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CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM
PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS
DE CONCRETO ARMADO
Mônica Cristina Cardoso da Guarda
Tese apresentada à Escola de Engenharia de
São Carlos, da Universidade de São Paulo, como
parte dos requisitos para a obtenção do Título
de Doutora em Engenharia de Estruturas.
Orientador: Márcio Antônio Ramalho
São Carlos
2005
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Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento
da Informação do Serviço de Biblioteca – EESC/USP
Guarda, Mônica Cristina Cardoso da
G914c Cálculo de deslocamentos em pavimentos de edifícios
de concreto armado / Mônica Cristina Cardoso da
Guarda. -- São Carlos, 2005.
Tese (Doutorado) –- Escola de Engenharia de São
Carlos-Universidade de São Paulo, 2005.
Área: Engenharia de Estruturas.
Orientador: Prof. Dr. Márcio Antônio Ramalho.
1. Concreto armado – deslocamentos – elementos
finitos. 2. Concreto armado – análise não-linear.
I. Título.
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A meus pais,
Adelino Bastos da Guarda e
Maria Rosa Cardoso da Guarda
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Ao Prof. Márcio Antônio Ramalho, pela orientação, incentivo, paciência e amizade
demonstrados durante toda a elaboração desse trabalho.
À minha família, que sempre me apoiou nos momentos que precisei.
À amiga Juliana Soares Lima, pelas idéias, pelo apoio incondicional, pelo incentivo e pela
amizade.
Aos professores Libânio Miranda Pinheiro, José Samuel Giongo e Márcio Roberto Silva
Corrêa pela amizade e pelo incentivo.
Às amigas Sônia Medeiros de Oliveira, Maria Anita Pessoa Martinelli e Tatiana Bittencourt
Dumêt, pelo apoio e pela amizade de sempre.
A Maria Nadir Minatel, por toda sua atenção e ajuda na confecção das referências
bibliográficas, e também pela amizade.
Aos amigos, professores e funcionários do SET, pela receptividade, pelo carinho e pela
atenção.
A todos os amigos do Departamento de Construção e Estruturas da Universidade Federal da
Bahia.
À CAPES, pela bolsa de estudos.
A todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a elaboração deste trabalho.
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RESUMO___________________________________________________i
ABSTRACT________________________________________________ ii
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO_____________________________________________ 1
1.1 ASPECTOS GERAIS __________________________________________1
1.2 JUSTIFICATIVA _____________________________________________2
1.3 OBJETIVOS _________________________________________________4
1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO_______________________________4
CAPÍTULO 2
DESLOCAMENTOS EM ELEMENTOS FLETIDOS_____________ 7
2.1 INTRODUÇÃO _______________________________________________7
2.2 FATORES QUE AFETAM OS DESLOCAMENTOS_________________7
2.2.1 PROPRIEDADES DO CONCRETO____________________________ 8
a) Resistência à Compressão_________________________________ 8
b) Módulo de Elasticidade___________________________________ 9
c) Resistência à Tração____________________________________ 11
2.2.2 FISSURAÇÃO___________________________________________ 14
2.2.3 RETRAÇÃO ____________________________________________ 16
2.2.4 FLUÊNCIA_____________________________________________ 18
2.3 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS ___________________________19
2.3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS _______________________________ 20
a) Seção Transversal Homogeneizada _________________________ 20
b) Momento de Fissuração _________________________________ 22
c) Momento de Inércia Efetivo ______________________________ 23
2.3.2 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS IMEDIATOS _______________ 25
a) Vigas e Lajes Armadas em uma Direção _____________________ 26
b) Lajes Armadas em duas Direções___________________________ 33
2.3.3 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DIFERIDOS NO TEMPO_____ 36
a) Cálculo da deformação por Fluência ________________________ 37
b) Cálculo da deformação por Retração ________________________ 38
c) Processos Simplificados _________________________________ 40
2.4 CONTROLE DOS DESLOCAMENTOS __________________________43
2.4.1 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS_________________________ 43
a) Aceitabilidade Sensorial_________________________________ 44
b) Interferências no Uso das Estruturas ________________________ 44
c) Danos em Elementos não Estruturais ________________________ 45
d) Efeitos em Elementos Estruturais___________________________ 45
2.4.2 CRITÉRIOS DE ALTURAS MÍNIMAS ________________________ 45
2.5 CONSIDERAÇÃO DAS AÇÕES ________________________________46
2.5.1 TIPOS DE AÇÕES________________________________________ 46
2.5.2 COMBINAÇÃO DE AÇÕES ________________________________ 47
2.6 RECOMENDAÇÕES NORMATIVAS ___________________________48
2.6.1 RECOMENDAÇÕES DA NBR 6118 (2003) _____________________ 48
a) Combinação de Ações___________________________________ 48
b) Cálculo do Momento de Fissuração_________________________ 49
c) Cálculo do Momento de Inércia Efetivo ______________________ 50
d) Cálculo do Módulo de Elasticidade do Concreto________________ 51
e) Determinação do Deslocamento Imediato_____________________ 52
f) Determinação do Deslocamento Diferido_____________________ 52
g) Comparação com Valores Limites de Deslocamentos ____________ 53
2.6.2 RECOMENDAÇÕES DO ACI 318 (2002) ______________________ 56
a) Ações ______________________________________________ 56
b) Alturas mínimas _______________________________________ 56
c) Cálculo do Momento de Fissuração_________________________ 59
d) Cálculo do Momento de Inércia Efetivo ______________________ 59
e) Cálculo do Módulo de Elasticidade do Concreto________________ 60
f) Determinação do Deslocamento Imediato_____________________ 60
g) Determinação do Deslocamento Diferido_____________________ 60
h) Comparação com Valores Limites de Deslocamento_____________ 61
2.6.3 RECOMENDAÇÕES DO CEB-FIP (1991) ______________________ 62
a) Combinação de Ações___________________________________ 62
b) Cálculo do Momento de Fissuração_________________________ 63
c) Cálculo do Módulo de Elasticidade do Concreto________________ 63
d) Determinação dos Deslocamentos a Partir da Curvatura Média _____ 64
e) Processo Simplificado___________________________________ 67
f) Comparação com Valores Limites __________________________ 68
g) Alturas Mínimas_______________________________________ 68
2.6.4 RECOMENDAÇÕES DO EUROCODE 2 (1992) _________________ 70
a) Combinação de Ações___________________________________ 70
b) Cálculo do Momento de Fissuração_________________________ 70
c) Cálculo do Módulo de Elasticidade do Concreto________________ 70
d) Determinação dos Deslocamentos Imediatos a Partir da Curvatura
Média ______________________________________________ 71
e) Determinação dos Deslocamentos Diferidos a Partir da Curvatura
Média ______________________________________________ 72
f) Comparação com Valores Limites de Deslocamentos ____________ 73
g) Alturas Mínimas_______________________________________ 74
2.6.5 EXEMPLO DE CÁLCULO _________________________________ 74
a) Dados ______________________________________________ 74
b) Parâmetros Utilizados ___________________________________ 75
c) Valores dos Deslocamentos_______________________________ 77
d) Comparação com os Valores Limites ________________________ 79
e) Análise dos Resultados __________________________________ 81
2.7 CONSIDERAÇÕES FINAIS____________________________________82
CAPÍTULO 3
DESLOCAMENTOS EM LAJES ISOLADAS __________________ 85
3.1 INTRODUÇÃO ______________________________________________85
3.2 CARACTERÍSTICAS DAS LAJES ______________________________86
3.2.1 TIPOS DE LAJES ________________________________________ 86
3.2.2 VÃOS DAS LAJES _______________________________________ 86
3.2.3 CASOS DE CARREGAMENTO______________________________ 87
a) Carregamento C1 ______________________________________ 87
b) Carregamento C2 ______________________________________ 87
c) Carregamento C3 ______________________________________ 87
3.3 PARÂMETROS ADOTADOS __________________________________88
3.3.1 COMBINAÇÕES DAS AÇÕES ______________________________ 88
3.3.2 MATERIAIS ____________________________________________ 89
3.3.3 CONDIÇÕES DO AMBIENTE_______________________________ 89
3.3.4 IDADE DE APLICAÇÃO DAS AÇÕES________________________ 90
3.4 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS ___________________________90
3.4.1 DISCRETIZAÇÃO DAS LAJES______________________________ 90
3.4.2 DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS_______________________ 91
3.4.3 VALORES DOS DESLOCAMENTOS_________________________ 91
3.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS ________________________________93
3.5.1 INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS DE CÁLCULO ______________ 93
a) Tipos de lajes _________________________________________ 93
b) Resistência à Compressão do Concreto ______________________ 94
c) Casos de Carregamento__________________________________ 95
3.5.2 RELAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTOS DIFERIDOS E IMEDIATOS 95
3.5.3 CRITÉRIOS DE ALTURA MÍNIMA __________________________ 99
a) Critério com Base na Relação Menor Vão-Altura Mínima _________ 99
b) Expressão para o Cálculo da Altura Mínima __________________ 104
c) Exemplos de Cálculo __________________________________ 111
CAPÍTULO 4
DESLOCAMENTOS EM VIGAS ISOLADAS_________________ 119
4.1 INTRODUÇÃO _____________________________________________119
4.2 CARACTERÍSTICAS DAS VIGAS _____________________________119
4.2.1 TIPOS E PROPRIEDADES DAS VIGAS______________________ 119
4.2.2 CARREGAMENTO DAS VIGAS____________________________ 121
4.3 PARÂMETROS ADOTADOS _________________________________123
4.3.1 COMBINAÇÕES DE AÇÕES ______________________________ 123
4.3.2 MATERIAIS ___________________________________________ 123
4.3.3 CONDIÇÕES AMBIENTAIS_______________________________ 123
4.3.4 IDADE DE APLICAÇÃO DAS AÇÕES_______________________ 123
4.4 CÁLCULO E VERIFICAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS __________123
4.4.1 DISCRETIZAÇÃO ______________________________________ 124
4.4.2 DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS______________________ 124
4.4.3 VALORES DOS DESLOCAMENTOS________________________ 124
4.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS _______________________________125
4.5.1 INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS DE CÁLCULO _____________ 125
a) Dimensão dos Pilares __________________________________ 125
b) Aumento da Largura da Viga_____________________________ 129
c) Armadura de Compressão_______________________________ 130
d) Resistência Característica do Concreto à Compressão___________ 133
e) Casos de Carregamento_________________________________ 133
f) Vãos Adjacentes______________________________________ 134
4.5.2 COEFICIENTE MULTIPLICADOR DOS DESLOCAMENTOS
IMEDIATOS___________________________________________ 135
4.5.3 ALTURAS MÍNIMAS____________________________________ 139
a) Relação Vão-Altura Mínima _____________________________ 140
b) Expressão para o Cálculo da Altura Mínima __________________ 147
c) Exemplo de Cálculo ___________________________________ 153
CAPÍTULO 5
DESLOCAMENTOS EM PAVIMENTOS ____________________ 157
5.1 INTRODUÇÃO _____________________________________________157
5.2 CONSIDERAÇÕES GERAIS __________________________________157
5.3 PAVIMENTO 1_____________________________________________159
5.3.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS________________________ 160
5.3.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS_____________________________ 164
a) Deslocamentos Imediatos _______________________________ 164
b) Deslocamentos Diferidos _______________________________ 167
5.3.3 ALTURAS MÍNIMAS____________________________________ 170
a) Alturas Mínimas das Lajes ______________________________ 171
b) Alturas Mínimas das Vigas ______________________________ 173
5.4 PAVIMENTO 2_____________________________________________175
5.4.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS________________________ 176
5.4.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS_____________________________ 180
a) Deslocamentos Imediatos _______________________________ 180
b) Deslocamentos Diferidos _______________________________ 183
5.4.3 ALTURAS MÍNIMAS____________________________________ 186
a) Alturas Mínimas das Lajes ______________________________ 186
b) Alturas Mínimas das Vigas ______________________________ 188
5.5 PAVIMENTO 3_____________________________________________190
5.5.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS________________________ 190
5.5.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS_____________________________ 196
a) Deslocamentos Imediatos _______________________________ 196
b) Deslocamentos Diferidos _______________________________ 199
5.5.3 ALTURAS MÍNIMAS____________________________________ 202
a) Alturas Mínimas das Lajes ______________________________ 202
b) Alturas Mínimas das Vigas ______________________________ 204
5.6 PAVIMENTO 4_____________________________________________205
5.6.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS________________________ 205
5.6.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS_____________________________ 211
a) Deslocamentos Imediatos _______________________________ 211
b) Deslocamentos Diferidos _______________________________ 213
5.6.3 ALTURAS MÍNIMAS____________________________________ 215
a) Alturas Mínimas das Lajes ______________________________ 215
b) Alturas Mínimas das Vigas ______________________________ 216
5.7 CONSIDERAÇÕES FINAIS___________________________________218
5.7.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS________________________ 218
5.7.2 VALORES DAS ALTURAS MÍNIMAS_______________________ 220
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES___________________________________________ 221
6.1 INTRODUÇÃO _____________________________________________221
6.2 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS __________________________221
6.3 DESLOCAMENTOS EM LAJES ISOLADAS ____________________222
6.4 DESLOCAMENTOS EM VIGAS ISOLADAS ____________________225
6.5 DESLOCAMENTOS EM PAVIMENTOS________________________227
6.6 SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS ______________________228
ANEXO A _______________________________________________ 231
A.1 ASPECTOS GERAIS ________________________________________231
A.2 VALORES DOS DESLOCAMENTOS DAS LAJES________________231
A.3 VALORES DOS DESLOCAMENTOS DAS VIGAS _______________240
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ________________________ 243
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR _______________________ 249
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado i
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GUARDA, M.C.C. (2005). Cálculo de deslocamentos em pavimentos de edifícios de
concreto armado. São Carlos. 253p. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade de São Paulo.
Neste trabalho, são estudados os deslocamentos de vigas, lajes e pavimentos completos em
concreto armado, submetidos a carregamentos perpendiculares aos seus eixos e planos.
Utiliza-se para tanto o programa ANPAV, desenvolvido no SET-EESC-USP, que permite o
cálculo dos deslocamentos considerando-se o comportamento não-linear do concreto armado
por meio de todos os fenômenos modernamente considerados com esse objetivo. Assim, a
partir de elementos finitos estratificados em filamentos, no caso de elementos de barra
tridimensional, ou camadas, no caso dos elementos de placa, podem ser considerados os
efeitos da fissuração, da retração, da fluência, e da colaboração do concreto tracionado entre
as fissuras para a rigidez à flexão dos elementos. Inicialmente, então, são calculados os
deslocamentos de um elevado número de lajes e vigas isoladas e, a partir da análise dos
resultados, é avaliada a influência dos parâmetros envolvidos neste cálculo. Sugerem-se,
tanto para lajes quanto para vigas, expressões para o cálculo de coeficientes multiplicadores
dos deslocamentos imediatos para a avaliação dos deslocamentos diferidos no tempo, e
também são feitas propostas para a determinação de uma altura mínima para esses
elementos. Com a utilização dessas alturas mínimas, pode-se garantir que o estado limite de
deformação excessiva não será atingido, dispensando-se a necessidade do cálculo dos
deslocamentos propriamente ditos e simplificando-se enormemente o trabalho de projetistas
dessas estruturas. Por fim, são estudados pavimentos de edifícios residenciais e seus
deslocamentos são calculados a partir de análises linear e não-linear, sendo os resultados
obtidos comparados de forma a se validar alguns modelos e expressões desenvolvidas na
análise dos elementos isolados.
Palavras-chave: Concreto armado; deslocamentos; elementos finitos; análise-não linear
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GUARDA, M.C.C. (2005). Deflection calculations of reinforced concrete building floors.
São Carlos. 253p. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade
de São Paulo.
This work presents an analysis of deflections for reinforced concrete beams, slabs and floors
under perpendicular loading. The ANPAV program – a finite-element program developed at
SET-EESC-USP that allows estimating the deflections considering reinforced concrete non-
linear behavior - is used. With finite layered-elements for beams and plates it is possible to
evaluate deflections taking into account cracking, shrinkage, creep and tension stiffening.
Firstly, deflections for a wide range of isolated beams and slabs cases are calculated in order
to evaluate the influence of several important parameters. Then, multiplier coefficients for
assessing long term deflections from immediate deflections and minimum thickness
expressions to ascertain serviceability limit states are suggested, both for beams and slabs.
Finally, deflections for residential building floors are calculated for linear and non-linear
analysis and the results are compared in order to validate the models and parameters
obtained from isolated beams and slabs.
Key words : Reinforced concrete; deflections; finite elements; non-linear analysis
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1.1 ASPECTOS GERAIS
Até o fim da década de cinqüenta, os projetos estruturais apontavam o uso de
elementos robustos, com uma capacidade de carga, em geral, muito maior que a necessária.
Apesar de a grande preocupação ser a garantia da segurança, as vigas e lajes acabavam não
apresentando problemas de deslocamentos excessivos justamente devido à sua grande
rigidez.
Com o aprimoramento das técnicas de análise estrutural e das ferramentas
computacionais, pode-se conhecer melhor a distribuição das cargas e os esforços em cada
peça. Paralelamente, o desenvolvimento da tecnologia dos materiais utilizados na construção
das estruturas de concreto permitiu a produção e o uso tanto de concretos com resistências
mais elevadas quanto o de armaduras com tensões de escoamento mais altas. Com isso,
houve uma redução das seções transversais das vigas e das espessuras das lajes, levando a
elementos mais esbeltos.
Essas modificações nas características dos projetos, por outro lado, contribuíram
significativamente para um maior nível de fissuração das peças, diminuindo sua rigidez e
aumentando seus deslocamentos. Em alguns casos, esses deslocamentos tornaram-se tão
expressivos que, para evitá-los, seria necessária a adoção de alturas maiores que as
requeridas pelo dimensionamento à flexão. Por isso, a questão da estimativa e do controle
dos deslocamentos vem sendo cada vez mais importante para os projetos de hoje em dia.
Os deslocamentos excessivos em um elemento estrutural podem causar diversos
danos, não só à sua própria funcionalidade e estética, como à de outros elementos, estruturais
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 2
ou não, que a ele estejam ligados. São exemplos desses danos o mau funcionamento de
portas e janelas, o acúmulo de água em lajes de cobertura e a vibração excessiva em lajes de
piso. Problemas como esses usualmente nada têm a ver com a segurança, mas provocam
desconforto e, até mesmo, certa desconfiança dos usuários em sua resistência,
principalmente se os deslocamentos forem visíveis a olho nu.
Sendo assim, na elaboração de um projeto estrutural em concreto armado, observa-se
a necessidade de se considerar não apenas os requisitos de segurança, afastando a
possibilidade de ruína, mas também os critérios de utilização, em especial os de
deslocamentos excessivos, contribuindo para um desempenho satisfatório da estrutura em
serviço.
1.2 JUSTIFICATIVA
Como já foi mencionado, os avanços da tecnologia dos materiais e das técnicas de
análise estrutural proporcionaram uma redução das seções transversais das vigas e das
espessuras das lajes. Com isso, embora se tenha obtido uma maior eficiência desses
elementos, os pavimentos vêm se tornando cada vez mais flexíveis, e os problemas de
deslocamentos excessivos, mais comuns. A necessidade de se efetuar uma avaliação
consistente dos deslocamentos passou, então, a ser fundamental para o bom desempenho das
estruturas em serviço.
Nesse contexto, as normas para o projeto de concreto estrutural vêm exigindo a
verificação dos deslocamentos nos elementos fletidos. Os objetivos dessas prescrições vão
desde a redução das necessidades de manutenção e reparos nas estruturas, até a garantia de
que um elemento, apesar dos deslocamentos em relação à posição inicial, possa atender a
critérios mínimos de aceitação tanto do ponto de vista estrutural quanto estético. Para isso,
podem ser utilizados dois procedimentos: ou a adoção de uma altura mínima para a qual os
deslocamentos já estariam verificados, ou o cálculo dos deslocamentos em cada elemento e
sua posterior comparação com valores limite.
No primeiro procedimento, se a altura de um elemento for superior a um
determinado limite, que deve ser respeitado independentemente da altura requerida pelo
dimensionamento à flexão, pode-se admitir que seus deslocamentos não causarão danos à
edificação. Alguns desses critérios de altura mínima são bastante simples, essencialmente
empíricos, e baseados na observação e na experiência adquirida ao longo dos anos, para cada
tipo de elemento estrutural. Outros, propostos por estudos mais recentes, já têm abordagens
mais racionais, mas ainda fornecem expressões muito complexas. Diante disso, percebe-se a
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 3
conveniência de se desenvolverem novos critérios de altura mínima, de aplicação prática,
que consigam dosar as simplificações e a necessidade de se considerarem diversos fatores
importantes para o estudo dos deslocamentos.
No segundo procedimento, os deslocamentos podem ser determinados por diversos
métodos, que consideram, com maior ou menor aproximação, a não-linearidade do concreto.
Já os valores limites são pré-definidos pelas normas, variando de uma para outra, para os
diferentes tipos de situações. Muitas vezes, entretanto, esse tipo de verificação torna-se um
pouco complicada, e são duas as dificuldades principais: a previsão do comportamento em
serviço, que envolve uma estimativa coerente das ações, da fissuração, da retração e da
fluência, e o estabelecimento de valores limites razoáveis para cada caso, uma vez que eles
variam em função de uma série de características do elemento em si e da estrutura. Além
disso, trabalhos como o de GHALI (1993), o de SHERIF & DILGER (1998), o de GILBERT
(1999) e o de SCANLON et al. (2001), dentre outros, apontam alguns problemas usuais no
cálculo dos deslocamentos por processos simplificados, relacionados, especialmente, aos
valores adotados para o momento de inércia efetivo e para o multiplicador dos
deslocamentos imediatos, em determinadas situações.
É bem verdade que a evolução de técnicas numéricas para a análise estrutural
permitiu o desenvolvimento de programas computacionais para o cálculo dos deslocamentos
a partir de relações constitutivas do material. Com isso, tornou-se possível uma melhor
consideração tanto da influência da armadura e da colaboração do concreto tracionado
existente entre as fissuras, para a rigidez à flexão da peça (tension stiffening), quanto dos
fatores que provocam a não linearidade do material, como a fissuração, a retração e a
fluência. Mas, na prática, a utilização desses programas não é usual, principalmente devido
às dificuldades de acesso a essas ferramentas e ao maior tempo gasto para a execução do
cálculo dos deslocamentos. Assim, os processos simplificados, apesar de suas limitações,
ainda são bastante empregados nos projetos estruturais. O que é necessário fazer para
melhorar os valores obtidos é calibrá-los e ajustá-los aos resultados de processos mais
rigorosos.
Dentro dessa ótica e considerando-se o lançamento da norma brasileira de concreto
estrutural, a NBR 6118 (2003), é necessário se avaliar os processos simplificados propostos,
conhecer suas limitações e comparar seus resultados a valores experimentais e de outras
normas. Além disso, tendo-se comentado as facilidades encontradas com a utilização dos
critérios de altura mínima, percebem-se as vantagens de se introduzir um critério desse tipo
na NBR 6118 (2003). Assim sendo, apesar de já ser conhecido há muito tempo, o problema
dos deslocamentos excessivos ainda tem muito o que ser estudado.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 4
1.3 OBJETIVOS
O objetivo deste trabalho é estudar o comportamento de vigas, lajes e pavimentos
com relação a seus deslocamentos, a partir da utilização de modelos numéricos mais
rigorosos. Assim, poder-se-á avaliar qualitativamente e quantitativamente a influência dos
diversos parâmetros envolvidos no cálculo desses deslocamentos, desenvolvendo-se critérios
para a determinação da altura mínima para vigas e lajes de concreto armado que satisfaçam
as verificações dos estados limites de deformações excessivas da NBR 6118 (2003). Esses
critérios são estudados principalmente considerando-se os edifícios residenciais usuais,
sugerindo valores e expressões que possam vir a subsidiar execução de cálculos que se
utilizem desse procedimento normativo e que seja de simples e fácil aplicação. Além disso,
são avaliadas as prescrições da NBR 6118 (2003) para o cálculo dos deslocamentos em
elementos fletidos, com ênfase para os deslocamentos diferidos no tempo. Finalmente,
avaliam-se exemplos completos de pavimentos de edifícios residenciais, de forma a
apresentar os resultados com e sem a consideração da não-linearidade física dos materiais, e
a aplicação das expressões para a determinação da altura mínima dos elementos isolados.
Sugere-se, ainda, a obtenção dos deslocamentos não-lineares através de resultados prévios
lineares convenientemente multiplicados por coeficientes que possam prever os efeitos de
fissuração e fluência que usualmente estão presentes nesses pavimentos.
1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
No capítulo 2, apresenta-se um resumo atual e bem estruturado sobre os principais
conceitos envolvidos no cálculo dos deslocamentos imediatos e diferidos no tempo. Além
disso, são feitas considerações gerais sobre a fissuração, a fluência e a retração do concreto,
além dos procedimentos para o cálculo e verificação dos deslocamentos fornecidos pelas
seguintes normas de projeto de concreto estrutural: NBR 6118 (2003), ACI 318 (2002),
CEB-FIP (1991) e sua atualização BULLETIN FIB (1999), e EUROCODE 2 (1992) e seu
projeto de revisão EUROCODE FINAL DRAFT (1999).
Nos capítulos 3 e 4, tem-se o estudo dos deslocamentos de lajes e vigas em concreto
armado, respectivamente. Estes elementos foram considerados isoladamente e seus
deslocamentos foram calculados empregando-se o programa ANPAV, desenvolvido no
SET-EESC-USP por OLIVEIRA (2001). A partir dos resultados obtidos, foi avaliada,
quantitativamente e qualitativamente, a influência dos parâmetros adotados nos cálculos,
colaborando para o entendimento do comportamento desses elementos com relação aos
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 5
deslocamentos. Apresenta-se também uma proposta para o cálculo da altura mínima que
satisfazem às verificações do estado limite de deformações excessivas impostas pela
NBR 6118 (2003).
No capítulo 5 encontra-se o estudo de um pavimento completo de um edifício
residencial para o qual são comentados os parâmetros necessários à sua análise e é
apresentada uma comparação dos resultados obtidos com aqueles provenientes de uma
análise linear convencional.
Por fim, no capítulo 6, são apresentadas as conclusões, algumas considerações finais
sobre as análises realizadas e sugestões para novas pesquisas.
No anexo A são fornecidos alguns dos deslocamentos obtidos para as lajes e vigas
isoladas.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 6
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N
N
T
T
O
O
S
S
F
F
L
L
E
E
T
T
I
I
D
D
O
O
S
S
2.1 INTRODUÇÃO
Quando um elemento estrutural é submetido a esforços de flexão, os pontos de seu
eixo apresentam deslocamentos em relação à posição original. Uma parcela desses
deslocamentos surge logo após a aplicação do carregamento: são os deslocamentos iniciais
ou imediatos. A outra corresponde aos acréscimos que ocorrem com o passar do tempo: são
os deslocamentos diferidos no tempo ou de longa duração. Assim, pode-se dizer que a
posição final do elemento é função tanto do carregamento imposto quanto dos efeitos
dependentes do tempo.
Neste capítulo, apresentam-se algumas considerações importantes ao entendimento
tanto dos deslocamentos imediatos quanto dos diferidos, em elementos estruturais
submetidos à flexão simples. São comentados os fatores que influenciam nos valores desses
deslocamentos e alguns processos de cálculo utilizados. Além disso, são ressaltadas algumas
formas usuais de verificação dos elementos em serviço. Por fim, destacam-se as principais
recomendações normativas sobre a avaliação dos deslocamentos, constantes da NBR 6118
(2003), do ACI 318 (2002), do CEB-FIP (1991) e da sua atualização FIB (1999), e do
EUROCODE 2 (1992) e do seu projeto de revisão EUROCODE FINAL DRAFT (2001).
2.2 FATORES QUE AFETAM OS DESLOCAMENTOS
Vários são os fatores que exercem influência, em maior ou menor escala, sobre a
ordem de grandeza dos deslocamentos. Como menciona o ACI 435.2R (1966), podem ser
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 8
citados, dentre outros: o tipo, a grandeza e o histórico do carregamento; o vão e as condições
de apoio do elemento estrutural; as propriedades geométricas de sua seção transversal; as
propriedades dos materiais utilizados; a fissuração, a retração e a fluência do concreto; as
taxas de armadura de tração e de compressão; e o processo de execução da estrutura. Alguns
deles afetam diretamente os valores dos deslocamentos, como o vão e o carregamento.
Outros, indiretamente, como a taxa de armadura de compressão, que, na realidade, interfere
na retração. Algumas dessas relações são comentadas a seguir.
2.2.1 PROPRIEDADES DO CONCRETO
As propriedades do concreto que exercem influência direta no cálculo dos
deslocamentos são a resistência à tração e o módulo de elasticidade. Entretanto, a resistência
à compressão, representada por seu valor característico f
ck
, influencia indiretamente, já que,
na ausência de dados experimentais, outras propriedades do concreto, como a resistência à
tração e o módulo de elasticidade, podem ser determinadas a partir de correlações com o f
ck
.
a) Resistência à Compressão
Vários fatores influenciam na resistência do concreto à compressão, mas pode-se
dizer que ela é controlada basicamente pelas propriedades da pasta de cimento hidratada.
Essas propriedades estão associadas à relação água-cimento, ao grau de hidratação, ao
processo de cura, ao tipo e classe de resistência do cimento, ao tipo e quantidade de adições,
aos aditivos, e à resistência e rigidez dos agregados. MEHTA & MONTEIRO (1994)
apresentam a forma com que cada um desses parâmetros afeta a resistência do concreto à
compressão.
De um modo geral, o aumento do f
ck
acarreta uma redução dos deslocamentos finais.
A parcela inicial é diminuída tanto com o aumento do módulo de elasticidade e,
conseqüentemente, da rigidez do elemento, quanto com a melhoria da resistência à tração na
flexão, retardando o início da fissuração. Já a parcela diferida é atenuada devido à
diminuição da fluência e da retração por secagem. Cabe comentar, entretanto, que a redução
dos deslocamentos não tem a mesma proporção do aumento da resistência do concreto à
compressão, e também que, se esse aumento for obtido a partir de um consumo muito
elevado de cimento, os benefícios decorrentes da resistência mais alta podem até ser
anulados pelo crescimento da retração química.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 9
b) Módulo de Elasticidade
Para materiais elásticos-lineares, de acordo com a Lei de Hooke, a tensão σ é
diretamente proporcional à deformação ε, ou seja:
ε
=
σ
E
A constante E que define a relação linear entre a tensão e a deformação é o chamado
módulo de elasticidade.
Apesar do material concreto não apresentar um comportamento elástico-linear, tendo
um diagrama tensão-deformação curvo, admite-se para cada valor de tensão atuante, associar
um valor para o módulo de elasticidade secante.
De acordo com CUNHA & FRANÇA (2000), o módulo de elasticidade secante
considerado em uma determinada faixa de tensões na qual se deseja avaliar as deformações,
permite a utilização de análises simplificadas levando-se em conta a característica não-linear
do concreto. Desta forma, pela Figura 2.1, o módulo de elasticidade secante AB representa a
aproximação do trecho AB pelo trecho A’B’, da mesma forma que o módulo de elasticidade
secante CD representa a aproximação do trecho CD pelo C’D’.
σ
ε
A'
A
B
B'
E
sec AB
sec CD
E
C
C'
D'
D
Figura 2.1 – Representação do módulo de elasticidade secante por faixa de tensão
(CUNHA & FRANÇA, 2000)
A determinação experimental do módulo de elasticidade é feita a partir do diagrama
tensão-deformação do concreto submetido à compressão. A partir desse diagrama, podem ser
definidos alguns tipos de módulo de elasticidade, mas para fins de avaliação dos
deslocamentos costuma-se utilizar apenas dois: o módulo de elasticidade tangente inicial,
usado em análises mais rigorosas, baseadas em análise não-linear, e o módulo de elasticidade
secante, usado em análises simplificadas, baseadas em análise linear.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 10
O módulo de elasticidade tangente inicial, E
ci
, segundo a NBR 6118 (2003), é
considerado como o módulo de elasticidade cordal equivalente a 0,5 MPA e 0,3f
c
, e o
módulo de elasticidade secante, E
cs
, é definido como o módulo de elasticidade cordal
equivalente a 0,5 MPa e 0,45f
c
, onde f
c
é a resistência à compressão do concreto. E a relação
entre o módulo de elasticidade tangente inicial E
ci
o o módulo de elasticidade secante E
cs
é
de 0,85, ou seja:
cics
E85,0E ⋅=
O módulo de elasticidade do concreto é influenciado pelo módulo de elasticidade de
seus componentes, principalmente os da pasta de cimento hidratada e dos agregados. De
acordo com o FIB (1999), seu valor pode ser calculado a partir dos módulos de seus
componentes, já existindo vários modelos que os levam em consideração. Entretanto, este
procedimento torna-se pouco prático, pois apresenta o inconveniente de se ter que ensaiar a
pasta e os agregados para a determinação de seus módulos de elasticidade. Por isso, com o
intuito de simplificar tal estimativa, vários pesquisadores e normas de cálculo sugerem
relações empíricas para a determinação de E
c
. O principal parâmetro utilizado nessas
relações é a resistência característica à compressão, o que, segundo o FIB (1999), se justifica
com a hipótese de que o módulo de elasticidade da pasta de cimento hidratada é influenciado
pela porosidade da mesma forma que a resistência à compressão do concreto.
As expressões fornecidas por algumas normas de cálculo são dadas a seguir na
Tabela 2.1, e os resultados por elas fornecidos para diversos valores de resistência
característica à compressão são representados na Figura 2.2.
Tabela 2.1 – Expressões para a determinação do módulo de elasticidade tangente inicial
NORMA EXPRESSÃO
NBR 6118 (2003)
ckci
f5600E ⋅=
ACI 318 (2002)
ckc
f4733E ⋅=
CEB -FIP (1991)
( )
31
ck4
ci
10
8 f
1015,2E
+
⋅⋅=
EUROCODE 2 (1992)
(
)
31
ckci
8f9500E +⋅=
Vale ressaltar que o ACI 318 (2002) apresenta apenas a expressão para o cálculo do
módulo de elasticidade secante. Assim, na Figura 2.2, para efeito de comparação, os valores
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 11
resultantes dessa expressão foram divididos por 0,85, para a obtenção do módulo de
elasticidade tangente inicial.
0
10000
20000
30000
40000
50000
0 10 20 30 40 50 60 70
Resistência característica à compressão (MPa)
Módulo de elasticidade tangente inicial (MPa)
NBR 6118 (2003)
ACI 318 (2002)
EUROCODE 2 (1992)
CEB-FIP (1991)
Figura 2.2 – Valores do módulo de elasticidade de acordo com algumas normas de cálculo
Quanto aos deslocamentos, sabe-se que para elementos submetidos à flexão simples
e de acordo com os conceitos da Teoria da Elasticidade, estes são inversamente
proporcionais aos valores de rigidez, sendo esta definida como o produto entre o módulo de
elasticidade do material e o momento de inércia da seção transversal. Portanto, quanto maior
for o módulo de elasticidade, menores serão os deslocamentos.
c) Resistência à Tração
Apesar de não influir significativamente no comportamento do concreto no estado
limite último, a resistência à tração apresenta uma importância particular no estudo dos
deslocamentos. É que ela define o início da fissuração, embora já existam microfissuras
provocadas por tensões internas geradas durante o processo de endurecimento antes mesmo
do carregamento ser aplicado. A fissuração causa uma diminuição na rigidez dos elementos
fletidos e, conseqüentemente, um aumento de seus deslocamentos, conforme será visto
adiante.
Como comentam LEONHARDT & MÖNNIG (1977), podem ser definidos três tipos
de ensaios para a determinação da resistência à tração. São eles: resistência à tração direta;
resistência à tração na flexão e resistência à tração indireta ou por compressão diametral.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 12
A resistência à tração direta seria o melhor parâmetro para se avaliar o
comportamento do concreto sob esforços de tração. Entretanto, como explicam HILSDORF
& MÜLLER (1999), o ensaio para a sua determinação, chamado de ensaio de tração axial,
apresenta muitas dificuldades de execução, sendo utilizado quase que exclusivamente em
pesquisas.
Já para a obtenção da resistência à tração na flexão, utilizam-se vigas biapoiadas de
concreto simples submetidas à flexão, sendo esta provocada, em geral, por duas cargas
concentradas nos terços do vão. Por ser mais simples, esse ensaio é mais usual que o de
tração direta.
Quanto à resistência à tração indireta, sua determinação é feita através do ensaio de
corpos-de-prova cilíndricos submetidos à compressão diametral, chamado de split cylinder
test. Vale ressaltar que este ensaio foi desenvolvido pelo ilustre pesquisador brasileiro, Prof.
Lobo Carneiro, por isso, é chamado em alguns países de ensaio brasileiro. Seus resultados
são maiores que os da resistência à tração direta e menores que os da resistência à tração na
flexão.
Na falta de valores experimentais, as normas de cálculo apresentam expressões para
a determinação das resistências do concreto à tração em função da resistência característica
do concreto à compressão f
ck
. Assim, na Tabela 2.2, são fornecidas algumas expressões para
a determinação da resistência média à tração, f
ctm
, segundo algumas normas, sendo o MPa a
unidade para as resistências, e, na Figura 2.3 tem-se uma comparação dos resultados.
Observa-se que os resultados são bastante próximos. Apenas a expressão do ACI 318 (2002)
leva a valores superiores que os das demais normas, sendo que à medida que a resistência à
compressão aumenta, essa diferença diminui.
Tabela 2.2 – Expressões para o cálculo da resistência à tração
NORMA EXPRESSÃO
NBR 6118 (2003)
3/2
ckctm
f30,0f ⋅=
ACI 318 (2002)
ckctm
f623,0f ⋅=
CEB -FIP (1991)
32
cko
ck
fctmctm
f
f
f
α=
EUROCODE 2 (1992)
32
ckctm
f30,0f ⋅=
α
fc tm
= 1,4 f
cko
= 10 MPa
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 13
0
1
2
3
4
5
0 10 20 30 40 50 60
Resistência característica à compressão (MPa)
Resistência média à tração
NBR 6118 (2003)
ACI 318 (2002)
EUROCODE 2 (1992)
CEB-FIP (1991)
Figura 2.3 – Resistência à tração de acordo com algumas normas de cálculo
Conforme comentado anteriormente, mesmo antes da aplicação do carregamento, já
existem microfissuras na região da interface entre a pasta de cimento e o agregado, chamada
de zona de transição, que são geradas durante o processo de endurecimento da pasta, e
causadas pela exudação, retração por secagem, entre outro fatores. O comportamento dessa
região influencia significativamente o módulo de elasticidade e a resistência à tração, já que
normalmente é aí onde o concreto rompe com um nível de solicitação inferior a resistência
da pasta e do agregado. A Figura 2.4 ilustra a evolução da fissuração nessa interface.
Deformação
30
50
75
100
Porcentagem da tensão última
Figura 2.4 – Evolução da fissuração na interface entre a pasta e o agregado para concreto sob
compressão uniaxial, (METHA & MONTEIRO, 1994)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 14
2.2.2 FISSURAÇÃO
Como já foi comentado, os deslocamentos em elementos fletidos são inversamente
proporcionais aos valores da rigidez à flexão. Para elementos em concreto armado, a rigidez
depende do estágio de fissuração de cada peça, considerado através da variação do momento
de inércia. Assim sendo, para compreender o desenvolvimento dos deslocamentos em vigas
e lajes, é necessário se conhecer um pouco o comportamento das peças na presença de
fissuras.
É usual a ocorrência de fissuras em estruturas de concreto armado. Embora já
existam as microfissuras na zona de transição entre a pasta e o agregado, conforme
mencionado anteriormente, admite-se que a fissuração comece quando a resistência à tração
do concreto seja atingida.
Na Figura 2.5, tem-se um diagrama momento-curvatura típico de um elemento em
concreto armado submetido à flexão, e nele é apontada a evolução da fissuração com o nível
de solicitação.
M
M
M
M
M
u
p
rn
r
1/r
Estádio II
Estádio I
Estádio III
Estádio II com colaboração
do concreto entre fissuras
Estádio II puro
Regime plásticoFormação de
fissuras
Estabilização da
fissuração
x
1
c
σ
t
σ
σ
x
2
s
c
σ
s
σ
x
c
σ
A
B
C
D
O
Figura 2.5 - Diagrama momento-curvatura de um elemento fletido.
Para pequenos valores de momentos, trecho AO, a seção não apresenta fissuras, ou
seja, a tensão máxima de tração é menor que a resistência do concreto à tração, e pode-se
admitir um comportamento elástico e linear (Estádio I). Neste caso, tanto o concreto da
região comprimida como o da tracionada, além da armadura, colaboram para a rigidez à
flexão do elemento. Para as condições de serviço, apenas alguns trechos dos elementos
fletidos apresentam essas características.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 15
Quando a tensão máxima de tração atinge a resistência do concreto à tração (ponto
A), surge a primeira fissura na região onde o momento fletor é máximo, e, à medida que o
momento solicitante aumenta de valor surgem novas fissuras. Assim, a contribuição do
concreto na zona tracionada diminui, reduzindo também a rigidez à flexão. Essa formação de
fissuras ocorre até certo nível de solicitação (ponto B). A partir daí, o aumento da solicitação
não acarreta a formação de novas fissuras, mas as existentes apresentam maiores aberturas e
comprimentos. Isso ocorre até que as seções transversais já possam ser consideradas
totalmente fissuradas (ponto C). Esta fase de abertura e estabilização das fissuras caracteriza
o Estádio II.
Em serviço, a maior parte das seções transversais dos elementos fletidos de concreto
armado trabalham nesses dois últimos estágios, para as quais a rigidez é determinada
desprezando-se a parcela do concreto da região tracionada.
No Estádio III, mesmo sem acréscimo significativo de momento, o elemento
continua a se deformar. A linha neutra de aproxima da face comprimida, ocorrendo uma
ruína secundária por esmagamento do concreto (ponto D).
Percebe-se, então, que para um elemento fletido que apresenta momentos fletores
variando ao longo do vão, surgirão seções não fissuradas, nas regiões onde o momento fletor
é mais baixo, e seções parcialmente ou totalmente fissuradas, nas regiões de momento fletor
mais elevado. Este comportamento pode ser observado, por exemplo, na viga representada
na Figura 2.6, submetida a um carregamento considerado uniformemente distribuído: as
seções transversais nas regiões próximas aos apoios, onde os momentos fletores tendem a
zero, não apresentam muitas fissuras, já na região do meio do vão, onde os valores dos
momentos são mais altos, as seções estão bastante fissuradas.
Figura 2.6 - Exemplo de distribuição das fissuras em uma viga
Desta forma, a seção que apresenta menor rigidez é aquela localizada na posição de
uma fissura, e, obviamente, a seção de maior rigidez é aquela localizada em um trecho sem
fissuras. Assim, pela Figura 2.6, pode-se notar que entre as seções fissuradas, existem
trechos de concreto íntegro e que, portanto, ainda apresentam alguma resistência à tração,
colaborando, desta forma, para a rigidez à flexão da viga. Este comportamento é chamado de
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 16
enrijecimento devido ao concreto tracionado (tension stiffening), e é de fundamental
importância para a avaliação dos deslocamentos. Sua desconsideração pode levar a uma
subestimativa considerável da rigidez à flexão, já que as seções seriam consideradas
totalmente fissuradas, e o diagrama momento curvatura seria representado pela linha
tracejada OC, mostrada na Figura 2.5.
Portanto, para se determinar a rigidez à flexão a ser utilizada no cálculo dos
deslocamentos de um elemento estrutural, em suas condições de serviço, é essencial uma
análise criteriosa do seu estágio de fissuração.
2.2.3 RETRAÇÃO
A retração é caracterizada pela diminuição do volume de um elemento de concreto,
independentemente das ações nele atuantes, e progressivamente com o tempo. Sua ordem de
grandeza é influenciada por diversos fatores, podendo-se citar os materiais constituintes e a
dosagem do concreto, o tempo, as condições ambiente de umidade e a temperatura, a
geometria do elemento estrutural, a idade do concreto quando começa o processo de
secagem, e a quantidade de armadura de compressão e de tração. Comentários sobre a
relação entre esses aspectos e a retração podem ser encontrados em MEHTA & MONTEIRO
(1994), LEONHARDT & MÖNNIG (1977), WANG & SALMON (1985) e no
ACI 435.2R (1966).
A depender de sua causa, podem ser definidos alguns tipos de retração. São eles: a
retração plástica, a retração por carbonatação, a retração química (ou endógena) e a retração
por secagem.
A retração plástica ocorre por perda de água do concreto ainda na sua fase de
endurecimento. A retração por carbonatação é causada pela reação da pasta de cimento
hidratada com o dióxido de carbono do ar, na presença de umidade. A retração química,
provocada pelas reações químicas que ocorrem na pasta de cimento, está associada ao
avanço da hidratação do cimento, e não tem relação com as condições do ambiente. Já a
retração por secagem acontece a partir da evaporação da água não fixada quimicamente no
concreto, quando este é exposto a um ambiente com umidade relativa menor que 100%.
Assim, a retração começa logo que o concreto é lançado, com a retração plástica, e
aumenta com o tempo devido ao processo de secagem. Após alguns anos, entretanto, esse
aumento é praticamente desprezível. Segundo o ACI 435.2R (1989), com um ano do início
da retração, esta já apresenta aproximadamente 80% do valor que teria com vinte anos.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 17
Vale ressaltar que, se um elemento de concreto, após a secagem, for submetido a um
processo de molhagem, a retração apresenta certo grau de reversibilidade, como indicado na
Figura 2.7.
Deformação por retração x 10
Tempo (dias)
10 20 30 40 50 60 70 80
0
200
400
600
800
1000
-6
Secagem Molhagem
Retração total
Retração
reversível
irreversível
Retração
Figura 2.7 - Reversibilidade da retração (MEHTA & MONTEIRO, 1994)
Utilizando-se procedimentos de moldagem e cura adequados, além de uma dosagem
conveniente para o concreto, a retração plástica pode ser minimizada e até evitada. Já para as
retrações por secagem e química, que têm valores razoáveis nos diversos tipos de concreto, o
controle é bem mais difícil. No caso dos concretos de alta resistência, como há menos
quantidade de água livre após a hidratação, a retração por secagem é menor que em
concretos de resistência normal, mas ainda significativa. Por outro lado, a retração química é
consideravelmente maior.
Desta forma, para o projeto estrutural, pode-se supor que a retração do concreto é
dada pelo somatório das retrações por secagem e química. Apesar do CEB-FIP (1991) e do
EUROCODE (1992), por exemplo, apresentarem expressões para o cálculo da deformação
por retração apenas com a parcela devida à retração por secagem, suas recentes revisões, FIB
(1999) e EUROCODE FINAL DRAFT (2001), já as apresentam como o somatório das duas
parcelas. Vários pesquisadores também apresentam modelos para a determinação da
deformação por retração através do estudo de suas parcelas, como GILBERT (2001) e
BAZANT (2001).
Se as estruturas pudessem trabalhar livremente, a retração não traria grandes
conseqüências. Entretanto, tal fato não ocorre na prática devido à presença de apoios, de
elementos adjacentes, e da armadura. Essa restrição à livre deformação por retração é que
gera problemas como a fissuração de regiões previamente íntegras, e o aumento tanto da
abertura das fissuras já existentes como dos deslocamentos.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 18
No caso particular dos elementos fletidos, a maior ou menor influência da retração
também depende da assimetria, tanto no posicionamento quanto nas áreas de aço das
armaduras de tração e de compressão. É que, como a armadura de tração normalmente é
maior que a armadura de compressão, o encurtamento devido à retração na região tracionada
é menor que na região comprimida, fazendo com que surja uma curvatura adicional na
mesma direção da curvatura devida à flexão. Conseqüentemente, há um aumento nos
deslocamentos.
2.2.4 FLUÊNCIA
Em uma peça de concreto submetida a ações de longa duração, a água não fixada
quimicamente, existente nos microporos do gel de cimento, é comprimida e evapora. Isso
provoca uma diminuição do volume do elemento, que é a chamada fluência.
Apesar de serem fenômenos distintos, a fluência e a retração costumam ser tratadas
conjuntamente. Isto ocorre, dentre outros motivos, porque ambas são caracterizadas pela
perda de água adsorvida da pasta de concreto, são influenciadas basicamente pelos mesmos
fatores e têm como conseqüência o aumento das deformações e dos deslocamentos com o
tempo.
Assim como retração, a fluência aumenta com uma taxa mais acentuada no início do
processo, diminuindo com o tempo, e também é parcialmente reversível. Se a carga for
removida após um certo período, parte da fluência é recuperada elasticamente, restando
ainda uma porção residual, como pode ser visto na Figura 2.8.
Deformação
Tempo após carregamento (dias)
20 40 60 80 100 120
0
200
400
600
800
1000
Carregamento Descarregamento
Fluência
reversível
irreversível
Fluência
Deformação
imediata
por fluência
Deformação
reversível
Def. elástica
Figura 2.8 - Reversibilidade da fluência (MEHTA & MONTEIRO, 1994)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 19
É importante ressaltar, entretanto, que a fluência e a retração são fenômenos com
bases conceituais distintas. Enquanto na retração por secagem a origem da perda de água é a
diferença de umidade entre o elemento de concreto e o meio ambiente, na fluência, essa
perda está associada à aplicação continuada de uma ação. Além disso, a duração e a
intensidade das ações, bem como a idade do concreto ao primeiro carregamento, são
aspectos relevantes ao estudo da fluência, mas que não influenciam na retração.
De uma maneira geral, o que se observa é que a fluência provoca um acréscimo
significativo das deformações do concreto na zona comprimida, conforme representado na
Figura 2.9, para uma seção no Estádio II. Como na zona tracionada esse acréscimo é
consideravelmente menor, já que é muito pequena a contribuição do concreto e a fluência do
aço é praticamente desprezível, a deformação na armadura praticamente não se altera. A
posição da linha neutra se aproxima da armadura de tração e observa-se uma curvatura
adicional à de flexão, que provoca o aumento da curvatura final, e conseqüentemente, dos
deslocamentos. Pode-se notar que o aumento da deformação de compressão é muito maior
do que o aumento da curvatura.
x
ε
ε
s
ci
i
A
s
ε
ci
x
i
ε
cf
cf
x
Seção transversal Deformações imediatas
devidas ao carregamento
Deformações após a
ocorrência da fluência
φ + φ
i
f
φ
i
φ
f
ε
s
Figura 2.9 - Efeito da fluência na curvatura de uma seção (WANG & SALMON, 1985)
Para o cálculo dessas deformações devidas à fluência, existem vários modelos que
fornecem bons resultados, dentre os quais pode-se citar o de GHALI & FAVRE (1986), o do
CEB-FIP (1991), o de BAZANT (2001), e o do EUROCODE 2 (1992).
2.3 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS
Para a determinação dos deslocamentos, tanto imediatos quanto diferidos, vários
métodos podem ser empregados, como é apresentado nos itens seguintes.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 20
2.3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Os diferentes métodos para o cálculo dos deslocamentos utilizam alguns parâmetros
em comum, discutidos neste item.
a) Seção Transversal Homogeneizada
Para uma melhor estimativa do valor do momento de inércia de uma seção de
concreto armado, é necessário se considerar a influência das armaduras de tração e de
compressão. Para isso, uma possibilidade é a utilização da seção homogeneizada, na qual se
substitui a área de aço por uma área equivalente de concreto, dada por
(
)
scs
AE / E ⋅ . Como a
relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, também chamada de razão
modular, é representada por α
e
, a área equivalente de concreto é dada por
se
A⋅α .
A rigor, nos casos em que essa área equivalente desloca uma área de aço A
s
da
armadura de tração, para peças no Estádio I, ou A’
s
da armadura de compressão, as áreas
equivalentes de concreto são dadas por
(
)
se
A1 ⋅−α ou
(
)
se
'A1 ⋅−α , respectivamente.
Considerando-se a seção transversal não fissurada, ilustrada na Figura 2.10, de um
elemento submetido à flexão simples, para o cálculo do momento de inércia da seção
homogeneizada, que, nesse caso, leva em conta a contribuição do concreto da região
tracionada, deve-se inicialmente determinar a posição da linha neutra. Esta pode ser obtida
igualando-se a zero o momento estático em relação à linha neutra. Desta forma, tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
sese
sese
2
I
'A1A1hb
'd'A1dA1
2
hb
x
⋅−α+⋅−α+⋅
⋅⋅−α+⋅⋅−α+
⋅
= (2.1)
logo, o momento de inércia vale:
( ) ( ) ( ) ( )
2
Ise
2
Ise
2
I
3
I
'dx'A1xdA1
2
h
xhb
12
hb
I −⋅⋅−α+−⋅⋅−α+
−⋅⋅+
⋅
= (2.2)
sendo:
b a largura da seção transversal;
h a altura da seção transversal;
α
e
a razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto;
d a distância do centro de gravidade da armadura de tração até a fibra mais
comprimida;
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 21
d’ a distância do centro de gravidade da armadura de compressão até a fibra mais
comprimida;
A
s
a área de aço da armadura de tração;
A’
s
a área de aço da armadura de compressão;
x
I
a altura da linha neutra, em relação à face comprimida;
I
I
o momento de inércia da seção não fissurada homogeneizada.
d
h
d'
b
A
s
A'
s
x
I
C.G. da seção
homogeneizada
L.N.
Figura 2.10 - Seção transversal não fissurada
É importante ressaltar que a diferença entre o valor do momento de inércia da seção
homogeneizada I
I
, e o momento de inércia da seção bruta de concreto I
c
, é pequena para
vigas com taxas de armadura usuais, como demonstrado por NAWY (1996). Por isso, pode-
se utilizar o valor de I
c
em vez de I
I
no cálculo dos deslocamentos. Entretanto, para vigas
densamente armadas, os efeitos da armadura já são mais significativos e devem ser
considerados.
Analisando agora, uma seção transversal fissurada, de um elemento submetido à
flexão simples, o cálculo do momento de inércia é semelhante ao de uma seção não
fissurada. A única diferença é que o concreto sob tração, região tracejada na Figura 2.11, é
desprezado. Assim, a posição da linha neutra é determinada a partir da equação:
( )
[ ]
( )
[ ]
0 dA 'd 'A 'd 'A x 'A A'A
2
xb
ssesIIssse
2
II
=⋅+⋅⋅α−⋅+⋅−+⋅α+
⋅
(2.3)
Na qual se iguala a zero o momento estático em relação à linha neutra da seção. Assim, o
momento de inércia é dado por:
( ) ( ) ( )
2
IIse
2
IIse
3
II
II
xd A 'dx 'A1
3
xb
I −α+−⋅⋅−α+
⋅
= (2.4)
na qual:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 22
x
II
é a altura da linha neutra da seção fissurada, em relação à face comprimida;
I
II
é o momento de inércia da seção fissurada no Estádio II.
d
h
d'
b
A
s
A'
s
x
II
C.G. da seção
homogeneizada
L.N.
Figura 2.11 - Seção transversal fissurada
b) Momento de Fissuração
O momento de fissuração pode ser definido como aquele que provoca a primeira
fissura em uma peça de concreto submetida à flexão. Nesse ponto, a tensão de tração atuante
atinge a resistência do concreto à tração.
De acordo com a Resistência dos Materiais, o momento fletor atuante em uma seção
é dado por:
y
I
M
σ⋅
= (2.5)
sendo:
σ a tensão de flexão atuante na seção;
I o momento de inércia de seção;
y a distância da fibra mais comprimida à linha neutra.
A partir da eq.(2.5), pode-se escrever o momento de fissuração como:
t
ctmc
r
y
fI
M
⋅
= (2.6)
na qual:
I
c
é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
f
ctm
é o módulo de ruptura do concreto, ou a resistência do concreto à tração na flexão;
y
t
é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 23
Pode-se observar que, como já comentado, é permitido o uso do momento de inércia
da seção bruta de concreto no lugar do momento de inércia da seção homogeneizada, I
I
.
Entretanto, segundo o ACI 435.2R (1966), o uso de I
c
fornece bons resultados apenas para
vigas pouco fissuradas e com baixas taxas de armadura, podendo provocar uma
subestimativa dos deslocamentos se aplicado em outros casos.
c) Momento de Inércia Efetivo
Como visto anteriormente, ao longo de um vão de um elemento fletido em concreto
armado, encontram-se seções fissuradas e não fissuradas, com o concreto íntegro entre as
fissuras colaborando para a rigidez da peça. Pode-se concluir, então, que existem seções nas
quais o momento de inércia será menor do que o momento de inércia da seção não fissurada
homogeneizada, e maior do que o momento de inércia da seção fissurada homogeneizada.
Visando à avaliação da influência da fissuração e da colaboração do concreto
tracionado entre as fissuras no momento de inércia da seção transversal, BRANSON (1965)
realizou um estudo experimental em vigas retangulares e T, simplesmente apoiadas e
contínuas, submetidas a carregamentos uniformemente distribuídos e de curta duração.
