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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
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a
1
a
2
1 x
1
x
2
2 x
1
x
2
x
1
x
2
Ω
x
1
x
2
x
1
x
2
1
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∆t
N
dist k
a
x = L
dt
N
u
1
u
2
G
G
G = 2
G = 20
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(a)
(b)
(c )
(d)
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∗ ∗∗
/
/
/
∗
∗∗
•
•
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X
1
,
2
, ..
X K
K = R K = C
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1
+
2
=
2
+
1
1
+ (
2
+
3
) = (
1
+
2
) +
3
1
,
2
∈ X α, β ∈ K
α(β
1
) = (αβ)
1
1 =
α(
1
+
2
) = α
1
+ α
2
(α + β)
1
= α
1
+ β
1
(− )
+ =
+ (− ) =
R
n
1
+
2
= (x
11
+ x
21
, ..., x
1n
+ x
2n
)
α
1
= (αx
11
, ..., αx
1n
)
[t
1
, t
2
] C[t
1
, t
2
]
[t
1
, t
2
]
(
1
+
2
)(t) =
1
(t) +
2
(t)
(α
1
)(t) = α
1
(t)
(X, d) X d
X X
1
,
2
,
3
∈ X
d(
1
,
2
)
d(
1
,
2
) = 0 ⇐⇒
1
=
2
d(
1
,
2
) = d(
2
,
1
)
d(
1
,
2
) ≤ d(
1
,
3
) + d(
2
,
3
)
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R
3
d(
1
,
2
) =
(x
11
− x
21
)
2
+ (x
12
− x
22
)
2
+ (x
13
− x
23
)
2
C[t
1
, t
2
]
d(
1
,
2
) = max
t ∈ [t
1
,t
2
]
|
1
(t) −
2
(t)|
0
X
B(
0
, ) = { ∈ X | d( ,
0
) < }
X
0
{
n
} X
∈ X
lim
n→∞
d(
n
, ) = 0
{
n
} {
n
}
> 0 N() > 0
d(
n
, ) < , para ∀ n > N()
X
X
X
X
X X K X
1 2
1
,
2
= β , β ∈ K
(
1
+
2
),
3
=
1
,
3
+
2
,
3
α
1
,
2
= α
1
,
2
1
,
2
=
2
,
1
1
,
1
≥ 0
1
,
1
= 0 ⇐⇒
1
=
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1
=
1
,
1
d(
1
,
2
) =
1
−
2
=
(
1
−
2
), (
1
−
2
)
H
R
n
1
∈ X
2
∈ X
1
,
2
= 0
1 2 1
⊥
2
Q X
Q ⊂ X
1
,
2
, ..,
n
α
1
, α
2
, .., α
n
α
1 1
+ α
2 2
+ ..α
n n
α
1
= α
2
= .. = α
n
= 0
P
1
,
2
=
0 se
1
=
2
1 se
1
=
2
P
H = { }
∈ H
=
∞
n=1
α
n n
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{α
n
} {
n
}
{
n
} ⊂ H {
n
} H
lim
n→∞
− (α
1 1
+ α
2 2
+ .. + α
n n
) = 0
{
n
} H
∞
n=1
| ,
n
|
2
=
2
,
i
=

∞
n=1
α
n n
,
i
=
∞
n=1
α
n
n
,
i
= α
i
=
∞
n=1
,
n
n
,
n
f g
[0, L]
f, g =
L
0
f(x)g(x)dx
f =
L
0
|f(x)|
2
dx
1/2
f(x)f(x) = |f(x)|
2
H
Y Z Y
⊥
= {z ∈
H |Z ⊥ Y }
X = Y ⊕ Z
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=
∞
n=1
α
n n
N
=
N
n=1
α
n n

N
+erro
N
Solução
Aproximação - XN
erroN
m
i
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a
i
xyz
m
i
F
i
+ f
i
+
N
j=1
j=i
f
ij
= m
i
a
i
N
f
i
f
ij
i j
F
i
f
i
F
i
+ f
i
+
N
j=1
j=i
f
ij
− m
i
a
i
= 0
N
i=1
f
i
.δr
i
= 0
δr
i
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N
i=1
(F
i
− m
i
a
i
).δr
i
=
N
i=1
f
i
.δr
i
N
i=1
(F
i
− m
i
a
i
).δr
i
= 0
T W
n
n
x
i
y
i
z
i
i = 1, 2, .., n
L
L = T − V
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
= 0
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q
i
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
= Q
i
Q
i
q
i
A
x=0
x=L
f(x,t)
i i i
ρ(x)A(x)dx
∂
2
u(x, t)
∂t
2
=
P
i
(x, t) +
∂P
i
(x, t)
∂x
dx
−P
i
(x, t) + f(x, t)
u(x, t)
P
i
(x, t)
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f(x, t)
A(x)
ρ(x)
P
i
(x, t)
A(x)
= E(x)(x, t)
E(x) (x, t) =
∂u
∂x
ρ(x)A(x)
∂
2
u(x, t)
∂t
2
=
∂
∂x
A(x)E(x)
∂u(x, t)
∂x
+ f(x, t)
A
E ρ x f(x, t) = 0
∂
2
u(x, t)
∂t
2
= c
2
∂
2
u(x, t)
∂x
2
c
2
= E/ρ
u(0, t) = 0 EA
∂u
∂x
(L, t) = 0
u(x, 0) = u
0
(x)
∂u
∂t
(x, 0) = v
0
(x)
u(0, t) = 0
x = 0
∂u
∂x
(L, t) = 0
x = L
u(0, t) = 0
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u(x, t) = X(x)T (t)
u x t
X x T t
X
¨
T = c
2
X

T ∴
X

X
=
¨
T
c
2
T
= −λ
2
˙
T =
dT
dt
X
=
dX
dx
¨
T + λ
2
c
2
T = 0
X

+ λ
2
X = 0
u(0, t) = X(0)T (t) = 0 ∴ X(0) = 0
EA
∂u(L, t)
∂x
= EA
dX(L)
dx
T (t) = 0 ∴
dX
dx
x=L
= 0
(λ, X) X = 0 X

+
λ
2
X = 0 X(0) = 0 X
(0) = 0 X(x)
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[0, L]
X(x) = C
1
cos(λx) + C
2
sen(λx)
C
1
C
2
X(0) = 0
C
1
= 0
X(x) = C
2
sen(λx)
EA
dX
dx
x=L
= (EA)λC
2
cos(λL) = 0
C
2
= 0
λ = 0
λ
cos(λL) = 0 ∴ λ
n
L =
(2n − 1)π
2
, sendo n = 1, 2, 3, ..
n = 1, 2, 3, ...
λ
n
=
(2n − 1)π
2L
X
n
(x) = C
2n
sen (λ
n
x) n = 1, 2, 3, ...
λ
n
X = 0
¨
T
n
+ λ
2
n
c
2
T
n
= 0
X

