( PDF ) Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidades através do modelo de painéis enrijecidos

Download PDF

ads:

JOÃO GILBERTO TEIXEIRA SILVA

CONTRIBUIÇÃO AO PROJETO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE

CONCRETO ARMADO COM DESCONTINUIDADES ATRAVÉS DO

MODELO DE PAINÉIS ENRIJECIDOS.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Civil da

Universidade Federal de Alagoas como

requisito parcial para a obtenção do título de

Mestre em Engenharia Civil.

MACEIÓ

2004

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

JOÃO GILBERTO TEIXEIRA SILVA

CONTRIBUIÇÃO AO PROJETO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE

CONCRETO ARMADO COM DESCONTINUIDADES ATRAVÉS DO

MODELO DE PAINÉIS ENRIJECIDOS.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Civil da

Universidade Federal de Alagoas como

requisito parcial para a obtenção do título de

Mestre em Engenharia Civil.

Área de concentração: Estruturas

Orientador: Prof. Doutor Severino Pereira

Cavalcanti Marques.

MACEIÓ

2004

ads:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

iii

SILVA, João Gilberto Teixeira

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com

descontinuidades através do Modelo dos Painéis Enrijecidos. Maceió, 2004. 103 p

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Alagoas. Programa de Pós -

Graduação em Engenharia Civil.

1. Painéis 2. Enrijecidos

Universidade Federal de Alagoas. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação

em Engenharia Civil

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Dedico este trabalho a meu pai João

Rosendo Silva, ao meu filho João Vítor e a

todos o meus familiares.

Agradeço especialmente à Simone por ter

estado ao meu lado nesses dois últimos anos.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Agradecimentos

Agradeço a Deus pela vida e por ter conseguido terminar este trabalho.

Ao professor Dr Severino Pereira Cavalcante Marques pela orientação e

dedicação.

A meu pai e minha esposa pelo apoio e incentivo.

Á FAPEAL que financiou este trabalho.

Aos amigos do PPGEC que me ajudaram direto e indiretamente neste trabalho.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

vii

Sumário

Agradecimentos ...................................................................................................... vi

Lista de Figuras ...................................................................................................... x

Lista de Tabelas ..................................................................................................... xiii

Lista de Símbolos ................................................................................................... xiv

Resumo .................................................................................................................... xxii

Abstract .................................................................................................................. xxiii

Capítulo 1 ................................................................................................................. 1

1. Introdução ............................................................................................................ 1

1.1. Considerações iniciais ................................................................................... 1

1.2. Objetivos e relevância ................................................................................... 4

1.3. Estrutura da dissertação ................................................................................. 4

Capítulo 2 ................................................................................................................. 6

2. Aspectos gerais do Método dos Painéis Enrijecidos ......................................... 6

2.1. Descrição geral do método ............................................................................ 6

2.2. Base teórica do MPE ..................................................................................... 9

2.3. Contribuição do trabalho e sua situação no contexto geral ........................... 10

Capítulo 3 ................................................................................................................. 11

3. Enrijecedores ....................................................................................................... 11

3.1 Introdução ....................................................................................................... 11

3.2. Matriz de rigidez do enrijecedor .................................................................... 11

3.3 Relações constitutivas ..................................................................................... 19

3.3.1 Enrijecedor tracionado com concreto não fissurado .............................. 19

3.3.2. Enrijecedor tracionado com concreto fissurado e sem escoamento da

armadura ............................................................................................. 20

3.3.3. Enrijecedor tracionado com concreto fissurado e armadura escoando . 21

3.3.4. Enrijecedor comprimido sem esmagamento do concreto e sem

escoamento da armadura ..................................................................... 22

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

viii

3.3.5. Enrijecedor comprimido com esmagamento do concreto e sem

escoamento da armadura .....................................................................

3.3.6. Enrijecedor comprimido sem esmagamento do concreto e com

escoamento da armadura ..................................................................... 24

3.4 Dimensionamento das armaduras dos enrijecedores ...................................... 27

Capítulo 4 ................................................................................................................. 28

4. Painéis ................................................................................................................... 28

4.1. Introdução ......................................................................................................

4.2. Matriz de rigidez do painel ............................................................................ 29

4.2.1. Relações de equilíbrio ........................................................................... 29

4.2.2. Energia Potencial Complementar do painel ......................................... 33

4.2.3. Determinação da rigidez do painel ....................................................... 35

4.3. Dimensionamento das armaduras dos painéis ............................................... 37

4.4. Relação tensão - deformação não linear do painel ........................................ 41

4.4.1. Relações constitutivas dos materiais..................................................... 41

4.4.2. Capacidade de transmissão de tensão através das fissuras ................... 42

4.4.3. Procedimentos para obtenção da tensão de cisalhamento do painel na

análise não linear ................................................................................ 47

Capítulo 5 ................................................................................................................. 49

5. Aspectos da Análise Estrutural .......................................................................... 49

5.1. Considerações iniciais ................................................................................... 49

5.1.1. Transformações de coordenadas para os enrijecedores ........................ 49

5.1.2. Transformações de coordenadas para os painéis .................................. 52

5.2 Formulação da análise não linear ................................................................... 54

5.2.1. Estratégia de controle da análise ........................................................... 54

5.2.2. Sistematização dos procedimentos da análise ...................................... 57

5.2.3. Atualização da matriz de rigidez dos elementos ................................... 60

Capítulo 6 ................................................................................................................. 63

6. Exemplos Numéricos............................................................................................ 63

6.1. Considerações iniciais ................................................................................... 63

6.2. Caso de uma viga de seção T dotada de abertura retangular na alma ........... 63

6.2.1. Dimensionamento e análise comparativa das armaduras ..................... 64

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

6.2.2. Diagramas carga-deslocamento para a viga de seção T ....................... 69

6.2.3. Comparação entre resultados das análises linear e não linear .............. 71

6.3. Caso de uma viga parede com reforços verticais ........................................... 74

6.3.1. Dimensionamento e análise comparativa das armaduras ..................... 75

6.3.2. Diagramas carga-deslocamento para a viga parede .............................. 83

6.3.3. Comparação entre resultados das análises linear e não linear .............. 85

6.4. Caso de uma viga parede com uma grande abertura ..................................... 89

6.4.1. Dimensionamento e análise comparativa das armaduras ..................... 90

6.4.2. Comparação entre resultados das análises linear e não linear .............. 96

Capítulo 7 ................................................................................................................. 99

7. Considerações Finais e Sugestões para Trabalhos Futuros ............................. 99

Referências Bibliográficas ...................................................................................... 102

Bibliografia Complementar..................................................................................... 103

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Lista de Figuras

Figura 1.1 - Deformação de uma seção localizada em região “B”.............................. 1

Figura 1.2 - Deformação de uma seção localizada em região “D”.............................. 2

ras com regiões “B” e “D”...................................... 3

a estrutu

a pelo MPE - Hoogenboom (1998).......... 7

Figura 2.2 - Esforços atuantes nos painéis e enrijecedores......................................... 7

Figura 2.3 - Curvas carga-deslocamento das análises linear (a) e não linear (b) ....... 8

Figura 2.4 - Exemplos de estruturas que podem ser analisadas e projetadas pelo

MPE........................................................................................................ 9

Figura 3.1- Forças e deslocamentos típicos de um enrijecedor ..............................

Figura 3.2 - Esforços normais atuantes em um enrijecedor ........................................ 13

Figura 3.3 - Pontos de integração de Gauss para um enrijecedor ............................... 18

Figura 3.4 - Relação constitutiva do enrijecedor quando o esmagamento do

concreto ocorre depois do escoamento das armaduras ....................... 26

Figura 3.5 - Relação constitutiva do enrijecedor quando o esmagamentodo

concreto ocorre antes do escoamento das armaduras ......................... 26

Figura 4.1- Geometria do painel e tensões atuantes ................................................... 28

Figura 4.2 - Ações e deslocamentos nos pontos nodais do painel .............................. 28

Figura 4.3 - Relação constitutiva do painel ................................................................ 35

Figura 4.4 - Superposição de esforços em um elemento de membrana ...................... 37

Figura 4.5 - Tensões principais no elemento de membrana em cisalhamento puro ... 39

Figura 4.6 - Equivalência de tensões de tração nas armaduras ................................... 40

Figura 4.7 - Tensões atuantes em uma seção entre fissuras e ao longo de uma

fissura -Vecchio & Collins (1986) .........................................................

Figura 4.8 - Tensões devidas ao intertravamento dos agregados -Vecchio & Collins

(1986) ..................................................................................................... 43

Figura 4.9 - Esquema ilustrativo da área efetiva ........................................................ 47

Figura 4.10 - Curva tensão – deformação do painel ................................................... 49

Figura 5.1 - Coordenadas locais de um enrijecedor ................................................... 49

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 5.2 - Transformação de coordenadas locais (a) para coordenadas globais (b)

de um enrijecedor ...................................................................................

Figura 5.3 - Relação entre as coordenadas locais (a) e as coordenadas globais (b)

do painel ..................................................................................................50

Figura 6.1- Viga de seção T com abertura na alma (medidas em metro) ................... 64

Figura 6.2 - Discretização utilizada para a viga de seção T ....................................... 65

Figura 6.3 - Distâncias entre eixos dos enrijecedores (em metros) ............................ 65

Figura 6.4 - Distribuição e valores dos esforços normais e tensões cisalhantes ......... 66

Figura 6.5 - Armaduras da viga de seção T obtida pelo MPE .................................... 67

Figura 6.6 - Armaduras da viga de seção T utilizadas por Tan et al (1996) .............. 67

Figura 6.7 - Nova discretização para a viga de seção T .............................................

Figura 6.8 - Valores dos esforços normais e tensões cisalhantes da viga de seção T

usando a discretização para a discretização mostrada na figura 6.7 ...... 69

Figura 6.9 - Diagramas carga-deslocamento da viga de seção T................................ 70

Figura 6.10 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise

não linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.2 ............... 72

Figura 6.11 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise

não linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.7 ............... 72

Figura 6.12 - Armaduras da viga de seção T obtidas através das análises não

lineares ................................................................................................ 73

Figura 6.13 - Viga parede com mudança brusca de espessura nas extremidades e no

meio do vão ........................................................................................... 75

Figura 6.14 - Discretização utilizada para a viga parede ............................................ 76

Figura 6.15 - Distâncias entre eixos dos enrijecedores (em metros) 76

Figura 6.16 - Distribuição e valores dos esforços normais e tensões cisalhantes ....... 77

Figura 6.17 - Armaduras da viga parede obtida pelo MPE ........................................ 78

Figura 6.18 - Armaduras da viga parede utilizadas por Shayanfar et al. (1997) ........ 78

Figura 6.19 - Segunda discretização para a viga parede ............................................. 80

Figura 6.20 - Terceira discretização para a viga parede ............................................. 80

Figura 6.21 - Valores dos esforços normais e tensões cisalhantes para a

discretização mostrada na figura 6.19 .............................................

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xii

Figura 6.22 - Valores dos esforços normais e tensões cisalhantes para a

discretização mostrada na figura 6.20 .............................................

Figura 6.23 - Armaduras da viga parede obtidas pelo MPE através da discretização

da figura 6.19 ......................................................................................... 82

Figura 6.24 - Armaduras da viga parede obtidas pelo MPE através da discretização

da figura 6.20 ......................................................................................... 82

Figura 6.25 - Diagramas carga-deslocamento da viga parede .................................... 84

Figura 6.26 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise

não linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.14 ............. 85

Figura 6.27 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise

não linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.19 ............. 86

Figura 6.28 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise

não linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.20 ............. 86

Figura 6.29 - Armaduras da viga parede obtidas através das análises não lineares

das discretizações das figuras 6.14 e 6.19 ....................................... 87

Figura 6.30 - Armaduras da viga parede obtidas através da análise não linear com

uso da discretização mostrada na figura 6.20 ..................................... 87

Figura 6.31 - Viga parede com abertura próxima ao apoio ........................................ 89

Figura 6.32 - Discretização utilizada para a viga parede com grande abertura .......... 90

Figura 6.33 - Distâncias entre eixos dos enrijecedores (em metros) .......................... 91

Figura 6.34 - Distribuição e valores dos esforços normais e tensões cisalhantes ....... 92

Figura 6.35 - Armaduras da viga parede obtida pelo MPE ........................................ 93

Figura 6.36 - Armaduras da viga parede utilizadas por Schlaich et al. (1987) .......... 93

Figura 6.37 - Nova discretização para a viga parede com abertura ............................ 94

Figura 6.38 - Valores dos esforços normais e tensões cisalhantes para a

discretização mostrada na figura 6.37 ............................................. 95

Figura 6.39 - Armaduras da viga parede obtidas pelo MPE através da discretização

da figura 6.37 ......................................................................................... 95

Figura 6.40 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise

não linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.32 ............. 96

Figura 6.41 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise

não linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.37 ............. 97

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xiii

Figura 6.42 - Armaduras da viga parede obtidas através da análise não linear para a

discretização da figura 6.37 ...................................................................

Lista de Tabelas

Tabela 3.1- Parâmetros para integração numérica de Gauss ...................................... 18

Tabela 6.1 - Propriedades dos materiais da viga de seção T ...................................... 64

Tabela 6.2 - Quadro das armaduras obtidas pelo MPE .............................................. 68

Tabela 6.3 - Quadro das armaduras utilizadas por Tan et al. (1996) ..........................

Tabela 6.4 - Quadro de armaduras para os esforços das análises não lineares ...........

Tabela 6.5 - Valores médios do esforço normal e tensões cisalhantes para a viga de

seção T dotada de abertura retangular na alma ......................................

Tabela 6.6 - Propriedades dos materiais ..................................................................... 74

Tabela 6.7 - Quadro de armaduras obtido pelo MPE ................................................. 79

Tabela 6.8 - Quadro de armaduras utilizadas por Shayanfar et al (1997) .................. 78

Tabela 6.9 - Quadro de armaduras obtido pela segunda discretização ....................... 83

Tabela 6.10 - Quadro de armaduras obtido pela terceira discretização ...................... 83

Tabela 6.11 - Quadro de armaduras para os esforços das análises não lineares para

as discretizações mostradas nas figuras 6.14 e 6.19 .............................. 88

Tabela 6.12 - Quadro de armaduras para os esforços da análise não linear para a

discretização mostrada na figuras 6.20 ................................................. 88

Tabela 6.13 - Valores médios do esforço normal e tensões cisalhantes para a viga

parede com reforços verticais ............................................................. 89

Tabela 6.14 – Propriedades dos materiais .................................................................. 90

Tabela 6.15 - Valores médios do esforço normal e tensões cisalhantes para a viga

parede com uma grande abertura ........................................................ 98

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xiv

Lista de Símbolos

Maiúsculos romanos.