Baseado nos resultados de seus ensaios e nos de outros pesquisadores, ele sugeriu a
utilização de um valor médio de momento de inércia, compreendido entre o momento de
inércia da seção não fissurada I
c
e o da seção fissurada homogeneizada I
II
, chamado de
momento de inércia efetivo, dado por:
cII
m
r
c
m
r
e
I I
M
M
1I
M
M
I ≤⋅
−+⋅
= (2.7)
sendo:
M
r
o momento de fissuração;
M o momento fletor atuante na seção transversal;
I
c
o momento de inércia da seção bruta de concreto;
I
II
o momento de inércia da seção de concreto fissurada, no Estádio II;
m a potência que define se o momento de inércia está sendo calculado para seções
individuais ou para todo um vão.
Para a determinação do momento de inércia efetivo em seções individuais de um vão
qualquer, a potência m da eq.(2.7) deve ser igual a 4. Já para um valor médio correspondente
a todas as seções ao longo do comprimento do vão, a potência m deve ser igual a 3, e a
eq.(2.7) passa a ser escrita como:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 24
cII
3
máx
r
c
3
máx
r
e
I I
M
M
1I
M
M
I ≤⋅
−+⋅
= (2.8)
na qual M
máx
é o momento fletor máximo atuante no vão.
O ACI 435.2R (1966) e NAWY (1996) recomendam, principalmente para vigas com
altas taxas de armadura, o uso do momento de inércia da seção não fissurada homogeneizada
I
I
, dado pela eq.(2.2), em vez de I
c
na eq.(2.8).
No caso de vigas contínuas, os momentos de inércia efetivos para as regiões de
momento positivo e negativo normalmente não têm o mesmo valor. Ainda assim, o ACI
435.5R (1973), permite considerar apenas o momento de inércia da seção do meio do vão,
desprezando os momentos negativos nos apoios, já que, muitas vezes, a seção que governa
os deslocamentos é a central. Entretanto, também fornece outras opções, podendo-se obter o
valor do momento de inércia efetivo por tramo a partir de:
• uma média ponderada entre o momento de inércia efetivo da região de momento
positivo e o da região de momentos negativos nos apoios, dada por:
(
)
2e1eme
I I 15,0I 70,0I +⋅+⋅= (2.9)
na qual, I
m
é o momento de inércia efetivo para a seção do meio do vão e I
e1
e I
e2
são, respectivamente, o momento de inércia efetivo da seção do apoio esquerdo e o
momento de inércia efetivo da seção do apoio direito.
• uma média simples entre o momento de inércia efetivo da região de momento
positivo e o da região de momentos negativos nos apoios, dada por:
( )
2
I I
2
1
I
I
2e1em
e
+⋅+
= (2.10)
É importante ressaltar que, apesar de ser bastante empregada, a eq.(2.8) apresenta
algumas limitações. Além de não considerar a influência de alguns parâmetros importantes,
há situações em que a sua utilização não conduz a bons resultados.
Os ensaios de AL-ZAID et al. (1991), por exemplo, mostram que o tipo de
carregamento aplicado em vigas pode influir nos valores de I
e
. Ao contrário do que indica a
eq.(2.8), os momentos de inércia efetivos variaram para vigas iguais, submetidas ao mesmo
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 25
momento fletor, apenas com a diferença de que, em algumas, atuavam cargas concentradas, e
em outras, cargas distribuídas. Os valores calculados de I
e
ficaram mais próximos dos
experimentais obtidos com a carga distribuída, sendo até 25% menores que os obtidos para
cargas concentradas. Tentando minimizar esse problema, AL-ZAID et al. (1991) sugerem
que a potência m da eq.(2.7) tenha valores diferentes para cada tipo de carregamento.
Já os ensaios de AL-SHAIKH & AL-ZAID (1993) para vigas mostram a grande
influência da taxa de armadura no momento de inércia efetivo. Percebeu-se que, quanto
maior a taxa de armadura, maiores os valores de I
e
. Nesses ensaios foram obtidos valores de
I
e
até 55% maiores que os valores calculados utilizando-se a eq.(2.8), para peças densamente
armadas. AL-SHAIKH & AL-ZAID (1993) ainda comentam que, mesmo se utilizando o
momento de inércia da seção não fissurada homogeneizada I
I
na eq.(2.8), o efeito total da
armadura não é suficientemente considerado. A solução apresentada por eles é que a
potência m da eq.(2.7) passe de uma constante para uma expressão em função da taxa de
armadura.
GHALI (1993) e SHERIF & DILGER (1998) mostram que a eq.(2.8) não fornece
bons resultados para os casos de momentos atuantes muito próximos do momento de
fissuração e para os casos de elementos com taxas de armadura muito baixas, nos quais os
deslocamentos são subestimados. Não há boa aproximação de resultados também para os
casos de vigas com momentos constantes ao longo da maior parte do vão, como conclui
GHALI (1993).
Apesar dessas considerações, a eq.(2.8) pode fornecer uma boa estimativa dos
valores do momento de inércia efetivo, principalmente para elementos com taxas de
armadura de tração superiores a 0,6%, e submetidos a um momento máximo
significativamente maior que o momento de fissuração, como comenta GILBERT (1999).
2.3.2 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS IMEDIATOS
O deslocamento imediato é função, principalmente, do tipo e da grandeza do
carregamento aplicado, do nível de fissuração, do comprimento do vão, das condições de
apoio, das propriedades geométricas da seção transversal e das propriedades dos materiais,
aço e concreto. Além disso, é calculado de formas diferentes para elementos lineares, como
vigas e lajes armadas em uma direção, e elementos bidimensionais, como lajes armadas em
duas direções.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 26
a) Vigas e Lajes Armadas em uma Direção
Para vigas e lajes armadas em uma direção, o cálculo dos deslocamentos imediatos
pode ser efetuado desde que se conheçam ou se possam estimar as relações momento-
curvatura das seções desses elementos.
A curvatura de uma seção pode ser definida como a mudança do ângulo entre as
extremidades de uma unidade de comprimento do elemento. É dada pelo inverso do raio de
curvatura da seção, 1/r, e é função do momento fletor atuante, como pode ser visto na Figura
2.5.
A rotação total entre dois pontos quaisquer ao longo do comprimento de um
elemento será dada, então, pelo somatório das rotações relativas de todas as seções existentes
entre eles. Este somatório pode ser representado pela integral da curvatura entre os dois
pontos, ou seja:
dx
r
1
∫
=θ (2.11)
onde θ é a mudança de ângulo entre os pontos.
Na Figura 2.12, tem-se representado um trecho da seção longitudinal de um
elemento, dividido em segmentos delimitados pelos pontos 1, 2, 3 e 4. Nota-se que o
deslocamento final na extremidade (ponto 4), em relação à posição inicial, é dado por:
xix3x2x1
a δθΣ=δθ+δθ+δθ=
ou
∫
θ= dx a (2.12)
Assim, substituindo-se a eq.(2.11) na eq.(2.12), tem-se o deslocamento total a, dado
por:
∫∫
= dx
r
1
a (2.13)
sendo 1/r a curvatura de cada seção considerada.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 27
θ
1
θ
2
θ
3
1
2
3
4
δ
x
δ
x
δ
x
1
a
a
2
a
3
a
Figura 2.12 - Deslocamentos decorrentes da rotação dos segmentos de um vão
(BEEBY, 1999)
Com base nos conceitos da Resistência dos Materiais, admitindo-se um material
homogêneo com comportamento elástico e linear, e também a hipótese de que as seções
planas antes da deformação permanecem planas após a deformação, a curvatura pode ser
escrita como:
EI
M
r
1
= (2.14)
sendo:
M o momento fletor atuante na seção;
E o módulo de elasticidade do material;
I o momento de inércia da seção transversal.
Para o material concreto armado, o estado de fissuração do elemento exerce
importante influência na curvatura, devido à variação do momento de inércia das seções
transversais, já comentada anteriormente. Por isso, assim como foi adotado para o momento
de inércia, deve-se utilizar uma curvatura média, definida entre as curvaturas
correspondentes às seções não fissuradas, no Estádio I, e às seções fissuradas, no Estádio II.
Esse valor médio deve levar em consideração a colaboração do concreto íntegro existente
entre as fissuras (tension stiffening), representando melhor o comportamento da peça
fissurada.
Para a avaliação do comportamento intermediário entre o Estádio I e II, considere-se,
inicialmente, um elemento em concreto armado submetido a um esforço axial de tração N,
como ilustrado na Figura 2.13. Ele não apresentará fissura enquanto a tensão de tração
provocada por N for menor que a resistência à tração do concreto. Portanto, a primeira
fissura ocorrerá quando:
(
)
[
]
Ictsecctr
A f A 1 A fNN =−α+==
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 28
na qual:
N
r
é o valor do esforço axial que produz a primeira fissura,
f
ct
é a resistência à tração direta do concreto,
A
c
é a área de concreto,
A
s
é a área de aço,
α
e
é a entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade secante do
concreto,
A
I
é a área da seção homogeneizada, no Estádio I.
Figura 2.13 – Tensões em um elemento de concreto armado fissurado e submetido
à tração direta
Imediatamente antes de ocorrer a primeira fissura, a seção está no Estádio I, assim, a
tensão no concreto é igual à sua resistência à tração f
ct
, e a tensão no aço é igual a α
e
f
ct
. Logo
após o início da fissuração, a seção da primeira fissura tem comportamento típico do Estádio
II, ou seja, a tensão de tração no concreto se anula, e toda a tração passa a ser resistida pela
armadura, que sofre uma deformação maior que a do concreto adjacente, o que resulta na
abertura da fissura. Neste instante, a tensão na armadura σ
sr
vale:
s
r
sr
A
N
=σ
Fora da fissura, a contribuição do concreto íntegro tende a diminuir a deformação do
aço, e a uma distância s
r
ocorre uma nova fissura.
Tensões na armadura
Tensões de aderência
Tensões no concreto
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 29
Para N > N
r
, a seção está no Estádio II, a tensão no concreto é nula, e a tensão e a
deformação na armadura são dadas por:
s
2s
A
N
=σ
ss
2s
AE
N
=ε
na qual:
σ
s2
é a tensão na armadura em uma seção fissurada, com N > N
r,
ε
s2
é a deformação da armadura em uma seção fissurada, com N > N
r,
Es é o módulo de elasticidade do aço.
Observa-se que entre fissuras consecutivas, a tensão de tração no concreto é menor
que a sua resistência à tração, e a tensão no aço é menor que σ
s2
. Deste modo, a deformação
na armadura varia ao longo do elemento, de um valor máximo em uma seção fissurada, a um
valor mínimo na seção onde é maior a colaboração do concreto. Pode-se considera-la com
um valor médio de:
l
l∆
=ε
sm
sendo:
ε
sm
a deformação média da armadura,
l é o comprimento o elemento,
∆l é o alongamento do elemento.
Fica evidente que essa deformação média da armadura ε
sm
é menor que a
deformação da armadura em uma seção fissurada ε
s2
, tem-se:
s2ssm
ε∆−ε=ε (2.15)
na qual, ∆ε
s
é a redução na deformação da armadura devido à colaboração do concreto entre
fissuras para a resistência à tração.
Na Figura 2.14, tem-se a representação gráfica da variação da deformação média da
armadura com a força N. Percebe-se que ela está situada entre duas retas que representam as
deformações da armadura no o Estádio I e para o Estádio II. Vale ressaltar que para a reta
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 30
correspondente ao Estádio I é considerada uma situação hipotética para a armadura, na qual
o Estádio I continua mesmo para N > N
r
. E a deformação da armadura neste estádio pode ser
expressa por:
( )
[ ]
Icsecc
1c1s
AE
N
A1AE
N
=
−α+
=ε=ε
σ
sr
N
s2
σN
N
r
∆ε
s max
∆ε
s
sm
ε
s
ε
ε =
s1
N
E A
c 1
s
E A
s
ε =
s2
N
l ∆l = ε l
sm
N N
A
s
σ
s
(Estádio II)
(Estádio I)
Figura 2.14 – Variação da deformação da armadura com a carga N
A valor máximo da redução da deformação da armadura provocada pela colaboração
do concreto ocorre no início da fissuração, e segundo o CEB Bulletin d‘Information n.158-E
(1985), tem-se:
2s
sr
maxss
σ
σ
⋅ε∆=ε∆ (2.16)
E, de acordo com a Figura 2.14, pode-se escrever:
( )
2s
sr
1s2smaxs
σ
σ
ε−ε=ε∆ (2.17)
Substituindo-se as eqs. (2.16) e (2.17) na eq. (2.15), obtém-se
2
2s
sr
1s
2
sr
2ssm
2s
1
σ
σ
ε+
σ
−ε=ε
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 31
e, chamando-se:
σ
σ
−=ς
2
2s
sr
1
chega-se a seguinte expressão para a deformação média da armadura:
(
)
s2s1sm
1 ες+ες−=ε (2.18)
sendo ς um coeficiente adimensional que representa o nível de fissuração do elemento, e
tem valor nulo para seções não fissuradas. Pode ser calculado também a partir da expressão:
2
r
2
s
s
r
2
2s
sr
N
N
1
N
A
A
N
11
−=
⋅
−=
σ
σ
−=ς
Portanto, o coeficiente ς é dado por:
2
2s
sr
1
σ
σ
−=ς com σ
s2
> σ
sr
ou,
2
r
N
N
1
−=ς com N > N
r
Para levar em consideração as propriedades de aderência das barras da armadura, e,
também, a influência da duração e da repetição do carregamento, o CEB-FIP (1978)
introduziu os coeficientes β
1
e β
2
na expressão do coeficiente ς, ou seja:
2
r
21
2
2s
sr
21
N
N
11
ββ−=
σ
σ
ββ−=ς
na qual:
β
1
é o coeficiente que leva em consideração a aderência da armadura,
β
2
é o coeficiente que leva em consideração o carregamento.
Admitindo que a fissuração tenha um efeito na curvatura das seções semelhante ao
seu efeito na deformação por tração axial, a partir da eq. (2.18), a curvatura média das seções
de um elemento submetido à flexão simples é igual a:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 32
21
r
1
r
1
)1(
r
1
ζ+
ζ−=
(2.19)
na qual:
1
r
1
é a curvatura correspondente a seções no estádio I, dada por:
1c
r
1
I E
M
r
1
=
(2.20)
2
r
1
é a curvatura correspondente a seções no estádio II, dada por:
IIc2
I E
M
r
1
=
(2.21)
M
r
é o momento de fissuração;
M é o momento fletor atuante seção;
I
1
e I
II
são os momentos de inércia das seções homogeneizadas não fissurada e fissurada,
respectivamente;
E
c
é o módulo de elasticidade do concreto;
ζ é um coeficiente adimensional que representa o nível de fissuração, e é dado por:
≥
ββ−=ζ
≤=ζ
;MM para
M
M
1
;MM para 0
r
2
r
21
r
β
1
é o coeficiente que leva em consideração a aderência da armadura, e vale:
=β
=β
lisas; barras para 5,0
aderência; alta de barras para 0,1
1
1
β
2
é o coeficiente que leva em consideração o carregamento, e vale:
=β
=β
. ciclos de número grande um comou duração longa de cargas para 5,0
to;carregamen primeiro para 0,1
2
2
Alguns pesquisadores como GHALI & FAVRE (1986) e GHALI (1993), e algumas
normas como o CEB-FIP (1991) e o EUROCODE (1992), apresentam expressões para o
cálculo da curvatura média.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 33
Para a determinação dos deslocamentos segundo a curvatura média, seria necessária
uma dupla integração ao longo de todo o vão do elemento, como indica a eq.(2.13). Este
processo, entretanto, nem sempre é de fácil execução manual, e muitas vezes necessita da
utilização de técnicas numéricas. BEEBY (1999), inclusive, apresenta os passos para a
elaboração de uma planilha para o cálculo dos deslocamentos em vigas a partir da curvatura,
utilizando a Regra do Trapézio.
Com o intuito de evitar o uso de técnicas numéricas complexas e de simplificar o
cálculo dos deslocamentos, costuma-se assumir o concreto armado como um material de
comportamento elástico e linear. Sendo assim, a curvatura pode escrita de acordo com a
eq.(2.14). Substituindo-se essa equação na eq.(2.13), e fazendo as integrações, para todo o
comprimento, pode-se escrever o deslocamento máximo de uma viga como:
I
E
M
a
2
max
l
β= (2.22)
sendo l o comprimento do vão da viga, e β um coeficiente que depende das condições de
apoio e de carregamento. Por exemplo, β = 5/48 para viga simplesmente apoiada e
uniformemente carregada, e β = 1/4 para vigas em balanço e uniformemente carregadas.
Esse tipo de procedimento simplificado torna-se bastante interessante em termos
práticos, já que permite que as expressões para o cálculo dos deslocamentos sejam tabeladas
em função do tipo de carregamento e das condições de apoio. E apesar de o concreto
armado, quando fissurado, não apresentar mais um comportamento elástico, a utilização da
eq.(2.18) fornece bons resultados, desde que a fissuração do concreto seja, de alguma forma,
levada em consideração. Isso pode ser feito a partir da utilização do momento de inércia
efetivo, dado pela eq.(2.8).
Existem outros métodos simplificados para o cálculo de deslocamentos imediatos em
vigas ou lajes armadas em uma direção, como, por exemplo, o Método Bilinear e o Método
dos Coeficientes Globais, fornecidos pelo CEB 158-E (1985). Um resumo de alguns desses
métodos podem ser encontrados em GHALI & FAVRE (1986) e em BEEBY (1999).
b) Lajes Armadas em duas Direções
Assim como para as vigas e lajes armadas em uma direção, a determinação dos
deslocamentos imediatos em lajes armadas em duas direções também deve considerar as
condições de apoio e a fissuração da peça, além dos demais fatores anteriormente
mencionados. Entretanto, as dificuldades encontradas para esses elementos são bem maiores
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 34
que para os elementos lineares, especialmente devido ao seu comportamento bidimensional,
como explica o ACI 435.6R (1974).
Segundo PARK & GAMBLE (2000), as dificuldades principais são a estimativa de
um valor de rigidez à flexão a ser utilizado e a determinação de uma expressão simples para
o deslocamento imediato.
Quanto ao valor da rigidez à flexão a ser utilizado, o ACI 318 (2002) permite a
consideração do momento de inércia efetivo dado pela própria eq.(2.8), apesar dela ter sido
desenvolvida com base em ensaios de vigas de seções retangulares ou T. Entretanto,
GILBERT (1985) lembra que os momentos atuantes nessas vigas ensaiadas eram
aproximadamente o dobro de seus momentos de fissuração, situação não usual para lajes
armadas em duas direções. Nelas, os momentos atuantes são apenas pouco superiores aos de
fissuração. Assim, os valores de I
e
calculados com a eq.(2.8) seriam muito próximos dos
valores da inércia da seção bruta de concreto, podendo levar à subestimativa dos
deslocamentos.
Além disso, SCANLON & MURRAY (1982) ressaltam que a restrição à livre
retração, causada pela armadura e pelos apoios, é bem mais significativa nessas lajes que nas
vigas, e pode provocar a fissuração antes mesmo da aplicação de cargas. Para contornar esse
problema, o ACI 435.9R (1985) sugere uma redução de aproximadamente 50% no valor da
resistência à tração na flexão utilizada no cálculo do momento de fissuração, o que leva a
uma diminuição do valor de I
e
, e, conseqüentemente, a um aumento dos deslocamentos
calculados. Esses deslocamentos, segundo TAM & SCANLON (1986), têm apresentado uma
boa correlação com deslocamentos medidos em campo, demonstrando assim a validade do
procedimento sugerido.
Já para o cálculo dos deslocamentos imediatos, embora vários métodos possam ser
utilizados, poucos conduzem a expressões simples. Um deles é o método clássico baseado na
Teoria da Elasticidade, cuja equação geral, que governa o comportamento força-
deslocamento das placas, pode ser escrita como:
D
p
yyx
2
x
4
4
22
4
4
4
=
∂
δ∂
+
∂∂
δ∂
+
∂
δ∂
(2.23)
sendo:
x, y os eixos coordenados;
δ o deslocamento da placa;
p a ação transversal por unidade de área;
D a rigidez à flexão por unidade de largura, dada por:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 35
)-(1 12
h E
D
2
3
υ
=
E o módulo de elasticidade do concreto;
h a espessura da placa;
ν o coeficiente de Poisson.
Para lajes retangulares com carregamento uniformemente distribuído, por exemplo,
sua solução é dada por:
3
424
h E
p )-(1 12
C
D
p
C a
ll υ
== (2.24)
na qual C é um coeficiente que depende das condições de contorno e da relação entre os vãos
da laje.
Como os valores típicos do coeficiente de Poisson para o concreto variam de 0,15 a
0,25, o termo (1-ν
2
) vale de 0,94 a 0,98. Portanto, a influência deste parâmetro é muito
pequena e a sua desconsideração acarreta um erro final de 2 a 6%. Desprezando-o, a
eq.(2.24) pode ser reescrita como:
3
4
hE
p
a
l
α= (2.25)
sendo α um coeficiente semelhante a C, que depende das condições de contorno e da relação
entre os vãos da laje, cujos valores podem ser encontrados em vários trabalhos como
PINHEIRO (1993). Colocando-se essa expressão em função da rigidez à flexão, tem-se:
EI
12
bp
a
4
l
α= (2.26)
sendo:
b a largura da base da seção transversal;
I o momento de inércia da seção transversal.
Embora o método clássico possa conduzir a expressões simples como a eq.(2.22), ele
só fornece soluções para alguns casos de condições de contorno e forma de painéis. Para
soluções mais gerais, pode-se adotar o método dos elementos finitos, cuja utilização vem
crescendo com a popularização dos computadores. Os programas baseados neste método
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 36
permitem o cálculo dos deslocamentos em lajes com formas, condições de contorno e
carregamentos quaisquer. OLIVEIRA (2001), DOTREPPE et al (1973), JOFRIET &
MCNEICE (1971) e ZIENKIEWICZ (1977), dentre outros, apresentam procedimentos para
a determinação dos deslocamentos utilizando este método.
Outros métodos para a determinação dos deslocamentos em lajes podem ser
encontrados no ACI 435.6R (1974), no ACI 435.9R (1991), em GHALI & FAVRE (1986)
e em SILVANY (1996), dos quais destacam-se o das vigas cruzadas, o dos pórticos
equivalente, e o da analogia de grelha.
2.3.3 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DIFERIDOS NO TEMPO
A consideração dos deslocamentos diferidos no tempo é de fundamental importância
para a avaliação dos deslocamentos finais, pois seus valores são usualmente maiores que os
da parcela imediata. Eles são causados, principalmente, pela retração e pela fluência do
concreto.
Uma forma de se calcular os deslocamentos é a partir da deformação. Para um
elemento de concreto submetido, em um instante inicial t
0
, à uma tensão constante σ(t
0
), a
deformação total em um instante t, é composta pelas seguintes parcelas:
)t,t()t,t()t()t(
0cs0cc0cic
ε+ε+ε=ε (2.27)
sendo:
ε
cc
(t,t
0
) a deformação devida à fluência do concreto, no período de t
0
a t,
ε
cs
(t,t
0
) a deformação devida à retração do concreto, no período de t
0
a t,
ε
ci
(t
0
) a deformação inicial no instante t
0
, dada por:
)t(E
)t(
)t(
0ci
0
0ci
σ
=ε
σ(t
0
) a tensão no instante t
0
,
E
ci
(t
0
) o módulo de elasticidade tangente do concreto no instante t
0
.
Os cálculos das deformações causadas pela fluência e pela retração, de acordo com o
CEB-FIP (1991), são apresentados nos itens a seguir. Existem vários trabalhos que
apresentam tais cálculos, como os GHALI & FAVRE (1986), BAZANT (2001) e GILBERT
(2001), dentre outros, além, é claro, dos fornecidos por normas de cálculo como o FIB
(1999) e o EUROCODE 2 (1992). Entretanto, optou-se por apresentar o modelo do CEB-FIP
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 37
(1991), pois é o utilizado no programa de análise estrutural ANPAV, que será empregado
para as análises dos deslocamentos neste trabalho.
a) Cálculo da deformação por Fluência
A deformação devida à fluência é determinada, segundo o CEB-FIP (1991), por:
)t,t(
E
)t(
)t,t(
0
28,ci
0c
0cc
φ⋅
σ
=ε (2.28)
na qual:
E
ci,28
é o módulo de elasticidade do concreto a 28 dias com a temperatura de 20 °C e a
umidade relativa maior que 95%,
φ(t,t
0
) é o coeficiente de fluência.
O coeficiente de fluência é dado por:
)tt( )t(t,
0c00
−βφ=φ (2.29)
sendo φ
0
o valor de referência do coeficiente de fluência para a idade t
0
e β
c
(t-t
0
) é um
coeficiente que define o desenvolvimento da fluência ao longo do tempo. Seus valores são
calculados a partir das seguintes expressões:
)t()f(
0cmHR0
β⋅β⋅φ=φ (2.30)
sendo:
3/1
HR
h215,0
100
HR
1
1
⋅
−
+=φ
5,0
cm
cm
100
f
3,5
)f(
=β
2,0
f0
0
)t(1,0
1
)t(
+
=β
E,
3,0
0H
0
0c
tt
tt
)tt(
−+β
−
=−β (2.31)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 38
sendo:
1500 250
100
h
100
HR
1,21 150
18
H
≤+
+=β
na qual:
HR é a umidade relativa do ambiente onde se situa a estrutura, em %,
f
cm
é a resistência do concreto aos 28 dias,
h é a altura equivalente, dada por:
u
A 2
h
c
= (2.32)
A
c
é a área da seção transversal do elemento,
u é o perímetro da seção transversal em contato com o ambiente,
t
0f
é idade de aplicação do carregamento corrigida em função da temperatura, de acordo
com:
∑
=
=
−
∆+
−
∆=
ni
1i
13,65
)t(T273
4000
iT
i
ett (2.33)
dias 0,5 1
)(t2
9
tt
5,0
T0,
T,0f0
≥
+
+
=
α
t
T
é a idade corrigida com a temperatura,
T(∆t
i
) é a temperatura durante o período ∆t
i
,
∆t
i
é o período em que ocorre a temperatura T(∆t
i
),
t
0,T
é a idade de aplicação do carregamento, corrigida de conforme a eq.(2.33).
α é um coeficiente que depende do tipo de cimento:
α = -1 para cimento de endurecimento lento,
α = 0 para cimento de endurecimento normal,
α = 1 para cimento de alta resistência inicial e endurecimento rápido.
b) Cálculo da deformação por Retração
A deformação causada pela retração que se desenvolve desde um instante de
referência, t
s
, até o instante t, pode ser estimada, segundo o CEB-FIP (1991), a partir de:
)tt()t,t(
ss0csscs
−β⋅ε=ε (2.34)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 39
na qual:
t é idade do concreto no momento em que se calculam as deformações,
t
s
é a idade do concreto em começa a retração,
ε
cs0
é o valor de referência da retração,
β
s
(t,t
s
) é a função de evolução da retração com o tempo.
O valor de referência para a retração é calculado pela expressão:
HRcmc0cs
)f( β⋅ε=ε (2.35)
com:
6
0cm
cm
sccmc
10
f
f
-9 10160)f(
−
⋅
β+=ε
e,
−−=β
3
HR
100
HR
155,1
para 40% = HR < 99%
25,0
HR
=β para HR = 99%
sendo:
f
cm
a resistência média à compressão do concreto aos 28 dias,
f
cm0
= 10 MPa,
β
sc
o coeficiente que leva em consideração o tipo do cimento, e vale:
β
sc
= 4 para cimentos de endurecimento lento,
β
sc
= 5 para cimento de endurecimento normal,
β
sc
= 8 para alta resistência inicial e endurecimento rápido.
HR a umidade relativa do ambiente onde se situa a estrutura, em %.
E a função que leva em consideração a evolução da retração com o tempo vale:
5,0
s
2
s
ss
tth035,0
)tt(
)tt(
−+
−
=−β
com h igual a espessura equivalente, conforme definida anteriormente.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 40
c) Processos Simplificados
A determinação dos deslocamentos diferidos a partir das deformações requer maior
esforço de cálculo, exigindo, em algumas situações, soluções numéricas mais complexas.
Entretanto, existem vários processos mais simplificados para o cálculo desses
deslocamentos. Alguns deles são comentados a seguir.
O método do módulo de elasticidade efetivo permite a determinação de
deslocamentos que já englobam tanto a parcela imediata como a devida à fluência. Para isso,
podem-se adotar as expressões utilizadas para a determinação dos deslocamentos imediatos,
apenas substituindo-se o módulo de elasticidade do concreto por um módulo de elasticidade
reduzido, dado por:
t
c
ef,c
1
E
E
φ+
= (2.36)
sendo:
E
c,ef
o módulo de elasticidade efetivo do concreto;
E
c
o módulo de elasticidade do concreto;
φ
t
o coeficiente de fluência, conforme item 2.3.3a)
Um método empírico muito utilizado para o cálculo dos deslocamentos diferidos
consiste em considerar os efeitos do tempo através da majoração do deslocamento imediato
por um coeficiente multiplicador, ou seja:
id
aa ⋅λ= (2.37)
sendo:
a
d
o deslocamento diferido;
a
i
o deslocamento imediato;
λ o coeficiente multiplicador dos deslocamentos imediatos.
Os primeiros coeficientes multiplicadores desenvolvidos com uma base experimental
foram propostos por YU & WINTER (1960). Segundo eles, esses multiplicadores variavam
de caso para caso, e dependiam da duração da carga aplicada e das armaduras de compressão
e de tração do elemento.
Com base nesses estudos, BRANSON (1971) sugeriu uma expressão para o cálculo
dos multiplicadores, dada por:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 41
'501
T
ρ+
=λ (2.38)
na qual:
λ é o coeficiente multiplicador dos deslocamentos imediatos;
T é um coeficiente compreendido entre 0 e 2, função da duração da carga;
ρ’ é a taxa de armadura de compressão.
Esta expressão, por ser bastante simplificada, não leva em conta a influência de
alguns fatores importantes.
Os ensaios de PAULSON et al. (1991), por exemplo, indicam que a influência da
taxa de armadura de compressão, e os valores dos próprios deslocamentos finais, variam com
a resistência do concreto à compressão. Para vigas ensaiadas sem armadura de compressão,
quanto maior o f
ck
, maior a superestimativa dos deslocamentos pela eq.(2.38). É que o
aumento do f
ck
influiu significativamente na redução dos deslocamentos diferidos no tempo.
Resultado semelhante, ainda que em escala bem menor, foi obtido para vigas com armaduras
de compressão. Com isso, observou-se que, para resistências mais altas, a influência da
armadura de compressão na redução desses deslocamentos não é tão efetiva como para
resistência mais baixas. A solução apresentada por PAULSON et al. (1991) para refletir os
efeitos tanto da resistência do concreto como da taxa de armadura de compressão nos
deslocamentos diferidos no tempo, foi a introdução de fatores de correção no numerador e no
denominador da eq.(2.38). Procedimento similar é proposto por SHERIF & DILGER (1998).
Já os resultados de GRAHAM & SCANLON (1986) mostram que, para lajes
armadas em duas direções, os deslocamentos diferidos são maiores que os previstos pela
eq.(2.38). O ACI 435.9R (1991) também chama atenção para esse fato. Algumas possíveis
razões podem ser apontadas, como a maior retração desses elementos e a fissuração
prematura provocada pelas ações de construção, fatores não considerados nessa expressão.
Além disso, o próprio BRANSON (1971) comenta que a eq.(2.38) não apresenta bons
resultados para elementos com baixas taxas de armadura, que é o caso de lajes. GRAHAM &
SCANLON (1986) sugerem, então, o aumento dos valores do multiplicador para as lajes
armadas nas duas direções.
Um outro método para a determinação dos deslocamentos diferidos é o cálculo em
separado das parcelas devidas à retração e à fluência. Para vigas e lajes armadas em uma
direção, o ACI 435R (1995) fornece um procedimento deste tipo, baseado em BRANSON
(1965, 1977), para o qual:
(
)
susccr
δλ=δ (2.39)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 42
e,
(
)
2t
sh
shsh
2
shshsh
h
A k k ll
ε
=φ=δ (2.40)
na qual:
δ
cr
é o deslocamento devido à fluência;
δ
sh
é o deslocamento devido à retração;
δ
sus
é o deslocamento imediato devido às cargas de longa duração;
λ
c
é o coeficiente multiplicador do deslocamento devido às cargas de longa duração,
dado por:
' 501
85,0
t
c
ρ+
φ
=λ (2.41)
φ
t
é o coeficiente de fluência;
ρ’ é a taxa de armadura de compressão;
k
sh
é um coeficiente que leva em consideração as condições de apoio do elemento, cujos
valores, em função das condições de apoio dos vãos, são:
= 0,50 para vãos em balanço;
= 0,13 para vãos simplesmente apoiados;
= 0,09 para vãos com uma extremidade contínua em elementos contínuos com
vários vãos;
= 0,08 para vãos com uma extremidade contínua em elementos contínuos com dois
vãos;
= 0,07 para vãos com ambas as extremidades contínuas;
φ
sh
é a curvatura devida à retração;
l é o vão do elemento;
A
sh
é uma função das taxas de armadura de compressão e de tração, sendo:
( )
2/1
3/1
sh
'-
'- 7,0A
ρ
ρρ
ρρ= para ρ - ρ’ ≤ 3 %
3/1
sh
?70,A = para ρ’ = 0
0,1A
sh
= para ρ - ρ’ > 3 %
(ε
sh
)
t
é a deformação por retração livre.
h é a altura da seção transversal;
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 43
Segundo FANELLA et al (1999), para valores médios, o coeficiente de fluência e a
deformação por retração livre podem ser considerados iguais a 1,6 e -400×10
-6
,
respectivamente. Entretanto, o ACI 209R (1992) fornece expressões para o cálculo desses
parâmetros em função de diversos fatores como condições do ambiente e características do
concreto, dentre outras.
Embora as eqs.(2.39) e (2.40) tenham sido determinadas para vigas e lajes armadas
em uma direção, segundo o ACI 435R (1995), elas podem ser utilizadas para lajes armadas
em duas direções.
Outros procedimentos para a determinação dos deslocamentos diferidos em
elementos fletidos podem ser encontrados em GHALI & FAVRE (1986), CLARKE et al.
(1988) e GILBERT (2001), dentre outros. E os procedimentos recomendados por algumas
normas serão apresentados no item 2.6.
2.4 CONTROLE DOS DESLOCAMENTOS
Para se garantir que uma estrutura mantenha suas condições de utilização em
serviço, no que diz respeito tanto ao conforto dos usuários, quanto à segurança, à
funcionalidade, à durabilidade e à aparência, deve-se verificar o estado limite de
deslocamentos excessivos. E para evitar que esse estado limite seja atingido, deve-se fazer o
controle dos deslocamentos.
O objetivo do controle dos deslocamentos é se garantir que uma estrutura ou um
elemento estrutural, apesar de apresentar deslocamentos em relação à sua posição inicial,
possa atender a critérios mínimos de aceitação, tanto do ponto de vista estrutural quanto
estético. Para isso, podem ser utilizados dois procedimentos: ou o cálculo dos deslocamentos
e posterior comparação com valores limites, ou a determinação de uma altura mínima que
dispense o cálculo dos deslocamentos, mas garanta que os deslocamentos não causem danos
à edificação.
2.4.1 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS
Uma forma de se verificar o estado limite de deslocamentos excessivos é se calcular
os deslocamentos em cada elemento, e compará-los com valores limites pré-definidos para
cada tipo de situação.
A aplicação desse procedimento torna-se um pouco complicada, não só pela
dificuldade de se considerarem diversos fatores de forma consistente, para que a estimativa
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 44
dos deslocamentos possa fornecer bons resultados, mas também pelo estabelecimento de
valores limites razoáveis para cada situação, uma vez que eles variam em função do tipo de
edificação, da sensibilidade de aparelhos ou equipamentos que se apóiam no elemento
estrutural, da presença ou não de paredes, do tipo de revestimento das paredes e dos forros e,
ainda, da capacidade que esses elementos não estruturais vinculados à estrutura têm de
absorver os deslocamentos, sem que haja perda da funcionalidade e da estética.
Em função dos efeitos que os deslocamentos podem causar nos elementos,
estruturais ou não, de uma edificação, os valores limites podem ser separados em quatro
grupos: a aceitabilidade sensorial, a interferência no uso da estrutura, os danos aos elementos
não estruturais e os efeitos indesejáveis em elementos estruturais. Os valores usualmente
empregados para todos esses casos são obtidos com base na experiência ao longo dos anos, e
os resultados apresentados são, na maioria das vezes, satisfatórios.
a) Aceitabilidade Sensorial
A aceitabilidade sensorial está relacionada ao desconforto dos usuários ao
perceberem deslocamentos excessivos em elementos visíveis e ao sentirem vibrações nos
pisos. Essas sensações tendem a diminuir a confiança das pessoas na segurança da estrutura,
mesmo quando não existem implicações desse tipo. Por isso, atenção especial deve ser dada
a elementos que ficam aparentes na estrutura, nos quais os deslocamentos não devem ser
perceptíveis.
Apesar de serem questões bastante subjetivas ou relacionadas ao uso da estrutura,
alguns valores limites de deslocamentos relacionados à aceitabilidade sensorial são sugeridos
por normas de cálculo de estruturas de concreto armado.
b) Interferências no Uso das Estruturas
As interferências no uso de uma estrutura se aplicam a casos bastante particulares em
que os deslocamentos excessivos podem causar problemas, por exemplo, ao alinhamento de
equipamentos sensíveis apoiados nos elementos estruturais, ao desenvolvimento de
atividades previstas ou à drenagem de lajes de piso ou cobertura. Outro exemplo é o caso de
vigas de apoio de pontes rolantes, cujos deslocamentos excessivos podem provocar
problemas no deslizamento e dificuldades de controle de velocidade.
Apenas para alguns desses casos, as normas de cálculo sugerem valores limites para
os deslocamentos. Entretanto, podem ser consideradas especificações particulares de
equipamentos, fornecidas pelos próprios fabricantes.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 45
c) Danos em Elementos não Estruturais
Os danos em elementos não estruturais podem variar desde fissuras em paredes e
problemas de funcionamento de portas e janelas, à quebra de elementos de vidro e
rachaduras em forros. Isso ocorre porque os elementos não estruturais, devido à sua rigidez,
podem não conseguir acompanhar a curvatura das vigas e lajes em que se apóiam.
As normas de cálculo fornecem alguns valores limites para os deslocamentos dos
elementos estruturais, de acordo com o tipo de elemento não estrutural que neles se apóiem.
d) Efeitos em Elementos Estruturais
Os efeitos indesejáveis em elementos estruturais, causados por deslocamentos
excessivos, podem ser bastante significativos, principalmente quando as hipóteses de cálculo
adotadas e o comportamento previsto podem ser modificados. Nesses casos, é necessário se
incorporar os deslocamentos ao modelo utilizado para a determinação dos esforços na
estrutura.
2.4.2 CRITÉRIOS DE ALTURAS MÍNIMAS
Segundo os critérios de altura mínima, admite-se que o estado limite de
deslocamentos excessivos está verificado se a altura da peça for superior a um determinado
limite, que deve ser respeitado independentemente da altura mínima requerida pelo
dimensionamento à flexão. Se esses critérios forem atendidos, o cálculo dos deslocamentos
no elemento estará dispensado.
O valor da altura mínima de uma dada peça é função de diversos parâmetros. Além
do comprimento do vão, da resistência do concreto e da tensão de escoamento do aço das
armaduras, é necessário se definir se o elemento analisado está ligado a algum elemento não
estrutural que possa sofrer dano com os deslocamentos. Há ainda a necessidade de se
distinguir valores diferentes para elementos considerados lineares (vigas e lajes armadas em
uma só direção) e elementos de superfície (lajes armadas nas duas direções).
Apesar de serem métodos mais simplificados, os critérios de altura mínima ainda são
largamente utilizados por sua praticidade. Alguns deles são essencialmente empíricos e
baseados na observação e na experiência adquirida ao longo dos anos para cada tipo de
elemento estrutural; outros, mais recentes, já vêm propondo abordagens mais consistentes.
O ACI 318 (2002) apresenta valores tabelados de alturas mínimas para vigas e lajes
armadas em uma direção, que são determinados em função das condições de apoio e do vão.
Entretanto, a adoção destes valores de alturas mínimas não fornece condições para que o
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 46
projetista possa estimar a ordem de grandeza dos deslocamentos que irão ocorrer no
elemento. Com o intuito de solucionar esta questão, alguns trabalhos fornecem expressões
mais complexas para a obtenção de alturas mínimas, que levam em consideração vários
parâmetros além das condições de apoio, e do comprimento do vão, como as ações atuantes,
o módulo de elasticidade do concreto e o deslocamento limite desejado.
RANGAN (1982), por exemplo, apresenta expressões de alturas mínimas para vigas
e lajes armadas em uma direção, para elementos que apóiam ou não peças não estruturais
que podem se danificar com deslocamentos excessivos. GILBERT (1985) estendeu o estudo
de RANGAN (1982) para lajes armadas em duas direções.
Outras expressões para a determinação da altura mínima de elementos fletidos
podem ser encontradas em GROSSMAN (1981), em HWANG & CHANG (1996), entre
outros.
2.5 CONSIDERAÇÃO DAS AÇÕES
Para o controle dos deslocamentos excessivos, é necessária a consideração das
diversas ações a que estão submetidos os elementos estruturais.
2.5.1 TIPOS DE AÇÕES
As principais ações a que estão submetidas as edificações usuais são as permanentes,
representadas por g, e as variáveis, representadas por q. As ações permanentes são aquelas
que ocorrem com valores praticamente constantes durante a vida útil da edificação. Como
exemplos, podem ser citados o peso próprio da estrutura e dos revestimentos. Já as ações
variáveis, elas apresentam uma variação significativa da sua intensidade durante a vida útil
da edificação, e, como exemplos, têm-se as ações acidentais definidas em função da
utilização da estrutura e a ação do vento.
Vale ressaltar que, em alguns casos, as ações variáveis de construção exercem
influência significativa para os deslocamentos finais, devendo ser consideradas. Isso se deve
a dois fatores principais. O primeiro é a própria ordem de grandeza dessas ações, que podem
valer até o dobro das ações permanentes. E o segundo é a fissuração prematura dos
elementos, decorrente da aplicação de ações consideráveis a pequenas idades, quando os
valores do módulo de elasticidade e da resistência à tração ainda são baixos. Além do
aumento dos deslocamentos iniciais, as ações de construção podem influir nos
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 47
deslocamentos ao longo do tempo, provocados, principalmente, pela fluência, que depende
da idade do concreto quando do primeiro carregamento, como comentado anteriormente.
Assim, para edificações em que já se espera uma influência significativa para as
ações de construção, recomenda-se que esse carregamento seja considerado tanto para o
cálculo dos momentos de inércia efetivos quanto para a determinação dos próprios
deslocamentos. Alguns procedimentos são sugeridos por GRUNDY & KABAILA (1963),
SBAROUNIS (1984), GRAHAM & SCANLON (1985) e pelo ACI 435.9R (1991).
Entretanto, nas fases de concepção e elaboração de um projeto estrutural, nem
sempre se conhece qual será o procedimento construtivo a ser empregado, com quantos dias
será feita a desforma, e se materiais serão armazenados sobre os elementos estruturais, o que
dificulta a consideração das ações devidas ao processo de execução da obra.
Nos casos em que as etapas de construção não são conhecidas, GRAHAM &
SCANLON (1985) sugerem a verificação dos deslocamentos excessivos de lajes
considerando uma ação de construção padrão de pelo menos 2,3 vezes o valor do peso
próprio.
2.5.2 COMBINAÇÃO DE AÇÕES
Algumas normas, como a NBR 6118 (2003), o CEB-FIP (1991), e o EUROCODE
(1992) permitem que as ações permanentes e variáveis sejam combinadas em função da
probabilidade que têm de atuarem simultaneamente durante um determinado período. Com
isso, é possível se conhecerem os efeitos desfavoráveis que têm maior probabilidade de
ocorrência na estrutura.
Para a verificação de estados limites de serviço, costuma-se definir três tipos de
combinação de ações: quase-permanente, freqüente e rara.
Tanto na combinação quase-permanente quanto na combinação freqüente, as ações
permanentes são consideradas com seus valores característicos totais F
g,k
, e as ações
variáveis, com seus valores característicos reduzidos ψF
q,k
, em função do tipo de ação e da
utilização da estrutura. A diferença entre essas duas combinações está no valor do
coeficiente redutor das ações variáveis.
Na combinação quase-permanente, todas as ações variáveis sofrem a mesma
redução, sendo consideradas com seus valores quase-permanentes ψ
2
F
q,k
, conforme a
seguinte expressão:
∑∑
==
⋅Ψ+=
n
1j
k,qjj2
m
1i
k,giser,d
FFF
(2.42)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 48
Na combinação freqüente, por outro lado, a ação variável principal F
q1,k
é
considerada com um valor reduzido chamado de freqüente ψ
1
F
q1,k
, enquanto que as demais
são tomadas com seus valores quase-permanentes ψ
2
F
q,k
, ou seja:
∑∑
==
⋅Ψ+⋅Ψ+=
n
2j
k,qjj2k,1q1
m
1i
k,giser,d
FFFF
(2.43)
Já na combinação rara, as ações permanentes e a variável principal são consideradas
com seus valores característicos totais. As demais ações variáveis são tomadas com seus
valores freqüentes.
∑∑
==
⋅Ψ+⋅+=
n
2j
k,qjj1k,1q
m
1i
k,giser,d
FFFF
(2.44)
Nas eqs.(2.42) a (2.44), F
d,ser
é o valor de cálculo das ações para a combinação
considerada e ψ
i
é o coeficiente redutor das ações variáveis.
Para o estado limite de deslocamentos excessivos, a escolha da combinação a ser
utilizada dependerá, além da norma de cálculo adotada, do tipo de verificação que está sendo
realizada.
2.6 RECOMENDAÇÕES NORMATIVAS
São apresentadas a seguir as recomendações da NBR 6118 (2003),
do ACI 318 (2002), do CEB-FIP (1991) e do EUROCODE 2 (1992), para a verificação dos
deslocamentos em elementos fletidos. Por fim, faz-se um exemplo de cálculo, utilizando os
procedimentos estudados.
2.6.1 RECOMENDAÇÕES DA NBR 6118 (2003)
De acordo com a NBR 6118 (2003), o controle dos deslocamentos excessivos em
elementos fletidos deve ser feito através da comparação dos deslocamentos calculados com
os valores limites indicados para algumas situações de projeto.
a) Combinação de Ações
Para as verificações relacionadas aos estados limites de serviço, a NBR 6118 (2003)
considera os três tipos de combinação de ações: quase-permanente, freqüente e rara, já
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 49
definidas no item 2.5.2. A escolha para cada caso depende do estado limite de serviço a ser
verificado, das características e do uso da estrutura em questão e da natureza das ações.
Os valores dos coeficientes de redução das ações variáveis são fornecidos na
Tabela 2.3.
Tabela 2.3 - Valores de ψ
1
e ψ
2
, segundo a NBR 6118 (2003)
Ações
ψ
1
ψ
2
Ações acidentais em edifícios
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que
permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas
concentrações de pessoas
0,4 0,3
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem
fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de pessoas
0,6 0,4
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,7 0,6
Vento
Pressão dinâmica do vento em estruturas em geral 0,3 0,0
Temperatura
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,5 0,3
Para a verificação dos deslocamentos, deve ser adotada a combinação quase-
permanente, mas nos casos em que os deslocamentos excessivos são provocados pela ação
do vento ou da temperatura, utiliza-se a combinação freqüente. Recomenda-se o uso da
combinação freqüente também para a verificação de vibrações excessivas.
b) Cálculo do Momento de Fissuração
O momento de fissuração, segundo a NBR 6118 (2003) é dado por:
t
cct
r
y
If
M
⋅⋅α
= (2.45)
na qual:
α é um coeficiente que leva em consideração a forma da seção transversal, e vale:
α = 1,2 para seções T ou duplo T,
α = 1,5 para seções retangulares
I
c
é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
y
t
é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;
f
ct
é a resistência à tração direta do concreto
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 50
Os valores de f
ct
devem estar coerentes com o estado limite que se deseja verificar.
Para deslocamentos excessivos, onde se deseja obter apenas uma boa estimativa do estágio
de fissuração da peça, tem-se:
3/2
ckctmct
f3,0ff ⋅== (em MPa) (2.46)
sendo:
f
ctm
é a resistência média do concreto à tração;
f
ck
é a resistência característica do concreto à compressão.
c) Cálculo do Momento de Inércia Efetivo
O momento de inércia efetivo é determinado com base na eq.(2.8) proposta por
BRANSON (1965), aqui reescrita como:
cII
3
a
r
c
3
a
r
eq
II
M
M
1I
M
M
I ≤⋅
−+⋅
= (2.47)
sendo:
M
r
o momento de fissuração, dado pela eq.(2.45);
M
a
o momento máximo no elemento sob a condição de carregamento apropriada (quase-
permanente ou freqüente);
I
c
o momento de inércia da seção bruta de concreto no Estádio I, desprezando a
influência da armadura;
I
II
o momento de inércia da seção de concreto fissurada no Estádio II, como indicado
no item 2.3.1a), desprezando a resistência do concreto à tração.
Para vigas contínuas, de acordo com a Prática Recomendada IBRACON (2003),
deve-se utilizar uma média ponderada entre os valores de I
eq
das regiões de momento
positivo e negativo em cada vão, com base no diagrama de momentos fletores (Figura 2.15).
Assim,
2,e
2
v,e
v
1,e
1
e
I
a
I
a
I
a
I ⋅+⋅+⋅=
lll
(2.48)
sendo:
a
v
o comprimento da região de momento positivo;
a
1
, a
2
os comprimentos das regiões de momento negativo;
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 51
l comprimento do vão, considerado como o vão livre mais a altura do elemento desde
que esse valor não ultrapasse a distância entre eixos de apoio;
I
e,v
o momento de inércia efetivo na região de momento positivo, calculado para M
v
;
I
e,1
, I
e,2
os momentos de inércia efetivos nas regiões de momento negativo, calculados para
M
1
e M
2
, respectivamente;
M
v
o máximo momento fletor atuante no vão da viga contínua;
M
1
, M
2
os momentos fletores atuantes nos apoios esquerdo e direito, respectivamente.
l
1 2
v
1 v 2
M M
aa
M
a
Figura 2.15 - Indicações para o cálculo de I
e
em vigas contínuas
Por simplificação, os valores de a
1
/l e a
2
/l podem ser considerados como 0,15 para
vãos contínuos nas duas extremidades, recaindo-se na eq.(2.9).
d) Cálculo do Módulo de Elasticidade do Concreto
De acordo com a NBR 6118 (2003), quando não forem feitos ensaios para a
determinação do módulo de elasticidade inicial ou tangente, pode ser utilizada a seguinte
expressão:
ckci
f5600E ⋅=
na qual:
E
ci
é o módulo de elasticidade inicial do concreto, em MPa;
f
ck
é a resistência característica do concreto à compressão, em MPa.
Para a verificação do estado limite de deformações excessivas, deve ser utilizado o
módulo de elasticidade secante, dado por:
ckccs
f4760E85,0E =⋅= (2.49)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 52
e) Determinação do Deslocamento Imediato
O deslocamento imediato pode ser obtido através de processos simplificados,
assumindo-se um comportamento elástico e linear dos materiais, como mencionado no item
2.3.2, desde que os efeitos da presença das armaduras e a existência de fissuras ao longo do
vão sejam levados em conta. Isto pode ser feito utilizando-se o momento de inércia efetivo
nas eqs.(2.22) e (2.26).
f) Determinação do Deslocamento Diferido
O deslocamento diferido no tempo, tanto para vigas quanto para lajes, pode ser
determinado a partir da multiplicação do deslocamento imediato pelo coeficiente abaixo:
' 501
f
ρ+
ξ∆
=α (2.50)
sendo:
(
)
(
)
o
t t ξ−ξ=ξ∆ (2.51)
ξ um coeficiente compreendido entre 0 e 2, função da duração da carga, dado por:
(
)
32,0t
t996,068,0t ⋅⋅=ξ se t < 70 meses (2.52)
(
)
2t =ξ se t ≥ 70 meses
t o tempo, em meses, em que o valor do deslocamento é desejado;
t
o
o tempo, em meses, em que as ações de longa duração são aplicadas. Se essas ações
forem aplicadas em idades diferentes, t
o
deve ser tomado como o valor médio dado
por:
∑
∑
⋅
=
i
i,oi
o
P
tP
t (2.53)
P
i
a parcela da ação de longa duração;
t
o,i
o tempo, em meses, em que a parcela i da ação de longa duração é aplicada;
ρ’ a taxa de armadura de compressão.
Para vigas contínuas, Prática Recomendada IBRACON (2003), sugere que o valor da
taxa de armadura de compressão em cada vão seja calculado utilizando-se uma média
ponderada entre os valores de ρ’ das regiões de momento positivo e negativo, com base no
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 53
diagrama de momentos (Figura 2.15), tal como proposto para a determinação do momento de
inércia efetivo. Assim:
2
2
v
v
1
1
'
a
'
a
'
a
' ρ⋅+ρ⋅+ρ⋅=ρ
lll
(2.54)
sendo:
ρ’
v
a taxa de armadura de compressão na região de momento positivo, na seção de M
v
;
ρ’
1
, ρ’
2
as taxas de armadura de compressão nas regiões de momento negativo, nas seções de
M
1
e M
2
, respectivamente.
g) Comparação com Valores Limites de Deslocamentos
Dependendo da natureza e da utilização da estrutura, os valores limites
correspondentes a cada caso podem ser selecionados a partir da Tabela 2.4. Em alguns casos,
esses valores se aplicam ao deslocamento total; em outros, apenas à parcela do deslocamento
devida às ações variáveis. Existem situações onde o deslocamento a ser comparado é aquele
ocorrido após um certo evento, como a construção de paredes ou de forros. Assim sendo,
apesar de não estar claramente descrito na NBR 6118 (2003), esses deslocamentos podem
ser calculados da seguinte forma:
• Deslocamento total:
(
)
qg,ift
a 1 a
Ψ+
⋅α+=
• Deslocamento imediato devido às ações variáveis:
gi,qg,iq,i
a aa −=
+
• Deslocamento incremental (que ocorre após construção de pisos, paredes, etc):
(
)
q,ifg,ifinc
a 1 aa
Ψ
⋅α++⋅α=
ou, de outra forma:
(
)
g,iqg,tg,iqg,ifinc
aaaa 1 a −=−⋅α+=
Ψ+Ψ+
sendo:
a
t
deslocamento total;
a
inc
deslocamento incremental;
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 54
a
i,g
deslocamento imediato devido às ações permanentes;
a
i,q
deslocamento imediato devido às ações variáveis;
a
i,g +ψ q
deslocamento imediato devido à ação total (combinação quase-permanente ou
freqüente);
a
t,g +ψ q
deslocamento total devido à ação total (combinação quase-permanente ou freqüente).
Para todos os valores apresentados na Tabela 2.4 valem as seguintes observações
gerais:
• Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados
em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de
balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do
balanço.
• Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor
l é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde
interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se este
valor a duas vezes o vão menor.
• Deslocamento total será obtido a partir da combinação das ações características,
como indicado no item 2.6.1.a.
• Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 55
Tabela 2.4 - Valores limites para os deslocamentos
Razões para
limitação dos
deslocamentos
Exemplos Deslocamento limite
Porção do
deslocamento a ser
considerado
a) Aceitabilidade sensorial
Visual
Deslocamentos em
elementos estruturais
visíveis
l/250
Deslocamento total
Outros
Vibrações do piso que
podem ser sentidas
l/350
Deslocamentos devidos
à ação variável
b) Uso da estrutura
Superfícies que devem
drenar água
Coberturas e varandas
l/250
1)
Deslocamento total
Pavimentos que devem
permanecer planos
Ginásios e pistas de
boliche
l/350 + contraflecha
2)
l/600
Deslocamento total
Elementos que
suportam
equipamentos sensíveis
Laboratórios
De acordo com as
recomendações do
fabricante
Deslocamentos
ocorridos após a
instalação do aparelho
c) Efeitos em elementos não estruturais
Alvenaria e revestimentos
l/500
3)
ou 10 mm ou
θ = 0,0017 rad
4)
Deslocamentos
ocorridos após a
construção das paredes
Divisórias leves
l/250 ou 25 mm
Deslocamentos
ocorridos após a
instalação das
divisórias
Movimentos laterais de
edifícios
H/2500 ou H
i
/1250
5)
entre pavimentos
6)
Deslocamentos
provocados pela ação
do vento para
combinação freqüente
Movimentos térmicos
verticais
l/400
7)
ou 15 mm
Deslocamentos
relativos provocados
por diferenças de
temperatura
Paredes
Movimentos térmicos
horizontais
H
i
/500
Deslocamentos
relativos provocados
por diferenças de
temperatura
Revestimentos colados
l/350
Deslocamentos
ocorridos após a
construção do forro
Forros
Revestimentos com juntas
l/175
Deslocamentos
ocorridos após a
construção do forro
Pontes rolantes
Desalinhamento dos
trilhos
l/400
Deslocamentos
provocadospelas ações
de frenagem
1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por
contraflechas, de modo a não ocorrer acúmulo de água.
