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ALGORITMOS OTIMIZADOS PARA A ANÁLISE ACOPLADA
DE SISTEMAS FLUTUANTES NA EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO OFFSHORE
Marcos Vinícius Rodrigues
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
________________________________________________
Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Webe João Mansur, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Antonio Carlos Fernandes, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Elson Magalhães Toledo, D.Sc.
________________________________________________
Eng. Márcio Martins Mourelle, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Paulo Batista Gonçalves, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
DEZEMBRO DE 2004
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ii
RODRIGUES, MARCOS VINÍCIUS
Algoritmos Otimizados para a Análise
Acoplada de Sistemas Flutuantes na
Exploração de Petróleo Offshore
[Rio de Janeiro] 2004
IX, 197 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc.,
Engenharia Civil, 2004)
Tese - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Sistemas Offshore
2. Análise Acoplada
3. Computação Paralela
I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
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iii
Dedico à minha esposa Fátima
e aos meus pais Fábio e Elizabete.
iv
AGRADECIMENTOS
A Deus por tudo.
À minha esposa Fátima pelo carinho, amizade e companheirismo.
Aos meus pais Fábio e Elizabete e meus irmãos Diogo e Raquel, por
constituírem a fundamental base familiar.
Ao Professor Breno Pinheiro Jacob pelo apoio e incentivo durante todo o
doutorado, mas acima de tudo pela amizade e pela convivência.
Aos companheiros de “batalha” Eduardo Vardaro, Fabrício Nogueira, Luciano
Franco, Luciano Tardelli, Glauco Rodrigues, Carl Albrecht e Fábio Simões.
Aos meus amigos e colegas de trabalho do LAMCSO (Laboratório de Métodos
Computacionais em Sistemas Offshore) do Programa de Engenharia Civil
COPPE/UFRJ e do LAMVI (Laboratório de Métodos Visuais) do Departamento de
Expressão Gráfica da EE/UFRJ.
Aos amigos e colegas de trabalho do Programa de Engenharia Civil da COPPE –
UFRJ e do CENPES - PETROBRAS pelo apoio e incentivo ao longo destes anos.
Ao CNPq pelo apoio financeiro.
v
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
ALGORITMOS OTIMIZADOS PARA A ANÁLISE ACOPLADA
DE SISTEMAS FLUTUANTES NA EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO OFFSHORE
Marcos Vinícius Rodrigues
Dezembro/2004
Orientador: Breno Pinheiro Jacob
Programa: Engenharia Civil
O principal objetivo deste trabalho é a busca de redução de tempo
computacional na análise dinâmica não-linear acoplada de unidades flutuantes, linhas
de ancoragem e risers. Buscando este objetivo a tese é dividida em duas principais
linhas de estudo:
• Implementação de Subciclagem associada aos Métodos Explícitos de
Integração no Tempo;
• Implementação dos Algoritmos de Partição de Domínio Implícitos
Iterativos (PDII) em Métodos Implícitos de Integração no Tempo.
A subciclagem consiste na utilização de diferentes intervalos de tempo em
diferentes trechos da malha de uma linha de ancoragem ou riser, discretizados por
elementos finitos e integrados ao longo de uma análise dinâmica de maneira acoplada à
plataforma.
Os Algoritmos de Partição Implícitos Iterativos consistem em um método de
partição de domínio onde uma linha de ancoragem ou riser é dividida em segmentos e
cada segmento é integrado independentemente, também de forma acoplada à
plataforma, com o auxílio da computação paralela.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
OPTIMIZED ALGORITHMS FOR A COUPLED ANALYSIS
OF FLOATING SYSTEMS IN OFFSHORE OIL EXPLORATION
Marcos Vinícius Rodrigues
December/2004
Advisor: Breno Pinheiro Jacob
Department: Civil Engineering
The aim of this work is the search for reduction of computational time in
coupled non-linear dynamic analysis of floating units, mooring lines and risers. This
thesis has two main lines of study:
• Implementation of Subcycling Algorithm with Explicit Time Integration
Methods;
• Implementation of Iterative Group Implicit (IGI) Algorithm with
Implicit Time Integration Methods.
The main characteristic of subcycling algorithm is the use of different time-step
along the mesh of a mooring line or riser, discretized by Finite Element Method and
integrated in a coupled dynamic analysis.
The Iterative Group Implicit Method is a Domain Partition Method where a
mooring line or riser is partitioned in subdomains and each subdomain is solved
independently in a context of a coupled dynamic analysis, with a parallel computation
tool.
vii
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO ...............................................................................................1
1.1. Contexto ..............................................................................................................1
1.2. Motivação............................................................................................................2
1.3. Objetivo...............................................................................................................3
1.4. Descrição dos Capítulos......................................................................................6
2. SISTEMAS OFFSHORE.................................................................................7
2.1. Plataformas para Exploração de Petróleo Offshore ............................................7
2.2. Risers.................................................................................................................11
2.3. Linhas de Ancoragem........................................................................................13
3. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DA UNIDADE FLUTUANTE................16
3.1. Introdução..........................................................................................................16
3.2. Sistemas de Referência......................................................................................16
3.3. Formulação das Equações de Movimento........................................................19
3.4. Solução das Equações de Movimento..............................................................26
4. FORMULAÇÃO ESTRUTURAL DAS LINHAS ........................................31
4.1. Introdução..........................................................................................................31
4.2. Modelo Matemático; Solução Numérica...........................................................31
4.3. Discretização Espacial.......................................................................................32
4.3.1. Elemento de Treliça......................................................................................33
4.3.2. Elemento de Pórtico......................................................................................33
4.4. Discretização no Tempo - Solução Numérica de Problemas Dinâmicos
Lineares ....................................................................................................................34
4.4.1. Formulação do Problema Dinâmico .............................................................34
4.4.2. Procedimento de Solução do Problema Dinâmico .......................................35
5. CARREGAMENTOS AMBIENTAIS ..........................................................39
5.1. Introdução..........................................................................................................39
5.2. Ondas.................................................................................................................39
5.2.1. Modelo Matemático......................................................................................39
5.2.2. Teoria Linear de Airy ...................................................................................41
5.2.3. Representação Espectral...............................................................................44
5.2.4. Cálculo das Forças........................................................................................46
5.2.5. Modelo Híbrido ............................................................................................51
5.3. Correnteza .........................................................................................................54
5.4. Vento .................................................................................................................55
6. MÉTODOS EXPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO NO TEMPO ......................58
6.1. Introdução..........................................................................................................58
6.2. Método das Diferenças Centrais .......................................................................59
6.3. Algoritmo de Chung e Lee ................................................................................61
6.4. Método Explícito Generalizado - Algoritmo de Hulbert e Chung....................62
viii
6.5. Comparação entre os algoritmos.......................................................................64
7. MÉTODOS IMPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO NO TEMPO.......................67
7.1. Introdução..........................................................................................................67
7.2. Implementação por Deslocamentos...................................................................67
7.3. Problemas não-lineares em algoritmos implícitos ............................................69
7.4. Solução do Problema Dinâmico: O algoritmo αB-Newmark ...........................72
7.5. Tratamento de Problemas Não-lineares: Implementação Otimizada
αB-Newmark/Newton-Raphson...............................................................................74
7.6. Aspectos da Implementação..............................................................................78
8. OTIMIZAÇÕES PARA MÉTODOS EXPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO....81
8.1. Introdução..........................................................................................................81
8.2. Subciclagem ......................................................................................................82
8.2.1. Subciclagem Casco-Linhas ...........................................................................82
8.2.2. Subciclagem Interna das Linhas....................................................................83
8.2.3. Aspectos da Implementação .........................................................................84
8.2.4. Subciclagem Interna na Análise Acoplada...................................................86
8.2.5. Comentários.................................................................................................87
8.3. Exemplos...........................................................................................................88
8.3.1. Viga Biengastada sob Carga Transversal......................................................88
8.3.2. Viga Monoengastada sob Carga Axial..........................................................90
9. OTIMIZAÇÕES PARA MÉTODOS IMPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO....92
9.1. Partição do Domínio..........................................................................................92
9.2. Algoritmo “Partição de Domínio Implícito” (PDI)...........................................93
9.3. Algoritmo “Partição de Domínio Implícito Iterativo” (PDII)...........................96
9.4. Algoritmo “Partição de Domínio Implícito Iterativo” (PDII) para Problemas
Não-Lineares ............................................................................................................98
9.5. Aspectos da Implementação..............................................................................99
9.6. Exemplos.........................................................................................................103
9.6.1. Viga Biengastada sob Carga Transversal....................................................103
9.6.2. Viga Monoengastada sob Carga Axial........................................................104
10. IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO PDII EM COMPUTADORES
COM ARQUITETURA PARALELA .........................................................106
10.1. Ambiente de Computação Paralela...............................................................106
10.1.1. Introdução..................................................................................................106
10.1.2. Paralelismo ................................................................................................106
10.1.3. Biblioteca de comunicação MPI................................................................108
10.1.4. Medidas de desempenho............................................................................111
10.2. Algoritmo PDII em Computadores com Arquitetura Paralela......................114
10.2.1. Introdução..................................................................................................114
10.2.2. Análise do código sequencial ....................................................................114
10.2.3. Estratégia para Implementação em Paralelo..............................................116
11. APLICAÇÕES NUMÉRICAS ....................................................................121
11.1. Introdução......................................................................................................121
ix
11.2. Riser em Catenária sob Movimento Imposto no Topo..................................123
11.2.1. Descrição do Modelo.................................................................................123
11.2.2. Dados Geométricos e do Material.............................................................124
11.2.3. Carregamento ............................................................................................124
11.2.4. Subciclagem - Resultados..........................................................................125
11.2.5. PDII - Resultados ......................................................................................127
11.2.6. PDII – Variação do número de processadores ..........................................129
11.3. Riser em Catenária sob Ação de Correnteza.................................................136
11.3.1. Descrição do Modelo.................................................................................136
11.3.2. Carregamento ............................................................................................136
11.3.3. Subciclagem - Resultados..........................................................................137
11.3.4. PDII - Resultados ......................................................................................138
11.4. Plataforma P10 ..............................................................................................141
11.4.1. Características do Casco............................................................................141
11.4.2. Características das Linhas de Ancoragem.................................................143
11.4.3. Características do Riser de Perfuração......................................................143
11.4.4. Dados Ambientais .....................................................................................144
11.4.5. Modelo Numérico......................................................................................144
11.4.6. Subciclagem - Resultados..........................................................................149
11.4.7. PDII - Resultados ......................................................................................153
11.5. Plataforma P18 ..............................................................................................160
11.5.1. Características do Casco............................................................................160
11.5.2. Características das Linhas de Ancoragem.................................................162
11.5.3. Características dos Risers..........................................................................163
11.5.4. Dados Ambientais .....................................................................................166
11.5.5. Modelo Numérico......................................................................................167
11.5.6. Subciclagem - Resultados..........................................................................173
11.5.7. PDII - Resultados ......................................................................................177
12. CONCLUSÕES ...........................................................................................186
12.1. Considerações Finais.....................................................................................186
12.1.1. Algoritmos Explícitos e Subciclagem .......................................................186
12.1.2. Algoritmos PDII ........................................................................................187
12.2. Propostas para Desenvolvimentos Futuros....................................................190
12.2.1. Subciclagem ..............................................................................................190
12.2.2. Algoritmos PDII ........................................................................................190
12.2.3. Combinação Subciclagem / Algoritmos PDII ...........................................191
13. REFERÊNCIAS...........................................................................................193
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. CONTEXTO
A exploração de petróleo em alto-mar (offshore) avança em grande velocidade
rumo a novas fronteiras até então inimagináveis. O Brasil, através da Petrobras, é
pioneiro nesta exploração em águas profundas e impulsiona a pesquisa neste sentido,
pois, a cada novo desafio, novas ferramentas computacionais são necessárias de forma a
prever-se, da melhor forma possível, o comportamento de estruturas responsáveis por
esta exploração.
Os métodos numéricos contribuem neste sentido fazendo com que, a partir de
simulações em computadores, seja possível prever o comportamento de sistemas
estruturais para suporte a plataformas de exploração de petróleo, analisando possíveis
problemas e soluções antes mesmo de se ir a campo. Para se obter uma boa avaliação
numérica, torna-se necessária uma representação de todos os componentes de um
sistema offshore, incluindo plataforma, linhas de ancoragem e dutos de transporte de
óleo, os risers.
2
1.2. MOTIVAÇÃO
As ferramentas numéricas tradicionalmente usadas na análise de unidades
flutuantes ancoradas adotam um procedimento de análise desacoplada, que trata os
movimentos do casco da unidade flutuante separadamente do comportamento estrutural
dinâmico não-linear das linhas de ancoragem e risers.
A análise desacoplada, de um modo geral, ignora o fato de que o casco, as linhas
de ancoragem e os risers compõem um sistema integrado, introduzindo simplificações
que fazem com que a interação do comportamento dinâmico não linear destes
componentes não seja considerada de forma rigorosa, o que pode penalizar seriamente a
qualidade dos resultados.
Sabe-se que as simplificações relacionadas a este procedimento de análise
desacoplada se tornam mais graves para sistemas com grande número de risers, e/ou
instalados em lâminas d’água profundas.
Por outro lado, a utilização de uma formulação acoplada permitirá avançar além
do estado-da-arte atual de projeto, contribuindo para a integração entre o projeto de
ancoragem e o projeto dos risers. Além disso, os resultados serão mais precisos do que
os obtidos através de uma seqüência de análises desacopladas, já que a formulação
acoplada considera implicitamente e automaticamente os efeitos não-lineares e
dinâmicos decorrentes da interação entre os cascos e as linhas.
O grande problema encontrado é a viabilidade de um projeto de um sistema a
partir de análises acopladas. Geralmente, em projetos de sistemas de unidade flutuante,
linhas de ancoragem e risers, o tempo de processamento é um fator importantíssimo e
que deve ser ponderado durante a execução do projeto. Atualmente as análises
acopladas ainda não têm se mostrado competitivas com as formas tradicionais de
desenvolvimento de projetos devido ao elevado custo de CPU despendido neste tipo de
análise.
Portanto, a grande motivação desta tese é caminhar no sentido de fazer com que
as análises acopladas se tornem competitivas e atraentes como ferramenta de projeto de
unidades flutuantes ancoradas. Esta contribuição se dará através de algumas, entre
muitas outras possíveis, formas de otimização desta análise acoplada.
3
1.3. OBJETIVO
Devido à grande quantidade de graus de liberdade envolvidos em uma análise
dinâmica acoplada, onde as linhas conectadas à plataforma são discretizadas em
elementos finitos, mostram-se pertinentes otimizações nos métodos de integração no
tempo. As otimizações estudadas neste trabalho concentram-se nas linhas, pois são as
linhas discretizadas as responsáveis pelo maior consumo de CPU em uma análise
acoplada.
Os algoritmos otimizados para a solução de problemas não-lineares dinâmicos
no domínio do tempo têm como principal objetivo reduzir os requisitos de tempo de
processamento de uma análise acoplada. Os métodos a serem investigados se
apresentam de uma forma resumida a seguir e serão detalhados nos capítulos adiante:
• Técnicas de Partição do Domínio, incluindo subciclagem;
• Baseando-se na partição do domínio, a implementação em computadores
com arquitetura paralela de modo a adaptar os algoritmos para a execução
em máquinas com processamento paralelo e assim reduzir o tempo de
processamento de programas acoplados.
De acordo com o tipo de algoritmo empregado, as otimizações implementadas
seriam agrupadas da seguinte forma:
• Otimizações para Métodos Explícitos de Integração no Tempo;
• Otimizações para Métodos Implícitos de Integração no Tempo.
As otimizações para Métodos Explícitos se concentram no requisito de
utilização, em uma análise dinâmica, de um intervalo de tempo menor que um intervalo
de tempo “crítico”. Conforme será apresentado no capítulo 6 o intervalo de tempo
crítico depende do menor período natural da discretização da malha de elementos finitos
da estrutura. E este é, sem dúvida, o ponto crítico numa análise explícita de integração
no tempo: o intervalo de tempo muito reduzido necessário para análise.
De um modo geral, a discretização de um riser ou linha de ancoragem varia ao
longo do comprimento. Isto é, refina-se a malha em trechos críticos como o topo ou a
região de toque no fundo (Touch Down Point) enquanto que os trechos retos apoiados
no fundo ou suspensos têm uma malha menos discretizada. Esta característica nos induz
4
à observação de que seria possível a utilização de diferentes intervalos de tempo para
cada trecho da estrutura de acordo com a sua discretização. O que acontece
corriqueiramente é a utilização do menor intervalo de tempo, requerido pela malha mais
discretizada, ao longo de toda a estrutura. Portanto, uma das implementações aqui
efetuadas, é justamente esta utilização, de diferentes intervalos de tempo para cada
trecho da estrutura, denominada subciclagem. Este estudo é detalhado no capítulo 8.
As otimizações para Métodos Implícitos de integração no tempo têm aqui um
outro enfoque. Estes algoritmos, por serem incondicionalmente estáveis, permitem a
utilização de intervalos de tempo muito superiores aos utilizados nos Métodos
Explícitos. Isto é, não existe mais a limitação do intervalo de tempo devido à
discretização da malha. Esta limitação aparece apenas na precisão dos resultados. O
intervalo de tempo pode ser aumentado o quanto for desejado desde que seja respeitada
a precisão dos resultados.
O ponto crítico nestes algoritmos é justamente a necessidade da resolução do
sistema de equações a cada intervalo de tempo, ou, em caso de problemas não-lineares,
que é o problema em questão, a cada iteração.
Portanto a otimização mais eficiente neste caso se daria não mais em termos de
intervalo de tempo mas sim na busca de eficiência na resolução do sistema de equações.
Neste caso, a busca da eficiência foi feita pela partição do domínio em
subdomínios e a resolução concorrente de cada subdomínio independentemente, em
paralelo, aumentando em número, mas reduzindo o tamanho do sistema de equações a
ser resolvido em um cada intervalo de tempo, ou em cada iteração. Este aumento de
número de sistemas de equações deixa de ser um problema desde que exista um número
de processadores suficientes para se distribuir estes sistemas de equações reduzidos.
Portanto esta é a implementação efetuada visando a otimização dos Métodos
Implícitos de integração no tempo e descrita nos capítulos 9 e 10.
Os desenvolvimentos apresentados neste trabalho são implementados no
programa de análise acoplada PROSIM [1]. Este programa é baseado em uma
formulação acoplada que incorpora, em uma única estrutura de código e de dados, um
modelo hidrodinâmico para a representação do casco da unidade flutuante, e modelos de
elementos finitos para a representação rigorosa das linhas.
5
O programa PROSIM é baseado em uma formulação acoplada onde, a cada
instante do processo de integração no tempo das equações de movimento do casco
efetua-se uma análise não-linear dinâmica de um modelo de elementos finitos de cada
uma das linhas, sob ação da onda, correnteza, peso próprio, e das componentes de
movimento transmitidas pelo casco. As forças no topo de cada linha, obtidas como
resultado destas análises, são então aplicadas no lado direito das equações de
movimento do casco.
Na versão atual do programa PROSIM, o modelo hidrodinâmico do casco é
baseado em uma formulação híbrida que combina a fórmula de Morison com a teoria da
Difração. A formulação de Morison original é adequada para membros que podem ser
representados por elementos unifilares com diâmetros pequenos em relação ao
comprimento das ondas, de modo que as ondas incidentes não são perturbadas. A
formulação híbrida adotada no programa PROSIM permite representar a difração e
radiação das ondas que ocorrem em membros cilíndricos de maior diâmetro; nesta
formulação, as forças de deriva lenta, bem como o amortecimento dependente da
freqüência das ondas (“radiation damping”), são incorporados através da leitura de
coeficientes gerados por um programa de difração como o WAMIT.
O uso desta formulação faz com que o programa PROSIM seja adequado para a
análise de unidades flutuantes compostas por membros cilíndricos de pequenos ou
grandes diâmetros.
6
1.4. DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS
Os demais capítulos estão organizados da seguinte forma:
O capítulo 2 apresenta um resumo com os principais componentes de um
sistema offshore: plataforma, risers e linhas de ancoragem.
O capítulo 3 apresenta uma revisão da formulação teórica das equações de
movimento da unidade flutuante.
O capítulo 4 apresenta a formulação estrutural para solução das linhas de
ancoragem e risers.
O capítulo 5 apresenta a contribuição dos carregamentos ambientais como forças
externas aplicadas à unidade flutuante e às linhas.
O capítulo 6 apresenta descrição dos algoritmos explícitos de integração no
tempo.
O capítulo 7 apresenta descrição dos algoritmos implícitos de integração no
tempo.
O capítulo 8 apresenta as otimizações desenvolvidas e implementadas para os
métodos explícitos de integração no tempo, baseados no algoritmo de subciclagem.
O capítulo 9 apresenta as otimizações desenvolvidas e implementadas para os
métodos implícitos de integração no tempo, baseados no algoritmo de “Partição de
Domínio Implícito”.
O capítulo 10 apresenta um resumo sobre o ambiente de computação paralela e a
implementação do algoritmo de “Partição de Domínio Implícito Iterativo” em
computadores com arquitetura paralela.
O capítulo 11 apresenta uma série de aplicações numéricas comparando
resultados e desempenho dos algoritmos implementados.
O capítulo 12 apresenta as conclusões obtidas no presente trabalho e propostas
para desenvolvimentos futuros.
7
2. SISTEMAS OFFSHORE
Para melhor entendimento dos conceitos básicos envolvendo a engenharia
offshore, algumas considerações serão apresentadas nos próximos itens:
2.1. PLATAFORMAS PARA EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO OFFSHORE
• Plataforma fixa
Inicialmente a extração de petróleo offshore no Brasil era efetuada em lâmina
d’águas denominadas rasas, com profundidades variando de 100m a 500m. Para tal
eram utilizadas plataformas fixas (Fig 1) apoiadas no leito marinho. Como estas
plataformas são fixadas no fundo e são estruturas relativamente rígidas, os efeitos
dinâmicos e os efeitos não lineares devido aos carregamentos de onda, vento e
correnteza não se apresentam de forma muito significativa.
Figura 1 – Plataforma Fixa
À medida que foram sendo descobertos novos reservatórios de petróleo em
lâminas d’água mais profundas (500m a 1000m), observou-se que a freqüência natural
deste tipo de plataforma se aproximava perigosamente da freqüência de excitação
causada pelas ondas. Isto poderia fazer com que o sistema entrasse em ressonância
8
ocasionando um desastre de grandes proporções. Para evitar-se este problema seria
necessário construir uma estrutura muito rígida, o que mostrou-se economicamente
inviável.
Para compor novas alternativas na exploração de petróleo em águas profundas,
foram introduzidos os sistemas flutuantes ancorados no fundo do mar por meio de
cabos. Estes sistemas são descritos a seguir.
• Plataforma semi-submersível
As semi-submersíveis (Figura 2) são plataformas com estruturas flutuantes
largamente empregadas para produção, completação e perfuração. Consistem de dois
flutuadores compartimentados em tanques com finalidades de oferecer lastro e flutuação
à plataforma. Estes flutuadores são denominados de “pontoons”, os quais apóiam as
colunas, também chamadas de pernas, e que por sua vez sustentam os conveses. Sua
profundidade pode ser alterada através do bombeio de água para o tanque de lastro.
Figura 2 – Plataforma Semi-submersível
As Semi-submersíveis podem ser empregadas tanto em produção quando
perfuração. As plataformas Semi-submersíveis de perfuração (figura 3) são geralmente
denominadas de MODU (Mobile Offshore Drilling Unit).
9
Figura 3 – Plataforma de Perfuração
• Navios FPSO
Navios do tipo FPSO (Floating Production, Storage and Offloading Vessel ou
Unidade de Produção, Armazenamento e Alívio de Petróleo) (Fig 4), que são navios
adaptados a extrair, armazenar e exportar petróleo, estando estes também ancorados ao
fundo do mar por meio de cabos.
Figura 4 – Unidade FPSO
• TLP
A TLP (tension leg platform) consiste numa estrutura similar à semi-
submersível, sendo mantida na locação através de tirantes (pernas) que são ancorados
10
no fundo através de estacas e tracionadas no topo pela força resultante entre peso e
empuxo (restauração hidrostática). Esta tração deve ser mantida ao longo de todo seu
comprimento a fim de evitar a desconexão no fundo do mar. Seu casco é semelhante ao
casco da plataforma Semi-submersível.
A TLP (Fig 5) permite que o uso da completação dos poços seja do tipo ‘seca’,
isto é, o controle e intervenção nos poços é feito na plataforma e não no fundo do mar.
Desta forma torna-se desnecessária a utilização de embarcações com posicionamento
dinâmico para a intervenção nos poços, o que ocorre quando é utilizada a completação
‘molhada’ em que as árvores de natal ficam no fundo do mar.
Figura 5 – TLP
• Spar-buoy
O sistema Spar consiste de um único cilindro vertical de aço de grande diâmetro,
ancorado, operando com um calado de profundidade constante de cerca de 200 metros,
o que gera apenas pequenos movimentos verticais e, conseqüentemente, possibilita a
adoção de risers rígidos de produção. Neste tipo de plataforma há utilização de
supressores de vórtices em torno do cilindro com o objetivo de inibir
vibrações induzidas pelo fenômeno de vortex shedding decorrente principalmente pelas
correntes marinhas.
11
Conforme pode ser observado nos exemplos citados, os sistemas flutuantes estão
mais susceptíveis às ações dinâmicas, originadas das ações ambientais, do que as
plataformas fixas. Também devido à elevada complacência destes sistemas, as
ferramentas numéricas tiveram que se desenvolver de forma a considerar não só os
efeitos dinâmicos como também os efeitos não lineares devido a grandes deslocamentos
a que a unidade está sujeita.
2.2. RISERS
Para transportar o óleo do fundo do mar até às unidades flutuantes ou fixas são
necessárias tubulações que devem ser analisadas cuidadosamente. Estes tubos
suspensos, geralmente dispostos em configurações em catenária, recebem a
denominação de risers (fig 6) e podem ser flexíveis, formados por camadas alternadas
de plástico e aço, ou rígidos, constituídos de aço.
Figura 6 – Riser Flexível / Riser Rígido
Para o dimensionamento e verificações estruturais dos risers conectados à
unidades flutuantes também são necessárias ferramentas específicas que considerem o
efeito dinâmico e não linear dos movimentos impostos por estas unidades ao topo dos
risers, além do efeito das ondas e correnteza agindo diretamente sobre estas linhas.
12
Os risers flexíveis podem assumir diferentes configurações em catenária como
“Steep Wave” e “Lazy Wave” (Figura 7). Estas configurações possuem seções
intermediária com flutuadores, cujo empuxo alivia o peso suportado pelo sistema
flutuante e, quando sob solicitação lateral, contribui com momentos restauradores.
Figura 7 – Configuração de Riser Flexível
13
2.3. LINHAS DE ANCORAGEM
As linhas de ancoragem têm a função estrutural de fornecer forças de
restauração para manter em posição os sistemas flutuantes tais como plataformas semi-
submersíveis ou navios. Para oferecer a força de restauração necessária são dispostas
em catenária (ancoragem convencional) ou utilizadas como linhas retesadas (taut-leg)
ou tendões.
• Ancoragem Convencional
Denomina-se ancoragem convencional a ancoragem em catenária (Figura 8).
Esta técnica de ancoragem é utilizada em operações de produção ou perfuração. A
ancoragem em catenária mantém a unidade flutuante em uma locação através da força
de restauração das linhas. As linhas ancoradas são presas ao fundo do mar por âncoras
de resistência horizontal. A força de restauração está relacionada com vários
parâmetros, um deles é o raio de ancoragem, um dos principais problemas deste tipo de
ancoragem.
Para atender os critérios de projeto para passeio das unidades flutuantes
ancoradas (10% da lâmina d’água) tem-se a necessidade de ter um raio de ancoragem
razoavelmente grande. Conseqüentemente em um campo de exploração de petróleo isto
gera um congestionamento de linhas de unidades próximas, interferindo diretamente no
posicionamento das mesmas, juntamente com equipamentos submarinos.
Semi-submersíveis e Navios FPSO’s podem ser ancorados com sistema
convencional. Os navios FPSO’s com ancoragem convencional utilizam o sistema SPM
(Single Point Mooring). Este sistema de ancoragem é composto por um ponto simples
de ancoragem do tipo Turret interno ou externo. O Turret permite que o navio gire
livremente ao redor das linhas de ancoragem e risers e fique orientado na direção das
cargas ambientais, reduzindo a atuação destas na estruturas.
14
• Taut-leg
A ancoragem Taut-Leg (Figura 8) é constituída por linhas retesadas com um
ângulo de topo de aproximadamente 45° com a vertical. Conseqüentemente, tem-se uma
projeção horizontal menor do que a ancoragem convencional, com relação a mesma
ordem de grandeza da lâmina d’água.
As linhas da ancoragem Taut-Leg são constituídas nas suas extremidades por
cabos de aço ou amarras e no seu trecho intermediário por cabo de poliéster. Esta
configuração de linha pode ser a mesma adotada para ancoragem convencional.
As linhas da ancoragem Taut-Leg são fixas na suas extremidades inferiores por
meio de estacas de sucção, VLA (âncoras com resistência vertical) ou estacas de
fundeio. A ancoragem Taut-Leg é geralmente empregada em plataformas Semi-
submersíveis e navios FPSO’s.
Figura 8 – Sistema de ancoragem Taut-Leg x Convencional
15
• Tendões
Os tendões podem ser de cabo de aço ou material sintético, proporcionando alta
rigidez no plano vertical e baixa rigidez no plano horizontal. A força de restauração no
plano horizontal é fornecida pela componente horizontal da força de tração nos tendões.
Para tendões de pequenos diâmetros (d ≅ 0.25 m), os efeitos de flexão podem ser
desprezados enquanto que para grandes diâmetros (d ≅ 1.00 m) os efeitos de flexão
devem ser considerados.
Este tipo de ancoragem baseia-se na utilização de tendões verticais, que
precisam estar sempre tracionados devido ao excesso de empuxo proveniente da parte
submersa da embarcação. Este tipo de ancoragem é usado principalmente em
plataformas tipo TLP (Tension Leg Plataform), mas também pode ser adotada por
bóias, monobóias, entre outras.
• Dicas
Atualmente a PETROBRAS vem empregando o sistema DICAS [2] de
ancoragem, o qual consiste basicamente de um sistema de amarração disperso com
diferentes resistências na proa e na popa do navio. A diferença básica entre o sistema
DICAS e um SPM é com relação ao alinhamento. No sistema SPM o navio se alinha
completamente com a direção das cargas ambientais enquanto que no sistema DICAS
isto ocorre parcialmente. O sistema DICAS por dispensar o “turret” é um sistema mais
simples sob o ponto de vista de construção.
16
3. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DA UNIDADE FLUTUANTE
3.1. INTRODUÇÃO
O procedimento de análise acoplada é baseado na integração numérica no
domínio do tempo das equações de movimento de corpo rígido da plataforma.
Nesta seção, apresenta-se de forma resumida a formulação das equações de
movimento de grande amplitude que representam os movimentos de corpo rígido da
plataforma; maiores detalhes podem ser encontrados em Meirovich [3]. Apresenta-se
também o procedimento de integração no tempo para a solução destas equações.
A formulação apresentada nesta seção tem origem na análise de movimento no
domínio do tempo seguindo o enfoque desacoplado tradicional, mas será estendida
também para a incorporação no modelo acoplado, como será comentado em seções
posteriores.
As equações de movimento consideram efeitos não lineares geométricos
decorrentes de grandes deslocamentos do corpo; além disso, outros efeitos não-lineares
são considerados na formulação do modelo acoplado, relacionados ao comportamento
hidrodinâmico na interação fluido-estrutura (incluindo a força de arrasto viscosa, função
quadrática da velocidade relativa entre o fluido e o corpo), e à interação não-linear com
as linhas de ancoragem e risers modelados por elementos finitos, configurando o
modelo acoplado.