A Área da seção transversal de um enrijecedor;

Área de concreto do enrijecedor;

A ;

Áreas de concreto nas direções x e y;

Área de aço do enrijecedor;

A ;

Áreas de aço nas direções x e y;

Área superficial do painel;

[

]

Matriz que relaciona os deslocamentos generalizados com os

deslocamentos locais do painel;

]

Matriz que relaciona os deslocamentos generalizados com os

deslocamentos locais do enrijecedor;

C Fração do trabalho total;

4321

C ;C ;C ;C

Constantes definidas pela equação 4.10 a-d;

Relação entre a tensão e a deformação generalizada do painel;

}D{

Vetor de deslocamentos da estrutura segundo direções globais

obtido na análise linear;

}D{

−

Vetor de deslocamentos nodais da estrutura nas direções

globais referente ao passo incremental t-1;

Módulo de elasticidade do enrijecedores

Módulo de elasticidade do concreto;

Módulo de elasticidade do aço;

}F{

Norma euclidiana do vetor das forças desequilibradas na

iteração i;

}F{

−

Vetor das forças desequilibradas no final da iteração i-1;

Coeficientes de flexibilidade do enrijecedor;

Resultante de forças na direção perpendicular ás fissuras;

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Matriz de flexibilidade do enrijecedor

F;F

Resultante de forças nas direções x e y;

Módulo de rigidez transversal secante na origem

H Variável que determina o sinal do fator de carga na primeira

iteração;

Constante de valor 0,4 para barras nervuradas e 0,8 para barras

lisas;

Constante definida pela equação (4.62);

[

K ]

t-1

Matriz de rigidez do elemento na última iteração do passo de

carga t-1;

[

]

Matriz de rigidez do enrijecedor relativa às coordenadas

globais;

[

]

Matriz de rigidez do painel relativa às coordenadas globais;

[

−

]

Matriz de rigidez da estrutura , na iteração i-1;

[]

Matriz de rigidez da estrutura atualizada na iteração i

[

K ]

Matriz de rigidez tangente inicial da estrutura;

[

K ]

Matriz de rigidez do painel relativa às coordenadas locais;

]

Matriz de rigidez do enrijecedor;

Esforço normal no enrijecedor;

Valor do esforço normal nas extremidades do enrijecedor;

Parcela do esforço normal atuante no concreto quando

′

;

Valor do esforço normal de tração que provoca a primeira

fissura no enrijecedor;

max,d

Valor de cálculo do esforço normal de compressão;

max,d

Valor de cálculo do esforço normal de tração

Parâmetro dado pela equação (3.47);

Parcela do esforço normal atuante nas armaduras;

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xvi

Esforço normal que profoca o esmagamento do concreto

)x(N

Função do esforço normal de um enrijecedor;

Esforço normal nas armaduras quando o aço escoa;

Trabalho realizado pelas forças externas atuantes sobre o

enrijecedor;

}R{

Vetor das cargas de referência;

}R{

Vetor de cargas de projeto;

}R{

−

Vetor de cargas nodais da estrutura segundo direções globais

referente ao passo incremental t-1;

4321

S; S; S;S

Constantes definidas pelas equações 4.10 e-h;

}S{

Vetor de esforços internos no elemento na iteração i

}S{

−

Vetor de esforços internos do elemento na última iteração do

passo incremental t –1.

}S{

Vetor das ações nodais nos elementos rotacionados na direção

das coordenadas globais para a iteração i

}S{

−

Vetor das ações nodais nos elementos rotacionados na direção

das coordenadas globais para o passo de carga t-1

Energia de deformação complementar total no volume.

Minúsculos romanos.

Dimensão máxima do agregado graúdo;

Largura do enrijecedor;

Cobrimento das barras;

Diâmetro das barras longitudinais;

Deslocamento generalizado do painel;

{e} Vetor dos deslocamentos generalizados do enrijecedor;

e;e

Deslocamentos generalizados do enrijecedor;

}f{

Vetor das ações atuantes nas faces do painel;

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xvii

321

f;f;f

Ações nas coordenadas locais 1, 2 e 3 respectivamente, do

enrijecedor;

4321

f;f;f;f

Ações atuantes nas faces do painel;

′

Resistência do concreto à compressão

′

Resistência à compressão cilíndrica de cálculo do concreto;

Resistência característica do concreto;

Resistência à tração do concreto;

} Vetor de esforços locais no enrijecedor;

} Vetor de esforços globais no enrijecedor;

Resistência ao escoamento do aço

Tensão de escoamento de cálculo do aço;

f ;

Tensão de escoamento no aço nas direções x e y;

Altura do elemento estrutural;

Altura do enrijecedor;

; k

Constantes definidas pelas equações 4.15 a-d;

Constate definida pela equação (4.14);

Comprimento do enrijecedor;

4321

l;l;l;l

Medidas dos lados do painel;

Número de graus de liberdade da estrutura;

Carregamento distribuído ao longo do enrijecedor;

4321

r ;r;r;r

Constantes definidas pelas equações 4.10 i-m;

Espaçamento máximo entre barras longitudinais;

Distância média entre fissuras;

s :

Distância média entre fissuras na direção x;

Distância média entre fissuras na direção y;

Espessura do painel;

} Vetor dos deslocamentos locais do enrijecedor;

u(x)

Deslocamento axial em um ponto genérico de coordenada x;

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xviii

4321

u;u;u;u

Graus de liberdade do painel;

Energia de deformação específica complementar;

}u{

Vetor dos deslocamentos locais do enrijecedor;

u;u;u

Deslocamentos locais do enrijecedor;

}u{

Vetor dos deslocamentos globais do enrijecedor;

u ;

Deslocamentos globais do enrijecedor;

{

u }

Vetor de deslocamentos locais do painel;

u;u;u;u

Deslocamentos locais do painel;

{

u }

Vetor dos deslocamentos globais do painel;

u ;

;

Deslocamentos globais do painel

Tensão de cisalhamento devido ao intertravamento formado

pela rugosidade da superfície fissurada;

ciMax

v Máximo valor de

v ;

x;x;x;x

4321

Valores da coordenada x dos vértices do painel;

Valor da coordenada x no i-ésimo ponto de integração

numérica;

4321

y;y;y;y

Valores da coordenada y dos vértices do painel;

w: Trabalho total;

Abertura média das fissuras;

Valor do i-ésimo peso de integração numérica.

Maiúsculos gregos.

}D{

∆

Segunda parcela do vetor de incremento de deslocamento na

ietração i;

}D{

∆

Vetor dos incrementos de deslocamentos na iteração i;

∆

{

Primeira parcela do vetor de incremento de deslocamento na

ietração i;

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xix

}D{

∆

Vetor de incremento de deslocamentos locais do elemento

para a iteração i

}D{

∆

Vetor dos incrementos de deslocamento no passo de carga

anterior ao passo de carga corrente;

}R{

∆

Vetor dos incrementos de carga;

}R{

∆

Vetor dos incrementos de carga no passo incremental

anterior;

}S{

∆

Vetor de incremento de esforços nos elementos na iteração i;

}S{

∆

Vetor de incremento das ações nodais nos elementos relativos

às coordenadas globais

∆

Incremento de trabalho;

Energia de Deformação Potencial Complementar Total;

′

Energia potencial complementar no painel por unidade de

volume;

∑

Somatório de forças na direção x;

∑

Somatório de forças na direção y;

∑

Somatório de momentos em relação á origem do sistema de

coordenadas.

Minúsculos gregos

Ângulo que define as direções das tensões principais do painel;

Tensão generalizada no painel;

[]

Matriz de rotação do enrijecedor;

[]

Transposta da matriz de rotação do enrijecedor;

[

]

Matriz de rotação do painel;

[]

Transposta da matriz de rotação do painel;

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Distorção no centro do painel;

γ ;

1i−

Distorção no centro do painel para o nível de carga i e i-1;

Distorção do painel no plano xy;

Deformação axial;

Maior deformação de tração na área efetiva;

;εε

Deformações principais;

′

Menor deformação de tração na área efetiva

Deformação axial no concreto quando

′

;

Valor da deformação associado à resistência à tração do concreto;

Deformação no plano perpendicular ao eixo x na direção do eixo x;

Deformação no plano perpendicular ao eixo y na direção do eixo y;

Relação entre o módulo de elasticidade do aço e do concreto;

4321

;;;

Ângulos entre os lados do painel e o eixo x do sistema de referência

cartesiano adotado para o painel;

Fator de carga correspondente à iteração i;

Valor absoluto da relação entre a intensidade de qualquer carga não

nula atualizada e seu correspondente valor em

}R{ na iteração i;

Coeficiente de Poisson para o concreto não fissurado;

Parâmetro que relaciona as rigidezes do aço e do concreto;

Taxa efetiva de aço;

sysx

;ρρ

Taxas de armadura nas direções x e y;

Tensão normal no enrijecedor;

;

Tensões principais no concreto;

Tensão de compressão no concreto;

O mesmo que

;

Tensão no aço;

sysx

;

σσ

Tensões atuantes nas armaduras nas direções x e y;

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xxi

cr,sycr,sx

;

Tensão na armadura na região das fissuras na direção x e y

respectivamente;

;

Tensão atuante no painel nas direções x e y;

ycxc

;

Tensões atuantes no concreto nas direções x e y;

Tensão cisalhante média atuante no painel;

4321

;;;

Tensões de cisalhamento atuantes nas faces do painel;

Tensão de cisalhamento no concreto;

;

−

Tensão de cisalhamento no painel para o nível de carga i e i-1;

Diâmetro das barras.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xxii

Resumo

SILVA, JOÃO G. T. (2004). Contribuição ao projeto de elementos estruturais de

concreto armado com descontinuidades através do Modelo de Painéis Enrijecidos.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Alagoas, Maceió, 2004.

A não aplicabilidade da hipótese de Navier-Bernoulli implica na não validade do

uso da tradicional teoria de vigas no estudo de vigas paredes, consolos curtos, regiões

com grandes aberturas ou mudança de inércia. Para estruturas de concreto armado são

freqüentemente utilizados procedimentos baseados na teoria das chapas, nos métodos

dos elementos finitos e das bielas e tirantes.

Neste trabalho, emprega-se para projetos desses tipos de estruturas em concreto

armado, um procedimento alternativo que reúne as vantagens do método de bielas e

tirantes e do método dos elementos finitos. Através deste procedimento, denominado

aqui como Método dos Painéis Enrijecidos (também conhecido na literatura inglesa

como

Stringer and painel model), a estrutura é modelada como um conjunto de painéis

com contornos enrijecidos por barras. Admite-se que as barras transmitem apenas forças

normais e os painéis apenas forças de cisalhamento.

As análises podem ser feitas considerando-se distribuição de tensões elásticas,

denominada de análise linear, ou levando em conta a redistribuição de tensões devido à

fissuração do concreto. Os painéis utilizados na discretização das vigas são

quadrilaterais quaisquer.

Alguns exemplos são analisados e os resultados encontrados para as armaduras

são comparados com os obtidos por outros métodos. Também é analisada a influência

do tamanho dos elementos no volume de aço obtido, além de se fazer a comparação dos

diagramas carga-deslocamento experimental e teórico. Também é comparado o volume

de aço obtido com as análises linear e não linear.

Palavras-chave: Concreto armado, regiões D, painéis, enrijecidos, análise não linear

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

xxiii

Abstract

SILVA, JOÃO G. T. (2004). Contribution to the design of reinforced concrete structural

elements with descontinuities using the

Stringers and Panel model. Master Science

Dissertation - Universidade Federal de Alagoas, Maceió, 2004.

The traditional beam theory cannot be applied to study walls, corbels and

regions with holes or change of inertia, because the Navier-Bernoulli’s hypothesis

cannot be used to these cases. Procedures based in the plates theories, the finite element

method or truss-and-tie method are often used to study these type of reinforced concrete

structures.

In this work, an alternative procedure that joins the advantages of truss-and-tie

method and finite element method is used to design the above mentioned types of

reinforced concrete structures. Using this procedure, called Stringer and panel model,

the structures are modeled as a group of panels with their edges stiffened by straight

bars (stringers).

It’s supposed that the stringers transmit only axial forces, while the panels,

transmit only shear forces. The analyses can be made considering the distribution of

elastic stresses, called linear analysis, or considering the redistribution of stresses due to

the concrete crack.

Examples are analyzed, and the results for the reinforcement are compared with

the other results obtained by the use of other methods. Element size effects on the

reinforcement volume are analyzed and the theoretical load-displacement curves are

compared with the corresponding experimental load-displacement curves. Finally,

comparison between the reinforcement volumes obtained by the linear analysis and by

the non linear analysis is made.

Keywords: Reinforced concrete, regions D, panels, stringers, non linear

analysis

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Capítulo 1

Introdução

1.1. Considerações iniciais

Os primeiros modelos formulados para projetos de estruturas de concreto

armado surgiram no final do século XIX. Como exemplo, pode ser citado aquele

conhecido por Analogia de Treliça proposto por Wilhelm Ritter (1899) e melhorado por

Emil Mörsh (1908). Tal modelo ainda hoje é utilizado como base para o

dimensionamento de vigas submetidas a força cortante.

Segundo hoogenboom (1198), na década de trinta (do século passado), vários

pesquisadores como C. S. Whitney e O. Bauumann desenvolveram a base do atual

modelo empregado para o dimensionamento à flexão das vigas usuais de concreto

armado.

As partes que constituem as estruturas são freqüentemente classificadas como

regiões “B” ou regiões “D”. As chamadas regiões “B” são aquelas cujas seções

transversais satisfazem a hipótese de Navier-Bernoulli, ou seja, suas seções transversais

apresentam uma distribuição linear de deformação, conforme mostrado na figura 1.1.

Figura 1.1 - Diagrama de deformação de uma seção localizada em região “B”.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Ao contrário, as chamadas regiões “D” são aquelas cujas seções transversais não

obedecem a hipótese acima referida, como ilustrado na figura 1.2. Estas regiões são

geradas por descontinuidades físicas, como forças concentradas e reações de apoio, e

geométricas, tais como aquelas caracterizadas pela presença de furos, mudança brusca

de dimensões e de direção. Como exemplos de elementos que apresentam regiões “D”,

podem ser citados: vigas parede (com ou sem furo), vigas furadas, consolos curtos, nós

de pórticos, dentes Gerber, encontro de pilar e fundação.

Figura 1.2 - Diagrama de deformação de uma seção localizada em região “D”.

Não existe uma maneira exata de se delimitar as regiões “D” em uma estrutura.

Para isso, utiliza-se na prática uma regra baseada no Princípio de Saint-Venant

(Timoshenko & Gere, 1970), a qual emprega a medida da altura h da seção transversal

como parâmetro de delimitação, como mostrado na figura 1.3 para trechos de estruturas

dotadas de região “B” (em branco) e regiões “D” (hachuradas).

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 1.3 - Regra de delimitação de regiões “D”

Por volta da década de cinqüenta do século passado, com o desenvolvimento da

computação, surgiu o Método dos Elementos Finitos. Posteriormente, utilizando-se os

conceitos desse método, desenvolveram-se aplicações para estruturas de concreto

armado, tornando-se mais uma importante ferramenta no projeto de estruturas dotadas

de regiões “D”.

Em 1979 o alemão Jorg Schllaich começou a utilizar o Método de Bielas e

Tirantes (

strut-and-tie model) para explicar aos seus alunos o comportamento de

estruturas de concreto dotadas de região “D”. Juntamente com seu colega Kurt Schafer,

organizou sistematicamente o método, generalizando suas aplicações (Schlaich et

al.1987). O Método de Bielas e Tirantes é considerado como um aperfeiçoamento dos

procedimentos empíricos empregados em projeto de estruturas de concreto armado e

consiste em uma extensão do modelo da Analogia de Treliça.

Baseados nos conceitos desenvolvidos pelo pesquisador dinamarquês Morgens

Peter Nielsen (Nielsen, 1999), os holandeses Hoogenboom e Blaauwendrad

(Blaauwendaad & Hoogenboom, 1996) lançaram o aqui chamado Método dos Painéis

Enrijecidos, denominado na literatura inglesa como

Stringer-Panel Model. Tal método

apresenta-se como uma ferramenta numérica alternativa para o projeto e análise de

estruturas de concreto armado dotadas de regiões “D”.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

1.2. Objetivos e relevância

O objetivo deste trabalho é a apresentação de um estudo voltado para o projeto

de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidades, tais como vigas

paredes e vigas com aberturas, consolos curtos, dentes Gerbers, etc, utilizando o

Método dos Painéis Enrijecidos (MPE).

Elementos com descontinuidades (regiões “D”) são muito freqüentes nos

projetos estruturais e não podem ser analisados através de teorias baseadas na hipótese

de Navier-Bernoulli. Para os projetos e análises de tais elementos estruturais são

bastante utilizados o Método de Bielas e Tirantes (MBT) e o Método dos Elementos

Finitos (MEF).

O MPE apresenta-se como uma ferramenta alternativa para análise e projeto

desses elementos com descontinuidades. Tal método combina uma abordagem

computacional similar àquela empregada no Método dos Elementos Finitos, com as

vantagens de apresentar facilidade na discretização da estrutura e simplicidade para o

detalhamento das armaduras.

O Método de Bielas e Tirantes é um procedimento muito usado no projeto de

estruturas de concreto armado, apresentando como uma desvantagem a necessidade de

se conhecer, para efeito de discretização, as trajetórias das tensões principais, o que

muitas vezes exige o emprego de métodos numéricos, tal como o Método dos

Elementos Finitos. Dois inconvenientes normalmente encontrados com o uso da

formulação em deslocamento do MEF em projetos de elementos de concreto armado

consistem na maior complexidade para a discretização da estrutura e para o

detalhamento de suas armaduras.

