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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
–
UFMG
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
ESCOLA DE ENGENHARIA
BELO HORIZONTE
–
MG
A
VALIAÇÃO DA
C
ONFIABILIDADE DE
F
UNDAÇÕES DE
T
ORRES
E
STAIADAS
EM
L
INHAS DE
T
RANSMISSÃO
E
NG
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RYSTHIAN
P
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B
ERNARDES
A
ZEVEDO
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ROF
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OFIA
M
ARIA
C
ARRATO
D
INIZ
, P
H
D
B
ELO
H
ORIZONTE
- MG
J
ANEIRO
2007
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ii
Crysthian Purcino Bernardes Azevedo
A
VALIAÇÃO DA
C
ONFIABILIDADE DE
F
UNDAÇÕES DE
T
ORRES
E
STAIADAS
EM
L
INHAS DE
T
RANSMISSÃO
Dissertação apresentada ao Curso de Pós-
Graduação em Engenharia de Estruturas da Escola
de Engenharia da Universidade Federal de Minas
Gerais, como requisito parcial à obtenção do título
de Mestre em Engenharia de Estruturas.
Área de concentração: Engenharia Civil
Orientadora: Prof. Sofia Maria Carrato Diniz
Belo Horizonte
Faculdade de Engenharia da UFMG
2007
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iii
iv
A
GRADECIMENTOS
A professora Sofia pelos ensinamentos disponibilizados e pela dedicada atenção e
exemplo de competência transmitido. Aos colegas de curso pelas perguntas
oportunamente empregadas. Aos professores pelo dom do ensino e pela dedicada
atenção. A todos os funcionários da Escola de Engenharia da UFMG que nos bastidores
permitiram que o aprendizado fosse contínuo e duradouro.
Ao apoio e cooperação de Rogério Guimarães da ABB e pela permissão para assistir as
aulas em horários comerciais.
Ao Sr. João Bianchi da TBE pela liberação para utilização dos resultados dos ensaios.
Ao Sr. Rubens Rocha da Solosconsult que me permitiu ausentar do trabalho para
aquisição de novos conhecimentos.
A minha querida e amada esposa Keila que soube ter paciência e compreensão nas
muitas vezes que levantei pelas madrugadas para estudar, e finais de semana trocando a
sua amada companhia pelos livros. Obrigado pelo seu amor e dedicação.
Então, falou Jesus às multidões e aos seus discípulos: Na cadeira de Moisés se
assentaram os escribas e os fariseus. Fazei e guardai, pois, tudo quanto eles vos
disserem, porém não os imiteis nas suas obras; porque dizem e não fazem. Atam fardos
pesados [e difíceis de carregar] e os põem sobre os ombros dos homens, entretanto,
eles mesmos nem com o dedo querem movê-los. Praticam, porém, todas as suas obras
com o fim de serem vistos dos homens; pois alargam os seus filactérios e alongam as
suas franjas. Amam o primeiro lugar nos banquetes e as primeiras cadeiras nas
sinagogas, as saudações nas praças e o serem chamados mestres pelos homens. Vós,
porém, não sereis chamados mestres, porque um só é vosso Mestre, e vós todos sois
irmãos. (Mt. 23:1-8)
Ao Deus da minha vida por ter mandado Jesus para morrer pelos meus pecados e pela
nova vida que me deu. O homem velho se foi e o que resta hoje é um servo de Deus.
v
D
EDICATÓRIA
À minha amada, maravilhosa e dedicada esposa Keila.
Ao fruto de nosso amor: João Crysthian.
Ao TODO PODEROSO DEUS soberano!
vi
R
ESUMO
Neste trabalho, as linhas de transmissão são avaliadas a partir da Confiabilidade
Estrutural com destaque às fundações tracionadas de torres estaiadas. A partir dos
resultados de deslocamentos máximos e residuais obtidos em ensaios de arrancamento
de fundações de estais, um tratamento estatístico-probabilístico é realizado.
Distribuições de probabilidade são associadas aos valores de deslocamentos das
fundações para cada tipo de solo padrão do projeto. Para a fundação de cada estai são
avaliados dois modos de falha a saber, deslocamentos máximos excessivos e
deslocamentos residuais excessivos. A partir de valores admissíveis para os
deslocamentos, as probabilidades de falha relativas aos modos de falha avaliados são
definidas. Na seqüência, a teoria da Confiabilidade de Sistemas é aplicada, primeiro
para definição das probabilidades de falha do subsistema fundação do estai e o trabalho
é concluído com a definição da probabilidade de falha das fundações dos estais de uma
torre estaiada em cada tipo de solo padrão do projeto.
Palavras-chave: confiabilidade estrutural; métodos probabilísticos; projeto de
fundações de Linhas de Transmissão.
vii
A
BSTRACT
In this work, the transmission lines are evaluated through of the structural reliability
detaching the traction foundations of guyed towers. The statistic-probabilistic treatment
is performed of the maximum and residual displacements obtained from foundations
tests. The probability distributions are associated to foundation displacements to each
type of project stander soil. To the foundation of the each guy are evaluated two fail
modes, excessive maximum displacements and excessive residual displacements. The
fail probability related to fail modes is defined. After this, the system reliability theory
is applied, first to defined fail probabilities of subsystem guyed foundation and the work
finishes with the defined of fail probability of guyed foundations in each standard soil
type.
Keywords: design of foundation of transmission lines towers; probabilistic methods;
structural reliability.
viii
S
UMÁRIO
AGRADECIMENTOS ....................................................................................................iv
DEDICATÓRIA ............................................................................................................... v
RESUMO.........................................................................................................................vi
ABSTRACT....................................................................................................................vii
LISTA DE FIGURAS.....................................................................................................xii
LISTA DE TABELAS...................................................................................................xiv
LISTA DE SÍMBOLOS.................................................................................................xvi
LISTA DE ABREVIATURAS......................................................................................xix
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................1
1.1 Apresentação do Problema ........................................................................... 1
1.2 Importância do trabalho................................................................................ 5
1.3 Objetivos....................................................................................................... 5
1.4 Apresentação do trabalho.............................................................................. 6
2 LINHAS DE TRANSMISSÃO .......................................................................... 9
2.1 Elementos Básicos para os Projetos das LT´s .............................................. 9
2.2 Tipos de Estruturas ..................................................................................... 12
2.3 Carregamentos nas Torres .......................................................................... 15
2.4 Demais Ações a Serem Consideradas......................................................... 18
2.4.1 Cargas de Montagem e de Manuntenção............................................ 19
2.4.2 Sismos................................................................................................. 19
2.4.3 Recalque nas Fundações ..................................................................... 19
3 PROJETO DE FUNDAÇÕES......................................................................... 20
3.1 Introdução ................................................................................................... 20
3.2 Elementos Necessários e Critérios de Projeto ............................................ 21
3.2.1 Elementos Necessários ....................................................................... 21
3.2.2 Ações nas Fundações.......................................................................... 22
3.2.3 Ações Segundo NBR 8681/84 ............................................................ 23
3.2.4 Requisitos de um Projeto de Fundação............................................... 24
3.3 Alternativas de Fundações.......................................................................... 24
ix
3.4 Escolha da Alternativa de Fundação para LT............................................. 25
3.5 Noções Básicas do Procedimento de Cálculo............................................. 27
3.5.1 Análise de Estabilidade....................................................................... 27
3.5.2 Compressão......................................................................................... 29
3.5.3 Arrancamento (Tração)....................................................................... 29
3.5.4 Tombamento....................................................................................... 30
4 PROJETO BASEADO EM CONFIABILIDADE ESTRUTURAL............. 32
4.1 Introdução ................................................................................................... 32
4.2 Tipos de Incerteza....................................................................................... 36
4.2.1 Incerteza Intrínseca............................................................................. 36
4.2.2 Incerteza Estatística ............................................................................ 36
4.2.3 Incerteza de Modelo............................................................................ 37
4.3 O Problema Básico da Confiabilidade Estrutural....................................... 37
4.4 Confiabilidade de Sistemas......................................................................... 41
4.4.1 Introdução ........................................................................................... 41
4.4.2 Múltiplos Modos de Falha .................................................................. 41
Limite Uni-Modal........................................................................................... 43
Limite Bi-Modal ............................................................................................. 46
4.4.3 Sistemas Redundantes e Não Redundantes ........................................ 49
4.4.4 Árvore de Falha .................................................................................. 50
4.5 Confiabilidade e Otimização ...................................................................... 52
4.6 Determinação Empírica de Modelos de Distribuição................................. 54
4.6.1 Introdução ........................................................................................... 54
4.6.2 Teste de Aderência Qui-Quadrado ..................................................... 55
5 AVALIAÇÃO PROBABILÍSTICA DE DESLOCAMENTOS DE
FUNDAÇÕES DE LINHAS DE TRANSMISSÃO................................................ 57
5.1 Introdução ................................................................................................... 57
5.2 Sistema Norte-Nordeste.............................................................................. 58
5.3 As Fundações.............................................................................................. 60
5.4 Ensaios de Arrancamento em Fundações de Torres Estaiadas................... 63
5.5 Detalhamento do Ensaio de Campo............................................................ 65
5.5.1 Preparação do Terreno........................................................................ 65
x
5.5.2 Montagem do Tripé de Ensaio............................................................ 66
5.5.3 Levantamento do Estai Provisório...................................................... 66
5.5.4 Retirada do Grampo U do Estai Ensaiado e Alívio dos Outros Estais69
5.5.5 Nivelamento do Tripé de Ensaio ........................................................ 70
5.5.6 Prova de Carga.................................................................................... 72
5.6 Procedimento de Ensaio.............................................................................. 76
5.7 Tratamento Estatístico ................................................................................ 84
5.7.1 Parâmetros e Distribuições de Probabilidades.................................... 84
5.7.2 Covariância e Correlação entre os Modos de Falha ........................... 94
5.8 Probabilidade de Falha das Fundações ....................................................... 99
5.8.1 Falha no Subsistema Estai ................................................................ 100
5.8.2 Falha em uma Fundação de Torre Estaiada...................................... 102
5.8.3 Falha Nas Fundações dos Estais de Uma Torre Estaiada ................. 102
6 SUMÁRIO, CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ............................... 106
6.1 Sumário e Conclusões............................................................................... 106
6.2 Recomendações para Futuros Trabalhos .................................................. 109
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................110
APÊNDICE: CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA........................................................................................................114
Introdução ............................................................................................................. 114
Eventos.................................................................................................................. 115
Matemática da Probabilidade................................................................................ 116
Regra da Adição................................................................................................ 116
Probabilidade Condicional................................................................................ 117
Regra da Multiplicação..................................................................................... 119
Teorema da Probabilidade Total....................................................................... 119
Estatística Aplicada na descrição das Variáveis Aleatórias.................................. 121
Distribuições de Probabilidade ......................................................................... 122
FDP............................................................................................................... 122
FCP ............................................................................................................... 122
Variáveis Aleatórias Múltiplas ......................................................................... 124
Distribuição de Probabilidade Condicional e Conjunta................................ 125
xi
Covariância e Correlação.............................................................................. 129
Simulação de Monte Carlo ................................................................................... 130
xii
L
ISTA DE
F
IGURAS
1.1 Sistema Elétrico........................................................................................................ 2
1.2 Sistema Linha de Transmissão e seus subsistemas (Componentes)..........................4
1.3 Fluxograma de Desenvolvimento do Trabalho.........................................................8
2.1 Tipos de Torre: a) Autoportante; b) Estaiada.........................................................14
3.1 Equilíbrio Vertical ao Arrancamento......................................................................32
4.1 FDP para a resistência e o efeito do carregamento.................................................39
4.2 O índice de confiabilidade e o ponto de projeto.....................................................40
4.3 Decomposição de E................................................................................................47
4.4 Diagrama de Árvore de Falha.................................................................................51
5.1 Mapa de Localização das Linhas de Transmissão...................................................59
5.2 Dimensões das Fundações para Solos I, II e III......................................................63
5.3 Cavas para assentamento das patas do Tripé de Ensaio..........................................65
5.4 Fixação das duas pernas maiores na extremidade superior do tripé........................66
5.5 Fixação da terceira pata do tripé..............................................................................67
5.6 Fixação na torre do estai provisório........................................................................68
5.7 Estai provisório preso ao caminhão de turma..........................................................69
5.8 Alívio de tensão nos estais não ensaiados...............................................................70
5.9 Retirada do grampo U e do cabo do estai................................................................71
5.10 Alinhamento do equipamento..................................................................................71
5.11 Adição de madeira para nivelamento do equipamento............................................72
5.12 Detalhe da bomba hidráulica...................................................................................73
5.13 Detalhe dos medidores de deslocamentos...............................................................74
5.14 Vista geral do ensaio................................................................................................75
5.15 Detalhe da inclinação do estai ensaiado..................................................................75
5.16 Vista geral do ensaio – Bombeamento....................................................................76
5.17 Planilha de ensaio de arrancamento – Página 1/2....................................................79
5.18 Planilha de ensaio de arrancamento – Página 2/2....................................................80
xiii
5.19 Sistema Linha de Transmissão – Região de Atuação deste trabalho......................82
5.20 Árvore de Falha Fundações de Estais......................................................................83
5.21 Distribuição Weibull – Deslocamentos Máximos em Solo Tipo I..........................85
5.22 Distribuição Exponencial – Deslocamentos Residuais em Solo Tipo I..................87
5.23 Distribuição Weibull – Deslocamentos Máximos em Solo Tipo II.........................88
5.24 Distribuição Exponencial – Deslocamentos Residuais em Solo Tipo II.................90
5.25 Distribuição Lognormal – Deslocamentos Máximos em Solo Tipo III..................92
5.26 Distribuição Exponencial – Deslocamentos Residuais em Solo Tipo III...............94
5.27 Correlação Modos de Falha – Solo Tipo I..............................................................98
5.28 Correlação Modos de Falha – Solo Tipo II............................................................98
5.29 Correlação Modos de Falha – Solo Tipo III...........................................................99
5.30 Falha Subsistema Estai.........................................................................................100
5.31 Falha nas Fundações dos estais............................................................................103
A.1 Diagrama de Venn de dois conjuntos “E
1
” e “E
2
”.................................................117
A.2 Diagrama de Venn com dois eventos: “A” e “E
1
”, “E
2
”, ..., “E
n
”.........................120
xiv
L
ISTA DE
T
ABELAS
5.1 Parâmetros Geotécnicos de Projeto dos Solos Argilo-Arenosos.............................61
5.2 Parâmetros Geotécnicos de Projeto dos Solos Arenosos.........................................61
5.3 Tipos de Fundação por Tipo de Solo.......................................................................62
5.4 Quantitativo de Ensaios de Arrancamento por LT. ................................................ 64
5.5 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Weibull - Deslocamentos Máximos em
Solo I........................................................................................................................85
5.6 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Exponencial - Deslocamentos Residuais em
Solo I........................................................................................................................85
5.7 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Weibull - Deslocamentos Máximos em
Solo II......................................................................................................................86
5.8 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Weibull - Deslocamentos Residuais em
Solo II......................................................................................................................87
5.9 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Gama - Deslocamentos Residuais em Solo
II...............................................................................................................................89
5.10 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Exponencial - Deslocamentos Residuais em
Solo II......................................................................................................................89
5.11 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Lognormal - Deslocamentos Máximos em
Solo III.....................................................................................................................91
5.12 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Weibull - Deslocamentos Residuais em
Solo III.....................................................................................................................92
5.13 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Lognormal - Deslocamentos Residuais em
Solo III.....................................................................................................................93
5.14 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Exponencial - Deslocamentos Residuais em
Solo III.....................................................................................................................93
5.15 Planilha de Cálculo para Covariância e Correlação Solo Tipo
I................................................................................................................................95
5.16 Planilha de Cálculo para Covariância e Correlação Solo Tipo
II...............................................................................................................................96
xv
5.17 Planilha de Cálculo para Covariância e Correlação Solo Tipo
III.............................................................................................................................96
5.18 Covariância e Correlação Modos de Falha da
Fundação..................................................................................................................97
5.19 Probabilidade de Falha por Modo de
Falha......................................................................................................................101
5.20 Probabilidade de Falha de Cada Fundação de
Estai.......................................................................................................................102
5.21 Probabilidade de Falha nas Fundações dos Estais - Modos de Falha Perfeitamente
Correlacionados.....................................................................................................104
5.22 Probabilidade de Falha nas Fundações dos Estais - Modos de Falha
Estatisticamente Independentes.............................................................................104
5.23 Probabilidade de Falha nas Fundações dos
Estais......................................................................................................................105
xvi
L
ISTA DE
S
ÍMBOLOS
Símbolo Descrição
A Evento “A”
B
L
Benefício líquido
B
LV
Benefício líquido ao longo da vida útil
C
f
Custo associado à falha
C
i
Custo inicial
C
insp
Custo da inspeção
C
r
Custo do reparo
C
LU
Custo Líquido ao longo da vida útil da estrutura
C
VU
Custo Total ao longo da vida útil da estrutura
C
VU
Custo Total ao longo da vida útil da estrutura
D Demanda
D
MAX-EXC
Deslocamento Máximo Excessivo
D
RES-EXC
Deslocamento Residual Excessivo
d
mín
Distância Mínima da Origem
E Evento
E
1
Medidor de Deslocamento “1”
E
2
Medidor de Deslocamento “2”
E
i
Evento “i”
E
j
Evento “j”
j
E Complemento do Evento “j”
f
X,Y
(x,y) Função Densidade de Probabilidade Conjunta das Variáveis X e Y
f
R,S
(r,s) Função Densidade de Probabilidade Conjunta das Variáveis R e S
f
S
(s) Função Densidade de Probabilidade da Variável S
F
a
Carga de tração (arrancamento)
F
R
(.) Função de Distribuição de Probabilidade Acumulada da Variável R
f
y
Tensão de Escoamento
g (X) Função de Desempenho
xvii
M
e
Momento Estabilizante
M
t
Momento de Tombamento
n Tamanho da amostra
P Probabilidade
P (E) Probabilidade do Evento “E”
P
s
Peso do volume de solo do tronco de cone
Probabilidade de Sobrevivência
P
f
Probabilidade de Falha
P
tub
Peso próprio do tubulão
Q
i
Iésima Ação Nominal
R Resistência
R
n
Resistência Nominal
S Solicitação
Suprimento
Evento certo
s Desvio padrão amostral
X Vetor de Variáveis Básicas
Variável aleatória
X
i
Variáveis Básicas de Projeto
x Valor admitido para a variável aleatória X
Y Variável aleatória
y Valor admitido para a variável aleatória Y
α Nível de significância
Ângulo do Cone de Arrancamento
β Índice de Confiabilidade
φ Fator de Minoração da Resistência
Evento Impossível
φ
c
Fator de Minoração da Resistência do Concreto
φ
s
Fator de Minoração da Resistência do Aço
Φ(.) Função de Distribuição Acumulada da Variável Normal Padrão
ρ
ij
Correlação
σ Tensão
xviii
Desvio padrão populacional
σ
adm
Tensão Admissível
σ
lim
Tensão Limite
γ
m
Fator do Material
γ Fator de Majoração das Ações
γ
i
Fator de Majoração da iésima Ação
µ Média populacional
xix
L
ISTA DE
A
BREVIATURAS
Abreviatura Descrição
AAF Análise da Árvore de Falha
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas
C.S.T. Coeficiente de Segurança ao Tombamento
FCP Função Cumulativa de Probabilidade
FDP Função Densidade de Probabilidade
FDC Função Distribuição Conjunta
FM Função Massa
FMPC Função Massa de Probabilidade Conjunta
F.S. Fator de Segurança
FORM “First Order Reliability Method”
FOSM “First Order Second Moment”
LT Linha de Transmissão
M
e
Momento Estabilizante
M
t
Momento de Tombamento
N.A. Nível de água
NBR Norma Brasileira
N
SPT
Número de Golpes no ensaio SPT
SORM “Second Order Reliability Method”
SPT “Standard Penetration Test”
Introdução 1
1
I
NTRODUÇÃO
1.1 A
PRESENTAÇÃO DO
P
ROBLEMA
O crescimento econômico de um país depende da oferta de energia a custos competitivos e
suprimento garantido. A importância da utilização de recursos renováveis é destacada com
as devidas precauções na preservação do meio ambiente focando sempre o
desenvolvimento sustentável. O Brasil possui alto potencial hidráulico; entretanto, o
aumento da distância dos pontos de geração aos centros consumidores é verificado,
acarretando grande importância à transmissão da energia.
A energia elétrica pode ser produzida através de usinas hidroelétricas, termoelétricas,
nucleoelétricas ou através de sistemas eólicos e solares. O sistema elétrico pode
Introdução 2
resumidamente ser subdividido em três etapas: produção, transmissão e distribuição de
energia, conforme pode ser observado na Fig. 1.1.
Produção
→
Transmissão
→
Distribuição
FIGURA
1.1 Sistema Elétrico.
A etapa de transmissão de energia é efetuada através das LT (Linhas de Transmissão). O
projeto de linhas de transmissão começa com estudo de viabilidade técnica e econômica
visando uma minimização do custo de transporte associada a um alto padrão de qualidade
dos serviços. Para maiores extensões de LT, as tensões são elevadas no intuito de reduzir as
perdas de energia elétrica. Porém, esta prática implica na elevação dos carregamentos
mecânicos, estruturas pesadas e maiores volumes para as fundações.
A viabilidade do projeto é avaliada a partir de vários fatores, dentre os quais podem ser
destacados: o custo da desapropriação das terras ao longo do traçado da LT, a topografia, o
custo e a capacidade de transmissão de energia, o capital disponível e as características
geotécnicas. Os estudos de viabilidade técnica e econômica são na verdade anteprojetos
onde são definidos: a classe de tensão da LT, os modelos das estruturas das torres, os
materiais e os diâmetros dos cabos condutores e pára-raios, as cadeias de isoladores, etc.