n
+ λ
2
n
X
n
= 0
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T
n
(t) = C
3n
cos(λ
n
ct) + C
4n
sen(λ
n
ct)
u
n
(x, t) = X
n
(x)T
n
(t)
u
n
(x, t) = sen(λ
n
x)(C
5n
cos(cλ
n
t) + C
6n
sen(cλ
n
t))
C
5n
= C
2n
C
3n
C
6n
= C
2n
C
4n
u
n
(x, t) =
∞
n=1
sen(λ
n
x) (C
5n
cos(cλ
n
t) + C
6n
sen(cλ
n
t))
C
5n
C
6n
u(x, 0) = u
0
(x)
u
0
(x) =
∞
n=1
C
5n
sen(λ
n
x)
sen(λ
m
x)
[0, L]
L
0
u
0
(x)sen(λ
m
x)dx =
L
0
∞
n=1
C
5n
sen(λ
n
x)sen(λ
m
x)dx
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L
0
sen
(2n − 1)π
2L
x
sen
(2m − 1)π
2L
x
dx =
L/2 n = m
0 n = m
n = m C
5n
C
5n
=
2
L
L
0
u
0
(x)sen(λ
n
x)dx
˙u(x, 0) = v
0
(x)
v
0
(x) =
∞
n=1
C
6n
cλ
n
sen(λ
n
x)
sen(λ
m
x)
[0, L]
L
0
v
0
(x)sen(λ
m
x)dx =
L
0
∞
n=1
C
6n
cλ
n
sen(λ
n
x)sen(λ
m
x)dx
C
6n
C
6n
=
2
Lcλ
n
L
0
v
0
(x)sen(λ
n
x)dx
u(x, t) =
∞
n=1
a
n
(t)φ
n
(x)
a
n
(t) = (C
5n
cos(cλ
n
t) + C
6n
sen(cλ
n
t))
φ
n
(x) = sen(λ
n
x)
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φ
n
(x) = sen
(2n − 1)πx
2L
= sen (λ
n
x)
ω
n
=
(2n − 1)πc
2L
= cλ
n
EA
∂u
∂x
(0, t) = 0 EA
∂u
∂x
(L, t) = 0 ∴ EA
dX
dx
x=0,L
= 0
X
(x) = −C
1
λsen(x) + C
2
λcos(x)
X
(0) = 0
X
(0) = −C
1
λsen(0)

=0
+C
2
λ cos(0)

=1
= 0 ∴ C
2
= 0
X
(L) = 0
X
(L) = −C
1
λsen(λL) = 0
λ X|
λ=0
= 0
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X

+ λ
2
X = 0 λ = λ
0
= 0 X = X
0
d
2
X
0
(x)
dx
2
= 0
X
0
(x) = A
0
A
0
L
0
ρX
2
0
dx = 1
X
0
(x) =
1
√
ρL
X
0
ω
0
= 0
Sistema Discreto
Resposta
Precisão
Satisfeita?
Aumentar número de elementos
da base usados na aproximação
ok!
Não
Sim
x=0
x=L
Lr
1
φ
n
C[0, L]
C[0, L]
u
N
(·, t) =
N
n=1
a
n
(t)φ
n
(x)
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u
N
(·, t) u(·, t) N
lim
N→∞
u
N
(·, t) − u(·, t) = 0
erro
N
(·, t) =
∞
n=N+1
u
n
(·, t)
erro
N
n = N
ρ m
3
φ
n
(x) = sen(λ
n
x)
n = 1, 2, 3, ..
λ
n
=
(2n − 1)π
2L
ω
n
= cλ
n
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7.930
23.790
39.640
55.500
71.360
87.220
103.070
118.930
134.790
150.640
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φ
n
(x) = sen(λ
n
x)
λ
n
=
nπ
L
ω
n
= cλ
n
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
15.860
31.710
47.570
63.430
79.290
95.140
111.000
126.860
142.720
158.570
−
d
dx
p(x)
du
dx
+ q(x)u = f(x) , 0 ≤ x ≤ 1
u p q f [0, 1]
u(0) = 0
du
dx
(1) = 0
p(x) = 1 q(x) = 0
d
2
u
dx
2
+ f(x) = 0
f
1
0
(f(x))
2
dx < ∞
f
H
0
L
2
(0, L)
f f
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f H
1
C
f
1
0
df
dx
2
dx < ∞
C u(0) = 0
u
(L) = 0
w
d
2
u
dx
2
, w
+ f, w = 0
w
1
0
d
2
u(x)
dx
2
w(x)dx +
1
0
f(x)w(x)dx = 0
1
0
udv =
uv|
1
0
−
1
0
vdu
1
0
du
dx
dw
dx
dx − w
du
dx
1
0
=
1
0
fwdx
w
u(0) = 0
u
(1) = 0
u
u
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u w
H
1
E
E
N
(N − 1)
2N
u ∈ H
1
E
1
0
du
dx
dw
dx
dx − w(1)
du
dx
(1)

=0
+ w(0)

=0
du
dx
(0) =
1
0
fwdx , ∀w ∈ H
1
E
1
0
du
dx
dw
dx
dx =
1
0
fwdx , ∀w ∈ H
1
E
(0, L)
w ∈ {H
1
(0, L) : w(0) = 0}
H
1
E
⊂ H
2
C
Espaço de funções
para formulação fraca
Espaço de funções
para formulação forte
u
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u
N
(x) =
N
i=1
a
i
φ
i
(x)
a
i
φ
i
N φ
1
, φ
2
, .., φ
N
H
1
E
u(x) = u
N
(x) +
∞
i=N+1
a
i
φ
i
(x)

erro
N
1
0
du
N
(x)
dx
dw(x)
dx
dx −
1
0
f(x)w(x)dx =
1
0
d(erro
N
(x))
dx
dw(x)
dx
dx
w ψ
1
, ψ
1
, .., ψ
N
φ
i
H
1
E
a
i
1
0
dφ
i
(x)
dx
dψ
i
(x)
dx
dx −
1
0
fψ
i
(x)dx =
1
0
d(erro
N
(x))
dx
dψ
i
(x)
dx
dx
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Espaço das funções teste
Erro
1
0
d(erro
N
(x))
dx
dψ
i
(x)
dx
dx = 0
a
i
1
0
dφ
i
(x)
dx
dψ
i
(x)
dx
dx −
1
0
fψ
i
(x)dx = 0
ψ
i
φ
i
ψ
i
= φ
i
a
i
1
0
dφ
i
(x)
dx
dφ
i
(x)
dx
dx −
1
0
fφ
i
(x)dx = 0
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L
Lu, w = u, Lw
u w
L L = L
T
ρA
∂
2
u(x, t)
∂t
2
− EA
∂
2
u(x, t)
∂x
2
= f(x, t)
L
0
ρA
∂
2
u(x, t)
∂t
2
− EA
∂
2
u(x, t)
∂x
2
− f(x, t)
φ
j
(x)dx = 0
φ
i
H
1
[0, L]
ρA
L
0
∂
2
u(x, t)
∂t
2
φ
j
(x)dx + EA
L
0
∂u(x, t)
∂x
dφ
j
(x)
dx
dx+
−EA
∂u(x, t)
∂x
φ
j
(x)
L
0
=
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
−EA
∂u(x, t)
∂x
φ
j
(x)
L
0
= −EA
∂u
∂x
(x = L)

=0
φ
j
(L) + EA
∂u
∂x
(x = 0) φ
j
(0)