1.3. Estrutura da dissertação

A dissertação está estruturada em sete capítulos incluindo este, onde se apresenta

uma introdução. No capítulo 2 é feita uma explanação sobre o Método dos Painéis

Enrijecidos, contendo uma descrição geral do mesmo, seu embasamento teórico, os

tipos de análises usados no presente estudo e exemplos de estruturas que podem ser

analisadas.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

No capítulo 3 são apresentados os procedimentos para montagem da matriz de

rigidez de um enrijecedor, assim como suas relações constitutivas e os critérios usados

para o dimensionamento de armaduras quando necessárias.

O capítulo 4 trata da formulação da matriz de rigidez de um painel, como

também sua relação constitutiva e dimensionamento de armaduras.

O capítulo 5 apresenta os procedimentos numéricos correspondentes às análises

linear e fisicamente não linear empregados no estudo.

No capítulo 6 são mostrados resultados das análises de exemplos de estruturas,

comparando os valores encontrados pelo MPE com outros obtidos através de diferentes

procedimentos.

Finalmente, no capítulo 7, são apresentadas as considerações finais.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Capítulo 2

Aspectos Gerais do Método dos Painéis Enrijecidos

2.1. Descrição geral do método

Observando-se a técnica de armar vigas paredes, percebe-se que as armaduras

consistem, na maioria dos casos, de malhas ortogonais dispostas nas proximidades das

superfícies laterais da viga e de uma concentração de barras nas regiões próximas aos

limites inferior e superior da estrutura e ao redor de furos, quando estes existem.

Considerando esta típica disposição de armaduras e tendo como base teórica o

Teorema do Limite Inferior, da Teoria da Plasticidade, desenvolveu-se o aqui

denominado Método dos Painéis Enrijecidos (Stringer Panel Model), que consiste em

discretizar a estrutura em um conjunto de elementos lineares chamados enrijecedores

que, quando tracionados, contém as armaduras principais, contornando painéis com

armaduras dispostas em forma de malha.

Para discretização de uma estrutura pelo Método de Painéis Enrijecidos (MPE) é

necessária a disposição de enrijecedores ao longo das bordas da mesma, ao redor de

furos eventualmente existentes, ao longo da linha de ação de reações de apoio e de

cargas concentradas. Os painéis são as regiões da estrutura limitadas pelos

enrijecedores, conforme mostrado na figura 2.1.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Painéis

Enrijecedores

Figura 2.1 - Discretização de uma estrutura pelo MPE - Hoogenboom (1998).

Os enrijecedores são considerados como submetidos unicamente a esforços

normais de compressão ou de tração, enquanto que os painéis são admitidos como

solicitados apenas a esforços de cisalhamento ao longo de suas bordas, conforme

mostrado na figura 2.2.

Figura 2.2 - Esforços atuantes nos painéis e enrijecedores.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

No presente estudo, dois tipos de análises são realizados: análise linear e análise

fisicamente não linear. No primeiro não se leva em conta a perda de rigidez dos

elementos que compõem o modelo estrutural, ou seja, admite-se que os materiais que

constituem os enrijecedores e os painéis têm comportamento elástico linear. Tal análise

é normalmente utilizada como etapa preliminar para o dimensionamento das armaduras.

Depois de dimensionadas as armaduras, pode-se efetuar uma análise fisicamente não

linear na qual consideram-se as mudanças de rigidez dos elementos devidas à fissuração

do concreto e ao escoamento das armaduras. Através desta análise obtêm-se

configurações de equilíbrio mais realísticas para o modelo estrutural idealizado, sendo

inclusive utilizada para a simulação do comportamento carga-deslocamento da

estrutura. A figura 2.3 mostra o diagrama carga-deslocamento de uma estrutura

utilizando os dois tipos de análises acima referidos.

Figura 2.3 - Curvas carga-deslocamento das análises linear (a) e não linear (b)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Com o MPE é possível analisar e projetar estruturas dotadas de região “D”

bastante comuns em projetos estruturais tais como aquelas mostradas na figura 2.4.

Figura 2.4 - Exemplos de estruturas que podem ser analisadas e projetadas pelo MPE:

a) Viga parede; b) Consolo curto; c) Viga com mudança brusca de rigidez

inercial.

2.2. Base Teórica do MPE

Conforme já foi mencionado, o MPE tem como fundamentação teórica o

Teorema do Limite Inferior (

Lower Bound Theorem), que pode ser assim enunciado:

“Se para um dado carregamento atuante sobre uma estrutura for possível encontrar uma

distribuição de tensões estaticamente admissível e segura, então a carga atuante não

provoca o colapso da estrutura”. Maiores detalhes e dedução podem ser encontradas em

Nielsen (1999).

Com isso, idealizando-se a estrutura como sendo constituída por uma associação

de enrijecedores e painéis, se for garantido que existe uma distribuição de esforços

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

internos, atuantes nos mesmos, em equilíbrio entre si e com as forças externas e que,

além do mais, tal distribuição seja segura, no sentido de que os elementos estão

projetados para suportar os esforços internos sem ruptura, conclui-se pelo citado

teorema que aquelas forças externas não provocam o colapso da estrutura. Vale ressaltar

que o Teorema do Limite Inferior tem seu campo de validade regido pelas hipóteses e

leis da Teoria da Plasticidade e, assim sendo, somente pode ser utilizado para estruturas

de concreto armado se estas atenderem a condições de ductilidade que permitam atingir

a configuração de equilíbrio idealizada sem antes entrar em colapso. Esta limitação é

comum a todos os procedimentos de análise de estruturas de concreto baseados na

Teoria da Plasticidade, tal como o Método de Bielas e Tirantes.

2.3. Contribuição do trabalho e sua situação no contexto geral.

A referência Hoogenboom (1998) apresenta uma formulação do Método dos

Painéis Enrijecidos do tipo não linear incremental, considerando-se os painéis como

submetidos a tensões normais e de cisalhamento. Tal referência consiste na principal

fonte bibliográfica para o desenvolvimento do presente trabalho.

Baseando-se em Hoogenboom (1998), o presente estudo apresenta, como

contribuição, uma formulação do MPE destinada à análise linear e não linear,

incremental iterativa, implementada usando o ambiente MATLAB. Outra contribuição

do estudo aqui apresentado consiste na apresentação de comparações de resultados

obtidos pelo MPE com outros correspondentes a diferentes procedimentos.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Capítulo 3

Enrijecedores

3.1. Introdução

Os enrijecedores são elementos lineares que absorvem apenas esforço normal,

sendo considerados como desprovidos de qualquer rigidez à flexão.

Uma vez que os enrijecedores transmitem somente esforço normal, tais

elementos podem estar totalmente tracionados ou comprimidos, ou apresentar trechos

submetidos à tração e à compressão.

Para o dimensionamento dos enrijecedores, supõe-se que os esforços de tração

são absorvidos pelas armaduras de aço e, nas regiões comprimidas, que os esforços

normais são absorvidos pelo concreto ou, no caso de compressão excessiva, também por

armaduras de aço.

3.2. Matriz de rigidez do enrijecedor

Para se determinar a matriz de rigidez de um enrijecedor emprega-se o Princípio

da Mínima Energia de Deformação Potencial Complementar (ver por exemplo Shames,

1989). Como definido na Mecânica dos Sólidos, em um determinado ponto de um corpo

submetido a um estado uniaxial de tensão, a energia de deformação específica

complementar é dada por:

∫

σε

(3.1)

onde

ε é a deformação axial e

a correspondente tensão. Em um dado volume V do

corpo a energia de deformação complementar total é definida pela expressão:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

∫

dVuU

(3.2)

ou ainda, usando a equação (3.1),

∫∫

dVdU

σε

(3.3)

No caso de um enrijecedor, admitindo que a seção transversal é constante ao

longo de seu eixo, a tensão normal em qualquer ponto é dada por

)x(N

(3.4)

sendo

()

xN o valor do esforço normal atuante na seção tranversal de área A e definida

pela coordenada

x. Substituindo-se (3.4) em (3.3) e considerando-se que

AdxdV =

resulta

∫∫

dNdxxNU

)(

))((

(3.5)

onde

l representa o comprimento do enrijecedor.

No modelo aqui apresentado, o enrijecedor é suposto como um elemento de

barra submetido a forças concentradas

e f

em suas extremidades 1 e 3,

respectivamente, e a forças uniformemente distribuídas

q ao longo de seu comprimento,

conforme mostrado na figura 3.1. Desta forma, o esforço normal varia linearmente ao

longo do enrijecedor, como ilustrado na figura 3.2, com uma distribuição dada pela

equação (3.6).

























−=

1)x(N

(3.6)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 3.1- Forças e deslocamentos típicos de um enrijecedor.

Figura 3.2 - Esforços normais atuantes em um enrijecedor.

As grandezas

e N

representam os valores do esforço normal em 0

x e

lx = , respectivamente.

O trabalho realizado pelas forças externas atuantes sobre o enrijecedor pode ser

obtido através da seguinte expressão:

∫

++=

3311

u(x)dxqufufP

(3.7)

Sendo

e u

os deslocamentos nas extremidades 1 e 3, respectivamente, e u(x) o

deslocamento axial em um ponto genérico de coordenada x.

Por considerações de equilíbrio, admitindo-se que esforços normais de

compressão são negativos e aqueles de tração são positivos, têm-se as seguintes relações

entre as forças externas e os esforços normais

e N

Nf -=

(3.8)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Nf =

(3.9)

)/lN(Nqf

212

-==

(3.10)

Fazendo-se a substituição das equações (3.8), (3.9) e (3.10) em (3.8), tem-se

então a seguinte expressão para o trabalho das forças externas:

∫

−++−=

213211

dx)x(u)NN(

uNuNP

(3.11)

Definindo-se o deslocamento no ponto médio do enrijecedor pela equação

∫

dx)x(u

(3.12)

o trabalho das forças externas pode ser obtido em função dos deslocamentos nodais pela

seguinte expressão

2213211

u)NN(uNuNP −++−=

(3.13)

Assim, a energia pontencial complementar total em um enrijecedor,

−=

, pode

ser expressa pela equação:

2213211

)x(N

u)NN(uNuNdNdx))x(N( −−−+=

∫∫

εΠ

(3.14)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Aplicando-se o Princípio da Mínima Energia de Deformação Potencial

Complementar, tem-se

∂

(3.15)

∂

(3.16)

Com isso, usando-se a condição (3.15) e a equação (3.14), resulta

[]

)x(N

uudNdx))x(N(

−+=

∂

∫∫

(3.17)

Usando-se a regra da cadeia para obtenção da derivada que figura no integrando

da equação (3.17) e a expressão (3.6), obtém-se

[]













−==

))x(N(

εε

(3.18)

e daí, substituindo-se (3.18) em (3.17) e fazendo-se a integração em N(x), resulta

0uudx))x(N(

=−+













−=

∂

∫

(3.19)

Desenvolvendo-se de maneira análoga a condição (3.16), chega-se na equação

(3.20).

0uudx))x(N(

=−+













∂

∫

(3.20)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Definem-se como deslocamentos generalizados os valores

e e

e dados por

121

uue −=

(3.21)

232

uue −=

(3.22)

ou, em forma matricial,

{}

[]

{}

uBe =

(3.23)

onde

{}













(3.24)

{}





















(3.25)













−

110

0 1 1

(3.26)

Através de (3.19) e (3.20), os deslocamentos generalizados podem ser obtidos

por

∫













−=

dx))x(N(

(3.27)

dxxN

))((

∫













(3.28)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Os coeficientes de flexibilidade do enrijecedor são definidos pela seguinte

equação:

∂

(3.29)

da qual, usando (3.27) e (3.28), resulta a matriz de flexibilidade de ordem (2 x 2) dada a

seguir:

















































−













−

∫∫

2dN

)]x(N([d

1dN

)]x(N([d

2dN

)]x(N([d

1dx

1dN

)]x(N([d

εε

(3.30)

ou, ainda,

















































−

























−













−

∫∫

1dx

εε

(3.31)

Para o caso particular de um enrijecedor elástico linear com rigidez axial

constante EA, a matriz de flexibilidade é dada por













(3.32)

Quando

dNd /

variar ao longo do enrijecedor, as integrais que aparecem na

equação (3.31) são resolvidas por integração numérica. Para isto utilizam-se as relações

constitutivas apresentadas na seção 3.3 deste capítulo e a regra de Quadratura Gaussiana

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

com quatro pontos de integração mostrados na figura 3.3. Na tabela 3.1 estão indicados

os elementos usados para realizar a referida integração numérica.

Tabela 3.1- Parâmetros para integração numérica de Gauss

Figura 3.3 - Pontos de integração de Gauss para um enrijecedor.

Com isso, os coeficientes de flexibilidade do enrijecedor são calculados pelas seguintes

expressões:

∑

























−=

dε

(3.33)

∑





































−=

dε

(3.34)

Ponto de integração(i)

x Peso )(

w Esforço Normal ( )x(N

)

l07,0

0,35

2N07,01N93,0

l33,0

0,65

2N33,01N67,0

l67,0

0,65

2N67,01N33,0

l93,0

0,35

2N93,01N07,0

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

1221

FF =

(3.35)

∑

























dε

(3.36)

O termo

dε













indica o valor de

dε

correspondente ao i-ésimo ponto de integração.

Conhecida a matriz de flexibilidade do enrijecedor, pode-se obter a matriz de

rigidez do mesmo através da equação:

[ ] [][ ] []

B F BK

−

(3.37)

então, para o caso de um enrijecedor elástico linear, introduzindo (3.26) e (3.32) em

(3.37), resulta a seguinte matriz de rigidez













−

−−

−

4 62

612 6

2 64

(3.38)

3.3. Relações constitutivas

3.3.1. Enrijecedor tracionado com concreto não fissurado

Para qualquer solicitação em que as tensões de tração atuantes no enrijecedor

não provocam fissuras, tanto o aço quanto o concreto são admitidos no regime elástico

linear e, portanto, as forças atuantes em tais materiais são dadas, respectivamente, por:

SSS

AEN =

(3.39)

ccc

AEN =

(3.40)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

onde

E - módulo de elasticidade do aço;

E - módulo de elasticidade do concreto;

- deformação axial do enrijecedor;

A - área da armadura longitudinal de aço;

A - área da seção transversal de concreto.

Assim sendo, o esforço normal N atuante ao longo do enrijecedor pode ser obtido pela

seguinte equação:

)AEAE(N

ccSS

(3.41)

Introduzindo-se o parâmetro

ΑΕ

ΕΑ

ξ =

em (3.41), resulta a seguinte expressão

para a deformação axial

ξ)(1AE

(3.42)

3.3.2. Enrijecedor tracionado com concreto fissurado e sem escoamento da

armadura

Através da equação (3.41), o esforço normal

N correspondente à primeira

fissura do concreto de um enrijecedor tracionado pode ser obtido por

)1(AEN

cccrcr

(3.43)

onde

ε indica o valor da deformação associado à resistência à tração do concreto

f ,

dada por (Collins

et al. 1996)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

cccrct

f33,0Ef

′

(3.44)

sendo

′

f a resistência do concreto à compressão. Em (3.44) deve ser usado MPa como

unidade de tensão.

Introduzindo (3.44) em (3.43), resulta a seguinte expressão para o esforço

normal de fissuração do concreto:

)1(AfN

cctcr

(3.45)

Com o concreto fissurado, ou seja para

N > N

,a deformação média do enrijecedor

tracionado varia com o esforço normal através de uma relação não linear (Ghali & Favre

1994). O Eurocode 2 (1991) [art 4.4.2.4 (4.81), p 171] sugere a seguinte expressão

empírica, relacionando a deformação axial média e o esforço normal no enrijecedor:

NAE

(3.46)

onde o parâmetro

N é dado por

(3.47)

3.3.3. Enrijecedor tracionado com concreto fissurado e armadura escoando

Após o escoamento do aço e a fissuração do concreto, a peça teoricamente não

apresenta capacidade para resistir a acréscimos de esforço normal. Assim sendo, neste

regime de solicitação, o cálculo da derivada

dNd /

leva a erros ou problemas

numéricos no modelo computacional. Baseando-se em Hoogenboom (1998), a presente

formulação utiliza a seguinte relação entre a deformação média e o esforço normal para

obtenção da referida derivada:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

SScc

yrSS

AEAE

)NN(10

NAE

−

(3.48)

onde

(3.49)

ySyr

fAN =

(3.50)

Em (3.50), o parâmetro

f indica a resistência ao escoamento do aço.

