( PDF ) Alocação de ativos com modelos de volatilidade multivariada- evidências com dados brasileiros

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FACULDADE IBMEC SÃO PAULO

Programa de Mestrado Profissional em Economia

ANTONIO ARTHUR PITANGUY SAMPAIO

ALOCAÇÃO DE ATIVOS COM MODELOS DE VOLATILIDADE

MULTIVARIADA – EVIDÊNCIAS COM DADOS BRASILEIROS

São Paulo

2006

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ANTONIO ARTHUR PITANGUY SAMPAIO

ALOCAÇÃO DE ATIVOS COM MODELOS DE VOLATILIDADE

MULTIVARIADA -EVIDÊNCIAS COM DADOS BRASILEIROS

Dissertação apresentada ao Programa de

Mestrado Profissional em Economia da

Faculdade Ibmec São Paulo, como parte dos

requisitos para a obtenção do título de Mestre em

Economia.

Área de concentração: Finanças

Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz Valls Pereira – Ibmec SP

São Paulo, Brasil

2006

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Sampaio, Antonio Arthur Pitanguy

Alocação de ativos com modelos de volatilidade

multivariada- evidências com dados brasileiros / Antonio Arthur

Pitanguy Sampaio; orientador Prof. Dr. Pedro Luiz Valls Pereira.

– São Paulo: Ibmec São Paulo, 2006.

33 f.

Dissertação (Mestrado – Programa de Mestrado de

Profissional em Economia. Área de concentração: Finanças) –

Faculdade Ibmec São Paulo.

1. Alocação de Ativos 2. Volatilidade 3. Finanças

ANTONIO ARTHUR PITANGUY SAMPAIO

ALOCAÇÃO DE ATIVOS COM MODELOS DE VOLATILIDADE

MULTIVARIADA – EVIDÊNCIAS COM DADOS BRASILEIROS

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado

Profissional em Economia Ibmec São Paulo, como

requisito parcial para a obtenção do título de Mestre

em Economia.

Área de concentração: Finanças Aplicadas

Aprovado em: Dezembro/ 2006

Banca Examinadora:

____________________________________

Prof. Dr. Pedro Luiz Valls Pereira

Instituição: Ibmec São Paulo

____________________________________

Prof. Dr. Rinaldo Artes

Instituição: Ibmec São Paulo

____________________________________

Prof. Dr. Jose Valentim Machado Vicente

Instituição: Banco Central do Brasil

AGRADECIMENTOS

Agradeço a todos os professores do curso de mestrado, mas sobretudo agradeço ao

meu orientador. o professor Pedro Valls pelo suporte dado ao longo da elaboração deste

trabalho. Agradeço também ao professor Marcio Laurini, em especial, por todo o tempo

despendido ajudando-me com as rotinas computacionais sem as quais não teria sido possível a

realização deste trabalho.

Agradeço também a todos os meus colegas cujo convívio pude desfrutar ao longo de

todo o curso.

À Helena, e aos meus pais Yedda Lucia

e Aécio(in memoriam)

RESUMO

SAMPAIO, Antonio Arthur Pitanguy. Alocação de ativos com modelos de volatilidade

multivariada – evidências com dados brasileiros. São Paulo, 2006. 33 p. Dissertação

(Mestrado) – Faculdade de Economia e Finanças - IBMEC SÃO PAULO.

O objetivo deste trabalho é testar se existem ganhos econômicos significantes com o uso de

modelos de volatilidade condicional multivariada no processo de alocação de ativos.

Avaliamos a significância econômica de se modelar a volatilidade condicional comparando o

desempenho de carteiras de investimento com várias estratégias que operam ativamente a

volatilidade esperada. Comparamos os resultados destas metodologias com estratégia de

alocação estática baseada na variância não condicional e também com uma estratégia de pesos

iguais para os ativos da carteira. A base de dados utilizada neste estudo é composta por ativos

pertencentes ao índice IBX-50, no período de Janeiro de 2000 a Dezembro de 2005. O

processo de alocação de ativos é realizado considerando-se um investidor avesso ao risco no

contexto de média-variância de Markowitz. Concluímos que tanto no caso de considerarmos

taxa livre de risco como nos casos em que não a levamos em conta, as estratégias estáticas

não são inferiores às estratégias com matriz de variância condicional. Isto é, não podemos

dizer que as estratégias que fazem o timing da volatilidade e rebalanceamentos periódicos são

melhores em termos de ganhos econômicos. A comparação é realizada para o período fora da

amostra.

Palavras-chave: Alocação de Ativos; Volatilidade Condicional; Média-Variância.

ABSTRACT

SAMPAIO, Antonio Arthur Pitanguy. Economic gains in modeling the volatility of

portfolios of stocks – Brazilian case. São Paulo, 2006. 33 p. MSc Dissertation – Faculdade

de Economia e Administração. IBMEC SÃO PAULO.

