 6 BLOCOS PARA SIMULAÇÃO..........................................................45

FIGURA 4.8 ESQUEMA DE 4 BLOCOS PARA SIMULAÇÃO..........................................................45

FIGURA 4.9 - CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA ÁGUA/ÓLEO..........................................46

FIGURA 4.10 - RESULTADOS DE SIMULAÇÃO DO ENSAIO DE PERMEABILIDADE RELATIVA......46

FIGURA 4.11 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DO MODELO À VARIAÇÃO DE PERMEABILIDADE

ABSOLUTA..........................................................................................................................48

FIGURA 4.12 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DO MODELO À VARIAÇÃO DE PERMEABILIDADE

ABSOLUTA..........................................................................................................................49

FIGURA 4.13 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DO MODELO À VARIAÇÃO DE PERMEABILIDADE

ABSOLUTA..........................................................................................................................49

FIGURA 4.14 - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DO MODELO À VARIAÇÃO DE PERMEABILIDADE

ABSOLUTA..........................................................................................................................50

FIGURA 5.1 – CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA..........................................51

FIGURA 5.2 – CURVA DE FLUXO FRACIONÁRIO.......................................................................52

FIGURA 5.3 – ESQUEMA DE DESLOCAMENTO IMISCÍVEL EM MODELO NUMÉRICO, NO PRIMEIRO

BLOCO................................................................................................................................54

FIGURA 5.4 – ESQUEMA DE DESLOCAMENTO IMISCÍVEL EM MODELO NUMÉRICO, NO SEGUNDO

BLOCO...............................................................................................................................55

FIGURA 5.5 – CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA PELA

S .........................57

FIGURA 5.6 – PERFIL DE SATURAÇÃO DE ÁGUA......................................................................57

FIGURA 5.7 – CURVA DE PRODUÇÃO DE EFLUENTES.............................................................58

FIGURA 5.8 - RESULTADO DE SIMULAÇÃO DE ESQUEMA DE 4 BLOCOS COM CURVA DE

PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA NOS LIMITES DO DOMÍNIO DA SATURAÇÃO........58

FIGURA 5.9 – RESULTADO DE SIMULAÇÃO DE ESQUEMA DE 6 BLOCOS COM CURVA DE

PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA NOS LIMITES DO DOMÍNIO DA SATURAÇÃO........59

FIGURA 5.10 - RESULTADO DE SIMULAÇÃO DE ESQUEMA DE 8 BLOCOS COM CURVA DE

PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA NOS LIMITES DO DOMÍNIO DA SATURAÇÃO........59

FIGURA 5.11 – RESULTADO DE SIMULAÇÃO DE ESQUEMA DE 10 BLOCOS COM CURVA DE

PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA NOS LIMITES DO DOMÍNIO DA SATURAÇÃO........60

FIGURA 5.12 – RESULTADO DE SIMULAÇÃO DE ESQUEMA DE 100 BLOCOS COM CURVA DE

PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA NOS LIMITES DO DOMÍNIO DA SATURAÇÃO........60

FIGURA 5.13 – RESULTADO DE SIMULAÇÃO DE ESQUEMA DE 200 BLOCOS COM CURVA DE

PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA NOS LIMITES DO DOMÍNIO DA SATURAÇÃO.........61

FIGURA 5.14 – GRÁFICO DO FLUXO FRACIONÁRIO CORRIGIDO..............................................64

FIGURA 5.15 - CORREÇÃO DO PROBLEMA DE BUCKLEY-LEVERETT (1942)..........................65

FIGURA 5.16 –CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA PARA ESQUEMA DE 4

BLOCOS.............................................................................................................................66

FIGURA 5.17 – AJUSTE DE PRODUÇÃO DE ÁGUA PARA ESQUEMA DE 4 BLOCOS...................66

FIGURA 5.18 - CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA PARA ESQUEMA DE 6

BLOCOS.............................................................................................................................67

FIGURA 5.19 - AJUSTE DE PRODUÇÃO DE ÁGUA PARA ESQUEMA DE 6 BLOCOS....................67

FIGURA 5.20 - CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDAS PARA ESQUEMA DE 8

BLOCOS.............................................................................................................................68

FIGURA 5.21 - AJUSTE DE PRODUÇÃO DE ÁGUA PARA ESQUEMA DE 8 BLOCOS....................68

FIGURA 5.22 - CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA PARA ESQUEMA DE 10

BLOCOS.............................................................................................................................69

FIGURA 5.23 - AJUSTE DE PRODUÇÃO DE ÁGUA PARA ESQUEMA DE 10 BLOCOS..................69

FIGURA 5.24 - CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA PARA ESQUEMA DE 100

BLOCOS.............................................................................................................................70

FIGURA 5.25 - AJUSTE DE PRODUÇÃO DE ÁGUA PARA ESQUEMA DE 100 BLOCOS................70

vii

FIGURA 5.26 - CURVA DE PERMEABILIDADE RELATIVA CORRIGIDA PARA ESQUEMA DE 200

BLOCOS.............................................................................................................................71

FIGURA 5.27 - AJUSTE DE PRODUÇÃO DE ÁGUA PARA ESQUEMA DE 200 BLOCOS................71

FIGURA 5.28 – DISTRIBUIÇÃO DE SATURAÇÃO NO INSTANTE DA ERUPÇÃO DA ÁGUA –

ESQUEMA DE 4 BLOCOS ....................................................................................................73

FIGURA 5.29 – DISTRIBUIÇÃO DE SATURAÇÃO NO INSTANTE DA ERUPÇÃO DA ÁGUA –

ESQUEMA DE 6 BLOCOS ....................................................................................................73

FIGURA 5.30 – DISTRIBUIÇÃO DE SATURAÇÃO NO INSTANTE DA ERUPÇÃO DA ÁGUA –

ESQUEMA DE 8 BLOCOS ....................................................................................................74

FIGURA 5.31 – DISTRIBUIÇÃO DE SATURAÇÃO NO INSTANTE DA ERUPÇÃO DA ÁGUA –

ESQUEMA DE 10 BLOCOS..................................................................................................74

FIGURA 5.32 – DISTRIBUIÇÃO DE SATURAÇÃO NO INSTANTE DA ERUPÇÃO DA ÁGUA –

ESQUEMA DE 100 BLOCOS................................................................................................75

FIGURA 5.33 – DISTRIBUIÇÃO DE SATURAÇÃO NO INSTANTE DA ERUPÇÃO DA ÁGUA –

ESQUEMA DE 200 BLOCOS................................................................................................75

FIGURA 6.1 - SEÇÃO ESQUEMÁTICA DE RESERVATÓRIO PORTADOR DE ÓLEO.......................78

FIGURA 6.2 – ESQUEMA DE DESLOCAMENTO IMISCÍVEL EM DUAS CAMADAS.........................79

FIGURA 6.3 – ESQUEMA DE PRODUÇÃO DE ÁGUA DE DUAS LINHAS DE FLUXO ......................79

FIGURA 6.4 – ESQUEMA DE ¼ DE FIVE SPOT..........................................................................80

FIGURA 6.5 – RESULTADO DE SIMULAÇÃO PARA ESQUEMA ¼ DE FIVE SPOT........................81

FIGURA 6.6 – MAPA DE SATURAÇÃO DE ÁGUA EM SIMULAÇÃO COM MALHA DE 100 BLOCOS 82

FIGURA 6.7 – MAPA DE SATURAÇÃO DE ÁGUA EM SIMULAÇÃO COM MALHA DE 25 BLOCOS..82

FIGURA 6.8 – ESQUEMA DE DIREÇÃO DAS LINHAS DE FLUXO EM SIMULAÇÃO NUMÉRICA......83

FIGURA 6.9 – MALHA DE BLOCOS PARALELA AO FLUXO .........................................................83

FIGURA 6.10 – PRODUÇÃO PREVISTA DE FRAÇÃO DE ÁGUA EM ESQUEMA DE MALHA

PARALELA AO FLUXO .........................................................................................................84

FIGURA 6.11 – MAPA DE SATURAÇÃO DE ÁGUA EM SIMULAÇÃO COM MALHA DE 100 BLOCOS.

...........................................................................................................................................85

viii

FIGURA 6.12 – MAPA DE SATURAÇÃO DE ÁGUA EM SIMULAÇÃO COM MALHA DE 25 BLOCOS.

...........................................................................................................................................85

LISTA DE TABELAS

TABELA 5.1 – DESVIOS NOS RESULTADOS DE ERUPÇÃO DA ÁGUA SIMULADOS

NUMERICAMENTE..............................................................................................................62

TABELA 5.2 - DESVIOS NOS RESULTADOS DE ERUPÇÃO DA ÁGUA SIMULADOS

NUMERICAMENTE PARA A PSEUDO FUNÇÃO.....................................................................72

TABELA 5.3 – DESVIO DE SATURAÇÃO NO ESQUEMA DE 4 BLOCOS, NO MOMENTO DE

ERUPÇÃO DA ÁGUA...........................................................................................................76

TABELA 5.4 – DESVIO DE SATURAÇÃO NO ESQUEMA DE 6 BLOCOS, NO MOMENTO DE

ERUPÇÃO DA ÁGUA...........................................................................................................76

TABELA 5.5 - DESVIO DE SATURAÇÃO NO ESQUEMA DE 8 BLOCOS, NO MOMENTO DE

ERUPÇÃO DA ÁGUA...........................................................................................................76

TABELA 5.6 - DESVIO DE SATURAÇÃO NO ESQUEMA DE 10 BLOCOS, NO MOMENTO DE

ERUPÇÃO DA ÁGUA...........................................................................................................77

TABELA 5.7 - DESVIO DE SATURAÇÃO NO ESQUEMA DE 100 BLOCOS, NO MOMENTO DE

ERUPÇÃO DA ÁGUA...........................................................................................................77

TABELA 5.8 - DESVIO DE SATURAÇÃO NO ESQUEMA DE 200 BLOCOS, NO MOMENTO DE

ERUPÇÃO DA ÁGUA...........................................................................................................77

NOMENCLATURAS

Termo de acumulação de massa

Área transversal ao fluxo

Expoente relativo à permeabilidade relativa à água

Expoente relativo à permeabilidade relativa ao óleo

Fator volumétrico do gás

Fator volumétrico do óleo

Fator volumétrico da água

Compressibilidade do fluido

Compressibilidade total

E Eficiência de deslocamento

Fluxo fracionário da água

Aceleração da gravidade

Espessura da amostra de rocha

(subscrito) identificador do bloco de simulação

Permeabilidade da rocha

Permeabilidade relativa ao óleo

Permeabilidade relativa à água

(

)

S−1@

Comprimento da amostra de rocha

Volume acumulado de óleo produzido

Pressão do óleo

Pressão da água

Vazão de injeção de água

Vazão de óleo

Vazão de água

Vazão total

Razão de solubilidade do gás no óleo

Saturação adimensional de água

Saturação da água para correção das curvas de permeabilidade

relativa

Saturação de água do bloco

no tempo de simulação

Saturação média de erupção de água nos blocos de simulação

Saturação de óleo

Saturação de óleo residual

Saturação de água

Saturação de água na interface entre dois blocos de simulação

S Saturação de água na frente de choque

Saturação de água imóvel

Saturação média de água

Saturação média de água no bloco

de simulação

atras

Saturação de água média atrás de um plano de saturação de água

Termo de transmissibilidade dos blocos de simulação

Tempo

v Velocidade da frente de choque de água

VOIP

Volume original de óleo no meio poroso

xii

VPI

Volume poroso injetado

Volume de água injetada

Distância na direção do fluxo

x Distância adimensional na direção do fluxo

Distância percorrida por um plano de saturação constante de água

∆

Largura da amostra de rocha

Porosidade da rocha

Potencial do óleo

Potencial da água

Viscosidade do óleo

Viscosidade da água

Coeficiente de difusividade hidráulica do óleo

Densidade do óleo

Densidade da água

Inclinação do fluxo em relação ao plano horizontal

xiii

Dedicatória

Esta tese é o fruto do carinho, atenção e dedicação de todas as pessoas que

se relacionaram comigo ao longo de minha vida. Tudo o que sei devo a elas.

Dedico este trabalho à minha esposa Zilmar e meus filhos Nícolas e Lucas,

que me apoiaram durante todo o tempo do curso, e sempre compreenderam minhas

dificuldades.

xiv

Agradecimentos

Destaco meus agradecimentos a algumas pessoas que mais

diretamente estiveram envolvidas na realização deste trabalho. Agradeço ao

meu colega Dr. Régis K. Romeu, pela inestimável atenção e orientação inicial.

Agradeço ao meu professor Dr. Pavel Bedrikovsky, cuja boa vontade,

entusiasmo e espírito de solidariedade são contagiantes. O que aprendi com o

professor Pavel transcende a matéria dada. Agradeço ao meu colega Amaro

Luiz Cassiano Dias, pela enorme dedicação e boa vontade na elaboração do

programa para tratamento do problema de Buckley e Leverett (1942). Sem sua

qualidade profissional eu não teria obtido resultados tão satisfatórios.

Agradeço aos meus orientadores, Dr. Viatcheslav Priimenko e Dr. José

Adilson Tenório Gomes, que aceitaram o desafio de encarar comigo o tema.

Agradeço a todos os meus colegas neste curso pela solidariedade e

espírito de cooperação. Faço-os se representar especialmente nas pessoas da

Márcia Ida e do José Sérgio Daher. Meu maior estímulo ao longo do curso foi

fazer parte desta turma. A Adolfo Puime Pires e a Luís Henrique Zapparolli,

agradeço pela inestimável ajuda no finalzinho desta tese. São amigos de

singular valor.

Meu reconhecimento e agradecimento ao espírito de solidariedade de

meus colegas da Petrobras. O espírito de solidariedade dos colegas desta

empresa é a que a torna forte, e capaz de representar o nosso país no mundo

empresarial. Agradeço em especial à minha colega Gláucia Cristina Terra Cruz,

pela atenção e boa vontade na montagem deste relatório. Os recursos

fornecidos pela Petrobras (programa de simulação e equipamentos) foram

fundamentais ao desenvolvimento desta tese.

Introdução

Os estudos de reservatórios são responsáveis pela predição da produção e

comportamento dos reservatórios durante a vida do projeto. Os simuladores

numéricos de fluxo em meio poroso são uma das mais poderosas ferramentas da

engenharia para a realização mais precisa desta predição de comportamento. Um

dos métodos numéricos mais utilizados comercialmente é o de diferenças finitas de

volume de controle, cuja sigla na língua inglesa é CVFD. Nestes simuladores o

reservatório é dividido em blocos de simulação, nos quais as equações

fundamentais de fluxo são aplicadas e procura-se ajustar o histórico de produção do

campo. Os modelos de fluxo são basicamente constituídos de quatro tipos de

informações:

1. Propriedades físicas da rocha e dos fluidos;

2. Geometria do reservatório;

3. Histórico de pressão e produção dos fluidos;

4. Malha de simulação (tamanho dos blocos e direção da malha)

Espera-se que a malha de simulação não seja relevante no ajuste de histórico

de produção dos poços, porém em muitas situações a influência da dispersão

numérica nos resultados da simulação pode se tornar mais importante que as

incertezas geológicas.