2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas.
Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que
l/350.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 56
3) O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve.
4) θ é a rotação nos elementos que suportam paredes.
5) H é a altura total do edifício e H
i
o desnível entre dois pavimentos consecutivos.
6) Este limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à
atuação de ações horizontais. Não se devem incluir os deslocamentos devidos a deformações
axiais nos pilares.
O valor l refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.
2.6.2 RECOMENDAÇÕES DO ACI 318 (2002)
O ACI 318 (2002) permite a utilização de dois procedimentos para o controle dos
deslocamentos. Se o elemento estrutural a ser analisado servir de apoio ou estiver fixado a
elementos, estruturais ou não, que possam ser danificados por deslocamentos excessivos,
deve-se fazer o cálculo dos deslocamentos e sua comparação com os valores limites. Caso
contrário, pode-se utilizar diretamente as alturas mínimas fornecidas por este código, que a
verificação dos deslocamentos é considerada satisfeita.
a) Ações
O ACI 318 (2002) não define nenhuma combinação de ações para a verificação dos
deslocamentos. Apenas comenta que, para o cálculo de deslocamentos adicionais diferidos,
deve-se utilizar a soma da ação permanente, com seu valor total, e de uma parcela da ação
variável de longa duração, que não é definida. MACGREGOR (1992) sugere um valor
próximo de 30%.
b) Alturas mínimas
Para vigas e lajes armadas em uma direção, as alturas mínimas são apresentadas na
Tabela 2.5. Essas alturas se aplicam a concretos com peso específico de aproximadamente
145 lb\ft
3
(22,8 kN/m
3
), e para aços com tensão de escoamento de 60.000 psi (414 MPa).
Para valores diferentes, deve-se fazer as seguintes correções:
§ para concretos leves, com peso específico variando de 90 a 120 lb/ft
3
(14 a 19
kN/m
3
), os valores de altura mínima devem ser multiplicados por:
(
)
09,1 w0,005 65,1
c
≥−
onde w
c
é o peso específico do concreto, em lb/ft
3
. Para valores de peso específico
entre 120 e 145 lb/ft
3
(19 e 23 kN/m
3
), não é especificada nenhuma correção, pois o
valor do termo a ser multiplicado pela altura mínima é próximo de 1.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 57
§ para valores de tensão de escoamento diferentes de 60.000 psi (414 MPa), deve-se
multiplicar os valores de alturas mínimas por:
+
000.100
f
4,0
y
onde f
y
é a tensão de escoamento do aço, em psi.
Se essas situações ocorrerem simultaneamente, as duas correções devem ser feitas.
Tabela 2.5 - Alturas mínimas de vigas e lajes armadas em uma direção, segundo o
ACI 318 (2002)
Altura Mínima, h
Condição de apoio
Simplesmente
apoiada
Uma extremidade
contínua
Duas extremidades
contínuas
Balanço
Elemento
Elementos que não apóiem nem estejam fixados a outros elementos, estruturais
ou não, que possam ser danificados por deslocamentos excessivos
Lajes maciças
20
l
24
l
28
l
10
l
Vigas ou lajes
nervuradas 16
l
5,18
l
21
l
8
l
Para lajes armadas em duas direções, apoiadas diretamente sobre os pilares e sem
vigas entre os apoios, se a relação entre o maior e o menor vão for menor do que 2, as alturas
mínimas são aquelas indicadas na Tabela 2.6. Contudo, os seguintes valores mínimos devem
ser respeitados:
§ para lajes sem capitéis, a altura não deve ser inferior a 5 in (12,7 cm);
§ para lajes com capitéis, a altura não deve ser inferior a 4 in (10,2 cm).
Para lajes armadas em duas direções e apoiadas em vigas em todos os lados, a altura
mínima é obtida da seguinte forma:
§ para α
m
menor ou igual a 0,2, pode-se utilizar os valores apresentados na Tabela 2.5.
§ para α
m
maior do que 0,2, mas menor do que 2, a altura mínima é dada por:
( )
in 5
0,2 5 36
200.000
f
8,0
h
m
y
n
≥
−α⋅β⋅+
+⋅
=
l
(2.55)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 58
§ para α
m
maior do que 2,0, a altura mínima é dada por:
in 3,5
9 36
200.000
f
8,0
h
y
n
≥
β⋅+
+⋅
=
l
(2.56)
§ para bordas descontínuas, a viga de borda deve ter uma relação de rigidez α maior
do que 0,8, ou a altura mínima dada pelas eqs.(2.55) e (2.56) devem ser aumentadas
em pelo menos 10% no painel estudado.
sendo:
α a razão da rigidez à flexão da viga pela rigidez à flexão de uma faixa da laje, limitada
lateralmente pelas linhas centrais dos painéis adjacentes em cada lado da viga;
α
m
o valor médio de α para todas as vigas de borda de um painel:
l
n
o comprimento do vão livre do maior lado da laje, medido de face a face das vigas,
em in.;
f
y
a tensão de escoamento do aço, em psi;
β a relação entre o maior vão livre pelo menor vão livre.
Tabela 2.6 - Alturas mínimas para lajes armadas em duas direções, segundo o
ACI 318 (2002)
Sem capitéis Com capitéis
Painéis externos Painéis externos
Tensão de
escoamento
f
y
(psi)
(1)
Sem vigas
de borda
Com vigas
de borda
(2)
Painéis
internos
Sem vigas
de borda
Com vigas
de borda
(2)
Painéis
internos
40.000
(276 MPa)
33
n
l
36
n
l
36
n
l
36
n
l
40
n
l
40
n
l
60.000
(414 MPa)
30
n
l
33
n
l
33
n
l
33
n
l
36
n
l
36
n
l
75.000
(517 MPa)
28
n
l
31
n
l
31
n
l
31
n
l
34
n
l
34
n
l
(1) Para tensões de escoamento entre os valores fornecidos na tabela, a altura mínima é obtida por
interpolação linear.
(2) Para lajes com vigas nas bordas externas, o valor de α para a viga de borda deve ser maior do que 0,8.
l
n
é o comprimento do vão livre do maior lado, medido de face a face dos pilares, para lajes sem vigas.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 59
c) Cálculo do Momento de Fissuração
Como foi apresentado no item 2.3.1b), o momento de fissuração pode ser obtido a
partir da eq.(2.6), aqui reescrita como:
t
gr
cr
y
If
M
⋅
=
(2.57)
na qual:
M
cr
é o momento de fissuração;
I
g
é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
y
t
é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;
f
r
é o módulo de ruptura (em MPa), dado por:
'f623,0f
cr
⋅= (em MPa) (2.58)
f
c
’ é a resistência do concreto à compressão (em MPa).
Vale ressaltar que a eq.(2.58) se aplica a concretos com peso específico da ordem de
145 lb\ft
3
(23 kN/m
3
). Para concretos leves, é fornecida uma correção.
d) Cálculo do Momento de Inércia Efetivo
O momento de inércia efetivo, segundo o ACI 318 (2002), é determinado com base
na expressão desenvolvida por BRANSON (1965), apresentada no item 2.3.1c), aqui
reescrita como:
gcr
3
a
cr
g
3
a
cr
e
II
M
M
1I
M
M
I ≤⋅
−+⋅
= (2.59)
na qual:
M
cr
é o momento de fissuração, dado pela eq.(2.57);
M
a
o momento máximo atuante no elemento, no estágio em que o deslocamento é
calculado;
I
g
o momento de inércia da seção bruta de concreto no Estádio I, desprezando a
influência da armadura;
I
cr
o momento de inércia, no Estádio II, da seção de concreto homogeneizada,
desprezando a resistência do concreto à tração.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 60
Para elementos contínuos, o ACI 318 sugere que se utilize a média simples dos
valores obtidos a partir da eq.(2.59), calculados com os momentos máximos das regiões de
momentos positivo e negativo. Se esses elementos apresentarem altura constante, é permitido
o uso do momento de inércia efetivo calculado com o momento atuante na seção central de
vãos simples ou contínuos, e com o momento atuante no apoio dos balanços.
e) Cálculo do Módulo de Elasticidade do Concreto
O módulo de elasticidade do concreto, com peso específico variando entre 90 a 155
lb/ft
3
(14 a 24 kN/m
3
), é calculado a partir da expressão:
'f33wE
c
5,1
cc
⋅⋅= (psi) (2.60)
na qual:
w
c
é o peso específico do concreto, em lb/ft
3
;
f
c
’ é a resistência do concreto à compressão, em psi.
Para concretos de pesos específicos usuais, da ordem de 145 lb\ft
3
(23 kN/m
3
),
permite-se calcular o módulo de elasticidade apenas em função de f
c
’, segundo a seguinte
expressão:
MPa) (em 'f4733E
cc
= (2.61)
f) Determinação do Deslocamento Imediato
Segundo o ACI 318, os deslocamentos imediatos podem ser calculados a partir de
métodos simplificados, como os apresentados no item 2.3.2, desde que se considere, de
alguma forma, o efeito da fissuração e da armadura na rigidez à flexão do elemento.
Para elementos estruturais com altura da seção transversal constante ao longo do
vão, a rigidez à flexão pode ser considerada a mesma para todas as seções e igual a E
c
I
g
, para
os elementos não fissurados, e igual a E
c
I
e
, para os fissurados. Se a altura da seção
transversal variar ao longo do vão, deve ser usado um método mais rigoroso para a
determinação da rigidez à flexão.
g) Determinação do Deslocamento Diferido
Tanto para vigas quanto para lajes, a determinação do deslocamento diferido no
tempo é feita a partir do produto do deslocamento imediato por um coeficiente multiplicador,
dado por:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 61
'501 ρ⋅+
ξ
=λ (2.62)
na qual:
ξ é o fator dependente da duração da ação, cujos valores são fornecidos na Tabela 2.7.
ρ’ é a taxa de armadura de compressão na seção do meio do vão.
Tabela 2.7 - Valores do coeficiente ξ, segundo o ACI 318 (2002)
Tempo (meses) 3 6 12
≥ 60
ξ
1,0 1,2 1,4 2,0
h) Comparação com Valores Limites de Deslocamento
Os deslocamentos calculados de acordo com os itens anteriores devem respeitar os
limites apresentados na Tabela 2.8.
Para o cálculo dos deslocamentos a serem comparados aos valores limites, apesar de
não estar claramente descrito no ACI 318 (2002), podem ser utilizadas as seguintes
expressões, de acordo com o ACI 435R (1995):
§ deslocamento imediato devido às ações variáveis:
gi,qg,iq,i
a aa −=
+
§ deslocamento incremental (que ocorre após a construção dos elementos não
estruturais):
q,ig,iq,iinc
aaaa
Ψ
⋅λ+⋅λ+=
sendo:
a
i,g
deslocamento imediato devido às ações permanentes;
a
i,q
deslocamento imediato devido às ações variáveis;
a
i,g +q
deslocamento imediato devido à ação total;
a
inc
deslocamento incremental;
a
i,q
deslocamento imediato devido à parcela da ação variável considerada de longa
duração;
λ o coeficiente multiplicador dos deslocamentos imediatos, dado pela eq.(2.62).
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 62
Tabela 2.8 - Valores dos deslocamentos limites, segundo o ACI 318 (2002)
Tipo de elemento
Deslocamento a ser
considerado
Deslocamento
limite
Coberturas que não apóiem ou não estejam
fixadas a elementos não estruturais que podem
ser danificados por grandes deslocamentos
Deslocamento imediato devido
à ação variável 180
l
Pisos que não apóiem ou não estejam fixados a
elementos não estruturais que podem ser
danificados por grandes deslocamentos
Deslocamento imediato devido
à ação variável 360
l
Coberturas ou pisos que apóiem ou estejam
fixados a elementos não estruturais que podem
ser danificados por grandes deslocamentos
480
l
Coberturas ou pisos que apóiem ou estejam
fixados a elementos não estruturais que não são
danificados por grandes deslocamentos
Parcela do deslocamento total
que ocorre depois da instalação
dos elementos não estruturais (é
dado pelo deslocamento
diferido mais o deslocamento
imediato devido a qualquer
ação variável de longa duração)
240
l
2.6.3 RECOMENDAÇÕES DO CEB-FIP (1991)
O Código Modelo do Comité Euro-International du Béton, CEB-FIP (1991), fornece
recomendações tanto para o cálculo dos deslocamentos, como para o uso de um critério de
altura mínima.
Vale ressaltar que as prescrições apresentadas neste item estão de acordo também
com o FIB (1999).
a) Combinação de Ações
Para a verificação do estado limite de serviço, o CEB-FIP (1991) utiliza as
combinações rara e freqüente de ações. Para o cálculo dos deslocamentos imediatos, é
recomendada a combinação rara; já para os deslocamentos diferidos, a combinação a ser
utilizada é a freqüente. É permitido, inclusive, que outras combinações de ações sejam
utilizadas, desde que definidas diretamente entre o projetista e o cliente.
As combinações de ações são determinadas utilizando-se as expressões definidas no
item 2.5.2, sendo os valores dos coeficientes de redução das ações variáveis apresentados na
Tabela 2.9.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 63
Tabela 2.9 - Valores de ψ
1
e ψ
2
, segundo o FIB (1999)
Ações
ψ
1
ψ
2
Ações acidentais em edifícios
Residências 0,4 0,2
Escritórios e lojas de departamento 0,8 0,5
Estacionamento 0,7 0,6
Ações devidas ao vento 0,2 - 0,5 0
Ações devidas a congelamento 0,2 – 0,8 0
b) Cálculo do Momento de Fissuração
O momento de fissuração é calculado a partir da expressão:
t
1ctm
r
y
If
M
⋅
= (2.63)
na qual:
y
t
é a distância do centro de gravidade da seção não fissurada à fibra mais tracionada;
I
1
é o momento de inércia da seção transversal não fissurada, homogeneizada;
f
ctm
é a resistência média do concreto à tração, em MPa, dada por:
32
ckctm
f30,0f ⋅= , para f
ck
≤ 50 MPa (2.64)
31
ckctm
f12,1f ⋅= , para f
ck
> 50 MPa (2.65)
f
ck
é a resistência do concreto à compressão, em MPa.
c) Cálculo do Módulo de Elasticidade do Concreto
O módulo de elasticidade do concreto é dado por:
( )
31
cmo
ck
Ec
f
f f
E
∆+
⋅α= (2.66)
na qual:
E
c
é o módulo de elasticidade do concreto, na idade de 28 dias, em MPa;
f
ck
é a resistência do concreto à compressão, em MPa;
∆f = 8 MPa;
f
cmo
= 10 MPa;
α
E
= 2,15 × 10
4
MPa.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 64
Para análises elásticas de estruturas de concreto, deve-se utilizar o módulo de
elasticidade secante igual a:
ccs
E85,0E ⋅= (2.67)
d) Determinação dos Deslocamentos a Partir da Curvatura Média
Os deslocamentos imediatos ou adicionais podem ser calculados a partir da curvatura
do elemento estrutural. Para isso, as seguintes hipóteses são consideradas:
§ No estádio I, as seções planas permanecem planas após a deformação, e é válido o
princípio da superposição de efeitos: ou seja, é assumida a linearidade do material;
§ No estádio II, as seções planas permanecem planas após a deformação.
O CEB-FIP (1991), no item 3.6, fornece expressões para o cálculo das curvaturas
médias, apresentadas a seguir e representadas na Figura 2.16.
1
r
1
r
1
= para o estádio I (2.68)
⋅β⋅
−−=−=
M
M
r
1
r
1
r
1
r
1
r
1
r
1
r
b
1r2r2ts2
para o estádio II (2.69)
⋅
+
⋅β⋅
−−=
III
y
r
b
1r2ry
K2
)M-(M
M
M
r
1
r
1
r
1
r
1
para M ≥ M
y
(2.70)
Sendo:
yu
yu
III
r
1
r
1
M M
K
−
−
=
M o momento fletor atuante na seção;
M
y
o momento fletor correspondente ao escoamento;
M
u
o momento fletor último;
M
r
o momento de fissuração, dado pela eq.(2.50);
y
r
1
a curvatura correspondente a M
y
, calculada de acordo com a eq.(2.14);
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 65
u
r
1
a curvatura correspondente a M
u
, calculada de acordo com a eq.(2.14);
1
r
1
,
r1
r
1
as curvaturas, no estádio I, correspondentes à atuação de M e M
r
,
respectivamente, calculadas de acordo com a eq.(2.20);
2
r
1
,
r2
r
1
as curvaturas, no estádio II, correspondentes à atuação de M e M
r
,
respectivamente, calculadas de acordo com a eq.(2.21);
ts
r
1
a curvatura correspondente à contribuição do concreto tracionado entre as
fissuras, dada por:
⋅β⋅
−=
M
M
r
1
r
1
r
1
r
b
1rr2ts
(2.71)
21b
β⋅β≥β um coeficiente que considera os efeitos da aderência e da duração do
carregamento;
β
1
o coeficiente que caracteriza a qualidade da aderência das barras da
armadura, e assume os seguintes valores:
β
1
= 1,0 para barras de alta aderência,
β
1
= 0,5 para barras lisas;
β
2
o coeficiente que representa a influência da duração da aplicação ou da
repetição do carregamento, sendo:
β
2
= 0,8 para o primeiro carregamento,
β
2
= 0,5 para o carregamento de longa duração ou repetitivo.
Na Figura 2.16, a linha cheia representa a curvatura média. Já a linha tracejada entre
os pontos A e B corresponde à situação do concreto sem fissuras, e submetido a um
carregamento de curta duração.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 66
1/r
M
Estádio I Estádio II
β
b
yk
M
u
M
1/r
1
2
1/r
1/r
M
r
M
r
1
1
2K
III
K
III
A
B
Figura 2.16 – Diagrama momento-curvatura para flexão simples (CEB-FIP, 1991)
O CEB-FIP (1991) indica que a curvatura média de um elemento, num tempo t
qualquer após o instante t
0
da aplicação do carregamento, pode ser calculada a partir do
somatório da curvatura inicial
0
r
1
com o incremento da curvatura devido à retração e à
fluência
∆
r
1
, ou seja:
∆+=
r
1
r
1
r
1
0t
sendo que a curvatura inicial e o incremento da curvatura podem ser calculados utilizando-se
as eqs.(2.68) a (2.70), desde que os efeitos da retração e da fluência sejam considerados. No
entanto, não faz nenhuma indicação de como isto deve ser feito.
A curvatura média no tempo t provocada pelas ações permanente g e pelas ações
variáveis q é dada pela seguinte expressão:
)g(
o
)qg(
o
)g()qg(
r
1
r
1
r
1
r
1
−
+
=
+
+
(2.72)
na qual:
)qg(
r
1
+
é a curvatura no tempo t devida à g e q;
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 67
)g(
r
1
é a curvatura no tempo t devida à g;
)qg(
o
r
1
+
é a curvatura imediata devida à g e q;
)g(
o
r
1
é a curvatura imediata devida à g.
e) Processo Simplificado
Para elementos estruturais de edifícios, é indicado um processo simplificado para a
avaliação de deslocamentos diferidos no tempo, baseado em uma relação bilinear entre carga
e deslocamento. Esses deslocamentos, calculados função do estado de fissuração dos
elementos, são dados por:
c
a ) 1 (a ⋅φ+= para M
d
< M
r
(2.73)
ccm
3
a )20 1 (
d
h
a ⋅ρ⋅−⋅η⋅
= para M
d
≥ M
r
(2.74)
sendo:
M
r
o momento de fissuração, dado pela eq.(2.63);
M
d
o momento fletor no meio do vão da viga ou da laje, ou no apoio do balanço, sob
combinação freqüente de ações;
φ o coeficiente de fluência, calculado de acordo com o item 2.1.6.4.3b, do CEB-FIP
(1991);
a
c
o deslocamento elástico calculado com a rigidez E
c
I
g
da seção bruta de concreto,
desprezando a armadura;
ρ
cm
a taxa geométrica média da armadura de compressão;
ρ
tm
a taxa geométrica média da armadura de tração, (ver eq.(2.75));
η um fator de correção que inclui os efeitos da fissuração e da fluência (Tabela 2.10).
Tabela 2.10 - Fator de correção η para determinação de deslocamentos, segundo o
CEB-FIP (1991)
ρ
tm
(%)
0,15 0,20 0,30 0,50 0,75 1,00 1,50
η
10 8 6 4 3 2,5 2
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 68
A taxa média da armadura de tração ρ
tm
é dada pela seguinte expressão:
2
2
v
v
1
1
tm
aaa
ρ⋅+ρ⋅+ρ⋅=ρ
lll
(2.75)
na qual:
ρ
v
é a taxa de armadura de tração na seção de momento máximo;
ρ
1
, ρ
2
são as taxas de armadura de tração/compressão nos apoios esquerdo e direito,
respectivamente;
a
1
, a
2
são as distâncias dos apoios esquerdo e direito até o ponto de momento nulo,
respectivamente;
a
v
é o comprimento da região de momento positivo;
l é o comprimento do vão.
f) Comparação com Valores Limites
O CEB-FIP (1991) não estabelece valores para os deslocamentos limites a serem
comparados com os deslocamentos calculados de acordo com os itens anteriores. Diz apenas
que os valores limites para os deslocamentos devem ser estabelecidos pelo projetista em
comum acordo com o cliente.
g) Alturas Mínimas
Para elementos fletidos de concreto armado sem força axial, o critério de altura
mínima sugerido pelo CEB-FIP (1991) é dado pela:
⋅⋅⋅λ≤
yk
To
f
400
kk
d
l
l
(2.76)
na qual:
λ
o
é um coeficiente que depende do tipo de sistema estrutural e do nível de tensão no
concreto (Tabela 2.11);
k
T
= 1,0, para seções com a relação entre a largura da mesa e a largura da alma menor
do que 3,
= 0,8, para seções com a relação entre a largura da mesa e a largura da alma maior do
que 3;
k
l
=
l
7
≤ 1, com l em metros;
f
yk
é a tensão de escoamento do aço da armadura, em MPa.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 69
Tabela 2.11 - Valores de λ
o
, segundo o CEB-FIP (1991)
Sistema Estrutural
Concreto
altamente
tensionado
(1)
Concreto
levemente
tensionado
(2)
1. Vigas simplesmente apoiadas, e lajes armadas em uma
ou duas direções, simplesmente apoiadas
18 25
2. Vão extremo de uma série de vãos contínuos, e lajes
armadas em duas direções com continuidade na direção do
maior vão
23 32
3. Vão interno de viga ou de lajes armadas em uma ou em
duas direções
25 35
4. Lajes apoiadas em pilares sem vigas, verificação
efetuada no maior vão
21
(3)
30
(3)
5. Balanços 7 10
(1) Elementos onde o concreto é considerado altamente tensionado são aqueles onde ρ ≥ 1,5 %.
(2) Elementos onde o concreto é considerado levemente tensionado são aqueles onde ρ ≤ 0,5 %.
Se a taxa de armadura é conhecida, valores de λ
o
para concretos entre levemente tensionados e altamente
tensionados podem ser obtidos por interpolação, assumindo os valores correspondentes a ρ = 0,5% para
levemente tensionado, e a ρ = 1,5% para altamente tensionado.
(3) Esses valores devem ser verificados.
Já segundo o FIB (1999), para vãos menores que 5 m, a altura mínima pode ser
determinada a partir da seguinte expressão:
≤
⋅α
lajes para 30
vigaspara 25
h
l
(2.77)
na qual:
l é o vão do elemento;
h é a altura do elemento
α é um coeficiente que depende do sistema estrutural, conforme a Tabela 2.12.
Tabela 2.12 - Valores de α, segundo o FIB (1999)
Sistema Estrutural
α
Vigas simplesmente apoiadas, e lajes armadas em uma ou em duas direções, simplesmente
apoiadas
1,0
Vão extremo de uma série de vãos contínuos, e lajes armadas em duas direções com
continuidade na direção do maior vão
0,8
Vão interno de viga ou de lajes armadas em uma ou em duas direções 0,6
Balanços 2,4
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 70
2.6.4 RECOMENDAÇÕES DO EUROCODE 2 (1992)
O procedimento para a verificação dos deslocamentos segundo o EUROCODE 2
(1992) é basicamente o mesmo adotado pelo CEB-FIP (1991). Além de fornecer expressões
para a determinação do deslocamento imediato em função da curvatura média, também é
permitido o uso de um critério de altura mínima. O que distingue as recomendações dos dois
códigos são as expressões para a obtenção de alguns parâmetros, e o cálculo do
deslocamento diferido no tempo, que, no EUROCODE 2 (1992), é efetuado a partir das
curvaturas devidas à fluência e à retração.
As recomendações apresentadas a seguir também estão de acordo com o
EUROCODE FINAL DRAFT (2001).
a) Combinação de Ações
A única referência que se encontra para a combinação de ações a ser utilizada no
cálculo dos deslocamentos é que, para edifícios, o uso da combinação quase-permanente é
satisfatório, com os coeficientes de redução das ações variáveis da Tabela 2.13.
Tabela 2.13 - Coeficientes de redução das ações variáveis, segundo o EUROCODE 2 (1992)
Ações
ψ
1
ψ
2
Ações acidentais em edifícios
Edifícios residenciais 0,4 0,2
Escritórios e lojas 0,6 0,3
Estacionamento 0,7 0,6
Ações devidas ao vento 0,2 0
Ações devidas a congelamento 0,2 0,0
b) Cálculo do Momento de Fissuração
O momento de fissuração é calculado utilizando-se a mesma expressão proposta pelo
CEB-FIP (1991), apresentada no item 2.6.3b).
c) Cálculo do Módulo de Elasticidade do Concreto
O valor do módulo de elasticidade tangente inicial do concreto, na ausência de
valores experimentais ou em casos onde não seja necessária uma grande precisão, pode ser
calculado pela expressão:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 71
(
)
31
ckcm
8f9500E +⋅= (2.78)
na qual:
E
cm
é o módulo de elasticidade tangente inicial do concreto, em MPa, definido a partir do
diagrama tensão-deformação do concreto, para as tensões σ
c
= 0 e σ
c
= 0,4f
ck
;
f
ck
é a resistência característica do concreto à compressão, em MPa.
d) Determinação dos Deslocamentos Imediatos a Partir da Curvatura Média
Segundo o EUROCODE 2 (1992), para elementos estruturais submetidos à flexão, a
curvatura média pode ser escrita como:
( )
III
r
1
-1
r
1
r
1
⋅ς+
⋅ς= (2.79)
na qual:
r
1
é a curvatura média da seção considerada;
I
r
1
é a curvatura da seção no estádio I, obtida pela eq.(2.20);
II
r
1
é a curvatura da seção no estádio II, obtida pela eq.(2.21);
ζ é um coeficiente de distribuição, dado por:
2
cr
21
M
M
1
⋅β⋅β−=ς (2.80)
β
1
é o coeficiente que considera as propriedades de aderência das barras da armadura,
sendo:
β
1
= 1 para barras de alta aderência,
β
1
= 0,5 para barras lisas;
β
2
é um coeficiente que considera a duração e o número de ciclos do carregamento,
sendo:
β
2
= 1 para carregamentos de curta duração,
β
2
= 0,5 para carregamentos de longa duração ou com muitos ciclos;
M
cr
é o momento de fissuração;
M é o momento fletor atuante na seção fissurada considerada.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 72
Para seções não fissuradas, tem-se ζ = 0. Portanto, para o estádio I, a curvatura é
dada por:
1
r
1
r
1
=
recaindo-se na eq.(2.68) do CEB-FIP (1991)
e) Determinação dos Deslocamentos Diferidos a Partir da Curvatura Média
Como mencionado anteriormente, o EUROCODE 2 (1992) fornece prescrições para
a avaliação dos deslocamentos diferidos a partir das curvaturas devidas à fluência e à
retração.
A curvatura devida à fluência pode ser obtida por meio da eq.(2.79), sendo β
2
= 0,5 e
o módulo de elasticidade secante do concreto substituído pelo módulo de elasticidade
efetivo, dado por:
φ+
=
1
E
E
cm
ef,c
(2.81)
na qual:
E
c,ef
é o módulo de elasticidade efetivo do concreto, que considera os efeitos da fluência;
E
cm
é o módulo de elasticidade tangente do concreto, dado pela eq.(2.78);
φ é o coeficiente de fluência, cujos valores são apresentados na Tabela 2.14.
Tabela 2.14 - Valores do coeficiente de fluência φ, segundo o EUROCODE 2 (1992)
2A
c
/ u (mm)
50 150 600 50 150 600
Idade do concreto
quando do
carregamento inicial
t
o
(dias)
Condição atmosférica seca
(RH = 50%)
Condição atmosférica úmida
(RH = 80%)
1 5,5 4,6 3,7 3,6 3,2 2,9
7 3,9 3,1 2,6 2,6 2,3 2,0
28 3,0 2,5 2,0 1,9 1,7 1,5
90 2,4 2,0 1,6 1,5 1,4 1,2
365 1,8 1,5 1,2 1,1 1,0 1,0
OBS: A
c
é a área de concreto da seção transversal, e u é o perímetro exposto de A
c
.
A curvatura devida à retração é calculada a partir da seguinte expressão:
I
S
r
1
ef,ecs
cs
⋅α⋅ε=
(2.82)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 73
na qual:
cs
r
1
é a curvatura devida à retração;
S é o momento estático da armadura em relação ao centróide da seção transversal;
I é o momento de inércia da seção transversal;
α
e,ef
é a razão modular efetiva, ou seja, a razão entre o módulo de elasticidade do aço e o
módulo de elasticidade efetivo do concreto:
ef,c
s
ef,e
E
E
=α
ε
cs
é deformação devida à retração livre, cujos valores são apresentados na Tabela 2.15.
Tabela 2.15 - Valores da deformação devida à retração livre, ε
cs
, em ‰, segundo o
EUROCODE 2 (1992)
2A
c
/ u (mm)
Localização do
elemento
Umidade relativa
(%)
≤ 150
600
Interno 50 -0,60 0,50
Externo 80 -0,33 -0,28
O momento estático S e o momento de inércia I da seção transversal devem ser
calculados tanto para o estádio I quanto para o estádio II, com a curvatura final sendo
calculada utilizando-se a eq.(2.79).
Os valores fornecidos nas Tabela 2.14 e Tabela 2.15 para o coeficiente de fluência e
para a deformação por retração livre, respectivamente, devem ser usados em casos onde não
seja necessária uma grande acuidade na determinação dos deslocamentos. No Apêndice 1 do
EUROCODE 2 (1992), encontra-se um processo mais rigoroso para a determinação dos
valores desses parâmetros.
f) Comparação com Valores Limites de Deslocamentos
O EUROCODE 2 (1992), assim como o CEB-FIP (1991), sugere que os valores
limites dos deslocamentos devem ser definidos em comum acordo com o cliente. São feitas,
entretanto, duas observações.
A primeira é que o deslocamento total de uma viga, laje ou balanço, calculado a
partir da combinação de ações quase-permanente, pode prejudicar a aparência ou a
funcionalidade da estrutura se exceder o limite de
250
l
.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 74
E a segunda, é que para não ocorrerem danos aos elementos, estruturais ou não, que
se apóiam ou estão fixados em uma viga, laje ou balanço, o deslocamento incremental,
definido no item 2.6.1g), não deve exceder
500
l
.
g) Alturas Mínimas
O critério de altura mínima fornecido pelo EUROCODE 2 (1992) é semelhante ao
do CEB-FIP (1992), apresentado no item 2.6.3g) e dado pela eq.(2.76). A única diferença
está nos valores do coeficiente k
l
, que, segundo o EUROCODE 2 (1992), são os seguintes:
k
l
=
l
7
≤ 1,
k
l
=
l
5,8
≤ 1, para lajes planas.
Nos dois casos, l deve ser dado em metros.
2.6.5 EXEMPLO DE CÁLCULO
Para a viga representada na Figura 2.17, são calculados os deslocamentos imediatos
e diferidos de acordo com cada uma das normas citadas anteriormente. Além disso, são
fornecidos os valores dos principais parâmetros envolvidos no cálculo dos deslocamentos, é
feita uma comparação com seus respectivos limites e são tecidos alguns comentários sobre
os resultados obtidos.
a) Dados
Os dados necessários para a avaliação dos deslocamentos da viga em estudo são:
• f
ck
= 30 MPa;
• Aço CA-50; E
S
= 210000 MPa
• Ações permanente e variável : g = 12 kN/m e q = 4 kN/m;
• Vão da viga (l) = 5,90 m;
• Seção transversal: b = 15 cm e h = 55 cm;
• Área de aço da armadura de tração = 5,0 cm
2
(4 φ 12,5 mm);
• Área de aço da armadura de compressão = 1,6 cm
2
(2 φ 10 mm);
• Diâmetro da armadura transversal = 6,3 mm;
para vigas e lajes, exceto para lajes planas, que apóiam elementos não estruturais
que possam ser danificados por deslocamentos excessivo;
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 75
• Cobrimento = 2,5 cm;
• Idade do concreto quando da verificação dos deslocamentos: t ≥ 5 anos.
• Idade do concreto quando da aplicação das ações:
• ação permanente: t
0
= 28 dias
• ação variável: t
0
= 45 dias
4055040
Vista Longitudinal
Sistema Estático e Carregamento
590
q = 4 kN/m
g = 12 kN/m
49,5
55
15
A = 5,0 cm
2
Detalhamento
3,6
A' = 1,60 cm
2
s
s
Figura 2.17 - Viga do exemplo
b) Parâmetros Utilizados
Os valores dos principais parâmetros envolvidos no cálculo dos deslocamentos são
apresentados nas Tabela 2.16 a Tabela 2.19. Esses parâmetros foram determinados de acordo
com as prescrições de cada uma das normas analisadas.
Apesar do ACI 318 (2002) não fornecer qual deve ser a parcela da ação variável a
ser considerada no cálculo dos deslocamentos diferidos, foi adotado um valor igual a 30% da
ação variável total, que, somada com a ação permanente, corresponde à combinação quase-
permanente de ações recomendada pela NBR 6118 (2003). Isto foi feito para que os
deslocamentos calculados de acordo com as recomendações destas normas pudessem ser
comparados.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 76
Tabela 2.16 - Propriedades geométricas das seções transversais da viga
Norma
Propriedades
Geométricas
NBR 6118 (2003) ACI 318 (2002) CEB-FIP (1991)
EUROCODE 2
(1992)
I
g
(cm
4
) 207969 207969 207969 207969
I
1
(cm
4
)
(1)
- - 228945 226370
I
1
(cm
4
)
(2)
- - - 278786
I
II
(cm
4
)
(1)
65600 65905 60935 55473
I
II
(cm
4
)
(2)
- - - 149532
I
e
(cm
4
)
(3)
101073 83036 - -
I
e
(cm
4
)
(4)
92252 80020 - -
I
e
(cm
4
)
(5)
80565 73132 - -
S
1
(cm
3
) - - - 142,7
S
2
(cm
3
) - - - 175,1
(1/r)
1r
- - 3,786 x 10
-6
-
(1/r)
2r
- - 1,422 x 10
-5
-
(1/r)
cs1
- - - 7,068 x 10
-6
(1/r)
cs2
- - - 1,617 x 10
-5
(1) Calculado utilizando-se α
e
= E
s
/(E
c
ou E
cs
)
(2) Calculado utilizando-se α
e
= E
s
/E
c,ef
(3) Calculado considerando-se apenas as ações permanentes
(4) Calculado utilizando-se a combinação quase-permanente de ações
(5) Calculado utilizando-se a combinação rara de ações
(-) Não se aplica à norma em questão
Tabela 2.17 - Momentos fletores característicos para as combinações de ações estudadas,
em kN.cm
Norma Combinação
de ações
NBR 6118 (2003)
ACI 318 (2002) CEB-FIP (1991)
EUROCODE 2
(1992)
Ações permanentes 5222 5222 5222 5222
Quase permanente
(ψ
2
= 0,2)
- - 5570 5570
(ψ
2
= 0,3)
5744 5744 - -
Freqüente
(ψ
1
= 0,4)
- - 5918 5918
Rara 6962 6962 6962 6962
OBS: (-) Não se aplica à norma em questão
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 77
Tabela 2.18 - Propriedades dos materiais e momento de fissuração
Norma Propriedades
dos materiais
NBR 6118 (2003) ACI 318 (2002) CEB-FIP (1991)
EUROCODE 2
(1992)
E
c
(MPa) - 25924 33551 31939
E
cs
(MPa) 26072 - 28518 -
E
c,ef
(MPa) - - - 9125
α
e
8,055 8,101 7,364
6,575
(1)
23,013
(2)
f
ctm
(MPa) 2,90 3,41 2,90 2,90
M
cr
(kNcm)
3286
(3)
2580 2472 2426
(1) α
e
= E
s
/E
cs
(2) α
e
= E
s
/E
c,ef
(3) α = 1,5
Tabela 2.19 - Parâmetros utilizados no cálculo dos deslocamentos diferidos
Norma Norma
Parâmetros
NBR 6118
(2003)
ACI 318
(2002)
Parâmetros
CEB-FIP (1991)
EUROCODE 2
(1992)
ξ(t)
2,00 2,00
η
3,32 -
ξ(t
0
)
0,67 0,67
β
2
- 0,50
α
f
1,20 -
φ
- 2,5
(1)
λ(t)
- 1,81
ε
cs
-
6,0 × 10
-4 (1)
(1) Para a determinação desses parâmetros foi considerado que a viga é interna, que a umidade relativa do ar é
igual a 70%
c) Valores dos Deslocamentos
Os deslocamentos calculados segundo as recomendações das normas em questão
encontram-se nas Tabela 2.20 a Tabela 2.23.
Para o cálculo dos deslocamentos segundo o CEB-FIP (1991) e o EUROCODE 2
(1992), foi feita uma planilha para calcular a integração da curvatura ao longo do vão
utilizando-se a regra do trapézio, como apresentado em BEEBY (1999).
Os deslocamentos diferidos de acordo com o CEB-FIP (1991) foram calculados
empregando-se o processo simplificado apresentado no item 5.6.3.e.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 78
Tabela 2.20 - Deslocamentos calculados segundo a NBR 6118 (2003)
Tipo de
Deslocamento
Deslocamentos (cm)
a
i,g
0,72
a
i,g+q
1,20
a
i,q
0,48
Imediatos
a
i,g+0,3q
0,87
a
d,g
0,86
Diferidos
a
d,g+0,3q
1,04
Tot.
a
t,g+0,3q
1,91
Inc.
a
inc,g+0,3q
1,19
Tabela 2.21 - Deslocamentos calculados segundo o ACI 318 (2002)
Tipo de
Deslocamento
Deslocamentos
(cm)
a
i,g
0,88
a
i,g+q
1,33
a
i,q
0,45
a
i,g+0,3q
0,99
Imediatos
a
i, 0,3q
0,11
a
d,g
1,59
Diferidos
a
d, 0,3q
0,20
Inc.
a
inc,g+0,3q
2,24
Tabela 2.22 - Deslocamentos calculados segundo o CEB-FIP (1991)
Tipo de
Deslocamento
Deslocamentos
(cm)
a
i,g
0,85
Imediatos
a
i,g+q
1,25
Dif.
a
d,g+0,4q
1,34
Tot.
a
t,g+0,4q
2,59
Inc.
a
inc,g+0,4q
1,74
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 79
Tabela 2.23 - Deslocamentos calculados segundo o EUROCODE 2 (1992)
Tipo de
Deslocamento
Deslocamentos
(cm)
a
i,g
0,81
Imediatos
a
i,g+0,2q
0,90
Dif.
a
d,g+0,2q
0,99
Tot.
a
t,g+0,2q
1,89
Inc.
a
inc,g+0,2q
1,08
d) Comparação com os Valores Limites
Considerando-se que a viga em estudo faça parte de um edifício residencial e que
não apóie nenhum equipamento sensível a deslocamentos, devem ser realizadas as
verificações apresentadas a seguir.
§ NBR 6118 (2003)
Tomando-se as indicações da Tabela 2.4, os limites de deslocamentos que devem ser
verificados, segundo a NBR 6118 (2003), classificados de acordo com a razão pela qual a
restrição é necessária, são os seguintes:
(A) Para atender aos requisitos relacionados à aceitabilidade sensorial
Visual: cm 36,2
250
590
250
a
qg,t
==≤
Ψ+
l
Vibrações: cm 69,1
350
590
350
a
q,i
==≤
l
(B) Para evitar efeitos em elementos não estruturais:
Paredes:
==
≤
Ψ+
cm1
cm 18,1
500
590
500
a
qg,inc
l
cm 1 a
qg,inc
≤⇒
Ψ+
Na Tabela 2.24, estão relacionadas as verificações dos deslocamentos considerando-
se combinações quase-permanente de ações.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 80
Tabela 2.24 - Verificação dos deslocamentos, segundo a NBR 6118 (2003)
Verificação Comparação Aprovação
Visual
cm 36,2cm 91,1a
q3,0g,t
<=
+
Sim
Vibração
cm 69,1cm 48,0a
q,i
<=
Sim
Efeito em elementos não estruturais
cm 1 cm 19,1a
q3,0g,inc
>=
+
Não
§ ACI 318 (2002)
Para o ACI 318 (2002), os deslocamentos calculados devem ser comparados aos
deslocamentos admissíveis apresentados na Tabela 2.8. As verificações são indicadas na
Tabela 2.25, sendo utilizados os seguintes limites:
(A) Considerando-se que a viga não apóie ou não esteja fixada a elementos não
estruturais que podem ser danificados por grandes deslocamentos:
cm 64,1
360
590
360
a
q,i
==≤
l
(B) Considerando-se que a viga apóie ou esteja fixada a elementos não estruturais que
podem ser danificados por grandes deslocamentos:
cm 23,1
480
590
480
a
qg,inc
==≤
Ψ+
l
Tabela 2.25 - Verificação dos deslocamentos segundo o ACI 318, 2002
Verificação Comparação Aprovação
(A)
cm 64,1
360
cm 45,0a
q,i
=<=
l
Sim
(B) cm 23,1
480
cm 21,2a
q3,0g,inc
=>=
+
l
Não
§ EUROCODE 2 (1992)
Segundo o EUROCODE 2 (1992), os limites dos deslocamentos, classificados em
função do objetivo que se deseja alcançar com a restrição, são os seguintes:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 81
(A) Para não prejudicar a aparência ou a funcionalidade da viga:
cm 36,2
250
590
250
a
q2,0g,t
==≤
+
l
(B) Para evitar danos nos elementos que se apóiam ou estão fixados na viga:
cm 18,1
500
590
500
a
q2,0g,inc
==≤
+
l
Na Tabela 2.26, encontram-se as comparações desses limites com os deslocamentos
calculados seguindo as recomendações do EUROCODE 2 (1992).
Tabela 2.26 - Verificação dos deslocamentos segundo o EUROCODE 2 (1992)
Verificação Comparação Aprovação
(A)
cm 36,2
250
cm 89,1a
q2,0g,t
=<=
+
l
Sim
(B) cm 18,1
500
cm 08,1a
q2,0g,inc
=<=
+
l
Sim
Como o CEB-FIP (1991) não fornece valores limites, os deslocamentos calculados
segundo as recomendações deste código não foram verificados.
e) Análise dos Resultados
A partir dos deslocamentos calculados e da comparação com valores limites
indicados pelas normas de cálculo estudadas, algumas observações podem ser feitas.
Comparando-se os resultados obtidos segundo a NBR 6118 (2003), Tabela 2.18, e
segundo o ACI 318 (2002), Tabela 2.19, nota-se que os deslocamentos imediatos são bem
próximos, mas os diferidos e incrementais do ACI 318 (2002) são maiores. Isto se deve ao
fato de que, para este código, o fator ξ, utilizado na eq.(2.54) para o cálculo do coeficiente
multiplicador dos deslocamentos imediatos λ, depende da duração total do carregamento,
não considerando uma redução do seu valor em função da idade de aplicação do
carregamento de longa duração, como recomenda a NBR 6118 (2003) na eq.(2.43).
Vale ressaltar que MACGREGOR (1992) apresenta um procedimento semelhante ao
da NBR 6118 (2003), entretanto, NAWY (1996), FANELLA et al (1999) e o ACI 435
(1995) apresentam o cálculo do coeficiente multiplicador dos deslocamentos imediatos λ, em
função da duração total do carregamento.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 82
Os deslocamentos calculados segundo o EUROCODE 2 (1992), indicados na Tabela
2.23, são os únicos que atendem aos limites estabelecidos em todas as verificações. De
acordo com as Tabela 2.24 e Tabela 2.25, tanto para a NBR 6118 (2003) quanto para o ACI
318 (2002), a verificação dos deslocamentos incrementais não foi satisfeita. Comparando-se,
então, os limites dessas verificações para os códigos em questão, observa-se que os dos
EUROCODE 2 (1992) são menores, mantendo-se abaixo dos limites recomendados. Além
disso, para a combinação de ações quase-permanente do EUROCODE 2 (1992), o
coeficiente de redução das ações variáveis é menor (ψ
2
= 0,20) que o da norma brasileira
(ψ
2
= 0,30).
Por fim, avaliando-se os deslocamentos calculados pelas quatro normas estudadas,
observa-se que os valores obtidos de acordo com o CEB-FIP (1991) são os mais elevados.
Isso acontece, principalmente, devido à utilização tanto da combinação rara de ações para o
cálculo dos deslocamentos imediatos, quanto da combinação freqüente de ações para o
cálculo dos deslocamentos diferidos, a partir do processo simplificado do item 2.6.3.e.
2.7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Vários são os fatores que contribuem para dificultar a previsão dos deslocamentos
em uma estrutura em serviço, afastando os valores calculados daqueles que efetivamente
ocorrerão.
Alguns desses fatores estão relacionados ao próprio cálculo dos deslocamentos, seja
pelas incertezas na estimativa das ações, do nível de fissuração, do coeficiente de fluência e
da deformação por retração, dentre outros, seja pelas dificuldades encontradas para a
consideração desses parâmetros nos modelos adotados. Há também a questão da utilização
de processos simplificados, que possuem limitações e podem fornecer subestimativas dos
deslocamentos, em alguns casos. Como exemplos desses processos, podem ser citados o
cálculo dos deslocamentos imediatos com a adoção do momento de inércia efetivo, e a
obtenção dos deslocamentos diferidos a partir de um coeficiente multiplicador, já
comentados anteriormente.
Outros fatores estão mais relacionados aos aspectos construtivos. Na maioria das
vezes, não são conhecidos os processos de cura, as ações de construção, e as idades de
desforma e de aplicação dos primeiros carregamentos, ambas cada vez mais reduzidas, para
as estruturas executadas hoje em dia. Como todos eles podem contribuir para a fissuração
prematura dos elementos, os valores dos deslocamentos finais podem ser significativamente
aumentados.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 83
Devem ser lembrados, ainda, os fatores relacionados às condições ambiente,
especialmente as variações de temperatura e de umidade. Essas variações são de difícil
estimativa e influem diretamente na retração, na fluência, e, conseqüentemente, nos
deslocamentos diferidos.
Com todas essas questões, fica evidente a necessidade da atenção do projetista na
adoção dos parâmetros envolvidos na análise dos deslocamentos. Inclusive, deve-se enfatizar
a importância de se estudar a ocorrência de situações especiais na construção, que
demandam avaliações ainda mais criteriosas.
Por fim, ressalta-se que o controle dos deslocamentos em elementos fletidos não
atende a um critério absoluto. Além dos modelos bem definidos, da estimativa coerente dos
parâmetros envolvidos, e da análise consistente dos resultados obtidos, também é necessário
se considerarem os aspectos subjetivos, que dizem respeito, principalmente, à estética e ao
conforto dos usuários.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 84
C
C
A
A
P
P
Í
Í
T
T
U
U
L
L
O
O
3
3
3
D
D
E
E
S
S
L
L
O
O
C
C
A
A
M
M
E
E
N
N
T
T
O
O
S
S
E
E
M
M
L
L
A
A
J
J
E
E
S
S
I
I
S
S
O
O
L
L
A
A
D
D
A
A
S
S
3.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresenta-se o estudo realizado para as lajes isoladas. São apontadas
suas características geométricas e de carregamento, bem como os parâmetros adotados para o
cálculo dos seus deslocamentos imediatos, diferidos no tempo e totais. Foi utilizado o
programa de análise estrutural ANPAV, desenvolvido por OLIVEIRA (2001), que é baseado
no método dos elementos finitos, e permite o cálculo dos deslocamentos considerando o
comportamento não linear do concreto. Assim, pode-se levar em conta a fissuração, a
retração e a fluência, além da colaboração do concreto tracionado entre as fissuras para a
rigidez à flexão dos elementos (tension stiffening).
Os resultados obtidos são comentados, e a influência de cada um dos parâmetros
estudados é avaliada. Por fim, é apresentado um critério para a determinação de uma altura
mínima, que dispensa o cálculo dos deslocamentos para a verificação do estado limite de
deformações excessivas. Esse critério de altura mínima é realmente importante porque é o
resultado da compilação de valores obtidos para mais de 5.500 lajes, processadas com todos
os recursos para avaliação de efeitos não-lineares que um programa de análise sofisticado
pode oferecer. Portanto, é um resultado de grande significado prático que, pelo número
expressivo de casos estudados, confere uma boa confiabilidade ao procedimento de
avaliação de deslocamentos para lajes isoladas.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 86
3.2 CARACTERÍSTICAS DAS LAJES
As lajes analisadas foram consideradas maciças, em concreto armado, e com os
lados simplesmente apoiados ou engastados, sendo ambas as vinculações consideradas como
perfeitamente rígidas. E foi adotado um cobrimento de 2,0 cm. As principais características
das lajes são apresentadas nos itens a seguir.
3.2.1 TIPOS DE LAJES
Em função das condições de apoio de cada lado, nas direções de menor ou maior
vão, as lajes foram classificadas em nove tipos, como indicado na Figura 3.1.
L
L
y
x
y
L
L
x
L
y
L
x
L
y
L
x
L
x
y
L
L
y
L
x x
L
y
L
L
y
L
x
L
x
L
y
Legenda:
Lado engastado
Lado simplesmente apoiado
Tipo 1 Tipo 2
Tipo 4
Tipo 7
Tipo 3
Tipo 5
Tipo 8
Tipo 6
Tipo 9
Menor vão da laje
Maior vão da laje
L
L
x
y
Figura 3.1 – Tipos de lajes
3.2.2 VÃOS DAS LAJES
Buscando abranger os valores usuais de vãos de lajes utilizados em projetos
estruturais, foram adotados os seguintes vãos:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 87
• Menor vão da laje (L
x
) – 3,0; 4,0; 5,0 e 6,0m,
• Maior vão da laje (L
y
) – em função do menor vão, respeitando as relações
apresentadas na Tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Relações entre os vãos das lajes
L
y
/L
x
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 3,0 4,0
3.2.3 CASOS DE CARREGAMENTO
Com o intuito de avaliar a influência da relação entre as ações permanente e variável
no valor dos deslocamentos, foram adotadas três situações de carregamento:
a) Carregamento C1
A ação permanente g
1
e a ação variável q
1
correspondem, respectivamente, a 80% e
20% da ação total p
1
. Assim, têm-se as seguintes relações:
80,0
p
g
1
1
= 20,0
p
q
1
1
= 25,0
g
q
1
1
=
b) Carregamento C2
Neste caso, a ação permanente g
2
e a ação variável q
2
correspondem,
respectivamente, a 60% e 40% da ação total p
2
, igual a p
1
. Logo, obtêm-se:
60,0
p
g
2
2
= 40,0
p
q
2
2
= 67,0
g
q
2
2
=
c) Carregamento C3
Considera-se, agora, a ação permanente g
3
, igual g
1
, e a ação variável q
3
correspondente ao dobro do valor de q
1
. Portanto, chega-se a:
67,0
p
g
3
3
= 33,0
p
q
3
3
= 50,0
g
q
3
3
=
Admitindo-se como ação permanente o peso próprio da laje somado às cargas de
revestimento e peso de paredes que possam estar apoiadas sobre ela, adotados 1,50 kN/m
2
e
2,50 kN/m
2
, respectivamente, e obedecendo-se as relações entre as ações indicadas nos itens
a, b e c anteriores, montou-se a Tabela 3.2, com os valores do carregamento das lajes para
diversas alturas consideradas.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 88
Tabela 3.2 – Carregamento das lajes
Carregamento C1 (kN/m
2
) Carregamento C2 (kN/m
2
) Carregamento C3 (kN/m
2
) h
(cm)
g
1
q
1
p
1
g
2
q
2
p
2
g
3
q
3
p
3
7 5,75 1,44 7,19 4,31 2,88 7,19 5,75 2,88 8,63
8 6,00 1,50 7,50 4,50 3,00 7,50 6,00 3,00 9,00
9 6,25 1,56 7,81 4,69 3,13 7,81 6,25 3,13 9,38
10 6,50 1,63 8,13 4,88 3,25 8,13 6,50 3,25 9,75
11 6,75 1,69 8,44 5,06 3,38 8,44 6,75 3,38 10,13
12 7,00 1,75 8,75 5,25 3,50 8,75 7,00 3,50 10,50
13 7,25 1,81 9,06 5,44 3,63 9,06 7,25 3,63 10,88
14 7,50 1,88 9,38 5,63 3,75 9,38 7,50 3,75 11,25
15 7,75 1,94 9,69 5,81 3,88 9,69 7,75 3,88 11,63
16 8,00 2,00 10,00 6,00 4,00 10,00 8,00 4,00 12,00
17 8,25 2,06 10,31 6,19 4,13 10,31 8,25 4,13 12,38
18 8,50 2,13 10,63 6,38 4,25 10,63 8,50 4,25 12,75
19 8,75 2,19 10,94 6,56 4,38 10,94 8,75 4,38 13,13
20 9,00 2,25 11,25 6,75 4,50 11,25 9,00 4,50 13,50
21 9,25 2,31 11,56 6,94 4,63 11,56 9,25 4,63 13,88
22 9,50 2,38 11,88 7,13 4,75 11,88 9,50 4,75 14,25
23 9,75 2,44 12,19 7,31 4,88 12,19 9,75 4,88 14,63
24 10,00 2,50 12,50 7,50 5,00 12,50 10,00 5,00 15,00
25 10,25 2,56 12,81 7,69 5,13 12,81 10,25 5,13 15,38
26 10,50 2,63 13,13 7,88 5,25 13,13 10,50 5,25 15,75
27 10,75 2,69 13,44 8,06 5,38 13,44 10,75 5,38 16,13
28 11,00 2,75 13,75 8,25 5,50 13,75 11,00 5,50 16,50
29 11,25 2,81 14,06 8,44 5,63 14,06 11,25 5,63 16,88
30 11,50 2,88 14,38 8,63 5,75 14,38 11,50 5,75 17,25
3.3 PARÂMETROS ADOTADOS
Para o cálculo dos deslocamentos, é necessário o conhecimento de parâmetros tais
como as propriedades dos materiais, as condições do ambiente, a idade de aplicação das
ações e suas combinações. A seguir são tecidos alguns comentários sobre eles.
3.3.1 COMBINAÇÕES DAS AÇÕES
A NBR 6118 (2003) recomenda que seja adotada a combinação quase-permanente
de ações para a verificação do estado limite de deformações excessivas, e a Prática
Recomendada IBRACON (2003) sugere que, nos casos onde os deslocamentos excessivos
possam causar danos nos elementos de acabamento, deve ser utilizada uma combinação
freqüente de ações. Assim, optou-se por calcular os deslocamentos utilizando-se essas duas
combinações de ações. De acordo com o item 2.6.1.a, do capítulo 2, e considerando-se
edifícios residenciais usuais, pode-se escrever:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 89
• Combinação quase permanente de ações:
qkgkser,d
F3,0FF +=
• Combinação freqüente de ações:
qkgkser,d
F4,0FF +=
sendo:
F
d,ser
a ação de serviço com seu valor de cálculo, calculada de acordo com a combinação
de ações utilizada,
F
gk
as ações permanentes com seus valores característicos,
F
qk
as ações variáveis com seus valores característicos.
3.3.2 MATERIAIS
O aço utilizado foi o CA-50, cujo módulo de deformação longitudinal pode ser
considerado, segundo a NBR 6118 (2003), igual a 210 GPa. Para o concreto, foram
adotados:
• Coeficiente de Poisson (ν) = 0,20
• Resistência característica à compressão (f
ck
) = 25 e 35 MPa;
Para esses valores de f
ck
, o módulo de deformação tangente (E
ci
) e a resistência
média do concreto à tração (f
ctm
) assumem, de acordo com a NBR 6118 (2003), os valores
fornecidos na Tabela 3.3. Vale ressaltar que foi utilizado o módulo de deformação tangente e
não o secante, pois os deslocamentos foram calculados a partir de uma análise não-linear.
