ads:
Existˆencia de solu¸c˜oes para equa¸c˜oes integro-diferenciais
neutras
Jos´e Paulo Carvalho dos Santos
Orientador: Eduardo Alex Hern´andez Morales
Tese apresentada ao Instituto de Ciˆencias
Matem´aticas e de Computa¸c˜ao - ICMC-USP,
como parte dos requisitos para obten¸c˜ao
do t´ıtulo de Doutor em Ciˆencias - ´area
Matem´atica.
USP - S˜ao Carlos
Mar¸co/2006
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
ads:
“Retroceder nunca...
render-se jamais!”
Filme: “No Retreat, No Surrender”.
Agradecimentos
Agrade¸co a Deus pela sa´ude e perseveran¸ca.
Ao Prof. Eduardo Hernandez, por ter aceito me orientar no doutorado e pe la forma
segura e dedicada que conduziu todo processo de Tese.
`
A Ni, por tornar minha vida t˜ao mais feliz.
Ao meu irm˜ao Luis Antˆonio, pelos conselhos valiosos e pela grande ajuda financeira
durante os primeiros anos do doutorado, per´ıodo em que estava sem bolsa.
Aos Meus pais Carmo e Aparecida e minhas irm˜as Ana Maria e Cl´audia, pelo amor,
apoio e ora¸c˜oes.
Ao Professor Ladeira por ter me apresentado ao Professor Eduardo Hernandez, o que
tornou meu doutorado poss´ıvel.
Aos funcion´arios e funcion´arias do ICMC-USP, pela dedica¸c˜ao que empregam no de-
senvolvimento de seu trabalho.
Aos amigos, pelo apoio e pelos muitos momentos divertidos, os quais n˜ao irei esquecer.
`
A Capes, pelo suporte financeiro.
Abstract
In this work we s tudy the existence of mild, semi-classical and classical solution,
concepts introduced be late r for a class of abstract neutral functional integrodifferential
systems with unbounded delay in the form
d
dt
D(t, x
t
) = AD(t, x
t
) +
t
0
B(t − s)D(s, x
s
)ds + g(t, x
t
), t ∈ (0, a),
x
0
= ϕ ∈ B,
d
dt
(x(t) + F (t, x
t
)) = Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds + G(t, x
t
), t ∈ (0, a),
x
0
= ϕ ∈ B,
where A : D(A) ⊂ X → X is a closed linear densely defined operator in a Banach space X,
each B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X is a closed linear operator, the history x
t
: (−∞, 0] → X,
x
t
(θ) = x(t + θ), belongs to some abstract phase s pace B defined axiomatically and D, F, g :
[0, a] × B → X are appropriate functions.
To establish some of our results, we studied the existence and qualitative properties of
a resolvent of bounded linear operators (R(t))
t≥0
, for a system in the form
d
dt
x(t) +
t
0
N(t − s)x(s)ds
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s) ds, t ∈ (0, a),
x(0) = x
0
,
where (N(t))
t≥0
is a family of bounded linear operators on X. We mention that this class of
system arise in the study of heat conduction in material with fading memory.
Resumo
Neste trabalho estudaremos a existˆencia de solu¸c˜oes fracas, semi-cl´assicas e cl´assicas,
conceitos introduzidos no texto para uma classe de sistemas integro-diferenciais do tipo neutro
com retardamento n˜ao limitado modelados na forma
d
dt
D(t, x
t
) = AD(t, x
t
) +
t
0
B(t − s)D(s, x
s
)ds + g(t, x
t
), t ∈ (0, a),
x
0
= ϕ ∈ B,
d
dt
(x(t) + F (t, x
t
)) = Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds + G(t, x
t
), t ∈ (0, a),
x
0
= ϕ ∈ B,
onde A ´e um ope rador linear fechado densamente definido em um espa¸co de Banach X, cada
B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X, t ≥ 0 ´e um operador linear fechado, a hist´oria x
t
: (−∞, 0] →
X, x
t
(θ) = x(t + θ), pertence a um es pa¸co de fase abstrato B definido axiomaticamente e
D, F, g, G : [0, a] × B → X s˜ao fun¸c˜oes apropriadas.
Para obter alguns de nossos resultados, estudamos a existˆencia e propriedades quali-
tativas de uma fam´ılia resolvente de operadores lineares limitados (R(t))
t≥0
, para o sistema
integro-diferencial
d
dt
x(t) +
t
0
N(t − s)x(s)ds
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s) ds, t ∈ (0, a),
x(0) = x
0
,
onde (N(t))
t≥0
´e uma fam´ılia de operadores lineares limitados em X. Mencionamos que
este tipo de sistemas aparece no estudo da condu¸c˜ao de calor em materiais com mem´oria
amortecida.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao xiii
1 Preliminares 1
1.1 Semigrupos de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Operador resolvente para equa¸c˜oes integro-diferenciais . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Espa¸cos de fase abstratos e alguns Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial 13
2.1 Existˆencia de solu¸c˜oes fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Resultados de regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Existˆencia de solu¸c˜ao semi-cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial 33
3.1 Existˆencia de solu¸c˜oes fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Resultados de regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Existˆencia de solu¸c˜oes semi-cl´assicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Fam´ılias “N- resolventes” 59
4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 O problema integro-diferencial n˜ao homogˆeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Aplica¸c˜oes a equa¸c˜oes neutras com retardamento n˜ao limi- tado . . . . . . . . 90
Introdu¸c˜ao
Nas ´ultimas d´ecadas o estudo de sistemas com mem´oria tem recebido muita aten¸c˜ao
devido, fundamentalmente, ao fato de que o retardo temporal tem uma influˆencia significativa
sobre o comportamento qualitativo do sistema. A maior parte da literatura relativa a este
assunto est´a relacionada com o problema de Cauchy abstrato
˙u(t) = F (t, u
t
), (1)
u
σ
= ϕ ∈ C([−r, 0] : R
n
). (2)
Como referˆencias para este tipo de equa¸c˜oes citamos Hale & Lunel [29] e Hale & Kato [30].
Sistemas com retardamento n˜ao limitado e valores em R
n
tamb´em s˜ao considerados, veja
entre outros, Corduneanu & Lakshmikanthan [16] e o livro Hino, Murakami & Naito [49].
Como a solu¸c˜ao de (1)-(2) assume valores em um espa¸co de dimens˜ao finita, o sistema
(1)-(2) n˜ao permite o estudo de equa¸c˜oes diferenciais parciais, deixando de lado muitos
sistemas diferenciais interessantes e importantes. Este fato motivou muitos pesquisadores
a estudar uma classe de sistemas abstratos descritos na forma
d
dt
(u(t) + f(t, u
t
)) = Au(t) + g(t, u
t
), t ∈ [σ, σ + a], (3)
u
0
= ϕ ∈ B, (4)
onde A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares
(T (t))
t≥0
definido sobre um espa¸co de Banach X e B ´e um e spa¸co de fase definido de maneira
axiom´atica. No que segue, nos referimos a este sistema como “ Abstract Neutral Functional
Differential Equations ”.
O sistema diferencial (3)-(4) ´e uma generaliza¸c˜ao do sistema cl´assico onde f ≡ 0, o
qual tem sido extensamente estudado, veja entre outros Travis & Weeb [67, 68, 69] e Wu [72].
Mas o modelo (3)-(4) ´e mais que uma simples generaliza¸c˜ao abstrata. “ Abstract Neutral
Functional Differential Equations ” aparecem no estudo de diferentes problemas aplicados. O
xiv Introdu¸c˜ao
sistema (3), por exemplo, aparece na teoria desenvolvida por Gurtin & Pipkin [27] e Nunziato
[62] para a descri¸c˜ao da condu¸c˜ao de calor em materiais com mem´oria amortecida. Na teoria
de condu¸c˜ao de calor ´e assumido, de maneira geral, que a energia e o fluxo de calor dependem
linearmente da temperatura u(·) e do gradiente ∇u(·). Nestas condi¸c˜oes, a cl´assica equa¸c˜ao
do calor descreve de maneira satisfat´oria a evolu¸c˜ao da temperatura em diferentes tipos de
materiais. Esta situa¸c˜ao ´e diferente em materiais com mem´oria amortecida ( materials with
fading memory ). Neste tipo de material, veja [27, 62], a energia interna do material e o fluxo
de tempertura s˜ao funcionais da u(·) e do gradiente de u(·), respectivamente. Um modelo
amplamente aceito para descrever o fluxo de calor em materiais com mem´oria amortec ida,
veja [12, 13, 56, 62, 65], ´e o sistema diferencial
d
dt
c
0
u(t, x) +
t
−∞
K
1
(t − s)u(s, x)ds
= c
1
u(t, x) +
t
−∞
K
2
(t − s)u(s, x)ds,
u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω.
(5)
Neste sistema, Ω ⊂ R
n
´e um aberto limitado e com fronteira regular; (t, x) ∈ [0, ∞) ×Ω; u(·)
representa a temperatura em x no tempo t; c
1
, c
2
s˜ao constantes positivas com significado
f´ısico e K
i
: R → R, i = 1, 2, s˜ao fun¸c˜oes apropriadas.
Outra motiva¸c˜ao importante para o desenvolvimento da teoria de equa¸c˜oes funcionais
do tipo neutro ´e o estudo de uma classe de equa¸c˜oes parciais do tipo hiperb´olico com certas
condi¸c˜oes de fronteira n˜ao lineares, que surgem no estudo de linhas de transmiss˜ao. Com
rela¸c˜ao a isto, veja os trabalhos de Abolinia & Mishkis [1], Brayton [10], Brayton & Moser
[11], Cooke & Krumme [15], Cruz & Hale [17], Lopes [52, 53], Hale [54] e Wu & Xia [73, 74]
para detalhes relativos `a hist´oria, referˆencias e o estado atual do tema.
Em Wu and Xia [73], a partir de um sistema ordin´ario do tipo neutro, os autores
deduzem a seguinte equa¸c˜ao escalar do tipo neutro em derivadas parciais definida sobre o
c´ırculo unit´ario
∂
∂t
D(u
t
) = k
∂
∂ξ
D(u
t
) + g(t, u
t
),
u
σ
= ϕ ∈ C([−r, 0] : C(S
1
: R)).
(6)
Neste sistema, k ´e uma constante positiva e (Dφ)(s) = φ(0)(s) −
0
−r
[dη(θ)]φ(θ)(s) onde η ´e
uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao limitada n˜ao atˆomica em zero. Esta equa¸c˜ao neutra foi investigada
por Hale em [54]. Neste trabalho, Hale estabelece uma pequena teoria para o sistema,
considerando a existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes, propriedades condensantes do operador
solu¸c˜ao, bifurca¸c˜ao de Hopf e estabilidade de ´orbitas peri´odicas.
Introdu¸c˜ao xv
Observe que o sistema neutro (6) p ode ser descrito por meio do problema de Cauchy
abstrato
d
dt
(D(t, u
t
)) = AD(t, u
t
) + g(t, u
t
), (7)
u
0
= ϕ ∈ B, (8)
onde A ´e o gerador infinitesimal de um C
0
-semigrupo e B ´e um espa¸co de fase apropriado.
Com rela¸c˜ao a este tipo de sistema mencionamos Dakto [19] e Addimy [2, 3, 4, 5].
Em rela¸c˜ao a sistemas abstratos do tipo neutro de primeira ordem modelados como
(3)-(4) ou (7)-(8) citamos entre outros trabalhos, [2, 3, 4, 5, 22, 33, 45, 46] para existˆencia de
solu¸c˜oes fracas; [5, 45] para regularidade de solu¸c˜oes fracas; [2] para estabilidade de solu¸c˜oes;
[32, 35, 34] para existˆencia de solu¸c˜oes peri´odicas; [36] para a existˆencia de solu¸c˜oes quase e
assintoticamente quase peri´odicas; [37, 38, 39] para solu¸c˜oes pseudo quase peri´odicas; [40, 41]
para sistemas impulsivos e [22, 43] para sistemas com condi¸c˜oes n˜ao locais.
´
E interessante
citar tamb´em [46, 42], onde s˜ao feitas algumas corre¸c˜oes de recentes trabalhos tratando sobre
a existˆencia e controlabilidade exata de solu¸c˜oes associadas a sistemas do tipo neutro.
Embora haja extensa literatura para sistemas neutros, o estudo da existˆencia e pro-
priedades qualitativas de solu¸c˜oes de sistemas neutros do tipo integro-diferencial s˜ao t´opicos
at´e agora n˜ao desenvolvidos. Este fato e as interessantes aplica¸c˜oes relacionadas ao problema
de condu¸c˜ao de calor em materias com mem´oria s˜ao as principais motiva¸c˜oes de nosso
trabalho.
Esta Tese pos sui quatro cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1 s˜ao introduzidas de maneira resumida
as diferentes ferramentas t´ecnicas que nos auxiliaram na obte¸c˜ao de nossos resultados.
No Cap´ıtulo 2 estudamos diferentes quest˜oes relacionadas com a existˆencia e regulari-
dade de solu¸c˜oes para o sistema integro-diferencial
d
dt
D(t, u
t
) = AD(t, u
t
) +
t
0
B(t − s)D(s, u
s
)ds + g(t, u
t
), t ∈ (0, a),
u
0
= ϕ ∈ B,
(9)
onde D(t, ψ) = ψ(0) + f(t, ψ) e f, g : [0, a] × X → X s˜ao fun¸c˜oes apropriadas. Usando difer-
entes resultados de ponto fixo, nos Teoremas 2.1.1, 2.1.2 e 2.1.3, ´e estabelecida a e xistˆencia
de solu¸c˜oes fracas para (9). Por outro lado, nos Teoremas 2.2.1 e 2.2.2 s˜ao es tabele cidas
condi¸c˜oes `as quais uma solu¸c˜ao fraca ´e uma solu¸c˜ao semi-cl´assica e cl´assica respectivamente.
Como aplica¸c˜ao dos resultados do Cap´ıtulo 2, no Exemplo 2.3 estudamos um sistema abstrato
que permite a an´alise do sistema integro-diferencial (5) no caso particular onde K
1
= K
2
.
xvi Introdu¸c˜ao
O Cap´ıtulo 3 ´e dedicado ao estudo do sistema integro-diferencial
d
dt
(x(t) + F (t, x
t
)) = Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds + G(t, x
t
), t ∈ (0, a),
x
0
= ϕ ∈ B,
(10)
onde A : D(A) ⊂ X → X, B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X, t ≥ 0 s˜ao ope radores fechados em X, a
hist´oria x
t
: (−∞, 0] → X, x
t
(θ) = x(t + θ) pertence a um espa¸co de fase abstrato B definido
axiomaticamente e F, G : [0, a] × B → X s˜ao fun¸c˜oes apropriadas.
Como ´e observado no Cap´ıtulo 3, o tratamento deste sistema ´e diferente e de fato mais
complicado que aquele usado no estudo de (9). Para obter nossos res ultados de existˆencia
usamos propriedades e conceitos relacionados com a teoria de Resolventes anal´ıticos, veja
como referˆencia [25].
Em geral os resultados de existˆencia do Cap´ıtulo 3 s˜ao obtidos usando Teoremas de
ponto fixo. Especificamente, no Teorema 3.1.1 ´e provado a existˆencia de solu¸c˜oes fracas
usando o crit´erio da contra¸c˜ao. Por outro lado, os Teoremas 3.1.2 e 3.1.3 estabelecem a
existˆencia de solu¸c˜oes fracas por meio dos Teoremas de Schauder e Leray-Schauder, respec ti-
vamente. Neste Cap´ıtulo tamb´em consideramos a existˆencia de s olu¸c˜oes semi-cl´assicas, veja
Teorema 3.2.1 e cl´assicas, veja Teorema 3.2.3, para (10). O Cap´ıtulo ´e completado com uma
aplica¸c˜ao dos resultados abstratos.
No Cap´ıtulo 4 estudamos a existˆencia e regularidade de solu¸c˜oes para uma classe de
sistemas neutros integro-diferenciais descritos da forma
d
dt
x(t) +
t
−∞
N(t − s)x(s)ds
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds + G(t, x
t
), t > 0,
x
0
= ϕ ∈ B,
(11)
onde A : D(A) ⊂ X → X, B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X, t ≥ 0 s˜ao operadores lineares fechados
com D(B(t)) ⊃ D(A), t ≥ 0 e (N(t))
t≥0
´e uma fam´ılia de operadores lineares cont´ınuos em
X.
Para obter nossos resultados de existˆencia de solu¸c˜oes, na primeira parte do Cap´ıtulo
4 desenvolvemos uma teoria de operadores resolventes para o sistema integro-diferencial
d
dt
x(t) +
t
0
N(t − s)x(s)ds
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds, t ∈ (0, a),
x(0) = x
0
.
(12)
`a qual denominaremos fam´ılia “N-resolvente”. Dizemos que uma fam´ılia de operadores
lineares fortemente cont´ınua (R(t))
t≥0
em X ´e uma fam´ılia N-resolvente para (12) se R(0) =
Introdu¸c˜ao xvii
I
d
e as equa¸c˜oes
d
dt
R(t)x +
t
0
N(t − s)R(s)xds
= AR(t)x +
t
0
B(t − s)R(s)xds,
d
dt
R(t)x +
t
0
R(t − s)N(s)xds
= R(t)Ax +
t
0
R(t − s)B(s)xds,
s˜ao satisfeitas para todo t ≥ 0.
Os resultados b´asicos deste Cap´ıtulo s˜ao os Teorema 4.2.1 onde ´e provado a existˆencia
de uma fam´ılia N-resolvente anal´ıtica para (12), e o Teorema 4.3.1 onde ´e introduzida uma
forma da varia¸c˜ao dos parˆametros para (12). Finalmente, no Teorema 4.4.3 aplicamos a teoria
de operadores N-resolvente para o estudo da existˆencia de solu¸c˜oes cl´assicas para o sistema
(11).
As nota¸c˜oes presentes nesta Tese s˜ao aquelas usadas em An´alise Funcional. Em par-
ticular, para espa¸cos normados (Y, ·
Y
) e (Z, ·
Z
), L(Y, Z) representa o espa¸co dos
operadores lineares cont´ınuos de Y em Z munido da norma uniforme de operadores. A
nota¸c˜ao L(Y ) e reservada para L(Y, Y ). Para x ∈ Z e r > 0, B
r
(x, Z) representa a bola de
centro x e raio r em Z.
xviii Introdu¸c˜ao
Cap´ıtulo 1
Preliminares
Resumo
Neste cap´ıtulo introduzimos defini¸c˜oes, conceitos e propriedades b´asicas da teoria de
semigrup os de operadores lineares, operadores resolventes para equa¸c˜oes integro-diferenciais
e espa¸co de fase abstrato que ser˜ao usados durante o decorrer do trabalho.
1.1 Semigrupos de operadores lineares
Introduzimos a seguir, conceitos e propriedades b´asicas da teoria de semigrupos de
operadores lineares limitados em espa¸cos de Banach. No que segue, X ´e um espa¸co de
Banach e L(X) ´e o espa¸co dos operadores lineares cont´ınuos de X em X munido da norma
uniforme de operadores.
Defini¸c˜ao 1.1.1 Uma fam´ılia de operadores (T (t))
t≥0
em L(X) ´e um semigrupo de oper-
adores se
(a) T (0) = I
d
,
(b) T (t + s) = T (t)T (s), t, s ≥ 0.
Defini¸c˜ao 1.1.2 Um semigrupo de operadores lineares (T (t))
t≥0
´e chamado de C
0
-semigrupo
se para todo x ∈ X, a fun¸c˜ao t → T (t)x ´e cont´ınua no zero. O semigrupo ´e chamado
uniformemente cont´ınuo se a fun¸c˜ao [0, ∞) → L(X); t → T (t) ´e cont´ınua no zero.
2 Cap´ıtulo 1. Preliminares
Defini¸c˜ao 1.1.3 Sejam (T (t))
t≥0
um C
0
-semigrupo de operadores lineares em X e D(A) o
conjunto
D(A) =
x ∈ X : lim
t↓0
T (t)x − x
t
existe
.
O operador A : D(A) ⊂ X → X definido por
Ax = lim
t↓0
T (t)x − x
t
=
d
+
dt
T (t)x|
t=0
, x ∈ D(A),
´e chamado o gerador infinitesimal do semigrupo (T (t))
t≥0
.
No pr´oximo resultado, resumiremos algumas propriedades b´asicas relativas a C
0
-semigrupos.
Teorema 1.1.1 [63] Sejam (T (t))
t≥0
um C
0
-semigrupo de operadores lineares em X e A seu
gerador infinitesimal. Ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao verificadas.
(a) O semigrupo (T (t))
t≥0
´e uniformemente cont´ınuo, se e somente se, A ´e um operador
limitado.
(b) Existem constantes ω ≥ 0 e M > 1 tais que T (t) ≤ M e
ωt
, para todo t ≥ 0.
(c) Para todo t > 0 e todo x ∈ X, lim
s→t
T (s)x = T (t)x. Mais ainda, se o semigrupo ´e
uniformemente cont´ınuo ent˜ao lim
s→t
T (s) = T (t) em L(X).
(d) Para todo x ∈ X e todo t ≥ 0, lim
h↓0
1
h
t+h
t
T (s)x ds = T (t)x.
(e) Para todo x ∈ X e todo t > τ ≥ 0,
t
τ
T (s)x ds ∈ D(A) e A
t
τ
T (s)x ds = T (t)x −
T (τ)x.
(f) Para todo x ∈ D(A) e todo t ≥ 0, T (t)x ∈ D(A) e
d
dt
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax.
(g) A ´e linear, fechado e D(A) = X.
Apresentamos a seguir o famoso Teorema de Hille Yosida. Este Teorema estabelece
condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para que um operador linear fechado seja o gerador in-
finitesimal de um C
0
-semigrupo de contra¸c˜oes em X. Previamente consideremos algumas
defini¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 1.1.4 Seja (T (t))
t≥0
um C
0
-semigrupo operadores lineares em X. Diremos (T (t))
t≥0
´e um C
0
-semigrupo de contra¸c˜oes se T (t) ≤ 1 para todo t ≥ 0.
1.1. Semigrupos de operadores lineares 3
Defini¸c˜ao 1.1.5 Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear. O conjunto resolvente de A,
denotado por ρ(A), ´e definido por
ρ(A) = {λ ∈ C; (λI − A) ´e invers´ıvel e (λI − A)
−1
∈ L(X)}.
A fun¸c˜ao de ρ(A) em L(X), definida por λ → R(λ : A) = (λI − A)
−1
, ´e chamada resolvente
de A.
Teorema 1.1.2 (Hille-Yosida)[63, Theorem 3.1] Um operador linear A : D(A) ⊂ X → X ´e
o gerador infinitesimal de um C
0
-semigrupo de contra¸c˜oes se, e somente se,
(i) A ´e fechado e D(A) = X;
(ii) ρ(A) ⊃ (0, ∞) e R(λ : A) ≤
1
λ
, para todo λ > 0.
A seguir resumiremos e come ntaremos alguns fatos b´asicos a respeito de semigrupos
compactos e anal´ıticos. Inclu´ımos tamb´em de forma sucinta, algumas propriedades das
potˆencias fracion´arias associadas com o gerador de um semigrupo anal´ıtico.
Defini¸c˜ao 1.1.6 Um C
0
-semigrupo, (T (t))
t≥0
, de operadores lineares ´e compacto para t > t
0
,
se para todo t > t
0
o operador T (t) ´e compacto. O semigrupo (T (t))
t≥0
´e chamado compacto,
se ´e compacto para todo t > 0.
Notemos que se X ´e um espa¸co de dimens˜ao finita ent˜ao todo C
0
-semigrupo de oper-
adores lineares ´e compacto. Mais ainda, se um C
0
-semigrupo (T (t))
t≥0
´e um C
0
-semigrupo
compacto para t ≥ 0 ent˜ao X ´e de dimens˜ao finita.
Teorema 1.1.3 [63, Theorem 3.2 ] Seja (T (t))
t≥0
um C
0
-semigrupo de operadores lineares
em X. Se T (t) ´e compacto para t > t
0
, ent˜ao a fun¸c˜ao (t
0
, ∞) → L(X); t → T (t) ´e cont´ınua.
O pr´oximo Teorema caracteriza quando um C
0
-semigrupo ´e compacto.
Teorema 1.1.4 [63, Theorem 3.3] Seja (T (t))
t≥0
um C
0
-semigrupo de operadores lineares
limitados em X e A seu gerador infinitesimal. O semigrupo (T(t))
t≥0
´e compacto, se e
somente se, a fun¸c˜ao (0, ∞) → L(X); t → T (t) ´e cont´ınua e R(λ : A) ´e compacto para todo
λ ∈ ρ(A).
Nossos resultados de existˆencia, em alguns casos, s˜ao especialmente aplicados para o
caso em que A ´e o gerador de um semigrupo anal´ıtico. Por isto, introduzimos agora elementos
b´asicos associados a este tipo de semigrupo.
4 Cap´ıtulo 1. Preliminares
Defini¸c˜ao 1.1.7 Sejam 0 < φ
1
< φ
2
e ∆ = {z ∈ C : φ
1
≤ arg(z) ≤ φ
2
}. Uma fam´ılia de
operadores lineares limitados (T (z))
z∈∆
em X ´e um semigrupo anal´ıtico em ∆, se as seguintes
condi¸c˜oes s˜ao verificadas.
(i) A fun¸c˜ao z → T (z) ´e anal´ıtica em ∆;
(ii) T (0) = I
d
e lim
z→0
T (z)x = x para todo x ∈ X;
(iii) T (z
1
+ z
2
) = T (z
1
)T (z
2
) para todo z
1
, z
2
∈ ∆.
O seguinte resultado ´e um cl´assico Teorema de caracteriza¸c˜ao de semigrupos anal´ıticos.
Teorema 1.1.5 [63, Theorem 5.2 ] Seja (T (t))
t≥0
um C
0
-semigrupo uniformemente limitado
de operadores lineares, A seu gerador infinitesimal e suponha que 0 ∈ ρ(A). Ent˜ao as
seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(a) O semigrupo (T (t))
t≥0
pode ser estendido a um semigrupo anal´ıtico em um setor ∆
δ
=
{z : |arg(z)| < δ}, δ > 0, tal que (T (z))
z∈∆
δ
´e uniformemente limitado em cada
sub-setor ∆
δ
, com δ
< δ.
(b) Existe uma constante C > 0 tal que para cada σ > 0 e todo τ = 0 R(σ +iτ : A) ≤
C
|τ|
.
(c) Existe 0 < δ <
π
2
e M > 0 tal que
ρ(A) ⊃ Σ
+
= {λ ∈ C : 0 < ω < |arg(λ)| ≤ π} ∪ {0}
e
R(λ : A) ≤
M
|λ|
, λ ∈ Σ, λ = 0.
(d) A fun¸c˜ao t → T (t) ´e diferen ci´avel em (0, ∞) e existe C > 0 tal que
AT (t) ≤
C
t
, t > 0.
No que resta deste cap´ıtulo assumiremos que (T (t))
t≥0
´e um C
0
-semigrupo de oper-
adores lineares e A ´e seu gerador infinitesimal. Para estabelecermos o conceito de potˆencia
fracion´aria de A introduzimos a seguinte condi¸c˜ao.
1.1. Semigrupos de operadores lineares 5
(H) Existem constantes ω e M pos itivas tais que
ρ(A) ⊃ Σ
+
= {λ ∈ C : 0 < ω < |arg(λ)| ≤ π} ∪ V
e
R(λ : A) ≤
M
1 + |λ|
, λ ∈ Σ
+
,
onde V ´e uma vizinhan¸ca do zero
Defini¸c˜ao 1.1.8 Assuma que A verifica a condi¸c˜ao (H). Para α > 0 definimos
A
−α
=
1
2πi
C
r
z
−α
(A − zI)
−1
dz
onde C
r
= C
1
∪ C
2
∪ C
3
⊂ Σ
+
´e uma curva dada por
C
1
= {ρe
iυ
: ρ ≥ r},
C
2
= {re
iθ
: −υ ≤ θ ≤ υ},
C
3
= {−ρe
−iυ
: ρ ≥ r},
sendo ω < υ < π e r > 0.
Teorema 1.1.6 [63, Lemmas 6.2-6.6 ] As seguintes propriedades s˜ao v´alidas.
(a) Se α, β ≥ 0 ent˜ao A
−(α+β)
= A
−α
A
−β
.
(b) O conjunto {A
−α
: α ∈ (0, 1)} ´e limitado em L(X).
(c) lim
α↓0
A
−α
x = x para todo x ∈ X.
(d) A
−α
´e injetora para cada α ≥ 0.
Defini¸c˜ao 1.1.9 Suponha que A satisfaz a condi¸c˜ao (H) com ω <
π
2
. Para cada α > 0
definimos A
α
= (A
−α
)
−1
.
Teorema 1.1.7 [63, Theorem 6.8] Seja A
α
como na Defini¸c˜ao 1.1.9. As seguintes pro-
priedades s˜ao v´alidas.
(a) A
α
´e um operado r fechado com D(A
α
) = Im(A
−α
).
(b) Para α ≥ β > 0 temos D(A
α
) ⊂ D(A
β
).
(c) D(A
α
) = X para ca da α ≥ 0.
6 Cap´ıtulo 1. Preliminares
(c) A
α+β
x = A
α
A
β
x para cada x ∈ D(A
γ
) onde γ = max{α, β, α + β}.
Teorema 1.1.8 [63, Theorem 6.13 ] Seja −A o gerador infinitesimal de um semigrupo
anal´ıtico T (t) e 0 < γ ≤ η ≤ 1. Se 0 ∈ ρ(A) e X
α
´e o espa¸co D(A
α
) munido da norma do
gr´afico, ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao verificadas.
(a) X
η
´e um espa¸co de Ban ach, X
η
→ X
γ
.
(b) Para cada η > 0, a fun¸c˜ao s → (−A)
η
T (s) ´e cont´ınua sobre (0, ∞) na topologia uniforme
de operadores, e existe C
η
> 0 tal que (−A)
η
T (t) ≤
C
η
t
η
, para todo t > 0.
(c) Para todo t > 0 e todo α > 0, T (t)(X) ⊂ D(A
α
). Mais ainda, para t ≥ 0 e x ∈ D(A
α
).
temos que T (t)A
α
x = A
α
T (t)x.
(d) Para cada α ∈ (0, 1] existe C
α
> 0 tal que T (t)x − x ≤ C
α
t
α
A
α
x , para todo
x ∈ D(A
α
) e todo t > 0.
1.2 Operador resolvente para equa¸c˜oes integro-diferenciais
Nosso estudo de existˆencia de solu¸c˜oes para s iste mas neutros do tipo integro-diferencial
ser´a feito fazendo uso da teoria de operadores resolventes. Brevemente, um operador resol-
vente de operadores lineares em X ´e uma fam´ılia a um parˆametro de operadores lineares em
X, que s e relaciona com o sistema integro-diferencial
x
(t) = Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s) ds, t > 0,
x(0) = x
0
∈ X,
de maneira similar como semigrupo de operadores lineares se relaciona com a equa¸c˜ao linear
x
(t) = Ax(t).
Em rela¸c˜ao a teoria de operadores resolventes associados a sistemas integro-diferenciais
citamos, [26] para existˆencia de operadores resolvente; [57] para o estudo de existˆencia e
regularidade das solu¸c˜oes para sistemas integro-diferencias semi-lineares e [25] para resolvente
anal´ıticos entre outros.
Considere o sistema integro-diferencial
x
(t) = Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds, t ∈ (0, a), (1.1)
x(0) = x
0
∈ X. (1.2)
1.2. Operador resolvente para equa¸c˜oes integro-diferenciais 7
Nesta tese sempre assumiremos que A : D(A) ⊂ X → X ´e um operador fechado densamente
definido em X; que cada B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X ´e um operador linear fechado em X com
D(B(t)) ⊃ D(A) e que a seguinte hip´otese ´e verificada.
(H
0
) A : D(A) ⊂ X → X ´e um operador fechado densamente definido em X; que cada
B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X ´e um operador linear fechado em X com D(B(t)) ⊃ D(A),
para todo x ∈ D(A) a fun¸c˜ao t → B(t)x e fortemente mensur´aveis em (0, ∞) e existe
b ∈ L
1
loc
(R
+
) e β ∈ R
+
com b(t)e
−βt
∈ L
1
(R
+
) tal que B(t)x ≤ b(t)( x + Ax )
para todo x ∈ D(A).
Defini¸c˜ao 1.2.1 Uma familia de operadores lineares (R(t))
t≥0
em L(X) ´e chamada operador
resolvente associada a (1.1)-(1.2) se as seguintes propriedades s˜ao verificadas:
(a) R(0) = I
d
, a fun¸c˜ao t → R(t)x ´e cont´ınua sobre [0, ∞) para todo x ∈ X e R(t)D(A) ⊂
D(A) para todo t > 0;
(b) Se x ∈ D(A), t → AR(t)x ´e cont´ınua sobre [0, ∞) e a fun¸c˜ao t → R(t)x ´e continua-
mente diferenci´avel sobre [0, ∞) e para todo t ≥ 0 e
R
(t)x = AR(t)x +
t
0
B(t − ξ)R(ξ)xdξ,
R
(t)x = R(t)Ax +
t
0
R(t − ξ)B(ξ)xdξ.
Apresentamos agora algumas propriedades b´asicas da teoria de operadores resolvente
que ser˜ao usadas em nosso trabalho.
Lema 1.2.1 [26, Lemma 1] Seja (R(t))
t≥0
uma fam´ılia resolvente associada a (1.1)-(1.2).
Ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao v´alidas.
(1) A fam´ılia resolvente ´e (R(t))
t≥0
´e ´unica.
(2) Se U(t), t ≥ 0, ´e o operador definido por U (t) =
t
0
R(s)ds, ent˜ao U(t)X ⊂ D(A).
Defini¸c˜ao 1.2.2 [26, Definition 2] O sistema (1.1)-(1.2) ´e chamado de bem posto se as
seguintes condi¸c˜oes s˜ao verificad as.
(a) Para cada x ∈ D(A) existe uma ´unica solu¸c˜ao u(·, x) de (1.1)-(1.2).
(b) Se (x
n
)
n∈N
´e uma seq¨uˆencia em D(A) tal que x
n
→ 0 quando n → ∞ ent˜ao u(t, x
n
) → 0
quando n → ∞ uniformemente em intervalos limitados de [0, ∞).
8 Cap´ıtulo 1. Preliminares
A rela¸c˜ao entre a existˆencia de fam´ılia resolvente para (1.1)-(1.2) e do sistema ser bem
posto ´e estabelecida no seguinte resultado.
Teorema 1.2.1 [26, Theorem 4] A equa¸c˜ao (1.1)-(1.2) admite um operador resolvente, se e
somente se, o sistema (1.1)-(1.2) ´e bem posto.
Como no caso de semigrupos lineares, existem resultados de gera¸c˜ao do tipo Hille-Yosida
para operadores resolvente, veja por exemplo, Grimmer & Pr¨uss [26] e Sforza [66]. No pr´oximo
resultado,
B(λ) ´e a transformada de Laplace da fun¸ca˜o t → B(t).
Defini¸c˜ao 1.2.3 Uma fam´ılia resolvente (R(t))
t≥0
associada a (1.1)-(1.2) ´e dita exponen-
cialmente limitada se existem constantes ω
0
e M ≥ 1 tais que R(t) ≤ Me
ω
0
t
para todo
t ≥ 0.
Teorema 1.2.2 [26, Theorem 8] Assuma que (H
0
) ´e verificada. Ent˜ao existe um operador
resolvente exponencialmente limitado (R(t))
t≥0
associado a (1.1)-(1.2), se e somente se, as
seguintes condi¸c˜oes s˜ao verificad as.
(a) Existe ω > β e M ≥ 1 tal que (λ − A −
B(λ)) ´e fechado, com dom´ınio D(A);
(b) O operador (λ − A −
B(λ)) ´e invert´ıvel para Re(λ) > ω; a fun¸c˜ao λ → H(λ) =
(λ − A −
B(λ))
−1
´e anal´ıtica e holomorfa sobre L(X) e
1
n!
d
n
dλ
n
H(λ) ≤
M
(Re(λ) − ω)
n+1
, Re(λ) > ω, n ∈ N
0
= N ∪ {0}.
Observa¸c˜ao 1.2.1 Se (R(t))
t≥0
´e uma fam´ılia resolvente exponencialmente limitada asso-
ciado a (1.1)-(1.2) e B(t) = 0 para todo t ∈ R
+
, ent˜ao (R(t))
t≥0
´e um C
0
-semigrupo em
X.