Um exemplo clássico do domínio da dispersão numérica sobre os resultados

da simulação é tido no caso do fluxo fracionário óleo/água. O fenômeno do fluxo

fracionário se mostrou mais relevante para o estudo deste trabalho por possuir um

equacionamento bastante conhecido e dominado, cuja solução serve para validação

dos resultados esperados da simulação.

O fluxo fracionário ocorre quando se recupera o óleo contido no meio poroso

a partir da sua substituição por água. Este fenômeno foi equacionado em 1942 por

Buckley-Leverett, e o desenvolvimento das equações resultou em procedimentos de

laboratório para obtenção das curvas de permeabilidade relativa aos fluidos. Para a

aplicação destes conceitos em escala de campo, toma-se por exemplo o projeto de

recuperação de óleo em um reservatório de petróleo através um poço produtor de

óleo e outro injetor de água (Figura 1).

Figura 1 – Projeto de recuperação de óleo por injeção de água.

Para uma elaboração mais precisa do projeto de extração do óleo é

necessário obter uma amostra de rocha (Figura 2), considerada homogênea para os

nossos propósitos. O ensaio do fluxo fracionário nesta amostra fornece uma curva

de produção de óleo seguido de água (Figura 3), gerando finalmente as curvas de

permeabilidade relativa (Figura 4).

∆

q = q

constante

t w

q= q + q

constante

t w o

Figura 2 – Amostra de rocha para ensaio de permeabilidade relativa.

Figura 3 – Curva de produção em ensaio de fluxo fracionário óleo/água.

Figura 4 – Curva de permeabilidade relativa obtida no ensaio.

De posse da geometria do reservatório e demais propriedades geológicas e

de fluidos, gera-se uma malha de simulação conforme mostrado na Figura 5.

Figura 5 - Malha de simulação de reservatório

Observa-se o problema da dispersão numérica da solução quando se simula

numericamente o ensaio de laboratório descrito utilizando as curvas de

permeabilidade relativa obtidas no ensaio. A Figura 6 mostra o esquema de

simulação para a amostra de rocha utilizada no ensaio (Figura 2).

q = q

constante

t w

q= q + q

constante

t w o

∆

Figura 6 - Simulação de fluxo fracionário na amostra de ensaio.

Os resultados de simulação são apresentados na Figura 7.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

VPI (Volume Injetado / Volume Poroso)

)

4 Blocos

6 Blocos

8 Blocos

10 Blocos

Cálculo analitico B&L

Figura 7 - Gráfico de resultados numéricos do problema de Bucley & Leverett

Observa-se nos resultados simulados que a erupção da água se apresenta

tão mais antecipada quanto menos blocos forem utilizados, ou seja, o resultado da

simulação se mostra tão mais próximo da solução desejada quanto mais blocos de

simulação forem utilizados. O aumento na precisão dos resultados a partir do

incremento do número de blocos de simulação se mostra limitado devido à

capacidade de processamento dos computadores existentes. Em muitos modelos, a

quantidade de blocos adotados tem atingido a casa das centenas de milhares, e

nestes casos os tamanhos dos blocos podem ser bastante inferiores à escala de

definição das propriedades geológicas.

A simulação numérica do ensaio de fluxo fracionário numa amostra da rocha,

buscando reproduzir os resultados obtidos analiticamente, revela um caso clássico

onde toda a incerteza da simulação é atribuída à variável matemática do problema.

Entretanto, este efeito matemático é totalmente indesejado quando os estudos de

reservatórios objetivam a caracterização do reservatório, minimizando suas

incertezas geológicas. Neste trabalho apresentamos um método de correção das

curvas de permeabilidade relativa para a reprodução da produção de óleo e água

registradas no ensaio de laboratório. Para tal será feita uma revisão do modelo

analítico de fluxo fracionário desenvolvido por Buckley-Leverett (1942) e uma breve

revisão dos conceitos mais relevante nos simuladores de diferenças finitas de

volumes de controle.

Capítulo 1 - Revisão bibliográfica

Os estudos de deslocamento imiscível de fluidos em meio poroso têm

um marco nos trabalhos de Buckley-Leverett (1942), cujas equações definem o

perfil de velocidades relativas do fluido deslocante em relação ao deslocado.

Com estas mesmas equações, define-se o perfil de saturação dos fluidos ao

longo da região invadida. Entretanto, a solução matemática proposta por

Buckley-Leverett (1942) apresentou uma inconsistência física, e sua solução

numérica era bastante trabalhosa para os recursos da época. Welge (1952)

reviu as equações e propôs uma solução gráfica para o problema. Dake (1978)

descreve este tema de forma bastante didática, apresentando o modelo de

Buckley-Leverett (1942) e a solução proposta por Welge (1952).

Alguns trabalhos sobre o equacionamento de Buckley-Leverett (1942)

levaram ao desenvolvimento de métodos de laboratório para determinação da

permeabilidade relativa a partir de amostras de rocha reservatório. No que diz

respeito aos estudos numéricos de campo, os conceitos teóricos têm tido um

avanço mais lento, isto é, inúmeros estudos têm sido desenvolvidos para se

introduzir corretamente determinadas propriedades à modelagem numérica.

Três trabalhos se destacam na utilização da solução de Buckley-Leverett

(1942) nos ensaios de determinação da permeabilidade relativa de uma

amostra de rocha. Rapoport e Leas (1953) definiram um fator de escala

vL µ⋅⋅ (

é o comprimento do amostra,

é a velocidade de fluxo de Darcy e

µ é a viscosidade do fluido deslocante) para a formação em laboratório do

perfil de saturações previsto pela equação de Buckley-Leverett (1942). Este

trabalho determinou um valor mínimo para o fator

vL µ⋅⋅ no qual os efeitos

capilares e de extremidade do amostra não afetam os ensaios para obtenção

da permeabilidade relativa, pois preponderam os efeitos viscosos.

Johnson et al. (1959) propuseram um método conhecido como JBN para

tornar os ensaios de permeabilidade relativa mais rápidos e confiáveis. O

método JBN definiu analiticamente expressões para associar o fluxo de fluidos

produzidos à saturação na extremidade produtora da amostra da rocha,

calculada a partir do perfil de saturações calculado por Buckley-Leverett (1942)

expresso na solução de Welge (1952).

Jones e Roszelle (1978) geraram um novo método gráfico de

determinação da permeabilidade relativa a partir do desenvolvimento analítico

da equação de Buckley-Leverett (1942). A construção das curvas de

permeabilidade relativa se dá na conclusão que a saturação do fluido injetado,

em qualquer ponto da amostra da rocha, é função apenas do número de

volumes porosos injetados.

Os trabalhos de Welge (1952), Rapoport e Leas (1953), Johnson et al.

(1959) e Jones e Roszelle (1978) mostram uma evolução no tratamento

analítico das equações de Buckley & Leverett, com aplicação experimental de

bastante precisão na determinação das curvas de permeabilidade relativa. O

tratamento analítico das equações se revelou bastante preciso devido às

considerações de homogeneidade e geometria linear das amostras de rocha

utilizadas. Entretanto, quando o problema é aplicado à escala de campo, surge

a necessidade de se considerar as heterogeneidades e a geometria irregular

dos reservatórios. Esta questão motivou o desenvolvimento de simuladores

numéricos de fluxo, cujos blocos são algumas ordens de grandeza superior às

amostras de ensaios. Houveram então alguns trabalhos desenvolvidos no

intuito de preservar os resultados quando da mudança de escala.

Kyte e Berry (1975) propuseram um método de criação de pseudofunção

da permeabilidade relativa para resolver problemas de redução de número de

blocos de simulação, dadas a ainda precária qualidade dos computadores da

época. A pseudofunção proposta possibilitou aproximar os cálculos de

saturações de água da malha mais grosseira ao resultado obtido em seção

para a malha mais refinada, dadas as dispersões numéricas já conhecidas à

época.

Starley (1988) propõe uma técnica de geração de pseudofunção para

problemas de deslocamento de fluidos imiscíveis, em modelos numéricos de

reservatórios bastante extensos com malha bastante grosseira. As

pseudofunções propostas levam em conta os efeitos de dispersão numérica e

da orientação da malha de simulação. Neste caso o resultado de simulação em

malha 3D mais refinada serve de referência à construção da solução.

King et al. (1992) propuseram uma renormalização do espaço real como

alternativa à solução com pseudofunção, resolvendo questões localizadas em

detrimento de solução mais ampla, posto a dificuldade do problema. As

propriedades efetiva de pequenas regiões podem ser calculadas e depois

inseridas na malha grosseira.

Taggart et al. (1995) propuseram nova técnica de geração de

pseudocurvas de permeabilidade relativa dependentes do comprimento dos

blocos, comparando os resultados de Kyte e Berry (1975). Na proposta deste

trabalho insere-se o conceito de zonas idealizadas, obtidas por observação da

velocidade de propagação do perfil de saturações nestas zonas. As

pseudofunções são construídas a partir das posições das interfaces dos

blocos, para o perfil de saturação definido por Buckley-Leverett (1942), com a

solução de Welge (1953).

Hewett et al. (1998) fizeram uma abordagem analítica do problema de

Buckley-Leverett (1942) , gerando pseudocurvas de permeabilidade relativa

para cada bloco da malha de definição do problema. Neste trabalho foram

apresentadas correções na curva de fluxo fracionário para as condições de

discretização do meio poroso.

O programa UPA, desenvolvido no Centro de Pesquisa da Petrobras

(CENPES) por Romeu et al. (1997) desenvolve um tratamento das curvas de

permeabilidade relativa para um sistema de blocos, em superposição ao perfil

de saturações de Buckley-Leverett (1942), como demonstrado na Figura 1.1.

Este trabalho, a exemplo de Hewett et al. (1998), desenvolve uma pseudocurva

para cada bloco, em função do avanço do perfil sobre cada bloco.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

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0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

krw laborat

kro laborat

krw1

kro1

krw2

kro2

krw3

kro3

Figura 1.1 – Gráfico de pseudofunções geradas pelo programa UPA (Petrobras/CENPES)

Em nossa pesquisa bibliográfica não encontramos nenhum método de

correção ao fluxo fracionário em meio poroso que reproduza de forma prática

os resultados obtidos a partir das equações de Buckley-Leverett (1942).

Buscamos neste trabalho gerar um método de criação de curvas de

permeabilidade relativa corrigidas para reproduzir os resultados previstos

analiticamente por Buckley-Leverett (1942). A curva de permeabilidade relativa

corrigida deverá ser única para todos os blocos do sistema simulado, e terá

como objetivo reproduzir a produção de água e óleo na extremidade produtora

da amostra de rocha simulada. Esta curva de permeabilidade relativa corrigida

deverá reproduzir, em escala de campo, a produção de óleo e água medidas

nos ensaios de laboratório que geraram a curva de permeabilidade relativa

inicial.

Capítulo 2 – Modelagem Analítica do Deslocamento Imiscível 1-D

O problema do deslocamento imiscível de dois fluidos foi equacionado por

Buckley-Leverett (1942) para o fluxo linear em um meio poroso homogêneo com

seção constante. Este problema pode ser descrito tomando-se um corpo como o

apresentado na Figura 2.1, de porosidade φ, permeabilidade κ, comprimento

área transversal yhA

∆⋅= .

∆

Permeabilidade

Porosidade

q = q

constante

t w

q= q + q

constante

t w o

Figura 2.1 - Esquema de injeção de água em um corpo poroso

Tome-se o corpo da Figura 2.1 inicialmente com os poros totalmente

preenchidos com óleo, exceto pela saturação de água imóvel aprisionada que

recobre os grãos (

S ). Injeta-se água de viscosidade

µ em uma das extremidades

do corpo poroso e recupera-se inicialmente óleo de viscosidade

µ na outra

extremidade, seguido da produção simultânea de óleo e água. Durante o

deslocamento os poros estarão preenchidos apenas por óleo e água, e de acordo

com a equação 2.1

1=+

SS . (2.1)

Admitindo-se que todo o óleo presente na amostra de rocha pode ter contato

com a água injetada, mede-se a eficiência de deslocamento do óleo pela água pela

equação 2.2

VOIP

= , (2.2)

onde o termo

N é a quantidade de óleo recuperada, e VOIP é o volume de

óleo existente inicialmente no interior do corpo poroso, e é igual ao volume poroso

vezes a saturação inicial de óleo. No caso mais geral, onde o fluxo ocorre em várias

direções, considera-se como VOIP apenas o óleo contatado pelo agente deslocante

(água) nos poros da rocha, isto é, o volume de óleo existente inicialmente na região

invadida pela água. Num ambiente com mais de uma direção existem diversas linhas

de fluxo, porém no caso de fluxo linear definido no estudo de Buckley-Leverett

(1942) existe uma linha de fluxo apenas.

O objetivo principal do estudo de deslocamento é maximizar, de forma

econômica, o valor da eficiência de deslocamento E

. Esta eficiência é função da

razão de mobilidades dos fluidos concorrentes, como se verá mais adiante.

A teoria básica do deslocamento de fluidos imiscíveis apresentada por

Buckley-Leverett (1942) apresenta as seguintes condições físicas:

Ø Deslocamento unidimensional

Ø Meio poroso homogêneo

Ø Fluidos imiscíveis

Ø As forças capilares são negligenciadas

Ø As forças gravitacionais são desprezadas.

São três as forças que agem no meio poroso: gravitacional, capilar e viscosa.

A força gravitacional atua sobre a diferença de densidade dos fluidos, forçando os

mais leves a ocupar as porções mais altas do reservatório. Já as forças capilares

dizem respeito a fenômenos de atração rocha/fluido e são ligadas aos fenômenos da

molhabilidade. A pressão capilar implica que o fluido molhante tende a penetrar a

região ocupada pelo fluido não molhante, e sua atuação será tão mais intensa

quanto menores forem as gargantas de poros da rocha e a molhabilidade da rocha a

este fluido. Numa amostra de rocha de pequenas dimensões, para ensaio de

laboratórios, este efeito será mais relevante que num estudo de campo, onde as

dimensões envolvidas são bem maiores. As forças gravitacional e capilar podem ser

desprezadas, sob determinadas condições, no fluxo de dois fluidos imiscíveis no

meio poroso. O fluxo fracionário aqui estudado resume-se aos efeitos das forças

viscosas, responsáveis pela perda de carga durante o deslocamento e o transporte

de quantidade de movimento. As forças viscosas são forças associadas ao

movimento, à dinâmica do deslocamento estudado. Desta forma pode-se considerar

que o fluxo dos fluidos é difuso. Entenda-se por fluxo difuso que as saturações dos

fluidos em qualquer seção transversal ao fluxo seja uniformemente distribuída com

relação à espessura. Em outras palavras, não existe a segregação ou concentração

dos fluidos em partes do meio poroso. (Dake, 1978).