Tabela 3.3 – Propriedades do concreto
f
ck
(MPa) E
ci
(kN/cm
2
) f
ctm
(kN/cm
2
)
25 2800 0,256
35 3313 0,321
3.3.3 CONDIÇÕES DO AMBIENTE
Como foi mencionado no Capítulo 2, os deslocamentos diferidos no tempo
dependem do comportamento do concreto com o tempo, ou seja, da retração e da fluência
deste material. São fenômenos bastante influenciados pelas condições do ambiente,
principalmente temperatura e umidade relativa. Assim, para a determinação dos
deslocamentos, foram adotados a umidade relativa média U igual a 60% e a temperatura
média T de 25 °C.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 90
3.3.4 IDADE DE APLICAÇÃO DAS AÇÕES
Os deslocamentos dependem também da idade t
0
de aplicação das ações
permanentes e variáveis. Os valores adotados foram:
• para ações permanentes: t
0
= 28 dias
• para ações variáveis: t
0
= 45 dias
3.4 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS
Além da definição dos parâmetros comentados no item anterior, o cálculo dos
deslocamentos imediatos e os diferidos, a partir do programa ANPAV, requer a discretização
das lajes em elementos finitos e o conhecimento das armaduras. Para maior clareza definem-
se os deslocamentos imediatos como sendo a parcela elástica-linear acrescida da parcela não-
linear devida à fissuração, se houver. Já os deslocamentos diferidos no tempo são calculados
com as parcelas não-lineares devidas à retração e à fluência do concreto.
3.4.1 DISCRETIZAÇÃO DAS LAJES
Exceto para o tipo 5, a discretização das lajes foi feita de forma a se aproveitar o
eixo ou os eixos de simetria, visando à simplificação da entrada de dados. Para as relações
entre vãos compreendidas entre 1,0 e 2,0, foram adotados elementos finitos quadrados e de
lado igual a um décimo do menor vão da laje. Já para relações entre vãos iguais a 3,0 e 4,0,
embora também tenham sido utilizados elementos quadrados, tomou-se o comprimento do
lado igual a um oitavo do menor vão da laje. A espessura da laje h foi discretizada em dez
camadas.
Vale ressaltar que, com o intuito de se evitarem problemas causados por elementos
muito pequenos, procurou-se adotar, como sugere OLIVEIRA (2001), relações h
eq
/h maiores
que 2,5, sendo:
Ah
heq
⋅α= (3.1)
na qual:
h
eq
a altura equivalente;
A a área do elemento;
α?
h
= lineares elementos para 2
= raisquadrilate elementos para 1
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 91
3.4.2 DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS
Os momentos fletores atuantes foram calculados a partir de uma análise elástica de
cada um dos tipos de lajes apresentados na Figura 3.1, com as variações de vãos indicadas no
item 3.2.2, e para as diversas alturas necessárias. Com esses momentos, foram determinadas
as áreas de aço n
as duas direções da laje, de acordo com as recomendações da
NBR 6118 (2003).
3.4.3 VALORES DOS DESLOCAMENTOS
Utilizando-se as combinações de ações quase-permanente e freqüente nos modelos
com todas as características anteriormente comentadas, o ANPAV pode fornecer os
deslocamentos das diversas lajes correspondentes aos tipos apresentados na Figura 3.1 e com
as variações de geometria indicadas no item 3.2.2.
Inicialmente, para a determinação dos deslocamentos imediatos, as lajes foram
analisadas sem a consideração dos efeitos do tempo. Em seguida, tais efeitos foram levados
em conta para a obtenção dos deslocamentos totais. Os deslocamentos diferidos foram
determinados pela subtração dos deslocamentos imediatos dos totais. Vale ressaltar que o
tempo t adotado para os efeitos de longa duração foi maior que seis anos (t > 6 anos).
Para cada laje, o ponto de partida do estudo foi a altura mínima necessária para
resistir à flexão, respeitando limite inferior de 7 cm para lajes de piso, como recomenda a
NBR 6118 (2003).
Já a determinação de uma altura mínima que não leve a laje a um estado limite de
deformações excessivas foi feita pela comparação dos deslocamentos calculados com os
limites das verificações apresentados na Tabela 2.4 do capítulo 2. As referidas verificações
são as seguintes:
• Limites referentes à aceitabilidade sensorial:
• Visual : Verificação 1
O deslocamento total devido à combinação de ações considerada deve respeitar
o limite:
250
a
qg,t
l
≤
ψ+
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 92
• Vibrações : Verificação 2
O deslocamento imediato devido à ação variável total deve respeitar o limite:
350
a
q,i
l
≤
• Limites devidos a efeitos nos elementos não estruturais:
• Efeitos em paredes: Verificação 3
O deslocamento incremental, que ocorre após a construção dos elementos não
estruturais, deve respeitar os seguintes limites:
=θ
≤
rad 0,0017
mm10
250
a
inc
l
Essas verificações foram feitas para deslocamentos determinados tanto com a
combinação de ações quase-permanente quanto a freqüente. Assim, adotou-se a seguinte
denominação:
• Verificação 1A: Verificação 1 para uma combinação quase-permanente de ações.
• Verificação 1B: Verificação 1 para uma combinação freqüente de ações.
• Verificação 2 : considerando-se apenas a carga variável total.
• Verificação 3A: Verificação 3 para uma combinação quase-permanente de ações.
• Verificação 3B: Verificação 3 para uma combinação freqüente de ações.
Quando uma altura adotada para a laje não satisfazia às condições anteriores, uma
nova altura era processada, tendo seus deslocamentos calculados e verificados. Este
procedimento foi repetido para cada laje dos diversos tipos estudados, até se chegar em uma
altura que atendesse a todas as verificações.
Para ilustrar esse procedimento, são apresentados no Anexo A, os valores dos
deslocamentos obtidos para alguns tipos de laje. Devido ao grande número de lajes
analisadas, aproximadamente cinco mil e quinhentas, optou-se por não apresentar todos os
valores de deslocamentos. Entretanto, todos os resultados serão disponibilizados de uma
maneira conveniente junto ao Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 93
3.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS
Com os deslocamentos obtidos seguindo-se os procedimentos mencionados no item
anterior, fez-se uma avaliação da influência dos principais parâmetros envolvidos
diretamente na determinação desses valores. Também foram elaboradas propostas para a
determinação de um coeficiente multiplicador para os deslocamentos imediatos, e de uma
altura mínima para as lajes que dispensa a verificação dos deslocamentos.
3.5.1 INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS DE CÁLCULO
Apresenta-se a seguir, uma síntese do estudo da influência dos principais parâmetros
envolvidos no cálculo dos deslocamentos, com o intuito de facilitar o entendimento dos
procedimentos propostos.
a) Tipos de lajes
Quanto mais lados engastados a laje apresentar, principalmente ao longo dos maiores
vãos, menores serão seus deslocamentos. Esse comportamento pode ser observado na Figura
3.2, onde estão representados os deslocamentos totais médios para cada tipo de laje,
anteriormente definidos no item 3.2.1 e ilustrados na Figura 3.1. Ressalta-se que esses
deslocamentos totais médios correspondem à média aritmética dos deslocamentos totais
devidos à combinação quase-permanente de ações, para cada tipo de laje. O mesmo
comportamento foi observado para os demais deslocamentos e ações atuantes.
Observa-se que para as lajes que têm o mesmo tipo de vinculação ao longo do maior
vão, os deslocamentos médios obtidos foram bastante semelhantes uns dos outros diferindo
em, no máximo, 1,5%. Isso demonstra a influência relativamente pequena que a presença de
engastamentos ao longo dos vãos menores exerce sobre os deslocamentos das lajes.
Os deslocamentos das lajes dos tipos 1, 2 e 3, que não apresentam engastamentos nas
extremidades dos vãos menores, foram, em média, 20 % maiores que as lajes dos tipos 4, 5 e
6, que apresentam um dos maiores vãos engastados, e 48 % maiores que as lajes dos tipos 7,
8 e 9, que apresentam os dois maiores vãos engastados.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 94
Tipos de laje
Deslocamentos totais médios (cm)
987654321
0,90
0,85
0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
Figura 3.2 – Comparação entre as condições de apoio das lajes e seus deslocamentos médio
b) Resistência à Compressão do Concreto
Com o aumento da resistência característica à compressão do concreto f
ck
, sabe-se
que os valores dos deslocamentos tendem a diminuir, já que se aumenta o módulo de
deformação longitudinal do concreto, e, consequentemente, a rigidez da laje.
Para o aumento do f
ck
de 25 MPa para 35 MPa, foi observada uma redução média
diferente para os deslocamentos imediatos, diferidos no tempo, incrementais e totais.
Para os deslocamentos imediatos, essa redução ficou entre 15%, para os
deslocamentos devidos somente à ação permanente, e 20%, para os deslocamentos devidos
às combinações quase-permanente e freqüente de ações. Esses valores são inferiores aos
obtidos para os deslocamentos diferidos, incrementais e totais, cuja redução foi de 25%.
Essa menor redução dos deslocamentos imediatos, principalmente para os devidos à
ação permanente, se justifica pelo fato de que, para esse nível de solicitação, o concreto
ainda não apresenta fissuras, ou está pouco fissurado, o que resulta numa participação mais
efetiva do concreto entre as fissuras. O momento de inércia da seção transversal é
praticamente igual ao da seção não fissurada, levando a um comportamento
aproximadamente elástico. Assim sendo, a redução dos deslocamentos é inversamente
proporcional ao aumento do valor módulo de elasticidade tangente do concreto, que para
valores de f
ck
iguais a 25 e 35 MPa , valem 28000 MPa e 33130 MPa, respectivamente.
Ainda para os deslocamentos imediatos, com o crescimento no valor da ação atuante,
atingindo os valores das combinações de ações quase-permanente ou freqüente, o concreto já
se encontra em um nível de fissuração mais avançado, e o momento de inércia da seção
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 95
transversal tem valor compreendido entre o da seção fissurada e o da seção totalmente
fissurada. Assim, o aumento do f
ck
, que causa, além do acréscimo no módulo de elasticidade
do concreto, o aumento do momento de fissuração do elemento, leva a valores mais elevados
de momentos de inércia das seções transversais. Portanto, tem-se um aumento da rigidez do
elemento, maior do que aquele que ocorre com a ação das ações permanentes.
Conforme já se mencionou, os deslocamentos diferidos no tempo diminuíram, em
média, 25% com o aumento do f
ck
. Essa maior redução desses deslocamentos foi decorrente
não só do aumento da rigidez do elemento, como comentado anteriormente, mas também da
diminuição da fluência do concreto relacionada ao aumento do f
ck
.
Finalmente, os deslocamentos totais apresentaram uma redução média da ordem de
22%, portanto, intermediária à dos deslocamentos imediatos e diferidos.
c) Casos de Carregamento
Como já era esperado, os deslocamentos totais devidos ao carregamento C1 foram
maiores que os devidos ao carregamento C2 e menores que os devidos ao carregamento C3.
Além disso, como as lajes em serviço apresentam poucas fissuras, as relações entre
os valores obtidos para deslocamentos devidos às ações consideradas nos carregamentos C1,
C2 e C3 guardam quase que a mesma proporção que as próprias ações desses carregamentos
mantêm entre si. Assim, as relações entre os deslocamentos imediatos, diferidos e totais
devidos às ações permanentes, às combinações de ações quase-permanentes e freqüente, e à
ação total de cada caso de carregamento, são fornecidas na Tabela 3.4.
Tabela 3.4 – Relações entre os deslocamentos devidos às ações dos casos de carregamento
Relação entre os
Carregamentos
g g + 0,3q g + 0,4q g + q
2C 1C 1,33 1,19 1,16 1,00
3C 1C 1,00 0,93 0,92 0,83
2C 3C 1,33 1,28 1,26 1,20
3.5.2 RELAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTOS DIFERIDOS E IMEDIATOS
De posse dos deslocamentos diferidos e imediatos calculados pelo programa
ANPAV para os diversos casos analisados, pode-se estudar os coeficientes multiplicadores
dos deslocamentos imediatos a serem utilizados para a obtenção aproximada dos
deslocamentos diferidos no tempo. Obviamente, esses multiplicadores são obtidos a partir da
relação entre esses deslocamentos mencionados e possuem grande importância prática.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 96
Importante ressaltar que neste trabalho os referidos coeficientes serão chamados, por
conveniência, de coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos.
Analisando-se os resultados referentes a cada caso de carregamento, pode-se
observar que as condições de contorno e os vãos das lajes exerceram pouca influência nos
valores médios do coeficiente, sendo a altura da laje seguida da resistência característica à
compressão do concreto, f
ck
, os parâmetros de maior influência. Na Tabela 3.5, são
apresentados os valores médios dos coeficientes obtidos para as diversas alturas de lajes, f
ck
,
e casos de carregamento.
Tabela 3.5 – Valores médios dos coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos
f
ck
= 25 Mpa f
ck
= 35 Mpa h
(cm)
C1
C2
C3
C1
C2
C3
7 2,60 2,53 2,59 2,21 2,18 2,21
8 2,59 2,53 2,57 2,18 2,17 2,18
9 2,52 2,50 2,50 2,14 2,15 2,13
10 2,48 2,43 2,43 2,08 2,13 2,07
11 2,45 2,42 2,42 2,06 2,08 2,04
12 2,40 2,41 2,38 2,03 2,05 2,01
13 2,36 2,37 2,35 2,01 2,04 2,00
14 2,34 2,32 2,31 1,97 2,00 1,98
15 2,30 2,30 2,28 1,94 1,97 1,94
16 2,29 2,28 2,25 1,92 1,96 1,91
17 2,28 2,24 2,24 1,91 1,92 1,88
18 2,20 2,22 2,18 1,85 1,89 1,87
19 2,18 2,19 2,16 1,81 1,88 1,81
20 2,15 2,18 2,12 1,80 1,84 1,81
Percebe-se que o aumento da altura da laje e do f
ck
levaram à redução dos
coeficientes, para um mesmo carregamento. Entretanto, sua variação entre os casos de
carregamento, para uma mesma altura foi pouco significativa.
Representando os dados da Tabela 3.5, em um gráfico (Figura 3.3), notou-se um
comportamento aproximadamente linear entre o valor do coeficiente e a altura da laje. Já os
valores do f
ck
produzem uma verdadeira translação nos gráficos. Assim, com os valores
obtidos para todos os casos de lajes estudados, determinou-se a expressão a seguir para o
coeficiente multiplicador em função da altura da laje e do f
ck
:
h 032,0f 36,07,3
ckaj,f
−−=α (3.2)
sendo:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 97
α
f,aj
relação entre deslocamentos diferidos e imediatos,
f
ck
resistência característica à compressão do concreto, em kN/cm
2
,
h altura da laje, em cm.
Os valores fornecidos pela eq. (3.2) também são mostrados na Figura 3.3,
evidenciando a boa concordância entre a equação proposta e os valores obtidos com a análise
não-linear (programa ANPAV).
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
7 9 11 13 15 17 19 21
Altura da laje (cm)
Coeficiente Multiplicador dos deslo
C1 (fck = 25 MPa)
C1 (fck = 35 MPa)
C2 (fck = 25 MPa)
C2 (fck = 35 MPa
C3 (fck = 25 MPa)
C3 (fck = 35 MPa
Eq.(3.2) - fck = 25 MPa
Eq.(3.2) - fck = 35 MPa
Figura 3.3 – Variação dos coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos em
função da altura das lajes e do f
ck
Vale ressaltar que a equação proposta para a determinação de coeficientes
multiplicadores dos deslocamentos imediatos, eq.(3.2), só se aplica ao cálculo de
deslocamentos diferidos em um tempo t maior ou igual a seis anos após o início da aplicação
do carregamento, tempo que foi utilizado na análise das lajes.
Como exemplo, pode-se considerar uma laje submetida a um carregamento tal que a
relação entre a ação variável e a ação permanente seja igual a 0,25; a idade de aplicação
dessas ações seja igual a 45 e 28 dias, respectivamente; e que seja considerada uma
combinação freqüente de ações.
Para essa situação, o valor do coeficiente multiplicador segundo a NBR 6118 (2003),
dado pela eq.(2.50) do capítulo 2, seria 1,33, independente da altura da laje e da resistência
característica à compressão do concreto. Pode-se notar que esse valor é significativamente
menor que os fornecidos na Figura 3.3. Isso vem a reforçar a posição de alguns
pesquisadores, conforme comentado no item 2.3.3.c, de que o valor do coeficiente
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 98
multiplicador dos deslocamentos imediatos, fornecido pelo ACI 318 (2002) e adaptado pela
NBR 6118 (2003), tende a subestimar os deslocamentos diferidos para lajes armadas em
duas direções.
A Tabela 3.6, apresentada pelo ACI 435R (1995), reúne algumas propostas de
multiplicadores, segundo autores diversos.
Tabela 3.6 – Coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos para lajes armadas
em duas direções, segundo o ACI 435R (1995).
Fonte Módulo de Ruptura
α
f
(fluência) α
f
(retração) α
f,total
SBAROUNIS (1984) 'f623,0f
cr
⋅= 2,8 1,2 4,0
BRANSON (1977) 'f623,0f
cr
⋅= 2,0 1,0 3,0
GRAHAM & SCANLON 'f623,0f
cr
⋅= 2,0 2,0 4,0
(1986) 'f332,0f
cr
⋅= 1,5 1,0 2,5
ACI 318 (2002) 'f623,0f
cr
⋅= 2,0 2,0
Pode-se observar que o coeficiente multiplicador total, que considera tanto a fluência
quanto a retração, tende a valores mais altos que aqueles propostos pelo ACI 318 (2002),
cujos resultados não são considerados bons para as lajes armadas em duas direções. Mesmo
pela segunda proposta de GRAHAM & SCANLON (1986), na qual esse coeficiente é igual a
2,5, ele deve ser utilizado juntamente com a redução de quase 50% do módulo de ruptura do
concreto, o que representa uma redução do momento de fissuração e, portanto, um aumento
dos deslocamentos imediatos. As demais propostas admitem valores maiores que 3,0.
Entretanto, nenhum dos casos da Tabela 3.6 leva em consideração a influência do f
ck
,
parâmetro, como visto, importante na determinação dos deslocamentos diferidos. Os ensaios
de PAULSON et al. (1991), embora realizados em vigas, indicaram que os valores dos
deslocamentos finais realmente variam com a resistência do concreto à compressão. Para
vigas ensaiadas sem armadura de compressão, como ocorre com as lajes, o aumento do f
ck
levou à redução dos deslocamentos diferidos no tempo, e, conseqüentemente, dos
coeficientes multiplicadores.
Desta forma, dentro dos limites dos parâmetros adotados neste trabalho, já
mencionados nos itens iniciais deste capítulo, a expressão proposta para o cálculo do
coeficiente multiplicador dos deslocamentos imediatos, eq.(3.2), está coerente com os
resultados obtidos por alguns pesquisadores, e fornece uma boa estimativa para os
deslocamentos diferidos em lajes armadas em duas direções.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 99
3.5.3 CRITÉRIOS DE ALTURA MÍNIMA
Com o intuito de simplificar a verificação do estado limite de deslocamentos
excessivos, são propostos dois critérios de altura mínima. Segundo esses critérios, admite-se
que o estado limite de deslocamentos excessivos estará indiretamente verificado se a altura
do elemento estrutural for superior a um determinado limite, que deve ser respeitado
independentemente da altura mínima requerida pelo dimensionamento à flexão. Dessa
forma, o cálculo dos deslocamentos para o elemento em questão poderá ser dispensado.
a) Critério com Base na Relação Menor Vão-Altura Mínima
Bastante comuns na rotina de projetistas de estruturas, as relações menor vão – altura
mínima de lajes são muito utilizadas tanto para o pré-dimensionamento da estrutura quanto
para a verificação dos deslocamentos. Como foi visto no capítulo 2, relações desse tipo
também são recomendadas por diversas normas. Assim, desde que bem calibradas, elas
encontram grande utilização e dão uma boa idéia do comportamento das lajes quanto aos
deslocamentos.
De posse das alturas mínimas das diversas lajes analisadas, alturas estas que
garantiam que os deslocamentos satisfizessem os limites impostos pela NBR 6118 (2003),
comentados no item 3.4.3, foram calculadas as relações vão-altura mínima das lajes, l/h
min
.
A partir da avaliação dos resultados obtidos, observou-se que dos parâmetros
envolvidos no cálculo das alturas mínimas das lajes, aqueles que mais afetaram as relações
vão-altura mínima foram as relações entre os vãos, as condições de apoio do menor vão, a
resistência característica do concreto à compressão, f
ck
, e a verificação que se quer atender.
Já os vãos das lajes, os carregamentos adotados e as combinações de ações exercem pouca
influência nestes valores, levando a relações l/h
min
muito próximas entre si.
As lajes que têm as extremidades do menor vão simplesmente apoiadas, ou seja, as
lajes dos tipos 1, 2 e 3 (Figura 3.1), apresentaram valores de l/h
min
bastante semelhantes. O
mesmo comportamento foi apresentado pelo grupo de laje que têm o menor vão com uma
extremidade engastada e outra apoiada, lajes dos tipos 4, 5 e 6, e pelo grupo de lajes que têm
os maiores vãos engastamentos, lajes dos tipos 7, 8 e 9. Este comportamento é ilustrado nas
Figura 3.4 e Figura 3.5, que apresentam os valores médios das relações vão-altura mínima
para esses tipos de lajes, com f
ck
de 25 e 35 MPa, e que satisfazem às verificações 1, 2 e 3.
Pode-se observar que para o f
ck
de 35 MPa as relações vão-altura mínima aumentam, em
média, 14 %, quando comparadas com as do f
ck
de 25 MPa.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 100
20
25
30
35
40
45
50
55
60
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Relações vão-altura mínimas das lajes
Tipos 1, 2 e 3 (fck = 25 MPa)
Tipos 4, 5 e 6 (fck = 25 MPa)
Tipos 7, 8 e 9 (fck = 25 MPa)
Tipos 1, 2 e 3 (fck = 35 MPa)
Tipos 4, 5 e 6 (fck = 35 MPa)
Tipos 7, 8 e 9 (fck = 35 MPa)
Figura 3.4 – Relações vão-altura mínima que satisfazem à verificação 1
20
25
30
35
40
45
50
55
60
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Relações vão-altura mínima das lajes
Tipos 1, 2 e 3 (fck = 25 MPa)
Tipos 4, 5 e 6 (fck = 25 MPa)
Tipos 7, 8 e 9 (fck = 25 MPa)
Tipos 1, 2 e 3 (fck = 35 MPa)
Tipos 4, 5 e 6 (fck = 35 MPa)
Tipos 7, 8 e 9 (fck = 35 MPa)
Figura 3.5 – Relações vão-altura mínima que satisfazem às verificações 2 e 3
Diante do exposto, chegou-se à seguinte expressão para a relação vão-altura mínima
de laje:
α
β
=
min
x
h
L
(3.3)
sendo:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 101
β a relação vão-altura mínima para as lajes dos tipos 1, 2 e 3, cujos valores são
fornecidos pelas eqs.(3.4) e (3.5), e para o f
ck
igual a 25 MPa, seus valores são
apresentados na Tabela 3.7,
α o coeficiente que leva em consideração as condições de apoio das lajes, corrigindo os
valores do coeficiente β para os demais tipos de lajes, e cujos valores são
apresentados na Tabela 3.8,
L
x
o menor vão da laje,
h
min
a altura mínima da laje.
Tabela 3.7 – Valores de β para o f
ck
de 25 MPa
Aceitabilidade Sensorial
Efeitos em elementos
não estruturais
x
y
L
L
Visual Vibrações Efeito em paredes
1,0 40 39 39
1,2 36 35 35
1,4 33 31 31
1,6 31 28 28
1,8 29 26 26
2,0 28 25 25
> 2,0 25 22 22
Tabela 3.8 – Valores do coeficiente α
Aceitabilidade Sensorial
Efeitos em elementos não
estruturais
Visual Vibrações Efeito em paredes
x
y
L
L
Tipos
1, 2 e 3
Tipos
4, 5 e 6
Tipos
7, 8 e 9
Tipos
1, 2 e 3
Tipos
4, 5 e 6
Tipos
7, 8 e 9
Tipos
1, 2 e 3
Tipos
4, 5 e 6
Tipos
7, 8 e 9
1,0 a 2,0 1,00 0,93 0,84 1,00 0,90 0,80 1,00 0,90 0,80
> 2,0 1,00 0,88 0,74 1,00 0,85 0,70 1,00 0,85 0,70
Os valores de β fornecidos na Tabela 3.7 valem para resistência característica do
concreto à compressão igual a 25 MPa. Para valores diferentes de f
ck
, os valores de β podem
ser determinados utilizando-se as expressões a seguir, respeitando-se sua variação com a
relação entre os vãos das lajes.
Para a verificação de aceitabilidade sensorial com relação a aspectos visuais, tem-se:
3
x
y
2
x
y
x
y
ck
L
L
36,1
L
L
2,13
L
L
7,42f0,461
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β (3.4)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 102
Para a verificação de aceitabilidade sensorial com relação a vibrações, e para a
verificação dos efeitos em paredes, vale:
3
x
y
2
x
y
x
y
ck
L
L
77,1
L
L
5,16
L
L
5,51f5,367
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β (3.5)
sendo:
f
ck
resistência característica à compressão do concreto, em kN/cm
2
,
L
x
o menor vão da laje, em cm,
L
y
o maior vão da laje, em cm.
Para as lajes com relação entre o maior e o menor vão superior a 2,0, para o cálculo
de β a partir das eqs.(3.4) e (3.5), deve-se utilizar o valor 3,0 para está relação.
Nas figuras a seguir, têm-se os valores das relações menor vão-altura mínima de
todos os tipos de lajes, em função das relações entre os vãos das lajes e do f
ck
. São
apresentados os valores calculados a partir da eq.(3.3), com os coeficientes β determinados
de acordo com as eqs. (3.4) e (3.5), e os coeficientes α fornecidos pela Tabela 3.8. Têm-se,
também, os valores médios obtidos com a análise não-linear (programa ANPAV).
Pode-se observar que os valores determinados a partir das equações propostas são
bastante próximos dos fornecidos pela análise não-linear, principalmente, para relações entre
os vãos das lajes entre 1,0 e 2,0, correspondentes às lajes armadas em duas direções.
Embora, para relações entre os vãos das lajes maiores que 2,0, ou seja, para as lajes armadas
em uma direção, os valores propostos sejam um pouco menores que os médios, a maior
diferença foi aproximadamente 5%.
20
25
30
35
40
45
50
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Relações vão-altura mínimas das lajes
Tipos 1, 2 e 3 - eq. (3.4)
Tipos 4, 5 e 6 - eq. (3.4)
Tipos 7, 8 e 9 - eq. (3.4)
Tipos 1, 2 e 3 - Valores médios
Tipos 4, 5 e 6 - Valores médios
Tipos 7, 8 e 9 - Valores médios
Figura 3.6 – Relações vão-altura mínima que satisfazem à verificação 1 (f
ck
= 25 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 103
25
30
35
40
45
50
55
60
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Relações vão-altura mínima das lajes
Tipos 1, 2 e 3 - eq. (3.4)
Tipos 4, 5 e 6 - eq. (3.4)
Tipos 7, 8 e 9 - eq. (3.4)
Tipos 1, 2 e 3 - Valores médios
Tipos 4, 5 e 6 - Valores médios
Tipos 7, 8 e 9 - Valores médios
Figura 3.7 – Relações vão-altura mínima que satisfazem à verificação 1 (f
ck
= 35 MPa)
20
25
30
35
40
45
50
55
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Relações vão-altura mínima das lajes
Tipos 1, 2 e 3 - eq. (3.5)
Tipos 4, 5 e 6 - eq. (3.5)
Tipos 7, 8 e 9 - eq. (3.5)
Tipos 1, 2 e 3 - Valores médios
Tipos 4, 5 e 6 - Valores médios
Tipos 7, 8 e 9 - Valores médios
Figura 3.8 – Relações vão-altura mínima que satisfazem às verificações 2 e 3 (f
ck
= 25 MPa)
20
25
30
35
40
45
50
55
60
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Relações vão-altura mínimas das lajes
Tipos 1, 2 e 3 - eq. (3.5)
Tipos 4, 5 e 6 - eq. (3.5)
Tipos 7, 8 e 9 - eq. (3.5)
Tipos 1, 2 e 3 - Valores médios
Tipos 4, 5 e 6 - Valores médios
Tipos 7, 8 e 9 - Valores médios
Figura 3.9 – Relações vão-altura mínima que satisfazem às verificações 2 e 3 (f
ck
= 35 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 104
b) Expressão para o Cálculo da Altura Mínima
No item anterior foi apresentada uma expressão para a determinação da relação entre
o vão da laje e a altura mínima que esta deve possuir para que não venha a sofrer
deslocamentos excessivos. Entretanto, tal expressão é simplificada já que foi determinada a
partir dos valores médios obtidos para as lajes.
Para levar em conta os principais parâmetros que foram utilizados para a análise das
lajes, comentados no início deste capítulo, fez-se uma regressão de variáveis múltiplas e
obteve-se a seguinte expressão para o cálculo da altura mínima da laje:
cm 7
L
L
pLfh
x
y
5ser,d4x3ck210min
≥⋅η+⋅η+⋅η+⋅η+κ⋅η+η=
(3.6)
sendo:
h
min
a altura mínima da laje, em cm, a ser utilizada para dispensar o cálculo dos
deslocamentos,
f
ck
resistência característica à compressão do concreto, em kN/cm
2
,
L
x
o menor vão da laje, em cm,
L
y
o maior vão da laje, em cm,
p
d,ser
a ação de serviço estimada para a laje, correspondente a uma combinação de ações
quase-permanente ou freqüente, em kN/cm
2
. Para a verificação 2, corresponde à
relação entre a ação variável e a ação total
p
q
,
η
i
coeficientes que dependem do tipo de verificação e da combinação de ações adotada,
cujos valores são fornecidos nas Tabela 3.9 e Tabela 3.10,
κ coeficiente que depende das condições de apoio das lajes, e, de acordo com a
classificação apresentada no item 3.2.1, vale:
κ = 1 para lajes do Tipo 1,
κ = 2 para lajes do Tipo 2,
κ = 3 para lajes do Tipo 3,
κ = 4 para lajes do Tipo 4,
κ = 5 para lajes do Tipo 5,
κ = 6 para lajes do Tipo 6,
κ = 7 para lajes do Tipo 7,
κ = 8 para lajes do Tipo 8,
κ = 9 para lajes do Tipo 9.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 105
Tabela 3.9 – Valores dos coeficientes η
i
para lajes armadas em uma direção.
Verificações e
Coeficientes η
Combinação de ações
η
0
η
1
η
2
η
3
η
4
η
5
Verificação 1A -0,50 -0,40 -1,30 0,025 9480 0,48
Verificação 1B -0,60 -0,40 -1,30 0,026 9080 0,50
Verificação 2 3,00 -0,45 -1,70 0,035 2,35 0,54
Verificação 3A -0,24 -0,56 -1,33 0,027 9900 0,44
Verificação 3B -0,32 0,56 -1,35 0,028 9600 0,45
Tabela 3.10 – Valores dos coeficientes η
i
para lajes armadas em duas direções.
Verificações e
Coeficientes η
Combinação de ações
η
0
η
1
η
2
η
3
η
4
η
5
Verificação 1A -3,5 -0,24 -0,95 0,019 8400 2,63
Verificação 1B -3,7 -0,24 -0,95 0,019 8600 2,65
Verificação 2 -0,1 -0,49 -1,48 0,030 1,42 3,50
Verificação 3A -4,2 -0,33 -1,00 0,021 8850 2,93
Verificação 3B -4,3 -0,33 -1,05 0,022 8620 2,95
Para a estimativa da ação de serviço da laje, necessária para a determinação da altura
mínima da laje, pode-se adotar, para o cálculo do peso próprio da laje, uma altura média, que
em função do vão da laje, vale:
• h
média
= 8 cm, para L
x
= 3,0 m,
• h
média
= 11 cm, para 3,0m < L
x
= 4,0 m,
• h
média
= 13 cm, para 4,0m < L
x
= 5,0 m,
• h
média
= 17 cm, para 5,0m < L
x
= 6,0 m.
Nas figuras a seguir, têm-se os valores das alturas mínimas de alguns tipos de lajes,
em função das relações entre os vãos das lajes. São apresentados os valores determinados a
partir da eq.(3.6), e os obtidos com a análise não-linear, e pode-se observar que esses valores
são muito próximos.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 106
0
5
10
15
20
25
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Relações entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.10 – Alturas mínimas de lajes do tipo 1, submetidas ao carregamento C1, e que
satisfazem a verificação 1A (f
ck
= 25 MPa)
0
5
10
15
20
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Relações entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.11 – Alturas mínimas de lajes do tipo 4, submetidas ao carregamento C1, e que
satisfazem a verificação 1B (f
ck
= 35 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 107
0
5
10
15
20
25
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Relações entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.12 – Alturas mínimas de lajes do tipo 5, submetidas ao carregamento C3, e que
satisfazem a verificação 2 (f
ck
= 25 MPa)
0
5
10
15
20
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Relações entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.13 – Alturas mínimas de lajes do tipo 6, submetidas ao carregamento C2, e que
satisfazem a verificação 3A (f
ck
= 35 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 108
0
5
10
15
20
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Relações entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.14 – Alturas mínimas de lajes do tipo 9, submetidas ao carregamento C3, e que
satisfazem a verificação 3B (f
ck
= 25 MPa)
0
5
10
15
20
25
2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.15 – Alturas mínimas de lajes do tipo 2, submetidas ao carregamento C2, e que
satisfazem a verificação 1A (f
ck
= 25 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 109
0
5
10
15
20
25
2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.16 – Alturas mínimas de lajes do tipo 3, submetidas ao carregamento C3, e que
satisfazem a verificação 1B (f
ck
= 35 MPa)
0
5
10
15
20
25
2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.17 – Alturas mínimas de lajes do tipo 7, submetidas ao carregamento C1, e que
satisfazem a verificação 2 (f
ck
= 25 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 110
0
5
10
15
20
2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
Relações entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.18 – Alturas mínimas de lajes do tipo 8, submetidas ao carregamento C2, e que
satisfazem a verificação 3A (f
ck
= 35 MPa)
0
5
10
15
20
25
2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
Relação entre os vãos das lajes
Altura mínima das lajes (cm)
Lx = 3,0 m (ANPAV)
Lx = 3,0 m (Equação 3.6)
Lx = 4,0 m (ANPAV)
Lx = 4,0 m (Equação 3.6)
Lx = 5,0 m (ANPAV)
Lx = 5,0 m (Equação 3.6)
Lx = 6,0 m (ANPAV)
Lx = 6,0 m (Equação 3.6)
Figura 3.19 – Alturas mínimas de lajes do tipo 4, submetidas ao carregamento C2, e que
satisfazem a verificação 3B (f
ck
= 35 MPa)
Calculando-se a diferença entre os valores obtidos com a análise não-linear e os
provenientes da eq. (3.6), tanto para lajes armadas em uma direção como para as armadas
nas duas direções, pode-se notar que, a maioria das diferenças fica entre -1 cm e 1 cm, sendo
15% entre -1 cm e -0,5 cm, 60% entre -0,5 cm e 0,5 cm, e 15% entre 0,5 cm e 1 cm. Para os
10% restantes, têm-se 5% dessas diferenças maiores que -1 cm ou 1 cm, como mostra a
Figura 3.20.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 111
Diferença (cm)
Porcentagem
210-1-2
99,99
99
95
80
50
20
5
1
0,01
Figura 3.20 – Gráfico das porcentagens das diferenças entre os resultados da análise com o
ANPAV e da eq. (3.6)
As diferenças maiores que 1 cm, que seriam os valores contra a segurança,
corresponderam, em sua totalidade, aos valores de alturas menores que 7 cm, fornecidos pela
eq. (3.6). Entretanto, deve-se lembrar que, nas análises das lajes, a altura mínima foi limitada
em 7 cm para respeitar a recomendação para lajes de pavimento da NBR 6118 (2003). Isto
gerou esses valores mais altos para as diferenças, que, no entanto, se anulam com a adoção,
nestes casos, da altura mínima igual a 7 cm.
Vale ressaltar que podem ser adotadas alturas menores que as obtidas a partir das
eqs. (3.3) e (3.6), porém, os deslocamentos devem ser calculados, e seus valores comparados
com os limites impostos pela NBR 6118 (2003), já comentados anteriormente.
c) Exemplos de Cálculo
A seguir, são apresentados dois exemplos de determinação da altura mínima de lajes,
utilizando-se as equações propostas nos itens anteriores.
Exemplo 1
Estudou-se uma laje do tipo 4 (Figura 3.1), com o menor e o maior vão iguais a
4,0 m e 12,0 m, respectivamente. A resistência característica do concreto à compressão foi
de 25 MPa, e seu carregamento foi composto pelas seguintes parcelas:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 112
• Ação devida ao peso do piso e revestimentos: 1,50 kN/m
2
;
• Ação devida ao peso das paredes: 2,50 kN/m
2
;
• Ação variável: 1,5 kN/m
2
.
Inicialmente, a altura mínima da laje foi calculada a partir da eq. (3.3). Como era
uma laje do tipo 4 e armada em uma direção, e o f
ck
era igual a 25 MPa, os coeficientes β e α
puderam ser obtidos diretamente das Tabela 3.7 e Tabela 3.8, respectivamente. Assim, para a
verificação da aceitabilidade sensorial quanto a aspectos visuais (verificação 1), encontrou-se
β = 25 e α = 0,88. Portanto, pela eq. (3.3), obteve-se:
cm 14
25
40088,0
L
h
x
min
=
⋅
=
β
⋅
α
=
Para as verificações da aceitabilidade sensorial quanto às vibrações e do efeito dos
deslocamentos nas paredes (verificações 2 e 3), os coeficientes β e α foram 22 e 0,85,
respectivamente, e a altura mínima foi igual a:
cm 4,15
22
40085,0
L
h
x
min
=
⋅
=
β
⋅
α
=
Desta forma, para satisfazer a verificação 1, a altura da laje precisou ser maior ou
igual a 14 cm. Já para satisfazer as verificações 2 e 3, a altura precisou ser maior ou igual a
15,4 cm.
Em seguida, utilizou-se a eq. (3.6) para a determinação de h
min
. Para a estimativa do
peso próprio da laje, adotou-se uma altura média de 11 cm, já que o menor vão foi igual a
4,0 m.
Considerando o peso específico do concreto igual a 25 kN/m
3
, o peso próprio da laje
ficou em 2,75 kN/m
2
. Assim, a ação permanente total foi de 6,75 kN/m
2
, e calculou-se as
seguintes ações de serviço:
• Combinação quase-permanente:
22
ser,d
kN/cm 0,00072 kN/m 2,750,13,075,6q3,0gp ==⋅+=+=
• Combinação freqüente:
22
ser,d
kN/cm 0,000735 kN/m 35,750,14,075,6q4,0gp ==⋅+=+=
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 113
Para a verificação 1, considerando-se a combinação quase-permanente de ações, e a
partir dos coeficientes η dados da Tabela 3.9, a eq. (3.6) pode ser escrita da seguinte forma:
L
L
,480 p9480L025,0f30,140,050,0h
x
y
ser,dxckmin
⋅+⋅+⋅+⋅−κ⋅−−=
para a qual o coeficiente κ foi 4, já que se tratava de uma laje do tipo 4. Portanto
cm 9,12h
3,480 00072,09480400025,05,230,1440,050,0h
A1vermin
A1vermin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
−
=
−
−
De maneira similar, para a verificação 1, considerando-se a combinação freqüente de
ações, a eq. (3.6), resultou em:
cm 1,13h
3,500 000735,09080400026,05,230,1440,060,0h
B1vermin
B1vermin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
−
=
−
−
Logo, para a verificação 1, tanto para a combinação quase-permanente quanto
freqüente, a altura mínima obtida a partir da eq. (3.6), foi, aproximadamente, igual a 13 cm.
Para a verificação 2, a eq. (3.6) forneceu:
cm 133,540 18,035,2400035,05,270,1445,00,3h
2vermin
=⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−=
−
lembrando que, neste caso, entra-se na eq. (3.6) com a razão entre a ação variável e ação
total, em vez da ação de serviço, p
d,ser
.
Para a verificação 3, considerando-se mais uma vez as combinações quase-
permanente e freqüente de ações e os coeficientes η fornecidos na Tabela 3.9, a eq. (3.6)
levou a:
cm 4,13h
3,440 00072,09900400027,05,233,1456,024,0h
A3vermin
A3vermin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
−
=
−
−
cm 7,13h
3,450 000735,09600400028,05,235,1456,032,0h
B3vermin
B3vermin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
−
=
−
−
Diante dos resultados obtidos, pode-se observar que o uso da eq. (3.6) resultou em
alturas mínimas menores que as obtidas utilizando-se a eq. (3.3). Isto ocorreu,
principalmente, devido ao fato de que, para a obtenção da eq. (3.3), foram considerados os
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 114
valores médios das relações menor vão – altura mínima, enquanto que para a eq. (3.6), foram
levadas em conta as alturas mínimas de todas as lajes analisadas.
Para se comprovar que os valores de alturas mínimas obtidos com a eq. (3.6), não
levaram a laje a um estado de deslocamentos excessivos, foi feita uma análise da laje com o
programa ANPAV. Para isso, considerou-se uma altura mínima igual a 13 cm para todas as
verificações dos deslocamentos, e os carregamentos foram ajustados em função da altura
adotada. Os deslocamentos obtidos foram apresentados na Tabela 3.11.
Tabela 3.11 – Deslocamentos da laje do exemplo 1, para h = 13 cm (ANPAV)
Deslocamentos (cm)
Ações
Imediatos Totais Diferidos Incrementais
Relação entre os
desls. diferidos e
imediatos
Permanente 0,20 0,67 0,47 - 2,35
Quase-permanente 0,25 0,85 0,60 0,65 2,40
Freqüente 0,28 0,96 0,68 0,76 2,42
Total 0,47 1,60 1,13 - 2,40
Variável 0,27 0,93 0,66 - 2,44
Para um vão de 4,0 m, os limites dos deslocamentos para as verificações 1, 2 e 3,
foram, respectivamente:
cm 6,1
250
400
250
a
qg,t
≤≤≤
ψ+
l
cm 14,1
350
400
350
a
q,i
≤≤≤
l
cm 0,1a
cm0,1
cm 6,1
250
400
250
a
incinc
≤⇒
==
≤
l
Observa-se, assim, que os deslocamentos obtidos atendem a todas as verificações.
Os deslocamentos totais e incrementais devidos às combinações quase-permanente e
freqüente foram menores que 1,6 cm e 1,0 cm, respectivamente, e o deslocamento imediato
devido à ação variável foi menor que 1,14 cm.
Na Tabela 3.11, foram colocadas também as relações entre os deslocamentos
diferidos e imediatos resultantes da análise não-linear. Pode-se notar que essas relações
variaram entre 2,35 e 2,44, com um valor médio de 2,4. Pela eq. (3.2), proposta para o
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 115
cálculo do coeficiente multiplicador dos deslocamentos imediatos para o cálculo dos
deslocamentos diferidos, obteve-se:
2,38130,032-2,50,36-3,7h 032,0f 36,07,3
ckaj,f
=⋅⋅=−−=α
Observa-se, então, que o valor fornecido pela eq. (3.2) de 2,38 é bastante próximo
dos valores obtidos com a análise não-linear (ANPAV).
Exemplo 2
Estudou-se em seguida uma laje do tipo 7 (Figura 3.1), para a qual o menor vão foi
igual a 5,0 m e a relação entre os vãos foi igual a 1,4. As ações foram iguais às do
exemplo 1, e o f
ck
foi de 35 MPa.
Para o cálculo das alturas mínimas pela eq. (3.3), foi necessário utilizar as eqs. (3.4)
e (3.5) para o cálculo do coeficiente β, já que o f
ck
foi diferente de 25 MPa. Logo, para a
verificação 1, calculou-se:
(
)
(
)
(
)
4,374,136,14,12,134,17,425,30,461
32
=⋅−⋅+⋅−⋅+=β
Para as verificações 2 e 3, o coeficiente β foi:
(
)
(
)
(
)
6,344,177,14,15,164,15,515,35,367
32
=⋅−⋅+⋅−⋅+=β
Para laje do tipo 7, e pela Tabela 3.8, os coeficientes α para a verificação 1 e para as
verificações 2 e 3, foram 0,84 e 0,80, respectivamente.
Assim, pela eq.(3.3), as alturas mínimas que atenderam às verificações 1, 2 e 3,
foram iguais a:
cm 2,11
4,37
50084,0
L
h
x
1vermin
=
⋅
=
β
⋅
α
=
−
e,
cm 6,11
6,34
50080,0
L
h
x
3 e 2vermin
=
⋅
=
β
⋅
α
=
−
Como o menor vão da laje foi igual a 5,0 m, pode-se considerar uma altura média de
13 cm para o cálculo do peso próprio da laje, definindo-se, assim, o carregamento para o
cálculo da altura mínima a partir da eq. (3.6).
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 116
Para essa altura de 13 cm, o peso próprio ficou em 3,25 kN/m
2
, que levou a ações
permanentes, variáveis e totais iguais a 7,25 kN/m
2
, 1,50 kN/m
2
e 8,75 kN/m
2
,
respectivamente. Com esses valores de ações, calculou-se as seguintes ações de serviços:
• Combinação quase-permanente:
22
ser,d
kN/cm 0,000770 kN/m 70,75,13,025,7q3,0gp ==⋅+=+=
• Combinação freqüente:
22
ser,d
kN/cm 0,000785 kN/m 85,70,24,025,7q4,0gp ==⋅+=+=
Da mesma forma que no exemplo 1, com os coeficientes η dados da Tabela 3.10, a
eq. (3.6), para as verificações 1 e 3, com combinações quase-permanente e freqüente de
ações, e para a verificação 2, pode ser escrita da seguinte forma:
cm 1,11h
4,1,632 000770,08400500019,05,395,0724,05,3h
A1vermin
A1vermin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
−
=
−
−
cm 3,11h
4,1,652 000785,08600500019,05,395,0724,07,3h
B1vermin
B1vermin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
−
=
−
−
cm 4,114,1,503 17,042,1500030,05,348,1749,01,0h
2vermin
=⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−−=
−
cm 4,11h
4,1,932 000770,08850500021,05,300,1733,02,4h
A1vermin
A3vermin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
−
=
−
−
cm 6,11h
4,1,952 000785,08600500022,05,305,1733,03,4h
B1vermin
B3vermin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
−
=
−
−
Neste exemplo, pode-se notar que os resultados fornecidos pelas eqs. (3.3) e (3.6)
foram bastante semelhantes. Embora a eq.(3.3) tenha sido obtida a partir de valores médios
das relações menor vão - altura da laje, para as lajes armadas nas duas direções, os valores do
coeficiente β resultantes das eqs. (3.4) e (3.5) foram muito próximos dos valores obtidos com
a análise não-linear. Esse comportamento, que pode ser observado da Figura 3.6 a
Figura 3.9, é o que leva ao bom resultado da eq. (3.3) em comparação com o da eq. (3.6)
Adotando-se a altura mínima igual a 11 cm, foi feita a análise da laje com o
programa ANPAV, corrigindo-se carregamento em função dessa altura adotada. Os
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 117
deslocamentos obtidos foram apresentados na Tabela 3.12. Já os limites dos deslocamentos
para as verificações 1, 2 e 3, para o menor vão igual a 5,0 m, foram, respectivamente:
cm 0,2
250
500
250
a
qg,t
≤≤≤
ψ+
l
cm 43,1
350
500
350
a
q,i
≤≤≤
l
cm 0,1a
cm0,1
cm 0,2
250
500
250
a
incinc
≤⇒
==
≤
l
Tabela 3.12 – Deslocamentos da laje do exemplo 2, para h = 11 cm (ANPAV)
Deslocamentos (cm)
Ações
Imediatos Totais Diferidos Incrementais
Relação entre os
desls. diferidos e
imediatos
Permanente 0,31 0,98 0,67 - 2,16
Quase-permanente 0,38 1,21 0,83 0,90 2,18
Freqüente 0,42 1,34 0,92 1,03 2,19
Total 0,59 1,91 1,32 - 2,24
Variável 0,28 0,93 0,65 - 2,32
A altura mínima de 11 cm satisfez às verificações 1 e 2, já que os deslocamentos
totais devidos às combinações quase-permanente e freqüente foram menores que o limite de
2,0 cm, e o deslocamento devido à ação variável foi menor que 1,43 cm.
Já para a verificação 3A, o deslocamento incremental devido à combinação quase-
permanente, igual a 0,90 cm, também foi menor que o limite de 1,0 cm. No entanto, para a
verificação 3B, o deslocamento incremental de 1,03 cm foi um pouco maior que o limite de
1,0 cm. Como a diferença foi pouco significativa, pode-se admitir que a altura de 11 cm
satisfez a todas as verificações.
De qualquer forma, como para a verificação 3B a altura mínima obtida foi de
11,6 cm, tanto pela eq. (3.3), quanto pela eq. (3.6), esse valor poderia ter sido aproximado
para 12 cm, e, com certeza, essa verificação também estaria satisfeita.
As relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos, obtidas a partir da análise
não-linear, foram apresentadas na Tabela 3.12. Pela eq. (3.2), obteve-se:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 118
2,09110,032-3,50,36-3,7h 032,0f 36,07,3
ckaj,f
=⋅⋅=−−=α
Novamente, a relação entre os deslocamentos diferidos e imediatos obtida com a
eq. (3.2), foi próxima das resultantes da análise não-linear.
Diante dos resultados desses exemplos, pode-se ter uma idéia da boa aproximação
que os métodos simplificados propostos podem oferecer tanto para a determinação da altura
mínima de lajes quanto para o cálculo de coeficientes multiplicadores dos deslocamentos
imediatos.
C
C
A
A
P
P
Í
Í
T
T
U
U
L
L
O
O
4
4
4
D
D
E
E
S
S
L
L
O
O
C
C
A
A
M
M
E
E
N
N
T
T
O
O
S
S
E
E
M
M
V
V
I
I
G
G
A
A
S
S
I
I
S
S
O
O
L
L
A
A
D
D
A
A
S
S
4.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo é apresentado o estudo dos deslocamentos de vigas, a partir de uma
análise não-linear, novamente utilizando-se o programa ANPAV. Inicialmente, são
apontados os modelos e as propriedades das vigas, bem como os principais parâmetros
adotados para o cálculo desses deslocamentos. De acordo com os resultados obtidos, avalia-
se a influência da cada parâmetro na magnitude dos deslocamentos, comenta-se o
comportamento dos deslocamentos diferidos e estuda-se um coeficiente multiplicador para
os deslocamentos imediatos, e, por fim, propõe-se um critério para a determinação da altura
mínima de vigas que verifica o estado limite de deformações excessivas.
4.2 CARACTERÍSTICAS DAS VIGAS
Os tipos de vigas que fizeram parte deste estudo, bem como suas propriedades
geométricas e seus carregamentos são comentadas nos itens a seguir.
4.2.1 TIPOS E PROPRIEDADES DAS VIGAS
Foram estudados três tipos de vigas em concreto armado apoiadas em pilares: um
vão (Figura 4.1a), dois vãos de comprimentos iguais (Figura 4.1b) e dois vãos de
comprimentos diferentes (Figura 4.1c). O cobrimento adotado foi igual a 3,0 cm.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 120
l
h
l
p
v
h
ph
a) Esquema para viga com um único vão
lh
l
p
v
h
h
p
h
p
l
l
v
h
b) Esquema para viga com dois vãos de mesmo comprimento
l
h
l
p
v
h
L
l
p
h
p
h
h
v
c) Esquema para viga com dois vãos de comprimentos diferentes
Figura 4.1 – Representação esquemática das vigas
Para abranger situações usuais em projetos estruturais, foram consideradas algumas
variações nas propriedades geométricas das vigas. Com base nos esquemas representados na
Figura 4.1, foram adotados:
• Largura da seção transversal da viga (b): 14 e 20 cm;
• Comprimentos dos vãos efetivos da viga (l
ef
): 3,0; 5,0 e 7,0 m;
• Dimensão da seção transversal do pilar, paralela ao eixo da viga (h
p
): 20, 50, 70 e
100 cm;
• Dimensão da seção transversal do pilar, perpendicular ao eixo da viga (b
p
): 20 cm;
• Comprimento do pilar - pé direito - (l
p
): 3,0 m.
• Área da armadura de compressão (A
S
’): 15% e 30% da área da armadura de tração
(A
S
).
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 121
4.2.2 CARREGAMENTO DAS VIGAS
Para considerar a influência da relação entre as ações permanentes e variáveis no
valor dos deslocamentos, foram adotados os mesmos procedimentos utilizados no estudo das
lajes do Capítulo 3.
Foram estudados três casos de carregamento, aqui também chamados de C1, C2 e
C3. Para C1, a ação permanente e a ação variável corresponderam a 80% e 20% da ação
total, respectivamente. Para C2, manteve-se ação total, e a ação variável foi tomada igual ao
dobro da correspondente de C1. Já para C3, a ação permanente foi adotada igual à de C1,
com a ação variável igual à de C2. Na Tabela 4.1, relações entre as ações de cada caso de
carregamento são resumidas.
Tabela 4.1 – Relações entre as ações dos casos de carregamento
Relações entre
as ações
0,80 0,60 0,67
0,20 0,40 0,33
0,25 0,67 0,50
C1 C2 C3
p
g
p
q
g
q
Para a composição da ação total atuante no carregamento 1, e a partir dela a dos
demais carregamentos, foram utilizadas as seguintes parcelas de carregamento:
• peso próprio da viga;
• peso próprio de parede ou de qualquer outro elemento de vedação que possa estar
apoiado sobre a viga igual a 5 kN/m;
• reação de apoio de lajes:
Admitiu-se que as vigas apóiam faixas de lajes de 2,0 m de largura, como indicado
na Figura 4.2, sendo a ação total atuante na laje igual a 10 kN/m
2
. Dessa forma, a
reação adotada foi de 40 kN/m.
Uma vez definida a ação total do caso de carregamento 1, as dos demais casos foram
determinadas a partir das relações fornecidas na Tabela 4.1. Os valores finais para todos os
casos de carregamento, para diversas as seções transversais de vigas, encontram-se na
Tabela 4.2.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 122
Laje
Viga
2,0 m
2,0 m
l
ef
Figura 4.2 – Faixas de laje que se apóiam nas vigas
Tabela 4.2 – Valores das ações permanentes, variáveis e totais para os casos de carregamento
Peso Peso Reação
da viga
da parede
da laje
(cm) (cm) (kN/m) (kN/m) (kN/m)
p
1
= p
2
g
1
q
1
g
2
q
2
p
3
g
3
q
3
14 25 0,875 5,0 40,0 45,88 36,70 9,18 27,53 18,35 55,05 36,70 18,35
14 30 1,050 5,0 40,0 46,05 36,84 9,21 27,63 18,42 55,26 36,84 18,42
14 35 1,225 5,0 40,0 46,23 36,98 9,25 27,74 18,49 55,47 36,98 18,49
14 40 1,400 5,0 40,0 46,40 37,12 9,28 27,84 18,56 55,68 37,12 18,56
14 45 1,575 5,0 40,0 46,58 37,26 9,32 27,95 18,63 55,89 37,26 18,63
14 50 1,750 5,0 40,0 46,75 37,40 9,35 28,05 18,70 56,10 37,40 18,70
14 55 1,925 5,0 40,0 46,93 37,54 9,39 28,16 18,77 56,31 37,54 18,77
14 60 2,100 5,0 40,0 47,10 37,68 9,42 28,26 18,84 56,52 37,68 18,84
14 65 2,275 5,0 40,0 47,28 37,82 9,46 28,37 18,91 56,73 37,82 18,91
14 70 2,450 5,0 40,0 47,45 37,96 9,49 28,47 18,98 56,94 37,96 18,98
14 75 2,625 5,0 40,0 47,63 38,10 9,53 28,58 19,05 57,15 38,10 19,05
14 80 2,800 5,0 40,0 47,80 38,24 9,56 28,68 19,12 57,36 38,24 19,12
14 85 2,975 5,0 40,0 47,98 38,38 9,60 28,79 19,19 57,57 38,38 19,19
14 90 3,150 5,0 40,0 48,15 38,52 9,63 28,89 19,26 57,78 38,52 19,26
14 95 3,325 5,0 40,0 48,33 38,66 9,67 29,00 19,33 57,99 38,66 19,33
14 100 3,500 5,0 40,0 48,50 38,80 9,70 29,10 19,40 58,20 38,80 19,40
20 25 1,250 5,0 40,0 46,25 37,00 9,25 27,75 18,50 55,50 37,00 18,50
20 30 1,500 5,0 40,0 46,50 37,20 9,30 27,90 18,60 55,80 37,20 18,60
20 35 1,750 5,0 40,0 46,75 37,40 9,35 28,05 18,70 56,10 37,40 18,70
20 40 2,000 5,0 40,0 47,00 37,60 9,40 28,20 18,80 56,40 37,60 18,80
20 45 2,250 5,0 40,0 47,25 37,80 9,45 28,35 18,90 56,70 37,80 18,90
20 50 2,500 5,0 40,0 47,50 38,00 9,50 28,50 19,00 57,00 38,00 19,00
20 55 2,750 5,0 40,0 47,75 38,20 9,55 28,65 19,10 57,30 38,20 19,10
20 60 3,000 5,0 40,0 48,00 38,40 9,60 28,80 19,20 57,60 38,40 19,20
20 65 3,250 5,0 40,0 48,25 38,60 9,65 28,95 19,30 57,90 38,60 19,30
20 70 3,500 5,0 40,0 48,50 38,80 9,70 29,10 19,40 58,20 38,80 19,40
20 75 3,750 5,0 40,0 48,75 39,00 9,75 29,25 19,50 58,50 39,00 19,50
20 80 4,000 5,0 40,0 49,00 39,20 9,80 29,40 19,60 58,80 39,20 19,60
20 85 4,250 5,0 40,0 49,25 39,40 9,85 29,55 19,70 59,10 39,40 19,70
20 90 4,500 5,0 40,0 49,50 39,60 9,90 29,70 19,80 59,40 39,60 19,80
20 95 4,750 5,0 40,0 49,75 39,80 9,95 29,85 19,90 59,70 39,80 19,90
20 100 5,000 5,0 40,0 50,00 40,00 10,00 30,00 20,00 60,00 40,00 20,00
Carregamento C3
b
v
h
v
(kN/m) (kN/m)
Carregamentos C 1 e C2
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 123
4.3 PARÂMETROS ADOTADOS
Procurou-se adotar os mesmos parâmetros de cálculo utilizados no estudo das lajes,
os quais são reapresentados resumidamente a seguir.