=0
= 0
∂u
∂x
(L) = 0
φ
j
(0) = 0
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
u
N
(x, t) =
N
i=1
a
i
(t)φ
i
(x)
¨a
i
(t)ρA
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx + a
i
(t)EA
L
0
dφ
i
(x)
dx
dφ
j
(x)
dx
dx =
=
L
0
f
i
(x, t)φ
j
(x)dx
M(φ
i
, φ
j
)¨a
i
(t) + K(φ
i
, φ
j
)a
i
(t) = F (φ
j
)
M(φ
i
, φ
j
)
K(φ
i
, φ
j
)
F (φ
j
)
M(φ
i
, φ
j
) = ρA
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx K(φ
i
, φ
j
) = EA
L
0
dφ
i
(x)
dx
dφ
j
(x)
dx
dx
F (φ
j
) =
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
M(φ
i
, φ
j
) K(φ
i
, φ
j
)
F (φ
j
)
M
ji
¨a
i
(t) + K
ji
a
i
(t) = F
i
(t) ∴
M
¨
(t) + K (t) = (t)
i = 1, 2, .., N j = 1, 2, .., N
M K
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
C
p
= αM + βK
ρA
∂
2
u(x, t)
∂t
2
+ c
∂u(x, t)
∂t
− EA
∂
2
u(x, t)
∂x
2
= f(x, t)
c
L
0
ρA
∂
2
u(x, t)
∂t
2
+ c
∂u(x, t)
∂t
− EA
∂
2
u(x, t)
∂x
2
− f(x, t)
φ
j
(x)dx = 0
φ
i
H
1
[0, L]
ρA
L
0
∂
2
u(x, t)
∂t
2
φ
j
(x)dx + EA
L
0
∂u(x, t)
∂x
dφ
j
(x)
dx
dx
+c
L
0
∂u(x, t)
∂t
φ
j
(x)dx −EA
∂u(x, t)
∂x
φ
j
(x)
L
0
=
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
−EA
∂u(x, t)
∂x
φ
j
(x)
L
0
= −EA
∂u
∂x
(x = L)

=0
φ
j
(L) + EA
∂u
∂x
(x = 0) φ
j
(0)

=0
= 0
∂u
∂x
(L) = 0
φ
j
(0) = 0
u
N
(x, t) =
N
i=1
a
i
(t)φ
i
(x)
M(φ
i
, φ
j
)¨a
i
(t) + C(φ
i
, φ
j
)˙a
i
(t) + K(φ
i
, φ
j
)a
i
(t) = F (φ
j
)
M(φ
i
, φ
j
)
K(φ
i
, φ
j
) C(φ
j
)
F (φ
j
)
M(φ
i
, φ
j
) = ρA
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx , K(φ
i
, φ
j
) = EA
L
0
dφ
i
(x)
dx
dφ
j
(x)
dx
dx
F (φ
j
) =
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx , C(φ
i
, φ
j
) = c
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx
C(φ
i
, φ
j
) = αM(φ
i
, φ
j
)
M
ji
¨a
i
(t) + C
ji
˙a
i
(t) + K
ji
a
i
(t) = F
i
(t) ∴
M
¨
(t) + C
˙
(t) + K (t) = (t)
i = 1, 2, .., N j = 1, 2, .., N
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
s
exa
s
aprox
e
abs
= |s
exa
− s
aprox
|
e
rel
=
s
exa
− s
aprox
s
exa
e
perc
=
s
exa
− s
aprox
s
exa
100
T
i
=
1
2
ω
2
i
φ
T
i
Mφ
i
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
V
i
=
1
2
φ
T
i
Kφ
i
ω
i
K M
φ
i
λ(φ
i
) = ω
2
i
=
φ
T
i
Kφ
i
φ
T
i
Mφ
i
=
V
i
T
i
e
perc
=
λ
(N)
i
− λ
(N−1)
i
λ
(N)
i
100
N
n
f =
L
0
|f(x)|
2
dx
1/2
f
N
f
(N−1)
e
perc
=
f
(N)
− f
(N−1)
f
(N)
100
N
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
Sistema Discreto
Resposta
Precisão
Satisfeita?
Aumentar número de elementos
da base usados na aproximação
ok!
Não
Sim
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
dw/dx
w
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
ρ(x)A(x)
∂
2
w(x, t)
∂t
2
+
∂
2
∂x
2
E(x)I(x)
∂
2
w(x, t)
∂x
2
−
∂
∂x
P (x, t)
∂w(x, t)
∂x
=
= f(x, t)
w(x, t)
A(x)
I(x)
E(x)
ρ(x)
f(x, t)
P (x, t)
P (x, t) = 0 A(x) I(x) E(x) ρ(x)
ρA
∂
2
w(x, t)
∂t
2
+
∂
2
∂x
2
EI
∂
2
w(x, t)
∂x
2
= f(x, t)
L
0
ρA
∂
2
w(x, t)
∂t
2
+
∂
2
∂x
2
EI
∂
2
w(x, t)
∂x
2
− f(x, t)
φ
j
(x)dx =
L
0
ρA
∂
2
w(x, t)
∂t
2
φ
j
(x)dx −
L
0
dφ
j
(x)
dx
∂
∂x
EI
∂
2
w(x, t)
∂x
2
+
+ φ
j
(x)
∂
∂x
EI
∂
2
w(x, t)
∂x
2
L
0
=
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
L
0
ρA
∂
2
w(x, t)
∂t
2
φ
j
(x)dx +
L
0
EI
d
2
φ
j
(x)
dx
2
∂
2
w(x, t)
∂x
2
+
− EI
dφ
j
(x)
dx
∂
2
w(x, t)
∂x
2
L
0
+ φ
j
(x)
∂
∂x
EI
∂
2
w(x, t)
∂x
2
L
0
=
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
x = 0
w(0, t) = 0 ∴
dφ
i
dx
(0) = 0
∂w
∂x
(0, t) = 0 ∴ φ
i
(0) = 0
x = L
Q(L, t) = −
∂
∂x
EI
∂
2
w
∂x
2
x=L
= 0 ∴
∂
2
w
∂x
2
x=L
= 0
M
f
(L, t) = EI
∂
2
w
∂x
2
x=L
= 0 ∴
∂
3
w
∂x
3
x=L
= 0
Q M
f
x = L
Q = M
f
= 0
EI
dφ
j
(x)
dx
∂
2
w(x, t)
∂x
2
L
0
= EI
dφ
j
dx
(L)
∂
2
w
∂x
2
(L, t)

=0
−EI
dφ
j
dx
(0)

=0
∂
2
w
∂x
2
(0, t) = 0
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
φ
j
(x)
∂
∂x
EI
∂
2
w(x, t)
∂x
2
L
0
= EIφ
j
(L)
∂
3
w
∂x
3
(L, t)

=0
−EI φ
j
(0)

=0
∂
3
w
∂x
3
(0, t) = 0
L
0
ρA
∂
2
w(x, t)
∂t
2
φ
j
(x)dx +
L
0
EI
d
2
φ
j
(x)
dx
2
∂
2
w(x, t)
∂x
2
=
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
w
N
(x, t) =
N
i=1
a
i
(t)φ
i
(x)
a
i
φ
i
ρA¨a
i
(t)
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx + EIa
i
(t)
L
0
φ

i
(x)φ

j
(x)dx =
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
a
i
φ
i
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
M(φ
i
, φ
j
) = ρA
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx , K(φ
i
, φ
j
) = EI
L
0
φ

i
(x)φ

j
(x)dx
F (φ
j
) =
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
M
¨
(t) + K (t) = F (t)
i = 1, 2, .., N j = 1, 2, .., N
a
i
i = 1, 2, 3, ..N
N = 5
ρA
∂
2
w(x, t)
∂t
2
+ c
∂w(x, t)
∂t
+
∂
2
∂x
2
EI
∂
2
w(x, t)
∂x
2
= f(x, t)
c
L
0
ρA
∂
2
w(x, t)
∂t
2
φ
j
(x)dx +
L
0
c
∂w(x, t)
∂t
φ
j
dx +
L
0
EI
∂
2
w(x, t)
∂x
2
d
2
φ
j
(x)
dx
2
dx
− EI
dφ
j
(x)
dx
∂
2
w(x, t)
∂x
2
L
0
+ φ
j
(x)
∂
∂x
EI
∂
2
w(x, t)
∂x
2
L
0
=
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
w
N
=
a
i
φ
i
ρA¨a
i
(t)
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx + ˙a
i
(t)c
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx+
+EIa
i
L
0
φ