Teorema 1.2.3 [26, Theorem 6] Seja (R(t))
t≥0
uma fam´ılia resolvente associada (1.1)-(1.2)
exponencialmente limitada. Ent˜ao
D(A) = {x ∈ X : lim
h↓0
R(h)x − x
h
existe }
e
Ax = lim
h↓0
R(h)x − x
h
, x ∈ D(A).
1.2. Operador resolvente para equa¸c˜oes integro-diferenciais 9
Para continuar inclu´ımos alguns resultados relacionados com o problema n˜ao homogˆeneo
x
(t) = Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s) ds + f (t), t ∈ (0, a), (1.3)
x(0) = x
0
∈ X. (1.4)
No que segue desta se ¸c˜ao assumiremos que (R(t))
t≥0
´e uma fam´ılia resolvente para
(1.1)-(1.2).
Defini¸c˜ao 1.2.4 Uma fun¸c˜ao u : [0, a] → X ´e chamada solu¸c˜ao cl´assica de (1.3)-(1.4),
se u(·) ´e continuamente diferenci´avel em (0, a), u(t) ∈ C((0, a) : [D(A)]) e (1.3)-(1.4) ´e
verificada em [0, a).
Teorema 1.2.4 [26, Theorem 2] Seja x
0
∈ X e f ∈ C([0, a] : X). Se u(·) ´e uma solu¸c˜ao
cl´assica de (1.3)-(1.4) ent˜ao
u(t) = R(t)x
0
+
t
0
R(t − s)f(s)ds, ∀ t ∈ [0, a]. (1.5)
Como no caso de semigrupos lineares, a fun¸c˜ao u(·) definida por (1.5) n˜ao ´e em geral
solu¸c˜ao cl´assica de (1.3)-(1.4). Por isso introduzimos os seguintes conceitos.
Defini¸c˜ao 1.2.5 Seja f ∈ L
1
([0, a] : X). Dizemos que uma fun¸c˜ao u ∈ C([0, a] : X) ´e uma
solu¸c˜ao fraca de (1.3)-(1.4) se
u(t) = R(t)x +
t
0
R(t − s)f(s)ds, ∀ t ∈ [0, a].
Os pr´oximos resultados estabelecem condi¸c˜oes b´asicas nas quais uma solu¸c˜ao fraca ´e
cl´assica. No que segue [D(A)] ´e o espa¸co D(A) munido da norma do gr´afico.
Teorema 1.2.5 [26, Theorem 8] Seja u
0
∈ D(A). Se a fun¸c˜ao f ∈ L
1
([0, a] : [D(A)])
ou f ∈ W
1,1
([0, a] : X) ent˜ao a fun¸c˜ao u(·) definida por (1.5) ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de
(1.3)-(1.4).
Corol´ario 1.2.1 [26, Corollary 2] Assuma que f ∈ C([0, a] : X). A fun¸c˜ao definida por
u(t) =
t
0
R(t−s)f (s)ds ´e solu¸c˜ao de (1.3)-(1.4) com u
0
= 0, se uma das seguintes condi¸c˜oes
s˜ao satisfeitas
(i) u ∈ C
1
([0, a] : X);
(ii) u ∈ C([0, a] : [D(A)]).
Se u ´e uma solu¸c˜ao cl´assica sobre [0, a] ent˜ao u satisfaz as condi¸c˜oes (i) e (ii).
10 Cap´ıtulo 1. Preliminares
1.3 Espa¸cos de fase abstratos e alguns Teoremas
Neste trabalho, o espa¸co de fase B ´e definido de maneira axiom´atica. Especificamente,
B ser´a um espa¸co vetorial formado por fun¸c˜oes definidas de (−∞, 0] em X, munido de uma
seminorma ·
B
e tal que as seguintes propriedades s˜ao verificadas.
(A) Se x : (−∞, σ + b) → X, b > 0, ´e cont´ınua sobre [σ, σ + b) e x
σ
∈ B, onde x
σ
(θ) :=
x(σ + θ), ent˜ao para cada t ∈ [σ, σ + b), as seguintes propriedades s˜ao v´alidas:
(i) x
t
∈ B,
(ii) x(t) ≤ H x
t
B
,
(iii) x
t
B
≤ K(t − σ) sup{ x(s) : σ ≤ s ≤ t} + M(t − σ) x
σ
B
,
sendo H uma constante pos itiva, K, M : [0, ∞) → [0, ∞), K(·) cont´ınua, M(·) local-
mente limitada e onde H, K e M s˜ao independentes de x(·).
(A1) Para a fun¸c˜ao x(·) em (A), a fun¸c˜ao t → x
t
´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de [σ, σ + b) em B.
(B) O espa¸co B ´e completo.
Para t ≥ 0 definimos S(t), W (t) : B → B por
[S(t)ϕ](θ) =
ϕ(0) se −t ≤ θ ≤ 0,
ϕ(t + θ) se −∞ < θ < −t,
(1.6)
[W (t)ϕ](θ) =
R(t + θ)ϕ(0) se −t ≤ θ ≤ 0,
ϕ(t + θ) se −∞ < θ < −t.
(1.7)
Dos axiomas do espa¸co B ´e f´acil deduzir que (S(t))
t≥0
´e um semigrupo de classe C
0
sobre B.
Para obter alguns dos nossos resultados, precisaremos de algumas propriedades adi-
cionais para o espa¸co de fase B.
(C2) Se (ϕ
n
)
n∈N
´e uma seq¨uˆencia uniformemente limitada em C
00
(X)) e assuma que ϕ
n
→ ϕ
uniformemente em compactos. Ent˜ao ϕ ∈ B e ϕ
n
− ϕ
B
→ 0, quando n → ∞.
(C3) Seja x : (−∞, σ+b] → X cont´ınua, com x
σ
= 0 e tal que derivada a direita x
(σ
+
) existe.
Seja ψ : (−∞, 0] → X a fun¸c˜ao definida por ψ(θ) = 0 para θ < 0 e ψ(0) = x
(σ
+
). Se
ψ ∈ B ent˜ao
1
h
x
σ+h
− ψ
B
→ 0 quando h ↓ 0.
Espa¸cos de fase abstratos e alguns Teoremas 11
Para detalhes relacionados com os axiomas (C2), (C3) veja [33, 49]. Como comple-
mento, apresentamos alguns exemplo de espa¸cos de fases.
Exemplo 1.3.1 O espa¸co C
g
(·).
Seja g : (−∞, 0] → [0, ∞) uma fun¸c˜ao positiva, cont´ınua, com g(0) = 1, e tal que as
seguintes condi¸c˜oes s˜ao verificad as.
(g-1) A fun¸c˜ao γ(t) := sup
−∞<θ≤−t
g(t + θ)
g(θ)
´e localmente limitada para t ≥ 0.
(g-2) g(θ) → ∞ quando θ → −∞.
Definimos por C
0
g
o espa¸co formado pelas fun¸c˜oes cont´ınuas ϕ : (−∞, 0] → X tais que
ϕ(θ)
g(θ)
→ 0 quando θ → −∞. Consideraremos C
0
g
munido com a norma
ϕ
g
:= sup
−∞<θ≤−t
ϕ(θ)
g(θ)
.
Nessas condi¸c˜oes, o par (C
0
g
, ·
g
) ´e um espa¸co de fase que verifica os axiomas A, A
1
e B.
Exemplo 1.3.2 O espa¸co C
r
× L
2
(ρ , X).
Seja ρ : [0, ∞) → R positiva, cont´ınua, decrescente, com ρ(0) = 1 e tal que ρ(t) → 0
quando t → ∞. Seja B = C
r
× L
2
(ρ , X) o espa¸co formado pelas fun¸c˜oes ϕ : (−∞, 0] → X
tais que ρ ϕ
2
´e Lebesgue integr´avel sobre (−∞, r] e ϕ|
[−r,0]
∈ C([−r, 0]; X). Sobre o espa¸co
C
r
× L
2
(ρ , X) consideramos a semi-norma ·
B
definida por
ϕ
B
:=
−r
−∞
ρ(θ) ϕ(θ)
2
dθ
1/2
+ sup
θ∈[−r,0]
ϕ(θ) .
Assumamos adicionalmente que existe uma fun¸c˜ao integr´avel e localmente limitada
γ : (−∞, −r] → [1, ∞) tal que ρ(ξ + θ) ≤ γ(ξ) ρ(θ), para todo ξ ≤ 0 e todo θ ∈ (−∞, −r] \N
ξ
sendo N
ξ
⊆ (−∞, −r] um conjunto de medida zero. Nessas condi¸c˜oes, o par (B, ·
B
) ´e um
espa¸co de fase que verifica os axiomas A, A
1
e B. Mais ainda, no caso r = 0, p = 2 temos
que M(t) = γ(−t)
1
2
e que K(t) = 1 +
0
−t
ρ(τ)dτ
1
2
para todo t ≥ 0.
Nossos resultados sobre existˆencia de solu¸c˜oes s˜ao obtidos usando Teoremas de ponto
fixo. Assim para facilitar a leitura deste trabalho considere os seguintes resultados.
Teorema 1.3.1 [59, Corollary 4.3.2] Seja D um subconjunto convexo, limitado e fechado de
um espa¸co de Banach Z. Se B, C : D → Z s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas tais que:
12 Cap´ıtulo 1. Preliminares
(a) Bz + Cz ∈ D para todo z ∈ Z;
(b) C(D) ´e compacto;
(c) Existe 0 ≤ γ < 1 tal que Bz − Bw ≤ γ z − w para todo z, w ∈ D,
ent˜ao existe u ∈ D tal que Bu + Cu = u.
Observa¸c˜ao 1.3.1 Se um operador L : D → C, pode ser escrito da forma L = B + C, onde
B, C est˜ao nas condi¸c˜oes do Teorema 1.3.1, ent˜ao L ´e dito operador condensante.
Teorema 1.3.2 [23, Theorem 6.5.4] ( Leray Schauder Alternative ) Seja D um subconjunto
convexo fechado de um espa¸co de Banach Z e assuma que 0 ∈ D. Se F : D → D uma
aplica¸c˜ao completamente cont´ınua, ent˜ao o conjunto {x ∈ D : x = λF (x), 0 < λ < 1} ´e n˜ao
limitado ou F possui um ponto fixo em D.
Para finalizar este cap´ıtulo, consideramos o seguinte crit´erio de valor m´edio para a
integral de Bochner o qual ser´a usado frequentemente neste trabalho. No que segue deste
trabalho co{A} representa a envolt´oria convexa do conjunto A.
Teorema 1.3.3 [59, Lemma 1.3] Seja Z um espa¸co de Banach e f : [α, β] → Z uma fun¸c˜ao
integr´avel. Ent˜ao
1
β − α
β
α
f(τ)dτ ∈ co{f(τ) : τ ∈ [α, β]}.
Cap´ıtulo 2
Existˆencia e regularidade de
solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao
integro-diferencial do tipo neutra
Resumo
Neste cap´ıtulo usaremos a teoria de operadores resolventes para estudar a existˆencia de
solu¸c˜oes fracas, semi-cl´assicas e cl´assicas para o sistema integro-diferencial do tipo neutro
d
dt
D (t, x
t
) = AD (t, x
t
) +
t
0
B(t − s)D(s, x
s
)ds + g(t, x
t
), t ∈ (0, a), (2.1)
x
0
= ϕ ∈ Ω ⊂ B, (2.2)
onde A : D(A) ⊂ X → X, B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X t ≥ 0 s˜ao operadores fechados em X
com D(B(t)) ⊃ D(A) para todo t ≥ 0; B ´e um espa¸co de fase definido de maneira axiom´atica;
Ω ⊂ B ´e aberto; D(t, ϕ) = ϕ(0) + f (t, ϕ) e f, g : [0, a] × Ω → X s˜ao fun¸c˜oes apropriadas.
2.1 Existˆencia de solu¸c˜oes fracas
Neste cap´ıtulo assumiremos que (R(t))
t≥0
´e uma fam´ılia resolvente para (1.1)-(1.2).
Assumiremos tamb´em que M > 0 ´e tal que R(t) ≤ M para todo t ∈ [0, a]. No que
segue B ´e um espa¸co de fase abstrato que verifica os axiomas (A), (A1) e (B) do Cap´ıtulo
1 e H, K(·), M(·) s˜ao como no axioma (A). Adicionalmente, para uma fun¸c˜ao limitada ξ :
14 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
[0, b] → [0, ∞) e t ∈ [0, b], usaremos a nota¸c˜ao ξ
t
para ξ
t
= sup{ξ(s) : s ∈ [0, t]}. Para
um espa¸co de Banach (Z, ·
Z
) e uma fun¸c˜ao cont´ınua η : [0, b] → Z usaremos a nota¸c˜ao
η(θ)
t
= sup{ η(θ) : θ ∈ [0, t]}. Por B
r
(x, Z) denotaremos a bola fechada de centro em x
e raio r no espa¸co Z e por B
r
(ψ, B) denotaremos a bola de centro em ψ e raio r no espa¸co
de fase B.
Come¸camos introduzindo o conceito de solu¸c˜ao fraca para o sistema (2.1)-(2.2).
Defini¸c˜ao 2.1.1 Uma fun¸c˜ao x : (−∞, b] → X ´e chamada de solu¸c˜ao fraca de (2.1)-(2.2)
sobre [0, b], 0 < b ≤ a, se x ∈ C([0, b] : X); x
0
= ϕ e
x(t) = R(t)(ϕ(0) + f(0, ϕ)) − f(t, x
t
) +
t
0
R(t − s)g(s, x
s
)ds, t ∈ [0, b]. (2.3)
Observa¸c˜ao 2.1.1 No que segue, y : (−∞, a] → X ´e a fun¸c˜ao definida por
y(t) =
R(t)ϕ(0) se 0 ≤ t ≤ a,
ϕ(t) se −∞ < t < 0.
(2.4)
Agora es tamos em condi¸c˜oes de estabelecer nosso primeiro resultado de existˆencia de
solu¸c˜oes fracas, para isto usaremos o cl´assico Princ´ıpio da Contra¸c˜ao.
Teorema 2.1.1 Suponha que as fun¸c˜oes f, g : [0, a] × Ω → X s˜ao cont´ınuas e que existem
constantes positivas L
f
, L
g
tais que
f(t, ψ
1
) − f(t, ψ
2
) ≤ L
f
ψ
1
− ψ
2
B
,
g(t, ψ
1
) − g(t, ψ
2
) ≤ L
g
ψ
1
− ψ
2
B
,
para todo t ∈ [0, a] e todo ψ
1
, ψ
2
∈ Ω.
Se K(0)L
f
< 1, ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao fraca do problema (2.1)-(2.2) sobre
[0, b] para algum 0 < b ≤ a.
Demonstra¸c˜ao: Usando que f e g s˜ao cont´ınuas, fixamos constantes b
ϕ
, r
1
, C
f
e C
g
tais que
B
r
1
(ϕ, B) ⊆ Ω e f(t, ψ) ≤ C
f
, g(t, ψ) ≤ C
g
, para todo 0 ≤ t ≤ b
ϕ
e todo ψ ∈ B
r
1
(ϕ, B).
Seja y(·) a fun¸c˜ao introduzida em (2.4). Pelo axioma (A1), a fun¸c˜ao t → y
t
´e cont´ınua
em [0, b
ϕ
], assim podemos fixar ρ > 0 e 0 < b
1
< b
ϕ
tais que
µ = L
f
K
b
1
< 1, (2.5)
K
b
1
ρ + sup
t∈[0,b
1
]
y
t
− ϕ
B
< r
1
. (2.6)
2.1. Existˆencia de solu¸c˜oes fracas 15
Fixemos agora 0 < b ≤ b
1
tal que as seguintes desigualdades sejam verifidas.
(R(θ) − I)f(0, ϕ)
b
≤
(1 − µ)ρ
3
, (2.7)
f(θ, y
θ
) − f(0, ϕ)
b
≤
(1 − µ)ρ
3
, (2.8)
MbC
g
≤
(1 − µ)ρ
3
, (2.9)
K
b
(L
f
+ ML
g
b) < 1. (2.10)
Sobre o espa¸co
S(b) = {u : (−∞, b] → X : u|
[0,b]
∈ C([0, b], X), u
0
= 0, u(θ)
b
≤ ρ},
munido com a norma da convergˆencia uniforme, definimos o operador Γ : S(b) → C([0, b] : X)
por
Γx(t) = R(t)f(0, ϕ) − f(t, x
t
+ y
t
) +
t
0
R(t − s)g(s, x
s
+ y
s
)ds.
No que segue, mostraremos que Γ ´e uma contra¸c˜ao de S(b) em S(b).
´
E claro que para
x ∈ S(b), Γx ´e cont´ınua em [0, b]. Por outro lado, se x ∈ S(b), de (2.6) temos que
x
t
+ y
t
− ϕ
B
≤ x
t
B
+ y
t
− ϕ
B
≤ K
b
1
ρ + sup
t∈[0,b
1
]
y
t
− ϕ
B
< r
1
,
o que mostra que x
t
+y
t
∈ B
r
1
(ϕ, B) para todo t ∈ [0, b]. Assim temos que f (t, x
t
+y
t
) < C
f
e g(t, x
t
+ y
t
) < C
g
para todo t ∈ [0, b] e todo x ∈ S(b). Logo para x ∈ S(b) e t ∈ [0, a]
vemos que
Γx(t) ≤ R(t)f(0, ϕ) − f(0, ϕ) + f(t, x
t
+ y
t
) − f(t, y
t
)
+ f(t, y
t
) − f(0, ϕ) +
t
0
R(t − s)g(s, x
s
+ y
s
)ds
≤
(1 − µ)ρ
3
+ L
f
x
t
B
+
(1 − µ)ρ
3
+ MbC
g
≤
(1 − µ)ρ
3
+ L
f
K
b
x(θ)
b
+
(1 − µ)ρ
3
+
(1 − µ)ρ
3
= (1 − µ)ρ + µρ = ρ,
o que prova que Γx ∈ S(b) e ent˜ao que Γ(S(b)) ⊂ S(b). Mais ainda se u, v ∈ S(b), tem-se que
Γu(t) − Γv(t) ≤ f(t, u
t
+ y
t
) − f(t, v
t
+ y
t
)
+
t
0
M g(s, u
s
+ y
s
) − g(s, v
s
+ y
s
) ds
≤ L
f
u
t
− v
t
B
+L
g
M
t
0
u
s
− v
s
B
ds
≤ K
b
(L
f
+ L
g
Mb) u(θ) − v(θ)
b
,
16 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
o que prova que Γu(θ) − Γv(θ)
b
< K
b
(L
f
+ L
g
Mb) u(θ) − v(θ)
b
. Portanto, Γ ´e uma
contra¸c˜ao de S(b) em S(b) por (2.10). Do princ´ıpio da Contra¸c˜ao, existe um ´unico ponto fixo
x ∈ X de Γ.
´
E claro que u = x + y ´e a ´unica solu¸c˜ao fraca de (2.1)-(2.2). Assim a prova do
Teorema est´a completa.
Para mostrar nossos pr´oximos resultados de existˆencia de solu¸c˜oes fracas, ´e neces s´ario
considerar o seguinte lema que estabelece condi¸c˜oes nas quais um certo operador do tipo
convolu¸c˜ao ´e completamente cont´ınuo.
Lema 2.1.1 Sejam (Z
i
, ·
Z
i
), i = 1, 2, 3, espa¸cos de Banach, β > 0; (C(t))
t∈[0,β]
uma
fam´ılia de operadores em L(Z
2
, Z
3
) e f : [0, β] ×Z
1
→ Z
2
. Assuma que as seguintes condi¸c˜oes
s˜ao verificadas
(a) Para cada x ∈ Z
2
, a fun¸c˜ao t → C(t)x ´e cont´ınua sobre (0, β] e existe J ∈ L
1
([0, β] : R
+
)
tal que C(t)
L(Z
2
,Z
3
)
≤ J(t) para todo t ∈ [0, β];
(b) A fun¸c˜ao f(·, x) ´e fortemente mensur´avel sobre [0, β] para cada x ∈ Z
1
e a fun¸c˜ao
f(s, ·) : Z
1
→ Z
2
´e cont´ınua para todo s ∈ [0, β];
(c) Existe uma fun¸c˜ao cont´ınua m : [0, ∞) → [0, ∞) e uma fun¸c˜ao cont´ınua e n˜ao de-
crescente Ω : [0, ∞) → (0, ∞) tal que f(t, x)
Z
2
≤ m(t)Ω( x
Z
1
) para todo
(t, x) ∈ [0, β] × Z
1
.
Seja Γ : C([0, β] : Z
1
) → C([0, β], Z
3
) o operador definido por
Γx(t) =
t
0
C(t − s)f (s, x(s))ds.
Ent˜ao Γ ´e cont´ınua. Mais ainda, se alguma das seguintes condi¸c˜oes ´e verificada,
(i) A fun¸c˜ao f(·) ´e completamente cont´ınua;
(ii) A fun¸c˜ao t → C(t) ´e cont´ınua em L(Z
2
, Z
3
) sobre (0, β] e para cada t ∈ (0, β] e r > 0
o conjunto {C(t)f(s, x(s)) : s ∈ [0, β], x ∈ B
r
(0, Z
1
)} ´e relativamente co mpacto em Z
3
,
ent˜ao Γ ´e um operador completamente cont´ınuo.
Demonstra¸c˜ao: Usando (a), (b) e (c) ´e f´acil ver que Γx ∈ C([0, β] : Z
3
) se x ∈ C([0, β] :
Z
1
). Para mostrar que Γ ´e cont´ınua, fixemos uma seq¨uˆencia (u
n
)
n∈N
em C([0, β] : Z
1
) e
2.1. Existˆencia de solu¸c˜oes fracas 17
u ∈ C([0, β] : Z
1
) tal que u
n
→ u quando n → ∞.
´
E obvio que f(s, u
n
(s)) → f(s, u(s)) q.t.p.
sobre [0, β]. Isto junto a estimativa
C(t − s)f (s, u
n
(s))
Z
3
≤ J(t − s)m(s)W ( u
n
(s)
Z
1
) ≤ J(t − s)m(s)W (L),
onde L ≥ sup
s∈[0,β],n∈N
u
n
(s)
Z
1
, e o Teorema da convergˆencia dominada, nos permite concluir
que Γ ´e cont´ınua.
Para mostrar que Γ ´e um operador compacto usaremos o cl´assico Teorema de Ascoli-
Arzela. Para isto, fixamos B
r
= B
r
(0, C([0, β] : Z
1
)), r > 0. No que segue estudamos
separadamente a equicontinuidade de ΓB
r
e a pre-compacidade do conjunto ΓB
r
(t) = {Γx(t) :
x ∈ B
r
}.
Suponha inicialmente que (i) ´e verificada. Mostraremos que Γ(B
r
)(t) ´e relativamente
compacto para todo t ∈ [0, β]. Sejam 0 < < t ≤ β. Como a fun¸c˜ao s → C(s) ´e fortemente
cont´ınua sobre [0, β], segue que o cojunto W = {C(s)y : s ∈ [, β], y ∈ f ([0, β] × B
r
)} ´e
relativamente compacto em Z
3
. Usando agora o Teorema 1.3.3, vemos que para x ∈ B
r
Γx(t) =
0
C(s)f (t − s, x(t − s))ds +
t
C(s)f (t − s, x(t − s))ds
∈ C
+ (t − )co(W ),
onde diam(C
) ≤ W (r)
0
J(s)m(t − s)ds. Isto prova que {Γx(t) : x ∈ B
r
} ´e totalmente
limitado em Z
3
e portanto relativamente compacto. Como ΓB
r
(0) = {0}, deduzimos que a
propriedade ´e v´alida para todo t ∈ [0, β].
Mostraremos agora que ΓB
r
´e equicont´ınuo sobre [0, β]. Seja t ∈ (0, β] e fixemos 0 <
< t. Usando que U = {f(s, y) : (s, y) ∈ [0, β] × B
r
} ´e relativamente compacto em Z
2
, e que
s → C(s)x ´e cont´ınua sobre [, β] para todo x ∈ Z
2
, segue que o conjunto de fun¸c˜oes {s →
C(s)x : x ∈ U } ´e equicont´ınuo sobre [, β]. Assim, existe δ > 0 tal que C(s)x −C(s
)x
Z
3
<
, para todo s, s
∈ [, β] e todo x ∈ U tal que | s − s
|< δ. Nestas condi¸c˜oes, para x ∈ B
r
e
0 < h < δ obtemos que
Γx(t + h) − Γx(t)
Z
3
≤
t−
0
C(t + h − s) − C(t − s)f(s, x(s))
Z
2
ds
+
t
t−
C(t + h − s) − C(t − s)
L(Z
2
,Z
3
)
f(s, x(s))
Z
2
ds
+
t+h
t
C(t + h − s)
L(Z
2
,Z
3
)
f(s, x(s))
Z
2
ds
≤ W (r)
t−
0
m(s)ds +
t
t−
(J(t + h − s) + J(t − s)) m(s)ds
+W (r)
t+h
t
J(t + h − s)m(s)ds,
18 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
o que nos permite concluir que ΓB
r
´e equicont´ınuo a direita em t ∈ (0, β]. Procedendo de
forma similar podemos mostrar a equicontinuidade em t = 0 e a equicontinuidade a esquerda
em t ∈ (0, β]. Portanto, ΓB
r
´e equicont´ınuo sobre [0, β]. Segue dos passos anteriores que Γ ´e
completamente cont´ınuo quando (i) ´e v´alido.
Suponha v´alida a condi¸c˜ao (ii). Mostraremos para come¸car que o conjunto ΓB
r
(t) ´e
relativamente compacto. Sejam t ∈ (0, β] e 0 < < t. Como t → C(t) ´e cont´ınua sobre
[, β], existem pontos = t
1
< t
2
< ... < t
n+1
= t, tais que C(s) − C(s
)
L(Z
2
,Z
3
)
≤ se
s, s
∈ [t
i
, t
i+1
] para algum i = 1, 2, . . . , n. Nessas condi¸c˜oes, do Teorema do valor medio para
a integral de Bochner, veja Teorema 1.3.3, para x ∈ B
r
vemos que
Γx(t) =
t
C(s)f (t − s, x(t − s))ds +
0
C(s)f (t − s, x(t − s))ds
=
n
i=1
t
i+1
t
i
(C(s) − C(t
i
))f(t − s, x(t − s))ds +
n
i=1
t
i+1
t
i
C(t
i
)f(t − s, x(t − s))ds
+
0
C(s)f (t − s, x(t − s))ds
∈
n
i=1
C
i
+
n
i=1
(t
i+1
− t
i
)co({C(t
i
)f(ξ, y) : ξ ∈ [0, β], y ∈ B
r
(0, Z
1
)}) + B
onde diam(C
i
) ≤ W (r)
β
0
m(t − s)ds e diam(B
) ≤ W (r)
0
J(s)m(t − s)ds. Isto nos
permite concluir que Γ(B
r
)(t) ´e totalmente limitado em Z
3
e como conseq¨uˆencia que ΓB
r
(t)
´e relativamente compacto em Z
3
para todo t ∈ [0, β], pois ΓB
r
(0) = {0}.
Vejamos agora que ΓB
r
´e equicontinuo sobre [0, β]. Seja t ∈ (0, β). Como a fun¸c˜ao
s → C(s) ´e cont´ınua sobre [, β], existe δ > 0 tal que C(s) − C(s
)
L(Z
2
,Z
3
)
< , para todo
s, s
∈ [, β] quando | s − s
|< δ. Usando isto, para x ∈ B
r
e 0 < h < δ com t + h ∈ (0, β)
vemos que
Γx(t + h) − Γx(t)
Z
3
≤
t−
0
C(t + h − s) − C(t − s)
L(Z
2
,Z
3
)
f(s, x(s))
Z
2
ds
+
t
t−
C(t + h − s) − C(t − s)
L(Z
2
,Z
3
)
f(s, x(s))
Z
2
ds
+
t+h
t
C(t + h − s)
L(Z
2
,Z
3
)
f(s, x(s))
Z
2
ds
≤ W (r)
t−
0
m(s)ds +
t
t−
(J(t + h − s) + J(t − s))m(s)ds
+W (r)
t+h
t
J(t + h − s)m(s)ds,
o que permite concluir que ΓB
r
´e equicont´ınuo a direita em t ∈ (0, β). Usando um argumento
similar podemos mostrar a equicontinuidade em t = 0 e a equicontinuidade a esquerda em
2.1. Existˆencia de solu¸c˜oes fracas 19
t ∈ (0, β]. Portanto, ΓB
r
´e equicont´ınuo. Segue do anterior que se (ii ) ´e v´alido, ent˜ao Γ ´e
completamente cont´ınuo. Agora a prova est´a completa.
Para mostrar nossos pr´oximos Teoremas introduzimos a seguinte hip´otese sobre a fun¸c˜ao
g(·).
(H
g
) A fun¸c˜ao g : [0, a] × B → X satisfaz as seguintes condi¸c˜oes.
(i) A fun¸c˜ao g(t, ·) : B → X ´e cont´ınua para cada t ∈ [0, a];
(ii) Para cada x ∈ X, a fun¸c˜ao g(·, x) : [0, a] → X ´e fortemente mensur´avel;
(iii) Existe uma fun¸c˜ao cont´ınua m
g
: [0, a] → [0, ∞) e uma fun¸c˜ao cont´ınua n˜ao
decrescente Ω
g
: [0, ∞) → (0, ∞) tal que
g(t, ψ) ≤ m
g
(t)Ω
g
( ψ
B
), (t, ψ) ∈ [0, a] × B.
Para a prova do noss o pr´oximo resultado usaremos o Teorema 1.3.1.
Teorema 2.1.2 Suponha que a hip´otese (H
g
) ´e v´alida e que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao
verificadas
(a) A fun¸c˜ao f : [0, a] × Ω → X ´e cont´ınua e existe L
f
> 0 tal que
f(t, ψ
1
) − f(t, ψ
2
) ≤ L
f
ψ
1
− ψ
2
B
,
para todo t ∈ [0, a] e todo ψ
1
, ψ
2
∈ Ω;
(b) Existe uma constante r
ϕ
> 0, tal que para cada t ∈ [0, a] existe um compacto W
t
⊆ X
tal que R(t)g(s, ψ) ∈ W
t
para todo ψ ∈ B
r(ϕ)
(ϕ, B) e todo s ∈ [0, a].
Se K(0)L
f
< 1, ent˜ao existe uma solu¸c˜ao fraca do problema (2.1)-(2.2) sobre [0, b] para
algum 0 < b ≤ a.
Demonstra¸c˜ao: Sejam S(b), ρ, r e Γ(·) como na prova do Teorema 2.1.1. Sem perda de
generalidade assumiremos que r < r
ϕ
. Considere a decomposi¸c˜ao Γ = Γ
1
+ Γ
2
, onde
Γ
1
x(t) = R(t)f(0, ϕ) − f(t, x
t
+ y
t
),
Γ
2
x(t) =
t
0
R(t − s)g(s, x
s
+ y
s
)ds.
Da prova do Teorema 2.1.1 sabemos que Γ
1
´e uma contra¸c˜ao de S(b) em S(b). Pelo
Lema 2.1.1, deduzimos que Γ
2
´e completamente cont´ınuo de S(b) em S(b). Assim, Γ ´e um
20 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
operador condensante o que pelo Teorema 1.3.1 p e rmite concluir que Γ possui um ponto fixo
x ∈ S(b).
´
E claro que u = x + y ´e solu¸c˜ao fraca de (2.1)-(2.2). A prova est´a completa.
Para a demostra¸c˜ao do nosso pr´oximo Teorema introduzimos a seguinte hip´otese sobre
a fun¸c˜ao f(·).
(H
f
) A fun¸c˜ao f : [0, a] × B → X ´e completamente cont´ınua e existem constantes c
1
, c
2
> 0
tais que
f(t, ψ) ≤ c
1
ψ
B
+c
2
, (t, ψ) ∈ [0, a] × B.
Seja y(·) a fun¸c˜ao definida em (2.4) e S(a) = {x : (−∞, a] → X : x
0
= 0, x|
[0,a]
∈
C([0, a] : X)} munido com a norma da convergˆencia uniforme. Para todo Q ⊂ S(a)
limitado, o conjunto de fun¸c˜oes {t → f(t, x
t
+ y
t
) : x ∈ Q} ´e equicont´ınuo sobre [0, a].
Teorema 2.1.3 Suponha que as hip´otese (H
f
), (H
g
) e a condi¸c˜ao (b) do Teorema 2.1.2 s˜ao
verificadas. Assuma tamb´em que
MK
a
µ
t
0
m
g
(s)ds <
∞
C
µ
ds
Ω
g
(s)
, (2.11)
onde C = ((M
a
+ K
a
MH) + Mc
1
K
a
) ϕ
B
+(M + 1)c
2
K
a
e µ = 1 − K
a
c
1
> 0. Ent˜ao
existe uma solu¸c˜ao fraca do problema (2.1)-(2.2) sobre [0, a].
Demonstra¸c˜ao: Sobre o espa¸co S(a) definimos o operador Γ : S(a) → S(a) por
Γx(t) =
0, se t < 0,
R(t)f(0, ϕ) − f(t, x
t
+ y
t
) +
t
0
R(t − s)g(s, x
s
+ y
s
)ds, se 0 ≤ t ≤ a.
(2.12)
Para mostrar nosso resultado, usaremos o Teorema 1.3.2. Inicialmente, obtemos estimativas
a priori para as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao integral x = λΓx, λ ∈ (0, 1). Seja x
λ
uma solu¸c˜ao de
x = λΓx. Usando a nota¸c˜ao v
λ
(s) = (M
a
+ K
a
MH) ϕ
B
+K
a
x
λ
(θ)
s
, dos axiomas do
espa¸co de fase segue que
x
λ
(t) ≤ R(t)f(0, ϕ) + f (t, x
λ
t
+ y
λ
t
) +
t
0
R(t − s)g(s, x
λ
s
+ y
λ
s
)ds
≤ M (c
1
ϕ
B
+c
2
) + (c
1
x
λ
t
+ y
λ
t
B
+c
2
) +
t
0
Mm
g
(s)Ω
g
( x
λ
s
+ y
λ
s
B
)ds
≤ (M c
1
ϕ
B
+(M + 1)c
2
) + c
1
x
λ
t
+ y
λ
t
B
+
t
0
Mm
g
(s)Ω
g
( x
λ
s
+ y
λ
s
B
)ds
≤ (M c
1
ϕ
B
+(M + 1)c
2
) + c
1
v
λ
(t) +
t
0
Mm
g
(s)Ω
g
(v
λ
(s))ds.
2.1. Existˆencia de solu¸c˜oes fracas 21
Da defini¸c˜ao de v
λ
temos agora que
v
λ
(t) ≤ (M
a
+ K
a
MH) ϕ
B
+K
a
x
λ
(θ)
s
≤ ((M
a
+ K
a
MH) + Mc
1
K
a
) ϕ
B
+(M + 1)c
2
K
a
+ K
a
c
1
v
λ
(t)
+MK
a
t
0
m
g
(s)Ω
g
(v
λ
(s))ds,
e portanto
v
λ
(t) ≤
C
µ
+
MK
a
µ
t
0
m
g
(s)Ω
g
(v
λ
(s))ds.
Seja β
λ
(t) o lado direito da desigualdade anterior. Derivando β
λ
temos que
β
λ
(t) ≤
MK
a
µ
m
g
(t)Ω
g
(β
λ
(t)),
e assim que
β
λ
(t)
Ω
g
(β
λ
(t))
≤
MK
a
µ
m
g
(t).
Portanto,
β
λ
(t)
β
λ
(0)
ds
Ω
g
(s)
≤
MK
a
µ
t
0
m
g
(s)ds <
∞
C
µ
ds
Ω
g
(s)
, t ∈ [0, a].
Da ´ultima desigualdade e de (2.11), podemos concluir que o conjunto {β
λ
(t) : t ∈ [0, a]; λ ∈
(0, 1)} ´e limitado o que mostra que o conjunto {x
λ
(·) : λ ∈ (0, 1)} ´e limitado em S(a).