3.3.4. Enrijecedor comprimido sem esmagamento do concreto e sem escoamento da

armadura

Para o caso do enrijecedor comprimido, adota-se a seguinte relação

constitutiva para o concreto:

























−

′

−=

(3.51)

onde:

- deformação do concreto correspondente à resistência

′

- tensão de compressão no concreto.

Na equação (3.51), admite-se que as deformações e as tensões de compressão são

negativas, enquanto que a resistência do concreto à compressão,

′

, é tomada como

positiva. É encontrada na literatura a seguinte relação para avaliação da deformação

correspondente ao ponto de tensão máxima:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

′

−=

(3.52)

O esforço normal atuante no enrijecedor comprimido pode ser obtido por

SScc

AAN

(3.53)

Substituindo-se a equação (3.51) em (3.53) e admitido que εE=σ

quando a

armadura não estiver escoando, resulta a seguinte expressão:

A E2AfN

























−

′

−=

(3.54)

da qual obtém-se

























′

+++=

)(1-1

ξξεε

(3.55)

3.3.5. Enrijecedor comprimido com esmagamento do concreto e sem escoamento

da armadura

Quando o concreto sofre esmagamento, todo o esforço de compressão é

transferido para o aço. Nesta situação, a armadura pode entrar em regime de

escoamento, não resistindo a acréscimos de esforço normal. Com isso, assim como na

situação descrita no item 3.3.3, o valor da derivada

dNd /

tenderá para o infinito,

gerando erros ou problemas numéricos no modelo computacional. Para contornar tal

situação, Hoogenboom (1998) propõe o uso da seguinte expressão para avaliação da

deformação axial em função do esforço normal atuante no enrijecedor:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

)NN(

AEAE

ccSS

−

εε

(3.56)

onde

é dado pelo maior dos valores, em módulo, calculados pelas expressões abaixo

apresentadas.

cct

)1(AfN

′

−=

(3.57)

yScct

fAAfN −

′

−=

(3.58)

3.3.6. Enrijecedor comprimido sem esmagamento do concreto e com escoamento

da armadura

Nas regiões comprimidas do enrijecedor, duas relações constitutivas podem ser

utilizadas, a primeira para o caso em que o valor absoluto da deformação

correspondente ao esmagamento do concreto é maior do que o valor absoluto da

deformação de escoamento do aço e, a outra, para o caso contrário.

Quando o aço entra em escoamento, admitindo-se que o mesmo tem um

comportamento elastoplástico perfeito, tem-se:

(3.59)

Assim, usando as equações (3.51) e (3.59), resulta a expressão abaixo

apresentada para o esforço normal.

Af2AfN --

























′

−=

(3.60)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Resolvendo a equação (3.60) para

, obtém-se:













−−=

εε

(3.61)

sendo os termos

e N

dados pelas equações (3.62) e (3.63), respectivamente.

ySyr

fAN =

(3.62)

ccc

AfN

′

(3.63)

Dependendo da relação entre a deformação de escoamento do aço e a

deformação correspondente à resistência do concreto comprimido, o enrijecedor pode

apresentar duas relações constitutivas. Uma delas, mostrada na figura 3.4,

correspondente à situação em que o esmagamento do concreto acontece depois de

ocorrido o escoamento da armadura. A outra, ilustrada na figura 3.5, retrata a situação

inversa, ou seja, quando ocorre o esmagamento do concreto antes do escoamento do

aço.

Para ilustrar, suponha um enrijecedor confeccionado com um concreto de 30

MPa e armado com aço CA-25 (

MPa250f

). Neste caso, tem-se 002,0

−=

00119,0

−=

. Assim sendo, o aço entra em escoamento antes de ocorrer a ruptura do

concreto e, portanto, deve ser utilizada a relação constitutiva mostrada na figura 3.5. Se

o enrijecedor acima citado fosse armado com aço CA-50 (

MPa500f

= ), as

deformações limites dos materiais teriam os valores

002,0

−

e 0024,0

−=

implicando na necessidade do uso da relação constitutiva representada na figura 3.5.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 3.4 - Relação constitutiva do enrijecedor quando o esmagamento do concreto

ocorre depois do escoamento das armaduras.

Figura 3.5 - Relação constitutiva do enrijecedor quando o esmagamento do

concreto ocorre antes do escoamento das armaduras.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

3.4. Dimensionamento das armaduras dos enrijecedores

O dimensionamento das armaduras nas regiões tracionadas dos enrijecedores

pode ser feito admitindo-se que o concreto sob tração não oferece resistência ao esforço

normal, sendo o mesmo absorvido apenas pelo aço. Assim sendo, a área de aço da

armadura de tração é dimensionada pela seguinte expressão:

max,d

A =

(3.64)

onde

max,d

N - valor de cálculo do esforço normal de tração;

f - tensão de escoamento de cálculo do aço.

Em caso de projeto estrutural, os valores de cálculo acima referidos são obtidos

através da introdução de coeficientes de segurança recomendados pelas normas de ações

e segurança estrutural.

Para o caso de regiões comprimidas, somente se faz necessário o cálculo de

armadura quando o valor da tensão atuante superar a resistência do concreto à

compressão. Em tal situação, a armadura comprimida é dimensionada para absorver a

parcela do esforço normal que excede a aquela que corresponde à resistência da seção

de concreto, conforme ilustrado pelas equações (3.65) e (3.66).

SydSwecd

max,d

A.f)Abh(fN +−=

(3.65)

)ff(

b h fN

cdyd

wecd

max,d

−

(3.66)

Nas expressões acima, tem-se:

max,d

- valor de cálculo do esforço normal de compressão;

- altura do enrijecedor;

b - largura do enrijecedor.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Capítulo 4

Painéis

4.1. Introdução

No modelo de painéis enrijecidos (MPE) considerado no presente estudo, os

painéis são admitidos com um formato quadrilateral qualquer, tendo suas faces

solicitadas apenas por tensões tangenciais,

τ , conforme mostrado na figura 4.1. Para

efeito de análise, são associados a cada painel graus de liberdade paralelos às suas

respectivas faces, como ilustrado na figura 4.2 (Hoogenboom 1998).

Figura 4.1- Geometria do painel e tensões atuantes

Figura 4.2-Ações e deslocamentos nos pontos nodais do painel

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

4.2. Matriz de rigidez do painel

4.2.1. Relações de equilíbrio

Com base na figura 4.1, as relações de equilíbrio do painel, expressas pelas

nulidade das somas de forças nas direções x e y e de momentos das mesmas em relação

à origem dos eixos, são dadas por

∑

444333222111

θcostlτθcostlτθcostlτθcostlτ0 +++=

(4.1 a-b)

∑

344333222111

θsentlτθsentlτθsentlτθsentlτ0 +++=

(4.2 a-b)

∑

0M =

xθsentlτyθcostlτxθsentlτyθcostlτ

xθsentlτyθcostlτxθsentlτyθcostlτ0

4444444433333333

2222222211111111

++=

(4.3 a-b)

Os termos

cos θ e

sen

, que figuram nas equações acima, podem ser obtidos

em função das coordenadas dos vértices do painel pelas seguintes equações:

y-y

sen;

cos

θθ

y-y

sen;

cos

θθ

(4.4

a-h)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

y-y

sen;

cos

θθ

y-y

sen;

cos

θθ

os quais quando substituídos em (4.1 b), (4.2 b) e (4.3 b) resultam

)xx()xx()xx()xx(0

414343232121

----

(4.5)

)yy()yy()yy()yy(0

414343232121

----

(4.6)

)yxyx(τ)yxyx(τ)yxyx(τ)yxyx(τ0

41144344332332212211

---- +++=

(4.7)

onde:

t - espessura do painel;

x;x;x;x

4321

- valores das coordenadas x dos vértices do painel;

4321

y;y;y;y - valores das coordenadas y dos vértices do painel;

4321

l;l;l;l - medidas dos lados do painel;

4321

;;;

- tensões de cisalhamento atuantes nas faces do painel;

4321

;;;

- ângulos entre os lados do painel e o eixo x do sistema de referência (Fig

4.1).

Hoogenboom & Blaauwendraad (2000) definem como tensão generalizada

grandeza dada por

t)(

4321

ττττβ

+−+−=

(4.8)

que, juntamente com as equações de equilíbrio (4.5), (4.6) e (4.7), leva ao seguinte

sistema de equações:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva





















































−− t/4

1111

rrrr

SSSS

CCCC

4321

(4.9)

onde os termos C

, S

e r

são dados pelas conjunto de equações abaixo:

414343232121

x-xC ; x-xC ; x-xC ; xxC ==== -

414343232121

y-y S; y-y S; y-y S; yyS ==== -

41144344332332212211

yx-yxr ; yx-yxr ; yx-yxr ; yxyxr ==== -

(4.10 a-m)

Usando a regra de Cramer em (4.9) para determinar a tensão

, tem-se

111t/4

rrrr

SSSS

CCCC

111t/4

rrr0

SSS0

CCC0

4321

432

−

(4.11)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

ou, ainda, aplicando a regra de Laplace para cálculo de determinantes,

321

421

431

432

rrr

SSS

CCC

rrr

SSS

CCC

rrr

SSS

CCC

rrr

SSS

CCC

rrr

SSS

CCC

+++

−

(4.12)

Em forma mais compacta, a equação (4.12) pode ser expressa como

−

(4.13)

sendo

4321f

kkkkk

++=

(4.14)

321

421

431

432

rrr

SSS

CCC

k ;

rrr

SSS

CCC

rrr

SSS

CCC

k ;

rrr

SSS

CCC

(4.15 a-d)

Através da equação (4.13) e da figura 4.1, a força que atua na face

correspondente ao lado

l do painel pode ser obtida pela expressão

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

lk4

(4.16)

Analogamente, determinam-se as forças

432

f e f ,f atuantes nas demais faces do

painel por

βlk4

(4.17)

lk4

(4.18)

βlk4

(4.19)

Utilizando as equações (4.16) a (4.19), pode-se escrever a relação entre o vetor

das forças no painel, {

f}, e a tensão generalizada,

, como segue

{}

[]

Bf =

(4.20)

onde

{}

f {f

}

[]

44332211

lklklklk

B --=

(4.21 a-b)

4.2.2. Energia Potencial Complementar do painel

Na presente formulação o Princípio da Mínima Energia Potencial Complementar

é utilizado para a determinação da matriz de rigidez do painel. Considerando a figura

4.1, a energia potencial complementar do painel é dada pela equação

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

∫

′

4321p

444

333

222

111

pcc

dluτtdluτdluτtdluτtdAΠtΠ

(4.22)

onde

′

é a energia potencial complementar por unidade de volume e A

é a área da

superfície do painel. As tensões

, ,

321

são consideradas como constantes ao

longo das faces do painel, enquanto que as componentes dos deslocamentos ao longo

das mesmas,

321

u ,u ,u

′′

′

, são assumidas com variação linear ao longo dos lados

l ,l ,l

321

l respectivamente. Desta última hipótese, resulta que a integral

∫

′

dlu é

dado por

lu , onde

u é o valor de

′

no meio da face i do painel. Com isto a equação

(4.22) pode ser reescrita na seguinte forma

444333222111

pcc

luτtluτtluτtluτtdAΠtΠ

----

′

∫

(4.23)

ou, ainda, usando as equações (4.16)

a (4.19),

βlk4

udAΠtΠ

pcc

-+-+

′

∫

(4.24)

Introduzindo a relação entre os deslocamentos nodais do painel e a deformação

generalizada,

e, dada por

(4.25)

em (4.24), obtém-se

(4.26)

}u]{B[e

βΠΠ

edAt

pcc

∫

′

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

4.2.3. Determinação da rigidez do painel

Usando a equação (4.26) e aplicando o Princípio da Mínima Energia Potencial

Complementar, obtém-se a expressão:

∫

′

0e)dAΠt(

βd

(4.27)

de onde resulta a seguinte equação para a deformação generalizada:













′

∫

dAt

(4.28)

A energia de deformação complementar por unidade de volume,

′

, é dada pela

área sobre a curva

γτ × da figura 4.3, ou seja,

∫

′

τd γΠ

(4.29)

Figura 4.3 - Relação constitutiva do painel

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

De acordo com a figura 4.3, a distorção no painel,

, pode ser relacionada ponto

a ponto com a tensão

, através do módulo de rigidez trasversal secante na origem

G ,

pela equação

γ =

(4.30)

Admitindo que o painel está submetido a uma tensão de cisalhamento constante

e igual a

, chega-se, através de (4.8), (4.28) e (4.30), à seguinte expressão:

∫

βd

(4.31)

Assim, como

é uma função de

, )(f

, resulta de (4.27) a relação entre a

tensão e a deformação generalizadas:

[]













(4.32)

Usando (4.8), (4.25) e (4.32) obtém-se a seguinte relação entre a distorção do

painel

e o vetor de deslocamentos nodais {u

}u]{B[

(4.33)

Da mesma forma que se fez para os enrijecedores, a matriz de rigidez do painel é

calculada pelo triplo produto matricial mostrado na equação (4.34).

]B][D[]B[]K[

pTp

(4.34)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

4.3. Dimensionamento das armaduras dos painéis

O painel é um elemento de membrana quadrilateral, com duas dimensões

preponderantes, e que apresenta uma armadura disposta em forma de grelha, com

armaduras na direção vertical e na direção horizontal, formando assim uma malha

ortogonal. Para o dimensionamento das armaduras toma-se como base o esquema

mostrado na figura 4.4.

Figura 4.4 - Superposição de esforços em um elemento de membrana

O esquema da figura 4.4 mostra as tensões atuantes em um elemento de

membrana em concreto armado, decomposto em concreto e armaduras, onde é suposto

que as tensões cisalhantes são absorvidas unicamente pelo concreto e as tensões normais

pelos dois materiais, conforme descrito pelas equações (4.35), (4.36) e (4.37).

sxsxxcx

(4.35)

sysyycy

(4.36)

ττ =

(4.37)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Os termos que aparecem nestas últimas equações têm os seguintes significados:

- tensão normal atuante total nas direções x e y, respectivamente;

ycxc

- tensão normal atuante no concreto nas direções x e y, respectivamente;

sysx

- tensão normal atuante no aço nas direções x e y, respectivamente;

- tensão cisalhante no elemento de membrana;

- tensão cisalhante atuante no concreto do elemento de membrana;

sysx

- taxas de armaduras nas direções x e y do elemento de membrana,

respectivamente.

Fazendo uma análise de tensões do elemento, sem as armaduras, mostrado na

figura 4.4, têm-se as seguintes equações de equilíbrio:

ασασσ

c1yc

sencos +=

(4.38)

ασασσ

c2xc

sencos +=

(4.39)

onde

- tensões principais atuantes no concreto do elemento de membrana; e

- ângulo que define as direções principais de tensões.

Para efeito de dimensionamento das armaduras, admite-se que a tensão principal

de tração

é nula.

Admitindo-se que as tensões

σ e

são nulas e que todas as armaduras estão

escoando, resultam de (4.35), (4.36), as seguintes equações:

ασρ

c2yxsx

cosf -=

(4.40)

ασρ

c2yysy

senf -=

(4.41)

onde

f ,

f - tensão de escoamento do aço nas direções x e y, respectivamente.

Através de (4.40) e (4.41), obtém-se:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

yxsx

yysy

fρ

αtg

(4.42)

A figura 4.5 mostra as tensões principais

atuantes em um elemento de

membrana em estado de cisalhamento puro, as quais estão relacionadas com a tensão

cisalhante

τ através das equações (4.43) e (4.44).

Figura 4.5 - Tensões principais no elemento de membrana em cisalhamento puro

cossen2

(4.43)

cossen2

(4.44)

Para se determinar as taxas de armadura nas direções x e y é assumido que a

tensão principal de tração na direção 1 (figura 4.5) é absorvida pelas armaduras

dispostas nas direções x e y, conforme mostra a figura 4.6.