i
(x)φ

j
(x)dx =
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
M(φ
i
, φ
j
) = ρA
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx , C(φ
i
, φ
j
) = c
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx
K(φ
i
, φ
j
) = EI
L
0
φ

i
(x)φ

j
(x)dx , F (φ
j
) =
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
M
¨
(t) + C
˙
(t) + K (t) = (t)
Sistema Discreto
Resposta
Precisão
Satisfeita?
Aumentar número de elementos
da base usados na aproximação
ok!
Não
Sim
Material - Aço:
E=200GPa (Módulo de Elasticidade
=7850 kg/m (massa específica)
c=5000 Ns /N (amortecimento)
r
3
2
L=3m
F(t)=120 (200(2 ).t) N
p
h=5cm
b=10cm
w = 0 ˙w = 0
6
x = L
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
x = L
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
x = L
ω
n
=
4.5207
28.3308
79.3279
155.4526
256.9769
383.8848
ω
d
=
4.4055
28.3127
79.3214
155.4493
256.9749
383.8834
ω
d
i
= ω
i
1 − ξ
2
i
ξ
i
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
ξ =
0.2242
0.0358
0.0128
0.0065
0.0039
0.0026
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
¨a
i
(t)ρA
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx+a
i
(t)EA
L
0
dφ
i
(x)
dx
dφ
j
(x)
dx
dx =
L
0
P
i
(x, t)φ
j
(x)dx
L
0
φ
1
dx =
x
2
x
1
φ
1
dx
u(x
j
, t) =
N
i=1
a
i
(t)φ
i
(x
j
)
x
j
φ
i
(x
j
) = δ
ij
δ
ij
= 1 i = j i = j
a
i
u(x
i
, t)
u(x
j
, t) =
N
i=1
a
i
(t)φ
i
(x
j
) =
N
i=1
a
i
(t)δ
ij
= a
j
(t)
∴ a
i
(t) = u(x
i
, t)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
M
(3)
= ρA
x
4
x
3
φ
3
φ
3
dx
x
4
x
3
φ
3
φ
4
dx
x
4
x
3
φ
4
φ
3
dx
x
4
x
3
φ
4
φ
4
dx
K
(3)
= EA
x
4
x
3
dφ
3
dx
dφ
3
dx
dx
x
4
x
3
dφ
3
dx
dφ
4
dx
dx
x
4
x
3
dφ
4
dx
dφ
3
dx
dx
x
4
x
3
dφ
4
dx
dφ
4
dx
dx
F
(3)
=
x
4
x
3
P
3
φ
3
dx
x
4
x
3
P
4
φ
4
dx
ξ = −1 ξ = 1
)(
)(
1
xf
e
)(
)(
2
xf
e
x
+1
-1
1
2
φ
(e)
1
(ξ) =
1 − ξ
2
φ
(e)
2
(ξ) =
1 + ξ
2
3
M
(3)
=
ρA∆x
(e)
6
1 −1
−1 1
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
K
(3)
=
EA
∆x
(e)
1 −1
−1 1
K
(3)
=
1
∆x
(e)
−P
3
P
4
∆x
(e)
K =
K
(1)
1,1
K
(1)
1,2
0 0 ..
K
(1)
2,1
K
(1)
2,2
+ K
(2)
1,1
0 0 ..
0 K
(2)
2,1
K
(2)
2,2
+ K
(3)
1,1
0 ..
0 0 K
(3)
2,1
K
(3)
2,2
..
0 0 0 0 ..
..
K
2,5
=
1
0
dφ
2
dx
dφ
5
dx
dx = 0
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
)(
)(
3
xf
e
)(
)(
1
xf
e
)(
)(
2
xf
e
x
+1
-1
1
2
3
u
(e)
= φ
1
u(x
1
) + φ
2
u(x
2
) + φ
3
u(x
3
)
φ
1
(x) =
1
2
(1 − x) −
1
2
(1 − x
2
)
φ
2
(x) =
1
2
(1 + x) −
1
2
(1 − x
2
)
φ
3
(x) = (1 − x
2
)
u
(e)
= φ
1
u(x
1
) + φ
2
u(x
2
) + φ
3
u(x
3
) + φ
4
u(x
4
)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
φ
1
(x) =
1
2
(1 − x) −
1
2
(1 − x
2
) +
1
16
(−9x
3
+ x
2
+ 9x − 1)
φ
2
(x) =
1
2
(1 + x) −
1
2
(1 − x
2
) +
1
16
(9x
3
+ x
2
− 9x − 1)
φ
3
(x) = (1 − x
2
) +
1
16
(27x
3
+ 7x
2
− 27x − 7)
φ
4
(x) =
1
16
(−27x
3
− 9x
2
+ 27x + 9)
w(x)
w
(e)
= φ
1
(x)v
1
+ φ
2
(x)θ
1
+ φ
3
(x)v
2
+ φ
4
(x)θ
2
θ =
∂w
(e)
∂x
w
(e)
(0) = v
1
w
(e)
(L) = v
2
θ(0) = θ
1
θ(L) = θ
2
φ
i
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
H(x) φ(x)
φ
1
(x) = 1 − 3x
2
/l
2
+ 2x
3
/l
3
φ
2
(x) = x − 2x
2
/l + x
3
/l
2
φ
3
(x) = 3x
2
/l
2
+ 2x
3
/l
3
φ
4
(x) = x
2
/l + x
3
/l
2
Φ = [φ
1
φ
2
φ
3
φ
4
]
ρA¨a
i
(t)
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx + EIa
i
(t)
L
0
φ

i
(x)φ

j
(x)dx =
L
0
fφ
j
dx
M
(1)
= ρA
x
2
x
1
φ
1
φ
1
dx
x
2
x
1
φ
1
φ
2
dx
x
2
x
1
φ
1
φ
3
dx
x
2
x
1
φ
1
φ
4
dx
x
2
x
1
φ
2
φ
1
dx
x
2
x
1
φ
2
φ
2
dx
x
2
x
1
φ
2
φ
3
dx
x
2
x
1
φ
2
φ
4
dx
x
2
x
1
φ
3
φ
1
dx
x
2
x
1
φ
3
φ
2
dx
x
2
x
1
φ
3
φ
3
dx
x
2
x
1
φ
3
φ
4
dx
x
2
x
1
φ
4
φ
1
dx
x
2
x
1
φ
4
φ
2
dx
x
2
x
1
φ
4
φ
3
dx
x
2
x
1
φ
4
φ
4
dx
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
K
(1)
= EI
x
2
x
1
φ
1
φ
1
dx
x
2
x
1
φ