Para mostrar que Γ ´e um operador completamente cont´ınuo, introduzimos a decom-
posi¸c˜ao Γ = Γ
1
+ Γ
2
, onde (Γ
i
x)
0
= 0, i = 1, 2, e
Γ
1
x(t) = R(t)f(0, ϕ) − f(t, x
t
+ y
t
), t ∈ [0, a], (2.13)
Γ
2
x(t) =
t
0
R(t − s)g(s, x
s
+ y
s
)ds, t ∈ [0, a]. (2.14)
Devido as propriedades do operador resolvente e as hip´oteses (H
f
) e (H
g
) temos que
Γ
1
e Γ
2
s˜ao bem definidas e assumem valores em S(a). Mais adiante, das propriedades de f
e do Le ma 2.1.1 segue que os operadores Γ
i
, i = 1, 2, s˜ao compactos . Assim, para completar
a prova, ´e suficiente mostrar que cada Γ
i
, i = 1, 2, ´e cont´ınuo. Sejam (u
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia
em S(a) e u ∈ S(a) tais que u
n
→ u em S(a). Dos axiomas do espa¸co de fase, deduzimos
que o c onjunto U = {u
n
s
, u
s
: s ∈ [0, a], n ∈ N} ´e relativamente compacto em B. Como f
´e uniformemente cont´ınua sobre U, segue que f(s, u
n
s
) → f(s, u
s
) uniformemente sobre [0, a]
quando n → ∞, o que mostra que Γ
1
´e cont´ınua.
22 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
Para provar a continuidade de Γ
2
, fixamos r > 0 tal que u
n
s
B
≤ r para todo n ∈ N
e todo s ∈ [0, a]. Como g(s, x
s
) ≤ m
g
(s)Ω
g
(r + sup
s∈[0,a]
y
s
B
), podemos deduzir a
continuidade de Γ
2
a partir do Teorema da convergˆencia dominada de Lebesgue.
Como conseq¨uˆe ncia do anterior, obtemos que Γ ´e um operador completamente cont´ınuo
sobre S(a) e do Teorema 1.3.2, que Γ possui um ponto fixo x ∈ S(a). Agora a prova do
resultado est´a completa pois u = x + y ´e uma solu¸c˜ao fraca de (2.1)-(2.2).
2.2 Resultados de regularidade
Nesta se¸c˜ao estudaremos a regularidade das solu¸c˜oes fracas de (2.1)-(2.2) obtidas na
se¸c˜ao anteior. Para isto assumiremos que (R(t))
t≥0
´e um operador resolvente exponencial-
mente limitado para (1.1)-(1.2). Por simplicidade, no que segue assumiremos que Ω = B.
2.2.1 Existˆencia de solu¸c˜ao semi-cl´assica
Para come¸car, introduzimos o seguinte conceito se solu¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2.2.1 Uma fun¸c˜ao u : (−∞, b) → X ´e uma solu¸c˜ao semi-cl´assica de (2.1)-(2.2)
se u
0
= ϕ; as fun¸c˜oes u(·) e t → f(t, u
t
) s˜ao fun¸c˜oes em W
1,1
([0, b] : X); a fun¸c˜ao t →
u(t) + f(t, u
t
) ∈ C([0, b) : D(A)) ∩ C
1
((0, b) : X) e (2.1) ´e satisfeita em [0, b).
Para provar nosso primeiro resultado de regularidade precisamos de algumas prelim-
inares. No pr´oximo Lema, W (·) e S(·) s˜ao as fam´ılias de op eradores definidas em (1.6) e (1.7)
respectivamente. Como antes, y : (−∞, a] → X ´e a fun¸c˜ao introduzida em (2.4).
Lema 2.2.1 Se as fun¸c˜oes R(·)ϕ(0) e S(·)ϕ s˜ao Lipschitz em [0, a], ent˜ao a fun¸c˜ao s → y
s
tamb´em ´e Lipshitz em [0, a].
Demonstra¸c˜ao:
´
E obvio que y
t
= W (t)ϕ para t ≥ 0. Se s ∈ [0, a] e h > 0 s˜ao tais que
s + h ∈ [0, a], ent˜ao
y
s+h
− y
s
B
≤ M
a
y
h
− ϕ
B
+ y(θ + h) − y(θ)
a
≤ M
a
W (h)ϕ − S(h)ϕ
B
+M
a
S(h)ϕ − ϕ
B
+C
1
h
≤ M
a
K
a
R(θ)ϕ(0) − ϕ(0)
h
+C
2
h
≤ C
3
h,
Existˆencia de solu¸c˜ao semi-cl´assica 23
onde as constantes C
i
, i = 1, 2, 3 s˜ao independentes de t e h. Isto prova que s → y
s
´e Lipschitz
sobre [0, a].
Lema 2.2.2 Assuma que as condi¸c˜oes do Lema 2.2.1 s˜ao verificadas. Suponha tamb´em que
a fun¸c˜ao t → R(t)f (0, ϕ) ´e Lipschitz em [0, a] e que existem constantes L
f
, L
g
> 0 tais que
f(t, ψ
1
) − f(s, ψ
2
) ≤ L
f
(| t − s | + ψ
1
− ψ
2
B
),
g(t, ψ
1
) − g(s, ψ
2
) ≤ L
g
(| t − s | + ψ
1
− ψ
2
B
),
para todo 0 ≤ s, t ≤ a e todo ψ
1
, ψ
2
∈ B. Se x(·) ´e uma solu¸c˜ao fraca de (2.1)-(2.2) sobre
[0, b], 0 < b ≤ a, e K
b
L
f
< 1, ent˜ao as fun¸c˜oes x(·) e s → x
s
s˜ao Lipschitz sobre [0, b].
Demonstra¸c˜ao: Considere a desomposi¸c˜ao x(t) = y(t) + z(t) onde y ´e a fun¸c˜ao introduzida
em (2.4). Para come¸car vejamos que z(·) ´e Lipschitz sobre [0, b]. Usando que as fun¸c˜oes y(·)
e t → y
t
s˜ao Lipschitz, veja Lema 2.2.1, para t ∈ [0, b] e h > 0 tais que t + h ∈ [0, b] temos
que
z(t + h) − z(t) ≤ R(t + h)f (0, ϕ) − R(t)f(0, ϕ)
+ f(t + h, y
t+h
+ z
t+h
) − f(t, y
t
+ z
t
)
+
t
0
R(t − s) g(s + h, y
s+h
+ z
s+h
) − g(s, y
s
+ z
s
) ds
+
h
0
R(t + h − s) g(s, x
s
) ds
≤ C
1
h + L
f
(h+ y
t+h
+ z
t+h
− y
t
− z
t
B
)
+M
t
0
L
g
(h+ y
s+h
+ z
s+h
− y
s
− z
s
B
)ds + M g(θ, x
θ
)
b
h
≤ C
2
h + L
f
z
t+h
− z
t
B
+ML
g
t
0
z
s+h
− z
s
B
ds
≤ C
2
h + M
b
L
f
z
h
B
+K
b
L
f
z(θ + h) − z(θ)
t
+ML
g
M
b
z
h
B
+ML
g
K
b
t
0
z(θ + h) − z(θ)
s
ds,
onde C
i
, i = 1, 2 s˜ao constantes independentes de t e h. Tomando supremo em [0, t] e usando
que K
b
L
f
< 1, vemos que existem constantes C
i
, i = 3, 4, 5, independentes de t e h tais que
z(θ + h) − z(θ)
t
≤ C
3
h + C
4
z(θ)
h
+C
5
t
0
z(θ + h) − z(θ)
s
ds. (2.15)
24 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
Estudaremos agora o termo z(θ)
h
. Veja que para s ∈ [0, h],
z(s) ≤ R(s)f(0, ϕ) − f(0, ϕ) + f(0, ϕ) − f (s, y
s
+ z
s
)
+
s
0
R(s − τ)g(τ, y
τ
+ z
τ
) dτ
≤ C
6
h + L
f
y
s
− ϕ
B
+L
f
z
s
B
+M g(θ, y
θ
+ z
θ
)
b
h
≤ C
7
h + L
f
z
s
B
≤ C
7
h + L
f
K
b
z(θ)
s
,
de onde conclu´ımos a existˆencia de C
8
> 0 independente de t e h tal que
z(θ)
h
≤ C
8
h, (2.16)
pois L
f
K
b
< 1. O que da des igualdade de Gronwall nos permite concluir que z(·) ´e Lipschitz
sobre [0, b] e como consequˆencia que x(·) ´e Lipschitz sobre [0, b]. Finalmente da desigualdade
x
t+h
− x
t
B
≤ y
t+h
− y
t
B
+K
a
z(θ + h) − z(θ)
t
+M
a
K
a
z(θ)
h
, (2.17)
e de (2.16) obtemos que t → x
t
´e Lipschitz. A prova est´a completa.
Nosso primeiro resultado de regularidade ser´a obtido ass umindo que X possui a pro-
priedade de Radon-Nikod´ym. Para isto, dado um intervalo J ∈ R e um espa¸co de Banach Z,
definimos por W
1,1
(J : Z) o seguinte espa¸co de fun¸c˜oes.
W
1,1
(J : Z) = {f ∈ L
1
(J, Z) e f(s) = f (s
0
) +
s
s
0
g(s)ds, para algum s
0
∈ J e g ∈ L
1
(J, Z)}.
Defini¸c˜ao 2.2.2 Um espa¸co de Banach Z tem a propriedade de Radon-Nikod´ym com respeito
a um espa¸co de medida finita (Ω, Σ, µ), se para cada medida vetorial µ-cont´ınua de varia¸c˜ao
limitada G : Σ → Z existe g ∈ L
1
(µ : Z) tal que G(E) =
E
gdµ para todo E ∈ Σ. Dizemos
que Z possui a propriedade de Radon-Nikod´ym, no que segue (RNP) se Z tem a propriedade
de Radon-Nikod´ym com respeito a todo espa¸co de medida finita.
Lema 2.2.3 [20] Se Z e um espa¸co Banach que possui a (RNP) e w : [0, a] → X ´e uma
fun¸c˜ao Lipchitz, ent˜ao w ∈ W
1,1
([0, a] : X).
Teorema 2.2.1 Suponha que X possui a (RNP). Assuma tamb´em as hip´oteses do Lema
2.2.2 s˜ao satisfeitas e que ϕ(0) + f(0, ϕ) ∈ D(A). Se x(·) ´e uma solu¸c˜ao fraca de (2.1)-(2.2)
sobre [0, b], en t˜ao x(·) ´e uma solu¸c˜ao semi-cl´assica de(2.1)-(2.2) em [0, b].
Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica 25
Demonstra¸c˜ao: Do Lema 2.2.2 sab e mos que as fun¸c˜oes x(·) e t → x
t
s˜ao Lipschitz sobre
[0, b], o que por sua vez implica que t → g(t, x
t
) e t → f(t, x
t
) s˜ao Lipschitz sobre [0, b]. Pelo
Lema 2.2.3 segue que x(·), t → g(t, x
t
) e t → f (t, x
t
) ∈ W
1,1
([0, a] : X). Seja w(·) a solu¸c˜ao
fraca de
dw(t)
dt
= Aw(t) +
t
0
B(t − s)w(s)ds + g(t, x
t
), t ∈ (0, b), (2.18)
w(0) = ϕ(0) + f(0, ϕ). (2.19)
Pelo Teorema 1.2.5 segue que w ∈ C([0, b) : D(A)) ∩ C
1
((0, b) : X) e que w(·) verifica
a equa¸c˜ao sobre [0, b). Agora, da unicidade das solu¸c˜oes fracas de (2.18)-(2.19) podemos
concluir que w(t) = x(t) + f(t, x
t
) para t ∈ [0, b). Isto, junto ao fato que t → f(t, x
t
) ∈
W
1,1
([0, b] : X) permite concluir a prova de que x(·) ´e uma solu¸c˜ao semi-cl´assica.
2.2.2 Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica
Nesta se¸c˜ao estab elec em os condi¸c˜oes suficientes para que uma solu¸c˜ao fraca de (2.1)-
(2.2) seja uma solu¸c˜ao cl´assica.
Defini¸c˜ao 2.2.3 Uma fun¸c˜ao x : (−∞, b) → X ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (2.1)-(2.2) sobre
[0, b) se x
0
= ϕ; x ∈ C([0, b) : X) ∩ C
1
((0, b) : X); x(t) ∈ D(A) para todo t ∈ [0, b) e (2.1) ´e
satisfeita em (0, b).
Para continuar introduzimos algumas nota¸c˜oes que ser˜ao usadas durante o restante
deste trabalho. Sejam (Y, ·
Y
), (Z, ·
Z
) espa¸cos de Banach. Para uma fun¸c˜ao Frechet
diferenci´avel ξ : [α, β] × Y → Z denotaremos por D
1
ξ(t, x) a derivada em rela¸c˜ao a primeira
vari´avel t e por D
2
ξ(t, x) a derivada em rela¸c˜ao a segunda vari´avel x. Alˆem disso, usaremos
a decomposi¸c˜ao.
ξ(t
0
+ t, x
0
+ x) − ξ(t
0
, x
0
) = D
1
ξ(t
0
, x
0
)t + D
2
ξ(t
0
, x
0
)x+ (t, x) r(ξ, t
0
, x
0
, t, x), (2.20)
onde r(ξ, t
0
, x
0
, 0, 0) = 0 e r(ξ, t
0
, x
0
, t, x)
Z
→ 0 quando (t, x) =| t | + x
Y
→ 0.
No que segue, para uma fun¸c˜ao j : [0, a] → Z denotaremos por ∂
h
j : [0, a] → Z a fun¸c˜ao
definida por
∂
h
j(t) =
j(t + h) − j(t)
h
, h ∈ R.
26 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
Adicionalmente, para x ∈ X usaremos a nota¸c˜ao χ
x
para a fun¸c˜ao χ
x
: (−∞, 0] → X definida
por
χ
x
(θ) =
x se θ = 0,
0 se θ < 0.
O seguinte Lema ser´a importante na prova do Teorema 2.2.2. Para n˜ao estender o texto
omitiremos a demonstra¸c˜ao.
Lema 2.2.4 Seja K ⊂ J × Λ compacto e Λ ⊂ Y aberto. Se ξ : J × Λ → Z ´e uma
fun¸c˜ao conti- nuamente Frechet diferenci´avel, ent˜ao para todo > 0, existe δ > 0 tal que
r(ξ, t
0
, x
0
, t, x)
Z
< para todo (t
0
, x
0
) ∈ K quando (t, x) < δ.
No pr´oximo resultado estabelecemos a existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica para (2.1)-(2.2)
usando a usual hip´otese de f e g serem fun¸c˜oes diferenciaveis.
Teorema 2.2.2 Assuma que a fun¸c˜ao S(·)ϕ ´e Lipschitz sobre [0, a] e que ϕ(0) ∈ D(A).
Suponha tamb´em que fun¸c˜oes f e g s˜ao de classe C
1
sobre [0, a] × B; f([0, a] × B) ⊂ D(A);
Df(0, ϕ) ≡ 0 e que W (·)ϕ possui derivada a direita em t = 0. Se g(0, ϕ) ≡ Af(0, ϕ) ≡ 0 ou
se χ
g(0,ϕ)
e χ
Af(0,ϕ)
∈ B e B verifica o axioma (C3), ent˜ao existe uma solu¸c˜ao cl´assica de
(2.1)-(2.2) sobre [0, b] para algum 0 < b ≤ a.
Demonstra¸c˜ao: Usando que f, g ∈ C
1
([0, a] × B : X) e que D(f(0, ϕ)) ≡ 0, do Teorema
2.1.1 deduzimos a existˆencia de uma ´unica solu¸c˜ao fraca x ∈ C([0, b] : X) de (2.1)-(2.2) para
algum 0 < b ≤ a. Mais ainda, usando novamente o fato que Df(0, ϕ) ≡ 0, podemos assumir
que f ´e Lipschitz em uma vizinhan¸ca de (0, ϕ) com constante L
f
tal que L
f
K
b
< 1. Agora
como conseq¨uˆencia do Lema 2.2.2 podemos tamb´em assumir que as fun¸c˜oes x(·) e s → x
s
s˜ao Lipschitz sobre [0, b].
No que segue tomaremos b > 0 de forma que
µ = K
b
( D
2
f(θ, x
θ
)
b
+Mb D
2
g(θ, x
θ
)
b
) < 1. (2.21)
Considere agora a equa¸c˜ao integral,
z(t) = R(t)[A(ϕ(0) + f(0, ϕ)) + g(0, ϕ)] +
t
0
R(t − s)B(s)(ϕ(0) + f(0, ϕ))ds
−D
1
f(t, x
t
) − D
2
f(t, x
t
)z
t
+
t
0
R(t − s)(D
1
g(s, x
s
) + D
2
g(s, x
s
)z
s
)ds, t ∈ [0, b],
(2.22)
Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica 27
com z
0
= ψ + χ
Af(0,ϕ)
+ χ
g(0,ϕ)
, onde ψ =
d
dt
W (t)ϕ|
t=0
.
Fazendo uso de (2.21) e do princ´ıpio da contra¸c˜ao, ´e p os s´ıvel mostrar a existˆencia de
uma ´unica solu¸c˜ao z(·) ∈ C([0, b] : X) de (2.22). Como a prova ´e usual ser´a omitida.
Agora mostraremos que x
(·) = z(·) em [0, b]. Para t ∈ [0, b) e 0 < h < 1 suficientemente
pequeno de modo que t + h ∈ [0, b] temos que
∂
h
x(t) − z(t)
≤ ∂
h
R(t)(ϕ(0) + f(0, ϕ)) − R(t)(A(ϕ(0) + f(0, ϕ))) −
t
0
R(t − s)B(s)(ϕ(0) + f(0, ϕ))ds
+ ∂
h
f(t, x
t
) − D
1
f(t, x
t
) − D
2
f(t, x
t
)z
t
+
t
0
R(t − s)(∂
h
g(s, x
s
) − D
1
g(s, x
s
) − D
2
g(s, x
s
)z
s
)ds
+
1
h
h
0
R(t + h − s)g(s, x
s
)ds − R(t)g(0, ϕ) =
4
1
I
i
(t, h). (2.23)
No que segue, mostraremos que cada termo I
i
(t, h) converge a zero uniformemente
sobre [0, b] quando h → 0.
Como ϕ(0) + f(0, ϕ) ∈ D(A), ´e f´acil ver que das propriedades do operador resolvente
que I
1
(t, h) → 0 uniformemente sobre [0, b] quando h → 0.
Usando que a fam´ılia (R(t))
t≥0
´e fortemente cont´ınua e que a fun¸c˜ao t → g(t, x
t
) ´e
cont´ınua, obtemos que I
4
(t, h) → 0 uniformemente sobre [0, b] quando h → 0.
Estudaremos agora o termo I
2
(t, h). Usando a decomposi¸c˜ao introduzida em (2.20)
vemos que
I
2
(t, h) ≤ D
2
f(t, x
t
)
x
t+h
− x
t
h
− z
t
B
+
(h, x
t+h
− x
t
)
h
r(f, t, x
t
, h, x
t+h
− x
t
) .
Como a aplica¸c˜ao t → x
t
´e Lipschitz, temos do Lema 2.2.4 que
(h, x
t+h
− x
t
)
h
r(f, t, x
t
, h, x
t+h
− x
t
) → 0,
uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0. Assim podemos reescrever a desigualdade
anterior na forma
I
2
(t, h) ≤ Λ
2
(t, h)+ D
2
f(t, x
t
)
x
t+h
− x
t
h
− z
t
B
, (2.24)
onde Λ
2
(t, h) → 0 uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0.
Usando um argumento similar ao anterior ´e poss´ıvel mostrar que
I
3
(t, h) ≤ Λ
3
(t, h) + M
t
0
D
2
g(s, x
s
)
x
s+h
− x
s
h
− z
s
B
ds, (2.25)
28 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
onde Λ
3
(t, h) → 0 uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0.
Dos passos anteriores, podemos reescrever (2.23) na forma
∂
h
x(t) − z(t) ≤ H(t, h) + D
2
f(t, x
t
)
x
t+h
− x
t
h
− z
t
B
+ M
t
0
D
2
g(s, x
s
)
x
s+h
− x
s
h
− z
s
B
ds,
onde H(t, h) → 0 uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0. Mais ainda, dos axiomas do
espa¸co de fase segue que
∂
h
x(t) − z(t)
≤ H(t, h)+ D
2
f(t, x
t
) (K
b
∂
h
x(θ) − z(θ)
t
+M
b
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
)
+
t
0
M D
2
g(s, x
s
) (K
b
∂
h
x(θ) − z(θ)
s
+M
b
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
)ds
≤ H(t, h) + µ ∂
h
x(θ) − z(θ)
t
+
M
b
µ
K
b
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
.
Tomando supremo em [0, t] e usando o fato de que µ < 1, obtemos
∂
h
x(θ) − z(θ)
t
≤
1
1 − µ
sup
s∈[0,t]
H(s, h) +
M
b
K
b
(1 − µ)
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
.
Conseq¨uentemente, para mostrar que x
(·) = z(·) em [0, b], ´e suficiente provar que
x
h
− ϕ
h
→ z
0
quando h → 0
+
. Para isto, considere a decomposi¸c˜ao x = z
1
+z
2
onde (z
i
)
0
= 0
e
z
1
(θ) = R(θ)f(0, ϕ) − f(θ, x
θ
), θ ∈ [0, b],
z
2
(θ) =
θ
0
R(θ − s)g(s, x
s
)ds, θ ∈ [0, b].
Com estas nota¸c˜oes temos que x
s
= W (s)ϕ + z
1
s
+ z
2
s
e assim que
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
≤
W (h)ϕ + z
1
h
+ z
2
h
− ϕ
h
−
ψ + χ
Af(0,ϕ)
+ χ
g(0,ϕ)
B
≤
W (h)ϕ − ϕ
h
− ψ
B
+
z
1
h
h
− χ
Af(0,ϕ)
B
+
z
2
h
h
− χ
g(0,ϕ)
B
=
3
i=1
I
i
(h, B).
´
E claro que I
1
(h, B) → 0 quando h → 0. Suponha agora que Af(0, ϕ) ≡ g(0, ϕ) ≡ 0.
Usando o axioma (A), vemos que
z
1
h
h
B
+
z
2
h
h
B
≤ K
b
z
1
(θ)
h
h
+K
b
z
2
(θ)
h
h
.
Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica 29
Se [x, y] representa o segmento de reta ligando os vetores x, y. Para z
1
, das propriedades do
operador resolvente e o fato de que Af(0, ϕ) = 0 vemos para θ ∈ (0, h) que
1
h
z
1
(θ)
≤
1
h
R(θ)f(0, ϕ) − f(0, ϕ) +
1
h
f(0, ϕ) − f(θ, x
θ
)
≤
1
h
θ
0
R
(ξ)f(0, ϕ)dξ +
1
h
f(0, ϕ) − f(θ, x
θ
)
≤
1
h
θ
0
ξ
0
R(ξ − τ )B(τ)f(0, ϕ)dτ dξ +
1
h
sup
(s,ζ)∈[(0,ϕ),(θ,x
θ
)]
Df(s, ζ) (θ, ϕ − x
θ
)
≤
Mθ
h
θ
0
B(τ)f(0, ϕ) dτ +
(θ, ϕ − x
θ
)
θ
θ
h
sup
(s,ζ)∈[(0,ϕ),(θ,x
θ
)]
Df(s, ζ) ,
o que mostra que
1
h
z
1
(θ)
h
→ 0 se h → 0 pois s → x
s
´e Lipschitz em [0, b] e
sup
(s,ζ)∈[(0,ϕ),(θ,x
θ
)]
Df(s, ζ) → 0,
quando h → 0. Por outro lado, para z
2
obtemos que
1
h
z
2
(θ)
h
≤
1
h
θ
0
R(θ − s)g(s, x
s
) ds ≤
Mθ
h
g(θ, x
θ
)
h
,
o que prova que
1
h
z
2
(θ)
h
→ 0 se h → 0, uma vez que g(θ, x
θ
)
h
→ 0 quando h → 0.
Assuma agora que g(0, ϕ) = 0, Af(0, ϕ) = 0 e que B verifica o axioma (C3).
´
E f´acil
ver que
d
dt
z
2
(t)|
t=0
+
= g(0, ϕ), e como por hip´otese χ
g(0,ϕ)
∈ B, temos pelo axioma (C3) que
I
3
(h, B) → 0 quando h → 0. Em rela¸c˜ao a z
1
, veja que
z
1
(θ) − z
1
(0)
θ
=
R(θ)f(0, ϕ) − f(0, ϕ)
θ
+
f(0, ϕ) − f(θ, x
θ
)
θ
=
R(θ)f(0, ϕ) − f(0, ϕ)
θ
+
Df(0, ϕ)(θ, ϕ − x
θ
)
θ
+r(f, 0, ϕ, θ, ϕ − x
θ
)
(θ, ϕ − x
θ
)
θ
.
Como θ → x
θ
´e Lipschitz vemos que do Teorema 1.2.3 que o termo da direita na ´ultima
igualdade converge para Af (0, ϕ), como por hip´otese χ
Af(0,ϕ)
∈ B usando o axioma (C3)
conclu´ımos que I
2
(h, B) → 0 se h → 0.
Portanto, em qualquer dos casos considerados, Af(0, ϕ) = g(0, ϕ) = 0 ou quando
Af(0, ϕ) = 0 e g(0, ϕ) = 0 e B satisfaz o axioma (C3), temos que I
i
(h, B) → 0, i = 2, 3,
quando h → 0.
Mais ainda, ´e necess´ario observar que das estimativas anteriores obtemos que ∂
h
x(t) →
x
(t) uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0.
30 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
Agora mostraremos que a fun¸c˜ao t → x
t
´e continuamente diferenci´avel em B. Para isto
definimos a fun¸c˜ao w : (−∞, b] → X por
w(θ) =
z(θ), se θ ∈ (−∞, 0],
x
(θ), se θ ∈ [0, b].
Das etapas anteriores obtemos que
d
dt
x(t)|
t=0
= ψ(0) + Af(0, ϕ) + g(0, ϕ), o que implica que
x
(0
+
) = z(0), assim conclu´ımos que w
0
= z
0
∈ B e w ´e cont´ınua em [0, b], temos pelo axioma
do e spa¸co de fase (A1) que w
t
∈ B para todo t ∈ [0, b] e que a aplica¸c˜ao t → w
t
e cont´ınua
em [0, b]. Isto junto com a desigualdade
∂
h
x
t
− w
t
B
≤ M
b
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
+K
b
∂
h
x(θ) − x
(θ)
t
,
mostra que t → x
t
´e continuamente diferenci´avel em [0, b].
Seja v(·) a solu¸c˜ao fraca de
dw(t)
dt
= Aw(t) +
t
0
B(t − s)w(s)ds + g(t, x
t
), t ∈ [0, b], (2.26)
w(0) = ϕ(0) + f(0, ϕ). (2.27)
Como a fun¸c˜ao s → g(s, x
s
) ´e de class e C
1
sobre [0, b] e ϕ(0) + f(0, ϕ) ∈ D(A), do
Corol´ario 1.2.1 obtemos que v(·) ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (2.26)-(2.27). Da unicidade da
solu¸c˜ao fraca de (2.26)-(2.27) conclu´ımos que v(t) = x(t) + f (t, x
t
) para todo t ∈ [0, b]. Como
consequˆencia, x(·) verifica (2.1)-(2.2) sobre [0, b] e x(t) + f(t, x
t
) ∈ D(A) para todo t ∈ [0, b].
Mais ainda como f(t, x
t
) ∈ D(A) para todo t ∈ [0, b], segue que x(t) ∈ D(A) para cada
t ∈ [0, b] o que finalmente prova que x(·) ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (2.1)-(2.2). A prova est´a
completa.
2.3 Exemplo
Para finalizar este cap´ıtulo, nesta se¸c˜ao aplicamos alguns de nossos resultados abstratos.
Previamente, introduzimos os elementos t´ecnicos nessesarios. Seja X = L
2
([0, π]). Considere
o operador A : D(A) ⊂ X → X definido por Af(ξ) = f
(ξ), onde
D(A) = {f ∈ X : f
∈ X, f(0) = f (π) = 0}.
´
E conhecido que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo anal´ıtico e compacto (T (t))
t≥0
sobre X. Al´em disso, A possui espectro discreto, com autovalores −n
2
, n ∈ N, e autovetores
normalizados z
n
(ξ) =
2
π
1/2
sin(nξ). Al´em disso, as seguintes propriedades s˜ao verificadas:
Exemplo 31
(a) {z
n
: n ∈ N} ´e uma base ortonormal de X;
(b) Se f ∈ D(A) ent˜ao Af = −
∞
n=1
n
2
< f, z
n
> z
n
;
(c) Para f ∈ X, T(t)f =
∞
n=1
e
−n
2
t
< f, z
n
> z
n
. Em particular, vemos que (T(t))
t≥0
´e
um semigrupo uniformemente est´avel com T (t) ≤ e
−t
para t ≥ 0.
No que segue usaremos como espa¸co de fase o espa¸co B = C
r
× L
2
(ρ , X) com r = 0, o
qual foi introduzido em 1.3.
Considere o sistema integro-diferencial
d
dt
(u(t) + a
0
∗ u(t)) = A (u(t) + a
0
∗ u(t)) + A(b ∗ (u + a
0
∗ u))(t) + a
1
∗ u(t),
(2.28)
u(t, 0) = u(t, π) = 0, t ∈ [0, a],
u(θ, ξ) = φ(θ, ξ), θ ≤ 0, ξ ∈ [0, π], (2.29)
No sistema anterior, a
0
, a
1
: R → R s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas, b(t) = t
α−1
e
−ωt
com α ∈ (0, 1) e
ω > 0 e
a
0
∗ u(t) =
t
−∞
a
0
(t − s)u(s, ξ)ds,
a
1
∗ u(t) =
t
−∞
a
1
(t − s)u(s, ξ)ds,
b ∗ u(t) =
t
0
(t − s)
α−1
e
−ω(t−s)
u(s, ξ)ds.
Para estudar este sistema assumiremos que
L
f
:=
0
−∞
a
0
(−s)
2
ρ(s)
ds
1
2
< 1, L
g
:=
0
−∞
a
1
(−s)
2
ρ(s)
ds
1
2
< ∞,
e que a fun¸c˜ao ϕ definida por ϕ(θ)(ξ) = φ(θ, ξ) pertence a B.
Lema 2.3.1 Existe uma fam´ılia Resolvente (R(t))
t≥0
associada ao sistema integro-diferencial
x
(t) = Ax(t) +
t
0
Ab(t − s)x(s)ds,
x(0) = x
0
∈ X.
Demonstra¸c˜ao: Basta observar que o operador A e a fam´ılia de operadores (Ab(t))
t≥0
satisfazem as hip´oteses de [24, Theorem 3.1].
Proposi¸c˜ao 2.3.1 Nas condi¸c˜oes anteriores, existe uma ´unica solu¸c˜ao fraca para o sistema
(2.28)-(2.29) sobre [0, b] para algum 0 < b ≤ a.
32 Cap´ıtulo 2. Existˆencia de solu¸c˜oes para uma equa¸c˜ao integro-diferencial
Demonstra¸c˜ao: Definamos f, g : [0, a] × B → X por
f(t, ψ)(ξ) =
0
−∞
a
0
(−s)ψ(s)(ξ)ds,
g(t, ψ)(ξ) =
0
−∞
a
1
(−s)ψ(s)(ξ)ds.
Das propriedades das fun¸c˜oes a
0
e a
1
´e f´acil ver que as fun¸c˜oes f e g est˜ao bem definidas.
Mais ainda, f(t, ·) e g(t, ·) s˜ao operadores lineares cont´ınuos com f(t, ·)
L(B,X)
≤ L
f
e
g(t, ·)
L(B,X)
≤ L
g
para todo t ∈ [0, a]. Nestas condi¸c˜oes, o Teorema 2.1.1 garante a
existˆencia de uma ´unica solu¸c˜ao fraca para o sistema (2.28)-(2.29) sobre [0, b], para algum
0 < b ≤ a, isto conclui a prova.
O pr´oximo resultado ´e consequˆencia direta do Teorema 2.2.1.
Corol´ario 2.3.1 Suponha que R(·)ϕ(0), S(·)ϕ e R(·)f(0, ϕ) s˜ao Lipschitz sobre [0, a]. Se
ϕ(0) + f(0, ϕ) ∈ D(A), ent˜ao existe uma solu¸c˜ao semi-cl´assica de (2.28)-(2.29) em algum
intervalo [0, b] com 0 < b ≤ a.
Cap´ıtulo 3
Existˆencia e regularidade de
solu¸c˜oes para um sistema
integro-diferencial do tipo neutro
Resumo
Neste cap´ıtulo estudaremos a existˆencia de solu¸c˜oes fracas, semi-cl´assicas e cl´assicas para
uma equa¸c˜ao integro-diferencial do tipo neutro com retardamento n˜ao limitado modelada na
forma
d
dt
(x(t) + F (t, x
t
)) = Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds + G(t, x
t
), t ∈ (0, a), (3.1)
x
0
= ϕ ∈ Ω ⊂ B, (3.2)
onde A : D(A) ⊂ X → X, B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X, t ≥ 0 s˜ao operadores fechados em
X; B ´e um espa¸co de fase definido de maneira axiom´atica; Ω ⊂ B ´e aberto e F, G : I × B →
Y
i
, i = 1, 2 s˜ao fun¸c˜oes apropriadas.
3.1 Existˆencia de solu¸c˜oes fracas
Nesta se¸c˜ao usaremos a teoria de operadores resolventes e v´arios resultados de ponto
fixo no estudo da existˆencia de solu¸c˜oes fracas, se mi-c l´assicas e cl´assicas (conceitos a serem
introduzidos), para o sistema neutro (3.1)-(3.2). Neste cap´ıtulo, assumiremos que (R(t))
t≥0
´e uma fam´ılia resolvente associada ao sistema (1.1)-(1.2); que os operadores A, B(t), t ≥ 0, e
34 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
(R(t))
t≥0
comutam entre si quando x ∈ D(A) e que M > 0 ´e tal que R(t) ≤ M para todo
t ∈ [0, a]. Como no cap´ıtulo anterior, y : (−∞, a] → X ´e a fun¸c˜ao definida por
y(t) =
R(t)ϕ(0) se 0 ≤ t ≤ a,
ϕ(t) se −∞ < t < 0.
(3.3)
Lembrando que para uma fun¸c˜ao limitada ξ : [0, b] → [0, ∞) e t ∈ [0, b], usaremos a nota¸c˜ao
ξ
t
para ξ
t
= sup{ξ(s) : s ∈ [0, t]}. E para uma fun¸c˜ao cont´ınua η : [0, b] → Z usaremos a
nota¸c˜ao η(θ)
t
= sup{ η(θ) : θ ∈ [0, t]}.
Para come¸carmos introduzimos o conceito de solu¸c˜ao fraca para o sistema (3.1)-(3.2).
Defini¸c˜ao 3.1.1 Uma fun¸c˜ao x : (−∞, b] → X, 0 < b ≤ a, ´e uma solu¸c˜ao fraca de (3.1)-
(3.2) sobre [0, b] se x
0
= ϕ; x ∈ C([0, b] : X); as fun¸c˜oes s → AR(t − s)F (s, x
s
) e s →
s
0
B(s − ξ)R(t − s)F (ξ, x
ξ
)dξ s˜ao integr´aveis sobre [0, t) para todo t ∈ [0, b] e
x(t) = R(t)(ϕ(0) + F (0, ϕ)) − F (t, x
t
) −
t
0
AR(t − s)F (s, x
s
)ds
−
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)F (ξ, x
ξ
)dξds +
t
0
R(t − s)G(s, x
s
)ds, t ∈ [0, b].
(3.4)
Antes de continuar, ´e necess ´ario observar que o siste ma (3.1)-(3.2) apresenta uma
dificuldade maior que o sistema (2.1)-(2.2) tratado no cap´ıtulo anterior. A diferen¸ca entre os
dois sistemas tem origem no conceito de solu¸c˜ao fraca. Observe que de modo geral, a menos
do caso trivial em que A ´e um operador limitado, a fun¸c˜ao s → AR(t − s) n˜ao ´e integr´avel
em [0, t), t > 0, na topologia uniforme de operadores, e que uma situa¸c˜ao similar acontece
com a fun¸c˜ao s → B(t − s). Assim, no estudo do sistema (3.1)-(3.2) ´e necess´ario introduzir
alguma hip´otese (sobre F, por exemplo) de modo de garantir a integrabilidade das fun¸c˜oes
s → AR(t −s)F (s, u
s
) e τ → B(s −τ)R(t −s)F (τ, u
τ
) que aparecem na defini¸c˜ao de solu¸c˜ao
fraca.