4.3.1 COMBINAÇÕES DE AÇÕES
Como comentado no item 3.3.1 do capítulo 3, foram utilizadas, considerando-se
edifícios residenciais:
• a combinação de ações quase permanente, para a qual vale:
qkgkser,d
F3,0FF +=
• a combinação freqüente de ações, para a qual tem-se:
qkgkser,d
F4,0FF +=
4.3.2 MATERIAIS
Foram utilizados aço CA-50 e concreto com coeficiente de Poisson igual a 0,20 e
resistência característica à compressão de 25 e 35 MPa.
4.3.3 CONDIÇÕES AMBIENTAIS
Para a determinação dos deslocamentos diferidos no tempo, considerou-se a umidade
relativa média igual a 60% e a temperatura média de 25 °C.
4.3.4 IDADE DE APLICAÇÃO DAS AÇÕES
A idade de aplicação das ações foi tomada igual a 28 dias para as ações permanentes,
e a 45 dias para as ações variáveis.
4.4 CÁLCULO E VERIFICAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS
Para a realização da análise não-linear das vigas, utilizando-se o programa ANPAV,
foi necessário o conhecimento prévio de suas armaduras e a sua discretização em elementos
finitos, assim como foi feito para as lajes.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 124
4.4.1 DISCRETIZAÇÃO
As vigas foram consideradas apoiadas em pilares com tramos inferiores e superiores
engastados nas extremidades, e seus vãos foram divididos em vinte elementos. Para vigas de
um vão, esse esquema é ilustrado na Figura 4.3.
1 2 3 4 1920
l
20
ef
l
ef
l
p
l
p
... ...
Figura 4.3 – Discretização de uma viga de um vão
4.4.2 DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS
Inicialmente, assim como para as lajes, os esforços solicitantes de cada viga foram
determinados a partir de uma análise elástica. E as áreas de aço foram determinadas de
acordo com as recomendações da NBR 6118 (2003), respeitando-se as armaduras mínimas
por ela definida.
4.4.3 VALORES DOS DESLOCAMENTOS
O procedimento adotado no cálculo dos deslocamentos das vigas foi igual ao das
lajes. Primeiramente, para a determinação dos deslocamentos imediatos, as vigas foram
analisadas sem a consideração dos efeitos do tempo. Em seguida, tal efeito foi levado em
conta para a obtenção dos deslocamentos totais.
Para cada viga, os deslocamentos foram calculados, a princípio, para a altura mínima
necessária para resistir à flexão, e, comparados com os valores limites impostos pela
NBR 6118 (2003), de acordo com as verificações apresentadas no item 3.4.3 do Capítulo 3.
Quando tais verificações não eram satisfeitas, uma nova altura era adotada, e os
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 125
deslocamentos eram novamente calculados e verificados. Este procedimento foi repetido até
a obtenção de uma altura para a qual os deslocamentos fossem menores que os limites da
NBR 6118 (2003). Foram utilizados valores de alturas múltiplos de 5 cm.
4.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS
A partir da análise dos resultados obtidos, pode-se avaliar a influência de alguns
parâmetros no valor dos deslocamentos e desenvolver uma proposta para a determinação de
uma altura mínima para vigas que satisfaz o estado limite de deformações excessivas.
4.5.1 INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS DE CÁLCULO
A seguir, comenta-se como cada um dos parâmetros envolvidos no cálculo dos
deslocamentos afeta seus valores finais.
a) Dimensão dos Pilares
Para iniciar a análise da influência da dimensão dos pilares nos deslocamentos,
foram tomadas vigas com vão de 3,0 m, largura igual a 14 cm e altura igual à altura mínima
requerida pela flexão. Os pilares de apoio tinham seções transversais de 20 × 20 cm. Com
essas propriedades, os deslocamentos foram calculados para os três casos de carregamento e
verificados, como comentado anteriormente, incrementando-se os valores das alturas das
vigas até a obtenção de um valor para o qual as verificações dos deslocamentos fossem
satisfeitas. Em seguida, esse procedimento foi repetido, mantendo-se as características
geométricas das vigas, alterando-se apenas os valores da dimensão do pilar na direção do
eixo da viga, aqui chamada de altura da seção transversal do pilar. Feito isto, todo o processo
foi reiniciado considerando dessa vez vigas com largura de 20 cm. A metodologia foi ainda
repetida para as vigas com vãos de 5 e 7 m. Vale ressaltar que, para esta análise foram
utilizadas somente vigas com um vão.
A partir da avaliação dos resultados obtidos, pode-se constatar que as vigas,
independente do vão, apresentaram, aproximadamente, o mesmo percentual de redução dos
deslocamentos com o aumento da seção do pilar, para todos os casos de carregamento
considerados. Analisando-se separadamente cada tipo de deslocamento; imediatos, diferidos,
totais e incrementais; nota-se que houve uma pequena diferença neste percentual. A redução
dos deslocamentos imediatos foi um pouco superior à dos deslocamentos totais, assim como
a redução destes foi um pouco superior a dos deslocamentos diferidos e incrementais Esses
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 126
últimos tiveram, praticamente, o mesmo percentual de redução. Uma observação direta
desses resultados pode ser feita a partir de gráficos como o da Figura 4.4, que apresenta a
redução média dos deslocamentos, para uma viga de 7,0 m de vão, e seção transversal de
14 × 70 cm, com base nos deslocamentos obtidos para o pilar de seção transversal inicial de
20 × 20 cm.
0%
15%
30%
45%
60%
75%
90%
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Altura da seção transversal do pilar (cm)
Redução dos deslocamentos (%)
Desl. Imediatos
Desl. Totais
Desl. Diferidos
Desl. Incrementais
Figura 4.4 – Redução dos deslocamentos em função do aumento da seção transversal do pilar
Pode-se observar que, à medida que se aumentou a altura da seção transversal dos
pilares, os deslocamentos sofreram um decréscimo significativo até certo valor de altura da
seção transversal do pilar, a partir da qual os deslocamentos praticamente não se alteraram.
O valor dessa dimensão limite variou em função das dimensões das vigas, como mostrado
nas Figura 4.5, Figura 4.6 e Figura 4.7. Pode-se observar que, para vigas com vão de 3,0 m e
seção transversal de 14 × 30 cm, a dimensão limite do pilar foi 40 cm (Figura 4.5). Para
vigas com vão de 5,0 m e seção transversal de 14 × 50 cm, esse limite foi de 55 cm. Já para
as vigas com vão de 7,0 m e seção transversal de 14 × 70 cm, encontrou-se 70 cm. Vale
ressaltar que esses valores foram praticamente iguais para todos os carregamentos estudados.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 127
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal do pilar (cm)
Deslocamentos imediatos e totais (cm)
dfd
Desl. imediatos (devidos a g)
Desl. imediatos (devidos a g+0,3q)
Desl. imediatos (devidos a g+0,4q)
Desl. imediatos (devidos a g+q)
Desl. totais (devidos a g)
Desl. totais (devidos a g+0,3q)
Desl. totais (devidos a g+0,4q)
Desl. totais (devidos a g+q)
Figura 4.5 – Valores dos deslocamentos em função da altura da seção transversal do pilar
(l
viga
= 3,0 m e seção transversal de 14 × 30 cm)
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
0 20 40 60 80 100 120 140
Altura da seção transversal do pilar (cm)
Deslocamentos imediatos e totais (cm)
fgf
Desl. imediatos (devidos a g)
Desl. imediatos (devidos a g+0,3q)
Desl. imediatos (devidos a g+0,4q)
Desl. imediatos (devidos a g+q)
Desl. totais (devidos a g)
Desl. totais (devidos a g+0,3q)
Desl. totais (devidos a g+0,4q)
Desl. totais (devidos a g+q)
Figura 4.6 - Valores dos deslocamentos em função da altura da seção transversal do pilar
(l
viga
= 5,0 m e seção transversal de 14 × 50 cm)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 128
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Altura da seção transversal do pilar (cm)
Deslocamentos imediatos ou totais (cm)
dfgd
Desl. imediatos (devidos a g)
Desl. imediatos (devidos a g+0,3q)
Desl. imediatos (devidos a g+0,4q)
Desl. imediatos (devidos a g+q)
Desl. totais (devidos a g)
Desl. totais (devidos a g+0,3q)
Desl. totais (devidos a g+0,4q)
Desl. totais (devidos a g+q)
Figura 4.7 - Valores dos deslocamentos em função da altura da seção transversal do pilar
(l
viga
= 7,0 m e seção transversal de 14 × 70 cm)
Para essas vigas, tomando-se as dimensões limites dos pilares, têm-se:
• Para a viga com vão de 3,0 m:
3
3
v
v
v
cm 105
300
12
3014
I
R =
⋅
==
l
3
3
p
p
p
cm 356
300
12
4020
I
R =
⋅
==
l
29,0
356
105
R
R
p
v
==
• Para a viga com vão de 5,0 m:
3
3
v
v
v
cm 292
500
12
5014
I
R =
⋅
==
l
3
3
p
p
p
cm 924
300
12
5520
I
R =
⋅
==
l
32,0
924
292
R
R
p
v
==
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 129
• Para a viga com vão de 7,0 m:
3
3
v
v
v
cm 572
700
12
7014
I
R =
⋅
==
l
3
3
p
p
p
cm 1906
300
12
7020
I
R =
⋅
==
l
30,0
1906
572
R
R
p
v
==
nas quais:
R
v
é a rigidez da viga, dada pela razão entre o momento de inércia da viga e seu vão
efetivo,
I
v
é o momento de inércia da seção bruta de concreto da viga,
l
v
é o vão da viga.
R
p
é a rigidez do pilar, dada pela razão entre o momento de inércia do pilar e seu
comprimento,
I
p
é o momento de inércia da seção bruta de concreto do pilar,
l
p
é o comprimento do pilar.
Desta forma, pode-se perceber que as vigas que apresentaram relação entre sua
rigidez e a rigidez dos seus pilares de apoio da ordem de 0,30, o aumento da dimensão do
pilar na direção do eixo da viga não leva a redução significativa dos deslocamentos das
vigas.
Embora os resultados apresentados tenham sido de vigas com a largura da seção
transversal igual a 14 cm, o mesmo comportamento foi observado para as vigas com a
largura de 20 cm.
b) Aumento da Largura da Viga
O aumento da largura da viga de 14 para 20 cm, mantidas constantes as demais
propriedades geométricas, também levou a uma redução dos deslocamentos. Essa redução
variou, principalmente, em função do tipo do deslocamento, da altura da viga e da resistência
característica do concreto a compressão, f
ck
, como pode ser visto na Figura 4.8. Os casos de
carregamento e os vãos adotados tiveram pouca influência sobre esse resultado.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 130
0
5
10
15
20
25
30
20 40 60 80 100
Alturas das vigas (cm)
Redução dos deslocamentos (%)
D. imediatos (fck = 25 MPa)
D. totais (fck = 25 MPa)
D. diferidos (fck = 25 MPa)
D. incrementais (fck = 25 MPa)
D. imediatos (fck = 35 MPa)
D. totais (fck = 35 MPa)
D. diferidos (fck = 35 MPa)
D. incrementais (fck = 35 MPa)
Figura 4.8 – Redução dos deslocamentos devido ao aumento da largura da viga
Pode-se observar que os deslocamentos imediatos sofreram as maiores reduções,
tanto para o f
ck
de 25 MPa quanto para o de 35 MPa. As reduções encontradas nos dois casos
apresentaram valores bastante próximos, sendo que para o f
ck
de 35 MPa, as reduções foram,
em média, 4,5% superiores.
Para o f
ck
de 25 MPa, comparando-se as reduções dos deslocamentos imediatos com
as reduções que ocorreram nos demais tipos de deslocamentos, constatou-se que estas
últimas foram 35%, 55% e 65% menores que as primeiras, para os deslocamentos totais,
incrementais e diferidos, respectivamente.
Já para o f
ck
de 35 MPa, as reduções dos deslocamentos totais, incrementais e
diferidos foram 22%, 37% e 43%, respectivamente, menores que a dos deslocamentos
imediatos. Portanto, superiores às do f
ck
de 25 MPa. Entretanto, este fato pode estar sendo
influenciado, também, pelo efeito do aumento do f
ck
, que leva ao decréscimo dos
deslocamentos diferidos e, conseqüentemente, à diminuição dos deslocamentos totais e
incrementais.
c) Armadura de Compressão
Para a avaliação da influência da armadura de compressão, as vigas foram analisadas
em três situações: só com a armadura de tração; com armadura de compressão
correspondente a 15% da armadura de tração; e com armadura de compressão
correspondente a 30% da armadura de tração.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 131
Comparando-se os resultados obtidos, observou-se que as reduções dos
deslocamentos não variaram em função dos casos de carregamento considerados,
apresentando diferenças de no máximo 1%. A mesma conclusão pode ser obtida variando-se
o vão e a largura da viga. A altura da viga também exerceu pequena influência, como se nota
pelas retas praticamente horizontais mostradas da Figura 4.9 a Figura 4.12. Nesses gráficos
são apresentadas as reduções dos deslocamentos quando se compara valores obtidos com
armadura de compressão, 15% ou 30% da armadura de tração, com casos para os quais
existia apenas armadura de tração A
s
.
0%
3%
6%
9%
12%
40 45 50 55 60 65
Altura da viga (cm)
Redução dos deslocamentos
D. imediatos
D. totais
D. diferidos
D. incrementais
Figura 4.9 – Redução dos deslocamentos para a armadura de compressão igual a 15% de A
s
(f
ck
= 25 MPa)
0%
5%
10%
15%
20%
40 45 50 55 60 65
Altura da viga (cm)
Redução dos deslocamentos
D. imediatos
D. totais
D. diferidos
D. incrementais
Figura 4.10 – Redução dos deslocamentos para a armadura de compressão igual 30% de A
s
(f
ck
= 25 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 132
0%
3%
6%
9%
12%
40 45 50 55 60 65
Altura das vigas (cm)
Redução dos deslocamentos (%)
D. imediatos
D. totais
D. diferidos
D. incrementais
Figura 4.11 – Redução dos deslocamentos devido à armadura de compressão igual a 15% de
A
s
(f
ck
= 35 MPa)
0%
5%
10%
15%
20%
40 45 50 55 60 65
Altura das vigas (cm)
Redução dos deslocamentos (%)
D. imediatos
D. totais
D. diferidos
D. incrementais
Figura 4.12 – Redução dos deslocamentos devido à armadura de compressão igual a 30% de
A
s
(f
ck
= 35 MPa)
Pode-se constatar que os deslocamentos diferidos foram os que apresentaram os
maiores decréscimos, já que a armadura de compressão colabora na diminuição da curvatura
causada pela retração, como exposto no item 2.2.3 do capítulo 2. Estes deslocamentos
sofreram uma redução média de aproximadamente 9 e 16%, para o f
ck
de 25 MPa, e de 8% e
14%, para o f
ck
de 35 MPa, considerando-se armaduras de compressão iguais a 15% e 30%
da armadura de tração, respectivamente.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 133
Pode-se notar, também, que para as vigas com f
ck
de 35 MPa, as reduções de todos
os deslocamentos foram inferiores às do f
ck
de 25 MPa. Portanto, confirma-se a conclusão de
PAULSON et al. (1991), que observaram, a partir de dados experimentais, que para
resistências mais altas, a influência da armadura de compressão na redução dos
deslocamentos não é tão efetiva como para resistência mais baixas, conforme comentado no
item 2.3.3.c do capítulo 2.
d) Resistência Característica do Concreto à Compressão
Para as vigas, a magnitude da redução dos deslocamentos devido ao aumento da
resistência característica do concreto à compressão, f
ck
, variou em função do tipo de
deslocamento e da rigidez dos pilares de apoio. Observou-se que para pilares de apoio com
alturas da seção transversal menores que a altura limite, comentada no item 4.5.1.a, ou seja,
para relações entre a rigidez da viga e rigidez do pilar maiores que 0,30, a redução média foi
de 21% para os deslocamentos imediatos, de 25% para os deslocamentos totais e de 27%
para os deslocamentos diferidos e incrementais.
No caso pilares de apoio com alturas de seção transversal maiores que altura limite,
ou seja, para relações entre as rigidezes da viga e do pilar menores que 0,30, a redução dos
deslocamentos foi um pouco inferior, sendo de 18% para os deslocamentos imediatos, de
22% para os totais, e de 24% para os diferidos e incrementais.
Vale lembrar que, conforme comentado no item 4.5.1.a, chama-se de altura limite
aquela a partir da qual a redução dos deslocamentos com o aumento desta dimensão do pilar
praticamente não se altera.
e) Casos de Carregamento
Analisando-se os deslocamentos devidos aos casos de carregamento adotados,
observou-se que a diferença entre eles só apresentou variação significativa com relação à
combinação de ações à qual a viga está submetida, não sendo, portanto, influenciada pelas
propriedades das vigas e dos materiais.
Foram comparados, inicialmente, os deslocamentos devidos a C1 e C2, lembrando-
se que para ambos a ação total p tem o mesmo valor e que as ações permanentes g
correspondem a 80% e 60% de p, respectivamente. Observou-se que os deslocamentos
imediatos, totais e diferidos causados pelas ações permanentes, combinações quase-
permanente e freqüente de ações de C2 foram, em média, 31%, 20% e 18% menores que os
de C1, respectivamente, embora as relações entre essas ações, para esses casos de
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 134
carregamento, sejam de 25%, 16% e 14%. Percebe-se, portanto, que a redução dos
deslocamentos foi um pouco maior que a redução das ações nos carregamentos.
A seguir foram analisados os carregamentos C1 e C3, nos quais as ações
permanentes g eram iguais e as ações variáveis q e totais p de C3 eram 100% e 20% maiores
que as de C1, respectivamente. Percebeu-se que os deslocamentos apresentaram uma
pequena diferença entre si, sendo os deslocamentos de C1 em torno de 7% menores que os
respectivos de C3. Nota-se que, apesar das ações variáveis terem dobrado de valor para C3,
os deslocamentos não sofreram uma variação muito significativa.
Por fim, comparam-se os carregamentos C2 e C3, para os quais as ações variáveis q
eram iguais e as ações permanentes g e totais p de C3 eram 33% e 20% maiores que as de
C2, respectivamente. Notou-se que os deslocamentos devidos a C2 foram menores que os
devidos a C3, como esperado, mas essa redução apresentou diferenças entre os tipos de
deslocamentos e ações atuantes. Os deslocamentos imediatos devidos a C2 apresentaram
reduções maiores que as dos deslocamentos totais e diferidos. Para as ações permanentes,
combinações quase-permanente e freqüente de ações, as reduções médias foram,
respectivamente, 39%, 31% e 28% para os deslocamentos imediatos; 31%, 22% e 20% para
os deslocamentos totais; e 24%, 15% e 13% para os deslocamentos diferidos.
Percebeu-se, como esperado, que os deslocamentos são mais influenciados por
mudanças nas ações permanentes que nas ações variáveis.
f) Vãos Adjacentes
Comparou-se os deslocamentos do maior vão das vigas com dois vãos, iguais ou
não, com aqueles das vigas com um vão e pilares de apoio com seção transversal de
20 × 20 cm, observou-se que houve uma redução dos deslocamentos com a presença do vão
adjacente, maior ou menor, em função da relação entre o maior e o menor vão das vigas e do
tipo de deslocamento, como pode ser visto na Figura 4.13. O decréscimo dos deslocamentos
foi máximo para relação entre os vãos igual a um, e para relações maiores que 1,50, seu
valor sofreu alterações muito pouco significativas.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 135
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50
Relação entre os vãos da viga
Redução dos deslocamentos
D. imediatos
D. totais
D. diferidos
D. incrementais
Figura 4.13 – Redução dos deslocamentos em função da relação entre o maior e o menor
vão da viga
4.5.2 COEFICIENTE MULTIPLICADOR DOS DESLOCAMENTOS
IMEDIATOS
De posse de todos os deslocamentos diferidos e imediatos, pode-se estudar os
coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos que permitem obter-se os
deslocamentos diferidos.
Apenas os casos de carregamento adotados exerceram pouca influência nos valores
dos coeficientes multiplicadores. Por outro lado, foram as propriedades da seção transversal,
o vão das vigas, a resistência característica do concreto à compressão f
ck
e a armadura de
compressão; os parâmetros que mais influenciaram tais coeficientes. A Figura 4.14 e a
Figura 4.15 ilustram esse comportamento, apresentando os resultados obtidos para vigas com
vão efetivo de 7 m.
Pode-se observar que o aumento da altura da seção transversal da viga provocou o
acréscimo nos valores dos coeficientes multiplicadores Já os aumentos do f
ck
e da taxa de
armadura de compressão provocaram um decréscimo nestes coeficientes, o que, aliás, já era
esperado. É que o aumento destes parâmetros tende a acarretar uma redução dos
deslocamentos diferidos, já que promovem a diminuição da retração e da fluência do
concreto, conforme comentado anteriormente.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 136
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
50 60 70 80 90 100 110
Altura da viga (cm)
Coeficiente multiplicador dfg
As'= 0 (fck=25 MPa)
As'= 0,15 As (fck=25 MPa)
As'= 0,30 As (fck=25 MPa)
As'= 0 (fck=35 MPa)
As'= 0,15 As (fck=35 MPa)
As'= 0,30 (fck=35 MPa)
Figura 4.14 – Coeficientes multiplicadores em função da altura da viga, da armadura de
compressão e do f
ck
(l
viga
= 7,0 m e b = 14 cm)
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
50 60 70 80 90 100
Altura das vigas (cm)
Coeficiente multiplicador asd
As'= 0 (fck=25 MPa)
As'= 0,15 As (fck=25 MPa)
As'= 0,30As (fck=25 MPa)
As'= 0 (fck=35 MPa)
As'= 0,15 As (fck=35 MPa)
As'= 0,30 As (fck=35 MPa)
Figura 4.15 – Coeficientes multiplicadores em função da altura da viga, da armadura de
compressão e do f
ck
(l
viga
= 7,0 m e b = 20 cm)
Como o coeficiente multiplicador dos deslocamentos imediatos mostrou uma
tendência de variação aproximadamente linear em função desses parâmetros, buscou-se, a
partir de uma regressão linear de múltiplas variáveis, uma expressão para representá-lo. Com
isso, chegou-se a:
2
s
'
s
efckaj,f
h00006,0b023,0
A
A
38,00014,0f085,065,1 ⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−=α l (4.1)
na qual:
α
f,aj
é o coeficiente multiplicador dos deslocamentos imediatos,
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 137
f
ck
é a resistência característica à compressão do concreto, em kN/cm
2
,
l
ef
é o vão efetivo da viga, em cm,
A
s
’ é a área de aço da armadura de compressão, em cm
2
,
A
s
é a área de aço da armadura de tração, em cm
2
,
b é a largura da seção transversal da viga, em cm,
h é a altura da seção transversal da viga, em cm.
Com o intuito de mostrar a boa concordância dos valores fornecidos pela eq. (4.1)
com os obtidos a partir da análise não-linear através do programa ANPAV, foram traçados
os gráficos da Figura 4.16 a Figura 4.19. Para esses exemplos, foram tomadas, novamente, as
vigas com 7 m de vão efetivo.
Para efeito de comparação também com o valor do coefic iente multiplicador dado
pela NBR 6118 (2003), de acordo com a eq.(2.50) do capítulo 2, tomou-se uma viga
submetida, a um carregamento tal que a relação entre a ação permanente e a ação variável
fosse igual a 0,25, sendo a idade de aplicação dessas ações iguais a 28 e 45 dias,
respectivamente, e considerando a taxa geométrica da armadura de tração igual a 0,01. Para
uma combinação freqüente de ações, o coeficiente multiplicador fornecido pela expressão da
NBR 6118 (2003) foi igual a 1,33, se a viga não tiver armadura de compressão; igual a 1,24,
se a armadura de compressão for igual a 15% da armadura de tração; e igual a 1,16, se a
armadura de compressão for igual a 30% da armadura de tração. Note-se que esses valores
são independentes das propriedades da seção transversal da viga e da resistência
característica do concreto à compressão. Esses resultados também foram acrescentados aos
gráficos da Figura 4.16 a Figura 4.19.
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
60 70 80 90 100 110
Altura da viga (cm)
Coeficiente multiplicador asd
As'= 0 (ANPAV)
As'= 0,15 As (ANPAV)
As'= 0,30 As (ANPAV)
As'= 0 - Eq. (4.1)
As'= 0,15 As - Eq.(4.1)
As'= 0,30 As - Eq.(4.1)
NBR 6118 - As' = 0
NBR 6118 - As' = 0,15 As
NBR 6118 - As' = 0,30 As
Figura 4.16 – Coeficientes multiplicadores obtidos pelo programa ANPAV, pela eq. (4.1) e
pela NBR 6118 (2003) (l
viga
= 7,0 m, b = 14 cm e f
ck
= 25 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 138
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
50 60 70 80 90 100
Altura das vigas (cm)
Coeficiente multiplicador asd
As'= 0 (ANPAV)
As'= 0,15 As (ANPAV)
As'= 0,30As (ANPAV)
As'= 0 - Eq. (4.1)
As'= 0,15 As - Eq. (4.1)
As'= 0,30 As - Eq. (4.1))
NBR 6118 - As' = 0
NBR 6118 - As' = 0,15 As
NBR 6118 - As' = 0,30 As
Figura 4.17 – Coeficientes multiplicadores obtidos pelo programa ANPAV, pela eq. (4.1) e
pela NBR 6118 (2003) (l
viga
= 7,0 m, b = 20 cm e f
ck
= 25 MPa)
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
50 60 70 80 90 100
Altura da viga (cm)
Coeficiente multiplicador dsd
As'= 0 (ANPAV)
As'= 0,15 As (ANPAV)
As'= 0,30 As (ANPAV)
As'= 0 - Eq. (4.1)
As'= 0,15 As - Eq. (4.1)
As'= 0,30 As - Eq. (4.1)
NBR 6118 - As' = 0
NBR 6118 - As' = 0,15 As
NBR 6118 - As' = 0,30 As
Figura 4.18 – Coeficientes multiplicadores obtidos pelo programa ANPAV, pela eq. (4.1) e
pela NBR 6118 (2003) (l
viga
= 7,0 m, b = 14 cm e f
ck
= 35 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 139
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
55 60 65 70 75 80 85 90
Altura das vigas (cm)
Coeficiente multiplicador esd
As'= 0 (ANPAV)
As'= 0,15 As (ANPAV)
As'= 0,30 As (ANPAV)
As'= 0 - Eq. Proposta
As'= 0,15 As - Eq. Proposta
As'= 0,30 As - Eq. Proposta
NBR 6118 - As' = 0
NBR 6118 - As' = 0,15 As
NBR 6118 - As' = 0,30 As
Figura 4.19 – Coeficientes multiplicadores obtidos pelo programa ANPAV, pela eq. (4.1) e
pela NBR 6118 (2003) (l
viga
= 7,0 m, b = 20 cm e f
ck
= 35 MPa)
Por esses gráficos observa-se a coerência dos resultados fornecidos pela eq. (4.1)
com os da análise não-linear. Além disso, percebe-se que os valores fornecidos pelo
procedimento recomendado pela NBR 6118 (2003) tende a superestimar os coeficientes
multiplicadores dos deslocamentos imediatos, principalmente para o f
ck
de 35 MPa.
4.5.3 ALTURAS MÍNIMAS
Assim como para as lajes, são propostas expressões para o cálculo de alturas
mínimas das vigas que garantem a verificação do estado limite de deslocamentos excessivos,
e dispensam o cálculo dos deslocamentos, desde que a altura do elemento estrutural seja
superior a um determinado limite. Esta altura mínima deve ser respeitada independentemente
da altura mínima requerida pelo dimensionamento à flexão.
Também de forma semelhante ao que foi adotado para as lajes, foram consideradas
as seguintes verificações, cujos limites são apresentados no item 3.4.3, do Capítulo 3:
• Verificação 1A: Verificação de aceitabilidade sensorial com relação a aspectos
visuais, considerando-se a combinação quase-permanente de ações.
• Verificação 1B: Verificação de aceitabilidade sensorial com relação a aspectos
visuais, considerando-se a combinação freqüente de ações.
• Verificação 2: Verificação de aceitabilidade sensorial com relação a vibrações,
considerando-se apenas a carga variável total.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 140
• Verificação 3A: Verificação dos efeitos dos deslocamentos nas paredes,
considerando-se a combinação quase-permanente de ações.
• Verificação 3B: Verificação dos efeitos dos deslocamentos nas paredes,
considerando-se a combinação freqüente de ações.
a) Relação Vão-Altura Mínima
A partir das alturas mínimas das vigas, determinadas como exposto no item 4.4.3,
foram calculadas as suas relações vão-altura mínima, l/h
min
.
Pela avaliação dos valores obtidos, para as vigas com um vão, pode-se observar que
tanto as propriedades geométricas das vigas e dos pilares de apoio, como a resistência
característica do concreto à compressão, f
ck
, afetaram significativamente essas relações. Já os
casos de carregamento adotados exerceram pouca influência nesses valores, levando a
relações l/h
min
muito próximas uma das outras.
Quanto às combinações de ações adotadas, notou-se que os valores das relações
l/h
min
encontrados são praticamente iguais, tanto para a verificação da aceitabilidade
sensorial relativa ao aspecto visual, com as combinações quase-permanente e freqüente de
ações (Verificações 1A e 1B), quanto para essa verificação relativa às vibrações (Verificação
2). Também para as verificações do efeito dos deslocamentos nas paredes (Verificações 3A e
3B), as combinações quase permanente e freqüente de ações levaram a valores de relações
l/h
min
bastante próximos.
Da Figura 4.20 a Figura 4.22, têm-se, para vigas de um vão, a variação da relação
l/h
min
em função das propriedades geométricas das vigas e dos pilares e também do f
ck
. As
relações apresentadas satisfazem à verificação do efeito dos deslocamentos em paredes para
a combinação quase-permanente de ações (Verificação 3A).
Pode-se notar que, para as vigas com vão efetivo igual a 3,0, 5,0 e 7,0m, as relações
l/h
min
tendem a um valor constante, a partir das alturas de seções transversais de pilares de
40, 50 e 70 cm, respectivamente. Essas alturas de pilares são praticamente iguais àquelas
comentadas no item 4.5.1.a, a partir das quais o aumento desta dimensão do pilar pouco afeta
os valores dos deslocamentos das vigas. Desta forma, pode-se considerar que, para valores
da relação entre o vão efetivo da viga e a altura da seção do pilar menores que
aproximadamente 10, as relações l/h
min
assumem valores constantes.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 141
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Relação vão-altura mínima das vigas
a
sd
b = 14 cm (fck = 25 MPa)
b = 20 cm (fck = 25 MPa)
b = 14 cm (fck = 35 MPa)
b = 20 cm (fck = 35 MPa)
Figura 4.20 – Relação vão-altura-mínima das vigas em função da altura seção dos pilares de
apoio (l
viga
= 3,0 m)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Relação vão-altura mínima das vigas
asd
b = 14 cm (fck = 25 MPa)
b = 20 cm (fck = 25 MPa)
b = 14 cm (fck = 35 MPa)
b = 20 cm (fck = 35 MPa)
Figura 4.21 – Relação vão-altura-mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
de apoio (l
viga
= 5,0 m)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 142
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Relação vão-altura mínima das vigas
asd
b = 14 cm (fck = 25 MPa)
b = 20 cm (fck = 25 MPa)
b = 14 cm (fck = 35 MPa)
b = 20 cm (fck = 35 MPa)
Figura 4.22 – Relação vão-altura-mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
de apoio (l
viga
= 7,0 m)
A partir dos valores das relações vão-altura mínima de todas as vigas de um vão
estudadas, e de acordo com as observações anteriores, foi determinada a seguinte expressão
para o cálculo dessas relações:
β=
min
ef
h
l
(4.2)
na qual:
l
ef
é o vão efetivo da viga, em cm,
h
min
é a altura mínima da viga, em cm, que satisfaz as verificações dos deslocamentos
apresentadas no item 3.4.3, do Capítulo 3,
β é uma função que depende das propriedades geométricas da viga e dos pilares, da
resistência característica do concreto à compressão e do tipo de verificação que se
deseja realizar. Para verificações de aceitabilidade sensorial tem-se:
p
ef
pefck
h
25,0h009,0b21,0005,0f4,10,6
l
l ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β (4.3)
Para a verificação do efeito dos deslocamentos em paredes obtém-se:
p
ef
pefck
h
26,0h007,0b18,0005,0f35,17,5
l
l ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β (4.4)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 143
nas quais:
f
ck
é a resistência característica do concreto à compressão, em kN/cm
2
,
b é a largura da seção transversal da viga, em cm,
h
p
é a altura da seção transversal do pilar, em cm.
Uma comparação dos resultados fornecidos pela eq. (4.2) com aqueles obtidos na
análise das vigas é apresentada nas Figura 4.23 e Figura 4.24, para uma viga com vão efetivo
de 7,0 m, e cujas relações l/h
min
satisfazem à verificação do efeito dos deslocamentos em
paredes. Pode-se notar que os resultados são relativamente próximos. Os valores fornecidos
pela eq. (4.2) apresentaram, em média, uma diferença da ordem de ± 10% em relação aos
valores encontrados a partir do programa ANPAV.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Relação vão-altura mínima das vigas
asd
b = 14 cm (ANPAV)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.2)
b = 20 cm - Eq. (4.2)
Figura 4.23 – Relações l/h
min
para vigas com l
ef
= 7,0m e f
ck
= 25 MPa
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Relação vão-altura mínima das vigas
asd
b = 14 cm (ANPAV)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.2)
b = 20 cm - Eq. (4.2)
Figura 4.24 – Relações l/h
min
para vigas com l
ef
= 7,0m e f
ck
= 35 MPa
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 144
Nas figuras apresentadas a seguir, são dados alguns valores de alturas mínimas,
obtidos a partir das relações vão-altura mínimas de vigas fornecidas pela eq. (4.2), que
satisfazem às verificações de aceitabilidade sensorial e efeito dos deslocamentos em paredes,
verificações 1, 2 e 3, de acordo com o item 3.4.3, do Capítulo 3. Foram consideradas vigas
com vãos efetivos de 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 m, largura da seção transversal iguais a 14 e 20 cm, e
resistência característica do concreto à compressão de 25 MPa.
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140
Altura da seção transversal dos pilares
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14 cm (Vers. 1 e 2)
b = 14 cm (Ver. 3)
b = 20 cm (Vers. 1 e 2)
b = 20 cm (Ver. 3)
Figura 4.25 – Alturas mínimas de vigas com l
ef
= 4,0 m e f
ck
= 25 MPa
0
10
20
30
40
50
60
70
0 20 40 60 80 100 120 140
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14 cm (Vers. 1 e 2)
b = 14 cm (Ver. 3)
b = 20 cm (Vers. 1 e 2)
b = 20 cm (Ver. 3)
Figura 4.26 – Alturas mínimas de vigas com l
ef
= 5,0 m e f
ck
= 25 MPa
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 145
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100 120 140
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14 cm (Vers. 1 e 2)
b = 14 cm (Ver. 3)
b = 20 cm (Vers. 1 e 2)
b = 20 cm (Ver.3)
Figura 4.27 – Alturas mínimas de vigas com l
ef
= 6,0 m e f
ck
= 25 MPa
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100 120 140
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14 cm (Vers. 1 e 2)
b = 14 cm (Ver. 3)
b = 20 cm (Vers. 1 e 2)
b = 20 cm (Ver. 3)
Figura 4.28 - Alturas mínimas de vigas com l
ef
= 7,0 m e f
ck
= 25 MPa
A variação das alturas mínimas das vigas dadas pela eq. (4.2), em relação aos seus
vãos, está representada nas Figura 4.29 e Figura 4.30, para vigas com a largura da seção
transversal igual a 14 cm e altura da seção transversal do pilar igual a 20 e 70 cm.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 146
0
20
40
60
80
100
120
140
200 300 400 500 600 700 800
Vão das vigas (cm)
Altura mínimas das vigas (cm)
Verificações 1 e 2 (fck = 25 MPa)
Verificação 3 (fck = 25 MPa)
Verificações 1 e 2 (fck = 35 MPa)
Verificação 3 (fck = 25 MPa)
Figura 4.29 – Alturas mínimas das vigas em função de seus vãos (b = 14 cm e h
p
= 20 cm)
0
10
20
30
40
50
60
70
200 300 400 500 600 700 800
Vão das vigas (cm)
Altura mínimas das vigas (cm)
Verificações 1 e 2 (fck = 25 MPa)
Verificação 3 (fck = 25 MPa)
Verificações 1 e 2 (fck = 35 MPa)
Verificação 3 (fck = 25 MPa)
Figura 4.30 – Alturas mínimas das vigas em função de seus vãos (b = 14 cm e h
p
= 70 cm)
Com base nos resultados obtidos e com o intuito de simplificar a obtenção da altura
mínima das vigas pode-se, de maneira aproximada, adotar o valor de β na eq. (4.2) de acordo
com a Tabela 4.3.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 147
Tabela 4.3 – Valores simplificados de β para a eq. (4.2)
Valores de β
Condições
Verificações da
Aceitabilidade Sensorial
Verificação do Efeito dos
Deslocamentos em Paredes
b < 20 cm 8 7
10
h
p
ef
>
l
b ≥ 20 cm
10 8
b < 20 cm 12 10
10
h
p
ef
≤
l
b ≥ 20 cm
13 11
b) Expressão para o Cálculo da Altura Mínima
Buscando-se considerar todos os parâmetros que foram utilizados no estudo das
vigas e comentados neste capítulo, fez-se uma análise de regressão de múltiplas variáveis e
obteve-se a seguinte expressão para a determinação da altura mínima das vigas de um vão
que satisfaz a verificação de aceitabilidade sensorial quanto aos aspectos visuais e de
vibrações:
+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−−=
pefest,dckmin
h06,2b97,0049,0F4,47f13,525h l
2
p
p
ef
p
h0274,0
R
81,2R0215,0 ⋅−⋅+⋅+
l
(4.5)
Já para a verificação dos efeitos dos deslocamentos em paredes, encontrou-se:
+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−−=
pefest,dckmin
h74,2b81,0083,0F7,53f0,85,55h l
2
p
p
ef
p
h036,0
R
1,4R028,0 ⋅−⋅+⋅+
l
(4.6)
sendo:
h
min
é a altura mínima da viga que satisfaz as verificações dos deslocamentos, em cm,
f
ck
é a resistência característica do concreto à compressão, em kN/cm
2
,
F
d,est
é a ação de serviço estimada, em kN/cm,
l
ef
é o vão efetivo da viga, em cm,
b é a largura da seção transversal da viga, em cm,
h
p
é a altura da seção transversal do pilar, em cm.
R
p
é a rigidez do menor pilar de apoio, dada pela relação entre o momento de inércia do
pilar e seu comprimento, em cm
3
.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 148
Caso o pilar de apoio termine no nível da viga, ou seja, não exista tramo superior, a
rigidez R
p
, do menor pilar deve ser dividida por 2.
Para a estimativa da ação de serviço, pode-se adotar uma altura média igual a um
décimo do vão efetivo da viga, para o cálculo do peso próprio. Pode-se, também, considerar
a ação de serviço igual a 0,40 kN/cm, para vigas com situações de carregamento semelhantes
às deste trabalho.
Devido à pequena variabilidade da altura mínima das vigas com vão de 3,0 m, as
eqs. (4.5) e (4.6) não apresentam bons resultados para esse caso. Entretanto, para os outros
vãos adotados, essas equações levam a valores de alturas mínimas muito próximas dos
valores obtidos a partir da análise não-linear das vigas, como pode ser visto nas figuras a
seguir.
Da Figura 4.31 a Figura 4.34, são apresentadas as alturas mínimas que satisfazem as
verificações referentes à aceitabilidade sensorial, para vigas de 5,0 e 7,0 m, com larguras da
seção transversal iguais a 14 e 20 cm, resistências características do concreto à compressão
de 25 e 35 MPa, e submetidas ao carregamento C3. Pode-se observar que os valores
fornecidos pela eq. (4.5) são muito próximos dos valores obtidos com o programa ANPAV.
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14 cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.5)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 20 cm - Eq. (4.5)
Figura 4.31 – Altura mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
(para vigas com l
ef
= 5,0m e f
ck
= 25 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 149
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14 cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.5)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 20 cm - Eq. (4.5)
Figura 4.32 – Altura mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
(para vigas com l
ef
= 5,0m e f
ck
= 35 MPa)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14 cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.5)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 20 cm - Eq. (4.5)
Figura 4.33 – Altura mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
(para vigas com l
ef
= 7,0m e f
ck
= 25 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 150
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínimas das vigas (cm)
b = 14 cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.5)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 20 cm - Eq. (4.5)
Figura 4.34 – Altura mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
(para vigas com l
ef
= 7,0m e f
ck
= 35 MPa)
Da Figura 4.35 a Figura 4.38, têm-se as alturas mínimas que satisfazem à verificação
do efeito dos deslocamentos em paredes, para vigas submetidas às mesmas condições
anteriores, ou seja, vãos de 5,0 e 7,0 m, larguras da seção transversal iguais a 14 e 20 cm,
f
ck
de 25 e 35 MPa e submetidas ao carregamento C3. Pode-se notar que a eq. (4.6) também
fornece valores próximos dos obtidos pelo programa ANPAV.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14 cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.6)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 20 cm - Eq. (4.6)
Figura 4.35 – Altura mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
(para vigas com l
ef
= 5,0m e f
ck
= 25 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 151
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.6)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 20 cm - Eq. (4.6)
Figura 4.36 – Altura mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
(para vigas com l
ef
= 5,0m e f
ck
= 35 MPa)
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínima das vigas (cm)
b = 14 cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.6)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 20 cm - Eq. (4.6)
Figura 4.37 – Altura mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
(para vigas com l
ef
= 7,0m e f
ck
= 25 MPa)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 152
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100 120
Altura da seção transversal dos pilares (cm)
Altura mínimas das vigas (cm)
b = 14 cm (ANPAV)
b = 14 cm - Eq. (4.6)
b = 20 cm (ANPAV)
b = 20 cm - Eq. (4.6)
Figura 4.38 – Altura mínima das vigas em função da altura da seção dos pilares
(para vigas com l
ef
= 7,0m e f
ck
= 25 MPa)
Considerando-se agora vigas com largura da seção transversal igual a 14 e 20 cm,
pilares de apoio com seção transversal de 20×20 cm e 20×70 cm, f
ck
de 25 MPa e submetidas
a uma ação de serviço de 0,4 kN/cm, os valores de alturas mínimas das vigas, fornecidos
pelas eqs. (4.5) e (4.6), que satisfazem as verificações de aceitabilidade sensorial e efeito em
paredes estão representados na Figura 4.39.
0
20
40
60
80
100
120
450 500 550 600 650 700 750
Vãos das vigas (cm)
Alturas mínimas das vigas (cm) asd
b = 14 cm e P (20 x 20) (Vers 1 e 2)
b = 14 cm e P (20 x 20) (Ver 3)
b = 20 cm e P (20 x 20) (Vers 1 e 2)
b = 20 cm e P (20 x 20) (Ver 3)
b = 14 cm e P (20 x 70) (Vers 1 e 2)
b = 14 cm e P (20 x 70) (Ver 3)
b = 20 cm e P (20 x 70) (Vers 1 e 2)
b = 20 cm e P (20 x 70) (Ver 3)
Figura 4.39 – Alturas mínimas de vigas para alguns vãos efetivos
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 153
c) Exemplo de Cálculo
Para a viga da Figura 4.40, a largura da seção transversal é igual a 15 cm e a
resistência característica do concreto à compressão é igual a 25 MPa. Os pilares de apoio têm
seção transversal de 20 × 50 cm e comprimentos inferior e superior iguais a 3,0 m.
45050 50
(cm)
Figura 4.40 – Viga do exemplo de cálculo de altura mínima
Inicialmente, determinou-se a altura mínima para a viga que atendesse às
verificações de aceitabilidade sensorial quanto a aspectos visuais e de vibrações, utilizando-
se a eq. (4.2). Considerando como vão efetivo a distância de eixo a eixo de apoio, e igual a
5,0 m, o coeficiente β, dado pela eq.(4.3), vale:
2,12
50
500
25,050009,01521,0500005,05,24,10,6 =⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
Logo, a altura mínima foi igual a:
cm 41
2,12
500
h
ef
min
==
β
=
l
Como a relação entre o vão efetivo da viga e a altura da seção transversal do pilar foi
igual a 10 e a base da viga é menor que 20 cm, o valor de β, dado pela Tabela 4.3, foi igual a
12. Portanto, obteve-se a altura mínima de:
cm 7,41
12
500
h
ef
min
==
β
=
l
Calculando-se a altura mínima pela eq. (4.5), e adotando-se a carga de serviço igual
a 0,40 kN/cm, obteve-se:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 154
+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−−= 5006,21597,0500049,040,04,475,213,525h
min
cm 5,42500274,0
44,694
500
81,244,6940215,0
2
=⋅−⋅+⋅+
Pode-se observar que as alturas mínimas determinadas a partir dos três
procedimentos propostos foram bastante próximas. Considerando-se um valor múltiplo de 5
cm, adotou-se a altura mínima que atendesse às verificações de aceitabilidade sensorial igual
a 45 cm.
A altura mínima para satisfazer à verificação do efeito dos deslocamentos em
paredes pode ser determinada da mesma forma. Primeiramente, utilizou-se a eq. (4.2), com o
coeficiente β dado por:
3,11
50
500
26,050007,01518,0500005,05,235,17,5 =⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
Assim, calculou-se a altura mínima igual a:
cm 2,44
3,11
500
h
ef
min
==
β
=
l
Neste caso, o coeficiente β dado pela Tabela 4.3, foi igual a 10, e a altura mínima
resultou:
cm 50
10
500
h
ef
min
==
β
=
l
Já pela a eq. (4.6), obteve-se a altura mínima igual a:
+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−−= 5074,21581,0500083,040,07,535,20,85,55h
min
cm 7,4450036,0
44,694
500
1,444,694028,0
2
=⋅−⋅+⋅+
Novamente, pode-se notar que os valores de alturas mínimas determinadas a partir
dos três procedimentos propostos ficaram próximos. Apenas o valor obtido com a utilização
do coeficiente β dado pela Tabela 4.3, que é o procedimento mais simplificado, foi um
pouco maior.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 155
Assim, para a verificação dos efeitos dos deslocamentos em paredes, também se
pode adotar a altura mínima igual a 45 cm.
Com a finalidade de se verificar o resultado obtido, a viga foi resolvida utilizando-se
o programa ANPAV. Para o dimensionamento das armaduras foi considerada uma carga
total 25 % maior que a ação de serviço adotada para o cálculo da altura mínima. Os
deslocamentos obtidos foram apresentados na Tabela 4.4.
Tabela 4.4 – Deslocamentos calculados com o programa ANPAV
Deslocamentos (cm)
Ação
Imediatos Totais Diferidos
Relação entre os
deslocamentos diferidos
e imediatos
De serviço 0,41 0,89 0,48 1,17
Total 0,49 1,06 0,57 1,16
Sendo o vão efetivo da viga igual a 5,0 m, os limites dos deslocamentos para as
verificações 1, 2 e 3, foram, respectivamente:
cm 0,2
250
500
250
a
qg,t
≤≤≤
ψ+
l
cm 43,1
350
500
350
a
q,i
≤≤≤
l
cm 0,1a
cm0,1
cm 0,2
250
500
250
a
incinc
≤⇒
==
≤
l
Embora não tenham sido calculados os deslocamentos incrementais e os devidos à
ação variável, pode-se perceber que a altura mínima de 45 cm satisfez às três verificações, já
que o deslocamento total devido à ação de serviço, igual a 0,89 cm, foi menor que todos os
limites dessas verificações.
A Tabela 4.4 fornece também as relações entre os deslocamentos diferidos e
imediatos resultantes da análise com o programa ANPAV, iguais a 1,17 e 1,16, para as ações
de serviço e totais, respectivamente. Pela eq. (4.1), proposta para o cálculo do coeficiente
multiplicador dos deslocamentos imediatos para o cálculo dos deslocamentos diferidos,
obteve-se:
20,14500006,015023,05000014,05,2085,065,1
2
aj,f
=⋅+⋅+⋅−⋅−=α
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 156
Pode-se observar que o valor fornecido pela eq. (4.1) foi bastante próximo do obtido
com o programa ANPAV.
Assim, diante dos resultados desse exemplo, novamente, pode-se ter uma idéia da
boa aproximação que os métodos simplificados propostos oferecerem.
C
C
A
A
P
P
Í
Í
T
T
U
U
L
L
O
O
5
5
5
D
D
E
E
S
S
L
L
O
O
C
C
A
A
M
M
E
E
N
N
T
T
O
O
S
S
E
E
M
M
P
P
A
A
V
V
I
I
M
M
E
E
N
N
T
T
O
O
S
S
5.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo é apresentado o estudo dos deslocamentos de alguns pavimentos de
edifícios residenciais, com lajes maciças apoiadas em vigas. Os deslocamentos imediatos
foram calculados a partir de uma análise linear, utilizando-se o programa LASER,
desenvolvido no SET-EESC-USP por RAMALHO (1990), e de uma análise não-linear, com
o programa ANPAV, também desenvolvido no SET-EESC-USP por OLIVEIRA (2001),
com o qual também foram calculados os deslocamentos totais.
Inicialmente, são comentados os principais parâmetros considerados no cálculo dos
deslocamentos, comuns a todos os pavimentos. Em seguida, são apresentadas as
características de cada um dos pavimentos analisados, bem como seus deslocamentos. Faz-
se, então, uma comparação entre os deslocamentos devidos aos dois tipos de análise,
ressaltando-se a relação entre os deslocamentos imediatos, obtidos a partir da análise
elástica, com os deslocamentos imediatos e diferidos fornecidos pela análise não-linear. Por
fim, para algumas lajes e vigas de cada pavimento, são calculadas suas alturas mínimas
utilizando-se os procedimentos propostos nos Capítulos 3 e 4, e o resultado obtido é
comparado com os valores adotados no projeto.
5.2 CONSIDERAÇÕES GERAIS
Comentam-se a seguir, o procedimento adotado para a análise dos pavimentos com
os programas supracitados.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 158
De posse das propriedades dos elementos estruturais e dos materiais utilizados,
fornecidos no projeto estrutural dos pavimentos, inicialmente, foi realizada a análise linear
com o programa LASER. Para isso, foi feita a discretização dos pavimentos, onde as lajes
foram discretizadas em elementos quadrilaterais e as vigas em elementos lineares.
As ações devidas ao peso do piso e do revestimento das lajes e a ação variável foram
lançadas sobre as lajes, e todas as paredes existentes sobre vigas ou lajes foram consideradas
através de cargas nodais localizadas corretamente nas posições onde se encontravam nesses
elementos. Dessa forma, procurou-se evitar o inconveniente de se trabalhar com cargas
linearmente distribuídas que poderiam levar a distorções nos resultados obtidos,
especialmente para as lajes.
Vale ressaltar que para essa análise linear foi considerado o módulo de elasticidade
secante do concreto.
Assim, foram calculados os deslocamentos imediatos, utilizando-se as combinações
quase-permanente e freqüente de ações, com os seguintes coeficientes de redução das ações
variáveis:
• Combinação quase permanente de ações:
qkgkser,d
F3,0FF +=
• Combinação freqüente de ações:
qkgkser,d
F4,0FF +=
sendo:
F
d,ser
a ação de serviço com seu valor de cálculo, calculada de acordo com a combinação
de ações utilizada,
F
gk
as ações permanentes com seus valores característicos,
F
qk
as ações variáveis com seus valores característicos.
Para realização da análise não-linear dos pavimentos com o programa ANPAV, além
dos dados utilizados na análise linear, foram consideradas as áreas de aço de flexão de todos
os elementos estruturais, também fornecidas no projeto estrutural.
Para a análise não-linear foi considerado o módulo de elasticidade tangente do
concreto.
De posse desses dados foram calculados os deslocamentos imediatos e totais devido
às combinações quase-permanente e freqüente de ações, utilizando-se o programa ANPAV
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 159
Para o cálculo dos deslocamentos totais, foram adotados, além das combinações de
ações apresentadas anteriormente, a umidade relativa igual a 60%, a temperatura de 25 °C e
as idades de aplicação das ações permanentes e variáveis iguais a 28 e 45 dias,
respectivamente. Esses valores correspondem às mesmas condições dos estudos das lajes e
vigas isoladas.
5.3 PAVIMENTO 1
Nas Figuras 5.1 e 5.2 são apresentadas as plantas da arquitetura e dos eixos dos
elementos estruturais do primeiro pavimento analisado.
As lajes têm a altura igual a 9 cm e todas as vigas têm seção transversal de
12 × 60 cm, com exceção da viga V3, que tem 12 × 40 cm.
A carga uniformemente distribuída sobre a laje foi constituída, além do peso próprio,
por uma parcela igual a 1,0 kN/m
2
, correspondente ao peso do piso e do revestimento, e uma
ação variável de 1,5 kN/m
2
.
Neste pavimento foram utilizados aço CA – 50 e concreto com resistência
característica à compressão de 20 MPa..
Figura 5.1 – Planta arquitetura do pavimento 1
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 160
P1 20x60
P2 20x60
P3 15x60
P4 20x60 P5 20x60P6 188x15
P7 20x60
P8 20x60
P9 20x100
P10 20x100
P11 180x15 P12 180x15
P13 20x100
P14 20x100
P15 20x100
P16 20x100
V1
V3
V5 V7
V9
V11
V13 V15
V17
V19 V21
V23
V25
V2
V4
V6
V8
V10
V12
V14
V16
V18
V20
V22
V24
V26
V28
V30
L1
L2
L3
L4 L5
L6
L7 L8
L9
L10
L11
L12
L13 L14 L15
L16
L17 L18
Figura 5.2 – Eixos dos elementos estruturais
5.3.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS
Para as combinações quase-permanente e freqüente de ações foram determinados os
deslocamentos imediatos com o programa LASER, e com o programa ANPAV foram
calculados os deslocamentos imediatos, levando-se em conta a influência da fissuração, e os
deslocamentos totais, considerando-se o efeito da fluência e da retração do concreto.
Os deslocamentos imediatos, obtidos a partir das análises linear e não-linear, e os
deslocamentos totais, obtidos evidentemente apenas com a análise não-linear, são
apresentados nas figuras seguintes, nas quais são representados por linhas de mesmo
deslocamento cujo valor aparece anotado. Nestas figuras, M e m correspondem,
respectivamente, aos deslocamentos mínimo e máximo que ocorrem no pavimento. Ressalta-
se que, devido à referência adotada, os valores negativos correspondem aos deslocamentos
no sentido do carregamento colocado, ou seja, para baixo.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 161
Figura 5.3 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise linear
(Combinação quase-permanente)
Figura 5.4 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise linear
(Combinação freqüente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 162
Figura 5.5 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação quase-permanente)
Figura 5.6 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação freqüente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 163
Figura 5.7 – Deslocamentos totais obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação quase-permanente)
Figura 5.8 – Deslocamentos totais obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação freqüente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 164
5.3.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS
Faz-se a seguir uma comparação entre os deslocamentos resultantes das análises
linear e não-linear.
a) Deslocamentos Imediatos
Comparando-se os deslocamentos imediatos obtidos com os programas LASER e
ANPAV, notou-se que nas regiões onde os níveis dos esforços eram mais baixos, os
deslocamentos não-lineares foram bastante próximos e até menores que os lineares.
Para níveis mais elevados de esforços, os deslocamentos imediatos resultantes da
análise não-linear, e devidos às combinações quase-permanente e freqüente, foram
respectivamente 26 % e 30 %, maiores, em média, que os correspondentes obtidos da análise
linear.
Este comportamento já era esperado, pois nos elementos que apresentam nenhuma
ou poucas fissuras, a consideração da colaboração da armadura na sua rigidez, como permite
o programa ANPAV, reduz os deslocamentos, em comparação com a análise com o
programa LASER, que considera apenas a seção de concreto no cálculo da rigidez.
Já para as regiões mais fissuradas, a consideração da seção bruta de concreto no
cálculo da rigidez, como faz o programa LASER, leva a uma maior rigidez dos elementos, e,
consequentemente, a menores deslocamentos.