1
φ

2
dx
x
2
x
1
φ

1
φ

3
dx
x
2
x
1
φ

1
φ

4
dx
x
2
x
1
φ

2
φ

1
dx
x
2
x
1
φ

2
φ

2
dx
x
2
x
1
φ

2
φ

3
dx
x
2
x
1
φ

2
φ

4
dx
x
2
x
1
φ

3
φ

1
dx
x
2
x
1
φ

3
φ

2
dx
x
2
x
1
φ

3
φ

3
dx
x
2
x
1
φ

3
φ

4
dx
x
2
x
1
φ

4
φ

1
dx
x
2
x
1
φ

4
φ

2
dx
x
2
x
1
φ

4
φ

3
dx
x
2
x
1
φ

4
φ

4
dx
M
(e)
=
x
2
x
1
ρAΦ
T
Φdx =
ρAl
400
156 22l 54 −13l
22l 4l
2
13l −3l
2
54 13l 156 −22l
−13l −3l
2
−22l 4l
2
K
(e)
=
x
2
x
1
EIΦ
T
Φ

dx =
EI
l
3
12 6l −12 6l
6l 4l
2
−6l 2l
2
−12 −6l 12 −6l
6l 2l
2
−6l 4l
2
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
Sistema Discreto
Resposta
Precisão
Satisfeita?
Aumentar número de elementos
da base usados na aproximação
ok!
Não
Sim
Material - Aço:
E=200GPa (Módulo de Elasticidade
=7850 kg/m (massa específica)
r
3
L=3m
F(t)=120 (200(2 ).t) N
p
h=5cm
b=10cm
0, 01
w = 0 ˙w = 0
2, 66 60
20
7 0, 5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
5, 7
60
183 3 61 61
3
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
u
1
u
2
u
1
u
2
u
3
u
4
u
1
= u
1
cos(θ) + u
2
sen(θ)
u
2
= u
3
cos(θ) + u
4
sen(θ)
u = T u
u
T
= [u
1
u
2
] u
T
= [u
1
u
2
u
3
u
4
]
T =
cosθ senθ 0 0
0 0 cosθ senθ
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
=
cosθ senθ 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cosθ senθ 0
0 0 0 −senθ cosθ 0
0 0 0 0 0 1
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
V =
1
2
(u
T
Ku) =
1
2
(u
T
Ku)
T =
1
2
( ˙u
T
M ˙u) =
1
2
( ˙u
T
M ˙u)
u = T u
V =
1
2
[(u
T
T
T
)K (T u)] =
1
2
u
T
(T
T
K T )u
K = T
T
KT
M = T
T
MT
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
F (x, t) =
N
j=1
L
0
f(x, t)φ
j
(x)dx
f(x) = δ(x − x
1
)
x
1
δ
δ f(x) x
x = x
1
F
F =
N
j=1
L
0
δ(x − x
1
)φ
j
dx =
N
j=1
φ
j
(x
1
)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
f(x) =
f
L
− f
0
L
x + f
0
f
0
f
L
F =
N
j=1
L
0

f
L
− f
0
L
x + f
0
φ
j
dx
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
δ
c
=
F L
3
3EI
δ
d
=
F L
4
8EI
= K
−1
F
K F
δ
c
= −4, 33.10
−5
m δ
d
= −4, 88.10
−5
m
δ
c
= −4, 32.10
−5
m δ
d
= −4, 86.10
−5
m
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
δ
c
m δ
d
m
−4, 32.10
−5
−4, 86.10
−5
−4, 32.10
−5
−4, 86.10
−5
−4, 33.10
−5
−4, 88.10
−5
ρA(x)
∂
2
u(x, t)
∂t
2
=
∂
∂x
A(x)E
∂u(x, t)
∂x
+ f(x, t)
L
0
ρA
∂
2
u(x, t)
∂t
2
φdx = φ
EA
∂u
∂x
L
0
−
L
0
EA
∂u
∂x
∂φ
∂x
+
L
0
f(x, t)φdx
φ
EA
∂u(x, t)
∂x
L
0
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
u(0) = 0 e EA
∂u
∂x
L
= 0
u(0) = 0 e EA
∂u
∂x
L
= ku|
L
u(0) = 0 e EA
∂u
∂x
L
= m
∂
2
u
∂t
2
L
K =
L
0
EAφ

