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Nadime Mustafa Moraes
Deformac¸
˜
oes de Superf
´
ıcies de Curvatura M
´
edia
Constante em Espac¸os de Curvatura Constante
Manaus - AM
Dezembro/2005
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Livros Grátis
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Nadime Mustafa Moraes
Deformac¸
˜
oes de Superf
´
ıcies de Curvatura M
´
edia
Constante em Espac¸os de Curvatura Constante
Dissertac¸
˜
ao apresentada
`
a Coordenac¸
˜
ao do
Mestrado em Matem
´
atica da Universidade
Federal do Amazonas para a obtenc¸
˜
ao do
t
´
ıtulo de Mestre em Matem
´
atica.
Orientador:
Prof. Dr. Renato de Azevedo Tribuzy
M  M
´

D  M
´

I  C
ˆ
 E
U F  A
Manaus - AM
Dezembro/2005
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Dissertac¸
˜
ao de Mestrado sob o t
´
ıtulo “Deformac¸˜oes de Superf´ıcies de Curvatura M´edia
Constante em Espac¸os de Curvatura Constante”, defendida por Nadime Mustafa Moraes e
aprovada em 29 de Dezembro de 2005, em Manaus, Amazonas, pela banca examinadora
constitu
´
ıda pelos Doutores:
Prof. Dr. Renato de Azevedo Tribuzy
Departamento de Matem
´
atica - UFAM
Orientador
Prof. Dr. Ivan de Azevedo Tribuzy
Departamento de Matem
´
atica - UFAM
Prof. Dr. Abd
ˆ
enago Alves de Barros
Universidade Federal do Cear
´
a - UFC
A DEUS,
O GRANDE GE
ˆ
OMETRA e aos meus filhos Gabriel e Ester.
Agradecimentos
Meus sinceros agradecimentos:
– Ao SENHOR DEUS pelo seu infinito amor e grac¸a.
– Ao meu esposo Glacimar pelo incentivo e apoio;
– Ao meu pastor Marivaldo Franc¸a e a minha l
´
ıder Graciete Tanaka e a toda Igreja
Batista Mission
´
aria de Manaus- IBMM , pelas orac¸
˜
oes;
– Ao meu orientador professor Renato de Azevedo Tribuzy, pela orientac¸
˜
ao para a
realizac¸
˜
ao deste trabalho;
– As amigas Silvia Viviane, Andr
´
ea Fragata, Benedita de Paula, pelo apoio;
– A professora Sheila Chagas pelo apoio e incentivo ao iniciar o curso de Mestrado
com id
´
eias e colaborac¸
˜
oes indispens
´
aveis;
– Aos amigos de estudo Kelly Alves Mar
˜
aes, Andr
´
eia Rocha, Jo
˜
ao B. Ponciano,
Alexandra Salerno, Valtemir Martins, que por todo momento me incentivaram;
– Aos meus familiares pais e aos meus irm
˜
aos Jos
´
e, Jos
´
e Mamed, Elba, Davi Nasser,
Jo
˜
ao, Emir (in memorian), Iraneide, Marcos e Maria da Penha que me apoiaram nos
momentos mais dif
´
ıcies.
Eis que DEUS ´e excelso em seu poder;
quem ´e ensinador como ele?
J
´
o 36:22
Resumo
Este trabalho tem o objetivo de apresentar uma exposic¸
˜
ao sistem
´
atica e clara da
demonstrac¸
˜
ao de um teorema famoso sobre superf
´
ıcies de curvatura m
´
edia constante
do artigo de H. Blaine Lawson, intitulado Complete Minimal Surfaces in S
3
, que ser
´
a
enunciado a seguir.
Seja ds
2
uma m´etrica riemanniana C
3
sobre uma superf´ıcie simplesmente conexa S e seja H
2
um n´umero real n˜ao-negativo qualquer. Suponha que a curvatura Gaussiana K nessa m´etrica
satisfac¸a K < H
2
e suponha que a m´etrica d
ˆ
s
2
=
√
H
2
− Kds
2
´e plana. Ent˜ao para cada constante
c ≤ H
2
existe uma fam´ılia 2π-peri´odicas de imers˜oes isom´etricas diferenci´avel ψ
c,θ
: S → Q
3
(c)
de curvatura m´edia constante
H =
√
H
2
− c. Al´em disso, a aplicac¸˜ao ψ
c,θ
; 0 ≤ θ ≤ π representa
a menos de congruˆencias todas as imers˜oes isom´etricas locais de curvatura m´edia constante de
S em Q
3
(c). Se, al´em disso, a m´etrica ds
2
for originalmente induzida por uma imers˜ao de
curvatura m´edia constante
H =
√
H
2
− c em Q
3
(c), temos que K ≤ H
2
, a m´etrica d
ˆ
s
2
´e plana e
todas as conclus˜oes s˜ao v´alidas.
Abstract
The abstract of this wore is to present an systematic and clear exposition of
the demonstration of a famous theorem about surfaces of constant mean curvature
from H. Blaine Lawson article, that has by title Complete Minimal Surfaces in S
3
,
that will be fallowing exposed.
Let ds
2
be a C
3
riemannian metric defined over a simply connected surface
S and let H
2
be any non-negative real number. Suppose that the Gauss curvature
K of this metric satisfies K < H
2
and furthermore suppose that the metric dˆs
2
=
√
H
2
− Kds
2
is flat. Then for each constant c ≤ H
2
there exists a differentiable,
2π − periodic family of isometric immersions ψ
c,θ
: S → Q
3
(c) of constant mean
curvature
˜
H =
√
H
2
− c. Moreover, up to congruences the maps ψ
c,θ
; 0 ≤ θ ≤ π
represent (extensions of) all local, isometric, constant mean curvature immersions
of S into Q
3
(c).
If, furthermore, the metric ds
2
was originally induced by an immersion of constant
mean curvature
˜
H =
√
H
2
− c into Q
3
(c), then setting H =
˜
H
2
+ c we have that
K ≤ H
2
, the metric is flat, and all the above conclusions hold.
Sum
´
ario
1 INTRODUC¸
˜
AO p. 8
2 GENERALIDADES p. 10
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS p. 24
4 TEOREMA PRINCIPAL p. 33
BIBLIOGRAFIA p. 42
8
1 INTRODUC¸
˜
AO
Seja Q
3
(c) um espac¸o forma, de dimens
˜
ao 3 , simplesmente conexo, de curvatura
seccional c. Seja S uma superf
´
ıcie, munida de uma estrutura Riemanniana, completa
e orient
´
avel. Considerando uma imers
˜
ao isom
´
etrica ψ
c,θ
: S → Q
3
(c) com curvatura
m
´
edia
H =
√
H
2
− c , inicialmente provamos que dada f : S −→ Q
3
(c) com curvatura
m
´
edia constante
H =
√
H
2
− c existe uma deformac¸
˜
ao isom
´
etrica f
θ
: S −→ Q
3
(c) tal
que f
0
= f . Al
´
em disso, se g : S −→ Q
3
(c)
´
e uma imers
˜
ao isom
´
etrica tal que
H =
√
H
2
− c, ent
˜
ao existe θ tal que f
θ
= g.Para a segunda parte, temos f : S −→ Q
3
(c) com
curvatura m
´
edia constante
H, sempre que
√
H
2
− c 0 e a m
´
etrica d
ˆ
s
2
=
√
H
2
− Kds
2
for plana. E finalmente se, H
2
− K > 0 e a m
´
etrica d
ˆ
s
2
=
√
H
2
− Kds
2
´
e plana ent
˜
ao
existe uma imers
˜
ao com curvatura m
´
edia constante
H =
√
H
2
− c.
O trabalho tem a seguinte organizac¸
˜
ao : No cap
´
ıtulo 2 mencionamos definic¸
˜
oes e
resultados relevantes da Geometria Riemanniana, bem como, conceitos elementares de
Variedades Diferenci
´
aveis, Variedades Riemannianas, Conex
˜
oes Riemannianas, Cur-
vaturas e algumas noc¸
˜
oes de Vari
´
aveis Complexas. O cap
´
ıtulo 3 exibi inicialmente a
definic¸
˜
ao de imers
˜
ao isom
´
etrica, e encontramos fatos essenciais diz respeito
`
a segunda
forma fundamental, dentre os quais destacamos as equac¸
˜
oes de Gauss e Codazzi.
No cap
´
ıtulo 4 abordamos a ess
ˆ
encia maior deste trabalho, o qual envolve superf
´
ıcies
de curvatura m
´
edia constante. Para uma superf
´
ıcie de curvatura m
´
edia constante dada
em um sistema coordenadas isot
´
ermicos, associa-se uma func¸
˜
ao anal
´
ıtica ϕ construida
a partir da segunda forma fundamental na direc¸
˜
ao da curvatura m
´
edia. Isto foi feito
primeiro para superf
´
ıcies em R
3
por Heinz Hopf [9]. Sobre certas condic¸
˜
oes adicionais,
o mesmo procede para outras direc¸
˜
oes normais.
Lembremos que tr
ˆ
es importantes exemplos de variedades Riemannianas de cur-
vatura seccional K constante, s
˜
ao, o espac¸o euclidiano com K ≡ 0 , a esfera unit
´
aria
S
n
⊂ R
n+1
com K ≡ 1 e o espac¸o hiperb
´
olico H
n
de dimens
˜
ao n, que tem curvatura
1 INTRODUC¸
˜
AO 9
seccional constante K ≡ −1. Essas variedades R
n
, S
n
e H
n
s
˜
ao completas e simples-
mente conexas. O teorema de Cartan mostra que estas s
˜
ao essencialmente as
´
unicas
varieades completas, simplesmente conexas, com curvatura seccional constante.
As curvaturas est
˜
ao relacionadas com a segunda forma fundamental da imers
˜
ao
por meio das express
˜
oes que generalizam as cl
´
assicas equac¸
˜
oes de Gauss e Codazzi-
Minard da teoria das superf
´
ıcies. Os espac¸os de curvatura constante tiveram um papel
importante no desenvolvimento hist
´
orico da Geometria Riemanniana, devido
`
as suas
relac¸
˜
oes com a Geometria n
˜
ao-euclidiana.