Figura 4.6 - Tensões de tração nas armaduras

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

As forças atuantes nas armaduras dispostas nas direções x e y apresentam como

resultante na direção principal 1 uma força F

dada por

αcosfAαsenfAF

yysyyxsxRS

(4.45)

sendo

sysx

A,A - áreas de aço nas direções x e y , respectivamente.

As taxas geométricas de aço nas direções x e y são dadas por:

sent

(4.46)

cost

(4.47)

onde

cycx

A,A

- área de concreto nas direções x e y, respectivamente;

t - espessura do painel.

Fazendo

tσF

1RS

= na equação (4.45) e utilizando (4.46) e (4.47), chega-se com

αcosfραsenfρσ

yysy

yxsx1

(4.48)

Dividindo os termos da equação (4.48) por

αcos

e introduzindo (4.42) e

(4.43), resulta a seguinte expressão para a taxa geométrica de armadura na direção y:

αtg

(4.49)

Analogamente, encontra-se para a taxa geométrica correspondente à direção x a

equação:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

αtg

(4.50)

4.4. Relação tensão - deformação não linear do painel

Esta relação é importante para determinar a rigidez do painel em cada iteração

da análise não linear

4.4.1. Relações constitutivas dos materiais

As relações constitutivas para o concreto utilizadas no presente estudo foram

propostas por Collins & Mitchell (1997).

Para o concreto tracionado, a relação entre a tensão principal e a correspondente

deformação é dada por











0,00008 se

5001

00008,0 se E

cr21

11cc1

σαα

εεσ

≤

(4.51 a-b)

onde:

α 1, para barras com nervuras;

α 0,7, para barras lisas;

0, para barras não aderentes;

α 1, para carga rápida monotônica;

α 0,7, para carga mantida e ou cíclica;

ccr

f33,0σ

′

= ;

′

- resistência à compressão do concreto em MPa.

Os autores acima referidos propõem a seguinte relação entre as tensões

principais de compressão e as respecticas deformações:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

























−













maxc2c2

σσ

(4.52)

onde













−

′

cmaxc2

34,0

8,0

(4.53)

As deformações principais

ε e

ε podem ser obtidas pelas relações do círculo

de Mohr em função das deformações do painel referidas aos eixos x e y.

Na formulação empregada neste trabalho o aço é considerado como uma

material elastoplástico perfeito.

4.4.2. Capacidade de transmissão de tensão através das fissuras

Um dos problemas encontrados para a formulação do MPE consiste na

determinação das tensões

σ,σ e

τ , atuantes em um painel fissurado, a partir das

deformações correspondentes

ε,ε e

γ . Para isso, no presente trabalho, é utilizada a

Teoria do Campo de Compressão Modificado, proposta por Vecchio & Collins (1986).

A figura 4.7 mostra as tensões atuantes em um plano 1-1, paralelo às fissuras e

localizado entre duas delas, e ao longo do plano 2-2 que coincide com a superfície de

uma fissura. Na superfície de uma fissura as tensões de tração do concreto são nulas,

podendo existir tensões de cisalhamento

v e de compressão

f quando as armaduras

em pelo menos uma das direções estiverem escoando (Vecchio & Collins 1986). Nesta

situação, as últimas tensões acima citadas são necessárias para manter o equilíbrio do

elemento de painel e surgem devido à rugosidade da superfície fissurada a qual é gerada

pelo intertravamento dos agregados (figura 4.8).

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 4.7 - Tensões atuantes em uma seção entre fissuras e ao longo de uma fissura

-Vecchio & Collins (1986)

Figura 4.8 - Tensões devidas ao intertravamento dos agregados

-Vecchio & Collins (1986)

Para a direção perpendicular às fissuras, a força resultante sobre o plano 1-1

deve ser equivalente àquela atuante no plano 2-2, levando à seguinte equação,

ααρσααρσ

coscossensen

sycr,sxsxcr,sx

sysysxsxc1

(4.54)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

onde

sysx

σ,σ

- tensões nas armaduras dispostas nas direções x e y, respectivamente, em uma

região entre fissuras;

cr,sycr,sx

σ,σ - tensões nas armaduras dispostas nas direções x e y, respectivamente, em

uma fissura;

- tensão de tração atuante no concreto existente entre fissuras;

- ângulo de inclinação das fissuras.

Em (4.54), as tensões de compressão

foram desprezadas.

Resolvendo a equação (4.54) para

, chega-se na equação

αρσσαρσσσ

sysycr,sy

sxsxcr,sxc1

cos)(sen)( -- +=

(4.55)

Fazendo o mesmo para a direção paralela às fissuras, resulta a equação

ααρσααρσ

cossencossenv

cossencossen

sycr,sxsxcr,sxci

sysysxsx

(4.56)

Através de (4.56), obtém-se a seguinte expressão para a tensão cisalhante

cossen)]()([v

sycr,sysysxcr,sxsxci

---=

(4.57)

De acordo com Collins & Mitchell (1997), o valor de

v é limitado pela

expressão (4.58), a qual depende da abertura da fissura, w

, do diâmetro máximo do

agregado graúdo, a, e da resistência do concreto à compressão.

16a

w24

3,0

)MPa(f18,0

ciMax

′

(4.58)

Segundo os mesmos autores, a abertura média das fissuras pode ser avaliada

pela seguinte equação

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

m1f

sw =

(4.59)

onde:

- deformação principal de tração; e

θm

s - distância média entre fissuras.

O CEB-FIP Model Code (1978) sugere a seguinte expressão para a avaliação da

distância média entre fissuras:

mymx

θm

αcos

αsen

(4.60)

onde

s - distância média entre fissuras na direção x;

s - distância média entre fissuras na direção y;

- ângulo de inclinação das fissuras em relação ao eixo x.

As distâncias médias entre fissuras

s e

s são calculadas através da equação

genérica

21m

c2s













(4.61)

onde

s- espaçamento máximo entre as barras na direção considerada (x ou y);

c- cobrimento das armaduras;

d - diâmetro das barras da armadura na direção considerada;

= 0,4, para barras nervuradas ou K

= 0,8, para barras lisas.

O coeficiente

é dado pela equação

)(25,0

εε

′

(4.62)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

sendo

′

- deformação máxima e mínima de tração, respectivamente, dentro da área

efetiva de concreto, definida conforme a figura 4.10.

A taxa efetiva de aço,

ρ , é dada pela seguinte equação

ρ =

(4.63)

onde A

é a área de aço na direção considerada e

A é a chamada área efetiva, definida

como mostrado pelas regiões hachuradas da figura 4.9.

Figura 4.9 - Esquema ilustrativo da área efetiva

Como no painel as deformações têm distribuição uniforme nas direções x e y

(

εε

′

), então, 25,0K

= .

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

4.4.3. Procedimentos para obtenção da tensão de cisalhamento do painel na análise

não linear

As tensões de cisalhamento atuantes nas bordas de um painel podem ser obtidas

a partir do vetor de deslocamentos {

}. Para isto adotam-se a hipótese de aderência

perfeita entre o aço e o concreto e os seguintes procedimentos:

) Determina-se a distorção

γ através da equação (4.33);

) Considerando-se nulas as deformações médias nas direções x e y (

ε =

ε = 0) e

tendo-se o valor de

, obtém-se as deformações principais

ε e

ε , e suas respectivas

direções, pelas relações do círculo de Mohr das deformações;

) Utilizando-se as relações constitutivas (4.51) e (4.52), determinam-se as tensões

principais no concreto

;

) A partir das equações (4.35), (4.36), (4.38), e (4.39), chegam-se nas seguintes

expressões para o cálculo das tensões atuantes nas armaduras

)cossen(

ασασ

)sencos(

ασασ

(4.64 a-b)

sendo

α ângulo entre a direção principal 1 e o eixo y (figura 4.5).

) Com valores de

σ ,

obtém-se as tensões nas armaduras em uma

fissura

cr,sx

σ e

cr,sy

σ e a tensão cisalhante

v , através das equações (4.54) e (4.56).

) Caso o valor absoluto de

v ultrapasse

ciMax

v , dado pela equação (4.58), adota-se

para

v este último valor e, em seguida, recalcula-se

cr,sx

σ e

cr,sy

σ utilizando-se

novamente as equações (4.54) e (4.56);

) Como

xyc

ττ =

pela equação (4.37), resulta, usando o círculo de Mohr para as

tensões, a seguinte expressão:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

ττ

2sen

c1c2

xyc

(4.65)

Através dos valores da tensão

τ e das correspondentes distorções

γ ,

determina-se a curva tensão - deformação não linear do painel. A figura 4.11 ilustra um

exemplo de tal curva.

Figura 4.10 - Curva tensão - deformação do painel

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Capítulo 5

Aspectos da Análise Estrutural

5.1. Considerações iniciais

Em uma análise linear usando o MPE, admite-se que tanto o enrijecedor, quanto

o painel, tem um comportamento elástico linear. Tal análise é normalmente utilizada em

projetos para obtenção das armaduras. De acordo com Blaauwendraad & Hoogenboom

(1996), as armaduras encontradas através dos esforços obtidos em uma análise linear

geralmente atendem às exigências de projeto. No presente trabalho, os resultados da

análise linear são utilizados para se obter as armaduras de partida para a execução da

análise não linear.

5.1.1. Transformações de coordenadas para os enrijecedores

O enrijecedor apresenta, a nível local, três graus de liberdade paralelos ao seu

eixo e numerados conforme mostra a figura 5.1.

Figura 5.1 - Coordenadas locais de um enrijecedor.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Tratando um enrijecedor como elástico linear, sua matriz de rigidez relativa às

coordenadas locais é aquela dada em (3.38). Para encontrar a correspondente matriz de

rigidez referida às coordenadas globais, é utilizada uma matriz de rotação

][

montada através da transformação de coordenadas apresentada na figura 5.2.

[

]

(a)

(b)

Figura 5.2 - Transformação de coordenadas locais (a) para coordenadas globais (b) de um

enrijecedor.

Com base na figura 5.2, as equações que relacionam os deslocamentos locais e

globais são as seguintes:

θθ

senucosuu

uu =

θθ

senucosuu

(5.1

a-c)

onde

u ,

u - deslocamentos locais do enrijecedor;

u ,

u - deslocamentos globais do enrijecedor; e

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

θ - ângulo que o eixo do enrijecedor faz com a direção x.

Em forma matricial, as equações (5.1 a-c) podem ser expressas por:

{

}= [

]{u

}

(5.2)

sendo

}u u u{}u{

}u u u u u{}u{

Teg













00sencos0

10000

000sencos

θθ

Analogamente, pode-se mostrar que os esforços locais estão relacionados com

os esforços globais pela equação:

{

}= [

]

}

(5.3)

sendo

{

} - vetor de esforços locais no enrijecedor;

{

} - vetor de esforços globais

Por sua vez, a relação entre deslocamentos e esforços referidos às coordenadas

globais pode ser escrita na forma:

{

}= [K

]{u

} (5.4)

onde [

] é a matriz de rigidez global do enrijecedor.

Do mesmo modo, a relação entre os esforços referidos às coordenadas locais e

seus respectivos deslocamentos locais é dada por:

{

}= [K

]{u

} (5.5)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Daí, usando as equações (5.2), (5.3), (5.4) e (5.5), obtém-se a seguinte expressão

para determinação da matriz de rigidez global do enrijecedor:

[

] = [

]

][

β ]

(5.6)

onde:

[

] - matriz de rotação do enrijecedor;

[

]

- transposta da matriz de rotação do enrijecedor.

A matriz calculada em (5.6) é utilizada para calcular as contribuições do

elemento na matriz de rigidez da estrutura.

5.1.2. Transformações de coordenadas para os painéis

Conforme foi visto no capítulo 4 (figura 4.2), o painel apresenta, a nível de

coordenadas locais, quatro graus de liberdade paralelos às suas faces

Todo o procedimento para se determinar a matriz de rigidez local do painel está

descrito no capítulo 4. Para o caso específico da análise linear, a variável

G que figura

na expressão da rigidez D é dada pela equação

)1(2

(5.7)

onde:

E - módulo de elasticidade do concreto não fissurado ;

ν - coeficiente de Poisson para o concreto não fissurado.

A transformação entre coordenadas locais e globais para os painéis, conforme

esquematizado da figura 5.4, é efetuada através da matriz de rotação

][

Analisando a última figura citada, chega-se às seguintes relações entre os deslocamentos

locais e globais:

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

[

]

(a) (b)

Figura 5.3 - Relação entre as coordenadas locais (a) e as coordenadas globais (b) do

painel

uu =

uu −=

(5.8

a-d)

onde:

u ;

u - deslocamentos locais do painel;

u ;

u - deslocamentos globais do painel.

Em forma matricial, as equações (5.8 a-d) podem ser expressas por:

{

}= [

]{

u }

(5.9)

sendo:

}u{ {

Tpg

}u{ {













−

10 0 0

0 10 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

De modo análogo aos enrijecedores, matriz de rigidez do painel com relação às

coordenadas globais é dada por:

[

K ] = [

]

[

K ][

]

(5.10)

onde:

[

K ] - matriz de rigidez do painel relativa às coordenadas globais;

[

K ] - matriz de rigidez do painel relativa às coordenadas locais;

[

] - matriz de rotação do painel;

[

]

- transposta da matriz de rotação do painel.

5.2. Formulação da análise não linear

5.2.1. Estratégia de controle da análise

Nesta seção apresentam-se os procedimentos utilizados para a análise não linear

incremental iterativa das estruturas aqui consideradas. Os efeitos não lineares levados

em conta são aqueles de natureza física.

Utiliza-se na formulação um método numérico incremental iterativo que adota

como parâmetro de controle para a determinação dos incrementos de carga uma certa

quantidade de trabalho. Esta estratégia de controle é chamada de Método do Controle de

Trabalho.

Este método impõe como condição básica para a determinação dos incrementos

de carga a constância do trabalho realizado pelos mesmos ao longo dos correspondentes

incrementos de deslocamentos.

De maneira geral, na análise não linear, através de procedimentos iterativos

chega-se a uma equação incremental de equilíbrio na forma da equação (5.11)

1-i

}F{}R{{K

−

λD}][

∆

(5.11)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

onde:

[]

−

- matriz de rigidez da estrutura, na iteração i-1;

∆

{ - vetor dos incrementos de deslocamentos na iteração i;

- fator de carga correspondente à iteração i;

}R{

- vetor das cargas de referência;

}F{

i-1

- vetor das forças desequilibradas existentes no final da iteração i-1.

Pela equação (5.11), o vetor dos incrementos de cargas obtidos na iteração i é

dado pela equação (5.12).

}R{

λR}{∆ =

(5.12)

Nesta formulação, o vetor dos incrementos de deslocamento

}D{

∆

decomposto em dois vetores

}D{

∆

}D{

∆

, conforme mostrado na equação (5.13).

}D{{

∆∆

iii

}DλD}{∆

(5.13)

Substituindo a equação (5.13) na equação (5.11), resultam:

[]

}R{{ K

− i

∆

[]

}F{}D{ K

1-i

∆

i-1

(5.14 a -b)

Definindo-se, de maneira conveniente, um valor para o incremento de trabalho

∆

a ser utilizado como controle da análise, as expressões básicas do método resultam

da imposição de que em cada passo incremental, os incrementos de carga referentes à

primeira iteração sejam tais que o trabalho dos mesmos ao longo dos incrementos de

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

deslocamento seja sempre igual a

∆

e que nas iterações subseqüentes do mesmo passo

incremental o trabalho realizado seja nulo. Dessa forma, chega-se com:

w}R{}D{

∆λ∆

(5.15)

No início de cada passo incremental o vetor de forças desequilibradas {F}

i-1

nulo, sendo assim, na primeira iteração de cada passo incremental tem-se, tomando

como base as equações (5.13) e (5.14 b) ,

}0{}D{ =

∆

e }D{}D{

∆λ∆

= .