The objective of this study is to test the economic significance of conditional volatility

modelling in the asset allocation process. In other to do so, we compare the performance of

portfolios with different dynamic strategies in which we time the expected volatility. We

compare the results of those strategies to static non conditional volatility strategies and also to

a strategy with equally weighted portfolio. In this study, we used thirty of the stocks that

compose the Brazilian IBX-50 index in the period from January 2000 to December 2005. We

considered that the investor is risk-averse in the Markowitz mean-variance context. Our

conclusion is that with or without a risk-free interest rate, the static strategies are not inferior

to the strategies with conditional variance. We cannot affirm that the strategies that time the

volatility with periodical rebalancing achieve better results (higher economic gains). We

conducted our comparison with out-of-sample data.

Keywords: Asset Allocation, Conditional Volatility, Mean-Variance.

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Ações que compõe a carteira...................................................................................26

Tabela 2 – Resultados das estratégias em diferentes períodos de rebalanceamento................30

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................9

2 DESCRIÇÃO DOS MODELOS ........................................................................................11

2.1 MODELO FATORIAL PARA RETORNO DE ATIVOS.............................................11

2.1.1 Especificação Geral dos Modelos de Fatores ...................................................12

2.1.2 Modelo de Fatores Estatísticos (latentes) para os retornos ............................13

2.2 GARCH-Ortogonal.........................................................................................................16

2.3 DCC-GARCH.................................................................................................................17

3 ESCOLHA DA CARTEIRA ÓTIMA ...............................................................................21

3.1 ESCOLHA DINÂMICA DA CARTEIRA ÓTIMA NO CONTEXTO DA MÉDIA-

VARIÂNCIA.................................................................................................................21

3.2 MEDIDA DE PERFORMANCE DAS ESTRATÉGIAS ...............................................23

4 DESCRIÇÃO DOS DADOS...............................................................................................26

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS........................................................................................28

6 CONCLUSÃO......................................................................................................................32

BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................33

1 INTRODUÇÃO

A importância da estimação da volatilidade é crucial em diversas áreas do estudo de

Finanças, em especial no tocante à gestão de carteiras de investimento. Isto tanto no que tange

a escolha dos ativos como, também, no controle e administração de risco.

Nas últimas décadas, inúmeros artigos se destacaram no estudo da volatilidade: Engle;

(1982) desenvolve os modelos ARCH; Bollerslev (1986) os ARCH Generalizados (GARCH)

Nelson (1991) GARCH Exponencial (EGARCH) e Alexander (2005) Modelo Garch

Ortogonal.

O modelo DCC (Correlação Condicional Dinâmica) é apresentado por Engle (2002)

como uma generalização do modelo CCC (Correlação Condicional Constante) proposto por

Bollerslev (1990).

A maioria dos estudos se concentra no desempenho dos modelos de volatilidade.

Nosso objetivo, contudo, não será checar a precisão destes modelos mas, sim, testar a

vantagem econômica de modelarmos a volatilidade.

Iremos, portanto, contrapor os resultados obtidos por meio de estratégias de

rebalanceamento de uma carteira de investimento como fruto de mudanças na projeção da

matriz de variância dos retornos dos ativos.

Como sugerido por Fleming et al. (2001), utilizaremos uma análise de Média –

Variância para implementar a alocação de ativos. Para compararmos carteiras, fixaremos a

aversão relativa ao risco. Iremos escolher também o ponto de retorno médio na curva de

carteiras eficientes para efeito de comparação.

Vamos utilizar dois modelos: Modelo de GARCH Ortogonal e o Modelo DCC-

GARCH proposto por Engle (2002). Iremos comparar estes modelos com uma estratégia

ingênua de alocação 1/N e uma alocação baseada puramente no retorno e matriz de variância

históricos (calculados de forma não condicional com os dados amostrais). Por fim, nossa

análise será baseada em uma carteira de 30 ações listadas na Bovespa ( todas componentes do

IBX-50).

Seguindo a metodologia proposta por Han (2006) para quantificar o valor econômico

de se modelar a volatilidade, calculamos uma taxa de desempenho estimada que o investidor

esteja disposto a pagar para trocar uma estratégia estática ótima por uma carteira construída

sob as premissas dos Modelos Volatilidade GARCH Ortogonal e Modelo DCC -GARCH.

Tanto o Modelo GARCH Ortogonal como o DCC-GARCH nos permite trabalhar com

um portfólio bem diversificado com um grande número de ativos. Ao invés de se modelar a

alocação utilizando-se índices de mercado, utilizamos fatores latentes.

Comparando estratégias baseadas em cada um dos modelos com as respectivas

estratégias estáticas, chegamos à conclusão que não temos ganhos em rebalancearmos a

carteira.

2 DESCRIÇÃO DOS MODELOS

Nesta seção iremos descrever as metodologias estatísticas utilizadas no processo de

alocação de ativos. Nosso processo de alocação é baseado nas seguintes metodologias –

alocação estática baseada na matriz de médias e variâncias não condicionais, Modelos

Estatísticos de Fatores, Modelos Multivariados de Volatilidade Condicional do tipo GARCH

Ortogonal e DCC-GARCH.