10
2 GENERALIDADES
Este cap
´
ıtulo cont
´
em conceitos e resultados fundamentais da Geometria Rieman-
niana, os quais ser
˜
ao utilizados de maneira essencial em todo o trabalho.
VARIEDADES DIFERENCI
´
AVEIS
Definic¸ ˜ao 2.1. Uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n ´e um conjunto M e uma fam´ılia de
aplicac¸˜oes biun´ıvocas X
α
: U
α
⊂ R
n
→ M de abertos U
α
de R
n
em M tais que:
a)
α
X
α
(U
α
) = M
b) ∀ par α, β, com X
α
(U
α
)
X
β
(U
β
) = W φ, os conjuntos X
−1
α
(W) e X
−1
β
(W) s˜ao abertos em
R
n
e as aplicac¸˜oes X
−1
β
◦ X
α
s˜ao diferenci´aveis
c) A fam´ılia, {(U
α
, X
α
)} ´e m´axima relativamente `as condic¸˜oes a) e b), ou seja, qualquer outra
fam´ılia est´a contida nesta.
O par (U
α
, X
α
) com p ∈ X
α
(U
α
)
´
e chamado uma parametrizac¸
˜
ao de M em p. Uma fam
´
ılia
{(U
α
, X
α
)} satisfazendo a) e b)
´
e chamada uma estrutura diferenci
´
avel em M.
Em particular, quando n = 2 a variedade diferenci
´
avel
´
e uma superf
´
ıcie.
Exemplo 2.2. O espac¸o euclidiano R
n
, com a estrutura diferenci´avel dada pela identidade ´e um
exemplo trivial de variedade diferenci´avel.
Definic¸ ˜ao 2.3. Seja M uma variedade diferenci´avel. Uma aplicac¸˜ao diferenci´avel α : (−, ) →
M
n
´e chamada curva diferenci´acel em M. Suponha α(0) = p ∈ M
n
, e seja D o conjunto das
func¸˜oes diferenci´aveis de M em p. O vetor tangente `a curva α em t = 0 ´e a func¸˜ao α
(0) : D → R
dada por
α
(0) f =
d( f ◦ α)
dt
|
t=0
, f ∈ D.
2 GENERALIDADES 11
Um vetor tangente em p ´e o vetor tangente de alguma curva α : (−, ) → M
n
com α
(0) = p.
O conjunto dos vetores tangentes a M no ponto p ser´a indicado por T
p
M
n
.
Exemplo 2.4. (Fibrado tangente)
Seja M
n
uma variedade diferenci´avel e seja TM = {(p, v); p ∈ M, v ∈ T
p
M}. Vamos mostrar
que TM ´e uma variedade diferenci´avel.
Seja {(U
α
, x
α
)} a estrutura m´axima de M. Indique por (x
α
1
, ..., x
α
n
) as coordenadas de U
α
e
por
∂
∂x
α
1
, ...,
∂
∂x
α
n
as bases associadas nos espac¸os tangentes de x
α
(U
α
). Para cada α, defina
y
α
: U
α
× R
n
→ TM por
y
α
(x
α
1
, ..., x
α
n
, u
1
, ..., u
n
) =
x
α
(x
α
1
, ..., x
α
n
),
n
i=1
u
i
∂
∂x
α
i
, (u
1
, ..., u
n
) ∈ R
n
.
Geometricamente, isto significa tomar como coordenadas de um ponto (p, v) ∈ TM as coordena-
das x
α
1
, ..., x
α
n
de p junto com as coordenadas de v na base
∂
∂x
α
1
, ...,
∂
∂x
α
n
.
Como
α
x
α
(U
α
) = M e (dx
α
)
q
(R
n
) = T
x
α
(q)
M, q ∈ U
α
, tem-se
α
y
α
(U
α
× R
n
) = TM,
o que verifica a condic¸˜ao (i) da definic¸˜ao de variedade diferenci´avel. Considere agora
(p, v) ∈ y
α
(U
α
× R
n
)
y
β
(U
β
× R
n
).
Ent˜ao
(p, v) = (x
α
(q
α
), dx
α
(v
α
)) = (x
β
(q
β
), dx
β
(v
β
)),
onde q
α
∈ U
α
, q
β
∈ U
β
, v
α
, v
β
∈ R
n
. Portanto,
y
−1
β
◦ y
α
(q
α
, v
α
) = y
−1
β
(x
α
(q
α
), dx
α
(v
α
)) = ((x
−1
β
◦ x
α
)(q
α
), d(x
−1
β
◦ x
α
)(v
α
)).
Como x
−1
β
◦x
α
´e diferenci´avel, d(x
−1
β
◦x
α
) tamb´em o ´e. Decorre da´ı que y
−1
β
◦ y
α
´e diferenci´avel,
o que verifica a condic¸˜ao (ii) da definic¸˜ao de variedade diferenci´avel o que mostra que TM ´e uma
estrutura diferenci´avel.
Definic¸ ˜ao 2.5. Uma aplicac¸˜ao diferenci´avel ϕ : M
m
→ N
n
´e uma imers˜ao se dϕ
p
: T
p
M →
T
ϕ(p)
N ´e injetiva ∀p ∈ M. Se al´em disso, ϕ ´e um homeomorfismo sobre ϕ(M) ⊂ N, onde ϕ(M)
2 GENERALIDADES 12
tem a topologia induzida de N, diz-se que ϕ ´e um mergulho.
Definic¸ ˜ao 2.6. Um campo de vetores X em uma variedade diferenci´avel M ´e uma corres-
pondˆencia que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ T
p
M. Em termos de aplicac¸˜oes,
X ´e uma aplicac¸˜ao de M no fibrado tangente TM. O campo ´e diferenci´avel se a aplicac¸˜ao
X : M → TM ´e diferenci´avel.
Considerando uma parametrizac¸˜ao x : U ⊂ R
n
−→ R
n
´e poss´ıvel escrever
X(p) =
n
i=1
α
i
(p)
∂
∂x
i
,
onde cada α
i
: U −→ R ´e uma func¸˜ao em U e
∂
∂x
i
´e a base associada a x, i = 1, ..., n.
´
E claro
que X ´e diferenci´avel se e s´o se as func¸˜oes α
i
s˜ao diferenci´aveis para alguma (e, portanto, para
qualquer) parametrizac¸˜ao.
VARIEDADES RIEMANNIANAS
Definic¸ ˜ao 2.7. Uma m´etrica Riemanniana em uma variedade diferenci´avel M ´e uma corres-
pondˆencia que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno ,
p
(ou seja, uma forma
bilinear sim´etrica, positiva definida) no espac¸o tangente T
p
M, que varia diferenciavelmente no
seguinte sentido: Se x : U ⊂ R
n
→ M ´e um sistema de coordenadas locais em torno de p, com
x(x
1
, ..., x
n
) = q ∈ x(U) e
∂
∂x
i
(q) = dx
q
(0, ..., 1, ..., 0), ent˜ao
∂
∂x
i
(q),
∂
∂x
j
(q)
p
= g
ij
(x
1
, ..., x
n
) ´e
uma func¸˜ao diferenci´avel em U.
Exemplo 2.8. O exemplo n˜ao trivial. M = R
n
com
∂
∂x
i
identificado com E
i
= (0, ..., 1, ..., 0). A
m´etrica ´e dada por
E
i
, E
j
= δ
ij
. R
n
´e chamado espac¸o euclidiano de dimens˜ao n e a geometria
riemanniana deste espac¸o ´e a geometria m´etrica euclidiana.
Exemplo 2.9. Variedades Imersas. Seja f : M
n
→ M
n+k
uma imers˜ao, isto ´e, f ´e diferenci´avel
e d f
p
de T
p
M em T
f (p)
M ´e injetiva para todo p em M. Se N tem uma estrutura riemanniana f
induz uma estrutura riemanniana em M por
u, v
p
=
d f
p
u, d f
p
v
f (p)
, u e v ∈ T
p
M. Como d f
p
´e injetiva, ,
p
´e positivo definido. As demais condic¸˜oes da definic¸˜ao de variedade diferenci´avel
s˜ao facilmente verificadas. A m´etrica de M ´e chamada ent˜ao a m´etrica induzida por f , e f ´e uma
imers˜ao isom´etrica.
Definic¸ ˜ao 2.10. Sejam M e M variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M → M ´e
chamado uma isometria se:
u, v
p
= d f
p
(u), d f
p
(v),
f (p)
2 GENERALIDADES 13
para todo p ∈ M e u, v ∈ T
p
M.
Definic¸ ˜ao 2.11. Uma m´etrica Riemanniana sobre M ´e dita plana se nesta m´etrica M ´e localmente
isom´etrica ao espac¸o euclidiano.
Definic¸ ˜ao 2.12. Sejam M
n
e M
m
variedades diferenci´aveis. Uma aplicac¸˜ao ϕ : M
n
→ M
m
´e
diferenci´avel em p ∈ M
n
se dada uma parametrizac¸˜ao y : V ⊂ R
m
→ M
m
uma vizinhanc¸a de
ϕ(p) e uma parametrizac¸˜ao x : U ⊂ R
n
→ M
n
de uma vizinhanc¸a de p tal que ϕ(x(U)) ⊂ y(V)
e a aplicac¸˜ao y
−1
◦ ϕ ◦ x : U ⊂ R
n
→ R
m
´e diferenci´avel em x
−1
(p). ϕ ´e diferenci´avel em um
aberto de M se ´e diferenci´avel em todos os pontos deste aberto. Se, al ´em disso, ϕ ´e bijetiva e sua
inversa ϕ
−1
´e diferenci´avel ent˜ao ϕ diz-se um difeomorfismo.
Definic¸ ˜ao 2.13. Um difeomorfismo ϕ : M → N diz-se uma aplicac¸˜ao conforme se ∀p ∈ M e
∀u, v ∈ T
p
M tem-se
dϕ
p
(u), dϕ
p
(v)
= λ
2
(p)
u, v
p
,
onde λ
2
´e uma func¸˜ao diferenci´avel n˜ao nula sobre M.