Após estes estudos, inicia-se o projeto mecânico onde são determinados todos os esforços
atuantes sobre os membros constituintes. O projeto mecânico pode ser subdividido em três
Introdução 3
fases básicas: (1) Projeto dos cabos e da distribuição das torres sobre os perfis dos terrenos;
(2) Projeto estrutural das torres; e (3) Projeto das fundações.
O custo total de um empreendimento é calculado pela soma do custo inicial de implantação,
custo de manutenção, custo de inspeção e os custos associados aos distintos modos de
falha. Entretanto, o que pode ser observado no mercado é uma excessiva preocupação com
o custo inicial sem levar em conta os demais custos envolvidos. Os custos iniciais de uma
LT podem ser reduzidos ao otimizarmos os projetos de fundações. Portanto, necessita-se
um maior comprometimento em pesquisas que objetivam o aperfeiçoamento de ferramentas
que levem em conta o desempenho real dos materiais e carregamentos envolvidos. Os
conceitos de confiabilidade estrutural constituem poderosa ferramenta para a tomada de
decisão racional de projetos de LT.
O sistema linha de transmissão é composto de vários componentes (subsistemas).
Conforme mostrado na Fig. 1.2 a seguir podem ser constatadas várias origens de falha no
sistema: componentes elétricos (que não serão abordados neste trabalho) e componentes
mecânicos (cabos, estruturas das torres autoportantes e estaiadas, isoladores, ferragens
(componentes utilizados em sua maioria para fixação de cabos nas torres), fundações de
torres autoportantes, fundações de mastros e estais de torres estaiadas, etc.). A característica
essencial deste sistema é que a falha em qualquer componente implicará a falha do sistema
como um todo, que por definição é o conceito de um sistema dito em série. Atualmente,
muitos estudos de confiabilidade, por exemplo, MENEZES (1988), MENEZES e SILVA,
(2000) e MENEZES e SILVA (2001) são conduzidos em âmbito nacional porém no mais
das vezes tais estudos destacam o desempenho elétrico e as estruturas de suporte metálico.
Internacionalmente, conceitos probabilísticos vêm sendo aplicados a estruturas de
fundações de LT´s conforme KULHAWY et al (2004). Porém nacionalmente, o Brasil
carece de estudos nesta área.
Introdução 4
FIGURA
1.2 Sistema Linha de Transmissão e seus Subsistemas (Componentes)
SISTEMA LT
Componentes Elétricos Componentes Mecânicos
Cabos
Estruturas
Torres
Isoladores
Autoportante
Estaiada
Ferragens
Fundações
Autoportante
Estaiada
Mastros
Estais
Introdução 5
1.2 I
MPORTÂNCIA DO TRABALHO
Na grande maioria das linhas de transmissão (onde não existam restrições ambientais e de
topografia), a incidência de torres estaiadas é bem maior do que as autoportantes. Isto
ocorre devido ao menor peso e conseqüentemente menores custos das torres estaiadas. Tais
torres apresentam um ou dois mastros e quatro estais. Desta maneira, a grande maioria das
fundações de uma linha de transmissão é de estais. Além disso, dada a complexidade da
interação solo-estrutura, tem sido reconhecido que o comportamento de tais fundações
demandam estudos mais aprofundados.
Neste trabalho, a partir dos resultados de 471 (quatrocentos e setenta e um) ensaios de
arrancamento em fundações estaiadas de LT foi executada a avaliação probabilística dos
deslocamentos destas fundações abordando conceitos de Confiabilidade de Sistemas. Como
resultado final será apresentada a estimativa da probabilidade de falha de fundações de
estais do Sistema Linha de Transmissão no qual foram realizados estes ensaios.
1.3 O
BJETIVOS
O objetivo principal deste trabalho é a estimativa da probabilidade de falha das fundações
dos estais de torres estaiadas de um Sistema de Transmissão de Energia tomando limites
fixos como valores admissíveis para deslocamentos máximos e residuais das fundações.
Neste intuito, alguns passos se mostraram importantes tais como a determinação de
distribuições de probabilidade para os deslocamentos máximos e residuais das fundações
tracionadas de torres estaiadas, bem como o cálculo de correlações entre os modos de falha
para a aplicação da Confiabilidade de Sistemas.
Introdução 6
1.4 A
PRESENTAÇÃO DO TRABALHO
Diante do problema apresentado, destacada a importância deste estudo e em destaque os
objetivos aqui traçados, foram seguidas as seguintes etapas e metodologia de trabalho
conforme mostra a Fig. 1.3.
Inicialmente, no capítulo 2 – Linhas de Transmissão, o projeto de LT será apresentado em
âmbito geral. Neste ponto serão avaliados conceitos técnicos dos termos mais utilizados no
presente trabalho. Além do mais, os esforços mecânicos são apresentados e as hipóteses de
cálculo comumente avaliadas em um projeto de Linhas de Transmissão.
No capítulo 3 – Projeto de Fundações é feita uma avaliação dos processos de cálculo de
fundações de Torres de Linhas de Transmissão.
No capítulo 4 – Ensaios de Arrancamento em Fundações de Torres Estaiadas é apresentado
o procedimento de execução dos ensaios (carregamentos, deslocamentos, equipamentos,
etc.) e quantitativos indicando a localização dos testes.
No capítulo 5 – Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural, a princípio é apresentado o
problema básico da confiabilidade das estruturas (confiabilidade de componentes) que é
garantir que o “suprimento” seja superior à “demanda” ao longo da vida útil da estrutura.
Em um segundo momento, os conceitos de Confiabilidade de Sistemas são abordados.
No capítulo 6 – Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de
Transmissão é abordado o caso específico de falhas em fundações de LT´s no Sistema de
Interligação Norte-Nordeste sob o enfoque da Confiabilidade de Sistemas.
No Capítulo 7 são apresentadas as conclusões e sugestões oriundas desta pesquisa.
Introdução 7
No apêndice – Conceitos Básicos em Confiabilidade Estrutural são apresentados conceitos
iniciais de estatística e probabilidade que servem de suporte para toda a teoria subseqüente.
Introdução 8
FIGURA
1.3 Fluxograma de Desenvolvimento dos Trabalhos
Estudo do Projeto de LT
(Carregamentos, Hipóteses e Métodos de Cálculo, Verificações mais
comuns, Tipos de estruturas, fundações, ensaios de arrancamento, etc.)
Ensaios de Arrancamento
(Deslocamentos Máximos e Residuais)
Estudo dos conceitos e métodos de
Confiabilidade Estrutural
Separação dos dados de Solos I, II e III
(Deslocamentos Máximos e Residuais)
Definição por inspeção das
Distribuições de Probabilidades
(Deslocamentos Máximos e Residuais)
Teste de Aderência
Distribuições de Probabilidades
Assumidas para D
MÁX
e D
RES
(Solos I, II e III.)
Cálculo da covariância e correlação
entre os modos de falha
Estimativa da
Probabilidade de Falha
das Fundações de Estais
Linhas de Transmissão 9
2
L
INHAS DE
T
RANSMISSÃO
2.1 E
LEMENTOS
B
ÁSICOS PARA OS
P
ROJETOS DAS
LT´
S
O projeto mecânico é iniciado após os estudos de otimização, quando a definição já tenha
sido tomada para classe de tensão, tipos de estruturas, diâmetros e composições dos cabos
condutores e pára-raios, cadeias de isoladores, ferragens, etc. Segundo ALMEIDA et al.
(1992), entende-se por projeto mecânico de uma linha de transmissão, a determinação de
todos os esforços atuantes sobre os elementos de que se compõe, efetuar seu
dimensionamento adequado, produzir desenhos de detalhes construtivos e de montagem e
as respectivas especificações e instruções.
As linhas aéreas de transmissão constam fundamentalmente de duas partes distintas. Uma
parte ativa, representada pelos cabos condutores, que servem de guias aos campos elétricos
Linhas de Transmissão 10
e magnéticos, agentes do transporte de energia; e uma parte passiva, constituída pelos
isoladores, ferragens e estruturas (torres e fundações), que assegura o afastamento dos
condutores do solo e entre si. Existem outros acessórios tais como os cabos pára-raios e
aterramentos, destinados a interceptar e descarregar ao solo as sobretensões de origem
atmosférica, que, de outra forma, atingiriam os condutores, provocando falhas e a
interrupção dos serviços.
Ainda segundo ALMEIDA et al. (1992), o projeto mecânico de uma linha de transmissão
não cuida só do dimensionamento de todos os seus elementos, de forma a assegurar seu
bom funcionamento face às solicitações de natureza mecânica a que são submetidos, como
também de sua amarração ao terreno que atravessa. Na implantação de uma linha de
transmissão, o primeiro passo é a definição do traçado a ser percorrido. Definida a faixa de
domínio (faixa de implantação da LT compreendida de uma distância igual à direita e à
esquerda do eixo de implantação com valor dependente das características do sistema),
executa-se o levantamento topográfico, constituindo na obtenção do perfil do terreno,
levantamento cadastral das propriedades, indicação de obstáculos, acidentes, moradias, etc.
Este ponto é importante para que indesejáveis relocações de estruturas em fase adiantada de
projeto sejam evitadas.
A partir destas informações procede-se a locação das torres neste perfil. Neste ponto,
podem ser citados algumas diretrizes ou procedimentos segundo AZEVEDO (2004):
- minimizar a quantidade de torres;
- espaçar as torres de maneira uniforme;
- garantir a distância mínima dos cabos ao solo;
- evitar paralelismo da LT com outras linhas de transmissão, linhas férreas, cercas
de arames, etc;
- evitar locação de torres em locais impróprios, como terrenos muito íngremes,
terrenos com processos francos de erosão, brejos, beiras de lagos ou rios, etc.
Linhas de Transmissão 11
Definida a locação das torres são obtidos os carregamentos e conseqüentemente os esforços
solicitantes nas estruturas (Ponto a ser melhor avaliado no próximo capítulo) . Calculadas
as estruturas, obtêm-se os esforços nas fundações e se procede à interação solo-estrutura de
maneira a obter projetos otimizados.
Quanto ao aspecto geotécnico é importante dar destaque à variabilidade natural dos tipos de
solos encontrados ao longo de traçados de uma LT. No caso brasileiro, devido à grande
extensão do território nacional e a empreendimentos multinacionais envolvendo países
limítrofes, os comprimentos das LT podem variar de poucas centenas de metros até
milhares de quilômetros. Desta forma, a presença de uma grande diversidade geológico-
geotécnica é observada. Em um mesmo traçado podem-se encontrar terrenos distintos tais
como arenosos, argilosos, pantanosos, inundáveis e também rochosos. Tal condição implica
na execução de projetos civis específicos para cada tipo de solo encontrado. Sendo assim, o
conhecimento técnico do desempenho das estruturas de torres em distintos tipos de solos é
de extrema relevância.
Como já foi dito, a grande variabilidade das características geotécnicas de um traçado de
Linhas de Transmissão acarreta projetos estruturais das fundações diferenciados para cada
tipo de solo. As dimensões destas fundações são variáveis devido aos parâmetros do solo
local. Como medida de padronização alguns tipos de solos são previamente determinados e
definidos por intervalos de seus parâmetros geotécnicos. Para cada tipo de solo são
projetadas fundações correspondentes. O desempenho das bases das estruturas de torres
estaiadas é avaliado a partir de ensaios no campo sob carregamentos axiais de tração
(ensaios de arrancamento). Deslocamentos máximos (sob carregamento máximo de projeto)
e deslocamentos residuais (após descarregamento) das fundações são medidos e
comparados com valores admissíveis definidos a partir da experiência em projetos
similares. Estes ensaios são utilizados como critério de aprovação das fundações
executadas. O não atendimento de tais limites de deslocamentos implica na execução de
nova fundação. Os deslocamentos máximos e os deslocamentos residuais das fundações são
Linhas de Transmissão 12
variáveis aleatórias. Sendo assim, podem ser associadas distribuições de probabilidades a
partir dos valores encontrados.
Linhas de Transmissão são dispostas seqüencialmente, como sistemas em série. Um
sistema em série é composto por componentes nos quais sua falha individual implica na
falha do todo. Sendo assim, o conjunto de todas as estruturas de torres com seus respectivos
cabos e acessórios compõem o sistema Linha de Transmissão. Cada parte deste sistema é
um componente do sistema. Desta forma, cada torre é um subsistema do sistema Linha de
Transmissão. Cada torre possui fundações, as quais são componentes do subsistema Torre.
A falha em qualquer componente implica na falha dos sistemas aos quais eles pertencem.
Deste modo, a falha no componente fundação implica na falha de seu sistema torre e a falha
na torre implica na falha do sistema maior Linha de Transmissão.
Segundo a IEC 60826, a metodologia dos projetos de sistemas é baseada na concepção de
que uma linha de transmissão é projetada como um sistema feito de vários subcomponentes
tais como torres, fundações, ferragens, etc. Este tipo de avaliação leva em conta a
confiabilidade de cada componente e verificada a falha em um subcomponente implica a
falha em todo o sistema. Outra importante constatação é que as falhas em fundações (seja
ela de qualquer origem) são de maiores dificuldades de manutenção e intervenção. Sendo
assim, a seqüência preferencial de falha passa pela torre e a fundação é seu último ponto.
Em resumo, uma linha de transmissão é projetada para que as fundações sejam
preferencialmente as últimas a falharem.
2.2 T
IPOS DE
E
STRUTURAS
Segundo GONTIJO (1994), as estruturas metálicas de linhas de transmissão podem ser
classificadas como a seguir:
- Quanto ao número de circuitos: torres com um ou dois circuitos;
Linhas de Transmissão 13
- Quanto à disposição dos condutores: disposição triangular, vertical e horizontal;
- Quanto à função na linha:
-
Estrutura de Suspensão
: As torres funcionam como uma estrutura de
sustentação dos cabos condutores, suspensos através das cadeias de isoladores, e
dos cabos pára-raios, suspensos por aparelhos. Estas são utilizadas em maior
quantidade na linha e usadas em alinhamento ou pequeno ângulo;
-
Estrutura de Ancoragem
: Estas torres são utilizadas para ancoragem dos
cabos. Pode ser classificada como terminal, quando usada nas extremidades da
linha de transmissão, ou como estrutura de ancoragem intermediária, quando
colocada entre as estruturas de suspensão (apoio de cabos). Serve ainda como
ponto de tracionamento, além de evitar o efeito cascata;
-
Estrutura em Ângulo
: é utilizada em locais onde existe a necessidade de
mudança de direção da linha de transmissão;
-
Estrutura de Derivação
: É utilizada caso seja necessária uma derivação em um
ponto da linha;
-
Estrutura de Transposição
: É utilizada para assegurar a simetria elétrica de
uma linha obtida com a rotação das fases.
- Quanto à tensão da linha: um dado muito importante para o projeto de uma
estrutura é a tensão de operação da linha de transmissão. Quando a capacidade de
transporte de energia é aumentada através da elevação da tensão e maiores
distâncias elétricas destes cabos às partes não energizadas são necessárias;
- Quanto ao formato: as estruturas podem ser:
-
Tronco-piramidal de circuito simples;
- Tronco piramidal de circuito duplo;
- Delta;
- Delta (Cara de Gato);
- Estaiada.
.
- Quanto à forma de resistência das estruturas: São classificadas como autoportantes
e estaiadas (Fig. 2.1a e 2.1b, respectivamente). As estruturas autoportantes são
Linhas de Transmissão 14
usadas em todas as funções na linha e as estaiadas somente como estruturas de
suspensão. As torres autoportantes apresentam quatro pernas apoiadas diretamente
no solo e são mais pesadas que as estaiadas. Estas últimas apresentam apenas o(s)
mastro(s) apoiado(s) diretamente no solo. O nome estaiada se dá pelo fato de cabos
(estais) partirem de sua extremidade superior em direção ao terreno onde são
fixados em tirantes com fundações resistentes aos esforços de tração característicos
destas estruturas.
FIGURA
2.1 Tipos de Torre: a) Autoportante; b) Estaiada.
Na grande maioria das linhas de transmissão (onde não existam restrições ambientais e
topográficas), a incidência de torres estaiadas é bem maior do que as autoportantes. Isto é
a)
b)
Linhas de Transmissão 15
devido ao menor peso e conseqüentemente menores custos de construção das torres
estaiadas. As fundações dos mastros de torres estaiadas estão sujeitas aos carregamentos de
flexão e compressão. Além destas, há quatro estais com fundações em arrancamento. Com
isso, pode-se concluir que a grande maioria das fundações de uma linha de transmissão é de
estais. Em geral, as fundações de obras de engenharia estão sob influência de ações de
compressão e tombamento, sendo as em arrancamento carentes de estudos mais
aprofundados.
2.3 C
ARREGAMENTOS NAS
T
ORRES
Segundo GONTIJO (1994), os esforços mecânicos que freqüentemente atuam em uma torre
de linha de transmissão são:
- Cargas devidas à pressão do vento exercida sobre a estrutura, cadeias de
isoladores, cabos condutores e cabos pára-raios;
- Carga devida ao peso dos cabos, ferragens e da estrutura;
- Cargas em torres de ângulo, devidas à componente transversal da força de tração
dos cabos;
- Cargas especiais que ocorrem durante a construção e manutenção.
O carregamento devido ao peso próprio é obtido com a divisão da estrutura em painéis. O
peso de cada painel é calculado e multiplicado pelo seu coeficiente de ponderação. A
determinação dos esforços devido à ação do vento na estrutura e nos cabos é feita conforme
a NBR 5422 (ABNT, 1985). Os esforços provocados pela ação do vento nos cabos e nas
cadeias de isoladores são aplicados nos pontos de sua fixação na estrutura. A ação do vento
em um suporte é feita com a decomposição em painéis de comprimento inferior a 10 metros
aplicando as cargas nos centros de gravidade. A velocidade do vento é corrigida em função
Linhas de Transmissão 16
da altura do painel considerado. Os coeficientes de ponderação adotados para a ação do
vento nas estruturas variam de acordo com a especificação do cliente.
Em GONTIJO (1994) destaca que as cargas nos pontos de fixação dos cabos podem ser
distinguidas em:
-
Cargas Verticais (V)
: São cargas devidas ao peso dos cabos e acessórios.
-
Cargas Transversais (T)
: São forças devidas à ação do vento nos cabos, cadeias de
isoladores e ferragens e, também, às componentes transversais das forças de tração
dos cabos nas torres de ângulo.
-
Cargas Longitudinais (L)
: São forças devidas ao rompimento de cabos ou à tração
dos cabos condutores e pára-raios em torres de fim de linha.
Em SILVA e SILVA (1991) pode ser observada uma sugestão para definição das hipóteses
básicas de cálculo mais utilizadas para uma torre de linha de transmissão descrita a seguir:
- Hipótese Básica 1
: Consideram-se os cabos intactos com vento máximo em
qualquer direção; em geral, verifica-se apenas nas direções transversal, longitudinal
e a 45
o
.
- Hipótese Básica 2
: Considera-se a ruptura de um cabo pára-raios com aplicação do
vento com velocidade reduzida. Quando a torre for projetada para suportar dois
cabos pára-raios, existirão duas hipóteses: uma para o rompimento do cabo da
esquerda e outra para o rompimento do cabo da direita.
- Hipótese Básica 3
: Considera-se a ruptura de um cabo condutor em qualquer
posição com aplicação do vento com velocidade reduzida. Esta condição irá gerar
um número de hipóteses igual ao número de condutores.
Linhas de Transmissão 17
- Hipótese básica 4
: Consideram-se as cargas devidas ao lançamento dos cabos
condutores e pára-raios.
Segundo GONTIJO (1994), em torres utilizadas em circuito duplo, estas hipóteses básicas
deverão ser verificadas para condições de um único circuito montado. Além disso, todas as
hipóteses básicas anteriores deverão ser verificadas com as condições de carga vertical
máxima e reduzida. As solicitações máximas de tração nas fundações ocorrem com a
condição de carga vertical reduzida.
Após a análise estrutural, os esforços nominais em cada elemento de barra e nas ligações
são definidos permitindo os seus dimensionamentos e detalhamentos. Neste ponto são
produzidos desenhos de detalhes construtivos e de montagem, suas especificações e
instruções técnicas. As cargas nas fundações são também obtidas e encaminhadas ao
engenheiro responsável pelo projeto das bases. Ao calculista das fundações cabe a
definição estrutural e geotécnica das bases de apoio das torres de linhas de transmissão. Os
dados de entrada são as propriedades geotécnicas do solo (relatório de sondagem,
resistência ao cisalhamento, intercepto de coesão, ângulo de atrito interno, tensão
admissível à compressão, peso específico, etc.), os carregamentos oriundos das estruturas e
as características físicas e mecânicas dos materiais a serem empregados nas fundações
(concreto simples, concreto armado, aço, reaterro, etc.).
De posse dos carregamentos obtidos na análise estrutural das torres, definem-se as
hipóteses mais desfavoráveis dos carregamentos: vertical, horizontal longitudinal e
transversal. Estes valores são adotados como carregamentos atuantes nas fundações. Para o
cálculo das fundações das torres de uma LT, apenas após o projeto de locação das
estruturas, da exata definição das posições das fundações, é que há condições de definir as
variáveis do projeto: esforços solicitantes, alturas e tipos de estruturas, ângulos, travessias,
vãos, natureza do terreno e vegetação, nível do lençol freático, etc. O projetista das
fundações deverá considerar: (i) os esforços que as bases devem absorver, (ii) os
fenômenos naturais sobre as estruturas das fundações, e (iii) as características geotécnicas
Linhas de Transmissão 18
do terreno. A partir destas considerações o tipo de fundação será selecionado, projetado e
detalhado. Dentre as várias formas que podem ser adotadas destacam-se grelhas metálicas,
sapatas, tubulões (com ou sem bases alargadas), blocos, estacas, etc.