Substituindo esse valor de

}D{

∆

, obtido na primeira iteração do passo

incremental, na equação (5.15), chega-se em uma expressão que determina o valor do

fator de carga

na referida iteração:

}R}{D{

∆

±=

(5.16)

Para as demais iterações, conforme já mencionado,

0w =

∆

e 0}D{ ≠

∆

Fazendo as devidas substituições nas equações (5.15) e (5.13), chega-se à seguinte

expressão para o fator de carga nas demais iterações:

}R{}D{

∆

(5.17)

para i = 2,3,4 ...

Conforme mostra a equação (5.16), é necessário definir um sinal para o fator de

carga da primeira iteração. Uma maneira de definir tal sinal é impor que o

desenvolvimento da análise, em seus vários passos, seja efetuado em um único sentido

ao longo da trajetória de equilíbrio da estrutura. Isto equivale a dizer que no caso

simples de uma única carga e um só deslocamento, a trajetória de equilíbrio da estrutura

é percorrida em um único sentido durante a análise. A vantagem do Método do Controle

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

de Trabalho, em relação ao tradicional Método de Newton-Raphson , é que ele pode ser

aplicado em qualquer tipo de trajetória de equilíbrio, ascendente, descendente e até

mesmo com reversões de deslocamentos.

A determinação do sinal de

pode ser feita através da seguinte expressão

apresentada em Marques (1990):

0R{}R{}D{}D{

11o

} ≥+

λ∆∆λ∆

(5.18)

onde

}D{

∆

}R{

∆

são, respectivamente, os vetores de incrementos totais de

deslocamento e de cargas do passo incremental anterior (passo i-1).

Colocando

em evidência na equação (5.18), resulta a equação

0 }]R{}R{}D{}D[{

≥+

∆∆∆λ

(5.19)

Denotando por H o termo entre colchetes em (5.19),

pode ser calculado pela

seguinte expressão:













}R}{D{

)H(sinal

∆

(5.20)

sendo sinal(H) a função que associa à variavel independente H o seu próprio sinal.

5.2.2. Sistematização dos procedimentos da análise

Mostra-se no presente item um esquema geral das etapas do algoritmo

computacional desenvolvido para a análise não linear utilizando o Método do Controle

de Trabalho.

etapa: Montagem da matriz de rigidez inicial [

K ]

e do vetor de cargas }R{ da

estrutura

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

etapa: Determinação do trabalho de controle w

∆

e do vetor de cargas de

referência

}R{ através das expressões:

}R{]K[}R{

−

∆

(5.21)

}R{

}R{ =

(5.22)

onde:

C - valor constante adotado convenientemente (por exemplo: C=10, 20, 30 ....)

etapa: Cálculo do fator de carga

para o passo incremental de carga t, através das

equações (5.19) e (5.20) e impondo

}0{}D{

∆

etapa: Atualização dos vetores de cargas e de deslocamentos na iteração 1 pelas

equações

}R{}R{}R{

∆

−

(5.23)

}D{}D{}D{

∆

−

(5.24)

onde os vetores

}R{

∆

}D{

∆

são dados por (5.12) e (5.13), rerspectivamente.

etapa: Obtenção dos esforços internos solicitantes nos elementos através de (5.25) e

(5.26) e atualização de suas matrizes de rigidez usando os procedimentos descritos no

item 5.2.3, na primeira iteração do passo incremental t

e1e

}D{]K[}S{

∆∆

−

(5.25)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

e1e

}S{}S{}S{

∆

−

(5.26)

onde:

}S{

∆

- vetor de incremento de esforços internos no elemento;

]K[

−

- matriz de rigidez do elemento na última iteração do passo de carga t-1;

}D{

∆

- vetor de incremento de deslocamentos locais do elemento

}S{ - vetor de esforços internos no elemento na iteração 1;

}S{

−

- vetor de esforços internos do elemento na última iteração do passo

incremental t –1.

Após a obtenção das novas matrizes de rigidez dos elementos, monta-se a matriz

de rigidez atualizada

]K[ da estrutura.

etapa: Cálculo do vetor de forças desequilibradas

}F{ na iteração 1 do passo de

carga t por

1t11

}}R{}F{ {S-=

(5.27)

onde

}R{ é o vetor de forças externas da estrutura na iteração 1 do passo de carga t e

1t11

}}R{}F{ {S-=

(5.28)

t1t

}S{}S{}S{

∆

−

(5.29)

11t1t

}D{]K[}S{

∆

(5.30)

com

}S{ e

}S{

−

indicando os vetores das ações nodais nos elementos

rotacionados na direção das coordenadas globais, respectivamente, para a iteração 1 do

passo de carga t e para a última iteração do passo de carga t-1. E, finalmente,

}S{

∆

é o

vetor de incremento das ações nodais nos elementos relativos às coordenadas globais.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

etapa: Cálculo do erro e teste de convergência

O cálculo do erro e a verificação de convergência para a iteração 1 são feitos

através da seguinte expressão (Marques, 1990):

Tol

}F{

Erro

≤=

(5.31)

onde:

}F{ - norma Euclidiana do vetor de forças desequilibradas;

n - número de graus de liberdade da estrutura;

- valor absoluto da relação entre a intensidade de qualquer carga não nula

atualizada e seu correspondente valor em {

};

Tol - tolerância adotada (usualmente entre 0,001 e 0,000001).

etapa:Cálculo do fator de carga para iterações subseqüentes e atualização de variáveis

Ao final de cada iteração, verifica-se se o erro calculado por (5.31) é menor que

a tolerância adotada. Se for menor, passa-se para o próximo passo de carga, senão,

efetua-se nova iteração com o fator de carga obtido pela equação (5.17).

Após a determinação do fator de carga repete-se a 4

, 5

, 6

e 7

etapa até que a

condição de convergência seja atendida.

5.2.3. Atualização da matriz de rigidez dos elementos

No caso de uma análise não linear, as matrizes de rigidez dos elementos podem

variar de uma iteração para a outra, a depender do nível de deformação em que se

encontra o elemento. As etapas utilizadas para a atualização de tais matrizes são

apresentadas a seguir.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

- Atualização da matriz de rigidez dos enrijecedores

Etapa 1: Em cada iteração genérica i, obtém-se as forças nodais

321

f e f ,f

atuantes no enrijecedor;

Etapa 2: Determinam-se os valores do esforço normal nas extremidades do

enrijecedor ,

N e

N , através das equações

−

;

Etapa 3: Através de um processo de interpolação linear entre

N e

N , os

valores do esforço normal são calculados nos pontos de integração definidos na tabela

3.1;

Etapa 4: Com o valor do esforço normal em cada ponto de integração, usando a

relação constitutiva do enrijecedor descrita no item 3.3, obtém-se o valor de

dN/d

em cada um dos referidos pontos;

Etapa 5: Determina-se a matriz de flexibilidade do enrijecedor utilizando as

equações (3.33) a (3.36);

Etapa 6: Conhecendo-se a matriz de flexibilidade, chega-se à matriz de rigidez

através da equação (3.37).

- Atualização da matriz de rigidez dos painéis

A determinação da matriz de rigidez de um painel no início do passo iterativo

i+1 segue as seguintes etapas:

Etapa 1: Determina-se as distorções

1i −

correspondentes às iterações i e i-

1, respectivamente, através da equação (4.33);

Etapa 2: Calcula-se as tensões cisalhantes

−

segundo os procedimentos

descritos na seção 4.4.3;

Etapa 3: Usando a equação

1ii

−

γγ

ττ

, determina-se

;

Etapa 4: A matriz de rigidez é obtida através dos procedimentos descritos na

seção 4.2;

Os painéis localizados em região de flexão pura não sofrem distorção

e, assim,

a diferença entre as distorções

1i −

é nula, acarretando problemas numéricos na

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

análise. Para contornar este inconveniente, adota-se para tais painéis

G o valor dado

pela equação (5.7).

Quando a deformação de um painel corresponde ao ramo descendente de sua

relação constitutiva (

−

), adota-se 0G

= e partir deste ponto vetor de

esforços internos no painel fica constante devido ao fato de o vetor de incremento de

esforços internos do painel ser nulo a partir deste ponto.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Capítulo 6

Exemplos Numéricos

6.1. Considerações iniciais

Neste capítulo são apresentados os resultados encontrados nas análises de

exemplos numéricos, incluindo, além de valores dos esforços e deslocamentos, os

seguintes pontos:

-Estudo comparativo entre armaduras obtidas pelo (MPE) e por outros

métodos indicados para análise e projeto de estruturas com região “D”;

-Estudo do efeito da discretização sobre os esforços, armaduras e

deslocamentos;

-Comparação de diagramas carga-deslocamento encontrados pelo MPE através

de análises não lineares com outros obtidos experimentalmente;

-Comparação entre valores de esforços e armaduras resultantes de análises

lineares e não lineares.

6.2. Caso de uma viga de seção T dotada de abertura retangular na alma

Este exemplo trata de uma viga com seção T, apresentando uma abertura

retangular na alma, como mostrado na figura 6.1. A parte central da viga consiste em

uma região “D” caracterizada por descontinuidades de natureza mecânica e geométrica.

Esta viga foi analisada experimentalmente por Tan

et al. (1996a) para verificar um

modelo analítico simplificado que considera as partes localizadas acima e abaixo da

abertura como barras submetidas à flexão composta com forças cortantes (Mansur

et al.

1985). A tabela 6.1 apresenta as propriedades dos materiais que constituem a viga.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Tabela 6.1 - Propriedades dos materiais da viga de seção T

Concreto Aço

(MPa)f

′

)(GPaE

)(mm

)/(

cmkNf

)(GPaE

6,3 35,52 200

10 53,88 200

37 28,9

13 51,36 200

Figura 6.1- Viga de seção T com abertura na alma (medidas em metro)

6.2.1. Dimensionamento e análise comparativa das armaduras

Para se fazer um estudo comparativo das armaduras obtidas pelo MPE com

aquelas empregadas por Tan

et al. (1996a), a viga foi inicialmente discretizada em

enrijecedores e painéis conforme mostrado na figura 6.2. Para tal discretização, os

esforços internos nos elementos constituintes foram encontrados mediante uma análise

linear e, em seguida, usando os procedimentos descritos nos itens 3.3 e 4.3, as

armaduras foram dimensionadas.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.2 - Discretização utilizada para a viga de seção T

Os enrijecedores horizontais localizados nas linhas abaixo da abertura possuem

seção transversal com 5 cm de altura e 20 cm de largura, enquanto que os demais

enrijecedores horizontais têm seção transversal com 10 cm de altura e 70 cm de largura.

Os enrijecedores verticais apresentam 10 cm de altura por 20 cm de largura. As

distâncias, medidas em metros, entre eixos dos enrijecedores estão apresentadas na

figura 6.3.

Figura 6.3 - Distâncias entre eixos dos enrijecedores (em metros)

A figura 6.4 mostra a distribuição e os valores dos esforços internos nos

enrijecedores (em kN) e das tensões cisalhantes nos painéis (kN/cm

) obtidos através da

análise linear acima mencionada e para cargas concentradas iguais a 120 kN. Este valor

corresponde à carga máxima de ruptura encontrada por Tan

et al. (1996a) no ensaio da

viga. Observa-se que, na figura 6.4, as tensões cisalhantes que solicitam cada painel

estão representadas pela letra V seguida do número de identificação do mesmo.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.4 - Distribuição e valores dos esforços normais e tensões cisalhantes

Considerando-se os valores dos esforços normais apresentados na figura 6.4 e as

áreas das seções transversais dos enrijecedores, chega-se à conclusão de que a maior

tensão de compressão atuante nos mesmos é de 6MPa. Assim sendo, pelo fato de tal

tensão ser menor que a resistência à compressão do concreto, torna-se dispensável o

emprego de armadura de compressão nos enrijecedores.

Como é observado na figura 6.4, a maior tensão cisalhante atua nos painéis 10 e

13 e, sendo assim, por motivo de simplificação, adotou-se a taxa de armadura calculada

para mesmos em todos os painéis localizados entre apoio e carga concentrada. Para os

demais painéis, considerando-se a ausência de tensões cisalhantes, foi empregada uma

taxa, considerada mínima, de 0,14%.

A figura 6.5 mostra o detalhamento das armaduras da estrutura obtidas através

do MPE e da discretização apresentada na figura 6.2, enquanto que a figura 6.6 mostra

as armaduras utilizadas por Tan

el al (1996).

Em termos de volume de aço, as armaduras obtidas pelo MPE apresentaram um

volume 21% maior do que aquelas empregadas por Tan

et al (1996), conforme pode ser

visto nas tabelas 6.2 e 6.3. Mesmo sendo teoricamente desnecessárias, foram adotadas

armaduras longitudinais nos enrijecedores comprimidos idênticas àquelas usadas pelos

autores acima citados.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.5 - Armaduras da viga de seção T obtida pelo MPE

Figura 6.6 - Armaduras da viga de seção T utilizadas por Tan

et al (1996)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Tabela 6.2 - Quadro das armaduras obtidas pelo MPE

Tabela 6.3 - Quadro das armaduras utilizadas por Tan

et al. (1996)

Para fins de verificar a influência da discretização sobre as armaduras, a viga de

seção T foi também analisada usando o arranjo de enrijecedores e painéis mostrados na

figura 6.7. Utilizando tal discretização, os esforços obtidos através de uma análise linear

são aqueles mostrados na figura 6.8. As armaduras correspondentes a tais esforços estão

ilustradas na figura 6.9.

Como pode ser observado através das figuras 6.4 e 6.8, os esforços relativos às

duas discretizações são aproximadamente os mesmos, implicando em áreas de

armaduras praticamente iguais.

Quadro das armaduras

Bitola(mm) Comp(cm) Quant Nome Volume (m

)

16 365 2 N1 0,00147

12,5 325 9 N2 0,00359

10 325 1 N3 0,00026

6,3 106 16 N4 0,00053

6,3 130 34 N5 0,00138

6,3 70 2 N6 0,00004

6,3 75 20 N7 0,00047

Total 0,00774

Quadro das armaduras

Bitola(mm) Comp(cm) Quant Nome Volume (m

)

6,3 130 14 N5 0,00057

6,3 70 12 N6 0,00026

6,3 75 20 N7 0,00047

12,5 325 10 N2 0,00399

10 130 2 N8 0,0002

12,5 365 2 N10 0,0009

Total 0,00639

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.7 - Nova discretização para a viga de seção T.

Figura 6.8 - Valores dos esforços normais e tensões cisalhantes da viga de seção T

usando a discretização para a discretização mostrada na figura 6.7.

6.2.2. Diagramas carga-deslocamento para a viga de seção T

Tan

et al. (1996) submeteram a viga a um ensaio de flexão com incrementos de

carga de 5 kN até o colapso, obtendo o diagrama que relaciona o valor das cargas e o

deslocamento no meio do vão.

Visando confrontar resultados numéricos obtidos pelo MPE com aqueles

experimentais encontrados por Tan

et al. (1996), foram realizadas análises não lineares

da viga utilizando as discretizações ilustradas nas figuras 6.2 e 6.7.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

A figura 6.9 ilustra a curva carga-deslocamento obtida através das análises não

lineares, baseadas na formulação incremental iterativa, juntamente com a curva

experimental resultante do ensaio de Tan

et al. (1996). Vale ressaltar que as curvas

carga-deslocamento correspondentes às duas discretizações acima mencionadas são

coincidentes. Nas duas simulações numéricas foram utilizadas as armaduras empregadas

no estudo experimental, as quais são mostradas na figura 6.6.

Figura 6.9 - Diagramas carga-deslocamento da viga de seção T

Como a formulação numérica empregada no presente estudo é baseada no

Teorema do Limite Inferior, era de se esperar que o valor teórico da carga de colapso

fosse menor do que aquele relativo ao ensaio da estrutura, conforme observado na figura

6.9.

Início da fissuração

dos enrijecedores

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

6.2.3. Comparação entre resultados das análises linear e não linear

Neste item, é feita uma comparação entre resultados correspondentes às análises

linear e não linear da viga de seção T.

Para obter os esforços da análise não linear, inicialmente utilizam-se as

armaduras obtidas através da análise linear. Com esta armadura, realiza-se uma análise

não linear até que seja atingida uma configuração de equilíbrio correspondente à carga

última teórica e, com os respectivos esforços, obtém-se uma nova armadura. Em

seguida, esta última é comparada com aquela obtida na análise linear. Se a diferença

entre elas for significativa, realiza-se nova análise não linear adotando-se a última

armadura encontrada. Tal processo é repetido até que a diferença entre duas armaduras

consecutivas seja considerada insignificante.