Motivados pelo coment´ario anterior, introduzimos o seguinte esquema t´ecnico. Nesta
se¸c˜ao (Y
i
; ·
Y
i
), i = 1, 2 ser˜ao espa¸cos de Banach continuamente inclu´ıdos em X e assumire-
mos que a seguinte hip´otese ´e verificada.
(H
1
) Para cada t > 0, e todo s ∈ [0, a], R(t) ∈ L(X, Y
i
), AR(t) ∈ L(Y
1
, X) e B(s)R(t) ∈
L(Y
2
, X). Mais ainda, as seguintes propriedades s˜ao v´alidas.
(i) Para todo x ∈ Y
1
e todo t > 0, AR(·)x ∈ C((0, a] : X). Para todo x ∈ Y
2
e todo
t > 0, B(·)R(t)x ∈ L
1
([0, a] : X).
Existˆencia de solu¸c˜oes fracas 35
(ii) Existem fun¸c˜oes H
i
(·), a(·) ∈ L
1
([0, a]) tais que
AR(t)
L(Y
1
,X)
≤ H
1
(t), t ∈ (0, a],
B(s)R(t)
L(Y
2
,X)
≤ a(s)H
2
(t), s ∈ [0, a], t > 0.
Observa¸c˜ao 3.1.1
´
E interessante justificar a condi¸c˜ao (H
1
). Como mencionamos previa-
mente, as fun¸c˜oes s → AR(s), s → B(s) n˜ao s˜ao integraveis de [0, a] em L(X). Se (H
1
)
´e v´alida, u ∈ C([0, a] : Y
1
) e v ∈ C([0, a] : Y
2
), ent˜ao do criterio de Bochner para fun¸c˜oes
integr´aveis e das estimativas
AR(t − s)u(s) ≤ AR(t − s)
L(Y
1
,X)
u(s)
Y
1
≤ H
1
(t − s) u(s)
Y
1
,
B(s − τ)R(µ)y(τ) ≤ B(s − τ )R(µ)
L(Y
2
,X)
y(τ)
Y
2
≤ a(s − τ )H
2
(µ) y(τ)
Y
2
, µ > 0,
segue que s → AR(t − s)x(s)e τ → B(s − τ )R(µ)y(τ) s˜ao integr´aveis sobre [0, t) 0 < t < a,
o que ´e essencial em nosso objetivo de estudar a existˆencia de solu¸c˜oes fracas por meio da
t´ecnica de ponto fixo. Este tipo de condi¸c˜oes e verificada em v´arios casos. Se (R(t))
t≥0
´e um
semigrupo de operadores, veja Rankin [64, Theorem 2], Lunardi [55] e Pazy [63, Theorem
6.13]. Para o caso geral, considere Grimmer [25, Theorem 3.4].
Estamos agora em condi¸c˜oes de estabe lece r nosso primeiro resultado de existˆencia de
solu¸c˜ao fraca. Para isto usaremos o Princ´ıpio da Contra¸c˜ao.
Teorema 3.1.1 Seja ϕ ∈ Ω e suponha que a condi¸c˜ao (H
1
) ´e verificada. Assuma tamb´em
que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao v´alidas.
(a) A fun¸c˜ao F assume valores em Y
i
, i = 1, 2; F : R ×Ω → Y
i
, i = 1, 2 ´e cont´ınua e existe
uma constante L
F
> 0 tal que
F (t, ψ
1
) − F (t, ψ
2
)
Y
i
≤ L
F
ψ
1
− ψ
2
B
, ψ
j
∈ Ω, i, j = 1, 2, t ∈ [0, a];
(b) A fun¸c˜ao G : R × Ω → X ´e cont´ınua e existe uma constante L
G
> 0 tal que
G(t, ψ
1
) − G(t, ψ
2
) ≤ L
G
ψ
1
− ψ
2
B
, ψ
j
∈ Ω, j = 1, 2, t ∈ [0, a].
Se L
F
I
L(Y
1
,X)
K(0) < 1, ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao fraca de (3.1)-(3.2) sobre
[0, b] para algum 0 < b ≤ a.
36 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
Demonstra¸c˜ao: Fixemos constantes b
ϕ
, r
1
, C
F
e C
G
tais que B
r
1
(ϕ, B) ⊆ Ω, F (t, ψ)
Y
i
≤
C
F
, i = 1, 2, e G(t, ψ) ≤ C
G
, para todo t ∈ [0, b
ϕ
] e ψ ∈ B
r
1
(ϕ, B). Usando a continuidade
das fun¸c˜oes t → y
t
e K(·), es colhemos ρ > 0 e 0 < b
1
< b
ϕ
de forma que
µ = L
F
I
L(Y
1
,X)
K
b
1
< 1, (3.5)
K
b
1
ρ + sup
t∈[0,b
1
]
y
t
− ϕ
B
< r
1
. (3.6)
Seja 0 < b ≤ b
1
tal que as seguintes desigualdades sejam validas.
(R(θ) − I)F (θ, y
θ
)
b
≤
(1 − µ)ρ
3
, (3.7)
M F (0, ϕ) − F (θ, y
θ
)
b
≤
(1 − µ)ρ
3
, (3.8)
C
F
b
0
H
1
(s)ds + C
F
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(τ)dτ + bMC
G
≤
(1 − µ)ρ
3
, (3.9)
K
b
L
F
b
0
H
1
(s)ds + L
F
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(τ)dτ + bML
G
<
1 − µ
2
. (3.10)
Sobre o espa¸co S(b) = {u : (−∞, b] → X : u|
[0,b]
∈ C([0, b], X), u
0
= 0, u(θ)
b
≤ ρ},
munido da norma da convergˆencia uniforme, definimos Γ : S(b) → C((−∞, b] : X) por
(Γx)
0
= 0 e
Γx(t) = R(t)F (0, ϕ) − F (t, x
t
+ y
t
) −
t
0
AR(t − s)F (s, x
s
+ y
s
)ds
−
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)F (ξ, x
ξ
+ y
ξ
)dξds +
t
0
R(t − s)G(s, x
s
+ y
s
)ds, t ∈ [0, b].
Nas pr´oximas linhas mostraremos que Γ ´e uma contra¸c˜ao de S(b) em S(b). Vejamos
inicialmente que Γ est´a corretamente definida. Se x ∈ S(b), por (3.6) temos que
x
t
+ y
t
− ϕ
B
≤ x
t
B
+ y
t
− ϕ
B
≤ K
b
1
ρ + sup
t∈[0,b
1
]
y
t
− ϕ
B
< r
1
.
Assim, x
t
+ y
t
∈ B
r
1
(ϕ, B) para todo t ∈ [0, b] e conseq¨uentemente F (s, x
s
+ y
s
)
Y
i
≤ C
F
,
i = 1, 2 e G(s, x
s
+ y
s
) ≤ C
G
para todo s ∈ [0, b]. Logo,
AR(t − s)F (s, x
s
+ y
s
) ≤ AR(t − s)
L(Y
1
,X)
F (s, x
s
+ y
s
)
Y
1
≤ H
1
(t − s)C
F
,
B(s − τ)R(t − s)F (τ, x
τ
+ y
τ
) ≤ B(s − τ)R(t − s)
L(Y
2
,X)
F (τ, x
τ
+ y
τ
)
Y
2
≤ a(s − τ )H
2
(t − s)C
F
,
R(t − s)G(s, x
s
+ y
s
) ≤ R(t − s)
L(X,X)
G(s, x
s
+ y
s
) ≤ MC
G
,
Existˆencia de solu¸c˜oes fracas 37
o que do Teorema de integra¸c˜ao de Bochner, veja [20, Theorem 2], nos p e rmite concluir que as
fun¸c˜oes s → AR(t−s)F (s, x
s
+y
s
), s → R(t−s)G(s, x
s
+y
s
) e τ → B(s−τ)R(t−s)F (τ, x
τ
+y
τ
)
s˜ao integr´aveis sobre [0, t) e [0, s) respectivamente. Isto motra que Γx est´a corretamente
definida e que Γx ∈ C((−∞, b] : X).
Mostramos agora que ΓS(b) ⊂ S(b). Se x ∈ S(b) e t ∈ [0, b], vemos que
Γx(t)
≤ R(t)(F (0, ϕ) − F (t, y
t
)) + R(t)F (t, y
t
) − F (t, y
t
)
+ F (t, y
t
) − F (t, x
t
+ y
t
) +
t
0
AR(t − s)F (s, x
s
+ y
s
) ds
+
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)F (ξ, x
ξ
+ y
ξ
) dξds +
t
0
R(t − s)G(s, x
s
+ y
s
) ds
≤ M F (0, ϕ) − F (θ, y
θ
)
b
+ R(t)F (θ, y
θ
) − F (θ, y
θ
)
b
+ I
L(Y
1
,X)
L
F
x
t
B
+C
F
b
0
H
1
(s)ds + C
F
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds + MC
G
b
≤
(1 − µ)ρ
3
+
(1 − µ)ρ
3
+ I
L(Y
1
,X)
L
F
K
b
x(θ)
b
+
(1 − µ)ρ
3
≤ (1 − µ)ρ + µρ = ρ.
Como consequencia Γx(t) ≤ ρ para todo t ∈ [0, b] o que implica que ΓS(b) ⊂ S(b).
Vejamos finalmente que Γ ´e uma contra¸c˜ao. Se u, v ∈ S(b), ent˜ao
Γu(t) − Γv(t)
≤ F (t, u
t
+ y
t
) − F (t, v
t
+ y
t
)
+
t
0
AR(t − s)
L(Y
1
,X)
F (s, u
s
+ y
s
) − F (s, v
s
+ y
s
)
Y
1
ds
+
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)
L(Y
2
,X)
F (ξ, u
ξ
+ y
ξ
) − F (ξ, v
ξ
+ y
ξ
)
Y
2
dξds
+
t
0
M G(s, u
s
+ y
s
) − G(s, v
s
+ y
s
) ds
≤ I
L(Y
1
,X)
L
F
K
b
u(θ) − v(θ)
b
+
L
F
K
b
b
0
H
1
(t − s) u(θ) − v(θ)
b
ds
+L
F
K
b
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds u(θ) − v(θ)
b
ds
+MK
b
b
0
L
G
u(θ) − v(θ)
b
ds
,
de onde obtemos que
Γu(θ) − Γv(θ)
b
≤ µ u(θ) − v(θ)
b
+
1 − µ
2
u(θ) − v(θ)
b
≤ (
1
2
+
µ
2
) u(θ) − v(θ)
b
,
38 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
o que mostra Γ ´e uma contra¸c˜ao.
Finalmente, p e lo princ´ıpio da contra¸c˜ao, Γ possui um ponto fixo x(·) ∈ S(b).
´
E claro
que u(·) = y(·) + x(·) ´e a ´unica solu¸c˜ao fraca de (3.1)-(3.2), o que completa a demostra¸c˜ao.
Nos pr´oximos resultados, estudamos a existˆencia de solu¸c˜oes fracas sem assumir que F
ou G sejam Lipschitz.
Teorema 3.1.2 Seja ϕ ∈ Ω e suponha que a condi¸c˜ao (H
1
) ´e v´alida. Assuma tamb´em,
R(·) ∈ C((0, b], L(X)) e que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao v´alidas.
(a) A fun¸c˜ao F ´e tal que F : R × Ω → Y
i
, i = 1, 2, ´e cont´ınua e existe L
F
> 0 tal que
F (t, ψ
1
) − F (t, ψ
2
)
Y
i
≤ L
F
ψ
1
− ψ
2
B
, ψ
j
∈ Ω, i, j = 1, 2, t ∈ [0, a];
(b) A fun¸c˜ao G : R × Ω → X ´e cont´ınua e existe uma constante r
ϕ
> 0, tal que para
cada 0 < t < a existe um compacto W
t
⊆ X tal que R(t)G(s, ψ) ∈ W
t
para todo
ψ ∈ B
r
ϕ
(ϕ, B) e todo s ∈ [0, a].
Se L
F
I
L(Y
1
,X)
K(0) < 1, ent˜ao existe uma solu¸c˜ao fraca de (3.1)-(3.2) sobre [0, b]
para algum 0 < b ≤ a.
Demonstra¸c˜ao: Sejam b, S(b), ρ, r
1
, Γ(·) como na prova do Teorema 3.1.1, e assuma que
r
1
≤ r
ϕ
. Considere a decomposi¸c˜ao Γ = Γ
1
+ Γ
2
, onde (Γ
i
x)
0
= 0, i = 1, 2, e
Γ
1
x(t) = R(t)F (0, ϕ) − F (t, x
t
+ y
t
) −
t
0
AR(t − s)F (s, x
s
+ y
s
)ds
+
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)F (ξ, x
ξ
+ y
ξ
)dξds, t ∈ [0, a],
Γ
2
x(t) =
t
0
R(t − s)G(s, x
s
+ y
s
)ds, t ∈ [0, a].
Da prova do Teorema 3.1.1, sabemos que Γ
1
´e uma contra¸c˜ao de S(b) em S(b). Mais
ainda, uma aplica¸c˜ao do Lema 2.1.1 mostra que Γ
2
´e completamente cont´ınua.
O anterior, junto com Teorema 1.3.1, mostra que Γ possui um ponto fixo x ∈ S(b) o
que completa a prova, pois u = x + y ´e uma solu¸c˜ao fraca de (3.1)-(3.2).
(H
G
) A fun¸c˜ao G : I × B → X satisfaz as seguintes condi¸c˜oes
(i) A fun¸c˜ao G(t, ·) : B → X ´e cont´ınua para quase todo t ∈ [0, a] e G(·, x) : [0, a] → X
´e fortemente mensur´avel para todo x ∈ X;
Existˆencia de solu¸c˜oes fracas 39
(ii) Existe uma fun¸c˜ao cont´ınua m
G
: [0, a] → [0, ∞) e uma fun¸c˜ao cont´ınua e n˜ao
decrescente Ω
G
: [0, ∞) → (0, ∞) tal que
G(t, ψ) ≤ m
G
(t)Ω
G
( ψ
B
), (t, ψ) ∈ [0, a] × B.
(H
F
) A fun¸c˜ao F : [0, a] × B → X ´e tal que F ([0, a] × B) ⊂ Y
i
, i = 1, 2, F : [0, a] × B → Y
1
´e
completamente cont´ınua e existem constantes positivas c
1
, c
2
tais que
F (t, ψ)
Y
i
≤ c
1
ψ
B
+c
2
, i = 1, 2, (t, ψ) ∈ [0, a] × B.
Sejam y(·) a fun¸c˜ao em (3.3) e S(a) = {x : (−∞, a] → X : x
0
= 0, x|
[0,a]
∈ C([0, a] :
X)}, munido com a norma da convergˆencia uniforme. Para todo Q ⊂ S(a) limitado, o
conjunto de fun¸c˜oes {t → F (t, x
t
+ y
t
) : x ∈ Q} ´e equicont´ınuo sobre [0, a].
Teorema 3.1.3 Seja ϕ ∈ B e assuma que as condi¸c˜oes (H
1
), (H
G
) e (H
F
) s˜ao verificadas.
Suponha tamb´em que AR(·) ∈ C((0, a] : L(Y
1
, X)), R(·) ∈ C((0, a] : L(X)), a constante
0 < µ = K(0) I
L(Y
1
,X)
c
1
< 1 e que as seguintes proprieda des s˜ao v´alidas.
(a) Para todo t ∈ (0, a] e todo r > 0, existem conjuntos compa ctos W
i
r
(t) ⊂ X, i = 1, 2,
tais que B(s)R(t)F (s, ψ) ∈ W
1
r
(t) e R(t)G(s, ψ) ∈ W
2
r
(t) para todo s ∈ [0, a] e todo
ψ ∈ B
r
(0, B);
(b) Existe uma fun¸c˜ao positiva β ∈ L
1
([0, a]) tal que para todo c ∈ (0, a] existe uma fun¸c˜ao
positiva W
c
∈ C([0, a]) com W
c
(0) = 0 tal que
B(τ)R(s) − B(τ )R(s
)
L(Y
2
,X)
≤ β(τ)W
c
(| s − s
|), τ ∈ [0, a], s, s
∈ [c, a].
Ent˜ao existe uma solu¸c˜ao fraca de (3.1)-(3.2) sobre [0, b] para algum 0 < b ≤ a.
Demonstra¸c˜ao: Seja 0 < b ≤ a tal que
K
a
M
(1 − µ
1
)
b
0
m
G
(s)ds <
∞
C
ds
Ω
G
(s)
, (3.11)
c
1
K
b
I
L(Y
1
,X)
+
b
0
H
1
(s)ds +
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(τ)dτ
= µ
1
< µ +
(1 − µ)
2
, (3.12)
onde
C = (M
a
+ K
a
MH) ϕ
B
+
K
a
M
1 − µ
1
F (0, ϕ)
+
K
a
c
2
+ K
a
(M
a
+ K
a
MH)c
1
ϕ
B
1 − µ
1
I
L(Y
1
,X)
+
a
0
H
1
(s)ds +
a
0
H
2
(s)ds
a
0
a(s)ds
.
40 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
Sobre o espa¸co S(b) = {u : (−∞, b] → X : u|
[0,b]
∈ C([0, b], X), u
0
= 0}, munido
da norma da convergˆencia uniforme, definimos o operador Γ : S(b) → S(b) como na prova
do Teorema 3.1.1. Usando os mesmos argumentos da prova do Teorema 3.1.1 segue que
Γx ∈ S(b).
Mostraremos agora que Γ verifica as condi¸c˜oes do Teorema 1.3.2. Vejamos inicialmente
que Γ ´e cont´ınua. Seja (x
n
)
n∈N
uma seq¨uˆencia e m S(b) covergente a x(·) ∈ S(b). Dos
axiomas do espa¸co de fase, vemos que o conjunto U = {x
n
s
+ y
s
, x
s
+ y
s
: s ∈ [0, b], n ∈ N} ´e
relativamente compacto em B e que existe r > 0 tal que x
n
s
+ y
s
B
< r para todo s ∈ [0, b]
e todo n ∈ N. Como F : [0, b] × B → X ´e cont´ınua e [0, b] × U ´e relativamente compacto em
[0, b] ×B, segue que F (·) ´e uniformemente cont´ınua sobre [0, b] ×U e como conseq¨uˆencia, que
F (s, x
n
s
+ y
s
) → F (s, x
s
+ y
s
) uniformemente sobre [0, b] quando n → ∞. Por outro lado, das
propriedades de F (·) e G(·) temos que
AR(t − s)F (s, x
n
s
+ y
s
) → AR(t − s)F (s, x
s
+ y
s
),
B(s − ξ)R(t − s)F (ξ, x
n
ξ
+ y
ξ
) → B(s − ξ)R(t − s)F (ξ, x
ξ
+ y
ξ
),
G(s, x
n
s
+ y
s
) → G(s, x
s
+ y
s
),
para quase todo 0 ≤ ξ < s < t quando n → ∞. Dos fatos anteriores e do Teorema da
convergˆencia dominada de Lebesgue conclu´ımos que Γx
n
→ Γx em S(b), o que prova que Γ
´e cont´ınua.
Para continuar, obteremos estimativas a priori para as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao integral
z = λΓz, λ ∈ (0, 1). Seja x
λ
∈ S(b) uma solu¸c˜ao de z = λΓz, λ ∈ (0, 1). Se α
λ
´e a fun¸c˜ao
definida por α
λ
(t) = x
λ
(θ)
t
, ent˜ao para t ∈ [0, b] vemos que
x
λ
(t) ≤ R(t)F (0, ϕ) + F (t, x
λ
t
+ y
t
) +
t
0
AR(t − s)F (s, x
λ
s
+ y
s
) ds
+
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)F (ξ, x
λ
ξ
+ y
ξ
) dξds +
t
0
R(t − s)G(s, x
λ
s
+ y
s
) ds
≤ M F (0, ϕ) + I
L(Y
1
,X)
(c
1
x
λ
t
+ y
t
B
+c
2
)
+
t
0
H
1
(t − s)(c
1
x
λ
s
+ y
s
B
+c
2
)ds
+
t
0
s
0
a(s − ξ)H
2
(t − s)(c
1
x
λ
ξ
+ y
ξ
B
+c
2
)dξds
+
t
0
Mm
G
(s)Ω
G
( x
λ
s
+ y
s
B
)ds
≤ M F (0, ϕ) + I
L(Y
1
,X)
c
1
K
b
α
λ
(t)+ I
L(Y
1
,X)
c
1
(M
b
+ K
b
MH) ϕ
B
Existˆencia de solu¸c˜oes fracas 41
+ I
L(Y
1
,X)
c
2
+ c
1
K
b
α
λ
(t)
b
0
H
1
(s)ds + c
1
(M
b
+ K
b
MH) ϕ
B
b
0
H
1
(s)ds
+c
2
b
0
H
1
(s)ds + c
1
K
b
α
λ
(t)
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds
+c
1
(M
b
+ K
b
MH) ϕ
B
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds + c
2
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds
+
t
0
Mm
G
(s)Ω
G
(K
a
α
λ
(s) + (M
a
+ K
a
MH) ϕ
B
)ds
≤ M F (0, ϕ) +c
2
( I
L(Y
1
,X)
+
b
0
H
1
(s)ds +
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds)
+c
1
(M
b
+ K
b
MH) ϕ
B
( I
L(Y
1
,X)
+
b
0
H
1
(s)ds +
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds)
+µ
1
α
λ
(t) + M
t
0
m
G
(s)Ω
G
(K
a
α
λ
(s) + (M
a
+ K
a
MH) ϕ
B
)ds,
e assim obtemos que
α
λ
(t) ≤
1
1 − µ
1
(M F (0, ϕ) +c
2
( I
L(Y
1
,X)
+
b
0
H
1
(s)ds +
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds))
+
(M
b
+ K
b
MH)c
1
ϕ
B
1 − µ
1
( I
L(Y
1
,X)
+
b
0
H
1
(s)ds +
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds)
+
M
1 − µ
1
t
0
m
G
(s)Ω
G
(K
a
α
λ
(s) + (M
a
+ K
a
MH) ϕ
B
)ds).
Definindo β
λ
(t) = K
a
α
λ
(t) + (M
a
+ K
a
MH) ϕ
B
, vemos que
β
λ
(t) ≤ (M
a
+ K
a
MH) ϕ
B
+
K
a
1 − µ
1
(M F (0, ϕ) +c
2
( I
L(Y
1
,X)
+
a
0
H
1
(s)ds
+
a
0
H
2
(s)ds
a
0
a(s)ds))
+
K
a
(M
a
+ K
a
MH)c
1
ϕ
B
1 − µ
1
( I
L(Y
1
,X)
+
a
0
H
1
(s)ds +
a
0
H
2
(s)ds
a
0
a(s)ds)
+
K
a
M
1 − µ
1
t
0
m
G
(s)Ω
G
(β
λ
(s))ds).
Denotando por γ
λ
(t) o lado direiro da desigualdade anterior, segue que
γ
λ
(t) ≤
K
a
M
1 − µ
1
m
G
(t)Ω
G
(γ
λ
(t))
e ent˜ao,
γ
λ
(t)
C
ds
Ω
G
(s)
<
K
a
M
(1 − µ
1
)
b
0
m
G
(s)ds <
∞
C
ds
Ω
G
(s)
,
de onde conclu´ımos que o conjunto {γ
λ
(·) : λ ∈ (0, 1)} ´e limitado em C([0, b] : X) e assim
que {x
λ
(·) : λ ∈ (0, 1)} ´e limitado em C([0, b] : X).
42 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
Para completar a prova, mostraremos que Γ ´e um operador compacto. Para isto
introduzimos a decomposi¸c˜ao Γ = Γ
1
+ Γ
2
onde Γ
1
, Γ
2
: S(b) → S(b) s˜ao tais que (Γ
i
x)
0
=
0, i = 1, 2 e
Γ
1
x(t) = R(t)F (0, ϕ) − F (t, x
t
+ y
t
) −
t
0
AR(t − s)F (s, x
s
+ y
s
)ds
+
t
0
R(t − s)G(s, x
s
+ y
s
)ds, t ∈ [0, b],
Γ
2
x(t) =
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)F (ξ, x
ξ
+ y
ξ
) dξds, t ∈ [0, b].
Usando o Lema 2.1.1 p odemos deduzir facilmente que o operador Γ
1
´e compacto. Mais
ainda, usando o mesmo Lema vemos que Γ
2
´e tamb´em compacto. Embora mostraremos com
detalhes a compacidade de Γ
2
. No que segue B
r
= B
r
(0, S(b)).
Passo 1: O conjunto Γ
2
B
r
e equicont´ınuo sobre [0, b].
Seja 0 < < t < b e h > 0 tal que t + h ∈ [0, b]. Das hip´oteses sabemos que existe
0 < δ < tal que W
2
(s) ≤ para todo 0 < s ≤ δ. Nestas condi¸c˜oes, para 0 < h < δ vemos
que
Γ
2
u(t + h) − Γ
2
u(t)
≤
t−
0
s
0
B(s − ξ)(R(t + h − s) − R(t − s))F (ξ, u
ξ
+ y
ξ
) dξds
+
t
t−
s
0
B(s − ξ)(R(t + h − s) − R(t − s))F (ξ, u
ξ
+ y
ξ
) dξds
+
t+h
t
s
0
B(s − ξ)R(t + h − s)F (ξ, u
ξ
+ y
ξ
) dξds
≤ b F (θ, u
θ
+ y
θ
)
Y
2
,b
s
0
β(θ)dθ
+ F (θ, u
θ
+ y
θ
)
Y
2
,b
t
t−
(H
2
(t + h − s) + H
2
(t − s)) ds
b
0
a(θ)dθ
+ F (θ, u
θ
+ y
θ
)
Y
2
,b
t+h
t
H
2
(t + h − s)ds
b
0
a(θ)dθ,
de onde podemos concluir que Γ
2
B
r
´e equicont´ınuo em t pela direita. Estimativas similares
permitem mostrar que Γ
2
B
r
´e equicont´ınuo em zero e a equicontinuidade a esquerda em
t ∈ (0, b].
Passo 2: O conjunto {Γ
2
u(t) : u ∈ B
r
} ´e relativamente compacto.
Seja 0 < < t < a. Usando as hip´oteses, existe δ > 0 tal que
B(τ )R(s) − B(τ)R(s
)
L(Y
2
,X)
< β(τ)W
(| s − s
|) < β(τ),
3.2. Resultados de regularidade 43
para todo τ ∈ [0, b], e todo s, s
∈ [, a] com | s − s
|< δ. Fixemos agora pontos 0 = t
1
<
t
2
, . . . < t
n
= t − , tais que | t
i
− t
i+1
|< δ para cada i = 1, . . . , n. Nestas condi¸c˜oes, para
u ∈ B
r
temos que
Γ
2
u(t)
=
n−1
i=1
t
i+1
t
i
s
0
B(s − τ )(R(t − s) − R(t − t
i
))F (τ, u
τ
+ y
τ
)dτds
+
n−1
i=1
t
i+1
t
i
s
0
B(s − τ )R(t − t
i
)F (τ, u
τ
+ y
τ
)dτds
+
t
t−
s
0
B(s − τ )R(t − s)F (τ, u
τ
+ y
τ
)dτds
∈
n−1
i=1
B
1
(0 : X)
+
n−1
i=1
(t
i+1
− t
i
)
co({
s
0
B(s − τ )R(t − t
i
)F (τ, u
τ
+ y
τ
)dτ : u
τ
+ y
τ
∈ B
r
(0, B), s ∈ [0, t]})
+λB
1
(0 : X)
⊂
n−1
i=1
B
1
(0 : X) +
n−1
i=1
(t
i+1
− t
i
)co([0, t] × W
1
r
(t − t
i
)) + λB
1
(0 : X),
onde λ = F (θ, u
θ
+y
θ
)
Y
2
,b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(θ)dθ,
= (δ F (θ, u
θ
+y
θ
)
Y
2
,b
b
0
β(τ)dτ )
e r
= K
b
r + (M
b
+ K
b
MH) ϕ
B
. Como para cada i o conjunto co([0, t] × W
1
r
(t − t
i
))
´e relativamente compacto e tando λ como
convergem a zero quando → 0, podemos
concluir que Γ
2
B(t) ´e relativamente compacto. Isto completa a prova que Γ
2
´e completamente
cont´ınuo.
Dos passos anteriores, segue que Γ verifica as hip´oteses do Teorema 1.3.2, o que nos
permite concluir que Γ(·) possui um ponto fixo x ∈ S(b). Obviamente u = x + y ´e solu¸c˜ao
fraca de (3.1)-(3.2), o que permite concluir a prova.
3.2 Resultados de regularidade
Nesta se¸c˜ao estudaremos a regularidade das solu¸c˜oes fracas estudada na se¸c˜ao anterior.
Especificamente, estabelecemos condi¸c˜oes de modo de obter a existˆencia de solu¸c˜oes cl´assicas
e semi-cl´assicas.
44 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
3.2.1 Existˆencia de solu¸c˜oes semi-cl´assicas
No que segue desta se¸c˜ao assumiremos que as hip´oteses do Teorema 3.1.1 s˜ao satisfeitas
e que x : (−∞, b] → X ´e uma solu¸c˜ao fraca de (3.1)-(3.2). Como conseq¨uˆencia da prova do
Teorema 3.1.1, tamb´em suporemos que K
b
L
F
I
L(Y
1
,X)
< 1.
Al´em do anterior, assumiremos que a seguinte propriedade de tipo Gronwall ´e verificada.
(H
2
) Sejam z, α ∈ C([0, b] : R), α crescente, tais que
0 ≤ z(t) ≤ α(t) + c
1
t
0
(H
1
(t − s) + H
2
(t − s))z(s)ds + c
2
t
0
z(s)ds,
para todo t ∈ [0, a]. Ent˜ao existe c
3
> 0 independente de t e Θ ∈ L
1
([0, a]) tal que
z(t) ≤ α(t)c
3
t
0
Θ(t − s)ds.
Observa¸c˜ao 3.2.1 A motiva¸c˜ao para a hip´otese (H
2
) ´e o fato da seguinte condi¸c˜ao do tipo
Gronwall ser verda deira “ Se φ : [0, a] → [0, ∞) cont´ınua e existe uma fun¸c˜ao n˜ao decrescente
α : [0, a] → R
+
e constantes positivas µ
1
, µ
2
e β ∈ (0, 1) tais que
φ(t) ≤ α(t) + µ
1
t
0
φ(σ)dσ + µ
2
t
0
φ(σ)
(t − σ)
1−β
dσ,
ent˜ao
φ(t) ≤ α(t)
µ
3
+ µ
1
µ
2
3
t
0
e
µ
1
µ
3
(t−s)
ds
, onde µ
3
=
n−1
j=0
(
µ
2
a
β
β
)
j
e
µ
n
2
Γ(β)
n
a
nβ
Γ(nβ)
,
e n e o primeiro inteiro positivo tal que nβ > 1. ”
A prova do fato anteior pode ser deduzida com facilidade da prova do [63, Lemma
6.7], omitiremos detalhes adicionais. Observamos que este tipo de desigualdade apareceram
freq¨uˆentemente nesta se¸c˜ao.
Para nosso primeiro resultado de regularidade, precisamos do seguinte Lema.
Lema 3.2.1 Assuma que a hip´otese (H
2
) ocorra; que as fun¸c˜oes R(·)ϕ(0) e S(·)ϕ s˜ao
Lipschitz sobre [0, b]; que F (t, x
t
) ∈ D(A) para todo t ∈ [0, b] e que o conjunto
U = {AR(s)F (t, x
t
),
s
0
B(θ)R(t)F (s, x
s
)dθ : t, θ, s ∈ [0, b]}
´e limitado. Assuma tamb´em que existem constantes positivas L
F
e L
G
tais que
F (t, ψ
1
) − F (s, ψ
2
)
Y
i
≤ L
F
(| t − s | + ψ
1
− ψ
2
B
), i = 1, 2,
G(t, ψ
1
) − G(s, ψ
2
) ≤ L
G
(| t − s | + ψ
1
− ψ
2
B
),
Existˆencia de solu¸c˜oes semi-cl´assicas 45
para todo t, s ∈ [0, b] e todo ψ
1
, ψ
2
∈ B. Ent˜ao as fun¸c˜oes x(·) e t → x
t
s˜ao Lipschitz sobre
[0, b].
Demonstra¸c˜ao: Sejam t ∈ [0, b) e h > 0 tais que t + h ∈ [0, b]. Usando que R(t)(ϕ(0) +
F (0, ϕ)) ´e Lipschitz sobre [0, b] e a limita¸c˜ao do conjunto U vemos que
x(t + h) − x(t)
≤ c
1
h + L
F
I
L(Y
1
,X)
M
b
x
h
− ϕ
B
+L
F
I
L(Y
1
,X)
K
b
x(θ + h) − x(θ)
t
+
t
0
AR(t − s)(F (s + h, x
s+h
) − F (s, x
s
)) ds +
h
0
AR(t + h − s)F (s, x
s
) ds
+
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)(F (ξ + h, x
ξ+h
) − F (ξ + h, x
ξ+h
)) dξds
+
t
0
h
0
B(s + h − ξ)R(t − s)F (ξ, x
ξ
) dξds
+
h
0
s
0
B(s − ξ)R(t + h − s)F (ξ, x
ξ
) dξds
+
t
0
R(t − s)(G(s + h, x
s+h
) − G(s, x
s
)) ds +
h
0
R(t + h − s)G(s, x
s
) ds
≤ c
2
h + L
F
I
L(Y
1
,X)
M
b
x
h
− ϕ +L
F
I
L(Y
1
,X)
K
b
x(θ + h) − x(θ)
t
+L
F
M
b
x
h
− ϕ
B
t
0
H
1
(s)ds + L
F
K
b
t
0
H
1
(t − s) x(θ + h) − x(θ)
s
ds
+L
F
M
b
t
0
s
0
a(s − ξ)H
2
(t − s) x
h
− ϕ
B
dξds
+L
F
K
b
t
0
s
0
a(s − ξ)H
2
(t − s) x(θ + h) − x(θ)
ξ
dξds
+L
G
M
b
Mb x
h
− ϕ
B
+L
G
MK
b
t
0
x(θ + h) − x(θ)
s
ds,
onde c
1
e c
2
s˜ao constantes positivas independentes de t e h. Da desigualdade anterior,
deduzimos a existˆencia de constantes positivas c
i
, i = 3, ··· , 6 tais que
x(t + h) − x(t)
≤ c
3
h + c
4
x
h
− ϕ
B
+L
F
I
L(Y
1
,X)
K
b
x(θ + h) − x(θ)
t
+c
5
t
0
(H
1
(t − s) + H
2
(t − s)) x(θ + h) − x(θ)
s
ds + c
6
t
0
x(θ + h) − x(θ)
s
ds.
Como K
b
L
F
I
L(Y
1
,X)
< 1 e a fun¸c˜ao ξ(t) = x(θ + h) − x(θ)
t
´e crescente, podemos
reescrever a ´ultima desigualdade na forma
x(θ + h) − x(θ)
t
≤ c
7
h + c
8
x
h
− ϕ
B
+c
9
t
0
(H
1
(t − s) + H
2
(t − s)) x(θ + h) − x(θ)
s
ds
46 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
+c
10
t
0
x(θ + h) − x(θ)
s
ds,
e assim concluir por (H
2
) que
x(θ + h) − x(θ)
t
≤ (c
7
h + c
8
x
h
− ϕ
B
)C
t
0
Θ(t − s)ds. (3.13)
onde C > 0 ´e independente de t. Agora ´e f´acil ver que o Lema estar´a provado se x
h
−ϕ
B
=
O(h). Para mostrar isto c onsidere a decomposi¸c˜ao x = y + u onde y(·) ´e a fun¸c˜ao definida
em (3.3). Pelo Lema 2.2.1, sabemos que existe L
y
> 0 tal que y(s + µ) −y(s) ≤ L
y
µ para
todo s ∈ [0, b], de onde obtemos que
x
h
− ϕ
B
≤ y
h
− ϕ
B
+ u
h
B
≤ L
y
h + K
b
u(θ)
h
. (3.14)
Por outro lado, para s ∈ [0, h],
u(s)
≤ R(s)F (0, ϕ) − F (0, ϕ) + F (s, y
s
+ u
s
) − F (0, ϕ)
+
s
0
AR(s − ξ)F (ξ, y
ξ
+ u
ξ
) dξ +
s
0
ξ
0
B(ξ − τ)R(s − ξ)F (τ, y
τ
+ u
τ
)dτ dξ
+
s
0
R(s − ξ)G(ξ, y
ξ
+ u
ξ
) dξ
≤ c
11
h + K
b
I
L(Y
1
,X)
L
F
u(θ)
s
+ sup
ξ,θ∈[0 ,b]
AR(ξ)F (θ, x
θ
)
h
h
+ sup
θ,s,t∈[0,b]
s
0
B(θ)R(t)F (s, x
s
)dθ h + M G(θ, x
θ
) h.