i
φ

j
dx + φ(L) ku|
L
M =
L
0
ρAφ
i
φ
j
dx + φ(L) m
∂
2
u
∂t
2
L
ω
n
=
(2n − 1)πc
2L
c =
E
ρ
ω
n
= sin
(2n − 1)πx
2L
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
ω
n
=
λ
n
c
L
λ
n
cot(λ
n
) = −
kL
EA
sin
λ
n
x
L
ω
n
=
λ
n
c
L
cot(λ
n
) =
m
ρAL
λ
n
sin
λ
n
x
L
λ
n
5 10 cm
2
7850 kg/m
3
0, 005%
50 50
350
1262
3786
6310
8834
1.1358
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
k = 1GNm
λ
n
0, 0001 λ
n
{2.0288; 4.9132; 7.9787; 11.0855; 14.2074}
350
λ
n
1630
3947
6410
8905
1.1413
1630
3947
6410
8906
1.1414
0, 1%
ω
n
=
K
M
M
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
m = 10kg λ
n
1e − 4 λ
n
{1.2601; 3.9267; 6.8063; 9.8055; 12.8625}
350
λ
n
1012
3154
5468
7877
1.0333
1012
3155
5468
7878
1.0334
0, 1%
ω
n
=
K
M
K
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
M
¨
(t) + K (t) =
M K
=
(t) =
i
e
jω
i
t
j =
√
−1 ω
i
i
(−ω
2
i
M + K)
i
e
jω
i
t
=
i
= 0 [e
jω
i
t
] = 0
(−ω
2
i
M + K)
i
=
M K
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
ω
2
i
i
ω
2
i
M
i
= K
i
ω
2
i
M
i
,
i
= K
i
,
i
ω
2
i
=
K
i
,
i
M
i
,
i
≥ 0
U
U =
| | .. |
1 2
..
N
| | .. |
M K
U
T
MU =
m
i
e U
T
KU =
k
i
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
U
M K U γ
i
φ
i
= γ
i i
−→ γ
2
i
T
i
M
i
= I
γ
i
= 1/
√
m
i
I
Φ
Φ =
| | .. |
φ
1
φ
2
.. φ
N
| | .. |
Φ M K
Φ
T
MΦ =
1
e Φ
T
KΦ =
ω
2
i
(t) = Φ (t)
MΦ
¨
(t) + KΦ (t) = (t)
Φ
T
Φ
T
MΦ
¨
(t) + Φ
T
KΦ (t) = Φ
T
(t)
¨
(t) +
ω
2
i
(t) = Φ
T
(t)
(t)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
(t) =
N
i=1
q
i
(t)φ
i
, ou
(t) =
N
i=1
aφ
i
cos(ω
i
t + ϕ)
ω
i
φ
i
a ϕ
M
¨
(t) + C
p
˙
(t) + K (t) = 0
C
p
= αM + βK C
p
M K
M K C
p
(t) = Φ (t)
Φ
T
MΦ
¨
(t) + Φ
T
C
p
Φ
˙
(t) + Φ
T
KΦ (t) = Φ
T
(t)
¨
(t) +
2ξ
i
ω
i
˙
(t)
ω
2
i
(t) = Φ
T
(t)
ξ
i
= c
i
/c
i
crit
c
i
crit
= 2m
i
ω
i
= 2
√
m
i
k
i
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
(t) =
N
i=1
q
i
(t)φ
i
, ou
(t) =
N
i=1
aφ
i
e
−ξ
i
ω
i
t
cos(ω
d
i
t + ϕ)
ω
d
i
= ω
i
1 − ξ
2
i
w(x)
x
nó estacionário
α β C
p
= αM + βK
M =
2 0
0 3
K =
2 −1
−1 1
C
p
=
1
6
M +
1
10
K
(−ω
2
i
M + K)
i
= 0
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
ω
2
i
1, 1937 0
0 0, 1396
ω
1
= 1, 0926
ω
2
= 0, 3736
i
U =
0, 9325 0, 5025
−0, 3613 0, 8646
U
T
MU =
2, 1305 0
0 2, 7475
=
m
i
U
T
KU =
2, 5432 0
0 0, 3836
=
k
i
M
φ
i
=
1
√
m
i
i
Φ =
0, 6388 0, 3031
−0, 2475 0, 5216
Φ
T
MΦ = I
Φ
T
KΦ =
1, 1937 0
0 0, 1396
ω
2
i
Φ
T
C
p
Φ =
0, 2860 0
0 0, 1806
2ξ
i
ω
i
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
ξ =
0, 1309 0
0 0, 2417
w
d
1
= 1, 0832 w
d
2
= 0, 3626
M
¨
(t) + G
˙
(t) + K (t) =
G
K
(t) =
i
e
jω
i
t
ω
i i
−ω
2
i
M
i
+ jω
i
G
i
+ K
i
=
(−ω
2
i
M + jω
i
G + K) =
M
∗
˙
(t) = −G
∗
(t)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
(t) =
(t)
˙
(t)
M
∗
=
K 0
0 M
= M
∗T
G
∗
=
0 −K
K G
= −G
∗T
(t) =
i
e
jωt
i
[jω
i
M
∗
+ G
∗
]
i
=
j
i
=
R
i
+ j
I
i
ω
i
M
∗
R
i
= −G
∗
I
i
ω
i
M
∗
I
i
= G
∗
R
i
R
i
I
i
K
∗
R
i
= λ
i
M
∗
R
i
K
∗
I
i
= λ
i
M
∗
I
i
λ
i
= ω
2
i
K
∗
=
KM
−1
K KM
−1
G
G
T
M
−1
K G
T
M
−1
G
= K
∗T
j
2n
λ
i
= +jω
i
i = 1, 2, .., n
λ
i+n
= −jω
i
i = 1, 2, .., n
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
i
=
φ
i
φ
i
λ
i
φ
i
= φ
R
i
+ jφ
I
i
(t) = a[φ
R
i
cos(ω
i
t − ϕ) − φ
I
i
sen(ω
i
t − ϕ)]
a ϕ
M
¨
(t) + C
˙
(t) + K (t) =
C
C M
M 0
˙
(t) +
K 0
0 −M
(t) =
(t) =
(t)
˙
(t)
C M
M 0
i
λ
i
+
K 0
0 −M
i
=
2n λ
i
2n
Λ =
λ
i
i
=
φ
i
φ
i
λ
i
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
λ
i
= η
i
+ jω
i
i = 1, 2, .., n
λ
i+n
= η
i
− jω
i
i = 1, 2, .., n
φ
i
= φ
R
i
+ jφ
I
i
Φ
T
C M
M 0
Φ = Λ =
µ
i
,
Φ
T
K 0
0 −M
Φ = Λ =
µ
i
λ
i
Φ
(t) = ae
η
i
t
[φ
R
i
cos(ω
i
t − ϕ) − φ
I
i
sen(ω
i
t − ϕ)]
a ϕ
c
1
= cos(ω
i
t −ϕ)
φ
R
i
c
2
= sen(ω
i
t−ϕ)
φ
I
i
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
(t)
(t)
H(ω)F (ω) = X(ω)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
H(ω) F (ω)
X(ω) ω
x(t) = a
0
+ 2
∞
n=1
a
n
cos
2πnt
T
+ b
n
sin
2πnt
T
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
a
0
x(t) T −T/2
+T/2
a
n
=
1
T
+T/2
−T/2
x(t)cos
2πnt
T
dt , b
n
=
1
T
+T/2
−T/2
x(t)sin
2πnt
T
dt
x(t) =
+∞
n=−∞
1
T
+T/2
−T/2
x(τ)e
−j2πnτ /T
dτ
e
j2πnt/T
n < 0 n > 0
x(t) =
∞
−∞
∞
−∞
x(τ)e
−j2πf τ
dτ
e
j2πf t
df
x(t) =
∞
−∞
X(f)e
j2πf t
df
f = n/T
X(f) =
∞
−∞
x(τ)e
−j2πf τ
dτ
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
X(m) =
1
N
N
n=1
X(n)e
−j2π
nm
N
m N
1000Hz 400
1000/400 = 2, 5 2400 1000/2400 = 0, 42
N
2
Nlog
2
(N)
N = 50 10
N = 1000 100
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
r
r = 1
r = 1, 5
r = 2
r = 50
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
w(t) =
1
2
1 + cos
2πt
T

ω = 0 t < −T/2 t > T/2
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000
f [cpm]
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
v [mm/s]
M
... TIRAS A QUENTE\13-SISTEMAS VENTILAÇÃO\283-SIST. VENT. SALA MOTORES\015-Ventilador WYD-5\Ventilador\3H -Mancal 3 \Velocidade - Espectro (06/04/2005 15:58:55)
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000
f [cpm]
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
v [mm/s]
M
... TIRAS A QUENTE\13-SISTEMAS VENTILAÇÃO\283-SIST. VENT. SALA MOTORES\015-Ventilador WYD-5\Ventilador\3H -Mancal 3 \Velocidade - Espectro (06/04/2005 15:58:55)
1X RPM
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000
f [cpm]
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
a [g]
M
...Y1-E\Compressor\4A -Mancal 4 \Aceleração - Espectro (06/04/2005 16:00:59)
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000
f [cpm]
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
a [g]
M
...Y1-E\Compressor\4A -Mancal 4 \Aceleração - Espectro (06/04/2005 16:00:59)
# pás X RPM
1X
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
M
¨
(t) + C
˙
(t) + K (t) = (t)
(t) = e
jωt
(t) = e
jωt
(−ω
2
M + jωC + K)Xe
jωt
= F e
jωt
ω
= (−ω
2
M + jωC + K)
−1
F = H(w)
H(ω) = (−ω
2
M + jωC + K)
−1
H(ω) j
i H(i, j) H(i, j)
H(3, 2)
3 2
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
H
ij
180
0
H
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
−→
−→
−→
−→
−→
−→
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
M =
4 0 0
0 4 0
0 0 4
K =
8 −4 0
−4 8 −4
0 −4 4
C
p
=
1
10
M +
1
12
K
ω
n
=
1, 8019 0 0
0 1, 2470 0
0 0 0, 4450
ω
d
=
1, 7924 0 0
0 1, 2417 0
0 0 0, 4412
Φ =
0, 2955 0, 3685 0, 1640
−0, 3685 0, 1640 0, 2955
0, 1640 −0, 2955 0, 3685
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
ξ =
0, 1028 0 0
0 0, 0921 0
0 0 0, 1309
H(ω) =
1
−mw
2
+ cjw + k
=
R
(jω − p)
+
R
∗
(jω − p
∗
)
R = −j
1
2mw
d
w
d
= w
n
1 − ξ
2
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
p = −σ + jw
d
σ =
w
2
n
− w
2
d
= c/2m
∗
σ
w
d
R
H
ij
(ω) =
m
r=1
R
ijr
(jω − p
r
)
+
R
∗
ijr
(jω − p
∗
r
)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
m = 1 k = 400
20Hz
ξ = 0, 05
ξ = 0, 5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
σ
v
(x, t) = (x, t)

resposta
−E[ (x, t)]