Com o objetivo de descrever o modelo GARCH Ortogonal iremos descrever primeiro

de forma geral os Modelos de Fatores e mais especificamente os Modelos de Fatores nos

quais os mesmos são não observáveis, isto é, eles são latentes. Em seguida apresentaremos o

modelo GARCH Ortogonal como descrito por Alexander (2005). Como alternativa ao

GARCH ortogonal escolhemos o DCC-GARCH, como proposto por Engel (2002).

2.1 MODELO FATORIAL PARA RETORNO DE ATIVOS

Inicialmente vamos descrever a utilização dos Modelos Multifatoriais para descrever a

estrutura da covariância dos retornos.

No Modelo de Fatores decompõe-se o retorno dos ativos em Fatores Comuns a todos

os ativos, que compõem a carteira, mais um Fator Específico para cada ativo.

O que o modelo faz é isolar as sensibilidades de cada ativo aos Fatores Comuns de

Risco. Pelo fato destes fatores impactarem de alguma forma todos os ativos da carteira eles

são interpretados como Fatores Fundamentais de Risco.

Como em Zivot e Wang (2005) os Modelos de Fatores são divididos em três tipos

principais:

1) Modelos de Fatores Fundamentais;

2) Modelos de Fatores Macroeconômicos;

3) Modelos de Fatores Estatísticos (ou latentes ).

Os Modelos Macroeconômicos utilizam dados macroeconômicos como fatores. Os

Modelos de Fatores Fundamentais utilizam dados específicos das empresas como dados de

balanço, Lucro Líquido, Patrimônio Líquido etc. Os Modelos de Fatores Estatísticos (ou

latentes) utilizam Fatores Comuns que são não observados.

2.1.1 Especificação geral dos Modelos de Fatores

Podemos descrever a formato geral dos Modelos de Fatores como se segue:

ittiiitKtKititiiit

ffffR

εβαεβββα

++=+++++=

2211

onde é o retorno (real ou o excesso de retorno sobre um ativo sem risco) do ativo i ( i = 1,

..., N) no período de tempo t ( t = 1, ... , T ),

é o intercepto, é o k-ésimo Fator Comum

(k = 1, ... , K ),

é a carga do k-ésimo fator para o ativo i, e

é o fator específico do ativo

i. No modelo multifatorial assume-se que as realizações dos fatores f

, são I(0) com os

momentos não condicionais:

E[f

] = μ

cov [f

] = E[(f

- μ ) (f

- μ )’] = Ω

f f f

Os erros específicos

são não correlacionados com cada um dos fatores comuns

tal que cov(

itkt

, ) = 0, para todo k, i e t. Os termos

são serialmente não correlacionados

e contemporaneamente não correlacionados entre os ativos, isto é,

cov (

) = para todo i = j e t = s

= 0, caso contrário

O modelo pode ser reescrito como um modelo de regressão cross-sectional no tempo t:

= α + B f

, t = 1,..., T

′

] = D

onde B é a matriz de cargas ( N x K ) , α é o vetor ( N x N ) de interceptos, f

é vetor de

realizações dos Fatores no período de tempo t ( K x 1) ,

é o vetor ( N x 1 ) de erros

específicos dos ativos com D como a matriz diagonal covariância ( N x N ).

Deste modo, a matriz de covariância dos retornos dos ativos pode ser escrita como

abaixo:

cov ( R

) = Ω = ΒΩ Β’ + D

2.1.2 Modelo de Fatores Estatísticos ( latentes ) para os retornos

Os Modelos Estatísticos de Fatores não precisam de dados de possíveis variáveis

explicativas e não apresentam problemas de multicolinearidade. Uma desvantagem dos

Modelos com Fatores Latentes é não termos necessariamente uma interpretação econômica

das variáveis.

Uma das técnicas estatísticas mais populares, no desenvolvimento dos Modelos

Multifatoriais aplicados à administração de ativos de risco, é a Análise de Componentes

Principais.

O Modelo de Fatores Ortogonais é obtido quando os Fatores de Risco são tomados

como os Componentes Principais do sistema. Utilizamos, assim, o Método de Componentes

Principais no Modelo de Volatilidade Condicional do tipo GARCH Ortogonal.

Como mencionado anteriormente, no Modelo de Fatores Estatísticos ( ou latentes) as

realizações dos fatores f

não são diretamente observadas e, portanto, o que se faz é extraí-las

dos retornos observáveis R

. O método que destacamos aqui é a Análise de Componentes

Principais.

A Análise de Componente Principal é baseada na matriz de covariância (N x N) da

amostra:

=Ω

, onde

é a matriz ( N x T ) de retornos observados.

Análise de Componente Principal nos proporciona uma redução da dimensão que

teríamos que utilizar. Os Componentes Principais são combinações lineares dos retornos. Os

Componentes Principais são construídos e ordenados de forma que o primeiro Componente

Principal explica a maior parte da matriz de covariância dos retornos amostrais, o segundo

Componente Principal explica a segunda maior parte e, assim por diante. Na construção dos

Componentes Principais impomos que eles sejam ortogonais entre si e normalizados para

terem norma igual a um.