O significado geom´etrico de uma aplicac¸˜ao conforme ´e que ela preserva os ˆangulos formado
por duas curvas que se interceptam.
Definic¸ ˜ao 2.14. Duas m´etricas
,
e

,

em uma variedade Riemanniana M s˜ao conformes
se existe uma func¸˜ao diferenci´avel f : M → R, positiva, tal que
u, v
p
= f (p)

u, v

p
∀p ∈ M e ∀u, v ∈ T
p
M.
Um fato importante no estudo das superf´ıcies ´e que ´e poss´ıvel obter em uma vizinhanc¸a de
cada ponto uma parametrizac¸˜ao conforme, ou seja, um sistema de coordenadas locais no qual
E = G > 0 e F = 0,
onde E, F e G s˜ao os coeficientes da primeira forma fundamental, os quais s˜ao definidos respec-
tivamente por:
E = f
u
, f
u
, F = f
u
, f
v
e G = f
v
, f
v
.
2 GENERALIDADES 14
Tais sistemas s˜ao chamados isot´ermicos e sua existˆencia ´e garantida pelo teorema enunciado
abaixo, o qual pode ser encontrado em Spivak [11].
Teorema 2.15. Sejam U um aberto simplesmente conexo de R
2
e ϕ : U → R
3
uma imers˜ao de
classe C
k
, 1 ≤ k ≤ ∞. Ent˜ao existe um difeomorfismo φ : U → U de classe C
k
tal que
ϕ = ϕ ◦φ
´e conforme.
CONEX
˜
OES RIEMANNIANAS
O conjunto dos campos de vetores de classe C
∞
em uma variedade diferenci´avel M ser´a
indicado por X(M).
Consideremos a aplicac¸˜ao ∇ : X(M) × X(M) −→ X(M) com as seguintes propriedades:
(1) ∇
( f X+gY)
Z = f ∇
X
Z + g∇
Y
Z;
(2) ∇
X
(Y + Z) = ∇
X
Y + ∇
X
Z;
(3) ∇
X
f Y = f ∇
X
Y + X( f )Y, X, Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ D.
Definic¸ ˜ao 2.16. A aplicac¸˜ao ∇ acima ´e chamada conex˜ao afim na variedade diferenci´avel M.
Proposic¸ ˜ao 2.17. Sejam X, Y, Z ∈ X(M) e p ∈ M .
(1) Se existe uma vizinhanc¸a aberta V
p
de p de modo que Y|
V
p
= Z|
V
p
, ent˜ao (∇
X
Y)
p
= (∇
X
Z)
p
.
(2) Se X
p
= Y
p
, ent˜ao (∇
X
Z)
p
= (∇
Y
Z)
p
.
A proposic¸˜ao acima mostra que ∇
X
Y(p) depende apenas de X
p
e de Y definido numa
vizinhanc¸a de p .
A proposic¸˜ao seguinte caracteriza a conex˜ao afim como uma maneira de derivar vetores ao
longo de curvas e ao mesmo tempo deixa mais claro o que ´e uma conex˜ao afim.
2 GENERALIDADES 15
Proposic¸ ˜ao 2.18. Sejam M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim ∇e γ : I −→ M
uma curva. Ent˜ao ´e poss´ıvel associar de forma ´unica um campo vetorial X a outro campo vetorial
DX
dt
ao longo de γ, de modo que
(1)
D
dt
(X + Y) =
DX
dt
+
DY
dt
;
(2)
D
dt
( f X) =
d f
dt
X + f
DX
dt
;
(3) Se Z ∈ X(M) ´e tal que X(t) = Z(γ(t)), ent˜ao
DX
dt
= ∇
dγ
dt
Z ,
X, Y ∈ X(M) e f ´e uma func¸˜ao diferenci´avel em I .
Notemos que (3) faz sentido devido `a proposic¸˜ao 2.17.
DX
dt
´e chamada derivada covariante de X ao longo da curva γ, relativamente `a conex˜ao ∇.
Fac¸a ∇
X
i
X
j
=
i=1
Γ
k
ij
X
k
, onde X
i
=
∂
∂x
i
, para indicar os s´ımbolos de Christoffel de ∇
Escolhamos uma parametrizac¸˜ao (x
1
, ..., x
n
) ao redor do ponto p, e escrevemos
X =
x
i
∂
∂x
i
e Y =
y
i
∂
∂x
j
.
Disto, obtemos,
∇
X
Y =
i
x
i
∇
∂
∂x
i
(
j
y
j
∂
∂x
j
) =
ij
x
i
y
j
∇
∂
∂x
i
∂
∂x
j
+
ij
x
i
∂
∂x
i
(y
j
)
∂
∂x
j
.
Como,
∇
∂
∂x
i
∂
∂x
j
=
i=1
Γ
k
ij
∂
∂x
k
, ent˜ao
∇
X
Y =
k
(
ij
x
i
y
j
Γ
k
ij
) + X(y
k
)
∂
∂x
k
. (I)
A express˜ao (I) ´e a representac¸˜ao local de ∇
X
Y na parametrizac¸˜ao (x
1
, ..., x
n
).
2 GENERALIDADES 16
Definic¸ ˜ao 2.19. Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim ∇. Um campo
vetorial ao longo de uma curva c : I −→ M ´e chamado campo paralelo quando
DV
dt
= 0, para
todo t ∈ I.
Definic¸ ˜ao 2.20. Uma curva parametrizada γ : I −→ M ´e uma geod´esica em t
o
∈ I se
D
dt
dγ
dt
= 0
no ponto t
o
.
Se γ ´e uma geod´esica em t, para todo t ∈ I, diremos que γ ´e uma geod´esica.
Notemos que o campo
dγ
dt
´e um campo paralelo ao longo de γ.
Definic¸ ˜ao 2.21. Diremos que ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica , se e somente se, para todos
campos de vetores X, Y ao longo da curva γ, tem-se
d
dt
X, Y =
DX
dt
, Y + X,
Dy
dt
.
Definic¸ ˜ao 2.22. Se ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica ent˜ao para toda curva γ e todo par de vetores
paralelos X, Y ao longo de γ, tem-se, X, Y = constante.
Definic¸ ˜ao 2.23. Uma conex˜ao ∇ ´e chamada sim´etrica quando
∇
X
Y − ∇
Y
X = [X, Y], para todo X, Y ∈ X(M),
onde a aplicac¸˜ao [, ] : X(M) × X(M) −→ X(M) dada por [X, Y] = XY − YX ´e chamada o
colchete de Lie .
Teorema 2.24. (Levi-Civita) Seja M uma variedade Riemanniana. Existe uma ´unica conex˜ao
afim ∇ em M que ´e sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica.
A conex˜ao acima ´e chamada conex˜ao Riemanniana ou de Levi-Civita.
CURVATURA
Definic¸ ˜ao 2.25. Seja M uma variedade Riemanniana. A aplicac¸˜ao R(X, Y) : X(M)×X(M) −→
X(M) dada por R(X, Y)Z = ∇
X
∇
Y
Z − ∇
Y
∇
X
Z + ∇
[X,Y]
Z Z ∈ X(M) ´e chamada curvatura
Riemanniana de M.
Proposic¸ ˜ao 2.26. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M, satisfaz:
2 GENERALIDADES 17
i) R( f X + gY, Z) = f R(X, Z) + gR(Y, Z);
ii) R(X, f Y + gZ) = f R(X, Y) + gR(X, Z);
iii) R(X, Y)(Z + W) = R(X, Y)Z + R(X, Y)W;
iv) R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X )Y = 0;
v) R(X, Y)Z, W = −R(Y, X)Z, W;
vi) R(X, Y)Z, W = −R(Y, X)W, Z;
vii) R(X, Y)Z, W = −R(Z, W)X, Y.
Definic¸ ˜ao 2.27. Seja σ um plano bi-dimensionnal do espac¸o tangente T
p
M, e seja {x, y} uma
base de σ. A express˜ao
K
p
(x, y) = K
p
(σ) =
R(x, y)x, y
||x × y||
2
´e chamada curvatura seccionnal de σ em p. Onde ||x × y||
2
= ||x||
2
||y||
2
− x, y
2
.
Um fato importante ´e que K
p
(σ) n˜ao depende da escolha da base {x, y}.
Quando M ´e uma superf´ıcie a curvatura seccional coincide com a curvatura Gaussiana.
Definic¸ ˜ao 2.28. Uma superf´ıcie parametrizada em R
3
´e uma aplicac¸˜ao diferenci´avel f : A ⊂
R
2
−→ R
3
de um aberto A ⊂ R
2
em R
3
.
Proposic¸ ˜ao 2.29. Seja f : A ⊂ R
2
−→ M uma superf´ıcie parametrizada e seja (u, v) as
coordenadas de R
2
. Seja V = V(u, v) um campo vetorial ao longo de f . Ent˜ao
D
∂v
D
∂u
V −
D
∂u
D
∂v
V = R(
∂ f
∂u
,
∂ f
∂v
)V.
A proposic¸˜ao seguinte ser´a utilizada na demonstrac¸˜ao do resultado (2.31).
Proposic¸ ˜ao 2.30. (Identidade de Bianchi)
R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X )Y = 0.
2 GENERALIDADES 18
Demonstrac¸
˜
ao: Pela simetria da conex˜ao Riemanniana, temos,
R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X )Y = ∇
Y
∇
X
Z − ∇
X
∇
Y
Z + ∇
[X,Y]
Z + ∇
Z
∇
Y
X −
∇
Y
∇
Z
X + ∇
[Y,Z]
X + ∇
X
∇
Z
Y − ∇
Z
∇
X
Y + ∇
[Z,X]
Y = ∇
Y
[X, Z] + ∇
Z
[Y, X] + ∇
Z
[Y, X] −
∇
[X,Z]
Y − ∇
[Y,X]
Z − ∇
[Z,Y]
X = [Y, [X, Z]] + [Z, [Y, X]] + [X, [Z, Y]] = 0,
onde na ´ultima igualdade aplicamos a identidade de Jacobi para campos de vetores.