Usando novamente que K
b
L
F
I
L(Y
1
,X)
< 1, obtemos que u(θ)
h
≤ C
1
h para h > 0. I sto
junto a (3.13), e (3.14) permite concluir que x(·) ´e Lipschitz.
Finalmente, da desigualdade
x
t+h
− x
t
B
≤ M
a
y
h
− ϕ
B
+M
a
K
a
u(θ)
h
+K
a
x(θ + h) − x(θ)
t
deduzimos que t → x
t
´e tamb´em Lipschitz sobre [0, b]. A prova est´a agora completa.
Introduzimos agora os conceito de solu¸c˜ao semi-cl´assica para (3.1)-(3.2)
Defini¸c˜ao 3.2.1 Uma fun¸c˜ao u : (−∞, b) → X ´e uma solu¸c˜ao semi-cl´assica de (3.1)-(3.2)
se u ∈ C([0, b] : X); u
0
= ϕ; t → u(t) + F (t, u
t
) ∈ C([0, b) : D(A)) ∩ C
1
((0, b) : X);
u ∈ W
1,1
([0, b] : X) e a fun¸c˜ao t → F (t, u
t
) ∈ W
1,1
([0, b] : X) e (3.1) ´e satisfeita em [0, b].
No pr´oximo resultado estabeleceremos a existˆencia de solu¸c˜ao semi-cl´assica para (3.1)-
(3.2).
Existˆencia de solu¸c˜oes semi-cl´assicas 47
Teorema 3.2.1 Assuma que as hip´oteses do Lema 3.2.1 s˜ao satisfeitas. Suponha que ϕ(0) ∈
D(A)); F ([0, b] × B) ⊂ D(A); que a fun¸c˜ao B(·) ∈ L
∞
([0, a] : L([D(A)] : X)) e que existe
L
F
> 0 tal que
AF (t, ψ
1
) − AF (s, ψ
2
) ≤ L
F
(| t − s | + ψ
1
− ψ
2
B
),
para todo 0 ≤ s, t ≤ b e ψ
1
, ψ
2
∈ Ω.
Se X satisfaz a (RNP), ent˜ao x(·) ´e uma solu¸c˜ao semi-cl´assica de (3.1)-(3.2) sobre
[0, b].
Demonstra¸c˜ao: Dos Lemas 2.2.1 e 3.2.1 segue que as fun¸c˜oes v
i
: [0, b] → X, i = 1, 2
definidas por
v
1
(t) = AF (t, x
t
),
v
2
(t) = G(t, x
t
),
s˜ao Lipschitz sobre [0, b] e do Lema 2.2.3 deduzimos que v
i
(·) ∈ W
1,1
([0, b] : X) para i =
1, 2. Pelo fato de que B(·) ∈ L
∞
([0, a] : L([D(A)] : X)) ´e f´acil ver que a fun¸c˜ao v
3
(t) =
t
0
B(t − s)F (s, x
s
)ds ∈ W
1,1
([0, b] : X). Logo do Teorema 1.2.5 segue que o problema de
Cauchy
dz(t)
dt
= Az(t) +
t
0
B(t − s)z(s)ds + v
1
(t) + v
2
(t) + v
3
(t), t ∈ (0, b), (3.15)
z(0) = ϕ(0) + F (0, ϕ). (3.16)
tem uma ´unica solu¸c˜ao cl´assica w(·) ∈ C([0, b) : D(A)) ∩ C
1
((0, b) : X) que ´e dada por
w(t) = R(t)(ϕ(0) + F (0, ϕ)) +
t
0
R(t − s) (v
1
(s) + v
2
(s) + v
3
(s)) ds.
Agora da unicidade de solu¸c˜oes fracas de (3.15)-(3.16), podemos concluir que w(t) = x(t) +
F (t, x
t
) para todo t ∈ [0, b]. Assim
d
dt
(x(t) + F (t, x
t
)) = A(x(t) + F (t, x
t
)) +
t
0
B(t − s)(x(s) + F (s, x
s
)) − AF (t, x
t
)
−
t
0
B(t − s)F (s, x
s
)ds + G(t, x
t
)
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds + G(t, x
t
),
pois F (s, x
s
) ∈ D(A) para todo s ∈ [0, b]. Portanto x(·) verifica (3.1)-(3.2), o que finaliza a
prova.
48 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
3.2.2 Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica
Nesta se¸c˜ao estab elec em os condi¸c˜oes suficientes para que uma solu¸c˜ao fraca de (3.1)-
(3.2) seja uma solu¸c˜ao cl´assica. Para come¸car, uma fun¸c˜ao f : J → Y ´e dita η-H¨older
cont´ınua, para η ∈ (0, 1), se existe uma constante L > 0 tal que
f(s) − f(t) ≤ L | t − s |
η
, ∀ s, t ∈ J.
No que segue C
η
(J : Y ) representa o espa¸co das fun¸c˜oes η-H¨older cont´ınuas.
Para nossos pr´oximos resultados assumiremos v´alida a seguinte hip´otese.
(H
R
) Existe K > 0 e β ∈ (0, 1) tal que
(−A)
2
R(t)
L(Y
2
,X)
≤
K
t
2−β
, t > 0.
Para mostrar alguns de nossos resultados, ´e necess´ario fazer o estudo pr´evio do seguinte
sistema.
dx(t)
dt
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s) ds + (−A)g(t), 0 < t < a, (3.17)
x(0) = 0, (3.18)
onde g(·) ∈ C
ϑ
([0, a] : Y
2
) ∩ C([0, a] : [D(A)]), ϑ ∈ (0, 1).
Teorema 3.2.2 Sejam β, ϑ ∈ (0, 1) tal que β + ϑ > 1 e a fun¸c˜ao g(·) ∈ C
ϑ
([0, a] : Y
2
) ∩
C([0, a] : [D(A)]). Se u(·) ´e uma solu¸c˜ao fraca de (3.17)-(3.18), ent˜ao u(·) ´e uma solu¸c˜ao
cl´assica para (3.17)-(3.18).
Demonstra¸c˜ao: Para come¸car, consideremos a seguinte decomposi¸c˜ao
u(t) =
t
0
(−A)R(t − s)(g(s) − g(t)) ds +
t
0
(−A)R(t − s)g(t) ds = w
1
(t) + w
2
(t).
Do Lema 1.2.1 temos que Aw
2
(t) ∈ C([0, a] : X). Em rela¸c˜ao a w
1
(·), defina a seq¨uˆencia
de fun¸c˜oes w
1,
∈ C([0, a] : X) por
w
1,
(t) =
t−
0
(−A)R(t − s)(g(s) − g(t)) ds se t ∈ [, a],
0 se t ∈ [0, ).
Segue da desigualdade
(−A)
2
R(t − s)(g(s) − g(t)) ≤ (−A)
2
R(t − s)
L(Y
2
,X)
g(s) − g(t)
Y
2
≤ KL(t − s)
β+ϑ−2
,
Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica 49
que a fun¸c˜ao s → (−A)
2
R(t − s)(g(s) − g(t)) ´e integr´avel em [0, t] para cada t ∈ [0, a], segue
deste fato que w
1,
(·) ∈ D(A). Assim podemos definir a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes
Aw
1,
(t) =
t−
0
(−A)
2
R(t − s)(g(s) − g(t)) ds se t ∈ [, a],
0 se t ∈ [0, ).
´
E f´acil ver que a sequˆencia w
1,
(t) →
t
0
(−A)R(t − s)(g(s) − g(t)) ds e que Aw
1,
(t) →
t
0
(−A)
2
R(t − s)(g(s) − g(t)) ds em X, usando que o operador A ´e fechado conclu´ımos que
w
1
(t) ∈ D(A) e que Aw
1
(t) =
t
0
(−A)
2
R(t −s)(g(s) −g(t)) ds, para todo t ∈ [0, a], portanto
a fun¸c˜ao s → (−A)R(t − s)(g(s) − g(t)) ∈ L
1
([0, a] : D(A)). Segue do fato anterior que
w
1
(·) ∈ C([0, a] : [D(A)]), e assim que w(t) ∈ C([0, a] : [D(A)]). Do Corol´ario 1.2.1 podemos
concluir que w(t) ´e uma solu¸c˜ao cl´assica para (3.17)-(3.18). O que finaliza a prova.
Introduzimos agora o seguinte conceito de solu¸c˜ao cl´assica para (3.1)-(3.2).
Defini¸c˜ao 3.2.2 Uma fun¸c˜ao u : (−∞, b] → X ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (3.1)-(3.2) sobre
[0, b] se u
0
= ϕ; u ∈ C([0, b] : X) ∩ C
1
((0, b) : X), u(t) ∈ D(A) para todo t ∈ [0, b), a fun¸c˜ao
s → B(t − s)u(s) ´e integr´avel em [0, t) para todo t ∈ [0, b) e (3.1) ´e satisfeita.
No pr´oximo resultado estudamos a existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica para (3.1)-(3.2).
Teorema 3.2.3 Assuma que as hip´oteses (H
1
), (H
2
) e (H
R
) ocorram, que S(·)ϕ ´e Lipschitz
sobre [0, a] e que ϕ(0) ∈ D(A). Suponha tamb´em que
(a) F ∈ C
1
([0, a] × B : Y
i
) ∩ C([0, a] × B : [D(A)]), i = 1, 2 e DF (0, ϕ) ≡ 0;
(b) O operador W (·)ϕ possui derivada a direita em t = 0 dada por ψ ∈ B;
(c) G ∈ C
1
([0, a] × B : X) e G(0, ϕ) ≡ 0 ou χ
G(0,ϕ)
∈ B onde B satisfaz o axioma (C3);
(d) Existe η ∈ L
1
([0, a]) tal que
1
h
s+h
s
b(θ)dθ ≤ η(s), para todo h ∈ [0, 1].
Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao cl´assica de (3.1)-(3.2) para algum 0 < b ≤ a.
Demonstra¸c˜ao: Usando que F ∈ C
1
([0, a] ×B : Y
i
), i = 1, 2, G ∈ C
1
([0, a] ×B : X) e o fato
que D(F (0, ϕ)) ≡ 0, do Teorema 3.1.1 deduzimos a existˆencia de uma ´unica solu¸c˜ao fraca
x ∈ C([0, b] : X) de (3.1)-(3.2) para algum 0 < b ≤ a. Al´em disso, usando novamente o fato
que DF (0, ϕ) ≡ 0, podemos assumir que F ´e Lipschitz como fun¸c˜ao de Ω em Y
i
, i = 1, 2,
50 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
sendo Ω aberto de (0, ϕ). No que segue, L
F
ser´a a constante de Lipschitz de F em Ω e
assumiremos que L
F
K
b
< 1. Agora como c onseq¨uˆencia do Lema 3.2.1 podemos supor que
as fun¸c˜oes x(·) e s → x
s
s˜ao Lipschitz sobre [0, b]. Mais ainda, assumiremos sem perda de
generalidade que b ´e de tal forma que
µ = K
b
D
2
F (s, x
s
)
Y
1
,b
I
L(Y
1
,X)
+
b
0
H
1
(s)ds +
b
0
a(s)ds
b
0
H
2
(s)ds
+K
b
Mb D
2
G(s, x
s
)
b
< 1. (3.19)
Seja z ∈ C([0, b] : X) uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao integral
z(t) = R(t)(Aϕ(0) + G(0, ϕ)) +
t
0
R(t − s)B(s)ϕ(0)ds − D
1
F (t, x
t
) − D
2
F (t, x
t
)z
t
+
t
0
AR(t − s)(D
1
F (s, x
s
) + D
2
F (s, x
s
)z
s
)ds
+
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)(D
1
F (ξ, x
ξ
) − D
2
F (ξ, x
ξ
)z
ξ
)dξds
+
t
0
R(t − s)(D
1
G(s, x
s
) − D
2
G(s, x
s
)z
s
)ds, (3.20)
com z
0
= ψ+χ
G(0,ϕ)
. A existˆencia de z(·) ´e conse q¨uˆencia de (3.19) e do princ´ıpio da contra¸c˜ao.
Omitiremos detalhes adicionais.
No que segue mostraremos que x
(·) = z(·) em [0, b]. Para t ∈ [0, b] e 0 < h < 1
suficientemente pequeno de forma que t + h ∈ [0, b] temos que
∂
h
x(t) − z(t)
≤ ∂
h
R(t)ϕ(0) − R(t)Aϕ(0) −
t
0
R(t − s)B(s)ϕ(0)ds
+ ∂
h
F (t, x
t
) − D
1
F (t, x
t
) − D
2
F (t, x
t
)z
t
+ ∂
h
R(t)F (0, ϕ) −
1
h
h
0
AR(t + h − s)F (s, x
s
)ds −
1
h
t
0
h
0
R(t − s)B(s − ξ + h)F (ξ, x
ξ
)dξds
+
1
h
h
0
R(t + h − s)
s
0
B(s − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξds
+
t
0
AR(t − s)(∂
h
F (s, x
s
) − D
1
F (s, x
s
) − D
2
F (s, x
s
)z
s
)ds
+
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)(∂
h
F (ξ, x
ξ
) − D
1
F (ξ, x
ξ
) − D
2
F (ξ, x
ξ
)z
ξ
)dξds
+
t
0
R(t − s)(∂
h
G(s, x
s
) − D
1
G(s, x
s
) − D
2
G(s, x
s
)z
s
)ds
+
1
h
h
0
R(t + h − s)G(s, x
s
)ds − R(t)G(0, ϕ) .
=
8
1
I
i
(t, h).
Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica 51
Analisaremos agora os termos I
i
(t, h), i = 1, . . . , 8. Como ϕ(0) ∈ D(A), das pro-
priedades do operador resolvente, ´e f´acil ver que I
1
(t, h) → 0 uniformemente para t ∈ [0, b]
quando h → 0.
Para estudar I
3
(t, h) considere a desigualdade
I
3
(t, h) ≤
R(t + h) − R(t)
h
F (0, ϕ) − R(t)AF (0, ϕ) −
t
0
R(t − s)B(s)F (0, ϕ)ds
+ −
1
h
t
0
R(t − s)
h
0
B(s − ξ + h)F (ξ, x
ξ
)dξds +
t
0
R(t − s)B(s)F (0, ϕ)ds
+ −
1
h
h
0
AR(t + h − s)F (s, x
s
)ds + R(t)AF (0, ϕ)
=
3
1
I
i
(t, h).
Como F (0, ϕ) ∈ D(A), das propriedades do operador resolvente temos que
I
1
(t, h) → 0
uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0. Pelo fato de F ∈ C([0, b] × B, [D(A)]) segue
que
1
h
h
0
B(s − ξ + h)F (ξ, x
ξ
)dξ → B(s)F (0, ϕ) q.t.p. sobre [0, b]. Al´em disso, como
1
h
h
0
B(s −ξ + h)F (ξ, x
ξ
)dξ ≤
s+h
s
b(ξ)dξ F (θ, x
θ
)
[D(A)],b
≤ η(s) F (θ, x
θ
)
[D(A)],b
em
[0, b], deduzimos do Teorema da convergˆencia dominada que
I
2
(t, h) → 0 uniformemente para
t ∈ [0, b] quando h → 0. Finalmente,
I
3
(t, h) → 0 uniformemente quando h → 0, desde que
F ∈ C([0, b] ×B, [D(A)]). Como consequˆencia do anterior, podemos concluir que I
3
(t, h) → 0
uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0.
Da continuidade das fun¸c˜oes F (·) e G(·), da integrabilidade da fun¸c˜ao B(·) e das
propriedades do operador resolvente podemos deduzir facilmente que o termos I
4
(t, h) → 0 e
I
8
(t, h) → 0 uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0.
Usando as conclus˜oes anteriores e a decomposi¸c˜ao (2.20), podemos reescrever a de-
sigualdade inicial desta prova na forma
∂
h
x(t) − z(t)
≤ H(t, h)+ I
L(Y
1
,X)
D
2
F (t, x
t
)
Y
1
x
t+h
− x
t
h
− z
t
B
+
(h, x
t+h
− x
t
)
h
r(F, t, x
t
, h, x
t+h
− x
t
)
Y
1
+
t
0
H
1
(t − s) D
2
F (s, x
s
)
Y
1
x
s+h
− x
s
h
− z
s
B
ds
+
t
0
H
1
(t − s)
(h, x
s+h
− x
s
)
h
r(F, s, x
s
, h, x
s+h
− x
s
)
Y
1
ds
52 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
+
t
0
s
0
a(s − ξ)H
2
(t − s) D
2
F (ξ, x
ξ
)
Y
2
x
ξ+h
− x
ξ
h
− z
ξ
B
dξds
+
t
0
s
0
a(s − ξ)H
2
(t − s)
(h, x
ξ+h
− x
ξ
)
h
r(F, ξ, x
ξ
, h, x
ξ+h
− x
ξ
)
Y
2
dξds
+M
t
0
D
2
G(s, x
s
)
x
s+h
− x
s
h
− z
s
B
ds
+M
t
0
(h, x
s+h
− x
s
)
h
r(G, s, x
s
, h, x
s+h
− x
s
) ds,
onde H(t, h) → 0 uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0. Mais ainda, dos Lemas 2.2.4
e 3.2.1 temos que para P = F, G,
(h, x
s+h
− x
s
)
h
r(P, s, x
s
, h, x
s+h
− x
s
) → 0
uniformemente para s ∈ [0, b] quando h → 0. Isto permite reescrever a desigualdade anterior
na forma
∂
h
x(t) − z(t) ≤ H
1
(t, h)+ I
L(Y
1
,X)
D
2
F (t, x
t
)
Y
1
x
t+h
− x
t
h
− z
t
B
+
t
0
H
1
(t − s) D
2
F (s, x
s
)
Y
1
x
s+h
− x
s
h
− z
s
B
ds
+
t
0
s
0
a(s − ξ)H
2
(t − s) D
2
F (ξ, x
ξ
)
Y
2
x
ξ+h
− x
ξ
h
− z
ξ
B
dξds
+M
t
0
D
2
G(s, x
s
)
x
s+h
− x
s
h
− z
s
B
ds,
onde H
1
(t, h) → 0 uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0.
Agora, como conseq¨uˆencia da desigualdade
x
t+h
− x
t
h
− z
t
B
≤ M
b
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
+K
b
x(θ + h) − x(θ)
h
− z(θ)
t
,
segue que
∂
h
x(θ) − z(θ)
t
≤ H(θ, h)
t
+ µ ∂
h
x(θ) − z(θ)
t
+
µM
b
K
b
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
,
e assim que
∂
h
x(θ) − z(θ)
t
≤
1
1 − µ
H(θ, h)
t
+
µM
b
(1 − µ)K
b
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
,
Da ´ultima desigualdade, ´e claro que x
= z em [0, b] se
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
→ 0 quando
h → 0. Para mostra este fato, introduzimos a decomposi¸c˜ao x
t
= W (t)ϕ +
4
i=1
z
1
t
, onde
Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica 53
(z
i
)
0
= 0 e para θ ∈ [0, h]
z
1
(θ) = R(θ)F (0, ϕ) − F (θ, x
θ
),
z
2
(θ) =
θ
0
AR(θ − s)F (s, x
s
)ds,
z
3
(θ) =
θ
0
R(θ − s)
s
0
B(s − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξds,
z
4
(θ) =
θ
0
R(θ − s)G(s, x
s
)ds.
Com as nota¸c˜oes anteriores, segue que,
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
≤
W (h)ϕ − ϕ
h
− ψ
B
+
z
1
h
+ z
2
h
+ z
3
h
h
B
+
z
4
h
h
− χ
G(0,ϕ)
B
=
3
i=1
I
i
(h, B).
Das hip´oteses ´e ´obvio que I
1
(h, B) → 0 quando h → 0. Para o termo I
3
(h, B), suponha
primeiro que G(0, ϕ) ≡ 0. Se θ ∈ (0, h), ent˜ao
z
4
(θ) ≤
θ
0
R(θ − s)G(s, x
s
) ds ≤ Mθ G(θ, x
θ
)
h
,
o que da desigualdade
1
h
z
4
h
B
≤ K
b
M
θ
h
G(θ, x
θ
)
h
, prova que
z
4
h
h
B
→ 0 quando
h → 0, pois G(0, ϕ) = 0. Por outro lado, se G(0, ϕ) = 0, χ
G(0,ϕ)
∈ B e B satisfaz o axioma
(C3), temos portanto que I
3
(h, B) → 0 quando h → 0, uma vez que
d
dt
z
4
(t)|
t=0
+
= G(0, ϕ).
Para o termo I
2
(h, B) veja que
z
1
h
+ z
2
h
+ z
3
h
h
B
≤
K
b
h
R(θ)F (0, ϕ) −F(θ, x
θ
) +
θ
0
(AR(θ − s)F (s, x
s
)ds + R(θ − s)
s
0
B(s − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξ)ds
h
≤
K
b
h
F (θ, x
θ
) − F (0, ϕ)
h
+
K
b
h
R(θ)F (0, ϕ) −F(0, ϕ) +
θ
0
(AR(θ − s)F (s, x
s
)ds + R(θ − s)
s
0
B(s − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξ)ds
h
.
Seja θ ∈ [0, h], como a fun¸c˜ao s → x
s
´e Lipschitz, existe L > 0 tal que x
s
−ϕ
B
≤ Ls para
todo s ∈ [0, b]. Nestas condi¸c˜oes temos que
F (θ, x
θ
) − F (0, ϕ) ≤ (θ, x
θ
− ϕ) I
L(Y
1
,X)
sup
(s,ζ)∈[(0,ϕ),(θ,x
θ
)]
DF (s, ζ)
Y
1
,
onde [(0, ϕ), (θ, x
θ
)] representa o segmento de reta que liga os ponto (0, ϕ) a (θ, x
θ
). O fato
acima implica que
K
b
h
F (θ, x
θ
) − F (0, ϕ)
h
→ 0 quando h → 0, pois DF (0, ϕ) = 0.
54 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
Usando novamente que a fun¸c˜ao s → x
s
´e Lipschitz e o fto que R
(µ)F (0, ϕ) =
AR(µ)F (0, ϕ) +
µ
0
B(µ − s)R(s)F (0, ϕ)ds vemos que
R(θ)F (0, ϕ) −F(0, ϕ) +
θ
0
AR(θ − s)F (s, x
s
)ds +
θ
0
R(θ − s)
s
0
B(s − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξds
=
0
θ
R
(θ − s)F (0, ϕ)ds +
θ
0
AR(θ − s)F (s, x
s
)ds +
θ
0
R(θ − s)
s
0
B(s − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξds
≤
θ
0
AR(θ − s) (F (s, x
s
) − F (0, ϕ)) ds
+
θ
0
s
0
B(s − ξ)R(θ − s) (F (ξ, x
ξ
) − F (0, ϕ)) dξds
≤
θ
0
H
1
(θ − s)L
F
(1 + L) | s | ds +
θ
0
s
0
a(s − ξ)H
2
(θ − s)L
F
(1 + L) | ξ | dξds
≤ L
F
(1 + L)θ
h
0
H
1
(s)ds + L
F
(1 + L)θ
h
0
H
2
(s)ds
b
0
a(ξ)dξ,
de onde inferimos que a express˜ao acima divida por h converge a zero quando h → 0, pois
H
1
e H
2
s˜ao fun¸c˜oes integr´aveis sobre [0, b]. Portanto I
2
(h, B) → 0, quando h → 0
Resumindo as conclus˜oes anteriores obtemos que
x
h
− ϕ
h
→ z
0
quando h → 0. Logo
temos que x
(·) = z(·), e que x ∈ C
1
([0, b] : X). Mais ainda, das estimativas ´e f´acil observar
que ∂
h
x(t) → x
(t) uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0.
Agora mostraremos que a fun¸c˜ao t → x
t
´e continuamente diferenci´avel em B. Para isto
definimos a fun¸c˜ao w : (−∞, b] → X por
w(θ) =
z(θ), se θ ∈ (−∞, 0],
x
(θ), se θ ∈ [0, b].
Das etapas anteriores obtemos que
d
dt
x(t)|
t=0
= ψ(0) + G(0, ϕ), o que implica que x
(0
+
) =
z(0), assim temos que w
0
= z
0
∈ B e como w ´e cont´ınua em [0, b], segue dos axiomas do
espa¸co de fase que w
t
∈ B para todo t ∈ [0, b] e que a aplica¸c˜ao t → w
t
e cont´ınua em [0, b].
O anterior, junto com a desigualdade
∂
h
x
t
− w
t
B
≤ M
b
x
h
− ϕ
h
− z
0
B
+K
b
∂
h
x(θ) − x
(θ)
t
,
mostra que t → x
t
´e continuamente diferenci´avel sobre [0, b]. Ainda por cima, ∂
h
x
t
→
d
dt
x
t
uniformemente para t ∈ [0, b] quando h → 0.
Considere o problema de Cauchy
dw(t)
dt
= Aw(t) +
t
0
B(t − s)w(s)ds − AF (t, x
t
) −
t
0
B(t − s)F (s, x
s
)ds + G(t, x
t
),
w(0) = ϕ(0) + F (0, ϕ). (3.21)
Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica 55
Dos fatos anteriores podemos concluir que t → G(t, x
t
) ∈ C
1
([0, b] : X) e que t →
F (t, x
t
) ∈ C([0, b] : [D(A)]) ∩ C
ϑ
([0, b] : Y
2
), ϑ = 1. Agora vamos mostrar que a fun¸c˜ao
t → ζ(t) =
t
0
R(t − s)
s
0
B(s − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξds ∈ C
1
([0, b] : X).
De fato, seja
ζ
(t) =
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)
D
1
F (ξ, x
ξ
) + D
2
F (ξ, x
ξ
)
d
dξ
(x
ξ
)
dξds −
t
0
R(t − s)B(s)F (0, ϕ)ds.
Pelas hip´oteses sobre F (·) e do fato que a aplica¸c˜ao t → x
t
∈ C
1
([0, b] : B), temos que a
aplica¸c˜ao ζ
(·) ∈ C([0, b] : X). Assim vemos que
ζ(t + h) − ζ(t)
h
− ζ
(t)
≤
t
0
s
0
B(s − ξ)R(t − s)
∂
h
F (ξ, x
ξ
) − D
1
F (ξ, x
ξ
) − D
2
F (ξ, x
ξ
)
d
dξ
(x
ξ
)
dξds
≤
1
h
h
0
R(t + h − s)
s
0
B(s − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξds
+
1
h
t
0
R(t − s)
h
0
B(s + h − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξds −
t
0
R(t − s)B(s)F (0, ϕ)ds
=
3
i=1
I
i
.
Por estimativas j´a feitas obtemos que I
i
, i = 1, 2, convergem a zero quando h → 0. Usando a
decomposi¸c˜ao (2.20), vemos que
I
1
≤
t
0
s
0
a(s − ξ)H
2
(t − s) D
2
F (ξ, x
ξ
)
Y
2
x
ξ+h
− x
ξ
h
−
d
dξ
(x
ξ
)
B
dξds
+
t
0
s
0
a(s − ξ)H
2
(t − s)
(h, x
ξ+h
− x
ξ
)
h
r(F, ξ, x
ξ
, h, x
ξ+h
− x
ξ
)
Y
2
dξds
≤
D
2
F (θ, x
θ
)
Y
2
,b
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds
sup
ξ∈[0,b]
x
ξ+h
− x
ξ
h
−
d
dξ
(x
ξ
)
B
+
(1 + L)
b
0
H
2
(s)ds
b
0
a(s)ds
r(F, θ, x
θ
, θ, x
θ+h
− x
θ
)
Y
2
,b
,
o que permite concluir que I
1
→ 0 quando h → 0.
Como ϕ(0) + F (0, ϕ) ∈ D(A), do Corol´ario 1.2.1 e do Teorema 3.2.2 temos que
w(t) = R(t)(ϕ(0) + F (0, ϕ)) −
t
0
AR(t − s)F (s, x
s
)ds
−
t
0
R(t − s)
s
0
B(s − ξ)F (ξ, x
ξ
)dξds +
t
0
R(t − s)G(s, x
s
) ds,
´e uma solu¸c˜ao cl´assica para (3.21). Da unicidade das solu¸c˜oes fracas de (3.1)-(3.2) segue
que w(t) = x(t) + F (t, x
t
). Mais ainda, como F (t, x
t
) ∈ D(A) se t ∈ [0, b], obtemos que
56 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
x(t) ∈ D(A) para todo t ∈ [0, b] e que
d
dt
(x(t) + F (t, x
t
)) = A(x(t) + F (t, x
t
)) +
t
0
B(t − s)(x(s) + F (s, x
s
)) − AF (t, x
t
)
−
t
0
B(t − s)F (s, x
s
)ds + G(t, x
t
)
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s) + G(t, x
t
).
O anterior completa a prova do resultado.
3.3 Exemplo
Nesta se¸c ˜ao consideramos alguns exemplos de sistemas neutros que podem ser estudados
fazendo uso dos nossos resultados abstratos deste cap´ıtulo. Previamente, introduzimos os
elementos t´ecnicos necess´arios. No que segue X = L
2
([0, π]) e A : D(A) ⊂ X → X ´e o
operador definido por Af = f
, onde
D(A) = {f ∈ X : f
∈ X, f(0) = f (π) = 0}.
´
E conhecido que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo anal´ıtico e compacto (T (t))
t≥0
em X. Al´em disso, A possui espectro discreto, os autovalores s ˜ao −n
2
, n ∈ N e os autovetores
normalizados s˜ao z
n
(ξ) =
2
π
1/2
sin(nξ). Al´em do anterior, as seguintes propriedades s˜ao
verificadas
(a) {z
n
: n ∈ N} ´e uma base ortonormal de X;
(b) Se f ∈ D(A) ent˜ao Af = −
∞
n=1
n
2
< f, z
n
> z
n
;
(c) Para f ∈ X, T (t)f =
∞
n=1
e
−n
2
t
< f, z
n
> z
n
. Em particular, vemos que (T (t))
t≥0
´e
um semigrupo uniformemente est´avel com T (t) ≤ e
−t
para todo t ≥ 0,
(d) Para cada f ∈ X e todo α ∈ (0, 1), temos que (−A)
−α
f =
∞
n=1
1
n
2α
< f, z
n
> z
n
. Em
particular, (−A)
−1/2
= 1,
(e) Para cada α ∈ (0, 1) e f ∈ D((−A)
α
), (−A)
α
f =
∞
n=1
n
2α
< f, z
n
> z
n
. Mais ainda,
D((−A)
α
) =
f ∈ X :
∞
n=1
n
2α
< f, z
n
> z
n
∈ X
.
Seja B(t)f(ξ) := a(t)Af (ξ), onde a(·) ∈ L
1
(R
+
), a(·) ´e limitada em intervalos da
forma 0 < t
1
≤ t
2
< ∞. Assumiremos tamb´em que a(λ) ´e absolutamente convergenta para
Exemplo 57
Re(λ) > 0. Com as condi¸c˜oes anteriores, o operador A e a famil´ıa de op e radores (B(t))
t≥0
satisfazem as hip´oteses do Teorema [25, T heorem 3.1], e existe K > 0 tal que
(−A)
α
R(t)x ≤
K
t
α
x , t > 0,
para todo α ∈ (0, 1) e x ∈ X, para este ´ultimo fato, veja [25, Theorem 3.4]. Assim conclu´ımos
que existe uma fam´ılia resolvente anal´ıtica (R(t))
t≥0
associada ao sistema (1.1)-(1.2) tal que
a hip´otese (H
1
) seja verdadeira com X = L
2
([0, π]) e Y
1
= Y
2
= D((−A)
1/2
).
Para estudar nossos pr´oximos exemplos, escolhemos o espa¸co de fase B = C
r
×L
2
(ρ , X)
com r = 0.
Considere o sistema integro-diferencial
∂
∂t
u(t, ξ) +
t
−∞
π
0
b(t − s, η, ξ)u(s, η)dηds
=
∂
2
∂ξ
2
u(t, ξ) +
t
0
a(t − s)
∂
2
∂ξ
2
u(s, ξ)ds,
+
t
−∞
a
0
(s − t)u(s, ξ)ds, (t, ξ) ∈ [0, a] × [0, π],
(3.22)
u(t, 0) = u(t, π) = 0, t ∈ [0, a],
u(θ, ξ) = φ(θ, ξ), θ ≤ 0, ξ ∈ [0, π]. (3.23)
onde se verificam as seguintes propriedades
(i) A fun¸c˜ao
∂
∂ξ
b(θ, η, ξ) ´e cont´ınua, b(θ, η, 0) = b(θ, η, π) = 0 para todo (θ, η) e
L
F
:= max{
π
0
0
−∞
π
0
∂
∂ξ
b(θ, η, ξ)dηdθdξ, (
π
0
0
−∞
π
0
∂
∂ξ
b(θ, η, ξ)
2
ρ
−1
(θ)dηdθdξ)
1/2
} < ∞.
(ii) A fun¸c˜ao a
0
(·) ´e cont´ınua e L
0
:=
0
−∞
(a
0
(s))
2
ρ(s)
ds
1
2
< ∞.
(iii) A fun¸c˜ao ϕ definida por ϕ(θ)(ξ) = φ(θ, ξ) pertence a B.
Definimos as fun¸c˜oes F e G : [0, a] × B → X por
F (t, ψ)(ξ) :=
0
−∞
π
0
b(s, η, ξ)ψ(s, η)dηds,
G(t, ψ)(ξ) :=
0
−∞
a
0
(s)ψ(s, ξ)ds.
Assim podemos escrever o sistema (3.22)-(3.23) na forma abstrata
d
dt
x(t) + F (t, x
t
)
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds + G(t, x
t
),
x
0
= ϕ ∈ B.
58 Cap´ıtulo 3. Existˆencia de solu¸c˜oes para um sistema integro-diferencial
Alem disso, ´e f´acil mostrar que F (t, ·), G(t, ·) s˜ao operadores lineares cont´ınuos com
F (t, ·) ≤ L
F
, G(t, ·) ≤ L
G
.
Mais ainda, usando a caracteriza¸c˜ao de D((−A)
1
2
) dada em (e), podemos mostrar ap´os alguns
c´alculos extensos que F (R × B) ⊂ D((−A)
1
2
) e que
(−A)
1
2
F (t, ψ) ≤ L
F
ψ
B
,
para todo ψ ∈ B.
O seguinte resultado ´e conseq¨uˆencia direta do Teorema 3.1.1
Proposi¸c˜ao 3.3.1 Suponha que as condi¸c˜oes (i)-(iii) ocorram. Se L
F
I
L(Y
1
,X)
K(0) <
1. Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao fraca para o sistema (3.22)-(3.23)sobre [0, b] para algum
0 < b ≤ a.
Se al´em das condi¸c˜oes anteriores assumirmos que
(iv) A fun¸c˜ao
∂
2
∂ξ
2
b(θ, η, ξ) ´e cont´ınua e
L
F
:=
π
0
0
−∞
π
0
∂
2
∂ξ
2
b(θ, η, ξ)
2
ρ
−1
(θ)dηdθdξ
1/2
< ∞,
obtemos o seguinte resultado como conseq¨uˆencia do Teorema 3.2.1.
Corol´ario 3.3.1 Seja u(·) a solu¸c˜ao fraca de (3.22)-(3.23) garantida pela Proposi¸c˜ao 3.3.1.
Se R(·)ϕ(0) e S(·)ϕ s˜ao Lipschitz em [0, b], ent˜ao u(·) ´e uma solu¸c˜ao semi-cl´assica de (3.22)-
(3.23).