Segundo ALMEIDA, et al. (1992), cada tipo de solicitação transmite um tipo de esforço ao
terreno. É responsabilidade da estrutura de fundação distribuir tais solicitações, de forma
que os esforços transmitidos ao terreno sejam inferiores aos limites do mesmo. Os tipos
mais comuns de carregamentos de reação do terreno são:
-
Compressão
: Tem a tendência de causar um afundamento do terreno, e
conseqüentemente da estrutura.
-
Tração
: Tem a tendência de levantar o terreno devido ao arrancamento da
estrutura.
-
Flexão
: Tombamento: Tem a tendência de bascular a estrutura e provocar
compressões diferenciais no terreno, ou até mesmo uma descompressão parcial.
-
Torção
: Tem a tendência de torcer a estrutura segundo um eixo vertical,
provocando compressões e descompressões diferenciadas no terreno.
-
Cisalhamento
: Tem a tendência de arrastar a fundação, provocando o deslizamento
de camadas de terreno.
-
Empuxo
: Em fundações abaixo do nível freático local, deve-se considerar o
empuxo sobre a mesma, pois este tem a tendência de empurrar a fundação para
cima.
Em função dos tipos de terreno encontrados nos estudos geotécnicos e dos carregamentos
obtidos na análise estrutural das torres, o projetista de fundações define o tipo de base a ser
empregada.
2.4
D
EMAIS
A
ÇÕES A
S
EREM
C
ONSIDERADAS
Segundo AZEVEDO (2004), além dos carregamentos mencionados outras ações podem
atuar em estruturas de LT´s.
Linhas de Transmissão 19
2.4.1 C
ARGAS DE
M
ONTAGEM E DE
M
ANUNTENÇÃO
Na montagem da torre e lançamento dos cabos, as torres ficam sob ação de cargas
dinâmicas e assimétricas, sendo estas últimas no sentido longitudinal da LT. No
procedimento de descida de um cabo de uma torre em manutenção há incremento de carga
nas torres adjacentes. Estas ações não conduzem a carregamentos críticos em fundações.
2.4.2 S
ISMOS
Efeitos da ação de terremotos também devem ser verificados nos dimensionamentos de
estruturas de torres, mas não acarretam carregamentos críticos para fundações. Por se
tratarem de carregamentos com baixa probabilidade de ocorrência e duração reduzida,
admitem-se coeficientes de segurança baixos.
2.4.3 R
ECALQUE NAS
F
UNDAÇÕES
As estruturas de torres por serem bastante flexíveis na sua maioria, aceitam recalques até
certo nível, sem que sejam introduzidos esforços secundários relativamente grandes para
estas estruturas. Alguns estudos apontaram que até 10 (dez) centímetros não haveria
qualquer problema. Mas, julga-se que este valor pode ser em maior.
Projeto de Fundações 20
3
P
ROJETO DE
F
UNDAÇÕES
3.1 I
NTRODUÇÃO
O projeto de fundações é um assunto bem amplo digno de muitas discussões. Neste
trabalho será dado particular enfoque às fundações de Linhas de Transmissão. Neste ramo
muito da abordagem clássica é valida como poderá ser comprovado nos primeiros itens
deste capítulo, porém particularidades importantes devem ser ressaltadas e criteriosamente
estudadas. Diante das incertezas decorrentes de várias etapas do processo de elaboração de
projetos de LT´s, defende-se a importância e eficiência de avaliações probabilísticas no
processo de concepção de projetos de fundações.
Projeto de Fundações 21
3.2 E
LEMENTOS
N
ECESSÁRIOS E
C
RITÉRIOS DE
P
ROJETO
3.2.1 E
LEMENTOS
N
ECESSÁRIOS
Segundo LOPES e VELLOSO (1996), os elementos necessários para o desenvolvimento de
um projeto de fundações são:
Topografia da área
- Levantamento topográfico (planialtimétrico);
- Dados sobre taludes e encostas no terreno (ou que possam, no caso de acidente,
atingir o terreno);
- Dados sobre erosões (ou evoluções preocupantes na geomorfologia).
Dados Geológicos-Geotécnicos
- Investigação do subsolo (preferencialmente em duas etapas: preliminar e
complementar);
-Outros dados geológicos e geotécnicos (mapas, fotos aéreas e levantamentos
aerofotogramétricos, artigos sobre experiências anteriores na área etc.).
Dados Sobre a Estrutura a Construir
- Tipo e uso que terá a nova obra;
- Sistema estrutural;
- Cargas (ações nas fundações).
Projeto de Fundações 22
Dados sobre Construções Vizinhas
- Tipo de estrutura e fundações;
- Desempenho das fundações;
- Possíveis conseqüências de escavações e vibrações provocadas pela nova obra.
3.2.2 A
ÇÕES NAS
F
UNDAÇÕES
Segundo LOPES e VELLOSO (1996), as solicitações a que uma estrutura está sujeita
podem ser classificadas de diferentes maneiras. Nos meios internacionais é comum separá-
las em dois grandes grupos:
Cargas Vivas
Estas são separadas em:
- Cargas operacionais (ocupação, armazenamento, passagem de veículos, frenagens
etc);
- Cargas ambientais (ventos, correntes etc);
- Cargas acidentais (colisão, explosão, fogo etc).
Cargas Permanentes
Dentre outras são citadas: peso próprio, empuxo de terras e água etc.
Projeto de Fundações 23
3.2.3 A
ÇÕES
S
EGUNDO
NBR 8681/84
Já a NBR 8681/84 – “Ações e Segurança nas Estruturas”, classifica as ações nas estruturas
em:
Ações Permanentes
Estas são as que ocorrem com valores constantes durante praticamente toda a vida da obra
(peso próprio da construção e de equipamentos fixos, empuxos, esforços devidos a
recalques de apoios).
Ações Variáveis
Estas são as que ocorrem com valores que apresentam variações significativas em torno da
média (ações devidas ao uso da obra, tipicamente).
Ações Excepcionais
Estas são as que têm duração extremamente curta e muito baixa probabilidade de
ocorrência durante a vida da obra, mas que precisam ser consideradas no projeto de
determinadas estruturas (explosões, colisões, incêndios, enchentes, sismos).
A norma NBR 8681/84 estabelece critérios para combinações destas ações na verificação
dos estados-limites de uma estrutura (assim chamados os estados a partir dos quais a
estrutura apresenta desempenho inadequado às finalidades da obra):
-
Estados-limites Últimos
: associados a colapsos parciais ou total da obra;
-
Estados-limites de Utilização
: quando ocorrem deformações, fissuras etc. que
comprometem o uso da obra.
Projeto de Fundações 24
3.2.4 R
EQUISITOS DE UM
P
ROJETO DE
F
UNDAÇÃO
Segundo LOPES e VELLOSO (1996), os requisitos básicos a que um projeto de fundações
deverá atender são:
- Deformações aceitáveis sob as condições de trabalho;
- Segurança adequada ao colapso do solo de fundação (
estabilidade “externa
”);
- Segurança adequada ao colapso dos elementos estruturais (estabilidade “interna”);
O atendimento ao primeiro requisito corresponde à verificação de um
estado-limite de
utilização
de que trata a norma NBR 8681/84. O atendimento dos dois últimos requisitos
corresponde à verificação de
estados-limites últimos
.
Outros requisitos específicos de certos tipos de obras são:
- Segurança adequada ao tombamento e deslizamento;
- Níveis de vibração compatíveis com o uso da obra, a serem verificados nos casos
de cargas dinâmicas.
3.3 A
LTERNATIVAS DE
F
UNDAÇÕES
As fundações são separadas em dois grandes grupos:
- Fundações superficiais (ou rasas ou diretas); e
- Fundações profundas.
Projeto de Fundações 25
Segundo LOPES e VELLOSO (1996), a distinção entre os dois tipos é feita segundo o
critério (arbitrário) de que uma fundação profunda é aquela cujo mecanismo de ruptura de
base não atinge a superfície do terreno.
Segundo a norma NBR 6122/96, as fundações profundas são aquelas cujas bases estão
implantadas a mais de duas vezes sua menor dimensão, e a pelo menos três metros de
profundidade.
3.4 E
SCOLHA DA
A
LTERNATIVA DE
F
UNDAÇÃO PARA
LT
Na definição da alternativa a princípio verifica-se o critério técnico (aplicabilidade da
solução) e num segundo passo é interessante executar a escolha com base em:
- Menor custo; e
- Menor prazo de execução.
Segundo AZEVEDO (2004), as fundações de torres de linhas de transmissão são
basicamente de quatro tipos, e mais algumas variações. A definição do tipo a ser adotado é
função das cargas atuantes, características do solo e das condições de execução. Quanto a
isso este autor sugere algumas orientações pertinentes transcritas a seguir:
- Fundações em sapatas podem ser utilizadas em locais onde o N.A. (nível de água)
está acima da cota de assentamento da base da fundação, mas em solos onde a
escavação pode ser executada, sem risco, e que tenham capacidade de resistência de
média a alta. Esses terrenos ainda deverão apresentar-se pouco deformáveis na cota
de assentamento da sapata. Apresentam, como vantagem, a resistência ao
Projeto de Fundações 26
arrancamento e, como desvantagem, os grandes volumes de escavação e de reaterro,
o consumo de concreto e o uso de forma;
- Fundações em tubulões, são utilizadas nos mesmos locais onde são utilizadas
sapatas, porém dificilmente são executados onde o N.A. esteja muito acima da cota
de assentamento. Apresentam as mesmas vantagens que as fundações em sapata,
porém com menor volume de escavação, menor consumo de concreto, pequena área
de forma, e sem reaterro. Tem como vantagem ainda ocupar pouco espaço em
planta e procurar tensões mais elevadas em camadas mais profundas;
- Fundações em grelha metálica são executáveis nos locais indicados para sapatas.
Estas apresentam como vantagens o pequeno peso, fabricação em série, facilidade
de transporte e de montagem. As desvantagens são as mesmas que as fundações em
sapata, no que se refere aos volumes de escavação e de reaterro, além de serem mais
sujeitas aos processos corrosivos;
- Grelhas com laje incorporada apresentam vantagem na resistência a esforços de
arrancamento, aplicam tensões menores no solo, além de serem mais resistentes à
corrosão, devida à proteção conferida à grelha pelo concreto que a envolve. Tem
como desvantagem a necessidade de utilização de concreto, cujo transporte é difícil
aos locais sem acesso viário;
- Grelhas com bloco de concreto incorporado têm vantagem de resistir a maiores
cargas de arrancamento, quando comparadas a grelhas com laje incorporada. Podem
ser aplicadas em locais em que o N.A. seja mais elevado que sua cota de
assentamento;
- Tubulões engastados em rocha devem ser utilizados onde a cobertura de solo é
pequena, o que impede a utilização das fundações descritas acima, e onde a rocha
apresenta-se muito fraturada ou decomposta na superfície. Apresenta, como
Projeto de Fundações 27
vantagem, o pequeno consumo de materiais e, como desvantagem, a necessidade de
uso de explosivos;
- Blocos ancorados em rocha devem ser utilizados onde a rocha, superficialmente,
apresenta-se sã, pouco fraturada, ou pouco decomposta. Tem como vantagem, em
relação ao tubulão anterior, não necessitar do uso de explosivos. Necessita, porém,
de perfuratrizes para execução dos furos de fixação dos chumbadores.
3.5 N
OÇÕES
B
ÁSICAS DO
P
ROCEDIMENTO DE
C
ÁLCULO
Os modelos de cálculo de fundações são de certa forma bem simples. Fornecem resultados
confiáveis, mas ao mesmo tempo muito conservadores. Este conservadorismo é
essencialmente produto dos modelos utilizados para determinação dos esforços solicitantes
nas fundações.
A análise de segurança global engloba a análise de estabilidade no contato concreto-solo, a
análise de estabilidade em planos inferiores ao da fundação, a análise de tensões e
deformações, a definição dos coeficientes de segurança e a verificação entre as tensões
atuantes e as tensões admissíveis dos materiais.
3.5.1 A
NÁLISE DE
E
STABILIDADE
A análise de estabilidade da estrutura é feita considerando-a como um conjunto monolítico,
podendo desse modo ser assimilada a um corpo rígido.
Projeto de Fundações 28
Os estudos de estabilidade devem comprovar a segurança das estruturas nas seguintes
condições:
- Deslizamento em qualquer plano;
- Tombamento;
- Flutuação;
- Tensões na base da fundação;
- Estabilidade elástica (flambagem);
- Deformações e recalques;
- Vibrações (quando aplicável).
Segundo CEMIG (1994), as hipóteses que se seguem devem ser utilizadas como diretrizes
básicas:
- Devem-se levar em conta as tensões naturais de confinamento pré-existente e as
pressões de água do subsolo quando se tratar de análise de estabilidade envolvendo massas
de rocha;
- Devem-se considerar os resultados de investigações geológicas;
- Devem-se considerar os efeitos de subpressão, conforme critérios já estabelecidos,
sob e no corpo das estruturas;
- Deve-se considerar, caso represente a condição mais severa, o carregamento
devido à pressão intersticial;
- As cargas acidentais de projeto (exceto cargas de equipamento permanente fixo)
devem ser completamente desprezadas em análise de estabilidade, sempre que as forças
verticais atuarem como fatores de estabilidade. Para efeitos de estudos, análises e
comportamentos as verificações dos itens 3.5.2, 3.5.3 e 3.5.4 devem ser executadas.
Projeto de Fundações 29
3.5.2 C
OMPRESSÃO
Segundo CEMIG (1994), as análises de tensões e deformações deverão ser elaboradas para
todos os elementos estruturais e de fundações considerando-se os possíveis casos de
carregamentos, de modo a determinar ou confirmar o dimensionamento dos elementos
estruturais, além de verificar os itens que se seguem:
- Segurança contra a ruptura estrutural ou deformações excessivas;
- Níveis médios de tensões, distribuições de tensões e tensões máximas localizadas;
- Deformações estruturais;
- Segurança contra ressonância destrutiva entre freqüências naturais de elementos
estruturais e freqüências induzidas.
Critérios detalhados para cada estrutura individualmente, deverão ser estabelecidos durante
o desenvolvimento do projeto.
Neste ponto as dimensões das bases são definidas. A partir do relatório de sondagem
determina-se a tensão admissível e a cota de assentamento da fundação.
3.5.3 A
RRANCAMENTO
(T
RAÇÃO
)
Existem muitas teorias para avaliação de arrancamento de fundações, porém para Linhas de
Transmissão o mais utilizado consiste no chamado Método do Tronco de Cone Invertido.
Ou seja, a resistência ao arrancamento é avaliada por uma comparação de uma lado a carga
de tração (F
a
) aplicada à fundação e de outro lado o peso próprio da estrutura (P
tub
) somado
ao peso de solo de um tronco de cone invertido (P
s
), conforme Fig. 3.1.
Projeto de Fundações 30
FIGURA
3.1 Equilíbrio Vertical ao Arrancamento.
3.5.4 T
OMBAMENTO
O C.S.T. (coeficiente de segurança ao tombamento) em qualquer direção é definido como a
relação entre a somatória dos momentos estabilizantes e a somatória dos momentos de
tombamento em relação a um ponto pré-definido ou uma linha efetiva de rotação e será
dado pela expressão:
α
F
a
P
s
P
tub
Projeto de Fundações 31
5,1... ≥=
t
e
M
M
TSC
(
3.1
)
Onde:
C.S.T. = Coeficiente de Segurança ao Tombamento.
Σ
M
e
= Somatório dos Momentos Estabilizantes.
Σ
M
t
= Somatório dos Momentos de Tombamento.
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 32
4
P
ROJETO
B
ASEADO EM
C
ONFIABILIDADE
E
STRUTURAL
4.1 I
NTRODUÇÃO
Ao se desenvolver projetos de engenharia, freqüentemente decisões são tomadas a despeito
do grau de totalidade e qualidade da informação disponível. Portanto, conclusões são
definidas sob condições de incerteza, no sentido de que a conseqüência destas resoluções
não pode ser determinada com total confiança. O problema gerado, portanto, é como
projetar estruturas seguras a partir de conhecimento incompleto. Torna-se possível
minimizar incertezas, mas nunca eliminá-las. Muitos problemas envolvem processos e
fenômenos naturais inerentemente aleatórios. Por esses motivos, os processos de
planejamento e projeto em engenharia requerem decisões a serem definidas sob condições
de incerteza. Desta forma, as incertezas presentes nos sistemas de engenharia avaliadas por
conceitos estatísticos estão adquirindo conotação de grande importância nos projetos atuais
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 33
por representarem comportamentos mais próximos dos reais. A falha de um sistema
estrutural somente poderá ser descrita de forma correta e coerente quando se adotam
conceitos probabilísticos.
O projeto é composto basicamente de três etapas: concepção, análise e aplicação dos
critérios de segurança. Após o projeto concebido, para uma estrutura econômica e ao
mesmo tempo segura deve-se avaliar seu comportamento sob ações aplicadas à estrutura
em sua vida útil. Esta fase é chamada de análise, onde é quantificado o comportamento das
estruturas. Este comportamento é definido por grandezas que são submetidas aos critérios
de segurança.
No método das tensões admissíveis, a filosofia de dimensionamento consiste em se calcular
a tensão σ, no regime elástico-linear para o carregamento máximo esperado e compará-la à
tensão admissível σ
adm
, que é uma fração da tensão limite σ
lim
. A tensão limite define o
nível de tensão a partir do qual o comportamento elástico-linear não mais se aplica. Este
critério de projeto pode ser definido como se segue:
FS
lim
adm
σ
σσ
=≤
(
4.1
)
Onde FS é o fator de segurança. A interpretação tradicional do método das tensões
admissíveis é: (i) sob cargas de serviço a estrutura tem um comportamento elástico-linear;
(ii) resistência e carregamento são incertos, mas é postulado que, um limite superior para o
carregamento e um limite inferior para a resistência (valores característicos) podem ser
estabelecidos.
Segundo GALAMBOS (1992) existem muitas objeções a este modo de tratar o problema
da segurança estrutural, tanto do ponto de vista científico, quanto probabilístico ou
econômico, a saber:
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 34
- Tensões e deformações nem sempre são lineares, por exemplo, a curva tensão-
deformação do concreto é não-linear mesmo para baixas tensões;
- Efeitos do tempo (fluência e retração do concreto), efeitos ambientais (corrosão do
aço) e efeitos de taxa de carregamento introduzem não-linearidades no espaço e no
tempo;
- Efeito do carregamento e deformação nem sempre são lineares; comportamento
carga-deformação pós-escoamento pode ser: dúctil, com grande ou pequena reserva
de resistência, ou frágil;
- Em algumas circunstâncias é necessário utilizar a capacidade de absorção de
energia da região não-linear para resistir a terremotos ou a explosões;
- A chance de exceder o estado limite de início da não-linearidade depende da
variabilidade das cargas, dos materiais e do modelo computacional utilizado. A
confiabilidade dos elementos dentro da estrutura ou de diferentes estruturas pode
então variar consideravelmente;
- Novos materiais de construção e técnicas de projeto podem demandar anos de
testes até que um fator de segurança possa ser definido;
- Todas as cargas são assumidas como tendo a mesma variabilidade;
- A probabilidade de falha é desconhecida e o mesmo fator de segurança pode
corresponder a distintas probabilidades de falha.
Segundo HACHICH (1996), esse método nunca chegou a ser largamente utilizado em
Engenharia de Fundações, exatamente pela dificuldade histórica de determinação das
tensões atuantes nas estruturas de solo, que são em geral maciças, ao contrário da grande
maioria das estruturas de concreto e de aço que, sendo reticuladas (vigas, pilares etc.),
podem ser analisadas por métodos simplificados. De fato, enquanto quase todas as
estruturas de concreto e aço podiam ser analisadas pela Resistência dos Materiais, a
Mecânica dos Solos tinha que recorrer diretamente à Teoria da Elasticidade e à Teoria da
Plasticidade.
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 35
No sentido de minorar as objeções relativas ao Método das Tensões Admissíveis, foi
desenvolvido o Método dos Estados Limites. Um estado limite é uma condição onde a
estrutura ou elemento estrutural torna-se inadequado para desempenhar a função proposta.
No Método dos Estados Limites, o projeto estrutural começa com a verificação da
resistência última, seguida da verificação do estado limite de utilização.
A idéia central deste critério é que as resistências devem ser minoradas (fator de minoração
φ
e as cargas devem ser majoradas (fator de majoração
γ
). Segundo GALAMBOS (1992), o
formato geral deste critério de projeto é:
iin
QR
≥
γφ
(
4.2
)
onde
φ
< 1,0 é o fator de minoração da resistência ou
φ =
1 /
γ
m
,
γ
m
> 1,0 é o fator do
material.
O lado da resistência da Eq. 4.2 também pode ser expresso de várias maneiras, destacando-
se dois formatos:
Resistência minorada =
φ
R
n
(fy , f’c....)
(
4.3
)
Resistência minorada =
R
n
(
φ
s fy ,
φ
c f’c....)
(
4.4
)
onde
φ
s
e
φ
c
são os fatores de minoração da resistência do aço e do concreto,
respectivamente.
A NBR 6118 (2003) e a NBR 8681 (1984) adotam o formato do Método dos Estados
Limites como critério de segurança, sendo que a resistência é minorada segundo a Eq. (4.4),
ou seja, são usados fatores de minoração de resistência para cada material. O lado do
carregamento da Eq. 4.3 é expresso na forma de combinações de ações.
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 36
O método dos estados limites também é conhecido como método semi-probabilístico. Os
fatores de majoração das cargas e minoração da resistência são ajustados de tal maneira a se
obter maior uniformidade do índice de confiabilidade
β
(ou da probabilidade de falha P
f
),
considerado aceitável para uma determinada classe de estruturas. O processo de ajuste dos
fatores
φ
e
γ
é conhecido como calibração da norma.
4.2 T
IPOS DE
I
NCERTEZA
Segundo HACHICH (1996), as incertezas presentes nos projetos de fundações podem ser
classificadas em: intrínseca, estatística e de modelo.