Considerando que o fluxo é incompressível, a vazão total dos fluidos em

qualquer seção transversal ao fluxo é definida pela equação 2.3

iwot

qqqq =+= , (2.3)

onde

q é a vazão total dos fluidos,

q é a vazão do óleo e

q a vazão da

água,

q é vazão de água injetada.

Denomina-se fluxo fracionário ao fluxo simultâneo de fluidos por uma seção

transversal, definido pela equação 2.4

= , (2.4)

onde

two

qqq =+ .

Pela lei de Darcy generalizada para o fluxo multifásico, tem-se as vazões dos

fluidos definidas pela equação 2.5 e a equação 2.6,













⋅⋅+

∂

∂⋅⋅

−=

∂

Φ∂

⋅

⋅⋅⋅

−= θρ

µµ

seng

pAkk

Akk

croo

ocro

(2.5)













⋅⋅+

∂

∂⋅⋅

−=

∂

Φ∂

⋅

⋅⋅⋅

−= θρ

µµ

seng

pAkk

Akk

crww

wcrw

, (2.6)

onde k é a permeabilidade absoluta da rocha,

k e

k são as permeabilidades

relativas ao óleo e à água na seção observada,

A é a área transversal ao fluxo do

meio poroso,

ρ e

ρ são as densidades do óleo e da água,

Φ e

Φ são os

potenciais do óleo e da água,

é a aceleração da gravidade e

a inclinação do

corpo rochoso em relação ao plano horizontal.

A permeabilidade relativa é uma função das saturações dos fluidos, e é

expressa por uma curva como a da figura 2.2 que pode ser aproximada por um

modelo de potência, como expresso na equação 2.7.























−−













−−

−

wor

roro

wiw

rwrw

(2.7)

onde

S é a saturação de óleo residual,

S é a saturação de água irredutível, e os

expoentes

e b são constantes de forma. Os modelos de potência representam

com bastante precisão os valores de permeabilidade relativa medidos em

laboratório.

Figura 2.2 – Gráfico típico de permeabilidade relativa óleo/água

Subtraindo a equação 2.6 da equação 2.5, aparecerão os termos relativos à

pressão capilar e às forças gravitacionais. Dake (1978) mostra de forma bastante

didática estes passos citados. Como dito anteriormente, estes termos são

negligenciados para que sobreponha apenas os efeitos viscosos. Então:

ppp

== e 0

Reescrevendo a equação 2.4 a partir da equação 2.5 e da equação 2.6

teremos a equação 2.8 do fluxo fracionário para uma seção transversal ao fluxo:

( )

wro

wrw

⋅+

. (2.8)

Importante destacar que, enquanto a curva de permeabilidade relativa é

função apenas da saturação dos fluidos, a do fluxo fracionário é função da saturação

dos fluidos e também da viscosidade dos mesmos, e que a viscosidade é função da

pressão e da temperatura. Portanto a curva de fluxo fracionário pode variar ao longo

da linha de fluxo, então se faz necessário adotar a hipótese simplificadora que a

viscosidade se mantém constante ao longo de toda a linha de fluxo estudada. A

curva de fluxo fracionário é apresentada na figura 2.3.

Figura 2.3 – Curva de fluxo fracionário

A solução de Buckley-Leverett (1942) determina a velocidade de um plano de

saturação de água S

constante atravessando um sistema poroso linear, conforme

se demonstra na figura 2.4

q ρ

∆+

Figura 2.4 – Seção esquemática de amostra de rocha com fluxo fracionário imiscível

O balanço de massa para a água é dado pela equação 2.9:

( )

wwc

dxAqq ⋅

∂

⋅⋅⋅=−

∆+

ρφρρ (2.9)

Trabalhando a expressão, teremos:

( ) ( )

wwcww

dxAdxq

qq ⋅

∂

⋅⋅⋅=













∂

+− ρφρρρ

( ) ( )

wwcww

⋅

∂

⋅⋅−=

∂

ρφρ (2.10)

A equação 2.10 é a equação da continuidade para a água, que pode ser

considerada incompressível

(

)

constante≈

ρ . Então vem a equação 2.11

∂

⋅⋅−=

∂

φ (2.11)

O fluxo fracionário ou a vazão de água numa seção do meio poroso é função

da saturação conforme visto na equação 2.8. Então se tem a equação 2.12:













∂

⋅

∂

(2.12)

O diferencial total da saturação de água é dado por

∂

Analisando o movimento de um plano com saturação de água constante

dS , teremos a equação 2.13:

∂

(2.13)

Substituindo a equação 2.12 e equação 2.13 na equação 2.11, teremos a

equação 2.14

∂

⋅⋅−=

∂

φ (2.14)

Redefinindo a vazão da água da equação 2.14 pela expressão do fluxo

fracionário dada na equação 2.8, obtém-se a equação 2.15, de Buckley-Leverett

(1942):

v ⋅

⋅

(2.15)

A equação de Buckley-Leverett (1942) determina que a velocidade de um

plano de saturação de água constante é proporcional à derivada da curva de fluxo

fracionário da água pela saturação da água. A figura 2.5 mostra o formato desta

derivada.

Figura 2.5 - Gráfico da derivada do fluxo fracionário da água

A equação de Buckley-Leverett (1942) permite ainda calcular o perfil de

saturação de água no interior do interior do meio poroso, dado pela equação 2.16

∫

⋅

dtq

φ⋅

= (2.16)

A equação 2.16 mostra que o perfil da água também é diretamente

proporcional à derivada do fluxo fracionário da água na saturação e a ao volume

injetado. O formato da derivada, mostrado na figura 2.5, é o do perfil de saturações

no interior do meio poroso. A interpretação física correta, entretanto, requer a

mudança dos eixos da função. Matematicamente a posição

do plano de saturação

é função da saturação

S , mas fisicamente a saturação

S deveria ser função do

afastamento ao ponto de injeção do fluido deslocante. A figura 2.6 demonstra a

questão.

Figura 2.6 - Distribuição da saturação de água injetada

O resultado acima contém uma impossibilidade física, a coexistência de três

valores distintos para a saturação em uma determinada posição dentro da zona

invadida pela água injetada. Esta questão não ficou bem explicada à época, mas

Buckley-Leverett (1942) propuseram como solução a existência de uma frente de

choque ou avanço da água, de valor

S . O valor desta frente seria determinado

pela igualdade das duas áreas destacadas, honrando o volume de água injetado.

O cálculo das áreas destacadas exige uso de métodos numéricos, um grande

complicador para os recursos computacionais da década de 40. Welge apresentou

em 1952 uma solução gráfica o problema de fluxo fracionário da água.

A solução apresentada por Welge (1952) pode obtida a partir da equação

2.15 de Buckley-Leverett (1942). Segundo o raciocínio proposto por Welge (1952),

após um intervalo de tempo

haverá uma região invadida

x pela água injetada

conforme definido na equação 2.17:

tvx

w S

⋅= (2.17)

Utilizando os conceitos da Equação de Balanço de Materiais (EBM), neste

instante

a região invadida

x estará saturada de água a uma saturação média

S . A EBM para a região invadida de água é expressa na equação 2.18:

∫

=⋅⋅⋅

tSwm

dtqAxS

φ (2.18)

A figura 2.7 ilustra o raciocínio:

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1 - S

Figura 2.7 - Gráfico de saturação média na região invadida pela água injetada

A equação 2.16 permite uma decomposição importante: o formato do perfil da

frente é definido pelo termo da derivada do fluxo fracionário pela saturação de água,

, e desde que a viscosidade se mantenha constante o perfil de saturações na

região invadida será constante, e o comprimento da região invadida será

determinado pelo termo do volume injetado

φ⋅

. Para um esquema de vazão

constante, à medida que o volume injetado aumenta este perfil vai se alongando. A

determinação do comprimento da região invadida

x é obtida diretamente da

equação 2.17, como demonstrado na equação 2.19:

φ⋅

= (2.19)

Dividindo-se a equação 2.16 pelo comprimento da zona total invadida pela

água injetada,

x , dado pela da equação 2.19, tem-se:

wfwf

φ⋅⋅

= (2.20)

A quantidade de água que se acumula na região invadida é expressa na

equação 2.21:

wiwm

−=

⋅⋅ φ

(2.21)

Substituindo a equação 2.21 na equação 2.20, teremos a equação 2.22

( )

wiwm

x −== (2.22)

A equação 2.22 é definitiva quanto à interpretação aqui introduzida: o perfil de

saturação manterá sempre o mesmo formato, apenas se alongando. Obviamente

esta interpretação só é válida até o instante de erupção da água, quando a região

invadida é igual ao comprimento da amostra de rocha.

A solução de Welge pode ser obtida quando

wfw

xx = é aplicado à equação

2.22.

( )

wiwm

SS −=1 ou

( )

wiwm

SSdS

−

(2.23)

A equação 2.23 é a solução apresentada por Welge (1952) ao problema

equacionado por Buckley-Leverett (1942). O procedimento proposto por Welge

(1952) está ilustrado na figura 2.8, e pode ser assim descrito:

1. Dada a curva de permeabilidade relativa, plotar o gráfico de fluxo

fracionário

f dada pela equação 2.8;

2. Traçar uma reta tangente à curva de fluxo fracionário e que contenha o

ponto

(

)

0.0, =

rww

3. A saturação de água da frente de choque é obtida no ponto de tangência

da reta com a curva de

f ; o ponto onde esta reta tangente tem valor

0.1=

f determina a saturação média de água na região invadida.

Figura 2.8 –Solução da equação de Buckley-Leverett (1942) por Welge (1953)

Observa-se então que o domínio da saturação de água se restringe ao

intervalo ]1,[

orwf

SS − . Este conceito nos será bastante útil, mais adiante, quando se

falar do campo de soluções para o problema da dispersão numérica tratado neste

trabalho.

A solução de Welge (1952) permite calcular a saturação média de água

′

no meio poroso linear no intervalo 0.10 <<

x conforme a expressão equação 2.24

apresentada em Dake (1978):

wwm

′

−

′

(2.24)

A equação de Buckley-Leverett (1942) permite também calcular

analiticamente uma curva de produção de água no ensaio de deslocamento imiscível

de fluidos. Retomando a equação 2.16 de velocidade de Buckley-Leverett (1942),

pode-se calcular o volume de água injetado no tempo de erupção da água de acordo

com a equação 2.25.

⋅

⋅==

(2.25)

Como o volume poroso da amostra de rocha é determinado por

⋅

pode-se calcular a fração do volume poroso ocupado pela água injetada pela

equação 2.26:

φφ ⋅⋅

⋅

⋅⋅

VPI

BTti

(2.26)

Substituindo equação 2.26 na equação 2.25, calcula-se a fração do volume

poroso invadido no instante de erupção da água, através da equação 2.27:

1−













VPI (2.27)

O cálculo de evolução da fração de água recuperada pode ser obtido com

uma pequena manipulação da equação de velocidades de Buckley-Leverett (1942).

Basta multiplicar ambos os lados da equação 2.15 por

, onde

é o tempo que o

plano de saturação

S leva para percorrer a distância

www

VPI

⋅=⋅

⋅⋅

=⋅

⋅⋅

⋅

φφ

mas 1=

⋅

, então

1=⋅

VPI

1−













VPI (2.28)

A equação 2.28 determina a quantidade de volumes porosos injetados

necessários para que o plano de saturação

S chegue na extremidade produtora da

amostra de rocha. A produção de água relativa a esta curva de permeabilidade

relativa é obtida tomando-se os valores de

(

)

Sf calculados com a equação 2.8 e

os valores de VPI calculados com a equação 2.28. Um gráfico como o da figura 2.9

poderá ser assim analiticamente obtido.

Cálculo analitico B&L

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800

VPI (Volume Injetado / Volume Poroso)

)

Figura 2.9 – Produção prevista de água no problema de Buckley-Leverett (1942)

Como pode novamente ser constatado, nem a equação 2.27 nem a equação

2.28 sofrem influência do tempo ou da vazão de injeção. Isto resulta da hipótese

matemática adotada de somente haverem forças viscosas atuando no meio poroso,

daí podermos concluir pela manutenção do formato do perfil de saturação na região

invadida. Essa abstração matemática que se faz necessária para o devido

entendimento dos efeitos viscosos deve ser contudo bem compreendida, para não

se chegar a conclusões fisicamente absurdas. Por exemplo, matematicamente se

conclui que, interrompida a injeção, o perfil de saturação de água se mantém

inalterado no meio poroso, já que não existem outras forças para redistribuir os

fluidos. Rapoport e Leas (1953) definiram condições experimentais para se obter em

ensaios de laboratório um perfil de saturações próximo ao idealizado, como função

de uma velocidade mínima que mantenha o domínio das forças viscosas no

processo, também influenciada pelo comprimento da amostra de rocha e a

viscosidade da água injetada.

Ainda sobre a eficiência de deslocamento

E definida na equação 2.2,

podemos concluir que a água injetada oferece dois mecanismos de recuperação: o

óleo que está à frente da zona invadida vai sendo empurrado num mecanismo

semelhante ao fluxo pistão, e na região invadida o óleo vai sendo deslocado por

efeito viscoso com a água, semelhante a um mecanismo de lavagem. Quanto maior

for a saturação da frente de choque, melhor será a eficiência de deslocamento. Por

isso, quanto maior for o VPI relativo ao tempo de erupção da água, melhor será a

eficiência de deslocamento medida, e também maior será o valor do

f neste

instante. No caso de fluxo pistão a eficiência de deslocamento

E da água é

máxima, e no instante de erupção da água teremos







−−=

SSVPI

Quanto menor for a saturação de água da frente de choque mais rápido

ocorrerá a erupção da água injetada, e conseqüentemente menor serão os valores

de VPI e

f observados neste instante.

Deve-se por fim destacar que a solução obtida por Buckley-Leverett (1942)

determina que, na região invadida, o domínio da saturação de água é ]1,[

SS − , e

que somente neste domínio se verificam os efeitos de deslocamento por viscosidade

estudados (região do fluxo fracionário). Esta observação se fará bastante útil mais à

frente, quando for apresentado o estudo de soluções para o problema.

Capítulo 3 – Tratamento numérico do fluxo em meio poroso

Com o desenvolvimento dos computadores a partir da década de 50, vários

problemas matemáticos de difícil solução analítica puderam ser resolvidos

numericamente. No caso dos reservatórios de petróleo, os modelos analíticos

permitem que sejam feitas análises de comportamento sob algumas formas

geométricas clássicas (linear, cilíndrica e esférica) e homogeneidade das

propriedades da rocha e do fluido. Os modelos numéricos se mostraram desde cedo

mais adequados a estas análises por se adequarem melhor às formas geométricas

dos reservatórios e incorporar a variação das propriedades da rocha e do fluido. O

reservatório é dividido em blocos de simulação, cada qual caracterizado com as

propriedades médias da rocha e do fluido na região ocupada. Os simuladores de

fluxo mais comerciais se baseiam em métodos de diferenças finitas de controle de

volumes, cuja sigla em inglês é CVFD, aos quais se referem as equações e

raciocínios apresentados neste trabalho.