3.2. SISTEMAS DE REFERÊNCIA
Sistema Global Geral (Constante, “inercial”)
Inicialmente, define-se o sistema de coordenadas global geral (x,y,z) primário,
único, ao qual estarão referenciados todos os demais sistemas (figura 9). Os eixos x e y
deste sistema global estão contidos em um plano horizontal, e o eixo z corresponde à
direção vertical, orientado de baixo para cima. Em princípio, a profundidade da origem
deste sistema de referência global geral a partir do nível de águas tranqüilas, pode ser
17
definida através de uma variável h, mas usualmente é mais conveniente fazer com que a
origem esteja contida no plano da superfície média da água, ou seja, h = 0.
As coordenadas dos nós da malha de elementos finitos que representam as linhas
no modelo acoplado são expressas neste sistema global geral (eventualmente também
referido como o sistema “inercial”).
Sistema Local das Ondas
Em seguida define-se um sistema de coordenadas (ξ,η,ζ) para descrever os
movimentos da onda
. Neste sistema são calculadas as velocidades, acelerações e
pressões do fluido induzidas pela onda. O plano ξζ está na superfície média do mar, e o
eixo η é vertical. O eixo-ξ é paralelo à direção de propagação da onda, e faz um ângulo
β com o eixo x-global (positivo no sentido horário de x para ξ).
Desta forma, as seguintes expressões podem ser empregadas para transformar as
coordenadas de um ponto do sistema global (x,y,z) para o sistema da onda:
ξ
= x cos β - y sen β
η
= z + h (1)
ζ
= x sen β + y cos β
Sistema Estrutural da Plataforma (Móvel, “Fixo no Corpo”)
Define-se também um sistema de coordenadas estrutural (X,Y,Z), específico da
unidade flutuante. Trata-se de um sistema móvel que acompanha os movimentos do
corpo. As equações de movimento do corpo, apresentadas mais adiante, são escritas
neste sistema e expressam a posição e os movimentos do sistema móvel (X,Y,Z) em
relação ao sistema global (x,y,z).
A origem deste sistema de referência estrutural do corpo está localizada no seu
centro de gravidade (CG). Inicialmente, os eixos têm orientação semelhante à do
sistema global geral (x,y,z), ou seja, inicialmente o plano XY está contido em um plano
horizontal e o eixo Z é vertical, orientado de baixo para cima.
A definição da posição inicial da origem do sistema estrutural (X,Y,Z), em
relação ao sistema global geral (x,y,z), é feita através de três valores que definem a
18
distância de sua origem (o CG) até a origem do sistema de global geral, e de um quarto
valor que representa o ângulo, em graus, que define o aproamento da unidade flutuante.
Este ângulo é medido no plano horizontal, entre o eixo X-global geral e o eixo x-
estrutural da unidade.
Sistema Local dos Membros da Plataforma e dos Elementos Finitos das
Linhas e Risers
Finalmente, cada elemento da malha de elementos finitos para as linhas, e cada
membro reticulado da plataforma tem seu próprio sistema de referência local (x
_
,y
_
,z
_
). As
propriedades dos elementos ou membros devem ser fornecidas neste sistema local. A
origem deste sistema está localizada no nó 1 do membro. A direção local x
_
coincide
com o eixo do membro, e é orientada do nó 1 para o nó 2; as direções locais y
_
e z
_
,
ortogonais a x
_
, estão contidas na seção transversal do membro. Para um membro com
orientação geral no espaço, a direção local y
_
é horizontal, e a direção local z
_
é
perpendicular às direções x
_
e y
_
. Para um membro horizontal, a direção local z
_
é vertical,
paralela ao eixo global z. Para um membro vertical, a direção local horizontal y
_
é
paralela ao eixo global y. Por sua vez, a direção local z
_
, também horizontal, é paralela
ao eixo global x (mas em sentido contrário).
19
x
y
z
Y
X
Z
x
_
y
_
z
_
N
ó 2
N
ó 1
η
ζ
ξ
Paralelo ao eixo-x
β
η
=-h
Figura 9 – Sistemas de Referência
3.3. FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
No raciocínio que se segue, vamos supor que o aproamento da plataforma em
relação ao sistema global (x,y,z) é zero, ou seja, que o sistema estrutural da plataforma
(X,Y,Z) e o sistema global (x,y,z) são originalmente paralelos. A extensão para casos
mais gerais com aproamento diferente de zero é trivial.
O deslocamento do corpo pode ser expresso como o somatório de uma
translação
da origem do sistema de coordenadas estrutural da plataforma, e uma rotação
em torno de um eixo passando pela origem do sistema estrutural:
20
Deslocamento de Translação
A translação x
l
(t) é expressa pela variação da origem do sistema estrutural da
plataforma (X,Y,Z), ou seja, a variação da posição do centro de gravidade (CG), medida
em relação ao sistema global (x,y,z). As componentes de
x
l
são x
l
1
(t), x
l
2
(t), x
l
3
(t).
Deslocamento de Rotação
De forma similar, o movimento de rotação é a variação angular dos eixos do
sistema estrutural em relação ao sistema global. Para expressar a posição relativa
rotacional desses dois sistemas de referência, empregam-se os ângulos de Euler,
denominados γ, β, α. A sequência de rotações que define estes ângulos é descrita a
seguir e ilustrada na Figura 10.
¾ Assume-se que originalmente o sistema da plataforma (X,Y,Z) e o sistema
global (x,y,z) são coincidentes.
¾ Inicialmente, a plataforma gira em torno do seu eixo-Z através do ângulo de
yaw γ.
¾ Em seguida, a partir da posição resultante, gira em torno do eixo-Y através do
ângulo de pitch β;
¾ Finalmente, a partir desta última posição, gira em torno do eixo-X através do
ângulo de roll α.
21
YA
z
y
x
XA
γ
γ
ZA
YA
X
α
α
Z
Y
ZA
YA
XA
β
β
X
z
Figura 10 – Transformação do Sistema de Coordenadas
22
Transformação de Coordenadas
Após o movimento do corpo, a seguinte expressão relaciona as coordenadas de
um ponto, expressas no sistema estrutural da plataforma
X = (X,Y,Z), com as
coordenadas do mesmo ponto expressas no sistema global
x = (x,y,z), em função do
movimento de translação
x
l
= (x
l
1
, x
l
2
,x
l
3
) e do movimento de rotação definido pelos
ângulos de Euler γ, α, β:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
X
Y
Z
=
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
cos
β
cos
α
sen
β
cos
α
-sen
α
-sen
β
cos
γ
+cos
β
sen
α
sen
γ
cos
β
cos
γ
+sen
β
sen
α
sen
γ
cos
α
sen
γ
sen
β
sen
γ
+cos
β
sen
α
cos
γ
-cos
β
sen
γ
+sen
β
sen
α
cos
γ
cos
α
cos
γ
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
x - x
1
y - x
2
z - x
3
(2)
A equação (2) define a transformação geral rotacional de coordenadas,
relacionando o sistema de coordenadas globais fixo no espaço com o sistema de
coordenadas fixo na plataforma. Esta relação pode ser reescrita na forma seguinte, onde,
com a exceção de
X, as letras maiúsculas e em negrito representam matrizes e as letras
minúsculas e em negrito representam vetores:
X = A (x - x
1
) (3)
Na equação (3), X é o vetor cujas componentes são (X, Y, Z), x e x
1
são
similarmente definidas em termos das coordenadas globais do ponto em consideração e
as translações das coordenadas de origem, e A é a matriz de rotação de coordenadas
3x3. Observando-se que A é uma transformação ortogonal, sua inversa é igual à sua
transposta, e a transformação inversa será dada por:
x = x
1
+ A
T
X (4)
Transformação de Velocidades
Considerando que
ω
seja o vetor de velocidades angulares do corpo expressa em
termos de
ω
1
,
ω
2
,
ω
3
em torno dos eixos xyz, a relação entre ω e a derivada no tempo
dos ângulos de Euler é dada pela equação (5):
ω
= B θ
.
(5)
23
onde θ
.
= {γ
.
, α
.
, β
.
}e B é definido:
B =
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
1 0-sen
α
0cos
γ
sen
γ
.cos
α
0-sen
γ
cos
γ
.cos
α
(6)
B, em geral, é uma matriz quadrada e não singular, portanto a sua inversa existe
e assim a transformação inversa de (6) pode ser escrita como:
θ
.
= B
-1
ω
(7)
Segunda Lei de Newton
A segunda lei de Newton para movimentos translacionais e rotacionais é dada
pela equação (8):
f =
d
dt
(Mv) (8)
m =
d
dt
(I
ω
)
onde f e m são os vetores de força e momento externos, M e I são matrizes 3x3
compostas da massa do corpo, e seus momentos e produtos de inércia de acordo com as
equações (9) e (10):
M =
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
m00
0m0
00m
(9)
I =
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
I
11
-J
12
-J
13
-J
21
I
22
-J
23
-J
31
-J
32
I
33
(10)
Onde: m = massa da plataforma
I
ii
= momento de inércia em torno dos eixos i;
I
ii
=
⌡
⌠
(x
j
2
+ x
k
2
) dm j,k
≠
i (11)
J
ij
= ij-ésimo produto de inércia
24
J
ij
=
⌡
⌠
x
i
x
j
dm i
≠
j (12)
J
ij
= J
ji
.
O lado direito das equações (8) representa as derivadas no tempo do momento e
do momento angular. Se a velocidade translacional, v, do centro de gravidade do corpo
e o vetor de forças, f, são expressos em relação ao sistema de referência inercial, oxyz, a
primeira das equações (8) torna-se:
f = M
dv
dt
(13)
v =
dx
dt
(14)
onde x = {x
1
, y
1
, z
1
} são as coordenadas do centro de gravidade do corpo em relação ao
sistema de referência oxyz.
É conveniente que a equação de momento angular seja avaliada em relação ao
sistema de referência móvel, que permanece fixo no corpo, visto que a matriz de inércia
é constante neste sistema. A derivada no tempo do momento angular é, portanto,
avaliada num sistema de coordenadas que está girando, assim a segunda das equações
(8) torna-se:
m = I
d
ω
dt
+
ω
x (I
ω
) (15)
Equações de Movimento – Forma Inicial
As equações (7), (13), (14) e (15) podem ser rearranjadas e reescritas como:
dv
dt
= M
-1
f
dx
dt
= v (16)
d
ω
dt
= I
-1
[m-
ω
x (I
ω
)]
d
θ
dt
= B
-1
ω
25
As equações (16) podem ser vistas como um sistema de doze equações de
primeira ordem nas variáveis v, x,
ω
e
θ
. Estas variáveis, dependentes do tempo,
expressam as velocidades e posição do corpo. É importante ressaltar dois tipos de não
linearidade que ocorrem nestas equações:
¾ Os vetores de força e momento, f e m, são funções não lineares da posição do
corpo e do estado de movimento;
¾ O produto vetorial
ω
x (I
ω
) e a matriz de transformação B
-1
contêm termos
não lineares envolvendo, respectivamente, produtos e potências das
velocidades angulares, e funções trigonométricas dos ângulos de Euler.
Neste ponto, formulações simplificadas poderiam assumir pequenas amplitudes
de movimento e desprezar termos de ordem superior contendo produtos ou potências de
quantidades de menor ordem de grandeza. No entanto, como mencionado
anteriormente, a presente formulação mantém todos os termos não-lineares e, portanto,
é válida para grandes amplitudes de movimento; isto será possível já que a integração
das equações será feita no domínio do tempo.
26
3.4. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
Equações de Movimento – Forma Final
Para a integração no tempo das equações de movimento, será empregado o
método de Runge-Kutta de quarta ordem. Este método pode operar sobre um sistema de
equações diferenciais acopladas da forma
dy
dt
= f(y,t), que, como pode ser visto, é similar
às equações (16). Trata-se de um método baseado em extrapolações polinomiais da
variável principal no intervalo de tempo seguinte, e na determinação dos coeficientes do
polinômio a partir de valores estimados das derivadas em instantes ao longo do
intervalo de tempo.
Mais adiante, será demonstrado que os vetores de força e momento,
f e m, têm
componentes que são proporcionais às acelerações do corpo (as parcelas de inércia da
fórmula de Morison). Estas componentes irão gerar termos de massa adicionada, que
variam ao longo do tempo. Separando as parcelas de
f e m que dependem das
acelerações, e que são afetados por termos de massa adicionada, pode-se rearranjar as
equações (16) da seguinte forma:
M
dv
dt
= - A
dv
dt
- B
d
ω
dt
+ f
1
(17)
I
d
ω
dt
= - C
dv
dt
- D
d
ω
dt
+m
1
-
ω
x (I
ω
)
Onde:
A e D são as matrizes da massa adicionada no presente tempo de integração,
B e C são os termos cruzados de massa adicionada,
f
1
e m
1
são as parcelas dos termos de força e momento que dependem da posição,
velocidade e tempo, mas são independentes da aceleração.
As equações (17) são mais uma vez rearranjadas:
(M+A)
dv
dt
+B
d
ω
dt
= f
1
(18)
27
C
dv
dt
+ (I+D)
d
ω
dt
= m
1
-
ω
x (I
ω
),
que pode ser reescrita como,
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
M + A B
CI + D
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
dv
dt
d
ω
dt
=
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
f
1
m
1
-
ω
x (I
ω
)
(19)
onde a matriz de massa global é dada por,
A
_
=
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
M + A B
CI + D
(20)
A
_
é uma matriz simétrica e, em geral, não singular, assim a sua inversa pode ser
expressa, numa forma particionada, como,
A
_
-1
=
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
A
−
11
A
−
12
A
−
21
A
−
22
(21)
Depois de pré multiplicar os dois lados de (19) por A
_
-1
, obtém-se,
dv
dt
= A
−
11
f
1
+ A
−
12
[ m
1
-
ω
x (I
ω
)] (22)
d
ω
dt
= A
−
21
f
1
+ A
−
22
[ m
1
-
ω
x (I
ω
)]
As equações (22) encontram-se agora numa forma apropriada para a aplicação
do algoritmo de Runge-Kutta, uma vez que o lado direito destas equações não possui
mais termos com derivadas.
28
Método de Runge Kutta de Quarta Ordem
Este método é comumente utilizado na solução deste tipo de problema. Ele
emprega uma função de extrapolação do tipo polinomial, expressando os coeficientes
do polinômio em termos dos valores estimados das derivadas em pontos intermediários
no interior e no contorno do intervalo de integração. A seguir uma breve descrição do
algoritmo de Runge-Kutta:
Consideremos N equações diferenciais ordinárias de 1
a
ordem:
dx
1
dt
= f
i
= (x
1
, x
2
, …, x
N
, t), i = 1, 2, …, N (23)
As soluções de (23) podem ser extrapoladas em um intervalo de tempo t
1
≤ t ≤ t
1
+ h por uma aproximação polinomial de quarta ordem:
x(t) = a
0
+ a
1
t + a
2
t
2
+ a
3
t
3
+ a
4
t
4
(24)
As derivadas desta aproximação polinomial nos pontos t = 0, t = h e no ponto
médio, t = h/2, do intervalo de extrapolação são:
x
.
(0) = a
1
;
x
.
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
h
2
= a
1
+ a
2
h +
3
4
a
3
h
2
+
1
2
a
4
h
3
; (25)
x
.
(h) = a
1
+ 2 a
2
h + 3 a
3
h
2
+ 4 a
4
h
3
O incremento em x de intervalo h é dado pela substituição em (24) como:
x(h) – x(0) = h (a
1
+ a
2
h + a
3
h
2
+ a
4
h
3
) (26)
Isto pode ser mostrado pela substituição:
1
6
[ x
.
(0) + 4 x
.
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
h
2
+ x
.
(h) ] = a
1
+ a
2
h + a
3
h
2
+ a
4
h
3
(27)
Substituindo (27) em (26), a extrapolação apresenta-se:
x(h) = x(0) +
h
6
[ x
.
(0) + 4 x
.
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
h
2
+ x
.
(h) ] (28)
29
Ou, em termos mais gerais:
x(t+h) = x(t) +
h
6
[ x
.
(t) + 4 x
.
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
t+
h
2
+ x
.
(t+h) ] (29)
Os termos que aparecem entre colchetes são derivadas de x(t) em 3 pontos do
intervalo de extrapolação. Observando-se que a função é desconhecida neste intervalo
torna-se necessário estimar-se valores para os termos entre colchetes. Uma estimativa é
obtida pela modificação de (29):
x(t+h) = x(t) +
h
6
[ x
.
1
+ 2x
.
2
+ 2x
.
3
+ x
.
4
] (30)
Nesta expressão, as derivadas são calculadas no início do tempo presente
utilizando-se valores de variáveis do intervalo de tempo anterior. Assim, duas
estimativas são obtidas para o ponto médio do intervalo de tempo e uma estimativa de
derivada é obtida no final do intervalo de tempo. As expressões para estas estimativas
são apresentadas a seguir:
x
1
= x(t) no início do intervalo;
x
.
1
= f (x
1
,t);
x
2
= x
1
+
h
2
f(x
1
,t) = x
1
+
h
2
x
.
1
;
x
.
2
= f (x
2
,t +
h
2
); (Primeira estimativa de derivada em
h
2
); (31)
x
3
= x
1
+
h
2
x
.
2
;
x
.
3
= f (x
3
,t +
h
2
); (Segunda estimativa de derivada em
h
2
);
x
4
= x
1
+ h x
.
3
;
x
.
4
= f (x
4
,t + h).
O início de um método de integração deste tipo necessita apenas de valores de
variáveis no tempo t = 0.
30
Algumas vezes ocorrem efeitos transientes severos associados ao conjunto de
condições iniciais fornecidas. Estes efeitos podem persistir por um prolongado período
durante a integração, dependendo do grau de amortecimento e outras características do
sistema. O transiente pode ser reduzido por dois procedimentos:
1.
Iniciando-se a análise dinâmica a partir dos resultados de uma análise estática
anterior, na qual foram aplicadas as parcelas estáticas do carregamento;
2.
Na análise dinâmica, introduzindo-se uma função rampa para as componentes
dinâmicas dos carregamentos, de modo que estes sejam aplicados de forma
integral apenas após um certo período de tempo t
0
.
A função rampa empregada é da forma:
c(t) =
1
2
(1 - cos
πt
t
0
); para t ≤ t
0
(32)
1.0; para t > t
0
31
4. FORMULAÇÃO ESTRUTURAL DAS LINHAS
4.1. INTRODUÇÃO
Prosseguindo na descrição do procedimento de análise acoplada de plataformas
flutuantes apresenta-se a seguir a formulação e o procedimento de solução do modelo
matemático que representa o comportamento estrutural das linhas de ancoragem e
risers.
Assim, nesta seção apresenta-se de forma resumida a formulação do modelo
matemático que representa o comportamento dinâmico de sistemas estruturais,
particularmente para o caso de estruturas esbeltas como as linhas de ancoragem e risers.
4.2. MODELO MATEMÁTICO; SOLUÇÃO NUMÉRICA
O comportamento dinâmico de uma estrutura pode ser descrito matematicamente
por um problema de valor inicial e de contorno (
PVI/C), constituído por um sistema de
equações diferenciais parciais (
EDP) hiperbólicas - as Equações de Movimento ou
equações de equilíbrio dinâmico. Na montagem deste sistema estão incorporadas as
Equações constitutivas
relacionando tensões às deformações, e as Equações
deformação-deslocamento.
A essas equações diferenciais parciais, está associado um conjunto de condições
de contorno no espaço, que estabelece que o contorno da estrutura está dividido em uma
região com deslocamentos conhecidos e outra com forças conhecidas. Além disso, está
associado também um conjunto de condições iniciais no tempo, que estabelece que os
deslocamentos e velocidades em qualquer ponto do domínio espacial têm valores
conhecidos no tempo t = 0.
A construção deste modelo matemático diferencial
está baseada em conceitos da
Mecânica do Contínuo e da Teoria da Elasticidade. Usualmente, no procedimento de
solução do problema estrutural o modelo matemático é reescrito em uma formulação
integral
, baseada em princípios variacionais. Esta formulação integral pode ser obtida
32
de diversas maneiras: através de princípios de energia, como o Princípio dos Trabalhos
Virtuais ou o Princípio da Energia Potencial Estacionária; ou através do método de
Galerkin, baseado na técnica de resíduos ponderados.
Uma descrição detalhada do estabelecimento e formulação destes modelos
matemáticos pode ser encontrada em diversos textos [4, 5, 6]. Uma descrição mais
concisa e didática pode ser encontrada no trabalho de Kayser Junior [7].
Para a solução do problema descrito por estes modelos matemáticos contínuos,
que acarreta na obtenção da resposta dinâmica desejada, são empregados métodos
numéricos que efetuam discretizações no espaço e no tempo. O processo usual consiste
em efetuar as discretizações de forma independente (semi-discretização
), em duas
etapas:
A) Em uma primeira etapa, utiliza-se uma técnica para a discretização espacial do
domínio. Em formulações diferenciais, as
EDP seriam então transformadas em
um sistema de equações diferenciais ordinárias (
EDO) semi-discretas (porém
ainda funções contínuas do tempo).
B) Em uma segunda etapa, efetua-se a discretização das EDO no tempo, obtendo-se
a resposta através de um algoritmo de integração.
4.3. DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL
No contexto da análise de estruturas esbeltas, especificamente de risers e linhas
de ancoragem de plataformas flutuantes, a técnica de discretização empregada é o
Método dos Elementos Finitos –
MEF. A formulação do MEF, que tem sido
extensivamente estudada ao longo das três últimas décadas, não será descrita neste
texto; recomenda-se a leitura de referencias clássicas da literatura, tais como [4,5,6].
Novamente, uma descrição concisa e didática pode ser encontrada em [7].
Para a discretização espacial dos risers e linhas de ancoragem, o programa
Prosim emprega elementos reticulados de treliça e pórtico. A seguir, apresenta-se uma
descrição sucinta das características destes elementos.
33
4.3.1. Elemento de Treliça
Os elementos de treliça possuem 3 graus de liberdade por nó. Os graus de
liberdade (U,V,W) representam movimentos lineares nas direções x
_
, y
_
e z
_
, como ilustra
a figura 11. Como este tipo de elemento não possui graus de liberdade angulares,
conseqüentemente não é possível fornecer rigidez flexional. Por este motivo, estes
elementos representam bem linhas que possuem baixa rigidez à flexão tais como linhas
de ancoragem e umbilicais.
X
Z
Y
N
ó 1
N
ó 2
U
V
W
U
V
W
Figura 11 – Elemento de Treliça
4.3.2. Elemento de Pórtico
O programa Prosim emprega um elemento finito de pórtico espacial baseado em
uma formulação corotacional [8, 9, 10]. O objetivo principal da formulação co-
rotacional é separar os movimentos de corpo rígido dos movimentos que geram
deformações. Com isso, obtém-se um elemento mais preciso, robusto e menos sensível
à magnitude das rotações incrementais.
O elemento de pórtico espacial possui 6 graus de liberdade por nó. Os graus de
liberdade (U,V,W,RU,RV,RW) representam movimentos lineares nas direções x
_
, y
_
e z
_
e
movimentos angulares em torno destes mesmos eixos, como ilustra a figura 12. Com
este tipo de elemento é possível considerar a rigidez à flexão das linhas, de modo a
representar linhas cuja rigidez à flexão é representativa, tais como risers rígidos e risers
flexíveis.
34
X
Z
Y
N
ó 1
N
ó 2
U
V
W
U
V
W
RU
R
V
R
W
R
V
R
W
Figura 12 – Elemento de Pórtico Espacial
4.4. DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO - SOLUÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMAS
DINÂMICOS LINEARES
4.4.1. Formulação do Problema Dinâmico
Como resultado da aplicação do Método dos Elementos Finitos para a
discretização espacial, o modelo matemático diferencial, originalmente um PVI/C
composto por um sistema de equações diferenciais parciais (
EDP) associado a um
conjunto de condições de contorno no espaço e condições iniciais no tempo, se
converteria em um problema de valor inicial
composto por um sistema de equações
diferenciais ordinárias (
EDO) semi-discretas (discretizadas no espaço, mas ainda
funções contínuas do tempo), e um conjunto de condições iniciais no tempo [11, 12].
Para problemas lineares, as EDO correspondem às equações de movimento
escritas da seguinte forma:
M u"(t) + C u' (t) + K u(t) = F(t) (33)
As incógnitas destas equações são os vetores
u(t), u
'
(t) e u
"
(t) contendo,
respectivamente, componentes de deslocamentos, velocidades e acelerações para cada
grau de liberdade da malha de elementos finitos empregada para efetuar a discretização
espacial. O problema de valor inicial é composto por estas equações de movimento,
associadas às seguintes condições iniciais:
u(0) = u
0
; u
'
(0) = v
0
(34)
As três parcelas do lado esquerdo das equações de movimento representam,
respectivamente, forças de inércia, amortecimento e forças elásticas. Estas forças
35
internas equilibram as forças externas no lado direito, que são representadas pelo vetor
F(t) contendo as resultantes nodais das cargas.
Finalmente,
M, C e K são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez,
simétricas e constantes no tempo. As matrizes de massa e rigidez podem ser deduzidas
diretamente a partir da formulação de elementos finitos. A matriz de amortecimento
C,
por sua vez, é usualmente representada pela expressão de amortecimento de Rayleigh
como uma combinação linear das matrizes de massa e rigidez [5]:
C = α
m
M + α
k
K. (35)
onde α
m
e α
k
são, respectivamente, coeficientes escalares proporcionais à massa e à
rigidez, a ser determinados a partir de dois pares de valores (frequência x percentagem
de amortecimento crítico).
4.4.2. Procedimento de Solução do Problema Dinâmico
Para a solução do problema de valor inicial composto pelas equações (33) e (34),
utilizam-se algoritmos de integração no tempo. Para isso, inicialmente escreve-se uma
forma discretizada no tempo das equações (33), onde os valores exatos
u
"
(t
n+1
), u
'
(t
n+1
) e
u(t
n+1
) são substituídos por aproximações a
n+1
, v
n+1
e d
n+1
M a
n+1
+ C v
n+1
+ K d
n+1
= F
n+1
(36)
Assim, assume-se que o equilíbrio não será mais satisfeito a cada instante
infinitesimal de tempo, mas apenas em um determinado número de instantes, separados
por intervalos discretos de tempo.
Em seguida, utilizam-se operadores ou funções que, em um dado instante de
tempo t
n+1
, fornece aproximações a
n+1
, v
n+1
e d
n+1
a partir de aproximações obtidas em
instantes anteriores. Em problemas discretizados no espaço pelo Método dos Elementos
Finitos, é usual empregar a família de algoritmos de Newmark, que é caracterizada pelos
seguintes operadores para fornecer as aproximações desejadas [5,6]:
d
n+1
= d
n
+ ∆t v
n
+
∆t
2
2
[(1 − 2β) a
n
+ 2β a
n+1
] (37)
v
n+1
= v
n
+ ∆t [(1 − γ) a
n
+ γ a
n+1
] (38)
Nestas expressões, γ e β são os parâmetros que caracterizam a família de
algoritmos de Newmark. Por exemplo, a regra trapezoidal é um membro desta família,
36
caracterizado por estes operadores com os valores
γ = ½ e β = ¼ , e pela expressão
discretizada (36).
Alternativamente, os operadores de Newmark podem ser escritos em termos de
acelerações e velocidades:
a
n+1
=
1
β∆t
2
(d
n+1
- d
n
) −
1
β∆
t
v
n
−
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
2
β
− 1 a
n
(39)
v
n+1
=
γ
β∆
t
(d
n+1
- d
n
) −
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
γ
β
− 1 v
n
−
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
γ
2β
− 1 ∆t a
n
(40)
Observa-se que a aplicação do algoritmo de integração leva a um sistema de três
equações para as três incógnitas
a
n+1
, v
n+1
, d
n+1
: as equações de movimento
discretizadas (36), e os operadores (37) e (38), ou (39) e (40). Temos portanto duas
opções para a implementação computacional, de acordo com a ordem em que são
eliminadas as incógnitas:
• Implementação por Acelerações;
• Implementação por Deslocamentos.
A seguir será apresentada a implementação por acelerações e mais adiante, no
capítulo específico de algoritmos de integração implícitos, a implementação por
deslocamentos.
Implementação por Acelerações
Substituindo os operadores de Newmark (37) e (38) nas equações de movimento
(36) resulta em:
[
M + γ ∆t C + β ∆t
2
K] a
n+1
=
= F
n+1
− C
[]
v
n
+ (1 - γ) ∆t a
n
−
− K
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
d
n
+ ∆t v
n
+
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
2
- β ∆t
2
a
n
(41)
Neste caso, as incógnitas do sistema efetivo são as acelerações.
Observamos
que, de acordo com o valor do parâmetro β, podemos identificar os seguintes casos:
37
¾ β = 0 e matrizes de massa e amortecimento diagonais: o sistema efetivo é
desacoplado, o que quer dizer que não há necessidade de empregar uma
técnica para resolução do sistema. As incógnitas são obtidas diretamente pela
divisão dos termos do vetor de cargas efetivo pelos termos da diagonal da
matriz efetiva. Esta característica identifica um algoritmo explícito.
¾ β ≠ 0: o sistema efetivo é acoplado. Neste caso exige-se uma técnica para a
resolução de sistemas de equações algébricas, e temos as características de
um algoritmo implícito.
Com base nos critérios apresentados em [5], é possível concluir que para os
problemas inerciais, a regra trapezoidal ou suas variações com amortecimento numérico
(como os métodos αH-Newmark ou αB-Newmark que serão descritos mais adiante) são
de fato os algoritmos mais adequados. Para chegar a esta conclusão podemos observar
também os teoremas de Dahlquist [6]:
¾ Não existe um algoritmo explícito incondicionalmente estável.
¾ Não existe um algoritmo incondicionalmente estável com ordem de
precisão maior ou igual a 3.
¾ O algoritmo incondicionalmente estável com ordem de precisão igual a 2
e com menor constante de erro é a regra trapezoidal.
Em problemas inerciais ou de dinâmica estrutural, a resposta dinâmica é
dominada por modos de vibração de freqüências mais baixas. Neste caso deve-se
integrar com precisão apenas os modos de freqüência mais baixa, sendo possível utilizar
um valor maior para o intervalo de tempo. Assim, algoritmos implícitos
incondicionalmente estáveis são mais apropriados para este tipo de problema, já que a
restrição de estabilidade condicional de um algoritmo explícito requeriria o uso de
valores muito pequenos de intervalos de tempo.
Em problemas de propagação de ondas, a resposta dinâmica é dominada por
modos de vibração de freqüências intermediárias ou altas. Neste caso, os modos que
devem ser integrados corretamente são os modos de freqüência mais alta. Para isso é
necessário utilizar pequenos valores de intervalo de tempo
∆t que podem ser próximos
ao valor do intervalo de tempo crítico requerido pela restrição de estabilidade
condicional. Conseqüentemente algoritmos explícitos, tal como o Método das
38
Diferenças Centrais, são mais apropriados a este tipo de problema, de modo a tirar
partido de seu menor custo por instante de tempo. A discretização espacial é importante
pois a malha deve ser refinada o suficiente para que as freqüências mais altas do modelo
reproduzam adequadamente as freqüências correspondentes do problema físico real.
O capítulo 6 irá considerar especificamente o uso de algoritmos explícitos. Mais
adiante, no capítulo 7, será apresentada a extensão do procedimento de solução para
problemas dinâmicos não-lineares associado ao uso de algoritmos implícitos.
39
5. CARREGAMENTOS AMBIENTAIS
5.1. INTRODUÇÃO
Neste capítulo será apresentada a consideração dos carregamentos ambientais de
onda, correnteza e vento nas análises dinâmicas do Prosim.
Em relação às ondas será apresentado o modelo para obtenção de velocidade,
aceleração, deslocamento e pressão das partículas do fluido e sua transformação em
forças através de modelos híbridos implementado no programa Prosim.
Em relação à correnteza será apresentado o procedimento para obtenção de
forças a partir de velocidades de correnteza e ângulos de incidência.
Finalmente serão apresentadas formulações para obtenção de forças de vento a
partir velocidade de vento, área exposta e outros fatores.