A partir dos deslocamentos ilustrados da Figura 5.3 à Figura 5.8, e organizados na
Tabela 5.1 pelos valores das curvas de deslocamentos equivalentes, observou-se tal
comportamento. As relações médias entre os deslocamentos imediatos não-lineares e os
lineares foram 1,27 e 1,31, respectivamente para as combinações quase-permanente e
freqüente de ações, valores estes bastante próximos das médias do pavimento, comentadas
anteriormente.
Tabela 5.1 – Deslocamentos imediatos do pavimento 1 devidos às análises lineares e
não-lineares, em cm
Q. Permanente
Frequente
Q. Permanente
Frequente
Q. Permanente
Frequente
-0,08 -0,08 -0,11 -0,11 1,38 1,38
-0,20 -0,20 -0,25 -0,26 1,25 1,30
-0,31 -0,31 -0,39 -0,41 1,26 1,32
-0,42 -0,42 -0,53 -0,56 1,26 1,33
-0,53 -0,54 -0,67 -0,70 1,26 1,30
-0,64 -0,66 -0,81 -0,85 1,27 1,29
-0,76 -0,77 -0,95 -1,00 1,25 1,30
-0,87 -0,89 -1,09 -1,15 1,25 1,29
-0,98 -1,00 -1,24 -1,30 1,27 1,30
Média 1,27 1,31
Análise Linear (LASER)
Relação entre os deslocamentos
não lineares e lineares
Análise Não Linear (ANPAV)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 165
Para representar essa situação nas vigas são apresentados, da Figura 5.9 a Figura
5.11, os deslocamentos imediatos das vigas V2, V13 e V19.
Como a viga V2 foi submetida a esforços mais baixos, notou-se que os valores dos
deslocamentos imediatos lineares e não-lineares foram bem próximos.
Já as vigas V13 e V19, que tinham um maior grau de fissuração, apresentaram
deslocamentos imediatos não-lineares maiores que os lineares. Na região central dos vãos,
onde se tem os maiores esforços, os deslocamentos imediatos obtidos com o programa
ANPAV, para a combinação quase-permanente de ações, foram, em média, 28 % e 25 %
maiores que os fornecidos pelo programa LASER, respectivamente para as vigas V13 e V19.
Já para a combinação freqüente de ações, esses deslocamentos diferiram em 32% e 28 %,
respectivamente. Esses valores são fornecidos nas Tabelas 5.2 e 5.3.
-0,16
-0,12
-0,08
-0,04
0,00
0,0 0,9 1,8 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3
Vão (m)
Deslocamentos imediatos (cm)
Linear (Comb. q-permanente)
Linear (Comb. freqüente)
Não-linear (Comb. q-permanente)
Não -linear (Comb. freqüente)
Figura 5.9 – Deslocamentos imediatos da viga V2
-0,80
-0,70
-0,60
-0,50
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
0,00 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60
Vão (m)
Deslocamentos imediatos (cm)
Linear (comb. q-permanente)
Linear (comb. freqüente)
Não linear (comb. q-permanente)
Não linear (comb. frequënte)
Figura 5.10 – Deslocamentos imediatos da viga V13
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 166
-1,60
-1,40
-1,20
-1,00
-0,80
-0,60
-0,40
-0,20
0,00
0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2
Vão (m)
Deslocamentos imediatos (cm)
Linear (comb. q-permanente)
Linear (comb. freqüente)
Não linear (comb. q-permanente)
Não linear (comb. freqüente)
Figura 5.11 – Deslocamentos imediatos da viga V19
Tabela 5.2 - Deslocamentos imediatos da viga V13, em cm
(m)
Q-Permanente
Frequente
Q-Permanente
Frequente
Q-Permanente
Frequente
0,000 -0,004 -0,004 -0,004 -0,004 0,84 0,79
0,492 -0,120 -0,122 -0,144 -0,151 1,20 1,24
0,983 -0,238 -0,241 -0,290 -0,304 1,22 1,26
1,475 -0,344 -0,349 -0,430 -0,450 1,25 1,29
1,967 -0,429 -0,436 -0,553 -0,578 1,29 1,33
2,458 -0,483 -0,490 -0,639 -0,668 1,32 1,36
2,950 -0,500 -0,507 -0,671 -0,701 1,34 1,38
3,425 -0,477 -0,484 -0,642 -0,670 1,34 1,38
4,000 -0,403 -0,409 -0,534 -0,557 1,32 1,36
4,400 -0,327 -0,331 -0,422 -0,439 1,29 1,33
4,800 -0,236 -0,238 -0,290 -0,301 1,23 1,26
5,200 -0,137 -0,138 -0,149 -0,153 1,09 1,11
5,600 -0,037 -0,036 -0,007 -0,004 0,18 0,10
Média 1,28 1,32
não lineares e lineares
Vão
Análise Linear (LASER) Análise Não Linear (ANPAV)
Relação entre os deslocamentos
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 167
Tabela 5.3 – Deslocamentos imediatos da viga V19, em cm
(m)
Q-Permanente
Frequente
Q-Permanente
Frequente
Q-Permanente
Frequente
0,000 -0,125 -0,127 -0,118 -0,125 0,95 0,98
0,492 -0,352 -0,360 -0,398 -0,418 1,13 1,16
0,983 -0,566 -0,578 -0,666 -0,698 1,18 1,21
1,475 -0,754 -0,770 -0,909 -0,952 1,20 1,24
1,967 -0,907 -0,926 -1,111 -1,164 1,22 1,26
2,458 -1,017 -1,038 -1,261 -1,322 1,24 1,27
2,950 -1,078 -1,101 -1,350 -1,416 1,25 1,29
3,425 -1,090 -1,113 -1,371 -1,440 1,26 1,29
3,900 -1,057 -1,080 -1,334 -1,402 1,26 1,30
4,400 -0,981 -1,001 -1,237 -1,302 1,26 1,30
4,800 -0,895 -0,914 -1,129 -1,188 1,26 1,30
5,200 -0,795 -0,812 -1,004 -1,057 1,26 1,30
5,600 -0,686 -0,701 -0,870 -0,916 1,27 1,31
6,038 -0,564 -0,577 -0,719 -0,757 1,27 1,31
6,475 -0,444 -0,455 -0,568 -0,598 1,28 1,32
6,913 -0,329 -0,337 -0,418 -0,440 1,27 1,30
7,350 -0,220 -0,226 -0,271 -0,285 1,23 1,26
Média 1,25 1,28
Vão
Relação entre os deslocamentos
Análise Linear (LASER) Análise Não Linear (ANPAV)
não lineares e lineares
Para o pavimento analisado, constatou-se, então, que a consideração da fissuração a
partir do programa ANPAV gerou deslocamentos imediatos, em média, 26 % e 30 %
maiores que os deslocamentos imediatos lineares, respectivamente para as combinações
quase-permanente e freqüente de ações.
b) Deslocamentos Diferidos
De posse dos deslocamentos totais e imediatos do pavimento, fornecidos pelo
programa ANPAV, os deslocamentos diferidos foram calculados a partir da subtração dos
deslocamentos imediatos dos deslocamentos totais.
Determinando-se as relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos obtidos
com o programa ANPAV, foram encontrados valores médios iguais a 2,0 e 2,4, para as
combinações quase-permanente e freqüente de ações, respectivamente.
As relações médias entre os deslocamentos diferidos fornecidos pelo programa
ANPAV e os deslocamentos imediatos obtidos com o programa LASER foram iguais de 2,6
e 3,1, respectivamente para as combinações quase-permanente e freqüente.
De maneira simplificada, esses valores podem ser verificados, tomando-se as linhas
de mesmo deslocamento apresentadas da Figura 5.3 a Figura 5.8. Os deslocamentos
imediatos e diferidos e as relações entre eles são fornecidas na Tabela 5.4.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 168
Tabela 5.4 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos do pavimento 1
(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
-0,08 -0,08 -0,11 -0,11 -0,21 -0,26 2,63 3,25 1,91 2,36
-0,20 -0,20 -0,25 -0,26 -0,50 -0,60 2,50 3,00 2,00 2,31
-0,31 -0,31 -0,39 -0,41 -0,79 -0,95 2,55 3,06 2,03 2,32
-0,42 -0,42 -0,53 -0,56 -1,08 -1,30 2,57 3,10 2,04 2,32
-0,53 -0,54 -0,67 -0,70 -1,38 -1,66 2,60 3,07 2,06 2,37
-0,64 -0,66 -0,81 -0,85 -1,67 -2,01 2,61 3,05 2,06 2,36
-0,76 -0,77 -0,95 -1,00 -1,96 -2,36 2,58 3,06 2,06 2,36
-0,87 -0,89 -1,09 -1,15 -2,26 -2,70 2,60 3,03 2,07 2,35
-0,98 -1,00 -1,24 -1,30 -2,54 -3,05 2,59 3,05 2,05 2,35
Média 2,58 3,08 2,03 2,34
Desl Diferidos
(cm)
LASER ANPAV
diferidos e imediatos* diferidos e imediatos**
Relação entre
Deslocamentos Imediatos (cm)
deslocamentos deslocamentos
Relação entre
(1) Deslocamentos devidos à combinação quase-permanente
(2) Deslocamentos devidos à combinação freqüente
** Relação entre os deslocamentos diferidos e os deslocamentos imediatos obtidos com o programa LASER
** Relação entre os deslocamentos diferidos e os deslocamentos imediatos obtidos com o programa ANPAV
Observou-se que a relação média entre os deslocamentos diferidos e imediatos não-
lineares do pavimento, para qualquer combinação de ações, foi maior que 2. Mais uma vez,
foram encontrados valores que confirmam que o coeficiente multiplicador dos
deslocamentos imediatos, recomendado pela NBR 6118 (2003) subestima os deslocamentos
diferidos de lajes, conforme comentado no capítulo 3.
A partir da análise dos deslocamentos das vigas foram observados valores de
relações médias entre os deslocamentos diferidos e imediatos bastante próximos dos do
pavimento.
Para representar o comportamento dos deslocamentos diferidos das vigas foram
tomaram as vigas V13 e V19, cujos deslocamentos são apresentados nas Figuras 5.12 e 5.13.
Os valores desses deslocamentos e das relações entre eles são fornecidos nas Tabelas 5.5 e
5.6.
-1,80
-1,50
-1,20
-0,90
-0,60
-0,30
0,00
0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6
Vão (m)
Deslocamentos (cm)
D. imediatos (LASER-Comb. q-perm.)
D. imediatos (LASER-Comb. frequënte)
D. imediatos (ANPAV-Comb. q-perm.)
D. imediatos (ANPAV-Comb. frequënte)
D.diferidos (ANPAV-Comb. q-perm.)
D. diferidos (ANPAV-Comb. frequënte)
Figura 5.12 – Deslocamentos imediatos e diferidos da viga V13
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 169
-3,75
-3,00
-2,25
-1,50
-0,75
0,00
0,0 0,9 1,8 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2
Vão (m)
Deslocamentos (cm)
D. imediatos (LASER-Comb. q-perm.)
D. imediatos (LASER-Comb. frequënte)
D. imediatos (ANPAV-Comb. q-perm.)
D. imediatos (ANPAV-Comb. frequënte)
D. diferidos (ANPAV-Comb. q-perm.)
D. diferidoss (ANPAV-Comb. frequënte)
Figura 5.13 – Deslocamentos imediatos e diferidos da viga V19
Para essas vigas, as relações médias entre os deslocamentos diferidos e os
deslocamentos imediatos lineares e não-lineares foram bastante próximas das obtidas para o
pavimento como um todo, como pode ser visto nas Tabelas 5.4, 5.5 e 5.6. Exceto a relação
média entre os deslocamentos diferidos e os imediatos lineares da viga V13, para a
combinação freqüente, que foi um pouco menor.
Tabela 5.5 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos da viga V13
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
0,00 -0,004 -0,004 -0,004 -0,004 -0,012 -0,012 2,70 2,82 3,21 3,55
0,49 -0,120 -0,122 -0,144 -0,151 -0,317 -0,360 2,64 2,94 2,20 2,38
0,98 -0,238 -0,241 -0,290 -0,304 -0,628 -0,713 2,64 2,96 2,16 2,35
1,48 -0,344 -0,349 -0,430 -0,450 -0,913 -1,036 2,65 2,97 2,12 2,30
1,97 -0,429 -0,436 -0,553 -0,578 -1,142 -1,296 2,66 2,97 2,07 2,24
2,46 -0,483 -0,490 -0,639 -0,668 -1,291 -1,462 2,67 2,98 2,02 2,19
2,95 -0,500 -0,507 -0,671 -0,701 -1,340 -1,515 2,68 2,99 2,00 2,16
3,43 -0,477 -0,484 -0,642 -0,670 -1,283 -1,445 2,69 2,99 2,00 2,16
4,00 -0,403 -0,409 -0,534 -0,557 -1,087 -1,215 2,69 2,98 2,03 2,18
4,40 -0,327 -0,331 -0,422 -0,439 -0,881 -0,977 2,69 2,95 2,09 2,23
4,80 -0,236 -0,238 -0,290 -0,301 -0,632 -0,690 2,68 2,90 2,18 2,29
5,20 -0,137 -0,138 -0,149 -0,153 -0,358 -0,375 2,62 2,72 2,40 2,44
5,60 -0,037 -0,036 -0,007 -0,004 -0,077 -0,052 2,10 1,42 11,90 14,53
Média 2,62 2,81 2,12 2,37
Relação entre Relação entre
diferidos e imediatos* diferidos e imediatos**
deslocamentos deslocamentosDesl Diferidos
(cm)
Vão
(m)
LASER ANPAV
Deslocamentos Imediatos (cm)
(1) Deslocamentos devidos à combinação quase-permanente
(2) Deslocamentos devidos à combinação freqüente
** Relação entre os deslocamentos diferidos e os deslocamentos imediatos obtidos com o programa LASER
** Relação entre os deslocamentos diferidos e os deslocamentos imediatos obtidos com o programa ANPAV
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 170
Tabela 5.6 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos da viga V19
(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
0,00 -0,125 -0,127 -0,118 -0,125 -0,305 -0,356 2,44 2,80 2,58 2,85
0,49 -0,352 -0,360 -0,398 -0,418 -0,896 -1,062 2,54 2,95 2,25 2,54
0,98 -0,566 -0,578 -0,666 -0,698 -1,450 -1,727 2,56 2,99 2,18 2,47
1,48 -0,754 -0,770 -0,909 -0,952 -1,941 -2,314 2,57 3,00 2,14 2,43
1,97 -0,907 -0,926 -1,111 -1,164 -2,339 -2,793 2,58 3,02 2,11 2,40
2,46 -1,017 -1,038 -1,261 -1,322 -2,627 -3,141 2,58 3,03 2,08 2,38
2,95 -1,078 -1,101 -1,350 -1,416 -2,791 -3,344 2,59 3,04 2,07 2,36
3,43 -1,090 -1,113 -1,371 -1,440 -2,826 -3,394 2,59 3,05 2,06 2,36
3,90 -1,057 -1,080 -1,334 -1,402 -2,749 -3,309 2,60 3,06 2,06 2,36
4,40 -0,981 -1,001 -1,237 -1,302 -2,558 -3,090 2,61 3,09 2,07 2,37
4,80 -0,895 -0,914 -1,129 -1,188 -2,343 -2,838 2,62 3,10 2,08 2,39
5,20 -0,795 -0,812 -1,004 -1,057 -2,089 -2,538 2,63 3,13 2,08 2,40
5,60 -0,686 -0,701 -0,870 -0,916 -1,810 -2,207 2,64 3,15 2,08 2,41
6,04 -0,564 -0,577 -0,719 -0,757 -1,492 -1,828 2,65 3,17 2,08 2,41
6,48 -0,444 -0,455 -0,568 -0,598 -1,175 -1,445 2,64 3,18 2,07 2,42
6,91 -0,329 -0,337 -0,418 -0,440 -0,863 -1,066 2,62 3,16 2,07 2,42
7,35 -0,220 -0,226 -0,271 -0,285 -0,563 -0,698 2,56 3,08 2,08 2,45
Média 2,59 3,06 2,12 2,44
diferidos e imediatos* diferidos e imediatos**
Relação entre Relação entre
deslocamentos deslocamentosVão
LASER ANPAV
Deslocamentos Imediatos (cm)
(m)
Desl Diferidos
(cm)
(1) Deslocamentos devidos à combinação quase-permanente
(2) Deslocamentos devidos à combinação freqüente
** Relação entre os deslocamentos diferidos e os deslocamentos imediatos obtidos com o programa LASER
** Relação entre os deslocamentos diferidos e os deslocamentos imediatos obtidos com o programa ANPAV
Com base nos valores das relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos
comentadas anteriormente, notou-se que os deslocamentos diferidos obtidos com o programa
ANPAV, foram aproximadamente 100 % e 140 % maiores que os deslocamentos imediatos
fornecidos por este programa, para as combinações quase-permanente e freqüente de ações,
respectivamente. Isto levou a coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos
iguais a 2,0 e 2,4.
Já em função das relações entre os deslocamentos diferidos obtidos com o programa
ANPAV e os imediatos fornecidos pelo programa LASER, percebeu-se que os
deslocamentos diferidos foram em torno de 160 % e 200 % maiores que os deslocamentos
imediatos lineares, respectivamente para as combinações quase-permanente e freqüente de
ações.
5.3.3 ALTURAS MÍNIMAS
Utilizando-se os procedimentos propostos nos Capítulos 3 e 4 para a determinação
de alturas mínimas para lajes e vigas, respectivamente, foram determinadas tais alturas para
alguns desses elementos do pavimento em estudo, e os resultados obtidos foram comparados
com os adotados no projeto.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 171
a) Alturas Mínimas das Lajes
Para o cálculo das alturas mínimas das lajes, foi utilizado o procedimento
apresentado no item 3.5.3a, segundo o qual, a altura mínima pode ser obtida a partir da
eq.(3.3), aqui repetida:
α
β
=
min
x
h
L
na qual:
L
x
é o menor vão da laje,
h
min
é a altura mínima da laje,
β é a relação vão-altura mínima para as lajes dos tipos 1, 2 e 3, cujos valores são
fornecidos pelas eqs.(3.4) e (3.5),
α é o coeficiente que leva em consideração as condições de apoio das lajes, corrigindo
os valores de β para os demais tipos de lajes, cujos valores são dados na Tabela 3.8.
Em função das condições de apoio de seus lados, as lajes foram classificadas em
tipos de acordo com a Figura 3.1 do Capítulo 3. Com o engastamento definido a partir da
existência de lajes adjacentes.
• Laje L7
De acordo com a estrutura do pavimento, mostrada na Figura 5.2, foram obtidas as
seguintes características para a laje L7:
• Tipo 5
• L
x
= 295 cm
• L
y
= 375 cm
Para as lajes do tipo 5, segundo a Tabela 3.8, o coeficiente α foi igual a 0,93, para a
verificação da aceitabilidade sensorial quanto a aspectos visuais (verificação 1). Já para as
verificações de aceitabilidade sensorial relativa a vibrações (verificação 2) e dos efeitos dos
deslocamentos nas paredes (verificação 3), o coeficiente α foi igual a 0,90.
Sendo o f
ck
igual a 20 MPa, e a relação entre os vãos das lajes igual a
27,1
295
375
L
L
x
y
==
, utilizando-se as eqs.(3.4) e (3.5), foram obtidos os seguintes valores de β:
(
)
(
)
(
)
3,3327,136,127,12,1327,17,420,20,461
32
1.ver
=⋅−⋅+⋅−⋅+=β
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 172
(
)
(
)
(
)
6,3127,177,127,15,1627,15,510,25,367
32
3 e 2.ver
=⋅−⋅+⋅−⋅+=β
Logo, a partir da eq.(3.3), para satisfazer a verificação 1, a altura mínima da laje L7
foi igual a:
cm 2,8
3,33
29593,0
L
h
x
1.ver min,
=
⋅
=
β
α
=
E, para satisfazer as verificações 2 e 3, encontrou-se:
cm 4,8
6,31
29590,0
L
h
x
3 e ver.2min,
=
⋅
=
β
α
=
Observou-se, então, que para satisfazer às verificações do estado limite de
deformações excessivas, a laje L7 deveria apresentar uma altura maior que 8,4 cm. Como no
projeto foi adotada uma altura de 9 cm para esta laje, esse estado limite foi verificado.
• Laje L11
Para o cálculo da altura mínima da laje L11, foi considerada uma laje retangular,
com as seguintes características:
• Tipo 8 (não foi considerado o engastamento no lado apoiado na viga V23)
• L
x
= 460 cm
• L
y
= 510 cm
Pela Tabela 3.8, para a verificação da aceitabilidade sensorial quanto a aspectos
visuais, o coeficiente α foi igual a 0,84, e para as verificações de aceitabilidade sensorial
relativa a vibrações e dos efeitos dos deslocamentos nas paredes, o coeficiente α foi igual a
0,80. E, a partir das eqs.(3.4) e (3.5), foram calculados os seguintes valores de β:
0,36
460
510
36,1
460
510
2,13
460
510
7,420,20,461
32
1.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
8,34
460
510
77,1
460
510
5,16
460
510
5,510,25,367
32
3 e 2.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
E, portanto, para satisfazer as verificações supracitadas, foram encontradas as
seguintes alturas mínimas:
cm 7,10
0,36
46084,0
L
h
x
1.ver min,
=
⋅
=
β
α
=
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 173
e,
cm 6,10
8,34
46080,0
L
h
x
3 e ver.2min,
=
⋅
=
β
α
=
Logo, para atender às verificações do estado limite de deformações excessivas, a laje
L11 deveria ter uma altura superior a 10,7 cm. No projeto, foi considerada uma altura igual a
9 cm. Constatou-se, assim, que para esta laje seria necessário o cálculo dos deslocamentos e
sua comparação com os valores limites fornecidos pela NBR 6118 (2003), apresentados na
Tabela 2.4 do Capítulo 2, para a verificação desse estado limite de serviço.
b) Alturas Mínimas das Vigas
Para a determinação das alturas mínimas das vigas, foi adotado o procedimento
apresentado no item 4.5.3a, segundo o qual, a altura mínima é dada pela eq.(4.2), ou seja:
β=
min
ef
h
l
sendo:
l
ef
o vão efetivo da viga, em cm,
h
min
a altura mínima da viga, em cm, que satisfaz as verificações dos deslocamentos
apresentadas no item 3.4.3, do Capítulo 3,
β uma função que depende das propriedades geométricas da viga e dos pilares, da
resistência característica do concreto à compressão e do tipo de verificação que se
deseja realizar; e é calculada a partir das eqs.(4.3) e (4.4).
• Viga V9
Foram consideradas as seguintes características para o cálculo da altura mínima da
viga V9:
• l
ef
= 282,5 cm
• b = 12 cm
• h
p
= 20 cm
Para as verificações de aceitabilidade sensorial (verificações 1 e 2), foi calculado o
seguinte valor para β:
0,9
20
5,282
25,020009,01221,05,282005,00,24,10,6
2 e 1 er.v
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 174
E, para a verificação dos efeitos dos deslocamentos nas paredes (verificação 3),
encontrou-se:
2,8
20
5,282
26,020007,01218,05,282005,00,235,17,5
3.ver
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
De acordo com a eq.(4.2), as alturas mínimas que atendem essas verificações foram
iguais a:
cm 4,31
0,9
5,282
h
ef
2 e ver.1min,
==
β
=
l
e,
cm 5,34
2,8
5,282
h
ef
ver.3min,
==
β
=
l
Observou-se, então, que para satisfazer as verificações de aceitabilidade sensorial, a
altura da viga deveria ser superior a 31,4 cm. Já para atender à verificação dos efeitos dos
deslocamentos nas paredes, a altura deveria ser maior que 34,5 cm. Portanto, como foi
adotada uma altura igual a 60 cm, as verificações do estado limite de deformações excessivas
foram atendidas.
• Viga V2
Para a viga V2, foram tomadas as características a seguir.
• l
ef
= 550 cm
• b = 12 cm
• h
p
= 100 cm
E, utilizando-se as eqs.(4.3) e (4.4), foram obtidos os seguintes valores de β:
8,11
100
550
25,0100009,01221,0550005,00,24,10,6
2 e 1 er.v
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
2,11
100
550
26,0100007,01218,0550005,00,235,17,5
3.ver
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
Para atender as verificações de aceitabilidade sensorial, a altura mínima obtida foi
igual a:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 175
cm 6,46
8,11
550
h
ef
2 e ver.1min,
==
β
=
l
E para satisfazer a verificação dos efeitos dos deslocamentos nas paredes, obteve-se:
cm 1,49
2,11
550
h
ef
ver.3min,
==
β
=
l
Notou-se, de acordo com esse resultado, que a altura da viga V2 deveria ser superior
a 49 cm para atender às verificações do estado limite de deformações excessivas, o que
ocorreu, já que no projeto foi considerada, para esta viga, uma altura de 60 cm.
5.4 PAVIMENTO 2
As plantas de arquitetura e de forma do pavimento tipo do segundo edifício
analisado são apresentadas nas Figuras 5.14 e 5.15, respectivamente.
Figura 5.14 – Planta de arquitetura do pavimento 2
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 176
Figura 5.15 – Planta de forma do pavimento 2
Neste pavimento, também foram utilizados aço CA – 50 e concreto com resistência
característica à compressão de 20 MPa.
O carregamento das lajes consistiu de uma parcela igual a 1,0 kN/m
2
, correspondente
ao peso do piso e do revestimento, e uma ação variável de 1,5 kN/m
2
.
5.4.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS
De maneira análoga ao exemplo anterior, foram calculados os deslocamentos
imediatos com os programas LASER e ANPAV, e os deslocamentos totais com o último. Os
valores desses deslocamentos, para a combinação quase-permanente de ações, são ilustrados
da Figura 5.16 a 5.18, novamente a partir de curvas de mesmos deslocamentos. Para a
combinação freqüente de ações os valores dos deslocamentos das curvas correspondentes são
apresentados na Tabela 5.7.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 177
m
M
M = 0,004 m = -0,581
Figura 5.16 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise linear
(Combinação quase-permanente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 178
M = 0,026
m = -0,750
m
M
Figura 5.17 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação quase-permanente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 179
M = 0,045 m = -2,359
m
M
Figura 5.18 – Deslocamentos totais obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação quase-permanente)
Tabela 5.7 – Deslocamentos do pavimento 2, em cm
(1) (2) (1) (2) (1) (2)
0,04 0,05 0,04 0,04 0,16 0,16
0,09 0,09 0,10 0,11 0,35 0,36
0,14 0,14 0,17 0,17 0,55 0,57
0,19 0,19 0,23 0,24 0,75 0,77
0,24 0,24 0,29 0,31 0,94 0,97
0,28 0,29 0,36 0,37 1,14 1,18
0,33 0,34 0,42 0,44 1,34 1,38
0,38 0,39 0,48 0,50 1,53 1,58
0,43 0,44 0,55 0,57 1,73 1,79
0,48 0,49 0,61 0,64 1,93 1,99
0,52 0,54 0,67 0,70 2,12 2,19
0,581 0,595 0,750 0,779 2,359 2,437
LASER ANPAV
Deslocamentos Totais
Deslocamentos Imediatos
(1) Deslocamentos devidos à combinação quase-permanente
(2) Deslocamentos devidos à combinação freqüente
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 180
Na última linha da Tabela 5.7, os valores em negrito correspondem aos
deslocamentos máximos ocorridos no pavimento.
5.4.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS
De posse dos deslocamentos fornecidos tanto pelo procedimento elástico quanto pelo
não-linear foram feitas algumas comparações entre os resultados obtidos, apresentadas a
seguir.
a) Deslocamentos Imediatos
A partir dos deslocamentos imediatos calculados com as análises não-linear
(programa ANPAV) e linear (programa LASER), foram determinadas as relações entre esses
deslocamentos. Considerando-se apenas as regiões mais fissuradas, foi observado que
aqueles determinados com análise não-linear foram em torno de 24% e 28% maiores que os
obtidos da análise linear, respectivamente para as combinações quase-permanente e
freqüente de ações.
Para as curvas de deslocamentos do pavimento, mostradas anteriormente, foram
calculadas as relações entre os deslocamentos imediatos correspondentes, e os resultados são
dados na Tabela 5.8. Notou-se que os valores são bem próximos da média obtida para o
pavimento.
Tabela 5.8 – Deslocamentos imediatos do pavimento 2 devidos às análises lineares e
não-lineares, em cm
Q. Permanente Frequente Q. Permanente Frequente Q. Permanente Frequente
0,04 0,05 0,04 0,04 1,00 0,80
0,09 0,09 0,10 0,11 1,11 1,22
0,14 0,14 0,17 0,17 1,21 1,21
0,19 0,19 0,23 0,24 1,21 1,26
0,24 0,24 0,29 0,31 1,21 1,29
0,28 0,29 0,36 0,37 1,29 1,28
0,33 0,34 0,42 0,44 1,27 1,29
0,38 0,39 0,48 0,50 1,26 1,28
0,43 0,44 0,55 0,57 1,28 1,30
0,48 0,49 0,61 0,64 1,27 1,31
0,52 0,54 0,67 0,70 1,29 1,30
Média 1,24 1,27
não lineares e lineares
Relação entre os deslocamentos
Análise Linear (LASER) Análise Não Linear (ANPAV)
Para representar o comportamento das vigas foram tomadas V1 e V20, cujos
deslocamentos imediatos estão representados nas Figuras 5.20 e 5.19, respectivamente.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 181
No primeiro vão da viga V20, os deslocamentos imediatos devidos aos dois tipos de
análise foram bastante próximos, sendo que os obtidos com a análise não-linear foram um
pouco menores, devido à consideração da colaboração da armadura na rigidez da viga feita
por esta análise. Já para o segundo vão, os deslocamentos imediatos devidos à análise não-
linear apresentaram valores maiores que os lineares, pois o concreto já havia fissurado.
Considerando apenas a região fissurada deste vão, a relação média entre os deslocamentos
imediatos não-lineares e lineares foi igual a 1,23 e 1,28, respectivamente para as
combinações quase-permanente e freqüente de ações. Ou seja, a consideração da fissuração
no cálculo dos deslocamentos imediatos levou a deslocamentos imediatos 23 % e 28%
maiores que os lineares. Todos os valores das relações entre os deslocamentos imediatos da
viga V20 são fornecidos na Tabela 5.9
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0
Vão (m)
Deslocamentos (cm)
Linear (Comb. q-permanente)
Linear (Comb. freqüente)
Não linear (Comb. q-permanente)
Não linear (Comb. freqüente)
Figura 5.19 – Deslocamentos imediatos da viga V20
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Vão (m)
Deslocamentos (cm)
Linear (Comb. q-permanente)
Linear (Comb. frequënte)
Não linear (Comb. q-permanente)
Não linear (Comb. frequënte)
Figura 5.20 – Deslocamentos imediatos da viga V1
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 182
Tabela 5.9 – Deslocamentos imediatos da viga V20, em cm
(m) Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente
0,00 -0,010 -0,011 -0,008 -0,008 0,77 0,77
0,51 -0,045 -0,046 -0,041 -0,043 0,91 0,93
1,01 -0,087 -0,089 -0,080 -0,083 0,92 0,94
1,55 -0,130 -0,132 -0,119 -0,123 0,91 0,94
2,22 -0,163 -0,165 -0,150 -0,157 0,93 0,95
2,83 -0,169 -0,171 -0,158 -0,165 0,94 0,96
3,43 -0,153 -0,155 -0,143 -0,149 0,94 0,96
4,04 -0,119 -0,121 -0,112 -0,117 0,95 0,97
4,64 -0,076 -0,077 -0,074 -0,077 0,98 0,99
5,12 -0,043 -0,044 -0,043 -0,045 1,00 1,02
5,54 -0,023 -0,023 -0,021 -0,022 0,94 0,95
5,95 -0,015 -0,015 -0,011 -0,011 0,73 0,73
6,37 -0,023 -0,023 -0,026 -0,026 1,12 1,14
6,78 -0,043 -0,044 -0,053 -0,056 1,23 1,27
7,48 -0,091 -0,093 -0,111 -0,117 1,22 1,26
8,17 -0,137 -0,139 -0,167 -0,176 1,22 1,26
8,85 -0,164 -0,167 -0,204 -0,215 1,24 1,29
9,53 -0,164 -0,167 -0,207 -0,220 1,26 1,32
10,35 -0,128 -0,130 -0,160 -0,170 1,26 1,31
10,88 -0,086 -0,088 -0,109 -0,116 1,26 1,32
11,39 -0,045 -0,046 -0,057 -0,060 1,26 1,31
11,89 -0,010 -0,011 -0,010 -0,010 0,98 0,97
Média 1,23 1,28
Análise Linear (LASER) Análise Não Linear (ANPAV)
Vão
Relação entre os deslocamentos
não lineares e lineares
Para a viga V1, as relações médias entre os deslocamentos imediatos não-lineares e
lineares, para as combinações quase-permanente e freqüente de ações, foram iguais a 1,24 e
1,28, respectivamente. Esses valores, computados considerando-se a região fissurada, são
dados na Tabela 5.10.
Assim, para este pavimento, observou-se que os deslocamentos imediatos não-
lineares foram em torno de 24 % e 28 % maiores que os correspondentes obtidos com a
análise linear, para as combinações quase-permanente e freqüente de ações, respectivamente.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 183
Tabela 5.10 – Deslocamentos imediatos da viga V1, em cm
(m) Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente
0,00 0,001 0,001 0,001 0,001 0,68 0,68
0,43 -0,004 -0,004 -0,002 -0,002 0,68 0,69
0,93 -0,009 -0,010 -0,006 -0,006 0,68 0,68
1,25 -0,013 -0,013 -0,009 -0,009 0,68 0,68
1,44 -0,017 -0,017 -0,014 -0,014 0,82 0,82
2,05 -0,047 -0,048 -0,057 -0,059 1,20 1,23
2,66 -0,089 -0,091 -0,110 -0,115 1,23 1,26
3,28 -0,128 -0,130 -0,159 -0,166 1,24 1,27
3,89 -0,154 -0,156 -0,195 -0,204 1,27 1,31
4,50 -0,159 -0,162 -0,204 -0,213 1,28 1,32
5,00 -0,148 -0,150 -0,187 -0,195 1,26 1,30
5,51 -0,124 -0,126 -0,154 -0,161 1,24 1,28
6,01 -0,091 -0,093 -0,113 -0,118 1,24 1,27
6,58 -0,052 -0,053 -0,064 -0,066 1,23 1,26
7,14 -0,021 -0,021 -0,020 -0,021 0,99 1,00
7,46 -0,012 -0,012 -0,008 -0,008 0,68 0,69
7,80 -0,008 -0,008 -0,006 -0,006 0,69 0,69
8,26 -0,003 -0,003 -0,002 -0,002 0,69 0,69
8,71 0,002 0,002 0,002 0,002 0,68 0,68
Média 1,24 1,28
Análise Linear (LASER) Análise Não Linear (ANPAV)
Vão
Relação entre os deslocamentos
não lineares e lineares
b) Deslocamentos Diferidos
Da mesma maneira que para o pavimento 1, os deslocamentos diferidos foram
calculados pela subtração dos deslocamentos imediatos dos deslocamentos totais, ambos
calculados com o programa ANPAV.
Para as combinações quase-permanente e freqüente de ações, as relações entre os
deslocamentos diferidos e imediatos foram bastante próximas.
Comparando-se os deslocamentos diferidos e os imediatos fornecidos pela análise
linear, constatou-se que os diferidos foram aproximadamente 180 % maiores que os
imediatos. Com relação aos deslocamentos imediatos provenientes da análise não-linear, os
deslocamentos diferidos foram 130 % maiores. Essas porcentagens entre os deslocamentos
diferidos e imediatos foram obtidas tanto com a combinação quase-permanente quanto com a
combinação freqüente de ações.
Esses valores podem ser verificados a partir dos deslocamentos correspondentes às
curvas apresentadas nas Figuras 5.16, 5.17 e 5.18 e também fornecidos na Tabela 5.7.
Calculando-se as relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos foram encontrados
valores bem próximos da média do pavimento, como pode ser visto na Tabela 5.11.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 184
Tabela 5.11 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos do pavimento 2
(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
0,04 0,05 0,04 0,04 0,12 0,12 3,00 2,40 3,00 3,00
0,09 0,09 0,10 0,11 0,25 0,25 2,78 2,78 2,50 2,27
0,14 0,14 0,17 0,17 0,38 0,40 2,71 2,86 2,24 2,35
0,19 0,19 0,23 0,24 0,52 0,53 2,74 2,79 2,26 2,21
0,24 0,24 0,29 0,31 0,65 0,66 2,71 2,75 2,24 2,13
0,28 0,29 0,36 0,37 0,78 0,81 2,79 2,79 2,17 2,19
0,33 0,34 0,42 0,44 0,92 0,94 2,79 2,76 2,19 2,14
0,38 0,39 0,48 0,50 1,05 1,08 2,76 2,77 2,19 2,16
0,43 0,44 0,55 0,57 1,18 1,22 2,74 2,77 2,15 2,14
0,48 0,49 0,61 0,64 1,32 1,35 2,75 2,76 2,16 2,11
0,52 0,54 0,67 0,70 1,45 1,49 2,79 2,76 2,16 2,13
Média 2,78 2,74 2,30 2,26
Desl Diferidos
(cm)
Relação entre Relação entre
LASER ANPAV
diferidos e imediatos* diferidos e imediatos**
Deslocamentos Imediatos (cm)
deslocamentos deslocamentos
(1) Deslocamentos devidos à combinação quase-permanente
(2) Deslocamentos devidos à combinação freqüente
** Relação entre os deslocamentos diferidos e os deslocamentos imediatos obtidos com o programa LASER
** Relação entre os deslocamentos diferidos e os deslocamentos imediatos obtidos com o programa ANPAV
Nas Figuras 5.21 e 5.22 são apresentados os deslocamentos imediatos e diferidos das
vigas V20 e V1, respectivamente.
Para a viga V20, considerando-se a região fissurada do centro do segundo vão, a
relação média entre os deslocamentos diferidos e imediatos lineares foi igual a 2,72 e 2,86,
respectivamente para as combinações quase-permanente e freqüente de ações. Considerando-
se os deslocamentos imediatos não-lineares, essas relações foram iguais a 2,22 e 2,25. Os
valores dessas relações são dados na Tabela 5.12.
-0,60
-0,50
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
0,0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0
Vão (m)
Deslocamentos (cm)
D. imediatos (LASER-Comb. q-perm.)
D. imediatos (LASER-Comb. freqüente)
D. imediatos (ANPAV-Comb. q-perm.)
D. imediatos (ANPAV-Comb. freqüente)
D. diferidos (ANPAV-Comb. q-perm.)
D. diferidos (ANPAV-Comb. freqüente)
Figura 5.21 – Deslocamentos imediatos e diferidos da viga V20
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 185
-0,50
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Vão (m)
Deslocamentos (cm)
D. imediatos (LASER-Comb. q-perm.)
D. imediatos (LASER-Comb. freqüente)
D. imediatos (ANPAV-Comb. q-perm.)
D. imediatos (ANPAV-Comb. freqüente)
D.diferidos (ANPAV-Comb. q-perm.)
D. diferidos (ANPAV-Comb. freqüente)
Figura 5.22 – Deslocamentos imediatos e diferidos da viga V1
As relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos da viga V1 são dadas na
Tabela 5.13. Observou-se que os valores também foram bem próximos da média do
pavimento.
Tabela 5.12 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos da viga V20
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
0,00 -0,010 -0,011 -0,008 -0,008 -0,024 -0,025 2,27 2,33 2,94 3,03
0,51 -0,045 -0,046 -0,041 -0,043 -0,102 -0,109 2,25 2,35 2,47 2,52
1,01 -0,087 -0,089 -0,080 -0,083 -0,195 -0,208 2,24 2,34 2,45 2,49
1,55 -0,130 -0,132 -0,119 -0,123 -0,289 -0,307 2,23 2,33 2,44 2,49
2,22 -0,163 -0,165 -0,150 -0,157 -0,362 -0,385 2,23 2,33 2,41 2,46
2,83 -0,169 -0,171 -0,158 -0,165 -0,376 -0,400 2,23 2,33 2,38 2,42
3,43 -0,153 -0,155 -0,143 -0,149 -0,340 -0,361 2,23 2,33 2,38 2,43
4,04 -0,119 -0,121 -0,112 -0,117 -0,266 -0,282 2,24 2,34 2,36 2,42
4,64 -0,076 -0,077 -0,074 -0,077 -0,171 -0,182 2,26 2,36 2,32 2,38
5,12 -0,043 -0,044 -0,043 -0,045 -0,099 -0,105 2,28 2,38 2,29 2,34
5,54 -0,023 -0,023 -0,021 -0,022 -0,052 -0,055 2,27 2,35 2,41 2,47
5,95 -0,015 -0,015 -0,011 -0,011 -0,032 -0,033 2,16 2,21 2,96 3,02
6,37 -0,023 -0,023 -0,026 -0,026 -0,061 -0,065 2,69 2,80 2,39 2,46
6,78 -0,043 -0,044 -0,053 -0,056 -0,119 -0,127 2,75 2,88 2,23 2,27
7,48 -0,091 -0,093 -0,111 -0,117 -0,249 -0,265 2,73 2,86 2,24 2,27
8,17 -0,137 -0,139 -0,167 -0,176 -0,372 -0,396 2,72 2,85 2,23 2,26
8,85 -0,164 -0,167 -0,204 -0,215 -0,445 -0,475 2,72 2,85 2,19 2,21
9,53 -0,164 -0,167 -0,207 -0,220 -0,447 -0,477 2,72 2,85 2,15 2,17
10,35 -0,128 -0,130 -0,160 -0,170 -0,346 -0,370 2,72 2,86 2,16 2,17
10,88 -0,086 -0,088 -0,109 -0,116 -0,236 -0,253 2,73 2,88 2,16 2,19
11,39 -0,045 -0,046 -0,057 -0,060 -0,124 -0,133 2,75 2,91 2,19 2,22
11,89 -0,010 -0,011 -0,010 -0,010 -0,029 -0,031 2,76 2,89 2,82 2,98
Média 2,72 2,86 2,22 2,25
Desl Diferidos
(cm)
Relação entre
diferidos e imediatos*
Relação entre
diferidos e imediatos**
deslocamentos deslocamentos
LASER ANPAV
Vão
Deslocamentos Imediatos (cm)
(m)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 186
Tabela 5.13 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos da viga V1
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
0,00 0,001 0,001 0,001 0,001 0,003 0,003 2,23 2,29 3,29 3,36
0,43 -0,004 -0,004 -0,002 -0,002 -0,008 -0,009 2,41 2,48 3,53 3,62
0,93 -0,009 -0,010 -0,006 -0,006 -0,022 -0,023 2,37 2,44 3,49 3,58
1,25 -0,013 -0,013 -0,009 -0,009 -0,031 -0,032 2,37 2,44 3,48 3,57
1,44 -0,017 -0,017 -0,014 -0,014 -0,042 -0,044 2,45 2,53 2,99 3,06
2,05 -0,047 -0,048 -0,057 -0,059 -0,128 -0,135 2,72 2,82 2,26 2,29
2,66 -0,089 -0,091 -0,110 -0,115 -0,244 -0,257 2,73 2,83 2,21 2,24
3,28 -0,128 -0,130 -0,159 -0,166 -0,349 -0,368 2,72 2,82 2,19 2,21
3,89 -0,154 -0,156 -0,195 -0,204 -0,417 -0,440 2,71 2,82 2,14 2,16
4,50 -0,159 -0,162 -0,204 -0,213 -0,432 -0,456 2,71 2,82 2,12 2,14
5,00 -0,148 -0,150 -0,187 -0,195 -0,401 -0,423 2,71 2,81 2,15 2,17
5,51 -0,124 -0,126 -0,154 -0,161 -0,336 -0,355 2,71 2,81 2,18 2,21
6,01 -0,091 -0,093 -0,113 -0,118 -0,248 -0,262 2,72 2,82 2,20 2,22
6,58 -0,052 -0,053 -0,064 -0,066 -0,140 -0,147 2,70 2,81 2,20 2,23
7,14 -0,021 -0,021 -0,020 -0,021 -0,052 -0,054 2,52 2,60 2,54 2,60
7,46 -0,012 -0,012 -0,008 -0,008 -0,028 -0,030 2,34 2,41 3,42 3,52
7,80 -0,008 -0,008 -0,006 -0,006 -0,019 -0,020 2,35 2,43 3,43 3,53
8,26 -0,003 -0,003 -0,002 -0,002 -0,007 -0,007 2,41 2,48 3,51 3,60
8,71 0,002 0,002 0,002 0,002 0,005 0,006 2,22 2,30 3,26 3,36
Média 2,71 2,82 2,17 2,20
(cm)
Relação entre
diferidos e imediatos**
deslocamentos deslocamentos
(m)
LASER ANPAV
Relação entre
diferidos e imediatos*
Vão
Deslocamentos Imediatos (cm)
Desl Diferidos
Diante do exposto anteriormente, notou-se que para os deslocamentos diferidos
obtidos com o programa ANPAV, foram aproximadamente 130 % maiores que os
deslocamentos imediatos fornecidos por este programa, tanto para a combinação quase-
permanente de ações quanto para a freqüente. Desta forma, o coeficiente multiplicador dos
deslocamentos imediatos foi igual a 2,3.
Com relação aos deslocamentos imediatos lineares fornecidos pelo programa
LASER, os deslocamentos diferidos obtidos com o programa ANPAV foram, em média,
180 % maiores, para as duas combinações de ações consideradas.
5.4.3 ALTURAS MÍNIMAS
São apresentados a seguir, o cálculo das alturas mínimas de algumas lajes e vigas,
alturas estas que satisfazem o estado limite de deformações excessivas.
Para o cálculo dessas alturas mínimas de lajes e vigas, de maneira similar ao
pavimento anterior, foram utilizadas as eqs.(3.3) e (4.2), respectivamente.
a) Alturas Mínimas das Lajes
Para este pavimento foram calculadas as alturas mínimas das seguintes lajes:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 187
• Laje L1
Para a laje L1, de acordo com a Figura 5.15, foram obtidas as seguintes
propriedades:
• Tipo 4
• L
x
= 395 cm
• L
y
= 858 cm
Pela Tabela 3.8, para a verificação da aceitabilidade sensorial quanto a aspectos
visuais, o coeficiente α foi igual a 0,88, e para as verificações de aceitabilidade sensorial
relativa a vibrações e dos efeitos dos deslocamentos nas paredes, o coeficiente α foi igual a
0,85. E, de acordo com as eqs.(3.4) e (3.5), foram calculados os seguintes valores de β:
(
)
(
)
(
)
0,230,336,10,32,130,37,420,20,461
32
1.ver
=⋅−⋅+⋅−⋅+=β
(
)
(
)
(
)
2,200,377,10,35,160,35,510,25,367
32
3 e 2.ver
=⋅−⋅+⋅−⋅+=β
Vale lembrar que, como a relação entre os vãos foi maior que 2,0, nas eqs.(3.4) e
(3.5), essa relação foi considerada igual a 3,0, conforme recomendado no Capítulo 3.
Com esses valores de α e β, foram encontradas as seguintes alturas mínimas que
satisfazem as verificações do estado limite de deformações excessivas:
cm 1,15
0,23
39588,0
L
h
x
1.ver min,
=
⋅
=
β
α
=
e,
cm 6,16
2,20
39585,0
L
h
x
3 e ver.2min,
=
⋅
=
β
α
=
De acordo com esses resultados, observou-se que, para atender às verificações do
estado limite de deformações excessivas, a laje L1 deveria ter uma altura superior a 16,6 cm,
o que não ocorreu, já que a laje foi projetada com uma altura igual a 10 cm. Foi constatado,
assim, que essa laje pode apresentar problemas devidos a deslocamentos excessivos, sendo
necessário, então, para essa verificação, o cálculo dos deslocamentos da laje L1 e a
comparação com os limites fornecidos pela NBR 6118 (2003).
• Laje L2
Para a laje L2, foram consideradas as seguintes características:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 188
• Tipo 6 (não foi considerado o engastamento no lado apoiado na viga V20)
• L
x
= 632,5 cm
• L
y
= 652 cm
Pela Tabela 3.8, para a verificação da aceitabilidade sensorial relativa a aspectos
visuais, e para as verificações de aceitabilidade sensorial relativa a vibrações e dos efeitos
dos deslocamentos nas paredes, os valores do coeficiente α foram 0,93 e 0,90,
respectivamente. E, de acordo com as eqs.(3.4) e (3.5), foram obtidos os seguintes valores
de β:
5,37
5,632
652
36,1
5,632
652
2,13
5,632
652
7,420,20,461
32
1.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
5,36
5,632
652
77,1
5,632
652
5,16
5,632
652
5,510,25,367
32
3 e 2.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
Portanto, foram encontradas as seguintes alturas mínimas para a laje L2:
cm 7,15
5,37
5,63293,0
L
h
x
1.ver min,
=
⋅
=
β
α
=
e,
cm 6,15
5,36
5,63290,0
L
h
x
3 e ver.2min,
=
⋅
=
β
α
=
Constatou-se, assim, que para atender às verificações do estado limite de
deformações excessivas, seria necessária uma altura superior a 15,7 cm. Como no projeto foi
considerada uma altura igual a 12 cm, a laje L2 também pode apresentar problemas devidos
a deslocamentos excessivos.
b) Alturas Mínimas das Vigas
Para este pavimento foram calculadas as alturas mínimas das seguintes vigas:
• Viga V1
Foram consideradas as seguintes características para o cálculo da altura mínima da
viga V1:
• l
ef
= 746 cm
• b = 13 cm
• h
p
= 125 cm
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 189
Para as verificações de aceitabilidade sensorial, foi calculado o seguinte valor para β:
6,12
125
746
25,0125009,01321,0746005,00,24,10,6
2 e 1 er.v
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
E, para a verificação dos efeitos dos deslocamentos nas paredes (verificação 3),
encontrou-se:
0,12
125
746
26,0125007,01318,0746005,00,235,17,5
3.ver
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
De acordo com a eq.(4.2), as alturas mínimas que atendem essas verificações foram
iguais a:
cm 0,59
6,12
746
h
ef
2 e ver.1min,
==
β
=
l
e,
cm 9,61
0,12
746
h
ef
ver.3min,
==
β
=
l
Percebeu-se, então, que para satisfazer as verificações tanto de aceitabilidade
sensorial quanto de efeitos dos deslocamentos nas paredes, a altura da viga deveria ser
superior a 62 cm. Portanto, como no projeto foi adotada uma altura igual a 76 cm, essas
verificações do estado limite de deformações excessivas foram atendidas.
• Viga V19
Para a viga V19, foram tomadas as características a seguir.
• l
ef
= 404 cm
• b = 13 cm
• h
p
= 22 cm
E, utilizando-se as eqs.(4.3) e (4.4), foram obtidos os seguintes valores de β:
8,8
22
404
25,022009,01321,0404005,00,24,10,6
2 e 1 er.v
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
8,7
22
404
26,022007,01318,0404005,00,235,17,5
3.ver
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 190
Para atender as verificações de aceitabilidade sensorial, a altura mínima obtida foi
igual a:
cm 1,46
8,8
404
h
ef
2 e ver.1min,
==
β
=
l
E para satisfazer a verificação dos efeitos dos deslocamentos nas paredes, obteve-se:
cm 6,51
8,7
404
h
ef
ver.3min,
==
β
=
l
Observou-se, então, que a altura da viga V19 deveria ser superior a 51,6 cm para
atender as verificações do estado limite de deformações excessivas, o que ocorreu, já que no
projeto foi considerada, para esta viga, uma altura de 76 cm.
5.5 PAVIMENTO 3
Nas Figuras 5.23 e 5.24 têm-se as plantas se arquitetura e de forma de mais um
pavimento analisado.
Para este pavimento, foram utilizados concreto com resistência característica à
compressão de 25 MPa e aço CA – 50.
A altura de todas as lajes é igual a 9 cm, e o carregamento também foi constituído de
uma parcela igual a 1,0 kN/m
2
, correspondente ao peso do piso e do revestimento, e uma
ação variável de 1,5 kN/m
2
5.5.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS
Mais uma vez, após o cálculo dos deslocamentos imediatos com os programas
LASER e ANPAV, e dos deslocamentos totais, evidentemente, apenas com o programa
ANPAV, foram traçadas as curvas de mesmo deslocamento, para as combinações quase-
permanente e freqüente de ações, e para cada tipo de deslocamentos, conforme ilustrado da
Figura 5.25 a Figura 5.30.
Vale observar que nestas figuras o pavimento sofreu um giro de 90° em relação à
planta de forma da Figura 5.24.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 191
Figura 5.23 – Planta de arquitetura do pavimento 3
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 192
Figura 5.24 – Planta de forma do pavimento 3
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 193
M
M = - 0,004 m = -0,453
Figura 5.25 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise linear
(Combinação quase-permanente)
m
M
M = - 0,004 m = - 0,465
Figura 5.26 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise linear
(Combinação freqüente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 194
m
M
M = 0,005 m = - 0,542
Figura 5.27 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação quase-permanente)
m
M
M = 0,006 m = -0,562
Figura 5.28 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação freqüente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 195
m
M
M = 0,000 m = -1,631
Figura 5.29 – Deslocamentos totais obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação quase-permanente)
m
M
M = 0,002
m = -1,688
Figura 5.30 – Deslocamentos totais obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação freqüente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 196
5.5.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS
A seguir são comentadas algumas comparações entre os deslocamentos calculados
com o programa LASER e ANPAV.
a) Deslocamentos Imediatos
Para este pavimento, os valores médios das relações entre os deslocamentos
imediatos calculados com os programas ANPAV e LASER foram bastante próximos para as
duas combinações de ações consideradas.
Considerando-se as curvas de deslocamentos mostradas da Figura 5.25 a Figura
5.28, e apresentados na Tabela 5.14, observou-se que as relações entre os deslocamentos
imediatos não-lineares e os lineares foram menores que as obtidas nos pavimentos
apresentados nos itens anteriores. Os valores médios desta relação para as combinações
quase-permanente e freqüente de ações foram iguais a 1,18 e 1,20, respectivamente. Desta
forma, constatou-se que os deslocamentos imediatos provenientes da análise não-linear
foram aproximadamente 20 % maiores que os deslocamentos imediatos lineares.
Tabela 5.14 – Deslocamentos imediatos do pavimento 3 devidos às análises lineares e
não-lineares, em cm
Q. Permanente Frequente Q. Permanente Frequente Q. Permanente Frequente
0,03 0,03 0,03 0,03 1,00 1,00
0,06 0,06 0,07 0,07 1,17 1,17
0,09 0,09 0,10 0,10 1,11 1,11
0,12 0,12 0,14 0,14 1,17 1,17
0,15 0,15 0,17 0,18 1,16 1,17
0,18 0,18 0,21 0,21 1,17 1,17
0,21 0,21 0,24 0,25 1,16 1,19
0,23 0,24 0,28 0,29 1,20 1,21
0,26 0,27 0,31 0,32 1,19 1,19
0,29 0,30 0,35 0,36 1,19 1,20
0,32 0,33 0,38 0,40 1,19 1,21
0,35 0,36 0,42 0,43 1,20 1,20
0,38 0,39 0,45 0,47 1,18 1,21
0,41 0,42 0,49 0,51 1,20 1,21
Média 1,18 1,20
Análise Linear (LASER) Análise Não Linear (ANPAV)
não lineares e lineares
Relação entre os deslocamentos
Analisando-se os deslocamentos imediatos das vigas verificou-se, para as regiões de
maiores momentos fletores, onde o concreto já apresentava fissuras, que a relação média
entre os deslocamentos imediatos não-lineares e os lineares foi aproximadamente 1,32, valor
um pouco superior à média do pavimento.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 197
Na Figura 5.31 são ilustrados os deslocamentos imediatos da viga V1, cujos valores
são fornecidos na Tabela 5.15. Observou-se que no primeiro vão, considerando-se apenas a
região de maiores momentos fletores, os valores médios das relações entre os deslocamentos
imediatos não-lineares e os lineares foram 1,30 e 1,34, respectivamente para as combinações
quase-permanente e freqüente de ações.
Percebeu-se, também, que para o segundo vão da viga V1, os deslocamentos devidos
à análise com o programa ANPAV foram menores que aqueles obtidos com o programa
LASER. Conforme comentado anteriormente, este fato se deve à consideração da
colaboração da armadura na determinação da rigidez do elemento, permitida pelo programa
ANPAV.
Ainda para ilustrar o comportamento das vigas, na Figura 5.32 têm-se os
deslocamentos imediatos da viga V16. Novamente, considerando-se apenas a região de
maiores momentos fletores, as relações entre os deslocamentos imediatos não-lineares e os
lineares apresentaram valores médios iguais a 1,33 e 1,36, para as combinações quase-
permanente e freqüente de ações, respectivamente. Na Tabela 5.16 são fornecidos tais
valores.
Para o pavimento em estudo observou-se, então, que os deslocamentos imediatos
fornecidos pela análise não-linear com o programa ANPAV foram aproximadamente 20 %
maiores que os da análise linear com o programa LASER. E considerando-se somente as
vigas, essa diferença foi de 30 %.