4.2.1 I
NCERTEZA
I
NTRÍNSECA
Incerteza intrínseca é a incerteza natural ou fundamental, proveniente da própria
aleatoriedade dos fenômenos naturais (ventos máximos anuais, padrões geológicos de
deposição ou de intemperismo etc.).
4.2.2 I
NCERTEZA
E
STATÍSTICA
Incerteza estatística é a incerteza na estimativa dos parâmetros dos modelos adotados (por
exemplo, resistência média do solo de fundação), proveniente da falta ou insuficiência de
dados ou informações; pode ser reduzida à custa de amostragens maiores.
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 37
4.2.3 I
NCERTEZA DE
M
ODELO
Incerteza de modelo é a incerteza quanto ao modelo adotado para descrever o fenômeno;
cabe aqui ressaltar que há dois tipos de modelo em jogo e que há incertezas em ambos:
- o modelo físico de comportamento, por exemplo, os mecanismos de
desenvolvimento de empuxos em paredes de escavações;
- os modelos probabilísticos (normal, log-normal, exponencial, binomial, Poisson
etc.) utilizados para descrever as variáveis aleatórias do modelo físico (por exemplo,
a distribuição da resistência do solo de fundação e deslocamentos de fundações).
As incertezas incorporadas aos indicadores de segurança vão muito além da mera descrição
da variabilidade das grandezas envolvidas.
4.3 O P
ROBLEMA
B
ÁSICO DA
C
ONFIABILIDADE
E
STRUTURAL
Segundo ANG e TANG (1990), com o intuito básico de trabalhar com as incertezas
envolvidas no problema em questão, as variáveis são modeladas como variáveis aleatórias.
O problema básico da Confiabilidade Estrutural é o de garantir que o suprimento
S
será
superior à demanda
D
ao longo do tempo. Devido à presença de incertezas na determinação
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 38
do suprimento e da demanda, a confiabilidade pode ser estabelecida apenas em termos
probabilísticos, ou seja, em termos da probabilidade
(
)
DSP ≥
. Para as estruturas reais,
trata-se de um problema bastante complexo. Define-se a probabilidade de falha por
(
)
DSP <
.
Em termos da engenharia de estruturas, usualmente suprimento indica resistência (
R
) e
demanda indica efeitos do carregamento (
S
). A confiabilidade de uma estrutura deve ser
medida
em termos da probabilidade de sobrevivência
(
)
SRP ≥
ou da probabilidade de
falha
(
)
SRP < . Se as distribuições de probabilidade de R e S forem conhecidas (Fig. 4.1),
a probabilidade de falha P
f
, para R e S contínuas e estatisticamente independentes, pode ser
calculada através da seguinte expressão:
( ) ( )
dssfsFP
SRf
∞
=
0
(
4.5 )
onde F
R
( ) é a função de distribuição acumulada da variável R; f
S
(s) é a função densidade
de probabilidade da variável S; e a correspondente probabilidade de sobrevivência é
fS
PP −= 1 . Se R e S são correlacionadas, então:
( )
dsdrs,rfP
0
s
0
S,Rf
∞
=
(
4.6 )
onde f
R ,S
(r, s) é a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis R e S.
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 39
FIGURA
4.1 FDP para a resistência e o efeito do carregamento
A falha da estrutura está associada à região de sobreposição das duas curvas da Fig. 4.1.
Conforme ANG e TANG (1990), o cálculo da probabilidade de falha (P
f
) ou da
probabilidade de sobrevivência (P
s
) requer o conhecimento das distribuições f
R
(r) e f
S
(s), ou
da distribuição conjunta f
R,S
(r,s). Na prática, esta informação usualmente não está
disponível ou é difícil de ser obtida devido à insuficiência de dados. Se as informações
disponíveis sobre as incertezas associadas às variáveis básicas se limitarem à média e ao
desvio padrão destas variáveis (e da covariância, no caso de dependência estatística), o
“First Order Second Moment” (FOSM) pode ser empregado no cálculo do índice de
confiabilidade da estrutura.
Neste contexto, ANG e TANG (1990) e MELCHERS (1999), consideram que o problema
pode ser formulado em termos das variáveis básicas de projeto X
i
. Para cada conjunto de
valores destas variáveis é preciso definir se a estrutura falhou ou não. Para se definir o
“estado” da estrutura, uma função de desempenho g(X) é usada, onde X = (X
1
, ..., X
n
) é o
vetor de variáveis básicas. O desempenho limite pode ser definido como g(X) = 0, que é o
“estado limite” da estrutura. Portanto, g(X) > 0 é o estado seguro e g(X) < 0 é o estado de
falha. De posse das estatísticas das variáveis básicas e da correspondente função de
desempenho o índice de confiabilidade
β
pode ser calculado. No FOSM o índice de
confiabilidade representa a menor distância do ponto de projeto (ou ponto mais provável de
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0
0.005
0.01
0.015
r
,
s
f
S
(s)
f
R
(r)
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 40
falha) à origem no sistema das variáveis reduzidas (Fig. 4.2). No caso mais geral, a
definição do ponto de projeto e o cálculo do índice de confiabilidade correspondente
demandam a utilização de procedimentos iterativos.
No caso em que as distribuições de probabilidade requeridas possam ser especificadas, a
probabilidade de falha P
f
pode ser calculada via "First Order Reliability Method" (FORM),
"Second Order Reliability Method" (SORM), ou a simulação de Monte Carlo que será
discutida mais adiante neste capítulo. Para variáveis que seguem distribuições normais, a
relação entre P
f
e o índice de confiabilidade
β
é dada pela seguinte expressão:
(
)
β
−Φ=
f
P
(
4.7 )
onde Φ(.) é a função de distribuição acumulada da variável normal padrão. Para outros
tipos de distribuição, funções normais equivalentes devem ser utilizadas.
FIGURA
4.2 O índice de confiabilidade e o ponto de projeto
d
min
=
β
X’
2
X’
1
g
(X) >
0
g
(X) <
0
ponto de projeto
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 41
4.4 C
ONFIABILIDADE DE
S
ISTEMAS
4.4.1 I
NTRODUÇÃO
O problema básico considerado no item anterior envolve especificamente um único modo
de falha definido por um único estado limite. Problemas de engenharia, contudo,
freqüentemente envolvem múltiplos modos de falha; isto é, podem existir vários modos de
falha, nos quais a ocorrência de algum destes constituirá falha ou não funcionamento do
sistema ou componente. Por exemplo, um elemento estrutural pode falhar por flexão, ou
cisalhamento, ou flambagem, ou uma combinação destes. Para um sistema estrutural
multicomponente, falhas de diferentes conjuntos de componentes podem constituir
diferentes modos de falha. No caso de fundações de edifícios, falhas podem ser causadas
por capacidade de carga inadequada ou recalque excessivo.
4.4.2 M
ÚLTIPLOS
M
ODOS DE
F
ALHA
A confiabilidade de um sistema multicomponente é essencialmente um problema
envolvendo múltiplos modos de falha; que são, as falhas de diferentes componentes ou
diferentes conjuntos de componentes que constituem diferentes e distintos modos de falha
do sistema. A consideração de múltiplos modos de falha, portanto, é fundamental para o
problema de Confiabilidade de Sistemas.
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 42
Considere um sistema com k múltiplos modos de falha. Os diferentes modos de falha terão
diferentes funções de desempenho. Suponha que as respectivas funções de desempenho
podem ser representadas por:
(
)
(
)
njj
XXXgXg ,...,,
21
=
; j = 1, 2, ..., k
(
4.8 )
Tal que o evento falha individual será:
(
)
[
]
0<= XgE
jj
(
4.9 )
E o complemento de E
j
será o evento sobrevivência:
(
)
[
]
0>= XgE
j
j
(
4.10
)
A segurança de um sistema é o evento no qual nenhum dos k múltiplos modos de falha
ocorrem, ou seja:
k
EEEE ∩∩∩= ...
21
(
4.11
)
Inversamente, o evento falha será:
k
EEEE ∪∪∪= ...
21
(
4.12
)
Teoricamente, portanto, a probabilidade de sobrevivência do sistema pode ser expressa
como a integral:
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 43
( )
∩∩
=
k
n
EE
XXXS
fp
...
,...,
1
21
...
(
)
n
xx
,...,
1 n
dxdx
...
1
(
4.13
)
Por outro lado, a probabilidade de falha será:
( )
∪∪
=
k
n
EE
XXXF
fp
...
,...,
1
21
...
(
)
n
xx ,...,
1 n
dxdx ...
1
(
4.14
)
O cálculo da probabilidade de segurança ou falha de um sistema é geralmente complexo;
aproximações são quase sempre necessárias. Neste intuito, limites superiores e inferiores
das probabilidades são úteis. Trata-se do conceito de Limites de Probabilidade que são
divididos em dois pontos: Limites uni-modais e limites bi-modais.
L
IMITE
U
NI
-M
ODAL
Primeiro, considere modos de falha que são correlacionados positivamente; tal que,
ρ
ij
> 0.
Isto significa, que para dois eventos E
i
e E
j
,
(
)
(
)
jij
EPEEP ≥|
(
4.15
)
Isto também significa:
(
)
(
)
jij
EPEEP ≥|
(
4.16
)
Para k eventos, isto pode ser generalizado da seguinte forma:
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 44
(
)
(
)
(
)
∏
=
≥=
k
i
ik
EPEEEPEP
1
21
...
(
4.17
)
Inversamente, observa-se que:
jk
EEEE ⊂...
21
para qualquer j
(
4.18
)
e, em particular,
j
j
k
EEEE min...
21
⊂
j = 1, 2, ..., k
(
4.19
)
Portanto,
(
)
(
)
j
j
EPEP min≤
(
4.20
)
Ao denotar-se a confiabilidade relativa ao i-ésimo modo de falha como
(
)
i
S
EPp
i
=
(
4.21
)
E a confiabilidade relativa a todos os modos de falha como
(
)
EPp
S
=
(
4.22
)
p
s
é portanto, de acordo com os limites da Eq. 4.17 e da Eq. 4.20
ii
S
i
S
k
i
S
ppp
min
1
≤≤
∏
=
(
4.23
)
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 45
Inversamente, o limite correspondente para a probabilidade de falha será dado por:
( )
∏
=
−−≤≤
k
i
FFF
i
ii
pppmáx
1
11
(
4.24
)
Onde
(
)
iF
EPp
i
=
é a probabilidade de falha do
i
-ésimo modo. Para valores pequenos de
i
F
p
, a parcela do lado direito da Eq. 4.24 será:
( )
∏
=
=
≅−−
k
i
F
k
i
F
ii
pp
1
1
11
(
4.25
)
Para modos de falha correlacionados negativamente, ou eventos que são negativamente
dependentes, tal que,
ρ
ij
< 0, tem-se para dois eventos
E
i
e
E
j
(
)
(
)
jij
EPEEP ≤|
(
4.26
)
Isto também siginifica
(
)
(
)
jij
EPEEP ≤
|
(
4.27
)
Em particular, se
E
i
e
E
j
são perfeitamente correlacionados negativamente; tal que
0,1
−=
ij
ρ
;
(
)
(
)
0|| ==
ij
ij
EEPEEP
(
4.28
)
Portanto,
(
)
(
)
(
)
jiji
EPEPEEP ≤
(
4.29
)
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 46
e
(
)
(
)
(
)
∏
=
≤=
k
i
ik
EPEEEPEP
1
21
...
(
4.30
)
Trivialmente, é claro,
(
)
0≥EP
. Deste modo, a probabilidade de sobrevivência será:
∏
=
≤
k
i
SS
i
pp
1
(
4.31
)
E a probabilidade de falha será:
(
)
∏
=
−≥
k
i
i
F
EPp
1
1
(
4.32
)
LIMITE BI-MODAL
Os limites descritos anteriormente podem ser aperfeiçoados levando em conta a correlação
entre pares de modos de falha; estes limites resultantes requerem necessariamente as
probabilidades de eventos conjuntos, tais como
ji
EE ou
ji
EE
, e deste modo pode ser
chamado “bi-modal” ou limite de segunda ordem.
O evento falha E = E
1
U E
2
U...U E
k
pode ser decomposto como a seguir (veja Fig. 4.3 para
k = 3), com E
1
assumido ser o maior conjunto:
(
)
(
)
12121
3
1
21
......
−
∪∪∪=
k
k
EEEEEEEEEEE
(
4.33
)
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 47
FIGURA
4.3 Decomposição de
E
Também, pela Regra de “de Morgan”,
121
121
......
−
−
∪∪∪=
i
i
EEEEEE
(
4.34
)
e para i = 1, 2, 3, ..., k,
(
)
(
)
121
121
......
−
−
∪∪∪=
ii
i
i
EEEEEEEE
(
4.35
)
Observe que
(
)
(
)
iiiii
EEEEEEEE =∪∪∪∪∪∪
−− 11121
......
(
4.36
)
Deste modo
1
2
EE
E
1
E
2
E
3
(
)
21
3
EEE
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 48
(
)
[
]
(
)
(
)
121
121
......
−
−
∪∪∪−=
iiiii
i
i
EEEEEEPEPEEEEP
(
4.37
)
Mas
(
)
(
)
(
)
(
)
121121
......
−−
+++≤∪∪∪
iiiiiiii
EEPEEPEEPEEEEEEP
(
4.38
)
Portanto,
(
)
[
]
( )
( )
−
=
−
−≥
1
1
121
...
i
j
jii
i
i
EEPEPEEEEP
(
4.39
)
Com a Eq. 4.33 tem-se:
( ) ( ) ( )
( )
−+≥
=
−
=
k
i
i
j
jii
EEPEPEPEP
2
1
1
1
0;max
(
4.40
)
Por outro lado,
ji
EEEE ⊂
−121
...
; para qualquer “j”
(
4.41
)
Em particular,
j
ij
i
EEEE
<
−
⊂ min...
121
(
4.42
)
Portanto,
(
)
i
j
ij
i
i
EEEEEE
⊂
<
−
min...
121
(
4.43
)
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 49
Observe que
i
j
ij
j
ij
ii
j
ij
i
j
ij
EEEEEEEE =
∪=
∪
<
<
<
<
maxminmaxmin
(
4.44
)
Com a Eq. 4.33 tem-se:
( ) ( ) ( )
( )
{
}
=
<
−+≤
k
i
ji
ij
i
EEPEPEPEP
2
1
max
(
4.45
)
Ou
( ) ( )
( )
{
}
=
<
=
−≤
k
i
ji
ij
k
i
i
EEPEPEP
21
max
(
4.46
)
As equações Eq. 4.40 e Eq. 4.46, respectivamente, representam os limites bi-modal inferior
e superior da probabilidade de falha quando existem k potenciais modos de falha:
( )
( )
( )
{
}
=
<
==
−
=
−≤≤
−+
k
i
ji
ij
k
i
iF
k
i
i
j
jiFF
EEPEPpEEPPP
212
1
1
max0;max
11
(
4.47
)
4.4.3 S
ISTEMAS
R
EDUNDANTES E
N
ÃO
R
EDUNDANTES
A confiabilidade de um sistema multicomponente será função da presença ou não de
redundâncias. A falha de um componente de um sistema não-redundante implica na falha
de todo o sistema. Em geral, a confiabilidade de um sistema é aumentada à medida que são
adicionados componentes redundantes.
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 50
Um sistema estrutural pode se apresentar de modo geral em três formas: sistemas em série,
sistemas em paralelo ou um sistema que é uma combinação dos dois primeiros.
Um sistema estrutural em série é composto por componentes nos quais sua falha implica na
falha do todo. Cada componente estrutural é relacionado a um modo de falha. Ou seja, um
sistema estrutural apresenta vários modos de falha os quais são os componentes deste
sistema. Um sistema é composto de vários subsistemas e assim sucessivamente. A falha em
um componente do subsistema menor implicará na falha de todo o sistema maior. Isto é o
que se entende por sistema em série. Como exemplo, observe uma corrente constituída por
diversos elos. O rompimento de um componente (elo) implica na falha do sistema corrente.
Ao contrário do observado anteriormente, em sistemas em paralelo a falha em um
componente nem sempre significa a falha do sistema devido às redundâncias presentes
neste tipo de sistema. Segundo ANG e TANG (1990), muitos sistemas físicos que são
compostos de múltiplos componentes podem ser classificados como sistemas conectados
em séries, paralelos ou uma combinação destes dois. De forma geral, as falhas em eventos
(por exemplo, nos casos de múltiplos modos de falha) podem ser representadas como
eventos em série (união) ou em paralelo (interseção). Sistemas que são compostos ou
componentes conectados em série (sistemas em série) são tais que a falha de qualquer um
dos componentes ou mais de um constitui a falha do sistema; tais sistemas, portanto, não
possuem redundância. Em outras palavras, a confiabilidade ou segurança deste tipo de
sistema requer que nenhum dos componentes falhe.
4.4.4 Á
RVORE DE
F
ALHA
Segundo ANG e TANG (1990), para um sistema complexo, as condições adversas ou
falhas que contribuem para a ocorrência dos modos potenciais de falha podem ser muito
complexas, tais que alguns meios sistemáticos de identificação de várias falhas e seus
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 51
efeitos interativos (caso existam) no evento falha sejam necessários. O diagrama árvore de
falha é utilizado exatamente com este propósito.
Uma análise da árvore de falha pode incluir uma avaliação quantitativa das probabilidades
de várias falhas ou eventos falha levando eventualmente ao cálculo da probabilidade de
falha de um evento falha principal (evento principal). Usada na forma quantitativa, a
análise da árvore de falha (AAF) é uma valiosa ferramenta. Um diagrama geral de árvore
de falha é apresentado na Fig. 4.4.
FIGURA
4.4 Diagrama de Árvore de Falha
E
5
+
E = Evento Principal
E
1
E
2
E
6
E
4
E
3
(
Evento Mudança
) (
Evento primário
) (
Evento primário
)
(
Evento
Secundário
)
+
E
i
E
i
E
i
E
i
Operador “OU” Operador “E”
Evento Falha decomposto adiante Evento Falha Básico
Evento “Mudança”
Evento Falha Secundário
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 52
Os símbolos mostrados na Fig. 4.4 para eventos e subeventos representam tipos de eventos
em uma análise de árvore de falha. O retângulo (por exemplo, E, E
1
e E
2
) define um evento
falha que será adiante desenvolvido em outros subeventos através de operadores lógicos
(“ou” e “e”). O círculo (por exemplo, E
3
e E
6
) define uma falha inerente básica de um
elemento do sistema. Este é portanto um evento falha primário. O losango (E
4
) representa
um evento falha secundário que não é, de propósito, desenvolvido adiante; tais que eventos
falha secundárias são geralmente causados por tensões operacionais ou ambientais
excessivas no elemento do sistema, e erros humanos podem ser incluídos nesta categoria. O
evento mudança (por exemplo, E
5
) representa um evento no qual sua ocorrência mudará a
condição de operação do sistema.
4.5 C
ONFIABILIDADE E
O
TIMIZAÇÃO
É de consenso que o projeto ótimo de estruturas deve envolver não apenas estimativas de
custos iniciais, mas também todos os custos envolvidos ao longo da vida útil. O custo total
ao longo da vida útil da estrutura, C
VU
, é dado por:
f
CCCCC
rinspiVU
+++=
(
4.48
)
onde C
i
é o custo inicial, C
insp
é o custo da inspeção, C
r
é o custo do reparo e C
f
é o custo
associado à falha, sendo C
f
dado por:
fi
n
i
f
CxPC
fi
=
=
1
(
4.49
)
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 53
onde
P
fi
é a probabilidade de falha associada ao
i
-ésimo modo de falha e
C
fi
é o custo
associado ao
i
-ésimo modo de falha (custo em decorrência de danos, perda de vidas
humanas, atrasos para o usuário, etc). Desta maneira, o problema de projeto é um problema
de otimização sujeito às restrições quanto à confiabilidade da estrutura.
O problema de projeto de uma estrutura é um problema de otimização. Este problema de
otimização pode ser formulado de distintas maneiras. Segundo THOFT-CHRISTENSEN
(2000), as duas maneiras mais comuns são: (i) a minimização do custo total ao longo da
vida útil da estrutura,
C
VU
, e (ii) a maximização do benefício líquido ao longo da vida útil
da estrutura,
B
L
. O benefício líquido
B
L
é dado por:
LVLVL
CBB −=
(
4.50
)
As variáveis a serem otimizadas são as variáveis de projeto, tais como dimensões da
estrutura, a armadura, profundidade de escavação etc., e também os parâmetros
relacionados à inspeção e ao reparo. As condições de restrição são estabelecidas em termos
de confiabilidade. Neste procedimento, custos e benefícios são incorridos em tempos
diferentes, assim, faz-se necessário que custos e benefícios sejam referidos ao tempo
presente, através da utilização de uma taxa de juros.
O problema do projeto de estruturas via equações (4.48), (4.49) e (4.50) é assim tratado de
forma rigorosa e holística. Entretanto, inúmeros problemas estão associados à sua
utilização: (i) a decisão quanto à taxa de juros a ser adotada; (ii) a definição do tipo de
inspeção a ser considerado, intervalos constantes ou intervalos variáveis; (iii) a definição do
tipo de reparo a ser efetuado; (iv) o tratamento do custo associado à perda de vidas
humanas; (v) a estimativa de probabilidades de falhas associadas a todos os possíveis
modos de falha. A despeito destas dificuldades, este procedimento vem sendo utilizado em
problemas reais como aqueles relativos à definição de estratégias para a manutenção de um
conjunto de pontes (para exemplos de aplicação ver FRANGOPOL e ESTES (1997)).
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 54
THOFT-CHRISTENSEN (2000) enfatiza que muito ainda deve ser investigado antes que
um procedimento de caráter geral possa ser estabelecido; entretanto este pesquisador se
mostra otimista quanto à expectativa de que o projeto ótimo poderá reduzir drasticamente
os custos operacionais de sistemas de infraestrutura.