5.2. ONDAS
5.2.1. Modelo Matemático
O modelo matemático que representa o comportamento de ondas no mar é
composto por um Problema de Valor de Contorno (PVC), que consiste em uma equação
diferencial (Equação de Laplace) e as condições de contorno associadas. Para a
formulação do modelo matemático, considera-se o sistema de coordenadas (ξ,ζ,η)
descrito no item 3.2. Assume-se que o fundo do oceano é plano e com profundidade d
(medida a partir do nível de águas tranqüilas) e que as ondas são bidimensionais no
plano
ξη, periódicas, uniformes e progredindo na direção ξ positiva, são definidas em
termos de sua altura H e período T. A incógnita básica do PVC é o potencial de
velocidade do fluido
Φ, a partir do qual, por derivação, podem ser obtidas as
velocidades, acelerações, deslocamentos e pressões das partículas do fluido.
A seguir são apresentadas a Equação de Laplace e as condições de contorno.
Uma descrição detalhada deste modelo pode ser encontrada em [13].
Equação de Laplace
40
∂
2
Φ
∂ξ
2
+
∂
2
Φ
∂η
2
= 0 (42)
Condições de Contorno
As duas condições de contorno na superfície livre, expressas em termos do
potencial
Φ, são:
¾ A condição de contorno dinâmica, que pode ser deduzida a partir da equação de
Bernoulli, partindo da premissa que a pressão atmosférica fora da região do fluido
é constante (como demonstrado em [14]):
∂Φ
∂
t
+ g
η
s
+
1
2
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂Φ
∂
ξ
2
+
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂Φ
∂
η
2
= 0 em
η
=
η
s
(43)
onde g é a aceleração da gravidade, e
η
s
(
ξ
,t) é uma função que exprime a
elevação da onda na superfície livre.
¾ A condição de contorno cinemática, que estabelece que uma partícula na
superfície livre em um dado instante de tempo irá permanecer na superfície livre
[14]:
∂
η
s
∂t
+
∂Φ
∂
ξ
∂
η
s
∂
ξ
−
∂Φ
∂
η
= 0 em
η
=
η
s
(44)
Lembrando que o fundo do mar é assumido como plano e horizontal, a condição
de contorno no fundo
implica que a componente vertical da velocidade da partícula de
fluido deve ser igual a zero.
∂Φ
∂
η
= 0 em η =
−
d (45)
O problema de valor de contorno completo é portanto descrito pela equação de
Laplace (42) e as três condições de contorno (43) a (45).
Este problema de valor de contorno é altamente não-linear, especialmente
devido às condições de contorno de superfície livre. Desta forma, de modo geral não é
possível obter uma solução analítica rigorosa para a equação diferencial de Laplace, e a
solução (em termos de velocidades e acelerações das partículas fluidas induzidas pela
onda) deve ser obtida introduzindo aproximações e/ou utilizando métodos numéricos. O
procedimento mais usual, e que atende à prática de projeto de sistemas offshore,
41
consiste em empregar a Teoria Linear de Airy como o método numérico de solução da
equação de Laplace.
5.2.2. Teoria Linear de Airy
A Teoria Linear de Airy está baseada na premissa de que a altura de onda é
pequena comparada com o comprimento de onda ou a profundidade da água. Esta
premissa permite que as condições de contorno de superfície livre sejam satisfeitas no
nível médio de águas tranqüilas e não no nível real da elevação da onda. Para tanto, as
condições de contorno são linearizadas, desprezando os termos de segunda ordem e de
ordens superiores. Detalhes do procedimento de solução baseado na Teoria de Airy são
apresentados em [13]. Como resultado, obtém-se a seguinte expressão:
Φ
(
ξ
,
η
,t) =
π
H
k T
cosh k(
η
+ d)
senh kd
cos ( k
ξ
−
w t
−
θ
) (46)
Velocidades, Acelerações e Deslocamentos das Partículas do Fluido
Uma vez obtido o potencial de velocidade, as velocidades da partícula do fluido
nas direções horizontal e vertical são obtidas diferenciando-se a equação (46) em
relação a
ξ e η:
u
.
=
∂Φ
∂
ξ
=
π
H
T
cosh k(
η
+ d)
senh kd
cos ( k
ξ
−
w t
−
θ
) (47)
w
.
=
∂Φ
∂
η
=
π
H
T
senh k(
η
+ d)
senh kd
sen ( k
ξ
−
w t
−
θ
) (48)
As acelerações da partícula de água nas direções horizontal e vertical são dadas
por:
u
..
=
2
π
2
H
T
2
cosh k(
η
+ d)
senh kd
sen ( k
ξ
−
w t
−
θ
) (49)
w
..
=
2
π
2
H
T
2
senh k(
η
+ d)
senh kd
cos ( k
ξ
−
w t
−
θ
) (50)
Observando-se as expressões de velocidades horizontal e vertical, verifica-se
que a velocidade horizontal da partícula de fluido é máxima (ou mínima) quando a
velocidade vertical for zero e vice-versa. Como as amplitudes dessas duas velocidades
42
são geralmente diferentes, a partícula de fluido descreve uma trajetória elíptica sobre
sua posição média, em um ciclo de onda completo.
Os deslocamentos da partícula de fluido a partir de sua posição média são
obtidos pela integração de u
.
e v
.
em relação ao tempo t, aplicando-se a condição de
contorno adequada para a constante de integração. Os deslocamentos nas direções
horizontal e vertical, respectivamente u e w, são dados por:
()
θξ
η
−−
+
−= wtksen
senhkd
dkH
u
)(cosh
2
(51)
()
θξ
η
−−
+
= wtk
senhkd
dsenhkH
w cos
)(
2
(52)
O deslocamento vertical máximo, medido no nível de águas tranqüilas, é igual à
amplitude da onda a = H/2.
Pressões
Finalmente, outro resultado de interesse é o campo de pressões no fluido. Tal
resultado pode ser obtido através da aplicação da equação de Bernoulli [14]:
p =
ρ
g
η
+
ρ
∂
φ
∂t
+
1
2
ρ
(∇
φ
)
2
(53)
A primeira parcela desta expressão corresponde ao termo de pressão
hidrostática. As demais parcelas correspondem às parcelas de primeira e segunda ordem
da pressão dinâmica. De forma consistente com a expansão de primeira ordem do
potencial de velocidade assumida pela teoria linear de Airy, a expressão da pressão
dinâmica fica
()
wtk
kd
ksH
gpp
d
−==
ξρ
cos
cosh
cosh
2
1
(54)
Extrapolação de Wheeler
Conforme já observado, na Teoria Linear de Airy as condições de contorno de
superfície livre são satisfeitas no nível médio de águas tranqüilas e não no nível real da
elevação da onda.
43
Desta forma, em aplicações onde a altura de onda é significativa, o efeito de
alteração da superfície livre sobre a força total induzida pela onda torna-se muito
importante e, portanto, faz-se necessário algum tipo de aproximação para os pontos
situados na superfície livre. Dentre os tipos de aproximações mais conhecidos
destacam-se: extrapolação hiperbólica, linear e o método de extrapolação ou
‘stretching’ de Wheeler [15], o qual é considerado para a parcela da onda acima da
superfície livre.
O potencial de velocidade modificado pela proposição de Wheeler é apresentado
a seguir:
kd
d
hd
kd
ga
t
s
s
cosh
cosh
),,(
'
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+
=Φ
η
η
ω
ηξ
(55)
onde h
’
= profundidade do ponto medido da superfície da onda.
Resultados no Sistema Global de Coordenadas
Na implementação computacional do programa Prosim, as propriedades do fluxo
induzido pelas ondas são calculadas pela teoria de Airy no sistema de coordenadas
bidimensional da onda (ξηζ), e em seguida convertidas para o sistema tridimensional
global (xyz).
O potencial de velocidade para águas profundas para o i-ésimo componente de
onda é dado neste ponto por:
()
()
()
[]
iiiii
hzk
i
i
twzsenxksene
w
ga
tzyx
i
θββ
−−+=Φ
−
cos,,, (56)
Para todos os demais resultados (velocidades, acelerações e pressões) pode-se
obter uma expressão no sistema global (xyz), procedendo-se de modo similar.
Por exemplo, as expressões para a transformação de coordenadas para as
velocidades em oxyz são as seguintes:
u
.
(xyz)
=
∂Φ
∂
ξ
cos
β
(57)
v
.
(xyz)
=
∂Φ
∂
η
(58)
44
w
.
(xyz)
=
∂Φ
∂
ξ
sen
β
(59)
5.2.3. Representação Espectral
O modelo matemático para a representação das ondas do mar que foi formulado
em termos de um PVC e resolvido pela teoria de Airy, trata de apenas um único trem de
ondas, definido por sua altura H e período T. Este tipo de representação é usualmente
conhecido como “mar regular” ou “onda determinística”.
Uma representação mais realista consiste em empregar um modelo espectral
para um estado de “mar irregular”, às vezes também referido como “ondas aleatórias”.
Neste modelo, o estado de mar irregular geral é representado pela superposição linear
de várias ondas regulares, com diferentes valores de período, amplitude e fase. Para
uma dada locação, medições e estudos estatísticos ajustam um modelo de espectro
adequado para a representação da distribuição de densidade de energia apropriada das
ondas do mar.
O ajuste do modelo espectral é feito em termos de parâmetros estatísticos, tais
como fatores de forma espectral, altura significativa de onda e período de pico. Na
estatística de curto prazo, estes parâmetros são supostos constantes, cada conjunto deles
caracterizando um “estado de mar”. A escolha do espectro de mar e de seus parâmetros
característicos é função do fenômeno a ser estudado e dos levantamentos em medições
realizadas na posição geográfica a que se queira referir.
O espectro mais comum de um único parâmetro é o modelo de Pierson-
Moskovitz baseado na altura significativa de onda ou velocidade de vento. Dos
espectros de dois parâmetros, os mais comumente usados são Bretschneider, Scott,
ISSC e ITTC. O espectro de Jonswap é de cinco parâmetros, mas usualmente três destes
parâmetros são mantidos constantes. A seguir será apresentado o modelo de espectro de
Jonswap, que vem sendo estabelecido pela Petrobras como o padrão para a
representação de estados de mar na Bacia de Campos.
Para o cálculo dos valores que caracterizam o comportamento das partículas do
fluido em um dado ponto no espaço e um instante no tempo (tais como velocidades,
acelerações e pressões), primeiramente efetua-se um procedimento de discretização do
espectro em termos de um somatório de um número arbitrado de componentes de onda
45
regular. Neste procedimento, determinam-se os valores que caracterizam cada
componente: períodos (ou frequencias), amplitudes e fases. Para cada componente
aplicam-se as expressões de Airy, obtendo-se por exemplo as velocidades e acelerações
em um dado ponto. Finalmente, os valores desejados para o estado de mar irregular
podem ser determinados pelo somatório dos valores calculados para cada componente
de onda regular.
Com isso é possível determinar as características da movimentação do fluido sob
a ação de ondas (incluindo campos de
velocidades, acelerações e pressões) sem a
consideração da presença de um corpo flutuante ou submerso.
Espectro de Jonswap
O espectro de Jonswap resultou originalmente de um projeto conjunto executado
no Mar do Norte, de onde deriva seu nome (JOint North Sea WAve Project). A
expressão para o espectro de Jonswap pode ser escrita da seguinte forma [14]:
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
22
2
2
exp
4
54
2
25.1exp
2
)(
p
p
w
ww
p
w
w
w
g
wS
σ
γ
π
α
(60)
Esta expressão fornece, a partir de um valor de freqüência w (em Hz), a
densidade de energia correspondente S(w). Os parâmetros variáveis do espectro são a
freqüência de pico w
p
(em Hz), e os parâmetros de forma α e γ (este último conhecido
como o “parâmetro de pico”).
O parâmetro de forma σ é fixo, sendo determinado em função da relação entre a
freqüência w e a freqüência de pico w
p
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>=
≤=
=
pb
pa
wwpara
wwpara
,09.0
,07.0
σ
σ
σ
(61)
A figura 13 apresenta o espectro de Jonswap.
46
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
1.55348
0
SW
i
30w
i
Figura 13 - Espectro de Jonswap
Recentemente a Petrobras propôs empregar uma expressão do espectro de
Jonswap ajustada para as condições de onda da Bacia de Campos. Em particular, para
projetos de fadiga estocástica, o espectro de onda de Jonswap pode ser usado na faixa
de 4s ≤ T
p
≤17.7s e 0.47m ≤ H
s
≤6.51m, estabelecendo as seguintes relações para
determinar os parâmetros de forma α e γ a partir de H
s
e T
p
:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
s
p
H
T
01966.00394.1exp
γ
(62)
()
[]
γα
ln287.010609.5
4
2
∗−=
p
s
T
H
(63)
5.2.4. Cálculo das Forças
O presente item irá tratar dos procedimentos para o cálculo das forças no casco
e nas linhas
de ancoragem e risers exercidas pelo fluido. Este cálculo de forças é uma
tarefa complexa, pois envolve diversas incertezas, que se somam às envolvidas na
formulação do modelo de ondas, e na natureza randômica de um estado de mar real,
como descrito no item anterior.
47
Atualmente existem formulações que, tendo sido verificadas e calibradas por
ensaios experimentais e monitoração no mar, se mostram adequadas para representar
com precisão as forças devidas à movimentação do fluido sobre sistemas offshore.
Segundo Chakrabarti [14], estas formulações podem ser agrupadas em três classes
principais, de acordo com sua adequação aos diferentes tipos de sistemas offshore:
¾ Formulação de Morison – casco, linhas de ancoragem e risers;
¾ Formulação de Froude-Krylov - casco;
¾ Modelo de Difração / Radiação - casco.
A seguir apresenta-se uma descrição resumida das principais características de
cada uma destas formulações.
5.2.4.1. Formulação de Morison
A formulação de Morison é bastante difundida em aplicações práticas para o
cálculo das forças de fluidos em corpos esbeltos, com dimensão transversal
característica D pequena em comparação com o comprimento de onda λ. Um critério
usualmente empregado para definir um “corpo esbelto” consiste em verificar se a
seguinte relação é atendida:
D
λ
< 5. (64)
Nestes casos, a formulação de Morison assume que as forças podem ser
computadas através de uma aproximação na qual os parâmetros importantes do fluxo na
superfície do corpo, tais como pressão, velocidade e aceleração, podem ser aproximados
pelo valor correspondente calculado no eixo da seção transversal do corpo esbelto.
A formulação de Morison considera que a força de onda é composta pela soma
de duas parcelas:
1.
Uma parcela de arraste associada a efeitos viscosos, proporcional às velocidades
do fluido e do corpo;
2.
Uma parcela de inércia, proporcional às acelerações do fluido e do corpo.
A equação de Morison pode ser expressa da seguinte forma:
F =
1
2
ρ
w
D C
d
⎪u − x
.
⎪(u −x
.
) + ρ
w
π D
2
4
C
m
u
.
− ρ
w
π D
2
4
C
a
x
..
(65)
48
Nesta expressão, ρw é a massa específica do fluido; D é uma dimensão
transversal característica do corpo (usualmente o diâmetro de um membro cilíndrico); e
u, x
.
,u
.
e x
..
são respectivamente as velocidades e acelerações do fluido e do corpo. O
primeiro termo do lado direito desta equação (proporcional às velocidades) corresponde
portanto à parcela de arraste; o segundo e terceiro termos (proporcionais às acelerações)
correspondem à parcela de inércia. Geralmente considera-se que a formulação de
Morison é mais aplicável quando a força de arraste é significativa, e os efeitos viscosos
preponderam sobre os inerciais; este é usualmente o caso em corpos esbeltos [14].
A formulação de Morison é considerada semi-empírica, já que as parcelas de
arraste e inércia são afetadas por coeficientes adimensionais C
d
, C
m
e C
a
, que devem ser
calibrados a partir da observação de resultados experimentais. Na análise de linhas de
ancoragem e risers usualmente empregam-se valores de C
d
variando entre 0,7 e 1,2, e
valores de C
m
em torno de 2,0 . O terceiro termo, afetado pelo coeficiente C
a
(usualmente definido como C
m
– 1) é proporcional às acelerações do corpo e está
associado a efeitos de “massa adicionada”.
A equação de Morison tem apresentado bons resultados em aplicações práticas
tais como membros de plataformas fixas reticuladas (as jaquetas), e linhas de
ancoragem e risers modelados por elementos finitos. Nestas aplicações, no entanto,
deve-se ter em mente os seguintes aspectos:
¾ A Fórmula de Morison considera que a resposta do riser está alinhada com a
direção do fluxo incidente. Portanto, omite forças de
lift (sustentação) e forças de
arrasto devido à vibração induzida por vórtices (
VIV), que podem ser importantes
em muitas situações.
¾
Não incorpora o efeito da esteira de interferência entre risers muito próximos (o
que pode influenciar a parcela de arrasto). Um riser na esteira de outro pode
receber menos carga, o que pode levar à colisão (
clashing) entre os risers. Este
efeito poderia ser modelado empiricamente, variando os valores do coeficiente C
d
.
Como será comentado mais adiante, esta equação também pode ser empregada
em plataformas flutuantes compostas por membros reticulados, tais como as
plataformas semi-submersíveis, TLPs ou SPAR-buoys. Nestes casos, membros muito
próximos podem “confinar” uma porção da massa de fluido, que pode agir como parte
49
da estrutura, levando ao aumento da força de massa adicionada. Assim, a utilização pura
e simples da equação de Morison equivaleria a assumir que os membros, além de
relativamente esbeltos, são razoavelmente espaçados entre si, de modo que o
espaçamento médio entre dois membros é grande quando comparado com as dimensões
transversais da seção. A força que o fluido exerce em cada membro não seria então
afetada pela presença de outros membros, e a força total pode ser obtida somando-se as
forças calculadas individualmente para cada membro. O efeito de “confinamento” do
fluido poderia ser modelado empiricamente, aumentando o valor do coeficiente C
a
(proporcional à aceleração do corpo), mas sem alterar o valor do coeficiente C
m
que
afeta apenas a força de inércia proporcional à aceleração do fluido.
5.2.4.2. Formulação de Froude-Krylov
Na formulação de Froude-Krylov, a força atuante no corpo é proveniente da
pressão gerada pela passagem da onda incidente sobre a superfície do corpo, também
considerando que a presença do corpo não afeta o fluxo. A partir de uma dada expressão
para o campo de pressões no fluido gerado pela onda, podem ser obtidas as
componentes de força resultante atuando em um corpo, em cada uma das direções de
um sistema de eixos ortogonais. Para isto basta efetuar a integração da correspondente
componente da pressão p, sobre a parte submersa do corpo, como indicado a seguir:
dSnpCF
s
xHx
∫∫
= (66)
dSnpCF
s
yVy
∫∫
= (67)
Estas expressões fornecem respectivamente as componentes horizontal e vertical
da força resultante no corpo, n
x
e n
y
são as componentes horizontal e vertical do vetor
normal à superfície do corpo, C
H
e C
V
são coeficientes de força horizontal e vertical,
também determinados empiricamente, como será comentado a seguir (não devendo ser
confundidos com os coeficientes de inércia e de arraste da fórmula de Morison).
A aplicação desta formulação torna-se mais conveniente quando associada a
uma expressão do campo de pressões no fluido p derivada de uma teoria linear de onda,
como por exemplo da teoria de Airy, que pode então ser empregada para fornecer a
pressão dinâmica em um ponto na superfície de uma estrutura submersa, agindo normal
50
à superfície daquele ponto. Neste caso, a aplicação deste método é vantajosa já que,
para algumas formas particulares de membros submersos (como cilindros ou esferas),
podem ser obtidas expressões fechadas que fornecem as forças atuantes no corpo.
Chakrabarti [14] demonstra que, em muitos casos, as expressões resultantes são
semelhantes às obtidas pela parcela de inércia da fórmula de Morison (embora, como
mencionado anteriormente, o coeficiente que deve ser determinado empíricamente não é
o mesmo).
Desta forma, segundo Chakrabarti [14], a formulação de Froude-Krylov é mais
aplicável quando a força de arraste é pequena
, e os efeitos de inércia predominam sobre
os viscosos, mas o corpo é ainda relativamente esbelto e portanto pode-se assumir que a
sua presença não afeta significativamente o fluxo das partículas fluidas. Como, ainda
segundo Chakrabarti, poucas aplicações práticas atendem a estas hipóteses, em casos
onde os efeitos de difração são significativos, mas pequenos, é possível considerá-los na
forma de um termo de correção nos coeficientes de força. Em casos mais gerais onde os
efeitos de difração são mais importantes, isso não é possível. Além disso, a proximidade
do corpo com o fundo ou a superfície livre pode gerar efeitos não facilmente
quantificáveis nos coeficientes. Nestes casos, deveria então ser aplicada a formulação
completa da teoria da difração.
Alternativamente, segundo Hooft [16], para corpos relativamente esbeltos tais
como membros reticulados de plataformas flutuantes, a parcela de força de Froude-
Krylov pode ser somada a termos de força de inércia e de arraste semelhantes às
parcelas da fórmula de Morison.
5.2.4.3. Modelo de Difração / Radiação
Quando as dimensões do sistema offshore não são pequenas em relação ao
comprimento de onda, as hipóteses consideradas nas seções anteriores não são válidas, e
espera-se que a presença do corpo altere de forma significativa o campo de ondas na sua
vizinhança, gerando efeitos de difração, interferência e radiação de ondas pelo corpo.
Portanto, nestes casos de corpos de forma completamente geral, um método rigoroso
para o cálculo das forças induzidas pela movimentação das partículas do fluido devida
às ondas deve considerar um modelo de Difração/Radiação.
O modelo matemático tridimensional de Difração/Radiação é uma generalização
do modelo bidimensional que representa a “teoria de onda”. Enquanto o modelo da
51
“teoria de onda” tinha por objetivo apenas determinar velocidades e acelerações do
fluido, sem considerar a presença do corpo, o modelo de Difração / Radiação considera
a presença do corpo e tem por objetivo determinar as cargas
que resultam da
movimentação do fluido induzida pelas ondas.
Esse modelo está associado à Teoria Potencial, compondo um modelo
matemático em termos de um PVC composto pela equação de Laplace tridimensional
com as condições de contorno associadas, mas agora incluindo a consideração do corpo
submetido à ação do fluido.
Em alguns casos particulares, como cilindros verticais fixos e semi-cilindros ou
semi-esferas apoiadas no fundo, existem soluções analíticas fechadas disponíveis na
literatura. Em casos mais gerais podem ser empregados métodos numéricos, baseados
por exemplo na Teoria das Faixas e na formulação de Green [14].
O programa Wamit [17] é um código extensamente usado para computar cargas
de fluido empregando um modelo de Difração/Radiação.
5.2.5. Modelo Híbrido
As formulações descritas no item anterior não necessitam ser consideradas como
mutuamente exclusivas, e podem ser combinadas em modelos “híbridos” que combinam
características positivas de mais de uma formulação, seguindo propostas como as
apresentadas por [16] e [18]. Neste modelo híbrido, implementado no programa Prosim,
combinam-se as seguintes forças:
¾ As forças de primeira ordem da fórmula de Morison, particularmente as forças
viscosas de arraste;
¾ As forças de Froude-Krylov;
¾ As forças de segunda ordem oriundas da Teoria Potencial, incluindo efeitos de
Difração e Radiação de ondas
.
A utilização pura e simples da fórmula de Morison para o cálculo das cargas de
fluido no casco de uma plataforma composta por membros reticulados tais como TLPs
ou semisubmersíveis implicaria em assumir algumas simplificações, mencionadas a
seguir.
52
Uma primeira simplificação está diretamente embutida na premissa em que se
estabelece a formulação de Morison, pela qual um membro individual é esbelto o
suficiente para que os efeitos de difração sejam insignificantes, e as forças possam ser
computadas a partir de velocidades e acelerações calculadas pela teoria linear de Airy
no eixo da seção transversal do membro. Com isso a perturbação da onda causada pela
presença e movimento do corpo é ignorada.
Além disso, a formulação de Morison assume também que o espaçamento médio
entre dois membros da plataforma é grande em comparação com as dimensões da seção
transversal. Deste modo, a força em um membro individual não é afetada pela presença
de outros membros e, em conseqüência, a força total no casco pode ser calculada como
a soma das forças calculadas para cada um dos membros individuais. No entanto, um
tratamento mais rigoroso deveria considerar que existe interação entre os membros, o
que leva a efeitos de cancelamento ou sobreposição de ondas, o que depende da
frequencia de cada componente de onda.
Já a Teoria Potencial é capaz de tratar adequadamente os efeitos devidos à
perturbação (difração e radiação) da onda causada pela presença e movimento do corpo,
bem como os efeitos devidos à interação entre as ondas que refletem nos membros da
plataforma. Estes efeitos incluem [19]:
¾ O amortecimento potencial por irradiação de ondas pelo corpo, e
¾ As forças de deriva média e lenta, devidas à difração e reflexão das ondas em
torno do corpo.
Por outro lado, enquanto as forças de primeira e segunda ordem são avaliadas
pela Teoria Potencial no domínio da freqüência e válidas para pequenas amplitudes de
onda e movimento, a formulação de Morison avalia as forças de primeira ordem no
domínio do tempo
, a cada passo do processo de integração, e são válidas para grandes
amplitudes de onda e movimento. A formulação de Morison associada a uma análise no
domínio do tempo é, portanto, capaz de tratar adequadamente os efeitos não-lineares,
levando em conta a superfície livre instantânea
e determinando as cargas exatamente no
trecho imerso de cada membro em cada instante de tempo.
Além disso, modelos de Difração/Radiação baseados na teoria potencial não
incorporam efeitos devidos à viscosidade do fluido; por exemplo, no programa Wamit o
53
amortecimento viscoso deve ser introduzido externamente pelo usuário, através de uma
matriz de amortecimento calibrada. Argumenta-se em favor da teoria potencial que este
fato não constitui problema em sua aplicação a corpos de grandes dimensões como
navios, onde os efeitos de inércia são preponderantes e os efeitos viscosos seriam
importantes apenas como amortecimento para excitações de ressonância, com períodos
próximos a períodos naturais do corpo (por exemplo o roll em navios). A questão que se
coloca é se esse raciocínio permanece válido para membros cilíndricos de plataformas,
onde o diâmetro pode não ser tão grande quando comparado como comprimento da
onda. Nesses casos, os efeitos viscosos, além de serem importantes como
amortecimento na ressonância, podem ser importantes também como força de arraste
para outras faixas de freqüência.
Quanto às forças de deriva, é interessante mencionar que existe um tipo de força
de deriva que é fornecido pela equação de Morison. Esta parcela é devida à diferença na
força de arrasto da onda em membros cortados pela superfície da água, que resulta da
diferença do comprimento molhado do membro, da crista para o cavado, ao longo da
passagem da onda pelo membro [18].
Em resumo, no modelo híbrido empregado no programa Prosim, as forças
atuando na plataforma devidas à movimentação do fluido são compostas por várias
parcelas, definidas na seguinte expressão:
F
wc
= f
FK
+ f
Mmn
+ f
Mdn
+ f
Mdn
+ f
Ma
+ f
D
+ f
PD
(68)
¾ O primeiro termo, f
FK
, é a força de Froude-Krylov, função da pressão do fluido p;
¾ O segundo e terceiro termos, f
Mmn
e f
Mdn
, correspondem aos termos de inércia e
arraste da fórmula de Morison, sendo funções de
a
rn
e v
rn
(respectivamente as
componentes normais das acelerações e velocidades relativas fluido-estrutura) e
dos coeficientes de massa adicionada e de arrasto quadrático C
a
e C
d
;
¾ O quarto termo, f
Ma
, corresponde à componente axial das forças de inércia e
arraste, calculadas para membros com extremidades expostas à ação do fluido;
¾ O quinto termo, f
D
, corresponde às forças de Deriva Média e Lenta;
¾ O sexto termo f
PD
corresponde às Forças de Amortecimento Potencial.
54
Detalhes de cada uma destas parcelas são apresentadas em Senra [13]. Observa-
se em especial que os dois últimos termos são forças que resultam da aplicação do
modelo de difração-radiação da Teoria Potencial. São incluídos na formulação híbrida a
partir de resultados previamente calculados no domínio da freqüência por programas
como o WAMIT [17].
Observa-se que estas parcelas dizem respeito apenas às cargas geradas pela
movimentação do fluido devido às ondas e correnteza; outras parcelas de carga atuando
na plataforma, como, por exemplo, cargas de vento, são descritas no item a seguir.
5.3. CORRENTEZA
Prosseguindo na descrição da formulação das equações de movimento, esse item
apresenta a formulação para o cálculo das cargas
correnteza (atuando tanto no casco
quanto nas linhas de ancoragem e risers
).
A correnteza é definida através de um perfil poligonal, em que são fornecidos
valores de velocidade e ângulos de incidência. Este tipo de carregamento geralmente é
aplicado incrementalmente à estrutura e fornecido através de uma função tempo, que
pode ser associada ao carregamento de onda e correnteza.
A correnteza pode ser considerada como carregamento estático, embora existam
alguns efeitos dinâmicos associados à correnteza. Pode-se mencionar por exemplo as
vibrações induzidas por vórtices (VIV); e a flutuação no valor da velocidade da
correnteza medida no tempo, que é usualmente ignorada.
No caso de corpos submersos para os quais a fórmula de Morison pode ser
aplicada, tais como membros reticulados de plataformas ou linhas de ancoragem e
risers, as cargas de correnteza podem ser consideradas diretamente no cálculo da
parcela de arraste que leva em conta as velocidades relativas fluido-estrutura,
simplesmente efetuando uma soma vetorial das velocidades de correnteza com as
velocidades do fluido devidas à onda e as velocidades da estrutura.
Em projetos recentes de plataformas em águas profundas, tem sido observado que
a parcela de carga de correnteza atuando sobre as linhas pode ser da mesma ordem de
grandeza da parcela que atua sobre o casco da plataforma.
55
5.4. VENTO
Esse item apresenta a formulação para o cálculo das cargas de vento (atuando nas
áreas expostas do casco e do convés da plataforma)
.
As cargas de vento atuam sobre a área exposta do casco e do convés das
plataformas flutuantes. As condições de vento usadas em projeto devem ser
apropriadamente determinadas a partir de dados coletados, consistentes com os outros
parâmetros ambientais que ocorrem simultaneamente.
Existem duas maneiras de se considerar os efeitos de vento no projeto, que
dependem de parâmetros do sistema e objetivos da análise:
¾ Força de vento constante no tempo, calculada com base na velocidade média de 1
minuto;
¾ Força de vento variável, calculada em função de um componente permanente,
baseado na velocidade média de 1 hora, mais uma componente variando com o
tempo, calculada a partir de um espectro de vento adequado.
Para o cálculo da parcela estática da carga de vento é assumido que a área exposta
à ação do vento na embarcação possa ser caracterizada por um único número, o qual
representa o produto da área exposta ao vento pelo fator de forma. O programa
PROSIM também fornece a opção de se interpolar ao longo do tempo a área exposta à
ação do vento devido à variação do aproamento (yaw) da plataforma.
Considerando-se que o centro de pressão de vento seja conhecido, a força de
vento é considerada atuando neste ponto, em cada intervalo de integração, pela seguinte
equação:
2
2
ventoventovento
VAF
ρ
= (69)
onde:
ρ
- densidade do ar;
A
vento
– produto da área exposta ao vento pelo coeficiente de forma;
V
vento
– velocidade média do vento.
56
Resultados de teste de túnel de vento podem ser usados para estabelecer
coeficientes de força (força/velocidade
2
) em determinadas direções de incidência do
vento. Assim, basta multiplicar o valor da velocidade de vento ao quadrado pelo
coeficiente de força obtido do ensaio, para que seja determinada a força de vento sobre
a embarcação. Nos ensaios, os coeficientes de força de vento são normalmente
determinados para uma altura de 10 metros acima da lâmina d’água. Assim, para se
obter as forças, as velocidades de vento medidas precisam ser transportadas para esta
mesma altura de 10 metros, de acordo com a fórmula abaixo [20]:
13,0
10
10
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×=
Z
VV
mZ
(70)
De modo similar às ondas, os ventos também geram forças variáveis no tempo.