Na proposic¸˜ao seguinte (X, Y, Z, T ) denotar´a R(X, Y)Z, T.
Proposic¸ ˜ao 2.31. Para todo X, Y, Z, T em T
P
M valem :
(a) (X, Y, Z, T) + (Y, Z, X, T) + (Z, X, Y, T) = 0
(b) (X, Y, Z, T) = −(Y, X, Z, T)
(c) (X, Y, Z, T) = −(X, Y, T, Z)
(d) (X, Y, Z, T) = (Z, T, X, Y)
Demonstrac¸
˜
ao:
(a) ´e novamente a identidade de Bianchi;
(b) segue diretamente da definic¸˜ao de curvatura;
(c) ´e equivalente a (X, Y, Z, Z) = 0, o que provaremos a seguir:
(X, Y, Z, Z) = ∇
Y
∇
X
Z − ∇
X
∇
Y
Z + ∇
[X,Y]
Z, Z
Mas
∇
Y
∇
X
Z, Z = Y∇
X
Z, Z − ∇
X
Z, ∇
Y
Z,
e
∇
[X,Y]
Z, Z =
1
2
[X, Y]Z, Z.
Logo
(X, Y, Z, Z) = Y∇
X
Z, Z − X∇
Y
Z, Z +
1
2
[X, Y]Z, Z =
1
2
Y(XZ, Z) −
1
2
X(YZ, Z) +
1
2
[X, Y]Z, Z = −
1
2
[X, Y]Z, Z +
1
2
[X, Y]Z, Z = 0
o que demonstra (c).
2 GENERALIDADES 19
Para demonstrar (d), usaremos (a), e escreveremos:
(X, Y, Z, T) + (Y, Z, X, T) + (Z, X, Y, T) = 0
(Y, Z, T, X) + (Z, T, Y, X) + (T, Y, Z, X) = 0
(Z, T, X, Y ) + (T, X, Z, Y) + (X, Z, T, Y) = 0
(T, X, Y, Z) + (X, Y, T, Z) + (Y, T, X, Z) = 0 .
Somando-se as equac¸˜oes acima, obtemos
2(Z, X, Y, T) + 2(T, Y, Z, X) = 0.
Portanto,
(Z, X, Y, T) = (Y, T, Z, X).
Lema 2.32. Seja V um espac¸o vetorial de dimens˜ao ≥ 2, munido de um produto interno , .
Sejam R : V ×V ×V −→ V e R
: V ×V ×V −→ V aplicac¸˜oes tri-lineares tais que as condic¸˜oes
(a), (b), (c) e (d) da proposic¸˜ao (2.31) sejam satisfeitas para
(x, y, z, t) = R(x, y)z, t,
(x, y, z, t)
= R
(x, y)z, t,
Se x, y s˜ao dois vetores linearmente independentes, escrevamos,
K(σ) =
(x, y, x, y)
|x ∧ y|
2
,
K
(σ) =
(x, y, x, y)
|x ∧ y|
2
,
onde σ ´e o subespac¸o bi-dimensional gerado por x e y. Se para todo σ ⊂ V, K(σ) = K
(σ), ent˜ao
R = R
.
Demonstrac¸
˜
ao: Provando (x, y, z, t) = (x, y, z, t)
para quaisquer x , y, z, t ∈ V o
resultado acima estar´a demonstrado . Observemos primeiramente que, por hip´otese, temos que
(x, y, x, y) = (x, y, x, y)
, para todo x, y ∈ V. Ent˜ao (x + z, y, x + z, y) = (x + z, y, x + z, y)
,
donde (x, y, x, y) + 2(x, y, z, y) + (z, y, z, y) = (x, y, x, y)
+ 2(x, y, z, y)
+ (z, y, z, y)
e, portanto
(x, y, z, y) = (x, y, z, y)
para todo x , y, z, t ∈ V.
2 GENERALIDADES 20
Usando o que acabamos de provar, temos (x, y+t, z, y+t) = (x, y+t, z, y+ t)
, donde (x, y, z, t)+
(x, t, z, y) = (x, y, z, t)
+ (x, t, z, y)
, que pode ainda ser escrita como (x, y, z, t) − (x, y, z, t)
=
(y, z, x, t)−(y, z, x, t)
isso nos leva a concluir que a express˜ao (x, y, z, t)−(x, y, z, t)
´e invariante
por permutac¸˜aoes c´ıclicas dos primeiros trˆes elementos. Portanto, por (a) da proposic¸˜ao 2.28,
temos 3[(x, y, z, t) − (x, y, z, t)
] = 0, logo (x, y, z, t) = (x, y, z, t)
para todo x , y, z, t ∈ V.
Lema 2.33. Sejam M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M. Defina uma aplicac¸˜ao
trilinear R
: T
p
M × T
p
M × T
p
M → T
p
M por
R
(X, Y, W), Z
=
X, W
Y, Z
−
Y, W
X, Z
,
para todo X, Y, W, Z ∈ T
p
M. Ent˜ao M tem curvatura seccional constante igual a K
0
se, e somente
se, R = K
0
R
, onde R ´e a curvatura de M.
Demonstrac¸
˜
ao: De fato, admita que K(ρ, σ) = K
0
para todo σ ⊂ T
p
M, e fac¸a
R
(X, Y, W), Z
= (X, Y, W, Z)
.
Observe que R
satisfaz as seguintes propriedades (a), (b), (c) e (d) da proposic¸˜ao (2.31). Como
(X, Y, X, Y)
=
X, X
Y, Y
−
X, Y
2
, temos que, para todo par de vetores X, Y ∈ T
p
M,
R(X, Y, X, Y) = K
0
(|X|
2
|Y|
2
− X, Y
2
) = K
0
R
(X, Y, X, Y).
Pelo lema (2.33), isto implica que, para todo X, Y, W, Z,
R(X, Y, X, Y)
= K
0
R
(X, Y, W, Z).
Donde R = K
0
R
.
A rec´ıproca ´e imediata.
LAPLACIANO, FUNC¸
˜
OES HARM
ˆ
ONICAS e FUNC¸
˜
OES HOLOMORFAS
Definic¸ ˜ao 2.34. Sejam M uma variedade Riemanniana, X ∈ X(M) e f ∈ D(M). Define-se
divergˆencia de X como sendo a func¸˜ao div X : M → R dada por
div X(p) = tr Y(p),
onde Y ´e uma aplicac¸˜ao linear de T
p
M em X(M) dada por Y(p) = ∇
Y
X(p).
2 GENERALIDADES 21
Definic¸ ˜ao 2.35. O campo vetorial em M grad f dado por
grad f (p), v
= d f
p
(v), p ∈ M, v ∈
T
p
M, denomina-se gradiente de f .
Definic¸ ˜ao 2.36. O operador ∆ : D → D dado por ∆ f = div grad f, denomina-se operador
Laplaciano.
Definic¸ ˜ao 2.37. Seja f ∈ D(M). Se ∆ f ≡ 0, f diz-se harmˆonica. Se ∆ f ≥ 0, f diz-se
subharmˆonica; se ∆ f ≤ 0, f diz-se superharmˆonica.
Uma variedade diferenci´avel M diz-se simplesmente conexa se toda curva fechada de M
pode ser continuamente deformada em um ponto.
Seja U um aberto simplesmente conexo do R
2
e seja x : U → M um sistema isot´ermico em
uma superf´ıcie. Identifique R
2
com o plano complexo C e fac¸a z = x
1
+ ix
2
, onde (x
1
, x
2
) ∈ R
2
e
z ∈ C.
Neste sistema de coordenadas utilize os operadores
2
∂
∂z
=
∂
∂x
1
− i
∂
∂x
2
2
∂
∂z
=
∂
∂x
1
+ i
∂
∂x
2
Proposic¸ ˜ao 2.38. Toda func¸˜ao holomorfa ´e harmˆonica.
Demonstrac¸
˜
ao: Com efeito, se f ´e holomorfa ´e infinitamente deriv´avel. Al´em disso, se
tem
∂ f
∂z
= 0, e, tomando a derivada
∂
∂z
se obt´em
∂
2
f
∂z∂z
= 0.
Corol´ario 2.39. A parte real e a parte imagin´aria de uma func¸˜ao holomorfa s˜ao func¸˜oes
harmˆonicas.
Demonstrac¸
˜
ao: Com efeito, em torno de cada ponto z 0, logz possui uma determinac¸˜ao
e log|z| ´e a parte real de tal determinac¸˜ao.
Proposic¸ ˜ao 2.40. Toda func¸˜ao real g(x, y) harmˆonica em um aberto D ´e, na vizinhanc¸a de cada
ponto de D, a parte real de uma func¸˜ao holomorfa em torno desse ponto, e determinada a menos
de uma constante aditiva.
2 GENERALIDADES 22
Demonstrac¸
˜
ao: Visto que g(x, y) ´e harmˆonica, se tem
∂
2
g
∂z∂z
= 0 e portanto,
∂g
∂z
´e
holomorfa em D. A forma diferencial 2
∂g
∂z
dz admite, por conseguinte , localmente uma
primitiva f ; em outras palavras, na vizinhanc¸a de cada ponto de D existe uma func¸˜ao f ,
determinada a menos de uma constante aditiva, tal que
d f = 2
∂g
∂z
dz. (2.1)
Esta relac¸˜ao prova que f ´e holomorfa. Conjugando a relac¸˜ao (2.1); se obt ´em
d f = 2
∂g
∂z
dz, (2.2)
posto que, ao ser real a func¸˜ao g, as func¸˜oes
∂g
∂z
e
∂g
∂z
s˜ao imagin´arias conjugadas.
Somando (2.1) e (2.2) se obt´em
1
2
d( f + f ) = dg.