4.6 D
ETERMINAÇÃO
E
MPÍRICA DE
M
ODELOS DE
D
ISTRIBUIÇÃO
4.6.1 I
NTRODUÇÃO
As características probabilísticas de um fenômeno aleatório às vezes são difíceis para
discernir ou definir. O modelo apropriado de probabilidade precisa descrever estas
características, sendo assim, este não é facilmente formulado ou deduzido teoricamente. Em
particular a forma funcional da distribuição de probabilidade requerida não pode ser
facilmente obtida. Em algumas circunstâncias, as bases ou propriedades dos processos
físicos podem sugerir a forma da distribuição requerida. Por exemplo, se um processo é
composto da soma de muitos efeitos individuais, a distribuição normal pode ser apropriada;
por outro lado, se as condições extremas do processo físico são de interesse, uma
distribuição de valor extremo pode ser um modelo adequado.
Apesar de tudo, existem ocasiões quando a distribuição de probabilidade requerida é
determinada empiricamente (baseada inteiramente em dados disponíveis). Por exemplo, se
o diagrama de freqüência para um conjunto de dados pode ser construído, o modelo de
distribuição requerido pode ser determinado visualmente comparando com uma função
densidade. Uma distribuição de probabilidade assumida (talvez determinada
empiricamente, como mencionado anteriormente ou desenvolvida teoricamente com base
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 55
em hipóteses prévias) pode ser verificada, ou invalidada, à luz de dados disponíveis usando
certos testes estatísticos, conhecidos como testes de aderência para distribuição. Além do
mais, quando uma ou mais distribuições parecem ser modelos de distribuição de
probabilidade plausíveis, tais testes podem ser usados para delinear o grau de validade das
diferentes distribuições. O teste utilizado neste trabalho será o teste Qui-quadrado
(
)
2
χ
. Na
prática, a escolha da distribuição de probabilidade também pode ser ditada pela
trabalhabilidade matemática ou conveniência.
4.6.2 T
ESTE DE
A
DERÊNCIA
Q
UI
-Q
UADRADO
Quando uma distribuição é assumida teoricamente, talvez determinada com base na forma
do histograma ou com base nos dados plotados em um papel de probabilidade, a validade
da distribuição pode ser verificada ou reprovada estatisticamente pelos testes de aderência.
Dos testes mais conhecidos, será utilizado o teste do qui-quadrado
(
)
2
χ
para validação de
um modelo de distribuição assumido.
Considere uma amostra de
n
valores observados de uma variável aleatória. O teste de
aderência
2
χ
compara a freqüência observada
n
1
, n
2
, ..., n
k
, de
k
valores (ou em
k
intervalos) da variável com a freqüência correspondente
e
1
, e
2
, ..., e
k
de uma distribuição
assumida teoricamente. A base para a qualidade desta comparação é a distribuição da
quantidade
(
)
=
−
k
i
i
ii
e
en
1
2
(
4.55
)
Projeto Baseado em Confiabilidade Estrutural 56
a qual aproxima-se da distribuição
2
f
χ
com (
f = k – 1
) graus de liberdade com
∞
→
n
.
Contudo, se os parâmetros do modelo teórico são desconhecidos e deverão ser estimados
dos dados, a equação acima permanece válida se o grau de liberdade é reduzido de um de
todos os parâmetros conhecidos que deverão ser estimados.
Baseado nisto, se uma distribuição assumida produz
(
)
f
k
i
i
ii
c
e
en
,1
1
2
α
−
=
<
−
(
4.56
)
Onde
f
c
,1
α
−
é o valor da distribuição
2
f
χ
apropriada na probabilidade acumulada (
1 –
α
),
para que a distribuição teoricamente assumida seja um modelo aceitável, no nível de
significância
α
. Ao contrário, a distribuição assumida não é substanciada pelos dados no
nível
α
de significância.
Para aplicarmos satisfatoriamente o teste
2
χ
, geralmente é necessário ter
k
> 5 e
e
i
> 5,
para obtenção de resultados satisfatórios.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 57
5
A
VALIAÇÃO
P
ROBABILÍSTICA DE
D
ESLOCAMENTOS DE
F
UNDAÇÕES DE
L
INHAS DE
T
RANSMISSÃO
5.1 I
NTRODUÇÃO
Na grande maioria das linhas de transmissão (onde não existam restrições ambientais e de
topografia), a incidência de torres estaiadas é bem maior do que as autoportantes. Isto
ocorre devido ao menor peso e conseqüentemente menores custos das torres estaiadas. Tais
torres apresentam um ou dois mastros e quatro estais. Desta maneira, a grande maioria das
fundações de uma linha de transmissão é de estais. Além disso, dada a complexidade da
interação solo-estrutura, tem sido reconhecido que o comportamento de tais fundações
demandam estudos mais aprofundados.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 58
Os últimos anos têm assistido a uma evolução constante no sentido de se dar um melhor
tratamento às incertezas presentes no projeto estrutural de linhas de transmissão, o que
requer a implementação de métodos probabilísticos. Neste trabalho, as linhas de
transmissão são avaliadas a partir da Confiabilidade Estrutural com destaque às fundações
tracionadas de torres estaiadas. Neste capítulo será apresentado o Sistema de Interligação
Norte-Nordeste onde foram realizados os ensaios de arrancamento nas fundações de estais
cujos resultados são fonte do presente trabalho. As fundações executadas neste
empreendimento são detalhadas. Em seguida os ensaios serão descritos de forma detalhada.
A partir dos resultados de deslocamentos máximos e residuais obtidos em ensaios de
arrancamento de fundações de estais, um tratamento estatístico-probabilístico é realizado.
Distribuições de probabilidade são associadas aos valores de deslocamentos das fundações
para cada tipo de solo padrão do projeto. Para a fundação de cada estai são avaliados dois
modos de falha a saber, deslocamentos máximos excessivos e deslocamentos residuais
excessivos. A partir de valores admissíveis para os deslocamentos, as probabilidades de
falha relativas aos modos de falha avaliados são definidas. Na seqüência, a teoria da
Confiabilidade de Sistemas é aplicada, primeiro para definição das probabilidades de falha
do subsistema fundação do estai e o trabalho é concluído com a definição da probabilidade
de falha das fundações dos estais de uma torre estaiada em cada tipo de solo padrão do
projeto.
5.2 S
ISTEMA
N
ORTE
-N
ORDESTE
Com o objetivo de atender ao crescimento da demanda de energia elétrica das regiões norte
e nordeste do país, foram projetadas as linhas de transmissão em 500 kV Tucuruí - Vila do
Conde (Grande Belém) (323 km), Tucuruí - Marabá, Marabá – Açailândia, Açailândia –
Imperatriz e Açailândia – Presidente Dutra (932 km, as últimas quatro) e construídas nos
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 59
anos de 2001 e 2002 nos estados do Pará e Maranhão, entrando em operação em março de
2003 (Fig. 5.1).
FIGURA
5.1 Mapa de Localização das Linhas de Transmissão
O empreendimento com investimentos da ordem de R$ 1,2 bilhão foi iniciado com a
mobilização de equipes de topografia para levantamento de perfil ao longo do eixo da LT e
cadastramento de proprietários a serem indenizados pelos investidores devido à
desapropriação de terras ao longo da faixa de domínio. Com o perfil topográfico, a equipe
de engenharia no escritório a partir de programa computacional especializado propôs as
locações das estruturas. Nesta etapa do projeto é buscada uma configuração ótima, onde o
objetivo é a maior incidência de torres estaiadas por serem mais leves e econômicas com
espaçamento máximo entre elas. Terminado o projeto preliminar de engenharia, os locais
das torres foram materializadas em campo, sendo deslocadas quando da ocorrência de
algum impedimento (área de proteção ambiental, fundações em locais inundáveis,
moradias, etc).
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 60
Dentre várias características interessantes técnica e economicamente neste trabalho (tipos
de torres, tipos de cabos, etc.) as fundações tracionadas de torres estaiadas serão abordadas
com ênfase. Isto é devido à grande preocupação na construção em relação ao desempenho
destes componentes do sistema por parte do cliente e seus consultores. Logo a seguir, o
projeto de fundações (concepção, tipos de solos adotados, parâmetros geotécnicos,
aplicações, formas das estruturas de fundações, etc.) deste empreendimento será
apresentado.
5.3 A
S
F
UNDAÇÕES
Para definição dos parâmetros geotécnicos do projeto foram executadas sondagens ao longo
dos traçados das LT. Constitui como prática de projetos de fundações de torres a execução
de dois tipos de sondagens: trado e SPT (Standard Penetration Test). Por serem rápidas,
simples e mais baratas, as sondagens a trado foram executadas em todas as estruturas.
Como critério de projeto, as investigações tipo SPT foram executadas em média a cada
cinco quilômetros. Orientada pela equipe de projeto, a fiscalização em campo adotava
novos pontos a serem executadas sondagens SPT como por exemplo torres com grandes
deflexões, ancoragens, alteração visível do tipo de terreno, topografias em baixas
elevações, locais inundáveis com alta saturação, etc.
Inicialmente o solo foi avaliado pela sua granulometria sendo admitidos dois grupos:
arenosos e argilo-arenosos. Em seguida, quatro subtipos de solo foram definidos em função
do número de golpes N
SPT
obtido nas sondagens à percussão (SPT) realizadas. Os
parâmetros geotécnicos admitidos no projeto (número de golpes N
SPT
, peso específico do
solo –
γ
solo
, intercepto de coesão e ângulo de atrito) foram assumidos em função do
conhecimento histórico do solo local. Todos estes parâmetros são listados na Tab. 5.1. para
solos areno-argilosos e na Tab. 5.2 para solos arenosos.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 61
O solo tipo III difere do tipo IV devido à submersão (presença de nível de água acima da
cota de assentamento da fundação) deste último. Para os diversos terrenos encontrados
foram indicados quatro tipos de fundações: vigas com seção em forma de “L” pré-
moldadas, blocos cilíndricos moldados in situ (tubulões sem base alargada), blocos
prismáticos moldados in situ e estacas metálicas helicoidais.
Os blocos cilíndricos projetados para os solos tipo I, II e III (foco do presente trabalho)
apresentaram diâmetro constante de oitenta centímetros e profundidade de assentamento
variável em relação ao tipo de solo conforme a Fig. 5.2. Para fundações em solos tipo IV
foram adotadas vigas com seção em forma de “L” pré-moldadas, ou blocos prismáticos
moldados in loco ou estacas metálicas helicoidais.
TABELA
5.1 Parâmetros Geotécnicos de Projeto dos Solos Argilo-Arenosos
TIPO
SOLO
N
SPT
γ
SOLO
(
K
N/
M
3
)
I
NTERCEPTO DE
C
OESÃO
(
K
P
A
)
Â
NGULO DE
A
TRITO
(
O
)
I N
SPT
>
12 16 30 22
II 8 <
N
SPT
< 12 15 25 20
III 4 <
N
SPT
< 8 13 15 15
IV 4 <
N
SPT
< 8 10 10 13
TABELA
5.2 Parâmetros Geotécnicos de Projeto dos Solos Arenosos
TIPO
SOLO
N
SPT
γ
SOLO
(
K
N/
M
3
)
I
NTERCEPTO DE
C
OESÃO
(
K
P
A
)
Â
NGULO DE
A
TRITO
(
O
)
I N
SPT
>
12 16 0 35
II 8 <
N
SPT
< 12 15 0 30
III 4 <
N
SPT
< 8 13 0 25
IV 4 <
N
SPT
< 8 10 0 20
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 62
A Tab. 5.3 apresenta os tipos de fundações adotados neste empreendimento para os tipos de
solos padronizados.
TABELA
5.3 Tipos de Fundações por Tipo de Solo
T
ERRENO
F
UNDAÇÃO
I II III IV
B
LOCO CILÍNDRICO MOLDADO IN SITU
X
X
X
Â
NCORA HELICOIDAL
X
X
V
IGA COM SEÇÃO EM FORMA DE
“L”
PRÉ
-
MOLDADA
X
B
LOCO PRISMÁTICO MOLDADO IN SITU
X
Importante afirmar neste ponto que as fundações ensaiadas para este trabalho foram os
blocos cilíndricos executados in situ para solos tipo I, II e III, onde foram levantados os
questionamentos a serem avaliados e devidamente estudados neste trabalho.
Os cabos de estais transmitem aos tirantes das fundações apenas cargas de tração que atuam
na direção dos estais. Desta forma, estas fundações são dimensionadas para esforços de
tração inclinados com verificação da possibilidade de ruptura nas direções vertical e
horizontal. No caso da direção vertical, o dimensionamento à tração foi efetuado com base
no denominado método do cone. A componente horizontal da carga foi verificada através
de teorias de empuxo de terra, desprezando-se a coesão do solo e com estabelecimento de
uma tensão limite.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 63
FIGURA
5.2 Dimensões das Fundações para Solos I, II e III
5.4 E
NSAIOS DE
A
RRANCAMENTO EM
F
UNDAÇÕES DE
T
ORRES
E
STAIADAS
Neste empreendimento de alto investimento foram avaliados os cuidados relativos à
segurança e garantia da transmissão da energia sem interrupções. Partindo da constatação
de que a maioria das torres das LT é do tipo estaiada, o Consórcio Alusa-Schahin-
Eletrobrás indicou algumas torres e fundações em solos tipo I, II e III onde seriam
necessários ensaios de validação das fundações executadas pelos empreiteiros.
Estes ensaios foram executados com o intuito de se verificar limites impostos aos
deslocamentos máximos da fundação (sob carregamento axial máximo de tração nos estais
da torre transmitido aos tirantes) e aos deslocamentos residuais (após descarregamento). Os
critérios de aprovação adotados foram: (1) deslocamentos máximos inferiores a 50 mm e
80
320 (Solo I)
350 (Solo II)
400(Solo
III)
Medidas em centímetros.
80
Fa
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 64
(2) deslocamentos residuais inferiores a 25 mm. Os limites adotados para deslocamentos
máximos e deslocamentos residuais foram definidos em função da experiência dos
engenheiros calculistas em relação aos solos locais. Por restrição de tempo, as fundações
reprovadas eram descartadas e estacas metálicas helicoidais executadas no local.
Foram executados 471 (quatrocentos e setenta e um) ensaios nas fundações das LT
construídas. Na Tab. 5.4. abaixo podemos perceber a porcentagem de fundações de estais
ensaiadas em relação à quantidade de estais construídos em cada LT.
A LT 500 kV Tucuruí – Vila do Conde foi a primeira a ser construída onde os
questionamentos foram maiores. Isto se deve ao fato de nesta LT passar por região com
terreno seriamente comprometido pela variação do nível de água no solo. A partir da
aprovação dos resultados obtidos nesta primeira série de ensaios a necessidade de constatar
a eficiência dos demais trechos foi reduzida. Este fato foi comprovado nos ensaios
realizados, não apresentando problemas com os deslocamentos observados.
TABELA
5.4 Quantitativo de Ensaios de Arrancamento por LT.
LT 500 kV Comprimento
da LT
(km)
Fundações de
Estais
Executadas
Estais
Ensaiados
%
do
Total
Tucuruí – Vila do Conde 324,1 1976 351 17,76
Tucuruí - Marabá 217,5 1152 36 3,13
Marabá - Açailândia 237,6 1736 20 1,15
Açailândia - Imperatriz 56,8 356 14 3,93
Açailândia – Presidente Dutra
414,9 2560 50 1,95
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 65
5.5 D
ETALHAMENTO DO
E
NSAIO DE
C
AMPO
O procedimento detalhado do método executivo deste tipo de ensaio será abordado a
seguir. O equipamento utilizado nos ensaios foi um tripé metálico conforme se pode
perceber nas fotos deste item. Trata-se do procedimento adotado no presente trabalho.
Ressalta-se que outros tipos de equipamentos também são comumente utilizados (tal como
as vigas de reação), sendo o tripé um dos mais utilizados.
5.5.1 P
REPARAÇÃO DO
T
ERRENO
Após definição da torre e do estai a ter sua fundação testada, o primeiro passo é a execução
de pequenas escavações para assentamento das patas do tripé de ensaio ao lado do estai,
conforme mostrado na Fig. 5.3.
FIGURA
5.3 Cavas para assentamento das patas do Tripé de Ensaio.
Escavação
Estai
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 66
5.5.2 M
ONTAGEM DO
T
RIPÉ DE
E
NSAIO
Conforme Fig. 5.4 e Fig. 5.5, concomitantemente à escavação das valas, realiza-se a
montagem do tripé em campo.
FIGURA
5.4 Fixação das duas pernas maiores na extremidade superior do tripé.
5.5.3 L
EVANTAMENTO DO
E
STAI
P
ROVISÓRIO
Neste tipo de ensaio, o estai a ser ensaiado deverá ter o seu cabo retirado. Por motivos
óbvios de física e manutenção de equilíbrio, devemos com isso instalar um cabo de estai
Montagem parte
superior do tripé
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 67
provisório na torre. Uma extremidade do cabo ficará fixa na torre e a outra no nosso caso
específico em um caminhão de turma. Veja as Fig. 5.6 e 5.7.
FIGURA
5.5 Fixação da terceira pata do tripé.
Caminhão com
“munck” para
içamento do tripé
Cabo do estai
Alinhamento do
tripé com o estai
Alinhamento do
tripé com o estai
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 68
FIGURA
5.6 Fixação na torre do estai provisório.
Fixação de estai
provisório na parte
superior da torre
Estai
provisório
Estai
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 69
FIGURA
5.7 Estai provisório preso ao caminhão de turma.
5.5.4 R
ETIRADA DO
G
RAMPO
U
DO
E
STAI
E
NSAIADO E
A
LÍVIO DOS
O
UTROS
E
STAIS
Antes da retirada do estai do tirante a ser ensaiado procede-se ao afrouxamento dos outros
três estais. Sendo assim, a tração nos cabos de estais é diminuída e principalmente, torna-se
mais fácil a retirada do estai de ensaio. Veja as Fig. 5.8. e 5.9.
.
Caminhão de
Turma
“Tifor”
Estai
provisório
Tensionamento
do cabo
provisório
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 70
FIGURA
5.8 Alívio de tensão nos estais não ensaiados.
5.5.5 N
IVELAMENTO DO
T
RIPÉ DE
E
NSAIO
O equipamento de ensaio deverá aplicar o carregamento no eixo da barra. Ou seja, o tripé
será nivelado para evitar-se a ação de esforços adicionais que provocariam conseqüentes
deslocamentos resultantes. Veja as Fig. 5.10. e 5.11.
Desaperto das porcas
dos estais não
ensaiados
Grampo
“U”
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 71
FIGURA
5.9 Retirada do grampo U e do cabo do estai.
FIGURA
5.10 Alinhamento do equipamento.
Acerto das patas dianteiras
Atuador
hidráulico
Alinhamento do
tripé com o estai
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 72
FIGURA
5.11 Adição de madeira para nivelamento do equipamento.
5.5.6 P
ROVA DE
C
ARGA
O equipamento de ensaio deverá aplicar o carregamento no eixo da barra. Ou seja, o tripé
será nivelado para evitar-se a ação de esforços adicionais que provocariam conseqüentes
deslocamentos resultantes. Veja as Fig. 5.10. e 5.11.
Após nivelamento do tripé, o cilindro de tração é conectado na barra através de luvas de
emenda, pontas de barra, manilha e pinos. A Bomba Hidráulica é introduzida ao sistema
para aplicação de pressão. O Manômetro está acoplado à bomba e é neste que se realizam
as leituras de pressão. As leituras são convertidas em cargas através de tabela emitida pela
Tirante de fundação
a ser ensaiado
Nivelamento pata dianteira com madeiras
Estai provisório
Atuador
hidráulico
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 73
empreiteira e entregue para conhecimento do Cliente. A placa utilizada para deslizamento
dos medidores de deslocamento é a própria Placa de Ancoragem utilizada no projeto da
fundação, pois esta já apresenta o furo da barra. Para não ocorrência de deslizamento desta
na barra foram apertadas contra-porcas e / ou porcas do sistema acima e abaixo da própria
placa. Garantia-se assim a estabilidade das medidas. Os medidores de deslocamentos em
número de dois eram observados todo momento. As leituras foram feitas com pequenos
intervalos de tempo (Veja Fig. 5.17). Os medidores de deslocamentos eram constantemente
observados quanto à adição de esforços que “não representariam a realidade”. Todos os
acontecimentos foram relatados nas planilhas de ensaio. Veja as Fig. 5.12 até 5.16.
FIGURA
5.12 Detalhe da bomba hidráulica.
Bomba hidráulica
Manômetro
(medida de pressão no atuador)
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 74
FIGURA
5.13 Detalhe dos medidores de deslocamentos.
Legenda:
1 – Tirante do estai.
2 – Base magnética.
3 – Cantoneira de apoio das bases magnéticas.
4 – Medidor de deslocamentos E1.
5 – Medidor de deslocamentos E2.
6 – Haste do medidor de deslocamentos.
7 – Placa com furo central para apoio de haste do medidos de deslocamentos.
4
1
2
3
7
6
5
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 75
FIGURA
5.14 Vista geral do ensaio.
FIGURA
5.15 Detalhe da inclinação do estai ensaiado.
Leitura e registro
de deslocamentos
Controle de
pressão no
atuador
Tirante
Atuador
hidráulico
Leitura e registro de
deslocamentos
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 76
FIGURA
5.16 Vista geral do ensaio – Bombeamento.
5.6 P
ROCEDIMENTO DE
E
NSAIO
O dispositivo de aplicação de carga era constituído por um atuador hidráulico alimentado
por bombas manuais, atuando contra um sistema de reação estável. O atuador hidráulico
apresentava capacidade máxima de 400 kN e curso de êmbolo compatível com os
deslocamentos esperados entre o topo da fundação e o sistema de reação. O tripé de reação
apresentava resistência e rigidez para suportar com segurança a carga máxima de 600 kN e
ficava apoiado sobre o solo através de sapatas projetadas com capacidade de carga à
compressão de pelo menos 50% superior às máximas cargas previstas para os ensaios. A
tensão transmitida ao solo pelas sapatas de reação deve estar compatibilizada com a
Bombeamento e controle da
pressão com leitura do
manômetro
Leitura e registro
de deslocamentos
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 77
capacidade superficial do solo em termos de resistência e deformação. Quando necessário,
o solo foi reforçado ou a sapata aumentada.