Embora métodos para determinar a parcela de força de vento variável no tempo
(também referida como força de vento de baixa freqüência [21]) tenham sido
extensivamente estudados, há ainda um substancial grau de incerteza nesta estimativa,
particularmente na definição de um espectro de energia a partir de dados medidos de
vento. Na falta de dados mais precisos, a parcela variável no tempo pode ser obtida a
partir da simulação do espectro proposto pela API RP 2A [22], que é apresentado a
seguir:
()
()
3
5
2
5.11
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
p
p
f
f
f
z
fS
σ
(71)
σ(z) = V(1hr,z)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
−
−
s
s
s
s
zzpara
z
z
zzpara
z
z
275.0
125.0
15.0
15.0
(72)
()( )
125.0
,1,1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
R
R
z
z
zhrVzhrV (73)
()
10.0
,1
01.0 ≤
⋅
≤
zhrV
zf
p
(74)
onde:
S(f) – densidade de energia espectral, na elevação z;
f – freqüência em Hz;
57
f
p
– freqüência de pico característica do espectro;
σ(z) – desvio-padrão da velocidade de vento;
V(1hr,z) –Velocidade média de vento em 1 hora, medida na elevação z;
z
s
– 20m (espessura da “camada superficial”);
z
r
- 10 m (altura da referência).
A figura 14 mostra o espectro de vento para uma velocidade média horária de 35
m/s e
()
05.0
,1
=
⋅
zhrV
zf
p
.
Espectro de Vento da API
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Frequência (Hz)
S(f)
Figura 14 – Espectro de Vento
A simulação do vento consiste em uma série de componentes discretas,
senoidais e unidirecionais, as quais são superpostas para se obter a velocidade
instantânea do vento. Estas componentes são geradas em intervalos de igual energia do
espectro, com fases distribuídas randomicamente no intervalo [0, 2π].
58
6. MÉTODOS EXPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO NO TEMPO
6.1. INTRODUÇÃO
Conforme mencionado no item 4.4.2, neste capítulo serão apresentados os
algoritmos explícitos de integração no tempo. Inicialmente será descrito o Método das
Diferenças Centrais, em seguida será apresentada a consideração de amortecimento
numérico em algoritmos explícitos e uma comparação entre os algoritmos
implementados.
Reapresentando os operadores de Newmark (37) e (38) nas equações de
movimento (36), temos:
[
M + γ ∆t C + β ∆t
2
K] a
n+1
=
= F
n+1
− C
[]
v
n
+ (1 - γ) ∆t a
n
−
−
K
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
d
n
+ ∆t v
n
+
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
2
- β ∆t
2
a
n
(75)
Adotando-se β = 0 e γ = 1/2, obtemos o método explícito mais comumente
utilizado, que é o Método das Diferenças Centrais. Neste caso o sistema efetivo não é
acoplado por coeficientes da matriz de rigidez e, caso a matriz de massa e a matriz de
amortecimento sejam diagonais, tem-se a matriz efetiva diagonal, o que quer dizer que
não há necessidade de se empregar uma técnica para resolução do sistema de equações.
As incógnitas são obtidas diretamente pela divisão dos termos do vetor de cargas
efetivo pelos termos da diagonal da matriz efetiva.
Em problemas não-lineares não há necessidade de se efetuar um tratamento
específico, já que as não-linearidades são levadas em conta automaticamente durante a
montagem do vetor de resíduos efetivos que estão do lado direito do sistema de
equações e já são conhecidos no tempo n.
A seguir serão apresentados o Método das Diferenças Centrais [5] e mais dois
métodos com dissipação numérica: Método de Chung-Lee [23] e Método de Hulbert-
Chung [24].
59
6.2. MÉTODO DAS DIFERENÇAS CENTRAIS
Fazendo β = 0 e assumindo-se que a matriz de amortecimento pode ser
negligenciada temos:
a
n+1
= M
-1
( F
n+1
− K
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
d
n
+ ∆t v
n
+
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
2
∆t
2
a
n
) (76)
Considerando também γ = ½ nas expressões (37) e (38), temos os seguintes
operadores para deslocamentos e velocidades:
d
n+1
= d
n
+ ∆t v
n
+
∆t
2
2
a
n
(77)
v
n+1
= v
n
+ ∆t [(
a
n
2
+
a
n+1
2
)] (78)
O MDC (Método das Diferenças Centrais) é o método explícito de integração
mais comumente utilizado. Este método é indicado quando a matriz de massa é diagonal
e pode-se desprezar a matriz de amortecimento. Uma desvantagem do MDC é a
necessidade de utilização de um intervalo de tempo muito pequeno para integração. Isto
torna-se necessário devido à característica de estabilidade condicional do algoritmo, que
estabelece que o intervalo de tempo deve ser menor que um determinado valor crítico:
∆t ≤ ∆t
cr
=
T
n
π
(79)
onde T
n
é o menor período natural da malha de elementos finitos com n graus de
liberdade.
Em problemas de propagação de onda são necessários intervalos de tempo muito
reduzidos para correta integração dos modos de vibração de freqüências mais elevadas.
Estes intervalos de tempo necessários são geralmente menores que ∆t
cr
, daí a vantagem
de utilização dos métodos explícitos visto que, para um mesmo intervalo de tempo,
estes são mais eficientes que os métodos implícitos devido à não necessidade de
resolução de sistemas de equações para obtenção da resposta.
Já para problemas inerciais, o menor intervalo de tempo necessário para
integração correta do problema é geralmente muito maior que ∆t
cr
, daí a vantagem de
60
utilização dos métodos implícitos. Isto é, se utilizarmos o menor intervalo de tempo
suficiente para um determinado problema inercial em um algoritmo explícito surgirão
problemas de instabilidade na integração. Ou, por outro lado, se utilizarmos ∆t
cr
para
este problema, estaremos utilizando um intervalo de tempo muito menor que o
necessário, o que tornaria o método explícito menos eficiente que o implícito.
O MDC especificamente apresenta uma outra desvantagem, este método não
apresenta dissipação numérica. Em alguns casos a discretização espacial do MEF
introduz erros no espectro de freqüências em comparação com o problema real. Neste
caso as equações de movimento semi-discretas aproximam melhor as freqüências mais
baixas. As freqüências mais altas podem ser espúrias. Com isto torna-se desejável uma
forma de eliminá-las da resposta dinâmica através da introdução de uma dissipação
numérica controlada.
Os próximos 2 métodos explícitos de integração apresentados introduzem este
amortecimento numérico.
61
6.3. ALGORITMO DE CHUNG E LEE
Este método, apresentado por Chung e Lee em 1995 [23], é uma variação do
MDC onde é introduzido amortecimento numérico controlado de forma a eliminar as
freqüências espúrias do problema.
Este amortecimento é introduzido no algoritmo através de parâmetros
específicos apresentado no procedimento descrito a seguir [25].
A – Cálculos Iniciais:
1 – Montagem da matriz de massa
M e vetor de esforços internos não-lineares
F
Int
(d
n
, v
n
);
2 – Inicialização de
d
0
, v
0
, F
Int
(d
n
, v
n
), f
0
e a
0
, onde a
0
= M
-1
(f
0
- F
Int
(d
0
, v
0
));
3 – Determinação do parâmetro β e do incremento de tempo (∆t) apropriados,
onde ∆t < ∆t
critico
, e cálculo das contantes de integração listadas abaixo:
β
1
= ∆t
2
(1/2 – β) β
2
= ∆t
2
β (80)
γ
1
= -1/2 ∆t γ
2
= 3/2 ∆t
B – Para cada passo de tempo (n = 0, 1, 2,..., N-1):
1 – Cálculo da aceleração no tempo: t
n+1
= t
n
+ ∆t:
a
n+1
= M
-1
(f
n
-
F
Int
(d
n
, v
n
)) (81)
2 – Cálculo do deslocamento no tempo: t
n+1
= t
n
+ ∆t:
d
n+1
= d
n
+ ∆t v
n
+ β
1
a
n
+ β
2
a
n+1
(82)
3 – Cálculo da velocidade no tempo: t
n+1
= t
n
+ ∆t:
v
n+1
= v
n
+ γ
1
a
n
+ γ
2
a
n+1
(83)
4 – n ← n + 1, vai para o passo B-1.
O parâmetro β varia na seguinte faixa: 1 ≤ β ≤ 28 / 27
Para β = 1 o algoritmo recai no MDC e para β = 28 / 27 o algoritmo apresenta a
maior dissipação numérica possível dos modos de alta freqüência.
62
6.4. MÉTODO EXPLÍCITO GENERALIZADO - ALGORITMO DE HULBERT E
CHUNG
Hulbert e Chung [24] também desenvolveram um algoritmo com a introdução da
dissipação numérica controlada. O método aqui apresentado utiliza uma parcela
preditora e uma parcela corretora para integração. Este método é denominado Método
Explícito Generalizado α cujo esquema é apresentado a seguir [25].
1 – Predição para os valores de deslocamento e velocidade no tempo t
n+1
:
dp
n+1
= d
n
+ ∆t
n+1
v
n
+ ∆t
2
n+1
(1/2 – β) a
n
(84)
vp
n+1
= v
n
+ ∆t
n+1
(1 - λ)a
n
2 – Estima-se os valores de deslocamentos e velocidades em t
n+1-αf
:
d
n+1-αf
= (1 – α
f
) dp
n+1
+ α
f
d
n
(85)
v
n+1-αf
= (1 – α
f
) vp
n+1
+ α
f
v
n
3 – Aplica-se a equação de balanço para determinar a
n+1-αm
:
M a
n+1-αm
+ C v
n+1-αf
+ K d
n+1-αf
= F (t
n+1-αf
) (86)
4 – A partir da aceleração a
n+1-αm
determina-se a aceleração a
n+1
:
a
n+1
=
a
n+1-αm
- α
m
a
n
(1 - α
m
)
(87)
5 – Obtida a aceleração a
n+1
, faz-se a correção para os valores previstos para as
velocidades e deslocamentos em t
n+1
:
d
n+1
= dp
n+1
+ β
2
∆t n+1
a
n+1
(88)
v
n+1
= vp
n+1
+ λ
∆t n+1
a
n+1
63
Os parâmetros α
m
, α
f
, β e λ são dados por:
α
m
=
2 ρ
∞
- 1
(ρ
∞
+ 1)
α
f
=
ρ
∞
(ρ
∞
+ 1)
(89)
λ = ½ - α
m
+ α
f
β = ¼ ( ½ + λ )
2
colocando α
m
em função de ρ
p
e ρ
s
tem-se:
α
m
=
2 ρ
p
ρ
s
+ ρ
p
- 1
(ρ
p
+ 1) (ρ
s
+ 1)
(90)
Os parâmetros α
f
= 1, ρ
p
= ρ
s
= 0.4, foram utilizados de acordo com [24].
64
6.5. COMPARAÇÃO ENTRE OS ALGORITMOS
Os algoritmos descritos nos sub-itens anteriores foram implementados durante o
desenvolvimento desta tese no sistema Prosim e, com o objetivo de verificação da
implementação, é apresentado a seguir um estudo comparativo. O problema
considerado nesta seção, ilustrado na Figura 15, consiste em uma viga monoengastada,
submetida a uma carga aplicada axialmente [26]. Trata-se de um teste clássico, que
excita frequências altas, e é representativo de problemas de propagação de ondas.
Figura 15 – Viga Monoengastada sob Carga Axial
Dados Geométricos e do Material
A Tabela 1 reproduz os dados geométricos e do material.
Tabela 1 – Propriedades
Área da Seção Transversal A (pol
2
) 1.0
Densidade do Material ρ (lb.s
2
/pol
4
)
7.4 e−04
Módulo de Elasticidade E (psi) 30 e+06
Comprimento Lt (pol) 20
Basicamente, o modelo numérico consiste em uma malha uniforme de 40
elementos de pórtico; cada elemento tem portanto um comprimento igual a L = 0.5pol.
Carregamento
O carregamento consiste em uma carga axial de compressão com valor de 100 lb
aplicada na extremidade livre da viga. O valor total da carga é aplicado de forma
instantânea, atuando de forma constante até o final da análise, como indicado na Figura
16.
65
Figura 16 – Carregamento aplicado
Intervalo de Tempo
Algoritmos explícitos como o Método das Diferenças Centrais requerem o uso
de um intervalo de tempo ∆t menor do que um determinado valor crítico ∆t
cr
. Por sua
vez, o valor do intervalo de tempo crítico ∆t
cr
é função de T
n
, o menor período natural
do modelo estrutural, discretizado pela malha de elementos finitos. No caso do Método
das Diferenças Centrais, o intervalo de tempo crítico é dado por
∆t
cr
=
T
n
π
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
2 π
ω
n
1
π
=
2
ω
n
(91)
onde ω
n
é a maior frequência natural da malha em que a estrutura foi discretizada, em
rad/s.
Para problemas com amortecimento estrutural, o intervalo de tempo crítico
também é função da percentagem de amortecimento crítico ξ para a maior frequência:
∆t
cr
=
2
ω
n
1+ξ
2
− ξ (92)
No exemplo aqui apresentado não se utilizou amortecimento estrutural.
Em geral não se dispõe facilmente do valor exato de ω
n
, que deveria ser
determinado montando e resolvendo o problema de autovalor associado ao modelo de
elementos finitos. Além disso, em problemas não-lineares o valor de ω
n
pode variar ao
longo do tempo. Por isso, é usual empregar uma estimativa para a maior frequência de
um elemento da malha, em função da velocidade de propagação da onda (c) [26]:
(ω
n
)
e
=
2 c
L
=
2
L
E
ρ
(93)
66
Para o problema da viga engastada, modelada por elementos com L=0.5pol, as
expressões (93) e (91) fornecem as seguintes estimativas para a frequência e o intervalo
de tempo crítico, respectivamente:
(ω
n
)
e
= 8.0539 e+05 rad/seg
∆t
cr
(ξ=0) = 2.4833 e−06 seg
A seguir, na figura 17, é apresentado a resposta de força no ponto central da viga
utilizando-se os algoritmos apresentados e comparados com a resposta analítica.
0 4E-005 8E-005 0.00012 0.00016 0.0002
Tempo (s)
-250
-200
-150
-100
-50
0
Fo
r
ça axial no cent
r
o da viga (lb)
Método das Diferenças Centrais
Chung Lee
Hulbert / Chung
Analítico
Figura 17 – Comparação entre os métodos
Conforme pode-se observar, o efeito do amortecimento numérico aproxima a
resposta obtida nas análises da resposta analítica.
67
7. MÉTODOS IMPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO NO TEMPO
7.1. INTRODUÇÃO
Conforme mencionado no item 4.4.2, neste capítulo serão apresentados os
algoritmos implícitos de integração no tempo. Inicialmente será descrita a
implementação por deslocamentos do algoritmo implícito para problemas lineares, em
seguida será apresentada a consideração de problemas não-lineares. Também será
apresentado a consideração de amortecimento numérico em algoritmos implícitos e
detalhes da implementação no programa Prosim.
7.2. IMPLEMENTAÇÃO POR DESLOCAMENTOS
Uma implementação usual para algoritmos implícitos consiste em empregar os
operadores (39) e (40) para eliminar as acelerações e velocidades das equações de
movimento (36), resultando em uma expressão onde as incógnitas são os
deslocamentos. Antes de apresentar esta implementação, vamos observar as equações
(39) e (40) e definir as seguintes constantes:
a
0
=
1
β∆t
2
; a
1
=
γ
β∆t
; a
2
=
1
β∆t
; a
3
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
2β
− 1 ; a
4
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
γ
β
− 1 ; a
5
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
γ
2β
− 1 ∆t (94)
Empregando estas constantes, os operadores (39) e (40) podem ser escritos da
seguinte forma:
a
n+1
= a
0
(d
n+1
− d
n
) − a
2
v
n
− a
3
a
n
(95)
v
n+1
= a
1
(d
n+1
− d
n
) − a
4
v
n
− a
5
a
n
(96)
Finalmente, vamos aplicar os operadores (95) e (96) para eliminar as acelerações
e velocidades da expressão (36), e em seguida vamos passar os termos já conhecidos no
instante t
n
para o lado direito. Com isso, obtemos a seguinte expressão:
68
[]
a
0
M + a
1
C + K d
n+1
= F
n+1
+ M
[
a
0
d
n
+ a
2
v
n
+ a
3
a
]
n
+
+ C
[
a
1
d
n
+a
4
v
n
+
]
a
5
a
n
(97)
Esta expressão define um Sistema Efetivo de equações algébricas lineares, que
pode ser escrito da forma
A x = b (98)
onde a matriz de coeficientes
A é a matriz efetiva, definida como uma combinação das
matrizes de massa, rigidez e amortecimento, afetadas por coeficientes escalares; e o
vetor de termos independentes
b é o vetor de cargas efetivas, calculados em termos das
cargas externas, e de forças elásticas, de inércia e de amortecimento do passo anterior.
Verificamos portanto que o processo de integração no tempo recai na
solução de
um sistema de equações algébricas lineares para cada instante de tempo.
Considerando o uso de uma técnica direta para a solução dos sistemas de equações, o
processo de integração no tempo em problemas lineares
é o detalhado na Tabela 2:
Tabela 2 – Implementação Computacional do
Procedimento de Integração no Tempo para Problemas Lineares
⇒ Ao início da análise, montar a matriz efetiva A / triangularizar.
⇒ Loop de instantes de tempo: conhecidas as aproximações a
n
, v
n
e d
n
:
• Calcular o vetor de cargas efetivo b ;
• Efetuar uma retrosubstituição para resolver o sist. efetivo obtendo-se d
n+1
;
• Calcular a
n+1
e v
n+1
através dos operadores de Newmark;
• Incrementar n e passar para o próximo instante de tempo.
Nos próximos subitens serão apresentados os procedimentos para solução de
problemas não-lineares para algoritmos implícitos e o algoritmo com dissipação
numérica αB-Newmark.
69
7.3. PROBLEMAS NÃO-LINEARES EM ALGORITMOS IMPLÍCITOS
Para problemas não-lineares, as equações de movimento semi-discretas podem
ser expressas da forma:
M u"(t) + C u' (t) + R(u) = F(u,t) (99)
As não-linearidades estão embutidas nas parcelas
R(u) e F(u,t). A parcela de
esforços elásticos
R(u) inclui efeitos geométricos e/ou de materiais com comportamento
elástico não-linear. A parcela de cargas externas
F(u,t) considera não-linearidade
devido à variação das cargas externas com a geometria, caracterizando carregamentos
não-conservativos.
A solução do sistema de EDO não-linear (99) associado a algoritmos implícitos
exige procedimentos específicos para o tratamento das não-linearidades, como
apresentado a seguir. Inicialmente, escreve-se a forma discretizada correspondente:
M a
n+1
+ C v
n+1
+ R(d
n+1
) = F
n+1
(d
n+1
) (100)
O tratamento do problema não-linear baseia-se em assumir que, no entorno de
uma configuração deformada
u, o problema pode ser considerado localmente linear.
Esta linearização consiste em tomar a seguinte aproximação para as parcelas não-
lineares
R(d
n+1
) e F
n+1
(d
n+1
), através de uma série de Taylor com termos de ordem
superior truncados:
d
d
R
dRdR
n
d
nn
∆
∂
∂
+=
+
)()(
1
(101)
d
d
F
dFdF
n
d
n
nnnn
∆
∂
∂
+=
+
+++
1
111
)()( (102)
onde
∆
d = d
n+1
− d
n
(103)
A última parcela de (102), que define a variação das cargas externas com a
geometria, não será considerada nos desenvolvimentos posteriores. Esta parcela
70
usualmente só é levada em conta quando se exige um tratamento muito rigoroso de
carregamento não-conservativo, já que compõe uma matriz não-simétrica.
A matriz de rigidez tangente é definida como:
K
T
=
∂
R
∂d
(104)
Formulação Incremental
Substituindo (101), (102) e (104) em (100), as equações de equilíbrio dinâmico
discretizadas no espaço e no tempo escrevem-se da seguinte forma incremental:
M a
n+1
+ C v
n+1
+ K
T
∆d = F
n+1
(d
n
) − R(d
n
) (105)
d
n+1
= d
n
+ ∆d (106)
onde
R(d
n
) são os esforços elásticos resistentes calculados com os deslocamentos do
intervalo anterior, e a matriz de amortecimento de Rayleigh agora é dada por:
C = α
m
M + α
k
K
T
(107)
Formulação Incremental-Iterativa
Deve-se observar que estas equações não mais garantem o equilíbrio dinâmico
ao fim do intervalo de tempo t
n+1
, devido às linearizações assumidas em (101) e (102).
Por isto, é necessário empregar uma técnica iterativa para resolver o problema não
linear. Usualmente emprega-se o Método de Newton-Raphson e suas variações, que
consistem em escrever as equações de movimento na seguinte forma incremental-
iterativa:
M a
(k)
n+1
+ C v
(k)
n+1
+ K
T
∆∆d
(k)
= F
n+1
− R(d
(k-1)
n+1
,
∆∆d
(k-1)
) (108)
∆
d
(k)
= ∆d
(k-1)
+ ∆∆d
(k)
(
109
)
d
(k)
n+1
= d
(k-1)
n+1
+ ∆∆d
(k)
(
110
)
Nestas expressões, os superscritos k e k-1 indicam um contador de iterações, e
∆∆
d
(k-1)
representa a variação dos deslocamentos incrementais obtida a cada iteração do
ciclo de verificação do equilíbrio.
71
A formulação do Método de Newton-Raphson baseia-se portanto em adotar a
linearização (101) e iterar com matrizes tangentes como a dada por (104). No Método
de Newton-Raphson Padrão
NRP, a matriz tangente é reavaliada em todas iterações. No
entanto, em alguns casos os custos de montagem e decomposição associados não
compensam os ganhos com a convergência do processo, e o método de Newton-
Raphson modificado
NRM é uma alternativa interessante. Nesta técnica, a matriz de
rigidez tangente K
T
é calculada ao início de cada intervalo de tempo e mantida
constante ao longo do ciclo iterativo, podendo ainda ser mantida constante ao longo de
um certo número de intervalos de tempo.
O vetor de cargas externas F
n+1
(d
n
) é reavaliado ao início de cada intervalo de
tempo, e é mantido constante ao longo do ciclo iterativo. Os esforços elásticos
resistentes
R estão expressos também em função das variações dos deslocamentos
incrementais ∆∆
d
(k-1)
porque estes são utilizados na formulação do elemento de pórtico
não-linear tridimensional empregado.
Aplicação do Operador de Integração no Tempo
Observando os operadores de Newmark em termos de acelerações e velocidades
(95) e (96), verifica-se que os deslocamentos incrementais
(d
n+1
- d
n
) correspondem a
∆
d
(k)
, o qual por sua vez pode ser substituído pelo lado direito da expressão (109). Com
isso, obtemos a seguinte forma “incremental-iterativa” para os operadores de Newmark:
a
(k)
n+1
= − a
2
v
n
− a
3
a
n
+ a
0
(∆d
(k-1)
+ ∆∆d
(k)
) (111)
v
(k)
n+1
= − a
4
v
n
− a
5
a
n
+ a
1
(∆d
(k-1)
+ ∆∆d
(k)
) (112)
De forma semelhante ao apresentado para o caso linear, a resposta dinâmica
não-linear pode então ser obtida através da aplicação destes operadores (111) e (112)
sobre a expressão incremental-iterativa das equações de movimento (108). Com isto,
obtém-se um sistema “efetivo” de equações algébricas lineares, que devem ser
resolvidas a cada iteração do procedimento de Newton-Raphson.
Uma forma geral para este sistema “efetivo” é dada por
A ∆∆d
(k)
= b
(k-1)
(113)
72
onde a matriz de coeficientes
A é a matriz efetiva, definida como uma combinação das
matrizes de massa, rigidez e amortecimento, afetadas por coeficientes escalares; e o
vetor de termos independentes
b
(k-1)
é o vetor de resíduos efetivos, calculados em termos
das cargas externas, e de forças elásticas, de inércia e de amortecimento da iteração
anterior.
A forma particular para
A e b
(k-1)
é definida de acordo com a implementação adotada
para o operador de integração no tempo, como será demonstrado adiante.
7.4. SOLUÇÃO DO PROBLEMA DINÂMICO: O ALGORITMO αB-NEWMARK
O algoritmo empregado no Prosim, conhecido como αB-Newmark, resultou da
proposta de Bossak e Zienkiewicz [27,28] para uma modificação no algoritmo original
de Newmark, com objetivos e metodologia semelhantes à que levou ao
desenvolvimento do algoritmo HHT ou αH-Newmark [29,30].
O algoritmo αH-Newmark é um algoritmo implícito, com propriedades de
dissipação numérica capaz de reduzir a participação dos modos de vibração com
frequências mais altas, que poderiam introduzir ruídos espúrios na resposta dinâmica.
Emprega os mesmos operadores que caracterizam a família de algoritmos de Newmark,
equações (37) e (38). A particularidade do algoritmo αH-Newmark consiste na
expressão das equações de movimento discretizadas no tempo, que passam a ser escritas
da seguinte forma:
M a
n+1
+ (1+α)C v
n+1
− αC v
n
+ (1+α)K d
n+1
− α K d
n
=
(1+α)
F
n+1
− αF
n
(114)
Observa-se que estas expressões introduziram um parâmetro α. Trata-se de um
parâmetro ajustável que permite controlar o grau de dissipação, e que deve ser fornecido
pelo usuário no intervalo
[-1/3,0]. Além disso, os parâmetros γ e β também passam a ser
definidos em função de α, da seguinte forma:
γ = (1 − 2α) / 2 (115)
β = (1 − α)
2
/ 4 (116)
73
Com isso o algoritmo αH-Newmark também incorpora, como caso particular, a
regra trapezoidal (já que, fornecendo-se α
= 0, as equações discretizadas recaem na
forma (36), e os valores para os parâmetros γ e β recaem em γ = ½ e β = ¼). O
algoritmo αH-Newmark é incondicionalmente estável, com ordem de precisão 2, como
demonstrado nos estudos das propriedades de convergência, estabilidade, consistência e
precisão apresentados em [29, 30].
O algoritmo αB-Newmark também emprega os mesmos operadores que
caracterizam a família de algoritmos de Newmark, equações (37) e (38). Emprega
também um parâmetro ajustável α, com o mesmo objetivo de controlar o grau de
dissipação numérica para reduzir ruídos espúrios de alta frequência, e que deve ser
fornecido pelo usuário no intervalo
[-1/3,0]. Demonstra-se [6,28] que os métodos αH-
Newmark e αB-Newmark fornecem resultados muito semelhantes, principalmente para
os valores mais usualmente fornecidos para α, não muito próximos do limite -1/3.
A particularidade do algoritmo αB-Newmark consiste na expressão das
equações de movimento discretizadas no tempo, que passam a ser escritas da seguinte
forma:
(1−α)
M a
n+1
+ α M a
n
+ C v
n+1
+ K d
n+1
= F
n+1
(117)
Comparando esta expressão com a que caracteriza o algoritmo αH-Newmark,
observa-se que os multiplicadores α não afetam os termos de amortecimento e de forças
elásticas (que dependem das matrizes
C e K), mas sim o termo de forças de inércia, que
depende da matriz de massa
M. Este fato acarreta em diversas vantagens na
implementação computacional, que se torna mais simples, particularmente em
problemas não-lineares.
74
7.5. TRATAMENTO DE PROBLEMAS NÃO-LINEARES:
I
MPLEMENTAÇÃO OTIMIZADA αB-NEWMARK/NEWTON-RAPHSON
Vamos inicialmente escrever a seguinte forma incremental-iterativa das
equações de movimento discretizadas no tempo que corresponde ao algoritmo αB-
Newmark associado ao Método de Newton-Raphson para o tratamento de problemas
não-lineares:
(1−α)
M a
(k)
n+1
+ α M a
n
+ C v
(k)
n+1
+ K
T
∆∆d
(k)
= F
n+1
− R(d
(k-1)
n+1
) (118)
Vamos agora reescrever estas equações levando em conta a expressão para a
matriz de amortecimento de Rayleigh (107):
M [(1−α)a
(k)
n+1
+ α
m
v
(k)
n+1
] + K
T
(α
k
v
(k)
n+1
+ ∆∆d
(k)
) = F
n+1
−R(d
(k-1)
n+1
)−α M a
n
(119)
Em seguida, vamos trabalhar sobre a forma incremental-iterativa dos operadores
de Newmark, equações (111) e (112). Pode ser observado que os dois primeiros termos
do lado direito daquelas equações não são incógnitas, já que dependem somente de
valores já obtidos no passo anterior. Estes termos, portanto, definem aproximações
iniciais para as acelerações e velocidades (também conhecidas como parcelas
“preditoras”
a
*
e v
*
):
a
*
= − a
2
v
n
− a
3
a
n
(120)
v
*
= − a
4
v
n
− a
5
a
n
(121)
Assim, as equações (111) e (112) podem ser reescritas em termos destas parcelas
preditoras, da seguinte forma:
a
(k)
n+1
= a
*
+ a
0
∆d
(k)
(122)
v
(k)
n+1
= v
*
+ a
1
∆d
(k)
(123)
ou, considerando (109),
a
(k)
n+1
= a
*
+ a
0
(∆d
(k-1)
+ ∆∆d
(k)
) (124)
v
(k)
n+1
= v
*
+ a
1
(∆d
(k-1)
+ ∆∆d
(k)
) (125)
75
Podemos agora empregar estas expressões reescritas dos operadores de
Newmark (124) e (125) na forma das equações de movimento incremental-iterativa
(119). Com isso o lado esquerdo destas equações passa a se escrever como:
M
⎣
⎡
⎦
⎤
(1−α)
()
a
*
+ a
0
(∆d
(k-1)
+ ∆∆d
(k)
) + α
m
()
v
*
+ a
1
(∆d
(k-1)
+ ∆∆d
(k)
) +
+ K
T
⎣
⎡
⎦
⎤
α
k
()
v
*
+ a
1
(∆d
(k-1)
+ ∆∆d
(k)
) + ∆∆d
(k)
= . . . . . (126)
Neste ponto os termos já conhecidos na iteração (k) poderiam ser transferidos
para o lado direito das equações de movimento, para serem incorporados no vetor de
resíduos efetivo
b
(k-1)
da eq (113).
No entanto, para evitar as multiplicações com as matrizes globais e obter a
desejada redução de custos computacionais, podemos introduzir um artifício [31] que
consiste em definir um vetor ∆∆
d
^
(k)
como sendo os termos entre colchetes que
multiplicam
K
T
em (126), ou seja
∆∆
d
^
(k)
= α
k
()
v
*
+ a
1
(∆d
(k-1)
+ ∆∆d
(k)
) + ∆∆d
(k)
(127)
e, reciprocamente,
∆∆
d
(k)
=
∆∆
d
^
(k)
- α
k
()
v
*
+ a
1
∆d
(k-1)
α
k
a
1
+ 1
(128)
Pode ser observado que, em casos particulares onde o amortecimento
proporcional à rigidez não é considerado (ou seja, α
k
= 0 na eq (107)), as equações
(127) e (128) se reduzem a:
∆∆
d
^
(k)
= ∆∆d
(k)
(129)
Reescrevendo a equação (126) empregando a definição de ∆∆
d
^
(k)
expressa pela
eq (127), e em seguida transferindo os termos já conhecidos na iteração (k) para o lado
direito das equações de movimento, obtemos
M (1−α) (a
0
+ α
m
a
1
) ∆∆d
(k)
+ K
T
∆∆d
^
(k)
=
F
n+1
− R(d
(k-1)
n+1
) − αM a
n
− M
⎣
⎡
⎦
⎤
(1−α)
()
a
*
+ a
0
∆d
(k-1)
+ α
m
()
v
*
+ a
1
∆d
(k-1)
(130)
76
Substituindo (128) em (130), o lado esquerdo das equações de movimento é
expresso como:
M (1−α) (a
0
+ α
m
a
1
)
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
∆∆
d
^(k)
− α
k
(
v
*
+ a
1
∆d
(k-1)
)
α
k
a
1
+ 1
+ K
T
∆∆d
^(k)
= . . (131)
Definindo
α
^
0
= (1−α) (a
0
+ α
m
a
1
)
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
1
α
k
a
1
+ 1
(132)
e novamente transferindo termos já conhecidos na iteração (k) para o lado direito das
equações de movimento, obtemos
α
^
0
M ∆∆d
^
(k)
+ K
T
∆∆d
^
(k)
= F
n+1
− R(d
(k-1)
n+1
) − α M a
n
−
−
M
⎣
⎡
⎦
⎤
(1−α)
()
a
*
+ a
0
∆d
(k-1)
+ (α
m
- α
^
0
α
k
)
()
v
*
+ a
1
∆d
(k-1)
(133)
Finalmente, esta equação pode ser escrita em uma forma similar à (113), como
um sistema efetivo de equações algébricas lineares a ser resolvido a cada iteração de
Newton-Raphson:
A ∆∆d
^
(k)
= b
(k-1)
(134)
onde a matriz efetiva
A é dada por
A = α
^
0
M + K
T
(135)
e o vetor de resíduos efetivos
b
(k-1)
é definido como sendo o lado direito da eq (133).