Portanto, g ´e igual a parte real de f , aumentada eventualmente em uma constante real. Resta
mostrar que se duas func¸˜oes f
1
e f
2
, holomorfas na vizinhanc¸a de um mesmo ponto , tem mesma
parte real, sua diferenc¸a f = f
1
− f
2
´e constante. De fato, se tem d( f + f) = 0 isto ´e ,
∂ f
∂z
dz +
∂ f
∂z
dz = 0
o que exige que
∂ f
∂z
= 0 e
∂ f
∂z
= 0.
Observac¸ ˜ao 2.41. Dada uma func¸˜ao g real e harmˆonica em um aberto D, nem sempre existe
uma func¸˜ao f holomorfa em todo D cuja parte real seja igual a g. Por exemplo, se D ´e o plano
menos a origem, log|f | n˜ao ´e a parte real de uma func¸˜ao holomorfa em D, posto que o
logaritmo de z n˜ao possui determinac¸˜ao uniforme em D. Esta proposic¸˜ao expressa unicamente
que toda func¸˜ao harmˆonica real ´e localmente a parte real de uma func¸˜ao holomorfa.
Corol´ario 2.42. Se D ´e um aberto simplesmente conexo, toda func¸˜ao g real e harmˆonica em D
2 GENERALIDADES 23
´e a parte real de uma func¸˜ao holomorfa em D.
Demonstrac¸
˜
ao: Com efeito, a forma diferencial 2
∂g
∂z
dz admite uma primitiva em D.
Ver desfecho da demonstrac¸˜ao em [5] cap.2.
24
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS
Definic¸ ˜ao 3.1. Seja f : M
n
→ M
n+k
uma imers˜ao. A m´etrica Riemanniana de M
n+k
induz
naturalmente uma m´etrica em M
n
da seguinte maneira:
se u, v ∈ T
p
M
n
, define-se u, v = d f
p
(u), d f
p
(v).
Ent˜ao f denomina-se uma imers˜ao isom´etrica de M
n
em M
n+k
.
Identificaremos, M
n
com f (M
n
) ⊂ M
n+k
, T
p
M
n
com d f
p
(T
p
M
n
) ⊂ T
p
M
n+k
.
Para cada p ∈ M
n
, a m´etrica em T
p
M
n+k
o decomp˜oe na soma direta
T
p
M = T
p
M ⊕ (T
p
M)
⊥
,
onde (T
p
M)
⊥
´e o complemento ortogonal de T
p
M em T
p
M. Assim, se v ∈ T
p
M pode-se escrever
v = [v]
T
+ [v]
⊥
, [v]
T
∈ T
p
M, [v]
⊥
∈ (T
p
M)
⊥
.
Esta decomposic¸˜ao ´e diferenci´avel no sentido de que as aplicac¸˜oes de TM em TM dadas por
(p, v) → (p, [v]
T
) e (p, v) → (p, [v]
⊥
)
s˜ao diferenci´aveis.
A conex˜ao de M ser´a denotada por ∇ e est´a relacionada `a conex˜ao ∇ de M da seguinte
maneira
[∇
X
Y]
T
= ∇
X
Y,
onde X, Y ∈ X(M).
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS 25
Definic¸ ˜ao 3.2. Sejam X, Y ∈ X(M). A aplicac¸˜ao β : X(M) × X(M) → X(M)
⊥
, onde X(M)
⊥
´e
conjunto dos campos diferenci´aveis normais a M, dada por
β(X, Y) = ∇
X
Y − ∇
X
Y
´e chamada a segunda forma fundamental da imers˜ao.
Observe que usando as propriedades de conex˜ao, tem-se ∀X, Y, Z ∈ X(M) e f ∈ D(M)
β( f X + Y, Z) = ∇
f X+Y
Z − ∇
f X+Y
Z
= f∇
X
Z + ∇
Y
Z − f ∇
X
Z − ∇
Y
Z
= f∇
X
Z − f ∇
X
Z + ∇
Y
Z − ∇
Y
Z
= fβ(X, Z) + B(Y, Z)
e
β(X, Y) = ∇
X
Y − ∇
X
Y
= [X, Y] + ∇
Y
X − [X, Y] − ∇
Y
X
= ∇
Y
X − ∇
Y
X
= β(Y, X).
Logo a segunda forma fundamental ´e uma aplicac¸˜ao bilinear sim´etrica.
A aplicac¸˜ao α : X(M)
⊥
× X(M) → X(M) ´e uma aplicac¸˜ao linear auto-adjunta associada `a
segunda forma fundamental, e definida por
α(N, X), Y
= −
β(X, Y), N
.
Em termos da derivada covariante a aplicac¸˜ao definida acima ´e dada como na proposic¸˜ao
abaixo.
Proposic¸ ˜ao 3.3. Seja X ∈ X(M) e N ∈ X(M)
⊥
. Ent˜ao
α(N, X) = [∇
X
N]
T
.
Demonstrac¸
˜
ao: Observe que
N, Y
= 0 ∀ Y∈ X(M) qualquer. Logo
∇
X
Y, N
=
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS 26
−
Y, ∇
X
N
. Ent˜ao
α(N, X), Y
= −
β(X, Y), N
= −
∇
X
Y − ∇
X
Y, N
= −
∇
X
Y, N
=
Y, ∇
X
N
=
∇
X
N, Y
=
[∇
X
N]
T
+ [∇
X
N]
⊥
, Y
=
[∇
X
N]
T
, Y
.
Portanto
α(N, X) = [∇
X
N]
T
.
A componente normal de ∇
X
N ser´a chamada conex˜ao normal ∇
⊥
da imers˜ao. Explicitamente
[∇
X
N]
N
= ∇
⊥
X
N.
Portanto
α(N, X) = ∇
X
N − ∇
⊥
X
N. (3.1)
Usando (3.1) e a proposic¸˜ao (3.3), verifica-se facilmente que ∇
⊥
tem as propriedades usuais
de conex˜ao Riemanniana.
Definic¸ ˜ao 3.4. Seja f : M
n
→ M
n+k
uma imers˜ao isom´etrica. A curvatura m´edia da imers˜ao ´e
dada por:
H =
1
n
trβ.
Definic¸ ˜ao 3.5. Sejam X, Y, Z ∈ X(M) e N ∈ X(M)
⊥
. A derivada covariante ∇
X
β da segunda
forma fundamental ´e dada por
(∇
X
β)(Y, Z) = D
X
β(Y, Z) − β(∇
X
Y, Z) − β(Y, ∇
X
Z).
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS 27
Equivalentemente define-se
(∇
X
α)(N, Y) = ∇
X
α(N, Y) − α(D
X
N, Y) − α(N, ∇
X
Y).
Faremos uso, do seguinte teorema cl´assico de existˆencia e unicidade de imers˜oes, cuja
demonstrac¸˜ao pode ser encontrada em [11] (teor. 20, Vol.IV, pg.80).
Teorema 3.6. (Existˆencia) Seja S uma superf´ıcie simplesmente conexa, e suponhamos que
existe uma forma bilinear sim´etrica definida em S, satisfazendo `as equac¸˜oes de Gauss para al-
gum c pertencente aos reais, e `as equac¸˜oes de Codazzi. Ent˜ao existe uma imers˜ao isom´etrica
ψ : S → Q
3
(c) tal que β ´e a 2
a
Forma Fundamental de ψ.
(Unicidade) Seja S uma superf´ıcie simplesmente conexa, e ψ,
ψ : S → Q
3
(c) imers˜oes
isom´etricas, tais que β =
β. Ent˜ao ψ e
ψ coincidem a menos de uma isometria de Q
3
(c),
isto ´e , existe uma isometria L de Q
3
(c), tal que
ψ = L ◦ ψ.
O TEOREMA DE GAUSS E AS EQUAC¸
˜
OES DE COMPATIBILIDADE
Seja f : U ⊂ R
2
→ S uma parametrizac¸˜ao de S onde S ´e uma superf´ıcie orient´avel e ori-
entada. A cada ponto de f (U) ´e poss´ıvel associar um triedro natural dado pelos vetores f
u
, f
v
e N.
Exprimindo as derivadas dos vetores f
u
, f
v
e N na base {f
u
, f
v
, N}, obteremos
f
uu
= Γ
1
11
f
u
+ Γ
2
11
f
v
+ L
1
N
f
uv
= Γ
1
12
f
u
+ Γ
2
12
f
v
+ L
2
N
f
vu
= Γ
1
21
f
u
+ Γ
2
21
f
v
+
L
1
N
f
vv
= Γ
1
22
f
u
+ Γ
2
22
f
v
+ L
3
N
N
u
= a
11
f
u
+ a
21
f
v
N
v
= a
12
f
u
+ a
22
f
v
(3.2)
onde
a
11
=
f F − eG
EG − F
2
(3.3)
a
12
=
g f − f G
EG − F
2
(3.4)
a
21
=
eF − f E
EG − F
2
(3.5)
a
22
=
f F − gE
EG − F
2
(3.6)
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS 28
e os outros coeficientes est˜ao ainda por determinar. Os coeficientes Γ
k
ij
, i, j, k = 1, 2, s˜ao chamados
s´ımbolos de Christoffel de S. Como f
uv
= f
vu
conclu´ımos que Γ
1
12
= Γ
1
21
e Γ
2
12
= Γ
2
21
, isto ´e, os
s´ımbolos de Christoffel s˜ao sim´etricos em relac¸˜ao aos ´ındices inferiores.
Tomando o produto interno das quatro primeiras relac¸˜oes por N obt´em-se imediatamente
que L
1
= e, L
2
= L
2
= f, L
3
= g, onde e, f e g s˜ao os coeficientes da segunda forma quadr´atica
em S.