Cap´ıtulo 4
Fam´ılias “N-resolventes” e aplica-
¸c˜oes a equa¸c˜oes integro-diferenciais
do tipo neutro
Resumo
Neste cap´ıtulo estudamos a existˆencia de uma fam´ılia “N-resolvente” de operadores para um
sistema integro-diferencial descrito na forma.
d
dt
x(t) +
t
0
N(t − s)x(s)ds = Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds, t ∈ (0, a), (4.1)
x(0) = x
0
, (4.2)
onde A : D(A) ⊂ X → X, B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X, t ≥ 0 s˜ao operadores lineares fechados
com D(B(t)) ⊃ D(A), t ≥ 0, e (N(t))
t≥0
´e uma fam´ılia de operadores lineares cont´ınuos
em X. Estudamos tamb´em propriedades qualitativas da fam´ılia N-resolvente e a existˆencia
e regularidade de solu¸c˜oes fracas para o problema n˜ao homogˆeneo associado. Na se¸c˜ao 4.4
aplicamos a teoria desenvolvida, no estudo da existˆencia e regularidade de solu¸c˜oes fracas
para um sistema integro-diferencial do tipo neutro com retardamento n˜ao limitado.
60 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
4.1 Preliminares
Neste se¸c˜ao estudamos a existˆencia e propriedades qualitativas de uma fam´ılia “N-
resolvente”de operadores lineares limitados para o sistema (4.1)-(4.2). Brevemente, uma
fam´ılia N-resolvente ´e uma fam´ılia de operadores em L(X), que se relaciona com o sistema
(4.1)-(4.2) de maneira similar como um semigrupo de operadores lineares se relacionam com
a equa¸c˜ao x
(t) = Ax(t).
Na seq¨uˆencia usaremos a nota¸c˜ao (H ∗ p) para representar a convolu¸c˜ao entre fun¸c˜oes
H e p, a qual ´e definida por (H ∗ p)(t) =
t
0
H(t − s)p(s)ds. Adicionalmente, para um
Banach (Z, ·
Z
) e uma fun¸c˜ao ξ : [0, ∞) → Z, usaremos a nota¸c˜ao
ξ para representar a
transformada de Laplace de ξ.
Neste cap´ıtulo assumiremos as seguintes hip´oteses.
(HN
1
) O operador A ´e gerador infinitesimal de um semigrupo anal´ıtico em X. Em particular,
assumiremos que existem constantes M > 0, θ ∈ (π/2, π) tais que ρ(A) ⊃ Λ
θ
= {λ ∈
C \ {0} :| arg(λ) |< θ} e R(λ, A) ≤
M
| λ |
para todo λ ∈ Λ
θ
.
(HN
2
) (N(t))
t>0
´e uma fam´ılia uniformemente limitada de op eradores em L(X); N(t)(D(A)) ⊂
D(A), AN(t)x = N(t)Ax ∀x ∈ D(A) e t > 0; N(·) ∈ L
1
([0, ∞) : L(X)) ∩ L
1
([0, ∞) :
L([D(A)]);
N(λ)x ´e absolutamente convergente para todo x ∈ X e Re(λ) > 0. Mais
ainda, existe α > 0 e uma extens˜ao anal´ıtica de
N(λ) a Λ
θ
, que denotaremos por
N(λ),
tal que
N(λ) ≤
N
| λ |
α
para todo λ ∈ Λ
θ
.
(HN
3
) Para cada t ≥ 0, B(t) : D(B(t)) ⊂ X → X ´e um operador linear fechado com D(A) ⊂
D(B(t)). Tamb´em assumiremos que B(·)x ´e uma fun¸c˜ao fortemente mensur´avel em
(0, ∞) para cada x ∈ D(A) e que existe b(·) ∈ L
1
(R
+
), com
b(λ) absolutamente
convergente para Re(λ) > 0, tal que B(t)x ≤ b(t) x
[D(A)]
para todo t > 0 e
cada x ∈ D(A).
(HN
4
) Existe um s ubconjunto D ⊂ D(A
2
) denso em D(A) tal que A(D) ⊂ D,
B(λ)(D) ⊂ D
e A
B(λ)(D) =
B(λ)A(D) para todo λ tal que Re(λ) > 0.
Observa¸c˜ao 4.1.1 Como exemplo de um operador que verifica a hip´otese (HN
4
), considere
A o operador Laplaciano com condi¸c˜oes de Dirichlet, B(t) = b(t)A e D = C
∞
0
(Ω).
4.2. Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 61
Exemplo 4.1.1 Em rela¸c˜ao a condi¸c˜ao (HN
2
), considere N(t) = e
−ωt
t
α−1
L : X → X
onde ω > 0, α ∈ (0, 1) e L ´e um operador em L(X) que comuta com o operador A quando
x ∈ D(A).
´
E f´acil ver que N (·) ∈ L
1
([0, ∞) : L(X)) ∩ L
1
([0, ∞) : L([D(A)]). Al´em disso,
N(λ)x ≤
Γ(α) L
| λ |
α
x ,
para todo x ∈ X.
Defini¸c˜ao 4.1.1 Uma fam´ılia de operado res lineares (R(t))
t≥0
em L(X), ´e chamada oper-
ador N-resolvente para (4.1)-(4.2) se as seguintes propriedades s˜ao verificadas.
(a) R(0) = I, a fun¸c˜ao t → R(t)x ´e cont´ınua sobre [0, ∞) para todo x ∈ X e existem
constantes η e M ≥ 1 tais que R(t) ≤ Me
ηt
para todo t ≥ 0.
(b) R(t)D(A) ⊂ D(A) para todo t ≥ 0 e a fun¸c˜ao R(·)x ∈ C([0, ∞); [D(A)]) para todo
x ∈ D(A).
(c) Se x ∈ D(A), ent˜ao R(·)x ∈ C
1
((0, ∞) : X); R(·)x + (N ∗R)(·)x e R(·)x + (R ∗N)(·)x
s˜ao fun¸c˜oes em C
1
([0, ∞) : X) e
d
dt
R(t)x +
t
0
N(t − s)R(s)xds
= AR(t)x +
t
0
B(t − s)R(s)xds, (4.3)
d
dt
R(t)x +
t
0
R(t − s)N(s)xds
= R(t)Ax +
t
0
R(t − s)B(s)xds, (4.4)
para todo t ≥ 0.
4.2 Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente
Nesta se¸c˜ao estabelecemos condi¸c˜oes suficientes para a existˆencia de uma fam´ılia N-
resolvente para (4.1)-(4.2). Previamente, ´e necess´ario introduzir algumas nota¸c˜oes e mos trar
alguns resultados preliminares.
Denotaremos por ρ
F
o conjunto
ρ
F
= {λ ∈ C; (λ + λ
N(λ) − A)
−1
∈ L(X)},
e F : ρ
F
→ L(X) ser´a o operador definido por F (λ) = (λ + λ
N(λ) −A)
−1
. Similarmente, ρ
G
ser´a o conjunto
ρ
G
= {λ ∈ C; (λ + λ
N(λ) −
B(λ) − A)
−1
∈ L(X)},
e G(λ) : ρ
G
→ L(X) ser´a o operador G(λ) = (λ + λ
N(λ) −
B(λ) − A)
−1
.
62 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Lema 4.2.1 Assuma que as hip´oteses (HN
1
) e (HN
2
) s˜ao v´alidas. Ent˜ao existem con-
stantes positivas r, M
1
, M
2
tais que ρ
F
⊃ Λ
r,θ
= {λ ∈ C\{0} :| λ |> r e | arg(λ) |< θ},
F (λ) ≤
M
1
| λ |
, ∀ λ ∈ Λ
r,θ
, (4.5)
F (λ) = R(λ, A)(I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
, ∀ λ ∈ Λ
r,θ
, (4.6)
AF (λ)x ≤
M
1
| λ |
x
[D(A)]
, ∀ λ ∈ Λ
r,θ
, x ∈ D(A), (4.7)
AF (λ) ≤ M
2
, ∀ λ ∈ Λ
r,θ
. (4.8)
Demonstra¸c˜ao: Sejam λ ∈ Λ
θ
e r = (2NM)
1
α
. Da estimativa
λ
N(λ)R(λ, A)x ≤
NM
| λ |
α
x ,
temos que λ
N(λ)R(λ, A) ≤
1
2
para | λ |> r, o que implica que (I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
existe e que (I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
≤ 2.
Por outro lado, para x ∈ X temos que
(λ + λ
N(λ) − A)R(λ, A)(I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
x =
(I + λ
N(λ)R(λ, A))(λ − A)R(λ, A)(I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
x =
(I + λ
N(λ)R(λ, A))(I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
x = x,
e que para x ∈ D(A),
R(λ, A)(I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
(λ + λ
N(λ) − A)x =
R(λ, A)(I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
(I + λ
N(λ)R(λ, A))(λ − A)x =
R(λ, A)(λ − A)x = x,
o que permite concluir que F (λ) existe para todo λ em Λ
r,θ
, que
F (λ) = R(λ, A)(I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
e que
F (λ) ≤
2M
| λ |
.
Do anterior temos que (4.5) e (4.6) s˜ao verificadas.
Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 63
Como A ´e um operador fechado, para x ∈ D(A) segue que
AF (λ)x = AR(λ, A)
∞
n=0
(−λ
N(λ)R(λ, A))
n
x = R(λ, A)
∞
n=0
(−λ
N(λ)R(λ, A))
n
Ax,
de onde obtemos que
AF (λ)x ≤
2M
| λ |
x
[D(A)]
.
Finalmente, da defini¸c˜ao de F (λ) e das propriedades anteriores segue que
AF (λ) = AR(λ, A)(I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
= λR(λ, A)(I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
+ (I + λ
N(λ)R(λ, A))
−1
≤ 2M + 2 = M
2
,
o que completa a prova.
Lema 4.2.2 Assuma que as hip´oteses (HN
1
), (HN
2
) e (HN
3
) s˜ao v´alidas. Sejam r, M
1
, M
2
as constantes garatidas no Lema 4.2.1 e suponha que lim sup
|λ|→∞
b(λ)M
2
< 1. Ent˜ao existem
constantes r
1
, M
3
, M
4
e M
5
tais que ρ
G
⊃ Λ
r
1
,θ
G(λ) ≤
M
3
| λ |
, ∀ λ ∈ Λ
r
1
,θ
, (4.9)
G(λ) = F (λ)(I −
B(λ)F (λ))
−1
, ∀ λ ∈ Λ
r
1
,θ
, (4.10)
AG(λ)x ≤
M
4
| λ |
x
[D(A)]
, ∀ λ ∈ Λ
r
1
,θ
, x ∈ D(A), (4.11)
AG(λ) ≤ M
5
, ∀ λ ∈ Λ
r
1
,θ
. (4.12)
Demonstra¸c˜ao: Sejam λ ∈ Λ
r,θ
e x ∈ X. Do Lema 4.2.1 vemos que
B(λ)F (λ)x ≤
b(λ)( F (λ)x
[D(A)]
)
≤
b(λ)( AF (λ)x + F (λ)x )
≤
b(λ)(M
2
+
M
1
| λ |
) x .
Como lim sup
|λ|→∞
b(λ)M
2
< 1, deduzimos a existˆencia de δ ∈ (0, 1) e de r
1
> r tais que
b(λ)(M
2
+
M
1
|λ|
) ≤ δ se | λ |> r
1
. Isto implica que o operador (I −
B(λ)F (λ)) ´e invers´ıvel e
que (I −
B(λ)F (λ))
−1
≤
1
1 − δ
para λ ∈ Λ
r
1
,θ
.
64 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Por outro lado, para x ∈ X temos que
(λ + λ
N(λ) −
B(λ) − A)F (λ)(I −
B(λ)F (λ))
−1
x =
(I −
B(λ)F (λ))(λ + λ
N(λ) − A)F (λ)(I −
B(λ)F (λ))
−1
x =
(I −
B(λ)F (λ))(I −
B(λ)F (λ))
−1
x = x,
e que quando x ∈ D(A),
F (λ)(I −
B(λ)F (λ))
−1
(λ + λ
N(λ) −
B(λ) − A)x =
F (λ)(I −
B(λ)F (λ))
−1
(I −
B(λ)F (λ))(λ + λ
N(λ) − A)x =
F (λ)(λ + λ
N(λ) − A)x = x.
Portanto, o operador (λ + λ
N(λ) −
B(λ) −A) possui inversa cont´ınua para λ ∈ Λ
r
1
,θ
, a qual
´e dada por G(λ) = F (λ)(I −
B(λ)F (λ))
−1
. Alˆem disso, como F (λ)(X) ⊂ D(A), temos que
G(λ) assume valores em D(A) e que
G(λ) ≤ F (λ) (I −
B(λ)F (λ))
−1
≤
2M
1
| λ |
1
1 − δ
≤
M
3
| λ |
.
Do anterior vemos que (4.9)-(4.10) s˜ao verificadas.
Vejamos agora que (4.11) e (4.12) tamb´em s˜ao v´alidas. Sejam x ∈ D(A) e λ ∈ Λ
r
1
,θ
.
Observe que quando λ ∈ Λ
r
1
,θ
temos que M
2
b(λ) < 1 e
b(λ)(M
2
+
M
1
|λ|
) ≤ δ. Como
conseq¨uˆencia,
AG(λ)x ≤ AF (λ)(I −
B(λ)F (λ))
−1
x
≤ AF (λ)
∞
n=0
(
B(λ)F (λ))
n
x
≤ AF (λ)x + AF (λ)
∞
n=1
(
B(λ)F (λ))
n
x
≤ AF (λ)x + AF (λ)
∞
n=1
(
B(λ)F (λ))
n
x
≤
M
1
| λ |
x
[D(A)]
+M
2
b(λ)
∞
n=1
(M
2
+
M
1
| λ |
)
b(λ)
n−1
F (λ)x
[D(A)]
≤
M
1
| λ |
x
[D(A)]
+
∞
n=1
δ
n−1
2M
1
| λ |
x
[D(A)]
≤
M
4
| λ |
x
[D(A)]
.
Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 65
Finalmente, da defini¸c˜ao de G(λ) e (4.8) vemos que para λ ∈ Λ
r
1
,θ
,
AG(λ) = AF (λ)(I +
B(λ)F (λ))
−1
≤ M
2
1
1 − δ
= M
5
,
o que permite concluir a demostra¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 4.2.1 Antes de continuar ´e necessario enfatizar que a constante r
1
do Lema
4.2.2 foi escolhida de forma que
b(λ)M
2
< 1 para todo | λ |> r
1
e que esta escolha ´e b´asica
para a obten¸c˜ao do resultado. Tamb´em observamos que o operador λ → G(λ) ´e escrito como
o produto de operadores anal´ıticos se λ ∈ Λ
r
1
,θ
. Como as co nseq¨uˆencias do Lema 4.2.2
s˜ao de fundamental importˆancia no que resta deste trabalho, achamos conveniente introduzir
formalmente as seguintes hip´oteses.
(HN
5
) Seja M
2
= 2M + 2 a constante garatida pelo Lema 4.2.1 e r
0
> r
1
. Ent˜ao
b(λ)M
2
< 1
para todo | λ |≥ r
0
.
(HN
6
) Os operadores G(λ) e AG(λ) s˜ao anal´ıticos para todo λ ∈ Λ
r
1
,θ
. Se x ∈ D, ent˜ao
AG(λ)x = G(λ)Ax para todo λ ∈ Λ
r
1
,θ
.
No que segue, usaremos a t´ecnica de transformada de Laplace para definir uma fam´ılia
N-resolvente (R(t))
t≥0
para (4.1)-(4.2). Tamb´em mos traremos que (R(t))
t≥0
possui uma
extens˜ao anal´ıtica a uma regi˜ao apropriada do plano complexo.
No que segue deste cap´ıtulo, assumiremos que as condi¸c˜oes (HN
1
)-(HN
6
) s˜ao verifi-
cadas e que M
1
, ··· , M
5
s˜ao as constantes dos Lemas 4.2.1, 4.2.2. No resto da se¸c˜ao, φ ser´a
um n´umero fixo em (
π
2
, θ) e r
0
> r
1
. Para r > 0, Γ(r) = Γ
1
r
∪ Γ
2
r
∪ Γ
3
r
ser´a a curva dada por
Γ
1
r
= {γe
iφ
: γ ≥ r},
Γ
2
r
= {re
iξ
: −φ ≤ ξ ≤ φ},
Γ
3
r
= {−γe
−iφ
: γ ≤ −r}.
onde cada curva Γ
i
r
, i = 1, 2, 3 ´e orientada de forma que Im(λ) ´e crescente em Γ
1
r
e Γ
3
r
.
Usando as nota¸c˜oes anteriores, definimos a fam´ılia de operadores (R(t))
t≥0
por
R(t) =
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
(λ + λ
N(λ) −
B(λ) − A)
−1
dλ, t > 0,
Id, t = 0.
(4.13)
Nos pr´oximos Lemas, mostraremos que (R(t))
t≥0
´e uma fam´ılia N-resolvente para (4.1)-
(4.2).
66 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Lema 4.2.3 Suponha que (HN
1
)-(HN
6
) s˜ao satisfeitas. Ent˜ao, R(t) ∈ L(X) para todo
t ≥ 0.
Demonstra¸c˜ao: Se x ∈ X, do Lema 4.2.2 segue que
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
G(λ)xdλ ≤
1
π
∞
r
0
| e
λt
|
M
3
| λ |
| dλ | x +
1
2π
φ
−φ
| e
λt
|
M
3
| λ |
| dλ | x
≤
1
π
∞
r
0
e
−rtsen(φ−
π
2
)
M
3
r
dr x +
1
2π
φ
−φ
e
r
0
t cos ξ
M
3
r
0
r
0
dξ x
≤
M
3
πr
0
e
−r
0
tsen(φ−
π
2
)
tsen(φ −
π
2
)
+
M
3
π
e
r
0
t
φ
x ,
o que prova que R(t) ∈ L(X) para todo t ≥ 0, pois R(0) = I.
Lema 4.2.4 Se (HN
1
)-(HN
6
) s˜ao satisfeitas, ent˜ao (R(t))
t≥0
´e fam´ılia uniformemente
limitada em L(X).
Demonstra¸c˜ao: Estudaremos inicialmente a limita¸c˜ao de R(t) para t ≥ 1. Sejam x ∈ X e
t ≥ 1. Fazendo a mudan¸ca de coordenada λt = γ, ´e f´acil ver que
R(t)x =
1
2πi
Γ(tr
0
)
t
−1
e
γ
G(γt
−1
)xdγ.
Mais ainda, como G(·) ´e anal´ıtica em Λ
r
1
,θ
, do Teorema de Cauchy podemos concluir que
R(t)x =
1
2πi
Γ(r
0
)
t
−1
e
γ
G(γt
−1
)xdγ.
Nestas condi¸c˜oes, do Lema 4.2.2 obtemos que
R(t)x ≤
1
π
∞
r
0
| e
γ
|
M
3
| γ |
| dγ | x +
1
2π
φ
−φ
| e
γ
|
M
3
| γ |
| dγ | x
≤
1
π
∞
r
0
e
−rsen(φ−
π
2
)
M
3
r
dr x +
1
2π
φ
−φ
e
r
0
cos ξ
M
3
r
0
r
0
dξ x
≤
M
3
πr
0
e
−r
0
sen(φ−
π
2
)
sen(φ −
π
2
)
+
M
3
π
e
r
0
φ
x .
O anterior mostra que {R(t) : t ≥ 1} ´e limitado em L(X).
Estudemos agora o cas o onde t ∈ (0, 1). Como t < 1, segue que t
−1
r
0
> r
0
. Usando
como antes a analiticidade de G(·) e o Teorema de Cauchy, segue que
R(t)x =
1
2πi
Γ(t
−1
r
0
)
e
λt
G(λ)xdλ.
Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 67
Como consequˆencia,
R(t)x ≤
1
π
∞
t
−1
r
0
| e
λt
|
M
3
| λ |
| dλ | x +
1
2π
φ
−φ
| e
λt
|
M
3
| λ |
| dλ | x
≤
1
π
∞
t
−1
r
0
e
−rtsen(φ−
π
2
)
M
3
r
dr x +
1
2π
φ
−φ
e
t
−1
r
0
t cos ξ
M
3
t
−1
r
0
t
−1
r
0
dξ x
≤
M
3
πr
0
e
−r
0
sen(φ−
π
2
)
sen(φ −
π
2
)
+
M
3
π
e
r
0
φ
x ,
o que prova que {R(t) : t ∈ (0, 1)} ´e limitado em L(X). Agora a demostra¸c˜ao est´a completa.
Lema 4.2.5 Se (HN
1
)-(HN
6
) s˜ao v´alidas, ent˜ao R(·)x ∈ C([0, ∞) : X) para todo x ∈ X.
Demonstra¸c˜ao: Sejam t > 0, x ∈ X. Observe que para r
t
> r
0
e s > 0 temos que
Γ(r
0
)∩{λ:|λ|≥r
t
}
e
λs
G(λ)xdλ ≤
1
π
∞
r
t
| e
λs
|
M
3
| λ |
| dλ | x
≤
1
π
∞
r
t
e
−rs sen(φ−
π
2
)
M
3
r
dr x
≤
M
3
πr
t
e
−r
t
s sen(φ−
π
2
)
s sen(φ −
π
2
)
x .
Portanto, dado > 0, podemos escolher r
t
> r
0
tal que
Γ(r
0
)∩{λ:|λ|≥r
t
}
e
λs
G(λ)dλ < , (4.14)
para todo s ∈ [
t
2
,
3t
2
]. Por outro lado, como e
λs
G(λ) → e
λt
G(λ) quando s → t, uniformemente
sobre Γ(r
0
) ∩ {λ :| λ |≤ r
t
}, existe δ
t
> 0 tal que
Γ(r
0
)∩{λ:|λ|≤r
t
}
e
λs
G(λ)dλ −
Γ(r
0
)∩{λ:|λ|≤r
t
}
e
λt
G(λ)dλ < , (4.15)
se | t − s |< δ
t
. De (4.14) e (4.15) conclu´ımos que R(t) − R(s)
L(X)
< 2 se | t − s |< δ
t
, o
que em particular prova que R(·)x ´e cont´ınua se t > 0.
Mostraremos agora que R(·)x ´e cont´ınua em zero. Estudemos inicialmente o caso onde
x ∈ D(A). Se λ ∈ Λ
r
1
,θ
, temos que G(λ)(λ + λ
N(λ) −
B(λ) − A)x = x, e ent˜ao
G(λ)x − λ
−1
x = λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)x
e
R(t)x − x =
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
G(λ)xdλ − x
=
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
G(λ)x − λ
−1
e
λt
x
dλ
=
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ.
68 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Pelas hip´oteses (HN
1
)-(HN
3
) e o Lema 4.2.2 temos que
e
λt
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)x ≤ M
3
| e
λt
| (
N
| λ |
1+α
+
b(λ)
| λ |
2
+
1
| λ |
2
) x
[D(A)]
,
e o lado direito da desigualdade acima ´e integr´avel independentemente de t, por uma simples
aplica¸c˜ao do Teorema da Convergˆencia dominada de Lebesgue podemos concluir que
lim
t→0
+
(R(t)x − x) =
1
2πi
Γ(r
0
)
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ.
Mostraremos agora que o termo a direita da ´ultima desigualdade ´e zero. Para isto, considere
os caminhos C
n
= {ne
iξ
: φ ≤ ξ ≤ −φ} e Γ(r
0
)
{λ; | λ |≤ n}∪C
n
orientados de maneira de
preservar a orienta¸c˜ao e m Γ(r
0
). Do Teorema de Cauchy, para cada n > r
0
, temos que
1
2πi
Γ(r
0
) {λ;|λ|≤n}∪C
n
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ = 0.
Por outro lado, das hip´oteses (HN
1
)-(HN
3
) e do Lema 4.2.2 obtemos a estimativa
1
2πi
C
n
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ
≤
1
2π
φ
−φ
M
3
N
n
1+α
ndξ x +
1
2π
φ
−φ
M
3
M
2
n
2
ndξ x
[D(A)]
+
1
2π
φ
−φ
M
3
n
2
ndξ x
[D(A)]
,
de onde segue que
1
2πi
C
n
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ → 0,
quando n → ∞. Assim vemos que
1
2πi
Γ(r
0
)
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ
= lim
n→∞
1
2πi
Γ(r
0
) {λ;|λ|≤n}
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ
+ lim
n→∞
1
2πi
C
n
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ
= lim
n→∞
1
2πi
Γ(r
0
) {λ;|λ|≤n}∪C
n
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ = 0,
o que prova que R(t)x → x se t → 0
+
para todo x ∈ D(A).
Finalmente, do Lema 4.2.4 sabemos que (R(t))
t≥0
´e uniformemente limitada sobre
[0, ∞), o que junto a densidade de D(A) em X permite concluir que R(·)x ´e cont´ınua em
zero para todo x ∈ X.
Nos pr´oximos Lemas estudamos a diferenciabilidade de R(·)x.
Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 69
Lema 4.2.6 Se as condi¸c˜oes (HN
1
)-(HN
6
) s˜ao v´alidas, ent˜ao a fun¸c˜ao R(·)x ∈ C
1
((0, ∞) :
X) para todo x ∈ X e
R
(t)x =
1
2πi
Γ
λe
λt
G(λ)xdλ.
Demonstra¸c˜ao: Para x ∈ X, h > 0 e t > 0,
R(t + h)x − R(t)x
h
=
1
2πi
Γ
e
λh
− 1
h
e
λt
G(λ)xdλ.
´
E f´acil mostrar que λe
λt
´e integr´avel sobre Γ(r
0
). Este fato, junto a estimativa
e
λh
− 1
h
e
λt
G(λ) ≤| λ | e | e
λt
|
M
3
| λ |
,
permite concluir por uma aplica¸c˜ao do Teorema da convˆergencia dominada que R(·)x ´e
diferenci´avel em t e que
R
(t)x =
1
2πi
Γ
λe
λt
G(λ)xdλ. (4.16)
Usando a estimativa
λe
λs
G(λ) ≤| λ || e
λs
|
M
3
| λ |
,
e procedendo como na primeira parte da prova do Lema 4.2.5, podemos mostrar a con-
tinuidade de R
(·) sobre (0, ∞), em particular a continuidade de R
(·)x sobre (0, ∞). Para
n˜ao estender o texto, omitiremos esta parte da prova. A demostra¸c˜ao est´a completa.
As provas dos seguintes Lemas s˜ao similares as provas dos Lemas 4.2.4, 4.2.5. Por isto,
ser˜ao resumidas convenientemente. Como sempre, assumiremos nos pr´oximos resultados que
(HN
1
)-(HN
6
) s˜ao satisfeitas.
Lema 4.2.7 A fam´ılia (R(t))
t≥0
´e uniformemente limitada em L([D(A)]).
Demonstra¸c˜ao: Para x ∈ D(A) e t > 0 definamos o operador (S(t))
t>0
por
S(t)x =
1
2πi
Γ
e
λt
AG(λ)xdλ.
Para t ≥ 1 considere a mudan¸ca de coordenada λt = γ.
´
E f´acil ver que
S(t)x =
1
2πi
Γ(tr
0
)
t
−1
e
γ
AG(γt
−1
)xdγ.
Como AG(·) ´e anal´ıtica em Λ
r
1
,θ
, pelo Teorema de Cauchy podemos concluir que
S(t)x =
1
2πi
Γ(r
0
)
t
−1
e
γ
AG(γt
−1
)xdγ.
70 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Nestas condi¸c˜oes, do Lema 4.2.2 obtemos que
S(t)x ≤
1
π
∞
r
0
| e
γ
|
M
4
| γ |
| dγ | x
[D(A)]
+
1
2π
φ
−φ
| e
γ
|
M
4
| γ |
| dγ | x
[D(A)]
≤
1
π
∞
r
0
e
−rsen(φ−
π
2
)
M
4
r
dr x
[D(A)]
+
1
2π
φ
−φ
e
r
0
cos ξ
M
4
r
0
r
0
dξ x
[D(A)]
≤
M
4
πr
0
e
−r
0
sen(φ−
π
2
)
sen(φ −
π
2
)
+
M
4
π
e
r
0
φ
x
[D(A)]
.
Segue do anterior temos que {S(t) : t ≥ 1} ´e limitado em L([D(A)] : X).
Estudemos agora o caso onde t ∈ (0, 1). Observe que t
−1
r
0
> r
0
. Usando como antes
a analiticidade de AG(·) e o Teorema de Cauchy segue que
S(t)x =
1
2πi
Γ(t
−1
r
0
)
e
λt
G(λ)xdλ.
Como consequˆencia,
S(t)x
≤
1
π
∞
t
−1
r
0
| e
λt
|
M
4
| λ |
| dλ | x
[D(A)]
+
1
2π
φ
−φ
| e
λt
|
M
4
| λ |
| dλ | x
[D(A)]
≤
1
π
∞
t
−1
r
0
e
−rtsen(φ−
π
2
)
M
4
r
dr x
[D(A)]
+
1
2π
φ
−φ
e
t
−1
r
0
t cos ξ
M
4
t
−1
r
0
t
−1
r
0
dξ x
[D(A)]
≤
M
4
πr
0
e
−r
0
sen(φ−
π
2
)
sen(φ −
π
2
)
+
M
4
π
e
r
0
φ
x
[D(A)]
,
para t > 0 e x ∈ D(A). Isto, mostra que a fam´ılia de operadores (S(t))
t>0
´e uniformemente
limitada em L([D(A)] : X). Usando agora que A ´e fechado, obtemos que AR(t) = S(t) e
assim que (R(t))
t≥0
´e uniformemente limitada em L([D(A)]). A prova est´a agora completa.
Lema 4.2.8 R(·)x ∈ C([0, ∞) : [D(A)]) para todo x ∈ D(A).
Demonstra¸c˜ao: Procedendo como no Lema 4.2.5 podemos mostrar que AR(·)x ´e cont´ınua
sobre (0, ∞) para todo x ∈ D(A).
Para analisar a continuidade no zero, estudaremos inicialmente o caso onde x ∈ D,
sendo D o conjunto introduzido em (HN
4
). Neste caso,
G(λ)x − λ
−1
x = λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)x,
o que do Lema 4.2.2 e (HN
6
) implica que
e
λt
λ
−1
AG(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)x
≤ M
3
| e
λt
|
N
| λ |
1+α
x
[D(A)]
+
b(λ) + 1
| λ |
2
( x
[D(A)]
+ Ax
[D(A)]
)
. (4.17)
Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 71
Agora, como consequˆecia de que a fun¸c˜ao do lado direito em (4.17) ´e integr´avel sobre Γ(r
0
)
independentemente de t, segue do Teorema da convergˆencia dominada que
lim
t→0
+
(AR(t)x − Ax) = lim
t→0
+
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
(AG(λ)x − λ
−1
Ax)dλ
= lim
t→0
+
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
λ
−1
AG(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ
=
1
2πi
Γ(r
0
)
λ
−1
AG(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ.
Assim, para mostrar que a propriedade ´e v´alida para x ∈ D, ´e suficiente provar que
1
2πi
Γ(r
0
)
λ
−1
AG(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ = 0.
Para mostrar isto, vamos proceder como na prova do Lema 4.2.5. Sejam os caminhos C
n
=
{ne
iξ
: −φ ≤ ξ ≤ φ} e Γ(r
0
)
{λ; | λ |≤ n}∪C
n
orientados de forma de preservar a orienta¸c˜ao
original em Γ(r
0
). Observamos que da desigualdade (4.17) segue facilmente que
lim
n→∞
1
2πi
C
n
λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ = 0.
Agora, da analiticidade de λ
−1
G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) −A)x sobre Λ
r
1
,θ
e o Teorema de Cauchy,
vemos que
0 = lim
n→∞
1
2πi
Γ(r
0
) {λ;|λ|≤n}∪C
n
λ
−1
AG(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ
= lim
n→∞
1
2πi
Γ(r
0
) {λ;|λ|≤n}
λ
−1
AG(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ
+ lim
n→∞
1
2πi
C
n
λ
−1
AG(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ
=
1
2πi
Γ
λ
−1
AG(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)xdλ,
o que mostra que lim
t↓0
AR(t)x = Ax para todo x ∈ D.
Finalmente, como D ´e denso em [D(A)] e (R(t))
t≥0
´e uniformemente limitada em
L([D(A)]), conclu´ımos que a propriedade ´e v´alida para todo x ∈ D(A). A prova est´a
completa.
Lema 4.2.9
R(λ)x = G(λ)x para todo λ ∈ Λ
r
1
,θ
e todo x ∈ X.
Demonstra¸c˜ao: Da defini¸c˜ao de (R(t))
t≥0
, vemos que
R(λ)x =
1
2πi
∞
0
e
−λt
Γ(r
0
)
e
γt
G(γ)x dγdt
=
1
2πi
Γ(r
0
)
∞
0
e
−(λ−γ)t
G(γ)x dtdγ
=
1
2πi
Γ(r
0
)
(λ − γ)
−1
G(γ)x dγ.
72 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Se as curvas C
n
= {ne
iξ
: φ ≤ ξ ≤ φ} e Γ(r
0
)
{λ; | λ |≤ n}∪C
n
, n > r
0
, s˜ao orientadas
de forma de manter a orienta¸c˜ao em Γ(r
0
), da Teoria cl´assica de fun¸c˜oes anal´ıticas obtemos
que
G(λ)x =
1
2πi
Γ(r
0
) {λ;|λ|≤n}∪C
n
(λ − γ)
−1
G(γ)x dγ, λ ∈ Λ
r
1
,θ
, | λ |< n.
Por outro lado, da estimativa
C
n
(λ − γ)
−1
G(γ)x dγ ≤
−φ
φ
M
3
| ne
iξ
|
| ne
iξ
dξ |
| λ − ne
iξ
|
x ≤ 2φ x
M
3
n− | λ |
,
conclu´ımos que
1
2πi
C
n
(λ −γ)
−1
G(γ)x dγ → 0 quando n → ∞. Das observa¸c ˜oes anteriores,
segue que para λ ∈ Λ
r
1
,θ
R(λ)x =
1
2πi
Γ(r
0
)
(λ − γ)
−1
G(γ)x dγ = lim
n→∞
1
2πi
Γ(r
0
) {λ;|λ|≤n}
(λ − γ)
−1
G(γ)x dγ
+ lim
n→∞
1
2πi
C
n
(λ − γ)
−1
G(γ)x dγ
= G(λ)x.
Portanto,
R(λ)x = G(λ)x para todo λ ∈ Λ
r
1
,θ
e todo x ∈ X.
Lema 4.2.10 A fam´ılia (R(t))
t≥0
satisfaz as equa¸c˜oes (4.3)-(4.4). Mais ainda, se x ∈ D(A),
ent˜ao R(·)x + (R ∗ N)(·)x ∈ C
1
([0, ∞) : X) e R(·)x + (N ∗ R)(·)x ∈ C
1
([0, ∞) : X).
Demonstra¸c˜ao: Sejam x ∈ D(A) e M > 0 tal que R(t) ≤ M para todo t ≥ 0.
Mostraremos inicialmente que a fun¸c˜ao R(·) verifica (4.4) para t > 0. Usando que a integral
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
xdλ = 0, dos Lemas 4.2.5, 4.2.6 e 4.2.9, e do fato que as fun¸c˜oes λe
λ
G(λ)
N(λ)x
e λe
λ
G(λ)
B(λ)x s˜ao integr´aveis sobre Γ(r
0
), segue que
R
(t)x =
1
2πi
Γ(r
0
)
λe
λt
G(λ)xdλ
=
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
[x − G(λ)(λ
N(λ) −
B(λ) − A)x]dλ
= R(t)Ax −
1
2πi
Γ(r
0
)
λe
λt
R(λ)
N(λ)xdλ +
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
R(λ)
B(λ)xdλ.
Assim, para mostrar que se verifica (4.4), ´e suficiente provar que
1
2πi
Γ(r
0
)
λe
λt
R(λ)
N(λ)xdλ =
d
dt
t
0
R(t − s)N(s)xds, (4.18)
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
R(λ)
B(λ)xdλ =
t
0
R(t − s)B(s)xds. (4.19)
Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 73
Estudemos em primeiro lugar o termo (4.18). Definamos a fun¸c˜ao Θ : [0, ∞) → X
mediante a expres˜ao Θ(s) =
s
0
R(s − µ)N(µ)xdµ. Como N(·)x ∈ L
1
(R
+
: X), ´e claro que
Θ ∈ C([0, ∞) : X). Mais ainda, Θ ´e limitada sobre [0, ∞) pois Θ(s) ≤ M N
L
1
(R
+
:L(X))
para todo s ≥ 0. Seja agora ξ(s) =
s
0
Θ(µ)dµ. Nestas condi¸c˜oes, a Transformada de
Laplace-Stieltjes de ξ existe para Re(λ) > 0 e
∞
0
e
−λt
dξ(t) =
∞
0
e
−λt
Θ(t)dt =
R(λ)
N(λ)x.