Os K Componentes Principais mais importantes são as realizações dos fatores. Então

as cargas destes fatores podem ser estimadas usando-se técnicas de regressão.

Denotamos

a matriz de covariância amostral dos retornos dos ativos. O primeiro

Componente Principal é x

’R

onde o vetor (N x 1) x

resolve

x s.a. x

= 1

max

onde N é o número de ativos.

A solução x é o autovetor associado ao maior autovalor de . O segundo

Componente Principal é x

’ R

onde o vetor ( N x 1) x

resolve

x s.a. x

x = 1 e x ’ x = 0

max

A solução x é o autovetor associado ao segundo maior autovalor de

. Este

processo é repetido até que o k-ésimo Componente Principal seja computado.

As estimativas para os fatores realizados são simplesmente os k-ésimos primeiros

Componentes Principais

= x ’

, k = 1,..., K.

∧

As cargas dos fatores para cada ativo,

, e a variância dos resíduos, var(

) =

podem ser estimadas via MQO a partir da regressão da série de tempo.

R =

∧

, t = 1, ... , T

obtendo-se e para i = 1, ... , N. Os vetores de dados ficam desta maneira, descritos

como uma combinação linear dos componentes principais acrescidos dos vetores de erros.

∧

A matriz de covariância dos retornos é então:

^^^^^

' D

+Ω

onde

= , = ,

∧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∧

∑

−

(

) (

)’ ,

∧

∑

∧

Usualmente

∧

= I porque os Componentes Principais são ortonormais. Como os

Componentes Principais são ortogonais a matriz de covariância não condicional é diagonal.

A grande vantagem da utilização dos Componentes Principais é a redução da

dimensão do problema de otimização. Outra vantagem está na ortogonalização das variáveis

facilitando a construção de grandes matrizes de covariância positivas definidas. Neste caso a

matriz de covariância fica bastante simplificada dado que passa a ser uma matriz diagonal.

Alexander (2005) ressalta que os dados de entrada devem ser estacionários e devem estar

normalizados para que o componente principal não seja dominado pela variável com a maior

volatilidade. Esta normalização geralmente é feita simplesmente subtraindo-se a média

amostral e dividindo-se pelo desvio padrão amostral.

Devido ao problema de dimensionalidade na estimação de GARCH Multivariados, o

que impede o uso de modelos Diagonal VEC de Bollerslev et al. (1988), BEKK de Engle e

Kroner (1995), etc decidimos pelo uso de modelos baseados na estimação de GARCHs

univariados como o GARCH Ortogonal e o DCC-GARCH.

2.2 GARCH-ORTOGONAL

Assim para chegarmos ao modelo de GARCH-Ortogonal a partir do modelo de

Fatores Ortogonais devemos estimar os termos da matriz de variância dos componentes

principais com o modelo GARCH. A idéia do GARCH ortogonal é que por meio dos fatores

ortogonais consigo diminuir a dimensão do modelo construindo então a matriz de covariância

dos fatores através da variância de GARCH’s univariados. Isto é, a matriz de covariância é

uma matriz diagonal das variâncias dos fatores.

Utilizamos o modelo GARCH (1,1), assim a variância condicional de cada fator é

modelada com o abaixo:

−−

++=

ttt

βσαεωσ

De posse dos componentes principais e da matriz de cargas, temos como voltar para a

matriz de covariância do sistema original. Assim para projetarmos a matriz de covariância dos

retornos dos ativos k passos à frente, basta que projetemos as variâncias univariadas dos

fatores pelo modelo GARCH, montemos a matriz

∧

e a multipliquemos pela matriz de

cargas como abaixo:

∧

= ’

∧

2.3 DCC-GARCH

O modelo DCC (Correlação Condicional Dinâmica) é uma extensão do modelo CCC

(Correlação Condicional Constante) que é baseado no modelo GARCH Multivariado com

Correlação Condicional Constante. Para que as variáveis sigam um modelo GARCH, elas

devem ser estritamente estacionarias.

Considerando o processo n-dimensional

∈

Txn

ℜ , t = 1,..., T gerado por:

= )(

+ H

εθ

)(

2/1

)(

= E ( X

−

)

= Var (X

t 1−t

F )

onde F

é o conjunto de informações no tempo t, e

é um processo i.d.d. No DCC H

modelada diretamente como uma função de variâncias dinâmicas univariadas e correlações

dinâmicas lineares,

≡

= (Q

) Q

( Q

)

1− 1−

= ( 1-

∑

)

Q + + Q

∑

−−

ltltl

εεα

∑

st −

onde

Q =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

MOMMM

000

é a matriz diagonal ( n x n ) com os elementos

h , i = 1, ..., n , t = 1, ..., T, Q é a

matriz de variância- covariância não condicional de

. Isto é, Q= E(

’), e

são

parâmetros escalares que satisfazem

∑

+ < 1 .