media
R(x, x
) = E[ (x, t) ⊗ (x
, t)]
n u
1
(t), u
2
(t), ..., u
n
(t)
m
U = [
1 2
...
n
] =
1
(t
1
)
2
(t
1
) ...
n
(t
1
)
. . . .
. . . .
. . . .
1
(t
m
)
2
(t
m
) ...
n
(t
m
)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
V = U −
1
m
m
i=1
1
(t
i
)
m
i=1
2
(t
i
) ...
n
i=1
n
(t
i
)
. . . .
. . . .
. . . .
m
i=1
1
(t
i
)
m
i=1
2
(t
i
) ...
m
i=1
n
(t
i
)
R =
1
m
V
T
V
R
R
M
¨
+ C
˙
+ K = 0
M =
2 0
0 3
C =
0, 4 −0, 1
−0, 1 0, 1
K =
2 −1
−1 1
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
ψ
1
=
0, 5042
0, 8636
ψ
2
=
−0, 8636
0, 5042
λ
1
= 0, 9054
λ
2
= 0, 0946
X(t) = a
1
(t)
0, 5042
0, 8636
+ a
2
(t)
−0, 8636
0, 5042
a
i
s
a
1
a
2
a
1
a
2
x
1
= 1 ˙x
1
= 0
x
2
= 0 ˙x
2
= 0
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
1 x
1
x
2
2 x
1
x
2
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
M
¨
(t) + K (t) = F (t)
F (t) = 0
(t) = a
1
(t)
1
+ a
2
(t)
2
+ .. + a
n
(t)
n
a
i
(t) = b
i
sen(ω
i
+φ
i
) b
i
φ
i
ω
i i
(−ω
2
M + K) = 0
V =
(t
1
)
(t
2
)
.
.
(t
m
)
c
i
m × 1 a
i
R =
1
n
[c
1
T
1
+ .. + c
n
T
n
]
T
[c
1
T
1
+ .. + c
n
T
n
]
n V
T
i
M
i
= δ
ij
T
i
i
= δ
ij
R
R
i
=
1
n
[c
1
T
1
+ .. + c
n
T
n
]
T
[c
1
T
1
+ .. + c
n
T
n
]
i
=
1
n
(
1
c
T
1
c
i
+ .. +
n
c
T
n
c
i
)
(
i
c
T
i
c
j
)/m m → ∞ (
i
c
T
i
c
i
)/m
i i
R
R
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
M
ˆ
R = RM
ˆ
R
i
=
1
n
[c
1
T
1
+..+c
n
T
n
]
T
[c
1
T
1
+..+c
n
T
n
]
i
=
1
n
(
1
c
T
1
c
i
+..+
n
c
T
n
c
i
)
lim n → ∞
ˆ
R
i
=
i
c
T
i
c
i
n
ˆ
R
u(t) = a
1
(t)
1
+ a
2
(t)
2
+ .. + a
n
(t)
n
a
i
(t) = b
i
e
−ξω
i
t
sen(ω
i
+ φ
i
)
t → ∞
i
c
T
i
c
j
/m
m
a
i
(t)
i
c
T
i
c
j
/m
M
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
x
1
x
2
X1
X2
x
1
x
2
Ω
R
M
¨
+ G
˙
+ K = 0
M =
I 0
0 I
G =
0 −I
p
Ω
I
p
Ω 0
K =
K
t
0
0 K
t
d
I
I
p
K
t
Ω
d = 1m I =
πd
4
64
m
4
I
p
=
πd
4
32
m
4
K
t
= 1000N.m
x
1
= 0 ˙x
1
= π/90
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
x
2
= 0 ˙x
2
= 0
2 2
Ω = 1
λ =
0, 6602
0, 3398
ψ =
0, 5588 −0, 8293
0, 8293 0, 5588
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
Ω = 10
λ =
0, 5161
0, 4839
ψ =
0, 2780 0, 9606
0, 9606 −0, 2780
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
x
1
x
2
1
w
1
w
2
w
1
w
2
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
w
1
=
νΩ + ν
2
Ω
2
+ 4w
2
0
2
w
2
=
−νΩ + ν
2
Ω
2
+ 4w
2
0
2
ν = I
p
/I w
0
= Kt/I
I > I
P
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
L = 1 m
d = 10 cm
E = 200 GP a
ρ = 7850 kg/m
3
c = 0, 01 Ns/m
2
k
a
= 100 GN/m
F = 1000 N
f
f
= 100
dist = 0, 01 µm
u
N
(x, t) =
N
i=1
a
i
(t)φ
i
(x)
¨a
i
(t)ρA
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx + ˙a
i
(t)c
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx
+a
i
(t)EA
L
0
dφ
i
(x)
dx
dφ
j
(x)
dx
dx =
L
0
P
L
(t)φ
j
(x)dx
M(φ
i
, φ
j
) = ρA
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx , K(φ
i
, φ
j
) = EA
L
0
dφ
i
(x)
dx
dφ
j
(x)
dx
dx
C(φ
i
, φ
j
) = c
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx F(φ
j
) =
L
0
P
L
(t)φ
j
(x)dx
P
L
P
L
= P
f
sen(ω
f
t)δ(x − x
L
) +
N
i=1
F
ci
(t)δ(x − x
L
)
F
ci
(t) = −ξ [k
a
u
Li
(t)]
ξ = 0 p/ u
Li
< dist
ξ = 1 p/ u
Li
> dist
M
¨
(t) + C
˙
(t) + K (t) = (t)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
∆t
N
∆t
N
∆t
N ∆t = 0, 0001 N = 5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
k
a
dist k
a
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
[0, 9984; 0, 0009; 0, 0007]
x = L
x = L
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
K
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
90%
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
Caixa do mancal
Rolamento
Eixo
Folga
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
1185 RP M
harmônicos
CPM
CPM
V
(mm/s)
1XRPM=4,6mm/s
30/01/2005
09/02/2005
1XRPM=1,7mm/s
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
1800 RP M
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
G
U
per
kg × m
U
per
∼ M
rotor
e
per
= U
per
/M
rotor
U
per
∼ 1/Ω
G = e
per
Ω1000 [mm/s]
Ω e
per
kg ×m/kg
G
U =
GM
rotor
Ω1000
[kg ×m]
G = 6, 3 2000 RP M
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
Q
1,2
P
1,2
Q
1
= UΩ
2
cos(Ωt) , Q
2
= UΩ
2
sen(Ωt) − M
r
g
P
1
= −ξ
k
h
(r − c)u
1
r
+ d
h
( ˙u
1
u
1
+ ˙u
2
u
2
)u
1
r
2
P
2
= −ξ
k
h
(r − c)u
2
r
+ d
h
( ˙u
1
u
1
+ ˙u
2
u
2
)u
2
r
2
c ξ = 1 ≥ c ξ = 0 r < c
r =
u
2
1
+ u
2
2
, g
d
h
k
h
U
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
u
1
→ e
1
u
2
→ e
2
φ →
E →
I →
m → ρA
M
r
→
I
r
→
L →
Ω →
d
1
d
2
→
x
B3
x
B4
→
0, 0005
7
L
0
EI
∂
4
u
1
∂x
4
+ m
∂
2
u
1
∂t
2
+ 2ΩI
r
∂
2
u
2
∂x∂t
δ
(x − L) + d
1
∂u
1
∂t
φ
j
dx
=
L
0
(P
1
(t)δ(x − x
B3
)) +
L
0
(P
1
(t)δ(x − x
B4
) + Q
1
(t)δ(x − L)) φ
j
dx
L
0
EI
∂
4
u
2
∂x
4
+ m
∂
2
u
2
∂t
2
− 2ΩI
r
∂
2
u
1
∂x∂t
δ
(x − L) + d
2
∂u
2
∂t
φ
j
dx
=
L
0
(P
2
(t)δ(x − x
B3
))
L
0
(P
2
(t)δ(x − x
B4
) + Q
2
(t)δ(x − L)) φ
j
dx
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
u
1
=
N
i=1
a
i
φ
i
; u
2
=
N
i=1
b
i
φ
i
N
φ
u
1
u
2
¨a
i
L
0
mφ
i
φ
j
dx + a
i
L
0
EIφ