As figuras 6.10 e 6.11 mostram os diagramas finais de esforços normais e

tensões cisalhantes obtidos pelo processo iterativo acima descrito e utilizados para o

dimensionamento das armaduras ilustradas na figura 6.12. As armaduras encontradas

usando-se as duas opções de discretização e tais esforços resultaram praticamente

iguais. A tabela 6.4 apresenta mais detalhes sobre as referidas armaduras.

O valor da carga última teórica final, encontrado pelo referido processo iterativo

e uso da discretização mostrada na figura 6.2, foi de 106 kN, enquanto que para a

discretização da figura 6.7, o mencionado valor chegou a 111 kN, exibindo uma certa

dependência em relação ao arranjo dos elementos. Vale observar que para comparações

entre os esforços correspondentes às análises linear e não linear se faz necessário levar

em conta as diferenças entre os valores das cargas últimas das mesmas. Nestes casos os

esforços oriundos da análise linear devem ser corrigidos proporcionalmente

considerando os valores das mencionadas cargas últimas.

Ressalta-se que os esforços das figuras 6.10 e 6.11 correspondem às cargas

últimas das duas discretizações (106 kN e 111 kN, respectivamente).

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.10 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise não

linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.2

Figura 6.11 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise não

linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.7

-106

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Tabela 6.4 - Quadro das armaduras para os esforços das análises não lineares.

Figura 6.12 - Armaduras da viga de seção T obtidas através das análises não lineares

Para uma melhor visualização dos resultados de esforço normal e tensões

cisalhantes das análises efetuadas para esta viga, é mostrada abaixo uma tabela com as

médias dos valores dos referidos esforços.

Quadro das armaduras

Bitola(mm) Comp(cm) Quant Nome Volume(m

)

16 365 2 N1 0,00147

12,5 325 8 N2 0,00319

6,3 112 12 N4 0,00042

6,3 130 32 N5 0,0013

6,3 70 2 N6 0,00004

6,3 75 20 N7 0,00047

8 325 3 N9 0,00049

Total 0

00738

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Vale ressaltar que para obter a média do esforço normal em cada uma das

análises, utilizou-se todos o valores de pico do referido esforço, tomando cada um deles

com seu valor em módulo.

Tabela 6.5 - Valores médios do esforço normal e tensões cisalhantes para a viga de

seção T dotada de abertura retangular na alma

6.3. Caso de uma viga parede com reforços verticais

Este exemplo trata de uma viga parede biapoiada, enrijecida lateralmente e

submetida a uma carga concentrada no meio do vão, como mostrado na figura 6.13. A

mudança brusca na espessura da viga, no meio do vão e nas extremidades, a presença de

forças concentradas e a alta relação entre a altura da seção transversal e o vão

introduzem regiões “D” caracterizadas por descontinuidades de natureza mecânica e

geométrica.

Esta viga foi estudada por Shayanfar

et al. (1997) objetivando analisar a

influência da malha de elementos finitos sobre o comportamento carga – deslocamento

através de comparações entre os resultados numéricos e aqueles obtidos

experimentalmente. A tabela 6.6 apresenta as propriedades dos materiais que constituem

a viga.

Tabela 6.6 - Propriedades dos materiais

Concreto

Aço

25,2 20

35,3

200

)MPa(f

′

)GPa(E

)mm(

)cm/kN(f

)GPa(E

Viga de seção T dotada de abertura retangular na alma

Análise Linear Análise Não Linear

Discretização

E. Normal T. Cisalhante E. Normal T. Cisalhante

utilizada Médio (kN) Média (kN/cm

) Médio (kN) Média (kN/cm

)

14 painéis 146,8 0,116 146,8 0,119

16 painéis 157,1 0,122 146,8 0,120

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.13 - Viga parede com mudança brusca de espessura nas extremidades e

no meio do vão

6.3.1. Dimensionamento e análise comparativa das armaduras

Para se fazer um estudo comparativo das armaduras obtidas pelo MPE com

aquelas empregadas por Shayanfar

et al. (1997), a viga foi inicialmente discretizada

conforme mostrado na figura 6.14. Assim como foi feito na viga do item 6.1, para esta

discretização os esforços internos nos elementos constituintes foram encontrados

mediante uma análise linear e, em seguida, usando os procedimentos descritos nos itens

3.3 e 4.3, as armaduras foram dimensionadas.

0,076

120 kN

0,1

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.14 - Discretização utilizada para a viga parede

Os enrijecedores horizontais possuem seção transversal com 10 cm de altura e

7,5 cm de largura, enquanto que os enrijecedores verticais têm seção transversal com 10

cm de altura e 22,3 cm de largura. As distâncias, medidas em metros, entre eixos dos

enrijecedores estão apresentadas na figura 6.15.

Figura 6.15 - Distâncias entre eixos dos enrijecedores (em metros)

A figura 6.16 mostra a distribuição e os valores dos esforços internos nos

enrijecedores (em kN) e das tensões cisalhantes nos painéis (kN/cm

) obtidos através da

análise linear acima mencionada e para carga concentrada igual a 120 kN. Este valor

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

corresponde à carga máxima de ruptura encontrada por Shayanfar

et al. (1997) no

ensaio da viga.

Figura 6.16 - Distribuição e valores dos esforços normais e tensões cisalhantes

Considerando-se os valores dos esforços normais apresentados na figura 6.16 e as áreas

das seções transversais dos enrijecedores, chega-se à conclusão de que a maior tensão

de compressão atuante nos mesmos é de 10,5 MPa. Assim sendo, pelo fato de tal tensão

ser menor do que o valor da resistência à compressão do concreto (tabela 6.6), torna-se

dispensável o emprego de armadura de compressão nos enrijecedores.

A figura 6.17 mostra o detalhamento das armaduras da estrutura obtidas através

do MPE e da discretização apresentada na figura 6.15, enquanto que a figura 6.18

mostra as armaduras utilizadas por Shayanfar

et al. (1997).

Em termos de volume de aço, as armaduras obtidas pelo MPE apresentaram um

volume de aço 25% menor do que aquelas empregadas por Shayanfar

et al. (1997),

conforme pode ser visto nas tabelas 6.7 e 6.8. Observa-se que as armaduras dos

enrijecedores tracionados apresentam um volume de aço superior ao de Shayanfar

et al.

(1997) enquanto que as armaduras dos painéis apresentam um volume de aço inferior

àquele das armaduras encontradas pelos autores do artigo. Mesmo sendo teoricamente

desnecessárias, foram adotadas armaduras longitudinais nos enrijecedores verticais

comprimidos idênticas às empregadas por Shayanfar

et al. (1997).

V1=V2=0,121 kN/cm

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.17 - Armaduras da viga parede obtida pelo MPE

Figura 6.18 - Armaduras da viga parede utilizadas por Shayanfar

et al. (1997)

2XN1

6XN6

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Tabela 6.7 - Quadro das armaduras obtido pelo MPE.

Tabela 6.8 - Quadro das armaduras utilizadas por Shayanfar

et al (1997)

Para fins de verificar a influência da discretização sobre as armaduras, a viga

parede foi também analisada usando os arranjos de enrijecedores e painéis mostrados

nas figuras 6.19 e 6.20. Utilizando tais discretizações, os esforços obtidos através de

uma análise linear são aqueles mostrados nas figuras 6.21 e 6.22. As armaduras

correspondentes a tais esforços estão ilustradas nas figura 6.23 e 6.24.

Como pode ser visto nas tabelas 6.9 e 6.10, a armadura correspondente à

discretização da figura 6.19 apresentou um volume 22 % menor do que aquela relativa

à discretização da figura 6.20.

Quadro de armaduras

Bitola(mm) Comp(cm) Quant Nome Volume(m

)

12,5 177 2 N1 0,00043

8 177 4 N3 0,00036

8 71 8 N4 0,00029

10 54 15 N5 0,00064

10 71 18 N6 0,0010

Total 0,00272

Quadro de armaduras

Bitola(mm) Comp(cm) Quant Nome Volume(m

)

10 54 24 N5 0,00102

10 71 34 N6 0,00189

10 177 9 N7 0,00125

Total 0,00416

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.19 - Segunda discretização para a viga parede

Figura 6.20 - Terceira discretização para a viga parede

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.21 - Valores dos esforços normais e tensões cisalhantes para a discretização

mostrada na figura 6.19.

Figura 6.22 - Valores dos esforços normais e tensões cisalhantes para a discretização

mostrada na figura 6.20

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.23 - Armaduras da viga parede obtidas pelo MPE através da discretização da

figura 6.19

Figura 6.24 - Armaduras da viga parede obtidas pelo MPE através da discretização da

figura 6.20

2XN1

6XN6

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Tabela 6.9 - Quadro das armaduras obtido pela segunda discretização

Tabela 6.10 - Quadro das armaduras obtido pela terceira discretização

6.3.2. Diagramas carga - deslocamento para a viga parede

Shayanfar

et al. (1997) submeteram a viga a um ensaio de flexão até atingir o

colapso, obtendo o diagrama que relaciona o valor da carga e o deslocamento no meio

do vão.

Visando confrontar resultados numéricos obtidos pelo MPE com aqueles

experimentais encontrados por Shayanfar

et al. (1997), foram realizadas análises não

lineares da viga utilizando as discretizações ilustradas nas figuras 6.14, 6.19 e 6.20.

Quadro de armaduras

Bitola(mm) Comp.(cm) Quant. Nome Volume(m

)

12,5 177 2 N1 0,00043

8 177 4 N3 0,00036

8 71 8 N4 0,00029

10 54 15 N5 0,00064

10 71 18 N6 0,001

Total 0,00272

Quadro de armaduras

Bitola(mm) Comp.(cm) Quant. Nome Volume(m

)

12,5 179 2 N1 0,00044

8 179 5 N2 0,00045

8 179 5 N3 0,00045

8 69 10 N4 0,00035

10 54 15 N5 0,00064

10 71 18 N6 0,001

Total 0,00333

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

A figura 6.25 ilustra a curva carga-deslocamento obtida através das análises não

lineares, baseadas na formulação incremental iterativa, juntamente com a curva

experimental resultante do ensaio de Shayanfar

et al. (1997). Nas três simulações

numéricas foram utilizadas as armaduras empregadas no estudo experimental, as quais

são mostradas na figura 6.18.

Figura 6.25 - Diagramas carga-deslocamento da viga parede

Assim como a viga analisada no item 6.2, nas três discretizações, o valor teórico

da carga de colapso foi menor do que aquele relativo ao ensaio da estrutura, conforme

observado na figura 6.25.

Vale ressaltar que a discretização mostrada na figura 6.20 (discretização com 16

painéis) foi a única cuja curva carga-deslocamento não exibiu o trecho linear quase

horizontal apresentado pelas demais discretizações. A análise não linear forneceu

resultados aparentemente coerentes até uma carga de aproximadamente 80 kN, a qual

foi considerada como a carga última da estrutura ( figura 6.25). Vale ressaltar que

durante a análise não foi constatado qualquer esmagamento de enrijecedores ou

Início da fissuração dos enrijecedores

mais tracionados

(Fig 6.19)

(Fig 6.20)

(Fig 6.14)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

escoamento das armaduras tracionadas. Mesmo assim, a formulação deixou de

apresentar valores fisicamente coerentes a partir do referido nível de carga.

6.3.3. Comparação entre resultados das análises linear e não linear

As figuras 6.26, 6.27 e 6.30 mostram os diagramas finais de esforços normais e

tensões cisalhantes obtidos pelo procedimento iterativo e utilizados para o

dimensionamento das armaduras ilustradas nas figuras 6.29 e 6.28. As armaduras

encontradas usando-se as três discretização analisadas e correspondentes esforços e

tensões resultaram praticamente iguais. As tabelas 6.11 e 6.12 apresentam mais detalhes

sobre as referidas armaduras.

O valor da carga última teórica final, encontrado pelo referido procedimento

iterativo para a discretização da figura 6.14, foi de 128 kN, enquanto que para as

discretizações das figuras 6.19 e 6.20, os valores encontrados foram de 138 kN e 133

kN, respectivamente. Vale frisar que os esforços das figuras 6.26, 6.27 e 6.28

correspondem à carga última experimental, ou seja, 120 kN.

Figura 6.26 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise não

linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.14

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.27 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise não

linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.19

Figura 6.28 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise

não linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.20

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.29 - Armaduras da viga parede obtidas através das análises não lineares

das discretizações das figuras 6.14 e 6.19

Figura 6.30 - Armaduras da viga parede obtidas através da análise não linear

com uso da discretização mostrada na figura 6.20

6xN6

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Tabela 6.11 - Quadro das armaduras para os esforços das análises não lineares para

as discretizações mostradas nas figuras 6.14 e 6.19

Tabela 6.12 - Quadro das armaduras para os esforços da análise não linear para a

discretização mostrada na figura 6.20

A tabela abaixo mostra o valor médio dos picos de esforço normal atuantes nos

enrijecedores e o também a média das tensões cisalhantes em cada uma das análises

realizadas para esta estrutura.

Quadro de armaduras

Bitola(mm) Comp.(cm) Quant. Nome Volume (m

)

12,5 177 2 N1 0,00043

8 177 4 N3 0,00036

8 71 8 N4 0,00029

10 54 15 N5 0,00064

10 71 18 N6 0,00100

Total 0,00272

Quadro de armaduras

Bitola(mm) Comp.(cm) Quant. Nome Volume (m

)

12,5 177 1 N1 0,00022

8 177 4 N3 0,00036

8 71 10 N4 0,00036

10 54 18 N5 0,00076

10 71 18 N6 0,00100

10 177 2 N7 0,00028

Total 0,00298

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Tabela 6.13 - Valores médios do esforço normal e tensões cisalhantes para a viga parede

com reforços verticais

6.4. Caso de uma viga parede com uma grande abertura

O presente exemplo consiste em uma viga parede biapoiada, com uma grande

abertura próxima ao apoio esquerdo e submetida a uma carga concentrada aplicada a 2,5

m do apoio direito, como mostrado na figura 6.31. A existência da abertura e de forças

concentradas, assim como a alta relação entre a altura da seção transversal e o vão da

viga geram regiões com descontinuidades de natureza mecânica e geométrica.

Esta viga foi estudada por Schlaich

et al (1987) objetivando validar o Método de

Bielas e Tirantes para o projeto de estruturas dotadas de regiões “D”. A tabela 6.14

apresenta as propriedades dos materiais que constituem esta viga.

Figura 6.31 - Viga parede com abertura próxima ao apoio (dimensões em metros)

Tabela 6.14 - Propriedades dos materiais.

Viga parede com reforços verticais

Análise Linear Análise Não Linear

Discretização

E. Normal T. Cisalhante E. Normal T. Cisalhante

utilizada Médio (kN) Média (kN/cm

) Médio (kN) Média (kN/cm

)

2 painéis 79,6 0,121 79,32 0,1200

4 painéis 79,2 0,119 68,83 0,1205

16 painéis

53,6

0,120

52,7

0,1180

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Tabela 6.14 – Propriedades dos Materiais

Concreto Aço

)(MPaf

)(GPaE

)(mm

)/(

cmkNf

)(GPaE

16 43,4 200

12,5 43,4 200

10 43,4 200

8 43,4 200

17 30

6,3 43,4 200

6.4.1. Dimensionamento e análise comparativa das armaduras

Visando comparar as armaduras obtidas através do MPE com aquelas

empregadas por Schlaich

et al (1987), a viga foi inicialmente discretizada conforme

mostrado na figura 6.32. Assim como foi feito para as duas estruturas já apresentadas no

presente estudo, inicialmente os esforços internos nos enrijecedores e painéis foram

encontrados mediante uma análise linear e, em seguida, as armaduras foram

dimensionadas.

Figura 6.32 - Discretização utilizada para a viga parede com grande abertura

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Todos os enrijecedores possuem seção transversal com 50 cm de altura e 40 cm

de largura, exceto aqueles localizados ao longo da linha vertical que coincide com o

lado direito da abertura, os quais têm seção transversal com 20 cm de altura por 40 cm

de largura. A figura 6.33 apresenta as distâncias, em metros, entre eixos dos

enrijecedores para a citada discretização.