∑

A dinâmica permite que a estimação seja feita em duas etapas, o que torna viável a

estimação de processos

com grande dimensão.

Para ilustrar o processo de estimação em duas etapas assumimos primeiro que o vetor

dos erros padronizados tem distribuição normal,

~ N(0,P

). Chamando θ o vetor de

parâmetros na matriz de variância-covariância condicional

, a função de Log

verossimilhança, L

( θ) para T observações do estimador,

L (

θ) = X

∑

(log θ ,

1−

)

é dado por

( θ) = −

∑

{n log(2

) + log H

+ r’

H r

}

1−

( θ) = −

∑

{n log(2

) + log D

+ r’

( D

) r

}

1−

( θ) = −

∑

{n log(2

) + log D

+ log P

’

1−

}

onde substituímos

= D r

1−

Engle (2002) propôs que no primeiro estágio da estimação assumamos que

N(0,I) onde I é uma matriz identidade (n x n). Particionando o vetor de parâmetros em dois

subconjuntos

θ = (ζ, ϕ), onde ζ contém os parâmetros das n volatilidades univariadas e

ϕ contém os parâmetros das correlações, a função de log-verossimilhança pode ser expressa

como

( θ) = L

(ζ ) ( θ) + L

(ϕ ζ)

A estimação no primeiro estágio consiste em maximizar a função

(ζ )= −

∑

n log(2

) + log D

+ r’

D r

2−

(ζ )= −

∑

[ n log(2

) + ( log

∑

+ ) ]

(ζ )= −

∑

[ ( log(2

∑

) + log

+ ) ]

Uma vez que o vetor

ζ é estimado, o vetor dos erros padronizados

= D r

empregado no segundo estágio, que corresponde à maximização da função,

1−

(ϕ ζ) = −

∑

log P

’

1−

sob a premissa de

~ N(0, R

O modelo DCC-GARCH generaliza o modelo CCC por permitir correlações

condicionais evoluam dinamicamente, mas permitindo a estimação em estágios utilizando-se

o modelo GARCH univariado.

Se modelarmos a matriz de variância-covariância com

l e s iguais a um, a matriz tem o

formato abaixo:

= ( 1-

)Q + +

−− tt

εεα

1−t

Uma vez estimados todos os parâmetros, para projetarmos a matriz de variância K

passos à frente, projetamos as variâncias univariadas K-1 passos à frente e aplicamos na

equação abaixo

Q = ( 1- )

Kt +

∧∧

−

βα

Q + Q

∧

1−+Kt

3 ESCOLHA DA CARTEIRA ÓTIMA.

3.1 ESCOLHA DINÂMICA DA CARTEIRA ÓTIMA NO CONTEXTO DA MÉDIA-

VARIÂNCIA.

Consideramos que o investidor é avesso ao risco com preferências definidas sobre a

media e variância dos retornos. Ao longo de todo o processo de escolha da carteira ótima nós

tratamos os retornos esperados das ações da mesma forma para todos os modelos. O objetivo

é isolar o efeito do timing da volatilidade. Fleming, Kirby e Ostdiek (2001) e Aguilar e West

(2000) também procederam da mesma maneira. Como retorno esperado de cada papel utiliza

a média simples dos retornos de cada papel, calculada com os dados dentro da amostra.

Dividimos nossa análise em duas partes, em um primeiro momento supomos a não

existência de taxa livre de risco e em um segundo momento introduzimos a taxa livre de risco.

Contudo em ambos os casos não são permitidas vendas a descoberto nem alavancagem. Como

taxa livre de risco utilizamos à taxa de remuneração da poupança ao longo de 2005 (9,19%).

Vamos supor que o investidor pode operar de acordo com duas estratégias de média

variância:

1) a estratégia de volatilidade mínima, que minimiza a volatilidade dado um nível de

retorno esperado;

2) a estratégia de maximizar a utilidade esperada maximizando o valor esperado de

uma função de utilidade média-variância.

Na estratégia de volatilidade mínima, sem levar em conta a taxa livre de risco, como

exposto por Elton e Gruber (1995 ), o investidor resolve a programação quadrática abaixo.

min

∑∑∑

===

jijii

XXX

σσ

s.a. 1)

∑

= 1

RRX

____

∑

3) 0

≥ , i = 1, ... , N

Variando entre o retorno do portfólio de mínima variância e o retorno do portfólio

de retorno máximo, traçamos a fronteira eficiente.

Na estratégia de maximização da utilidade, sem levar em conta a taxa livre de risco, o

investidor resolve a programação quadrática abaixo.

{ E[u( W )] =

E[ ] - 0,005 *A* }

max

1+t 1, +tp

+tp

com =

+tP

∑

===

jijii

XXX

σσ

s.a.

RRX

____

∑

= 1

∑

, i = 1, ... , N 0≥

onde A é o coeficiente de aversão absoluta ao risco.