Na execução dos ensaios os seguintes cuidados foram tomados:
- Realização de medições das cargas aplicadas e dos deslocamentos axiais no ponto
de ligação da haste com o equipamento de ensaio, conforme apresentado nas Fig.
5.12, 5.13 e 5.14;
- Aplicação de cargas perfeitamente axiais à haste e medidas através de manômetro
instalado no sistema de alimentação do atuador hidráulico, conforme apresenta a
Fig. 5.15;
- O manômetro utilizado tem capacidade de leitura (subdivisão) que não ultrapasse
25% à máxima carga prevista no ensaio de carga e com graduação que permitisse
uma precisão mínima de 2,5 kN. O conjunto atuador hidráulico, bomba hidráulica,
manômetro/célula de carga utilizado foi calibrado e apresentava certificado de
calibração atualizado;
- Os deslocamentos axiais do topo da haste foram medidos simultaneamente através
de dois medidores de deslocamentos instalados em eixos ortogonais. Os medidores
de deslocamentos têm no mínimo 50 mm de curso e permitem leituras diretas de
0,01mm, conforme a Fig. 5.13;
- Por segurança, os possíveis movimentos laterais da haste foram continuamente
acompanhados para verificação de eventual introdução de esforços adicionais não
desejáveis;
- Os medidores de deslocamentos foram fixados em vigas de referência com rigidez
compatível com a sensibilidade das medidas. Adicionalmente tais vigas se
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 78
apresentavam livres de eventuais movimentos do terreno. Para tanto foram
simplesmente apoiadas em ambas as extremidades em peças fixadas no solo fora da
área de influência da movimentação do solo por ação dos deslocamentos e aplicação
das cargas;
- Os efeitos externos (temperatura e vento) eram evitados ou avaliados quando os
deslocamentos por eles provocados fossem significativos.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 79
Observações:
Leitura E1 Leitura E2 Média EM Desloc.
0,0 0,0 0 - - - - -
4,0 16,7 10 - - - - -
4,0 16,7 10 2 0,00 0,00 0,00 0,00
8,0 33,3 20 2 1,21 1,23 1,22 1,22
8,0 33,3 20 4 1,21 1,23 1,22 0,00
8,0 33,3 20 6 1,21 1,23 1,22 0,00
8,0 33,3 20 8 1,21 1,23 1,22 0,00
8,0 33,3 20 10 1,21 1,23 1,22 0,00
12,0 50,0 30 0 2,33 2,41 2,37 1,15
12,0 50,0 30 2 2,38 2,46 2,42 0,05
12,0 50,0 30 4 2,39 2,47 2,43 0,01
12,0 50,0 30 6 2,42 2,50 2,46 0,03
12,0 50,0 30 8 2,42 2,50 2,46 0,00
12,0 50,0 30 10 2,43 2,50 2,47 0,00
16,0 66,7 40 0 3,69 3,73 3,71 1,25
16,0 66,7 40 2 3,74 3,79 3,77 0,06
16,0 66,7 40 4 3,75 3,79 3,77 0,01
16,0 66,7 40 6 3,75 3,80 3,78 0,00
16,0 66,7 40 8 3,75 3,80 3,78 0,00
16,0 66,7 40 10 3,75 3,80 3,78 0,00
20,0 83,3 50 0 4,88 4,93 4,91 1,13
20,0 83,3 50 2 5,06 5,10 5,08 0,18
20,0 83,3 50 4 5,11 5,14 5,13 0,04
20,0 83,3 50 6 5,13 5,16 5,15 0,02
20,0 83,3 50 8 5,13 5,16 5,15 0,00
20,0 83,3 50 10 5,13 5,16 5,15 0,00
24,0 100,0 60 0 7,00 7,10 7,05 1,91
24,0 100,0 60 2 8,77 8,85 8,81 1,76
24,0 100,0 60 4 9,89 9,91 9,90 1,09
24,0 100,0 60 6 10,33 10,44 10,39 0,48
24,0 100,0 60 8 11,47 11,55 11,51 1,13
24,0 100,0 60 10 12,09 12,20 12,15 0,63
20,0 83,3 50 1 12,04 12,04 12,04 0,11
16,0 66,7 40 1 11,13 11,14 11,14 0,90
12,0 50,0 30 1 9,95 10,00 9,98 1,16
8,0 33,3 20 1 8,94 8,99 8,97 1,01
4,0 16,7 10 1 7,73 7,81 7,77 1,20
0,0 0,0 0 0 6,58 6,78 6,68 1,09
Pagina 1/2
LT 500 kV AÇAILÂNDIA-PRESIDENTE DUTRA
PLANILHA DE APLICAÇÃO DAS CARGAS E DESLOCAMENTOS
PROVA DE CARGA Nº: 01 Torre 0/3 (ESTAI C)
ÁREA:
396,9cm
2
SOLO:
Tanto o deslocamento máximo (2º Ciclo) =
11,10mm e residual = 6,93mm, satisfazem os
limites impostos pelo procedimento (50 e 25 mm,
respectivamente). Observamos também a
convergência dos deslocamentos. Não
observamos nenhum indicativo de ruptura, sendo
os valores encontrados satisfatórios. Desta forma,
a fundação está apta a exercer seu trabalho sem
prejuízo algum à segurança e desempenho.
SOLO TIPO:
III
Data de Execução da Fundação:
05/05/2002
Data de Execução da Prova de Carga:
25/06/2002
Hora Início:
14:00h
Hora Término:
16:35h
Condições Atmosféricas:
Carga de serviço = 24 tf ; Carga última = 26 tf
Responsável:
Engº Crysthian Purcino
Tempo
(mim)
Deslocamento (mm)
Carga de
Ajuste
Ciclo para carga de ajuste
Ciclos
Carga
(tf)
% Carga Máx.
do Ciclo
Pressão
(kgf/cm²)
ABB
FIGURA
5.17 Planilha de ensaio de arrancamento – Página 1/2.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 80
Leitura E1 Leitura E2 Média EM Desloc.
4,0 16,7 10 2 0,00 0,00 0,00 0,00
8,0 33,3 20 2 1,02 1,03 1,03 1,03
8,0 33,3 20 4 1,02 1,03 1,03 0,00
8,0 33,3 20 6 1,02 1,03 1,03 0,00
8,0 33,3 20 8 1,02 1,03 1,03 0,00
8,0 33,3 20 10 1,02 1,03 1,03 0,00
12,0 50,0 30 0 2,13 2,15 2,14 1,12
12,0 50,0 30 2 2,14 2,15 2,15 0,01
12,0 50,0 30 4 2,14 2,15 2,15 0,00
12,0 50,0 30 6 2,16 2,17 2,17 0,02
12,0 50,0 30 8 2,16 2,17 2,17 0,00
12,0 50,0 30 10 2,16 2,17 2,17 0,00
16,0 66,7 40 0 2,99 3,01 3,00 0,84
16,0 66,7 40 2 2,99 3,01 3,00 0,00
16,0 66,7 40 4 3,01 3,02 3,02 0,01
16,0 66,7 40 6 3,01 3,02 3,02 0,00
16,0 66,7 40 8 3,02 3,03 3,03 0,01
16,0 66,7 40 10 3,02 3,03 3,03 0,00
20,0 83,3 50 0 4,15 4,19 4,17 1,15
20,0 83,3 50 2 4,15 4,20 4,18 0,01
20,0 83,3 50 4 4,16 4,20 4,18 0,00
20,0 83,3 50 6 4,16 4,20 4,18 0,00
20,0 83,3 50 8 4,16 4,22 4,19 0,01
20,0 83,3 50 10 4,16 4,22 4,19 0,00
24,0 100,0 60 0 6,75 6,85 6,80 2,61
24,0 100,0 60 2 8,45 8,57 8,51 1,71
24,0 100,0 60 4 9,59 9,61 9,60 1,09
24,0 100,0 60 6 10,01 10,12 10,07 0,47
24,0 100,0 60 8 10,35 10,73 10,54 0,48
24,0 100,0 60 10 10,90 11,29 11,10 0,56
20,0 83,3 50 1 10,88 11,29 11,09 0,01
16,0 66,7 40 1 10,28 10,80 10,54 0,55
12,0 50,0 30 1 9,30 9,83 9,57 0,97
8,0 33,3 20 1 8,13 8,63 8,38 1,19
4,0 16,7 10 1 6,93 6,93 6,93 1,45
0,0 0,0 0 0 5,14 5,44 5,29 1,64
Pagina 2/2
Pressão
(kgf/cm²)
Ciclo para carga de serviço
Ciclos
Carga
(tf)
% Carga Máx.
do Ciclo
ABB
Tempo
(mim)
Deslocamento (mm)
FIGURA
5.18 Planilha de ensaio de arrancamento – Página 2/2.
Nota: 1 tf 10 kN.
1 kgf/cm
2
0,1 MN/m
2
= 0,1 MPa = 100 kPa
As características do solo onde foi executada a fundação submetida à prova de carga são
determinadas com base em sondagens a trado e/ou SPT. Antes do início do primeiro ciclo
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 81
de cargas é aplicada preliminarmente 10% da carga máxima de projeto (carga de ajuste)
para fins de acomodação inicial de folgas, ajustes e verificações dos equipamentos durante
aproximadamente 1,0 (um) minuto. Todos os deslocamentos passam a ser medidos, para
todos os ciclos de carga a partir dessa referência, isto é, caso necessário pode-se zerar os
medidores de deslocamentos com a carga de ajuste aplicada. As cargas são aplicadas em
estágios sucessivos de 40 kN, até atingir a carga máxima de tração prevista no ciclo de
carga, permanecendo em cada estágio de carga um intervalo de 10 (dez) minutos. Estas
cargas estão especificadas para cada ciclo na Planilha de Aplicação das Cargas e
Deslocamentos, apresentada na Fig. 5.17. As leituras nos medidores de deslocamentos são
anotadas na Planilha de Aplicação das Cargas e Deslocamentos. O valor EM indicado na
planilha é a média dos deslocamentos em cada estágio, lidos nos medidores de
deslocamentos E1 e E2. As leituras de referência para início dos ensaios são feitas 1,0 (um)
minuto após a aplicação da carga de ajuste, desde que tenha havido estabilização. Os
estágios sucessivos de 40 kN são mantidos durante 10,0 (dez) minutos efetuando-se em
cada estágio as leituras dos deslocamentos. O descarregamento é iniciado após a realização
da última leitura de deslocamentos referente à carga máxima de tração prevista no ciclo de
carga e é efetuado continuamente a uma velocidade de aproximadamente 100 kN por
minuto. As leituras são efetuadas em intervalos mínimos de 1,0 (um) minuto.
Neste trabalho, destaque é dado à engenharia de estruturas no contexto específico das
fundações tracionadas de torres estaiadas (fundações dos estais) (Fig. 5.19).
A estrutura de uma torre estaiada apresenta quatro estais, e cada um com uma fundação
correspondente. Cada fundação de estai apresenta dois modos de falha abordados neste
trabalho (deslocamentos máximos excessivos e deslocamentos residuais excessivos). Em
resumo, uma falha em um subsistema estai (por deslocamentos máximos ou residuais
excessivos), implicafalha no subsistema torre, o que resulta na falha do sistema Linha de
Transmissão (Fig. 5.20).
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 82
FIGURA
5.19 Sistema Linha de Transmissão – Região de Atuação deste trabalho
SISTEMA LT
Componentes Elétricos
Componentes Mecânicos
Cabos
Estruturas
Torres
Isoladores
Autoportante
Estaiada
Ferragens
Fundações
Autoportante
Estaiada
Mastros
Estais
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 83
FIGURA
5.20 Árvore de Falha Fundações de Estais
+
FALHA
ESTAI 1
FALHA
ESTAI 2
FALHA
ESTAI 3
FALHA
ESTAI 4
FALHA NA FUNDAÇÃO
+
+
+
+
D
MÁX-EXC
D
RES-EXC
D
MÁX-EXC
D
RES-EXC
D
MÁX-EXC
D
RES-EXC
D
MÁX-EXC
D
RES-EXC
+
Operador “ OU”
D
MÁX-EXC
= Deslocamento Máximo Excessivo
D
RES-EXC
= Deslocamento Residual Excessivo
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 84
5.7 T
RATAMENTO
E
STATÍSTICO
5.7.1 P
ARÂMETROS E
D
ISTRIBUIÇÕES DE
P
ROBABILIDADES
Cada um dos 471 (quatrocentos e setenta e um) ensaios de arrancamento em fundações
gerou planilhas de ensaios correspondentes (Fig. 5.17 e 5.18). De posse destes resultados, o
primeiro passo foi executar a separação dos dados nos três tipos de solo padrão do projeto
em questão sendo então estudados 97 (noventa e sete) ensaios em solo I, 211 (duzentos e
onze) ensaios em solo II e 163 (cento e sessenta e três) ensaios em solo III. Em seguida, de
cada planilha foram extraídos os maiores valores referentes aos deslocamentos máximos e
residuais.
Com a utilização do software MATLAB
, para cada um dos três tipos de solo foram
elaborados histogramas correspondentes a deslocamentos máximos e deslocamentos
residuais. Por inspeção, foram selecionadas algumas distribuições de probabilidade.
O teste de aderência do qui-quadrado foi executado para resolver este problema e definir
uma alternativa por grupo estudado onde havia mais de uma opção encontrada por
inspeção. Além disso, o mesmo teste verificou a validade das distribuições nos grupos onde
por inspeção havia sido definida apenas uma opção. A seguir são expostos os cálculos e
verificações procedentes dos testes realizados.
Para deslocamentos máximos em solo tipo I, por inspeção foi definida apenas a distribuição
Weibull. O teste de aderência do qui-quidrado com nível de significância
α
de 1%
confirmou a escolha conforme mostram os resultados na Tab. 5.5 abaixo.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 85
TABELA
5.5 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Weibull -
Deslocamentos Máximos em
Solo I
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 5 10 18,19 67,076 3,688
5 a 10 39 28,83 103,429 3,588
10 a 15 21 23,41 5,808 0,248
15 a 20 14 14,47 0,221 0,015
20 a 25 4 7,35 11,223 1,527
25 a 30 5 3,17 3,349 1,056
30 a 35 3 1,11 3,572 3,218
35 a 40 1 0,39 0,372 0,954
40 a 45 0 0,08 0,006 0,080
> 45 0 0,00 0,000 0,000
Σ
= 97 97,00 -
14,374
Para
α
= 1%,
c
0.99,9
= 21,7. Como 14,374 < 21,7, então a distribuição weibull é aceita como
representativa dos deslocamentos máximos em solo tipo I e apresentada na Fig. 5.21.
FIGURA
5.21 Distribuição Weibull – Deslocamentos Máximos em Solo Tipo I
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Data
Density
Solo1Max data
Weibull Solo 1 Max
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 86
Para deslocamentos residuais em solo tipo I, por inspeção foi definida apenas a distribuição
exponencial. O teste de aderência do qui-quidrado com nível de significância
α
de 1%
confirmou a escolha conforme mostram os resultados na Tab. 5.6 abaixo.
TABELA
5.6 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Exponencial - Deslocamentos Residuais
em Solo I
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 3 42 41,05 0,903 0,022
3 a 6 25 23,67 1,769 0,075
6 a 9 7 12,94 35,284 2,727
9 a 12 9 7,72 1,638 0,212
12 a 15 6 4,43 2,465 0,556
15 a 18 1 3,04 4,162 1,369
18 a 21 4 1,96 4,162 2,123
21 a 24 2 0,94 1,124 1,195
24 a 27 0 0,77 0,593 0,770
> 27 1 0,48 0,270 0,563
Σ
= 97 97,00 -
9,613
Para
α
= 1%,
c
0.99,9
= 21,7. Como 9,613 < 21,7, então a distribuição exponencial é aceita
como representativa dos deslocamentos residuais em solo tipo I e apresentada na Fig. 5.22.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 87
FIGURA
5.22 Distribuição Exponencial – Deslocamentos Residuais em Solo Tipo I
Para deslocamentos máximos em solo tipo II, por inspeção foi definida apenas a
distribuição Weibull. O teste de aderência do qui-quidrado com nível de significância
α
de
1% confirmou a escolha conforme mostram os resultados na Tab. 5.7 abaixo.
TABELA
5.7 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Weibull -
Deslocamentos Máximos em
Solo II
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 6 26 32,75 45,563 1,391
6 a 9 69 60,53 71,741 1,185
9 a 12 45 39,14 34,340 0,877
12 a 15 25 31,99 48,860 1,527
15 a 18 16 22,88 47,334 2,069
18 a 21 11 14,57 12,745 0,875
21 a 24 6 8,34 5,476 0,657
24 a 27 5 4,32 0,462 0,107
> 27 8 3,16 23,426 7,413
Σ
= 211 217,68 -
16,101
0 5 10 15 20 25
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Data
Density
Solo1Res data
Exponencial Solo1 Res
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 88
Para
α
= 1%,
c
0.99,8
= 20,1. Como 16,101 < 20,1, então a distribuição weibull é aceita como
representativa dos deslocamentos máximos em solo tipo II e apresentada na Fig. 5.23.
FIGURA
5.23 Distribuição Weibull – Deslocamentos Máximos em Solo Tipo II
Para deslocamentos residuais em solo tipo II, por inspeção foram definidas as distribuições
Weibull, gama e exponencial. O teste de aderência do qui-quidrado com nível de
significância
α
de 1% resultou para cada distribuição os valores expostos nas tabelas, Tab.
5.8, 5.9 e 5.10 a seguir.
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Data
Density
Solo2Max data
Weibull Solo 2 Max
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 89
TABELA
5.8 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Weibull -
Deslocamentos Residuais em
Solo II
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 2 74 64,88 83,174 1,282
2 a 4 56 53,90 4,410 0,082
4 a 6 31 36,90 34,810 0,943
6 a 8 12 21,33 87,049 4,081
8 a 10 11 14,36 11,290 0,786
10 a 12 11 8,12 8,294 1,021
12 a 14 10 6,81 10,176 1,494
14 a 16 2 2,87 0,757 0,264
16 a 18 2 1,46 0,292 0,200
> 18 2 0,37 2,657 7,181
Σ
= 211 211,00 -
17,334
TABELA
5.9 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Gama -
Deslocamentos Residuais em
Solo II
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 2 30 41,49 132,020 3,182
2 a 4 100 84,17 250,589 2,977
4 a 6 32 33,84 3,386 0,100
6 a 8 16 20,29 18,404 0,907
8 a 10 6 9,44 11,834 1,254
10 a 12 9 7,35 2,723 0,370
12 a 14 3 3,55 0,303 0,085
14 a 16 7 2,51 20,160 8,032
16 a 18 2 1,73 0,073 0,042
> 18 6 6,63 0,397 0,060
Σ
= 211 211,00 -
17,009
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 90
TABELA
5.10 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Exponencial - Deslocamentos
Residuais em Solo II
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 4 119 132,07 170,825 1,293
4 a 6 36 31,04 24,602 0,793
6 a 8 14 14,76 0,578 0,039
8 a 10 10 11,02 1,040 0,094
10 a 12 10 9,98 0,000 0,000
12 a 14 9 6,74 5,108 0,758
14 a 16 6 2,03 15,761 7,764
16 a 18 3 1,98 1,040 0,525
> 18 4 1,38 6,864 4,974
Σ
= 211 211,00 -
16,241
Para
α
= 1%,
c
0.99,8
= 20,1. Das tabelas 5.8, 5.9 e 5.10, Como 16,241 < 17,009 < 17,334 <
20,1, então a distribuição exponencial é escolhida e aceita como representativa dos
deslocamentos residuais em solo tipo II e apresentada na Fig. 5.24.
FIGURA
5.24 Distribuição Exponencial – Deslocamentos Residuais em Solo Tipo II
0 5 10 15 20 25
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Data
Density
Solo2Res data
Exponencial Solo 2 Res
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 91
Para deslocamentos máximos em solo tipo III, por inspeção foi definida apenas a
distribuição lognormal. O teste de aderência do qui-quidrado com nível de significância
α
de 1% confirmou a escolha conforme mostram os resultados na Tab. 5.11 abaixo.
TABELA
5.11 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Lognormal - Deslocamentos Máximos
em Solo III
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 4 5 5,86 0,740 0,126
4 a 6 22 25,84 14,746 0,571
6 a 8 32 35,18 10,112 0,287
8 a 10 34 31,31 7,236 0,231
10 a 12 24 23,05 0,902 0,039
12 a 14 14 15,47 2,161 0,140
14 a 16 13 9,90 9,610 0,971
16 a 18 10 6,19 14,516 2,345
18 a 20 1 3,84 8,066 2,100
20 a 22 2 2,37 0,137 0,058
22 a 24 4 1,47 6,401 4,354
> 24 2 2,52 0,270 0,107
Σ
= 163 163,00 -
11,330
Para
α
= 1%,
c
0.99,11
= 24,7. Como 11,330 < 24,7, então a distribuição lognormal é aceita
como representativa dos deslocamentos máximos em solo tipo III e apresentada na Fig.
5.25.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 92
FIGURA
5.25 Distribuição Lognormal – Deslocamentos Máximos em Solo Tipo III
Para deslocamentos residuais em solo tipo III, por inspeção foram definidas as distribuições
Weibull, lognormal e exponencial. O teste de aderência do qui-quidrado com nível de
significância
α
de 1% resultou para cada distribuição os valores expostos nas tabelas, Tab.