Observa-se que o objetivo foi alcançado, ou seja, no lado direito não há nenhuma
operação de multiplicação com matrizes globais de rigidez ou amortecimento.
A Tabela 3 resume a implementação otimizada do procedimento de solução do
problema dinâmico não-linear.
77
Tabela 3 – Implementação Computacional do Procedimento Otimizado
A) Processamento Inicial para o Instante n+1
A.1) Inicializar deslocamentos totais, incrementais, e forças elásticas:
d
(0)
n+1
= d
n
; ∆d
(0)
= 0; R(d
(0)
n+1
) = R(d
n
)
A.2) Avaliar o vetor de cargas externas F
n+1
;
Instantes de Tempo com Reavaliação de Rigidez:
A.I) Atualizar a matriz de rigidez tangente K
T
A.II) Calcular matriz efetiva A, equações (135), (132)
A.III) Decompor matriz efetiva A
A.3) Calcular parcelas preditoras das acelerações a
*
e velocidades v
*
, eqs (120),
(121)
A.4) Calcular termo constante do vetor de resíduos efetivo:
cargex acel.ant. inerc. amort.
b
*
= F
n+1
− α M a
n
− M
[]
(1−α) a
*
+ (α
m
- α
^
0
α
k
) v
*
A.5) Calcular vetor de resíduos efetivo para a primeira iteração:
b
(0)
= b
*
− R(d
(0)
n+1
)
B) Ciclo Iterativo N-R: k = 1,N
itmax
B.1) Resolver o sistema efetivo: ∆∆d
^
(k)
= A
-1
b
(k-1)
B.2) Determinar ∆∆d
(k)
pelas eqs (128) ou (129).
B.3) Atualizar deslocamentos incrementais ∆d
(k)
, eq. (109) / desl. totais d
(k)
n+1
, eq.
(110)
B.4) Chamar rotinas de elementos para calcular R(d
(k)
n+1
).
B.5) Calcular resíduos efetivos para a próxima iteração:
const fresi inerc. amort.
b
(k)
= b
*
− R(d
(k)
n+1
) − M
()
(1−α) a
0
+ (α
m
− α
^
0
α
k
) a
1
∆d
(k)
B.6) Verificar os critérios de convergência, encerrar o ciclo iterativo se os critérios
forem atendidos.
C) Final do Ciclo Iterativo, Processamento Final para o Instante n+1
C.1) Atualizar as acelerações e velocidades, eqs (122), (123).
C.2) Para intervalos de tempo selecionados: Efetuar a gravação de resultados de
deslocamentos, e/ou velocidades e/ou acelerações para graus de liberdade
selecionados; e de esforços para elementos selecionados.
78
7.6. ASPECTOS DA IMPLEMENTAÇÃO
Os aspectos relacionados à implementação otimizada podem ser ressaltados:
Parcela Constante do Vetor de Resíduos Efetivos
Observando o lado direito da eq. (133), que define o vetor de resíduos efetivo
b
(k-1)
, pode-se identificar alguns termos que não variam ao longo do ciclo iterativo:
¾ As cargas externas F
n+1
,
¾ A matriz de massa M,
¾ A parcela α M a
n
, e
¾ As parcelas preditoras das acelerações a
*
e velocidades v
*
.
Com isto, é possível determinar um termo constante
b
*
, que pode ser calculado
apenas uma vez, antes do início do ciclo iterativo (passo A.4 da Tabela 3). O cálculo do
resíduo efetivo total para cada iteração (passo B.5) é então realizado com o uso desse
termo constante.
Cálculo das Velocidades e Acelerações
Nesta implementação otimizada, não há necessidade de operar com velocidades
e acelerações dentro do ciclo iterativo de Newton-Raphson. As forças de amortecimento
e inércia estão incorporadas no termo constante
b
*
e nos termos apresentados no passo
B.5 da Tabela 3 que envolvem os deslocamentos incrementais atualizados ∆
d
(k)
.
Os valores finais das velocidades e acelerações são calculados somente após a
convergência do ciclo iterativo, a partir das parcelas preditoras
a
*
e v
*
, e dos valores
finais dos deslocamentos incrementais ∆
d
(k)
(passso C.1 da Tabela 3).
Matriz de Amortecimento
Quando se fornecem valores globais para os coeficientes de amortecimento de
Rayleigh α
m
e α
k
, a matriz de amortecimento C da eq (107) não precisa ser
explicitamente calculada e armazenada. Isso evita requisitos adicionais de memória, já
que uma matriz de amortecimento global montada a partir das matrizes de massa e
rigidez pelo uso direto da eq (107) teria o mesmo padrão de esparsidade da matriz de
rigidez
K
T
. Além disso, evita-se também o custo computacional das operações de
multiplicação que teriam que ser efetuadas com
C.
79
Nesta implementação otimizada, mesmo quando o amortecimento proporcional à
rigidez é considerado, com a atribuição de valores não-nulos para o coeficiente α
k
da eq
(107), não é necessário efetuar as multiplicações matriz-vetor envolvendo
K
T
no cálculo
dos resíduos efetivo.
Evidentemente, uma matriz de amortecimento global continuará sendo montada
em casos particulares quando o usuário ativar o modelo de amortecimento do solo, e/ou
optar por fornecer coeficientes de amortecimento a nível de elemento. Essa última
opção é útil quando o usuário dispõe de valores locais para os parâmetros α
m
e α
k
que
não são iguais para todos os elementos da malha, e/ou valores diferentes para graus de
liberdade axiais e de flexão.
Minimização dos Requisitos de Memória
Nesta implementação otimizada, requer-se memória para armazenar apenas uma
matriz global simultaneamente, já que a matriz efetiva
A pode usar a mesma área de
memória reservada para a matriz tangente
K
T
, e, como comentado anteriormente, a
matriz de amortecimento não precisa ser montada.
Desta forma, além de uma área de memória comum para armazenar K
T
e A, e
para a matriz de massa
M (que usualmente é diagonal e portanto pode ser armazenada
em um vetor), os requisitos de memória desta implementação otimizada consistem
apenas nos seguintes vetores de ordem n
(número de graus de liberdade livres da malha
de elementos finitos):
¾ Os deslocamentos totais d
(k)
n+1
e os deslocamentos incrementais ∆d
(k)
;
¾ As forças elásticas R e as cargas externas F;
¾ As acelerações e velocidades do instante de tempo anterior, a
n
e v
n
;
¾ As parcelas preditoras das acelerações e velocidades a
*
e v
*
;
¾ O termo constante do resíduo efetivo b
*
e o resíduo efetivo total b
(k-1)
;
¾ A variação efetiva e a variação final dos deslocamentos incrementais, ∆∆d
^
(k)
e
∆∆
d
(k)
;
¾ Os valores finais para as acelerações e velocidades, a
n+1
e v
n+1
.
No entanto, é fácil observar que o algoritmo não requer que todas estas
quantidades estejam disponíveis simultaneamente em todos os passos. A otimização de
80
memória pode ser alcançada com a alocação sucessiva de diferentes quantidades para as
mesmas posições de memória, resultando assim em um número total de 6 vetores para
armazenar as 14 quantidades:
¾ Um único vetor para F e b
*
;
¾ Um único vetor para: R, b
(k-1)
, ∆∆d
^(k)
, e ∆∆d
(k)
;
¾ Um único vetor para: a
n
, a
*
e a
n+1
;
¾ Um único vetor para: v
n
, v
*
e v
n+1
;
¾ Dois diferentes vetores para, respectivamente, d
(k)
n+1
e ∆d
(k)
.
81
8. OTIMIZAÇÕES PARA MÉTODOS EXPLÍCITOS DE
INTEGRAÇÃO
8.1. INTRODUÇÃO
Conforme apresentado anteriormente, algoritmos explícitos como o Método das
Diferenças Centrais requerem o uso de um intervalo de tempo ∆t menor do que um
determinado valor crítico ∆t
cr
. Por sua vez, o valor do intervalo de tempo crítico ∆t
cr
é
função de T
n
, o menor período natural do modelo estrutural, discretizado pela malha de
elementos finitos. No caso do Método das Diferenças Centrais, o intervalo de tempo
crítico é dado por:
∆t
cr
=
T
n
π
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
2 π
ω
n
1
π
=
2
ω
n
(136)
onde ω
n
é a última (maior) frequência natural da malha, em rad/s.
Caso se esteja trabalhando com uma malha cuja discretização é não uniforme,
isto é, com elementos de diferentes comprimentos ao longo da malha, ou composta por
materiais com diferentes propriedades, seríamos forçados a adotar o intervalo de tempo
ditado pelo menor elemento da malha ou pelo material com maior rigidez.
82
8.2. SUBCICLAGEM
A subciclagem consiste no uso de diferentes intervalos de tempo para diferentes
grupos de elementos e nós podendo-se eliminar a necessidade de atualização de todos
os graus de liberdade da malha com o intervalo de tempo do menor elemento desta
malha ou do material com maior rigidez. A utilização da subciclagem pode introduzir
uma economia computacional significativa à solução do problema.
No contexto de uma análise acoplada, podem ser identificados dois tipos
principais de procedimentos de subciclagem:
•
Subciclagem Casco-Linhas;
•
Subciclagem Interna das Linhas.
Os itens a seguir descrevem cada um destes tipos.
8.2.1. Subciclagem Casco-Linhas
No procedimento de análise acoplada implementada em versões anteriores do
Prosim, a cada instante do processo de integração no tempo das equações de movimento
do casco efetuava-se uma análise não-linear dinâmica de cada linha sob a ação da onda,
correnteza, peso próprio e das componentes de movimentos do casco.
No entanto, como em geral os intervalos de tempo requeridos para a análise
dinâmica das linhas de ancoragem e risers são menores do que os intervalos de tempo
para a análise do casco, foi introduzido o conceito de subciclagem casco-linha, o qual
torna possível utilizar um passo de integração para as linhas NSUBDT vezes menor que
o passo de integração para o casco (Figura 18), onde NSUBDT é um número inteiro.
Desta forma, a cada avanço na solução do casco faz-se um ou mais avanços na solução
das linhas.
83
Passo de
Integração do
Casco
Passo de
Integração das
Linhas
∆t / NSUBDT
∆t
Figura 18 – Subciclagem casco-linha
Certamente esta modificação proporcionou ganho de desempenho do programa,
possibilitando utilizar um passo de integração maior para o casco sem comprometer os
resultados da análise dinâmica das linhas.
8.2.2. Subciclagem Interna das Linhas
A subciclagem interna permite a utilização de múltiplos intervalos de tempo na
análise dinâmica de uma determinada linha. Neste caso, o domínio é dividido em
diferentes subdomínios cujo intervalo de tempo requerido é definido pela malha ou
material deste subdomínio.
Cada subdomínio é atualizado de acordo com o seu intervalo de tempo. Assim,
caso tenhamos 2 subdomínios cuja razão entre os intervalos de tempo seja r, enquanto o
subdomínio com maior intervalo de tempo é integrado uma vez o outro subdomínio será
integrado r vezes, ou seja em r subciclos.
O maior problema observado na implementação da subciclagem [32] é a
interface entre os subdomínios. Neste caso o nó de interface é atualizado com o maior
intervalo de tempo dos subdomínios adjacentes. Para integração dos demais
subdomínios adjacentes com menores intervalos de tempo assume-se que a velocidade
ou aceleração neste nó de interface permanece constante durante os subciclos. Assim
torna-se possível o cálculo dos esforços internos dos elementos adjacentes a este nó e
pertencentes aos subdomínios com subciclos.
Smolinski [33] utiliza velocidade constante nos trechos não-atualizados e Daniel
[32] utiliza aceleração constante nos trechos não-atualizados. Observou-se problemas de
convergência na utilização de aceleração constante nos trechos não-atualizados [25]. Na
84
implementação efetuada utilizou-se velocidade constante nos nós de interface durante
os subciclos.
Supondo 2 subdomínios cuja razão entre os intervalos de tempo seja r e que ∆t
seja o menor intervalo de tempo utilizado entre os subdomínios. Assim teremos um
subdomínio com intervalo de tempo ∆t e o outro subdomínio com intervalo de tempo
r∆t.
A utilização da velocidade constante consiste em que, durante o cálculo das
velocidades na interface, é utilizado o intervalo de tempo r∆t, e estes valores
permanecem constantes durante os subciclos de integração do subdomínio com
intervalo de tempo ∆t.
Na implementação aqui efetuada, são utilizados 3 contadores de tempo e razões
inteiras entre os intervalos de tempo dos subdomínios. Belytshko e Lu em [34]
apresentam um algoritmo seguindo esta mesma filosofia de implementação. Devido a
utilização de contadores de tempo, possivelmente não haveriam maiores problemas na
utilização de intervalos de tempo com razões não-inteiras, porém este procedimento não
foi avaliado no presente estudo.
8.2.3. Aspectos da Implementação
O esquema de subciclagem implementado consiste na utilização de 3 contadores
de tempo:
- Contador de tempo global;
- Contador de tempo para os nós (graus de liberdade);
- Contador de tempo para os elementos.
No arquivo de entrada de dados é fornecido, para cada elemento, um intervalo
de tempo, sendo que, na atual implementação, a razão entre os intervalos de tempo de
cada subdomínio deve ser uma fração inteira dos demais. O intervalo de tempo utilizado
nos graus de liberdade da interface é o maior intervalo de tempo entre os elementos
adjacentes a este nó.
Conforme mencionado anteriormente, o intervalo de tempo de cada subdomínio
deve ser menor que o intervalo de tempo crítico daquele subdomínio.
85
Definidos os intervalos de tempo de cada grupo de nós e elementos inicia-se o
processo de integração de cada subdomínio. A atualização de um subdomínio só
ocorrerá caso o contador de tempo de nós / elemento daquele grupo estiver com um
tempo de simulação menor que o contador de tempo global.
O procedimento está representado a seguir:
- Passo 1: Inicializar variáveis;
- Passo 2: Inicializar contadores de tempo:
t
glob
= 0;
t
ele
= 0, para todos os elementos;
t
no
= 0, para todos os graus de liberdade dos nós;
- Passo 3: Associar ∆t
ele
para todos os elementos e ∆t
no
para todos os graus de
liberdade dos nós;
- Passo 4: Calcular forças nodais equivalentes:
(a) zerar vetor de forças;
(b) loop em todos os elementos;
(c) caso t
ele
< t
glob
calcular forças para o elemento e fazer t
ele
= t
ele
+ ∆t
ele
;
(d) montar vetor de forças nodais equivalentes;
(e) fim do loop.
- Passo 5: Atualizar nós:
(a) loop em todos os graus de liberdade;
(b) caso t
no
< t
glob
calcular deslocamentos, velocidades e acelerações
integrando-se as equações de movimento e fazer t
no
= t
no
+ ∆t
no
;
(c) aplicar condições de contorno.
- Passo 6: se t
glob
< t
final
voltar para Passo 3.
86
8.2.4. Subciclagem Interna na Análise Acoplada
A implementação da subciclagem das linhas em conjunto com análise da
plataforma, isto é na análise acoplada, requer alguns cuidados devido à integração do
casco.
Silveira em [25] implementa a subciclagem aplicada à análise dinâmica de linhas
de ancoragem, porém analisadas individualmente.
Em análises acopladas, conforme pode ser observado no item 3.4, a integração
do casco é feita utilizando-se o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem. Neste método as
derivadas das velocidades lineares e angulares são calculadas no início do tempo
presente utilizando-se valores de variáveis do intervalo de tempo anterior, além de duas
estimativas que são obtidas para o ponto médio do intervalo de tempo e uma estimativa
de derivada que é obtida no final do intervalo de tempo.
A novidade da implementação da subciclagem em análises acopladas consiste na
atualização dos contadores de tempo de elemento e nós apenas quando as derivadas
forem calculadas no início do tempo presente e na segunda estimativa do ponto médio
do intervalo de tempo.
Desta forma pode-se utilizar a subciclagem casco-linha com diferentes
intervalos de tempo na integração do casco e das linhas em conjunto com a subciclagem
interna das linhas onde também diferentes intervalos de tempo podem ser utilizados nos
diferentes segmentos de uma linha.
87
8.2.5. Comentários
Alguns comentários relevantes são apresentados a seguir:
•
Quanto maior a diferença entre o tamanho dos elementos entre
subdomínios maior será a diferença de intervalo de tempo requerida para
integração de cada subdomínio. Neste caso a utilização da subciclagem
poderá trazer ganhos significativos em termos de custo computacional;
•
Quanto maior a quantidade de elementos nos subdomínios não
atualizados maiores também serão as vantagens em termos de custo
computacional da utilização da subciclagem;
•
Em malhas com número reduzidos de nós e elementos, onde a
discretização é aproximadamente uniforme a utilização da subciclagem
provavelmente não trará nenhum benefício.
•
A subciclagem aplicada a análise acoplada pode trazer um ganho ainda
maior que a subciclagem aplicada a uma linha individualmente. Isto
porque, em uma análise acoplada, existe um conjunto de linhas com
diferentes discretizações ou diferentes tipos de material (p.ex. linhas de
ancoragem) às quais podem-se aplicar diferentes intervalos de tempo.
88
8.3. EXEMPLOS
8.3.1. Viga Biengastada sob Carga Transversal
Descrição do Modelo
O objetivo deste exemplo é somente a verificação da precisão das respostas sem
preocupação com desempenho visto a pouca quantidade de elementos e o curto período
de simulação envolvido nesta análise.
O problema considerado nesta seção, ilustrado na Figura 19 a seguir [35],
consiste em uma viga biengastada submetida a uma carga vertical aplicada
transversalmente. Com isto, são excitados modos naturais de frequência mais baixa,
associados ao comportamento de flexão da viga.
Figura 19 – Viga biengastada sob Carga Tranversal
Dados Geométricos e do Material
A Tabela 4 reproduz os dados geométricos e do material.
Tabela 4 – Propriedades
A (pol
2
) 0.2
ρ (lb.s
2
/pol
4
) 0.000797
E (lb/pol
2
) 10
7
I (pol
4
) 0.000667
Comprimento Lt (pol) 20
Basicamente, o modelo numérico consiste em uma malha uniforme de 20
elementos de pórtico; cada elemento tem portanto um comprimento igual a L = 1 pol.
Carregamento
O carregamento consiste em uma carga aplicada transversalmente, com valor de
640 lb aplicada no meio do vão.
89
O valor total da carga é aplicado de forma instantânea, atuando de forma
constante até o final da análise.
Resultados
Para utilização da subciclagem, neste exemplo, dividiu-se a viga em três
segmentos com diferentes tamanhos de elementos conforme ilustrado na figura 20 a
seguir:
Segmento 1 Segmento 2 Segmento 3
Figura 20 – Discretização da viga
Os segmentos 1 e 3 são constituídos de 5 elementos de 1 pol cada. O segmento 2
é constituído de 20 elementos de 0.5 pol cada.
Desta forma utilizou-se dois intervalos de tempo correspondentes a cada
segmento:
- Segmentos 1 e 3: ∆t = 2.5e-07 seg;
- Segmento 2: ∆t = 1.25e-07 seg.
Na análise tradicional, sem subciclagem, utilizou-se o menor intervalo de tempo
para todos os elementos, ∆t = 1.25e-07 seg.
Não foi utilizado amortecimento numérico nesta análise.
A seguir são apresentados resultados comparativos entre a versão original do
programa Prosim, sem o uso da subciclagem e a versão implementada com uso da
subciclagem. Conforme pode-se observar na figura 21 os resultados são praticamente
idênticos.
90
0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02
Tempo (s)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Desl vert centro da viga (pol)
Viga Carga Transversal
Original
Subciclagem
Figura 21 – Resultados comparativos
8.3.2. Viga Monoengastada sob Carga Axial
Este exemplo tem os mesmos dados, propriedades físicas, propriedades do
material e carregamento do exemplo apresentado no item 6.5.
O objetivo deste exemplo é somente a verificação da precisão das respostas sem
preocupação com desempenho visto a pouca quantidade de elementos e o curto período
de simulação envolvido nesta análise.
Resultados
Para utilização da subciclagem, neste exemplo, dividiu-se a viga em dois
segmentos com diferentes tamanhos de elementos conforme ilustrado na figura 22 a
seguir:
Segmento 1 Segmento 2
Figura 22 – Discretização da viga
91
O segmento 1 é constituído de 40 elementos de 0.25 pol cada. O segmento 2 é
constituído de 20 elementos de 0.5 pol cada.
Desta forma utilizou-se dois intervalos de tempo correspondentes a cada
segmento:
- Segmento 1: ∆t = 1.2416 e−06 seg;
- Segmento 2: ∆t = 2.4833 e−06 seg.
Na análise tradicional, sem subciclagem, utilizou-se o menor intervalo de tempo
para todos os elementos, ∆t = 1.2416 e−06 seg.
Não foi utilizado amortecimento numérico nesta análise.
A seguir são apresentados resultados comparativos entre a versão original do
programa Prosim, sem o uso da subciclagem e a versão implementada com uso da
subciclagem. Conforme pode-se observar na figura 23 os resultados são praticamente
idênticos.
0 4E-005 8E-005 0.00012 0.00016 0.0002
Tempo (s)
-250
-200
-150
-100
-50
0
T
r
ação cent
r
o da viga (lb)
Viga Carga Axial
Original
Subciclagem
Figura 23 – Resultados comparativos
92
9. OTIMIZAÇÕES PARA MÉTODOS IMPLÍCITOS DE
INTEGRAÇÃO
9.1. PARTIÇÃO DO DOMÍNIO
Nos algoritmos implícitos o estudo de otimização será efetuado através da
partição de domínios. Tais técnicas eram empregadas, originalmente, na análise de
sistemas rígido-flexíveis caracterizados por regiões (domínios) com propriedades físicas
bem distintas, como em problemas de interação estrutura-fluido ou estrutura-solo. Nesta
categoria de partição de domínio, incluem-se:
¾ os Métodos de partição implícito-explícito [36] que empregam um
operador implícito na região rígida e um operador explícito na região flexível. A
implementação mais eficiente para estes métodos envolve uma “partição por
elementos”, onde os elementos são divididos em implícitos e explícitos. O acoplamento
entre as regiões ocorre como consequência do processo de montagem das matrizes
globais a partir das contribuições dos elementos.
¾ os Métodos de subciclagem [37, 38] que empregam o mesmo operador
em todas as regiões (implícito ou, mais geralmente, explícito, conforme apresentado no
capítulo anterior), porém diferentes intervalos de tempo para cada região. Tais métodos
têm sido aplicados preferencialmente em problemas de propagação de ondas.
¾ Métodos “Partição de Domínio Implícito – PDI” [39] e “Partição de
Domínio Implícito Iterativo – PDII” [40]. Neste caso a partição de domínio será
efetuada com o intuito de otimização na análise dinâmica de estruturas offshore,
decorrente da utilização dos operadores implícitos em todas as regiões, aplicados a
computadores com arquitetura paralela. Estes métodos serão descritos nos próximos
subitens. Esta partição é efetuada em estruturas de risers e linhas de ancoragem. Assim,
uma estrutura composta de uma linha de ancoragem ou riser é dividida em várias
subestruturas. Cada trecho de linha, ou subestrutura é analisada separadamente em cada
processo, para, em seguida, compatibilizar-se os nós de interface e obtenção da
resposta.
93
9.2. ALGORITMO “PARTIÇÃO DE DOMÍNIO IMPLÍCITO” (PDI)
Apresentando novamente a equação de movimentos:
M u
"
(t) + C u
'
(t) + K u(t) = F(t) (137)
Onde
M, C e K representam, respectivamente, as matrizes de massa,
amortecimento e rigidez;
F é o vetor de forças externas, e as incógnitas são os vetores u
"
, u
'
e u contendo, respectivamente, as acelerações, velocidades e deslocamentos nodais.
Esta equação pode ser reduzida a uma equação de primeira ordem através de
uma mudança de variáveis. Apresentando:
z =
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u(t)
u
'
(t)
(138)
A equação (137) toma a seguinte forma:
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
M0
0K
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
"
(t)
u
'
(t)
+
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
CK
-K 0
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
'
(t)
u(t)
=
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
f(t)
0
(139)
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
'
(0)
u(0)
=
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
v
0
d
0
Na notação matricial o sistema de equações reduzidas (139) pode ser escrito
como:
Az
'
(t) + Bz(t) = g(t) (140)
z(0) = z
0
O primeiro passo na construção do método é a partição da estrutura em grupos
de elementos. A malha de elementos finitos pode ser vista como uma coleção de sub-
domínios desconectados. Os campos de variáveis de um subdomínio genérico r são
descritos em termos de vetores locais , como por exemplo z
r
.
O vetor de variáveis estendidas
z
-
= {z
1
, z
2
, ..., z
r
, ..., z
s
}, onde s é o número de
subdomínios, descreve completamente a estrutura. De um modo geral
z
-
contém as
mesmas informações que
z, o vetor nodal global. As relações entre eles são dadas pelo
seguinte mapeamento:
94
z
= L
T
z
_
(141)
Onde
L é uma matriz booleana que localiza z no subdomínio r para obtenção de
z
r
.
De forma análoga:
g = L
T
g
_
(142)
Onde
g e g
_
são os vetores de força global e estendidos {g
1
,..., g
r
, ..., g
s
}. As
matrizes estendidas correspondentes a
z
-
são definidas como:
A
_
=
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
A
1
A
2
.
A
s
, B
_
=
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
B
1
B
2
.
B
s
(143)
A operação de montagem dos vetores globais podem ser expressas da seguinte
forma:
A = L
T
A
_
L (144)
B = L
T
B
_
L
A idéia essencial deste método é permitir com que os vários sub-domínios da
partição consigam evoluir independentemente, e, garantir-se a compatibilidade entre
sub-domínios através de alguma projeção da solução estendida.
Por simplicidade, consideremos o caso sem carregamento externo, g = 0. Uma
classe geral de algoritmos paralelos pode ser definida da seguinte forma:
¾ Localização das condições iniciais z
0
nos sub-domínios para obtenção do
vetor estendido
z
-
0
;
¾ Atualização do vetor estendido através da solução das equações de
movimento desacopladas ao nível de sub-domínio;
A
r
z
'
r
+ B
r
z
r
= 0 (145)
Para resolução do sistema de equações apresentado torna-se necessária a
utilização de uma parcela preditora estendida denominada
z
-
* r
n+1
;
95
¾ As parcelas preditoras estendidos assumem múltiplos valores nos nós que
pertencem a mais de um sub-domínio. O algoritmo é então completo pela
ponderação destes valores nos nós de interface através de uma regra de
ponderação, então a consistência é restaurada.
Portanto, a regra de ponderação pode ser escrita como:
z
n+1
= A
-1
∑
r=1
s
A
r
z
-
* r
n+1
(146)
Então
z
-
* r
n+1
é primeiramente ponderado pelas matrizes A
r
, os vetores locais
rearranjados em um vetor global é finalmente multiplicado por
A
-1
. Portanto, a
consistência deste método é garantida através desta operação.
No algoritmo PDI descrito até então, a compatibilidade entre sub-domínios
utiliza a matriz
A e é feita através de deslocamentos [41] nos graus de liberdade de
interface. A regra de ponderação de massa utiliza a matriz de massa
M na ponderação,
conforme apresentada a seguir:
d
n+1
= M
-1
∑
r=1
s
M
r
d*
r
n+1
(147)
Uma variação deste algoritmo proposta por Sotelino [39] propõe que, a
compatibilidade seja efetuada em termos de acelerações. Portanto, para restaurar a
compatibilidade entre subdomínios a regra de ponderação da massa é aplicada:
a
n+1
= M
-1
∑
r=1
s
M
r
a*
r
n+1
(148)
A implementação efetuada no PROSIM utiliza a regra de ponderação de massa
em termos de compatibilidade de deslocamento.
96
9.3. ALGORITMO “PARTIÇÃO DE DOMÍNIO IMPLÍCITO ITERATIVO” (PDII)
Problemas de precisão foram encontrados na aplicação do algoritmo PDI em
determinados casos [42]. Estas imprecisões de resultados aparecem devido à utilização
da regra de ponderação da massa, usada para garantir a compatibilidade de
deslocamento ou aceleração dos graus de liberdade de interface, porém não mais
garantindo o equilíbrio da estrutura.
Para resolver este problema, foi proposto um algoritmo PDI iterativo [40] (PDII)
ainda voltado para o tratamento de problemas lineares. Neste algoritmo um
procedimento iterativo é utilizado para garantir o equilíbrio nos graus de liberdade da
interface quando da utilização da regra de ponderação da massa.
Neste método, da mesma forma como apresentado no Método PDI, a estrutura
original é particionada em um determinado número de subdomínios. Cada subdomínio é
resolvido independentemente e de forma concorrente, usando um método direto
tradicional de resolução de sistemas de equações.
O algoritmo PDII é uma extensão do algoritmo PDI onde também se utiliza o
método de compatibilidade de deslocamentos utilizado nos nós de interface. Entretanto,
ao contrário do algoritmo PDI, no algoritmo PDII é utilizado um processo iterativo para
restaurar o equilíbrio dos graus de liberdade da interface. Desta forma, espera-se, ao
final das iterações do Método PDII, que o resultado obtido seja praticamente o mesmo
da análise feita com a estrutura sem particionamento.
Uma comparação esquemática entre os algoritmos é apresentada a seguir. Note
que até o momento os algoritmos são aplicados a problemas lineares:
97
- Algorimo PDI:
(a) Condições iniciais de deslocamento, velocidade e aceleração;
(b) Montagem da matriz efetiva e do vetor de resíduos efetivos considerando
forças externas e internas;
(c) Resolução do sistemas de equações de cada subdomínio independentemente
(compatibilidade da interface não é satisfeita);
(d) Obtenção de compatibilidade de deslocamento na interface através da
utilização da regra de ponderação de massa (agora, o equilíbrio deixa de ser atendido,
pois os esforços nos elementos de interface não são atualizados).
- Algorimo PDII:
(a) Condições iniciais de deslocamento, velocidade e aceleração;
(b) Montagem da matriz efetiva e do vetor de resíduos efetivos considerando
forças externas e internas;
(c) Resolução do sistemas de equações de cada subdomínio independentemente
(compatibilidade da interface não é satisfeita);
(d) Obtenção de compatibilidade de deslocamento na interface através da
utilização da regra de ponderação de massa;
(e) Verificação de convergência do vetor de deslocamentos da interface;
(f) Reavaliação dos esforços internos dos elementos de interface, em cada
subdomínio;
(g) Reavaliação do vetor de resíduos efetivos dos elementos da interface, em
cada subdomínio;
(h) Montagem do vetor de resíduos efetivos global da interface;
(i) Verificação de convergência do vetor de resíduos efetivos global da interface;
(j) Se a convergência não foi atingida, deve-se redistribuir o resíduo efetivo
entre os graus de liberdade da interface e voltar para o passo (c).
Desta forma, concluído o ciclo iterativo o equilíbrio está restaurado.