Na estratégia de volatilidade mínima, levando em conta a taxa livre de risco temos:

min

∑

∑∑

===

jijii

XXX

σσ

s.a. 1)

∑

≤

RrXRX

)1( =−+

∑∑

3) 0≥ , i = 1, ... , N

Na estratégia de maximização da utilidade, levando em conta a taxa livre de risco

temos:

max {E[u( W )] = E[ ] - 0,005 *A* }

1+t 1, +tp

1, +tp

com =

1, +tP

∑

===

jijii

XXX

σσ

s.a. 1)

∑

≤

RrXRX

)1( =−+

∑∑

3) 0

≥

X , i = 1, ... , N

3.2

MEDIDAS DE PERFORMANCE DAS ESTRATÉGIAS

Para medir o valor econômico da modelagem da volatilidade, comparamos o

desempenho de estratégias dinâmicas com o desempenho de estratégias estáticas não

condicionais, de média-variância no período fora da amostra.

Vamos utilizar três medidas de desempenho:

1) Índice de Sharpe;

2) Alfa de Jansen;

3) Taxa de desempenho Delta.

Nossa primeira medida de desempenho será o índice de Sharpe (SR). O índice de

Sharpe mede quanto retorno extra (retorno acima da taxa livre de risco) obtemos pelo risco

que incorremos. Calculamos e comparamos os índices de Sharpe da seguinte forma:

Primeiro calculamos o retorno realizado das carteiras dentro de cada período de

rebalanceamento. Para tal utilizamos os retornos observados de cada uma das ações

ponderadas pelos respectivos pesos, levando-se em conta os custos de transação por ocasião

dos rebalaceamentos da carteira e também o custo de venda no final do período fora da

amostra.

Uma vez obtidas as séries de retorno líquido dos custos transacionais, calculamos a

média (

) e o desvio padrão ( ) para todo o período fora da amostra e então calculamos

os índices de Sharpe, SR = (

- )/ .

Se as estratégias dinâmicas geram Índices de Sharpe maiores do que as estratégias

estáticas, a modelagem da volatilidade tem valor econômico significante para os investidores.

É importante ressaltar que o Índice de Sharpe não leva em conta a volatilidade variando no

tempo. O desvio padrão da amostra (volatilidade não condicional) superestima o risco

condicional que um investidor incorre quando ele segue estratégias de timing de volatilidade.

Deste modo podemos estar subestimando o desempenho das estratégias dinâmicas ao

utilizarmos os índices de Sharpe realizados.

A outra medida de desempenho que vamos utilizar é o Alfa de Jansen. Um valor

positivo do Alfa de Jansen indica retornos anormais ou desempenho superior de uma

estratégia ativa com relação a uma estratégia passiva. Estimaremos o alfa de Jansen como

sendo o intercepto em uma regressão do excesso de retorno da estratégia dinâmica contra os

excessos de retorno da estratégia estática como abaixo

tftSftd

urrrr

−

=− )(

, ),0(~

onde é a rentabilidade realizada da estratégia dinâmica e é a rentabilidade realizada

da estratégia estática.

, tS

A terceira e última medida de desempenho utiliza uma abordagem baseada na

utilidade para medir o desempenho de estratégias dinâmicas. Conforme Fleming, Kirby e

Ostdiek (2001), utiliza-se uma taxa de desempenho que captura o ganho em termos de

utilidade de se trocar uma estratégia dinâmica pela estática. Então modelamos a utilidade

quadrática realizada como

u( ) = - 0,005 *A*

1, +tp

onde é o retorno bruto realizado da carteira, A é o coeficiente da aversão absoluta ao

risco, o qual assumimos como 6 em nossa análise. Com o objetivo de medir o valor

1, +tp

econômico de se modelar a volatilidade vamos calcular uma constante Delta ( ) tal que a

utilidade média realizada gerada pela estratégia dinâmica seja a mesma das estratégias

estáticas. Para estimar esta taxa de desempenho Delta(

) devemos achar o valor de Delta (

)

que iguala os dois lados da equação:

∑

−

[( -Δ ) - 0,005 *A* ( -

1, +td

) ] =

∑

−

[( ) - 0,005 *A* ]

1, +tS

Depois de construir a estimativa da matriz de covariância montamos os portfólios

dinâmicos e avaliamos seu desempenho. Nossa medida de valor do timing da volatilidade é o

custo estimado de que o investidor avesso ao risco esteja disposto a pagar para trocar do

portfólio ex-ante estático para o portfólio dinâmico.

Usamos uma análise de média- variância para implementar as estratégias de alocação

de ativos. Consequentemente elas são ótimas somente se os investidores tem função utilidade

logarítmica e os primeiros dois momentos caracterizarem completamente a distribuição

conjunta dos retornos.

4 DESCRIÇÃO DOS DADOS

Escolhemos 30 ações de empresas que compõe o IBX-50. Na escolha dos papéis

inicialmente nos preocupamos em escolher aqueles que já fossem listados no início do

período dentro da amostra e depois escolhemos aqueles cujas séries de preço apresentassem

menos interrupções. Utilizamos a diferença do logaritmo dos preços de um dia para o outro

como o retorno do ativo.