5.12, 5.13 e 5.14 a seguir.
TABELA
5.12 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Weibull - Deslocamentos Residuais
em Solo III
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 2 57 60,85 14,823 0,244
2 a 4 43 40,92 4,326 0,106
4 a 6 24 25,43 2,045 0,080
6 a 8 12 15,30 10,890 0,712
8 a 10 11 9,03 3,881 0,430
10 a 12 5 5,25 0,063 0,012
12 a 14 6 3,02 8,880 2,941
14 a 16 1 1,72 0,518 0,301
16 a 18 2 0,97 1,061 1,094
> 18 2 0,51 2,220 4,353
Σ
= 163 163,00 -
10,272
5 10 15 20 25
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Data
Density
Solo3M ax data
Lognormal Solo 3 Max
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 93
TABELA
5.13 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Lognormal - Deslocamentos Residuais
em Solo III
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 2 57 74,23 296,873 3,999
2 a 4 43 38,80 17,640 0,455
4 a 6 24 20,27 13,913 0,686
6 a 8 12 11,06 0,884 0,080
8 a 10 11 6,56 19,714 3,005
10 a 12 5 4,14 0,740 0,179
12 a 14 6 3,09 8,468 2,740
14 a 16 1 1,32 0,102 0,078
16 a 18 2 1,88 0,014 0,008
> 18 2 1,65 0,123 0,074
Σ
= 163 163,00 -
11,304
TABELA
5.14 Teste do Qui-Quadrado Distribuição Exponencial - Deslocamentos
Residuais em Solo III
Deslocamento
(mm)
Frequência Observada (n
i
)
Frequência Teórica
(e
i
)
(n
i
- e
i
)
2
(n
i
- e
i
)
2
/e
i
< 2 57 63,12 37,454 0,593
2 a 4 43 40,43 6,605 0,163
4 a 6 24 23,39 0,372 0,016
6 a 8 12 14,24 5,018 0,352
8 a 10 11 8,67 5,429 0,626
10 a 12 5 5,28 0,078 0,015
12 a 14 6 3,21 7,784 2,425
14 a 16 1 1,96 0,922 0,470
16 a 18 2 1,51 0,240 0,159
> 18 2 1,19 0,656 0,551
Σ
= 163 163,00 -
5,372
Para
α
= 1%,
c
0.99,9
= 21,7. Das tabelas 5.12, 5.13 e 5.14, Como 5,372 < 10,272 < 11,304 <
21,7, então a distribuição exponencial é escolhida e aceita como representativa dos
deslocamentos residuais em solo tipo III e apresentada na Fig. 5.26.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 94
FIGURA
5.26 Distribuição Exponencial – Deslocamentos Residuais em Solo Tipo III
5.7.2 C
OVARIÂNCIA E
C
ORRELAÇÃO ENTRE OS
M
ODOS DE
F
ALHA
Duas funções de desempenho
g
1
(X)
e
g
2
(X)
são definidas para representar os dois modos de
falha avaliados neste trabalho para cada fundação.
O modo de falha relativo a deslocamentos máximos superiores ao deslocamento máximo
admissível de 50 mm é representado na Eq. 5.1.
g
1
(D
MÁX
) = 50 - D
MÁX
(
5.1
)
E o modo de falha relativo a deslocamentos residuais superiores ao deslocamento residual
admissível de 25 mm é representado na Eq. 5.2.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Data
Density
Solo3Res data
Expoenencial Solo 3 Res
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 95
g
2
(D
RES
) = 25 – D
RES
(
5.2
)
Nas quais valores de
g
1
(D
MÁX
)
e
g
2
(D
RES
)
inferiores a zero indicam a falha do subsistema.
Para cada tipo de solo foram elaborados os cálculos correspondentes apresentados nas
tabelas: 5.15, 5.16 e 5.17 para solos tipo I, II e III, respectivamente.
TABELA
5.15 Planilha de Cálculo para Covariância e Correlação Solo Tipo I
DADOS
g
1
(D
MÁX
) g
2
(D
RES
) (D
MÁX
-Média)
2
(D
MÍN
-Média)
2
D
MÁX
X D
RES
1 37,53 15,97 1408,50 255,04 599,35
2 24,29 6,83 590,00 46,65 165,90
3 32,40 11,59 1049,76 134,33 375,52
4 33,07 10,90 1093,62 118,81 360,46
5 31,48 14,81 990,99 219,34 466,22
6 42,71 21,25 1824,14 451,56 907,59
7 47,18 23,86 2225,95 569,30 1125,71
8 48,09 25,00 2312,65 625,00 1202,25
9 39,96 21,76 1596,80 473,50 869,53
10 46,48 24,94 2160,39 622,00 1159,21
...
...
...
...
...
...
95 40,00 20,00 1600,00 400,00 800,00
96 45,00 24,00 2025,00 576,00 1080,00
97
45,00 24,00
2025,00 576,00 1080,00
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 96
TABELA
5.16 Planilha de Cálculo para Covariância e Correlação Solo Tipo II
DADOS
g
1
(D
MÁX
) g
2
(D
RES
) (D
MÁX
-Média)
2
(D
MÍN
-Média)
2
D
MÁX
X D
RES
1 44,12 23,85 1946,57 568,82 1052,26
2 39,77 21,85 1581,65 477,42 868,97
3 44,92 24,52 2017,81 601,23 1101,44
4 16,77 5,55 281,23 30,80 93,07
5 30,13 10,86 907,82 117,94 327,21
6 43,59 23,77 1900,09 565,01 1036,13
7 39,06 18,63 1525,68 347,08 727,69
8 39,45 18,47 1556,30 341,14 728,64
9 42,45 20,65 1802,00 426,42 876,59
10 41,20 21,25 1697,44 451,56 875,50
...
...
...
...
...
...
209 43,00 23,00 1849,00 529,00 989,00
210 44,00 24,00 1936,00 576,00 1056,00
211
44,00 24,00
1936,00 576,00 1056,00
TABELA
5.17 Planilha de Cálculo para Covariância e Correlação Solo Tipo III
DADOS
g
1
(D
MÁX
) g
2
(D
RES
) (D
MÁX
-Média)
2
(D
MÍN
-Média)
2
D
MÁX
X D
RES
1 36,54 17,04 12,81 15,45 622,64
2 41,14 21,05 1,04 0,01 866,00
3 39,72 19,39 0,16 2,50 770,17
4 39,58 18,51 0,29 6,05 732,63
5 32,52 12,40 57,75 73,45 403,25
6 27,93 8,70 148,58 150,56 242,99
7 38,90 18,07 1,49 8,41 702,92
8 43,03 23,36 8,47 5,71 1005,18
9 35,90 16,16 17,80 23,14 580,14
10 37,62 17,76 6,25 10,31 668,13
...
...
...
...
...
...
161 42,00 21,00 1764,00 441,00 882,00
162 41,00 21,00 1681,00 441,00 861,00
163
41,00 20,00
1681,00 400,00 820,00
A Tab. 5.18 apresenta um resumo dos resultados apresentados nas tabelas 5.15 a 5.17.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 97
TABELA
5.18 Covariância e Correlação Modos de Falha Fundação
TIPO
DE
SOLO
Tamanho
da
amostra
(n)
Média
g
1
(D
MÁX
)
Desvio
g
1
(D
MÁX
)
Média
g
2
(D
RES
)
Desvio
g
2
(D
RES
)
Cov
[g
1
(D
MÁX
),
g
2
(D
RES
)]
ρ
ρρ
ρ
[g
1
(D
MÁX
),
g
2
(D
RES
)]
I
97 38,52 7,62 19,66 5,81 36,55 0,83
II
211 38,80 6,52 20,08 4,40 24,11 0,84
III
163 40,12 4,67 20,97 3,97 15,22 0,82
A correlação entre os modos de falha foi aproximadamente o mesmo valor para os três
tipos de solo. A correlação próxima da unidade em valor positivo indica que estes valores
apresentam correlação positiva e que estão próximas de perfeitamente correlacionadas (
ρ
=
1,0). Esta correlação positiva e próxima da unidade pode ser melhor visualizada através das
figuras (Fig. 5.27, para solo tipo I, Fig. 5.28, para solo tipo II e Fig. 5.29, para solo tipo III).
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 98
CORRELAÇÃO MODOS DE FALHA
DESLOCAMENTOS MÁXIMOS E RESIDUAIS
SOLO TIPO I
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00
Deslocamentos Máximos
Deslocamentos Residuais
FIGURA
5.27 Correlação Modos de Falha – Solo Tipo I
CORRELAÇÃO MODOS DE FALHA
DESLOCAMENTOS MÁXIMOS E RESIDUAIS
SOLO TIPO II
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00
Deslocamentos Máximos
Deslocamentos Residuais
FIGURA
5.28 Correlação Modos de Falha – Solo Tipo II
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 99
CORRELAÇÃO MODOS DE FALHA
DESLOCAMENTOS MÁXIMOS E RESIDUAIS
SOLO TIPO III
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00
Deslocamentos Máximos
Deslocamentos Residuais
FIGURA
5.29 Correlação Modos de Falha – Solo Tipo III
5.8 P
ROBABILIDADE DE
F
ALHA DAS
F
UNDAÇÕES
Conforme visto no capítulo 4, a probabilidade de falha foi calculada com base nos
conceitos de Confiabilidade de Sistemas. Constatada a correlação positiva, como passo
inicial as probabilidades de falha foram calculadas a partir do limite uni-modal.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 100
5.8.1 F
ALHA NO
S
UBSISTEMA
E
STAI
Tomando por base a árvore de falha geral, apresentada anteriormente na Fig. 5.20, será
avaliada como primeiro passo a probabilidade de falha do subsistema estai (Fig. 5.30). O
subsistema estai falhará se ocorrer:
g
1
(D
MÁX
) = 50 - D
MÁX
< 0
(
5.3
)
ou
g
2
(D
RES
) = 25 – D
RES
< 0
(
5.4
)
N = 1, 2, 3 e 4.
FIGURA
5.30 Falha Subsistema Estai
A seguir na Tab. 5.19, apresentam-se os resultados referentes às probabilidades de falha
calculadas para deslocamentos máximos excessivos. As distribuições de probabilidade
+
FALHA
ESTAI 1
D
MÁX-EXC
D
RES-EXC
N
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 101
assumidas são limitadas pelo valor admissível para deslocamentos máximos de 50 mm e a
probabilidade de falha - P (D
Máx
> 50 mm) é calculada para este limite.
Nesta mesma tabela (Tab. 5.19), apresentam-se os resultados referentes às probabilidades
de falha calculadas para deslocamentos residuais excessivos. As distribuições de
probabilidade assumidas são limitadas pelo valor admissível para deslocamentos residuais
de 25 mm e a probabilidade de falha - P (D
Res
> 25 mm) é calculada para este limite.
TABELA
5.19 Probabilidade de Falha por Modo de Falha
SOLO DISTRIBUIÇÃO
P(D
Máx
> 50 mm) P(D
Res
> 25 mm)
Weibull 1,10 E-04 -
I
Exponencial - 1,05 E-03
Weibull 1,00 E-06 -
II
Exponencial - 6,22 E-03
Lognormal 9,00 E-06 -
III
Exponencial - 2,02 E-03
Em relação ao solo tipo I, a probabilidade de falha por deslocamentos máximos excessivos
é da ordem de 10 (dez) vezes inferior à probabilidade de falha por deslocamentos residuais
excessivos. Já em relação aos solos tipos II e III, a probabilidade de falha por
deslocamentos máximos excessivos é da ordem de 1000 (mil) vezes inferior à
probabilidade de falha por deslocamentos residuais excessivos.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 102
5.8.2 F
ALHA EM UMA
F
UNDAÇÃO DE
T
ORRE
E
STAIADA
Segundo a Eq. 4.24, aplicando o limite uni-modal e combinando as probabilidades de falha
para deslocamentos máximos e residuais excessivos para cada tipo de solo, são obtidos os
seguintes valores para probabilidade de falha em cada fundação de estai conforme mostrado
na Tab. 5.20. Os limites inferiores apresentam as probabilidades de falhas para variáveis
perfeitamente correlacionadas e os limites superiores apresentam as probabilidades de
falhas para variáveis estatisticamente independentes.
TABELA
5.20 Probabilidade de Falha de cada Fundação de Estai
SOLO INTERVALO UNI-MODAL
I
1,050 E-03 < P
f
< 1,160 E-03
II
6,220 E-03 < P
f
< 6,221 E-03
III
2,020 E-03 < P
f
< 2,029 E-03
Por se tratar de sistema em série, pode ser verificada pelas grandezas envolvidas que o
modo de falha deslocamento residual excessivo é dominante o que justifica a utilização do
limite uni-modal adotado para cálculo dos limites de probabilidades de falha.
5.8.3 F
ALHA
N
AS
F
UNDAÇÕES DOS
E
STAIS DE
U
MA
T
ORRE
E
STAIADA
Cada estai possui uma fundação tracionada que possui dois modos de falha avaliados neste
trabalho. Cada torre estaiada apresenta por sua vez quatro estais.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 103
Tomando por base a árvore de falha geral, apresentada anteriormente na Fig. 5.20 e a partir
dos resultados obtidos no item anterior, será avaliada a probabilidade de falha nas
fundações de uma torre estaiada (Fig. 5.31).
FALHA
ESTAI 1
FALHA
ESTAI 2
FALHA
ESTAI 3
FALHA
ESTAI 4
FALHA NA FUNDAÇÃO
+
FIGURA
5.31 Falha nas Fundações dos Estais
Segundo a Eq. 4.24, aplicando o limite uni-modal e combinando as probabilidades de falha
de cada fundação de estai para cada tipo de solo, são obtidos os seguintes valores para
probabilidade de falha nas fundações dos estais de uma torre estaiada, para modos de falha
perfeitamente correlacionados conforme mostrado na Tab. 5.21 e para modos de falha
estatisticamente independentes conforme mostrado na Tab. 5.22.
Na Tab. 5.21, para modos de falha de deslocamentos máximos e residuais excessivos
perfeitamente correlacionados, os limites inferiores apresentam as probabilidades de falhas
para todas as fundações dos estais perfeitamente correlacionadas e os limites superiores
apresentam as probabilidades de falhas para todas as fundações dos estais estatisticamente
independentes.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 104
TABELA
5.21 Probabilidade de Falha nas Fundações dos Estais
Modos de Falha Perfeitamente Correlacionados
SOLO INTERVALO UNI-MODAL
I
1,050 E-03 < P
f
< 1,160 E-03
II
6,220 E-03 < P
f
< 6,221 E-03
III
2,020 E-03 < P
f
< 2,029 E-03
Na Tab. 5.22, para modos de falha de deslocamentos máximos e residuais excessivos
estatisticamente independentes, os limites inferiores apresentam as probabilidades de falhas
para todas as fundações dos estais perfeitamente correlacionadas e os limites superiores
apresentam as probabilidades de falhas para todas as fundações dos estais estatisticamente
independentes.
TABELA
5.22 Probabilidade de Falha nas Fundações dos Estais
Modos de Falha Estatisticamente Independentes
SOLO INTERVALO UNI-MODAL
I
4,193 E-03 < P
f
< 4,631 E-03
II
2,465 E-02 < P
f
< 2,465 E-02
III
8,056 E-03 < P
f
< 8,091 E-03
Por se tratar de sistema em série, pode ser confirmado que pelas grandezas envolvidas, o
modo de falha deslocamento residual excessivo é dominante o que justifica a utilização do
limite uni-modal adotado para cálculo dos limites de probabilidades de falha.
Como resumo das probabilidades de falha de fundações de torres estaiadas é apresentado a
Tab. 5.23 que é a combinação dos limites apresentados nas tabelas Tab 5.21 e Tab. 5.22.
Avaliação Probabilística de Deslocamentos de Fundações de Linhas de Transmissão 105
TABELA
5.23 Probabilidade de Falha nas Fundações dos Estais
SOLO INTERVALO UNI-MODAL
I
1,050 E-03 < P
f
< 4,631 E-03
II
6,220 E-03 < P
f
< 2,465 E-02
III
2,020 E-03 < P
f
< 8,091 E-03
A partir dos valores apresentados na Tab. 5.23, é verificado que os limites estão muito
espaçados. Apesar da evidente presença de um modo de falha dominante isto já justificaria
um novo trabalho calculando as probabilidades de falha através de limites bi-modais. Além
do mais, sabemos que o Sistema LT (Fig. 5.19) apresenta vários componentes sujeitos a
falha e quando for combinados todos os modos de falha estas amplitudes devem ser levadas
em conta. Desta forma, algumas recomendações de trabalhos futuros citadas adiante se
justificam levando em conta limites bi-modais e uma avaliação de mais componentes do
sistema.
Sumário, Conclusões e Recomendações 106
6
S
UMÁRIO
, C
ONCLUSÕES E
R
ECOMENDAÇÕES
6.1
S
UMÁRIO E
C
ONCLUSÕES
No Sistema de Interligação Norte-Nordeste foram executados 471 (quatrocentos e setenta e
um) ensaios de arrancamento em fundações tracionadas de torres estaiadas como critério de
aprovação das fundações. Os limites adotados a partir da experiência dos profissionais
envolvidos no projeto foram fixos e invariáveis.
O fato é que os resultados destes experimentos quando melhor explorados e avaliados em
conjunto fornecem informações mais consistentes a respeito do empreendimento do que
uma simples avaliação pontual.
Sumário, Conclusões e Recomendações 107
O objetivo do presente trabalho foi exatamente definir a probabilidade de falha das
fundações estaiadas deste sistema a partir dos resultados de deslocamentos máximos e
residuais obtidos nos ensaios.
Inicialmente os dados dos ensaios foram separados em seis grupos (deslocamentos
máximos e residuais para solos tipo I, II e III). Conjuntamente à separação dos dados, foi
conduzido um aprofundamento teórico de projeto de Linha de Transmissão e dos conceitos
e métodos de Confiabilidade Estrutural. Em seguida, para cada grupo foram plotados
histogramas e por simples inspeção associadas distribuições de probabilidade
correspondentes. Alguns grupos apresentaram mais de uma alternativa possíveis
visualmente. Para sanar este impasse foi aplicado o teste de aderência do qui-quadrado e
associada a cada grupo uma distribuição de probabilidade. A partir destas distribuições
foram feitas as estimativas de parâmetros e calculadas as covariâncias e correlações entre
modos de falha e entre as variáveis envolvidas. Em seguida, a partir dos limites fixos
propostos foram definidas as probabilidades de falha para cada modo de falha e cada tipo
de solo. A partir dos valores anteriores e da formulação de limites uni-modais foram
calculadas as probabilidades de falha para cada fundação de estai e depois combinados os
valores para definição da probabilidade de falha das fundações de todos os estais.
Os dois modos de falha de cada estai, deslocamentos máximos e residuais excessivos,
apresentaram correlação positiva (
ρ
= 0,83, 0,84 e 0,82., para solos tipo I, II e III,
respectivamente), indicando que conhecendo o valor de um o outro pode ser encontrado
diretamente. As figuras Fig. 5.27, 5.28 e 5.29 indicam visualmente esta correlação entre as
variáveis.
O limite uni-modal foi utilizado para definição da probabilidade de falha apresentando
limites inferiores para variáveis perfeitamente correlacionadas e limites superiores para
variáveis estatisticamente independentes. O modo de falha deslocamento residual excessivo
foi claramente identificado como dominante e sendo a princípio aceitável o limite uni-
modal neste estudo.
Sumário, Conclusões e Recomendações 108
Um fato a ser destacado é a excessiva importância dada em campo aos valores de
deslocamentos máximos, uma vez que foi constatado neste trabalho que os deslocamentos
residuais são dominantes para a determinação das probabilidades de falha. Diante deste
domínio, surge também o questionamento de que o limite para deslocamentos residuais
possa estar muito rigoroso. Em novos empreendimentos, uma melhor avaliação deste limite
deverá ser levada em conta.
Valores de probabilidade de falha da ordem de E-03 são comuns para outros componentes
estruturais já estudados em outros sistemas, sendo considerados satisfatórios em ordem de
grandeza os valores encontrados.
As probabilidades de falha encontradas são referentes à falha de fundações de estais em três
tipos de solo padronizados para este empreendimento. Os valores variaram entre
1,050 E-03 e 4,631 E-03 para solo tipo I, 6,220 E-03 e 2,465 E-02 para solo tipo II e 2,020
E-03 e 8,091 E-03 para solo tipo III. Os limites inferiores são para variáveis perfeitamente
correlacionadas e os limites superiores para variáveis estatisticamente independentes.
O sistema LT possui componentes mecânicos e componentes elétricos que com o
conhecimento de suas probabilidades de falha combinadas aos valores aqui encontrados
acarretará na definição da probabilidade de falha do sistema LT.
A partir das constatações e conclusões precedentes alguns trabalhos interessantes serão
propostos como conseqüência deste primeiro passo.
Sumário, Conclusões e Recomendações 109
6.2
R
ECOMENDAÇÕES PARA
F
UTUROS
T
RABALHOS
Segue lista de recomendações e sugestões de novos trabalhos:
- Avaliação probabilística dos dados de ensaios com determinação de distribuições
de probabilidade para os deslocamentos das fundações (máximos e residuais),
comparada a distribuições de probabilidade dos valores limites para os
deslocamentos (máximos e residuais);
- Verificar probabilidades de falha adotando limites bi-modais para comparação
com os limites uni-modais adotados neste trabalho;
- Realização de um estudo mais amplo de Confiabilidade Estrutural do Sistema LT,
levando em consideração falha nos cabos, ferragens, isoladores, torres, fundações de
torres autoportantes e mastros;
- Avaliação dos custos envolvidos ao longo da vida útil do sistema com vista à
tomada de decisão dentre diversas oportunidades de investimentos;
- Utilizar simulação de Monte Carlo para a verificação da probabilidade de falha.