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0
Vão (cm)
Deslocamentos (cm)
Linear (comb. q-permanente)
Linear (comb. freqüente)
Não linear (comb. q-permanente)
Não linear (comb. freqüente)
Figura 5.31 – Deslocamentos imediatos da viga V1
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 198
Tabela 5.15 – Deslocamentos imediatos da viga V1, em cm
(m) Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente
0,00 -0,008 -0,009 -0,006 -0,006 0,75 0,75
0,47 -0,050 -0,051 -0,060 -0,063 1,20 1,24
0,95 -0,087 -0,089 -0,111 -0,116 1,27 1,31
1,42 -0,116 -0,118 -0,156 -0,164 1,34 1,39
1,90 -0,135 -0,137 -0,189 -0,199 1,40 1,45
2,37 -0,142 -0,144 -0,201 -0,211 1,42 1,47
2,85 -0,136 -0,138 -0,188 -0,198 1,39 1,44
3,32 -0,119 -0,121 -0,158 -0,166 1,34 1,38
3,80 -0,094 -0,095 -0,121 -0,127 1,29 1,33
4,27 -0,065 -0,066 -0,081 -0,085 1,24 1,28
4,74 -0,039 -0,040 -0,043 -0,044 1,09 1,11
5,22 -0,022 -0,023 -0,017 -0,018 0,78 0,78
5,69 -0,013 -0,013 -0,010 -0,010 0,77 0,77
6,17 -0,007 -0,007 -0,005 -0,005 0,73 0,73
6,64 -0,006 -0,006 -0,004 -0,004 0,67 0,67
7,12 -0,006 -0,006 -0,004 -0,004 0,65 0,65
7,59 -0,007 -0,007 -0,005 -0,005 0,66 0,65
8,07 -0,007 -0,007 -0,004 -0,004 0,66 0,66
8,54 -0,005 -0,005 -0,003 -0,003 0,65 0,65
Média 1,30 1,34
Análise Não Linear (ANPAV)
Vão
Relação entre os deslocamentos
não lineares e lineares
Análise Linear (LASER)
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Vão (m)
Deslocamentos (cm)
Linear (comb. q-permanente)
Linear (comb. freqüente)
Não linear (comb. q-permanente)
Não linear (comb. freqüente)
Figura 5.32 – Deslocamentos imediatos da viga V16
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 199
Tabela 5.16 – Deslocamentos imediatos da viga V16, em cm
(m) Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente
0,00 -0,013 -0,013 -0,009 -0,009 0,67 0,66
0,69 -0,083 -0,085 -0,101 -0,105 1,22 1,24
1,38 -0,160 -0,164 -0,197 -0,206 1,23 1,25
1,88 -0,166 -0,171 -0,220 -0,231 1,32 1,35
2,38 -0,162 -0,166 -0,227 -0,238 1,40 1,44
2,88 -0,143 -0,147 -0,205 -0,215 1,43 1,46
3,38 -0,110 -0,113 -0,153 -0,161 1,39 1,42
3,88 -0,065 -0,066 -0,084 -0,088 1,30 1,33
4,38 -0,013 -0,013 -0,010 -0,010 0,80 0,81
Média 1,33 1,36
Relação entre os deslocamentos
não lineares e linearesVão
Análise Linear (LASER) Análise Não Linear (ANPAV)
b) Deslocamentos Diferidos
Comparando-se os deslocamentos diferidos e imediatos do pavimento, percebeu-se
que os deslocamentos diferidos foram aproximadamente 140 % e 100% maiores que os
deslocamentos imediatos provenientes da análise linear e da análise não-linear,
respectivamente.
Não foi constatada diferença significativa nesses valores para as combinações quase-
permanente e freqüente de ações, como pode ser visto na Tabela 5.17, onde, considerando-se
as curvas de deslocamentos das Figuras 5.25 a 5.30, são expostas as relações entre esses
deslocamentos.
Tabela 5.17 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos do pavimento 3
(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
0,03 0,03 0,03 0,03 0,07 0,08 2,33 2,67 2,33 2,67
0,06 0,06 0,07 0,07 0,14 0,15 2,33 2,50 2,00 2,14
0,09 0,09 0,10 0,10 0,21 0,22 2,33 2,44 2,10 2,20
0,12 0,12 0,14 0,14 0,28 0,29 2,33 2,42 2,00 2,07
0,15 0,15 0,17 0,18 0,35 0,36 2,33 2,40 2,06 2,00
0,18 0,18 0,21 0,21 0,42 0,44 2,33 2,44 2,00 2,10
0,21 0,21 0,24 0,25 0,49 0,51 2,33 2,43 2,04 2,04
0,23 0,24 0,28 0,29 0,57 0,59 2,46 2,44 2,05 2,05
0,26 0,27 0,31 0,32 0,63 0,66 2,42 2,44 2,03 2,06
0,29 0,30 0,35 0,36 0,70 0,72 2,41 2,40 2,00 2,00
0,32 0,33 0,38 0,40 0,77 0,79 2,41 2,39 2,03 1,98
0,35 0,36 0,42 0,43 0,84 0,87 2,40 2,42 2,00 2,02
0,38 0,39 0,45 0,47 0,91 0,94 2,39 2,41 2,02 2,00
0,41 0,42 0,49 0,51 0,98 1,01 2,39 2,40 2,00 1,98
Média 2,37 2,44 2,05 2,09
diferidos e imediatos**
Relação entre
deslocamentos
diferidos e imediatos*
Relação entre
deslocamentos
(cm)
Desl Diferidos
Deslocamentos Imediatos (cm)
LASER ANPAV
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 200
Para as vigas, considerando-se as regiões de maiores momentos fletores, e,
consequentemente, deslocamentos mais significativos, verificou-se que os deslocamentos
diferidos foram 140 % e 80 % maiores que os deslocamentos imediatos provenientes da
análise linear e da análise não-linear, respectivamente.
Observou-se que a relação média entre os deslocamentos diferidos e deslocamentos
os imediatos lineares, para as vigas, foi igual à do pavimento, sendo que para os
deslocamentos imediatos não-lineares, essa relação foi um pouco menor que a média do
pavimento.
Novamente para representar esse comportamento das vigas, nas Figuras 5.33 e 5.34
são apresentados os deslocamentos imediatos e diferidos das vigas V1 e V16, e seus valores,
juntamente com as relações entre eles, são dados nas Tabelas 5.18 e 5.19.
Para a viga V1, a relação média entre os deslocamentos diferidos e os imediatos
lineares foi aproximadamente 2,31, para as duas combinações de ações. Já para a viga V16,
essa relação foi igual a 2,36.
Considerando-se agora a relação entre os deslocamentos diferidos e imediatos não-
lineares, tanto para a viga V1 quanto para a viga V16, foi verificada uma relação média de
1,76.
-0,40
-0,35
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0
Vão (cm)
Deslocamentos (cm)
D. imediatos (LASER-Comb. perm.)
D. imediatos (LASER-Comb. freqüente)
D. imediatos (ANPAV-Comb. perm.)
D. imediatos (ANPAV-Comb. freqüente)
D. diferidos (ANPAV-Comb. perm.)
D. diferidos (ANPAV-Comb. freqüente)
Figura 5.33 – Deslocamentos da viga V1
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 201
Tabela 5.18 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos da viga V1
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
0,00 -0,008 -0,009 -0,006 -0,006 -0,020 -0,021 2,42 2,43 3,23 3,24
0,47 -0,050 -0,051 -0,060 -0,063 -0,115 -0,118 2,30 2,33 1,92 1,88
0,95 -0,087 -0,089 -0,111 -0,116 -0,201 -0,207 2,31 2,34 1,82 1,78
1,42 -0,116 -0,118 -0,156 -0,164 -0,271 -0,279 2,33 2,36 1,74 1,70
1,90 -0,135 -0,137 -0,189 -0,199 -0,317 -0,327 2,35 2,38 1,68 1,64
2,37 -0,142 -0,144 -0,201 -0,211 -0,333 -0,343 2,35 2,38 1,66 1,62
2,85 -0,136 -0,138 -0,188 -0,198 -0,317 -0,326 2,34 2,37 1,68 1,65
3,32 -0,119 -0,121 -0,158 -0,166 -0,275 -0,282 2,32 2,34 1,73 1,70
3,80 -0,094 -0,095 -0,121 -0,127 -0,214 -0,220 2,29 2,31 1,77 1,74
4,27 -0,065 -0,066 -0,081 -0,085 -0,147 -0,151 2,26 2,28 1,82 1,78
4,74 -0,039 -0,040 -0,043 -0,044 -0,086 -0,088 2,20 2,21 2,01 1,98
5,22 -0,022 -0,023 -0,017 -0,018 -0,049 -0,050 2,17 2,17 2,78 2,78
5,69 -0,013 -0,013 -0,010 -0,010 -0,032 -0,033 2,48 2,49 3,23 3,23
6,17 -0,007 -0,007 -0,005 -0,005 -0,022 -0,022 3,11 3,13 4,27 4,29
6,64 -0,006 -0,006 -0,004 -0,004 -0,020 -0,020 3,42 3,44 5,10 5,16
7,12 -0,006 -0,006 -0,004 -0,004 -0,021 -0,021 3,21 3,24 4,93 4,99
7,59 -0,007 -0,007 -0,005 -0,005 -0,021 -0,021 2,97 2,99 4,52 4,56
8,07 -0,007 -0,007 -0,004 -0,004 -0,018 -0,018 2,81 2,83 4,24 4,27
8,54 -0,005 -0,005 -0,003 -0,003 -0,013 -0,013 2,72 2,72 4,15 4,21
Média 2,30 2,33 1,78 1,75
Vão
Deslocamentos Imediatos (cm)
LASER ANPAV
Desl Diferidos
Relação entre Relação entre
deslocamentos deslocamentos
(m)
(cm)
diferidos e imediatos*
diferidos e imediatos**
-0,50
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Vão (m)
Deslocamentos (cm)
D. imediatos (LASER-Comb. perm.)
D. imediatos (LASER-Comb. frequüente)
D. imediatos (ANPAV-Comb. perm.)
D. imediatos (ANPAV-Comb. frequüente)
D.diferidos (ANPAV-Comb. perm.)
D. diferidos (ANPAV-Comb. frequüente)
Figura 5.34 – Deslocamentos da viga V16
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 202
Tabela 5.19 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos da viga V16
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
0,00 -0,013 -0,013 -0,009 -0,009 -0,028 -0,029 2,15 2,14 3,22 3,24
0,69 -0,083 -0,085 -0,101 -0,105 -0,196 -0,204 2,37 2,40 1,95 1,93
1,38 -0,160 -0,164 -0,197 -0,206 -0,380 -0,394 2,38 2,40 1,93 1,91
1,88 -0,166 -0,171 -0,220 -0,231 -0,395 -0,411 2,38 2,41 1,80 1,78
2,38 -0,162 -0,166 -0,227 -0,238 -0,385 -0,400 2,38 2,41 1,70 1,68
2,88 -0,143 -0,147 -0,205 -0,215 -0,339 -0,352 2,37 2,40 1,66 1,64
3,38 -0,110 -0,113 -0,153 -0,161 -0,256 -0,266 2,33 2,36 1,67 1,65
3,88 -0,065 -0,066 -0,084 -0,088 -0,146 -0,151 2,27 2,29 1,74 1,72
4,38 -0,013 -0,013 -0,010 -0,010 -0,028 -0,028 2,15 2,16 2,69 2,69
Média 2,35 2,38 1,78 1,76
Deslocamentos Imediatos (cm)
Desl Diferidos
Relação entre Relação entre
deslocamentos deslocamentos
(m)
LASER ANPAV
(cm)
diferidos e imediatos*
diferidos e imediatos**
Vão
Baseado nos resultados apresentados para o pavimento 3, notou-se que tanto para a
combinação quase-permanente de ações quanto para a freqüente, os deslocamentos diferidos
obtidos com o programa ANPAV, foram aproximadamente 100 % maiores que os
deslocamentos imediatos fornecidos por este programa. Desta forma, o coeficiente
multiplicador dos deslocamentos imediatos foi igual a 2,0.
Considerando-se apenas as vigas, os deslocamentos diferidos foram em torno de
80 % maiores que os deslocamentos não-lineares.
Com relação aos deslocamentos imediatos lineares fornecidos pelo programa
LASER, os deslocamentos diferidos obtidos com o programa ANPAV foram, em média,
140 % maiores, tanto para todo o pavimento quanto para as vigas.
5.5.3 ALTURAS MÍNIMAS
São apresentadas a seguir, a altura mínima de algumas lajes e vigas que satisfazem o
estado limite de deformações excessivas.
a) Alturas Mínimas das Lajes
Para este pavimento foram calculadas as alturas mínimas das seguintes lajes:
• Laje L03
Para a laje L03, de acordo com a Figura 5.24, foram obtidas as seguintes
propriedades:
• Tipo 5
• L
x
= 376,5 cm
• L
y
= 570,25 cm
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 203
Pela Tabela 3.8, para a verificação da aceitabilidade sensorial quanto a aspectos
visuais, o coeficiente α foi igual a 0,93, e para as verificações de aceitabilidade sensorial
relativa a vibrações e dos efeitos dos deslocamentos nas paredes, o coeficiente α foi igual a
0,90. E os valores de β, calculados a partir das eqs.(3.4) e (3.5), foram iguais a:
9,31
5,376
25,570
36,1
5,376
25,570
2,13
5,376
25,570
7,425,20,461
32
1.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
4,29
5,376
25,570
77,1
5,376
25,570
5,16
5,376
25,570
5,515,25,367
32
3 e 2.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
Utilizando-se esses valores de α e β, foram encontradas as seguintes alturas mínimas
que satisfazem as verificações do estado limite de deformações excessivas:
cm 11
9,31
5,37693,0
L
h
x
1.ver min,
=
⋅
=
β
α
=
e,
cm 5,11
4,29
5,37690,0
L
h
x
3 e ver.2min,
=
⋅
=
β
α
=
De acordo com esses resultados, observou-se que, para atender às verificações do
estado limite de deformações excessivas, a laje L03 deveria ter uma altura superior a
11,5 cm, o que não ocorreu, já que a laje foi projetada com uma altura igual a 9 cm. Assim,
para se verificar se a laje não vai apresentar problemas devidos a deslocamentos excessivos,
seria necessário o cálculo dos deslocamentos e sua comparação com os valores limites
fornecidos pela NBR 6118 (2003).
• Laje L07
Para a laje L07, as características utilizadas no cálculo da altura mínima foram as
seguintes:
• Tipo 8
• L
x
= 313,75 cm
• L
y
= 465,25 cm
Pela Tabela 3.8, para a verificação da aceitabilidade sensorial relativa a aspectos
visuais, e para as verificações de aceitabilidade sensorial relativa a vibrações e dos efeitos
dos deslocamentos nas paredes, os valores do coeficiente α foram 0,84 e 0,80,
respectivamente. E, de acordo com as eqs.(3.4) e (3.5), foram obtidos os seguintes valores
de β:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 204
2,32
75,313
25,465
36,1
75,313
25,465
2,13
75,313
25,465
7,425,20,461
32
1.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
9,29
75,313
25,465
77,1
75,313
25,465
5,16
75,313
25,465
5,515,25,367
32
3 e 2.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
Foram calculadas, então, as seguintes alturas mínimas que satisfazem as verificações
supracitadas:
cm 2,8
2,32
75,31384,0
L
h
x
1.ver min,
=
⋅
=
β
α
=
e,
cm 4,8
9,29
75,31380,0
L
h
x
3 e ver.2min,
=
⋅
=
β
α
=
Observou-se, assim, que as verificações do estado limite de deformações excessivas
foram atendidas para a laje L07, uma vez que, para isso, seria necessária uma altura superior
a 8,4 cm, e no projeto foi adotada uma altura igual a 9 cm.
b) Alturas Mínimas das Vigas
Para este pavimento, foi calculada a altura mínima da viga V09, que possui as
seguintes características:
• l
ef
= 338,5 cm
• b = 12 cm
• h
p
= 20 cm
Para as verificações de aceitabilidade sensorial, foi calculado o seguinte valor para β:
3,9
20
5,338
25,020009,01221,05,338005,05,24,10,6
2 e 1 er.v
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
E, para a verificação dos efeitos dos deslocamentos nas paredes, encontrou-se:
4,8
20
5,338
26,020007,01218,05,338005,05,235,17,5
3.ver
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
De acordo com a eq.(4.2), as alturas mínimas que atendem essas verificações foram
iguais a:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 205
cm 4,36
3,9
5,338
h
ef
2 e ver.1min,
==
β
=
l
e,
cm 4,40
4,8
5,338
h
ef
ver.3min,
==
β
=
l
Percebeu-se, então, que para satisfazer as verificações mencionadas, a altura da viga
deveria ser superior a 40 cm. Como a altura adotada no projeto foi igual a esta, pode-se
considerar que as verificações do estado limite de deformações excessivas foram atendidas.
5.6 PAVIMENTO 4
Para o pavimento, cujas plantas de arquitetura e de forma são apresentadas nas
Figuras 5.35 e 5.36, foram utilizados concreto com resistência característica à compressão de
25 MPa e aço CA – 50.
O carregamento das lajes foi constituído de uma parcela igual a 1,0 kN/m
2
,
correspondente ao peso do piso e do revestimento, e uma ação variável de 2,0 kN/m
2
.
5.6.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS
Da mesma forma que para os pavimentos apresentados anteriormente, foram
determinados os deslocamentos imediatos com o programa LASER, e com o programa
ANPAV foram calculados os deslocamentos imediatos, levando-se em conta a influência da
fissuração, e os deslocamentos totais, considerando-se o efeito da fluência e da retração do
concreto. Foram consideradas as combinações quase-permanente e freqüente de ações
Os deslocamentos imediatos, obtidos a partir das análises linear e não-linear, e os
deslocamentos totais, são apresentados esquematicamente nas figuras seguintes, por linhas
de mesmo deslocamento cujo valor aparece anotado. Vale lembrar que nestas figuras, M e m
correspondem, respectivamente, aos deslocamentos mínimo e máximo que ocorrem no
pavimento. Os valores negativos correspondem aos deslocamentos no sentido do
carregamento colocado, ou seja, para baixo.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 206
Figura 5.35 – Planta de arquitetura do pavimento 4
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 207
Figura 5.36 – Planta de forma do pavimento 4
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 208
m
M
M = 0,081 m = -0,669
Figura 5.37 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise linear
(Combinação quase-permanente)
M = 0,085 m = -0,689
m
M
Figura 5.38 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise linear
(Combinação freqüente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 209
m
M
M = 0,280 m = -0,900
Figura 5.39 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação quase-permanente)
M = 0,299 m = -0,944
m
Figura 5.40 – Deslocamentos imediatos obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação freqüente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 210
M = 0,399 m = -2,517
M
Figura 5.41 – Deslocamentos totais obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação quase-permanente)
M = 0,427 m = -2,622
Figura 5.42 – Deslocamentos totais obtidos a partir da análise não-linear
(Combinação frequente)
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 211
5.6.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS
Os deslocamentos resultantes das análises linear e não-linear são comentados a
seguir.
a) Deslocamentos Imediatos
Comparando-se os deslocamentos imediatos provenientes da análise não-linear com
os deslocamentos imediatos da análise linear, notou-se que estes últimos foram
aproximadamente 20 % maiores que os primeiros, para as duas combinações de ações
utilizadas.
Este comportamento pode ser evidenciado tomando-se as curvas de deslocamentos
mostradas da Figura 5.37 a Figura 5.40. Comparando-se os deslocamentos das curvas
correspondentes, cujos valores são fornecidos na Tabela 5.20, observou-se que as relações
médias entre os deslocamentos imediatos não-lineares e os lineares foram iguais a 1,16 e
1,18, para as combinações quase-permanente e freqüente de ações foram, respectivamente.
Tabela 5.20 – Deslocamentos imediatos do pavimento 4 devidos às análises lineares e
não-lineares, em cm
Q. Permanente Frequente Q. Permanente Frequente Q. Permanente Frequente
0,02 0,02 0,03 0,03 1,50 1,50
0,07 0,07 0,08 0,08 1,14 1,14
0,12 0,12 0,14 0,14 1,17 1,17
0,17 0,17 0,20 0,20 1,18 1,18
0,22 0,22 0,25 0,26 1,14 1,18
0,26 0,27 0,31 0,32 1,19 1,19
0,31 0,32 0,36 0,38 1,16 1,19
0,36 0,37 0,42 0,44 1,17 1,19
0,41 0,42 0,47 0,50 1,15 1,19
0,46 0,47 0,53 0,56 1,15 1,19
0,51 0,52 0,59 0,61 1,16 1,17
Média 1,16 1,18
não lineares e lineares
Relação entre os deslocamentos
Análise Linear (LASER) Análise Não Linear (ANPAV)
Considerando-se apenas os deslocamentos imediatos das vigas, verificou-se que nas
regiões de maiores momentos fletores, os deslocamentos imediatos não-lineares foram em
torno de trinta 30 % maiores que os deslocamentos imediatos lineares.
Para representar esse comportamento das vigas tomou-se a viga V1, cujos
deslocamentos imediatos lineares e não-lineares estão ilustrados na Figura 5.43, e as relações
entre esses deslocamentos são dadas Tabela 5.21. Percebeu-se que, novamente analisando-se
apenas a região de maiores momentos fletores, os valores médios das relações entre os
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 212
deslocamentos imediatos não-lineares e os lineares foram 1,26 e 1,31, respectivamente para
as combinações quase-permanente e freqüente de ações. Ou seja, os deslocamentos
imediatos não-lineares foram 26 % e 31 % maiores que os deslocamentos imediatos lineares
para as duas combinações de ações utilizadas. Observou-se que estas relações foram bastante
próximas da relação média para as vigas do pavimento, igual a 1,30.
-0,50
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Vão (cm)
Deslocamentos (cm)
Linear (Comb. q-permanente)
Linear (Comb. freqüente)
Não linear (Comb. q-permanente)
Não linear (Comb. freqüente)
Figura 5.43 – Deslocamentos imediatos da viga V1
Tabela 5.21 – Deslocamentos imediatos da viga V1, em cm
(m) Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente Q-Permanente Frequente
0,00 -0,032 -0,032 -0,019 -0,019 0,58 0,59
0,48 -0,104 -0,106 -0,108 -0,114 1,04 1,08
0,97 -0,172 -0,175 -0,195 -0,207 1,14 1,18
1,45 -0,231 -0,236 -0,278 -0,295 1,20 1,25
1,93 -0,277 -0,283 -0,351 -0,373 1,27 1,32
2,31 -0,302 -0,308 -0,396 -0,420 1,31 1,36
2,69 -0,315 -0,322 -0,421 -0,447 1,34 1,39
3,07 -0,317 -0,323 -0,425 -0,451 1,34 1,40
3,45 -0,305 -0,312 -0,405 -0,430 1,33 1,38
3,87 -0,279 -0,285 -0,359 -0,381 1,28 1,34
4,29 -0,241 -0,245 -0,294 -0,313 1,22 1,28
4,67 -0,196 -0,200 -0,229 -0,243 1,17 1,21
5,05 -0,145 -0,148 -0,160 -0,169 1,10 1,14
5,43 -0,090 -0,092 -0,088 -0,093 0,98 1,01
5,81 -0,033 -0,033 -0,015 -0,015 0,47 0,46
Média 1,26 1,31
Vão
Análise Linear (LASER) Análise Não Linear (ANPAV)
Relação entre os deslocamentos
não lineares e lineares
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 213
b) Deslocamentos Diferidos
Pela comparação dos deslocamentos diferidos com os deslocamentos imediatos
provenientes das duas análises, constatou-se que os deslocamentos diferidos foram
aproximadamente 130 % e 100% maiores que os deslocamentos imediatos provenientes da
análise linear e da análise não-linear, respectivamente.
Para demonstrar esse comportamento, foram consideradas as curvas de
deslocamentos mostradas da Figura 5.37 a Figura 5.42. Comparando-se os deslocamentos
das curvas correspondentes, notou que a média das relações entre os deslocamentos diferidos
e os imediatos lineares foram iguais a 2,25 e 2,34, para as combinações quase-permanente e
freqüente de ações, respectivamente. Em relação aos deslocamentos imediatos não-lineares
esses valores foram iguais a 1,94 e 1,99, respectivamente.
Tabela 5.22 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos do pavimento 4
(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
0,07 0,07 0,08 0,08 0,16 0,16 2,29 2,29 2,00 2,00
0,12 0,12 0,14 0,14 0,27 0,28 2,25 2,33 1,93 2,00
0,17 0,17 0,20 0,20 0,38 0,39 2,24 2,29 1,90 1,95
0,22 0,22 0,25 0,26 0,49 0,51 2,23 2,32 1,96 1,96
0,26 0,27 0,31 0,32 0,61 0,63 2,35 2,33 1,97 1,97
0,31 0,32 0,36 0,38 0,70 0,76 2,26 2,38 1,94 2,00
0,36 0,37 0,42 0,44 0,80 0,87 2,22 2,35 1,90 1,98
0,41 0,42 0,47 0,50 0,94 1,00 2,29 2,38 2,00 2,00
0,46 0,47 0,53 0,56 0,96 1,11 2,09 2,36 1,81 1,98
0,51 0,52 0,59 0,61 1,17 1,23 2,29 2,37 1,98 2,02
Média 2,25 2,34 1,94 1,99
(cm) diferidos e imediatos**
Desl Diferidos
Deslocamentos Imediatos
Relação entre Relação entre
deslocamentos deslocamentos
LASER ANPAV
diferidos e imediatos*
Analisando-se os deslocamentos imediatos das vigas, novamente considerando-se as
regiões com maior grau de fissuração, verificou-se que os deslocamentos diferidos foram,
em média, 130 % e 85 % maiores que os deslocamentos imediatos lineares e não-lineares,
respectivamente.
Para as vigas, assim como para o pavimento 3, a relação média entre os
deslocamentos diferidos e os imediatos lineares foi igual à do pavimento. Entretanto, essa
relação calculada para os deslocamentos imediatos não-lineares, foi um pouco menor que a
média do pavimento.
Na Figura 5.44 e na Tabela 5.23 são apresentados os deslocamentos imediatos e
diferidos da viga V1, onde podem ser observadas as relações entre esses deslocamentos,
ratificando o comportamento comentado.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 214
-0,90
-0,75
-0,60
-0,45
-0,30
-0,15
0,00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Vão (m)
Deslocamentos (cm)
D. imediatos (LASER-Comb. perm.)
D. imediatos (LASER-Comb. freqüente)
D. imediatos (ANPAV-Comb. perm.)
D. imediatos (ANPAV-Comb. freqüente)
D.diferidos (ANPAV-Comb. perm.)
D.diferidos (ANPAV-Comb. freqüente)
Figura 5.44 – Deslocamentos da viga V1
Tabela 5.23 – Relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos da viga V1
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
0,00 -0,032 -0,032 -0,019 -0,019 -0,050 -0,051 1,56 1,58 2,67 2,67
0,48 -0,104 -0,106 -0,108 -0,114 -0,217 -0,229 2,09 2,15 2,01 2,00
0,97 -0,172 -0,175 -0,195 -0,207 -0,378 -0,399 2,20 2,27 1,93 1,93
1,45 -0,231 -0,236 -0,278 -0,295 -0,524 -0,553 2,27 2,35 1,88 1,88
1,93 -0,277 -0,283 -0,351 -0,373 -0,644 -0,680 2,33 2,41 1,83 1,82
2,31 -0,302 -0,308 -0,396 -0,420 -0,712 -0,751 2,36 2,44 1,80 1,79
2,69 -0,315 -0,322 -0,421 -0,447 -0,750 -0,791 2,38 2,46 1,78 1,77
3,07 -0,317 -0,323 -0,425 -0,451 -0,755 -0,796 2,38 2,46 1,78 1,76
3,45 -0,305 -0,312 -0,405 -0,430 -0,725 -0,765 2,38 2,45 1,79 1,78
3,87 -0,279 -0,285 -0,359 -0,381 -0,657 -0,692 2,35 2,43 1,83 1,81
4,29 -0,241 -0,245 -0,294 -0,313 -0,555 -0,585 2,31 2,38 1,89 1,87
4,67 -0,196 -0,200 -0,229 -0,243 -0,444 -0,467 2,26 2,33 1,94 1,92
5,05 -0,145 -0,148 -0,160 -0,169 -0,320 -0,336 2,20 2,27 2,00 1,99
5,43 -0,090 -0,092 -0,088 -0,093 -0,189 -0,198 2,10 2,15 2,14 2,13
5,81 -0,033 -0,033 -0,015 -0,015 -0,054 -0,056 1,66 1,68 3,53 3,62
Média 2,32 2,40 1,85 1,83
Relação entre
LASER ANPAV
Relação entre
deslocamentos deslocamentos
(m)
(cm)
diferidos e imediatos*
diferidos e imediatos**
Vão
Deslocamentos Imediatos (cm)
Desl Diferidos
Assim, para este pavimento, os deslocamentos diferidos foram aproximadamente
100 % maiores que os deslocamentos imediatos obtidos com o programa ANPAV, para as
duas combinações de ações utilizadas. Portanto, o coeficiente multiplicador dos
deslocamentos imediatos foi igual a 2,0. E, com relação aos deslocamentos imediatos
lineares fornecidos pelo programa LASER, os deslocamentos diferidos obtidos com o
programa ANPAV foram, em média, 140 % maiores, também para as duas combinações de
ações consideradas.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 215
5.6.3 ALTURAS MÍNIMAS
Utilizando-se as eqs.(3.3) e (4.2), foram calculadas as alturas mínimas de algumas
lajes e vigas, apresentadas a seguir.
a) Alturas Mínimas das Lajes
Para este pavimento foram calculadas as alturas mínimas das lajes L2 e L3,
apresentadas a seguir.
• Laje L2
Para a laje L2, de acordo com a Figura 5.36, foram obtidas as seguintes
propriedades:
• Tipo 4
• L
x
= 333 cm
• L
y
= 1032 cm
Pela Tabela 3.8, para a verificação da aceitabilidade sensorial quanto a aspectos
visuais, o coeficiente α foi igual a 0,88, e para as verificações de aceitabilidade sensorial
relativa a vibrações e dos efeitos dos deslocamentos nas paredes, o coeficiente α foi igual a
0,85. E, a partir das eqs.(3.4) e (3.5), foram calculados os seguintes valores de β:
(
)
(
)
(
)
250,336,10,32,130,37,425,20,461
32
1.ver
=⋅−⋅+⋅−⋅+=β
(
)
(
)
(
)
220,377,10,35,160,35,515,25,367
32
3 e 2.ver
=⋅−⋅+⋅−⋅+=β
Vale ressaltar que, como a relação entre os vãos foi maior que 2,0, nas eqs.(3.4) e
(3.5), essa relação foi considerada igual a 3,0, conforme recomendado no Capítulo 3.
Com esses valores de α e β, foram encontradas as seguintes alturas mínimas que
satisfazem as verificações do estado limite de deformações excessivas:
cm 7,11
25
33388,0
L
h
x
1.ver min,
=
⋅
=
β
α
=
e,
cm 9,12
22
33385,0
L
h
x
3 e ver.2min,
=
⋅
=
β
α
=
Percebeu-se, assim, que para atender às verificações do estado limite de deformações
excessivas, a laje L2 deveria ter uma altura superior a 12,9 cm. Entretanto, no projeto foi
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 216
adotada uma altura de 10 cm, inferior à mínima requerida. Assim, para essa laje seria
necessário o cálculo dos deslocamentos e a comparação com os limites fornecidos pela
NBR 6118 (2003), para se verificar esse estado limite.
• Laje L3
Para a laje L3, foram consideradas as seguintes características:
• Tipo 8
• L
x
= 591 cm
• L
y
= 629 cm
Pela Tabela 3.8, para a verificação da aceitabilidade sensorial relativa a aspectos
visuais, e para as verificações de aceitabilidade sensorial relativa a vibrações e dos efeitos
dos deslocamentos nas paredes, os valores do coeficiente α foram 0,84 e 0,80,
respectivamente. E, de acordo com as eqs.(3.4) e (3.5), foram obtidos os seguintes valores
de β:
9,38
591
629
36,1
591
629
2,13
591
629
7,425,20,461
32
1.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
5,37
591
629
77,1
591
629
5,16
591
629
5,515,25,367
32
3 e 2.ver
=
⋅−
⋅+
⋅−⋅+=β
Portanto, foram obtidas as seguintes alturas mínimas:
cm 8,12
9,38
59184,0
L
h
x
1.ver min,
=
⋅
=
β
α
=
e,
cm 6,12
5,37
59180,0
L
h
x
3 e ver.2min,
=
⋅
=
β
α
=
Assim, para atender às verificações do estado limite de deformações excessivas, a
altura da laje L3 deveria ser superior a 12,8 cm. No projeto foi considerada uma altura igual
a 12 cm, valor bastante próximo do mínimo. Para esse caso também, seria necessário o
cálculo dos deslocamentos da laje, e a comparação com os valores limites recomendados
pela NBR 6118 (2003).
b) Alturas Mínimas das Vigas
Para este pavimento foram calculadas as alturas mínimas das seguintes vigas:
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 217
• Viga V7
Foram consideradas as seguintes características para o cálculo da altura mínima da
viga V7:
• l
ef
= 333 cm
• b = 12 cm
• h
p
= 20 cm
Para as verificações de aceitabilidade sensorial, foi calculado o seguinte valor para β:
3,9
20
333
25,020009,01221,0333005,05,24,10,6
2 e 1 er.v
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
E, para a verificação dos efeitos dos deslocamentos nas paredes, encontrou-se:
4,8
20
333
26,020007,01218,0333005,05,235,17,5
3.ver
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
De acordo com a eq.(4.2), foram obtidas as seguintes alturas mínimas:
cm 6,35
3,9
333
h
ef
2 e ver.1min,
==
β
=
l
e,
cm 5,39
4,8
333
h
ef
ver.3min,
==
β
=
l
Observou-se, então, que para satisfazer as verificações do estado limite de
deformações excessivas, a altura da viga deveria ser superior a 39,5 cm. Portanto, como no
projeto foi adotada uma altura igual a 60 cm, essas verificações foram atendidas.
• Viga V15
Para a viga V15, foram tomadas as características a seguir.
• l
ef
= 586 cm
• b = 12 cm
• h
p
= 165 cm
E, utilizando-se as eqs.(4.3) e (4.4), foram obtidos os seguintes valores de β:
6,12
165
586
25,0165009,01221,0586005,05,24,10,6
2 e 1 er.v
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 218
1,12
165
586
26,0165007,01218,0586005,05,235,17,5
3.ver
=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+=β
E, para atender as verificações do estado limite de deformações excessivas, as alturas
mínimas obtidas foram iguais a:
cm 6,46
6,12
586
h
ef
2 e ver.1min,
==
β
=
l
e,
cm 5,48
1,12
586
h
ef
ver.3min,
==
β
=
l
Observou-se, então, que para a viga V15, sua altura deveria ser superior a 48,5 cm
para que fossem atendidas as verificações do estado limite de deformações excessivas. Como
no projeto foi adotada uma altura de 60 cm, pode-se concluir que essas verificações foram
satisfeitas.
5.7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Em função do exposto neste capítulo, algumas considerações podem ser feitas sobre
o estudo dos deslocamentos de pavimentos a partir de análises lineares e não-lineares.
5.7.1 VALORES DOS DESLOCAMENTOS
Considerando-se os deslocamentos dos pavimentos como um todo, tomando-se todas
as vigas e lajes, notou-se que, para os pavimentos 1 e 2, os deslocamentos imediatos
provenientes da análise não-linear com o programa ANPAV foram aproximadamente 25 % e
30 % maiores que os deslocamentos imediatos fornecidos pela análise linear com o programa
LASER, respectivamente para as combinações quase-permanente e freqüente de ações. Essas
mesmas proporções foram observadas entre os deslocamentos imediatos das vigas nas suas
regiões mais fissuradas. A resistência à compressão do concreto, f
ck
, utilizado nesses
pavimentos foi igual a 20 MPa.
Já para os pavimentos 3 e 4, cujo concreto tinha uma resistência à compressão de
25 MPa, os deslocamentos imediatos não-lineares foram em torno de 20 % maiores que os
deslocamentos imediatos lineares, para as duas combinações de ações utilizadas. Nas regiões
fissuradas das vigas essa proporção foi de 30 %.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 219
Percebeu-se, então, que o aumento do f
ck
diminuiu a diferença entre os
deslocamentos imediatos lineares e não-lineares do pavimento, mas praticamente não a
alterou para as vigas.
Comparando-se os deslocamentos diferidos com os deslocamentos imediatos
lineares do pavimento e das vigas, constatou-se que os deslocamentos diferidos foram em
torno de 180 % e 140 % maiores que os deslocamentos imediatos lineares, respectivamente
para os pavimentos 1 e 2 e para os pavimentos 3 e 4.
E comparando-se os deslocamentos diferidos com os deslocamentos imediatos não-
lineares, observou-se que para o pavimento como um todo, os deslocamentos diferidos foram
140 % maiores que os imediatos, para os pavimentos 1 e 2, e 100 %, maiores que estes, para
os pavimentos 3 e 4. Já os deslocamentos diferidos das vigas desses dois últimos pavimentos
foram, em média, 80 % maiores que os deslocamentos imediatos não-lineares.
Verificou-se que os deslocamentos diferidos dos pavimentos analisados foram
sempre maiores que 100 % que os deslocamentos imediatos lineares. Isto mostra que os
coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos para o cálculo dos deslocamentos
diferidos seriam, nestes casos, maiores que 2, ratificando a subestimativa dos deslocamentos
diferidos das lajes pelo coeficiente multiplicador da NBR 6118 (2003), que pode ser, no
máximo, igual a 2, conforme apresentado no capítulo 3.
De acordo com o comentado anteriormente, é necessário que já se conheçam as
armaduras dos elementos estruturais que compõem o pavimento, para que se possa realizar
uma análise não-linear. Isto implica na necessidade de uma análise prévia, normalmente feita
utilizando-se comportamento linear ou com a introdução das não-linearidades dos materiais
feita a partir de processos simplificados. Desta forma, percebe-se que o cálculo de uma
estrutura através de um procedimento não-linear corresponde a uma etapa adicional aos
procedimentos de análises utilizados correntemente, levando a um maior tempo a ser
investido na análise da estrutura.
Assim, no que diz respeito ao cálculo dos deslocamentos, acredita-se ser mais
simples e eficiente a resolução da estrutura a partir de uma análise linear, corrigindo-se
posteriormente os deslocamentos imediatos obtidos de forma a se levar em conta os efeitos
da fissuração, da fluência e da retração. Essa metodologia é a recomendada pela
NBR 6118 (2003), através da utilização do momento efetivo de inércia para a consideração
da fissuração e de coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos para a
consideração da fluência e da retração.
Com os resultados obtidos para os pavimentos analisados neste trabalho, constatou-
se que, de uma maneira geral, os deslocamentos imediatos não-lineares foram
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 220
aproximadamente 30 % maiores que os lineares. Desta forma, para pavimentos de edifícios
residenciais que apresentem níveis de carregamento e comprimentos de vãos usuais,
semelhantes aos dos pavimentos analisados neste capítulo, pode-se sugerir majorar os
deslocamentos lineares em 30 % para a consideração do efeito da fissuração, tanto para a
combinação de ações quase-permanente quanto para a freqüente.
Para a obtenção dos deslocamentos diferidos no tempo, que dependem da fluência e
da retração do concreto, para edifícios residenciais em condições semelhantes às dos
pavimentos estudados, sugere-se a majoração de 180 % dos deslocamentos imediatos
lineares, para concretos com f
ck
de 20 MPa, e a majoração de 140 % destes deslocamentos,
para concretos com f
ck
de 25 MPa.
Para concreto com f
ck
diferentes dos considerados aqui, sugere-se que um estudo
semelhante ao desenvolvido neste trabalho seja realizado com o intuito de se determinarem
os coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos para a determinação dos
deslocamentos diferidos.
5.7.2 VALORES DAS ALTURAS MÍNIMAS
Pela comparação das alturas de lajes e vigas adotadas nos projetos dos pavimentos
estudados com as alturas mínimas calculadas utilizando-se os procedimentos propostos nos
Capítulos 3 e 4, foram constatados alguns aspectos comentados a seguir.
Para as lajes, observou-se que, na maioria dos casos analisados, as alturas adotadas
no projeto foram menores que os valores das alturas mínimas calculadas. Desta forma, para a
verificação do estado limite de deformações excessivas, seria necessário o cálculo dos
deslocamentos desses elementos e sua comparação com os valores limites fornecidos pela
NBR 6118 (2003).
Já para as vigas, as alturas consideradas no projeto foram maiores que as alturas
mínimas calculadas, atendendo, assim, às verificações de aceitabilidade sensorial e de efeitos
dos deslocamentos nas paredes.
Vale ressaltar que na elaboração dos critérios para o cálculo das alturas mínimas de
lajes e vigas, propostos neste trabalho, foram consideradas as recomendações da
NBR 6118 (2003), que apresenta novas prescrições relativas à durabilidade das estruturas,
levando a utilização de cobrimentos maiores que os anteriormente usados, e limites mais
rígidos para os deslocamentos na verificação do estado limite de deformações excessivas.
Como conseqüência, as vigas e lajes, principalmente estas últimas, têm necessitado de
alturas maiores que as requeridas pela versão anterior da NBR 6118 (2003), considerada nos
projetos dos pavimentos estudados neste capítulo.
C
C
A
A
P
P
Í
Í
T
T
U
U
L
L
O
O
6
6
6
C
C
O
O
N
N
C
C
L
L
U
U
S
S
Õ
Õ
E
E
S
S
6.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo, são apresentadas as principais conclusões e algumas considerações
finais sobre os estudos realizados neste trabalho. Também são sugeridas novas pesquisas
sobre deslocamentos em pavimentos de concreto armado.
6.2 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS
No capítulo 2, foram apresentados os conceitos e parâmetros envolvidos no cálculo
dos deslocamentos em elementos fletidos. Além disso, foram comentadas as recomendações
das seguintes normas de projeto de concreto estrutural: NBR 6118 (2003), ACI 318 (2002),
CEB-FIP (1991) e sua atualização BULLETIN FIB (1999), e EUROCODE 2 (1992) e seu
projeto de revisão EUROCODE FINAL DRAFT (1999).
Verificou-se a existência de vários processos mais rigorosos, que levam em
consideração diversos parâmetros para o cálculo dos deslocamentos, como o recomendado
pelo CEB-FIP (1991) para o cálculo dos deslocamentos devidos à fluência e à retração do
concreto apresentado no item 2.3.3. Entretanto, tais procedimentos necessitam de recursos
computacionais mais sofisticados para sua utilização, que levam a um maior tempo gasto
para o cálculo dos deslocamentos. Por outro lado, constatou-se, também, a existência de
processos simplificados, tanto para os deslocamentos imediatos quanto para os
deslocamentos diferidos, que consideram de forma mais ou menos aproximada os fatores que
influenciam os deslocamentos.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 222
Pode-se observar, também, que vários fatores que afetam os deslocamentos são
difíceis de serem mensurados, principalmente devido à grande variabilidade dos parâmetros
que influenciam tais fatores. Pode-se citar, por exemplo, a fluência do concreto que afeta
diretamente os deslocamentos diferidos. Ela é influenciada pela umidade relativa do ar,
temperatura, idade de aplicação das cargas e materiais constituintes do concreto, dentre
outros. Esses parâmetros variam bastante de obra para obra, tornando menos precisa a sua
avaliação. Percebeu-se, então, que vários são os fatores que contribuem para dificultar a
previsão dos deslocamentos em uma estrutura, afastando os valores calculados daqueles que
efetivamente ocorrerão.
Com relação às recomendações normativas, observou-se que o CEB-FIP (1991) e
EUROCODE 2 (1992) apresentam procedimentos análogos para o cálculo dos
deslocamentos imediatos e diferidos, realizados a partir da relação momento-curvatura das
seções transversais. O CEB-FIP (1991) fornece também um processo simplificado para o
cálculo dos deslocamentos diferidos, através da majoração dos deslocamentos imediatos por
um coeficiente que depende do nível de fissuração e da fluência.
Já as recomendações da NBR 6118 (2003) são bastante semelhantes às do
ACI 318 (2002). Para a consideração da fissuração no cálculo dos deslocamentos imediatos,
ambas recomendam a utilização do momento efetivo de inércia, desenvolvido por
BRANSON (1965). Além disso, prescrevem a utilização de um coeficiente que deve ser
multiplicado pelos deslocamentos imediatos para a obtenção dos deslocamentos diferidos. O
cálculo deste coeficiente, entretanto, apresenta algumas diferenças. Segundo o
ACI 318 (2002), ele depende da duração total do carregamento, não considerando uma
redução do seu valor em função da idade de aplicação do carregamento de longa duração,
como recomenda a NBR 6118 (2003). Desta forma, os deslocamentos diferidos obtidos
segundo o procedimento do ACI 318 (2002) são maiores que os fornecidos pela NBR 6118
(2003), como pode ser visto, o exemplo de cálculo apresentado no capítulo 2.
Dentro dessa ótica, e considerando-se os resultados obtidos nos estudos das lajes e
vigas isoladas, sugere-se não reduzir o coeficiente multiplicador dos deslocamentos
imediatos em função da idade de aplicação das ações. Espera-se com isso minimizar a
subestimativa dos deslocamentos diferidos.
6.3 DESLOCAMENTOS EM LAJES ISOLADAS
No capítulo 3, foram apresentados as características e os parâmetros adotados no
estudo das lajes isoladas. Com base nos deslocamentos obtidos pela análise de mais de 5500
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 223
lajes com o programa ANPAV, desenvolvido no SET-EESC-USP por OLIVEIRA (2001),
foi possível:
• Avaliar a influência dos parâmetros envolvidos nesta análise;
• Avaliar o procedimento da NBR 6118 (2003) para o cálculo dos deslocamentos
diferidos;
• Desenvolver uma expressão para o cálculo do coeficiente multiplicador dos
deslocamentos imediatos;
• Desenvolver algumas propostas para o cálculo de uma altura mínima para lajes que,
se adotada, satisfaz as verificações do estado limite de deformações excessivas.
As principais conclusões são apresentadas sucintamente nos parágrafos a seguir.
A existência de engastamento ao longo dos lados maiores da laje reduziu
significativamente os deslocamentos em comparação com lajes simplesmente apoiadas. Para
as lajes que tinham apenas um dos maiores lados engastado, observou-se uma redução média
dos deslocamentos de 17 %. Já para lajes com os dois maiores lados engastados essa redução
foi de 32 %.
Por outro lado, observou-se que a existência de engastamentos ao longo do menor
vão das lajes exerceu pouca influência nos valores dos deslocamentos.
O aumento da resistência característica do concreto à compressão causou uma
redução dos deslocamentos, cuja intensidade dependeu do tipo de deslocamento se
considerou. Essa redução ocorreu, principalmente, devido ao aumento do módulo de
elasticidade de concreto, e do conseqüente aumento da rigidez do elemento, causado pelo
acréscimo no valor do f
ck
.
Para níveis de carregamento relativamente baixos, os deslocamentos imediatos
sofreram uma redução inversamente proporcional ao acréscimo no valor do módulo de
elasticidade devido ao aumento do f
ck
. Nessas condições, o concreto ainda não apresentava
fissuras, ou estava pouco fissurado, resultando em uma participação mais efetiva do concreto
entre as fissuras. Assim, o momento de inércia da seção transversal foi praticamente igual ao
da seção não fissurada, e o comportamento pode ser considerado praticamente elástico.
Já os deslocamentos diferidos, incrementais e totais apresentaram uma redução um
pouco maior que a dos deslocamentos imediatos, pois, além do acréscimo na rigidez do
elemento, o aumento do f
ck
causou ainda a diminuição da fluência do concreto.
Quando se compararam deslocamentos obtidos para os diversos casos de
carregamento adotados, verificou-se que, devido ao baixo nível de fissuração usualmente
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 224
atingido pelas lajes, as relações entre esses deslocamentos resultantes foram praticamente as
mesmas existentes entre as ações desses casos de carregamento.
A partir da determinação das relações entre os deslocamentos diferidos e imediatos,
que foram chamadas de coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos, notou-se
que a altura de laje e o f
ck
influenciaram de forma significativa seus valores. Assim, foi
proposta uma expressão para o cálculo dessas relações, que leva em consideração esses dois
parâmetros.
Comparando-se os resultados obtidos com o programa ANPAV e os fornecidos pela
expressão proposta para o cálculo dos coeficientes multiplicadores dos deslocamentos
imediatos, observou-se uma boa concordância entre esses valores. Já a comparação desses
valores com os fornecidos pelo procedimento proposto pela NBR 6118 (2003) indicou que
este último levou a uma considerável subestimativa desses coeficientes e, consequentemente,
dos deslocamentos diferidos.
Por fim, a partir dos valores de alturas mínimas das lajes obtidas com o programa
ANPAV, foram apresentadas duas propostas para a determinação dessa altura mínima de
lajes, que atende às verificações do estado limite de deformação excessiva.
Pela primeira proposta, a altura mínima é determinada a partir da relação menor vão-
altura mínima da laje, eq. (3.3), e é função da verificação de se deseja fazer, dos vãos da laje,
do f
ck
e das condições de apoio. Os valores fornecidos por esta expressão foram comparados
com os obtidos pela análise com o programa ANPAV e se mostraram bastante próximos,
principalmente, para as relações entre o maior e o menor vão das lajes situadas entre 1,0 e
2,0.
A segunda proposta apresenta uma expressão para a altura mínima de lajes, eq. (3.6),
que leva em consideração os principais parâmetros adotados para o cálculo dos
deslocamentos. Por isso, sua aplicação é um pouco mais trabalhosa que a da proposta
baseada na relação menor vão-altura mínima da laje. Entretanto, seus resultados foram ainda
mais próximos daqueles obtidos com o programa ANPAV.
Foram feitos exemplos de cálculo para os quais as alturas mínimas das lajes foram
determinadas a partir das expressões propostas. Seus resultados foram comparados e
verificou-se que, em alguns casos, as alturas mínimas determinadas a partir da eq. (3.6)
foram um pouco menores que os fornecidos pela eq.(3.3), mas não apresentaram diferenças
significativas.
Com a altura mínima definida, os deslocamentos das lajes foram determinados com
o programa ANPAV, e os resultados foram comparados com os valores limites impostos
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 225
pela NBR 6118 (2003). Constatou-se, então, que a altura mínima obtida a partir dos
procedimentos propostos atendeu a todas as verificações, confirmando a sua eficácia.
Recomenda-se, então, a utilização da proposta para a determinação da altura mínima
a partir da relação menor vão-altura mínima da laje, eq.(3.3), por ser de simples execução e
depender apenas da resistência característica do concreto à compressão f
ck
, do tipo de
vinculação e dos vãos da laje.
Vale ressaltar que esses critérios de altura mínima são realmente importantes porque
são o resultado da análise de valores obtidos para mais 5.500 lajes, processadas com todos os
recursos para avaliação de efeitos não-lineares que um programa de análise sofisticado pode
oferecer. Portanto, é um resultado representativo do comportamento das lajes e de grande
significado prático que, pelo número expressivo de casos estudados, confere uma boa
confiabilidade ao procedimento de avaliação de deslocamentos para lajes isoladas.
6.4 DESLOCAMENTOS EM VIGAS ISOLADAS
No capítulo 4, foram apresentados as características e os parâmetros adotados no
estudo das vigas isoladas. As principais conclusões são apresentadas a seguir.
Observou-se que com o aumento da altura da seção transversal dos pilares de apoio,
dimensão segundo o eixo da viga, os deslocamentos, independentemente do vão, da largura e
dos casos de carregamentos adotados, apresentaram, aproximadamente, o mesmo percentual
de redução. Constatou-se também que a redução dos deslocamentos imediatos foi um pouco
superior à dos deslocamentos totais, assim como a redução destes foi um pouco superior a
dos deslocamentos diferidos e incrementais.
Notou-se, entretanto, que à medida que se aumentou a dimensão dos pilares, os
deslocamentos sofreram um decréscimo significativo até certo valor de altura da seção
transversal do pilar a partir da qual os deslocamentos praticamente não se alteraram. Desta
forma, constatou-se que, para as vigas que apresentaram relação entre sua rigidez e a rigidez
dos seus pilares de apoio da ordem de 0,30, o aumento da dimensão do pilar na direção do
eixo da viga não levou a redução significativa dos deslocamentos das vigas.
A presença de armadura de compressão nas vigas causou uma redução dos
deslocamentos, que foi maior para os deslocamentos diferidos. Isto se deve, principalmente,
ao fato desta armadura também colaborar na diminuição da curvatura causada pela retração
do concreto. Verificou-se, também, que para as vigas com f
ck
de 35 MPa, as reduções de
todos os deslocamentos foram inferiores as das vigas com f
ck
de 25 MPa. Constatou-se,
então, que para concretos com resistências características à compressão mais elevadas, a
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 226
influência da armadura de compressão na redução dos deslocamentos não é tão efetiva como
para resistência mais baixas.
Com o aumento do f
ck
, notou-se que a redução dos deslocamentos variou em função
da rigidez dos pilares de apoio. Para relações entre a rigidez da viga e a rigidez do pilar
maiores que 0,30, a redução média foi de 21% para os deslocamentos imediatos, de 25%
para os deslocamentos totais e de 27% para os deslocamentos diferidos e incrementais. Já
para relações entre essas rigidezes menores que 0,30, a redução dos deslocamentos foi um
pouco inferior, sendo de 18% para os deslocamentos imediatos, de 22% para os totais, e de
24% para os diferidos e incrementais.
Para as vigas com dois vãos, observou-se que os deslocamentos do maior vão,
quando comparados com os de uma viga com um único vão e pilares de apoio com seção
transversal de 20 × 20 cm, sofreram uma redução significativa. Essa redução dos
deslocamentos com a presença do vão adjacente foi maior ou menor em função da relação
entre o maior e o menor vão das vigas. O decréscimo dos deslocamentos foi máximo para
relação entre os vãos igual a um e para relações maiores que 1,50, seu valor sofreu alterações
muito pouco significativas.
Assim como para as lajes, foram determinadas as relações entre os deslocamentos
diferidos e imediatos, definindo-se os chamados coeficientes multiplicadores dos
deslocamentos imediatos. Com os resultados obtidos foi possível o desenvolvimento de uma
expressão para o cálculo desses coeficientes, que leva em consideração as propriedades
geométricas das vigas, as armaduras de tração e de compressão e o f
ck
.
Comparando-se os resultados obtidos com o programa ANPAV e os fornecidos pela
expressão proposta, observou-se que eles são bastante próximos. Entretanto, quando
comparados com o procedimento proposto pela NBR 6118 (2003), notou-se que os valores
são bem diferentes. Ficou constatado que o coeficiente multiplicador dos deslocamentos
imediatos proposto pela Norma tende a superestimar os coeficientes multiplicadores dos
deslocamentos imediatos, principalmente, para valores de f
ck
mais elevados.
Percebeu-se, então, que o procedimento da NBR 6118 (2003) para a determinação
dos deslocamentos diferidos a partir de coeficientes multiplicadores dos deslocamentos
imediatos, pode não apresentar bons resultados tanto para lajes quanto para vigas. Para as
primeiras geralmente leva a uma subestimativa dos deslocamentos diferidos, sendo que para
as vigas pode levar a uma superestimativa desses deslocamentos.
Finalmente, a partir dos valores de alturas mínimas das vigas obtidas com o
programa ANPAV, também foram apresentadas duas propostas para a determinação dessa
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 227
altura mínima que, se adotadas, atendem ao estado limite de deformação excessiva sem a
necessidade do cálculo dos deslocamentos.
Pela primeira proposta, a altura mínima é determinada a partir da relação vão- altura
mínima da viga, eq. (4.2), e é função da verificação de se deseja fazer, das propriedades
geométricas das vigas e dos pilares de apoio e do f
ck
.
Comparados com os valores das relações vão-altura mínima das vigas obtidos pela
análise com o programa ANPAV, os valores fornecidos por esta expressão foram
relativamente próximos.
Foram propostas ainda duas outras expressões para o cálculo da altura mínima de
vigas, eq. (4.5) e eq. (4.6). Uma foi desenvolvida para as verificações referentes à
aceitabilidade sensorial e a outra para a verificação dos efeitos dos deslocamentos em
paredes.
Vale ressaltar que essas expressões não apresentaram bons resultados para vigas com
vãos de 3,0 m, devido à pequena variabilidade das alturas mínimas dessas vigas com os
parâmetros adotados nos cálculos. Entretanto, para os outros vãos adotados, os valores
obtidos foram muito próximos dos valores fornecidos pela análise com o programa ANPAV.
Por fim, foi feito um exemplo de cálculo para os quais as alturas mínimas das vigas
foram determinadas a partir das expressões propostas. Com a altura mínima definida, os
deslocamentos das vigas foram determinados com o programa ANPAV, e os resultados
foram comparados com os valores limites impostos pela NBR 6118 (2003). Novamente,
observou-se que a altura mínima obtida a partir dos procedimentos propostos satisfaz a todas
as verificações com relativa precisão.