A amostra foi separada em duas partes – uma parte inicial utilizada na estimação e

uma parte utilizada para validação fora da amostra dos modelos de alocação.

Os retornos diários de 2 de Janeiro de 2000 até 31 de Dezembro de 2004 são

considerados dentro da amostra e de 2 de Janeiro de 2005 até 31 de Dezembro de 2006 são

considerados fora da amostra.

Os códigos das ações, assimetria e curtose estão na Tabela 1 a seguir:

Tabela 1. Ações que compõem a carteira

Ação Média Desv. Pad. Assimetria Curtose

1 Aces4 27.93% 49.6% 0.0862 5.7295

2 Ambv4 27.17% 36.8% -0.2511 7.3891

3 Arce3 75.96% 44.4% 0.3104 7.1236

4 Arcz6 23.39% 39.7% 0.2037 4.3325

5 Bbas3 39.07% 44.8% 0.1665 3.8571

6 Bbdc4 20.83% 39.5% -0.0134 4.4146

7 Brkm5 41.59% 47.2% -0.0353 4.4697

8 Brto4 2.58% 43.6% 0.1969 3.5560

9 Brtp4 -6.83% 44.9% 0.3035 3.9284

10 Cmig4 14.88% 44.7% 0.1316 3.4258

11 Cruz3 43.33% 37.0% 0.1768 6.7151

12 Csna3 50.41% 44.6% 0.0543 4.1194

13 Ebtp4 34.45% 68.8% -0.3657 6.9167

14 Elet6 5.81% 50.6% 0.1232 4.3201

15 Embr4 30.98% 45.2% -0.4825 7.3114

16 Ggbr4 47.43% 43.0% -0.0287 4.5462

17 Itau4 26.00% 37.7% 0.0760 3.7158

Ação Média Desv. Pad. Assimetria Curtose

18 Itsa4 28.29% 34.6% 0.1442 3.4632

19 Klbn4 34.29% 47.4% 0.2789 4.3565

20 Lame4 55.17% 49.2% 0.5215 6.1926

21 Ligt3 18.64% 57.9% 0.3955 6.6753

22 Petr4 22.31% 34.5% 0.0064 4.6929

23 Sbsp3 1.93% 42.1% -0.0261 3.6893

24 Sdia4 39.80% 36.7% 0.2300 4.9178

25 Tcsl4 -5.73% 55.4% 0.0458 4.0118

26 Tmcp4 0.52% 57.6% 0.3681 6.5563

27 Tnlp4 3.20% 42.3% 0.0323 4.1084

28 Ubbr11 13.14% 47.6% -0.0969 5.1868

29 Usim5 46.62% 50.3% -0.0212 3.7820

30 Vale5 38.10% 33.7% 0.1720 4.5872

Fonte: Elaborada pelo autor.

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Inicialmente iremos comparar as estratégias estáticas sem levarmos em consideração a

existência de taxa livre de risco na estimação dos pesos das carteiras. Iremos comparar as

estratégias:

1) 1/N – todos os ativos têm pesos iguais;

2) RMH – Rentabilidade Média Histórica. Estratégia de mínima variância na qual o investidor

escolhe como rentabilidade alvo a rentabilidade média dos portfolios de mínima e máxima

rentabilidade na fronteira eficiente. A matriz de variância/covariância é não condicional

calculada com os dados dentro da amostra;

3) RMOG – Retorno Médio GARCH-Ortogonal. Estratégia de mínima variância na qual o

investidor escolhe como rentabilidade alvo a rentabilidade média dos portfolios de minima

e maxima rentabilidade na fronteira eficiente. A matriz de variância/covariancia é estimada

utilizando-se o modelo GARCH-Ortogonal;

4) RMDCC – Retorno Médio DCC. Estratégia de mínima variância na qual o investidor

escolhe como rentabilidade alvo a rentabilidade média dos portfolios de mínima e máxima

rentabilidade na fronteira eficiente. A matriz de variância/covariância é estimada

utilizando-se o modelo DCC.

Neste caso a estratégia que apresentou o maior índice de Sharpe foi a RMOG. Quando

comparadas com suas respectivas estratégias dinâmicas, observamos que não temos ganhos

com os rebalanceamentos semanais, pois temos quedas no índices de Sharpe e

muito

próximo de zero,

α nulo ou mesmo negativo. Isto posto, deveríamos utilizar estratégia

estática estimando a matriz de variância pelo modelo GARCH Ortogonal.

Em seguida passamos a supor a existência de taxa livre de risco e o critério para a

escolha dos ativos passa a ser a maximização da utilidade ao longo da fronteira eficiente.

Teríamos três estratégias estáticas e suas respectivas estratégias dinâmicas:

1) MUH – Maximização da utilidade esperada com matriz de variância histórica

2) MUOG – Maximização da utilidade esperada com matriz de variância estimada com o

modelo GARCH Ortogonal

3) MUDCC – Maximização da utilidade esperada com matriz de variância estimada com o

modelo DCC.