Referências Bibliográficas 110
R
EFERÊNCIAS
B
IBLIOGRÁFICAS
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Apêndice 114
A
PÊNDICE
C
ONCEITOS
B
ÁSICOS DE
P
ROBABILIDADE E
E
STATÍSTICA
I
NTRODUÇÃO
Métodos quantitativos de modelagem, análises e avaliação são ferramentas da Engenharia
moderna. Alguns destes métodos são bem elaborados e incluem sofisticados cálculos
matemáticos, simulações computacionais e técnicas de otimização. Contudo,
independentemente do nível de sofisticação dos modelos, são adicionados os modelos
experimentais de laboratório, os quais se apresentam para idealizar hipóteses e condições;
em conseqüência, as informações provindas destes modelos poderão refletir a realidade
rigorosamente ou não.
No desenvolvimento dos projetos de engenharia, freqüentemente tomam-se decisões a
despeito do grau de totalidade e qualidade da informação disponível. Portanto, estas
decisões são formuladas sob condições de incerteza, no sentido de que a conseqüência de
uma tomada de decisão não pode ser determinada com total confiança.
Apêndice 115
E
VENTOS
Muitos problemas em engenharia envolvem processos e fenômenos naturais inerentemente
aleatórios. Por esses motivos, decisões requeridas nos processos de planejamento e projeto
são tomadas sob condições de incerteza. Fenômenos aleatórios são caracterizados por
observações experimentais que são invariavelmente diferentes de um experimento para
outro (mesmo quando executados sob condições aparentemente idênticas). Existe
usualmente uma faixa de valores medidos ou observados. Dentro desta faixa, alguns
valores podem ocorrer com maior freqüência que outros. Ou seja, ao contrário do conceito
determinístico onde se considera uma única possibilidade, existe mais de uma possibilidade
da ocorrência de um evento em relação a outros eventos.
Neste contexto, os problemas probabilísticos são quantificados como a medida da
possibilidade de ocorrência de um evento em relação a eventos alternativos. A formulação
de um problema probabilístico consiste na identificação do conjunto de todas as
possibilidades, ou seja, o espaço de possibilidades (
Possibility Space
) do evento de
interesse.
Em relação aos problemas probabilísticos, as seguintes características são observadas:
- Todo problema é definido com referência a um espaço de possibilidades específico
(que contém mais de uma possibilidade). Os eventos compreendem uma ou mais
possíveis ocorrências neste espaço de possibilidades;
- A probabilidade de um evento depende das probabilidades dos resultados
individuais em um dado espaço de possibilidades, e pode ser deduzida a partir das
possibilidades dos resultados básicos.
Apêndice 116
Um critério para estabelecer “ medidas de probabilidade” dos vários resultados
possíveis é necessário para calcular a probabilidade de um evento. Isto pode ser
feito da seguinte forma:
- Com base em condições anteriores, ou através de deduções a partir de hipóteses;
- Com base em observações experimentais;
- Com base em condições anteriores e observações experimentais.
M
ATEMÁTICA DA
P
ROBABILIDADE
R
EGRA DA
A
DIÇÃO
Para todo evento
E
em um espaço amostral
S
, existe uma probabilidade:
(
)
0≥EP
(
A.1 )
Em segundo lugar, a probabilidade do evento certo S é:
(
)
0,1=EP
(
A.2 )
Apêndice 117
Dados E
1
e E
2
dois eventos distintos quaisquer. Eventos são ditos mutuamente exclusivos
quando, por exemplo, a ocorrência do evento E
1
impede a ocorrência do evento E
2
, ou seja,
a interseção entre os dois conjuntos resulta em evento impossível (E
1
∩E
2
=
φ
).
Finalmente, a regra da adição para dois eventos E
1
e E
2
que são mutuamente exclusivos:
(
)
(
)
(
)
2121
EPEPEEP +=
(
A.3 )
A Eq. A.3 pode ser generalizada caso os eventos E
1
e E
2
não sejam mutuamente exclusivos,
então:
(
)
(
)
(
)
(
)
212121
EEPEPEPEEP −+=
(
A.4 )
P
ROBABILIDADE
C
ONDICIONAL
A probabilidade de um evento pode depender da ocorrência (ou não ocorrência) de um
outro evento. Caso esta dependência exista, a probabilidade associada é denominada
“ probabilidade condicional”.
FIGURA
A.1 Diagrama de Venn de dois conjuntos “ E
1
” e “ E
2
”.
1.1.1.a.1
1.1.1.a.2
E
1
E
2
E
1
∩
E
2
Apêndice 118
No espaço amostral da Fig. A.1 acima, a probabilidade de E
1
ocorrer dado que E
2
tenha
ocorrido é expressa por
(
)
21
| EEP
.
A probabilidade de E
1
estar contido em E
2
, ou seja, a probabilidade de E
1
ocorrer em um
novo espaço amostral definido por E
2
. Logo, obtém-se a probabilidade condicional de E
1
na
ocorrência de E
2
como:
( )
(
)
( )
2
21
21
|
EP
EEP
EEP
=
(
A.5 )
A probabilidade condicional é simplesmente uma generalização da probabilidade de um
evento. Quando se fala da probabilidade de um evento E, isto está implicitamente
condicionado no espaço amostral S. De forma mais explícita, pode-se escrever
(
)
EP como
segue:
( )
(
)
( )
( )
EP
SP
SEP
SEP ==
|
(
A.6 )
onde ESE
=
e
(
)
0,1=SP
.
Em outras palavras, condicionamento no espaço amostral S é presumido estar implícito,
contudo, quando a probabilidade é condicionada em um outro evento que não seja o espaço
amostral original, o reconstituído espaço amostral deve ser feito explicitamente.
Apêndice 119
R
EGRA DA
M
ULTIPLICAÇÃO
A probabilidade do evento interseção
21
EE
é obtida a partir da Eq. A.5 daí resultando:
(
)
(
)
(
)
22121
| EPEEPEEP ×=
(
A.7 )
(
)
(
)
(
)
11221
| EPEEPEEP ×=
(
A.8 )
Para E
1
e E
2
estatisticamente independentes, resulta:
(
)
(
)
(
)
2121
EPEPEEP ×=
(
A.9 )
T
EOREMA DA
P
ROBABILIDADE
T
OTAL
Às vezes a probabilidade de um evento A não pode ser determinada diretamente. Contudo,
sua ocorrência é sempre acompanhada de outros eventos
i
E , i = 1, 2, ..., n, de modo que a
probabilidade de A dependerá de qual dos eventos
i
E ocorreu. Em tais casos, a
probabilidade será uma probabilidade esperada (a média ponderada das probabilidades de
i
E
). Na resolução de tais problemas o Teorema da Probabilidade Total é necessário.
Dois ou mais eventos são coletivamente exaustivos se a união destes constitui o espaço
amostral em questão.
Apêndice 120
Considere-se n eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos
1
E ,
2
E , ...,
n
E ;
tais que, SEEE
n
= ...
21
. Logo, caso A também seja um evento no espaço amostral
conforme Fig. A.2, tem-se:
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
nn
EAEAEAEEEASAA ......
2121
===
(
A.10
)
Onde:
1
EA
,
2
EA
, ...,
n
EA
, também são mutuamente exclusivos como se pode
comprovar no seguinte diagrama de Venn com quatro eventos:
FIGURA
A.2 Diagrama de Venn: A e E
1
, E
2
, ..., E
n
.
Logo,
(
)
(
)
(
)
(
)
n
EAPEAPEAPAP +++= ...
21
(
A.11
)
E em virtude da regra da multiplicação, obtém-se o Teorema da Probabilidade Total:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
nn
EPEAPEPEAPEPEAPAP ×++×+×= |...||
2211
(
A.12
)
Esta regra também pode ser escrita em relação a um evento condicional, ou seja, para este
caso a probabilidade total será:
A
E
1
E
2
E
3
E
4
Apêndice 121
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
BEPBEAP
BEPBEAPBEPBEAPBAP
nn
||
...|||||
2211
×+
+×+×=
(
A.13
)
E
STATÍSTICA
A
PLICADA NA DESCRIÇÃO DAS
V
ARIÁVEIS
A
LEATÓRIAS
Em engenharia muitos fenômenos aleatórios de interesse são associados aos resultados
numéricos de alguma grandeza física. Portanto, pode-se identificar numericamente os
possíveis resultados de um fenômeno desta natureza. Em um projeto estrutural pode ser
dito que a maioria das variáveis é aleatória, senão todas. Dispersões podem ser constatadas
nas dimensões dos elementos estruturais e até nas propriedades mecânicas. Desta forma,
sempre haverá uma probabilidade finita de ocorrerem falhas.
Torna necessária a avaliação do modo de variação de cada uma das variáveis, sendo
definido um intervalo possível de valores no qual as variáveis possam assumir qualquer
valor. Diante do exposto, para caracterizar uma variável aleatória, é necessário definir seu
valor médio, medida de dispersão e respectiva distribuição de probabilidades. A seguir é
apresentado o conceito das funções básicas de distribuição de probabilidade.
Apêndice 122
D
ISTRIBUIÇÕES DE
P
ROBABILIDADE
De forma geral, as funções básicas a se considerar na análise de confiabilidade estrutural
são as funções densidade de probabilidade (FDP) e as funções cumulativas de
probabilidade (FCP). Essas funções avaliam, respectivamente, a probabilidade de que a
variável assuma um valor dentro de um intervalo pré-definido e de que a variável assuma
um valor menor ou igual a um valor de referência. Estas funções de probabilidade são
expressas da seguinte maneira:
FDP
( ) ( )
=≤≤
b
a
X
dxxfbXaP
(
A.14
)
FCP
( ) ( )
∞−
=
a
XX
dxxfaF
(
A.15
)
onde
X
é a variável aleatória,
a
e
b
são os limites do intervalo considerado,
(
)
xf
X
é a
função densidade de probabilidade e
(
)
aF
X
é a função cumulativa de probabilidade.
No contexto de espaços amostrais, grandezas são utilizadas na descrição de variáveis
aleatórias e estas são descritas como a seguir:
Apêndice 123
- Média, valor médio ou esperado: no intervalo considerado, este é o valor mais
provável que a variável aleatória poderá assumir.
( ) ( )
∞
∞−
== dxxxfXE
XX
µ
(
A.16
)
- Variância: mede a dispersão dos valores da variável em torno da média.
( ) ( ) ( )
∞
∞−
−= dxxfxXVar
XX
2
µ
(
A.17
)
- Desvio Padrão: também mede a dispersão dos valores da variável em torno da
média.
(
)
XVar
X
=
σ
(
A.18
)
Torna-se complicado definir com base apenas na variância ou no desvio padrão se é grande
ou pequena a dispersão. No intuito de resolver este impasse, torna-se mais eficaz a
utilização de uma medida relativa da dispersão para o valor central. Surge a idéia de
coeficiente de variação como mostrado a seguir.
- Coeficiente de Variação: este coeficiente adimensional mede a dispersão dos
valores da variável em relação à média de forma adimensional.
Apêndice 124
X
X
X
µ
σ
δ
=
(
A.19
)
Uma outra propriedade útil de uma variável aleatória é a existência ou falta de simetria da
distribuição de probabilidade, o grau associado e a direção da assimetria. Uma medida
desta assimetria é o terceiro momento, ou
( ) ( ) ( )
∞
∞−
−=− dxxfxXE
iXXiX
33
µµ
(
A.20
)
Observa-se que
(
)
3
X
XE
µ
−
será zero quando a distribuição de probabilidade for simétrica
em relação à
X
µ
; caso contrário esta poderá ser positiva ou negativa. A assimetria de uma
variável aleatória poderá ser designada como positiva ou negativa de acordo com o sinal do
terceiro momento
(
)
3
X
XE
µ
−
e a magnitude deste corresponde ao grau de simetria. Uma
conveniente medida adimensional da assimetria se dá com o coeficiente de assimetria
formulado a seguir:
(
)
3
3
X
X
XE
σ
µ
θ
−
=
(
A.21
)
V
ARIÁVEIS
A
LEATÓRIAS
M
ÚLTIPLAS
Segundo ANG e TANG (1975), o conceito de uma variável aleatória e sua distribuição de
probabilidade pode ser ampliado para duas ou mais variáveis aleatórias.
Apêndice 125
D
ISTRIBUIÇÃO DE
P
ROBABILIDADE
C
ONDICIONAL E
C
ONJUNTA
Os valores de
X
e
Y
representam eventos. Existem probabilidades associadas com alguns
pares de valores de
x
e
y
; a probabilidade para todos os possíveis pares pode ser descrita
com a função distribuição conjunta das variáveis aleatórias
X
e
Y
, definida como:
(
)
(
)
yYxXPyxF
YX
≤≤= ,,
,
(
A.22
)
Que é a probabilidade acumulada da ocorrência conjunta dos eventos identificados por
X
<
x
e
Y
<
y
. Para isso, a Função Distribuição Conjunta (FDC) deverá satisfazer o seguinte:
(a)
(
)
0,
,
=−∞∞−
YX
F
;
(
)
0,1,
,
=∞∞
YX
F
(b)
(
)
0,
,
=∞− yF
YX
;
(
)
(
)
yFyF
YYX
=∞,
,
(
)
0,
,
=−∞xF
YX
;
(
)
(
)
xFxF
XYX
=∞
,
,
(c)
(
)
yxF
YX
,
,
é não-negativa e função não-decrescente de
x
e
y
.
Se as variáveis aleatórias
X
e
Y
são discretas, a distribuição de probabilidade pode também
ser descrita como a “ Função Massa de Probabilidade Conjunta” (FMPC), a qual é
simplesmente:
(
)
(
)
yYxXPyxp
YX
===
,,
,
(
A.23
)
Logo, a função distribuição será:
Apêndice 126
(
)
(
)
≤≤
=
},{
,,
,,
yyxx
jiYXYX
ji
yxpyxF
(
A.24
)
A qual é simplesmente a soma de probabilidades associadas com todos os pares de pontos
(x
i
, y
j
) no subconjunto {x
i
< x; y
j
< y}.
A probabilidade de (X = x) pode depender dos valores de Y, ou vice-versa; em virtude da
Eq. A.5, tem-se a “ Função Massa de Probabilidade Condicional”:
( ) ( )
( )
( )
yp
p
yYxXPyxp
Y
yxYX
YX
,,
|
|| ===≡
(
A.25
)
Se
(
)
0≠yp
Y
. Similarmente, se
(
)
0≠xp
X
:
( )
( )
( )
xp
p
xyp
X
xyXY
XY
,,
|
| =
(
A.26
)
A FMP de uma variável aleatória individual pode ser obtida de uma FMPC aplicando o
teorema da probabilidade total (Eq. A.12), tem-se a FMP marginal de X como:
(
)
(
)
(
)
(
)
=======
jj
todoy
jj
todoy
X
yYxXPyYPyYxXPxp
,|
(
)
(
)
=∴
j
todoy
jYXX
yxpxp
,
,
(
A.27
)
Da mesma forma, também tem-se:
Apêndice 127
(
)
(
)
=∴
i
todox
iYXY
yxpyp ,
,
(
A.28
)
Se as variáveis aleatórias X e Y são estatisticamente independentes (significando que os
eventos X = x e Y = y são estatisticamente independentes),
(
)
(
)
xpyxp
XYX
=|
|
e
(
)
(
)
ypxyp
YXY
=|
|
Com isso, a Eq. A.23 passará a ser escrita da seguinte forma, para eventos estatisticamente
independentes:
(
)
(
)
(
)
ypxpyxp
YXYX
=,
,
(
A.29
)
Se as variáveis aleatórias X e Y são contínuas, a distribuição de probabilidade pode também
ser descrita com a Função Densidade de Probabilidade Conjunta, a qual pode ser definida
como:
(
)
(
)
dyyYydxxXxPdxdyyxf
YX
+≤<+≤<= ,,
,
(
A.30
)
Logo,
( ) ( )
∞− ∞−
=
x
y
YXYX
vufyxF
,,
,,
dv du
(
A.31
)
Caso a derivada parcial existir:
( )
(
)
yx
yxF
yxf
YX
YX
∂∂
∂
=
,
,
,
2
,
(
A.32
)
Apêndice 128
E também:
( ) ( )
=≤<≤<
b
a
d
c
YX
dvduvufdYcbXaP
,,
,
(
A.33
)
Analogamente à Eq.A.26, a função densidade condicional de
X
dado
Y
, é:
( )
(
)
( )
yf
yxf
yxf
Y
YX
YX
,
|
,
|
=
(
A.34
)
Entretanto, no geral,
(
)
(
)
(
)
yfyxfyxf
YYXYX
|,
|,
=
ou
(
)
(
)
(
)
xfxyfyxf
XXYYX
|,
|,
=
(
A.35
)
Contudo, se
X
e
Y
são estatisticamente independentes, ou seja:
(
)
(
)
xfyxf
XYX
=
|
|
e
(
)
(
)
yfxyf
YXY
=
|
|
, logo:
(
)
(
)
(
)
yfxfyxf
YXYX
=
,
,
(
A.36
)
Aplicando o Teorema da Probabilidade Total, as funções densidade marginais são obtidas e
mostradas a seguir:
( ) ( ) ( ) ( )
dyyxfdyyfyxfxf
YXYYXX
,|
,|
∞
∞−
∞
∞−
==
(
A.37
)
Apêndice 129
E similarmente,
( ) ( )
dxyxfyf
YXY
,
,
∞
∞−
=
(
A.38
)
C
OVARIÂNCIA E
C
ORRELAÇÃO
O segundo momento conjunto de
X
e
Y
é:
( )
∞
∞−
∞
∞−
= xYXE
,
y
(
)
xf
X
(
)
yf
Y
dx
dy
(
A.39
)
E se
X
e
Y
são estatisticamente independentes, a Eq. A.39 será devido à Eq. A.36:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
YEXEdyyfydxxxf
dxdyyfxfxyYXE
YX
YX
==
==
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
,
(
A.40
)
O segundo momento conjunto em relação às médias
X
µ
e
Y
µ
é a covariância de
X
e
Y
; que
é:
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
YEXEXYEYXEYXCov
YX
−=−−=
µµ
,
(
A.41
)
Observando a Eq. A.40,
(
)
0,
=
YXCov
se
X
e
Y
são estatisticamente independentes. Caso a
(
)
YXCov ,
for grande e positiva, os valores de
X
e
Y
tendem a ser ambos grandes ou ambos
pequenos em relação às suas médias, enquanto que se
(
)
YXCov
, for grande e negativa, os
Apêndice 130
valores de
X
tendem a ser grandes enquanto os valores de
Y
são pequenos; e vice-versa, em
relação às suas respectivas médias; e se
(
)
YXCov ,
é pequena ou igual a zero, não existirá
ou existirá uma pequena relação linear entre os valores de
X
e
Y
.
Portanto, a
(
)
YXCov
, é uma medida do grau de relação entre as variáveis
X
e
Y
. Para este
propósito, contudo, é preferível usar a covariância normalizada ou coeficiente de
correlação, o qual é definido como se segue:
(
)
YX
YXCov
σσ
ρ
,
=
(
A.42
)
Os valores de “ ρ” se encontram no seguinte intervalo:
11
+
≤
≤
−
ρ
(
A.43
)
S
IMULAÇÃO DE
M
ONTE
C
ARLO
Segundo ANG e TANG (1975), simulação é o processo de reprodução do mundo real em
um conjunto de hipóteses e modelos. Isto pode ser executado de forma teórica ou
experimental. Na prática, em simulações teóricas é usual sua execução na forma numérica;
que passa a ser uma ferramenta muito prática devido ao grande avanço computacional. Tal
como métodos experimentais, a simulação numérica pode ser usada para obtenção de dados
(simulados) adicionais aos existentes. Em efeito, simulação teórica é um método de
“ experimento numérico ou computacional”.
Apêndice 131
Para fins de engenharia, simulações podem ser aplicadas para predizer ou estudar a
performance e/ou resposta do sistema. Com um conjunto prescrito de valores para os
parâmetros de um sistema (ou variáveis de projeto), o processo de simulação fornece uma
medida específica do seu desempenho. Com repetidas simulações, a sensibilidade da
performance do sistema pode ser examinada e avaliada para variações nos parâmetros.
Através deste procedimento, simulações podem ser usadas para comparações entre projetos
alternativos ou determinar projetos otimizados.
A simulação de Monte Carlo é requerida para problemas envolvendo variáveis aleatórias
com distribuições de probabilidade conhecidas (ou assumidas). Isto envolve repetidos
processos de simulação, usando em cada uma destas um conjunto particular de valores das
variáveis aleatórias, gerados de acordo com a distribuição de probabilidade correspondente.
Através de repetições do processo, uma amostra de soluções é obtida, cada uma
correspondendo aos diferentes conjuntos de valores das variáveis aleatórias. Uma amostra
de simulação de Monte Carlo é similar a uma amostra de observações experimentais.
Portanto, os resultados de simulações de Monte Carlo podem ser tratados estatisticamente.
Estes resultados também podem ser apresentados em forma de histogramas, e os métodos
de inferência e estimações estatísticas são aplicáveis. Por estas razões, monte Carlo é
também uma técnica de amostragem, e como tais compartilham dos mesmos problemas da
teoria de amostragem; ou seja, os resultados estão sujeitos também a erros amostrais.
Geralmente, soluções de Monte Carlo de amostras finitas não são “ exatas” (a menos que a
amostra seja infinitamente grande).
Uma das principais tarefas na simulação de Monte Carlo é a geração de números aleatórios
de distribuições de probabilidades prescritas; para um dado conjunto de números aleatórios
gerados, o processo de simulação é determinístico.
A simulação de Monte Carlo é basicamente um experimento amostral cujo objetivo é
estimar a distribuição de resultados possíveis da variável de interesse, com base em uma ou
mais variáveis de entrada, que se comportam de acordo com alguma distribuição estipulada.
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