98
9.4. ALGORITMO “PARTIÇÃO DE DOMÍNIO IMPLÍCITO ITERATIVO” (PDII)
PARA
PROBLEMAS NÃO-LINEARES
Os algoritmos PDI e PDII descritos até o momento foram apresentados
originalmente em [40] para problemas lineares. Para problemas com não-linearidade
geométrica, que são os problemas aqui estudados, propõe-se neste trabalho tirar
proveito do ciclo de iterações Newton-Raphson, utilizado para resolver a não-
linearidade (ver item 7.3), para restaurar o equilíbrio dos graus de liberdade da
interface. Com isso, em problemas não-lineares o algoritmo PDII não só será mais
preciso do que o PDI, mas também apresentará uma maior eficiência, visto que o
processo iterativo deve ser efetuado mesmo para problemas sem partição de domínio. A
seguir uma descrição do algoritmo:
- Algorimo PDII para problemas não-lineares:
(a) Condições iniciais de deslocamento, velocidade e aceleração;
(b) Montagem da matriz efetiva e do vetor de resíduos efetivos considerando
forças externas e internas;
(c) Resolução do sistemas de equações de cada subdomínio independentemente
(compatibilidade da interface não é satisfeita);
(d) Obtenção de compatibilidade de deslocamento na interface através da
utilização da regra de ponderação de massa;
(e) Verificação de convergência do vetor de deslocamentos;
(f) Reavaliação dos esforços internos de todos os elementos, inclusive os
elementos de interface, em cada subdomínio;
(g) Reavaliação do vetor de resíduos efetivos de cada subdomínio;
(h) Montagem do vetor de resíduos efetivos global da interface;
(i) Verificação de convergência do vetor de resíduos efetivos global;
(j) Se a convergência não foi atingida, deve-se redistribuir o resíduo efetivo
entre os graus de liberdade da interface e voltar para o passo (c).
Desta forma, concluído o ciclo iterativo o equilíbrio está restaurado.
99
9.5. ASPECTOS DA IMPLEMENTAÇÃO
Este item apresentará o procedimento seguido para implementação do algoritmo
PDII em problemas não-lineares no programa Prosim.
9.5.1.1. Sistema de Equações
O programa Prosim tem, em relação à implementação do armazenamento da
matriz efetiva, a filosofia de armazenamento dos elementos diferentes de zero da matriz
descrito a seguir:
- inicialmente é montado o vetor BDIAG que contém os elementos da diagonal
da matriz efetiva;
- em seguida é montado o vetor BP que contém os elementos de fora da diagonal
da matriz efetiva;
- então é montado o vetor IPOS que define a posição dos elementos pertencentes
ao vetor BP na matriz efetiva global;
- o vetor VRESEF contém inicialmente os elementos de força externa
componentes do lado direito do sistema de equações e, após a resolução do sistema de
equações, os deslocamentos resultantes são armazenados no próprio vetor VRESEF.
Portanto, para cada subestrutura serão montados os vetores IPOS, BDIAG, BP e
VRESEF. Assim caso a estrutura esteja dividida em N subestruturas, haverão N
sistemas de equações a serem resolvidas. Cada sistema de equações terá apenas os graus
de liberdade referentes a cada subestrutura. Assim, caso a estrutura seja dividida em 2
ou mais subdomínios, cada sistema de equações a ser resolvido será sempre menor que
o sistema de equações da estrutura original.
Os sistemas de equações são resolvidos pelo Método de Eliminação de Gauss
utilizando-se técnicas de triangularização e retro-substituição da matriz efetiva.
Os sistemas de equações das subestruturas podem ser resolvidos
independentemente sendo necessária a comunicação entre subdomínios apenas para
compatibilização da interface.
100
Conforme pode-se notar, na utilização do PDI, o nó de interface terá dois valores
calculados, um em cada subdomínio. Para compatibilizar-se estes valores é utilizada a
regra de ponderação da massa, já descrito no subitem anterior.
No programa Prosim o Método Implícito é implementado por deslocamentos,
assim a regra de ponderação pode ser escrita como:
d
n+1
= M
-1
∑
r=1
s
M
r
d
* r
n+1
(149)
onde d
*
é o deslocamento obtido em cada subdomínio, s é o número de
subdomínio concorrentes, M é a massa correspondente ao grau de liberdade e d é o
deslocamento já compatibilizado na interface.
9.5.1.2. Reavaliação de Elementos
Como as aplicações em questão se tratam de linhas de ancoragem ou risers, tem-
se por conseqüência uma largura de banda pequena da matriz efetiva.
Em problemas onde a matriz efetiva tem largura de banda pequena, os
elementos diferentes de zero estão localizados próximos à diagonal. Neste tipo de
problema o custo da solução do sistema de equações não é tão superior aos demais
procedimentos de cálculo.
A reavaliação dos elementos é feita através de um “loop”, ou ciclo, em todos os
elementos onde reavalia-se a matriz de rigidez / efetiva e são calculados os esforços
internos da estrutura. Esta etapa de cálculo corresponde a um elevado percentual do
tempo total de simulação, devido às características dinâmicas não-lineares do problema
em questão. Assim a reavaliação dos elementos é também uma parcela importante no
tempo de simulação do processo de análise dinâmica a ser particionado. Neste ciclo
serão reavaliados apenas os elementos referentes a cada subdomínio.
Os dois trechos particionados até o momento no programa PROSIM
correspondem a cerca de 80% do tempo de CPU gasto numa análise dinâmica,
conforme poderá ser observado nas aplicações numéricas, divididos da seguinte forma:
•
Resolução do sistema de equações: 30% do tempo total de CPU;
101
•
Ciclo de elementos para reavaliação da rigidez e cálculo de esforços
internos: 50% do tempo total de CPU.
9.5.1.3. Partição dos demais trechos do código
Como o sistema de equações, a reavaliação da rigidez e o cálculo dos esforços
internos são particionados todos os demais procedimentos do programa Prosim relativos
à análise dinâmica da linha podem também ser particionados sem prejuízo no resultado
final da análise. Estes outros procedimentos são listados a seguir:
•
Reavaliação das forças externas;
•
Reavaliação dos deslocamentos incrementais;
•
Reavaliação do vetor de deslocamentos totais;
•
Reavaliação do vetor de velocidades;
•
Reavaliação do vetor de acelerações.
Com este procedimento cerca de 90% do tempo total de CPU gasto numa análise
dinâmica pode ser realizado concorrentemente e simultaneamente. Assim torna-se
possível a partição de uma estrutura em subdomínios e a execução de uma análise
dinâmica de forma independente e concorrente através da utilização de computadores
com arquitetura em paralelo.
102
9.5.1.4. Verificação da convergência
A verificação da convergência é feita através da comparação de um valor de
tolerância de deslocamento ou força, fornecido no arquivo de entrada, com a norma do
vetor de deslocamentos ou força obtido na análise a cada iteração de Newton-Raphson.
A norma de um vetor v com n componentes é dada pela seguinte expressão:
||v(n)|| =
∑
=
n
i
iv
1
2
)( (150)
Porém, com a partição do domínio, teremos, em cada subdomínio, um vetor v
com p componentes em q subdomínios. Para verificação da convergência da estrutura é
necessária uma soma das normas calculadas em cada subdomínio, para que a norma do
vetor a ser utilizada na verificação da convergência seja a norma de toda a estrutura e
não apenas de cada subdomínio. Assim a norma é calculada da seguinte forma:
||v(n)|| =
∑∑
==
q
j
p
i
iv
11
2
)( (151)
103
9.6. EXEMPLOS
9.6.1. Viga Biengastada sob Carga Transversal
Este exemplo tem os mesmos dados, propriedades físicas, propriedades do
material e carregamento do exemplo apresentado no item 8.3.
O objetivo deste exemplo é somente a verificação da precisão das respostas sem
preocupação com desempenho visto a pouca quantidade de elementos e o curto período
de simulação envolvido nesta análise.
Resultados
Para utilização do algoritmo PDII, neste exemplo, dividiu-se a viga ao meio em
dois segmentos conforme ilustrado na figura 24 a seguir:
Segmento 1 Segmento 2
Figura 24 – Discretização da viga
Cada segmento é constituído de 10 elementos de 1 pol cada. Utilizou-se
elementos de pórtico nesta modelagem.
A seguir são apresentados os principais parâmetros utilizados nesta análise:
- Intervalo de tempo: 5.e-06 seg;
- Tolerância de deslocamentos: 0.001
- Tolerância de forças: 0.01
- Amortecimento numérico: não foi considerado.
- Amortecimento proporcional à massa: não foi considerado.
- Amortecimento proporcional à rigidez: não foi considerado.
A seguir são apresentados resultados comparativos entre a versão original do
programa Prosim e a versão implementada com uso do PDII. Conforme pode-se
observar na figura 25 os resultados são praticamente idênticos.
104
0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02
Tempo (s)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Desl vert centro da viga (pol)
Viga Carga Transversal
Original
Partição Domínio
Figura 25 – Resultados comparativos
9.6.2. Viga Monoengastada sob Carga Axial
Este exemplo tem os mesmos dados, propriedades físicas, propriedades do
material e carregamento do exemplo apresentado no item 6.5.
Da mesma forma objetivo deste exemplo é somente a verificação da precisão das
respostas sem preocupação com desempenho visto a pouca quantidade de elementos e o
curto período de simulação envolvido nesta análise.
Resultados
Para utilização do algoritmo PDII, neste exemplo, dividiu-se a viga ao meio em
dois segmentos conforme ilustrado na figura 26 a seguir:
Segmento 1 Segmento 2
Figura 26 – Discretização da viga
Cada segmento é constituído de 20 elementos de 0.5 pol cada. Utilizou-se
elementos de pórtico nesta modelagem.
105
A seguir são apresentados os principais parâmetros utilizados nesta análise:
- Intervalo de tempo: 2.4833 e−06 seg;
- Tolerância de deslocamentos: 0.001
- Tolerância de forças: 0.01
- Amortecimento numérico: não foi considerado.
- Amortecimento proporcional à massa: não foi considerado.
- Amortecimento proporcional à rigidez: não foi considerado.
A seguir são apresentados resultados comparativos entre a versão original do
programa Prosim e a versão implementada com uso do PDII. Conforme pode-se
observar na figura 27 os resultados são praticamente idênticos.
0 4E-005 8E-005 0.00012 0.00016 0.0002
Tempo (s)
-250
-200
-150
-100
-50
0
T
r
ação cent
r
o da viga (lb)
Viga carga axial
Original
Partição Domínio
Figura 27 – Resultados comparativos
106
10. IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO PDII EM
COMPUTADORES COM ARQUITETURA PARALELA
10.1. AMBIENTE DE COMPUTAÇÃO PARALELA
10.1.1. Introdução
Este item tem o propósito de apresentar os conceitos básicos relacionados à
programação em um ambiente paralelo. De uma forma sucinta, é apresentado o conceito
de paralelismo, os tipos de paralelismo, as bibliotecas de comunicação MPI e medidas
de desempenho.
10.1.2. Paralelismo
Entende-se por paralelismo como sendo uma técnica de dividir tarefas grandes
em tarefas menores (figura 28), as quais serão distribuídas e executadas
simultaneamente em vários processadores. Esses processadores se comunicam para que
haja coordenação (sincronização) na execução das diversas tarefas executadas em
paralelo. A paralelização é feita para aumentar o desempenho no processamento,
resolver grandes desafios computacionais e diminuir o tempo gasto no processamento.
Figura 28 – Divisão de Tarefas
Dentre as várias formas de classificar o paralelismo, pode-se levar em
consideração o objeto paralelizado classificando-o como paralelismo funcional e
paralelismo de dados.
107
Paralelismo de Dados
No paralelismo de dados o processador executa as mesmas instruções sobre
dados diferentes e é aplicado, por exemplo, em programas que utilizam matrizes
imensas e para cálculos de elementos finitos. Neste tipo de paralelismo, enquadram-se
os sistemas SMP (Symmetric Multi Processing) (Figura 29), que possuem mais de um
processador em um mesmo computador. Todos eles operam independentemente, mas
compartilham os recursos de memória e disco, segundo uma política de controle de
concorrência adotada pelo sistema operacional. Esta arquitetura é bem transparente ao
usuário, ficando a cargo do sistema operacional a maior parte da complexidade. O
acesso pelos processadores à memória é feito diretamente sem a necessidade de
passagem de mensagem (Message Passing). E somente um processador acessa um
endereço da memória por vez. Como exemplo de aplicação deste tipo de paralelismo
pode-se citar o Cray Y-MP.
Figura 29 – Arquitetura SMP
Paralelismo Funcional
Já no paralelismo funcional o processador executa diferentes instruções que
podem ou não operar sobre o mesmo conjunto de dados. É aplicado em programas
dinâmicos e modulares onde cada tarefa será um processo diferente como por exemplo
programas em MPI. Neste tipo de paralelismo, enquadram-se os sistemas MPP (Massive
Parallel Processing) (Figura 30), onde há pouco ou nenhum compartilhamento de
recursos entre processadores. Normalmente, cada nó de um sistema MPP é um
computador independente, com memória e discos próprios. Nestes sistemas, o controle
do paralelismo é realizado pelo programador, que deve coordenar as tarefas e a
108
coerência entre os diversos processos. Os processadores estão conectados em rede e o
acesso as maquinas é feito por passagem de mensagem (Message Passing) [43].
Figura 30 – Arquitetura MPP
O Message Passing é um método de comunicação baseada no envio e
recebimento de mensagens através de uma rede de computadores seguindo regras de
protocolo de comunicação entre vários processadores que possuam memória própria. As
informações são enviadas da memória local do processo para memória local do
processo remoto. Como exemplos de Message Passing pode-se citar:
•
PVM - Parallel Virtual Machine;
•
MPI - Message Passing Interface;
Um exemplo deste tipo de paralelismo pode ser encontrado em uma máquina
IBM Risc/6000 SP2 ou em um cluster de PC’s. A grande vantagem de uma máquina do
tipo IBM Risc/6000 SP2 e cluster de PC’s é o acesso à memória local onde não há
contenção e, teoricamente, não existe um limite para o número de processadores. No
entanto, existe uma dificuldade maior para mapear as informações, e o usuário é
responsável pelo sincronismo e recebimento de dados.
10.1.3. Biblioteca de comunicação MPI
O MPI é um dos modelos de Message Passing mais empregado atualmente nas
diversas áreas da computação em paralelo para ambiente de memória distribuída. Foi
introduzido pelo MPI Fórum em maio de 1994 e atualizado em junho de 1995 [44]. É
um produto resultante de um Fórum aberto constituído por 40 organizações de
pesquisadores, empresas, usuários e vendedores que definiram a sintaxe, semântica e o
conjunto de rotinas padronizadas para Message Passing. A documentação oficial se
109
chama "MPI: A Message Passing Standard", publicada pela University of Tennesee.
MPI 2 fornece extensões para MPI e foi finalizado em julho de 1997.
Como característica, pode-se citar a eficiência, pois foi projetado para executar
eficientemente em máquinas diferentes. É especificado somente o funcionamento lógico
das operações. A implementação fica a cargo do próprio desenvolvedor que usa as
características de cada máquina para gerar um código mais otimizado.
O MPI ou Message Passing Interface consiste em um conjunto de bibliotecas ou
funções que auxiliam na comunicação entre processos. A Figura 31 apresenta 6 funções
básicas do MPI, as quais são responsáveis pela inicialização e terminação do programa,
identificação do rank do processo, e envio e recebimento da mensagem.
Figura 31 – Rotinas Básicas de MPI
O programa de MPI é um programa único e as tarefas são divididas em forma de
desvios, onde cada tarefa executa uma cópia do programa. Este tipo de programa é
classificado como SPMD (Single Program Multiple Data). O SPMD é uma taxonomia
orientada a programação e é essencialmente igual a taxonomia de Flynn MIMD
(Multiple Instruction Multiple Data) utilizada para classificação de máquinas.
O primeiro comando da Figura 4.4 (MPI_INIT) inicializa o MPI. Em seguida
MPI_COMM_SIZE contabiliza o número de tarefas ou processos (np), definido na
linha de comando de execução. Esses processos são associados a um comunicador e são
capazes de comunicar apenas entre os processos pertencentes ao seu comunicador.
Inicialmente, todos os processos são membros de um grupo com um comunicador já
pré-estabelecido denominado MPI_COMM_WORLD. Os processos têm uma única
identificação denominada de rank (0, 1, .., np-1, sendo np o número de processos),
110
atribuída pelo sistema quando o processo é inicializado e identificado pela chamada do
comando MPI_COMM_RANK. Após estas etapas pode-se realizar a troca de
mensagens entre os processos associados ao comunicador. Toda troca de mensagem em
MPI possui o formato:
função (endereço, contador, tipo de dado, destino ou origem, etiqueta,
comunicador, erro)
onde:
•
função: pode corresponder a um comando de envio ou recebimento de
mensagem;
•
endereço: localização da memória (buffer) onde está armazenada a
mensagem a ser enviada ou recebida;
•
contador: especifica o tamanho da mensagem a ser enviada ou recebida;
•
tipo de dado: : especifica o tipo de dado a ser enviado ou recebido,
normalmente, devem ser iguais nas chamadas de envio e recebimento,
exceto, como por exemplo, quando o dado é definido do tipo
MPI_PACKED.
•
destino ou origem: identificação do rank do processo receptor ou
emissor;
•
etiqueta: identificação da mensagem;
•
comunicador: define um contexto e grupo de comunicação;
•
erro: código de erro, retorna 0 em caso de sucesso ou código de erro em
caso de falha na comunicação.
111
10.1.4. Medidas de desempenho
Desempenho em Aplicações Paralelas
Os parâmetros mais empregados para avaliar o desempenho em implementações
paralelas são:
•
Mflop/s: quantidades de operações flutuantes por segundo;
•
“Speed-up”: medida que avalia o ganho de desempenho do algoritmo;
•
Eficiência: a medida de desempenho que exprime o comportamento do
desempenho da aplicação com a adição de processadores, variando na
faixa de 10 ≤<
p
E .
A medida de Mflop/s é calculada a partir da quantidade de instruções de ponto
flutuante executadas pelo programa durante toda execução. O “speed-up” é baseado no
tempo total de execução do melhor algoritmo serial e no tempo de execução paralela. A
formulação para o cálculo do “speed-up” é dada por:
p
s
p
T
T
S = (152)
onde Ts é o tempo de execução do programa serial, Tp é o tempo de execução do
programa paralelo e p é o número de processadores utilizados na execução.
A medida de “speed-up” pode variar no intervalo pS
p
≤
<
0 . Neste contexto, o
“speed-up” ideal ocorreria quando fosse igual à p, o que é pouco provável de acontecer,
pois ao ocorrer a comunicação entre os processadores sempre é adicionada uma carga
extra ao tempo de processamento.
Por fim, a eficiência a qual pode variar no intervalo 10 ≤
<
p
E é dada pela
fórmula:
p
S
E
p
p
= (153)
112
A escalabilidade de um programa é avaliada através do cálculo de sua eficiência.
O programa apresentará boa escalabilidade se a sua eficiência for mantida a medida que
se aumenta o número de processadores e o tamanho do problema cresce.
Lei de Amdahl
Em alguns casos apenas parte do programa é paralelizável, isto é, algumas
tarefas são eminentemente seqüenciais e não tiram proveito de um computador paralelo.
Abordando esse tema, Amdahl propôs uma expressão para esse problema, que ficou
conhecida como Lei de Amdahl e que está representada a seguir.
Sendo Ts o tempo de execução do programa serial, pode-se supor que o tempo
de execução da fração passível de paralelização do programa seja r.T
s
e o tempo da
fração serial seja (1 - r)
.T
s
[45]. Desta forma, o tempo de execução deste programa com
p processadores será dada por:
s
s
p
Tr
p
Tr
T )1( −+= (154)
Resultando em:
p
r
r
S
p
+−
=
)1(
1
(155)
A eficiência também pode ser obtida pela lei de Amdahl pela fórmula:
rrp
E
p
+−
=
)1(
1
(156)
113
Overhead
Já que a eficiência é a medida da utilização dos processadores durante a
execução paralela de um programa, deve-se considerar também toda a carga extra
adicionada ao programa devido à sua paralelização [45]. Seja a carga de trabalho de um
programa serial igual ao seu tempo de execução, isto é, W
s
= T
s
, e a carga de trabalho de
um programa paralelo igual à soma dos tempos de execução do programa em cada um
dos processadores (T
proc
), W
p
= T
p
= p.T
proc
. Assim, pode-se reescrever a formulação de
eficiência como:
p
s
proc
s
p
W
W
Tp
T
E == (157)
Na prática o overhead é a carga extra de trabalho introduzida devido à
paralelização do programa. Ou seja, é a diferença entre a quantidade de trabalho
realizada por um programa serial e a quantidade de trabalho realizada por um programa
paralelo, a qual é dada por:
sproc
TTpT −=
0
(158)
O overhead se origina de três fontes:
•
Comunicação entre os processadores;
•
Tempo ocioso em alguns processadores devido a uma possível diferença
de desempenho em alguns dos processadores ou má distribuição de carga
computacional entre processadores;
•
Cálculos extras necessários na implementação paralela ou cálculos
repetidos em vários processadores.
114
10.2. ALGORITMO PDII EM COMPUTADORES COM ARQUITETURA
PARALELA
10.2.1. Introdução
Neste item será apresentada a estrutura geral do código seqüencial do programa
Prosim. Em seguida, serão descritas as estratégias empregadas para a implementação
em paralelo do algoritmo PDII.
10.2.2. Análise do código sequencial
Para a implementação do código seqüencial adotado neste trabalho realizou-se
primeiramente uma decomposição do algoritmo em módulos. Esta decomposição levou
em consideração o aspecto funcional da estrutura do código. De uma forma geral, o
código seqüencial do Prosim se divide basicamente em seis módulos funcionais (Figura
32):
•
leitura de dados de entrada;
•
equilíbrio estático individual das linhas (de ancoragem e risers);
•
análise estática acoplada (casco, linhas de ancoragem e risers) [46];
•
análise dinâmica acoplada (casco, linhas de ancoragem e risers);
•
geração de arquivos de saída;
•
geração de arquivo para posterior reinício da análise.
115
INÍCIO
Leitura
dos dados
de entrada
Análise
Estática
Acoplada
Geração de
arquivos
de saída
Equilíbri
o
Estático
Individual
das linhas
Geração de arquivo
para posterior
reinício da análise
SAVE
sim
SAVE
si
m
Geração de
arquivos
de saída
Geração de
arquivos
de saída
SAVE
sim
Geração de arquivo
para posterior
reinício da análise
Geração de arquivo
para posterior
reinício da análise
FIM
SAVE
si
m
Geração de
arquivos
de saída
SAVE
si
m
RUNSIM
Geração de arquivo
para posterior
reinício da análise
Geração de
arquivos
de saída
Análise
Dinâmica
Acoplada
Geração de arquivo
para posterior
reinício da análise
Figura 32 – Fluxograma Geral do Programa Prosim
116
10.2.3. Estratégia para Implementação em Paralelo
O módulo, “análise dinâmica acoplada”, se destaca pelo consumo de CPU. Com
base nos tempos de processamento obtidos do código seqüencial, observou-se que a
maior parte do tempo de execução do programa seqüencial se concentra neste módulo.
Para os tempos de simulação usualmente empregados em uma análise dinâmica, este
módulo consome praticamente a totalidade do tempo de processamento. Desta forma,
pode-se dizer que para obter uma paralelização eficiente deve-se concentrar os esforços
no módulo de análise dinâmica.
O módulo de “análise dinâmica acoplada” se subdivide basicamente em dois
procedimentos que ocorrem simultaneamente:
•
Solução das equações de movimento do casco, resultando nos
movimentos da unidade flutuante, sob ação das forças ambientais e da
tração de topo das linhas de ancoragem e risers;
•
Solução das equações de movimento de cada linha de ancoragem e risers,
resultando nas da forças de topo das mesmas, sob ação dos movimentos
do casco e das cargas ambientais.
Franco em [47] implementou a partição casco / linha, onde um processo gerencia
e integra as equações de movimento do casco, enquanto que, as linhas, discretizadas em
elementos finitos, eram distribuídas e integradas uma a uma pelos demais processos.
Neste caso as linhas são integradas sem serem particionadas.
Com a implementação do algoritmo PDII as linhas passam também a ser
particionadas. Com esta implementação torna-se possível um melhor balanceamento de
carga entre processadores. Por exemplo: em um sistema composto por linhas e casco,
caso tenhamos uma linha muito discretizada em relação às outras, isto é com muito mais
graus de liberdade a serem integrados, esta linha terá um tempo de CPU muito mais
elevado que as outras. Supondo que, cada linha esteja sendo analisada em um
processador diferente, esta linha muito discretizada será o “gargalo” da análise. Com o
algoritmo PDII, esta linha também poderá ser particionada e distribuída entre os
processadores com a possibilidade de melhora no desempenho.
117
A implementação do PDII conduz ao trecho de código a ser paralelizado,
conforme mencionado no capítulo anterior. A resolução do sistema de equações
decorrente da integração das equações de movimento de cada linha de ancoragem e
risers, proveniente da utilização de algoritmos implícitos, e o loop de elementos onde
são reavaliados matriz de rigidez e esforços internos, proveniente dos efeitos dinâmicos
não-lineares, são os trechos do programa onde consome-se cerca de 80% do tempo
computacional. Os demais procedimentos paralelizados da análise dinâmica levam a um
total de cerca de 90% do tempo computacional paralelizado.
Supondo então que 90% do tempo computacional esteja paralelizado a figura 33
apresenta o “speed-up” ideal e o máximo “speed-up” obtido pela Lei de Amdahl, que
leva em conta a fração paralelizável do programa, variando-se o número de
processadores.
Speed-up
0
1
2
3
4
5
6
7
01234567
Número de processadores
Speed-up
Speed-up ideal
Lei de Amdhal
Figura 33 – Medidas de Speed-up
Observa-se que à medida que o número de processadores aumenta, há uma
queda no “speed-up” seguindo-se a Lei de Amdahl, se comparada ao “speed-up” ideal.
A seguir são apresentados os procedimentos de implementação em paralelo da
resolução do sistema de equações e do ciclo para reavaliação dos elementos.
118
Resolução do sistema de Equações
A partição do domínio em subdomínios, resulta em sub sistemas de equações,
provenientes do sistema de equações que seria montado caso a estrutura não fosse
partida, a serem resolvidos pelo Método Direto de Gauss através da triangularização e
retrosubstituição em cada processador. Nesta fase a distribuição de tarefas entre os
processadores ocorre na resolução do sistema de equações.
Este procedimento é exemplificado a seguir, onde é apresentado o trecho da
resolução do sistema de equações e a compatibilidade dos nós de interface.
1 – Triangularização da matriz efetiva em cada processador;
2 – Resolução do sistema de equações através da retro-substituição para
obtenção dos deslocamentos;
3 – Envio dos deslocamentos das interfaces para o processador mestre;
4 – Compatibilidade dos deslocamentos nas interfaces através da Regra de
Ponderação da Massa;
5 – Envio dos deslocamentos das interfaces compatibilizados para os demais
processadores.
Ciclo para Reavaliação de Elementos
A seguir é apresentado um breve procedimento com a partição do ciclo de
elementos.
1 – “Loop” no grupo de elementos pertencentes a cada subdomínio;
2 – Reavaliação da matriz efetiva do subdomínio avaliado;
3 – Cálculo dos esforços internos do subdomínio avaliado;
4 – Fim do “loop”.
119
Troca de Mensagens
Como mencionado anteriormente, a troca de mensagens entre os processos foi
dividida em duas fases:
As fase I corresponde à etapa inicial (de leitura de dados). A fase II corresponde
à paralelização efetuada durante a análise dinâmica das linhas.
FASE I
A primeira fase trata-se de uma comunicação onde o processador mestre envia,
aos demais processadores, informações necessárias para abertura dos arquivos de
entrada. Efetivamente, a leitura dos arquivos de entrada de dados é feita por todos os
processos aproveitando a fração de memória de disco compartilhada. Em cluster de
PC’s todos os processadores compartilham uma fração de memória do disco do PC
administrador e desta forma todos processadores conseguem ler os arquivos contidos
nesta fração de memória. Para distribuir os parâmetros foi empregada a operação de
difusão realizada pelo comando MPI_BCAST.
FASE II
Na segunda fase de comunicação entre os processadores há uma troca de dados
envolvendo todos os processos a cada iteração na solução das linhas. Para comunicação
dos dados envolvidos nessa fase empregou-se a comunicação ponto a ponto adotando as
funções MPI_SEND e MPI_RECV.
120
Balanceamento de Carga Computacional
O balanceamento de carga deve ser adotado a partir do momento em que se
verifica a existência de um overhead muito grande, proveniente do tempo espera de
alguns processadores. Este tempo de espera é conseqüência do desequilíbrio da carga
computacional. Alguns processadores são sobrecarregados recebendo tarefas maiores
do que os demais, devido por exemplo ao diferente número de elementos das malhas de
cada linha e, conseqüentemente, tendem a consumir um tempo de processamento maior.
Com o objetivo de diminuir a carga extra gerada pelo desequilíbrio da carga
computacional deve-se buscar uma forma de distribuição simples e ao mesmo tempo
eficaz capaz de realizar o balanceamento desta carga computacional.
Uma forma de distribuição eficaz é a busca do equilíbrio entre o número total de
equações da malha de elementos finitos atribuído a cada processador. Neste
procedimento tenta-se aproximar o número de equações de um processador da média
(número total de equações / número de processadores).
Este procedimento pode ser feito já na montagem do arquivo de entrada do
programa, onde a divisão em subdomínios pode ser efetuada já considerando-se este
balanceamento, ou pode ser feito internamente ao programa de maneira automática.
Na implementação atual do algoritmo PDII, ao particionar uma linha, o
balanceamento de carga deve ser efetuado anteriormente à análise e fornecido no
arquivo de entrada de dados do Prosim de forma, preferencialmente, a uma distribuição
uniforme dos graus de liberdade pelos processadores envolvidos na análise.
121
11. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
11.1. INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresentam-se resultados e estudos de performance obtida com as
estratégias de subciclagem e implementação do PDII empregadas sobre o código do
programa Prosim, na análise de exemplos clássicos, análise de riser e análise acoplada
de unidades flutuantes com linhas de ancoragem e risers. Foram realizadas as seguintes
aplicações:
¾ O primeiro exemplo consiste em um riser em catenária submetido a um
movimento senoidal imposto ao topo do mesmo;
¾ No segundo exemplo este mesmo riser é submetido a um carregamento de
correnteza e movimento prescrito no topo;
¾ O terceiro exemplo apresenta um modelo acoplado da plataforma P10
constituída de 8 linhas de ancoragem e um riser vertical de perfuração. Neste
exemplo são aplicados carregamentos de onda e correnteza ao sistema;
¾ O quarto exemplo apresenta um modelo acoplado da plataforma P18 constituída
de 8 linhas de ancoragem e 73 risers, sendo 72 risers flexíveis e um SCR (Steel
Catenary Riser), todos com configurações em catenária livre. Neste exemplo são
aplicados carregamentos de onda, correnteza e vento ao sistema.
Nos exemplos aqui apresentados o tempo total de simulação foi de apenas 50
segundos. Usualmente, em análises de sistemas offshore empregam-se tempos muito
maiores (até 10800 segundos). Como aqui o objetivo é apenas comparar o desempenho
computacional, o tempo total adotado é considerado suficiente.
Para aplicação numérica dos exemplos com subciclagem utilizou-se um
computador com as seguintes características:
122
•
Processador Athlon XP 2600 com 2.08 Ghz;
•
1.0 Gbyte de memória RAM;
•
Sistema operacional: Windows XP.
Para aplicação numérica dos exemplos com método PDII utilizou-se o cluster
instalado no LAMCSO (Laboratório de Métodos Computacionais e Sistemas Offshore),
o qual apresenta as características apresentadas na tabela 5.
Tabela 5 – Especificação do Cluster
Processadores 6 processadores Pentium III 850 MHz
Memória RAM 256 Mbytes por unidade
Dispositivo de Comunicação Rede Fast Ethernet 100 Mbps
Sistema Operacional Linux Red Hat
Software de Comunicação LAM/MPI versão 6.5.5
123
11.2. RISER EM CATENÁRIA SOB MOVIMENTO IMPOSTO NO TOPO
11.2.1. Descrição do Modelo
Este exemplo apresenta uma configuração típica de riser flexível de 10”
utilizada na exploração de petróleo. É uma configuração em catenária simples com
ângulo de topo de 7 graus na posição neutra situado numa lâmina d’água de 1000m. A
seguir a figura 34 com a configuração.