As equações usadas nos modelos isotérmicos de fluxo combinam a

conservação de massa com a Lei de Darcy. Nos casos em que haja variação de

temperatura, acrescentam-se equações de conservação de energia. Para o

propósito deste trabalho o modelo adotado é isotérmico.

x+x∆

∆y

∆x

∆z

z+z∆

y+y

∆

(x,y,z)

Figura 3.1 – Esquema de bloco de simulação e orientação de eixos

Tomando como base o elemento de controle da Figura 3.1, podemos aplicar a

equação 3.1 da conservação de massa para fluxo monofásico:

(

)

(

)

(

)

(

)

tttt ∆∆∆∆

=+− acumulaçãodourofonte/sumisai que massaentra que massa

(

)

(

)

[

]

( )

ttt

xyz

zyxzzyyxx

zyxtzyx

tqqqqqq

ρφρφω

ρρρρρρ

−∆∆∆=∆∆∆∆+

∆+++−−−

∆+

∆+∆+∆+

(3.1)

onde

tzyx

massa

xyz

∆∆∆∆

...

ω é um termo relativo à fonte/sumidouro (ocorrência de poço,

por exemplo).

Desenvolvendo a equação 3.1 teremos:

(

)

(

)

(

)

[

]

( )

ttt

xyz

zzzyyyxxx

zyxtzyx

tqqqqqq

ρφρφω

ρρρρρρ

−∆∆∆=∆∆∆∆+

∆−−−−−−

∆+

∆+∆+∆+

tzyx

zyx

ttt

xyz

zzz

yyy

xxx

∆

−

∆∆∆

−

∆∆∆

−

∆∆∆

−

∆+∆+

∆+

ρφρφ

ρρ

Aplicando a equação de Darcy











∂

−=

∂

−=

∂

−=

para a direção

teremos

ttt

xyz

zzz

yyy

xxx

∆

−

∆

−

∆

−

∆

−

∆+∆+

∆+

ρφρφ

ρρ

Tomando o limite de 0

→

∆

x , 0

→

∆

y e 0

→

∆

z , num regime contínuo,

obteremos a forma diferencial da equação para um meio contínuo:

∂













∂













∂













∂

∂ φ

φρ

ρ (3.2)

q é o termo fonte/sumidouro.

Considerando que não ocorrem fortes gradientes de pressão no elemento de

controle, é possível admitir que a densidade ρ não varia entre as faces deste

elemento de controle. A densidade ρ é uma função da pressão, e sua variação pode

ser expressa por:

∂

⋅=

, onde c

é a compressibilidade do fluido, e a porosidade pode ser

expressa por

∂

⋅=

, onde c

é a compressibilidade da rocha.

Assim, a equação 3.2 se desenvolverá:

∂













∂













∂













∂

∂ φρ

µµµ

rfv

∂













∂













∂













∂

φφ

µµµ

∂













∂













∂













∂

µµµ

sendo

rft

ccc += a compressibilidade total do sistema. Considerando um bloco onde

não haja fonte sumidouro ( 0=

q ), que o bloco seja isotrópico e homogêneo

( constante===

zyx

kkk ), e que a variação de viscosidade

seja desprezível,

obtemos a equação 3.3 - a equação da difusividade para fluxo monofásico.

∂

(3.3)

sendo

µφ

η = é o coeficiente de difusão hidráulica.

Para o caso mais geral, de fluxo multifásico, utiliza-se o sistema de equações

3.4:

( )













−∇∇−+













∂













−∇∇−+













∂













−∇+−∇∇−++

























∂

gpk

gpkEgpk

qqRSE

ggggoo

gosgg

λφ

ρλρ

(3.4)

No sistema de equações 3.4 a primeira equação é da difusividade relacionada

à fase gás, a segunda à água e a terceira ao óleo. O termo

BE 1= é o coeficiente

de expansão do gás livre (inverso do fator volumétrico). Os termos µλ

k= são a

relação entre a permeabilidade relativa (que é função da saturação de fluido na

região analisada) e a viscosidade de cada fluido. O termo

R é a razão de

solubilidade do gás, isto é, representa o volume de gás dissolvido na fase óleo

(

)

resres

TP ,@ , porém medidos em condições de superfície.

As três equações de difusividade apresentadas acima apresentam a mesma

forma, e podem ser escritas como na equação 3.5:

( ) ( ){ }

0=−∇•∇−+

∂

gpTkqA

ρ (3.5)

onde

= , é o termo de acumulação,

µB

= , é o termo de transmissibilidade

relativa de cada fluido, k é a permeabilidade absoluta,

é a pressão da fase,

a densidade do fluido, e g é a aceleração da gravidade.

Considerando o fluxo horizontal, onde o gradiente gravitacional é zero, a

equação 3.5 poderá ser descrita como

{ } ( )

qSpDqpTkA

−=−∇•∇=

∂

, (3.6)

onde o termo

(

)

{

}

pTkSpD ∇•∇=, representa a parcela de transmissão de fluxo entre

células.

Existem dois métodos numéricos mais freqüentemente utilizados para

solucionar as equações diferenciais parciais como a equação 3.6: diferenças finitas e

elementos finitos. A maioria dos simuladores comerciais utiliza o método de

diferenças finitas, que são baseados em expansões da série de Taylor.

As expansões da Série de Taylor podem ser exemplificadas em um sistema

unidimensional, onde sejam tomados três pontos de rede

adjacentes com os

seguintes valores da função

u .

(

)

( )

−−

xuu

(3.7)

Os valores da função

u estarão assim relacionados:

....

'''

....

'''

∆

−

∆

+∆−=

∆

+∆+=

−

uxuuu

jjjjj

(3.8)

Subtraindo uma da outra, teremos então:

......'''

∆

−

∆

−

−+

u , (3.9)

ou, de forma reduzida:

( )

' xO

∆+

∆

−

−+

(3.10)

onde o termo

(

)

xO ∆ representa o erro de truncamento resultante da aproximação

da solução do método de diferenças finitas ao da solução analítica da equação

diferencial parcial.

Quanto a discretização espacial, existem dois métodos usualmente utilizados para

produzir as equações de diferenças finitas. Na discretização pelo centro do bloco,

os blocos são primeiro determinados e os pontos de análise são centrados nos

blocos (Figura 3.2 e 3.3). Não se selecionam pontos nas fronteiras dos blocos

extremos.

∆

x=L/nblocos

Figura 3.2 – Sistema de malha de bloco centrado

∆x

i- 1 /2

∆

i + 1 / 2

i -

i +

∆

i- 1

i + 1

bloco

selado

Figura 3.3 – Sistema de malha de bloco centrado

As derivadas espaciais ocorrem do lado direito da difusividade na equação

3.6. No caso de diferenças centradas nos blocos, a derivada espacial numérica da

difusividade será descrita como a equação 3.11, para a direção

(

)

(

)

( ) ( )













∆

−

∆

−

∆

∇

•

∇

−

−−

2121

....

..,

pkTSpD

(3.11)

com termos similares desenvolvidos para as direções y e z. Os termos

2121

−− jj

kT ,

2121

++ jj

kT são propriedades das fronteiras esquerda e direita do bloco,

respectivamente.

À equação 3.11 pode ser dada uma interpretação física. Multiplicando ambos

os lados da equação 3.6 pelo volume do bloco

jjj

zyx ∆∆∆ , tem-se:

(

)

[

]

sai que Fluxo - entra que Fluxo, =∆∆∆

jjj

zyxSpD , (3.12)

onde

[ ]













∆

−

∆∆=













∆

−

∆∆=

−

−−

2121

sai que Fluxo

entra que Fluxo

jjjj

kTzy

(3.13)

O erro de truncamento da variável espacial para o sistema de blocos

centrados é dado pela equação 3.14.

( )

211

to truncamende Erro

jjj

xxx

∆+

∆

∆+∆−∆

−+

(3.14)

Em outra forma de discretização espacial do problema, definem-se pontos no

espaço, sendo o primeiro e o último na fronteira do sistema, e depois se definem as

fronteiras dos blocos na metade das distâncias entre os pontos definidos, como se

vê na Figura 3.4 e 3.5.

ºº

∆

x=L/nblocos

Figura 3.4- Sistema de malha de pontos definidos

A descrição numérica da expressão espacial da equação 3.6 poderá ser

então descrita:

(

)

(

)

( ) ( )













∆

−

∆

−

∆−∆

∇

•

∇

−

−−

−+ 21

2121

21.21.

....

..,

pkTSpD

(3.15)

O erro de truncamento para o sistema de pontos definidos é dado pela

equação 3.16

(

)

(

)

2121

to truncamende Erro

jjj

xOxx ∆+∆−∆=

−+

(3.16)

É importante observar que o erro de truncamento no sistema de blocos

centrados apresenta um termo

(

)

1O , o que implica que deverá existir um erro finito

quando 0

→

∆

x em espaçamentos de malha irregular. Na prática, implica que se os

blocos adjacentes não forem muito diferentes no tamanho, este erro também não

será muito expressivo. É importante ainda destacar que em ambos os sistemas

ocorrerão um erro de 2ª ordem em malha de espaçamento regular.

bloco

selado

( )

211 −

∆=

xδ

( )

212 +

∆=

xδ

21−

∆

21+

∆

21+i

21−i

( )

2121 −+

∆+∆=∆

iii

xxx

Figura 3.5 Sistema de malha de pontos definidos

Em ambos os sistemas os termos

21+i

k são estimados pela média harmônica

da equação 3.17:

(

)

∆+∆

∆

jjjj

kxkx

kkxx

k (3.17)

A média harmônica corresponderá à queda de pressão obtida em regime

permanente de fluxo. Quando ocorrer fluxo bifásico, a permeabilidade de cada

componente deverá ser reduzida pela sua respectiva permeabilidade relativa.

Determina-se o valor de

21+j

k para a interface entre os blocos

, cujas

saturações no intervalo de tempo N valem

S e

. Pode-se determinar o valor

21+j

k pela média aritmética das permeabilidades relativas de cada um dos

blocos, ou a permeabilidade relativa da saturação média dos blocos. Este esquema

é denominado ponderação de ponto central e apresenta uma solução

matematicamente possível, mas fisicamente incorreta. Por essa razão, o esquema

mais comumente utilizado é o de ponderação à montante, onde

(

)

( )











wrl

jji

ppSk

se ,

(3.18)

Quanto à discretização temporal, retornamos à equação 3.6 da difusividade

{ } ( )

qSpDqpTkA

−=−∇•∇=

∂

A variável tempo é discretizada pela equação 3.19.

( )

( ){ } ( ){ }

nnnnnn

qSpDqSpD

−+−−=

∆

−

+++

,,1

111

θθ (3.19)

onde

é um ponderador. O erro de truncamento é:

(

)

{

}

21to truncamende Erro ttO ∆+∆−= θ (3.20)

O erro será minimizado para 21=θ . Essa aproximação é denominada

método de Crank-Nicholson. Para 0

, a discretização é considerada

completamente implícita (fully implicit). O método completamente implícito contém

pressões e saturações desconhecidas, no nível de tempo 1

n . Isto significa que

um conjunto de equações não lineares precisam ser resolvidas para determinar

++ nn

Sp .

Quanto à estabilidade numérica, os procedimentos como o estipulado na

equação 3.19 são chamados métodos em marcha (marching methods), porque a

solução no tempo

tt = precisa ser conhecida antes da solução avançar para o

tempo

tt . A presença de erros computacionais pode determinar uma

instabilidade numérica. Por exemplo, considerando a seguinte equação diferencial

ordinária:

−=

que possui a seguinte solução geral

(

)

1++= xAey

Se for dada a seguinte condição inicial, y(0)=1, a solução particular será:

xy .

Se um pequeno erro O(ε) é introduzido em x=0, então a solução numérica

será dada por

(

)

1. ++= xey

ε , num erro introduzido na resposta, não importa quão

pequeno seja ε. Todo o esquema que permite o crescimento de erros, é chamado

de instável.

Para análise de estabilidade da equação 3.21 de Buckley-Leverett (1942), que

define o deslocamento entre dois fluidos imiscíveis:

∂

′

∂

(3.21)

e , por simplificação, será assumido que constante=′

fv .

A equação 3.21 de Buckley-Leverett (1942), poderá ser discretizada pelo

método integral. Utilizando o sistema de blocos centrados, a taxa de acumulação no

bloco

será dada pela equação 3.22:

(

)

zyxSS

∆∆∆−=

acumulação na Variação (3.22)

onde será assumido que o espaçamento nas direções

é constante, e que

tNt

∆

. O fluxo de massa que entra pela face esquerda do bloco da Figura 3.3, em

um intervalo de tempo t

∆

. entra que Massa

−

′

∆∆∆=

wwt

Sfvzyt

(3.23)

E a massa que sai pela face direita, neste mesmo intervalo de tempo t

∆

, é :

. sai que Massa

′

∆∆∆=

wwt

Sfvzyt

3.24)

Conseqüentemente, a equação 3.21 de Buckley-Leverett (1942) poderá ser

assim reescrita:

(

)

(

)

2/12/1

+−

−

′

∆∆∆=−∆∆∆

jjjj

wwwt

SSfvzytSSzyx , (3.25)

(

)

2/12/1

+−

−

′

∆

=−

jjjj

wwwt

SSfv

SS (3.26)

Na equação 3.26 para Buckley-Leverett (1942) não está especificado em que

nível de tempo a equação estaria referida, ou qual valor de

21+j

S . O valor de

21+j

será dado por:

2/1

que é uma média ponderada pelo ponto central

. Se o lado direito da equação 3.26

for estimado para o nível de tempo tNt

∆

, então será explícita no tempo, e o

esquema resultará:

(

)

wwt

jjjj

fvSS

+−

−

∆

′

=−

−

(3.27)

Esta é uma aproximação explícita porque todos os termos do lado direito da

equação estão estimados no nível de tempo N . A solução no nível de tempo tNt

∆

pode ser avançada para o nível de tempo

(

)

tNt ∆+= 1 , e a equação 3.27 terá um erro

de truncamento de ordem

(

)

xtO ∆+∆ . Para analisar a estabilidade deste esquema,

faz-se necessário utilizar uma análise de estabilidade de Fourier. Este método de

análise examina o comportamento de um pequeno erro quando o tempo se torna

longo. Admita-se um erro devido a truncamento ou arredondamento para a série de

Fourier conforme a equação 3.28.

[

]

∆−= λε 1exp erro

(3.28)

o qual é um componente de Fourier para um erro arbitrário. Substituindo este erro

na equação 3.27, tem-se:

( )

∆













∆

′

+= λε

sen1

0.x 0,t 0, que desde ,

de valoresos todospara 1 será ≠∆≠∆≠

∆

> λλε .