i
φ

j
dx +
˙
b
i
2ΩI
r
φ

i
(L)φ
j
(L)
+˙a
i
L
0
d
1
φ
i
φ
j
dx = P
1
(t)φ
j
(x
B3
) + P
1
(t)φ
j
(x
B4
) + Q
1
(t)φ
j
(L)
¨
b
i
L
0
mφ
i
φ
j
dx + b
i
L
0
EIφ

i
φ

j
dx − ˙a
i
2ΩI
r
φ

i
(L)φ
j
(L)
+
˙
b
i
L
0
d
2
φ
i
φ
j
dx = P
2
(t)φ
j
(x
B3
) + P
2
(t)φ
j
(x
B4
) + Q
2
(t)φ
j
(L)
M
1
(φ
i
, φ
j
) = m
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx
C
1
(φ
i
, φ
j
) = d
1
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx
G
1
(φ
i
, φ
j
) = 2ΩI
r
φ

i
(L)φ
j
(L)
K
1
(φ
i
, φ
j
) = EI
L
0
φ

i
(x)φ

j
(x)dx
F
1
(φ
j
) = P
1
(t)φ
j
(x
B3
) + P
1
(t)φ
j
(x
B4
) + Q
1
(t)φ
j
(L)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
M
2
(φ
i
, φ
j
) = m
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx
C
2
(φ
i
, φ
j
) = d
2
L
0
φ
i
(x)φ
j
(x)dx
G
2
(φ
i
, φ
j
) = 2ΩI
r
φ

i
(L)φ
j
(L)
K
2
(φ
i
, φ
j
) = EI
L
0
φ

i
(x)φ

j
(x)dx
F
2
(φ
j
) = P
2
(t)φ
j
(x
B3
) + P
2
(t)φ
j
(x
B4
) + Q
2
(t)φ
j
(L)
M(φ
i
, φ
j
) =
M
1
(φ
i
, φ
j
) 0
0 M
2
(φ
i
, φ
j
)
C(φ
i
, φ
j
) =
C
1
(φ
i
, φ
j
) 0
0 C
2
(φ
i
, φ
j
)
G(φ
i
, φ
j
) =
0 G
1
(φ
i
, φ
j
)
−G
2
(φ
i
, φ
j
) 0
K(φ
i
, φ
j
) =
K
1
(φ
i
, φ
j
) 0
0 K
2
(φ
i
, φ
j
)
F (φ
j
) =
F
1
(φ
j
)
F
2
(φ
j
)
, X(t) =
a
i
(t)
b
i
(t)
M
¨
(t) + (C + G)
˙
(t) + K (t) = (x, t)
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L = 3053 mm
D
s
= 110 mm
M
r
= 600 kg
E = 193 GP a
ρ = 8000 kg/m
3
d
1
= d
2
= 1000 Ns/m
2
G = 6 mm/s
c = 7, 5 µm
k
h
= 1
x
B3
= 1, 692 m
x
B4
= 2, 302 m
B
w
= 58 mm
Ω = 124 rd/s = 1185 RP M
dt
N
u
2
dt
N
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t = 0, 001 N = 10
u
1
u
2
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k
h
= 10 GN/m
1
1000 Ns/m
2
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F
c
= UΩ
2
G
G
F
c
= UΩ
2
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G = 2
G = 20
G = 2
G = 20
G = 2
G = 20
∼ 180
0
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/
Sistema Mecânico Contínuo
Formulação Fraca
Escolha da base de projeção
Método de Galerkin
Aproximação /
Sistema Discreto
Erro da aproximação
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Sistema Discreto
Resposta
Precisão
Satisfeita?
Aumentar número de elementos
da base usados na aproximação
ok!
Não
Sim
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φ
n
(x) = cosh(β
n
x) − cos(β
n
x) − σ
n
(senh(β
n
x) − sen(β
n
x))
σ
n
=
sinh(β
n
L) − sin(β
n
L)
cosh(β
n
L) + cos(β
n
L)
cos(βL)cosh(βL) = 1
β
1
= 1, 86/L β
2
= 4, 69/L β
3
= 7, 85/L β
4
= 11, 00/L β
5
= 14, 14/L
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n > 5
β
n
=
(2n − 1)π
2L
ω
n
= β
2
n
EI
ρA
Hz
4, 5299
28, 3884
79, 4882
155, 7652
257, 4910
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φ
n
(x) = sen(λ
n
x)
λ
n
=
nπ
L
ω
n
= λ
2
n
EI
ρA
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
Hz
12, 7156
50, 8624
114, 4404
203, 4496
317, 8900
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Edof =
1 1 2 3 4 5 6
2 4 5 6 7 8 9
3 7 8 9 10 11 12
4 10 11 12 13 14 15
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Coord =
0 0
0 1, 5
0 3
1 3
2 3
x y
3 x = 0 y = 3
Dof =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
2
4 5 6
Ex Ey
x y
Ex =
0 0
0 0
0 1
1 2
3
x = 0 x = 1
[Ex, Ey] = coordxtr(Edof, Coord, Dof, 2)
[k, m, c] = beam2d(Ex(1, :), Ey(1, :), ep)
ep = [E A I rho ∗ A α β]
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αm + βk
[La, Egv] = eigen(K, M, b)
b = [1 2 3]
T
0, 7863
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
0, 002%
20 20
60
4, 53
28, 39
79, 49
155, 77
257, 49
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
e = 0, 002/2
80 20
N = 2.5 = 10 100
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
0, 005%
20 20
60
12, 71
50, 86
114, 44
203, 45
317, 89
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
20 20
60
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
1.51
4.11
20.29
29.73
64.86
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
0, 01%
15 9
132
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310278/CA
0.00
3.54
7.31
20.41
27.80
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Dados Gerais
- geometria;
- propriedades do material;
Principal
Precisão
- erro estipulado;
- elementos / modos iniciais
- passo
Integração
- método (ode45)
- tempo de simulação
- passo de integração;
Análise
- Tipo de análise:
- Análise Modal
- Resposta Dinâmica
- FRF
- FFT
- Decomposição de KL
Erro < precisão?
Visualização
dos
resultados
SIM
NÃO
Escolha das funções teste
- MEF
- Modos Supostos
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21) rotor_choque
sub_modosnormais
sub_edo
sub_erro
Integra o sistema de
equações
Calcula o erro da
aproximação
sub_dinamica sub_kl sub_rec
Calcula a base de
KL e os valores
próprios
Reconstrói a
dinâmica
calfem_coordxtr calfem_beam2d calfem_assem calfem_eigen
Cria matriz com
coordenadas
Cria matrizes dos
elementos
Monta matriz global
Calcula autovalores e
autovetores
Modelo Rotor-Mancal
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MAT RIZ −→ RMat MAT RIZ
MAT RIZ −→ IMat MAT RIZ
MAT RIZ −→ CMat MAT RIZ
V ET OR −→ R V ET OR
V ET OR −→ I V ET OR
V ET OR −→ C V ET OR
ESCALAR −→ ESCALAR
ode ode2
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L
L
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L
1
x
y
L
2
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L
dist=0,7L
45º
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F L
3
/(3EI)
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qL
4
/(8EI)
F L
3
/(3EI)
qL
4
/(8EI)
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X1
X2
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M C K
−→
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