Figura 34 – Configuração do riser
Na análise do riser foram utilizados elementos de pórtico discretizados em 3
segmentos conforme apresentado na tabela 6.
Tabela 6 – Discretização do Riser
Segmento Comprimento
do segmento (m)
Comprimento dos
elementos (m)
Número de
elementos
1
905 15 60
2
300 5 60
3
600 10 60
A região do TDP, por ser uma região com maiores variações de curvatura,
requer um maior refinamento na malha.
124
11.2.2. Dados Geométricos e do Material
A Tabela 7 reproduz os dados geométricos e do material.
Tabela 7 – Propriedades
Diâm. ext (m) 0.321
Diâm. int (m) 0.252
EA (kN) 83333
EI (kN.m
2
) 0.7
Peso ar (kN/m) 1.521
Peso água (kN/m) 0.707
11.2.3. Carregamento
O carregamento utilizado neste exemplo consiste em um movimento senoidal
prescrito no topo do riser e apresentado nas figuras a seguir para as direções horizontal
(figura 35) e vertical (figura 36).
0 1020304050
Tempo (s)
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
Desl ho
r
iz (m)
Figura 35 – Deslocamento horizontal
125
0 1020304050
Tempo (s)
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
Desl ve
r
t (m)
Figura 36 – Deslocamento vertical
O objetivo deste exemplo é observar o comportamento do riser sob movimento
prescrito.
11.2.4. Subciclagem - Resultados
Para utilização da subciclagem, conforme o exemplo anterior, utilizando-se da
divisão de segmentos do riser devido à discretização utilizada, associou-se intervalos de
tempo a cada segmento.
Desta forma utilizou-se dois intervalos de tempo correspondentes a cada
segmento:
- Segmentos 1 (topo) e 3 (âncora): ∆t = 0.001 seg;
- Segmento 2 (TDP): ∆t = 0.0005 seg.
Na análise tradicional, sem subciclagem, utilizou-se o menor intervalo de tempo
para todos os elementos, ∆t = 0.0005 seg.
Não foi utilizado amortecimento numérico nesta análise.
126
A seguir são apresentados resultados comparativos entre a versão original do
programa Prosim, sem o uso da subciclagem e a versão implementada com uso da
subciclagem. Conforme pode-se observar na figura 37 os resultados são praticamente
idênticos.
0 1020304050
Tempo (s)
600
700
800
900
1000
Fo
r
ça axial topo (kN)
Riser com Movimento Prescrito
Original
Subciclagem
Figura 37 – Resultados comparativos
Visto a boa precisão obtida nos resultados serão agora apresentados resultados
comparativos do desempenho obtido nesta análise. A tabela 8 apresenta o tempo de
CPU gasto.
Tabela 8 – Desempenho Computacional
Tradicional Subciclagem Economia %
Tempo CPU (seg)
1195.73 908.72 24.0
Com isto pode-se observar o ganho computacional significativo de 24.0% obtido
neste caso.
127
11.2.5. PDII - Resultados
Para utilização do algoritmo PDII, neste exemplo, a partição do domínio foi
efetuada utilizando-se da divisão de segmentos do riser devido à discretização
utilizada. Portanto o riser foi particionado em 3 subdomínios.
A seguir são apresentados os principais parâmetros utilizados nesta análise:
- Intervalo de tempo: 0.0125 seg;
- Tolerância de deslocamentos: 0.001
- Tolerância de forças: 0.01
- Amortecimento numérico (coeficiente αB): -0.33.
- Amortecimento proporcional à massa: não foi considerado.
- Amortecimento proporcional à rigidez: não foi considerado.
A seguir são apresentados resultados comparativos entre a versão original do
programa Prosim e a versão implementada com uso do PDII. Conforme pode-se
observar na figura 38 os resultados são praticamente idênticos.
0 1020304050
Tempo (s)
600
700
800
900
1000
Fo
r
ça axial topo (kN)
Riser com movimento prescrito
Original
Partição Domínio
Figura 38 – Resultados comparativos
128
Visto a boa precisão obtida nos resultados serão agora apresentados resultados
comparativos do desempenho obtido. A tabela 9 apresenta o tempo de CPU gasto.
Tabela 9 – Desempenho Computacional
Tradicional PDII Economia %
Tempo CPU (seg)
148.1 78.6 46.9
O ganho computacional de 46.9% mostrou-se bastante significativo.
Uma análise mais detalhada dos tempos de processamento, comunicação e
espera entre a análise seqüencial e a análise com 3 processadores é apresentado a seguir.
A figura 39 apresenta um gráfico comparativo dos tempos total paralelizado e
total da análise. Além de frações do tempo total paralelizado divididos em tempo de
espera, comunicação, processamento, tanto para a análise seqüencial como para a
análise com o domínio dividido em 3 subdomínios.
Riser - 3 subdomínios - mov prescrito topo
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Sequencial IGI - Proc 1 IGI - Proc 2 IGI - Proc 3
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total paralelizado
Total análise
Figura 39 – Medidas de Desempenho
129
O tempo de processamento em cada processador onde o PDII é utilizado é
praticamente 1/3 do tempo de processamento da análise seqüencial. O tempo de
comunicação é maior no processador 1 pois é este processador que concentra os valores
de deslocamento na interface de todos os processadores e faz a compatibilidade de
deslocamentos. O tempo de espera nos processadores 2 e 3 aparecem devido ao envio
de informações ao processador 1 pelos outros processadores. O tempo total da análise
com PDII apresenta-se muito menor que o tempo total com análise seqüencial.
11.2.6. PDII – Variação do número de processadores
Com o objetivo de um melhor entendimento da partição do domínio, neste item
é apresentado um estudo com a variação da partição da malha do riser de 1 a 6
subdomínios. A figura 40 mostra que o sinal de tração no topo do riser é praticamente
coincidente para qualquer uma das divisões de domínio utilizadas.
0 1020304050
Tempo (s)
600
700
800
900
1000
T
r
ação topo (kN)
Número de processadores
1
2
3
4
5
6
Figura 40 – Comparação de Resultados
130
Os gráficos das figuras 41, 42, 43, 44 e 45 a seguir mostram a variação dos
tempos de processamento, espera, comunicação e total paralelizado destas análises
sempre comparados com o tempo de processamento da análise seqüencial em 1
processador.
Riser com mov prescrito - 2 subdomínios
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Sequencial IGI - Proc 1 IGI - Proc 2 IGI - Proc 3 IGI - Proc 4 IGI - Proc 5 IGI - Proc 6
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total paralelizado
Figura 41 – Medidas de Desempenho – 2 processadores
Riser com mov prescrito - 3 subdomínios
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Sequencial IGI - Proc 1 IGI - Proc 2 IGI - Proc 3 IGI - Proc 4 IGI - Proc 5 IGI - Proc 6
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total paralelizado
Figura 42 – Medidas de Desempenho – 3 processadores
131
Riser com mov prescrito - 4 subdomínios
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Sequencial IGI - Proc 1 IGI - Proc 2 IGI - Proc 3 IGI - Proc 4 IGI - Proc 5 IGI - Proc 6
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total paralelizado
Figura 43 – Medidas de Desempenho – 4 processadores
Riser com mov prescrito - 5 subdomínios
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Sequencial IGI - Proc 1 IGI - Proc 2 IGI - Proc 3 IGI - Proc 4 IGI - Proc 5 IGI - Proc 6
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total paralelizado
Figura 44 – Medidas de Desempenho – 5 processadores
132
Riser com mov prescrito - 6 subdomínios
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Sequencial IGI - Proc 1 IGI - Proc 2 IGI - Proc 3 IGI - Proc 4 IGI - Proc 5 IGI - Proc 6
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total paralelizado
Figura 45 – Medidas de Desempenho – 6 processadores
Com os gráficos apresentados pode-se concluir que à medida que o número de
processadores aumenta o tempo de comunicação do processador 1 também aumenta,
isto ocorre porque, de acordo com a implementação efetuada os dados necessários para
compatibilização da interface são enviados de todos os processadores para o
processador 1 o que “congestiona” o tráfego de informações deste processador.
Enquanto o processador 1 fica com excesso de tempo de comunicação os demais ficam
com excesso de tempo de espera.
O gráfico da figura 46 a seguir mostra os tempos de processamento,
comunicação e total paralelizado do processador 1 (mestre).
133
Riser com mov prescrito
0
20
40
60
80
100
120
140
160
01234567
Número de processadores
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Total
Figura 46 – Desempenho do Processador Mestre
Nota-se que o tempo de processamento diminui à medida que o número de
processadores aumenta e o tempo de comunicação aumenta. O tempo total do trecho
paralelizado do programa diminui até o uso de 3 processadores, com 4 processadores
este tempo total aumenta e volta a diminuir com 5 ou 6 processadores.
A seguir mais um gráfico na figura 47 com medidas de speed-up comparados ao
speed-up ideal e ao speed-up obtido pela Lei de Amdhal que considera a fração
paralelizável do programa em relação ao tempo total da análise, no caso 92%.
134
Riser com mov prescrito
0
1
2
3
4
5
6
7
01234567
Número de processadores
Speed-up
Speed-up ideal
Speed-up total
Lei de Amdhal (92% paralelizado)
Figura 47 – Medidas de Speed-Up
Observa-se que com até 3 processadores o speed-up apresenta um ganho
considerável tendo uma queda a partir do uso de 4 processadores.
A causa desta queda de rendimento do processamento com 4 ou mais
processadores se deve ao número de iterações do ciclo de Newton-Raphson. À medida
que o riser é mais particionado com um maior número de subdomínios, mostra-se
necessário um maior número de iterações para convergência do método. Assim
aumentam o tempo de processamento e o tempo de comunicação, visto que a troca de
informações entre processadores é necessária a cada iteração.
A figura 48 mostra o número médio de iterações Newton-Raphson por intervalo
de tempo durante a análise do riser.
135
Número médio de iterações por intervalo de tempo
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
123456
Número de processadores
Iterações Newton Raphson
Figura 48 – Número de Iterações
Observa-se que com até 3 processadores são necessárias cerca de 3 iterações
para convergência em cada intervalo de tempo enquanto que para 4 ou mais
processadores este número aproxima de 4 iterações.
Portanto, nos problemas de análise de riser ou linhas de ancoragem, recomenda-
se que esta partição seja feita em, no máximo, 3 subdomínios evitando-se assim um
aumento do número de iterações que pode ocasionar uma queda de desempenho do
algoritmo.
136
11.3. RISER EM CATENÁRIA SOB AÇÃO DE CORRENTEZA
11.3.1. Descrição do Modelo
O modelo utilizado nesta análise é igual ao modelo do exemplo anterior. O
objetivo deste exemplo é a verificação da precisão da resposta sendo o modelo
submetido a um carregamento distribuído de correnteza e movimento prescrito no topo.
11.3.2. Carregamento
Esta análise consiste na aplicação de um perfil de correnteza triangular e o
movimento harmônico, idêntico ao do exemplo anterior, aplicado no topo do riser.
A tabela a seguir apresenta valores de correnteza utilizados.
Tabela 10 – Perfil de Correnteza
Profundidade
(
m
)
Velocidade
(
m/s
)
0 1,00
1000 0,00
A figura 49 apresenta a direção de aplicação do carregamento.
1 m/s
100m
Figura 49 – Atuação do perfil de correnteza
137
11.3.3. Subciclagem - Resultados
Para utilização da subciclagem, neste exemplo, utilizando-se da divisão de
segmentos do riser devido à discretização utilizada, associou-se intervalos de tempo a
cada segmento.
Desta forma utilizou-se dois intervalos de tempo correspondentes a cada
segmento:
- Segmentos 1 (topo) e 3 (âncora): ∆t = 0.001 seg;
- Segmento 2 (TDP): ∆t = 0.0005 seg.
Na análise tradicional, sem subciclagem, utilizou-se o menor intervalo de tempo
para todos os elementos, ∆t = 0.0005 seg.
Não foi utilizado amortecimento numérico nesta análise.
A seguir são apresentados resultados comparativos entre a versão original do
programa Prosim, sem o uso da subciclagem e a versão implementada com uso da
subciclagem. Conforme pode-se observar na figura 50 os resultados são praticamente
idênticos.
0 1020304050
Tempo (s)
600
700
800
900
1000
Fo
r
ça axial topo (kN)
Riser com correnteza
Original
Subciclagem
Figura 50 – Resultados comparativos
Visto a boa precisão obtida nos resultados serão agora apresentados resultados
comparativos do desempenho obtido. A tabela 11 apresenta o tempo de CPU gasto.
138
Tabela 11 – Desempenho Computacional
Tradicional Subciclagem Economia %
Tempo CPU (seg)
1252.13 949 24.2
Com isto pode-se observar o ganho computacional significativo de 24.2% obtido
neste caso.
11.3.4. PDII - Resultados
Para utilização do algoritmo PDII, neste exemplo, a partição do domínio foi
efetuada utilizando-se da divisão de segmentos do riser devido à discretização
utilizada. Portanto o riser foi particionado em 3 subdomínios.
A seguir são apresentados os principais parâmetros utilizados nesta análise:
- Intervalo de tempo: 0.0125 seg;
- Tolerância de deslocamentos: 0.001
- Tolerância de forças: 0.01
- Amortecimento numérico (coeficiente αB): -0.33.
- Amortecimento proporcional à massa: não foi considerado.
- Amortecimento proporcional à rigidez: não foi considerado.
A seguir são apresentados resultados comparativos entre a versão original do
programa Prosim e a versão implementada com uso do PDII. Conforme pode-se
observar na figura 51 os resultados são praticamente idênticos.
139
0 1020304050
Tempo (s)
600
700
800
900
1000
Fo
r
ça axial topo (
k
N)
Riser com correnteza
Original
Partição Domínio
Figura 51 – Resultados comparativos
O principal objetivo deste exemplo é verificar a precisão dos resultados com o
riser sob carregamento externo distribuído. O desempenho neste exemplo é semelhante
ao exemplo anterior pois é utilizada a mesma malha e mesma partição.
Visto a boa precisão obtida nos resultados serão agora apresentados resultados
comparativos do desempenho obtido nesta análise. A tabela 12 apresenta o tempo de
CPU gasto.
Tabela 12 – Desempenho Computacional
Tradicional PDII Economia %
Tempo CPU (seg)
152.0 82.1 46.0
Observa-se o ganho computacional significativo de 46% obtido nesta análise.
A figura 52 apresenta um gráfico comparativo dos tempos total paralelizado e
total da análise. Além de frações do tempo total paralelizado divididos em tempo de
espera, comunicação, processamento, tanto para a análise seqüencial como para a
análise com para a análise com o domínio dividido em 3 subdomínios.
140
Riser - onda, correnteza e mov prescrito
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Sequencial IGI - Proc 1 IGI - Proc 2 IGI - Proc 3
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total paralelizado
Total análise
Figura 52 – Medidas de Desempenho
Da mesma forma como observado no exemplo anterior, o tempo de
processamento em cada processador onde o PDII é utilizado é praticamente 1/3 do
tempo de processamento da análise seqüencial. O tempo de comunicação é maior no
processador 1 pois é este processador que concentra os valores de deslocamento na
interface de todos os processadores e faz a compatibilidade de deslocamentos. O tempo
de espera nos processadores 2 e 3 aparecem devido ao envio de informações ao
processador 1 pelos outros processadores. O tempo total da análise com PDII apresenta-
se muito menor que o tempo total com análise seqüencial.
141
11.4. PLATAFORMA P10
11.4.1. Características do Casco
A plataforma P10 é uma semi-submersível de perfuração com as seguintes
características principais, extraídas de [48, 49]:
•
LDA : 1200 m;
•
Azimute de aproamento: 90
o
;
•
Posição do centro de gravidade em relação ao eixo local: 16 m;
•
Calado da plataforma: 20,0 m;
•
Peso da plataforma: 2,3 E+05 kN.
Na Figura 53 é ilustrado o sistema de referência local (XYZ) e global (xyz)
adotado. Verifica-se que o eixo x do sistema global possui o sentido positivo da proa a
popa, os eixos x e y do sistema global formam um plano horizontal com nível do mar,
os eixos X e Y do sistema local ou eixo estrutural formam um plano horizontal com a
quilha.
142
Popa
x X E
N
Y
y
proa
Z
z
nível do mar
20 m
x
. CG
16 m
X
Sistema Global xyz
Sistema Local XYZ
Figura 53 – Sistema de Referência da Plataforma P10
143
11.4.2.Características das Linhas de Ancoragem
A P10 é ancorada por um total de 8 linhas de ancoragem em configuração de
catenária simples. As linhas são compostas por um trecho de amarra no fundo e no topo
e cabo de aço intermediário. As características mais detalhadas das linhas de ancoragem
são apresentadas na Tabela 13 e na Tabela 14.
Tabela 13 – Propriedades das Linhas de Ancoragem
Comprimentos (m)
Linha
Amarra de Fundo Cabo de Aço Amarra de Topo
Pré-tensão
(kN)
Linha 1 926 1380 300 1292.2
Linha 2 926 1380 300 1298.9
Linha 3 926 1380 300 1355.6
Linha 4 926 1380 300 1340.4
Linha 5 926 1380 300 1340.4
Linha 6 926 1380 300 1355.6
Linha 7 926 1380 300 1298.9
Linha 8 926 1380 300 1292.2
Tabela 14 – Coordenadas de conexão das Linhas de Ancoragem
Coordenadas Globais
Linha
X Y Z
Azimute
(
o
)
Linha 1 -35,00 32,50 -5,91 295.0
Linha 2 -31,00 32,50 -5,91 335.0
Linha 3 35,00 32,50 -5,91 25.0
Linha 4 35,00 32,50 -5,91 65.0
Linha 5 35,00 -32,50 -5,91 115.0
Linha 6 31,00 -32,50 -5,91 155.0
Linha 7 -31,00 -32,50 -5,91 205.0
Linha 8 -35,00 -32,50 -5,91 295.0
11.4.3.Características do Riser de Perfuração
O riser vertical é constituído de um riser rígido de 10.75” e está localizado no
centro da plataforma e suas características principais em relação a dados geométricos e
do material estão descritas na tabela 15.
144
Tabela 15 – Propriedades do riser
Diâm. ext (m) 0.2731
Diâm. int (m) 0.2318
E (kN/m
2
) 2.07e8
Peso específico (kN/m
3
) 77
11.4.4.Dados Ambientais
Para análise em questão foram considerados os seguintes carregamentos
ambientais:
¾ Carregamentos atuantes no casco: correnteza e onda;
¾ Carregamentos atuantes nas linhas: correnteza e onda;
O perfil de corrente utilizado na simulação com a P10 é apresentado na tabela
16.
Tabela 16 – Perfil de Correnteza
Profundidade
(
m
)
Velocidade
(
m/s
)
Dire
ç
ão
0 0,70 NW
1200 0,00 NW
A onda utilizada nas análises é uma onda regular com Hmax = 5m e THmax =
10 seg também atuando na direção NW.
11.4.5.Modelo Numérico
CASCO
A embarcação é representada por um modelo reticulado de 36 elementos
tubulares. Os dados necessários para compor o modelo são as coordenadas dos nós
iniciais e finais de cada elemento, seus diâmetros equivalentes, e os respectivos
coeficientes hidrodinâmicos.
A Figura 54 apresentam a visualização sólida da plataforma P10 levando em
conta os diâmetros dos membros tubulares equivalentes.
145
Figura 54 – Visualização Sólida do Modelo do Casco da P10
LINHAS DE ANCORAGEM
A discretização das linhas foi realizada com uma malha uniforme de elementos
de treliça, resultando num total de 88 elementos de treliça para cada linha. Cada
elemento tem um comprimento de 30 metros.
Na Figura 55 é ilustrado uma das linhas da plataforma P10 discretizada com
elemento de treliça.
146
Figura 55 – Discretização de uma Linha de Ancoragem
RISER DE PERFURAÇÃO
Na análise do riser foram utilizados elementos de pórtico discretizados conforme
apresentado na tabela 17.
Tabela 17 – Discretização do Riser
Segmento Comprimento
do segmento (m)
Comprimento dos
elementos (m)
Número de
elementos
1
1180 2.5 472
.
Na Figura 56 é ilustrado a configuração do riser vertical de perfuração.
147
Figura 56 – Configuração do riser
MODELO ACOPLADO
A seguir são apresentadas nas figuras 57, 58 e 59 o modelo acoplado da P10,
incorporado as linhas de ancoragem.
Figura 57 – Modelo Acoplado – Vista XY
148
Figura 58 – Modelo Acoplado – Vista XZ
Figura 59 – Modelo Acoplado – Vista 3D
149
11.4.6. Subciclagem - Resultados
A subciclagem foi aplicada apenas às linhas de ancoragem. Desta forma, para
melhor verificação desta implementação, o riser vertical não foi considerado na análise.
A seguir a figura 60 com a plataforma e as linhas de ancoragem.
Figura 60 – Plataforma com Linhas de Ancoragem
Para utilização da subciclagem, conforme o exemplo anterior, utilizando-se da
divisão de segmentos das linhas de ancoragem devido aos diferentes tipos de material
utilizados (amarra e cabo), associou-se intervalos de tempo a cada segmento.
Desta forma utilizou-se dois intervalos de tempo correspondentes a cada
segmento:
- Segmentos 1 (amarra topo) e 3 (amarra fundo): ∆t = 0.0005 seg;
- Segmento 2 (cabo): ∆t = 0.00025 seg.
Na análise tradicional, sem subciclagem, utilizou-se o menor intervalo de tempo
para todos os elementos, ∆t = 0.00025 seg.
Não foi utilizado amortecimento numérico nesta análise.
Nas figuras 61 e 62 são apresentados resultados comparativos de movimentos da
embarcação e tração das linhas de ancoragem, entre a versão original do programa
Prosim, sem o uso da subciclagem e a versão implementada com uso da subciclagem.
Conforme pode-se observar os resultados são praticamente idênticos.
150
0 1020304050
Tempo (s)
-8
-6
-4
-2
0
Su
r
ge (m)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
0
4
8
12
16
20
Su
r
ge (m)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
Heave (m)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
-2
-1
0
1
2
3
Roll (g
r
aus)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
-4
-2
0
2
4
Pitch (g
r
aus)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0
Yaw (g
r
aus)
P10
Original
Subciclagem
Figura 61 – Resultados comparativos – Movimentos P10
151
0 1020304050
Tempo (s)
1000
1040
1080
1120
1160
1200
T
r
ação topo - linha 1 (kN)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
960
1000
1040
1080
1120
1160
T
r
ação topo - linha 2 (kN)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1080
1120
1160
1200
1240
T
r
ação topo - linha 3 (kN)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1120
1160
1200
1240
1280
T
r
ação topo - linha 4 (kN)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1200
1240
1280
1320
1360
1400
T
r
ação topo - linha 5 (kN)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1240
1280
1320
1360
1400
1440
1480
T
r
ação topo - linha 6 (kN)
P10
Original
Subciclagem
152
0 1020304050
Tempo (s)
1200
1240
1280
1320
1360
T
r
ação topo - linha 7 (kN)
P10
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1120
1160
1200
1240
1280
T
r
ação topo - linha 8 (kN)
P10
Original
Subciclagem
Figura 62 – Resultados comparativos – Tração topo das linhas
Com a boa precisão obtida nos resultados serão agora apresentados resultados
comparativos do desempenho obtido nesta análise. A tabela 18 apresenta o tempo de
CPU gasto.
Tabela 18 – Desempenho Computacional
Tradicional Subciclagem Economia %
Tempo CPU (seg)
8665.6 5430.0 37.3
Com isto pode-se observar o ganho computacional significativo de 37.3% obtido
neste caso.
153
11.4.7. PDII - Resultados
Para utilização do algoritmo PDII, neste exemplo, utilizou-se o seguinte
procedimento:
•
Modelou-se o riser de perfuração vertical o qual foi particionado em 2
segmentos iguais. Sobre este riser utilizou-se o PDII em 2 processadores;
•
As linhas de ancoragem foram agrupadas duas a duas e distribuídas em 4
processadores, cada processador com 2 linhas conforme o procedimento
implementado por Franco em [47]. Esta divisão é adotada também na
versão original do Prosim, utilizada para comparação de resultados e
desempenho.
Para utilização do algoritmo PDII, neste exemplo, dividiu-se o riser ao meio em
dois segmentos conforme ilustrado na figura 63 a seguir:
Figura 63 – Divisão do riser
154
A seguir são apresentados os principais parâmetros utilizados nesta análise:
- Intervalo de tempo: 0.0025 seg;
- Tolerância de deslocamentos: 0.001
- Tolerância de forças: 0.01
- Amortecimento numérico (coeficiente αB): -0.33.
- Amortecimento proporcional à massa: não foi considerado.
- Amortecimento proporcional à rigidez: não foi considerado.
Nas figuras 64 e 65 são apresentados resultados comparativos de movimentos da
embarcação e tração no topo do riser vertical, entre a versão original do programa
Prosim e a versão implementada com uso do algoritmo PDII. Conforme pode-se
observar os resultados são praticamente idênticos.
155
0 1020304050
Tempo (s)
-10
-8
-6
-4
-2
0
Su
r
ge (m)
P10
Original
Part. Domíni
o
0 1020304050
Tempo (s)
0
5
10
15
20
25
Sway (m)
P10
Original
Part. Domínio
0 1020304050
Tempo (s)
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Heave (m)
P10
Original
Part. Domínio
0 1020304050
Tempo (s)
-2
-1
0
1
2
3
Roll (g
r
aus)
P10
Original
Part. Domínio
0 1020304050
Tempo (s)
-4
-2
0
2
4
Pitch (g
r
aus)
P10
Original
Part. Domínio
0 1020304050
Tempo (s)
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
Yaw (g
r
aus)
P10
Original
Part. Domínio
Figura 64 – Resultados comparativos – Movimentos P10
156
0 1020304050
Tempo (s)
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
Fo
r
ça topo
r
ise
r
(kN)
P10
Original
Part. Domínio
Figura 65 – Resultados comparativos – Tração topo riser perfuração
Visto a boa precisão obtida nos resultados serão agora apresentados resultados
comparativos do desempenho obtido nesta análise. A análise tradicional apresenta o
resultado da análise em que as linhas de ancoragem são distribuídas duas a duas entre os
processadores 1 a 4 e o riser vertical é analisado seqüencialmente no processador 5. A
análise com PDII apresenta o resultado da análise em que as linhas de ancoragem são
distribuídas duas a duas entre os processadores 1 a 4 e o riser vertical é particionado em
2 segmentos e distribuído nos processadores 5 e 6. A tabela 19 apresenta o tempo de
CPU gasto.
Tabela 19 – Desempenho Computacional
Tradicional PDII Economia %
Tempo CPU (seg)
5390.9 3417.0 36.6
Esta análise apresentou um ganho significativo de 36.6% de economia
computacional.
157
Para uma melhor observação e entendimento do desempenho obtido serão
apresentados resultados mais detalhados em termos de tempo de espera, tempo de
comunicação e tempo de processamento de cada processador.
As figuras 66 e 67 apresentam o tempo de espera, processamento, comunicação
de cada processador, além do tempo da análise correspondente à fração paralelizável e o
tempo total de análise. A figura 66 utiliza o procedimento tradicional com a divisão das
linhas de ancoragem pelos processadores porém sem particionamento do riser de
perfuração. Neste caso o riser de perfuração é analisado pelo processador 5. A figura 67
utiliza o método PDII onde o riser de perfuração é particionado e analisado pelos
processadores 5 e 6. As linhas de ancoragem são analisadas pelos processadores 1 a 4
onde cada processador analisa 2 linhas de ancoragem.
P10 - Análise Global - Riser sem partição
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
123456
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total
Figura 66 – Medida de Desempenho - Tradicional
158
P10 - Análise Global - Riser particionado
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
123456
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total
Figura 67 – Medida de Desempenho - PDII
Observa-se que devido ao elevado número de graus de liberdade do riser de
perfuração em relação às linhas de ancoragem o tempo de espera dos processadores 1 a
4 é bem elevado. Com a utilização do PDII o tempo de espera deste processadores
diminui assim como o tempo de processamento dos processadores 5 e 6 e o tempo total
da análise em todos os processadores.
O tempo de comunicação entre os processadores 5 e 6 sofre um ligeiro aumento
devido à comunicação necessária à compatibilidade dos nós de interface. O tempo de
espera dos processadores 5 e 6 é quase nulo devido à igual divisão de graus de liberdade
do riser de perfuração entre estes processadores e à comunicação total da análise se
restringir a estes 2 processadores.
A figura 68 apresenta mais detalhes especificamente da análise do riser de
perfuração seqüencialmente e com a utilização do PDII.
159
P10 - Análise Local Riser
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Sequencial IGI - Proc 5 IGI - Proc 6
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total paralelizado
Total análise
Figura 68 – Medida de Desempenho
Neste gráfico foram tomados tempo da fração paralelizada e do tempo total da
análise. Pode-se observar o ganho considerável no tempo de processamento e no tempo
total da análise comparando-se com a análise do riser vertical em 1 processador.
160
11.5. PLATAFORMA P18
A plataforma P18 é ancorada por 8 linhas. Possui um total de 73 risers, de
produção, exportação, injeção e umbilicais, sendo 72 risers flexíveis e um SCR (Steel
Catenary Riser), todos com configurações em catenária livre.
11.5.1. Características do Casco
A seguir são apresentadas algumas características da plataforma P18, extraídas
de [13]:
¾ lâmina d’água: 910 m;
¾ azimute da plataforma: 203
o
;
¾ posição do centro de gravidade em relação ao eixo local: 19,30 m;
¾ Calado da plataforma: 23,10 m;
¾ peso da plataforma: 3.27E+05 kN.
A tabela 20 apresenta os raios de giração da P18.
Tabela 20 – Raio de Giração
Valor
RXX
30.49
RYY
29.35
RZZ
32.64
Na Figura 69 é ilustrado o sistema de referência local (XYZ) e global (xyz)
adotado. Empregaram-se coeficientes hidrodinâmicos gerados pelo programa WAMIT.
O sistema de referência do WAMIT é o mesmo do Prosim. A Figura 70 mostra o
modelo do casco da plataforma P18 utilizado na análise prévia do programa WAMIT
para a obtenção das matrizes de amortecimento potencial e dos coeficientes de deriva.
161
Z
z
nível do mar
23
,
1 m
x E
. CG
19
,
30 m
X
Sistema Global xyz
x E
Sistema Local XYZ
proa
X
N
y
Popa
Y
23
o
Figura 69 – Sistema de Referência da Plataforma P18
162
Figura 70 – Modelo do Casco da P18 usado pelo Wamit
11.5.2. Características das Linhas de Ancoragem
A P18 é ancorada por um total de 8 linhas de ancoragem compostas por um
trecho de amarra no fundo e no topo e cabo de aço intermediário. As características das
linhas de ancoragem são apresentadas na a seguir nas tabelas 13 e 14.
Tabela 21 – Propriedades das Linhas de Ancoragem
Comprimentos (m)
Linha
Amarra de Fundo Cabo de Aço Amarra de Topo
Projeção
Horizontal
(m)
Linha 1 1060 2377,735 368 2377,74
Linha 2 1290 2430,074 230 2430,07
Linha 3 1400 2597,106 354 2597,11
Linha 4 1230 2482,344 283.5 2482,34
Linha 5 1110 2513,828 439 2513,83
Linha 6 1480 2549,931 157 2549,93
Linha 7 1050 2418,237 610 2418,24
Linha 8 1735 2824,911 207 2824,91
163
Tabela 22 – Coordenadas de Conexão e Azimutes das Linhas de
Ancoragem
Coordenadas Globais
Linha
X Y Z
Azimute
(
o
)
Linha 1 -30,8 -37,4 -7,7 354.8
Linha 2 -25,5 -37,4 -7,7 325.5
Linha 3 25,5 -37,4 -7,7 268.1
Linha 4 30,8 -37,4 -7,7 227.3
Linha 5 30,8 37,4 -7,7 173.2
Linha 6 25,5 37,4 -7,7 131.8
Linha 7 -25,5 37,4 -7,7 74.8
Linha 8 -30,8 37,4 -7,7 39.8
11.5.3. Características dos Risers
A Tabela 23 apresenta as características dos risers, em termos de azimutes e os
ângulos de topo. A P18 tem um total de 73 risers conectados, incluindo produtores,
injetores e de exportação (dentre eles o SCR).