Para determinar os s´ımbolos de Christoffel, tomaremos o produto interno das quatro primei-
ras relac¸˜oes por f
u
e f
v
obtendo o sistema
Γ
1
11
E + Γ
2
11
F = f
uu
, f
u
=
1
2
E
1
Γ
1
11
F + Γ
2
11
G = f
uu
, f
v
= F
u
−
1
2
E
v
Γ
1
12
E + Γ
2
12
F = f
uv
, f
u
=
1
2
E
v
Γ
1
12
F + Γ
2
12
G = f
uv
, f
v
=
1
2
G
u
Γ
1
22
E + Γ
2
22
F = f
vv
, f
u
= F
v
−
1
2
G
u
Γ
1
22
F + Γ
2
22
G = f
vv
, f
v
=
1
2
G
v
(3.7)
´
E poss´ıvel resolver o sistema acima e calcular os s´ımbolos de Christoffel em func¸˜ao dos coefici-
entes da primeira forma quadr´atica E, F e G e de suas derivadas. N˜ao obteremos as express˜oes
expl´ıcitas dos Γ
k
ij
e nos contentaremos com a observac¸˜ao importante para o que se segue, que
os conceitos e propriedades expressos em termos dos s´ımbolos de Christoffel s˜ao invariantes por
isometrias.
Como foi visto acima as express˜oes das derivadas de f
u
, f
v
e N na base {f
u
, f
v
, N}, envolvem
apenas o conhecimento dos coeficientes da primeira e segunda formas quadr´aticas de S. Uma
maneira de obter relac¸˜oes entre esses coeficientes ´e considerar as identidades :
( f
uu
)
v
− ( f
uv
)
u
= 0
( f
vv
)
u
− ( f
vu
)
v
= 0
N
uv
− N
vu
= 0
(3.8)
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS 29
Introduzindo os valores de (3.2), podemos escrever as relac¸˜oes acima na forma
A
1
f
u
+ B
1
f
v
+ C
1
N = 0
A
2
f
u
+ B
2
f
v
+ C
2
N = 0
A
3
f
u
+ B
3
f
v
+ C
3
N = 0
(3.9)
onde A
i
, B
i
, C
i
, i = 1, 2, 3 s˜ao func¸˜oes de E, F, G e e, f, g e de suas derivadas. Como os vetores
f
u
, f
v
e N s˜ao linearmente independentes (3.9), implica na existˆencia de nove relac¸˜oes: A
i
= 0,
B
i
= 0, C
i
= 0, i = 1, 2, 3. A t´ıtulo de exemplo, vamos determinar as relac¸˜oes A
1
= 0, B
1
= 0,
C
1
= 0. Usando os valores de (3.2), a primeira das identidades (3.8) se escreve
Γ
1
11
f
uv
+ Γ
2
11
f
vv
+ eN
v
+ (Γ
1
11
)
v
f
u
+ (Γ
2
11
)
v
f
v
+ e
v
N =
Γ
1
12
f
uu
+ Γ
2
12
f
vu
+ f N
u
+ (Γ
1
12
)
u
f
u
+ (Γ
2
12
)
u
f
v
+ f
u
N
(3.10)
Usando de novo (3.2) e igualando os coeficientes de f
u
, obteremos
Γ
1
11
Γ
1
12
+ Γ
2
11
Γ
1
22
+ ea
12
+ (Γ
1
11
)
v
=
Γ
1
12
Γ
1
11
+ Γ
2
12
Γ
1
12
+ f a
11
+ (Γ
1
12
)
u
. (3.11)
donde, usando os valores de (3.3), conclu´ımos que
(Γ
1
12
)
u
− (Γ
1
11
)
v
+ Γ
2
12
Γ
1
12
− Γ
2
11
Γ
1
22
= F
eg − f
2
EG − F
2
= FK.
A equac¸˜ao (3.12) ´e conhecida como a f´ormula de Gauss e demonstra o teorema seguinte
descoberto por K. F. Gauss:
Teorema 3.7. A curvatura gaussiana K de uma superf´ıcie ´e invariante por isometrias.
Igualando em (3.10) os coeficientes de f
v
, mostraremos que B
1
se escreve na forma
(Γ
2
12
)
u
− (Γ
2
11
)
v
+ Γ
1
12
Γ
2
11
+ Γ
2
12
Γ
2
12
− Γ
2
11
Γ
2
22
− Γ
1
11
Γ
2
12
= −EK (3.12)
e, igualando em (3.10) os coeficientes de N , obteremos C
1
na forma
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS 30
e
v
− f
u
= eΓ
1
12
+ f (Γ
2
12
) − Γ
1
11
) − gΓ
2
11
. (3.13)
Observe que a relac¸˜ao (3.12) ´e equivalente `a f´ormula de Gauss (3.12).
Procedendo da mesma maneira com a segunda das identidades (3.8), obter´ıamos que as
equac¸˜oes A
2
= 0 e B
2
= 0 reduzem-se de novo `a f´ormula de Gauss, e que C
2
= 0 ´e dada por
f
v
− g
u
= eΓ
1
22
+ f (Γ
2
22
) − Γ
1
12
) − gΓ
2
12
. (3.14)
Finalmente, o mesmo processo pode ser aplicado `a ´ultima das identidades (3.8) fornecendo
que C
3
= 0 ´e uma identidade, e que A
3
= 0, B
3
= 0 s˜ao equivalentes `as equac¸˜oes (3.13) e
(3.14), que s˜ao chamadas equac¸˜oes de Mainard-Codazzi. A f´ormula de Gauss e as equac¸˜oes
de Mainard-Codazzi s˜ao conhecidas sob o nome de equac¸˜oes de compatibilidade da teoria das
superf´ıcies.
Em um sistema de coordenadas onde F = 0 tem-se:
EK = −(Γ
2
12
)
u
+ (Γ
2
11
)
v
− Γ
1
12
Γ
2
11
− Γ
2
12
Γ
2
12
+ Γ
2
11
Γ
2
22
+ Γ
1
11
Γ
2
12
,
ou seja
K =
1
E
[(Γ
2
11
)
v
− (Γ
2
12
)
u
+ Γ
2
12
(Γ
1
11
− Γ
2
12
) + Γ
2
11
(Γ
2
22
− Γ
1
12
)].
Como
Γ
2
11
= −
E
v
2G
, Γ
2
12
=
G
u
2G
, Γ
1
11
=
E
u
2E
, Γ
2
22
=
G
v
2G
, Γ
1
12
=
E
v
2E
e
(Γ
2
11
)
v
=
−2GE
vv
+ 2E
v
G
v
4G
2
(Γ
2
12
)
u
=
2GG
uu
− 2(G
u
)
2
4G
2
tem-se
K =
1
E
−2GE
vv
+ 2E
v
G
v
− 2GG
uu
+ 2(G
u
)
2
+
G
u
2G
E
u
2E
−
G
u
2G
−
E
v
2G
G
v
2G
−
E
v
2E

;
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS 31
K =
1
E
−2GE
vv
+ 2E
v
G
v
− 2GG
uu
+ 2(G
u
)
2
4G
2
+
GE
u
G
u
− E(G
u
)
2
− EE
v
G
v
+ G(E
v
)
2
4EG
2
K =
1
E
−2GEE
vv
+ 2EE
v
G
v
− 2EGG
uu
+ 2E(G
u
)
2
4EG
2
+
GE
u
G
u
− E(G
u
)
2
− EE
v
G
v
+ G(E
v
)
2
4EG
2
K =
1
E
−2GEE
vv
+ EE
v
G
v
− 2EGG
uu
+ E(G
u
)
2
+ GE
u
G
u
+ G(E
v
)
2
4EG
2
K =
−2GEE
vv
+ EE
v
G
v
− 2EGG
uu
+ E(G
u
)
2
+ GE
u
G
u
+ G(E
v
)
2
4E
2
G
2
K = −
1
2
√
EG
2GEE
vv
− EE
v
G
v
+ 2EGG
uu
− E(G
u
)
2
− GE
u
G
u
− G(E
v
)
2
2EG
√
EG
K = −
1
2
√
EG
E
vv
√
EG − E
v
GE
v
+EG
v
2
√
EG
+ G
uu
√
EG − G
u
GE
u
+EG
u
2
√
EG
EG
.
Sendo
(
√
EG)
v
=
GE
v
+ EG
v
2
√
EG
(
√
EG)
u
=
GE
u
+ EG
u
2
√
EG
Tem-se
K = −
1
2
√
EG
E
vv
√
EG − E
v
(
√
EG)
v
EG
+
G
uu
√
EG − G
u
(
√
EG)
u
EG
.
Portanto
K = −
1
2
√
EG

E
v
√
EG
v
+
G
u
√
EG
u
. (3.15)
Se, al´em disso E = G ou seja, o sistema ´e isot´ermico a curvatura Gaussiana ´e dada por
K = −
1
2
E
−1
∆log E.
Com efeito, tomando um sistema de coordenadas isot´ermicas, a m´etrica tem a seguinte forma
3 IMERS
˜
OES ISOM
´
ETRICAS 32
ds
2
= E(dx
2
1
+ dx
2
2
). Ent˜ao, pela express˜ao (3.15) tem-se:
K = −
1
2E

E
2
E
2
+
E
1
E
1
,
onde E
i
=
∂E
∂x
i
.
Observe que em R
2
o Laplaciano de uma func¸˜ao ´e dado por:
∆ f =
∂
2
f
∂x
2
1
+
∂
2
f
∂x
2
2
.
Ent˜ao:
∆logE =
∂
2
(logE)
∂x
2
1
+
∂
2
(logE)
∂x
2
2
=
∂
∂x
1
∂(logE)
∂x
1
+
∂
∂x
2
∂(logE)
∂x
2
=
∂
∂x
1
1
E
E
1
+
∂
∂x
2
1
E
E
2
=

E
1
E
1
+
E
2
E
2
.
Portanto
K = −
1
2E
∆logE.
33
4 TEOREMA PRINCIPAL
Neste cap´ıtulo Q
3
(c) denota um espac¸o forma, de dimens˜ao 3, simplesmente conexo, de
curvatura seccional c.