Agora, pelo Teorema da Transformada de Laplace inversa, veja [48, Theorem 6.3.1], e da
defini¸c˜ao de ξ(·), vemos que para γ > r
0
ξ(t) =
1
2πi
γ+i∞
γ−i∞
e
λt
∞
0
e
−λt
dξ(t)
dλ
λ
=
1
2πi
γ+i∞
γ−i∞
e
λt
R(λ)
N(λ)x
dλ
λ
,
de onde obtemos que
d
dt
Θ(t) =
1
2πi
γ+i∞
γ−i∞
λe
λt
R(λ)
N(λ)xdλ.
Consequˆentemente, para finalizar esta parte da demonstra¸c˜ao ´e suficiente provar
1
2πi
γ+i∞
γ−i∞
λe
λt
R(λ)
N(λ)dλ =
1
2πi
Γ(r
0
)
λe
λt
R(λ)
N(λ)dλ. (4.20)
Para mostrar (4.20), introduzimos as curvas
γ
n
1
= {s + in : −nsen(φ −
π
2
) ≤ s ≤ γ},
γ
n
2
= {−s − in : −nsen(φ −
π
2
) ≤ s ≤ γ},
γ
n
= {γ + is : −n ≤ s ≤ n}.
No que segue assumiremos que a curvas Λ
n
= Γ(r
0
)
{λ; | λ |≤ n}
γ
n
1
γ
n
2
γ
n
, n ∈ N,
est˜ao orientadas de modo de prese rvar a orienta¸c˜ao em Γ(r
0
). Da analiticidade de λ →
λe
λt
R(λ)
N(λ) em Λ
r
1
,θ
e do Teorema de Cauchy ´e claro que
1
2πi
Λ
n
λe
λt
R(λ)
N(λ)xdλ = 0, (4.21)
para todo n ∈ N. Por outro lado, usando as estimativas do Lema 4.2.2 e o fato que
R(λ) =
74 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
G(λ), para λ ∈ Λ
r
1
,θ
, segue que
γ
n
1
λe
λt
R(λ)
N(λ)xdλ +
γ
n
2
λe
λt
R(λ)
N(λ)xdλ
≤ 2
γ
−nsen(φ−
π
2
)
e
st
s
2
+ n
2
M
3
N
(
√
s
2
+ n
2
)
1+α
x ds
≤ 2
γ
−nsen(φ−
π
2
)
e
st
M
3
N
(
√
s
2
+ n
2
)
α
x ds
≤ 2
γ
−nsen(φ−
π
2
)
e
st
M
3
N
n
α
x ds
≤ 2
M
3
N
n
α
e
γt
t
−
e
−ntsen(φ−
π
2
)
t
x ,
de onde obtemos que
lim
n→∞
1
2πi
γ
n
i
λe
λt
R(λ)
N(λ)dλ = 0, i = 1, 2. (4.22)
Agora de (4.21) e (4.22) inferimos que (4.20) ´e v´alida e assim que (4.18) ´e satisfeita para todo
t > 0.
De maneira s imilar podemos mostrar que (4.19) ´e tamb´em verificada para t > 0. Para
isto, definamos a fun¸c˜ao Θ
1
: [0, ∞) → X por Θ
1
(s) =
s
0
R(s − µ)B(µ)xdµ. Como B(·)x ∈
L
1
(R
+
: X), quando x ∈ D(A), ´e claro que Θ
1
∈ C
b
([0, ∞) : X) pois
Θ
1
(s) ≤ M b
L
1
(R
+
)
x
D(A)
,
para todo s ≥ 0. Seja agora ξ
1
(s) =
s
0
Θ
1
(µ)dµ. Nestas condi¸c˜oes a Transformada de
Laplace-Stieltjes de ξ
1
existe para Re(λ) > 0 e
∞
0
e
−λt
dξ
1
(t) =
∞
0
e
−λt
Θ
1
(t)dt =
R(λ)
B(λ)x.
Pelo Teorema da Transformada de Laplace inversa [48, Theorem 6.3.1] e da defini¸c˜ao de ξ
1
(·),
vemos que para γ > r
0
ξ
1
(t) =
1
2πi
γ+i∞
γ−i∞
e
λt
∞
0
e
−λt
dξ
1
(t)
dλ
λ
=
1
2πi
γ+i∞
γ−i∞
e
λt
R(λ)
B(λ)x
dλ
λ
.
Do anterior segue que
Θ
1
(t) =
1
2πi
γ+i∞
γ−i∞
e
λt
R(λ)
B(λ)xdλ.
Para finalizar esta parte da demonstra¸c˜ao mostraremos que
1
2πi
γ+i∞
γ−i∞
e
λt
R(λ)
B(λ)dλ =
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
R(λ)
B(λ)dλ. (4.23)
Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 75
Para isto, considere as curvas γ
n
1
, γ
n
2
, γ
n
e Λ
n
introduzidas anteriormente. Da analiticidade
de λ → e
λt
R(λ)
B(λ) em Λ
r
1
,θ
e do Teorema de Cauchy conclu´ımos que
1
2πi
Λ
n
λe
λt
R(λ)
N(λ)xdλ = 0, (4.24)
para todo n ∈ N. Por outro lado, procedendo de forma semelhante ao o caso anterior inferimos
que
lim
n→∞
1
2πi
γ
n
i
e
λt
R(λ)
B(λ)dλ = 0, i = 1, 2. (4.25)
Agora de (4.24) e (4.25) inferimos que (4.23) ´e v´alida e assim que (4.18) ´e satisfeita para
t > 0.
O passo feito anteriormente mostra que (R(t))
t≥0
verifica a equa¸c˜ao (4.4) para todo
t > 0.
Vejamos agora que (4.3) tamb´em ´e v´alida. Usando que
λG(λ)x = [I − (λ
N(λ) −
B(λ) − A)G(λ)]x,
e a integrabilidade das fun¸c˜oes λ → e
λt
G(λ)Ax, λ → λe
λt
N(λ)
R(λ)x e λ → e
λt
B(λ)
R(λ)x
sobre Γ(r
0
), vemos que
R
(t)x
=
1
2πi
Γ(r
0
)
λe
λt
G(λ)xdλ
=
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
[x − (λ
N(λ) −
B(λ) − A)G(λ)x]dλ
=
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
G(λ)Axdλ −
1
2πi
Γ(r
0
)
λe
λt
N(λ)
R(λ)xdλ +
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
B(λ)
R(λ)xdλ.
Procedendo como antes, podemos mostrar que
1
2πi
Γ(r
0
)
λe
λt
N(λ)
R(λ)xdλ =
d
dt
t
0
N(t − s)R(s)xds,
1
2πi
Γ(r
0
)
e
λt
B(λ)
R(λ)xdλ =
t
0
B(t − s)R(s)xds,
o que permite provar (4.3). Como os detalhes s˜ao extensos e muito similares aos anteriores,
omitiremos esta parte da demonstra¸c˜ao.
´
E f´acil ver dos passos anteriores, que as fu¸c˜oes Γ
1
(t) = R(t)x +
t
0
R(t − s)N(s)xds e
Γ
2
(t) = R(t)x +
t
0
N(t −s)R(s)xds s˜ao de classe C
1
sobre (0, ∞). Mostraremos agora que Γ
1
76 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
´e continuamente diferenci´avel em zero e que (4.4) se verifica em zero. Para come¸car, observe
que para > 0, existe a > 0 tal que
R(t)Ax +
t
0
R(t − s)N(s)xds − Ax ≤ , t ∈ [0, a]. (4.26)
Se ζ ∈ X
, ´e claro que ζ ◦ Γ
1
∈ C([0, a] : R) ∩ C
1
((0, a) : R). Assim, pelo Teorema do
valor m´edio de Lagrange, para t ∈ (0, a) existe c
ζ,t
∈ (0, t) tal que
ζ ◦ Γ
1
(t) − ζ ◦ Γ
1
(0)
t
=
d
dt
(ζ ◦ Γ
1
)|
t=c
ζ,t
= ζ(
d
dt
Γ
1
|
t=c
ζ,t
)
= ζ(R(c
ζ,t
)Ax +
c
ζ,t
0
R(c
ϕ,t
− s)N(s)xds).
O anterior, junto com (4.26), implica que
|
ζ ◦ Γ
1
(t) − ζ ◦ Γ
1
(0)
t
− ζ(Ax) |≤ ζ R(c
ζ,t
)Ax +
c
ζ,t
0
R(c
ζ,t
− s)N(s)xds − Ax ,
o que mostra que
Γ
1
(t) − Γ
1
(0)
t
− Ax = sup
ζ≤ 1
|
ζ ◦ Γ
1
(t) − ζ ◦ Γ
1
(0)
t
− ζ(Ax) |≤ ,
para todo t ∈ [0, a]. Por tanto, Γ
1
(·) ´e diferenci´avel em 0 e lim
t↓0
d
dt
Γ
1
(t) =
d
dt
Γ
1
(t)|
t=0
= Ax,
o que implica que Γ
1
(·) ∈ C
1
([0, ∞); X) e que (4.4) tamb´em se verifica em t = 0.
A prova que Γ
2
(·) ∈ C
1
([0, ∞); X) e que (4.3) ´e v´alida em t = 0 ´e similar `a anterior e
por isso ser´a omitida. A demostra¸c˜ao est´a agora completa.
Lema 4.2.11 A fam´ılia (R(t))
t≥0
possui uma extens˜ao anal´ıtica na regi˜ao
Λ
δ
= {t ∈ C : | arg(t) |< δ}\{0}, onde 0 < δ < φ −
π
2
<
π
2
.
Demonstra¸c˜ao: Primeiro mostraremos que a fam´ılia de operadores definida em (4.13)
converge em L(X) para todo t ∈ Λ
δ
.
Para λ ∈ Γ
1
r
0
, temos que λt =| λt | e
i(arg(λ)+arg(t))
, onde arg(λ) = φ e −δ < arg(t) < δ.
Assim segue que
φ − δ < arg(t) + arg(λ) < φ + δ ⇒
φ − δ +
π
2
−
π
2
< arg(t) + arg(λ) < φ + δ + (φ −
π
2
) − (φ −
π
2
) ⇒
π
2
+ < arg(t) + arg(λ) <
3π
2
− ,
Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 77
onde = φ −
π
2
− δ > 0. Como cos(
π
2
+ ) = cos(
3π
2
− ) = −sen(), obtemos que
| e
λt
|≤ e
|λt|cos(arg(t)+arg(λ))
≤ e
|λt|cos(
π
2
+ε)
= e
−|λt|sen(ε)
. (4.27)
Para λ ∈ Γ
3
r
0
vemos que λt =| λt | e
i(−arg(λ)+arg(t))
, onde arg(λ) = φ e −δ < arg(t) < δ.
Logo obtemos que
−3π
2
+ ε < arg(t) −arg(λ) <
−π
2
− ε, e que cos(
−3π
2
+ ε) = cos(
−π
2
− ε) =
−sen(ε). Conseq¨uˆentemente,
| e
λt
|≤ e
|λt|cos(arg(t)−arg(λ))
≤ e
|λt|cos(
−π
2
+ε)
= e
−|λt|sen(ε)
. (4.28)
Quando λ ∈ Γ
2
r
0
, ´e f´acil ver que
| e
λt
|≤ e
|t|r
0
cos(φ+arg(t))
≤ e
|t|r
0
. (4.29)
Procedendo agora como no Lema 4.2.3, usando (4.27)-(4.29) p odemos mostrar que a
fam´ılia de operador (R(t))
t∈Λ
δ
∈ L(X). Mais ainda, usando as id´eias da prova do Lema 4.2.6
podemos mostrar que R
(·) ∈ C(Λ
δ
, L(X)), o que permite concluir a prova.
Como conseq¨uˆencia dos Lemas 4.2.3-4.2.11, estab elec emos sem demostra¸c˜ao, o principal
resultado desta se¸c˜ao.
Teorema 4.2.1 Se as condi¸c˜oes (HN
1
)-(HN
6
) s˜ao sat isfeitas, ent˜ao a fam´ılia (R(t))
t≥0
´e
uma fam´ılia N-resolvente anal´ıtica para (4.1)-(4.2).
Corol´ario 4.2.1 Suponha que as condi¸c˜oes (HN
1
)-(HN
6
) s˜ao satisfeitas. Ent˜ao existem
cons- tantes positivas C
1
, C
2
tais que
R
(t)x ≤ (C
1
+ C
2
t
α−1
) x
[D(A)]
, (4.30)
para todo x ∈ D(A).
Demonstra¸c˜ao: Sejam t > 0 e x ∈ D(A). Como λG(λ)x = G(λ)(A − λ
N(λ) +
B(λ))x, do
Lema 4.2.6 segue que
R
(t)x =
1
2πi
Γ
e
λt
G(λ)(A − λ
N(λ) +
B(λ))xdλ.
Para estabelecer a desigualdade (4.30), estudaremos os casos t ∈ (0, 1) e t ≥ 1. Assuma
primeiramente que t ∈ (0, 1). Se M
3
´e a constante garantida pelo Lema 4.2.2, da condi¸c˜ao
78 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
(HN
5
) e da analiticidade de λ → G(λ)(A − λ
N(λ) +
B(λ)) obtemos que
R
(t)x
≤
1
2π
Γ(t
−1
r
0
)
e
|tλ|
G(λ)(A − λ
N(λ) +
B(λ))x | dλ |
≤
1
2π
Γ(t
−1
r
0
)
e
|tλ|
M
3
| λ |
(I+ | λ |
N
| λ |
α
+
b(λ)) x
[D(A)]
| dλ |
≤
1
π
Γ(t
−1
r
0
)
e
|tλ|
M
3
(1 +
1
M
2
)
| λ |
x
[D(A)]
| dλ | +
1
2π
Γ(t
−1
r
0
)
e
|tλ|
M
3
N
| λ |
α
x
[D(A)]
| dλ |
=
2
π
∞
t
−1
r
0
e
−rtsen(φ−
π
2
)
M
3
(1 +
1
M
2
)
r
dr x
[D(A)]
+
1
π
φ
−φ
e
t
−1
r
0
t cos ξ
M
3
(1 +
1
M
2
)dξ x
[D(A)]
+
1
π
∞
t
−1
r
0
e
−rtsen(φ−
π
2
)
M
3
N
r
α
dr x
[D(A)]
+
1
2π
φ
−φ
e
t
−1
r
0
t cos ξ
M
3
N
r
α
rdξ x
[D(A)]
= M
3
(1 +
1
M
2
)
2
πr
0
e
−r
0
sen(φ−
π
2
)
sen(φ −
π
2
)
+
1
π
e
r
0
φ
x
[D(A)]
+
t
α
M
3
N
πr
α
0
e
−r
0
sen(φ−
π
2
)
tsen(φ −
π
2
)
+
M
3
N
πr
α−1
0
t
α−1
e
r
0
φ
x
[D(A)]
,
assim obtemos que
R
(t)x ≤ (C
1
+ C
2
t
α−1
) x
[D(A)]
, (4.31)
onde C
1
e C
2
s˜ao constantes independentes de t e x.
Vejamos agora o caso t ≥ 1. Usando a mudan¸ca de vari´avel λt = γ, fazendo uso da
analiticidade da fun¸c˜ao λ → G(λ)(A − λ
N(λ) +
B(λ)) e do Lema 4.2.2 obtemos que
R
(t)x
≤
1
2π
Γ(r
0
)
e
|γ|
G(t
−1
γ)(A − t
−1
λ
N(t
−1
γ) +
B(t
−1
γ))x t
−1
| dγ |
≤
1
2π
Γ(r
0
)
e
|γ|
M
3
| γ | t
−1
(I+ | γ | t
−1
M
3
N
| γ |
α
t
−α
+
b(t
−1
γ)) x
[D(A)]
t
−1
| dγ |
≤
1
π
Γ(r
0
)
e
|γ|
M
3
(1 +
1
M
2
)
| γ |
x
[D(A)]
| dγ | +
1
2π
Γ(r
0
)
e
|γ|
M
3
N
| γ |
α
x
[D(A)]
| dγ |
t
α−1
,
de onde inferimos a existˆencia de C
3
e C
4
independentes de t e x tais que
R
(t)x ≤ (C
3
+ C
4
t
α−1
) x
[D(A)]
. (4.32)
A propriedade agora ´e conseq¨uˆencia de (4.31) e (4.32).
Existˆencia de uma fam´ılia N-resolvente 79
Corol´ario 4.2.2 Assuma que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo anal´ıtico; 0 ∈
ρ(A) e que para todo ϑ ∈ (0, 1) o operador λ → (−A)
ϑ
G(λ) ´e anal´ıtico sobre Λ
r
1
,θ
. Ent˜ao,
para cada ϑ ∈ (0, 1) existe K
ϑ
> 0 tal que
(−A)
ϑ
R(t) ≤
K
ϑ
t
ϑ
, t > 0. (4.33)
Demonstra¸c˜ao: Seja ϑ ∈ (0, 1). De [63, Theorem 6.10] sabemos que existe C
ϑ
> 0 tal que
(−A)
ϑ
x ≤ C
ϑ
Ax
ϑ
x
1−ϑ
, x ∈ D(A).
Como G(·) assume valores em D(A), do Lemma 4.2.2 vemos que para x ∈ X
(−A)
ϑ
G(λ)x ≤ C
ϑ
AG(λ)x
ϑ
G(λ)x
1−ϑ
≤ C
ϑ
M
ϑ
5
x
ϑ
M
1−ϑ
3
λ
1−ϑ
x
1−ϑ
≤
C
1
λ
1−ϑ
x ,
onde C
1
´e independente de λ. A desigualdade anterior permite mostrar com facilidade a
func˜ao λ → e
λt
(−A)
ϑ
G(λ) ´e integr´avel sobre Γ(r), r ≥ r
0
.
Como (−A)
ϑ
´e fechado e (−A)
ϑ
G(λ) ´e anal´ıtica em Λ
r
1
,θ
, para t ∈ (0, 1) obtemos que
(−A)
ϑ
R(t)x =
1
2πi
Γ(t
−1
r
0
)
e
λt
(−A)
ϑ
G(λ)xdλ.
Usando a representa¸c˜ao anterior, segue que
(−A)
ϑ
R(t)x
≤
1
π
∞
t
−1
r
0
| e
λt
|
C
1
| λ |
1−ϑ
| dλ | x +
1
2π
φ
−φ
| e
λt
|
C
1
| λ |
1−ϑ
| dλ | x
≤
1
π
∞
t
−1
r
0
e
−rtsen(φ−
π
2
)
C
1
r
1−ϑ
dr x +
1
2π
φ
−φ
e
t
−1
r
0
t cos ξ
C
1
t
−1
r
1−ϑ
0
t
−1
r
0
dξ x
≤
C
1
πr
1−ϑ
0
e
−r
0
sen(φ−
π
2
)
sen(φ −
π
2
)
+
C
1
π
e
r
0
φ
t
−ϑ
x ,
de onde conclu´ımos que existe C
2
> 0 independente de x tal que
(−A)
ϑ
R(t)x ≤ C
2
t
−ϑ
, t ∈ (0, 1). (4.34)
Vejamos agora o caso em que t ≥ 1. Fazendo a mudan¸ca de coordenada γ = λt e o fato
que (−A)
ϑ
G(λ) ´e anal´ıtica em Λ
r
1
,θ
obtemos que
(−A)
ϑ
R(t)x =
1
2πi
Γ(r
0
)
e
γ
(−A)
ϑ
G(γt
−1
)xt
−1
dγ.
80 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Do anterior segue que
(−A)
ϑ
R(t)x
≤
1
π
∞
r
0
t
−1
| e
γ
|
C
1
| t
−1
γ |
1−ϑ
| dγ | x +
1
2π
φ
−φ
t
−1
| e
γ
|
C
1
| t
−1
γ |
1−ϑ
| dγ | x
≤
1
π
∞
r
0
e
−rsen(φ−
π
2
)
C
1
r
1−ϑ
t
−ϑ
dr x +
1
2π
φ
−φ
e
r
0
cos ξ
C
1
r
1−ϑ
0
t
−ϑ
r
0
dξ x
≤
C
1
πr
1−ϑ
0
e
−r
0
sen(φ−
π
2
)
sen(φ −
π
2
)
+
C
1
π
e
r
0
φ
t
−ϑ
x ,
de onde obtemos que
(−A)
ϑ
R(t)x ≤ C
2
t
−ϑ
, t ≥ 1. (4.35)
A conclus˜ao do resultado ´e conseq¨uˆencia de (4.34)-(4.35). A prova est´a conclu´ıda.
Para finalizar esta se¸c˜ao consideramos algums exemplos de sistemas integrodiferenciais
que podem ser estudados sob nossa teoria de resolventes.
Exemplo 4.2.1 Considere o sistema integro-diferencial
∂
∂t
u(t, ξ) +
t
0
(t − s)
α−1
e
−ω(t−s)
u(s, ξ)ds
=
∂
2
∂ξ
2
u(t, ξ) +
t
0
e
−γ(t−s)
u(s, ξ)ds
, t > 0, (4.36)
u(0, ξ) = 0, ξ ∈ [0, π], (4.37)
onde α ∈ (0, 1) e ω, γ s˜ao n´umeros positivos. No que segue X = L
2
([0, π]) e A : D(A) ⊂
X → X ´e o operador definido por Af(ξ) = f
(ξ), onde
D(A) = {f ∈ L
2
([0, π]) : f
∈ L
2
([0, π]), f (0) = f(π) = 0}.
´
E conhecido que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo anal´ıtico e compacto (T (t))
t≥0
sobre X. Se definirmos os operadores N
1
(t)f(ξ) = t
α−1
e
−ωt
f(ξ) e B
1
(t)f(ξ) = b
1
(t)f
(ξ) em
que b
1
(t) = e
−γt
, ent˜ao podemos representar o sistema (4.36)-(4.37) na forma abstrata
∂
∂t
[u(t) +
t
0
N
1
(t − s)u(s)ds] = Au(t) +
t
0
B
1
(t − s)u(s)ds, t > 0, (4.38)
u(0) = 0. (4.39)
´
E f´acil ver que as condi¸c˜oes (HN
1
) e (HN
2
) s˜ao verificadas. Em rela¸c˜ao a (HN
3
) e
(HN
4
) somente observamos B(t)f ≤ b
1
(t) f
[D(A)]
; sendo
b
1
(λ) =
1
λ+γ
e lim
|λ|→∞
b
1
(λ) =
0 e a condi¸c˜ao (HN
4
) ´e verificada se considerarmos D = C
∞
0
([0, π]).
Como conseq¨uˆencia dos fatos anteriores temos a seguintes proposi¸c˜ao:
4.3. O problema integro-diferencial n˜ao homogˆeneo 81
Proposi¸c˜ao 4.2.1 Existe uma fam´ılia de operadores N-resolvente associada ao sistema (4.36)-
(4.37).
Demonstra¸c˜ao: Conseq¨uˆencia imediata do Teorema 4.2.1.
Exemplo 4.2.2 Observe que a Proposi¸c˜ao 4.2.1 tamb´em ´e verdadeira para o sistema
∂
∂t
[u(t, ξ) +
t
0
k(t − s)u(s, ξ)ds] =
∂
2
∂ξ
2
u(t, ξ) +
t
0
e
−γ(t−s)
∂
∂ξ
u(s, ξ)ds, (4.40)
u(0, ξ) = 0 ξ ∈ [0, π]. (4.41)
onde α ∈ (0, 1), ω, γ > 0 e o n´ucleo k(·) ´e dado por
k(t) =
t
α−1
0 < t < 1,
t
α−1
e
−ωt
t ≥ 1.
4.3 O problema integro-diferencial n˜ao homogˆeneo
Fazendo uso da teoria desenvolvida na se ¸c˜ao anterior, e studamos a existˆencia e regu-
laridade das solu¸c˜oes para o problema n˜ao homogˆeneo.
d
dt
x(t) +
t
0
N(t − s)x(s)ds
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s) ds + f (t), t ∈ [0, a], (4.42)
x(0) = x
0
∈ D(A), (4.43)
onde f : [0, a] → X ´e apropriada. No que segue, sempre assumiremos que as condi¸c˜oes
(HN
1
)-(HN
4
) s˜ao satisfeitas e denotaremos por (R(t))
t≥0
a fam´ılia N-resolvente associada
a (4.1)-(4.2). Al´em do anterior, assumiremos a seguinte propriedade
(H
α
) Existe α(·) ∈ L
1
loc
(R
+
), a qual ´e limitada em intervalos da forma (a
1
, a
2
], a
1
> 0, tal
que
R
(t)x ≤ α(t) x
[D(A)]
, ∀ x ∈ D(A).
Para o sistema integro-diferencial (4.42)-(4.43), consideremos a seguinte defini¸c˜ao de
solu¸c˜ao cl´assica.
Defini¸c˜ao 4.3.1 Uma fun¸c˜ao x : [0, a) → X ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (4.42)-(4.43) se
x + N ∗ x ∈ C
1
((0, a) : X); x ∈ C([0, a) : [D(A)]) ∩C
1
((0, a) : X) e (4.42)-(4.43) ´e satisfeita
sobre [0, a).
Uma conseq¨uˆencia imediata da existˆencia de uma fam´ılia de operadores N-resolvente
para (4.1)-(4.2) ´e a formula da varia¸c˜ao dos parˆametros.
82 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Teorema 4.3.1 Seja u
0
∈ D(A) e f ∈ C([0, a] : X). Se u(·) ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de
(4.42)-(4.43) e u
(·) ´e limitada sobre (0, a], ent˜ao
u(t) = R(t)u
0
+
t
0
R(t − s)f(s)ds, t ∈ [0, a].
Demonstra¸c˜ao: Para come¸car, estudaremos a diferenciabilidade das fun¸c˜oes
Θ
1
(s) =
s
0
N(s − ξ)u(ξ)dξ,
Θ
2
(s) =
s
0
R(s − ξ)N(ξ)u
0
dξ.
Para s ∈ [0, a) e h > 0 tal que s + h ∈ [0, a] temos que
1
h
[Θ
1
(s + h) − Θ
1
(s)]
=
s
0
N(s − ξ)
u(ξ + h) − u(ξ)
h
dξ +
1
h
h
0
N(s + h − ξ)u(ξ)dξ. (4.44)
´
E f´acil ver que o segundo termo da direita em (4.44) converge para N (s)u
0
q.t.p. sobre [0, a].
Por outro lado, como u
(·) ´e limitada em (0, a] e N(·) ´e integr´avel, conclu´ımos que Θ
1
´e
diferenci´avel em s e que
Θ
1
(s) =
s
0
N(s − ξ)u
(ξ)dξ + N(s)u
0
, q.t.p. para s ∈ [0, a].
Similarmente, para u
0
∈ D(A), s ∈ [0, a) e h > 0 tal que s + h ∈ [0, a] vemos que
1
h
[Θ
2
(s + h) − Θ
2
(s)] =
s
0
R(s + h − ξ) − R(s − ξ)
h
N(ξ)u
0
dξ
+
1
h
s+h
s
R(s + h − ξ)N(ξ)u
0
dξ. (4.45)
Como N(·) ∈ L
1
([0, ∞) : L(X)), segue facilmente que o segundo termo da direita em (4.45),
converge q.t.p. para N(s)u
0
quando h → 0. Mais ainda, como N (t)D(A) ⊂ D(A) e a fun¸c˜ao
µ → R(µ)N(ξ)u
0
´e diferenci´avel temos que
R(s + h − ξ) − R(s − ξ)
h
N(ξ)u
0
→ R
(s − ξ)N (ξ)u
0
,
q.t.p. para s ∈ [0, a]. Usando agora a propriedade (H
α
) na defini¸c˜ao de N-resolvente, e a
desigualdade
R(s + h − ξ) − R(s − ξ)
h
N(ξ)x ≤
1
h
h
0
R
(s − ξ + θ)N(ξ)dθ
≤
1
h
h
0
α(s − ξ + θ)dθ N(ξ)x
[D(A)]
= g(ξ),
O problema integro-diferencial n˜ao homogˆeneo 83
do Teorema da Convergˆencia Dominada obtemos que a fun¸c˜ao ξ → R
(s−ξ)N(ξ)x ´e integr´avel
sobre [0, s]. Como conseq¨uˆencia dos passos anteriores, Θ
2
´e diferenci´avel e
Θ
2
(s) =
s
0
R
(s − ξ)N (ξ)xdξ + N(s)x, q.t.p. para s ∈ [0, a].
Usando agora que R(·)u
0
∈ C
1
((0, ∞) : X), as equa¸c˜oes N-resolventes, a diferenciabi-
lidade de Θ
1
, Θ
2
´e o fato que u(·) ´e solu¸c˜ao cl´assica segue que
u(t) − R(t)u
0
−
t
0
R(t − s)f(s)ds
=
t
0
d
ds
(R(t − s)u(s)) ds −
t
0
R(t − s)f(s)ds
= −
t
0
R
(t − s)u(s)ds +
t
0
R(t − s)u
(s)ds −
t
0
R(t − s)f(s)ds
= −
t
0
R
(t − s)u(s)ds +
t
0
R(t − s)
Au(s) +
s
0
B(s − ξ)u(ξ)dξ + f(s)
ds
−
t
0
R(t − s)
d
ds
s
0
N(s − ξ)u(ξ)dξ
ds −
t
0
R(t − s)f(s)ds
= −
t
0
R(t − s)A +
t−s
0
R(t − s − ξ)B(ξ)dξ
u(s)ds
+
t
0
d
ds
t−s
0
R(t − s − ξ)N(ξ)dξ
u(s)ds
+
t
0
R(t − s)Au(s)ds +
t
0
R(t − s)
s
0
B(s − ξ)u(ξ)dξds
−
t
0
R(t − s)
d
ds
s
0
N(s − ξ)u(ξ)dξ
ds
=
t
0
d
ds
t−s
0
R(t − s − ξ)N(ξ)dξ
u(s)ds −
t
0
R(t − s)
d
ds
s
0
N(s − ξ)u(ξ)dξ
ds
=
t
0
d
ds
t−s
0
R(t − s − ξ)N(ξ)dξ
u(s)ds
−R(t − s)
s
0
N(s − ξ)u(ξ)dξ
t
0
+
t
0
R
(t − s)
s
0
N(s − ξ)u(ξ)dξds
=
t
0
t−s
0
−R
(t − s − ξ)N (ξ)u(s)dξ +
t
0
N(t − s)u(s)ds
−
t
0
N(t − s)u(s)ds +
t
0
R
(t − s)
s
0
N(s − ξ)u(ξ)dξds
=
t
0
t−s
0
R
(t − s − ξ)N (ξ)dξu(s)ds +
t
0
R
(t − s)
s
0
N(s − ξ)u(ξ)dξds = 0,
para cada t ∈ [0, a]. Isto prova que
u(t) = R(t)u
0
+
t
0
R(t − s)f(s)ds, t ∈ [0, a].
O que completa a demonstra¸c˜ao.
84 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Corol´ario 4.3.1 Existe uma ´unica fam´ılia N-resolvente associada ao sistema (4.1)-(4.2).
Demonstra¸c˜ao: Assuma que (R
1
(t))
t≥0
´e uma outra fam´ılia N-resolvente para (4.1)-(4.2).
Se x ∈ D(A), a fun¸c˜ao u(t) = R
1
(t)x ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (4.42)-(4.43) com f ≡ 0.
Agora do Teorema 4.3.1 segue que que R
1
(t)x = R(t)x para todo x ∈ D(A). Como D(A) ´e
denso em X e R
1
(·), R(·) s˜ao limitadas sobre compactos de R segue que R
1
(t) = R
2
(t) para
todo t ≥ 0.
Motivados pelo Teorema 4.3.1, introduzimos o seguinte conceito de solu¸c˜ao fraca para
(4.42)-(4.43).
Defini¸c˜ao 4.3.2 Seja f ∈ L
1
([0, a] : X). A fun¸c˜ao u ∈ C([0, a] : X) defin ida por
u(t) = R(t)x +
t
0
R(t − s)f(s)ds, t ∈ [0, a]. (4.46)
´e chamada solu¸c˜ao fraca de (4.42)-(4.43).
Para estudar condi¸c˜oes sob as quais uma solu¸c˜ao fraca ´e cl´assica, precisamos do seguinte
Lema.
Lema 4.3.1 Seja V (·) ∈ C([0, ∞) : L(X)) a fun¸c˜ao definida por V (t) =
t
0
R(s)ds. Ent˜ao
V (t)X ⊂ D(A) para todo t ≥ 0 e AV (·)x ∈ C([0, a] : X) para todo a > 0 e todo x ∈ X.
Demonstra¸c˜ao: Sejam x ∈ D(A) e a > 0. Integrando a equa¸c˜ao N-resolvente (4.3), obtemos
que
R(t)x +
t
0
N(t − s)R(s)xds − x =
t
0
AR(s)xds +
t
0
s
0
B(s − ξ)R(ξ)xdξds.
Como A ´e fechado e AR(·)x ´e integr´avel obtemos do fato anterior que
AV (t)x = R(t)x +
t
0
N(t − s)R(s)xds − x −
t
0
B(t − s)V (s)xds, t ∈ [0, a],(4.47)
o que implica que AV (·)x ∈ C([0, a] : X) se x ∈ D(A).
Para estudar o caso geral precisamos de uma estimativa para AV (·)x em X.
Seja φ(t) = V (t)x
[D(A)]
, de (4.47) segue que
φ(t)
≤ V (t)x + AV (t)
≤
t
0
R(s)xds + R(t)x +
t
0
N(t − s)R(s)xds + x +
t
0
B(t − s)V (s)ds
≤ M a x +M x +M x
a
0
N(s) ds+ x +
t
0
B(t − s)V (s) ds,
O problema integro-diferencial n˜ao homogˆeneo 85
assim
φ(t) ≤ c
1
x +
t
0
b(t − s)φ(s)ds, (4.48)
onde c
1
> 0 ´e uma constante independente de t ∈ [0, a] e x ∈ D(A). Sejam 0 < t
1
< t
2
<
. . . < t
n
= a tais que
t
i+1
t
i
b(s)ds ≤
1
2
para cada i = 1 . . . n. Para t ∈ [0, t
1
], da desigualdade
(4.48) segue que
φ(t) ≤ c
1
x + sup
s∈[0,t
1
]
φ(s)
t
0
b(s)ds
logo
sup
s∈[0,t
1
]
φ(s) ≤ c
1
x +
1
2
sup
s∈[0,t
1
]
φ(s).
Como conseq¨uˆencia,
sup
s∈[0,t
1
]
φ(s) ≤ 2c
1
x . (4.49)
Usando (4.49), para t ∈ [t
1
, t
2
] obtemos que
φ(t) ≤ c
1
x +
t
1
0
b(t − s)φ(s)ds +
t
t
1
b(t − s)φ(s)ds
≤ c
1
x + b
L
1
2c
1
x + sup
s∈[0,t
2
]
φ(s)
t−t
1
0
b(s)ds
≤ c
1
x + b
L
1
2c
1
x +
1
2
sup
s∈[0,t
2
]
φ(s),
e assim
sup
s∈[0,t
2
]
φ(s) ≤ 2c
1
(1 + 2 b
L
1
) x .
Reinterando o processo anterior, deduzimos a existˆencia de c
2
> 0, independente de t ∈ [0, a]
e x ∈ D(A), tal que
sup
s∈[0,a]
φ(s) ≤ c
2
x . (4.50)
Seja agora x ∈ X e (x
n
)
n∈N
em D(A) tal que x
n
→ x quando n → ∞. Da desigualdade
(4.50), ´e c laro que a seq¨uˆencia (AV (t)x
n
)
n∈N
´e convergente para um ponto y ∈ X. Como
A ´e fechado, conclu´ımos que V (t)x ∈ D(A) e que AV (t)x = y. Mais ainda, ´e f´acil ver que
AV (t)x
n
→ AV (t)x uniformemente em [0, a] o que mostra que AV (·)x ∈ C([0, a] : X).
O pr´oximo Teorema ´e um cl´assico resultado de regularidade de solu¸c˜oes fracas. Especi-
ficamente, no Teorema 4.3.2, estabeleceremos condi¸c˜oes de modo que uma solu¸c˜ao fraca seja
uma solu¸c˜ao cl´assica.
86 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Teorema 4.3.2 Seja u
0
∈ D(A) e f ∈ C([0, a] : X). Se f ∈ L
1
([0, a] : [D(A)]) ou f ∈
W
1,1
([0, a] : X), ent˜ao solu¸c˜ao fraca de (4.42)-(4.43) ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (4.42)-(4.43).