Conseqüentemente, a amplitude do erro quando

∞

→

N também tende ao

infinito, ou, posto de outra forma, um pequeno erro se tornará desmedido com o

número de intervalos de tempo se tornando maiores. Este esquema é

incondicionalmente instável.

Considerando agora o esquema explícito para a equação 3.27, a qual usa um

esquema de ponderação a montante da saturação, definido como











′

0 se

2/1

wtw

fvS

Isto significa que a saturação é estimada à montante do ponto em questão. O

esquema de ponderação à montante ficará então da seguinte forma:

(

)

wwt

jjjj

SSf

vSS −

′

∆

=−

−

(3.29)

e terá o seguinte um erro de truncamento

(

)

xtO ∆+∆ .

Novamente assumindo um erro de truncamento apresentado na equação

3.28, então a condição de estabilidade para a equação 3.29 será

1 se 1 <

′

∆

vε (3.30)

Desde que 1<ε , o erro será minimizado quando

∞

→

N . A condição de

estabilidade 1 <

′

∆

v tem uma interpretação física. Se

′

é assumido como

(

)

1O ,

então a equação 3.30 implica que não mais que um volume de fluido pode ser

movimentado pela célula de simulação em um intervalo de tempo t

∆

, o que

efetivamente coloca a condição no máximo intervalo de tempo, conseqüentemente a

equação 3.29 é considerada condicionalmente estável. A equação 3.30 é também

conhecida como uma condição de processamento.

Se uma aproximação totalmente implícita da equação 3.26 for usada, será

usado o seguinte esquema:

(

)

2/12/1

+−

−

∆

=−

wwt

jjjj

SSfv

SS (3.31)

O valor ainda desconhecido da saturação

1+N

S aparece em ambos os lados

da equação 3.31 da continuidade, então um sistema de equações deve ser resolvido

com o objetivo de avançar a solução um intervalo de tempo. Em conseqüência, um

intervalo de tempo completamente implícito é mais trabalhoso que um intervalo

explícito. Uma análise de estabilidade de Fourier mostra que um esquema

totalmente implícito é estável para qualquer ponto central ou ponderação anterior de

saturações.

Entretanto, pode ser demonstrado que usando uma ponderação de ponto

médio na equação 3.32 dará uma resposta fisicamente incorreta. A resposta

fisicamente correta para a equação 3.21 hiperbólica de Buckley-Leverett (1942) é

dado pelo limite quando 0

→

em:

∂

′

∂

α (3.32)

O termo extra de difusividade apresentado na equação 3.32 em esquema de

ponderação pelo bloco anterior tem erro de ordem

(

)

xO ∆ , então a difusão

desaparecerá no limite de malhas reduzidas. Entretanto, para as malhas de

simulação usuais, o termo de difusividade pode distorcer as frentes de saturação.

Este efeito é conhecido como dispersão numérica. Este é um tema de pesquisa

contínua para desenvolvimento de métodos de diferenças finitas que promovam

difusão suficiente à garantia da solução física correta, contudo não distorcendo as

frentes de saturação desnecessariamente.

Como conclusão, o esquema de ponderação anterior é usualmente usado em

simulação de reservatórios. O esquema de ponderação anterior garantirá que os

esquemas de diferença finita convirjam à solução correta, e aqueles esquemas

explícitos são pelo menos condicionalmente estáveis.

Capítulo 4 – Dispersão numérica

Define-se dispersão numérica como a diferença entre o resultado de uma

equação obtido por solução numérica em relação ao resultado obtido de forma

analítica. A dispersão numérica é devida ao nível de discretização espacial

determinado para a solução dos problemas propostos. Nos tratamentos analíticos

trabalha-se com elementos infinitesimais das equações diferenciais, e portanto suas

soluções, quando possíveis, são consideradas mais precisas que nos métodos

numéricos. As soluções numéricas, por sua vez, se mostram menos precisas que as

analíticas, mas propiciam uma boa solução a problemas que não podem ser

resolvidos analiticamente. A dispersão numérica é assim um fator intrínseco à

solução numérica, diretamente relacionada à limitação computacional de se

trabalhar com o maior número possível de blocos de simulação.

Nos simuladores numéricos de fluxo utilizados pela engenharia de

reservatórios, alguns fenômenos estudados se mostram afetados pela dispersão

numérica. Nos estudos do fluxo fracionário, por exemplo, onde o óleo geralmente é

deslocado por água, observa-se uma dificuldade de reproduzir com mais fidelidade o

avanço da água injetada no meio poroso, seja pela distribuição da frente de choque,

seja pela distribuição de saturação no meio poroso. No espaço bi ou tridimensional,

por exemplo, pode-se traçar analiticamente linhas de fluxo para a água a partir de

superfícies equipotenciais geradas pelo gradiente de pressão induzido no meio

poroso. Entretanto a geometria ortogonal da malha de simulação de fluxo apresenta

limitações fundamentais a uma boa aproximação às linhas de fluxo calculadas.

Dake (1994) apresenta um exemplo bastante ilustrativo de simulação de fluxo

pistão, no qual quando a água chegar à extremidade produtora todo o óleo móvel

deveria ter sido deslocado. A curva de permeabilidade relativa de uma amostra de

rocha é obtida por ensaios de laboratório, realizados com óleo de baixa mobilidade,

uma vez que a permeabilidade relativa é uma propriedade relacionada ao fluxo

fracionário. Este ensaio, simulado numericamente, traria como resultado uma

erupção de água mais cedo que o medido, com uma eficiência de deslocamento

inferior à esperada. Esta situação fisicamente irreal é uma dispersão numérica típica,

e significa que os simuladores de fluxo devem estar distribuindo os fluidos de forma

equivocada, tanto no espaço quanto no tempo.

O exemplo de Dake (1994) é apresentado na Figura 4.1, com um óleo pouco

viscoso que caracterize um fluxo do tipo pistão. No caso (a) utiliza-se uma malha de

simulação arbitrada e a curva de permeabilidade relativa da rocha medida em

experimento de laboratório, com o uso de óleo viscoso. A curva de permeabilidade

relativa integral permite que a água existente em cada bloco de simulação acima da

S flua, e desta forma a água avançará mais rápido pelo meio poroso, sem formar a

frente de choque esperada para o fluxo tipo pistão.

Injeção

Produção

(a)

1-S

o r

w i

(c)

1-S

o r

w i

(b)

1-S

o r

w i

Figura 4.1 –Esquema numérico do problema de Buckley-Leverett, por Dake (1994)

O efeito dispersivo poderá ser minimizado, e desta forma a distribuição da

água injetada ser mais próxima ao esperado, com o refinamento da malha de

simulação, conforme sugerido no caso (b). Observa-se neste caso que o aumento da

quantidade de blocos na direção de fluxo aproxima a simulação numérica ao espaço

infinitesimal utilizado na solução de Buckley-Leverett (1942), e com isso a solução

da frente de choque pode ser reproduzida. Além disso, a dispersão que se observa

na vertical minimiza em parte os efeitos dispersivos que a curva de permeabilidade

relativa integral geraria na direção do fluxo. No caso (c) utiliza-se a mesma malha de

simulação do caso (a), porém com uma curva de permeabilidade relativa alterada,

na qual a água só flui

(

)

k quando a saturação de óleo do bloco atingir a

S .

O exemplo demonstra que a correção do efeito dispersivo da solução

numérica ao problema de Buckley-Leverett (1942) pode ser feita corrigindo-se a

permeabilidade relativa medida em laboratório. O ensaio de deslocamento do óleo

pela água em laboratório gera uma expectativa de comportamento na produção de

água para um determinado tipo de rocha. Os resultados obtidos na escala de

amostra de rocha deveriam se repetir na escala de campo, exceto pela ocorrência

de heterogeneidades não representadas na amostra de rocha ensaiada. A

transferência de escala da amostra de rocha para o reservatório real é possível

através dos simuladores numéricos de fluxo, que incorporam outras propriedades

como as formas geométricas dos reservatórios e suas heterogeneidades de rocha e

fluido.

Os simuladores de fluxo combinam a lei de conservação de massa com a lei

de Darcy que determina o fluxo no meio poroso. Entretanto, devido à escala dos

blocos de simulação ser algumas ordens de grandeza superior à escala dos poros

da rocha, os conceitos de estocagem de fluidos nos blocos na forma de saturação

se tornam preponderantes sobre a lei de fluxo. Em outras palavras, não existem

gradientes de saturação ou pressão dentro dos blocos de simulação, mas apenas

entre blocos, então a água que chega ao bloco por uma de suas interfaces já no

próximo intervalo de tempo poderá sair por outra interface, sem ter que fluir através

bloco. Os fluidos se transferem aos blocos adjacentes em resposta aos gradientes a

que forem submetidos (forças capilares, gravitacionais e viscosas), e de acordo com

a quantidade estocada (saturação de fluido móvel que o bloco possuir no instante

em que for submetido ao gradiente).

Das três forças que atuam nos fluidos, apenas as forças viscosas são

relacionadas ao fluxo fracionário. As forças gravitacionais agem no sentido vertical e

tendem a segregar os fluidos de acordo com a diferença de densidade entre eles. As

forças capilares estão relacionadas à atração química que os fluidos apresentarem

em relação à rocha. Já as forças viscosas representam o atrito gerado pelo

deslocamento dos fluidos. A permeabilidade é a propriedade que mede a

intensidade desta força, e a permeabilidade relativa mede a resistência ao

deslocamento dos dois fluidos dispersos na rocha.

Os ensaios de laboratório são realizados de forma que as forças viscosas

apresentem muito mais atuação que as outras duas, gerando a curva de

permeabilidade relativa representativa do fluxo fracionário. Para que seja possível

comparar os resultados, e observar o efeito dispersivo do problema de Buckley-

Leverett (1942) aplicado ao método numérico, utiliza-se um corpo poroso subdividido

em blocos formando apenas uma camada horizontal, como o mostrado na Figura

4.2, para anular os cálculos de gradiente gravitacional pelo simulador. A pressão

capilar também é negligenciada na formulação dos arquivos de dados.

q = q

constante

t w

q= q + q

constante

t w o

∆

Figura 4.2 – Esquema de simulação de fluxo

A simulação do deslocamento de óleo pela água implica uma seqüência de

cálculos de balanço de massa para ambos os componentes, o óleo e a água. No

tempo inicial todas as células estão saturadas com óleo na presença de água

irredutível (

S ), como demonstrado na Figura 4.3.

w i

1-S

o r

Figura 4.3 – Condição inicial de fluxo

No primeiro intervalo de tempo de simulação o bloco do poço injetor terá um

acréscimo de saturação

tempo

blocon

∆

, conforme descrito na equação 4.1.

φ⋅∆⋅

∆⋅

=−

(4.1)

Neste primeiro intervalo de tempo apenas a saturação de água do primeiro

bloco será modificada. Já no segundo intervalo de tempo, o primeiro bloco receberá

mais água de sua fonte fornecedora (no caso, um poço injetor), e transferirá parte da

água estocada para o bloco adjacente. A quantidade de água transferida do bloco 1

ao bloco 2 será função da diferença de potencial entre os blocos e da quantidade de

água móvel que existir no bloco fornecedor, no caso, o bloco 1. A capacidade de

fluxo será determinada pela permeabilidade relativa do bloco fornecedor, função das

saturações de fluidos no intervalo de tempo simulado. No sistema 4.2 tem-se as

equações que regem o fluxo entre um bloco de índice

e seus blocos adjacentes.

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]











∆+∆

⋅

⋅∆⋅⋅

=∆⋅=

∆+∆

⋅

⋅∆⋅⋅

=∆⋅=

−

−−−−

−

−−−−

onde ,

1,11,1

hykk

TpTq

hykk

TpTq

(4.2)

Como a pressão capilar é desprezada, por hipótese do problema,

pp = e

também

pp ∆=∆ .

A solução do termo de transmissão de massa se equilibra com o termo de

acumulação, em cada bloco, conforme demonstrado na equação 4.3.

(

)

( )

( ){ } ( ){ }

nnnnnn

qSpDqSpD

−+−−⇒

∂

+++

,,1

111

θθ

(4.3)

Ressalta-se que a porosidade φ também sofre variação com a pressão,

através da relação da compressibilidade, porém o efeito da compressibilidade da

rocha deve ser desprezado para o propósito deste trabalho. O desprezo da

compressibilidade da rocha será tão mais aceitável quanto mais restrito se mostrar o

intervalo de variação da pressão nos processos desenvolvidos.

Assim, um esquema de cinco blocos apresentará um perfil de saturações

como o demonstrado na Figura 4.4, após alguns intervalos de tempo de simulação.

w i

1-S

o r

Figura 4.4 - Perfil de saturação numa simulação de deslocamento de fluidos

Alguns esquemas de simulação de fluxo tornarão mais fáceis à visualização

do problema da dispersão numérica pelo efeito da quantidade de blocos utilizados.

Tomemos como exemplo o corpo poroso homogêneo, como mostrado na Figura 2.1,

dividido espacialmente em 4 esquemas como os apresentados nas Figuras 4-5, 4-6,

4-7 e 4-8, para simular numericamente um ensaio de laboratório. Atribuíram-se os

seguintes valores para a amostra de rocha:

• comprimento L igual a 10 m,

• largura ∆y igual a 1 m,

• espessura h igual a 1 m,

• porosidade φ constante igual a 0,25.

• Permeabilidade k constante igual a 100 mD.

O volume poroso VP possui 2,5 m

, para os quais impõe-se uma vazão de

injeção de 0,01 m

/dia, igual à vazão de produção no outro extremo do corpo poroso.

q = q

constante

t w

q= q + q

constante

t w o

∆

1 1 1

Figura 4.5 Esquema de 10 blocos iguais para simulação

∆

q = q

constante

t w

q= q + q

constante

t w o

1 1,33 1,33 1,331,33 1,33 1,33 1

Figura 4.6 –Esquema de 8 blocos para simulação

∆

q = q

constante

t w

q= q + q

constante

t w o

1 2 2

Figura 4.7 Esquema de 6 blocos para simulação

∆

q = q

constante

t w

q= q + q

constante

t w o

Figura 4.8 Esquema de 4 blocos para simulação

Tomemos também uma curva de permeabilidade relativa gerada por modelo

de potência (sistema de equações 4.4).























−−













−−

−

owi

wor

roro

wiw

rwrw

(4.4)

Foram atribuídos os seguintes valores para determinação das curvas de

permeabilidade relativa, apresentada na Figura 4.9:











20.0@48.0

15.0@72.0

orrw

wiro

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

kro

krw

Figura 4.9 - Curva de permeabilidade relativa água/óleo

Foram adotados valores de viscosidade

µ igual a 2 cp para o óleo e

igual a 0,29 cp para a água.

Simulando o deslocamento do óleo por água nos esquemas apresentados,

tem-se o resultado apresentado na Figura 4.10. Estes resultados são comparados

ao resultado do cálculo analítico da curva de produção de água obtido com a

equação de Buckley-Leverett (1942).