‘’

Figura 6.33 - Distâncias entre eixos dos enrijecedores (em metros)

A figura 6.34 mostra a distribuição e os valores dos esforços normais nos

enrijecedores (em kN) e das tensões cisalhantes nos painéis (kN/cm

) obtidos através da

análise linear acima mencionada e para carga concentrada igual a 3000 kN. Este valor

corresponde à carga utilizada por Schlaich

et al. (1987) no estudo da viga através do

Método de Bielas e Tirantes.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.34 - Distribuição e valores dos esforços normais e tensões cisalhantes

Para os esforços normais apresentados na figura 6.34 e as seções transversais

adotadas para os enrijecedores comprimidos, a maior tensão de compressão atuante nos

mesmos é de 1,5 MPa. Portanto, como nos casos anteriores, também é dispensável o uso

de armaduras em tais enrijecedores.

Na figura 6.35 são mostrados os detalhes das armaduras calculadas através do

MPE e da discretização apresentada na figura 6.32, enquanto que a figura 6.36 mostra

as armaduras utilizadas por Schlaich

et al. (1987).

As armaduras obtidas pelo MPE apresentam um volume de aço 3% menor do

que aquelas obtidas pelo Método de Bielas e Tirantes em Schlaich

et al. (1987).

-1071,4

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.35 - Armaduras da viga parede obtida pelo MPE

Figura 6.36 - Armaduras da viga parede utilizadas por Schlaich

et al. (1987)

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Para analisar a influência da discretização sobre as armaduras, a viga parede foi

também estudada considerando-se a combinação de painéis e enrijecedores ilustrada na

figura 6.37. Neste caso, os esforços e tensões encontrados através de uma análise

linearizada são aqueles mostrados na figuras 6.38. As armaduras correspondentes a tais

esforços estão ilustradas na figura 6.39.

Figura 6.37 - Nova discretização para a viga parede com abertura

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Figura 6.38 - Valores dos esforços normais e tensões cisalhantes para a discretização

mostrada na figura 6.37.

Figura 6.39 - Armaduras da viga parede obtidas pelo MPE usando a discretização da

figura 6.37

-1071,4

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Os volumes de aço resultantes para a primeira e a segunda discretizações foram

de 0,085 m

e 0,108 m

, respectivamente. Assim, o aumento do número de elementos

usados na discretização implicou em um consumo de aço de aproximadamente 18%

maior.

6.4.2. Comparação entre resultados das análises linear e não linear

Através de análises não lineares, empregando o procedimento iterativo descrito

anteriormente, resulta a distribuição final de esforços mostrados nas figuras 6.40 e 6.41.

As armaduras encontradas pelo diagrama da figura 6.40 resultaram praticamente iguais

às aquelas ilustradas na figura 6.35, enquanto que as armaduras correspondentes ao

diagrama da figura 6.41 estão exibidas na figura 6.42. Estas últimas resultaram em um

volume de aço 12,3 % maior do que o volume encontrado com a primeira discretização

(figura 6.32) na análise não linear, e 5 % menor do que o volume de aço encontrado

para a mesma discretização na análise linear.

O valor da carga última teórica final, encontrado pelo referido procedimento

iterativo para a discretização da figura 6.32, foi de 3103 kN, enquanto que para a

discretização da figura 6.37, o valor encontrado foi de 3106 kN. Vale frisar que os

esforços das figuras 6.40 e 6.41 correspondem à carga de 3000 kN.

Figura 6.40 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise não

linear obtido pela discretização mostrada na figura 6.32

-1071,4

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

-1071,4

Figura 6.41 - Diagrama de esforços normais e tensões cisalhantes para a análise não

linear obtido com a discretização mostrada na figura 6.37

Figura 6.42 - Armaduras da viga parede obtidas através da análise não linear

para a discretização da figura 6.37

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Similar ao que foi feito nos outros dois exemplos analisados, a tabela abaixo

mostra a média dos picos de esforço normal e a média das tensões cisalhantes obtidos

em cada uma das situações analisadas para esta estrutura.

Tabela 6.15 - Valores médios do esforço normal e tensões cisalhantes para a

viga parede com uma grande abertura

Capítulo 7

Viga parede com grande abertura

Análise Linear Análise Não Linear

Discretização

E. Normal T. Cisalhante E. Normal T. Cisalhante

utilizada Médio (kN) Média (kN/cm

) Médio (kN) Média (kN/cm

)

5 painéis 1250,00 0,0958 1252,25 0,0958

10 painéis 1075,38 0,0961 1095,00 0,0962

Viga parede com grande abertura

Análise Linear Análise Não Linear

Discretização

E. Normal T. Cisalhante E. Normal T. Cisalhante

utilizada Médio (kN) Média (kN/cm

) Médio (kN) Média (kN/cm

)

5 painéis 1250,00 0,0958 1252,25 0,0958

10 painéis 1075,38 0,0961 1095,00 0,0962

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

Capítulo 7

Considerações Finais e Sugestões para Trabalhos Futuros

O presente estudo teve como objetivo a análise de estruturas dotadas de regiões

“D” através do Método dos Painéis Enrijecidos. A formulação implementada é do tipo

incremental-iterativo e fisicamente não linear, usando como estratégia de controle o

Método do Controle de Trabalho. Os painéis foram admitidos como submetidos apenas

a esforços de cisalhamento em seu contorno e os enrijecedores solicitados a esforços

normais.

Para o estudo dos painéis foi utilizada a Teoria do Campo de Compressão

Modificado e para os enrijecedores empregou-se a teoria convencional de barras

comprimidas e tracionadas, considerando-se neste último caso, os efeitos de

tension

stiffening.

Nas relações constitutivas dos enrijecedores e dos painéis adotou-se para o

concreto a relação tensão-deformação parabólica admitindo como valor máximo para

tensão no concreto o valor correspondente à deformação

′

(Eq. 3.51), enquanto que o

aço foi admitido como elastoplástico perfeito sem fixação de um limite de deformação.

Na análise não linear, as relações constitutivas dos enrijecedores (Fig 3.4 ou 3.5)

e dos painéis (Fig 4.10) seguiam indefinidamente (sem limites de deformação), só

interrompendo a análise quando a estrutura entrasse em colapso. Considerou-se como

colapso da estrutura situações em que a matriz de rigidez da estrutura tornava-se

singular (seu determinante aproximadamente zero) ou quando o diagrama carga-

deslocamento da estrutura apresentava um comportamento incoerente.

Foram apresentados os resultados de três exemplos, selecionados entre aqueles

analisados durante o estudo. Com os resultados obtidos foram efetuadas as seguintes

comparações: taxas de armadura obtidas pelo MPE e por outro método alternativo;

curva carga-deslocamento experimental e curva carga-deslocamento teórica obtida

através de uma análise não linear; taxas de armaduras fornecidas através de diferentes

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

100

discretizações e, para finalizar, taxas de armadura dadas pelos esforços internos

determinados pela análise linear e por aqueles obtidos através de análise não linear.

No que se refere às taxas de armaduras encontradas com os esforços obtidos

pelos diferentes métodos confrontados, observou-se que, na maioria dos casos

analisados, aquelas relativas aos esforços fornecidos pelo MPE resultaram inferiores às

taxas correspondentes aos esforços calculados pelos outros métodos.

Comparando os diagramas de esforços obtidos através dos dois tipos de análises

implementados, verificou-se que a diferença entre os esforços variou em média 3,4 %

no que se refere ao valor do esforço normal e 1,2 % para as tensões cisalhantes.

À medida que se aumentava a quantidade de elementos na discretização dos

exemplos analisados, notou-se que média das tensões cisalhantes atuantes nos painéis

variaram em torno de 2% enquanto que a média do esforço normal atuante nos

enrijecedores variou 13,5 %. Como pode ser observado nas tabelas 6.5, 6.13 e 6.15, à

medida que se aumentava a quantidade de elementos na discretização o valor da média

de esforço normal diminuía, com exceção da média obtida com discretização da figura

6.7.

As médias de esforço normal obtidas com a análise não linear foram menores do

que aquelas obtidas na análise linear, com exceção das médias obtidas com as

discretizações das figuras 6.32 e 6.37, cujas médias de esforço normal na análise não

linear foram em média 1% maior do que as médias obtidas com a análise linear (tabela

6.15).

Nos exemplos analisados, observou-se que as cargas de colapso obtidas nas

curvas carga-deslocamento teóricas resultaram abaixo daquelas obtidas

experimentalmente e disponíveis na literatura. Este resultado é compatível com o que

postula o Teorema do Limite Inferior, no qual se fundamenta o Método dos Painéis

Enrijecidos.

No exemplo analisado no item 6.2, as curvas carga-deslocamento

correspondentes às duas discretizações empregadas resultaram praticamente iguais. Em

tal exemplo utilizou-se uma armadura mínima de 0,14% para os painéis localizados

entre as duas cargas concentradas, pelo fato destes painéis não estarem submetidos a

tensões cisalhantes. O objetivo da armadura mínima adotada é controlar a fissuração

dos referidos painéis.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

101

Reconhecidamente, os procedimentos para discretização e detalhamento de

armaduras das estruturas projetadas pelo MPE são relativamente simples. No entanto,

há necessidade da realização de comparações com resultados experimentais de

elementos estruturais, com armaduras obtidas e detalhadas com base no MPE, para que

se tirem conclusões definitivas a respeito da sua eficiência como ferramenta para

projetos estruturais. Vale ressaltar que o fato do concreto não ser, a rigor, um material

elastoplástico perfeito, reforça a necessidade de se conhecer mais resultados de testes

experimentais, especialmente no que se refere aos estudos relacionados com a

ductilidade de estruturas de concreto armado.

Verificou-se durante o estudo que as trajetórias de equilíbrio apresentavam

sensibilidade com relação ao valor do trabalho utilizado como controle da análise. Daí,

a necessidade de se adotar com cautela o valor do trabalho

∆

. Nas análises efetuadas

no presente estudo, os valores de

∆

foram adotados após verificações do

comportamento das forças desequilibradas em análises preliminares.

Como sugestões para trabalhos futuros, propõe-se o desenvolvimento de uma

formulação em três dimensões para analisar, por exemplo, vigas caixão submetidas à

torção.Também é sugerida a extensão do método para o estudo de estruturas em

concreto protendido e uma formulação alternativa e consistente para a matriz de rigidez

de painéis submetidos a tensões normais e de cisalhamento ao longo de seus lados.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

102

Referências Bibliográficas

BLAAUWENDRAAD, J.; HOOGENBOOM, P. C. J. (1996) -

Stringer Panel Model for

tructural Concrete Design. ACI Structural Journal, May - June, pp. 295 - 305.

COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON (1978) -

CEB – FIP Model code

1978, design code, Thomas Telford.

COLLINS, M. P.; MITCHELL, D. (1997) -

Prestressed Concrete Structures. Response

Publications.

COLLINS, M. P.; MITCHELL, D.; ADEBAR,P.; VECCHIO, F. J. (1986)-

A General

Shear Design Method. ACI Structural Journal, January - February, pp. 36 - 45.

EUROPEAN COMMITTEE STANDARDIZATION (1991) -

Eurocode 2 - Design of

Concrete Structures, Part 1. General rules and rules for buildings, London, BSI

GHALI, A.; FAVRE, A. ; FAVRE, R. (1994) - Concrete Structures: Stresses and

Deformations. Second Edition, E & FN Spon.

HOOGENBOOM, P. C. J. (1998) -

Discrete Elements and Nonlinearity in Design of

Structural Concrete Walls. Dissertation, Delft University of Technology.

HOOGENBOOM, P. C. J.; BLAAUWENDRAAD, J. (2000) - Quadrilateral Shear

Panel. Engineering Structures, 22, pp. 1690-1698.

MANSUR, M. A.; TAN, K. H.; LEE, S. L. (1985) -

Design Method for Reinforced

Concrete Beams with Large openings. ACI Structural Journal, July August , pp 517-

524.

MORSCH, E. (1908) -

Der Eisenbetonbau, Seine Theorie und Anwendung. Third

edition, Konrad Wittwer.

NIELSEN, M. P. (1999) -

Limit Analysis and Concrete Plasticity. Second Edition, CRC

Press LLC.

RITTER, W. (1899) –

Die Bauweise Henebique. Schweizerische Bauzeitung, Bd

XXXIII, No. 7

SCHLAICH, J., SCHÄFER, K.; JENNEWEIN, M. (1987) -

Toward a Consistent

Design of Structural Concrete. PCI Journal, May-June, pp. 74 -150.

SHAMES, I. H. (1989) –

Introduction to Solid Mechanics. Second Edition, Prentice-

Hall international.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

103

SHAYANFAR, M. A.; KHEYRODDIN, A.; MIRZA, M. S. (1997) -

Element Size

Effects in Nonlinear Analysis or Reinforced Concrete Members

. Computers &

Structures Vol. 62. No 2. pp. 339-352.

TAN, K. H.; MANSUR, M. A.; HUANG, L. M. (1996) -

Reinforced Concrete T-Beams

With Large Web Openings in Positive and Negative Moment Regions. ACI Structural

Journal, May - June, pp. 277 - 289.

TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. (1970) -

Theory of Elasticity. Third edition,

Mcgraw Hill Book company.

VECCHIO, F. J.; COLLINS, M. P. (1986) -

The Modified Compression - Field Theory

for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear. ACI Structural Journal, March -

April, pp. 219 - 231.

Bibliografia Complementar

ARGYRIS, J. H.; KELSEY, S. (1960) -

Energy Theorems and Structural Analysis.

Butterworths, London.

BELARBI, A.; HSU, Thomas T. C. (1994) -

Constitutive Laws of Concrete in Tension

and Reinforcing Bars Stiffined by Concrete. ACI Structural Journal, July - August, pp.

465 - 474.

BLAAUWENDRAAD J. (1994) -

Design of Structural Concrete with a Stringer-Panel-

Model (SPM). Festschrift zum 60. Geburtstag von Prof. Jorg Schneider, ETH Zurich.

BLAAUWENDRAAD, J.; HOOGENBOOM, P. C. J. (1997) -

Discrete Elements in

Structural Concrete Design

. Heron, Vol. 42, No. 3, pp.159 -168.

DA SILVA, R. C.; GIONGO, J. S. (2000) - Modelos de bielas e tirantes aplicados

estruturas de concreto armado. EESC - USP, São Paulo.

DAVID, X. B.; HSU, Thomas T. C. (1996) -

Fixed Angle Softened Truss Model for

Reinforced Concrete. ACI Structural Journal, March - April, pp. 197 - 207.

HSU,Thomas T. C.;ZHU, R. R. H. (2002) - Softened Membrane Model for Reinforced

oncrete Elements in Shear. ACI Structural journal, July - August, pp. 460 - 468.

KAERN, J. C. (1979) -

The Stringer Method Applied to Discs with Holes. Final Report

IABSE Colloquium Plasticity in Reinforced Concrete, Vol. 29, Copenhagen.

Contribuição ao projeto de elementos estruturais de concreto armado com descontinuidade através do

Modelo de Painéis Enrijecidos

___________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Dissertação de Mestrado de João Gilberto Teixeira Silva

104

LOURENÇO, P. B.; FIGUEIRAS, J. A. (1995) -

Solution for the Design of Reinforced

Concrete Plates and Shells. Journal of Structural Engineering, May, pp. 815 - 823.

MARTI P. (1985) -

Truss Models in Detailing. Concrete International, December, pp.

66 -73.

WANG, T.; HSU, T. T. C. (2001) -

Nonlinear Finite Analysis of Concrete Structures

sing New Constitutive Models. Computers & structures, August, pp. 2781 - 2791.

YANG, Y. B.; SHIEH, M. S. (1990) - S

olution Method for Nonlinear Problems with

Multiple Critical Points. AIAA Journal, pp. 2110 - 2116.

ZHU, Ronnie R. H; HSU,Thomas T. C. (2002) -

Poisson Effect in Reinforced Concrete

Membrane Elements. . ACI Structural Journal, September - October, pp. 631 - 640.

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 