Demonstra¸c˜ao: Seja u(·) a solu¸c˜ao fraca de (4.42)-(4.43). Considere inicialmente o caso
em que f ∈ C
1
([0, a] : [D(A)]) e assuma que u
0
= 0. Das propriedades da fam´ılia (R(t))
t≥0
,
podemos mostrar que a fun¸c˜ao Λ(t) =
t
0
AR(t−s)f(s)ds ´e cont´ınua sobre [0, a]. Isto implica
que u(t) ∈ D(A) para todo t ∈ [0, a] e que Au(t) =
t
0
AR(t − s)f(s)ds, pois A ´e fechado.
Mais ainda, da hip´otese (H
α
) e do fato que f ∈ C
1
([0, a] : [D(A)]) segue que
u
(t) =
t
0
R
(t − s)f(s)ds + f(t), t ∈ [0, a]. (4.51)
Al´em do anterior, procedendo como na prova do Teorema 4.3.1 vemos que para x ∈ D(A), a
fun¸c˜ao Γ
2
(t) =
t
0
N(t − s)R(s)xds ´e diferenci´avel e que
Λ
2
(t) =
t
0
N(t − s)R
(s)xds + N(t)x, q.t.p. para t ∈ [0, a].
Usando as propriedades anteriores, vemos que
d
dt
(u + N ∗ u) (t) − Au(t) − (B ∗ u)(t) − f(t)
= u
(t) +
d
dt
(N ∗ u)(t) −
t
0
AR(t − s)f(s)ds −
t
0
B(t − s)
s
0
R(s − ξ)f(ξ)dξds − f (t)
=
t
0
R
(t − s)f(s)ds + f(t) +
t
0
N(t − s)u
(s)ds + N(t)u(0)
−
t
0
AR(t − s)f(s)ds −
t
0
B(t − s)
s
0
R(s − ξ)f(ξ)dξds − f (t).
Usando agora as equa¸c˜oes N-resolvente, com x = f(s), obtemos
d
dt
(u + N ∗ u) (t) − Au(t) − (B ∗ u)(t) − f(t)
=
t
0
AR(t − s)f(s)ds +
t−s
0
B(t − s − ξ)R(ξ)f(s)dξ
ds
−
t
0
d
ds
t−s
0
N(t − s − ξ)R(s − ξ)
f(s)dξds
+
t
0
N(t − s)
s
0
R
(s − ξ)f(ξ)dξ + R(0)f (s)
ds
−
t
0
AR(t − s)f(s)ds −
t
0
s
0
B(t − s)R(s − ξ)f (ξ)dξds
=
t
0
t−s
0
B(t − s − ξ)R(ξ)f(s)dξds −
t
0
t−s
0
N(t − s − ξ)R
(ξ)f (s)dξds
−
t
0
N(t − s)f(s)ds +
t
0
N(t − s)
s
0
R
(s − ξ)f(ξ)dξds
+
t
0
N(t − s)f(s)ds −
t
0
s
0
B(t − s)R(s − ξ)u(ξ)dξds = 0.
O problema integro-diferencial n˜ao homogˆeneo 87
Portanto,
d
dt
(u(t) +
t
0
N(t − s)u(s)ds) = Au(t) +
t
0
B(t − s)u(s) ds + f(t), t ∈ [0, a]. (4.52)
Para estudar o caso geral, precisamos de algumas estimativas sobre as solu¸c˜oes de
(4.52). Veja que nas condi¸c˜oes anteriores,
u(t)
[D(A)]
+ (u + N ∗ u)
(t)
≤
t
0
R(t − s)f(s) ds + 2
t
0
AR(t − s)f(s) ds
+
t
0
B(t − s)
s
0
R(s − ξ)f(ξ) dξ ds+ f(t)
≤
t
0
c
1
f(s)
[D(A)]
ds + c
2
t
0
b(t − s)
s
0
f(ξ)
[D(A)]
dξ ds+ f(t) ,
onde c
1
, c
2
s˜ao constantes independentes de t e f. Assim, existe c
3
> 0 independente de t e
f ∈ C
1
([0, a] : [D(A)]) tal que
sup
t∈[0,a]
u(t)
[D(A)]
+ sup
t∈[0,a]
(u + N ∗ u)
(t) ≤ c
3
f
L
1
([0,a]:[D(A)])
+ f(θ)
a
. (4.53)
Vejamos agora o caso geral. Seja f ∈ C([0, a] : X) ∩ L
1
([0, a] : [D(A)]) e (f
n
)
n∈N
em
C
1
([0, a] : [D(A)]) tal que f
n
→ f em C([0, a] : X) e f
n
→ f em L
1
([0, a] : [D(A)]). Como
conseq¨uˆencia dos passos anteriores, obtemos que u
n
= R ∗ f
n
´e solu¸c˜ao cl´assica de
d
dt
w(t) +
t
0
N(t − s)w(s)ds
= Aw(t) +
t
0
B(t − s)w(s) ds + f
n
(t), (4.54)
w(0) = 0. (4.55)
Mais ainda, segue da desigualdade (4.53) que (u
n
)
n∈N
´e convergente em C([0, a] : [D(A)]).
Seja u ∈ C([0, a] : [D(A)]) tal que u
n
→ u em C([0, a] : [D(A)]). Como N(·) ∈ L
1
([0, a] :
L([D(A)])) e B(·) ∈ L
1
([0, a] : [D(A)]), segue que u
n
+ N ∗u
n
→ u + N ∗u e B ∗u
n
→ B ∗u
convergem em C([0, a] : X). Similarmente, existe v ∈ C([0, a] : X) tal que
d
dt
(u
n
+ N ∗u
n
) →
v em C([0, a] : X).
´
E f´acil ver que nestas condi¸c˜oes
d
dt
(u + N ∗ u) = v e portanto que
(u + N ∗ u) ∈ C
1
([0, a] : X). Das observa¸c˜oes anteriores e de (4.54)-(4.55) obtemos que
d
dt
u(t) +
t
0
N(t − s)u(s)ds
= Au(t) +
t
0
B(t − s)u(s) ds + f(t),
o que prova que u(·) ´e solu¸c˜ao cl´assica.
A prova do res ultado para o caso em que f ∈ W
1,1
([0, a] : X) ´e similar ao anterior, por
isso, daremos uma prova resumida.
88 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Se f ∈ W
1,1
([0, a] : X) ent˜ao existe (f
n
)
n∈N
em C
1
([0, a] : [D(A)]) tal que f
n
→ f em
C([0, a] : X) e f
n
→ f em W
1,1
([0, a] : X). Da primeira parte da demonstra¸c˜ao sabemos que
para cada n ∈ N, a fun¸c˜ao u
n
= R ∗f
n
´e solu¸c˜ao cl´assica de (4.54)-(4.55). Se V (·) ´e a fun¸c˜ao
introduzida no Lema 4.3.1, ent˜ao
−V (t)f(0) =
t
0
d
ds
(V (t − s)f(s))ds = −
t
0
R(t − s)f(s)ds +
t
0
V (t − s)f
(s)ds,
de onde segue que
u(t) = V (t)f(0) +
t
0
V (t − s)f
(s)ds, t ∈ [0, a]. (4.56)
Usando (4.56) vemos que
u(t)
[D(A)]
+ (u + N ∗ u)
(t)
X
≤ V (t)f(0)
[D(A)]
+
t
0
V (t − s)f
(s)
[D(A)]
ds
A
t
0
R(t − s)f(s)ds
+
t
0
B(t − s)
s
0
R(s − ξ)f(ξ) dξ ds
≤ c
4
f(θ)
a
+c
5
f
L
1
([0,a]:X)
,
onde c
4
, c
5
s˜ao constantes independentes de t, f e f
. Assim, segue que
sup
t∈[0,a]
u(t)
[D(A)]
+ sup
t∈[0,a]
(u + N ∗ u)
(t)
X
≤ c
4
f(θ)
a
+c
5
f
L
1
([0,a]:X)
. (4.57)
Da desigualdade (4.57) temos que a s eq¨uˆencia (u
n
)
n∈N
´e convergente em C([0, a] : [D(A)]).
Seja u ∈ C([0, a] : [D(A)]) tal que u
n
→ u em C([0, a] : [D(A)]). Como N(·) ∈ L
1
([0, a] :
L([D(A)])) e B(·) ∈ L
1
([0, a] : [D(A)]) segue que u
n
+ N ∗ u
n
→ u + N ∗ u e B ∗u
n
→ B ∗u
convergem em C([0, a] : X). Por outro lado, existe v ∈ C([0, a] : X) tal que
d
dt
(u
n
+N∗u
n
) → v
em C([0, a] : X).
´
E f´acil ver que
d
dt
(u +N ∗u) = v e portanto que (u +N ∗u) ∈ C
1
([0, a] : X).
Das observa¸c˜oes anteriores de (4.54)-(4.55) obtemos
d
dt
u(t) +
t
0
N(t − s)u(s)ds
= Au(t) +
t
0
B(t − s)u(s) ds + f(t),
o que prova que u(·) ´e solu¸c˜ao cl´assica.
Corol´ario 4.3.2 Sejam f ∈ C([0, a] : X) e u(·) a solu¸c˜ao fraca de (4.42)-(4.43). Se u(·) ∈
C
1
([0, a] : X), ent˜ao u(·) ´e solu¸c˜ao cl´assica de (4.42)-(4.43).
O problema integro-diferencial n˜ao homogˆeneo 89
Demonstra¸c˜ao: Assuma sem perda de generalidade que f(0) = 0. Para cada n ∈ N
definimos a fun¸c˜ao f
n
∈ C
1
([0, a] : X) por
f
n
(t) = (ρ
n
∗ f)(t) =
t
0
ρ
n
(t − s)f(s)ds, t ∈ [0, a],
onde (ρ
n
)
n∈N
´e uma fam´ılia de fun¸c˜oes em C
∞
(R), tais que ρ
n
(t) ≥ 0, ρ
n
(t) = 0 quando
t ≥
a
n
e
∞
0
ρ
n
(t)dt = 1.
Como conseq¨uˆencia do Teorema 4.3.2, sabemos que u
n
= R ∗ f
n
´e solu¸c˜ao cl´assica de
d
dt
w(t) +
t
0
N(t − s)w(s)ds
= Aw(t) +
t
0
B(t − s)w(s) ds + f
n
(t), (4.58)
w(0) = 0. (4.59)
Mais ainda, como u
n
= R ∗f
n
= ρ
n
∗(R ∗f) = ρ
n
∗u e u ∈ C
1
([0, a] : X), segue que u
n
→ u
em C
1
([0, a] : X) e que u
n
+ N ∗ u
n
→ u + N ∗ u em C
1
([0, a] : X).
Seja φ
n,m
(t) = u
n
(t) − u
m
(t)
[D(A)]
. Usando as propriedades anteirores, vemos que
para n, m ∈ N que
φ
n,m
(t) ≤ u
n
(t) − u
m
(t) + (u
n
+ N ∗ u
m
)
(t) − (u
n
+ N ∗ u
m
)
(t)
+
t
0
b(t − s)φ
n,m
(s)ds+ f
n
(t) − f
m
(t) .
Assim podemos escrever que
φ
n,m
(t) ≤ Λ
n,m
(t) +
t
0
b(t − s)φ
n,m
(s)ds,
onde Λ
n,m
(t) → 0 uniformemente em [0, a] quando n, m → ∞.
Sejam 0 < t
1
< t
2
< . . . < t
n
= a tais que
t
i+1
t
i
b(s)ds ≤
1
2
para cada i = 1 . . . n.
Nestas condi¸c˜oes, para t ∈ [0, t
1
], vemos que
φ
n,m
(t) ≤ sup
s∈[0,a]
Λ
n,m
(s) +
t
0
b(s) sup
s∈[0,t
1
]
φ
n,m
(s)ds
≤ sup
s∈[0,a]
Λ
n,m
(s) +
1
2
sup
s∈[0,t
1
]
φ
n,m
(s)
e assim
sup
s∈[0,t
1
]
φ
n,m
(s) ≤ 2 sup
s∈[0,a]
Λ
n,m
(s).
Usando o anterior para t ∈ [t
1
, t
2
] obtemos que
φ
n,m
(t) ≤ sup
s∈[0,a]
Λ
n,m
(s) +
t
1
0
b(t − s) sup
s∈[0,t
1
]
φ
n,m
(s)ds
+
t−t
1
0
b(s) sup
s∈[0,t
2
]
φ
n,m
(s)ds
≤ sup
s∈[0,a]
Λ
n,m
(s)(1 + 2 b
L
1
) +
1
2
sup
s∈[0,t
2
]
φ
n,m
(s),
90 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
e ent˜ao
sup
s∈[0,t
2
]
φ
n,m
(s) ≤ 2(1 + 2 b
L
1
) sup
s∈[0,a]
Λ
n,m
(s).
´
E claro que ap´os um n´umero finito de passos obtemos a existˆencia de c > 0 independente
de t, n e m tal que
sup
s∈[0,a]
φ
n,m
(s) ≤ c sup
s∈[0,a]
Λ
n,m
(s).
Isto mostra que Au
n
´e convergente em C([0, a] : X). Passando ao limite em (4.58)-(4.59),
obtemos que
d
dt
u(t) +
t
0
N(t − s)u(s)ds
= Au(t) +
t
0
B(t − s)u(s) ds + f(t), t ∈ [0, a],
o que prova que u(·) ´e solu¸c˜ao cl´assica.
4.4 Aplica¸c˜oes a equa¸c˜oes neutras com retardamento n˜ao limi-
tado
Nesta se¸c˜ao usaremos a teoria de operadores N-resolventes desenvolvidas na se¸c˜ao
anterior no estudo de uma classe de equa¸c˜oes integro-diferenciais do tipo neutro que podem
ser modeladas na forma
d
dt
x(t) +
t
−∞
N(t − s)x(s)ds
= Ax(t) +
t
0
B(t − s)x(s)ds + G(t, x
t
), t ∈ (0, a). (4.60)
x
0
= ϕ, (4.61)
onde A, (N(t))
t≥0
e (B(t))
t≥0
s˜ao operadores que verificam as condi¸c˜oes (HN
1
)-(HN
4
);
a hist´oria x
t
: (−∞, 0] → X, x
t
(θ) = x(t + θ), pertence a um espa¸co de fase abstrato B
definido axiomaticamente que verifica os axiomas (A), (A1) e (B) introduzidos no Cap´ıtulo
1 e G : [0, a] × B → X ´e uma fun¸c˜ao apropriada.
Para introduzir um conceito conveniente de solu¸c˜oes fracas para (4.60)-(4.61), podemos
assumir que ϕ(·) ´e suficientemente regular de modo que a fun¸c˜ao Λ(·, ϕ) definida por
d
dt
0
−∞
N(t − s)ϕ(s)ds
= Λ(t, ϕ), t ∈ [0, a].
exista e seja integr´avel sobre [0, a]. Neste caso, podemos dizer que uma fun¸c˜ao u : (−∞, a] →
X ´e solu¸c˜ao fraca de (4.60)-(4.61) se u
0
= ϕ e
u(t) = R(t)ϕ(0) +
t
0
R(t − s)G(s, u
s
)ds +
t
0
R(t − s)Λ(s, ϕ)ds, t ∈ [0, a].
Aplica¸c˜oes a equa¸c˜oes neutras com retardamento n˜ao limitado 91
No que segue sempre assumiremos que ϕ(·) ´e tal que Λ(·, ϕ) ´e cont´ınua sobre [0, a].
Defini¸c˜ao 4.4.1 Dizemos que uma fun¸c˜ao u : (−∞, a] → X ´e uma solu¸c˜ao fraca de (4.60)-
(4.61) em [0, b], 0 < b ≤ a, se u
0
= ϕ; u|
[0,a]
∈ C([0, a] : X) e
u(t) = R(t)ϕ(0) +
t
0
R(t − s) (G(s, u
s
) + Λ(s, ϕ)) ds, t ∈ [0, a].
As provas dos seguintes resultados de existˆencia de solu¸c˜oes fracas s˜ao an´alogas as
provas dos Teoremas 2.1.1, 2.1.3 do Cap´ıtulo 2. Por isso decidimos n˜ao incluir a demonstra¸c˜ao.
Teorema 4.4.1 Suponha que a fun¸c˜ao G : [0, a] × B → X ´e cont´ınua e que existe constante
positiva L
G
tal que
G(t, ψ
1
) − G(t, ψ
2
) ≤ L
G
ψ
1
− ψ
2
B
, t ∈ [0, a], ψ
i
∈ B, i = 1, 2.
Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao fraca de (4.60)-(4.61) sobre [0, b] para algum 0 < b ≤ a.
Para o pr´oximo resultado introduzimos a seguinte defini¸c˜ao
Defini¸c˜ao 4.4.2 Uma fam´ılia N-resolvente (R(t))
t≥0
´e compacta, se R(t) ´e compacto para
todo t > 0.
Teorema 4.4.2 Suponha que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas
(a) (R(t))
t≥0
´e uma fam´ılia N-resolvente compacta;
(b) A fun¸c˜ao G : I × B → X satisfaz as seguintes cond i¸c˜oes.
(i) A fun¸c˜ao G(t, ·) : B → X ´e cont´ınua para quase todo t ∈ [0, a] e G(·, x) : [0, a] → X
´e fortemente mensur´avel para todo x ∈ X;
(ii) Existe uma fun¸c˜ao cont´ınua m
G
: [0, a] → [0, ∞) e uma fun¸c˜ao cont´ınua e n˜ao
decrescente Ω
G
: [0, ∞) → (0, ∞) tal que
G(t, ψ) ≤ m
G
(t)Ω
G
( ψ
B
), (t, ψ) ∈ [0, a] × B.
Se
MK
a
t
0
m
G
(s)ds ≤
∞
C
ds
Ω
G
(s)
; (4.62)
onde C = M
a
ϕ +K
a
C(a, ϕ), ent˜ao existe uma solu¸c˜ao fraca para o problema (4.60)-
(4.61) sobre [0, a].
92 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Nos pr´oximos resultados estudaremos a regularidade das solu¸c˜oes fracas, equivalente-
mente, assumiremos que a fun¸c˜ao Λ(·, ϕ) ∈ W
1,1
([0, a] : X).
Defini¸c˜ao 4.4.3 Uma fun¸c˜ao u : (−∞, a) → X ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (4.60)-(4.61) em
[0, b] se u
0
= ϕ, a fun¸c˜ao t → u(t) +
t
−∞
N(t − s)u(s)ds ∈ C
1
((0, b) : X), u(·) ∈ C((0, b) :
D(A)) e (4.60) ´e satisfeita.
No pr´oximo Lema, S(t) ´e o operador definido em (1.6) e U(t) : B → B ´e o operador
definido por
[U(t)ϕ](θ) =
R(t + θ)ϕ(0), se −t ≤ θ ≤ 0,
ϕ(t + θ), se −∞ < θ < −t.
(4.63)
onde (R(t))
t≥0
´e uma fam´ılia N-resolvente para (4.1)-(4.2).
Lema 4.4.1 Suponha que as fun¸c˜oes R(·)ϕ(0) e S(·)ϕ s˜ao Lipschitz em [0, a]. Seja y :
(−∞, a] → X ´e a fun¸c˜ao definida por
y(t) =
R(t)ϕ(0) se 0 ≤ t ≤ a,
ϕ(t) se −∞ < t < 0.
(4.64)
Ent˜ao, a fun¸c˜ao s → y
s
´e Lipshitz em [0, a].
Demonstra¸c˜ao: An´aloga a demonstra¸c˜ao do Lema 2.2.1, apenas substituindo a fun¸c˜ao W (·)
por U(·).
Lema 4.4.2 Assuma que as condi¸c˜oes do Lema 4.4.1 s˜ao verificadas e suponha que existam
constantes positivas L
G
, L
Λ
> 0, tais que
G(t, ψ
1
) − G(s, ψ
2
) ≤ L
F
(| t − s | + ψ
1
− ψ
2
B
),
Λ(t, ϕ) − Λ(s, ϕ) ≤ L
Λ
| t − s |,
para todo t, s ∈ [0, b] e ψ
1
, ψ
2
∈ B. Se u(·) ´e uma solu¸c˜ao fraca de (4.60)-(4.61) sobre [0, b],
ent˜ao u(·) ´e Lipschitz cont´ınua sobre [0, b].
Demonstra¸c˜ao: Considere a decomposi¸c˜ao u(t) = y(t) + z(t), onde y(·) ´e a fun¸c˜ao intro-
duzida em (4.64). Como y(·) ´e Lipschitz em [0, b], somente mostraremos que z(·) ´e Lipschitz.
Aplica¸c˜oes a equa¸c˜oes neutras com retardamento n˜ao limitado 93
Usando que a fun¸c˜ao s → y
s
´e Lipschitz, para t ∈ [0, b) e h > 0 tal que t + h ∈ [0, b] obtemos
que
z(t + h) − z(t)
≤
t
0
R(t − s) Λ(t + h, ϕ) − Λ(t, ϕ) ds +
h
0
R(t + h − s)Λ(t, ϕ) ds
+
t
0
R(t − s) G(s + h, y
s+h
+ z
s+h
) − G(s, y
s
+ z
s
) ds
+
h
0
R(t + h − s) G(s, x
s
) ds
≤ C
1
h + M
t
0
L
G
(h+ y
s+h
+ z
s+h
− y
s
− z
s
B
)ds
≤ C
2
h + ML
G
t
0
z
s+h
− z
s
B
ds
≤ C
2
h + ML
G
K
b
t
0
z(θ + h) − z(θ)
s
ds,
onde C
i
, i = 1, 2, s˜ao constantes independentes de t e h. Tomando supremo em [0, t] s egue
que
z(θ + h) − z(θ)
t
≤ C
2
h + ML
G
K
b
t
0
z(θ + h) − z(θ)
s
ds,
O resultado ´e agora conseq¨uˆencia da desigualdade de Gronwall-Bellman.
Teorema 4.4.3 Suponha que X possui (RNP). Assuma que as hip´oteses do Lema 4.4.2 s˜ao
verificadas e que ϕ(0) ∈ D(A). Se u(·) ´e uma solu¸c˜ao fraca de (4.60)-(4.61) sobre [0, b], ent˜ao
u(·) ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (4.60)-(4.61) sobre [0, b].
Demonstra¸c˜ao: Segue do Lema 4.4.2 que a solu¸c˜ao fraca u(·) ´e Lipschitz sobre [0, b]. Como
conseq¨uˆencia, as fun¸c˜oes t → u
t
e t → G(t, u
t
) s˜ao Lipschitz sobre [0, b]. Mais ainda, pelo
Lema 2.2.3 obtemos que t → G(t, u
t
) ∈ W
1,1
([0, b] : X).
Como por hip´otese t → Λ(t, ϕ) ∈ W
1,1
([0, b] : X), pelo Teorema 4.3.2 podemos inferir
que u(·) ´e solu¸c˜ao cl´assica de
d
dt
(w(t) +
t
0
N(t − s)w(s)ds) = Aw(t) +
t
0
B(t − s)w(s)ds + G(t, x
t
)
−
d
dt
0
−∞
N(t − s)ϕ(s)ds, t ∈ [0, b],
w(0) = ϕ(0).
Isto nos permite afirmar que u(·) ´e solu¸c˜ao cl´assica de (4.60)-(4.61). Agora a prova est´a
completa.
94 Cap´ıtulo 4. Fam´ılias “N-resolventes”
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Abolinia, V. E. & Mishkis, A. D., Mixed problems for quasilinear hyperbolic systems
in the plane. Mat. Sb. 50, 423-442.
[2] Adimy, M., Bouzahir, H. & Ezzinbi, K., Existence and stability for some partial
neutral functional differential equations with infinite delay. J. Math. Anal. Appl.
294 (2004), no. 2, 438–461.
[3] Adimy, M., Ezzinbi, K. & Laklach, M., Existence of solutions for a class of partial
neutral differential equations. C. R. Acad. Sci. P aris S´er. I Math. 330 (2000), no.
11, 957–962.
[4] Adimy, M. & Ezzinbi, K., A class of linear partial neutral functional-differential
equations with nondense domain. J. Differential Equations, 147 (1998), no. 2,
285–332.
[5] Adimy, M. & Ezzinbi, K., Strict solutions of nonlinear hyperbolic neutral differential
equations. Appl. Math. Lett. 12 (1999), no. 1, 107-112.
[6] Balachandran, K. & Dauer, J. P., Existence of solutions of nonlinear neutral integro-
differential equations in Banach spaces. J. Math. Anal. Appl. 251 (2000), no. 1,
93–105.
[7] Balachandran, K., Sakthivel, R. & Dauer, J. P., Controllability of neutral functional
integrodifferential systems in Banach spaces. Comput. Math. Appl. 39 (2000), no.
1-2,
[8] Benchohra, M.. Henderson, J. & Ntouyas, S. K., Existence results for impulsive
multivalued semilinear neutral functional differential inclusions in Banach spaces.
J. Math. Anal. Appl. 263 (2001), no. 2, 763–780
96 Referˆencias Bibliogr´aficas
[9] Benchohra, M. & Ntouyas, S. K., Neutral functional differential and integrodiffer-
ential inclusions in Banach spaces. Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat.
(8) 4 (2001), no. 3, 767–782.
[10] Brayton, R. K., Bifurcation of periodic solutions in a nonlinear difference-differential
equation of neutral type. Q. Appl. Math. 24, 215-224.
[11] Brayton, R. K. & Moser, J. K., A theory of nonlinear networks. Q. Appl. Math. 24,
215-224.
[12] Cannarsa, P. & Sforza, D., Global solutions of abstract s emilinear parabolic
equations with memory terms. NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 10
(2003), no. 4, 399–430.
[13] Cl´ement, Ph. & Nohel, J. A., Asymptotic behavior of solutions of nonlinear Volterra
equations with completely positive kernels. SIAM J. Math. Anal. 12 (1981), no. 4,
514–535.
[14] Cl´ement, Ph. & Da Prato G., Some results on nonlinear heat equations for materials
of fading memory type. Journal of Integral Equations and Appl. v. 2 (1990) no. 3,
375-391
[15] Cooke, K. L. & Krumme, D. W., Differential-difference equations and nonlinear
initial-boundary value problems for linear hyperbolic partial differe ntial equations.
J. Math. Anal. Appl. 24, 372-387.
[16] Corduneanu, C. & Lakshmikantham, V., Equations with unbounded delay: a survey.
Nonlinear Anal 4 (1980), no. 5, 831–877.
[17] Cruz, M. A. & Hale, J. K., Stability of functional differential equations of neutral
type. J. Diff. Eqs. 7, 334-355.
[18] Da Prato, G. & Iannelli, M., Existence and regularity for a class of integro-
differential equations of parabolic type. J. Math. Anal. Appl. 112 (1985), no. 1,
36-55.
[19] Datko, R., Linear autonomous neutral differential equations in a Banach space. J.
Diff. Equations, 25 (1977), no. 2, 258–274.
Referˆencias Bibliogr´aficas 97
[20] Diestel, J. & Uhl Jr, J.J., Vector Measure. Mathematical Surveys and Monographs,
American Mathematic Society, Volume 14.
[21] Engel, K. J. & Nagel, R., One-Parameter Semigroups for Linear Evolution
Equations. Springer, New York, 1999.
[22] Fu, X. & Ezzinbi, K., Existence of solutions for neutral functional differential
evolution equations with nonlocal conditions. Nonlinear Anal. 54 (2003), no. 2,
215–227.
[23] Granas, A. & Dugundji, J., Fixed Point Theory. Springer-Verlag, New York, 2003.
[24] Grimmer, R. C. & Kappel, F., Series expasions for resolvents of volterra
integrodifferential equations in Banch space. Siam Journal of Math. Anal. 15 (1984),
no. 3, 595-604.
[25] Grimmer, R. C. & Pritchard, A. J., Analytic resolvent operators for integral
equations in Banach space. J. Differential Equations 50 (1983), no. 2, 234–259.
[26] Grimmer, R. & Pr¨uss, J., On linear Volterra equations in Banach spaces. Hyperbolic
partial differential equations, II. Comput. Math. Appl. 11 (1985), no. 1-3, 189–205.
[27] Gurtin, M.E. & Pipkin, A. C., A general theory of heat conduction with finite wave
speed, Arch. Rat. Mech. Anal. 31 (1968), 113-126.
[28] Hale, J. K., Partial neutral functional-differential equations. Rev. Roumaine Math.
Pures Appl. 39 (1994), no. 4, 339-344.
[29] Hale, J. K., Verduyn, L. & Sjoerd M., Introduction to functional-differential
equations. Applied Mathematical Sciences, 99. Springer-Verlag, New York, 1993.
[30] Hale, J. K. & Kato, J., Phase space for retarded equations with infinite delay.
Funkcial. Ekvac. 21 (1978), no. 1, 11–41.
[31] Henr´ıquez, H. R. & Hern´andez, E., On the abstract Cauchy problem in Fr´echet
spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 115 (1992), no. 2, 353–360.
[32] Henr´ıquez, H. R., Existence of periodic solutions of neutral functional differential
equations with unbounded delay. Proyecciones. 19 (2000), no. 3, 305-329.
98 Referˆencias Bibliogr´aficas
[33] Henr´ıquez H. R., Regularity of solutions of abstract retarded functional-differential
equations with unbounded delay. Nonlinear Anal. 28 (1997), no. 3, 513–531.
[34] Hern´andez E., Massera type criterion for a partial neutral functional differential
equation. Electron. J. Differential Equations. 2002, no. 40, 17 pp. (electronic).
[35] Hern´andez, E. & Henr´ıquez, H. R., Existence of p eriodic solutions of partial neutral
functional-differential equations with unbounded delay. J. Math. Anal. Appl. 221
(1998), no. 2, 499–522.
[36] Hern´andez, E. & Pelicer, M., Asymptotically almost periodic and almost periodic
solutions for partial neutral differential equations. Appl. Math. Lett. 18 (2005), no.
11, 1265-1272.
[37] Hern´andez, E. & Diagana, T., Existence and Uniqueness of Pseudo Almost Periodic
Solutions to Some Abstract Partial Neutral Functional-Differential Equations.
Submetido para publica¸c˜ao.
[38] Hern´andez, E. & Diagana, T., On Pseudo Almost Periodic Solutions for Neutral
Functional-Differential Equations. Submetido para publica¸c˜ao.
[39] Hern´andez, E. & Diagana, T., Pseudo Almost Periodic Solutions for Abstract
Partial Neutral Integrodifferential Equations. Submetido para publica¸c˜ao.
[40] Hern´andez, E., Henr´ıquez H. R. & Rabello, M., Existence of Solutions for Impulsive
Partial Neutral Functional Differential Equations. Submetido para publica¸c˜ao.
[41] Hern´andez, E. & Henr´ıquez, Hern´an., Impulsive partial neutral differential
equations. Appl. Math. Lett. 19 (2006), no. 3, 215-222.
[42] Hern´andez, E., Pierri M. & T´aboas, P., A comment on the papers: “ A study
on controllability of semilinear integrodifferential systems in Banach spaces ” [
Comput. Math. Appl. 47 (2004), no. 4-5] and “ Controllability of neutral functional
integrodifferential systems in Banach spaces ” [ Com put. Math. Appl. 39 (2000), no.
1-2]”. Comput. Math. Appl. 50 (2005), no. 8-9, 1291-1292.
[43] Hern´andez, E., Existence results for partial neutral functional differential equations
with nonlocal conditions. Dynam. Systems Appl. 11 (2002), no. 2, 241–252.
Referˆencias Bibliogr´aficas 99
[44] Hern´andez, E. & Henr´ıquez, H. R., Existence results for partial neutral functional
differential equations with unbounded delay. J. Math. Anal. Appl. 221 (1998), no.
2, 452–475.
[45] Hern´andez, E., Regularity of solutions of partial neutral functional differential
equations with unbounded delay. Proyecciones 21 (2002), no. 1, 65–95.
[46] Hern´andez, E., Existence results for partial neutral functional integrodifferential
equations with unbounded delay. J. Math. Anal. Appl. 292 (2004), no. 1, 194–210.
[47] Hern´andez, E., dos Santos, J. P. C. & Pelicer, M. L., “ Asymptotically almos t
periodic and Almost Periodic Solutions for a class of Evolution Equation ” Electron.
J. Diff. Eqns. Vol. 2004(2004), no. 61, pp. 1-15.
[48] Hille, E. e Phillips, R. S., Functional Analysis and Semigroups. Third printing
of the revised edition of 1957. American Mathematical Society Colloquium
Publications, Vol. XXXI.
[49] Hino, Y., Murakami, S. e Naito, T., Functional Differential Equations With Infinite
Delay. Lecture Notes in Mathematics, 1473. Springer-Verlag, Berlin, 1991.
[50] Komura, Y., Differentiability of nonlinear semigroups. J. Math. Soc. Japan 21 1969
375–402.
[51] Lizama, C., On Volterra equations associated with a linear operator. Proc. Amer.
Math. Soc. 118 (1993), no. 4, 1159–1166.
[52] Lopes, O., Forced oscillations in nonlinear neutral differential equations. SIAM J.
Appl. Math. 29, 196-201.
[53] Lopes, O., Stability and forced oscillations. J. Math. Anal. Appl. 55, 686-698.
[54] Hale J. K., Partial neutral functional-differential e quations. Rev. Roumaine Math
Pures Appl. 39 (1994), no. 4, 339-344
[55] Lunardi, A., Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems,
PNLDE Vol. 16 , Birkh¨aauser Verlag, Basel, 1995.
[56] Lunardi, A., On the linear heat equation with fading memory. SIAM J. Math.
Anal. 21 (1990), no. 5, 1213–1224.
100 Referˆencias Bibliogr´aficas
[57] Lunardi, A., Laplace transform methods in integrodifferential equations, J. Integral
Equations Applications. 10 (1985), 185-211.
[58] Marle, C., M. Mesures et Proba bilit´es. Hermann, Paris, 1974.
[59] Martin, R. H., Nonlinear Operators and Differential Equations in Banach Spaces,
Robert E. Krieger Publ. Co., Florida, 1987.
[60] Miller, R. K., An integro-differential equation for rigid heat conductors with
memory. J. Math. Anal. Appl. 66 (1978), no. 2, 313–332.
[61] Nachbin, L., Introduction to Functional Analysis: Banach Spaces and Differential
Calculus. Translated from the Portuguese by Richard M. Aron. Monographs and
Textbooks in Pure and Applied Math., 60. Marcel Dekker, Inc., New York, 1981.
[62] Nunziato, J. W., On heat conduction in materials with memory. Quart. Appl. Math.
29 (1971), 187–204.
[63] Pazy A., Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential
Equations. Applied mathematical Sciences, 44. Springer-Verlag, New York-Berlin,
1983.
[64] Rankin III, S. M., Semilinear evolution equations in Banach spaces with application
to parabolic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc. 336 (1993), no.
2, 523–535.
[65] Sforza, D., Existence in the large for a semilinear integrodifferential equation with
infinite delay. J. Differential Equations. 120 (1995), no. 2, 289–303
[66] Sforza, D., On the Hille-Yosida theorem for integro-differential equations in Banach
spaces. Boll. Un. Mat. Ital. C (6) 5 (1986), no. 1, 169–173 (1987).
[67] Travis, C. C. & Webb, G. F., Existence and stability for partial functional
differential equations. Trans. Amer. Soc. 200 (1974), 395–418.
[68] Travis, C. C. & Webb, G. F., Partial differential equations with deviating arguments
in the time variable. J. Math . Anal. Appl, 56 (1976), no. 2, 397–409.
Referˆencias Bibliogr´aficas 101
[69] Travis, C. C. & Webb, G. F., Existence, stability, and compactness in the α-norm
for partial functional differential equations. Trans. Amer. Math. Soc. 240 (1978),
129–143.
[70] Travis,C. C. & Webb G. F., Cosine families and abstract nonlinear second order
differential equations. Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae, 32 (1978) 76-96.
[71] Travis, C. C. & Webb, G. F., Compactness, regularity, and uniform continuity
properties of strongly continuous cosine families. Houston J. Math. 3 (4) (1977)
555-567.
[72] Wu, J., Theory and Applications of Partial Functional-Differential Equations.
Applied Mathematical Sciences, 119. Springer-Verlag, New York, 1996.
[73] Wu, J. & Xia, H., Rotating waves in neutral partial functional-differential equations.
J. Dynam. Differential Equations. 11 (1999), no. 2, 209–238.
[74] Wu, J. & Xia H., Self-sustained osc illations in a ring array of coupled loss less
transmission lines. J. Differential Equations, 124 (1996), no. 1, 247–278.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