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

VPI (Volume Injetado / Volume Poroso)

)

4 Blocos

6 Blocos

8 Blocos

10 Blocos

Cálculo analitico B&L

Figura 4.10 - Resultados de simulação do ensaio de permeabilidade relativa

A comparação dos resultados mostrados na Figura 4.10 mostram o efeito

dispersivo da discretização espacial do meio poroso, que é tão mais acentuado

quanto menos blocos se utiliza para definir a amostra de rocha. Uma das principais

características deste deslocamento é a erupção brusca da água após a injeção de

determinado volume de água. No exemplo apresentado a fração produzida de água

f chega a quase 70%, como resultante dos valores adotados de permeabilidade

relativa e viscosidade

µ e

µ . No caso de fluxo tampão, como visto antes, a fração

inicial de água produzida já seria de 100%, mas quando ocorrer fluxo fracionário

este valor é menor, porém cresce com a evolução do processo.

Tanto este exemplo quanto o do fluxo tipo pistão descrito por Dake (1994)

demonstram que a reprodução do ensaio de laboratório com simuladores numéricos

de fluxo não pode ser obtida de forma direta. Para melhor reproduzir os valores do

ensaio de laboratório existem duas possibilidades: aumentar o número de blocos de

simulação, ou trabalhar com curvas de permeabilidade relativa corrigidas que

minimizem a dispersão numérica observada. Quanto mais grosseira for a

discretização espacial do meio poroso, mais cedo a água atinge a extremidade

produtora e mais suave é a o crescimento da fração produzida. Estes efeitos se

verificarão sempre que a água for mais móvel que o óleo.

Uma análise mais detalhada da equação 4.2 permite determinar os

parâmetros que podem interferir no resultado do problema da discretização espacial

do meio poroso, para uma mesma curva de permeabilidade relativa obtida em

laboratório.

A geometria do sistema simulada é determinada pela área transversal ao

fluxo

(

)

hy ⋅∆ , o comprimento

e a porosidade

. Qualquer variação nestes valores

será compensada pela forma como os resultados são apresentados, na curva de

pelo volume poroso injetado. O volume poroso injetado é determinado pela equação

4.5

Lhy

VPI

⋅⋅∆

∆⋅

(4.5)

A relação entre a permeabilidade absoluta e a viscosidade formam uma razão

µk denominada mobilidade do fluido, de forma que pode-se analisar apenas a

sensibilidade da solução a um dos parâmetros (ou seja, a solução de um problema

numérico determinado é idêntica para valores de k multiplicados por uma constante

desde que a viscosidade também seja multiplicada por esta constante

Nas Figura 4.11, Figura 4.12, Figura 4.13 e Figura 4.14 são apresentados os

resultados da análise de sensibilidade à variação de permeabilidade absoluta para

os diversos esquemas de bloco estudados.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Volume injetado / Volume poroso

10 Blocos / k = 1 mD

10 Blocos / k = 100 mD

10 Blocos / k = 1000 mD

Solução analítica

Figura 4.11 - Análise de sensibilidade do modelo à variação de permeabilidade absoluta

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Volume injetado / Volume poroso

8 Blocos / k = 1 mD

8 Blocos / k = 100 mD

8 Blocos / k = 1000 mD

Solução analítica

Figura 4.12 - Análise de sensibilidade do modelo à variação de permeabilidade absoluta

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Volume injetado / Volume poroso

Wcut

6 Blocos / k = 1 mD

6 Blocos / k = 100 mD

6 Blocos / k = 500 mD

Solução analítica

Figura 4.13 - Análise de sensibilidade do modelo à variação de permeabilidade absoluta

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Volume injetado / Volume poroso

4 Blocos / k = 1 mD

4 Blocos / k = 100 mD

4 Blocos / k = 1000 mD

Solução analítica

Figura 4.14 - Análise de sensibilidade do modelo à variação de permeabilidade absoluta

Conclui-se então que o problema da dispersão numérica observada não se

relaciona aos parâmetros de rocha e fluido, mas somente à discretização espacial

utilizada.

Capítulo 5 – Solução do problema

A dispersão numérica na simulação de deslocamento linear de fluidos

imiscíveis é decorrente apenas da discretização espacial do meio poroso, como

demonstrado no Capítulo 4. Este efeito dispersivo é devido ao uso da curva integral

da permeabilidade relativa obtida em ensaio de laboratório, a qual determina uma

mobilidade para a água sempre que

wiw

SS > . Entretanto, o estudo de fluxo fracionário

e as equações de Buckley-Leverett (1942) nos mostram que o avanço da água no

meio poroso apresenta uma frente de choque com saturação

SS > , e que esta

frente de avanço tem uma velocidade que pode ser calculada pela equação 5.1

∂

⋅

(5.1)

Isto significa que o domínio da saturação de água móvel pertence ao intervalo

]1,[

SS − , e a curva de permeabilidade relativa deveria ser corrigida como

demonstrado na Figura 5.1, por exemplo, tomando-se uma saturação de água da

frente 40.0=

S .

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

krw inicial

kro inicial

krw corrigida

Figura 5.1 – Curva de permeabilidade relativa corrigida

Esta correção suprime a mobilidade da água no bloco de simulação nas

saturações de água inferiores à da frente de choque, pois no fenômeno do

deslocamento equacionado, e reproduzido em laboratório, não existe saturação de

água no intervalo

(

)

SS , . A correção proposta na Figura 5.1 para a curva de

permeabilidade relativa à água impõe ao simulador de fluxo que 0=

f no intervalo

(

)

SS , , ou seja, a curva de fluxo fracionário

f só existe onde

SS > , conforme

o perfil de saturação determinado por Buckley-Leverett (1942), demonstrado na

Figura 5.2.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

krw inicial

kro inicial

krw corrigida

Figura 5.2 – Curva de fluxo fracionário

Uma vez que o fluxo fracionário 0.0=

f no intervalo

(

)

SS , , a curva de

permeabilidade relativa ao óleo não precisa necessariamente ser corrigida. Conforme

visto no capítulo 4, Dake (1994) propõe que a permeabilidade relativa ao óleo não

decaia enquanto a permeabilidade relativa à água for nula. A relevância desta

questão diz respeito ao cálculo do gradiente de pressão na entrada e saída do bloco

de simulação, aspecto este não abordado neste trabalho.

Ainda a respeito do domínio das saturações de água móvel, é importante

ressaltar que permeabilidade relativa é uma propriedade da rocha que representa a

resistência ao fluxo simultâneo de dois fluidos imiscíveis no meio poroso, e que isto

só ocorre no intervalo de saturações ]1,[

SS − . Nestas condições, a água arrasta o

óleo por efeito viscoso, conforme as considerações iniciais do problema. O óleo que

se movimenta à frente da onda de choque é deslocado por efeito compressivo da

água que vem atrás, e portanto não está sujeito aos fenômenos viscosos definidos

pela curva de permeabilidade relativa.

O perfil de saturação de água injetada é expresso pela integração da equação

5.1 no tempo, para um plano perpendicular ao fluxo com saturação de água

]1,[

SSS −∈ , como demonstrado pela equação 5.2

∂

⋅

(5.2)

A equação 5.2 permite observar que o perfil de saturação de água injetada terá

sempre o mesmo formato, pois a área

A , a porosidade

e a derivada do fluxo

fracionário

∂

são constantes ao longo do tempo. Desta forma,

WCx ⋅= , onde

C é uma constante de forma, e

x cresce proporcionalmente ao volume de água

injetada

W . Considerando que para um volume de água injetado

W a frente de

avanço

S avançou um comprimento

dentro da amostra de rocha, a equação 5.2

pode ser expressa pela equação 5.3

∂

= (5.3)

Superpondo o perfil de saturação de água ao esquema de blocos utilizado

para a simulação do deslocamento imiscível, pode-se entender melhor o efeito da

correção proposta para a permeabilidade relativa nos domínios de saturação da água

móvel. A Figura 5.3 mostra a superposição do perfil de saturação de água calculado

por Buckley-Leverett (1942) a um esquema de blocos de simulação arbitrário, em três

diferentes tempos, até que a frente de avanço alcance a fronteira do primeiro com o

segundo bloco.

w i

1-S

o r

1-S

o r

1-S

o r

Figura 5.3 – Esquema de deslocamento imiscível em modelo numérico, no primeiro bloco

Observa-se no esquema que, quando a frente de água chega ao segundo

bloco, o primeiro bloco acumula uma quantidade de água

S equivalente à

saturação média de água

S do perfil total. Tanto os valores de

S quanto

S são

calculados na curva de fluxo fracionário

f pelo método de Welge (1953). Observa-

se então que a erupção da água do primeiro para o segundo bloco se dará quando o

primeiro bloco atingir uma saturação de água igual a

S . Neste bloco em particular,

a correta solução exige que 0.0=

f , ou 0.0=

k , no intervalo ],[

SS , a exemplo

do que foi demonstrado na Figura 5.1.

Prosseguindo no tempo, a frente de avanço chegará ao terceiro bloco como se

vê na Figura 5.4. No caso deste segundo bloco, observa-se que a erupção da água

se dará quando o bloco acumular água à saturação

S .

1-S

o r

w m a t r a s

w m 2

Figura 5.4 – Esquema de deslocamento imiscível em modelo numérico, no segundo bloco.

A saturação de água deste segundo bloco

S para a qual passa a haver

fluxo para o terceiro bloco poderá ser calculada pelo balanço de massa para a água,

dado pela equação 5.4

(

)

121

xSxxS

atras

∆

∆⋅−∆+∆⋅

= (5.4)

onde

x∆ e

x∆ são os comprimentos dos blocos. A

S é a saturação média da zona

invadida, e é a mesma calculada para o primeiro bloco no momento de erupção da

água injetada do primeiro para o segundo bloco.

atras

S é obtido na solução de

Welge (1953), a partir da derivada da curva de fluxo fracionário

f , conforme a

equação 5.5

(

)

atras

−

(5.5)

sendo que

S deve ser obtido no perfil de saturações na fronteira do primeiro com o

segundo bloco. Este valor pode ser calculado numericamente, a partir do formato do

perfil de saturação de água na zona invadida.

Avançando o processo, pode-se obter as saturações médias de erupção da

água para cada bloco do sistema numérico. A saturação de água na erupção de cada

bloco

decresce à medida que o perfil de saturação vai se alongando, de tal forma

que

SS =

∞→

lim

Pode-se então avaliar o efeito da correção das curvas de permeabilidade

relativa aos moldes da Figura 5.1, tomando-se os dois limites observados na

descrição do problema, quais sejam, utilizar a curva de permeabilidade relativa de

laboratório considerando que 0.0=

k nas saturações de água inferiores a

S e

S .

Os esquemas e valores apresentados nas Figuras 4.6 a 4.9 serão utilizados

para simular o fluxo fracionário como no ensaio de laboratório que gera a curva de

permeabilidade relativa inicial. A curva de permeabilidade relativa pode ser

aproximada por um modelo de potência, como descrito no sistema de equações 5.6

( )











−⋅=

⋅=

roro

rwrw

Skk

(5.6)

onde S é a saturação de água móvel, definida pela equação 5.7

−−

−

(5.7)

e adotando os seguintes valores de permeabilidade relativa e fluidos

0.2

3.0

0.2

20.0

15.0

65.0

60.0

obtém-se uma curva de permeabilidade relativa e fluxo fracionário demonstrado na

Figura 5.5, onde

394.0=

504.0=

= 0,504

= 0,393

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Figura 5.5 – Curva de permeabilidade relativa corrigida pela

O perfil de saturação de água terá o formato mostrado na Figura 5.6.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Figura 5.6 – Perfil de saturação de água

O cálculo analítico da produção dos efluentes vem das equações de Buckley-

Leverett (1942). A Figura 5.7 mostra os valores calculados analiticamente.

Cálculo analitico B&L

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800

VPI (Volume Injetado / Volume Poroso)

)

Figura 5.7 – Curva de produção de efluentes

Tomemos agora a simulação de vários esquemas de discretização espacial, e

aplicando a correção proposta na permeabilidade relativa à água teremos os

seguintes resultados apresentados nas Figura 5.8 a 5.13:

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

VPI (volumes porosos injetados)

Wcut

Solução analítica

4 Blocos - krw inicial

4 Blocos - krw corrig Swf

4 Blocos - krw corrig Swm

Figura 5.8 - Resultado de simulação de esquema de 4 blocos com curva de permeabilidade relativa

corrigida nos limites do domínio da saturação.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

VPI (volumes porosos injetados)

Wcut

Solução analítica

6 Blocos - krw inicial

6 Blocos - krw corrig Swf

6 Blocos - krw corrig Swm

Figura 5.9 – Resultado de simulação de esquema de 6 blocos com curva de permeabilidade relativa

corrigida nos limites do domínio da saturação.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

VPI (volumes porosos injetados)

Wcut

Solução analítica

8 Blocos - krw inicial

8 Blocos - krw corrig Swf

8 Blocos - krw corrig Swm

Figura 5.10 - Resultado de simulação de esquema de 8 blocos com curva de permeabilidade relativa

corrigida nos limites do domínio da saturação.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

VPI (volumes porosos injetados)

Wcut

Solução analítica

10 Blocos - krw laboratório

10 Blocos - krw corrig Swf

10 Blocos - krw corrig Swm

Figura 5.11 – Resultado de simulação de esquema de 10 blocos com curva de permeabilidade relativa

corrigida nos limites do domínio da saturação.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

VPI (volumes porosos injetados)

Wcut

Solução analítica

100 Blocos - krw inicial

100 Blocos - krw corrig Swf

100 Blocos - krw corrig Swm

Figura 5.12 – Resultado de simulação de esquema de 100 blocos com curva de permeabilidade relativa

corrigida nos limites do domínio da saturação.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

VPI (volumes porosos injetados)

Wcut

Solução analítica

200 Blocos - inicial

200 Blocos - krw corrig Swf

200 Blocos - krw corrig Swm

Figura 5.13 – Resultado de simulação de esquema de 200 blocos com curva de permeabilidade relativa

corrigida nos limites do domínio da saturação

Observa-se em todos os casos que a correção da curva de permeabilidade

relativa em

S aproxima o resultado esperado, porém a correção em

S sempre

atrasa a erupção de água no poço produtor bem mais que o desejado, e a erupção

também ocorre com maior intensidade. Tais efeitos decorrem do controle da

quantidade de água estocada em cada bloco antes da erupção para o bloco seguinte.

Exemplificando, quando se determina que só haverá fluxo fracionário para saturações

superiores a

S isto significará uma maior quantidade de água retida em cada bloco

que a necessária para simular a superposição do perfil de saturação de água de

Buckley-Leverett mostrada da Figura 5.4.