6.5 DESLOCAMENTOS EM PAVIMENTOS
Para a realização de uma análise não-linear é necessário que se conheçam as
armaduras dos elementos estruturais que compõem o pavimento. Isto implica na necessidade
de uma análise prévia, normalmente feita utilizando-se comportamento linear ou com a
introdução das não-linearidades dos materiais feita a partir de processos simplificados. Desta
forma, constatou-se que o cálculo de uma estrutura através de um procedimento não-linear
corresponde a uma etapa adicional aos procedimentos de análises utilizados correntemente,
levando a um maior tempo a ser investido na análise da estrutura.
Assim, para o cálculo dos deslocamentos, acredita-se ser mais simples e eficiente a
resolução da estrutura a partir de uma análise linear, corrigindo-se posteriormente os
deslocamentos lineares obtidos de forma a se levar em conta os efeitos da fissuração, da
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 228
fluência e da retração. Essa metodologia é a recomendada pela NBR 6118 (2003), através da
utilização do momento efetivo de inércia para a consideração da fissuração e de coeficientes
multiplicadores dos deslocamentos imediatos para a consideração da fluência e da retração.
De uma maneira geral, para os pavimentos analisados, observou-se que os
deslocamentos imediatos não-lineares foram aproximadamente 30 % maiores que os
lineares. Assim, para pavimentos de edifícios residenciais com características semelhantes às
dos pavimentos estudados, sugere-se majorar os deslocamentos lineares em 30 % para a
consideração do efeito da fissuração, tanto para a combinação de ações quase-permanente
quanto para a freqüente.
Já para a obtenção dos deslocamentos diferidos no tempo sugere-se a majoração de
180 % dos deslocamentos imediatos lineares, para concretos com f
ck
de 20 MPa, e a
majoração de 140 % destes deslocamentos, para concretos com f
ck
de 25 MPa.
Com relação às alturas mínimas obtidas da aplicação dos critérios propostos neste
trabalho, observou-se que para a maioria das lajes analisados, as alturas adotadas no projeto
foram menores que os valores das alturas mínimas calculadas. E para as vigas, as alturas
consideradas no projeto foram maiores que as alturas mínimas. Constatou-se, assim, que em
função das novas prescrições da NBR 6118 (2003) para a verificação do estado limite de
deformações excessivas e para a garantia da durabilidade das estruturas, as vigas e lajes,
principalmente estas últimas, têm necessitado de alturas maiores que as requeridas pela
versão anterior da NBR 6118 (2003).
6.6 SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS
Como comentado anteriormente, o cálculo dos deslocamentos diferidos a partir da
utilização do coeficiente multiplicador dos deslocamentos imediatos recomendado pela
NBR 6118 (2003) pode levar a uma superestimativa desses deslocamentos para vigas, e
também a sua subestimativa para as lajes. Desta forma, julga-se conveniente a realização de
pesquisas experimentais para a determinação dos deslocamentos diferidos no tempo, de
forma que se possa ratificar esse comportamento e melhorar as expressões propostas para o
cálculo dos coeficientes multiplicadores dos deslocamentos imediatos.
Durante a construção de uma edificação, as cargas atuantes nos pavimentos podem
ultrapassar os valores previstos no projeto. E a aplicação dessas ações consideráveis a
pequenas idades, quando os valores do módulo de elasticidade e da resistência à tração do
concreto ainda são baixos, pode acarretar uma fissuração prematura com o conseqüente
aumento dos deslocamentos imediatos. Além disso, sabe-se que a fluência depende da idade
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 229
do concreto quando do primeiro carregamento. Assim, a aplicação dessas cargas de
construção pode aumentar não só os deslocamentos imediatos, mas também os
deslocamentos diferidos.
Neste contexto, sugere-se um estudo visando a determinação das cargas que
usualmente ocorrem nas estruturas durante a sua execução, com a medição local dos
deslocamentos para que se possa definir, por exemplo, com qual nível de carregamento
devem ser calculados os deslocamentos imediatos.
Conforme comentado no capítulo 2, para elementos com momentos atuantes muito
próximos do momento de fissuração, e com taxas de armadura muito baixas, a utilização do
momento efetivo de inércia pode levar a uma subestimativa dos deslocamentos. Assim,
sugere-se que um estudo semelhante ao desenvolvido neste trabalho seja realizado com o
intuito de se avaliarem os resultados da utilização do momento efetivo de inércia para a
consideração da fissuração dos elementos, principalmente para lajes.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 230
A
A
A
N
N
E
E
X
X
O
O
A
A
A.1 ASPECTOS GERAIS
Para as verificações dos deslocamentos fornecidos nas tabelas a seguir, valem as
seguintes observações:
§ 1ª. Verificação: Verificação da aceitabilidade sensorial quanto ao aspecto visual.
§ Na primeira coluna de status, tem-se essa verificação para os deslocamentos
determinados a partir da combinação quase-permanente de ações.
§ Na segunda coluna de status, tem-se essa verificação para os deslocamentos
determinados a partir da combinação freqüente de ações.
§ 2ª. Verificação: Verificação da aceitabilidade sensorial relativa às vibrações.
§ 3ª. Verificação: Verificação dos efeitos dos deslocamentos em elementos não
estruturais
§ Na primeira coluna de status, tem-se essa verificação para os deslocamentos
determinados a partir da combinação quase-permanente de ações.
§ Na segunda coluna de status, tem-se essa verificação para os deslocamentos
determinados a partir da combinação freqüente de ações.
A.2 VALORES DOS DESLOCAMENTOS DAS LAJES
A seguir são apresentados os deslocamentos calculados para alguns tipos de lajes.
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 232
f
ck
= 25 Mpa
TIPO 1 Lx = 300 cm Carregamento 1
h
(cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
1,0 7,0 0,228 0,256 0,263 2,301 2,073 0,797 0,885 0,927 3,031 0,569 0,629 0,665 0,730 0,658 0,699 1,200 Ok Ok 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,0 8,0 0,159 0,171 0,175 0,199 0,040 0,549 0,590 0,603 0,686 0,389 0,419 0,428 0,487 0,430 0,444 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,0 9,0 0,117 0,125 0,128 0,146 0,029 0,397 0,427 0,437 0,497 0,281 0,302 0,309 0,351 0,311 0,321 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,2 8,0 0,223 0,244 0,260 1,204 0,981 0,766 0,830 0,859 3,185 0,543 0,586 0,599 1,981 0,607 0,636 1,200 Ok Ok 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,2 9,0 0,162 0,174 0,178 0,205 0,043 0,553 0,594 0,608 0,696 0,391 0,420 0,430 0,492 0,432 0,446 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,4 8,0 0,317 0,407 0,455 5,204 4,886 1,056 1,783 1,881 3,643 0,739 1,376 1,425 -1,561 1,466 1,563 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,4 9,0 0,204 0,226 0,235 0,308 0,104 0,686 0,744 0,764 1,641 0,482 0,519 0,529 1,333 0,540 0,560 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,4 10,0 0,154 0,165 0,169 0,196 0,042 0,516 0,555 0,567 0,650 0,362 0,389 0,398 0,454 0,401 0,414 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,6 8,0 0,491 1,337 1,935 3,333 2,843 1,734 2,418 2,579 3,838 1,244 1,080 0,645 0,505 1,927 2,089 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,6 9,0 0,261 0,301 0,314 1,403 1,143 0,832 0,952 1,001 2,130 0,572 0,651 0,686 0,727 0,691 0,740 1,200 Ok Ok 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,6 10,0 0,180 0,198 0,206 0,262 0,082 0,601 0,650 0,667 0,831 0,421 0,452 0,461 0,569 0,470 0,486 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,8 9,0 0,324 0,387 0,420 2,432 2,107 1,005 1,173 1,497 2,557 0,681 0,786 1,077 0,126 0,848 1,172 1,200 Ok N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,8 10,0 0,210 0,240 0,254 0,329 0,119 0,673 0,756 0,792 1,019 0,463 0,516 0,538 0,690 0,546 0,582 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,8 11,0 0,157 0,170 0,175 0,220 0,063 0,518 0,557 0,572 0,693 0,361 0,387 0,397 0,473 0,400 0,415 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
2,0 9,0 0,392 0,506 0,652 3,403 3,012 1,169 1,554 1,666 2,656 0,777 1,048 1,014 -0,748 1,162 1,274 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
2,0 10,0 0,247 0,288 0,300 0,440 0,193 0,759 0,871 0,903 1,392 0,512 0,583 0,603 0,952 0,624 0,656 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
2,0 11,0 0,171 0,193 0,202 0,262 0,091 0,560 0,606 0,636 0,794 0,388 0,412 0,433 0,532 0,434 0,464 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
3,0 10,0 0,402 0,487 0,515 1,500 1,098 1,070 1,231 1,306 1,726 0,668 0,744 0,791 0,226 0,829 0,904 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
3,0 11,0 0,253 0,309 0,325 0,451 0,198 0,706 0,814 0,874 1,166 0,453 0,505 0,549 0,715 0,561 0,621 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok N.G.
3,0 12,0 0,171 0,200 0,209 0,298 0,127 0,524 0,591 0,611 0,812 0,352 0,391 0,402 0,514 0,420 0,439 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
4,0 10,0 0,523 0,658 0,700 1,196 0,674 1,218 1,448 1,509 1,997 0,695 0,790 0,809 0,801 0,925 0,987 1,200 N.G. N.G. 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
4,0 11,0 0,318 0,399 0,430 0,631 0,312 0,793 0,952 1,002 1,357 0,475 0,553 0,572 0,726 0,634 0,683 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
4,0 12,0 0,198 0,240 0,267 0,400 0,203 0,546 0,668 0,693 0,972 0,349 0,428 0,426 0,572 0,471 0,495 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
Ly/Lx
Deslocamentos Imediatos (cm) Deslocamentos Totais (cm) Deslocamentos Diferidos (cm) D. Incrementais 1a Verficação 2a Verficação 3a Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 233
f
ck
= 25 Mpa
TIPO 2 Lx = 300 cm Carregamento 3
h
(cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
1,0 7,0 0,166 0,196 0,209 1,900 1,734 0,615 0,746 0,806 2,942 0,449 0,550 0,596 1,042 0,580 0,640 1,200 Ok Ok 0,857 N.G. 0,600 Ok N.G.
1,0 8,0 0,113 0,132 0,138 0,183 0,070 0,397 0,471 0,496 0,679 0,284 0,339 0,358 0,497 0,358 0,383 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,2 7,0 0,264 0,398 1,420 3,000 2,736 1,000 2,651 2,856 4,231 0,736 2,253 1,436 1,231 2,387 2,592 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,2 8,0 0,175 0,204 0,216 3,599 3,425 0,621 0,738 0,788 3,553 0,446 0,534 0,572 -0,046 0,563 0,614 1,200 Ok Ok 0,857 N.G. 0,600 Ok N.G.
1,2 9,0 0,126 0,146 0,153 0,201 0,075 0,429 0,503 0,528 0,707 0,304 0,356 0,375 0,506 0,377 0,402 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,4 8,0 0,237 0,319 0,365 3,000 2,763 0,838 1,827 2,348 3,890 0,601 1,508 1,982 0,890 1,590 2,110 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,4 9,0 0,169 0,198 0,208 0,395 0,226 0,579 0,675 0,716 3,176 0,409 0,477 0,508 2,780 0,506 0,547 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,4 10,0 0,127 0,147 0,154 0,204 0,077 0,428 0,497 0,521 0,678 0,301 0,350 0,367 0,474 0,370 0,394 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,6 8,0 0,338 0,563 1,175 3,000 2,662 1,122 2,164 2,398 3,904 0,784 1,601 1,223 0,904 1,826 2,059 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,6 9,0 0,210 0,270 0,294 4,488 4,278 0,706 0,874 0,971 3,128 0,496 0,604 0,677 -1,360 0,664 0,761 1,200 Ok Ok 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,6 10,0 0,157 0,182 0,191 0,310 0,153 0,525 0,609 0,639 2,284 0,368 0,427 0,448 1,974 0,453 0,483 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,8 10,0 0,183 0,228 0,245 0,791 0,608 0,606 0,725 0,787 2,506 0,423 0,497 0,542 1,715 0,542 0,604 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok N.G.
1,8 11,0 0,144 0,167 0,176 0,273 0,129 0,476 0,549 0,578 0,882 0,332 0,382 0,402 0,609 0,405 0,434 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
2,0 9,0 0,328 0,477 0,573 4,879 4,551 0,986 1,401 1,671 3,196 0,658 0,924 1,098 -1,683 1,073 1,343 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
2,0 10,0 0,211 0,281 0,305 1,490 1,279 0,672 0,852 0,916 2,324 0,461 0,571 0,611 0,834 0,640 0,705 1,200 Ok Ok 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
2,0 11,0 0,515 0,597 0,638 0,996 0,481 0,157 0,189 0,204 0,331 -0,358 -0,409 -0,434 -0,665 -0,327 -0,311 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
3,0 10,0 0,356 0,500 0,559 1,290 0,935 0,923 1,209 1,292 2,070 0,567 0,709 0,733 0,779 0,853 0,936 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
3,0 11,0 0,225 0,324 0,355 0,752 0,527 0,658 0,845 0,942 1,478 0,433 0,521 0,587 0,726 0,620 0,717 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
3,0 12,0 0,161 0,208 0,238 0,421 0,260 0,513 0,617 0,658 1,082 0,352 0,409 0,420 0,662 0,457 0,497 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
4,0 10,0 0,469 0,667 0,755 1,479 1,010 1,078 1,381 1,517 2,275 0,609 0,714 0,762 0,796 0,912 1,048 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
4,0 11,0 0,278 0,433 0,475 1,018 0,740 0,720 1,003 1,088 1,755 0,441 0,570 0,613 0,737 0,725 0,810 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
4,0
12,0
0,180
0,266
0,310
0,607
0,427
0,540
0,700
0,767
1,288
0,360
0,433
0,457
0,681
0,520
0,587
1,200
Ok
Ok
0,857
Ok
0,600
Ok
Ok
Ly/Lx
Deslocamentos Imediatos (cm)
Deslocamentos Totais (cm)
Deslocamentos Diferidos (cm)
D. Incrementais
1a Verficação
2a Verficação
3a Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 234
f
ck
= 25 Mpa
TIPO 3 Lx = 300 cm Carregamento 2
h
(cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
1,0 7,0 0,081 0,099 0,105 0,152 0,071 0,283 0,350 0,382 0,638 0,202 0,252 0,277 0,486 0,269 0,301 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,0 8,0
0,056 0,068 0,072 0,098
0,042
0,197 0,237 0,250 0,353
0,141 0,169 0,178 0,255 0,180 0,193 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,2 7,0 0,138 0,172 0,184 0,284 0,146 0,493 0,658 0,727 2,400 0,355 0,485 0,543 2,116 0,519 0,589 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,2 8,0
0,094 0,114 0,122 0,172
0,078
0,328 0,400 0,434 0,664
0,234 0,286 0,312 0,492 0,306 0,340 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,4 7,0 0,202 0,254 0,274 2,500 2,298 0,745 1,015 1,800 3,000 0,543 0,761 1,526 0,500 0,812 1,598 1,200 Ok N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,4 8,0 0,136 0,168 0,179 0,269 0,133 0,477 0,601 0,649 2,920 0,341 0,433 0,469 2,651 0,464 0,512 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,4 9,0
0,099 0,120 0,127 0,176
0,077
0,338 0,409 0,433 0,621
0,239 0,289 0,306 0,445 0,309 0,334 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,6 8,0 0,179 0,221 0,237 0,479 0,300 0,627 0,787 0,858 2,920 0,448 0,566 0,620 2,441 0,608 0,678 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
1,6 9,0
0,130 0,157 0,167
0,245 0,116
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0,310 0,379 0,405 0,639 0,406 0,442 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,6 10,0 0,098 0,118 0,125 0,169 0,071 0,330 0,397 0,420 0,575 0,232 0,279 0,295 0,406 0,299 0,322 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,8 8,0 0,218 0,291 0,329 2,500 2,282 0,760 0,991 1,139 2,920 0,542 0,700 0,810 0,420 0,773 0,922 1,200 Ok Ok 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
1,8 9,0 0,157 0,191 0,204 0,354 0,197 0,530 0,647 0,691 2,174 0,373 0,456 0,487 1,820 0,490 0,534 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
1,8 10,0
0,119 0,143 0,151 0,217
0,098
0,399 0,479 0,508 0,721
0,280 0,336 0,356 0,504 0,360 0,389 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
2,0 9,0
0,181 0,228 0,251 0,492
0,311
0,607 0,745 0,804 3,320
0,426 0,517 0,553 2,828 0,564 0,623 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok N.G.
2,0 10,0 0,137 0,165 0,174 0,282 0,145 0,457 0,550 0,582 0,912 0,320 0,385 0,408 0,630 0,413 0,445 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
3,0 9,0 0,286 0,437 0,505 1,485 1,199 0,824 1,133 1,266 2,316 0,538 0,696 0,761 0,830 0,846 0,980 1,200 Ok N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
3,0 10,0 0,188 0,272 0,303 0,603 0,415 0,609 0,768 0,854 1,501 0,421 0,497 0,550 0,899 0,581 0,666 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok N.G.
3,0 11,0
0,146 0,180 0,198 0,388
0,242
0,473 0,567 0,600 1,025
0,327 0,387 0,402 0,638 0,421 0,454 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
4,0 10,0 0,220 0,364 0,424 0,913 0,693 0,653 0,909 1,039 1,812 0,433 0,545 0,615 0,899 0,689 0,819 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
4,0 11,0 0,158 0,219 0,255 0,570 0,412 0,508 0,613 0,685 1,305 0,350 0,394 0,430 0,736 0,455 0,527 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
4,0 12,0
0,126 0,169 0,192 0,364
0,238
0,409 0,491 0,518 0,922
0,282 0,322 0,327 0,557 0,365 0,392 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
Ly/Lx
Deslocamentos Imediatos (cm)
Deslocamentos Totais (cm)
Deslocamentos Diferidos (cm)
D. Incrementais
1a Verficação
2a Verficação
3a Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 235
f
ck
= 25 Mpa
TIPO 4 Lx = 400 cm Carregamento 2
h
(cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
1,0 8,0
0,277 0,358 0,417
3,100 2,823 1,001 7,300 7,300 4,380 0,724 6,942 6,883 1,280 7,023 7,023 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,0 9,0 0,197 0,242 0,257 3,000 2,803 0,849 0,908 0,973 4,150 0,652 0,666 0,716 1,150 0,711 0,776 1,600 Ok Ok 1,143 N.G. 0,800 Ok Ok
1,0 10,0
0,147 0,180 0,191
0,268 0,121
0,492 0,610 0,648
0,940 0,345 0,429 0,458 0,672 0,463 0,502 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,2 9,0 0,259 0,341 0,382 3,000 2,741 0,915 1,288 8,300 4,980 0,656 0,947 7,918 1,980 1,029 8,041 1,600 Ok N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,2 10,0
0,190 0,236 0,253
3,000 2,810
0,649 0,822 0,890
5,580 0,459 0,586 0,637 2,580 0,632 0,700 1,600 Ok Ok 1,143 N.G. 0,800 Ok Ok
1,2 11,0 0,145 0,179 0,191 0,285 0,139 0,483 0,604 0,645 1,011 0,338 0,425 0,454 0,726 0,459 0,499 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,4 10,0 0,227 0,299 0,335 3,000 2,773 0,791 1,081 1,260 5,580 0,563 0,782 0,924 2,580 0,854 1,032 1,600 Ok Ok 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,4 11,0 0,171 0,215 0,230 0,437 0,266 0,572 0,737 0,794 6,000 0,400 0,522 0,564 5,563 0,566 0,623 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,4 12,0
0,134 0,166 0,176
0,272 0,138
0,442 0,555 0,600
0,977 0,309 0,389 0,424 0,705 0,422 0,467 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,6 11,0 0,191 0,248 0,275 3,000 2,809 0,649 0,865 0,982 6,000 0,457 0,617 0,707 3,000 0,674 0,791 1,600 Ok Ok 1,143 N.G. 0,800 Ok Ok
1,6 12,0 0,149 0,187 0,201 0,357 0,208 0,492 0,630 0,685 5,300 0,344 0,443 0,485 4,943 0,481 0,537 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,8 11,0 0,210 0,286 0,330 3,000 2,790 0,708 1,055 1,321 6,000 0,498 0,769 0,991 3,000 0,845 1,112 1,600 Ok Ok 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,8 12,0 0,160 0,204 0,220 0,471 0,311 0,530 0,704 0,756 6,360 0,371 0,500 0,536 5,889 0,544 0,597 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,8 13,0 0,127 0,159 0,170 0,292 0,165 0,409 0,522 0,567 1,122 0,283 0,363 0,397 0,830 0,395 0,440 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
2,0 11,0 0,222 0,330 0,389 3,000 2,778 0,772 1,375 10,000 6,000 0,550 1,046 9,611 3,000 1,153 9,778 1,600 Ok N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
2,0 12,0 0,168 0,216 0,244 0,662 0,494 0,561 0,753 0,867 6,360 0,393 0,537 0,623 5,698 0,585 0,699 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
2,0 13,0
0,132 0,167 0,182
0,350 0,218
0,428 0,558 0,605
6,660 0,296 0,391 0,423 6,310 0,426 0,472 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
3,0 12,0
0,181 0,259 0,308
3,000 2,819 0,601 0,842 1,098 6,360 0,420 0,583 0,790 3,360 0,661 0,917 1,600 Ok Ok 1,143 N.G. 0,800 Ok N.G.
3,0 13,0 0,140 0,179 0,195 0,561 0,421 0,449 0,588 0,643 6,660 0,308 0,409 0,448 6,099 0,447 0,503 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
3,0 14,0
0,115 0,143 0,155
0,315 0,200
0,360 0,462 0,504
1,673 0,245 0,319 0,349 1,358 0,347 0,389 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
4,0 12,0 0,184 0,288 0,371 3,000 2,816 0,611 0,994 1,945 6,360 0,427 0,706 1,573 3,360 0,810 1,761 1,600 Ok N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
4,0 13,0
0,141 0,183 0,200
0,561 0,420
0,452 0,595 0,663
6,660 0,311 0,413 0,463 6,099 0,454 0,522 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
4,0 14,0 0,116 0,146 0,157 0,402 0,287 0,370 0,471 0,511 6,900 0,255 0,325 0,354 6,498 0,355 0,395 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
Ly/Lx
Deslocamentos Imediatos (cm)
Deslocamentos Totais (cm)
Deslocamentos Diferidos (cm)
D. Incrementais
1a Verficação
2a Verficação
3a Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 236
TIPO 5 Lx = 400 cm Carregamento 1
h
(cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
1,0 7,0 3,000 4,000 5,000 6,000 3,000 4,877 5,463 5,643 6,756 1,877 1,463 0,643 0,756 2,463 2,643 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,0 8,0 0,304 0,363 0,397 3,000 2,696 4,213 4,888 5,102 6,337 3,910 4,525 4,705 3,337 4,584 4,798 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,0 9,0
0,207 0,226 0,232 0,283
0,076
0,726 0,805 0,835
1,020 0,519 0,579 0,603 0,738 0,598 0,628 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,2 8,0 0,724 3,000 4,000 5,000 4,276 6,279 7,130 7,432 11,579 5,554 4,130 3,432 6,579 6,406 6,708 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,2 9,0 0,313 0,371 0,402 4,000 3,687 1,482 3,320 4,150 4,980 1,169 2,949 3,748 0,980 3,007 3,837 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,2 10,0
0,220 0,240 0,250
0,317 0,097
0,761 0,848 0,881
1,121 0,541 0,608 0,631 0,804 0,628 0,661 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,4 9,0 0,516 4,000 5,000 6,000 5,484 4,150 4,980 5,810 6,640 3,634 0,980 0,810 0,640 4,464 5,294 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,4 10,0 0,295 0,345 0,365 4,000 3,705 1,060 3,720 4,650 5,580 0,765 3,375 4,285 1,580 3,425 4,355 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,4 11,0
0,211 0,234 0,241
0,313 0,101
0,727 0,804 0,841
1,063 0,516 0,571 0,600 0,751 0,593 0,629 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,6 10,0 0,401 0,508 0,552 3,000 2,599 2,790 3,720 4,650 5,580 2,389 3,212 4,098 2,580 3,319 4,249 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,6 11,0 0,259 0,302 0,318 0,464 0,205 0,901 1,115 1,233 1,855 0,643 0,813 0,915 1,391 0,856 0,975 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 N.G. N.G.
1,6 12,0
0,193 0,211 0,220
0,285 0,093
0,654 0,729 0,756
1,072 0,462 0,518 0,537 0,787 0,536 0,564 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,8 11,0 0,319 0,391 0,415 4,000 3,681 1,250 5,667 6,000 7,000 0,930 5,276 5,585 3,000 5,348 5,681 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,8 12,0 0,218 0,251 0,267 0,373 0,155 0,751 0,887 0,945 1,345 0,533 0,636 0,678 0,972 0,669 0,727 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
2,0 11,0 0,391 0,496 0,542 3,500 3,109 3,000 4,000 5,000 6,000 2,609 3,504 4,458 2,500 3,609 4,609 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
2,0 12,0 0,248 0,299 0,318 0,485 0,237 0,882 1,160 1,344 2,056 0,634 0,861 1,026 1,571 0,912 1,096 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 N.G. N.G.
2,0 13,0
0,184 0,205 0,215
0,296 0,112
0,618 0,690 0,726
1,208 0,434 0,485 0,511 0,911 0,505 0,542 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
3,0 11,0 0,654 1,016 3,000 4,000 3,346 3,230 4,276 4,492 6,000 2,576 3,260 1,492 2,000 3,621 3,838 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
3,0 12,0 0,362 0,479 0,522 3,000 2,638 1,402 2,707 4,240 5,300 1,041 2,227 3,718 2,300 2,345 3,878 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
3,0 13,0
0,214 0,277 0,292
0,497 0,283
0,692 0,940 1,020
1,739 0,478 0,663 0,728 1,242 0,726 0,800 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
4,0 12,0 0,464 0,725 0,856 4,000 3,536 2,661 3,902 4,240 5,300 2,197 3,177 3,384 1,300 3,438 3,776 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
4,0 13,0 0,243 0,338 0,364 3,000 2,757 0,766 1,434 2,358 5,550 0,523 1,096 1,994 2,550 1,191 2,115 1,600 Ok N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
4,0 14,0 0,167 0,194 0,206 0,389 0,222 0,550 0,625 0,649 2,801 0,383 0,432 0,443 2,412 0,459 0,482 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
Ly/Lx
Deslocamentos Imediatos (cm)
Deslocamentos Totais (cm)
Deslocamentos Diferidos (cm)
D. Incrementais
1a Verficação
2a Verficação
3a Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 237
f
ck
= 35 Mpa
TIPO 6 Lx = 400 cm Carregamento 1
h
(cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
1,0 7,0 0,266 0,294 0,304 0,388 0,122 0,973 1,181 1,275 1,630 0,707 0,887 0,971 1,242 0,915 1,009 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 N.G. N.G.
1,0 8,0 0,172 0,189 0,195 0,232 0,060 0,555 0,614 0,638 0,795 0,383 0,425 0,443 0,563 0,442 0,466 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,2 8,0 0,274 0,302 0,313 0,403 0,129 0,941 1,079 1,165 1,497 0,667 0,777 0,852 1,094 0,805 0,891 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 N.G. N.G.
1,2 9,0 0,190 0,209 0,215 0,254 0,064 0,595 0,662 0,681 0,843 0,404 0,454 0,466 0,589 0,472 0,490 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,4 8,0 0,401 0,485 0,511 3,000 2,599 2,190 2,920 3,650 4,380 1,789 2,435 3,139 1,380 2,519 3,249 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
1,4 9,0 0,260 0,286 0,296 0,384 0,124 0,835 0,947 0,999 1,295 0,575 0,661 0,703 0,911 0,687 0,739 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,4 10,0 0,188 0,206 0,212 0,250 0,062 0,589 0,651 0,671 0,813 0,401 0,445 0,459 0,563 0,463 0,482 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,6 9,0 0,332 0,394 0,413 0,599 0,267 1,131 2,490 3,320 4,150 0,800 2,096 2,907 3,551 2,158 2,988 1,600 N.G. N.G. 1,143 Ok 0,800 N.G. N.G.
1,6 10,0 0,233 0,256 0,264 0,336 0,103 0,743 0,833 0,861 1,222 0,510 0,576 0,597 0,886 0,600 0,628 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
1,8 10,0 0,277 0,321 0,338 0,499 0,222 0,930 2,790 3,720 4,650 0,653 2,469 3,382 4,151 2,513 3,443 1,600 N.G. N.G. 1,143 Ok 0,800 N.G. N.G.
1,8 11,0 0,203 0,224 0,231 0,291 0,088 0,632 0,704 0,733 1,111 0,430 0,479 0,502 0,820 0,501 0,530 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
2,0 10,0 0,321 0,389 0,412 0,622 0,301 1,112 1,672 2,790 4,650 0,791 1,283 2,378 4,028 1,351 2,469 1,600 N.G. N.G. 1,143 Ok 0,800 N.G. N.G.
2,0 11,0 0,226 0,248 0,259 0,353 0,128 0,706 0,792 0,820 1,341 0,481 0,544 0,560 0,988 0,566 0,594 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
3,0 10,0 0,537 0,717 0,805 3,000 2,463 2,790 3,720 4,650 5,580 2,253 3,003 3,845 2,580 3,183 4,113 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
3,0 11,0 0,297 0,368 0,409 0,694 0,397 0,897 1,244 1,566 2,656 0,600 0,877 1,157 1,963 0,947 1,269 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 N.G. N.G.
3,0 12,0 0,204 0,228 0,239 0,360 0,156 0,621 0,698 0,726 1,294 0,417 0,470 0,486 0,934 0,494 0,522 1,600 Ok Ok 1,143 Ok 0,800 Ok Ok
4,0 11,0 0,353 0,483 0,559 3,000 2,647 1,198 3,000 4,000 5,000 0,845 2,517 3,441 2,000 2,647 3,647 1,600 N.G. N.G. 1,143 N.G. 0,800 N.G. N.G.
4,0
12,0
0,211
0,244
0,275
0,504
0,293
0,650
0,735
0,849
1,555
0,439
0,491
0,574
1,051
0,524
0,638
1,600
Ok
Ok
1,143
Ok
0,800
Ok
Ok
Ly/Lx
Deslocamentos Imediatos (cm)
Deslocamentos Totais (cm)
Deslocamentos Diferidos (cm)
D. Incrementais
1a Verficação
2a Verficação
3a Verficação
f
ck
= 35 Mpa
TIPO 7 Lx = 500 cm Carregamento 3
h
(cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
1,0 10,0 0,303 0,373 0,394 4,000 3,697 0,969 1,269 1,357 5,580 0,666 0,897 0,963 1,580 0,966 1,054 2,000 Ok Ok 1,429 N.G. 1,000 Ok N.G.
1,0 11,0 0,223 0,269 0,285 0,424 0,201 0,690 0,845 0,903 0,919 0,467 0,576 0,619 0,496 0,622 0,680 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
1,2 11,0 0,278 0,347 0,380 4,000 3,722 0,878 1,178 1,334 6,000 0,600 0,831 0,953 2,000 0,901 1,056 2,000 Ok Ok 1,429 N.G. 1,000 Ok N.G.
1,2 12,0 0,209 0,256 0,273 0,438 0,229 0,641 0,808 0,862 1,383 0,432 0,552 0,590 0,945 0,599 0,654 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
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1,6 12,0 0,260 0,344 0,383 4,000 3,740 0,830 1,285 3,180 5,300 0,571 0,940 2,797 1,300 1,025 2,920 2,000 Ok N.G. 1,429 N.G. 1,000 N.G. N.G.
1,6 13,0 0,195 0,248 0,265 0,513 0,318 0,604 0,792 0,878 1,703 0,409 0,544 0,613 1,190 0,597 0,683 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
1,8 13,0 0,206 0,262 0,286 0,696 0,490 0,636 0,888 1,037 2,526 0,430 0,625 0,752 1,830 0,681 0,831 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
2,0 13,0 0,212 0,272 0,310 4,000 3,788 0,663 0,940 1,460 6,660 0,451 0,668 1,150 2,660 0,728 1,249 2,000 Ok Ok 1,429 N.G. 1,000 Ok N.G.
2,0 14,0 0,164 0,205 0,225 0,452 0,288 0,487 0,651 0,710 1,446 0,323 0,447 0,485 0,993 0,487 0,546 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
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4,0 13,0 0,210 0,265 0,299 4,000 3,790 0,641 0,889 4,440 6,660 0,431 0,624 4,141 2,660 0,679 4,230 2,000 Ok N.G. 1,429 N.G. 1,000 Ok N.G.
4,0 14,0 0,159 0,203 0,220 4,000 3,841 0,478 0,619 0,699 6,900 0,319 0,416 0,479 2,900 0,460 0,540 2,000 Ok Ok 1,429 N.G. 1,000 Ok Ok
4,0
15,0
0,129
0,156
0,164
0,260
0,131
0,381
0,465
0,488
0,772
0,252
0,308
0,324
0,512
0,336
0,359
2,000
Ok
Ok
1,429
Ok
1,000
Ok
Ok
Ly/Lx
Deslocamentos Imediatos (cm)
Deslocamentos Totais (cm)
Deslocamentos Diferidos (cm)
D. Incrementais
1a Verficação
2a Verficação
3a Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 238
f
ck
= 35 Mpa
TIPO 8 Lx = 500 cm Carregamento 2
h
(cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
1,0 9,0 0,227 0,287 0,310 0,511 0,284 0,699 0,915 1,017 1,786 0,472 0,628 0,707 1,275 0,688 0,789 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
1,0 10,0 0,170 0,207 0,222 0,324 0,154 0,523 0,641 0,698 1,064 0,354 0,434 0,476 0,741 0,472 0,528 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
1,2 9,0 0,305 0,402 0,438 3,000 2,695 0,980 1,451 1,947 4,980 0,675 1,049 1,509 1,980 1,145 1,642 2,000 Ok Ok 1,429 N.G. 1,000 N.G. N.G.
1,2 10,0 0,218 0,278 0,300 0,518 0,300 0,676 0,895 0,982 1,827 0,458 0,617 0,682 1,308 0,677 0,764 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
1,2 11,0 0,166 0,206 0,221 0,331 0,165 0,504 0,632 0,681 1,093 0,337 0,426 0,460 0,762 0,465 0,515 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
1,4 10,0 0,259 0,339 0,376 1,036 0,778 0,826 1,168 1,369 4,650 0,567 0,830 0,993 3,614 0,909 1,110 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok N.G.
1,4 11,0 0,191 0,246 0,265 0,462 0,271 0,577 0,768 0,837 1,575 0,387 0,522 0,572 1,113 0,577 0,646 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
1,6 10,0 0,296 0,416 0,481 3,000 2,704 0,988 1,809 2,790 6,510 0,692 1,393 2,309 3,510 1,513 2,494 2,000 Ok N.G. 1,429 N.G. 1,000 N.G. N.G.
1,6 11,0 0,214 0,285 0,309 0,657 0,443 0,659 0,914 1,025 4,000 0,445 0,629 0,716 3,343 0,700 0,811 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
1,6 12,0 0,164 0,210 0,227 0,379 0,215 0,493 0,641 0,707 1,715 0,328 0,431 0,480 1,336 0,477 0,543 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
1,8 11,0 0,224 0,302 0,336 3,000 2,776 0,684 1,018 1,238 6,000 0,460 0,717 0,902 3,000 0,794 1,013 2,000 Ok Ok 1,429 N.G. 1,000 Ok N.G.
1,8 12,0 0,169 0,220 0,239 0,469 0,300 0,504 0,682 0,753 1,670 0,335 0,462 0,514 1,201 0,513 0,585 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
2,0 11,0 0,231 0,320 0,371 3,000 2,769 0,724 1,155 3,000 7,000 0,493 0,835 2,629 4,000 0,924 2,769 2,000 Ok N.G. 1,429 N.G. 1,000 Ok N.G.
2,0 12,0 0,173 0,230 0,250 0,580 0,407 0,515 0,718 0,806 5,300 0,343 0,489 0,556 4,720 0,546 0,633 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
2,0 13,0 0,138 0,172 0,189 0,323 0,185 0,416 0,522 0,583 1,044 0,278 0,350 0,394 0,721 0,384 0,445 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
3,0 12,0 0,176 0,234 0,258 3,000 2,824 0,525 0,711 0,816 5,300 0,349 0,477 0,558 2,300 0,534 0,640 2,000 Ok Ok 1,429 N.G. 1,000 Ok Ok
3,0 13,0 0,140 0,177 0,188 0,370 0,230 0,421 0,536 0,570 1,178 0,281 0,359 0,382 0,808 0,396 0,430 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
4,0 12,0 0,176 0,233 0,258 3,000 2,824 0,677 0,928 1,081 5,300 0,501 0,694 0,823 2,300 0,751 0,905 2,000 Ok Ok 1,429 N.G. 1,000 Ok Ok
4,0 13,0 0,140 0,173 0,188 0,402 0,262 0,421 0,535 0,569 1,285 0,281 0,362 0,382 0,883 0,395 0,430 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
Ly/Lx
Deslocamentos Imediatos (cm)
Deslocamentos Totais (cm)
Deslocamentos Diferidos (cm)
D. Incrementais
1a Verficação
2a Verficação
3a Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 239
f
ck
= 35 Mpa
TIPO 9 Lx = 600 cm Carregamento 1
h
(cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
1,0 9,0 0,663 0,911 1,006 4,000 3,337 3,320 4,150 4,980 5,810 2,657 3,239 3,974 1,810 3,487 4,317 2,400 N.G. N.G. 1,714 N.G. 1,000 N.G. N.G.
1,0 10,0 0,436 0,485 0,476 0,772 0,337 1,449 1,730 1,919 3,110 1,013 1,245 1,443 2,338 1,294 1,484 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 N.G. N.G.
1,0 11,0 0,310 0,350 0,359 0,436 0,127 0,991 1,109 1,170 1,494 0,681 0,759 0,811 1,058 0,800 0,860 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 Ok Ok
1,2 11,0 0,483 0,557 0,585 0,941 0,458 1,583 3,000 4,000 5,000 1,100 2,443 3,415 4,059 2,517 3,517 2,400 N.G. N.G. 1,714 Ok 1,000 N.G. N.G.
1,2 12,0 0,352 0,394 0,408 0,527 0,174 1,097 1,262 1,325 1,714 0,744 0,868 0,918 1,187 0,910 0,973 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 Ok Ok
1,4 11,0 0,750 0,979 1,098 4,000 3,250 5,000 6,000 7,000 8,000 4,250 5,021 5,902 4,000 5,250 6,250 2,400 N.G. N.G. 1,714 N.G. 1,000 N.G. N.G.
1,4 12,0 0,475 0,571 0,601 0,956 0,482 1,601 3,180 4,240 5,300 1,126 2,609 3,639 4,344 2,705 3,765 2,400 N.G. N.G. 1,714 Ok 1,000 N.G. N.G.
1,4 13,0 0,351 0,395 0,415 0,561 0,210 1,122 1,293 1,369 1,849 0,771 0,898 0,954 1,288 0,942 1,000 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 Ok Ok
1,6 12,0 0,662 0,848 0,939 4,000 3,338 3,180 4,240 5,300 6,360 2,518 3,392 4,361 2,360 3,578 4,638 2,400 N.G. N.G. 1,714 N.G. 1,000 N.G. N.G.
1,6 13,0 0,431 0,516 0,555 0,882 0,450 1,445 2,097 3,330 4,440 1,014 1,581 2,775 3,558 1,665 2,899 2,400 Ok N.G. 1,714 Ok 1,000 N.G. N.G.
1,6 14,0 0,327 0,369 0,388 0,542 0,215 1,031 1,202 1,263 1,764 0,704 0,833 0,875 1,222 0,875 0,936 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 Ok Ok
1,8 13,0 0,535 0,675 0,750 5,000 4,465 3,330 4,440 5,550 6,660 2,795 3,765 4,800 1,660 3,905 5,015 2,400 N.G. N.G. 1,714 N.G. 1,000 N.G. N.G.
1,8 14,0 0,371 0,441 0,461 0,737 0,365 1,218 1,591 1,919 3,067 0,847 1,150 1,457 2,330 1,220 1,547 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 N.G. N.G.
1,8 15,0 0,287 0,324 0,338 0,475 0,188 0,881 1,045 1,086 1,533 0,594 0,721 0,748 1,058 0,758 0,799 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 Ok Ok
2,0 13,0 0,654 0,924 1,064 5,000 4,346 4,440 5,550 6,660 7,770 3,786 4,626 5,596 2,770 4,896 6,006 2,400 N.G. N.G. 1,714 N.G. 1,000 N.G. N.G.
2,0 14,0 0,420 0,529 0,576 1,108 0,688 1,509 4,600 5,750 6,900 1,089 4,071 5,174 5,792 4,180 5,330 2,400 N.G. N.G. 1,714 Ok 1,000 N.G. N.G.
2,0 15,0 0,313 0,361 0,381 0,588 0,275 0,976 1,166 1,323 2,042 0,663 0,805 0,942 1,454 0,853 1,000 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 Ok Ok
3,0 14,0 0,516 0,768 0,918 4,000 3,484 3,450 4,600 5,750 6,900 2,934 3,832 4,832 2,900 4,084 5,234 2,400 N.G. N.G. 1,714 N.G. 1,000 N.G. N.G.
3,0 15,0 0,331 0,407 0,468 1,057 0,726 1,060 1,555 4,680 5,850 0,729 1,148 4,212 4,793 1,224 4,349 2,400 Ok N.G. 1,714 Ok 1,000 N.G. N.G.
3,0 16,0 0,260 0,300 0,309 0,502 0,242 0,797 0,906 0,961 1,563 0,537 0,606 0,652 1,061 0,646 0,701 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 Ok Ok
4,0 14,0 0,642 2,000 3,000 4,000 3,358 5,750 6,900 8,050 9,200 5,108 4,900 5,050 5,200 6,258 7,408 2,400 N.G. N.G. 1,714 N.G. 1,000 N.G. N.G.
4,0 15,0 0,332 0,476 0,534 4,000 3,668 1,079 3,510 4,680 5,850 0,748 3,034 4,146 1,850 3,178 4,348 2,400 N.G. N.G. 1,714 N.G. 1,000 N.G. N.G.
4,0 16,0 0,260 0,301 0,310 0,669 0,409 0,808 0,924 0,978 2,109 0,547 0,622 0,668 1,440 0,664 0,718 2,400 Ok Ok 1,714 Ok 1,000 Ok Ok
Ly/Lx
Deslocamentos Imediatos (cm)
Deslocamentos Totais (cm)
Deslocamentos Diferidos (cm)
D. Incrementais
1a Verficação
2a Verficação
3a Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 240
A.3 VALORES DOS DESLOCAMENTOS DAS VIGAS
VIGA COM UM VÃO ISOLADO
f
ck
(MPa) = 25
lviga= 300 cm Carregamento 1
bviga hviga hpilar
(cm) (cm) (cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q Limite Status Status Limite Status Limite Status Status
14 20 20 - - - - - - - - - - - - - - - 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
14 25 20 0,492 0,545 0,561 0,666 0,173 1,049 1,143 1,174 1,366 0,557 0,599 0,613 0,700 0,651 0,682 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
14 30 20 0,367 0,404 0,416 0,498 0,130 0,861 0,957 0,984 1,150 0,494 0,553 0,568 0,652 0,589 0,617 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok N.G.
14 35 20 0,273 0,301 0,310 0,368 0,094 0,680 0,744 0,766 0,911 0,407 0,443 0,456 0,543 0,471 0,493 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
14 20 50 - - - - - - - - - - - - - - - 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
14 25 50 0,258 0,283 0,291 0,344 0,087 0,502 0,546 0,562 0,650 0,244 0,264 0,270 0,306 0,289 0,304 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
14 20 70 - - - - - - - - - - - - - - - 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
14 25 70 0,249 0,273 0,282 0,333 0,084 0,476 0,520 0,534 0,619 0,228 0,246 0,252 0,285 0,271 0,285 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
14 20 100 - - - - - - - - - - - - - - - 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
14 25 100 0,246 0,270 0,278 0,329 0,084 0,467 0,510 0,524 0,608 0,221 0,240 0,246 0,278 0,264 0,278 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
20 20 20 0,684 0,755 0,781 0,940 0,256 1,561 1,703 1,750 2,055 0,877 0,948 0,969 1,115 1,019 1,066 1,200 N.G. N.G. 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
20 25 20 0,423 0,465 0,481 0,574 0,151 1,036 1,133 1,166 1,363 0,613 0,668 0,684 0,788 0,710 0,743 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 N.G. N.G.
20 30 20 0,297 0,326 0,337 0,399 0,102 0,758 0,830 0,853 1,018 0,462 0,503 0,517 0,619 0,533 0,556 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
20 20 50 - - - - - - - - - - - - - - - 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
20 25 50 0,189 0,207 0,214 0,253 0,064 0,421 0,459 0,472 0,552 0,232 0,252 0,258 0,300 0,271 0,283 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
20 20 70 - - - - - - - - - - - - - - - 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
20 25 70 0,180 0,198 0,204 0,242 0,062 0,395 0,432 0,444 0,520 0,215 0,234 0,240 0,279 0,252 0,264 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
20 20 100 - - - - - - - - - - - - - - - 1,200 N.G. N.G. 0,857 N.G. 0,600 N.G. N.G.
20 25 100 0,177 0,194 0,200 0,238 0,061 0,386 0,422 0,434 0,509 0,210 0,228 0,234 0,272 0,245 0,257 1,200 Ok Ok 0,857 Ok 0,600 Ok Ok
Deslocamentos Imediatos (cm) Deslocamentos Diferidos (cm)Deslocamentos Totais (cm)
3
a
Verficação
D. Incrementais
1
a
Verficação 2
a
Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 241
l
viga
=
500
cm
Carregamento 1
b
viga
h
viga
h
pilar
(cm) (cm) (cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
14 35 20 - - - - - - - - - - - - - - - 2,000 N.G. N.G. 1,429 N.G. 1,000 N.G. N.G.
14 40 20 1,526 1,687 1,743 2,099 0,573 2,929 3,184 3,270 3,815 1,403 1,497 1,527 1,716 1,658 1,744 2,000 N.G. N.G. 1,429 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 45 20 1,197 1,321 1,365 1,637 0,440 2,395 2,609 2,680 3,113 1,198 1,288 1,315 1,476 1,412 1,483 2,000 N.G. N.G. 1,429 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 50 20 0,947 1,046 1,079 1,288 0,340 1,967 2,151 2,209 2,568 1,019 1,105 1,130 1,281 1,203 1,262 2,000 N.G. N.G. 1,429 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 55 20 0,758 0,837 0,864 1,031 0,273 1,647 1,796 1,845 2,153 0,889 0,958 0,982 1,122 1,037 1,087 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 60 20 0,611 0,672 0,693 0,826 0,215 1,373 1,497 1,539 1,793 0,762 0,824 0,846 0,967 0,886 0,928 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
14 35 50 - - - - - - - - - - - - - - - 2,000 N.G. N.G. 1,429 N.G. 1,000 N.G. N.G.
14 40 50 0,465 0,511 0,529 0,621 0,156 0,835 0,905 0,929 1,093 0,370 0,394 0,400 0,473 0,440 0,464 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
14 45 50 0,380 0,420 0,435 0,513 0,133 0,786 0,854 0,877 1,039 0,406 0,434 0,442 0,525 0,474 0,497 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
14 50 50 0,295 0,327 0,336 0,400 0,105 0,648 0,704 0,724 0,862 0,352 0,378 0,388 0,462 0,409 0,429 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
14 35 70 - - - - - - - - - - - - - - - 2,000 N.G. N.G. 1,429 N.G. 1,000 N.G. N.G.
14 40 70 0,420 0,459 0,473 0,554 0,134 0,731 0,793 0,814 0,941 0,311 0,334 0,341 0,387 0,373 0,394 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
14 45 70 0,313 0,343 0,353 0,414 0,101 0,592 0,644 0,661 0,766 0,279 0,301 0,308 0,351 0,330 0,348 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
14 50 70 0,251 0,276 0,284 0,334 0,083 0,543 0,592 0,609 0,709 0,292 0,316 0,325 0,375 0,341 0,358 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
14 35 100 - - - - - - - - - - - - - - - 2,000 N.G. N.G. 1,429 N.G. 1,000 N.G. N.G.
14 40 100 0,406 0,444 0,371 0,536 0,130 0,690 0,749 0,769 0,889 0,284 0,305 0,398 0,354 0,343 0,363 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
14 45 100 0,298 0,326 0,336 0,395 0,097 0,549 0,597 0,613 0,711 0,251 0,270 0,277 0,316 0,299 0,315 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
14 50 100 0,234 0,257 0,265 0,312 0,079 0,492 0,537 0,551 0,645 0,258 0,280 0,287 0,332 0,303 0,317 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 35 20 1,639 1,813 1,874 2,230 0,591 3,294 3,588 3,690 4,288 1,655 1,775 1,817 2,059 1,950 2,052 2,000 N.G. N.G. 1,429 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 40 20 1,222 1,349 1,394 1,670 0,448 2,561 2,793 2,869 3,337 1,338 1,444 1,475 1,667 1,570 1,647 2,000 N.G. N.G. 1,429 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 45 20 0,932 1,031 1,063 1,268 0,336 2,031 2,223 2,284 2,662 1,099 1,192 1,221 1,394 1,290 1,352 2,000 N.G. N.G. 1,429 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 50 20 0,727 0,802 0,827 0,985 0,257 1,659 1,809 1,860 2,176 0,932 1,008 1,033 1,192 1,082 1,132 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 55 20 0,572 0,631 0,651 0,773 0,201 1,363 1,491 1,533 1,791 0,792 0,859 0,882 1,017 0,919 0,961 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 35 50 0,542 0,600 0,618 0,731 0,189 1,073 1,166 1,207 1,421 0,531 0,566 0,589 0,691 0,625 0,665 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 40 50 0,389 0,430 0,446 0,526 0,137 0,837 0,911 0,936 1,109 0,448 0,481 0,490 0,583 0,521 0,547 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 45 50 0,298 0,330 0,343 0,405 0,108 0,697 0,762 0,793 0,938 0,399 0,432 0,450 0,532 0,464 0,495 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 50 50 0,233 0,259 0,268 0,320 0,087 0,581 0,634 0,651 0,788 0,348 0,374 0,383 0,468 0,400 0,418 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 35 70 0,494 0,541 0,557 0,658 0,164 0,957 1,041 1,069 1,238 0,464 0,500 0,511 0,580 0,548 0,575 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 40 70 0,344 0,377 0,388 0,458 0,114 0,728 0,794 0,818 0,949 0,385 0,417 0,430 0,491 0,450 0,474 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 45 70 0,251 0,276 0,285 0,336 0,084 0,582 0,640 0,658 0,771 0,330 0,364 0,373 0,435 0,389 0,406 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 50 70 0,186 0,205 0,212 0,250 0,064 0,459 0,503 0,517 0,609 0,273 0,298 0,306 0,360 0,317 0,331 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 35 100 0,477 0,524 0,540 0,638 0,160 0,910 0,990 1,017 1,180 0,433 0,466 0,477 0,542 0,512 0,539 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 40 100 0,328 0,360 0,371 0,438 0,111 0,681 0,746 0,767 0,892 0,353 0,387 0,396 0,454 0,419 0,439 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20 45 100 0,230 0,254 0,262 0,309 0,079 0,512 0,565 0,581 0,682 0,282 0,311 0,319 0,372 0,335 0,350 2,000 Ok Ok 1,429 Ok 1,000 Ok Ok
20
50
100
0,170
0,188
0,194
0,231
0,061
0,416
0,454
0,467
0,552
0,246
0,266
0,273
0,322
0,284
0,297
2,000
Ok
Ok
1,429
Ok
1,000
Ok
Ok
Deslocamentos Imediatos (cm) Deslocamentos Diferidos (cm)Deslocamentos Totais (cm)
3
a
Verficação
D. Incrementais
1
a
Verficação
2
a
Verficação
Cálculo de Deslocamentos em Pavimentos de Edifícios de Concreto Armado 242
f
ck
(MPa) =
35
l
viga
=
700
cm
Carregamento 3
b
viga
h
viga
h
pilar
(cm) (cm) (cm)
a
i,g
a
i,g+0,3q
a
i,g+0,4q
a
i,g+q
a
i,q
a
t,g
a
t,g+0,3q
a
t,g+0,4q
a
t,g+q
a
d,g
a
d,g+0,3q
a
d,g+0,4q
a
d,g+q
a
inc,g+0,3q
a
inc,g+0,4q
Limite
Status
Status
Limite
Status
Limite
Status
Status
14 70 20 1,191 1,423 1,502 2,012 0,820 2,352 2,770 2,908 3,756 1,160 1,347 1,405 1,744 1,578 1,716 2,800 Ok N.G. 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 75 20 1,010 1,204 1,271 1,700 0,690 2,059 2,423 2,543 3,299 1,049 1,219 1,272 1,599 1,413 1,533 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 80 20 0,850 1,015 1,070 1,429 0,578 1,775 2,092 2,197 2,853 0,925 1,077 1,127 1,424 1,241 1,347 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 85 20 0,729 0,871 0,918 1,224 0,495 1,564 1,851 1,945 2,528 0,835 0,980 1,027 1,304 1,122 1,216 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 90 20 0,625 0,745 0,786 1,045 0,421 1,365 1,619 1,706 2,221 0,740 0,874 0,920 1,176 0,994 1,081 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 Ok N.G.
14 50 50 0,875 1,040 1,100 1,461 0,585 1,715 2,020 2,121 2,757 0,840 0,980 1,020 1,296 1,144 1,245 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 55 50 0,719 0,855 0,902 1,199 0,480 1,475 1,743 1,831 2,389 0,756 0,888 0,929 1,190 1,024 1,112 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
14 60 50 0,603 0,718 0,757 1,009 0,406 1,284 1,530 1,610 2,101 0,681 0,812 0,853 1,092 0,927 1,007 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 Ok N.G.
14 65 50 0,518 0,618 0,651 0,869 0,351 1,134 1,371 1,443 1,891 0,616 0,753 0,792 1,022 0,853 0,925 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 Ok Ok
14 50 70 0,699 0,835 0,878 1,169 0,470 1,265 1,478 1,559 2,041 0,566 0,644 0,681 0,872 0,779 0,860 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 Ok Ok
14 50 100 0,663 0,784 0,825 1,086 0,423 1,160 1,358 1,424 1,828 0,497 0,574 0,599 0,742 0,695 0,761 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 Ok Ok
20 65 20 1,098 1,311 1,383 1,850 0,752 2,294 2,709 2,845 3,692 1,196 1,398 1,463 1,843 1,611 1,747 2,800 Ok N.G. 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 70 20 0,904 1,078 1,138 1,518 0,614 1,937 2,284 2,400 3,128 1,033 1,206 1,262 1,610 1,380 1,496 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 75 20 0,748 0,894 0,943 1,254 0,506 1,635 1,940 2,040 2,657 0,886 1,046 1,096 1,403 1,192 1,291 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 80 20 0,628 0,749 0,790 1,051 0,424 1,399 1,667 1,754 2,289 0,771 0,918 0,964 1,238 1,040 1,126 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 85 20 0,529 0,634 0,669 0,889 0,360 1,202 1,434 1,513 1,989 0,673 0,800 0,845 1,100 0,905 0,984 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 Ok Ok
20 45 50 0,891 1,060 1,122 1,491 0,600 1,811 2,137 2,246 2,925 0,920 1,077 1,124 1,434 1,246 1,355 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 50 50 0,706 0,840 0,888 1,180 0,474 1,510 1,788 1,879 2,457 0,804 0,948 0,991 1,277 1,082 1,173 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 N.G. N.G.
20 55 50 0,577 0,688 0,725 0,968 0,391 1,272 1,523 1,604 2,101 0,695 0,835 0,879 1,133 0,946 1,027 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 Ok N.G.
20 60 50 0,489 0,586 0,618 0,827 0,338 1,112 1,355 1,428 1,872 0,623 0,768 0,810 1,045 0,865 0,939 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 Ok Ok
20 45 70 0,721 0,863 0,911 1,210 0,489 1,375 1,611 1,701 2,235 0,653 0,749 0,790 1,025 0,890 0,980 2,800 Ok Ok 2,000 Ok 1,000 Ok Ok
20
45
100
0,669
0,794
0,835
1,100
0,431
1,230
1,442
1,512
1,950
0,561
0,649
0,677
0,850
0,773
0,843
2,800
Ok
Ok
2,000
Ok
1,000
Ok
Ok
3
a
Verficação
Deslocamentos Imediatos (cm) Deslocamentos Totais (cm) Deslocamentos Diferidos (cm) D. Incrementais
1
a
Verficação 2
a
Verficação
R
R
E
E
F
F
E
E
R
R
Ê
Ê
N
N
C
C
I
I
A
A
S
S
B
B
I
I
B
B
L
L
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I
O
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G
G
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F
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I
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I
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A
A
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C
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