Este espac¸o pode ser visto como uma subvariedade de R
4
com a m´etrica ds
2
= q
c
(dx
1
, dx
2
, dx
3
, dx
4
)
dado da seguinte maneira:
Q
3
(c) = {(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ R
4
;
|c|q
c
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) − 2x
4
= 0}, (4.1)
onde
q
c
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) =
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
4
se c ≥ 0
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
− x
2
4
se c ≤ 0
Teorema 4.1. Seja ds
2
uma m´etrica riemanniana C
3
sobre uma superf´ıcie simplesmente
conexa S e seja H
2
um n´umero real n˜ao-negativo qualquer. Suponha que a curvatura
Gaussiana K nessa m´etrica satisfac¸a K < H
2
e suponha que a m´etrica d
ˆ
s
2
=
√
H
2
− Kds
2
´e plana. Ent˜ao para cada constante c ≤ H
2
existe uma fam´ılia 2π peri´odicas de imers˜oes
isom´etricas diferenci´avel ψ
c,θ
: S → Q
3
(c) de curvatura m´edia constante
H =
√
H
2
− c.
Al´em disso, a aplicac¸˜ao ψ
c,θ
; 0 ≤ θ ≤ π representa a menos de congruˆencias todas as imers˜oes
isom´etricas locais de curvatura m´edia constante de S em Q
3
(c). Se al´em disso, a m´etrica
ds
2
for originalmente induzida por uma imers˜ao de curvatura m´edia constante
H =
√
H
2
− c
em Q
3
(c), ent˜ao considerando H =
H
2
+ c temos que K ≤ H
2
, a m´etrica d
ˆ
s
2
´e plana e
todas as conclus˜oes s˜ao v´alidas.
Observac¸ ˜ao 4.2. Se a hip´otese K < H
2
for alterada para K ≤ H
2
para m´etricas gerais
o teorema do mergulho acima pode n˜ao se verdadeiro. Para observar tal fato consideraremos
a m´etrica ds
2
= (1 + |z|
2α
)
2
|dz|
2
, definida sobre o plano complexo, onde α ´e um n´umero
n˜ao inteiro maior que 3 e a curvatura K nessa m´etrica ´e dada por K = −
2α
2
|z
2
|
α−1
(1 + |z
2
|
α
)
4
e
junto com a condic¸˜ao H = 0 tem-se que K < H
2
´e satisfeita. Al´em disso, fora do ponto
z = 0 a m´etrica
√
−Kds
2
=
√
2α|z|
α−1
|dz|
2
´e plana. Como sempre, o plano com essa
4 TEOREMA PRINCIPAL 34
m´etrica n˜ao pode ser (isometricamente) minimalmente imerso em R
3
. Isso pode ser observado
como segue. Seja β
ij
a segunda forma fundamental de alguma tal imers˜ao . Ent˜ao a func¸˜ao
f (z) = β
11
−iβ
12
seria uma func¸˜ao holomorfa que est´a bem definida no plano e satisfaz a equac¸˜ao
|f |
2
= −K (1 + |z
2
|
α
)
4
= 2α
2
|z
2
|
α−1
, isto ´e imposs´ıvel.
Demonstrac¸
˜
ao: Inicialmente assuma que a superf´ıcie simplesmente conexa S n˜ao ´e a
esfera S
2
, pelo teorema da uniformizac¸˜ao podemos considerar que S ou ´e o disco unit´ario ou ´e o
plano.
Tomando um sistema de coordenadas isot´ermicas, a m´etrica tem a forma ds
2
= E(dx
2
1
+ dx
2
2
).
Ent˜ao:
d
ˆ
s
2
=
√
H
2
− Kds
2
=
√
H
2
− KE(dx
2
1
+ dx
2
2
)
=
(H
2
− K)E
2
(dx
2
1
+ dx
2
2
)
= λ(dx
2
1
+ dx
2
2
)
A curvatura nesta m´etrica ´e dada por
K =
−1
2
[(H
2
− K)E
2
]
−
1
2
∆log[(H
2
− K)E
2
]
1
2
≡ 0
visto que d
ˆ
s
2
´e plana. Logo
∆log[(H
2
− K)E
2
] ≡ 0. (4.2)
Por (4.2), tem-se que log[(H
2
−K)E
2
] ´e harmˆonica e portanto pela proposic¸˜ao (2.40) ´e parte
real de uma func¸˜ao holomorfa f em S, e al´em disso |f |
2
= [(H
2
− K)E
2
].
De fato, seja f = λ.e
iθ
. Ent˜ao log f = logλ + iθ. Fac¸a u = logλ e v = θ. Ent˜ao:
∂logλ
∂x
1
=
∂u
∂x
1
=
∂v
∂x
2
=
∂θ
∂x
2
∂logλ
∂x
2
=
∂u
∂x
2
= −
∂v
∂x
1
= −
∂θ
∂x
1
4 TEOREMA PRINCIPAL 35
Derivando essas equac¸˜oes com respeito a x
1
e x
2
, respectivamente temos
∂
2
logλ
∂x
2
1
=
∂
2
θ
∂x
1
∂x
2
,
∂
2
logλ
∂x
2
2
= −
∂
2
θ
∂x
2
∂x
1
Assim
∆logλ =
∂
2
θ
∂x
1
∂x
2
−
∂
2
θ
∂x
2
∂x
1
= 0.
Logo
∂
2
θ
∂x
1
∂x
2
=
∂
2
θ
∂x
2
∂x
1
.
Ent˜ao, f ´e holomorfa determinada a menos de uma constante e
iθ
definida localmente em
S tal que |f |
2
= λ
2
= E
2
(H
2
− K).
Defina uma fam´ılia de segundas formas fundamentais β
ij
(θ, c) em S por:
β
11
(θ, c) = Re{e
iθ
f } +
√
H
2
− cE
β
22
(θ, c) = −Re{e
iθ
f } +
√
H
2
− cE
β
12
(θ, c) = Im{e
iθ
f } = β
21
(θ, c)
Para cada par de n´umeros (θ, c) (c ≤ H
2
), as formas ds
2
e β(θ, c) juntas satisfazem `as
equac¸˜oes:
(c − K)E
2
= β
2
12
− β
11
· β
22
(Gauss)
β
ij;k
(θ, c) = β
ik;j
(θ, c) (Codazzi)
1 ≤ i, j, k ≤ 2
Fac¸a:
Re{e
iθ
f } = R e
√
H
2
− c = A
4 TEOREMA PRINCIPAL 36
Logo:
β
11
(θ, c) = R + AE
β
22
(θ, c) = −R + AE
β
12
(θ, c) = I
Assim, temos :
β
11
· β
22
= (R + AE) · (−R + AE) = A
2
E
2
− R
2
.
Mas
I
2
+ R
2
= |f |
2
= (H
2
− K)E
2
.
Portanto
β
2
12
− β
11
· β
22
= (H
2
− K)E
2
− A
2
E
2
= (H
2
− K)E
2
− (H
2
− c)E
2
= (c − K)E
2
.
Vejamos como a equac¸˜ao de Codazzi ser´a satisfeita. Para isso considere a seguinte notac¸˜ao:
β
ij;k
(θ, c) = (∇
u
k
β)(u
i
, u
j
)(θ, c).
Sabe-se que:
(∇
u
k
β)(u
i
, u
j
) = u
k
β
ij
− β(∇
u
k
u
i
, u
j
) − β(u
i
, ∇
u
k
u
j
).
Queremos mostrar:
(∇
u
1
β)(u
1
, u
2
) = (∇
u
2
β)(u
1
, u
1
).
4 TEOREMA PRINCIPAL 37
Calculando as derivadas covariantes:
(∇
u
1
β)(u
1
, u
2
) = u
1
β
12
− β(∇
u
1
u
1
, u
2
) − β(u
1
, ∇
u
1
u
2
)
=
∂
∂x
1
β
12
− β
Γ
k
11
u
k
, u
2
− β
u
1
,
Γ
k
12
u
k
=
∂
∂x
1
β
12
− β
Γ
1
11
u
1
, u
2
− β
Γ
2
11
u
2
, u
2
− β
u
1
, Γ
1
12
u
1
− β
u
1
, Γ
2
12
u
2
=
∂
∂x
1
β
12
− Γ
1
11
β
12
− Γ
2
11
β
22
− Γ
1
12
β
11
− Γ
2
12
β
12
=
∂
∂x
1
(I m{e
iθ
f }) − Γ
1
11
β
12
− Γ
2
11
β
22
− Γ
1
12
β
11
− Γ
2
12
β
12
(4.3)
(∇
u
2
β)(u
1
, u
1
) = u
2
β
11
− β(∇
u
2
u
1
, u
1
) − β(u
1
, ∇
u
2
u
1
)
=
∂
∂x
2
β
11
− β
Γ
k
21
u
k
, u
1
− β
u
1
,
Γ
k
21
u
k
=
∂
∂x
2
β
11
− β
Γ
1
21
u
1
, u
1
− β
Γ
2
21
u
2
, u
1
− β
u
1
, Γ
1
21
u
1
− β
u
1
, Γ
2
21
u
2
=
∂
∂x
2
β
11
− Γ
1
21
β
11
− Γ
2
21
β
21
− Γ
1
21
β
11
− Γ
2
21
β
12
=
∂
∂x
2
(Re{e
iθ
f }) +
√
H
2
− cE) − Γ
1
21
β
11
− Γ
2
21
β
21
− Γ
1
21
β
11
− Γ
2
21
β
12
(4.4)
Fazendo a diferenc¸a entre as equac¸˜oes (4.3) e (4.4), temos:
(∇
u
1
β)(u
1
, u
2
) − (∇
u
2
β)(u
1
, u
1
) =
∂
∂x
1
(I m{e
iθ
f }) − Γ
1
11
β
12
− Γ
2
11
β
22
− Γ
1
12
β
11
− Γ
2
12
β
12
−
∂
∂x
2
(Re{e
iθ
f }) −
√
H
2
− c
∂E
∂x
2
+ Γ
1
21
β
11
+ Γ
2
21
β
21
+Γ
1
21
β
11
+ Γ
2
21
β
12
(4.5)
Calculando a curvatura m´edia temos:
H =
β
11
+ β
22
2E
=
√
H
2
− c.