A Tabela 5.1 mostra a quantidade de água, em volumes porosos injetados

(VPI ) para as simulações apresentadas. A erupção da água calculada pela equação

de Buckley-Leverett (1942) é igual 35,7% do volume poroso. Os desvios são

relacionados a este valor. Observa-se que um maior número de blocos reduz

significativamente o desvio, exceto para a correção por

S . Observa-se também que

a permeabilidade relativa corrigida para

S reduz significativamente o efeito

dispersivo da simulação. O desvio da simulação com esta correção na curva de

permeabilidade relativa reduz à medida que se aumenta o número de blocos de

simulação, porém esta redução no desvio se torna pouco significativa quando se

aumenta de 100 para 200 o número de blocos de simulação. No caso de correção da

permeabilidade relativa por

S os desvios são sempre negativos porque esta

correção retém mais água nos blocos que o necessário para a correção da dispersão

numérica da simulação.

Tabela 5.1 – Desvios nos resultados de erupção da água simulados numericamente.

Permeabilidade relativa de

laboratório

Permeabilidade relativa

Correção por

Permeabilidade relativa

Correção por

Número de

blocos

VPI (%) Desvio (%) VPI (%) Desvio (%) VPI (%) Desvio (%)

14,9 58,3 29,3 17,8 37,4 -4,7

20,5 42,6 31,4 12,2 38,2 -7,0

22,5 37,0 32,2 9,9 38,2 -7,0

24,1 32,4 32,6 8,8 38,6 -8,1

100

29,3 17,8 33,4 6,6 37,8 -5,8

200

29,3 17,8 33,8 5,4 38,2 -7,0

Método de correção da permeabilidade relativa:

O aumento da quantidade de blocos de simulação aumenta a precisão dos

resultados, mas numa simulação em escala de campo a quantidade de blocos

necessária à precisão desejada pode ser incompatível com os recursos

computacionais existentes. Pensando nisso, desenvolvemos neste trabalho um

método de correção das curvas de permeabilidade relativa para solucionar o

problema de Buckley-Leverett (1942) para qualquer esquema de discretização

espacial do meio poroso.

O primeiro passo do método é a determinação da saturação de erupção

da água injetada para cada bloco

do esquema de simulação. Os blocos de

simulação CVFD trabalham com conceito de armazenamento de fluidos, então a

velocidade da água no meio poroso deve ser controlada pela quantidade de água que

cada bloco deve reter antes que a água flua para o bloco seguinte. Determina-se a

saturação de erupção

S de um bloco

qualquer com a superposição do perfil de

saturação da água injetada (Figura 5.6) ao esquema dos

primeiros blocos,

conforme exemplificado na Figura 5.3 e Figura 5.4, e o auxílio da equação 5.4. Esta

saturação é responsável por controlar o momento de erupção de cada bloco

, e é

função do perfil de saturações de Buckley-Leverett, e da posição e tamanho do bloco.

Este mesmo conceito de controle de volume pode ser aplicado a todo o

esquema de blocos para controlar o volume de água injetada no momento da

erupção no último bloco. Sendo assim, calcula-se uma saturação média de água

para o esquema de blocos, como demonstrado na equação 5.8, a partir do balanço

de volumes de água que cada bloco deve acumular até que a frente de choque

chegue na fronteira.

∑

∆

⋅=

nbloc

(5.8)

O segundo passo é a correção do fluxo fracionário ao domínio da saturação

corrigida para os blocos. Tal correção se faz necessária porque na curva de fluxo

fracionário

(

)

Sf original tem-se o valor do fluxo fracionário em um plano

perpendicular ao fluxo. No conceito dos simuladores CVFD, a saturação se refere ao

bloco, mas o fluxo de fluidos se refere à fronteira dos blocos. Ou seja, tem-se que

associar a saturação de uma região (o bloco) ao fluxo em um determinado plano

(fronteira do bloco). Procede-se então ao ajuste da curva de fluxo fracionário ao novo

domínio de saturações móveis ]1,[

S calculado, de forma que

(

)

(

)

wwmw

SfSf =

A Figura 5.14 procura mostrar mais claramente a correção do domínio de

saturação necessária à solução do problema. A correção da saturação corresponde a

mudança de domínio da variável independente S na curva de fluxo fracionário.

0,2

0,4

0,6

0,8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Figura 5.14 – Gráfico do fluxo fracionário corrigido

A correção da saturação

S , cujo domínio é ]1,[

S , pode ser assim descrita:

( )

SSS

S +−⋅

−

(5.9)

A correção do fluxo fracionário para o novo domínio da variável de controle

corresponde ao deslocamento das curvas de permeabilidade relativa inicial conforme

demonstrado na Figura 5.15

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Figura 5.15 - Correção do problema de Buckley-Leverett (1942)

A curva de permeabilidade relativa corrigida

k e

k será então descrita como

uma função da saturação corrigida

S :

( )











−⋅=

⋅=

Skk

*0*

(5.10)

Nas figuras a seguir são apresentados as curvas de permeabilidade relativa

corrigidas pelo método, e os gráficos dos resultados de simulação.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

krw corr

kro corr

krw inicial

kro inicial

Figura 5.16 –Curva de permeabilidade relativa corrigida para esquema de 4 Blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Volume poroso injetado

Analítico B&L

4 Blocos - kr inicial

4 Blocos - kr corr Swf

4 Blocos - kr corr Sm

Figura 5.17 – Ajuste de produção de água para esquema de 4 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

krw corr

kro corr

krw inicial

kro inicial

Figura 5.18 - Curva de permeabilidade relativa corrigida para esquema de 6 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Volume poroso injetado

Analítico B&L

6 Blocos - kr inicial

6 Blocos - kr corr Swf

6 Blocos - kr corr Sm

Figura 5.19 - Ajuste de produção de água para esquema de 6 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

krw corr

kro corr

krw inicial

kro inicial

Figura 5.20 - Curva de permeabilidade relativa corrigidas para esquema de 8 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Volume poroso injetado

Analítico B&L

8 Blocos - kr inicial

8 Blocos - kr corr Swf

8 Blocos - kr corr Sm

Figura 5.21 - Ajuste de produção de água para esquema de 8 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

krw corr

kro corr

krw inicial

kro inicial

Figura 5.22 - Curva de permeabilidade relativa corrigida para esquema de 10 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Volume poroso injetado

Analítico B&L

10 Blocos - kr inicial

10 Blocos - kr corr Swf

10 Blocos - kr corr Sm

Figura 5.23 - Ajuste de produção de água para esquema de 10 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

krw corr

kro corr

krw inicial

kro inicial

Figura 5.24 - Curva de permeabilidade relativa corrigida para esquema de 100 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Volume poroso injetado

Analítico B&L

100 Blocos - kr inicial

100 Blocos - kr corr Swf

100 Blocos - kr corr Sm

Figura 5.25 - Ajuste de produção de água para esquema de 100 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,2

0,4

0,6

0,8

krw corr

kro corr

krw inicial

kro inicial

Figura 5.26 - Curva de permeabilidade relativa corrigida para esquema de 200 blocos

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Volume poroso injetado

Analítico B&L

200 Blocos - kr inicial

200 Blocos - kr corr Swf

200 Blocos - kr corr Sm

Figura 5.27 - Ajuste de produção de água para esquema de 200 blocos

A Tabela 5.2 mostra compara os desvios na erupção de água para as

correções propostas:

Tabela 5.2 - Desvios nos resultados de erupção da água simulados numericamente para a correção na curva

de permeabilidade relativa inicial.

Permeabilidade relativa de

laboratório

Permeabilidade relativa

Correção por

Permeabilidade relativa

corrigida

Número

de blocos

VPI (%) Desvio (%) VPI (%) Desvio (%) VPI (%) Desvio (%)

14,9 58,3 29,3 17,8 35,4 0,9

20,5 42,6 31,4 12,2 35,4 0,9

22,5 37,0 32,2 9,9 35,0 2,0

24,1 32,4 32,6 8,8 35,8 -0,2

100

29,3 17,8 33,4 6,6 35,0 2,0

200

29,3 17,8 33,8 5,4 34,6 3,2

A solução proposta, por admitir uma saturação única de erupção em todos os

blocos, gera uma distorção na distribuição de água pelos blocos. No bloco produtor,

por exemplo, a saturação para erupção da água deveria se a própria saturação de

água da frente de choque,

S , mas a curva corrigida adotada, que é única para todos

os blocos, apresenta uma saturação

SS > . Um balanço da água injetada revela

então que as saturações dos primeiros blocos são inferiores ao perfil de saturação

analítico de Buckley-Leverett (1942), e a dos blocos mais próximos à extremidade

produtora serão maiores. Nas figuras 5-28 a 5-33 são apresentados os gráficos das

saturações de água nos esquemas simulados, no momento da erupção da água. Nas

Tabelas 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7 e 5.8 são apresentados os valores das saturações de

água nos instante de erupção da água no poço produtor, obtidas por simulação e por

média do perfil.

0,4461

0,6503

0,5225

0,4611

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x/L

Solução analítica B-L

Simulação numérica

Figura 5.28 – Distribuição de saturação no instante da erupção da água – esquema de 4 blocos

0,429

0,4431

0,4725

0,5071

0,5539

0,6395

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x/L

Solução analítica B-L

Simulação Numérica

Figura 5.29 – Distribuição de saturação no instante da erupção da água – esquema de 6 blocos

0,42

0,4347

0,4542

0,4753

0,4996

0,5292

0,5692

0,6343

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x/L

Figura 5.30 – Distribuição de saturação no instante da erupção da água – esquema de 8 blocos

0,414

0,4344

0,4493

0,4648

0,4817

0,5004

0,5222

0,5487

0,5835

0,6352

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x/L

Solução analítica B-L

Simulação numérica

Figura 5.31 – Distribuição de saturação no instante da erupção da água – esquema de 10 blocos

0,404

0,4319

0,4878

0,5857

0,6261

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x/L

Solução analítica B-L

Simulação numérica

Figura 5.32 – Distribuição de saturação no instante da erupção da água – esquema de 100 blocos

0,40212

0,4488

0,4857

0,5366

0,6245

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x/L

Solução analítica B-L

Simulação numérica

Figura 5.33 – Distribuição de saturação no instante da erupção da água – esquema de 200 blocos

Tabela 5.3 – Desvio de saturação no esquema de 4 blocos, no momento de erupção da água.

Bloco BL 1 BL 2 BL 3 BL 4

Domínio do

bloco

0.0/0.1 0.1/0.5 0.5/0.9 0.9/1.0

Saturação

média B&L

71.9% 56.0% 44.4% 40.1%

Saturação

média

(simulação)

65.0% 52.3% 46.1% 44.6%

Desvio -9.6% -6.7% 3.8% 11.2%

Tabela 5.4 – Desvio de saturação no esquema de 6 blocos, no momento de erupção da água.

Bloco BL 1 BL 2 BL 3 BL 4 BL 5 BL 6

Domínio d

bloco

0.0/0.1 0.1/0.3 0.3/0.5 0.5/0.7 0.7/0.9 0.9/1.0

Saturação

média B&L

0.7191 0.5871 0.5078 0.461 0.4253 0.4012

Saturação

média

(simulação)

0.6395 0.5539 0.5071 0.4725 0.4431 0.429

Desvio -11.1% -5.7% -0.1% 2.5% 4.2% 6.9%

Tabela 5.5 - Desvio de saturação no esquema de 8 blocos, no momento de erupção da água.

Bloco

BL 1 BL 2 BL 3 BL 4 BL 5 BL 6 BL 7 BL 8

Domínio do

bloco

0.0/0.1

0.1/0.23

0.23/0.36

0.36/0.5

0.5/0.63

0.63/0.76

0.76/0.9

0.9/1.0

Saturação

média B&L

71.9% 59.9% 53.7% 49.7% 46.7% 44.2% 42.0% 40.1%

Saturação

média

(simulação)

63.4% 56.9% 52.9% 50.0% 47.5% 45.4% 43.5% 42.0%

Desvio

-11.8%

-4.9% -1.5% 0.4% 1.8% 2.7% 3.6% 4.7%

Tabela 5.6 - Desvio de saturação no esquema de 10 blocos, no momento de erupção da água.

Bloco

BL 1 BL 2 BL 3 BL 4 BL 5 BL 6 BL 7 BL 8 BL 9 BL 10

Domínio do

bloco

0.0/0.1

0.1/0.2 0.2/0.3

0.3/0.4 0.4/0.5

0.5/0.6 0.6/0.7

0.7/0.8 0.8/0.9

0.9/1.0

Saturação

média B&L

71.9% 60.7% 55.5% 52.0% 49.3% 47.0% 45.1% 43.3% 41.7% 40.1%

Saturação

média

(simulação)

63.5% 58.4% 54.9% 52.2% 50.0% 48.2% 46.5% 44.9% 43.4% 41.4%

Desvio

-11.7%

-3.9% -1.2% 0.4% 1.5% 2.5% 3.1% 3.7% 4.2% 3.2%

Tabela 5.7 - Desvio de saturação no esquema de 100 blocos, no momento de erupção da água.

Bloco BL 1 BL 10 BL 50 BL 90 BL 100

Domínio do

bloco

0.0/0.1 0.165/0.173

0.491/0.5 0.818/0.826

0.9/1.0

Saturação

média B&L

71.9% 59.2% 48.2% 42.1% 40.1%

Saturação

média

(simulação)

0.6261 0.5857 0.4878 0.4319 0.404

Desvio -12.9% -1.0% 1.3% 2.5% 0.7%

Tabela 5.8 - Desvio de saturação no esquema de 200 blocos, no momento de erupção da água.

Bloco BL 1 BL 50 BL 100 BL 150 BL 200

Domínio do

bloco

0.0/0.1 0.297/0.302

0.5/0.504 0.697/0.702

0.9/1.0

Saturação

média B&L

71.9% 53.5% 48.1% 44.2% 40.1%

Saturação

média

(simulação)

62.5% 53.7% 48.6% 44.9% 40.2%

Desvio -13.2% 0.3% 0.9% 1.6% 0.2%

Capítulo 6 – Análise em sistemas com mais linhas de fluxo

O problema do estudo de deslocamento de dois fluidos imiscíveis no meio

poroso pode ser resumido ao cálculo da distribuição geométrica destes fluidos. A

distribuição dos fluidos apresenta duas componentes: a distribuição de saturação ao

longo de cada linha de fluxo, e a forma na região invadida. O problema estudado

neste trabalho se restringiu apenas à primeira parcela do problema, dada a geometria

linear adotada para solução por Buckley-Leverett (1942). No sistema unidimensional

só existe uma linha de fluxo, e a distribuição de saturação equacionada é relativa a

esta linha de fluxo única. As equações se mostram bastante precisas para os ensaios

de permeabilidade relativa realizados em amostras de rocha de 2” ou 3” de

comprimento, mas na escala dos reservatórios a água injetada apresenta mais de

uma linha de fluxo. Neste capítulo discutimos algumas em situações que ocorrem

mais de uma linha de fluxo, e os resultados obtidos ao se utilizar a correção das

curvas de permeabilidade relativa proposta neste trabalho.