Neste caso a estratégia estática que apresenta o melhor resultado é a MUOG,

Maximização da utilidade e estimação da matriz de variância com o modelo GARCH

Ortogonal.

Cabe ressaltar que o rebalanceamento semanal nos três modelos (MUH, MUOG,

MUDCC) levou a uma queda nos indices de Sharpe. Este resultado pode ser corroborado

pelos valores nulos ou negativos do

como também do α. Assim seria preferível seguir uma

estratégia estática utilizando-se o modelo GARCH Ortogonal ao invés de rebalancearmos a

carteira semanalmente.

Em seguida aumentamos o prazo de rebalanceamento (fora da amostra) para

quinzenal.

Novamente começamos a análise pelos modelos que não levam em consideração a

taxa livre de risco. Nestes casos o rebalanceamento não leva a um ganho econômico (queda

nos índices de Sharpe), os valores de

são nulos ou próximos de Zero e não descartamos a

hipótese nula de que

α seja zero. Pelos resultados apresentados (retorno e risco e índice de

Sharpe) as estratégias RMOG e RMDCC estáticas seriam as melhores e levariam a resultados

quase iguais.

Levando-se em conta a taxa livre de risco, a maximização da utilidade e o

rebalanceamento semanal a melhor estratégia é a MUOG estática. Os resultados são

apresentados na Tabela 2 a seguir.

Tabela 2

Estratégia Estática

Estratégia Dinâmica

Modelo média desv. Pad SR média desv. Pad SR

Δ ( bp )

α (%)

estat. - t

Rebalanceamento Semanal

1 / N 21.16 22.28 0.5371 19.65 22.45 0.4659 -0.0251 -0.0264

1.04276

RMH 19.38 28.02 0.3636 19.57 26.98 0.3849 0.0036 0.0134 0.12295

MUH 18.78 27.23 0.3524 21.80 27.45 0.4595 0.0503 0.0510 0.59737

RMOG 28.23 27.96 0.6811 -0.60 25.41 ------- -0.5099 -0.4450

1.79372

MUOG 31.99 29.24 0.7799 10.63 30.40 0.0475 -0.3548 -0.3331

1.29022

RMDCC 27.62 29.85 0.6173 23.06 41.05 0.3379 -0.3189 -0.2972

2.43741

MUDCC 27.86 29.84 0.6258 34.20 47.27 0.5292 -0.3003 -0.3026

2.29108

Rebalanceamento quinzenal

1 / N 22.13 26.00 0.49779 20.61 25.81 0.4422 -0.0507 -0.0470

0.97127

RMH 21.45 33.95 0.36110 24.59 32.59 0.4726 0.1041 0.1224 0.87773

MUH 20.72 32.96 0.34982 25.71 33.06 0.4997 0.1632 0.1636 1.40469

RMOG 30.88 34.93 0.62107 8.45 30.70 -0.0241 -0.7543 -0.6155

1.21942

MUOG 35.01 36.62 0.70517 17.86 36.96 0.2345 -0.5490 -0.5106

1.04223

RMDCC 30.09 33.65 0.62109 15.86 16.30 0.4093 -0.4572 -0.0005 -0.1514

MUDCC 30.39 33.93 0.62483 17.82 16.98 0.5080 -0.3993 0.0000 0.00366

Fonte: Elaborada pelo autor.

É importante notar que um modelo GARCH estacionário possui uma matriz de

variância não condicional constante, e se o objetivo é um ganho de longo prazo talvez a

alocação estática usando esta matriz seja mais eficiente (menor custo de rebalanceamento) – o

horizonte de investimento pode ser importante.

Outro ponto a ser notado é que o cálculo da matriz de var-covar dinâmica pode ter

outras aplicações além da alocação – por exemplo, o cálculo de VaR dinâmico a modelagem

da volatilidade condicional é importante, e assim a gestão de risco pode se beneficiar desta

metodologia

6 CONCLUSÃO

Concluindo, testamos neste trabalho a existência de ganhos econômicos ao

modelarmos a matriz de variância dos ativos de uma carteira de investimentos e efetuarmos os

respectivos rebalanceamentos periódicos. Levamos em consideração custos transacionais.

Utilizamos também duas técnicas de estimação: GARCH Ortogonal e DCC-GARCH.

As estratégias dinâmicas não levaram a ganhos representativos e pelo contrário

algumas vezes pareceram ser contraproducentes. – possivelmente pelo custo de

rebalanceamento das carteiras sob esse critério.

Portanto, temos indícios para crer que não temos ganhos econômicos em estimarmos a

matriz de variância de forma condicional.

Como avanço deste estudo propomos testar a existência de ganhos econômicos ao se

modelar à volatilidade utilizando-se um modelo de Volatilidade Estocástica em conjunto com

outra técnica de estimação como MCMC.

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Edição, cap. 15, pp.569-614.

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