Al´em disso, num sistema isot´ermico os s´ımbolos de Christoffel s˜ao dados por:
Γ
1
11
= Γ
2
12
= −Γ
1
22
=
1
2E
∂E
∂x
1
Γ
1
12
= −Γ
2
11
= Γ
2
22
=
1
2E
∂E
∂x
2
4 TEOREMA PRINCIPAL 38
Substituindo a curvatura m´edia e os s´ımbolos de Christofell em (4.6) temos:
(∇
u
1
β)(u
1
, u
2
) − (∇
u
2
β)(u
1
, u
1
) =
∂
∂x
1
(I m{e
iθ
f }) − Γ
1
11
β
12
− Γ
2
11
β
22
− Γ
1
12
β
11
− Γ
2
12
β
12
−
∂
∂x
2
(Re{e
iθ
f }) −
β
11
+ β
22
2E
∂E
∂x
2
+ Γ
1
21
β
11
+ Γ
2
21
β
21
+Γ
1
21
β
11
+ Γ
2
21
β
12
=
∂
∂x
1
(I m{e
iθ
f }) − Γ
1
11
β
12
− Γ
2
11
β
22
− Γ
1
12
β
11
− Γ
2
12
β
12
−
∂
∂x
2
(Re{e
iθ
f }) −
β
11
2E
∂E
∂x
2
−
β
22
2E
∂E
∂x
2
+ Γ
1
21
β
11
+ Γ
2
21
β
21
+Γ
1
21
β
11
+ Γ
2
21
β
12
=
∂
∂x
1
(I m{e
iθ
f }) − Γ
1
11
β
12
− Γ
2
11
β
22
− Γ
1
12
β
11
− Γ
2
12
β
12
−
∂
∂x
2
(Re{e
iθ
f }) − Γ
1
21
β
11
− Γ
2
11
β
22
+ Γ
1
21
β
11
+ Γ
2
21
β
21
+Γ
1
21
β
11
+ Γ
2
21
β
12
=
∂
∂x
1
(I m{e
iθ
f }) −
∂
∂x
2
(Re{e
iθ
f }) (4.6)
Como f ´e holomorfa e θ ´e um n´umero real ent˜ao:
∂
∂x
1
(Re{e
iθ
f }) = −
∂
∂x
2
(I m{e
iθ
f })
∂
∂x
2
(Re{e
iθ
f }) =
∂
∂x
1
(I m{e
iθ
f })
Portanto
(∇
u
1
β)(u
1
, u
2
) = (∇
u
2
β)(u
1
, u
1
).
Estas equac¸˜oes ( Gauss e Codazzi ) s˜ao conhecidas como as condic¸˜oes necess´aria e suficiente
de integrabilidade, na busca dessas formas ds
2
e β(θ, c) em uma superf´ıcie em Q
3
(c).
Al´em disso, de (4.2) e das equac¸˜oes de Gauss e Codazzi, podemos ver que para c fixo existe
um n´umero
H tal que a m´etrica ds
2
pode ser encontrada em uma superf´ıcie de curvatura m´edia
constante
H =
√
H
2
− c em Q
3
(c). Logo, pelo Teorema (3.6), para cada par de n´umeros (θ, c),
existe uma imers˜ao isom´etrica ψ
c,θ
: S → Q
3
(c).
O caso onde S ´e homeomorfa a esfera S
2
segue do seguinte argumento, a equac¸˜ao
4 TEOREMA PRINCIPAL 39
∆log[(H
2
− K)E
2
] = 0 implica que a forma diferencial f (z)dz
2
´e holomorfa na estrutura
conforme da superf´ıcie, onde f = λe
iθ
. Esta forma deve anular-se, visto que o gˆenero de S ´e
zero, este resultado devido ao teorema de Hopf [9], logo pela equac¸˜ao |f |
2
= (H
2
−K)E
2
teremos
K ≡ H
2
o que contraria a hip´otese. Para cada c ≤ H
2
existe uma imers˜ao de S
2
em Q
3
(c),
com curvatura m´edia constante
√
H
2
− c.
Esta imers˜ao ´e, al´em disso, ´unica. Observe que a func¸˜ao f =
β
11
− β
22
2
+i(−β
12
) ´e holomorfa.
De fato, usando as equac¸˜oes de Codazzi temos que:
β
11;2
− β
12;1
= u
2
β
11
− β(∇
u
2
u
1
, u
1
) − β(u
1
, ∇
u
2
u
1
)
−u
1
β
12
+ β(∇
u
1
u
1
, u
2
) + β(u
1
, ∇
u
1
u
2
)
= u
2
β
11
− u
1
β
12
− Γ
1
21
β
11
− Γ
2
21
β
21
− Γ
1
21
β
11
−Γ
2
21
β
12
+ Γ
1
11
β
12
+ Γ
2
11
β
22
− Γ
1
12
β
11
+ Γ
2
12
β
12
= u
2
β
11
− u
1
β
12
+
−Γ
1
21
− Γ
1
21
+ Γ
1
12
β
11
−Γ
2
21
− Γ
2
21
+ Γ
1
11
+ Γ
2
12
β
12
+ Γ
2
11
β
22
= u
2
β
11
− u
1
β
12
+ Γ
2
11
β
22
− Γ
1
12
β
11
= u
2
β
11
− u
1
β
12
−
1
2E
∂E
∂x
2
β
22
−
1
2E
∂E
∂x
2
β
11
= u
2
β
11
− u
1
β
12
−
1
2E
∂E
∂x
2
(β
22
+ β
11
) (4.7)
β
22;1
− β
12;2
= u
1
β
22
− β(∇
u
1
u
2
, u
2
) − β(u
2
, ∇
u
1
u
2
)
−u
2
β
12
+ β(∇
u
2
u
1
, u
2
) + β(u
1
, ∇
u
2
u
2
)
= u
1
β
22
− u
2
β
12
− Γ
1
12
β
12
− Γ
2
12
β
22
− Γ
1
12
β
21
−Γ
2
12
β
22
+ Γ
1
21
β
12
+ Γ
2
21
β
22
+ Γ
1
22
β
11
+ Γ
2
22
β
12
= u
1
β
22
− u
2
β
12
+
−Γ
1
12
− Γ
1
12
+ Γ
1
21
+ Γ
2
22
β
12
−Γ
2
12
− Γ
2
12
+ Γ
2
21
β
22
+ Γ
1
22
β
11
= u
1
β
22
− u
2
β
12
+ Γ
2
12
β
22
+ Γ
1
22
β
11
= u
1
β
22
− u
2
β
12
−
1
2E
∂E
∂x
1
β
22
−
1
2E
∂E
∂x
1
β
11
= u
1
β
22
− u
2
β
12
−
1
2E
∂E
∂x
1
(β
22
+ β
11
) (4.8)
4 TEOREMA PRINCIPAL 40
Como
β
11
+ β
22
E
= 2
√
H
2
− c
´e constante tem-se
0 = u
1
β
11
+ β
22
E
=
u
1
(β
11
+ β
22
)E − (β
11
+ β
22
)u
1
(E)
E
2
(4.9)
u
1
(β
11
+ β
22
) =
(β
11
+ β
22
)
E
∂E
∂x
1
0 = u
2
β
11
+ β
22
E
=
u
2
(β
11
+ β
22
)E − (β
11
+ β
22
)u
2
(E)
E
2
(4.10)
u
2
(β
11
+ β
22
) =
(β
11
+ β
22
)
E
∂E
∂x
2
Substituindo (4.10) em (4.7) e (4.9) em (4.8) tem-se
0 = β
11;2
− β
12;1
= u
2
β
11
− u
1
β
12
−
1
2
u
2
(β
11
+ β
22
)
= u
2
β
11
− u
1
β
12
−
1
2
u
2
β
11
−
1
2
u
2
β
22
,
(4.11)
isto ´e,
u
2
β
11
− β
22
2
= −u
1
(−β
12
)
(4.12)
0 = β
22;1
− β
12;2
= u
1
β
22
− u
2
β
12
−
1
2
u
1
(β
11
+ β
22
)
= u
1
β
22
− u
2
β
12
−
1
2
u
1
β
11
−
1
2
u
1
β
22
,
(4.13)
4 TEOREMA PRINCIPAL 41
isto ´e,
u
1
β
11
− β
22
2
= u
2
(−β
12
)
(4.14)
Observe que (4.12) e (4.14) representam as equac¸˜oes de Cauchy-Riemann. Logo a forma dife-
rencial f(z)dz
2
, deve anular-se devido ao Teorema de Hopf.
Assim, a imers˜ao ´e umbil´ıca e
(β
11
−
HE − iβ
12
)dz
2
= 0 =⇒ β
11
dz
2
−
HEdz
2
− iβ
12
dz
2
= 0.
Segue que,
β
11
dz
2
=
HEdz
2
β
12
dz
2
= 0.
Portanto
β =
HEdz
2
=
Hds
2
.
Para a segunda parte do teorema nos assumimos que ds
2
era induzida por uma imers˜ao ψ
de S em Q
3
(c
0
) com curvatura m´edia constante
√
H
2
− c
0
.
Pelas observac¸˜oes anteriores precisamos apenas considerar quando S n˜ao ´e homeomorfa a S
2
.
Escolha o disco ou o plano como parˆametros isot´ermicos global para S e defina a func¸˜ao f nestas
coordenadas por f =
β
11
− β
22
2
+ i(−β
12
), onde Eδ
ij
e β
ij
s˜ao a primeira e segunda formas
fundamentais da imers˜ao ψ. Agora podemos proceder exatamente como acima para construir a
fam´ılia de imers˜oes ψ
c,θ
. Isto completa a demonstrac¸˜ao.
42
BIBLIOGRAFIA
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1976.
[2] M. P. do Carmo, Formas diferenciais e aplicac¸˜oes, 8
o
Col´oquio brasileiro de matem´atica,
Poc¸os de Caldas, 5 a 23 de julho de 1961.
[3] M. P. do Carmo, Geometria riemanniana, IMPA, projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1988,
2
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[4] M. P. do Carmo, O m´etodo do referencial m´ovel, IMPA, Escola latino americana de ma-
tem´atica, 1976.
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com curvatura m´edia constante cuja
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