A seção esquemática da Figura 6.1 representa um reservatório hipotético de

formato linear, com um poço produtor e mecanismo de influxo natural de água.

Figura 6.1 - Seção esquemática de reservatório portador de óleo

Espera-se que a produção de água em um reservatório linear como o

demonstrado na Figura 6.1 seja semelhante à obtida em ensaio de laboratório com

uma amostra de rocha, desde que as forças viscosas sejam predominantes sobre a

força capilar e a força gravitacional. Neste caso haveria em algum momento uma

forte erupção de água, seguido de um crescimento lento da fração de água

produzida. Entretanto, na escala dos reservatórios, existem mais heterogeneidades

que as observadas nas amostras de rocha, de forma que o avanço da água se faz

por várias frentes.

Tomando como exemplo um situação hipotética em que o reservatório da

Figura 6.1 possua duas camadas de permeabilidade bastante diferente, separadas

por uma camada de rocha não permeável, o avanço do aqüífero se decomporá em

duas frentes de velocidades diferentes, como mostrado na Figura 6.2.

Figura 6.2 – Esquema de deslocamento imiscível em duas camadas

Na Figura 6.3 são apresentadas duas curvas de produção de água para o

reservatório da Figura 6.1 e Figura 6.2.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 100 200 300 400 500 600 700

Tempo (dias)

Wcut

1 Linha de Fluxo

2 Linhas de Fluxo

Figura 6.3 – Esquema de produção de água de duas linhas de fluxo

Uma situação como a exemplificada pela Figura 6.2 revela que a frente de

chegada da água é atenuada pela decomposição do avanço do aqüífero em duas

linhas de fluxo hipotéticas. Observa-se que a ocorrência de mais de uma linha de

fluxo atenua a erupção da água no poço, e que esta atenuação será tão maior quanto

mais caminhos a água criar dentro do meio poroso.

O fluxo linear não ocorre com muita freqüência em reservatórios de petróleo.

Nos reservatórios de petróleo os fluidos formam uma geometria de fluxo em função

das propriedades do meio poroso e da posição dos poços. Um esquema de

drenagem bastante utilizado na indústria de petróleo é a malha denominada five

spot., onde poços produtores são alternados a poços injetores. Este esquema

apresenta como padrão a ocorrência de um poço injetor de água em um vértice de

uma área quadrada e um poço produtor no vértice oposto. Na Figura 6.4 é

apresentado um exemplo deste esquema:

Figura 6.4 – Esquema de ¼ de five spot

O cálculo da distribuição da água no esquema da Figura 6.4 requer a

decomposição da geometria do fluxo na região invadida e ao longo de cada linha de

fluxo. Uma simulação de fluxo em malha bastante refinada proporciona um resultado

de boa precisão, por minimizar as imprecisões numéricas. Na Figura 6.5 são

apresentados os resultados das simulações feitas, comparando um esquema de

malha refinada de 10.000 blocos e outro esquema de malha de 25 blocos. Na

simulação de 10000 blocos utilizou-se a curva de permeabilidade relativa inicial e

uma curva corrigida para

S . Na simulação de 25 blocos utilizou-se a curva de

permeabilidade relativa inicial e a curva de permeabilidade relativa corrigida pelo

método proposto.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

VPI

10000 blocos / krel inicial

10000 blocos / krel corr Swf

25 blocos / krel corrig Sm

25 blocos / krel inicial

Figura 6.5 – Resultado de simulação para esquema ¼ de five spot.

Observa-se que na simulação de esquema ¼ de five spot com modelo de

10000 blocos praticamente não há diferença na produção de água controlada pela

permeabilidade relativa inicial (obtida em laboratório) ou quando simulado com a

curva de permeabilidade relativa corrigida. Entretanto, no esquema de 25 blocos há

uma diferença apreciável, sendo que o caso onde se utilizou a curva de

permeabilidade relativa corrigida foi nitidamente pior.

Nas Figura 6.6 e Figura 6.7 pode-se verificar a diferença da geometria da

região invadida pela água injetada nos esquemas de malha mais refinada e mais

grosseira, no tempo de erupção da água. Na malha mais grosseira a água atinge

todos os blocos, se espalhado mais por toda a região, enquanto na malha mais

refinada parte dos blocos ainda permanece com a saturação original dos fluidos. Este

efeito na geometria do varrido é responsável pelo atraso da erupção de água

mostrado na simulação de fluxo com esquema de 25 blocos e permeabilidade relativa

corrigida, conforme mostrado no gráfico da Figura 6.5.

O efeito dispersivo na simulação com a curva de permeabilidade relativa

corrigida acelera o avanço da água, conforme visto no capítulo 4, mas a definição

geométrica da malha mais grosseira atrasa o avanço da água, pois o caminho das

linhas de fluxo são em zig zag, conforme mostrado na Figura 6.8

Figura 6.6 – Mapa de saturação de água em simulação com malha de 100 blocos

Figura 6.7 – Mapa de saturação de água em simulação com malha de 25 blocos

Figura 6.8 – Esquema de direção das linhas de fluxo em simulação numérica.

Uma das maneiras de minimizar o problema é orientar a malha de simulação

na direção preferencial das linhas de fluxo, como exemplificado na Figura 6.9.

Figura 6.9 – Malha de blocos paralela ao fluxo

Os resultados das simulações de deslocamento de óleo por água em malha

paralela ao fluxo preferencial, como mostrado na Figura 6.9, é apresentado na Figura

6.10. A exemplo do procedimento utilizado no esquema ¼ de five spot, foram

utilizados dois esquemas de discretização espacial, com 10000 blocos e 25 blocos.

No caso de malha de simulação alinhada às direções das linhas de fluxo, as

simulações com curvas de permeabilidade relativa corrigidas se mostraram mais

precisas, apesar da instabilidade apresentada na produção de água produzida.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

VPI

10000 Blocos

25 Blocos / krel corrig

25 Blocos / krel inicial

Figura 6.10 – Produção prevista de fração de água em esquema de malha paralela ao fluxo

É interessante notar que na simulação com a curva de permeabilidade relativa

inicial não se observam as variações de

f observadas na simulação com a curva de

permeabilidade relativa corrigida. Este fato foi entendido como decorrência da

descontinuidade na curva de permeabilidade relativa corrigida para a água associada

à frente de choque prevista por Buckley-Leverett (1942). A permeabilidade relativa de

laboratório suaviza a curva de produção de água, como visto no capítulo de solução

do problema de Buckley-Leverett (1942).

Figura 6.11 – Mapa de saturação de água em simulação com malha de 100 blocos.

Figura 6.12 – Mapa de saturação de água em simulação com malha de 25 blocos.

Os resultados aqui apresentados não pretendem ser conclusivos, pois não

foram realizadas investigações suficientes no tema de linhas de fluxo e distribuição

espacial da água injetada. Entretanto parece-nos razoável afirmar que a correção nas

permeabilidades relativas para a solução numérica de problemas de deslocamento

não deve ser desprezada nos problemas de mais de uma linha de fluxo, pois as

curvas de permeabilidade relativa corrigidas trazem em si o efeito da frente de

choque observada no laboratório. Desde que, é claro, as forças viscosas sejam

preponderantes sobre as demais forças observadas no fenômeno.

Uma melhor compreensão dos efeitos de orientação de malha pode ser obtida

em Aziz e Settari (1979), e Mattax e Dalton (1990)

Capítulo 7 - Discussões sobre o método

O problema da dispersão numérica em simulação de deslocamento de dois

fluidos imiscíveis pode ser decomposto em dois problemas simultâneos, ambos

devidos à escala de discretização espacial do reservatório. Um problema é referente

à solução de Buckley-Leverett (1942) para a distribuição do fluido injetado em

sistema linear. O outro problema é referente à geometria da área invadida pelo fluido

injetado.

A solução analítica de Buckley-Leverett (1942) para um fluxo linear gera

procedimentos precisos para determinação das curvas de permeabilidade relativa

dos fluidos, porém o comportamento de produção dos fluidos não se reproduz em

simulações numéricas de fluxo. Este problema pode ser solucionado com a correção

das curvas de permeabilidade relativa a partir das equações de Buckley-Leverett

(1942) e da geometria dos blocos de simulação. A correção proposta neste trabalho

para as curvas de permeabilidade relativa é simples, podendo ser facilmente

programada, e apresenta resultados de produção bastante precisos em relação ao

cálculo analítico. Quanto ao perfil de saturação ao longo do corpo poroso, a correção

proposta também apresenta boa solução, embora sua precisão não seja tão boa

quanto à obtida para a curva de produção de fluidos.

A correção da permeabilidade relativa proposta foi aplicada em simulação de

fluxo em meio plano, porém os resultados se mostraram bastante influenciados pela

orientação da malha em relação aos poços, ou às linhas de fluxo. Para o caso de um

poço injetor e um poço produtor posicionados em vértices opostos de um quadrado

(situação denominada ¼ de five spot), a correção proposta apresentou os maiores

desvios. Concluímos neste caso que quando a malha de simulação é composta de

poucos blocos a geometria da região invadida pelo fluido injetado não encontra boa

resolução, e conseqüentemente ocorre uma dispersão maior no tempo que o fluido

injetado leva para chegar ao poço produtor. Este problema pode ser minimizado ao

se orientar a malha na direção preferencial de fluxo, porém a solução apresenta

alguns problemas de oscilação na resposta.

As correções propostas dão às curvas de permeabilidade relativa água/óleo

mais representatividade na montagem do modelo numérico. Do ponto de vista prático

as curvas de permeabilidade relativa são muitas vezes utilizadas como parâmetros

para ajuste de histórico de produção, representando assim uma propriedade da rocha

de baixa representatividade. Ao serem adequadas à geometria dos blocos de

simulação, estas correções mudam o status da permeabilidade relativa, permitindo ao

engenheiro e geólogo de reservatório outras interpretações da qualidade do meio

poroso.

O método traz três vantagens aos estudos de reservatórios:

1. Um cálculo simplificado de correção da permeabilidade relativa água/óleo,

onde se estabelece apenas uma curva de permeabilidade relativa para os

blocos envolvidos.

2. Em campos novos, minimiza as incertezas numéricas da curva de

produção de um projeto que necessite de injeção de água, propiciando um

aumento da expectativa de retorno do investimento.

3. Em campos maduros, permite à engenharia de reservatórios avaliar melhor

a caracterização do reservatório no intervalo que separa o poço produtor

ao poço injetor ou ao contato óleo/água estimado pela geologia, e com isso

integrar ainda mais a atuação de geofísicos, geólogos e engenheiros.

As correções de permeabilidade relativa óleo/água geradas pelo método

proposto não dependem de variações da porosidade

ou da espessura h do

reservatório, e nem mesmo das vazões dos poços.

Algumas limitações se fazem sentir. As correções propostas apresentam bons

resultados somente quando o fluxo for linear ou puder ser considerado linear, ou

ainda quando a malha de simulação estiver orientada na direção preferencial das

linhas de fluxo.

Outra limitação do método é o fato das deduções serem feitas para a função

de fluxo fracionário considerando a pressão constante

(

)

ctepSf

=, e com gradientes

pouco acentuados. Esta hipótese é mais realista para reservatórios de alta

permeabilidade, ou em alguns tipos de óleo que a viscosidade se revela pouco

sensível à variação de pressão.

Alguns autores consideram que a permeabilidade relativa ao óleo deve ser

considerada constante no intervalo

SSS << , pois seria este o valor da

propriedade na fronteira do bloco. Outros autores constroem a curva neste intervalo a

partir de outros critérios que levam em conta o gradiente de pressão dentro do bloco.

A solução proposta neste método não levou em conta tais preocupações, e a

correção gerada para este intervalo apenas evitou a descontinuidade que se observa

na curva corrigida da permeabilidade relativa à água. Como dito anteriormente, a

solução desconsidera variação de pressão devido à dependência da viscosidade e da

curva de fluxo fracionário.

A correção das curvas de permeabilidade relativa é então necessária para se

inserir o efeito da frente de choque na simulação de fluxo. As conclusões de Buckley-

Leverett (1942) não são automaticamente inseridas na solução matemática dos

simuladores numéricos de fluxo, que se atêm ao balanço de massa e gradientes

entre blocos. Os engenheiros de reservatório, ao utilizarem as curvas de

permeabilidade relativa integral nos simuladores de fluxo, terminam por

desconsiderar a existência da frente de choque, e portanto só contemplam o

deslocamento por fricção, resultando uma distribuição de saturações bastante distinta

daquela que originou as curvas de permeabilidade relativa no laboratório. A este

respeito, transcrevemos Dake (1994) para uma meditação mais profunda dos

engenheiros de reservatórios.

“The most unfortunate aspect concerning relative permeabilities and their use

in coarse gridded numerical simulation is not that the models do not respect the

concept of fractional flow but rather – that because they ignore it, then so too do

reservoir engineers. Since the inception of simulation modelling in the mid 1960’s the

use of fractional flow by the industry has steadily diminished until now it is almost

extinct; just like the application of Material Balance described in Chapter 3. Instead,

the current interest seems to be devoted entirely to relative permeability

measurements – almost to the exclusion of everything else. Yet, as described in this

section, it is the relative permeabilities measured with some artificially high and often

unreported oil viscosity, that are the arbitrary function and must be regarded with

great circumspection in reservoir engineering studies.”

Conclusões

Este trabalho desenvolve um método bastante simples de alteração das curvas de

permeabilidade relativa, que minimizam os efeitos de discretização da malha de simulação

para o caso do fluxo linear. As pseudo curvas geradas oferecem ao engenheiro de

reservatórios mais confiabilidade na avaliação de uma jazida, com redução dos riscos

empresariais. Além disso estabelecem um outro status às curvas de permeabilidade relativa

obtidas em ensaios de laboratório, posto que via de regra as curvas de permeabilidade

relativa são freqüentemente utilizadas como a variável de ajuste de histórico, justamente

pelos efeitos de dispersão numérica associados a esta variável.

O método apresenta solução tão mais precisa quanto mais linear for o fluxo no meio

poroso. Entretanto, a solução mais precisa é função do número de blocos existentes entre o

poço produtor e o poço injetor, e este número pode não ser facilmente obtido no caso de

modelos de fluxo, devido a geometria do reservatório e à malha de drenagem. Ainda assim

a correção da curva de permeabilidade relativa pela saturação de água da frente de choque

se faz necessária, por não haver fluxo de água em saturação inferior à da frente de choque.

Além disso, esta correção insere no modelo numérico o efeito da onda de choque observado

em ensaios de laboratório.

A extensão dos resultados obtidos no fluxo linear para o meio bidimensional apontam a

necessidade de melhor estudar o assunto da dispersão devido à malha de simulação. Os

resultados preliminares indicam que a malha paralela ao fluxo apresenta melhor resultado

que a malha diagonal, no caso de quarto de five spot. Acreditamos que novos estudos

devem ser realizados nesta direção para melhor esclarecimento da questão.

Referências Bibliográficas

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