164
Tabela 23 – Risers Conectados à Plataforma
Número
do Poço
Tipo de Riser Azimute Ângulo de Topo
1 Injetor 4” 7 3.81
Umbilical UH 7 3.81
Anular 2.5” 13 8.42
2 Umbilical UH 14 4.40
Produtor 4” 12 8.75
3 Umbilical UH 18 5.00
Injetor 4” 17 4.40
4 Injetor 4” ISU 23 7.60
Gasoduto 8” 28 8.00
Anular 2.5” 34 6.11
5 Umbilical UH 35 6.00
Produtor 4” 36 4.44
6 Umbilical UH 39 4.15
Injetor 4” 41 4.15
Anular 2.5” 85 4.85
7 Umbilical UH 86 4.82
Produtor 4” 84 4.76
8 Umbilical UH 82 4.80
Injetor 4” 88 4.80
Anular 2.5” 104 7.90
9 Umbilical UH 109 7.30
Produtor 4” 103 7.90
Anular 2.5” 110 4.06
10 Umbilical UH 111 4.14
Produtor 4” 106 3.88
11 Umbilical UH 114 4.20
Injetor 4” 116 4.20
Anular 2.5” 119 5.00
12 Umbilical UH 121 5.00
Produtor 4” 124 4.52
Anular 2.5” 126 5.98
13 Umbilical UH 128 5.40
Produtor 4” 127 5.10
Anular 2.5” 179 5.91
14 Umbilical UH 180 7.50
Produtor 4” 182 6.38
Anular 2.5” 198 7.00
15 Umbilical UH 199 7.00
Produtor 4” 197 7.00
Anular 2.5” 201 7.24
16 Umbilical UH 200 6.00
Produtor 4” 202 6.81
SCR – Gasoduto 10” 192.11 21.67
165
Número
do Poço
Tipo de Riser Azimute Ângulo de Topo
Anular 2.5” 211 4.33
17 Umbilical UH 212 4.09
Produtor 4” 213 3.98
Anular 2.5” 214 2.38
18 Umbilical UH 215 5.50
Produtor 4” 218 5.23
19 Umbilical UH 220 4.40
Injetor 4” 221 3.89
Anular 2.5” 280 7.00
20 Umbilical UH 284 7.00
Produtor 6” 285 7.00
Anular 2.5” 289 4.74
21 Umbilical UH 290 4.75
Produtor 4” 288 4.76
Gasoduto 10” 299 6.26
Oleoduto 12”S 296 6.96
Oleoduto 12”N 290 8.28
Anular 2.5” 319 3.87
22 Umbilical UH 320 4.00
Produtor 4” 311 9.14
Anular 2.5” 318 5.00
23 Umbilical UH 317 5.00
Produtor 4” 319 5.00
24 Umbilical UH 317 4.50
Injetor 4” 316 4.05
Anular 2.5” 305 8.82
25 Umbilical UH 309 7.93
Produtor 4” 312 9.02
26 Umbilical UH 323 5.70
Injetor 4” 321 6.00
166
11.5.4. Dados Ambientais
Para a análise em questão foram considerados os seguintes carregamentos
ambientais:
¾ Carregamentos atuantes no casco: onda, correnteza e vento;
¾ Carregamentos atuantes nas linhas: onda, correnteza, gravitacional e
amortecimento hidrodinâmico.
Foi considerado para este exemplo onda regular unidirecional com Hmax = 6.0
m, THmax = 11.0 seg e direção vindo de NE.
Para o vento, considerou-se o espectro proposto pela API, com velocidade média
de 13.709 nós, ângulo de ataque em relação ao eixo X Global de 29.6
o
e direção vindo
de N.
O perfil de corrente utilizado na simulação com a P18 é o apresentado na tabela
24.
Tabela 24 – Perfil de Correnteza
Profundidade
(
m
)
Velocidade
(
m/s
)
Dire
ç
ão
0 0.45 SW
50 0.46 SW
100 0.42 SWS
150 0.42 SWS
250 0.25 SWS
350 0.13 S
450 0.09 SE
550 0.12 E
650 0.18 NE
750 0.18 NE
900 0.23 NE
910 0 NE
167
11.5.5. Modelo Numérico
CASCO
O casco da plataforma é representado por um modelo reticulado de 36 elementos
tubulares. As Figuras 71 e 72 apresentam, respectivamente, o esquema reticulado da
plataforma P18 e a visualização sólida da plataforma P18 levando em conta os
diâmetros dos membros tubulares equivalentes. Além disso, foram calculados os valores
de coeficientes hidrodinâmicos CD e CM para cada trecho destes membros, baseando-
se na Norma da DNV/POSMOOR , como descrito em [13].
X
Y
Z
2
1
4
3
5
6
8
7
10
9
12
1114
13
16
15
Figura 71 – Esquema Reticulado
168
Figura 72 – Visualização Sólida do Modelo do Casco
CONJUNTO DE LINHAS DE ANCORAGEM E RISERS
As linhas e risers flexíveis foram discretizadas com elementos de treliça espacial
e o SCR foi discretizado com elementos de pórticos espacial. As Tabelas 25, 26 e 27
apresentam, respectivamente, a malha típica de uma linha de ancoragem da P18, a
malha típica de um riser flexível da P18 e a malha do SCR. A Tabela 28 apresenta o
número total de elementos e número de equções para todas as linhas do modelo.
Tabela 25 – Malha Típica de uma Linha de Ancoragem
Segmento Comprimento do
Segmento (m)
Comprimento
Inicial (m)
Comprimento
Final (m)
1 – Topo 368 20 20
2 1250 20 20
3 – Âncora 1060 20 20
Tabela 26 – Malha Típica de um Riser Flexível
Segmento Comprimento do
Segmento (m)
Comprimento
Inicial (m)
Comprimento
Final (m)
1 – Topo 400 25 5
2 400 25 25
3 100 5 25
4 200 5 5
5 – Fundo 100 25 5
169
Tabela 27 – Malha do SCR
Segmento Comprimento do
Segmento (m)
Comprimento
Inicial (m)
Comprimento
Final (m)
1 – Topo 1,103 0,1575 0,1575
2 108,757 1 0,1575
3 100 20 1
4 926,304 20 20
5 100 5 20
6 130,786 5 5
7 – Fundo 700 20 5
Tabela 28 – Número de elementos e Graus de Liberdade de cada Linha
Linha Tipo Tipo de
Elemento
Número de
Elementos
Número de
Equações
1 - 8 Riser Flexível Treliça 60 180
9 Riser Flexível Treliça 80 240
10-42 Riser Flexível Treliça 60 180
43 Riser Rígido Pórtico 264 1584
44-51 Riser Flexível Treliça 60 180
52-54 Riser Flexível Treliça 72 219
55-57 Riser Flexível Treliça 60 180
58 Riser Flexível Treliça 69 207
59-60 Riser Flexível Treliça 66 198
61 Riser Flexível Treliça 62 189
62-73 Riser Flexível Treliça 60 180
74 Ancoragem Treliça 133 402
75 Ancoragem Treliça 138 420
76 Ancoragem Treliça 150 453
77 Ancoragem Treliça 138 417
78 Ancoragem Treliça 140 423
79 Ancoragem Treliça 144 435
80 Ancoragem Treliça 144 441
81 Ancoragem Treliça 159 480
Nas Figuras 73, 74 e 75 são ilustrados respectivamente a configuração típica de
uma linha de ancoragem, do SCR e de um riser flexível da plataforma P18. Em todas as
figuras citadas tem-se a configuração discretizada.
170
Figura 73 – Configuração Típica de uma Linha de Ancoragem
Figura 74 – Configuração do SCR
Figura 75 – Configuração de um Riser de Produção
171
MODELO ACOPLADO
A seguir, nas figuras 76, 77, 78 e 79, são apresentadas figuras ilustrando o
modelo acoplado da P18, incorporado as linhas de ancoragem e aos risers.
Figura 76 – Modelo Acoplado – Vista XY
Figura 77 – Modelo Acoplado – Vista Lateral
172
Figura 78 – Modelo Acoplado – Vista Frontal
Figura 79 – Modelo Acoplado – Vista 3D
173
11.5.6. Subciclagem - Resultados
A subciclagem foi aplicada apenas às linhas de ancoragem, desta forma, para
melhor verificação desta implementação os demais risers não foram considerados na
análise. A figura 80 apresenta uma configuração deformada apenas com as linhas de
ancoragem.
Figura 80 – Modelo da Plataforma com Linhas de Ancoragem
Para utilização da subciclagem, conforme o exemplo anterior, utilizando-se da
divisão de segmentos das linhas de ancoragem devido aos diferentes tipos de material
utilizados (amarra e cabo), associou-se intervalos de tempo a cada segmento.
Desta forma utilizou-se dois intervalos de tempo correspondentes a cada
segmento:
- Segmentos 1 (amarra topo) e 3 (amarra fundo): ∆t = 0.0005 seg;
- Segmento 2 (cabo): ∆t = 0.00025 seg.
Na análise tradicional, sem subciclagem, utilizou-se o menor intervalo de tempo
para todos os elementos, ∆t = 0.00025 seg.
Não foi utilizado amortecimento numérico nesta análise.
A seguir, nas figuras 81 e 82, são apresentados resultados comparativos de
movimentos da embarcação e tração das linhas de ancoragem, entre a versão original do
programa Prosim, sem o uso da subciclagem e a versão implementada com uso da
subciclagem. Conforme pode-se observar os resultados são praticamente idênticos.
174
0 1020304050
Tempo (s)
0
10
20
30
40
Su
r
ge (m)
P18
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
-20
-16
-12
-8
-4
0
Sway (m)
P18
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1
2
3
4
5
Heave (m)
P18
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
-2
-1
0
1
2
3
Roll (g
r
au)
P18
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
-2
0
2
4
6
8
Pitch (g
r
au)
P18
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1.2
1.6
2
2.4
2.8
Yaw (g
r
au)
P18
Original
Subciclagem
Figura 81 – Resultados comparativos – Movimentos P18
175
0 102030405
0
Tempo (s)
1680
1720
1760
1800
1840
T
r
ação topo - linha 1 (kN)
P18
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1170
1180
1190
1200
1210
1220
T
r
ação topo - linha 2 (kN)
P18
Original
Subciclagem
0 102030405
0
Tempo (s)
1060
1080
1100
1120
1140
T
r
ação topo - linha 3 (kN)
P18
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1360
1400
1440
1480
1520
T
r
ação topo - linha 4 (kN)
P18
Original
Subciclagem
0 102030405
0
Tempo (s)
1680
1700
1720
1740
1760
1780
1800
T
r
ação topo - linha 5 (kN)
P18
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1210
1220
1230
1240
1250
1260
T
r
ação topo - linha 6 (kN)
P18
Original
Subciclagem
176
0 102030405
0
Tempo (s)
1380
1400
1420
1440
1460
1480
1500
T
r
ação topo - linha 7 (kN)
P18
Original
Subciclagem
0 1020304050
Tempo (s)
1120
1140
1160
1180
1200
1220
1240
T
r
ação topo - linha 8 (kN)
P18
Original
Subciclagem
Figura 82 – Resultados comparativos – Tração topo das linhas
Com a boa precisão obtida nos resultados serão agora apresentados resultados
comparativos do desempenho obtido nesta análise. A tabela 29 apresenta o tempo de
CPU gasto.
Tabela 29 – Desempenho Computacional
Tradicional Subciclagem Economia %
Tempo CPU (seg)
15006 9045 39.7
Com isto pode-se observar o ganho computacional significativo de 39.7% obtido
neste caso.
177
11.5.7. PDII - Resultados
Devido à limitação de 6 processadores do cluster a aplicação do PDII no SCR
com a utilização do modelo completo não traria nenhum benefício. Isto porque, com o
modelo completo tem-se cerca de 3044 equações por processador, o SCR tem 1584
equações. Desta forma o SCR deveria ser analisado em conjunto com outras linhas em
um determinado processador de modo que a soma das equações do SCR com estas
outras linhas resultasse cerca de 3044 equações. Portanto, com o modelo completo
dividido por 6 processadores, não faz sentido a utilização do PDII com o
particionamento do SCR.
O PDII poderia ser utilizado no modelo completo caso o cluster tivesse, por
exemplo, o número de processadores igual ao número de linhas, assim o processador
que fosse analisar o SCR teria um número de equações muito superior aos demais
processadores, o que justificaria a divisão do SCR em subdomínios visando a
diminuição do número de equações por processador tornando assim o balanceamento de
equações mais bem distribuído entre os processadores.
Com apenas 6 processadores a estratégia adotada, com o objetivo de mostrar
efetivamente a utilização do PDII, foi a modelagem apenas das linhas de ancoragem e
do SCR.
A seguir a figura 83 com a plataforma P18, linhas de ancoragem e SCR.
Figura 83 – Modelo Plataforma com Linhas de Ancoragem e SCR
178
A seguir são apresentados os principais parâmetros utilizados nesta análise:
- Intervalo de tempo do casco e linhas: 0.0025 seg;
- Tolerância de deslocamentos: 0.001
- Tolerância de forças: 0.01
- Amortecimento numérico (coeficiente αB): -0.33.
- Amortecimento proporcional à massa: não foi considerado.
- Amortecimento proporcional à rigidez: não foi considerado.
Na figura 84 são apresentados resultados comparativos de movimentos da
embarcação da análise com todos os risers modelados e da análise com a modelagem
das linhas de ancoragem e do SCR.
Esta comparação tem como objetivo mostrar a influência do conjunto de risers
nos movimentos da plataforma e conseqüentemente a importância da análise acoplada
na correta determinação dos movimentos da plataforma sob influência dos risers a ela
conectados.
179
0 1020304050
Tempo (s)
0
10
20
30
40
Su
r
ge (m)
P18
Modelo completo
Modelo ancoragem + SCR
0 1020304050
Tempo (s)
-30
-20
-10
0
Sway (m)
P18
Modelo completo
Modelo ancoragem + SCR
0 1020304050
Tempo (s)
-1
0
1
2
3
4
5
Heave (m)
P18
Modelo completo
Modelo ancoragem + SCR
0 1020304050
Tempo (s)
-2
0
2
4
6
Roll (g
r
aus)
P18
Modelo completo
Modelo ancoragem + SCR
0 1020304050
Tempo (s)
-2
0
2
4
6
8
Pitch (g
r
aus)
P18
Modelo completo
Modelo ancoragem + SCR
0 1020304050
Tempo (s)
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
Yaw (g
r
aus)
P18
Modelo completo
Modelo ancoragem + SCR
Figura 84 – Comparação de Movimentos
180
Para utilização do algoritmo PDII, neste exemplo, utilizou-se o seguinte
procedimento, semelhante ao utilizado no exemplo da plataforma P10:
•
O SCR foi particionado em 2 segmentos iguais. Sobre este riser utilizou-
se o PDII em 2 processadores;
•
As linhas de ancoragem foram agrupadas duas a duas e distribuídas em 4
processadores, cada processador com 2 linhas conforme o procedimento
implementado por Franco em [47]. Esta divisão é adotada também na
versão original do Prosim, utilizada para comparação de resultados e
desempenho.
A seguir, na figura 85, o esquema de particionamento do SCR.
Segmento 1
Segmento 2
Figura 85 – Divisão do riser
Portanto as análises e comparações efetuadas adiante consideram apenas as
linhas de ancoragem e SCR conectados à plataforma.
Nas figuras 86 e 87 são apresentados resultados comparativos de movimentos da
embarcação e tração no topo do SCR, entre a versão original do programa Prosim e a
versão implementada com uso do algoritmo PDII. Conforme pode-se observar os
resultados são praticamente idênticos.
181
0 1020304050
Tempo (s)
0
10
20
30
40
Su
r
ge (m)
P18
Original
Part. Domínio
0 1020304050
Tempo (s)
-20
-16
-12
-8
-4
0
Sway (m)
P18
Original
Part. Domínio
0 1020304050
Tempo (s)
1
2
3
4
5
Heave (m)
P18
Original
Part. Domínio
0 1020304050
Tempo (s)
-2
-1
0
1
2
3
Roll (g
r
au)
P18
Original
Part. Domínio
0 1020304050
Tempo (s)
-2
0
2
4
6
8
Pitch (g
r
au)
P18
Original
Part. Domínio
0 1020304050
Tempo (s)
1.2
1.6
2
2.4
2.8
Yaw (g
r
au)
P18
Original
Part. Domínio
Figura 86 – Resultados comparativos – Movimentos P18
182
0 1020304050
Tempo (s)
1300
1400
1500
1600
1700
T
r
ação topo SCR (kN)
P18
Original
Part. Domínio
Figura 87 – Resultados comparativos – Tração topo SCR
Visto a boa precisão obtida nos resultados, serão agora apresentados resultados
comparativos do desempenho obtido nesta análise. A análise tradicional apresenta o
resultado da análise em que as linhas de ancoragem são distribuídas duas a duas entre os
processadores 1 a 4 e o SCR é analisado seqüencialmente no processador 5. A análise
com PDII apresenta o resultado da análise em que as linhas de ancoragem são
distribuídas duas a duas entre os processadores 1 a 4 e o SCR é particionado em 2
segmentos e distribuído nos processadores 5 e 6. A tabela 30 apresenta o tempo de CPU
gasto em cada um destes casos.
Tabela 30 – Desempenho Computacional
Tradicional PDII Economia %
Tempo CPU (seg)
3886.8 2689.7 30.8
Observa-se assim o ganho significativo de 30.8% obtido na análise com o riser
particionado.
183
Para uma melhor observação e entendimento do desempenho obtido serão
apresentados resultados mais detalhados em termos de tempo de espera, tempo de
comunicação e tempo de processamento de cada processador.
As figuras 88 e 89 apresentam o tempo de espera, processamento, comunicação
de cada processador, além do tempo da análise correspondente à fração paralelizável e o
tempo total de análise. A figura 88 utiliza o procedimento tradicional com a divisão das
linhas de ancoragem pelos processadores porém sem particionamento do SCR. Neste
caso o SCR é analisado pelo processador 5. A figura 89 utiliza o método PDII onde o
SCR é particionado e analisado pelos processadores 5 e 6. As linhas de ancoragem são
analisadas pelos processadores 1 a 4 onde cada processador analisa 2 linhas de
ancoragem.
P18 - Análise Global - Riser sem partição
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
123456
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total
Figura 88 – Análise de Desempenho - Tradicional
184
P18 - Análise Global - Riser particionado
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
123456
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total
Figura 89 – Análise de Desempenho - PDII
Observa-se que, da mesma forma como ocorrido no exemplo da P10, devido ao
elevado número de graus de liberdade do SCR em relação às linhas de ancoragem o
tempo de espera dos processadores 1 a 4 é bem elevado. Com a utilização do PDII o
tempo de espera deste processadores diminui assim como o tempo de processamento
dos processadores 5 e 6 e o tempo total da análise em todos os processadores.
O tempo de comunicação entre os processadores 5 e 6 sofre um ligeiro aumento
devido à comunicação necessária à compatibilidade dos nós de interface. O tempo de
espera dos processadores 5 e 6 é quase nulo devido à igual divisão de graus de liberdade
do riser de perfuração entre estes processadores e à comunicação total da análise se
restringir a estes 2 processadores.
A figura 90 apresenta mais detalhes especificamente da análise do SCR
seqüencialmente e com a utilização do PDII.
185
P18 - Análise Local Riser
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Sequencial IGI - Proc 5 IGI - Proc 6
Processador
Tempo (seg)
Processamento
Comunicação
Espera
Total paralelizado
Total análise
Figura 90 – Análise de Desempenho
Neste gráfico foram tomados tempo da fração paralelizada e do tempo total da
análise. Pode-se observar o ganho considerável no tempo de processamento e no tempo
total da análise comparando-se com a análise do riser vertical em 1 processador.
186
12. CONCLUSÕES
12.1. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os algoritmos implementados se mostraram plenamente capazes de tornar mais
eficientes as análises acopladas de sistemas flutuantes. Como a análise acoplada, hoje
em dia, apresenta um limitador importante na sua utilização efetiva, que é o tempo
despendido durante a análise, o estudo aqui apresentado é um passo importante no
sentido de tornar mais rápida e conseqüentemente mais rotineira a utilização da análise
acoplada no dia-a-dia de projetos da indústria offshore. Neste contexto, de acordo com
as metodologias estudadas em [13], a análise acoplada seria utilizada para determinar de
forma mais precisa os movimentos da plataforma, considerando todos os efeitos de
interação dinâmica não-linear entre o casco e o conjunto das linhas de ancoragem e
risers.
12.1.1. Algoritmos Explícitos e Subciclagem
A primeira contribuição apresentada foi a implementação de algoritmos
explícitos de integração no tempo. Implementou-se o método mais tradicionalmente
utilizado, o Método das Diferenças Centrais e dois algoritmos com dissipação numérica,
o algoritmo de Chung-Lee e o Método Explícito Generalizado α. Com estes algoritmos
implementados abrem-se novas possibilidades de utilização da ferramenta
computacional em problemas transientes onde mostre-se necessária a correta integração
de modos de vibração com freqüências mais elevadas. Um exemplo deste tipo de
aplicação seria na análise de movimentos de uma plataforma durante e após o transiente
gerado pelo rompimento de uma linha de ancoragem, que é uma situação prevista nas
normas que regem o projeto de sistemas de ancoragem.
Baseando-se na implementação dos métodos explícitos partiu-se para a
implementação da subciclagem interna das linhas. Esta implementação apresentou
ótimos resultados em termos de economia computacional. Nos exemplos específicos de
análise acoplada o ganho apresentado foi bastante significativo se compararmos com o
desempenho obtido pelas análises efetuadas tradicionalmente com método explícito de
integração. Além disso o algoritmo implementado mostrou-se capaz de manter a
precisão nas respostas dos casos analisados.
187
Quanto maior o número de linhas envolvidas numa análise acoplada espera-se
que maior seja o ganho computacional ao utilizar-se a subciclagem interna das linhas –
que não necessáriamente estará associada a algoritmos explícitos, mas pode ser utilizada
também em conjunto com algoritmos implícitos, como será comentado mais adiante.
Além disso, esta economia poderia ser ainda mais significativa com a utilização da
subciclagem interna das linhas em conjunto com a subciclagem casco-linha, na qual
diferentes intervalos de tempo seriam utilizados na integração do casco e dos
subdomínios componentes de uma determinada linha.
A eficiência da subciclagem depende de vários fatores relativos especificamente
ao caso em estudo. Um destes fatores é a diferença entre a discretização dos elementos
em cada subdomínio, o que levará a uma maior ou menor relação entre os intervalos de
tempo utilizados o que, conseqüentemente, terá influência direta no ganho
computacional. Um outro fator importante é o número de elementos constituintes de
cada subdomínio. O desempenho da subciclagem interna tende a ser melhor quanto
maior o número de elementos pertencentes a subdomínios com maiores intervalos de
tempo de integração associados, onde ocorrerão menos subciclos.
12.1.2. Algoritmos PDII
O principal objetivo da implementação do método PDII associado a análises
acopladas foi alcançado. A precisão dos resultados obtida nas análises efetuadas foi
mantida, e uma economia computacional considerável foi apresentada. Estudos
detalhados do PDII, em termos de desempenho computacional, foram efetuados com o
intuito de avaliação da possibilidade de maiores ganhos computacionais.
Devido à topologia particular da malha de elementos finitos empregada para
discretizar as linhas de ancoragem e risers, e à natureza dinâmica não-linear do
problema, o custo da resolução dos sistemas de equações algébricas não é tão
preponderante, e os custos se mostram “espalhados” pelos diversas fases do
procedimento de integração no tempo e do tratamento das não-linearidades. Em outras
palavras, não existe um trecho de análise dinâmica, por exemplo a resolução do sistema
de equações, cujo tempo de CPU mostre-se muito superior ao tempo dos demais
procedimentos de cálculo.
188
A implementação efetuada conseguiu particionar e efetuar em paralelo a análise
de praticamente todas as fases de cálculo pertencentes à análise dinâmica, resultando
em uma análise de cada subdomínio praticamente de forma independente. O
procedimento adotado tornou possível paralelizar mais de 90% da análise.
Estudos mais detalhados da comunicação entre processadores podem trazer
ganhos ainda maiores nestas análises.. Na atual implementação os processadores se
comunicam a cada iteração do ciclo de Newton-Raphson, ciclo este interno ao ciclo de
intervalos de tempo. A comunicação é efetuada através de dados da interface dos
subdomínios sendo enviados sempre para o processador mestre com o objetivo de
compatibilização da interface. Esta comunicação pode resultar num congestionamento
do fluxo de informações para o processador mestre, quanto maior for o número de
subdomínios, ocasionando um possível prejuízo no desempenho final da análise.
Uma outra conclusão importante na implementação do algoritmo PDII é que, à
medida que o número de partições de domínio aumenta, a tendência observada é de
aumento do número de iterações Newton-Raphson, podendo também prejudicar o
tempo total da análise. A recomendação é que, na prática usual de projetos, as linhas
sejam particionadas em no máximo 3 subdomínios numa análise com o algoritmo PDII.
Este fato foi observado em um exemplo apresentado, quando variou-se o número de
processadores até o número máximo disponível no cluster.
Estudos mais detalhados podem e devem ser efetuados para a verificação do
aumento do número de iterações ao aumentar-se o número de processadores. Em alguns
casos, este aumento do número de iterações pode levar à não-convergência do algoritmo
PDII forçando assim a utilização de menores valores de intervalo de tempo. No
entanto, para a maioria dos problemas encontrados na análise acoplada de plataformas
offshore, com um número elevado de linhas (podendo chegar a uma centena ou mais), e
para a maioria das configurações de clusters disponíveis (onde não é usual encontrar
mais do que poucas centenas de processadores), acredita-se que o procedimento normal
será mesmo empregar não mais de que três subdomínios/processadores em cada linha.
189
Assim, demonstrou-se que a implementação do algoritmo PDII efetuada
apresenta ganhos satisfatórios comparando-se com a análise seqüencial. O
particionamento da estrutura e a implementação em paralelo do algoritmo PDII foi
efetuado com sucesso em problemas dinâmicos não-lineares aplicado à análise acoplada
de estruturas offshore, obtendo-se redução de custos computacionais e manutenção da
precisão dos resultados.
190
12.2. PROPOSTAS PARA DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
Os desenvolvimentos apresentados neste trabalho consistiram em um primeiro e
importante passo dado na direção de otimização de análises acopladas. Outros
desenvolvimentos devem ser estudados no intuito da busca de desempenho cada vez
maior destas análises. A seguir são apresentadas algumas propostas visando este
objetivo.
12.2.1. Subciclagem
A subciclagem interna das linhas mostra-se promissora também na utilização
com algoritmos implícitos de integração, apesar de o intervalo de tempo utilizado em
métodos implícitos não estar limitado ao intervalo de tempo crítico. Isto significa que,
mesmo com a possibilidade de utilização de maiores intervalos de tempo em algoritmos
implícitos a variação de discretização de uma linha permite que a subciclagem interna
possa ser utilizada com a conseqüente possibilidade de obtenção de economia
computacional.
A atual implementação utiliza razões inteiras entre os intervalos de tempo dos
subdomínios. Devido a utilização de contadores de tempo na atualização do
subdomínio, a utilização de razões não-inteiras entre os intervalos de tempo apresenta-
se como uma possibilidade a ser avaliada.
No presente trabalho utilizou-se velocidade constante nos nós de interface
durante os subciclos. Novos estudos podem ser efetuados com a utilização de
aceleração constante nos nós de interface.
12.2.2. Algoritmos PDII
Em relação aos algoritmos PDII e à implementação em paralelo, a proposta para
um próximo trabalho estaria concentrada inicialmente na comunicação de dados. Esta
comunicação dos nós de interface poderia tornar-se mais eficiente caso os dados, ao
invés de serem enviados todos para o processador mestre, conforme implementado,
fossem enviados apenas aos processadores que partilhassem dos subdomínios com
mesma interface, o que melhoraria ainda mais o desempenho do PDII.
191
Uma outra proposta a ser analisada estaria concentrada na compatibilidade dos
nós de interface. A regra de ponderação da massa é utilizado neste trabalho. Outros
métodos para compatibilidade dos nós de interface podem ser avaliados como, por
exemplo, a utilização da matriz de rigidez nesta compatibilidade, ou alguma outra
proposta de regra de ponderação.
Além disso, a compatibilidade foi efetuada através de deslocamentos na
interface, poderiam ser utilizadas velocidades ou acelerações nesta compatibilidade.
Estudos neste sentido também podem ser efetuados.
Como a solução evolui ao longo de um ciclo iterativo, no caso o ciclo relativo ao
uso do algoritmo de Newton-Raphson, poderia-se estudar uma variação da tolerância
utilizada para verificação da convergência ao longo dos ciclos. Um estudo neste sentido
foi apresentado em [12]. Este estudo pode ser reavaliado para utilização em conjunto
com o algoritmo PDII.
12.2.3. Combinação Subciclagem / Algoritmos PDII
As duas implementações efetuadas também poderiam ser utilizadas em conjunto,
visto que a subciclagem interna foi implementada seqüencialmente como otimização
para algoritmos explícitos e o algoritmo PDII foi implementado como otimização para
algoritmos implícitos de integração no tempo. A subciclagem interna poderia ter sua
aplicabilidade associada aos computadores com arquitetura em paralelo. Como a linha é
dividida em segmentos em que, cada segmento, recebe um determinado valor de
intervalo de tempo, estes segmentos poderiam ser integrados independente e
concorrentemente com a utilização do algoritmo de partição de Domínio (PDII)
implementado.
Uma outra proposta consiste na utilização de uma estratégia adaptativa para
determinação automática do intervalo de tempo ao longo da análise dinâmica em
conjunto com o algoritmo PDII e a subciclagem interna. Observa-se que os períodos
naturais da estrutura podem variar ao longo da análise dinâmica não-linear devido à
variação da configuração da estrutura ao longo da simulação, o que pode resultar na
utilização de uma estratégia em que o intervalo de tempo varia automaticamente ao
longo da análise. Assim, à medida que o intervalo de tempo varia alguns segmentos
192
podem ter mais ou menos subciclos ao longo da integração no tempo e os subdomínios,
utilizados no método PDII, podem ser rearranjados ao longo da simulação.
Outra possibilidade de implementação é a utilização de uma estratégia
adaptativa de refinamento da malha. Devido à dinâmica não-linear utilizada na análise
de uma linha, trechos que antes poderiam ter um refinamento mais grosseiro passam a
necessitar de um maior refinamento da malha de elementos finitos ou vice-versa. Assim
o intervalo de tempo, calculado de acordo com o período natural da malha, também
varia acarretando uma variação de subciclos utilizados na subciclagem interna e um
possível rearranjo de subdomínios utilizados na partição do domínio ao longo da
simulação.
Por fim, uma combinação da estratégia adaptativa de refinamento da malha em
conjunto com a estratégia adaptativa de determinação automática de intervalo de tempo
e a utilização da subciclagem interna das linhas e subciclagem casco-linha, além do
algoritmo PDII, resultaria num algoritmo onde, se não todas, mas grande parte das
possibilidades de otimização estariam implementadas e colaborando para otimização da
análise acoplada.
De qualquer forma as opções de implementações citadas devem ser estudadas e
analisadas com cuidado para avaliação das possibilidades onde espera-se a obtenção de
ganho computacional.
193
13. REFERÊNCIAS
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Unidades Flutuantes Ancoradas, Versão 2.2
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for 1200m Water Depth – Stability Analysis - RL-2311.00-1110-960-PPC-
001.
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